estructuras de datos espaciales (topico especial)

Estructuras de Datos EspacialesTópico Especial

Demián Gutierrez

Departamento de Computación

Septiembre 2013

Demián Gutierrez Universidad de Los Andes

Estructuras de Datos Espaciales 1/119

introducción



¿qué tipos de datos vamos a manejar?

P1

P2

P3

P4

P5

L1

L2

L3

R1

R2

R3

R5

R6

R4

...generalmente en 2D, en 3D,y en algunos casos, también n-dimensionales



¿qué operaciones vamos a realizar?¿qué problemas vamos a resolver?



“construir” una estrucura de datos en base a un conjunto de datos(puntos, líneas, rectángulos, etc)

insertar/eliminar elementos en una estructura de datos(no aplica a todas)

realizar algún tipo de consulta

realizar algún tipo de combinación, división, etc



P1

P2

P3

P4

P5

L1

L2

L3

R1

R2

R3

R5

R6

R4

consultas:¿qué “formas” están contenidas en un área dada?



P1

P2

P3

P4

P5

L1

L2

L3

R1

R2

R3

R5

R6

R4

stabbing:¿qué “formas” son atravesadas por una recta dada?



L1

L2

L3

L4

L5

L6

ordenamiento:¿qué “formas” están atrás (o adelante) de qué “formas”?



L1

L2

L3

L4

L5

L6

1

¿2 , 3?

4

5

6

ordenamiento:¿qué “formas” están atrás (o adelante) de qué “formas”?



P3

P2

P1

P4

P5

P6

P7

P8

P9

punto/objeto más cercano:¿cuál es el punto u objeto más cercano a un punto dado?

(no tratado en el presente tópico especial)



P3

P2

P1

P4

P5

P6

P7

P8

P9

¿se ve trivial?¿qué algoritmo se les ocurre?



P3

P2

P1

P4

P5

P6

P7

P8

P9

k=3

una variante:¿cuáles son los k-puntos más cercanos?(no tratado en el presente tópico especial)



P3

P2

P1

P4

P5

P6

P7

P8

P9

par de puntos más cercanos:dado un conjunto de puntos ¿cuál es el par de puntos más

cercanos entre si?(no tratado en el presente tópico especial)



P3

P2

P1

P4

P5

P6

P7

P8

P9

¿se ve trivial?¿qué algoritmo se les ocurre?



búsqueda de patrones y grupos / clasificación:¿qué patrones o grupos existen en un conjunto de puntos?

¿dado un nuevo punto ¿a qué grupo pertenece?



tomado de:https://onramps.instructure.com/courses/723227/wiki/classifying-data



clasificación / compresión:¿qué áreas o bloques contienen información

similar o del mismo tipo?



tomado de:http://ivrg.epfl.ch/supplementary_material/RK_SIGGRAPH_Asia09



pathfinding:¿camino óptimo del punto A al punto B? ¿hay un camino?

¿cómo explotar ciertas características espaciales para optimizaralgoritmos tradicionales de búsqueda?



muchas otrasen general, las estructuras de datos espaciales

tienen un campo de aplicación extremadamente ámplio



objetivos



implementar un conjunto de estructuras de datosespaciales para aprender lo más posible sobre el tema

sentar las bases de lo que puede ser en el futuro unabiblioteca de estructuras de datos espaciales y geometría

computacional escrita en Java



plan inicial de trabajo



basado principalmente en el libro deHanan Samet,

The Design and Analisys of Spatial Data Structures+ BSPs (binary space partition)



Point Data

Nonhierarchical Data Structures

Point Quadtrees

K-D Trees

Range Trees

Region Based Quadtrees



Collection of Small Rectangles

Plane-Sweep Methods and the Rectangle Intersection Problem

Multiple Quadtree Block Representations

R-Trees



Volume Data

Region Octrees

PM Octrees

BSP (Binary Space Partition)



Algunos Extras/Aplicaciones

Hierarchical A*

Marching Squares

Convex Hull (Polígono/Casco Convexo)

Algoritmo de Douglas-Peucker (Suavizado de Polígonos)



point quadtrees



son el equivalente, en 2D de un árbol binario de búsqueda

1 3

2

4

5

6

8

7 9

10

11

12

14

13 15



cada punto en un Point Quadtreedivide el espacio en cuatro cuadrantes

P1

NW NE

SESW



la división del espacio se hace recursivamentepor cada punto que se inserta

P1

NE

SESW

P2

NW

NW NE

SESW



el resultado es una estructura “arborea”,donde cada nodo tiene cuatro hijos

NW NE SW SENW NE SW SE NW NE SW SE NW NE SW SE

NW NE SW SE

...

esta “forma” es bastante común y se verátambién en otras estructuras



la estrategia de búsqueda consiste en encontrar característicasgeométricas que permitan descartar caminos completos para así

“podar” ramas completas

NW NE SW SENW NE SW SE NW NE SW SE NW NE SW SE

NW NE SW SE

...

esta estrategia es usada también en otras estructuras “arboreas”



la eliminación, es una operación más compleja que en un árbolbinario de búsqueda (1/3)

1 3

2

4

5

6

8

7 9

10

11

12

14

13 15




1 3

2

5

4

6

8

7 9

10

11

12

14

13 15




1 3

2

5

6

8

7 9

10

11

12

14

13 15



si se analiza el siguiente point quadtree

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9



se obtiene el siguiente árbol

... ... P7 ...... ... ... P6 ... P8 ... ... P9 ... ... ...

P2 P3 P4 P5

P1

si queremos eliminar P1, ¿quién es el sucesor o el predecesor?¿con quién se intercambia el nodo que queremos eliminar?

¿hay un orden natural en los datos?



en este caso, ¿con quién intercambiamos P1?

P1

P6

P7

P8

P9



¿y en este caso? ¿con quién intercambiamos P1?

P1

P6 P

7

P8

P9



¿y en este otro caso? ¿con quién intercambiamos P1?

P1

P6 P

7

P8

P9



buscar un nodo e insertar un hijo tiene un costo promedio deO(log4N)

el peor caso en la búsqueda de un rango es de O(2N1/2)

eliminación (algoritmo simple): se busca el nodo a eliminar(O(log4N)) y se reinsertan los nodos que están por debajo delnodo eliminado (¿O((M +1)log4N), donde M es el número de

hijos del nodo eliminado?)

eliminación (algoritmo complejo): hay algoritmos más complejos ydifíciles de implementar que reducen la cantidad de nodos que es

necesario reinsertar



10.000 nodos (ver la barra de estado de la captura de pantalla)



k-d-trees



cada punto divide el espacio en dos “semiespacios”

P1

x<=Px1

x> Px1

la división se hace usando sólo una de las coordenadas del puntoy una línea paralela a uno de los ejes



la coordenada y el eje seleccionados para hacer la divisióndependen del nivel del punto dentro del árbol que conforma la

estructura de datos

P1

x<=Px1

x> Px1

y<=Py2

y> Py2

P2

P3

y<=Py3

y> Py3



para niveles impares se utiliza la coordenada X del punto y ladivisión se hace paralela al eje Y, de lo contrario, se utiliza la

coordenada Y y la división se hace paralela al eje X

P1

P2 P3

... ...

P4

... ...

P5

... ...

P6

... ...

P7

x<=Px1

x> Px1

y<=Py2

y> Py2

y<=Py3

y> Py3

x <= > <= > <= > <= >

L1: XL2: YL3: XL4: Y

...

esta idea puede fácilmente extenderse a datosmultidimensionales



buscar un nodo e insertar un hijo tiene un costo promedio deO(log2N)

el peor caso en la búsqueda de un rango es de O(kN1−1/k),donde k es el número de claves o dimensión del árbol

eliminación: la eliminación es un algoritmo complejo, tienesimilitud con la eliminación en un árbol binario.

la cota máxima de eliminar un nodo seleccionado aleatoriamentees O(log2N), siendo el peor caso eliminar la raiz, que es

linealmente acotado



10.000 nodos (ver la barra de estado de la captura de pantalla)



point region quadtree



dada una región bien definida

usualmente un rectángulo cuyos lados miden 2n



el espacio se divide recursivamente en cuatro partes según seanecesario, de tal forma que cada parte tenga 1/4 del área del

rectángulo inicialmente definido

P1

el rectángulo inicial corresponde al nodo raiz del árbol,cada división corresponde a un nodo hijo



en algunos casos no es necesario hacer ninguna división, porqueel punto insertado corresponde a un nodo vacío

P1

P2



las divisiones se hacen recursivamente a medida que se insertanpuntos. . .

P1

P2

P3



garantizando que siempre haya sólo un punto por nodo

P1

P2

P3

P4



esto puede traer algunos problemas

¿cómo se resuelven?



Plane-Sweep Methods and the RectangleIntersection Problem



PROBLEMA:¿Qué rectángulos se intersectan con qué rectángulos?

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

Solución ingenua, todos contra todos (muy poco eficiente)



Dada una línea, alineada con el eje X se puede “barrer” el planode izquierda a derecha

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

Las coordenadas de inicio y de fin en X de cada rectángulo sepueden almacenar en un árbol binario de búsqueda (o alguna

otra estructura similar) para mantener un orden



Cuando se encuentra un rectángulo, se añade a una estructurade datos adicional, pero esta vez, ordenada por el inicio y el fin

en Y de cada rectángulo

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R1

Por la naturaleza del barrido en X se sabe que cada rectánguloen la estructura de datos adicional se intersectan al menos en X



Cada vez que se añade un elemento a la estructura de datosadicional se verifica si el rectángulo nuevo se intersecta con

alguno de los rectángulos previamente insertados

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R1, R

2



Si se encuentra una intersección en Y, entonces se sabe queambos rectángulos se intersectan en el espacio

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R1, R

2, R

3



Cuando el barrido en X llega al final de un rectángulo, lo remuevede la estructura de datos adicional

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R2, R

3



etc. . .

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R3



etc. . .

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R3, R

4



etc. . .

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R4



Multiple Quadtree Block Representations



. . .

dada una región bien definida,usualmente rectangular



. . .

R1



. . .

R1

R2



. . .

R3

R1

R2



. . .

R3

R4

R1

R2



. . .



R-Trees



para entender un R-Tree, es necesario entender un B+ Tree

5 5 7 5 7 97 9

11 5 7 9 11 Oops... 5 7 9 11

5 7 9 11

9...



5 7 9 11

9

5 7 8 9 11

98

5 7 86 9 11

96

5 6 7 8

7 9...

9 11



5 6 7 8

7 9

9 11

4 653 7 8

7 9

9 11

3, 4

43 7 8

5 7 9

9 11

...

5 6



eventualmente, no sólo se desborda un nodo hoja sino quetambién se desborda un nódo interno

43 7 8

5 7 9

9 115 6

43 7 8

5 7 9

9 11 12 13

12, 13

5 6



en ese momento, el árbol crece un nively al mismo tiempo se mantiene balanceado

43 7 8

5 7 9 12

9 11

...

5 6 12 13

43 7 8

9 12

9 11

...

5 6 12 13

5

7



un R-Tree funciona de forma similar, salvo por el hecho de que noexiste un orden absoluto en los datos a almacenar

a b c

a

b

c

a

b

c

d

w x

a c b d

a

b

c

d

e

f

w x

a c e b d f

es perfectamente válido que los rectángulos se solapen entre sí



a medida que se insertan nodos, estos se van agrupando enzonas rectangulares, que a su vez se agrupan en zonas

rectangulares y así de forma recursiva.

w y x

c e b d fa g w y

c e b fa g d h

x z

u v

a

b

c

d

e

f

g

w

y x

a

b

c

d

e

f

g h

y x vu

wz



dos de las heurísticas principales usadas para agruparrectángulos

a

c e

g

a

c e

g

a

c e

g

a

c e

g

(1)

(2)

(1) minimizar el área de los rectángulos y (2) minimizar el área ola cantidad de intersecciones de los rectángulos



también es posible tener r-trees en 3D(tomado de wikipedia)



Octrees



son estructuras muy similares a los quadtrees, pero en 3D

en lugar de dividir el plano en 4 partes como en los quadtrees,el espacio se divide en 8 partes

(http://en.wikipedia.org/wiki/File:Octree2.svg)



los órdenes de ejecución son similares a los de los respectivosquadtrees, sólo que en lugar de usar log4 se usa log8

(por razones evidentes)



Binary Space PartitioningBSP



en un mundo plano, desde el punto de vista de la cámara,tenemos que “dibujar” los siguientes segmentos

L1

L2

L2 , L

1

L1 , L

2

dependiendo del orden en que se dibujen se obtienendistintos resultados, sólo hay un orden correcto



sin embargo, aquí tenemos un problema:

L1

L2

L2 , L

1

L1 , L

2

correcto



para resolverlo, es necesario “cortar” uno de los segmentos,transformándolo en dos segmentos distintos

L1

L2

L3

Correcto: L3 , L

2 , L

1



BSP 2D: Prestar atención al punto amarillo (1/2)



BSP 2D: Prestar atención al punto amarillo (2/2)



BSP 3D



Algunos “Extras"



desde hace algún tiempo, me interesa mucho el problema de labúsqueda de caminos

después de todo, si se desea implementar un “ambiente virtual” oun buen juego masivo multijugador de rol es importante tener una

buena IA, y para esto es muchas veces es crítico tener unabuena búsqueda de caminos



con mapas pequeños, es fácil y eficiente buscar caminos entredos puntos usando Dijkstra, una búsqueda por amplitud o A*

Tomado de:http://theory.stanford.edu/ amitp/GameProgramming/



con un mapa grande tenemos problemas de rendimientocada pixel es un nodo: 1024 nodos por 1024 nodos = 1048576



Dijkstra: 6.9 segundos



A*: 3.6 segundos



una posible solución. . .



A* jerárquico: 0.15 segundos



el problema también se puede atacar desde otro punto de vista



el mapa originalTomado de: http://www.ai-blog.net/archives/000152.html



una posibilidad es usando waypoints,pero esta estrategia trae muchos problemas



la mejor solución es usando mallas de navegación,pero el problema es construir las mallas para cada mapa



recast: genera automáticamente mallas de navegacióndetour: calcula caminos en función de las mallas de navegación

http://www.mooncollider.com/recast-and-detour/



mi intento:En 2D y es un trabajo en progreso. . .



calcular los contornos de las paredes y obstáculos(usando marching squares)



marching squares: casos posibles



marching squares: detalle de la imagen



bien, pero: ¿cual es el problema con el “marching squares”?ver la imagen a detalle:



para resolver el problema, se implementó el algoritmo de DouglasPeucker, que básicamente sirve para simplificar polígonos



aún quedan algunos problemas que resolver

pero la idea es, una vez que se resuelva el problema de loscontornos, aplicar una Triangulación Delaunay y usar el resultado

como malla de navegación

to be continued. . .



¿Futuro?

Continuar desarrollando la colección de estructuras de datos yalgoritmos para transformarla en una biblioteca de estructuras de

datos espaciales y algoritmos de geometría computacional



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