Função afimcomo modelo da vida real

Esta apresentação refere-se à “Função afim como modelo da vida real”, conteúdo de Matemática B. Pode ser utilizada por alunos para revisão mas especialmente por professores. Tem como pré-requisitos todos os conceitos relacionados com o conceito de função: domínio, contradomínio, objecto, imagem, ... (provavelmente, estes conceitos terão que ser relembrados através de exercícios, mas optei nesta apresentação por não o fazer). Inicio esta apresentação pela definição de função afim, estudando depois o seu comportamento. Depois de resolver um exemplo de utilização desta função num contexto de vida real, deixo dois exercícios para serem resolvidos. Acrescentar ainda, que esta apresentação foi pensada para 2 blocos de 90 minutos, tendo utilizado o livro referido no exemplo que deixo aqui e nos exercícios que ficam para resolver. Os gráficos apresentados, foram todos feitos utilizando o software Graph, que pode ser facilmente encontrado na Internet.

Introdução:

A função afim como modelo de situações da vida real

Comecemos por relembrar:

Rectas: A expressão dada por:

trata-se duma recta horizontal paralela ao eixo dos xx.

Observação: As rectas verticais não representam uma função.

Antes de prosseguir e para os alunos: caso não se recordem do conceito de função, consultem o manual do 8º ano de escolaridade.

Uma função afim é uma função do tipo: Portanto A recta horizontal é um caso particular de função afim. (m=0 ), aliás a função afim é uma recta.

Função afimEstudo

m>0 m<0

Tal num caso como noutro, a função (recta) passa na origem. Continuando com este exemplo: E se m for zero?

Expressão analítica

m é o declive da recta em relação ao eixo dos xx, b é a ordenada na origem.Fazendo b=0 temos:

Função afimEstudo (continuação)

y=x

y=x+2

y=-x

y=-x+2

m>0 (m=1)b>0 (neste caso b=2)Neste caso a função

“sobe”, sendo paralela à função y=x .

m<0 (m=-1)b>0 (neste caso b=2)

Neste caso a função “sobe”, sendo paralela à função y=-

x.

O que acontecerá se

b<0?

Agora que em Portugal estamos com tanto frio é até apropriado. Exemplo:Às 08h00min a temperatura era de -5ºC e a relva do jardim estava

coberta de neve.Com o decorrer do dia, à medida que a neve foi derretendo a temperatura foi subindo, como se mostra no gráfico seguinte.

a. Defina, por uma expressão analítica, a função f. Calcule a temperatura às 17h00min.

b. A partir de que momento é que a temperatura é superior a 1ºC? Observação: Apresente a resposta em horas e minutos.

Adaptado da página 10 do livro de Matemática B (parte 1) da Porto Editora 2005

f

A

B C

D

ResoluçãoQueremos definir f por uma expressão analítica.Ora, observando o gráfico de f vemos que temos de definir a função por 3 ramos. Cada um destes corresponde a um segmento de recta.a)

1813 ,5

104

5

8

1311 ,0

118 ,3

55

3

5

)(

xsex

xse

xsex

xf

Declive de uma retaO declive mede a inclinação de uma recta face ao eixo dos xx. Basta escolher dois pontos de coordenadas A(x1,y1) e B(x2,y2) e utilizar a seguinte fórmula :

Num caso e noutro, calculou-se a equação

reduzida da recta. O segundo ramo é zero,

pois o declive é nulo (recta horizontal).

Terceiro ramo da função

Resolução (cont):

1813 ,5

104

5

8

1311 ,0

118 ,3

55

3

5

)(

xsex

xse

xsex

xfb)

Expressão analítica: Domínio: Contradomínio:Zeros (se existirem): A função é nula para x=0.

Expressão analítica: Domínio: Contradomínio: Zeros (se existirem): Não tem.

f

g

Das funções representadas abaixo diga (Resolução):

Expressão analítica:Domínio: Contradomínio:Zeros (se existirem):

Função quadrática

h

Mais tarde será estudada a função quadrática, sendo depois introduzida a regressão quadrática.

Exercício 1A Helena e o Pedro saíram de casa às 10hoo para um passeio de bicicleta, mas optaram por caminhos diferentes, como está representado no gráfico abaixo.Qual dos dois irmãos chegou primeiro a casa?Represente por uma expressão analítica, as funções f e g. Em que momento os dois irmãos estiveram à mesma distância de casa? Apresente o resultado em horas e minutos.

Adaptado da página 24 do livro de Matemática B (parte 1) da Porto Editora 2005

Pedro

Helena

Distância(km)

Tempo (horas)

f

g

Exercício 2

O Tiago sai de casa às 8 horas. A uma velocidade constante de 10 km/h anda 15 minutos e, em seguida, pára durante igual período de tempo.Regressa a casa a uma velocidade constante de 18 km/h.Represente gráfica e analiticamente uma função que descreva esta viagem.

Adaptado da página 25 do livro de Matemática B (parte 1) da Porto Editora 2005

A seguir será introduzida a regressão linear,……………………