Estatística Aplicada

Administração

p(A/B) = n(A B)/ n(B)

PARTE II

Árvore de Decisão

Prof. Carlos Alberto Stechhahn

2014

1. Probabilidade Condicional - Aplicações

Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-

se de antemão que ocorreu um certo evento B. Até o presente calculamos probabilidade em

que o universo é o espaço amostral.

Vamos supor uma empresa que compra diversos produtos (por exemplo,

microcomputadores e conectores) para revenda e veremos como a PROBABILIDADE

CONDICIONAL está presente em algumas atividades que nela ocorrem.

Vamos supor que a empresa receba pelo correio uma caixa contendo 2

Microcomputadores e 3 Conectores, ou seja, 5 peças.

M = microcomputador = micro

C = conector

1) Quais são as chances (probabilidade) do operador tirar ao acaso um Micro ?

Resposta: 2 em 5, ou seja 2 Micros entre 5 peças.

2) Agora, supondo que um outro funcionário retirou um Conector desta caixa quais são as

chances deste operador retirar um Micro ?

Podemos observar que quando um funcionário retira um Conector, C, da caixa ele acaba

alterando as chances (diminui o espaço amostral).

3) Vamos supor agora, que o funcionário retirou um Micro da caixa. Pergunta-se, quais são

as chances deste operador retirar um Micro ?

Quando o funcionário retira um Micro, M, resulta numa condição para o operador de 1 Micro

e 3 Conectores.

Neste caso, teremos que as chances serão 1 em 4, ou seja, 1 Micro entre 4 peças.

Podemos notar que as chances (probabilidades) se alteraram a cada retirada de peça.

Este é um caso típico de EVENTOS DEPENDENTES, ou seja, a ocorrência de um evento

pode afetar outros eventos.

4) Vamos supor agora, que o funcionário retirou um Conector da caixa e depois de usá-lo

colocou novamente na caixa. Pergunta-se, quais são as chances deste operador retirar

agorar um Micro ?

Podemos perceber que quando o funcionário retira um Conector, C, e, a seguir o devido

uso, coloca de volta a peça na caixa, resulta numa situação que o evento da retirar pelo

operador de 1 Micro não é afetado pelo evento anterior. Dessa forma, as chances

permanecerão como sendo 2 em 5.

Como se o operador fosse a primeira pessoa a retirar uma peça da caixa.

Eventos como esse são chamados de EVENTOS INDEPENDENTES, ou seja, cada evento

não é afetado por outros eventos. A retirada de uma peça (micro ou conector) e sua

respectiva reposição NÃO AFETA A PROBABILIDADE da retirada da próxima peça. Em

EVENTOS INDEPENDENTES a ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de

outros eventos.

2. Árvore de Probabilidade

Podemos usar árvores de probabilidade para entender melhor o que acontece em cada um

dos casos. O diagrama de árvore é uma boa maneira de entender o que está acontecendo.

Inicialmente há uma chance de 2 em 5 de um funcionário retirar o Micro, M, e de 3 em 5 de

um funcionário retirar um Conector, C.

Vamos continuar analisando o que ocorre impondo que não há, neste caso, reposição de

peças. Dessa forma, iremos estudar o que ocorre quando o operador retira uma 2ª. Peça da

caixa.

Observemos que se um funcionário retira um Micro primeiro haverá 1 em 4 a chance do

operador retirar um Micro, M, e uma chance de 3 em 4 de retirar um Conector, C.

No entanto, se um conector foi retirado primeiro, há uma chance de 2 em 4 para que um

Micro seja retirado na 2ª. tentativa. E uma chance de 2 em 4 de retirar um segundo

conector.

5) Vamos supor agora, que o operador irá precisa de 2 Micros. Sabendo-se que ele irá

retirar as peças dessa nossa caixa já apresentada, quais são as chances do operador retirar

aleatoriamente 2 Micros em sequência?

Resposta:

Será uma chance de 2 em 5 seguida de 1 em 4.

Em árvores de probabilidades nós MULTIPLICAMOS as probabilidade através dos ramos

e SOMAMOS as probabilidades descendo nas colunas.

Dessa forma, multiplicando-se as chances teremos:

2

5.1

4=

2

20=

1

10

Logo, teremos 10% de chance para a retirada de dois Micros M em sequência.

3. Notação de Probabilidade

P(A) significa PROBABILIDADE DO EVENTO A OCORRER.

No nosso exemplo o evento A é RETIRAR 1 MICRO primeiro, com probabilidade de 2/5.

Analogamente, P(B) significa PROBABILIDADE DO EVENTO B OCORRER.

E o evento B é retirar um Micro na 2ª. tentativa.

Mas para isso teríamos 2 escolhas:

E1) Se a 1ª. peça que foi retirada foi um Micro teríamos 1/4 de chance de retirar um Micro

na 2ª. tentativa. No entanto,

E2) Se a 1ª. peça retirada foi um Conector, a chance de retirar um Micro na 2ª. tentativa

seria de 2/4.

Então, para o nosso caso, devemos dizer qual o EVENTO que queremos para obtermos as

chances do operador retirar 2 Micros em sequência.

Já podemos portanto usar a notação de probabilidade em nossa árvore.

P(B|A) “lê-se P B barra A”.

É a probabilidade do evento B dado o evento A. Em outras palavras, o evento A já ocorreu,

qual a probabilidade do evento B?

P(B|A) é também chamado de

probabilidade condicional de B dado A.

Em nosso caso

P(B|A) = 1/4.

Probabilidade do evento A e evento B,

P(A e B) = P(A B) (1)

é igual a probabilidade do evento A vezes a probabilidade do evento B dado A.

p(A B) = p(A,B) = p(A) . p(A|B) (2)

Probabilidade do evento A e B é a probabilidade de se retirar um Micro na 1ª. tentativa e na

2ª. tentativa. Então, a probabilidade do operador retirar, em sequência, dois Micros é

𝑃(𝐴 𝑒 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =2

5.1

4=

1

10

E podemos escrever a expressão (2) do seguinte modo:

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

que é a fórmula da probabilidade condicional.

Vamos estudar agora uma situação muito comum e de muita importância em nossa empresa.

Supondo agora que temos 3 caixas e cada caixa contendo um número diferente de peças.

Na 1ª. caixa temos 10 peças, sendo 4 delas defeituosas, D.

Na 2ª. caixa temos 6 peças, sendo 1 delas defeituosa, D.

Na 3ª. caixa temos 8 peças, das quais 3 delas defeituosas, D.

Qual a probabilidade de ele retirar 1 peça defeituosa sendo que ele escolhe aleatoriamente

entre as 3 caixas?

Vamos primeiramente construir a ÁRVORE DE PROBABILIDADES.

Chamemos de A1 o evento de ele escolher a caixa 1, de A2 o evento de ele escolher a caixa

2, de A3 o evento de ele escolher a caixa 3.

Sabemos das notações da Estatística que podemos, neste caso, escrever de uma maneira

geral os eventos por Ai onde i = 1,2 ou 3.

Vamos chamar ainda de B o evento de ele escolher uma peça defeituosa.

Como as chances, do operário escolher uma caixa, são as mesmas, pois, elas são

visualmente iguais, teremos 1/3 de chance de ele escolher uma das caixas.

Analisemos inicialmente a caixa 1:

A probabilidade de ele escolher 1 peça D (defeituosa) é 4/10.

Dessa forma a probabilidade de B dado A1 é de 4/10

𝑃(𝐵|𝐴1) =4

10

Vamos ter, nessa sequência, que a probabilidade de B dado A2 é de 1/6 e a probabilidade de

B dado A3 é de 3/8.

Para descobrirmos a probabilidade de ele descobrir uma peça defeituosa temos que verificar

quais são os casos (escolhas) em que ele pode retirar uma peça defeituosa. Esses casos sã

𝑃(𝐴1). 𝑃(𝐵|𝐴1) =4

30

𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2) =1

18

𝑃(𝐴3)𝑃(𝐵|𝐴3) =3

24

Em ÁRVORES DE PROBABILIDADE nós somamos as probabilidades. Então teremos que a

PROBABILIDADE de um operário tirar uma peça defeituosa será:

𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2) + 𝑃(𝐴3)𝑃(𝐵|𝐴3)

ou seja,

𝑃(𝐵) =4

30+

1

18+

3

24=

113

360

Com isto podemos verificar um importante teorema conhecido como

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)

Considerando ainda a situação acima (3 caixas semelhantes com diferentes números de

peças em cada uma)

Qual a probabilidade ser da CAIXA 1 dado que ele escolheu 1 peça defeituosa?

𝑃(𝐴1|𝐵) = probabilidade de ser 1 peça da CAIXA 1 dado que ele retirou 1 peça

defeituosa.

Mas a probabilidade de A1 dado B não aparece em nossa árvore de probabilidade. Como

poderíamos calcular essa probabilidade usando o que aprendemos, bem como, nossa

ÁRVORE DE PROBABILIDADE.

Devemos, neste caso, reescrever a fórmula da nossa probabilidade condicional.

𝑃(𝐴1|𝐵) =𝑃(𝐴1, 𝐵)

𝑃(𝐵)=

𝑃(𝐴1). 𝑃(𝐵|𝐴1)

𝑃(𝐵)

Cada um dos fatores da equação acima pode ser encontrado na árvore de probabilidade.

Ela nos informa que:

𝑃(𝐴1) =1

3

𝑃(𝐵|𝐴1) =4

10

𝑃(𝐵) =113

360

Dessa forma, é possível calcular a probabilidade de uma peça ser da CAIXA 1 dado que ele

escolheu 1 peça defeituosa:

𝑃(𝐴1|𝐵) =𝑃(𝐴1). 𝑃(𝐵|𝐴1)

𝑃(𝐵)=

13 .

410

113360

=48

113

Esses cálculos acima efetuados para se inferior que a peça defeituosa foi retirada da CAIXA

1 pode ser generalizado.

4. TEOREMA DE BAYES

É o procedimento geral para se inferior a probabilidade de um evento passado em função de

evidências presentes ou futuras.

TB: Se conhecermos a probabilidade de B dado A podemos calcular a probabilidade de A

dado B usando a seguinte equação

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵|𝐴)

𝑃(𝐵)

Ou seja, se soubermos a prob das evidências, dado um certo histórico, o Teorema de Bayes

nos permite voltar no tempo e calcular a probabilidade do histórico dadas as evidências.

APLICAÇÕES: (diferentes áreas do conhecimento)

Técnicas de Aprendizado de Máquina (usada em diversos

ramos da computação como o reconhecimento de imagens e

roteamento de redes).

Estatísticas Criminais: usadas nas investigações de crimes onde

se pode inferir sobre o passado através de probabilidades sobre

o que ocorreu no crime condicionado nas evidências.

CONCLUSÕES:

A Probabilidade Condicional é útil não só para se inferir probabilidade

de eventos no futuro mas também para inferir problemas no passado.

Saber como condicionar é uma arte.

Podemos quebrar problema aparentemente muito complicado em

subproblemas simples e tratáveis sejam eles acadêmicos ou da vida

real.