ILUSTRAÇÕESFigura 1 - Modelo Baldista Slide 1..................................................................................36Figura 2 - Modelo Baldista slide 2...................................................................................36Figura 3 - Transformação: Tratamento e conversão......................................................48Figura 4 - Exemplo do tratamento por pontos................................................................68

i

QUADROSQuadro 1- Principais registros em Duval........................................................................49Quadro 2- Quadro de congruência / não – congruência.................................................53Quadro 3- Quadro de Duval convergência semântica( Figura 4 de Duval (2003, p.19). 58Quadro 4- Quadro de Duval (1998b, p. 240) apud Moretti (2003, p. 152)......................59Quadro 5-Quadro da relação de modificação entre as representações.........................60Quadro 6- Quadro de Congruência / não-congruência (Igliori & Godoy)........................61Quadro 7 - Quadro de diagnose de fragmentação.......................................................108Quadro 8-Quadro de definição de Anton......................................................................125Quadro 9- Quadro da fragmentação na definição........................................................127Quadro 10 Quadro da sumarização de definição por página.......................................129

ii

TABELASTabela 1- Tabela do cronograma das atividades............................................................29Tabela 2-Tabela exemplificativa.....................................................................................62Tabela 3- Diagnose da distribuição das definições no ensino de gráficos de funções.129Tabela 4- Tabela da primeira questão (item a).............................................................167Tabela 5-Tabela da primeira questão (item b)..............................................................168Tabela 6-Tabela da primeira questão (item c)..............................................................169Tabela 7-Tabela da primeira questão (item d)..............................................................169Tabela 8Tabela da primeira questão (item e)...............................................................170Tabela 9-Tabela da primeira questão (Item e)..............................................................171Tabela 10-Tabela da primeira questão (Item f).............................................................172Tabela 11-Tabela da primeira questão (item g)............................................................173Tabela 12-Tabela da primeira questão (Item h)............................................................173Tabela 13-Tabela da segunda questão (Item 1)...........................................................174Tabela 14-Tabela da segunda questão (item 2)...........................................................175Tabela 15-Tabela da segunda questão (item 3)...........................................................175Tabela 16-Tabela da segunda questão (item 4)...........................................................176Tabela 17-Tabela da segunda questão (item 5)...........................................................177Tabela 18-Tabela da segunda questão (item 6)...........................................................177Tabela 19-Tabela da segunda questão (item 7)...........................................................179Tabela 20-Tabela da segunda questão (item 8)...........................................................180Tabela 21-Tabela da terceira questão (expressão 23).................................................181Tabela 22- Tabela incluindo intuitivamente certo.........................................................184Tabela 23- Tabela da primeira questão dos dados comparativos (Item a)...................189Tabela 24-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item b)....................190Tabela 25-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item c)....................190Tabela 26-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item d)....................191Tabela 27-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item e)....................191Tabela 28-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item f).....................192Tabela 29-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (Item g)....................193Tabela 30-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item h)....................194Tabela 31-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item I).....................194Tabela 32-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 1)...................196Tabela 33-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 2)...................196Tabela 34-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 3)...................197Tabela 35-Tabela comparativa da segunda questão (item 4).......................................197Tabela 36-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 5)...................198Tabela 37-Tabela explicativa de extremo local.............................................................199Tabela 38-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 6)...................199Tabela 39-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 7)...................200Tabela 40-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 8)...................201Tabela 41-Tabela da terceira questão dos doados comparativos (Primeiro item)........202

iii

EXPRESSÕESExpressão 1 - Exemplo de Função polinomial fracionária................................................1Expressão 2 – Um exemplo genérico de TL no 2 ..........................................................4Expressão 3- Exemplo de uma transformação linear.......................................................4Expressão 4- Transformação do R2 no R2........................................................................6Expressão 5....................................................................................................................21Expressão 6....................................................................................................................21Expressão 7....................................................................................................................21Expressão 8....................................................................................................................45Expressão 9....................................................................................................................66Expressão 10..................................................................................................................75Expressão 11..................................................................................................................75Expressão 12..................................................................................................................75Expressão 13..................................................................................................................76Expressão 14..................................................................................................................76Expressão 15..................................................................................................................76Expressão 16..................................................................................................................79Expressão 17..................................................................................................................79Expressão 18..................................................................................................................79Expressão 19................................................................................................................102Expressão 20................................................................................................................157Expressão 21................................................................................................................157Expressão 22................................................................................................................157Expressão 23................................................................................................................181Expressão 24................................................................................................................181Expressão 25................................................................................................................181

iv

Gráfico 1- Coeficiente angular. Fonte: Thomas & Wesley (2002).....................................2Gráfico 2- Coeficiente angular..........................................................................................2Gráfico 3- Exemplo hipotético...........................................................................................3Gráfico 4- O produto em uma transformação linear.........................................................5Gráfico 5-Gráfico da transformação 4...............................................................................7Gráfico 6-Observação da área........................................................................................21Gráfico 7-Cilíndrica: r = 1.0 + 0.25 sen (3u)....................................................................22Gráfico 8- gráfico da parábola ponto a ponto.................................................................24Gráfico 9- Gráfico I da importância da derivada.............................................................24Gráfico 10-Importância da Derivada...............................................................................25Gráfico 11-Primeiro gráfico da segunda questão...........................................................32Gráfico 12-Exemplo de representação...........................................................................46Gráfico 13-Estudo de intervalos......................................................................................55Gráfico 14- Função cúbica..............................................................................................59Gráfico 15-Gráfico de exemplo de representação (II).....................................................62Gráfico 16-Gráfico exemplo de Vygotsky.......................................................................70Gráfico 17 - Figura da tangente a uma circunferência....................................................78Gráfico 18- Definindo Derivada através da secante. Fonte:..........................................78Gráfico 19-Gráfico explicativo de família de curva.........................................................84Gráfico 20- Família da curva 3( )f x x c . Fonte: Thomas & Wesley (2002, p.321)........85Gráfico 21 -Giraldo & Carvalo.........................................................................................88Gráfico 22- Gráfico I exemplificativo do estudo do experimento...................................103Gráfico 23- Gráfico da função f(x) = 1/|x|......................................................................105Gráfico 24 - Gráfico da função f(x)=1/x, x≠0, ilustrando a simetria..............................123Gráfico 25- Gráfico da função f(x)=x3............................................................................124Gráfico 26- Representativo da constante. C = Crescimento; D = Decrescimento........125Gráfico 27 - Mesmo gráfico de simetria apresentado por Anton (2000, p. 123)...........126Gráfico 28- Fragmentação em relação ao número da página......................................128Gráfico 29-Gráfico da sumarização..............................................................................130Gráfico 30 -Gráfico I do Experimento...........................................................................141Gráfico 31- Explicativo da linguagem figural.................................................................147Gráfico 32- Pertinente à primeira questão....................................................................149Gráfico 33- Pertinente à segunda questão...................................................................153Gráfico 34- Relativo a primeira questão.......................................................................167Gráfico 35- Relativo à segunda questão.......................................................................174Gráfico 36-Incompreensão de Extremos......................................................................182Gráfico 37- A questão da passagem por zero..............................................................183Gráfico 38-Gráfico do pré-teste incluindo as intuitivamente certas...............................184Gráfico 39-Gráfico de erros e acertos do pré-teste......................................................185Gráfico 40 - relativo à segunda questão dos testes......................................................196Gráfico 41-Explicativo da convexidade.........................................................................201Gráfico 42- Gráfico dos erros e acertos do pós-teste...................................................203Gráfico 43-Gráfico dos resultados parciais...................................................................204

v

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO.................................................................................................................11. Origem do Problema...............................................................................................................................................1

1.1. Tema e Problema da Pesquisa.............................................................................................................................161.1.2. A importância do gráfico de função................................................................................................................201.1.3. Importância da Derivada na construção do gráfico de uma função................................................................23

1.2. Objetivos................................................................................................................................................................261.2.1. Objetivo Geral.................................................................................................................................................261.2.2. Objetivos Específicos......................................................................................................................................26

1.3. Um trabalho abandonado....................................................................................................................................271.3.1. Histórico..........................................................................................................................................................271.3.2. Desprezando os Dados Coletados...................................................................................................................29

CAPÍTULO 2 – Fundamentação Teórica..................................................................................................................342. Fundamentação Teórica..........................................................................................................................................34

2.1. Teorias e trabalhos: uma visão geral..................................................................................................................342.2. Algumas teorias semióticas..................................................................................................................................42

2.2.1. Teoria dos Registros de Representações semiótica.........................................................................................432.2.2. Do Recorte......................................................................................................................................................47

2.3. Convergência desta Pesquisa com Duval............................................................................................................502.3.1. A presença de Vigotsky nesta pesquisa..........................................................................................................692.3.2. Função Polinomial..........................................................................................................................................742.3.3. Conceito de Derivada de função polinomial fracionária................................................................................77

CAPÍTULO 3 – Revisão da Literatura......................................................................................................................803. Revisão da Literatura..............................................................................................................................................80

3.1. Estudo inicial: A Questão da Reta Tangente.....................................................................................................983.1.1. A guisa de Conclusão....................................................................................................................................113

3.2 Outras Observações Sobre as Obras Abordadas..............................................................................................1143.2.1. Sumarização..................................................................................................................................................1163.2.2. Courant (1995, 1ª Edição, 4ª Reimpressão– 609 páginas)............................................................................1183.2.2. Moise (1970, 2ª Edição), Lang (1965, 1ª Edição).........................................................................................1203.2.3. Anton (2000, 1ª Edição)................................................................................................................................1223.2.4. Thomas & Wesley (2002, 1ª Edição)............................................................................................................1253.3.5. Quadros de Sumarização...............................................................................................................................126

CAPÍTULO 4 – Estudo de Uma Metodologia de Intervenção..............................................................................1324.1.2. Introdução aos princípios da abordagem......................................................................................................1374.1.3. Procedimentos metodológicos......................................................................................................................1394.1.4. Breve explicação do Experimento................................................................................................................140

4.2. Desenvolvimento da Pesquisa............................................................................................................................1444.2.1. Pré e Pós-Teste: Questões Comentários/ Justificativas.................................................................................144

Capítulo 5 – Experimento, coleta e análise de dados..............................................................................................1485.1. Do Experimento, da Análise e Coleta dos Dados.............................................................................................148

5.1.1. Primeira questão do Pré e do Pós-teste.........................................................................................................1485.1.2. Método da Coleta de Dados..........................................................................................................................1585.1.3. Sobre os questionários e a Entrevista............................................................................................................158

Capítulo 6 – Análise e discussão...............................................................................................................................1646.1. Análise e discussão dos Dados............................................................................................................................1646.2. Análise e discussão dos dados coletados no pré-teste......................................................................................165

6.2.1. Primeira questão do pré-teste........................................................................................................................1676.2.2. Segunda Questão do pré-teste......................................................................................................................1746.2.3. Terceira questão do pré-teste (primeira função)...........................................................................................180

6.3 Totalização do número de erros e acertos do pré-teste....................................................................................183

vi

6.4 Dados finais do pré-teste.....................................................................................................................................1846.5 Conclusão discursiva do pré-teste (A fazer)......................................................................................................186Capítulo 7 - Análise do pós-teste e avaliação comparativa com os dados do Pré-teste.......................................1877.1 Análise do pós-teste e avaliação comparativa com os dados do Pré-teste......................................................187

7.1.1 Análise e comparação da primeira questão do pré-teste com a primeira questão do pós-teste.....................1887.1.2 Análise e comparação da segunda questão do pré-teste com a segunda questão do pós-teste......................1957.1.3 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 1)......2017.1.4 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 2 – Em andamento)..............................................................................................................................................................2047.1.5 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 3 – Em andamento)..............................................................................................................................................................204

CAPÍTULO 8– Referência Bibliografia......................................................................................................................205

vii

Introdução

1. Origem do ProblemaDesde o início das atividades profissionais no campo do ensino como

professor da Universidade Federal Rural de Pernambuco, UFRPE, em fins dos anos

70 e início dos anos 80, tivemos como uma das inquietações o fato dos nossos

alunos de Cálculo Diferencial, ao se depararem com funções polinomiais fracionárias

ou racionais, como, por exemplo, 3

3( ) , x 2

8

xf xx

Expressão 1 - Exemplo de Função polinomial fracionária

geralmente conseguirem encontrar algebricamente os elementos necessários à

construção do gráfico da função e, no entanto, habitualmente, não conseguirem

fornecer um rascunho, de modo que este tivesse concordância com os elementos

encontrados. Uma outra problemática se encontrava no fato dos alunos confundirem

a função com a sua derivada. Esta dificuldade parecia ser rompida quando

mostrávamos os gráficos das duas funções: O da função inicial e o gráfico de sua

derivada.

Nos gráficos abaixo, Thomas & Wesley (2002) tomam como exemplo o ponto

B. O ponto B’ no segundo gráfico é a ordenada do coeficiente angular do gráfico da

função no ponto B.

1

Gráfico 1- Coeficiente angular. Fonte: Thomas & Wesley (2002)

O fato aqui é que se tomado um ponto qualquer, exceto os extremos, o

primeiro gráfico tem, no segundo gráfico, a ordenada do seu coeficiente angular que

vem a ser o ângulo que a reta tangente faz com o eixo dos x no sentido anti-horário.

Pelo triângulo abaixo, se a base é o eixo ÖX

, θ é o coeficiente angular dado pelo

quociente cosSen

= oposto

Cateto adjacenteCateto

.

Gráfico 2- Coeficiente angular

Toda esta problemática parecia surgir de uma dificuldade conceitual ou,

como vem dizer Chibeni (2005, p. 12): “[...] a dificuldade epistemológica daquela

classe de proposições... ligada a obstáculos no estabelecimento de certas relações”.

Tomemos como exemplo o gráfico de uma função f com as seguintes

características: Cresce em (-∞; a) U (a; 0); Decresce em [0; b) U (b;+ ∞); É

2

Côncava em (-∞; a) U (b; +∞); É Convexa em (a; b); Possui ponto de máximo em

x = 0; Possui assíntota vertical em x = a e x = b; Possui assíntota horizontal em

y = k. Vejamos este hipotético gráfico:

Gráfico 3- Exemplo hipotético

Com a abordagem tradicional, que trata primeiro da formalidade

matemática através da simbologia desta ciência, o estudante, com freqüência,

encontra estes dados usando os cálculos pertinentes mas não os consegue

concatenar. O gráfico desenhado pelo estudante, de modo geral, não representam

os dados dos cálculos efetuados. E, não é raro ouvirmos: “Professor só deixei em

branco o gráfico”.

Esta parece ser uma questão conceitual na interpretação dos elementos

do gráfico e que já vem sendo discutida por vários pesquisadores. Dugdale (1993),

por exemplo, partilha dessa preocupação. Ao tratar da perspectiva de gráficos de

funções no pensamento de estudantes, Dugdale (Ibidem) fala dos esforços para

melhorar a leitura e compreensão dos gráficos melhorando os conceitos dos

estudantes a partir da interpretação do significado global do gráfico, que aqui

chamamos de gráfico completo quando possuir todos os elementos pertinentes a um

gráfico com a característica do gráfico 3 acima e que definimos mais claramente à

página 7.

Numa outra vertente observamos, em nossas aulas, que quando

invertíamos a forma de apresentação do tópico, indo da linguagem figural (ou

geométrica) para a linguagem simbólica (ou formal) da matemática, pelo menos

havia maior interesse nos alunos. Não temos dados sistematizados que nos

3

permitam comprovar a sugestão da existência de uma aprendizagem mais efetiva, o

buscamos nessa pesquisa. Como exemplo da importância desta inversão, podemos

tratar aqui do tópico matemático transformação linear onde o uso de gráficos,

imagens, figuras, etc., nos sugere impactar, positivamente, na aprendizagem do

aluno.

A transformação linear pode ser apresentada com o uso inicial das

linguagens figural, simbólica e natural. Passemos a considerar a forma tradicional de

apresentação como, por exemplo, em Boldrini et all (1978). Observemos que a

abordagem de Boldrini et all inicia com a linguagem simbólica para depois

apresentar a linguagem figural.

É importante salientar duas coisas: a maioria dos livros de álgebra linear

ou trazem a linguagem figural muito depois do tratamento simbólico ou não trazem.

Boldrini et all (1978), Stheinbruch & Winterle (1990) e Callioli et all (1982) são

considerados os livros de álgebra linear mais simples. Lembramos essas duas

questões pois que, quanto mais “pesado” o livro de Álgebra Linear, menos se

apresenta a linguagem figural de forma que ela se diferencie da linguagem

simbólica. Do ponto de vista matemático, não há muita diferença entre as duas na

forma como a álgebra linear é apresentada.

Mesmo nos exemplos, a ênfase inicial é na linguagem simbólica que trás

um elevado nível de complexidade. Tomemos, pois, um exemplo de uma

transformação no plano em Boldrini et all (1978, p.150). Os autores dizem que irão

apresentar uma visão geométrica das Transformações Lineares (TL) e dão o

seguinte tratamento:2 2

: , .

Tv v

Expressão 2 – Um exemplo genérico de TL no 2

E exemplificam:

2 2 : ,

2 , T(x,y)=2(x,y)Tv v ou

Expressão 3- Exemplo de uma transformação linear

4

Esta transformação linear apresentada por Boldrini et all diz que: dado um

vetor, a função T leva o vetor ao seu dobro na mesma direção e sentido. A imagem

para este fato nos diz muito mais do que a algebrização acima.

Gráfico 4- O produto em uma transformação linear

Este é o um dos exemplos mais elementares de uma TL. O caso do uso

de rotações, translações, expansões defendidas por Moretti (2003) para o ensino

fundamental e sobre o qual falaremos na fundamentação, torna-se mais complexo

conforme veremos ao tratarmos da citação de Igliori e Godoy (2005) na página 10 e

mais aprofundadamente na Fundamentação Teórica, página 34. Mesmo com

funções simples, as operações são complicadas para o estudante e, muitas vezes,

para pessoas que lidam com matemática mas que não estão trabalhando com este

ente matemático no momento1.

Vejamos a complexidade da álgebra que está por trás do simples esboço

de ( ) | |f x x , quando usamos da reflexão. Tomando-se o ramo onde x > 0, para

rotacionar (ou reflexionar) em torno do eixo ÖY

, a álgebra vai “cobrar” uma

complexa abordagem simbólica. Vamos provar que a função em questão é simétrica

em relação ao eixo ÖY através da álgebra linear que é quem, de fato, no campo da

matemática, é responsável por rotação, translação, simetria, etc.

1 Isso não quer, em nenhuma hipótese, levantar que Moretti esteja equivocado. O fato é que estamos tratando de objetos matemáticos distintos. O próprio Moretti, conforme teremos oportunidade de discutir, alerta para esta questão (vide item 1.2- Objetivo da Pesquisa).

5

Definimos a transformação linear da seguinte forma: Seja V e W espaços

vetoriais2. T é uma transformação linear do espaço vetorial V no espaço vetorial W,

escrevemos T:V W se s seguintes condições forem satisfeitas:

I – T (u + v) = T(u) + T(v)

II – T (αu) =αT(u), com u, v ε V e T(u, T(v) ε W .

Precisamos observar que sendo T uma função, como no caso abordado

aqui, todo v de V possui um vetor imagem w de W (este é único) que é indicado

como w = T(v). No nosso exemplo se (x;y) é um ponto no ramo direito da função

(x > 0), então (-x;y) é um ponto no ramo esquerdo da função (x < 0).

Vejamos a complexidade de se iniciar este estudo através da simbologia

matemática conforme vimos discutindo e continuaremos a discutir neste trabalho.

Tomemos então um certo x’ de modo que3:

x’ = r cos (α +β) = r cos α cos β - r sen α cos β. Daí tomamos x’ = x cos β - y sen β

uma vez que x = r cos α e y = r sen α. De modo análogo tomemos um certo

y’ = sen (α +β) = r (sen α cos β + cos α sen β) = y cos α + x cos β. Podemos então

estabelecer que 0 ( , ) ( cos , cos )x y x y sen y x sen . Dado que o ramos da

direita (x > 0) forma uma ângulo de 90º com o ramos da esquerda (x < 0), temos

cosα = senβ = 0.

A matriz dos elementos de 0 ( , ) ( cos , cos )x y x y sen y x sen nos

vai permitir escrever:

0 11 0

x y xy x y

Expressão 4- Transformação do R2 no R2

Toda esta “discussão” poderia ser feita com o estudante mostrando,

inicialmente, as seguintes figuras:

2 O leitor pode ver que operações são necessárias para se ter um espaço vetorial em qualquer livro de álgebra linear. Por exemplo Steinbruch e Winterle (1990, p. 1).3 É isso mesmo, leitor, toma-se um “letra” qualquer.

6

Gráfico 5-Gráfico da transformação 4

Trabalhamos com um gráfico de um polinômio de ordem 1 que, como

veremos mais detalhadamente no tópico Funções Polinomiais (Capitulo 4), é

determinado pelo maior expoente de x na função polinomial. Podemos imaginar a

complexidade que seria tal tratamento com um polinômio de grau 3, por exemplo.

Assim, observamos a importância da abordagem na linguagem figural.

1.2 – Objetivo da Pesquisa.

O objetivo desta pesquisa é sugerir a abordagem para o traçado de gráficos

das funções polinomiais de até terceiro grau, a partir da análise de gráficos

completos onde, como já frisamos, gráfico global ou completo são aqueles que

contenham todos os elementos possíveis. Assim nosso gráfico completo contém:

Domínio; Raízes; Pontos críticos; Máximo e Mínimos relativos; Região de

crescimento e Região de decrescimento; Pontos de inflexão; Região de

concavidade; Assíntotas verticais, Horizontais ou Oblíquas.

Deste modo, o que de fato estamos trabalhando é funções polinomiais

fracionárias racionais ou, simplesmente, funções racionais. Isso porque uma função

completa nos moldes propostos neste trabalho, possui os elementos acima

colocados. Por exemplo, há descontinuidade na função abordada. Anton (2000) vem

dizer: “Diferente dos polinômios cujos gráficos são curvas contínuas...os gráficos das

funções racionais têm descontinuidade nos pontos onde o denominador é zero”.

A problemática, construção de gráficos de funções polinomiais fracionárias

racionais de até terceiro grau pode, então, sofrer um tratamento que possibilite ao

estudante, em um primeiro momento, visualizar os elementos e discutir suas

7

peculiaridades sem o aporte formal matemático para os determinar. Reis (2001,

p.199), consultando alguns matemáticos mais “rigorosos” como, por exemplo Elon

Lages Lima, vem dizer:

 [...] uma forma de rigor que foi recusado por todos os depoentes: o ensino de Cálculo fundamentado no conceito weirstrassino de limites e continuidade, com épsilons e deltas. (...) Quanto ao Cálculo, todos são unânimes em afirmar que este deve ser um curso menos formal, baseado fortemente em aplicações e em situações-problema, fazendo o pêndulo entre intuição e rigor pender mais para o lado da intuição sem que, com isso, deixe de existir algum tipo de rigor, de preferência não-formal (isto é, sem épsilons e deltas, por exemplo ).

Estamos, assim, abraçando a linha de pensamento que, conforme

veremos durante este trabalho e mais profundamente na Fundamentação Teórica,

Capítulo 2, página 34, defende a imagem como importante meio de aprendizagem

de modo geral e de modo particular a aprendizagem em matemática.

Do exposto levanta-se assim a questão: a compreensão do esboço de

gráfico de funções é melhor construída4 pelo estudante tomando-se contato com os

seus elementos constitutivos através de uma abordagem mais intuitiva em um

primeiro momento, ou através de uma metodologia na qual os conceitos dos

elementos interligados, conceitualmente, aparecem por partes?

A resposta a esta questão necessita levar em conta que a ênfase de um

trabalho propondo uma nova metodologia não pode ser vista como apenas mudar

desta para aquela forma metodológica. Uma proposição neste nível somente poderá

ser validada se houver mudança no que há de profundamente complexo no ser

humano: transformação de cultura, de atitude.

Ao longo do trabalho, a primeira construção da pergunta acima

transpareceu responder positivamente à questão formulada. Dito de outra forma: o

trabalho sugere que o estudante constrói melhor seu conhecimento, inclusive dentro

do formalismo matemático se for, inicialmente, apresentado ao gráfico completo (ou

global) onde possa contar com o auxilio visual.

Duval (2004, p.59) argumenta (Vide tabela 4 de Duval), que passar da

linguagem natural (ou materna) para a linguagem figural é uma tarefa que conduz a 4 Para construir as figuras gráficas usamos o software Estudo de Funções. Alguns destes gráficos foram, na medida da necessidade de maior clareza gráfica de impressão, importados para o CorelDraw com o auxilio do Professor Vladimir Veras (Mestre).

8

um maior número de acertos dos alunos do que a passagem da linguagem figural

para a linguagem simbólica. Duval (1988, p. 241) vem dizer:

O custo muito desigual da passagem entre escritura simbólica e representação gráfica aparece aqui de modo claro. Para passar da linguagem simbólica para a linguagem gráfica não há necessidade de mais do que uma aplicação ponto-a-ponto. Os valores recebidos pela variável X são dados sem a preocupação com suas propriedades...mas para ir da linguagem figural para a escrita algébrica...é necessário identificar cada um dos seus valores e compreender o todo. Em outras palavras, a passagem da linguagem figural para a linguagem algébrica aumenta de uma interpretação global. (Duval, 1988, pp. 235-253) (Tradução livre).

Em outras palavras na passagem da representação gráfica para a

escritura algébrica, de acordo com Duval, se o registro figural é registro de saída a

compreensão do estudante torna-se mais difícil do que se este registro for o de

chegada5. Como em nossa proposta o registro figural é o registro de saída (ou

inicial), fica a sugestão de que estamos em desacordo com Duval. Na realidade esta

é uma sugestão enganosa uma vez existir diferença fundamental entre o objeto do

qual Duval trata e o objeto do qual tratamos, sugerido então que esta situação

depende do objeto tratado. Veremos, na próxima página, que Igliori & Godoy (2005)

acreditam haver uma “contradição” entre o trabalho deles e a idéia de Duval.

Trabalhos de Duval (1988, 2003), Moretti (2003) e Bittar (2003) entre

outros, concebem as peculiaridades nos tratamentos quando se está mergulhado

nos conteúdos do ensino de matemática. Estes trabalhos mostram que níveis

distintos de conteúdo matemático cobram diferentes níveis de abordagens quando

da aplicação da Teoria dos Registros de Representações Semiótica. Assim, Duval

(1988b, p. 237) vem dizer: “Face a uma representação gráfica três abordagens bem

diferentes são possíveis: elas não levam em conta os mesmos dados visuais do

gráfico e elas não são guiadas pelo mesmo tipo de questão”.

Quando se faz uso da Derivada de uma função na construção de um

gráfico, por exemplo, esta necessidade transparece de modo inequívoco. Moretti

(2003), ao esboçar está discussão, alerta tanto para a diferença de se trabalhar com

5 Representação, registro, sistema semiótico, representação semiótica, etc., são elementos da teoria das Representações Semiótica de Raymond Duval. A apresentação da teoria deixa margens a diversas interpretações, às vezes conflitantes. Por isso, em nossa Fundamentação Teórica apresentamos uma discussão que tenta dirimir as dúvidas.

9

funções polinomiais de grau maior do que dois, quanto para as necessidades de se

observar outras formas de tratamento da conversão quando se trata de derivada.

O termo Conversão de que trata Moretti (2003) e sobre o qual apoiamos

mais fortemente este trabalho, é aquele trazido por Duval (2003, 2004) e que, como

veremos mais profundamente, quer denotar, conforme Duval (2003 , 2004) as

alterações nas representações de objetos matemáticos quando mudamos de

Sistema Semiótico6 (Vide Fundamentação Teórica).

Conforme Moretti (2003, p.150), “A representação no plano cartesiano de

funções do tipo y ax b é uma atividade de conversão”. E o é pois existe aí uma

mudança de Sistema Semiótico. Esta mudança de sistema na apresentação de um

mesmo objeto matemático é o que, conforme Duval (2003, 2004), produz o

conhecimento matemático de modo mais eficaz. A partir desta linha de pensamento

apoiamos nosso trabalho observando o fato de Igliori e Godoy (2005) mostrarem que

quando o estudante é submetido, inicialmente, à visão de um objeto matemático na

forma de gráfico, tabela, imagem, etc., que são linguagens, a conversão para outra

linguagem qualquer tem um índice de acerto muito maior do que o inverso. Igliori e

Godoy (2005, p.14) vêm dizer:

Esse fato conflita com o que é mencionado por Duval, de que uma conversão que tem para registro de saída o figural causa maior dificuldade aos estudantes do que aquela em que esse registro é o registro de chegada. Atribuiu-se a este resultado o fato de tratar-se do registro específico da derivada...

Não percebemos conflito com Duval nesta questão, uma vês que quanto

mais complexo é o objeto matemático mais necessitamos de representações para o

entendermos conforme vimos com Duval (1988b) citado acima e veremos através de

Moretti (2003) no item Convergência de Duval com esta pesquisa. O fato é que

esboçar o gráfico de uma função é representar a função em uma outra linguagem: a

figural. De modo mais simples, podemos dizer que esta ação é desenhar o gráfico

de acordo com as particularidades que eles exigem. A própria citação de Igliori e

Godoy (Ibidem) esclarece este ponto. Deste modo, o “conflito” já é desvendado

pelos autores.6 Sistemas Semióticos: Linguagem figural (gráficos, tabelas, quadros, etc.), simbólica (símbolos matemáticos como y = ax +b), natural (linguagem materna)

10

Como dissemos acima, Moretti (2003) também enxerga esta questão.

Desta forma o tratamento dado por Duval em sua teoria necessita ser pensado no

bojo de outras necessidades. Um exemplo disso trazemos na Revisão da Literatura,

Capítulo 3, com o trabalho de Cáceres & Arceo (2002) quando estes pesquisadores

trabalham com equações diferenciais ordinárias – EDO. Estas equações têm como

particularidade o fato de que, quando de primeira ordem, quase sempre, a solução é

uma família de curvas de uma função genérica (ou uma família de funções).

A problemática que viemos investigar nos sugeria uma espécie de

paradigma: O estudante calculava todos os dados necessários à construção do

gráfico de uma função e, no entanto, tinha grandes dificuldades de traçar o gráfico

pertinente. Caso o fato não fosse tão amplo (acontece com a grande maioria dos

estudantes) poderíamos pensar ser um mero equívoco na compreensão da junção

dos intervalos e sua diferenciação com pontos. No entanto, a realidade nos mostra

haver o problema do estudante não se ter apoderado, de modo claro, dos conceitos

matemáticos (No caso particular dos resultados da derivada). O estudante, como

dissemos, faz os cálculos e não consegue esboçar o gráfico. No entanto faz os

cálculos sem, de fato, ter a exata noção do que representa o resultado obtido.

Desta forma, faz os cálculos, encontra os elementos mas não esboça o

gráfico. O que pode ser entendido como, também, não conseguir voltar dos

elementos encontrados à origem. Dito de outro modo na linguagem “duvaliana”:

passa do registro de entrada para o registro de saída mas não faz o caminho

inverso. Duval (2004, p. 60) vem dizer:

Com efeito quando a conversão se efetua no sentido escritura algébrica de uma equação gráfico, não parece surgir nenhuma dificuldade específica. Porem tudo muda quando é necessário fazer a conversão inversa, inclusive depois do ensino das funções lineares (Duval, 1988c, p.244-246).

Diante das dificuldades do objeto de estudo, esboço de gráfico de funções

quanto ao que Duval (2003, 2004) vem chamar de Tratamento por Conversão e

Tratamento por Transformação7, fica evidenciada a necessidade de obtermos dos

estudantes componentes do nosso universo de pesquisa, que foram submetidos a

7 Vide Fundamentação Teórica. Capítulo 2.

11

uma metodologia aqui tratada como tradicional, que conceitos, definições e

entendimentos gerais eles têm do gráfico de uma função. Isso aprova a necessidade

de buscarmos uma cuidadosa avaliação de como os conceitos foram abordados.

Neste sentido, estudos preliminares foram realizados detectando os

conceitos que os estudantes detinham quanto aos elementos componentes de um

gráfico de função bem como da forma de os determinar. E, neste caso, pudemos

observar, por exemplo, qual a necessidade, por parte do estudante, de entender a

derivada e o que ela significava em relação aos elementos que dela necessitava

para serem conhecidos. No entanto somente foram elementos de análise o pré e o

pós-teste, os estudos preliminares acima citados, não foram objeto de análise neste

trabalho.

Alguns pontos focalizados na pesquisa dizem respeito:

Como se pode construir o conhecimento matemático de forma que a

complicação de sua linguagem própria não se transforme em um obstáculo de

tamanho grau de complexidade como vimos com ao tratarmos da Transformação

Linear?

Uma abordagem metodológica onde o estudante trave conhecimento

com os gráficos de funções completas, em um primeiro momento, deixando-se para

outro momento a necessária formalização dos elementos constitutivos, produz uma

melhoria da aprendizagem em matemática?

Como os estudantes foram iniciados na construção de gráficos de

função quando submetidos à metodologia tradicional e que conceitos agregaram à

sua cognição com esta metodologia?

Nossa discussão inicial levanta que há uma “impedância” cognitiva nos

estudantes constituindo o paradigma referido. Esta constituição de “impedância” na

formação dos conceitos matemáticos nos sugere ter como alicerce principal a

metodologia utilizada, não só no caso específico aqui estudado, mas no caso da

matemática de modo mais geral.

São muitas as tentativas da Didática da Matemática, todas louváveis, na

direção de apresentar uma nova forma de abordar a matemática. O leitor há de

perguntar: por que mais uma? Nossa resposta é de que, em primeiro lugar, a

bibliografia aponta muitos trabalhos dirigidos às dificuldades da matemática no

12

ensino fundamental e médio e pouco se tem feito nesta direção abordando-se o

ensino superior, pelo menos em nível de Brasil, o que concebe importância a este

trabalho; em segundo lugar, nos parece que se está olhando mais para o fazer do

que para o como e o por que fazer.

Um exemplo desta última questão é a inserção dos computadores na

escola. Se esta inserção não vem acompanhada das mudanças de atitudes

educacionais requeridas como o entendimento de que o computador é tão somente

uma ferramenta que, pelo menos, até o momento, só faz o que o programador ou o

usuário manda e se este o faz de modo claro, veremos sua inutilidade. Ainda mais

que se faz necessário outras mudanças de conceitos dos agentes do ensino

incluindo aí o institucional.

Para este trabalho buscamos usar como método, aquele definido por

Lakatos e Marconi (1982:39-40) in Richardson (1999, p. 21) como: “o caminho pelo

qual se chega a determinado resultado...” (Hegenberg, 1976: II-115). As arrumações

das idéias perseguiram uma técnica que, em consonância com a definição do

método escolhido, pudesse comprovar ou não nossa hipótese. Assim buscamos,

inicialmente, um tratamento comparativo entre as duas metodologias envolvendo

dois professores. No entanto, acabamos decidindo por fazer um trabalho que

pudesse fluir a partir do pesquisador, sem confrontação em virtude de falhas

incontornáveis. O que será elemento de relato neste trabalho no item, Um Trabalho

Abandonado, ainda neste capítulo.

Ancorado na revisão da literatura, na bibliografia, em nossa experiência

de 26 anos como docente universitário, em nossas aplicações (projeto de sondagem

/ piloto e projeto de sustentação da tese) e visitação à metodologia contida em

alguns livros textos de Cálculo como Courant (1965, 1ª Edição 4ª Reimpressão 4),

Moise (1970, 2ª Edição), Lang (1965, 1ª Edição), Piskunov (1969, 1ª Edição), Ávila

(1978, 1ª Edição), Simmons (1985, 2ª edição), Anton (2000, 1ª Edição), Thomas &

Wesley (2002, 1ª Edição) e Ayres (2ª Edição, 9ª Reimpressão), trazemos a hipótese

de que a alteração metodológica proposta comporta uma melhor compreensão na

construção do gráfico de uma função do que a metodologia tradicional que

acompanha os livros didáticos mais antigos (1965 – 198_).

13

Na análise pontual destes livros, tomamos o termo fragmentado com

referência: ao número de gráficos de funções do mundo real ou do mundo artificial

conforme vem dizer Moise (1975, p. 203) para diferenciar, y = f(x) de, por exemplo, 3 2) 3 , f(x) = xfx x x e , etc., usados, especificamente, para o entendimento do esboço

de uma curva; o número de páginas separando tópicos que deveriam está o mais

próximo possível entre si; a abordagem de tópicos dentro de outros tópicos; ao

número de gráficos completos que sejam compostos dos elementos constitutivos da

representação geométrica da função trabalhada; a falta de um tópico específico

tratando de um assunto de tamanha importância na matemática e na vida real.

O segundo item acima, o número de páginas separando tópicos que

deveriam está o mais próximo possível entre si, é aquele que tomamos como maior

peso na composição da fragmentação já que nossa proposta tem com fundamento

principal o gráfico completo ou global. Assim, falar da necessidade do gráfico global

é ir na direção oposta da fragmentação que vimos compor como sendo:

a) ao número de páginas separando tópicos que deveriam está o mais

próximo possível;

b) ao número de gráficos de funções (globais ou completas) do mundo real

ou do mundo artificial usados, especificamente, para o entendimento do

esboço de uma curva;

c) a abordagem de tópicos dentro de outros tópicos ao número de gráficos

completos que sejam compostos dos elementos constitutivos da

representação geométrica da função trabalhada;

d) a falta de um tópico específico tratando de um assunto de tamanha

importância na matemática e na vida real.

Com este sentido, faz-se a representação gráfica e busca-se chamar a

atenção para o comportamento de cada intervalo da função com setas, achuramento

e outros destaques mobilizando, sempre, vários registros. Conforme Duval (2003, p.

14): “A originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao

menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de

trocar a todo o momento de registro de representação”.

14

Esta proposta de Duval (Ibidem) é tratada por vários pesquisadores. Na

realidade, por todos os pesquisadores de trabalhos recentes aos quais tivemos

acesso. Giraldo & Carvalho (2002) vêm dizer: “a consciência das limitações de cada

uma das representações e do fato que elas representam um único conceito geral

são, com certeza, condições fundamentais para a compreensão das funções”. Sem

perda de concordância, podemos entender que compreender funções é

compreender, também, seus gráficos. Deste modo, a inserção da formalização

matemática virá em um segundo momento.

Neste trabalho nos dirigimos a um objeto matemático estabelecendo

como recorte o esboço de gráfico de funções. A percepção para um novo recorte foi

sentida ao observamos que assim teríamos a possibilidade de um estudo mais

significativo por nos proporcionar um mergulho mais efetivo na discussão. Esta

percepção nos fez desconstruir o recorte inicial produzindo um outro que nos levou

ao enfrentamento com o tópico esboço de gráfico de funções polinomiais

fracionárias racionais de até terceiro grau.

Acreditamos que as alterações metodológicas em outros conteúdos

cobram outros estudos. Por exemplo, Anton (2001), em seu novo livro texto de

Álgebra Linear com Aplicações, busca fazer foco em vetores no plano e depois no

espaço, mas de forma a inter-relacionar a abordagem matemática com a vida

prática. Do mesmo modo Halliday et all (1997) traz uma nova abordagem na física

em seu livro texto Fundamentos da Física Estendida. Ao tratar do movimento a duas

e três dimensões, Halliday et all (Ibidem) faz o que os físicos chamam de

“provocação”, antecedendo cada capítulo com perguntas do tipo: como se pode

calcular a colocação de uma rede em um circo para a proteção de um homem bala?

Observamos que as “provocações” fazem parte de uma estratégia de Halliday, uma

vez contempladas por toda a obra.

Dentro da linha de pesquisa Didática de Conteúdo Específico, estamos

abordando um problema histórico que envolve a possibilidade cognitiva do

estudante. A ação da não aquisição do conhecimento, uma incognição, se

estabelece, de forma paradoxal conforme já colocado. Desta forma formulamos a

questão: o efeito cognitivo no estudante encontra maior resistência no trato da

matemática quando se enfoca esta ciência pautando-se no método constituído por

15

definição exercícios exemplos, ou buscando-se mergulhar na idéia da

problematização construção do problema e solução conceituação? Para tentar

responder a esta indagação, constituímos uma reformulação que nos pudesse dar,

pelo menos, indícios a respeito da problemática. Em nosso trabalho esta é a questão

de fundo, o problema da pesquisa.

A fim de uma breve análise que pudesse justificar determinados aspectos

da pesquisa buscamos, de posse de um número consideravelmente representativo

de livros texto de cálculo, definir alguns deles. Chegamos a conclusão, conforme

explicaremos em momento mais apropriado, que quatro destes livros atendiam às

nossas necessidades. Os autores dos livros textos estudados foram todos voltados

para o ensino superior de graduação em matemática e áreas afins – Cálculo

Diferencial e Integral. São eles: Courant (1965), Lang (1965), Piskunov (1969),

Moise (1970), Ayres (1975), Ávila (1978), Simmons (1985), Leithold (1987), Anton

(2000), e Thomas & Wesley (2002). Buscarmos verificar a forma de abordagem no

tópico esboço de gráfico de uma função, os quatro autores que tomamos para

representar todos os demais, foram escolhidos de modo a não trazerem prejuízo a

uma análise mais geral.

1.1. Tema e Problema da Pesquisa O ensino de Matemática, como de outras ciências tem sido marcado, nas

últimas décadas, pelo que se passou a chamar de “fracasso escolar”. De modo

particular, quando do estudo de construção de gráfico de função, vimos discutir a

apresentação formal matemática e o particionamento de assuntos que não deveriam

estar separados entre si uma vez que isso vem dificultar o entendimento conforme

vimos discutindo.

Neste trabalho, focamos o esboço de gráfico de função com o auxílio do

estudo de derivada de até segunda ordem. O esboço de gráfico é, tradicionalmente,

tratado por meio de uma linguagem formal, privilegiando-se as definições e

teoremas em detrimento de outros tipos de linguagens, como a figural, que podem

contribuir para um aprendizado mais eficaz conforme nos diz Duval (2003, 2004).

Assim nosso tema de pesquisa vem a ser uma proposta metodológica

para a construção de gráfico de funções polinomiais de até terceiro grau. O que vem

16

trazer como objeto da pesquisa o esboço de gráficos das funções acima

mencionadas.

Do exposto desejamos trazendo à academia uma proposta metodológica

onde conceitos, definições e teoremas sejam apresentados através de outras formas

de linguagem como a natural (ou materna) e a figural (ou geométrica), que estão em

um menor nível de dificuldade por exigirem mobilização de representações quer

afeitas ao dia-a-dia do estudante (contexto), quer estabelecida de forma geométrica

(auxílio visual).

Conforme Duval (2004, p. 162), “é essencial, do ponto de vista cognitivo e

didático, não confundir a possibilidade de tratamento figural com a legitimidade da

justificação matemática...”. Isso quer dizer que a justificação matemática não deve

ser vista com irrelevante e que o tratamento figural não a substitui mesmo porque

existem entes matemáticos que não nos permite lançar mão da linguagem figural.

Alguns estudos enveredam pela contextualização como auxilio na

aprendizagem de matemática. Estes estudos também não devem ser

desconsiderados. No entanto se faz necessário não confundir a contextualização

com a banalização da matemática. Ou seja: Não há como transformar a matemática

em uma ciência mais fácil. É importante olhar para a contextualização conforme diz

Silva et all (2006): “[...] como uma forma de reconhecer a matemática no meio em

que vivem as pessoas”.

A contextualização não é objeto de nosso trabalho. No entanto olhamos

para a mesma tendo em vista a idéia posta de que o estudante necessita saber o

que obteve com determinado cálculo, onde este cálculo se encontra e o que esta

fazendo com ele. Dito de outra forma, o estudante precisa entender, por exemplo, a

relação da derivada encontrada com a vazão de um córrego ou com o choque entre

dois objetos ou, mais precisamente, com os elementos que compõem o gráfico de

uma função.

Gitirana (2004, artigo no prelo) vem alertar para a forma de se ensinar

matemática contrariando a construção histórica dos conceitos. Silva et all (2006,

p.10) vem dizer: “A contextualização é considerada necessária para a articulação da

matemática, sendo também um meio para a afirmação da idéia de

interdisciplinaridade (um foco para a relação entre as disciplinas)”.

17

O estudo de Gitirana (2004), no qual se baseia Silva et all (2006), traz

dois exemplos referidos por Gitirana (Ibidem) para, de acordo com Silva et all (2006,

p. 10) “os contextos provenientes da sociedade e da própria matemática”, quando a

autora aponta as dificuldades de se trabalhar com os números naturais no trato

comparativo do estabelecimento de dimensões antes do surgimento dos números

reais. O que se traduz em uma inversão histórica que produz dificuldades na

compreensão.

Temos a compreensão de que uma simples abordagem histórica não

resolve o problema original e específico da complexidade da matemática. Há a

necessidade de um historicismo, no sentido doutrinário, que leve em conta a

presença das representações semióticas na possibilidade de como se deu este

tratamento na matemática. Dentro desta reflexão temos de Duval (2003, p.13):

[...] comumente, em análise do que consiste a compreensão em matemática e na procura da razão dos bloqueios de compreensão que muitos alunos experimentam, evocam-se os conceitos matemáticos e suas complexidades epistemológicas, os quais podem ser explicados pela historia e suas descobertas.

Mesmo assim, para Duval (2003, p.13), evocar estes conceitos é

insuficiente. É necessário levar-se em conta duas características:

1. A importância primordial das representações semióticas;

2. A grande variedade de representações semióticas utilizadas em

matemática.

Neste estudo buscamos elementos para uma proposta que possa

minimizar, ou mesmo desconstruir, obstruções ao entendimento do esboço do

gráfico de função através da inserção metodológica que, a rigor, vem sendo, ainda

que incipientemente, apontada pelos autores mais atuais de livros-texto de

matemática.

Abordar a questão do tópico esboço de gráfico propondo uma

metodologia de ensino, torna-se relevante pela própria relevância de gráficos de

função. Sua importância dar-se quer para a facilitação do que a função significa em

termos de imagem para quem “faz” matemática, quer para quem a utiliza como

ferramenta, por exemplo, para entender um gráfico de flutuação de taxas de juros.

18

Duval (2003, p. 1) vem dizer que a importância da matemática se dá, também, por

“contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades (do estudante –nota

nossa) de raciocínio, de análise e de visualização”.

Outros autores como, por exemplo, Thomas & Wesley (2002) também

vem demonstrar a importância do estudo dos gráficos. Ao se dirigir ao estudante

(Como aprender Cálculo), Thomas & Wesley (2002, s / p) vem dizer: “Faça o maior

número de exercícios gráficos que puder, mesmo que eles não tenham sido

passados. Os gráficos ajudam por apresentar uma relação visual de conceitos e

relações”.

A linguagem Simbólica, ao contrário, exige níveis de elaboração cognitiva

com as quais o estudante, além de não estar acostumado, guarda a peculiaridade

da abstração que torna a ciência complexa em si mesma. Essa é uma das variáveis

que influenciam nas dificuldades do aprendizado do cálculo e que pode ser

contornado se constituirmos uma abordagem na qual o estudante possa usar,

sempre que possível, outras linguagens às quais esteja mais afeito.

Foi neste aspecto que focalizamos a metodológica de livros textos de

Cálculo Diferencial e Integral observando o período compreendido entre 196_ a

2003, buscando identificar a existência de mudança na metodologia, nas obras

abordadas, a fim de obtermos subsídios iniciais ao nosso estudo.

As obras compreendidas entre 196_ e 1968, aqui observadas, têm o

caminho discutido por Câmara (1995), quando trata da matemática no ensino

fundamental e médio. Neste sentido Câmara (1995, p. 11) vem dizer, “[...] o papel

do professor será de ‘encher esse balde’ com os conhecimentos. Para tanto, cabe

ao professor ‘transmitir’ da melhor forma possível esse conhecimento (em geral

partindo de definições)...”.

Na critica de Câmara (1995) cabe reconhecer que o “em geral partindo de

definições” pode ser acrescido de postulados, demonstrações, simbologia da

matemática pura, etc. Assim, buscamos, com nossa proposta metodológica, permitir

que o estudante venha a colocar em ação suas próprias representações sobre o

objeto de estudo: esboço de gráficos de funções polinomiais.

Não poderíamos pretender, em um trabalho deste, estabelecer uma

espécie de “ontologia”8 matemática. Deste modo, a fim de melhor abordar o 8 ONTOLOGIA: ciência que estuda os seres em geral;teoria ou ciência do ser; metafísica

19

problema, fizemos um recorte no conteúdo do Cálculo Diferencial e Integral,

elegendo o tópico Gráfico de Função. Desta forma, pensamos discutir novas idéias

sobre a abordagem deste tópico em contraposição aos livros-texto tradicionais de

matemática.

Veremos que as obras mais atuais aqui tratadas apontam na direção do

trabalho pretendido, ainda que de forma tímida e desfocada de uma atividade

matemática que, de acordo com Duval (2004), é o eixo principal na aprendizagem: A

abordagem dos registros de representações semiótica.

1.1.2. A importância do gráfico de função Do exposto vermos que a importância do esboço de gráfico não está

restrita à matemática em si, ela ultrapassa essa questão conferindo importância para

o cidadão comum, aqui entendido como aquele não ligado profissionalmente à

matemática. Assim é que buscamos abordar o problema geral da dificuldade do

estudante quanto ao esboço do gráfico de uma função focando o trabalho no âmbito

das Ciências Humanas de modo geral e da Educação de modo particular. Desta

forma, buscamos sustentação nos teóricos e / ou pesquisadores a serem mais bem

apresentados em momento oportuno.

No sentido relacionado com as dificuldades dos estudantes no trato com a

matemática, vimos Duval (2003) novamente, investir na importância da visualização.

Duval (2003, p. 11) vem dizer:

[...] O objetivo do ensino da matemática...nem é formar futuros matemáticos, nem dar aos alunos instrumentos que só lhes serão úteis muito mais tarde, e sim contribuir para o desenvolvimento geral de suas capacidades de raciocínio, de análise e de visualização.

Aqui, em virtude de nosso foco específico estar relacionado com o que

afirma Duval (2003) sem, no entanto, ser exatamente o principal foco de Duval,

ensino básico, recolocaríamos a citação tomando alguns exemplos apresentando ao

estudante expressões como: 2 2 e y=-x 4y x x

Expressão 5Das duas primeiras expressões, podemos querer saber qual a área compreendida

entre elas. Facilmente, pelo uso da integral definida,

20

( ) F(x) | = F(b) - F(a) , b a, b

ba

a

f x dx

Expressão 6Onde a e b são os valores de x nas interseções de

2 2 e y=-x 4y x x . Podemos

determinar que a área mede 83

unidades. A questão que se põe é: O que significa,

de fato, esta área? Como ela está colocada. Nos parece bastante plausível aceitar

que em se apresentando o gráfico em questão,

Gráfico 6-Observação da área

temos uma melhor compreensão da questão uma vês termos a representação visual

que nos vai permitir observar um objeto “concreto” originado de uma expressão. Dito

de outra forma, temos duas representações em dois sistemas semióticos diferentes

(linguagem figural e linguagem simbólica) como propõe Duval.

r = 1.0+0.25 sen (3u) (onde u é uma função composta9 ).

Expressão 7

No que se refere à sétima expressão, r = 1.0+0.25 sen (3u), o estudante pode saber

que é uma superfície cilíndrica através da definição. O que nos proporcionaria uma

discussão análoga à que faremos quando discutirmos o trato da parábola (Vide

9 U é algo como f(x) composto com g(x) o que nós dá f(g(x))

21

1.1.3 – Importância da Derivada na construção do gráfico de uma função e Capítulo

2, Fundamentação Teórica).

Mas o que de fato se lhe parece? Que analogia com o mundo real ele

pode fazer? Possivelmente nenhuma. No entanto, a apresentação da figura abaixo

traz uma noção bastante real de algo do mundo real. Neste caso, o estudante deve

ver sentido na expressão que lhe dá forma. Muito embora tenhamos consciência que

a representação matemática no mundo real não seja simples, às vezes sendo

mesmo impossível, justifica-se tal atividade dentro do alcance desta pesquisa. E,

mais uma vês, acabamos por trabalhar com dois sistemas de representação.

Sistema simbólico e Sistema figural.

Gráfico 7-Cilíndrica: r = 1.0 + 0.25 sen (3u)

Essa plausividade nos leva a considerar que se fosse dado ao estudante

a oportunidade de conhecer os elementos necessários ao esboço do gráfico de uma

função através de outras representações que não simplesmente a linguagem

simbólica, antes de proceder aos cálculos, os conceitos, definições, etc., as

conexões entre os elementos seriam mais facilmente entendidas e a compreensão

do objeto trabalhado seria mais eficaz.

Não pretendemos levantar a discussão sobre ser mais fácil o estudante

fazer os cálculos e construir o gráfico ou construir o gráfico e fazer os cálculos. Se

por um lado, não existe uma resposta única para esta pergunta uma vez que isso

pode depender do tipo de gráfico de função com a qual se está trabalhando (é

impossível se construir o gráfico de determinadas funções sem se estabelecer os

cálculos), por outro lado a questão da pesquisa não é focar o mais simples, mas sim

a aquisição dos conceitos, a compreensão de como esboçar o gráfico de uma

22

função tratando-se, inicialmente, da aquisição destes conceitos, definições,

postulados, etc., através de representações nas linguagens figural e materna.

Esta é uma questão que ao longo deste trabalho nos surpreendeu. Antes

de nossa proposta de pesquisa, tínhamos a sugestão de que a defesa de uma

abordagem alternativa onde, de inicio, fosse minimizada a exploração da linguagem

simbólica matemática por parte dos pesquisadores em educação, seria de fácil

“trânsito”. Por outro lado algo nos sugeria que não encontraríamos grandes

pesquisadores da matemática pura compartilhando desta idéia. E esta foi a

surpresa. Veremos que Matemáticos de reconhecido “afastamento” com a educação

matemática como o Professor Elon Lages Lima, se alinham a esta proposta.

1.1.3. Importância da Derivada na construção do gráfico de uma funçãoDado que discutiremos a construção de gráfico de funções polinomiais

fracionárias racionais de até terceiro grau de grau menor ou igual a três, mas que

fazemos foco no gráfico global ou completo, vimos apontar a necessidade do uso de

derivada neste processo de construção. Tomemos, inicialmente, os gráficos de

funções do primeiro grau. Este tipo de gráfico não traz problemas da associação um

ponto um par de números como discutido por Duval (2004). Se considerarmos uma

função polinomial do segundo grau, precisamos usar de estratégias a fim de

“convencer” o estudante de que, por exemplo, entre dois determinados pares de

pontos temos uma curva e não uma reta.

Isso pode ser feito de duas formas, pelo menos, usando-se de “definição”

de parábola ou construindo o mesmo gráfico com cada vez mais pontos como

mostramos abaixo.

23

Gráfico 8- gráfico da parábola ponto a ponto.

Podemos verificar que esta é uma explicação plausível. No entanto se

torna muito difícil ou impossível com o aumento do grau da função trabalhada.

Tomemos aqui dois exemplos simples. Um constando objeto que não é alvo deste

trabalho f(x) = senx e outro que está em nossa perspectiva de trabalho 2

3 22 3( )

3 5 8x xf x

x x x

. O primeiro gráfico é de simples construção mas usar a mesma

associação, um ponto um par de números, alem de trazer sacrifícios, não dá ao

estudante a visão que nos possibilita, dentro de uma mesma elaboração, o gráfico

de uma parábola.

Gráfico 9- Gráfico I da importância da derivada.

24

Já o segundo gráfico torna sua construção através de pontos discretos,

algo insano quando se tem uma ferramenta com a derivada. Observemos o gráfico a

fim de se ter uma idéia.

Gráfico 10-Importância da Derivada

Os profissionais de matemática nem mesmo entram no mérito da

importância da derivada na construção de gráficos. Primeiro porque não se discute

mais a importância dos gráficos de função no mundo de hoje, segundo porque,

como já levantamos, é insanidade tentar construir gráficos de funções sem o uso

das derivadas. Pensemos em um gráfico que contenha todos os elementos

possíveis para o nosso caso, como os aqui referidos sem que esta seja uma

seqüência obrigatória pra se calcular os elementos pertinentes ao gráfico de uma

função. Mas uma seqüência de Cálculo para servir como guia ao estudante na

construção do gráfico. Tomemos a proposta de trazida por Leithold (1987, p. 187) e

revista, com maior ênfase, pelo mesmo autor, em Leithold (1994, p. 256). O autor

aponta em sua revisão de 1994 a seqüência10:

Domínio da função;

Raízes da função; 10 Descrição matemática dos elementos no anexo II.

25

O cálculo de f’ e f’’;

Pontos críticos da função;

Máximo e Mínimos relativos da função;

Região de crescimento e Região de decrescimento da função;

Pontos de inflexão da função;

Região de concavidade da função;

Inclinação da reta tangente nos pontos de Inflexão da função;

Assíntotas verticais, Horizontais ou Oblíquas da função.

Ora nos parece fora de qualquer propósito, desprezar a derivada para tal

esboço. Os gráficos de funções, ainda que do segundo grau, somente pode ser

trabalhado usando, no contexto da informação, explicações através de definição,

como dissemos. A definição pode ser aceita pelo estudante. No entanto, ela não

constrói conhecimento alem de ser questionável. Ora, se a menor distância entre

dois pontos no plano é uma reta, porque temos, no caso, uma curva?

Portanto, usando-se a definição de parábola jamais teremos a garantia de

que entre o ponto P e P’ o traçado é curvo já que entre P e P’ existem infinitos outros

pontos. Este é um questionamento do estudante que, muitas vezes deixa o

professor embaraçado com declaram meus alunos de especialização em

matemática.

1.2. Objetivos

1.2.1. Objetivo GeralInvestigar uma proposta metodológica para o esboço do gráfico de função

onde o tratamento geométrico dado ao esboço do gráfico de uma função, anteceda

o formalismo matemático.

1.2.2. Objetivos Específicos Comparar, a abordagem de gráfico de função, em alguns livros textos

de Cálculo Diferencial de 196_ a 198_ com alguns os livros textos de

Cálculo Diferencial editados de 2000 a 2003, quanto à fragmentação;

Analisar dificuldades do estudante na distinção conceitual dos

elementos que compõe o gráfico de uma função e o motivo desta

dificuldade quando do ato de esboçar o gráfico;

26

Investigar o aprendizado do esboço de gráfico de função quando o

estudante é submetido à metodologia tradicional deste estudo face ao

aprendizado quando a metodologia é a que propomos neste trabalho.

A questão básica que “indexa” nossos objetivos específicos ao objetivo

geral, pode ser exemplificada tomando-se como ponto de partida o segundo objetivo

com a seguinte questão: o que leva o estudante a afirmar que uma dada função é

derivável no seu domínio máximo de definição, ao tempo em que declara haver um

ponto de descontinuidade nesta função?

O primeiro objetivo específico nos exigiu uma análise, ainda que pontual

de como o assunto, gráfico de função, é tradicionalmente tratado em alguns livros-

texto de matemática já apresentados á página 13. Isso nos levou a fazer foco em

dois conjuntos de livros-texto que terão as denominações de atuais e antigos,

justificada no item Breve enfoque a respeito do Livro-Texto de Cálculo Diferencial e

Integral, página 102, subitem 4.4.

1.3. Um trabalho abandonado

1.3.1. HistóricoDados coletados para pesquisa não devem ser desprezados [informação

pessoal11] a não ser que estejam claramente comprometidos. Este foi o caso da

primeira proposta deste trabalho tratando do gráfico de função usando a derivada. A

informação foi obtida muito depois do evento. Tentávamos confrontar o aprendizado

do esboço de gráfico de funções quando usada a metodologia tradicional diante da

metodologia aqui proposta. Mas não atinamos para guardar os dados coletados.

Trabalhamos com quarenta estudantes separados, aleatoriamente, em

duas turmas a saber: Turma A (20 alunos) e Tuma B (20 alunos). Os alunos

cursavam Especialização em Matemática e Graduação em Licenciatura em

Matemática na UFRPE. O método comparativo envolvia dois professores: o

pesquisador e um outro professor, com remuneração específica.11 Professora Dra. Verônica Gitirana, Professora Dra. Francimar Martins.

27

A metodologia constava de duas etapas, sendo uma presencial e outra à

distância. Para a primeira, teríamos quatro momentos em quatro sábados das 8:00

às 12 horas, 8 horas presenciais que é, em média, pelo menos na UFRPE, o tempo

dedicado, tradicionalmente, ao assunto esboço de gráfico de função.

Este trabalho a distância não tem relação direta com o Ensino da

Distância. Apenas tivemos um grupo onde os alunos entravam em contato com os

professores, numa hora determinada, para tirar dúvidas. Este procedimento não se

mostrou eficaz por dois motivos: Primeiro porque os alunos não foram incentivados a

este contato, segundo porque um dos professores jamais respondeu alguma

questão. Na realidade mensagens voltaram pela caixa se encontrar cheia. De certa

forma, para nosso estudo comparativo, seria mais conveniente que os alunos da

Turma A não tirasse duvida com o professor da Tuma B uma vês que o nível de

abordagem das questões eram absolutamente distintos.

No primeiro momento os estudantes fariam um pré - teste e, em seguida,

as turmas seriam separadas. A turma A seguiria com um professor para uma sala de

aula comum onde trabalhariam os seguintes tópicos: Domínio e imagem da função;

ponto crítico, região de crescimento e região de decrescimento, concavidade e ponto

de inflexão, Máximos e Mínimos locais, raízes da função, assíntotas, esboço do

gráfico.

Estes tópicos foram designados pelo pesquisador para serem aplicados

na forma tradicional usando, para isso, o livro do Leithold (1994). A escolha de

Leithold se deu em virtude de uma questão efetiva: é o livro texto mais usado na

UFRPE desde meados da década de 80 no curso de Licenciatura em matemática e

Cursos afins. Então não estamos nem mesmo tratando com livros mais complexo ao

entendimento do esboço de curva.

Enquanto esse professor estava em sala comum trabalhando

tradicionalmente, o pesquisador trabalhava com a turma B em outra sala comum

mas dispondo de uma dataShow que projetava, no quadro, o gráfico de uma função

completa.

Assim perfazíamos 8 horas de aula para cada turma. Vide tabela 1

abaixo.

28

Tabela 1- Tabela do cronograma das atividadesTabela 1 - Calendário de Atividades

aula data turma horário professor.

pré-teste 20/08/2005 a e b 8-12 pesquisador-

professor

Metodologia

Tradicional

27/08 a 8-12 professor

Metodologia

Proposta

27/08 b 8-12 pesquisador

Metodologia

Tradicional

03/09 a 8-12 professor

Metodologia

Proposta

03/09 b 8-12 pesquisador

Espaço de tempo para os estudantes estudarem antes do Pós-teste.

pós-teste I 17/09 a e b 8-12 pesquisador

professor

1.3.2. Desprezando os Dados Coletados.Ao final deste trabalho, a análise dos dados mostrou que a evolução dos

estudantes submetidos ao tratamento tradicional, turma A, foi desprezível, 0,2%.

Enquanto a turma B evoluiu 86%!

Mesmo que estes dados “corroborassem” com nossa hipótese, a de que

no estudo de gráficos de funções, o estudante submetido à visualização do gráfico

antecedendo o formalismo matemático, adquiria mais solidamente os conceitos e

definições do que estudantes submetidos a este ensino na forma tradicional, na qual

a abordagem é feita de forma fragmentada, a discrepância sugeria que algo não

havia se mantido corretamente. E não poderíamos correr o risco de apresentar tais

dados. Procuramos verificar como havia sido conduzido o trabalho do professor na

turma A.

Foram encontrados vários equívocos e omissões que comprometiam,

irreversivelmente, a já difícil metodologia comparativa e a proposta do pesquisador.

Encontramos definições comuns, mas “deformadas” como: “Reta tangente é uma

29

reta que toca em um único ponto da curva”. Esse não é um equívoco que possa

comprometer um colega em início de carreira mesmo porque, a definição de reta

tangente, não é trivial. Algo colocado, inclusive por Descartes conforme veremos à

página 91.

Perceba-se que uma leitura apressada, por exemplo, em Moise (1970),

pode levar a esse tipo de equívoco. Moise (1970, p.43): ”DEFINIÇÃO: Uma tangente

a um círculo é uma reta (no mesmo plano) que intercepta o círculo em um e

somente um ponto. Este ponto é chamado ponto de contato”.

Nada impede que o aluno tenha a compreensão do seguinte gráfico;

Onde a linha que sai de (0,0) e passa pelo corta o primeiro quadrante

seria uma contradição de Moise já que esta reta torça apenas um ponto da curva

mas não é tangente. O equivoco do aluno estaria apenas no ponto em que as retas

são seguimentos infinitos, ao contrario dose segmentos de reta. Logo esta reta não

poderia sair de (0,0). E isso faria com que a mesma tocasse outro ponto da curva.

Então atentemos para o fato de que Moise (1970) está definindo a

tangente a um círculo e, portanto, abordando um caso particular. Em seguida, Moise

(1970) vem dá uma informação clara desta particularidade e dizer que a definição

não se aplica em outras curvas. A fim de evitar mal entendidos, Moise (1970)

poderia usar sua explicação como definição. Ou seja: Moise (1970, p.43) “Uma reta

é tangente ao círculo se e somente se a reta é perpendicular ao raio traçado pelo

ponto de contato”. Autores atuais como, por exemplo, Thomas & Wesley (2002,

p.130), dão esse tratamento na definição de reta tangente ao círculo.

Outra distorção do que fora discutido estava na definição de Ponto de

Inflexão. “Ponto de inflexão é aquele, e somente aquele, no qual a derivada primeira

30

se anula”. Nesse caso Moise (1970) também dá uma definição que pode levar a

equívocos uma vez que se está passando da análise da função f para a análise da

sua derivada, f’. Pode levar a equivoco uma vês que o estudante tem certa

dificuldade de entender que os elementos de f são encontrados em f’. Na página 2,

gráfico 1, Pudemos ver que o ponto B no gráfico da função tinha como

correspondente o ponto B’ no gráfico da derivada desta função. O que ocorria era

que no gráfico da função o ponto B era um ponto de inflexão, enquanto no gráfico de

f’ é um extremo local.

Dito de outra forma: se um ponto P representa um elemento em f, este

ponto, exceto por coincidência ou em funções apropriadamente escolhidas, não

representará o mesmo elemento em f’. Cobrindo essa questão, Moise (1970, p.209)

vem dizer: ”Um ponto de inflexão de uma função f é um ponto onde f’ tem um Max LI

ou Min LI12”.

Finalmente o colega não falou das assíntotas nem deu pistas de sua

existência como o fazem Moise (1970) e Courant (1965) ainda que Leithold (1987)

ao contrario destes dois últimos autores fale, especificamente, de assíntotas nas

páginas 86, 94 e 254 na direção do esboço de curva.

A maioria dos autores deixa de contemplar, na definição de Ponto de

Inflexão, a condição de f’’ torna-se infinita deixando essa condição de mudança no

comportamento da função para ser tratada no estudo de assíntotas ou dede

descontinuidade da função. De fato essa é uma questão a ser tratada com cuidado.

demonstrar que a definição a seguir é verdadeira: O ponto (P, f(P)) será um Ponto

de Inflexão do gráfico de uma função f, se existir no gráfico uma reta tangente e um

intervalo aberto I contendo P, tal que se x ε I, então:

i) f’’(P) = 0 ou lim ( )x P

f x

i) f’’(x) < 0 se x < P e f’’(x) > 0 se x > P ou

ii) f’’(x)>0 se x < P e f’’(x) < 0 se x > P.

Alguns autores não enfatizam a existência do ponto de inflexão quando o

valor da função tende para o infinito. Entretanto é importante verificar que existem

funções nas quais a curva muda de sentido quando f’’ torna-se infinita como

12 Máximo Local Inferior e Mínimo Local Inferior.

31

mostraremos à página 106. Tanto Larson (2003, p.207) quanto Ayres (1975, p.42) e

fazem esta consideração.

O primeiro gráfico da segunda questão dos testes mostra:

Gráfico 11-Primeiro gráfico da segunda questão

Perceba-se que x = -2 e x = 2 são pontos de inflexão de f. Alguns autores

como Thomas & Wesley (2002, p.255), definem: “Um ponto onde o gráfico de uma

função possui uma reta tangente e onde há mudança de concavidade é Ponto de

Inflexão”. Em seguida Thomas & Wesley (2002) dão o tratamento usando a derivada

segunda.

Temos a questão da continuidade de uma função em um ponto. Este

elemento foi tratado de forma a deixar dúvidas sobre o fato de que toda função

derivável em um ponto P do domínio de f é continua em P e, no entanto, a recíproca

não é verdadeira. De modo particular este item tem uma peculiaridade, algo a ser

melhor tratado no desenvolvimento do trabalho, que é a questão das assíntotas.

Dizer que uma assíntota pode ser ponto de descontinuidade é verdadeiro. Mas que

assíntota é ponto de descontinuidade é, matematicamente, falso. Alguns autores e

alguns professores, costumam iniciar continuidade, conforme o professor Olavo

32

Otávio Nunes costumava fazer em suas aulas, dizendo que uma função é continua

se sua curva puder ser traçada sem a necessidade de retirar o lápis do papel.

Finalmente, outras ocorrências deste porte apontaram para a

necessidade de se desprezar os dados colhidos e se envidar os esforços em um

novo trabalho.

33

CAPÍTULO 2 – Fundamentação Teórica

2. Fundamentação TeóricaNeste capítulo falaremos das teorias que dão sustentação à pesquisa a

partir das idéias relacionadas com nosso objeto. Tal discussão desenvolve-se em

três frentes principais iniciadas pelo item 2.1 que vem tratar as teorias, as definições

e os conceitos envolvidos. Em seguida, trazemos o item 2.2, onde apresentamos

algumas teorias semióticas, um estudo nela baseado e, finalmente, trazemos o item

2.3 onde discutimos a presença de Vygotsky na pesquisa.

Para este capítulo tomamos a liberdade de cometermos algumas

repetições a fim de “recituar“ o leitor na problemática. Tivemos, também, o propósito

de não o engessar. Isso é: não nos obrigamos a responder uma questão formulada

em um parágrafo, no parágrafo seguinte. As questões são colocadas assim como

nos grandes romances como Cem Anos de Solidão de Gabriel Garcia Marques, Os

Miseráveis de Victor Hugo, A Filha do Silêncio de Morris West, Os Sertões de

Euclides da Cunha, etc., em que muitas vezes um ambiente sai de cena e retorna

em momento oportuno.

2.1. Teorias e trabalhos: uma visão geralA preocupação que permeia o mundo acadêmico no que se refere ao

ensino aprendizagem das ciências de modo geral, e da matemática de modo

particular, tem provocado várias discussões proporcionando um leque de opções

para diversos tipos de abordagens. Ao longo deste trabalho já particularizamos a

questão na Matemática ao enfocarmos as alterações que vem ocorrendo nos livros

textos de Cálculo desde Courant (1965) até Thomas & Wesley (2002). Estas

preocupações permeiam o ensino como um todo não estando, portanto, restritas ao

Cálculo Diferencial, ao Cálculo Integral, enfim, à matemática de nível superior.

Passoni e Campos (2003, p.49) vêm dizer: “Em 1976, Gerard Vergnould e Catherine

Duran mostraram que problemas aditivos eram fontes de dificuldades até mesmo

para os alunos no fim do primário”.

Citemos aqui preocupações teóricas mais amplas, algumas se

constituindo em teorias de aprendizagem, aportadas no século XX. Estas

preocupações trazem como representantes Vigotsky que, com sua corrente sócio-

34

interacionista onde o conhecimento é construído e a aprendizagem deve dar-se

dentro do contexto social, apresenta a linguagem como elemento que cumpre papel

fundamental no desenvolvimento cognitivo do sujeito; Skinner com sua posição

Behaviorista apontando a aprendizagem como sendo produzida pelo binômio

estímulo-resposta e, assim, defendendo que o sujeito toma ciência do objeto em

virtude dos reflexos gerados através de estímulos ambientais; Piaget que, através de

sua Epistemologia Genética, investigou como o conhecimento era desenvolvido na

criança, e que possui como conclusão mais geral a de que a aprendizagem está

sobretudo ligada aos diferentes níveis de desenvolvimento, etc.

Estes teóricos vêem apresentando suas idéias de cognição e, assim,

consubstanciando uma enorme gama de pesquisadores em seu debruçar sobre

ensino, ensino-aprendizagem, compreensão, saber, etc., através de teses, artigos e

outras publicações, de sorte que, o que e o como ensinar já não são os mesmos de

séculos mais remotos. Existe uma espécie de convulsão, de revolução na educação

como exigência do próprio homem, da própria sociedade na busca de identificar

como se constitui o saber.

Nossa discussão põe que os efeitos destes estudos refletem-se em

mudanças não só no ensino básico como também no ensino superior. Do ponto de

vista da matemática onde se fixa nosso foco de pesquisa, vimos que a abordagem

se vem modificando como nas demais ciências. Às vezes com mudanças

significativas, desde Courant (1965) até Thomas & Wesley (2002) como em Leithold

(1987) e Piskunov (1969), por exemplo.

Os autores dos livros-texto de Cálculo aqui mencionados deram

contribuições significativas para o que está ocorrendo uma vez serem responsáveis

pela formação de muitos matemáticos que hoje percebem a necessidade de

alteração em suas propostas metodológicas. Deste modo, são parte integrante da

mudança que vem ocorrendo, mesmo que suas idéias nos venham sugerir que as

mudanças por eles propostas sejam fruto de seu próprio juízo, sem âncora em

nenhum teórico pelo menos de forma explícita.

Como vimos, dentre as principais mudanças em “confronto” entre os

autores de livros texto de cálculo, está a linha de pensamento cuja conceituação é a

de que a aprendizagem matemática se dá pelo número de exercício que se faz

35

dentro do modelo baldista. Silva (2001) nos diz que esta idéia foi cunhada por Nilson

José Machado. Por outro lado a bibliografia nos mostra que o termo fui usado por

Câmara (2002). O fato é que se tratar de uma idéia onde temos: Definição

exemplos exercícios, contrapondo-se ao modelo científico: Problema construção Definição: O modelo baldista. Câmara (2007), em palestra na UFRPE, nos

apresenta os seguintes slides na explicação do modelo baldista:

O MODELO

BALDISTA

CONHECIMENTOMensagemPROFESSOR ALUNO

emissor receptor

concepções concepções

Figura 1 - Modelo Baldista Slide 1

LIMITES E POSSIBILIDADESDO MODELO BALDISTA

DEFINIÇÃO EXEMPLOS EXERCÍCIOS

ERRO DEVE SER EVITADO FALTA DE CONHECIMENTO

FÁCIL PREPARAÇÃO

GRANDE NÚMERO DE SUJEITOS ATINGIDOS

DEMANDA GRANDE MOTIVAÇÃO

SEMELHANÇA DE CONCEPÇÕES EMISSOR x RECEPTOR

Figura 2 - Modelo Baldista slide 2

O principio no qual o número de questões resolvidas são responsáveis

pela aquisição do conhecimento matemático se presta e até mesmo se conecta com

o modelo baldista. A linha de pensamento que defende este modelo como

fundamental para o aprendizado de matemática no entanto, tem, até mesmo entre

os representantes das obras aqui chamadas antigas como, por exemplo, Frank

Ayres (1975), oposições.

36

Na realidade não é difícil verificar que se aprende matemática através dos

dois modelos. O que se deve discutir é qual o modelo mais efetivo e que torna a

aprendizagem em matemática menos sacrificante. Nossos comentários aqui,

tornam-se pertinentes uma vez que, de certa forma, estamos tratando de um

“modelo de aprendizagem” em um tópico matemático. Assim sendo não é nossa

preocupação aprofundarmo-nos na questão e, no entanto, não queremos fugir dela.

Neste sentido constatamos que, por exemplo, Courant (1965) apresenta

nas primeiras 42 páginas 105 questões sem contabilizarmos os subitens enquanto

Leithold (1994), em suas primeiras 42 páginas nos apresenta 385 questões sem

contabilizarmos os subitens. A partir do capitulo 2, contabilizando 79 páginas

Courant apresenta 16 questões sem contabilizarmos os subitens, enquanto Leithold

nas mesmas condições apresenta 526 questões sem contabilizarmos subitens. Não

nos preocupamos em contabilizar os subitens pois são exercícios repetitivos.

Isso vem significar que se de um lado Courant (Ibidem) trabalha numa

perspectiva baldista, de outro não comunga com o aspecto do aprende-se

matemática exercitando-se o máximo possível. De modo análogo Leithold (1994),

Anton(2000) e Thomas & Wesley (2004), entre outros, têm uma vertente baldista ao

defender o aprende-se matemática exercitando-se o máximo possível. Como

dissemos, deste modo, o modelo com o qual se aprende matemática depende do

aprendente. É ele quem se adapta melhor a este ou aquele modelo.

Atualmente, especialistas em Educação Matemática como Dante e

Figueiredo, por exemplo, discutem que a aprendizagem em matemática não é

apenas uma questão de “suor” mas também, e principalmente, uma questão de

fundo epistemológico, psicológico e sócio-cultural. Moysés (1997, p. 9), ao discutir a

educação e as exigências da atualidade, vem dizer: “dos muitos olhares que a

questão permite, um deles passa, necessariamente pelo campo da questão

específica do ensino e da aprendizagem”. Esta discussão não é específica dos

estudiosos da Educação Matemática propriamente dita. De acordo com Moysés

(ibidem) “muitas são as áreas do conhecimento chamadas a dar sua contribuição

nesse sentido. A psicologia da educação é uma delas”.

É tradicional, como vimos no decorrer deste trabalho, tanto a

fragmentação na apresentação / ensino do objeto quanto o aspecto metodológico

37

onde se apresenta o ente matemático na forma algébrica, por exemplo uma função,

e tenta-se fazer com que o estudante a compreenda usando-se apenas uma de suas

representações, a forma geométrica, “grafadas” em um sistema de coordenadas.

Essa forma, ou modelo de apresentação do objeto matemático não é suficiente ao

aprendizado. Para sustentar esta assertiva, nos apoiamos na teoria dos Registros de

Representações semiótica de Raymond Duval. Uma sustentação que nos faz passar

por Vigotsky uma vez a discussão passar por elemento contido em algumas de suas

idéias, por exemplo, em Pensamento e Linguagem, Vigotsky (1991).

A teoria dos Registros de Representações Semiótica é uma teoria de

elevado grau de densidade, no sentido de complexidade, formulada com enorme

abrangência de contextos em diversas ciências mas particularizando, de modo

efetivo, a matemática. Alinhados com esta observação Maranhão & Igliori (2003,

p.57) vêm dizer: “uma de nossas preocupações ao escrever este capítulo foi o de

torná-lo acessível a pessoas não-iniciadas na complexa teoria (destaque nosso)

elaborada por Duval”.

Uma das dificuldades da teoria esta no fato de Duval parecer usar,

indistintamente, os termos Registro, Representação Semiótica, Sistema de

Representação e Representação. Dado que a constituição, como veremos mais

claramente, de um Sistema Semiótico se dá a partir de representações (ou seja: o

Sistema Semiótico é um conjunto, não vazio, de Representações), buscaremos à

guisa de esclarecimento, mostrar a complexidade referida, ao tempo em que

daremos nossa interpretação a partir da leitura da obra principal de Duval, Semiosis

y Pensamiento Humano sem pretendermos o determinismo absoluto do pensamento

de Duval.

Desta forma trazemos à tona as denominações usadas por Duval e um

esquema que pode ser uma solução para a problemática. Como dissemos acima,

estas denominações confundem-se em vários momentos, tanto de sua teoria

quantos de trabalhos de outros pesquisadores que utilizam suas idéias.

Os artigos, teses, dissertações, etc., que pudemos ler e que tinham como

fundamentação ou discussão a teoria em questão, não entraram no mérito do que

parece ser uma algaravia. Consultas a pesquisadores de reconhecido domínio sobre

38

Duval como Silvia Alcântara Machado e Mériclies T. Moretti revelam que, de fato, há

uma certa confusão nas designação dos termos usados por Duval.

Moretti, mais especificamente, (Anexo V), nos diz em e-mail: “, concordo

com a tua análise. Não vale a pena entrar nesta discussão, a não ser que seja o teu

tema de pesquisa. Isto dá pano pra muita manga”. A discussão a que Moretti se

refere foi nossa indagação na mensagem. No entanto concordamos com nossa

orientadora quanto a necessidade de tentarmos, pelo menos an passan, buscar

discutir o assunto. Nossa idéia então foi a de tentar uma breve discussão que

pudesse esclarecer Duval e não tentar mostrar que a teoria contém falha. A

problemática é, de fato, tão grande que Duval (1997), em seminário na USP, escreve

um texto tentando-a esclarecer. Do nosso ponto de vista não é feliz.

Quando Duval alerta para o fato de não se dever confundir um objeto com

sua representação, de pronto estabelece o que são objetos matemáticos e o que

são representações. Duval (2004, p.14) diz que são objetos matemáticos:”[...] os

números, as funções, as retas...” e que estes têm como representações...”[...] as

escrituras decimais ou fracionárias, os símbolos, os gráficos, os traçados das

figuras...”. Reforçando nossa idéia Duval (Ibidem) ainda vem dizer que o enunciado

em linguagem natural é uma representação semiótica. Mas diz também que gráficos,

figuras geométricas e formulas algébricas são, também, representações semióticas.

Penteado (2005, p.7) vem dizer "Duval tenta responder sua questão inicial

propondo que, pelo fato de haver várias representações para um mesmo objeto, a

sua apreensão efetiva é alcançada a partir do momento em que o estudante

consegue passar e transitar de uma representação a outra". Na realidade Duval

(2003, p. 14) diz: “A originalidade da atividade matemática está na mobilização

simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na

possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação”. Ainda mais

claramente para Duval (2002, p. 15) “[...] a compreensão em matemática supõe a

coordenação de ao menos dois registros de representações semiótica”.

Vê-se então que Penteado (2005) chama de representação o que Duval

chama de registro de representação. Ao discutir o ensino de vetores tomando como

base a teoria de Duval, Bittar (2003, p. 72) vem diz: "As várias representações

semióticas presentes no ensino de álgebra linear levaram Pavlopoulou (1994) e Dias

39

(1998) a estudar as dificuldades dos estudantes em trabalhar com essas diferentes

representações (registros)....". Assim a representação pode ser chamada de registro.

Duval parece nos sugerir que recíproca não é verdadeira.

A realidade é que percebemos uma espécie de hierarquia na teoria pois

qualquer um destes elementos também é tratado como registro. Em nenhum

momento pudemos ver Duval chamar, por exemplo, gráfico de sistema semiótico.

Mesmo com o fato de que faremos nossa sustentação em um recorte da teoria,

tentamos esclarecer o que Duval nos sugere dizer ao anunciar certas designações.

O entendimento a respeito destas denominações vem especificado no esquema

abaixo e explicado a seguir:

Esquema 1- Possíveis denominações de Duval

O esquema acima significa que, quando Duval toma a palavra

REGISTRO, está se referindo a quaisquer dos elementos “hierarquicamente”

abaixo de Registro de Representação Semiótica. Por esse motivo, às vezes vemos

Duval chamar um ente matemático “A” de Registro e outras vezes de

Representação, registro de representação, representação semiótica ou de sistema

semiótico. Quando Duval toma o termo Registro de Representação (ou Sistema

Semiótico ou Representação Semiótica) está se referindo às linguagens de modo

geral, ou a uma linguagem em particular ou mesmo a um dos elementos que

compõe uma dada linguagem. Identicamente, quando fala de linguagens, está

falando de gráficos, figuras, tabelas, símbolos matemáticos, etc. Ocorre que Duval

também chama gráfico, figuras, tabelas e símbolos matemáticos de Representação.

40

Desta forma, podemos tomar o esquema acima como um esquema

“hierarquizado” onde Registro pode ser quaisquer dos elementos da teoria. De modo

análogo o termo Representações Semióticas é entendido como qualquer elemento

abaixo de Registro, enquanto representações são os elementos que formam a

linguagem. Assim, quando queremos nos referir a uma representação na linguagem

simbólica, podemos dizer: a representação y = f (x), que compõe a linguagem

simbólica. Não dizemos que a linguagem simbólica é uma representação uma vez

ser a linguagem um conjunto de representações. Do mesmo modo, o conjunto dos

reais não é um numero, mas um conjunto de números.

Fazendo uma analogia com os conjuntos matemáticos, respeitadas as

deformações ou discrepâncias, teríamos: dados os conjuntos A e B com A {2, 4, 6, 8,

10} e B = {2, 4, 6}, A B. Consideremos A como uma linguagem e B como

representações desta linguagem. Tomar um elemento em A não significa,

necessariamente, termos uma representação em B. Mas tomar um elemento em B

significa, necessariamente, termos uma representação em A.

Este entendimento, no geral, é importante já que a questão fundamental

em Duval (2004) diz respeito ao fato de que não devemos confundir o objeto com

sua representação nem a representação pode ser confundida com um sistema

semiótico. Em outras ciências, como a Química e a Biologia, mesmo que não

tenhamos o objeto, as suas representações, de certo modo, nos parece permitir este

olhar. No caso da matemática, o entendimento desta distinção, observados os

escritos de Duval, se dá a partir da constatação de que os objetos são abstratos e,

assim, não podemos ter deles um conhecimento real. Por isso é importante ter em

mente que somente temos acesso ao objeto matemático através de suas

representações que, como corolário, vem significar não termos como conhecer o

objeto matemático na sua plenitude.

Objetos matemáticos, como já pode depreender o leitor, tem várias

representações. Um exemplo desta assertiva vem com Vergnaud (1985) quando

trata dos números e de suas representações. Vergnaud (Ibidem) vem mostrar que

um mesmo número comporta diferentes representações. Tomemos um número

qualquer, por exemplo, o número 9. Este número pode ser representado na

linguagem materna, numero nove, na escrita arábica, 9, na escrita romana IX. Tanto

41

Vergnaud quando Duval mostram, por essa linha, que um mesmo sujeito matemático

possui um conceito que aceita várias representações. Neste caso vemos que há a

representação do mesmo número (ou objeto) mas com características diferentes.

Esta distinção entre as representações têm suas características próprias e isso se

torna importante uma vez que são as características das Representações que Duval

(2004) quer que sejam observadas na aprendizagem.

2.2. Algumas teorias semióticas Lexicalmente, Semiótica é do Grego Semeiotiké1 e significa arte dos

sinais. Em sua obra, Eco (1976) vem trazer três definições para Semiótica. A

definição de Saussure (1916), a definição de Peirce (1931) e a sua definição. Eco

vem dizer que toma, para a sua Teoria Semiótica Geral, o termo Semiótico como

equivalente à semiologia, levando em conta a carta constitutiva da International

Association for Semiotic Estudies – Association Internationale de Sémiotique, 1969.

Saussure (Ibidem) vem dizer sobre a semiologia, de acordo com Eco (1976, p. 9)

que:

Ela poderia fazer parte da psicologia social, e, em conseqüência, da psicologia geral...Ela poderia nos dizer em que consistem os signos, quais as leis que os regem. Por não existir ainda, não podemos dizer o que será; todavia tem o direito de existir e seu posto está determinado de começo.

De acordo com Eco (Ibidem), a definição de Peirce (1931), é mais

compreensível.

Por semiose entendo uma ação, uma influência que seja ou coenvolva uma cooperação de três sujeitos, como por exemplo, um signo, o seu objeto e o seu interprete, tal influência tri-relativa não sendo jamais passível de resolução em uma ação entre duplas 5.484. Eco (1973, p.10)

Peirce (1931) deu tratamento geral aos signos apontando para a

semiótica. Através de suas formulações, a semiótica reveste-se de uma expansão

aplicativa dando origem ao semiologismos poético, musical, teórico, etc. Denota-se,

assim, a existência de vários processos semióticos. Contudo temos uma única

semiótica abordada de ângulos diferentes, uma vez que a origem da discussão se

dá em virtude da compreensão de traduções, da lingüística. Santaella (1983, p 13)

1 Conforme o dicionário on-line Priberam.

42

vem dizer: “a semiótica é a ciência que tem por objeto de investigação todas as

linguagens possíveis, ou seja, que tem por objeto o exame dos modos de

constituição de todo e qualquer fenômeno”. Santaella (2002) faz uma discussão dos

vários “processos” semióticos. A semiótica no Design, na comunicação, na

publicidade, em marcas de produtos, etc., mostrando que a semiótica tem várias

vertentes não sendo correto, portanto, considerar a semiótica apenas do ponto de

vista de Ciência teórica, pura e inaplicável.

Eco (1976), Saussure (1916), Peircer (1931), entre outros, discutem o que

é semiótica em uma proposta mais geral do que a de Duval (1993) que vem tratar de

como usar as representações semióticas na aprendizagem de modo geral e na

matemática de modo particular. Enquanto Duval (Ibidem) formula uma teoria dos

Registros de Representações Semiótica, na compreensão desta teoria ser uma

necessidade para se conhecer um objeto através de uma rede cognitiva de

informações traduzidas em gestos, línguas, formas, etc., Eco (Ibidem), por exemplo,

traz um Tratado Geral de Semiótica com o objetivo, Eco (1973, p.1), de “explorar as

possibilidades teóricas e as funções sociais de um estudo unificado de todo e

qualquer fenômeno de significação e / ou comunicação”.

Peicer (2005, p. 45:227), em uma nova abordagem, vem dizer: “em

sentido geral, a lógica é, como acredito ter mostrado, apenas um outro nome para

semiótica, a quase-necessario, ou formal, doutrina dos signos”. De fato, a discussão

de Peicer (2005, p. 9-43) se dá na direção da lógica com as mesmas idéias com que

trabalhou semiótica em 1931. O que liga Duval à semiótica enquanto ciência geral e

generalizadora, no dizer de Eco, é o fato de que a semiótica, enquanto ciência em

formação, como diz Saussure, abrange todos os aspectos semióticos. Definir que

teoria semiótica Duval tomou como direção base para sua formulação, não é tarefa

comportada neste trabalho. No entanto Duval parece sugerir está mais apoiado em

Peicer do que em Saussure ou Eco.

2.2.1. Teoria dos Registros de Representações semiótica.A Teoria dos registros de representações semióticas apresentada por

Duval, tem como foco o aprendizado das ciências de modo geral e de modo

particular da matemática. Como pudemos ver em nosso esquema, muitos são os

elementos dos quais Duval trata: Representação, Sistemas Semióticos, Linguagens,

43

Registros, etc. Nossa tentativa com o esquema foi, de um lado contornar um

problema e de outro colocar para nós mesmos uma direção a fim de deixar claro ao

leitor nosso entendimento sobre estes termos.

Há uma preocupação, cerne da teoria, que Duval (2004) procura

evidenciar deste o início de seus escritos: não existe possibilidade de entendimento

dos fenômenos do conhecimento sem o auxílio das representações. A noção de

representação vem sendo colocada, de acordo com Duval, desde 1924. Duval

(1993) discute a importância das representações na aprendizagem com foco em

tipos de linguagem e número de representações. Através do tempo, de acordo com

Duval (2004) a noção de representação vem sofrendo mudanças. Já foi

apresentada, conforme Duval, por Piaget, como representação mental, como

crença, como evolução dos objetos ausentes. E sofreu outras mudanças como

representação interna ou computacional, etc.

O que Duval faz é designar como representações semióticas a forma

como o termo aparece por volta de 1985. Neste caso, a representação semiótica

passa a ser um sistema para a aprendizagem. Duval (2004, p. 27) vem dizer: “a

noção de representação semiótica pressupõe, pois, a consideração de sistemas

semióticos diferentes e uma operação cognitiva de conversão das representações

de um sistema semiótico a outro”. Ao fazer esta citação Duval vem apoiar nossa

idéia. Quer dizer: Os sistemas semióticos são formados por representações. Uma

outra consideração é que a conversão é uma “operação”, um trânsito que produz

alteração cognitiva.

Duval (2003, p. 15) apresenta vários tipos de representação semiótica.

Dentre todos, tomamos como elemento de apoio à nossa pesquisa a transformação

que é composta pelos tratamentos e conversões assim definidas, Duval (2003,

p.16):

Os tratamentos são transformações das representações dentro de um mesmo

registro: por exemplo, efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo

sistema de escrita ou de representação dos números; resolver uma equação

ou um sistema de equações; completar uma figura segundo critérios de

conexidade e simetria.

44

As conversões são transformações de representações que consistem em

mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados; por exemplo,

passar da escrita algébrica de uma equação para a sua representação

gráfica.

O sistema de tratamento aparece com freqüência quando o professor

altera apenas os números de uma relação para tentar uma “nova” explicação ao

estudante que levantou suas dúvidas. Por exemplo, o professor explica a resolução

da derivada de 4( ) 2f sen . Diante do não entendimento do estudante, o professor

traz a explicação para 2 2( ) 4f sen sen . Esta explicação para aquisição do

conhecimento, que Duval chama de transformação por tratamento, implica no fato

do professor ficar no mesmo sistema de representação. No entanto, como vimos,

Duval (2003, 2004) discute que a aprendizagem mais efetiva em matemática se dá

quando há mudança de sistemas de representação para explicar um mesmo objeto

e a mudança destes sistemas cobra, pelo menos, duas diferentes representações

do mesmo objeto matemático.

Quando se fica no mesmo sistema de representação, pode-se alterar a

característica e a forma, mas não se mexe na conceituação que, do ponto de vista

de Duval, é o que ocorre no exemplo acima. Assim, para Duval, as representações 4( ) 2f sen ,

2 2( ) 4f sen sen não são diferentes já que a diferenciação cobra

principalmente a propriedade conceitual. Se este estado de coisas acontece

enquanto os tratamentos são explorados, o estudante acaba não reconhecendo o

mesmo objeto representado de outra forma. Por exemplo, através da linguagem

figural.

O alto nível de complexidade da teoria pode ser observado nesta simples

passagem. Se tomarmos o gráfico abaixo apenas com uma representação, ficamos

com um conhecimento incompleto. Por exemplo, qual o valor máximo da função? O

gráfico por si só não nos diz muita coisa - e o mesmo ocorre com a representação

simbólica da função. O quê, de fato, significa a expressão 8 (oito) abaixo?2

3( ) xf xx x

Expressão 8

45

Gráfico 12-Exemplo de representação

Poderíamos aqui usar outra representação como, por exemplo, 2( , ( ))x f x para dizermos que a função não tem valor finito. E, neste caso,

estaríamos usando três registros dentro da proposta de Duval (1993) e

coenvolvidos, como quer Peirce (1931), conforme Eco (1973, p. 10). Mesmo assim é

possível que, para pessoas não versadas em matemática, ainda tenhamos de usar a

linguagem materna a fim de proporcionarmos uma melhor compreensão do exposto

e, de acordo com Duval, precisaríamos obter os elementos cognitivos para cada

representação tomada, pelo menos, em dupla, a fim de formarmos o conhecimento

do objeto.

O que Duval (1993) busca mostrar é que, tendo um objeto várias formas

de representação, o efeito cognitivo da aprendizagem se dá quando o estudante

consegue passar de uma representação a outra e entender o retorno à

representação inicial como uma espécie de “função biunívoca”, tendo sempre a

construção cognitiva da elaboração de cada elemento. Deste modo nos sugere que

a representação do objeto justapondo-se ao respaldo da cognição, é o que lhe dá

significância a qual é compreendida através de representações. Dito de outro modo,

para este teórico, o conjunto de representações de um mesmo objeto em sistemas

semióticos distintos, nos possibilita, a efetiva aprendizagem do conceito do objeto.

46

Correndo o risco de repetição, lembramos que Duval nos diz que a

coordenação, na aplicação de dois ou mais registros, tem sua maior importância

quando da compreensão de como isso ocorre. O que, de fato, não é um

entendimento simples.

2.2.2. Do Recorte Nosso interesse está no recorte composto em dois tipos de

representação semiótica: Transformação por Tratamento e Transformação por

Conversão conforme colocado à página 35 item 2.2.1, onde citamos as suas

características de acordo com Duval. Relembramos ao leito que quando tratamos da

Transformação por Tratamento, estamos tratando com representações pertencentes

a uma mesma representação semiótica. Seja a linguagem natural, a linguagem

simbólica ou a linguagem figural. Quando tratamos da Transformação por

Conversão, estamos tratando com pelo menos duas representações obtidas de

sistemas semióticos distintos.

Nem Duval nem Vygotsky focam suas teorias abordando o ensino

superior. No caso de Duval, o trabalho com matemática superior é algo muito

complexo. Isso poderia levar o leitor a indagar da pertinência de Vygotsky e Duval

como teóricos neste trabalho. No entanto pomos que nosso estudo, com foco no

ensino superior, não tem conflito com os estudos destes teóricos uma vez as teorias

aqui postas não estarem restritas ao estudo da matemática elementar. Duval, de

modo mais específico, nos aponta caminhos de validade de sua teoria no ensino

superior quando chama a atenção para o fato de que, ao avançarmos nesta direção,

cada vez teremos de trabalhar com um maior número de representações o que torna

mais complexo o entendimento em matemática.

Compreendendo que alguns conceitos e abordagens teóricas são o lastro

de um trabalho deste nível, procuramos aprofundar nossa concepção nestes

conceitos e abordagens teóricas, observados nossos limites de tempo, de

intencionalidade e de compreensão. Esta observação nos levou, então, a buscar na

teoria o ponto mais apropriado à nossa hipótese. Deste modo recaímos, como

declaramos, em uma das principais idéias de Duval: transformação. Para

escolhermos e mergulharmos neste recorte, buscamos conceitos que

coenvolvessem nossos pressupostos e a nossa compreensão trazidos para esta

47

pesquisa a partir de elementos encontrados quando da abordagem a vários tipos de

trabalhos como artigos, teses e outras publicações.

A idéia de transformação proposta por Duval (2003, 2004), vem dizer

respeito à preocupação da aprendizagem de modo geral e, de modo particular, na

questão da aprendizagem em matemática. Duval (Ibidem), como vimos, fala de dois

tipos de transformação. Estas transformações podem assim serem esquematizadas:

Figura 3 - Transformação: Tratamento e conversão

Cada transformação, seja por tratamento ou por conversão, se dá a partir

de, pelo menos, dois registros de representações quando se passa de um destes

registros a outro explicando, de acordo com Duval (2003, p.22), “as propriedades ou

os aspectos diferentes de um mesmo objeto” e significando que a transformação é

um resultado. De acordo com Duval, como já dissemos, existe um número muito

grande de registros de representação que vão dá origem à transformação. Deste

mundo imenso de registro, Duval (2003, 2004) diz existir quatro tipos muito

diferentes. São os registros multifuncionais, os registros monofuncionais, a

representação discursiva e a representação não discursiva conforme tabela abaixo.

Observemos que a tabela é de dupla entrada: A entrada dos Registros

multi e monofuncionais e a entrada das Representações (discursiva e não-

discursiva). De acordo com a tabela, tanto o Registro multifuncional quanto o

monofuncional admitem representação discursiva ou não-discursiva.

48

Representação Discursiva Representação Não-Discursiva

Registros multifuncionais: os

tratamentos não são

algoritizáveis

Língua natural

Associações verbais

(conceituais)

Argumentações a

partir de

observações,

crenças...;

Dedução válida a

partir de definição ou

de teorema

Figuras geométricas planas

ou em perspectivas

(configurações em

dimensões 0, 1, 2, 3D).

Apreensão

operatória e não

somente

perspectiva;

Construção com

instrumentos.

Registros Monofuncionais:

Os tratamentos são

principalmente algoritmos

Sistemas de escritas:

Numéricas (binárias,

decimal,

fracionária...);

Algébricas;

Simbólicas (línguas

formais). Cálculo.

Gráficos cartesianos.

Mudança de sistema

de coordenadas;

Interpolação,

extrapolação.

Quadro 1- Principais registros em DuvalTabela 2 – Duval – Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático (Fazer Matemático, Atividade Matemática) (Tradução nossa)

É importante entender que o fato de se ter um registro monofuncional ou

plurifuncional não nos garante que o mesmo produz transformação por tratamento

ou por conversão que nos vai trazer o problema da correspondência semântica.

Teremos de enfrentar um outro problema, como veremos no próximo tópico, ao

sairmos de simples adição já que iremos necessitar do recurso do limite cujo

conceito é muito importante na matemática mas é, também, muito complexo.

Ao invés de tentarmos quaisquer outras exemplificações das idéias de

Duval, levantaremos sua concepção a respeito das funções cognitivas no ser

humano e a importância das representações e do comportamento. Duval (2004)

considera que o homem desenvolve em sua vida duas concepções chamadas de

funções cognitivas. Uma de caráter orgânico que são os sentidos (tato, audição e

visão) e outra adquirida, a linguagem (escrita, falada, gesticulada, etc.), que tem

como finalidade a exposição de idéias. Duval (2004, p.32) vem dizer: "em psicologia,

49

para estudar a aquisição de conhecimento e os funcionamentos que permitem seu

tratamento ou sua aprendizagem, a noção de representação é tão essencial como a

de comportamento".

2.3. Convergência desta Pesquisa com DuvalDe modo mais amplo um registro é constituído por signos (traços, ícones,

símbolos, etc.). O registro, bem como a representação2, no bojo, por exemplo, da

discussão das transformações (de tratamento ou de conversão) de que trata Duval,

se refere a elementos decisivos na distinção da análise do funcionamento da

compreensão. Dito de outro modo, os fenômenos relativos ao conhecimento só

podem ser entendidos a partir da noção de representação. Duval (2004, p. 30) vem

dizer:

Falemos então de registros de representação semiótica. Estes registros constituem a margem de liberdade com que conta um sujeito para objetivar a si mesmo uma idéia ainda confusa, um sentimento latente, para explorar as informações ou, simplesmente, para comunicá-las a um interlocutor.

Queremos observar aqui que Duval se está referindo a um certo tipo de

registro: Os registros de Representação Semiótica. Fazemos esta observação para

que o leitor continue focado no fato de que Duval usa a palavra registro em

substituição a registro de representação semiótica e a todos as demais

“nomenclaturas” de sua teoria. Por outro lado, como veremos a seguir, a linha

divisória entre representação à luz de Duval e representação à luz de diversas

ciências são elementos muito distintos. Duval (2004, p.25) vem dizer: “...esta noção

de representação se tem apresentado em três ocasiões distintas, cada uma com

uma determinação totalmente diferente do fenômeno designado”.

As ocasiões a que Duval se refere, são por ele colocadas

cronologicamente como:

1. entre 1924 e 1926 quando o termo foi apresentado como representação

mental por Piaget (fenômeno psicológico – nota nossa);

2 Vimos que toda representação pode ser chamada de registro. A recíproca não é verdadeira.

50

2. entre 1955 e 1960 como representação interna ou computacional

possivelmente por Broadbent e mais precisamente em 1958 (através da

teoria da informação – notas nossa);

3. por volta de 1985 como representação semiótica sinalizando os trabalhos

sobre aquisição dos conhecimentos matemáticos e sobre os grandes

problemas internos da aprendizagem (Teórica semiótica – nota nossa).

De acordo com Duval (2004, p. 27) “a especificidade das representações

semiótica consiste em que são relativas a um sistema particular de signos: a

linguagem, a escrita algébrica e os gráficos cartesianos...”. Ora, a noção de

representação semiótica, conforme Duval (Ibidem), precisa dispor de sistemas

semióticos distintos agregados a uma operação cognitiva de conversão que

possibilite a passagem de uma representação de um sistema semiótico para outra

representação em outro sistema semiótico. Assim, se tivermos uma representação

‘a’ pertencente a um sistema semiótico e uma representação ‘b’ pertencente a outro

sistema semiótico, a operação deve ser tal que o estudante possa passar ir de ‘a’

para ‘b’ e vice-versa.

Essa proposição geral nos vai permitir valorizar a importância de se tratar

os objetos, ou fenômenos matemáticos, em suas mais diversas formas e

compreendermos a ligação entre eles, como o faz Moretti (2003), quanto buscar

determinar as relações (ou identidade) entre os elementos o que, em síntese, é

entender as implicações que cada elemento do gráfico da função impõe ao outro

nesta relação. Traremos, como exemplo, os elementos crescimento, decrescimento,

concavidade e extremo local, fazendo uma análise da relação entre eles e tentando

estabelecer a existência ou não de uma conversão congruente.

Antes, contudo, precisamos esclarecer que, para uma análise da

atividade de conversão, as referências que possuímos e que nos irão permitir a

constituir focando elementos do gráfico da função, estão colocadas em, pelo menos

quatro momentos por Duval sem, contudo, haver uma inserção abrangendo o ensino

superior no trato da derivada. Temos pois:

1. Por Duval (2003) na abordagem de conjuntos quando determina três fatores

para a atividade de conversão - vide página 49;

51

2. Em Duval apud Moretti (2003, p.152) quando estabelece que o procedimento

por interpretação global das propriedades figurais deve ser tal que contemple:

a visualização das variáveis, os valores do comportamento e a unidade

simbólica correspondente;

3. Em Duval (2004) quando trata da conversão entre escrita algébrica e das

relações gráfico-cartesianas – vide página 59;

4. Em Duval (2004) quando discute a não congruência das formas de base que

implica predicados com dois lugares, com dois enunciados em linguagem

natural conforme passamos a discutir.

A especificidade do tratamento que precisamos para discutir a relação

entre os elementos que constituem o gráfico da função polinomial com foco na

derivada precisa, então, se ater ao principio maior da atividade de conversão ditado

por Duval (2003, p. 19 – 2004, p. 50) que é a “comparação da representação dos

registros de partida com a representação terminal no registro de chegada”. Dito de

outra forma, os elementos trazidos por Duval em várias tabelas já apresentadas,

precisam de novas nominações (como o faz Duval) que dependem do objeto tratado.

A exigência é a comparação entre os registros de partida e de chegada que

precisam obedecer as normas colocadas por Duval para este fim. Também é preciso

chamar a atenção para o fato de que a conversão somente se dá se o registro de

entrada saída for menos complexo do que o registro de entrada.

Tomemos, pois, os quadros 2 e 3 abaixo em termos do uso da linguagem

simbólica e figural, respectivamente.

Comportamento

Relação Variáveis visuais

Unidade simbólic

a

Congruência / não congruência

Cresce e é f’ >0 Sim Sinal (+) Sim (Um só sinal: duas coisas)*

Côncava f’’>0 Sim Sinal (-) Sim (Um só sinal dizendo duas coisas)*

Decresce e é f’ <0

Convexa f’’ <0

Cresce e é f’>0 Sim Sinal (+) Não (uso de dois sinais na representação

52

de saída)**Sinal (-)

Convexa f’’ <0

Decresce e é f’<0 sim Sinal (-)

Sinal (+)

Não (uso de dois sinais na representação

de saída)**Côncava f’’>0

Maximo Local f’>0, f’=0,f’<0

Sim Sinal +,

“0”, -

Sim

Mínimo Local f’<0,f’=0,f’>0 sim Sinal +,

“0”, -

Sim

Quadro 2- Quadro de congruência / não – congruência

*A complexidade no registro de saída é menor do que a do registro de entrada; **A complexidade no registro de saída e igual à do registro de entrada. Neste quadro vemos as relações entre alguns elementos. Observe-se que quanto aos extremos locais a coluna relação está verificando o comportamento da função em termos de crescimento e de decrescimento com estes extremos.

Para Duval (2004) o fato de um estudante vir a resolver uma questão

matemática sob a óptica de um sistema semiótico como: álgebra; aritmética;

geometria ou trigonometria (semiosi)3, não garante a apreensão do objeto, do

conceito (noesis)4. Faz-se necessária a intervenção de, pelo menos, dois registros

semióticos. Através destes registros, podemos ficar na perspectiva da transformação

por tratamento ou de transformação por conversão. Na página 52, apresentamos o

quadro 5 que constitui comportamento a relação, na linguagem natural e simbólica.

O quadro 2 acima veio se inserir no seguinte contexto: se tomarmos que

uma função num dado intervalo I do seu domínio cresce e, neste intervalo, a função

é côncava, qual a relação entre este crescimento e esta condição de concavidade?

Do mesmo modo, se a função é descontínua em um certo ponto P do gráfico, que

relação esta condição de descontinuidade guarda com o domínio da função? Vimos

que Moise (1970) disse bastar saber onde uma função é crescente e onde ela é

decrescente para sabermos seu ponto de extremo local. No entanto, como

mostramos, isso só é verdade se a função for derivável tanto no ponto de extremo

local, onde precisa ser igual a zero, quanto em suas vizinhanças já que podemos ter

uma derivada nula sem que isso venha a ser extremo local.

3 Segundo Duval: A apreensão ou a produção de uma representação semiótica4 Segundo Duval: Os atos cognitivos.

53

A questão então é: qual a implicação deste fato, do ponto de vista de

Duval, quando o estudante for observar o comportamento da função como um todo?

A resposta a esta questão é simples, mas entender o mecanismo já não é tão

evidente como vimos nos quadro 2 acima e reforçaremos no quadro 3 e 4 - páginas

58 e 59.

Conforme justificaremos na página 55, a função tem ponto de

descontinuidade em P e assim não é derivável neste ponto o que impossibilita haver

tangente em P. Este conhecimento não é propriamente a aquisição do conceito

(noesis) uma vez que para a aquisição do conceito se faz necessário saber que, se

existe este ponto de descontinuidade, então necessitamos discutir, pelo menos, a

seguinte questão: o ponto P inviabiliza a existência de extremos locais no intervalo

(a; b) = I? Se não inviabiliza, então, obrigatoriamente, existe pelo menos dois

subintervalos de I, por exemplo, I’ e I’’, onde a função é derivável e onde cresce e

decresce.

Dito de outro modo, o conceito, neste caso, necessita de maior amplitude

como é o fato de se reconhecer o que ocorre em torno de P. De acordo com Duval

(2004), este tipo de questão torna-se mais difícil de ser entendida por envolver mais

representações.

Por que I’ e I’’? Para responder a esta pergunta precisaríamos de outras

representações. Por exemplo, tome-se o gráfico 8 referente a este ponto teórico;

54

Gráfico 13-Estudo de intervalos

Vejamos a representação entre os pontos do intervalo (a;b)=I. Se P é um

ponto de descontinuidade, então em P, f’ ≠ 0. A função, então, não é derivável em P

pois: Se a função é contínua no ponto ‘a’, então, as seguintes condições são

satisfeitas:

( ) ( ) existe(iii) lim f(x) = f(a)

(ii) lim ( ) exite;x a

x a

i f a

f x

E para que ela seja derivável em ‘a’, então as condições acima são

satisfeitas com o acréscimo de que (iii) = (ii). Ou seja: se (iii) = L, então (ii) = L. Desta

forma, não mais podemos considerar, sem restrições, o domínio (a;b), uma vez que

a função é descontínua em P(a;b). Por isso, agora vamos considerar os intervalos

I, I’ e I’’, onde a função é contínua exceto, possivelmente, no extremo superior de I e

de I’, X0 e X1, respectivamente. Um quadro de convergência semântica para as

funções polinomiais será apresentado logo após a discussão que se segue.

Estas representações estão na forma geométrica e são transformações

de conversão. Duval (1988), tratando especificamente do esboço de curva, classifica

esta atividade em três tipos de procedimentos: “1 – O procedimento por pontos; 2 –

O procedimento de extensão de um traçado efetuado; 3 – O procedimento de

interpretação global das propriedades figurais”. Estamos tratando nosso gráfico 1 de

acordo com o terceiro procedimento sobre o qual Duval (ibidem) vem dizer: “neste

tipo de tratamento não estamos em presença da associação um ponto um par de

números, mas na associação variável visual da representação unidade

significativa da escrita algébrica”

Para Duval (2004, p.17), “[...] a conversão entre gráfico e equação supõe

que se consiga levar em conta, de um lado, as variáveis visuais próprias dos

55

gráficos (inclinação, interseção com os eixos, etc.) e, de outro, os valores escalares

das equações (coeficientes positivos ou negativos, mais, menos ou igual, 1, etc.)...”.

Isso nos permite, por analogia simples, dar um tratamento ao gráfico de função a ser

considerada em relação ao comportamento dos seus elementos, levando em conta

os sinais que cada um possui. Então existe, como na discussão de Duval, por trás

das condições do comportamento de gráfico, as relações intrínsecas a cada

elemento.

Não podemos tomar as palavras de Duval (2004, p. 14), quais sejam,

“passar de uma equação a um gráfico cartesiano”, como algo sem similaridade, uma

vez que estaríamos restringindo a teoria, não só a matemática, mas a um tipo de

objeto particular: equação-gráfico. Duval (2004, p.14) vem dizer: “desta perspectiva

é essencial não confundir jamais os objetos matemáticos, quer dizer, os números, as

funções, as retas, etc., com suas representações, quer dizer, as escritas decimais ou

fracionárias, os símbolos, os gráficos, os traçados das figuras...”. Ou seja, Duval não

só alerta para o fato de não confundirmos os objetos com suas representações,

como abre um leque de “elementos” a serem trabalhados. Uma leitura mais geral diz

que não devemos nos restringir a particularizações. Desta forma, nosso tratamento

pode ser levado a efeito com referência ao gráfico de uma função e, assim,

podemos, inclusive, trabalhar com elementos do mesmo gráfico em diversas

representações, já que cada elemento é uma representação. O conjunto de

representações (aí incluindo suas particularidades), pode ser tomado como um

sistema de representação e, portanto, temos a possibilidade de verificar a existência

de uma transformação por conversão.

Estas observações nos permitem estudar a passagem de um elemento do

gráfico a outro. Assim, temos as representações (x0;x1), (x1;x2), (x2;x3) e (x3;x4)

relacionadas entre si de acordo com suas peculiaridades definidas pelas

propriedades que lhe são intrínsecas já que os pontos no plano podem sofrer uma

análise do ponto de vista da congruência ou não congruência, conforme o faz Duval

(2003, p.19). Tomando-se cada uma destas representações como intervalo que são,

a podemos estudar internamente (isso é, o intervalo em si mesmo) e externamente

(isto é, os intervalos entre si) pois cada intervalo pode conter uma serie de

elementos da composição do gráfico.

56

Caso usássemos apenas a apresentação algébrica e uma “plotagem” de

pontos nesta análise, estaríamos no que Duval chama de transformação por

tratamento. Sairíamos da função y = f(x) para sua representação gráfica. No entanto,

estamos dando um tratamento ao gráfico usando o procedimento de interpretação

global das propriedades figurais, conforme recomenda Duval, aplicando a linguagem

natural ou a linguagem formal que nos permitem sair da transformação por

tratamento para a transformação de conversão.

Neste momento específico, no entanto, a abordagem proposta não é a

que fizemos, ou imaginamos, aqui. A proposta é iniciarmos com a transformação por

tratamento. Não pensamos agir de modo diferente uma vez estarmos propondo

tratamento metodológico invertendo a condição metodológica tradicional. Nesta

direção, não faz sentido começarmos por um tratamento já reconhecidamente

complexo para o estudante, conforme nos diz Duval (2003, 2004). Lembremos que a

proposta é a apresentação do gráfico completo (ou global, como diz Dugdale), como

sendo o contato inicial entre o estudante e o esboço do gráfico da função.

Em virtude da complexidade do tratamento por conversão é que

propomos deixar esta abordagem para um segundo momento e, assim, darmos o

tratamento que Duval (Ibidem) alerta ser o mais utilizado por, simplesmente,

corresponder a um procedimento de justificação. Com essa consciência

estabelecida, partimos da transformação de tratamento para alcançarmos a

transformação por conversão, que é mais difícil uma vez, segundo Duval, enfrentar

os fenômenos da congruência ou não-congruência.

Qualquer atividade de conversão passa por dois fenômenos. De acordo

com Duval (2003, p.19), “[...] o da variação de congruência e não-congruência e o

da heterogeneidade dos dois sentidos decorrentes”. Para se fazer uma análise da

atividade de conversão, é preciso ter em mente que esta atividade nos requisita

compreender comparativamente a representação no registro de partida com a

representação terminal no registro de chegada. Para que exista a conversão, esta

situação deve atender a três pontos: (I) correspondência semântica das unidades do

significado; (II) a unicidade semântica terminal e (III) a conservação de ordem das

unidades.

57

No caso do exemplo “João ganhou 2 bolas e Pedro ganhou 3 bolas.

Quantas bolas foram dadas a João e Pedro? 2 + 3 = 5”, há correspondência

semântica, pois que ganhou 2 bolas( ), ganha 3 bola ( ). Ganha 2 + ganha 3

= ganha 5. Isso em virtude da questão atender aos pontos colocados acima.

Observemos que no elemento de entrada temos de enfrentar o problema aditivo,

enquanto no elemento de saída temos apenas um numero, e um sinal, dispensável,

+ 5.

Tomemos a Figura 4 de Duval (2003, p.19) e o quadro de Duval (1998b,

p. 240) apud Moretti (2003, p. 152) para, à luz destes elementos, constituirmos uma

figura, a fim de termos uma idéia, no esboço do gráfico de uma função, do modo

descrito por Duval como associação variável visual da representação unidade

significativa da escrita algébrica. Pela figura de Duval vamos ter um quadro que

instrui a ordenação das três unidades referidas.

Correspondência semântica das Unidades de significado

A unidade semântica Terminal

Conservação da Ordem das

Unidades

O conjunto dos pontos cuja

ordenada é superior a abscissa y >

x

Sim Sim Sim

O conjunto dos pontos que tem uma

abscissa positiva

X > 0

Não. “maior que

zero” é uma

perífrase

(um só

significado para

várias palavras)

Sim Sim

O conjunto dos pontos cuja abcissa

e cuja ordenada têm o mesmo sinal

x.y > 0

O produto da abscissa com a

ordenada é maior que zero

Não Não Não.

Globalização

descritiva (dois

casos)

Quadro 3- Quadro de Duval convergência semântica( Figura 4 de Duval (2003, p.19)

Pelo quadro de Duval (Ibidem) apud Moretti (Ibidem) para a função

y ax b .

Variáveis visuais Valores Unidades simbólicas

58

correspondentes

Sentido da inclinação ascendente

descendente

Coeficiente >0 ausência do símbolo

(-)

Coeficiente < 0 presença do símbolo

(-)

Ângulo com os eixos Posição simétrica

Ângulo menor

(45º)

Ângulo Maior

(45º)

Coef. Var. = 1 Não tem coeficiente

escrito

Coef. Var. < 1

Coef. Var. > 1

Posição sobre os eixos Corta acima

Corta abaixo

Corta na origem

Acrescenta-se uma constante sinal +

Subtrai-se uma constante sinal –

Não tem correção aditiva

Quadro 4- Quadro de Duval (1998b, p. 240) apud Moretti (2003, p. 152)

Moretti mostra com esse quadro a observância ao terceiro procedimento

discutido por Duval: o procedimento da interpretação global das propriedades

figurais quando estamos diante de uma associação variável visual da representação unidade significativa da escrita algébrica.

Tomemos as funções do tipo 3 2 ( ) = ax - - cx + df x bx e sua

hipotética representação geométrica considerando a, b, c e d não nulos. Observe-se

que o termo independente b é responsável pela interseção com o eixo OY e o

coeficiente angular de cada tangente varia com o ponto considerado.

Gráfico 14- Função cúbica

59

E tomemos o quadro abaixo como exemplo da relação das modificações

entre a representação da função na forma algébrica e sua modificação na figura.

Elementos visuais do

gráfico

Condições descritivas Valor representativo do elemento

correspondente

Sentido do gráfico Crescente Coeficiente > 0. Presença do

símbolo f’

Decrescente Coeficiente < 0. Presença do

símbolo f’

Extremo local Curva para de crescer ou de

decrescer

Coeficiente = 0. Presença do

símbolo f’

Concavidade Tangentes sobre a curva

(côncava)

Coeficiente >0. Presença do

símbolo f’ ou f’’

Tangente sob a curva (convexa) Coeficiente < 0. Presença do

símbolo f’ ou f’’

Ponto de inflexão Concavidade muda de sentido Coeficiente = 0 no ponto. Presença

do símbolo f’’

Quadro 5-Quadro da relação de modificação entre as representações

O quadro acima nos vem mostrar pelo menos três coisas que precisam de

muita atenção. A primeira é que podemos perceber várias relações entre a função

na sua forma algébrica e na sua forma descritiva, o registro da linguagem natural. A

segunda é que no caso deste tipo de função ou de funções mais complexas com as

quais estamos trabalhando (frações polinomiais), o grau de dificuldade para este

entendimento é muito grande. A terceira é que todos os elementos possuem as três

condições definidas por Duval para uma Conversão Congruente semelhantemente

ao procedido por Duval (1998b, p. 240) apud Moretti (2003, p.151) com o uso da

função y ax b .

Moretti (2003, p. 152) vem dizer: “para o caso de outras funções, mesmo

as polinomiais, essa correspondência entre os coeficientes, a não ser pelo

coeficiente independente no caso das polinomiais, não é tão evidente assim”. E

Moretti (ibidem), continuando esta discussão, chega ao ponto que justifica a

60

derivada no caso de nosso exemplo. De acordo com Moretti (Ibidem): “sem o uso da

noção de limite e derivada, não há uma resposta para a questão, pelo simples fato

de que, em geral, é preciso conhecer de antemão a forma da curva para depois,

então, poder esboçá-la segundo o modo 3” que é associação variável visual da

representação unidade significativa da escrita algébrica.

Podemos reforçar a compreensão deste fenômeno de Congruência na

conversão do registro simbólico para a o registro da língua natural a partir da

montagem do quadro de Igliori & Godoy (2005, p. 3-4).

Exemplo 2: Fenômeno de Congruência na conversão de registro simbólico (RS) para o registro da língua natural (RCH)

(RS) ( )dy adx

Derivada de y em relação a x no ponto a )RCH)

Exemplo 3: Fenômeno de não-congruência na conversão do registro simbólico (RS) para o registro da linguagem natural (RCH).

– (RS) '( )f a Coeficiente angular da reta tangente á curva de função f no ponto de abscissa a

(RCH)

- (RS) limx p

( ) ( )f x f px p

Derivada da função f no ponto p (RCH)

Quadro 6- Quadro de Congruência / não-congruência (Igliori & Godoy)RS - Registro de Saída. RCH - Registro de chegada

De todo o exposto, reconhecemos que o trabalho não é simples. Há

implicações nele pela própria agregação de valores complicadores. Igliori & Godoy

(2005, p. 4) vêm dizer:

Na matemática, os fenômenos de não-congruência são mais comuns que os de congruência. A aprendizagem requer uma coordenação dos distintos registros de representação que um domínio de conhecimento mobiliza e, é imprescindível que se realizem conversões nos dois sentidos, havendo congruência ou não.

Exatamente pelo reconhecimento destas dificuldades é que propomos

iniciar o estudo de gráfico de função pelo gráfico global sem nos atermos, no

primeiro momento, às formalizações imprescindíveis ao esboço dos gráficos das

61

funções polinomiais mais complexas do que, por exemplo ax b e 2ax bx c , e

fazendo foco na transformação por tratamento no inicio da abordagem.

Tomemos uma função parabólica. Para Duval (Ibidem), a função deve ser

estudada através de, pelo menos, duas representações. Se estas pertencem a uma

mesma representação semiótica, estamos na transformação por tratamento, se uma

das representações pertence a uma representação semiótica e outra pertence a

outra representação semiótica, estamos no tratamento por conversão. Então

tomemos três registros, ou três representações, a fim de ver como podemos discutir:

a função aritmética em si mesma, seu gráfico e uma das tabelas correspondentes.

Temos, então: f(x) = x2, O gráfico

Gráfico 15-Gráfico de exemplo de representação (II)

e uma das tabela de valores correspondentes.

Tabela 2-Tabela exemplificativaX Y

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Podemos ainda acrescentar a tabela de variação entre os valores x e f(x).

62

Estamos aqui usando o que Duval (2003) vem chamar de Transformação

por Tratamento. O exemplo acima, na condição de tratamento de transformação,

presta-se à tentativa de “ensinar” o que é uma parábola, do mesmo modo que

usássemos f(x)=3x2; f(x)=4x2+3x ou apenas trocássemos de sinais. Ao trocamos a

função em si pela tabela estamos em um mesmo sistema de representação e, para

Duval, estas representações não são diferentes.

Duas questões se põem: o que cada uma destas representações,

isoladamente, representam? E em seu conjunto? Isoladamente a representação,

como expressão, pode nos dizer que temos uma parábola. Mas não nos diz o que é

uma parábola, pois a definição de parábola, ou de outro ente matemático qualquer,

não garante a sua compreensão. No máximo se vai entender como “um trajeto

curvo”. Do mesmo modo, o gráfico vai aparecer para o estudante como uma figura,

uma imagem, etc. Mas qual o seu significado do ponto de vista da representação

semiótica? Deste ponto de vista, o gráfico não tem significante, exceto se tratado

através da observação das unidades semânticas. Quanto à tabela pode significar

muitas coisas em matemática, muitos tipos de relações, até mesmo uma parábola.

Relembramos então que Duval (2003, 2004) nos diz para não confundir o objeto

com sua representação. Vimos reforçar que a função aqui posta é o objeto enquanto

a expressão, o gráfico e a tabela são representações deste objeto. Assim as

representações semióticas (ou registro de representação ou sistema semiótico ou,

ainda, apenas registro) possuem dois aspectos importantes que são o seu

representante que é uma de suas representações como, no caso, o gráfico, a tabela

ou a expressão, e o representado que é o objeto, no caso a função enquanto objeto

abstrato. Duval diz existir vários tipos de representações para um mesmo

representado, isso pode nos levar a pensar que o representado muda com a

representação. Na realidade o representado não se altera pois que é o objeto. O que

muda é a sua visualização.

2.3.1. Uma aproximação com Moretti (2003). A discussão inicial feita por este autor, demonstra um caminho também

percorrido por nós que discutimos o tratamento tradicional dado ao esboço de

gráfico de função. Nesta tradicionalidade, trabalha-se a representação da função

63

algebricamente e, depois, geometricamente, sem a preocupação com a passagem

de uma representação a outra. Moretti (2003, p. 150) vem dizer: “este modo de

proceder, esboçar individualmente cada curva, impossibilita que se perceba que

modificações na equação são responsáveis por modificações no gráfico e vice-

versa”.

A citação de Moretti (ibidem) pode transparecer que estamos em rota de

colisão. Na realidade, isso não está ocorrendo. O problema é que Moretti (Ibidem),

como veremos em citação posterior, se utiliza, neste trabalho, ao mesmo tempo, de

três procedimentos apontados por Duval (1988b) para a construção do gráfico de

uma função.

Os procedimentos apontados por Duval (1988b, p.237) são:

o procedimento por pontos onde, por referencia à dois eixos

graduados, um par de números permite identificar um ponto (e,

inversamente, um ponto se traduz por um par de números);

um procedimento da extensão de um traçado efetuado....Cada vez

mais essa abordagem de extensão se torna puramente mental: ela

não abre espaço para traçados complementares e explicativos

como uma mudança local da graduação dos eixos para aumentar

uma parte do traçado. Mas dentro desta abordagem, como na

precedente, a gente se prende aos dados do traçado e não

levamos em conta as variáveis visuais pertinentes à representação

gráfica. De forma que o tratamento continua orientado em direção

à busca de variáveis particulares, sem que a gente tenha que

parar sobre a forma de escritura algébrica.

o procedimento da interpretação global das propriedades figurais O

conjunto traçado / eixo forma uma imagem que representa um

“objeto” descrito por uma expressão algébrica. Toda modificação

desta imagem...encadeia uma modificação na escritura da

expressão algébrica correspondente e determina uma variável

visual pertinente para a interpretação do gráfico. Com essa

abordagem nos não estamos mais na presença da associação “um

ponto -> um par de números”, mas da associação “variável visual

64

da representação->unidade significativa da escrita algébrica”. Já

que se trata de partir a representação gráfica para achar, por

exemplo, a equação correspondente, ou para utilizar o conceito de

inclinação ou de direção, esta abordagem de interpretação global

se torna necessária...E a prática sistemática da abordagem por

pontos não pode favorecer a abordagem de interpretação global.

Neste caso o traçado da figura em relação aos eixos coordenados

produz uma imagem descrita na forma algébrica. Isso vai permitir

saber-se que modificação no gráfico produz determinada

modificação na forma algébrica.

Moretti (2003, p.149) toma de Duval estes procedimentos na “intenção de

transpor parte de suas idéias (de Duval – nota nossa) sobre o esboço de curva no

caso das retas para outras curvas”. Esta idéia é por nós incorporada. Apenas, em

um primeiro momento, tomamos os elementos que compõem o gráfico da função a

fim de discuti-los com o estudante “distante” do formalismo matemático como vimos

discutindo. Esta estratégia tem a intenção de “desobstruir” o espírito do estudante da

idéia de uma matemática inacessível. Buscamos que o estudante crie uma preciosa

“intimidade” com os elementos matemáticos sem, de inicio, se depararem com

epsilon, delta, se x pertence a R, existe um único , limite de f quando x tende para,

etc.

Moretti (Ibidem) defende o uso de translação, rotação, etc., na construção

de um gráfico como elemento facilitador da compreensão dos estudantes. Além de a

idéia principal ser diferente da nossa, uma vez considerarmos este auxílio em um

terceiro momento, aquele no qual vamos formalizar a construção do gráfico, não é

somente um caminho facilitador para o estudante. Os rebatimentos, translações,

rotações em torno dos eixos ou de uma reta devidamente escolhida, bem como a

análise de funções pares e funções ímpares, são estratégias que, se não bem

exploradas, podem trazer mais problemas do que soluções como exemplificado nas

páginas 3 e 4.

Aqui podemos pensar na inoportunidade (de acordo com nossa proposta)

de apresentarmos o esboço do gráfico de uma função lançando mão destas

“facilitações”. Existe uma série de problemas com este tipo de “ajuda” se colocado

65

em momento inicial da apresentação do esboço do gráfico da função com o auxílio

da derivada. Tomemos, por exemplo, a função parabólica, ainda que seja uma das

funções que melhor se presta a esta idéia. Para facilitar a discussão, tomemos 2( )f x x . Apresentando-se a “facilitação” de compor a curva apenas traçando, por

exemplo, o ramo direito da mesma (x > 0), deixamos de observar o que acontece no

outro ramos (x < 0) e as implicações pertinentes, já que cada ramo tem suas

particularidades. Vejamos:

1. a função cresce o que nos diz que f’ > 0. No ramo contrário ( x < 0), a função

decresce o que nos diz que f’<0;

2. a reta tangente no primeiro ramo é positiva, o que nos diz que f’ > 0 e é

negativa no segundo caso o que nos diz que f’ < 0.

3. Para f’’ > 0 a função é côncava e x > 0. Ocorre que para x < 0 a função

também é côncava e f’’ continua maior que zero.

Destes itens ainda podemos extrair que a função tem um extremo local e,

então, usando-se a rotação, translação ou rebatimento encurtaríamos um caminho

abrindo mão de informações. A fundamentação teórica apresentada nos mostra

muito mais dados a serem subtraídos de uma discussão no tratamento da

construção de um gráfico de uma função se usarmos deste expediente. Por outro

lado o que está por trás destas transformações (rotação, translação, rebatimento,

reflexão, etc.) são conceitos da álgebra linear. Por exemplo, neste caso o que se

está fazendo, e que é muito complexo para o estudante no estágio inicial do cálculo,

é pegar a expressão abaixo, do mesmo modo como fizemos com a expressão III no

capitulo I.

2 2:( , ) ( , )Tx y x y

Expressão 9

(dizemos pegar T no 2 de modo que o ponto (x,y) mande no ponto (x,-y)). Temos

pois, uma transformação linear.

Ora, a derivada é uma transformação linear e nós queremos nos afastar

desta discussão por ser prematura no estagio em que o estudante se encontra. Além

66

do que nosso objetivo prático é usar um gráfico global e, a partir dele, observar os

elementos e os gráficos similares do ponto de vista destes elementos. Assim, não

estamos tratando da melhor forma de construir um gráfico de uma função dentro do

mesmo padrão que se vem adotando, mas sim de uma estratégia de ensino que

toma um gráfico geral contemplando o maior número de gráficos possíveis e que

possa ser derivado permitindo compreender as relações existentes entre os

elementos.

Um outro aspecto focado por Moretti diz respeito ao discutido por Duval

(1993): a problemática de se construir gráfico de funções apenas plotando pontos no

sistema cartesiano. Este tipo de procedimento no qual o estudante atribui valores em

uma variável para obter o(s) valor (es) da outra é uma mera substituição. Moretti

(2003) levanta a questão de substituição alertando para o fato de que este tipo de

procedimento acontece, muitas vezes, sem que o estudante se dê conta da família

de curvas abordadas ou de outras curvas semelhantes que não da mesma família.

Objetivando seu trabalho, Moretti (2003, p. 151) vem dizer:

Neste capítulo, o objetivo de estudo é o esboço de curvas, que Duval (1988b) classifica como uma atividade com três tipos distintos quando aos seus procedimentos: 1) O procedimento por pontos; 2) O procedimento de extensão de um traçado efetuado; 3) O procedimento de interpretação global das propriedades figurais.

Em nosso trabalho optamos pelo terceiro procedimento apontado por

Duval (2003b) que é, também, a opção de Moretti (2003). Para seguir a idéia de

Duval (1988b) necessitamos de um tratamento que esteja na associação variável

visual da representação unidade significativa da escrita algébrica e não na

associação de um ponto um par de números.

O procedimento por pontos pode produzir várias incompreensões. Por

exemplo, imaginemos que estamos trabalhando com uma parábola, por exemplo,

f(x) = x2 com estudantes que ainda não dispõem da derivada como ferramenta à

construção do gráfico. Neste caso o procedimento dá margens a questionamentos

do tipo: Professor, se temos os valores da tabela em pontos ordenados, A = (-4;16),

B = (-3;9), C = (-2,4), D = (0;0), E = (2;4), F = (3;9) e G = (4;16) por quê do ponto A

ao ponto B ou de um ponto a outro qualquer não termos uma reta e sim uma curva?

67

Observe-se que os pontos acima são proveniente da substituição de x na

função f(x) = x2 e, neste caso, o questionamento do estudante se faz em virtude do

tratamento ser através de pontos discretos com vemos nas figuras abaixo (Já

apresentadas em outra circunstância na página 28, gráfico 24).

Figura 4 - Exemplo do tratamento por pontos

Observa-se que quanto mais pontos usarmos mais próximo da

visualização de uma parábola estamos. No entanto não é possível, com este

método, afirmar que os pontos discretos, ligados entre si, formam uma parábola já

que entre dois números reais existem infinitos números. Necessitamos de

ferramentas que, por exemplo, de modo geral, no Brasil, o estudante do ensino

médio ainda não tem. Mesmo no caso da reta há o problema da compreensão do

estudante como viremos a discutir ao tratarmos da reta tangente.

Não desconhecemos aqui a importância de, nesta etapa, o estudante do

ensino médio ter, em tal procedimento, o ganho de começar a observar a formação

da curva, mas esta formação exige uma infinidade de pontos. Uma saída para

minimizar a dificuldade, neste caso, é trabalhar o conhecimento da curva

característica. No entanto este procedimento não mais dá conta quando o trabalho é

entre famílias das curvas.

Em virtude das complicações advindas do procedimento em questão,

Duval (2003, 2004) indica o uso do procedimento 3. Por isso, Moretti (2003, p. 151)

vem dizer: “contrariamente ao procedimento 1, no modo 3, o conjunto traçado / eixo

forma uma imagem que representa um objeto descrito por uma expressão

algébrica”.

68

2.3.1. A presença de Vigotsky nesta pesquisaBaquero (1998), ao discutir as idéias de Vygotsky em relação à psicologia

da aprendizagem, alinha este teórico às idéias de Duval e mostra o distanciamento

de Vygotsky das idéias de Piaget, Dilthey, em seu historicismo, e mesmo das

formulações de Pierre Janet de onde Vygotsky começou a retirar muitas de suas

idéias. A aproximação de pensamentos de Vygotsky e Duval no campo cognitivo fica

mais clara em uma das asserções, quando Baquero (1998, p. 36), citando Wertsch

(1988), vem dizer: “[...] o domínio adquirido sobre novos sistemas de representação,

ou sobre formas avançadas dos sistemas já adquiridos, implica reorganização

psicológica...que incidiram nos processo em desenvolvimento”.

Vimos que Duval (2003, 2004) traz como elemento de representação

tanto a linguagem natural, quanto às associações verbais, a argumentação, em

síntese, a linguagem. Também vimos que, para Duval, a importância maior na

representação semiótica está, fundamentalmente, na explicação das propriedades

do objeto, nos aspectos diferentes do mesmo objeto. Duval (2003, p. 24) também

vem dizer: “os mecanismos de compreensão não ressaltam somente justificações

feitas pelos estudantes – eles dependem de um funcionamento cognitivo que se

deve poder descrever”. Mas a descrição de um mecanismo de compreensão poder

ser pensado entre os objetos do mundo numa forma mais geral conforme discussão

de Eco (1976), Saussure (1916), Peircer (1931).

O ponto de vista mais específico de Duval é entendido como do sujeito

para outro sujeito ou do sujeito para ele mesmo. Assim, podemos tomar de Vygotsky

(1930b: 78) conforme Baquero (1998, p. 39), que “todo signo se tomado sua origem

real, é um meio de comunicação e poderíamos dizer, mais amplamente, um meio de

conexão de certas funções psíquicas de caráter social”. Finalmente, existe a

discussão de Vygotsky, de acordo com Baquero (1993), a respeito do domínio das

instâncias de mediação: a mediação semiótica em si mesmo. Ela é revelada quando

Baquero (1993, p.38) vem dizer: “deve-se notar que a linguagem, como exemplo das

instâncias semióticas mais versáteis e desenvolvidas, reúne a potencialidade de

poder ser dirigido e utilizado com funções e características diversas”.

Neste trabalho, seguiu-se uma idéia equivalente ao experimento levado a

efeito por Vygotsky quanto à memória, conforme relata Moysés (2004). Foram

69

apresentados gráficos de funções (símbolos como diz Vygotsky) e estabelecida uma

lista de elementos (intervalos e pontos) do comportamento da função, a fim de que o

estudante pudesse relacionar estes elementos com sua descrição geométrica. A

primeira variante, no dizer de Vygotsky de acordo com Moysés (Ibidem), tem sempre

um elemento geométrico ligado às representações (setas, símbolos algébricos,

achuramento, etc.) matemático. Assim, por exemplo, se tem um ramo crescente e

um ramo decrescente do gráfico da função e dois pontos destacando:

1 2 1 2 , f(x ) ( )x x f x e 1 2 1 2 , f(x ) ( )x x f x

Gráfico 16-Gráfico exemplo de Vygotsky

Na segunda variante, o estudante precisava descobrir a relação de [x1, x2]

com [f(x1),f(x2)]. Como, convencionalmente, define-se que, dado (a,b), sendo ba,

tomando-se b > a, o estudante deveria descobrir qual o comportamento da função

no intervalo aqui tomado como [x1, x2]. Perceba-se a semelhança deste trabalho de

Vigotsky com o que vimos trabalhando até o momento quando dizemos que o

estudante necessita reconhecer a relação entre os elementos e não apenas os

elementos. O que é, também, a idéia de Duval (2004).

Uma questão a ser levantada é saber se o pensamento de Vygotsky

relativo à teoria sócio-histórica tem alguma influência no campo de estudo da

matemática. De acordo com Moysés (2004), para Vygotsky a aprendizagem de

conceitos seria muito mais efetiva se fossem originárias das práticas sociais.

Gitirana (2006, palestra) aponta que muitos dos conceitos matemáticos nascem da

necessidade do homem em vários sentidos, incluindo a contagem, as trocas, os

débitos e créditos, etc. Neste sentido, a presença de Vygotsky no trabalho está

evidenciada.

70

Moysés (Ibidem), em sua abordagem sobre Vygotsky com a educação

Matemática, trata do assunto de modo específico. Preparando-se para uma

abordagem mais direta, Moysés (2004, p.59) vem dizer:

A última década viu se acirrarem as críticas contra a forma como a escola vem trabalhando os conteúdos escolares. A matemática não é exceção. Ao contrário, talvez seja um dos campos onde melhor se observa o fenômeno do “encasulamento” ou “encapsulamento” da escola.

O embricamento das idéias de Vygotsky com a Matemática no campo da

Educação Matemática, fez surgir a etnomatemática ou, como vem dizer Moysés

(2004, p.63): “ao deslocar seu eixo diretor para os aspectos socioculturais, a

educação matemática acabou criando uma nova área de pesquisa: a

etnomatemática”.

D’Ambrosio apud Moysés (2004, p.63) afirma: “[...] é um programa que

visa explicar os processo de geração, organização e transmissão de conhecimento

em diversos sistemas culturais e as formas interativas que agem nos e entre os três

processo”. Moisés (Ibidem) sugere que, assim, D’Ambrosio (1990) reconhece no

pensamento de Vygotsky a força na criação de uma nova forma de “ver” a

matemática. D’Ambrosio (1998, Introdução de aula) vem dizer mais precisamente:

Etnomatemática é uma proposta política, embebida de ética, focalizada na recuperação da dignidade cultural do ser humano. Já é tempo de parar de fazer dos trajes tradicionais dos povos marginalizados fantasias, dos mitos e religiões desses povos folclore, da medicina desses povos crime. E da sua matemática curiosidades.

De acordo com Luria (1976), Vygotsky inclui em seus trabalhos discussão

sobre atividades cognitivas básicas do individuo, afirmando que o componente

histórico-social, ou socio-histórico é o produto final da relação do indivíduo com a

história na sociedade comunitária da qual faz parte. Assim, a determinação dos

fatores congênitos na formação e estruturação das habilidades cognitivas dos

indivíduos, para Vygotsky, resultam, de acordo com Schütz (2004, Artigo 2):

[...] das atividades praticadas de acordo com os hábitos sociais da cultura em que o indivíduo se desenvolve. Conseqüentemente, a história da sociedade na qual a criança se desenvolve e a história

71

pessoal desta criança são fatores cruciais que vão determinar sua forma de pensar. Neste processo de desenvolvimento cognitivo, a linguagem tem papel crucial na determinação de como a criança vai aprender a pensar, uma vez que formas avançadas de pensamento são transmitidas à criança através de palavras. (Murrau Thomas & Wesley, 1993)

Ao se referir às deficiências pedagógicas e curriculares como sendo parte

indissociável do processo formativo dos docentes, Severino (2004) apud Rego

(2004, p.12) vem dizer: “a falta de mediações e de recursos culturais dificulta muito a

apropriação, por parte deles, desses elementos que dêem conta da íntima

vinculação da educação com seus fundamentos teóricos”.

Ainda de acordo com Rego (2004, p.31): “Vygotsky e seus seguidores se

dedicavam principalmente à construção de estudos piloto que pudessem atestar a

idéia de que o pensamento adulto é culturalmente mediado, sendo que a linguagem

é o meio principal desta mediação”. Corroborando com essa visão, vemos que

Vygotsky, em seus escritos, não estava simplesmente preocupado com a linguagem

verbal. São obras de Vygotsky: os princípios da educação social de crianças surdas-

mudas (1925), o consciente como problema da psicologia do comportamento (1925),

o instrumento e o símbolo no desenvolvimento das crianças (1930).

A percepção visual, aqui tratada enquanto linguagem, tem-se mostrado

de grande importância na compreensão de teoremas, definições e conceituação

matemática conforme se pode ver na introdução observando-se o contexto de uma

metodologia contemporânea. Desta forma o desenvolvimento das aptidões no ser

humano parece fortalecido ao se utilizar símbolos que possam refletir objetos de

aprendizagem, no caso do Gráfico de funções, não abordados inicialmente com

formalizações, mas por notações advindas dos primórdios desta ciência e, portanto,

vinculadas a relação sócio-histórica atual. E aqui enfatizamos a questão sócio-

histórica da historia da matemática.

Não sugerimos negar a importância da construção formal da matemática,

mas sim de se ter uma postura atual na qual essa construção seja antecedida de

informações por meio de elementos visuais, se possível, do dia-a-dia do estudante.

Assim, propomos, em um primeiro momento, evitar-se simbologias como as contidas

na definição formal de limite onde se tem: seja f uma função definida para todo

número em um intervalo aberto contendo ‘a’, exceto possivelmente em ‘a’. O limite

72

de f(x) quando x tende a “a” será ‘L’, escreve-se

lim ( ) = Lf xx a , se a afirmação de

que, dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0, tal que se 0 < |x-a| < δ então |f(x) – L| < ε

for verdadeira.

Nesse caso propõe-se que, primeiro o estudante tenha o gráfico de uma

função onde possa verificar visualmente essa questão, verificar suas

particularidades, discutir sobre elementos visíveis e, se possível observáveis para,

então, se fazer tal transcrição. Esta etapa é muito importante pois vai trazer algo que

a maioria dos estudantes têm dificuldade, bastante justificáveis, de não entender: A

definição de limite prova se o limite calculado está correto em sua resposta e, no

entanto, não se presta ao cálculo do limite. Sua importância é questionada pelo

estudante mesmo porque, em geral, no cálculo mais simples, encontra-se o erro na

regras operacionais.

De acordo com Moysés (2004), Vygotsky, fazendo uma aproximação com

Karl Max que “concebeu o instrumento mediatizando a atividade laboral do homem”.

Moysés (2004, p.23), concebeu a noção de que o signo não apenas vem “dialogar”

com o pensamento, ele vem trabalhar a socialização humana em um processo de

mudanças na qual a presença do homem no meio o modifica, ao tempo em que por

ele é modificado. Por essa via, Vygotsky, de acordo com Moysés (2004, p.23), vem

considerar como signo:

[...] a linguagem, os vários sistemas de contagem, as técnicas mnemônicas, os sistemas simbólicos algébricos, os esquemas, diagramas, mapas, desenhos...Sua idéia básica é a de que, ao usá-lo o homem modifica suas próprias funções psíquicas superiores (Vygotsky, 1981a, p.137).

De forma análoga, pesquisadores da PUC-RIO, na Apresentação de

Projeto, vêm dizer: “a imagem é, portanto, concebida como forma de narrativa que

atravessa múltiplos aspectos da vida do homem contemporâneo, constituindo-se

como um dos grandes desafios para os estudos no âmbito das ciências humanas”.

73

CAPÍTULO 4 – Funções Polinomiais

2.3.2. Função PolinomialNeste trabalho, focamos a função polinomial fracionária de até terceiro

grau, com coeficientes e termos independentes pertencentes aos reais. Para

determinarmos este tipo de função, tomemos, inicialmente, a função racional

polinomial inteira mais elementar, que conhecemos como função linear cuja notação

mais comum é: ( )f x ax b , onde a e b são números reais conforme definido acima.

Ao dizermos que esta é uma notação, queremos dizer que existem várias outras

notações para esta função. O que determina a função em questão como função

polinomial é o fato dela poder ser expressa por um polinômio. E, no caso específico,

possuir as seguintes características:

Tem uma variável independente, x, e esta variável possui um expoente 1

Se o expoente da variável x é Zero, temos a função polinomial constante;

Possui um coeficiente angular, a; (Dado que nossa abordagem focaliza o calculo

diferencial, a declividade se confunde com o coeficiente angular da função polinomial uma

vez abordada na mesma escala de valores).

Possui um termo independente,b.

Portanto as funções polinomiais inteiras ou polinômios aqui tratados são

do tipo:

2

3 2

) ( ) , b , ii) f(x) = ax + b, (a,b) , a 0

iii) f(x) = ax bx + c, (a,b,c) , a 0

iv) f(x) = ax +bx +cx + d, (a,b,c,d) , a 0

i f x b

Isso porque o trabalho foca apenas polinômios de grau máximo igual a

três e que são classificados, quanto ao seu grau, de acordo com o maior

expoente de x. Assim, a função (i) é uma constante e o grau de seu polinômio é 0

(Zero); a função (II) é uma função linear e seu grau é 1; a função (iii) é uma

parábola e seu grau é 2; a função (iv) é uma cúbica é seu grau é 3. No caso

particular da função f(x) = 0, pode-se dizer que o polinômio não possui grau

definido. Alguns matemáticos preferem dizer que o grau é infinito ou tende para

infinito. Estas duas últimas considerações, além de não trazem problemas de

“incompatibilidade” matemática, estão acima de sua discussão neste trabalho.

74

Em termos gerais podemos dizer que, como não teremos tempo de

discutir toda a teoria dos polinômios neste trabalho, estamos tomando que o leitor já

tenha o mínimo conhecimento a respeito do assunto para saber, por exemplo, que

uma função polinomial, digamos, 3 2( ) 4x 5 4f x x x , pode ser escrita como

soma e / ou adição e / ou subtração de polinômios. Assim, podemos escrever o

polinômio f(x) = h(x) + g(x) com h(x) = 34x e g (x) = 25 4x x . O grau do polinômio

é o grau de h(x) conforme já definido. Por outro lado se tomarmos h(x) = 22x , g(x) =

2x e z(x) =25 4x x , então dado f(x) = h(x)g(x) + z(x), observaremos que o grau

do polinômio é o grau do produto h(x)g(x).

O fato de podemos multiplicar, somar e subtrair polinômios nos permite,

então, obter uma generalização para os polinômios. Assim dizemos que funções

polinomiais inteiras são funções do tipo:

+0 1 ( ) ... , n 0 / n Zn

nf x xa a a x

Expressão 10

Alguns autores dizem da necessidade de 00a

. Esta é uma

discussão que não faremos aqui. Apenas tomamos que no caso de

0 1 2 .... 0na a a a , o polinômio será tido como polinômio nulo. A

forma de obtermos as funções racionais fracionárias, é dividindo o polinômio f(x)

acima por outro polinômio de mesmas características conforme mostramos abaixo.

Assim, dado

0 1( ) ...b m

mg x xb b x ,

Expressão 11nas condições de f(x) na expressão acima (10), g(x) 0 , temos que

0 1

0 1

...( )( )( ) ...

nnn

n

a a x a xf xh xg x b b x b x

Expressão 12

Uma discussão mais avançada seria trabalhar, o fazer a divisão de ( )( )f xg x a

fim de achar o seu resultado que pode ou não conter um resto. Para o leitor mais

75

curioso e mais afeito à matemática, vamos trazer esta discussão da seguinte forma:

Seja o polinômio 1

1 1 0( ) ...n nn n nf x a x a x a x a

com 0na e n 0 .

Expressão 13Aqui queremos lembrar que f(x) = b é um polinômio mas que

f(x) = 02x -2x+1 não tem grau 2 e sim grau 1 uma vez que o grau é conhecido depois

das operações. Como 02x =0 então o polinômio é f(x) = -2x +1. Retornando à nossa

discussão, dizemos que um polinômio ( )nf x divide (ou é dividido, a depender de

quem tem o maior grau) por outro polinômio m( ), g 0mg x . A condição para esta

divisão, já tomado o grau de f maior do que o grau de g, é que exista um polinômio

( )kq x tal que

( ) ( ) ( )m k ng x q x f x Expressão 14

se, e somente se, n +k = m.

A divisão entre dois polinômios (como nos reais) nem sempre é exata.

Podemos ter como resultado um quociente e um resto. Quando isso ocorre obtemos

algo como:

( ) ( ) ( ) ( )m k ng x q x f x r x , Expressão 15

Neste caso o grau de r(x) varia de 0 a n-1. O teoremas que garante a

existência do quociente

( )( )f xg x pode ser assim declarado:

Teoremas I – sejam n e fmg polinômios de graus m e n respectivamente.

Então podemos mostrar que mg pode ser expresso como mg = k nq f r com kq e r

sendo polinômios e o grau de r menor que n.

A demonstração deste teorema é simples e pode ser encontrada em

qualquer livro de cálculo que traga a Teoria dos Números e Frações Parciais. O

76

leitor tem apenas de se preocupar com as notações que são diferentes em alguns

autores. Moise (1970, p. 437) por exemplo, traz a mesma notação que usamos aqui.

Atentemos agora para o fato de que, neste trabalho, o n da expressão 10,

página 84, é, no máximo 3. Evidentemente se m = n, nosso h(x) = b, b .

2.3.3. Conceito de Derivada de função polinomial fracionária.

Tomemos ( )( ) , g(x) 0( )f xh xg x

, onde f e g são polinômios. O interesse

principal se encontra no esboço do gráfico da função polinomial fracionária. Evidente

que as funções polinomiais fracionárias racionais de até terceiro grau podem ou não

ser divisíveis. Porem estamos interessados nas funções polinomiais fracionárias

racionais de até terceiro grau impróprias (as não divisíveis) das quais queremos

saber qual seria a derivada. Seja a derivada desejada. Anotemos como h’(x).

A discussão sobre a Derivada, historicamente, está colocada como

preocupações de Newton e Leibnitz, muito embora Fermat (1601 – 1665) tenha

conseguido desenvolver uma forma de encontrar os maiores e os menores valores

locais de uma curva (os atuais extremos locais) e Richard Courant (1988 – 1972)

tenha observado que: “ o cálculo foi fruto de uma luta intelectual dramática que

durou 2500 anos”14.

A história da matemática credita a Newton e Leibnitz os principais

conceitos sobre derivadas por volta do século XVIII. A idéia mais simples para o

entendimento da derivada é da reta tangente a uma circunferência. Moise (1970, p.

43) diz que: “ Uma reta tangente a um círculo é uma reta (no mesmo plano) que

intercepta o circulo em um e apenas um ponto”. Tomemos a figura abaixo, a reta

que passa por P e toca os dois eixos, é o que denominamos tangente à

circunferência. E o ângulo que esta reta forma, no sentido contrario aos ponteiros do

relógio a partir da interseção da reta com o eixo horizontal, é o declive desta da

tangente que vem a ser a derivada de um função convenientemente escolhida para

o caso e que passa por P. O entendimento da derivada, no entanto, não é sempre

tão simples.

14 http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/histderivada.htm

77

Gráfico 17 - Figura da tangente a uma circunferência

Seja então o gráfico abaixo.

Gráfico 18- Definindo Derivada através da secante. Fonte: Thomas & Wesley (2002, p.132)

A questão da derivada está ligada à reta tangente na seguinte

perspectiva. Observamos que a reta PQ

é uma secante à curva vermelha. Suponha

que desejamos determinar a derivada da função (curva em vermelho) no ponto P

(significa P fixo). A idéia, então, é deslocar o ponto Q em direção ao ponto P por

sobre a curva em vermelho. Notemos que, neste sentido a distância entre a secante

¨PQ

diminui implicando em h também diminuir. Tomemos, então o ângulo que PQ

faz com (x0;f(x0)) e (x0+h;f(x0)) como

78

Ora se Q tende para P, h tende para zero e, portanto, 0x h tende para x0. Isso significa que dada a

0 0( ) ( )sec f x h f xh

Expressão 16.

Aplicando-se o 0limh na expressão 16 acima, temos:

0 0

0

( ) ( )( ) limh

f x h f xtag

h

=derivada de f(x).

Expressão 17

O que dissemos aqui foi que o declive da reta tangente em um dado

ponto, é a derivada da função neste ponto. Isso nos leva a formula de derivada de

polinômio simples:

0 0

0

( ) ( )'( ) limh

f x h f xf x

h

Expressão 18

A partir desta fórmula, temos as derivadas de todos os polinômios. Assim:

1) 0' ycy

2) ayaxy '

3) '.'. ucyucy

4) ''' vuyvuy

5) )'.()'.('. uvvuyvuy

6) y = vu

y ' =

2

'.'.v

vuuv

com v 0 .

79

CAPÍTULO 3 – Revisão da Literatura

3. Revisão da Literatura

Para este tópico tratamos de pesquisar material em teses, dissertações,

artigos e livros que nos pudessem situar quanto ao que se tem feito na direção de

nossa pesquisa. Evidentemente que, enquanto tese, que pretende trazer algo inédito

à academia, as contribuições têm similaridade apenas para o aspecto geral. O

vínculo dos trabalhos aqui apresentados com a nossa pesquisa vai desde trabalhos

efetuados com base na representação semiótica, às contribuições que envolvem

propostas de “alternâncias” metodológicas na apresentação de “entes” matemáticos

através do computador.

O fato da Teoria dos Registros de Representações Semiótica de

Raymond Duval ainda não ser uma teoria de fundamentação como as teorias de

Vygotsky, Piaget, SKinne ou mesmo Brousseau, nos leva a uma revisão de literatura

que, apesar de possuir como ponto fundamental o objeto desta pesquisa, focar

trabalhos que, também, se fundamentassem em nosso teórico base: Raymond

Duval. Neste sentido, buscamos não fazer distinção entre os trabalhos no ensino

médio e aqueles tratando do ensino superior, muito embora Duval (2003) fale de

diferenças de bloqueio entre o nível fundamental e médio (nomenclatura equivalente

do sistema de ensino francês no brasileiro) e o nível superior.

Este teórico vem dizer que, para responder as questões de nossa

necessidade de compreensão das dificuldades que estudantes têm na

aprendizagem de matemática - qual a natureza desta dificuldade e onde se

encontram – há a necessidade de uma abordagem cognitiva. O alerta de Duval

(2003, p.11), focando o ensino fundamental e médio é assim posto: “[...] o objetivo

do ensino de matemática, em formação inicial não é formar matemáticos ...”.

Ao tratar das crescentes dificuldades, bloqueios ou necessidades nos

diferentes níveis de ensino, Duval (2004) aponta que, quanto maior a necessidade

de mobilização de registros, maior o nível de bloqueio ou de fracasso dos

estudantes. Como a matemática é, por natureza, ascendentemente complexa,

tomamos o cuidado de, neste item, tratarmos dos trabalhos originados do ensino

médio dentro de uma perspectiva que não dessem margens a conflitos.

80

Não vemos aí uma “área nebulosa”. Há a clareza, a partir de estudos

mais gerais como de Eco (1976), Saussure (1916) e Peirce (1931), de que a

semiótica em si é genérica, generalizadora. Duval (1994) mostra que as dificuldades

da álgebra elementar com base nas representações semiótica frente à álgebra

superior, apesar de guardar diferentes níveis de bloqueios, não invalida a teoria seja

focando este ou aquele nível de conteúdo matemático. Assim se para um estudante

‘A’, iniciante em matemática, existe um determinado nível ‘K’ de dificuldades na

compreensão da resolução de 2x = 4 e para um estudante ‘B’ do ensino superior se

tem um certo nível ‘N’ de dificuldades na compressão da solução da 4

2

2

1x x dx , Duval (Ibidem) nos diz da necessidade de ‘B’ mobilizar mais

representações, configurando um crescente nível de dificuldade. Neste caso,

devemos acreditar que o nível de dificuldade ‘K’ é maior do que o de ‘N’, o que já

vimos ser assegurado por Duval (2003, 2004).

Tall, Monaghan e Sun apud Giraldo (1993) & Carvalho (2002),

pesquisando em duas escolas inglesas, verificaram que os estudantes submetidos

ao estudo de derivadas de funções de modo tradicional, foram capazes de dar

explicações teóricas satisfatórias, mas nenhum conseguiu dar um exemplo de

função. Enquanto os estudantes submetidos ao estudo de derivada usando o

software Derive, não deram explicações teóricas satisfatórias no entanto, alguns

deram exemplos. Dado ao trabalho ser conduzido tradicionalmente, apenas

inserindo-se em uma turma um software, isso nos leva tanto à discussão de Duval

quanto à discussão de Meier et all (2005) ao formular que o software, por si só, não

melhora as condições de aprendizagem.

Muito embora não estejamos voltados, especificamente, para a instrução

gráfica via computador, o fato de havermos usado software indica que o defendemos

como elemento colaborativo na aprendizagem do esboço de curva de função. São

vários os pesquisadores que defendem o uso do computador nesta direção como o

faz: Meier et all (2005) que, ao tratar dos softwares gráficos no ensino e

aprendizagem de Matemática discute vários aspectos, inclusive o das formas

geométricas; Gitirana (1996) que investigou a percepção e interação de estudantes

81

em relação a funções dentro de uma perspectiva gráfica com o uso dos softwares

Function Probe e DynaGraph (em dois modelos).

Gitirana (1996), usando estes softwares onde o Function Probe (FP)

permitia transformar um gráfico em outro no plano cartesiano por meio de alterações

nos gráficos e as versões do DynaGraph (DG) que permite aos estudantes

observarem o que acontece com o valor da função f(x) no ponto X Df quando x

varia, levanta que muito embora o DG tenha desencadeado uma iniciativa de

percepção do estudante livre de limitações prévias, os estudantes nem sempre

identificam as propriedades das funções enquanto o FP ajudava na "exploração das

propriedades das funções” conectadas ao conhecimento escolar.

Ao discutir a aquisição de conceitos matemáticos como: formas

geométricas, medidas, matrizes e transformações geométricas, através do uso de

softwares gráficos (Imagine e Shapari), Meier et all (2005, p.1) vem dizer: "Podemos

criar atividades nesses softwares que potencializam a utilização desses conceitos,

de maneira lúdica e interessante, sem necessitar a memorização de fórmulas e

regras”. Enquanto Lamounier et all (S / A) vem descrever a importância de um

sistema computacional. De acordo com Lamounier et all (S / A, p. 4), no seu item

Detalhes de Desenvolvimento:

Este modelo teve como objetivo eliminar a organização linear e unidimensional dos conteúdos curriculares formados pelos modelos tradicionais de ensino, e criar um sistema multidimensional e interdisciplinar para a organização e distribuição dos conceitos científicos.

Por outro lado pesquisadores como Tall (1991), vem discutir o fato das

abordagens no ensino superior fazerem foco, quando do ensino do cálculo, no

produto do pensamento matemático, deixando-se o processo do pensamento, que é

outro objeto, matemático em um segundo plano ou mesmo não se preocupando com

ele e, desta forma Tall (Ibidem) vem convergir com a linha de pensamento que

busca uma apropriação dos objetos matemáticos através de processos que

consigam evidenciar, em primeiro lugar, as características do objeto em si mesmo

que são, respectivamente, a concepção operacional e a concepção estrutural no

dizer de Sfard (1989,1991).

82

Perceba-se que a semelhança do pensamento dos pesquisadores citados

com o que apresentamos, dá-se na medida em que se busca alternativa que venha

a alterar a metodologia tradicional ou, pelo menos, se estuda a inserção de

elementos (no caso, a tecnologia), em função da aprendizagem de matemática.

Ainda que os trabalhos sejam melhor classificados como uma análise dos softwares

no ensino de matemática, fica evidenciada a tentativa de contribuir com a

metodologia do ensino de matemática.

A síntese é que todos estão dirigindo seus esforços intelectuais a fim de

fornecerem pistas que favoreçam a investida do estudante na matemática sem o

tradicional trauma, e com uma melhor apropriação metodológica. Por outro lado, até

onde pudemos observar, como já exposto, temos dificuldades de encontrar trabalhos

na área de educação no ensino superior envolvendo matemática de modo geral e de

modo particular esboço de gráfico de funções. Esta é uma dificuldade uma vez que,

conforme Baquero (1998, p. 42):

Para a criança pequena, pensar significa lembrar; no entanto para o adolescente, lembrar significa pensar. Sua memória esta tão ‘logicizada’ que lembrar se reduz a estabelecer e achar reações lógicas; reconhecer é descobrir aquele elemento que a tarefa exige que seja achado.

A bibliografia existente nos tem mostrado o grande esforço dos

pesquisadores em artigos, livros, etc., no sentido de encontrar metodologias que

venham a alterar a forma como se vem ensinando as ciências de modo geral, e a

matemática de modo particular, a partir do entendimento de que a abordagem atual

não mais vem dando conta de um aprendizado eficaz. As mudanças no mundo se

deram em vários sentidos e estas mudanças incidem sobre diversas atividades,

acabando por provocar a necessidade de alterações nas relações humanas de

modo geral e, particularmente, na relação de ensino-aprendizagem.

No âmbito da Educação este esforço, pelo menos a nível de Brasil,

centra-se no ensino fundamental e médio, existindo pouco investimento intelectual

direcionado para o ensino superior quando se trata de matemática.

No caso particular do ensino superior, esse investimento se dá através da

proposta de se inserir o computador, com softwares e calculadoras específicas como

83

ferramenta de auxilio na aprendizagem. De fato, em nosso trabalho também

constatamos a importância do computador, com softwares, para o estudo de

matemática. No entanto, não nos detemos neste aspecto da aprendizagem. Usamos

a ferramenta em questão como suporte, e não com foco do trabalho. Assim,

computador e softwares entram na pesquisa como instrumento de agilização, da

aceleração na apresentação do elemento estudado. Neste caso, estamos cientes de

que mexemos no “tempo do professor” e no “tempo do estudante”.

No caso particular de gráficos de funções, os softwares auxiliam de

diversas formas. Por exemplo: enquanto nosso desenho do gráfico na lousa, à mão

livre fica, geralmente, tão fora da realidade que pode levar o estudante a uma

concepção errônea, o desenho do gráfico através dos softwares traz uma

aproximação quase que denotando a realidade matemática. O software nos permite

mostrar aos estudantes, em poucos segundos, várias alterações do gráfico

alterando-se elementos da expressão. O que demanda bastante tempo se

trabalharmos a mão livre.

Tomemos por exemplo a função 3 2( ) 4f x x x x . Usando o software

Estudo de Funções mencionado no item 1.3.1, página 20, em poucos segundos

mostramos o que acontece com o gráfico ao alteramos a constante. Trocamos 4 por

0 (Zero), depois por – 4,obtemos, rapidamente uma mostra da família deste

polinômio:

Gráfico 19-Gráfico explicativo de família de curva

84

Seguindo este mesmo procedimento trazemos o gráfico:

Gráfico 20- Família da curva 3( )f x x c . Fonte: Thomas & Wesley (2002, p.321)

Podemos observar diversas alterações sobre: raiz, concavidade, ponto de

inflexão, região de crescimento e região de decrescimento. Ainda poderíamos fazer

várias alterações de modo rápido e eficaz. Os softwares gráficos trazem uma grande

colaboração no estudo do gráfico e, assim, na aprendizagem, conforme a bibliografia

tratada. No entanto, não podemos esquecer o que Duval (2004) nos diz da falta de

aquisição de conhecimento por parte do estudante se nos contentamos apenas com

este sistema “acelerador” das informações. Isso significa que o uso do computador

como aqui colocado, do ponto de vista de Duval (Ibidem), não produz noesis.

E precisamos ficar alerta para o fato de erros de informação que os

programas trazem. Em breve chamaremos a atenção para este fato. Veremos, a

partir deste momento, que uma contribuição deste trabalho é constituir-se em um

85

material centrado em uma pesquisa em educação com foco no ensino superior. Para

isto acrescentamos a este parte inicial de nossa revisão de literatura, autores de

trabalhos que, de uma forma ou de outra convergem para nosso propósito de

pesquisa. Para nosso objeto.

Alguns resumos dos trabalhos pesquisados estão alinhados com a idéia

acadêmica de um resumo: fornecer uma explanação fiel, clara e sucinta do trabalho.

Enquanto outros resumos nos parecem fugir desta idéia. Deste modo trazemos,

quando consideramos pertinente, o resumo do trabalho do autor seguido de uma

discussão sobre o trabalho fazendo um recorte a fim de abordar elementos da

pesquisa que estejam o mais próximo possível do nosso objeto.

Cáceres & Arceo. Resumo: “Este documento apresenta um esboço da

problemática do ensino-aprendizagem das equações diferenciais de

primeira ordem. Este relato ilustra as dificuldades que se podem

apresentar quando se busca a coordenação dos registros de

representação gráfico, numérico e algébrico em uma situação tradicional

de ensino ( Hernandesz, 1999)...aqui se vê a ênfase como se radica a

interpretação geométrica das equações diferenciais e as famílias de

soluções..."

Os autores trabalham com o software derive buscando mostrar a

importância dos gráficos das equações no ensino das Equações Diferenciais

Ordinárias - EDO. De fato, o estudo de equações diferenciais (ordinárias ou não)

parece exigir a representação figural. Os autores vêm dizer que se deixando de lado

a interpretação geométrica, a conceitualização torna-se parcial neste tópico

matemático. Do mesmo modo que observamos as dificuldades dos estudantes no

esboço de curva, os autores deste trabalho observam que os estudantes não

conseguem resolver problemas que envolvem, simultaneamente, registros de

representações distintos.

A proposta principal para o ensino das equações diferenciais é, então, a

da visualização. A visualização geométrica da família das curvas, conforme já

discutimos, (Vide gráfico 5 e 7, página 17-18), se revela de grande importância no

86

aprendizado do estudante. De acordo com Hitt y Sandoval (2001) apud Cáceres &

Arceo (2002, p.189) “[...] a visualização matemática está relacionada com uma visão

global, integradora, holística, que articule livre de contradições de diferentes

representações”. Duval também chama a atenção para esta questão quando diz da

dificuldade e, ao mesmo tempo da necessidade, do estudante compreender o objeto

a partir de representações distintas. Do mesmo modo que Duval (Ibidem) Moretti

(2003) percebe as dificuldades no trato com uma matemática mais avançada.

E nos parece claro que os pesquisadores Cárcere & Arceo também têm

esta percepção ao formularem que o software Derive não dá conta de um trabalho

envolvendo as famílias de gráficos em EDO que, como vimos à página 7, quando é

de primeira ordem quase sempre sua solução representa a família de uma curva.

Para os autores o Cabri-Géomètre proporciona melhores condições de ensino de

EDO uma vez poder-se, com este software, representar-se e articular-se,

dinamicamente, diferentes registros de representações (diríamos registros ou

representações).

Em virtude das complicações advindas do procedimento em questão,

Duval (2003, 2004) indica o uso do procedimento 3. Por isso, Moretti (2003, p. 151)

vem dizer: “contrariamente ao procedimento 1, no modo 3, o conjunto traçado / eixo

forma uma imagem que representa um objeto descrito por uma expressão

algébrica”.

Giraldo & Carvalho (2002).

Resumo: “Apresentamos e analisamos algumas atividades para ensino de

funções com recursos computacionais, direcionadas a estudantes de graduação e

professores de ensino médio. Procuramos estimular a conexão entre as três

representações fundamentais de funções (analítica, gráfica e numérica) a partir da

análise crítica de resultados muitas vezes inesperados fornecidos pela máquina”.

Este é um dos estudos bastante elucidativos de, pelo menos, dois pontos

que nos interessam de modo direto. Os autores mostram complicações ao se usar,

na construção de um gráfico, o software Maple. No caso observaram um problema

87

de janela, e o que deveria ser a raiz quadrada de x ao quadrado mais um ( 2 1x ),

foi grafada como módulo de x (|X|).

O estudante experienciador sabia, aritmeticamente, que a função era

derivável em ZERO. No entanto, pelo gráfico, a derivada não existia. Posto o

conflito, os pesquisadores propuseram um ZOOM na tela. A partir desta atividade, o

estudante pode perceber que se tratava, graficamente, de uma curva parabólica e

que havia tangente em ZERO, o que significa a função ser derivável em ZERO e,

portanto, continua neste ponto.

Neste trabalho os autores acabam por circundar as idéias de Duval

quando “indexam”, para a compreensão, representações em Sistemas Semióticos

diferentes. Tratando do mesmo objeto matemático Giraldo & Carvalho (2002, p. 115)

nos traz:

1( ) , 11

f x xx

e o gráfico respectivo

Gráfico 21 -Giraldo & Carvalo

Os autores, após sua investigação, acabam discutindo a necessidade de

uma reversão para o impasse de o software mostrar o gráfico diferentemente do que

ele realmente é. Como eles pensam esta reversão?

De acordo com os autores, a reversão pode ser propiciada com o auxílio

de duas representações. Estas representações devem ser computacionais e não-

88

computacionais. A solução para o problema foi contornado pelos pesquisadores

como o ajuste da janela de saída (output).

A importância maior desta pesquisa em relação a nossa está no fato de

que o estudante, denominado pelos autores de Francisco, acabou mobilizando

representações algébrica, computacional (deu um zoom) e geométrica e, portanto,

trabalharam com representações. Por fim, fez aquilo que Duval cobra para o

entendimento: descreveu sua atividade cognitiva. Reproduzamos, na integra, a

discussão de Francisco de acordo com Giraldo & Carvalho (2002, p. 07)

Agora tá aí, uma boa questão. [...] Isso aqui tende a ser uma reta, mas não é uma reta? [...] Aí, agora, me pegou! Eu sei que é derivável! Deixa eu ver. [...] Aí, eu vou ter que derivar ela para pensar se é uma reta ou não.[calcula a derivada]Olha! Essa função é derivável, mas vai ter uma inclinação diferente para cada ponto. Não é como a função módulo que não é derivável no ponto (0; 0), mas tem a mesma derivada do lado x positivo e mesma derivada do lado x negativo para todos os pontos. Essa função não, ela vai se aproximar no ∞+ e no -∞ da função |x|. Vai se aproximar, mas para cada ponto vai ter uma derivada diferente.

Dall'anese (2000).

Este é um dos trabalhos no qual optamos por não trazer o resumo

conforme colocamos na apresentação deste capitulo. Aqui podemos observar mais

uma preocupação com o ensino de Conceitos no Cálculo Diferencial. Dall'anese

inclui a integral, o que amplia a discussão, uma vez que nos detemos, por enfoque

particular, no esboço de gráfico de função usando a derivada. A discussão se dá

sobre a existência de dificuldades na aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral

e a proposta é apresentar uma seqüência didática no intuito de diminuir esta

dificuldade. Então são apresentados alguns motivos para a dificuldade da

aprendizagem matemática e conseqüências da forma de condução das aulas.

1 - A questão das aulas expositivas onde se apresentam os elementos

constitutivos do cálculo como definições, propriedades;

2 - A mecânica dos exemplos através de listas de exercícios;

3 - O alto índice de reprovação decorrente destas mecânicas;

89

4 - O alto índice de evasão escolar.

Estes são alguns dos problemas que vêm levando pesquisadores da área

de Educação e da Didática da Matemática a tentarem diagnosticar a problemática e

propor novas metodologias de ensino para esta ciência como um todo, e para o

cálculo de modo particular. A discussão de Dall'anese (2000) perpassa pela, já

comum, investigação do uso do computador. Como já pudemos ver, esta ferramenta

tem grande valor de suporte na busca de novas formas de se apresentar esta

ciência. No entanto, também vimos que o computador é tão somente uma

ferramenta. Não se vai resolver o problema apenas com a inserção do computador

na escola. O problema do ensino é uma função de várias variáveis como melhoria

das condições da escola (em termos de materiais didáticos, estruturais, etc.),

melhoria nas condições salariais dos professores, melhoria nas condições

socioculturais dos estudantes de modo particular e da sociedade de modo geral, etc.

Ainda assim, não garantimos uma mudança vultuosa se não mudarmos a visão

educacional dos agentes envolvidos. Isso vai demandar mudança de atitude cultural

através de mudança psico-metodológica.

Para essa asserção podemos nos basear, por exemplo, em Valente

(2006) quando vem dizer: "portanto, a melhoria do aspecto físico da escola e do

salário do professor deve ser acompanhada de uma mudança pedagógica". Evidente

que a mudança pedagógica não é criada pelo computador. Como já dissemos de

uma máxima da computação: O computador só faz o que o programador 'mandar' e

isso tem de ser de forma inequívoca.

A idéia principal do autor foi a de “convencer” o estudante de que ele

ainda não tinha os pré-requisitos necessários para trabalhar com a derivada. E esta

é uma questão que discutimos ao tratarmos da reta tangente a uma curva em um

ponto. Desta forma sua investigação que se deu com estudantes que não haviam

travado conhecimento com os elementos necessários ao trabalho com taxa de

variação, enquanto os estudantes de nossa pesquisa já haviam passado por esse

processo, apresenta como uma das diferenças o foto “convencer” em ralação à

nossa proposta metodológica que é o por que?.

90

Não há nenhuma incompatibilidade entre as pesquisas, uma vez não

afirmarmos que os estudantes, por terem visto o conteúdo, tenha-se, no dizer de

Duval (2003, 2004), passado ao processo de semiosis. Nossa preocupação pode

assim ser reelaborada: se os estudantes já passaram pelos cálculos, travaram

conhecimento com duas representações do mesmo “ente” matemático, o limite e a

derivada, como não entendem o que é reta tangente? Na discussão que fizemos,

pudemos apontar alguns motivos para essa dificuldade. Motivos estes que vinham

desde o ensino médio onde os professores, por uma dificuldade epistemológica,

acabavam por fornecer informações que, mais tarde, se deparariam com outras

absolutamente distintas provocando um “entrave cognitivo” nos estudantes. Um

exemplo disso é a compreensão de divisão.

Para o estudante no ensino fundamental, de modo geral, divisão é

sinônimo de diminuição. Uma questão do tipo: tenho uma maçã e divido em quatro

partes... antes mesmo do final da pergunta o estudante entende que aí houve uma

diminuição. No caso do cálculo, é muito difícil o estudante compreender que

diminuindo o denominador há um aumento no número. Corriqueiramente, não se

chama a atenção para o fato da diferença entre o valor do limite da função e o valor

da função. O dilema do estudante põe-se, então, na questão: Dada a função

1( ) , x = 0 (0) 0f x fx

.

O estudante vê o limite abaixo e o conflito cognitivo naturalmente se

instala.

lim 10x x

.

Dizemos naturalmente, uma vez que este é um conceito de alto nível de

complexidade. Relatamos a preocupação de Descartes com o declive da reta

tangente que foi alvo de discussão por todo um século. A compreensão sobre a reta

tangente não é mais complexa do que o reconhecimento do limite acima, ainda mais

quando estamos colocando em um lado a dificuldade de um Descartes e do outro de

um estudante de capacidade média. É, de fato, difícil compreender que o limite

esteja tão próximo do infinito quanto desejarmos e ao mesmo tempo saber que este

desejo não inclui o infinito.

91

William (2004).

Resumo: “Esta pesquisa examina como as atividades e as avaliações

desenvolvidas pelo professor de Cálculo, no contexto das exigências do curso do

estudante, influenciam a aprendizagem. É uma pesquisa do tipo estudo de caso, na

qual estudantes da Universidade Estadual de Campinas cursando a disciplina

Cálculo de Várias Variáveis participaram em uma série de conversas sobre

conceitos e exercícios referentes ao teorema dos multiplicadores de Lagrange... nas

interações do estudante com a Matemática, e tendo como referencial teórico a

sociologia de Max Weber, a psicologia de Abraham Maslow e a teoria da ação, são

construídas dois “tipos ideais” de aprendizagem: a aprendizagem pessoal...e a

aprendizagem afastada que é mais distante e utilitária”.

Neste trabalho, Willian (2004) vem constituir sua sustentação teórica na

psicologia de Maslow e na sociologia de Weber. A idéia, então, volta-se para o

conceito de afetividade e cognitividade enfatizando-se que o ideal de aprendizagem

leva em conta estes conceitos. Para Willian (2004, p.141), "o tipo ideal de

aprendizagem é um construto conceitual que 'idealiza' um número limitado de

aspectos de aprendizagem". Neste caso, e por isso, o pesquisador afirma que esta

abordagem vai trabalhar a identificação das características necessárias à interação

do estudante com a matemática. A pesquisa toma como elemento de análise o que

podemos chamar de “análise do discurso” entre dois estudantes de nomes fictícios,

Lucas e Rodrigo. É na análise do que foi conversado por este dois estudantes dentro

de uma temática matemática por eles escolhida, que o pesquisador encontra o foco

de sua abordagem em dois tipos, que ele chama de "ideais de aprendizagem:

aprendizagem pessoal e aprendizagem afastada". Willian (2004, p. 141 - 146),

defende seu propósito dizendo:

Entendo que uma frase em si ou um recorte isolado de uma conversa não define uma característica do tipo ideal. É a multiplicidade de falas, cada uma contextualmente significativa, que vão dialogar entre si para esclarecer as tendências nas razões e motivações para os estudos do aluno que medeiam sua relação com a Matemática.

Certamente que o trabalho de Willian (2004) está colocado em uma

vertente distante do nosso trabalho. No entanto, em primeiro lugar, é interessante

92

perceber que a sua preocupação, dando-se com a interlocução e com a interação

entre os alunos, não produz ambigüidade com nossa proposta. Na realidade, temos

um olhar subjacente nestes aspectos pois que, em maior ou menor medida, também

tratamos dos aspectos psicológicos a partir das idéias de Vigotsky. Em segundo

lugar o afastamento do trabalho está no objeto e não nas idéias que lhe dão forma.

Dito de outra forma, o objeto de Willian é o como se dá a compreensão em

matemática do ponto de vista psicológico e sociológico. Enquanto nosso trabalho

está voltado para o como se pode compreender aspecto da matemática a partir da

construção e de como esta construção deve ser constituída cognitivamente.

É interessante o que vem dizer Julio, um dos alunos da pesquisa:

Em relação às aulas, tive me ausentando delas, algumas aulas, por causa das outras provas e das outras matérias, mas estou tendo dificuldades em me concentrar nas aulas ou mesmo para entender a matéria durante a aula. Às vezes não vou à aula para estudar em casa mesmo. Não sei se é um desânimo da época de provas ou se estou preferindo estudar em casa.(p.1).

Observamos que o aluno não busca a causa para seu desânimo em outra

coisa, a não ser em seu próprio estado de espírito. Não há um questionamento do

desânimo “fora” do aluno. Ele assume o estado a partir de seus próprios sentimentos

não percebendo nenhuma das questões levantadas por Dall'anese (2000).

Balyta (1999) –

Resumo: “Esta tese apresenta os efeitos do uso da tecnologia no

desenvolvimento do entendimento do conceito de função através das

representações gráficas das funções. Examina os efeitos dinâmicos de incluir a

representação na aproximação conceitual da aprendizagem aproximada da função.

O experimento pedagógico desenvolvido nesta tese foi implementado em classe do

6º Grau (alunos 11 - 12 anos de idade). As conclusões foram tiradas relativamente

aos efeitos de usar representação dinâmica na compreensão conceitual de funções

por meio de representações gráficas. Os resultados do projeto de investigação

mostraram que o uso apropriado da tecnologia detecta que a ação teve um efeito

93

positivo no entender conceitual do estudante sobre as relações funcionais entre

variáveis independentes e dependentes como também sobre a noção geral de

função matemática”.

Estudando este trabalho, encontramos interessantes conceitos e

definições como o de funções e variáveis. Chamou-nos a atenção de modo

particular a elaboração de Balyta (1999) sobre o conceito de função, uma vez que

este conceito é estabelecido a partir da representação gráfica da função

contrariando várias definições de função que são comumente obtidas a partir do

anúncio em linguagem materna como, por exemplo, vemos em Moise (1970, p. 64):

“a grosso modo uma função é uma lei de correspondência pela qual cada elemento

de um conjunto corresponde a um e apenas um elemento de outro conjunto”. O

trabalho tem início na discussão de como a análise da didática, de acordo com

Balyta (1999, p. 17 -21), vem estabelecendo que o ensino-aprendizagem relativo ao

conceito de função reduz de modo significativo os "obstáculos cognitivos e as

microconcepções associadas com as concepções gráficas logo encontradas por

nossos estudantes”.

Uma das questões apontadas por Balyta, exemplo de microconcepção, é

a conservação, por parte do estudante, da consideração do gráfico da função como

uma pintura ou um mapa ainda que o gráfico tenha sido composto por pontos

discretos. O pesquisador diz que esta incompreensão tem ligação direta com os

obstáculos cognitivos do estudante devido à inabilidade para reconhecer as relações

entre as variáveis. Discutimos esta questão ao levantarmos a idéia da representação

da função de três formas, algébrica, geométrica e gráfica, e quando colocamos a

compreensível incompreensão do aluno sobre o fato. Uma incompreensão advinda

da forma como o ente matemático lhe é apresentando pela própria distorção

epistemológica do professor sobre o assunto.

Pudemos verificar que o motivo principal de Balyta nesta pesquisa foi o de

explorar efeitos tecnológicos usados para o desenvolvimento conceitual da

representação gráfica de funções. De acordo com Balyta (2000, p. 92) “a análise

global revelou que a representação dinâmica efetivamente permite desenvolver

conceitos que os alunos compreendem”. Assim, eles percebem existir relação entre,

por exemplo, a distância e o tempo em problemas de movimento. A compreensão

94

desta relação vem implicar, conforme Balyta (2000, P. 92) na condição de que os

estudantes também podem “[...] desenvolver o entendimento entre variáveis

dependentes e independentes”.

Do exposto, verificamos que temos dois focos distintos e que não se

conflitam. Enquanto Balyta envereda pela discussão sobre os efeitos tecnológicos

na aprendizagem, positivando-os, nós caminhamos na direção de propor não uma

nova ferramenta tecnológica, mas uma nova metodologia no intuito de uma mais

eficaz compreensão do aluno quanto à construção do gráfico de uma função.

Verificamos, então, que os dois trabalhos, de modo subjacente, possuem uma

“intercessão” que está na busca de uma forma de trabalho que sirva de opção ao

tradicionalismo existente. Balyta não chama a atenção para o fato da tecnologia por

si só não ter nenhuma influência na aprendizagem, no entanto nos parece ponto

pacífico que esta perspectiva está pré-concebida no seio acadêmico.

Romberg et all (1993).

Estes pesquisadores vêm observar a existência de significativo progresso

na integração escola-pesquisa no que se refere à matemática, graças ao

envolvimento dos alunos que cooperam em diversos tipos de atividades como

análise de conteúdo, currículo, e na avaliação do domínio matemático. Neste

trabalho, os autores enveredam na tentativa de uma cultura da comunidade escolar

que a aproxime do estudo de funções e seus gráficos uma vez que, de acordo com

Romberg et all (1993, p. 2), “Existem consensos gerais de que as funções estão

entre as noções mais poderosas e úteis de toda a matemática”.

Vemos no trabalho o esforço na direção de se estabelecer uma

agregação geral entre pesquisadores e alunos em termos do estudo de funções e

gráficos. Este esforço sustenta-se, ou decorre em sua importância, na virtude de que

a aproximação comum quanto ao estudo de função nas escolas Norte Americanas

acompanharam a evolução histórica das idéias, neste aspecto da matemática,

produzindo efeitos consideravelmente positivos. Romberg et all (1993) chama a

atenção para a dificuldade no conceito de função lembrando que, já no século 17, na

Mesopotâmia, eram construídas tabelas relacionado valores entre duas variáveis. A

95

grande questão desencadeada a partir da necessidade de se compreender o que de

fato se poderia formalizar a partir destas tabelas, foi estabelecer o conceito de

função que perpassa pelo conceito de variáveis conforme vem dizer Romberg et all

(1993, p. 1-3): “o conceito de variável como problema de representação de relação

entre duas variáveis está subjacente a este domínio”.

A compreensão destes conceitos, aqui aprofundamos para os elementos

que constituem um gráfico geral de uma função polinomial fracionária de terceiro

grau, é parte integrante de nosso trabalho, uma vez que sem a conceitualização, a

definição e a compreensão de como cada elemento vai, conceitualmente,

apresentar-se no gráfico, fica inviável para o aluno a compreensão não só do todo

mas, também, das partes constituintes da representação geométrica da função. De

acordo com Romberg (1992) a função como ente matemático é um claro reflexo da

necessidade de se criar objetos frente a fatos sociais.

Junho (2003).

RESUMO: Este trabalho teve como objetivo, fazer um mapeamento das

dissertações produzidas no Programa de Estudos Pós-graduados em Educação

Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, na década de

noventa, que versavam sobre o Ensino Superior. Após análise de cada uma das dez

obras, foi possível categorizá-las principalmente quanto aos temas abordados e

metodologias utilizadas. Os resultados obtidos permitiram concluir que a maioria das

pesquisas abordou o ensino e aprendizagem de disciplinas de matemática “pura”, e

elegeu como estratégia de pesquisa, a elaboração e aplicação de uma seqüência

didática, baseada na metodologia da Engenharia Didática.

Diferentemente dos demais trabalhos, o trabalho de Junho (2003) não

será aqui examinado. A sua função é a de que o mesmo nos apóie na afirmativa

referente à pequena quantidade de trabalhos, na área de Educação, envolvendo a

matemática do ensino superior sem a abordagem pura. Vemos em Junior (Ibidem)

que, mesmo na Educação, os trabalhos vêm sendo feitos abordando-se a

matemática pura. Quando se trata de uma abordagem mais voltada para a

Educação propriamente dita como Etnomatemática, Ensino de Matemática,

96

Aprendizagem de Matemática, os trabalhos, em sua maioria absoluta são focados

no ensino fundamental ou médio.

Junior (Ibidem) traz nesta pesquisa uma análise completa das seguintes

pesquisas: CAVALCA, Antônio de Pádua Vilela (1977); OLIVEIRA, Nanci (1997);

BARBOSA, Lisbete Madsen (1999); MUNHOZ, Marcos (1999); CELESTINO, Marcos

Roberto (2000); CURI, (Edda 2000); DALL’ANESE, Cláudio (2000); DI PINTO,

Marco Antonio (2000); FIGUEIREDO, Auriluci de Carvalho (2000) e SARAIVA,

Ronaldo Penna (2000).

Esta revisão focou, não exatamente trabalhos propondo inversão

metodológica de modo claro. De modo subjacente podemos ter esta compreensão

uma vez que, por exemplo, a inserção de computador no ensino de cálculo

certamente mexe não só no conteúdo mas também, na forma de apresentação.

Essa reformulação vai impactar na forma de apresentação do elemento, e

esperamos que impacte também na aquisição do conhecimento.

Finalmente nos damos por satisfeitos por encontramos uma vasta gama

de cientistas debruçados sobre a questão da mudança de abordagem no ensino de

modo geral e na matemática de modo particular. Cabe aqui uma citação final:

[...] um fato que deve causar espanto em nós, ou mais precisamente causar espanto em nós se acaso nós não estivéssemos muito acostumado com ele. Como pode acontecer que há pessoas que não entendem matemática? Se esta ciência invoca somente as regras da lógica, que são aceitas pelas ‘mentes bem formadas’ [well-formed minds ] ... como pode isto acontecer, que há muitas pessoas que são inteiramente inacessíveis a ela? (Poincaré, in Sfard, 1991, p. 1) apud Oliveira

97

3.1. Estudo inicial: A Questão da Reta Tangente.No item Origem do Problema, em que tratamos das dificuldades dos

alunos na montagem de um gráfico de função ainda que tivessem à sua disposição

os pontos e intervalos do comportamento da mesma, nos levou a um trabalho na

direção de tentarmos encontrar motivos para o que considerávamos paradoxal:

determinar os elementos na forma algébrica e confundi-los na montagem gráfica.

Assim, por reconhecer a necessidade de um projeto piloto que pudesse

apontar o que nos era sugerido, buscamos trabalhar um problema aproximado: a

compreensão dos alunos sobre reta tangente a um gráfico em um ponto. Este

recorte era importante por vários motivos a serem objeto de tratamento ao longo

deste trabalho. Neste recorte a finalidade realmente foi a de iniciarmos uma análise

que nos pudesse trazer algumas respostas para a dificuldade dos alunos no

entendimento do que é reta tangente ao gráfico de uma curva em um ponto e, então,

podermos avaliar a existência de condições necessárias ao tratamento de uma

questão mais ampla envolvendo o esboço do gráfico de uma função.

Uma de nossas preocupações no trabalho com reta tangente era o tempo

Institucional. Dado que o estudo da reta tangente é feito no ensino superior na

disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I (ou equivalente) e que, usando-se a

metodologia tradicional é ministrado em menos de duas horas de aula,

precisávamos tomar os devidos cuidados uma vez que a metodologia a adotarmos

levaria, pelo menos, seis horas / aula. Neste caso, poderíamos não cumprir o

programa estabelecido e, assim, os alunos com os quais iríamos trabalhar, poderiam

entrar no Cálculo Diferencial e Integral II com um conteúdo comprometido.

Desta forma, ao optarmos pelas turmas de Cálculo Diferencial e Integral I

do curso de LIcenciatura em Química da UFRPE, buscamos nos acercar da garantia

dos alunos matricularem-se na disciplina de Calculo Diferencial e Integral II do

mesmo curso. Desta forma, na nova disciplina, cobriríamos possível defasagem.

Em assim sendo, buscamos trabalhar o caso da reta tangente a uma

curva em um ponto que não tomaria muito tempo em relação a sua complexidade.

Conceituação discutida durante uma parte do século XVII, demonstrando sua

98

importância e não trivialidade. Neste caso perguntávamos se o aluno demonstraria

trazer de seus níveis antecedentes à Universidade definições equivocadas.

Determinar o que seria uma reta tangente não foi uma questão trivial na

Matemática, como dissemos. De fato, uma gama de cientistas, matemáticos e

físicos, se debruçaram sobre o assunto que foi dominante no início do século XVII.

Thomas & Wesley (2002) nos dá conta que a reta tangente possui várias conotações

como na física óptica onde, dada uma lente curva, a tangente vem representar o

ângulo de incidência. Já na física clássica, na mecânica, indica a direção do

movimento de um corpo em todo ponto percorrido. Na geometria é o ângulo

produzido por duas curvas que se interceptam em um dado ponto. Thomas &

Wesley (2002, p. 131) vem dizer:

René Descartes chegou a dizer que o problema de achar a tangente a uma curva era ‘o problema mais útil e mais geral não somente que eu conheço, mas também que eu desejo saber’.

Em determinado momento de nossa vida acadêmica, década de 80,

fizemos, conjuntamente com outros colegas que partilhavam esta inquietação, um

estudo na direção de entendermos as dificuldades dos alunos. Buscamos

proporcionar o real entendimento do que vem a ser uma reta tangente a um gráfico

de uma função em um ponto desta função.

Foi proposto um trabalho envolvendo quatro professores da disciplina

Cálculo Diferencial e Integral I e que consistia no seguinte: teríamos uma mesma

abordagem no tratamento do estudo da reta tangente; todos os envolvidos

apresentavam as mesmas questões, em número de três, de forma gráfica sem o uso

da formalização matemática tratando os elementos na linguagem materna (tratava-

se de um trabalho inicialmente envolvendo a imagem como linguagem);

aplicaríamos três exemplos e três exercícios em comum nas turmas, a fim de

verificarmos se o aluno conseguia estabelecer corretamente a reta tangente, tanto

gráfica quanto conceitualmente.

O estabelecimento de três gráficos partiu da compreensão de que, assim,

estaríamos cobrindo todas as possibilidades no caso específico. Não tivemos um

trabalho institucionalizado, mas uma atividade extra-oficial comportando a idéia de

um projeto embrionário que pudesse contribuir na compreensão do fenômeno para,

99

então, podermos enveredar por um trabalho mais significativo. Assim, tratamos de

um trabalho sem a intencionalidade de aproveitar os dados para um outro momento.

Observe-se que se estava no início da década de 80, quando as

abordagens tradicionais na construção dos gráficos eram mais fragmentadas nos

livros texto de cálculo do que nos dias atuais (2007). A descontinuidade do trabalho

fez com que se perdesse o momento e os dados. Restam apenas os dados na

memória deste pesquisador, algo que Richardson (1999) considera importante. De

acordo com Richardson (1999, p. 18): “outro aspecto do método científico é a

confiança na capacidade de observação dos cientistas. Isso implica confiança na

percepção do pesquisador, em sua sensibilidade e memória”.

Os gráficos propostos eram do tipo:

Gráfico I: do estudo inicial da reta tangente

Dado que a preocupação não era a formalidade matemática, mas sim

uma idéia da reta tangente de modo intuitivo, perguntava-se ao aluno se a reta em

vermelho era tangente. O que se levantava na época, era a informação dos alunos

de que: “reta tangente é uma reta que corta um só ponto de uma curva”. Desta

forma, o aluno já colocava que esta reta não era tangente, pois tocava em dois

pontos da curva. Apresentava-se, então, o Gráfico 19 (gráfico II do trabalho).

100

Gráfico II: do estudo inicial da reta tangente

Perguntava-se: então, a linha vermelha é uma reta tangente? O aluno,

geralmente, tinha a noção de que a “tangente não cortava a curva”. Assim, a

resposta comum era: Não. Porque, nesse caso, a reta toca em apenas um ponto

mais corta a curva. Apresentava-se o gráfico abaixo.

Gráfico III - do estudo inicial da reta tangente (escala não exata)

Nesse caso, o aluno começava a perceber que suas respostas não eram

condizentes com sua noção de reta tangente. Em um gráfico a reta toca um é

somente um ponto da curva mas não era tangente, no outro tocava dois pontos da

curva e era tangente. O que contrariava a definição por ele apreendida.

Observando-se os gráficos I, II e III pode-se perceber a complexidade da

definição da reta tangente mas a simplicidade de seu entendimento geométrico. Os

gráficos revelam que, para se ter uma definição de tangência para uma curva

genérica, deve-se ter atenção com o comportamento da secante. Fazia-se

101

necessário, então, a partir do reconhecimento geométrico, observamos a definição

formal do que era reta tangente a uma curva em um ponto.

A abordagem que propúnhamos a respeito da reta tangente, a qual,

fundamentalmente, era o uso dos gráficos para depois matematizarmos a questão,

tem uma semelhança, no objetivo fundamental, com o que Pais (2000) discute. Pais

(Ibidem) vem falar da necessidade de substituição da formalização pela atuação

com material no ensino fundamental e médio sem que se venha a esquecer as

abstrações conceituais. O autor, portanto, esta abordando o fato de que a

matemática não pode desprezar a formalização. Pais (2006, p. 1) vêm dizer:

A justificativa da escolha deste tema (o uso de material didático no ensino fundamental e médio – nota nossa) decorre da expectativa de utilização de materiais didáticos por parte de professores que atuam no ensino fundamental na esperança de que as dificuldades de ensino possam ser amenizadas pelo suporte da materialidade.

Em sua síntese interrogativa, que podemos colocar como abstrair ou não

abstrair as condições abstratas pertinentes à matemática em prol de uma

sistematização do uso de material didático, Pais (2006, p.2) levanta que: “quanto ao

estudo de Geometria, há duas concepções: uma vem defender que os conceitos

geométricos são puramente platônicos e racionais, outra defende o conhecimento

geométrico pelo reducionismo da sensação”.

Tratamos, então, de enfatizar, como durante todo o trabalho, que a

proposta é de alternância de metodologia, sem perda das generalizações formais da

matemática. A apresentação de gráficos globais, seu estudo perante definições e

conceituações na linguagem materna não dispensam a abordagem da formalidade

matemática. Observando, então, nosso trabalho através, por exemplo, do gráfico da

função,

f(x) = 3 6 1x x

Expressão 19

102

Gráfico 22- Gráfico I exemplificativo do estudo do experimento

vemos que foram desenhadas várias retas tangentes em vários dos seus pontos.

Derivando-se a função, encontra-se os pontos de Máximo e de Mínimo

respectivamente em x= 2 e x = - 2 . A complexidade matemática do entendimento

da definição de reta tangente a um curva em um dado ponto é tamanha que leva

Thomas & Wesley(2002, p. 130-132) a exibir oito gráficos.

4.4 Fundamentação do estudo dos livros textos.

Os livros-texto de matemática usados no Ensino Superior vêm trazendo

transformações na apresentação dos seus conteúdos de modo geral e de modo

particular no interesse desta pesquisa: Gráfico de funções. Não tratamos, neste

trabalho, destas transformações como sendo evolução dos livros textos. Preferimos

utilizar o termo alteração metodológica, a fim de evitarmos discussões sobre o que,

de fato, significa “evolução” dos livros textos, e em virtude de esse não ser o objeto

da pesquisa, mas sim uma variável de suporte orientadora.

Traremos uma sumarização do conteúdo Gráfico de funções nas obras

abordadas. Contudo não estaremos constituindo uma análise completa destes livros

em virtude de não ser do interesse desta pesquisa. Estas obras foram usadas a fim

de mostrarmos a existência de uma fragmentação de conteúdo um conteúdo

específico.

O que significa, para nós, fragmentação? Câmara (1995, p. 13), ao tratar

da “concepção escadinha”, de uma linha behaviorista, como atuação no ensino-

aprendizagem vem dizer:

103

Os limites de uma aprendizagem baseada nessa concepção nos parece evidente. Em primeiro lugar, a fragmentação da aprendizagem em pequenas etapas intermediárias muitas vezes impede que o aluno se aproprie do significado do que ele está fazendo.

Quando Câmara (1995) faz referência ao termo fragmentação, o faz no

sentido da aprendizagem, fragmentação da aprendizagem. Nossa abordagem do

termo vai na mesma direção. A fragmentação metodológica ou fragmentação

pedagógica provoca a fragmentação da aprendizagem. O fato é que, conforme

discute Câmara (Ibidem) o problema da fragmentação da aprendizagem de modo

geral (nos estamos particularizando) é encontrado em uma “multitude de sub-

objetivos” e, assim, caso o aluno consiga, por exemplo, explorar uma situação sem

atingir o objetivo principal, isso não lhe dá a garantia da aquisição de conhecimento.

Este é o caso que vimos levantando quando perguntamos como pode o

aluno encontrar os intervalos, pontos, etc., necessários à construção do gráfico de

uma função e não conseguir construir esse gráfico? A questão não passa apenas

pela ação do professor. Ela passa, também, pela metodologia aplicada, muito

embora estes dois elementos, ação do professor e metodologia, estejam em um

mesmo corpo. Nosso trabalho, no entanto, aborda uma das causas: a fragmentação

metodológica. Para firmarmos a idéia mais geral, estamos aqui usando o termo

fragmentação para fazermos referência:

e) ao número de páginas separando tópicos que deveriam está o mais

próximo possível;

f) ao número de gráficos de funções do mundo real e do mundo artificial

usados, especificamente, para o entendimento do esboço de uma curva

conforme vimos à página 37;

g) a abordagem de tópicos dentro de outros tópicos conforme discutimos à

página 107;

h) ao número de gráficos completos (ou globais) conforme definido à página

7;

i) a falta de um tópico específico tratando de um assunto de tamanha

importância na matemática e na vida real.

104

O leitor observará tópicos que demonstram essa fragmentação. Nesse

sentido, vimos observar como os autores tratam os elemento que compõem um

gráfico. Esse olhar passa tanto por ser um ponto onde os erros dos alunos são mais

perceptíveis, quanto pela abordagem dos alunos ao professor. A sugestão, portanto,

é que os equívocos do estudante estão intimamente ligados à falta de entendimento

tanto do que ocorre nas vizinhanças dos pontos (Extremos locais, Inflexão,

descontinuidade, etc.,) quanto da análise dos intervalos (Crescimento x

concavidade; Decrescimento x concavidade, etc.)

O entendimento do gráfico global, discutido por Dugdale (1993), dá muito

mais importância ao entendimento do gráfico como um todo, que “plotar” o gráfico

ponto-a-ponto. Para esse entendimento, faz-se necessária a compreensão do

comportamento dos gráficos nos intervalos e sua montagem, uma vez que,

reconhecendo estes elementos e os sabendo concatenar, pode-se prescindir de

alguns elementos pontuais do gráfico. Moise (1970, p. 206) vem dizer “se você

puder descobrir onde uma função é crescente e onde é decrescente, é sempre óbvio

onde estão os máximos e mínimos locais”. Moise (1970) deveria deixar evidente

estava se referindo a alguns tipos de funções deriváveis pelo menos no ponto

considerado já que, por exemplo, para o gráfico da função f(x) =

1| |x , x≠ 0, abaixo,

essa afirmativa não é válida:

Gráfico 23- Gráfico da função f(x) = 1/|x|

Sabemos onde a função f(x)=1/|x| decresce e onde ela cresce, mas não

sabemos seus extremos locais mesmo porque eles não existem. Na realidade, se a

105

função é contínua e derivável em todos os seus pontos, exceto, talvez, nos

extremos, e se sabemos onde ela cresce e onde ela decresce sabemos sobre sua

convexidade e seu ponto crítico que pode um máximo ou um mínimo local. E se a

função é descontinua, como no gráfico 1 acima, para um dado x = a, ela não possui

extremo local em “a”.

Assim, segue-se a observação principal sugerida que a problemática do

aluno está mais ligada à compreensão do comportamento da função nos intervalos

de seu domínio e nas vizinhanças dos pontos onde ocorrem determinadas

modificações no comportamento do gráfico.

Aprofundemos um pouco mais a questão a fim de termos uma melhor

diagnose de como se dá a fragmentação e onde encontramos elementos do esboço

do gráfico tratados dentro de outros tópicos, ainda que este tratamento seja o

mesmo se feito em outro item ou em um tópico especifico para o esboço de gráfico

de função conforme defendemos.

De 196_ até 198_, Courant (1965), Moise (1970), Lang (1965), Piskunov

(1969), Lang (1972), Ávila (1978) e Simmons (1985), por exemplo, davam um

tratamento matemático ao Gráfico de Funções apresentando um gráfico para tratar

apenas de um elemento constituinte. Por exemplo, Courant (1965, p.18-20)

apresenta as curvas das funções 2 31 ; y = x e y=xy

x

, basicamente para definir o

que é função monótona (Crescente ou Decrescente). Deste modo, particulariza a

definição de um elemento da curva. Observa-se que, no conjunto, estas funções

contêm: concavidade, ponto de inflexão e ponto de mínimo local. Essa apresentação

torna a aplicação do gráfico de função fragmentada. Com essa fragmentação estas

obras, em suas edições aqui consideradas, não parecem apontar para uma noção

dirigida, propriamente, à compreensão clara de como se constrói o gráfico de uma

função.

Moise (1970, p. 200) chama o leitor a relembrar o que foi discutido na

seção 3.9, em que aborda o Princípio da compreensão: A derivada da Integração,

página 118, que é a demonstração do Teorema 1 da seção 3.7 (Teorema do valor

106

médio para Integrais - TVM). Moise(1970, p. 105) vem dizer: “ se f é continua num

intervalo contendo “a” então a D(t)

( ) ( )x

a

f t dt f x em cada ponto x do intervalo”

Mais especificamente, a fim de ilustrarmos a abordagem de Moise (1970)

sobre o gráfico de função, tomemos o item 5.1 – Intervalo onde uma Função Cresce

ou Decresce, (p.200). Moise (1970, p. 200) vem dizer: “recordemos da secção 3.9, a

definição de função crescente: a função f é crescente se X < X’ => f(X) < f(X’).

Analogamente f é decrescente se X < X’ => f(X) > f(X’)”. Em seguida Moise (1970)

apresenta o gráfico explicativo referente, exclusivamente a este item. Observe-se

que Moise (1970) vem fazer menção à secção 3.9 na secção 5.1. Havendo, então,

81 páginas de separação entre o teorema e exemplos de aplicação de dois itens do

gráfico de função. O teorema anunciado está colocando no bojo do estudo do Valor

Médio de uma função f no intervalo [a,b] que é colocado por Moise (1970, p.118) no

Princípio da Compressão: A derivada da Integral. O gráfico apresentado não é do

mundo real e enfoca apenas este elemento, contemplando o ponto de vista da

abordagem de Moise (1970). Ainda que o autor repita a definição de crescimento e

decrescimento de uma função, observa-se a fragmentação.

Já os livros textos mais atuais, como Thomas (2002), Anton (2000) e

Larson (2003), dão um enfoque mais compacto. Trazem uma abordagem na qual

apresentam os elementos necessários à construção do gráfico mais próximo entre

si, permitindo-nos observar relações como, por exemplo: se uma função é contínua

e derivável em todo o seu domínio D, cresce em um dado intervalo I e decresce em

um dado intervalo J, I ≠ J e I, J D, o gráfico desta função mostra um ponto crítico

(de Máximo ou de Mínimo). Anton (2000, p.290), ao apresentar o mesmo item

referido acima com Moise (1970), região de crescimento da função, o faz em

conjunto com a região de concavidade no item 5.1, Análise de Funções I:

Crescimento, Decrescimento e Concavidade. Fizemos uma sumarização desta

discussão nos quadros 8 e 9, páginas 128 e 129

Enquanto Moise (1970. p. 200 - 203) usa seis gráficos de funções

hipotéticas e dois gráficos de funções do mundo real como auxilio visual à

compreensão de crescimento e decrescimento de função, Anton (2000, p. 289-324)

107

utiliza treze gráficos, sendo nove hipotéticos envolvendo os dois tópicos e quatro

específicos (funções reais), em um contexto geral envolvendo todo o gráfico da

função.

Assunto

Autores

Courant (1965) Moise (1970) Anton (2000) Thomas & Wesley

(2002)

Tratamento Gráficos

induzidores no

tópico funções

especiais.

6 Gráficos de funções

hipotéticas;formalização

do tópico dentro de outro

tópico; 2 gráficos de

funções do mundo real

6 Gráficos da vida

real, 8 gráficos de

funções hipotéticas

e formalizações.

4 gráficos da vida

real, 1 gráfico de

função hipotética.

Quadro 7 - Quadro de diagnose de fragmentação

E, ao contrário de Anton (2000) e Thomas (2002), nem Moise (1970) nem

Courant (1965) apresentam a construção de um gráfico global, muito embora Moise

(1970, p. 210) apresente o gráfico de 2

1( ) , 1,1

f x xx

(gráfico apresentado para

a compreensão de limite no infinito). Mesmo gráfico apresentado por Courant (1995,

p. 53) para ilustrar “outro” tipo de descontinuidade. Apesar do enfoque de Anton e

Thomas minimizarem a fragmentação, é importante o leitor lembrar que existem

vários outros elementos compondo a fragmentação, e que nosso objeto de pesquisa

tem como foco principal a inversão metodológica que não é contemplada em

nenhuma das obras citadas.

Vimos reforçar a escolha dos livros texto, citados à página 13, em nosso

estudo. A primeira leva em conta o conhecimento dos mesmos pelo pesquisador em

seu percurso pela Matemática, quer na condição de aluno, quer na condição de

professor. A segunda quer afirmar que, usando como ponto de partida a obra de

Courant (1965), estas foram as mais importantes obras, para o contexto de uma

discussão sobre a metodologia no ensino de Cálculo Diferencial e Integral, usadas

nos cursos de Matemática entre 196_ e 197_.

Esta sugestão de importância, sem discussão do mérito, nasce a partir

da própria obra de Courant (1965), uma vez que o mesmo assume no prefácio, ser

108

sua obra uma cisão com obras anteriores e mesmo contemporâneas. Para Courant

(1965), as demais obras estavam equivocadas. No prefácio da primeira edição

alemã, Courant (1965, p. vii) vem dizer:

Ele (o aluno – nota do pesquisador) recusa ser importunado pela prolixidade e enunciados gerais que nada lhe ensinam e não tolera o pedantismo que não distingue o essencial do não essencial e que, por amor a um conjunto sistemático de axiomas, deliberadamente esconde os fatos aos quais se deve o desenvolvimento da matéria.

Analisando outras obras contemporâneas de Courant (1965), como Lang

(1965), Piskunov (1969), etc., já que seguem o mesmo padrão metodológico

quando adotam a mesma postura fragmentada já discutida a partir de Courant

(1965) e Moise (1970), fazemos uma breve confrontação no foco específico do

trabalho com duas das mais diferenciadas obras da atualidade em relação às

anteriores: Thomas (2002) e Anton (2000). Estas obras contrastam com o enfoque

das obras tradicionais de 196_ a 197_, em sua metodologia até mesmo porque

estes livros aqui tratados de atuais, propõem o uso de novas tecnologias, em

particular o computador, auxiliando na aprendizagem do aluno e facilitando o

trabalho do professor ao possibilitar que o mesmo possa apresentar mais gráficos de

funções em menos tempo e muito melhor desenhados.

A abordagem de Moise (1970, p.200-248) referente ao gráfico de função

com o auxílio da derivada, vem apresentada no tópico: A Variação das Funções

Contínuas. Não existindo, portanto, um tópico especificamente direto para o gráfico

de função e isso o aproxima de Courant (1965). Courant (1965, p.14), iniciando o

tratamento de função onde explora o crescimento vem dizer:

A restrição que imporemos agora, ao conceito de função, é: a representação geométrica da função deve assumir a forma de uma curva geométrica “plausível”. É verdade que isto implica mais em uma vaga idéia geral do que, propriamente, em uma estrita condição matemática. Cedo, porém, formularemos tais condições, como continuidade, a derivabilidade e outras que farão com que o gráfico da função possua o caráter plausível, visualmente, de representação geométrica.

109

Courant (1965) vem retomar os elementos de uma curva com o teorema

das funções contínuas, página 63, os máximos, mínimos e concavidade, página 158.

Caso fôssemos abordar, continuamente, as obras cada vez mais recentes a partir de

196_, iríamos perceber que essa metodologia vem tomando outras formas na

direção do que ocorre atualmente com as obras de Anton (2000) e Thomas (2002),

em que se dá uma maior ênfase à construção dos gráficos de uma função. Uma

aplicação que fundamental no escopo do Cálculo.

Uma vez que estamos tratando de apontar uma metodologia para o caso

do esboço de curva de uma função, fazemos, an passan, a observação de que os

precursores de uma alteração metodológica que mais chamaram a atenção do

pesquisador foram Leithold (1977) e Piskunov (1969). Estes autores deram ênfase

ao número de exercícios propostos e resolvidos sugerindo que o número de

exercícios resolvidos e propostos seria responsável pelo aprendizado do aluno.

Deste modo, quanto mais exercícios fossem resolvidos, maior o conhecimento

adquirido.

A bibliografia a esse respeito já dá conta de que essa sugestão não se

sustenta, ainda que existam defensores. Ávila (1998), em seu prefácio, vem dizer:

“Evitamos propor exercício em número excessivo, pois isso muitas vezes desorienta

o leitor ao invés de ajudá-lo”. E, referente ao Ensino médio, o Catálogo do Programa

Nacional do Livro para o Ensino Médio, PNLEM / 2005, página 45, vem dizer que:

No livro do professor, critica-se, enfaticamente, a metodologia, que consiste em apresentar as definições e as propriedades, seguidas de alguns exemplos e de um grande número de exercícios, para fixar os conteúdos. Porém, a proposta desenvolvida no livro do aluno adota, em grande medida, esse modelo, o que representa uma incoerência.

É possível averiguar se essa noção, ainda que vista pelo ângulo restrito

do “treinamento” é verdadeira. Tome-se, por exemplo, o caso da derivada de uma

potência. O fato de o aluno derivar as funções: 2 3 100( ) ; ( ) ... ( )f x x f x x f x x

, não garante que o aluno derive 3( )f x x . A questão, portanto, pode ser

considerada como de generalização, de enfoque, de “qualidade” dos exercícios e,

principalmente, como se está a defender, de metodologia.

110

Este tipo de “treinamento” já havia sido posto por JR (1957, 1961, 1963,

1966, 1968, 1970, 1971, 1972, 1973, 1974,1975). JR (1957) difere dos demais

citados por apresentar uma obra do tipo exercício, noções intuitivas, exemplos. Na

sua PALAVRAS AO ESTUDANTE, JR vem dizer:

[...] o emprego correto do livro exige o conhecimento do que ele é e do que não é. Não encerra demonstrações de teoremas e não discute princípio. Não é, decididamente, um livro texto e não deve ser empregado com o intuito de se evitar o livro texto regular.

Contrariamente à opinião de JR (1957), que acha impossível a

sustentação de que, para se aprender matemática se faz necessário fazer muitos

exercícios, na apresentação do livro, o Professor Othon Nogueira explícita ser

“imprescindível numerosos exercícios resolvidos sobre a matéria”. São duas linhas

de pensamento que persistem até os dias de hoje. Nós defendemos que não é o

número de exercício o responsável pela aprendizagem, mas a qualidade deles.

No momento que o aluno entender o conceito de derivada e derivar

( ) nf x x , ele é capaz de derivar qualquer polinômio para qualquer N e isso vale

para o cociente, o produto, a soma, as funções compostas e inversas e as funções

transcendentais.

Além do aspecto diferenciado na abordagem dos livros texto aqui

discutidos há, nas edições mais recentes de Thomas (2002) e Anton (2000), a

preocupação com o uso de computadores, de softwares e calculadoras

programáveis no auxílio do ensino de gráfico de funções. Os computadores ainda

não eram popularizados5 à época das edições dos livros textos “antigos” aqui

tratados e, assim, não podiam ser utilizados por seus autores. Os autores, mais

atuais, ainda disponibilizam um site com exemplos, exercícios, apresentação em

PowerPoint, etc. O que vem significar a importância dada por eles ao uso do

computador/ Internet.

A respeito das características da décima edição, Thomas (2002) vem

dizer: “com uma linguagem simples, cada tópico novo é explicado por meio de

exemplos claros, cuidadosamente resolvidos e de fácil compreensão, reforçado por

sua aplicação no mundo real (Destaque do pesquisador)”. E interessante observar 5 O primeiro computador doméstico, o ALTAIR, surgiu em 1975: In www.liv.ic.unicamp.br/~bergo/mc102/slide-t2.pdf

111

que Moise (1970, p.203) vem dizer: ”Este não é um problema artificial, é um

problema da vida real (Destaque do pesquisador) e nada vai ser fácil”.

As duas citações vêm sugerir que, enquanto Moise (1970) tem como

filosofia tratar a questão de uma função do mundo real de forma esporádica,

Thomas (2002) sugere uma filosofia de trabalho pautada, quando possível, no

mundo real. O que demanda uma profunda diferença na metodologia usada pelos

autores em questão.

Nas características da décima edição, Thomas (2002), ainda acrescenta:

“com ênfase na modelagem e suas aplicações do cálculo usando dados reais,

procura-se dá mais equilíbrio ao método gráfico, numérico e analítico, sem

comprometer a integridade matemática do livro”. Cassiano apud Barbosa (2002)6

afirma, quanto às imagens (ou figuras), que elas são "uma forma de linguagem que

pode contribuir para a aprendizagem dos conceitos científicos” enquanto Archela

(artigo 3, p.1) vem dizer:

Em primeiro lugar, é importante lembrar que na medida em que o usuário deixa de ser passivo diante de uma mensagem comunicada através de uma imagem, na tentativa de compreendê-la, estabelece-se um processo de descodificação. Assim, uma das formas de estudo das imagens refere-se à análise de seus elementos e as relações entre suas partes.

Finalmente, a importância da percepção das imagens no processo de

ensino-aprendizagem vem retratada por Versuti (2004, p.6) que vem dizer:

Trata-se de uma reflexão acerca de um tema mais amplo que envolve as características essenciais dos alunos; sua facilidade de percepção e apreensão de imagens, utilizando as interfaces gráficas como mais um elemento significativo do processo de aprendizagem e facilitando inclusive a auto–avaliação.

3.1.1. A guisa de ConclusãoSe é que se pode ter conclusão sobre algo, ainda que conclusão parcial, a

que tiramos do exposto pode ser concebida como um redirecionamento

metodológico dos autores de livros textos de Cálculo particularmente no que se diz

respeito ao esboço de gráfico de funções. Observamos que os autores de obras

6 Não foi possível encontrar o trabalho original inclusive na biblioteca da UNB.

112

mais recentes aqui tratados, incorporam em suas edições um tópico específico para

o esboço de gráfico de função.

Desta forma a nossa primeira observação é a de que, agindo assim os

autores diminuem a fragmentação no estudo em questão. Por outro, ao investirem

em gráfico completos mais do que os autores dos livros texto antigos, caminham na

direção defendida neste trabalho com apoio de pesquisadores já declinados.

A inclusão de problemas a serem resolvidos através do computador, a

disponibilização de site com material de apoio ao estudo do cálculo de modo geral e

de modo particular do esboço de gráfico de função, aponta para a compreensão da

importância do computador / Internet conforme defendemos em nossa dissertação

de mestrado.

113

3.2 Outras Observações Sobre as Obras AbordadasChamamos a atenção do leitor para o fato de que este estudo aborda

como os autores a serem trabalhados neste tópico, tratam o gráfico de função

durante o tratamento da derivada (ou como aplicação da mesma). Assim, não

trabalharemos com construção de gráficos a partir da definição de derivada. Isso

porque estamos interessados na construção completa de gráficos a partir do auxílio

desta ferramenta a partir das fórmulas de derivação proveniente da definição formal

da derivada, a saber:

lim ( ) ( ) , 0f x x f x

x x

Tentaremos agora melhor detalhar algumas diferenças entre as obras de

Courant (1965) , Moise (1970), Anton (2000) e Thomas & Wesley (2002) sem que se

vá tratar de equívocos matemáticos conceituais ou de qual obra é melhor do ponto

de vista da matemática. Também não se pretende um trabalho “cronológico”, ponto

a ponto, sobre as diversas modificações ocorridas nas obras trabalhadas.

A razão para esta preocupação é orientada pelo fato de se compreender

que, sendo o processo de ensino algo dinâmico em virtude das variadas pesquisas

que apontam para diversas alterações, as obras acompanham-no. Há ainda a

questão de fragmentação. Conforme veremos Courant (1965), por exemplo, não usa

a palavra ponto crítico nem nenhuma outra similar. O ponto crítico aparece quando

ele trabalha o ponto de extremo local e diz que, neste ponto, f’ = 0, é condição

necessária. O aluno, então, precisa saber que se trata de um ponto critico se a

função muda de sinal nas vizinhanças de f’ = 0. Como nem Courant (1965) nem

Moise (1970) trazem o esboço de curva em um tópico determinado, torna-se tarefa

para uma tese fazer um estudo que “varra” todos os elementos de um gráfico de

uma curva global ou completa.

Na escolha das obras podemos, por exemplo, observar que os trabalhos

de Thomas & Wesley e Leithold sofreram grandes alterações entre 1966 e 2002, e

1977 e 1994, respectivamente. Estas alterações no enfoque, nos recursos

pedagógicos, técnicos, metodológicos, etc., não são exclusivas nem destes autores

nem da matemática. Na física, Halliday, Resnick & Walker (2000) provocam grandes

alterações em suas abordagens, a partir de 1972. Halliday, Resnick & Walker

114

(Ibidem) iniciam cada capítulo com uma questão familiar ou curiosa em forma de

imagem como quadros (Pinturas), Artistas (Bailarinas), homem bala (homem saindo

de canhão em um circo) e, a partir desta questão, estabelecem perguntas que os

Físicos costumam chamar de “provocação”. Percebe-se, portanto, que há uma

tendência em constituírem-se obras voltadas para o cotidiano visual sem, no

entanto, perder-se a essência teórica das ciências. Nesse aspecto, o valor da

visualização vem posto por Pereira & Souza (2000) na apresentação do projeto de

pesquisa da seguinte forma:

Enfocamos a imagem como signo que provoca uma ampla diversidade de significações e interpretações no sujeito que a reconhece e a produz, desencadeando, assim, novas sensibilizações que devem ser exploradas criticamente por sua penetração ilimitada na vida cotidiana.

De modo geral, os autores destas obras modelaram seus trabalhos com

foco em uma metodologia muito semelhante. No prefácio da Primeira Edição Alemã

de Courant (1965), o autor aponta a diferença de sua obra comparativamente ao que

ele chama de “antiga tradição” dos compêndios de Cálculo Diferencial e Integral.

Courant (Ibidem) vem dizer: “o leitor notará, de modo especial, o completo

rompimento com a antiga tradição de tratar, separadamente, o cálculo diferencial e o

cálculo integral”.

Percorrendo estas obras, vemos uma constante alteração de abordagem,

pedagogia, metodologia e mesmo de layout das edições. Ainda que os autores das

obras “antigas” tragam afirmações discordantes, isso não vem significar uma

alteração substancial. Por exemplo, enquanto Moise (1970) e Courant (1965)

enfatizam a importância das demonstrações de teoremas, das conceituações e das

definições, quando possível, o mais formal, Simmons (1987) não hesita em se

colocar de modo claro e inequívoco contra esta forma de enfoque. Simmons (1987),

em seu prefácio, vem dizer:

Naturalmente, desejo convencer o estudante de que os instrumentos-padrão do cálculo são razoáveis e legítimos, mas não a custa de transformar o assunto numa disciplina lógica, enfadonha e dominada por definições supercuidadosas, apresentações formais de teoremas e provas meticulosas.

115

Em sua mensagem “Ao estudante”, Simmons (1987) vem dizer: “Minha

sugestão é que os estudantes leiam primeiro o texto e quando este estiver

totalmente assimilado então e só então passem para os exercícios”. Podemos

perceber que, por ser uma obra publicada muito mais recentemente do que a de

Courant (1965) e a de Moise (1970), a obra de Simmons (1987) tem um sentido das

obras de Anton (2000) e Thomas & Wesley (2002) e, no entanto, para fins deste

trabalho, se encontra mais próxima de Courant (1965) em virtude da fragmentação.

Assim a obra de Courant foi escolhida em face da própria posição de Courant em

seu prefácio, conforme vimos. E Moise em virtude de ser um intermediário entre

Courant e as demais obras observadas neste leque de obras que chamamos

antigas.

3.2.1. SumarizaçãoA fim de podermos montar um quadro a partir do qual estabeleceremos um

gráfico da fragmentação, nos próximos quatro itens faremos uma análise de como

cada autor aborda os elementos constitutivos de uma função global ou completa.

Isso não significa que alguns deles estejam errados. Significa que para efeito

da defesa que hora enfrentamos, uns são mais fragmentados do que outros e, desta

forma, entendemos que aqueles mais fragmentados parecem dificultar o

entendimento sobre o esboço de gráfico de função.

Portanto, ao trazemos o esquema proposto por Leithold (1994) que, como já

dissemos, não é uma seqüência obrigatória, temos como foco principal observar a

fragmentação que é um elemento chave de nosso objeto de pesquisa ao tempo que

nos sustentamos no estudo dos quatro livros eleitos para este estudo. A seqüência

visa, tão somente, facilitar os passos que o aluno deve dá para a construção de um

gráfico. Ela é assim colocada por Leithold (1994, p.258):

1. Domínio da função;

2. Raízes da função;

3. O cálculo de f’ e f’’;

4. Pontos críticos da função;

5. Máximo e Mínimos relativos da função;

116

6. Região de crescimento e Região de decrescimento da função;

7. Pontos de inflexão da função;

8. Região de concavidade da função;

9. Inclinação da reta tangente nos pontos de Inflexão da função;

10.Assíntotas verticais, Horizontais ou Oblíquas da função.

Atentemos às diferenças de nomenclatura entre autores e mesmo para a não

existência de determinados elementos que são substituídos através de outras

condições. Como exemplo já mostramos a questão da assintota que em Courant

(1965) é substituída pela descontinuidade. Desta forma, estamos dizendo que com

todos os autores é possível a capacitação para a construção do gráfico de uma

função.

A questão, então, reside na abordagem dos elementos sugerindo o grau de

importância que cada autor deposita neste tópico bem como o nível de dificuldade

que cada um traz para a aquisição deste conhecimento. Por um lado lado, ao

dizermos que seguiremos a seqüência de Leithold, não estamos dizendo que

desprezaremos outra seqüência e não faremos foco nos elementos que não

necessitam da derivada para serem encontrados. É o caso do domínio e da imagem

da função.

Por outro lado o leitor perceberá a existência das assíntotas verticais que, do

mesmo modo não necessitam de cálculo da derivada pois se confundem com a

descontinuidade no ponto. Nos a incluímos em virtude das assíntotas obliquas que,

se não cobram a derivada, cobram limite de onde provem o conceito de derivada.

Iremos em busca dos elementos constitutivos do gráfico de uma função

tratando, de modo indiferente, se o autor usou ou não a mesma nomenclatura. Isso

que dizer que respeitaremos, como não poderia deixar de ser, a denominação e / ou

condições que permitam tal conhecimento.

Ressalte-se que o fato matemático de se abordar inicialmente o Cálculo

Integral e, depois o cálculo Diferencial ou não fazer esta separação, bem como a

ausência ou presença de uma abordagem mais direta ao esboço do gráfico de uma

função, não traz nenhum problema conceitual à matemática. A separação, a nosso

ver, aumenta a dificuldade do aluno se apropriar do conhecimento.

117

3.2.2. Courant (1995, 1ª Edição, 4ª Reimpressão– 609 páginas)O primeiro item apresentado por Courant é o domínio de uma função, no

item 2, Conceito de Função, página 14. Ali é apresentado o conceito de função a

partir de idéias da Química e da Física usando, respectivamente, a Lei de Boyle

Mariot sobre o gás ideal e a dilatação dos metais. Para chegar à sua definição de

função, Courant (1965) recorre a um certo intervalo a x b . O intervalo é tratado

como contínuo, e o autor reforça que x é uma variável à “vontade”, o que quer dizer

que assume continuamente todos os valores compreendidos em [a,b]. A partir desta

idéia Courant (1965, p. 15) vem dizer:

Se a cada valor de x neste intervalo, corresponde um único valor definido para y, e se x e y forem ligados por uma lei qualquer, diremos que y é uma função de x e escreveremos, simbolicamente, y = f(x), y = F(x), y = g(x) ou outra expressão semelhante.

Entretanto, o domínio abordado não é dirigido ao esboço de curva. O domínio

máximo de definição de uma função somente é abordado por Courant à página 458

quando ele trata de funções de mais de uma variável.

O segundo elemento da composição de um gráfico de uma função, é o

crescimento da função tratado por Courant (1965) como função monótona

crescente, páginas 16-19 onde apresenta os gráficos das funções do mundo real: 2 3( ) e f(x) = xf x x . A abordagem faz foco na derivada como auxilio ao esboço de

gráfico de função . Neste caso o segundo elemento, do qual tratamos acima, vem

apresentado na página 106 quando Courant fala da primeira aplicação do Teorema

do Valor Médio.

O terceiro elemento tratado por Courant (1965) relativo ao gráfico de função,

concavidade, vem na página 158 e 159 com dois gráficos de função não definida (as

chamadas funções do mundo irreal, classificou Moise (1975) – y = f(x)). Já o quarto

elemento, ponto de inflexão, é tratado na página 159 com o auxilio de um gráfico de

uma função genérica que vem a significar um gráfico sem a equação equivalente. O

quinto elemento, Máximo e Mínimo, vem tratado na página 161 também com o apoio

de um gráfico de uma função genérica.

Quando “definimos” o que chamamos de fragmentação, apontamos para o

fato do elemento apresentado não ser tratado especificamente, para o esboço do

118

gráfico. Alguma proximidade entre os elementos que compõe o gráfico de uma

função no trabalho de Courant, não ter o foco na construção do gráfico. Dito de outro

modo, Courant traz elementos pertinentes à construção do gráfico de uma função no

bojo de outros conteúdos dificultando a compreensão do estudante.

Courant traz estes elementos, preocupado com aplicações gerais. Por isso

não construí um gráfico global.

É possível obtermos um outro elemento, raízes da função, a partir do

Teorema de Taylor no trato com o Contato das Curvas que Courant traz à página

331. Por último, Courant dá a pista sobre assintota quanto trata da descontinuidade

de uma função e trata da representação geométrica das curvas ao focar as

equações paramétricas na página 258. Mas sabemos que assintota e

descontinuidade são elementos matemáticos distintos. Em vários momentos Courant

chega a desenha a assintota mas nada diz sobre ela (Páginas 25, 53, etc.). É

possível que em uma análise aprofundada da obra de Courant encontremos,

estabelecido até mesmo o conceito de assíntotas. No entanto isso nos desviaria de

nosso propósito.

Em seu Capítulo II, Courant (1965) traz: Idéias Fundamentais sobre o

Cálculo Integral e Diferencial. Essa abordagem, portanto, coloca o tratamento do

gráfico de função, uma das aplicações da derivada, no “corpo” de estudos como o

do Teorema do Valor Médio para as Integrais.

A obra de Courant (1965), aqui tratada, tem o propósito de contrariar a

“antiga tradição”, em que se separava a Derivada da Integral. Esta “contrariedade” é

feita de modo efetivo na unificação do estudo da derivada com a integral. Ainda que

para nosso foco de estudo Leithold (1977) e Piskunov (1969) sejam seguidores de

Courant, diferenciam-se deste quando apresentam um número bem maior de

exercícios resolvidos e exercícios propostos dentro de uma linha, como já dissemos,

que defende o exercitar cada vez mais para que se aprenda cada vês mais

matemática.

Courant (1965) trabalha, em sua introdução, a questão da continuidade

das funções e, portanto, dos limites das funções, e inicia o trabalho do Cálculo

propriamente dito com Idéias Fundamentais Sobre o Cálculo Integral e Diferencial

(p. 77) em que vem tratar da Integral definida, da integral como área, da definição

119

analítica da integral, das regras fundamentais onde o principal é o tratamento de ∆x

tratado como dx que denota o que se chama em matemática de infinitésimo de

ordem superior ou inferior.

Quanto aos exercícios propostos e resolvidos, podemos ver que Courant

não faz foco no esboço de gráfico de função como meta particular. Ele propõe

exemplo sobre gráfico com, por exemplo, 22 , y=xy sen x no sentido de que se

verifique: Quais funções são pares e quais são impares, para a primeira função;

quais as regiões de crescimento e de decrescimento e se a função é par ou impar no

caso da segunda função acima. Ms sem que isso tenha uma continuidade no

sentido do esboço do gráfico.

Quando Courant vem usar a derivada como recurso para o estudo do

crescimento e decrescimento das funções, página 106, o faz como uma aplicação do

teorema do valor médio. Essa aplicação é, exatamente, a demonstração do teorema

que nos garante: se f’ > 0 em um certo intervalo, a função é crescente neste

intervalo. Caso contrario a função é decrescente.

Os dois primeiros exemplos sobre máximos e mínimos apresentados por

Courant, página 163, são de aplicações de cálculo de perímetro. Dois outros

exemplos, página 164, dizem respeito à lei da refração e ao cálculo da distancia

entre pontos. Até o momento, portanto (e não vai acontecer depois), Courant não

construiu o gráfico de uma função. Ele usa gráficos para exemplificar uma

afirmação, ou como faz na página 53 com a função 21

1y

x

, onde usa o gráfico

apresentado (não construído) para ilustrar a descontinuidade nos pontos x =1 e x =-

1.

Na página 166, apresenta algumas funções onde propõe que o estudante

encontre: Máximos e Mínimos, Pontos de Inflexão, Concavidade e o respectivo

gráfico. O leitor deve está perguntando: então, com esse conhecimento Courant

possibilita que o estudante construa o construir o gráfico de uma função? A resposta

é sim. Como vimos dizendo, a discussão não é sobre falha matemática dos autores,

mas sobre a metodologia.

120

3.2.2. Moise (1970, 2ª Edição), Lang (1965, 1ª Edição)Ainda que seguidor de Courant, Moise (1970) apresenta, mesmo que de

modo não muito significante, alteração de enfoque em relação a Courant no todo e,

também, na abordagem do esboço de gráfico de função. Moise (1970), inicialmente,

trata da Desigualdade e Complexidade, páginas 1-15, introduz a Geometria

Analítica, páginas 18-56, depois as Funções, Derivadas e Integrais, páginas 64 -118.

Diferenciando de Courant (1965), quando aborda Derivada e Integral

separadamente. As funções contínuas tratadas inicialmente por Courant (1995, p.

63) vêm ser alvo de tratamento em Moise no Capítulo 5: A Variação das Funções

Contínuas, páginas 200-241. Isso, no entanto, não os afasta de modo significativo

da metodologia empregada no item aqui trabalhado.

Neste aspecto, Moise (1970), em relação a Courant, parece trabalhar uma

linguagem mais compreensível para o aluno. Olhando-se a questão do gráfico de

função, o tratamento dado por Moise (1970) não difere do tratamento dado por

Courant (1965). O primeiro elemento do gráfico de função tratado por Moise (1970),

Domínio de Função, vem discutido no item 3.1, IDÉIA DE FUNÇÃO, página 65,

quando define função. Moise (1970, p. 65) vem dizer: “a grosso modo uma função é

uma lei de correspondência pela qual a cada elemento de um conjunto corresponde

um e apenas um elemento de outro conjunto”.

O segundo elemento do gráfico de função tratado por Moise (1970) é o

crescimento das funções na página 119 que está colocado no bojo do TVM como já

comentado na página 106. O terceiro elemento é a concavidade tratada na página

208 no bojo do Teorema dos Máximos e Mínimos Locais. Moise (1970) enuncia e

demonstra o Teorema e vem enunciar na, página. 208: “se f’ é decrescente em

[x2,x3] então f é côncava para baixo, em [x2,x3].”

Uma síntese para estes dois autores é que não é dada a devida importância à

derivada para a construção do gráfico de uma função. Desta forma, o uso da

derivada para calcular o menor custo na construção de um retângulo, indiferente do

material, tem o mesmo olhar dos autores do que a construção do gráfico de uma

função. Ambos trabalham os elementos do esboço de curva não direcionado para o

esboço, mas sim tentando abranger várias aplicações da derivada.

Analisando os exercícios de Moise, percebemos que ele segue o padrão de

Courant. Moise constrói, página 203, o gráfico da função 3 2( ) 2 3 4f x x x x e, para

121

tal, utiliza-se apenas da derivada primeira. A construção do gráfico da função acima,

é importante para a resolução das questões que vem a ser proposta por Moise. No

entanto, percebamos que o gráfico não é completo. É um gráfico simples que

envolve o cálculo das raízes de um polinômio de grau igual a três. O que não é uma

das tarefas mais simples uma vez que não temos uma fórmula de Sridhara (ou

Bhaskara) para isso.

De modo geral, os gráficos são apresentados na mesma direção de Courant.

Uma diferença em termos de gráficos de função entre estes autores, transparece por

Moise exibir muitos mais gráficos que Courant, quando trata do cálculo de área por

integração. Quando discutimos a importância do gráfico de funções, apresentamos a

Expressão V, a Expressão VI o gráfico 6 e o gráfico 7, páginas 20 -22, que dão um

sentido mais claro às expressões.

3.2.3. Anton (2000, 1ª Edição)Nesta obra, percebemos uma profunda modificação referente a Courant

(1965) e Moise (1970) basicamente no que diz respeito ao estudo do gráfico de

função que tem um tratamento concentrado. Anton (2000) assim como veremos com

Thomas & Wesley (2002) no próximo item, traz um tópico específico para o estudo

de gráfico de função, Análise das Funções e Seus Gráficos (p.289-324) dedicando

25 páginas a essa questão.

O primeiro elemento do gráfico de função a ser tratado por Anton (2000) é

o domínio (e a imagem) da função, página 16. Esse tratamento investe, por um lado

em questões do cotidiano e, por outro, no uso do computador. Por esse motivo,

Anton (2000, p. 19) vem trazer os termos entrada e saída. Anton (2000, p. 19) traz,

duas definições de função:

Definição 1 – “Se uma variável y depende de uma variável x, de tal forma

que cada valor de x determina exatamente um valor de y, dizemos que y é uma

função de x”.

Definição 2 – “ Uma função f é um critério que associa uma única saída a

cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é denotada por f(x)

(leia-se f de x)”.

O segundo elemento, do qual não tratamos no processo de criação dos

dados para que os alunos viessem a refazer os cálculos dos elementos do gráfico de

122

maneira mais eficaz, é a simetria. Usando-se o Teorema da Simetria, pode-se

facilitar a construção do gráfico trabalhando apenas um intervalo da função.

Não é nosso propósito constituir uma análise aprofundada dos livros nem

mesmo no que se refere ao esboço de gráfico de função. Isso seria, pelo menos

uma dissertação dentro de uma tese. No entanto, em virtude das observações que

faremos ao tratarmos do trabalho de Moretti (2003) (Vide Capitulo 2 –

Fundamentação Teórica), consideramos conveniente adiantar que, “atalhos” como o

permitido pela Teoria da Simetria, o uso de rotação e translações, etc., certamente

pode favorecer o estudante no momento da construção do gráfico de uma função.

No entanto, consideramos que, para essa pesquisa, essa oportunização

não seria enriquecedora. Na realidade, tanto nesta dimensão de abordagem quanto

para além dela, temos outros elementos que podem facilitar a construção do gráfico.

Limites e continuidades das funções, por exemplo, são partes destes elementos.

Entendamos, essa discussão, através do gráfico de 1( ) , 0f x xx

, abaixo.

Gráfico 24 - Gráfico da função f(x)=1/x, x≠0, ilustrando a simetria

Esta é uma função simétrica em relação à origem. Ou seja, conhecendo-

se o seu comportamento no intervalo -∞< X < 0, fica conhecido o seu

comportamento em 0 < X <+∞. A proposta é que o aluno trate dos dois ramos e

não simplesmente o rebata.

O terceiro elemento são as assíntotas nas páginas 120 – 122. Como já

colocamos na página 31, alguns autores tratam assíntotas no bojo da

123

descontinuidade. Mas como vimos são elementos distintos. Anton (2000, p.122) vem

dizer: “uma reta x = a é chamada de assintota vertical (destaque do autor) do

gráfico de uma função f se f(x) tende a ou - , quando x tende a “a” (Destaque

nosso) pela esquerda ou pela direita”.

O autor inicia o tópico 5.1 – Análise de funções: Crescimento,

Decrescimento e Concavidade, chamando a atenção para o fato de que os recursos

gráficos são úteis mas não atingem a precisão necessária para algumas questões.

Anton (2000, p.290) vem dizer: “embora os recursos gráficos computacionais sejam

úteis na determinação do aspecto geral do gráfico, muitos problemas requerem uma

precisão maior do que aquela que eles são capazes de produzir”.

Anton (2002) alerta para softwares como o usado neste trabalho que,

para o caso da curva 3( )f x x , dá uma visão gráfica de que existe uma infinidade

de pontos raízes da função conforme pode-se ver no gráfico abaixo:

Gráfico 25- Gráfico da função f(x)=x3

Observe-se que a análise visual leva ao entendimento da existência de

vários ZEROS da função no intervalo (-1,1) quando, na verdade, a função possui

uma única raiz, x = 0. Ou, se o leitor preferir, três raízes nulas 31 2 3( 0)( 0)( 0)x x x x .

O que faz com que o computador faça um traçado visualmente equivocado.

Anton (2002) chama a atenção para a necessidade do uso do cálculo a

fim de se poder apontar localizações exatas de aspectos-chave. O autor se está

referindo, também, ao fato apontado no gráfico 25 acima. Ao definir função

Crescente e Função Decrescente, Anton (2000) traz um adendo importante, a

124

função constante, que é tratada por Moise (1970), ao logo do texto, mas não no

ponto específico de crescimento e decrescimento da função.

Anton (2000, p.290)”5.1.1 DEFINIÇÃO. Seja f definida em um intervalo e sejam x1

e x2, pontos do intervalo”:

a) f é crescente no intervalo se f(x1)<f(x2) para x1 < x2;

b) f é decrescente no intervalo se f(x1)>f(x2) para x1 < x2.

c) f é constante no intervalo se f(x1)=f(x2) para todos pontos x1 e x2”“.

Quadro 8-Quadro de definição de Anton

Neste tópico, Anton (2000) aborda 10 gráficos, sendo sete genéricos e

três de funções do mundo real no dizer de Moise (1970). Tome-se, no entanto, para

posterior análise do leitor, a figura abaixo

Gráfico 26- Representativo da constante. C = Crescimento; D = Decrescimento

A partir deste gráfico, Anton (2000) ilustra cada passagem da definição,

repetindo os gráficos em seus intervalos. Ou seja, mostra quatro gráficos no

contexto exato onde a função cresce, decresce e onde é contínua.. Deste modo,

uma bateria de exercícios propostos são para esboçar gráfico de função. O autor

não deixa, porém, de contemplar outras aplicações como no caso dos máximos e

mínimos aplicados à economia, à biologia, etc.

3.2.4. Thomas & Wesley (2002, 1ª Edição)

Thomas & Wesley (2002), seguindo a metodologia de Anton (2000),

apresenta o estudo do gráfico de função no capítulo 3, Aplicações das Derivadas

125

(p.299-313), no qual trata dos Extremos da função, do Teorema do Valor Médio, da

Forma do gráfico de Modelagem e otimização.

O primeiro elemento do gráfico de função tratado por Thomas & Wesley

(2002) é o Domínio no item 2, Funções e Gráficos, página 11. De modo análogo a

Anton (2000), Thomas & Wesley (2002) inicia o trabalho de funções abordando

fenômenos do cotidiano. Thomas & Wesley (2002, p.10) vem definir “uma função de

um conjunto D para um conjunto R é uma regra que associa um único elemento de

R a cada elemento em D”.

O segundo elemento do gráfico de função tratado por Thomas & Wesley

(2002) são as regiões de crescimento e regiões de decrescimento das funções no

tópico: Funções Crescentes versus Decrescentes, página 13.

O terceiro elemento do gráfico de função é a simetria, página 14,

analogamente ao que faz Anton (2000). Dentre os exemplos de gráficos simétricos,

Thomas & Wesley (2002) traz o gráfico de y = x3. Este gráfico, legendado na página

123 como gráfico 25, é simétrico em relação à origem.

Gráfico 27 - Mesmo gráfico de simetria apresentado por Anton (2000, p. 123)

3.3.5. Quadros de Sumarização.

Apresentamos, agora, através de tabelas duas sumarizações referentes aos

livros textos com os quais trabalhamos. A primeira tabela envolve dois elementos

claramente contidos em todos os textos. Estes elementos estão iniciando a

sumarização em virtude de sua interligação na construção do gráfico. Assim, se uma

função não linear e não constante, cresce ou decresce em um determinado

intervalo, necessariamente possui região de convexidade.

Outra importância na observação destes dois elementos é que eles certificam

se temos ou não um extremo local em um certo intervalo. Assim: tomando-se uma

função derivável em um intervalo K do domínio da função, não necessariamente nos

126

seus extremos, e aí tivermos região convexa e região côncava sendo a função

decrescente em um intervalo e decrescente em outro, saberemos seu extremo local.

O leitor se deve lembrar que chamamos a atenção para afirmativa semelhante de

Moise. Naquela ocasião chamamos a atenção para o fato de que Moise esquecera

de dizer que a função tinha de ser continua e derivável no intervalo. A questão que o

leitor deve esta levantando é: por que não dissemos da necessidade da condição da

função aqui? Observe que dissemos por outra via, já que se a função é derivável em

um ponto ou em um intervalo, necessariamente, é continua aí.

Assunto

Autores

Courant (1965)

609 páginas

Moise (1970)

487 páginas

Anton (2000)

670 páginas

Thomas & Wesley

(2002)

647 páginas

Crescimento da

Função

Definição (p.20) Definição

(p. 119)

Definição (p.290) Definição

(p.251)

Decrescimento da

Função

Definição (p.20) Definição

(p.122)

Definição (p.290) Definição

(p.251)

Região de

concavidade da

função: Côncava

Definição

(p.158)

Definição

(p. 208)

Definição

(p.292)

Definição

(p.253)

Região de

concavidade da

função: Convexa

Definição

(p.158)

Definição

(p. 208)

Definição

(p.292)

Definição

(p.253)

Fragmentação de

tópicos

138 páginas 86 páginas 2 páginas 2 páginas

Quadro 9- Quadro da fragmentação na definição

Vejamos o gráfico desta tabela a fim de uma melhor visualização quanto à

fragmentação relativa ao número da página em que o assunto é abordado. Perceba

o leitor que os elementos, abordados em Courant, produzem uma fragmentação (a

respeito do número de página onde está sendo abordado o tópico) maior do que em

Moise e neste, maior do que em Anton e Thomas. Dito de outro modo, Courant

fragmenta, consideravelmente mais do que Moise. E Moise consideravelmente mais

do que Anton e Thomas que têm o mesmo número de páginas de fragmentação.

É importante lembrar que a fragmentação não é composta apenas da

separação de abordagem em termos do número da página. Temos outros elementos

127

conforme vimos na página 14. Nem todos os itens que compõe a fragmentação

podem ser colocados em um gráfico. Mas é verdade que outros gráficos poderiam

ser feitos, no entanto, nosso objetivo aqui já está cumprido: Mostrar a existência de

fragmentação entre os livros abordados.

Fragmentação em relação ao número da página

050

100150200250300350

Cresc

imen

to

Decresc

imento

Reg.Côn

cava

Re.Con

vexa

"frag

mentaç

ão"

Elementos

Nº d

a pá

gina Courant(1965)

Moise(1975)

Anton(2000)

Thomas(2002)

Gráfico 28- Fragmentação em relação ao número da página

O quadro (quadro 8) a seguir, traz o ponto crítico e o como este elemento é

enfocado no gráfico da função. Perceba-se que a preocupação está contida no item

b, página 14, quando determinamos o que chamaríamos de fragmentação. Alem de

pretendemos mostrar como é apresentado, em termos de importância geométrica,

mais um dos elementos que compõem o que chamamos de fragmentação,

queremos justificar a dificuldade de uma tabela com todos os itens que compõem

um gráfico global ou completo. Os gráficos de funções hipotéticas, trazidos nos livros

texto trabalhados, em geral, não são gráficos completos, mas sim ramos do gráfico

de uma função que, é bem verdade, nem sempre deixa de ser o registro de um

gráfico.

No caso de Courant, o ponto crítico não aparece com essa terminologia.

Neste caso, o estudante nem tem como identificar o ponto crítico. Dado que o ponto

crítico é aquele no qual ocorre um extremo local ou a função torna-se infinita, o

estudante terá de construir o gráfico com o entendimento de extremos locais e

pontos de descontinuidade que substituem as assíntotas, pelo menos as verticais,

em termos terminológicos. Repetimos que por qualquer um dos livros textos aqui

tratados o aluno é capaz de traçar o gráfico de uma função seja ela qual for. Do

128

mesmo modo, a metodologia que apresentamos não é a única capaz de levar o

aluno a construir o gráfico de uma função.

Assunto

Autores

Courant (1965)

609 páginas

Moise (1970)

487 páginas

Anton (2000)

670 páginas

Thomas & Wesley

(2002)

647 páginas

Ponto Crítico Sem Definição Definição

(p.208)

Definição

(p.300)

Definição

(p. 255)

Tratamento Gráficos

induzidores no

tópico funções

especiais.

4 Gráficos de

funções

hipotéticas e

formalização do

tópico dentro de

outro tópico

6 Gráficos da

vida real, 8

gráficos de

funções

hipotéticas e

formalizações.

4 gráficos da vida

real, 1 gráfico de

função hipotética.

Quadro 10 Quadro da sumarização de definição por página

Tabela 3- Diagnose da distribuição das definições no ensino de gráficos de funções

ANO/OBRA1965 1970 2000 2002

Assunto Courant Moise Anton Thomas & Wesley

Crescimento Página 20 Página 119 Página 290 Página 251

Decrescimento Página 20 Página 122 Página 290 Página 251

Concavidade Página 158 Página 208 Página 292 Página 253

Distância 138 86 2 2

Crescimento Página 20 Página 119 Página 290 Página 251

Decrescimento Página 20 Página 122 Página 290 Página 251

Ponto Crítico Página 160 Página 208 Página 300 Página 255

Distância 140 86 10 4

Concavidade Página 158 Página 208 Página 292 Página 253

Ponto de inflexão Página 159 Página 208 Página 293 Página 255

Distância 1 1 1 2

Crescimento Página 20 Página 119 Página 290 Página 251

Decrescimento Página 20 Página 122 Página 290 Página 251

Máximo / Mínimo Página 159 Página 205 Página 299 Página 231

Distancia 139 12 9 21

129

Ponto de inflexão Página 159 Página 208 Página 293 Página 255

Assíntotas Página *197 Página 365 Página 82

(311-312)

Página 111

Distância 38 57 111 (19-18) 144

Total de páginas

da coleção

609 487 670 647

No intuito de melhorar a visualização, tomemos o gráfico abaixo:

Gráfico da sumarização

050

100150200250300350400

Cresc

imen

to

Decres

cimen

to

Conca

vidad

e

Ponto

Crítico

Ponto

de in

flexã

o

Máxim

o / M

ínimo

Assínt

otas

Elementos

Pági

nas

Courant MoiseAntonThomas

Gráfico 29-Gráfico da sumarização

O quadro 8, página 126 da fragmentação da definição e a tabela 5, página

128, da diagnose da distribuição das definições, vêm originar o Gráfico 29,

imediatamente acima, onde podemos ver com mais clareza a fragmentação a que

nos referimos: elementos constitutivos do gráfico distanciados entre si por um

número de páginas que dificulta o entendimento; número insuficiente de gráficos

globais que contemplem todos os elementos possíveis em uma função racional

inteira; abordagem de tópicos dentro de outros tópicos, falta de uma orientação de

seqüência de cálculo de elementos. Observamos que, no caso de crescimento e

concavidade, há um distanciamento de abordagem em Courant (1965) de 185

páginas e de Moise (1970) de 86 páginas, enquanto Anton (2000) e Thomas &

130

Wesley (2002) usam 2 páginas. A pergunta que o leitor deve estar fazendo é:

quando é que não existe distanciamento?

Estamos chamando de distanciamento o fato do elemento ser estudado

separadamente de outro em termos gráficos. Por exemplo, vemos que Anton (2000)

e Thomas & Wesley (2002) não o produzem neste aspecto. Dito de outra forma, o

esboço de gráfico de função esta contido em um capítulo ou tópico e, portanto, o

assunto não sofre descontinuidade.

Em síntese verificamos na tabela 4: O número de gráficos globais

insuficientes a um entendimento mais rápido e eficaz por parte dos quatro autores já

que discutimos o gráfico global conforme Dugdale (1993) e a abordagem de tópicos

dentro de outros tópicos ainda que Anton (2000) e Thomas & Wesley (2002)

apresentem gráficos mais completos aproximando-se do gráfico global a que se

refere Dugdale (1993).

Finalmente, o que quisemos mostrar neste item do capítulo foi, de modo

particular, a fragmentação na abordagem do esboço do gráfico de uma função bem

como a relevância com que os autores mencionados tratam do assunto. E ainda,

que Thomas & Wesley e Anton estejam muito distantes de nossa proposta, a

perspectiva de fornecer uma noção gráfica do que diz a linguagem matemática a

respeito das definições, conceitos e teoremas é tida por nós, como passo importante

na direção de uma nova proposta para o ensino de Cálculo.

131

CAPÍTULO 4 – Estudo de Uma Metodologia de Intervenção

Este capítulo vem organizar o último estudo de nossa tese: a construção,

experimentação e análise de uma metodologia de ensino para o esboço de gráficos

de funções. Tal metodologia tem por base o trato dos elementos formadores do

gráfico de uma função como objetos iniciais da abordagem. Buscamos proporcionar

ao aluno a compreensão gráfica antes da formalização matemática. Para tanto,

tomamos, como ponto de partida, um gráfico global a partir do qual busca-se a

interpretação e significância de cada elemento constitutivo do mesmo usando o

máximo de representações possíveis para cada elemento.

Desta forma apoiamo-nos em pesquisadores como Dugdale (1993) e na

teoria dos registros de representações semiótica de Duval (2004), que propõe não

só mais de uma representação para o aluno compreender o elemento matemático

mas, também, tanto a sua capacidade cognitiva de transitar entre estas

representações como a capacidade de perceber os fundamentos matemáticos que

lhe possibilitam efetuar e controlar a diversidade do problema.

Tomando como exemplo o crescimento e a concavidade em um intervalo

do domínio de uma função, vimos dizer que conhecer o intervalo de crescimento

desta função requer, em nossa perspectiva “duvaliana” entender, pelo menos, as

condições algébricas e as condições geométricas de como este processo se dá.

Mas não só isso, entender, como discute Duval (2003), quais são os processos

cognitivos mobilizados para essa aprendizagem.

Na fundamentação, dissemos que a idéia de transformação trazida por

Duval (2004) era de particular interesse neste trabalho. Vimos que esta idéia é

composta de outras duas idéias: Tratamento e Conversão. Em nossa proposta,

muito embora tenhamos consciência de que Duval (2003, 2004) nos diz que esta

132

abordagem não produz semiosis, a idéia de transformação por tratamento é a

primeira a ser abordada por ser mais simples.

E não estamos em desacordo com Duval (Ibidem). Conforme ele mesmo,

esta é uma forma de ensino de matemática e que pode, em um primeiro momento,

ser utilizada exatamente por ser mais simples. Neste caso, discutimos a família da

função dentro de um mesmo sistema semiótico a fim de proporcionar ao aluno a

possibilidade de reconhecer a função de cada elemento que compõe o gráfico: os

coeficientes das variáveis, as potências e os elementos independentes.

No segundo momento trazemos a Conversão onde tratamos da

congruência ou não congruência obedecendo aos três critérios propostos por Duval

(Ibidem) e que recolocamos aqui: correspondência semântica das unidades de

significado, univocidade semântica terminal e mesma ordem das unidades de

significado que se deve dá entre o registro de partida e o registro de chegada.

Vimos que a congruência só se dará entre dois registros de

representação se obedecidos, pelo menos, dois dos critérios colocados por Duval

(ibidem). Isso significa a existência de uma conversão “parcial”, como mostra Duval

(2003, p. 19), ao dizer: “Existem na realidade muitos fatores que determinam o

caráter congruente ou não-congruente de uma conversão, o que conduz a

determinar as situações intermediárias ...(destaque nosso)”.

De acordo com Duval (Ibidem) pode até mesmo haver congruência em

um sentido, digamos, de uma representação na linguagem figural para a simbólica, e

não haver essa congruência na passagem inversa: Linguagem simbólica

Linguagem figural. As funções são um bom exemplo deste fato. Outro bom exemplo

é o conceito de derivada na linguagem materna (como entrada) que tem como saída

a linguagem simbólica: a congruência está presente. No caso inverso não há

congruência. (Vide Quadro 3, página 58)

Esta abordagem para a aprendizagem da matemática é difícil e, cada vez

que avançamos para uma matemática mais intricada, a complexidade da abordagem

aumenta pois, como já colocado, será necessário lançar mão de mais e mais

representações dentro de um procedimento no qual, por um lado o aluno possa

verificar, analiticamente, as dificuldades existentes quando do aprofundamento da

133

ciência em questão, de outro possa agregar conhecimentos compartilhados com

outros alunos em uma perspectiva vigotskiana do estado perspectivo de Piaget.

O estado da aprendizagem apontado por Piaget, leva Duval (1999) a seu

questionamento através de Glaeser (1973). Como isso Duval (Ibidem) discute que o

modelo piageteano de desenvolvimento do raciocínio das crianças já se revelou

inadequado. De acordo com Duval (1999, s / p):

[...] por quanto (O modelo piageteano - nota nossa) não permitia analisar as dificuldades encontradas pelos alunos quando se trata de fazer uma demonstração e não permitia levar em conta as condições do trabalho em grupo em um momento no qual o uso de atividades de investigação como método de ensino das matemáticas (Glaeser, 1973) deveria possibilitar as interações entre os estudantes.

Duval (Ibidem) vem desenvolver sua teoria discutindo um novo processo

de aprendizagem no qual a abordagem cognitiva precisa ser compreendida como

descritiva da possibilidade do aluno no “confronto” com as representações

semióticas e, neste caso, é o aluno quem executa e atina para a heterogeneidade

dos procedimentos matemáticos.

De acordo com Machado (2003, p. 8), “na perspectiva de Duval (1994),

uma análise do conhecimento matemático é, essencialmente, uma análise do

sistema de produção das representações semióticas referentes a esse

conhecimento”. De fato, Duval (2003) discute os fundamentos dos registros de

representações semiótica e o funcionamento cognitivo da compreensão em

matemática no aluno. Isso tudo vem trazer uma problemática que leva Duval (2003,

p. 1-14) à preocupação do aprendizado na compreensão da matemática

estabelecendo três questões principais:

1. Como compreender as dificuldades muitas vezes insuperáveis que muitos

alunos têm na compreensão da matemática?

2. Qual a natureza das dificuldades?

3. Onde elas se encontram?

Nesta discussão, Duval (Ibidem) faz foco na necessidade de se entender

as dificuldades do aprendizado matemático através de uma abordagem cognitiva, e

não apenas por uma questão restrita à matemática em si ou a historia. Numa das

134

passagens relacionadas com a compreensão em matemática, aponta para uma

questão, a princípio, paradoxal. Duval (3002, p.21) vem perguntar: “[...] como

podemos não confundir um objeto e sua representação se não temos acesso a esse

objeto a não ser por meio de sua representação?”. Em nossa fundamentação

abordamos esta questão apresentando, à luz de Duval, que o objeto não pode ser

confundido com sua representação. E, de fato, Duval vem dizer do motivo desta

dificuldade em virtude do objeto representado não poder ser identificado como o

conteúdo de sua representação.

Tratando a questão matemática no ciclo básico, o teórico observa a falta

de importância atribuída ao formalismo matemático. Este quadro levanta problemas

com os quais os alunos se deparam quando passam ao ensino superior e esta

problemática emerge neste trabalho. Adiantamos um ente que vem obscuro.

Falemos da questão da abordagem dos limites de função. Por exemplo,

Giovanni & Bonjorno (2001, p. 234) definem limite de uma função: "o limite da função

f(x) quando x tende a ‘a’, é o número L, se, e somente se, os números reais da

imagem de f(x) permanecerem próximos de L, para os ínfimos valores de x próximos

de a. Indica-se por lim ( )x aF x L

”.

Este tipo de definição traz problema para o aluno no ensino superio,

quando lhes é colocado a real definição de limite, uma vez que dizer: “os números

permanecem próximos”, não tem significado claro em matemática. A definição

formal de limite envolve a determinação de (epsilon) e (delta), que trazem

grandes dificuldades para a compreensão do aluno acostumado ao simplismo deste

tipo de definição.

Aqui não estamos criticando os autores, estamos levantando uma

problemática como o faz Duval, um vez compreendermos a dificuldade de se

apresentar o real conceito de limite no ensino médio como o faz o próprio Elon

Lages Lima abordado na página 8. Por fim, é o tratamento para o epsilon e delta que

vai representar aquilo que autores querem dizer por permanecer próximo.

Tomemos a definição mais comum nos livros didáticos de cálculo sem

perda de generalidade: Seja f(x) uma função definida em todo intervalo aberto I que

contenha o número ‘a’ não definida necessariamente em ‘a’. Dizemos que:

135

lim ( ) se dado um número qualquer 0, pudemos

encontrar um número 0 /|f(x)-L| se 0 | x-a|

x af x L

é a partir desta condição que se pretende a compreensão do aluno a respeito da real

definição matemática de limite. Com esta definição, também se pretende que o

aluno venha a entender uma espécie de “paradoxo”: a definição de limite nos

possibilita saber do erro ou acerto do cálculo mas não serve para seu cálculo. Em

outras palavras, a definição de limite é uma validação dos cálculos. ADEMIR

Nesta realidade, o que em matemática pura se chama vizinhança, no

ensino médio os autores chamam de próximo. Então, como trabalhar a introdução

ao limite no ensino médio? Possivelmente através da argumentação como vem

discutir Duval (2004). Neste caso, Duval (2004, p. 204) vem dizer: “A argumentação

tem como propósito modificar a natureza e o grau de convicção que tem um

interlocutor sobre uma proposição, de maneira que a rechace ou a aceite”.

E quanto à aquisição deste conhecimento? De acordo com a teoria dos

registros de representação semiótica, careceríamos apresentar ao aluno um número

de representações que pudesse construir este conhecimento. Algo, de fato, não

trivial. A dificuldade no entendimento do limite é tal que os autores dos livros texto de

cálculo, aqui mencionados, mesmo os mais antigos, lançam mão da linguagem

figural para se fazer compreender, muito embora nos forneça uma compreensão de

abordagem “baldista”7. Anton e Thomas utilizam-se mais destes recursos em

número de exemplo no mesmo sistema semiótico, linguagem figural, do que Courant

e Moise.

Duval (1999, s / p), ao tempo em que pergunta sobre as características

principais do problema da argumentação, responde: "[...] de inicio tem havido um

redescobrimento do caráter irredutível e insubstituível das línguas naturais em

relação as linguagens formais no que concerne a facilitar de maneira econômica a

comunicação entre os indivíduos". Duval (Ibidem) traz à discussão a questão da

argumentação, a fim de poder contornar problemas semelhantes ao do limite. Deste

7 O termo baldista, também conhecido como "cabeça vazia" foi cunhado, conforme Santos (2001), por Nilson José Machado. Machado se estava referindo ao aluno na postura passiva a receber os conhecimentos do professor.

136

modo, propõe que seja tomado como objeto do ponto de convergência um duplo

reconhecimento da argumentação: o papel da comunicação e as interações sociais.

Para dar conta de questões como a do limite acima citado, Duval (Ibidem)

discute a “emergência da problemática da educação”. Neste ponto, pergunta sobre a

questão da emergência da argumentação e estabelece dois tópicos: fora e dentro

(no ensino) da matemática. Com fora da matemática, Duval (1999) refere-se à

discussão cotidiana, emprego da linguagem natural no lugar da linguagem formal

mas sem que se trate de uma simples e pura mudança de sistema semiótico.

4.1.2. Introdução aos princípios da abordagemPara esta pesquisa, que teve como início o pagamento dos 32 créditos,

adotamos as seguintes etapas procedimentais: definimos o critério a partir do qual

escolheríamos os sujeitos; tratamos da revisão da literatura, onde constatamos a

escassez de trabalhos em educação focando matemática superior de modo geral e

de modo particular sobre esboço de gráfico de função no Brasil; verificamos um

grande conjunto de livros texto de cálculo, até decidirmos por tratar do esboço de

gráfico de função, observando a metodologia de dois grupos que classificamos como

antigos (Courant (1965) e Moise (1970)) e novos (Thomas (2002) e Anton (2000));

fizemos dois experimentos, em virtude do primeiro se ter mostrado absolutamente

equivocado, nos quais aplicamos um pré e um pós-teste; entre os testes

ministramos as aulas focadas na hipótese; categorizamos os dados e fizemos sua

análise.

Após o pós-teste, os professores Moacyr Cunha (Mestre), o professor

André Marques (doutor) e a professora Claudia Dezotti (Doutora), atendendo nossa

solicitação, aplicaram testes de esboço de gráfico de função por nós elaborados e,

envolvendo outras questões, aos mesmos alunos, e o índice de respostas corretas

foi maior do que no nosso pós-teste. Temos dois entendimentos para o fato: Em

primeiro lugar, a matemática é uma ciência que requer maturação; em segundo

lugar, as questões foram em número e nível de dificuldade muito menor.

Apresentaremos estes dados de modo bruto, uma vez que não

elaboramos as questões com vista a uma análise. Por outro lado, não faremos,

como já frisado, comparações entre os testes, mesmo que os alunos os tenham

137

resolvido à luz de nossa exposição quando das aulas, o que significa que os colegas

não ministraram o assunto. Foi recomendado, aos colegas, não procederem

nenhuma ajuda.

Como justificaremos no Capítulo 6, em Método e Coleta de Dados, para

esta pesquisa tomamos como base a discussão de Richardson (1999) e W.Goode &

P.H.Hatt (1973:398) apud Richardson (1999). A metodologia de nossa pesquisa é

aqui apresentada tomando como referência a primeira aula na qual exibimos

gráficos completos, discutimos os elementos necessários à sua composição sem o

uso da formalização matemática necessária para se definir estes elementos usando

setas, achuramento, símbolos matemáticos e do dia-a-dia, buscamos a inter-relação

entre os elementos constitutivos do gráfico e, só então, tratamos da formalização

matemática.

Dentro de nossa proposta, adotamos a sugestão de Duval (2003) quanto

ao uso de um método para se pesquisar processos de aprendizagem. A grande

questão, então, é compatibilizar o que devemos atentar nos trabalhos do aluno com

um modelo de observação, análise e interpretação daquilo que se possa extrair dele.

Então, nosso cuidado inicial esteve focado, de um lado (Pré-teste), nos

conhecimentos do aluno diante da proposição de Duval.; de outro, durante a

apresentação das aulas, no enfoque de acordo com nossa proposta e, ainda (pós-

teste), na análise dos dados com base na teoria dos registros de representações

semiótica.

Quando Duval (2003, 2004) fala da conversão que “puxa” a problemática

da semântica, aponta três condições para este tipo de transformação. Mostramos

que as três condições não são requisitos absolutos para que se dê a conversão.

Basta dois deles, ainda que a conversão seja parcial. Por isso, Duval (Ibidem) vem

apontar que, para ser possível distinguir unidades de conteúdo cognitivo próprio de

uma representação, há a necessidade de impor variações nestas representações,

quer no registro de entrada, quer durante o “trafego” de uma representação para

outra representação. A conversão vai ocorrer se o registro de saída conservar o

sentido do registro de entrada, que Duval chama de conservação da unidade

semântica. Quando esta conservação não existe, as variações impostas deixam de

ter o contributo cognitivo e, como discute Brant (2005), as variações são neutras.

138

Nesta atividade metodológica, para focarmos de modo mais efetivo o

gráfico de função com o auxílio da derivada, atentamos para a teoria dos registros

de representações semióticas seguindo Igliori e Godoy (2005, p. 4) quer vêm dizer:

“[...] é fundamental para aprendizagem de conceitos de matemática, como a

derivada, levar em conta a relação entre representação e objeto representado”.

4.1.3. Procedimentos metodológicos.Nesta pesquisa, adotamos ações comuns às pesquisas em educação

como, por exemplo, a escolha dos sujeitos da pesquisa e algumas características

deste grupo, uso de questionário, entrevista, pré e pós-teste, etc. Nossos

procedimentos iniciais têm as seguintes fases:

Escolha dos sujeitos da pesquisa com uma característica fundamental: já

haver travado conhecimento com funções, gráficos e derivadas;

Aplicação dos questionários I e II (Anexos I e II) no intuito de levantarmos

questões tais como: A expectativa do público alvo; a verificação de acesso a

Internet por parte dos alunos uma vez que tínhamos a pretensão de usarmos

um Ambiente Virtual de Ensino; uma avaliação sobre a idéia limite, adição de

números fracionários e a passagem da linguagem materna para a simbólica.

Cadastro, no ambiente Virtus, de 35 alunos divididos em duas turmas;

Disponibilização de vários softwares matemáticos livres entre eles o software

específico para o curso: Estudo de Funções.

Aplicamos um pré e um pós-teste com as mesmas questões, a fim de

uma avaliação de possível progresso no aprendizado da montagem de um gráfico

de uma função, bem como da real cognição do aluno a partir de uma proposta

metodológica que tem, como norteador, o modo de como se apreendem conceitos

matemáticos propostos por Duval (2004).

Na proposta dos testes tratamos de analisar as respostas a partir da

apresentação de duas questões, cada uma composta de uma curva de função onde

os alunos responderam na linguagem simbólica ou na linguagem materna, e de três

questões de gráficos reais em forma analítica explícita, em que os alunos também

podiam usar a linguagem figural.

139

Nesta análise, tentamos (tanto no pré quanto no pós-teste) verificar os

conhecimentos dos alunos sobre os elementos necessários à construção de um

gráfico de função polinomial fracionária e de funções que são subconjunto destas.

Assim tratamos dos elementos: Domínio e Imagem; Raízes; Pontos Críticos; Máximo

e Mínimo; Região de Crescimento e Região de Decrescimento; Concavidade e ponto

de Inflexão; Ponto de acumulação (Cúbicos); Assíntotas.

Dado que a abordagem foi na compreensão dos conceitos e definições

dos elementos acima, tivemos insistente preocupação com o entendimento dos

alunos na relação linguagem formal x linguagem informal, a fim de tentarmos

garantir a compreensão na implicação existente entre os pontos tratados. Nesse

caso, tivemos particular atenção para o fato de que, por exemplo, se uma função f

tem como domínio máximo de definição os reais, ela não pode possuir assíntotas

verticais.

Destacamos não estarmos tratando de análise de softwares. Isso vem

significar que o trabalho, dentro dessa metodologia, não exige o uso do computador

e, no entanto, essa possibilidade é importante para a construção das aulas sendo,

por esse motivo contemplado o uso de software.

Trabalhamos, inicialmente, com um grupo de 35 alunos, divididos em

duas turmas, uma com 18 e outra com 17 alunos, em virtude das necessidades dos

alunos que cursam a especialização. Os alunos são Professores da rede Estadual

e / ou, municipal e / ou particular do Estado de Pernambuco, na cidade do Recife e

região metropolitana, cursantes da Especialização em Matemática na UFRPE.

Foram escolhidos em virtude da facilidade de encontro com o pesquisador, uma vez

que estes se encontravam todos os sábados, durante todo o ano, aos sábados, na

UFRPE.

Ao buscar confirmar que a forma metodológica em que o aluno só vê

partes do gráfico à proporção que se vai demonstrando, definindo e conceituando

seus elementos constitutivos não é uma metodologia que venha contemplando o seu

conhecimento e seus esforços na montagem de um gráfico, explicitamos a base

metodológica colocando que o seu estabelecimento se daria apresentando-se

gráficos que continham o maior número possível de elementos a partir do qual

procuraríamos levar o aluno ao entendimento intuitivo dos mesmos.

140

4.1.4. Breve explicação do ExperimentoUsando a figura abaixo, primeira figura do experimento, procuramos

definir, intuitivamente, onde (em que intervalo) a função que lhes deu origem cresce,

em que intervalo decresce, em que intervalo é côncava, em que intervalo é convexa

e por que a função possui ponto de máximo e de mínimo locais. Buscamos verificar

se existem assíntotas e quais são, etc., e trabalhamos uma “árvore” de discussão,

buscando as inter-relações entre os elementos.

Gráfico 30 -Gráfico I do Experimento

141

Em cada uma destas explanações o gráfico, no seu todo, estava no

ângulo de visão do aluno e, na medida em que falávamos em um dos elementos,

buscávamos destacar aquele elemento (ponto ou intervalo) com um símbolo

matemático próprio do gráfico de função apresentada. Este gráfico nos permite

verificar, de modo visualmente claro, os extremos locais e assim podemos discutir

em uma linguagem figural ou natural ou, como é o caso posterior, na linguagem

formal. Em outros gráficos apresentados não era possível discutirmos à luz da

linguagem figural. Então foi colocado para o aluno que os cálculos matemáticos

dariam a localização. Por exemplo quando tratamos do gráfico da função: 3

2( )4

xf xx

, verificamos que um dos extremos absolutos para -4< x <-3 e 3 < x < 4.

(Máximo e mínimo respectivamente).

Às vezes, houve a necessidade, como nesse caso, de chamar a atenção

do aluno para o fato de que o software usado não permitia sabe qual o valor do

ponto de Extremo local. O que sabíamos era que esse ponto pertencia a um certo

intervalo K de f. E, para isso, entramos com as noções de derivada usando, apenas,

as fórmulas necessárias. No caso a derivada de uma constante, a derivada de uma

potência e a derivada de um quociente.

Até este momento não tratamos de demonstrações. Estas ficaram para a

finalização. Nesse trabalho, como se vem discutindo, o aluno vai se envolvendo com

a curva e seus elementos, paralelamente à representação de símbolos matemáticos

com já se expôs. Em um passo posterior tratamos da formalização matemática.

As aulas desenvolveram-se em uma carga horária de dezesseis horas /

aulas presenciais ministradas pelo pesquisador sendo tentado um acompanhamento

dos alunos através do Ambiente de Ensino, Virtus. Tomamos, por exemplo, este

outro gráfico muito semelhante ao Gráfico 28 a fim de mostrar que o software não

iria definir exatamente os pontos de extremos locais e ira dá uma impressão

equivocada sobre os zeros da função conforme já comentamos.

Projetamos na tela usando-se um DataShow. Nesse momento, os alunos

estavam com as suas máquinas desligadas. Mostramos o Domínio e a Imagem da

função, sem rigor matemático. Depois, especificamos o domínio e a imagem em

função de suas variáveis como cobramos no Pré-Teste. A partir deste ponto,

142

mostramos os principais elementos (x; y) de f: Ponto Crítico, Raízes, Ponto de

Inflexão e Extremos Relativos, etc., e buscamos suas relações. Mostramos a

infinidade de zeros entre -1 e 1.

Como já descrito, havia a compreensão de que a dúvida do aluno na

montagem do gráfico estava, primordialmente, na unificação dos intervalos para a

compreensão do comportamento da curva. Desta forma, tomamos os intervalos de

crescimento da função: (-∞;-(3+∆X)) U ((3+∆X);+∞), e buscamos verificar qual o

intervalo em que a concavidade correspondia a esse crescimento. Então

introduzimos o conceito de concavidade.

Todo o trabalho foi elaborado desta forma ou seja, tomando-se intervalos

no comportamento da função e comparando. A partir destas informações com o

software Estudo de Funções, os alunos trabalharam mais três gráficos por eles

pensados e, na dúvida, receberam o apoio do pesquisador. Posteriormente

investimos nos applets8 a partir de vasto material existente em:

http://www.univie.ac.at/ e em http://www.ufv.br/.

Estes pacotes de “applets” trazem exemplos de conjunto, funções e seus

gráficos com uma série de possibilidades de interação que vão desde a simples

animação até a modificação do comportamento da imagem, o que vem a ser uma

interação do usuário com o ambiente. Salientamos que há concomitância de

apresentação de todos os elementos sempre que necessário em todo processo. Ou

seja, o fato de havermos sugerido acima uma separação nos procedimentos foi,

apenas, para uma ordenação do enfoque metodológico como um todo e não em

partes.

Descartamos software como: Mathcad; Mathematica, MatMaker,

Educandus, Interactive, Modellus, etc., em virtude de extrapolarem as necessidades,

em consonância com o que propõe Gomes et all (2003) quando diz que é o

software que deve se adequar ao objeto de ensino e não o objeto de ensino que se

deve adequar ao software.

Usamos um número razoável de gráficos que, incluindo os contidos nos

slides, podem chegaram ao número de 20 (vinte). Não consideramos esse número

8 Applets são pequenos aplicativos escritos em Java que utilizam-se da JVM (Java Virtual Machine)existente na máquina cliente ou embutida no proprio browser do cliente para interpretar seu byteco de Java é uma linguagem de programação orientada a objetos. Máquina virtual Java.

143

necessário. A sua existência se dá na medida em que se tenta observar o

comportamento dos alunos frente aos applets e ao software específico. Por

exemplo, a apostila traz 5 gráficos, o que consideramos suficiente. Após essa fase

gráfica, procuramos matematizar, objetivando melhorar a compreensão de

conceitos, definições e teoremas dos alunos. Aos sábados, das 8:00 às 12:00 horas,

o pesquisador estava à disposição dos alunos para sanar dúvidas que porventura

não haviam sido sanadas através do ambiente, da apostila ou das aulas.

4.2. Desenvolvimento da Pesquisa

4.2.1. Pré e Pós-Teste: Questões Comentários/ JustificativasO objetivo dos testes foi o de investigar os conhecimentos dos alunos, no

tópico em questão, a fim de se fazer uma análise dos saberes atuais e do possível

discernimento adquirido ao longo do processo desenvolvido no experimento.

Deixaremos as análises para o momento das observações sobre as respostas que

mostramos em tabelas. Será, neste momento, que faremos uma análise a partir das

pistas fornecidas pelos alunos, tanto no teste em si mesmo, quanto na entrevista.

Em primeiro lugar, descrevemos qual a intenção contida em cada

questão. Em segundo lugar, a partir das respostas do Pré-Teste, tercemos algumas

considerações, dispostas em tabelas, muitas vezes buscando esclarecer o que nos

sugerem as respostas dos alunos. Nessa análise, levamos em consideração três

condições para as respostas: Erradas, Certas, Intuitivamente Certas. A problemática

da discussão sobre certo e errado é que nos levou, em um primeiro momento, a

considerarmos o item intuitivamente certo. Com isso queríamos saber se o aluno

tinha uma noção correta da resposta ao tempo que poderíamos inferir o motivo do

mesmo não haver acertado do ponto de vista da matemática enquanto ciência exata.

Termo esse que não é objeto de discussão neste trabalho.

Foram consideradas certas as questões corretas tanto nas respostas com

o uso da linguagem matemática, quanto com o uso na linguagem materna, e

intuitivamente certo aquelas que o pesquisador reconhecia ter, o aluno, ciência do

que se tratava sendo, porém, dificultoso para ele exprimir fosse por uma questão de

falta de vocabulário, fosse por uma questão de muita complexidade. Por exemplo:

Região de crescimento é aquela na qual um ponto X maior do que um outro ponto X

144

tem um Y maior que o outro Y. Entendemos aqui que o aluno tem a noção de

crescimento de uma função. A falha está na notação a ser usada.

Em uma análise final, tratamos de erros e acertos e, portanto, as

intuitivamente certas foram contabilizadas como erradas já que fugiam da exigência

formal da matemática. Finalmente traremos os dados comparativos entre as

respostas do pré e do pós-teste.

Quando tratamos de elementos da matemática, muitas vezes é a idéia

que possui grande utilidade e, no entanto, esta idéia quase sempre traz o elemento

complicador do formalismo que, por si mesmo, é complexo. Moise (1970, p.65) vem

dizer: “na prática as funções são definidas numa grande variedade de formas: e a

idéia de função é muitas vezes mais útil precisamente naqueles casos em que não

podemos imediatamente escrever uma expressão algébrica simples como X->X2 ou

X->|X|” (Lemos X leva a X2 e c leva ao módulo de x).

Nos atuais livros texto de matemática, de modo geral, tem-se preferido,

em um primeiro momento, conceituar ao invés de definir ou descrever um elemento

matemático. Por exemplo, para uma função opta-se por, inicialmente, conceituar,

descrever, e só mais tarde, fazer a definição formal matemática. Isso em virtude das

complexidades que passam por dois pontos: Primeiro, a descrição, ainda que pareça

simples, quase sempre pode ser válida para uma situação pontual, mesmo havendo

grandes distorções, ou sendo impossível uma generalização; segundo, porque há,

quase sempre, um emaranhado de palavras que torna a compreensão inteligível

mesmo que, de início, em alguns casos, possa ser mais compreensível do que uma

definição formal.

Decerto que nos parece ser mais simples, como fizemos no item conceito

de função, contextualizar para depois podermos definir. O conceito, se não simples,

torna-se, na maioria das vezes, mais compreensível, enquanto a definição é quase

sempre mais complexa. No caso da função, pudemos levantar esta questão.

Perguntado aos alunos qual a definição de função, todas as respostas foram

erradas. Já quanto ao conceito, ainda que não tenha refletido, de fato, o que é

função, transpareceu um sentido de compreensão.

Na tentativa de reconhecer nas questões a utilização de registros de

representações, categorizamos as questões de acordo com as três categorias da

145

representação semiótica (ou Sistemas Semióticos) de Duval: Linguagem natural ou

materna, Linguagem simbólica ou formal e a Linguagem figural ou geométrica. Para

isso vimos estabelecer:

Linguagem Natural ou materna. Domínio da função;

Significado do domínio da função em relação às variáveis;

Significado da imagem da função;

Significado da imagem da função em relação às variáveis;

A existência de raízes da função;

Significado da raiz em relação à função;

Significado de crescimento e de decrescimento da função;

Significado de intervalo e de subintervalo de uma função;

Significado da derivada da função em um ponto;

Significado do comportamento da função em um mesmo intervalo;

Significado da derivada segunda da função em relação ao gráfico.

Linguagem simbólica ou formal (notações atribuídas a Lagrange, Leibnitz e Cauchy).

f’(x) = 1

1 1

f(x )-f(x) ( ) ( ) 0

Lim Lim f x h f xx x x x h h

;

f’’(x);

y’=1

1 1

f(x )-f(x) ( ) ( ) 0

Lim Lim f x h f xx x x x h h

;

y’’

dydx

;

Df(x)

D’f(x)

OUTRAS NOTAÇÕES

limx

( )| ( ) | 0( )f x mx bg x

;

limx h

( ) ( )f x h f xh

146

lim ( )x

f x

Linguagem simbólica (dos números.) 1 / 2 = 0,5

1,2 = 12 / 10

f’(0,5)=0,25

f’’(-3) =9

f’ > 4; f’<3 ; f’ = 0;

f’’ < 0; f’’ >2 ; f’’ = -6;

expressões de desigualdade e de conjunto de modo geral desde que no

domínio da formalidade matemática.

Linguagem Figural.

Gráfico 31- Explicativo da linguagem figural.

setas horizontais; setas para baixo; setas para cima; representação de cada seta em função da derivada. Achuramentos Outras indicações permitidas na matemática

147

Capítulo 5 – Experimento, coleta e análise de dados.

5.1. Do Experimento, da Análise e Coleta dos DadosNeste capítulo trazemos, no item 6.1, elementos do experimento

discutindo, através de exemplos, a significância de cada um deles na pesquisa e

falamos da análise e coleta de dados. Estes elementos compuseram tanto o pré

quanto o pós-teste, os questionários e a entrevista. Ainda neste capítulo, no item

6.2, falaremos dos testes aplicados pelos pesquisadores: Professor André Marques

(Doutor); Professor Claudia Dezotti (Doutora) e Professor Moacyr Cunha (Mestre) e

dos seus resultados brutos sem análise, como colocado na metodologia.

5.1.1. Primeira questão do Pré e do Pós-testeApresentamos o gráfico de uma função y = f(x) e colocamos:

Cabeçalho Geral

Observe o gráfico I abaixo e responda aos itens propostos observando

sempre que este é um trabalho que não tem pontuação por acertos mas sim pelo

que você vai escrever para cada resposta. Estamos preocupados em saber qual

será o aproveitamento de vocês com a metodologia que iremos usar neste curso.

Pedimos paciência nas respostas.

Então propusemos as questões:

a) Qual o domínio da função?

b) O que significa domínio da função em termos de sua variável?

c) Qual a imagem da função?

d) O que significa imagem de uma função em termos de sua variável?

e) Esta função possui raízes?

f) O que são raízes de uma função?

g) Essa função possui região de Crescimento e de Decrescimento? Se sim, qual ou

quais?

h) O que acontece com a derivada primeira de uma função quando ela cresce ou

decresce? Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra intervalo e sua

simbologia.

i) Uma função pode ser crescente e decrescente em um mesmo intervalo? Justifique

sua resposta.

148

Exemplificando a primeira questão.

Dado o gráfico de uma função y = f (x), responda as questões que se

seguem:

Gráfico 32- Pertinente à primeira questão

a) Qual o domínio da função? Esta questão tem uma função importante no decorrer

de todo o teste, uma vez que todas as demais respostas precisam levar em

consideração o conjunto dos valores do domínio. Assim, se o aluno diz que o

Domínio é R ( x ε R) e, mais adiante, diz que a função tem uma assíntota, então

cometeu um lapso ou não tem a exata compreensão do que é domínio e/ ou

assíntota. Do ponto de vista da teoria dos registros de representações semióticas, as

respostas deverão trazer informações sobre o tipo de registro que o aluno traria.

Com que tipo de registro o aluno indicaria está mais “familiarizado”? Percebamos a

não exigência de um determinado tipo de notação (representação). O aluno poderia

responder usando, por exemplo:

A linguagem materna (os reais, todos os reais, todos os números reais, etc.);

A linguagem simbólica ou formal ( ; x /- x + ; (- ; )x , etc.);

A linguagem figural( x� ). Esta última notação não é enfocada nos

livros textos de cálculo que conhecemos. Este fato leva os professores a não a

utilizarem. De 12 (doze) professores de cálculo de nossa universidade, apenas este

pesquisador e outro colega faz uso da mesma. Não esperávamos este tipo de

resposta no pré-teste uma vez que apenas um dos alunos havia estudado conosco e

nenhum com o outro colega.

149

b) O que significa domínio da função em termos de sua variável? A intenção foi

verificar se o aluno usaria a linguagem formal ou a linguagem materna na resposta.

Evidentemente que a linguagem figural também poderia aparecer aqui. Não

esperávamos que ela aparecesse, em virtude da complexidade que seria uma

resposta através dela. No entanto, não seria de todo um espanto, principalmente

porque os agentes da pesquisa são professores de matemática no ensino básico

estando, assim, por demais familiarizados com o diagrama de Vern. O cerne da

preocupação, no entanto, está no fato de que os alunos vêem, cada vez mais,

desprezando a linguagem matemática formal justamente quando ela se torna

imprescindível em virtude da complexidade que a linguagem materna carrega e que

se dá em um crescente no Ensino Superior de modo geral. Nesta questão, de modo

particular, esperava-se a resposta na linguagem materna.

c) Qual a imagem da função? Este item faz um entrelace com o primeiro e o

segundo. Para o caso em questão, o aluno deveria perceber que, se o domínio era x

pertencente aos reais, isso implicava na imagem ser y pertencente aos reais, uma

vez que a função é contínua em todos os seus pontos. Em relação ao segundo item,

o aluno deveria distinguir o que é domínio e o que é imagem de uma função.

Reconhecendo esta distinção a resposta fica mais evidenciada.

d) O que significa imagem de uma função em termos de sua variável? O comentário

e a justificativa para este item guardam estreita semelhança com o que foi feito no

item “b”, quanto a sua intencionalidade. Costuma-se dizer que tem uma estrutura

análoga. Se no item “a” perguntamos sobre o domínio, agora perguntamos sobre a

imagem. A idéia subjacente foi a de verificar se havia uma cognição real do aluno no

sentido de que imagem e domínio eram elementos do tipo imagem ↔ domínio, ou se

isso era circunstancial e se o aluno percebia a imagem como conjunto de pontos e

não como um ponto.

e) Esta função possui raízes? O item segue o padrão do teste no sentido de

tentarmos verificar em que linguagem o aluno responderia e quais as decorrências

destas respostas no sentido de mobilização de representações. Nesse caso,

150

entretanto, deu-se margem a uma resposta “maniqueísta” na linguagem materna:

Sim / Não.

f) O que são raízes de uma função? Trata-se de uma questão na qual tentamos

averiguar se o aluno retinha o conceito de função nula contrariamente ao conceito

de função inexistente. A pergunta que fazíamos de modo mais concreto era: O

aluno, de fato, revela reter o conceito de raiz de uma função? Em caso afirmativo,

quais as representações (ou representação) usadas para a resposta?

g) Essa função possui região de Crescimento e de Decrescimento? Se sim, qual ou

quais? O propósito principal desta pergunta foi verificar se o aluno tinha real

conhecimento do comportamento da função em região de crescimento e região de

decrescimento em um dado intervalo. Além da busca das representações usadas

para a resposta, nos interessava, de modo particular, verificar se o aluno

compreendia que uma função não pode ser crescente ou decrescente em um

mesmo intervalo ao mesmo tempo. Por esse motivo o gráfico possui duas regiões de

crescimento e uma de decrescimento.

h) O que acontece com a derivada primeira de uma função quando ela cresce ou

decresce? Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra intervalo e sua

simbologia. Nesta questão tentamos cobrar do aluno dois tipos de registros

(Linguagem materna e linguagem simbólica) sem, no entanto, engessarmos a opção

de resposta. Ao introduzirmos o termo derivada, objetivamos verificar a noção da

mesma, pelo aluno, dentro da perspectiva do traçado do gráfico de uma função.

Caso o aluno não consiga ligar a derivada ao crescimento ou decrescimento da

função, a princípio ele não terá construído a idéia de derivada, pelo menos quando

ligada à geometria. Isso nos levará então, a discutir a apresentação da derivada na

forma tradicional que é usando-se o formalismo de Leibnitz. Formalismo este que,

de certa forma, usamos ao tratarmos do conceito de derivada neste trabalho. Por

outro lado permitimos ao aluno uma diversidade no interior da questão com várias

representações dentro do mesmo registro.

151

i) Uma função pode ser crescente e decrescente em um mesmo intervalo? Justifique

sua resposta. Praticamente repetimos o item g. No entanto acrescentamos a

necessidade de justificativa com a finalidade de colhermos mais dados a respeito

deste ponto e de todos os demais que necessitam da informação sobre intervalos.

Ao mesmo tempo buscando um entrelace com os demais itens h e i.

Segunda Questão.Apresentamos o gráfico de uma função y=f(x) e perguntamos:

a) A função tem ponto critico? Onde?

b) De acordo com a derivada primeira o que é um ponto crítico?

c)A função tem ponto de Máximo ou de Mínimo local? Onde?

d) O que é necessário acontecer com a derivada primeira para que a função tenha

um máximo ou mínimo local?

e) Caso a função tenha máximo e mínimo em um ponto P desta curva, qual o sinal

da reta tangente nas vizinhanças de P? Ou seja: Em (P+∆P), P e (P - ∆P)?.

f) Quanto as assíntotas existem? Onde? De que tipo?

g) Esta função possui região de concavidade? Se sim em que intervalos?

h) O que acontece com a derivada segunda da função se região for côncava em um

intervalo I e convexa em um intervalo K do seu domínio, I≠K?

Exemplificando a Segunda questão.Considere o gráfico abaixo. Para cada item, onde houver a necessidade

de notação, você precisa usar formas: (a: b); a < X < n; x = a, x = b e similares a [a:

b), (a:b], etc.

152

Gráfico 33- Pertinente à segunda questão

Antes de nossas justificativas, vimos alertar ao leitor para a diferença de

fundo entre a Primeira e a Segunda questão. Observe-se que nesta questão

retiramos, em alguns itens, e em termo de enunciado, a liberdade do aluno. Aqui

exigimos, em alguns itens, que as respostas fossem na linguagem formal, ainda que

nas suas mais diversas formas.

a) A função tem ponto critico? Onde? A questão aqui é mais direta. E sem perder o

foco nas representações, o que agora tentamos levantar de modo mais direto, foi se

o aluno detinha o conceito de ponto crítico de uma função. Esta resposta já poderia

ter aparecido quando perguntávamos sobre outros elementos como extremos locais.

O motivo desta questão mais direta nasce da necessidade da própria constituição do

gráfico. Se, de fato, o aluno já detinha o real conceito de extremo relativo, a questão

apenas compunha o teste. Mas, como vimos na primeira questão, não raro o aluno

acerta determinada questão sugerindo deter o conceito em ação e, no entanto, erra,

digamos, um corolário deste conceito. Daí a pertinência da questão.

Ao buscarmos, de modo mais enfático, saber se o aluno seria capaz de

determinar o ponto crítico de uma função, a primeira observação a facilitar esta

observação é a existência de assíntotas. Deste modo este item se entrelaça com

itens da Primeira Questão e desta Segunda Questão já que os pontos são aqueles

nos quais f’ = 0 ou torna-se infinita conforme já explicado.

153

O fato de o aluno dizer que a função tem ponto crítico não nos é de muito

interesse. Estamos interessados em saber onde é este ponto. X = a?, -3< X <0

(para o caso de não se ter um ponto claramente determinado), etc.

b) De acordo com a derivada primeira o que é um ponto crítico? Pontualmente

buscou-se verificar a noção do aluno sobre o comportamento da derivada no ponto,

o seu valor. Observe-se que, na questão anterior, o ponto crítico era uma questão

visual, enquanto nesta é uma questão de entendimento algébrico. Há um entrelace

desta questão com a questão anterior. As tabelas de análise das questões irão

mostrar que o aluno consegue apontar o extremo local no modo gráfico, mas além

da dificuldade de perceber que neste ponto f’=0, também não percebe que em

alguns pontos críticos f’ .

c)A função tem ponto de Máximo ou de Mínimo local? Onde? Neste item, não se

colocou indicativo como P, P’ que pudessem sugerir os pontos críticos. Isso fez com

que o grau de complexidade fosse relativamente alto. Ao optar-se pela possibilidade

do aluno fazer tal sugestão, optou-se pela possibilidade do mesmo dizer da

existência de Máximos e de Mínimos nos intervalos: 2 < x < 3 (Mínimo); -4 < x < -3

(Máximos). Além da resposta pontual, se estava interessado em verificar se o aluno

faria uma análise mais detalhada na observação do gráfico que não fornecia uma

visão clara do ponto onde havia o extremo local. O aluno careceria usar dos

intervalos e, para isso, mobilizar pelo menos duas representações. Por exemplo,

figural e simbólica.

d) O que é necessário acontecer com a derivada primeira para que a função tenha

um máximo ou mínimo local? Semelhantemente ao item h da primeira questão,

buscávamos saber quais os conhecimentos matemáticos que o aluno detinha da

derivada primeira de uma função. A diferenciação para a questão h está no fato de

que, agora, atribuíamos a análise a um ponto. A resposta a esta questão, bem como

à questão h, além de poder ser formulada em quaisquer das categorias

apresentadas por Duval, ainda permite várias representações dentro da mesma

categoria.

154

e) Caso a função tenha máximo e mínimo em um ponto P desta curva, qual o sinal

da reta tangente nas vizinhanças de P? Ou seja: Em (P+∆P), P e (P - ∆P)?. Este

item entrelaça a visão geométrica com a matemática formal. A idéia, portanto, foi

verificar essa união de visões e reconhecimentos. Neste ponto, já é evidente que a

questão deve aponta um maior número de erros. Estamos envolvendo vários

elementos para uma só resposta.

f) Quanto as assíntotas existem? Onde? De que tipo? A tentativa aqui foi verificar se

o aluno reconhecia a linha vertical (reconhecimento figural ou geométrico) pontilhada

como assíntota naquela região, pelo menos, como sugeria mais claramente o

gráfico. Esta questão já foi discutida ao observamos que, para o aluno, os eixos não

são segmentos de reta e, desta forma, não surgem como assíntotas.

g) Esta função possui região de concavidade? Se sim em que intervalos? Esse item

é análogo, para o estudo, ao que foi estabelecido no item “g” da primeira questão. E

sua presença é indispensável, uma vez que queremos “varrer” todos os elementos

de um gráfico global no dizer de Dugdale.

h) O que acontece com a derivada segunda da função se a região for côncava em

um intervalo I e convexa em um intervalo K do seu domínio, I≠K? Observe-se que o

aluno não poderia tirar a informação de que a função era côncava e convexa em I

pois foi dito que I ≠ K. Evitou-se a indução ao erro. A idéia, análoga aquela do item

“b”, trazia sua diferença na observação de que tratávamos da derivada segunda.

Com isso, também, poderíamos identificar a relação que o aluno fazia entre a

derivada primeira e a derivada segunda do ponto de vista do uso no item. Dito de

outra forma: O aluno usaria, nos dois itens, a mesma ordem de derivação?

Terceira Questão.Esta questão diferencia-se das demais, principalmente em dois pontos:

1. Não existe o gráfico;

155

2. Exige cálculos;

E se assemelha em um ponto:

1. Contempla todos os elementos do esboço de uma curva simples como

as aqui tratadas a saber: Domínio, Imagem, Ponto Crítico, Região de Crescimento,

Região de Decrescimento, Região onde é Côncava, Região onde é convexa,

Maximo e / ou Mínimo, Raízes e Assíntotas além da necessidade de se construir o

gráfico.

O propósito foi o de um levantamento mais geral já que partíamos da

função em sua forma algébrica. Buscamos verificar as dificuldades comparativas

entre o aluno responder questões a partir do gráfico com as respostas a partir de

uma expressão algébrica. Partindo, como tradicionalmente é feito nas avaliações de

aprendizagem, da expressão:

a) o que os alunos sabiam, de fato, sobre derivada?

b) de algum modo determinariam o domínio da função?

c) os alunos tinham alguma idéia do que, nas duas primeiras funções,

significava, em termos de Gráfico de função, o sinal do numerador e do

denominador das funções e de suas derivadas;

d) que erros cometeriam na montagem dos gráficos?

Uma abordagem geral contemplaria a busca das representações

mobilizadas para as respostas como um todo. Quais as mais freqüentes? Haveria

uso de mais de uma representação? Se sim, que representações apareciam dentro

de uma mesma resposta de modo mais freqüente?

Exemplificando a Terceira questão.

Mostre, o mais claro possível, todos os elementos existentes nas funções:

a) Domínio;

b) Imagem;

c) Região onde a função é côncava;

d) Região onde a função é convexa;

e) Região de crescimento e região de decrescimento;

f) Assíntotas;

g) Ponto Crítico;

156

h) Ponto de Inflexão;

i) Máximos e Mínimos locais.

a)

2

2( )4

xf xx

Expressão 20

b)

( )1xf xx

Expressão 21

c)

3 ( ) f x x

Expressão 22

Perceba-se que um tópico muito importante no Gráfico de função não foi

objeto do trabalho: a simetria. A justificativa é o entendimento de que, se uma função

é par, simétrica ao eixo OX, este conhecimento tira a necessidade de maiores

observações. Os autores mais modernos fazem essa abordagem no início do estudo

de funções simples como, por exemplo, Thomas (2000, p.14) e Anton (2002, p.52-

53). Moise (1970, p.331) trata da questão, quando fala de curvas mais complexas.

Não vamos entrar aqui no mérito da melhor metodologia. Apenas, para esse

trabalho, preferiu-se adotar a posição de só o fazer no final do curso para forçar o

aluno a trabalhar ambos os lados do gráfico. Não se trata de cobrar um processo de

repetição. Trata-se da verificação de que o aluno tem certas obstruções cognitivas,

mesmo no simples passar de um quadrante para o outro. A apresentação de uma

função, por exemplo, com duas sentenças, nos mostra este tipo de dificuldade.

Solicitar ao aluno que trace o gráfico da função modular na forma: ( ) | |f x x

Não traz o mesmo nível de dificuldade da solicitação traçar o gráfico da

função modular na forma:

se x>0( ) e

-x se x<0

xf x

157

Os tratamentos e a cognição têm formas diferentes. A primeira

preocupação do aluno é que na segunda forma temos duas funções, a segunda é

que lhe parece falta x =0, a terceira vem do fator - (menos), etc.

5.1.2. Método da Coleta de Dados.Para esta pesquisa, usamos questionários, testes, entrevistas,

observação, etc. Richardson (1999, p.70) vem dizer: "o método quantitativo [...]

caracteriza-se pelo emprego da quantificação tanto nas modalidades de coleta de

informações, quanto no tratamento delas por meio de técnicas estatísticas, desde as

mais simples [...] às mais complexas..." Richardson (Ibidem) também discute que

uma pesquisa, dificilmente, se estabelece apenas como qualitativa ou como

quantitativa. Há sempre um viés de uma ou de outra, com predominância de uma

delas.De acordo com W.Goode e P.H.Hatt (1973:398) apud Richardson (1999, p.79):

A pesquisa moderna deve rejeitar como uma falsa dicotomia a separação entre estudos 'qualitativos' e 'quantitativos', ou entre ponto de vista 'estático' e 'não-estático'. Alem disso, não importa quão precisas sejam as medidas, o que é medido continua a ser uma quantidade.

Os instrumentos para a coleta de dados dividiram-se em três elementos

de coleta:

1 - Questionário I (Estruturado)

2 - Questionário II (Estruturado)

3 - Entrevista4 - Pré-Teste

5- Pós-Teste

5.1.3. Sobre os questionários e a Entrevista.O questionário I visava levantar o acesso do aluno à Internet, uma vez

que usaríamos o software Estudo de Funções como suporte tecnológico às aulas,

mesmo que este suporte não fosse fundamental, como discutimos. O questionário II

buscava verificar o conhecimento do aluno na solução de problemas aritméticos

bastante elementares. A Entrevista, posterior ao pós-teste, teve a intenção de

verificar de um lado algumas respostas que nos pareciam bastante incoerentes e de

outro, indagar da avaliação dos alunos sobre as duas metodologias. A elaboração

158

destes questionários se deu à luz de Lüdke & André (1986, p.33), que chamam a

atenção para uma estruturação cuidadosa. Neste caso, levam-se em consideração

alguns pontos relevantes como;

1 - Entender os limites e respeitar as exigências de quem está submetido ao

questionário ou entrevista;

2 - Permitir ao sujeito submetido ao questionário ou entrevista a liberdade de

expressão;

3 - Estabelecer uma linguagem compatível com o que se quer investigar.

O pré-teste, para o caso desta pesquisa que visa investigar se a mudança

metodológica proposta produz um conhecimento mais eficaz do que o tratamento

tradicional dispensado ao ensino do esboço de gráfico de função, foi levado a efeito

no primeiro momento da pesquisa propriamente dita. O pós-Teste foi aplicado trinta

dias após oito horas aula que é, em média, o tempo no qual trabalhamos,

tradicionalmente, o objeto desta pesquisa. A idéia, portanto, era não obtermos as

vantagens oferecidas pelo tempo para se verificar a aprendizagem do objeto em

duas metodologias distintas.

O número de itens a serem respondidos foram 47 e o tempo 210 minutos

o que nos dá 4,4 minutos para cada item.

Não trataremos de uma análise aluno a aluno, mas dos alunos frente aos

itens das questões. Somente em algum momento consideramos importante à

compreensão esse tratamento. Isso se justifica não só pelo número de questões e

alunos envolvidos quanto e, principalmente, pelo objetivo do trabalho que não é

avaliar desenvolvimento individual. O pré-teste (anexo I) foi usado para buscarmos

verificar os conhecimentos prévios dos alunos quanto:

1 – à compreensão da derivação de frações polinomiais de até terceiro grau;

2 – o entendimento da aplicação dos cálculos obtidos na construção do gráfico da

função onde deveria reconhecer a forma da curva em um dado intervalo caso

existisse.

3 – o significado de pontos específicos da curva como Ponto de Máximo, Ponto de

Mínimo, Ponto de Inflexão, Ponto de Acumulação, Raízes da função, etc.

No questionário buscamos verificar:

159

1 – Se havia equívocos conceituais destes alunos / professores em seu dia a dia em

sala de aula;

2 – Que questões complicadoras eles poderiam apontar para o fato de cometerem,

caso existissem, os equívocos do teste no entendimento da aplicação dos cálculo

obtidos na construção do gráfico da função.

No pós-teste buscamos verificar com o teste:

1 – Se o trabalho havia provocado uma eficiente compreensão conceitual;

2 – Se o trabalho havia correspondido a nossa hipótese;

3 – Se a questão da compreensão aritmética com a geométrica havia sido suprida.

No pós-teste, com o questionário, buscamos verificar:

se o aluno considerava a metodologia aplicada mais amigável, de

compreensão mais eficaz para a apropriação do conhecimento em questão

do que aquela a que fora submetido na graduação.

Nessa análise, levamos em consideração, como já o fez de modo

semelhante o Dr. Albuquerque (2002), três condições: Errado, Certo, Intuitivamente

Certo. Foram consideradas certas as questões corretas tanto nas respostas com o

uso da linguagem matemática, quanto com o uso na linguagem materna, e

intuitivamente certo aquelas que o pesquisador reconhecia ter o aluno ciência do

que se tratava sendo, porém, dificultoso para ele exprimir, fosse por uma questão de

falta de vocabulário, fosse por uma questão de muita complexidade. Por exemplo:

Região de crescimento é aquela na qual um ponto X maior do que outro ponto X tem

um Y maior que o outro Y. Entendemos aqui que o aluno tem a noção de

crescimento de uma função. A falha está na notação a ser usada.

Em uma análise final, tratamos de erros e acertos e, portanto, as

intuitivamente certas foram contabilizadas como erradas, já que fugiam da exigência

formal da matemática.

Outro exemplo para essa questão são soluções do tipo: f(x)= x 2 = f’(x) =

2x, quando se solicita derivar a função. Esse é um típico erro que o aluno-professor

acaba incorporando com os alunos e, com o tempo, acaba considerando que não é

significativo como nós, professores de matemática, podemos perceber ao

trabalharmos com Cálculo Diferencial. Uma derivação deste erro é:

f(x)= x 2

160

f’(x) = 2x

f’(4) = 4.

Aqui ignoram-se as notações (Portanto ou donde, e implica).

Os valores das questões apontados aqui decorreram de uma regra de

três simples na qual entram como fatores o número de alunos que, como vimos, caiu

de 35 para 32 (35 – 3 = 32). Nos testes, para efeito de análise, consideramos que

cada item de cada questão valeria 3,13% (100/32 3,13,) e cada gráfico certo da

terceira questão, com ou sem a matematização, valeria 1 ponto por resposta a cada

item, sendo considerados os itens Domínio, Imagem, Raízes da função, Região de

Crescimento e Decrescimento, Ponto Critico, Ponto de Inflexão, Ponto de Maximo e

Mínimo, Região Convexidade, Assíntotas, noção do gráfico compatível com os

elementos calculados.

Nas tabelas não abrimos campo para contabilizar as questões em branco.

Esta omissão do aluno não nos permite interpretação de valor. Foi solicitado ao

aluno não deixar nenhuma questão em branco em virtude do teste não ter o caráter

de nota por questão certa, mas nota por resposta. Se o aluno diz que não viu o

assunto na graduação ou que não lembra como elaborar a resposta, podemos

discutir sobre vários aspectos como memória de curto prazo ou de falta de um

aprendizado real no caso do aluno que diz não lembrar. Para o caso do aluno que

diz não haver visto o assunto na graduação, através de outras questões podemos

identificar se ele viu ou não. De todos os caso analisados nos quais o aluno diz não

haver visto o assunto na graduação, somente pudemos verificar que ele, de fato,

não havia visto, poucas questões como, por exemplo, as assíntotas. Principalmente

as obliquas.

Assim, por exemplo, se o aluno diz que não viu descontinuidade, não

pode responder que a função não está definida para certo valor X = P. No caso de

intervalo também não pode dizer que a função é, por exemplo, crescente em (a,b) e

em (b,c) já que isso indica que há uma descontinuidade em b. Não temos

conhecimento de professor de cálculo que não use o termo continuidade e / ou

descontinuidade quando trata de limites e derivadas. Muitos outros exemplos

poderíamos apontar no sentido de saber se o aluno viu ou não o assunto na

graduação.

161

No pós-teste, onde o número de alunos caiu para 25, cada item de cada

questão valeu, para não haver alteração no valor da amostragem, 4% (100/25 = 4), e

cada gráfico foi considerado em sua formação total, em que não nos importou se o

aluno errou a primeira derivada e, por exemplo, onde a função era côncava ele

encontrou convexa. Isso desde que ele desse continuidade ao “erro”, de modo que,

no final, o gráfico pudesse estar compatível com o que ele trabalhou. Para o cálculo

dos valores, fizemos: 3,13% x 32 alunos do pré-teste passar a ser igual a 4% x 25

alunos do pós-teste.

Estes valores não foram escolhidos de acordo com o nível de

complexidade de cada item uma vez que o objetivo dos testes foi o de um

reconhecimento de definições, conceitos e da construção de gráfico por parte dos

alunos. Desta forma, só de relance tratamos de que questão é mais ou menos difícil.

Mesmo porque definir o que é fácil e o que é difícil é uma tarefa que carece de uma

profunda análise. No entanto, a principal preocupação foi com a mobilização de

representações.

Conforme o anexo I, no primeiro encontro aplicou-se o pré-teste - 01 de

Outubro de 2005. A duração foi de 3:30h. Consistia em um teste abordando os

elementos matemáticos de uma função e seu gráfico (Teste I). O pesquisador

coletou as respostas de 32 alunos, muito embora 35 tenham assinado a ata. No

sábado seguinte (segundo encontro) levantamos a questão e constatamos que três

alunos ficaram na sala mas não fizeram o teste e, obviamente, não procuraram

excluir seus nomes da lista como solicitado. Temos, então, 32 testes a serem

analisados.

Em 29 de Outubro de 2005, estávamos de posse da análise do pré-teste.

No entanto, ainda aplicamos um questionário semi-estruturado das 8:00 às 11:30h, e

fizemos uma discussão do nosso levantamento referente ao pré-teste e ao

questionário das 15:30 às 18:30h, buscando levantar algumas questões. Nesta

bateria de discussão, o principal objetivo foi tentar verificar o motivo pelo qual o

aluno, na primeira questão, por exemplo, acertava o domínio e quando, das

questões sobre crescimento e concavidade, acertava algumas delas e errava outras.

Isso será discutido em local apropriado.

162

Finalmente, para nossas tabelas, o percentual é encontrado da seguinte

forma:(100 X 32) / certo (errado ou intuitivamente certo).

163

Capítulo 6 – Análise e discussão

6.1. Análise e discussão dos DadosTomemos, inicialmente, algumas das condições que Duval propõe para a

aprendizagem em matemática, ainda que já seja matéria discutida ao logo do

trabalho. Em termos mais sucintos, Duval propõe que somente temos acesso à

representação do objeto. Corolário: a Representação não é o objeto. Também de

acordo com Duval, um sujeito somente tem acesso ao conhecimento de um objeto

se houver preenchido duas condições: deve dispor de pelo menos dois sistemas

semióticos diferentes e poder compreender a conversão de uma representação na

outra.

O procedimento desta análise com vista a atender à teoria, se baseia no

fato de que cada elemento do esboço de uma curva guarda estreita relação

conceitual, ou de outra monta, por exemplo, definitoria, com pelo menos outro

elemento. Neste caso devemos explorar esta relação. Além disso, buscamos

verificar a existência da distinção entre o elemento enquanto objeto conceituado com

a representação (ou representações) da qual (ou das quais) o aluno fez uso. Por

exemplo, se uma função cresce e é côncava em um certo intervalo I, o declive da

reta tangente em I é positivo, caso contrário é negativo. Se uma função tem um

ponto crítico em P, então, necessariamente, nas vizinhanças de P a função cresce

de um lado e decresce de outro indiferente do limx P da função, que tanto pode tender

para o infinito quanto pode ser zero. A nulidade da derivada primeira de uma função

em um ponto P é condição sine qua non para a existência de um extremo local se P

for um ponto. Caso P seja um intervalo, é indicação de constância conforme

podemos ver na figura abaixo.

164

Gráfico 33 – Figura da nulidade da derivada (Legendado como 21)

6.2. Análise e discussão dos dados coletados no pré-testeComo já explicado, no intuito de fazermos esta análise, consideramos os

itens com:

- ERRADO. Quando o aluno respondeu inquestionavelmente errado;

- CERTO. Quando o aluno respondeu inquestionavelmente CERTO;

- INTUITIVAMENTE CERTO. Quando o pesquisador entendeu que o aluno sugeriu,

com sua resposta em quaisquer das linguagens, possuir conhecimento da resposta.

Chamamos a atenção do leitor para o fato de que a análise que fizemos

em algumas questões como na questão “a” abaixo, não é um padrão. Isto é: verificar

se o aluno acertou algum item de uma questão e compará-lo com acerto ou erro do

item de outra questão. A massa de dados extrapolaria os limites do trabalho. Deste

modo, somente nos casos mais evidenciados que foram “puxados” como discussão

dos alunos na entrevista é que fizemos este tipo de consideração. Assim, quando

não houver margens para dúvidas, iremos inserir comentários que estão no anexo

IV, onde tratamos da discussão levada a efeito depois das atividades (do

experimento) e do pós-teste.

A expectativa que tínhamos quanto ao decréscimo no número de erros

entre o pré e o pós-teste era razoável tendo em vista que os alunos passaram por

um novo estudo (já haviam visto o assunto na graduação) sobre esboço de gráfico

de função. O estudo foi teve suporte base em duas teorias: uma teoria principal

(Teoria dos Registros de Representações Semiótica) e uma teoria secundária

(Vygotsky – Pensamento e Linguagem). Portanto, havia teoria de aprendizagem

165

consciente, objetiva e determinada (Duval) e a preocupação com a cognitividade

através da linguagem (Vygotsky).

Foi importante perceber que mesmo nos erros os alunos emitiram, no

pós-teste, respostas que dentro de uma análise tão maleável quanto no pré-teste, o

índice de acertos teria sido muito maior. Sentimos que o aluno tinha muita

insegurança em suas respostas quando do pré-teste. A insegurança matemática é

um dos fatores, em testes deste tipo, que provocam no aluno a necessidade de se

“proteger” do que pode ser considerado como absurdo alem de o levar, como foi o

caso, a emitir várias respostas distintas na perspectiva de acertar a questão. Afinal,

neste caso em particular, são alunos professores. Esta proteção muitas vezes é

reconhecida em colocações como: “não me lembro, pois já faz muito tempo que vi o

assunto” ou “não vi o assunto na graduação”.

Este tipo de autoproteção é quase que inevitável. Por mais que se tente

deixar aluno neste nível de titulação à vontade, não se consegue. Eles são

professores, sentem-se julgados. Isso, ainda que tenhamos garantido o anonimato,

tanto explicando a questão acadêmica quanto solicitando que não se identificassem.

Cada tabela representa o percentual de erro próprio do item em relação

ao número de alunos. Assim, na primeira tabela, temos que em 32 alunos houve 7

erros. Como cada erro ou acerto vale 3,13 pontos, temos 7 x 3,13 = 21,91% de erro.

Assim, a soma (%) de todos os erros ultrapassa 100%. Para obtermos a média de

erro por questão levamos em conta o número de erros e dividimos a soma (%) dos

erros por este número. Repetiremos este parágrafo com os dados calculados ao

final da análise.

Cabeçalho Geral

Observe o gráfico I abaixo e responda aos itens propostos observando

sempre que este é um trabalho que não tem pontuação por acertos mas sim pelo

que você vai escrever para cada resposta. Estamos preocupados em saber qual

será o aproveitamento de vocês com a metodologia que iremos usar neste curso.

Pedimos paciência nas respostas.

166

6.2.1. Primeira questão do pré-teste.

Gráfico 34- Relativo a primeira questão

a) Qual o domínio Máximo de definição da função se seus extremos tendem

para o infinito?

Tabela 4- Tabela da primeira questão (item a)Tabela I da primeira questão

CERTO 23 71,99%ERRADO 7 21,91%INTUITIVAMENTE CERTO

2 6,26%

TOTAL DE ACERTOS 25 78,25%

Vinte e cinco alunos acertaram o domínio da função. Os 23 (vinte e três)

‘Certo’, usaram duas representações na linguagem simbólica: , - x +x .

Neste caso, temos 13 (treze) alunos usando uma ou outra (dez usando a primeira e

três a segunda). Os demais 10 (dez) alunos responderam na linguagem natural. As

respostas foram padronizadas na forma: “o domínio são os números reais” ou “o

domínio são os reais”.

Os dois alunos que sugerem saber o que é domínio e que estão na

condição de intuitivamente corretos, deixaram dúvidas sobre notações. Há de fato

um amontoado de equívocos na resposta. O item diz que os extremos tendem para

o infinito. Assim, o gráfico não está limitado entre (-2,2). No entanto, rigorosamente,

apenas dois usaram corretamente. Um usando o intervalo (-∞,+∞) e outro dizendo D

(f) = R. Mas não estamos dando preferência ao rigor. Consideramos muitas

respostas como certas em todas as questões por motivos já declinado. No caso

167

específico em virtude de buscamos compreender o máximo possível a idéia do aluno

e, neste caso, o efeito colateral pode ter sido a falta de um limitante visual. Isso pode

haver prejudicado o aluno por desatenção na pergunta em si. Enfim, estamos

buscando qualquer resposta que nos leve a considerar a questão correta, deixando

um maior rigor para o pós-teste e para a análise final. A expectativa nesta questão

era a de que não houvesse nenhum erro em virtude da função ser continua em

todos os seus pontos e do aluno trabalhar com essa informação no seu dia-a-dia..

Neste caso os erros podem ser decorrentes do uso da terminologia:

domínio máximo de definição que não é uma terminologia prioritariamente usada. O

aluno esta mais acostumado com domínio de função. Isso é mais uma falta na

concepção de conceitos matemáticos.

b) O que significa domínio da função em termos de suas variáveis?

Tabela 5-Tabela da primeira questão (item b)Tabela II da primeira questão

CERTOS 8 25,04%ERRADOS 18 56,34%INTUITIVAMENTE CERTOS

6 18,78%

TOTAL DE ACERTOS 14 43,82%

Da questão sobre o domínio máximo de definição da função para o

significado do domínio da função em termos de sua variável, o número de erros salta

de forma abrupta. De 7 (sete) para 18 (Dezoito).

Aparentemente, o nível de dificuldade da questão é o mesmo. No entanto,

ao envolvermos o termo variável no plural, colocamos para o aluno uma outra

questão: Pensar na relação entre domínio, variável independente e variável

dependente. Questões posteriores e o andamento das aulas, nos deram conta de

que vários alunos com os quais trabalhamos, quase sempre confundiam valor da

função no ponto com o conjunto de valores. Desta forma, muitas vezes, o aluno trata

o domínio como sendo a variável. O aluno diz: “o domínio da função é x” ou D = x.

O fato da maioria haver acertado a questão “a”, quando se perguntou qual

o domínio da função, vem reforçar a sugestão das dificuldades do aluno no trato

com variáveis dependentes e variáveis independentes conforme discutido na revisão

da literatura. Por outro lado, a questão quer saber o “significado” do domínio em

168

relação as variáveis. O que difere muito de uma simples pergunta como em “‘a”. Por

fim, o gráfico não ajuda na resposta.

c) Qual a imagem da função?

Tabela 6-Tabela da primeira questão (item c)Tabela III da primeira questão

CERTOS 20 62,60%ERRADO 11 34,43%INTUITIVAMENTE CERTOS

1 3,13%

Total de acertos 21 65,73%

A imagem da função está intimamente ligada ao domínio. Assim, não é de

se estranhar que o número de acertos esteja tão próximo dos do item “a”. É possível

que isso se tenha dado, também, pela simplicidade da questão em si, como se deu

no item “a”. Envolvemos apenas um item que, muito embora não seja tão explorado

em sala quanto o domínio, está unificado a ele de modo que compreender o domínio

é ficar muito próximo de compreender a imagem o que não ocorre com o contra-

domínio.

É interessante observar que vários alunos deram como resposta: Img:

{1,5;3;4}. Observando o gráfico, verificamos que estes são pontos de destaque. Mas,

do mesmo modo, o valor 2,5, à imagem e semelhança de 1,5; 3 e 4, também estão

em destaque e, no entanto, nenhum dos alunos que colocou a resposta Img:[1,5;3;4]

contemplou 2,5. Não conseguimos sequer inferir o motivo e na entrevista os próprios

alunos não sabiam o porquê.

O aluno que teve o acerto intuitivo disse: os valores da ordenada (y) para

os quais existe a função. Entendemos que o aluno tem a intuição correta para a

questão. De certa forma, inferimos que o aluno está dizendo: a imagem da função é

o conjunto de elementos do contra-domínio que mantém relação com o domínio.

d) O que significa imagem da função em termos de suas variáveis?

Tabela 7-Tabela da primeira questão (item d)Tabela IV da primeira questão

CERTO 3 9,39%ERRADO 20 62,6%INTUITIVAMENTE 9 28,17%

169

CERTOTotal de acertos 12 37,56%

O aluno, como vimos no item anterior, “olha” para as variáveis como se

fossem o domínio e a imagem. Analogamente ao item anterior, trouxemos um

complicador: os termos imagem e variável. O aluno parece perceber, agora, que os

elementos não são os mesmos. Por outro lado percebemos, mais uma vez, a

confusão entre o significado da imagem em relação à variável e o conceito de

imagem. Não houve solicitação, no item, para o cálculo da imagem, mas sim para a

o seu significado.

Dado que nossa intenção não foi um estudo caso a caso, como já

dissemos, vamos trazer, a título de exemplificação, a resposta de um aluno. “a

imagem de uma função são os valores das ordenadas do plano cartesiano que estão

relacionadas ao domínio da função. Cada valor do domínio tem uma única imagem”.

A noção de valor único na imagem para um certo valor da função está clara.

O número de erros, então, é sugerido pela residente conflito dos alunos

na falta de clara distinção entre os conceitos de domínio, imagem e variáveis.

e) Esta função possui raízes? Se sim, onde?

Tabela 8Tabela da primeira questão (item e)

Tabela V da primeira QuestãoCERTO 25 78,25%ERRADO 6 18,78%INTUITIVAMENTE CERTOS

1 3,13%

Total de acertos 26 82,38%

Observe-se que a questão possui um nível de complexidade muito baixo,

mesmo porque permitimos ao aluno (e assim 20 dos que acertaram fizeram)

simplesmente responder SIM. O gráfico mostra de modo claro que há uma raiz.

Poderemos levantar duas questões para justificar os erros: o aluno imaginar que os

extremos do gráfico poderiam voltar dirigindo-se ao eixo OX e a falta de conceito e

de definição de raízes de uma função. Somente um aluno tentou a linguagem

simbólica. O aluno responde apenas: 5 1y . Muitos dos alunos que tentaram

170

uma resposta mais elaborada do que SIM, erram. A maioria dos acertos se deu com

a resposta SIM ou Existe. Dois alunos ainda acertaram respondendo: | raiz em

2 1x . Os demais erros foram do tipo: “sim, suas raízes são infinitas e reais”.

Se por um lado acertou na existência, e na condição de raiz real, por outro errou no

número de raízes. O gráfico mostra de modo claro a existência de uma única raiz.

A questão que se tentou especificamente verificar no momento do

entrevista foi: como os alunos responderiam se houvesse a exigência de justificar?

Nesse caso o índice de acerto na justificativa foi de 15 alunos. Como padrão a

resposta foi: “o ponto no qual o gráfico corta o eixo dos x”.

f) O que são raízes de uma função?

Tabela 9-Tabela da primeira questão (Item e)Tabela VI da primeira Questão

CERTO 20 62,6%ERRADO 6 18,78%INTUITIVAMENTE CERTO

6 18,78%

Total de acertos 26 81,38%

Nesse caso, dos 20 alunos que acertaram, 16 (dezesseis) fizeram na

linguagem materna e quatro na linguagem simbólica. A questão levantada quando

da discussão nos mostrou que a visão do gráfico cortando o eixo ÖX , foi o que

possibilitou um melhor índice de acerto. A compreensão que emerge destas

respostas reforça cada vez mais nossa sugestão de ausência na aquisição do

conceito e definições dos elementos que compõem um gráfico de uma função por

parte do aluno.

Entre os erros, alguns chamam a atenção por sua peculiaridade. Tivemos

respostas do tipo:

1. são valores que tornam a função verdadeira, ou seja, que torna a

função igual a zero;

2. sendo (a,b) tal que, a x e b x, temos que as raízes são todos

os pontos em que “a” é correspondido a uma única vez com “b”, ou

seja, onde a curva toca x;

3. são os pontos da função que interceptam o eixo das ordenadas.

171

Na primeira resposta vemos que o aluno possui a idéia da nulidade da

função para o caso das raízes quando diz: “[...] que torna a função igual a zero”. No

entanto, ainda que tenhamos concebido trabalharmos com o mínimo de exigência,

neste caso o mínimo foi extrapolado, uma vez que o aluno diz que: “[...] são os

valores que tornam a função verdadeira”.

g) Esta função possui região de crescimento e / ou região de decrescimento? Se

sim, qual ou quais são os intervalos? Se não deixe em branco.

Tabela 10-Tabela da primeira questão (Item f)Tabela VII da primeira Questão

CERTO 7 21,91%ERRADO 20 62,6%INTUITIVAMENTE CERTO

5 15,65%

Total de acertos 12 37,56%

Observe-se que este item possui outro nível de complexidade em relação

aos anteriores. A pergunta cobra três intervalos dificultando, principalmente, uma

resposta na linguagem materna, além da observação meramente gráfica. O número

de erros, portanto, era esperado dentro do que vimos defendendo. O que

percebemos é que, à proporção que se vai necessitando da matemática em sua

especificidade, deixando um pouco em segundo plano o gráfico, os erros vão

aumentando. E claro, estes alunos foram apresentados à derivada como ferramenta

para o esboço do gráfico de uma função na forma tradicional, onde se faz primeiro a

matematização e, só depois, às vezes de modo fragmentada, a construção gráfica.

O fato é que todos os alunos que erraram encontraram dificuldade no uso

dos símbolos matemáticos maior, maior ou igual, menor, menor ou igual, etc. E, do

mesmo modo os que acertaram usaram um misto da linguagem simbólica com a

linguagem natural. Também tivemos erros como: “é crescente no sentido do terceiro

quadrante para o segundo quadrante. É decrescente no ponto onde 5 1,5y . É

crescente no primeiro quadrante onde tende para +∞”. Entre outros equívocos, o

aluno confunde ponto com intervalo e não percebe que existe intervalo no primeiro

quadrante onde a função decresce.

172

h) O que acontece com a derivada primeira de uma função quando ela cresce

ou decresce? Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra intervalo ou

sua simbologia.

Tabela 11-Tabela da primeira questão (item g)Tabela VIII da primeira Questão

CERTO 7 21,91%ERRADO 21 65,73%INTUITIVAMENTE CERTO

4 12,52%

Total de acertos 11 34,43%

O número de erros é quase o mesmo que o do item anterior, em uma

questão de semelhante nível de complexidade. No entanto, este item difere

totalmente dos anteriores uma vez que, agora, se faz necessário compreender o

comportamento não simplesmente da curva em si, mas da derivada. Toca-se na

ferramenta pela primeira vez no teste.

Os demais responderam usando a linguagem natural mesclada com a

linguagem simbólica. Uma das respostas que mais nos chamou a atenção tem o

seguinte conteúdo: “o coeficiente angular é crescente quando o intervalo é positivo.

É decrescente quando o intervalo é negativo”. Percebe-se que o aluno tem a noção

da resposta quando menciona o coeficiente angular. Do mesmo modo, mais uma

vez surge o equivoco entre ponto e intervalo.

i) Uma função pode crescer e decrescer em um mesmo intervalo? Justifique

sua resposta.

Tabela 12-Tabela da primeira questão (Item h)Tabela IX da primeira Questão

CERTO 1 3,13%ERRADO 28 87,64%INTUITIVAMENTE CERTO

3 9,39%

Total de acertos 4 12,52%Aqui tratamos de duas questões que podem justificar o número de erros

mais alto do teste, embora a questão em si não seja a de maior nível de

complexidade. Por um lado o aluno se depara com um item, inicialmente de aspecto

semelhante ao do item “h”, mas que trata de duas problemáticas: conceito e

justificativa. Como discutimos durante o trabalho, a experiência tem mostrado um

certo desconforto da maioria dos alunos, quando se pede: demonstre, prove,

173

justifique, etc. Este comportamento vem sendo associado aos vícios dos alunos

diante das exigências no vestibular.

Essas questões também sugerem que os professores no ensino médio

desprezam as demonstrações, as provas, as justificativas de respostas em virtude

da mecânica da múltipla escolha principalmente nos cursinhos pré-vestibulares.

6.2.2. Segunda Questão do pré-teste. Para cada item, você pode usar a notação que desejar desde que seja

obedecida a exigência matemática: (a:b); a < X < n; x = a, x = b e similares a [a:b),

(a:b], etc.

Gráfico 35- Relativo à segunda questão

Esta questão veio tratar de um esboço mais complexo quanto aos

elementos que compõem o gráfico ao cobrar do aluno o conhecimento de

assíntotas. Novamente nos deparamos com Duval (2004) a nos dizer que, quando

se aumenta o nível de complexidade da pergunta, o nível de complexidade de

resposta também aumenta. Rigorosamente teríamos aí 100% de erros.

1) A função possui ponto Crítico? Onde?

Tabela 13-Tabela da segunda questão (Item 1)Tabela I da segunda questão

CERTO 0 0ERRADO 26 81,38%INTUITIVAMENTE 6 18,78

174

CERTOTotal de acertos 6 18,78%

Esse fecha a dicotomia SIM / NÃO contida na Primeira Questão item “c”.

Percebe-se, mais uma vez, a falta de conceito. Se o aluno acertou o ponto de

máximo e/ ou de mínimo (item 3) e 10 deles acertaram as assíntotas (Item 6), não

deveriam errar o ponto critico, já que o Extremo Local e as assíntotas verticais de

uma função acontecem, necessariamente, em um ponto crítico. Verificamos que

apenas 6 alunos tinham uma noção “intuitiva” do que era ponto crítico e, em tese,

esse alunos não poderiam acertar Extremos Locais (Máximos ou Mínimos). As

respostas consideradas como intuitivamente certas foram aquelas do tipo: sim, em

zero e nas retas. Nosso entendimento, sobre este tipo de classificação é que, muitos

alunos não enxergam os eixos coordenados como retas que podem ser assíntotas.

Para eles as assíntotas são as retas pontilhadas que, afinal, são usadas apenas

como um diferencial didático.

2) De acordo com a derivada primeira o que é Ponto Crítico?

Tabela 14-Tabela da segunda questão (item 2)CERTO 0 0%ERRADO 32 100%INTUITIVAMENTE CERTO

0 0%

Total de acertos 0 0%

A questão unifica o Ponto Crítico com a derivada. Dado que nenhum

aluno acertou nem mesmo intuitivamente, há a forte sugestão de que os acertos do

Máximo e/ ou do Mínimo não são frutos de uma compreensão conceitual, nem de

extremos locais nem de Pontos Críticos, mas sim de uma intuição a partir do gráfico.

Assim, como vimos ao longo do trabalho, as imagens imprimem na mente do aluno

um elemento importante na compreensão do ente matemático.

3) A função tem ponto de Máximo e / ou de Mínimo local? Onde?

Tabela 15-Tabela da segunda questão (item 3)CERTO 8 25,04%ERRADO 11 34,43%INTUITIVAMENTE 13 34,69%

175

CERTOTotal de acertos 21 65,63%

Este Item possui índices que parecem confirmar a análise do item

anterior. Oito alunos acertaram os extremos relativos respondendo apenas: Sim;

entre -1 e 1; em ZERO. Pelo que vimos analisados errariam, caso a pergunta

exigisse conhecimento para além da observação gráfica. Treze alunos acertaram de

modo intuitivo e nenhum sugere sabe o que é ponto critico. Alunos usaram as

seguintes respostas: “é o ponto P no qual f’(P)=0” e “se o Ponto P é ponto critico

então f’(P)=0”. Esta resposta configura uma reciprocidade falsa.

Há, em uma análise mais geral das questões, a sugestão de que se os

itens cobrassem, quando fosse o caso, a NECESSIDADE E SUFICIÊNCIA para que

algo viesse a ocorrer, todos os alunos errariam. Nesse caso, porque a condição f’(x)

= 0 é necessária mas não é suficiente para se ter um Extremo Relativo. Os alunos

acreditaram na suficiência de f’(x) = 0. Espantaram-se quando mostramos a

realidade no decorrer do curso.

4 – o que é necessário acontecer com a derivada primeira para que a função tenha

Máximo ou Mínimo Local?

Tabela 16-Tabela da segunda questão (item 4)CERTO 7 21,91%ERRADO 21 65,73%INTUITIVAMENTE CERTO

4 12,52%

Total de acertos 11 34,43%

O tratamento / explicação do item 3 anterior vale para este item.

Reforçamos aqui o que já explicamos sobre extremo local ou relativo. Para a

existência de um Extremo Relativo em P / P ε Df (ler-se P tal que P pertença ao

domínio de f), se faz necessário: Que f’(x)=0 em P; Que o sinal de f’ passe de + para

– na passagem por P (Máximo) ou de – para + na passagem de P (Mínimo).

Ora, se no item 3, 8 alunos acertaram, matematicamente, que havia

Extremos Relativo eles sabiam, pelo menos em tese, que f’ = 0 no ponto em

questão. Entretanto, como já verificamos, esta condição é necessária, mas não é

suficiente. Continua a inconsistência entre extremo local, f’ e ponto critico. Até o

176

presente momento, podemos dizer que no nosso universo de pesquisa, não há, por

parte do aluno, uma clara conexão entre a simbologia matemática e a declaração do

nome do elemento. Assim como se derivada de f em relação a x fosse diferente de

f’(x).

5) Caso a função tenha um Máximo e Mínimo local em um ponto P da curva, qual o

sinal da reta tangente nas vizinhanças9 de P? Ou seja: em (P+∆P) e em (P-∆P)?

Tabela 17-Tabela da segunda questão (item 5)CERTO 0 0%ERRADO 28 87,64%INTUITIVAMENTE CERTO

4 12,52%

TOTAL DE ACERTOS 4 12,52%

As respostas vêm sugerir que o aluno tem profundas necessidades de

rever os conceitos de derivada, especificamente quanto à sua aplicação em gráfico

de funções. Há, neste caso, a constatação de que o aluno não tem a devida

compreensão do comportamento da função de acordo com sua derivada primeira. O

item 4 (quatro) acima, vem explicado mais formalmente aqui. Se f possui um

extremo relativo de Máximo em P, por exemplo, então:

a) f’(P) = 0;

b) f’(P-∆P) >0;

c) f’(P+∆P)<0

Entretanto, mais uma vez podemos constatar que o número de acertos

devido ao gráfico é relevante.

6) Quanto as assíntotas, existem? Onde? De que tipo?

Tabela 18-Tabela da segunda questão (item 6)CERTO 9 28,17%ERRADO 20 62,6%INTUITIVAMENTE CERTO

3 9,39%

Total de acertos 12 37,56

9 Dizemos que a vizinhança de um ponto A em R é um intervalo aberto em R com centro em A de modo que dado um número real positivo qualquer P, uma vizinhança de A, com raio P, é o intervalo (a-P, a+P).

177

O gráfico mostra claramente as assíntotas. Então, considerando as

análises anteriores deve-se observar algumas respostas dos alunos: “não sei o que

é assíntota”; “desconheço o termo”; “não vi isso na graduação”.

Ao tratarmos deste assunto no item Desprezando os Dados Coletados,

colocamos que o colega não o tinha abordado. Esse fato não é incomum. Autores

como Courant (1965, p. 52) preferem tratar as assíntotas como pontos de

descontinuidades que são. Já Moise (1970) vem tratar das assíntotas nas secções

cônicas na página 365, o que traz dificuldades para o aluno no trato com esboço de

gráfico de função.

De fato, não raro se trata este elemento no esboço de curva não como

assíntota, mas como ponto de descontinuidade. É um equívoco do ponto de vista do

formalismo matemático, muito embora seja interessante, para alguns gráficos, como

os estudados aqui, fazer essa consideração. Há uma grande diferença entre Y = P

ser considerado uma assíntota, com a situação na qual P é um ponto de

descontinuidade. Para um melhor entendimento da questão pode-se mostrar que

nem toda assíntota é ponto de descontinuidade global . Às vezes é ponto de

descontinuidade local ou de subintervalo do domínio da função.

As definições de assíntotas são, de modo geral, e sem perda de

generalidade:

a) Dizemos que uma reta y = b é uma assíntota horizontal no gráfico de f(x)=y se

pelo menos uma das condições é satisfeita:

lim f(x) b e para um número N, se x > N,f(x) bx

lim f(x) b e para um número N, se x < N,f(x) bx

b) Dizemos que uma reta x = a é assíntota vertical no gráfico de f(x) = y se:

lim f(x)x a

178

Essa definição é absolutamente distinta da descontinuidade em P. Observe-

se que no ponto P de um intervalo (a,b), a < P < b onde existe descontinuidade

Lim f(x) ( ) x P

f P ou

Descontinuidade nos extremos de (a,b), isto é, a = P ou b = P onde a

descontinuidade ocorre se Lim(fx) ( )x P

f P .

Observando o gráfico pode-se, com os devidos cuidados, mostrar que

uma assíntota ocorre quando a menor distância entre o ponto P da curva a um ponto

P’ de uma linha imaginária chamada assíntota, tende a ZERO quando P tende a

mais ou menos infinito. Temos ainda o fato de existirem descontinuidades

removíveis, o que não acontece com assíntotas. Em síntese são duas entidades

matemáticas distintas do ponto de vista formal e que, muitas vezes se confundem na

forma visual sem que isso cause prejuízo ao gráfico da função.

7) Esta função tem região côncava e / ou convexa? Se sim, em que intervalos?

Tabela 19-Tabela da segunda questão (item 7)CERTO 0 0%ERRADO 29 90,77%INTUITIVAMENTE CERTO

3 9,39%

Total de acertos 3 9,39%

As repostas a essa questão têm o mesmo sentido das respostas do item I

da Primeira Questão. O aluno observa o gráfico e percebe que a função possui, em

seu domínio máximo de definição, as duas regiões. Se de um lado o aluno acerta

dizendo sim, por outro erra ao não colocar os intervalos ou colocando-os

erroneamente. Durante as aulas, a idéia clara que ficou foi a de que a maioria dos

179

alunos pensava que ao dizer sim seria suficiente para a resposta. Isso vem levantar

outro problema já discutido em vários momentos: a falta de cuidado na leitura do

enunciado bem com os equívocos cometidos na interpretação do mesmo. Muitos

pesquisadores discutem os cuidados que se deve ter nas perguntas uma vez que

uma pergunta confusa quase sempre leva a erros de interpretação por parte do

aluno.

Este tipo de pergunta não deixou claro o objetivo. O que, de fato,

queríamos saber era se uma função poderia ser, ao mesmo tempo, côncava e

convexa. A pergunta então deveria ser esta. Mas isso não anula a análise que foi

feita uma vez que percebida a situação analisamos exatamente o que perguntamos

e não o que estava subjacente.

8) O que acontece com derivada segunda da função se ela for: côncava em um

intervalo I, I f ; convexa em um intervalo K, K f , ? IK.

Tabela 20-Tabela da segunda questão (item 8)CERTO 1 3,13ERRADO 30 93,9INTUITIVAMENTE CERTO

1 3,13

Total de acertos 2 6,26%

A análise tem a mesma estruturação e consideração avaliativas,

respectivamente a análise dos itens “g” e “h” da primeira questão. Uma análise,

portanto, seria redundante uma vez que apenas trocar-se-ia Crescimento e

Decrescimento por Côncava e Convexa por e derivada primeira por derivada

segunda respectivamente. No entanto, ver-se na questão 8 associada às respostas

do item 7 que, de fato, os alunos, em sua maioria absoluta, (31) não detêm o

conceito de convexidade.

6.2.3. Terceira questão do pré-teste (primeira função).Dê uma noção o mais coerente possível com seus cálculos, dos gráficos

das funções:

2

2( )4

xf xx

Expressão 23

180

( )1xf xx

Expressão 24

3( )f x x

Expressão 25

Tabela 21-Tabela da terceira questão (expressão 23)CERTA 0 0%ERRADA 364 (trinta alunos) 93,33%INTUITIVAMENTE CERTA

26 (dois alunos) 6,66%

Esta questão, como já colocado, diferencia-se das demais tanto no

conjunto de procedimentos a serem adotados pelos alunos (finalidade), que é

esboçar o gráfico de uma função, quanto em sua análise quantitativa. Os vinte e seis

itens considerados como Intuitivamente Certos são pontuais e levantam uma

questão que pode ser por demais complexa. Dois alunos deram uma noção

aproximada do gráfico da função

2

2( )4

xf xx

usando, ora a linguagem

natural e ora a linguagem simbólica. Eles disseram que a função possuía duas

assíntotas verticais. Vamos descrever com um dos alunos se comportou. Identificou

que f’ > 0 em um “certo” intervalo e f’ < 0 em um “certo” intervalo. Identificando isso

e ele concluiu: “Existe um extremos local porque ela cresce e decresce”. Também

verificou que f’’ < 0 em um “certo” intervalo. Concluiu: “ Por isso seiu q/ ela então é

virada para baixo (nã lembro como é o nome)”.

A primeira observação que fazemos é quanto ao extremo. O aluno não

falou em f’ = 0. Como já vimos esta é uma condição necessária para o extremo. Por

outro lado o aluno errou no estudo geral dos intervalos em virtude da dificuldade de

trabalhar, como já discutimos, desigualdade. Isso parece haver inviabilizado

encontrar o outro extremo local. A descrição que cada um dos alunos fazem é m os

181

alunos tinham uma boa noção, se comparado com os demais, da construção do

gráfico. Dado que estávamos considerando o intuitivamente certo, a questão foi

aceita no pré-teste. Vimos discutindo que tais ocorrências nos são reveladas quando

observamos o aluno encontrar um resultado e, intuitivamente, traçar retas e curvas

que não são propriamente o que ele detectou. Por exemplo, houve uma certa

freqüência, quando se tratou da função que gerou a figura 34 durante as aulas:

Gráfico 36-Incompreensão de Extremos

Então percebemos várias problemáticas como a discutida “passagem” por

zero no extremo local. Vejamos um gráfico explicativo:

Gráfico 37- A questão da passagem por zero

182

6.3 Totalização do número de erros e acertos do pré-teste.Os resultados parciais que aqui apresentamos dizem respeito as duas

primeiras questões do pré e do pós-teste ao primeiro item da terceira questão dos

testes. Dissemos que para o cálculo de nossas tabelas, o percentual seria

encontrado da seguinte forma: (100 X 32) / certo (errado ou intuitivamente certo).

Agora precisamos observar todas as respostas. distribuídas em três questões da

seguinte forma:

1. Primeira questão: 8 (oito itens perguntas)

2. Segunda questão: 8 (oito perguntas)

3. Terceira Questão: Um gráfico de treze itens.

No pré-teste obtivemos novecentas e sessenta e seis respostas e no pós-

teste novecentas e quarenta e quatro. Há, portanto, uma defasagem de 22 (1,1%)

nas respostas. Queremos reforçar que este número de respostas, muito diferente do

número de questão, ocorre em virtude da existência de uma grande quantidade de

subitens conjugado com o número de respostas. Observemos, por exemplo, que a

primeira questão, se formos contabilizar apenas as perguntas, cobra 152 respostas.

No entanto se formos verificar as respostas este número muda de aluno para aluno.

Assim, o aluno que respondeu apenas a questão de uma forma emitiu 152

respostas, já o aluno que emitiu mais de uma resposta contabilizou 152 + X resposta

de forma que contabilizamos 152 + X. Apenas três itens cobravam uma única

resposta e, finalmente, devemos ter em mente que temos 32 alunos no pré-teste e

25 no pós-teste. Mais adiante recolocaremos essa informação.

Não contemplamos o número de questões em branco nas análises nem

como elemento de nível de acerto ou de erros conforme já chamamos a atenção.

Tabela 22- Tabela incluindo intuitivamente certo

Acertos (139 x 100)/992 14,01%Erros (782 x 100)/992 78,83%

Intuitivamente Certo (71 X 100)/992 7,15%Total 574 99,99%

183

Gráfico de Acertos e erros do Pré-Teste

0100200300400500600700800900

Acertos Erros Intuit.

Núm

ero

de re

spos

tas

Seqüência1

Gráfico 38-Gráfico do pré-teste incluindo as intuitivamente certas

6.4 Dados finais do pré-teste. Os dados finais do pré-teste nos mostra que os alunos com os quais

trabalhamos:

a) sentem grandes dificuldades em se expressar tanto na linguagem materna quanto

nas figural e simbólica. De modo geral eles tentam um mesclado das linguagens;

b) nas questões mais complexas eles tentam a linguagem materna que é mais difícil

na maioria dos casos;

c) não parecem deter os conceitos dos elementos que compõem o gráfico de uma

função;

c) não parecem conseguir fazer uma junção dos intervalos das funções de modo

coerente mesmo dispondo dos elementos, em forma de intervalo, que compõem o

gráfico.

Finalmente, consideramos apenas as respostas formalmente corretas, o

que significa tomar as INTUITIVAMENTES CORRETAS como erradas. Neste caso

tivemos os seguintes índices no pré-teste:

Média:

Erros: 85300 85,88%

992

Acertos: 13900 14,01%

992

184

Gráfico de Erros e Acertos do Pré-teste

0100200

300400500600

700800900

Erros Acertos

Núm

ero

de R

espo

stas

Seqüência1

Gráfico 39-Gráfico de erros e acertos do pré-teste.

185

6.5 Conclusão discursiva do pré-teste (A fazer)

186

Capítulo 7 - Análise do pós-teste e avaliação comparativa com os dados do Pré-teste.

7.1 Análise do pós-teste e avaliação comparativa com os dados do Pré-teste.Os dados comparativos entre os testes nos dão, apenas, um indício de

confirmativa de nossa hipótese, ainda que seja composto de dados estatísticos,

porquanto o resultado estatístico parte da “verdade” dos dados coletados. Por um

lado, acreditamos em nossos resultados, por outro temos a consciência da

existência de vários fatores incontroláveis em uma pesquisa e que a podem

modificar. Isso tem levado os pesquisadores a trocarem CONCLUSÃO por À GUISA

DE CONCLUSÃO.

Chamamos a atenção para o fato de que somente 25 alunos fizeram o

pós-teste. Isso se constituiu em uma “evasão” de 7 alunos em relação ao pré-teste.

Assim sendo, o grupo de 25 alunos representará 100% e um aluno equivalerá a 4%

do total de alunos participantes do pós-teste. Para o levantamento das tabelas

consideramos os itens na mesma forma que quando do pré-teste. Isto é:

ERRADO. Quando o aluno responder inquestionavelmente ERRADO.

CERTO. Quando o aluno responder inquestionavelmente CERTO;

INTUITIVAMENTE CERTO. Quando o pesquisador entender que o aluno sugere

saber a resposta mas errar por uma questão de linguagem.

BRANCO. Questões / itens não contabilizados.

Observe-se que a avaliação do que se tentava obter com as questões no

pré-teste é a mesma que se buscou no pós-teste. Assim, não nos parece haver

necessidade, exceto em caso específico, de fazermos as mesmas análises. O que

tratamos de fazer a partir do pós-teste foi um tabelamento comparativo entre os

percentuais das respostas obtidos nos testes.

Podemos agora fazer um levantamento comparativo entre o pré e o pós-

teste, sem a necessidade de refazer as observações sobre o que cada item significa.

A questão inicial traz um nível de complexidade baixo. Tanto pela questão

em si quanto pelo formato do gráfico e, principalmente, pelo aceite de quaisquer

notações como: x ε R; x ε R / x ε (-∞;+∞); -∞< x <+∞; 2 2x ; -2< x <2. E mesmo

187

pelo aceite do uso de uma notação mista como, por exemplo, o domínio da função é

x ε R em vez de D(f) = x ε R.

Pode causar estranheza ao leitor o fato de que em alguns itens os

percentuais dos acertos sejam iguais. Na realidade, o contrário é que seria estranho.

Alguns itens são “interdependentes”10. Tendo o aluno absorvido os conceitos, é

exatamente a “igualdade” nos percentuais de acertos que deve ocorrer em alguns

itens. Há aqui a necessidade de colocarmos que, para o tipo de questão que

estamos abordando, se o aluno acerta o item “a”, o aluno, também, deverá acertar o

item “b”, salvo quando os itens não são interdependentes NO MODO VISUAL (Que

é disso que se trata) ou não tenham adquirido os conceitos corretamente.

Tomemos como exemplo no caso dos dois testes; a) O que significa o

domínio da função? b) o que significa o domínio da função em termos de suas

variáveis? No Pré-teste tivemos 23% de acertos para o item “a” e, no entanto,

somente 8% de acertos no item “b”. Enquanto no pós-teste estes índices são,

respectivamente, 25% e 25%. O que vem sugerir que aqui os alunos entenderam a

relação do domínio da função com o significado das variáveis que a compõem.

Percebemos que o número de respostas às questões no pré e no pós-

teste, são diferentes em 10%. Isso se explica através de vários fatores:

1. A queda no número de participantes do pré ao pós-teste foi de sete

alunos conforme já colocado;

2. O fato do aluno no pré-teste, dado a insegurança já comentada,

tender a responder de várias formas.

7.1.1 Análise e comparação da primeira questão do pré-teste com a primeira questão do pós-teste

Observe o gráfico 39 abaixo e responda as questões propostas.

10 Errou um DEVERIA errar o outro.

188

Gráfico relativo à primeira questão dos testes (legendado como 27) a) Qual o domínio Máximo de definição da função?

Tabela 23- Tabela da primeira questão dos dados comparativos (Item a)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTO 25 100 23 71,99ERRADO - - 9 21,9Evolução no % de acertos - - - 100-71,99 = 28,01

Observamos que nenhum aluno errou a questão no Pós-teste (PsT). As

respostas forma dadas na linguagem simbólica e na linguagem natural ou materna

sendo que 82% dos alunos responderam nas duas linguagens. Tudo nos vem

sugerir que os alunos queriam mostrar haver entendido através do trabalho (o

experimento) como se dava a aprendizagem em matemática uma vez que não

solicitamos mais de uma resposta e se assim o é houve, ainda, uma natural

confusão do aluno no determinar o que é aprender matemática do ponto de vista de

Duval. A confusão é natural uma vez que o experimento não tratou de Duval. Tratou

do uso da teoria e, portanto, não foi discutido com o aluno como se aprende

matemática na visão da teoria dos registros de representações semiótica.

O padrão de resposta foi: x que podemos escrever como x

pertencente ao reais. Quatro alunos disseram: x ou todos os números reais que

a função pode assumir. Neste último caso percebemos que os alunos em questão

189

continuaram confundindo variável independente com a função em si (variável

dependente). Evidentemente que o nível de dificuldade da resposta, como

comentado ao tratarmos do Pré-teste (PT), é muito baixo. No entanto é importante

observar que no PT nove alunos erram. As duas simbologias, como no PT, mais

utilizadas foram e - x +x .

b) O que significa domínio da função em termos de suas variáveis?

Tabela 24-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item b)Pós-Teste

% Pré-Teste %

CERTOS 25 100% 8 25,04ERRADOS - - 24 75,12Evolução no % de acertos

- - - 100-25,04 = 74,96

O número de acertos no Pst vem mostrar que, se houver uma investida

buscando-se explicar de modo claro as diferenças terminológicas na matemática, o

aluno é absolutamente capaz de entender. Como vimos no PT, os alunos

confundiram definição, conceito, valor numérico no ponto com intervalo. Todos os

alunos usaram a linguagem materna nesta resposta. Algumas delas chamam a

atenção por se enquadrarem, exatamente, na pergunta. Por exemplo: “Em termos

de suas variáveis, o domínio da função está relacionada com a variável

independente”. Uma resposta correta como esta não é simples de ser formulada. A

pergunta envolve uma serie de outras questões como: entender o que é domínio, o

que é variável dependente, variável independente e qual a relação entre estes

elementos.

c) Qual a imagem da função?

Tabela 25-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item c)Pós-Teste

% Pré-Teste %

CERTOS 25 100% 20 62,4ERRADO - - 12 37,56Evolução no % de acertos - - - 100-62,40=37,96

A resposta mais constante foi dada na linguagem simbólica na forma y

, IMG = y Є {R}; y

. A imagem agora parece clara para o aluno. Não

houve, como no PT, equívocos quanto domínio e imagem da função. O aluno mostra

190

que o domínio está ligado à variável independente e a imagem a variável

dependente. Ainda mais não houve nenhuma resposta confundindo ponto com

intervalo. Isso pode parecer paradoxal se observarmos a questão anterior. O fato é

que nesta questão os alunos não usaram a linguagem materna. Há um sentido para

isso. Normalmente, no trato das funções, a ênfase é dada ao domínio de modo que

a imagem e o contra-domínio são pouco trabalhados. Isso ficou mais claro na

entrevista. Os alunos, de fato, confundem imagem com contra-domínio. A principio

a confusão se dá por não se ter uma real compreensão da definição de função. Ora

se atribuindo uma valor à variável independente ocorre um valor para a variável

dependente, então o conjunto resposta deveria ser o mesmo. É preciso

exemplificar : Assim dada a função 2( )f x x , o domínio é x . Mas a

imagem, como nunca vai ser negativa, é ( ) / f(x) 0f x . É neste caso que entra

o conflito com o contra-domínio que, como dissemos, não é suficientemente tratado.

d) O que significa imagem da função em termos de suas variáveis?

Tabela 26-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item d)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 25 100 3 3,13ERRADO - - 29 28,17Evolução no % de acertos - - - 100 - 3,13 = 96,87

Conforme já havia respondido sobre o significado do domínio em relação

às variáveis, os alunos apenas trocaram de variável e, agora, fizeram referência a

variável dependente. Estas questões parecem sanar o problema que o aluno tinha

com significado em relação a algum ente e o que é esse ente. Tal qual a resposta ao

domínio, percebemos que o aluno ainda tem dificuldade em diferenciar definição,

conceito e valor da função no ponto com intervalo. Os alunos que responderam “Em

termos de suas variáveis, o domínio da função está relacionada com a variável

independente” no item i, agora, apenas adequaram para “Em termos de suas

variáveis, a imagem da função está relacionada com a variável dependente”.

e) Esta função possui raízes?

Tabela 27-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item e)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 25 100% 25 78,25ERRADO - - 7 21,91

191

Evolução no % de acertos - - - 100-78,25=21,75

Vinte alunos responderam na linguagem materna e simbólica. Os demais

optaram pela linguagem materna. Isso não era esperado já que, como comentado

no PT, demos margem para resposta maniqueísta SIM / NÃO e, como é comum no

ser humano buscamos a resposta correta e mais breve. No entanto os alunos

sugerem querer dizer que aprenderam o assunto. Algo que já comentamos. Não

queremos deixar de comentar da expectativa (e uma certa satisfação) que nos

tomou esta ação dos alunos. Certamente que não era necessário dizer alem de SIM

ou NÃO. No entanto, para a aprendizagem em matemática, conforme Duval, é

condição necessária que o aluno use pelo menos duas representações para a

aquisição do conhecimento. Achamos interessante que o aluno tenha usado a

linguagem simbólica de modo mais claro, mais matematizado como, por exemplo:

“Sim. Pois se uma função possui raízes então f (x) = 0 sendo x a ‘abissiça’ do ponto

(x;y)”. Consideramos a questão totalmente correta uma vez que o erro de português

não tem nenhuma influência na construção do gráfico. E não é objeto de análise.

f) O que são raízes de uma função?

Tabela 28-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item f)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 25 100 20 62,6ERRADO - - 12 37,56Evolução no % de acertos - - - 100-62,6=37,4

Este número de acerto era esperado em virtude dos acertos anteriores e

de nosso trabalho para que o aluno pudesse construir o seu conhecimento a partir

do conhecimento acadêmico estabelecido quanto aos elementos formadores do

gráfico. A absoluta maioria respondeu nesta direção: São os zero de uma função,

quando f(x) = 0. (resposta não literal).

g) Esta função possui região de crescimento e / ou região de decrescimento? Se

sim, qual ou quais são os intervalos? Se não deixe em branco.

Tabela 29-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (Item g)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 20 80 7 21,91ERRADO 5 20 25 78,25

192

Evolução no % de acertos - - - 80-21,91=59,09

O erro consiste no fato de que alguns alunos não conseguiram, durante o

experimento, entender a simbologia dos intervalos. Deste modo o aluno diz: “possui

Região de crescimento 3[ 2; ]2

e [próximo de 1 +∞]20. Região de decrescimento

3[ ; perto de 12 ”. Ou “Crescente em 3[ 2; ]

2 e 3[ ; ]

2 , Decrescente em 3 3[ ; ]

2 2”.

Desta forma o aluno tanto está dizendo que existe ponto no qual a função é, ao

mesmo tempo, crescente e decrescente quanto que o estudo do crescimento ou

decrescimento se dá em um ponto. Por outro lado, na segunda resposta, o aluno

percebe que o ponto de crescimento de ordenada 32 , é um rebatimento em torno do

eixo OX. Mas não percebe que enquanto 32 é menor que -1, 3

2 é maior que 1. Este

tipo de erro é comum. Desde o ensino médio até certo nível de cálculo, alunos têm

dificuldades com números decimais e com números fracionários. Trabalhos e

palestras nos mostraram durante o nosso curso que o aluno tende a ver 32

como um

número e não como dois números reais e uma operação. Por outro lado o efeito

cognitivo no domínio de operações com números negativos somados a números

positivos não é de simples compreensão como pensam muitos dos nossos colegas

das ciências exatas.

Em palestra ministrada para alunos de especialização em matemática na

Universidade Federal Rural de Pernambuco, o Professor Dr. Marcelo Câmara

levantou o problema da multiplicação na mente do aluno. Informa o professor que

uma colega do ensino fundamental solicita ao aluno escrever 31. O aluno escreve 3

+ 1. O fato é que o aluno era bombardeado pela mídia com a propaganda da

TELEMAR: 3 +1 = 31.

h) O que acontece com a derivada primeira de uma função quando ela (a função)

cresce ou decresce? Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra intervalo ou

sua simbologia.

20 O gráfico não mostra o valor. O aluno poderia responder 1-Δx;...

193

Tabela 30-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item h)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 15 60% 7 21,09ERRADO 10 40% 25 78,25Evolução no % de acertos - - - 60-21,09=38,09

Todos os alunos que acertaram tentaram duas linguagens: a natural e a

simbólica. Os acertos, de modo geral se deram na linguagem simbólica no tipo: “se

cresce f’ > 0, se decresce f’ < 0”. Originalmente, a questão era a seguinte: O que

acontece com a derivada primeira de uma função quando ela cresce ou decresce?

Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra intervalo ou sua simbologia. Os

alunos ficaram em dúvida. Então pedimos para acrescentar “a função” de modo que

a pergunta ficou: O que acontece com a derivada primeira de uma função quando

ela (a função) cresce ou decresce? Sua resposta deve, se possível, incluir a palavra

intervalo ou sua simbologia. Pensamos em acrescentar “o que acontece com o sinal

da derivada”. No entanto, consideramos que assim, praticamente, a resposta estaria

dada.

Alguns alunos erraram confundindo crescimento em termos de intervalo

com o sinal da derivada. Um erro que inviabiliza a construção do gráfico. No erro

mais desvirtuado o aluno respondeu: “Possui um ponto de máximo e mínimo”. Aqui

lembramos, mas uma vez, Moise (1970) quando diz que se soubermos onde uma

função cresce e onde decresce sabemos o extremo local (Máximo ou Mínimo).

I) Uma função pode crescer e decrescer em um mesmo intervalo? Justifique sua

resposta.

Tabela 31-Tabela da primeira questão dos dados comparativos (item I)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 15 60% 1 3,13

ERRADO 10 20% 31 97,03Evolução no % de acertos - - - 60-3,13=84,90

Os alunos que erraram esta questão fizeram uma leitura que,

infelizmente, foi proporcionada pela falta de uma maior explicitação da questão.

Quando perguntamos “em um mesmo intervalo” o aluno pensou em poder dividir

194

este intervalo. É possível que o erro fosse evitado se houvéssemos perguntado:

dada uma função f, a função pode ser crescente e decrescente ao mesmo tempo?

Se por um lado nos parece que tal pergunta já sugere a resposta, por outro tal

pergunta ensejaria, mais uma vez, o tipo de resposta SIM / NÃO muito embora

tenhamos solicitado justificativa. Se o aluno respondesse NÃO e não justificasse não

poderíamos dizer que o aluno estava errado. A resposta estaria incompleta. Ocorre

que INCOMPLETO não é uma das classificações para as respostas e não pode, em

muitos casos, como neste, ser considerado como intuitivamente certo.

Os alunos que acertaram fizeram uma ótima descrição neste caso. Por

exemplo: “não. Em um mesmo intervalo, uma função não pode crescer e decrescer.

A justificativa é a questão da derivada primeira que não poderá ter resultado positivo

e negativo simultaneamente”.

7.1.2 Análise e comparação da segunda questão do pré-teste com a segunda questão do pós-teste

Considere o gráfico abaixo. Para cada item você pode usar a notação que

desejar: (a:b); a < X <n; x = a, x = b e similares a [a:b), (a:b], etc.

Este item veio tratar de um esboço mais complexo quanto aos elementos

que compõem o gráfico da função, uma vez que agora temos um gráfico completo.

Novamente percebemos que, quando se cresce o nível de complexidade da

pergunta, o nível de complexidade de resposta na língua materna vai se tornado

inviável.

195

Gráfico 40 - relativo à segunda questão dos testes

1) A função possui ponto Crítico? Onde?

Tabela 32-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 1)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 10 40 0 0ERRADO 15 60 32 100Evolução no % de acertos - - - 40-0=40,00

Os erros são provenientes da tentativa de se estabelecer o ponto crítico

na forma ordenada (x;y). Todos os alunos constituíram suas respostas marcando os

pontos sobre o gráfico, uma vez que os pontos não estavam muito bem definidos

visualmente. Por exemplo: um aluno diz que P = (-3,4;-5,1) é ponto crítico. No ponto

onde passa a primeira assíntota vertical, o aluno destacou como ponto P. Este, de

fato, é ponto crítico. Ocorre que a função não está definida para o ponto marcado

uma vez que temos aí uma descontinuidade. Assim o aluno errou ao considerar um

ponto inexistente. Por exemplo, os alunos que acertaram, colocaram x = -2; em x = -

3; em x = P, etc. O leitor pode dizer que estamos muito exigentes, mas foi essa a

proposta para o pós-teste como já frisado.

2) De acordo com a derivada primeira o que é Ponto Crítico?

Tabela 33-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 2)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 25 100% 0 0ERRADO 32 100Evolução no % de acertos - - - 100-0=100

Achamos desnecessários (na realidade, não temos muito a dizer aqui)

maiores comentários. Alguns alunos usaram uma linguagem mista, enquanto outros

usaram a linguagem simbólica e outro, ainda, a linguagem materna. Por exemplo:

“onde a derivada primeira é igual a zero”, “local onde f’ = 0”. É interessante observar

que poucos livros texto de cálculo explicitam que o ponto crítico também é aquele no

qual a função torna-se infinita. De modo particular, esta consideração começa a vir

de modo claro e específico com Leithold (1987).

196

3) A função tem ponto de Máximo e / ou de Mínimo local? Onde?

Tabela 34-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (item 3)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 25 100% 8 25,04ERRADO 24 75,12Evolução no % de acertos - - - 100-25,04=74,96

O índice de acerto já era esperado em virtude dos dois itens anteriores.

Todo extremo local ocorre, necessariamente, em um ponto crítico. Por outro lado, o

gráfico mostra apenas um extremo local. É importante notar que os alunos,

possivelmente em virtude das aulas no laboratório, estavam alertas para o fato de

ocorrências como a desse gráfico, que nos “mostra” existirem infinitos extremos

locais bem como infinitas raízes.

4 – o que é necessário acontecer com a derivada primeira para que a função tenha

Máximo ou Mínimo Local?

Tabela 35-Tabela comparativa da segunda questão (item 4)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 20 80% 7 21,91ERRADO 5 20% 25 78,25Evolução no % de acertos - - - 80-21,91=58,91

A revisão deste trabalho nos mostra que, de fato, a conjectura de que os

erros no item seguinte foram provocados pelo termo vizinhanças, sendo bastante

identificados a partir desta questão. Verificamos que os 20 (vinte) alunos sabiam o

que acontece com o sinal da derivada no extremo local. Os alunos que erraram

foram levados a isso pela falta de clareza da questão. Vemos isso quando alunos

respondem: “a derivada cresça e decresça” ou “a derivada é negativa e positiva”.

Não é de todo desproposital admitir que o aluno quer se referir ao “giro” da derivada

na passagem por zero, conforme explicamos no item seguinte. O fato é que, do

ponto de vista do intuitivamente certo, a resposta faz sentido. O erro está no fato de

que uma função pode ter região de crescimento e região de decrescimento, mas não

ter extremo relativo. Acreditamos que, se a questão fosse formulada como: “o que

acontece com o valor da derivada primeira para que a função tenha extremo local?”

197

ou “qual o valor (ou sinal) da derivada primeira em um extremo local”, os alunos não

teriam errado.

5) Caso a função tenha um Máximo e Mínimo local em um ponto P da curva, qual o

sinal da reta tangente nas vizinhanças11 de P? Ou seja: em (P+∆P) e em (P-∆P)?

Tabela 36-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 5)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 15 60% 7 21,91ERRADO 10 40% 25 78,25Evolução no % de acertos - - - 60-21,91=39,09

Se bem que estes erros não afetariam o gráfico, não esperávamos, já que

tivemos muito cuidado na justificativa dos extremos locais. Nesse caso em particular,

trabalhamos com três representações: Figural, materna e simbólica. Gráfico do tipo:

Gráfico do tipo: foi sistematicamente usado.

Gráfico 41 – Explicativo do item 5

Bem como as simbologias :

Tabela 37-Tabela explicativa de extremo local+ 0 -- 0 +

F’ > 0F’<0

f’=0f’=0

f’<0f’>0

11 Dizemos que a vizinhança de um ponto A em R é um intervalo aberto em R com centro em A de modo que dado um número real positivo qualquer P, uma vizinhança de A, com raio P, é o intervalo (a-P, a+P).

198

Mostrando que no extremo local o sinal da derivada passa de mais para

menos ou de menos para mais na passagem por ZERO. No entanto, há a

possibilidade (não checamos na entrevista) do aluno haver tido problema com o

termo vizinhança.

6) Quanto as assíntotas, existem? Onde? De que tipo?

Tabela 38-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 6)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 25 100% 9 28,17ERRADO 23 71,99Evolução no % de acertos - - - 100-28,17=71,83

Nas respostas, os alunos não colocaram o tipo de assíntota. Podemos

debitar a ausência desta informação ao desconhecimento dos tipos de assíntotas.

Se nosso interesse era que o aluno considerasse a assíntota horizontal como

assíntota obliqua, por exemplo, a pergunta deveria ser mais clara. Os alunos

colocaram os pontos onde existiam as assíntotas seguindo o mesmo método do item

1, ponto crítico nesta questão. O interessante é que agora não colocaram como

ponto ordenado, mas sim como, por exemplo: “Sim. São 4 (quatro) assíntotas. “Em

(-2+Δx) +∞ e em (-2- Δx) -∞ ; em (2+Δx) -∞ e em (2- Δx)”. Esta foi a resposta

padrão. O aluno então, ao se deparar, especificamente com a assintota, imagina que

a linha vertical pontilhada divide-se em duas.

As respostas deixam claro que os alunos não assimilaram o conceito de

limite que, de fato, não é simples. É mais fácil conceber, como o faz Courant (1965)

como uma descontinuidade, já que a descontinuidade acontece no ponto o

entendimento que o aluno traz este tipo de resposta. Observemos que o aluno, além

de particionar a assíntota, ainda dá o indicativo de menos ou mais infinito. No caso

do “ramo” da assíntota no terceiro quadrante, o sinal é mais infinito. No caso do

“ramos” da assíntota no terceiro quadrante, o sinal é de menos infinito quando as

assíntotas são apenas um recurso didático. Elas, de fato, não existem, pois

acontecem em ponto nos quais a função não está definida. Por isso Courant (1965)

trata como descontinuidade.

7) Esta função tem região côncava e / ou convexa? Se sim, em que intervalos?

199

Tabela 39-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 7)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 11 44% 0 0ERRADO 14 52% 32 100Evolução no % de acertos - - - 44-0=44,00

Mais uma vez aqui aparece o erro onde se confunde intervalo com ponto.

O aluno diz que a função tem região côncava e tem região convexa da seguinte

forma: Concavidade para cima (coloca uma ramo de uma função côncava) no ponto

3,4. Concavidade voltada para baixo (coloca um ramo de uma função convexa) no

ponto -3,4. Todos os alunos que erraram perceberam apenas duas concavidades

nos sugerindo que as concavidades são os seguintes “pedaços” da verdadeira

região de concavidade:

Gráfico 41-Explicativo da convexidade

8) o que acontece com a derivada segunda da função se a função for côncava em

um intervalo I de f? E o que acontece com a derivada segunda se a função for

convexa em um intervalo K de f?

Tabela 40-Tabela da segunda questão dos dados comparativos (Item 8)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 10 40% 1 3,13ERRADO 15 60 31 97,03Evolução no % de acertos - - - 40-3,13=96,87

Originalmente, a pergunta era “o que acontece com a derivada segunda

se a função for côncava em um intervalo I de f? E o que acontece com a derivada

segunda se a função for convexa em um intervalo K de f?” Alguns alunos ficaram em

dúvida na redação. Então acrescentamos (se a função).

De todos os alunos que acertaram, somente um usou totalmente a

linguagem materna. Os demais usaram a linguagem simbólica. O aluno diz: “se f’’ >

200

0 côncava. Se f’ < 0 convexa”. Ou, conhecido o intervalo a função será côncava se

a derivada segunda for positiva e será convexa se for negativa.

7.1.3 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 1)

2

2( )4

xf xx

Expressão XIV

Para que sejam melhor compreendidos os resultados nas questões

seguintes, reinteiramos que a contabilização dos erros e acertos deu-se a partir da

observância da coerência correspondente entre os resultados encontrados

(intervalos e pontos) com a construção do gráfico. Isso significa que, mesmo que o

aluno tenha errado a derivada, por exemplo, e na continuidade do erro tenha

produzido um gráfico coerente com os intervalos e pontos encontrados,

consideramos a resposta como certa. Isso porque partimos do pressuposto de que

os alunos já conheciam derivada e, então, não investimos no aspecto formal do

cálculo dos elementos, mas sim no reconhecimento da correspondência entre

intervalos e pontos que sejam interligados. Por exemplo, o caso dos extremos locais.

Eles estão intimamente ligados aos pontos críticos, já que todo extremo local é um

ponto crítico. No caso de uma região côncava, as retas tangentes estão abaixo da

curva. Inversamente para o caso da região convexa.

Assim, se o aluno, ao errar no cálculo, encontrou o intervalo de

crescimento onde, de fato, a função é decrescente, isso não nos importou. Importou

se ao calcular a concavidade, esta esteja coerente com o decrescimento e, portanto,

com a montagem do gráfico. Isso vem significar que não utilizarmos o erro em

cascata (errou um elemento errou tudo), e que nos importou a montagem final do

gráfico.

Os erros são os mesmos já reportados até o momento. Olhando agora os

erros e acertos na construção do gráfico, temos a noção do crescimento do grupo

quanto à construção do gráfico de uma função. A média de resposta foi de 31 por

aluno. Dado que 10 alunos do pós-teste acertaram os itens da questão temos 10 x

201

31 = 310 acertos, identicamente temos 465 erros. Deste modo o percentual será

calculado como:31000 40%

775 e

46500 60%775

Tabela 41-Tabela da terceira questão dos doados comparativos (Primeiro item)Pós-Teste % Pré-Teste %

CERTOS 310 40 139 14,01ERRADO 465 60 853 85,88Evolução no % de acertos - - - 40,00-14,01=25,99

O gráfico acima é o que vimos chamando de gráfico completo ou global,

por possuir todos os elementos de uma gráfico de uma função polinomial fracionária.

Temos desde o domínio até as assíntotas. Não é um gráfico simples de se construir,

ainda mais quando entramos com uma metodologia com a qual o aluno não estava

habituado. Muito embora tenhamos trabalhado com gráficos mais complicados, em

matemática não vale o sabendo-se o mais difícil, sabe-se o mais fácil.

7.1.4 - Resultado parcial do pós-teste

Erros e acertos no pós-teste

0

100

200

300

400

500

600

700

Erro Acerto

Núm

ero

de re

spos

tas

Seqüência1

Gráfico 42- Gráfico dos erros e acertos do pós-teste 7.1.5 - Resultados parciais.

Os resultados que agora apresentamos expurgam as questões classificadas

como intuitivamente certas no pré-teste. Não estão contabilizadas as “Análise e

comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste

202

quanto aos gráficos 2 e 3. Estes dois últimos itens da terceira questão a serem

avaliados, aproximam-se de modo mais “rápido” daquilo que estamos pesquisando.

Eles envolvem de um lado perguntas sem que exista gráfico e apresentam funções

que derivam do gráfico inicial. Optamos por um nível de dificuldade descendente

nas expressões a fim de verificar se o aluno usaria comparações entre o formato dos

gráficos como ocorreu no pré-teste. Podemos dizer que isso não tem significância

matemática pois poderíamos fazer o inverso. Na realidade faz diferença pedagógica,

em nossa proposta, se o aluno começa da mais difícil para a mais fácil já que a mais

difícil vai se constituir em um gráfico completo ou global. E, em assim sendo, vai

possuir todos os elementos existentes nos demais gráficos.

São as expressões:

( )1xf xx

Expressão XV

3( )f x x Expressão XVI

Gráfico comparativo dos testes

0100200

300400500600

700800900

Pré-Teste Pós-teste

Núm

ero

de re

spos

tas

CertoErrado

Gráfico 43-Gráfico dos resultados parciais.

203

Atentemos para o fato da existência da diferença de 22 (1,1%) respostas

entre os testes. Finalmente ainda faltam alem das análises dos últimas dois itens:

a) o resumo;

b) o abstract;

c) a transcrição da entrevista;

d) os anexos;

e) conclusão.

7.1.4 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 2 – Em andamento)

7.1.5 Análise e comparação da terceira questão do pré-teste com a terceira questão do pós-teste (gráfico 3 – Em andamento)

204

CAPÍTULO 8– Referência Bibliografia

ALBUQUERQUE, J. de L. Diagnóstico ambiental e questões estratégicas: umaanálise considerando o pólo gesseiro do sertão do Araripe – Estado de Pernambuco. Curitiba, Universidade Federal do Paraná, Tese de Doutorado do Programa de Pós-graduação em Ciências Florestais, Área de Concentração em Economia e Política Florestal. 2002, 185 p.

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209

ANEXOS

210

Anexo IQUESTIONÁRIOS

QUESTIONÁRIO I

Caro (a) aluno (a)

Desejamos agradecer a participação de todos (as) neste projeto que é uma

parte integrante do nosso trabalho de pesquisa.

Ninguém está na obrigação de se identificar. Como explicarmos, P.X são

apenas anotações para o trabalho. Responda sem a preocupação de nota uma vez

que uma parte da nota da primeira verificação de aprendizagem (Prova) será uma

pontuação entre 0 e 2. Essa pontuação vai depender, apenas de sua participação e

não de acertos ou erros nas questões bem como em avaliações sobre o uso ou não

do computador / Internet. Isso não nos importa nesse questionário.

QUESTÕES

1 – Você possui acesso a Internet fora da instituição / unidade onde esta estudando?

SIM........ NÃO....................

2 – Se você respondeu sim a primeira questão, por quanto tempo em horas?

3 – você considera que uma aula via Internet produz os mesmos efeitos de

aprendizagem que as aulas presenciais?

SIM.............. NÃO....................... NÃO SEI...........

4 - Se responder não, então: Onde você acha que o aprendizado será melhor, via

internet ou presencialmente?

PRESENCIALMENTE............................ VIA Internet..................................

5 – Há quanto tempo você manuseia Internet?

a) Mais de um e menos de três anos.

b) Menos de um ano.

c) mais de três e menos de cinco anos

211

d)Nunca manuseei

e)Outra resposta:_______________________________________________

QUESTIONARIO IIEste segundo questionário é apenas uma avaliação nas mesmas condições do

anterior. Ou seja: Não há preocupação com acertos ou erros. Assim solicitamos que

responda sozinho mesmo porque nem o pesquisador vai saber quem disse o quê!

Dez ou zero dá no mesmo. A avaliação do ZERO A DOIS PONTOS vai depender da

sua participação nas atividades do mine curso apresentado a vocês.

QUESTÕES

1 – Resolva as questões abaixo de acordo com o que for especificado.

Qual a solução de lim [x2 -3x+1]/3[x+ x

x→4

Qual o resultado de 254

+3?

Qual o resultado de 532

21

Quais são as raízes de x2-x=0

Escreve matematicamente as funções descritas e dê uma noção dos gráficos:

f de x é igual a x ao quadrado menos quatro x menos um;

f de x é igual a x mais três;

f de x e igual a x ao quadrado mais dois quintos de x.

212

ANEXO V

> ----- Original Message ----- From: ""Méricles T. Moretti""

> <mericles@mtm.ufsc.br>

> To: "ademir" <ademir.ferraz@gmail.com>

> Sent: Tuesday, March 06, 2007 11:05 AM

> Subject: Re: Ademir / Doutorando / UFPE

>> Ademir,

>> concordo com a tua análise.

>> Não vale a pena entrar nesta discussão, a não ser que seja

>> o teu tema de pesquisa. Isto dá pano pra muita manga.

>> Um abraço e bom trabalho.

>> Méricles

213