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MARCIO HERNANI BARBOSA DA SILVA
ESTRATÉGIAS DE ENSINO NO APRENDIZADO DOS POLIEDROS DE PLATÃO
Assis 2010
MARCIO HERNANI BARBOSA DA SILVA
ESTRATÉGIAS DE ENSINO NO APRENDIZADO DOS POLIEDROS DE PLATÃO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis, como requisito do Curso de Licenciatura Plena em Matemática.
Orientador: Ébano Bortotti de Oliveira
Área de Concentração: Ensino de Matemática
Assis 2010
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FICHA CATALOGRÁFICA
SILVA, Marcio Estratégias de Ensino no Aprendizado dos Poliedros de Platão/Marcio Hernani
Barbosa da Silva. Fundação Educacional do Município de Assis – FEMA – Assis, 2010.
p. Orientador: Ébano Bortotti de Oliveira Trabalho de Conclusão de Curso – Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis –
IMESA.
1. Poliedros de Platão 2. Estratégias CDD: 510
Biblioteca da FEMA
ESTRATÉGIAS DE ENSINO NO APRENDIZADO DOS
POLIEDROS DE PLATÃO
MARCIO HERNANI BARBOSA DA SILVA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis, como requisito do Curso de Licenciatura Plena em Matemática, analisado pela seguinte comissão examinadora:
Orientador: Ébano Bortotti de Oliveira
Analisador: Leonor Farcic Fic Menk
Assis
2010
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho aos alunos, onde já ministrei aulas,
a minha família, amigos e a Deus por me abençoar.
AGRADECIMENTOS
Ao professor orientador, Ébano Bortotti de Oliveira, pela orientação e pelo constante
estímulo transmitido durante o trabalho.
Aos amigos, Aline de Lima Trettel, Emanueli Vallini da Luz, Luiz Francisco Batista
Sampaio, Thárcio Domingues de Lima, Paula Stella Loureiro, Vivian Daiane do
Nascimento e a todos que colaboraram direta ou indiretamente, na execução desse
trabalho.
Aos familiares, Genival Barbosa da Silva, Neusa Ferreira da Silva, Renan Augusto
Barbosa da Silva, Cleudete Alves Ferreira e entre outros que me apoiaram, para a
construção deste trabalho.
Por toda a parte existe Geometria.
Platão (427 a. C. – 327 a. C)
RESUMO
As ciências de modo geral vêm experimentando mudanças que visam facilitar o
trabalho do professor. Na Matemática especificamente tais mudanças vem
ocorrendo, sobretudo com o advento da Educação Matemática. Propor
alternativas às estratégias de ensino, procurando uma melhor condição de
aprendizagem dos alunos, por meio de atividades diversificadas que nos
parece ser um bom caminho. Desse modo, este trabalho discute o conteúdo:
Poliedros de Platão apresentando o uso de recursos como História da
Matemática, vídeos, sólidos geométricos, origami e software, que normalmente
são utilizados individualmente, e que serão agrupados em uma única estratégia
de ensino. Com base nas pesquisas realizadas, chegamos à conclusão que
poderíamos propor a unificação destas estratégias atendendo assim, os
diversos tipos de cognição dos alunos, oportunizando o aprendizado de todos.
O objetivo de agrupar essas estratégias foi criar situações em que cada uma
poderia completar a outra não deixando lacunas, que pudessem deixar os
alunos sem entender o conteúdo estipulado. Encontramos algumas dessas
estratégias em livros de História da Matemática que nos deram apoio para
progredirmos, mais adiante buscamos alternativas em artigos científicos que
podem ser encontrados na referência e para finalizar essa busca, encontramos
um vídeo e um software que foram muito importantes para que completasse os
outros mecanismos. Depois de ter encontrado todo esse material, havia
necessidade de se criar algo que pudesse ser útil para o professor. Para isso
criamos um mini curso que mostra todos os passos a serem seguidos para que
essas estratégias possam ser aplicadas e surtam efeito, na compreensão dos
alunos, onde se pretende ensinar esse conteúdo com mais eficácia, pois cada
um tem suas dificuldades de aprendizagem na sala de aula e assim possa
compreender e por fim conhecer todos os conceitos sobre poliedros de Platão.
Palavras Chave: Estratégias, poliedros de Platão
ABSTRACT
The sciences in general have been experiencing changes that seek to facilitate
the work of the teacher. Specifically in mathematics such changes have been
occurring, especially with the advent of Mathematics Education. Propose
alternatives to teaching strategies, seeking a better quality of student learning
through diversified activities which seem a good way. Thus, this paper
discusses the content: Plato's polyhedral showing the use of features like the
History of Mathematics, videos, geometric solids, origami and software, which
are normally used individually, and that will be grouped in a single teaching
strategy. Based on surveys, we concluded that we could propose the unification
of these strategies thus meeting the various types of cognition of the students,
providing opportunities for learning for all. The purpose of grouping these
strategies was to create situations that could complement each other leaving no
gaps that could leave students without understanding the content provided. We
find some of these strategies in the history books of mathematics that gave us
support to make progress, further seek alternatives in scientific articles can be
found in reference and to finalize this search, we found a video and software
that were very important to complete the other mechanisms. Once you have
found all that stuff, there was need to create something that could be helpful for
the teacher. For this we create a mini course that shows all the steps to be
followed so that these strategies can be implemented and take effect on
students' understanding, which aims to teach that content more effectively,
because each one has its own difficulties in learning at the classroom and so
can understand and eventually learn all the concepts of Plato's polyhedral.
Keywords: Strategies, Plato's polyhedral
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Exemplo de Poliedros convexos e não convexos (In.: SILVA, C. X. –
FILHO, B. B. - 2005, p. 385) ..................................................................................... 21
Figura 2: Exemplos de poliedros de Platão e dos que não podem ser considerados
(In.: SILVA, C. X. – FILHO, B. B. - 2005, p. 389) ..................................................... 22
Figura 3: Poliedros de Platão (SILVA, C. X. – FILHO, B. B. - 2005, p. 390)
................................................................................................................................... 23
Figura 4 – Exemplos de poliedros (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. - 2003, p. 239)
................................................................................................................................... 24
Figura 5 – Faces, arestas e vértices (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. - 2003, p. 239)
................................................................................................................................... 24
Figura 6 – Outros exemplos de poliedros (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. – 2003 p.
239) .......................................................................................................................... 25
Figura 7 – Exemplo de um poliedro, cujas faces e arestas representam a
conformidade da citação anterior. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. – 2003, p. 240)
................................................................................................................................... 25
Figura 8 – Exemplos de poliedros convexos. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. -2003,
p. 257) ...................................................................................................................... 26
Figura 9 – Exemplo de poliedro não convexo. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. –
2003, p. 257) ............................................................................................................ 27
Figura 10 – Tabela com o nome dos principais poliedros convexos. (SMOLE, K. C. S.
– DINIZ, M. I. – 2003, p. 257) ................................................................................... 27
Figura 11 – Outros exemplos de poliedros convexos. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I.
– 2003, p. 258) ......................................................................................................... 28
Figura 12 – Tabela com a relação do número de vértices, arestas e faces dos
poliedros convexos citados na figura anterior. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. -
2003, p. 258) ............................................................................................................ 29
Figura 13 – Observação: Existem poliedros não convexos que satisfazem a relação
de Euler. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. – 2003, p. 258) ...................................... 29
Figura 14 – Sólidos construídos por meio do uso de origami .................................. 51
Figura 15 – Sólidos construídos por meio do uso de canudinhos ............................ 52
Figura 16 – Livros de História da Matemática, usados na elaboração do trabalho
................................................................................................................................... 53
Figura 17 – Software Poly (Apresentação de um tetraedro e mostrando os demais
sólidos de Platão) ..................................................................................................... 54
Figura 18 – Cubo sendo planificado.......................................................................... 55
SUMARIO
1. INTRODUÇÃO .......................................................................... 14
1.1 OBJETIVOS ..................................................................................... 17
1.1.1 Objetivos Gerais ................................................................................... 17
1.1.2 Objetivos Específicos ......................................................................... 17
1.2 JUSTIFICATIVA ............................................................................... 18
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO ........................................................ 18
2. DESENVOLVIMENTO ............................................................... 20
2.1 REVISÃO DA LITERATURA ............................................................ 20
2.1.1 Livros Didáticos .................................................................................... 20
2.1.2 Educação Matemática .......................................................................... 32
2.1.3 Referências Históricas ......................................................................... 36
2.1.4 Origamis e canudinhos ........................................................................ 42
2.1.5 Software ................................................................................................. 45
2.1.6 Vídeos .................................................................................................... 47
2.2 MATERIAIS E METODOS: ESTRATÉGIAS DE ENSINO NO
APRENDIZADO DOS POLIEDROS DE PLATÃO ................................. 49
2.2.1 Introdução .................................................................................... 49
2.2.2 Justificativa ................................................................................. 49
2.2.3 Objetivos ...................................................................................... 50
2.2.3.1 Objetivos Gerais ......................................................................... 50
2.2.3.2 Objetivos Específicos ................................................................. 50
2.2.4 Publico Alvo ................................................................................ 50
2.2.5 Metodologia ................................................................................. 50
2.2.6 Avaliação ..................................................................................... 56
2.2.7 Recursos ...................................................................................... 56
2.2.8 Cronograma ................................................................................. 56
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................... 57
REFERENCIA ............................................................................... 59
ANEXO I - Teorema (SMOLE, 2003, p. 261) ............................... 62
ANEXO II - Demonstração Topológica, de que só há cinco
poliedros de Platão (BOTOLOSSI, 2009) ................................... 65
ANEXO III - Bibliografia de Platão (POMBO, 2000) e Textos
históricos (EVES, 1995) ............................................................... 67
ANEXO IV - Textos históricos (EVES, 1995) .............................. 70
ANEXO V - Exercícios envolvendo o software e origami
(BARCELOS, 2005) ...................................................................... 73
ANEXO VI - Construção dos sólidos com o uso de origami ... 74
ANEXO VII – Construção dos sólidos com o uso de canudinhos
........................................................................................................ 75
14
1. INTRODUÇÃO
Trabalhar com geometria no ensino médio ou fundamental parece ser uma tarefa
complicada, pois alguns autores deixam a geometria de lado procurando trabalhar
principalmente com álgebra, voltando à matemática para uma área mais abstrata.
A partir de uma análise da história recente do ensino da Matemática em Portugal, nos anos 70 e 80, a generalização da chamada Matemática Moderna relegou a geometria para um lugar muito secundário. Numa abordagem formal da Matemática, a geometria tornou-se um “parente pobre” da álgebra linear, as atividades envolvendo construções geométricas foram consideradas matéria de outras disciplinas, como a Educação Visual, a “importância prática” da geometria reduzia-se ao teorema de Pitágoras e a umas quantas fórmulas para o cálculo de áreas e volumes. Nesta abordagem, a intuição e a visualização desempenham um papel menor no processo de ensino e aprendizagem da Matemática. (EDUARDO VELOSO (1998), apud ABRANTES (2001))
Se buscarmos uma definição de poliedros em livros didáticos ou apostila,
encontraremos textos, tais como:
Um poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, onde
cada lado de um destes polígonos é também lado de um, e apenas um
outro polígono. Cada um destes polígonos chama-se uma face do poliedro,
cada lado comum a duas faces chama-se uma aresta do poliedro e cada
vértice de uma face é também chamado vértice do poliedro. (LIMA, 2006)
Estas seriam definições de poliedro e poliedro regular que podem ser encontradas
em livros e apostilas de matemática. E ainda o que se pode encontrar é mínimo e o
pouco que é encontrado é muito teórico, então porque não utilizar estratégias de
ensino para melhorar a aprendizagem dos poliedros de Platão, pois estes
15
mecanismos podem se tornar uma alternativa para melhorar o ensino desses
poliedros.
Como sabemos a Educação Matemática atualmente, se encontra muito carente,
necessitando de estratégias que auxiliem em sua melhoria. Buscar caminhos para
se ensinar matemática para assim transformar – lá em uma disciplina mais
prazerosa de se ensinar e de se querer aprender. Este seria o ponto principal, que
os professores deveriam buscar. Transformar o seu meio de trabalho em um
ambiente prazeroso para ele e seus alunos.
Não seria interessante ao se começar uma aula sobre os poliedros de Platão, por
exemplo, se o professor trabalhasse com a construção dos sólidos utilizando origami
e canudinhos e depois deles prontos fizesse uma apresentação histórica para
mostrar aos alunos como eles foram descobertos, para que eles foram utilizados e
depois onde os mesmos poderiam ser encontrados no nosso dia-a-dia?
Poderia ser mostrado aos alunos:
Johann Kepler (1571 – 1630), mestre da astronomia, matemático e numerologista deu uma explicação engenhosa para as associações de Timeu
1. Intuitivamente ele assumiu que, desses sólidos, o tetraedro abarca
o menor volume para sua superfície, ao passo que o icosaedro o maior. Agora, essas relações volume superfície são qualidades de secura e umidade, respectivamente, e como o fogo é o mais seco dos quatro “elementos” e a água o mais úmido, o tetraedro deve representar o fogo e o icosaedro a água. Associa – se o cubo com a terra porque o cubo, assentando quadradamente sobre uma de suas faces, tem maior estabilidade. O octaedro, seguro frouxamente por dois de seus vértices opostos entre o indicador e o polegar, facilmente rodopia, tendo a instabilidade do ar. Finalmente associa-se o dodecaedro com o universo porque o dodecaedro tem doze faces e o zodíaco tem doze seções. (EVES (1995))
Está citação descrita acima será que é vista no ensino desses poliedros, será que
não há finalidade de se ensinar o conteúdo de poliedros de Platão utilizando outras
estratégias? Modificar o método de ensino será que é tão difícil, será que devemos
1 Timeu: Origem: grega; Significado: Honrado.
16
continuar ensinando do mesmo modo que nós aprendemos, será que não devemos
buscar novas alternativas para melhorar o ensino? Utilizar a História e não só a
História como também o uso de origamis e canudinhos para a construção dos
sólidos, uso de vídeo e software que podem ser úteis e agradáveis, pois com o uso
desses recursos nós professores podemos fazer com que os alunos gostem de
aprender Matemática e fazendo com que as aulas se tornem agradáveis.
Buscar estratégias de ensino seria na realidade fácil de encontrar, no entanto será
que essas estratégias nos levarão a um futuro promissor? Será que fazer uso
desses recursos é uma boa idéia? Ou será que devemos deixar do jeito que está.
Por que nós deveríamos mudar?
Por que cabe a nós, como professores buscar essas estratégias e introduzi - las
dentro da escola, de forma coerente e com fundamentos para a aprendizagem, e
com isso modificar o pensamento dos nossos alunos, em relação à disciplina de
Matemática. Fazer com que os alunos pensem em relação ao que estão fazendo, a
estimular o seu senso crítico, o modo de visualizar o seu dia – a – dia, e transformar
seu conhecimento em algo mais vasto e complexo em relação à Matemática. Nesse
trabalho, propomos algumas estratégias que poderão ser úteis para o ensino de
geometria espacial, no estudo dos “Poliedros de Platão”, utilizando História da
Matemática, vídeo, construção de sólidos por meio de origamis e canudinhos e a
utilização de um software.
Tomemos como exemplo “a prática de esportes, faz bem à saúde”. Apenas esta
frase faz com que muitas pessoas pratiquem esportes para que se sintam
saudáveis, outras por serem vaidosas e querem um corpo escultural e outras ainda
por que adoram, sentem prazer, orgulho em praticar esportes. Agora se fosse
expresso à seguinte frase “A matemática está presente em quase tudo na sua vida”,
a maioria já diria “mentira, não estou vendo”, outras agiriam com cautela “sim nas
formas geométricas” e uma pequena minoria diria “tudo aquilo que tocamos,
sentimos, olhamos, ela esta presente em todos os lugares do mundo” estes seriam
os que sentem prazer pela disciplina. É claro que não se pode convencer a todos, a
sentirem prazer por essa disciplina, mas se for possível modificar uma pessoa que
seja já seria um grande avanço e um novo começo.
17
Todos nós adoramos uma boa história, então porque não utilizar desse mecanismo,
para modificar esse pensamento, fazer com que esses alunos sintam prazer pela
disciplina. Claro que não será possível modificar o pensamento de todos, mas se
possível plantar dentro de cada um, uma dúvida sobre essa disciplina será que a
matemática é mesmo um monstro e que só as pessoas inteligentes podem adestra –
lá, ou será que é um erro pensar isso, todos tem a capacidade de saber matemática,
basta querer, e ir atrás de seus objetivos.
1.1 OBJETIVOS
1.1.1 Objetivos Gerais
O objetivo geral deste trabalho será promover caminhos que possam facilitar a
aprendizagem dos poliedros de Platão, por meio de estratégias de ensino de baixo
custo, e favoráveis aos professores e alunos, fazendo com que os alunos passem a
olhar a Matemática com outros olhos, e que consigam através dessas estratégias,
aprenderem os conceitos trabalhados sobre os poliedros de Platão.
1.1.2 Objetivos Específicos
Utilizando estratégias diversificadas de ensino para promover a aprendizagem por
parte dos alunos. Os caminhos percorridos seu fim serão permeados pelo uso dos
seguintes recursos:
Vídeos;
Construção dos Sólidos Platônicos;
História da Matemática
E softwares.
Conteúdo a ser desenvolvido:
Definição de poliedros de Platão;
18
Características dos poliedros de Platão;
Teorema de Euler;
1.2 JUSTIFICATIVA
O desenvolvimento desse trabalho se dá com o intuito de promover aos professores
uma exposição mais concisa sobre o conteúdo de poliedros de Platão e para auxiliar
os alunos na sua aprendizagem. Pois, no decorrer das pesquisas pudemos notar
que a utilização desses mecanismos individualmente surtiu um efeito positivo, então
com a união de várias estratégias parece ser possível uma melhora na
aprendizagem, pois estas estratégias irão se completar uma a uma não dando
chances para que o aluno possa perder algo do conteúdo abordado. Além de
contribuir na relação professor aluno, tornando as aulas atrativas e diferenciadas.
A motivação para esse trabalho ocorreu devido a conversas com professores do
ensino médio e fundamental, na qual pudemos perceber que os recursos para o
ensino em matemática eram mínimos e pouco utilizados, e aqueles materiais
conhecidos também era pouco utilizado devido à falta de capacitações para os
professores. Com base nessas conversas, iniciamos o estudo para buscar essas
estratégias e encontrar condições favoráveis e facilidades de se aplicá-las em sala
de aula.
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO
O desenvolvimento do trabalho foi realizado por meio do levantamento literário, onde
fizemos a busca de todo o material que seria utilizado para encontrar as soluções
para facilitar a aprendizagem do conteúdo abordado, dando assim apoio para a
elaboração do trabalho.
No decorrer das pesquisas, sentimos a necessidade de incorporar ao trabalho um
mini curso que pudesse unificar as estratégias encontradas e assim mostrar como
esse material poderá ser trabalhado com os alunos em sala de aula. Pensamos que
este mini curso poderá facilitar o ensino do professor para a aplicação em sala.
19
Dentro deste trabalho se encontra todo o material que poderá ser utilizado para
aplicação do mini curso e seus passos a serem seguidos.
20
2. DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO
2.1 REVISÃO DA LITERATURA
2.1.1 Livros Didáticos
Os livros didáticos trabalham os poliedros de Platão de formas diferentes.
Apresentaremos algumas formas utilizadas por dois livros de forma resumida.
Poliedros são sólidos limitados por 4 ou mais faces planas e poligonais.
Um poliedro é considerado convexo quando:
Duas a duas das faces poligonais não são complanares;
Cada lado da face poligonal é comum a duas, e somente duas, faces poligonais;
O plano que contém cada face poligonal divide o espaço de tal forma que todas as outras faces poligonais ficam num único semi-espaço. (SILVA e FILHO, 2005, p.384)
Depois de apresentar o conceito de Poliedros, ele apresenta uma figura para
exemplificar o conteúdo.
21
Figura 1: Exemplo de Poliedros convexos e não convexos (In.: SILVA, C. X. –
FILHO, B. B. - 2005, p. 385)
Após os exemplos p autor apresenta os elementos de um poliedro e o teorema de
Euler (p.385), descritos da seguinte maneira:
Faces: são polígonos
Arestas: são os lados dos polígonos
Vértices: são os vértices dos polígonos
Consideremos um poliedro convexo com os seguintes elementos:
F: número de faces; A: número de arestas; e V: número de vértices.
Adotamos como válida a seguinte relação: V – A + F = 2
Continuando, apresenta um exemplo da utilização desse teorema, para então definir
Poliedros de Platão (p.389), como sendo:
Para que um poliedro seja considerado poliedro de Platão, é necessário que:
Todas as suas faces tenham o mesmo número (n) de arestas;
Dos vértices parta o mesmo número (m) de arestas.
22
Figura 2 - Exemplos de poliedros de Platão e dos que não podem ser
considerados (In.: SILVA, C. X. – FILHO, B. B. - 2005, p. 389).
O autor menciona ainda (p.389), quais são os poliedros de Platão, de acordo como
descrito a seguir:
Existem 5 classes de poliedros de Platão:
Tetraedros – possui 4 faces triangulares;
Hexaedro – possui 6 faces quadrangulares;
Octaedro – possui 8 faces triangulares;
Dodecaedro – possui 12 faces pentagonais;
Icosaedro – possui 20 faces triangulares.
No decorrer do livro didático, o autor finaliza os conceitos de poliedro com a
apresentação de poliedros regulares, com uma definição, fazendo uma observação
logo após essa definição e finalizando o conceito com a apresentação por meio de
figuras representando os poliedros de Platão (p.390), conforme descrito:
Um poliedro é considerado regular se:
As suas faces são polígonos regulares e congruentes;
Os seus ângulos poliédricos são congruentes.
23
Observe que todo poliedro convexo regular é um poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é convexo regular.
Existem apenas 5 poliedros regulares, são eles: Tetraedro regular, Hexaedro regular, Octaedro regular, Dodecaedro regular e Icosaedro regular.
Figura 3 - Poliedros de Platão (SILVA, C. X. – FILHO, B. B. - 2005, p. 390).
Segundo outro livro didático pode - se verificar que os conceitos abordados antes de
se chegar até os poliedros de Platão são mais sólidos e complexos. De acordo com
Smole e Diniz (2003, p.239 - p.260) os conceitos sobre sólidos geométricos são
apresentados na seguinte ordem, Poliedros, Prismas, Pirâmides, Um pouco mais
sobre poliedros (poliedros convexos, relação de Euler) e por fim poliedros de Platão.
Nesta análise desse livro didático, iremos mostrar apenas os tópicos que citam os
poliedros, para relacionarmos ao livro anterior.
Os poliedros são formas espaciais sólidas delimitadas por superfícies planas poligonais. Uma superfície poligonal corresponde a um polígono reunido com a parte do plano em seu interior. Os sólidos abaixo são exemplos de poliedros. (SMOLE e DINIZ, 2003, p.239).
24
Figura 4 – Exemplos de poliedros (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. - 2003, p. 239)
Os poliedros possuem algumas características:
Eles são limitados por superfícies planas poligonais chamadas faces do poliedro.
As superfícies poligonais que delimitam o poliedro interceptam-se em lados dos polígonos. Estes segmentos são chamados de arestas do poliedro.
Os pontos na intersecção de três ou mais arestas são chamados de vértices do poliedro. (SMOLE e DINIZ, 2003, p.239)
Figura 5 – Faces, arestas e vértices (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. - 2003, p.
239)
Logo em seguida, apresenta outros exemplos de poliedros, por meio de figuras.
25
Figura 6 – Outros exemplos de poliedros (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. – 2003
p. 239)
As faces (superficiais poligonais) de um poliedro estão contidas em planos e suas arestas são segmentos de reta. Daí as faces e arestas dos poliedros terem propriedades desses planos e retas.
Figura 7 – Exemplo de um poliedro, cujas faces e arestas representam a
conformidade da citação anterior. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. – 2003, p. 240)
26
Vamos falar “um pouco mais sobre poliedros” assim indica um dos tópicos do
capítulo deste livro. Procurando agora aprofundar os conhecimentos adquiridos
anteriormente, dando mais ênfase ao assunto. Ao iniciar o capítulo, as autoras
tiveram mais calma ao expor os conceitos, para não atrapalhar o raciocínio dos
leitores, para em seguida apresentar conceitos mais complexos. Inicialmente, neste
tópico ele apresenta uma definição de poliedro, descrita a seguir.
Poliedros Convexos
Consideremos n (n≥4) polígonos convexos e a seguinte situação:
Não há dois polígonos no mesmo plano;
Cada lado de um polígono é comum a dois e apenas dois polígonos;
O plano de cada polígono deixa todos os outros polígonos de um mesmo “lado” desse plano.
À união de todos os polígonos em tais condições chamamos de superfície poliédrica convexa fechada.
Chamamos de poliedro convexo a união de uma superfície poliédrica convexa com seus pontos internos. (FERREIRA (1999), apud SMOLE e DINIZ (2003))
Figura 8 – Exemplos de poliedros convexos. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. -
2003, p. 257)
27
Figura 9 – Exemplo de poliedro não convexo. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. –
2003, p. 257)
O número mínimo de faces de um poliedro convexo é 4; nesse caso, temos um tetraedro.
A nomenclatura de um poliedro convexo é dada de acordo com o número de faces. Veja na figura 10 os nomes dos principais poliedros convexos.
Figura 10 – Tabela com o nome dos principais poliedros convexos. (SMOLE, K.
C. S. – DINIZ, M. I. – 2003, p. 257)
28
As autoras apresentam em seguida, outra figura que mostra outros exemplos de
poliedros convexos e com esses exemplos, vem também um quadro, onde
apresenta a relação de Euler.
Figura 11 – Outros exemplos de poliedros convexos. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ,
M. I. – 2003, p. 258)
Smole e Diniz (2003, p.258) “Nos poliedros do exemplo acima, vamos chamar de V,
A e F os números, respectivamente, de vértices, de arestas e de faces e calcular o
valor de V – A + F:”
29
Figura 12 – Tabela com a relação do número de vértices, arestas e faces dos
poliedros convexos citados na figura anterior. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. -
2003, p. 258)
Nos poliedros considerados, encontramos V – A + F = 2. Esse fato é válido para qualquer poliedro convexo e é conhecido como relação de Euler. Relação de Euler Em todo poliedro convexo, se V, A e F são os números, respectivamente, de vértices, arestas e faces, então: V – A + F = 2
Figura 13 – Observação: Existem poliedros não convexos que satisfazem a
relação de Euler. (SMOLE, K. C. S. – DINIZ, M. I. – 2003, p. 258)
30
Smole e Diniz (2003, p.260), por fim chega aos poliedros de Platão, depois de
mostrar vários conceitos sobre poliedros, para que o entendimento desses poliedros
fique vago, vamos mostrar a definição que ele apresenta para os poliedros de
Platão:
Um poliedro convexo é chamado de poliedro de Platão se:
Suas faces são polígonos com o mesmo número de lados;
De cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas.
Apresentam a demonstração de um teorema (Anexo I) explicando que só existem
cinco e somente cinco poliedros de Platão. Com este teorema pode – se mostrar aos
alunos a veracidade da existência dos cinco sólidos, no entanto este teorema pode
se tornar algo complicado para o aluno em sua aprendizagem.
Estes seriam dois livros didáticos que apresentam seus conteúdos sobre os
poliedros, e poliedro de Platão. Pode – se notar que nesses dois livros didáticos,
seus autores não utilizam História da Matemática, não aborda outro esquema de
ensino aprendizagem, a não ser o mais complexo e abstrato. Consideramos que o
primeiro é mais simples para se trabalhar, pois o mesmo não apresenta nenhum
teorema a ser trabalhado em sala de aula, o segundo mais complexo, pois
apresenta um teorema que pode se tornar um problema para os alunos. No entanto
este segundo livro apresenta mais conteúdo do que o primeiro livro sobre poliedros
de Platão.
Agora veremos algumas definições de poliedros segundo outros autores. Esta
definição de poliedro, segundo Noé (2010) diz que: “Poliedros são figuras
geométricas formadas por três elementos básicos: vértices, arestas e faces. Um
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poliedro é considerado regular quando suas faces são polígonos regulares e
congruentes.” Também podemos ter como definição de poliedros.
Do grego - poly (muitas) + edro (face). Os poliedros fazem parte do pensamento grego, foram estudados pelos grandes filósofos da antiguidade e tomaram parte nas suas teorias sobre o universo. Diz-se poliedro todo sólido limitado por polígonos planos. Os polígonos, chamados faces do poliedro, são colocados lado a lado, não pertencentes ao mesmo plano, definindo um trecho fechado no espaço. O ângulo entre duas faces é chamado ângulo diedro. Os lados são chamados arestas do poliedro. Os vértices dos polígonos coincidem com os vértices do poliedro. As arestas que saem de um mesmo vértice formam um ângulo sólido do poliedro. Os sólidos geométricos ou poliedros podem ter qualquer configuração desde que fechem um espaço; criando um volume.( BARINSON, 2005)
Este trabalho tem como objetivo principal trabalhar os poliedros de Platão, conforme
realizadas as pesquisas, encontramos uma definição, que defini poliedros de Platão
da seguinte maneira:
Um poliedro convexo é uma reunião de um número finito de polígonos planos convexos de modo que:
1. Cada lado de um polígono é também lado de um, e apenas um outro polígono.
2. O plano que contém um desses polígonos deixa todos os outros em um mesmo lado.
Cada polígono é denominado face do poliedro, cada lado comum a dois desses polígonos é uma aresta do poliedro e cada vértice de um desses polígonos é também vértice do poliedro. (BORTOLOSSI, 2009).
Veremos outra definição de poliedros de Platão.
Dentre os poliedros existentes, existem alguns considerados Poliedros de Platão, pois todas as faces possuem o mesmo número de arestas, todos os
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ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas e se enquadram na relação de Euler. Os Poliedros considerados de Platão são: Tetraedro, Hexaedro (cubo), Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro. (NOÉ, 2010)
Bortolossi (2009) define poliedros regulares, conforme descrito a seguir: “Um
poliedro convexo é regular quando (a) suas faces são polígonos regulares e
congruentes entre si e (b) o número de faces concorrentes em cada vértice é
sempre o mesmo.”
Veremos que só há cinco poliedros regulares, segundo Bortolossi (2009), que
mostra uma demonstração topológica conforme se encontra no Anexo II. Com base
nesta demonstração pudemos verificar a veracidade da existência de somente cinco
poliedros de Platão, e com isso dar continuidade nas realizações do trabalho.
2.1.2 Educação Matemática
Para que o ensino de Matemática seja adequado é necessário que o professor
busque alternativas de ensino aprendizagem, pois atualmente o papel do professor
mudou, ele não pode ser apenas um mero locutor, ele deve interagir socialmente e
conviver com seus alunos de modo a aprender com eles, e assim tirar proveito
dessas situações para poder aplicar o seu trabalho.
O educador matemático é aquele que concebe a Matemática como um meio: ele educa através da Matemática. (...). É o educador matemático um profissional responsável pela formação educacional e social de crianças e jovens e adultos, dos professores de matemática (de nível fundamental e médio) e também pela formação dos formadores de professores. (LORENZATO, 2001)
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Investigar as salas de aula antes de se aplicar o trabalho é fundamental para se
obter o resultado esperado por tal aplicação, e assim verificar quais condições será
necessário para a melhora do ensino dentro das salas.
As investigações geométricas contribuem para perceber os aspectos essenciais da atividade matemática, tais como a formulação e teste de conjecturas e a procura e demonstração de generalizações. A exploração de diferentes tipos de investigação geométrica pode também contribuir para concretizar a relação entre situações da realidade e situações matemáticas, desenvolver capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação, evidenciar conexões matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da história e da evolução matemática. (PONTE, 2009, p. 71)
De acordo com Ponte (2009), vemos que a geometria se tornou recomendável em
todo mundo, as tendências curriculares atuais, relatam que a geometria é
fundamental para compreendermos situações em nosso dia- a - dia, assim temos:
Por todo o mundo têm vindo a ser perspectivadas recomendações curriculares para o ensino da Geometria. De um modo geral, tem sido contestada a visão do Movimento da Matemática Moderna que destacava o papel da Geometria para ilustrar o caráter dedutivo e axiomático da Matemática e desvalorizava os aspectos ligados à observação, à experimentação e à construção.
As tendências curriculares atuais convergem ao considerar que essa área da Matemática é fundamental para compreender o espaço em que nos movemos e para perceber aspectos essenciais da atividade matemática. Salienta-se, por exemplo, a importância de estudar os conceitos e objetos geométricos do ponto de vista experimental e indutivo, de explorar a aplicação da Geometria a situações da vida real e de utilizar diagramas e modelos concretos na construção conceptual em Geometria.
Nos últimos anos os trabalhos com geometria dentro das salas de aula estão sendo
minimizados, estão perdendo espaços para o cálculo e álgebra, fazendo com que os
educando tenha um déficit significativo no aprendizado de geometria.
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Nos últimos anos a geometria vem perdendo espaço para o cálculo e a álgebra fazendo com que os educandos apresentem um déficit significativo e dificuldades para analisar e distingui entre um objeto bidimensional e um objeto tridimensional. Este material destina- se a professores e alunos do 3º ano do Ensino Médio utilizando como recurso pedagógico o origami na construção dos sólidos de Platão, com o objetivo de incentivar os alunos no estudo da Geometria. (RODRIGUES, 2007)
Um professor típico deve apresentar situações diferentes em suas abordagens em
salas de aula, procurando utilizar materiais concretos.
Visualizar é uma das habilidades mais importantes para o desenvolvimento do aluno com relação aos conceitos da geometria espacial. Contudo, um professor típico dispõe (e usa) apenas o livro texto como ferramenta didática para o ensino deste assunto. Sendo mídias bidimensionais, a página de um livro ou o quadro-negro não são os instrumentos mais adequados para se treinar visualização. O emprego de materiais concretos se põe como uma excelente alternativa para explorar o assunto. Outra abordagem promissora é o uso de recursos computacionais: modelos tridimensionais podem ser manuseados virtualmente na tela de um computador, construindo assim uma ponte entre a representação planar (quando o sólido está estático na tela do computador) e o modelo concreto (quando o usuário interage com o sólido). (BORTOLOSSI, 2009)
A geometria fora deixado de lado, sendo um pouco esquecida dentro do ensino
aprendizagem, tornando – se um parente pobre da álgebra linear, que se tornou
mais utilizado em salas de aula.
A partir de uma análise da história recente do ensino da Matemática em Portugal, nos anos 70 e 80, a generalização da chamada Matemática Moderna relegou a geometria para um lugar muito secundário. Numa abordagem formal da Matemática, a geometria tornou-se um “parente pobre” da álgebra linear, as atividades envolvendo construções geométricas
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foram consideradas matéria de outras disciplinas, como a Educação Visual, a “importância prática” da geometria reduzia-se ao teorema de Pitágoras e a umas quantas fórmulas para o cálculo de áreas e volumes. Nesta abordagem, a intuição e a visualização desempenham um papel menor no processo de ensino e aprendizagem da Matemática. (EDUARDO VELOSO, 1998) apud ABRANTES, 1999.
Utilizar a História da Matemática é uma forma de mostrar, ilustrar e motivar os
alunos em sala de aula, e ainda pode ajudar o professor na sua preparação de suas
aulas.
Contar a história da disciplina que está sendo estudada pode ser uma forma de ilustrar as aulas e motivar os alunos. Assim, também o professor de Matemática pode e deve lançar mão desse recurso, apresentando à classe fatos interessantes sobre a vida de matemáticos famosos, bem como descobertas e curiosidades nessa área do conhecimento.
Essa visão da Matemática tem maior utilidade na formação do professor do que diretamente na preparação de suas aulas. (NETO, 1996, p. 07)
Utilizar a História da Matemática pode se torna uma grande ferramenta para o
ensino dos poliedros de Platão.
Uma seqüência de duas propostas de trabalho, utilizadas em turmas do 10º ano, deu origem a interessantes atividades envolvendo o significado da definição e a necessidade e alcance da demonstração em matemática e evidenciando, ainda, o potencial de elementos da história da matemática.
Euclides, um matemático grego que viveu há 2300 anos, dizia, em vez de polígono regular, polígono eqüilátero (lados iguais) e eqüiângulo (ângulos iguais). No espaço existem, além dos polígonos, poliedros. (ABRANTES, 1999)
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2.1.3 Referências Históricas
Poderíamos utilizar também textos históricos descrevendo a história de Platão,
contando um pouco de sua vida e de sua influência na matemática que poderiam vir
a contribuir na aprendizagem dos alunos.
Platão, cujo verdadeiro nome era Aristócles ( em homenagem ao seu avô), nasceu em 428-7 a.C. e morreu em 348-7 a.C. Estas datas são bastantes significativas: o nascimento ocorreu no ano seguinte ao da morte de Péricles; a morte, dez anos antes da batalha de Queronéia que assegurou a Felipe da Macedônia a conquista do mundo grego.
Platão é um nome que, segundo alguns, traduz a largura dos ombros de Platão (platos significa largura) cujo vigor físico fez com que fosse homenageado pelos seus feitos atléticos na juventude. (POMBO, 2000)
E segundo Fernandes,
Filósofo e matemático grego, provavelmente nascido em Atenas, fundador da Academia Ateniense, onde se reuniam ou para a qual afluíam os principais mestres e pesquisadores da época, entre os quais se destacou seu discípulo mais célebre Eudoxo de Cnido, embora ele próprio não tenha sido um notável criador nesta ciência e sim, um guia e inspirador do seu desenvolvimento, tornando-se conhecido como um criador de matemáticos. Escrevendo em grego foi o criador do platonismo, doutrina caracterizada principalmente pela teoria das idéias e dos números e pela preocupação com os temas éticos, com base no conhecimento das verdades essenciais que determinam a realidade visando toda meditação filosófica ao conhecimento do Bem, conhecimento este que supunha suficiente para a implantação da justiça entre os estados e entre os homens.
De acordo com Boyer (1974, p. 62, p. 63):
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Os seis homens cujo trabalho descreveremos (além de Platão e Aristóteles) são Teodoro de Cirene (viveu por volta de 390 a. C.), Taetetus (morreu em 368 a. C.), Eudoxo de Cnido (morreu por volta de 355 a. C.), Menaecmus (viveu por volta de 350 a. C) e seu irmão Dinóstrato (viveu por volta de 350 a. C.) e Autolicus de Pitane (viveu por volta de 330 a. C.).
Esses seis matemáticos não estavam espalhados pelo mundo grego, como os do quinto século a. C. ; estavam associados, mais ou menos de perto, com a Academia de Platão em Atenas. Embora o próprio Platão não tenha dado contribuição específica digna de nota a resultados matemáticos técnicos, ele era o centro da atividade matemática da época e guiava e inspirava seu desenvolvimento. Sobre as portas de sua escola lia – se: “Que ninguém que ignore a geometria entre aqui”; seu entusiasmo pelo assunto fez com que se tornasse conhecido não como matemático mas como “o criador de matemáticos”. É claro que a alta opinião, que tinha da matemática, Platão não recebeu de Sócrates; na verdade, os primeiros diálogos platônicos raramente mencionaram a matemática. Quem converteu Platão a uma visão matemática foi certamente Arquitas, um amigo a quem ele visitou na Sicilia em 388 a. C. Talvez tenha sido aqui que ele soube dos cinco sólidos regulares, que eram associados aos quatro elementos de Empédocles num esquema cósmico que fascinou os homens por séculos.
Em seguida, depois da apresentação resumida da história de Platão, mostrando sua
parte importante para esse trabalho, utilizaremos a História da Matemática para
apresentar os poliedros de Platão, mostrando quais são eles, explicando que não há
disciplina especifica para esses sólidos, o interesse por eles no decorrer da história
e por fim onde estes sólidos podem ser encontrados.
Os primórdios da história dos poliedros regulares perdem – se nas brumas do passado. Há um inicio de tratamento matemático desses sólidos no Livro XIII dos Elementos de Euclides. O primeiro escólio desse livro observa que se “irá tratar dos sólidos de Platão, assim chamados erradamente, porque três deles, o tetraedro, o cubo e o dodecaedro se devem aos pitagóricos, ao passo que o octaedro e o icosaedro se devem a Teeteto”. É bem possível que isso corresponda aos fatos.
De qualquer maneira Platão, em seu Timeu, apresentou uma descrição dos cinco poliedros regulares e mostrou como construir modelos desses sólidos, juntando triângulos, quadrados e pentágonos para formar suas faces. O Timeu de Platão é o pitagórico Timeu de Locri misticamente associa os quatro sólidos mais fáceis de construir – o tetraedro, o octaedro, o icosaedro e o cubo – com os quatro “elementos” primordiais empedoclianos de todos os corpos materiais – fogo, ar, água e terra. Contornava – se a dificuldade embaraçosa em explicar o quinto sólido, o dodecaedro, associando-o ao Universo que nos cerca
Johann Kepler (1571 – 1630), mestre da astronomia, matemático e numerologista, deu uma explicação engenhosa para as associações de
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Timeu. Intuitivamente ele assumiu que, desses sólidos, o tetraedro abarca o menor volume para sua superfície, ao passo que o icosaedro o maior. Agora, essas relações volume-superficie são qualidades de secura e umidade, respectivamente, e como o fogo é o mais seco dos quatro “elementos” e a água o mais úmido, o tetraedro deve representar o fogo e o icosaedro a água. Associa – seo cubo com a terra porque o cubo, assentando quadradamente sobre uma de suas faces, tem a maior instabilidade. O octaedro, seguro frouxamente por dois de seus vértices opostos entre o indicador e polegar, facilmente rodopia, tendo a instabilidade do ar. Finalmente, associa – se o dodecaedro com o Universo porque o dodecaedro tem doze faces e o zodíaco tem doze seções. (BOYER, 1974, p. 62 e 63)
Também Eves (1992, p.58, p.59), em seu outro livro nos apresenta o seguinte:
Não há nenhuma disciplina matemática específica baseada nos sólidos, mas muita coisa importante da matemática foi descoberta como subproduto do estudo dessas figuras. Teaetetus escreveu um tratado sobre os cinco sólidos por volta do ano 300 a. C., diz – se que ele foi o primeiro a provar que há exatamente cinco poliedros regulares. Mais tarde Euclides (c. 300 a. C.) dedicou a maior parte de seu décimo terceiro livro a teoremas sobre esses sólidos.
Depois dos gregos, o interesse pelo assunto diminuiu, e os sólidos nunca mais alcançaram o mesmo interesse e a mesma importância daquele período. As considerações atuais sobre os cinco sólidos tendem a ser topológicas, como se pode observar numa definição moderna, ou seja, de que um sólido é um poliedro convexo regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes entre si, se seus vértices são convexos e se em cada vértice incide o mesmo número de faces, O matemático suíço Ludwing Schalafli (1814 – 1895) concebeu o símbolo corrente [p, q] para os poliedros regulares, onde p indica o número de lados de cada polígono regular e q o número de polígonos que incidem em cada vértice.
Os poliedros fazem parte do estudo da geometria desde quye esse estudo se iniciou. Eles têm uma beleza simétrica que fascinou os homens em todos os tempos. Alguns poliedros regulares eram conhecidos dos antigos egípcios, que os usavam em sua arquitetura.
E por fim Eves (1995, p.115), descreve onde podem ser encontrados esses sólidos,
conforme mostrado abaixo:
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O tetraedro, o cubo e o octaedro se encontram na natureza como cristais, por exemplo, sulfoantimoneto de sódio, sal comum e alúmen, respectivamente. Os outros dois não podem ocorrer na forma de cristais, mas se encontram na natureza como esqueletos de animais marinhos microscópicos chamados radiolários. Em 1885, desenterrou-se no monte Loffa, perto de Pádua, um brinquedo de origem etrusca, com a forma de um dodecaedro regular, que se supõe remontar ao ano 500 a.C., aproximadamente.
A citação acima poderia ser um caso a ser trabalhado com os alunos em sala de
aula de modo que os mesmos pudessem conhecer a origem dos estudos
envolvendo esses sólidos, também poderíamos citar os seguintes trechos. Segundo
Eves (1992, p.59), “Os pitagóricos (c.500 a.C.) provavelmente descobriram três dos
cinco poliedros regulares e fizeram deles uma parte importante do estudo da
geometria.” Alan (1997), também relata sobre os poliedros regulares conforme
descrito a seguir,
Os poliedros regulares fascinaram os antigos como símbolo de perfeição da natureza. Os Gregos mais precisamente os Pitagóricos já sabiam da existência de três dos cinco poliedros regulares: o cubo, o tetraedro e o dodecaedro. Cubos e tetraedros é já eram conhecidos de Egípcios e Babilônios. Os Etruscos por volta do ano 1000 AC construíram um dado em forma de um dodecaedro.
Segundo Eves (1992, p.59),
...As considerações atuais sobre os cinco sólidos tendem a ser topológicas, como se pode observar numa definição moderna, ou seja, de que um sólido é um poliedro convexo regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes entre si, se seus vértices são convexos e se em cada vértice incide o mesmo número de faces.
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Como este trabalho é sobre poliedros de Platão, logo Euler não poderia ficar sem
ser citado, pela descoberta de seu Teorema envolvendo os poliedros de Platão,
apresentaremos a seguir alguns trechos que contam a história desse matemático,
conforme alguns autores. Segundo Boyer (1974, p.324), diz que:
Na antiguidade a Grécia sobrepujava de cabeça e ombros todos os outros povos em desenvolvimento matemático; durante boa parte da Idade Média o nível da matemática no mundo árabe era mais alto que no resto. Do Renascimento ao século dezoito o centro da atividade matemática se deslocou rapidamente – da Alemanha para a Itália para a França para a Holanda para a Inglaterra. Se as perseguições religiosas não tivessem obrigado os Bernoullis a deixar a Antuérpia, a Bélgica poderia ter tido por sua vez; mas a família emigrou para a Basiléia e em conseqüência à Suíça foi à terra natal de muitas das principais figuras da matemática do inicio do século dezoito. Mas o matemático mais importante nascido na Suíça nessa época – ou em qualquer outra – foi Leonhard Euler (1707 – 1783), que nasceu em Basiléia.
Conforme Eves (1995, p.471),
Leonhard Euler, um suíço que nasceu na Basiléia em 1707. Depois de ensaiar uma carreira no campo da teologia, Euler encontrou sua verdadeira vocação na matemática. Foi nessa altura que seu pai, um pastor calvinista com pendores para a matemática, ajudou-o, ensinando – lhe os fundamentos da matéria. O pai, que havia estudado com Jacob Bernoulli, conseguiu que se filho fosse estudar com Johann Bernoulli.
Em 1727, quando Euler tinha apenas vinte anos de idade, os irmãos Daniel e Nicolaus Bernoulli, que pertenciam a Academia de São Petersburgo, recém-criada por Pedro, o Grande, conseguiram que ele fosse indicado membro da instituição. Com a volta de Daniel a seu país pouco tempo depois, para ocupar a cadeira de matemática da Universidade da Basiléia, Euler tornou – se o cabeça da seção de matemática da Academia.
Após dignificar a Academia de São Petersburgo por quatorze anos, Euler aceitou um convite de Frederico, o Grande, para chefiar a seção de matemática da Academia de Berlim. Euler se manteve durante vinte e cinco anos nessa nova atividade, mas sua simplicidade e modéstia não correspondiam à cintilância e sofisticação que Frederico admirava daí resultando muitos dissabores para ele nessa sua estada na Prússia.
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Durante esse tempo continuou a receber uma pensão da Rússia, o que atesta o alto prestígio que alcançara nesse país.
De acordo com Boyer (1974, p.325),
Em 1735 tinha perdido a visão do olho direito – por excesso de trabalho, ao que se diz – mas esta infelicidade não diminuiu em nada sua produção de pesquisa. Conta – se que ele disse que ao que parecia seu lápis o superava em inteligência, tão facilmente fluíam seus artigos; e ele publicou mais de 500 livros e artigos durante sua vida. Por quase meio século depois de sua morte obras de Euler continuavam a aparecer nas publicações da Academia de São Petersburgo. Uma lista bibliográfica das obras de Euler, inclusive itens póstumos, contém 886 itens; e avalia-se que a coleção de suas obras, que está sendo publicada sob os auspícios da Suíça, chegará a perto de setenta e cinco volumes substanciais. Sua pesquisa matemática, chegava chegava em média a 800 páginas por ano durante toda a sua vida; nenhum matemático jamais superou a produção desse homem que Arago caracterizou como “Analise Encarnada”.
E segundo Eves (1995, p.471),
O sentimento permanentemente caloroso dos russos para com ele, a par da frieza da corte de Frederico, levou – no a aceitar, em 1766, um convite de Catarina, a Grande, para retornar a Academia de São Petersburgo, onde ficaria os dezessete anos seguintes de sua vida.
Segundo Boyer (1995, p.325)
Em 1766, ainda soube que estava perdendo a visão do olho que lhe restava devido à catarata, e preparou – se para a cegueira final praticando escrever com giz numa grande lousa e ditando para seus filhos. Uma operação foi feita em 1771, e durante alguns dias Euler enxergou novamente; mas o
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sucesso não durou e Euler passou quase todos os últimos dezessete anos de sua vida em total cegueira. Mesmo essa tragédia não deteve o fluxo de sua pesquisa e publicações, que continuou sem diminuição até que em 1783, aos setenta e seis anos, ele morreu subitamente enquanto tomava chá com um de seus netos.
E conforme Eves (1995, p.471): “É interessante que em toda a sua carreira longa e
variada, nunca ocupou um cargo de professor.” A descoberta de Euler.
O matemático suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) descobriu uma importante relação entre o número de vértice (V), o número de aresta (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.
O teorema de Euler foi descoberto em 1758. Desde então diversas demonstrações apareceram na literatura e algumas continham falhas (como a de Cauchy), que foram descobertas, muitos anos mais tarde. Essas falhas eram devidas à falta de precisão na definição de poliedro. Mesmo Euler nunca se preocupou em definir precisamente essa palavra.
Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação:
V – A + F = 2 (FEITOSA, 2010)
2.1.4 Origamis e canudinhos
No entanto, não só podemos usar a História da Matemática como apoio para
apresentar os conceitos de poliedros de Platão, mas também a utilização de
construções através de Origami e canudinhos. Pois a geometria está presente em
todos os campos do mundo.
A geometria está por toda parte, desde os tempos mais remotos da nossa existência. Convivemos em nosso cotidiano com idéias de volume, altura, largura e muitos outros conceitos geométricos. Dessa forma, estaríamos minimizando as dificuldades apresentadas pelos alunos, através da visualização e manipulação de sólidos geométricos. As construções
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abordam noções de geometria espacial visando facilitar a aplicabilidade e a compreensão dos alunos. (AZEVEDO, 2008)
Com isso podemos observar que a Geometria é um pouco esquecida depois das
séries iniciais do Ensino Fundamental, assim utilizar o Origami pode ser uma tarefa
que possa auxiliar e melhorar a aprendizagem dos alunos.
Temos observado que a geometria tridimensional é abordada no início do fundamental II e, depois “esquecida” quase que completamente, por isso foram usadas dobraduras – arte de dobrar papel – pela qual se conseguiu construir poliedros, como uma maneira prática de ensinar geometria. (AZEVEDO, 2008)
Utilizar como estratégia a utilização de origami pode ser favorável a investigar em
sala de aula, a aprendizagem dos alunos.
Em nossa proposta, o origami é apresentado ao aluno como um problema a ser solucionado, como uma tarefa que exige investigação, possibilitando a experimentação, o levantamento de hipóteses, a criação e recriação no processo de construção de aprendizagem. Problema, nessa perspectiva, deve ser entendido como qualquer situação para a qual os conhecimentos imediatos que o aluno possui não são suficientes e que o coloca frente a um desafio, exigindo-lhe busca de procedimentos e construção de novos saberes. É uma situação onde o aluno ativa seus conhecimentos prévios, ressignificando-os para criar respostas adequadas aos desafios que se lhe apresentam (ITACARAMBI, 1996) apud TAKAMORI (2007).
O origami pode ser uma ferramenta de investigação dentro da sala de aula
proporcionando aos professores, descobrirem o nível de raciocínio dos alunos.
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O origami, nesta proposta, é considerado como recurso de investigação, como quebra-cabeça uma vez que possibilita aos alunos o desafio da construção dos objetos, observando e discutindo, criando e recriando em um processo de construção de conhecimento coletivo e compartilhado, percebendo a possibilidade de diferentes caminhos para solução do problema. (TAKAMORI, 2007).
E ainda com a utilização dessa ferramenta, podem ser feitas algumas observações,
conforme descrito.
Por meio das atividades desafiadoras com origami, observamos que os alunos desenvolvem autonomia no fazer e no pensar, uma vez que buscam, inicialmente, recursos próprios para solução dos desafios e, posteriormente, agregam novos conhecimentos e habilidades que são compartilhadas com o grupo durante a construção das peças. Nesse fazer ativo e compartilhado os alunos além de desenvolverem autoconfiança, iniciativa e ousadia necessárias à aprendizagem, principalmente objetiva a formação da cidadania, no exercício do trabalho em equipe, necessário à aprendizagem do pensar coletivo.
As observações feitas pelos professores do LABEM em salas de aula de diversas escolas detectaram que durante a construção das peças houve um ganho significativo nos aspectos de organização do pensamento lógico e do desenvolvimento das idéias geométricas, além de atitudes positivas em relação ao desejo de aprender, de maneira autônoma e investigativa. (TAKAMORI, 2007)
Ao introduzir o origami no ensino aprendizagem para que os alunos possam
conhecer as faces dos sólidos com mais facilidade, também podemos utilizar os
canudinhos para mostrar os conceitos de arestas e vértices com mais facilidade em
sala de aula.
O objetivo deste trabalho é desenvolver nos alunos a capacidade de visualização e representação geométrica de figuras espaciais, construindo com material concreto alguns poliedros de Platão. Para isto utilizaremos canudos de plástico para construirmos as estruturas que irão representar as arestas dos seguintes poliedros: tetraedro, octaedro, icosaedro e cubo. Verificaremos que na construção dos três primeiros sólidos citados, estes
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apresentam uma estrutura rígida, porém o mesmo não acontece com as faces do cubo e a partir desse momento faremos uma discussão de como tornar o cubo um poliedro rígido. Logo em seguida, faremos uma atividade onde iremos construir um octaedro inscrito em um tetraedro e visualizaremos as respectivas seções planas. (PAULA, 2009)
E assim fazer com que os alunos possam resolver os desafios criados por esta
visualização concreta.
Após a construção do cubo podemos observar que os ângulos da sua estrutura se modificam e a sua estrutura assim se deforma. O que podemos fazer para tornar a estrutura do cubo uma estrutura rígida? Observamos que os poliedros que tem faces triangulares não se modificam. O desafio é tornar este cubo uma estrutura rígida que não se deforme e para isto construiremos em cada face do poliedro uma diagonal. Para saber o comprimento de cada diagonal podemos usar o teorema de Pitágoras. Em cada vértice do cubo que determina uma diagonal chegam mais duas outras diagonais. Por último, construímos a diagonal do cubo com o canudo de cor diferente dos demais. (PAULA, 2009)
2.1.5 Software
No entanto, pode ser trabalhado o ensino dos poliedros de Platão, com a utilização
de um software, chamado Poly, que pode ser trabalhado com os alunos para a
compreensão de planificação dos sólidos de Platão. Este software não é gratuito,
mas pode ser encontrado para o uso avaliativo.
Certos temas matemáticos são algumas vezes abordados de maneira superficial por livros didáticos. A utilização adequada de softwares educacionais pode permitir uma análise mais aprofundada destes temas, possibilitando ir além dos aspectos tradicionalmente abordados. Neste trabalho relatamos um estudo do tema poliedros, que teve como fatores motivadores: i) os recursos oferecidos pelo software Poly, assim como a classificação de poliedros que este apresenta; ii) a dificuldade de aquisição
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de informações sobre a referida classificação de poliedros nos livros didáticos.
Poly é um programa shareware, que permite reconhecimento e análise de diferentes poliedros convexos. A empresa Pedagoguery Software Inc. é responsável pelo mesmo e disponibiliza-o em http://www.peda.com/poly/ em uma versão avaliativa completa. (BARCELOS, 2005)
Este software permite a classificação dos sólidos, rotacioná - los, planifica – los, e
entre outras coisas mais, que poderão ser vistas na visualização do software.
O software Poly permite visualizar poliedros convexos, planificá-los e rotacioná-los. Os poliedros são apresentados nas categorias: platônicos, sólidos de Arquimedes, prismas e anti-prismas, sólidos de Johnson, deltaedros, sólidos de Catalan, dipirâmides e deltoedros, esferas e domos geodésicos. Neste trabalho, as esferas e domos geodésicos não serão analisados, pois o estudo destes está em andamento. (BARCELOS, 2005)
Em nosso trabalho, iremos estudar apenas os poliedros de Platão, mas como
puderam notar este software pode construir outros sólidos, como Por exemplo, os
sólidos de Arquimedes, prismas e entre outros. Contudo podemos verificar que o
ensino de matemática, atualmente através de softwares está sendo muito utilizado, e
obtendo bons resultados.
Em educação, os softwares educacionais estão sendo incorporados ao processo de ensino e aprendizagem como ferramenta de mediação entre o indivíduo e o conhecimento. Estes permitem a exploração, visualização e experimentação do que praticamente seria impossível sem seu auxílio. No entanto, isto requer profissionais preparados, dispostos a pesquisar e a inovar e, sobretudo, convictos da importância da educação escolar para a inclusão digital e social. (BARCELOS, 2005)
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Com a aplicação desse software, o autor pode obter uma conclusão positiva sobre o
seu uso.
Neste sentido, o estudo descrito, os recursos do Poly e atividades elaboradas para utilização deste software constituíram um minicurso. Este foi ministrado a dois grupos distintos, ambos formados por licenciandos e professores de Matemática. As experiências vivenciadas nesses minicursos foram muito gratificantes, visto que o trabalho com o software foi motivador e permitiu um estudo mais aprofundado do tema. Isto ressalta a importância de iniciativas como essas no processo de ensino e aprendizagem de Matemática. (BARCELOS, 2005)
2.1.6 Vídeos
Além de utilizarmos a História, origami, canudinhos e software como estratégias de
aprendizagem, também podemos usar vídeos, pois os mesmo podem ser de grande
uso, e assim podendo ajudar o professor em sala de aula, utilizar os pontos positivos
que o vídeo pode fornecer.
O vídeo ajuda a um bom professor, atrai os alunos, mas não modifica substancialmente a relação pedagógica. Aproxima a sala de aula do cotidiano, das linguagens de aprendizagem e comunicação da sociedade urbana, mas também introduz novas questões no processo educacional.
O vídeo está umbilicalmente ligado à televisão e a um contexto de lazer, e entretenimento, que passa imperceptivelmente para a sala de aula. Vídeo, na cabeça dos alunos, significa descanso e não "aula", o que modifica a postura, as expectativas em relação ao seu uso. Precisamos aproveitar essa expectativa positiva para atrair o aluno para os assuntos do nosso planejamento pedagógico. Mas ao mesmo tempo, saber que necessitamos prestar atenção para estabelecer novas pontes entre o vídeo e as outras dinâmicas da aula.
Vídeo significa também uma forma de contar multilingüística, de superposição de códigos e significações, predominantemente audiovisuais, mais próxima da sensibilidade e prática do homem urbano e ainda distante da linguagem educacional, mais apoiada no discurso verbal-escrito. (MORAN, 1995)
48
O que o vídeo pode explorar podendo ser uma grande ferramenta para o ensino –
aprendizagem.
O vídeo parte do concreto, do visível, do imediato, próximo, que toca todos os sentidos. Mexe com o corpo, com a pele -nos toca e "tocamos" os outros, estão ao nosso alcance através dos recortes visuais, do close, do som estéreo envolvente. Pelo vídeo sentimos, experienciamos sensorialmente o outro, o mundo, nós mesmos.
O vídeo explora também e, basicamente, o ver, o visualizar, o ter diante de nós as situações, as pessoas, os cenários, as cores, as relações espaciais (próximo-distante, alto-baixo, direita-esquerda, grande-pequeno, equilíbrio-desequilíbrio). Desenvolve um ver entrecortado -com múltiplos recortes da realidade -através dos planos- e muitos ritmos visuais: imagens estáticas e dinâmicas, câmera fixa ou em movimento, uma ou várias câmeras, personagens quietos ou movendo-se, imagens ao vivo, gravadas ou criadas no computador. Um ver que está situado no presente, mas que o interliga não linearmente com o passado e com o futuro. O ver está, na maior parte das vezes, apoiando o falar, o narrar, o contar histórias. A fala aproxima o vídeo do cotidiano, de como as pessoas se comunicam habitualmente. Os diálogos expressam a fala coloquial, enquanto o narrador (normalmente em off) "costura" as cenas, as outras falas, dentro da norma culta, orientando a significação do conjunto. A narração falada ancora todo o processo de significação.
A música e os efeitos sonoros servem como evocação, lembrança (de situações passadas), de ilustração -associados a personagens do presente, como nas telenovelas- e de criação de expectativas, antecipando reações e informações. O vídeo é também escrita. Os textos, legendas, citações aparecem cada vez mais na tela, principalmente nas traduções (legendas de filmes) e nas entrevistas com estrangeiros. A escrita na tela hoje é fácil através do gerador de caracteres, que permite colocar na tela textos coloridos, de vários tamanhos e com rapidez, fixando ainda mais a significação atribuída à narrativa falada. O vídeo é sensorial, visual, linguagem falada, linguagem musical e escrita. Linguagens que interagem superpostas, interligadas, somadas, não separadas. Daí a sua força. Nos atingem por todos os sentidos e de todas as maneiras. O vídeo nos seduz, informa, entretém, projeta em outras realidades (no imaginário) em outros tempos e espaços. O vídeo combina a comunicação sensorial-cinestésica, com a audiovisual, a intuição com a lógica, a emoção com a razão. Combina, mas começa pelo sensorial, pelo emocional e pelo intuitivo, para atingir posteriormente o racional. (MORAN, 1995)
49
2.2 MATERIAIS E METODOS: ESTRATÉGIAS DE ENSINO NO APRENDIZADO DOS POLIEDROS DE PLATÃO
2.2.1 – INTRODUÇÃO
Este mini curso é uma proposta de ensino aprendizagem para professores e alunos,
que tem como finalidade aperfeiçoar a aprendizagem dos poliedros de Platão, por
meio de recursos que já foram utilizados anteriormente, porém de forma individual.
Neste trabalho esses recursos irão aparecer unidos, onde cada um deles poderá
completar o outro, fazendo assim com que a aprendizagem dos poliedros de Platão
se aprimore. E assim fazermos com que a matemática seja vista com outra
perspectiva, tirando a sua fisionomia de disciplina “problema” dentro das escolas.
2.2.2 JUSTIFICATIVA
Esse trabalho busca estratégias para se ensinar os conceitos de poliedros de Platão,
sendo ele o uso da história, utilização de vídeo, construção dos sólidos por meio de
origami e o uso de canudinhos para fazer o sólido esquelético, e também o uso de
um software para o ensino desses sólidos.
Será que aprender matemática não exige conhecer a história por trás de cada
conteúdo? Será que utilizar outras estratégias não pode melhorar o ensino
aprendizagem? É claro que não é isso o que o trabalho vem oferecer, pois o mesmo
estará trabalhando apenas com poliedros de Platão, mas de uma maneira geral, a
história pode contribuir para uma vida social e cultural de cada aluno, e ainda
propondo que os alunos se envolvam com a matemática de uma maneira mais
simples e prazerosa, visando melhorar e analisar a aprendizagem dos alunos sobre
os poliedros de Platão, utilizando mecanismos não apenas o que é utilizado em
salas de aula, mas com a utilização de ferramentas de ensino, procurando
desenvolver a mentalidade dos alunos para a geometria, que praticamente é
deixada de lado dentro das salas de aulas atualmente. E não só fazendo o uso da
50
história da matemática, mas outros caminhos que possam influenciar, e modificar o
pensamento sobre a geometria por parte dos alunos.
2.2.3 OBJETIVOS
2.2.3.1Objetivo Geral
Temos como objetivo, melhorar o aprendizado sobre o os poliedros de Platão,
através de algumas estratégias de ensino, fazendo com que os alunos passem a
olhar a matemática com outros olhos, e que consigam através dessas estratégias
aprenderem os conceitos trabalhados sobre os poliedros de Platão.
2.2.3.2 Objetivo Específico
Os objetivos específicos serão os mesmos apresentados no inicio do trabalho.
2.2.4 PUBLICO ALVO
Alunos do 9º ano do Ensino Fundamental.
2.2.5 METODOLOGIA
Este mini curso, é uma proposta de ensino, que poderá ser trabalhado da seguinte
maneira: com um número reduzido de alunos, 15 ou 20 alunos no máximo, para uma
sala de 30 a 40 alunos, poderá ser trabalhada em dois grupos.
O mini curso poderá ser iniciado com a apresentação de um vídeo com duração de 9
min. 58 seg. que fará uma introdução aos alunos sobre os conceitos básicos de
poliedros de Platão, mostrando a eles uma breve história de Platão, quais os sólidos
51
e suas características, o vídeo se chama “Mão na Forma: Os sólidos de Platão”
disponível no endereço: http://www.youtube.com/watch?v=LZJuHYcEi-A.
No decorrer da aprendizagem desses conceitos sobre os sólidos por meio do vídeo,
fará a construção dos sólidos com a utilização de origami, e a utilização de
canudinhos, para que se tenha em mão a construção desses sólidos. Para poder ser
iniciada, será necessário separar os alunos em grupos de cinco, no máximo, para
facilitar e fazer com que os alunos aprendam a trabalhar em grupo, onde eles
poderão se ajudar na construção de cada sólido, para isso será realizado uma
apresentação em slides para que os alunos possam acompanhar passo a passo
cada momento da construção, facilitando assim a construção dos sólidos, de modo
que não se perca tempo, alguns sólidos poderão ser levados prontos para a sala de
aula, pois podem requerer muito tempo para a sua construção que são os casos do
dodecaedro por meio de origami e canudinhos, apenas sugestão. Depois de prontos
os sólidos, poderá ser realizado a apresentação dos conceitos de vértices, arestas e
faces de modo concreto, através de discussões oral, pois eles estarão vendo,
tocando os sólidos com suas próprias mãos, assim saindo da introdução realizada
pelo vídeo e passando para outro nível de conhecimento, que seria um de nossos
objetivos.
Figura 14 – Sólidos construídos por meio do uso de origami
52
Figura 15 – Sólidos construídos por meio do uso de canudinhos
Ao termino da construção dos sólidos (como mostrado na figura anterior), com a
utilização dos origamis e canudos, deverá ser trabalhado o conteúdo com a
utilização da História da Matemática, contando a história de Platão, quais foram às
ideias da época para chegarem aos sólidos, os sólidos segundo Johannes Kepler,
os dias atuais e finalizando mostrando a eles onde podem ser encontrados os
sólidos, como descrito no Anexo III e que podem ser visualizados na figura a seguir.
53
Figura 16 – Livros de História da Matemática, usados na elaboração do
trabalho
Para finalizar esses conceitos apresentados até o momento, propomos trabalhar
com um software (não gratuito) chamado Poly. A empresa Pedagoguery Software,
disponibiliza em http://www.peda.com/poly/ uma versão avaliativa completa do
software, onde os alunos poderão conhecer os sólidos por meio das novas
tecnologias utilizadas atualmente. No entanto este software seria utilizado apenas
pelo professor, que poderá fornecer os conhecimentos aos alunos sobre o uso do
software, explicando as funções de cada ferramenta, ou seja, dando uma introdução
aos alunos, para que mais para frente eles possam mexer e trabalhar com o
software. Com este software poderá, analisar e visualizar os sólidos, sua
planificação e os conceitos de plano bidimensional e tridimensional, depois dessas
analises, poderão ser realizados alguns exercícios com a utilização do software, e
abordando conceitos aprendidos anteriormente no mini curso, sem que os alunos
54
tenham contato com o software inicialmente, estes exercícios serão abordados,
apenas com a visualização do software apresentado no Data Show. Mostraremos a
seguir, duas figuras que apresentam o software Poly.
Figura 17 – Software Poly (Apresentação de um tetraedro e mostrando os
demais sólidos de Platão)
55
Figura 18 – Cubo sendo planificado
Em seguida, deverá ser dada uma pausa com o trabalho do software, voltando para
História da Matemática, falando sobre a vida de Euler, o seu teorema sobre os
poliedros, fazendo com que os alunos descubram por meio da História da
Matemática como foi abordado o conteúdo antigamente (Anexo IV).
Depois da discussão deste texto poderão ser proporcionados aos alunos alguns
exercícios utilizando os sólidos construídos anteriormente, com o Origami e os
canudos, para verificar se o teorema de Euler é realmente válido para os sólidos de
Platão, depois de realizado esses exercícios, poderá retornar para o software, onde
poderão ser trabalhados alguns exercícios (Anexo V) testando os conceitos do
teorema de Euler.
Para que se possa concluir o mini curso, deverá ser apresentada aos alunos uma
avaliação do que eles entenderam sobre os conceitos apresentados e se a utilização
desses métodos foi eficaz e expandiram o conhecimento dos mesmos. Ou seja, se
esses métodos, obtiveram pontos positivos ou negativos na aprendizagem dos
mesmos.
56
2.2.6 AVALIAÇÃO
Deverá ser realizada por meio de observações, verificando se os objetivos foram
alcançados, assim podendo ser utilizado essas estratégias com outros conteúdos.
2.2.7 RECURSOS
Papel dobradura;
Canudinhos;
Barbante;
Data show (para a apresentação do vídeo e dos slides);
Folha sulfite;
Impressão;
Xerox;
Lápis;
Borracha;
Caneta.
2.2.8 CRONOGRAMA
Duração mínima de 4 horas e máximo de 8 horas.
57
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Sabemos que atualmente o ensino-aprendizagem da matemática apresenta
dificuldades. Provavelmente devido ao trabalho abusivo dos professores em salas
de aula, não possibilitando o profissional de se capacitar, e, assim, melhorar suas
aulas, fazendo com que os mesmos fiquem apenas no básico. Poucos profissionais
buscam ensinar conceitos por meio de outros recursos, os quais favorecem o
aprendizado dos alunos.
Poliedros de Platão? Encontrar estratégias para a compreensão desse conteúdo foi
interessante, encontramos várias estratégias, que eram utilizadas individualmente, e
que obtinham bons resultados, já comprovados por alguns autores em trabalhos
pesquisados, como é o caso do software Poly e do origami que se encontram nas
páginas 45 e 47 deste trabalho, respectivamente. No entanto, pudemos perceber
que a unificação dessas estratégias poderia ser favorável ao ensino-aprendizagem,
para a compreensão dos conceitos desse tema. Para que isso pudesse ocorrer
realizamos a criação de um mini curso que viesse mostrar passo a passo, como
trabalhar estratégias diferentes com esse conteúdo.
A criação do mini curso foi um processo que nos possibilitou grande dificuldade, pois
como poderíamos unificar essas estratégias? Como realizar essa unificação de
modo que cada uma pudesse complementar a outra, não deixando lacunas para que
os conceitos pudessem se perder? Com várias leituras realizadas, encontramos os
passos a serem utilizados para que pudéssemos encontrar o melhor meio dessa
unificação e assim fazer com que o mini curso pudesse sanar dúvidas que possa ser
encontrada no decorrer de sua realização.
Esperamos que esse trabalho seja útil, e faça com que os alunos aprendam tais
conceitos. Apesar do mini-curso não ter sido aplicado, pudemos perceber que no
decorrer das pesquisas, alguns autores obtiveram bons resultados com a aplicação
de algumas dessas estratégias individualmente. Assim, com base nessas pesquisas,
acreditamos que esse trabalho também terá um resultado positivo.
58
As dificuldades encontradas no decorrer desse trabalho foram, no momento de se
transportar todas as informações encontradas para o papel, transformar todo o
conteúdo em um trabalho, pois unificar essas várias estratégias não foi uma tarefa
simples. Houve um estudo bibliográfico anterior para que pudessem ser encontrados
os pontos principais do trabalho e o seu embasamento, e assim realizá-lo passo a
passo, fazendo com que pudéssemos finalizar tal trabalho, de modo coerente e de
fácil entendimento por parte dos leitores. Assim, podemos supor que o uso dessas
estratégias poderá levar os alunos a compreenderem com mais facilidades os
conteúdos propostos, portanto, devemos buscar alternativas para o ensino-
aprendizagem de nossos alunos.
Este trabalho é apenas uma proposta, logo a partir desse ponto já se pode perceber
que tivemos obstáculos, ou seja, não pudemos realizar sua aplicação. Tal
impossibilidade se deveu a exigüidade do tempo o qual foi insuficiente para que isso
pudesse ocorrer. Haveria a necessidade de se trabalhar com esse tema por mais
algum tempo, para assim ter uma conclusão concreta, ou seja, verificar se realmente
esse trabalho pode alcançar os objetivos estipulados inicialmente no contexto desse
trabalho.
Este foi o único passo que não se obteve o resultado esperado, pois nos demais
obtivemos sucesso ao concluí-los, pois conseguimos unificar as estratégias em uma
única, dentro do mini curso, que mesmo sendo uma proposta, podemos acreditar
que poderá obter bons resultados.
Portanto, para finalizarmos esperamos que haja a aplicação do mini curso proposto
por professores do nono ano do ensino fundamental futuramente, para que
realmente se verifique se os objetivos serão alcançados. Realizar mais algumas
pesquisas nessa área, e aplicar o trabalho para que possa ser avaliado e assim
redirecioná-lo se necessário para atender a compreensão de cada tipo de
dificuldade encontrada pelos alunos, pois cada aluno tem a sua própria dificuldade,
em aprender os conteúdos de matemática.
59
REFERÊNCIAS
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EVES, H. História da Geometria. T Tradução: Hygino H. Domingues. São Paulo: Editora Atual, 1992. (Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; v. 3).
60
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 1995.
FEITOSA, A. Poliedros. Disponível em: http://www.infoescola.com/geometria-espacial/poliedros/ - Acessado 12 de julho de 2010.
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61
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SILVA, C. X. Matemática aula por aula. 2ª edição. São Paula, SP: FTD, 2005 (Coleção matemática aula por aula).
SMOLE, K. C. S. Matemática - volume 2 – 2ª série – ensino médio. 3ª edição. São Paulo, SP: Saraiva, 2003.
TAKAMORI, E. et. al. Origami como quebra-cabeça: estudo dos Poliedros de Platão. Disponível em: http://www.alb.com.br/anais16/sem15dpf/sm15ss12_05.pdf - Acessado em: 09 de maio de 2010.
62
ANEXO I – Teorema (SMOLE, 2003, p. 261)
Teorema: Existem cinco, e somente cinco tipos de poliedros de Platão.
Vamos considerar um poliedro de Platão, em que V é o número de vértices, A é o
número de arestas, F é o número de faces, n é o número de lados de cada face e p
é o número de arestas em cada vértice desse poliedro.
Queremos provar que existem apenas cinco possibilidades para os valores de V, A,
F, n e p. Para isso, vamos observar que cada face tem n arestas e cada aresta está
em duas faces. Daí:
O numero de vértices é V e em cada vértice temos p arestas. Cada aresta contém
dois vértices:
Então, , com
Substituindo F por e V por em V – A + F = 2, vem:
Dividindo essa equação por 2 . A, resulta:
Como A é positivo, então
também é, ou seja,
.
63
Vamos mostrar que não pode ocorrer :
e
Somando essas duas inequações, temos:
4 contradiz 3, logo n = 3 ou p = 3.
Para n = 3, em 3, vem:
Temos então, as seguintes possibilidades:
N = 3, então, cada face é um triângulo;
P = 3, então, de cada vértice saem 3 arestas.
N = 3, então, cada face é um triângulo;
P = 4, então, de cada vértice saem 4 arestas.
N = 3, então, cada face é um triângulo;
P = 5, então, de cada vértice saem 5 arestas.
N = 4, então, cada face é um quadrilátero;
P = 3, então, de cada vértice saem 3 arestas.
N = 5, então, cada face é um pentágono;
P = 3, então, de cada vértice saem 3 arestas.
Portanto, são cinco, e apenas cinco, os tipos de poliedros regulares.
64
Para cada uma dessas possibilidades, usando 2, obtemos A e, pelas relações em 1,
determinamos F e V. Colocando os valores num quadro, temos os cinco tipos de
poliedros possíveis, vide Figura 12.
65
ANEXO II – Demonstração Topológica, que só há cinco poliedros de Platão (BOTOLOSSI, 2009)
Daremos uma outra demonstração para o fato de que só existem cinco sólidos
platônicos, usando agora a fórmula de Euler: se V é o número de vértices, A é o
número de arestas e F é o número de faces de um poliedro convexo, então
V − A + F = 2. (1.1)
Uma demonstração deste belíssimo resultado pode ser encontrada em [LIMA, 1991].
A referência [EPPSTEIN, 2008] apresenta 19 demonstrações diferentes para a
fórmula de Euler (incluindo uma prova usando cargas elétricas).
Considere então um sólido platônico cujas faces são polígonos regulares de n lados.
Como cada aresta do poliedro é definida pela interseção dos lados de dois polígonos
adjacentes, segue-se que se contarmos todos os lados de todos os polígonos,
iremos contar duas vezes cada aresta do poliedro. Desta maneira:
n • F = 2 • A. (1.2)
Denote por p o número de arestas do poliedro que concorrem em um mesmo
vértice. Cada uma destas arestas, a exemplo das faces, se conecta a dois vértices.
Assim, se contarmos o número de arestas em cada face, estaremos contando duas
vezes o número de arestas do poliedro. Portanto:
p • V = 2 • A. (1.3)
Substituindo-se os valores de V e F das Equações (1.2) e (1.3) na Equação (1.1),
teremos que 2 • A/p − A + 2 • A/n = 2 ou, ainda, 1/p − 1/A + 1/n = 1/2.
Conseqüentemente,
A = (2 • n • p)/(2 • n + 2 • p − n • p). (1.4)
Como o número A de arestas deve ser positivo, temos que 2 • n + 2 • p − n • p > 0,
ou seja,= 2 ou, ainda,
66
(2 • n)/(n − 2) > p.
Uma vez que p ≥ 3, concluímos que, obrigatoriamente, n < 6. As possibilidades são
então as seguintes:
1. Se n = 3, então A = 6 • p/(6 - p) e, portanto, F = 2 • A/n = 4 • p/(6 − p). Desta
última fórmula segue-se que p < 6. Agora:
(a) Se p = 3, então F = 4. Neste caso, o poliedro formado é o tetraedro.
(b) Se p = 4, então F = 8. Neste caso, o poliedro formado é o octaedro.
(c) Se p = 5, então F = 20. Neste caso, o poliedro formado é o icosaedro.
2. Se n = 4, então A = 4 • p/(4 - p) e, portanto, F = 2 • A/n = 2 • p/(4 − p). Desta
última fórmula segue-se que p < 4. Sendo assim, p = 3 e, portanto, F = 6. Neste
caso, o poliedro formado é o cubo.
3. Se n = 5, então A = 10 • p/(10 - 3 • p) e, portanto, F = 2 • A/n = 4 • p/(10 − 3 • p).
Desta última fórmula segue-se que p < 10/3. Sendo assim, p = 3 e, portanto, F =
12. Neste caso, o poliedro formado é o dodecaedro.
67
ANEXO III – Bibliografia de Platão (POMBO, 2000) e Textos históricos
(EVES, 1995)
Platão, cujo verdadeiro nome era Aristócles ( em homenagem ao seu avô), nasceu
em 428-7 a.C. e morreu em 348-7 a.C. Estas datas são bastantes significativas: o
nascimento ocorreu no ano seguinte ao da morte de Péricles; a morte, dez anos
antes da batalha de Queronéia que assegurou a Felipe da Macedônia a conquista
do mundo grego.
Platão é um nome que, segundo alguns, traduz a largura dos ombros de Platão
(platos significa largura) cujo vigor físico fez com que fosse homenageado pelos
seus feitos atléticos na juventude.
Filósofo e matemático grego, provavelmente nascido em Atenas, fundador da
Academia Ateniense, onde se reuniam ou para a qual afluíam os principais mestres
e pesquisadores da época, entre os quais se destacou seu discípulo mais célebre
Eudoxo de Cnido, embora ele próprio não tenha sido um notável criador nesta
ciência e sim, um guia e inspirador do seu desenvolvimento, tornando-se conhecido
como um criador de matemáticos. Escrevendo em grego foi o criador do platonismo,
doutrina caracterizada principalmente pela teoria das idéias e dos números e pela
preocupação com os temas éticos, com base no conhecimento das verdades
essenciais que determinam a realidade visando toda meditação filosófica ao
conhecimento do Bem, conhecimento este que supunha suficiente para a
implantação da justiça entre os estados e entre os homens.
Os primórdios da história dos poliedros regulares perdem – se nas brumas do
passado. Há um inicio de tratamento matemático desses sólidos no Livro XIII dos
Elementos de Euclides. O primeiro escólio desse livro observa que se “irá tratar dos
sólidos de Platão, assim chamados erradamente, porque três deles, o tetraedro, o
cubo e o dodecaedro se devem aos pitagóricos, ao passo que o octaedro e o
icosaedro se devem a Teeteto”. É bem possível que isso corresponda aos fatos.
De qualquer maneira Platão, em seu Timeu, apresentou uma descrição dos cinco
poliedros regulares e mostrou como construir modelos desses sólidos, juntando
triângulos, quadrados e pentágonos para formar suas faces. O Timeu de Platão é o
68
pitagórico Timeu de Locri misticamente associa os quatro sólidos mais fáceis de
construir – o tetraedro, o octaedro, o icosaedro e o cubo – com os quatro
“elementos” primordiais empedoclianos de todos os corpos materiais – fogo, ar,
água e terra. Contornava – se a dificuldade embaraçosa em explicar o quinto sólido,
o dodecaedro, associando-o ao Universo que nos cerca
Johann Kepler (1571 – 1630), mestre da astronomia, matemático e numerologista,
deu uma explicação engenhosa para as associações de Timeu. Intuitivamente ele
assumiu que, desses sólidos, o tetraedro abarca o menor volume para sua
superfície, ao passo que o icosaedro o maior. Agora, essas relações volume-
superficie são qualidades de secura e umidade, respectivamente, e como o fogo é o
mais seco dos quatro “elementos” e a água o mais úmido, o tetraedro deve
representar o fogo e o icosaedro a água. Associa – seo cubo com a terra porque o
cubo, assentando quadradamente sobre uma de suas faces, tem a maior
instabilidade. O octaedro, seguro frouxamente por dois de seus vértices opostos
entre o indicador e polegar, facilmente rodopia, tendo a instabilidade do ar.
Finalmente, associa – se o dodecaedro com o Universo porque o dodecaedro tem
doze faces e o zodíaco tem doze seções.
Não há nenhuma disciplina matemática específica baseada nos sólidos, mas muita
coisa importante da matemática foi descoberta como subproduto do estudo dessas
figuras. Teaetetus escreveu um tratado sobre os cinco sólidos por volta do ano 300
a. C., diz – se que ele foi o primeiro a provar que há exatamente cinco poliedros
regulares. Mais tarde Euclides (c. 300 a. C.) dedicou a maior parte de seu décimo
terceiro livro a teoremas sobre esses sólidos.
Depois dos gregos, o interesse pelo assunto diminuiu, e os sólidos nunca mais
alcançaram o mesmo interesse e a mesma importância daquele período. As
considerações atuais sobre os cinco sólidos tendem a ser topológicas, como se
pode observar numa definição moderna, ou seja, de que um sólido é um poliedro
convexo regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes entre
si, se seus vértices são convexos e se em cada vértice incide o mesmo número de
faces, O matemático suíço Ludwing Schalafli (1814 – 1895) concebeu o símbolo
69
corrente [p, q] para os poliedros regulares, onde p indica o número de lados de cada
polígono regular e q o número de polígonos que incidem em cada vértice.
Os poliedros fazem parte do estudo da geometria desde quye esse estudo se
iniciou. Eles têm uma beleza simétrica que fascinou os homens em todos os tempos.
Alguns poliedros regulares eram conhecidos dos antigos egípcios, que os usavam
em sua arquitetura.
O tetraedro, o cubo e o octaedro se encontram na natureza como cristais, por
exemplo sulfoantimoneto de sódio, sal comum e alúmen, respectivamente. Os outros
dois não podem ocorrer na forma de cristais, mas se encontram na natureza como
esqueletos de animais marinhos microscópicos chamados radiolários. Em 1885,
desenterrou-se no monte Loffa, perto de Pádua, um brinquedo de origem etrusca,
com a forma de um dodecaedro regular, que se supõe remontar ao ano 500 a.C.,
aproximadamente.
70
ANEXO IV – Textos históricos (EVES, 1995)
Na antiguidade a Grécia sobrepujava de cabeça e ombros todos os outros povos em
desenvolvimento matemático; durante boa parte da Idade Média o nível da
matemática no mundo árabe era mais alto que no resto. Do Renascimento ao século
dezoito o centro da atividade matemática se deslocou rapidamente – da Alemanha
para a Itália para a França para a Holanda para a Inglaterra. Se as perseguições
religiosas não tivessem obrigado os Bernoullis a deixar a Antuérpia, a Bélgica
poderia ter tido por sua vez; mas a família emigrou para a Basiléia e em
conseqüência à Suíça foi à terra natal de muitas das principais figuras da
matemática do inicio do século dezoito. Mas o matemático mais importante nascido
na Suíça nessa época – ou em qualquer outra – foi Leonhard Euler (1707 – 1783),
que nasceu em Basiléia.
Leonhard Euler, um suíço que nasceu na Basiléia em 1707. Depois de ensaiar uma
carreira no campo da teologia, Euler encontrou sua verdadeira vocação na
matemática. Foi nessa altura que seu pai, um pastor calvinista com pendores para a
matemática, ajudou-o, ensinando – lhe os fundamentos da matéria. O pai, que havia
estudado com Jacob Bernoulli, conseguiu que se filho fosse estudar com Johann
Bernoulli.
Em 1727, quando Euler tinha apenas vinte anos de idade, os irmãos Daniel e
Nicolaus Bernoulli, que pertenciam a Academia de São Petersburgo, recém-criada
por Pedro, o Grande, conseguiram que ele fosse indicado membro da instituição.
Com a volta de Daniel a seu país pouco tempo depois, para ocupar a cadeira de
matemática da Universidade da Basiléia, Euler tornou – se o cabeça da seção de
matemática da Academia.
Após dignificar a Academia de São Petersburgo por quatorze anos, Euler aceitou um
convite de Frederico, o Grande, para chefiar a seção de matemática da Academia de
Berlim. Euler se manteve durante vinte e cinco anos nessa nova atividade, mas sua
simplicidade e modéstia não correspondiam à cintilância e sofisticação que
Frederico admirava daí resultando muitos dissabores para ele nessa sua estada na
71
Prússia. Durante esse tempo continuou a receber uma pensão da Rússia, o que
atesta o alto prestígio que alcançara nesse país.
Em 1735 tinha perdido a visão do olho direito – por excesso de trabalho, ao que se
diz – mas esta infelicidade não diminuiu em nada sua produção de pesquisa. Conta
– se que ele disse que ao que parecia seu lápis o superava em inteligência, tão
facilmente fluíam seus artigos; e ele publicou mais de 500 livros e artigos durante
sua vida. Por quase meio século depois de sua morte obras de Euler continuavam a
aparecer nas publicações da Academia de São Petersburgo. Uma lista bibliográfica
das obras de Euler, inclusive itens póstumos, contém 886 itens; e avalia-se que a
coleção de suas obras, que está sendo publicada sob os auspícios da Suíça,
chegará a perto de setenta e cinco volumes substanciais. Sua pesquisa matemática,
chegava chegava em média a 800 páginas por ano durante toda a sua vida; nenhum
matemático jamais superou a produção desse homem que Arago caracterizou como
“Analise Encarnada”.
O sentimento permanentemente caloroso dos russos para com ele, a par da frieza
da corte de Frederico, levou – no a aceitar, em 1766, um convite de Catarina, a
Grande, para retornar a Academia de São Petersburgo, onde ficaria os dezessete
anos seguintes de sua vida.
Em 1766, ainda soube que estava perdendo a visão do olho que lhe restava devido
à catarata, e preparou – se para a cegueira final praticando escrever com giz numa
grande lousa e ditando para seus filhos. Uma operação foi feita em 1771, e durante
alguns dias Euler enxergou novamente; mas o sucesso não durou e Euler passou
quase todos os últimos dezessete anos de sua vida em total cegueira. Mesmo essa
tragédia não deteve o fluxo de sua pesquisa e publicações, que continuou sem
diminuição até que em 1783, aos setenta e seis anos, ele morreu subitamente
enquanto tomava chá com um de seus netos.
É interessante que em toda a sua carreira longa e variada, nunca ocupou um cargo
de professor.
O matemático suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) descobriu uma importante
relação entre o número de vértice (V), o número de aresta (A) e o número de faces
(F) de um poliedro convexo.
72
O teorema de Euler foi descoberto em 1758. Desde então diversas demonstrações
apareceram na literatura e algumas continham falhas (como a de Cauchy), que
foram descobertas, muitos anos mais tarde. Essas falhas eram devidas à falta de
precisão na definição de poliedro. Mesmo Euler nunca se preocupou em definir
precisamente essa palavra.
Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação:
V – A + F = 2
73
ANEXO V – Exercícios envolvendo o software e origami (BARCELOS,
2005)
Exercícios
1- Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas
realçadas.
Depois, clique em Sólidos Platônicos. Na tela já aparecerá um Tetraedro (um
tetraedro
regular). Com o botão direito (ou esquerdo) do mouse pressionado, movimente o
sólido e:
a) determine:
- o número de faces:___________
- o número de arestas:___________
- o número de vértices:___________
b) planifique o sólido e confira suas respostas.
c) Verifique se V + F = A + 2 (relação de Euler), sendo V o número de vértices, F o
número de faces e A o número de arestas, é válida para o sólido analisado.
2 - Repita a atividade 2 para o hexaedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.
74
ANEXO VI – Construção dos sólidos com o uso de origami
(KAWAMURA, 2001 tradução realizada por SILVA, M.)
Construção dos Sólidos
Platônicos
Com a utilização de Origami
Tetraedro
Dobre ao
meio e
desdobre.
Traga o canto
inferior
esquerdo da
linha central e
dobra.
Certifique-se a
tampa atravessa
o canto inferior
direito.
Traga os dois
pontos
marcados em
conjunto e
dobra
Dobre a
borda.
Dobre a
borda.
75
74
Você precisa
de duas peças
idênticas.
Desdobrar os
de volta para
um quadrado.
Dobre a linha
de vinco
existente.
(Cada
unidade é
diferente!)
Dobre a linha
de vinco
existente.
Dobre e
desdobre.
Dobre e desdobre.
Estes serão os dois
módulos do
Tetraedro.
Insira.
74
76
Levante-se
ao longo das
três linhas
de vinco e
fazer uma
forma de
montanha.
Dobra a aba
até a abertura.
Tetraedro
Completo
.
HexaedroVocê precisa de 6 pedaços de papel quadrado, todas
do mesmo tamanho.
Dobre ao meio.
Dobre a cerca
de linha do
bairro.
Traga o
fundo da
borda até a
outra borda
do papel e
dobre.
77
Desdobre.Este é o módulo
do hexaedro.
Você precisa de
6 módulos.
Bolso
Retalho
Retalho
Insira. Levante ao
longo da linha
dois vincos.
Insira.
Levante ao
longo de uma
linha de
vinco, dobra
em dois
retalhos e
fazer uma
forma de
caixa.
78
Encaixe as
duas abas do
último
módulo.
Hexaedro
completo.
OctaedroVocê precisa de 4 pedaços de papel quadrado, todas do
mesmo tamanho.
Dobre ao meio e
desdobre
Traga o canto
inferior esquerdo
da linha central e
dobra. Certifique-
se a tampa
atravessa o canto
inferior direito.
Traga os dois
pontos
marcados em
conjunto e
dobra.
Dobre a
borda.
79
Dobre a
borda.
Desdobrar de
volta para um
quadrado.
Dobre a linha
existente vinco. Dobre a linha
existente
vinco.
Traga a borda
esquerda da
camada
superior da
borda inferior e
dobra.
Traga a borda
esquerda da
linha do vinco e
dobra
80
Dobre e
desdobre.Dobre e
desdobre.
Este é o
módulo
octaedro.
Você precisa
de 4 módulos.
Bolso
Retalho
Insira.
Inserir os outros dois módulos.
Dobra o
retalho no
bolso e
fazer uma
forma de
copo.
81
Dobra o
retalho no
bolso seguinte
e repita com
as outras três
abas.
Octaedro
Completo.
Dodecaedro
Você precisa de 12 pedaços de papel quadrado, todas
do mesmo tamanho.
Dobre e desdobre.
Faça o mesmo na
outra direção
Dobre a borda
inferior até a linha
de centro e dobre.
Faça o mesmo
com a borda
superior.
Dobre a borda
inferior até a
linha trimestre e
dobra. Faça o
mesmo com a
borda superior.
Dobre a borda
inferior até o
topo.
82
Dobre apenas a camada superior
da frente. Faça o mesmo no verso.Abra o modelo. Os cantos
inferiores se sobrepõem nas
costas.
Traga o canto
inferior direito
até a linha de
centro e dobre.
Desdobrar para trás um quadrado
Traga os quatro
cantos de cada
uma das linhas
de dobras.
Dobre as duas
linhas de vinco.
83
Dobre as duas
linhas de
vinco.
No processo.
Dobre ao meio
e estão
interligadas as
abas.
Traga os dois pontos marcados em
conjunto e dobra.
Traga os dois
pontos
marcados em
conjunto e
dobra
Este é o módulo dodecaedro.
Você precisa de 12 módulos.
Bolso
AbaAba
Fundo
Coloque dois
módulos
inferior para
baixo
84
Insira dois módulos, como
mostrado no diagrama.
Insira um outro
par de módulos.
Insira todos os
outros módulos
da mesma forma,
cada par
alinhado fundo a
fundo.
Dodecaedro
Completo
Icosaedro
Você precisa de 10 peças de papel quadrado, todas
do mesmo tamanho.
Dobre ao meio e
desdobre.
Traga o canto
inferior
esquerdo da
linha central e
dobra.
Certifique-se a
tampa atravessa
o canto inferior
direito.
85
Traga os dois
pontos
marcados em
conjunto e
dobra.
Dobre a borda.
Dobre a borda. Você precisa de 10 peças idênticas.
Desdobre todos eles de volta para um
quadrado.
Tipo A
Dobre a linha de
vinco existente.
Dobre a linha
de vinco
existente.
86
Traga a borda
esquerda da
camada
superior da
borda inferior
e dobra.
Traga a borda
esquerda da
linha do vinco e
dobra.
Dobre e desdobre.
Dobre e
desdobre. Este
tipo A é um
módulo do
icosaedro. Você
precisa de 5
módulos tipo A.
Tipo B
Dobre a linha
de vinco
existente.
Dobre a linha
de vinco
existente.
87
Traga a borda
esquerda da
camada
superior da
borda inferior e
dobra.
Traga a
borda
esquerda da
linha do
vinco e
dobra.
Dobre e desdobre Dobre e
desdobre. Este
tipo B é um
módulo do
icosaedro. Você
precisa de 5
módulos tipo B.
Dobre a aba de um módulo
tipo B no bolso de um
módulo tipo A
Reúna os outros oito
módulos, como
mostrado no diagrama.
88
Dobre o retalho no bolso
do outro lado e fazer uma
forma de cilindro.
Dobre o retalho no
bolso seguinte e
repetir para os
outros nove
retalhos.
Icosaedro
completo.
89
ANEXO VII – Construção dos sólidos com o uso de canudinhos (PAULA,
2009)
90
Construção dos Sólidos
Com o uso de canudinhos
Tetraedro
Hexaedro Octaedro
Icosaedro Dodecaedro
91