Estrutura e Dinâmica Populacional

Ni = N0 +

(B - D). N0 + I- E

Um dos objetivos centrais da ecologia – entendimento dos padrões de distribuição e abundância dos organismos.

Modelos demográficos mais complexos podem ser descritos por uma PG.

Modelos demográficos mais complexos podem ser descritos por uma PG.Cyanistes caeruleusMortalidade anual constante: 60%sobrevivência de 40%

Modelos demográficos mais complexos podem ser descritos por uma PG.Cyanistes caeruleusMortalidade anual constante: 60%-sobrevivência de 40%Razão sexual 1:1Reprodução a partir do primeiro anoCada fêmea produz 7 filhotes

Modelos demográficos mais complexos podem ser descritos por uma PG.Cyanistes caeruleusMortalidade anual constante: 60%-sobrevivência de 40%Razão sexual 1:1Reprodução a partir do primeiro anoCada fêmea produz 7 filhotesMetade dos filhotes sobrevive

População: an, n° fêmeas é an/2 (razão 1:1)Taxa de natalidade per cápita:

7x n°fêmeas/total população: (7 x an/2)/an= 3,5

(7xan/2)/an= 3,5 (per cápita)

Recrutamento: nº de filhotes que atinge idade adulta (metade dos filhotes

sobrevive)3.5 x 0.5= 1,75 (per cápita)

(7xan/2)/an= 3,5 (per cápita)

Recrutamento: nº de filhotes que atinge idade adulta (metade dos filhotes sobrevive)

3.5 x 0.5= 1,75 (per cápita)

Modelo iterativo:

an+1=an + recrutamento – mortalidade adultos

an+1=an + 1,75an - 0,6an

an+1=an (1+ 1,75- 0,6)an+1=2,1an

Supondo um ano com uma população inicial de a0= 8 indivíduos:

a1=2,15a0

= 17,2

Supondo um ano com uma população inicial de a0= 8 indivíduos:

a1=2,15a0

= 17,2Pode ser feito para um segundo ano

a2= 2,15a1= 2,15(2,15a0) = 2,152a0

Supondo um ano com uma população inicial de a0= 8 indivíduos:

a1=2,15a0

= 17,2Pode ser feito para um segundo ano

a2= 2,15a1= 2,15(2,15a0) = 2,152a0

Anos 3 e 4: 2,153a0 e 2,154a0

Modelo iterativo e geral:an+1= man

an= mna0

Modelo de crescimento:

Pt+1=Pt + recrutamento – mortalidade adultos

Pt+1=Pt + bPt - dPt

Pt+1=Pt (1+ b- d), b - d = r – crescimento intrínseco

Pt+1=Pt (1+ r)

Se a taxa de crescimento é 0

Pt+1= Pt (1+ 0)= Pt

Acontece se mortalidade e recrutamento se equilibram

Se r >0 a população está crescendo

R =0,1 população cresce 10% ao ano.

Valor mínimo de r é -1, acontece se nenhum adulto sobrevive (d=1) e o recrutamento é 0.

Vamos tornar o modelo mais realista, a taxa de crescimento decresce com o tamanho populacional. No tamanho populacional pequeno, = rmax, em k , r=0

Modelo simples: decréscimo linear do crescimento em função do tamanho populacional

Pt

k

rmax r=rmax+ Ptc

c=∆y/∆xc=rmax/kr=rmax+ rmax.Pt/k

Modelo simples: decréscimo linear do crescimento em função do tamanho populacional

Se Pt é bem pequeno r = rmaxSe Pt é igual a K, r=0, C=1/K

0=rmax(1- K*C), somente se K*C=1

Vamos colocar a função do crescimento na formula do tamanho populacional

Modelo discreto logistico

rmax - crescimento de populações bem pequenas.O que acontece com Pt=0, Pt>K, Pt=k?

Até agora intervalo de crescimento – discreto

Investigando a variação de maneira contínua

Equações a diferenças – descrevem o “salto” da população de um estado t para t+1

f(at1) = a

t1 – a

t0

Crescimento irrestrito

Pt+1

=Pt (1+ r) => P

t+1=P

t + P

tr => P

tr = P

t+1- P

t

Logístico

Pt+1

- Pt = r

max(1-P

t-/k) P

t

Introduziremos o uso da análise da dinâmica populacional

Taxa de mudança médiaTaxa de mudança instantâneaMáximos e mínimos e estabilidade local de equações

Análise de aumento de biomassa de uma planta, 3 anos de observações – 12 observações.

60kg no final, sem crescimento nos invernos, nenhuma planta perdeu massa.

Veja diferentes formas de analisar o mesmo crescimento:

Função contínua:

Domínio contínuo, Se x

1 e x

2 são próximos, f(x

1) e f(x

2) também tem

de ser próximos.

A massa de uma planta em função do tempo é contínua, porém a medição é feita em intervalos de tempo, o que leva a medidas de taxas médias

de crescimento.

Formalmente a taxa média de variação entre dois pontos x

1 e x

2 numa função contínua é definida

por:

A letra Δ denota variaçãoSupondo que a nossa planta cresceu da massa 10

para a 30 entre os meses 12 e 24, qual a taxa média de crescimento?

Uma linha chamada “secante” une dois pontos de uma curva, e a taxa de crescimento, neste caso poderia

expressar a inclinação da secante entre os dois pontos

A secante h(x) e a curva de crescimento f(x) se encontram nos pontos onde h(x)=f(x)

Neste caso em f(x1) = h(x

1) e f(x

2)= h(x

2).

h(x) = mx+c

f(x1)= mx

1 +c

f(x2)= mx

2 +c

Subtraindo uma da outra:f(x

2) - f(x

1)= m(x

2 – x

1)

A taxa de variação média entre dois pontos de uma função é a inclinação da secante entre os

pontos

Taxas médias - entre valores arbitrários.

Planta cresceu 60kg em 3 anos, não me diz sobre variações na velocidade de crescimento em

períodos particulares.

O que descreve a variação no tempo é a taxa de crescimento instantânea da função contínua

Para encontrar a taxa instantânea, imagine um ponto fixo na curva (x

1 , f(x

1)) e um ponto que

você pode mover (x , f(x)).

A secante entre estes pontos pode ser calculada pela equação já descrita.

Se mover x até que esteja extremamente próximo de x

1 , quase idêntico, a secante será chamada de

tangente, pois toca praticamente em um único ponto.

A inclinação da tangente num dado ponto é a taxa de variação instantânea daquele ponto

Matematicamente encontramos a tangente no ponto usando a notação dos limites

A derivada de uma função

A taxa de variação instantânea é definida por:

Uma nova função chada de derivada será denotada f'(x) e definida por

Todas estas notações são válidas:

Entendendo a dinâmica a partir da variação – equações diferenciais

• Crescimento populacional• dN/dt • Proporcional ao tamanho incial• dN/dt = rN• Antiderivada – qual a função cuja derivada é

rN?• Integração- permite que conheçamos o

tamanho populacional em qualquer tempo - previsão

Integração – resolução da equação diferencial

• dN(t)/dt = rN(t)• Solução = N0ert (Malthus)

• Crescimento exponencial irrestrito.

Como montar um modelo?Taylor: aproximação de funções

por polinômios• dN(t)/dt = a+bN+cN2+..

• Crescimento com restrição, usaremos o termo de segunda ordem (vamos desconsiderar o “a”)

• dN(t)/dt = bN+cN2

• Termo quadrático “c” = - b/K, chamaremos b de “r”

• dN(t)/dt = rN-rN2/k =>rN(1-N/k)

dN(t)/dt = rN(1-N/k)

• Velhurst – solução: equação logística.

• N(t)= KN0ert/(K+N0(ert-1))

SOBRE-EXPLORAÇÃO DE POPULAÇÕES NATURAIS:EXTRATIVISMO, PESCA, CAÇA.

•A TRAGÉDIA DOS COMUNS (GARRETT HARDIN 1968)

Quando um RECURSO NATURAL É DE LIVRE ACESSO E NÃO HÁ CONTROLE SOCIAL sobre sua exploração...

não há estímulo para manter a EXPLORAÇÃO num NÍVEL ECONÔMICO ÓTIMO no LONGO PRAZO.

...

EXPLORAÇÃO “ECONOMICAMENTE SUSTENTÁVEL” DAS POPULAÇÕES NATURAIS, VIA DE REGRA, NÃO É COMPATÍVEL COM A “SUSTENTABILIDADE POPULACIONAL”

CONSEQÜÊNCIAS: PERDAS ECOLÓGICAS ANTECEDEM AS PERDAS ECONÔMICAS

Exemplos: História da sobre-exploração das baleias de barbatana

ABAIXO DE CERTO NÍVEL DE EXPLORAÇÃO...AS POPULAÇÕES SÃO RESILIENTES

Exemplo: teoria da curva sigmóide (50% da capacidade de suporte).

A teoria contribui para prática sustentável.

ABAIXO DE CERTO NÍVEL DE EXPLORAÇÃO...AS POPULAÇÕES SÃO RESILIENTES

Exemplo: teoria da curva sigmóide (50% da capacidade de suporte)

A teoria contribui para prática sustentável.

Complicações com os modelos teóricos

....Salmões do pacífico e Bagres da bacia Amazônica.exploração máxima de populações de adultos...

subpopulações nos tributários começam a “secar” muito antes de se perceber efeitos (ecológicos) na

população total explorada.

Baleia Fin: curva de estoque versus recrutamentomelhor explorar ao redor de 80% da capacidade de suporte

acima desse limite o recrutamento líquido decresce.

Complicações com o modelo: a população da baleia fin que se alimenta na Antártida resulta de várias sub-populações .