estimativa de parâmetros elásticos pela inversão dos coeficientes de...
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE ASTRONOMIA, GEOFÍSICA E CIÊNCIAS ATMOSFÉRICAS
MARCUS VINICIUS APARECIDO GOMES DE LIMA
Reflexão sísmica rasa: estimativa de parâmetros elásticos pela inversão dos
coeficientes de reflexão da onda P acima do ângulo crítico
São Paulo
2006
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MARCUS VINICIUS APARECIDO GOMES DE LIMA
Reflexão sísmica rasa: estimativa de parâmetros elásticos pela inversão dos
coeficientes de reflexão da onda P acima do ângulo crítico
Dissertação de mestrado apresentada ao Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Ciências.
Área de Concentração: Geofísica Orientadora: Profª. Drª. Liliana Alcazar Diogo
São Paulo
2006
AGRADECIMENTOS
Expresso meus sinceros agradecimentos à:
Deus, em primeiro lugar, por me abençoar e me conceder a sabedoria, paciência e força
necessárias para superar os desafios da vida.
À minha esposa, Janaina, e ao meu filho, Davi, por todo seu amor, por dar significado à
minha vida e, com muita gratidão, a quem dedico este trabalho.
Aos meus pais, Célio e Geralda, e a minha irmã, Ana Lúcia, pela constante presença, carinho,
apoio e incentivo, em todos os momentos principalmente nos mais difíceis.
À minha orientadora, Profª. Liliana, por não apenas mostrar o caminho a ser seguido, mas
também, por me acompanhar durante todo o seu percurso.
A todos os amigos e colegas que acompanharam o desenvolvimento deste trabalho, ajudando
ou incentivando de maneira direta ou indireta.
Ao Departamento de Geofísica do Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas
da USP que, através de seus docentes e funcionários, contribuíram para o meu crescimento e
formação científica e intelectual.
A CAPES pela concessão da bolsa de mestrado e pelo apoio financeiro para realização desta
pesquisa.
RESUMO
LIMA, M. V. A. G. Reflexão sísmica rasa: estimativa de parâmetros elásticos pela inversão
dos coeficientes de reflexão da onda P acima do ângulo crítico. 2006. 74 f. Dissertação de
mestrado - Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas, Universidade de São
Paulo, São Paulo, 2006.
O objetivo deste estudo foi implementar um algoritmo de inversão para estimar as
velocidades da onda cisalhante (S) assim como as densidades das camadas acima e abaixo do
refletor em questão, explorando-se a informação contida nas mudanças de fase no pulso da
onda compressional (P), refletida acima do ângulo crítico de incidência. Inicialmente, um
estudo do comportamento da função objetivo, com dados sintéticos, foi realizado, no qual
procurou-se avaliar a unicidade e a estabilidade da solução do problema inverso como,
também, o efeito, sobre os valores da função objetivo, de vários aspectos envolvidos no
processo de inversão. O problema proposto visa determinar quatro parâmetros, de modo que o
comportamento da função objetivo foi analisado pelas seções transversais, variando dois dos
parâmetros e mantendo os outros dois fixos em seus valores corretos.
As análises, usando os dados sintéticos, apresentaram resultados promissores quanto à
viabilidade da metodologia proposta e permitiram identificar os fatores que, na prática,
poderiam inviabilizar a convergência do processo de inversão (normalização das amplitudes e
escolha da wavelet para o cálculo dos sismogramas). Os testes, com dados reais, não
apresentaram resultados satisfatórios. Acredita-se que o principal motivo decorra do ajuste
inadequado entre as wavelets dos dados reais e a utilizada para gerar os dados calculados,
sendo, portanto, necessário investigar qual o método mais adequado para se obter um pulso
mais representativo daquele dos dados reais.
Palavras-chave: reflexão sísmica rasa, inversão, parâmetros elásticos, coeficiente de
reflexão.
ABSTRACT
LIMA, M. V. A. G. Shallow seismic reflection: estimating elastic parameters from reflection
coefficients inversion using P-wave post-critical. 2006. 74 f. Thesis (Master) - Instituto de
Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2006.
The objective of this study was to implement an inversion algorithm in order to
estimate shear wave velocities (S) as well as layer densities above and below the reflector by
using information from phase changes in compressional wave pulse (P), reflected post-critical
angle of incidence. At first, a study of objective function behaviour, with synthetic data, was
accomplished in which (1) unicity and (2) stability of inverse problem solution as well as (3)
effect of several aspects involved in the inversion process, with the objective function values,
were evaluated. The proposed problem aims at determining four parameters for that objective
function behaviour was analysed by transversal sections, varying just two of the four
parameters, keeping the two fixed others in their correct values.
Analysis by using synthetic data presented good results related to viability of proposed
methodology; these results allowed identifying factors that could disturbing the convergence
of inversion process (amplitude normalization and wavelet choice to seismogram calculation).
Tests with real data did not present satisfied results. Apparently the main motive of this
trouble was due to inadequate adjustment between wavelet of real data with that one used to
generate calculated data, being necessary to investigate which method is more adequate to
obtain a more representative pulse than that one from real data.
Key words: shallow seismic reflection, inversion, elastic parameters, reflection coefficient.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 2.1 Diagrama de fluxo do algoritmo CRS de Price...................................................33
Figura 2.2 Diagrama de fluxo do clássico método simplex de Nelder e Mead....................34
Figura 2.3 Diagrama de fluxo do algoritmo CRS modificado..............................................35
Figura 2.4
Conjunto dos possíveis novos pontos de busca calculado a partir de uma dada
configuração de 6 pontos de busca: a) para o algoritmo CRS original, e b) para o CRS
modificado................................................................................................................................36
Figura 3.1
Sismograma sintético simulando uma aquisição para análise de ruído (walkway
noise test), onde a janela de afastamentos iluminada em vermelho (correspondente ao
intervalo de 30 a 78 m) representa a região em que as mudanças de fase são mais evidentes; e
a janela de afastamentos iluminada em azul (correspondente ao intervalo de 55 a 103 m) seria
representativa de uma região em que não ocorre superposição da refração.............................39
Figura 3.2
Registros selecionados (janela de afastamentos iluminada em vermelho na
Figura 3.2) para o cálculo da função objetivo, simulando os dados observados: a) sem ruído;
b) contaminados com o ruído 1 e c) contaminados com o ruído 2...........................................40
Figura 3.3
Seções transversais da função objetivo calculadas em função das variações dos
parâmetros: 2, 3, 2 e 3, utilizando os dados sem ruído (Figura 3.3a).................................45
Figura 3.4
Seções transversais da função objetivo calculadas utilizando os dados com o
ruído 1 (Figura 3.3b).................................................................................................................46
Figura 3.5
Seções transversais da função objetivo calculadas utilizando os dados com o
ruído 2 (Figura 3.3c).................................................................................................................47
Figura 3.6
Seções transversais da função objetivo calculadas utilizando os dados da janela
de afastamentos iluminada em azul (Figura 3.2).....................................................................48
Figura 3.7
Mapas de função objetivo utilizando a normalização 1 nos sismogramas
calculados e nos dados observados...........................................................................................49
Figura 3.8
Mapas de função objetivo utilizando a normalização 2 nos sismogramas
calculados e nos dados observados...........................................................................................50
Figura 3.9
a) Forma do pulso utilizando
= 2 e f = 100 Hz. b) Forma do pulso utilizando
= 3 e f = 90 Hz. c) Espectro de amplitude da forma de pulso exibida em a). d) Espectro de
amplitude da forma de pulso exibido em b)..............................................................................51
Figura 3.10
Mapas de função objetivo com a wavelet alterada em relação à wavelet do
sismograma sintético que simula os dados observados............................................................52
Figura 3.11
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados sem ruído.........57
Figura 3.12
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados sem ruído...57
Figura 3.13
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados sem ruído.........58
Figura 3.14
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados sem ruído...58
Figura 3.15
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados contaminados
com o ruído 1............................................................................................................................59
Figura 3.16
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados contaminados
com o ruído 1............................................................................................................................59
Figura 3.17
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados contaminados
com o ruído 1............................................................................................................................60
Figura 3.18
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados contaminados
com o ruído 1............................................................................................................................60
Figura 3.19
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados contaminados
com o ruído 2............................................................................................................................61
Figura 3.20
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados contaminados
com o ruído 2............................................................................................................................61
Figura 3.21
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados contaminados
com o ruído 2............................................................................................................................62
Figura 3.22
Dispersão dos valores de função objetivo em função do número de cálculos de
função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados contaminados com o ruído
2.................................................................................................................................................62
Figura 3.23
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS para a situação apresentada na Figura 3.8.
...................................................................................................................................................63
Figura 3.24
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de
cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS para a situação apresentada na Figura 3.8.
...................................................................................................................................................63
Figura 3.25
Localização do perfil sísmico em superfície.....................................................64
Figura 3.26
Registros sísmicos com configuração para análise de ruído, processado com
ganho AGC e filtro passa-banda...............................................................................................65
Figura 3.27
Sismograma registrado com o silenciamento preservando as refrações e a
reflexão do topo rochoso...........................................................................................................66
Figura 3.28
Sismograma registrado com o silenciamento preservando a reflexão do topo
rochoso. A janela em vermelho corresponde à segunda janela de afastamentos selecionada
contendo 63 traços....................................................................................................................67
Figura 3.29 Sismograma registrado com o silenciamento cortando parte do pulso refletido a
fim de eliminar qualquer amostra correspondente à superposição da refração. A janela em
vermelho corresponde à segunda janela de afastamentos selecionada contendo 63 traços......68
Figura 3.30
Gráfico da dispersão dos pontos em função do número de avaliações da função
objetivo para os dados do sismograma da Figura 3.26.............................................................69
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1
Parâmetros do modelo: profundidade (z) , velocidade da onda P ( ), razão entre
as velocidades da onda P e da onda S ( e densidade ( ).......................................................38
Tabela 3.2 Parâmetros de aquisição utilizados para gerar o sismograma sintético..............38
Tabela 3.3 Modelo velocidade-profundidade fornecido ao algoritmo de inversão..............66
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 12
2 METODOLOGIA DE INVERSÃO 14
2.1 PROBLEMA DIRETO 14
2.2 PROBLEMA INVERSO 23
2.2.1 Função objetivo 24
2.2.2 Parâmetros do modelo 25
2.2.3 Solução do problema direto 26
2.2.4 Descrição do algoritmo de busca 26
2.2.4.1 O algoritmo CRS de Price 27
2.2.4.2 O método simplex de Nelder e Mead (NMS) 28
2.2.4.3 O algoritmo CRS modificado 30
3 ANÁLISE DO PROBLEMA INVERSO E DISCUSSÕES 37
3.1 TESTES SOBRE DADOS SINTÉTICOS 37
3.1.1 Análise do comportamento da função objetivo 40
3.1.2 Resultados da inversão 53
3.2 TESTES COM DADO REAL 64
3.2.1 Área de estudo 64
3.2.2 Dados utilizados 65
3.2.3 Processamento e preparação dos dados 65
3.2.4 Testes de inversão e discussão dos resultados 68
4 CONCLUSÕES E CONTINUIDADE DA PESQUISA 71
REFERÊNCIAS 73
12
1 INTRODUÇÃO
Os efeitos das mudanças de fase e amplitude do pulso sísmico em levantamentos de
reflexão sísmica rasa foram discutidos por Pullan e Hunter (1985); Diogo et al. (2004) e
Diogo (2004), chamando a atenção dos usuários das técnicas de reflexão rasa tanto quanto aos
problemas que esses efeitos podem causar na identificação e no processamento das reflexões,
quanto ao potencial para determinar as propriedades elásticas de subsuperfície.
A partição de energia na interface, quantificada pelo coeficiente de reflexão é o
principal fator responsável pelas mudanças no caráter do pulso refletido para ângulos de
incidência maiores do que o ângulo crítico ( c). O coeficiente de reflexão, por sua vez,
depende do ângulo de incidência, das densidades ( ) e das velocidades das ondas
compressional e de cisalhamento (
e , respectivamente) nos meios acima e abaixo do
refletor.
Propõe-se explorar a informação contida nas mudanças de fase do pulso da onda
compressional refletida acima do ângulo crítico para estimar a densidade e a velocidade da
onda de cisalhamento dos meios acima e abaixo do refletor.
Para tal, pretende-se implementar um algoritmo de inversão minimizando a diferença
quadrática entre os valores calculados e observados das amplitudes das ondas P refletidas.
Para simplificar o problema inverso, foi assumido que as velocidades da onda P e a
profundidade do refletor são conhecidas, ou seja, foram previamente obtidas pelos métodos
convencionais de reflexão ou de refração e, portanto, o problema inverso possui quatro
incógnitas, as velocidades da onda S e as densidades dos meios acima e abaixo do refletor
considerado.
Uma das principais vantagens da metodologia proposta seria a possibilidade em se
obter os valores de
e , a partir de levantamentos em superfície empregando apenas ondas
13
compressionais. Lembrando, que a realização de levantamentos com ondas de cisalhamento,
em geral, apresentam dificuldades quanto à geração de energia e identificação dos eventos
sísmicos.
Tais parâmetros elásticos, atualmente, só podem ser obtidos através de métodos de
investigação geofísica de aplicação entre furos de sondagem mecânicos, como métodos
sísmicos denominados crosshole e tomografia de transmissão. Além disso, a escala de
investigação destes métodos está restrita à profundidade dos furos de sondagem, visto que a
montagem do arranjo fonte-receptores para os ensaios crosshole levam em conta apenas a
captação de ondas diretas.
Através dos valores de ,
e
determinam-se os módulos de elasticidade dos meios,
os quais são importantes para a caracterização e avaliação das propriedades mecânicas de
maciços para aplicações em geotecnia; para a estimativa da porosidade e conteúdo de água,
podendo ser úteis para a caracterização de aqüíferos e até mesmo auxiliar em estudos de
problemas ambientais.
Além disso, a aplicação desta metodologia poderia fornecer subsídio no estudo da
correlação entre os parâmetros geotécnicos estáticos, resultantes de ensaios convencionais
(sondagem à percussão, ensaios de compressão triaxial, cisalhamento simples, etc.) e aqueles
obtidos a partir dos ensaios geofísicos (parâmetros dinâmicos), que consiste na utilização da
sísmica para determinação de parâmetros elásticos in situ.
No capítulo dois são descritos conceitos básicos relacionados à teoria envolvida na
solução do problema direto e os detalhes da metodologia de inversão que foi implementada.
No capítulo três são apresentados os resultados do estudo desenvolvido sobre dados sintéticos
e discutidas as dificuldades encontradas na aplicação sobre dados reais.
14
2 METODOLOGIA DE INVERSÃO
2.1 PROBLEMA DIRETO
O processo de inversão está intimamente relacionado ao problema direto. É através da
solução do problema direto que se obtém as respostas dos campos associados a um dado
modelo físico. Essas respostas (dados calculados) serão utilizadas no esquema de inversão ao
buscar identificar os parâmetros do modelo que descrevem os dados registrados. Portanto, a
formulação do problema direto e o processo de obtenção de suas soluções consistem nas
primeiras tarefas a serem realizadas em qualquer abordagem do problema inverso.
Como o presente trabalho trata-se de dados de reflexão sísmica, as observações
consistem na assinatura física de um campo de onda refletido numa estrutura em subsuperfície
devido à excitação produzida por uma fonte sísmica. A informação registrada equivalente a
essa assinatura física consiste de um número de traços, cada um, em posições eqüidistantes
em uma determinada direção do espaço, mostrando como as partículas do meio movimentam-
se em função do tempo. Esses movimentos são sentidos pelos receptores (geofones) após a
perturbação provocada pela fonte de energia ter viajado pela Terra. O conjunto destes traços
correspondentes aos diversos geofones utilizados constituirá o sismograma, denominado de
multicanal. A chegada das ondas sísmicas produzirá variações sistemáticas de traço a traço
(eventos sísmicos). Os tempos de percurso serão caracterizados pelos intervalos entre o
instante em que se dá a perturbação no meio e as chegadas da energia sísmica no geofone.
É evidente que a solução do problema direto deverá descrever adequadamente os
dados observados, ou seja, no caso do método de reflexão sísmica o problema direto será
resolvido através da implementação de um algoritmo de modelagem que produzirá um
sismograma sintético. Métodos, tais como, traçado de raios, diferenças finitas, elementos
15
finitos, refletividade, são exemplos de algoritmos de modelagem. Esses algoritmos fazem uso
de relações matemáticas formuladas a partir de leis físicas. Portanto, para calcular um
sismograma sintético, isto é, a forma da onda registrada, ou ao menos, como teoricamente
deveria ser, é necessário deduzir a equação que rege a propagação de ondas sísmicas através
da Terra.
Como o problema proposto envolve apenas o cálculo dos coeficientes de reflexão da
onda P (RPP), poderia ser utilizado as equações de Zoeppritz para a obtenção de uma
expressão analítica para RPP. Contudo, não existe uma expressão analítica que descreva as
curvas de tempo de percurso para mais de uma camada, ou seja, uma expressão da forma
xt , onde x
é a distância fonte-receptor e t
o tempo de chegada da onda em um dado
receptor. Na prática, ou se utilizam aproximações analíticas, como a equação da hipérbole
(DIX, 1955) válida para afastamentos fonte-receptor curtos (menores que a profundidade do
refletor), ou métodos numéricos, como por exemplo, o traçado de raios que se baseia na lei de
Snell. Desta forma optou-se por utilizar o método do raio implementado no pacote SEIS88
( ERVENÝ; P EN IK, 1988), para a geração dos sismogramas sintéticos.
Na seqüência deste capítulo são apresentados os conceitos básicos envolvidos na
dedução da equação da onda, nos aspectos relacionados à partição da energia na interface e
nos princípios do método do raio. Nas fórmulas apresentadas, denotou-se matrizes e vetores
em negrito, e escalares, em itálico.
Equação da propagação de ondas sísmicas
O método sísmico baseia-se na propagação de ondas elásticas através da Terra. Como
essa propagação depende das propriedades elásticas dos meios, dois conceitos são importantes
no contexto da teoria da elasticidade, são eles: esforço e deformação.
16
Quando existe uma resultante de forças externas atuando sobre um corpo, sua forma e
volume tendem a ser alterados. Em oposição a estas forças, forças internas (intra-moleculares)
agirão de um modo a resistir a tais mudanças na sua forma estrutural original. Como resultado
desta reação, pelo menos para pequenas deformações, o corpo tende a voltar ao seu estado
original de equilíbrio assim que se cessa a ação das forças externas.
A razão entre esta força e a área na qual é aplicada, é definida esforço. Qualquer
esforço pode ser decomposto em componentes paralelas (esforço cisalhante ou tangencial) e
perpendiculares (esforço normal ou pressão) à área em que está sendo aplicada a força.
Convencionalmente, os esforços são denotados por ij
(para i, j = 1, 2 e 3) onde o índice i
representa a direção em que a força atua e j representa a direção da normal à superfície onde
atua o esforço, e ambos, i e j, correspondem aos subscritos do sistema cartesiano, ( 321 ,, xxx ),
adotado como sistema de referência (x).
Se um corpo dito elástico está sujeito à esforços, sua forma e volume tendem a sofrer
modificações. Tais mudanças são chamadas deformações e podem ser representadas em
termos do vetor de deslocamentos u, com a expressão a seguir:
i
j
j
iij x
u
x
u
2
1
(2.1)
onde o primeiro índice, i, indica a orientação do segmento de linha e o segundo indica a
direção da mudança de comprimento.
Aplicando a segunda lei de Newton pode-se equacionar o movimento das partículas
provocado por esforços exercidos sobre um corpo. Tal equação relaciona o deslocamento das
partículas do meio aos esforços, e é conhecida como equação de movimento
3
3
2
2
1
12
2
xxxt
u iiii
(2.2)
17
A teoria da elasticidade relaciona as forças aplicadas com as deformações ocorridas.
Esse relacionamento, freqüentemente denominado como relação esforço-deformação, é
fornecido pelas leis constitutivas. Para qualquer material essa relação é bastante complexa,
pois, depende de vários parâmetros tais como: pressão, temperatura, taxa de esforço, histórico
de deformação e magnitude do esforço. Contudo, para esforços de pequena magnitude e curta
duração, quase todos os materiais da Terra exibem um comportamento linear entre esforço e
deformação. Então, para pequenos esforços, as deformações geradas são diretamente
proporcionais, e ao reduzir tais esforços o corpo tende a restaurar a sua forma ini
18
equação vetorial homogênea tridimensional do movimento para um meio elástico, isotrópico e
uniforme, também conhecida como equação de movimento elastodinâmico,
uuu 2 . (2.6)
A Equação (2.6) representa um conjunto de equações diferenciais parciais para os
deslocamentos em meios homogêneos, e podem ser resolvidas através do teorema de
Helmholtz que estabelece que qualquer campo vetorial u pode ser representado em termos de
um potencial vetorial e um potencial escalar , por
u , se 0 e 0
(2.7)
Substituindo (2.7) em (2.6) e usando a identidade vetorial 2 , visto que
0 , encontra-se,
02 222
(2.8)
A solução desta equação é obtida se os termos entre parêntesis compõem um sistema
de equações diferenciais independentes, ou seja, se
01
22 e 0
12
2
(2.9)
onde
21
2
e 21
(2.10)
As Equações (2.9) representam as equações de onda para o potencial escalar
e
vetorial . Através das referidas equações pode-se identificar que:
é um potencial que
corresponde à solução da equação da onda P ( 0
implica que não ocorrem rotações das
partículas, ou seja, não ocorre cisalhamento) e que
é um potencial que corresponde à onda
S ( 0
implica que não ocorrem mudanças no volume das partículas), e, por fim, os
termos
e
caracterizam as velocidades de propagação, respectivamente, da onda P e da
onda S em meios elásticos, homogêneos e isotrópicos.
19
A solução da equação para ambos os tipos de onda, P e S, é uma função do espaço e
do tempo e pode ser escolhida de forma conveniente para descrever o campo de onda do
problema considerado, ou seja, a solução tanto para
quanto para
pode ser expressa
como uma função que assume a seguinte forma geral, ctf x , baseada num conceito de
onda progressiva (solução de D Alembert), assumindo que tf ,x é igual a ttf ,xx .
Seja c a velocidade de propagação da onda, e x , o espaço percorrido após um intervalo de
tempo t , prova-se a igualdade mencionada acima, pois, ttcfctf 00 xxx =
tccttcf 0x 0ctf x .
As ondas sísmicas podem ser consideradas como sendo ondas harmônicas, e, portanto,
podem ser representadas pela exponencial com argumento complexo. O argumento dessa
função deve expressar as características de periodicidade da onda, assumindo a seguinte
forma:
xkxxkx tiAttiAt exp,exp, (2.11)
xkxxkx tiBttiBt exp,exp,
(2.12)
onde: 2
k é o número de onda e
o comprimento de onda; T
2
é a freqüência
angular e T
o período; e c
é a velocidade da onda,
ou , que se relaciona aos parâmetros
anteriores pela expressão kk 2
2fc .
As equações (2.11) e (2.12) descrevem a propagação de uma onda plana em termos
dos potenciais, onde k e k definem os vetores do número de onda associados com as
ondas P e S, respectivamente. Então, para obter a solução da equação de movimento para os
deslocamentos, isto é, t,xu , basta derivar os potenciais (2.11 e 2.12) conforme apresentado
na expressão (2.7).
20
Partição de energia na interface
Quando uma onda P encontra uma mudança abrupta nas propriedades elásticas, como
quando atinge uma interface separando dois meios diferentes, a energia é particionada,
resultando em quatro ondas: ondas P e S refletidas, e P e S refratadas, cujas direções de
propagação são dadas pela Lei de Snell,
2
2
1
1
2
2
1
1 sensensensen jjiip
(2.13)
onde: p é o parâmetro do raio; e 1i , 2i , 1j e 2j são, respectivamente, os ângulos de incidência
(e de reflexão da onda P), refração da onda P, reflexão da onda S e refração da onda S.
A Lei de Snell é muito útil na determinação das trajetórias dos raios e tempos de
percurso, porém, não fornece informação sobre as amplitudes das ondas refletidas e
transmitidas. Nesse contexto, a partição de energia na interface entre as ondas refletidas e
refratadas é quantificada pelos coeficientes de reflexão e transmissão. Equações
correspondentes a tais coeficientes foram dadas por Zoeppritz em 1919. Para deduzir as
equações de Zoeppritz para meios elásticos, deve-se aplicar as seguintes condições de
contorno à solução da equação da onda obtida anteriormente: na interface, o movimento da
onda deve obedecer à continuidade dos esforços e deslocamentos (normais e tangenciais).
Considerando que os deslocamentos da onda P estão no plano 31xx , essas condições são dadas
por:
21
11
meiomeio uu , 23
13
meiomeio uu , 213
113
meiomeio e 233
133
meiomeio (2.14)
Trabalhando-se com as equações (2.4), (2.7), (2.11) e (2.12) em (2.14), chega-se a
quatro equações a partir das quais determinam-se quatro coeficientes: RPP, RPS, TPP e TPS,
reflexão da onda P, reflexão da onda P convertida em S, transmissão da onda P e transmissão
da onda P convertida em S, respectivamente.
21
O coeficiente de reflexão da onda P refletida a partir de uma onda P incidente, RPP,
depende do ângulo de incidência, 1i , das velocidades da onda P, 1
e 2 , das velocidades da
onda S, 1
e 2 , e das densidades, 1
e 2 , dos meios acima (subscrito 1) e abaixo do
refletor (subscrito 2), e é dado pela seguinte expressão:
DHpdaFcbRPP2
2121
2211
2222 2121 ppa
21cbE
2211
2222 221 ppb
21cbF
2222
2211 221 ppc
21daG
211
2222d
12daH
2GHpEFD
(2.15)
onde:
1
1sen ip ,
21221 pii
e 21221 pii
(2.16)
Para 1i acima dos ângulos críticos 21arcsen1ci e 212 arcsenci , os valores de
2
e 2
tornam-se imaginários, 212
22 1
22pii e
2122
2 122
pii , de forma que RPP torna-se complexo e passa a introduzir um
deslocamento de fase nos valores das amplitude refletidas.
Método do raio
O método do raio corresponde a uma solução aproximada da equação da onda,
conhecida como solução assintótica válida para altas frequências. Fornece tanto os tempos de
22
percurso das ondas refletidas, como os coeficientes de reflexão e se desejado, permite
incorporar o efeito de espalhamento geométrico no cálculo das amplitudes.
Esse método tem sido amplamente empregado para a modelagem das ondas sísmicas
em diversas aplicações, entretanto possui uma limitação significativa para meios não
homogêneos. Sua aplicação só e válida se as variações espaciais forem suaves, o que significa
que qualquer variação espacial das propriedades do meio devem ser maiores do que
comprimento de onda dominante das ondas sísmicas (P EN IK, 1996; POPOV, 2002).
23
2.2 PROBLEMA INVERSO
A teoria de inversão trata do problema de se fazer inferências sobre sistemas físicos a
partir de dados observados. Visto que quase todos os dados estão sujeitos a alguma incerteza,
essas inferências são, portanto, estatísticas. Além disso, uma vez que apenas pode-se registrar
um número finito de dados (ruidosos) e uma vez que sistemas físicos são geralmente não
lineares, poderão existir vários modelos que se ajustarão aos dados.
A filosofia do processo de inversão é, então, inferir os parâmetros do modelo que
descreve o meio físico, cuja solução do problema direto propicie valores calculados os mais
semelhantes possíveis dos dados observados. Entretanto, este processo é complicado, em
virtude de todas as incertezas que existem em qualquer problema inverso, tais como:
o quão precisamente os dados são conhecidos;
se a teoria físico-matemática que descreve a resposta do sistema físico contribuirá
significativamente na predição dos dados calculados;
e se a parametrização do meio físico, a função objetivo e a técnica de busca do mínimo
global são adequados.
Existe uma grande variedade em número e sofisticação de métodos que são usados
para resolver problemas inversos. Incluem-se dentre esses métodos, procedimentos de
otimização que abrangem abordagens globais e locais.
Métodos locais são normalmente divididos em duas categorias: métodos gradiente e
métodos diretos (livre de derivadas). Métodos que empregam o gradiente, envolvem o cálculo
da função e suas derivadas em cada iteração. Tais métodos são poderosos, mas requerem que
a função seja diferenciável sob o domínio relevante. Métodos diretos, no entanto, envolvem
apenas o cálculo da função; são geralmente menos eficientes do que os métodos gradiente,
porém, como eles não requerem o cálculo das derivadas são mais simples e aplicáveis à
24
otimização de funções não diferenciáveis. Ambos os casos necessitam de se fornecer uma boa
solução inicial (chute) para calcular ou atualizar o modelo corrente. Dado um bom modelo
inicial pode-se obter a solução correta em poucas iterações.
Algoritmos de busca global usam a informação sobre o comportamento da função
objetivo mais globalmente para atualizar e calcular o modelo corrente. A vantagem é que tais
métodos não são sensíveis à escolha inicial dos modelos e a presença de mínimos locais,
porém, são computacionalmente mais dispendiosos.
O desafio atualmente é determinar uma maneira ótima de se combinar as duas
abordagens, de modo que o procedimento resultante (híbrido) explore os importantes aspectos
de ambos os métodos.
Para encontrar o valor mínimo da função objetivo, utilizou-se o procedimento de
busca aleatória controlada
Controlled Random Search (CRS) (PRICE, 1977), por ser um
método de busca global, de fácil implementação computacional e adequada à solução de
problemas inversos não lineares, como é o caso do problema considerado neste trabalho.
Apesar do procedimento CRS não ser um método amplamente difundido no meio
geofísico como os métodos globais conhecidos por simulated annealing e algoritmos
genéticos, citam-se os trabalhos de Silva e Hohmann (1983) sobre dados magnéticos, Smith e
Fergunson (2000) sobre dados de refração sísmica e Tuma (2002) sobre dados de reflexão
sísmica, em que o método mostrou-se eficiente em aplicações geofísicas. Na última seção
deste capítulo está descrito o procedimento CRS e uma nova abordagem deste algoritmo.
2.2.1 Função objetivo
A determinação de parâmetros elásticos de subsuperfície através da inversão dos
coeficientes de reflexão da onda P refletida é um problema de otimização não linear que
25
consiste em encontrar o vetor de parâmetros Mmmm ,,, 21m de modo que uma função
objetivo mf seja minimizada.
A função objetivo utilizada no procedimento de inversão é a função de mínimos
quadrados para quantificar a semelhança entre as amplitudes calculadas e observadas da onda
P refletida. Portanto, o melhor ajuste dos dados calculados aos observados está associado ao
valor mínimo de f, dado pela expressão:
j k
calckj
obskj AAf
212
,, (2.17)
onde,
o índice j refere-se ao número do traço registrado;
o índice k refere-se ao número da amostra dentro da janela de tempo;
Aobs são as amplitudes observadas no sismograma registrado;
Acalc são as amplitudes do sismograma sintético calculado em função dos parâmetros (h, Vpi,
Vpi + 1, Vsi, Vsi + 1, i, i + 1) que correspondem, respectivamente, a profundidade do refletor,
velocidade da onda P, velocidade da onda S e densidade dos meios acima (índice i) e abaixo
(índice i + 1) do refletor considerado.
2.2.2 Parâmetros do modelo
A parametrização do modelo é um dos elementos chave na aplicabilidade de qualquer
método de inversão, pois, é ela quem dita os tipos de modelos que podem ser explorados.
O problema inverso proposto tem quatro incógnitas (Vs1, Vs2, 1, 2, sendo que os
índices 1 e 2 referem-se, respectivamente, aos meios acima e abaixo do refletor em questão).
Acredita-se que deixar a velocidade da onda P (Vp1, Vp2) e a profundidade do refletor (h)
como mais parâmetros a serem estimados pelo processo de inversão (7 parâls
26
aumentaria muito a complexidade do problema considerado, portanto, será assumido que as
velocidades da onda P e a profundidade do refletor foram determinadas através do
processamento e análise convencionais ao método de reflexão sísmica.
2.2.3 Solução do problema direto
A modelagem dos dados para o problema em questão consiste no cálculo do
sismograma sintético de reflexão, considerando-se meios elásticos e homogêneos. Para tal,
utilizou-se o programa SEIS88 ( ERVENÝ; P EN IK, 1988) que através do método do raio
permite calcular tempos de chegada, amplitude e fase dos coeficientes de reflexão.
2.2.4 Descrição do algoritmo de busca
Para encontrar o mínimo da equação (2.17) empregou-se o procedimento de busca
aleatória controlada (CRS) para otimização global conforme descrito por Price (1977). Um
novo procedimento, baseado no algoritmo CRS e no método simplex de Nelder e Mead
(1965) (NMS) foi implementado, e seu desempenho comparado com o algoritmo de Price.
Inicialmente serão descritos o algoritmo CRS de Price e o método simplex de Nelder e
Mead e ao término desta seção será apresentado e discutido o algoritmo CRS modificado. Na
descrição, tanto matrizes como vetores, foram denotados por letras maiúsculas em negrito.
2.2.4.1 O algoritmo CRS de Price
O procedimento de busca aleatória controlada (CRS
Controlled Random Search) é
um método direto, aleatório, não requer que a função seja diferenciável ou que as variáveis
27
sejam contínuas e é aplicável na presença de vínculos. Os aspectos essenciais do algoritmo
estão indicados no diagrama de fluxo da Figura 2.1.
O algoritmo de Price consiste, inicialmente, em escolher aleatoriamente L pontos
(sujeito a vínculos, se houverem) sobre um domínio de busca, B, definido pelos domínios de
cada um dos M parâmetros. A função objetivo é calculada em cada ponto de busca, e a
posição e o valor da função objetivo correspondente a cada ponto são armazenados numa
matriz, A. O ponto (H) com o maior valor de função objetivo, f(H), é determinado e
armazenado. Em seguida (M + 1) pontos de busca são escolhidos aleatoriamente entre os L
pontos armazenados atualmente em A.
Em cada iteração este conjunto de (M + 1) pontos constituirá um simplex e, então, um
novo ponto de busca Q será selecionado através da reflexão do (M + 1)-ésimo ponto de busca
com respeito aos M primeiros pontos de busca do simplex, de acordo com a equação vetorial
Q = 2 C
P, onde P é a posição do (M + 1)-ésimo ponto de busca e C é a posição do
centróide dos M primeiros pontos do simplex.
Calculada a posição de Q que satisfaz os vínculos, a função objetivo é avaliada em Q e
seu valor, f(Q), é comparado com f(H). Se f(Q) for menor do que f(H), H será então
substituído em A por Q. Se Q falhar em satisfazer os vínculos ou se f(Q) for maior do que
f(H), então Q será descartado e um novo ponto Q será calculado a partir de um novo conjunto
de M + 1 pontos. Após a substituição de H e f(H) por, respectivamente, Q e f(Q), os critérios
de parada são testados e o procedimento é interrompido quando um desses for satisfeito.
Três critérios foram adotados para o término da busca:
i) Distribuição plana dos pontos de busca.
,1LH ff (2.18)
onde f(H) e f(L) são, respectivamente, o maior e o menor valor de função objetivo da
população e 1 é o valor de tolerância.
28
ii) Proximidade dos pontos de busca. Este critério de convergência estabelece que o processo
será repetido até que os pontos de busca encontrem-se próximos o suficiente, dentro de um
valor de tolerância 2 , estipulado de modo que os pontos sejam considerados similares. Isto é
medido através da expressão,
,2CPi para i = 1, 2, , L (2.19)
onde CPi representa a distância do i-ésimo ponto ao centróide da população(L), dado por
L
iiL 1
1PC . (2.20)
Isto assegura que todos os pontos convergiram para as vizinhanças de um ótimo ponto e a
busca tornou-se local.
iii) Quando um número específico, itmax, de iterações é excedido.
2.2.4.2 O método simplex de Nelder e Mead (NMS)
Este é o método de busca direto mais popular para otimização de funções reais sem
vínculos. É baseado na comparação dos valores da função objetivo nos vértices de um
simplex. Um simplex é uma figura geométrica regular consistindo de M + 1 vértices. Na
Figura 2.2 é apresentado um diagrama de fluxo esquematizando todas as etapas do algoritmo,
conforme descrito a seguir:
1) É dado um chute inicial, P1, representado por um vetor M-dimensional que indica a posição
deste ponto no espaço de modelos.
2) Um simplex inicial é construído, consistindo do ponto inicial e dos pontos adicionais
determinados através da seguinte expressão:
,jj 1PP para j = 2, 3, , M + 1 (2.21)
29
onde j é dado a partir da seguinte matriz,
pqqqMqpqqM
qqpqqqqp
j jMjMjj
1
32
121 ,,,,
onde 112
MMM
ap ; 11
2M
M
aq e a é o tamanho do lado do simplex.
3) Uma vez que o simplex é formado, a função objetivo é avaliada em cada ponto (vértice).
Determinam-se entre os M + 1 pontos do simplex, os pontos: Ph, Ps e Pl; para os quais a
função objetivo assume respectivamente o seu maior, segundo maior e menor valor. O pior
ponto (valor mais alto de função objetivo) será substituído por um novo ponto. O método
NMS procede à busca do mínimo usando três operações: reflexão, contração e expansão.
4) Primeiro, um ponto refletido, Pr, é localizado da seguinte maneira:
hr PCCP , h
M
iiM
PPC1
1
1 (2.22)
onde,
é uma constante positiva e C é o vetor com as coordenadas do centróide de todos os
pontos excluindo o pior ponto, Ph.
5) Se o ponto refletido, Pr, for o melhor ponto, um ponto expandido, Pe, é calculado por:
re PCCP
(2.23)
onde, é uma constante positiva.
Se o ponto expandido for melhor do que o ponto refletido, o pior ponto é substituído
pelo ponto expandido e o processo reiniciado. Caso contrário, o pior ponto é substituído pelo
ponto refletido e o processo reiniciado.
6) Se o ponto refletido não for o melhor ponto, porém não é pior do que o segundo pior, Ps, o
pior ponto é substituído pelo ponto refletido e o processo reiniciado.
30
7) Se o ponto refletido tem o pior valor de função objetivo dos pontos correntes, um ponto
contraído, Pc, é localizado como segue:
hc PCCP , (2.24)
onde situa-se entre 0 e 1.
Se o ponto refletido for melhor do que o pior ponto, porém não é melhor do que o
segundo pior, um ponto contraído é calculado a partir do ponto refletido como segue:
rc PCCP , (2.25)
A função objetivo é agora avaliada no ponto contraído. Se uma melhora é alcançada, o
pior ponto é substituído pelo ponto contraído e o processo é reiniciado. Caso contrário, os
pontos são movidos uma meia distância em direção ao melhor ponto deste simplex:
2lii PPP
(2.26)
e o processo é então reiniciado.
O procedimento é interrompido quando o critério de convergência ou de parada é
satisfeito.
2.2.4.3 O algoritmo CRS modificado
Uma nova abordagem do procedimento CRS de Price é proposta. O algoritmo CRS
modificado combina num único procedimento elementos do método de Price e de Nelder e
Mead. Esse novo procedimento difere-se do algoritmo CRS original em dois aspectos:
i) Escolha do pólo do simplex. No algoritmo original o ponto que será tomado como o vértice
do simplex a ser refletido, designado pólo do simplex, é escolhido aleatoriamente, pois a
escolha do (M + 1)-ésimo ponto de um determinado conjunto de M + 1 pontos (que pode ser
gerado em qualquer ordem) é aleatória. No algoritmo atual, essa escolha foi modificada de tal
forma que o ponto com o maior valor de função objetivo entre os M + 1 pontos é selecionado
31
como pólo do simplex. Tal modificação propende a acelerar a convergência do procedimento,
porém essa melhora tende a comprometer a eficácia da busca, pois reduz seu domínio e
consequentemente as chances de encontrar o mínimo global. No algoritmo proposto, o
domínio de busca (neste caso, domínio de busca refere-se ao conjunto dos possíveis novos
pontos de busca) é caracterizado pelo número de diferentes maneiras no qual M + 1 pontos
podem ser escolhidos a partir da configuração de L pontos armazenados em A. O algoritmo de
Price tem o domínio de busca M + 1 vezes maior conforme ilustrado na Figura 2.4.
Por outro lado, o algoritmo implementado é mais eficiente, porque a probabilidade de
sucesso (f(Q) < f(H)) numa dada tentativa é maior do que no algoritmo de Price, como
podemos verificar novamente através da Figura 2.4.
ii) Operações sobre os vértices do simplex. No algoritmo modificado utiliza-se
estrategicamente o fato do ponto, tomado como pólo do simplex, possuir o maior valor de
função objetivo e, portanto, emprega-se as operações de reflexão, expansão e contração aos
vértices do simplex, ao invés de usar apenas a reflexão do pólo. Essas operações estão
descritas no algoritmo apresentado anteriormente.
Em poucas palavras, a estratégia adotada foi a seguinte: combinar no mesmo
procedimento a busca global realizada pelo algoritmo CRS realçada por enfoques locais
obtidos através do algoritmo NMS. De fato, depois de um determinado passo do
procedimento CRS original, o algoritmo modificado procede rigorosamente da mesma forma
que algoritmo NMS e a busca torna-se local.
Uma outra consideração é que o algoritmo original de Nelder e Mead foi formulado
para problemas de domínios ilimitados. Com a busca restrita a um domínio, B, um ponto X
poderia deixá-lo após uma operação de reflexão ou expansão. Caso isso aconteça, o ponto
seria projetado no limite de B, conforme descrito por Luersen e Le Riche (2004), se
,ii ux então ,ii ux e se ,ii vx então ,ii vx
(2.27)
32
onde xi é o i-ésimo elemento do vetor de parâmetros indicando a posição do ponto no espaço
de busca definido pelos limites inferior e superior, respectivamente u e v.
O procedimento é interrompido quando um dos critérios (2.18) a (2.20) for satisfeito.
33
Variáveis de entradaM o número de parâmetros; L o número de modelos correntes a seremalojados; V o domínio inicial, definido pelos limites superior e inferior
de cada parâmetro.
Escolher aleatoriamente L pontos em B, consistente com vínculos, e calcularo valor da função objetivo em cada ponto. Alojar as coordenadas e os valores
da função objetivo numa matriz A de dimensões L (M + 1).
Determinar entre os pontos armazenados, o ponto H,com o maior valor de função objetivo, f(H).
Calcular f(Q), o valor da função objetivo em Q.
Escolher aleatoriamente M + 1 pontos distintos P1, P2, , PM + 1 do conjuntode L de pontos alojados em A. Determinar o centróide, C, dos M pontos P1, P2, ,
PM, a fim de determinar o próximo ponto de busca, Q, tal que Q = 2 C PM + 1.
Início
O ponto Q satisfaz osvínculos?
É f(Q) < f(H)?
Substituir em A, as coordenadas e o valor da função objetivo de H por aquelas de Q.
O critério deparada é
satisfeito?
Pare
SIM
SIM
SIM
NÃO
NÃO
NÃO
Figura 2.1 Diagrama de fluxo do algoritmo CRS de Price.
34
Início do simplex
Determinar Ph, Ps, Pl, C,f(Ph), f(Ps) e f(Pl)
Reflexão: Pr = C + (C Ph)
f(Pr) < f(Pl)?
Expansão: Pe = C + (Pr C)
f(Pe) < f(Pr)?
Substituir Ph por Pe
Convergiu?
f(Pr) f(Ps)?
Substituir Ph por PrSubstituir todos Pi s
por (Pi + Pl)/2Substituir Ph por Pc
f(Pr) < f(Ph)?
Contração: Pc = C + (Ph C)
f(Pc) > f(Ph)?
Substituir Ph por Pr
Fim
SIM
SIM
SIM
SIM
SIM
SIM
NÃO NÃO
NÃO
NÃO
NÃO
NÃO
Pi i-ésimo ponto do simplexf(Pi) valor da função objetivo em Pi.Ph ponto do simplex onde a função objetivo assume o maior valorPs ponto do simplex onde a função objetivo assume o segundo maior valorPl ponto do simplex onde a função objetivo assume o menor valorC centróide do simplex (não considerando Ph)
coeficiente de reflexão = 1coeficiente de contração = 0,5coeficiente de expansão = 2
Figura 2.2 Diagrama de fluxo do clássico método simplex de Nelder e Mead.
35
Variáveis de entradaM o número de parâmetros; L o número de modelos correntes a serem alojados;V o domínio inicial, definido pelos limites superior e inferior de cada parâmetro.
Escolher aleatoriamente L pontos em V, consistente com vínculos, e calcular o valor da função objetivo emcada ponto. Alojar as coordenadas e os valores da função objetivo numa matriz A de dimensões L (M + 1).
Determinar entre os pontos armazenados, o ponto H, com o maior valor de função objetivo, f(H).
Escolher aleatoriamente M + 1 pontos distintos P1, P2, , PM + 1 doconjunto de L de pontos alojados em A que formarão o simplex aleatório.
Início
Entre os M + 1 pontos do simplex determinar Ph, Ps, Pl, C, f(Ph), f(Ps) e f(Pl)
Reflexão: Pr = C + (C Ph)Se Pr está fora do domínio: Projeção nos limites
f(Pr) < f(Pl)?
Expansão: Pe = C + (Pr C)Se Pe está fora do domínio: Projeção nos limites
f(Pe) < f(Pr)?
Substituir H por Pe
Convergiu?
f(Pr) f(Ps)?
Substituir H por PrSubstituir todos Pi s
por (Pi + Pl)/2Substituir H por Pc
f(Pr) < f(Ph)?
Contração: Pc = C + (Ph C)
f(Pc) > f(Ph)?
Substituir Ph por Pr
SIM
SIM
SIM
SIM
SIM
SIM
NÃO NÃO
NÃO
NÃO
NÃO
NÃO
Pare
f(Pr) < f(H)?
SIMNÃO
Figura 2.3 Diagrama de fluxo do algoritmo CRS modificado.
36
a)
b)
Figura 2.4
Conjunto dos possíveis novos pontos de busca calculado a partir de uma dada configuração de 6 pontos de busca: a) para o algoritmo CRS original, e b) para o CRS modificado.
37
3 ANÁLISE DO PROBLEMA INVERSO E DISCUSSÕES
Inicialmente a metodologia de inversão foi testada sobre dados sintéticos, realizando-
se testes sob condições controladas. Como a resposta é conhecida, o desempenho do método
foi avaliado sob diversas circunstâncias, de modo a alertar sobre as condições em que o
procedimento tem melhor ou pior desempenho. Antes de executar a inversão sobre os dados
sintéticos, foi realizado um estudo sobre o comportamento da função objetivo, onde
investigou-se a unicidade e estabilidade da solução do problema inverso visando avaliar a
metodologia proposta, ou seja, verificar se é adequada para a tarefa de otimização. Por fim,
iniciaram-se as investigações da aplicação da metodologia de inversão proposta sobre dados
reais.
Os testes realizados considerando-se a situação ideal, mesmo sabendo que na prática
não será encontrada, são importantes para: 1) investigar a complexidade do problema e se
existe ambigüidade na determinação dos parâmetros do modelo, devido a aspectos intrínsecos
à teoria física que relaciona tais parâmetros aos valores das amplitudes calculadas e; 2) avaliar
a influência de aspectos que afetam os dados reais, comparando-se o efeito causado por esses
com os resultados obtidos para a situação ideal.
3.1 TESTES SOBRE DADOS SINTÉTICOS
Para verificar a viabilidade e se existe ambigüidade na determinação dos parâmetros
do modelo, a função objetivo foi avaliada utilizando-se dados sintéticos como dados
observados de modo a garantir um perfeito controle da análise dos resultados. Na Tabela 3.1
são apresentados os valores dos parâmetros para simular os dados reais.
38
Tabela 3.1 Parâmetros do modelo: profundidade (z) , velocidade da onda P ( ), razão entre as velocidades da onda P e da onda S ( e densidade ( ).
Camada z (m)
(m/s)
(g/cm3)
Solo 5 370 3,32 1,53 Sedimento 32 1650 1,87 1,9 Embasamento 4200 1,73 2,54
Para simular a aquisição dos dados sísmicos (dados sintéticos) empregou-se o mesmo
algoritmo (pacote de programas Seis88, ( ERVENÝ; P EN IK, 1988)) que é utilizado para
gerar os sismogramas calculados durante a inversão. O modelo sintetizado na Tabela 1 é
constituído de três camadas isotrópicas e homogêneas separadas por duas interfaces refletoras
planas e horizontais. O estudo foi conduzido para a reflexão no topo rochoso (segunda
interface do modelo) de modo que os parâmetros a serem estimados são as densidades e as
velocidades da onda S na camada de sedimentos e no topo do embasamento. Por conveniência
adotou-se a razão entre as velocidades da onda P e da onda S, definida aqui por , como
sendo a variável do problema.
Na Figura 3.1 é apresentado o sismograma gerado simulando uma aquisição para
análise de ruído (walkway noise test), comum em levantamentos de reflexão sísmica rasa. A
wavelet que o pacote SEIS88 utiliza é conhecida por Gabor e é dada pela expressão,
ftf
tw 2cos2
exp2
(3.1)
Utilizou-se uma freqüência dominante (f) de 100Hz, o parâmetro
associado ao
decaimento da exponencial igual a 2 e a fase ( ) igual a zero. Os parâmetros de aquisição
utilizados para gerar o sismograma são descritos na Tabela 3.2.
Tabela 3.2 Parâmetros de aquisição utilizados para gerar o sismograma sintético
Tipo de arranjo walkway noise test Número de geofones 100 Intervalo entre geofones 1 m Afastamento mínimo 1 m Intervalo de amostragem 0,00025 s
39
Foram selecionadas duas janelas de afastamentos para computar os valores da função
objetivo. A primeira janela, iluminada em vermelho na Figura 3.1, corresponde à região em
que as mudanças na forma do pulso sísmico, associadas à partição da energia acima do ângulo
crítico de incidência, são mais evidentes. Seria, portanto, o intervalo de afastamentos ideal
para o problema proposto. Entretanto, nos dados reais, a partir da distância crítica, existirá a
superposição do pulso da onda refratada na mesma interface, sendo que o comprimento da
janela de afastamentos em que essa superposição vai ocorrer dependerá principalmente do
conteúdo de freqüência do sinal. Em função disso, uma segunda janela de afastamentos foi
investigada, iluminada em azul na Figura 3.1, posicionada fora dos afastamentos em que
ocorreria a interferência da refração, com o objetivo de avaliar qual a diferença no
comportamento da função objetivo quando calculada utilizando sinais refletidos que
apresentam uma variação na fase menos evidente.
Figura 3.1
Sismograma sintético simulando uma aquisição para análise de ruído (walkway noise test), onde a janela de afastamentos iluminada em vermelho (correspondente ao intervalo de 30 a 78 m) representa a região em que as mudanças de fase são mais evidentes; e a janela de afastamentos iluminada em azul (correspondente ao intervalo de 55 a 103 m) seria representativa de uma região em que não ocorre superposição da refração do topo rochoso.
Para adicionar ruído aos dados utilizou-se o programa suaddnoise do pacote Seismic
Unix (COHEN; STOCKWELL, 2001). Adicionou-se 10% de ruído aleatório com distribuição
40
gaussiana, gerado em todas as freqüências até a freqüência de Nyquist e em seguida foi
aplicado um filtro corta alta acima de 400 Hz (ruído 1). Para simular uma perturbação maior
nos dados, o ruído foi gerado dentro da faixa espectral da wavelet, até 400 Hz (ruído 2).
Para o cálculo da função objetivo foi efetuado um silenciamento (mute) nos dados de
entrada, preservando apenas a reflexão de interesse. Nas Figuras 3.2a, 3.2b e 3.2c são
apresentados, respectivamente, os sinais sem ruído, corrompidos pelo ruído 1 e pelo ruído 2.
( a ) ( b ) ( c )( a ) ( b ) ( c )
Figura 3.2
Registros selecionados (janela de afastamentos iluminada em vermelho na Figura 3.2) para o cálculo da função objetivo, simulando os dados observados: a) sem ruído; b) contaminados com o ruído 1 e c) contaminados com o ruído 2.
3.1.1 Análise do comportamento da função objetivo
Os estudos realizados através de mapas de contorno da função objetivo revelam,
mesmo que parcialmente, a estrutura do problema inverso. Como o problema proposto tem
quatro incógnitas, o comportamento da função objetivo foi analisado através de seções
transversais (hiperplanos) do espaço de parâmetros M-dimensi
dce
1
1
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5
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a
v
41
3.3 a 3.9). Para cada mapa de contorno, o intervalo de variação de cada parâmetro foi
discretizado em 30 pontos resultando em 900 cálculos de função objetivo.
Na análise do comportamento da função objetivo, foram considerados os seguintes
aspectos: a presença de uma solução (mínimo global) bem definida, a ocorrência de mínimos
locais, a topografia, e também, qualitativamente, a sensibilidade e correlação entre os
parâmetros.
Para a situação ideal, observou-se através dos mapas de contorno apresentados na
Figura 3.3 que:
1) todos os hiperplanos apresentaram um mínimo global bem definido (ponto amarelo no
interior das curvas de nível), correspondendo aos valores exatos dos parâmetros do
modelo investigado (Tabela 1);
2) nos intervalos investigados não ocorreu a presença de mínimos locais significativos;
3) como desejado, os valores da função objetivo no ponto de mínimo foram
aproximadamente nulos;
4) a função objetivo apresentou diferentes topografias em cada um dos hiperplanos;
5) a razão de velocidades da camada 3, 3, foi o parâmetro melhor resolvido;
6) Os hiperplanos 3
2, 3
2 e 3
3 exibiram uma característica comum no que se
refere ao comportamento elíptico paralelo ao eixo das abcissas. Isso sugere que o
parâmetro 3 não se correlaciona com nenhum dos outros três parâmetros. Este aspecto do
parâmetro 3 aliado à sua sensibilidade comentada anteriormente, capacita-o como o
parâmetro estimado mais confiável da solução inversa. Por outro lado, os hiperplanos 2
2 e 3
2 exibem elipses inclinadas e altas razões entre o eixo maior e menor sugerindo
que estes dois pares de parâmetros são altamente correlacionados.
Quando os sismogramas foram contaminados com ruído observou-se através das
Figuras 3.4 e 3.5, respectivamente com a inserção dos ruídos 1 e 2, que:
42
1) em todos os hiperplanos a superfície da função objetivo ficou mais suave, mantendo
aproximadamente os mesmos valores de função objetivo nas regiões mais distantes do
mínimo global e valores maiores nas vizinhanças do mínimo, resultando em regiões mais
planas nas proximidades deste e conseqüentemente num aumento da incerteza nas
estimativas dos parâmetros;
2) as topografias dos mapas da Figura 3.5 apresentaram maior suavidade e valores mais altos
em relação aos da Figura 3.4, de fato, tal característica é um indicativo da presença de um
nível de ruído maior nos dados.
3) a posição do mínimo global permaneceu nos valores corretos, exceto para os hiperplanos:
2
2 e 3
2 (ponto vermelho no interior das curvas de nível), apresentados na Figura
3.5 (ruído 2) onde o ponto de mínimo global foi ligeiramente deslocado dos valores
corretos, o que provavelmente poderia ser evitado eliminando-se os traços muito ruidosos
no cálculo da função objetivo;
4) em geral, os mapas de função objetivo pertencentes aos dados contaminados com o ruído
1 e 2 demonstraram uma boa estabilidade do problema inverso.
O comportamento da função objetivo calculado utilizando os sinais refletidos fora da
região em que as mudanças de fase são mais evidentes (janela de afastamentos iluminada em
azul na Figura 3.1) foi analisado através dos hiperplanos apresentados na Figura 3.6. Foram
observadas topografias ligeiramente diferentes em relação aos hiperplanos ilustrados na
Figura 3.3, mantendo, entretanto, as mesmas características mencionadas acima.
Além da presença de ruído, analisou-se o efeito de duas outras complicações que
podem afetar o cálculo da função objetivo na execução do problema inverso proposto sobre
dados reais. Uma deve-se ao fato de ocorrer uma diferença na escala dos valores de amplitude
dos dados reais e dos sismogramas gerados durante a inversão, sendo necessário que esses
valores sejam normalizados. A outra complicação decorre em função da forma de onda
43
(wavelet) empregada no cálculo dos sismogramas, uma vez que é fundamental que a wavelet
dos sismogramas reais e calculados sejam muito próximas, do contrário não será possível
quantificar de forma adequada à semelhança entre dados observados e dados calculados,
através da função objetivo utilizada.
A normalização das amplitudes foi efetuada de duas maneiras. A primeira com
respeito ao valor máximo da amplitude no sismograma (normalização 1), desta forma, as
diferenças de amplitude entre os traços são mantidas. E normalizando cada traço
individualmente com respeito ao respectivo valor de amplitude máxima (normalização 2),
deste modo, elimina-se a variação de amplitude relativa entre os traços, e a função objetivo
quantifica apenas as diferenças de fase devido ao coeficiente de reflexão acima do ângulo
crítico.
Os hiperplanos obtidos utilizando-se as normalizações 1 e 2, são apresentados
respectivamente nas Figura 3.7 e 3.8. No primeiro caso, os valores da função objetivo ficam
um pouco maiores em relação aos valores da situação ideal (Figura 3.3), e a diferença entre as
topografias também é pequena, exceto pelo mapa de contorno dos parâmetros 2
3, que
passam a apresentar um maior grau de ambigüidade. Já para a segunda normalização (Figura
3.8), as diferenças são mais evidentes: além dos valores da função objetivo serem bem mais
elevados, passa a ocorrer a presença de mínimos locais dentro do domínio de busca. Apesar
da perda de qualidade, os pontos de mínimo encontram-se na posição correta.
Para verificar a influência de, durante a inversão, não se utilizar uma wavelet
exatamente igual à forma do pulso do sinais observados, calculou-se os valores da função
objetivo empregando-se wavelets diferentes para gerar o sismograma sintético, que simula os
observados, e para os sismogramas que seriam calculados durante a inversão.
Os valores da freqüência dominante e do fator associado ao decaimento da
exponencial escolhidos para a wavelet utilizada para gerar o sismograma sintético (simulação
44
dos dados observados) foram: f = 100 Hz e
= 2, e no cálculo dos sismogramas durante a
inversão foram: f = 90 Hz e
= 3. As formas dos pulsos e seus respectivos espectros de
amplitudes estão ilustrados na Figura 3.9.
Os valores da função objetivo são apresentados na Figura 3.10. Esse fator acarretou
em mudanças bruscas nos valores da função objetivo, inviabilizando o processo de inversão,
pois não ocorre mais a presença de um mínimo global na posição correta. Os mapas indicam
que o ponto de mínimo da função objetivo tende para as bordas do espaço que representa o
domínio de busca.
45
Figura 3.3
Seções transversais da função objetivo calculadas em função das variações dos parâmetros: 2, 3, 2 e 3, utilizando os dados sem ruído (Figura 3.2a).
46
Figura 3.4 Seções transversais da função objetivo calculadas utilizando os dados com o ruído 1 (Figura 3.2b).
47
Figura 3.5 Seções transversais da função objetivo calculadas utilizando os dados com o ruído 2 (Figura 3.2c).
48
Figura 3.6 Seções transversais da função objetivo calculadas utilizando os dados da janela de afastamentos iluminada em azul (Figura 3.1), sem ruído.
49
Figura 3.7
Mapas de função objetivo utilizando a normalização 1 nos sismogramas calculados e nos dados observados.
50
Figura 3.8
Mapas de função objetivo utilizando a normalização 2 nos sismogramas calculados e nos dados observados.
51
a ) b )a ) b )
b)
d)c)
b)
d)c)
Figura 3.9
a) Forma do pulso utilizando
= 2 e f = 100 Hz. b) Forma do pulso utilizando
= 3 e f = 90 Hz. c)
Espectro de amplitude da forma de pulso exibida em a). d) Espectro de amplitude da forma de pulso exibida em
b).
52
Figura 3.10
Mapas de função objetivo com a wavelet alterada em relação à wavelet do sismograma sintético que simula os dados observados.
53
3.1.2 Resultados da inversão
O objetivo da inversão de dados sintéticos é investigar a unicidade da solução do
problema inverso e também verificar se a abordagem de otimização adotada é capaz de
encontrar corretamente e precisamente o mínimo global da função objetivo, pois, essa
categoria de testes tem a vantagem de se conhecer exatamente a solução verdadeira do
problema inverso.
A probabilidade dos pontos convergirem para o mínimo global depende do valor de L
(número de pontos do espaço que variam durante a busca), do limite inferior e superior de
cada parâmetro, da complexidade da função objetivo, da natureza dos vínculos, e do modo no
qual os pontos de busca são gerados.
Com o intuito de avaliar a performance do método de busca proposto, este foi aplicado
aos três sismogramas sintéticos de reflexão mostrados na Figura 3.3. Todos os testes
realizados consideraram o procedimento de busca confinado num mesmo domínio, com uma
população (L) de 20 pontos e um número máximo de cálculos de função objetivo igual a
1000.
Os intervalos de variação do parâmetro 2 e 3 foram definidos através da sua relação com a
razão de Poisson ( ) , descrita por
2
1
50
1
, (3.2)
Como
é uma medida adimensional, que varia de zero até um valor máximo de 0,5;
aumenta de 2 até infinito. Isso significa que a velocidade da onda S varia de zero (quando
não há resistência do material ao cisalhamento, como em líquidos) até 70% da velocidade da
onda P. Para delimitar o espaço de busca, estabeleceu-se para a velocidade da onda S o
intervalo de 30% a 70% da velocidade da onda P. Já para as densidades, na ausência de um
54
critério físico ou matemático que especificasse um intervalo de variação plausível,
estabeleceu-se que o domínio do parâmetro correspondesse a [0,5 i, 1,5 i], onde i
representa o valor exato de densidade da i-ésima camada.
Os resultados obtidos serviram de subsídio para avaliar o grau de confiabilidade e
aplicabilidade da metodologia proposta a situações reais.
Teste 1: dados sem ruído
Para este exemplo, o sismograma calculado deveria reproduzir perfeitamente os dados
observados. Por esta razão, o critério de convergência utilizado exigia que o pior ponto da
população tivesse valor de função objetivo menor que 0,1; assim tal requerimento produziria
um er
u
2 Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 1936 0251 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 6211 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 2634 3041 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1936 5352 Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 2287 5751 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 2342 5761 Tj( )Tj0v0 0 -0.09765 8873 5771 Tm(a)Tj( )Tj271 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 2125 5771 Tm51 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 3782 5701 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 3005 5311 Tm270 2048 Tf0.09765 0 0 -0.09765 3365 5751 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 67710Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 2287 53516Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 67605Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 1936 03670 2048 Tf0.09765 0 0 -0.09765 3049 4882 Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 3801 48582Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 3782 57982Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 4835 4801 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 3882 54110Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 3971 5702 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 2125 5771 Tm441 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 4557 5351 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 4222 5761 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 8361 4851 Tm4870 2048 Tf0.09765 0 0 -0.09765 4423 20972Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 4835 471 1Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 1936 05128Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 4679 25217 2048 Tf0.09765 0 0 -0.09765 3049 4551 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 65710Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 2287 55516Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1936 0558 Tm(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 1936 0568 Tm(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 8361 4851 Tm581 T2048 Tf0.09765 0 0 -0.09765 4423 2598 Tm(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 5947 48550Tm(r)Tj0ó09765 0 0 -0.09765 6014 57750Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 6829 53250Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 6476 57305Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 3049 46710Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 6564 5311 Tm68 Tm(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 6638 4858 Tm(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 6700 2076 Tm(95T2048 Tf0.09765 0 0 -0.09765 4423 27095Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 1936 07712Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 6725 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 7645 30340Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 6476 57396Tm(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 6476 57474Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 3971 5756 Tm(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 2125 5771 Tm7786Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 7645 30875Tm(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 1936 07715Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 3049 48129T2048 Tf0.09765 0 0 -0.09765 4423 28229T2048 Tf0.09765 0 0 -0.09765 8506 57329T2048 Tf0.09765 0 0 -0.09765 8543 53385 j( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 4835 48474Tm(r)Tj0.09765 0 0 -0.09765 7645 3856 Tm(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 8817 5761 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 8817 5771 Tj( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 8443 53/F0 j( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 4835 48907 2048 Tf0.09765 0 0 -0.09765 8873 5771 Tm(a)Tj( )Tj/F0 2698 Tf0.0976(adosutiliz5 4818 2551 Tm99.88 Tz(ésima camada.)Tj/F0 2048 Tf100 Tz( )Tj/F0 7148 Tf0.0946(adosParicabexecução do Tzcedimento CRS foram empreg0 -0.-0.dois algoritm-0.descrit-0.0 0 -0.09765 8873 5771 Tm(a)Tj( )Tj/F0 7618 Tf0.0(ados.09765 0 0 -0.09765 8443 5771 T7618 Tf0.09765 0 0 -0.09765 2125 5771 Tm1675T7618 Tf00 0 -0.09765 1402 1602 Tm1764T7618 Tf0.09765 0 0 -0.09765 1858 57853T7618 Tf0.09765 0 0 -0.09765 1602 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7645 3021 T8078 Tfs.09765 0 0 -0.09765 7078 5733 T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 6476 57413T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 6476 5749 T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 3607 17(e)T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 1936 07647T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 4622 57703T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 6532 5771 Tm7923T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 7304 58023T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 8506 57120 8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 2742 5771 Tm8331T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 2342 58431T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 8361 4851 Tm629T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 8684 48529T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 8784 48529T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 4622 58885T8078 Tf0.09765 0 0 -0.09765 8873 5771 Tm(a)Tj( )Tj/F0 8548 Tf0.09765 0 0 -0.09765 4423 2771 T8548 Tf0.09765 0 0 -0.09765 1491 16069T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 8817 5602 T85( )Tj00 0 -0.09765 1402 1602 Tm172 T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 6781 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 6638 4791 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 8817 5201 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 3049 42157T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 6276 T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 8443 5736 T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 2287 57/F0 8548 Tf0.09765 0 0 -0.09765 2342 5771 T8548 Tf0.09765 0 0 -0.09765 2136 3011 Tm659T8548 Tf0.0976-0.09765 2136 3011 Tm71 T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 6282 T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 4422 52582T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1858 5271 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 3005 5311 Tm204T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 6351 T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 6829 53394T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 63483T85( )Tj00 0 -0.09765 1402 1602 Tm3572T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 3682 57672T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 3696 16028T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1858 5371 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 6638 4391 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 2342 5401 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 8361 4851 Tm4174T8548 Tf0.0976-0.09765 2136 3011 Tm4250 8548 Tf0.09765 0 0 -0.09765 2342 5851 T85(u)Tj0b09765 0 0 -0.09765 8361 4851 Tm4530T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1858 5461 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 8361 4851 Tm4777T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 3049 4(e)T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 671 0T8548 Tf0.0976-0.09765 2136 3011 Tm5099T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 3049 45253T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1858 5011 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 8361 4851 Tm5500T85( )Tj00 0 -0.09765 1402 1602 Tm5589T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 8817 55689T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 5183 57789T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 5570 48889T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 4622 5511 T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 3882 56034T8548 Tf0õ09765 0 0 -0.09765 1602 56134T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 6622 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 6630)T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 3602 5311 Tm6429T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 8817 56529T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 7185 3011 Tm611 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 66786T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 66875T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 4422 56(e)T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1858 571 0T8548 Tf0.09765 0 0 -0.09765 7496 2076 Tm14988548 Tf0.09765 0 0 -0.09765 4423 2724988548 Tf0.09765 0 0 -0.09765 1858 5731 T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1936 07404T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 7921 57710T8548 Tf0.09765 0 0 -0.09765 1858 57549T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 2125 5771 Tm7782T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 5570 47582T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 2742 5771 Tm8550T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 3682 5815 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 3005 5311 Tm8386T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 3049 4802 T85( )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 6629T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 6811 T85(u)Tj0.09765 0 0 -0.09765 3049 48860 8548 Tf0.09765 0 0 -0.09765 8873 5771 Tm(a)Tj( )Tj/F0 899 )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1780 6749 T899 )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1602 53069T899 )Tj0.09765 0 0 -0.09765 7921 51625T899 )Tj0.09765 0 0 -0.09765 1858 5714T899 )Tj0.09765 0 0 -0.09765 6638 47814T899 )Tj0.09765 0 0 -0.09765 2125 5771 Tm1/F0 899 )Tj0.09765 0 0 -0.09765 8817 5204 c99 )Tj0.09765 0 0 -0.09765 8443 5711 T899 )Tj0.09765 0 0 -0.09765 8817 5251 T899
0 0 -0.09765 2136 3011 Tm63 T899
94T899 a a
g
a a
55
Analisando para ambos os algoritmos o comportamento do procedimento de busca
para a situação ideal, sem ruído, através das Figuras 3.11, 3.12, 3.13 e 3.14, observa-se que no
início da busca, os valores dos parâmetros estão distribuídos uniformemente sobre os seus
respectivos domínios de busca, isto assegura que a população dos pontos está espalhada
aleatoriamente no domínio especificado. Após aproximadamente 840 iterações o
procedimento do algoritmo original foi interrompido, e a população encontrava-se
densamente aglomerada sobre o mínimo global. Já para o algoritmo modificado foram
necessárias 740 iterações para o processo convergir. Observa-se ainda, que uma estimativa
razoável dos parâmetros poderia ser obtida muito antes do término do processo.
Teste 2: dados com ruído
Este experimento procedeu-se da mesma forma que o teste descrito anteriormente,
porém analisando a influência da presença do ruído nos dados. Para esses testes foram
adotados os critérios de convergência 1 (equação 2.18) e 2 (equação 2.19), com valores 0,01
e 0,1, respectivamente. Em todos os testes o procedimento foi interrompido, para ambos os
algoritmos, quando o critério 1 foi satisfeito.
Mais uma vez, verifica-se, para os ruído 1 e 2 (Figuras 3.15, 3.16, 3.19 e 3.20) que os
valores dos parâmetros, inicialmente, estão distribuídos uniformemente sobre os seus
respectivos domínios de busca. Analisando a dispersão dos valores de função objetivo em
função do número de avaliações (Figuras 3.17, 3.18, 3.21, 3.22 e 3.24), observou-se um
comportamento comum do procedimento CRS em todos os testes realizados, a busca
converge rapidamente nas iterações iniciais para as proximidades do mínimo global, porém
nas vizinhanças deste converge lentamente.
Para o ruído 1, os valores verdadeiros dos parâmetros foram determinados com êxito.
Apesar dos parâmetros de densidade ( 2 e 3) apresentarem uma tênue ambigüidade, o valor
56
correto está no centro da dispersão de seus valores na última iteração. Isto indica que a
presença do ruído 1 não foi suficiente para interferir nas estimativas dos parâmetros,
conforme já concluído pela da análise da função objetivo.
O teste para o ruído 2 difere do apresentado acima sob o seguinte aspecto: embora os
dois ruídos sejam gerados com a mesma razão sinal ruído, eles estão distribuídos sobre faixas
espectrais diferentes, isto implica em níveis distintos de ruído presente nos dados. Para este
ruído, o procedimento conseguiu determinar a posição do mínimo global, porém, este é
deslocado dos valores verdadeiros dos parâmetros, em torno de 10%, e exceto pelo parâmetro
3, o grau de ambigüidade aumentou em relação ao teste anterior (ruído 1). Isto indica que o
nível do ruído 2 introduziu imprecisão nas estimativas dos parâmetros.
Quanto à performance final dos dois algoritmos de busca implementados, tanto para o
Teste 1 (sem ruído) quanto para o Teste 2 (com ruído) não foi possível mensurar diferenças
significativas entre estes. Entretanto, nota-se que no início da busca, o CRS modificado é mais
lento do que o CRS original e, à medida que a busca aproxima-se de um caráter local, o CRS
modificado se apresenta mais eficiente.
O que sugere novas implementações para a busca, combinando os dois algoritmos de
forma alternativa, iniciando a busca através do CRS original e, a partir de um critério
estabelecido incorporar o CRS modificado ou o NMS.
Teste 3: presença de mínimos locais e ambigüidade
Um teste adicional foi realizado para verificar o desempenho do algoritmo de inversão
quando a função objetivo possui mínimos locais e forte ambigüidade na estimativa dos
parâmetros, como a situação observada na Figura 3.8. O algoritmo foi hábil em ignorar os
mínimos locais. O efeito da ambigüidade entre os parâmetros de densidade ficou nítido no
resultado da inversão, conforme pode ser observado na Figura 3.23 e 3.24.
57
Figura 3.11
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados sem ruído.
Figura 3.12
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados sem ruído.
58
Figura 3.13
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados sem ruído.
Figura 3.14
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados sem ruído.
59
Figura 3.15
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados contaminados com o ruído 1.
Figura 3.16
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados contaminados com o ruído 1.
60
Figura 3.17
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados contaminados com o ruído 1.
Figura 3.18
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados contaminados com o ruído 1.
61
Figura 3.19
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados contaminados com o ruído 2.
Figura 3.20
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados contaminados com o ruído 2.
62
Figura 3.21
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS original utilizando dados contaminados com o ruído 2.
Figura 3.22
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS modificado utilizando dados contaminados com o ruído 2.
63
Figura 3.23
Gráfico da dispersão dos valores dos parâmetros em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS para a situação apresentada na Figura 3.8.
Figura 3.24
Gráfico da dispersão dos valores de função objetivo em função do número de cálculos de função objetivo para o algoritmo CRS para a situação apresentada na Figura 3.8.
64
3.2 TESTES SOBRE DADOS REAIS
3.2.1 Área de estudo
A área de estudo está localizada no campus da Universidade de São Paulo, na região
centro-oeste da cidade de São Paulo-SP, na borda da Bacia Sedimentar de São Paulo. Nesta
área predominam-se sedimentos terciários, argilo-arenosos a siltosos de colorações
avermelhadas, róseas e amareladas (aterro), e sedimentos de coloração preta apresentando
muita matéria orgânica (sedimentos da planície de inundação do Rio Pinheiros) que estão
sobrejacentes às camadas de argila e areia intercaladas que cobrem o embasamento granito-
gneiss Pré-Cambriano. Três poços (SM-140, SM-115 e SM-100, Figura 3.25) estão próximos
ao ensaio sísmico, cujos registros litológicos mostraram a intercalação de sedimentos de argila
e areia e o topo do embasamento ocorrendo a profundidades entre 46,2 e 53 m.
posição dos poços
comprimento em superfície do ensaio sísmico
SM-140
SM-140SM-115
SM-100
Rua do Matão
IFUSP
IAG
N
0 m
116 m
Figura 3.25
Localização do perfil sísmico em superfície.
65
3.2.2 Dados utilizados
Os dados reais utilizados neste trabalho foram apresentados em Le Diagon (2000) e
Diogo, et al. (2004), correspondem a um teste efetuado para a análise de ruído (walkaway
noise test) (3.26). Na aquisição foram utilizados:
sismógrafo digital OYO DAS-1 de 24 canais,
geofones de 100Hz,
marreta sobre placa de metal, como fonte de energia,
intervalo de amostragem em tempo de 0,125 ms,
afastamento mínimo fonte-receptor e intervalo entre geofones de 1m.
Refrações
Reflexão notopo rochoso
Refrações
Reflexão notopo rochoso
Figura 3.26
Regis
66
fonte, em que os sinais são predominantemente corrompidos pelo groundroll. O silenciamento
do restante do sinal foi efetuado após a aplicação do ganho AGC e filtro passa-banda
trapezoidal, com freqüências de 60, 80, 300 e 400 Hz, delimitando as rampas de corte.
Figura 3.27
Sismograma registrado com o silenciamento aplicado preservando as refrações e a reflexão do topo rochoso.
Para o esquema de inversão proposto, é assumido que o modelo velocidade-
profundidade da onda P é conhecido. Utilizou-se o modelo estimado por Diogo, et al. (2004),
descrito na Tabela 3.3.
Tabela 3.3 Modelo velocidade-profundidade fornecido ao algoritmo de inversão Camadas Profundidade (m)
Velocidade (m/s)
Solo/aterro 4,5 360
Sedimentos saturados
e inconsolidados
30,6 1650
Topo rochoso 4200
67
A curva de tempo de percurso calculada com base no modelo acima, através do
Programa SEIS88 é apresentada em azul na Figura 3.27. Esses valores orientaram o
silenciamento dos sinais refratados, o qual foi efetuado de duas maneiras: conforme
apresentado na Figuras 3.28, e cortando uma parte do sinal refletido, de forma a não restar
dúvida de que houvesse sobreposição do sinal refratado, ilustrado na Figura 3.29.
O procedimento de inversão será testado sobre duas janelas de afastamentos, de 25 a
116m, incluindo todo o sinal disponível, e de 53 a 116m (delimitado pelo retângulo vermelho
nas Figuras 3.28 e 3.29), situação em que não ocorre mais a interferência dos sinais refratados
no topo rochoso.
Figura 3.28
Sismograma registrado com o silenciamento preservando a reflexão do topo rochoso. A janela em vermelho corresponde à segunda janela de afastamentos selecionada contendo 63 traços.
68
Figura 3.29
Sismograma registrado com o silenciamento cortando parte do pulso refletido a fim de eliminar qualquer amostra correspondente à superposição da refração. A janela em vermelho corresponde a segunda de janelas de afastamentos selecionada contendo 63 traços.
3.2.4 Testes de inversão e discussão dos resultados
Em todos os testes realizados, os resultados alcançados não foram satisfatórios, como
exemplificado para o primeiro teste (Figura 3.30), efetuado para janela de afastamentos de 25
a 116, com o silenciamento apresentado na Figura 3.28. A população de modelos converge
para as bordas do domínio de busca e os modelos finais apresentam grandes valores de função
objetivo indicando que o ajuste não é aceitável.
Aparentemente o principal fator responsável pelo processo de inversão não convergir
para uma solução aceitável é o ajuste inadequado entre as wavelets dos dados reais e as
empregadas no cálculo dos sismogramas. Os testes sobre dados sintéticos (Figura 3.10)
indicaram que pequenas diferenças entre as wavelets inviabilizam um resultado adequado do
processo de inversão.
69
Figura 3.30
Gráfico da dispersão dos pontos em função do número de avaliações da função objetivo para o s dados do sismograma da Figura 3.28.
É evidente que a premissa de meios homogêneos não satisfaz a realidade, visto que a
área de estudo apresenta, conforme já mencionado, heterogeneidades (por exemplo,
intercalações de camadas de argila e areia). Além disso, o pressuposto de camadas planas
horizontais não se enquadra exatamente às geometrias reais das interfaces. Todas essas
proposições envolvem aproximações que influenciam nas respostas do problema direto, e
conseqüentemente na solução do problema inverso. Entretanto, tais incertezas são inerentes
aos modelos idealizados da Terra e dificilmente podem ser atenuadas, pois modelos mais
complicados necessitam de um número maior de parâmetros e pode tornar difícil a tarefa de
se resolver o problema direto e inverso.
Seria necessário verificar se o método do raio é adequado para o problema proposto,
em função da taxa de variação das heterogeneidades do meio. Contudo, acredita-se que o
principal fator responsável pelo mau êxito da metodologia proposta seja a premissa de pulso
da fonte conhecido.
70
Os únicos cuidados tomados para se obter um pulso mais próximo do real foi de se
determinar qualitativamente, através dos espectros de amplitude de todos os traços, a
freqüência dominante o conteúdo de freqüência médio.
71
4 CONCLUSÕES E CONTINUIDADE DA PESQUISA
Implementou-se um algoritmo de inversão a fim de se obter estimativas das
velocidades da onda cisalhante e das densidades das camadas acima e abaixo do refletor,
explorando a informação contida nas mudanças de fase no pulso da onda compressional
refletida acima do ângulo crítico de incidência.
Para tal assumiu-se como premissa que as mudanças na forma do pulso sísmico acima
do ângulo crítico são predominantemente causadas pelo efeito da partição da energia na
interface.
O procedimento de inversão implementado considera que a velocidade da onda P e as
espessuras das camadas são conhecidas, ou seja, foram previamente determinadas a partir dos
dados sísmicos.
Dos testes realizados sobre os dados sintéticos, conclui-se que:
1) não existe ambigüidade na determinação dos parâmetros do modelo, devido a aspectos
intrínsecos à teoria física que relaciona tais parâmetros aos valores das amplitudes
calculadas;
2) considerando tanto as variações de fase (mudança da forma do pulso), como também as
variações de amplitude no cálculo da função objetivo, os resultados da inversão indicaram
o potencial da metodologia em se determinar os valores reais dos parâmetros;
3) considerando apenas a variação de fase com o afastamento, o problema inverso mostrou-
se capaz em determinar precisamente as velocidades da onda S, portanto, a fase
compreende uma informação valiosa a ser considerada segundo a abordagem da inversão
proposta;
4) o processo de inversão é relativamente estável em relação à presença de ruído aleatório;
72
5) a wavelet utilizada para calcular os sismogramas durante a inversão é o aspecto mais
crítico a ser ajustado para a viabilidade do procedimento proposto, ou seja, para garantir a
convergência do processo de inversão para os valores corretos dos parâmetros do modelo.
Os testes do procedimento de inversão realizados sobre dados reais não indicaram
resultados satisfatórios até o momento. Um aspecto que deve ser melhor investigado, é a
forma de lidar com a interferência das refrações no cálculo da função objetivo. Entretanto,
aparentemente, o principal motivo da metodologia proposta não atingir os resultados
desejados, decorre do ajuste inadequado entre as wavelets dos dados reais (cujos espectros de
amplitude variam entre os traços do sismograma) e a wavelet empregada para gerar os
sismogramas sintéticos.
As wavelets utilizadas nos cálculos dos sismogramas não se ajustaram perfeitamente
aos dados reais, sendo, portanto, necessário investigar qual seria o método mais adequado
para se obter um pulso mais representativo do pulso encontrado em dados reais.
Apesar das dificuldades existentes na aplicação da inversão aos dados reais, acredita-
se que superado o problema do ajuste da wavelet, será possível alcançar resultados
satisfatórios.
71
REFERÊNCIAS*
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COHEN, J. K.; STOCKWELL, J. W. CWP/SU: Seismic Unix Release 33: A Free Package for Seismic Research and Processing. Center for Wave Phenomena. Colorado School of Mines, Colorado, Estados Unidos, 2000. Disponível em: ftp://ftp.cwp.mines.edu.
DIOGO, L. A.; LE DIAGON, F. M. M.; PRADO, R. L. Bedrock imaging using post-critical shallow seismic reflection data. Journal of Applied Geophysics, v. 57, p. 1-9, 2004.
DIOGO, L. A. Reflexão sísmica rasa acima do ângulo crítico de incidência: aquisição, processamento e interpretação. In: SIMPÓSIO DE GEOFÍSICA DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE GEOFÍSICA, 1., 2004, São Paulo. Anais... 1 CD-ROM.
DIX, C. H. Seismic velocities from surface measurements. Geophysics, v. 20, p. 68-86, 1955.
LE DIAGON, F. M. M. Investigações sobre metodologias de aquisição e interpretação de dados sísmicos de reflexão rasa para imageamento do topo rochoso. 2000. 82 f. Dissertação (Mestrado em Geofísica)
Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2000.
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