estimabilidade em delineamentos desconexos...2018/11/27 · m49le ficha catalográfica preparada...
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ESTIMABILIDADE EM DELINEAMENTOS DESCONEXOS
Di.ss ertacao apresent a da l!:scota
Supe ri.or de Agri.cultura -Lui.z de
Quei.roz .. da Uni.ve-rsi.dade de So.o
Paulo, para. obtençao do Tí.tulo
d e Mestre em Agronomi. a. Area de
Con centracao: l!:stati.sti.ca e l!:x
peri.me-ntaçao Agronomi.ca.
PI R A CI C AB A
Estado de São Paulo - Brasil
Novembro - 1990
ESTIMABILIDADE EM DELINEAMENTOS DESCONEXOS
Orientador: PROF. DR. ANTONIO FRANCISCO IEMMA
Dissertacao apresentada Escota
Supe rior de A gricultu ra -Luiz de
Queiro z- da Universidade de Sao
Pauto, para obtencao do Titulo
de Mestre em Agronomia. Area de
Concentracao: E statistica e Ex
perimentacao Agronomica.
p I R A e I e A B A
Estado de São Paulo - Brasil
Novembro - 1990
M49le
Ficha catalográfica preparada pela Seção de Livros da Divisão de Biblioteca e Documentação - PCAP/USP
Medina Vilca, Martin F eliciano Estimabilidade em delineamentos d esconexos.
racicaba, 1990.
125p.
Diss. (Mestre) - ESALQ Bibliografia.
Pi-
1. Delineamento de experimento - Estimativa 2. Es
tatística agrícola 3. Modelo �atemático I. Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, Piracicaba.
CDD 630.219
ESTIMABILIDADE EM DELINEAMENTOS DESCONEXOS
Aprovada em: 17.12.1990
Comi ssão J uI gador a:
Prof. Dr. Déci o Barbi n ESALQ/USP
Prof. Dr. DiIermando Perecin .............. UNESP/JABOTICABAL
Prof. Or. Francisco Vivaldo da Cruz ....... ESALQ/VSP
~ PROF. DR. DÉCIO BARBIN
Substituindo Orientador
PROF. DR. ANTONIO FRANCISCO IEMMA
Ao Altíssimo por conceder-me
-uma vi.da abv.ndante
DEDICO
ii.
A minha mãe Cin memorian_">
A mev. Pa i e Irmãos
OFEREÇO
iii.
AGRADECI MEJ-HOS
Ao Dr. Antonio Francisco Iemma. Professor As
soci ado do Depar t.ament.o de H.a temát.i ca e Est.at.í st.i ca d.a
ESALQ/USP, pela gent.ileza e sensibilidade na sugest.áo do
assunto. orientação e apoio no decorrer dos est.udos, para
e1 aboração dest.e t.rabal ho.
Ao Dr. Humber t.o de Campos Di ret.or da ES,t;,LQ e
Pro.f. Titular do Departament.o de Matemática e Est_atíst.ic3,
pelo i ncondi ci onal apoi o e constante est.í mul o na mi nha
permanência nest.e cent.ro de estudos .
.Aos prof'essores do curso de Pós-Graduação em
Estatística e Experiment.ação Agrônomica 'da ESALQ/USP, na
pessoa de seu coordenador e muito amigo pessoal Prof. Dr.
Décio Barbin pela compreensão, recept.ividade e est.ímulos nos
ensinamentos.
Ao Or. Manuel Zeballos Vera, Ex-rector da Uni
ver si dade Naci onal São Agosti nho, pelo vaI i oso apoi o i nco
mensurável e oport.unidade concedida para a realização do
curso.
.Ao Depart.ament.o de Mat.emática e Est.atística e
faculdade de Ciências Nat.urais e Formais pela licença con
cedida.
.Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cien
tífico e Tecnológico (CNPq) pela bolsa concedida.
A Gabriel Andrian Sarries pelo apoio incondi
cional na elaboração dest.e t.rabalho.
iv.
A Maria Izalina Ferreira Alves pela amizade e
cons~an~e es~ímulo na con~inuidade des~es es~udos.
Ao Prof. José Nivaldo Garcia do Depar~amento
de Engenharia de Ciências Flores~ais pela amizade e est,ímulo
na rE>al i zação des~E> ~rabal ho, as si m t~ambém aLui z Eduardo
Facão, funcionário do mesmo Departamento.
Ao Prof. Sergi o Duart~e do Nasci ment.o do l)epar-
tamE>nt~o de Irrigação e Drenagem pelas sugest.ões na red..3.çào
Aos funci onár i os do Depar~ament.o de Ma~emáti ca
e Est-a~ís~ica da ESALQ/USP, por sua simpa~ia e cooperação
oferecidas, nas pessoas de Luciane Bajão e Rosa Maria .~ves.
Aos col egas do curso de Pós-Graduação, pela
vivência, amizade e colaboração incondicionais.
Aos l~unci onár i os do Depar~amen1:..o de Economi a
em par~icular a Alice da Silva Cipriano, Luciane Crist~ina
Mar~ineli e Maria Angélica Amador Funaro.
A ~odos aqueles que con1:..ribuiram na realização
des1:..e 1:..rabal ho.
v.
1NDICE
P' . . ag~ na
RESUMO. viii.
SUMM.I.\RY xi.
1. INTRODUÇÂ() 1
2. REVISÃO DE LITERATURA 3
2.1. In~roduçáo ..... .
2.2. Blocos Casualizados
2.2.1. Caracterização 9
2.2.2. Equações normais 10
2.3. Blocos Incompletos ......... . 11
2.3.1. Classificação dos BIB 13
2.3.2. O Modelo Linear. 15
2.3.3. Eficiência ..... . 17
2.4. Delineamentos em Blocos Incompletos Parcial-
mente Balanceados ........ . 20
2.6. Equações Normais Reduzidas 23
2.6. Estimabilidade ...... . 27
2.6.1. Caracterização 27
2.6.2. O Método dos Mínimos Quadrados. 28
2.6.3. BLUE (Melhor Estimador Linear Não Vie-
sado) ................. . 32
2.7. Influência dos Efeitos Fixos e Aleatórios na
Estimação de Parcelas 33
2.7.1. Concei tuaç.ão .. '33
2.7.2. Caso em que os dois fatores são fixos. 34
vi.
Página
2.7.3. Blocos Aleatórios e Tratamentos Fixos 36
2.7. 4. Caso em que Ambos fat.ores são lu eató-
rios 39
1viE Tocx..'L OGI A ..... 41
3.1. Conectividade 41
3.1.1. Conceito de conectividade 41
3.1.2. Def i ni çôes e tec,remas 42
3.2. Hodelos de Hédias 44
3.2.1. Conectividade em modelo de médias 44
3.2.2. Exemplo do modelo de Graybill 46
3.2.3. Hodelo de médias simpliricado 47
3.2.4. Testes de hipóteses ... 51
3.2.5. Hodelos conectados ... 53
3.2.5.1. Conceituação 53
3.2.5.2. Exemplo aplicativo 54
3.2.6. Hodelo de médias e algoritmo geométrico
apresentado por Searle . 55
3.2.6.1. Conceituação .. 56
3.2.6.2. Um exemplo grárico .. 56
3.2.7. Hodelo de médias de ereitos rixos de
Hocking ................ . 59
3.2.7.1. Modelo reduzido 61
3.2.7.2. Modelo er eti vo . 63
3.2.7.3. Exemplo de modelo reduzido de
médias de HOCKING 65
3.3. O Modelo .4ditivo de Classificação de Dois Fa
tores de Efeitos Fixos Sem Inteiração ou Mode-
lo de D~DGE (1985) .
3.3.1. Conceituação
3.3.2. O processo P
2~ 3. ~3. lJm processo .3.1 terna_ti vo
3.3.4. Exemplo modelo ....... .
3.3.5. Análise de variância ..
3.3.6. Cálculo da soma de quadrados de regres
são ajustados para as diferentes fontes
de variação ...... .
3.3.6.1. Exemplo 2
4. EXEMPLOS APLICATIVOS EM DELINE.~ENTOS DE DOIS FATO-
RES ................................... .
4.1. Delineamento em Blocos Incompletos
4.2. Modelo de Médias
5. CONCLUSõES .......... .
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
vii.
Página
73
73
78
81
82
87
88
90
94
94
94
113
116
viii.
ESTIMABILIDADE EM DELINEAMENTOS DESCONEXOS
Autor: MARTIN FELICIANO MEDINA VILCA
Orientador: PROF. DR. ANTONIO FRANCISCO IEMMA
RESUMO
o presente trabalho aborda estudos desenvolvi-
dos sobre o tema de desconexão, como uma rorma de determinar
r unções paramétricas estimáveis, mediante a obtenção de
contrastes em delineamentos de dois ratores, quando acontece
perda de observações.
Com esse objetivo, apresentam-se os critérios
mai s importantes desenvol vi dos na teor i a de conecti vi dade,
bem como três dos mai s usados aI gor i tmos na detecção de
conecti vi dade.
o modelo e.fet-i vo de médi as apresentado por
HOCKING (1985), o qual restringe o número dos parâmetros, é
dado pela combinação das suas médias. Neste modelo as médias
das parcelas perdidas são dadas por ~m e ~o' respectivamen
te. Através de um processo de redução de linhas e reordena-
mento respectivo na matriz de restrição G, no modelo reduzi-
do, são eliminadas do modelo as médias das parcelas perdidas
p . Estas parcelas são representadas mediante contrastes em m
ix.
função das parcelas conhecidas, determinando-se dest.e modo,
a conexão ou desconexão do delineamento.
o uso do algoritmo apresentado por DODGE
(1985) , conhecido como "Processo R" , , na situação de perda de
p.3.rcelas consider.3.-se a mat.riz de "Incidência N" a qual
permite, por um processo iterativo, a obtenç.§io da mat-ríz
final M que determina que parcelas sáo estimáveis.
Mediante a determinação do triángulo contador,
sao obtidos os contrastes estimáveis, tanto para o fator a,
como o fat.or (~. Obtidas as dimensões dos f.3.tores Çt e (3,
determina-se as bases dos contrast~es estimáveis, obtendo-se
o "post.o da matriz por conseguinte, os graus de
liberdade para cada fat.or. Deste modo, é est.ruturado o
quadro de .~álise de Variância.
Englobando est.es dois procedimentos, ut.iliza-
-se alt.ernativament.e o mét.odo gráfico, como um inst.rument.o
de verificação dos resultados obt.idos pelos dois algorit.mos
cit.ados. Como corolário, são apresentados dois casos de de-
lineamentos desconexos, e analisados pelos dois algorit.mos,
obt.endo-se result.ados semelhant.es.
Tendo em vist.a os est.udos realizados, est.abe-
leceram-se dent.re out.ras as seguint.es conclusões:
O est.abeleciment.o de cont.rastes ort.ogonais ent.re os
níveis de cada fat.or é uma alternat.iva eficient.e para
se est.imar a perda de parcelas, prest.ando uma valiosa
contribuição na análiSE? de variância e proporcionando
os graus de liberdade para cada efeit.o.
x.
o modelo efe~ivo de médias de~ermina as es~ima~ivas dos
con~ras~es das parcel as não observadas em função das
parcelas observadas, que são vi stas na par~i ção fi nal
da matriz de restrição G.
o modelo efetivo de médias permite observar a estrutura
de conexáo do deI i neamento de forma transparent.e, con-
t.ribuindo na compreensão dos problemas de conex-âo e
estimabilidade de Iunçóes estimáveis. Essa me~odologia
poderia ser u~ilizada com finalidade didá~ica.
o processo R é mais operan~e e funcional, a~uando com
sucesso nos casos de grande quan~idade de dados> em
r el ação ao modelo ef e~i vo de médi as, que empr ega mai or
número de passos e ~empo de operação.
xi.
ESTIMABILITY IN DISCONECTEDNESS DESIGNS
Author: MARTIN FELICIANO MEDINA VILCA
Adviser: PROF. DR. ANTONIO FRANCISCO IEMMA
SUMHAR'l
In the present work current li terature about.
the theory of' desconnection is shown as mean to determine
parametric functions est-imabi1ity by cont-rasts in two
factors design. with missing dat-a.
Whi t-h t-hi s purpose, t-he main fact-s abound
desconect-ion t-heory were st.udied as wel1 as t-hree of t-he
most- used a1gorit-hmy for det.ect- connect-edness.
The means effect-ive mode1 present-ed by HOCKING
(1985), t-hat- rest-rained t-he numbers of par amet-ers, is given
by combinat-ions of t-heir respect-ive means. In t-his model t-he
means of parce1s missing and of' t-he parce1s present- are
given for f-Jm
e f-Jo
' respect-ive1y. The means of the missing
parce1 s 1.1 are e1 i mi nat.ed from t-he mode1 by a reduct-i on rows m
process and reorganized respect-ive1y in t-he G rest-ric mat-rix
in t-he reduced mode1. These parce1s are represent-ed by
cont-rast- in f'unct-ion of know parce1s, det-erminat-ing by t-his
way t-he connect-i vi t-y or desconnect-edness of t-he desi gn.
xii.
The use OI t.he al gor i t.hmy present.ed by DODGE
(1985), namely t.he "R Process", in case of missing cells,
considerat.e t.he incident. "mat.rix N" which enables lhe
obt.ainment. of t.he mat.rix H by a it.erat.ive processo This last~
mat.rix det.erminat.e which parcels are est.imable.
The est.imable cont.rast.s are obt.ained, as for
f act.or C( as for f act.or ~, by t.he det.ermi nat.i on of t.he
t r i angl e CCll!nt.er. .b..f t.er obt~ai ni ng and
dimensions. contrast.s bases est.imability are det.ermined and
t he r ank of lhe desi gn ma t.r i x ~,z i s obt.ai ned , wi ch 1 ead t.o
t.he det.erminat.ion OI t.he grees of freedom Ior each Iact.or.
From t.his mode, t.he variance analise "Tableu" is conlormed.
Including t.hese t.wo proceedings, t.he gralic
met.hod is used alt.ernat.ively as a inst.rument. of verificat.ion
01' the resul t.s obtai ned by t.he two ci t.ed a1 gor i t.hmy. To
check t.he proceedi ng two cases OI desconnect.ed desi gn are
present.ed and analised by each a1gorithmy, obt.aining the
same resul t..
The analysis OI t.he resu1ts 1ead to t.he f0110-
wing conc1usions:
Ort.ogonal cont.rast.s est.ablishment. between each fator
level is a elicient. a1t.ernat.ive Ior missing parcels
est.i ma ti ve. 1 eadi ng t.o aval uabl e cont.r i but.i on to t.he
variance analise and giving t.he grees of freedom needed
for each fact.or.
xiii.
The e:f:fect. model in means det.erminate the contrast.s
estimabilities o:f no t.he observed parcels in :function
or the observed parcels, whi ch are obtai ned in the
final G restric matrix partition.
The efrect. model in means permit oblainning lhe connec-
tedness design structure in a transparent :form, con-
lributting to the connectedness problems comprehension
and to lhe estimate funclions eslimabilily. This melho-
dology can be used with didact purpose.
The "R Process" is easier to oppera'te. working very
well in cases o:f great number of dat.a, in comparison
with the e:fIect.ive model in means, which needs a great.
number o:f passes and time OI operation.
1.
1. I NTRODUÇÁO
A per da de p.~r cel as nos del i neament~os em blo-
cos, especial ment~e nos blocos i ncompl etos C bal ance3.dos ou
parcialmente balanceados) acarreta, em det.erminadas sit.ua
ções, há imposibilidade de se est.imar cert.as combinações li
neares dos parâmetros do modelo correspondente. Essa situa
ção caracteriza um delineamento desconexo, ou não conectado.
Dentre as runções lineares paramétricas. as de
maior interesse prático são. em geral. os contrastes entre
ereitos de tratamentos. Assim torna-se importante a disponi
bi I i dade de ai gor i tmos er i ci entes que per mi tam evi denci ar •
num delineamento experimental desconexo, quais dessas run
ções lineares são estimáveis e quais são os grupos de
conexão do delineamento.
Um outro inconveniente em caso de perda de co
nexão é a diriculdade de se identiricar o número de graus de
liberdade de tratamentos ajustados para blocos e para a mé
dia, que em geral não são calculados substraindo-se uma uni
dade do número de tratamnetos, como é usual nos delineamen
tos conexos (balanceados ou não).
Existem algoritmos que permitem estudar a
estimabilidade de runções lineares paramétricas baseados em
2.
processos mat.r i ci ai s, em geral mui t.o onerosos em t.ermos de
memória e t.empo de comput.ação.
Por out.ro lado a revisão bibliográfica eviden
cia a ausência de publicações sobre o t.ema, direcionadas
para os verdadeiros e reais i nt-eressados , ist.o é, direciona
das aos usuários das ciências aplicadas.
Nesse cont.exto, aflora como um dos objet.ivos
dest.e t.rabalho, dissert.ar sobre o problema da desconexão de
modo prát.ico e diret.o, possibilit.ando. t.ant.o quant.o possível
a fixação e a divulgação dos conceit.os envolvidos ent.re os
leit.ores das ciências aplicadas.
Para tanto. optou-se por abordar os delinea
mentos de cl assi f' i cação dupl a, por consi der ar -se que el es
constit.uem um excelent.e recurso didát.ico e por entender-se
que a part.ir daí as generalizações são muit.as vezes imedia
t.as. Sob essa filosofia são abordados vários modelos linea
res como os superparametrizados e os de médias de caselas,
dentre out.ros, naturalment.e são exaustivamente exemplifica
dos.
3.
2. REVISÃO DA LITERATURA
2.1. Introdução
t freqUenLe. mesmo em bons planejamenLos expe-
rimenLais a perda de observações por diversas causas Lais
como acidentes. pestes. ausência do paciente. morte dentre
outr as. deter mi nando desbal anceamento dos dados, especi al -
mente em casos de delineamentos em blocos incompletos.
o estudo dos delineamentos com perda de parce-
las têm sido considerado a várias décadas. Segundo Allan &
Wishart citado por YATES (1933) foram os primeiros em abor-
dar este problema no ano de 1930 Cver também Tocher. 1952).
Eles fornecem duas fórmulas para estimar o valor de uma
observação perdida em delineamentos em blocos casualizados e
quadrados latinos. Assim. considerando y como o rendimento
dependendo do fator bloco b e do fator tratamento t pode-se
expressar esta relação funcional como y = b. + t + k onde k 1. j
é uma constante. e representa a produção de uma parcela
perdida minimizando:
ns-.1
E i. j
sob b .• t. e k. tem-se 1. J
Cy - b. 1.
4.
Cn + s - l)S - sS k = t.
Cn - 1) CS - 1)
onde:
s é o nómero de ~ra~amen~os;
n é o nómero de blocos;
S soma de ns-1 parcelas;
Sb é a soma t.ot.al de blocos sem os blocos com perda de
parcel a;
S é a soma t.ot.al de t.rat.ament.os sem as parcelas perdidas. t
YATES C1933) aplica o cri~ério de es~ima~ivas
de observações perdidas mediante a minimização de Soma de
Quadrados dos resíduos. Esse critério é recomendado pos~e-
riormen~e por TEDERCY C1955). COCHRAN & COX C1957). JOHN
C1971) , TAYLOR C1949), NELDER (1954), NORTON C1955) e
THOMPSON (1956).
Se existir mais de uma observação perdida
YATES C1933) recomendou o uso da ~órmula para o valor perdi-
do i ~er ati vamen~e, começando com um valor suposto par a a
parcela perdida, as iterações con~inuam até que os resíduos
nas parcelas sejam despresíveis.
É important.e ressaltar o ~ato que YATES (1933)
apresenta um modelo linear
y = ~e + &
onde:
y é o vetor de n ~ 1 observações;
~ é a matriz do delineamento n x p de posto r,
5.
e é o ve~or dos parâme~ros desconhecidos e
é o ve~or dos elemen~os não observáveis e dis~ribuídos
independent-emen~e com média zero e variância O'z.
Com o obje~ivo de minimizar as observ.3.ções
perdidas, YATES (1933) part.-iciona a expressão inicial do
modelo.
[ ~: ] = [=: ] e + [:: ]
considerando m como o número de observações perdidas e n o
~o~al de observações, de modo que Yz (de dimensão m x 1) é o
ve~or de observações perdidas é YJ. (de dimensão n x 1) e o
ve~or de observações presen~es. Assim a soma de qt..ladrados
dos resíduos fica:
S( e, y) = (y - ~e)' (y ~e) z
= lI y J. - ~J.efZ + II Y z - ~zellz
= S (e) + S (y e) J. z z
en~ão é possível minimizar a soma de quadrados do resíduo
com respei~o aos parâme~ros e e yz ob~endo-se primeiramen~e
a solução para e como se não exis~issem observações perdidas
" e dizer ~an~o, no processo de ob~er o es~imador e como na
solução de mínimos quadrados do resíduo são funções de y.
CORNISH (1940) ext-endeu o mé~odo de YATES
(1933) para cobrir um amplo espec~ro de delineamen~os expe-
rimen~ais.
HEALY & WESTMACOTT (1956) propuseram um mé~odo
i~era~ivo para es~ima~ivas de observações perdidas.
6.
HARTLEY (1956::> apr esent.ou uma t.écni ca par a
est.imar quando exist.ir apenas uma observação perdida.
BARTHELL (1937) apont.ou um pr ocedi ment.o não
it.erat.ivo, alt.ernat.ivo no caso de observações perdidas,
compl et.ando os dados com oval or zero nas m observações
perdidas e coní'irmou que seu mét.odo era similar ao mét.odo de
YATES (1933).
TOCHER C 1 952) prop6s um modelo de análise
padráo baseado no uso da not.açáo mat.ricial a part.ir da qual
-as observações perdidas são est.imadas e corrigidas.
WILKINSON (1958) baseado no modelo part.iciona-
do de YATES (1933) o qual adnrit.e perdas de observações apre-
sent.a uma f'órmula explicit.a para delineament.os padrões e
prova que a expressão Yz = ~2e é est.imável sendo que yz cor-
responde as observações perdidas, f'at.o que indica y = ~ e, 2 z
est.a expr essão é chamada sol ução de mí ni mos quadr ados par a
y. É import.ant.e ressalt.ar que se o post.o de ~ é igual ao 2 ~
post.o de ~ ent.ão a rest.rição impost.a a e é suficient.e para
" gar ant.i r a uni ci dade de e uni cament.e no caso em que o
delineament.o da matriz ~ é de posto máxímo. Assim por
minimização da soma de quadrados do resíduo com respeit.o aos
parâmetros não conhecidos e e os valores não conhecidos Y2'
após o processo se t.em
[I - ~ 2 C~'~) ~']y
2 2 = ~ (~.~) - ~. Y
2 _~ .1
o que impl!ca que a esperança dos valores perdidos é
ECy) 2
= R-~ 2
[2.1 )
7.
o citado autor observa que a coluna de ordem I
da matriz do 1 ado esquerdo [de 2.1) chamada matr i z R é um
ve~or dos resíduos obtidos pela análise de um vetor de dados
simulados com 1 na i-ésima observação perdida (de ordem 1) e
zero nas ou~ras parcelas; e do lado direito de 12.1J consis-
~e nos menores resí duos p nas parcel as perdi das quando o
dado observado é aumentado pelos valores ficticios, ou
seja, zeros nas parcelas perdidas . .Assim se m observ.::tções
sáo perdidas em um delineament.o experiment.al, pode-se
proceder a uma série de m+1 análises padrão com vet.ores de
dados inscrevendo os resíduos nas parcelas perdidas e
resolvendo as equações
RUBI N (1972) apresentou um aI gor i tmo si mpl es
baseado na análise de covariância o qual obtem-se a matriz
e o vetor p , mx1
onde m são as observações perdidas. R mxm
possível
.4ssi m medi ante uma subr oti na do aI gor i tmo é
encontrar-se uma matriz simétrica R mxm
Entretanto
se a matriz R for singular o método de Rubin não tem solu-
ção. Rubin acrescenta algumas ideias nas quais a matriz
singular R corresponde a uma solução onde se tenta estimar
um parâmetro para o qual não existem dados.
HASSEMAN & GAYLOR (1973) apresentaram um pro-
cedimento simples não iterativo para a obtenção de valores
perdidos, resolvendo um conjunto de equações lineares simul-
tâneas onde a matr i z de deI i neamento deve ser "conectada".
No caso de ausência de dados a matriz de coeficientes "R" é
8.
singular onde R é a ma~riz dos resíduos~ nes~e caso os valo
res perdidos podem ser es~imados por aplicação de algorí~mos
den~ro dos grupos de dados desconec~ados, levando-se em
consideração o n6mero de linhas e colunas. Os mesmos au~ores
apresentaram um procedimento similar para o caso de estima
ção de valores perdidos numa classiricação cruzada de p
fatores.
JOHN (1980), .~TH.l\}L{).RE & DO[)GE (1981) estuda-
ram as di!~erenças dos delineamentos em blocos incompletos
u~ilizando a ma~riz de incidência "N", ob~endo-se nesse
~r abal ho uma con~r i bui ção i mpor ~an~e no desenvol vi men~o de
algori~mos para de~ecção de conec~ividade.
Pos~eriormen~e LI (1982) apresen~ou um es~udo
de aproximação para conduzir a análise experimen~al de clas-
siri cação dupla com dados não balanceados, a~ravés da
solução de equações lineares simul~âneas. Os mé~odos
descr i ~os de es~i mação de valor es perdi dos são somen~e uma
solução parcial do problema, pois ~odos requerem a inclusão
de uma ma~riz singular, quando o delineamen~os da ma~riz
original ~ não é de posto máximo.
2.2. Blocos Casuallzados
Tra~a-se de um modelo linear para experimen~os
com um fa~or e uma res~rição na casualização. Em múl~iplos
experimen~os quando a na~ureza do ma~erial experimen~al é
he~erogênea, é recomendável a rormação de blocos com o obje-
9.
t.ivo de reduzir a variação residual, agrupando o mat.erial
experiment.al em blocos homogêneos.
2.2.1. Caract.erização
o modelo 1 i near que r epr esent.a esse deI i nea-
ment.o experiment.al apresentado por IEMMA (1987) é o seguin-
t.e:
y = '#.e + .6: Gauss Markov 1'Iormal
onde bvY~ é o vet.or de realizações de variáveis aleat.órias
y' = [y , ~~
... , y ~ Zv
e X bv ~+b+v
é a mat.riz conhecida do delineament.o
b + v - 1
(3
1 1
1 1
1 o
1 o bv
~
o
1
1
t. .1
1
o
1
o
e é um vet.or de parâmet.ros desconhecidos .1+b+v .1
t.
o
1
o
1
., Y J bv
de post.o
v
.1+b+v
a = [~ ] T = [:~ ]
& é um vet.or de variáveis aleat.órias não observáveis, t.al bv .1
que
2 e '" N C 4>. 10')
e cuja caract.erização é y .. l.J
f3. 1.
+ 7". + e .. , J q
2, , b blocos e j = 1, 2, v t.rat.ament.os
10.
onde i = 1.,
y. e o valor observado na parcela do bloco i que recebeu l.J
o t.rat.ament.o j
~ é uma const.ant.e inerent.e a t.odas as observações;
f3 é o efeit.o do bloco i 1.
T é o efeit.o do t.rat.ament.o j J
e é o erro .3.leat.ório at.ribuído a observação y, tal LJ tj
que e. '" N (0,02
) e post.o Ct;':) = b + v - 1 1.1
2.2.2. Equações normais
Em geral o sistema de equações normais em
blocos casualizados dado por ~~eo = ~'y, tem a forma:
i ! bv i v v v i b
! i b b J..l O G - -- ... -- -- - - ----------- --- ..... ---- --- ----- - ---- --t t
vi v O 011 i I
vi O v O! 1 f !
1 1
1 1
f30 B 1 1
f30 B 2 Z
i I I I I I
vi O O v \ 11 1 - - - i -- -- - - - - ---- -----_ -- i --_ - ______________ _
f30 = Bb b , I
bi 1 1 1! b t I ; 1 I b i 1 1 i O í i
O O
b O
tO T 1 1
tO T z z : I
i f I I
b l 1 1 1 O O b tO T 1 i v v
onde:
G é o total geral, B. é o total observado no bloco i e 1.
T. é o total observado no trat.amento j. J
11.
Dest.e modo é possí vel obt.er as sol uções par a
as equações normais. Em geral, para o sist.ema sem rest.rições
o [email protected] solução é dado por
e o = C '#.' '#,) o '#,' y
onde C'#.''#,)o é uma inversa generalizada qualquer de '#,''t:2..
Sabendo-se que y = Py = ~J.eo é invariant.e ""Iso
solução das equações normais, obt.em-se de maneira simples as
somas de quadrados dos t.rat.ament.os; assim
SQT = SQPar + SeR
onde:
SQT é a soma de Quadrados devida à variação t.ot.al;
SQPar é a soma de quadrados dos ereit.os mét.odos os parâ
met.ros;
SQRes é a soma de quadrados devida ao ereit.o dos fat.ores
não cont.r 01 ados.
2.3. Blocos Incomplet.os
Por razões econônú cas e de homogenei dade do
mat.erial experiment.al muit.as vezes não é possível a
ut.i 1 i zação de blocos que permi t.am alocação de t.odos os
t.rat.ament.os Co número de unidades experiment.ais num bloco é
menor que o número de t.rat.ament.os), Essa sit.uação ident.ifica
os Delineament.os em Blocos Incomplet.os.
Esses delineament.os roram int.roduzidos por
YATES (1936) quem generalizou o conceit.o dos ensaios em
blocos e apresent.ou t.écnicas para análise de experiment.os em
blocos i ncomplet.os.
12.
Aut.ores como SCHEFFÉ (1959) • CHAKRABARTI
(1952), JOHN (1971), RAGHAVARAO (1971), GRAYBILL (1976),
JOHN & QUENOUILLE (1977) e DPS & GHOSH (1985) consideram os
ensai os em blocos i ncompl et-os bal anceados C BI B) como aquel es
obt.idos por arranjos de v t.rat.ament.os aplicados nas parcelas
dos b blocos de t.amanhos
k , K ,. ,K 1. z v
onde CK < v) e sendo que o i-esimo trat.ament.o ocorre em r L
blocos, os t r a t.ament.os . " .1 , .1 ocorrem junt.os blocos
onde
(À < b), (i. i ' = 1. 2, . . , v; i ;z! i') .
Considere-se T. como o rendiment.o t.ot.al para o "
i -ési mo t.rat.ament.o e B. como o t.ot.al produzi do no j -ési mo J
bloco (i = 1 • 2, . , v' , j = 1 , 2, ... , b) e seja
T' = (T + T + + T ) e B' = (B + B + + Bb)·
1. z v 1. z
Define-se a mat.riz de Incidência N = Cn ) de 1.-J
ordem v x bonde n_. e o número de vezes que o i-esimo "J
t.rat.ament.o ocorre no j-ésimo bloco.
Nos BIB observam-se as seguint.es propriedades:
i) O experiment.o const.a de (~ ) pares de t.rat.ament.os e
cada par ocorre em À blocos;
ii) Cada bloco t.em ( ~ ) pares de t.rat.ament.os. assim em b
blocos t.em-se b ( ~ ) pares de t.rat.ament.os. Desse modo
À( v ) b( ~ ) = 2
e ent.ão v À (v - 1) = bk (k - 1).
13.
Além disso o número ~o~al de parcelas Cn) pode
ser ob~ido por bk ou rv. Assim a úl~ima expressão ~ransfor-
ma-59 em
i\ Cv - 1) = r Ck - 1)
o que fornece uma condi ç.ã.o de ba.l anceamen~o e permí ~e i sol ar
À,
i\ = (V - 2 ) k - 2
Os BI B sat. i sf azem a desi gual dade de FI SHER
(1940) b ~ v, consequen~ement.e r = k e por isso sáo chamados
delineamen~os simétricos.
2.3.1. Classi~icação dos BIB
Com o objet.i vo de apresentar os métodos de
cálculo mais viáveis e aplicar um melhor cont.role reduzindo
os er r os expr i ment.ai s • COCHRAN & COX C 1957) e r EMMA (1987)
classificam os ensaios de arB em 5 tipos:
i) aI a ~i po r: Quando os blocos podem ser ar r anj ados em
repe~ições de ~ra~amentos~
- sendo que o números de repe~ições é dada por
XCv 1) r = k 1
e o número necessário de blocos ob~idos é
v "- C v - 1:> = bk C k 1 )
b = v,,-Cv - 1)
- se b* e o número de blocos por repe~ição, então
• b b =
r
14.
ii) BIB ~ipo 11: Quando os blocos não podem ser arranja-
dos em repe~ições. mas podem ser arranjados em grupos
de repe~ições. nes~e caso o número de blocos é
À = ( kv ~ )
ist.o é verificado previament.e ao se obt.er À o número de
blocos para cada par de t.ra~ament.os. e a part.ir dest.e vaI ar
obter -se as repet.i ções dos t.rat.ament.os; se est.e valor é
"* comparado como t.ot.al dos blocos. para obt.er-se b blocos por
repet.ição. ent.áo
"* b b = -r-;
se o valor resul~ant.e é ~racionário; ado~a-se o ~ipo 11.
iii) BIE 111: Quando os blocos não podem ser arranjados
em repe~ições e nem mesmo em grupos de repe~ições de
~rat.ament.os; o número de blocos para cada par de
t.rat.ament.os será:
À = rCk 1)
Cv 1)
nest.e ensai o não á possí vel ob~er -se b· ao não cumprir a
condição do ~ipo I. que consis~e em que todos os tratamentos
:fossem repe~idos o mesmo número de vezes em cada repet.ição.
• • Por outro lado não é possível ob~er um BIB t~po 11 r = r g
onde g represen~a o número de grupos por bloco, por~ant.o 3 g
e [N Cnão exis~e um g per~encen~e a lJ-D, t.al • que r seja
int.eiro; not.a-se que W é o conjunt.o de números nat.urais.
15.
i v) EI E IV: Quando o númer o de t..r a t.ament.os é i gual ao
número de blocos. O número de blocos para cada par de
t.rat.ament.os será
À ( v 2 ) = k 2
e o número de repet.ições
À Cv 1)
r = k 1
Este esquema e um caso particular de um Bla do
t.i po I I I, no qual b = v. Acont.ece do mesmo modo para os
casos I e 11.
v) EIB t.ipo V: Quando o número t.ot.al de parcelas é pe-
queno em relação ao número de t.rat.ament.os e de blo-
cos, acarret.ando em pequeno número de graus de liber-
dade para o resíduo.
A eSse respeit.o é import.ante notar, que qual-
quer dos ti pos abordados ant.er i ormente pode ser ent.endi do
como um ElE t.ipo V. Na verdade a grande maioria dos aut.ores,
com exceção daqueles que seguem COCHRAN e COX (1997) adot.a
os t.rês primeiros t.ipos.
2.3.2. O Modelo Linear
De acordo com IEMMA (1987) se t.em
y = ~e + e CGMN)
onde.:
y é um vetor de realizações de variáveis aleat.órias bv :1
y = (y :1:1
16.
'#. é a mat.riz conhecida do delineament.o de post.o bv 1+b+v
1
1
1
1
sendo
coluna b + v - 1.
1
1
O
o
o
o 1
1
1
1
o 1
1
Cf
o
1
O
O
Oel)
1-1-b+v
A not.ação OC1J na últ.ima component.e da mat.riz
do delineament.o indica que o últ.imo t.rat.ament.o poderão estar
present.e no último bloco Cref'ere-se aqui aos blocos incom-
pletos) .
e é um vet.or de variáveis aleat.órias não observáveis. bv :1
z t.al que e ~ N C~, I~ )
O-modelo apresent.a a seguint.e caract.erização
i =1, ...• b j = 1. • v
\
\
17.
y. é o vet.or respost.a da parcela do bloco i que recebeu ~J
o t.rat.ament.o j;
~ é uma const.ant.e inerent.e, a t.odas as observações;
~. é o efeit.o do bloco i ; õ
T. é o efeit.o do t.rat.ament.o j; J
e e o erro aleatório atribuído a observação y., tal cJ õJ
que e ...,. N Ccp, ~j
2.3.3. Eficiência
De acordo com RAGHA~~AO (1971), uma caract.e-
r í st.i ca dos daI i naamant.os am blocos i ncompl et.os é a sua
eficiência, definida pela razão
E = r
onde V é a var i ânci a médi a das esti ma t.i vas i ntr abl ocos dos
cont.rast.es element.ares ent.re t.rat.ament.os, para o delineamen-
t.o de BIB considerado, e V represent.a o mesmo, para blocos r
casual i zados, usando o mesmo número de unidades experimen-
t.ai s; t.ant.o V e V são calculados com a suposição de que a r
variância residual int.rablocos seja a mesma em ambos casos.
De acordo com KEMPTHORNE (1976) , a variância
média nos delineamentos conexos vem dado por
1 " " 20-Z
V = E vct. t') = VCV 1) i. ;:é1.
i. \. H
onde
V - 1 V - 1 H = =
1 1 1 v-i.
1 + + ... + E e e e e
i. z v - .1- 1.=i. i.
18.
v é a variância média para es~imar os con~rastes elemen-
~ares~. ~ ~ 1. 1.
H é a média harmônica dos au~ovalores e da ma~riz C, 1.
onde i = 1, 2, ...• v 1, sendo um autovalor de C nulo
onde:
pois seu posto é v - 1 e. Por outro lado
v = r
r
r r v
n e o ~otal das parcelas, r ~ o nómero m~dio de
t· ,'. repe ... l.çoes
E =
dos tra~amentos, ent.ão
v-r =
z -20 /r = H/r
Sendo que a média harmônica de um conjun~o de
quan~i dades posi ~i vas não, pode exceder a médi a ar i ~méti ca v-.1
= E e" . l.
des~a quan~idades, e como Tr (C) 1.=.1
represen~a o traço da matriz c, tem-se:
v-.1
H:S E i. =.1
e en~ão
e/v - 1 í.
= Tr [ C) /v - 1 =
vr b E :S
rCv 1)
vr v
onde Tr [C)
b 1
para os delineamentos de igual repe~ição r = r à ericiência
será
vr - b E :S
rCv - 1)
A igualdade é válida somen~e quando os autova-
lores não nulos de C são iguais, is~o é, quando
e = e = .1 Z
= e = e v-.1
19.
nesse caso a média harmônica H desses autovalores é igual a
média aritmética
H = E eCv - 1) = Cv - 1) ecv - 1) = e i = 1.
se os autovalores de C são iguais o delineamento é dito ba-
lanceado e conexo, como será visto no capítulo 3 de conecti-
vidade. Segundo RAGHAVARAO (1971) o delineamento balanceado
é sempre mais eficiente dado que a igualdade para a expres-
sao de E se verifica.
Partindo da condição de balanceamento
E = V-./V = r 2xo:Z '/À.v
À. Cv - 1) = r cx - 1), se tem
À. r
Cle 1) = v b
então
À.v vCle 1) le 1 E = ---ri( = = leCv 1) v 1
=
./
./
nos blocos i ncompl etos tem-se le < v, e
Logo se t.em,
1 -le- > 1
-V ou 1 -k-
le
À.v
.x
V =
então
1 -V
1 1 - ~
1 < 1 - -V'
de modo que
E = À.V = ---ri(
1
1
1 )(
1 -V
< 1
1
1
1 -k-
1 v
Assim nos BIB a eficiência é sempre menor de
que 1, por isso deve-se dar preferência aos delineamentos
experimentais cuja eficiência E seja a mais próxima possível
de 1.
20.
~.4. Delineamentos em Blocos Incompletos Parcialmente Ba-
lanceados
Os B1B nem sempre podem ser aplicados em
problemas práticos. j á que exi gem um númer o eJ. evado de
repetiç5es. o que se raz necessário a utilização de outros
delineamentos.
POSE & NAIR (1939) int_roduziram os delineamen-
tos em blocos i ncompl etos parei aI ment_e bal aneeados C PBr B)
que requerem um menor número de parcelas que os B1B. Segundo
os autores um delineamento em blocos incompletos é parcial-
mente balanceado se satisraz as seguintes condições:
i) Os tratamentos são agrupados em b blocos de K parce-
las com direrentes tratamentos alocados em cada uma
delas.
ii) Existem v tratamentos que ocorrem em r blocos.
iii) Em relação a qualquer dos v tratamento, os demais
podem ser divididos em m grupos contendo, respecti-
vamente n, n, J. 2
..... ,. n tratamentos, m
tal que os
tratamentos do i-ésimo grupo ocorram juntos com um
determinado tratamento em À. blocos. Os tratamentos ~
do i-ésimo grupo são chamados de i-ésimos associados
do tratamento em questão e os valores de n , 1
n ,. .2
n m
e de À , 1
À , ••• , 2
são independentes m
tratamento considerado.
. . ,
do
21.
iv) Dados quaisquer dos tratamentos que são i-ésimo as-
sociados, o número de tratamentos que são j-ésimo
associados do segundo tratamento, e o mesmo sem
importar com que par de i-ésimo associado se inicia.
Este número se representa pelo símbolo ademais
t 1.-
P = P 1 k k j'
No conceito de BOSE & NAIR (1939), os pares de
t.rat.amentos que ocorrem junt.os num mesmo bloco, cham.3.m-se de
primelros associados, o número de primeiros associados é
dado por i\. Os pares de tratamentos que não ocorrem juntos :1
num mesmo bloco, chamam-se de segundos associados, o número
de segundos associ ados é dado por i\ " z
Considere-se o seguinte modelo
y.. = f-J + (3 + T. + e l.J i. J i.. i
i = 1, 2. " , v
j = 1. 2, """. b
onde:
y .. é a observação do i-ésimo tratamento no j-ésimo bloco; l.J
~ é uma constante inerente a todas as observações;
T i.
e .. l.J
métrica
é o efeito do i-ésimo tratamento;
é o erro experimental associado a observação y .. " l.J
Supõe-se e ..., N CO, i.j
OZ) são independentes.
o modelo tem em consideração a restrição para-
E i. =1
t i.
= O
e efetuando a conveniente partição da matriz ~
onde:
~ J :3
v~ é o ve~or de coelicien~e associados a média~ rv :1
22.
V~ é a ma~riz dos coeficien~es associados aos ~ra~amenrv Z
~os;
v~ é a ma~riz dos coelicien~e associados aos blocos. rv 3
() vet.or e e particionado conforme a part~ição
da ma~riz ~ como segue
~ ~J. :1
~ ~
b~:1 ~z = z = V :1
~ ~b v
o sis~ema de equações normais é
&f(&f(e = &f(' y
[ &f('&f( &f('~ &f('~
:1 :1 :1 Z :1 :3
&f('&f( &f('~ ~.~ Z :1 Z Z Z :3
&f('&f( &f('~ &f('~ :3 :1 :3 Z 3 :3
~'&f( = bk = rv = n é o número ~o~al de unidades experimenJ. :1
~ais ou parcelas
23.
2.5. Equaçõ~s Normais R~duzidas
Segundo IEMMA (1987), considera-se a expressão
vetorial das observações como y = ~e + ~. Nest.e modelo
linear a coluna correspondent.e à média na mat.riz de delinea-
ment.o ~ é dependent.e das demais colunas.
Com o objet.ivo de se obt.er o sist.ema de equa-
ções normais reduzidas a coluna correspondent.e à média será
suprimida de modo que a mat.riz de delineament.o t.erá a se-
guint.e forma part.icionada.
ond~:
~ é a mat.riz dos coeficient.es associados aos blocos; 1
~ é a mat.riz dos coeficient.es associados aos t.rat.amenz
t.os. Assim o modelo pode ser escrit.o da forma
y = [~ :l
~.) [ __ ~_ ] + e
y='If{,(3+~T'+~ 1 Z
A expressão no sist.ema de equações normais na
forma mat.ricial é
[ ~.~
:l :l
~.~ Z 1
ou
mult.iplicando [2.5.1J por ~ 'If{,' vem 2 :l
r 2.5.11
[2.5.21
24.
ções sobr~ o espaço geral pelas colunas da matriz ~ do deli-
neamento, tem-se
'2j{''2j{' 2 1
o + o + (J + lJ?,' lJ?, l1< l1< T = l1<' l1< l1< y,
2112 211
est~a expressão é subtraída de 2.5.2 obtendo-se
~~~ I ~~ (?,o _ 2 1
'2j{':?X TO 2 Z
~Z' Y z
~' (I - P) 'Ifl. TO = 'Ifl.' (I - P ) Y Z 1 Z Z 1
[2.5.3]
Que a expressão do sistema de equações normais
reduzidas para efei tos de tratamentos eliminando-se desse
modo o efeito da média e blocos.
Muitos autores adotam a forma
[2.5.4]
onde
c = 'Ifl.' (I - P) 'Ifl. 12.5.5] 2 1 2
e
Q = 'Ifl. (I - P) y 2 1
[2.5.6]
então
C = 'Ifl.''Ifl. ~' P 'Ifl. 12.5.7] Z Z Z 1 Z
sabe-se que 'Ifl.''Ifl. = R = v I é a chamada matriz de repeti-Z Z (v>
cões dos tratamentos e 'Ifl.''Ifl. = K = k I é a chamada matriz 1 1 eb>
dos tamanhos dos blocos dado que
projetor correspondente aos blocos.
P 1
= 'Ifl. ('Ifl.' 'Ifl. )-1 1 1 1
~' 1
e o
Substituindo estes valor em [2.5.7J se tem a
matriz
pois
sendo ~'lfl. = N' 1 Z
c =
C =
25.
R ~'~ C~' ~ )-.1 ~'~ Z J. .1 .1 .1 Z
R 1
~' >R >R' >R -k- z .1 .1 z
(>R' ~ )-.1 1 I = _k-
.1 .1 (b>
C R 1 NN' ~ = ---k
[2.5.9J
onde N e a matriz de incid~ncia dos tratamentos nos blocos;
então os valores das parcelas para
se o ~ra~amen~o j es~á no bloco i N = (6)
LJ caso contrário
no caso dos delineamen~os em BIB a estrutura matricial será
v
v NN' =
l v v v
onde:
r = é o número de repetições por tratamento;
l = é o número de vezes que se repetem os pares de tra-
tamentos no número de blocos.
Deste modo, a matriz C é racilmente obtida por
quanto
C = CC' ) í.j
= { _rC~-1) -k- se j
se j = j' para j = 1, 2 v
= j'
De modo semelhante procede-se para se obter a
matriz Q
Q = ~' Z
1 C1 - P )y = ~' y - N ~' Y
.1 Z ~ .1 [2.5.9]
26.
dado que ~'y = T é o vetor dos totais dos tratamentos igual-2
mente ~'y = a é o vetor dos totais dos blocos~ a qual permi;l
te se expressá-lo como
1 Q = T - ~ NB rZ.5.10J
CHAKBARARTI (1963) apresenta a matriz C medi-
ante a expressão:
C = (A' A) - N C B' B) -1 N'
onde A ~ a matriz de coeficientes dos tratamentos, B ~ a ma-
triz de coeficientes dos blocos e N ~ a matriz de incid§n-
cia; C é a chamada matriz reduzida intrablocos.
Uma outra forma de obtenção do sistema· de
equações normais reduzidas nos delineamentos de blocos in-
compl etos é apresentado por RI BOLDI C 1 998). no desenvol vi-
mento teórico para análise de experimentos em blocos incom-
pletos parcialmente balanceados (PBIB).
Observa-se nesta seção a relação existente
entre as propriedades dos delineamentos em blocos incomple-
tos e o conceito de estimação expressado no sistema de
Equações Normais Reduzidas eliminando-se o efei to de blocos.
O estudo de estimação por sua vez, leva á menção de funções
lineares paramétricas estimáveis da forma À'e, com v v
-;..:.. - ~ -/,L: - W / i\ i=1
À'I À = O i.
denominados contrastes elementares do tipo t t' o que i
permi te estabel ecer a conti nui dade ou desconexão entre os
parâmetros.
Esse procedi mento de obtenção do si stema de
equações normais reduzidas é apresentado por IEMMA (1997).
27.
2.6. Estimabilidade
DEFINIÇÃO 2.6.1. - De acordo com RAO (1945). Dado o modelo
linear y = ~e + e CG.M.O.). En~ão uma lunção paramé~rica À'e
é di t.a es~i máveI se exi s~i r ao menos uma combi nação das
observações dada por a' y, ~al que E[a' yJ = À' e.
2.6.1. Caracterização
Sejam y , . 1
os valores que assumem
as variáveis alea~órias y, sendo sua esperança mat.emá~ica,
uma combinação linear de parâmet.ros desconhecidos. O vet.or
de n observações será descrito por y'
o vet.or de parâmetros por e' = Ce. e , 1 2
. . ,
. , y) e n
e ) . n
A esperança da variável y pode ser expressada
matricialmente como:
Y1. >J< >J< >J< e .1.1 1.2 1.m 1.
Y2 )X >J< >J< e
ECy) E 21. 22 2m 2 >J<e [2.6.1 aJ = = =
Yn >J< >J< >J< e n.1 n2 nm m
onde >J< = Cn ) é uma matriz n x n de constantes conhecidas. A i.j
variância de y é VAR Cy) = 02!.
Uma lunção paramétrica linear
t' e = t e + t e + .. 1. 1. Z 2
é dita estimável se existir a'
+ t e m m
= Ca , a , 1. Z
E C a ' y) .= l' e
como E Ca'y) = a'>J<e então
>J<'a = t
• • • t
[2.6.1bJ
a) tal que n
28.
Uma condição necessária e suf'icient.e para a
exist.ência da solução de a para {2.6.le] é
post.o C~) = post.o (~ I D [2.6. 1 e}
Teorema [2.6.1J Uma condiç..áo necessaria e suficient~e p.3.r3.
que uma função paramét.rica l'e seja est.imável e que cumpra a
condição I2.6.leJ.
2.6.2. O Método dos >OUnimos Quadrados
É um dos mais ant.igos mét.odos de Est.imação~
foi desenvolvido independent.ement.e por Gauss no ano 1809 e
Legendre ano de 1906 segundo SCHEFFÉ (1969). Post.eriores
melhorament.os na t.eoria de mínimos quadrados t.em sido regis-
t.rados após o t.rabalho de Markov no ano de 1900 de acordo
com SCHEFFÉ (1959) e PLACKETT (1949), AI TKEN (1935), BOSE
(1949), NEYM.~ & DAVID (1938), PAASEN (1961), RAO C1945a -
1962), 2YSKI ND & MARTI N (1969).
a) Mínimos Quadrados Ordinários
t.ipo V
rios.
z = lO",
Quando a mat.riz de covariâncias dos erros é do
t.em-se o mét.odo dos mínimos quadrados ordiná-
Nesse caso, o sist.ema de equações normais fica
~' ~e = ~' y
Se a mat.riz de delineament.o ~ t.em post.o coluna
complet.o, ent.ão ~'~ é posit.iva e port.ant.o não singualr nest.e
caso o sist.ema t.em solução única dada por
29,
" e = c)fi'~) -.1 ~' Y
Se a mat.riz de delineament.o ~ não t.em post.o
coluna complet.o, ent.ão o sist.ema não apresent.a solução úni-
ca. São soluções dent.re out.ras:
VJt = &-'\ y; .~ ... = 2}<. y
b) Mét.odo de Mí ni mo Quadr ados Ponder ados C GM)
Quando a ma t.r i z de cov·ar i ânci as dos er r os é do
t.ipo V = D?-2 com D ~ I e D é mat.riz diagonal, n.3.o slngular,
ent.ão o sist.ema de equações normais é do t.ipo.
De modo análogo ao ant.erior. se ~ post.o coluna complet.o, a
solução única é dada por
E se ~ não t.em post.o coluna complet.a, uma so-
lução é. por exemplo.
c) O Mét.odo dos Mínimos Quadrados Generalizados
Em mui t.as si t. uações exper i ment.ai s • os dados
pela própria nat.ureza do experiment.o, não podem ser analisa-
dos at.ravés do modelo Gauss Markov Ordinário, nada se pode
garant.ir sobre condições como homogeneidade de variâncias e
independência dos erros. Na prát.ica. as condições de homoge-
nei dade de var i ânci as e de i ndependênci a não são sempr'e pos-
síveis de cumprir. daí a import.ância de se ut.ilizar o modelo
de mínimos quadrados generalizados.
30.
Segundo a conceituação de KSHIRSAGAR (1983) e
IEMMA (1987), considere-se o modelo Generalizado Gauss Mar-
kov Normal CG.M.N.).
r i ânci as dos
y = »Ze + s [2.6.2aJ
Nest.e modelo a mat.riz de variâncias e cova-
z erros assume a forma DO' , onde 0'2 não é conhe-
cida e a matriz O é conhecida é positiva definida e t.em es-
t.rut.ura mais geral que as formas diagonais ant.eriores.
o método de obt.-enç.3.o dos BLUES das f unções
I i neares est.i mávei s de e neste modelo é conheci do como o
Mét.odo de Mínimos Quadrados Generalizados (Equações de
Ai tken).
o problema de se estimar e pode ser reduzido
quando o modelo tem resí duos não correI aci onados, ao se
t.ransformar y em outras variáveis. Assim considere-se n como
uma mat.riz positiva definida, ist.o implica que, l:!. mat.riz
não singular, tal que
C=> l:!. - ~ l:!. -~ = n
~ l:!. n,ó' = I
considerando a expressão do modelo linear dado por [2.6.2aJ
e pré-multiplicando ambos lados por a matriz ,ó t.em-se
l:!.y = .ó}}l..e + l:!.s
fazendo o seguinte câmbio de variáveis
z = l:!.y; e e = l:!.s
obt.em-se Z = W& + e [2.6.2bJ que é a expressão do sistema de
equações normais transformadas a part.ir do qual obt.ém-se
ECe) = EC~e) = ~ECe) = ~CO) = O
VCe) = .t:J.D0' 2 ~ , 2 O'
31.
r 2.6. 4c J
Que nos I eva de vol t.a aos mí ni mos quadr ados
ordi nár i os.
Ent.ão o sist.ema de equações rica:
Ou, recuperando ~ e y
Que é O sist.ema de equações normais generali-
zadas, também conhecidas como sistema de equações de AITKEN.
De modo análogo aos anteriores, se ~ tem posto
coluna completo a solução única é dada por
Se ~ não tem posto coluna completa uma solução é
e O = c~'n-j,~)a ~'n-j,y
'fi G - inversa de ~. n-j,~.
Nesse caso, tem-se o modelo "-
y = ~e + e
onde:
y é um vetor de realizações de variáveis aleatórias; n j,
~ é uma matriz conhecida de posto k ~ min {no p>; n p
e é um vetor de parâmetros desconhecidos; p 1.
e é um vetor de variáveis aleatórias não observáveis n 1
tais que e - NC~; n0'2).
32.
2.6.3. BLUE (Melhor Estimador Linear Não Viesado)
Segundo SCHEFFÉ C 1 959) ,SEARLE C 1971), R.ll..GHl~VA-
R!-\O (1975), IEMH.t\ (1987), t.em-se as seguint.es definições e
t.eoremas que caracterizam o BLUE C Best. Linear Umbiased
Est.i ma t.or).
DEFINIÇ.Z,O 2.6.3.1. - Dado y = ~e + e CGMO) , enUio se À' e é
est~mável o sistema consistente ~'~p = À é dito sist.ema de
equações normais associadas.
Teorema [2.6.3.1) fRAO (1945)) - Uma condição necessária e
suficient.e para que À'e seja est.imável no CGMO) e que À &
CC~') Cpert.ence ao espaço coluna ~).
Teorema [2.6. 3. 2) Se À' e é est.i mável, ent.ão seu "BLUE"
"-pode ser obt.i do de: À' e = p~' y úni co, onde p é qual quer
solução das equações normais associadas.
Teorema [2.6.3.3) - Uma condição necessária e suficient.e pa-
ra que À'e seja est.imável é que a post.o C~'~)=post.o (~'~\À).
DEFINIÇÃO 2.6.3.2 - Dado o modelo CGM) , sejam t.odas as com-
binações possíveis a'y t.ais que E [a'y) = À'e. Dent.re elas, .. .. seja a 'y. Ent.ão a 'y é definido como o melhor est.imador não
viesado de À'O se e soment.e se:
.. var [a ' y) = mi n var [a' y), V a' y E [a'y) = À'e
33.
* a 'y é conheci do como BLUE de À' e C Best. Li near Umbi ased
Est.imat.or) e denot.ado
"BLUE" de À'e = À'e
Pode-se t.est.ar se He é est.imável partindo do
fato que x'e é est.imável então 3 a: ~'a = À ~ À' = a~'; pós-
-multiplicando-se por H, temos
onde X's é estimável então À'H = X', o que implica que X é
comblnaçáo linear dos paràmetros do SEN e está incluindo em
X' estimável. Deste modo é confi~ada a hipót.ese testada.
É import.ant.e salient.ar que no caso de Est.ima-
ção de delineament.os de Blocos Incomplet.os não. balancea-
dos são válidos as conceit.uações de est.imabilidade em geral.
2.7. Influência dos Efeitos Fixos e Aleat6rios na Estima-
ção de Parcelas
2.7.1. Conceituação
Existem fórmulas apresent.adas por YATES (1933)
para estimação de parcelas perdidas no delineament.o em
blocos casualizados CDBC). assim como nos quadrados lat.inos.
o procediment.o ut.ilizado e o de Minimização da soma de qua-
drados dos erros, onde as equações result.ant.es são resolvi-
das para os valores est.imados das parcelas perdidas.
Nos DBC é aplicada uma f'órmula para obt.enção
de uma estimativa de parcela perdida, no caso de mais de uma
34.
parcela perdida a fórmula é utilizada interativamente. A su-
posição básica de muitos autores é que dita fórmula adequa-
-se a modelos fixos, aleatórios ou mistos. A continuação
mostrar-se-a que efetivamente a est.imat.iva clássica de perda
de parcelas é imparcial independent.ement.e do modelo adot.ado,
porém não tendo variância mínima em t.odos os casos. Existe
var i ânci a mí ni ma uni camente quando os e:f ei tos dos :f.a tor es
[::-e. acordo com l'-1URRAY C 1988) , ut.i 1 i za -SE? o
modelo de médi as apresentado por HOCKI NG C 1985). Dado um
delineamento em CBlocos casualizados) CDBC) com t tratamen-
tos e b blocos e a parcela perdida na posição Cp. q) a fór-
mula usual para obter uma estimativa da parcela perdida é:
"-
Y = {ty + by Y )/Ct l)Cb - 1) pq p. • q
[2.7.1aJ
ou ,...,
Ypq = {C t-l)y + Cb-1)y E y .. t. b ) p. .q
i,;o!p l.J/ ( -.1)( -.1>
[2.7.1bJ
j;o!q
2.7.2. Caso em que os dois fatores são fixos
o modelo de médias do DBC de efeitos :fixos e
y = 1-' .. + e .. i.j l.J l.J
[2.7.2a1
Sendo os erros independentes e identicament.e
distribuídos com
:z e .. '" NCO.lo )
l.J
sob o suposto de não i nteração entre bloco e tratamento,
então o modelo toma a forma
f.-l. ~J
onde f.-l. = f.-l. / b 1.. L
E C Y ) 'J
= 1-'. ~J
com a
f.-l. f.-l + f.-l = O 'fi ~. • j ~j
e f.-l = f.-l / t. e . j . j
rest.ri ção [2.7.2bJ vem
= 02 para i = i' &
COV [Yi.j' Y v yJ = O
35.
[2.7.2bJ
f.-l = f.-l / t.b ent.ão
e j = j'
em out.ros casos. Ent.ão a est.i mat.i va da parcel a perdi da tem
esperança
Ef Y ) = pq
( t -1) (p -p ) +C b-1) C I-' -p ) -C I-' -p -I-' +f-l ) p. pq . q pq p. q pq
Ct. - 1) Cb - 1)
Desenvolvendo a expressão no membro e
expressando as médias em t.ermos dos seus equivalent.es se t.em
t.f.-l - t.f.-l + bf.-l - bf.-l + f.-l - f.-l p. pq . q pq pq
somando e subt.raindo t.b f.-l no segundo membro se t.em pq
C t. - 1) C b - 1) f.-l - t.b C f.-l = pq pq
Ct. - 1) Cb - 1)
Ct. 1) Cb = f.-lpq = Ct. 1) Cb 1)
Ef Y J = f.-l pq pq
Sua variância será
f.-l p.
v [y .. J = (72 C t. + b - 1) / C t, - 1) C b - 1) 1.J e
e t.odas suas covariâncias são zero, pois
E Cy ) p. = E Cy
p. ypq ) = f.-l p. f.-lpq
E Cy ) .q = E Cy ypq
) = f.-l f.-lpq .q .q
E CY .. ) = E f E y .. y y + Ypq i.;o:!p I.J i. j I.J p. .q
j;o:!q
= E tE y .. Y y + Y pq i. j
1.1 p. • q
= f.-l f.-l f.-l f.-lpq p. .q
)
)
(2.7.2cJ
l2.7.2dJ
36.
e sendo que
I-l = bl-l p. p.
I-J = t-I-J .q .q
I-J = t-bI-J
Pssim, sob a suposição de não int-eração, ent-re
" os ratores rixos. Y é imparcial para I-J Assim no caso de
~J Pé<
um ou ambos fatores serem aleat-óriaos não adot-a est-a rorma.
o dei i neament_o de blocos casual i zados pode ser consi derado
um caso especial do modelo misto de dois fatores, com
interação de component-e zero.
2.7.3. Blocos Aleatórios e Tratamentos Fixos
o modelo é dado por
Y =I-J +b +e . i.j i j ij
[2.7.3aJ
onde I-J. é uma constante e b ~ j
e e .. ambos são aleatórios e ~J
independentes. A suposição de não interação bloco por
tratamento, e que não existe efeito aleatório no bloco por
tratamento,
e
assim cl = O, bt.
ent.ão
z z = O' + O' e b
Z = Oh
= O
par a i = i', j = j' i ~ i', j = j' out.ros casos.
= E [y.. - E (y .. ) ) [y.. - E (y .)) ~J ~J ~J ~'J'
37.
- E C y) Yt' 'J' + E C y) E C Y .))
I.J '-J VJ'
se
i = i' j = j'
cov [y , y) = VC y) . tJ tj tJ
12.7.3bJ
Substituindo 12.7.3bJ pelos seus componentes,
e considerando que tratamento e rixo e blocos são aleató-
r i os , tem-se
C )í ) ECb 2 -) ) cov y = + Ce - = 1. J t j '- j
(y. ) 2 2
cov y = o- + o-LJ' tJ b €fi'
Seguindo o procedimento anterior tem-se
quando i ;J1! i' e j = j'
.l\ssi m a est.i ma t.i va da par cel a per di da pode Ser
expressada
ECy ) pq
"-
ECy ) pq
VCy ) pq
VCy ) pq
Ct-1)Cb-l)~ +Cb-1)C~ -~ )-Cb-1)C~ -~ ) p p p
= C t.-1)C b-1:)
Cb-1)~ Ct-1) p
= C b-i ) C t -1 :)
= ~p
E a sua variância será
= {Co2+O'2)Ct+b-1)+O'2Ctb-2t-2b+2»/Ct-1)Cb-1) e b e
= 0'2 Ct+b-l)/Ct-l)Cb-l) + 0'2 e b
[2.7.3cJ
[2.7.3dJ
[2.7.3eJ
De [2.7.3dJ not.a-se que o primeiro termo pro-
vém da VCy.) 1.]
e o segundo t.ermo de covCy .. , I.J
e também
existe semelhança da variância VCy ) pq
entre [2.7.2dJ e
[2.7.3eJ e ademais as esperanças dos termos:
Cb - 1)y .q
e E i.~p
j~q
38.
y--1.]
em [2.7.3cJ se cancelam pelo que nâo contribuem para ECy ). pq
A esperança restante e do termo do tratamento Ct-1)y então p.
uma candidata para estimar a parcela perdida e a média dos
tratamentos
y p.
= E j~q
y _ / Cb - 1). pj
.6. est-imativa de mínimos quadrados nâo pondera-
do que e claramente imparcial
v Cy ) p.
_ z = lo
e
para ~ , tem variância p
+ 0-2
) ---- b - 1. b
S d 2 2 -.-en o o- e o pOS~~~VOs, se tem que e b
v Cy ) > V Cy ). pq p.
assi m a condi çâo do componentes de var i ânci a posi ti va e
restr i ti va.
Como, por hipótese, a matriz de covariâncias
das y .. é positiva def'inida então os autovalores de V sâo I.J
todos positivos. No caso de perda de uma parcela, os
autovalores de V são 02
com multiplicidade Ct - 1) Cb - 1) + &
Ct 2) 2 2 = tb - b - 1; 0& + t.O'b com multiplicidade b - 1 e
2 O' + Ct.
& 1) 0': com multiplicidade 1. Sob as condições menos
restritivas e que estes autovalores sâo positivos.
Sabemos que VCy ) pq
estimati va da parcela é desejada,
> VCy ). p.
P\ssim se
é melhor
uma
I nf'el i zmente y nâo é de var i ânci a mí ni ma uni f'ormemente p.
impacial CM.M.V.).
É importante e suf'iciente que as médias dos
"-t.ratament.os rest.antes y. C i = 1, ... , p - 1. P + 1.
1.. . . . , t.).
39.
Tenham var i ânci a C CfZ ~
Z + ~Cf ~/b e sejam uniformemen~e impar
b
ciais para as médias das parcelas
1-'. = C i = 1, P - 1. P + 1. ~
tJ.
2.7.4. Caso em que Ambos fatores são Aleatórios
Quando os dois fatores sáo aleat6rios. o mode-
lo de médi as para o deI i neament~o vem dado por
Y.=I-'+t +b.+e LJ J cJ
onde I-' é constante e ti.' b e e. são todos al eat6r i os e j 1..]
mutuamente independen~es, então a esperança das observações
do delineament.o é E [y .. ) = I--l sua covariância vem dada por l.J
[Y. ) 2 2 2
i . ,
j cov YVY = CI + CI + CI para = ~ . =
1.] ~ b t
2 i ;a! i' j = CI = b
2 i i • j ;a! = CI = t
j'
j
j
= O em out.ros casos
cov Cy .. YVj') = E [y .. - E Cy, .») [ YVj' - E Cy .. ») ~J ~J 1.' J' ~'J'
para i = . , ~ , j = j ,
= E { 2 - rE Cy .. ) )2) y, . ~J ~J
= E [C I-'+~. +b, +e. , )2 [EC I-'+~. +b+e, , »)2 ~ J l..J lo J lo]
Cy, . ) 2 2 2 cov YVj' = CI + Cl
b + Cf
l.J t " Para o caso de
i ;a! i ' e j = j ,
E Ct t ) 2
E Ce ) E Ce, . ) = + Cfb
+ i. V ij l.J
covCy, ) 2
YVi
= Cfb l.J
40.
Segue-se o mesmo procedimen~o para o caso
quando i = i' e j ~ j, pode-se mos~rar que Ypq
é imparcial
para IApq
Sendo
z V [y ) = [O' C~ + b - 1) / C~ - 1) Cb
pq e 1))
z + O' +
t
um es~imador alterna~ivo a média geral é
y = 1: ( í. , j > ~(P.q )
y / C tb - 1) 1.J
sendo imparcial também para a média IA tendo como variãncia
VCy ) = z
O'
C~b - 1) +
novamen~e pode ser mos~rado que
z se O' , e
VCy ) > V Cy ) pq
2 2 O'b e O't são ~odos posi~ivos.
- 2b + 1) z
O' t
Conclui-se que o processo de es~imação no caso
de perda de parcelas no delineamen~os, de blocos casualiza-
dos, quando os ~ra~ament.os e blocos são alea~órios, sua
es~ima~iva é imparcial, mas não ~em variância mínima, só
~erá variância mínima quando os ~ra~ament.os e blocos são
fixos.
As variâncias das est.ima~ivas das parcelas
perdidas nos diferent.es t.ipos de delineament.os apresen~a a
seguin~e desigualdade.
Var Cfac. fixo) < var (fac. míst.o) < var (fac. alea~ório)
41.
3. METODOLOGIA
3.1. Conectividade
3.1.1. Conceito de conectividade
A idéia de delineamentos conexos ~oi introdu-
zida por BOSE (1949) na ~orma de uma cadeia entre blocos e
tratamentos. Um bloco e um tratamento são conectados se
perder formar uma cadeia de tratamentos e blocos da ~orma:
tratamento-bloco-tratamento- bloco-... -tratamento, começando
com o fator A Ctratamento:> passando através da cadeia
(bloco) para associar-se, dessa ~orma, vários blocos na ca
deia são associados mediante tratamentos adjacentes entre
si. Poster i or mente CHAKRABARTI (1 963) de~ i ne conecti vi da de
do seguinte modo, um delineamento é conectado se a matriz ~
Citem 2.6) é de posto v-i; essa de~inição é equivalente à
dada por BOSE (1949), o autor trabalhou com blocos casua
lisados de e~eitos ~ixos com parcela perdida.
WEEKS & WI LLI AMS (1964) de~ i nem a conecti -
vidade da seguinte ~orma: um modelo é conectado se todo
contraste simples de di~erenças de dois níveis de um ~ator é
estimável".
42.
3.1.2. Definições e teoremas
DEFINIÇÃO 3.1.2.1 [RAGHAVARAO, 1971): Define a conecLividade
como~ Um delineamento 4 dito conectado se todos os contras-
Les elementares s.âo esLimáveis. Se não aconLece ist.o, 4
chamado del i neamento desconexo. Todos os aULores ciLados
rest.r i ngi r·~m o concei to de conecLi vi dade aos del i ne~menLos
de dOls fatores sem interação.
TE':':'EEl''Í.6. 3. 1 . 2. 1 [R.L\.(3HA'J.6R.6.0, 1971): A ma t r i z {: de del i nea-
mento de um bloco CBIE) que satisfaz
<t E = O v ~
onde ~ é uma matriz singular e tem E como um vetor caracv .t
terístico igual a zero, <t é de posto máximo igual a v-i, de
fato o posto da matriz ~ é relacionado à propriedade das
conexões do delineamento.
TEOREMA 3.1.2.2 [RAGHAVARAO, 1971): Um delineamenLo de blo-
cos incumpletos é conectado se e somente se o posto da ma-
triz <C é v-l.
TEOREMA 3.1.2.3 [RAGHAVARAO, 1971): Num delineamento conec-
tado os el ement.os da di agonal pr i nci pal da ma t.r i z <C são
t.odos positivos. Além disso os menores principais de t.odos
as ordens Cl, 2, ... , v-l) da mat.r i z ~ são todos posi ti vos.
TEORE~~ 3.1.2.4 [RAGHA~~AO, 1971); Num delineament.o conec-
tado, os cofatores de todos os element.os da matriz ~ t.em o
mesmo valor positivo.
Das definições enunciadas pode-se inferir uma
propriedade import.ante que caract.eriza os delineamentos em
43.
blocos: A conec~ividade fornece es~imadores não viesados dos
con~ras~es elemen~ares dos ~ra~amen~os.
ECCLESTON & HED.l\YAT (1974) classificam os de-
line3_mentcs conexos, procurando ot-imizar as análises dcs ex-
perimen~os com essa carac~eris~ica.
Es~es au~ores classificam os delineamentos de
blocos incomple~os conexos em ~rês ca~egorias:
~) Conex5es Locals: Um delineamento é dito ser conectado
na esti mação.
b) Conexões Globais: Um delineamen~o é di~o ser conectado
globalmen~e quando todas as observações par~icipam na
es~imação.
c) Conexões Pseudo-Globais: Este ~i po de deI i neament-o
reune as duas caracteris~icas do delineamen~o local
e do delineamen~o global.
A~endendo a es~rutura dos dados, pode-se ca
rac~erizar a conectividade como:
1) De es~ru~ura Conexa: Des~e modo abrange ~odos os deli
neamen~os de blocos incompletos, sejam es~es balancea
dos ou parcialmente balanceados, mais um setor dos
BNB.
2) De estrutura Desconexa: constituído pelo restante do
se~or de blocos não bal anceados, como se observa no
gráfico.
DELINEAMENTOS EM BLOCOS INCOMPLETOS
B IB
PBIB
DELINEAMENTOS CONEXOS
BNB
DELINEAMENTOS
DESCONEXOS
44.
DEFINIÇ.40 3.1.2.2 fRAGHAVARAO, 1971) : Um delineamento t?
balanceado se todos os contrastes elementares sáo estimá~eis
cc-:)m a mesma preci s:3.o. Essa e uma. condi çào necessár i a e
suficiente de balanceamento nos delineamentos conexos.
Segundo RAO (1958), afirma que um delineamento
é balanceado se e só se ~odas as raízes características da
matriz ~ são diferentes de zero e iguais entre si.
3.2. Modelos de Médias
3.2.1. Conectividade em modelo de médias
GRAYBILL (1961~ apresenta um modelo de efeitos
fixos como segue:
'f = '#.~ + & [3.2.1a]
'1, '#., e ~ são parâmetros já conhecidos. o vetor & - (0,I02),
o modelo apresentado não con~empla interação entre blocos e
tratamentos. A equação do modelo é:
y ~jk = f..l + T ~ + ~j + & i.j k 13.2.1 bJ
onde i = 1, 2,..., v; j = 1, 2 •... , b; k = O, 1, 2, ... , n.. e e 1.J
denota o vetor de parâmetros de dimensão v+b+l, no caso de
45.
total de par cel as (del i neamentos conexos) a ma tr i z '#, é de
posto v+b-l e os componentes i ndi vi duai s de e não são
estimáveis individualmente, o valor esperado na parcela i,i
e chamado de médi a da p.arcel.::t i, j e si mbol i zado por
Assim
EC Y ) = f.-I . = i.jk i. J
t-J+T +b J
r 3.2. j cJ
Uma al ter na ti va par a a expr essão {3. 2. 1 a J em
termos do valor esperado é:
13.2.1dJ
o modelo r3.2.1dJ contém vb parâmetros, os
possíveis valores que assume a expressão [3.2.1cJ não são
Iuncionalmente independentes, e sua relação Iuncional vem
dada por:
f.-I /-I. - /-I. + /-I = O 1. 1.
, j 1. j , 1.
, j [3.2.1 eJ
com 1..,t.'= 1 , ,v j,j'= 1 , . ,b i. ~ . , \, e j ~ y.
A expressão [3.2.1e] é conhecida como "Condi-
ção de não Interação", a qual pode-se escrever de modo
equi vaI ent.e.
= O [3.2. li']
i.=1, ••• ,ev-j.) j=1, ••• ,eb-1).
Por quant.o existem somente vb - (v-l)(b-l) =
= v + b - 1 parâmetros definidos a serem est.imados.
As médias rest.ant.es são obtidas a parti r de
[ 3. 2. 1 i' J .
46.
3.2.2. Exemplo do modelo de Graybill
A seguir apresen~a-se um exemplo simples que
ilustra o modelo apresen~ado por GRAYBILL (1961). Tra~a-se
de um delineamen~o em blocos comple~os com dois ~ra~amen~os
e duas repe~iç5es.
o modelo considerado á:
Y =f-1+t +b +e ~jk J t.jk
com t.=í.2: k=í,Z: k=í,2.
Sua expressáo ma~ricial será:
y X ~ e
p t. ~ b b /-l :1 2 :1 2
Y.u 1 1 O 1 O ~ e :1 :1:1
Y:12 = 1 1 O O 1 ~ + e 2 :12
Y 2 :1 1 O 1 1 O b e :1 2:1
Y22
1 O 1 O 1 b e z zz
Sem considerar perda de parcelas. a expressão
ma~rícíal em ~ermos das médias da "condiçã.o de nã.o ín~era-
ção" deve con~er vb = 4 parâme~ros 1 í nearment.e í ndependen-
~es.
47.
I-l j. 1 I-l j. z I-1Zj. I-l zz
r Yul 1 o o o
1
e I-l j. j. 11
Yj.2 O 1 O O s
I-l j. 2 12
Y"j = O O 1 O = S
1--'2j. zj.
I Y O O O 1 I s l .' ~)2 1--'22 2Z
: 1 -1 -1 1 : J O
~ RESTRIÇÃO DE CONDIÇÃO
DE NÃO INTERAÇÃO
3.2.3. Modelo de médias simplificado
MURRAY e SMI TH (1985) f i ze.r am cont.r i bui ções
nas ár e.as de est.i mabi 1 idade, conect.i vi dade e t.est~abi 1 idade
para o modelo linear de post.o incomplet.o de efeit.os fixos no
caso de perda de parcelas. A perda de parcelas det.ermina o
grau de est.imabilidade dos parâmet.ros 7 o que condiciona a
possibilidade de formulação de t.est.es de hipót.eses envolven-
do os parâmet.ros mencionados. Soment.e serão t.est.áveis hipó-
t.eses que envolvam parâmet.ros pert.encent.es a grupos conexos.
Os aut.ores mencionados alert.am o pesquisador
desprevenido para a ut.ilizacão caut.elosa de pacot.es comput.a-
cionais, já que muit.os dest.es não consideram casos de desco-
nexão.
o modelo apresent.ado por MURRAY & SMI TH
C 1985) descr eve uma par c el a qual quer em t. er mos das médi as
populacionais, como segue:
y = "I-l + e [3.2.3aJ
sujeit.o à rest.rição
I3.2.3bJ
48.
no qual 'f é defini do como o vet.or das obser vações , ." é a
mat.riz de variáveis indicadoras cujos component.es da diago-
nal são vetores coluna de uns de ext.ensão n. Ceada um desses ~
vet.ores é denot.ado por J) onde n. é o nómero de observaç6es ~ \,
da ~-ésima população), o vet.or I-' t.em 1-'. component.es corres-"
pondent.es às médias populacionais. A mat.riz G é de dimensão
s?:p C onde s é o post.o de G e p é o número de popul ações) ~ o
'ret.or g defi ne uma série de combi nações 1 i neares de par.itme-
tros que assumem valor zero.
Quando se est.abelece uma relação linear de
parâmet.ros (médias) como em I3.2.3b1 o modelo é chamado de
rest.ri t.o, quando não exist.i rem essas reI ações o modelo e
chamado de irrest.rit.o.
A t.ítulo de exemplo toma-se o modelo de mé-
dias de dois fatores sem int.eração descrit.o em 3.2. nas
expressões I3.2.1b1 ou r3.2.1d1 e [3.2.1f1, na qual a forma
mat.ricial é dada como
sendo
.." = diagonal Cj .. ) l.J
J.l' = (J.l , J.l ,. H 1.2
G = O 0 °b v
g = O
i.=j"z,.
. , J.l vb)
... , Y vbn ] vb
. ,v e j=j,,2, •.• ,b
[3.2.3c1
[3.2.3d1
[3.2.3e1
[3.2.3f]
onde 0 denot.a o produt.o de KRONECKER e as mat.rizes D são de-
finidas da forma:
O = o [ I ! -J ]
(0-1.) t (0-1.) [3.2.3gJ
49.
onde I é uma ma~riz iden~idade de dimenção a-~, e J é um ve-
~or col una de uns de extensão a-L
Ao rearranjar as colunas da ma~rig G, de~ermi-
na a par~ição da matriz G original em duas subma t.r i zes G 1
C de di mensão SX(P-s» e G 2
C de di menção sxs e pos~o s).
Assim es~e rearranjamen~o condiciona uma modificação da
ordem das linhas de ~ para corresponder a par~ição de G, da
segui nte for ma:
p'= (!-.l ' 1
[ 3. 2. 3hJ
Em função di sso {3. 2.1 bJ pode ser r eescr i ~a
como a segue:
G~=Gf.L +Gf.L =0 1 1 2 2
[3.2. 3i J
G ~em pos~o comple~o, e exis~e uma solução para f.L em ~ermos 2
-~ de ~ e é f.L = - G G ~ poi s se G ~ =- G f.L ' 1 2 2 ~1 22 ~1
pr é-muI ~i pl i -
cando por G~1 se ~em G~1 G2f.L2 = - G~1 G1J..l~ -1
J..l = - G G J..l 2 2 1 1
[3.2.3jJ
A par~ição de f.L é independen~e dos dados obt.i-
dos e independen~e do número de parcelas perdidas m e sua
local i zação.
A par~icipação depende unicamen~e da ma~riz G
e das relações lineares amos~rais das médias.
Assim a expressão [3.2.3aJ pode ser reescri~a
em ~ermos de {3. 2. 3j J , resul ~ando:
Cw w) [ J.-l1 ] [3.2.3kJ Y = + e 1 2 J.-l2
sendo
y = Cw w) [ I_< ] J..l1
+ e 13.2.31 J ~ 2 -G G
:z 1
é v = W-W 1 Z
y = YI-' + e 1
G-1 G se tem Z 1
50.
f 3.2. 3mJ
sendo v do posto Nx(p-s) onde N é o nómero de observaç5es;
Y'V é não singular, então pode-se aplicar o método de míni-
mos quadrados para o modelo de posto completo não restrito,
obt.endo-se o esti mador BLUE para 1-'1 e
I-' 1
= C Y' Y) -1 Y' Y
o estimador BLUE de I-' e 2
= -1 G
7. G I-'
1 1
[3. 2. 3nJ
[ ::3.2. 30J
Se não existir perda de parcelas o posto de V
é Cp-s); onde p é o número de médias a serem estimadas e s é
o posto da matriz G' , se existir perda de parcelas p pode
ai nda t.er posto C p-s) nest~es casos as expressões [3.2. 3nJ e
[3. 2. 30J são ainda estimadores BLUE ónicos de 1-'1 e 1-'2' Se o
posto de V for menor que C p-s) então está -se no modelo de
médias superparametrizado (3.3.1).
Como consequência do exposto tem-se uma nova
definição de conectividade.
DEFINIÇÃO 3.2.3.1 fMURRAY & SMITH, 1985): Um experimento que
consta de um conj unto de dados assoei ados ao modelo de
médi as 1-', é conectado se uni camente se puder ser esti mado
linearmente. esta definção é válida tanto para o modelo
restrito como para o modelo irrestrito,
Resulta importante mencionar que a verificação
geométrica de conectividade para dois fatores não é válida
para delineamentos de maior número de fatores,
51.
Quando V não é de posto coluna completo. não é
possí vel achar -1
C v' v) , utiliza-se no seu lugar uma inversa
generalizada. não é aconselhável o uso do modelo dado em
l3.2.3mJ nos casos de posto incompleto.
Nos casos de desconexão é necessário que o ex-
perimento seja minuciosamente examinado, para ver a quanti-
dade de informação perdida na perda de parcelas e quanto de
informaçáo é disponível.
Quando exi st-i r perda. de parcel as é possí vel
est-i mar quai squer par cel as pel a combi nação das out.r .3.S, me-
diante a restrição [3.2.3bJ.
Porém em outros casos, estas poderam ser esti-
madas unicamente mediante combinações lineares das parcelas
cr esc entes.
3.2.4. Teste de hipót.eses
No estudo dos modelos com perda de parcelas,
um dos fatores de maior interesse é a apresentação de dife-
rentes programas computacionais na análise de variância das
médias das parcelas.
Ao adotar um modelo para um determinado expe-
rimento, o Jazemos com o interesse de examinar certas fun-
ções lineares das médias das parcelas. Esta investigação as-
sumida é proposta pela hipótese linear:
Hp = O [3.2.4aJ
52.
onde H é de dimensão hxp de posto h e sua alternativa é
HI--l ~ o.
A perda de parcelas permite considerar as
seguin~es situaç5es:
a) é possível ~estar estas hipóteses;
b) caso contrário pode ser reestruturada uma nova hipó~ese.
A resposta ~ primeira consideração é que se o
modelo e conectado é possí vel testar a hi pótese or i gi nal ,
pc'dendo ser reescrito em t.ermos da média. /-" :I.
fazendo o
conveniente rearranjamento e a partição de G e /-' na relação
f 3. 2. 4al.
Se H é igualmente rearranjada e particionada,
então C3.2.4al tem sua forma equivalente a
CH :I.
-.1 - H G G )/-'
2 2 :I. :I. = O [3.2.4bJ
Se o modelo não é conectado então a hipótese
original pode não ser testável, sendo no entanto testável
algum sub-conjunto de hipóteses originais. Esta é a chamada
também hi pótese efeti va (e um subconj unto de funções or i-
ginais que são possíveis de ser observadas as parcelas per-
didas.
MURRAY & SMITH (1985) sugerem que nos casos
não conectados não tem sentido apresentar uma tabela de aná-
lise de variância a qual dê um teste para um efeito particu-
lar (por exemplo ou efeito médio ou interação).
53.
3.2.5. Modelos conectados
3.2.5.1. Conceituação
GRAYBILL C 1 976) define os modelos conect.ados
de dois fatores a part.ir da equação
Y k = f-l + Ç( + T + C
LJ 1.. j i.jk l3.2.5.1aJ
onde )(=0.1,. ,n, i=1,.Z,. }~'>1. e j=1, . ,b>1, tj
n um in-
teiro náo negativo e o experimento deve ser conectado. O mo-
delo apresentado tem a caract.erist.ica de ser superparametri-
zado sem int.eração de efeit.os fixos é de post.o incomplet.o.
Se o conj unt.o dos n., cumpre a condi ção de que 1.1
t.odos os cont.rast.es são est.imáveis para i.,i.'=1,2,.
. . .. ,v e i.":V, ent.ão o modelo é defini do como A-conect.ado .
Se T. J
T. é est.i má vel par a i,j'= 1.,2, ••• ,b e J'
j":j', ent.ão o modelo é defini do como modelo conect.ado-T.
Desse modo se o modelo A é conect.ado, t.ambém T
é conect.ado, e vice-versa.
Para se esclarecer est.a definição de conexão,
apresent.a-se o seguint.e t.eorema.
TEOREMA 3.2.5.1.1 [GRAYBILL, 1976) : Se c" '" NCf-l, ou L]
t.ambém no caso em que os erros c .. I.J
NCO, 2
CI ) , ent.ão,
soment.e serão est.imáveis as combinações lineares de ct, que I.
sejam cont.rast.es. O delineament.o será A-conect.ado se e
soment.e se t.odos os cont.rast.es dos ct, são est.imáveis e em 1..
forma equi valente define-se para o caso dos cont.rast.es T. J
est.íIriáveí s.
54.
3.2.5.2. Exemplo aplicativo
Para exemplificar os conceitos colocados ante-
riormente escolheu-se um delineamento inteiramente ao acaso
com arranjo de trat-amentos fatorial de dois L:ttores. Tr.ata-
se de um arranjo falori".l 2x2 com o seguint~e número de repe-
lições:
T T i Z
o 2 -;> L...-
i
C( 1 2 z
o modelo mat.emático superametrizado com int.e-
ração é
y .. Jc = f..l + T. + b + r + si.jJc [3.2.5.1bJ ~J 1- i 1. j
cuja matriz de delineamento é
f..l t t b b t b t b t b t. t :1 Z :1 Z :1 :1 :1 Z Z :1 Z z
1 1 O 1 O 1 O O O
1 1 O 1 O 1 O O O
1 1 O O 1 O 1 O O
~ = 1 1 O O 1 O 1 O O
1 O 1 1 O O O 1 O
1 O 1 O 1 O O O 1
1 O 1 O 1 O O O 1
o modelo matemático de médias com int.eração é
Yi.jJc = f..li.j + ei.jJc [3.2.5.1 c J
De acordo com a expressão [3.2.3aJ a matriz de
delineamento W pode-se const.ruir mediante as colunas das in-
ter ações r .. como segue 1.]
55.
f-iu. f-i1Z
f-i21
f-i2Z
r 1 o o o 1 o o o o 1 o o
Vf = o 1 o o o o 1 o o o o 1
o o o 1
No~a-se que na expressão do modelo r3.2.5.1bJ
a matr i z dE? dE?l i ne3_mento j~ é. dE? posto i ncompl et-o e n=t E?X-
pressão r 3.2.5.1 c] a ma~r i z de dei i neamen~o '11 é de posto
compl et.o, e o número de observações é di ferent.e para cada
t.rat.ament.o o que f'az mais viável o uso do modelo de médias.
3.2.6. Modelo de médias e algoritmo geométrico apre
sentado por Searle
3.2.6.1. Conceituaç~o
Esse algorit.mo é apresent.ado por SEARLE (1987)
para o est.udo do modelo de dois fatores com classificação
cruzada ou de um f'at.or com uma restrição na casualização.
Nesse t.rabalho o aut.or apresent.a um modelo de médi as par a
salvar as dificuldades de analise apresent.adas pelos modelos
superparamet.rizados.
Quando a ocorrência de_parcelas ocupadas ent.re
parcel as de dados vazi os é suf i ci ent.ement.e di spersa ent.ão
algum conjunt.o de funções, podem não ser est.imáveis. Assim
56.
por exemplo no caso do modelo sem in~eração, = fwl. +T. l,. J
algumas direrenças da forma fwl. 1.
fwl. 1.
para T j ,
para j;%j' podem não ser est.imáveis. Quando t.odas as direren-
ças podem ser est.imadas,
conjunt.o de parcelas de um
ent~ão pode-se est.i mar
modelo, ist.o é V >..J
=
t.odo o
+ T. é 1
est.imável v. V .• J
embora exist.am parcelas vazias. Essa
caract.erist.ica t.ipifica os delineament.os conexos.
Na cont.inuação apresent.a-se um exemplo que
caracteri::a a posibilidade de estimação de uma determinada
média a par~ir de uma combinação linear de out.ro conjunt.o de
médias conhecidas num experiment.o com perda de parcelas.
Assim t.em-se as seguint.es médias fwl~~, fwl Z3 ,fwlz~ das parcelas
ocupadas, e a par~ir dessas t.rês médias pode-se obt.er a
média fwl13 como se segue:
+ T + fwl + T - Cfwl + T ) 1 Z 3 1~ ~
Port.ant.o é possível se obt.er seus BLUES, assim
o BLUE da par cal a 1,3 no modelo sem i n~ar ação é obt.i do
mediant.e a rest.rição.
fwl. fwl i ' fwl. + fwl i ' = O 1. j j 1. j , j ,
" " " " /"...
fwl 13 = fwl ~~ + fwl Z3 fwlZ~ = fwl~ + T 3
3.2.6.2. Um exemplo gráfico
No grárico 1 apresen~a-se um diagrama repre-
sen~ando as parcelas ocupadas, simbolizadas mediant.e o sim-
57.
bolo v, os sub índices i. correspondem às linhas e os às
col unas.
Gráfico 1. Diagrama represen~ando um caso em que pode ser
es~imada uma parcela a par~ir das demais.
I v I v E==I==~ I Grárico 2. Diagrama represen~ando um caso em que não pode ser
es~imada uma parcela a par~ir das demais.
Pode-se observar que no Gr ár i co 1 a médi a da
parcela 1,2 pode ser es~imada, a~ravés das parcelas 1.4; 2.4
e 2,2 que es~ão presen~es e ainda es~a es~imação cons~i~ue
um . BLUE. de modo que ao ser em es~i má vei s esses dados são
conec~ados. Num modelo com in~erac;ão isso não acon~ece. a
parcela 1,2 não ~eria BLUE por que a parcela é vazia.
Ja no Grárico 2 a ausência da parcela 2,2
i mpede a es~i mac;ão da parcel a 1.2 assi m esses dados são
desconec~ados.
DEFINIÇÃO 3.2. Ô. 2. 1 CSEARLE. 1987): Dados conec~ados são
aqueles nos quais para ~odos os erei~os médios dos Ia~ores.
~odas as direrenças en~re os níveis de um de~erminado ra~or
são es~imáveis.
58.
SEARLE (1987) apresenta um algoritmo geométri-
co p~r~ os modelos de cl~ssific~ção cruzada dos fatores. Um
modelo desse tipo ~ conectado se as parcelas ocupadas, num
reticulado similar aos graficos 1 e 2, podem ser ligadas por
uma linha contínua com as seguintes características: a linha
cont~m unicamente segmentos horizontais e verticais, que
mudam de direção unicamente no caso em que as parcelas estão
ocupadas. Se todas as parcelas estão ocupadas obviamente o
delineamenmto é conectado.
A continuação apresentam-se dois gráf~cos que
ilustram duas situações de conectividade:
1 2 3 4 5
Gráfico 3. Diagrama de um delineamento conexo.
1 2 3 4 5
1 v-- ----- --v
2 v-- -- -- --v-- --v
3 i v
4 v-- ----- --v
Gráfico 4. Diagrama de um delineamento desconexo.
No gráfico 3 representa-se um delineamento co-
nexo, e o gráfico 4 um delineamento desconexo, no entanto no
gráfico 4 caracteriza-se como um delineamento desconexo pelo
59.
fato que existe duas sequências de linhas contínuas, que
permitem a identificação clara de dois grupos de conexão.
3.2.7. Modelo de médias de efeitos fixos de Hocking
HOCKl NG (1985) apresenta um modelo de médi as
para dois fatores na forma matricial.
y = [).Ip + e [3.2.7aJ
Sujeito a restrição G~ = 9
como o descrito no ítem [3.2.3], y é o vetor de respostas
IW = D (J) é uma matriz diagonal de dimensão nxp chamada p n
matriz de incidência, a qual indica um número de observações
em cada população, J é um vetor de uns referente as obsern
vações do tratamento i. O vetor ~ é composto por médias, G e
9 são matrizes análogas as definidas no ítem 3.2.2.
No caso do modelo de dois fatores são utiliza-
dos dois sub-índices para descrever as médias.
i. = 1. . ..• v
j=l, ... , b
k = 1. . . . ,. n .. 1. J
l3.2.7bJ
O número de populações é obtido multiplicando-
-se vxb = p. Esse modelo contempla a possibilidade de perda
de parcelas.
No modelo de um fator não é necessário o uso
de restrição. porém no modelo de dois fatores sua utilização
60.
é frequênt.e. Essa rest.r i ção é i dênt.i ca a ut.i 1 i zada nos
modelos de médias já ex:post.os nos it.ens 3.2.3, 3.2.5 e
3.2.6, ou seja
No modelo de dois fatores sem interação, ir-
r est.r i t.o, com n "J
f-J = "J
>
Y q
o é possível est.imar a média
NCf-J 1.]
2. ) O' /n ..
"J
1 ~ i 5 v
1 < j 5 b
.6.S estim.3.tivas (/-1 ) sio independêntes. lJ
[3.2.7cJ
No caso do modelo rest.rit.o não i nt.erat.ivo, a
rest.rição:
J.Ji, - f-J - J.Ji.b + J.Jvb = O j vi
[3.2.7dJ
i = 1 , , v-i
j = 1 • , b-i
pode ser t.ambém escrit.a de forma equi vaI ent.e,
J.J. . J.J. - J.J + J.J = O 1. J 1. • j
[3.2.7e1
i. = 1 , • v-i
j = 1 , . , b-i
Not.e-se que no processo de est.imação t.ant.o pa-
ra o modelo irrest.rit.o, quant.o para o rest.rit.o, os cont.ras-
t.es envol vendo médi as de par cel as ocupadas C n.. > O) ser ão 1. J
est.i mávei s. Porém, no caso da exi st.ênci a de parcelas
perdidas, soment.e poderão Ser est.imáveis cont.rast.es
provenient.es da aplicação do modelo rest.rit.o quando o
delineament.o for conexo ou quando as médias pert.encerem a um
mesmo grupo de conexão. Os concei t.os de est.imabilidade
mencionados aplicam-se na elaboração de t.est.es de hipót.eses
e int.ervalos de confiança.
51.
3.2.7.1. Modelo reduzido
Dent.re os modelos rest.r i t.os uma aI t.ernat.i va é
o Hodelo Reduzido. que permit.e obt.er est.imadores ut.ilizando-
se uma rest.rição Ge = g, Conde e é o vet.or de parâmet.ros),
para reduzir o n6mero de parâmet.ros. O modelo é o seguint.e:
y = W 1
sujeit.o ~ rest.rição
+ W 1-./ + e z z
com G mat.riz não singular e onde 1
1-./ J I-l i= 1,. v-i 1 1 i j
j= i,. b-1
I-./v j= 1,. b.
[3.2.7.1 a J
[3.2. 7.1 b J
Assim se 9 = O o modelo reduzido pode-se expressar como:
y = W 1-./ + e R R R
[3.2.7.1 cJ
onde w = W {3. 2. 7.1 dl R 2
poi s G f..I. + G IJ = O e VI 1-./ = VI 11 + VI f..I. 1 1 2 "'-2 R R 1"'-1 2 2
Da expressão 13.2.7.2bJ premult.iplicando-a por
G-1. e despejando f..I.1
t.em-se: 1
G- 1 G 1-./1
+ G-1 G I-./z = G-1
9 [3.2.7.2eJ 1 1 1 2 .1
1-./ = G-1 9 - G-.1 G f..I.. r3.2.7.2:fJ
1 1 1 2 2
DEFINIÇÃO 3.3.6.1 HOCKING (1985): Um modelo é dit.o- conexo se
t.odos os component.es de f..I. são linearment.e estimáveis. e tais
que G = I (m=v+b). mm m
62.
No caso do modelo irrest.rit.o, a condição de
conexão requer que n .. > O. Já no rest.ri t.o, a condição F.:: que tJ
G seja não si ngul ar , por t.ant.o não depende do supost.o que
n > O. Por~m exist.e uma dificuldade provenient.e do fat.o de I.J
que, ao est.imar
compl et.o.
p , R
se requer que W R
t.enha post.o coluna
TEOREM.ó. 3.2.7.2 [HOCKING, 1985]: .D.:s m~di3.s das parcelas são
conect.adas se. ~ soment.e se a mat.riz W do modelo reduzido R
tem post.o coluna complet.o.
Se W não t.em post.o coluna complet.o procede-se R
de duas formas: a) Aceit.ar o modelo efet.ivo, reparâmet.ri-
zando e aplicando rest.rições ao modelo inícial Cesse t.ópico
~ desenvol vi do nos capí t. uI os I V. V e VI da obr a menci onada
de HOCKING (1985)), ou b) anular m-t colunas em W onde t. ~ R
o post.o de G de forma que a mat.r i z resul t.ant.e tem po::.t..o mm
coluna complet.o. Assi nal ando-se o valor zero para os
parâmet.ros correspondent.es, ent.ão os component.es rest.antes
de /..l são est.i mados de manei r a usual e /..l ~ est.i mada por R
[3.2.7.1fJ. Est.e procedimento ~ aplicado comument.e no uso do
modelo reduzido.
A tít.ulo de ilustração considera-se o seguint.e
exemplo:
Exemplo 1: Considere a parcela perdida n = O é conhecidas 1.1.
as est.i mati vas das segui ntes médi as /..lJ.:Z /..l:z 1. e p:z:z, num
delineamento conectado.
Sabemos que f.-l .. = I.J
de !-lu em função out.ras médias é
pois
+ t. 2
+ f..J2
+ t. :l
+
t :l
t.. ent.ão J
t. 2
63.
a est.imat.iva
No caso de um delineamento desconexo do modelo
irrestrito. considere o seguinte exemplo 2.
n :1.:l
n Z:1.
o
n :l2
n 22
o
o
o
n 33
Pode-se observar que as rest.rições de não in-
t.eração do modelo irrestrit.o não são de ajuda na est.imação
das médias de parcelas perdidas; assim no exemplo 2 se t.em
dois conjunt.os desconexos, o primeiro formado pelas parcelas
n • n e n e n . e o segundo subconJ" unt.o const.a de uma :1.1 12 21 22 7
única, a parcela C3.3~.
3.2.7.2. Modelo efetivo
Dado o modelo restrit.o
[3.2.7.2aJ
com a restrição Gf.-l = g [3.2.7.2bJ
ent.ão a mat.riz de Delineamento W é o vet.or de médias f..J podem
escrever-se na forma part.icionada
W = [3.2.7.2cJ
54,
13.2.7.2dJ
onde W é uma ma~riz de zeros de dimensão n x m e m
Wo = =
D lJ), p-m nl,
~ e ~ são os ve~ores de médias correspon-m o
dentes as parcelas perdidas e as parcelas observadas,
Do mesmo modo pode-se par~icionar a ma~riz G
como
G = G ) o l3.2.7.2eJ
Nós devemos eliminar f..-lm
do modelo para expres-
sá-lo em ~ermos de f..-l usando as res~riç5es e logrado is~o o
median~e a redução das linhas em G e g em [3.2.7.2e1
ob~endo-se
G [- :~~ ... G ] ; , , G' .E~~' t ~
r 3. 2. 7. 21' J
e g ... [ :: ] [3.2.7.2gJ
Se a mat.riz G mm
for não singular Cdepos~o
linha completo), o delineamen~o é conexo, e as parcelas
perdidas são es~imáveis assim como os con~rastes entre os
níveis de fatos ~ ou ~.
Se a ma~riz G for singular o delineamento e mm
desconexo, o que implica que nem t.odas as parcelas perdidas
são es~imáveis por~an~o, nem ~odos os con~ras~es en~re os
níveis do fator ~ ou níveis do fa~or ~ são estimáveis.
65.
Assim no caso de parcelas vazias define-se o
modelo efe~ivo como:
restr i t.o a G f-l = g.,. chamada res~r i ção efet.i va. E o '"
3.2.7.3. Exemplo do modelo reduzido de médias
de HOCKING
Tem se dirigido um experimen~o para est.udar os
efeit.os de períodos ex~ensos de congelação no cresciment.o da
massa do pão. Um fa~or de in~eresse nes~e es~udo foi o ~ipo
de farinha fina usada. O experimen~o consis~e no preparo de
quatro fornadas de massa de farinha com cada ~rês ~ipos de
farinhas fina e congelação para um determinado ~empo. Os
dados são apresen~ados na tabela 3.2 onde as respos~as
anotadas de volume !~ermen~ado depois de quatro horas de
removido do congelador.
Tabela 3.2
nível 1 do .f' a~or 0 nível 2 do fa~or 0 níveis do f'a~or ex níveis do fat.or ex
1 2 3 1 2 3
1 Yu,.1 Y2U, Y3.1.1 Y.12.1 Y 2Z.1 Y 3Z.1
fornadas 2 YU,2 YZ.1Z Y3.12 Y.1Z2 Y
2Z2 Y 322
repetições 3 YU,3 Y 2 .13 Y 3 .13 Y.123 Y
2Z3 Y323
P 4 Y.1.14 Y 2 .14 Y 3 .14 Y.1Z4 Y
2Z4 Y
324
Onde o modelo superparame~rizado ~em a seguin-
te carac~erização.
y = f-J + ~ + 0 + Pk + C~0) + E ijk ~ j ij ijk
[3.2.7.3aJ
onde
i = 1 , ::> '- , 3 indica os níveis do fator C(
j 1, 2 indica os níveis do fator 0
k = 1, 3, 4 indica o numero de repetiç6es p.
Y denota a resposta do i-ésimo nível ~, no j-ésimo l, Jk
nível de fator 0 na k-ésima repetiçâo p.
(:c:~mo é nc'ss() interesse e;-",:ernplif'íc.3.r o mC>tjelo
8e m~dias V3l se supor segundo os resultados te6ricos ~pre-
sentados em HOCKING (1985) o seguinte modelo de médias.
Y i.jk = I-ii.j + e i.jk
Nesse caso, dada a restrição imposta no modelo
de não interação segundo a expressão [3.2.7gJ, e consideran-
do que o efei to do fator {3 vai ter a mesma repercursão n.3.s
repetições temos que o modelo [3.2.7.3aJ caracteriza o já
conhecido modelo de dois fatores sem interaçâo
+ (3 + e j i.jk
c om i = 1, 2, 3 , j = 1, 2 e k = 1, . .. .. , n .. 1.J
A partir de agoro se considerarmos que
f.J .. = f.J + 0(. + e. l.J 1. J
então
,6.. partir desse modelo de médias, vai -se mos-
trar a matriz
." = D C1 ) <:1 4-
Nota-se que cada observação esta dada pela
combinação de suas médias, na qual i = 1, 2, 3 Ctipos) e
67.
j = 1, 2 (vezes) com k = 1, 2, 3, 4 repetições o que implica
que exi stam f-J.. = 6 combi nações cada uma total de 24 obser~J
vações como segue.
Y1U. = /-Ã1 :1 = /-Ã1Z
+ /-Ãa1
f-Jaz
I Yzu
= /-ÃZ :1 = /-ÃZ2
+ f-Ja1
/-Ãaz
i Ya11
= f-J a1 = f-J 11
- f-J 1 Z + /-Ã
az
Y121
= f-J 12 = /-Ã11
/-Ãa1
+ /-Ãa2
Y221 = /-Ã
Z2 = f-/
21 f-J
31 + f-/
3Z
v " = ,.' - l...t 4-P31 -' 321 "'32 1-'
I Z1 22
f-lu f-l :12 f-l Z:1 f-l zz f-la:1 f-laz 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O O O
W = O O 1 O O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O 1
Observa-se que na tabela 3.2 não existe parce-
1 as vazi as pelo qual não é necessário estabel ecer nenhum
tipo de restrição.
68.
Supondo agora que a part.ir dest.a t-abela não
exist.em as observações y e y ; mas not.a-se que é possí-.1.1.1 2.1:1
vel est.imar dit.as parcelas pois.
Y1.11 = 1-':1:1 +
y 2.1.1 =
e :1:1k
e 2:1k
Dada a r est.r i ção do modelo de médi a f 3.2. 7g J
pode-se est.rut.urar
G = f-" [ :11 = ~12 = ::31 : :32 ] = [~ ]
I 21 ' 22 31 32 Uma consequência dest.e fat.o e que
que no caso do modelo superparamet.rizado seu equivalent.e é
f.-l = f.-l + :1:1
+ 0 2
+ 0 :1
= f..l + cc .1 .1
+ 0 :1
o 2
No que segue ut.iliza-se o modelo reduzido de
médias com o objet.ivo de elirrúnar dois parâmet.ros ut.ilizando
a rest.rição já conhecida.
o modelo reduzido vem dado pela sua forma.
mat.ricial
onde o vet.or de médias reduzido é 11 = 1112
, "....... 11 , 11 ) é r- r- r-40... r-31 r-32
a mat.riz de coeficient.es ~ e R
necker
69,
r
f.-LJ.2 /--122 f.-L 3 J. /--1
32
1 o 1 -1 1 o 1 -1 1 o 1 -1 1 o 1 -1 1 o o o 1 o o o 1 o o o 1 o o o o 1 1 -1 o 1 1 -1 o 1 1 -1
W = o 1 1 -1 R
() 1 o o (l 1 f) (l
o 1 o ()
o 1 o o o o 1 <)
o o 1 o o o 1 o o o 1 o o o o 1 o o o 1 o o o 1 o o o 1
A notação compacta mediante o produto de Kro-
é 'li = D (i
W R
=
J
3
O
O
O
O
O 4
O 4
3
3
O
O
3 -3 4 4
O O
3 -3 4 4 4
O O 4
J O
" O 3 4
Uma consequênci a deste ti po de esti mação de
parcelas faltantes e que a estrutura do delineamento é
conexo.
70.
a) Caso de Conectividade
Considere-se o exemplo 3.2.7. i.t na qual as par-
celas {(2,3) (3,1) e (3,2)- são perdidas, e atribuindo a
parcel a perdi da oval or zero pode-se construi r do segui nte
modo.
[
~u 2.1
O
n 1.Z
n 22
O ~" ]
33
[''3. definição de modelo de médias apresentada
:13. seç50 r 3. 2. 7. 2J elevando em consi der açáo [3.2.7. 2c J .
Temos a forma particionada se tem 'ff = [W n 3
ni
expressando f3.2.7.2dJ como
n 'ff J onde n = E
1-" = [J.Lm I I-' o] = l?Z3' 1-'3.1' 1-'3Z i 1-'.13' I-'u' I-'.1Z· I-'Z.1' I-'z z' 1-'33]
Levando em consideração a restrição [3.2.7gJ;
nota-se que pode ser construído o seguinte sistema de equa-
ções as quais permitem estimar a média das parcelas faltan-
teso
i) 1-'23 1-'.13 + I-'u 1-'2.1 = O Ci = 1,2; j = 1,3)
ii) 1-'31 1-'13 + I-'u 1-'33 = O Ci = 1.3; j = 1,3)
iii) 1-'3Z I-' J.3 I-' J.Z + 1-'3ti = O Ci = 1 .3; j = 2,3)
iv) I-'u - I-' J.2 - I-' 2J.
+ I-'Z2 = O Ci = 1,2; j = 1,2)
Tendo em consideração a partição de G= rG \G] L m' o
se tem a matriz de coeficien~es Cdepois de estabelecer a ma-
triz escalonada G ). m
G =
1 o
O 1
1-132 1-11.3 • o
o
I I -1 I I I I I I
1
1-122
1 o -1 o o
-1 O O O -1
O O 1: -1 O -1 O O 1
71.
-----------------1-----------------------------------O O O l O 1 -1 -1 1 O
Da úl~ima linha da ma~riz reduzida G obtém-se
a res~r i ção efe~i va 1-111 1--'12
+ = O e as
pr i mei r?ts I i nhas definem .3,. unl ca reI açã.o entr e as parce13.s
perdl d.3.S e as parce13.s obser vadas, mediante
verificamos as conexões.
~sim se t.em
GE 1-10 = [O, 1, -1, -1, 1, O)
1-11.3
l-1u
1-112
1-12 1.
1-122
1-133
GE "0 = " 11 /J + IJ r r1.1 - r 1Z - r Z1 r ZZ
QU3.l S
Dest.e modo a rest.rícão do modelo y = Vf 1-1 + e o o
sujeít.o a G 1-1 = g é chamada rest.ricão efet.iva se convert.e E o E
em modelo efet.ivo.
É usando o modelo reduzido pode-se est.imar I-1R
e as out.r as 1-1.. são est.i madas peI a a r est.r í cão 1.J
1-1.. = 1-1. b 1.J 1.
72.
b) Caso de Desconexão
Segui dament.e est.uda-se o caso de desconexão
para o qual ut.iliza-se o exemplo [3.2.7.3J na qual a parcela
n = O o que determina que: .13
n = n = n = n = O 23 3~ 3Z ~3
Vf = [ '11 n 4
f.J = [ f.J m
=
entio a restrição terá as combinaçBes seguintes:
i) /-lu + f.J ~3 + /-l3~ -
1--'33 = O
ii) I--'Z3 - 1--'~3 + I--'u I--'z~ = O
iii) 1--'3Z + 1--'~3 - I--'~z -1--'33 = O
i v) 1--'11. -1--'1.2
- 1--'2J. + 1--'22 = O
Ordenando se t.em a mat.riz
1--'23 f.-l 3 J. 1--'32 f-J ~ 3 f..i ~ 1. f.-l
12 f-JzJ. f.-l22
1 O O -1 1 O -1 O
O 1 O 1 -1 O O O
O O 1 1 O -1 O O
O O O O 1 -1 -1 1
ausent.es present.es
f.-l33
O
-1
-1
O
Sendo a rest.ri ção eret.i va a mesma que ante-
riormente agora temos várias expressões para as parcelas
perdidas em t.ermos das parcelas observadas. Então pode-se
estimar as runções lineares das médias não observadas,
tomando os contrastes.
f..J.13 + ;.,J32 =
73.
Pode-se concluir que em casos desconectados no
modelo de médias observadas, é possível det~erminar funções
lineares paramétricas estimáveis das médias não observadas
em termos das médias observadas como foi ilust_rado acim.3..
3.3. O Modelo Aditivo de Classificação de Dois Fatores de
Efeitos Fixos Sem Interação ou Modelo de DODGE (1985)
3.3.1. Conceituação
o Modelo aditivo de classificação dupla tem a
seguinte notação:
y . k = f.J + o. 1, j • 1.
+ (? + e J i,jk
sendo que Cy ) é o conjunt.o de variáveis aleat_6ri.3.s inde-" i k
pendentes distribuídas normalmente cada uma com variância 2
0',
onde:
posta
i = 1, 2, ... o- , v
j = 1 , 2, .. , b
k = 1 , 2, .. . , n. 1. j
V = número de tratamentos
b = número de blocos
k = número de parcelas por bloco
Quando n .. = O, nenhum valor da variável ex-1.J
é observada para o tratamento i no bloco j com a
seguinte caracterização:
n 1..
= 'E n ~ O i.1
para i = 1, 2, ....... ,. V
J
n = 'E n .. ~ O para j = 1 , 2, ... , b . j
i. l.J
74.
Determinando que cada linha e que cada coluna
tenha no mínimo uma observação.
Se a matriz de delineamento ~ = (1 A B) entâo
3. mE._ tr i z de i nci dênci a ser::t: N = .L\' B.
Doi s ní vei s do fator 1, doi s ní vei s do f ator
2, ou um nivel do fator 1 e um nivel do fator 2 sâo conexos
se e possí vel passar de um para o outro por mel.O de uma
c.?I.dE?ia consis1:-indo. al1:E?rn-3_tiv3_ment-e de níveis do fator 1 e
nl~91S do i3 t or 2, 1:31.S que. quaisquer dos membros adJacen-
tes da cadeia sáo associados.
A matriz ~ de delineamento associado com uma
matriz de incidência N tem posto máximo,
pos t oC ~) = v + b - 1,
se e somente se o delineamento é conexo.
Consideremos o exemplo 1. Um delineamento ex-
perimental na qual v = 4, b = 4, r = 2, k = À = 1, tem-se
quatro tratamentos; 1, 2, 3 e 4 em quatro blocos I. lI, III
e IV, o número de parcelas por bloco é 2, repetindo-se uma
única vez cada par de parcelas de modo que fica
I
1
2
II
3
4
BLOCOS
III
1
3
IV
2
4
ou expressado em termos da matriz de incidência
N = trQt
1
2
3
-4
I
1
1
O
O
II
O
O
1
1
BLOCOS
IIr
1
O
1
O
IV
O
1
O
1
79.
Sendo que n .. é o número de vezes que o i -ésiI.J
mo tratamento ocorre no j-ésimo bloco, no BIB n .. adota 1 ou I.J
O. segundo a observação está presente ou ausente.
No exemplo 1. utilizando o procedimento gráfi-
co a partir da matriz de Incidência N e unindo os diferentes
niveis do fator tratamento (parcelas presentes) com os ni-
veis do fator blocos, mediante uma cadeia tem-se:
1 O 1 O 1---0---1 O
N 1 O O 1 1 ---0---0---1
=> O 1 1 O O 1---1 O
O 1 O 1 O 1---0---1
o que implica que o delineamento é conexo.
o mesmo resultado é obtido pelo processo R no
que segue.
Em DODGE (1985:) apresenta-se um conjunto de
definições e teoremas que descrevem o processo R, o que per-
mi te estimar um conjunto de :funções associadas aos fatores
no caso de perda de parcelas. Enuncia-se a sequência teórica
no processo de obtenção do Triângulo Contador, a partir do
qual se geram os contrast.es est.imáveis no delineamento de
dois fatores.
A dimensão do espaço vetorial dos contrastes a
estimáveis é f = a - s = post.o(~) - b, onde s é o número de Ct
grupos conexos no dei i neament.o.
A matriz de Incidência "N" é definida como: A
matriz de dimensões vxb por el ementos n.. onde n.. denota o I.J "J
número de observações do t.rat.ament.o i no bloco j. v denot.a o
número de t.rat.ament.os e b denot.a o número de blocos.
76.
A matriz "M" é definida como a matriz vxb das
mesmas dimensões que a matriz de Incidência ~ e cujos ele-
ment.os zeros são subst.i tuí dos por uma medi da que se est.abe-
lece uma cadeia, determinando quais das esperanças das
observàções são estimáveis.
o triângulo cont.ador C se define como aquela C!
porção subdiagonal do produt.o MM' na qual todos os componen-
~e~ diferent.es de zero foram subst.it.uidos por 1.
( \.'~
1 se. i: m·km k ;r! O
t· - J k=1
1 para v
O se Em m = O ik jk
Jc=1
Associado com o t.riângulo cont.ador C defineC!
-se I como sendo o conjunt.o: C!
I = {i a
cC!> C.. = 1 para algum j
1. J 1 S j < i}
o conjunt.o das diferenças ent.re os níveis de a
{a - a i j (i>
i e I } consti tui uma base para espaço vet.oa
rial A dos contrastes estimáveis a.
Com o mesmo cr i tér i o uma base par a o espaço
vetorial B pode ser construída a partir dá diferenças est.i-
mávei s de (1 ou (1. 1.
(1. C1 S i, j S b) e estimável se e soJ
mente se os elementos Ci, j) de M'M são não nulos. Assim o
conjunto das diferenças 1 e consti tui
uma base para o espaço vetorial B de contrastes (1 estimá-
·veis, onde a dimensão de B é f(1 = b
esse s é o número de grupos conexos.
- s = posto Cx) - v onde
77.
Derine-se o triângulo contador C~, como sendo
a porção subdiagonal de M'M com todos os elementos não nulos
substi tuí dos por uns associados com o conjunto
I = {i (5
C~) = C
~ J = 1 para algum j, 1 < j < ''\. ~.,J ..
o conjunt,o das diferenças ent.re os (j{ (5 -(5 l J { ~>
~ consti tui uma base para o espaço vetorial B dos
contrastes estimáveis entre os níveis do fat~or (3 .
• te., e B sáo subespaços de e o espaço vetor i::;"l
das funç6es lineares paramétricas estimáveis,
di m e = di m O = posto C x) = f +:f + S o, 13
Então uma base par a e consi ste da adi ção li-
near dá runções paramétricas independentes de A, B e S.
Assim seja
i = mínimo {i ck>
para k = 1. 2, . . i e I )
k
s . Então:
e J' = mínimo {J' (k>
{/-i + C(i,.(k> + [1j(k> . para k = 1, 2, ... , s)
j eJ ) k
e um conjunto de s não funções lineares paramétricas estimá-
veis a que são linearmente independentes entre eles mesmos e
dos elementos de A e B
& denota-se como o espaço vetorial gerado por
este conjunto e seja r = dim & = S . Então o conjunto acima c
descrito é uma base para & .
Uma outra base para & é dado' por:
{/-i + C( +[1 ,c( -C( +n _n : i, (:1> j<1> i,(:1) i.(k> t., j<1> t., jck>
k = 2, 3, .. , s)
Assi m se tem que uma base par a e o espaço
vetorial das funções lineares paramétricas estimáveis e
dadas pela adição e = A $ B e &.
78.
A seguir. apresen~a-se o algori~mo R e ilus-
lra-se mediante um exemplo. Todo o processo para conslruir
uma base para o esp.3.çO vet-orial e das funções lineares
param~lricas estimáveis.
3.3.2. O processo R
Este método .3.presentado pe,r D:::-'D<3E (1985) tra-
matriz final M formada exclusivamenb~ de zeros e uns, t.oda
informação sobre coneclividade são oblidos a partir da
malriz final M. ulilizando operações simples com variáveis
binárias.
Passos do proceso R
1) considera-se a malriz M de dimensão v x b de componen-
les zeros~
2) para cada par i • j se exisle n .. = 0, I.J
enlão m .. = I.J
1 . •
3) para cada par i, j se exisle os elemenlos k e t de
modo que se cumpra m = i.t = = 1 , en~ão m .. = 1
I.J
Cgra:ficament.e se adicionará um quart.o vért.ice sempre
que aparecem os t.rês vért.ices de um retângulo na
mat.riz M)~
4) conli nuar o passo 3 usando os or i gi nai s e novos m .. l..J
não zeros como vért.ices de novos ret.ângulos, alé que
nenhum out.ro element.os possa ser mudado.
79.
Observa-se que a mat.riz f'inal M e uma mat.riz
de di mensão igual a mat.r iz N' > no caso de ser t.odos os
n = 1, a formação da mat.riz M e imediat.a. tj
ij, + . N .'. con ~l nuaçao por conveni ênci a vai ser parti-
ci ooar os í ndi ces das linhas e col unas da mat.r i z f' i nal M
Yormando grupos de índices.
1) J 1
o conjunto de í ndi ces da.s col unas de M que
possuem 1 na primeira linha e onde ) 1
;é O por quant.o
supossemos que n ;é O para todo i = 1, 2. L •
2) Seja j e J e denot.emos por I ao conjunto dos índices 1 1
das linhas de M que t.em 1 na coluna j.
3) A cont.inuação escolhemos i E I e denot.amos por J ao ~ 2
conj unt.o dos í ndi ces das col unas de M que t.em j na
linha i.
4) Escolhemos j E J e denot.amos por I ao conJ'unt.o dos 2 2 2
índices das linhas de M que t.em 1 na coluna j . 2
5) Cont.inuamos est.e processo at.é esgot.ar t.odos os índices
das linhas da mat.riz M
Est.a sequência de passo nos det.ermina a união
disjunt.a
m" = ~J
t.ais
•• te ,
t.o,
s {1, ... , v:> = V I k e
k=~
s {1, ..., b:> = V J k
k=~
A part.ir dest.a i nf'ormação concl ui -se que
1 se e soment.e se k exist.e no int.ervalo 1 ~ k ~ s,
que i e I e j E J ent.ão os pares (I , J ), (I 2'
J ) , k k ~ ~ 2
(I , J ) descrevem as porções conect.adas do delineamen-13 s
est.as porções conect.adas são visualizadas em t.ermos da
80.
matriz final M, após de arranjar as linhas e colunas de tal
maneira que as linhas e colunas indexadas pelos elementos de
1. respect,i V3.mente ocorram primei ro, seguidamente I
1. e J
ocor rem as li nh3.s e col unas i ndexadas por I e J na ordem z z
respecti va e assim por diante. Este arranjo de linhas e
colunas nos conduzirá à seguinte matriz:
M O 1
() l'1 . z H
I
<) H k
O
O
O
()
H .~
e b = /,t le
CJle
) para todo k = 1, . . , sonde /,t representa o número de
elementos.
Processo Interativo para obter a matriz M para
o exemplo 1.
Para o valor a priori é igual a O
onde i = 1 e j = 2, se existir k e l tal = m lej
:: 1 então ser á m = 1. caso contr ár i o per manecer á i gual a 1.Z
zero.
para k = 1 l = 1
m = m = m :: 1 1.1. 1.1. 1.Z
1 = 1 ~ O ~ 1
não satisfaça a condição.
Pode se observar para k = 1, a condi ção não
será satisfei ta porque mlej
:: m zz = O.
será satisfei ta porque m :: m :: O. le j ZZ
Também par a k = 2 não
81.
para k = 3 t = 1
m = m = m = 1 11 31 32
1 ~ O ~ 1 ~ 1
não cumpre a condição
para k = 3 I = .::> .....
m = m m = 1 12 32 32
O ~ 1 ~ 1 ~ 1
rl.3.C) ct_rmt=:'re a condição
para k = 3 t = 3
m =m =m =1 13 33 32
1 = 1 = 1 = 1
cumpre a condição.
En~ão m assume o valor 1, o processo conti-12
nua até fazer todo um ciclo de operações (por substituições
dos zeros por uns) sem se manifeitar nenhuma troca de
valores.
o processo R é util pois é utilizado como um
algorismo computacional de fácil programação.
3.3.3. Um processo a~ternativo
Uma outra alternativa é pelo processo de
semelhança ou aproximação .
.L\ssi m, no caso do exemplo i ni ci aI se enumera
as parcel as e se vão colocando na ordem atendendo as suas
semelhanças. No nosso caso se tem as parcelas (1,1), (1,3),
( 2 • 1), ( 2 , 4). ( 3 • 2). ( 3 • 3), C 4 ,2), ( 4 , 4) .
82.
Disponindo-se na ordem se ~em
C 1 • 1). ( 2 • 1 ), ( 3, 2), C 4 , 2)
(1 , 3), C 2, 4), (3, 3). (4, 4)
Not.?. -se que nenhuma p,,-,,,rcel a f i ca i sol ,'-".d.?:, o
que determina ser linearmente conectada. Se existirem parce-
las isoladas diz-se que o delineamen~o náo é conec~ado.
o método gráfico nos permite chegar ao mesmo
resultado. Este método afirma que sempre que aparecem tr~s
\rértlces de um retángulo n3. mal,riz ~.j se ::;,dic.lona um quarto
vértice .. 4.ssim, considera-se como vér~ices os componentes
m , m e m se unimos com uma linha se ob~ém m que é o 13 32 33 12
quar~o vér~ice e assim por diante.
Um caso aplica~ivo de Desconecção
3.3.4. Exemplo modelo
Es~e exempl o es~á cont_i do num tr abal ho apr e-
sen~ado pelo au~or no 3~ Simpósio de Es~a~ís~ica Aplicada À
Experimen~ação Agronômica (julho 1979). Lavras - MG.
Num experimento de dois fa~ores BIB no qual se
~em regis~rado perda de parcelas se ~em os seguin~es
arranjos de pon~os e de x, onde um pon~o represen~a uma
parcela vazia e x represen~a uma parcela ocupada.
83 .
.fator (1
1 2 3 4 5 6 7 8
1 x---------------x
2 x-------!-----------x
3 x---l-------i---x---x f ator C(
4 x---:-------j---x---x
5
x------------------x
7 ;-(---~<~
onde a matriz de incidência N é
2 O O O 1 O O O
O O 2 O O O O 4
O J O O O 2 1 O
N = O 1 O O O 3 5 O
O O O O 1 O O O
O O 1 O O O O 2
O O O 2 2 O O O
Aplicando o processo R à matriz de incidência
N obtém-se a mat.riz .final M.
"* . 1 ---0---0---1 ---1 O O O
O O 1---0---0---0---0---1 i i .
O 1---0---0---0---1---1 O
N = o 1---0---0---0---1---1 O ;
t* "* 1 ---0---0---1 ---1 o O O i
O O 1---0---0---0---0---1
* i 1---0---0---1 ---1 O O O
84.
Par~ição da ma~riz ~inal M
Observa-se na primeira linha que os valores
das colunas 1, 4 e 5 são iguais a 1, en~ão
J = {(5, (J , (J) 1 :1 4 ~
Essa mesma estru~ura de linha repete-se nas
linhas n~ 5 e 7 , o que implica
obtém-se
I = {C( , C( , C() 1 :1 5 7
Escolhendo agora a linha i = C( e loque nos z .1
) z
Escolhendo j = (J e J obt~m-se Z ,3 Z
I = -(et • Ct) 2 2 c:s
Seguidamente escol hem-se i = a ;>I! I 2 ,3 .1
J = {(5 , (5 • (J)-,3 2 c:s 7
Finalmente escolhe-se j = (J obtém-se ,3 2
I = -(et • Ct) ,3 ,3 4
Reunindo os subconjuntos
I U I U I = (a .1 2 ,3 .1
Ct. Ct. a. Ct. Ct. a) e 2 ,3 4 !!S <:> 7
U I 2
Fazendo um rearranjamento nas linhas e colunas
na matriz ~inal M se tem:
~1. ~4 ~!!S 112 ~c:s ~7 ~,3 ~B
1 1 1 a .1
1 1 1 et !!S
1 1 1 et 7 ----------- ----------- -------
M = 1 1 1 a 1> 1> ,3
1 1 1 Ct 4 ----------- ----------- -------
1> 1> 1 1 a
2
1 1 et c:s
85.
Pode-se obser var na ma tr i z f i nal M os tr ês
subconjuntos conexos, cujos componentes são os parâmetros.
{Cf , Cf , Cf (5 , (5, (55 ) 1 5 7 1 " {Cf .~ (J , ,8 , P )
:3 " 2 Ó 7
{Ct , Ct , (1, (J ) 2 Ó :3 8
Obtenção dos contrastes para os dois Iatores.
Multiplicando-se MM' e considerando-se somente
05 cc~ponentes diferentes de zero da porção subdiagonal
lnfericr como iguais a 1 se tem o Triángulo Contador para as
diferenças entre os niveis do fator Ct.
1 2 3
2 O
.:;; --' O O
c = 4 O O 1 Ct
5 1 O O
6 O 1 O
7 1 O O
No Tr i ângulo Contador
4
O
O
O
c . ct
5 6
O
1 O
observa-se que as
linhas 4, 5, 6 e 7 tem pelo menos um componente que assume o
valor 1 de modo que
I = {4, 5, 6 e 7) Ct
Por tant.o a di mensão do espaço vet.or i aI dos
cont.rast.es est.imáveis de Ct é:
f = # (I ) = 4 Ct Ct
Uma base para A é:
a, Ct 5 Z
Ct ) 7
85.
O mesmo crit.ério é aplicado para se obt.er os
cont.rast.es para o rat.or f3 ao muI t.i pl i car M'M e considerar
soment.e os component.es di rer ent.es de zero da porção subdia-
gonal inferi or iguais a i.
1 2 3 4 5 6 7
-""'> c.. O
3 O O
4 1 O O
= c:: 1 () O -\ ... /1
6 O 1 O O O
7 O 1 O O O 1
8 O O 1 O O O 1
No Triângulo Cont.ador C(5' observa-se que -as
linhas 4, 5, 5, 7 e 8 t.em pelo menos um component.e que
assume o valor 1 de modo que
I (5 = { 4 , 5, 6, 7 e 8>
Port.ant.o a dimensão de f(5 = # (1(5) = 5
Uma base para B obt.em-se dos cont.rast.es se-
guint.es:
pode-se t.ambém t.er-se out.ra base.
{(51. - (54' f3 4- - f3 5' f3 Z - f3 Cf' (5 Cf - f3 7' f3 7 - (58)
Sabe-se que f = s = 3 Cn~ de grupos conexos); c
uma base para & é
+ cc 1.
+ n . t" 1. '
cc z
+(5 -(5) 1. 3
87.
Sendo que f = v - s = 7 - 3 = 4. confirma-se C(
sua dimensão, ademais sabe-se que o pos~o ex) b = f C(
pos~o ex) = f + b C!
pos~o ex) = 4 + 8
por t~anto posto ex) = 12
Ver i fi cando-se deste modo que f (? = post-o e x) ,-
v = 12 - 7 = 5 e a dimensão do espaço vetorial e = posto
= f Ci
+f_+s=4 (-? ,-
+ 5 +3 = 12.
3.3.5. Análise de variância
o quadro de análise de variância que resume as
informações ob~idas com respei~o aos graus de liberdade é o
seguinte:
CAUSAS DE VARIAÇÃO E GRAUS DE LIBERDADE PARA O EX. 2
CV
Regressão
Ajus~e para a média
Blocos não ajus~ados Cajus~. p/ a média ~/~)
Tra~amen~os T/~.~ Cajus~. p/ a média e blocos
Ajus~e para a média
Tra~amentos não ajus~ados Cajus~. p/ a média T/~)
Blocos ~/~,T Cajus~. p/ a média e ~ra~amen~os)
Resíduo
TOTAL
GL
12
20
32
1
7
4
1
Ô
5
No~a-se que o número ~o~al de 32 corresponde
ao número de observações do experimen~o.
88.
3.3.6. Cálculo da soma de quadrados de regressão
aj~~tados para as diferentes fontes de variação
.L1.pr esent.a -se a cont i nuação o mét.odo que nos
permit.e obt.er algumas importantes som~.s de quadrados asso-
ciados com o modelo considerado.
A anotaçáo da soma dos quadrados a considerar é:
SC~C ri) e [3.3.5aJ
onde SQCcv'(D denot.a a soma de quadrados para os efei tos do
fator ~, ajustado pelo fator ~, ou seja, para os efeitos de
~ após ajustar os elei tos de ~. A interpretação da SQC~/o.) é
similar.
~ de salientar que as somas de maior dificul-
dade apresentam na sua obtenção são: SQC Cf,~), SQC Cf/(D e
SQC~/o.), porém obtendo-se somente uma delas o cálculo das
restantes é imediata.
A escol ha de qual soma de quadr ados deve ser
obtida primeiro depende da soma de quadrados do fator cuja
di mensão seja menor ~ sejam estes 1 ~ ou f I~.
Para encontrar uma solução única das E.N. em
modelos de dois fatores com posto máximo da matriz x; posto
ex) = v + b - 1, e aplicável às restrições:
E ~ = O e E~. = O 1 . J
J
No caso de delineamento desconexos este proce-
dimento não é adequado. Assim deve-se optar por uma parame-
trização alternativa contida no seguinte teorema.
89.
TEOREMA 3.3. 6. 1: suponhamos r (1 > o e sej a I" (5 um vet.or de
dimensão t~f?: x 1 de funções paramét.ricas est.imáveis que con.s
t.it.ui uma base para o espaço de t.odos os cont.rast.es est.imá-
veis em (3 (/\ = matriz cuj;:.s colunas s.?.o .as combinações li-
neares estimáveis do rat.or (5, e ainda sendo G = C1 - PA)f?: 1\.
onde PA denota a projeção ort~ogonal no espaço col una de A.
Então uma parametrização irrestrita de posto coluna complet.a
para D (e~paço vetorial ';rer ..3.c10 de x) e:
[3.3.5bJ
onde: v
11' E R , F = r,f(1 "" ~ ç: Rm ,- v = J d t." t , = ~ = v _ . ~ numero e ra~amen~os;
f(5 = dimensão do espaço vet.orial gerado pelas funções para
mét.ricas est.imáveis do fat.or p e m = post.o Cx)). Sabemos que
w = CA(G) e dada a paramet.rização irrest.rit.a
EC y) = 1 f.-i + Ao. + B(5 = Xe
~ e E RP onde p = v+b+l e ECy) = A~ + Ge = CA\G) C--) = W6. e
Est.a paramet.rização nunca será de post.o com-
plet.o pois post.o Cx) = m 5 Cv + b - 1 < P).
Só serão de post.o complet.o se:
a) se m = p - Jc
b) impusermos Jc rest.rições linearment.e independent.es e
não est.imáveis, ent.ão E Cy) = w 6
A paramet.rização será de post.o complet.o se
post.o C w) = m = post.o C x) = di m n.
Da paramet.rização realizada no t.eorema A
[3.3.6.1J obt.ém-se as seguint.es equações normais w'w6 = w'y,
onde w' w e não singular, além disso as mat.rizes A' A e G'G
90.
são Lambém não singulares e A'G = O. assim as equações nor-
mais para o Leorema 3.3.6.1 pode reduzir-se a dois sisLemas
separ -31dos.
.6.' A 11-' = A' Y e G' G ç = G' Y
A soma de quadrados SQC(?/eD servirá para t.es-
t-ar a hipót-ese H o
A'~ = O; ist.o é, a hipót-eses de que to-
das as funções lineares est-imáveis y' envolvem os parâmetros
P sáo iguais a zero.
A correspond~ncia ent-re a soma de quadrados do
modelo original [ECy) = p..f-i + Aex + B(1 = xe) e o parametrizado
[3.3.6bJ segundo o TEOREMA [3.3.6.1) é o seguint.e:
SQC cU = SQC VI)
Lembrando que SQC C~, (D = SQC Ç() + SQC ~/ex) ,
assim: SQC~/c() = SQCç).
A soma de quadrados SQCç) nos permi Le t.est.ar
as hi pót.eses
H :ç = O e dest.a forma Lambém permiLe t.est.ar as hipóLeses o
H ECy) e RCA) espaço coluna de x, ou seja a hipót.ese de o
que ECy -k) ~J
t.em a forma
3.3.6.1. Exemplo 2
+ Ç( .t
e = o. ent.ão
A conLinuação apresent.a-se uma aplicação para
obt.er as somas de quadrados segundo a parametrização propos-
t.a por DODGE (1985) CEquações Normais Reduzidas).
91.
Seja o caso do e:>-:periment.o fat.orial 2z é o
seguint.e:
1 2
N = 1 1 O
.:;:. .-:. -:;, ..... c., ~J
faior f ator
v 1:>
1 1 O 1 O 2
1 () 1 1 C, ?
X :::: 1 () 1 1 () 4-Y =
1 O 1 O O 3
1 O 1 O 1 5
1 O 1 O 1 4
1 O 1 O
O 1 1 O
O 1 1 O A = B =
O 1 O 1
O 1 O 1
O 1 O 1
CÁLCULOS DAS SEGUINTES EXPRESSõES
P A = AC A' P0 - j, A
G = CI-PP0BA
" SQClf') = lf"A'A lf'
2 = C G' G) - j, G' Y
SQC () = (G' Y
Sabe-se que lf'. = 1.
Y 1. ••
n. para tp 1 =
1. •
Yj,.
n j, •
G =
"
I -
0.00 1.20 1. 20
-0.80 -0.80 0.80
PA
PA
t; = -0.25
92.
Assim tem-se as seguintes expressões:
I; ~l -1 I; 1~51 A'A = !A'A! =
O projet.or em A
1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
1 0.00 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.00 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20
= 0.00 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.00 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20
J 0.00 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20
SQC y.D = 75. 20
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.80 -0.20 -0.20 -0.20 -0.20 0.00 -0.20 0.80 -0.20 -0.20 -0.20 0.00 -0.20 -0.20 0.80 -0.20 -0.20 0.00 -0.20 -0.20 -0.20 0.80 -0.20 0.00 -0.20 -0.20 -0.20 -0.20 0.80
G' G = 48 CG' G) -1 = 0.2083
SQCt;) = 0.30
Por conseguinte o Quadro de Análise de Variân-
cia; pelo método original de Parametrização irrestrita e
FONTE DE V.D.J?.
Regressão
i~.j ust e para I-'
Ajuste para C (?/I-')
Ajuste para C T/I-'(D
Ajuste para I-'
F:esi 1:j~JO
GL
3
6
1
1
1
1
1
1
SQ QM
76.50 25.50
73.50
1.50 1.50
1.50 1.50
73. 50} SQCet..)
2.70 2.70
C>. 3<) 0.30
2.50 0.83
79.00
93.
VALOR PROBo F > F
1.80 0.27
Das equi vaI Êmcias das somas de quadrados se
tem
SQC 11') = SQC cO e
SQC ç) = SQC (1/cO
Substituindo pelos seus valores se tem
75.2 = 73.50 + 270
75.2 ::: 75.2
0.30 ::: 0.30
I sto nos con:f i r ma que são vál i das as expr es-
sões, por conseguinte e viável a parametrização alternativa
apresentada por DODGE (1980),
94.
4. EXEMPLOS APLICATIVOS EM DELINEAMENTO DE DOIS FATORES
4.1. Delineamento em Blocos Incompletos
delineamento ~ empregado na
por:
Y" k = f..i + aI.' + (5. + e" k I.J J 1.)
Chamado também modelo super par ametr i zado cuj a
caracterização é dada no item [3.2.1J.
4.2. Modelo de Médias
y. 'k = f..i .. + e'"k 1. J I.J I.J
o delineamento de dois fatores que descreve as
parcelas perdi das em termos das parcelas presentes é dado
pelo modelo restrito já descrito no ponto 3.2.5.2.
CASO A: Um Exemplo em Blocos Incompletos
o presente experimento analisa o coeí'iciente
de digestibilidade de nutrientes para CAITETUS CTayass~ Ta-
yacu). consumido a níveis crescentes de alimentos volumosos.
95.
o t.ipo de delineament.o. inicial foi planejado
para blocos casualizados, balanceados envolvendo 4 trat.amen-
tos~ os t.ratament.os A, B, C e D, constit.uem níveis volumosos
~je raç.ic-,;o cc .. rn 6 repetiçç'e.s. .é.s f i 1 ei r as 1, 5 e e.
constituem machos e as fileiras 2 e 4 sáo f~meas.
Por razoes próprias do manejo experimental
perderam-se 4 parcelas, como se encontra na Tabela 4.2.1, a
sua eficácia de digestibilidade ~ medida por
consumo - escret.ado x 100
Tabel.3- 4. 2. 1.
TRAT AMENTOS A B C D
1 75,68 60,38
2 75,13 69,85 71,73 63,73
3 77,84 77,54 74,03
BLOCOS 4 78,51 77,45 66,24 60,95
5 70,70 74,09 65,91
6 78,70 73,19 70,05 68,79
A per da de par cel as det.er mi na que o deI i nea-
mento seja de Blocos Incomplet.os não Balanceados.
O modelo adi ti vo super par ametr i zado de DODGE
(1985) .
96.
Delineamento em blocos incompletos
o modelo aditivo vem dado por
Y,' ,1. = t-J + Ct + ('5 + e vJl', 1. J '_JK
A matriz de delineamento para este experimento
no modelo irrestrito sobreparametrizado é
í-J 1~ Ct i:;{ i:;{ .-:> i? ('5 (1 (1 R (-' f" "" 1 2 3 4- 1 2 3 4 :5
1 1 O O O 1 O <) (\ <) O
1 O () O 1 1 O O O <) Cl
1 1 O O O O 1 O O O O
1 O 1 O O O 1 O O O O
1 O O 1 O O 1 O O O O
1 O O O 1 O 1 O O O O
1 1 O O O O O 1 O O O
1 O 1 O O O O 1 O O O
1 O O 1 O O O 1 O O O '#, = 1 1 O 1 O O O O 1 O O
1 O 1 O O O O O 1 O O
1 O O 1 O O O O 1 O O
1 O O O 1 O O O 1 O O
1 O 1 O O O O O O 1 O
1 O O 1 O O O O O 1 O
1 O O O 1 O O O O 1 O
1 1 O O O O O O O O 1
1 O 1 O O O O O O O 1
1 O O 1 O O O O O O 1
1 O O O 1 O O O O O 1
cuja matriz de incidência :fica da seguinte :forma
97.
BLOCOS
1 2 3 4 5 5
1
r 1 1 1 1 o 1
1 TP/>.T.DJ-.1ENT()S 2 o 1 1 1 1 1
3 I o 1 1 1 1 1 ! 4 l 1 1 o 1 1 1 J
Pode-se observar que apesar da perd.3_ das par-
celas (1,5), (2,1), (3,1) e (4,3) o delineamen"to é conec-
t~do. Basta aplicar o procedlmento geom~trico obt-endo-se uma
cadeia que une as observaç6es present-es.
A cont-inuaçáo por um processo aleat-6rio pro-
gressivo de "tirar parcelas perdem-se as seguin"tes parcelas:
(1 , 2) , C 1 , 3) , (1 , 5) , ( 2, 1 ) ( 2 , 2) , ( 2 , 3) , (2,5) , (3,1),
(3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1) e (4,5), ficando ao final:
BLOCOS
TRATAMENTOS
1
2
3
4
1
1
O
O
O
2
O
O
O
1
3
O
O
O
1
4
1
1
O
1
5
O
O
1
O
Aplicando o Processo R se "tem
.. .. 1 :----1 :----1 :----1-----0-----1 M =
1 -----1 -----1 -----1-----0-----, o. O O O 1 9 1 -----1 -----1-----1-----0-----1
5
1
1
O
1
98.
Det er mi nando-se um delineamento desconectado,
ao ter-se dois grupos de conexão, o primeiro consti t_ui o
grupo 1 i gado pela cadeia, e o segundo o consti tui a parcela
(O? <=;,. '. -.- ,. '-'.' ., a matriz de delineamento Lica
f-./ o o o o (? (5 (5 (1 ("5 (5 1- 2 3 4- 1- 2 3 4- ~ 6
1 1 O O O 1 O O O O O
1 1 (j O O O 1 O O O ()
1 1 O O O O O 1 O O O
1 1 () () O C) (.r (J 1 O O
1 1 () O O O O O O O 1
1 () 1 O O 1 O C) O O O
1 O 1 O O O 1 O O O O
1 O 1 O O O O 1 O O O
1 O 1 O O O O O 1 O O ~ = 1 O 1 O O O O O O O 1
1 O O 1 O O O O O 1 O
1 O O O 1 1 O O O O O
1 O O O 1 O 1 O O O O
1 O O O 1 O O 1 O O O
1 O O O 1 O O O 1 O O
1 O O O 1 O O O O O 1
A parcela C3,5~ não pode ser estimada, pois o
tratamento 3 não ocorre com nenhum dos outros tratamentos no
mesmo bloco. Deste modo o ereito do tratamento 3 é conrundi-
do com o bloco 5.
O grupo de contrastes dos tratamentos é deter-
minado pela matriz diagonal inrerior do produto da matriz
final MM'dado por C , onde - C(
M =
r 1 1
I
L
1 1
O 1
1 1
Os
A = {Ct 1
99.
1 1 o 1
1
1 2 3
1 1 o 1 C 2 1 e = 1 1 1 O
Cf 3 O O
O 1 O 1 J 4 1 1 O
contrastes que formam uma base são:
Cf , Cf - Cf } ou {Cf - Cf , Cf - a } Z 1 4 1 Z Z 4
Com o obj eti vo de coni' er i r a val i d.ades dos r e-
~ultados da análise exposta neste exemplo, utiliz,3.-se o
=
a) No caso de Conexão
1) Conforme HOCKING (1985), no modelo reduzido a forma
part.i ci onada da mat.r i z
/-l J = o
VI será W = [ VI 24 4
VI J 24 20
e
No processo de est.abelecer as combinações pos-
síveis das parcelas. com o objet.ivo de se conferir a valida-
de da mat.riz G, é convenient.e considerar o seguint.e:
Est.abelecer cont.rast.es das parcelas perdidas em função das
parcelas present.es.
Est.abelecer cont.rast.es com o menor número de parcelas pre-
sent.es.
.t\ssim as parcelas perdidas em função das par-
celas present.es são
100.
f.-J1.Z + I-'Z1. I-'ZZ
I-'Z3
1-'3.1 + f-1 6Z - 1-'6.1
o total de combinaç6es é dado por n-a-b+1, o
que determina 24-e,-4+1 = 15 combi naç6es, o resto é escolhido
dos contrastes de tratamentos dado pela combinação = 15
contrastes. completando-se com
lU 1.1 + !-.l II f-.l14 r' 24 2.1
1-'11 + !--'34 1-'31 I-' 14
f.-J1.1. +
1-' ... " 1-',,1. f.-J 1.4
1-'11. + 1-'~4 1-''::J1 1-l1.4
f.-J1.1. +
1-l64 I-' c::s 1. 1-'1."
f.-J Z1 +
1-'3Z 1-'3 f. I-'ZZ
f.-J Z 1. +
1-''''3 I-'"f. I-'Z3
f.-JZZ +
1-l'::J3 I-''::JZ I-'Z3
f.-J Z 1. +
I-'c::sZ I-' c::s 1. I-'ZZ
f.-J 3 1. +
I-' ... Z 1-',,1. 1-l3Z
I-''::JZ +
1-l63 -1-''::J3 - I-'c::s:z
A mat.riz G assume a est.rut.ura do seguint.e modo:
101.
u . .!1
i) o ,) -1 o 1 -1 o o I) C) () () O o o O O <) O
',' (".} -1 o o o o o o o ;)
\j I.) 'j ç. o O O I,) O ',' -1 ;) 1 -1 O () .) o ,)
i') ,) 'J l. O O .) 0 O. () O ,) ,::;. I,) () O O -1 O O -1 1 O ;) I . - ------- ---- -- '-- --------------- ---- ------- -- -- -------- ---- ---- ---- -------- -------- ---- ------
.~.
I)
,)
.)
.)
,) () í) O
J) ' ... ' c.
o
c· .)
1 -1. -1 ,) ,) 1 i) .)
1. -1 .) ' .. -1
1 -1 o o o o
1 -1. I) .) O o
1 -1 .) O o o ,)
.!. -2. ,) 'J -1
o O 1 O -1 O O I,)
') 0 O 1 -1 O O o
o o 1 -1 o O o o
.) O í) 1
f) O O o o O o
;) I) O o O .:) O I,) O
o 1.3 o <;) Çl () C; o
() O O O O O
O o O 1 O O I)
1.) O 0 i) O o -1 () o
o I) ,) O o') O o O
. .) -1 \) 1 o') o o ;) O
.) O o O O -1 1 I) o
o {J o O O o o o -1 1 o
-1 O O O -1 1
O O o 1 -1 o <) -1
o
o
c
O
1
o
o
, ;
O j
Fazendo arranjos nas linhas e simplificando,
tem-se a partição da matriz G.
102.
o o \..) -1 f) 1 -1 o O O O O O O O O o O O O C' O O: <
o O O -1 o 0-1 1 O C O O O O O O O O O O O 0
~. \." ,-' o O O v O O O O -1 (.< O 1 -2 O 0 O O O O O
.:) <) i) O () O <) <::. .) <,) O O ;) -1 O O -1 1 .) O! --- -------- -------- --------- --- ---- ---- -------- ------------ ---- --------------- -- i
1 -1 -1 O O 1 O O <,) O o· O O O O O O O O O ~ ~ ---------------
1 -1., O o O o -1 o 1 - O 0-1 :. o O o O o o o
e 0 o 0 o o .) 1 -1 i) o o .:) o o o <,) <,) O 0 -l o 1. -1. 1 o o
1 -1 O o o o o o <,) i) o O O O O o -1 O <) 1 i
v) o o 1 -1 I) 0-1 1 o o O o O o O O O O o o
.) o 1 o -1 o ,) r) <:) -1 o 1 i) O ,~ O O O O O
.j O O 1 -1 o O O O O O O O -1 1 O O O O
O O 1 -1 o O O O O O O O O O O 0-1 1 O
O O O O O O 1 -l O' -1 1 O O O O O O O
O O O O O O O O O O O O O 1 -1 o 0-1
Nota -se que a ma tr i z 6 mm
é não si ngul ar de
posto linha completo. e que a restrição efetiva está inte-
grada por m-a-b+1 combinações possí veis dos contrastes dos
tratamentos em termos das parcelas presentes. ou seja.
20-6-4+1=11. onde m é o número de observações presentes.
Pelo modelo afetivo de médias. de acordo com
Hocking o delineamento é conexo. Deste modo confirma-se o já
demonstrado pelo processo R.
b) No caso desconexo
Considere-se agora o caso de perda de parcelas
do delineamento desconexo apresentado anteriormente. onde
sua matriz de incidência é dada por:
103.
FATOR B
1 2 3 4 5 5
1 1 O O 1 O 1
FATOR A 2 O O O 1 O 1
3 O O O O 1 O
4 O 1 1 1 O 1
onde O represent..a perda de parcel a.
Conforme já est..abelecido, as combinações pos-
sí vei s das médias das parcelas perdidas com respei t-o .3 .. S p.3.r-
cela.s present~e sào:
f.-lJ.z +
f.-l4. 1. j..4J. 1. f.-l4.2
f.-lJ.3 + f.-l 4 J. f.-lJ. 1. f.-l4.2
f.-l 2 J. + f.-lJ. 4 f.-lJ.J. f.-l24
f.-l 2z + f.-l 44 f.-l 42 f.-l Z 4.
f.-l Z3 + f.-l 44 f.-l4.3 f.-l24
f.-l 3 J. + f.-lJ.6 f.-lJ.1 f.-l36
f.-l 32 + f.-l 43 f.-l 42 f.-l33
f.-l 33 + f..l 44 f.-l 43 f.-l34
f.-l1~ + f..l 24 f..l 1Z f.-lZ~
f.-lZ~ + f..l 36 f.-l3~ f.-l26
f.-l4.~ + f.-l 36 f.-l3~ f.-l46
f.-l 14 + f..l 26 f.-l Z4 f.-l16
f.-l Z4 + f.-l 46 f.-l 44 f.-lZ6
f.-l 34 + f..l4~ f.-l 44 f.-l3~
f.-l 4 J. + f.-l 16 f.-lJ.J. - f.-l4.6
A mat..riz G fica est..rut..urada como segue:
o o C) o o o O O O O O
o o o o () O O O O O
o 1 o o O o o o O O
o o 1 o O I) O o O
O O o o o O
O o o :.
o o o -1 c· o c~ ,t)
G • o o O O O o (> -1
o o o v O 1 -1 o O
o o o (\ O
.) o O O o O
I.' I) o 1..' O o " O I) I)
,_, IJ I) ° O c O o
I) I) o O O O Q o o 1 o
o o o o Q O o o o
1 o -1 O O O
\) -1 O o O
o o -1 1 O -1
o o O O o -1
V Q (. ..... -1
c
I:> o 0-1
.) 1 O
v \) O O O
.) O' ') ;) O O
I) 1 ! (\ 1.' c I)
') -j -t
.)
.) Q I) o O
1 O -1 C· 1 O
O O -1 O n
o o -1 ç, I)
O o O O O
o I) -1 O
O " \) -1 1
o
I O t
I ot
I , (,.
-1 -1 I) .) O ;) ~
'.) r;:o C· O .) IJ
o -1 ,O. ,. O O -I
-1 1 I
O -1 'J --1 V : o o O ('. -1 1
fazendo os arranjos respectivos nas linhas tem-se:
G·
r,l o (> o \) o o o o " o o \) o I lo o o Q o o o o o o o Q o I 1')V1')000 00001 ')v I lo o o 1 o o o o o v o o ') o I lo v o I) 1 o o o o o o o o o I lo ..... o " o 1 o o o o o \) o o i I o o ., " \) o 1 ('I o I) o o 0-1 I • iOOOOOOO 10000 ')1
lo \) () o \) o o o I lo O" I) o ú o o (I I
-1 o
-1 \) o
11.' I) " I) o " o \) o I) 1 O\)1 ! f.... \' (. .) C v (\ I) \) o C 1 o I . t 1.... .) O <) O\)(> \) f) o \) o 1 1.'\ 1 _________________________ • ________________________ _
I I I
v I) -1 o o o -1 o o l'
o 0-1 1 ~
O -1 ') 1 -1 -1 o o (' I \) .
-1 1 \) -l\)O o o
o o o -1 o Q -1 1
o o o -1 o o 0-1
o o o o -1 o C' o
-1 I) 1 o o -1 (... .. ...
<:> o \) \) o o -} 1
o o o C· o ') 0-1
1.'
1
o
I) ;
') I t I
('li
1 I t
o -1 t i
oi t
\) I
o
t
,. <,) I) o C> -1 (> C' -} "
:<J o :> .;, O-} \., \) 0-1
-1 .:. c Q \' (I c· -1 ----~ ------_. _ .. _------.--_ ... _ .. - ... _-_ ....... _-;.
'-' -1 -1 1 ..... t) (,
1-, \) -1 o -t
104.
Observa-se que na
do rator A para OI - OI e Cf J. 2 J.
G só se dão os E
105.
contrastes
OI
" confirmando-se os con-
trastes obtidos pelo Processo R. Portando é válido o proce-
dimento do Modelo Eretivo.
Discussão
Nota-se no exemplo apresentado nessa seção,
que a mat.r i z G é si ngul ar, sendo de posto i ncompl eto igual mm
a 13 o que indica que o delineamento é desconexo.
Na matriz dos contrastes ereti vos , pode-se ob-
servar que a coluna correspondente à parcela ~3~ é rormada
excl usi vamente por zeros, o que indi ca que a médi a dessa
parcela não é estimável e, portanto, não poderão ser eretua-
dos os contrastes entre o nível 3 do fator A com os demais
níveis, nem poderão ser eretuados contrastes entre o nível 5
do rator B com os demais níveis deste rator. Os contrastes
observados para o rator A são Cf 1
Cf e Cf Z J.
os já obtidos pelo método de DODGE (1985).
CASO B: Um Exemplo em PBIB
Caracterizaça:o
Cf • confirmando 4
Trata-se de um látice 6x6 com 4 repetições,
cuja matriz tem a seguinte estrutura:
106.
FATOR B
1 2 3 4 5 6
1
r 1 O 1 1 O 1
2 1 1 O 1 1 o 3 o 1 1 o 1 1
FATOR A 4 l 1 o 1 1 o 1
5 1 1 o 1 1 o 6 o 1 1 o 1 1
Consi dere-se perdi das as segui ntes parcel ";_s:
(1,4), (2,2), (3,3), (3,5), (3,6), (5,2), (6,2), conriguran-
do a seguinte estrutura:
FATOR B
1 2 3 4 5 6
1 1 O 1 O O 1
2 1 O O 1 1 1
3 O 1 O O O O FATOR A
4 1 O 1 1 O 1
5 1 O O 1 1 O
6 O O 1 O 1 1
1) Aplicação do Processo R
Aplicando-se o Processo R nesta matriz, obtém-
se a matriz final M:
M =
l
,.. 1---0---1---1---0--- 1 ,.. 1 ---0---1 ---1 ---1 --- 1
O 1 o O O O ,.. 1---0---1 ---1 ---1 --- 1
1---0---1 ~--1 ---1 --- 1'" ,.. O O 1---1---1--- 1
107.
Tem-se doi s grupos conexos, o que det.ermina
que o delineament.o é desconexo. J.\.ssim, o primeiro grupo é
formado pelas parcelas unidas pela cadeia, e o segundo
formado exclusivament.e pela parcela (3,2).
Os contrast.es do !~at.or C! é d.3.do pelo triângulo
contador em C Ct
C = Ct
1
2 1
3 O
4 1
5 1
6 1
2 .J ....- 4
O
1 O
1 O 1
1 O 1 1
Assim, um grupo de cont.rast.es est.imáveis para
o fator Ct é dado por ou
2) Aplicação do Modelo Eretivo de Médias
A seguir aplica-se'o Modelo Efet.ivo de Médias,
obt.endo-se o conveni ent.e número de combi nações das médi as
das parcel as em função do número de parcel as present.es no
número máximo.
Assim, se n=36, a=6 e b=6, t.em-se 36-6-6+1=25
combinações, como segue:
f.J.1.Z + 1-1 2 1. 1-11.1. f.J. 22
f.J.1.~ + 1-1 24 f.J.1.4 I-Iz~
f.J. 2Z + I-Iccs f.J. CSZ f.J.zc
f..J Z3 +
f.J.:1.4 - f.J.:1.3 - f.J.Z4
:'é'p'é'Jnô1"Juo::J UlrSSB 'é'::J 1" J 9 Z1"J'l'é'Ul ';f
9ZrI ~9r1 99
r1 + ~zrI
9~rI ~zrI 9Zrl +
~~rl
~zrI 1>~rl ~~rI + 1> z rI
91>rI e9rl 99rl +
e 1> ri
1>1>rI ~~rI 1>~rl + ~"rI
9~rI 1>"rl 91>rl +
,,~ ri
9~rI 1> z rI 9Zrl + "T ri
9~rI e'J- ri 91>rI +
ETrI
~rI "'~rI ~~rl + "'9 ri
~rI Z"rl E 'I- rl +
Z9r1
~rI ~"rl E'" rl + ~9 ri
",s:.rI 9"rI ""'ri + 9~rI
f>s:. ê"f'ri "f>rI es;.rI ri +
f>s;.rI Z f> ri "f''''rI +
zs;.ri
s;.S;ri " " ri "~rI + S;"ri
zs;.rI Tf>rI - Ts;.rI + z" ri
9ZrI
S;ErI S;ZrI
+ 9Eri
s;zri "Eri "Zri + S;E
ri
9ErI "~rl 9~rl + " E ri
1>ErI E ~ ri f> T ri +
EErI
"'ErI TTrI
f'Trl +
TErI
"SOI
109.
,) -1 <.'> V lo> t) <.) v Ô <.) O ,)" -1 ,> ,) ,)- c'
., v O O 1.'\ <.\ I) .) ,> O ,) .) , -, .~. ., <> "
o I) .) 01)1)')'.)(. "" -l '.' -l
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., ~ ,)ú01)·)I,) I) O .) .,
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'J v I,) ,) I) O 1..1 O- V \) I,) I..) v v 0 ,) V -1
1,) t) O O (,) V '} V I) I) t) O ,) Ú V 1. ... i ,} o- ,) o V I) 1 -l
,) t,.'- t,) Ô O () O- O o. O ,) O ..:. ..) .) ,) .~ ,) -l
., .,
Fazendo o conveniente arrranjo nas linhas, fica:
110.
o -, o o o <) o o o -1 O- O- <) o- O- ,)
<) <) <) o o o ., o o- O- -1 O 1 -1 .)
<) o <) <) o o o <> " " O
o o- O- O- -t
<) " o <) <) <) " o o -1 O 1.) -[ I) t) " ,) O' O
o- -1. (,) o- o- o- o- I,) o- I.) o- o -1 O- o- O- O- O- ,) I,) I) 000000
v ô O- O- 1 -I O- O- O- O- O o- <.) O- O " -1
0- O- O- O- O- O- o- -1 \) O- O- v o,) O- V U v 0--1
O- I)- O- O- O- O- -1 0000,)0..)000 I) O O- ,) O 1 -1 I,) O- O- I) O- I) O- O- O- () O-
I) O- O- O- O- O O- -1 o- O- O- I) O- O- o- I,} O- O- O- O- 1 -1 Q O- O- 0 O ,) I) V " O
" 000000 o- -1 O- I) O- 0- O- o- I,) O- O- O- O- O- 0" Q -I I,) I,)
o- O- O- O- O- O- O- O- <) o ., o "
I.) O- O- O- \) O- ') I) O I,) -t O I -I
" O O o O- \} I) 0"1 O- ti U ú U U I) O
Q_ O- O- O- O- O- O- O- O- O- O- O- O- I.) Q () O-
" .
I,) O- O- I) O- O- o- O- O- O- O- ü Q O- o- O- () ,> v O I) 1 -1 -1 .) "
vOQOOCOOt)OvOvO ,> '.> o- 0- O- O- 0- I) I,) ,) \.) -1 O ,} " -1
'.> () () O- I) o- O- O- -.I. O- O- Ü \) O v O v.~ v V <.) -1 !) O
" " 0000-00 OO,)\}I)o.) 00-0000 V ,) O- o.) V t) V -1 I) -1 I.)
v O- O- O- O- o- O- O- O- O- O- ,) I,) " " 1.) I) -1 -1 I)
'.> O- O- 0-000-0000 o- ''> • .> 'J" O o -1 I,) t) O I) <.) O- -1 V
000-000000 I) \.'\ Q O L"\ .) 1 -1 I) -1 I.) o- I) O- O- O- O- I) O O- O-
" O 00000000000 o- \) 1 -l I) O- O- () O- (.) O -1 ,> I) ,> () () O-
\}000000000001) <> " "
\) o- o o o 1 -1 I) u· o- o- o- o- v -1
000000000000 o \) I) O O \) O- I) O- O- I -1 I,.) O- O
oo-ooooooo-ooo-vo\"'\OO () a I,) () o I,) o- () o o- ~l 1,)-1
I) o o- o () o O- o O- O· o- O- \) v o- o- o- o- O' I) t) o- I,) \) \) \) o- I,) -1 ,) I) I,) -I O-
o
o
<>
segue:
<> o
,O' O- O Q O- 0-
o
o
o
o
<>
o
o
<>
o
Finalmente,
<> o
o
o
o. <>
o
o
o \)
o o .0 o
o .0 o
<> .0 o o
o o o· o
o o
<>.
o i ,) O- O O- .0 o. O 1 -1 O O O O- O O () 0-
a matriz G particionada fica como
..:
o <> -1 . o
o -1
<>
o -1
<:1
.' o
o <> -1
o
o
o
<>
o
o
o
o
o
1 -1
<> o
<>
o
o
o
o
<>
o
<>
o. <>
o
o o
o
o
<>
o
o
C>
o
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o
o
o
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o
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o
o
<>
o
o
o
o
C>
"
<>
o ., o
<>
<>
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<> ., <>
<> I I'" ? O- O' O O O O o O- -1 O- O I) O O O O O- O O O O O O -.1 .Q O O- O- O o. O- t)
t ,> .) o O- O- O- O O O- O O o O- o O' 9 I!!J ~ qI q Q Q Ô o 1. ~t d I,) 6
l'j O O- O- O O- O- O O O- O -1' O O- O O o O O o· Il" O- O O O O 1 -1 O O O- -1 O 0-
i O- O- O' O- O- O O 'o O O- O O O- O O O I,) O O O O O O O O- O- -1 O- O -1. O- O- O 1.'
t., .., O- Q O- O O- O- O O O O O- O- O O- O O- O O- O O O O '.) O- O 1 -1 O -1 O- O- O c.,.'
:.., c) O- O ., O O O- O- O- O- O- O- O- O O- O- O O O O- O O O O 1 -1 O O O O O- -1. O- O
! '.> v O- Q. O O O O- O O O O O- O- O- O- 1 O O O- O O O O- O O- O O O O O -1 1 O -1 O-~_ .... _- .. ---_ .. _-------_ .. _ .... _-------_ .. _---;"'------ _ ... _----------_ ... _---_ ... _ ... ----_ ... _ ..... _ ..... _---_ ..... --------_. ; () O- -1 -1 O O ~ O- O- O t,) Q O O O O \."'t
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'" O- -1 ~ O 1)-1
'" e
C> ., ., <> o
o o -, o o , -, o <> <> C> <> o o
o <> o C> C> -, ~ O- O 1 -1 0-1
~ o
O O O O O O O O ~ O O 1 -1 0-1
O O O O O O O O I O O O O O O' O' O ~ o
o -,
o -1 o o -1 o <> o
<> -, o o -1 o o
111.
Discussão
No exemplo apresentado nesta seção. numa pri-
meira análise, ao aplicar-se o Processo R obteve-se, através
do triângulo contador, os seguintes contrastes estimáveis
a -a , a -a , a -a e a -a não pOdendo-se estabel er con-:I. Z :l 4 4:S 4 <:J
trastes unicamente com o nível 3 do fator a, determinando-se
que estes contrastes não são estimáveis.
Da aplicação do Modelo Efetivo de Médias, neste
exemplo,na correspondente submatriz de restrição efetiva G , E
observa-se que a coluna correspondente à média da parcela
f..laz é vazi a, o que i mpl i ca que o ní vel 3 da médi a dest.a
parcela não está relacionado com outros níveis das médias do
fator a.
112.
Esta si tuação determina que o delineamento é
dQsconQXO, pois a Qst-rut-ura da subma t-r i z G mm
não t-Qm posto
linha completo, confirmando-se a validade dos resultados ob-
tidos pelo Processo R.
113.
5. CONCLUSÕES
1) A perda de parcelas de~ermina o grau de estimabilidade
dos parâJfI'?t~ros, condi ci onando a :for mul aç.3.o de t.estes
de hipóteses que envolvem os parâmet.ros mencionados.
2) Uma propriedade de dados desconexos é que el es ao
serem separados em dois ou mais conjuntos conexos
podem ser analisados separadamente.
3) Nos delineamen~os de blocos incomple~os com dois
:fatores. uma alterna~iva mui~o e:ficiente de se estimar
perda de parcelas consiste noes~abelecimen~o de
contras~es or~ogonais entre os ní veis de cada :fator.
prestando um valiosa contribuição na análise de
variância proporcionando os graus de liberdade para
cada e:fei ~o.
4) Na si~uação em que a ma~riz de delineamen~o no modelo
de médias seja de posto coluna comple~o e jus~i:ficável
o uso do modelo res~rito para detectar estimabilidade.
114.
5) Nos casos de desconexão no modelo efetivo de médias é
possível determinar funções paramét.ricas estJimáveis
medi ante os contrastes das médi as não observadas em
função das médias observadas.
5) O modelo efetivo de médias permit.e obter a est.rut.ura
de consxão do delineam6>nto de forma transparent.e con
tr i bui ndo na compr e6>nsão dos pr obl emas de conexão 6>
estimabilidade de funç6es estimáveis, essa metodologia
poderá ser utilizada com finalidade didática.
7) No modelo aditivo de dois fatores ou modelo de DODGE
C 1 985) a obtenção da ma tr i z f i nal M per mi te obt er
quais das esperanças das parcel as perdidas são
estimáveis. Do mesmo modo, é possível obter os grupos
conexos da matriz ~ de delineamento.
8) A det.ermi nação do tr i ângulo cont.ador de cada um dos
fatores gera os contrastes entre os diferentes níveis
do fator ~ e do fator ~, que constituem urna base para
o espaço vetorial de ~ e f1, respecti vamente. A
di mensão do espaço vetor i aI de ~ e f1, é dada pel a
adição de suas bases e permite obter o posto da matriz
de delineamento ~.
9) O processo R é mais op6>rativo e funcional, o que per
mite atuar com sucesso nos casos de grande quantidade
115.
de dados o que não acont.ece com o modelo efet.i vo de
médi as, poi s est.e al gor i t.mo emprega mai or número de
passos e t.empo de operação.
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