Capítulo 16

Estabilidade Dinâmica

16.1 Introdução

Neste capítulo pretende-se iniciar o estudo da estabilidade dinâmica de uma aero-nave. Pretende-se estudar métodos de resolução das equações para pequenas pertur-bações (sem controlo). Pretende-se também estudar as características habituais dassoluções e definir os «modos» típicos para perturbações longitudinais e laterais: Porfim, pretende-se encontrar expressões aproximadas para os modos longitudinais e la-terais.

Como se referiu anteriormente, as equações do movimento para pequenas pertur-bações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário:

• Movimento rectilíneo uniforme

– Aceleração linear nula: u0 = v0 = w0 = 0

– Velocidade angular nula: p0 = q0 = r0 = 0

• Não há derrapagem: v0 = 0

• Asas niveladas: φ = 0

• Ângulo de rumo nulo: ψ = 0

• Eixos de estabilidade, isto é, o eixo Cx ‖ ~V .

– w0 = 0⇒ αx = 0

– θ0 coincide com o ângulo de subida

A forma geral das equações do movimento para pequenas perturbações é

x = A x+∆fc, (16.1)

em que x é o vector de estado (vector das variáveis de estado), A é a matriz do sistemae ∆fc é o vector dos incrementos das forças e momentos de controlo relativamente aoestado estacionário (não vai ser usado neste capítulo).

134

Para o movimento longitudinal, o vector de estado é

x =

∆uwq∆θ

,e a matriz do sistema é

A =

Xum

Xwm 0 −g cosθ0

Zum−Zw

Zwm−Zw

(mu0+Zq)m−Zw

mg sinθ0

m−Zw

1Iy

(Mu + MwZu

m−Zw

)1Iy

(Mw + MwZw

m−Zw

)1Iy

(Mq + Mw(mu0+Zq)

m−Zw

)−Mwmg sinθ0

Iy(m−Zw)

0 0 1 0

.

Para o movimento lateral, o vector de estado é

x =

vprφ

,e a matriz do sistema é

A =

Yvm

Ypm

(Ypm −u0

)g cosθ0

(LvI′x + I

′zxNv

) (LpI′x + I

′zxNp

) (LrI′x + I

′zxNr

)0

(I′zxLv + Nv

I′z

) (I′zxLp +

NpI′z

) (I′zxLr + Nr

I′z

)0

0 1 tanθ0 0

. (16.2)

Em seguida veremos como determinar as soluções de (16.1) no caso em que não háforças de controlo, ou seja, de

x = A x, (16.3)

que é um sistema de equações diferenciais ordinárias lineares de 1ª ordem.

16.2 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ªordem

Comecemos por recordar como se determinam as soluções de equações diferenciaislinaeres de primeira ordem:

x = ax adxx= adt (16.4)

135

tem soluções da forma:x(t) = x0eλt (16.5)

desde que λ = a. Note-se que x0 é o valor para t = 0.No caso de um sistemas de equações diferenciais

x = A x, (16.6)

as soluções são da formax(t) = x0eλt. (16.7)

Dado que a derivada temporal do vector de estado se pode escrever

x = λx0eλt,

substituindo em (16.6) temos

λx0eλt = A x0eλt ⇒ λx0 = A x0.

Daqui obtém-se(A − λI)x0 = 0 (16.8)

que é a equação aos valores próprios da matriz A. Esta equação só tem soluções nãotriviais (isto é, identicamente nulas) se

(A − λI) = 0. (16.9)

Esta é chamada a equação característica do sistema e permite determinar os valorespróprios λ da matriz A.

Uma matriz N × N tem N valores próprios λ1, . . . , λN . A cada valor próprio λkcorresponde um vector próprio x0k . Para simplificar a exposição, suporemos todosos vectores próprios diferentes. O caso em que dois ou mais valores próprios sãoiguais não nos vai interessar. A solução geral de (16.6) é sobreposição das soluçõescorrespondentes a cada valor/vector próprio:

x(t) =N∑k=1

x0keλkt. (16.10)

Uma matriz 4× 4 tem 4 valores próprios, pelo que a solução geral vai ser

x(t) = x01eλ1t + x02e

λ2t + x03eλ3t + x04e

λ4t.

Note-se que, como (16.8) é uma equação homogénea, os vectores próprios determinamapenas uma direção, isto é, estão definidos a menos de uma constante multiplicativa.Essas constantes (uma para cada vector prórpio) podem ser definidas à custa das con-dições iniciais.

16.2.1 Modos do sistema

A matriz do sistema, A, é uma matriz real, isto é, todos os seus elementos sãonúmeros reais. Pode mostrar-se que os valores próprios de uma matriz real são ounúmeros reais ou pares de valores próprios complexos conjugados. Para uma matriz

136

4 × 4 podemos ter 4 valores próprios reais ou 2 valores próprios reais e um par decomplexos conjugados ou 2 pares de valores próprios complexos conjugados.

Para cada par de valores próprios complexos conjugados podemos escrever os va-lores próprios, representados por λ1 e λ2, como:

λ1 = n+ iω ⇒ x1 = a1eλ1t (16.11)

λ2 = n− iω ⇒ x0 = a2eλ2t (16.12)

As constantes a1 e a2 são complexas conjugadas porque correspondem a vectorespróprios de valores próprios complexos conjugados. Podemos por isso escrevê-lascomo

a1 = aeiϕ,

a2 = ae−iϕ.

A soma dos modos correspondentes a um par de valores próprios complexos conjuga-dos é

x1 + x2 = a1eλ1t + a2eλ2t

= a eiϕe(n+iω)t + ae−iϕe(n−iω)t

= a ent(eiϕeiωt + e−iϕe−iωt

)= a ent

(ei(ωt+ϕ) + e−i(ωt+ϕ)

)= 2a ent cos(ωt +ϕ).

Conclui-se que a soma x1 + x2 é real, isto é, que a soma das duas soluções complexasconjugadas correspondentes a valores próprios complexos conjugados é afinal umúnico modo real oscilatório (e amortecido).

Em resumo, podemos afirmar que os modos possíveis no caso presente, em que amatriz do sistema é real são os seguintes

• Se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatóriocom:

– frequência angular ω– período T = 2π/ω– amplitude variando exponencialmente

* aumenta se n > 0

* diminui se n < 0

• se um valor próprio é real, obtemos um modo aeλt cuja «amplitude»:

– aumenta se λ > 0

– diminui se λ < 0

A figura 16.1 ilustra os modos descritos acima.Um modo é dinamicamente estáveis se a sua amplitude diminui ao longo do tempo,

ou seja, se Re(λ) < 0. Pelo contrário, se Re(λ) > 0 a amplitude aumenta ao longo dotempo e o modo é instável.

137

Figura 16.1:

138

Alguns parâmetros importantes que caracterizam os modos são o período (quandoo modo é oscilante), o tempo necessário para a amplitude passar a metade/dobro: t1/2ou t2 e o número de ciclos necessário para a amplitude passar a metade/dobro: N1/2ou N2.

ent1/2 = 12

⇒ t1/2 =log 1/2n

= log 2|n| (16.13)

ent2 = 2 ⇒ t2 =log 2n

= log 2|n| (16.14)

N1/2 =t1/2T

ou N2 =t2T

(16.15)

Outros parâmetros importantessão a frequência natural, definida por

ωn =√ω2 +n2, (16.16)

e o factor de amortecimento, dado por

ζ = − nωn. (16.17)

É fácil mostrar que, no caso de modos estáveis,

t1/2 =log 2|ζ|ωn

,

N1/2 =ω2π

log 2|ζ|ωn

= log 22π

√1− ζ2

|ζ| .

16.2.2 Critério de estabilidade de Routh

Um sistema tem modos instáveis se a equação característica det(A − λI) = 0 tiverraízes com parte real positiva. Para sistemas de 4ª ordem, como no caso vertente, aequação característica é um polinómio de grau 4, que podemos escrever como

Aλ4 + Bλ3 + Cλ2 +Dλ+ E = 0. (16.18)

Existe formas de determinar se uma equação característica tem todas as raízes comparte real negativa (isto é, se o sistema é estável) sem ter de as calcular. Uma dessasformas é a utilização do critério de Routh-Hurwitz: aplicado a sistemas de 4ª ordem,afirma que uma condição necessária e suficiente para que todas as raízes tenham partereal negativa é que se verifique simultaneamente

• B > 0,

• D > 0,

• E > 0,

• R = D(BC −AD)− B2E > 0 (discriminante de Routh).

139

Tabela 16.1: Características do Cessna 182

S = 16.17 m2 c = 1.49m W = 11787 NIx = 1285.0 kg m2 Iy = 1824.4 kg m2 Iz = 2666.2 kg m2

Ixz = 0 kg m2

Estas condições são válidas se A > 0; das condições anteriores deduz-se que C > 0.Com frequência em aeronáutica E > 0 e R > 0 representam casos críticos significa-

tivos. Se uma configuração de uma aeronave é estável e um parâmetro de projecto éalterado de forma que passa a haver uma instabilidade, então:

• se apenas E passa a negativo: uma raiz real passa de negativa a positiva;

• se apenas R passa a negativo: a parte real de um par de raízes complexas conju-gadas passa de negativa a positiva.

As superfícies E = 0 e R = 0 definem fronteiras entre regiões de estabilidade e instabi-lidade.

16.3 Modos longitudinais: características típicas

Começaremos por determinar os modos longitudinais num caso concreto e definircaracterísticas típicas para estes modos. Como exemplo vamos usar um Cessna 182.

16.3.1 Exemplo: Cessna 182 Skylane

Os passos a seguir na determinação dos modos de uma aeronave são:

• Cálcular as derivadas dimensionais (conhecidas as adimensionais)

• Cálcular os elementos da matriz A

• Determinar as soluções da equação característica (valores próprios de A)

• Para cada valor próprio determinar o respectivo vector próprio (a menos de umaconstante multiplicativa)

Vamos determinar os modos longitunais de um Cessna 182 que se encontra emvoo horizontal a 5000 ft, com velocidade u0 = 67.08m/s (Ma = 0.201). O estadoestacionário caracteriza-se por θ0 = 0, CL0 = 0.307 e CD0 = 0.032. De acordo com aatmosfera padrão, ρ = 1.055 kg/m3.

Na tabela 16.1 apresenta-se algumas características do Cessna 182 usado nesteexemplo e na tabela 16.2 apresentam-se as derivadas de estabilidade adimensionais.Com estes valores e usando as expressões derivadas no capítulo 15, podemos deter-

140

Tabela 16.2: Derivadas adimensionais do Cessna 182

CD CL CT Cmu 0 0 -0.096 0α 0.121 4.41 – -0.613q 0 3.9 – -12.4ˆα 0 1.7 – -7.27

(Fonte: Roskam)

minar o valor das derivadas adimensionais segundo os eixos x e z:

Cxu = CTu − CDu = −0.096

Cxα = CL0 − CDα = 0.186

Cxq = 0

Cxα = 0

Czu = −CLu = 0

Czα = −(CLα + CD0) = −4.442

Czq = −CLq = −3.9Czα = −CLα = −1.7

As derivadas dimensionais são então calculadas:

Xu = ρu0SCW0 sinθ0 +12ρu0SCxu = −54.9456 Ns/m

Zu = −ρu0SCW0 cosθ0 +12ρu0SCxu = −351.485 Ns/m

Mu =12ρu0cSCmu = 0

Xw =12ρu0SCxα = 106.457 Ns/m

Zw =12ρu0SCzα = −2542.38 Ns/m

Mw =12ρu0ScCmα = −524.002 Ns/m

Xq =14ρu0ScCxq = 0

Zq =14ρu0ScCzq = −1666.89 Ns

Mq =14ρu0Sc2Cmq = −7915.44 Ns/m

141

Xw =14ρScCxα = 0

Zw =14ρScCzα = −10.8307 Ns/m

Mw =14ρSc2Cmα = −69.1756 Ns/m

Estamos agora em condições de calcular todos os termos da matriz do sistema, queneste caso é

A =

Xum

Xwm 0 −g cosθ0

Zum−Zw

Zwm−Zw

(mu0+Zq)m−Zw

mg sinθ0

m−Zw

1Iy

(Mu + MwZu

m−Zw

)1Iy

(Mw + MwZw

m−Zw

)1Iy

(Mq + Mw(mu0+Zq)

m−Zw

)−Mwmg sinθ0

Iy(m−Zw)

0 0 1 0

Nas condições de voo indicadas temos a matriz do sistema para o Cessna 182 é

A =

−0.0457289 0.0885998 0 −9.81

−0.289913 −2.09701 65.1123 0

0.0109923 −0.207702 −6.80735 0

0 0 1 0

estando todos os termos calculados no Sistema Internacional de unidades.

A equação característica, det(A− λI) = 0, é agora

λ4 + 8.95009λ3 + 28.2319λ2 + 1.4905λ+ 0.816844 = 0.

Tendo em conta que A, B e D são positivos, e que

E = 0.816844 > 0,

R = D(BC −AD)− B2E = 308.96 > 0,

os critérios de estabilidade permitem afirmar que todos os modos vão ser estáveis.As raízes da equação característica, que são os valores próprio de A, são

λ1,2 = −0.0220954± 0.169956i (modo fugóide)λ3,4 = −4.45295± 2.82492i (modo de período curto)

Obtemos dois pares de raízes complexas conjugadas, pelo que vamos ter dois modososcilatórios, normalmente conhecidos por modo fugóide e modo de período curto.

Para o modo fugóide temosωf = |Im(λ1,2)| = 0.17 rad/s Tf = 2π

ωf= 37.0 s t1/2 = log 2

|n| = 31.4 s

nf = Re(λ1,2) = −0.022 s-1 N1/2 = t1/2Tf= 0.85

142

Tabela 16.3: Características de cada modo

Modo Período (s) t1/2 (s) N1/2

Fugóide 37.0 31.4 0.85Período curto 2.22 0.156 0.070

Tabela 16.4: Vectores próprios obtidos para o Cessna 182

Fugóide Período curto

Módulo Fase Módulo Fase

∆u 1.0 0º 0.0065 -37.7ºα = w 0.045 179.1º 1.0 0ºq 0.0030 -1.8º 0.0564 129.8º∆θ 0.0175 -99.2º 0.0107 -17.8º

Para o modo de período curto temosωpc = |Im(λ2,3)| = 2.82 rad/s Tpc = 2π

ωpc = 2.22 s t1/2 = log 2|n| = 0.156 s

npc = Re(λ2,3) = −4.45 s-1 N1/2 = t1/2Tpc = 0.07

Na tabela 16.3 comparam-se algumas características dos dois modos longitudinais.Verifica-se que o modo fugóide tem um período mais longo, da ordem das dezenasde segundos, e é fracamente amortecido. Pelo contrário, o modo de período curtotem um período de poucos segundos, fazendo jus ao nome, e é muito amortecido.Estas características são típicas destes modos e são comuns para muitas aeronaves econdições de voo.

Determinação dos vectores próprios

Como se viu anteriormente, os vectores próprios x0 são as soluções da equação(A − λI)x0 = 0 e são determinados a menos de uma constante multiplicativa. Natabela 16.4 apresentam-se os valores próprios obtidos no exemplo presente para osdois modos oscilatórios (normalizando os resultados obtidos de forma que o valorinicial do modo com maior amplitude seja 1).

143

50 100 150 200t

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Θ

Α

u

Figura 16.2: Oscilações do modo fugóide

16.3.2 Modo fugóide

Os dados da tabela 16.4 permitem obter a evolução temporal de cada uma dasvariáveis dinâmicas longitudinais no modo fugóide:

∆u = (∆u)inicial e−0.022t cos(0.17t) (16.19)

α = (∆u)inicial × 0.045 e−0.022t cos(

0.17t − 179.1◦π

180◦

)(16.20)

q = (∆u)inicial × 0.0030 e−0.022t cos(

0.17t + 1.8◦π

180◦

)(16.21)

∆θ = (∆u)inicial × 0.0175 e−0.022t cos(

0.17t + 99.2◦π

180◦

)(16.22)

A figura 16.2 apresenta esta mesma evolução de forma gráfica. Pode-se constatar queo modo fugóide apresenta variações grandes da velocidade longitudinal u, e variaçõesdesprezáveis do ângulo de ataque α, da velocidade angular de picada q e do ângulo depicada θ. O ângulo de ataque oscila aproximadamente em oposição de fase com a ve-locidade longitudinal, enquanto que as oscilações do ângulo de picada estão atrasadasde aproximadamente 90◦.

Paa se obter a trajectória do avião, parte-se das equações linearizadas para o «flightpath», que neste caso são

∆xE = ∆u (16.23)

∆zE = w −u0∆θ = u0α−u0∆θ (16.24)

144

50 100 150 200t

-2

2

4

xE - t u0

50 100 150 200t

-10

-5

5

zE

Figura 16.3: Variações da posição em xE e zE relativamente ao estado estacionário nomodo fugóide, para o exemplo do Cessna 182.

Após a substituição de (16.19) em (16.23) e de (16.20) e (16.22) na equação (16.24), aintegração das equações conduz a

∆xE = (∆u)inicialent(n cos[ωt]+ω sin[ωt])

n2 +ω2(16.25)

para a perturbação na coordenada xE devida ao modo fugóide, e a

∆zE =u0

n2 +ω2ent(∆u)inicial ×

[0.045n cos(ωt +ϕα)+ 0.045ω sin(ωt +ϕα)

− 0.0175n cos(ωt +ϕθ)− 0.0175ω sin(ωt +ϕθ)]

(16.26)

para a correspondente perturbação na coordenada zE . Note-se se xE = (xE)0 + ∆xE ,sendo (xE)0 = u0t. Por outro lado, zE = (zE)0 + ∆zE , mas a cota (zE)0 é constanteno estado estacionário e podemos escolher a origem do sistema de eixos de forma atornar (zE)0 = 0.

A variação de ∆xE e ∆zE está representada na figura 16.3. Neste exemplo as vari-ações na altitude do avião estão desfazadas das variações na posição longitudinal deaproximadamente 90◦. O período das oscilações é o do modo fugóide e elas são poucoamortecidas. O gráfico da figura 16.4 representa a posição do centro de massa do aviãonu referencial centrado no sistema de eixos de estabilidade do estado estacionário (eque se desloca com velocidade (u0,0,0) relativamente à Terra). Pode observar-se quequando o avião desce, a sua velocidade aumenta, enquanto que quando ele sobe a suavelocidade diminui. O mesmo se pode observar na figura 16.5, em que se mostra avariação da velocidade longitudinal total uE , comparando-a com a variação na altitudedo avião. Como o modo é pouco amortecido, esta conversão entre energia cinética epotencial e feita mantendo a energia mecânica total do avião aproximadamente cons-tante. Esta constatação está na base da aproximação mais simples ao modo fugóide, aaproximação de Lanchaster, que veremos mais à frente.

145

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15

x - t u0

z

Figura 16.4: Modo fugóide: posição do centro de massa do avião no referencial doestado estacionário.

16.3.3 Modo período curto

Com os dados da tabela 16.4 pode-se obter a evolução temporal de cada uma dasvariáveis dinâmicas longitudinais no modo de período curto:

∆u = αinicial × 0.0065 e−4.45t cos(

2.82t − 37.7◦π

180

)α = αinicial e−4.45t cos(2.82t)

q = αinicial × 0.0564 e−4.45t cos(

2.82t + 129.8◦π

180

)∆θ = αinicial × 0.0107 e−4.45t cos

(2.82t − 17.8◦

π180

)Na figura 16.6 esta mesma evolução é representada de forma gráfica. Pode-se constatarque o modo fugóide apresenta variações grandes do ângulo de ataque α, e variaçõesdesprezáveis da velocidade angular de picada q e do ângulo de picada θ. A variaçãoda velocidade longitudinal ∆u é também desprezável e toma valores tão pequenos quenem foi representada na figura.

As equações da trajectória podem obter-se de forma semalhante à descrita para omodo fugóide. Na figura 16.7 apresenta as variações da posição em xE e zE relativa-mente ao estado estacionário. As variações na posição longitudinal são desprezáveis,tal como as variações na velocidade longitudinal representadas na figura 16.8. As úni-cas variações importantes são da altitude do avião, mas as oscilações são fortementeamortecidas, como é próprio deste modo.

146

50 100 150 200t

66.5

67.0

67.5

68.0

uE

50 100 150 200t

-10

-5

5

zE

Figura 16.5: Variação da velocidade longitudinal total uE para o modo fugóide,comparando-a com a variação na altitude do avião, já mostrada na figura 16.3. Indica-se a velocidade do estado estacionário, u0 = 67.08 m/s.

147

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5t

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Θ

q

Α

Figura 16.6: Oscilações das variáveis dinâmicas no modo de período curto.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5t

-0.0012

-0.0010

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

xE - t u0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5t

-2

2

4

6

8

10-zE

Figura 16.7: Variações da posição em xE e zE relativamente ao estado estacionário nomodo de período curto, para o exemplo do Cessna 182.

148

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5t

67.05

67.10

67.15

67.20uE

Figura 16.8: Variações da velocidade longitudinal uE relativamente ao estado estacio-nário no modo de período curto, para o exemplo do Cessna 182.

Resumo dos modos fugóide e de período curto

O modo fugóide pode ser visto como oscilações da velocidade longitudinal a ângulode ataque constante, com um longo período e pouco amortecido.

Podemos considerar o modo de período curto como variações do ângulo de ataquea velocidade constante, com um período curto e muito amortecido.

16.4 Modos longitudinais aproximados

Nesta secção procuraremos deduzir expressões aproximadas para os modos longi-tudinais. Estas expressões facilitam os cálculos para a obtenção dos valores próprios,embora isso seja pouco importante nos dias de hoje. Além disso, permitem percebermais facilmente quais são os factores mais importantes que determinam os valores doperíodo e factor de amortecimento de cada modo e permitem mais facilmente variaros parâmetros na fase de projecto preliminar.

16.4.1 Modo fugóide aproximado

Como vimos, o modo fugóide caracteriza-se por oscilações de ∆u com pequenavariação de α, q e ∆θ.

Aproximação de Lanchester

A aproximação mais simples ao modo fugóide foi desenvolvida por Lanchaster logono início do séc. XX.

Usando eixos de estabilidade, vamos admitir que

• αT = 0

• α = 0

149

• T = DTendo em conta que L ⊥ V e por isso não realiza trabalho e que T = D, pelo que o

trabalho das forças tangenciais não conservativas se anula, conlcui-se que a única forçaque produz trabalho (peso) é conservativa e que nesta aproximação há conservaçãoda energia.

A origem do referencial FE é definida de modo que V = u0 quando zE = 0 (isto é, aaltitude de referência é a correspondente ao estado estacionário). Pela conservação deenergia mecânica,

E = 12mV 2 −mgzE = cte = 1

2mu2

0 ⇒ V 2 = u20 + 2gzE. (16.27)

Mas, como α = 0, CL = CL0 = CW0 . Note-se que q é pequeno e não afecta CL. Então,

L = 12ρV 2SCW0 =

12ρu2

0SCW0 +12ρ2gzESCW0 = W + kzE (16.28)

em que se define k = (ρSgCW0).A equação do movimento segundo z pode escrever-seW −L cosθ =mzE . Dado que

no modo fugóide as oscilações ∆θ são desprezáveis, θ� 1, pelo que

W − L =mzE ⇒ W − (W + kzE) =mzEObtém-se uma equação de movimento harmónico simples

mzE + kzE = 0, (16.29)

para oscilações verticais de frequência

ω =√km. (16.30)

Pela conservação de energia conclui-se que há também oscilações em V = u0 +∆u.O período das oscilações é

T = 2πω= 2π

√mk= 2π

√m

ρSgCW0

.

Usando CW0 =mg/(12ρu

20S), obtém-se finalmente

T = π√

2u0

g. (16.31)

O período depende apenas de u0! Não depende nem das características da aeronave,nem de ρ (e portanto da altitude).

Para verificarmos até que ponto a aproximação de Lanchester dá resultados fiáveis,comparemos o valor do período obtido usando esta aproximação com o valor exactoobtido anteriormente para o Cessna 182:

• Texacto = 37 s,

• Taprox = 30.3 s.

Conclui-se que a aproximação de Lanchaster permite obter valores razoávelmenteaproximados para o período (o erro é inferior a 20%), mas não há amortecimento dasoscilações. Necessitamos, pois, de outra aproximação que nos permita determinar deforma aproximada o factor de amortecimento.

150

Modo fugóide: outra aproximação

Para esta aproximação vams usar uma abordagem diferente: partimos das equaçõesdo movimento para pequenas perturbações e fazemos as aproximações directamentenas equações do movimento de modo a obter sistemas de ordem inferior à inicial.

As aproximações que iremos fazer decorrem das características do modo fugóide:q e ∆theta são pequenos e podem ser desprezados nas equações. Além disso, comoo estado estacionário é um voo horizontal, θ0 = 0. Omitindo os termos de controlo, asequações para o movimento longitudinal são:

∆u = Xum∆u+ Xw

mw +−g cosθ0︸ ︷︷ ︸

≈1

∆θ

w = Zum∆u+ Zw

mw + Zw

mw︸ ︷︷ ︸

≈0

+ Zqmq︸ ︷︷ ︸

≈0

−g sinθ0︸ ︷︷ ︸≈0

∆θ +u0q

q︸︷︷︸≈0

= ∆MIy≈ 1Iy(Mu∆u+Mww)

∆θ = q

Com as aproximações indicadas anteriormente, e escrevendo as equações na formamatricial, temos

∆u

w

0

∆θ

=

Xum

Xwm 0 −g

Zum

Zwm u0 0

Mu Mw 0 0

0 0 1 0

∆u

w

q

∆θ

Este sistema de equações diferenciais ordinárias pode ser resolvido de forma análogaao sistema completo. Admitindo soluções na forma x = x0eλt ⇒ x = λx, obtém-se

∆u = λ∆u,w = λw,∆θ = λ∆θ,

e substituindo nas equações anteriores vem

λ∆u

λw

0

λ∆θ

=

Xum

Xwm 0 −g

Zum

Zwm u0 0

Mu Mw 0 0

0 0 1 0

∆u

w

q

∆θ

⇒

Xum − λ

Xwm 0 −g

Zum

Zwm − λ u0 0

Mu Mw 0 0

0 0 1 −λ

∆u

w

q

∆θ

= 0.

(16.32)

151

A equação característica para o modo fugóide aproximado é∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Xum − λ

Xwm 0 −g

Zum

Zwm − λ u0 0

Mu Mw 0 0

0 0 1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0,

e daqui se deduz

(−u0Mw)︸ ︷︷ ︸A

λ2 +[gMu +

u0

m(MwXu −MuXw)

]︸ ︷︷ ︸

B

λ+[gm(MwZu −MuZw)

]︸ ︷︷ ︸

C

= 0. (16.33)

Obtemos portanto uma equação característica que é de 2ª ordem, o que mostra que osistema aproximado é também de 2ª ordem. Note-se que a equação se pode escrever

Aλ2 + Bλ+ C = 0 ⇒ λ2 + BAλ+ C

A= 0.

Num sistema de 2ª ordem, a frequência natural e factor de amortecimento de ummodo oscilante podem obter-se facilmente a partir da equação característica. Se λ1 =n+ iω e λ∗1 = n− iω são soluções de

λ2 + (B/A)λ+ (C/A) = 0,

então

(λ− λ1)(λ− λ∗1 ) = 0⇒ (λ− (n+ iω)) (λ− (n− iω)) = 0

⇒ λ2 − 2nλ+ (n2 +ω2) = 0

⇒ λ2 + 2ζωnλ+ω2n = 0

Uma vez que n = −ζωn e ωn = (n2 +ω2), conclui-se com facilidade que

ω2n =

CA, (16.34)

2ζωn =BA

(16.35)

A frequência natural e factor de amortecimento para o modo fugóide aproximadopodem determinar-se usando A, B e C definidos na equação (16.33), obtendo-se

ω2n = −

gmu0

(Zu −

ZwMw

Mu), (16.36)

ζ = −12

[gmu0

(ZwMw

Mu − Zu)]−1/2 [ gMu

u0Mw+ 1m

(Xu −

MuXuXw

)]. (16.37)

Para muitas aeronaves e situações de voo é possível fazer ainda a aproximaçãoMu = 0.Nesse caso, os valores para a frequência natural e o factor de amortecimento são dados

152

por

ω2n = −

gZumu0

, (16.38)

ζ = −12

[− gZumu0

]−1/2 Xum= −Xu

2

√− u0

mgZu. (16.39)

Note-se que, se Czu ≈ 0, e com θ0 = 0,

Zu = −ρu0SCW0 cosθ0 +12ρu0SCzu = −ρu0SCW0

A frequência natural será nesta aproximação dada por

ω2n = −

g(−ρu0SCW0)mu0

= 2g2

u20⇒ ωn =

√2gu0.

Note-se que recuperamos a aproximação de Lanchester para o período:

Tn =2πωn

=√

2πu0

g.

Desprezando as derivadas em ordem a u:

• Para jactos com propulsão constante: CTu = −2CT0 .

• Por outro lado, CT0 ≈ CD0

• Cxu ≈ CTu = −2CT0 = −2CD0

• Supondo θ0 = 0, Xu = 1/2ρu0SCxu = −ρu0SCD0

• Zu = −ρu0SCW0 = −ρu0SCL0

ζ = −Xu2

√− u0

mgZu= 1√

2CD0

CL0

ζ ∼ 1L/D

Na tabela 16.5 comparam-se os valores exactos obtidos para o período e o factorde amortecimento do modo fugóide com os valores obtidos para a aproximação deLanchester e a segunda aproximação feita. Neste caso Cmu = 0 (cfr. tabela 16.2), peloque se usaram as expressões (16.38) e (16.39). Em ambas as aproximações o valordo período é semelhante e apresenta um erro relativo inferior a 20% relativamente aovalor exacto. O factor de amortecimento só pode ser calculado mediante a segundaaproximação, e o valor obtido tem um erro relativo da ordem dos 14%. Isto mostra queestas aproximações são razoáveis desde que não seja necessário grande precisão, casoem que se devem usar as expressões exactas.

153

Tabela 16.5: Comparação entre as aproximações e o valor exacto para o modo fugóide

Factor dePeríodo (T ) amortecimento (ζ)

Valor exacto 37.0 s 0.129Aproximação de Lanchester 30.4 s —Aproximação «melhor» 30.6 s 0.111

16.4.2 Modo de período curto aproximado

O estado estacionário corresponde a um voo horizontal, pelo que θ0 = 0.O modo de período curto caracteriza-se por ∆u ≈ 0. Por isto ignorar-se-á a equação

em x, que determina a evolução de ∆u. Admitir-se-á ainda que Zw �m ⇒ (m−Zw) ≈m e também que Zq �mu0 ⇒ (Zq +mu0) ≈mu0.

As equações para o movimento longitudinal (omitindo os termos de controlo) são

∆u =Xum∆u+ Xw

mw +−g cosθ0∆θ ← equação ignorada

w = Zum− Zw

∆u︸︷︷︸≈0

+ Zwm− Zw︸ ︷︷ ︸≈Zw/m

w +

(mu0 + Zq

)m− Zw︸ ︷︷ ︸≈u0

q − mg sinθ0

m− Zw︸ ︷︷ ︸≈0 (θ0≈0)

∆θ

q = 1Iy

[(Mu +

MwZum− Zw

)∆u︸︷︷︸≈0

+(Mw +

MwZwm− Zw︸ ︷︷ ︸MwZw/m

)w +

(Mq +

Mw(mu0 + Zq)m− Zw︸ ︷︷ ︸Mwu0

)q

− Mwmg sinθ0

m− Zw︸ ︷︷ ︸≈0 (θ0≈0)

∆θ]

∆θ =qCom as aproximações indicadas a 2ª e a 3ª equações dependem apenas dew e q e suasderivadas. Desta forma, obtém-se o sistema de equações:w

q

=

Zwm u0

1Iy

[Mw + MwZw

m

]1Iy

[Mq +Mwu0

]wq

,cuja equação característica é∣∣∣∣∣∣∣

Zwm − λ u0

1Iy

[Mw + MwZw

m

]1Iy

[Mq +Mwu0

]− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Desenvolvendo o determinante, obtém-se:

λ2−[Zwm+ 1Iy

(Mq +Mwu0

)]︸ ︷︷ ︸

B

λ− 1Iy

[Mwu0 −

ZwmMq]

︸ ︷︷ ︸C

= 0.

154

Tabela 16.6: Comparação entre os valores exactos e aproximados obtidos para o modode período curto.

λ T (s) ζ t1/2 (s) N1/2

Exacto −4.45295± 2.82492i 2.2242 0.844 0.156 0.07Aproximado −4.49906± 2.8647i 2.1933 0.8435 0.154 0.07

De (16.34) e de (16.35) com A = 1, obtém-se

ωn =√C =

√− 1Iy

(Mwu0 −

ZwmMq), (16.40)

ζ = B2√C=

Zwm +

1Iy

(Mq +Mwu0

)2√

1Iy

(Mwu0 − Zw

mMq) . (16.41)

As expressões (16.40) e (16.41) são válidas se o período curto for um modo oscilatório.Nesse caso as soluções da equação

λ2 + Bλ+ C = 0 (16.42)

são um par de raízes complexas conjugadas, e como o modo é oscilatório existe ωne ζ. No entanto, para certos valores das derivadas (16.42) pode ter duas raízes reais.Nesse caso não há modo(s) oscilatório(s), não há ωn nem ζ e é necessário calcular asraízes da equação.

Na tabela 16.6 apresentam-se os resultados obtidos por intermédio da aproxima-ção acima e comparam-se com os valores exactos anteriormente obtidos para o modode período curto. Os resultados da aproximação são muito satisfatórios neste caso.Geralmente esta aproximação de período curto dá resultados muito aproximados dovalor exacto para uma grande gama de aeronaves e de condições de voo.

16.5 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática

A estabilidade dinâmica pressupõe estabilidade estática. Podemos usar os critériosde estabilidade dinâmica para recuperar os critérios de estabilidade estática.

Para existir estabilidade dinâmica é necessário que a parte real das raizes da equa-ção característica seja negativa. A equação característica é, como vimos, det(A− λI) =Aλ4 + Bλ3 + Cλ2 +Dλ+ E = 0.

Pelo critério de Routh, uma das condições de estabilidade é E > 0. Mas E obtém-sedo polinómio característico fazendo λ = 0, pelo que E = det A. Supondo que o voo éhorizontal, θ0 = 0. Faremos ainda a simplificação adicional de admitir que Zw e Zq são

155

desprezáveis. Então,

E = det A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Xum

Xwm 0 −g

Zum

Zwm u0 0

1Iy

(Mu + MwZu

m

)1Iy

(Mw + MwZw

m

)1Iy

(Mq +Mwu0

)0

0 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= gmIy

[ZuMw − ZwMu] .

A condição de estabilidade dinâmica implica então que

E = gmIy

[ZuMw − ZwMu] > 0⇒ ZuMw − ZwMu > 0.

Mas, tendo em conta que

Zu = −ρu0SCW0 + (1/2)ρu0SCzu ,Zw = (1/2)ρu0SCzα ,Mu = (1/2)ρu0cSCmu ,Mw = (1/2)ρu0cSCmα ,

a condição de estabilidade é

(Czu − 2CW0)Cmα − CmuCzα > 0.

Se Czu ≈ 0 ≈ Cmu , a condição acima é apenas

−2CW0Cmα > 0 ⇒ Cmα < 0. (16.43)

Obtemos assim uma das condições de estabilidade estática como consequência dascondições necessárias e suficientes para estabilidade dinâmica.

16.6 Modos laterais

A determinação dos modos laterais de uma aeronave faz-se da mesma forma quepara os modos longitudinais: começa-se por calcular as derivadas dimensionais (co-nhecidas as adimensionais), em seguida calculam-se os elementos da matriz A (nestecaso, a matriz para as equações do movimento lateral) e determinam-se as soluções daequação característica, que são os valores próprios de A; finalmente, para cada valorpróprio determina-se o respectivo vector próprio (a menos de uma constante multipli-cativa).

A equação do movimento para pequenas perturbações, na ausência de controlo, éx = Ax. No caso de modos laterais, o vector de estado é x = [v p r φ]T e a matriz dosistema é dada por (16.2).

156

Tabela 16.7: Derivadas adimensionais laterais (por radiano)

Cy Cl Cnβ -0.393 -0.0923 0.0587p -0.075 -0.484 -0.0278r 0.214 0.0798 -0.0937

Tal como no caso de modos longitudinais, supõe-se que a solução da equação domovimento é da forma x = x0eλt e, substituindo na equação, obtém-se

λx0 = Ax0 ⇒ (A− λI) = 0

Logo, x0 são os vectores próprios da matriz A do sistema e λ são os valores própriosda matriz, obtidos pela equação característica

det(A− λI) = 0.

Como exemplo, vamos em seguida determinar os modos laterais de um Cessna 182.

16.6.1 Exemplo: modos laterais de um Cessna 182

Vamos determinar os modos laterais de um Cessna 182 que se encontra na mesmasituação de voo para o qual se calcularam os modos longitudinais, isto é, em voohorizontal a 5000 ft, com velocidade u0 = 67.08m/s (Ma = 0.201).

As características geométricas do Cessna 182 estão resumidas na tabela 16.1. Natabela 16.7 apresentam-se as derivadas adimensionais da força lateral e do momentode rolamento e de guinada em ordem a β, p e r .

As derivadas dimensionais laterais, calculadas no Sistema Internacional, são:

Yv =12ρu0SCyβ = −224.9

Yp =14ρu0SbCyp = −235.5

Yr =14ρu0SCyr = 671.99

Lv =12ρu0SbClβ = −579.67

Lp =14ρu0Sb2Clp = −16676.8

Lr =14ρu0Sb2Clr = 2749.6

Nv =12ρu0SbCnβ = 368.6

Np =14ρu0Sb2Cnp = −957.88

Nr =14ρu0Sb2Cnr = −3228.54

157

Tabela 16.8: Características de cada modo

Modo Período (s) t1/2 (s) N1/2

Espiral — 39.1 —Rolamento — 0.053 —Rolamento holandês 1.967 1.03 0.525

Usando as derivadas acima, determinam-se todos os termos da matriz do sistema,

A =

−0.1872 −0.1960 −67.27 9.81

−0.4511 −12.978 2.1398 0

0.13827 −0.3593 −1.211 0

0 1 0 0

,

calculada em SI. A equação característica det(A − λI) = 0 conduz a uma equação qua-drática:

λ4 + 14.3764λ3 + 28.3543λ2 + 139.089λ+ 2.45636 = 0.

Mais uma vez podemos recorrer aos critérios de estabilidade, e como

E = 2.45636 > 0,

R = D(BC −AD)− B2E = 36843.8 > 0,

concluimos que todos os modos vão ser estáveis.As raízes da equação características são os valores próprio de A:

λ1 = −0.0177239 s−1 (modo espiral)

λ2 = −13.018 s−1 (modo de rolamento)

λ3,4 = −0.670368± 3.19323 i (s−1) (rolamento holandês)

Na tabela 16.8 apresentam as características dos modos laterais correspondentes. Doisdos valores próprios são reais e são negativos, pelo que os modos correspondentes sãoestáveis. O modo correpondente à raiz mais perto da origem é chamada de modo espi-ral e o outro modo é chamado de modo de rolamento, por razões que veremos mais àfrente. Os outros dois valores próprios constituem um par de raízes complexas conju-gadas, e o modo correspondente é oscilante. Como a parte real destas raízes é negativa,este modo, habitualmente chamado de rolamento holandês, é também estável.

Os vectores próprios x0 são as soluções da equação (A − λI)x0 = 0 e são deter-minados a menos de uma constante multiplicativa. Na tabela 16.9 apresentam-se osresultados obtidos para os vectores próprios correspondentes aos modos laterias doCessna 182, considerando que o valor mais elevado é unitário. A análise das soluçõesobtidas permite determinar as características típicas dos modos laterais.

158

Tabela 16.9: Vectores próprios laterais obtidos para o Cessna 182

Espiral Rolamento Rolamento holandês

Módulo Fase

β = v 1 0.22004 1 0ºp -0.0149 1 0.035 178.2ºr 0.12038 0.02785 0.046 -80.5ºφ 0.84249 -0.0768 0.0107 76.3º

ψ -83.049 -0.0262 0.849 99.5º

0 50 100 150 200t

20

40

60

80

ÈΦÈ

ÈΒÈ

ÈΨÈ

Figura 16.9: Modo espiral: variação dos ângulos de guinda, derrapagem e prancha-mento.

159

50 100 150 200t

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r

p

Β

Figura 16.10: Modo espiral: variáveis dinâmicas

16.6.2 Características típicas de cada modo

Modo espiral

A figura 16.9 representa a variação dos ângulos de guinada, derrapagem e prancha-mento no modo espiral do Cessna 182, obtidos a partir da tabela 16.9. Constata-sefacilmente que o ângulo de guinada tem a variação mais importante, como se podeconfirmar fazendo a razão entre os ângulos β : φ : ψ = 1 : 0.84 : −83. O modo espiralé caracterizado por ter derrapagem «pequena» e ângulo de rolamento «pequeno», peloque é uma banked turn com raio variável.

As variáveis importantes para determinação das forças e momentos aerodinâmicossão β, p e r , que estão representadas graficamente para o modo espiral na figura 16.10.Da tabela 16.9 vem β : p : r = 1 : −0.0149 : 0.120. Ora, β já tinha módulo «pequeno»(comparado com ψ). Conclui-se portanto que todas as variáveis dinâmicas envolvidastêm intensidade pequena e que por isso o modo é «fraco», com constantes de tempograndes. Se for estável, o modo espiral converge lentamente; se for instável, o modoespiral diverge lentamente.

As equações para a trajectória (flight path) relevantes para modos laterais são

∆xE = ∆u cosθ0 +w cosθ0 −uo∆θ sinθ0 (16.44)

∆yE = u0ψ cosθ0 + v (16.45)

Para o modo espiral,

ψ = (ψ)inicial eλS t

v = u0β =(βψ

)(ψ)inicial eλSt

e supondo que ∆u = 0 = w e θ0 = 0, obtém-se ∆xE = 0, donde xE = u0t. Por outrolado,

yE =u0

(βψ

)(ψ)inicial

λSeλSt

160

0 10 20 30 40 50y0

20

40

60

80

100

120

140

x�100

Figura 16.11: Trajectória no modo espiral, no exemplo do Cessna 182 e com ângulo deguinada inicial ψ0 = 20º.

A trajectória no modo espiral do Cessna 182, em que o valor próprio é λS =−0.0177239 s-1 e supondo um ângulo de guinada inicial de ψ0 = 20º, está repre-sentada na figura 16.11 para os primeiros 180 s. Neste exemplo este modo é estável,pelo que se observa uma lenta aproximação do avião à trajectória não perturbada, istoé, com yE = 0 (note-se a diferença de escalas nas abcissas e nas ordenadas).

Convergência de rolamento

O modo de rolamento tem um valor próprio real e habitualmente negativo e com va-lor absoluto grande (a constante de tempo associada, τ = −1/λ é pequena). É por issoum modo estável, com grande atenuação, e é chamado de convergência de rolamento.

A partir da tabela 16.9 determinam-se facilmente as relações entre ângulos, β : φ :ψ = 0.22 : −0.0768 : −0.026 e entre variáveis dinâmicas, β : p : r = 0.220 : 1 : 0.0278.Estas relações estão representadas na figura 16.12. Verifica-se que o modo de rola-mento é caracterizado aproximadamente por derrapagem «pequena» e um ângulo evelocidade angular de guinada «pequenos». A principal variável é a velocidade angularde rolamento, o que justifica o nome dado ao modo.

A componente mais importante para as forças aerodinâmicas é Clp p (e é estabili-zadora porque Clp < 0). A contribuição de Clr r é desprezável. Assim, este modo éestável, e com constantes de tempo pequenas (normalmente muito atenuado).

Modo de rolamento holandês

O terceiro modo do exemplo do Cessna 182 é uma oscilação lateral e correspondeao modo conhecido como dutch roll.

161

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r

Ψ

p

Β

Φ

Figura 16.12: Modo de rolamento: representação da evolução temporal das variáveisdinâmicas e dos ângulos de pranchamento e guinada.

2 4 6 8 10t

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Ψ

r

p

Φ

Β

Figura 16.13: Variáveis dinâmicas no modo de rolamento holandês.

162

-4 -2 0 2 4y

2

4

6

8

10x�100

Figura 16.14: Modo dutch roll: trajectória

Na figura 16.13 pode ver-se a evolução temporal das variáveis dinâmicas e dos ân-gulos de pranchamento e de guinada. Embora neste exemplo β seja a variável predomi-nante, como se pode confirmar na tabela 16.9, habitualmente no modo de rolamentoholandês todas as variáveis dinâmicas têm ordem de grandeza semelhante e contri-buem para o movimento.

A figura 16.14 representa a trajectória seguida pelo centro de massa do avião noexemplo em estudo para o modo de rolamento holandês. Observa-se que a trajectó-ria seguida é oscilatória, mas centrada em torno de yE = 0. Isso mesmo é confir-mado se notarmos que β e ψ estão aproximadamente em oposição de fase, e portanto∆yE = u0ψ cosθ0 + v ≈ 0. O centro de massa do avião segue por isso uma trajectóriaaproximadamente rectilínea.

Na figura 16.15 apresenta-se um gráfico paramétrico da variação de φ e ψ, a quecorresponde o movimento da ponta da asa do avião. Neste exemplo as oscilações emφ são muito menores que as oscilações em ψ, mas observa-se que a ponta da asavai descrevendo uma elipse cada vez mais apertada, com oscilações amortecidas deamplitude cada vez menor.

O movimento de um avião no modo de rolamento holandês está esquematizado nafigura 16.16.

163

-40 -30 -20 -10 10 20100 Φ

-30

-20

-10

10

20Ψ

Figura 16.15: Modo dutch roll: gráfico paramétrico da variação de φ e ψ (movimentoda ponta da asa).

Figura 16.16: Movimento esquemático de um avião no modo de rolamento holandês.(Fonte: Nelson)

164

16.7 Modos laterais aproximados

Como se sabe, a matriz do sistema (para modos laterais) é dada por

A =

Yvm

Ypm

(Yrm −u0

)g cosθ0(

LvI′x + I

′zxNv

) (LpI′x + I

′zxNp

) (LrI′x + I

′zxNr

)0

(I′zxLv + Nv

I′z

) (I′zxLp +

NpI′z

) (I′zxLr + Nr

I′z

)0

0 1 tanθ0 0

Para simplificar a escrita das expressões vamos usar a seguinte notação:

Yv =Yvm

(16.46)

Yp =Ypm≈ 0 (16.47)

Yr =Yrm−u0 (16.48)

Lv =LvI′x+ I′xyNv (16.49)

Lp =LpI′x+ I′xyNp (16.50)

Lr =LrI′x+ I′xyNr (16.51)

Nv = I′xyLv +NvI′z

(16.52)

Np = I′xyLp +NpI′z

(16.53)

Nr = I′xyLr +NrI′z

(16.54)

A matriz A pode então escrever-se como

A =

Yv 0 Yr g cosθLv Lp Lr 0Nv Np Nr 00 1 tanθ 0

Tendo em conta que

A− λI =

Yv − λ 0 Yr g cosθ

Lv Lp − λ Lr 0Nv Np Nr − λ 00 1 tanθ −λ

,a equação característica do sistema completo, no caso de modos laterais, é dado por

det(A− λI) = λ4 + Bλ3 + Cλ2 +Dλ+ E = 0, (16.55)

165

em que os coeficientes do polinómio são definidos por

B = −Lp −Nr − Yv ,C = −LrNp +LpNr −NvYr +LpYv +NrYv ,D = −LvNpYr +LpNvYr +LrNpYv −LpNrYv − gLv cosθ − gNv sinθ,E = g(LvNr cosθ −LrNv cosθ −LvNp sinθ +LpNv sinθ).

16.7.1 Aproximação para o modo espiral

No modo espiral a raíz real está perto da origem (λS � 1). Por isso, na equaçãocaracterística podemos desprezar os termos em λ2, λ3 e λ4, obtendo

Dλ+ E = 0 ⇒ λS = −ED

Note-se que o termo (LrNp −LpNr )Yv pode ser desprezado em

D = (−LvNp +LpNv)Yr + (LrNp −LpNr )Yv − g(Lv cosθ +Nv sinθ)

e Yr ≈ −u0. Logo podemos fazer a aproximação

D ≈ (LvNp −LpNv)u0 − g(Lv cosθ +Nv sinθ)

e obter então a raiz aproximada do modo espiral:

λS = −(LvNp −LpNv)u0 − g(Lv cosθ0 +Nv sinθ0)

g(LvNr cosθ0 −LrNv cosθ0 −LvNp sinθ0 +LpNv sinθ0)(16.56)

Se o estado estacionário corresponde a um voo horizontal, em que θ0 = 0, e expressãoanterior simplifica-se:

λS = −(LvNp −LpNv)u0 − gLv cosθ0

g cosθ0(LvNr −LrNv)(16.57)

Aplicando esta aproximação ao exemplo do Cessna 182, obtém-se

λS(exacto) = −0.0177239 s−1

λS(aprox) = −0.0176542 s−1

concluindo-se que esta é neste caso uma boa aproximação para o modo espiral. Estaconclusão é habitualmente válida: esta aproximação do modo espiral conduz habitu-almente a resultados muito próximos do valor exacto obtido por cálculo dos valorespróprios da matriz total do sistema.

O modo espiral é com frequência instável. Habitualmente isso não causa dificulda-des no voo, porque este é um modo lento e não é difícil ao piloto efectuar as correcçõesnecessárias. No entanto, interessa usar os critérios de estabilidade para determinarcondições a verificar caso se pretenda que o modo seja estável. Como se referiu atrás,uma condição necessária para a estabilidade no caso de uma equação característica de4ª ordem, como (16.55), é E > 0:

E = g[(LvNr −LrNv) cosθ + (LpNv −LvNp) sinθ)

]> 0

166

Substituindo na equação acima as expressões para os termos (16.46) a (16.54) e asexpressões para as derivadas de estabilidade obtemos a condição de estabilidade:

(ClβCnr − ClrCnβ) cosθ0 + (ClpCnβ − ClβCnp) sinθ0 > 0. (16.58)

No caso em que o estado estacionário é um voo horizontal, θ0 = 0 e a condiçãosimplifica-se:

ClβCnr − ClrCnβ > 0. (16.59)

16.7.2 Aproximação para o modo de rolamento

Modo de rolamento: aproximação 1

No modo de rolamento a principal variável dinâmica é p. É um movimento quaseunidimensional de rolamento em torno de x. Por isso, uma aproximação é considerarv = 0 = r . A 2ª equação do sistema é então

p = Lpp. (16.60)

Logo, o valor próprio para o modo de rolamento nesta aproximação é

λR = Lp =LpI′x+ I′xyNp. (16.61)

Comparando com o valor exacto anteriormente obtido para o exemplo do Cessna 182,esta aproximação, apesar de muito simples, dá resultados bastante aproximados:λR(aprox) = −12.9783 s−1

λR(exacto) = −13.018 s−1

No entanto, noutros casos os resultados não são tão satisfatórios e é necessáriorecorrer a outras aproximações.

Aproximação para os modo de rolamento e espiral

Nesta aproximação pretende-se encontrar um sistema de 2ª ordem cujas raízessejam os valores próprios correspondentes aos modos espiral e rolamento.

As hipóteses em que esta aproximação se baseia para simplificar as equações domovimento são as seguintes:

• a força lateral devida à gravidade produz a mesma taxa de guinada r que existiriacom β = 0

• Yp e Yr são desprezados

• θ0 = 0

Usando estas hipóteses, a equação

v = Yvmv + Yp

mp +

(Yrm−u0

)r + g cosθ0φ

reduz-se a−u0r + g cosθ0φ = 0. (16.62)

167

Logo, o sistema de equações é:

0 = −u0r + gφp = Lvv +Lpp +Lrrr = Nvv +Npp +Nrr

φ = p

Na forma matricial, escreve-se0prφ

=

0 0 −u0 gLv Lp Lr 0Nv Np Nr 00 1 0 0

vprφ

(16.63)

A equação característica é∣∣∣∣∣∣∣∣0 0 −u0 g

Lv (Lp − λ) Lr 0Nv Np (Nr − λ) 00 1 0 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (16.64)

que se pode escrever como uma equação de 2ª grau,

Cλ2 +Dλ+ E = 0, (16.65)

sendo os coeficientes de (16.65) dados por

C = u0Nv (16.66)

D = u0(LvNp −LpNv)− gLv (16.67)

E = g(LvNr −LrNv) (16.68)

Comparando os resultados exactos para o exemplo do Cessna 182 com os obtidoscom este modo «rolamento + espiral» e com as aproximações anteriores, temos, parao modo espiral,

λS(exacto) = −0.0177239 s−1

λS(aprox. S) = −0.0176542 s−1

λS(aprox. S+R) = −0.0181258 s−1

e para o modo de rolamento,

λR(exacto) = −13.018 s−1

λR(aprox. R) = −12.9783 s−1

λR(aprox. S+R) = −14.6094 s−1

Ambas as raízes aproximadas têm valores próximos dos exactos. Em geral esta apro-ximação (S+R) dá resultados aceitáveis para ambos os modos. Neste exemplo estaaproximação não melhora os resultados anteriores.

168

16.7.3 Modo de rolamento holandês aproximado

Este modo é difícil de aproximar porque todas as variáveis são importantes. Noentanto, tendo em conta que no exemplo do Cessna 182 as variáveis com menor am-plitude eram p e φ, podemos introduzir as seguintes hipóteses na simplificação dasequações:

• movimento de guinada/derrapagem sem rolamento (movimento «plano»), comp = 0 = φ

• equação do rolamento ignorada

• Yr desprezável

As equações do movimento são então

v = Yvmv + Yp

mp︸︷︷︸≈0

+(Yrm−u0

)︸ ︷︷ ︸

−u0

r + g cosθ0 φ︸︷︷︸≈0

p =(LvI′x+ I′zxNv

)v +

(LpI′x+ I′zxNp

)p +

(LrI′x+ I′zxNr

)r ← equação ignorada

r =(I′zxLv +

NvI′z

)v +

(I′zxLp +

NpI′z

)p︸︷︷︸≈0

+(I′zxLr +

NrI′z

)r

φ = p + tanθ0 r

Com as aproximações anteriores, obtemos o sistema aproximadov = Yv

mv −u0r

r =(I′zxLv +

NvI′z

)v +

(I′zxLr +

NrI′z

)r

ou, usando (16.46), (16.52) e (16.54),{v = Yvv −u0rr = Nvv +Nrr

(16.69)

A equação característica do sistema aproximado é

λ2 − (Yv +Nr )λ+ (YvNr +u0Nv) = 0. (16.70)

A comparação para o exemplo do Cessna 182 dos valores próprios exactos parao modo de rolamento holandês com as raízes de (16.70) encontra-se na tabela 16.10.Constatamos que neste caso esta aproximação é razoável tanto para período como parafactor de amortecimento. Note-se, no entanto, que frequentemente esta aproximaçãonão dá valores aceitáveis para o factor de amortecimento.

Uma aproximação para o factor de atenuação que por vezes dá melhores resultadosbaseia-se no seguinte resultado: «Num sistema de ordem N , o coeficiente de λN−1 daequação característica é dado pela soma das partes reais das raízes da equação.»

169

Tabela 16.10: Valores próprios, período e N1/2 exactos e aproximados para o modo derolamento holandês.

λDR T (s) N1/2 (ciclos)

Valor Exacto −0.670368± i3.19323 1.97 0.525Aproximação −0.699063± i3.00234 2.09 0.47

Ora, da matriz completa do sistema obtemos:

2nDR + λR + λS = Yv +Lp +Nr

nDR =12

[Yv +Lp +Nr − (λR + λS)

]Para encontrar uma expressão para (λR + λS) pode-se usar a aproximação espiral +rolamento:

Cλ2 +Dλ+ E = 0⇒ λR + λS = −D/C.Daqui obtemos que

λR + λS = Lp −LvNp

Nv− gLv

u0Nv,

e vem finalmente

nDR =12

[Yv +Nr +

Lv

Nv

(Np −

gu0

)].

Nalguns casos esta aproximação para nDR fornece melhores resultados que a anterior,embora não no exemplo do Cessna 182.

16.8 Efeito do Vento nos Modos Longitudinais

O vento pode influenciar a dinâmica de uma aeronave de várias formas, especial-mente se existe turbulência atmosférica ou se o vento apresenta gradientes espaciais.Entre estes incluem-se as correntes verticais ascendentes (térmicas), os downbursts eos gradientes devido à camada limite atmosférica.

No que se segue abordar-se-á apenas o caso de um voo horizontal na camada limiteatmosférica.

16.8.1 Camada limite atmosférica

Supomos que o vento é horizontal, isto é, que no referencial FE fixo na Terra ~W sótem componente horizontal. na camada limite atmosférica a variação da velocidadedo vento com a altitude tem a forma W = khn, em que W é a velocidade do vento,h é altura acima do solo e k e n são constantes que dependem das características doterreno.

170

16.8.2 Equações do movimento para pequenas perturbações na pre-sença de vento

O estado estacionário é o definido na secção 14.1, isto é, um voo horizontal niveladocom velocidade u0. Assim, u0 = v0 = w0 = 0, p0 = q0 = r0 = 0, v0 = 0, θ0 = 0 e φ = 0.Além disso, supomos sem perda de generalidade que ψ0 = 0. Usaremos um sistemade eixos de estabilidade, pelo que w0 = 0, ou seja, αx = 0 no estado estacionário.

A diferença relativamente ao caso tratado no capítulo 14 é que agora a velocidadedo vento não é nula. Assim, as equações linearizadas (14.12), (14.15), e (14.23) depen-dem agora da velocidade relativa à Terra e não apenas do velocidade relativa ao ar. Asequações (14.18) e (14.20) permanecem iguais. O sistema de equações no referencialdo avião é agora

∆X −mg∆θ =m∆uE

∆Z =m(wE − quE0)∆M = Iy q∆θ = q∆zE = wE −uE0∆θ

(16.71)

A última equação é importante porque as velocidades relativas a FE dependem davelocidade do vento e este depende da altitude, e portanto da coordenada zE . Defacto,

~VE = ~V + ~W ⇒

uE = u+W E

x

vE = v +W Ey

wE = w +W Ez

Como a velocidade do vento depende da altitude, temos,Wi = Wi(zE). No caso vertentesupomos que o vento é horizontal, o que implica W E

z = 0. O vento lateral W Ey não é

relevante para as equações longitudinais (16.71) e podemos admiti-lo nulo sem perdade generalidade dado que o estado estacionário é um voo simétrico, sem derrapageme nivelado. Logo, no referencial da terra,

~W E = (W(zE),0,0). (16.72)

Se a posição vertical da aeronave no estado estacionário está definida por zE0 ese durante a fase de voo em consideração zE não varia muito relativamente a zE0 ,podemos desenvolver W(zE) em série de Taylor e tomar apenas o termo linear:

W(zE) = W0 +dWdze

∆zE = W0 + Γ ∆zE, (16.73)

em que W0 = W(zE0) e

Γ ≡ dWdze

. (16.74)

No referencial fixo na Terra, a velocidade do vento é então

~WE =W0

0

=W0 + Γ∆zE

00

,

171

e no referencial do avião é

~WB = LBE ~WE =W cosθ

0W sinθ

= W0 + Γ∆zE

0(W0 + Γ∆zE)∆θ

≈W0 + Γ∆zE

0W0∆θ

. (16.75)

16.8.3 Novas equações do movimento para pequenas perturbações

Usando (16.75) podemos escrever

uE = ddt[u+Wx] =

ddt[(u0 +∆u)+ (W0 + Γ∆zE)] = ∆u+ Γ∆zE (16.76)

wE = ddt[w +Wz] =

ddt[w + (W0∆θ)] = w +W0∆θ (16.77)

Substituindo (16.76) na primeira equação de (16.71) e (16.77) na segunda e na quintaequações de (16.71), obtém-se

∆X −mg∆θ =m(∆u+ Γ∆zE)∆Z =m(w +W0∆θ − quE0)∆M = Iy q∆θ = q∆zE = (w +W0∆θ)−uE0∆θ = w + (W0 −uE0)∆θ

Mas uE0 = u0 +W0 ⇒ W0 −uE0 = −u0, pelo que se pode simplificar o sistema:

∆X −mg∆θ =m(∆u+ Γ∆zE) =m[∆u+ Γ(w −u0∆θ)]

∆Z =m(w +W0∆θ − quE0) =m(w − qu0)∆M = Iy q∆θ = q∆zE = w + (W0 −uE0)∆θ = w −u0∆θ

Conclui-se que o sistema de equações pode escrever-se como

∆Xm− Γw − (g − Γu0)∆θ = ∆u

∆Zm+ qu0 = w

∆MIy= q

q = ∆θ

(16.78)

Comparando estas equações com (14.12), (14.15), (14.18) e (14.20), constata-se quea única diferença ocorre na primeira equação: o 2º termo é novo e no 3º termo apareceuma parcela adicional. Continuando como no capítulo 14, chega-se a um novo sistema

172

de equações diferenciais em que a única diferença relativamente ao sistema (14.21) éo aparecimento dos termos referidos acima. Logo, o novo sistema de equações é

∆u

w

q

∆θ

=

Xum

(Xwm − Γ

)0 (−g + Γu0) cosθ0

Zum−Zw

Zwm−Zw

(mu0+Zq)m−Zw

mg sinθ0m−Zw

1Iy

(Mu + MwZu

m−Zw

)1Iy

(Mw + MwZw

m−Zw

)1Iy

(Mq +

Mw (mu0+Zq)m−Zw

) −Mwmg sinθ0Iy (m−Zw )

0 0 1 0

∆u

w

q

∆θ

Nota: omitiu-se o vector das variáveis de controlo nas equações acima.

Alterações na dinâmica da aeronave

As contribuições explícitas do vento nos modos longitudinais são apenas as indica-das. No entanto, existem muitas alterações à dinâmica longitudinal devidas ao gradi-ente de vento que não estão explícitas e que se devem à variação da pressão dinâmicaquando a aeronave altera a sua atitude. Alguns exemplos dessas alterações são

• se α varia e a cauda desce, a velocidade na cauda diminui, e Lt diminui, donde|Cmα| diminui.

• se φ ≠ 0 e a asa direita desce, L(dir) diminui e L(esq) aumenta o que provoca umaparecimento de Clφ e Cnφ .

• etc.

Excluindo as contribuições implícitas, a única alteração que se verifica é na matrizdo sistema para o movimento longitudinal. A matriz é semelhantes, com as alterações:

Xwm

→(Xwm− Γ

)−g →

(−g + Γu0

)Logo, para os modos longitudinais aproximados podemos afirmar que

• o modo de período curto não é afectado pelo gradiente de vento,

• o modo fugóide é afectado pelo gradiente de vento, bastando usar os novostermos da matriz na determinação das raízes da equação características ou dafrequência natural e do factor de amortecimento.

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