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Este texto e uma pequena parte dos Exercıcios de Analise Matematica I/IIdo Departamento de Matematica do IST editados pela IST Press destinada asuprir temporariamente um esgotamento de stock no inıcio do ano lectivo de2005/6. O texto podera ter diferencas de pormenor relativamente a 2a edicaoque esperamos seja disponibilizada brevemente. Em particular a correccao dealgumas gralhas podera nao estar completa e o novo texto de referencia sera a2a edicao assim que disponıvel (preve-se Novembro de 2005).

Em nome do corpo docente de Analide Matematica I que utiliza o textoagradece-se a IST Press, na pessoa dos Profs. Moura Ramos e Miguel Dionısio,ter acedido a esta solucao.

Joao P. Matos, IST, 16/10/2005

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Capıtulo 1

Numeros Reais. Sucessoes.

1.1 Indique, se existirem, os majorantes, os minorantes, o supremo, o ınfimo, o maximoe o mınimo de cada um dos conjuntos:

a) Vε(a) (onde a e um real e ε um real positivo).

b) {x : x ∈ R ∧ x4 − 3x3 + 2x2 ≤ 0}.

(Grupo I do 1o Teste de 24/2/79)

1.2 Considere os seguintes subconjuntos de R:

A ={

x ∈ R : |x| ≥ x

2+ 2}

, B = [−3, 4], C = R \Q.

a) Mostre que A ∩B = [−3,− 43 ] ∪ {4}.

b) Indique, se existirem em R, supA, min(A∩B), max(A∩B), inf(A∩B ∩C), sup(A∩B ∩ C) e min(A ∩B ∩C).

(Pergunta 1 do Grupo I do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)


A =

{

1

n: n ∈ N1

}

, B = R \Q, C = {x ∈ R : log x ≥ 0}.

Indique, se existirem em R, o inf A, min(A ∪ C), sup(A ∪ C), inf(A ∩ C), min(B ∩ C) eo sup(A ∩B).



A = {x : x ∈ R \Q ∧ x > 0}, B =

{

x :x− 1

2x+ 3≤ 0

}

, C = A ∩B.

Para cada um dos conjuntos A, B e C:

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CAPITULO 1. NUMEROS REAIS. SUCESSOES.

a) Indique o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes.

b) Indique o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo, no caso de existirem.


1.5 Considere os conjuntos

A =

{

x ∈ R :x− 1

x2≥ 0

}

, B =

{

x ∈ R : log1

x≥ 1

}

.

Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dosminorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo.

(Pergunta 1 do Grupo I do 2o Exame de 6/2/95)


A =

{

x ∈ R :x

ex(x+ 1)≤ 0

}

, B ={

x ∈ R : ex ≥ e−x}

.


(Grupo I da 2a Epoca de 24/2/95)


A =

{

x ∈ R :ex

|x| ≥ 0

}

, B = {x ∈ R : | limxn| ≤ 1}, C = A ∩B.

Para cada um dos conjuntos A e C, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dosminorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo.



A =

{

x ∈ R :1

log x≥ 1

}

, B =

{

1− (−1)n

n: n ∈ N1

}

.



8

1.9 Indique se sao majorados, minorados, limitados os seguintes subconjuntos de R:

A = {x : |x− 3| = 2|x|}, B =

{

y :y

y − 1<y − 1

y

}

.

Indique ainda (se existirem, em R) o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo de cadaum desses conjuntos.

(Grupo Ia da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

Resolucao:

A = {x ∈ R : |x− 3| = 2|x|} = {x ∈ R : |x− 3| = |2x|}= {x ∈ R : x− 3 = 2x ou x− 3 = −2x} = {−3, 1},

B =

{

y ∈ R :y

y − 1<y − 1

y

}

=

{

y ∈ R :y

y − 1− y − 1

y< 0

}

=

{

y ∈ R : 2y − 1

2

y(y − 1)< 0

}

= {y ∈ R : y < 1/2, y < 0, y < 1} ∪ {y ∈ R : y < 1/2, y > 0, y > 1}∪ {y ∈ R : y > 1/2, y < 0, y > 1} ∪ {y ∈ R : y > 1/2, y > 0, y < 1}

= ]−∞, 0[ ∪ ]1/2, 1[ .

Como A = {−3, 1} e B = ] −∞, 0[ ∪ ]1/2, 1[ conclui-se que A e limitado e B e apenasmajorado. Portanto supA = 1, inf A = −3, supB = 1, B nao tem ınfimo em R,maxA = 1, minA = −3 e B nao tem maximo nem mınimo em R.

1.10 Seja A um subconjunto de R, majorado e nao vazio e seja m um majorante de A,distinto do supremo deste conjunto. Mostre que existe ε > 0 tal que Vε(m) ∩A = ∅.

(Grupo Ib do Exame Final de 30/4/80)

1.11 Sendo A um subconjunto majorado e nao vazio de R e α = supA, prove que, paraqualquer ε > 0, o conjunto Vε(α) ∩A e nao vazio. Na hipotese de α nao pertencer a A,o conjunto Vε(α) ∩A pode ser finito? Justifique a resposta.

(Grupo IVa do Exame Final de 10/5/79)

1.12 Sendo U e V dois subconjuntos majorados e nao vazios de R, tais que supU <supV , justifique (de forma precisa e abreviada) as afirmacoes seguintes:

1. Se x ∈ U , entao x < supV .

2. Existe pelo menos um y ∈ V tal que y > supU .

(Grupo Ib da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

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1.13 Prove que, se X e Y sao dois subconjuntos de R tais que supX > inf Y , existemx ∈ X e y ∈ Y tais que y < x.

(Grupo IVa da Prova de 26/7/78)

1.14 Sejam A e B dois subconjuntos de R.

1. Prove que, se supA < inf B, A e B sao disjuntos;

2. Mostre, por meio de exemplos, que se for supA > inf B ∧ supB > inf A, A e Bpodem ser ou nao ser disjuntos.

(Pergunta 1b do Ponto no2, Exame Final de 17/7/71)

1.15 Sejam A e B dois subconjuntos majorados e nao vazios de R e sejam α = supA,β = supB. Justifique que o conjunto C = A ∪ B tem supremo e, designando-o por γ,prove que γ = max{α, β}.



A = {x : senx ≥ 0}, B = {x : |x| < 2π}, C = A ∩B.

1. Para cada um dos conjuntos A, B e C:

(a) Indique se o conjunto tem ou nao majorantes e minorantes (em R) e, se exis-tirem, quais sao.

(b) Indique o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo dos mesmos conjuntos, nocaso de existirem.

2. Apenas para o conjunto C:

(a) Indique o menor intervalo que contem esse conjunto (de forma mais precisa:indique um intervalo I que contenha o conjunto C e esteja contido em qualquerintervalo que contenha C).

(b) De um exemplo de uma sucessao convergente, cujos termos pertencam a C ecujo limite nao pertenca ao mesmo conjunto.


1.17 Prove que, para todo o numero natural n ≥ 4, se tem

(n!)2 > 2nn2.


1.18 Demonstre pelo princıpio da inducao matematica as seguintes identidades:

10

a) 1 + 3 + · · ·+ (2n− 1) = n2, ∀n ∈ N1.

b) 11.2 + 1

2.3 + · · ·+ 1n(n+1) = n

n+1 , ∀n ∈ N1.

1.19 Demonstre que

a) n! ≥ 2(n−1), ∀n ∈ N1.

b) 3n−1

n! < 19n2 para qualquer numero natural n ≥ 4.

1.20 Demonstre a desigualdade de Bernoulli : Sendo a > −1, n ∈ N, (1 + a)n ≥ 1 + na.

1.21 Demonstre, pelo princıpio da inducao matematica, o binomio de Newton:

(a+ b)n =

n∑

p=0

(

n

p

)

an−p bp, ∀n ∈ N, ∀a, b ∈ R.

Recorde que(

np

)

designa, em analise combinatoria, as combinacoes de n elementos p a p,e tem-se

(

n

p

)

=n!

p!(n− p)!(1.1)

(n! = n(n− 1)(n− 2) · · · 4 · 3 · 2 · 1). Uma propriedade importante e a seguinte,(

n+ 1

k

)

=

(

n

k − 1

)

+

(

n

k

)

,

cuja demonstracao se reduz ao calculo destes valores por aplicacao da expressao (1.1).

1.22 Calcule os limites das sucessoes de termos gerais

un =

(

1 +1

2n

)n

, vn =[(−1)n + 3]n

(2n)!.


1.23 Calcule, se existir, o limite de cada uma das sucessoes definidas como se segue:

a) vn = 1n√n2

,

b) wn = an

n , onde a ∈ R.

(Perguntas 1bc do Grupo I do Exame A da Epoca Especial de 17/11/95)

1.24 Indique, justificando abreviadamente, o conjunto dos sublimites de cada uma dassucessoes de termo geral

an = sennπ

2+ cos

nπ

2, bn = e(1−

1n

)n

.


11


1.25 Diga, justificando, se sao verdadeiras ou falsas as proposicoes seguintes:

a) Qualquer sucessao crescente de termos em ]− 1, 1[ converge.

b) Se (un) e (vn) sao sucessoes limitadas, o conjunto dos sublimites da sucessao (un+vn)e nao vazio.

c) Se (un) e uma sucessao tal que, para todo o n ∈ N, u2n ∈ ]0, 1[ e u2n+1 ∈ ]1, 2[, entao(un) e divergente.


1.26 Sejam (xn) e (yn) sucessoes tais que (xn) e crescente e, para todo o n ∈ N, xn ≤ yn.Mostre que, se (yn) e convergente, o mesmo acontece com (xn) e estabeleca, nesse caso,uma relacao entre lim xn e lim yn.

(Pergunta 2 do Grupo I do Exame de Epoca Especial de 17/11/95)

1.27 Sejam (xn) e (yn) duas sucessoes reais tais que, para qualquer n ∈ N1, xn ≤ yn.Mostre que se lim xn = +∞ entao tambem lim yn = +∞.



A =

{

x ∈ R :x− 1

x2≥ 0

}

, B =

{

x ∈ R : log1

x≥ 1

}

.

1o Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjuntodos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ınfimo, o maximo e omınimo.

2o Indique, justificando, quais das proposicoes seguintes sao verdadeiras e quais saofalsas:

a) Toda a sucessao monotona de termos em B e convergente.

b) O conjunto dos sublimites de uma sucessao de termos em A e nao vazio.

c) Se (xn) e sucessao de termos em A, xn

n e divergente.

d) Se a ∈ B, a serie∑+∞n=1

an

n e convergente.

(Grupo I do 2o Exame de 6/2/95)


A =

{

x :2x− 2

x− 2≤ 1

}

, B =

{

x : ∃n∈N |x− n| < 1

10

}

.

12

1. Indique, justificando, se A e B sao majorados, minorados, limitados e se temmaximo, mınimo, supremo ou ınfimo.

2. De um exemplo de uma sucessao cujos termos pertencam ao conjunto B e que naoseja limitada. Seria possıvel dar o exemplo pedido se, em vez de B, se considerasseo conjunto A? Justifique.


1.30 Seja A um subconjunto de R, com supremo s. Prove que existe uma sucessao xn,de termos em A, convergente para s. Prove ainda que, se A nao tem maximo, a sucessaoxn pode ser escolhida por forma que seja estritamente crescente.


1.31 Considere un = sen[(−1)n(π2 − 1n+1 )]. Determine o conjunto dos majorantes e

o conjunto dos minorantes do conjunto dos termos da sucessao. Diga se tem ınfimo,supremo, mınimo ou maximo o conjunto dos termos da sucessao.

(Grupo Ib do Exame O.S. de 11/2/80)

1.32 Considere as sucessoes de termos gerais

un =(−1)n

n2, vn = [1 + (−1)n]n, wn =

2n+1

2n + 1

e indique, justificando abreviadamente as respostas:

1. as que sao monotonas, as que sao limitadas e as que sao convergentes;

2. o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo (se existirem) do conjunto dos termosde cada uma das sucessoes consideradas.

(Grupo Ia do Exame Final de 30/4/80)

Resolucao: Quanto a (un), |un| =∣

∣

∣

(−1)n

n2

∣

∣

∣= 1

n2 < 2 para qualquer n, logo (un) e

limitada. (un) nao e crescente, pois, por exemplo, u3 < u2; nem e decrescente pois, porexemplo, u2 > u1. (un) e convergente para 0 pois |un| ≤ 1

n2 e 1n2 tende para 0.

Quanto a (vn), |vn| = |(1 + (−1)n)n| = |1 + (−1)n|n, logo (vn) nao e limitada poisdado M e sempre possıvel encontrar n0 tal que |vn0 | > M ; com efeito, escolhendo n0

par tal que n0 >M2 vira |vn0 | = 2n0 > M . (vn) nao e decrescente, pois, por exemplo

v1 < v2, nem crescente pois v2 > v3. (vn) nao e convergente pois se o fosse seria limitadae nao o e.

Quanto a (wn), wn = 21+2−n o que permite reconhecer que (wn) e uma sucessao de

termos crescente e com todos os termos menores que o seu limite que e 2 e todos ostermos maiores ou iguais ao primeiro que vale 4/3.

13


1.33 Das sucessoes de termos gerais

an = (−1)n, bn =3n3 + 3n2 + 1

2n3 − 3, cn = anbn, dn =

2n + 4n

3n+1

indique, justificando as respostas, as que sao limitadas e as que sao convergentes (indi-cando neste caso os respectivos limites).

(Grupo IIa do 1o Teste de 7/4/79)


un =(−1)n+1

n, vn =

nn+1

nn + 1, wn = unvn

indique, justificando abreviadamente as respostas, as que sao limitadas e as que saoconvergentes.


1.35 Calcule (se existirem) os limites das sucessoes de termos gerais:

un =cos(nπ) + cos(2nπ)

n, vn =

(n+ 1)!− n!

n!(n+ 2), wn =

n2

1 + 2n.

(Grupo IIa da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

Resolucao: un e da forma anbn onde an = cos(nπ) + cos(2nπ) e limitada (pois |an| =| cos(nπ)+ cos(2nπ)| ≤ | cos(nπ)|+ | cos(2nπ)| ≤ 1 + 1 = 2) e bn = 1

n → 0. Logo un → 0.

vn =(n+ 1)!− n!

n!(n+ 2)=n!((n+ 1)− 1)

n!(n+ 2)=

n

n+ 2. Logo vn → 1.

Como 0 ≤ wn =n2

1 + 2n<n2

2ne, como

n2

2n→ 0, tambem wn → 0.

1.36 Indique, justificando abreviadamente a resposta, o conjunto dos valores reais de a

para os quais a sucessao de termo geral xn =an

21+2ne:

i) convergente;

ii) divergente, mas limitada.

(Grupo IIb da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

1.37 Para cada a ∈ R determine, quando existam, os limites das sucessoes de termosgerais:

a)an− 1

an2 + 1, b)

an − 2

a2n + 1.

(Grupo II do 1o Teste de 24/2/79)

14

Resolucao:

a) Se a = 0 vem un =an− 1

an2 + 1= −1 e limun = −1.

Se a 6= 0 tem-se1un =an− 1

an2 + 1∼ an

an2=

1

n→ 0 . Logo un → 0.

b) Se |a| > 1 tem-se un =an − 2

a2n + 1∼ an

a2n= a−n → 0 e limun = 0.

Se |a| < 1 tem-se un =an − 2

a2n + 1∼ −2 e limun = −2.

Se a = 1 vem un = −1

2e limun = −1

2.

Se a = −1 vem u2n = −1

2e u2n+1 = −3

2. Logo un nao tem limite.

1.38 Estude, do ponto de vista da convergencia, as sucessoes de termos gerais:

un =an2 − n

n2 + 1, vn =

b2n

n2, wn =

2

πarctg(cn)

onde a, b e c sao constantes; em caso de convergencia, determine o limite.


1.39 Considere as sucessoes seguintes:

un =an2 + n+ 1

(a+ 1)n2 + 3com a ∈ R,

vn =an + 1

b2n + 3com a, b ∈ R,

wn =(senn)n

3n−1.

Estude-as quanto a existencia de limite, obtendo os respectivos limites quando existirem.Indique quais sao as limitadas.

1.40 Estude, quanto a convergencia, as sucessoes de termos gerais:

un = cos(n!π), vn =n cos(nπ)

2n+ 1, wn =

1 + an

1 + a2n(a ∈ R).


1Sendo un e vn duas sucessoes de termos nao nulos, escreveremos un ∼ vn sse lim(un/vn) = 1; eclaro que sendo un ∼ vn, se uma das sucessoes tiver o limite α ∈ R, a outra tendera tambem para α.

15



un =n(2 + cos(nπ))

1 + n(1− cos(nπ))e vn =

(

a+ 1

a

)n

indique, justificando, as que sao limitadas e as que sao convergentes (no caso de vn aresposta dependera naturalmente do valor de a, que deve supor-se real e diferente de 0).

(Grupo Ia da Prova de 26/7/78)

1.42 Determine os limites das sucessoes de termos gerais:

a) un =

(

a

1 + |a|

)n

, b) vn = n

√

(3n)!

(n!)3,

onde a e um numero real.

(1971)

Resolucao:

a) De∣

∣

∣

∣

a

1 + |a|

∣

∣

∣

∣

=|a|

1 + |a| < 1

conclui-se imediatamente que limun = 0.

b) Sabe-se que se an ≥ 0 para todo n e lim an+1

an= α entao lim n

√an = α. Com an = (3n)!

(n!)3

tem-se

an+1

an=

(3(n+ 1))!

((n+ 1)!)3· (n!)3

(3n)!=

(3n+ 3)(3n+ 2)(3n+ 1)

(n+ 1)3∼ 27n3

n3= 27 .

Logo lim n√an = 27.

1.43 Prove que a soma de duas sucessoes limitadas e uma sucessao limitada.

(Grupo IIb do 1o Teste de 6/3/80)

1.44 Seja an o termo geral de uma sucessao tal que, para todo o n ∈ N,

0 < an < an+1 < 1.

1. Justifique que a sucessao e convergente e indique um intervalo (de comprimento taopequeno quanto possıvel) que contenha o limite de qualquer sucessao que satisfacaas condicoes impostas a an.

2. Indique o supremo e o ınfimo do conjunto dos termos da sucessao; este conjuntotera maximo? E mınimo? Justifique abreviadamente as respostas.

16

(Grupo Ia do Exame de 2a epoca de 8/9/80)

1.45 Justifique que, se as condicoes

un > 0 eun+1

un< 1

sao verificadas qualquer que seja n ∈ N, un e convergente. Mostre ainda, recorrendodirectamente a definicao de limite, que o limite de un nao pode ser um numero negativo.

(Grupo IIb do 1o Teste de 11/3/78)

1.46 Supondo 0 < a1 < a2 < · · · < an−1 < an < · · · e bn = 1/an, justifique que bn econvergente; indique ainda, se existirem, o supremo, o ınfimo, o maximo e o mınimo doconjunto de todos os termos bn (n ∈ N1). Justifique as respostas.

(Grupo IIb da Prova de 26/7/78)

1.47 Sendo xn o termo geral de uma sucessao monotona, yn o termo geral de umasucessao limitada e supondo verificada a condicao

∀n∈N1 |xn − yn| <1

n

prove em primeiro lugar que xn e limitada e depois que as duas sucessoes sao convergentespara o mesmo limite.

(Pergunta 2b do Exame Final (Ponto no 2) de 17/7/71)

1.48 1. Prove que se A e B sao subconjuntos de R tais que A ⊂ B e se A e nao vazioe B majorado, entao supA ≤ supB.

2. Suponha que, para todo o n ∈ N, Xn designa um subconjunto majorado e naovazio de R, tal que Xn ⊂ Xn+1. Mostre que, para que a sucessao de termo geralsn = supXn seja convergente e necessario e suficiente que exista um conjunto X ,majorado em R, tal que

Xn ⊂ X, ∀n ∈ N .

3. De exemplos de conjuntosXn nas condicoes indicadas no primeiro perıodo da alıneab) e tais que

(a) todos os conjuntos Xn sejam infinitos e a sucessao de termo geral sn = supXn

seja convergente;

(b) todos os subconjuntos Xn sejam finitos e a sucessao dos respectivos supremosseja divergente.

(Pergunta 4 da Prova de 19/9/72)

1.49 Supondo que, para cada n ∈ N1, Xn e um subconjunto nao vazio de R e ainda que:

17


(i) ∀n∈N1 Xn+1 ⊂ Xn;

(ii) X1 e um conjunto limitado.

a) Justifique que existem o supremo e o ınfimo de cada um dos conjuntos Xn.

b) Pondo an = inf Xn, bn = supXn, mostre que as sucessoes an e bn sao convergentes eque lim an ≤ lim bn.

(Grupo IV do 1o Teste de 24/2/79)

1.50 Seja un o termo geral de uma sucessao limitada; para cada n ∈ N, designe-sepor Un o conjunto formado pelos termos da sucessao cuja ordem e maior do que n:Un = {up : p > n}.

1. Justifique que Un tem supremo e ınfimo.

2. Sendo αn = inf Un, βn = supUn, prove que as sucessoes αn e βn convergem e que,designando por α e β os seus limites, se tem α ≤ β.

3. Prove que un tem subsucessoes convergentes para β e que nenhuma subsucessao deun converge para um numero maior do que β (portanto, β e o limite maximo deun).

(Grupo IV do 1o Teste de 6/3/80)

Resolucao:

1. Se (un) e limitada, o conjunto U dos seus termos e limitado e Un ⊂ U tambem osera; o conjunto Un e nao vazio por definicao de sucessao; Un, limitado e nao vaziotem pois um supremo e um ınfimo, como consequencia do axioma do supremo.

2. Como Un+1 ⊂ Un resulta que a sucessao de termo geral αn = inf Un e crescentee a sucessao de termo geral βn = supUn e decrescente; mostremos que a primeirasucessao e majorada e a segunda minorada; com efeito, de Un ⊂ U e de U serlimitado sai que αn = inf Un ≤ supUn ≤ supU e βn = supUn ≥ inf Un ≥ inf U ;como (αn) e crescente e limitada superiormente, entao (αn) converge e como βne decrescente e limitada inferiormente, (βn) converge; da relacao αn ≤ βn saiα = limαn ≤ limβn = β.

3. Comecamos por provar que existem subsucessoes de (un) convergentes para β.Facamo-lo definindo uma subsucessao (ukn

) de (un) por inducao. Consideramosuk0 = u0 e supostos definidos uk0 , . . . , ukn

escolhemos m ∈ N tal que 0 < βm−β <1/n (gracas a limβm = β) e m > kn (esta ultima condicao destina-se a garantir queestamos de facto a construir uma subsucessao). Por definicao de supremo existeuq com q > m tal que 0 < βm − uq = supUm − uq < 1/n. Tomamos ukn+1 = uq.Assim

|ukn+1 − β| ≤ |ukn+1 − βm|+ |βm − β| = (βm − uq) + (βm − β) < 2/n.

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A sucessao (ukn) e de facto uma subsucessao de (un) e para n ∈ N1 temos |ukn

−β| <2/n o que garante que o seu limite e β.

Para provar que nenhuma subsucessao de un converge para um numero maior doque β suponhamos, por absurdo, que existe um sublimite de un, β

′, tal que β′ > β.Tomando 0 < ε < β′ − β, tem-se

∀p∈N∃n>p |un − β′| < ε.

Portanto para todo o p ∈ N existe un ∈ Up tal que un > β′ − ε. Desta forma, paratodo o p ∈ N, βp = supUp > β′ − ε. Mas entao devıamos ter limβn ≥ β′ − ε > β.

1.51 Justifique as afirmacoes seguintes:

1. Se un e uma sucessao limitada, qualquer subsucessao de un tem subsucessoes con-vergentes.

2. Se un nao e limitada, existem subsucessoes de un sem qualquer subsucessao con-vergente.

(Grupo IVa da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

Resolucao:

1. Sendo un limitada, qualquer subsucessao de un se-lo-a tambem e tera, portanto,subsucessoes convergentes (teorema de Bolzano-Weierstrass).

2. A sucessao un, sendo ilimitada, tera uma subsucessao upntal que |upn

| → +∞ (paraobter uma tal subsucessao bastara escolher p1 tal que |up1 | > 1, depois p2 > p1 talque |up2 | > 2, etc). Qualquer subsucessao de upn

sera ilimitada (visto que em valorabsoluto tendera tambem para +∞) e nao podera portanto ser convergente.

1.52 Seja

A =

{

x ∈ R :x

x2 − 1> 0

}

.

1. Diga se o conjunto A e majorado ou minorado e indique (caso existam) o supremo,o ınfimo, o maximo e o mınimo de A.

2. Justifique que o conjunto dos sublimites de uma qualquer sucessao de termos em]−∞, 0[ ∩A e nao vazio.

3. Mostre, por meio de exemplos, que o conjunto dos sublimites de uma sucessao determos em ]0,+∞[ ∩A pode ser ou nao ser vazio.

19


20

Capıtulo 2

Series

2.1 Series numericas. Series elementarmente somaveis

e series de termos com sinal fixo

2.1 Calcule (se existirem) os limites das sucessoes de termos gerais:

un =2n+1

2n + 1, vn =

(−1)n

2n + 1, wn =

n∑

k=1

1

k.

Nos casos em que conclua que nao existe limite (finito ou infinito), justifique essa con-clusao.


2.2 Sendo a, r ∈ R considere a sucessao definida por:

{

x0 = a,

xn = xn−1 + rn.

a) Indique o conjunto dos valores de r para os quais a sucessao e convergente, e, paracada r pertencente a esse conjunto, determine o limxn. [Sugestao: pode ser-lhe utildeterminar uma outra expressao para o termo geral xn da sucessao].

b) Justifique que para todo o r ≥ 0 a sucessao xn e monotona e, considerando separa-damente os casos 0 ≤ r < 1 e r ≥ 1, calcule lim arctanxn.

(Grupo II1 do Exame de 2a epoca de 24/9/80)

2.3 Calcule a soma da serie∑+∞n=2

(

25

)n−1.

(Pergunta 2 do Grupo II do 1o Exame de 26/1/94)

21

CAPITULO 2. SERIES

2.4 Mostre que a serie∑∞

n=1 un com un = n+1√n+ 1− n

√n e convergente e calcule a sua

soma.


Resolucao: A serie∑∞

n=1(an+1 − an) estuda-se a partir de

Sn = (a2 − a1) + (a3 − a2) + · · ·+ (an+1 − an) = an+1 − a1.

No nosso caso

Sn =

n∑

k=1

k+1√k + 1− k

√k = n+1

√n+ 1− 1

elimSn = lim( n+1

√n+ 1− 1) = lim( m

√m− 1) = 0.

Este ultimo resultado deve-se a que se lim(vn+1/vn) = α (e vn > 0) entao lim n√vn = α.

Quer dizer que∑∞n=1 un converge e tem soma nula.

2.5 Determine a natureza da serie∞∑

n=1

n+ 1

n!.


2.6 Estude, quanto a convergencia, as series de termos gerais

a)n2

2ne b)

1

1 + a2n(a > 0).

(Grupo Ib do Exame de 2a epoca de 8/9/80)

Resolucao:

a) un =n2

2n> 0 e como

limun+1

un= lim

(n+ 1)2

2n+1

2n

n2=

1

2< 1

resulta do criterio de d’Alembert que∑

un e convergente.

b) Se |a| ≤ 1 a serie diverge, visto que entao un nao tende para 0 (un → 1 se |a| < 1,un → 1

2 se |a| = 1).

Se |a| > 1 a serie converge, visto que se tem nesse caso un ∼ 1a2n , sendo

∑ 1a2n uma

serie geometrica (de razao 1a2 < 1) convergente.

22

2.1. SERIES NUMERICAS ELEMENTARES

2.7 Estude, quanto a convergencia, as series

∞∑

n=0

n3

1 + n!e

∞∑

n=0

(

1

1 + |x|

)n

.

Para esta ultima, depois de determinar o conjunto dos valores de x para os quais a serieconverge, calcule a respectiva soma num ponto x desse conjunto.

(Pergunta 2a da Prova de 8/1/73)

2.8 Determine a natureza de cada uma das series

+∞∑

n=0

1− e

en,

+∞∑

n=1

√n+ 1

n+ n2

e calcule a soma de uma delas.


2.9 Estude quanto a natureza (convergencia absoluta, convergencia simples, divergencia)cada uma das series seguintes:

+∞∑

n=1

(−1)ne−n,+∞∑

n=1

(

1

n

)(−1)n

,+∞∑

n=1

1 + (−1)n

n3.

(Pergunta 1 do Grupo II do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)

2.10 Estude a natureza de cada uma das series seguintes:

+∞∑

n=1

2n

3n+1,

+∞∑

n=1

arctg(n3)√n+ n2

,

+∞∑

n=1

cos(n2π),

+∞∑

n=1

nn

(2n)!.

Determine a soma de uma destas series.

(Grupo II do Exame de 1a Epoca de 26/1/96)

2.11 Determine a natureza de cada uma das series seguintes:

+∞∑

n=1

[1 + (−1)n],

+∞∑

n=1

n3 + 1000

log 2n + n4,

+∞∑

n=3

1

n(n− 2),

+∞∑

n=1

2n(2n)!

3n(2n+ 1)!.



+∞∑

n=0

4n

1 + arctgn,

+∞∑

n=1

(n!)2

3n(2n)!.


23

CAPITULO 2. SERIES


+∞∑

n=1

1 + (−1)n

2n,

+∞∑

n=1

2 + n!

n!,

+∞∑

n=1

(

2n− 1

3n+ 1

)2n

.



+∞∑

n=1

√n+ 1

n2 + 1,

+∞∑

n=1

e−n logn,

+∞∑

n=1

(

1

n2

)1n

.


2.15 Sendo an o termo geral de uma sucessao de termos positivos, indique, justificando,a natureza das series:

∑

(1 + an) e∑ 1

n2 + an.

(Grupo IIIb do 1o Teste de 6/3/80)

2.16 Sendo∑

an e∑

bn duas series de termos positivos, a primeira convergente e asegunda divergente, indique, justificando, a natureza das series:

∑

(an + bn),∑ an

1 + bn.

(Pergunta 2b da Prova de 1/8/72)

2.17 Seja (an) uma sucessao de termos positivos e (bn) uma sucessao limitada.

a) Mostre que a convergencia da serie∑+∞

n=1 an implica a convergencia da serie∑+∞

n=1 anbn.

b) Use o resultado da alınea anterior para provar que se a serie∑+∞n=1 an converge entao

tambem converge∑+∞

n=1 a2n.

c) Mostre, por meio de um exemplo, que a recıproca da proposicao anterior e falsa.


2.18 Sendo an o termo geral de uma sucessao de termos positivos, com limite +∞,indique qual e a natureza das series:

∑ an1 + an

e∑ 1

3n + an.

Justifique.

(Grupo IIIb da Repeticao do 1o Teste de 19/4/80)

24

2.1. SERIES NUMERICAS ELEMENTARES

2.19 Seja (an) uma sucessao de termos positivos tal que lim an+1

an> 1. Diga, justificando,

se sao verdadeiras ou falsas as seguintes proposicoes:

a)∑+∞n=1

n√an e uma serie convergente.

b)∑+∞n=1

an

n e uma serie divergente.

c) A serie∑+∞

n=1(an − an+1) e convergente.


2.20 Sendo∑

an e∑

bn series convergentes de termos positivos, indique, justificando,quais das series:

a)∑

(

1

an+

1

bn

)

, b)∑

(

1

an− 1

bn

)

, c)∑

anbn.

sao necessariamente convergentes ou necessariamente divergentes e quais podem ser con-vergentes ou divergentes consoante as series

∑

an e∑

bn consideradas.

(Pergunta 3b da Prova de 4/9/72)

Resolucao:

a) A serie diverge pois se∑

an e∑

bn convergem tem-se an → 0 e bn → 0 e como an > 0e bn > 0 tem-se 1

an→ +∞ e 1

bn→ +∞ e portanto 1

an+ 1

bn→ +∞. Ora se a serie

fosse convergente o seu termo geral teria de tender para 0.

b) A serie pode ser convergente ou divergente: por exemplo, se for an = bn e claro

que∑

(

1an− 1

bn

)

converge, mas se for 1bn≤ 1

an− 1

bn, ou seja, se for 2an ≤ bn vira

∑

(

1an− 1

bn

)

divergente, pois a serie de termos positivos 1bn

o e, ja que 1bn6→ 0.

c)∑

anbn e necessariamente convergente. Com efeito, convergindo∑

bn devera ter-se bn → 0 e portanto, a partir de certa ordem n0, bn ≤ 1; multiplicando ambosos membros desta desigualdade por an (positivo por hipotese) conclui-se que, paran > n0, se tera anbn ≤ an. A convergencia de

∑

anbn resulta entao da de an, pelocriterio de comparacao.

2.21 Sendo∑

an e∑

bn duas series convergentes, de termos positivos, indique quais dasseries:

∑

a2n,

∑

(

1

an− 1

bn

)

,∑ an

1 + bn

sao necessariamente convergentes ou necessariamente divergentes e quais podem ser con-vergentes ou divergentes consoante as series

∑

an e∑

bn consideradas.

(Pergunta 3b do Ponto no6 de 25/10/71)

25

CAPITULO 2. SERIES

2.22 Seja un o termo geral da sucessao de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . definida por un+1 =un + un−1 para n ≥ 2, e u1 = u2 = 1. Estude a natureza da serie

∞∑

n=1

un3n.

(Grupo IIa da Prova de 7/74)

2.23 Estude a natureza da serie ∞∑

n=2

arctan vn

sendo v2 = K > 0 e vn+1 = vn sen πn para n ≥ 2.

(Pergunta no5 da Prova de 12/3/74)

2.2 Series numericas. Convergencia absoluta e criterio

de Leibniz

2.24 De exemplos de sucessoes an de termos nao nulos e para as quais a serie

+∞∑

n=1

(−1)nan1 + nan

a) converge simplesmente;

b) converge absolutamente.


2.25 Prove que sao necessariamente verdadeiras ou mostre, por meio de exemplos, quepodem ser falsas, as afirmacoes correspondentes as alıneas a), b) e c) seguintes.

Sendo∑

an uma serie convergente de termos positivos, a serie

a)∑

(−1)nan, b)∑

n√an, c)

∑

a2n+1.

e necessariamente convergente.

(Pergunta 3b do Ponto no3 de 1/10/71)

2.26 Seja un o termo geral de uma sucessao convergente e tal que

unun+1 < 0 ∀n∈N

a) Indique, justificando, qual e o limite de un.

26

este texto ´e uma pequena parte dos exerc´ıcios de an ...jmatos/ami/temp.pdf · 1.1 indique, se...

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