estadística descriptiva ii

Estadística Descriptiva

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ANOTACIONES

1º BACHILLERATO SOCIALES

EMPRESARIALES ECONOMÍA ADE

PSICOLOGÍA

TRABAJO SOCIAL

Luciano Rubio YustoDpto. Matemáticas

Dpto Matemáticas IES León Felipe 1


ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Estadística es la ciencia que utilizando las matemáticas y de modo particular el cálculo estudia las leyes de comportamiento de aquellos fenómenos que no estando sometidos a leyes rígidas dependen del azar y basándose en ella, se predicen resultados.

La estadística tiene dos grandes ramas: Descriptiva e Inferencial.

- Estadística Descriptiva analiza las características de una población o muestra definiéndose unas propiedades acerca de su estructura y composición.

- Estadística Inferencial basándose en los resultados obtenidos de una muestra induce o estima las leyes reales de comportamiento de la población de la que proviene dicha muestra.

- Población son todos y cada uno de los elementos que se quieren analizar. Puede ser finita o infinita( en realidad las poblaciones infinitas no existen, pero cuando se trata de un número grande se trata como si lo fuera).

- Muestra es un subconjunto de la población o parte de la población que se observa.

- Característica de una población es la propiedad que se estudia.

- Variables es cualquier característica cuantitativa ( tome valor numérico) de una población .

Ejemplo: Población Estudiantes de Económicas de Salamanca, Característica Edad de ellos, la característica se designa con letras mayúsculas X, Y, Z,...., los valores de esas edades son numéricos entonces es una variable cuantitativa y los valores que toman se denotarían X={x1, x2, x3,........xn }.

- Dominio de la variable son los valores que toma

- Recorrido de la variable es la diferencia entre el valor mayor y el menor de los que toma la variable.

- Variable Discreta cuando toma un número finito de valores o bien cuando toma infinitos y son numerables es decir entre dos no hay otro intermedio. Ejemplo: la edad, las notas, ......

- Variable continua cuando entre dos valores cualesquiera siempre puede haber otro. Ejemplo: Talla, peso,......

- Variable unidimensional Estudia solo una característica de la población. Ejemplo: Estudiar el peso (X)



- Variable bidimensional Estudia dos características de una población. Ejemplo Estatura(X) y peso (Y)

- Variable infidimensional estudiaría infinitas características

- Atributos son características de la población no susceptibles de cuantificación numérica. Ejemplo.: Color del pelo, los atributos se designan con letras A, B, C, .......y sus valores A={a1, a2, .............., an}.

En Economía son muchos más importantes las variables (toman valor numérico)) que los atributos.

ETAPAS DEL ANÁLISIS ESTADÍSTICO1) Recogida de Datos2) Ordenación de los mismos en tablas 3) Resumen de la información recogida a través de las medidas(Descriptiva)4) Analizar los datos provenientes de una muestra para sacar conclusiones sobre la

población de la que proviene la muestra ( Inferencial).

ESCALAS DE MEDIDA

- Escala nominal la característica estudiada se clasifica en una serie de características no numéricas y mutuamente excluyentes y no se puede establecer ningún orden entre ellos.

- Escala ordinal el carácter medido no es numérico pero puede establecerse algún tipo de orden. Ejemplo estudios de una persona.

- Escala de intervalos la característica puede cuantificarse numéricamente, estableciéndose intervalos entre dos operaciones. Ejemplo: Renta mensual que percibe una persona.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES

- Distribución unidimensional está formada por los valores que toma la variable que se estudia acompañados de sus respectivas frecuencias.

- Frecuencia absoluta ( fi ) es el número de veces que se repite un determinado valor.

- Frecuencia relativa ( hi) es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones, por tanto la frecuencia relativa está siempre entre cero y uno.

- Frecuencia absoluta acumulada F i=∑

j 01

i

f j es decir se suman las

frecuencias anteriores a un valor dado, por tanto la acumulada al final coincide con la población N.

- Distribución por datos no agrupados es cuando se especifican todos y cada uno de los valores de la variable.



- Distribución por datos agrupados los valores de la variable se miden en intervalos , la amplitud del intervalo es la diferencia entre el extremo superior e inferior del intervalo y la suma de las amplitudes de todos los intervalos es igual al recorrido ( diferencia entre el valor mayor y el menor de la distribución).

- Marca de clase de un intervalo es la semisuma de los extremos del intervalo

y es el valor que sustituye a todo el intervalo x i=

l i−1+l i

2 siendo el intervalo [li-1 , li ].

Las representaciones gráficas tienen que estar hechas para que el simple impacto visual nos dé información de la distribución

En distribuciones cuantitativas si los datos no están agrupados, se emplea el diagrama de barras, si están agrupados el histograma., si la distribución es cualitativa se suele emplear el diagrama de sectores.

Diagrama de barras Datos sin agrupar y las barras proporcionales a las frecuencias.

Dpto Matemáticas IES León Felipe

Diagrama de Barras

0

2

4

6

8

10

12

x1 x2 x3 x4 x5

Datos X

Fre

cuen

cias

4


En datos agrupados el Histograma pone en el eje vertical las densidades de frecuencia de cada intervalo de forma que el área de cada rectángulo es la frecuencia absoluta del intervalo.

Densidad de frecuencia di = fi/ai

Diagrama en escalera para datos no agrupados se utiliza para las

frecuencias acumuladas , son histogramas en

los que en el eje vertical se acumulan las frecuencias absolutas, por eso se llaman en escalera.

x1 x2 x3 xn Datos

Fre

cuen

cias

ab

solu

tas

Diagrama de barras acumulado para datos agrupados


x1 x2 x3 x4 x5

0123456789

10

Diagrama rectángulos

X

Frec

uenc

ias

6


Intervalos clase

Frec

uenc

ias

acum

ulad

as

Histograma para datos agrupados en intervalos

El área de cada rectángulo nos da la frecuencia del intervalo, por tanto la base es la amplitud y la altura la densidad de frecuencia de dada uno di



a1 a2 a3 a4 a5

f1f2

f3

f4

f5

Amplitudes

Dens

idade

s



MEDIDAS DE POSICIÓN

Se trata de resumir la información en un único número.Las medidas de posición pueden ser:

De tendencia central o promedios

1. Media 2. Mediana3. Moda

De tendencia no central

1. Cuantiles.

Las medidas de posición tienen que cumplir que intervengan todos los valores de la variable, que se puedan calcular y que su valor sea único para cada distribución de frecuencias.

1.- MEDIA

La media puede ser :

Aritmética simple o ponderada Media Cuadrática Media Geométrica Media Armónica

Media aritmética simple

Se suman de todos los valores de la variable ponderados por sus frecuencias absolutas y dividido todo ello por el número total de observaciones

x−

=

∑i=1

n

xi f i

NLa media aritmética es siempre el centro de gravedad de la distribución y es

siempre un valor que entra dentro del campo de variación de la variable.Si los datos están agrupados en intervalos se toma la marca de clase de cada

intervalo para su cálculo.

Propiedades

1.- Cuando a los valores de la variable se les suma una constante, la nueva media es la antigua más la constante.

x ´=x+K ⇒ x ´−

=x−+K



Demostración

x ´¿

=∑ x i ´ f i

N=∑ (x i+K ) f i

N=∑ xi f i

N+k

∑ f i

N=x

−+ K

puesto que la suma de las fi es N.

2.- Si a los valores de la variable se les multiplica por una constante, la nueva media es la antigua multiplicada por la constante.

x ,´=x i K ⇒ x−

´=K x−

Demostración

x−

´=∑ xi ´ f i

N=∑ Kx i f i

N=K

∑ x i f i

N=k x

−

3.- Como consecuencia de las dos anteriores si a los valores de una variable se les multiplica por constante y se les suma un número, la media aritmética queda multiplicada por la constante y sumado el número.

Es decir si : Y=KX +B entonces Y−=K X

−+B

4.- La media aritmética se puede hacer siempre con variables cuantitativas y es perfecta, pero tiene un inconveniente que es que si los valores son muy extremos ( desviados del resto), puede desvirtuarse la situación y hacerla poco representativa, debido a este problema, a veces se hace la media truncada que es quitar los extremos y hacer la media de los que quedan.

Media Aritmética ponderada

Es igual que la media aritmética simple, pero se pondera cada valor de la variable por un coeficiente distinto de la frecuencia absoluta.

Media cuadrática

Es la media de los valores de la variable al cuadrado es decir :

x2−

=∑ x i

2 f i

N



Media Armónica

Es la media de los valores inversos de la variable, o la inversa de la media aritmética

H= N

∑f i

x i

La media armónica se utiliza cuando la variable se encuentra medida en términos relativos. Por ejemplo la velocidad.

Media Geométrica

Es la raíz N-ésima del producto de los valores de la variable elevado cada uno de ellos a su frecuencia absoluta

G=N√ x1

f 1. x2

f 2 . .. .. . .. .. xn

f n

Tiene el problema de que su cálculo es muy complicado sobre todo si N es grande.

2.- MEDIANA

Es el valor de la variable que ocupa el lugar central de la distribución, es decir el valor de la variable que deja el 50% de observaciones hacia la izquierda y el 50% a la derecha.

Para poder hallar la mediana, lo primero que hay que hacer es ordenar los valores de la variable de forma creciente, y escribir los valores de las frecuencias acumuladas Fi.

Distinguiremos dos casos, datos no agrupados y datos agrupados.

Para datos no agrupados

Se calcula primero el 50% de la población N/2, se lleva ese valor a la columna de frecuencias absolutas acumuladas.

Si el valor no está en la columna de acumuladas, se toma como valor de la mediana el de la variable correspondiente al siguiente.

Si el valor si está en la columna de acumuladas, se toma como mediana la media aritmética del valor de la variable y el siguiente.

Para datos agrupados en intervalos

Se calcula como antes la mitad de la población, y se lleva ese valor a la columna de frecuencias absolutas acumuladas.



Si el valor no está en la columna, se toma como intervalo al que pertenece la Mediana el siguiente al valor de N/2, y después de situarnos en el intervalo por la hipótesis de uniformidad hacemos una proporción entre la amplitud del intervalo, los elementos que tiene y la amplitud que correspondería a la diferencia entre N/2 y la frecuencia acumulada anterior valor que añadiríamos al extremo inferior del intervalo.

Si el valor sí está en la columna de frecuencias acumuladas, se toma como Mediana el extremo superior del intervalo correspondiente.

También se puede hallar gráficamente con el diagrama correspondiente a las frecuencias absolutas acumuladas.

3.- MODA

Es el valor de la variable que más veces se repite. En algunos casos existen varias modas, pero normalmente es una, si son dos se llama bimodal.

Para datos no agrupados

La moda es el valor de la variable correspondiente a la mayor frecuencia absoluta.

Para datos agrupados en intervalos

Se halla la densidad de frecuencia de cada uno de los intervalos (di) y el de mayor densidad de frecuencia se selecciona como intervalo modal, para determinar el valor de la Moda, se aplica la siguiente fórmula, basada en la proporcionalidad:

Mo=Li+di−d i−1

(d i−d i−1 )+(d i−d i+1).a i

Si los intervalos tienen todos la misma amplitud el intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta.

CUANTILES

Son medidas de posición que no tiene porqué ser central. Hay varios tipos de cuantiles:

1.- Cuartiles Son valores de la variable que dividen a la distribución en cuatro partes iguales, por lo tanto los cuartiles son tres C1 que deja por detrás de él al 25% de la población, C2 que divide a la población en dos partes iguales y C3 que deja dtrás de él al 75% de la población.

2.- Deciles Son valores e la variable que dividen a la distribución en diez partes iguales, por lo tanto los deciles son nueve, D1 deja al 10% antes, D2 al 20% y así sucesivamente hasta D9 que deja al 90% antes y al 10% después de él.



3.- Percentiles.- Son valores de la variable que dividen a la distribución en cien partes iguales, por lo tanto los percentiles son 99.

En realidad tanto cuartiles como deciles se calculan con el correspondiente percentil.

D1= P10 D9 = P90 C1 = P25 C2 = D5 = P50 = ME .

Para calcular cualquiera de ellos se utiliza por lo tanto el mismo procedimiento que el descrito en el cálculo de la Mediana.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión nos indican el mayor o menor alejamiento de los valores de una variable respecto a un promedio. Casi siempre acompañando a un promedio debe ir una medida de dispersión que nos indica la mayor o menor representatividad del promedio.

Las medidas de dispersión absoluta más utilizadas son:

Recorrido Recorrido Intercuartílico Desviación Media Varianza Desviación Típica

RECORRIDO

Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable

R = xn – x1

RECORRIDO INTERCUARTÍLICO

Es la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil

RI = Q3 – Q1

DESVIACIÓN MEDIA

Es la suma de los valores en valor absoluto de la diferencia entre cada valor de la variable y la media aritmética por su frecuencia y dividido por el número de datos.

Dx−=

∑i=1

i=n (x i−x− ) f i

N



VARIANZA

S2

X=∑( x i−x

−)2 f i

N

Siempre es positiva (por estar al cuadrado). Como la varianza es siempre positiva, a mayor varianza mayor será la dispersión.

Propiedades:

1.-La varianza siempre es mayor o igual que cero. Tan solo hay un caso en que es cero y es cuando todos los valores de la variable son iguales.

2.- Si a los valores de la variable le sumo una constante, la varianza de la nueva variable es la misma que la que tenía antes.

Es decir si xi´= xi+K entonces S2x´= S2

x

Demostración:

Sx´ 2=

∑( x i ´−x−

´ ) f i

N=∑( x i+k−(x

−+k ) )2 f i

N=Sx

2

3.- Si a los valores de la variable se les multiplica por una constante, la varianza de la nueva variable es la que tenía por el cuadrado de la constante.

Es decir si xi´= k xi entonces S2x´= k2 S2

x

Demostración

Sx2 ´=

∑ (x i ´− x´−

)2 f i

N=∑( kxi−k x

−)2 f i

N=k2∑ ( x i−x

−)2 f i

N=k 2 Sx

2

4.- Es consecuencia de las dos anteriores, la varianza de la variable Y=aX+b es la varianza de X multiplicada por el cuadrado de a.

S y2=a2 S x

2



5.- Cálculo abreviado de la varianza Sx2=x2

−

− x−2¿

¿que es la fórmula más utilizada.

Demostración

Sx2=

∑ (x i−x−)2

f i

N=∑ ( x i

2+ x−2 ¿−2 x i x

−

) f i

N=∑ xi

2 f i

N+ x

−2¿∑ f i

N−

2 x−

∑ x i f i

N=x2

−

− x−2¿

¿¿¿.

DESVIACIÓN TÍPICA (Sx)

Es la raíz cuadrada positiva de la varianza y es la medida de dispersión más utilizada.

Clases de medidas de dispersión relativas

Se caracterizan por ser adimensionales, las más importante es el coeficiente de variación de Pearson, nos indica la mayor o menor homogeneidad de los datos respecto de la media y por lo tanto nos da la representatividad de la media en la distribución.

CV x=Sx

x−

Tipificación de variables

Tipificar una variable es cambiarla por otra que tenga de media cero y desviación típica 1. Se utiliza para comparar distribuciones .

Cada valor se tipifica restando la media y dividiendo por la desviación típica, la nueva variable z, tiene de media cero y desviación típica 1.

z= x−x−

S x

MEDIDAS DE FORMA

Hacen referencia a la forma de la distribución, simétrica, asimetría a la derecha o a la izquierda. En general la mejor manera de verlo es por la representación gráfica, pero si no la tenemos existen coeficientes que nos indican la forma de la distribución. Los más utilizados son:

Coeficiente de asimetría de Pearson , sólo se puede utilizar en distribuciones campaniformes (forma de campana) y unimodales



Ap=x−

−M o

−

Sx

Este coeficiente puede ser:

0 entonces la media igual que la moda, distribución simétrica >0 entonces la media mayor que la moda, asimetría a la derecha positiva <0 entonces la media menor que la moda asimetría a la izquierda negativa

Coeficiente de asimetría de Fisher, tiene la ventaja de que se puede hallar para todas las distribuciones, aunque su cálculo es complicado y laborioso.

g1=∑ ( x i−x

−)3 f i

N . Sx3


0 entonces la distribución es simétrica >0 entonces asimetría a la derecha <0 entonces asimetría a la izquierda.

Curtosis hace referencia al mayor o menor apuntamiento que tiene una distribución de frecuencias respecto a una distribución Normal, por lo tanto sólo se estudia en distribuciones campaniformes , para compararlas con la campana de Gauss, su calculo también es muy laborioso.

g2=∑ ( x i−x

−)4 f i

N . Sx4

−3


0 la curva es igual que la normal, se llama Mesocúrtica >0 la curva es más puntiaguda que la normal se llama Leptocúrtica <0 la curva es más aplastada quie la normal, se llama Platicúrtica



ANEXO MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN

La concentración estudia el mayor o menor grado de distribución de los valores de la variable, la mayor o menor equidad o igualdad en el reparto, por lo tanto sólo se puede estudiar en variables de tipo económico, rentas, sueldos, subvenciones, etc...........

Las medidas más utilizadas son el Índice de Gini y la curva de Lorentz, su cálculo se basa en la siguiente tabla de distribución:

Li-1-Li mi fi Fi

ui=∑ f i.mi

pi=F i

N. 100 q i

i=

ui

un

. 100

10-20 15 6 6 90 26,09 8,4520-40 30 4 10 210 43,48 19,7240-50 45 3 13 345 56,52 32,3950-70 60 5 18 645 78,26 60,5670-80 75 2 20 795 86,96 74,6580-100 90 3 23 1065

N=23 291,31

Los pi nos indican el porcentaje de población y los qi correspondientes la cantidad que se reparte ese porcentaje de población, también claro está en porcentaje.

Siempre pi > qi en caso de igualdad implica que todos perciben la misma cantidad, por lo tanto hay nula concentración o total uniformidad en el reparto.

Si pi se aproxima a qi hay poca concentración o sea bastante uniformidad, caso contrario mucha concentración o sea no hay uniformidad.

Indice de Gini

I G=∑ ( pi−q i)

∑ p i

=95 ,54291 ,31

=0 ,3280 en nuestro ejemplo hay escasa

concentración por lo tanto bastante uniformidad en el reparto.

La curva de Lorenz sería por tanto de la forma:



EJERCICIOS ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

1.- Dada la siguiente distribución de frecuencias de variable discreta . Calcular:

a) Mediana b) Moda c) Media d) Varianza y desviación típica

xi fi

47 148 349 250 851 352 253 1

2.- Consultados 350 matrimonios sobre la edad de la esposa, se confecciona la siguiente tabla:

Edad esposa Nº matrimonios15-20 2320-25 2825-30 7630-35 5435-40 6040-50 4250-70 67

Calcular Media, Mediana y Moda

3.- Un hotel tiene cinco tipos de habitaciones cuyos precios así como los ingresos son:

Precio por Habitación Ingresos200 16.000500 20.000750 37.5001.000 30.0001.300 26.000

Calcula precio medio Si el coeficiente de variación de los precios de otro hotel es 0,75 ¿ Cúal de los

dos hoteles posee una estructura de precios más homogéneos?



4.- Un empresario desea repartir unas bonificaciones entre sus empleados en base a la categoría y productividad de los mismos. Dicha distribución quedó de la siguiente forma:

Bonificaciones (Cientos Euros) Nº Empleados10-15 315-25 825-28 1228-32 1532-40 740-55 5

Bonificación media por trabajador Bonificación más frecuente Bonificación tal que la mitad de las restantes sea inferior a ella La varianza El coeficiente de variación y significado El coeficiente de asimetría de Pearson y significado.

5.- Los beneficios en millones de euros de un grupo de empresas vienen detallados en el siguiente histograma de frecuencias absolutas acumuladas:

25 50 75 100 125 1500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

Calcular:

Tabla estadística Establecer nº de empresas con beneficios superiores a 75 millones Calcular media mediana y moda Coeficiente de variación y de asimetría de Pearson ( significado)



6.- Las calificaciones de 90 opositores en el primer ejercicio han sido:

xi fi

0 41 102 133 114 135 106 97 78 79 410 2

Se pide Cuartiles e interpretación de los resultados

7.- La tabla adjunta muestra la distribución de los salarios/mes en Euros percibidos por los 65 empleados de la empresa AVISO.

Salario mes Nº empleados500-600 8600-700 10700-800 16800-900 14900-1000 101000-1100 51100-1200 2

Se pide Salario medio de la empresa Salario tal que la mitad de los empleados ganan menos Salario más frecuente Presenta los datos en un histograma.

8.- Una variable estadística tiene una media igual a 7, y una desviación típica igual a 5. Calcular la media y la varianza de las variables:

Y = (X-2)/4 Z= 5X+2



9.- Completar los datos que faltan en la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

xi fi FI hi HI

70 2 - - -60 - 12 - -50 8 - - -40 6 - - -30 - 34 - -20 4 - - -10 3 - - -

Calcular:

Media aritmética Varianza Coeficiente de variación Mediana Recorrido intercuartílico

10.- La puntuación que han obtenido 50 personas que se presentaron para ocupar un puesto en la plantilla de una empresa, ha sido la siguiente:

Puntuación Nº personas14-18 318-20 620-25 1125-28 1528-32 832-36 7

Puntuación media y puntuación más frecuente Coeficiente de asimetría de Pearson y significado ¿ Qué tipo de curtosis presenta la distribución?

11.- Las últimas cien ventas facturadas por un establecimiento se habían agrupado en cuatro intervalos de clase, recordamos tan sólo la siguiente información:

El primer intervalo tiene seis semanas como extremo superior, una frecuencia relativa de 0,2 y una amplitud de cuatro semanas.

La marca de clase del segundo y cuarto intervalo son ocho y cincuenta semanas respectivamente.

Hasta el segundo intervalo se acumulan sesenta ventas. El tercer intervalo presenta una frecuencia de treinta ventas y una amplitud de

treinta semanas.

Con esta información construye la distribución de frecuencias y calcula la media, mediana, moda y coeficiente de variación.



12.- Las indemnizaciones recibidas por los 42 propietarios de áreas de cultivo después de unas recientes inundaciones, se distribuyen del siguiente modo:

Cientos de Euros Propietarios20-50 850-100 20100-140 8150 5220 1

Si las perdidas se han valorado en más de 400.000 Euros, puede afirmarse que las indemnizaciones son suficientes?

Calcular la indemnización más frecuente Calcular la mediana y la media Si a todos los propietarios se les subiera la indemnización en

2.000 Euros serían suficientes las indemnizaciones? Cuál sería entonces la media?.

13.- Durante la última semana dos librerías han vendido los libros que ocupan los tres primeros puestos en las listas de ventas a los siguientes precios

Librería 1 Librería2Precio Nº Ejemplares Precio Nº Ejemplares18 10 15 2521 13 19 1823 15 20 25

Qué establecimiento ha presentado una recaudación media más representativa

Cuál de los establecimientos presenta una mayor disparidad de precios?

14.- Una empresa automovilística ha abierto una nueva factoría en un país del este. En este año en dicha factoría se han obtenido unas ventas medias mensuales de 100 automóviles con una desviación típica de 10, mientras que en España por término medio se han vendido 75 coches con una desviación típica de 8.

¿ En la factoría de qué país las ventas medias de automóviles son más representativas?

Si en el último mes las ventas de la nueva factoría son de 105 vehículos y en la española de 80 ¿qué factoría presenta mayores ventas en términos relativos este mes? ( Tipificar los valores)

Si la empresa piensa abrir otra factoría en Asia, y se espera que la distribución de ventas sea Y= X – 10 , siendo X la distribución de ventas en España ¿ En cuál de estas dos factorías las ventas son más representativas?



15.- Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos en Matemáticas y Economía son:

Se pide a los alumnos de la clase las notas de la evaluación en las dos asignaturas y se anotan los resultados. Una vez anotados los resultados en dos filas, se pide:

¿Cuántos alumnos tiene el grupo? Tabla de correlación Distribuciones marginales, medias y varianzas ¿Cuál de las dos es más homogénea? Hallar la distribución de matemáticas condicionada a la Economía sea 7 Distribución de Economía condicionada a Matemáticas superior a 4 Porcentaje de personas que aprobaron la Economía Nota mínima obtenida por el 30% de los alumnos que más nota tienen en

Economía Calcular la covarianza Calcular el coeficiente de correlación lineal y significado. Nube de puntos.

16.- Con los datos de la siguiente tabla obténgase las medias, varianzas y covarianza de las variables X e Y

1 2 4 ni

5 1 0 2 310 2 1 0 315 0 1 3 4

nij 3 2 5 10

17.- Dada la distribución :

xi yj nij

2 1 62 4 73 2 43 5 25 4 1

Determínese el coeficiente de correlación lineal entre las variables y dar su significado, relaciona el resultado obtenido con la nube de puntos de la distribución


yj

xi

23


18.- Se ha encuestado a 100 familias en una ciudad sobre su gasto mensual en ocio (variable Y) y sus ingresos mensuales (Variable X). En la siguiente tabla se presentan los resultados obtenidos, donde las variables vienen expresadas en Euros.

YX

0-100 100-200 200-400 400-800

600-1000 4 1 1 -1000-1500 9 8 3 -1500-2000 9 12 20 32000-3000 5 8 12 33000-5000 1 1 - -

Obtener el ingreso medio mensual por familia Obtener el gasto en ocio medio mensual por familia Obtener la media de gasto en ocio para las familias con ingresos

inferiores a 2000 Euros Cúal de las dos distribuciones es más homogénea? Halla la correlación lineal entre ambas y explica su significado ¿ Cuál es el ingreso máximo que tienen el 20% de las familias que menos

ingreso tienen?

19.- En un determinado sector, la producción y las exportaciones durante los últimos años han sido:

Año Producción (miles) Exportación (miles)2000 400 802001 420 802002 440 902003 480 922004 500 98

Calcule la covarianza y el coeficiente de correlación lineal y dé su interpretación

Realice un ajuste lineal entre ambas variables Determine el coeficiente de determinación e interprete el resultado.

20.- Calcular las rectas de regresión de una variable bidimensional (X,Y) sabiendo los siguientes datos :

x=14 y=7 Sx2=3 Salignl ¿ y ¿

¿2=1 r=0 ,95¿

¿ Qué valor asignaría a X para un valor Y=5



21.- Dada la recta de regresión Y = - 0,25 + 3,2X ¿ Puede ser Sy< 6,4 si Sx = 2?

22.- En una región de España se observó el precio del vino y la cantidad de producción durante algunos años , obteniéndose los siguientes datos :

X 35 31 42 60 52 49 61 50 55 58Y 100 140 120 110 200 200 110 160 160 200

donde X es el precio por litro del vino en céntimos de Euro e Y es la cantidad producida en miles de litros. Considerando la variable X agrupada en intervalos de amplitud constante y considerando que el primer intervalo es 25-35; se pide:

Distribuciones marginales Media, mediana, desviación típica y coeficiente de variación de Pearson

de X Covarianza entre las variables Porcentaje de años en los que el precio del vino fue inferior a 48

céntimos Recta de regresión de Y/X Coeficiente de correlación y de determinación , significado.

23.- La recta de regresión entre dos variables viene dada por Y = 5 + b.X. Sabiendo que las medias de las variables son respectivamente 5 y 20. Calcular el coeficiente de regresión .

24.- Contestar razonadamente si las afirmaciones siguientes son ciertas:

1. Si el coeficiente de regresión es negativo, se deduce que:

El coeficiente de correlación es menor que cero La variable Y aumenta cuando X disminuye La covarianza es negativa

2. Si el coeficiente de determinación en un ajuste es 0,9

El ajuste es bueno El coeficiente de correlación es 0,9 El 10% de los valores no se explican por la regresión

25.- Media aritmética y varianza. Tipos de medida que son. Utilidad, importancia y propiedades que cumple cada una de ellas.



IES LEÓN FELIPEDpto MatemáticasExamen ESTADÍSTICA 1º19 de Mayo 2005

TEORÍA

1.- ( 2 puntos) Media aritmética. Definición. Propiedades y demostración de las mismas.

2.- ( 2 puntos) Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

¿ Qué predicción sería más fiable en un modelo lineal?a1) Aquella en la que R = 0,9a2) Aquella en la que r = 0,92

Es posible que una variable estadística tenga de coeficiente de asimetría de Pearson –2, siendo la media mayor que la moda?

Obtener la varianza de la variable Y = 2X + 4 siendo Sx = 6 Si una variable estadística toma un único valor constante K cual es su media y su

varianza.

PROBLEMASEn todos los apartados ponga en un recuadro el resultado final

1.- ( 2 puntos ) Realizada una encuesta entre fumadores se ha obtenido la siguiente tabla de frecuencias:

Nº Cigarrillos diarios Nº de individuos

5-10 2010-15 1515-20 2520-30 40

Número medio de cigarrillos fumados por individuo y día Desviación típica y coeficiente de variación de Pearson El valor más frecuente de la variable Histograma de frecuencias absolutas Número de cigarrillos que fuman el 30% de la población más fumadora.

2.- ( 2 puntos ) Halle las rectas de regresión de una variable bidimensional (X,Y)

sabiendo x−=20 y

−=10 Sx=4 S y=2 , siendo el coeficiente de

correlación lineal r = 0,95. En cual de las dos variables la media es más representativa?. ¿ Qué valor asignaría

a Y = 6? Sería la predicción fiable?



3.- ( 2 puntos ) En una muestra de 20 empresas del sector metalúrgico se obtuvieron los siguientes datos sobre el número de empleados X y sus ingresos anuales Y en miles de Euros

Nº empleados(X) Ingresos Anuales(Y)5-15

Ingresos anuales(Y)15-25

Ingresos anuales(Y)25-45

10-30 6 2 030-50 1 1 050-100 0 0 10

Calcule los ingresos medios anuales La mediana del número de empleados La recta que te permita calcular los ingresos sabiendo el número de empleados Sería fiable la predicción que se hiciera? En los mismos ejes representa nube de puntos y recta de regresión hallada.



IES LEÓN FELIPEDpto. MatemáticasExamen ESTADÍSTICA 1º31de Mayo 2005

TEORÍA

1.- ( 2 puntos ) Conteste a la pregunta que mejor sepa de entre las propuestas por el profesor en clase.

2.- ( 2 puntos ) Responda razonadamente las siguientes cuestiones:

Si la media y la varianza de la variable X son 10 y 36 respectivamente, es el coeficiente de variación de Pearson mayor que 1?

Es posible que Sx sea mayor que 4 si Sxy=4 y Sy2 = 0,9?

Si a una variable se le multiplica por dos y después se le suma 5 ¿ que le ocurre a la media?¿Qué le ocurre a la varianza?

Si una variable toma únicamente los valores uno y menos uno¿ Cuál sería su media?¿Cuál sería su varianza?

PROBLEMASEn todos los apartados ponga en un recuadro el resultado final

1.-(2 puntos ) Una empresa quiere realizar un estudio sobre la influencia de las campañas publicitarias en sus cifras de ventas. Para ello dispone del gasto destinado a publicidad y sus ventas en los últimos cinco años:

Años Gastos publicidad(Millones de Euros)

Ventas(Millones de Euros)

2000 2,5 2002001 2,8 2212002 2,9 2302003 3,1 2392004 3,5 248

Obtenga la recta de regresión que permita predecir las ventas a partir de los gastos en publicidad

Prediga las ventas para el año 2005 si se piensa invertir en publicidad 4.000.000 de Euros.

Juzgue la bondad del modelo y la fiabilidad de la predicción realizada.



2.-(2 puntos ) Calcular los tres cuartiles de las dos distribuciones siguientes:

Xi fi

2 83 108 1212 615 3

Li-1-Li fi

5-10 610-15 715-20 1020-30 9

Calcular también estas medidas gráficamente en ambos casosCalcula la Moda en la segunda distribución.

3.-(2 puntos ) Dada la variable X , que toma los valores 2, 4, 20 y 24.

Hallar la media y la varianza de los valores de esa variable tipificados. Hallar la media y la varianza de la variable Y= 2X + 5 Hallar el coeficiente de variación de la variable X y de la variable Y e

interpretar el resultado. Si a todos los valores de la variable X se les resta 2¿Cuál sería la media y la

varianza de la nueva variable?



Nota importante

Estas anotaciones, creo son de utilidad, primero para nuestros alumnos de bachillerato de Sociales, paso previo para ir a la Universidad, y luego como material de consulta bastante válido para las carreras universitarias de Psicología, Trabajo Social, Economía, Administración y Dirección de Empresas, Empresariales, Trabajo Social, Magisterio y algunas más que tengan contenidos relacionados. Si os sirven de algo, muy bien, y de no ser así gracias al menos por mirarlo.


estadística descriptiva ii

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