Estabilidade e EstacionariedadeEstabilidade e Estacionariedadeem Séries Temporaisem Séries Temporais

Adaptado de Enders, Capítulos 1 e 2Adaptado de Enders, Capítulos 1 e 2

Objeto de estudoObjeto de estudo

• A econometria de séries temporais dedica-A econometria de séries temporais dedica-se à estimação de equações de diferença se à estimação de equações de diferença contendo componentes estocásticos.contendo componentes estocásticos.

Séries Discretas no TempoSéries Discretas no Tempo

• Seja y = f(t), portantoSeja y = f(t), portanto

• Δy = f(tΔy = f(t00 + h) – f(t + h) – f(t00))

• Na prática, as séries econômicas são Na prática, as séries econômicas são geradas em intervalos geradas em intervalos discretosdiscretos de tempo de tempo

• Toma-se por conveniência h = 1, Toma-se por conveniência h = 1, representando a unidade de tempo da série representando a unidade de tempo da série em questãoem questão

Séries discretasSéries discretas

• Note que o fato do tempo ser discreto Note que o fato do tempo ser discreto nãonão implica que a variável y seja discreta.implica que a variável y seja discreta.

• A variável discreta y é dita A variável discreta y é dita aleatóriaaleatória (estocástica) se existe pelo menos um valor (estocástica) se existe pelo menos um valor de r tal que 0 < p(y = r) < 1de r tal que 0 < p(y = r) < 1

• Caso exista um valor de r para o qual Caso exista um valor de r para o qual p(y = r) = 1, então y é p(y = r) = 1, então y é determinísticadeterminística

Séries DiscretasSéries Discretas• Os elementos de uma série econômica {yOs elementos de uma série econômica {y00, ,

yy11, ..., y, ..., ytt} podem ser considerados como } podem ser considerados como realizações (resultados) de um processo realizações (resultados) de um processo estocástico.estocástico.

• Por exemplo o PIB. Como não podemos Por exemplo o PIB. Como não podemos prevê-lo perfeitamente, yprevê-lo perfeitamente, y tt é uma variável é uma variável aleatória.aleatória.

• Cada valor conhecido do PIB é uma Cada valor conhecido do PIB é uma realização desse processo estocástico.realização desse processo estocástico.

Objetivo do modeloObjetivo do modelo

• A partir de valores A partir de valores observadosobservados de uma de uma séries temporal (i.e., uma amostra), séries temporal (i.e., uma amostra), identificar os aspectos essenciais do identificar os aspectos essenciais do “verdadeiro” processo gerador de dados “verdadeiro” processo gerador de dados (i.e., do universo).(i.e., do universo).

• As equações de diferenças estocásticas são As equações de diferenças estocásticas são um instrumento eficaz para modelar um instrumento eficaz para modelar processo econômicos dinâmicos.processo econômicos dinâmicos.

Equações de diferençasEquações de diferenças

• Uma equação de diferenças expressa o Uma equação de diferenças expressa o valor de uma variável como função de seus valor de uma variável como função de seus próprios valores defasados, do tempo, e de próprios valores defasados, do tempo, e de outras variáveis. Ex:outras variáveis. Ex:

yytt = 8,2 + 0,75y = 8,2 + 0,75yt-1 t-1 – 0,12y– 0,12yt-2t-2 + + εεtt

Ruído BrancoRuído Branco

• Uma seqüência {Uma seqüência {εεtt} } é dita é dita ruído branco ruído branco se se

cada valorcada valor da série tiver média zero, da série tiver média zero, variância constante, e não apresentar variância constante, e não apresentar correlação serial.correlação serial.

Ruído BrancoRuído Branco

-3

-2

-1

0

1

2

3

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

Ruído BrancoRuído Branco

E(E(εεtt) = ) = E(E(εεtt) = ... = 0) = ... = 0

Var(εVar(εtt) = Var(ε) = Var(εtt) = ... = ) = ... = 22

E(εE(εtt.ε.εt-st-s) = 0 para todo s ) = 0 para todo s 0 0

Solução de equações de diferençasSolução de equações de diferenças

• A solução de equações de diferenças lineares pode A solução de equações de diferenças lineares pode ser dividida em duas partes: a solução ser dividida em duas partes: a solução particularparticular e e a solução a solução homogêneahomogênea..

• A parte A parte homogênea homogênea da equação dá uma medida do da equação dá uma medida do desequilíbrio inicial em relação à posição de desequilíbrio inicial em relação à posição de equilíbrio de longo prazoequilíbrio de longo prazo

• A equação homogênea é importante porque dá as A equação homogênea é importante porque dá as raízes características,raízes características, que determinam se a série é que determinam se a série é convergente (estável)convergente (estável)

Exemplo: Equação de ordem 2Exemplo: Equação de ordem 2

yytt = a = a00 + a + a11yyt-1t-1+ a+ a22yyt-2t-2 + + εεtt

Equação homogêneaEquação homogênea

yytt - a - a11yyt-1t-1- a- a22yyt-2t-2 = 0 = 0

Equação característicaEquação característica

xx22 - a - a11x - ax - a22 = 0 = 0

• As raízes dessa equação são chamadas raízes As raízes dessa equação são chamadas raízes característicascaracterísticas

Raízes e estabilidadeRaízes e estabilidade

• As raízes características serão funções dos As raízes características serão funções dos coeficientes coeficientes aa1 1 ee aa22

• As raízes características determinam se a As raízes características determinam se a série é estável (convergente) ou instável série é estável (convergente) ou instável (divergente)(divergente)

• Isto é, a estabilidade da série depende dos Isto é, a estabilidade da série depende dos

coeficientes coeficientes aa1 1 ee aa22

-3,00

-2,00

-1,00

0,00

1,00

2,00

3,00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Série convergente (estável)Série convergente (estável)

Série divergente (instável)Série divergente (instável)

0,002,004,00

6,008,0010,0012,00

14,0016,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Condições de EstabilidadeCondições de Estabilidade

• Condição necessáriaCondição necessária

• Condição suficienteCondição suficiente

• Se algum aSe algum aii = 1, o = 1, o

processo tem raiz(es) processo tem raiz(es)

unitária(s)unitária(s)

n

iia

1

1

n

iia

1

1

Estabilidade e EstacionariedadeEstabilidade e Estacionariedade

• Se ySe ytt é uma equação estocástica de é uma equação estocástica de

diferenças, então a condição de estabilidade é diferenças, então a condição de estabilidade é

uma condição necessária para que a série uma condição necessária para que a série

temporal {ytemporal {ytt} seja estacionária.} seja estacionária.

EstacionariedadeEstacionariedade

• Um processo estocástico y(t) é dito (fracamente) Um processo estocástico y(t) é dito (fracamente) estacionário estacionário se:se:

• E[y(t)] = E[y(t)] =

• Var[y(t)] = E[y(t) - Var[y(t)] = E[y(t) - ]]22 = = 22

• E{[y(t) - E{[y(t) - )][y(t - k) - )][y(t - k) - ]} = f(k)]} = f(k)

• Obs.: um processo Obs.: um processo fortementefortemente estacionário não estacionário não

precisa de média e variância constantes. (É um precisa de média e variância constantes. (É um

conceito menos restritivo).conceito menos restritivo).

InterpretaçãoInterpretação• Uma série temporal é dita estacionária se suas Uma série temporal é dita estacionária se suas

propriedades estatísticas não mudam com o tempopropriedades estatísticas não mudam com o tempo

• A série A série estacionáriaestacionária tem média e variância tem média e variância

constantes no tempo, e a covariância entre valores constantes no tempo, e a covariância entre valores

defasados da série depende apenas da defasagem, defasados da série depende apenas da defasagem,

isto é, da “isto é, da “distânciadistância” temporal entre eles.” temporal entre eles.

Cov(YCov(Ytt,Y,Yt-kt-k) = ) = kk kk

InterpretaçãoInterpretação

Cov(YCov(Ytt,Y,Yt-kt-k) = ) = kk kk

• significa que se, por exemplo, significa que se, por exemplo, 1 1 > 0, então um > 0, então um

valor “alto” de Y no presente momento valor “alto” de Y no presente momento provavelmente será seguido de um valor também provavelmente será seguido de um valor também alto de Y no próximo momento.alto de Y no próximo momento.

• A hipótese de que os A hipótese de que os kk sejam estáveis no tempo, sejam estáveis no tempo,

permite que se use essa informação para prever permite que se use essa informação para prever valores futuros da série.valores futuros da série.

Não-estacionariedadeNão-estacionariedade

• No nível da média. No nível da média. A média varia ao longo A média varia ao longo da série. Séries que apresentam tendências da série. Séries que apresentam tendências temporais não têm média estacionária.temporais não têm média estacionária.

• Se a tendência for não-linear, as Se a tendência for não-linear, as covariâncias também se alterarão ao longo covariâncias também se alterarão ao longo do tempodo tempo

Modelo autoregressivo de primeira Modelo autoregressivo de primeira ordem AR(1)ordem AR(1)

• É representado como:É representado como:

YYtt = a = a1 1 YYt-1t-1 + + tt

• significa que o valor de Y em t depende do significa que o valor de Y em t depende do valor de Y no período anterior mais uma valor de Y no período anterior mais uma perturbação aleatória.perturbação aleatória.

• Note que se tomou aNote que se tomou a00 = 0. = 0.

Média do modelo AR(1)Média do modelo AR(1)

E(yE(ytt) = a) = a00/(1 – a/(1 – a11))

Variância do modelo AR(1)Variância do modelo AR(1)

Var(yVar(ytt) = ) = 22/[1 – (a/[1 – (a11))22]]

Covariância do modelo AR(1)Covariância do modelo AR(1)

Cov(yCov(ytt, y, yt-st-s) = ) = 22(a(a11))ss/[1 – (a/[1 – (a11))22]= ]= γγss

Portanto Portanto γγ0 0 é a variância de yé a variância de ytt

AutocorrelaçãoAutocorrelação

• Para uma série estacionária pode-se definir Para uma série estacionária pode-se definir a autocorrelação entre ya autocorrelação entre y tt e y e yt-st-s como: como:

ss = = γγs /s /γγ00

• A função de autocorrelação (FAC) mostra A função de autocorrelação (FAC) mostra

os valores de os valores de s s para valores crescentes de s.para valores crescentes de s.

Restrições para estacionariedade do Restrições para estacionariedade do AR(1)AR(1)

• Seja YSeja Ytt = a = a00 + a + a1 1 YYt-1t-1 + + tt

• Dada a condição inicial y = yDada a condição inicial y = y0 0 para t = 0, a para t = 0, a

solução da equação é:solução da equação é:

YYtt = a = a00i=0i=0t-1 t-1 aa11

ii + a + a11tt YY00 + + i=0i=0

t-1 t-1 t-it-i

Restrições (continuação)Restrições (continuação)

• Ao tomar o valor esperado de y para os Ao tomar o valor esperado de y para os instantes t e t+s observa-se que:instantes t e t+s observa-se que:

E (yE (ytt) ) E(y E(yt+st+s))

• Isto é, a média não seria constante e, Isto é, a média não seria constante e, portanto o AR(1) não seria estacionárioportanto o AR(1) não seria estacionário

Restrições (conclusão)Restrições (conclusão)

• Esta restrição é contornada ao se tomar o valor Esta restrição é contornada ao se tomar o valor limite de ylimite de ytt::

lim ylim yt t = a= a00/(1 – a/(1 – a11) + ) + i=0i=0∞∞ t-it-i = a = a00/(1 – a/(1 – a11))

• Portanto a estacionariedade requer Portanto a estacionariedade requer |a|a11| < 1, e | < 1, e requer também que o número de observações seja requer também que o número de observações seja grande, ou que o processo esteja ocorrendo ahá grande, ou que o processo esteja ocorrendo ahá um tempo um tempo infinitamenteinfinitamente longo longo

• Portanto é necessário cuidado ao trabalhar com Portanto é necessário cuidado ao trabalhar com séries originárias de processos recentes, pois séries originárias de processos recentes, pois podem não ser estacionárias.podem não ser estacionárias.

Autocorrelação parcialAutocorrelação parcial

• Mede a intensidade da relação entre duas Mede a intensidade da relação entre duas observações da série, controlando observações da série, controlando (mantendo constante) o efeito das demais(mantendo constante) o efeito das demaisYYtt = = 1111YY11 + + t t 1111= = 1111

YYtt = = 1111YY11 + + 2222YY22 + + t t 2222= = 2222

YYtt = = k1k1YY11 + + k2k2YY22 + ...+ + ...+ kkkkYYk k + + t t kkkk= = kkkk

• a seqüência de pares (k, a seqüência de pares (k, kkkk) constitui a função de ) constitui a função de

autocorrelação parcialautocorrelação parcial

InterpretaçãoInterpretação

• Se, por exemplo, numa série mensal, os Se, por exemplo, numa série mensal, os valores de Yvalores de Ytt forem altamente forem altamente

correlacionados com os valores de Ycorrelacionados com os valores de Y t-12t-12, ,

então a função de autocorrelação parcial então a função de autocorrelação parcial deveria exibir um pico na defasagem 12, e deveria exibir um pico na defasagem 12, e nenhum valor significativo nas demais.nenhum valor significativo nas demais.