estratÉgia baseada em domÍnio de falha composto … · modelos de sistemas estruturais...

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 51, p. 161-178, 2009

ESTRATÉGIA BASEADA EM DOMÍNIO DE FALHA COMPOSTO APLICADA PARA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM GRELHAS DE CONCRETO

ARMADO

Rodrigo de Azevedo Neves1 & Wilson Sérgio Venturini2

R e s u m o Os métodos probabilísticos desenvolvem-se cada vez mais e tendem a servir de referência para a avaliação da segurança nos projetos e verificações de estruturas. Como exemplo, os métodos de simulação têm sido largamente utilizados para prever a segurança estrutural, o que é possível hoje graças à capacidade dos atuais computadores. Porém, mesmo com o enorme progresso da informática, os tempos de processamento ainda são altos, já que as simulações requerem grande quantidade de cálculos. Para ultrapassar estas barreiras surgiram os métodos aproximados de confiabilidade. Dentre eles destaca-se o método da superfície de resposta, que permite realizar eficientes análises de confiabilidade. Na maioria de suas aplicações busca-se o ponto de projeto, que define o ponto de falha mais provável da estrutura. Com a crescente demanda por análises probabilísticas, as aplicações cresceram e hoje se realizam cálculos de confiabilidade de sistemas complexos como a grelha de concreto armado. Nelas os projetistas objetivam otimizar os consumos de material a fim de reduzir custos, levando a uma situação em que vários pontos da grelha tornam-se pontos potenciais de falha, podendo aumento o tempo computacional. Assim, apresenta-se neste trabalho uma proposta de determinação da probabilidade global de falha de uma grelha de concreto armado que considera vários modos de falha possíveis. Um domínio de falha composto foi usado para melhor determinar as probabilidades de falha e reduzir o tempo de cálculo. Palavras-chave: Confiabilidade estrutural. Múltiplos modos de falha. Concreto armado. Análise não-linear.

MULTI-PART FAILURE DOMAIN STRATEGY APPLIED TO REINFORCED CONCRETE GRIDS RELIABILITY ANALYSIS

A b s t r a c t Probabilistic methods have been experiencing a great development and they tend to become reference methods in projecting and verifying civil structures. As an example, we can see the huge expansion of simulation methods to predict structural safety. This growth is only possible due to the great development of the personal computers, seeing that the methods require extensive iterative calculation. However, even with the large computational evolution, the wasted time in processing refined Finite Element Models is still high. To go beyond these difficulties, approximated reliability methods emerged, and between them, we can draw attention to response surface method (RSM), which allows formulating very efficient reliability analysis. In its essence, the main idea of RSM is to search for the most probable failure point. This assumption has shown great results, but, with the increasing exigency for refined structural analysis, models are getting bigger and models like reinforced concrete grids have been widely used. Here, structural engineers seek to optimize concrete and steel weight, searching for the optimum cost. This evidence leads to the failure possibility in several system components, which can once more increase computing time. So, in this work, a new approach of reinforced concrete grid reliability analysis is proposed, accounting many critical cross-section failure probabilities. To reach this goal, a multi-part failure domain was adopted to improve failure probability accuracy and reduce computing time. Keywords: Structural reliability analysis. Multiple failure modes. Reinforced concrete. Non-linear analysis.

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Rodrigo de Azevedo Neves & Wilson Sérgio Venturini


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1 INTRODUÇÃO

Há muito tempo os profissionais da área de Engenharia vêm buscando fornecer uma solução precisa para o problema da segurança de suas estruturas. O uso de modelos não lineares, já bastante difundidos na literatura para representar melhor o comportamento das estruturas, levou a um melhor conhecimento do comportamento estrutural. A principal característica do uso desses modelos é que com a redistribuição dos esforços e danificação dos materiais, certas seções ou elementos respondem de maneira não linear às solicitações externas. Essa redistribuição é verificada nas estruturas hiperestáticas, que constituem a maioria das estruturas correntes de engenharia. Devido ao caráter não linear dos modelos constitutivos dos materiais, eles passam a perder rigidez em certo nível de carga à medida que aumentam as tensões a que estão submetidos. Dependendo do modelo escolhido e do material estrutural, as perdas de rigidez podem começar mesmo com baixas tensões. Tudo isso forma um conjunto de cuidados que devem ser tomados nas fases de projeto e verificação, pois após as devidas tensões de pico os materiais tendem a se deformar muito rapidamente e os colapsos estruturais, da mesma maneira, são bruscos. Assim, com a crescente evolução dos materiais e também a ousadia dos projetistas, os sistemas estruturais projetados e verificados atualmente apresentam uma tendência de se aproximar cada vez mais de seus próprios limites. Tudo isso torna necessário que os níveis de segurança sejam bem conhecidos, o que não é permitido com o uso dos atuais métodos que fazem uso de coeficientes parciais. Não existem ainda códigos que permitam projeto e/ou verificações estruturais baseados em métodos totalmente probabilísticos, o que leva ao desconhecimento dos valores das probabilidades de falha das estruturas correntemente projetadas. Buscando esse melhor conhecimento da segurança, o meio científico encontrou na teoria da confiabilidade uma maneira para tentar diminuir as incertezas com relação às probabilidades de ocorrência de colapsos. Com esta abordagem tenta-se modelar as incertezas das variáveis de projeto por meio de distribuições estatísticas que levem em conta informações disponíveis sobre as variáveis. Enfim, fazendo-se uso de procedimentos matemáticos convenientes são determinadas as probabilidades de falhas dos elementos, seções ou sistemas. Nesse cenário, as aplicações da confiabilidade aplicadas à segurança de estruturas tiveram grandes avanços. Hoje, o assunto é tema de pesquisa prioritário em diversos centros de pesquisa em países desenvolvidos. Historicamente, desde o trabalho de Freudenthal (1947), vêm sendo aperfeiçoados inúmeros estudos no campo da segurança estrutural através da adaptação de técnicas estatísticas. Esse autor tentou desenvolver um estudo onde um coeficiente pudesse comparar dois sistemas distintos. No artigo publicado por Ang & Amin (1968) já foi apresentado um estimador da probabilidade de falha de um sistema através da combinação das probabilidades de seus elementos. Mas, foi no trabalho de Hasofer & Lind (1974) que foram estabelecidas as bases da teoria da confiabilidade da maneira que ela vem sendo estudada e desenvolvida até os dias atuais. Mohamed & Lemaire (1995) expuseram uma análise de confiabilidade de um modelo mecânico complexo com o uso de estados limites e modelos constitutivos lineares ou com trechos linearizados. Lin & Frangopol (1996) publicaram um dos primeiros trabalhos a utilizar a confiabilidade como base para uma otimização de elementos de concreto armado. Nos trabalhos de Imaib & Frangopol (2000) e Frangopol & Imaib (2000) várias contribuições foram concretizadas: eles mostraram o estudo de confiabilidade de estruturas com não-linearidade geométrica utilizando formulação lagrangeana total, e ainda utilizaram acoplamento entre elementos finitos (MEF) e o método de superfícies de resposta (RSM) para determinar a superfície de falha com métodos numéricos para o cálculo das probabilidades de falha. Introduziram ainda dificuldades matemáticas de simulação, como a correlação entre os carregamentos, a correlação entre as resistências e o comportamento frágil e/ou dúctil dos materiais. Soares et al. (2002) realizaram análises de confiabilidade de pórticos de concreto armado com acoplamento MEF-RSM, mostrando resultados do índice de confiabilidade para o modo de falha mais provável. Uma comparação entre técnicas de simulação e as de superfícies de resposta pode ser vista em Neves et al. (2004). Já a tese de Neves (2004) mostrou avanços na tentativa de determinar a probabilidade de falha de um sistema,

Estratégia baseada em domínio de falha composto aplicada para análise de confiabilidade em grelhas de concreto...


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considerando-se outros modos de ruptura diferentes do modo mais provável. Existem ainda inúmeros textos propondo e descrevendo diversas abordagens e formulações para o estudo de confiabilidade estrutural, dentre os quais os trabalhos Mohamed et al. (2001) e Soares (2001) se destacam por tratar de assuntos como calibração de coeficientes parciais de segurança, consideração de correlação estatística, influência da seqüência de aplicação do carregamento, introdução de aleatoriedade no carregamento, otimização baseada em confiabilidade, acoplamento MEF-RSM, técnicas de simulação, redução de variância, dentre outros. Efetuando-se uma simples leitura nos artigos técnicos publicados citados anteriormente ou mesmo em outros nos periódicos relevantes no contexto internacional, pode-se perceber que a comunidade científica trilha um caminho possivelmente irreversível no sentido de abandonar as verificações de segurança baseadas em coeficientes parciais. Conforme já comprovado por renomados pesquisadores, esta prática conduz a índices de confiabilidade não uniformes e geralmente desconhecidos, podendo haver situações anti-econômicas de dimensionamento ou, ao contrário, casos com baixa confiabilidade. Este último fato por si só já constitui motivação suficiente para a realização de pesquisas no assunto. Além disso, ainda não existe uma abordagem definitiva que considere os múltiplos modos de falha estruturais presentes num sistema hiperestático otimizado. Quando o sistema (aqui o sistema é a grelha de concreto armado) tem sua geometria otimizada, numerosas seções tornam-se pontos potenciais de falha e esses modos potenciais de ruptura não devem ser negligenciados, pois a soma de suas probabilidade de falha pode até ser maior do que a probabilidade isolada do modo principal. Neste trabalho foi usado um modelo físico não-linear para representar o comportamento estrutural da grelha de concreto armado. Para a obtenção dos resultados mecânicos da estrutura, traduzidos no coeficiente de carga crítica, utilizou-se o método dos elementos finitos. Um elemento finito de barra usual com função de forma do terceiro grau descrevendo os deslocamentos ao longo do eixo de cada barra foi adotado. O comportamento não-linear dos elementos de concreto armado foi simulado através da introdução de diferentes modelos representativos das respostas dos materiais submetidos à tração e à compressão. Para a solução do sistema não-linear de equações, utilizou-se método do tipo Newton modificado, com matriz secante.

2 METODOLOGIA

A adoção do modelo de grelha para a modelagem de pisos de concreto armado conduz a modelos de sistemas estruturais suficientemente precisos, embora modelagens melhores possam ser obtidas considerando-se os efeitos conjuntos de elementos de barra e placa ao mesmo tempo. Na grelha otimizada os modelos estruturais são caracterizados por um grande número de pontos prováveis de falha em várias seções transversais. Elementos unidimensionais estruturais de concreto armado, tais como vigas, são largamente empregados na prática corrente da Engenharia Civil. Nas últimas três décadas, os modelos para concreto armado progrediram bastante, o que permitiu que os Engenheiros e pesquisadores conseguissem simular melhor o seu comportamento. Numerosos livros e trabalhos técnicos apresentam estudos aprofundados sobre o seu comportamento teórico e modelagem numérica, e os processos usuais de dimensionamento de sistemas e elementos estruturais estão amplamente difundidos. Entretanto, mesmo com a grande quantidade disponível de informações e estudos sobre o seu comportamento mecânico, a modelagem do concreto armado ainda hoje consiste em um campo de pesquisa bastante ativo, tal é a complexidade física e a heterogeneidade do material. Ele apresenta um conhecido comportamento não-linear frente às solicitações a que é submetido; comportamento este governado pelos diferentes fenômenos relacionados aos seus materiais e interação entre eles. Até mesmo em uma modelagem simplificada, assumindo hipóteses simplistas, uma determinação precisa de deslocamentos, deformações e fissuras em estruturas submetidas às ações correntes deve levar em consideração, no mínimo os efeitos de plastificação, perdas de rigidez e contribuição do



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concreto não fissurado. Modelos mais elaborados podem levar em conta os efeitos de aderência na interface aço-concreto (Rossello & Elices, 2004), amolecimento do concreto, interação mecânica entre os agregados, etc.. Essas considerações podem ainda se estender às ações cíclicas, por exemplo, os sismos, introduzindo outros problemas relacionados à degradação do concreto e aos efeitos do carregamento e descarregamento (Kratzig & Polling, 2004). Respostas ainda mais complexas e precisas podem ser baseadas em modelos fundamentados na mecânica da fratura ou na mecânica do dano contínuo. Conforme pode ser verificado na literatura, estes últimas teorias trazem previsões acuradas do comportamento do concreto (Bazant, 2002) e (Scotta et al, 2001). Modelos como o de Ghali & Favre (1986) e Debernardi (1989) provaram ser precisos o suficiente para representar o material. O uso de modelos separados para os dois materiais tem se mostrado como a melhor saída para o problema. Modelos baseados em mecânica do dano, tais como os de Lemaitre (1992) e Lemaitre & Chaboche (1994) são viáveis para descrever com mais precisão a lei constitutiva do concreto (Figura 1). Paralelamente, modelos elastoplásticos com encruamento vem sendo utilizados com sucesso para representar o comportamento do aço (Figura 2). Neste trabalho, o comportamento do concreto no ramo comprimido foi simulado com o modelo publicado no CEB-90, enquanto que o ramo tracionado foi representado com o modelo de Figueiras (1983), por ter a capacidade de simular os efeitos globais de enrijecimento do elemento devidos à contribuição do concreto intacto entre fissuras. Para as barras de armadura de aço, o comportamento foi assumido elasto-plástico com encruamento.

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Strain ‰

Stre

ss(M

pa)

Figura 1 – Diagrama tensão-deformação para diferentes concretos.

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Strain ‰

Stre

ss(M

pa)

Figura 2 – Diagrama tensão-deformação para diferentes aços.



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Depois da escolha do modelo não-linear para os materiais, os esforços resistentes podem ser determinados com precisão através da integração das tensões no domínio da seção transversal. Para a solução desse problema não-linear, o equilíbrio é encontrado iterativamente através de algoritmos conhecidos, do tipo previsão e correção. O procedimento baseado em matrizes secantes assegura a estabilidade da solução frente aos problemas de descontinuidades de tangentes, que existem em razão da presença de inflexões e de funções não-contínuas nos modelos constitutivos adotados para os materiais. O comportamento do material perante às componentes de cisalhamento e torção foi considerado linear, apenas para a manutenção do equilíbrio, o que quer dizer, portanto, que não há aplicação de correção não linear nas direções correspondentes às solicitações tangenciais. Assim, o comportamento do concreto é governado por um critério uniaxial de ruptura baseado na máxima tensão normal presente na seção. Dessa maneira são importantes apenas os cálculos das curvaturas e da posição da linha neutra em uma seção transversal para que se determine unicamente o estado de tensões nessa seção. Esta distribuição de tensões é determinada assumindo-se a hipótese de Bernoulli. Hoje, a técnica mais comum usada para realizar análises de concreto armado é o acoplamento de modelos materiais com o método dos elementos finitos. Um dos aspectos mecânicos mais importantes é a redistribuição de momentos fletores devida à adoção de modelos materiais não-lineares. Modelar corretamente as perdas de rigidez é importante para estimar o comportamento dos elementos. Em relação ao material concreto, um ponto importante é a heterogeneidade de suas propriedades mecânicas, que muito embora sejam assumidas como valores determinísticos, fisicamente não respeitam essa condição de não-variabilidade. Assim, devem-se considerá-las como aleatórias e, portanto, uma análise probabilística deve ser realizada para avaliar a probabilidade de violação de um estado limite qualquer. Na grelha, a principal conseqüência dessa aleatoriedade é a presença de várias seções capazes de se transformar no ponto mais frágil da estrutura. Daí conclui-se que o comportamento intrínseco da grelha de concreto armado leva, por si só, à definição de inúmeros modos potenciais de falha. A abordagem confiabilística proposta no presente trabalho requer a determinação da carga crítica da estrutura, representada pela mínima carga que leva o sistema a atingir um estado limite. A carga encontrada é dividida pelo carregamento aplicado PAPL, de onde se obtém um coeficiente adimensional de carga crítica λ. Seja por exemplo uma seção genérica “i” de um elemento de concreto armado, cuja curvatura é 1/r e a posição da linha neutra define as deformações no concreto e no aço εC (i) e εS (i), conforme mostra a Figura 3:

εs

LN(i)

1r

εc(i)

i

Figura 3 – Seção de concreto armado representativa de um nó qualquer da grelha.

O procedimento para a determinação da carga crítica é executado dividindo-se o carregamento por um fator real η e aplicando-se essas parcelas de carga em incrementos sucessivos, até que seja superada uma deformação limite em uma seção qualquer “i” da estrutura. O fator η pode inclusive ser subdividido para aumento da precisão na deformação última, já que ela é extremamente sensível aos incrementos de carga na região próxima ao seu limite. A carga crítica fica então definida da seguinte maneira:



166

ULT APL

c cULT s sULT

P Ponde / (i) (i) ou (i) (i)

= λ×λ ∈ℜ ε = ε ε = ε

(1)

onde as deformações limite são escolhidas para todas as “i” seções conforme segue:

cULTSeções

sULT

(i) 0,35%i 1, N

(i) 1,00%ε = − ⎫

=⎬ε = ⎭ (2)

Depois de esquematizados os principais pontos do modelo mecânico usado, na seção seguinte apresenta-se a teoria para cálculo da probabilidade de falha da grelha de concreto armado com a utilização da técnica proposta.

3 DESENVOLVIMENTO

3.1 Generalidades sobre confiabilidade estrutural

O trabalho dos pesquisadores que buscam as modelagens com métodos baseados em teoria da confiabilidade é árduo: de um lado eles necessitam de numerosas chamadas aos modelos de elementos finitos para a aplicação de suas técnicas; do outro existem estudantes, engenheiros, profissionais e também pesquisadores tentando modelar estruturas cada vez maiores e mais complexas, com milhares de graus de liberdade, buscando simular da maneira mais fiel possível os fenômenos naturais através de seus softwares, tornando cada vez mais lenta a determinação computacional de uma resposta estrutural. O que se constata, porém, é que mesmo com as dificuldades adicionais geradas para o uso de métodos confiabilísticos, o embasamento matemático e a quantidade de benefícios aportados pela confiabilidade são tais, que a previsão da segurança estrutural por meio do acoplamento de métodos numéricos com essas devidas técnicas se faz cada vez mais presente no meio técnico e científico. A confiabilidade estrutural é definida estritamente como a probabilidade que uma estrutura tem de desempenhar a função para a qual foi designada, ao longo de toda a sua vida útil. A sua definição matemática é:

fR 1 P= − (3)

onde Pf denota uma probabilidade de falha durante a vida útil, caracterizada por uma situação onde se atinge algum estado limite pré-estabelecido. Portanto, estatisticamente, a confiabilidade é o evento complementar à probabilidade de falha. Como geralmente os valores da confiabilidade são grandes, usa-se trabalhar com a probabilidade de falha, que nos casos de estruturas civis é um valor normalmente compreendido entre 10-7 e 10-3. Inúmeros fatores contribuem para o desempenho de uma estrutura, como por exemplo, a geometria, as ações, a quantidade e o posicionamento de armaduras, etc. Essas são normalmente as variáveis de projeto. O que o estudo da confiabilidade vai dizer é qual a chance de existir uma combinação dessas variáveis de projeto que conduz o sistema a uma situação de estado limite. Para isso deve-se iniciar posicionando todas as variáveis de projeto em um espaço cartesiano, onde se sabe que uma região desse espaço concentra pontos que atendem todas as exigências do projeto. Nessa região a estrutura está segura. Na região complementar a essa, nem todos aqueles requisitos são atendidos, o que acontece em virtude das incertezas inerentes às variáveis de projeto. Somando-se as regiões do espaço que não atendem aos requisitos de projeto, virá a definição matemática da probabilidade de falha. Atribuindo-se distribuições estatísticas convenientes para as variáveis de projeto, denotam-se por Xi i=1,2...n essas “n” variáveis para as quais deveremos



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considerar as incertezas. Uma situação qualquer (evento probabilístico) ou realização será denominada de xi. A associação de uma variável a uma distribuição estatística pode ser feita através de estudos estatísticos, de observações físicas, de análises de laboratório, ou apenas através da opinião de especialistas. Cabe observar, porém, que a qualidade da informação disponível e da aproximação escolhida reflete diretamente na precisão dos resultados. Em seguida, desenvolve-se o método da seguinte forma: se existem duas regiões complementares, existe então uma função G(xi), desconhecida a priori, que mede a resposta estrutural do sistema e determina se a realização xi pertence ou não ao conjunto de pontos que satisfazem os requisitos de segurança. Ela é chamada de função de desempenho e divide o espaço das variáveis de projeto nessas duas partes: uma dessas regiões, onde G(xi)>0, convencionou-se chamar de domínio seguro. Já a zona onde a equação G(xi)<0 é satisfeita é chamada de domínio de falha, simbolizado por ΩF. Todos os pontos xi que pertencem a esta região conduzem a estrutura a um estado limite. A fronteira entre estas duas regiões contém os pontos que satisfazem à relação G(xi)=0. Essa fronteira é chamada de função de estado limite. Essa definição constitui um importante conceito no estudo de confiabilidade, e constitui a função citada no início do parágrafo. Na definição do modelo estatístico assume-se ainda a hipótese já mencionada de representar as variáveis cujas incertezas desejam-se considerar, por meio de distribuições estatísticas convenientes. A modelagem ideal é o uso de uma função conjunta de distribuição de freqüências que possa representar todas as variáveis de projeto ao mesmo. A probabilidade de falha será calculada somando-se os pontos sob esta curva que não satisfizerem todas as restrições de projeto:

( )( )1 2 n

F

f X ,X ,...,X 1 2 n 1 2 nP f x , x ,..., x dx ,dx ,..., dxΩ

= ∫ (4)

em que ( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nf x , x ,..., x é a função conjunta de densidade de probabilidades.

Uma das maiores dificuldades da abordagem estatística da segurança é justamente o cálculo da integral acima, pois em geral não existe informação suficiente disponível sobre a função conjunta das variáveis de projeto. Além disso, o valor resultante de Pf em geral é muito pequeno, o que às vezes torna os métodos de simulação pouco eficientes. Assim, vários métodos aproximados foram propostos com o intuito de fornecer um índice de confiabilidade para obter um estimador adequado de Pf. Este índice avalia o nível de segurança da estrutura, além de estar diretamente relacionado com a probabilidade de falha e permite uma comparação entre níveis de segurança de sistemas totalmente diferentes, dado o seu caráter adimensional.

3.2 Métodos confiabilísticos

Os métodos disponíveis para a análise de confiabilidade podem ser classificados em três grupos: analíticos, de simulação e aproximados. O primeiro grupo de métodos é capaz de solucionar poucas situações e tem caráter estritamente acadêmico, sendo normalmente usados para a compreensão de conceitos gerais. O segundo grupo refere-se aos métodos de simulação, que podem englobar métodos tais como Monte Carlo, Algoritmos genéticos e outros. Na teoria, esse conjunto de métodos permite o cálculo da probabilidade de falha de qualquer problema, com quaisquer hipóteses ou complexidade de função de estado limite, porém, apresentando uma convergência lenta em problemas com valores baixos de Pf, ou grande número de variáveis de projeto. Normalmente são feitas muitas chamadas ao modelo de elementos finitos, inviabilizando a solução de muitos problemas reais. Entretanto, em razão de sua forte robustez, traduzida pela capacidade de conduzir ao mesmo resultado independentemente da complexidade do problema, esse conjunto de métodos ainda é muito utilizado. Além disso, as perspectivas do meio técnico apontam para um uso cada vez maior de simulações, sempre no sentido de calibrar métodos numéricos aproximados. Os métodos do terceiro grupo são largamente empregados atualmente, com o intuito de transpor as dificuldades



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computacionais impostas pelos cada vez mais refinados modelos mecânicos. Dentre esses métodos, conforme já mencionado, destaca-se o método da superfície de resposta (RSM), que fornece rápida e eficiente aproximação de Pf. Na grande maioria dos casos a falha de um sistema estrutural não pode ser escrita em termos de uma função explícita das variáveis aleatórias, sendo que apenas uma definição implícita da função de estado limite é possível. Mesmo em casos mais simples, onde a representação da superfície é possível, a aproximação numérica implícita pode ser mais conveniente pelo caráter generalista que fornece ao procedimento. A solução pode ser obtida com a construção da superfície de resposta baseada em um certo número de realizações do modelo mecânico, aproximando a função de estado limite na vizinhança do ponto de projeto. Constata-se facilmente na literatura especializada que o uso de superfícies de resposta em confiabilidade não é recente, mas fica claro que mais estudos são necessários para contribuir com os avanços em termos de eficiência, performance, e generalidade da técnica. A grande vantagem do RSM é permitir a construção rápida de uma função de estado limite e a determinação do ponto de projeto, ambos desconhecidos a priori. Isso é feito por meio da substituição da função de estado limite real por hipersuperfícies aproximadoras em torno da vizinhança do ponto de projeto em um processo iterativo. Este procedimento torna a busca do ponto de projeto bastante simples, rápida e eficiente, já que a superfície real é substituída por um simples polinômio. Faz-se uso de uma transformação isoprobabilística, como indicada na Figura 4, para a definição do ponto de projeto como o ponto P*, situado no espaço de variáveis transformadas, onde a ocorrência de uma falha é mais provável. Nessa abordagem, esse ponto define que a probabilidade de falha do sistema é igual à probabilidade do seu ponto mais frágil. Aqui, os outros modos de falha são negligenciados em favor da probabilidade obtida com o ponto de projeto.

x2

0

Domínio de falha

10

2

P *i( ) = 0

x1

i( ) = 0x

( )xf

Domínio de falha

i

( )ui

Figura 4 – Transformação isoprobabilística do espaço físico para o espaço normalizado.

A definição de um índice adimensional para medir a segurança foi introduzida por Hasofer & Lind (1974), que propuseram trabalhar no espaço de variáveis gaussianas independentes, ao invés de fazê-lo no espaço das variáveis físicas. Com esta transformação, o trabalho em questão mostrou que o índice é invariável e vem sendo utilizado com sucesso até hoje, o que para os autores indica que o índice de Hasofer & Lind deverá realmente se firmar como uma unanimidade na comunidade internacional. A transformação isoprobabilística do espaço físico Xi para o espaço normalizado Ui dá-se por meio da expressão:

( )i i iU T X= (5)

No novo espaço, a função de desempenho tem a seguinte forma:



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( ) ( )( ) ( )1i i i iG X G T U H U 0−= ≡ = (6)

Para traçar as superfícies de resposta, é necessário que se lance mão da análise da estrutura em um conjunto de situações pré-definidas, que é denominado de plano de experiência (PE), conceito que não é recente e é advindo da teoria de planejamento de experimentos. Esse conjunto é o principal fundamento do RSM. Cada ponto do plano será responsável por uma resposta mecânica do modelo de elementos finitos. Tendo-se em mãos o conjunto de pontos e as devidas respostas mecânicas, constrói-se a superfície de resposta, calculando-se os coeficientes de seu polinômio por meio de técnicas de aproximação de pontos a superfícies. Adotou-se a técnica dos mínimos quadrados. A superfície é escrita em função das variáveis de projeto e dos coeficientes obtidos nesta regressão.

O índice de confiabilidade β pode então ser definido como a mínima distância entre a origem e o domínio de falha no espaço normalizado. Esta distância, bem como a sua direção define o ponto P*, mostrado na Figura 4, que é o chamado ponto de projeto, onde ocorre a maior probabilidade de falha. De acordo com essa representação física, o índice de confiabilidade β é calculado através da solução do seguinte problema de otimização restrita:

( )

( )

2i

i

i

min u

Sujeito a G u 0

β =

≤

∑ (7)

Para a solução deste problema um dos algoritmos mais conhecidos no campo da confiabilidade é o algoritmo de Rackwitz & Fiessler (1978). Este método não é sempre aplicável, pois é falho em alguns casos que dependem da forma da superfície de resposta e da continuidade de suas derivadas. No presente estudo não existem problemas deste tipo. Embora o algoritmo requeira o cálculo das derivadas parciais da função de falha, o que poderia elevar o tempo computacional, ele apresenta rápida convergência, pois se utiliza de polinômios simples e conhecidos. Depois de determinado o ponto de projeto P*, deve-se calcular a probabilidade de falha Pf. Para esta operação utilizam-se também métodos aproximados. A chamada aproximação em primeira ordem para Pf é obtida substituindo-se a função de estado limite no ponto P* por um hiper-plano tangente. Na literatura, essa aproximação é chamada de First Order Reliability Method (FORM). A probabilidade Pf é aproximada por:

( )fP ≈ Φ −β (8)

onde Φ(•) é a função de distribuição normal cumulativa. A precisão da aproximação FORM depende da curvatura da função de estado limite na vizinhança de Pf. Aproximações melhores podem ser obtidas levando-se em conta essa curvatura, hipótese básica do Second Order Reliability Method (SORM). O erro na aproximação FORM e sua relação com a segurança da aproximação dependem da concavidade da superfície de ruína. Se esta for côncava, a aproximação é a favor da segurança e vice-versa. Normalmente uma aproximação desse tipo é suficiente se a curvatura da superfície de ruína e a probabilidade de ruína têm valores pequenos. Como na prática geralmente ocorrem casos como esses, a aproximação FORM é bem aceita e correntemente utilizada. A idéia do RSM é construir uma aproximação polinomial da função de estado limite, seja no espaço físico G(xi) ou no espaço normalizado H(ui). A escolha de uma superfície de grau dois é aconselhável porque ela permite o cálculo de curvaturas e evita as oscilações inerentes aos polinômios de ordem mais elevada. Por simplificação escolheu-se construir a aproximação diretamente no espaço normalizado. A aproximação para a superfície H(ui) é dada por um polinômio completo do tipo:



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N N N

i i i ij i ji 1 i 1 j i

H(u ) c b u a u u= = =

= + +∑ ∑∑ (9)

onde c, bi e aij são constantes a serem determinadas. H(ui) é definida por pelo menos [(N+1)(N+2)/2] pontos, mas normalmente um grande número de pontos é tomado e a aproximação é obtida por mínimos quadrados. Dois passos são considerados essenciais: A escolha de um modelo mecânico adequado para representar a resposta estrutural, já descrito no item 2, e a seleção do PE conveniente que forneça uma representação precisa das variações do comportamento mecânico. A convergência do algoritmo de busca é diretamente relacionada à qualidade do PE selecionado. Recomenda-se também o uso de um procedimento iterativo para aumentar a precisão na busca do ponto de projeto. Na literatura técnica podem ser encontradas numerosas propostas de PE. Cabe observar que o uso de um único PE para qualquer modelo estrutural é praticamente impossível, devendo-se analisar a melhor opção de PE em cada caso. A Figura 5 mostra os PE usados no presente estudo. O PE estrela é obtido calculando-se duas respostas mecânicas simétricas para cada variável. O PE hiper-cubo apresenta dois níveis para cada variável. O PE fatorial completo tem três níveis de mapeamento para cada variável. O PE mínimo corresponde ao número mínimo de pontos obtidos na resposta numérica que permite definir unicamente os coeficientes de um polinômio quadrático completo. O PE composto é obtido a partir de uma fusão do PE estrela com o PE hiper-cubo, permitindo cinco níveis diferentes de experimentação para cada variável.

Estrela Hiper-Cubo Fatorial Completo

Mínimo Composto

Figura 5 – Planos de experiência para 3 variáveis aleatórias.

O procedimento assim se sucede: na iteração “k”, constrói-se a superfície de resposta aproximando-a pelo número de respostas requeridas pelo PE escolhido para representar H(ui). A equação H(ui)=0 permite a determinação de um β(k), além de um ponto de projeto ui*(k) com o uso do algoritmo de Rackwitz-Fiesler. Em seguida constrói-se um novo polinômio na iteração “k+1” a partir da determinação da função implícita situada na vizinhança de ui*(k).Várias iterações permitem que seja obtida uma aproximação do índice de confiabilidade e do ponto de projeto. O problema geral de análise de confiabilidade utilizando o RSM, conforme descrito na Figura 6, resume-se em três passos: Inicialmente é escolhido o conjunto de pontos do plano de experiência e obtém-se uma reposta estrutural para cada um dos pontos, assumindo-se uma distribuição estatística para cada variável estrutural. Em cada resposta mecânica, encontra-se um ponto no espaço físico ou normalizado. O conjunto desses vários pontos permite a construção da superfície de reposta. O segundo passo consiste em aplicar o algoritmo de otimização no espaço normalizado para encontrar o



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ponto P*. A distância deste ponto à origem é o índice de confiabilidade β. Depois de determiná-lo, o passo final é resolver a integral da Eq. (4). Uma boa aproximação pode ser obtida com um dos métodos FORM/SORM. Outras dificuldades podem ser encontradas se as correlações estatísticas entre as variáveis de projeto forem consideradas ou se distribuições não gaussianas forem adotadas. É possível que surjam dificuldades adicionais relacionadas à forma da função de estado limite, como por exemplo, o caso onde ela se aproxima de uma hiper-esfera, onde todos os pontos são mínimos.

Elementos Finitos

Plano de Experiência

Superfície de Resposta+

Algoritmo de Otimização

+

Form / Sorm

+

Ponto ui

Índice βProbabilidade

de falha

Figura 6 – Procedimento geral para análise de confiabilidade com RSM.

No presente caso, a definição da resposta mecânica é feita de acordo com as expressões descritas em Eq. (1) e Eq. (2). Como foi imposta uma variação estatística para as variáveis de projeto, a resposta estrutural passa a depender dos pontos do PE. A carga crítica é dada pela Eq. (1) modificada:

ULT i APLP (x ) P= λ × (10)

A função de estado limite, necessária para definir os domínios de falha e segurança, pode ser escrita tanto no espaço físico como no espaço normalizado:

i ULT i APL i APL APLG(x ) P (x ) P (x ) P P 0= − = λ × − = (11)

i iH(u ) (u ) 1 0= λ − = (12)

3.3 Múltiplos estados limites

No presente estudo, a consideração de múltiplos modos de ruptura foi realizada a partir da introdução de várias funções de estado limite, formando um domínio de falha composto de sub-áreas. Cada uma das curvas de estado limite corresponde a um modo de falha. Estas curvas são construídas de maneira independente, a partir da imposição de se atingir a deformação limite apenas nos modos escolhidos. Computacionalmente o processo é feito negligenciando-se as deformações limite atingidas nos modos diferentes do desejado e com o conjunto dessas funções constrói-se o domínio composto. Obviamente este domínio não corresponde ao domínio exato de falha, mas, sem dúvida, é uma aproximação melhor do que aquelas obtidas com métodos FORM/SORM, visto que ele define uma região mais precisa. Propõe-se neste trabalho que a probabilidade final de falha seja calculada através de métodos de simulação sobre esse domínio composto. O tempo ganho é significante na maioria dos casos, já que as simulações são testadas com polinômios simples, contrapondo-se às custosas simulações feitas diretamente com o uso de refinados modelos de elementos finitos.



172

Uma outra observação importante é que o índice de confiabilidade pode ser calculado separadamente para medir a importância de cada modo de falha de maneira isolada. Este procedimento permite a seleção dos modos de falha importantes para a simulação, já que apenas as “n” primeiras funções de estado limite são consideradas. O valor de quantos “n” modos deve-se escolher, fica a determinar, conforme a importância dos modos secundários, o que introduz certa subjetividade à análise, pois esse número depende da sensibilidade do analista. Os autores sugerem que sejam feitos testes para medir a sensibilidade do modelo ao tamanho dessa amostra. Além disso, sabe-se que as probabilidades decrescem muito rapidamente com a distância da origem do espaço normalizado e por isso a escolha criteriosa de “n” pode evitar simulações desnecessárias. Um critério razoável, sugerido pelos autores, é descartar os modos secundários cujos índices de confiabilidade conduzam a probabilidades menores do que 10-3 vezes a probabilidade obtida com o primeiro modo. Na próxima seção, pode-se observar um exemplo simples mostrando o uso da confiabilidade para a determinação da probabilidade de falha de um sistema.

4 RESULTADOS OBTIDOS

4.1 Viga com dois modos de falha

Para demonstrar uma aplicação do uso de estados limites múltiplos em um sistema simples, uma viga como a da Figura 7 foi utilizada. Por simplificação não se discretizou a viga ao longo do comprimento. Assim, o modelo apresenta somente um elemento finito cujo carregamento consiste em dois momentos fletores concentrados em suas extremidades. Para possibilitar o traçado dos diagramas, foram consideradas apenas duas variáveis aleatórias, o que permite construir e visualizar em duas dimensões as funções de estado limite. Admitiu-se que a viga apresenta um concreto com distribuição estatística gaussiana igual em todo o seu comprimento, com uma média denotada por fC e um desvio padrão σC. Da mesma maneira, a armadura também foi considerada constante e igual ao longo do comprimento, com distribuição gaussiana de média fY e desvio padrão σY. Os coeficientes de variação do concreto e do aço foram tomados como de 18% e 12% respectivamente. Dois modos de falha foram considerados: o esmagamento do concreto e o escoamento do aço. Nesse exemplo a superfície de reposta foi traçada a partir de planos de experiência e para isso um PE composto foi escolhido. Os dados adicionais utilizados no exemplo estão descritos na Tabela 1:

Aço

ConcretoL

MM

Figura 7 – Viga do exemplo.

A análise mecânica da viga indicou falha ocorrendo nos dois modos de ruptura escolhidos. Dependendo das resistências do aço e do concreto fornecidas pelos pontos do plano de experiência, a redistribuição de esforços internos conduziu a diferentes seqüências de falha, ora por escoamento da armadura, ora por esmagamento do concreto.



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Tabela 1 – Dados do exemplo

Parâmetro Parâmetro

L 1.000,0 mm As Sup 17 φ10mm

f y 500,0 N/mm2 d 875,0 mm

f c 30,0 N/mm2 ε slim 0,0100

E y 210.000,0 N/mm2 ε clim -0,0035

b 120,0 mm σ y 60,0 N/mm2

h 1.000,0 mm σ c 5,4 N/mm2

M 250.000.000,0 N.mm Grau 2

Valor Valor

Inicialmente foi realizada a análise sem considerar os múltiplos estados limites. Isso foi realizado para permitir a realização de uma comparação entre as duas abordagens, pois, devido ao grau de dificuldade dos modelos mais refinados, não foram realizadas comparações com maior complexidade. O ponto de projeto foi encontrado com onze chamadas ao modelo de elementos finitos. Como o plano de experiência escolhido necessita de nove respostas mecânicas iniciais, conclui-se que durante o algoritmo dois pontos foram substituídos por pontos mais próximos à função. As linhas de isovalores da função de desempenho adimensional H(ui) podem ser vistas na Figura 8, traçadas no espaço normal padrão. A variável u1 corresponde ao concreto e a variável u2 ao aço. Nomeou-se a curva onde H(ui) = 0 de função de estado limite envoltória, já que a probabilidade obtida é a do modo preponderante.

Figura 8 – Isolinhas da superfície de resposta no espaço normalizado.



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O cálculo do índice de confiabilidade foi efetuado através do algoritmo de Rackwitz & Fiessler. Com esse algoritmo é possível também determinar as coordenadas do ponto de projeto indicado acima, que corresponde à mínima distância da curva H(ui) = 0 à origem. A Tabela 2 indica as coordenadas do ponto de projeto P* e o valor do índice de confiabilidade:

Tabela 2 – Resultados da análise de confiabilidade

Índice β 4,423

u 1 = -1,515

u 2 = 4,155Coordenadas do ponto de projeto

O índice de confiabilidade encontrado foi de aproximadamente 4,423, correspondente a Pf = 0,00000487 para uma aproximação FORM. As coordenadas do ponto de projeto mostram que a segurança da estrutura é mais sensível às variações na resistência do aço, pois a variação do índice de confiabilidade é maior com relação à variável u2. Esse fenômeno é também devido à redistribuição de esforços, já que os valores da carga última do sistema são mais sensíveis às variações no valor da resistência do aço, interferindo na forma da função de estado limite. A interpretação física da probabilidade de falha é o significado concreto de toda análise probabilística. Além da sensibilidade já contida nas informações dos co-senos diretores do ponto de projeto, o número obtido nos informa que aproximadamente 487 em cada 100.000.000 de combinações possíveis para o par formado pela resistência do concreto e resistência do aço conduzirão a estrutura a uma situação de falha.

Figura 9 – Funções de estado limite dos múltiplos modos de falha.



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Depois da realização da análise com um estado limite único, deseja-se determinar qual a diferença na confiabilidade se vários estados limites forem considerados. Assim, realizou-se em seguida a abordagem proposta no presente trabalho, onde se consideram os múltiplos estados limites. Nesse exemplo, a determinação das curvas foi realizada com o emprego da imposição de ruptura segundo um determinado modo com o uso de planos de experiência, conforme descrito na tese de Neves (2004). Isso leva à construção de uma função de estado limite para cada um dos modos, conforme pode ser visto na Figura 9. As superfícies são adimensionais. As equações das três funções foram estabelecidas conforme a Eq. (13):

2 2Env 2 2 1 1 2 1

2 2Y 2 2 1 1 2 1

2 2C 2 2 1 1 2 1

H 0.7142 - 0.1746u - 0.0054u -0.0059u -0.0160u u - 0.0056u 0

H 0.7687 0.1741u - 0.0011u -0.0130u -0.0054u u +0.0018u 0

H 0.7123 0.1733u +0.0066u -0.0054u -0.0171u u +0.0059u 0

= =

= + =

= + =

(13)

onde as funções HEnv, HC e HY representam, respectivamente, as funções de estado limite envoltória, do concreto e do aço. Fica evidente ao observar-se a Figura 9 que o domínio de falha definido pelas curvas de estado limite do aço e do concreto é mais preciso do que aquele determinado pela envoltória dos modos. A função de estado limite envoltória não consegue contemplar a área destacada com hachuras inclinadas, ao passo que o domínio composto é capaz de fazê-lo. Em seguida, em uma segunda fase de simulações, foram processadas 108 realizações, gerando-se pontos aleatoriamente no espaço das variáveis normalizadas, levando-se em conta o domínio de falha limitado pelas funções HC e HY. O valor calculado para a probabilidade de falha final da viga foi de Pf = 1,683x10-5, que é cerca de 3,5 vezes maior do que o valor obtido com a aproximação FORM. Conforme mencionado anteriormente, o tempo computacional dispensado é uma das barreiras no estudo da confiabilidade de modelos mais complexos. No presente exemplo, o tempo gasto na obtenção das curvas de estado limite individuais é aproximadamente o produto do tempo de gasto para o traçado de um estado limite pelo número de curvas a ser considerado. Isso quer dizer que em relação à análise com um estado limite, o algoritmo demanda mais tempo. Porém, na segunda fase da simulação, onde foram realizadas as 108 realizações no domínio composto, o ganho de tempo é extraordinário. Isso porque que cada reposta mecânica proveniente do modelo de elementos finitos deste exemplo consome em média três segundos e com isso o tempo consumido para realizar as simulações da segunda fase através de um modelo baseado em elementos finitos seria extremamente alto, enquanto que a segunda fase de simulações da presente proposta foi realizada em um tempo de apenas três horas. Além desse ganho de tempo a precisão obtida na determinação do domínio de falha foi melhor e a possibilidade de processamento de modelos mais complexos torna-se mais factível.

5 CONCLUSÕES

O uso da teoria da confiabilidade aplicada às estruturas consiste em uma tentativa de se considerar as incertezas presentes nas variáveis envolvidas no projeto. Há hoje uma grande tendência para a diversificação das aplicações de confiabilidade em vários ramos da ciência e a Engenharia de Estruturas, em particular, inicia no uso de modelos baseados em confiabilidade para realizar a previsão das probabilidades de falha de seus sistemas. Além disso, existe também uma forte tendência à realização do acoplamento de processos de otimização com índices de confiabilidade para a realização de projetos e verificações otimizadas, ambos submetidos a índices de confiabilidade pré-estabelecidos.



176

Na abordagem com um estado limite único, o ponto de projeto denominado de P* é o ponto de falha mais provável e a sua falha representa a falha do sistema. Em estudos anteriores verificou-se que o estado limite único representa uma envoltória dos estados limites dos modos de falha secundários e por isso não permite que as probabilidades desses modos sejam levadas em consideração. Esse método é bastante utilizado e fornece boas aproximações do índice de confiabilidade, como visto na literatura. Para as grelhas (ou outras estruturas otimizadas), no entanto, o inconveniente maior da técnica é que uma perturbação em qualquer das variáveis modifica o cenário de falha, isto é, a seção e o tipo de ruína. Isso ocorre principalmente em razão da otimização de seções e armaduras feitas por projetistas. Já na presente abordagem, o uso de estados múltiplos conduziu a uma obtenção mais precisa da probabilidade de falha, pois o domínio de falha foi definido de uma maneira mais refinada do que com o emprego de aproximações em primeira ou segunda ordem. A técnica aqui utilizada para o cálculo da confiabilidade permitiu a seleção dos modos de falha mais importantes e conduziu a resultados coerentes da probabilidade de falha do sistema. Além disso, seleção realizada acarretou um grande ganho de tempo de processamento, uns dos maiores entraves dos métodos de simulação hoje. A vantagem da simulação feita no presente trabalho em relação ao Monte Carlo puro é que ela é realizada apenas sobre polinômios e não sobre modelos mecânicos complexos, o que permite o processamento de exemplos maiores. Mais ainda, o procedimento mostrou-se bom do ponto de vista da generalização da técnica, pois forneceu resultados coerentes mesmo com elevado número de variáveis aleatórias, conforme pode ser constatado na tese de Neves (2004). Pode-se afirmar ainda que essa abordagem permite uma extensão para a determinação de probabilidades de falha de sistemas de modo global, podendo-se avaliar as probabilidades globais de colapso (isso não foi realizado neste trabalho). Acredita-se que essa contribuição pode ser rapidamente incorporada definindo-se as regiões cujas intersecções conduzem a estrutura a essa situação. A rigor, como a teoria da confiabilidade se constitui em uma ferramenta estritamente matemática, ela pode ser acoplada a qualquer modelo mecânico baseado em qualquer hipótese cinemática e em problemas dependentes ou não de sua variação no tempo. Por todo o exposto, pode-se concluir que a consideração de incertezas através das devidas associações estatísticas para o cálculo da confiabilidade consiste em um tema atual, relevante e está se tornando uma das linhas de pesquisa mais procuradas nos grandes centros de pesquisa mundiais, e deverá em breve fazer parte de procedimentos usuais do meio técnico.

6 AGRADECIMENTOS

Agradecemos à FAPESP pelo apoio financeiro durante o Doutorado no Brasil, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada, e ao CNPq, pelo fomento da bolsa de doutorado-sanduíche na França.

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