ESPAÇOS MÉTRICOS E

ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

Nuno C. Freire e M. F. Veiga

Setembro 2010

ISBN 989-20-2175

i

PrefácioA aplicação da Matemática, em que se consideram unicamente conceitos

abstractos ao estudo da realidade Física, reflecte como o pensamento humano émoldado à existência material.

Em Topologia obtem-se uma Teoria relativa aos conceitos de figura, pelacaracterização da forma_ Figuras que podem obter-se uma da outra por umadeformação continuada são chamadas homeomorfas; homeomorfismo é umconceito fundamental em Topologia; e distinguem-se figuras formadas por "um só"ou "vários bocados"_ E de número, pela formulação geral rigorosa do conceito delimite. Assim em particular a Topologia é fundamental em Análise Matemática.

Já da Antiguidade se recolhem os Elementos de Euclides, um primeiroexemplo de uma Teoria Axiomática. Esta obtem-se na dedução de propriedadesfeita a partir de outras e uma propriedade só é aceite como verdadeira_UmTeorema da Teoria_ Se foi demonstrada ou seja, se ficou provado que éconsequência lógica de propriedades anteriores. Indispensável é assim a LógicaMatemática; esta assenta na distinção entre os valores lógicos Verdadeiro e Falso,e tem como Princípios fundamentais a não contradição (uma proposição não podeser simultaneamente Verdadeira e Falsa) e o terceiro excluído (dada umaproposição, esta é Verdadeira ou é Falsa, não podendo dar-se outro caso). E aTeoria de Conjuntos, que dá corpo rigoroso a toda a Matemática, que teveavanços notáveis no séc. XIX. Este livro é inicialmente concebido como um textopara o estudante que lhe dá chão seguro para proseguir em Análise e, de formageral para todo o Curso. A matéria é exposta na forma de exercícios resolvidos,recolhida de obras consagradas. Sugere-se ao leitor que vá seguindo asresoluções para de seguida, pouco a pouco, procurar por si resolver recorrendoquando necessário a uma solução exposta. Inicia com uma abordagem intuitiva deTeoria de Conjuntos e noções básicas de Lógica Matemática no Cap. I.Aconselha-se a leitura atenta deste Capítulo. Da experiência de um dos Autores, oAproveitamento é muito melhor quando se começa pelos Espaços Métricos,expostos no Cap. II; assim se facilita o processo de abstracção. Np Cap. IIItrata-se a Topologia Geral. As matérias são desenvolvidas de modo a queexcedem um Curso habitual de Topologia de um Semestre. Nomeadamente oCap. IV não terá cabimento nesse âmbito. Para o estudo da Topologia incluímosno Cap. III o esboço de uma Axiomática rigorosa de Teoria de Conjuntos, baseadana Axiomática de Bernays-Gödel-von Neumann que é adoptada pelo texto dereferência [Dugundji]. Numa primeira abordagem (quiçá inevitavelmente para umprimeiro Curso) é suficiente o Cap. I. Motivados pelo interesse no tema,apresentamos desenvolvimentos possivelmente apropriados para pós-graduação.São indicadas referências bibliográficas para o aprofundamento em Topologia, queesperamos possam ser úteis para Colegas interessados.

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ÍNDICE

Prefácio ..................................................................................................i

I RELAÇÕES, CONJUNTOS E FUNÇÕES .......................................1I.1 Relações numa variável e conjuntos ...............................................2I.2 Relações binárias e funções .......................................................... 21I.3 Axioma de Zermelo e produto cartesiano infinito

Operação de Hilbert .......................................................... .............25I.4 Funções associadas de conjuntos de uma função ........ .......... .... 26I.5 Relações de equivalência e relações de ordem ............ .............. 29I.6 O conjunto N. Noções de cardinalidade ......................... .............. 36I.7 Filtros e ultrafiltros. Redes ..............................................................47I. 8 Exercícios e complementos ............................................................ 54

Bibliografia do Capítulo I ................................................................ 57

II ESPAÇOS MÉTRICOS ................................................................ 58II.1 Desigualdades de Cauchy-Schwarz, Hölder e Minkowski .............59II.2 Distância num conjunto. Espaço métrico.

Sucessões convergentes .............................................................. 61II.3 Vizinhanças de um ponto num espaço métrico ............................. 72II.4 Métricas equivalentes .....................................................................75II.5 Topologia de um espaço métrico .................................................. 80II.6 Topologia de subespaço métrico. Separabilidade ......................... 97II.7 Condições de cardinalidade em espaços métricos ...................... 103II.8 Limite de uma função entre espaços métricos num ponto

e continuidade ..............................................................................111II.9 Métricas sobre o produto cartesiano de espaços métricos ......... 126II.10 Espaços métricos completos. Categoria ................................ ....130II.11 Separação em espaços métricos ................................................143II.12 Compacidade em espaços métricos ...........................................144II.13 Conjuntos conexos em espaços métricos .................................. 154II. 14 Exercícios e complemantos ................................................ .... 161

Bibliografia do Capítulo II ...................................................... ... 164

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III ESPAÇOS TOPOLÓGICOS .................................................................165III.1 Uma axiomática da teoria de conjuntos..

Números ordinais e números cardinais ...................................................166III.2 Espaço topológico e base de uma topologia .........................................178III.3 Vizinhanças de um ponto .......................................................................185III.4 Subespaços topológicos ........................................................................ 188III.5 Conjuntos fechados. Definição da topologia pelo operador de fecho ....190III.6 Conjuntos notáveis associados a um conjunto no espaço topológico ...192III.7 Convergência no espaço topológico .....................................................197III.8 Limites e continuidade .......................................................................... 201III.9 Separação ............................................................................................ 210III.10 Topologia produto e topologia ccociente.

Espaços completamente regulares.Obtenção de topologias ...................................................................... 221

III.11 Compacidade .......................................................................................239III.12 Conjuntos conexos ...............................................................................257III. 13 Exercícios e complementos .................................................................268

IV METRIZABILIDADE ..............................................................................270IV.1 Espaços topológicos metrizáveis separáveis .......................................271IV.2 Teoremas complementares ................................................................. 275IV.3 Exercícios e complementos ................................................................. 280

Bibliografia dos Capítulos III, IV ........................................................... 283

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I RELAÇÕES, CONJUNTOSE FUNÇÕES

-2-I.1 RELAÇÕES NUMA VARIÁVEL E CONJUNTOS

Uma relação Rx numa variável x ∈ U (x pertence a U) é uma expressão em quefiguram palavras da linguagem comum, acrescidas ou não de sinais ou símbolosmatemáticos, que se transforma numa afirmação (proposição) para cada valor atribuido àvariável x, percorrendo o conjunto U. Neste Cap. I não distinguimos entre os conceitos decolecção ou classe de entes, e o conjunto que constituem; o que é tema de III.1. em queexpomos uma teoria axiomática de conjuntos, a que seguimos neste livro. Podem ocorrernuma Teoria matemática, relações numa variável x, que envolvam apenas símbolosmatemáticos e a variável x.

Sempre que não é claro no contexto, deve indicar-se expressamente o conjunto devalores que se considera para a variável, escrevendo Rx x ∈ U.

I.1.1 Exemplos (1) Rx ≡ x é divisível por 3 x ∈ N é uma relação em x,considerada para x variando no conjunto dos números naturais N 1,2, . . .;

(2) Rx ≡∣ x ∣ 1 x ∈ R é uma relação na variável x percorrendo o conjunto Rdos números reais;

(3) Rz ≡∣ z ∣ 1 z ∈ C é uma relação em C, o conjunto dos númeroscomplexos;

(4) Rp ≡ p ∈ Q p ∈ N0 é uma relação na variável p, onde p varia no conjuntodos inteiros não negativos N0 (Q representa o conjunto dos números racionais).

I.1.2 Observações (1) A cada conjunto dado A, podemos associar a relaçãocorrespondente x ∈ A, que é uma relação na variável x. No entanto, uma relação numavariável pode não definir nenhum conjunto. Aceitamos os princípios do terceiro excluido eda não contradição (uma proposição é verdadeira ou é falsa, e não pode ser verdadeira efalsa simultaneamente) da Lógica Clássica, e conclui-se facilmente que a relação x ∉ x nãodefine nenhum conjunto: se A é o conjunto dos elementos x tais que x ∉ x, suponhamosA ∈ A; então A ∉ A, de modo que não pode ser A ∈ A, pelo princípio da não contradição.Pelo princípio do terceiro excluído, deve ter-se portanto A ∉ A; mas então A ∈ A, peladefinição do conjunto A, o que não pode ser, de novo pelo princípio da não contradição.

(2) O aluno já terá distinguido que expressões como "x ∉ x" , "x ∈ x" , serão”absurdas”. Esta última, por exemplo porque uma vez conceptualizado um conjunto X, háque distinguir o conjunto dos elementos que lhe pertencem, e que são exactamente osobjectos que satisfazem a relação x ∈ X. Deste modo deve escrever-se 1 ∈ 0,1,4 nolugar de 1 ∈ 0,1,4, ∈ em vez de ∈ ; em ambos os casos, se X é um conjuntoformado por elementos a,b,u, escrevemos X a,b,u por exemplo. (A relaçãoRx ≡ x ∈ x ∈ N não é ”absurda”, recorde-se, mas uma relação impossível pois não éverificada por nenhum número natural). Questões como estas inserem-se na Teoria daLógica Matemática aprofundada, e neste curso aceitaremos tacitamente axiomas deregularidade (numa Teoria Matemática, aceitam-se como verdadeiras certas hipóteses semnecessidade de demonstração, que se chamam axiomas), que dão lugar aos conceitos enotações habituais em Teoria dos Conjuntos.

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I.1.3 Substituições numa relaçãoSe Rx x ∈ U é uma relação em x, e c ∈ U, diz-se que a proposição Rc é obtida

por substituição da variável x pela constante c

I.1.4 Os valores lógicos V,FSegundo os princípios do terceiro excluido e da não contradição, a cada proposição P

corresponde ou o valor lógico V, se a proposição é verdadeira, ou o valor lógico F, se éfalsa; e não pode ocorrer um terceiro caso. Para simplificar, escreve-se P V, P Frespectivamente no primeiro (segundo) caso.

I.1.5 Exercício Em cada um dos exemplos (1),...,(4) anteriores, determine o valorlógico das proposições R4 e R1. (Note que 1,4 pertencem ao conjunto relativo àvariável em cada exemplo).

Resolução(1) R1 F. R4 F.(2) R1 ≡∣ 1 ∣ 1 V. R4 ≡∣ 4 ∣ 1 4 1 F.(3) R1 ≡∣ 1 ∣ 1 V. R4 ≡∣ 4 ∣ 1 4 1 F.(4) R1 ≡ 1 ∈ Q 1 ∈ Q V. R4 ≡ 4 ∈ Q 2 ∈ Q V.

I.1.6 Formação de novas relações e tabelas de verdadeSendo Rx,Sx duas relações numa variável x percorrendo um mesmo conjunto U,

então para cada substituição de x por uma constnte c ∈ U a proposição Rc ou Sc podenão significar o mesmo que Rc, nem que Sc. A proposição Rc ou Sc, ou maisgeralmente R ou S, em que R,S são quaisquer proposições, designa-se por R ∨ S, neste casoRc ∨ Sc. Uma vez que podemos considerar a proposição Rc ∨ Sc para cada valor daconstante c tomada em U, faz sentido considerar a relação Rx ∨ Sx x ∈ U.Analogamente, dadas Rx,Sx, ambas relações em x ∈ U pode considerar-se a relaçãoRx e Sx, que se representa por Rx ∧ Sx. E assim como dada uma proposição Rpodemos considerar a sua negação, que notamos ~R, a negação da relação Rx x ∈ U é arelação ~Rx x ∈ U, sendo ~Rc a negação da proposição Rc, para cada substituiçãoda variável x pela constante c fixada em U. Importante é também saber se uma relação Rximplica uma relação Sx, para a variável x tomando valores em U. Isto é verdade sse(abreviatura de ”se e só se”) para cada substituição da variável x por um elemento c ∈ U, asproposições obtidas Rc, Sc respectivamente verificam Rc Sc isto é, se sempreque se dá Rc V então tem-se Sc V; escreve-se neste caso Rx Sx x ∈ U.Rx,Sx são equivalentes quando Rx Sx e reciprocamente Sx Rx, nota-seentão Rx Sx. Frequentemente, interessa ter informação sobre o valor lógico de umaproposição, ou de uma relação numa variável, obtida a partir de outras por utilização dossímbolos lógicos ∨,∧, ~,, não apenas no caso em que a proposição obtida é verdadeira(ou a proposição obtida por substituições numa relação), para estudar um problema; paraisso utilizam-se as tabelas de verdade do cálculo proposicional, que indicam a variação dosvalores lógicos.

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I.1.7 Tabelas de verdade da disjunção, conjunção, negação, implicação eequivalência

P Q P ∨ Q P ∧ Q ~P P Q P QV V V V F V VV F V F F F FF V V F V V FF F F F V V V

I.1.8 Exemplos (1) Sabendo-se que uma disjunção P ∨ Q V, e que P F, podeinferir-se pela observação da tabela, que Q V;

(2) Se soubermos que uma implicação P Q é verdadeira (i.e, P Q V, eportanto se verifica o caso da 1ª linha, ou os casos da 3ª ou 4ª linhas da tabela de verdade),e que o consequente Q da implicação é Q F, podemos concluir que P F pelaobservação da tabela.

I.1.9 Observação As tabelas de verdade aplicam-se também a relações, indicando-seo conjunto em que se considera a variável. Para uma relação Rx x ∈ U, põe-seRx V x ∈ A se Rc V para cada subtituição da variável por qualquer constantec ∈ A ⊂ U. Por exemplo x2 0 x ∈ R é falsa, e x2 0 x ∈ R\0 é verdadeira.Também x2 1 x 1 x ∈ R é falsa, e x2 1 x 1 x ∈ R0

é verdadeira, ondeR0 é o conjunto dos números reais não negativos. Para significar que duas relações

Rx,Sx x ∈ U têm o mesmo valor lógico (i.e., para cada substituição da variável poruma constante c, as proposições Rc,Sc têm o mesmo valor lógico, Rc Sc),escreve-se Rx Sx. Por exemplo as relações em x ∈ N, Rx ≡ x é divisível por 4, eSx ≡ x é divisível por 2 ,verificam Rx ∨ Sx Sx, Rx ∧ Sx Rx. Diz-se queas proposições R,S (respectivamente as relações em x, Rx,Sx) são equivalentes sseR S (respectivamente Rx Sx)

I.1.10 Exemplo Dadas quaisquer proposições R,S, as tabelas de verdade de R S ede ~R ∨ S mostram que R S ~R ∨ S:

R S ~R R S ~R ∨ S R S ~R ∨ SV V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

Uma proposição que assume sempre o valor lógico V diz-se uma tautologia. AssimR S ~R ∨ S é uma tautologia. R ∨ S S ∨ R, R ∧ S S ∧ R são tautologias

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I.1.11 Exercícios (1) Verifique usando uma tabela de verdade, que ~ ~R R é umatautologia.

(2) Mostre que são tautologias, utilizando tabelas de verdade:(i) R R ∨ S;(ii) R ∧ S R;(iii) R S R S ∧ S R;(iv) R T ∧ S T R ∨ S T;(v) H T ~T ~H;(vi) R S ∧ R T R S ∧ T.(vii) R S ~R ∨ S.(3) Utilizando o exercício anterior, pode concluir que se R,S 0 são

relações na variável ∈ R, onde R é o conjunto dos números reais positivos, então asimplicações

(i) R R ∨ S e (ii) R ∧ S R são verdadeiras? Porquê?(4) Sendo x0 ∈ a,b A ⊂ R, 0,(i) determine o maior subconjunto E de R tal que R ≡ x0 − ,x0 ⊂ A é

verdadeira, com x0 ab2 , para todo o ∈ E.

(ii) indique um valor de x0 tal que, para qualquer 0, sejam verdadeirassimultãneamente x0 − ,x0 ∩ A ≠ , x0 − ,x0 ∩ Ac ≠ . (Ac R\A é oconjunto complementar de A em R).

Resolução(1) R ~R ~ ~R

V F VF V F

Uma vez que R, ~ ~R assumem sempre o mesmo valor lógico, conclui-se que~ ~R R é uma tautologia.

(2)(i) R S R ∨ S R R ∨ S

V V V VV F V VF V V VF F F V

(ii) R S R ∧ S R ∧ S RV V V VV F F VF V F VF F F V

-6-(iii) R S R S R S S R R S ∧ S R

V V V V V VV F F F V FF V F V F FF F V V V V

Uma vez que os valores lógicos nas 3ª e última coluna coincidem, conclui-se atautologia.

(iv) R S T R ∨ S R T S T R T ∧ S T R ∨ S TV V V V V V V V

V V F V F F F FV F V V V V V VV F F V F V F FF V V V V V V VF V F V V F F FF F V F V V V VF F F F V V V V

Uma vez que sempre que o antecedente R T ∧ S T na penúltima coluna éverdadeiro, também o consequente R ∨ S T na última coluna é verdadeiro, concluimosque a implicação R T ∧ S T R ∨ S T é verdadeira.

(v) H T ~H ~T H T ~T ~HV V F F V VV F F V F FF V V F F FF F V V V V

Uma vez que os valores lógicos de H T, ~T ~H coincidem nas 5ª e 6ª colunascoincidem, conclui-se que H T ~T ~H.

(vi) R S T S ∧ T R S R T R S ∧ R T R S ∧ TV V V V V V V VV V F F V F F FV F V F F V F FV F F F V V V VF V V V V V V VF V F F V V V VF F V F V V V VF F F F V V V V

Coincidindo os valores lógicos nas duas últimas colunas, conclui-se a equivalência.(vii) R S ~R R S ~R ∨ S R S ~R ∨ S

V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

-7-(3) Sim, porque para cada substituição de por uma constante 0, as implicações

R0 R0 ∨ S0 e R0 ∧ S0 R0 são verdadeiras ((2),(i),(ii)).(4) (i) O maior valor de para o qual ab

2 − , ab2 ⊂ a,b é o maior 0 tal

que ab2 − ≥ a ∧ ab

2 ≤ b 0 ≤ ab2 − a b−a

2 ∧ ≤ b−a2 ; é portanto b−a

2 .Conclui-se 0, b−a

2 .(ii) x0 a.

I.1.12 Cálculo Proposicional e obtenção de conjuntos.Dados conjuntos X,Y definidos respectivamente por relações Rx,Sx, obtêm-se

X Y x : Rx ∨ Sx x : x ∈ X ∨ x ∈ Y (”x :” leia-se ”x tal que”),X ∩ Y x : Rx ∧ Sx x : x ∈ X ∧ x ∈ Y eY\X x : Sx ∧ ~Rx x ∈ Y : x ∉ X, onde x ∉ Y significa ~x ∈ Y. Se seconsideram todos os conjuntos, como subconjuntos de um mesmo conjunto universal U,nota-se apenas Xc no lugar de U\X.

Mais geralmente, se A1, . . . ,An são conjuntos, a reunião (resp. intersecção) finita dosconjuntos Ak k 1, . . . ,n é o conjunto Ak (resp. Ak) definido por

k ∈ Sn k ∈ Sn

Ak x : x ∈ A1 ∨. . .∨x ∈ Ank ∈ Sn

( Ak x : x ∈ A1 ∧. . .∧x ∈ An)k ∈ Sn

Para cada n ∈ N, Sn é a secção de índice n de N, Sn 1, . . . ,n.

I.1.13 Observação De I.1.11 (1) concluimos que se A é um subconjunto de umconjunto universo U, tem-se Acc U.

I.1.14 Exemplos (1) N0 0,1,2, . . . N 0.(2) Se k ∈ N, representa-se kN0 0,k, 2k, 3k, . . ., e para cada p ∈ N,

kN p k p, 2k p, 3k p, . . .. Com k 3, obtem-se 3N0 p N, 3N0 p .p ∈ S3 p ∈ S3

I.1.15 Definição Se X ≠ ,Y ≠ , o par ordenado x,y (x ∈ X,y ∈ Y) pode definir-secomo sendo o conjunto x,x,y x,y. Obtem-se então o conjunto produto cartesianode X por Y, X Y x,y : x ∈ X,y ∈ Y. O produto cartesiano X X representa-setambém por X2. De modo análogo, sendo X1, . . . ,Xm conjuntos não vazios, m ∈ N,define-se o produto cartesiano

X1 . . .Xm k1m Xk x1, . . . ,xm : xk ∈ Xk,k 1, . . . ,m

Nota-se X1 . . .Xm Xm se Xk X k 1, . . . ,m, para cada m ∈ N2, onde N2 2,3, . . ..

Exemplos (1) O plano cartesiano real é o produto cartesiano R2.(2) i,−1,−i, 1 ∈ C4, onde C é o plano complexo.

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I.1.16 Exercícios (1) Mostre que dados conjuntos não vazios A,B,C,D tem-se:(i) A C D A C A D; (ii) A B C A C B C (iii)

A C ∩ D A C ∩ A D; (iv) A ∩ B C ∩ D A ∩ C B ∩ D.(2) Mostre que se R,S são proposições, a) verificam-se as leis de De Morgan:~R ∨ S ~R ∧ ~S e ~R ∧ S ~R ∨ ~S são tautologias. (Utilize uma tabela de

verdade grande); b) se P,A,B são proposições,(i) P ∧ A ∧ B P ∧ A ∧ P ∧ B; (ii) P ∧ A ∨ B P ∧ A ∨ P ∧ B;

c) verifique também utilizando uma tabela deverdade, que pode trocar-se em b) (i), (ii) ∧ ∨ obtendo outras equivalências.

d) Conclua de b) e a) que se P,R,S sãoproposições, então (i) P ∧ ~R ∨ S P ∧ ~R ∧ P ∧ ~S;

(ii) P ∧ ~R ∧ S P ∧ ~R ∨ P ∧ ~S.

(3) Determine : (i) 4N0 p (ii) 4N0 p (iii) 2N ∩ 4N.p ∈ S4 p ∈ S4

(4) Determine as intersecções, e interprete graficamente:(i) x,x2 : x ∈ R ∩ x,x4 : x ∈ R0

;(ii) x, 2x 1 : x ∈ R ∩ x,x2 : x ∈ R;(iii) x,x3 : x ∈ R ∩ x,x : x ∈ R0

;(iv) eit : t ∈ 0,2 ∩ z ∈ C : Rez Imz, onde Rez x, Imz y para

z x iy ∈ C.

Resolução(1) (i) x,y ∈ A C D x ∈ A ∧ y ∈ C D x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ y ∈ D

x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ x ∈ A ∧ y ∈ D x,y ∈ A C ∨ x,y ∈ A D x,y ∈ A C A D;

(ii)x,y ∈ A B C x ∈ A B ∧ y ∈ C x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ y ∈ C

x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ x ∈ B ∧ y ∈ C x,y ∈ A C ∨ x,y ∈ B C x,y ∈ A C B C;

(iii) x,y ∈ A C ∩ D x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ y ∈ D x ∈ A ∧ y ∈ C ∧x ∈ A ∧ y ∈ D x,y ∈ A ∩ C A ∩ D;

(iv) x,y ∈ A ∩ B C ∩ D x ∈ A ∩ B ∧ y ∈ C ∩ D x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ y ∈ C ∧ y ∈ D x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ x ∈ B ∧ y ∈ D x,y ∈ A ∩ C B ∩ D.

-9-2 a)R S ~R ~S R ∨ S R ∧ S ~R ∨ S ~R ∧ ~S ~R ∧ S ~R ∨ ~SV V F F V V F F F FV F F V V F F F V VF V V F V F F F V VF F V V F F V V V VComo os valores lógicos das colunas 7ª e 8ª (resp. 9ª e 10ª) coincidem, concluem-se

as leis de De Morgan.b)(i) P A B A ∧ B P ∧ A P ∧ B P ∧ A ∧ B P ∧ A ∧ P ∧ B

V V V V V V V VV V F F V F F FV F V F F V F FV F F F F F F FF V V V F F F FF V F F F F F FF F V F F F F FF F F F F F F F

Coinicidindo as duas últimas colunas, conclui-se a equivalência(ii) P A B A ∨ B P ∧ A ∨ B P ∧ A P ∧ B P ∧ A ∨ P ∧ B

V V V V V V V VV V F V V V F VV F V V V F V VV F F F F F F FF V V V F F F FF V F V F F F FF F V F F F F FF F F F F F F F

Como a 5ª coluna coincide com a última, conclui-se a equivalência.c) P A B A ∨ B P ∨ A P ∨ B P ∨ A ∨ B P ∨ A ∨ P ∨ B

V V V V V V V VV V F V V V V VV F V V V V V VV F F F V V V VF V V V V V V VF V F V V F V VF F V V F V V VF F F F F F F F

Uma vez que as duas últimas colunas coincidem, concluimos a equivalênciaP ∨ A ∨ B P ∨ A ∨ P ∨ B.

-10-A equivalência restante é P ∨ A ∧ B P ∨ A ∧ P ∨ B:P A B A ∧ B P ∨ A ∧ B P ∨ A P ∨ B P ∨ A ∧ P ∨ BV V V V V V V VV V F F V V V VV F V F V V V VV F F F V V V VF V V V V V V VF V F F F V F FF F V F F F V FF F F F F F F FComo a 4ª e a última coluna coincidem, conclui-se a equivalência.d) (i) Fazendo A ≡ ~R e B ≡ ~S, concluimos de 1 a) e b) (i) que

P ∧ ~R ∨ S P ∧ ~R ∧ ~S P ∧ A ∧ B P ∧ A ∧ P ∧ B P ∧ ~R ∧ P ∧ ~S, desde que provemos que se P1 P2 então P ∧ P1 P ∧ P2.Determinando então as tabelas de verdade:

P P1 P2 P ∧ P1 P ∧ P2V V V V VV V F V FV F V F VV F F F FF V V F FF V F F FF F V F FF F F F FVerifica-se que quando P1, P2 têm o mesmo valor lógico, nas 1ª, 4ª, 5ª e última

linhas, também P ∧ P1, P ∧ P2 assumem o mesmo valor lógico. Ou seja: se P1 P2, entãotambém P ∧ P1 P ∧ P2.

(ii) Utilizando o resultado provado em (2) b) (i) P1 P2 P ∧ P1 P ∧ P2,(uma vez sabido que uma implicação P Q é verdadeira, podemos utilizar este resultado,e designá-lo escrevendo P Q directamente), obtemos de (1) a), b) (ii):

P ∧ ~R ∧ S P ∧ ~R ∨ ~S P ∧ A ∨ B P ∧ A ∨ P ∧ B P ∧ ~R ∨ P ∧ ~S, como queríamos.

(3) (i) Para cada p 1,2,3,4, tem-se: 4N0 p é o conjunto dos números naturais,cujo resto da divisão por p 1,2,3 é p, e zero para p 4. Uma vez que cada númeronatural verifica pelo menos um destes casos, obtem-se (i) 4N0 p N.

p ∈ S4Como nenhum número natural verifica dois destes casos simultãneamente, tem-se

também (ii) 4N0 p .p ∈ S4

-11-(iii) Sendo todo o múltiplo de 4 um múltiplo de 2, tem-se 2N ∩ 4N 4N.(4)(i) O par ordenado x,y pertence à intersecção dos dois conjuntos sse a ordenada y é

da forma y x2 x4, onde x ∈ R, x 0. A única raiz real positiva de x2 x4 sendox 1, concluimos que a intersecção é o conjunto 1,1.

(ii) Para x ∈ R, tem-se 2x 1 x2 x2 − 2x − 1 0 x 2 22 ; deste modo a

intersecção procurada é 2 − 22 , 5 − 2 , 2 2

2 , 5 2 .(iii) 0,0, 1,1.(iv) eit cos t i sin t verifica cos t sin t 0 ≤ t 2 sse t

4 ∨ t 54 , portanto

a intersecção procurada é 22 i 2

2 ,− 22 − i 2

2 .

I.1.17 Axiomas da selecção e da extensão e inclusão de conjuntos.

I.1.18 Axioma da selecçãoA relação Rx na variável x define um conjunto A se existe um conjunto E tal que

Rx x ∈ E. Põe-se então A x : Rx.

I.1.19 Inclusão de conjuntosSe X,Y são conjuntos, pomos X ⊂ Y sse a implicação x ∈ X x ∈ Y é verdadeira.

Diz-se então que X é um subconjunto de Y. Em particular, tem-se sempre X ⊂ X.

I.1.20 Axioma da extensãoSendo Rx, Sx relações numa variável satisfazendo o axioma da selecção,

A x : Rx, B x : Sx, tem-se A B sse Rx Sx.

I.1.21 Observações (1) Destes dois axiomas, o axioma da extensão parece ”óbvio”mas é aceitando-os em Teoria dos conjuntos, que podemos utilizar os conceitos intuitivoshabituais, lidando com conjuntos e relações. Em particular, resulta deste último axioma e dadefinição de inclusão de conjuntos, que dados conjuntos A,B, tem-seA B A ⊂ B ∧ B ⊂ A. (as tabelas de verdade mostram imediatamente que, dadasproposições P,Q, tem-se P Q P Q ∧ Q P).

-12-(2) Notando que o conjunto vazio pode ser definido por qualquer relação impossível,

por exemplo x : Sx com Sx ≡ x ≠ x, ou, sendo Rx uma relação num conjunto, x : Rx ∧ ~Rx, ( duas relações impossíveis são equivalentes, pois assumem ovalor lógico F para qualquer substituição da variável por uma constante), reconhece-se,pondo, para cada conjunto X, X x : x ∈ X que X \ X . Também

X \ x : x ∈ X ∧ ~x ≠ x x : x ∈ X ∧ x x x : x ∈ X X.(3) Uma vez que Rx ∨ Rx Rx, Rx ∧ Rx Rx para qualquer relação

Rx, tem-se X X X, X ∩ X X para cada conjunto X.(4) Das equivalências Rx ∨ Sx Sx ∨ Rx, Rx ∧ Sx Sx ∧ Rx (as

tabelas de verdade mostram imediatamente que dadas proposições R,S tem-seR ∨ S S ∨ R e R ∧ S S ∧ R, (ver I.1.6), concluimos queX Y x : x ∈ X ∨ x ∈ Y x : x ∈ Y ∨ x ∈ X Y X e X ∩ Y Y ∩ X paraquaisquer conjuntos X,Y.

(5) Se P Q, então P ∨ Q Q é uma tautologia. Para o verificar, utilizando umatabela de verdade, basta verificar se, em cada linha tal que P Q V, as colunas deP ∨ Q, Q assumem o mesmo valor lógico; o que é o mesmo que, supondo a hipóteseP Q, constatar que P ∨ Q, Q são equivalentes:

P Q P Q P ∨ QV V V VV F F VF V V VF F V F

São os casos da 1ª e 3ª,4ª linhas. Podemos concluir que se Rx,Sx são relações navariável x, tais que Rx Sx então Rx ∨ Sx Sx e, pondo para cada conjunto X,X x : x ∈ X, que se X ⊂ Y então X Y x : x ∈ X ∨ x ∈ Y x : x ∈ Y Y.

Analogamente, a tabela de verdade mostra que se R S, então R ∧ S R e portantose X ⊂ Y, tem-se X ∩ Y X.

I.1.22 Exemplo Se X,Y são subconjuntos de um mesmo conjunto universal U, tem-se:x ∈ X Yc x ∈ U ∧ ~x ∈ X Y x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∨ x ∈ Y x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∧ x ∈ U ∧ ~x ∈ Y x ∈ Xc ∧ x ∈ Yc x ∈ Xc ∩ Yc,

donde X Yc Xc ∩ Yc. (Utilizando o Ex. 1.1.16 (1) d) (i).).I.1.23 Exercícios (1) Prove que se X,Y ⊂ U então X ∩ Yc Xc Yc.(2) No que segue, supomos todos os conjuntos sendo subconjuntos de um mesmo

conjunto U. Prove que:(i) A ⊂ A B e B ⊂ A B;(ii) A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B;(iii) A ⊂ B Bc ⊂ Ac;(iv) A ⊂ B A ∩ Bc ;

-13-(3) Se X é um conjunto, diz-se que A1, . . . ,Ap é uma partição de X sse cada Ai ⊂ X

, Ai ∩ Aj sempre que i ≠ j 1 ≤ i, j ≤ p e Ai X.i ∈ Sp

Prove que se p é um número natural, então pN0 m : 1 ≤ m ≤ p é uma partiçãode N.

(4) Mostre que para quaisquer conjuntos A,B,C tem-se(i) C \ A B C \ A ∩ C \ B;(ii) C \ A ∩ B C \ A C \ B.(5) Prove que A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′ sse A B ⊂ A ′ B ′.

Resolução(1) x ∈ X ∩ Yc x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∩ Y x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∧ x ∈ Y

x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∨ x ∈ U ∧ ~x ∈ Y x ∈ Xc Yc, o que prova a igualdade.(Utilizámos o anterior Ex. 1.1.16 (1) d) (ii)).

(2) (i) Uma vez que a tabela de verdade de mostra que P P ∨ Q (verifique que éuma tautologia), encontra-se: x ∈ A x ∈ A ∨ x ∈ B; isto prova, pela definição de A B,que A ⊂ A B. Uma vez que P ∨ Q Q ∨ P é uma tautologia, obtem-se A B B A,e a inclusão B ⊂ A B conclui-se da demonstração anterior.

(ii) Tem-se P ∧ Q P e P ∧ Q Q (verifique estas tautologias; note que o símbolo" " separa proposições formadas por outras utilizando os símbolos "∨" ,"∧" ). Entãox ∈ A ∩ B x ∈ A ∧ x ∈ B x ∈ A, donde A ∩ B ⊂ A e analogamente A ∩ B ⊂ B.

(iii) Suponhamos A ⊂ B; então x ∈ A x ∈ B, e se x ∉ B (i.e., se x ∈ Bc), nãopode portanto ser x ∈ A, donde x ∉ A; assim x ∉ B x ∉ A, i.e. Bc ⊂ Ac. Como ~~P P, tem-se Acc A, Bcc B, e da inclusão provada conclui-seBc ⊂ Ac A ⊂ B, provando a equivalência.

(iv) Suponhamos A ⊂ B i.e., x ∈ A x ∈ B. Então se x ∈ A não pode verificar-sex ∉ B; assim nenhum x verifica x ∈ A ∧ x ∈ Bc donde A ∩ Bc . Reciprocamente, seA ∩ Bc , e se x ∈ A, não pode ser x ∈ Bc, x ∉ B; conclui-se que se x ∈ A então x ∈ B,i.e., A ⊂ B.

(3) O resto da divisão por p de um número natural n é zero (caso em quen ∈ pN0 p), ou um número m, 1 ≤ m p; desta forma, N pN0 m

m ∈ Sp

porque pN0 m 1 ≤ m ≤ p é exactamente o conjunto dos números naturais, cujo resto dadivisão por p é m. Se 1 ≤ m,m′ ≤ p e m ≠ m′ então pN0 m ∩ pN0 m′ ; assimpN0 m : 1 ≤ m ≤ p é uma partição de N.

(4) Notar que substituindo o conjunto universal U, por qualquer conjunto C, nosanteriores Exemplo, e Ex (1), o essencial da demonstração se aplica, (X A e Y B)obtendo-se as igualdades (i), (ii). (Isto mostra que o caso A,B ⊂ U anteriormenteconsiderado, é um caso particular).

(5) A B ⊂ A ′ B ′ x,y ∈ A B x,y ∈ A ′ B ′ x ∈ A x ∈ A ′ ey ∈ B y ∈ B ′ sse A ⊂ A ′ e B ⊂ B ′.

-14-I.1.24 Exercícios (1) Mostre que se X,Y são conjuntos, (i) X ⊂ X Y; (ii) X ∩ Y ⊂ X.

(Sug: I.1.11, (2) (i), (ii).(2) Utilizando o axioma da extensão e a técnica em I.1.20, (2)...(5), prove que:a) (i) X ∩ Y ∩ Z X ∩ Y Z; (ii) X Y Z X Y Z. (Sug: I.15 b), c));b) (i) X ∩ Y Z X ∩ Y X ∩ Z;

(ii) X Y ∩ Z X Y ∩ X Z. (Sug: I.1.15 b), c)).c) (i) A relação "X ⊂ Z e Y ⊂ Z" é equivalente a X Y ⊂ Z. (Sug: I.1.11, (2) ((iv)).

(ii) A relação "Z ⊂ X e Z ⊂ Y" é equivalente a Z ⊂ X ∩ Y. (Sug: I.1.11, (2) (vi)).

Resolução(1) (i) Uma vez que x ∈ X x ∈ X ∨ x ∈ Y, concluimos X x : x ∈ X ⊂

x : x ∈ X ∨ x ∈ Y X Y.(ii) Tendo-se x ∈ X ∧ x ∈ Y x ∈ X conclui-se

X ∩ Y x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ⊂ x : x ∈ X X.(2) a) (i) X ∩ Y ∩ Z x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∧ x ∈ Z

x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∧ x ∈ Z X ∩ Y ∩ Z;(ii) X Y Z x : x ∈ X ∨ X ∈ Y ∨ x ∈ Z

x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∨ x ∈ Z X Y Z.b) (i) X ∩ Y Z x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∨ x ∈ Z

x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∨ x ∈ X ∧ x ∈ Z x : x ∈ X ∧ x ∈ Y x : x ∈ X ∧ x ∈ Z X ∩ Y X ∩ Z;

(ii) X Y ∩ Z x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∧ x ∈ Z x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∧ x ∈ X ∨ x ∈ Z X Y ∩ X Z.

c) (i) x ∈ X x ∈ Z ∧ x ∈ Y x ∈ Z x ∈ X ∨ x ∈ Y x ∈ Z, donde seconclui que X ⊂ Z ∧ Y ⊂ Z X Y ⊂ Z;

(ii) x ∈ Z x ∈ X ∧ x ∈ Z x ∈ Y x ∈ Z x ∈ X ∧ x ∈ Y econclui-se Z ⊂ X ∧ Z ⊂ Y Z ⊂ X ∩ Y.

-15-I.1.25 Exercícios (1) Prove que para quaisquer conjuntos A,B,C,D se tem:(i) A A \ B A ∩ B e A \ B ∩ A ∩ B ;(ii) A \ B A \ A ∩ B A B \ B;(iii) A ∩ B \ C A ∩ B \ A ∩ C;(iv) A \ B \ C A \ B C;(v) A \ B \ C A \ B A ∩ C;(vi) A \ B ∩ C \ D A ∩ C \ B D.(2) Prove que: a) A \ B A se e só se A ∩ B ;

b) A \ B B A B \ B se e só se B .c) A ⊂ B A ∩ B A A B B.

(Sug: Verifique, utilizando uma tabela de verdade, que se P,Q são proposições, Quma tautologia, então P P ∧ Q (faça sempre V na coluna de Q) e portanto, se R é umarelação impossível, P ∧ ~R P; e que se Q é uma relação impossível então P ∨ Q P.Pode utilizar (1) (ii) para (2) a), b).

Resoluções(1) (i) Uma vez que dadas proposições P,Q se tem P P ∧ ~Q ∨ Q, conclui-se a

propriedade correspondente para relações numa variável, obtendo-sex ∈ A x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∈ B x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∈ A ∧ x ∈ B, donde seconclui A A \ B A ∩ B pelo princípio de extensão. A relação em x,x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∈ A ∧ x ∈ B é equivalente à relação impossível x ∉ B ∧ x ∈ B quedefine assim o conjunto .

Portanto A \ B ∩ A ∩ B , pelo axioma da extensão.(ii) Dadas proposições P,Q tem-se P ∧ ~Q P ∧ P ∧ ~P ∨ P ∧ ~Q

P ∧ P ∧ ~P ∨ ~Q P ∧ P ∧ ~P ∨ ~Q P ∧ ~P ∨ ~Q P ∧ ~P ∧ Q dondese conclui A \ B A \ A ∩ B. Também P ∧ ~Q P ∨ Q ∧ ~Q ∧ ~Q P ∨ Q ∧ P ∨ ~Q ∧ ~Q P ∨ Q ∧ P ∨ ~Q ∧ ~Q P ∨ Q ∧ ~Q (esta últimaequivalência porque os valores lógicos de P ∨ ~Q ∧ ~Q e de ~Q são sempre o mesmo, jáque se S R então R ∧ S S, como mostram as 1ª, 3ª e 4ª linhas da tabela de verdade),donde podemos concluir A \ B A B \ B.

(iii) x ∈ A ∩ B \ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ A ∨ x ∉ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∨ ~x ∈ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∧ x ∈ C x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∩ C x ∈ A ∩ B \ A ∩ C, onde a terceira equivalência sejustifica porque se P,Q,R são proposições tais que P Q e Q R, então as proposiçõesP ∧ Q e P ∧ R são equivalentes, como mostra a tabela de verdade nas 1ª, 5ª, 7ª e 8ª linhas(fazer P ≡ x ∈ A ∧ x ∈ B, Q ≡ x ∉ C, R ≡ x ∉ A ∨ x ∉ C):

P Q R P Q Q R P ∧ Q P ∧ RV V V V V V VV V F V F V FV F V F V F VV F F F V F FF V V V V F FF V F V F F FF F V V V F FF F F V V F F e assim

A ∩ B \ C A ∩ B \ A ∩ C.

-16-(iv) x ∈ A \ B \ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C

x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ C x ∈ A \ B C(v) x ∈ A \ B \ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C

x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ C x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ A ∧ x ∈ C x ∈ A \ B A ∩ C.

(vi) x ∈ A \ B ∩ C \ D x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ x ∈ C ∧ ~x ∈ D x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ D x ∈ A ∩ C ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ D x ∈ A ∩ C \ B D.

(2) a) Por (1), (ii) tem-se A \ B A \ A ∩ B. Logo se A ∩ B , A \ A ∩ B A \ A (se Sx é uma relação impossível, então ~Sx é uma relação sempre verdadeira, ex ∈ A ∧ ~Sx x ∈ A). Portanto se A ∩ B tem-se A \ B A. Reciprocamente, seA ⊂ A \ A ∩ B então tem-se x ∈ A x ∈ A ∧ ~x ∈ A ∩ B V; a tabela de verdademostra que, dadas proposições P,Q, se Q pode tomar o valor lógico F, então P P ∧ Qnão toma sempre o valor lógico V. Portanto tem de se verificar ~c ∈ A ∩ B V para cadasubstituição de x pela consante c, i.e, c ∈ A ∩ B F e x ∈ A ∩ B deve ser uma relaçãoimpossível, i.e., A ∩ B .

b) Utilizando (1), (ii) A B \ B A \ B. A igualdade referida é portanto a igualdadede conjuntos A \ B B A \ B, que é verdadeira se B , pois então B x : Sx,onde Sx é uma relação impossível, donde se verifica a equivalência x ∈ A \B ∨ Sx x ∈ A \ B (se S F então P ∨ S P para qualquer proposição P).Reciprocamente, a inclusão A \ B B ⊂ A \ B só se verifica se B ⊂ A \ B, porque dadasproposições P,Q, P ∨ Q P só assume o valor lógico V quando Q P toma o valorlógico V. Então tem de ser x ∈ B x ∈ A ∧ ~x ∈ B, donde x ∈ B ~x ∈ B, e porisso tem de ser sempre c ∈ B F para cada substituição de x pela constante c, i.e., x ∈ B éimpossível e B .

c) Dadas proposições P,Q tem-se: P Q P ∧ Q P é uma tautologia, como severifica pela tabela de verdade; assim A ⊂ B A ∩ B A. Também a proposiçãoP Q P ∨ Q Q é uma tautologia, donde se conclui que A ⊂ B A B B.

I.1.26 QuantificaçãoVimos que dada uma relação numa variável Rx x ∈ E, a substituição de x por

uma constante c em E, transforma a relação Rx na proposição Rc. Sendo A ⊂ E,podemos considerar as proposições ”para cada x ∈ A, Rx”, significando que todos osobjectos x ∈ A, satisfazem a relação Rx, e ”existe pelo menos um x ∈ A, Rx”,significando que existe pelo menos um objecto x em A que verifica Rx. A proposição”para cada x ∈ A, Rx”, ou doutro modo, ”para qualquer x ∈ A, Rx”, ou ainda ”para todoo x ∈ A, Rx” escreve-se ∀x ∈ A, Rx, ou também ∀x ∈ A Rx. Convém, para clareza,muitas vezes, colocar Rx entre parêntesis, pondo ∀x ∈ ARx, e pode escrever-setambém Rx ∀x ∈ A, utilizando ou não os parêntesis. A proposição ”existe pelo menos umx ∈ A, Rx” escreve-se ∃x ∈ A, Rx, com a mesma ressalva para o uso de parêntesis. Asproposições assim obtidas, a partir de uma relação numa variável, dizem-seproposições quantificadas, e ”∀”, ”∃” são respectivamente os quantificadores universal,e existencial. Um outro quantificador, é o que afirma a existência de um único elementonum dado conjunto, verificando a relação. Escreve-se então ∃1 x, Rx se o conjunto emque x varia está subentendido, ou ∃1 x ∈ A, Rx (∃1 x ∈ ARx).

-17-

I.1.27 Exemplos (1) Dada a relação Rx ≡ x2 2 x ∈ R, podem considerar-se asproposições quantificadas ∀x 0x2 2 F, ∃x ∈ Rx2 2 V;∀x ∈ −, 2 2 ,x2 2, verdadeira, ∀x ∈ N2x2 2, verdadeira; assimcomo ∃1x ∈ 1,2x2 2 V, ∃1x ∈ Qx2 2 F.

(2) Como vemos no exemplo acima, no primeiro e no terceiro casos, o mesmoquantificador pode formar uma proposição falsa a partir da mesma relação numa variável,quantificando a variável num conjunto, mas verdadeira quantificando noutro conjunto.

I.1.28 Exercício Dadas as seguintes relações numa variável, indique quais dasproposições quantificadas são verdadeiras ou falsas:

(1) Rx ≡ 3 x ∈ Q x ∈ R(i) ∀x, Rx; (ii) ∃x ∈ Z 3 x ∈ Q; (iii) ∀x ∈ −1,0,1 Rx.(2) Rx ≡∣ x ∣ a x a x ∈ R(i) ∀x 0∣ x ∣ a x a (ii) ∃1x, ∣ x ∣ a x a (iii) ∀x, Rx(3) R ≡ 2 0(i) ∀ 0,12 ; (ii) ∀ ∈ 0,1R; (iii) ∃ ∈ −1,1R.Resolução

(1) (i) ∀x ∈ R 3 x ∈ Q F, pois por exemplo 2 ∈ R, 3 2 ∉ Q.

(ii) V (considere-se x 8) (iii) V(2)(i) V; (ii) F; (iii) F(3)(i) V; (ii) F; (iii) V

I.1.29 Exercício Sendo 0 1 fixo, indique quais das proposições seguintes sãoverdadeiras, ou falsas:

a) ∃ n ∈ N0 1n ; b) ∀ n ∈ N 1

n ; c) nn1 ∀n ∈ N.

Resoluçãoa) V; b) F; c) F.

-18-

I.1.30 Observações (1) Quando se consideram proposições compostas por diversasproposições quantificadas, a indicação, que deve constar em cada uma destas proposiçõesquantificadas, da variável que se quantifica e do respectivo conjunto, permite ler aproposição obtida considerando de cada vez em cada uma, os símbolos relativos a variáveisque não as quantificadas em cada proposição, como constantes. Em Análise real, segundo adefinição do limite u de uma sucessão un, recorde-se que u limun s e só se é verdadeiraa proposição quantificada ∀ 0∃ p ∈ Nn ≥ p ∣ un −u ∣ .

(2) Em expressões envolvendo mais que uma proposição quantificada, a ordem pelaqual são feitas as quantificações respeitantes é importante. Por exemplo considerando aproposição quantificada acima, a proposição ∃ p ∈ N∀ 0n ≥ p ∣ un − u ∣ significa que un é constante e igual a u a partir de uma ordem p; esta proposição é falsa seconsiderarmos u ≠ 0, un nu

n2 , mas lim nun2 u segundo a definição.

I.1.31 Exercícios (1) Indique quais das seguintes proposições são verdadeiras oufalsas:

(i) ∀ a ∈ 0,1∃ 0Ia, ⊂ 0,1, onde Ia, a − ,a ;(ii) ∀ a ∈ 0,1∃ 0Ia, ⊂ 0,1;(iii) ∃ a ∈ 0,2 ∩ 0,1∀ 0Ia, ⊂ 0,2 ∩ 0,1;(iv) ∃ a ∈ 0,1∀ 0Ia, ⊂ 0,1;(v) ∃ 0∀a ∈ 0,1Ia, ⊂ 0,1;(vi) ∀x ∈ R∀ 0∃ n ∈ N 1

n ∣ x ∣ ;(vii) ∀x ∈ R∃ n ∈ N∀ 0 1

n ∣ x ∣ ;(viii) ∀ n ∈ N n

n1 1 n1n ;

(ix) ∀ a ∈ Ra 1n ∀ n ∈ N a ≤ 0;

(x) ∀x ∈ N∀ 0∃ y ∈ R∣ x − y ∣ ∀x ∈ N∀ 1∃ b ∈ R 1

∣ xb∣

(2) Indique, justificando, quais das seguintes proposições são ou não verdadeiras:a) ∃ a ∈ Z∀ m ∈ Za m 0;b) ∀ m ∈ Z∃ a ∈ Za m 0;c) ∃ ∈ Q∀ q ∈ Qq q q.

Resolução(1)(i) F (a 1;(ii) V;(iii) F;(iv) F;(v) F ;(vi) V;(vii) F;(viii) V;(ix) V;(x) V (ambas as proposições são verdadeiras).

-19-(2) a) F. (O elemento m que satisfaz a m 0, para cada a ∈ Z considerado, é

único, m −a).b) V.c) V ( 1).

I.1.32 Propriedade Seja Rx x ∈ X uma relação numa variável. Pelo significado daproposição ∀x,Rx, ”para todo o x, verifica-se Rx”, a sua negação é a proposição ”existepelo menos um x que não verifica Rx”. Obtem-se assim a propriedade da negação doquantificador universal, ~∀x,Rx ∃x, ~Rx. A negação de ”existe pelo menos um xtal que Rx” é ”para todo o x, ~Rx”, i.e., ~∃x,Rx ∀x, ~Rx.

Para a negação de uma implicação ∀x,Px Qx, atendendo a quePx Qx ~Px ∨ Qx, e portanto~Px Qx ~~Px ∨ Qx ~~Px ∧ ~Qx Px ∧ ~Qx, obtem-se~∀x,Px Qx ∃x,Px ∧ ~Qx. Analogamente,~∃x,Px Qx ∀x,Px ∧ ~Qx.

I.1.33 Exemplos (1) A negação de ∃x ∈ R,x2 −1 é ∀x ∈ R,x2 ≠ −1.(2) Se xn é uma sucessão real, a ∈ R, a negação de limxn a é

~∀ 0,∃p ∈ N, ∀n ∈ N,n ≥ p ∣ xn − a ∣ , portanto é a proposição∃ 0,~∃p ∈ N, ∀n ∈ N,n ≥ p ∣ xn − a ∣ ∃ 0,∀p ∈ N,∃n ∈ N,n ≥ p ∧∣ xn − a ∣≥ .

I.1.34 Exercícios (1) Negue as proposições quantificadas:(i) ∀m ∈ Z,m2 m;(ii) ∃q ∈ Q,q2 2;(iii) ∀x ∈ R,∀y ∈ R,x2 y2 x y.(2) Explicite em linguagem lógica que a sucessão real un não é um infinitamente

grande positivo.(3) Sendo f uma função real da variável real, exprima logicamente que não se verifica

limx→0 fx 1.

Resoluções(1)(i) ∃m ∈ Z,m2 ≤ m;(ii) ∀q ∈ Q,q2 ≠ 2;(iii) ∃x ∈ R, ∃y ∈ R,x2 y2 ∧ x ≤ y.(2)A negação de ∀ 0,∃p ∈ N ∀n ∈,n ≥ p un 1

é∃ 0,∀p ∈ N ∃n ∈ N,n ≥ p ∧ un ≤ 1

.(3) Trata-se de negar a proposição∀ 0,∃ 0 ∀x ∈ R, ∣ x ∣ ∣ fx − 1 ∣ . Obtem-se∃ 0,∀ 0 ∃x ∈ R,∣ x ∣ ∧∣ fx − 1 ∣≥ .

-20-

I.1.35 Definição Se C X : ∈ A é uma classe não vazia de conjuntos, indiciadanum conjunto de índices A, dizemos que C é uma família de conjuntos. A reuniãogeneralizada (resp. intersecção generalizada) da classe é o conjuntoC X : ∈ A x : ∃ ∈ A,x ∈ X (resp.C X : ∈ A x : ∀ ∈ A,x ∈ X). Se todos os conjuntos X são subconjuntosde um mesmo conjunto X, A , põe-seX : ∈ A eX : ∈ A X.

I.1.36 Observações (1) Admitimos o Axioma da reuniâo: Para qualquer classe deconjuntos C, existe sempre o conjutoC.

(2) Pelas definições tem-seX : ∈ A ⊂ X ⊂ X : ∈ A para cada

∈ A. (2) Se X : ∈ A é tal que cada X verifica A ⊂ X ⊂ B então tem-seA ⊂ X : ∈ A eX : ∈ A ⊂ B

I.1.37 Exercício Determine as intersecções e reuniões generalizadas:(i)−n, 1 : n ∈ N (ii)0,1 − 1

n : n ∈ N;(iii)−q.q : q ∈ Q (iv)−q,q : q ∈ Q (v)− 1

n , 1n : n ∈ N

(vi)1 − 1n , 1 1

n : n ∈ N.

I.1.38 Resolução (i) x ∈ R : ∃n ∈ N,−n x ≤ 1 −, 1;(ii) x ∈ R : ∃n ∈ N, 0 ≤ x ≤ 1 − 1

n 0,1; (iii) R; (iv) 0;(v) x ∈ R : ∀n ∈ N,− 1

n x 1n 0;

1 − 1n x 1 1

n ,∀n ∈ N x 1,1 − 1n , 1 1

n : n ∈ N 1.

I.1.39 Definição Se X,Y são conjuntos não vazios, diz-se que uma parte não vazia ⊂ X Y do conjunto produto cartesiano X Y, é uma relação de X para Y. Se x,y ∈ ,nota-se também xy. Por exemplo, com X N, Y Q, n, 1

n : n ∈ N é umarelação de N para Q. Tem-se 11, 2 1

2 , 23 123 , etc. Se A é um conjunto, representamos

PA W : W ⊂ A o conjunto das partes de A. Sendo X ≠ ,Y ≠ , X Y é umarelação de X para Y tal que ∀x ∈ X,∀y ∈ Y,xy; PX PY é uma relação de PXpara PY tal que ∀A ⊂ X∀B ⊂ Y, AB.

I.1.40 Exercício Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira:(i) x,yV sse x,y ∈ V é uma relação de V2 para PV;(ii) x,yV sse x,y ∈ V é uma relação de V V para V.

Resolução(i) é verdadeira, pois cada par ordenado x,y ∈ V2 verifica x,yV sse x,y,V é

um par ordenado tal que x,y ∈ V, onde V ∈ PV. (ii) é falsa.

-21I.2 RELAÇÕES BINÁRIAS E FUNÇÕES

I.2.1 Definição Se X Y ≠ uma relação d e X para Y diz-se uma relação binária emX; assim uma relação binária em X é uma parte não vazia do produto cartesiano X2.

Por exemplo x0y sse ∃ m ∈ Ny xm uma relação binária em R tal que1,1 ∈ 0, 1,2 ∉ 0, 2,4, 2,8, 2,16 ∈ 0. Também a1b sse b 2a é a relaçãobinária em N, 1 1,2, 2,4, 3,6, . . ..

I.2.2 Definição (1) Se a relação f de X para Y verifica a propriedade de cada elementode X estar na relação com exactamente um elemento de Y, i.e., sex,y ∈ f ∧ x,y ′ ∈ f y ′ y, dizemos que f é uma função de X em Y ou uma aplicaçãode X em Y; nota-se y fx sse x,y ∈ f. Em I.2.1, 0 não é função, 1 é uma função de Nem N. O conjunto das funções de X em Y nota-se YX.

(2) Se X é um conjunto não vazio, uma sucessão em X é uma função u : N → X,habitualmente designada pondo u un, un : n un. O conjunto das sucessões em X éportanto o conjunto XN.

I.2.3 Se f é uma função de X em Y, nota-se f : X → Y, x fx y sempre quex,y ∈ f. Se X é um conjunto, ≠ A ⊂ X, e f ⊂ A Y é uma função, deve notar-sef : A ⊂ X → Y.

O conjunto A x ∈ X : ∃ fx x ∈ X : ∃ y, x,y ∈ f é o domínio da função f,e representa-se por dom f. O conjunto y ∈ Y : ∃ x ∈ dom f, x,y ∈ f é chamado oconjunto imagem de f, codomínio ou contradomínio ou conjunto imagem de f, erepresenta-se por Imf ou fX..

I.2.4. Exemplo Para a função fx 1senx deve pôr-se

f : R \ k : k ∈ Z ⊂ R → R. O domínio de 1senx é A R \ k : k ∈ Z e o

codomínio é fA R \ −1,1.

I.2.5 Definição Se f : X → Y é uma função, ≠ A ⊂ X, então x, fx : x ∈ A éuma função de A em Y, que se chama a função restrição de f a A. A função restrição de f aA representa-se por f

∣ A.

-22-

I.2.6 Definição A função f : X → Y diz-se injectiva se∀x,x ′ ∈ Xfx fx ′ x x ′; sendo ≠ A ⊂ X, f é injectiva em A sse a funçãorestrição de f a A é injectiva. Também se diz então que f é uma injecção de A em Y. fdiz-se que é sobrejectiva, ou que é uma sobrejecção de X em Y, sse fX Y, i.e., sse todoo elemento de Y é imagem de um elemento de X. Para significar que f é uma funçãosobrejectiva de X em Y, diz-se também que f é uma função de X sobre Y. Se f : X → Y éinjectiva, então fx,x : x ∈ X é uma função de fX em X, chamada afunção inversa da função f, e que se represnta por f−1; dizemos então que fadmite uma inversa e, se f é injectiva e sobrejectiva dizemos que f é invertível com inversaf−1. A função f−1 inversa de f : X → Y é a função f−1 : Y → X definida porf−1 y,x : fx y,x ∈ X,y ∈ Y fx,x : x ∈ X, f−1y x sse fx y. Se f éinjectiva e sobrejectiva, diz-se que f é bijectiva, ou que é uma bijecção.

I.2.7 Exemplos (1) Se ≠ A ⊂ X, a aplicação I : A → X, Ix x diz-se a aplicaçãode inclusão; I é injectiva. A aplicação IA : A → A, IAx x, que se chama a identidade deA, é uma bijecção.

(2) Dado um produto cartesiano de conjuntosk1m Xk, cada aplicação

prk : k1m Xk → Xk, prkx1, . . . ,xm xk k 1, . . . ,m diz-se a projecção de índice k. prk

é sobrejectiva, não é injectiva em geral.I.2.8 Exercício Determine subconjuntos A,B de R \ 0,1 e de Q respectivamente, tais

que a função restrição da função f : R \ 0,1 → Q, fx 1Ix2 , onde Ix ”maior

inteiro m ≤ x” é a função característica de x, a A,(i) admita uma inversa;(ii) seja invertível de A em B.

Resolução

(i) A N;(ii) A N, B 1

n2 : n ∈ N.

I.2.9 Exercício a) Esboce no plano cartesiano R2 as relações binárias(i) M x,y ∈ R2 : max∣ x ∣,∣ y ∣ ≤ 1;(ii) e x,y ∈ R2 : x2 y2 ≤ 1;(iii) S x,y ∈ R2 :∣ x ∣ ∣ y ∣≤ 1;(iv) M

x,y ∈ R2 : max∣ x ∣,∣ y ∣ 1;(v) e

x,y ∈ R2 : x2 y2 1;(vi) S

x,y ∈ R2 :∣ x ∣ ∣ y ∣ 1.(vii) f x,x2 : x ∈ R. (Sug: para (i), (iv), considere as rectas y x 1).b) Indique, justificando, quais das relações binárias anteriores são, ou não, funções.c) Mostre que M −1,12.

-23-

Resoluçõesb) Apenas f em (vii) é uma função, pois em cada uma das outras alíneas, tem-se por

exemplo 0,−1, 0,1 ∈ , designando por a respectiva relação binária.c) Tem-se ∣ a ∣≤ 1 a ∈ −1,1 a ∈ R, e assim

x,y ∈ M max∣ x ∣,∣ y ∣ ≤ 1 x,y ∈ −1,12.

I.2.10 Observação Considerando uma relação numa variável Rx x ∈ A, podesuceder que a cada x ∈ A tal que Rx V corresponda um único elemento bemdeterminado y. Pode então considerar-se a relação em duas variáveis Rx,y definida porRx,y V sse y verifica Rx, e não é inteiramente óbvio que exista um conjunto nãovazio B tal que Rx,y seja uma relação de A para B; se B existe, então R ⊂ A B, R é umarelação de A para B e é uma função f : A → B. Aceitamos o seguinte axioma, que asseguraque existe B.

Axioma da substituição

Sejam A um conjunto e Rx,y uma relação em duas variáveis. Se para cada x ∈ A,existe um único y que verifica Rx,y, existe uma função f de domínio A tal que y fx éequivalente a x ∈ A ∧ Rx,y.

I.2.11 Definição Dadas funções f : X → Y,g : Y → Z, diz-se função composta deg com f, ou composição de g com f, ou ainda função g após f, e representa-se por gof, afunção gof : X → Z definida por gofx z sse fx y e gy z, ou seja,gof x, z ∈ X Z : ∃y ∈ Y, x,y ∈ f ∧ y, z ∈ g. Nota-se gofx gfx x ∈ X.Se h : Z → W é outra função, define-se analogamente hogof : X → W que se representapor hogof, hogofx hgfx x ∈ X e o mesmo para a composição de funções emqualquer número finito.

I.2.12. Observação Se f : X → Y,g : Imf → Z são funções injectivas, então afunção gof : X → Img é bijectiva, e tem-se gof−1 f−1og−1. Com efeito, para cadaz ∈ Img, f−1g−1z f−1y x sse gy z, fx y sse gofx z, e domf−1og−1 dom gof−1.

I.2.13 Exemplo Para cada função f : X → Y tem-se foIXx fIXx fx x ∈ Xe assim foIX f. Também IYfx fx x ∈ X donde IYof f.

I.2.14 Exercícios (1) Prove que: a) Se f : X → Y é bijectiva, então f−1of IX efof−1 IY.

b) Se f : X → Y,g : Y → X são tais que gof IX e fog IY, então existe f−1 g.(2) Se dadas f : X → Y,g : Y → X se verifica gof IX então g é sobrejectiva e f é

injectiva.

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Resoluções

(1) a) Para cada x ∈ X é f−1fx x0 se fx0 fx por definição de f−1 e entãox0 x ( f é injectiva) e f−1fx x IXx. Coincidindo f−1of com IX em cada pontox ∈ X, e tendo as duas funções o mesmo domínio, concluimos que f−1of IX. Qualquerque seja y ∈ Y, tem-se fof−1y fx sse f−1y x sse fx y. Assimfof−1y y IYy para cada y ∈ Y, e tendo ambas fof−1, IY domínio Y e coincidindo emcada ponto, conclui-se que fof−1 IY.

b) Mostremos que f é injectiva e sobrejectiva. Se fa fb,a,b ∈ X então pelahipótese gfa gofa IX a a e gfb gofb IX b b donde a b e fé injectiva. Para cada y ∈ Y, tem-se também pela hipótese fgy fogy y, donde oelemento x gy ∈ X tem imagem fx y por f e f é sobrejectiva. Tem-se: para caday ∈ Y, gy x fx fogy IYy y e fx y gy gofx x. Portantogy x sse fx y, e como domg Y concluimos que g f−1.

(2) Para cada x ∈ X, tem-se gfx gofx IXx x; pondo fx y, existeportanto y ∈ Y tal que gy x, o que mostra que g é sobrejectiva.

f é ínjectiva, pois para cada a,b ∈ X, fa fb a gfa gfb b.

I.2.15 Definição Se u un é uma sucessão em X e : N → N, k k nk é umafunção tal que k k ′ nk nk′ (estritamente crescente), diz-se que a sucessão vk obtidapela composição vk uo : N → N é uma subsucessão de un. Designa-sehabitualmente vk unk.

I.2.16 Exemplos (1) 1/2k − 1 é a subsucessão da sucessão 1/n que corresponde àfunção estritamente crescente k 2k − 1. (Subsucessão 1/3,1/5,1/7. . . dos termos deordem ímpar) (2) As sucessões 1/3,1/3,1/5,1/7, . . . e 1/3,1/7,1/5,1/9,1/13,1/11, . . . não sãosubsucessões de 1/n.

I.2.17 Observação Pela definição em I.1.15, se X1, . . . ,Xm m ∈ N são conjuntos nãovazios, e representarmos uma função f : Sm 1, . . . ,m → X Xk : k 1, . . . ,mpondo f f1, . . . , fm, entãok1

m Xk é o conjunto destas m −sequências, e podeidentificar-se com o conjunto das funções f ∈ X1,...,mtais que fk ∈ Xk para cadak 1, . . . ,m ( fk corresponde à coordenada−k da m −sequência).

-25-I.3 AXIOMA DE ZERMELO E PRODUTO CARTESIANO INFINITO

OPERAÇÃO DE HILBERT

I.3.1 Definição Sendo X : ∈ A uma classe não vazia de conjuntos não vazios, oproduto cartesiano da classe é, designando X ∈A X, o conjunto das funções f ∈ XA

tais que f ∈ X para cada ∈ A. Representamos este conjunto por ∈A X;cada f ∈ pode representar-se por f x, onde x f ∈ A. Se A N,notamos k1

Xk, f xk k 1,2, . . . para cada f ∈ k1 Xk. Os x ∈ A são

as coordenadas de x. Para cada ∈ A, a função p : → X, px x que fazcorresponder a x a coordenada− de x diz-se a projecção de índice . X é, para cadaíndice ∈ A, o conjunto das coordenadas−.

I.3.2 Observação Se em I.3.1 o conjunto de índices A é uma classe não vazia deconjuntos não vaziosM e, para cada M ∈ M, o conjunto das coordenadas-M éM, entãoM∈M M é, pela definição, o conjunto das funções x : M →M : M ∈ M tais quexM xM ∈ M para cada conjunto M ∈ M. Estas funções são chamadas as funções deescolha paraM, e não é inteiramente óbvio que exista, pelo menos uma tal função deescolha. Aceitamos o seguinte axioma da Teoria de Conjuntos, que é equivalente a serM∈M M ≠ .

I.3.3 Axioma da Escolha de Zermelo. Se C é uma classe não vazia constituída porconjuntos não vazios, existe uma função : C → C : C ∈ C tal que C ∈ C paracada conjunto C ∈ C. A função chama-se o selector de Zermelo; escolhe em cadaconjunto C da classe C um elemento C do qual se sabe apenas que C ∈ C.

I.3.4 Símbolo de escolha de Hilbert. Dada uma relação numa variável Rx tal que∃x,Rx é verdadeira, pode fixar-se uma vez por todas um dos objectos que verificam Rx,e se designa por xRx. A operação de Hibert, que consiste em obter xRx para cadarelação Rx tal que ∃x,Rx é verdadeira, dá um processo de obter uma constante a partirde uma relação não impossível numa variável. Aceitando-a, como fazemos, fica implícitoque aceitamos também o Axioma de Zermelo, como se prova em Lógica Matemática.

-26-I.4 FUNÇÕES ASSOCIADAS DE CONJUNTOS DE UMA FUNÇÃO

I.4.1 Definição Se f : X → Y é uma função, podemos considerar as funçõesf : PX → PY, definida por fA fx : x ∈ A A ⊂ X, ef−B x ∈ X : fx ∈ B, f− : PY → PX, associadas a f. f diz-se afunção associada de conjuntos directa de f, e a função f− chama-se afunção associada de conjuntos inversa de f. Põe-se f , f− .

I.4.2 Observação A função associada de conjuntos inversa de f existe sempre, aindaque f não admita uma inversa. Sempre que não haja risco de confusão, representamosfA fA, f f e f−B f−1B, f− f−1.

I.4.3 Exemplos (1) A função f : −1,1 ⊂ R → R, fx 11−∣x∣ não é injectiva, é

sobrejectiva. Tem-se f0 1; f−1,1,2 12 , 1

3 ; f 13 , 1

2 32 , 2.

(2) Para a função característica Ix tem-se I−1,1 0,1; IR Z. Estafunção I : R → R não é injectiva nem sobrejectiva.

(3) Sendo f : Q → R, fs s2 verifica-se fQ ⊂ Q, fZ ⊂ N0. Verifica-setambém que fZ \ 0 ⊂ N, f−1,1 0,1.

(4) Sendo Xi : i ∈ I uma classe de conjuntos, subconjuntos de um conjuntouniverso X, Yj : j ∈ J uma classe de subconjuntos de Y, e f : X → Y uma função, tem-se:y ∈ f∩Xi : i ∈ I ∃x ∈ ∩Xi : i ∈ I,y fx ∀i ∈ I∃x ∈ Xiy fx ∀i ∈ Iy ∈ fXi y ∈ ∩fXi : i ∈ I. Portantof∩Xi : i ∈ I ⊂ ∩fXi : i ∈ I. Notar que a inclusão recíproca não é verdadeira,.i.e.pode suceder ∩ fXi : i ∈ I ⊈ f∩Xi : i ∈ I, como mostra o contra-exemplof0 0, fx sin 1

x x ≠ 0: tem-se f−1,0 ∩ 0,1 0,f−1,0 ∩ f0,1 −1,1.

No entanto, para a função associada de conjuntos inversa, tem-sex ∈ f−1∩Yj : j ∈ J ∃y ∈ ∩Yj : j ∈ J, fx y ∃y ∈ Y∀j ∈ Jy ∈ Yj ∧ fx y ∀j ∈ J,x ∈ f−1Yj x ∈ ∩f−1Yj : j ∈ J, eassim f−1∩Yj : j ∈ J ∩f−1Yj : j ∈ J.

I.4.4 Exercícios (1) Com f : R → R, fx x4, determine: a) (i) f1; (ii)f−1,1; (iii) f−1,1; (iv) fR; (v) fR \ 0, 1

2 (vi) f0,. b) (i) f−10; (ii)f−1−1; (iii) f−1Q 2 ; (iv) f−10,; (v) f−11, (vi) f−1−2,.

(2) Mostre que nas hipóteses de I.4.3 (4), tem-se:a) fXi : i ∈ I fXi : i ∈ I;b) f−1Yj : j ∈ J f−1Yj : j ∈ J.(3) Mostre que se f : X → Y é uma função, então f é injectiva de e só se

∀A,B ⊂ X, fA ∩ B fA ∩ fB.(4) Prove que se f : X → Y é uma função, A ⊂ B ⊂ X, A ′ ⊂ B ′ ⊂ Y, então tem-se

fA ⊂ fB e f−1.A ′ ⊂ f−1B ′.(5) Seja f : X → Y uma função. Mostre que:a) se f é injectiva, a função associada de conjuntos directa de f é injectiva;b) se f é sobrejectiva, então a função associada de conjuntos directa é sobrejectiva.

-27-(6) Prove que sendo f : X → Y uma função, A ⊂ X, B ⊂ Y, tem-se:a) A ⊂ f−1fA;b) se f é injectiva, então f−1fA ⊂ A;c) f é injectiva se e só se ∀A ⊂ X, f−1fA A.d) B ⊃ ff−1B e, se f é sobrejectiva, então B ⊂ ff−1B(7) Mostre que se f : X → Y é uma função, A,B ⊂ X,a) fB \ fA ⊂ fB \ A;b) se f é sobrejectiva, então fAc ⊂ fAc;c) se f é injectiva, então fB \ A ⊂ fB \ fA e fAc ⊂ fAc;d) a função f é bijectiva se e só se ∀A ⊂ X, fAc fAc.

Resoluções(1) Com f : R → R, fx x4 tem-se: a) (i) f1 f1 1; (ii)

f−1,1 fx : x ∈ −1,1 1; (iii)f−1,1 fx : −1 ≤ x ≤ 1 x4 : −1 ≤ x ≤ 1 0,1; (iv)fR x4 : x ∈ R 0,; (v) fR \ 0, 1

2 x4 : x ≤ 0 ∨ x 12 0,; (vi)

f0, x4 : x 0 0,.b) (i) f−10 x ∈ R : x4 0 0; (ii)

f−1−1 x ∈ R : x4 −1 ; (iii) f−1Q 2 x ∈ R : x4 ∈ Q ∨ x4 2 x ∈ R : x4 ∈ Q; (iv) f−10, x ∈ R : x4 ≥ 0 R (v) f−11, x ∈ R : x4 1 1,; (vi)f−1−2, x ∈ R : x4 −2 R.

(2) a) y ∈ fXi : i ∈ I ∃x ∈ Xi : i ∈ I, fx y ∃i ∈ I, x ∈ Xi,fx y ∃i ∈ I,y ∈ fXi y ∈ fXi : i ∈ I.

b) x ∈ f−1Yj : j ∈ J fx ∈ Yj : j ∈ J ∃j ∈ J, fx ∈ Yj x ∈ f−1Yj : j ∈ J.

(3) Supondo f injectiva, consideremos y ∈ fA ∩ fB. Pela definição, tem-se entãoy fa,a ∈ A ∧ y fb,b ∈ B; então fa fb, o que implica a b ∈ A ∩ B eportanto y ∈ fA ∩ B e tem-se assim fA ∩ fB ⊂ fA ∩ B. Como é semprefA ∩ B ⊂ fA ∩ fB por I.4.3 (4), cocluimos que se f é injectiva entãofA ∩ B fA ∩ fB. Reciprocamente, assumindo esta igualdade para todos os A,B ⊂ Xtemos: para cada a,b ∈ X, se fa fb então fa fa ∩ fb fa ∩ bdonde a b e f é injectiva.

(4) A ⊂ B ∀x,x ∈ A x ∈ B ∀y,y ∈ fA ∃x ∈ A,y fx ∃x,x ∈ B,y fx ∀y,y ∈ fA y ∈ fB fA ⊂ fB. Também se A ′ ⊂ B ′

então ∀x,x ∈ f−1A ′ fx ∈ A ′ fx ∈ B ′ ∀x,x ∈ f−1A ′ x ∈ f−1B ′ f−1A ′ ⊂ f−1B ′.

(5) a) Mostremos que se f é injectiva e fA ⊂ fB então A ⊂ B, donde se conclui oresultado. Supondo que para todo o a ∈ A se verifica fa ∈ fB, i.e., existe b ∈ B tal quefa fb, concluimos a b e assim a ∈ B e portanto A ⊂ B.

b) Sendo B ⊂ Y temos: se B , então B f, ∈ PX; se B ≠ , e f ésobrejectiva, então para cada b ∈ B existe pelo menos um a ∈ X tal quefa b,a ∈ f−1b ⊂ f−1B. Portanto o conjunto A b∈B f−1b ⊂ X satisfaz acondição de, para cada b ∈ B, existir pelo menos um a ∈ A com fa b ou seja,B ⊂ fA; como obviamente fA ⊂ B conclui-se fA B e f : PX → PY ésobrejectiva.

-28-(6) a) pois x ∈ A fx ∈ fA;b) suponhamos f injectiva; se então x ∈ f−1fA tem-se fx ∈ fA pela definição e,

de novo pela definição, fx fa,a ∈ A. Concluimos x a ∈ A e portantof−1fA ⊂ A.

c) Das alíneas a), b) concluimos que se f é injectiva, então para cada A ⊂ X,A f−1fA. Reciprocamente, se esta inclusão é verdadeira, consideremos a,b ∈ X taisque fa fb; então a,b f−1fa,b f−1fa, fb f−1fa a oque implica a b e f é injectiva.

d) Pelas definições, y ∈ ff−1B sse y fx para algum x ∈ f−1B i.e., tal quefx ∈ B, o que mostra que então y ∈ B; portanto B ⊃ ff−1B. Supondo que f ésobrejectiva, seja b ∈ B. Existe pelo menos um x ∈ X verificando fx b, o que implicax ∈ f−1b ⊂ f1B (pela (4)), e então b fx ∈ ff−1B o que mostra queB ⊂ ff−1B.

(7) a) Seja y ∈ fB \ fA. Então ∃b ∈ B,y fb ∧ ∀a ∈ A,y ≠ fa o queimplica ∃b ∈ B \ A,y fb e portanto y ∈ fB \ A e fB \ fA ⊂ fB \ A;

b) por a), fAc Y \ fA fX \ fA ⊂ fX \ A fAc;c) y ∈ fB \ A ∃x ∈ B \ A, fx y ∃x ∈ B \ A, fx y ∧ y ∉ fA y ∈ fB

\ fA pois sendo f injectiva, y não é imagem de nenhum outro elemento, a não ser x ∈ B;não pode ser y fa,a ∈ A porque isto implicaria a b ∉ A o que é impossível.Concluimos assim a inclusão. Fazendo B X obtemos fAc fX \ A ⊂ fX \ fA ⊂ Y \fA fAc;

d) Pelas alíneas anteriores concluimos que se f é bijectiva então fAc fAc.Reciprocamente, se esta igualdade se verifica, então fX fc fc c Y e f ésobrejectiva. Também f é injectiva, pois se b ≠ a então b ∈ ac efb ∈ fac fac, o que mostra que fb ≠ fa.

I.4.5 Observação Dadas funções f : X → Y,g : Y → Z encontra-se, para C ⊂ Z:gof−1C x ∈ X : gfx ∈ C x ∈ B : fx ∈ g−1C f−1g−1C, emanalogia com I.2.12. Se f e g são bijectivas, então I.4.4 (5) e I.2.14 (1) b) mostram que afunção associada de conjuntos directa de f (de g) tem por inversa a função associada deconjuntos inversa de f (de g) e para cada C ⊂ Z, gof−1C f−1og−1C.

I.4.6 Se f : X → Y é uma função, y ∈ Y, o conjunto f−1y chama-se a fibrade f em y; a fibra de f em y é não vazia se e só se y ∈ Imf, onde Imf é o contradomínioou conjunto imagem de f.

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I.5 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA E RELAÇÕES DE ORDEM

I.5.1 Definição Uma relação binária em X diz-se uma relação de equivalência em Xse verifica as propriedades:

reflexiva: ∀x ∈ X,xx;simétrica: ∀x,y ∈ X,xy yx;transitiva: ∀x,y, z ∈ X,xy ∧ yz xz.

I.5.2 Exemplos (1) Se X é um conjunto não vazio, a relação definida por xy sse"x,y ∈ X e x y" (relação de igualdade em X) é uma relação de equivalência em X.

(2) Com ≠ A ⊂ X, a relação definida por xy sse "x ∈ A ∧ y ∈ A" é uma relaçãode equivalência em A, mas não é uma relação de equivalência em X se A ≠ X.

(3) Dada uma função f : X → Y, a relação binária f em X definida por xf y sse"x,y ∈ X e fx fy" é uma relação de equivalência em X, chamada a relação deequivalência associada à função f.

I.5.3 Definições Seja uma relação de equivalência em X. Para cada x ∈ X, oconjunto Cx y ∈ X : xy chama-se a classe de equivalência de x. O conjunto dasclasses de equivalência Cx x ∈ X diz-se o conjunto cociente de X segundo , erepresenta-se por X / . Assim X / Cx : x ∈ X ⊂ PX.

A aplicação : X → X / , : x Cx que faz corresponder a cada x ∈ X arespectiva classe de equivalência chama-se a aplicação canónica de X sobre X / _Estaaplicação é obviamente sobrejectiva_.

I.5.4 Exemplo Para a relação de igualdade no conjunto não vazio A, a classe deequivalência de a ∈ A é Ca a, e o conjunto cociente é a : a ∈ A; a aplicaçãocanónica associa a cada elemento, o ”singleton” por ele constituído, a a.

I.5.5 Exercício Determine o conjunto cociente e a aplicação canónica, nos exemplosI.5.2 (2), (3).

I.5.6 Resolução(2) Com xy sse "x ∈ A ∧ y ∈ A" x,y ∈ A tem-se

Cx y ∈ A : x ∈ A ∧ y ∈ A A; assim : A → A / , x Cx A. A aplicaçãocanónica é constante, e A / A.

(3) Sendo xf y sse "x,y ∈ X e fx fy" tem-se: Cx f−1fx é a fibra de f emfx. X / f f−1fx : x ∈ X e x f−1fx.

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I.5.7 Teorema Sejam X um conjunto e uma relação de equivalência em X. Então:(a) Cada elemento x ∈ X pertence à sua classe de equivalência Cx;(b) dois elementos x,y ∈ X são equivalentes para se e só se têm a mesma classe de

equivalência, i.e., para cada x,y ∈ X, tem-se xy sse Cx Cy;(c) o conjunto cociente X / é uma partição de X.Dem. (a) É consequência de xx para cada x ∈ X;(b) supondo xy, seja a ∈ Cx; então xa e, como xy, tem-se também yx, pela

simetria. Da propriedade transitiva conclui-se ya, donde ay e a ∈ Cy. Isto mostra queCx ⊂ Cy e portanto Cx Cy. Reciprocamente, se Cx Cy, então pela (a) tem-se x ∈ Cy

donde xy pela definição de Cy;(c) Pela alínea (a), tem-se x ∈ Cx,∀x ∈ X. Portanto X x∈X Cx. Para mostrar que X

/ é uma partição de X, basta provar que se Cx ≠ Cy então Cx ∩ Cy ; efectivamente, seexiste a ∈ Cx ∩ Cy concluimos que Cx Cy do modo seguinte: a hipótese a ∈ Cx,a ∈ Cy

implica ax e ay. Então pela simetria e transitividade de , tem-se ax e ya donde yx.De (b) concluimos Cx Cy, provando (c). C.Q.D.

1.5.8 Observação Pela propriedade (c) no teorema, duas classes de equivalência ousão disjuntas, ou coincidem. Dada uma relação de equivalência num conjunto X, oconjunto cociente X / dá uma partição do conjunto X. Reciprocamente, cada partiçãoX : ∈ A de um conjunto não vazio X permite definir uma relação binária em X, queé uma relação de equivalência, pondo xy sse "∃ ∈ A,x,y ∈ X" . Esta relação binária éobviamente reflexiva, simétrica e transitiva. A aplicação canónica é x X sse x ∈ X;o conjunto cociente é exactamente a partição X : ∈ A.

I.5.9 Exemplo A relação binária em N definida por xy sse "x,y são da mesmaparidade" é uma relação de equivalência em N, que pode ser definida pela partição2N − 1,2N do conjunto dos números naturais, onde 2N 2x : x ∈ N é o conjunto dosnúmeros pares e 2N − 1 2x − 1 : x ∈ N é o conjunto dos números ímpares.

I.5.10 Exercício Com ≠ A ⊂ X, explicite a relação de equivalência em X cujocociente X / é a partição A,Ac de X e indique a aplicação canónica.

I.5.11 Resoluçãoxy sse "x,y ∈ X e x,y ∈ A ∨ x,y ∈ Ac" x A se x ∈ A,x Ac se x ∉ A.

I.5.12 Definição Sejam uma relação de equivalência em X e f : X → Y uma função.Diz-se que f é compatível com se ∀x,y ∈ X,xy fx fy.

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I.5.13 Exemplo A relação de equivalência f associada à função f : X → Y em I.5.2Exemplos (3), xf y sse "x,y ∈ X ∧ fx fy" é compatível com f.

I.5.14 Teorema Sejam uma relação de equivalência em X e f : X → Y umafunção.As seguintes condições são equivalentes:

(i) f é compatível com ;(ii) existe uma única aplicação f : X / → Y tal que f fo, onde : X → X / é a

aplicação canónica.Dem. (i) (ii) Supondo f compatível com , a função f : X / → Y, fCx fx é

bem definida com valores em Y: pois Cx Cy implica xy (Teorema I.5.7) dondefx fy. Tem-se f fo pela definição de f. Além disso f é única, porque se g : X / → Y verifica fx gCx então obviamente gCx fx.

(ii) (i) Se existe f nas condições dadas, suponhamos x,y ∈ X e xy; entãox Cx Cy y (teorema I.5.7) donde deve ser fx fCx fCy fy. Istomostra que f é compatível com . C.Q.D.

I.5.15 Observação A função f no teorema anterior é injectiva se e só se ∀x,y ∈ X,f Cx fCy Cx Cy sse ∀x,y ∈ X, fx fy Cx Cy sse ∀x,y ∈ X,fx fy xy; uma vez que f é compatível com , i.e., ∀x,y ∈ X,xy fx fy,vemos que f é injectiva se e só se é a relação de equivalência associada a f.

I.5.16 Seja f : X → Y uma função, e designe R f a relação de equivalência em Xassociada à função f. Chama-se aplicação cociente de f por R e nota-se f/R a funçãof/R : X/R → Y definida por f/R Cx fx x ∈ X. Conclui-se de I.1.15 que f / R éinjectiva, e Imff/R Imf.

I.5.17 Observação. Segundo I.2.1, uma relação binária no conjunto não vazio X é umaparte não vazia do produto cartesiano X2. é uma relação de equivalência se e só se paracada x ∈ X, x,x ∈ ∧ y,x ∈ sempre que x,y ∈ ∧ x, z ∈ sempre quex,y, y, z ∈ , correspondendo a ser reflexiva, simétrica e transitiva. Facilmente severifica que se i : i ∈ I é um conjunto não vazio de relações de equivalência em X,então ∩i : i ∈ I é uma relação de equivalência em X. Além disso, se R é umarelação binária em X, existe uma relação de equivalência 0 em X que contém R a saber,0 X2; existe portanto, e é bem determinada, a relação de equivalência em X que é aintersecção de todas as relações de equivalência em X que contêm R.

I.5.18 Definição (1) Se X é um conjunto não vazio e R é uma relação binária em X,diz-se que a intersecção das relação de equivalência em X que contêm R é a relação deequivalência gerada por R. (2) Se ≠ A ⊂ X, a relação de equivalência determinada peloconjunto A é a relação de equivalência em X gerada pela relação bináriaxRAy x,y ∈ A,RA A2. Nota-se X/A o conjunto cociente X/RA, X/A é o conjuntocociente de X pelo subconjunto A.

-32-

I.5.19 Observação Verifica-se facilmente que a relação de equivalência gerada por RA

em I.5.19 (2) é A2 x,x : x ∈ X. O conjunto cociente X/A A,x : x ∈ X”reduz” o conjunto A a um ponto.

I.5.20 Definição Uma relação binária ≤ num conjunto E diz-se uma relação deordem parcial, ou uma ordem parcial em E se verifica as propriedades de:

reflexividade: ∀a ∈ E,a ≤ a;anti-simetria: ∀a,b ∈ E,a ≤ b ∧ b ≤ a a b;transitividade: ∀a,b,c ∈ E,a ≤ b ∧ b ≤ c a ≤ c.

E,≤ (ou E) diz-se um conjunto parcialmente ordenado. Se também ∀a,b ∈ E, a ≤ bou b ≤ a diz-se que ≤ é uma ordem total e que E é totalmente ordenado ou uma cadeia. .

I.5.21 Exemplos (1) A relação de ordem usual em R, x ≤ y sse y − x ≥ 0, é umaordem total em R;

(2) a relação binária ≤ em N definida por n ≤ m sse "n é um divisor de m" é umaordem parcial em N.

I.5.22 Exercício Prove que a relação de inclusão de conjuntos em PX é uma ordemparcial em PX.

I.5.23 ResoluçãoReflexividade: Uma vez que P P para qualquer proposição P, se A ∈ PX tem-se

x ∈ A x ∈ A donde ∀A ∈ PX,A ⊂ A;anti-simetria: para cada A,B ∈ PX, se A ⊂ B e B ⊂ A então x ∈ A x ∈ B e

x ∈ B x ∈ B donde x ∈ A x ∈ B e A B;transitividade: quaisquer que sejam A,B,C ∈ PX, se A ⊂ B e B ⊂ C então

x ∈ A x ∈ B, x ∈ B x ∈ C e então x ∈ A x ∈ C concluindo-se A ⊂ C.

I.5.24 Definições Seja E,≤ um conjunto parcialmente ordenado, e seja ≠ A ⊂ E.a) Um elemento m ∈ E é um minorante de A (respectivamente um majorante de A) sesatisfaz ∀a ∈ A,m ≤ a (resp. ∀a ∈ A,a ≤ M); se o conjunto A tem pelo menos umminorante (majorante), A diz-se um conjunto minorado (resp.um conjunto majorado);

b) se de entre os minorantes (majorantes) de A, existe um maior minorante i resp. ummenor majorante s, então diz-se que i é o ínfimo de A, e nota-se i infA;respectivamente, diz-se que s é o supremo de A, e representa-se s supA; no casoparticular infA ∈ A diz-se que infA é o mínimo de A, e nota-se infA minA e,respectivamente, se supA ∈ A diz-se que supA é o máximo de A e designa-sesupA maxA.

c) diz-se que uma parte não vazia M de E é uma cadeia se ∀x,y ∈ M,x ≤ y ∨ y ≤ x.d) um elemento v ∈ E é minimal (resp. w é um elemento maximal) se

∀a ∈ E,a ≤ v a v (resp. se ∀a ∈ E,w ≤ a a w).

-33-

I.5.25 Observação Se A é uma parte não vazia no conjunto parcialmente ordenadoE,≤, tem-se i infA se e só se

(inf 1) ∀a ∈ A, i ≤ a;(inf 2) ∀m ∈ E,m ≤ a ∀a ∈ A m ≤ i.Também s supA sse(sup 1) ∀a ∈ A,a ≤ s;(sup 2) ∀M ∈ E,a ≤ M ∀a ∈ A s ≤ M.No caso particular E,≤ R,≤, (inf 2) e (sup 2) podem tomar a forma(Rinf) ∀ 0,∃a ∈ A,a i ;(Rsup)∀ 0,∃a ∈ A,a s − .

I.5.26 Observação Num conjunto parcialmente ordenado, o ínfimo (resp. o supremo)de uma parte não vazia, se existe, é único.

I.5.27 Exemplos (1) Em R munido da ordem usual, todo o conjunto não vazio eminorado (resp. majorado) tem ínfimo (resp. supremo).

(2) Em PX,⊂ os conjuntos ,X são respectivamente um elemento minimal, e umelemento maximal; além disso, tem-se infX minX e X supX maxX. Seexistem pelo menos dois elementos diferentes em X, PX não é uma cadeia.

(3) Em PN,⊂, C Sn 1, . . . ,n : n ∈ N é uma cadeia; é um minorante deC, S1 1 minC e sup C N, não existe maxC.

I.5.28 Exercícios (1) Mostre que se X ≠ então cada conjunto xc x ∈ X noconjunto parcialmente ordenado PX \ X,⊂ é um conjunto maximal.

(2) Considere a relação binária em N2 2,3, . . . definida por nm sse"n,m ∈ N2 e n divide m" .

a) Mostre que o conjunto 2N 2k : k ∈ N não tem majorantes;b) determine inf2N; este ínfimo é um mínimo ?c) prove que C 3k : k ∈ N é uma cadeia em N2,.

I.5.29 Resoluções(1) Se A ⊂ X, A ≠ X e x ∈ X, a hipótese xc ⊂ A é equivalente a Ac ⊂ x e, como

Ac ≠ , tem de ser Ac x i.e., A xc. Portanto xc é um elemento maximal, paracada x ∈ X.

(2) a) Para ser 2kM tem de verificar-se também 2k ≤ M "≤" a ordem usual emR, e não existe nenhum número natural M tal que ∀k ∈ N, 2k ≤ M. Portanto o conjunto2N não tem nenhum majorante em N2,.

b) Para todo o númrero da forma 2k, k ∈ N, 2 divide 2k; e se m ∈ N2 e, para todo ok ∈ N, m2k então m2 fazendo k 1. Portanto 2 inf2N pela definição de ínfimo. É2 min2N, já que 2 ∈ 2N.

c) Para cada 3n, 3m ∈ C, tem-se n ≤ m ou m ≤ n e, no primeiro caso, 3n3m tendo-se3m3n no segundo caso. Assim C é uma cadeia em N2,.

-34-

I.5.30 Definição Se E, é um conjunto parcialmente ordenado, ≠ F ⊂ E, arestrição 0 da ordem parcial a F é obviamente uma ordem parcial em F, que se diz aordem parcial induzida por em F. Habitualmente escreve-se F, para significar oconjunto parcialmente ordenado F,0.

I.5.31 Lema de Zorn Se no conjunto parcialmente ordenado M,≤ toda a cadeia nãovazia tem pelo menos um majorante, então existe emM pelo menos um elementomaximal.

I.5.32 Observação O lema de Zorn é equivalente ao axioma da Escolha de ZermeloI.3.3.

I.5.33 Definição Seja X um conjunto não vazio. Se é uma relação binária em X talque

(i) é reflexiva, i.e., ∀x ∈ X,x x;(ii) é transitiva, i.e., ∀x,y, z ∈ X,x y ∧ y z x z;(ii) ∀x,y ∈ X,∃a ∈ X,x a ∧ y a, então o par X, (ou somente X) diz-se um

conjunto dirigido.

I.5.34 Observação Um conjunto parcialmente ordenado X,≤ diz-se filtrante ousuperiormente filtrante se a ordem parcial verifica, além das propriedades de reflexividade,anti-simetria e transitividade (ver I.5.17), a propriedade de, para cada x,y ∈ X, existir pelomenos um elemento a ∈ X tal que x ≤ a e y ≤ a. Assim, um conjunto parcialmenteordenado filtrante é também um conjunto dirigido. Certos autores chamam a uma relaçãobinária num conjunto X verificando as propriedades reflexiva e transitiva, umaquase-ordem. Pode suceder, segundo a definição I.1.28, X, ser um conjunto dirigido eno entanto a relação binária em X não ser uma ordem parcial. Um exemplo importante, deque veremos uma aplicação adiante, é o seguinte: consideremos um conjunto não vazio M,e uma classe de conjuntos F ⊂ PM tal que ∀F ∈ F,F ≠ e se verifique∀F,F ′ ∈ FF ∩ F ′ ∈ F..

Sendo : F → F : F ∈ F o selector de Zermelo em I.3.3, podemos considerar arelação binária em A F : F ∈ F definida por a a′ sse existem F,F ′ ∈ F taisque a F, a′ F ′ e F ′ ⊂ F. Então A, é um conjunto dirigido, mas em geral, dahipótese a a′ e a′ a não pode concluir-se a a′ e não é uma ordem parcial em A.

I.5.35 Observação Se E,≤ é um conjunto parcialmente ordenado, pode existir umsubconjunto F não vazio de E tal que não exista minF. Por exemplo, com E Q e ≤ aordem parcial usual de R induzida sobre Q, não existe min 2 ,2 ∩ Q. O que não quedizer que, para outra ordem parcial sobre Q, não possa suceder que cada subconjunto nãovazio tenha um mínimo. Se E,≤ é um conjunto parcialmente ordenado, e existe o mínimode uma parte A de E, diz-se também que minA é o primeiro elemento de A.

-35-

I.5.36 Definição Um conjunto parcialmente ordenado E,≤ diz-se umconjunto bem ordenado se toda a parte não vazia de E tem primeiro elemento. Diz-se entãotambém que ≤ é uma boa ordem em E.

I.5.37 Observação Todo o conjunto bem ordenado é totalmente ordenado, como sereconhece considerando dois quaisquer elementos e o mínimo do conjunto por elesformado.

Uma propriedade dos conjuntos parcialmente ordenados, equivalente ao axioma daEscolha de Zermelo, é que dado qualquer conjunto não vazio E, existe pelo menos umaordem parcial ≤ em E, para a qual E,≤ é um conjunto bem ordenado.

I.5.38 Princípio da boa ordenação Se E é um conjunto não vazio, existe pelo menosuma boa ordem em E.

-36-I.6 O CONJUNTO N. NOÇÕES DE CARDINALIDADE.

I.6.1 O conjunto N 1,2, . . . dos números naturais pode ser caracterizado pelaaxiomática de Peano:

(I) existe um número natural chamado ”um” e representado por 1;(II) cada número natural a tem um sucessor a′ que é também um número natural;(III) o número 1 não é um sucessor de nenhum número natural;(IV) os sucessores a′,b′ de dois números naturais a,b,a ≠ b, são diferentes;(V) é válido o princípio de indução dos números naturais: se um subconjunto C de N

verifica as propriedades: (i) 1 ∈ C e (ii) sempre que a ∈ C, tem-se também a′ ∈ C, entãoC N.

I.6.2 Observação A propriedade (V) do conjunto dos números naturais, utiliza-se naprática, dada uma relação Rn na variável n ∈ Np p,p 1,p 2, . . ., para demonstrarpelo método de indução em n que a proposição ∀n ∈ Np,Rn é verdadeira, do modoseguinte: começa-se por provar que Rp V; admite-se então que Rn é verdadeira, paracerto n ≥ p_Esta hipótese chama-se a Hipótese de indução_E prova-se que então também aTese de indução Rn 1 V. Pode também utilizar-se o método de indução em n ∈ N0para demonstrar ∀n ∈ N0,Rn, começando por verificar que R0 é verdadeira; admite-seentão por hipótese de indução que Rn é verdadeira, para certo n ∈ N0 e, provando queentão também Rn 1 é verdadeira, conclui-se a demonstração.

I.6.4 Exemplo A desigualdade de Bernoulli ∀n ∈ N,∀a ∈ R, 1 an ≥ 1 na podeprovar-se por indução do modo seguinte: para n 1 encontra-se1 a1 1 a ≥ 1 1.a, donde 1 1.a, e a proposição é verdadeira para n 1;admitindo que 1 an ≥ 1 na para certo n ∈ N por Hipótese de indução, concluimos1 an1 1 an1 a ≥ 1 na1´ a 1 na 1 naa 1 na a na2 ≥ 1 na a 1 n 1a, concluindo-se a tese de indução e queportanto a desigualdade é verdadeira.

I.6.5 Exercício Demonstre por indução em n:a) ∀n ∈ N2,∀a ∈ R, 1 an 1 na;b) ∀n ∈ N0,∑k0

n 2k 1 n2.

I.6.6 Observações(1) Para demonstrar ∀n ∈ N,Rn (respectivamente ∀n ∈ N0,Rn) pelo

método de indução em n, pode começar por provar-se R1 V (resp. R0 V); admitirentão por hipótese de indução que, dado certo n ∈ N (respectivamente, dado certo n ∈ N0),se tem Rk V para cada k 1, . . . ,n (para cada k 0, . . . ,n e provar então a Tese deindução Rn 1 V. Para certas propriedades, é difícil encontrar um processo dedemonstração substituindo o método de indução dos números naturais.

-37-(2) Um outro método de demonstração importante, e que pode aplicar-se de modo

geral, para demonstrar propriedades é o método de demonstração por redução ao absurdo.Procede-se do modo seguinte, para provar que uma proposição P Q é verdadeira, poreste método: acrescenta-se à hipótese P, a hipótese de absurdo ~Q. Está portanto aadmitir-se a hipótese H ≡ P ∧ ~Q. Por um raciocínio lógico, procura-se concluir atese de absurdo, i.e., concluir que então se verifica uma proposição T tal que T entra emcontradição seja com P, ou com uma propriedade verdadeira na Teoria, ou mesmo com oprincípio da não contradição (por exemplo, se se concluir a ≠ a com a um objecto daTeoria), ou com o princípio do terceiro excluído. Deste modo, T terá de ser falsa, T F eteremos provado a implicação H T, i.e., que a implicação P ∧ ~Q F é verdadeira.Pela análise da tabela de verdade da implicação, terá de ser P ∧ ~Q F; então~P ∨ Q ~P ∧ ~Q V, e da equivalência P Q ~P ∨ Q podemos concluirP Q V ficando provada a proposição pretendida pelo método de redução ao absurdo.Como um exemplo, recordemos a conhecida demonstração da irracionalidade do númeroreal 2 . Provar que 2 ∉ Q, é provar que, pela definição da raiz quadrada de um númeroreal não negativo, sendo 2 0, o número p 0 que satisfaz a equação p2 2 e querepresentamos por 2 não é da forma p m/n para nenhuns números naturais m,n.Trata-se portanto de provar a implicação P Q, onde P ≡ está bem definido o número realp 2 pela equação p2 2 (como é sabido das propriedades dos números reais), eQ ≡ ∀m,n ∈ N, 2 ≠ m/n. Admitindo P e, por hipótese de absurdo ~Q, i.e., que existemnúmeros naturais m,n tais que 2 m/n, concluimos imediatamente 2 m/n2 m2/n2,e podemos supor que os números naturais m,n não são ambos pares, o que se verifica se nafracção m/n tivermos dividido ambos os termos pelo máximo divisor comum. Da equação2 m2/n2 concluimos m2 2n2 e portanto que m é um número par, m 2k onde k ∈ N,pois se na factorização prima de m os factores são todos ímpares, então também m2 seriaum produto de números ímpares. Substituindo na equação m2 2n2 obtemos4k2 2m2 2n2, e portanto n2 2k2; então de novo podemos concluir que n é par, oque entra em contradição com a propriedade de podermos escrever m/n na forma de umafracção irredutível, como fizemos. Concluiu-se portanto a tese de absurdo, ficando provadoque 2 é um número irracional.

I.6.7 Observação O princípio de indução dos números naturais (V) permite tabémdefinir uma função por indução do modo seguinte: Obter uma função f de domínio N talque, dado um objecto a, o valor de f em 1 seja a (i.e, sendo 1,a ∈ f) e tal que, dadasfunções g definidas cada qual sobre Sp 1, . . . ,p onde p percorre N, se verifiquep 1,Fg ∈ f, onde Fg é um objecto, valor de uma função dada F definida sobre oconjunto das funções g, (e portanto com f1 a e f2 Fg1 com g1 definida sobre1; f3 Fg2, g2 definida sobre 1,2 e assim sucessivamente.). Põe-se a questão: ovalor de f no ponto p 1 pode depender de todos os valores que f toma em cada pontoq ≤ p: pois se f existe com domínio N e f1 a, f2 Fg1, . . . , fp Fgp, então fjá está necessariamente definida sobre N e portanto no ponto p 1. Encontra-se em[Kelley] uma demonstração de que a função f existe, e de que damos um apontamento.Para p 1, podemos considerar g11 a e, para q 2 − 1, podemos considerarg2 1,a, 2,Fg1.

-38-Supondo que obtivemos até gp 1,a, 2,Fg1, . . . , p,Fgp−1, q p − 1

podemos considerar gp1 gp p 1,Fgp para q p 1 − 1 e, pelo princípio deindução dos números naturais, existe uma função g∗ : N → ImF tal que (1) g∗1 a e arestrição (2) g0,p

∗ de g∗ a 1, . . ,p é gp ( p ∈ N2) e(3) g∗p gpp Fgp−1 Fg0,p−1

∗ p 2,3, . . . . Portanto, podemos considerar aclasse F de todas as funções h : Sp → ImF que são as restrições das g∗ como em (1), (2),(3) a Sp p ∈ N e satisfazem portanto hq 1 Fh0, onde h0 é a restrição de h a Sq pracada q ∈ N.

Prova-se depois que dadas duas funções h,h′ ∈ F, uma é uma restrição da outra.Portanto a reunião h : h ∈ F é uma função, é a função f pretendida com domínio N, eé tal que para cada número natural p, fp 1 Ffp, onde fp é a restrição de f a Sp.

-39-I.6.8 Definição Um subconjunto não vazio C de N diz-se um conjunto indutivo se

verifica a propriedade ∀c ∈ C,c 1 ∈ C.

I.6.9 Proposição (Boa ordenação de N) Cada subconjunto não vazio de N tem primeiroelemento.

Dem. Seja A um subconjunto não vazio de N, e mostremos que existe a ∈ A tal quea ≤ q,∀q ∈ A. Seja B p ∈ N : p ≤ q,∀q ∈ A. Tem-se 1 ∈ B, e o conjunto B não éindutivo, pois se q ∈ A então q 1 ∉ B. (Se B fosse indutivo ter-se-ia B N). Existeportanto p ∈ B tal que p 1 ∉ B. Mostremos por redução ao absurdo que p ∈ A, e notemosque se p ∈ A, então p é o primeiro elemento de A; se p ∉ A, existe q ∈ A tal quep ≤ q p 1 e, como p ≠ q, tem-se p q p 1. E obtendo-se a tese de absurdo,conclui-se a demonstração.

I.6.10 Definição Dizemos que dois conjuntos X,Y são equipotentes e notamos X~Y seexiste uma bijecção : X → Y.

.I.6.11 Observação Pela definição anterior, tem-se X~X para qualquer conjunto X,

considerando a bijecção IX : X → X. Também se : X → Y e ′ : Y → Z são bijecções, afunção −1 : Y → X é bijectiva, assim como ′o : X → Z é bijectiva; portanto, se X~Ytem-se Y~X, e de X~Y, Y~Z conclui-se X~Z. Convenciona-se ~, e que para nenhumconjunto não vazio X se verifica X~.

-40-

I.6.12 Definição Diz-se cardinal do conjunto A, e nota-se #A a propriedade que Atem de comum com todos os conjuntos equipotentes a A. Diremos que: (1) o conjunto A éfinito e tem cardinal n, #A n,n ∈ N, se A~Sn 1, . . . ,n; (2) o cardinal do conjuntovazio é finito e igual a zero, # 0; (3) A é um conjunto numerável, se A é equipotente aN; (4) A é contável, se é finito ou numerável. O número cardinal de N diz-se o cardinal donumerável, e nota-se #0, #N #0. (5) O cardinal de R é o contínuo que notaremos c,#R c.

I.6.13 Definição Se X,Y são conjuntos tais que, para certo Z ⊂ Y se tem X~Z,diremos que o cardinal de X é menor ou igual que o cardinal de Y, e notaremos#X #Y. Se #X #Y e não se verifica #Y #X, diremos que o cardinal de X émenor que o cardinal de Y, e então notamos #X #Y. Convenciona-se 0 #X paraqualquer conjunto X e 0 #X se X ≠ .

I.6.14 Observações (1) Pela definição em I.6.10, se A e B são conjuntos tais queexiste uma função injectiva f : A → B então #A #B, e a recíproca é válida. Dadosconjuntos A,B, se existe uma função sobrejectiva f : B → A então, designando R a relaçãode equivalência em B associada à função f (exemplo (3) em I.5.2), a função f : B/R → A,fCb fb, Cb x ∈ B : fx fb para cada b ∈ B é bijectiva (I.5.15). Assim#A #B/R. Como B/R é uma partição de B, o selector de Zermelo : B/R → B é umafunção injectiva, pois ∀Cb,Cb′ ∈ B/R,Cb ≠ Cb′ Cb ≠ Cb′ (ver I.3.3). Entãotem-se #A #B/R #B donde #A #B (considere-se a função composta og,onde g : A → B/R é uma bijecção; bastaria g ser injectiva aliás, se #A #B e#B #C então #A #C). Reciprocamente se existe uma injecção f : A → B entãopodemos considerar a função sobrejectiva h : B → A definida por hx f−1x para cadax ∈ Imf e hx hb se x ∈ B\Imf, e um tal elemento x existe, onde b xx ∈ Imf(veja-se I.3.4). Concluimos:

I.6.15 Propriedade Sejam X,Y conjuntos não vazios. As seguintes condições sãoequivalentes:

(a) #X #Y;(b) existe uma função injectiva f : X → Y ;(c) existe uma função sobrejectiva g : Y → X.

-41-

I.6.16 Teorema Todo o subconjunto dum conjunto contável é um conjunto contável.Dem. Supondo A um conjunto contável, se A a1, . . . ,am é finito, obviamente cada

subconjunto C ak : k ∈ I onde I ⊂ Sm é um conjuto finito de cardinal #C #I.Suponhamos pois A numerável, e seja B um subconjunto infinito de A. Sendo f : N → Auma bijecção, tem-se B~f−1B, e portanto basta provar que f−1B é numerável, i.e., quetodo o subconjunto infinito C de N é numerável. Designemos por g1 o primeiro elementode C (boa ordenação de N, I.6.9). Para cada p ∈ N2, podemos considerar o primeiroelemento gp de C\g1, . . . ,gp − 1, uma vez que esta definição faz sentido para p 2e, obtidos g1,g2, , , ,gp 2 ≤ p, existe, pela boa ordenação de N, o primeiro elementogp 1 de C\g1,g2, . . . ,gp. Pelo princípio de indução dos números naturais, ficadefinida uma função g : N → C. Notemos que sendoC\g1, . . . ,gp 1 ⊂ C\g1, . . . ,gp para cada p, tem-se gp ≤ gp 1 p ∈ N,pois se ≠ U ⊂ V então infV ≤ infU. Também gp gp 1 para cada p, poisencontra-se, utilizando o método de indução: para p 1, g2 minC\g1 g1; eadmitindo que gk 1 gk para cada k 1, . . . ,p, p ≥ 1 como hipótese de indução, vemgp 2 minC\g1, . . . ,gp,gp 1 gp 1, pois entre cada gq e gq 1 nãoexiste nenhum elemento de C pela definição da função g q ∈ N. Também p ≤ gpp ∈ N, como se prova facilmente por indução em p: tem-se 1 ≤ g1 e, admitindok ≤ gk para cada k 1, . . . ,p então gp 1 gp ≥ p como já vimos, vemgp 1 ≥ p 1. Então, pela definição de g, cada elemento p ∈ C é um dos números gqcom 1 ≤ q ≤ p, e assim g é sobrejectiva, donde g : N → C é bijectiva e #C #N comoqueríamos provar.

-42-I.6.17 Observações (1) Da bijecção : N0 → N,n n 1 conclui-se que

#N0 #0; também para cada p ∈ N, o conjunto Np p,p 1,p 2, . . . tem cardinal#Np #0. A bijecção : N0 → Z definida por 0 0, 2n − 1 n, 2n −nn ∈ N mostra que N0~Z, donde #Z #0.(2) Para provar que um conjunto C é contável,basta provar que existe uma função sobrejectiva de uma parte não vazia M de N sobre C,atendendo a I.6.16 e a I.6.15.

I.6.18 Teorema Todo o conjunto infinito contém um conjunto numerável.Dem. Dado um conjunto infinito X, utilizando o princípio da boa ordenação, existe

uma boa ordem em X. Designemos a1 o primeiro elemento de X; cconsiderando X\a1 ,este conjunto tem também um primeiro elemento a2 ≠ a1, uma vez que a2 ∈ X\a1 ea1 ∉ X\a1; assim a1 a2. Utilizando o método de indução dos números naturais,admitamos por hipótese de indução que obtivemos elementos a1 a2 . . . an para certon ∈ N2 O conjunto X\a1, . . . ,an é não vazio, pois de contrário seria X a1, . . . ,an, e Xseria um conjunto finito. Existe portanto o primeiro elemento an1 de X\a1, . . . ,an, epodemos obter an1 com an minX\a1, . . . ,an−1 minX\a1, . . . ,an an1 ean1 ≠ an, donde a1 . . . an an1. Fica demonstrado pelo método de indução que existeuma sucessão estritamente crescente an em X, ficando provado o teorema.

I.6.19 Teorema Se A1,A2, . . . é uma classe contável constituída por conjuntoscontáveis, então An : n ∈ N é um conjunto contável. (Nesta notação, se a classe é finitacom m conjuntos, pressupõe-se Amp Am para cada número natural p).

Dem. Pela hipótese, podemos designar An a1n,a2

n, . . . ,akn,ak1

n , . . ., repetindopossivelmente ak1

n akn e akp

n akn p 1,2, . . . se An é um conjunto finito com k

elementos, para cada n ∈ N. Consideremos o conjunto M 2n. 3k : n,k ∈ N ⊂ N e afunção f : B → An : n ∈ N definida por f2n. 3k ak

n. Como f é sobrejectiva, oteorema conclui-se da observação anterior.

I.6.20 Observação Se i : i ∈ I é um conjunto não vazio de cardinais, i #Aipara cada índice i, então os conjuntos Ai i são dois a dois disjuntos, (Ai i : i ∈ Ié uma classe disjunta) e considerando a bijecção bi : Ai → Ai i, bix x, i vemosque i #Ai i para cada i.

I.6.21 Definição Na notação de I.6.19, diz-se soma dos cardinais i i ∈ I o cardinaldo conjunto reunião de uma classe disjunta de conjuntos Wi tal que #Wi i i ∈ I.Representa-se∑ i∈I i #Wi : i ∈ I. Se i : i ∈ I , põe-se∑ i∈I i .

I.6.22 Exercícios (1) Mostre que a definição anterior é coerente, i.e., se para cadaíndice i ∈ I, I ≠ , Wi,Vi são conjuntos tais que as classes de conjuntos Wi : i ∈ I eVi : i ∈ I são ambas disjuntas, e #Wi #Vi para cada i ∈ I, então#Vi : i ∈ I #Wi : i ∈ I.

(2) Mostre que se n #0 para cada n ∈ N então∑n∈N n #0.

-43-Resoluções(1) Sendo fi : Wi → Vi uma bijecção par cada índice i, que existe por hipótese, a

função F : W Wi : i ∈ I → V Vi : i ∈ I definida por Fw fiw se w ∈ Wi

é uma bijecção, concluindo-se a injectividade de∀i, j ∈ I,∀w,w′ ∈ W, fiw fjw′ i j, por a classe Vi : i ∈ I ser uma classedisjunta.

(2) Pelo teorema I.6.18, a reunião numerável de conjuntos numeráveis é um conjuntocontável; como é um conjunto infinito, é um conjunto numerável.

I.6.23 Definição Dada uma classe não vazia de cardinais i : i ∈ I, cada qual i #Ai 0, define-se o cardinal produto dos i como sendo o cardinalPi∈I i # i∈I Ai. Se pelo menos um dos cardinais factores i # 0, o cardinalproduto é zero. Para I 1,2 nota-se Pi∈I i 1.2.

I.6.24 Observação Para cada númer natural p ≥ 2, existem exactamente p − 1 paresordenados de números naturais m,n tais que m n p. Podemos considerar a funçãof : N → N N definida por f1 1,1, f2 1,2, f3 2,1 e, tendo obtido atécerto p ∈ N2 os pares ordenados m,n com m n p, obtidos começando, para certok ∈ N, por fk 1,p − 1, fk 1 2,p − 2,..., fk j m,n,...,fk p − 1 p − 1,1 onde a primeira coordenada m vai crescendo de uma unidade, en decrescendo de uma unidade, podemos continuar o processo para p 1, pondo comq k p, fq 1,p,..., fq j m,n,..., fq p p, 1, onde ordenamos damesma forma os pares m,n. A função f obtida desta forma é uma bijecção, e concluímosque N2~N e #N2 #0.

Para a comparação de cardinais, conclui-se facilmente da definição que dadoscardinais ,, se tem e, que as relações e implicam . Põe-se0 , para qualquer cardinal . Têm-se também as seguintes propriedades, o primeiroteorema de que uma demonstração pode encontrar-se em [Cohn], o segundo para o qualZermelo obteve uma demonstração.

I.6.25 Teorema de Schroeder-Bernstein Dados dois conjuntos A,B tais que existemfunções injectivas f : A → B e g : B → A, existe uma bijecção : A → B.Consequentemente, dados cardinais ,, se e então .

I.6.26 Teorema (Dicotomia) Dados conjuntos não vazios A,B ou existe uma injecçãof : A → B, ou existe uma injecção g : B → A.

-44-I.6.27 Observações (1) Pelas definições das relações e entre cardinais conclui-se

que é válida a Tricotomia: dados números cardinais , tem-se , ou . (2)Se bem que sejam verificadas as propriedades , se , são números cardinais e severificam e então , e também de poder concluir-se de e que para cardinais dados ,,, a relação entre cardinais não é uma ordem parcial; poisnão é uma relação binária, uma vez que não existe o conjunto de todos os cardinais. (3) Oteorema de Schroeder-Bernstein pode enunciar-se pondo: dados conjuntos X,Y,Z tais queX ⊂ Y ⊂ Z e #X #Z, tem-se #X #Y. (4) A comparação de cardinais, utilizandose necessário os teoremas I.6.25 e I.6.26, tem aplicação às operações de números cardinais.

I.6.28 Exemplo Utilizando I.6.23, pode concluir-se que o conjunto Q é numerável.Com efeito, a função f : N2 → Q q ∈ Q : q 0 definida por fn,m n/m ésobrejectiva, donde #Q #N2 #N. Uma vez que N ⊂ Q tem-se #N #Q eportanto, pelo teorema de Schroeder-Bernstein, tem-se #Q #0. Também a bijecçãog : Q → Q− q ∈ Q :q 0 permite concluir #Q− #0. Pelo teorema I.6.18, oconjunto Q Q 0 Q− é contável e, como é infinito, é numerável.

I.6.29 Observações (1) Se ,, são cardinais tais que então e. .. Para uma demonstração ver, por exemplo, [Guerreiro]. (2) Se é um cardinalinfinito, tem-se e . .

I.6.30 Exercícios (1) Utilizando as observações em I.6.29, mostre que se 0 e se é um cardinal infinito, então . max,.

(2) Prove que se cada cardinal infinito i i ∈ I e #I 0, então∑ i∈I i max,. (Sug: Dada uma classe disjunta Wi : i ∈ I, #Wi para cadai ∈ I, considere uma função F : Wi : i ∈ I → Ai I definida por Fa fia, ionde, i é um índice escolhido em I e fi : Ai → Ai é uma bijecção, para cada i ∈ I).

Resoluções(1) Tem-se supondo max, : como consequência de 0 ;

seguidamente ≤ , donde se conclui . Analogamente, para oproduto, implica . . , e como se tem 1 vem também 1. .concluindo-se ..

(2) i obtem-se pelo axioma de Zermelo, existe fi por hipótese e usando (1)

-45-I.6.31 Teorema de Cantor Para qualquer conjunto A, tem-se #A #PA.Dem. Se A , obtemos P e 0 1. Supondo pois A ≠ , a função

f : A → PA, fx x é injectiva, e basta provar que não existe nenhuma funçãosobrejectiva g : A → PA; seja então g : A → PA uma função. Consideremos osubconjunto C x ∈ A : x ∉ gx ⊂ A. Tem-se que C não é imagem por g de nehumelemento x ∈ A. Pois tem-se x ∈ C ou x ∈ A\C. No primeiro caso, é gx ≠ C, pois senãox ∉ C; e no segundo caso, verifica-se x ∈ gx pela definição de C, e como x ∉ C tem-seC ≠ gx. Fica demonstrado o teorema.

I.6.32 Exercício Prove que se X é um conjunto infinito de cardinal , então o cardinaldo conjunto FX das partes finitas de X é . (Sug: Prove pelo método de indução que paracada n ∈ N, o cardinal do conjunto dos subconjuntos de X constituídos por n elementos é). Resolução Para n 1, a bijecção f : X → F1X, fx x, onde F1X é o conjuntodos subconjuntos de X constituídos por um elemento, mostra que #F1X .Admitindo que, para certo n ∈ N, o cardinal do conjunto dos subconjuntos de Xconstituídos por n elementos é , a aplicação sobrejectiva : X FnX : Fj X: 1 ≤ j ≤ n 1 definida por p,x1, . . . ,xn p,x1, . . . ,xn, onde para cadaj 1, . . ,n, FjX é o conjunto dos subconjuntos de X constituídos por j elementos , mostraque #Fn1X #FjX : 1 ≤ j ≤ n 1 . . Assim #FnX paracada n ∈ N, utilizando o teorema de Schroeder-Bernstein, pois #FnX para cada n;como FX FnX : n ∈ N, o resultado conclui-se usando I.6.30 (2).

I.6.33 Observação Se X é um conjunto não vazio, A ⊂ X, podemos associar aoconjunto A a função A : X → 0,1 definida por Ax 1 se x ∈ A e Ax 0 sex ∉ A. A função F : PX → 0,1X, FA A é uma bijecção, e assim PX~0,1X e#PX #0,1X.

I.6.34 Exercícios (1) Mostre que o cardinal do intervalo 0,1 de R é o contínuo c.(Sug: 0,1 0 0,1; considere as funções f : 0,1 → R, fx 1/x eg : R → R− x ∈ R : x 0, gx −x e utilize I.6.30).

(2) Considere as classes de subconjunto do conjunto dos números naturaisF A ⊂ N : Ac é finito, I A ⊂ N : Ac é infinito.

a) Mostre que o conjunto F é numerável (Sug: I.6.32);b) Conclua que #I #PN.

Resoluções (1) Como f é bijectiva, conclui-se #0,1 #R Também, sendo guma bijecção, #R− #R. N ⊂ R e portanto #R é infinito,#R− #R #R. Se #R ≠ #R conclui-se #R #R, o que implica (I.1.30) #R0

#0 R e #R #R− R0 , obtendo-se #R #R, o

que é impossível, e assim #R c. Concluimos, usando de novo I.1.30, que#0,1 c.

(2) a) Utilizando I.6.32, #FN #0 e : FN → F, A Ac é uma bijecção.b) Uma vez que PN F I e #0 #PN pelo teorema de Cantor, , conclui-se

que #PN #F #I max#0,#I #I utilizando I.6.30.

-46-

I.6.35 Teorema #PN c.Dem. Atendendo a I.6.34, basta mostrar que #I #0,1. Sendo A ∈ I, para cada

n ∈ N, designe n An 1 se n ∈ A, n 0 se n ∈ Ac. Uma vez que nem todos os n

tomam o valor 1, a soma de cada série∑n1 n/2n é um número real x ∈ 0,1 para cada

A ∈ I. Obtem-se assim uma função f : I → 0,1, fA ∑n1 n/2n. A função f é

claramente injectiva, pois se A,B ∈ I e A ≠ B então existe pelo menos um número naturaln tal que An ≠ Bn. Se 0 x 1 existem pelo menos duas somas finitas Sm,Sm′ deduas séries respectivamente, tais que Sm ≤ x Sm′ e, se x ≠ Sm tem-se que em cada um dosintervalos Sm,x e x,Sm′ existem duas novas somas finitas Sm1,Sm′1 comSm Sm1 x Sm′1 Sm′ , m m1, m′ m′1. Repetindo o processo, obtemos umasucessão Smk k 1,2, . . . de números reais de limite x, que é a soma de uma série fApara certo A ∈ I, o que mostra que f é sobrejectiva, concluindo a demonstração.

I.6.36 Observação Se na classe Xt : t ∈ T todos os conjunto coincidem com ummesmo conjunto X, então t∈T Xt XT.

I.6.37 Definição Se X é um conjunto não vazio, e T é um conjunto, #X ,#T , o cardinal é por definição #XT; se T convenciona-se#X # 1.

I.6.39 Observação Pela observação anterior e a definição em I.6.23, se Xt : t ∈ T éuma classe de conjuntos não vazios indiciada num conjunto T tal que #Xt t ∈ T e#T então # t∈T Xt . Se ,, são cardinais, , ≠ 0 verificam-se asigualdades . , . ., . como consequência dasdefinições. Também se e é um outro cardinal, tem-se . Atendendo a I.6.33,se #X 2 então #PX 2#X. Encontramos por exemplo como uma aplicação, adeterminação do cardinal do conjunto das sucessões de números naturais: tem-sec 2#0 #NN #RN 2#0#0 2#0.#0 2#0 c, concluindo-se #NN c peloteorema de Schroeder-Bernstein.

I.6.40 Exercício Determine, e compare os cardinais dos conjuntos ZZ e ZR.

Resolução Utilizando I.6.17, #ZZ #0#0 #NN c por I.6.39. Utilizando I.6.33 e

I.6.35, e aplicando também I.6.39 e I.6.30 (1),22#0 #0,1R #ZR #0

2#0 2#02#0 22#0 . Pelo teorema de Schroeder-Bernstein,#ZR 2c. Atendendo a I.6.33, tem-se 2c #PR e como, pelo teorema de Cantor,#R #PR conclui-se #ZZ #ZR.

-47-

I.7 FILTROS E ULTRAFILTROS. REDES

I.7.1 Definição Seja X um conjunto não vazio. Uma classe não vazia F ⊂ PXverificandoF1 ∉ F;F2 ∀F,F ′ ∈ F,F ∩ F ′ ∈ F;F3 ∀U ∈ PX,U ⊃ F ∧ F ∈ F U ∈ F, diz-se um filtro sobre X.

I.7.2 Exemplos (1) Se ≠ A ⊂ X, a classe FA F ⊂ X : F ⊃ A é um filtro sobreX. Em particular, se a ∈ X, Fa F ⊂ X : a ∈ F é um filtro sobre X. (2) Sendo X umconjunto, uma parte de X diz-se cofinita se o seu complementar é finito; se X é infinito, aclasse das partes cofinitas de X é um filtro sobre X. Para X N, obtem-se o filtro deFréchet. (3) Dada uma sucessão un num conjunto U, a classeF F ⊂ U : ∃n ∈ N,um : m n,n 1, . . . ⊂ F é um filtro sobre U, que se diz ofiltro de Fréchet associado à sucessão un. O filtro de Fréchet é o filtro de Fréchetassociado à sucessão dos números naturais.

I.7.3 Exercício Mostre que se X é um conjunto não vazio, e a classe B desubconjuntos de X satisfaz as condiçõesB1 ∉ B; B2 ∀B1,B2 ∈ B,∃B3 ∈ B,B3 ⊂ B1 ∩ B2, então a classe

F F ⊂ X : ∃B ∈ B,B ⊂ F é um filtro sobre X.

Resolução F1 verifica-se, pois ∉ B. F2 verifica-se também, porque se F1 ⊃ B1 eF2 ⊃ B2, onde B1,B2 ∈ B, então existe B3 ∈ B tal que F1 ∩ F2 ⊃ B1 ∩ B2 ⊃ B3, logoF1 ∩ F2 ⊃ B3 e F1 ∩ F2 ∈ F. A condição F3 verifica-se também, pois se F ∈ F entãoexiste B ∈ B,B ⊂ F; e se F ′ ⊃ F então F ′ ⊃ B e por conseguinte F ′ ∈ F.

I.7.4 Definição (1) Se X é um conjunto não vazio, uma classe de subconjuntosB ⊂ PX satisfazendo as condições B1, B2 em I.7.3 diz-se que é uma base de um filtro ouque é uma base de filtro. (2) Se F é um filtro sobre X, diz-se que uma classe B0 ⊂ F, ondeF é um filtro sobre X, é uma base do filtro F se satisfaz a condição

BF ∀F ∈ F,∃B ∈ B0,B ⊂ F.

I.7.5 Observações (1) Se B ⊂ PX é uma base de um filtro, então B é uma base dofiltro F F ⊂ X : ∃B ∈ B,B ⊂ F, que se diz o filtro gerado por B. (2) Notar que se B0

é uma base do filtro F, então cada conjunto em B0 pertence ao filtro F.

I.7.6 Exercícios (1) Determine uma base do filtro FA em I.7.2.(2) Mostre que a classe F0 A ⊂ R : ∃ 0, −, ⊂ A é um filtro sobre R que

tem uma base numerável. A classe −, : 0 é uma base do filtro F0 ? Porquê ?

-48-(3) Mostre que a classe B0 Np : p ∈ N onde Np p,p 1, . . . para cada

p ∈ N é uma base do filtro de Fréchet.Resoluções (1) A é uma base do filtro FA.(2) F1 verifica-se, porque 0 ∈ −, para cada 0, e assim para cada A ∈ F0

tem-se A ≠ . F2 é verdadeira também, porque se 1,2 0, −1,1 ⊂ A1 e−2,2 ⊂ A2 então min1,2 0 e −min1,2,min1,2 ⊂ A1 ∩ A2. F3 Se−, ⊂ A, 0 e A ′ ⊃ A então −, ⊂ A ′ e A ′ ∈ F. A classeB0 −1/n, 1/n : n ∈ N é uma base do filtro F0, e é um conjunto numerável, dada abijecção : N → B0, n −1/n, 1/n. −, : 0 é uma base de F0, pois cada−, ∈ F0 e, pela definição de F0 cada conjunto A ∈ F0 verifica que existe certo 0tal que −, ⊂ A.

(3) Cada conjunto A do filtro de Fréchet F verifica Ac ⊂ Sp 1, . . . ,p para certop ∈ N. Uma vez que Np ∈ F para cada p, e Ac ⊂ Sp Np ⊂ A para cada A ⊂ Nconclui-se que Np : p ∈ N é uma base de F.

I.7.7 Definição Se F,F ′ são filtros sobre um mesmo conjunto X, diz-se que o filtro F ′

é mais fino que o filtro F, e nota-se F ′ F ou F F ′ se F ⊂ F ′; diz-se então tambémque o filtro F é menos fino que o filtro F ′.

I.7.8 Observação No conjunto parcialmente ordenado FX, dos filtros sobre X,toda a cadeia não vazia tem um majorante. Com efeito, se Fi : i ∈ I, I ≠ , é uma cadeiaem FX, para cada subconjunto finito e não vazio J de I e cada classe Fj : j ∈ J, tem-seFj ∈ Fj para cada índice j. Verifica-se facilmente que, com #J m, podemos designarJ j1, . . . , jm onde Fjk ⊂ Fjk′ para cada 1 ≤ k ≤ k ′ ≤ m; donde todos os Fj

pertencem a Fjm e portanto ∩Fj : j ∈ J ∈ Fjm. Por conseguinte, o conjunto dasintersecções finitas destas classes Fj : j ∈ J é uma base de um filtro F sobre X ( poiscada intersecção é não vazia. e a intersecção de duas intersecções finitas é ainda umaintersecção finita), e o filtro F é mais fino que cada filtro Fi, i ∈ I. Pelo lema de Zorn,existe portanto pelo menos um elemento maximal em FX,.

-49-

I.7.9 Definição Sendo X um conjunto não vazio, diz-se ultrafiltro sobre X umelemento maximal no conjunto dos filtros sobre X, parcialmente ordenado para a relação deinclusão de conjuntos.

I.7.10 Exemplo Se a ∈ X, o filtro Fa F ⊂ X : a ∈ F é um ultrafiltro. Nãopodem obter-se outros ultrafiltros sobre X sem recorrer ao axioma de Zermelo.

I.7.11 Observação Dado um filtro F sobre X, conclui-se aplicando o lema de Zorn queexiste pelo menos um ultrafiltro U que contém F. Por exemplo em I.7.2 (1), para cadaa ∈ A, Fa é um ultrafiltro sobre X que contém FA.

I.7.12 Teorema Se U é um filtro sobre X, U é um ultrafiltro sse para cada A ⊂ X severifica A ∈ U ou Ac ∈ U.

I.7.13 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração doteorema anterior:

1. Suponhamos que U verifica a propriedade. Se U não é um ultrafiltro, existe umfiltro F ≠ U tal que U ⊂ F;

2. existe A ⊂ X tal que A ∈ F e A ∉ U;3. Ac ∈ U, e conclui-se um absurdo. Portanto se U verifica a propriedade do

enunciado então U é um ultrafiltro.4. Sejam U um ultrafiltro sobre X, e seja A ⊂ X, A ∉ U. Mostremos que B Ac ∈ U.

Se V ∈ U então V não verifica V ⊂ A;5. V ∩ B ≠ ;6. a classe V ∩ B : V ∈ U é uma base de um filtro F sobre X;7. F é mais fino que U, e F U;8. pode concluir-se B ∈ U, completando a demonstração.

-50-

Resolução1. Pois existe pelo menos um ultrafiltro F que contém U;2. porque por 1. U ⊂ F e U ≠ F;3. pela hipótese do enunciado sobre U, e porque como A ∈ F pelo passo 2., ter-se-á

também Ac ∈ F pelo passo 1., donde A ∩ Ac ∈ F o que é impossível. Conclui-se assima tese de absurdo da hipótese de absurdo de U não ser um ultrfiltro, portanto U é umultrafiltro sobre X.

4. Porque se V ⊂ A e V ∈ U, então A ∈ U uma vez que U é um filtro;5. pois se V ∩ Ac então V ⊂ A, e pelo passo 4. não se verifica V ⊂ A;6. pois pelos passos 4. e 5. cada V ∩ B ≠ ; como para cada V1,V2 ∈ U se tem

V V1 ∩ V2 ∈ U, conclui-se que cada intersecção V1 ∩ B ∩ V2 ∩ B V ∩ B é umconjunto que está na classe, e esta é portanto uma base de um filtro sobre X;

7. F é mais fino que U porque para cada V ∈ U, tendo-se V ∩ B ⊂ V e V ∩ B ∈ Fpelo passo 6., também V ∈ F; assim, sendo U um elemento maximal, tem-se F U;

8. pois B B ∩ X ∈ F pela definição de F no passo 6., uma vez que X ∈ U pois U éum filtro. Assim B ∈ U pelo passo anterior, e conclui-se que U verifica a propriedade, eassim o teorema.

-51-I.7.14. Teorema É condição necessária e suficiente para que o filtro U sobre X seja um

ultrafiltro que satisfaça a condição ∀A,B ⊂ X,A B ∈ U A ∈ U ∨ B ∈ U.

I.7.15 Exercício Justificando os passos seguintes obtenha uma demonstração doteorema:

1. Se U verifica a condição, conclui-se que U é um ultrafiltro da igualdadeA Ac X.

2. Sendo U um ultrafiltro, suponhamos A B ∈ U; bastará provar que se A ∉ U entãoB ∈ U. Podemos portanto supor A B ∈ U e A ∉ U;

3. tem-se Ac ∩ Bc ∉ U;4. Ac ∈ U;5. Bc ∉ U;6. pode concluir-se a demonstração.

Resolução1. Pois X ∈ U, já que, por hipótese, U é um filtro sobre X.2. Pois se A ∈ U não há nada aprovar;3. porque pelo passo 2. A B ∈ U; não pode ser portanto Ac ∩ Bc A Bc ∈ U

pois então vinha A B ∩ A Bc ∈ U por U ser por hipótese um filtro, o que éimpossível;

4. pelo teorema em I.7.12, já que A ∉ U pelo passo 2.;5. porque se Bc ∈ U, então do passo 4. conclui-se Ac ∩ Bc ∈ U, contra o passo 3.;6. pelo passo 5. e pelo teorema I.7.12, conclui-se B ∈ U como se queria provar no

passo 2.

I.7.16 Observação Se B é uma base de um filtro sobre X, considerando o filtro Fgerado por B temos: se F é um ultrafiltro, então dado A ⊂ X é A ∈ F ou Ac ∈ F; assimdeve existir B ∈ B verificando ou B ⊂ A, ou B ⊂ Ac. Reciprocamente, se para cada A ⊂ Xexiste pelo menos um conjunto B ∈ B tal que B ⊂ A ou B ⊂ Ac então F é um ultrafiltro.Obtemos

I.7.17 Teorema Uma base B de um filtro sobre X é base de um ultrafiltro sobre X ssepara cada A ⊂ X, A contém um conjunto em B ou Ac contém um conjunto em B.

I.7.18 Sendo f : X → Y uma função e B uma base de filtro sobre Y, se f−1B ≠ para cada B ∈ B, a classe f−1B : B ∈ B é uma base de filtro sobre X. Duas bases de ummesmo filtro originam, por este processo, duas bases do mesmo filtro. Com X ⊂ Y ef : X → Y a aplicação de inclusão, se X ∩ B ≠ para cada B ∈ B então X ∩ B : B ∈ B éuma base de filtro sobre X.

-52-

I.7.19 Definição Com X,Y,B e f como em I.7.18, a classe f−1B : B ∈ B diz-se abase imagem recíproca da base de filtro B; o filtro F gerado pela classe diz-se também aimagem recíproca do filtro gerado por B. No caso particular de X ⊂ Y e f a aplicação deinclusão, a imagem recíproca do filtro gerado por B diz-se também o filtro restrição dofiltro gerado por B, ou o filtro induzido pelo filtro gerado por B sobre X.

I.7.20 Se B é uma base de filtro sobre X e f : X → Y é uma função, entãofA : A ∈ B é base de um filtro F sobre Y.

I.7.21 No contexto de I.7.20, a classe fA : A ∈ B diz-se a base imagem directa dabase de filtro B. O filtro F é o filtro imagem directa do filtro sobre X gerado por G.

I.7.22 Observações (1) Se acima B′ é uma outra base do filtro sobre X gerado por B, aclasse fA ′ : A ′ ∈ B′ é ainda uma base do filtro F sobre Y.

(2) Mesmo que B seja um filtro, a base imagem directa de B não é, em geral, umfiltro. Se B é um filtro, o filtro imagem directa do filtro B é a classe C ⊂ Y : f−1C ∈ B.

I.7.23 Teorema Se B é base de um ultrafiltro sobre X, a base imagem directa de B éuma base de um ultrafiltro sobre Y.

I.7.24 Exercício Obtenha uma demonstração do teorema anterior, justificando aspassagens:

1. Se B ⊂ Y então f−1Bc f−1Bc;2. f−1B está no filtro gerado por B, ou f−1Bc eatá neste filtro;3. pode concluir-se o teorema.

Resolução1. A inclusão f−1Bc ⊂ f−1Bc é consequência imediadata da definição de f−1. Se

x ∉ f−1B então fx ∉ B e com y fx ∈ Y tem-se y ∈ Bc, x ∈ f−1y ⊂ f−1Bcconcluindo-se f−1Bc ⊂ f−1Bc;

2. atendendo a 1., pois por hipótese o filtro gerado por B é um ultrafiltro, e utilizandoo teorema I.7.12;

3. porque B ⊃ ff−1B, Bc ⊃ ff−1Bc e assim pelo passo 2., B pertence ao filtroimagem directa do ultrafiltro gerado por B, ou Bc pertence à imagem directa desseultrafiltro, e utilizando o teorema I.7.12.

I.7.25 Recordar que uma sucessão num conjunto não vazio X é uma função de N emX. A ordem parcial usual de N permite considerar uma subsucessão unk da sucessãoun, como a composta un após g, onde g : N → N, g : k nk é uma funçãoestritamente crescente; permite também considerar o conceito de limite de uma sucessão.Podem considerar-se estas noções num contexto mais geral.

-53-

I.7.26 Definição Sendo X um conjunto não vazio e J, um conjunto dirigido, umafunção x : J → X diz-se uma rede em X, ou uma sucessão generalizada em X. Representa-sea rede x pondo xjJ ou xj onde xj xj j ∈ J.

Se I,≥, J, são conjintos dirigidos, dizemos que uma aplicação : I → J éadmissível se para cada índice j ∈ J existe pelo menos um índice i0 ∈ I, tal que∀i ∈ I, i ≥ i0 i j. E dizemos que uma rede yiI é uma subrede (subsucessãogeneralizada) da rede xjJ se existir uma aplicação admissível : I → J tal que yi xipara cada i ∈ I.

I.7.27 Exemplo Se X é um conjunto não vazio e F é um filtro sobre X, F é umconjunto dirigido F para a quase-ordem (que é uma ordem parcial) F F ′ sse F ′ ⊂ F.Sendo : F → X o selector de Zermelo, podemos considerar a rede em X, xFF ondexF F para cada F ∈ F.

I.7.28 Observações (1) O conjunto N com a ordem parcial usual é um conjuntodirigido; assim toda a sucessão em X é uma rede em X. No entanto, uma subrede dasucessão un, ainda que seja uma sucessão, pode não ser uma subsucessão de un nosentido habitual, como mostram as subredes

1,3,3,5,5,5,7,7,7,7,9, . . . e 2,1,4,3,6,5,8,7, . . . de 1,2,3,4,5, . . .Se J N com a ordem parcial usual na definição I.6.26, : I → N é admissível se e

só se i aumenta indefinidamente. Seguindo [Machado], se u un, dizemos que umafunção composta un após g como em I.7.25, com g estritamente crescente, é umasubsucessão estrita de un; no entanto subentendemos, salvo menção em contrário, queuma subsucessão goun unk de un é estrita i.e., que g : N → N,g : k nk éestritamente crescente.

(2) Se J, é um conjunto dirigido, ≠ I ⊂ J, então a relação binária R em Idefinida por iRi′ sse i, i ′ ∈ I ∧ i i ′ é uma quase-ordem em I, para a qual I é um conjuntodirigido. Dizemos que I é cofinal com J se para cada j ∈ J, existe pelo menos um i ∈ I talque i j; então a aplicação de inclusão i i de I em J é admissível. Portanto, dada umarede xjJ, a rede xiI é uma subrede daquela.

(3) Sendo xjJ uma rede em X, yiI xi uma subrede de xjJ ezkK yk xok uma subrede de yiI, então também zkK é uma subrede dexiI.

I.7.29 Exercício Verifique a observação (3) anterior.

ResoluçãoPor hipótese, existem aplicações admissíveis : I → J e : K → I tais que zk yk

k ∈ K e yj xi i ∈ I. Então zk xk k ∈ K, e resta provar que a aplicaçãoo : K → J é admissível. Para cada j ∈ J, existe pelo menos um índice i0 ∈ I tal quei j para cada i ∈ I tal que i ≥ j0, pois é admissível; como é admissível, existe pelomenos um índice k0 ∈ K com k ≥ i0 para todo o k k0, k ∈ K. Concluimos queok k j para todo o k k0, k ∈ K, provando o que se pretende.

-54-I.8 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS

I.8.1 Mostre que PA ∩ B PA ∩ PB.I.8.2 a) Prove que se f : X → Y é uma função então ff−1B B ∩ fX para cada

B ⊂ Y;b) dê um exemplo em que A ⊂ X e f−1fA ≠ A.

I.8.3 Sejam Ai : i ∈ I uma classe não vazia de conjuntos, B um conjunto.Mostre que:a) ∀i ∈ I,Ai ⊂ B Ai : i ∈ I ⊂ B;b) ∀i ∈ I,B ⊂ Ai B ⊂ ∩Ai : i ∈ I.I.8.4 Sejam A ⊂ X, I,J ≠ e Ai : i ∈ I,Bj : j ∈ J ⊂ PX.a) Mostre que:(1) A ∩ Bj : j ∈ J A ∩ Bj : j ∈ J;(2) Ai : i ∈ I Bj : j ∈ J Ai ∩ Bj : i, j ∈ I J.b) Verifique a lei da dualidade, obtendo(1’) A Bj : j ∈ J A Bj : j ∈ J e(2’) Ai : i ∈ I Bj : j ∈ J Ai Bj : i, j ∈ I J.I.8.5 a) Dadas classes de conjuntos X1,X2,Y1,Y2 e um conjunto Y, mostre que:(i) X1 X2 Y1 Y2 X1 Y1 X1 Y2 X2 Y1 X2 Y2;(ii) X1 ∩ X2 Y1 ∩ Y2 X1 Y1 ∩ X2 Y2;(iii) X1\X2 Y X1 Y\X2 Y.

b) Prove que X1 Y1 X2 Y2 X1 X2 ∧ Y1 Y2.c) Prove que se A ⊂ X,B ⊂ Y então

(i) A B A Y ∩ X B;(ii) A Bc Ac Y X Bc.

I.8.6 Mostre que se As : s ∈ S,Bt : t ∈ T são classes não vazias de conjuntosnão vazios, então

a) As : s ∈ S Bt : t ∈ T As Bt : s, t ∈ S T;b) ∩As : s ∈ S ∩Bt : t ∈ T ∩As Bt : s, t ∈ S T.

I.8.7 Note que se X,Y são conjuntos não vazios, Rx é uma relação em X e Sy é umarelação em Y, então x,y ∈ X Y : Sy X y ∈ Y : Sy. Utilizandox,y ∈ X Y : Rx ∨ Sy x ∈ X : Rx Y X y ∈ Y : Sy concluaque x,y ∈ X Y : x ∈ A ∨ y ∈ B A Y B X.

I.8.8 Sendo f : X → Y uma função, A,A1,A2 ⊂ X,B,B1,B2 ⊂ Y,a) (i) mostre que A1 ⊂ A2 fA1 ⊂ fA2;

(ii) dê um exemplo em que fA1 ⊂ fA2 mas não se verifique A1 ⊂ A2.

-55-b) Prove que fA sse A .c) Mostre que f−1B1\B2 f−1B1\f−1B2.d) Mostre que f−1B sse B ∩ fX .e) (i) Prove que fA ∩ B fA ∩ f−1B, e conclua que

(ii) fA ∩ B sse A ∩ f−1B e(iii) fA ⊂ B A ⊂ f−1B.I.8.9 Note que se f : X → Y é uma função e g é a função restrição de f a A ⊂ X,

A ≠ , então g−1B A ∩ f−1B para cada B ⊂ Y. Prove que se Ai : i ∈ I é uma classenão vazia de subconjuntos não vazios de X tal que X Ai : i ∈ I, e gi é a funçãorestrição de f a Ai para cada i ∈ I, então f−1B gi

−1B : i ∈ I.I.8.10 Sejam X,Y0,Y1 conjuntos não vazios, f0 : X → Y0 e f1 : X → Y1 funções.

Mostre que definindo f : X → Y0 Y1 por fx f0x, f1x se tem:a) fA ⊂ f0A f1A para cada A ⊂ X;b) f−1B0 B1 f0

−1B0 ∩ f1−1B1 se B0 ⊂ Y0, B1 ⊂ Y1.

I.8.11 Sejam f0 : X0 → Y0 e f1 : X1 → Y1 funções. Considere a funçãog : X0 X1 → Y0 Y1 definida por gx0,x1 f0x0, f1x1. Prove que:

a) gA0 A1 f0A0 f1A1 Ai ⊂ Xi, i 0,1;b) g−1B0 B1 f0

−1B0 f1−1B1 Bj ⊂ Yj, j 0,1.

I.8.12 Um número real diz-se algébrico se é uma raiz de um polinómio de coeficientesinteiros; caso contrário diz-se transcendente. Mostre que o conjunto dos números algébricosé numerável e conclua que o conjunto dos números transcendentes tem o cardinal docontínuo.

I.8.13 Uma parte A de um conjunto não vazio X diz-se uma parte própria de X seA ≠ X.

a) Prove que um conjunto infinito é equipotente a uma parte própria. (Sug: princípioda boa ordenação; método de indução dos números naturais.)

b) Pode caracterizar os conjuntos infinitos, como sendo os conjuntos equipotentes auma parte própria ? Justifique.

I.8.14 a) Deternine os cardinais: (i) #Q2; (ii) #R2.b) Demonstre por indução em n ∈ N que #Qn #0 e #Rn c.

I.8.15 O conjunto de Cantor ([Kuratowski]) é o conjunto C dos números reais s nointervalo [0,1] que são da forma s 1

3 2

32 3

33 . . . , onde n ∈ 0,2 para cada n ∈ N.Mostre que #C c.

I.8.16 Se Xt : t ∈ T é uma classe disjunta não vazia de conjuntos não vazios, Y éum conjunto não vazio, cada função f x, fx : x ∈ Xt : t ∈ T ∈ YXt:t∈T podeidentificar-se com o t −énuplo x, ftx : x ∈ Xt ∈ t∈T YXt , onde ft é a funçãorestrição de f a cada conjunto Xt t ∈ T. Conclui-se que se os cardinais ,t t ∈ T sãonão nulos, então ∑ t∈T

t Pt∈T t . Também, se Yt : t ∈ T é uma classe disjunta nãovazia de conjuntos não vazios, X é um conjunto não vazio, podem identificar-se osconjuntos t∈T YtX e t∈T Yt

X, donde sendo , t t ∈ T numeros cardinais diferentes dezero, Pt∈T t Pt∈T t

.I.8.17 Não pode concluir-se utilizando os axiomas citados até agora, se existe algum

cardinal tal que #0 2#0 . A hipótese de que não existe um tal cardinal diz-se ahipótese do contínuo.

-56-I.8.18 Dado o conjunto N dos números naturais, podemos considerar os conjuntos

PN,PPN e assim sucessivamente. Obtidos, desta forma,P1 PN,P2 PPN,. . . , PnN, podemos obter Pn1N e considerar a classe C PnN : n ∈ N. Prova-se ([Oliveira]) que para cada n, #Pn #C. Cadacardinal de um conjunto PnN diz-se um cardinal acessível. Existem portanto númeroscardinais não acessíveis.

. I.8.19 Sendo A uma classe de conjuntos, diremos que uma parteH de A é uma torreem A se para cada A,B ∈ H se tem A ⊂ B ou B ⊂ A. Uma torreM em A é maximal senehuma torre N em A verificaM ⊂ N e N ≠ M. Dizemos ainda que uma classe A deconjuntos tem carácter finito se cada subconjunto finito de um conjunto em A está em A ese um conjunto A é tal que toda a sua parte finita está emA, então A está também emA.Recordar ainda a noção de quase-ordem num conjunto em I.5.29 (ou pré-ordem).

Dado que aceitamos o símbolo da escolha de Hilbert em I.3.4, fica implícito queaceitamos as proposições equivalentes seguintes:

Princípio maximal de Hausdorff _ Se A é uma classe de conjuntos e N é uma torre emA, existe uma torre maximalM em A que contemN

Princípio maximal _ Se para cada torre N em A existe um conjunto em A que contemcada conjunto emN, então existe um conjunto M ∈ A tal que para nenhum N ∈ A severifica M ⊂ N

Lema de Tukey _ Existe um elemento maximal em toda a classe não vazia de carácterrfinito

Lema de Kuratowski _ Toda a cadeia num conjunto parcialmente ordenado está contidanuma cadeia maximal

Lema de Zorn _ Se toda a cadeia não vazia no conjunto parcialmente ordenado X temum majorante, então existe em X um elemento maximal.

Axioma da Escolha de Zermelo _ Dada uma família constituída por conjuntos Xi

indiciada num conjunto não vazio de índices I, existe uma função de escolha , o selectorde Zermelo, tal que i ∈ Xi para cada índice i ∈ I

Postulado de Zermelo _ Se A é uma classe não vazia de conjuntos não vazios e dois adois disjuntos, existe um conjunto C tal que A ∩ C é um conjunto reduzido a um elemento,para cada A ∈ A

Princípio da Boa Ordem _ Dado qualquer conjunto C, existe uma boa ordem em CProduto infinito _ Se X : ∈ A é uma família não vazia de conjuntos não vazios,

então∈A X ≠ I.8.20 O Lema de Zorn pode ser formulado, segundo [Dugundji] de modo mais geral;

dada uma quase-ordem ≤ no conjunto X consideram-se os conceitos de cadeia em X,elemento maximal em X, analogamente à situação em que ≤ é uma ordem parcial. Tem-seentão o enunciado equivalente

Sendo X um conjunto munido de uma quase-ordem, se toda a cadeia não vazia tem ummajorante então existe em X um elemento maximal.

-57-

BIBLIOGRAFIA DO CAPÍTULO I

[Aliprantis, Burkinshaw] _ALIPRANTIS, C. D., BURKINSHAW, O. ”Principles ofReal Analysis”, Academic Press San Diego.NewYork.Boston.London.Sydney.Tokyo.Toronto. (1990).

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[Schwartz] _SCHWARTZ, LAURENT ”Analyse, Deuxième Partie Topologie généraleet analyse fonctionnelle”, Collection Enseignement des sciences, 11 Hermann, Paris.(1970).

-58-

II ESPAÇOS MÉTRICOS

-59-

II.1 DESIGUALDADES DE CAUCHY-SCHWARZ, HOLDER EMINKOWSKI

II.1.1 Propriedade (desigualdade de Cauchy-Schwarz).Se uk,vk são números reais não nrgativos, k 1,2, . . . ,n, n ∈ N, então

∑k1n ukvk ≤ ∑k1

n uk2

12 ∑k1

n vk2

12

Dem. Dados números reais a,b, a b, o intervalo a,b é o conjuntoa,b 1 − a b : 0 ≤ ≤ 1. Uma vez que a função y logx tem a concavidadevoltada para cima, se 0 a b, a imagem y0 log1 − a b não é menor que1 − ya yb, onde ya loga, yb logb. Assim tem-se1 − loga logb ≤ log1 − a b. Sendo a função exponencial crescente, obtem-seexp1 − loga logb ≤ 1 − a b, ou seja a1−b ≤ 1 − a b. Notar que estadesigualdade é verdadeira para quaisquer a,b ≥ 0, e a igualdade dá-se se e só se a b.

Dados números reais positivos ak,bk, 1 ≤ k ≤ n obtemos comA ∑k1

n ak,B ∑k1n bk, fazendo a ak/A e b bk/B para cada k,

(1) ak1−/A1−bk

/B ≤ 1 − ak/A bk/B. Adicionando,

(2) ∑k1n ak

1−bk/A1−B ≤ 1 − ∑k1

n ak/A ∑k1n bk/B 1, e

(3)∑k1n ak

1−bk ≤ ∑k1

n ak1−∑k1n bk. Pondo uk ak

1−,vk bk, e fazendo 1

2 ,obtemos a desigualdade pretendida, c.q.d.

II.1.2 Exercícios1. Utilizando a demonstração anterior, obtenha uma demonstração da desigualdade de

Holder:Se p,q 1 verificam 1

p 1q 1, uk,vk ≥ 0 1 ≤ k ≤ n,n ∈ N então

∑k1n ukvk ≤ ∑k1

n ukp

1p ∑k1

n vkq

1q .

2. Analisando a demonstração, conclua que só se verifica a igualdade, na desigualdadede Holder, se exite uma mesma constante c ≥ 0 tal que ak cbk para todo o k 1, . . . ,n.

Resoluções1. Pondo, em (3), 1 − 1

p 1q . 2. Pois a igualdade verifica-se em (1) se e só se

ak/A bk/B, i.e. sse ak/bk A/B c para cada k.

-60-II.1.3 Propriedade (desigualdade de Minkowski).Se p ≥ 1, uk,vk ∈ R 1 ≤ k ≤ n,n ∈ N, então

∑k1n ∣ uk vk ∣p

1p ≤ ∑k1

n ∣ uk ∣p 1p ∑k1

n ∣ vk ∣p 1p .

Dem. Para p 1, a desigualdade é óbvia. Se p 1, 1q 1 − 1

p , comak ∣ uk ∣,bk ∣ vk ∣ podemos aplicar a desigualdade de Hölder a cada parcela da soma∑k1 akak bkp−1 ∑k1

n bkak bkp−1.Obtemos assim∑k1

n ∣ uk vk ∣p ≤ ∑k1n ak bkak bkp−1 ≤

∑k1n ak

p1p ∑k1

n ak bkqp−11q ∑k1

n bkp

1p ∑k1

n ak bkqp−11q .

Então de 1p 1 − 1

q ,qp − 1 p, obtemos, dado que ∑k1n ak bkqp−1

1q 0,

∑k1n ∣ uk vk ∣p

1p ≤ ∑k1

n akp

1p ∑k1

n bkp

1p c.q.d.

II.1.4 As desigualdades em II.1.1, II.1.2 e II.1.3 são casos particulares, para a medidade contagem, das seguintes desigualdades para integrais:

Desigualdade de HolderSe p,q 1, 1

p 1q 1, ,∑, é um espaço de medida, f,g ∈ R,

∣ fg ∣ d ≤

∣ f ∣p d

1p

∣ g ∣q d

1q .

Desigualdade de MinkowskiSe p ≥ 1, ,∑, e f,g são como acima,

∣ f g ∣p d

1p ≤

∣ f ∣p d

1p

∣ g ∣p d

1p .

II.1.5 Observações (1) Para p q 2, a desigualdade de Minkowski é tambémconhecida por desigualdade de Schwarz; demonstrações de II.1.4 podem ver-se em [Rudin].(2) Utilizando a medida de contagem se I ⊂ N são válidas∑k∈I ∣ ukvk ∣≤ ∑k∈I ∣ uk ∣p

1p ∑k∈I ∣ vk ∣q

1q p,q ≥ 1,

1p 1

q 1,

∑k∈I ∣ uk vk ∣p 1p ≤ ∑k∈I ∣ uk ∣p

1p ∑k∈I ∣ vk ∣p

1p p ≥ 1 .

-61-II.2 DISTÂNCIA NUM CONJUNTO. ESPAÇO MÉTRICO.

SUCESSÕES CONVERGENTES.

II.2.1 Se a,b são números reais, o número real não negativo ∣ a − b ∣ dá a distânciaentre a e b, entendida como o comprimento do segmento da recta de extremos a,b.Representando da,b ∣ a − b ∣, obtemos uma função d : R R → R tal que

(D1) dx,y ≥ 0, dx,x 0;(D2) dx,y dy,x;(D3) dx, z dx,y dy, z (faça-se ∣ x − z ∣∣ x − y y − z ∣) e(D4) dx,y 0 implica x y.

O teorema de Pitágoras mostra que, analogamente,dex1,x2, y1,y2 x1 − y12 x2 − y22

12 dá a distância intuitiva entre os pontos

x1,x2 e y1,y2 do plano cartesiano R2. Utilizando a desigualdade de Minkowski comp 2 (também conhecida como desigualdade de Cauchy), vemos que a funçãode : R2 R2 → R verifica também as propriedades (D1),...,(D4). Se E é um qualquerconjunto não vazio, a função di E E → R definida por dix,y 0, se x y e dix,y 1se x ≠ y, tem também as propriedades (D1),...,(D4).

II.2.2 Definição Se E é um conjunto não vazio, uma função d : E E → Rverificando as condições (D1),...,(D4) acima diz-se uma distância ou uma métrica em E, ousobre E. O par E,d chama-se um espaço métrico.

Notar que de (D3) e (D2), aplicando primeiro (D3) directamente, e depoistrocando x com y nesta desigualdade, se conclui que se d é uma métrica em E, então∣ dx, z − dy, z ∣≤ dx,y.

II.2.3 Exemplos Em II.2.1, d (resp. de,di) são métricas sobre R, respectivamente R2 eE, e R,d, R2,de, E,di são espaços métricos. A métrica d chama-se a métricaeuclideana ou usual em R, e de é a métrica euclideana em R2. A métrica di chama-se amétrica discreta.

-62-II.2.4 Observação A função dM : R2 R2 → R,

dMx1,x2, y1,y2 max∣ x1 − y1 ∣,∣ x2 − y2 ∣ é também uma métrica sobre R2;R2,de e R2,dM são espaços métricos diferentes.

II.2.5 Exercícios (1) Verifique a observação anterior.(2) Mostre que se d é uma métrica em E, então são métricas em E:

(i) 2d definida por 2dx,y 2dx,y x,y ∈ E;(ii) d

d1 definida por dd1 x,y dx,y

1dx,y ;(iii) min1,d definida por min1,dx,y min1,dx,y.

(3) Prove que z1, z2 max∣ Re z1 − Re z2 ∣,∣ Imz1 − Imz2 ∣ é uma distânciaem C.

II.2.6 Resoluções(1) (D1) dMx \,x2, y1,y2 max∣ x1 − y1 ∣,∣ x2 − y2 ∣ ≥ 0, e

dMx1,x2, x1,x2 max∣ x1 − x1 ∣,∣ x2 − x2 ∣ max0,0 0. (D2)dMx1,x2, y1,y2 max∣ x1 − y1 ∣,∣ x2 − y2 ∣ max∣ x2 − x1,∣ y2 − y1 ∣ dMy1,y2, x1,x2.

(D3) dMx1,x2, z1, z2 max∣ x1 − z1 ∣,∣ x2 − z2 ∣ max∣ x1 − y1 y1 − z1 ∣,∣ x2 − y2 y2 − z2 ∣≤max∣ x1 − y1 ∣ ∣ y1 − z1 ∣,∣ x2 − y2 ∣ ∣ y2 − z2 ∣ ≤max∣ x1 − y1 ∣,∣∣ x2 − y2 ∣ max∣ y1 − z1 ∣,∣ y2 − z2 ∣ dMx1,x2, y1,y2 dMy1,y2, z1, z2. (D4) dMx1,x2, y1,y2 max∣ x1 − y1 ∣,∣ x2 − y2 ∣ 0 implica ∣ x1 − y1 ∣ 0, x1 y1 e ∣ x2 − y2 ∣ 0,donde x2 y2 e x1,x2 y1,y2.

(2) (i) 2d verifica as condições (D1) e (D2), pois d satisfaz (D1), (D2); verificatambém (D3), pois 2dx, z 2dx, z ≤ 2dx,y dy, z 2dx,y 2dy, z 2dx,y 2dy, z, uma vez que d verifica (D3); também 2dx,y 0 implicadx,y 0, que implica x y, porque d satisfaz (D4), e assim 2d verifica também acondição (D4), e é uma métrica em E.

(ii) dd1 x,y dx,y

1dx,y 0, pois dx,y 0; também dd1 x,x 0

10 0 poisdx,x 0, e d

d1 verifica (D1). Como dx,y dy,x, tem-se dd1 x,y d

d1 y,x, e dd1

verifica (D2). A função ft tt1 t ≥ 0 é crescente, e portanto tem-se:

dd1 x, z dx,z

1dx,z ≤dx,ydy,z

1dx,ydy,z ≤dx,y

1dx,y dy,z

1dy,z , uma vez que dy, z,dx,y ≥ 0.Assim d

d1 x, z ≤ dd1 x,y d

d1 y, z, e dd1 satisfaz a condição (D3). (D4) verifica-se

também, pois dd1 x,y 0 implica dx,y 0 e então x y porque d satisfaz (D4).

(iii) min1,dx,y min1,dx,y ≥ 0, pois dx,y ≥ 0,1 ≥ 0; emin1,dx,x min1,dx,x min1,0 0 porque dx,x 0; portanto min1,dverifica (D1). Também, sendo dx,y dy,x, tem-se min1,dx,y min1,dy,x emin1,dx,y min1,dy,x. Para (D3), encontra-se: sendo a,b ≥ 0, entãomin1,a min1,b ≥ 1 min1,b ≥ min1,a b se a ≥ 1; e, se a,b ≤ 1, entãomin1,a b ≤ a b min1,a min1,b. Portantomin1,dx, z min1,dx, z ≤ min1,dx,y dy, z ≤min1,dx,y min1,dy, z min1,dx,y min1,dy, z e min1,d verifica

(D3). Também min1,dx,y 0 dx,y 0,x y.

-63-(3) (D1) z1, z2 max∣ Re z1 − Re z2 ∣,∣ Imz1 − Imz2 ∣ ≥ 0, e

z, z max∣ Re z − Re z ∣,∣ Imz − Imz ∣ max0,0 0. (D2)z1, z2 max∣ Re z1 − Re z2 ∣,∣ Imz1 − Imz2 ∣ max∣ Re z2 − Re z1 ∣,∣ Imz2 − Imz1 ∣ z2, z1. (D3)z1, z3 max∣ Re z1 − Re z3 ∣,∣ Imz1 − Imz3 ∣ max∣ Re z1 − Re z2 Re z2 − Re z3 ∣,∣ Imz1 − Imz2 Imz2 − Imz3 ∣≤max∣ Re z1 − Re z2 ∣ ∣ Re z2 − Re z3 ∣,∣ Imz1 − Imz2 ∣ ∣ Imz2 − Imz3 ∣≤max∣ Re z1 − Re z2 ∣,∣ Imz1 − Imz2 ∣ max∣ Re z2 − Re z3 ∣,∣ Imz2 − Imz3 ∣ z1, z2 z2, z3. (D4)z1, z2 max∣ Re z1 − Re z2 ∣,∣ Imz1 − Imz2 ∣ 0 implica Re z1 Re z2 eImz1 Imz2, logo z1 z2.

II.2.7 Vê-se por II.2.1 que a convergência de uma sucessão de números reais xnpara um ponto a, é entendida como a convergência da sucessão das distâncias a a,dxn,a ∣ xn − a ∣→ 0 n → . A convergência de uma sucessão xn,yn → a,b em R2

é usualmente entendida de novo, como a convergência da sucessão das distânciasdexn,yn, a,b dos termos da sucessão ao limite, para zero. Em ambos os casos, ostermos da sucessão aproximam-se do limite, e a medida dessa proximidade é dada por ostermos, a partir de certa ordem n, verificarem a condiçãoxn ∈ Ia, a − ,a x ∈ R : dx,a no primeiro caso, exn,yn ∈ B0a,b, x,y ∈ R2 : dexn,yn, a,b . Deste modo, dado umespaço métrico E,d, pode considerar-se a noção de convergência de uma sucessão depontos de E para um ponto de E. Põe-se por definição:

II.2.8 Definição Sejam E,d um espaço métrico, xn uma sucessão em E, a ∈ E.Diz-se que xn é convergente para a, converge para a ou que tem limite a, se é verificada acondição

l para cada 0, existe uma ordem p p ∈ N tal que dxn,a para cadan ≥ p.

Nota-se então limxn a ou xn → a. Em linguagem lógica,limxn a ≡ ∀ 0,∃p p ∈ N,n ≥ p dxn,a .

Se xn não é convergente, diz-se também que é divergente.

II.2.9 Propriedade Num espaço métrico, o limite de uma sucessão, se existe é único.Dem. Trata-se de provar que se E,d é um espaço métrico, e xn é uma sucessão em

E, limxn a, limxn b, a,b ∈ E, então a b. Dado 0, a condição l aplicada a a,bseparadamente, mostra que existem p/2 ∈ N, para a, e p′/2 para b, tais que, comp maxp/2,p′/2 se tem, para cada n ≥ p0, dxn,a /2 (pois n ≥ p/2) edxn,b /2, pois então n ≥ p′/2. Em particular, para n p, verifica-se dxp,a /2e dxp,b /2. Então usando (D2) e (D3), tem-se da,b ≤ da,xp dxp,b .Concluímos que não pode ser a ≠ b, pois então seria da,b 0 0 (usando (D1) e(D4)), e considerando p0/2 e p′0/2 no raciocínio anterior, teríamos simultaneamenteda,b 0, da,b 0. A hipótese de absurdo a ≠ b implica uma contradição, econclui-se a propriedade c.q.d.

-64-

II.2.10 Exemplos(1) A sucessão n

n1 , log2 1n em R2, é convergente em R2,de , para o limite

1, log2. Com efeito, como nn1 → 1 e log2 1

n → log2 em R munido da métrica usual,tem-se: dado 0, existe uma ordem p1 ∈ N tal que ∣ n

n1 − 1 ∣ / 2 para cadan ≥ p1; e existe p2 ∈ N tal que ∣ log2 1

n − log2 ∣ / 2 se n ≥ p2. Se entãon ≥ p0 maxp1,p2 ∈ N, tem-se de n

n1 , log2 1n , 1, log2

nn1 − 12 log2 1

n − log22 2

2 2

2 . A sucessão é convergente para omesmo limite, no espaço métrico R2,dM em II.2.4

(2) A sucessão 1n não é convergente em R,di, di a métrica discreta em II.2.1.

Com efeito, qualquer que seja a ∈ R, tem-se a ≠ 1n para uma infinidade de números

naturais n, vindo di 1n ,a 1; escolhendo então 1/2 0 na condição de limite l, não

existe nenhuma ordem p ∈ N tal que di 1n ,a 1/2 para cada n ≥ p.

II.2.11 Observação Se xn é constante e igual a a, a partir de certa ordem, apropriedade (D1) da métrica mostra que a satisfaz a condição l, e limxn a.

II.2.12 Exercícios(1) Mostre que n

n1 , log2 1n → 1, log2 em R2,dM. (II.2.4).

(2) Prove que a sucessão zn n sin 1n ie−n é convergente para 1 no espaço métrico

C,, a métrica em II.2.5 (3).(3) Demonstre que: a) uma sucessão xn,yn converge para a,b em R2,de se e só

se xn → a e yn → b em R munido da métrica usual.b) xn,yn → a,b em R2,dM se e só se xn → a e yn → b em R,d, d a métrica usual

em R (ds como em II.2.4).c) Conclua de a) e b) que uma sucessão é convergente em R2,de sse é convergente,

para o mesmo limite, em R2,dM.(4) Mostre que uma sucessão é convergente num espaço métrico munido da métrica

discreta (II.2.3) se e só se é constante, a partir de certa ordem.

Resoluções(1) Uma vez que n

n1 → 1 e log2 1n → log2 em R munido da métrica usual,

tem-se: dado 0, existem p1,p2 ∈ N tais que ∣ nn1 − 1 ∣ se n ≥ p1 e

∣ log2 1n − log2 ∣ para cada n ≥ p2. Então p maxp1,p2 ∈ N verifica a

condição: n p implicadM n

n1 , log2 1n , 1, log2 max∣ n

n1 − 1 ∣,∣ log2 1n − log2 ∣ .

(2) Tem-se n sin 1n → 1 e e−n → 0 em R para a métrica usual; portanto para cada

0, existem ordens p1,p2 ∈ N tais que n ≥ p1 implica ∣ Re zn − 1 ∣∣ n sin 1

n − 1 ∣ e n ≥ p2 implica ∣ Imzn ∣ . Para n ≥ p maxp1,p2 é portantozn, 1 .

-65-(3) a) Suponhamos que xn,yn → a,b em R2,de, i.e., para cada 0, existe

p p ∈ N tal que n ≥ p implica dexn,yn, a,b xn − a2 yn − b2 .Então se n ≥ p tem-se ∣ xn − a ∣≤ dexn,yn, a,b e∣ yn − b ∣≤ dexn,yn, a,b , o que mostra que xn → a e yn → b em R munido damétrica usual. Reciprocamente, se limxn a e limyn b, então para cada 0, existemp1,p2 ∈ N tais que n ≥ p1 implica ∣ xn − a ∣

2e n ≥ p2 implica ∣ yn − b ∣

2;

com p maxp1,p2, n ≥ p implica dexn,yn, a,b , e limxn,yn a,b emR2,de, c.q.d.

b) Se xn → a,yn → b em R munido da métrica usual, então para cada 0, existemp1,p2 ∈ N tais que n ≥ p1 implica ∣ xn − a ∣ , n ≥ p2 implica ∣ yn − b ∣ ; vem paran ≥ p maxp1,p2 que ∣ xn − a ∣ e ∣ yn − b ∣ , donde n ≥ p implicadMxn,yn, a,b max∣ xn − a ∣,∣ yn − b ∣ , e xn,yn → a,b em R2,dM,c.q.d.

c) Tem-se limxn,yn a,b em R2,de sse limxn a e limyn b em R munido damétrica usual, por a); e limxn a, limyn b sse limxn,yn a,b em R2,dM pela b).Assim xn,yn converge para a,b em R2,de sse xn,yn converge para a,b emR2,dM.

(4) Sejam xn uma sucessão em E,di, E um conjunto não vazio, a ∈ E. Se existeuma ordem p tal que xn a para cada n ≥ p, tem-se limxn a (II.2.11). Reciprocamente,se limxn a, então escolhendo 1/2 0 na condição l, deve existir uma ordemp p1/2 tal que para cada n ≥ p, dixn,a 1/2. Para que xn verifique esta condição,tem de ser xn a, pois se xn ≠ a então dixn,a 1, pela definição da métrica discreta di

(II.2.3).Portanto xn é constante a partir de certa ordem, se é convergente.

-66-II.2.13 Obsevação Se E,d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E, a função restrição dA

da métrica d ao conjunto A A é uma métrica em A.

II.2.14 Definição Sejam E,d um espaço métrico, A uma parte não vazia de E. Amétrica dA em A, restrição de d a A A, diz-se a métrica induzida pela métrica d em A. Oespaço métrico A,dA diz-se um subespaço métrico de E,d.

II.2.15 Observação Uma sucessão num subespaço métrico pode não ser convergenteno subespaço, e no entanto ser convergente no espaço métrico: considere-se por exemplo asucessão xn 1 1

n n em Q,d, convergente em R,d para e, onde d é a métrica usualem R.

II.2.16 Definição Sejam E,d um espaço métrico, a ∈ E, r 0. Chama-se bolaaberta (resp. bola fechada) de centro a e raio r, o conjunto B0a, r x ∈ E : dx,a r(resp. Ba, r x ∈ E : dx,a ≤ r).

II.2.17 Exemplos(1) Em R,d, d a métrica usual, Ia, r a − r,a r é, para cada a ∈ R e cada

r 0, a bola aberta B0a, r. Ba, r a − r,a r é a bola fechada correspondente.(2) No espaço métrico C, em II.2.5 (3), a bola fechada B0,1 é o quadrado

−1,1 −i, i. A bola aberta correspondente é o quadrado sem os lados.(3) Se E é um conjunto não vazio, e di é a métrica discreta em E, a ∈ E, tem-se

B0a, 1 x ∈ E : dix,a 1 x ∈ E : dix,a 0 a. Ba, 1 E, pois todo ox ∈ E verifica a condição dix,a ≤ 1.

II.2.18 Exercícios(1) Determine a bola aberta e a bola fechada de centro 1

3 e raio 1 no espaço métricoR, 2d, d a métrica usual (II.2.5 (2) (i)).

(2) a) Prove que as seguintes funções são métricas em Rn, para cada número natural n:(i) dex1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn ∑k1

n ∣ xk − yk ∣2 12 ;

(ii) dMx1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn max∣ xk − yk ∣: k 1, . . . ,n;(iii) dsx1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn ∑k1

n ∣ xk − yk ∣. (Sug: para (i), utilize adesigualdade de Minkowski).

b) Supondo n 1 na a), determine as métricas induzidas por de,dM e ds emR 0n−1.

c) Com n 2, esboce no plano cartesiano:(i) B00,1, 1 e B0,1, 1, para as métricas de e dM;(ii) B0,0, 1 para cada uma das métricas de,dM,ds.(3) Se a,b ∈ R2, ≠ W ⊂ R2, põe-se a,b W a,b x,y : x,y ∈ W.

(i) Prove que a,b B00,0, r B0a,b, r e Ba,b, r a,b B0,0, r emR2,de, para cada a,b ∈ R2 e cada r 0.

(ii) É válido um resultado análogo a (i) para as métricas dM e ds? Porquê?

-67-II.2.19 Resoluções(1) B0 1

3 , 1 x ∈ R : 2 ∣ x − 13 ∣ 1 x ∈ R :∣ x − 1

3 ∣12

x ∈ R : − 12 x − 1

3 12 −

16 , 5

6 . B 13 , 1

x ∈ R : 2 ∣ x − 13 ∣≤ 1 x ∈ R :∣ x − 1

3 ∣≤12

x ∈ R : − 12 ≤ x − 1

3 ≤12 −

16 , 5

6 .(2) a) (i) (D1) dex1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn ∑k1

n ∣ xk − yk ∣2 12 ≥ 0; e

dex1, . . . ,xn, x1, . . . ,xn ∑k1n ∣ xk − xk ∣2

12 ∑k1

n 0 0.(D2) dex1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn ∑k1

n ∣ xk − yk ∣2 12

∑k1n ∣ yk − xk ∣2

12 dey1, . . . ,yn, x1, . . . ,xn.

(D3) dex1, . . . ,xn, z1, . . . , zn ∑k1n ∣ xk − zk ∣2

12

∑k12 ∣ xk − yk yk − zk ∣2

12 ≤ ∑k1

n ∣ xk − yk ∣ ∣ yk − zk ∣212 ≤

∑k1n ∣ xk − yk ∣2

12 ∑k1

n ∣ yk − zk ∣2 12

dex1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn dey1, . . . ,yn, z1, . . . , zn.(D4) dex1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn ∑k1

n ∣ xk − yk ∣2 12 0 implica

∣ xk − yk ∣ 0 k 1, . . . ,n e, portanto, x1, . . . ,xn y1, . . . ,yn.(ii) (D1) dMx1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn max∣ xk − yk ∣: k 1, . . . ,n ≥ 0, e

dMx1, . . . ,xn, x1, . . . ,xn max∣ xk − xk ∣: k 1, . . . ,n max0 0.(D2) dMx1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn max∣ xk − yk ∣: k 1, . . . ,n

max∣ yk − xk ∣: k 1, . . . ,n dMy1, . . . ,yn, x1, . . . ,xn.(D3) dMx1, . . . ,xn, z1, . . . , zn max∣ xk − zk ∣: k 1, . . . ,n

max∣ xk − yk yk − zk ∣: k 1, . . . ,n ≤max∣ xk − yk ∣ ∣ yk − zk ∣: k 1, . . . ,n ≤max∣ xk − yk ∣: k 1, . . . ,n max∣ yk − zk ∣: k 1, . . . ,n dMx1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn dMy1, . . . ,yn, z1, . . . , zn.

(D4) dMx1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn max∣ xk − yk ∣: k 1, . . . ,n 0 implica∣ xk − yk ∣ 0 k 1, . . . ,n e x1, . . . ,xn y1, . . . ,yn.

(iii) (D1) dsx1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn ∑k1n ∣ xk − yk ∣≥ 0, e

dsx1, . . . ,xn, x1, . . . ,xn ∑k1n ∣ xk − xk ∣ ∑k1

n 0 0.(D2) dsx1, . . . ,xn, y1, . . .yn ∑k1

n ∣ xk − yk ∣ ∑k1n ∣ yk − xk ∣

dsy1, . . ,yn, x1, . . . ,xn.(D3) dsx1, . . . ,xn, z1, . . . zn ∑k1

n ∣ xk − zk ∣∑k1

n ∣ xk − yk yk − zk ∣≤ ∑k1n ∣ xk − yk ∣ ∣ yk − zk ∣

∑k1n ∣ xk − yk ∣ ∑k1

n ∣ yk − zk ∣ dsx1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn dsy1, . . . ,yn, z1, . . . , zn.

(D4) dsx1, . . . ,xn, y1, . . . ,yn ∑k1n ∣ xk − yk ∣ 0 implica xk yk para cada k,

x1, . . . ,xn y1, . . . ,yn.b) R 0n−1 x, 0, . . . , 0 : x ∈ R . As restrições de de,dM e ds a

x, 0, . . . , 0 : x ∈ R são a função dx, 0, . . . , 0, y, 0, . . . , 0 ∣ x − y ∣.(3) (i) a,b B00,0, r a,b x,y ∈ R2 : x2 y2 r

a x,b y ∈ R2 : a x − a2 b y − b2 r u,v ∈ R2 : u − a2 v − b2 r B0a,b, r.a,b B0,0, r a,b x,y ∈ R2 : x2 y2 ≤ r a x,b y ∈ R2 : a x − a2 b y − b2 ≤ r

-68-u,v ∈ R2 : u − a2 v − b2 ≤ r Ba,b, r).(ii) Sim, porque pode substituir-se, no desenvolvimento anterior,

dex,y, 0,0 x2 y2 , dea x,b y, a,b a x − a2 b y − b2 ,deu,v, a,b u − a2 v − b2 por dMx,y, 0,0 max∣ x ∣,∣ y ∣,dMa x,b y, a,b max∣ a x − a ∣,∣ b y − b ∣ edMu,v, a,b max∣ u − a ∣,∣ b − v ∣; ou analogamente pela métrica ds, quetambém verifica a propriedade dsa x,b y, a,b dsx,y, 0,0 e, maisgeralmente, dsa,b, c,d dsa,b x,y, c,d x,y para cadaa,b, c,d, x,y ∈ R2.

II.2.20 Teorema Sejam E,d um espaço métrico, A,dA um subespaço métrico deE,d. Se a ∈ A, r 0 tem-se: a bola aberta B0,Aa, r em A,dA é a intersecçãoB0,Aa, r B0a, r ∩ A. Para a bola fechada, BAa, r Ba, r ∩ A.

Dem Tem-se B0,Aa, r x ∈ A : dAx,a r x ∈ A : dx,a r B0a, r ∩ A. Analogamente para a bola fechada.

II.2.21 Exercícios(1) Determine BA0,0, 2 em R2,ds (II.2.18), A x,y ∈ R2 : x 0.(2) Determine B0,A1,1 em R,d, d a métrica usual, A 1/n : n ∈ N.

II.2.22 Resoluções(1) BA0,0, 2 x,y ∈ R2 : x 0,x − 2 ≤ y ≤ 2 − x.(2) B0,A1,1 A.

II.2.23 Obsevação A condição l em II.2.8 pode escrever-se, em linguagem lógical ′ xn → a ≡ ∀ 0,∃p p ∈ N,n ≥ p xn ∈ B0a,.

II.2.24 Teorema Se xn → a no espaço métrico E,d e xnk é uma subsucessão dexn, então xnk → a.

Dem. Pois com p p na condição l, tem-se nk ≥ k e portanto dxnk ,a paratodo o k ≥ p.

II.2.25 Observação Se o ponto a não é limite de nenhuma subsucessão da sucessãoxn, então existe 0 tal que para certo p ∈ N se tem dxn,a , se n ≥ p. Com efeito,se esta condição não se verifica, temos pela sua negação, em linguagem lógica:∀ 0,∀p ∈ N,∃n ≥ p,dxn,a .

-69-Seja então, para 1, n1 o menor número natural n tal que dxn,a 1,dxn1 ,a 1;

seguidamente, para 1/2, seja n2 o menor número natural n maior que n1 tal quedxn,a 1/2,dxn2 ,a 1/2. Repetindo o processo, obtemos uma sucessão estritamentecrescente nk1 nk . . . n2 n1 tal que dxnk ,a 1/k. xnk é então uma subsucessão dexn tal que 0 ≤ dxnk ,a 1/k, donde dxnk ,a → 0 k → , e assim limxnk a, contra ahipótese admitida.

II.2.26 Definição Sejam E,d um espaço métrico, A ⊂ E. O diâmetro de A é onúmero A positivo, nulo, ou dado por A supdx,y : x,y ∈ A. Põe-se 0.

II.2.27 Exemplos (1) Em qualquer espaço métrico, o diâmetro de um conjunto nãovazio é zero se e só se o conjunto se reduz a um ponto.

(2) O conjunto N ⊂ 0, tem diâmetro N em 0,,d0,, d0, amétrica induzida pela métrica usual d de R; N 1 em 0, para a métricax,y ∣ 1

x − 1y ∣.

(3) Em R,d d a métrica usual, a,b a,b a,b b − a se a b.

II.2.28 Exercícios(1) Determine B0,0, r em R2, para cada uma das métricas de,dM e ds em II.2.18

(2).(2) Verifique que B0a, 1 Ba, 1 em R,di, di a métrica discreta, e

B0a, r Ba, r para a métrica usual de R, a ∈ R, r 0.(3) Mostre que em qualquer espaço métrico, se A ⊂ B então A ≤ B.

II.2.29 Resoluções(1) Tem-se de−1,0, 1,0 −1 − 12 0,02 4 2. Para quaisquer dois

pontos x1,y1, x2,y2 tais que x12 y1

2 ≤ 1,x22 y2

2 ≤ 1, verifica-sedex1,y1, x2,y2 ≤ dex1,y1, 0,0 de0,0, x2,y2 ≤ 2. Portanto

B0,0, 1 2 em R2,de. Analogamente se conclui que B0,0, 1 2 em R2,dM eem R2,ds.

(2) Em R,di tem-se B0a, 1 a 0. Como Ba, 1 R tem-seBa. , 1 sup∣ x − y ∣: x,y ∈ R . Em R,d, d a métrica usual, tem-seB0a, r a − r,a r a r − a − r 2r; tambémBa, r a − r,a r 2r.

(3) Se A ⊂ B então dx,y : x,y ∈ A ⊂ dx,y : x,y ∈ B e portantoA supdx,y : x,y ∈ A ≤ supdx,y : x,y ∈ B B, uma vez que quando oconjunto dos valores da variável aumenta, o supremo permanece ou aumenta.

II.2.30 Definição Se E,d é um espaço métrico, A,B são subconjuntos não vazios deE, a distância entre A e B é o número não negativo dA,B infdx,y : x ∈ A,y ∈ B. SeA a,a ∈ E põe-se da,B da,B.

-70-

II.2.31 Exemplos (1) Em 0,,d0,, d0, a métrica induzida pela métrica usualde R,

d0,1, sinxx : x ∈ 0, d0,0, sinx

x : x ∈ 0, 0. Para a métricadiscreta,

di1, sinxx : x ∈ 0, 1,di0, sinx

x : x ∈ 0, 0.(2) Em R2,de, de a métrica euclideana, dex, 1

x : x 0,x,− 1x : x 0 0.

II.2.32 Observações (1) Apesar do seu nome, a distância dA,B entre subconjuntosA,B de um espaço métrico E,d não é uma métrica no conjunto das partes não vazias de E,pois a condição (D3) não é verificada. Por exemplo em R munido da métrica usual,d−2,−1, 1, 2 d−2,−1, −1,1 d−1,1, 1, 0.

(2) Num espaço métrico E,d, se A,B são subconjuntos não vazios, tem-sedA,B ≤ dx,y para cada x ∈ A,y ∈ B. Podem não existir pontos a ∈ A,b ∈ B tais quedA,B da,b, como mostra o exemplo acima (2) em II.2.30. Se A ∩ B ≠ entãodA,B 0, mas a condição não é necessária.

(3) Sejam A,B subconjuntos não vazios do espaço métrico E,d, e consideremos doispontos x,y ∈ A B. A definição de mostra que se ambos x,y pertencem a A, entãodx,y ≤ A e, dx,y B se x,y ∈ B; se por exemplo x ∈ A,y ∈ B, então com a ∈ Ae b ∈ B, a desigualdade (D3) mostra quedx,y ≤ dx,a da,y ≤ A da,b db,y ≤ A B da,b. Portanto adesigualdade dx,y ≤ A B da,b é sempre verdadeira, se a ∈ A,b ∈ B, paraquaisquer pontos x,y ∈ A B. Concluimos quesupdx,y : x,y ∈ A B ≤ A B da,b

para cada a ∈ A,b ∈ B. Donde A B ≤ A B da,b,∀a ∈ A,∀b ∈ B e,portanto, A B ≤ infA B da,b : a ∈ A,b ∈ B A B infda,b : a ∈ A,b ∈ B e assim A B ≤ A B dA,B. SeA,B são finitos, também A B é finito.

II.2.33 Exercícios(1) Prove que se xn é uma sucessão no espaço métrico E,d, a ∈ E, a não é limite

de nenhuma subsucessão de xn e cada xn ≠ a, então da,xn : n ∈ N 0.(2) Com xn uma sucessão no espaço métrico E,d, mostre que se o ponto a é limite

de xn, então da,xn : n ∈ N 0. A mesma conclusão é válida se a é limite de umasubsucessão de xn? Porquê?

(3) Diz-se que um subconjunto B de um espaço métrico E,d é limitado seB .

a) Mostre que se B é limitado, então para cada p ∈ E, B ⊂ Bp,dp,B B (Sug:verifique que B p ≤ B dp,B).

b) Conclua de a) que um subconjunto de um espaço métrico é limitado sse está contidonuma bola.

(4) Prove que a classe BE dos subconjuntos limitados de um espaço métrico E,dverifica as propriedades:

(i) Se B ∈ BE e B ′ ⊂ B então B ′ ∈ BE;(ii) se B1, . . .Bn ∈ BE n ∈ N então B1 . . .Bn ∈ BE. (Sug: método de indução).

(5) Mostre que se xn é uma sucessão no espaço métrico E,d, p ∈ E, dxn,p ≤ r,∀n ∈ N e xn → a então da,p ≤ r. Conclua que se A ⊂ E e dxn,A 0 para cada índice

-71-n, xn → a, então da,A 0.

(6) a) Indique, justificando, quais dos seguintes conjuntos são limitados:(i) N; (ii) 1

n : n ∈ N (iii) n1n : n ∈ N, em 0,,d0,, d0, a métrica induzida

pela métrica usual de R;b) mesma questão, em 0,,, a métrica em II.2.27 (2).

II.2.34 Resoluções(1) Utilizando II.2.25, se a não é limite de nenhuma subsucessão de xn, então

existem 0, e uma ordem p tais que dxn,a ≥ para cada n ≥ p. Como a ≠ xn paratodo o n, tem-se mindxn,a : 1 ≤ n p s 0. Obtem-se, com c min, s 0 quedxn,a ≥ c para todo o índice n, e portantoda,xn : n ∈ N infda,xn : n ∈ N ≥ c 0.

(2) Se xn → a, existe, para cada 0, uma ordem p tal que dxn,a para cadan ≥ p; deste modo, para cada 0, existe pelo menos um termo xp tal que dxp,a ,obtendo-se da,xn : n ∈ N ≤ dxp,a , e deste modo da,xn : n ∈ N paracada 0, donde da,xn : n ∈ N 0. Sim, porque uma vez que o ínfimo de umconjunto de valores permanece ou diminui, se esse conjunto de valores aumenta, obtemosda,xn : n ∈ N ≤ da,xnk : k ∈ N 0, aplicando o resultado obtido àsubsucessão xnk de xn.

(3) a) Aplicando a desigualdade A B ≤ A B dA,B em II.31. (3) comA p, obtem-se B p ≤ B p dp,B B dp,B; portanto, paracada x ∈ B, tem-se dx,p ≤ B dp,B, o que significa que B ⊂ Bp,B dp,B.

b) Aplicando a), se um conjunto B é limitado, i.e., B é finito, B está contido na bolaBp,B dp,B (tem-se sempre dp,B ). Reciprocamente, se B ⊂ Bp, r paracerto ponto p e certo r 0, tem-se: para cada x,y ∈ B, é x,y ∈ Bp, r dondedx,y ≤ dx,p dp,y ≤ 2r. Portanto B ≤ 2r e B é um conjunto limitado.

(4) (i) Se B ∈ BE, B e B ′ ⊂ B então supdx,y : x,y ∈ B ′ ≤supdx,y : x,y ∈ B , donde B ′ e B ′ ∈ BE; (ii) para n 2 tem-se: seB1,B então, aplicando B1 B2 ≤ B1 B2 dB1,B2 obtem-seB1 B2 e B1 B2 ∈ BE. Admitindo por hipótese de indução que para certo n ≥ 2,a implicação B1, . . . ,Bn ∈ BE B1 . . .Bn ∈ BE é verdadeira, obtem-se para n 1: seB1, . . . ,Bn,Bn1 ∈ BE então B1 . . .Bn Bn1 B1 . . .Bn Bn1 ∈ BE , aplicando ahipótese de indução e o resultado provado para n 2. PortantoB1, . . . ,Bn ∈ BE B1 . . .Bn ∈ BE fica provado pelo método de indução, comoqueríamos.

(5) Se xn → a então dxn,a → 0. Supondo dxn,p ≤ r para cada n, obtem-sepassando a desigualdade da,p ≤ da,xn dxn,p ao limite,da,p ≤ limda,xn limdxn,p ≤ r. Donde se A ⊂ E,dxn,A 0 para todo o índice n,tem-se: para cada 0, existe p ∈ A tal que dxn,p , para todo o n ∈ N (se para certo 0 e certo n, fosse dxn,p ≥ para todo o p ∈ A, entãodxn,A infdxn,p : p ∈ A 0). Aplicando o resultado obtido, concluimos que,para todo o 0, existe p ∈ A tal que da,p ; isto implica que da,A para cada 0, donde da,A 0.

(6) a) (i) Tem-se para cada p ∈ R, ∣ n − p ∣ n − p para n suficientemente grande,∣ n − p ∣→ n → . Portanto, qualquer que seja o ponto p ∈ R, não existe nenhum raior tal que N ⊂ Bp, r; aplicando (3) b), concluimos que N não é limitado em 0,,d0,.(ii) ∣ 1

n ∣ 1n ∣≤ 1 para todo o n ∈ N, e assim 1

n : n ∈ N é limitado, pois está contidona bola B0,1. (iii) Tem-se ∣ n1

n − 1 ∣ 1n ≤ 1, donde n1

n : n ∈ N ⊂ B1,1 e é umconjunto limitado

-72-b) (i) n, 1 ∣ 1

n − 1 ∣≤ 1 para cada n ∈ N; tem-se N ⊂ B1,1 em 0,, e N éum conjunto limitado. (ii) Para cada p 0,sup 1

n ,p : n ∈ N sup∣ n − 1p ∣: n ∈ N , donde 1

n : n ∈ N e 1

n : n ∈ N não é um conjunto limitado. (iii) n1

n , 1 ∣ nn1 − 1 ∣ 1

n1 ≤12 . Portanto n1

n : n ∈ N ⊂ B1, 12 e

n1n : n ∈ N é um conjunto limitado.

II.3 VIZINHANÇAS DE UM PONTO NUM ESPAÇO MÉTRICO

II.3.1 Definição Seja E,d um espaço métrico. Se p ∈ E, um subconjunto V de Ediz-se uma vizinhança de p se existe um raio r 0 tal que B0p, r ⊂ V.

II.3.2 Observações (1) Para cada ponto p num espaço métrico E,d, cada bola (abertaou fechada) de centro p é uma vizinhança de p.

(2) E é uma vizinhança de cada ponto p ∈ E em cada espaço métrico E,d.

II.3.3 Exemplos (1) Em R,d, d a métrica usual, Ip, r p − r,p r é umavizinhança de p. (2) Em R,di, di a métrica discreta, p é uma vizinhança do ponto p;consequentemente, todo o conjunto V tal que p ∈ V é uma vizinhança de p. (3) Em0,, como em II.2.27 (2), B01, r x 0 :∣ 1

x − 1 ∣ r 11r , 1

1−r é umavizinhança de 1 se 0 r 1. 2

3 , 2 é uma vizinhança de 1, r 12 ;

34 , 2 também é,

pois 34 , 2 ⊃ 3

4 , 32 que é a bola aberta B01, 1

3 .

-73-II.3.4 Lema Seja E,d um espaço métrico. Dada uma bola aberta B0p, r, p ∈ E,

para cada x ∈ B0p, r existe x 0 tal que B0x,x ⊂ B0p, r.Dem. Considerando, para x ∈ B0p, r, x r − dx,p 0 obtemos: se y ∈ B0x,x

então dy,p ≤ dy,x dx,p r − dx,p dx,p r donde B0x,x ⊂ B0p, r comoqueríamos.

II.3.5 Teorema Seja E,d um espaço métrico. Para cada p ∈ E, a classe Vp dasvizinhanças de p verifica as propriedades:

V1 para cada V ∈ Vp, p ∈ V;V2 se V ∈ Vp e V ′ ⊃ V então V ′ ∈ Vp;V3 se V1,V2 ∈ Vp então V1 ∩ V2 ∈ Vp;V4 dado V ∈ Vp, existe W ∈ Vp tal que W ⊂ V e V ∈ Vx para todo o x ∈ W.Dem. V1 Pela definição de vizinhança de um ponto, pois p ∈ B0p, r para cada r 0.

V2 é óbvio. V3 se Vi ∈ Vp existe ri 0 tal que B0p, ri ⊂ Vi i 1,2. Então comr minr1, r2 0 tem-se B0p, r ⊂ B0p, r1 ∩ B0p, r2 ⊂ V1 ∩ V2. V4 Seja V ∈ Vp;existe então r 0 tal que B0p, r ⊂ V, e W B0p, r satisfaz a condição pedida,atendendo ao lema anterior.

II.3.6 Observação O teorema mostra que a classe das vizinhanças de um ponto numespaço métrico E,d é um filtro sobre E (I.7).

II.3.7 Exercícios(1) Considere as métricas de,dM e ds em Rn em II.2.18 (2).

a) Mostre que se verificam as inclusõesB0ds0, . . . , 0, 1 ⊂ B0

de0, . . . 0, 1 ⊂ B0dM0, . . . , 0, 1 e

B0dM0, . . . , 0, 1 ⊂ B0

ds0, . . . , 0,n,onde B0

da1, . . .an, r designa a bola B0a1, . . . ,an, r para a métrica d de,dM,ds,a1, . . . ,an ∈ Rn, r 0.

b) Para p1, . . . ,pn ∈ Rn, ∈ R, ≠ A ⊂ Rn põe-sep1, . . . ,pn A p1, . . . ,pn x1, . . . ,xn : x1, . . . ,xn ∈ A, eA x1, . . . ,xn : x1, . . . ,xn ∈ A. Mostre que para cada p1, . . . ,pn ∈ Rn, 0,

(i) p1, . . . ,pn B0d0, . . . , 0, r B0p1, . . . ,pn, r, d de,dM,ds;

(ii) B0d0, . . . , 0, 1 B00, . . . , 0,, com d de,dM,ds.

c) Conclua de b) que B0dp1, . . . ,pn, r p1, . . . ,pn rB0

d0, . . . , 0, 1 r 0,d de,dM,ds;

d) Conclua das alíneas a), c) que em cada ponto p p1, . . . ,pn ∈ Rn e para cadar 0, B0

dsp, r ⊂ B0dep, r ⊂ B0

dMp, r ⊂ B0dsp,nr, d de,dM ou ds.

(2) Mostre que o filtro das vizinhanças de cada ponto em Rn é o mesmo, para asmétricas de,dM e ds.

-74-

II.3.8 Resoluções(1) Para x1, . . . ,xn ∈ Rn,

dMx1, . . . ,xn, 0, . . . , 0 max∣ xk ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ ∑k1n xk

21/2 dex1, . . . ,xn, 0, . . . , 0 ≤ ∑k1

n ∣ xk ∣ dsx1, . . . ,xn, 0, . . . , 0 e concluem-se as trêsprimeiras inclusões. Também∑k1

n ∣ xk ∣≤ nmax∣ xk ∣: 1 ≤ k ≤ n, e portantomax∣ xk ∣: 1 ≤ k ≤ n 1 ∑k1

n ∣ xk ∣ n, dondeB0dM0, . . . , 0, 1 ⊂ B0

ds0, . . . , 0,n.b), c) Ver a resolução de (3) em II.2.18.d) Aplicando a função f : Rn → Rn, fx1, . . . ,xn p1, . . . ,pn x1, . . .xn às

inclusões B0ds0, . . . , 0, 1 ⊂ B0

de0, . . . , 0, 1 ⊂ B0dM0, . . . , 0, 1 obtem-se

B0dsp, 1 ⊂ B0

dep, 1 ⊂ B0dMp, 1. Analogamente para a inclusão

B0dMp, 1 ⊂ B0

dsp, 1. Segue-se por b) (ii) queB0dsp, r rB0

dsp, 1 ⊂ rB0dep, 1 B0

dep, r, e analogamente para as outrasinclusões.

(2) Para x1, . . . ,xn ∈ Rn tem-se∑k1

n xk21/2 ≤ nmaxxk

2 : 1 ≤ k ≤ n1/2 n max∣ xk ∣: 1 ≤ k ≤ n, emax∣ xk ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ ∑k1

n xk21/2. Isto implica que

B0de0, . . . , 0, 1/ n ⊂ B0

dM0, . . . , 0, 1/ n ⊂ B0de0, . . . , 0, 1 e portanto também

B0dep,/ n ⊂ B0

dMp,/ n ⊂ B0dep, para cada p ∈ Rn e cada 0 (veja-se a

resolução de (1) d) acima). São portanto equivalentes, para um conjunto V ⊂ Rn, ascondições ∃ 0,B0

dep, ⊂ V e ∃ 0,B0dMp, ⊂ V, o que prova que o filtro das

vizinhanças de p em Rn,de coincide com o filtro das vizinhanças de p em Rn,dM.Também∑k1

n ∣ xk ∣≤ nmax∣ xk ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ n∑k1n xk

21/2 e ∑k1n xk

21/2

≤ ∑k1n ∣ xk ∣ e assim B0

dep,/n ⊂ B0dsp, e B0

dsp,/n ⊂ B0dep,; portanto

assim como para o caso anterior, o filtro das vizinhanças de cada ponto p em Rn,de é omesmo que o filtro das vizinhanças de p em Rn,ds. Analogamente, as desigualdadesmax∣ xk ∣: 1 ≤ k ≤ n ≤ ∑k1

n ∣ xk ∣≤ nmax∣ xk ∣: 1 ≤ k ≤ n mostram queB0dM0, . . . , 0, 1/n ⊂ B0

ds0, . . . , 0, 1 ⊂ B0dM0, . . . , 0, 1,

B0dMp,/n ⊂ B0

dsp, ⊂ B0dMp, se 0,p ∈ Rn e de novo o filtro das vizinhanças

de p em Rn,dM é o filtro das vizinhanças de p em Rn,ds.

-75II.4 MÉTRICAS EQUIVALENTES

II.4.1 Definição Sejam d1,d2 duas métricas no conjunto E. Diz-se que a métrica d2 émais fina que a métrica d1, e nota-se d2 d1 se se verifica a condição: em cada pontop ∈ E, e para cada 0, existe pelo menos um p 0 tal que B0

2p,p ⊂ B01p,,

onde B0ip, r r 0 é a bola aberta no espaço métrico E,di, i 1,2. As métricas d1,d2

dizem-se equivalentes se cada uma é mais fina que a outra. Em linguagem lógica:d2 d1 ≡ ∀p ∈ E,∀ 0,∃p 0,B0

2p,p ⊂ B01p,;

d1,d2 são equivalentes ≡ d2 d1,d1 d2.

II.4.2 Exemplos (1) A métrica discreta di num conjunto E é mais fina do que qualqueroutra métrica d em E, pois a bola aberta de centro p e raio p 1 está contida em qualquerbola B0p, para d. Se por exemplo E R, a métrica di não é equivalente à métrica usualem R. (2) II.3.7 mostra que as métricas de,dM e ds em Rn são todas equivalentes.

II.4.3 Observações (1) Se as métricas d1,d2 em E estão na relação d2 d1, toda asucessão xn em E, convergente para um ponto p em E,d2 converge também para p noespaço métrico E,d1. Assim se d1 e d2 são métricas equivalentes, tem-se limxn p emE,d1 se e só se limxn p em E,d2

(2) Se existem um ponto p ∈ E e uma sucessão xn em E tais que limxn a emE,d1, limxn b em E,d2 e a ≠ b, podemos concluir que nenhuma das métricas d1,d2 émais fina que a outra. Também se existem suvessões xn, yn em E tais que xn éconvergente em E,d1 (resp. yn) é convergente em E,d2), mas xn não é convergenteem E,d2 (resp. yn não é convergente em E,d1, então nenhuma das duas métricas émais fina que a outra.

(3) A recíproca de (1) é válida, i.e. se duas métricas d1,d2 em E são tais que, para cadaponto p ∈ E, toda a sucessão convergente para p relativamente à métrica d1 é convergentepara p relativamente à métrica d2 (resp. e também cada sucessão convergente para prelativamente a d2, é também convergente para p relativamente à métrica d1), então d2 émais fina que d1 (resp. as duas métricas são equivalentes).

(4) Se existe uma constante positiva c tal que as métricas d1,d2 em E verificam arelação d1x,y ≤ cd2x,y, onde x,y são quaisquer pontos de E, então para cada 0, /c satisfaz a condição B0

2p, ⊂ B01p, em cada ponto p ∈ E, onde B0

ip, r é abola em E,di, i 1,2. Portanto tem-se d2 d1 em particular.

-76-

II.4.4 Exercícios(1) Verifique o exemplo (2) em II.4.2.(2) Demonstre que se d1,d2 são métricas em E tais que para cada ponto p ∈ E, toda a

sucessão xn em E verificando limxn p em E,d2 é convergente para p em E,d1,então d2 d1 (Sug: prove a contra-recíproca, mostrando que se d2 não é mais fina que d1,existem pelo menos um ponto p e uma sucessão xn, xn → p em E,d2 mas tal que xnnão converge para p em E,d1).

(3) Mostre que as seguintes métricas são equivalentes:(i) d0, e em 0,, como em II.2.27 (2);(ii) d e min1,d como em II.2.5 (2), em qualquer espaço métrico E,d;(iii) min1,d e d

d1 como em II.2.5 (2), em qualquer espaço métrico E,d. (Sug: paraas três alíneas, pode utilizar II.4.3 (3)).

(4) Demonstre que se d1,d2,d3 são métricas em E, d2 mais fina que d1 e d3equivalente a d1, então d2 é mais fina que d3.

(5) Prove que:a) df,g

0

1∣ xfx − gx ∣ dx, d1f,g 0

1∣ fx − gx ∣ dx e

d2f,g 01∣ fx − gx ∣2

12 são métricas no conjunto C0,1 das funções reais

contínuas definidas no intervalo [0,1]; (Sug: utilize II.1.4 para d2).b) a métrica d1 é mais fina que a métrica d. (Sug: II.4.3 (4)).

II.4.5 Resoluções(1) Utilizando II.3.7 temos: B0

dsp, r ⊂ B0dep, r para cada p ∈ Rn, r 0, e ds de;

também B0dep, r/n ⊂ B0

dsp, r e de ds, de,ds são equivalentes.; de é mais fina que dM,pois B0

dep, r ⊂ B0dMp, r; e B0

dMp, r/ n ⊂ B0de donde dM de e de,dM são

equivalentes. B0dsp, r ⊂ B0

dMp, r, ds dM e B0dMp, r/n ⊂ B0

dsp, r, dM ds eds,dM são equivalentes.

(2) Suponhamos que d1 e d2 são métricas em E, e que d2 não é mais fina que d1.Verifica-se então a negação da condição d2 d1, i.e., com B0

i p, r a bola de centro p e raior para a métrica di, i 1,2 tem-se: ∃p ∈ E,∃ 0,∀ 0 ~B0

2p, ⊂ B01p,, ou, o

que é o mesmo, para certo ponto p e certo 0, existe, para cada positivo, um pontox ∈ B0

2p, tal que x ∉ B01p,. Fazendo 1/n para cada n ∈ N, obtemos uma

sucessão de pontos xn x1/n tais que cada xn ∈ B02p, 1/n e xn ∉ B0

1p,. Obtemosd2xn,p 1/n e, fazendo n → , vemos que d2xn,p → 0 n → e portanto xn → p emE,d2. Também, xn não converge para p em E,d1, uma vez que não existe nenhumaordem a partir da qual d1xn,p , estas distâncias são sempre ≥ , onde é certo númeropositivo, e fica provado o resultado.

-77-(3) (i) Utilizando II.4.3, mostremos que cada sucessão convergente em 0, para um

ponto, relativamente a uma das métricas, é convergente para o mesmo ponto, relativamenteà outra métrica. Se p 0, tem-se xn → p se e só se 1

xn→ 1

p ; portantod0,xn,p ∣ xn − p ∣→ 0 é equivalente a xn,p ∣ 1

xn− 1

p ∣→ 0.(ii) Se xn → p em E,d, dxn,p → 0 e então

min1,dxn,p min1,dxn,p ≤ dxn,p → 0, logo xn → p em E,min1,d; e semin1,dxn,p → 0, existe uma ordem p1 ∈ N tal que dxn,p min1,dxn,p sen ≥ p1; para cada 0, existe pmin1, ∈ N,pmin1, ≥ p1, tal quedxn,p min1,dxn,p min1, ≤ para cada n ≥ pmin1,, e dxn,p → 0,xn → p em E,d. As métricas d,min1,d são portanto equivalentes.

(iii) Como provámos em (ii), se xn → p em E,min1,d então xn → p em E,d, i.e.dxn,p → 0. Segue-se que d

d1 xn,p dxn,p1dxn,p → 0 e xn → p em E, d

d1 .Reciprocamente, se dxn,p

1dxn,p → 0 então lim dxn,p2max1,dxn,p 0. Existe uma ordem

p1/2 ∈ N tal que dxn,p1dxn,p 1/2 para cada n ≥ p1/2; então tem de ser dxn,p 1 se

n ≥ p1/2, pois a função real da variável real x x1x é crescente em 0, e se

dxn,p ≥ 1 com n ≥ p1/2 obtem-se o absurdo dxn,p1dxn,p ≥ 1/2, com n ≥ p1/2. Logo

dxn,p2 → 0 e dxn,p → 0, xn → p em E,d e xn → p em E,min1,d pela alínea

anterior.(4) Se d2 é mais fina que d1, então (representemos por B0

i p, r cada bola relativa àrespectiva métrica di, i 1,2,3) em cada ponto p de E e para cada 0, verifica-se umainclusão B0

2p,p ⊂ B01p,, para certo p 0. Sendo d1 e d3 equivalentes, em particular

d1 d3; logo, dado um qualquer número positivo , verifica-se uma inclusãoB0

1p,p′ ⊂ B0

3p,. Com p′ 0 tal que B0

2p,p′ ⊂ B0

1p,p ⊂ B03p, vemos que

d2 d3.(5) a) (D1) df,g

0

1∣ xfx − gx ∣ dx ≥ 0, pois o integral de uma função real

contínua definida num intervalo limitado e fechado de R é finito e ≥ 0 se a função é ≥ 0 emcada ponto do domínio; também df, f

0

1∣ xfx − fx ∣ dx

0

1 0dx 0. (D2)df,g dg, f porque ∣ xfx − gx ∣∣ xgx − fx ∣ e portanto os integrais sãoiguais. (D3) df,h

0

1∣ xfx − hx ∣ dx

0

1∣ xfx − gx gx − hxdx ≤

0

1∣ xfx − gx ∣ ∣ xgx − hx ∣dx

0

1∣ xfx − gx ∣ dx

0

1∣ xgx − hx ∣ dx df,g dg,h; (D4)

d1f,g 01∣ xfx − gx ∣ dx 0 implica xfx − gx 0 0 x 1 e

fx gx 0 x 1; pela continuidade de f,g conclui-se f g sobre 0,1.

-78-(D1)

0

1∣ fx − gx ∣ dx ≥ 0,

0

1∣ fx − fx ∣ dx

0

1 0dx 0.(D2) d1f,g 0

1∣ fx − gx ∣ dx

0

1∣ gx − fx ∣ dx d2g, f

(D3) d1f,h 01∣ fx − hx ∣ dx

0

1∣ fx − gx gx − hx ∣ dx ≤

0

1∣ fx − gx ∣ dx

0

1∣ gx − hx ∣ dx d2f,g d2g,h.

(D4) d1f,g 01∣ fx − gx ∣ dx 0 fx − gx 0 x ∈ 0,1 i.e, f g.

(D1) d2f,g 01∣ fx − gx ∣2 dx

12 ≥ 0, d2f, f 0

1 0dx 0;(D2) d2f,g 0

1∣ fx − gx ∣2 dx

12

0

1∣ gx − fx ∣2 dx

12 d2g, f;

(D3) d2f,h 01∣ fx − hx ∣2 dx

12

0

1∣ fx − gx gx − hx ∣2 dx

12 ≤

0

1∣ fx − gx ∣ ∣ gx − hx ∣2dx

12 ≤

0

1∣ fx − gx ∣2 dx

12

0

1∣ gx − hx ∣2 dx

12 d2f,g d2g,h;

(D4) d2f,g 01∣ fx − gx ∣2 dx

12 0 fx gx x ∈ 0,1 i.e, f g.

b) Tem-se df,g 0

1∣ x ∣.∣ fx − gx ∣ dx ≤

0

1∣ fx − gx ∣ dx d1f,g.

Conclui-se de II.4.3 (3) que d1 d.

II.4.6 Definição As métricas d1,d2 em E dizem-se uniformemente equivalentes sesatisfazem a condição de para cada 0, existirem pelo menos um 0 e pelo menos um ′ 0 tais que B0

2p, ⊂ B01p, e B0

1p, ′ ⊂ B02p, qualquer que seja o ponto p

em E. (Notação como em II.4.1).

II.4.7 Observações (1) Pela definição, duas métricas d1,d2 em E são uniformementeequivalentes se e só se para cada 0, existem , ′ 0 tais que d2x,y implicad1x,y para todos os x,y ∈ E, e também para cada 0, existe ′ 0 tal qued1x,y ′ implica d2x,y para cada x,y ∈ E. (2) Se duas métricas em E sãouniformente equivalentes, então são equivalentes; a recíproca é falsa. (II.4.10 (2)adiante).(3) Dadas métricas d1,d2 em E, se existem constantes positivas c1,c2 tais qued1 ≤ c2d2 e d2 ≤ c1d1 em E E (i.e, d1x,y ≤ c2d2x,y em cada x,y ∈ E E, eanalogamente para a segunda desigualdade), então as duas métricas são uniformementeequivalentes.

II.4.8 Definição Seja E,d um espaço métrico. A sucessão xn em E diz-se umasucessão de Cauchy se satisfaz a condição de, para cada número positivo arbitrariamenteescolhido, existir uma ordem p tal que a distância dxn,xm entre cada dois termos xn,xm fôrmenor que , sempre que n,m ≥ p. Em linguagem lógica:

xn é de Cauchy ≡ ∀ 0,∃p p ∈ N,n,m ≥ p dxn,xm .

II.4.9 Toda a sucessão convergente num espaço métrico, em particular, toda a sucessãoconstante a partir de certa ordem, é uma sucessão de Cauchy, mas a recíproca é falsa emgeral.

-79-

II.4.10 Exercícios(1) Prove que se duas métricas d1,d2 em E são uniformemente equivalentes, então uma

sucessão é de Cauchy em E,d1 se e só se é de Cauchy em E,d2.(2) Mostre que as métricas d0,, em 0, (II.4.4 (3) (i)) não são uniformemente

equivalentes (Sug: considere a sucessão 1n e utilize o exercício anterior).

(3) Prove que se d1,d2,d3 são metricas num conjunto E, d1,d2 uniformementeequivalentes, e se d2 e d3 são uniformemente equivalentes, então também d1,d3 sãouniformemente equivalentes.

(4) Mostre que se E,d é um espaço métrico, então:(i) as métricas d,min1,d são uniformemente equivalentes;(ii) as métricas d, d

d1 são uniformemente equivalentes.(iii) min1,d, d

d1 são uniformemente equivalentes (Sug: utilize (i), (ii) e (3)).(5) Mostre que duas métricas d1,d2 em E podem ser uniformemente equivalentes, mas

um conjunto B ser limitado em E,d1 e não ser limitado em E,d2 (Sug: considere E Rem (4) (i), d a métrica usual em R).

(6) Demonstre que toda a sucessão de Cauchy num espaço métrico E,d é um conjuntolimitado.

II.4.11 Resoluções(1) Basta provar que se xn é uma sucessão de Cauchy em E,d1 e d1,d2 são

uniformemente equivalentes, então xn é de Cauchy em E,d2. Sejam pois d1,d2 métricasem E nas condições em da definição II.4.4, e seja xn de Cauchy em E,d1 i.e.,∀r 0,∃p pr ∈ N,n,m ≥ p d1xn,xm r. Se 0, existe 0 tal qued1x,y d2x,y quaisquer que sejam x,y ∈ E; tomando r na expressãoquantificada anterior obtemos: para cada 0, existe uma ordem p p tal quen,m ≥ p d1xn,xm d2xn,xm o que, pela transitividade de "" , mostra quexn é de Cauchy em E,d2 c.q.d.

(2) Com efeito, a sucessão xn 1n é de Cauchy em 0,,d0,, mas

1n , 1

nk k ≥ 1 para cada m n k,k ∈ N e portanto não existe nenhuma ordem p tal

que 1n , 1

m 1 para todos os n,m ≥ p, e 1n não é de Cauchy em 0,,. Assim as

métricas d0,, não são uniformemente equivalentes, pelo exercício anterior.(3) Da hipótese d1,d2 uniformemente equivalentes e d2,d3 uniformemente equivalentes

temos: P1,2 ≡ para cada r 0, existe 0 tal que d1x,y d2x,y r para cadax,y ∈ E; e podemos trocar d1 ↔ d2 obtendo P2,1 igualmente verdadeira. Analogamente,verifica-se

P2,3 ≡ para cada 0, existe r 0 tal que d2x,y r d3x,y para cadax,y ∈ E, e P3,2 obtida trocando d2 ↔ d3 é também verdadeira. Pela transitividade de ""concluimos de P1,2 e P2,3 que

P1,3 ≡ ∀ 0,∃ 0,d1x,y d3x,y , para cada x,y ∈ E. E concluimostambém P3,1 (obtida de P1,3 trocando d1 ↔ d3), a partir de P3,2 e P2,1analogamente, ficando provado que d1,d3 são iniformemente equivalentes.

(4) (i) Se 0 ≤ 1 então min1,dx,y implica dx,y . Assim para cada 0, existe min1, tal que min1,dx,y dx,y ; claramente 0 satisfaz dx,y min1,dx,y .

-80-(ii) Se dx,y então d

1dx,y dx,y

1dx,y ≤ dx,y . Reciprocamente, dado 0,consideremos

1 0. Como a função 1 é estritamente crescente, a

desigualdade dx,y1dx,y

1 implica dx,y ; assim, para cada 0, existe

1 0 tal que d

1dx,y implica dx,y para cada x,y ∈ E, e as métricas

d, d1d

são uniformemente equivalentes.(iii) Como vimos em (3), de min1,d uniformemente equivalente a d, e d

uniformemente equivalente a d1d

podemos concluir que min1,d e d1d

são uniformenteequivalentes.

(5) Com d2 d, a métrica usual em R, e d1 min1,d, estas métricas sãouniformemente equivalentes, por (4) (i), e no entanto R é limitado em R,d1, pois todo oconjunto R está contido na bola fechada de centro em qualquer ponto e raio 1; masR em R,d2.

(6) Seja xn uma sucessão de Cauchy no espaço métrico E,d. Existe entãop p1 ∈ N tal que dxn,xp 1 para cada n ≥ p. O número não negativomaxdxn.xp : 1 ≤ n p r é finito, pois é o máximo de um conjunto finito; tem-sedxn,xp ≤ max1, r para todo o n, e portanto xn : n ∈ N ⊂ Bxp,max1, r, o queprova que o conjunto dos termos xn é limitado, c.q.d.

II.5 TOPOLOGIA DE UM ESPAÇO MÉTRICO

II.5.1 Definição Seja E,d um espaço métrico. Um subconjunto A de E diz-se umconjunto aberto (para a topologia da métrica) se A é vizinhança de cada um dos seus pontosi.e., se para cada p ∈ A se tem A ∈ Vp. A classe dos conjuntos abertos diz-se atopologia da métrica em E,d, ou a topologia do espaço métrico E,d.

II.5.2 Observações (1) Conclui-se da definição que ,E são conjuntos abertos emE,d para a topologia da métrica. (2) Pela definição II.3.1 concluimos que sendo A ⊂ E, Aé aberto se e só se verifica a condição: para cada p ∈ A, existe pelo menos um p 0 talque B0p,p ⊂ A; em linguagem lógica,

A é aberto ≡ ∀p ∈ A,∃p 0,B0p,p ⊂ A.

II.5.3 Exemplos (1) Pelo lema II.3.4, cada bola aberta num espaço métrico é umconjunto aberto. (2) Em E,di, di a métrica discreta, todo o conjunto é aberto, e atopologia da métrica é PE.

II.5.4 Definição Se E,d é um espaço métrico, p ∈ E, diz-se que uma base do filtroVp das vizinhanças do ponto p é uma base de vizinhanças de p.

-81-

II.5.5 Teorema A topologia da métrica TE de um espaço métrico E,d verifica aspropriedades:

TE1 ,E ∈ TE;(TE2 se A1, . . . ,An ∈ TE,n ∈ N, então A1 ∩. . .∩An ∈ TE;TE3 dada uma classe Ai : i ∈ I ⊂ TE, tem-seAi : i ∈ I ∈ TE.Dem.TE1 é óbvio. TE2 pode provar-se pelo método de indução do modo seguinte:

para n 2, se A1,A2 são abertos, então A1 ∈ Vp e A2 ∈ Vp para cada p ∈ A1 ∩ A2;utilizando V3 no teorema II.3.5, temos A1 ∩ A2 ∈ Vp para cada p ∈ A1 ∩ A2 e A1 ∩ A2 éportanto um aberto. Admitida a hipótese de indução, A1 ∩. . .∩An é aberto se A1, . . . ,An sãoabertos, para certo n ≥ 2, então se A1, . . . ,An,An1 são abertos,A1 ∩. . .∩An1 A1 ∩. . .∩An ∩ An1 é um conjunto aberto, utilizando de novo V3, pois éa intersecção de dois abertos e, concluido-se a tese de indução, fica provado TE2. TE3 éuma consequência imediata de V2 em II.3.5, pois se p ∈ Ai : i ∈ I então p ∈ Ai paracerto i ∈ I; como Ai é aberto, tem-se Ai ∈ Vp dondeAi : i ∈ I ∈ Vp já queAi : i ∈ I ⊃ Ai; assim a reunião de conjuntos abertos é um aberto.

II.5.6 Observação A intersecção de uma classe infinita de conjuntos abertos pode nãoser um aberto. É o caso, por exemplo, da intersecção− 1

n , 1n : n ∈ N 0 em

R,d, d a métrica usual.

II.5.7 Observações (1) Se E,d é um espaço métrico, p ∈ E, a classeB0p, 1

n : n ∈ N é uma base contável de vizinhanças abertas (vizinhanças que sãoconjuntos abertos) do ponto p. (Esta base de vizinhanças pode ser finita, considere-se amétrica discreta). (2) Para cada subconjunto não vazio C de E, no espaço métrico E,d,diz-se que V é uma vizinhança do conjunto C se existe pelo menos um conjunto aberto A talque C ⊂ A ⊂ V; e diz-se que V é uma vizinhança aberta de C se, além de ser umavizinhança de C, V é uim conjunto aberto. Para cada r 0, o conjuntoVrC x ∈ E : dx,C r (definição II.2.30) é uma vizinhança aberta de C. Comefeito, C ⊂ VrC pois dx,C 0 r para cada x ∈ C. Também VrC é um conjuntoaberto, pois dado x0 ∈ VrC, dx0,C infdx0,c : c ∈ C r − r, 0, existec0 ∈ C tal que dx0,c0 r − /2 (caso contrário seria dx0,C ≥ r − /2 r − ); entãopara cada p ∈ B0x0,/2, é dp,C ≤ dp,c0 ≤ dp,x0 dx0,c0 r − /2 /2 r, eassim B0x0,/2 ⊂ VrC.

II.5.8 Teorema (Propriedade de separação de Hausdorff) Seja E,d um espaçométrico. Se a,b ∈ E,a ≠ b, existem conjuntos abertos A,B tais que a ∈ A,b ∈ B eA ∩ B .

Dem. Com d da,b 0, basta considerar A B0a, d2 ,B B0b, d

2 . Com efeito,não existe p ∈ A ∩ B, pois então seria da,b ≤ da,p dp,b d, o que é impossível.A,B são abertos, c.q.d.

-82-

II.5.9 Definição Sejam E,d um espaço métrico, A ⊂ E,p ∈ E.(1) Diz-se que p é um ponto interior de A, se satisfaz a condição de existir pelo menos

um raio 0 tal que B0p, ⊂ A; em linguagem lógica:p é um ponto interior de A ≡ ∃ 0,B0p, ⊂ A; o conjunto dos pontos interiores de

A representa-se por intA.(2) O ponto p é um ponto exterior de A se p é um ponto interior do complementar Ac

de A; pode escrever-se em linguagem lógica:p é um ponto exterior de A ≡ ∃ 0,B0p, ⊂ Ac; o conjunto dos pontos exteriores

de A representa-se por extA.(3) p é um ponto fronteiro do conjunto A se não é um ponto interior de A, nem um

ponto exterior de A; em linguagem lógica, obtem-se pela negação:p é ponto fronteiro de A ≡ ∀ 0,B0p, ∩ A ≠ ∧ B0p, ∩ Ac ≠ . O conjunto

dos pontos fronteiros de A representa-se por ∂A.

II.5.10 Observações (1) Tem-se em qualquer espaço métrico E,d,int , intE E; (2) qualquer que seja A ⊂ E, o conjunto intA é aberto, intA ⊂ Ae A é um conjunto aberto se e só se intA A; (3) Pela definição, a classeintA,extA,∂A é uma partição de E, em qualquer espaço métrico E,d.

II.5.11 Exemplos (1) Em R,di, di a métrica discreta, tem-se int0 0,ext0 R\0 e ∂0 ; (2) na métrica usual d de R, assim como emR, min1,d, tem-se int−, 1 −, 1, ext−, 1 1, e ∂−, 1 1.(3) Em R2,de, intx,y ∈ R2 : y ≥ x x,y ∈ R2 : y x;extx,y ∈ R2 : y ≥ x x,y ∈ R2 : y x e∂x,y ∈ R2 : y ≥ x x,y ∈ R2 : y x. Neste caso (assim como para as métricasdM ou ds em II.2.18), obtêm-se os conceitos intuitivos para o interior, exterior e fronteira deum conjunto.

II.5.12 Teorema Sejam E,d um espaço métrico, A ⊂ E. O interior de A é a reunião daclasse dos subconjuntos abertos de E contidos em A.

Dem. Seja Ai : i ∈ I a classe dos subconjuntos abertos de E contidos em A. Sex ∈ Ai : i ∈ I existe pelo menos um índice i tal que x ∈ Ai; como Ai é aberto tem-seB0x, ⊂ Ai ⊂ A para pelo menos um 0, e de B0x, ⊂ A conclui-se x ∈ intA,logoAi : i ∈ I ⊂ intA. Reciprocamente, se x ∈ intA, tem-se B0x, ⊂ A paracerto 0 e, como B0x, é um conjunto aberto, B0x, ⊂ Ai : i ∈ I (rever I.1.36(1)) e portanto intA ⊂ Ai : i ∈ I, ficando provado o teorema c.q.d.

II.5.13 Observação Se A é um subconjunto de um espaço métrico E,d, o interior de Aé o maior subconjunto aberto de A, no conjunto parcialmente ordenado PE para a relaçãode inclusão. Com efeito, intA ⊂ A e intA é aberto; e se C ⊂ A e C é aberto, então paratodo o ponto c ∈ C existe 0 tal que B0c, ⊂ C ⊂ A, donde c é um ponto interior deA. Tem-se o

-83-

II.5.14 Teorema Sejam E,d um espaço métrico, A,B ⊂ E.(i) Se A ⊂ B então intA ⊂ intB;(ii) se B ⊂ A e B é aberto, então B ⊂ intA;(iii) intA ∩ B intA ∩ intB.

II.5.15 Exercícios(1) Demonstre o Teorema.(2) Prove que se E,d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E, é condição necessária e

suficiente para que p ∈ extA que dp,A 0.(3) Em cada um dos casos seguintes, determine intA,extA e ∂A e verifique que estes

conjuntos formam uma partição de E:(i) A 0,1 no espaço métrico R,d, d a métrica usual;(ii) A −1,0 ∩ Q em R,d como em (i);(iii) A N 1, 2 como nas alíneas anteriores;(iv) A − 1

2 , 2 0,4 em R2,dM, dM como em II.2.18 (2) (ii)) (Sug: determineprimeiro intA e ∂A).

(4) Prove que num espaço métrico munido da métrica discreta di (II.2.3), a fronteira dequalquer conjunto é vazia.

(5) Prove que se E,d é um espaço métrico, A ⊂ E,a) ∂A ∂Acb) para cada ponto p ∈ ∂A tem-se dp,A dp,Ac 0;c) ∂A p ∈ E : dp,A dp,Ac 0.

-84-II.5.16 Resoluções

(1) (i) Se p ∈ intA então existe 0 tal que B0p, ⊂ A; de A ⊂ B conclui-seB0p, ⊂ B e assim p ∈ intB.

(ii) Para B ⊂ A e B aberto, tem-se por B intB ⊂ intA por (i), e assim B ⊂ intA.(iii) Uma vez que A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B, conclui-se de (i) que

intA ∩ B ⊂ intA ∩ intB. Como intA ∩ intB é aberto, porque é a intersecção de doisabertos, e intA ∩ intB ⊂ A ∩ B conclui-se de (ii) que intA ∩ intB ⊂ intA ∩ B,donde intA ∩ B intA ∩ intB c.q.d.

(2) Condição necessária: se p ∈ extA intAc então existe 0 tal queB0p, ⊂ Ac. Admitamos por hipótese de absurdo que dp,A 0; da definição dedp,A infdp,a : a ∈ A concluimos que existe pelo menos um ponto a ∈ A tal quedp,a , e portanto esse ponto verifica a ∈ B0p, ∩ A, concluindo-se o absurdoB0p, ∩ A ≠ , contra a hipótese B0p, ⊂ Ac. Portanto se p ∈ extA tem-sedp,A 0 e a condição é necessária. Condição suficiente: admitindo que dp,A 0,tem-se: para cada a ∈ A, é dp,a dp,A e portanto, se x ∈ E verifica dx,p dp,Aentão x ∉ A. Significa isto que B0p,dp,A ⊂ Ac e assim p ∈ extA, a condição ésuficiente c.q.d.

(3) (i) Cada ponto p tal que p ∈ 0,1 é um ponto interior do conjunto 0,1, pois com min1 − p,p 0 tem-se: x ∈ B0p, p − ,p implica x p − ≥ 0 ex p ≤ p 1 − p 1; assim existe 0 tal que B0p, ⊂ 0,1. Donde0,1 ⊂ int0,1. Também se p ∈ int0,1, então p ∈ 0,1, pois intA ⊂ A, e nãopode ser p 0: pois para p 0, a qualquer bola aberta B0p, −, pertence o ponto−

2 e − 2 ∉ 0,1 i.e., nenhum 0 verifica a condição B00, ⊂ 0,1. Concluimos

que int0,1 0,1. O ponto 0 é um ponto fronteiro do conjunto 0,1, pois comovimos, cada bola aberta B00,, 0, tem pelo menos um ponto que pertence a 0,1c, etem também o ponto 0 ∈ 0,1. Verifica-se pois a condição∀ 0,B00, ∩ 0,1 ≠ ∧ B00, ∩ 0,1c ≠ . O ponto p 1 é também um pontofronteiro, pois para cada 0, p − min1,

2 1 − min1, 2 é um ponto em

B01, 1 − , 1 que pertence a 0,1, donde B01, ∩ 0,1 ≠ para cada 0;e 1

2 ∈ B01, ∩ 0,1c para cada 0. Se p 0, então B0p,∣ p ∣ ⊂ 0,1c e, sep 1, então B0p,p − 1 ⊂ 0,1c. Assim −, 0 1, ⊂ ext0,1, e como todo oponto interior de −, 0 1, pertence a esta reunião, e não é o ponto 1, como deacima concluimos, tem-se ext0,1 −, 0 1,. Portantoint0,1 0,1,∂0,1 0,1 e ext0,1 −, 0 1,. Estes conjuntos sãodois a dois disjuntos e a sua reunião é R.

(ii) intA , pois para cada a ∈ −1,0 ∩ Q, se 0, a bola B0a, não estácontida em −1,0 ∩ Q, porque lhe pertencem números irracionais.ext−1,0 ∩ Q −,−1 0,, pois este conjunto é aberto (reunião de abertos),−,−1 0, ⊂ −1,0 ∩ Qc e não existe nenhum conjunto aberto C contendopropriamente −,−1 0, e contido em −1,0 ∩ Qc: pois pertenceria a C pelomenos um ponto c,−1 ≤ c 0,c ∈ R\Q; cada bola aberta de centro c teria pelo menos umnúmero racional q,−1 q ≤ 0, de modo que não pode ser C intC ⊂ −1,0 ∩ Qc.Tem-se ∂−1,0 ∩ Q −1,0, porque −1,0 ⊂ ∂−1,0 ∩ Q, uma vez queB0p, ∩ A ≠ ≠ B0p, ∩ Ac,A −1,0 ∩ Q e, como vimos anterioirmente, sep ∈ −1,0 então p ∉ extA; como intA , cada p ∈ −1,0 é um ponto fronteiro de A.intA extA ∂A R, e a reunião é disjunta.

-85-(iii) Seja p ∈ A N 1, 2 . Se p ≥ 2, então toda a bola aberta B0p,, contendo

pontos irracionais, intersecta Ac e portanto p ∉ intA; se p 1, cada bola aberta B01,contém pontos x 1,x ∉ A, e assim 1 ∉ intA. Cada ponto p ∈ 1, 2 é um pontointerior de A, pois com minp − 1, 2 − p verifica-seB0p, p − ,p ⊂ 1, 2 ⊂ A. Donde 1, 2 ⊂ intA. TambémintA ⊂ 1, 2 , pois como vimos, os outros pontos de A não são pontos interiores, eintA 1, 2 . Se p 1 então p − ,p ⊂ −, 1 ⊂ Ac desde que 0 1 − p; ese p 2 ,p ∉ N, então p − ,p ⊂ Ac desde que0 minp − 2 ,p − Ip, Ip 1 − p, com Ip "maior inteiro m ≤ p" . Portanto−, 1 2 ,\N ⊂ extA. Os pontos p n,n ∈ N e o ponto 2 não são ponosinteriores como vimos, e também não são pontos exteriores, pois cada bola aberta de centronum destes pontos, pertencem-lhe pontos em A e pontos no complementar de A. Assim∂A N 2 , R é a reunião disjuntaR 1, 2 −, 1 2 ,\N N 2 .

(iv) Para cada x0,y0 ∈ − 12 , 2 0,4 tem-se: se 0 1 ≤ minx0 − − 1

2 , 2 − x0é x0 − 1,x0 1 ⊂ − 1

2 , 2; analogamente, se 0 2 ≤ miny0, 4 − y0, éy0 − 2,y0 2 ⊂ 0,4. Donde com minx0 1

2 , 2 − x0,y0,−y0 tem-sex0,y0 ∈ x − ,x0 y0 − ,y0 B0x0,y0, ⊂ A. Portanto− 1

2 , 2 0,4 ⊂ intA. Os outros pontos de A não são pontos interiores de A, porque:para os pontos x0,y0 de abcissa x0 − 1

2 , cada bola abertaB0x0,y0, x0 − ,x0 y0 − ,y0 contém o ponto x0 −

2 ,y0 ∉ A; e ospontos x0,y0 de ordenada y0 0 (ou y0 4), cada bola abertax0 − ,x0 y0 − ,y0 contém pontos x0,y com 0 y , logo x0,y ∉ A (oupontos x0,y onde 4 y 4 , x0,y ∉ A. Portanto para os outros pontos de A, nãoexiste uma bola aberta centrada nesses pontos e contida em A. Concluimos queintA − 1

2 , 2 0,4.Além do próprio centro da bola, que pertencia a A no raciocínioacima, para os pontos de abcissa − 1

2 , e ordenadas entre 0 e 4, ou para os pontos deordenadas 0 ou 4, com abcissa entre − 1

2 e 2, vimos que cada bola com esses centros contèmpontos do complementar de A. Consequentemente, − 1

2 0,4 ⊂ ∂A,− 1

2 , 2 0 ⊂ ∂A e − 12 , 2 4 ⊂ ∂A. Também 2 0,4 ⊂ ∂A. Com efeito, cada

ponto 2,y0, 0 ≤ y0 ≤ 4 verifica a condição2 −

2 ,y0 ∈ 2 − , 2 y0 − ,y0 ∩ A e a condição2,y0 ∈ 2 − , 2 y0 − ,y0 ∩ Ac. E se x0,y0 é tal que para cada 0,x0 − ,x0 y0 − ,y0 ∩ A ≠ e x0 − ,x0 y0 − ,y0 ∩ Ac ≠ ,não pode ser x0 − 1

2 ou x0 2, e nem y0 0 ou y0 4, casos em que existe 0 comx0 − ,x0 y0 − ,y0 ∩ A ; para − 1

2 ≤ x0 ≤ 2 e 0 ≤ y0 ≤ 4, se nehuma dasabcissas e ordenadas é um extremo do intervalo − 1

2 , 2 ou 0,4 respectivamente, tem-sex0 − ,x0 y0 − ,y0 ∩ Ac , para certo 0. Assim ∂A é a reunião dosconjuntos − 1

2 0,4, 2 0,4, − 12 , 2 0 e − 1

2 , 2 4. PortantoextA ⊂ − 1

2 , 2 0,4c e R2 intA ∂A − 12 , 2 0,4c,

extA − 12 , 2 0,4c.

(4) Em E,di, di a métrica discreta, tem-se intA A e extA Ac, atendendo aII.5.11, uma vez que todo o conjunto A se pode escrever comoA a : a ∈ A B0a, 1 : a ∈ A,B0a, 1 a para cada a ∈ E. Dapropriedade E intA extA ∂A e sendo a reunião disjunta, conclui-se que∂A E\intA extA , c.q.d.

-86-(5) a) Da definição, em linguagem lógica (II.5.9 (3)) de ponto fronteiro de A, conclui-se

imediatamente que ∂A ∂Ac, atendendo a que Acc A;b) Aplicando a a), basta mostrar que para p ∈ ∂A se tem

dp,A infdp,a : a ∈ A 0. Com efeito, tem-se: para cada 0, existe pelo menosum ponto a ∈ A tal que a ∈ B0p, ∩ A, dp,a . Dondedp,A ≤ dp,a ,∀ 0 e portanto dp,A 0.

c) Utilizando b), basta provar que se dp,A dp,Ac 0 então p ∈ ∂A. Com efeito,conclui-se da definição de dp,A que para cada 0, existem pontos a ∈ A,b ∈ Ac taisque dp,a , i.e., a ∈ B0p, ∩ A, e dp,b , i.e., b ∈ B0p, ∩ Ac. Tem-se pois,em linguagem lógica, ∀ 0,B0p, ∩ A ≠ ∧ B0p, ∩ Ac ≠ , ou seja p ∈ ∂A c.q.d.

II.5.17 Observação É falso que intA B intA intB, como mostra o exemploA −1,0,B 0,1 em R,d, d a métrica usual. Verifica-se sempre a inclusãointA intB ⊂ intA B.

II.5.18 Definição Sejam E,d um respaço métrico, A ⊂ E,a ∈ A. Diz-se que a é umponto isolado de A se existe pelo menos um 0 tal que a é o único ponto de A na bolaB0a,. Em linguagem lógica,

a á um ponto isolado de A ≡ ∃ 0,B0a, ∩ A a.

II.5.19 O conjunto N consiste de pontos isolados em R,d, d a métrica usual.

II.5.20 Se d1e d2 são métricas no conjunto E, conclui-se de II.5.10 (1) que a topologiada métrica d1 coincide com a topologia da métrica d2 se e só se para cada A ⊂ E, o interiorde A em E,d1 é o mesmo que o interior de A em E,d2.

Também, então, o exterior de cada conjunto é o mesmo, e a fronteira coincide; pois oexterior de um conjunto é o interior do complementar, e conclui-se de (3) em II.5.9 que∂A intA extAc.

II.5.21 Teorema Sejam d1,d2 métricas num conjunto E tais que d2 d1. Então todo oconjunto aberto em E,d1 é também um conjunto aberto em E,d2. Ou seja, as topologiasT1, da métrica d1, e T2, da métrica d2 verificam T2 ⊃ T1.

Dem. Seja A um conjunto aberto em E,d1, A ∈ T1. Para cada a ∈ A existe 0 talque B0

1a, ⊂ A, onde B01a, representa a bola para a métrica d1 e, como existe 0

tal que B02a, ⊂ B0

1a,, B02a, a bola relativa à métrica d2, concluimos que a é um

ponto interior de A em E,d2 e que A ∈ T2c.q.d.

-87-

II.5.22 Corolário Se d1,d2 são métricas num conjunto E, então a topologia da métricad1 coincide com a topologia da métrica d2 se e só se as métricas d1 e d2 são equivalentes.

Dem. Com as notações do teorema, conclui-se T1 T2 se d1,d2 são equivalentes.Reciprocamente, admitamos que d2 não é mais fina que d1. Existe então pelo menos umponto p ∈ E tal que, para certo 0, nenhum raio 0 verifica a inclusãoB02p, ⊂ B0

1p,; isto implica que o conjunto B01p,, aberto em E,d1, não é

aberto em E,d2 pois p ∈ B01p, mas p ∉ intB0

1p, em E,d2. Não se tem poisT1 ⊂ T2, e T1 ≠ T2. Portanto se d1,d2 não são equivalentes, as respectivas topologias dasmétricas são diferentes c.q.d.

II.5.23 Exemplos (1) As métricas discreta di, e usual d em R não sendo equivalentes, astopologias das métricas são diferentes; como di d, todo o conjunto aberto em R,d éaberto em R,di, mas a recíproca é falsa.

(2) Conclui-se de II.3.7 que as topologias das métricas de,dM e ds em Rn são a mesma.Esta toplogia é a topologia usual de Rn.

II.5.24 Exercícios(1) Utilizando II.5.10 (3), o exemplo (2) acima e a métrica dM em R2, comprove o

exemplo (3) em II.5.11 (Sug: esboce a figura).(2) Prove que se d1,d2 são métricas equivalentes em E, A ⊂ E, então a é um ponto

isolado de A em E,d1 se e só se a é um ponto isolado de A em E,d2.(3) Determine o interior e o conjunto dos pontos isolados do conjunto

A − 3 ,0 1n : n ∈ N ⊂ R,

a) em R,min1,d, d a métrica usual de R;b) em R,di, di a métrica discreta.

II.5.25 Resoluções(1) Sendo A x,y ∈ R2 : y ≥ x consideremos um ponto x0,y0 ∈ A tal que

y0 x0. Com y0 − x0/2 0 tem-se: se x,y ∈ B0x0,y0, entãox − x0 y0 − x0/2 e y0 − y y0 − x0/2; adicionando membro a membro,x − y y0 − x0 y0 − x0 donde x − y 0,y x, o que mostra que B0x0,y0, ⊂ A eportanto x0,y0 ∈ intA. Se y0 x0, r 0, cada bola aberta B0x0,y0, r contém o pontox0,x0 − r/2 ∉ A, e o ponto x0,y0 ∈ A e assim este ponto é um ponto fronteiro de A.Logo intA x,y ∈ R2 : y x. Se x0,y0 verifica y0 x0, então conclui-se daprimeira parte, trocando x0 ↔ y0, que B0x0,y0, x0 − y0/2 ⊂ Ac. Concluimos queefectivamente extA x,y ∈ R2 : y x e ∂A x,y : y x, como queríamos.

(2) Bastará provar que se d2 d1 e a é um ponto isolado de A em E,d1 então a é umponto isolado de A em E,d2. Com efeito, seja 0 tal que B0

1a, ∩ A a. Umavez que existe 0 tal que B0

2a, ⊂ B01a, (com B0

ka, r a bola aberta em E,dk,k 1,2), conclui-se B0

2a, ∩ A ⊂ B01a, ∩ A a donde B0

2a, ∩ A a eassim a é um ponto isolado de A em E,d1 c.q.d.

-88-(3) a) Cada ponto p ∈ − 3 ,0 é um ponto interior de A, pois

B0p,minp 3 ,∣ p ∣ p − r,p r ⊂ A, se r minp 3 ,∣ p ∣. Os restantesponto de A não são pontos interiores, pois para o ponto p 0 tem-se: para cada 0,/2 ∈ B00,, /2 ∉ A; e se p 1

n ,n ∈ N, então existe pelo menos um número irracionalem cada intervalo aberto p − ,p , o que mostra que p ∉ intA. Tambémp − 1

nn1 ,p 1nn1 ∩ A p se p 1

n ,n ∈ N, e cada um destes pontos é um pontoisolado de A. Os pontos p do intervalo − 3 ,0 não são pontos isolados de A pois se0 r minp 3 ,∣ p ∣ então B0p, ∩ A B0p, ≠ p. 0 não é também umponto isolado de A, porque para cada 0, −, ∩ A ≠ 0. Concluimos queintA − 3 ,0, e o conjunto dos pontos isolados de A é o conjunto 1

n : n ∈ N.b) intA A, pois para a métrica discreta todo o conjunto é aberto. Cada ponto p ∈ A

é um ponto isolado, porque B0p, 1 ∩ A B0p, 1 p se p ∈ A.

II.5.26 Definição Seja E,d um espaço métrico. Um conjunto A ⊂ E diz-se umconjunto fechado se Ac é aberto.

II.5.27 Exemplos (1) Se E,d é um espaço métrico, ,E são conjuntos fechados, peloteorema II.5.4. (2) Para a topologia da métrica discreta sobre um conjunto E, todo osubconjunto de E é um conjunto fechado e aberto, pois todos os conjutos são abertos(exemplo (2) em II.5.3). (3) Em qualquer espaço métrico E,d, os subconjuntos fechadospara as topologias das métricas d,min1,d e d

d1 são os mesmos, pois a topologia é amesma (observações (2), (3) em II.4.7, exercício (4) em II.4.10).

II.5.28 Exercícios(1) Demonstre que se d1,d2 são métricas em E tais que d2 d1, e F é um subconjunto

fechado de E em E,d1 então F é fechado em E,d2.(2) Prove que em qualquer espaço métrico E,d, todo o conjunto reduzido a um

elemento é fechado.(3) Indique, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de 0, são abertos ou

fechados em 0,,, x,y ∣ 1x − 1

y ∣ (Sug: exercício (3) (i) em II.4.4):(i) 0,1; (ii) 0,1; (iii) 0,1 2.

II.5.29 Resoluções(1) Seja F fechado em E,d1; então Fc é aberto em E,d1. Pelo teorema II.5.20, Fc é

aberto em E,d2 e por conseguinte F é fechado em E,d2 c.q.d.(2) Para provar que p é fechado, provemos que pc é aberto. Se q ∈ pc então

sendo d dp,q, tem-se p ∉ B0q,d i.e., p ∩ B0q,d , B0q,d ⊂ pc, o quemostra que pc é aberto c.q.d.

-89-(3) (i) 0,1 é aberto em 0,,, pois é aberto em 0,,d, d a métrica usual.

Este conjunto não é fechado, pois o seu complementar 1, não é aberto, uma vez que oponto 1 não é um ponto interior de 1, em 0,,d, d a métrica usual. (ii) 0,1 não éaberto em 0,, porque não é aberto em 0,,d, d a métrica usual. Com efeito, oponto 1 não é um ponto interior do conjunto 0,1. O complementar de 0,1 em 0, é1,, que é um conjunto aberto em 0,,d para a métrica usual d. Assim 0,1 é umfechado em 0,,d, e portanto é fechado em 0,,. (iii) 0,1 2 não é aberto,pois o ponto 2 não é um ponto interior do conjunto. O complementar 1,2 2, não éaberto em 0,,d (1 não é um ponto interior), e portanto 0,1 2 não é fechado em0,,.

II.5.30 Teorema Seja E,d um espaço métrico. A classe dos subconjuntos fechadosde E verifica as propriedades:

F1 ,E são conjuntos fechados;F2 Se F1, . . . ,Fn são fechados, n ∈ N, então F1 . . .Fn é fechado;F3 Se Fi : i ∈ I é uma classe de conjuntos fechados, entãoFi : i ∈ I é um

conjunto fechado.Dem. F1, F2 e F3 concluem-se imediatamente de TE1, TE2 e TE3 por

passagem ao complementar, utilizando Fi : i ∈ Ic Fic : i ∈ I e

Fi : i ∈ Ic Fic : i ∈ I.

II.5.31 Exercício Prove as leis de De Morgan generalizadas: se Xi : i ∈ I é umaclasse de subconjuntos de X, então:

(i) Xi : i ∈ Ic Xic : i ∈ I;

(ii) Xi : i ∈ Ic Xic : i ∈ I.

II.5.32 Resolução(i) Xi : i ∈ Ic x ∈ X : ~x ∈ Xi : i ∈ I

x ∈ X : ~∃i ∈ I,x ∈ Xi x ∈ X : ∀i ∈ I,x ∉ Xi Xic : i ∈ I;

(ii) Xi : i ∈ Ic x ∈ X : ~x ∈ Xi : i ∈ I x ∈ X : ~∀i ∈ I,x ∈ Xi x ∈ X : ∃i ∈ I,x ∉ Xi Xi

c : i ∈ I.

II.5.33 Consideremos o espaço métrico R,d, d a métrica usual. Se xn é umasucessão em 0,1, convergente em R,d para um ponto p, conclui-se de 0 ≤ xn ≤ 1 paracada n, que 0 ≤ p limxn ≤ 1 pela passagem de uma desigualdade ao limite; assimp ∈ 0,1. O conjunto 0,1 não verifica esta propriedade, pois por exemplo 1

n é umasucessão em 0,1, convergente em R,d para 0 ∉ 0,1. Põe-se:

II.5.34 Definição Sejam E,d um espaço métrico, A ⊂ E.(1) Diz-se que o ponto p ∈ E é um ponto aderente do conjunto A, ou que p é aderente

a A, se existe uma sucessão xn em A tal que xn → p em E,d;(2) o conjunto dos pontos aderentes do conjunto A chama-se aderência ou fecho de A,

e representa-se por A.

-90-II.5.35 Observações (1) O ponto p é aderente a A, p ∈ A se e só se verifica a condição

de qualquer bola aberta de centro p conter pelo menos um ponto do conjunto A; emlinguagem lógica

p ∈ A ≡ ∀ 0,B0p, ∩ A ≠ .Com efeito, se p ∈ A tem-se p limxn, para pelo menos uma sucessão xn em A.

Então para cada 0, existe uma ordem p ∈ N tal que xn ∈ Bp, para cada n ≥ p,e portanto o ponto xp ∈ B0p, ∩ A. Reciprocamente, suponhamos que a condição severifica; fazendo 1

n ∈ N para cada n ∈ N, obtemos: para cada n ∈ N, existe pelomenos um ponto xn ∈ B0p, 1

n ∩ A. A sucessão xn de pontos de A verifica xn → p emE,d pois passando as desigualdades 0 ≤ dxn,p ≤ 1

n ao limite, obtemos limdxn,p 0,e p é um ponto aderente de A. (2) Tem-se A ⊂ A, pois para cada ponto a ∈ A, a é o limiteem E,d da sucessão constante e igual a a.

Exemplos (1) Em R,d, d a métrica usual, tem-se 0,1 0,1 0,1 0,1; aaderência de cada um destes conjuntos é ainda 0,1, nos espaços métricos R,min1,d eR, d

d1 . (2) O fecho de R\0 em R,d como no exemplo (1), é o conjunto R, poisqualquer intervalo aberto contém um ponto diferente de 0. (3) Se xn é uma sucessãoconvergente no espaço métrico E,d, x limxn, tem-se xn : n ∈ N x,xn : n ∈ N.

II.5.36 Exercícios(1) Prove que se d1,d2 são métricas em E, d2 d1, A ⊂ E, então o fecho de A em

E,d2 está contido no fecho de A em E,d1 (Sug: verifique II.4.3 (1))..(2) Conclua do exercício anterior que se d1,d2 são métricas equivalentes no conjunto

E, A ⊂ E, então o fecho de A em E,d1 é o mesmo que o fecho de A em E,d2.(3) Determine A em cada um dos casos seguintes:

(i) A 0 nn1 : n ∈ N em R,d, d a métrica ususal;

(ii) A como em (i), em R,min1,d, d como em (i);(iii) A 0,1 −1,2 em R2,dM e em R2,de (Sug: II.2.12 (3));(iv) A Q em R, 2d, d a métrica usual (Sug: II.4.7 (3), (2); II.2.5 (2) (i));(v) A 0,1 1,2 4, em R,d, d a métrica usual;(vi) A x,x 1 : x ∈ R em R2,de, em R2,dM e em R2,ds.

(4) Demonstre que se A é um subconjunto de E no espaço métrico E,d, entãoA p ∈ E : dp,A 0.

(5) Mostre que se E,d é um espaço métrico, e C é um subconjunto finito de E, entãoC C.

(6) Dê exemplo de um espaço métrico E,d e de um subconjunto finito A de E tal queE\A ≠ E.

-91-II.5.37 Resoluções(1) Seja p um ponto aderente de A em E,d2. Então existe uma sucessão xn em A

tal que p limxn em E,d2; assim, para cada 0, existe uma ordem p ∈ N tal quexn ∈ B0

2p,, para cada n ≥ p, onde B02p, designa a bola aberta em E,d2. Se

0, existe, pela hipótese d2 d1, certo 0 tal que B02p, ⊂ B0

1p,, a bolaaberta para a métrica d1. Concluimos que para cada n ≥ p se verifica xn ∈ B0

1p,, eassim xn → p em E,d1 e p é um ponto aderente de A neste espaço métrico.

(2) Conclui-se de (1) que se d2 d1 e d1 d2, então cada conjunto fecho de A numdos espaços métricos E,d1 e E,d2 é um subconjunto do outro, e portanto o fecho é omesmo.

(3) (i) Além dos pontos de A, também o ponto 1 lim nn1 é um ponto aderente de A

(Exemplo (3) em II.5.35). Para cada outro ponto p ∈ R, existe r 0 tal queB0p, r ∩ A , e portanto p não é limite em R,d de uma sucessão em A. ConcluimosA 0,1 n

n1 : n ∈ N.(ii) Conclui-se do exercício (1) que o fecho de A em R,min1,d é como em (i).(iii) Os pontos p da forma p 0,y,y ∈ −1,2 são pontos aderentes de A: por exemplo

0,−1 lim0,−1 1n com cada ponto 0,−1 1

n ∈ A; e 0,2 lim0,2 − 1n ,

0,2 − 1n ∈ A n ∈ N. Cada ponto p 1,y,y ∈ −1,2 é também um ponto aderente de

A, pois 1,y lim1 − 1n ,y se −1 y 2; para y −1, tem-se

−1,y lim1 − 1n ,−1 1

n e, se y 2, −1,y lim1 − 1n , 2 − 1

n . Também cada pontop x,−1, 0 x ≤ 1 é um limite x,−1 limx − x

n ,−1 1n de pontos de A, e

0,−1 lim0,−1 1n . Para os pontos da forma x, 2, 0 x ≤ 2, é

x, 2 limx − xn , 2 − 1

n , e 0,2 lim0,2 − 1n . Portanto o rectângulo 0,1 −1,2

com os lados é formado por pontos aderentes de A. Se p x0,y0 ∉ 0,1 −1,2, existeuma bola aberta B0p, r para dM tal que B0p, r ⊂ Ac; então p não é limite de pontos de Aem R2,dM, p não é ponto aderente de A em R2,dM. Conclui-se que A 0,1 −1,2em R2,dM e, aplicando o exercício (1) acima, e II.4.2 (2), A 0,1 −1,2 em R2,de.

(iv) Aplicando II.4.7 (3), (2) e o exercício (2) acima, podemos determinar Q em R,d.Em cada bola aberta B0p, r p − r,p r, e para cada ponto p ∈ R, existe um númeroracional, e assim cada ponto p verifica a condição ∀ 0,B0p, ∩ Q ≠ e Q R emR, 2d.

(v) Tem-se 0 lim 1n , 1

n ∈ A n ∈ N e 1 lim1 − 1n , 1 − 1

n ∈ A n ∈ N. Assim0,1 ∈ A; também 2 lim2 − 1

n com 2 − 1n ∈ A n ∈ N e 4 lim4 1

n com 4 1n ∈ A

para cada n ∈ N. Donde 0,2 4, ⊂ A. Se p ∉ 0,2 4, então existe r 0 talque p − r,p r ⊂ Ac; portanto A 0,2 4,.

(vi) Se x,y ≠ x,x 1,x,y ∈ R, x 1 ≠ y, seja r ∣ y − x 1 ∣ /2 0. Para cadau,v ∈ x − r,x r y − r,y r B0x,y, r (a bola para a métrica dM) tem-semax∣ u − x ∣,∣ v − y ∣ r. Se v u 1, tem-se ∣ u − x ∣ r e ∣ u 1 − y ∣ rdonde ∣ x − u ∣ r,∣ u 1 − y ∣ r obtendo-se ∣ x 1 − y ∣ 2r ∣ x 1 − y ∣, o que éimpossível; portanto B0x,y, r ⊂ Ac e x,y não é limite de pontos de A, x,y ∉ A.Conclui-se A A em R2,dM. De II.4.2 e do exercício (1) acima, concluimos que tambémA A em R2,de e em R2,ds.

-92-(4) Se p ∈ A então para cada 0, existe a ∈ A tal que a ∈ B0p,, i.e tal que

dp,a . Assim ∀ 0,dp,A e portanto dp,A 0. Reciprocamente, sedp,A infdp,a : a ∈ A 0, então para cada n ∈ N, existe an ∈ A tal quedp,an 1

n ; conclui-se limdp,an 0, pela passagem de uma desigualdade ao limite,donde an → p e p ∈ A.c.q.d.

(5) Basta provar que nenhum ponto p ∈ E, p ∉ C é limite de uma sucessão em C. Sep ∉ C c1, . . . ,cm m ∈ N, seja mindp,ck : 1 ≤ k ≤ m 0. Não existenenhum ponto ck ∈ B0p,, e assim p não é limite de uma sucessão em C, comoqueríamos.

(6) Consideremos o espaço métrico E,di, di a métrica discreta emE 1,2,A 1. Então E\A 2. Como B01,1 ∩ E\A 1 ∩ 2 ,verifica-se 1 ∉ E\A e portanto E\A ≠ E.

II.5.38 Teorema Sejam E,d um espaço métrico, A ⊂ E. Então:(1) O conjunto A é fechado;(2) A é um conjunto fechado se e só se A A.Dem. (1) Provemos que Ac é aberto. Se p ∉ A, obtemos negando a condição em

linguagem lógica, em II.5.34: ∃ 0,B0p, ∩ A , i.e. ∃ 0,B0p, ⊂ Ac. Paracada x ∈ B0p, existe, pelo lema II,3.4, certo x 0 tal que B0x,x ⊂ B0p, ⊂ Ac,B0x,x ⊂ Ac, donde x ∈ extA e, aplicando o exercício (2) em II.5.13, concluimosdx,A 0. Pelo exercício (4) em II.5.36, tem-se portanto x ∉ A e assim B0p, ⊂ Ac, oque mostra que Ac é aberto. (2) Se A é fechado, provemos que A ⊂ A, concluindo-se entãoA A por II.5.34 (2). Equivalentemente, mostremos que Ac ⊂ Ac; se p ∈ Ac, como Ac éaberto por hipótese, existe certo 0 tal que B0p, ⊂ Ac,B0p, ∩ A , i.e.,verifica-se a negação da condição de p ponto aderente de A em II.5.34, e portanto p ∉ A.Portanto se A é fechado, tem-se A A. A recíproca conclui-se de (1), c.q.d.

II.5.39 Teorema Seja A um subconjunto do espaço métrico E,d. O conjunto A é aintersecção da classe dos subconjuntos fechados de E quer contêm A.

Dem. Tem-se Ac extA , aplicando o exercício (2) em II.5.15, e o exercício (4),II.5.36. Pelo teorema II.5.12, se Ci : i ∈ I é a classe dos subconjuntos abertos de Ac,tem-se extA intAc Ci : i ∈ I e a classe dos subconjuntos fechados de E quecontêm A é Ci

c : i ∈ I. Então A extAc Ci : i ∈ Ic Cic : i ∈ I

(II.5.30) c.q.d.

II.5.40 Teorema Se E,d é um espaço métrico, A,B ⊂ E, tem-se:(i) Se A ⊂ B então A ⊂ B;(ii) se A ⊂ B e B é fechado, então A ⊂ B;(iii) A B A B.

-93-Dem. (i) Se p ∈ A tem-se p liman em E,d, para pelo menos uma sucessão an de

pontos de A; então, como an é uma sucessão em B, tem-se também p ∈ B. (ii) Dadop ∈ A, é p liman com an uma sucessão em A, portanto an ∈ B n ∈ N; sendo B umconjunto fechado, conclui-se p ∈ B por (2) no teorema II.5.38. (iii) Como A B é umconjunto fechado que contém A B, concluimos de (ii) que A B ⊂ A B; para a inclusãorecíproca, se p ∈ A B então ou p é limite em E,d de uma sucessão de pontos de A, ou élimite de uma sucessão de pontos de B; em qualquer caso, p é limite de uma sucessão emA B, donde p ∈ A B.

II.5.41 Observação A relação (ii) no teorema anterior mostra que o fecho de A numespaço métrico E,d é o menor conjunto fechado que contém A, no conjunto parcialmenteordenado PE para a relação de inclusão.

II.5.42 Exercícios(1) Mostre que se E,d é um espaço métrico, A ⊂ E, então para cada ponto p ∈ E

tem-se dp,A dp,A (Sug: para provar que infC ≤ infD basta mostrar quec infC c ≤ infD).

(2) Conclua de (1) que A A (Sug: Exercício II.5.36 (4)).

II.5.43 Resoluções(1) Sendo A ⊂ A tem-se

dp,A infdp,x : x ∈ A ≤ infdp,x : x ∈ A dp,A, pois o perimeiro conjuntocontém o segundo e, quando o conjunto dos vlores aumenta, o ínfimo permanece oudiminui. Suponhamos c dp,A. Então c dp,a,∀a ∈ A. Se x ∈ A éx liman,an ∈ A n ∈ N, limdx,an 0. Encontramosdp,x ≥ dp,an − dan,x c − dan,x n ∈ N e passando esta desigualdade ao limite,dp,x ≥ c − 0 c; então dp,A infdp,x : x ∈ A ≥ c, donde dp,A ≤ dp,A edp,A dp,A como queríamos.

(2) Aplicando (4) em II.5.36, A p ∈ E : dp,A 0 p ∈ E;dp,A 0 A.

II.5.44 Exercício Prove que se E,d é um espaço métrico, A ⊂ E, entãoA intA ∂A A ∂A. (Sug: II.5.36 (4), II.5.14 (2), (5) c) e II.5.9).

II.5.45 ResoluçãoTem-se intA ∂A ⊂ A ∂A ⊂ A, pois se p ∈ A ∂A então aplicando II.5.15 (5) c),

verifica-se dp,A 0 donde p ∈ A por II.5.36 (4); a primeira inclusão conclui-se de II.5.9(2). Reciprocamente, se p ∉ intA ∂A então por II.5.9 (3) tem-se p ∈ extA, e aplicandode novo II.5.15 (2) é dp,A 0; pelo que aplicando de novo II.5.36, p ∉ A. PortantoA ⊂ intA ∂A ⊂ A ∂A, c.q.d.

-94-II.5.46 Exercício Determine o fecho de cada conjunto nos Exemplos II.5.11, e

comprove com o exercício anterior.

II.5.47 Resolução (1) Em R,di tem-se 0 0 (II.5.27 (2), II.5.38 (2)) eint0 0, ∂0 . Assim 0 ⊂ int0 ∂0. (2) Em R,d, é−, 1 −, 1, uma vez que o complementar do conjunto é o aberto 1,. Verifica-seportanto −, 1 int−, 1 ∂−, 1. Em R2,de, o fecho do conjuntoA x,y : y ≥ x é o próprio conjunto; pois se xn,yn → x,y e yn ≥ xn para cada n,então aplicando II.12.12 (3) tem-se xn → x, yn → y e conclui-se y ≥ x passando adesigualdade ao limite. Portanto A intA ∂A também neste caso.

II.5.48 Recordando II.5.6 (2), se E,d é um espaço métrico, ≠ C ⊂ E, acaracterização C p ∈ E : dp,C 0 em II.5.36 (4) de C (i.e, C é o subconjunto de Eformado pelos pontos p tais que para cada r 0, dp,C r) mostra queC VrC : r 0.

II.5.49 Exercícios(1) Prove que num espaço métrico E,d, o fecho de um conjunto C é a intersecção de

uma classe contável decrescente (para a inclusão em PE) de conjuntos abertos. (Distingao caso C ).

(2) Demonstre que se A,C ⊂ E, E,d um espaço métrico, e C é fechado então: a)dp,C 0 para cada p ∈ Cc;

b) extA Ac (sug: utilize a a));c) intA Acc (sug: utilize a alínea anterior).(3) Demonstre que num espaço métrico E,d o interior de cada conjunto C é reunião

de uma classe contável crescente de conjuntos fechados; considere primeiro o caso C .

II.5.50 Resoluções(1) Se C tem-se C . Se C é não vazio, seguindo II.5.48 tem-se

C V1/nC : n ∈ N Om : m ∈ N, onde Om V1/n : 1 n m, cada Om

é aberto e O1 ⊃ O2 ⊃. . .⊃ Om ⊃ Om1 ⊃. . . c.q.d. Uma vez que a aplicação m → Om ésobrejectiva, conclui-se de I.6.15 que #Om : m ∈ N #0.

(2) a) Provemos equivalentemente que, se dp,C 0 então p ∈ C. Se dp,C 0então aplicando II.5.36 (4) tem-se p ∈ C C (II.5.38 (2)), ficando provado a) c.q.d.

b) Aplicando II.5.14 (b), tem-se p ∈ extA sse dp,A 0. Pela a), tambémp ∉ A sse dp,A 0. Conclui-se p ∈ extA sse p ∈ Ac c.q.d.

c) Tem-se intA intAcc extAc Acc por b), c.q.d.

(3) . Se C ≠ , é intC Ccc Om : m ∈ Nc Omc : m ∈ N

com Omc : m ∈ N uma classe contável crescente de conjuntos fechados, obtida a partir da

classe Om : m ∈ N da a).

-95-II.5.51 Se E,d é um espaço métrico, A ⊂ E e p ∈ A, pode dar-se p ∉ A como vimos

já. Neste caso, uma vez que p é limite de uma sucessão an em A, existe uma infinidade determos an ≠ p (se o conjunto dos termos diferentes de p na sucessão an é finito, tem-sean c a partir de certa ordem, e necessariamente c p). Portanto toda a bola abertaB0p, r contém pelo menos um ponto de A diferente de p, e assim B0p, r ∩ A\p ≠ para cada raio r 0, i.e., tem-se p ∈ A\p. Põe-se

II.5.52 Definição Seja E,d um espaço métrico, e seja A ⊂ E.(1) Diz-se que o ponto p ∈ E é um ponto de acumulação do conjunto A se p é um

ponto aderente do conjunto A\p;(2) o conjunto dos pontos de acumulação de A chama-se o conjunto derivado de A e

representa-se por A ′.II.5.53 Exemplos (1) Em qualquer espaço métrico, o conjunto derivado de cada

singleton p é o conjunto vazio, como consequência de ser um conjunto fechado. (2)0,1′ 0,1 em R,d se d é a métrica usual em R. (3) Para a métrica discreta di numconjunto E tem-se A ′ qualquer que seja o subconjunto A de E.

II.5.54 Exercícios(1) Prove que se E,d é um espaço métrico, A ⊂ E, então p ∈ A ′ se e só se p é limite

de uma sucessão de pontos de A todos diferentes, e diferentes de p.(2) Demonstre que A ′ ⊂ A.(3) Dê um exemplo em que a inclusão em (2) seja estrita.(4) Prove que se xn é uma sucessão no espaço métrico E,d, então p é um ponto de

acumulação do conjunto dos termos se e só se existe uma subsucessão de xn com ostermos todos diferentes, convergente para p.

(5) Mostre que se I é um intervalo de R não reduzido a um ponto, então I′ I emR,d, d a métrica usual.

(6) Determine os pontos isolados, os pontos de acumulação e o fecho do conjunto A noespaço métrico E,d, em cada um dos casos seguintes:

(i) E,d R,d, d a métrica usual, A Q;(ii) E,d como em (i), A Z;(iii) E,d como em (i), (ii), A 1/n : n ∈ N2;(iv) E,d R,di, di a métrica discreta, A Q;(v) E,d R2,de, A B00,0, 1 N2, de a métrica euclideana.(7) Demonstre que num espaço métrico E,d, se A ⊂ E, e representando por iA o

conjunto dos pontos isolados de A, se tem A iA A ′.(8) Prove que se E,d é um espaço métrico, A ⊂ E, então A A A ′.(9) Determine intA em (6) (v) e conclua que pode ser A ≠ intA A ′.(10) a) Mostre que se E,d é um espaço métrico, A ⊂ E e p ∈ A ′, então toda a

vizinhança do ponto p contém uma infinidade de pontos de A;b) conclua que se um subconjunto A de um espaço métrico é finito, então A ′ .

-96-II.5.53 Resoluções(1) Admitamos primeiro que existe uma sucessão an nas condições dadas, an → p.

Então para cada 0, existe uma ordem n tal que an ∈ B0p, se n ≥ n. Emparticular, tem-se an ∈ B0p, e, como an ≠ p tem-se an ∈ B0p, ∩ A\p ep ∈ A ′. Supondo p ∈ A ′, i.e., p ∈ A\p consideremos 1; existe pelo menos um pontoa1 ∈ B0p, 1 ∩ A\p. Para 1/2 existe uma infinidade de pontosa ∈ B0p, 1/2 ∩ A\p; pois se o conjunto B0p, 1/2 ∩ A\p fosse finito, digamosconstituído por pontos x1, . . . ,xm, então com d dp,x1, . . . ,xm 0, o conjuntoB0p,d ∩ A\p seria vazio, e então p ∉ A ′. Existe portanto pelo menos um pontoa2 ∈ B0p, 1/2 ∩ A\p, a2 ≠ a1. Seguidamente, repetindo o raciocínio, existe pelomenos um ponto a3 ∈ B0p, 1/3 ∩ A\p, a3 ≠ a2 e a3 ≠ a1; e vemos que para cadan ∈ N, existem n pontos diferentes ak ∈ B0p, 1/k ∩ A\p, k 1, . . . ,n. A sucessão anem A satisfazs condições pedidas, pois para cada 0, se n ∈ N e n ≥ n 1/ entãoan ∈ B0p, 1/n ⊂ B0p,, e assim an → p c.q.d.

(2) Se p ∈ A ′ então p ∈ A\p ⊂ A, utilizando o Teorema II.5.40.(3) II.5.53 mostra que, por exemplo considerando a métrica discreta em E 1 se

tem E ′ , pois 1 ∉ 1 ∩ E\1, 1 B01,1. No entanto, E E ≠ .(4) Utilizando (1), tem-se p ∈ xn : n ∈ N′ se e só se existe uma sucessão xj → p,

com cada xj um dos termos de xn j ∈ N, xj ≠ xj′ se j ≠ j ′. Para cada n 1,2, . . . , existeum menor índice j de entre todos os j ≥ n, tal que xj ∈ B0p, 1/n; designando-o por jn, aaplicação de N em N, n → jn é estritamente crescente. A sucessão xjn é portanto umasubsucessão de xn, e xjn → p n → , podendo escolher-se cada xjn ≠ p c.q.d.

(5) Por (2), tem-se I′ ⊂ I. Seja p ∈ I, a inf I, b sup I; não pode ser p a, nemp b, pois então dp, I 0 e p ∉ I (II.5.36 (4)). Uma vez que para cada 0, existe pelomenos um ponto x ∈ p − ,p ∩ I, é x p − ≥ a − e x p ≤ b − . Conclui-seque para 0 suficientemente pequeno, cada ponto x ∈ p − ,p ∩ I e portantoque para cada 0, B0p, ∩ I\p ≠ .

(6) (i) iQ , pois para cada número racional q, existe pelo menos um númeroirracional em cada intervalo q − ,q , 0; também se p é um número real, para cada 0, tem-se p − ,p ∩ Q\p ≠ , pois em p − ,p existe uma infinidade denúmeros racionais, e uma infinidade de números irracionais. Donde Q ′ R. Se p ∈ R,tem-se dp,Q 0, Q R.

(ii) Cada ponto m ∈ Z é um ponto isolado em R,d, porquem − 1,m 1 ∩ Z m m ∈ Z. Z′ , pois nenhuma sucessão de números inteiros,todos diferentes, é convergente em R,d (utilize-se (1)). Z Z, uma vez que umasucessão de números inteiros é convergente em R,d se e só se é constante a partir de certaordem.

(iii) Cada ponto p ∈ 1/n : n ∈ N2 é um ponto isolado: dado p 1/n0, n0 ∈ N2tem-se p − ,p ∩ N2 p se min1/n0 − 1 − 1/n0, 1/n0 − 1/n0 1.1/n : n ∈ N2 ′ 0, uma vez que 1/n → 0 (e portanto qualquer subsucessão de 1/ntem limte 0, e por (4)); também 1/n : n ∈ N2 0,1/n : n ∈ N2.

(iv) Em R,di, tem-se Q ′ , pois para cada ponto p ∈ R,B0p, 1 ∩ Q\p p ∩ Q\p . Assim iQ . Q Q, pois cada conjunto éfechado.

-97-(v) Em R2,de, os pontos isolados de A B00,0, 1 N2 são os pontos em N2.

Pois para cada n,m ∈ N2, tem-se: se n,m 1,1, então B01,1, 1 ∩ A 1,1; epara os outros pontos n,m, é também B0n,m, 1 ∩ A n,m. Além disso, os pontosx,y ∈ B00,0, 1 não são pontos isolados, pois cada conjunto B0x,y, ∩ B00,0, 1contém o ponto x −

1−x2−y2

2 ,y; assim iA N2, e tem-se B00,0, 1 ⊂ A ′. Sex2 y2 1 então para cada 0, x,y ∈ B0x,y, ∩ B0, 0,0, 1\x,y desdeque 1 − 1, o que mostra que x,y ∈ A ′. B00,0, 1 ⊂ B0,0, 1, pois sexn

2 yn2 1 e xn,yn → x,y, é xn → x,yn → y (II.2.12 (3)), e x2 y2 limxn

2 yn2 ≤ 1.

Se x2 y2 ≤ 1, é x,y lim1 − 1n x, 1 − 1

n y, e x,y ∈ B00,0, 1, pelo queB00,0, 1 B0,0, 1. Donde A ′ B0,0, 1. Por II.5.40 (iii) éA B0,0, 1 N2 B0,0, 1 N2.

(7) Tem-se iA ⊂ A ⊂ A e A ′ ⊂ A, uma vez que se p ∈ A ′ então p ∈ A\p ⊂ A(II.5.40 (i)); deste modo, iA A ′ ⊂ A. Se p ∈ A então para cada vizinhança V de p tem-seV ∩ A ≠ , e dá-se portanto um e um só dos dois casos: 1º caso) para certa vizinhança V dep, é V ∩ A p; 2º caso) qualquer que seja a vizinhança V de p, existe pelo menos umponto x ≠ p,x ∈ V ∩ A. No 1º caso, tem-se p ∈ iA; no 2º caso, tem-se V ∩ A\p ≠ para toda a vizinhança V de p, donde p ∈ A ′. Assim A ⊂ iA A ′ e A iA A ′, c.q.d.

(8) Tem-se iA ⊂ A, donde por (7) A ⊂ A A ′. Também se p ∈ A então p ∈ A(II.5.34 (2)), e tendo-se A ′ ⊂ A conclui-se A A ′ ⊂ A, A A A ′.

(9) Como B00,0, 1 ⊂ A e B00,0, 1 é um aberto, tem-se B00,0, 1 ⊂ intA.Os outros pontos p,q ∈ N2 ⊂ A não são pontos interiores de A, pois nenhuma bola abertaB0p,q, r ⊂ A. Assim intA B00,0, 1. Cada ponto x,y ∈ B0,0, 1 é um pontode acumulação de A, uma vez que para cada 0,B0x,y, ∩ A\x,y ≠ . Ospontos em N2 não são pontos de acumulação de A, pois são pontos isolados de A. Para cadaponto x0,y0 ∈ B0,0, 1 N2c existe r 0 tal que B0x0,y0, r ∩ A , ex0,y0 ∉ A ′. Conclui-se que A ′ B0,0, 1. Deste modo, intA A ′ B0,0, 1 ≠ A,pois por exemplo 2,3 ∈ A, 2,3 ∉ B0,0, 1.

(10) (a) Sendo p ∈ A ′, admitamos por hipótese de absurdo que existe uma vizinhança Vde p tal que o conjunto V ∩ A é finito. Se V ∩ A , então p não é um ponto deacumulação de A; suponhamos pois V ∩ A c1, . . . ,cm,m ∈ N. TeremosV ∩ A\p c1, . . . ,cn, n ∈ N, e então, com r mindck,p : 1 ≤ k ≤ n 0, vem:U B0p, r ∩ V é uma vizinhança de p, mas U ∩ A\p . Isto contradiz que p ∈ A ′,ficando provado que toda a vizinhança de p contém uma infinidade de pontos de A.

(b) Conclui-se imediatamente de (a), pois se A é finito, nehum conjunto pode conteruma infinidade de pontos de A.

II.6 TOPOLOGIA DE SUBESPAÇO MÉTRICO. SEPARABILIDADE

II.6.1 Conforme a II.5.1, a topologia T de um espaço métrico E,d (classe dossubconjuntos abertos de E), é definida a partir da clsse Vp das vizinhanças de cada pontop ∈ E (II.3.5 e II.3.1). Se A ≠ ,A ⊂ E, o subespaço métrico A,dA de E,d é o conjuntoA munido da métrica induzida dA em A pela métrica d (II.2.14, rever também II.2.20).

-98-II.6.2 Definição Se E,d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E, C ⊂ A,(1) um ponto c ∈ C diz-se um ponto interior de C no subespaço métrico A,dA (ou

somente do subespaço métrico A), se existe um raio r 0 tal que a bola B0,Ac, r ⊂ C;aqui, B0,Ac, r x ∈ A : dx,c r; o interior de C em A,dA é o conjunto dos pontosinteriores de C no subespaço métrico A;

(2) C diz-se um conjuto aberto no subespaço métrico A se todo o ponto c ∈ C é umponto interior de C no subespaço métrico A, i.e., se C coincide com o seu interior emA,dA.

II.6.3 PROPRIEDADE Sejam E,d um espaço métrico, ≠ A ⊂ E. Se C ⊂ A, entãoC é aberto no subespaço métrico A se e só se existe um subconjunto aberto W de E tal queC W ∩ A.

Dem. Suponhamos primeiro que existe um aberto W de E tal que C W ∩ A. Sec ∈ C, tem-se c ∈ W, e existe r 0 tal que B0c, r ⊂ W, pois W é aberto; entãoB0,Ac, r B0c, r ∩ A ∩W ∩ A ⊂ C, o que mostra que C é aberto em A. Reciprocamente,se C é aberto em A,dA, então existe, para cada ponto c ∈ C, um raio c 0 tal queB0,Ac,c ⊂ C. Conclui-se queC B0,Ac,c : c ∈ C A ∩ B0c,c : c ∈ C A ∩ B0c,c : c ∈ C, e portanto C W ∩ A, com W B0c,c : c ∈ C,aberto em E c.q.d.

II.6.4 Teorema Se E,d é um espaço métrico e A é uma parte não vazia de E, então atopologia TA do subespaço métrico A,dA é a classe dos subconjuntos C de A da formaC W ∩ A, onde W percorre a topologia TE de E, i.e., TA W ∩ A : W ∈ TE.

Dem. Conclui-se imediatamente de II.6.3.

II.6.5 Observações (1) A topologia TA do subespaço métrico A é a topologia damétrica dA em A. (2) Deduz-se facilmente do teorema anterior que a topologia TA dosubespaço métrico A verifica as mesmas propriedades de TE em II.5.4. Em particular, A ésempre um subconjunto aberto de A,dA, como consequência de A E ∩ A. No entanto,um subconjunto C de A pode ser aberto em A, e no entanto C não ser um aberto de E. (3)Um subconjunto S do subespaço métrico A de E,d é fechado se e só se o seucomplementar A\S em A é aberto em A,dA. Em particular, A é sempre fechado em A,dA.

II.6.6 Exemplos(1) Em R,d, d a métrica usual de R, considerando A 0,1, tem-se B0,A0,1 0

e B0,A1,1 1. TA ,0,1,0,1 é a topologia da métrica discreta, para a qualtodo o conjunto é aberto. No entanto, 0 não é um subconjunto aberto de R,d.

(2) Com E,d R,d como em (1), A 0,1, o interior do conjunto 0.1 em A,dAé 0,1: pois se 0 p 1, existe r0 0 tal que B0,Ap, r B0p, r para cada 0 r r0,e p é um ponto interior de 0,1 em R,d; e para p 0, tem-se B0,A0, 1

2 ⊂ 0,1. Assim,0,1 é um subconjunto aberto do subespaço métrico 0,1 de R,d.

-99-II.6.7 Exercícios(1) Mostre que se E,d é um espaço métrico, ≠ A ⊂ E e A é um conjunto finito, a

topologia TA é a topologia da métrica discreta sobre A (Sug: II.5.3 (2)).(2) Demonstre que um subconjunto S de um subespaço métrico A do espaço métrico

E,d é fechado em A,dA se e só se existe um subconjunto fechado F de E tal queS F ∩ E. (Sug: Observação (3) em II.6.5 e Teorema II.6.4).

(3) O fecho GA de um subconjunto G do subespaço métrico A,dA de E,d é oconjunto dos pontos de A que são os limites em A,dA das sucessões de pontos de G,convergentes no espaço métrico A,dA. Mostre que GA G ∩ A e que GA G se A éfechado em E.

(4) Prove que se A é um subespaço métrico de E,d, a classe TA dos abertos dosubespaço métrico A tem as propriedades relativas da classe TE dos abertos de E. Concluaas propriedades correspondentes em II.5.30, para a classe dos fechados.

(5) Prove que se A é um subespaço métrico de E,d, S ⊂ A e S é aberto (resp.fechado) em E, então S é aberto (resp. fechado) no subespaço métrico A.

(6) Demonstre que se o conjunto não vazio A é aberto em E,d, S ⊂ A, é condiçãonecessária e suficiente para que S seja aberto em A que S seja aberto em E. Enuncie edemonstre a propriedade correspondente para conjuntos fechados. (Sugestão para aprimeira parte: justifique as passagens seguintes

1. Condição necessária: (i) se S é aberto em A, tem-se S W ∩ A, com W um aberto deE; (ii) então S é aberto em E.

2. A condição é suficiente).

II.6.8 Resoluções(1) Designemos A a1, . . . ,an. Para cada k 1, . . . ,n, existe o mínimo

mindaj,ak : j 1, . . . ,n, j ≠ k rk 0. Tem-se B0,Aak, rk B0ak, rk ∩ A ak,e como B0,Aak, rk é aberto em A,TA concluimos que cada singleton ak é aberto nestesubespaço topológico. Consequentemente, cada subconjunto de A sendo reunião dossingleton constituídos pelos seus elementos, vem que (II.6.5 (1)) cada subconjunto de A éaberto em A,TA e assim TA PA é a topologia da métrica discreta sobre A (II.5.3 (2)).

(2) S é fechado em A,dA se e só se A\S é aberto neste espaço métrico, i.e., se e só seexiste um aberto W em E,d tal que A\S W ∩ A, i.e., A ∩ Sc A ∩W. Esta igualdadeimplica, por passagem ao complementar, que Ac S Ac ∩ Scc A ∩Wc Ac Wc.Então S S ∩ A Ac S ∩ A Ac Wc ∩ A Wc ∩ A, Wc fechado em E,d;reciprocamente, se S verifica S F ∩ A com F fechado em E,d, entãoA\S A ∩ Sc A ∩ F ∩ Ac A ∩ Fc A A ∩ Fc, Fc aberto em E,d, e A\S é abertoem A,dA pelo que S é fechado neste subespaço métrico.

(3) Tem-se p ∈ GA se e só se existe pelo menos uma sucessão an em G tal que anconverge para p em A,dA, o que equivale a dizer que an ∈ G n ∈ N, p ∈ A edAan,p → 0; assim p ∈ GA se e só se p ∈ A e dan,p dAan,p → 0 para certasucessão an em G, ou seja, se e só se p ∈ A e p ∈ G. É portanto GA G ∩ A; se A éfechado em E, G ⊂ A, e p é limite de uma sucessão de pontos de G, esta sucessão está emA, pelo que o seu limite p é um ponto de A. Portanto, neste caso, p ∈ G implicap ∈ G ∩ A GA e GA G, uma vez que é sempre GA ⊂ G.

-100-(4) Pelo teorema II.6.4, TA W ∩ A : W ∈ TE. Tem-se portanto:A1 A E ∩ A ∈ TA, ∩ A ∈ TA;A2 Se A1 W1 ∩ A, . . . ,An Wn ∩ A ∈ TA, W1, . . . ,Wn ∈ T, então

W W1 ∩. . .∩Wn ∈ T e A1 ∩. . .∩An W ∈ A ∈ TA;A3 Se A W ∩ A ∈ TA ∈ A,W ∈ T, entãoW : ∈ A ∈ T donde

A : ∈ A W ∩ A : ∈ A W : ∈ A ∩ A ∈ TA.Para os conjuntos fechados em A,dA tem-se, usando II.6.5 (3):F1 A A\ é fechado, A\A é fechado;F2 Se S1 F1 ∩ A, . . . ,Sn Fn ∩ A são fechados em A,dA (F1, . . . ,Fn fechados em

E), então F1 . . .Fn é fechado em E, eS1 . . .Sn F1 ∩ A . . .Fn ∩ A F1 . . .Fn ∩ A é fechado em A;

F3 Sendo S F ∩ A : ∈ A é uma classe de fechados em A (cada F fechadoem E), conclui-se que S : ∈ A F : ∈ A ∩ A é fechado em A,dA,poisF : ∈ A é fechado em E,d.

(5) Atendendendo a II.6.4 e II.6.5, se S ⊂ A e S é aberto (resp. fechado) em E,d,então S S ∩ A mostra que S é aberto (fechado) em A,dA.

(6) Dem. 1. (i) Pela PROPRIEDADE II.6.3; (ii) pois por hipótese A é aberto em E,d,e a intersecção finita de abertos é um aberto.

2. Se S é aberto em E,d, a igualdade S S ∩ A mostra, usando II.6.3, que Sé aberto em A,dA.

Para conjuntos fechados, tem-se: se A é fechado em E, S ⊂ A, então S é fechado em Ase e só se S é fechado em E.

Dem. A condição é necessária: se S é fechado em A, então aplicando II.6.5, existeum fechado F em E,d tal que S F ∩ A. Como a intersecção de dois fechados é umfechado, vem que S é fechado em E,d. A condição é suficiente, pois se S é fechado emE,d, a igualdade S S ∩ A mostra, aplicando II.6.5, que S é fechado em A,dA.

II.6.9 Definição O espaço métrico E,d diz-se separável se existe um subconjuntocontável S de E tal que o fecho de S em E,d coincide com E.

II.6.10 Observações (1) Se um subconjunto S do espaço métrico E,d verifica acondição S E, diz-se que S é denso em E,d (ou que é uma parte densa de E,d). AssimE,d é um espaço métrico separável se e só se existe uma parte contável S de E, densa emE. (2) Sendo A ⊂ E,d, A é denso em E,d se e só se verifica a condição de para todo oponto p ∈ E, e qualquer que seja 0, existir pelo menos um ponto a ∈ B0p, ∩ A.

-101-II.6.11 Exemplos (1) R,d, d a métrica usual, é um espaço métrico separável, pois

pode tomar-se S Q (ver a Resolução do Exercicio II.5.53 (6) (i)). (2) Se E é um conjuntode cardinal maior que o numerável, então E,di, onde di é a métrica discreta, não é umespaço métrico separável; pois cada parte de E é um conjunto fechado e não existenenhuma parte própria de E densa em E. O espaço métrico E,di é separável se e só se E éum conjunto contável.

II.6.12 Observação Se ≠ A ⊂ E, E,d um espaço métrico, uma parte S de A podeser densa no subespaço métrico A,dA (i.e., SA S ∩ A A, na notação de II.6.7 (3)), e noentanto não ser densa em E,d, i.e., S ≠ E. Em particular, um subespaço métrico A,dA deE,d pode ser separável, sem que E,d seja um espaço métrico separável.

II.6.13 Exercícios(1) Prove que sendo A ⊂ E,d, A é denso em E,d se e só se cada ponto de E é

limite em E,d de uma sucessão de pontos de A.(2) Mostre que se d1,d2 são métricas sobre um conjunto E, d2 d1, e se A é denso em

E,d2, então A é denso em E,d1. Conclua que se E,d2 é separável, então E,d1 éseparável. (Sug: II.5.36 (1)).

(3) Mostre que os seguintes espaços métricos são separáveis:(i) 0,,do,, onde d0, é a métrica induzida pela métrica usual d de R em 0,;(ii) R2,de, de a métrica euclideana.

(Sug: Para (i), S Q ∩ 0,; para (ii), S Q2).(4) Pode concluir de (3) (ii), usando (2), que R2,dM, R2,ds (II.2.18) são

separáveis? Justifique. (Sug: II.4.2 (2) e (2) acima).(5) Prove que todo o subespaço métrico de um espaço métrico separável é separável..

(Note a Observação II.6.12).(6) Dê exemplo de um espaço métrico não separável, que tenha um subespaço métrico

separável.

-102-(7) Mostre que se o espaço métrico E,d é separável, então o cardinal de E não é

maior que o cardinal do contínuo. (Sug: I.6.39 e I.6.15).

II.6.14 Resoluções(1) Com efeito, tem-se E S sse E ⊂ S, i.e., se e só se cada ponto p ∈ E é um ponto

aderente de S.(2) Se d2 d1, então o fecho S2de S em E,d2 está contido no fecho S1 de S em

E,d1. Assim E ⊂ S2 implica E ⊂ S1 e E S1. Consequentemente, se existe S ⊂ E, Scontável, tal que S2 E, então também S1 E.

(3) (i) O conjunto Q ∩ 0, é contável (é um subconjunto de um conjunto contável) eQ ∩ 0, 0, no espaço métrico 0,,d, pois se p 0, 0, existe pelo menosum número racional na bola aberta p − ,p ∩ 0,.

(ii) Em R2,de tem-se Q2 R2. Com efeito, dado x,y ∈ R2, 0, existemnúmeros racionais p,q tais que ∣ x − p ∣ ∣ y − q ∣ , vindo x − p2 y − q2 ep,q ∈ B0x,y, ∩ Q2.

(4) Utilizando II.4.2 (2), tem-se de dM,de ds, e pelo exercício (2) R2,dM eR2,ds são separáveis.

(5) Se A ⊂ E e S é um subconjunto contável de E tal que a aderência S de S em E,dé todo o E, então A A ∩ S. Portanto, dado a ∈ A, 0, existe pelo menos um pontos ∈ B0a, ∩ S, ou, o que é o mesmo, B0s, ∩ A ≠ . Conclui-se queA ⊂ B0s,/2 : s ∈ S para cada 0, e os conjuntos B0s,/2 não são todos vazios,quando s percorre S. Sendo S um conjunto contável, podemos designar S si : i ∈ Ionde I ⊂ N; tem-se pois A ⊂ B0sk,/2 : k ∈ I, onde ≠ I ⊂ I eB0sk,/2 ∩ A ≠ , para cada 0. Designando ak um ponto em B0sk,/2 ∩ A para cadak, conclui-se que para cada 0, cada ponto a ∈ A verificada,ak ≤ da, sk dsk,ak para certo k, i.e., a B0a, pertence pelo menos umponto ak. O conjunto dos ponto ak é indiciado em k ∈ I ⊂ I para cada 0. Assimquando percorre os reais positivos, obtem-se pelo processo indicado um conjuntocontável SA de pontos ak, SA ⊂ A. Tem-se: para cada 0, e dado um ponto a ∈ A, existepelo menos um ponto ak ∈ B0a, ∩ SA, de modo que SA é um subconjunto contáveldenso de A em A,dA (dA a métrica induzida em A), e o subespaço métrico A é separável,c.q.d.

(6) O espaço métrico R,di, di a métrica discreta, e o subespaço métrico N de R,disatisfazem as condições pedidas.

(7) Se E,d é um espaço métrico separável, S é um subconjunto contável denso de E,podemos considerar a aplicação

f : W sn ∈ SN : sn é convergente → E definida por fsn limsn, e estaaplicação é sobrejectiva. Portanto #E ≤ #W ≤ #SN, e este último cardinal é o cardinaldo contínuo.

II.6.15 ExercícioProve que se E,d é um espaço métrico, A ⊂ E, então A é denso em E se e só se

Ac ⊂ A ′.

-103-

II.6.16 ResoluçãoSuponhamos A E, e seja p ∈ Ac. Se 0, tem-se B0p, ∩ A ≠ , e como p ∉ A

existe um ponto a ≠ p,a ∈ B0p, ∩ A. Portanto B0p, ∩ A\p ≠ , concluindo-sep ∈ A ′ e Ac ⊂ A ′. Reciprocamente, se Ac ⊂ A ′, considere-se x ∈ E. Dois casos se podemdar:

1º caso) x ∈ A; 2º caso) x ∈ Ac. No 1º caso, x limx é o limite de uma sucessão em A,e assim x ∈ A; no 2º caso, é x ∈ A ′ por hipótese, donde x ∈ A e conclui-se assim que Ac

⊂ A ′ implica A E, como se queria.

II.7 CONDIÇÕES DE CARDINALIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS

II.7.1 Observação Se E,d é um espaço métrico e p é um ponto de E, cada vizinhançaV de p contém, por definição, uma bola aberta B0p, para certo 0. Por outro lado,existe sempre, dado 0, certo número natural n tal que 1

n , e verifica-se portantoB0p, 1

n ⊂ V. A classe B0p, 1n : n ∈ N é contável (atenda-se à sobrejecção

n B0p, 1n ), e assim em cada ponto p, existe uma classe contável B0p, 1

n : n ∈ N devizinhanças de p tal que, qualquer que seja a vizinhança V de p, V contém pelo menos umavizinhança na classe B0p, 1

n : n ∈ N. Uma colecção Bp de vizinhanças de psatisfazendo a condição de para cada vizinhança V do ponto, existir pelo menos certaU ∈ Bp tal que U ⊂ V, diz-se que é uma base de vizinhanças de p. Qualquer espaçométrico tem a propriedade

C1 ≡ Em cada ponto p, existe uma base contável de vizinhanças de p.

II.7.2 Observações (1) Sendo E,d um espaço métrico, A um subconjunto aberto nãovazio de E, existe, para cada a ∈ A, certo raio a 0 tal que B0a,a ⊂ A. Conclui-se queA B0a,a : B0a,a ⊂ A onde cada B0a,a é um conjunto aberto, e, incluindoa convenção B : B ∈ , cada aberto em E,d é reunião de uma classe(possivelmente vazia) de bolas abertas.

II.7.3 Definição (1) Diz-se que uma classe B de subconjuntos abertos do espaçométrico E,d é uma base da topologia da métrica se cada aberto de E,d é reunião deconjuntos tomados em B. (2) Diz-se que o espaço métrico E,d satisfaz o2º Axioma da cardinalidade C2 se existe uma base contável da topologia da métrica.Diz-se então também que E,d é um espaço C2.

-104-

II.7.4 Exemplos (1) R,d, d a métrica usual, é um espaço C2, pois a classe B dosintervalos abertos a,b de extremos racionais a,b é uma base contável da topologia damétrica. (Se p é um número irracional, existe uma sucessão decrescente an em Q tal quean p para cada n e an → p, donde, com p q, é p,q an,q : n ∈ N; se q étambém um número irracional, obtem-se p,q an,bn : n ∈ N, onde a1 b1 ebn é uma sucessão crescente de números racionais tal que bn → q. Como cada aberto deR,d é uma reunião de intervalos abertos a,b, todo o conjunto aberto é uma reunião deconjuntos na classe B). (2) R,di, di a métrica discreta, não é um espaço C2, pois umabase da topologia da métrica contém necessariamente todos os singleton p,p ∈ R.

II.7.5 Exercícios(1) Mostre que se E é um conjunto não vazio, o espaço métrico E,di, di a métrica

discreta sobre E, é um espaço C2 se e só se E é um conjunto contável.(2) Prove que se d1,d2 são métricas equivalentes sobre E, e se E,d1 é um espaço

C2, então E,d2 é um espaço C2.(3) a) Mostre que o espaço métrico R2,dM, dM a métrica do máximo em R2, é um

espaço C2. (Sug: cada aberto é uma reunião de rectângulos abertos a,b c,d).b) Utilizando (2), conclua da a) que R2,de e R2,ds (II.2.18) são espaços C2.c) Generalize a) e b) para RN,dM, RN,de e RN,ds (II.2.18).

II.7.6 Resoluções(1) Com efeito, se E é contável, então B p : p ∈ E é uma base contável da

topologia da métrica. E se E não é contável, então uma vez que cada base da topologia damétrica tem de conter p : p ∈ E (pois cada singleton p é um aberto), esta classe nãoé contável.

(2) Seja B uma base da topologia da métrica de E,d1. Se A é um conjunto aberto emE,d2 então A é aberto em E,d1, donde A U : U ∈ BA onde BA ⊂ B. Uma vezque cada conjunto U na classe BA é aberto em E,d1, U é aberto em E,d2 e, de modomais geral, todo o conjuto U tomado em B é aberto em E,d2. Assim BA é uma base datopologia da métrica em E,d2, donde o resultado.

-105-(3) a) Dado um rectângulo aberto a,b c,d ⊂ R2, cada ponto

x0,y0 ∈ a,b c,d verificax0,y0 ∈ B0x0,y0, x0 − ,x0 y0 − ,y0 ⊂ a,b c,d, onde se podeescolher 0 tal que a x0 − ,x0 b,c y0 − ,y0 d ex0 − ,x0 ,y0 − ,y0 ∈ Q. Portanto a,b c,d é reunião de abertos na classeB p1,q1 p2,q2 : pi qi,pi,qi ∈ Qi 1,2, e mais geralmente cada aberto emR2,dM é reunião de conjuntos na classe B; como esta classe é contável (o seu cardinalnão excede o cardinal de Q2 #0

2 #0, rever I.6.24, I6.28. I.6.29, I.6.16). Assim R2,dMé um espaço C2.

b) Como as métricas dM,de e ds são equivalentes sobre R2, os espaços métricosR2,de e R2,ds são espaços C2, como consequência da a).

c) Analogamente ao caso de R2,dM, a classe de abertosB p1,q1 . . .pN,qN : pi qi,pi,qi ∈ Q, i 1, . . . ,N é uma base contável datopologia da métrica, e RN,dM é um espaço C2. Como as métricas de e ds são ambasequivalentes à métrica dM, também RN,de e RN,ds são espaços C2.

II.7.7 Teorema Um espaço métrico E,d é separável se e só se é um espaço C2.Dem. Se E,d é um espaço C2, podemos considerar, dada uma base de abertos

B Bn : n ∈ I onde I ⊂ N, um ponto pn ∈ Bn para cada n (Axioma de Zermelo).Obtemos assim um conjunto contável A pn : n ∈ I, e tem-se A E. Para provar estaigualdade, podemos utilizar II.6.16, e mostrar que Ac ⊂ A ′. Seja p ∈ Ac, e seja 0.Então B0p, é um conjunto aberto, e B0p, ⊃ Bn para certo n ∈ I; dondepn ∈ Bn ⊂ B0p,, pn ≠ p e portanto pn ∈ B0p, ∩ A\p que é assim um conjuntonão vazio para cada 0, concluindo-se que p ∈ A ′. Para a recíproca, utilizaremos o

Lema Sejam w,a pontos no espaço métrico E,d, 0. Se dw,a /3 e/3 2/3 então w ∈ B0a, ⊂ B0w,.

Suponhamos então que existe um subconjunto contável denso A an : n ∈ I de E,e mostremos que E,d é um espaço C2.

-106-Tem-se: a classe de abertos B B0an, : n ∈ I, 0, Q é contável,

atendendendo a que a função : B → Q2, B0an, n, é injectiva (ver II.7.6 (3)a) acima). Provemos que B é uma base para a topologia da métrica. Basta mostrar que paracada aberto W e cada w ∈ W, existe uma bola B0an, ∈ B tal que w ∈ B0an, ⊂ W.Como W é aberto, existe 0 tal que B0w, ⊂ W; sendo A denso em E, éB0w,/3 ∩ A ≠ , e assim existe an ∈ B0w,/3 ∩ A. Existe então um número racional 0 tal que /3 2/3, e, pelo Lema, w ∈ B0an, ⊂ B0w, ⊂ W, dondew ∈ B0an, ⊂ W. E é portanto um espaço C2 c.q.d.

II.7.8 Observação Conclui-se de (5) em II.6.13 e do teorema anterior que todo osubespaço métrico de um espaço métrico C2 é também um espaço C2.

II.7.9 Exercícios(1) Prove o Lema utilizado na demonstração do Teorema II.7.7(2) Prove que se d2,d1 são métricas sobre E, d2 d1, e se E,d2 é um espaço C2,

então E,d1 é um espaço C2.(3) a) Mostre que df,g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0,1 é uma métrica sobre o

conjunto C0,1 das funções reais contínuas de domínio 0,1.b) Prove que d d1, onde d1 é a métrica sobre C0,1 definida por

d1f,g 01∣ fx − gx ∣ dx (II.4.4 (5) a)).

c) Sabendo que toda a função contínua f sobre 0,1 é limte em C0,1,d de umasucessão Pn onde cada Pn é a restrição a 0,1 de um polinómio em x, prove que osespaços métricos C0,1,d e C0,1,d1 são espaços C2. (Sug: se n ∈ N0 ea0 a1x . . .anxn 0,∀x ∈ 0,1, onde ak ∈ R 0 ≤ k ≤ n entãoa0 a1 . . . an 0).

(4) Dê exemplo de um espaço métrico que não seja um espaço C2.

-107-II.7.10 Resoluções(1) Uma vez que dw,a /3 , tem-se w ∈ B0a,, e precisamos apenas de

provar que B0a, ⊂ B0w,. Tem-se para x ∈ B0a,:dw,x ≤ dw,a da,x /3 /3 2/3 ; portanto x ∈ B0w, e conclui-se ainclusão B0a, ⊂ B0w, c.q.d.

(2) Utilizando II.6.13 (2), se d2 d1 e E,d2 é separável, então E,d1 é separável;portanto, se E,d2 é um espaço C2, é um espaço separável (Teorema II.7.7), dondeE,d1 é separável e, de novo pelo Teorema II.7.7, E,d1 é um espaço C2.

(3) a) (D1) df,g ≥ 0, pois é o supremo de um conjunto majorado de números nãonegativos; também df, f sup0 0;

(D2) df,g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0,1 sup∣ gx − fx ∣: x ∈ 0,1 dg, f;

(D3) df,h sup∣ fx − hx ∣: x ∈ 0,1 sup∣ fx − gx gx − hx ∣: x ∈ 0,1 ≤sup∣ fx − gx ∣ ∣ gx − hx ∣: x ∈ 0,1 ≤sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0,1 sup∣ gx − hx ∣: x ∈ 0,1 df,g dg,h;

(D4) df,g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0,1 0 implica fx − gx 0x ∈ 0,1, i.e, f g.

b) Com efeito,d1f,g 0

1∣ fx − gx ∣ dx ≤ sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0,1 df,g, e conclui-se

d d1 de II.4.3 (4).c) Dados a0, . . . ,an ∈ R,n ∈ N, existem sucessões ak,j de números racionais tais que

ak,j → ak j → em R para a distância usual. Uma vez que a função∣ a0x0 . . .anxn − a0,jx0 . . .an,jxn ∣ atinge um máximo∣ a0 . . .anun − a0,j . . .an,jun ∣ , onde u ∈ 0,1, tem-se: para cada k 0, . . . ,n,ak,juk → akuk j → em R, i.e., dado 0, existe, para cada k 0, . . . ,n, uma ordemj,k ∈ N tal que ∣ akuk − ak,juk ∣ /n 1 sempre que j ≥ j,k. Então comj maxj,k : 0 ≤ k ≤ n tem-se se x ∈ 0,1:∣ a0 . . .anxn − a0,j . . .an,jxn ∣≤∣ a0 . . .anun − a0,j . . .an,jun ∣≤ ∑k0

n ∣ akuk − ak,juk ∣ para cada j ≥ j;significa isto que a sucessão de polinómios (em x ∈ 0,1 ) a0,j . . .an,jxn converge parao polinómio na mesma variável a0 . . .anxn no espaço métrico C0,1,d. Portanto, peloresultado do enunciado, tem-se: se f ∈ C0,1, 0, existe um polinómio P tal quedf,P /2, e existe um polinómio Q de coeficientes racionais tal que dP,Q /2;concluindo-se que para cada tal função f, e cada 0, existe um polinómio Q da variávelem 0,1 tal que df,Q , usando a desigualdade triangular (D3). Assim, o conjunto Qdos polinómios de coeficientes racionais ( e da variável x ∈ 0,1) é um subconjunto densode C0,1,d. Também, pelo enunciado, a aplicação : Q → Qn1 : n ∈ N0 definida

por b0 . . .bnxn b0, . . . ,bn é injectiva. O cardinal de cada conjunto Qn1 n ∈ N0é #0 (utilizar I.6.28 e aplicar indução finita á Observação (2) em I.6.29); potanto, utilizandode seguida o Teorema I.6.19, conclui-se que Q é um conjunto contável, e C0,1,d é um

espaço métrico separável. Então é um espaço C2, pelo Teorema II.7.7, a b) e (2) acima,conclui-se que C0,1,d e C0,1,d1 são espaços C2.

(4) Utilizando II.7.5 (1), o espaço métrico 0,,di, di a métrica discreta, não é umespaço C2 (pois se 0, fosse um conjunto contável, também pelo Teorema I.6.19 Rseria um conjunto contável, contra I.6.12 (5), e os teoremas I.6.31 e I.6.35).

-108-

II.7.11 Definição Seja E,d um espaço métrico. Diz-se que uma classe C desubconjuntos abertos de E é uma cobertura aberta de E se E ⊂ C : C ∈ C. E diz-seque a cobertura aberta C é redutível a uma subcobertura contável se existe uma partecontável C0 de C tal que E ⊂ C : C ∈ C0. C0 é então uma subcobertura contável de Eda cobertura C.

II.7.12 Teorema Se E,d é um espaço métrico, são equivalentes as condições:(i) E é separável;(ii) E é um espaço C2;(iii) toda a cobertura aberta de E é redutível a uma subcobertura contável.Dem. Pelo Teorema II.7.7, o teorema ficará provado se provarmos que (ii) implica (iii)

e (iii) implica (i). Admitindo (ii), consideremos uma base contável B Ui : i ∈ I (I ⊂ N) da topologia da métrica. Seja C Cj : j ∈ J uma cobertura aberta de E. Paracada índice j no conjunto não vazio J, Cj é uma reunião de conjuntos tomados em B;podemos portanto considerar a parte não vazia B de B constituída pelos conjuntos Ui queestão contidos em pelo menos um Cj. Para cada Ui ∈ B, fixemos um único Cji ∈ C comUi ⊂ Cji, e consideremos a classe C Cji : ∃Ui ∈ B,Ui ⊂ Cji. Então cada conjuntoCji ∈ C é reunião de conjuntos na classe B (pois é reunião de conjunto na classe B), e sep ∈ E tem-se: p ∈ Cj para certo j ∈ J; sendo Cj uma reunião de conjuntos Ui i ∈ I, ondeI ⊂ I tomados na classe B, é p ∈ Ui, para certo i ∈ I.

Como Ui ⊂ Cj, verifica-se Ui ∈ B, e assim p ∈ Ui ⊂ Cji ∈ C. Também sendosobrejectiva a

função i ji da parte de I que indicia a classe B, contida em B, no conjunto dosíndices ji que indiciam a classe C, conclui-se que C é um conjunto contável (I.6.17 (2)), eassim é uma subcobertura contável de E da cobertura C. Fica provao (iii). Supondo agora(iii), consideremos n ∈ N, e a cobertura aberta C B0a, 1/n : a ∈ E de E. Porhipótese, existe uma subcobertura contável C0 B0an, 1/n de C. ComA an : n ∈ N, A E e A é contável provando (i), c.q.d.

II.7.13 Exercício Justifique que o conjunto A obtido no contexto da demonstração éuma parte contável densa de E.

II.7.14 Resolução Com efeito, para cada n ∈ N, o conjunto dos centros an na classecontável das bolas abertas B0a, 1/n cuja reunião é E, e que existe pela hipótese (iii), é umconjunto contável. Assim, sendo A a reunião contável de cada um destes conjuntos, A é umconjunto contável, pelo Teorema I.6.19. Além disso, todo o ponto x ∈ E verifica que existe,para cada número natural n, pelo menos um an tal que x ∈ B0an, 1/n ou seja: dadoarbitrário 0, com 1/n obtem-se an ∈ B0x, e B0x, ∩ A ≠ , E ⊂ A.

-109-

II.7.15 Definição Um ponto p num espaço métrico E,d diz-se um ponto decondensação de E se cada vizinhança de p contém um conjunto de pontos de E de cardinalmaior que o numerável.

II.7.16 Exemplo Em R munido da métrica usual, todo o ponto p é um ponto decondensação de R.

II.7.17 Se F é um subespaço do espaço métrico E,d e p é um ponto de condensaçãode F, então p é também um ponto de condensação de E. Mas por exemplo 1 é um ponto decondensação de R,d, 1 ∈ Q e 1 não é um ponto de condensação do subespaço métrico Qde R.

II.7.18 Teorema Se o espaço métrico E,d é separável e tem cardinal maior que onumerável, então todos os pontos de E, à excepção possivelmente de um conjunto contávelde pontos, são pontos de condensação de E.

II.7.19 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração doteorema anterior:

(1) Provando primeiro que existe pelo menos um ponto de condensação de E,suponhamos que não. Então cada ponto p ∈ E tem uma vizinhança contável Up,concluindo-se o absurdo de E ser um conjunto contável.

(2) Designe M o conjunto dos pontos de condensação de E. Então F E\M é umconjunto contável, pois assumindo o contrário, tem-se:

(i) o subespaço métrico F tem pelo menos um ponto de condensação x;(ii) então x é um ponto de condensação de E;(iii) conclui-se efectivamente que F é contável, provando o teorema.

-110-II.7.20 Resolução(1) Pois conclui-se de E Up : p ∈ E, utilizando o Teorema II.7.12, que existe

uma subcobertura contável Un : n ∈ I (I ⊂ N) de E da cobertura Up : p ∈ E. Entãopelo Teorema I.6.19 E conclui-se o absurdo de E ser um conjunto contável.

(2) (i) Pois F é separável como subespaço métrico do espaço métrico separável E(II.6.13 (5)), e usando o passo (1);

(ii) pois cada vizinhança U de x no subespaço métrico E, contendo um aberto W deE a que pertence x, contém uma vizinhança W ∩ F de x em F; contendo o conjunto W ∩ F,de cardinal maior que o numerável, também o cardinal de U é maior que o numerável;

(iii) pois conclui-se de (ii) o absurdo x ∈ M, contra x ∉ M por (i), e fica provadoque o conjunto F dos ponto de E que não são pontos de condensação de E tem cardinal quenão excede o contável.

-111-II.8 LIMITE DE UMA FUNÇÃO ENTRE ESPAÇOS MÉTRICOS

NUM PONTO E CONTINUIDADE

Recordar da Análise Real (ver por exemplo [Guerreiro]) que dados uma funçãof : X ⊂ R → R e um ponto a ∈ X, dizemos que o limite de fx quando x tende para a écerto b ∈ R se para cada número positivo , existe pelo menos um número positivo talque a relação x ∈ X e ∣ x − a ∣ implica ∣ fx − b ∣ . O conceito de limite numponto para uma função definida num subconjunto de um espaço métrico e tomando valoresnoutro espaço métrico, generaliza-se directamente da forma seguinte:

II.8.1 Definição Sejam E,dE, F,dF espaços métricos, f : X ⊂ E → F uma funçãoe a ∈ X.

(1) O ponto b ∈ F é um limite de fx quando x tende para a, e notando-se lim fx bx → a

se para cada 0 existe certo 0 de tal modo que para todo o x ∈ X, a implicaçãodEx,a dFfx,b é verdadeira. Diz-se então também que b é um limite de fem a. (2) Se,em (1), a ∈ X diz-se também que a função f é contínua em a ou no ponto a.

(3) Com a ∈ A ⊂ X, o ponto b é um limite de fx quando xtende para a por valores em A se a implicação x ∈ A e dEx,a dFfx,b éverdadeira. Designa-se então lim fx b.

x → a,x ∈ A

II.8.2 Observações (1) Verifica-se lim fx b (a ∈ domf) se e só se, em linguagemlógica

x → alim fx b ≡ ∀ 0,∃ 0,x ∈ domf e dEx,a dFfx,b x → aou, equivalentementelim fx b ≡ ∀ 0,∃ 0, fX ∩ B0a, ⊂ B0b,.

(2) Pela propriedade de separação de Hausdorff num espaçométrico, conclui-se que se b lim fx e b′ lim fx então necessariamete b b′.

x → a x → aPor outras palavras, se existe o limite de fx quando x tende para a, então o limite é

único. Analogamente se conclui que no caso a ∈ A, se existe o limite de fx quando xtende para a por valores em A então o limite é fa.

(3) Sendo f : X ⊂ E,dE → F,dF, a um ponto não isolado deX, se existe o limite lim fx chama-se-lhe o limite de fx quado x tende para a porvalores

x → a,x ∈ X\adiferentes de a. Em Análise Real, certos autores definem lim fx b se b é o limite de fx

x → aquando x tende para a por valores diferentes de a; então, se a ∈ X, a função f é contínuaem a sse o limite de fx quando x tende para a existe e coincide com o valor de f no pontoa.

-112-De acordo com II.8.1, consideramos a função f contínua num ponto a do domínio se

existe o limite de f em a.II.8.3 Exercícios (1) Traduza em linguagem lógica a definição do limite de fx

quando x tende para a por valores em A, no contexto de (3), Definição II.8.1.(2) Verifique II.8.2 (2).

II.8.4 Resoluçoes (1) Com a ∈ A ⊂ X e f : X ⊂ E,dE → F,dF,lim fx b ≡ ∀ 0,∃ 0,x ∈ A e dEx,a dFfx,b .

Equivalentemente, x → a,x ∈ Alim fx b ≡ ∀ 0,∃ 0, fA ∩ B0a, ⊂ B0b,.

x → a,x ∈ A(2) Provemos por redução ao absurdo que a existência de

b,b′ ∈ F,b ≠ b′ tais quelim fx b e lim fx b′ leva a uma contradição.

x → a x → aSendo d dFb,b′ 0, existirá 0 tal que x ∈ domf e

dEx,a implica dFfx,b d/2 e dFfx,b′ d/2 (como poderá obter um tal ?);existindo pelo menos um certo x verificando o antecedente desta implicação (porquê?)conclui-se utilizando a desigualdade triangular de dF que dFb,b′ d/2 d/2 d contra oque tínhamos assumido. Fica provado que o limite num ponto se existe é único. Sea ∈ domf e lim fx b

x → a

então para cada 0, existindo 0 tal que fa ∈ fdomf ∩ B0a, ⊂ B0b,conclui-se que fa ∈ ∩B0b, : 0 b, fa b.

II.8.5 Exemplos (1) Para a função f : domf R → R, fx 1 x ≠ 1n ,n ∈ N e

f 1n 1

n n ∈ N tem-se, com A 1n : n ∈ N, e considerando a métrica usual em R

lim fx 0 e lim fx 1. Consequentemente (ver II.8.6 seguinte) não existe lim fx.x → 0,x ∈ A x → 0,x ∈ R\A x → 0

(2) A função f : 0, ⊂ R,d→R,d fx 1x (d a métrica

usual) é contínua em cada ponto do domínio. Se di é a métrica discreta, e considerarmosf : R,d → R,di, não existe o limite lim fx em nenhum ponto a 0, pois existe umabola aberta reduzida ao centro 1

a em R,di.

II.8.6 Observação Dada uma função f : X ⊂ E,dE → F,dF, e sendo a ∈ A ⊂ Xpara certo conjunto A, conclui-se das definições que se não existe o limite de fx quando xtende para a por valores em A, então também não existe lim fx.

x → aTambém se A,B ⊂ X e a ∈ A ∩ B, f : X ⊂ E,dE → F,dF e existem o limite de fx

quando x tende para a por valores em A e o limite de fx quando x tende para a por valoresem B, mas são diferentes, então não existe o limite de f em a. Pois designando estes limitesdiferentes por b,b′ respectivamente, escolha-se 0 tal que B0b, ∩ B0b′, ; nãoexiste 0 tal que fX ∩ B0a, ⊂ B0b,, pois para pelo menos certo ′ 0, ′ e certo x ∈ B ∩ B0a, ′ ⊂ X ∩ B0a, verifica-se fx ∈ B0b′,.

-113-II.8.7 Exercícios (1) Verifique os exemplos (1), (2) em II.8.5. (2) Mostre que toda a

função entre espaços métricos é contínua em cada ponto isolado do domínio.

II.8.8 Resoluções (1) Dado 0, tem-se com que ∣ 1n ∣ ∣ f 1

n ∣ i.e, x ∈ A e ∣ x − 0 ∣ ∣ fx − 0 ∣ . Se x ∈ R\A então ∣ x − 0 ∣ ∣ fx − 1 ∣ 0 verifica-se para qualquer escolha de 0 e para cada número positivo dado. Atendendo a II.8.6, não existe o limite de f em 0. Para a função fx 1

x em (2)tem-se: dado 0, fazendo mina2/2,a/2 0 então x 0 e∣ x − a ∣ ∣ 1

x − 1a ∣∣ x − a ∣ /xa a2/22/a2 , pois a − x ≤∣ x − a ∣ a

2implica x ≥ a

2 e xa ≥ a2/2 em cada ponto a 0.(2) Se a é um ponto isolado de X, com f : X ⊂ E,dE → F,dF,

então existe 0 tal que X ∩ B0a, a. DondefX ∩ B0a, fa ⊂ B0fa, qualquer que seja 0 a priori dado.

II.8.9 Observações (1) No Cálculo em RN considera-.se habitualmente a métricaeuclideana dex1, . . . ,xN, y1, . . . ,yN ∑k1

N ∣ xk − yk ∣2 12 (II.2.18) em RN. O

conceito de limite direccional de uma função f : domf ⊂ RN → R (considera-se a métricausual em R) num ponto de acumulação a do domínio, segundo uma recta a tv(v ∈ RN\0, . . . , 0, t ∈ R, ver por exemplo [Agudo]) é, pela definição, o limite de f em apor valores no conjunto Av a tv : − t , que se determina calculandolimt→0 fa tv. De acordo com II.8.6, se existem vectores v,w ≠ 0 tais que os limites defx no ponto a, por valores em Av e em Aw são diferentes, ou se um desses limites nãoexiste, então não existe o limite da função f em a; no entanto, a existência e igualdade detodos os limites direccionais no ponto não implica a existência de limite nesse ponto, comopode constatar-se por exemplo com a função f : R2\0,0 → R, fx,y x2y/x4 y2,que não tem limite no ponto 0, sendo todos os limites direccionais em 0 iguais a zero (olimite da função no ponto por valores na parábola P x,x2 : x ∈ R é diferente dezero).

(2) Uma função f : domf ⊂ RN → R pode ser separadamente contínua em relação atodas as variáveis num ponto a a1, . . . ,aN do domínio, ou seja,. tal que as funçõesrestrição de f a cada conjuntoC1 a1 RN−1, . . . ,Ck Rk−1 ak RN−k, . . . ,CN RN−1 aN são contínuas em a(existe o limite em a por valores em cada um destes conjuntos), e no entanto a função f nãoser contínua no ponto a. Por exemplo, a função fx,y xy/x2 y2 x2 y2 ≠ 0,f0,0 0 é separadamente contínua em relação a x e a y no ponto 0,0, mas não écontínua neste ponto, pois os limites direccionais em 0,0 segundo as rectasr x,x : x ∈ R e s x,−x : x ∈ R são diferentes. Conclui-se a não continuidadeno ponto usando II.8.6. Significa isto que para a existência de limite num ponto a, énecessário que as imagens pela função de pontos que se aproximem de a sem qualquerrestrição ao modo como se aproximem de a, se tornem indefinidamente próximas do limite;considerando arbitrárias sucessões an convergindo para a, a convergência de todas assucessões fan para um mesmo ponto do conjunto imagem, já é suficiente para aexistência do limite de f em a, como mostra o seguinte

-114-II.8.10 Teorema Se E,dE, F,dF são espaços métricos, f : X ⊂ E → F é uma

função e a ∈ X, b ∈ F, então é condição necessária e suficinte para que lim fx b quepara cada sucessão

x → axn em X convergente para a, se verifique lim fxn b.

II.8.11 Exercício Demonstre o teorema anterior e conclua:

II.8.12 Corolário Nas condições do Teorema II.8.10, se a ∈ X então f é contínua noponto a se e só se para cada sucessão xn em X convergente para a, a sucessão fxnconverge para fa.

II.8.13 Resolução A condição é necessária, pois da hipótese(1) ∀ 0,∃ 0, fX ∩ B0a, ⊂ B0b, conclui-se que dado 0, sendo

n ∈ N tal que xn ∈ B0a, para todo o n ≥ n, então fxn ∈ B0b, desde quen ≥ n; e n naquela condição existe para cada 0, se a sucessão xn em Xconverge para a. A condição é suficiente, como pode provar-se pela contra-recíproca. Comefeito, a negação de (1) é que existe certo 0 tal que, para cada número positivo , existepelo menos um ponto x ∈ X ∩ B0a, cuja imagem por f não pertence a B0b,;escolhendo da forma 1/n para cada n 1,2, . . . conclui-se que existe uma sucessãode pontos x1,x2, . . . ,xn, . . . , cada xn ∈ B0a, 1/n tal que fxn ∉ B0b,. Então xn → amas a sucessão fxn não converge para b, e fica assim provado que se f verifica apropriedade relativa à convergência das sucessões, então verifica a condição (1) i.e, entãolim fx b, c.q.d. O corolário conclui-se imediatamente de II.8.2 (2).

x → a

II.8.14 Teorema Se E,dE, F,dF são espaços métricos, f : X ⊂ E → F, a ∈ X eb lim fx então b ∈ fX.

x → aDem. Há a provar que existe uma sucessão bn em fX tal que bn → b. Como

a ∈ X, existe uma sucessão xn de pontos de X com xn → a; então a sucessãobn fxn satisfaz a condição requerida, pelo Teorema II.8.10 c.q.d.

II.8.15 Corolário Sejam E,dE, F,dF e G,dG espaços métricos, f : X ⊂ E → F talque fX ⊂ Y e g : Y ⊂ F → G. Se a ∈ X, lim fx b e limgy c então limgofx c.

x → a y → b x → aConsequentemente, se b ∈ Y e g é contínua em b, então limgofx gb.

x → aA função composta gof das funções f, contínua em a e g, contínua em fa, é contínua

no ponto a.

-115-II.8.16 Demonstre o corolário acima (usando II.8.14, mostre que o ponto b ∈ Y).

II.8.17 Resolução Conclui-se de II.8.14 que b ∈ fX ⊂ Y, pois fX ⊂ Y. Se xn éuma sucessão em X convergente para a, conclui-se da hipótese, usando o Teorema II.8.10que fxn → b e, do mesmo modo, que gofxn → c. Então limgofx c, de novoutilizando II.8.10.

x → aAs duas últimas asserções são consequência de II.8.2 (2).

II.8.18 Definição Se E,dE, F,dF são espaços métricos e f : X ⊂ E → F, a funçãof diz-se contínua (em X) se f é contínua em cada ponto a ∈ X.

II.8.19 Observações (1) II.8.15 mostra que a função composta de duas funçõescontínuas é uma função contínua. (2) Se E,dE, F,dF são espaços métricos e f : E → F éuma função, C ⊂ E, então f écontínua em C se e só se a função restriçãof∣C : C,dC → F,dF é contínua, onde dC é a métrica induzida. Se f é contínua entãocertamente f é contínua em C; mas pode ser f : C ⊂ E → F contínua, e a funçãof : E → F não ser contínua. (Por exemplo, com F,dF R,d, d a métrica usual, E nãoreduzido a um ponto, C p onde p ∈ E e fp 0, fx 1 se x ≠ p; o limite de f em ppor valores diferentes de p é diferente de fp).

II.8.20 Exercício Mostre que se E,dE, F,dF são espaços métricos, f : E → F ea ∈ E então f é contínua em a se e só se a imagem inversa f−1V de cada vizinhança V defa em F é uma vizinhança de a em E.

II.8.21 Resolução Pelas definições, f é contínua em a se e só se o limite de f no pontoa existe e é fa, o que pode exprimir-se em linguagem lógica por (1)∀ 0,∃ 0, fB0a, ⊂ B0fa,. Tem-se a equivalência (2)fB0a, ⊂ B0fa, sse (2’) B0a, ⊂ f−1B0fa,; então se V é uma vizinhançade fa, tem-se B0fa, ⊂ V, certo 0, donde usando (1) e (2’) vem queB0a, ⊂ f−1V para certo 0 e assim que f−1V é uma vizinhança de a.Reciprocamente, se f−1V é uma vizinhança de a, para cada vizinhança V de fa, entãotomando V B0fa,, 0, conclui-se que f−1B0fa, contém certa bola abertaB0a, e obtem-se (1) pela equivalência de (2) e (2’).

II.8.22 Teorema Sejam E1,d1, E2,d2 espaços métricos e f : E1 → E2 uma função.São equivalentes:

a f é contínua;b fC ⊂ fC para cada subconjunto C de E1;c para cada subconjunto fechado F de E2, f−1F é fechado em E1;d para cada subconjunto aberto A de E2, f−1A é aberto em E1.

-116-Demonstração. Provemos a b Isto conclui-se de II.8.14, pois se x ∈ C

então existe uma sucessão xn em C tal que xn → x; então fxn → fx pela hipótese,donde fx ∈ fC. Seguidamente b c, pois dado F ⊂ E2 tal que F F, sex ∈ f−1F então usando b e ff−1F F vem fx ∈ F F, donde x ∈ f−1F e esteconjunto é fechado. c d. Se A é aberto então F Ac é fechado, e usando a hipótese,f−1Ac é fechado, donde se conclui d pela igualdade f−1Ac f−1Ac . d a, poisadmitindo d, seja a um ponto em E1, e considere-se 0. f−1B0fa, sendo umconjunto aberto a que pertence a, é uma vizinhança de a, e conclui-se que f é contínua noponto a usando II.8.20, c.q.d.

II.8.23 Exercício Prove que dada uma função f : E1,d1 → E2,d2 são equivalentes:(i) f é contínua; (ii) para cada B ⊂ E2, f−1intB ⊂ intf−1B;(iii) para cada B ⊂ E2 tem-se f−1B ⊂ f−1B.(Sug: Prove (i)(ii) e, seguidamente (ii)(iii) recordando II.5.49 (c) e I.8.9 (c).II.8.24 Resolução (i)(ii) Dado a ∈ f−1intB, fa ∈ intB e intB é uma

vizinhança de fa. Usando II.8.20, f−1intB é uma vizinhança de a, a qual está contidaem f−1B e conclui-se que a é um ponto interior de f−1B. (ii)(i) Se B é aberto em E2,B intB, conclui-se de f−1B ⊂ intf−1B que f−1B é aberto em E1 e assim (i),usando II.8.22 d. (ii) para cada B ⊂ E2,f−1intBc ⊃ intf−1Bc f−1Bc f−1intBc ⊃ f−1Bc f−1Bc

para cada B ⊂ E2, f−1B ⊃ f−1B c.q.d..II.8.25 Definição Uma função f : E,dE → F,dF diz-se uma isometria se

dFfx, fy dEx,y para cada x,y em E. Os espaços métricos E,dE e F,dFdizem-se isométricos se existe uma bijecção f : E → F que é uma isometria.

-117-II.8.26 Observações (1) Uma isometria é uma função injectiva (aplicar a condição

(D1) à métrica dF e (D4) à métrica dE). (2) Se dois espaços métricos E,F são isométricos,as propriedades topológicas das respectivas topologias das métricas são as mesmas, poiscom f : E → F uma isometria sobrejectiva, um subconjunto A de E é aberto se e só se fAé aberto em F como resulta da definição de ponto interior de um conjunto. Com efeito, sea ∈ E, r 0 então fB0a, r B0fa, r, representando pelo mesmo símbolo B0 a bolaaberta. Uma sucessão an em E converge para um ponto a de E se e só se fan → fa emF e, do ponto de vista das propriedades da topologia da métrica, E,F diferem apenas pelos”nomes” dos seus elementos. (3) Se f : X → Y é uma função injectiva e se o conjunto Xestá munido de uma métrica d, então a função dffa, fb da,b é uma métrica emfX Yf e os espaços métricos X,d e Yf,df são isométricos. Deste modo é possívelmunir um conjunto de uma métrica se existe uma bijecção de certo espaço métrico sobre oconjunto; certos autores designam df acima como a métrica transportada da métrica d em X.

II.8.27 Exercício Verifique a observação (3) acima.

II.8.28 Resolução Tem-se que df : Yf Yf → R está bem definida, pois dados pontoa′ fa,b′ fb em Yf, corresponde ao par ordenado a′,b′ o único para ordenadoa,b ∈ X X para o qual se põe dfa′,b′ da,b. Devido a d ser uma métrica,verificam-se: (D1) dffa, fb ≥ 0 e dffa, fa da,a 0; (D2)dffa, fb da,b db,a dffb, fa; (D3) dados pontosa′ fa,b′ fb,c ′ fc, édfa′,c ′ dffa, fc da,c ≤ da,b db,c dffa, fb dffb, fc dfa′,b′ dfb′,c ′; (D4) dados a′ fa,b′ fb,dfa′,b′ 0 dffa, fb da,b 0. o que implica a b e a′ b.

II.8.29 A função fx x1∣x∣ é uma bijecção de R sobre o intervalo −1,1, de

inversa gx x1−∣x∣ . Como é sabido da Análise Real e assim se costuma designar,

limx→− fx −1, limx→ fx 1. Acrescentando a R os objectos −, com asconvenções habituais − x x ∈ R, obtem-se a recta acabada R, e podemosconsiderar uma extensão f : R → −1,1 pondo f x fx x ∈ R e f − −1,f 1. f é uma bijecção e a sua inversa g : −1,1 → R é uma bijecção.Considerando a métrica induzida sobre −1,1 pela métrica usual usual da,b ∣ a − b ∣,a métrica transportada dgx,y dggf x,gf y ∣ f x − f y ∣ é uma distância emR para a qual dgx, 1

1∣x∣ e dgx,− 11∣x∣ se respectivamente x 0 e x 0.

II.8.30 Exercício Mostre que a métrica usual de R é equivalente à métrica induzidapela métrica transportafa dg acima em R. (Sug: considere sucessões convergentes).

-118-II.8.31 Resolução Para o cálculo de dga,b, no caso em que a,b ∈ R podemos fazer

dga,b dggfa,gfb ∣ fa − fb ∣. Se xn → x em R,d, d a métrica usual,tem-se xn/1 ∣ xn ∣ → x/1 ∣ x ∣ neste espaço métrico, dondedgxn,x ∣ xn/1 ∣ xn ∣ − x/1 ∣ x ∣ ∣→ 0 e xn → x em R,dg. Assim d é maisfina que a restição de dg a R em R. Reciprocamente, distinguindo os casos x 0 e x 0,com xn,x ∈ R obtem-se que xn/1 ∣ xn ∣ → x/1 ∣ x ∣ implica ∣ xn − x ∣→ 0; logo arestrição de dg a R é mais fina que d.

II.8.32 Definição A função f : E,dE → F,dF do espaço métrico E,dE para oespaço métrico F,dF diz-se lipschitziana com constante de Lipschitz L sedFfx, fy ≤ LdEx,y para cada x,y ∈ E.

II.8.33 Em II.8.32 é necessariamente L ≥ 0; uma função constante é lipschitziana e sópara uma tal função pode tomar-se L 0. Se L 1 diz-se também que f é uma contracção

II.8.34 Observações (1) Toda a função lipschitziana é contínua. (2) Uma funçãof : E → F ser uma isometria é obviamente o mesmo que ambas f e a função inversaf−1 : fE → E serem lipsichitzianas com a constante de Lipschitz L 1.

II.8.35 Exercício Verifique II.8.34 (1).

II.8.36 Resolução. Dado 0, tome-se /L.

II.8.37 Definição Diz-se que uma função f : E,dE → F,dF do espaço métrico Epara o espaço métrico F é um homeomorfismo se f é bijectiva e ambas as funções f e f−1

são contínuas. Se existe um homeomorfismo f : E,dE → F,dF diz-se que estes espaçosmétricos são homeomorfos.

-119-

II.8.38 Exemplos (1) Dado o espaço métrico E,d, F um subespaço métrico de E,d,a bijecção identidade de F, IdF : F,d → F,d, IdFx x é um homeomorfismo. (2)Como consequência do Teorema do limite da função monótona da Análise Real, toda afunção estritamente crescente f de um intervalo I ⊂ R sobre um intervalo J de R é umhomeomorfismo de I,d sobre J,d, notando ainda por d as respectivas métricas induzidassobre I,J pela métrica usual d de R. (3) Se f : a,b ⊂ R,d → R,d é uma funçãoinjeciva e contínua, d a métrica usual, então os subespaços métricos a,b e fa,b deR,d são homeomorfos. Este é um caso particular de uma propriedade que veremosadiante. (4) Se A ⊃ B0a, r, uma bola no espaço métrico R2,de, os espaços métricosA,dA e A,di, onde dA é a métrica induzida por de e di é a métrica discreta, não sãohomeomorfos. (5) Verifica-se facilmente que os espaços métricos 0,1,di e 0,1, 2di,onde di é a métrica discreta, são homeomorfos mas não são isométricos.

II.8.39 Exercícios (1) Enuncie e demonstre uma condição necessária e suficiente quedeve verificar um subconjunto A de R para que os espaços métricos A,dA e A,di,dAx,y ∣ x − y ∣ e di a métrica discreta sobre A, sejam homeomorfos. (2) Prove que arelação h ⊂ SE SE, A,B ∈ h A,B são subespaço homeomorfos do espaçométrico E,dE é uma relação de equivalência no conjunto SE dos subespaços métricos deE,dE. (3) Mostre que se as funções f : E,dE → F,dF e g : F,dF → G,dG sãolipschitzianas então a função composta gof : E,dE → G,dG é lipschitziana.

II.8.40 Resoluções. (1) Se existe uma bijecção contínua f : A,dA → A,di, a ∈ A,então existe 0 tal que fa − ,a ∩ A ⊂ fa, e portantoa − ,a ∩ A a. Conclui-se já que para que os espaços sejam homeomorfos cadaponto de A deve ser um ponto isolado de A em R,d, d a métrica usual, e esta é umacondição necessária. A condição é também suficiente; pois se cada ponto a ∈ A é um pontoisolado deste conjunto no espaço métrico R,d, o raciocínio acima mostra que a funçãoidentidade de A é um homeomorfismo de A,dA sobre A,di. A condição necessária esuficiente pretendida é pois que o conjunto A seja constituído por pontos isolados, noespaço métrico R munido da métrica usual. (2) Conclui-se de II.8.19 (1) atendendo a quedadas bijecções f : E → F e g : F → G se tem gof−1 f−1og−1; e porque a composta dedois homeomorfismos é um homeomorfismo. (3) Se L,M são constantes tais quedFfx, fy ≤ LdEx,y e dGgfx,gfy ≤ MdFfx, fy entãodGgofx,gofy ≤ MLdEx,y e gof é lipschitziana com constante de Lipschitz ML.

II.8.41 Uma função contínua de um espaço métrico noutro não transforma em geralsucessões de Cauchy do domínio em sucessões de Cauchy no espaço imagem. Por exemplo,considerando em 0, a métrica dx,y ∣ x − y ∣, a função fx 1/x é umhomeomorfismo deste espaço métrico sobre si mesmo; no entanto, a imagem da sucessãode Cauchy 1/n não é uma sucessão de Cauchy.

II.8.42 Exercício. Prove que se f : E,dE → F,dF é uma função lipschitziana e xné uma sucessão de Cauchy em E, então fxn é uma sucessão de Cauchy em F. Concluaque a função em II.8.41 não é lipschitziana.

-120-II.8.43 Resolução Das hipóteses dFfx, fy ≤ LdEx,y x,y ∈ E e

∀ 0,∃p ∈ N,n,m ≥ p dExn,xm /L vem∀ 0,∃p ∈ N,n,m ≥ p dFfxn, fxm . Se a funçãof : 0,,d → 0,,d, fx 1/x fosse lipschitziana, então a sucessão dos númerosnaturais seria uma sucessão de Cauchy em 0,,d, o que é falso, pois não éconvergente.

II.8.44 Definição (a) Sendo E,dE e F,dF espaços métricos, a funçãof : E,dE → F,dF diz-se uniformemente contínua se verifica a condição

uc ≡ ∀ 0,∃ 0,∀x,y ∈ E,dEx,y dFfx, fy ou,equivalentemente,∀ 0,∃ 0,diamEA diamFfA ,∀A ⊂ E,A ≠ , onde

diamEA supdEx,y : x,y ∈ A é o diâmetro de A em E,dE e analogamente paradiamFfA.

(b) Se a função f : E,dE → F,dF é bijectiva e ambas f, f−1 sãouniformemente contínuas, diz-se que f é um homeomorfismo uniforme de E,dE sobreF,dF.

II.8.45 Observações (1) Obviamente, se f é uma função uniformemente contínua,então é contínua.

(2) Toda a função lipschitziana f : E,dE → F,dF é uniformemente contínua. (3)Existem no entanto funções uniformemente contínuas que não são lipschitzianas, porexemplo, com d a distância usual em R, a função IR : R,min1,d → R,d, IRx xé um homeomorfismo uniforme e não é lipschitziana.

II.8.46 Exercícios. (1) Verifique (1) em II.8.45. (2) Verifique II.8.45 (2). (3) Prove quea função f : R,d → R,d, onde d é a métrica usual, fx 1 x2 é lipschitziana comconstante de Lipschitz L 1 e mostre que f não é uma contracção. (4) Mostre que sendo dcomo em (3), para a função f : R,d → R,d, fx x2 se tem: i f é contínua; ii f élipschitziana em cada intervalo de extremos a,b ∈ R, mas não é lipschitziana em R; iii fnão é uniformemente contínua. (Sug: para ii recorde um Teorema da Análise Real e proveque f é lipschitziana em a,b, concluindo o caso geral; justifique que não existe nenhumnúmero real L tal que dfx, f0/dx, 0 ≤ L para todo o x 0). (5) Prove que toda afunção uniformemente contínua transforma sucessões de Cauchy em sucessões de Cauchy.A recíproca é válida? (6) Prove que se f : E,dE → R,d é uma função contínua, onde dé a métrica usual, então para cada c ∈ R, o conjunto Ec x ∈ E : fx c é aberto. (7)Sendo f : E,d → E,d uma função, o ponto x ∈ E diz-se um ponto fixo de f se x fx.Mostre que se f é contínua então o conjunto F dos pontos fixos de f é fechado em E. (8)Mostre que a função f : 0,1 2,d → 0,1,d, onde d é a métrica usual de R,fx x 0 ≤ x 1, f2 1 é uma bijecção contínua que não é um homeomorfismo.

-121-II.8.47 Resoluções (1) Se para cada número positivo existe certo 0 tal que para

cada a,x ∈ E se verifica dffx, fa sempre que dEx,a , então em particulardado um ponto a em E, o número satisfaz a condição de ser dFfx, fa se xverifica dEx,a , 0 a priori dado. (2) Da hipótese dFfx, fy ≤ LdEx,y, L 0uma constante independente de x,y ∈ E,dE para a função f : E,dE → F,dF,conclui-se que dFfx, fy sempre que x,y ∈ E e dEx,y /L. Se L 0 entãoa função f é constante, donde contínua. (3) ∣ 1 x2 − 1 y2 ∣∣ x2 − y2/ 1 x2 1 y2 ∣∣ x − y ∣∣ x y ∣ / 1 x2 1 y2 ≤∣ x ∣ ∣ y ∣/ 1 x2 1 y2 ∣ x − y ∣∣ x − y ∣; no entantolimx→ 1 x2 − 1/x − 1 1 e não exite K 1 tal que∣ 1 x2 − 1 y2 ∣ / ∣ x − y ∣≤ K para todos os x,y ∈ R; (faça-se y 0). (4) i Emcada a,x ∈ R tem-se ∣ x − a ∣ /∣ x a ∣ 1 ∣ x2 − a2 ∣ , 0. ii Sea ≤ x y ≤ b então ∣ fx − fy ∣≤ sup∣ f′t ∣: x t y ∣ x − y ∣≤ L ∣ x − y ∣onde L 2max∣ a ∣,∣ b ∣. Não existe L 0 verificando a condição para f serlipschitziana em R, pois supx2/ ∣ x ∣: x ≠ 0 sup0, . iii Se f fosseuniformemente contínua existiria, dado 1 0, certo número positivo verificando acondição 1 ≤ a x,x − a x2 − a2 1; mas não existe 0 verificando aimplicação, como se vê tomando a n ∈ N, onde n 1/ para dado, e x n /2.Assim a hipótese f uniformemente contínua leva a uma contradição, e conclui-se iii pelométodo de redução ao absurdo. (5) Se f : E,dE → F,dF é uniformemente contínua e asucessão xn em E verifica n.m ≥ p dExn,xm , certa ordem p na implicaçãoexistindo para cada 0 a priori dado, consideremos 0. Pela continuidade uniformede f, existirá um número positivo tal que a implicação x,y ∈ E edEx,y dFfx, fy é verdadeira; a partir da ordem p, os termos xn,xm

verificam o antecedente desta implicação e consequentemente verificamdFfxn, fxm .

A recíproca não é válida, pois por exemplo para a função fx x2 em (4) iii, se xné uma sucessão de Cauchy em R,d então existe x limxn ∈ R donde fxn → fx pelacontinuidade de f, e fxn é uma sucessão de Cauchy.

(6) Ec f−1−,c é um conjunto aberto dado que −,c é aberto em R,d e f écontínua. (7) Há a provar que se xn é uma sucessão em F e xn → x em E,d então x ∈ F.Como xn fxn para cada n, tem-se x limxn lim fxn fx pela continuidasde de f.(8) f é claramente bijectiva; f é contínua, pois se 0 ≤ xn 1 e xn → x ∈ 0,1 entãolim fxn limxn x fx, e assim f é contínua em cada ponto x ∈ 0,1; no ponto 2, fé contínua, pois este ponto é um ponto isolado do domínio. Tem-se xn n

n1 ∈ 0,1,xn → 1 e lim f−1xn limxn ≠ 2 f−1limxn, a função f−1 não é contínua.

II.8.48 Exercícios (1) Prove que a função dx,y ∣ e−x − e−y ∣ 0 ≤ x,y ,dx, d,x e−x , d, 0 é uma métrica em 0,, onde seconvenciona x ≤ para 0 ≤ x e assim se entende este intervalo. (2) Mostre quesendo : 0,,d → 0,,d uma função, tem-se limx→0x 0 em0,,d se e só se limx→0∣0,1x 0 em 0,1,d, onde ∣0,1 é a função restriçãode ao intervalo 0,1 e dx,y ∣ x − y ∣ 0 ≤ x,y ≤ 1.

-122-

II.8.49 Resoluções (1) Para x,y ∈ 0,, tem-se: (D1) dx,y ≥ 0 e dx,x 0;(D2) Se x,y ∈ R então dx,y ∣ e−x − e−y ∣∣ −e−x − e−y ∣ dy,x e se x ∈ Rentão dx, d,x pela definição; (D3) Para x,y, z reais,dx, z ∣ e−x − e−z ∣≤∣ e−x − e−y ∣ ∣ e−y − e−z ∣ dx,y dy, z; paray ,x, z ∈ R, dx, z ∣ e−x − e−z ∣≤ e−x e−z dx,y dy, z e se z obtem-se dx, z e−x ≤ e−x dx,y dy, z; (D4) Se x,y ∈ R,x ≠ y é e−x ≠ e−y,dx,y ≠ 0 e se x ∈ R então dx, e−x ≠ 0, portanto verifica-se (D4). (2) Selimx→0x 0 em 0,,d tem-se: para cada sucessão xn em 0,1 tal quedxn, 0 ∣ exp−xn − 1 ∣→ 0, é dxn, 0 ∣ exp−xn − 1 ∣→ 0; dondeexp−xn → 1 para a métrica usual de R e conclui-se xn → 0 neste espaço métrico.Reciprocamente, se limx→0∣0,1x 0, ∣0,1 considerada de 0,1,d em 0,1,d,0 ≤ xn ≤ 1 e xn → 0 em 0,,d então exp−xn → 1 exp0 pela definição de d;logo xn → 0 para a métrica usual de R e dxn, 0 ∣ exp−xn − 1 ∣→ 0 como sequeria.

II.8.50 Definição Sejam E,dE, F,dF espaços métricos, f : E,dE → F,dF e : 0,,d → 0,,d uma função crescente tal que limx→0x 0 como emII.8.49. Diz-se que é um módulo de continuidade de f se verifica a condição

mc para cada x,y ∈ E, dFfx, fy ≤ dx,y.

II.8.51 Observação Se uma função f tem um módulo de continuidade como nadefinição anterior, então f é uniformemente contínua. Também supondo quef : E,dE → F,dF é uniformemente contínua, entãosupdFfx, fy : x,y,∈ E,dEx,y ≤ t para t 0 suficientemente pequeno, 0dado, e pondo, para t ∈ 0,, t supdFfx, fy : x,y ∈ E,dEx,y ≤ t tem-selimt→0t 0, é um módulo de continuidade de f. Assim uma função é uniformementecontínua se e só se tem pelo menos cum módulo de continuidade. As funções lipschitzianascorrespondem ao caso particular de funções uniformemente contínuas em que se podetomar para módulo de continuidade da função uma função constante (então infinitasconstantes podem tomar-se para módulos de continuidade).

-123-II.8.52 Exercícios (1) Prove a primeira afirmação em II.8.51. (2) Demonstre que sendo

E,dE um espaço métrico, a um ponto fixo em E, a aplicação fa : E,dE → R,d,fax dEx,a onde d é a métrica usual de R, é lipschitziana com constante de LipschitzL 1. Esta aplicação é contínua? É uniformemente contínua? Justifique. (3) Questão comoem (2), para fA : E,dE → R,d, fAx infdEx,a : a ∈ A, onde ≠ A ⊂ E. Podeconcluir que se x0 é um ponto de E, x0 ∉ A e A é um conjunto fechado então existem umabola B0x0, r e um conjunto aberto V em E,dE tais que A ⊂ V e B0x0, r ∩ V ? (Sug:considere fAx0 d r, II.5.36 (4)).

II.8.53 Resoluções (1) Dada f : E,dE → F,dF, e atendendo a II.8.49 (2) tem-se,pela hipótese dFfx, fy ≤ dEx,y x,y ∈ E e limt→0t 0: dado positivo,certo 0 verifica 0 t 0 ≤ t ; então para cada x,y ∈ E tais quedEx,y obtem-se dFfx, fy , provando que a função f é uniformementecontínua. (2) dfax, fay ∣ dEx,a − dEy,a ∣≤ dEx,y e fa é portanto lipschitziana(com constante de Lipschitz igual a 1) e assim é uniformemente contínua e, a forteriori,contínua (II.8.45 (2),(1)). (3) Se ≠ C,D ⊂ 0, tem-se ∣ infC − infD ∣ infC − infDou ∣ infC − infD ∣ infD − infC. Considerando o primeiro caso, dado 0, existed ∈ D tal que infD d − /2 e também infC c /2 para cada c ∈ C; donde∣ infC − infD ∣ c − d . Analogamente, no segundo caso, ∣ infC − infD ∣ d − c ,onde d é qualquer elemento em D (assim como c é qualquer elemento em C no primeirocaso), e onde pode considerar-se 0 arbitrariamente pequeno. Encontra-se∣ fAx − fAy ∣∣ infdEx,a : a ∈ A − infdEy,a′ : a′ ∈ A ∣ dEx,a′ − dEy,a′para certo a′ ∈ A ou ∣ fAx − fAy ∣ dEx,a − dEy,a onde é qualquer númeropositivo, certo a ∈ A. Portanto ∣ fAx − fAy ∣ dEx,y qual quer que seja 0, econclui-se ∣ fAx − fAy ∣≤ dEx,y para cada x,y ∈ E. Assim como fa em (2), fA élipschitziana com constante de Lipschitz 1, contínua e uniformemente contínua. (4)Atendendo a II.5.36 (4), tem-se fAx0 d 0 pois A A. Então cada ponto x na bolafechada Bx0,d/2 está a uma distância de x0 menor que d, e portanto x ∉ A i.e.,Bx0,d/2 ∩ A ou, equivalentemente, A ⊂ Bx0,d/2c V; como a bola fechada éum conjunto fechado, V é um aberto e B0x0,d/2 ∩ V .

II.8.54 Vemos por (4) em II.8.53 que um espaço métrico E verifica a propriedade deseparação: para cada subconjunto fechado F e cada ponto p do espaço, p ∉ F, existemconjuntos abertos disjuntos U,V tais que p ∈ U, A ⊂ V. Como todo o conjunto reduzido aum ponto em E é um conjunto fechado, esta é uma propriedade de separação dos espaçosmétricos, acrescida à propriedade de separação de Hausdorff. Veremos adiante (II.11) queos espaços métricos têm também a propriedade de para cada dois subconjuntos fechadosA,B, disjuntos, existirem abertos disjuntos U,V, A ⊂ U,B ⊂ V.

II.8.55 Definição Sejam E,dE e F,dF espaços métricos, a ∈ E, ≠ A ⊂ E e umafunção f : E,dE → F,dF.

(a) A oscilação de f em A é o diâmetrodiamfA supdFfx, fy : x,y ∈ A ∈ 0,, que se representa por Of;A;

(b) chama-se oscilação de f no ponto a ao ínfimo infOf;B0a, : 0 que seconsidera com a convenção s s ∈ R, e onde B0a, designa a bola aberta emE,dE.

-124-II.8.56 Exemplos (1) Para a função f : R,d → R,d, fx 1

x x ≠ 0, f0 0,onde d é a métrica usual, tem-se Of;R\− 1

, 1 2 para cada 0. Também

Of; −, e Of; 0 ; (2) Se f : R,d → R,di é uma função injectiva, d,di

são respectivamente a métrica usual e a métrica discreta, então Of;a 1 em cada pontoa.

II.8.57 Exercícios (1) Mostre que com a, f como em II.8.55,Of;a infOf;V : V ∈ Va, Va o filtro das vizinhanças de a. (2) Considere amétrica usual d em R, e a função f : R,d → R,d dada por fx −1 x 0, fx 1x ≥ 0. Determine: i Of; 0; ii O∣ f ∣; 0, onde ∣ f ∣ x ∣ fx ∣; iiiOmaxf, 0, 0, maxf, 0x maxfx, 0.

II.8.58 Resoluções (1) Tem-se B0a, : 0 ⊂ Va e portantoinfOf;V : V ∈ Va ≤ Of;a. Para cada V ∈ Va existe V 0 tal que B0a, ⊂ Vpara cada , 0 ≤ V e Of;B0a, diamfB0a, ≤ diamfV(fB0a, ⊂ fV para tais ). AssiminfdiamfV : V ∈ Va ≥ infdiamfB0a, : 0 ≤ V e, sendo a funçãoia Of;B0a, decrescente conclui-seinfdiamfV : V ∈ Va ≥ lim→0 ia Of;a. (2) iOf; 0 infsup∣ fx − fy ∣:∣ x − y ∣ : 0 inf2 2. iiO∣ f ∣, 0 inf∣ 1 − 1 ∣ 0; iii Omaxf, 0, 0 inf∣ 0 − 1 ∣ 1.

II.8.59 Teorema Uma função f : E,dE → F,dF é contínua em a ∈ E se e só seOf;a 0.

Demonstração. A condição é necessária: Se f é contínua em a então dado 1/n 0, n 1,2, . . . existe certo n 0 tal que x ∈ E edEx,a n dFfx, fa ≤ 1/n. Assim0 ≤ Of;a infOf;B0a, : 0 ≤ infOf;B0a,n : n ∈ N ≤ inf1/n : n ∈ Ne Of;a 0. A condição é suficiente: se an é uma sucessão em E convergente para aentão para cada 0 todos os termos de ordem n n, certo n ∈ N verificamdEan,a ; como consequência da hipótese, estes índices n verificam então quedFfan, fa ≤ Of;B0a, , para cada positivo dado a priori, certo 0dependendo de . Logo fan → fa c.q.d.

II.8.60 Exercícios (1) Mostre que se a função f : E,dE → R,d, onde d é a distânciausual, é contínua, então a função ∣ f ∣: E,dE → R,d é contínua, e que a recíproca éfalsa (notação para ∣ f ∣ como em II.8.58 (2)). (2) Prove que no contexto da questãoanterior, se a função f é contínua no ponto a ∈ E então a funçãomaxf, 0x maxfx, 0 é também contínua; mostre com um contra-exemplo que arecíproca é falsa. (3) Mostre que a função f : R,d → R,d, f0 0, fx sin 1

xx ≠ 0, d como acima, é contínua em todos os pontos excepto no ponto 0. (4)Considerando R,d como em (3), prove que a função f definida sobre R por fx xx ∈ Q, fx −x x ∈ R\Q só é contínua em x 0; e as funções ∣ f ∣ e maxf, 0? (5)Uma função f : E,dE → F,dF diz-se aberta se a imagem de cada subconjunto aberto Ade E é um aberto em F. Prove que se E,dE F,dF R,d, d a métrica usual, e se f éuma função estritamente crescente, então f é um função aberta.

-125-f é um homeomorfismo? (Sug: mostre que cada aberto não vazio de R,d é reunião de

intervalos abertos e que f transforma intervalos abertos em intervalos abertos).II.8.61 Resoluções (1) A função x ∣ fx ∣ de E,dE em R,d é a função composta

das funções x fx s de E,dE em R,d e s ∣ s ∣ de R,d em R,d.Como estas funções são contínuas, o resultado conclui-se de II.8.19 (1).A recíproca é falsa, como mostra o contra-exemplo: f : 0,,d → 0,,d,

fx x x ∈ Q e fx −x x ∈ R\Q, onde dx,y ∣ x − y ∣. ∣ f ∣ é contínua, mas fnão tem limite em nenhum ponto diferente de zero. Pois se a 0 tem-se

lim fx limx a ≠ −a lim − x lim fx.x → a,x ∈ Q x → a,x ∈ R\Q(2) Pelo Teorema II.8.59, uma função entre espaços métricos é contínua num ponto se e

só se a oscilação nesse ponto é nula. Admitindo que f : E,dE → R,d verificaOf;a 0, a ∈ E, tem-se: se fa 0 entãoOmaxf, 0;a infsup∣ maxfx, 0 − maxfy, 0 ∣: x,y ∈ B0a, : 0 ≤infsup∣ fx ∣: x ∈ B0a, O∣ f ∣; 0 pela alínea anterior. Supondofa s 0 tem-se: pela continuidade de f em a, existe certo 0 tal que s − fx s/2para todo o x ∈ B0a,; assim fx s/2 0 se x ∈ a − ,a . Então com 0 ≤ tem-se Omaxf, 0;B0a, Of;B0a, donde se conclui o resultado usando ahipótese, pois Omaxf, 0;a lim→0 Omaxf, 0;B0a, pela definição de oscilaçãode uma função num ponto. Para o caso fa 0: existe 0, fx 0 para cadax ∈ B0a,; vem Omaxf, 0;a lim0 0 e conclui-se que a função maxf, 0 écontínua em a. (3) Se x0 ≠ 0 e xn → x existe 0 tal que fx sin 1

xx ∈ x0 − ,x0 e lim fxn lim sin1/xn sin lim1/xn sin1/ limxn fx0,pela continuidade das funções x sinx de R,d em R,d e x 1

x de R\0,d emR,d; portanto f é contínua em x0 (Corolário II.8.12). Para cada 0, existe n ∈ Nverificando 1/2n − /2, 1/2n /2 ∈ −,; assim Of; −, 2 → 2 Of; 0 ef não é contínua em 0. (4) No ponto a ∈ R tem-se: se 0,Of; a − ,a 2 ∣ a ∣ 2 →→0 2 ∣ a ∣ e f só é contínua em a se a 0. Paraa função ∣ f ∣ é O∣ f ∣, a − ,a 2 para suficientemante pequeno, e estafunção tem oscilação nula em cada ponto, é contínua. Se a ∈ R entãoOmaxf, 0,a lim→0 ∣ a ∣ ∣ a ∣, a função só é contínua no ponto a 0. (5)Cada conjunto reunião de uma classe de intervalos abertos de R é um conjunto aberto, poisé reunião de conjuntos abertos. Reciprocamente, se A é um subconjunto aberto não vazio deR então para cada a ∈ A, existe certo a 0 tal que Ia a − a,a a ⊂ A. Conclui-seIa : a ∈ A A. Para cada Ia tem-sefIa fx : a − a x a a fa − a, fa a Jfa pela hipótese, dondefA fIa : a ∈ A Jfa : a ∈ A, conjunto aberto. A função f é então umhomeomorfismo se é contínua, o que equivale a f−1 ser uma função aberta; como f−1 étambém estritamente crescente, f é um homeomorfismo.

II.8.62 Exercícios (1) Recorde da Análise Real que uma função f : D ⊂ RN → R, Dum aberto em RN,de se diz diferenciável no ponto a,b ∈ D se existem , ∈ R tais quelimh,k→0,0

fah,bk−fa,b−h−k

h2k2 0; e que, supondo f diferenciável no ponto a,b,

u,v ∈ R2, a derivada de f em a,b segundo o vector u,v é então Dfu,va,b u v. Na hipótese f diferenciável em a,b, que pode afirmar-se sobre a cardinalidadedo conjunto Da,b Dfu,va,b : u,v ∈ R2?

-126-(2) Recordando ainda que se f como em (1) é diferenciável em a,b, então f é

contínua em a,b, conclua de II.8.9 (1) que a função f : R2 → R, fh,k hk

h2k2

h,k ≠ 0,0, f0,0 0 não é diferenciável no ponto 0,0. (3) Prove que a funçãof : R2 → R, fx,y xy sinxy

x2y2x,y ≠ 0,0, f0,0 0 é diferenciável no ponto 0,0.

(Sug: verifique que ∣ fx,y

x2y2∣≤∣ sinxy ∣ para cada x,y ≠ 0, e utilize II.8.10).

II.8.63 Resoluções (1) O cardinal de Da,b é 1 se 0 e é o cardinal do contínuose 2 2 ≠ 0. (2) Com efeito, não existe o limite de hk

h2k2no ponto 0,0.

(3) Tem-se ∣ fx,y

x2y2∣∣ xy sinxy

x2y2 ∣≤ maxx2,y2∣sinxy∣x2y2 ≤∣ sinxy ∣ e se

xn,yn → 0,0 em R2,de então sinxnyn → 0 em R, munido da métrica usual.Conclui-se que f é diferenciável com 0.

II.9 MÉTRICAS SOBRE O PRODUTO CARTESIANO DE ESPAÇOSMÉTRICOS

As métricas euclideana, do máimo e da soma em RN são obtidas a partir da métricausual no espaço factor R (podem aliás obter-se métricas correspondentes em CN, C o corpodos números complexos). Este processo generaliza-se para qualquer produto cartesianofinito de espaços métricos.

II.9.1. Teorema Se E,dE, F,dF são espaços métricos, as funções de,dM e dS deE F em R, dadas por

dex,y, x ′,y ′ dEx,x ′2 dFy,y ′2 ,dMx,y, x ′,y ′ maxdEx,x ′,dFy,y ′ edSx,x ′, y,y ′ dEx,x ′ dFy,y ′ x,x ′ ∈ X,y,y ′ ∈ Y

são métricas no produto cartesiano E F.Mais geralmente, se E1,d1, . . . , EN,dN N ∈ N são espaços métricos, então as

funções de,dM e dS definidas em E j1N Ej por

dex1, . . . ,xN, y1, . . . ,yN d1x1,y12 . .dNxN,yN2 ,dMx1, . . . ,xN, y1, . . . ,yN maxdjxj,yj : j 1, . . . ,N,dSx1, . . . ,xN, y1, . . . ,yN ∑ j1

N djxj,yjsão métricas.

-127-II.9.2. Exercícios (1) Demonstre o teorema anterior. (Sug: Desigualdade de

Cauchy-Schwarz).(2) Determine as métricas que se obtêm sobre E, no contexto do teorema, se cada

espaço métrico Ej está munido da métrica discreta.

II.9.3. Podem obviamente considerar-se sobre o produto cartesiano finito outrasmétricas. Como veremos, as propriedades de convergência de sucessões e de limite de umafunção num ponto são as mesmas para estas diferentes métricas. Considerando asprojecções prj : E j1

N Ej → Ej, j 1, . . . ,N, prjx1, . . . ,xN xj tem-se oII.9.4 Teorema Dado espaços métricos E1, . . . ,EN e uma sucessão x1

n, . . . ,xNn em

E j1N Ej, a sucessão converge para x1, . . . ,xN no espaço E,de (respectivamente no

espaço E,dM, resp. no espaço E,dS se e somente se cada sucessão coordenadaxj

n →n→ xj em cada espaço Ej,dj.Dem. Considerando por exemplo a métrica dM em E, se

dMx1N, . . . ,xN

n , x1, . . . ,xN →n→ 0 então de0 ≤ djxj

n,xj ≤ dMx1n, . . . ,xN

n , x1, . . . ,xN conclui-se xjn →n→ xj em cada Ej,dj.

Reciprocamente, se esta última condição se verifica existe, dado 0 e para cadaj 1, . . . ,N, certa ordem pj, ∈ N tal que djxj

n,xj sempre que n ≥ pj,. Então sen ≥ p maxp1,, . . . ,pN, tem-se dMx1

n, . . . ,xNn , x1, . . . ,xN . Do mesmo

modo se conclui que a condição é necessária para a convergência em E,de ou em E,dS;e a condição suficiente, para estes espaços conclui-se da propriedade correspondente paradM e das desigualdades de ≤ N dM e dS ≤ NdM c.q.d.

II.9.5 Corolário As métricas de,dM e dS sobre o produto E j1N Ej dos espaços

métricos Ej,dj são equivalentes.Dem. Pois pelo Teorema. tem-se x1

n, . . . ,xNn →n→ x1, . . . ,xN em E, munido de

qualquer das métricas se e só se cada xjn → xj em Ej,dj c.q.d.

II.9.6 Exercício Pode acrescentar ao Corolário II.9.5 que de,dM e dS sãouniformemente equivalentes? Justifique.

II.9.7 Resolução de,dM e dS são uniformemente equivalentes em E, como se obtemanalogamente à demonstração de II.9.4; considerando a condição de Cauchy no lugar dacondição de convergência.

II.9.8 Observação Atendendendo ao Teorema II.9.4, dizemos indistintamente, dadosespaços métricos E1,d1, ..., EN,dN, que E j1

N Ej é o espaço métrico produto(quando munido de uma das métricas no teorema).

II.9.9 Teorema As funções projecção prj : E j1N Ej → Ej são contínuas e abertas.

-128-Dem. Sendo Aj um aberto de Ej, provemos que

prj−1Aj x1, . . . ,xj, . . . ,xN ∈ E : xj ∈ Aj E1 . . .Ej−1 Aj Ej1 . . .EN é aberto

em E,dM. Dado e1, . . . ,ej−1,aj,ej1, . . . ,eN, aj ∈ Aj existe r 0 tal que B0aj, r ⊂ Aj;entãodMx1, . . . ,xj, . . . ,xN, e1, . . . ,aj, . . . ,eN r maxd1x1,e1, . . . ,djxj,aj, . . . ,dNxN,eN

e portanto x1, . . . ,xj, . . . ,xN ∈ E1 . . .Aj . . .EN i.e., representando B0,M B0,Me1, . . . ,aj, . . . ,eN, r a bola aberta no produto, tem-se B0,M ⊂ E1 . . .Aj . . .EN queé assim um aberto; o que mostra que prj é contínua. E dado A aberto em E,dM,mostremos que prjA é aberto em Ej. Sendo a1, . . . ,aj, . . . ,aN ∈ A existe 0 tal quemaxd1x1,a1. , , , .djxj,aj, . . . ,dNxN,aN x1, . . . ,xj, . . . ,xN ∈ A; então paray,aj ∈ Aj prjA tem-se, considerando ak ∈ Ak k ≠ j fixos,djy,aj dMa1, . . . ,y, . . . ,aN, a1, . . . ,aN a1, . . . ,aj, . . . ,aN ∈ A y ∈ Ae Aj é aberto, c.q.d.

II.9.10 Exercício Considerando F x, 1/x : x ≠ 0 ⊂ R2 e o espaço produtoR2,d R2,d, d a métrica usual de R, mostre que as funções projecção não transformamnecessariamente conjuntos fechados em conjuntos fechados (não são funções fechadas).

II.9.11 Resolução F é um subconjunto fechado de R2,dM pois se xn, 1/xn → x,yneste espaço métrico, então pelo Teorema II.9.4 tem-se xn → x e 1/xn → y em R,d; comoé sabido da Análise Real, isto implica 1/xn → 1/x ∈ R em R,d. Assim x ≠ 0 e y 1/x i.e., x,y x, 1/x ∈ F que é portanto um conjunto fechado em R2,dM. Maspr1F R\0 que não é fechado no espaço factor R,d, como se verifica analogamenteutilizando sucessões.

II.9.12 Exercício Demonstre o teorema seguinte (Sug: utilize o limite por meio desucessões)

II. 9.13 Teorema Dados um espaço métrico E,d e um produto F j1N Fj de

espaços métricos Fj,dj, uma finção f f1, . . . , fN : E → F é contínua se e somente secada função coordenada fj : E,d → Fj,dj é contínua.

II.9.14 Resolução Dem. Há a provar que f é contínua em cada ponto a ∈ E se e só setodas as funções fj são contínuas em a. Dada uma sucessão an em E,d convergentepara a temos: fan f1an, f2an, . . . , fNan → f1a, f2a, . . . , fNa fa emE,d sse fjan → fja em cada Ej,dj, atendendendo a II.9.4, c.q.d.

II.9.15 Observação Para uma função f : E j1N Ej → F,d definida sobre um

produto de espaços métricos e com valores num espaço métrico, não pode concluir-se acontinuidade de f num ponto a1, . . . ,aN de E da hipótese cada função restriçãof∣Xj : Xj → F,d contínua em aj, onde X1 a1 j2

N Ej,..., XN j1N−1 Ej aN. É o

que mostra, em II.8.9 (2), a função f : R2 → R definida por fx,y xy/x2 y2x,y ≠ 0,0 e f0,0 0 por exemplo.

-129-II.9.16 A noção de métrica sobre um produto finito generaliza-se ao produto numerável

de espaços métricos. Consideram-se, dados espaços métricos E1,d1, E2,d2 . . . asmétricas equivalentes min1,di e põe-se

II.9.17 Definição Dado o produto numerável de espaços métricos E n1 En

considera-se sobre E a métrica Dxn, yn ∑n1 min1,dnxn,yn/2n.

II.9.18 Exercícios (1) Verifique que a fução D em II.8.17 é uma métrica em E egeneralize II.9.4, II.9.13. (2) Prove que no contexto de II.9.17,D1xn, yn ∑n1

dnxn,yn/2n1 dnxn,yn é uma métrica sobre E equivalente a D.

II.9.19 Resoluções (1) (D1) Dxn, yn ≥ 0 pois é a soma de uma série de termosnão negativos; a série converge, pelo critério de comparação dado que o termo geral émajorado pelo termo geral 1/2n de uma série geométrica convergente. TambémDxn, xn ∑0 0 pois cada dn verifica (D1); (D2) Dxn, yn Dyn, xnpois dnxn,yn dnyn,xn para cada n; (D3)Dxn, zn ∑n1

dnxn, zn ≤ ∑n1 dnxn,yn dnyn, zn Dxn, yn Dyn, z

(D4) se Dxn, yn 0 então dnxn,yn 0 para cada n, e assim xn yn, xn yn.Dada uma sucessão xn

k → xn em E,D tem-se0 ≤ dnxn

k ,xn ≤ Dxnk, xn →k→ 0, donde cada dnxn

k ,xn →k→ 0; portanto cadasucessão coordenada xn

k →k→ xn em En,dn. Reciprocamente, se esta última condição severifica, como a série∑n1

min1,dnxnk ,xn/2n é convergente para cada k tem-se: dado

0, existe N ∈ N tal que∑nN1 min1,dnxn

k ,xn/22 /2, e isto para cadak 1,2, . . . . (uma vez que∑nN1

1/2n →N→ 0). Para cada índice n 1, . . . . ,N, existepor hipótese uma ordem kn,/2 verificando dnxn

k ,xn /2 desde que k ≥ kn,/2. Sejak maxk1,/2, . . . ,kN,/2 ∈ N. Se k ≥ k encontra-seDxn

k, xn ∑n1N min1,dnxn

k ,xn/2n ∑nN1 min1,dnxn

k ,xn/2n eportando xn

k →k→ xn em E. Portanto a generalização de II.9.4 é verdadeira.Dada f f1, f2, . . . : E → n1

Fn, a generalização de II.9.13 conclui-se dageneralização de II.9.4 analogamente.

(2) Representando d1,nxn,yn dnxn,yn/1 dnxn,yn encontra-se(D1) D1xn, yn ∑n1

d1,nxn,yn é uma série convergente de termos ≥ 0, dondetem soma ≥ 0; e D1xn, xn ∑0 0; (D2)D1xn, yn ∑n1

d1,nxn,yn/2n ∑n1 d1,nyn,xn/2n D1yn, xn (d1,n é uma

métrica em En e assim verifica (D2)); (D3) D1xn, zn ∑n1 d1,nxn, zn/2n e a soma

desta série não excede a soma∑n1 d1,nxn,yn/2n ∑n1

d1,nyn, zn/2n D1xn, yn D1yn, zn pois d1,nxn, zn ≤ d1,nxn,yn d1,nyn, zn para cada n;(D4) se a soma da série D1xn, yn é nula, então cada d1,nxn,yn 0, dondexn yn.

Analogamente à generalização de II.0.4 em II.919., vê-se que uma sucessãoxn

k →k→ xn em E,D1 se e só se cada sucessão coordenada xnk →k→ xn em En,dn, e

portanto esta propriedade é equivalente à convergência de xnk para xn em E,D.

-130-II.9.20 Observação Recorde-se a Definição II.7.3. Diz-se que uma classe

S S : ∈ de conjuntos abertos é uma subbase da topologia TE do espaço métricoE,d se a classe B constituída pelas intersecções finitas dos conjuntos em S é uma base deTE. Se o espaço E,d é um espaço C2 então, uma base sendo uma subbase, TE tem umasubbase contável. Reciprocamente, como o cardinal do conjunto das partes finitas de umconjunto infinito é igual ao cardinal do conjunto, tem-se #0 #B #FS #S seE,d é um espaço C2 (como FS o conjunto das partes finitas de S, a funçao : FS → B, S1, . . . ,Sn S1 ∩. . .∩Sn é sobrejectiva, donde #B ≤ #FS;também se S é um conjunto finito então #B ≤ #FS e B é finita; comoB S : S B e a funçao B → B é injectiva, tem-se #FS #S ≤ #B).Portanto E,d é um espaço C2 se e só se tem uma subbase contável.

II.9.21 Proposição O espaço métrico produto contável E i∈I Ei de espaços métricosC2 (equivalentemente, separáveis) Ei i ∈ I é um espaço C2 (equivalentemente,separável).

Dem. A equivalência C2 separável é estabelecida em II.7.7. Pela observaçãoanterior, basta provar que E tem uma subbase contável. Se Ui,n : n ∈ Ji i ∈ I, Ji ⊂ Né uma base de Ei então os conjuntos pri

−1Ui,n i ∈ I, n ∈ Ji constituem uma subbase deE. (Porquê?) Uma vez que #i Ji : i ∈ I ≤ #I #0 ≤ #0 (verifique)conclui-se o resultado, c.q.d.

II.10 ESPAÇOS MÉTRICOS COMPLETOS. CATEGORIA

II.10.1 Recordar que a sucessão xn em E,d é uma sucessão de Cauchy se verifica acondição ∀ 0,∃p p ∈ N,n,m ≥ p dxn,xm . O espaço métrico E,d diz-secompleto se toda a sucessão de Cauchy em E,d é convergente para um ponto de E.

II.10.2 Exemplos (1) Como é sabido da Análise Real, toda a sucessão de Cauchy denúmeros reais é convergente para um número real; assim R,d, d a métrica usual, é umespaço métrico completo. (2) C,d, onde dx iy,a ib x − a2 y − b2 é umespaço métrico completo. (3) Se X é um conjunto não vazio, o espaço métrico discretoX,di, di a métrica discreta de X, é completo. (4) Q,d, com d a métrica restrição damétrica usual ao conjunto dos números racionais, não é completo. Pois a sucessãoun ∑k1

n 1/k! é de Cauchy (a série factorial é convergente para e ∈ R\Q em R) mas asoma da série não é um número racional.

-131-II.10.3 Exercícios (1) Verifique II.10.2 (2). (2).Verifique o exemplo (3) em II.10.2. (3)

Prove que se ≠ F ⊂ E e E,d é um espaço métrico completo, então o subespaço métricoF,d é completo se e só se F é fechado em E.

II.10.4 Resoluções (1) Seja xn iyn uma sucessão de Cauchy em C i.e.,∀ 0,∃p ∈ N tal que dxn iyn,xm iym xn − xm2 yn − ym2 para cadan,m ≥ p. Então se n,m ≥ p tem-se ∣ xn − xm ∣,∣ yn − ym ∣≤ dxn iyn,xm iym ;logo xn e yn são sucesões de Cauchy em R, e assim existem x,y ∈ R tais quelim ∣ xn − x ∣ 0, lim ∣ yn − y ∣ 0. Conclui-sedxn iyn,x iy xn − x2 yn − y2 → 0, o que mostra que xn iyn tem limite x iyem C,d.

(2) Se xn é uma sucessão de Cauchy em x,di, a condição∀ 0,∃p p ∈ N,n,m ≥ p dixn,xm implica, fazendo 1 que xn xm cconstante para cada n,m ≥ p1. Sendo constante e igual a c a partir de certa ordem,conclui-se xn → c.

(3) Se xn é uma sucessão de Cauchy no subconjunto fechado F do espaço métricocompleto E,d, munido da métrica induzida, a condição de Cauchy mostra que xn é umasucessão de Cauchy em e,d equivalentemente. Existe então x ∈ E tal que xn → x emE,d; como x ∈ F, pois f é fechado, tem-se xn → x em F,d, representando ainda por d amétrica induzida. Assim F,d é um espaço métrico completo. Reciprocamente, supondoF,d completo, se xn é uma sucessão de pontos de F convergente em E,d para certoponto p, então xn é uma suceesão de Cauchy em E,d, e portanto em F,d. Logo xn → ycerto y ∈ F em f,d e, como então xn → y e xn → x em E,d, tem-se y x pela unicidadedo limite. Isto mostra que x ∈ F, que é assim um conjunto fechado.

II.10.5 Observação A função fx x/1 ∣ x ∣ é um homeomorfismo de R, munidoda métrica usual d, sobre 0,1,d, onde d é a métrica induzida (isto verifica-se facilmenteutilizando o limite por meio de sucessões). No entanto, R,d é um espaço métricocompleto e 0,1,d não é completo_A sucessão 1 − 1

n é de Cauchy em 0,1,d masnão é convergente neste subespaço métrico.

II.10.6 Proposição Se existe um homeomorfismo uniforme do espaço métrico E,dEsobre F,dF então E,dE é completo se e só se F,dF é completo. .

II.10.7 Exercício Prove a Proposição II.10.6

II.10.8 Resolução Se E,dE é completo e f : E,dE → F,dF é um homeomorfismouniforme, provemos que toda a sucessão de Cauchy yn em F,dF é convergente. Tem-seyn fxn e, como f−! é uniformemente contínua, a sucessão dos pontos xn f−1yn é deCauchy em E,dE, utilizando II.8.46 (5) Existe portanto x limxn em E,dE, e dacontinuidade de f concluímos que yn fxn → fx em F,dF como queríamos.

-132-

II.10.9 Teorema de Cantor Seja E,d um espaço métrico completo e sejaFn : n ∈ N uma classe de fechados não vazios tal que Fn1 ⊂ Fn n 1,2, . . . elimdiamFn 0. Existe então certo ponto a ∈ E tal queFn : n ∈ N a.

Dem. Se x,y ∈ Fn para cada n, então 0 ≤ dx,y ≤ diamFn → 0 donde dx,y 0 ex y. PortantoFn : n ∈ N só pode conter um ponto. Tem-se Fn : n ∈ N ≠ ;pois fixando um ponto an ∈ Fn para cada n, a sucessão an é de Cauchy, convergindoportanto para certo ponto a. Com efeito, dado 0, existe certa ordem p ∈ N tal quediamFn se n ≥ p; para m ≥ n ≥ p tem-se am ∈ Fm ⊂ Fn e an ∈ Fn i.e. portantoan,am ∈ Fn e dan,am ≤ diamFn . O ponto a tem então a propriedade∀ 0,∃n ∈ N,n ≥ n dan,a ; assim∀ 0,∃n ∈ N, B0a, ∩ Fn ≠ ,∀n ≥ n. Da condição F1 ⊃ F2 ⊃. . .⊃ Fn vem∀ 0, B0a, ∩ Fn ≠ ,∀n ∈ N; conclui-se a ∈ Fn Fn,∀n ∈ N i.e.,a ∈ Fn : n ∈ N c.q.d.

II.10.10 Corolário O espaço métrico E,d é completo se e só se tem a propriedade detoda a classe Fn : n 1,2, . . . de subconjuntos não vazios fechados de E, verificandoFn1 ⊂ Fn para cada n e llimdiamFn 0 ter intersecção não vazia.

II. 10.11 Exercícios (1) Prove que se a sucessão xn em E,d é de Cauchy, e tem umasubsucessão xnk → a então xn é convergente para a. (2) Demonstre o corolário emII.10.10 (Sug: Dada a sucessão de Cauchy xn, considere os conjuntos Fn xm : m ≥ ne utilize (1)).

II.10.12 Resolução (1) Seja xn verificando a condição de Cauchy∀ 0,∃p/2 ∈ N,n,m ≥ p dxn,xm /2. Se a subsucessão xnk → a existe, dado 0, certo k k/2 ∈ N tal que dxnk,a /2 para todos os k ≥ k. Se entãom ≥ maxp/2,k/2 verifica-se dxm,a ≤ dxm,xnm dxnm,a , poisnm ≥ m, já que k nk é estritamente crescente. Isto mostra que xn → a. (2) Se E,d écompleto então, pelo Teorema de Cantor, tem a propriedade enunciada. Reciprocamente,sendo xn de Cauchy em E, como xm : m ≥ n 1 ⊂ xm : m ≥ n para n 1,2, . . .tem-se Fn1 ⊂ Fn para cada n, com os Fn como na sugestão. Sendo xn de Cauchy vemque para cada 0, existe p ∈ N tal que dxm,xm′ ≤ para cada m,m′ ≥ p; entãodiamFp supdx,y : x,y ∈ Fp supdxm,xm′ : m,m′ ≥ p ≤ . AssimlimdiamFn 0. Pela propriedade da hipótese, existe um ponto a ∈ Fn : n ∈ N.Significa isto que a ∈ xm : m ≥ n para cada n; então tomando 1/k para cadak 1,2, . . . tem-se que certo xn1 verifica xn1 ∈ B0a, 1/1 ∩ xm : m ≥ 1;seguidamente, como a ∈ xm : m ≥ n1 1, a intersecçãoB0a, 1/2 ∩ xm : m ≥ n1 1 sendo não vazia,

-133-existe certo xm2,m2 ≥ n1 1 tal que xm2 ∈ B0a, 1/2.Obtidos xn1, . . . ,xnk, onde n1 n2 . . . nk e xnj ∈ B0a, 1/j para 1 ≤ j ≤ k,

podemos obter, pelo raciocínio feito para xn2 certo xnk1 ∈ B0a, 1/k 1 comnk nk 1. xnk é então uma subsucessão de xn e como 0 ≤ da,xnk 1/k → 0temos xnk → a. Então, usando (1), xn tem limite a e E,d é completo.

II.10.13 Teorema de extensão Sejam X,d, Y, espaços métricos, Y, completo. Sef : A ⊂ X → Y é uma função uniformemente contínua, onde A está munido da métricainduzida, então existe uma única extensão contínua

f : A,d → Y, de f ao fecho de A.

f é uniformemente contínua.Dem. Seja x ∈ A. Existe então uma sucessão xn em A tal que limxn x e, sendo xn

convergente, é uma sucessão de Cauchy. Deste modo, usando II.8.46 (5), a sucessão fxné de Cauchy em Y, e portanto existe o limite y lim fxn ∈ Y. Além disso, se wn équalquer sucessão em A convergindo para x, verifica-se facilmente que a sucessãox1,w1,x2,w2, . . . ,xn,wn, . . . é ainda convergente para x; donde é também da Cauchy eyn ≡ fx1, fw1, fx2, fw2, . . . , fxn, fwn, . . . é de Cauchy em Y, e assim convergenteneste espaço. Usando II.10.11 (1), como a subsucessão dos termos de ordem ímpar de ynconverge para y, tem-se yn → y. Logo o limite de fwn y é independente da particulasucessão wn em A convergente para x, e assim, dependendo apenas de x, podemosdesignar y

f x. Se x ∈ A ⊂ A então a sucessão constante x converge para x e a

sucessão fx converge para fx em Y . Então aplicando a definiçãof x fx ao caso

particular x ∈ A obtemos uma nova funçãof : A ⊂ X → Y.

f é contínua pelo modo como

é definida, e é uma extensão de f a A; e se g : A ⊂ X → Y é uma extensão contínua de f aA tem-se: para xn em A tal que xn → x, é gx limgxn lim fxn

f x. Assim

g f. O teorema ficará provado se mostrarmos quef é uniformenmente contínua. Seja

0 e consideremos 0 tal que x,y ∈ A e dx,y fx, fy . Se x,y ∈ Aexistem xn, yn em A, xn → x,yn → y. As desigualdades∣ dxn,yn − dx,y ∣≤ dxn,x ∣ dx,yn − dx,y ∣≤ dxn,x dyn,y →n→ 0mostram que dxn,yn → dx,y e portanto existe certo n0 ∈ N tal que dxn,yn paratodo o n ≥ n0. Logo fx, fy limfxn, fyn ≤ . Obteve-se assim∀ 0,∃ 0,x,y ∈ A ∧ dx,y fx, fy ≤ , e vê-se que esta propriedade é acontinuidade uniforme de

f : A,d → Y, c.q.d.

II.10.14 Exemplo Sendo X ≠ , designa-se por BX o conjunto das funções f : X → Rque são limitadas i.e., existe uma constante Mf ≥ 0 relativa a f tal que ∣ fx ∣≤ Mfpara todo o x ∈ X. Verifica-se facilmente que Df,g sup∣ fx − gx : x ∈ X é umamétrica em BX. Vamos ver que BX,D é um espaço métrico completo. Seja fn umasucessão de Cauchy em BX,D i.e., ∀ 0,∃p ∈ N,n,m ≥ p Dfn, fm ≤ . Entãopara cada x ∈ X, a sucessão real fnx é de Cauchy, pois ∣ fnx − fmx ∣≤ Dfn, fm ≤ se n,m ≥ p. Existe pois fx lim fnx x ∈ X e fica definida a função f : X → R,fx lim fnx x ∈ X. Mantendo n ≥ p fixo e fazendo m → na desigualdade∣ fnx − fmx ∣≤ ,∀x ∈ X, 1 por exemplo, obtemos ∣ fnx − fx ∣≤ 1 x ∈ Xdonde ∣ fx ∣≤∣ fpx − fx ∣ ∣ fpx ∣ x ∈ X donde ∣ fx ∣≤ 1 Mfp para todoo x ∈ X e assim f é limitada, f ∈ BX. Obtemos também: dado 0, existe p ∈ N tal que∣ fnx − fx ∣≤ x ∈ X para todo o n ≥ p. Logo Dfn, f ≤ se n ≥ p e portanto fn → fem BX,D, c.q.d.

-134-II.10.15 Exercícios (1) Sendo E um conjunto não vazio, F,d um espaço métrico e fn

uma sucessão em FE, f ∈ FE diz-se que fn converge pontualmente para f se fnx → fxpara cada x ∈ E e que fn converge uniformemente para f se se verifica a condição∀ 0,∃p ∈ N,n ≥ p dfnx, fx ≤ ,∀x ∈ E. i Verifique que a sucessão defunções xn em R0,1 converge pontualmente para a função f : 0,1 → R, fx 0x ∈ 0,1, f1 1, considerando sobre R a métrica usual, 0,1 munido da métricainduzida. ii Prove que dados E,d, F,d′, se uma sucessão fn em FE convergeuniformente para f ∈ FE e cada fn é contínua, então f : E → F é contínua. iii Podeconcluir que em i, a convergência não é uniforme? (2) Mostre que a convergência de umasucessão fn para f em BX,D como em II.10.14 é a convergência uniforme. (3) Proveque o conjunto CBE das funções reais contínuas limitadas sobre o espaço métrico E,d,munido da métrica Df,g sup∣ fx − gx ∣: x ∈ E é completo (Sug: utilize (1)iii).

II.10.16 Resoluções (1) i Como é sabido da Análise Real, se 0 ≤ x 1 então asucessão xn → 0; e se x 1 então a sucessão constante 1n → 1. ii Dada a convergênciauniforme fn → f e sendo cada fn : E,d → F,d′ contínua, consideremos a ∈ E. Se 0, existem 0 e p ∈ N tais que x ∈ E e dx,a d′fpx, fpa ≤ /2 en ≥ p d′fnx, fx ≤ /2,∀x ∈ E; então se dx,a tem-sed′fx, fa ≤ d′fx, fpx d′fpx, fpa ≤ /2 /2 , f é contínua em a. iiiSim, pois a função f não é contínua em 0,1 mas cada fn é contínua em 0,1; usando ii,se a convergência fosse uniforme então a função limite seria contínua. (2) As condições∀ 0,∃p ∈ N,n ≥ p sup∣ fnx − fx ∣: x ∈ E ≤ e∀ 0,∃p ∈ N,n ≥ p ∣ fnx − fx ∣≤ são eqivalentes, pois se ≠ A ⊂ 0,,s 0, tem-se a ≤ s,∀a ∈ A supA ≤ s. (3) Com efeito, (1) iii e (2) mostram queCBE é um subespaço fechado de BE; o resultado conclui-se de II.10.3 (2).

II.10.17 Definição Se X,d é um espaço métrico, diz-se que um espaço métricocompleto Y, é um completamento de X,d se existe uma isometria f : X,d → Y,tal que fX é denso em Y.

II.10.18 Exemplo Como é sabido tem-se Q denso em R, considerando sobre R amétrica usual d; representando ainda por d a métrica induzida em Q, vemos que R,d é umcompletamento de Q,d, considerando IdQ : Q,d → R,d, IdQx x.

II.10.19 Observação Se Y1,1 e Y2,2 são dois completamentos de X,d, existemisometrias f1 : X,d → Y1,1, f1X Y1 e f2 : X,d → Y2,2, f2X Y2. Como acomposta de duas isometrias é uma isometria, a funçãof f2of1

−1 : f1X ⊂ Y1,1 → Y2,2 é uma isometria, donde é uniformemente contínua;aplicando o Teorema de extensão II.10.13, f tem uma única extensãof : Y1,1 → Y2,2. Verifica-se facilmente que

f é uma isometria bijectiva. Assim

quaisquer dois completamentos de um espaço métrico são isométricos. Veremos de seguidaque cada espaço métrico tem um completamento. Se E,d é completo, é um seucompletamento.

-135-II.10.20 Teorema Todo o espaço métrico tem um completamento, único a menos de

uma isometria.Dem. Seja X,d um espaço métrico. Fixemos a ∈ X e, para cada x ∈ X seja

fx : X → R a função definida por fxy dx,y − dy,a y ∈ X. Pela desigualdadetriangular D3 tem-se ∣ fxy ∣≤ dx,a para todo o y ∈ X, e portanto fx ∈ BX(Exemplo II.10.14). Obtemos assim uma função f : X,d → BX,D dada por x fx.Temos que f é uma isometria, donde é uniformemente contínua. Com efeito, tem-se∣ fxy − fzy ∣∣ dx,y − dy,a − dz,y − dy,a ∣ dx,y − dz,y ∣≤ dx, z paratodo o y ∈ X; consequentemente Dfx, fz sup∣ fxy − fzy ∣: y ∈ X ≤ dx, z.Também no ponto y z, ∣ fxz − fzz ∣ dx, z e assim Dfx, fz dx, z. ComoBX,D é completo, obtemos pela definição que fX,D é um completamento de X,d.O teorema conclui-de de II.10.19, c.q.d

II.10.21 Teorema Se f : X,d → Z, é uma função uniformemente contínua, ondeX,d, Z, são espaços métricos, então existe uma única extensão uniformementecontínua

f : Y, → W, do completamento Y, de X,d no completamento W,

de Z,.Dem. Considerando isometrias f1 : X,d → Y,, f1X Y e f2 : Z, → W,,

f2Z W, a função f2ofof1−1 : f1X ⊂ Y, → W, é uniformemente contínua e tem,

pelo Teorema de extensão II.10.13, uma extensão uniformemente contínua únicaf : Y, → W, c.q.d.

II.10.22 Exercício Justificando as passagens seguintes, prove que seE1,d1, . . . , EN,dN são espaços completos, E E1 . . .EN edMx1, . . . ,xN, y1, . . . ,yN maxdkxk,yk : 1 ≤ k ≤ N então o espaço métricoproduto E,dM é completo.

1. Há a provar que se xn x1n, . . . ,xN

n é uma sucessão em E verificando a condição∀ 0,∃p ∈ N,n,m ≥ p dxn,xm , então existe a a1, . . . ,aN ∈ E tal quexn → a em E,d;

2. se xn é uma sucessão como em 1., então cada sucessão coordenada xkn, 1 ≤ k ≤ N,

é de Cauchy no espaço Ek,dk;3. existe um ponto ak ∈ Ek para cada k tal que xk

n →n→ ak em Ek,dk;4. verifica-se xn → a a1, . . . ,aN em E,d, c.q.d.

II.10.23 Resolução 1. Pelas definições de sucessão de Cauchy e espaço métricocompleto; 2. pois dada a condição em 1., se , a ordem p verifica a condiçãodkxk

n,xkm ≤ dx1

n, . . . ,xNn , x1

m, . . . ,xNm para todos n,m ≥ p; 3. porque pela

hipótese cada espaço Ek,dk é completo. 4. Por 3. existe, dado positivo, certa ordemnk, ∈ N para cada k 1, . . . ,N verificando dkxk

n,ak sempre que n ≥ nk,.Podemos considerar então, dado , a ordem n maxn1,, . . . ,nN, e tem-sen ≥ n d1x1

n,a1, . . . ,dNxNn ,aN maxd1x1

n,a1, . . . ,dNxNn ,aN ; donde

dxn,a para todo o n ≥ n. Existe pois em E o limite a da sucessão xn e E,d écompleto c.q.d.

-136-II.10.24 Conclua do Ex. anterior a

Proposição Se E1,d1, . . . , EN,dN são espaços métricos, E E1 . . .EN então oespaço métrico produto E,dM é completo se e só se cada espaço factorE1,d1, . . . , EN,dN é completo. (Sug: Dada uma n-sucessão uk

n de Cauchy num espaçoEk,dk, fixe pontos aj ∈ Ej 1 ≤ j ≤ N, j ≠ k e considere a sucessãoa1, . . . ,ak−1,uk

n,ak1, . . . ,aN em E).

II.10.25 Resolução Sendo ukn em Ek tal que dkuk

n,ukm →n,m→ 0 então também

da1, . . . ,ak−1,ukn,ak1, . . . ,aN, a1, . . . ,ak−1,uk

m,ak1, . . . ,aN dkukn,uk

m →n,m→ 0. Logoa sucessão a1, . . . ,ak−1,uk

n,ak1, . . . ,aN → x1, . . . ,xN certo ponto de E, na hipótese E,dcompleto. Conclui-se dkuk

n,xk ≤ da1, . . . ,ak−1,ukn,ak1, . . . ,aN, x1, . . . ,xN →n→ 0,

ukn → xk em Ek,dk que é portanto completo para cada k. A proposição conclui-se de

II.10.22.

II.10.26 Observação Verifica-se que as métricas d e d′ são uniformemente equivalentesem E se e só se a função identidade I : E,d → E,d′ é um homeomorfismo uniforme (cf.Definição II.4.6, Definição II.8.44). Como as métricas dM,de e dS em E E1 . . .EN

(II.9.1) são uniformente equivalentes por II.9.6, concluimos que E,dM (E,de, E,dS) écompleto se e só se cada espaço factor E1, . . . ,EN é completo. Em particular, RN,de,dex1, . . . ,xN, y1, . . . ,yN ∑k1

N ∣ xk − yk ∣2 é completo; bem como CN,de.

II.10.27 Definição Diz-se que um subconjunto R do espaço métrico E,d é umconjunto raro se intR . Um conjunto A n1

Rn, reunião contável de conjunotosraros Rn diz-se que é magro ou de primeira categoria em E,d. O conjunto A ⊂ C, ondeC ⊂ E diz-se de 2ª categoria em C se não é de primeira categoria no subespaço métricoC,d; e de 2ª categoria em si mesmo se A é de 2ª categoria no subespaço A,d.

II.10.28 Exemplos (1) Cada conjunto singleton p p ∈ R é um conjunto raro noespaço métrico R,d, assim como no espaço métrico Q,d, no caso p ∈ Q, onde d é amétrica usual. Assim Q é um conjunto de primeira categoria. (2) Veremos que RN,de, de

a métrica euclideana em RN, é de 2ª categoria em si mesmo. (3) Comdex,y, x ′,y ′ x − x ′2 y.−y ′2 a métrica euclideana em R2, o subconjuntoR 0 é de 2ª categoria em si mesmo, mas é de primeira categoria em R2,de. PoisR 0 n1

−n,n 0 e cada conjunto −n,n 0 é fechado e com interiorvazio em R2,de.

II. 10.29 Exercício Verifique que −n,n 0 é fechado em R2,de e, neste espaçométrico, int−n,n 0 .

-137-

II.10.30 Resolução Se a sucessão xk, 0 em −n,n 0 converge para x,y emR2,de então xk − x2 0 − y2 →k→ 0; donde xk →k→ x e y 0; assim de −n ≤ xk ≤ npara cada k conclui-se −n ≤ limxk x ≤ n e o limite x,y x, 0 ∈ −n,n 0.Portanto −n,n 0 é fechado em R2,de. Para cada a, 0 ∈ −n,n 0 e cada raio 0, o ponto a,/2 ∈ B0a, 0,\−n,n 0; logo nenhum 0 satisfazB0a, 0, ⊂ −n,n 0 e int−n.n 0 i.e, int−n,n 0 .

II.10.31 Exercício Mostre que A é um subconjunto raro do espaço métrico E,d se esó se Ac é denso em E; conclua que um conjunto fechado é raro se e só se o seucomplementar é um aberto denso. (Sug: recorde II.5.49 (2) c).

II.10.32 Resolução Tem-se intC Cc c Cc X. Assim sendo F fechado, F é

raro se e só se Fc é denso; e sendo Fc um conjunto aberto.

II.10.33 Teorema Dado o espaço métrico E,d, as propriedadesa se An : n ∈ N é uma classe contável de subconjuntos abertos densos então

n1 An é denso;b o interior da reunião de uma classe contável Fn : n ∈ N de subconjuntos

fechados raros é vazio,são equivalentes.

II.10.34 Exercício Demonstre o Teorema II.10.33.

II.10.35 Resolução A cada classe contável Fn : n ∈ N de fechados raroscorresponde, por II.10.31, a classe contável Fn

c : n ∈ N de abertos densos, ereciprocamente. Tem-seintn1

Fn n1 Fncc n1

Fncc n1

Fnc E c.q.d.

II.10.36 Definição Um espaço métrico E,d diz-se de Baire se tem qualquer daspropriedades a, b do Teorema II.10.33.

-138-II.10.37 Observações (1) Pela definição, todo o espaço de Baire é de 2ª categoria em si

mesmo. Considerando o subespaço métrico A,d de E,d, o interior de A em A,d éA ≠ ; assim o espaço métrico Q,d, d a métrica induzida pela métrica usual, não é deBaire: pois cada q, q ∈ Q, é um conjunto raro e Q é a reunião contávelQ //q : q ∈ Q. 2 Se E,d é um espaço de Baire então o complementar de umconjunto de 1ª categoria é necessariamente de 2ª categoria em E,d. Com efeito, se C é umsubconjunto de E de 1ª categoria em E,d, C n1

Rn, cada Rn um conjunto raro,intRn , então admitindo Cc n1

Sn com intSn obteríamos E como areunião contável dos conjuntos fechados Rn,Sn de interiores igais ao conjunto vazio;concluir-se-ia o absurdo intE .

II.10.38 Lema Se o subconjunto C do espaço métrico E,d é raro, então para cadaaberto não vazio U de E existe pelo menos um ponto p ∈ U tal que B0p, r ∩ C ,B0p, r ⊂ U, certo r 0.

II.10.39. Exercício Prove o Lema anterior. (Sug: redução ao absurdo).

II.10.40 Resolução Dados o conjunto raro C e o aberto não vazio U, suponhamos comvista a um absurdo que, para todo o p ∈ U, C encontra qualquer bola aberta de centro pcontida em U. Como U é aberto, U intU ≠ ; sendo não vazia a intersecção de cadabola aberta de centro p contida em U, com C conclui-se que é p ∈ C para cada p ∈ intU(pois para o raio suficientemente pequeno, a bola está contida em U). Donde C ⊃ intU,concluindo-se a contradição intC ≠ , já que intC ⊃ intU. Existem portanto pelomenos um ponto p em U e uma bola aberta como no enunciado, c.q.d.

II.10.41 Teorema de Baire Todo o espaço métrico completo é da segunda categoria.Dem. Suponhamos, com vista a um absurdo, que o espaço métrico completo E,d é de

1ª categoria i.e., E n1 An, cada An um conjunto raro. Pelo Lema II.10.38, A1 é

disjunto de uma bola B0p, r em E, donde é disjunto de uma bola fechada B1 Bp1, r1p1 p, r1 r/2. É fácil ver que A2 é um subconjunto raro do subespaço métricoE1 A2 B0p1, r1; assim, pelo lema, existe uma bola fechada B2 Bp2, r2 ⊂ B1 talque A2 ∩ B2 , onde r2 ≤ r1/2 e A1 ∩ B2 . Obtidos por este processo n pontosp1,p2, . . . ,pn e bolas fechadas B1 Bp1, r1,B2 Bp2, r2, . . . ,Bn Bpn, rn comBn ⊂. . .⊂ B2 ⊂ B1, r1 ≤ r/2, r2 ≤ r/22, . . . , rn ≤ r/2n e Ak ∩ Bm 1 ≤ m ≤ n, 1 ≤ k ≤ m podemos de novo obter, considerando o correspondente subespaçométrico En, uma bola fechada Bn1 Bpn1, rn1 tal que Ak ∩ Bn1 1 ≤ k ≤ n 1,Bn1 ⊂ Bn e rn1 ≤ r/2n1. Assim por indução em n, existem bolas fechada Bn Bpn, rnnaquelas condições para cada n 1,2, . . . Aplicando o teorema da Cantor, existe um pontox ∈ n1

Bn; mas Bn ⊂ Anc para cada n 1,2, . . . donde

n1 Bn ⊂ n1

Anc n1

Anc Ec , e obtem-se a contradição ∃x,x ∈ ,provando o teorema.

-139-II.10.42 Exemplo RN,de, de a métrica euclideana, é de 2ª categoria. Como Q é de 1ª

categoria em R,d, d a métrica usual, concluimos de II.10.28 que R\Q é de 2ª categoria.Notar que um conjunto de 2ª categoria pode ter interior vazio.

II.10.43 Teorema Se E,d é um espaço de Baire então todo o aberto não vazio de E éde Baire, considerado como subespaço métrico com a métrica induzida.

II.10.44 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração doteorema:

1. Sendo An : n ∈ N uma classe contável de abertos densos do aberto não vazio U deE, há a provar que A n1

An é denso em U;2. os conjuntos An Uc são abertos densos de E;3. A Uc é denso em E;4. se p ∈ U então p ∈ A Uc;5. tem-se U ⊂ Uc c

:6. U ⊂ A e pode concluir-se o teorema.

II.10.45 Resolução 1. Pela definição de espaço de Baire. 2. U sendo fechado, Uc e An

são abertos, An Uc é um conjunto aberto; Além disso E An ⊂ An Uc. 3. Pelahipótese, An Uc sendo um aberto denso para cada n, por 2., a intersecçãoA Uc n1

An Uc é um conjunto denso. 4. Por 2..5. Pois Uc ⊃ Uc e Uc é fechado.6. Se p ∈ U então p ∈ A Uc usando 4.; usando 5. tem-sep ∈ Uc c

∩ A Uc ⊂ A A. Assim A é denso em U, c.q.d.

II.10.46 Exercício Prove que se C,A ⊂ E,d e A é um conjunto aberto, entãoC ∩ A ⊃ C ∩ A.

II.10.47 Resolução Se p ∈ C então pelo fecho por meio de sucessões, certa sucessãocn de pontos de C converge para p. Na hipótese adicional p ∈ A e A aberto, A é umavizinhança de p; então os termos cn estão em A a partir de certa ordem m. Logop limn→ cmn é limite de uma sucessão em C ∩ A e portanto p ∈ C ∩ A ou seja, tem-seefectivamente C ∩ A ⊂ C ∩ A.

-140-

II.10.48 Podemos dizer que um espaço métrico é de Baire se e só se é localmente deBaire, no sentido de que E,d é um espaço de Baire se e só se cada ponto tem uma base devizinhanças que são de Baire.(considerada a vizinhança como subespaço métrico). Comefeito, supondo E de Baire, cada vizinhança aberta de cada ponto é de Baire, pelo TeoremaII.10.43. Reciprocamente, se cada ponto a tem uma vizinhança de Baire, então E é deBaire. Pois sejam An abertos densos de E n ∈ N, A n1

An. Se V é uma vizinhançade a que é de Baire, então cada An ∩ intV ⊃ An ∩ intV intV usando II.10.46, eassim An ∩ intV é um aberto denso de intV para cada n; V sendo de Baire, o subespaçoaberto intV de V é de Baire (II.10.43) e portanto A ∩ intV n1

An ∩ intV é densoem intV. Significa isto que, como podemos considerar, dado a, qualquer vizinhançaaberta V de a numa base de vizinhanças abertas do ponto acima, que toda a vizinhança V dea encontra o conjunto A ∩ intV; então encontra a, temos V ∩ A ≠ para cada vizinhançaV de a i.e., a ∈ A. Como considerámos para a um qualquer ponto de E, concluimos E ⊂ Ai.e., A é denso em E, E é de Baire.

II.10.49 Exercício Seja f : /E,d → F,d′ uma função contínua e aberta. Prove que: iSe C é um subconjunto de E de 2ª categoria em si mesmo, então fC é de 2ª categoria emsi mesmo (Sug: Contra-recíproca); ii Se f é além disso sobrejectiva e E,d é de Baire,então F,d′ é de Baire (Sug: Mostre que intf−1V ≠ intV ≠ ).

II.10.50 Resolução i Supondo fC n1 Rn, intRn tem-se

C C ∩ f−1n1 Rn C ∩ n1

f−1Rn n1 C ∩ f−1Rn. Verifica-se

intC ∩ f−1Rn ⊂ intf−1Rn; como fintA é um aberto contido em fA A ⊂ Etem-se fintA ⊂ intfA efintf−1Rn ⊂ intff−1Rn ⊂ intff−1Rn intRn , pela continuidade de f.Assim C é reunião contável de conjuntos raros i.e., se fC é de 1ª categoria então C é de 1ªcategoria. ii Supondo intn1

Fn ≠ , cada Fn fechado em F,d′ mostremos queintFn ≠ , certo n ∈ N. Se D n1

Fn então f−1D n1 f−1Fn e cada

f−1Fn é fechado em E,d. Como f é sobrejectiva, existe um ponto x no conjuntof−1intD ⊂ intf−1D por II.8.23, e temos intn1

f−1Fn ≠ ; Assim, sendo Ede Baire, existe certo n, intf−1Fn ≠ ; existem pois p ∈ f−1Fn e 0,B0p, ⊂ f−1Fn; donde fp ∈ fB0p, ⊂ Fn e, sendo fB0p, um subconjuntoaberto de Fn tem-se fp ∈ intFn e intFn ≠ c.q.d.

II.10.51 Definição Um subconjunto A do espaço métrico E,d é um G se é umaintersecção contável de conjuntos abertos G n1

An em E,d. Um conjuntoW ⊂ E,d é um F se é uma reunião contável de conjuntos fechados. Assim A é um G see só se Ac é um F.

II.10.52 Exercício i Mostre que dada um função f : R → R, o conjunto C dos pontosem que f é contínua é um G em R,d, d a métrica usual. (Sug: Sendo Un a reunião dosabertos U tais que diamfU 1/n, n 1,2, . . . , verifique que C n1

Un. ii Proveque se D é um subconjunto contável denso de R,d ventão D não é um G.

-141-(Sug: Se d ∈ D, então Vd R\ d é um aberto denso; note que se D n1

Wnonde cada Wn é um aberto de R, então cada Wn é denso). iii Conclua de i, ii que nãoexiste nenhuma função real da variável real que seja contínua exactamente nos pontos deum subconjunto contável denso de R.

II.10.53 Resolução i conclui-se de II.8.59 que f é contínua em a se e só se para cadaN 1,2, . . . existe um aberto Un,a tgal que a ∈ Un,a e diamfUn,a 1/n. AssimC n1

Un,a : a ∈ E n1 Un,a : a ∈ E n1

Un é um G. ii.Todo o intervalo aberto de R contém um ponto em R\d, para cada d fixo, d ∈ R, e assimcada R\d é um conjunto denso. Como R,d é de Baire (é um espaço métrico completo),a intrsecção contável dos abertos densos R\d d ∈ D é um conjunto denso i.e., Dc é umconjunto denso. Se todos os abertos Wn são densos, então por II.10.31, cada Wn

c é umfechado raro e, de novo sendo R,d de Baire, existe n ∈ N tal que intWn

c ≠ . Entãousando de novo II.10.31, Wn não é um conjunto denso; concluindo-se uma contradição dahipótese D é um G. iii Com efeito, o conjunto dos pontos em que f é contínua é, por i,um G e portanto, por ii, não pode ser um subconjunto contável denso de R.

II.10.54 Observação Conclui-se de II.10.52 ii que Q não é um G em R,d, d amétrica usual. Também Q q : q ∈ Q e assim Q é um F, donde R\Q é um G.

II.10.55 Conclui-se de II.10.5 que a função IdRx x é um homeomorfismo entreR,d e R, onde d é a métrica usual e é a métrica x,y ∣ x

1∣x∣ −y

1∣y∣ ∣. R,d écompleto e R, não é (a sucessão n é de Cauchy neste espaço, mas não é convergente).Assim a propriedade de um espaço métrico ser completo não é invariante porhomeomorfismo i.e., dois espaçops métricos podem ser homeomorfos, mas um sercompleto e outro não ser. II.10.49 mostra que se E,d é de Baire e existe umhomeomorfismo de E,d sobre F,d′ então F,d′ é de Baire i.e., a propriedade de ser umespaço de Baire é invariante por homeomorfismo. Define-se que um espaço métrico étopologicamente completo se é homeomorfo a um espaço métrico completo. Comoconsequência do Teorema de Baire e de II.10.49, todo o espaço métrico topologicamentecompleto é um espaço de Baire. Além disso, se E é um espaço métrico completo, osubespaço métrico Y de E é topologicamente completo se e só se Y é um G em E. Assim,R\Q é topologicamente completo, munido da métrica induzida; e prova-se que Q não étopologicamente completo. Um desenvolvimento deste tema, que não cabe no âmbito destelivro, encontra-se em [Dugundji]; outra referência é [Lages Lima].

Recorde-se que um subconjunto B do espaço métrico E,d é limitado se o seudiâmetro é finito ou, equivalentemente, se está contido numa bola. Se X,d é um espaçométrico, designa-se CX,R o conjunto dase funções reais contínuas sobre X (em R, amétrica usual); Tem-se o

-142-

II.10.56 Teorema (Principio da limitação uniforme) Sejam X um espaço métricocompleto e F um subconjunto de CX,R verificando a condição de limitação em cadaponto a ∈ X de cada conjunto fa : f ∈ F ser limitado em R i.e., certo Ma 0 existetal que ∣ fa ∣≤ Ma,∀f ∈ F. Existem então pelo menos um aberto não vazio U de X euma constante M 0 tais que ∣ fx ∣≤ M,∀x ∈ U,∀f ∈ F.

Dem. Para cada c 0 e dada f ∈ F, o conjunto x ∈ X :∣ fx ∣≤ c f−1−c,c éfechado. Então sendo M 0, o conjuntoXM x ∈ X :∣ fx ∣≤ M,∀f ∈ F x ∈ X :∣ fx ∣≤ M : f ∈ F é fechado,pois é uma intersecção de fechados. Por outro lado, pela hipótese, para cada ponto x ∈ X,certo M 0 existe tal que x ∈ XM i.e., tem-se X XM : M ∈ N. Como X écompleto, é um espaço de Baire, logo sendo não vazio o interior daquel reunião contável defechados, pelo menos um XM tem interior não vazio; então XM ⊃ U onde U é umaberto não vazio de X. Isto significa que para todo o x em U se tem ∣ fx ∣≤ M qualquerque seja a função f em F, c.q.d.

II.10.57 Observação A teoria dos espaços de Baire abrange não só os espaços métricos,mas também estruturas mais gerais num conjunto não vazio, as estruturas topológicas, deque a topologia de um espaço métrico é um caso particular. Estas estruturas, as topologias,são fundamentais em Análise. No quadro dos espaços métricos, otêm-se utilizando osespaços de Baire, de que os espaços métricos de Baire são um caso particular, resultadosem Análise. Por exemplo, na Análise Real, obtem-se II.10.52. Se g : N → Q é umabijecção, xn gn, a função f : R → R definida por fxn 1/n xn ∈ Q e fx 0x ∈ R\Q é contínua em cada número irracional, e descontínua em cada número racional,contrastando com II.10.52 iii.

II.10.58. Exercício Verifique a propriedade da função dada na observação anterior.

II.10.59 Resolução Se xn ∈ Q então fxn 1/n ≠ 0. Mas também xn ∈ R\Q, existeum sucessão de pontos irracionais pm →m→ xn; a sucessão fpm 0 →m→ 0 ≠ fxn e fnão é contínua em xn (recorde II.8.12). Se p ∈ R\Q e pk é uma sucessão real convergentepara p, então ou pk tem uma subsucessão pkj em Q ou tem uma subsucessão pk′j emR\Q; vem que fpkj 1/kjj→ → 0 e também a subsucessão fpk′j constante e igual a0, converge para 0. Pelo Teorema II.2.24 tem-se fpk → 0 fp, f é contínua em p.

-143-II.11 SEPARAÇÃO EM ESPAÇOS MÉTRICOS

II.11.1 Vimos já que dois pontos diferentes num espaço métrico E podem ser”separados” por conjuntos abertos i.e., se a ≠ b existem abertos disjuntos V,W tais quea ∈ V,b ∈ W (por exemplo V B0a, r,W B0b, r, onde r d/2, d da,b verificamB0a, r,B0b, r são abertos, a ∈ B0a, r,b ∈ B0b, r,B0a, r ∩ B0b, r ). Esta é apropriedade de separação de Hausdorff (II.5.7).

Também se F ⊂ E, F é fechado e p ∉ F, existem abertos disjuntos U,V tais quep ∈ V,F ⊂ U. Esta é um propriedade de separação acrescida, pois sendo cada conjuntoreduzido a um ponto um fechado, a propriedade de Hausdorff é o caso particulara p,b F. Tem-se ainda o

II.11.2 Teorema Sejam A,B suconjuntos fechados do espaço métrico E,d tais queA ∩ B . Existem então abertos U,V tais que A ⊂ U,B ⊂ V e U ∩ V .

II.11.3 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração doTeorema II.11.2.

1. Se A ou B os abertos disjuntos ,X estão nas condições do enunciado.Suponhamos pois A,B ≠ .

2. Seja a ∈ A. Então a ∉ B e da,B infda,y : y ∈ B a 0.3. Se b ∈ B tem-se db,A infdb,x : x ∈ A b 0.4. Com Sa B0a,a/3 e Sb B0b,b/3, os conjuntos U Sa : a ∈ A e

V Sb : b ∈ B satisfazem as condiçõe do teorema, uma vez que:i U,V são abertos, A ⊂ U,B ⊂ V;ii para provar que U ∩ V admitamos, com vista a um absurdo, que existe

p ∈ U ∩ V; então: U ∩ V Sa ∩ Sb : a ∈ A,b ∈ B; existem a0 ∈ A,b0 ∈ B tais que p ∈ Sa0 e p ∈ Sb0; se da0,b0 0 tem-se da0,B a0 ≤ e dA,b0 b0 ≤ ; da0,p a0/3 e dp,b0 b0/3; da0,b0 ≤ da0,p dp,b0 2/3 concluindo-se uma contradição

com e o teorema está provado, c.q.d.

II.11.4 Resolução1. Pois todo o conjunto é subconjunto do aberto X, ∩ X .2. Pois se infda,y : y ∈ B 0 então para cada n ∈ N existe yn ∈ B tal que

0 ≤ da,yn 1/n → 0, donde a limyn ∈ B contra a hipótese A ∩ B .3. Analogamente a 2., com A no lugar de B.

-144-4. i pois a reunião de abertos é um aberto e se a ∈ A então a ∈ Sa ⊂ U; analogamente

para B ⊂ V;ii Sa : a ∈ A ∩ Sb : b ∈ B Sa ∩ Sb : a ∈ A,b ∈ B;

pela hipótese de absurdo p ∈ U ∩ V e usando ; pois se S ⊂ 0, entãoinfS ≤ s para cada s ∈ S;

por e pela definição de Sa; usando , e a desigualdade triangular D3.Concluido-se uma contradição fica provado que U ∩ V c.q.d.

II.11.5 Observação Se A,B são subconjuntos fechados de E,d tais quedA,B infda,b : a ∈ A,b ∈ B 0 então A ∩ B , mas a recíproca não é válida.Por exemplo os subconjuntos A x,y : x 0,y ≥ x2 e B x,y : x 0,y ≥ x2 deR2,de, dex1,y1, x2,y2 x1 − x22 y1 − y22 são fechados e disjuntos, masdA,B 0 (esboce o gráfico).

II.12 COMPACIDADE EM ESPAÇOS MÉTRICOS

II.12.1 Definição Seja E ≠ . Se A ⊂ E, uma classe C Oi : i ∈ I diz-se umacobertura de A se A ⊂ Oi : i ∈ I; diz-se também que C cobre o conjunto A. Acobertura C diz-se finita se é constituída por um número finito de conjuntos Oi i.e.,I 1, . . . ,n,n ∈ N. Uma subcobertura da cobertura C é uma parte de C que ainda cobre Aou seja, é uma classe C′ Oi : i ∈ J onde J ⊂ I, tal que A ⊂ Oi : i ∈ J e diz-seentão que a cobertura C é redutível à subcobertura C′, ou que pode extrair-se de C asubcobertura C′ de A. Se E,d é um espaço métrico, a cobertura C Oi : i ∈ I de Adiz-se que é uma cobertura aberta de A se cada conjunto Oi é um aberto. E diz-se que oconjunto A é compacto em E,d se tem a propriedade de toda a cobertura aberta de A serredutível a uma subcobertura finita; se A E dizemos que o espaço métrico E,d écompacto..

II.12.2 Exemplos (1) Todo o subconjunto finito A a1, . . . ,am do espaço métricoE,d é compacto; pois se C Oi : i ∈ I é uma cobertura aberta de A,A ⊂ Oi : i ∈ I então existem Oi1, . . . ,Oim, i1, . . . , im ∈ I tais quea1 ∈ Oi1, . . . ,am ∈ Oim; donde pode extrair-se de C a subcobertura finitaC′ Oik : 1 ≤ k ≤ m de A. (2) R,d, d a métrica usual, não é compacto: poisC −n,n : n ∈ N é uma cobertura aberta de R da qual não pode extrair-se nenhumasubcobertura finita. (3) Veremos que cada intervalo fechado a,b do espaço métrico R,d,d a métrica usual, é compacto.

II.12.3 Propriedade Se a ≤ b,a,b ∈ R, o intervalo a,b é compacto em R,d, d amétrica usual.

-145-II.12.4 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração da

propriedade:1. Se a b a propriedade é verdadeira. Suponhamos pois a b e seja C Oi : i ∈ I

uma cobertura aberta de a,b. Admitamos, com vista a um absurdo, que não podeextrair-se de C uma subcobertura finita.

2. Sendo c o ponto médio de a,b, um dos subintervalos a,c ou c,b é tal quenehuma classe finita formada por abertos Oi cobre o subintervalo; designemos estesubintervalo por a1,b1;

3. existe um subintervalo a2,b2 de a1,b1, onde a2 ou b2 é o ponto médio de a1,b1,tal que nenhuma classe finita dos abertos Oi cobre a2,b2. Tem-se b1 − a1 b − a/2,b2 − a2 b − a/22;

4. para cada n 1,2, . . . existe um subintervalo an,bn de a,b tal que nenhuma classefinita dos abertos Oi cobre an,bn e bn − an b − a/2n.

5. A sucessão crescente an tem um limite , e a sucessão decrescente bn tem umlimite ;

6. tem-se − ≤ bn − an para cada n e .7. Certo aberto Oi contém ; e existe um intervalo aberto a′,b′ ⊂ Oi tal que

∈ a′,b′;8. existe n ∈ N tal que an,bn ⊂ Oi.9. fica provada a propriedade, c. q. d.

II.12.5 Resolução1. Pois se a b então a,b a, conjunto finito como em II.12.2 (1).2. Porque se a,c ⊂ Oik. 1 ≤ k ≤ m e c,b ⊂ Oik.m 1 ≤ k ≤ n então

a,b ⊂ Oi1 . . .Oin contrariamente à hipótese de absurdo em 1.3. justificação como em 2.; e porque b2 − a2 b1 − a1/2 b − a/22

4. conclui-se por indução: pois uma vez obtido an,bncom bn − an b − a/2n, oraciocínio em 2., 3. permite obter an1,bn1 com bn1 − an1 b − a/2n1 .

5. Pois ambas an, bn são monótonas limitadas e usando o teorema do limite dasucessão monótona da Análise real an ≤ b,a ≤ bn;

6. porque liman ∈ an,bn e limbn ∈ an,bn para cada n; donde0 ≤ − ≤ bb − an ≤ b − a/2n → 0.

7. Pois os abertos Oi cobrem a,b, ∈ a,b e Oi é um aberto de R,d;8. pois ′ b′. É a′ supan : n ∈ N donde existe n1, a′ an para

todo o n ≥ n1; e infbn : n ∈ N donde existe n2 tal que bn b′ desde quen ≥ n2. Basta considerar n maxn1,n2 para obter an,bn ⊂ a′,b′ ⊂ Oi.

9. Porque 8. contradiz 4., segundo o qual nenhuma classe finita dos Oi cobre an,bn, jáque se oibteve que basta um Oi para cobrir certo an,bn.

II.12.6 Observação Se a,b ∈ R, a b, o intervalo a,b não é compacto em R munidoda métrica usual. Com efeito tem-ae a,b n1

a b−an ,b − b−a

n , mas da coberturaaberta a b−a

n ,b − b−an não pode extrair-se nenhuma cobertura finita de a,b.

a,b ⊂ n1 a − 1,b − b−a

n não é também compacto, e analogamente para a,b.

-146-II.12.7 Observação Se E,d é um espaço métrico, A ⊂ E e Oi : i ∈ I é uma

cobertura aberta de A então A ∩ Oi : i ∈ I é uma cobertura de A constituída por abertosde A,d, onde d representa agora a métrica induzida. Pela Definição II.12.1 vê-se que A écompacto em E,d se e só se o subespaço métrico A,d é compacto.

II.12.8 Exercício Prove que se an é uma sucessão convergente em E,d, liman aentão o conjunto S a,an : n ∈ N é compacto em E,d.

II.12.9 Resolução Se Oi : i ∈ I é uma cobertura aberta de S, existe certo i0 ∈ I talque a ∈ Oi0; existe então certa ordem p tal que an ∈ Oi0 desee que n ≥ p. Existemabertos Oik 1 ≤ k ≤ p tais que aik ∈ Oik 1 ≤ k ≤ p e tem-se então S ⊂ k0

p Oik.Pode assim extrair-se de cada cobertura aberta de S uma subcobertura finita, e S écompacto, como queríamos.

II.12.10 Exercício Mostre que se A1, . . . ,An ⊂ E e os Aj são compactos em E,d1 ≤ j ≤ n então A A1 . . .An é compacto em E,d.

II.12.12 Resolução Seja C Oi : i ∈ I uma cobertura aberta de A. EntãoCj Oi ∩ Aj : i ∈ I é uma cobertura aberta do subespaço métrico Aj munido da métricainduzida 1 ≤ j ≤ n. Como cada Aj,d é um espaço métrico compacto (II.12.7), existepara cada j uma subcobertura finita Oi ∩ Aj : i ∈ Ij de Cj de Aj, com Ij ⊂ I, Ij finito. DeAj ⊂ Oi : i ∈ Ij para cada j 1, . . . ,n conclui-seA A1 . . .An ⊂ Oi : i ∈ L Ij : 1 ≤ j ≤ n. Assim pode extrair-se dacobertura aberta C de A a subcobertura finita C′ Oi : i ∈ L, o que significa que A écompacto, c.q.d.

II.12.13 Observação Considerando a recta acabada R −,, onde se convenciona− x x ∈ R, munida da métrica dx,y ∣ x

1∣x∣ −y

1∣y∣ ∣ x,y ∈ R,d−,y dx,− ∣ −1 − a

1∣a∣ ∣ a x,y ∈ R, dx, d,y ∣ 1 − a1∣a∣ ∣

a x,y ∈ R e d−, d,− 2, o espaço métrico R,d é ccompacto. Comefeito, tem-se, para 0 r 1, B0−, r x ∈ R :∣ 1 x

1∣x∣ ∣ r −, 1 − 1r .

Assim um conjunto A tal que − ∈ A é aberto se e só se existe certo r 0,A ⊃ −, 1 − 1

r Também se 0 s 1,B0, s x ∈ R :∣ 1 − x

1∣x∣ ∣ s 1s − 1,; um conjunto B tal que ∈ B é

aberto se e só se existe s 0, B ⊃ 1s − 1,. Se xn é uma sucessão real tal que

xn → x ∈ R (considerando a métrica usual em R) então xn

1∣xn∣→ x

1∣x∣ ; e sexn

1∣xn∣→ x

1∣x∣ ,x ∈ R, então xn não tem nenhuma subsucessão tendente para i.e.,xn é4 limitada, donde tem pelo menos uma subsucessão convergente para certo a ∈ R,vindo xn

1∣xn∣→ a

1∣a∣ donde a x, xn → x na métrica usual de R (verifique os detalhes).Deste modo a métrica d é equivalente à métrica usual dx,y ∣ x − y ∣ em R. Portanto seO ⊂ R então O é aberto em R,d se e só se O é aberto em R,d.

-147-Vem que se C Oi : i ∈ I é uma cobertura aberta de R no espaço métrico R,d

então: a certo Oi− pertence −, existe r 0, −, 1 − 1r ⊂ Oi−; existirão

analogamente s 0 e certo Oi ⊃ 1s − 1,, e o compacto

1 − 2r , 1

s − 2 ⊂ Oi\−, : i ∈ I, onde cada Oi\−, é um aberto de R(porquê?). Pelo que existe J ⊂ I, J finito, 1 − 2

r , 1s − 2 ⊂ Oi : i ∈ J concluindo-se

R ⊂ Oi− Oi Oi : i ∈ J e a cobertura C é redutível a uma subcobertura finita,R,d é um espaço métrico compacto.

II.12.14 Teorema O espaço métrico E,d é compacto se e só se cada classe de fechadosFi : i ∈ I tal queFi : i ∈ I verifica que existe uma subclasse finitaFi : i ∈ J, J ⊂ I finito, tal queFi : i ∈ J .

II.12.15 Exercício Prove o teorema acima (Sug: passagem ao complementar e leis de DeMorgan).

II.12.16 Resolução E,d compacto sse ∀Oi : i ∈ I cobertura aberta de E, ∃J ⊂ I, Jfinito, E ⊂ Oi : i ∈ J sse ∀Fi Oi

c classe de fechados Fi tal queFi : i ∈ I Fi

c : i ∈ Ic Oi : i ∈ Ic Oi : i ∈ I E, cadaOi aberto, ∃J ⊂ I, J finito,Oi : i ∈ J E sse ∀Fi : i ∈ I classe de fechados tal queFi : i ∈ I , ∃J ⊂ I, J finito,Fi : i ∈ J Fi

c : i ∈ Jc Oi : i ∈ Jc Ec c.q.d.

II.12.17 Corolário Se E,d é um espaço métrico compacto e F1,F2, . . . ,Fn, . . . é umasucessão de subconjuntos fechados não vazios de E tal que Fn ⊃ Fn1 n ∈ N entãon1 Fn ≠ .

II.12.18 Exercício Prove o corolário anterior.

II.12.19 Resolução Atendendo a II.12.14 tem-se: se E,d é compacto, é verdadeira aimplicação Fi : i ∈ I classe de fechados e Fi : i ∈ I ∃J ⊂ I, Jfinito,Fi : i ∈ J . Uma implicação tendo o mesmo valor lógico que acontra-recíproca tem-se na hipótese E,d compacto que dada a classe de fechadosFn : n ∈ N verificando Fn ⊃ Fn1 n 1,2, . . . e cada Fn ≠ que cada intersecçãofinitaFn : n ∈ J Fnk ≠ , J ⊂ N, J n1, . . . ,nk n1 . . . nk implicaFn : n ∈ N ≠ como se queria.

II.12.20 Teorema Todo o subconjunto compacto C de um espaço métrico E,d éfechado em E,d.

-148-II.12.21 Exercício Justificando as passagens seguintes obtenha uma demonstração do

teorema:1. O teorema ficará provado se provarmos que Cc é um aberto.2. Seja p ∈ Cc; se x ∈ C existem abertos disjuntos Ox,Ox

′ tais que x ∈ Ox, a ∈ Ox′ ;

3. considerando abertos Ox,Ox′ para cada x ∈ C como em 2., tem-se

C ⊂ Ox : x ∈ C e existe um número finito de pontos x1, . . .xm ∈ C tal queC ⊂ k1

m Oxk;4. O k1

m Oxk′ é aberto e O ⊂ Cc;

5. pode concluir-se o teorema.

II.12.22 Resolução 1. Pois um conjunto é fechado se e só se o seu complementar éaberto. 2. Pois todo o espaço métrico verifica a propriedade de separação de Hausdorff;pois ∀x ∈ C,x ∈ Ox ⊂ C C ⊂ Ox : x ∈ C e sendo C compacto, pode extrair-se dacobertura aberta Ox : x ∈ C uma subcobertura finita; 4. porque uma intersecção finita deabertos é aberto, cada Oxk

′ é aberto por 2; assim O é aberto, e tem-seO ∩ C ⊂ O ∩k1

m Oxk k1m O ∩ Oxk k1

m k1m Oxk

′ ∩ Oxk k1m

e assim O ∩ C ; 5. pois provámos que dado um ponto arbitrário p ∈ Cc existe,atendendo a 2. e 4., um aberto O tal que p ∈ O ⊂ Cc i.e., concluimos 1., c.q.d.

II.12.23 Teorema Se o espaço métrico E,d é compacto e F é um subconjunto fechadode E, então F é compacto.

II.12.24 Exercício Justificando as seguintes passagens, obtenha uma demonstração doTeorema II.12.23:

1. Seja Fi : i ∈ I uma classe de subconjuntos fechados de F tal queFi : i ∈ I . Então cada Fi é fechado em E,d;

2. existe um subconjunto finito J do conjunto dos índices I tal queFi : i ∈ J epode concluir-se o teorema.

II.12.25 Resolução 1. Pois F é por hipótese fechado em E,d; 2. pois pela hipóteseE,d é compacto, e utilizando II.12.14. O resultado conclui-se atendendendo ao TeoremaII.12.14 c.q.d.

II.12.26 Observação Se xn é uma sucessão no espaço métrico E,d que não temnenhuma subsucessão convergente segue-se de II.5.54 (4) que o conjunto derivado doconjunto dos termos xn : n 1,2, . . . é . Uma vez que toda a subsucessão de cadasucessão xk,xk1,xk2, . . . (k fixo) é uma subsucessão de xn, também, para cada k fixo, oconjunto derivado de xk,xk1,xk2, . . . é o conjunto vazio. Atendendo a II.5.53 (8) eII.5.38 (2), conclui-se que os conjuntos x1,x2,x3, . . . e xk1,xk2,xk3, . . . são fechadosk ∈ N.

-149-II.12.27 Teorema As seguintes propriedades de um espaço métrico E,d são

equivalentes:A Toda a sucessão xn em E tem uma subsucessão convergente;B se F1 ⊃ F2 ⊃. . .⊃ Fn ⊃ Fn1 ⊃. . . é uma sucessão decrescente de conjuntos

fechados não vazios, entãon1 Fn ≠ .

Dem. A B Consideremos uma sucessão xn Fn : n 1,2, . . . onde éo selector de Zermelo, xn ∈ Fn n ∈ N. Uma subsucessão xnk → x, x ∈ E. Para cadak 1,2, . . . tem-se xnk ∈ Fn,∀n ≥ k, donde x ∈ Fk Fk para todo o k (recordar quenk ≥ k, donde x ∈ n1

Fn e verifica-se B; B A pode provar-se pelacontra-recíproca: se existe uma sucessão xn em E que não tem nenhuma subsucessãoconvergente, então conclui-se que considerando Fn xn1,xn2, . . . obtemos umasucessão decrescente de conjuntos fechados e não vazios tal que n1

Fn . Pois se umponto y ∈ n1

Fn então vem: dado k 1, existe n1 ∈ N tal que xn1 ∈ F1 ex1 ∈ B0y, 1/1 (Porquê?); do mesmo modo, existe xn2 ∈ F2 tal que n2 n1,xn2 ∈ B0y, 1/2 e para cada k 1,2, . . . , certo xnk ∈ Fk verifica xnk ∈ B0y, 1/k,podendo considerar-se n1 n2 . . . nk nk 1 e isto significa que asubsucessão xnk → y c.q.d.

II.12.28 Teorema Todo o espaço métrico E,d verificando a condição A(equivalentemente, B) no Teorema II.12.26 é separável

Dem. Para cada n ∈ N, toda a cadeia não vazia no conjunto parcialmente ordenadoCn C ⊂ E : ∀x,y ∈ C,dx,y ≥ 1/n,⊂ tem o majoranteC : C ∈ Cn; aplicandoo Lema de Zorn, existe um elemento maximal Tn ∈ Cn n 1,2, . . . . Cada tal conjunto Tn

é finito; pois se existe um conjunto infinito xi : i ∈ N ⊂ Tn (recorde que todo o conjuntoinfinito contèm um conjunto numerável) então a sucessão xi não tem nenhumasubsucessão de Cauchy, e portanto não tem nenhuma subsucessão convergente,contrariando a hipótese A. Além disso, para cada x ∈ E, tem-se que existe certo n sendodx,Tn infdx,y : y ∈ Tn 1/n (se dx,Tn ≥ 1/n,∀n ∈ N então:∀x1 ∈ T1,dx,x1 ≥ 1, logo x ∈ T1 pois T1 é maximal em C1 obtendo-se a contradiçãodx,T1 0 ≥ 1). O conjunto T n1

Tn é contável (finito ou numerável) e é denso emE. Pois para cada x ∈ E tem-se dx,T ≤ dx,Tn 1/n,∀n ∈ N, e existe uma sucessãoxn em T, xn ∈ Tn, dx,xn → 0 e xn → x c.q.d.

II.12.29 Corolário Se no espaço métrico E toda a sucessão tem uma subsucessãoconvergente, então cada cobertura aberta C : ∈ A de E tem uma subcoberturacontável Cn : n ∈ N.

Dem. Conclui-se do Teorema II.12.28, utilizando o Teorema II.7.12.

II.12.30 Propriedade O espaço métrico E,d é compacto se e só se cada sucessão em Etem pelo menos uma subsucessão convergente.

II.12.31 Exercício Prove a Propriedade II.12.30. (Sug: para a condição necessária utilizeII.12.27 e II.12.17).

-150-II.12.32 Resolução Supondo E,d compacto, seja F1 ⊃ F2 ⊃. . .⊃ Fn ⊃. . . uma

sucessão de fechados não vazios como no Teorema II.12.27.Utilizando o Corolário II.12.17 tem-sen1

Fn ≠ e conclui-se que E,d tem apropriedade A do Teorema II.12.27. Reciprocamente, suponhamos que E,d tem estapropriedade, e seja Oi : i ∈ I uma cobertura aberta de E. Pelo Teorema II.12.28 eTeorema II.7.12, existe uma subcobertura contável Oik : k 1,2, . . . de E,E k1

Oik; então também An : n ∈ N, onde An k1n Oik é uma cobertura

aberta de E, tal que A1 ⊂ A2 ⊂. . .⊂ An ⊂ An1 ⊂. . . . Significa isto que a intersecção daclasse decrescente de fechados Fn An

c én1 Fn n1

Anc . Portanto, peloCorolário II.12.17, certo Fn An

c , e concluimos que An k1n Oik E i.e. E,d é

compacto, c.q.d.

II.12.33 Teorema Todo o subconjunto compacto C de um espaço métrico compactoE,d é limitado e fechado.

II.12.34 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha demonstrações deII.12.33.

1. Seja C compacto. Supondo para um absurdo que C não é limitado, se p x1 é umponto de C, existe um ponto x2 ∈ C tal que dp,x2 ≥ 1;

2. existe um ponto x3 ∈ C verificando dx2,x3 ≥ dp,x2 1;3. obtidos pontos x2,x3, . . . ,xn ∈ C com dxk,xk1 ≥ dxk−1,xk 1 para 2 ≤ k ≤ n − 1,

existe um ponto xn1 ∈ C tal que dxn,xn1 ≥ dxn−1,xn 1; assim existe uma sucessãoxn em C tal que dxn,xn1 ≥ 1,∀n ∈ N;

4. a sucessão xn não tem nehuma subsucessão convergente, e fica provado que C é umconjunto limitado.

5. Pode concluir-se o teorema II.12.33.

II.12.35 Teorema Se C é um subconjunto compacto do espaço métrico E,dE ef : C ⊂ E,dE → F,dF é uma função contínua, então fC é compacto em F,dF.

II.12.36 Exercício Demonstre o Teorema II.12.35. (Sug: Pode utilizar a PropriedadeII.12.30).

II.12.37 Resolução. Sendo yn uma sucessão em fC, é yn fxn, onde xn é umasucessão em C; como existe uma subsucessão xnk → x ∈ C, pois C é compacto, e usando aPropriedade II.12.30. Como f é contínua, tem-se fxnk → fx ∈ fC em F,dF ou seja,no subespaço métrico fC,dF e aplicando de novo II.12.30, concluimos que fC écompacto c.q.d.

-151-

II.12.38 Proposição Se C ⊂ E,d é um subconjunto compacto e a funçãof : C ⊂ E,d → R,dR, onde dR é a métrica usual, é uma função contínua então f temum máximo e um mínimo em C.

II.12.39 Exercício Prove a Proposição II.12.38.

II.12.40 Resolução Atendendo ao Teorema II.12.35, o conjunto fC é compacto emR,dR e portanto, usando o Teorema II.12.33, é fechado e limitado; assim m inf fC eM sup fC são números reais. Tem-se m lim fan, M lim fbn, an,bn ∈ C. Como Cé compacto, existem subsucessões ank → a ∈ C e bnk → b ∈ C e pela continuidade de fvem fank → fa m, fbnk → fb M (comprove). Assim a é o mínimo de f em Ce b é o máximo de f em C c.q.d.

II.12.41 Se f : E,dE → F,dF é contínua e E é compacto, então f é uniformementecontínua.

II.12.42 Exercício Justificando as seguintes passagens, obtenha uma demonstração doTeorema II.12.41:

1. Suponhamos f contínua, E compacto e, com vista a um absurdo que se tem~∀ 0,∃ 0 : dEx,y dFfx, fy ,∀x,y ∈ E.2. existe certo 0 tal que duas sucessões de pontos xn, yn em E verificam

dExn,yn → 0 e dFfxn, fyn ≥ ;3. existe uma subsucessão convergente xnk → x em E,dE;4. tem-se ynk → x em E,dE;5. fxnk → fx e fynk → fx;6. dFfxnk, fynk → 0, ficando provado o Teorema

II.12.43 Resolução 1. É a negação da condição f uniformemente contínua. 2. Pois danegação indicada em 1. conclui-se∀n ∈ N,∃xn,yn ∈ E,dExn,yn 1/n ∧ dFfxn, fyn ≥ , certo 0; 3. pois E écompacto, e usando II.12.30; 4. porque dFynk,x ≤ dFxnk,ynk dFxnk,x → 0; 5.porque f é por hipótese contínua; 6. poisdFfxnk, fynk ≤ dFfxnk, fx dFfynk, fx e ambas as parcelas tendem para0; portanto um 0 como em 2. não pode existir, obtendo-se uma contradição, c.q.d.

II.12.44 Teorema Todo o espaço métrico compacto é completo.

-152-II.12.45 Exercício Demonstre o Teorema II.12.44

II.12.46 Resolução Pelo Teorema II.10.10, basta provar que se E,d é compacto eF1 ⊃ F2 ⊃. . .⊃ Fn ⊃ Fn1 ⊃. . . é uma sucessão de subconjuntos fechados não vazios deE,d tal que diamFn → 0, entãon1

Fn ≠ . Pelo Corolário II.12.17, esta condição éverificada, concluindo-se que E,d é completo, c.q.d.

II.12.47 Observação Existem espaços métricos completos não compactos; por exemploR,d, onde d é a métrica usual, é completo mas não é compacto (R não é limitado emR,d, e Teorema II.12.33). Como as métricas d e min1,d são equivalentes em R, oespaço métrico limitado R,min1,d também não é compacto (é homeomorfo a R,d,recorde-se o Teorema II.12.35).

II.12.48 Observação A propriedade de compacidade permite obter critérios de nãocontinuidade de uma função entre espaços métricos. Por exemplo, não exite nenhumafunção contínua f de R,dR em si mesmo tal que f0,2 1,, pois a imagem docompacto 0,1 teria de ser um conjunto compacto, donde limitado.

II.12.49 Definição Se C Oi : i ∈ I é uma cobertura aberta do espaço métrico E,d,diz-se que o número positivo é um número de Lebesgue para C se todo o subconjunto Ade M tal que diamA está inteiramente contido em pelo menos um dos abertos Oi.

II.12.50 Teorema Toda a cobertura aberta de um espaço métrico compacto tem umnúmero de Lebesgue.

Dem. Para obter uma demonstração por absurdo, suponhamos que existe uma coberturaaberta Oi : i ∈ I de E tal que qualquer que seja 0, existe certo subconjunto A de E,diamA , tal que A ⊈ Oi se i ∈ I. Então para cada n ∈ N existeAn ⊂ E,diamAn 1/n, tal que A ⊈ Oi, qualquer que seja i ∈ I. Sendo xn ∈ An paracada n, a sucessão xn tem uma subsucessão convergente xnk → x; certo Oi verificax ∈ Oi, e existe r 0 tal que B0x, 2r ⊂ Oi (Porquê?). Para k suficientemente grande,tem-se 1/nk r e dxnk,x r (Verifique). Então para cada a ∈ Ank verifica-sedx,a ≤ dx,xnk dxnk,a 2r, e assim A ⊂ B0x, 2r ⊂ Oi, uma contradição. Oteorema está demonstrado.

-153-

II.12.51 Exercício Prove que se E,d é um espaço métrico compacto, então para cada 0 existe um conjunto finito x1, . . . ,xm de pontos de E tal que E k1

m B0xk,.

II.12.52 Resolução. Com efeito a cobertura aberta B0x, : x ∈ E de E é redutível auma subcobertura finita.

II.12.53 Teorema (Tikhonov) Seja I ⊂ N e seja E n∈I Ei.o espaço métrico produtodos espaços métricos En n ∈ I. Se cada espaço factor Ei é compacto, então E é compacto.

Dem. Consideremos primeiro o caso I finito, I 1, . . . ,m,m ∈ N. Sem perda degeneralidade, suponhamos por exemplo m 3. Seja a sucessão u xi,ni1

3 emE E1 E2 E3, cada Ei compacto. Se xi,nki1

3 é uma subsucessão de u convergentepara a1,a2,a3 ∈ E, notamos xi,nki1

3 →k a1,a2,a3; para uma subsucessão coordenada,i 1 por exemplo, notamos então x1,nk →k a1 limx1,nk. Provemos que existe umasubsucessão convergente de u. Dada u, existe (II.12.30) uma subsucessão u1 xi,n,1ki1

3 xi,n,1ki13 de u tal que pr1ou1 x1,n,1k →k a1, a1 ∈ E1. Por sua vez,

u1 xi,n,1ki13 tem uma subsucessão u2 xi,n.2on,1ki1

3 xi,n,2ki13 tal que

pr2ou2 x2,n,2k → a2 ∈ E2; aqui, k n, 1k n, 1k, k ′ n, 2k ′ sãoestritamente crescentes de N em N, e portanto k n, 2on, 1k ≡ k n, 2k étambém estritamente crescente de N em N. A sucessão u2 é então tal que pr1ou2 → a1 epr2ou2 → a2; u2 é uma subsucessão de u. Analogamente, existe uma subsucessãou3 xi,k,3ok,2ki1

3 xik,3ki13 de u2 (e, portanto, de u, k, 3 k, 3ok, 2) tal que

pr3ou3 x3,k,3k → a3 ∈ E3. Fica assim provado que existe uma subsucessãoconvergente u3 → a1,a2,a3 de u e, usando II.12.30, E é compacto.

Consideremos agora o caso I N. Seja E i1 Ei, cada Ei compacto, e seja

u xi,ni1 uma sucessão em E. Como no caso finito, existe uma subsucessão

u1 xi,n,1ki1 xi,n,1ki1

de u em E tal que pr1ou1 x1,n,1k →k a1 ∈ E1.Relativamente à segunda coordenada, existe uma subsucessãou2 xi,n,2on,1ki1

xi,n,2ki1 de u1 (e, portanto, de u) tal que

x2,n,2k →k a2 ∈ E2. Então pr1ou2 → a1, pr2ou2 → a2. Prosseguindo o raciocínio existe,para k 1,2, . . . ,k, até uma subsucessão uk de u tal que prkouk → ak ∈ Ek. Consideremos afunção n unnn1

xn,n,nnn1 de N em E. Temos

n 1,n 1n 1 n 1,n 1n (a aplicação n 1,n 1 é a composição dasaplicações estritamente crescentes n 1,n 1on,no. . .o2,2o1,1); também2,2o1,11 ≥ 1,11 pois 2,2 : N → N é estritamente crescente (se k nk éestritamente crescente então nk ≥ k). Prosseguindo, obtemosn 1,n 1on,no. . .o2,2o1,1n ≥ n,no. . .o2,2o1,1n e portanto temosn 1,n 1n 1 n 1,n 1n ≥ n,nn. Assim n n,nn é estritamentecrescente, e unnn1

é uma subsucessão de u, pois cadaer tmo xn,n,nnn1 de

n unnn1 tem por coordenadas x1,1,11 ∈ x1,n : n 1,2, . . .,

x2,2,2̄2 ∈ x2,n : n 1,2, . . ., etc. Tem-se na coordenada n ∈ N que prnounn →n an

por construção e a sucessão unn xn,n,nnn1 tem como subsucessão

unn xn,n,nnn1 .Revendo II.9.4 e II.9.19, tem-se unnn1

→n ann1 ∈ E e E é

compacto, atendendo a II.12.30 c.q.d.

-154-

II.12.54 Exercício Mostre que o produto contável de espaços métricos é um espaçométrico compactos e e só se cada espaço factor é compacto.

II.12.55 Resolução Se cada Ei é compacto então i∈I Ei é compacto, pelo TeoremaII.12.53; reciprocamente, se E i∈I Ei é compacto, i ∈ I, Ei priE é compacto porII.12.35.

II.13 CONJUNTOS CONEXOS EM ESPAÇOS MÉTRICOS

II.13.1 Observação Se A,B ⊂ X,d, d a métrica usual, A ∩ B entãoA ∩ B A ∩ B ′. Com efeito, verifica-se B ′ ⊂ B e assim A ∩ B ′ ⊂ A ∩ B. Tem-se: sep ∈ A ∩ B então dada cada vizinhança V de p, V ∩ B ≠ ; mas p ∉ B, dondeV ∩ B V ∩ B\p V\p ∩ B ≠ e assim p ∈ B ′, logo A ∩ B ⊂ A ∩ B ′. Umespaço métrico é separado no sentido de Hausdorff i.e., dados dois pontos diferentes, estessão ”separados” por abertos disjuntos. Considerando os conjuntos A 0,1,B 1,2 ⊂ R,d, é natural dizer-se que estes conjuntos são ”separados”, pois”percorrendo um destes conjuntos nunca se encontra o outro”; enquanto já a sucessão1 − 1

n em A ”atinge no limite o ponto 1 ∈ 1,2 C”, e podemos precisar esta diferençapela seguinte

II.13.2 Definição Dois subconjutos A,B do espaço métrico X,d são separados seA ∩ B e nehum dos conjuntos contém um ponto de acumulação do outro i.e., se alémdisso A ∩ B e A ∩ B .

II.13.3 Exemplos (1) Os subconjuntos 0,1 e 1,2 deR,d são separados, enquanto0,1 e 1,2 não são separados. (2) Os subconjuntos A 0,y : 0 ≤ y ≤ 1 eB x, sin 1

x : 0 x ≤ 1 de R2,de, de a métrica euclideana, não são separados; pois0,1 ∈ A ∩ B, já que a sucessão 1/2n /2, 1 →n→ 0,1 ∈ A,1/2n /2, 1 ∈ B (esboçar o gráfico).

II.13.4 Definição Um subconjunto C do espaço métrico X,d diz-se disconexo (emX,d) se existem abertos G,H tais que C ∩ G e C ∩ H são dois conjuntos disjuntos nãovazios cuja reunião é C i.e., portanto, G,H abertos, C ∩ G ≠ , C ∩ H ≠ , C ∩ G ∩ H e C C ∩ G C ∩ H; diz-se neste caso que G H é uma disconexão de C (em X,d).E C diz-se um conjunto conexo (em X,d) se e só se não é disconexo em X,d. O espaçométrico X,d diz-se conexo se X é conexo em X,d.

-155-II.13.5 Observação Vemos pela definição que se ≠ C ⊂ X,d, é o mesmo dizer que

C é conexo em X,d ou que o subespaço métrico C,d é um espaço métrico conexo.

II.13.6 Exemplos (1) O subconjunto C 0,1 1,2 é disconexo em R,d, d amétrica usual; (2) R,d, d a métrica usual, é um espaço métrico conexo; veremos adianteque todo o intervalo de R é conexo em R,d; (3) Dado um conjunto C ⊂ X,di com maisde um ponto, di a métrica discreta, C é disconexo em X,di; (4) Em qualquer espaçométrico X,d, se p ∈ X então p é um conjunto conexo.

II.13.7 Exercício Verifique o Exemplo II.13.6 (3).

II.13.8 Com efeito, se C contém algum ponto além do ponto p, então p e C\p sãodois abertos não vazios em X,di cuja reunião é C.

II.13.9 Teorema O espaço métrico X,d é conexo se e só se verifica qualquer daspropriedades equivalentes:

i Não existem dois fechados não vazios e disjuntos F1,F2 tais que X F1 F2;ii os únicos subconjuntos de X que são simultaneamente abertos e fechados são e X.

II.13.10 Exercício Demonstre o teorema anterior.

II.13.11 Resolução X,d conexo se e só se não existem abertos G,H ≠ , G ∩ H eX G H sse não existem fechados F1 Gc,F2 Hc, F1 ∩ F2 G Hc eX c G ∩ Hc F1 F2 i C aberto, C ≠ e Cc aberto X C Cc,C ∩ Cc e C,Cc abertos e C ≠ Cc C X c.q.d.

II.13.12 Proposição Se A,B ⊂ X,d e A,B são conjuntos separados não vazios, entãoA B é disconexo.

II.13.13 Exercício Prove a Proposição II.13.12.

II.13.14 Resolução A,B sendo separados, tem-se A ∩ B , donde A ⊂ Bc G; eA ∩ B , donde B ⊂ Ac H, G,H abertos. EntãoA B ∩ G A ∩ G B ∩ G A ≠ , A B ∩ H A ∩ H B ∩ H B ≠ eA B A B ∩ G H A B ∩ G A B ∩ H. Portanto G H é umadisconexão de A B, c. q. d.

-156-II.13.15 Proposição Se G H é uma disconexão de C em X,d então os conjuntos

C ∩ G e C ∩ H são separados.

II.13.16 Exercício Demonstre a Proposição II.13.15 justificando as passagens seguintes:1. C ∩ G e C ∩ H são conjuntos disjuntos;2. o resultado conclui-se provando que se um ponto p é um ponto de acumulação de

C ∩ G então p ∉ C ∩ H.3. Admitindo com vista a um absurdo que um ponto p é ponto de acumulação de C ∩ G

e p ∈ C ∩ H, tem-se:i H contém um ponto x ≠ p,x ∈ C ∩ G; ii C ∩ G ∩ H ≠ ;iii C ∩ G ∩ C ∩ H e conclui-se o resultado.

II.13.17 Resolução 1. Pois pela hipótese G H é uma disconexão de C; 2. pois estandoG e H exactamente nas mesmas hipóteses, ficará provado também que nenhum ponto deC ∩ H está no conjunto C ∩ G. 3. i pois H é um aberto por hipótese, e p é um ponto deacumulaçãop de C ∩ G pela hipótese de absurdo; ii por i; iii pela hipótese de G H seruma disconexão de C, obtendo-se uma contradição com ii c.q.d.

II.13.18 Teorema Um conjunto C ⊂ X,d é conexo se e só se C não é reunião de doisconjuntos separados e não vazios.

Dem. Pois se C é disconexo então existe uma disconexão G H de C e pela ProposiçãoII.13.15 C C ∩ G C ∩ H é reunião de dois conjuntos separados não vazios; ereciprocamente, toda a reunião de dois conjuntos não vazios e separados é um conjuntodisconexo, pela Proposição II.13.12.

II.13.19 Teorema Se X,dX é conexo e f : X,dX → Y,dY é uma função contínua,então o conjunto fX é conexo.

II.13.20 Exercício Demonstre o teorema acima (Sug: por absurdo).

II.13.21 Resolução Admitindo que fX não é conexo, existem abertos não vazios G,Hem fX tais que fX G H. Então V f−1G ≠ , U f−1H ≠ , U,V são abertosem X, e f−1G f−1H é uma disconexão de X, pois f−1G f−1H f−1G H,concluindo-se uma contradição, c.q.d.

-157-II.13.22 Observação Se G H é uma disconexão de A em X,d e B é um subconjunto

conexo de A, então tem-se B ∩ H ou B ∩ G e assim verifica-se B ⊂ G ou B ⊂ H.Com efeito, de A ⊂ G H, G,H abertos não vazios tais que A ∩ G ≠ ,A ∩ H ≠ eA ∩ G ∩ H vem que B ⊂ G H; também G ∩ H ⊂ Ac, donde G ∩ H ⊂ Bc. Logo seambos os conjuntos B ∩ G,B ∩ H fossem não vazios, G H seria uma disconexão de B.Portanto ou B ∩ H , B ⊂ Hc e B ⊂ G H B ⊂ G; ou B ∩ G ,B ⊂ Hanalogamente.

II.13.23 Teorema Se A,B são dois subconjuntos conexos de X,d que não sãoseparados, então A B é um conjunto conexo.

II.13.24 Exercício Justificando os passos seguintes obtenha uma demonstração doTeorema II.12.23:

1. Basta supor A,B ≠ . Admitamos que A,B satisfazem as condições do enunciado e ahipótese de absurdo de que existe uma disconexão G H de A B.

2. Tem-se A ⊂ G e A ∩ H ou A ⊂ H e A ∩ G ; e B ⊂ G e B ∩ H ouB ⊂ H e B ∩ G ;

3. se A ⊂ G e B ⊂ H então os conjuntos A B ∩ G A e A B ∩ H B sãoseparados; logo ou ambos A,B ⊂ G ou A,B ⊂ H;

4. pode concluir-se o teorema, c.q.d

II.13.25 Resolução 1. Se A B é disconexo, existe por definição uma disconexão deA B. 2. Pois A ⊂ A B e utilizando II.13.22; analogamente para B; 3. devido a 1., pelaProposição II.13.15; pois vem de 2. que A B ∩ G A ∩ G B ∩ G A A, eanalogamente A B ∩ H B. E porque G,H estão exactamente nas mesmas hipóteses; 4.porque se A B ⊂ G ou A B ⊂ H então A B ∩ H ou A B ∩ G (usando2.) e então G H não é uma disconexão de A B, contradizendo 1., c.q.d.

II.13.26 Propriedade Seja Ci : i ∈ A uma classe de subconjuntos conexos de X,dtal que nenhuns de dois conjuntos Ci, Ci′ i, i ′ ∈ A são separados. entãoC Ci : i ∈ A é um conjunto conexo.

II.13.27 Exercício Prove a propriedade anterior (Sug: obtenha uma demonstração porredução ao absurdo, utilizando II.13.22 e II.13.23).

II.13.28 Resolução Conforme à sugestão, acrescentemos à hipótese a hipótese deabsurdo (A) de que existe uma disconexão G H de C. Usando II.13.22, cada Ci ⊂ G ouCi ⊂ H. Dados i, i ′ ∈ A, o conjunto Ci Ci′ é conexo (II.13.23) e Ci Ci′ ⊂ G eCi Ci′ ∩ H ou Ci Ci′ ⊂ H e Ci Ci′ ∩ G , atendendo a II.13.22. Comoum Ci ⊂ G (ou um Ci ⊂ H), então ou todos os conjuntos Ci ⊂ G (e Ci ∩ H ,∀i ∈ I)ou cada Ci ⊂ H, sendo então sempre Ci ∩ G i ∈ A; isto implica C ⊂ G,C ∩ H ou C ⊂ H,C ∩ G contradizendo (A) c.q.d.

-158-II.13.29 Propriedade Se A é conexo em X,d e A ⊂ B ⊂ A então B é conexo em X,d.

Se A é conexo, então A é conexo.

II.13.30 Exercício Demonstre a Propriedade II.13.29 (Sug: redução ao absurdo).

II.13.31 Resolução Suponhamos a hipótese de absurdo que B é disconexo, no contextoda propriedade, e seja G H uma disconexão de B. Como A é um subconjunto conexo deB, II.13.22 permite concluir que A ∩ H ou A ∩ G ; admitamos A ∩ H . EntãoA ⊂ Hc donde, sendo Hc fechado, tem-se A ⊂ B ⊂ A ⊂ Hc. Portanto B ∩ H , o quecontradiz a hipótese de absurdo. A segunda afirmação é consequência de A ⊂ A, c.q.d.

II.13.32 Definição O espaço métrico X,d diz-se bem encadeado se para cada doispontos a,b ∈ X e cada 0, existe uma sequência a1, . . . ,an ∈ X n ∈ N tal quea1 a,an b e dai,ai1 ≤ 1 ≤ i ≤ n − 1; diz-se então que a sequência aii1

n liga a1a an e tem passo ≤ .

II.13.33 Exemplos (1) Utilizando II.12.3, II.12.51 mostra que R,d, d a métrica usual,é bem encadeado. (2) R,di, di a métrica discreta, não é bem encadeado; assim comoX,di se X não se reduz a um ponto, de modo mais geral.

II.13.34 Propriedade Todo o espaço métrico conexo é bem encadeado.

II.13.35 Exercício Demonstre a propriedade anterior (Sug: Prove que dado o espaçométrico X,d, se p ∈ X, o conjuntoXp, x ∈ X : ∃aii1

n ∈ Xn,n ∈ N,a1 p,an x,dai,ai1 ≤ , i 1, . . . ,n − 1 éum aberto e fechado não vazio de X, para cada 0).

II.13.36 Resolução Conforme à sugestão, tem-se p ∈ Xp, e Xp, ≠ . Sea ∈ Xp, e da,b então existem a1, . . . ,an ∈ X,p a1,a an tais quedai,ai1 ≤ i 1, . . . ,n − 1. Segue-se que acrescentando o ponto an1 b se obtemuma sequência aii1

n1 que liga p a b e tem passo ≤ ; isto significa que b ∈ Xp, e∃ 0,B0a, ⊂ Xp,, este conjunto é aberto. Também Xp, contém o seu conjuntoderivado, e assim é fechado. Pois se y é um ponto de acumulação de Xp, então existeuma sucessão xn em Xp,, cujos termos são todos diferentes e diferentes de y e xn → y;existe n ∈ N tal que dxn,y , logo, sendo aii1

m uma sequência ligando p a xn de passo≤ , a sequência aii1

m1 onde am1 y liga p a y e tem passo ≤ i.e., y ∈ Xp,. OTeorema II.13.9 permite concluir que se X,d é conexo, então Xp, X para cada 0,o que significa que X,d é bem encadeado, c.q.d.

-159-II.13.37 Observação Existem espaços métricos bem encadeados e não conexos; por

exemplo, Q,d,d a métrica induzida pela métrica usual de R, não é conexo:−, 2 2 , é uma disconexão de Q em R,d. No entanto, Q,d é bemencadeado. Pois dados a,b ∈ Q, a b, seja b − a. Se 0 e m ∈ N verifica b − a/m ≤ min, então com ai a i i 0, . . . ,m, a sequência aii0

m ∈ Qm1

liga a a b e tem passo ≤ . Tem-se contudo a

II.13.38 Propriedade Se X,d é um espaço métrico compacto, então X é conexo se e sóse é bem encadeado.

II.13.39 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração deII.13.38:

1. Se X,d é conexo então é bem encadeado. Para a recíproca, admitamos X compactoe bem encadeado e a hipótese de absurdo A ≡ X não é conexo.

2. Existem dois conjuntos fechados não vazios e disjuntos X1,X2 tais que X X1 X2;3. X1,X2 são compactos. Mostremos que

dX1,X2 infda,b : a ∈ X1,b ∈ X2 0:i se 0 existem an ∈ X1,bn ∈ X2 tais que dan,bn 1/n;ii então existiria um ponto p ∈ X1 ∩ X2; logo não se dá i e 0.

4. Sendo a ∈ X1,b ∈ X2, existe uma sequência aii1n ∈ Xn ligando o ponto a ao ponto

b de passo ≤ /2; obtem-se uma contradição e pode concluir-se a propriedade c.q.d. (Sug:considere o menor ídice i tal que ai ∈ X2).

II.13.40 Resolução 1. Por II.13.34. 2. Pelo Teorema II.13.9, atendendo a 1. 3. PeloTeorema II.12.23; i porque 0 significa que dX1,X2 1/n n ∈ N; ii pois dahipótese X1 compacto vem que existe uma subsucessão ank →k a ∈ X1 pelo TeoremaII.12.30; então existe uma subsucessão bn′k de bnk tal que bn′k → b ∈ X2

analogamente. Usando i, tem-seda,b ≤ dan′k,a dan´k,bn′k dbn′k,b → 0 0 0 0 e assima b ∈ X1 ∩ X2, o que é impossível e assim 0. 4. Existem a a1, . . . ,an b, ai ∈ Xtais que dai,ai1 ≤ /2 uma vez que, por hipótese, X é bem encadeado; com i o menoríndice como na sugestão, tem-se então dai−1,ai ≤ /2 onde ai−1 ∈ X1 e ai ∈ X2. Isto éuma contradição com 3., pois implica dX1,X2 ≤ dai−1,ai ≤ /2 . Concluindo-se umabsurdo, fica provada a propriedade.

II.13.41 Lema Todo o intervalo I de R é conexo em R,d,d a métrica usual.

II.13.42 Exercício Prove o lema, pela justificação dos passos seguintes:1. Se I p então I é conexo. 2. Se I a,b então I é compacto e bem encadeado,

donde I é conexo. 3. Se a ∈ I então a,x ⊂ I (resp. x,a ⊂ I para cada x ∈ I tal que a x(resp. x a). 4. Seja a ∈ I. Tem-seI x,a : x ∈ I,x a a,x : x ∈ I,a x e portanto I é conexo, c.q.d.

-160-II.13.43 Resolução 1. Conforme a II.13.6 (4). 2. Pela Propriedade II.12.3; que a,b é

bem encadeado verifica-se analogamente a II.13.37 e usando a Propriedade II.13.38. 3. PoisI é um intervalo. 4. Aplicando 3., 2. e II.13.26 no caso particularCi : i ∈ A ≠ c.q.d.

II.13.44 Propriedade Um subconjunto não vazio de R é conexo em R,d, d a métricausual se e só se é um intervalo.

II.13.45 Exercício Prove a Propriedade II.13.44

II.13.46 Resolução Se I é um intervalo, I é conexo, pelo lema anterior. E se C ≠ e Cnão é um intervalo, então existem a,b ∈ C, a b, tais que p ∉ C, certo p, a p b.Portanto −,p p, é uma disconexão de C e C não é conexo, c.q.d.

II.13.47 Corolário 1 Se f : A ⊂ X,d → R,dR é uma função contínua e A é conexo,onde dR é a métrica usual, então fA é um intervalo.

II.13.48 Corolário 2 Se I é um intervalo de R e f : I ⊂ R,dR → R,dR é uma funçãocontínua, onde dR é a métrica usual, então f assume cada valor entre dois valoresfa, fb,a,b ∈ I.

II.13.49 Exercício Demonstre os corolários acima.

II.13.50 Resolução Corolário 1. Pelo Teorema II.13.19, fA é conexo, e o corolárioconclui-se da Propriedade II.13.44. Corolário 2. Aplicando II.13.44 e o Corolário 1, fI éum intervalo J de R. Supondo fa y fb, a,b ∈ I então fa, fb ⊂ J e portantoy ∈ fa, fb ⊂ fI o que significa que y é uma imagem y fx,x ∈ I

II.13.51 Exercício Existe alguma função contínua f : 1,3 ⊂ R,dR → R,dR,dR amétrica usual tal que f3/2,2 3/2,3 ou f3/2,2 3/2,5/6 11/12,23/24?Porquê? (Sug: II.13.19, II.13.47).

A conexidade e outras noções relativas generalizam-se na sua maioria aos espaçostopológicos. Serão consideradas no Cap. III cujo assunto é Topologia Geral.

-161-II.14 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS

II.14.1 Considere o espaço métrico RN,dM.a Prove que a soma s : xnn1

N , ynn1N xn ynn1

N e o produto escalarp : , xnn1

N xnn1N xnn1

N , ynn1N ∈ RN, ∈ R são funções contínuas.

b Conclua que se f : RN,d → RM,d e g : RN,d → RM,d, onde d de,d dM

ou d dS sao funções contínuas, então f g : RN,d → RM,d , ∈ R é contínua.II.14.2 Mostre que se f : X,dX → W,dW é uma função contínua então a função

F : X X → 0,, Fx,y dWfx, fy (0, munido da métrica induzida pelamétrica usual de R) é contínua.

II.14.3 Uma classe S constituída por subconjuntos abertos do espaço métrico E,ddiz-se uma subbase da topologia Td associada à métrica se a colecção das intersecccçõesfinitas dos conjuntos em S é uma base de Td. Assim um espaço métrico é um espaço C2se e só se tem uma subbase contável.

II.14.4 A função xn, yn supdxn,yn : n ∈ N onde d min1,d e d é amétrica usual de R, é uma métrica em RN que se chama a métrica uniforme. Esta métrica émais fina que a métrica Dxn, yn ∑n1

dxn,yn/2n que se considera sobre o produtoem II.9.17, mas as duas métricas não são equivalentes..

II.14.5 Prove que se f é uma bijecção entre os espaços métricos E e F, onde F écompleto, f é uniformemente contínua e f−1 é contínua, então E é completo.

II.14.6 Dado o espaço métrico X,d, existe um completamento X,d de X,d tal que

X ⊂ X. Supondo com efeito que X não é completo, consideremos BX,D como emII.10.14, a isometria f : X,d → BX,D, x fx como em II.10.20 e o completamentofX,D, onde se considera o fecho em BX,D. Sejam X X fX\fX ed : X X → R definida por

dx,Y dx,y x,y ∈ X,

dx,u

du,x Dfx,u

x ∈ X,u ∈ fX\fX edu,v Du,v u,v ∈ fX\fX. A igualdade dx,y Dfx, fy

permite concluir qued é uma métrica em X. X,

d é completo e X é um subconjunto denso

de X,d. (Verifique os detalhes).

II.14.7 Mostre que a diagonal Δ x,x.x ∈ X é um G em cada espaço métricoX,d. (Sug: Considere fx,y dpr1x,y,pr2x,y onde as pri são as funçõesprojecção).

II.14.8 Verifica-se o teorema de Alexander: o espaço métrico E é compacto se e só sede cada cobertura aberta de E por abertos numa subbase (II.4.3) pode extrair-se umasubcobertura finita. (Ver [Kelley]).

II.14.9 Encontra-se em [Dugundji] que um espaço métrico é compacto se e só se cadacobertura aberta contável do espaço é redutível a uma subcobertura finita.

II.14.10 Se xn é uma sucessão no espaço métrico E,d, diz-se que o ponto a de E éum ponto aderente da sucessão xn se em toda a vizinhança V de a existe uma infinidadede valores do índice n para os quais xn ∈ V. Certamente se xn → a então a é um pontoaderente de xn; se a é um ponto de repetição xn a para uma infinidade dos n) entãotambém a é um ponto aderente de xn. Prove que a é um ponto aderente de xn se e só seexiste uma subsucessão xnk → a.

-162-II.14.11 A Propriedade de Bolzano-Weierstrass pode enunciar-se: o espaço métrico

E,d é compacto se e somente se toda a sucessão em E tem pelo menos um ponto aderente.Uma demonstração ([Schwartz]) é como segue. Se E,d é compacto,An xn,xn1,xn2, . . ., então a sucessão An é uma sucessão decrescente de fechadosnão vazios; portanto (II.12.17) a sua intersecção é não vazia. Verifique que cada pontonesta intersecção é um ponto aderente de xn. Para a condição suficiente, obtenhaprimeiro os dois resultados seguintes: A ≡ Se toda a sucessão em E tem pelo menos umponto aderente, então dada uma cobertura aberta C de E, existe um número 0 tal quetoda a bola de raio ≤ está inteiramente contida num dos abertos de C. (Por redução aoabsurdo; da negação da tese conclui-se que certa cobertura aberta C de E, para todo on 1,2, . . . existe certo an em E tal que B0an, 1/n não está contida em nenhum conjuntode C; se a é um ponto aderente de an, certo aberto O de C contém a. Note que certo nverifica 1/n ≤ r/2 e para um destes n, dan,a ≤ r/2, onde B0a, r ⊂ O). B ≡ Se toda asucessão em E,d tem pelo menos um ponto aderente, então para cada 0, é possívelobter uma cobertura de E por um número finito de bolas de raio . (Sug: também porabsurdo. Dado a1 ∈ E, ou B0a1, E ou existe um ponto a2 de E, a2 ∉ B0a1,.Distinga os casos B0a1, B0a2, E e B0a1, B0a2, ≠ E e assimsucessivamente, e conclua um absurdo da hipótese de nenhuma destas reuniões finita cobrirE).

II.14.12 Mostre que se E,d é compacto, então uma sucessão xn em E converge paraa se e só se a é o único ponto aderente de xn.

II.14.13 Conclua do exposto em II.12 e II.7 que todo o espaço métrico compacto éseparável e C2.

II.14.14 Em R, munido da métrica usual, é válida a recíproca de II.12.33. Obtenha umademonstração, notando que se C é limitado então existem a,b tais que C ⊂ a,b.

II.14.15 Conclua de II.14.14 que cada bola fechada em RN,dM é um compacto.Generalize para RN,de e RN,dS e obtenha o resultado cabal respeitante a II.12.33 emRN.

II.14.16 Sendo A um conjunto não vazio de cardinal arbitrário, considere-se o produtocartesiano RA. Seja FA,R o subconjunto de RA formado pelas funções f x paracada uma das quais existe um conjunto contável Cf n : n ∈ N tal quef x 0 se ∉ Cf. É uma propriedade da Análise Real que se a série de termospositivos∑n1

an é convergente, então para cada bijecção de N sobre N, a série∑n1 an é convergente e tem a mesma soma que∑n1

an. Dadasf x,g y ∈ FA,R tem-se x − y ≠ 0 apenas possivelmente num conjuntocontável C Cf Cg, e portanto a funçãodx, y ∑∈Ax − y2 ∑n∈Cxn − yn2 está bem definida noconjunto l2A x ∈ FA,R : ∑∈A x2 (atenda-se à desigualdade deMinkowski em II.1.3). Esta função d é uma métrica que se considera no conjunto l2A.Verifica-se que l2A l2B se e só se #A #B e, se #A n n ∈ N entãol2A Rn,de. l2A é separável (equivalentemente, um espaço C2) se e somente se#A ≤ #0. Ver, por exemplo, [Dugundji].

-163-II.14.17 O cubo de Hilbert é o subespaço I xn ∈ l2N :∣ xn ∣≤ 1/n n ∈ N de

l2N. Encontra-se em [Dugundji] que I é homeomorfo ao produto cartesianon1 In

onde In I 0,1, n 1,2, . . . I tem interior vazio em l2N, e assim o seucomplementar em l2N é denso. Como subespaço fechado do espaço métrico compacto0,1N, I é compacto.

II.14.18 Um subconjunto C de RN diz-se convexo se para cadaa1, . . . ,aN, b1, . . . ,bN ∈ C, o conjuntosa,b 1 − ta1, . . . ,an tb1, . . . ,bN : 0 ≤ t ≤ 1 ⊂ C. É intuitivo que todo oconjunto convexo é conexo em RN,de e exemplos simples em R2 mostram que arecíproca é falsa; é verdadeira apenas para N 1 (II.13.44).

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BIBLIOGRAFIA DO CAPÍTULO II

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-165-

III ESPAÇOS TOPOLÒGICOS

-166-

III.1 UMA AXIOMÁTICA DA TEORIA DE CONJUNTOS.NÚMEROS ORDINAIS E NÚMEROS CARDINAIS.

O conceito intuitivo de conjunto como uma colecção de objectos no Cap I éinsuficiente para certas aplicações em topologia, nomeadamente os espaços de ordinais.Notar que por exemplo, a Definição I.6.12 de cardinal de um conjunto C como sendo apropriedade que C tem de comum com todos os conjuntos equipotentes a C, observámosem I.6.27 que a relação ≤ entre cardinais não é uma relação binária exactamente nosentido de I.2.1, pois a colecção de todos os cardinais não é um conjunto, como veremos naexposiçaão axiomática de teoria de conjuntos que é feita. Seguimos [Dugundji],formulando uma axiomática baseada na Axiomática de Bernays-Gödel-von Neumann, quenão é completa nem formal; não asseguramos também que seja independente, contudo ésuficiente para as aplicações em topologia que consideramos. Certamente é legítimoconsiderar, dada uma propriedade p, a classe (colecção) A dos objectos que verificam p,que notamos A x : p; assim como dadas classes não vazias A, B, podemos considerara classe produto cartesiano A B a,a,b : a ∈ A,b ∈ B e notara,b a,a,b; considerar uma relação de A em B como uma classeR ⊂ A B e,no sentido do Cap. I, uma relação binária emA como uma relação de A em A; consideraruma função de A em B, etc., Em particular, A ⊂ B significa que x ∈ A x ∈ B, todas aspropriedades em I mantendo-se no sentido lato de classe como sendo um conjunto. Mascomo sublinhado em I.1.2, nem toda a propriedade define um conjunto e entendemos que(de um modo suficientemente geral), uma propriedade p define a classe Ap x : p. Osobjectos (termos) de uma teoria axiomática, assim como as relações entre estes, não podemdefinir-se na totalidade: pois na definição de um termo necessariamente surge outro, paraconsiderar uma relação é preciso entrar em linha de conta com outra.

III.1.1 Consideramos ”classe” como um termo indefinido e ”∈” como uma relaçãoindefinida entre classes. As variáveis A, A, x, . . . representam classes. Dadas duas classesA, B,

I. A proposição A ∈ B ou é verdadeira ou é falsa, não havendo outra possibilidade;II. A ∈ B não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

Uma propriedade p é uma fórmula obtida por negação, disjunção ou conjunção, ouquantificação de relações A ∈ B. Notar que sendo p q equivalente a ~p ∨ q, ossímbolos , podem surgir em fórmulas.

III.1.2 Definição A ⊂ B ∀x,x ∈ A x ∈ B. A B A ⊂ B∧B ⊂ A.

III.1.3 Axioma da individualidade. x ∈ A ∧ x y y ∈ A.

III.1.4 Definição A classe C é um conjunto se existe uma classe A tal que C ∈ A.

-167-III.1.5 Axioma da formação de classes. Para toda a propriedade p na qual todas as

variáveis quantificadas sejam conjuntos, e na qual não figure a variável classe A, existeuma classe A formada exactamente pelos conjuntos que têm a propriedade p; em símboloslógicos, x ∈ A x é um conjunto ∧ px. Notamos A x : px ou A x : p.

III.1.6 Observação A classe de Russel A x : x é um conjunto ∧ x ∉ x não é umconjunto. Pois admitindo que A é um conjunto, então pela definição tem-se: se A ∈ Aentão A ∉ A, impossível por II; se A ∉ A então A ∈ A por definição, contrariando II.Portanto não se verifica A ∈ A nem A ∉ A, o que é impossível atendendo a I.

III.1.7 Notemos que como o exposto no Cap.I, considerando considerandorigorosamente ”classe” no lugar de aí ”conjunto”, dar uma relação de equivalência numaclasse A é o mesmo que considerar uma partição de A i.e, uma colecção disjunta desubclasses de A cuja reunião é A.

III.1.8 Axioma do conjunto vazio. Existe o conjunto vazio x : x é um conjunto ∧ x ≠ x.

III.1.9 Axioma da Formação de pares. Se A,B são conjuntos diferentes, então a classeA x : x A ∨ x B é um conjunto : representa-se por A,B.

III.1.10 Axioma da Reunião. Se A : ∈ A é uma classe de conjuntos entãoA : ∈ A x : ∃ ∈ A,x ∈ A é um conjunto.

III.1.11 Observação Ao considerar uma classe de conjuntos A : ∈ A entende-sesempre que A deve ser um conjunto, assim como cada A.

III.1.12 Axioma da Substituição. Se C é um conjunto, A é uma classe e F : C → A éuma função, então fC é um conjunto.

III.1.13 Axioma da Minúcia. Se C é um conjunto, então para cada classe A, C ∩ A éum conjunto.

III.1.14 Decorre de III.1.12 em particular que se p é uma propriedade tal quepx x ∈ A, onde A é um conjunto, existe a classeA x : px x : x é um conjunto ∧ px e então

x : p x : x ∈ A ∧ px ∩ A é um conjunto.

-168-III.1.15 Axioma do conjunto das partes. Se A é um conjunto, então o conjunto das

partes PA x : x é um conjunto ∧ x ⊂ A é um conjunto.

III.1.16 Observação Notar que sendo A uma classe, o conjunto das partes de A é pordefinição a classe PA x : x é um conjunto ∧ x ⊂ A; quer dizer, por comodidade delinguagem diz-se pela definição ”conjunto das partes” no lugar rigoroso de ”classe desubconjuntos” de uma dada classe.

III.1.17 Observação Decorre rigorosamente ([Dugundji]) destes axiomas que(1) se A : ∈ A é uma classe de conjuntos, então

A : ∈ A x : ∀ ∈ A,x ∈ A é um conjunto;(2) se A é um conjunto então A é um conjunto;(3) se A,B são conjuntos então o produto cartesiano A B é um conjunto;(4) se A,B são conjuntos, então a classe BA de todas as funções de A em B é um

conjunto;(5) a classe de todos os conjuntos não é um conjunto.

III.1.18 Para verificar (5) em III.1.17 acima, suponhamos que a classe A de todos osconjuntos é um conjunto. Então sendoRp a classe de Russel, definida pela propriedade

px ≡ x é um conjunto, vem como consequência do Axioma da minúcia que a classeRp A ∩Rp é um conjunto, contrariando III.1.6.

III.1.19 Axioma da Fundação. Em cada conjunto não vazio A existe um u ∈ A tal queu ∩ A (i.e., tal que ∀x,x ∈ A x ∉ u).

III.120 Observação Podemos dizer que este Axioma assegura que cada conjunto nãovazio contem ”átomos u” que formam a sua ”fundação”. A partir deste Axiomaconcluem-se:

(1) Se A é um conjunto não vazio, então ~A ∈ A; (pois se A ∈ A então pelapropriedade (2) em III.1.17, A seria um conjunto com o único elemento A e o conjuntoA não teria uma fundação.

(2) Se A,B são conjuntos não vazios, é impossível que ambas A ∈ B, B ∈ A sejamverdadeiras. (Concluir-se-ia uma contradição com o Axioma da Fundação considerando oconjunto A,B conforme ao Axioma da Formação de pares).

III.1.21 Axioma do Infinito. Existe um conjunto A com as propriedades.i ∈ A e ii se ∈ A então a a ∈ A.

III.1.22 Observação Conclui-se rigorosamente, utilizando o Axioma do Infinito, queexistem o conjunto N0, N,Q,Z, e o conjunto dos números reais R.

-169-III.1.23 Observação Seguindo [Dugundji], o único Axioma, de entre os expostos, que

permite formar subconjuntos de um conjunto dado é o Axioma da Minúcia. Torna-seconveniente aceitar também, para o efeito, o

III.1.24 Axioma da Escolha. Dada uma classe não vazia A : ∈ A constituída porconjuntos não vazios e dois a dois disjuntos, existe um conjunto S consistindo deexactamente um elemento de cada um dos conjuntos.

III.1.25 Definição Seja A : ∈ A uma classe de conjuntos. O produto cartesiano A A : ∈ A é o conjunto de todas as funções c : A →A : ∈ A taisque ∀ ∈ A,c ∈ A.

III.1.26 Atendendo à propriedade (4) na Observação III.1.17 e a III.1.14, e ao Axiomada Reunião, a classe A é um conjunto.

III.1.27 Dado A, diz-se também que a projecção de índice , pr : A → A

que associa a cada c x∈A a imagem x de por c, é a projecção sobre o factor- doproduto, chamando-se ao conjunto A o factor- de A.

III.1.28 Observações(1) Se cada A tem exactamente um elemento, então A é um conjunto de um só

elemento. Se A então A . Sendo A ≠ , tem-se A no caso depelo menos um conjunto A .

(2) Se cada A A, A um conjunto fixo, então pela definição A é o conjunto AA

de todas as funções de A em A.(3) Considerando Ak 0,2 para cada k 1,2, . . . ,k

Ak é, conforme a (2), oconjunto de todas as sucessões cujos termos são nk 0 ou nk 2. A funçãof : k

Ak → 0,1 ⊂ R dada por fnk ∑k1 nk/3k tem por conjunto imagem o

conjunto de Cantor C. Na exposição em [Dugundji], as somas∑k1 nk/3k são as

representações triádicas dos números em C 0,1\k1 Mk, onde M1 1/3,2/3, M2 é o

subconjunto de 0,1\M1 obtido retirando o segundo de cada um dos três subintervalos de0,1/3, 2/3,1 0,1\1/3,2/3 (i.e. o intervalo central em cada uma das reuniões0,1/3 0,1/9 1/9,2/92/9,1/3 e 2/3,1 2/3,7/9 7/9,8/98/9,1); ou seja,M2 1/9,2/97/9,8/9. E assim sucessivamente, Mk é a reunião dos subintervalosfechados que restam após retirar os subintervalos abertos centrais de entre os 2k−1 intervalospresentes. Assim C consiste de todos os números reais em 0,1 tais que não figura "1" nasua representação triádica. Pois ao retirar-se M1 1/3,2/3 retiraram-se todos os reais em0,1 tais que n1 1 na sua representação triádica; ao retirar M2 1/9,2/97/9,8/9retiraram-se os números em 0,1 para os quais figura n2 1 na representação triádica, eassim sucessivamente. A função f é, aplicando (2), uma bijecção de 0,2N sobre C.

-170-III.1.29 Ainda que existindo sempre o conjunto produto cartesiano A da classe de

conjuntos A : ∈ A, é somente com o Axioma da Escolha entre os Axiomasanteriores, que pode concluir-se que o produto cartesiano não é vazio, na hipótese de cadaconjunto A ser não vazio. De acordo com o exposto no Cap. I, tem-se

III.1.30 Teorema São equivalentes as propiedades:1. Seja A : ∈ A uma classe não vazia de conjuntos. Se cada A ≠ , então

A ≠ ;2. O Axioma da Escolha;3. Se A : ∈ A é uma classe de conjuntos não vazios (não necessariamente dois a

dois disjuntos) então existe uma função : A →A : ∈ A (o selector de Zermelo ou função de escolha) tal que ∀ ∈ A, ∈ A.

Podem concluir-se na teoria de conjuntos obtida ([Dugundji]) os seguintes resultados.

III.1.31 Teorema Seja A : ∈ A uma clase de conjuntos, seja B ⊂ A econsidere-se P : A : ∈ A → A : ∈ B definida por Pc c∣B. Então P ésobrejectiva; em particular, cada projecção factor-, pr : A → A é sobrejectiva.

III.1.32 Corolário Se A ⊂ B ∈ A então A ⊂ B. Reciprocamente, secada A ≠ e A ⊂ B, então A ⊂ B para cada .

Dem. A primeira inclusão é trivial. Para a segunda, como cada pr é sobrejectiva,obtemos A pr A ⊂ pr B B.

III.1.33 Teorema Seja Y : ∈ A uma classe de conjuntos não vazios. Para cada ,sejam A,B subcojuntos de Y. Então

i A B A ∩ B;ii A B ⊂ A B.

III.1.34 Notação No contexto de III.1.33, designemos, para C ⊂ Y, C pr−1C. E para C1 ⊂ Y1, . . . ,Cn ⊂ Yn designe-se C1 ∩. . .∩ Cn C1, . . . ,Cn . Tem-se

III.1.35 Em Y, 1 C C : ∈ A; 2 C c Cc ; 3

Cc Cc : ∈ A.

-171-III.1.36 Utilizando o Axioma da Escolha pode provar-se:Dada uma classe de conjuntos A : ∈ A e sendo A : ∈ uma partição de A

tal que cada conjunto A ≠ , T A, entãoA : ∈ A : ∈ A At : ∈ : t ∈ T.

III.1.37 Observação Para a inclusãoA : ∈ A : ∈ Δ ⊂ At : ∈ Δ : t ∈ T, Dugundji (p.25) utilizaigualdadeA : ∈ A : ∈ At : ∈ : t ∈ T que prova serequivalente ao Axioma da Escolha.

III.1.38 Recordar que uma pré-ordem ou quasi-ordem num conjunto A é uma relaçãobinária em A tal que

1. ∀a ∈ A,a a;2. a b ∧ b c a c.

A, diz-se então um conjunto pre-ordenadoO elemento m ∈ A diz-se maximal em A se ∀a ∈ A,m a a m i.e., se

nenhum a ∈ A segue m ou cada a que segue m também precede m.Se B ⊂ A, o elemento a0 ∈ A diz-se um majorante de B se ∀b ∈ B,b a0.O subconjunto B ⊂ A é uma cadeia em A se dados quaisquer x,y ∈ B se

verifica uma das relações x y,x y ou y x.Uma pre-ordem com a propriedade adicional a b ∧ b a a b é

uma ordem parcial em A; A, é então um conjunto parcialmente ordenado. Um conjuntoparcialmente ordenado que é também uma cadeia diz-se um conjunto totalmente ordenado.

III.1.39 Diremos que um ordinal ou conjunto bem ordenado é um conjuntoparcialmente ordenado W,≤ tal que todo o subconjunto não vazio B de W temprimeiro elemento b, b ∈ B,b ≤ x,∀x ∈ B. Diz-se também que é uma boa ordem em W.Se W, é um ordinal, então ∀a,b ∈ W, a b ∧ b a a b.

III.1.40 Notar que todo o ordinal W é um conjunto totalmente ordenado, pois a,b temprimeiro elemento para cada a,b ∈ W.

III.1.41 Definição Sejam W, um conjunto bem ordenado e q ∉ W. Definindo emW q a relação por q q e ∀w ∈ W,w q, w′ w′′ w′ w′′ w′,w′′ ∈ W, arelação é uma boa ordem em W q que estende a boa ordem de W. Pois para cadaE ⊂ W q,E ≠ , ou E q ou E ∩W ≠ , caso em que o primeiro elemento deE ∩W em W, é o primeiro elemento de E em E,. Diz-se que W q, equipado coma boa ordem (que habitualmente continua a designar-se por ) é obtido de W porjunção de um elemento.

-172-III.1.42 Observação Se o elemento w do ordinal W tem um sucessor x,w x, então w

tem um sucessor imediato w′, primeiro elemento do conjunto x ∈ W : w x; w′ tem aspropriedades w w′ ∧ ~∃x ∈ W,w x w′,x ≠ w′. Contudo, um elemento pode não terum predecessor imediato: dado w ∈ W, por exemplo se W é um conjunto infinito semmajorante, q ∉ W, então fazendo a junção W q, q não tem predecessor imediato: dadoa w, existe sempre b ∈ W,a b q,a ≠ b.

III.1.43 Teorema (Ver [Dugundji]) As seguintes asserções são equivalentes:1. O Axioma da Escolha;2. Lema de Zorn≡ Dado um conjunto pre-ordenado X, se cada cadeia em X tem pelo

menos um majorante, então existe cem X um elemento maximal;3. Teorema de Zermelo≡ Todo o conjunto pode ser bem ordenado.III.1.44 Definição Seja W um ordinal.1. O subconjunto S ⊂ W diz-se um ideal em W se ∀x ∈ W, x ∈ S ∧ y x y ∈ S.2. Para cada a ∈ W, o conjunto Wa x ∈ W : x a ∧ x ≠ a diz-se o intervalo

inicial determinado por a.III.1.45 Observação. W e são ideais em W. Como W tem primeiro elemento, é

também um intervalo inicial, mas W não é um intervalo inicial. Certamente todo o intervaloinicial é um ideal em W.

Enunciamos sem demonstração as seguintes propriedades (consultar [Dugundji] parademonstração).

III.1.46 Propriedade1. Toda a intersecção ou reunião de uma classe de ideais em W (uma tal classe é um

conjunto) é um ideal em W.2. Se IW é o conjunto de todos os ideais em W e JW é o conjunto de todos os

intervalos iniciais de W, então JW IW\W; os ideais diferentes de W são intervalosiniciais.

III.1.47 Definição Sendo W,, W′,′ ordinais, uma função f : W → W′ diz-se ummonomorfismo se preserva a ordem i.e., a b fa ′ fb. f é um isomorfismo se é ummonomorfismo e é uma bijecção.

III.1.48 Observações (1) Certamente a composta de dois monomorfismos é ummonomorfismo. (2) Se f : W → A é um monomorfismo e é uma bijecção, e se W é umordinal, então a ordem de A é uma boa ordem e f é um isomorfismo.

III.1.49 Teorema 1. O conjunto IW de todos os ideais de um ordinal W é um conjuntobem ordenado para a relação ⊂ de inclusão de conjuntos. 2. A função a Wa de W sobreo conjunto JW dos intervalos iniciais de W é um isomorfismo ( incluido emJW ⊂ IW).

-173-III.1.50 Teorema Sejam W um ordinal e∑ ⊂ IW uma classe tal que: a Toda a

reunião de conjuntos em∑ está em∑; b se Wa ∈ ∑ então também Wa a ∈ ∑.Então∑ IW e, em particular, W ∈ ∑.

III.1.51 Teorema (Comparação de ordinais) Sejam W e X ordinais. Então dá-se um eum só dos casos:

1. Existe um único isomorfismo de W sobre X;2. Existe um único isomorfismo de W sobre um intervalo inicial de X.3. Existe um único isomorfismo de X sobre cum intervalo inicial de W.III.1.52 Teorema (Construção transfinita) Seja W um ordinal, e seja E uma arbitrária

classe. Suponhamos que para cada x ∈ W, é dada uma regra Rx associando a cada : Wx → E um único Rx ∈ E. Então: existe uma e uma só função F : W → E tal queFx RxF∣Wx para cada x ∈ W.

III.1.53 Observaçõe (1) Em N0, o Teorema III.1.54 tem o enunciado mais simples:Seja E uma classe arbitrária e seja e ∈ E um dado elemento. Suponhamos que para

cada n, é dada uma função Rn : E → E. Então existe uma e uma só função F : N0 → E talque F0 e e Fn 1 Rn1Fn para cada n ∈ N0.

Notar que não pode estabelecer-se III.1.54 definindo simplesmente F : W → E pondoFx RxF∣Wx, pois a definição seria circular. O teorema da Construção transfinitaassegura precisamente a existência de F com a propriedade indicada.

III.1.54 Teoremaa) Todo o subconjunto A de um ordinal W é isomorfo a W ou é isomorfo a um ideal de

W.b) Nenhum intervalo inicial de W é isomorfo a W.III.1.55 Teorema A classe de todos os ordinais é uma classe bem ordenada para a

relação W ≤ X ≡ W é isomorfo a um ideal de X (e W X significando que W é isomorfo aX).

III.1.56 Teorem (Indução transfinita) Seja W um ordinal, e seja Q ⊂ W. Se∀x ∈ W, Wx ⊂ Q x ∈ Q então Q W.

Dem. O primeiro elemento, 0, de W está em Q, pois W0 ⊂ Q. Não existeprimeiro elemento de W\Q em W, pois se x ∈ W\Q então 0 é o primeiro elemento de W\Q;mas Q é bem ordenado, logo W\Q .

III.1.57 Observações (1) O teorema anterior é muitas vezes utilizado na forma:(a) Seja x : x ∈ W um conjunto de proposições. Assumindo que: i P0 é verdade

e ii para cada x, a hipótese de ser P verdadeira verdadeira para cada ∈ Wx implicaque também Px é verdadeira, então Px é verdadeira. (2) Em N0, o princípio de induçãotransfinita é equivalente a: (b) Seja Pj : j ∈ N0um conjunto de proposições.Assumindo que: i P0 é verdadeira e ii para cada j, a hipótese Pj − 1 é verdadeiraimplica que também Pj é verdadeora, então: cada Pj é verdadeira. (3) A equivalência de(a) e (b) em N é consequência de cada elemento em N ter um predecessor imediato em N0,mas o análogo de (b) não é verdadeiro em geral: considere-se por exemplo N q,obt5ido por junção de um último elemento q ∉ N; a formulação em (b) não assegura quePq seja verdadeira.

-174-III.1.58 Observação Como veremos, a classeM de todos os ordinais não é um

conjunto, se bem que seja uma classe bem ordenada. Na classe de todos os ordinais, arelação W X significando que W é isomorfo a X é uma relação de equivalência, epoderíamos considerar a classe formada pelas classes de equivalência; seguidamente,considerando por exemplo o ordinal 1,2,3 para a ordem usual, poderíamos considerar arespectiva classe de equivalência e interpretá-la como sendo o número ordinal 3. Poremneste processo, tomando, como Frege, um número ordinal como uma classe deequivalência, então um número ordinal não seria um conjunto. É assim que, seguindo[Dugundji] pomos:

III.1.59 Definição Um número ordinal é um conjunto com as propriedades:n1 ≡ x ∈ ∧ y ∈ x ∈ y ∨ y ∈ x ∨ y xn2 ≡ x ∈ y ∧ y ∈ x ∈ .III.1.60 Exemplos é um númro ordinal. ,,,,,, são números

ordinais. Nota-se 0, 1,, 2,,,, 3, etc.; estes são osnúmeros ordinais finitos. Em geral, 0,1, . . . ,n − 1 n. Se é um número ordinal, é também um número ordinal, que se diz o sucessor de .

III.1.61 Observação Dizemos que ”x precede y” em se ”x ∈ y”. A relação ∈ não éuma ordem parcial, pois x ∈ x é falso. Dado o número ordinal , pondo x ≤ y se e só sex y ou x ∈ y obtem-se uma ordem parcial ≤ em e, neste entendimento todo o númeroordinal é um ordinal. A relação ∈ entre números ordinais tem as propriedades seguintes.

III.1.62 Propriedadea Em cada conjunto não vazio A ⊂, existe um único a ∈ A, chamado o primeiro

elemento de A, tal que a ∈ x ∨ a x para cada x ∈ A.b O primeiro elemento em é .c Se z ∈ então z é também um número ordinal.III.1.63 Destaquemos a demonstração de III.1.62 em [Dugundji]. Para a, existe certo

a ∈ A tal que a ∩ A , pelo Axioma da Fundação. i.e., x ∈ A ~x ∈ a. Atendendo an1 em III.1.59, o elemento a tem a propriedade requerida. No que respeita a b, se a é oprimeiro elemento de então atendendo a n2, não existe x tal que x ∈ a. Finalmente quantoa c, consideremos x,y ∈ z. Como x,y ∈ z ∧ z ∈ x,y ∈, verifica-se n1 paraquaisquer elementos de z. Para verificar n2, suponhamos x ∈ y ∧ y ∈ z. Comoacabamos de provar, tem-se uma das relações x ∈ z, z ∈ x, z x; provemos que asduas últmas são falsas. Para a primeira destas, se z ∈ x então o subconjuntoA x,y, z ⊂ não tem primeiro elemento contrariando a, pois este elemento teria deser z, que não é, pois y ∈ z. E se z x então teríamos x ∈ y ∧ y ∈ x, o que contraria oAxioma da fundação para o conjunto x,y.

III.1.64 Conforme a c em III.1.62, os números ordinais podem considerar-se comoconjuntos ou como conjuntos de conjuntos.. Na mesma referência que seguimos,estabelece-se seguidamente a unicidade dos números ordinais:

-175-III.1.65 Propriedadea Se , são números ordinais e ≠ , então ⊂ se e só se ∈ i.e., os números

ordinais consistem de todos os seus subconjuntos próprios.b Se e são números ordinais então ⊂ ou ⊂.Tem-se então:III.1.64 Teorema Seja O a classe de todos os números ordinais. Definindo ≤ sse

⊂ tem-se:1 A relação ≤ é uma boa ordem em O;2 O não é um conjunto;3 Para cada ∈ O, o intervalo inicial O e, em particular, é um conjunto;4 Se E é um conjunto de números ordinais, existe um número ordinal maior que todos

os números ordinais em E (e, de facto, um menor número ordinal maior que todos osnúmeros ordinais de E;

5 Cada sucessão decrescente de números ordinais é necessariamente finita i.e., se0≥1≥. . . então existe um número ordinal n tal que i≥n se i ≥ n;

6 Cada ordinal W é isomorfo a um certo O. Diz-se então que é o número ordinalde W e nota-se ordW.

III.1.65 Estabelece-se facilmente 2: se O fosse um conjunto, verificaria as condiçõesn1 e n2, donde seria um número ordinal tal que O ∈ O, o que como sabemos éimpossíavel. Obtem-se então imediatamente III.1.58, pois se a classeM de todos osordinais fosse um conjunto, III.1.61 mostra que O ∈ M : é um número ordinalseria um conjunto atendendendo a III.1.14, já que a propriedade p ≡ é um número ordinal ∈ M.

III.1.66 Seguindo III.1.60, os números ordinais finitos são 0, 1 0,n 0,1, . . . ,n~1. Dizemos que um ordinal W é finito se ordW n para algum n. Osucessor do número ordinal nota-se 1. Conclui-se do Axioma do infinito queexistem números ordinais que não são sucessores. Dizem-se números ordinais limite. Notarque existem números ordinais infinitos que não são números ordinais limite, por exemplo, onúmero ordinal do conjunto N 1,2, , . . . designa-se por ; o número ordinal infinito1 tem predecessor imediato . Adoptando a notação para intervalos de R,notamos o intervalo inicial O 0,. Obviamente ord0, .

III.1.67 Observação Consideraremos O como uma classe bem ordenada de ordinais,contendo exactamente um representante de cada classe de equivalência de ordinaisisomorfos.

-176-III.1.68 Os ordinais relacionam-se com a contagem: para contar, começamos por um

elemento e tacitamente consideramos uma boa ordem. O conceito de cardinal relaciona-seapenas com tamanho: para saber se um conjunto tem mais elementos que outro, precisamosapenas de associar cada elemento de um conjunto a outro, e ver se sobram ou faltam. Destemodo, no Cap. I, definimos dois conjuntos como sendo equipotentes se existe uma bijecçãode um sobre o outro. A equipotência é obviamente uma relação de equivalência na classede todos os conjuntos; deste modo divide a classe de todos os conjuntos nas classes deequivalência, que são as classses de equipotência. Notamos X equipotente a Y por”cardX cardY”.

III.1.69 Observação Dois ordinais diferentes podem ser equipotentes. Por exemplo, osordinais 0, e 0, não são isomorfos, pois nenhum intervalo inicial de um ordinal podeser isomorfo ao ordinal (Teorema III.1.54 b)); no entanto, 0,n n 1 é umabijeccção do primeiro conjunto sobre o segundo. Esta é uma diferença importante entreordinais finitos e ordinais infinitos: para ordinais infinitos, o número ordinal depende deambos o tamanho do conjunto e a maneira como os elementos são contados. Adecomposição da classe de todos os ordinais em classes de equipotência é diferente dadecomposição de O em clases de equivalência para a relação de isomorfismo. Cada classede isomorfismo pertence a uma classe de equipotência, mas uma classe de equipotênciacontem geralmente muitas classes de isomorfismo; como por exemplo a classe deequipotência que contem , 1, cada 2 1 1, n n − 1 1.

Correspondendo ao exposto no Cap. I, põe-seIII.1.70 Definição Dados conjuntos X,Y nota-se cardX ≤ cardY para significar qu

existe uma injecção de X em Y.III.1.71 Observações Concluem-se.(1) cardA ≤ cardX se A ⊂ X;(2) se existe uma sobrejecção f : X → Y então cardY ≤ cardX.III.1.72 Associamos um símbolo, chamado o número cardinal de X a cada conjunto X

de tal modo que dois conjuntos têm o mesmo número cardinal se e só se são equipotentes,do modo seguinte. Uma vez que cada conjunto pode ser bem ordenado, a cada classe deequipotência pertence pelo menos um número ordinal; e sndo a classe O dos númerosordinais bem ordenada, existe na classe de equipotência de X um menor número ordina, onúmero ordinal inicial da classe. Representamos este número ordinal inicial por X, edizemos que é o número cardinal de X.

III.1.73 Observações (1) Um número cardinal é um número ordinal que não éequipotente a nenhum número ordinal menor. X é o menor número ordinal a que X éequipotente, tomado com conjunto standard equipotente a X. (2) CertamenteX X. Verifica-se W ≤ ordW para todo o ordinal W. (3) Notar que0, ≨ ord0, 1 (III.1.66).

-177-III.1.74 Reservam-se símbolos especiais para certos números cardinais. Nota-se

0,1, . . . ,n n Um conjunto X é finito se e só se X n para algum n;doutro modo o conjunto diz-se que é infinito, e que o seu número cardinal é umnúmero cardinal transfinito. Representa-se N 0 (temos notado #0). Os conjuntos Xtais que X ≤ 0 são os contáveis e, se 0 ≨ X dizemos que X não é contável. Anotação com o símbolo hebraico para números cardinais é complementada com ordinaisdo modo seguinte: para cada número cardinal ,0 ≤ , o conjunto : 0 ≤ ≤ ébem ordenado; é portanto isomorfo a um ideal C em C. Convenciona-se então notar .

III.1.76 Observações (1) Para distinguir, nota-se para significar N munido da ordemusual e 0 para N. (2) A hipótese do contínuo consiste na igualdade 1 c; a hipótesegeneralizada do contínuo é que para cada número ordinal , P 1. (3) Nocontexto rigoroso que seguimos para definir X, prova-se que dados conjuntos X,Y setem cardX ≤ cardY X ≤ Y. (4) Obtêm-se definições e propriedadescorrespondentes às vistas no Cap. I para operações com números cardinais. (5) A reuniãocontával de conjuntos contáveis é um conjunto contável.. (6) Obtêm-se as propriedadescorrespondentes às expostas no Cap. I. Em particular, obtem-se que dado um conjunto X,tem-se X ≨ PX. Observemos que a classe C dos números cardinais não é umconjunto, e é uma classe bem ordenada por III.1.70. 0 é o menor número cardinal e 0 é omenor número cardinal transfinito. (7) Se não tem predecessor imediato, diz-se que onúmero cardinal é um número cardinal inacessível. (8) O facto que 0 é o menornúmero cardinal transfinito significa que cada conjunto infinito contem um conjuntocontável, propriedade que revemos do Cap. I.

III.1.77 Observação De notar que, numa Axiomática de teoria de conjuntos sem aHipótese do contínuo, tudo o que pode afirmar-se da relação entre o menor número cardinalmaior que 0 o qual notamos 1, e o contínuo, é que 1 ≤ cardR cardPN c.Ressalvando que admitimos a Hipótese do contínuo na teoria de conjuntos, cujaAxiomática foi formulada, nos parágrafos que seguem, pomos contudo a definição geral

III.1.78 Definição Representamos por o número cardinal 1 que é o menor númerocardinal maior que o numerável 0, quando considerado como um número ordinal em O.Dizemos que é o primeiro ordinal não contável.

III.1.79 Teorema (1) O intervalo inicial O 0, tem a propriedade de cadasubconjunto finito ter um supremo em 0,. (2) Cada subconjunto contável de 0, temum supremo em 0,.

Dem. (1) é óbvio. Para (2), seja A ⊂ O um conjunto contável. Designe S o idealO : ∈ A ⊂ 0,, já que a reunião de conjuntos contáveis é um conjuntocontável (III.1.76 (5)). Como não é equipotente a nenhum número ordinal menor eO ≤ 0 para cada ≨ , temos S ≤ 0 ≨ 1 O. Portanto S não éisomorfo a 0, e, atendendo a III.1.47 2., S 0, para algum ≨ , é o supremo deA, c.q.d.

-178-

III.2 ESPAÇO TOPOLÓGICO E BASE DE UMA TOPOLOGIA

III.2.1. Definição pela classe dos abertosSeja X um conjunto não vazio. Diz-se que a classe T ⊂ PX é uma topologia sobre X

se tem as propriedadesT1 ,X ∈ TT2 A ∈ T ∈ A A : ∈ A ∈ TT3 A1,A2 ∈ T A1 ∩ A2 ∈ T

Se T é uma topologia sobre X, o par X,T é um espaço topológico; os conjuntos queconstituem a topologia chamam-se os conjuntos abertos da topologia, ou do espaçotopológico. Podem considerar-se diferentes topologias sobre X, se X não se reduz a umelemento; não havendo risco de confusão uma vez estabelecida a topologia que seconsidera, nota-se apenas X para designar o espaço topológico.

No que segue supomos X um conjunto não vazio.

III.2.2 Exemplos (1) A classe G ,X é uma topologia sobre X, a topologiagrosseira ou topologia grossa de X. (2) D PX é a topologia discreta de X. (3) A classe,A ⊂ X : Ac é finito diz-se a topologia cofinita de X. (4) Se X 0,1, a classeS ,0,0,1 é a topologia de Sierpínski. (5) A classe,X,a,c,p,a,c,p,b,c,p,q é uma topologia sobre o conjunto X a,b,c,p,q.(6) O Teorema II.5.4 mostra que se E,d é um espaço métrico, a topologia da métrica TE éum exemplo de uma topologia sobre E.

III.2.3 Observação Sendo dR a métrica usual de R, é importante em Análise a topologiasobre R definida do modo seguinte: um conjunto não vazio é aberto se e só se, cada vez quelhe pertence um ponto p, o conjunto contém um intervalo aberto de centro p. Esta é atopologia usual U de R; trata-se de um caso particular do exemplo (6) em III.1.2.

III.2.4 Definição Cada conjunto complementar de um conjunto aberto no espaço

topológico X,T diz-se um conjunto fechadoIII.2.5 Exercícios 1. Verifique os Exemplos (3), (4), (5) e indique quais os conjuntos

fechados. 2. A que condição deve obedecer X para que as topologias em (2) e (3)coincidam? Justifique. 3. As classes T1 1,2,3,4,5,1,2,3,3,4,5, eT2 1,2,3,4,5, são topologias sobre o conjunto X 1,2,3,4,5? E a classeT ,A ⊂ X : 5 ∈ A? Justifique.

-179-III.2.6 Resoluções 1. (3) T1 é verificada, pois Xc é um conjunto finito; T2 se

cada A ⊂ X satisfaz Ac finito, então A : ∈ Ac A

c : ∈ A é finito; T3A1 ∩ A2c A1

c A2c é um conjunto finito se ambos A1

c ,A2c são finitos.

Os conjuntos fechados são X e os conjuntos finitos. (4) Verifica-se T1. Dado que S éuma classe finita e a reunião ou intersecção de quaisquer dois conjuntos em S está em S,T2 e T3 são verificadas. Os conjuntos fechados são ,0 e 0,1. (5) T1 é satisfeita;T2 é verificada por a,c,p,a,c,p e a reunião de qualquer um destes conjuntos comb,c,p,q está ainda na classe; T3 as intersecções de dois conjuntos diferentes de ,X são ∈ T, a ∈ T ou c,p ∈ T. Os fechados (complementares dos abertos) são ,X,b,c,q,p,a,a,b,q e b,q. 2. Deve ser X finito, pois obtem-se a topologia PX; masse o conjunto X não é finito não se obtem a topologia discreta de X, pois se p ∈ X entãopc não é um conjunto finito. 3. T1 não é uma topologia sobre X, pois a intersecção3 1,2,3 ∩ 3,4,5 ∉ T1. T2 não é, pois X ∉ T2. T3 é uma topologia, porqueverifica T1,T2 e T3.

III.2.7 Definição Diz-se que um espaço topológico X,T, ou a topologia T de X émetrizável se existe uma métrica d sobre X tal que T é a topologia TX do espaço métricoX,d (ver II.5.1 e II.5.4).

III.2.8 Observação II.5.3 mostra que o espaço topológico discreto X,D é metrizável.Se c é um número real positivo, D é a topologia do espaço métrico X,d, onde d é amétrica sobre X, dx,y 0 x y, dx,y c x ≠ y. O espaço do Exemplo (3) acimanão é metrizável, se X é um conjunto infinito. (4) e (5) não são metrizáveis. (6), e emparticular a topologia usual de R, é metrizável pela definição.

III.2.9 Vemos em III.1.6 que uma mesma topologia metrizável pode ser dada por duasmétricas diferentes.

III.2.10 Exercícios (1) Prove que se M,≤ é um conjunto parcialmente ordenado, aclasse T L, onde U ∈ L se e só se verifica a condição x ∈ U ∧ y ≤ x y ∈ U éuma topologia sobre M. (2) Mostre que a classe formada por e cada subconjunto C de Ntal que, se n ∈ C então todos os divisores de n estão em C, é uma topologia sobre N que édiferente da topologia discreta D PN.

III.2.11 Observação Conforme a III.1.2 (6), a classe U dos conjuntos O da formaO x − x,x x : x ∈ C,C ⊂ R x 0 é uma topologia sobre R, a topologiausual de R. Tem-se U I : ∈ A : I é um intervalo aberto,A é um qualquerconjunto de índices. Notar que a reunião vazia ∈ U, R R : R ∈ R ∈ U, areuniãoI, : , ∈ A : ∈ Γ I, : , ∈ A : ∈ Γ e,quanto a T3, tem-seI : ∈ A ∩ I : ∈ B I ∩ I : , ∈ A B. A classe I dosintervalos abertos de R verificaI : I ∈ C R e se I,J ∈ C e I ∩ J ≠ então para cadaponto p ∈ I ∩ J, certo L ∈ C verifica p ∈ L ⊂ I ∩ J. Põe-se

-180-III.2.12 Definição Se X,T é um espaço topológico, a classe B ⊂ T é uma

base da topologia T se tem as propriedades equivalentesB ≡ ∀O ∈ T,∃BO ⊂ B,O B : B ∈ BO i.e., cada aberto é uma reunião

generalizada de conjuntos na base;B ′ ≡ ∀O ∈ T,∀x ∈ O, ,∃Bx ∈ B : x ∈ Bx ⊂ O.III.2.13 Se B é base da topologia T e B1,B2 ∈ B então B1 ∩ B2 é um aberto; logo B

verifica a condição: quaisquer que sejam B1,B2 ∈ B, se x ∈ B1 ∩ B2, existe Bx ∈ B tal quex ∈ Bx ⊂ B1 ∩ B2.

III.2.14 Exemplos (1) Qualquer topologia T é uma base de T. A classe I em III.1.10 éuma base da topologia usual de R. (2) Dado X ≠ , a classe p : p ∈ X dos conjuntossingleton de X é uma base da topologia discreta D de X. (3) X é uma bae da topologiagrossa de X ≠ . (4) Se F é um filtro sobre X, F é uma base da topologia F sobre X.

Continuamos a supor X ≠ .

III.2.15 Observação Decorre de B ′ em III.1.12 que X B : B ∈ B. Se umaclasse C ⊂ PX verifica X B : B ∈ C e a condição em III.1.13 então a classe dasreuniões generalizadas de conjuntos em C é um topologia TC sobre X.

III.2.16 Exercício Verifique a Observação III.1.10.

III.2.17 Resolução Tem-se B : B ∈ ∈ TC,X ∈ TC. DadasO B, : ∈ A ∈ Γ tem-seO : ∈ Γ B, : ∈ Γ, ∈ A ∈ TC. E quanto a T3 verifica-se que dadosB,B ′ ∈ C, o conjunto B ∩ B ′ ⊂ B ′′ : B ′′ ⊂ B ∩ B ′ uma vez que cada x ∈ B ∩ B ′

pertence a certo Bx ⊂ B ∩ B ′; e B ′ ∩ B ′′ ⊃ Bx : Bx ⊂ B ∩ B ′, logoB ∩ B ′ Bx : Bx ⊂ B ∩ B ′. Então dados O B : ∈ A,B ∈ C eO′ B

′ : ∈ A′,B′ ∈ A′ tem-se

O ∩ O′ B ∩ B′ : , ∈ A A′ Bx : x ∈ B ∩ B, , ∈ A A′ ∈ TC

como consequência de, já provado, T2.

III.2.18 Definição Diz-se que a classe C ⊂ PX é base para uma topologia sobre X seB1 X B : B ∈ C;B2 Para cada dois conjuntos B1,B2 em C e cada ponto x ∈ B1 ∩ B2, certo conjunto Bx

na classe C existe tal que x ∈ Bx ⊂ B1 ∩ B2.A topologia TC diz-se que é a topologia gerada pela base C, ou que a classe C

gera a topologia T.

-181-III.2.19 Observações (1) Nem toda a classe não vaziaM ⊂ PX é base para uma

topologia sobre X, ainda queM satisfaça B1). Por exemplo, com X a,b,c, a classeM a,b,b,c não pode ser base de uma topologia sobre X: Pois a intersecção dosabertos b a,b ∩ b,c deveria ser um aberto, logo reunião de conjuntos na classeM. (2) A condição B2 em III.1.15 verifica-se em particular se para cada B1,B2 ∈ C, aintersecção B1 ∩ B2 ∈ C. (3) Em se constatando que uma classe C ⊂ PX verifica sacondições B1 e B2, obtem-se uma topologia sobre X, nomeadamente a topologia TC(Observação III.1.15). (4) Dada uma classe não vazia S ⊂ PX, se B é uma para umatopologia T sobre X e B ⊃ S, então B é uma base de T e cada conjunto em S é umaberto.(4) Se em particular em (2), C é uma partição de X, a classe das reuniõesgeneralizadas dos conjuntos em C é uma topologia sobre X.

III.2.20 Exercício Prove que se B, B∗são bases para topologias T e T∗respectivamente sobre X, então T∗ ⊃ T se e só se é verificada a relação ∀B ∈ B,∀p ∈ B,∃B∗ ∈ B∗ : p ∈ B∗ ⊂ B.

III.2.21 Resolução Condição necessária: Se T∗ ⊃ T e p ∈ B, onde B ∈ B então B éaberto em X,T; pelo teorema anterior, existe B∗ ∈ B∗ tal que p ∈ B∗ ⊂ B. Condiçãosuficiente: Na hipótese dada, cada B ∈ B é uma reunião generalizada B Bp

∗ : p ∈ Bonde para cada p ∈ B, Bp

∗ ∈ B∗ satisfaz p ∈ Bp∗ ⊂ B (Verifique). Donde se O ∈ T tem-se

O B : ∈ A B,p∗ : p ∈ B : ∈ A B,p

∗ : ∈ A,p ∈ B ∈ T∗e T ⊂ T∗.

III.2.22 Dada uma cadeia não vazia X,≤, onde pomos a ≨ b com o significado óbvioa,b ∈ X, notando a,b x ∈ X : a ≨ x ≨ b um intervalo aberto de X, tem-se que aintersecção dos intervalos a,b ∩ c,d ou é vazia ou é um intervalo aberto; em particular aclasse dos intervalos abertos de X verifica a condição B2 em III.1.18. Se X não temelemento mínimo nem elemento máximo, então cada ponto x ∈ X pertence a um intervalode X, e verfica-se também a condição B1. Supondo que existe um elemento mínimo a0(respectivamente um elemento máximo b0) em X, verifica-se facilmente que a classeconstituída pelos intervalos abertos e pelos intervalos da formaa0,b x ∈ X : a0 ≤ x ≨ b (resp. pelos intervalos abertos e pelos intervalos da formaa,b0 x ∈ X : a ≨ x ≤ b0) de X é uma base para uma topologia sobre X. Esta é atopologia da ordem de X,≤.

III.2.23 Exemplos (1) A topologia usual de R é a topologia da ordem usual. (2) Em R2

pode considerar-se a ordem lexicográfica x,y ≤ a,b sse x ≨ a ou x a ∧ y ≤ b eobter sobre o plano cartesiano a respectiva topologia da ordem. Sugere-se representargraficamente as possibilidades para um intervalo aberto.

III.2.24 Exemplo A topologia Usobre R gerada pela classe I a,b : a,b ∈ R éa topologia do limite superior Ude R. Para esta topologia, cada intervalo a,b a ≨ b éum aberto. Analogamente se obtem a topologia do limite inferior U−, gerada pela classeI− a,b : a,b ∈ R.

III.2.25 Exercício Verifique que as classes I,I− são bases para uma topologia.

-182-III.2.26 Resolução Considerando I, tem-se R −n,n : n ∈ N. Também a

intersecção de dois intervalos da forma a,b é um intervalo da mesma forma se não évazia. Analogamente para I−

III.2.27 Definição Dadas topologias T e T∗ sobre X, diz-se que T∗ é mais fina que T ouque T é menos fina que T∗ se T∗ ⊃ T. T∗ é estritamente mais fina que T (T estritamentemenos fina que T′∗) se T∗ T.

III.2.28 (1) Mostre que a topologia do limite superior I sobre R é estritamente maisfina que a topologia usual U de R. (2) Mostre que no conjunto parcialmente ordenadoM,⊂,M a classe das topologias sobre X, existe máximo e mínimo.

III.2.29 Resoluções (1) A classe I dos intervalos abertos em III.1.7 gera U. Tem-se−,b −n,b − 1/n : n ∈ N logo cada intervalo −,b ∈ TI ; como cadaa, a,a n : n ∈ N ∈ TIconclui-se que cada intervalo abertoa,b ∈ TI U. Portanto U ⊃ I, donde U ⊃ U. O conjunto 0,1 é aberto em R,Umas não é aberto em U, logo U é estritamente mais fina que U. (2) Dado X, tem-seG ⊂ T ⊂ D para cada topologia T sobre X.

III.2.30 Exercício Seja C0,1 o conjunto das funções reais contínuas sobre 0,1.a Prove que as seguintes classes são bases para topologias sobre C0,1:i a classeM formada pelos conjuntos Mf, g ∈ C0,1 :

0

1∣ f − g ∣

f ∈ C0,1, 0, onde o integral é o integral à Riemann ou à Lebesgue;ii B constituída pelos conjuntos

Uf, g ∈ C0,1 : sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0,1 ;iii a classe L dos conjuntos

Uf,W, g ∈ C0,1 : sup∣ fx − gx ∣: x ∈ W onde W é um subconjuntofinito de 0,1, 0.

b Mostre que TB é mais fina que TL.c Prove que TM e TL não são comparáveis no conjunto parcialmente ordenado

M0,1,⊂,M0,1 a classe das topologias sobre C0,1.d TM é metrizável? TB é metrizável? Justifique.III.2.31 Resolução

a i Sendo f0x 0 0 ≤ x ≤ 1 tem-se C0,1 Mf0,n : n ∈ N. Dadasf1, f2 ∈ C0,1,1,2 0, se f ∈ Mf1,1 ∩Mf2,2 então para cada g ∈ Mf,, onde min1 − 0

1∣ f − f1 ∣,2 − 0

1∣ f − f2 ∣ tem-se

0

1∣ g − f ∣

0

1∣ g − fi ∣≤ 0

1∣ g − f ∣

0

1∣ f − fi ∣ 0

1∣ f − fi ∣≤ i

i 1,2 donde Mf, ⊂ Mf1,1 ∩Mf2,2.ii Com f0 como em i, tem-se C0,1 Uf0,n : n ∈ N. Dados

Uf1,1,Uf2,2, dada f ∈ Uf1,1 ∩ Uf2,2, mini − sup∣ fx − fix ∣: 0 ≤ x ≤ 1, i 1,2 verificasup∣ gx − fx ∣ sup∣ gx − fix ∣: 0 ≤ x ≤ 1 sup∣ fix − fx ∣: 0i 1,2 e Uf, ⊂ Uf1,1 ∩ Uf2,2.

-183-iii Sendo f0 como em i, ii, W 0, tem-se C0,1 Uf0,0,n : n ∈ N.

Também dados W1,W2 subconjuntos finitos de 0,1, 1,2 0 e dadasfi, i 1,2 ∈ C0,1, f ∈ Uf1,W1,1 ∩ Uf2,W2,2 então com mini − sup∣ fx − fix ∣: x ∈ Wi : i 1,2 0, W W1 W2 encontra-seg ∈ Uf,W, sup∣ gx − fix ∣: x ∈ Wi supfix − fx ∣: x ∈ Wi ≤ i

i 1,2. assim Uf,W, ⊂ Uf1,W1,1 ∩ Uf2,W2,2.b Utilizando III.1.17, temos. dado Uf,W, e dada g ∈ Uf,W, então com

− sup∣ fx − gx ∣: 0 ≤ x ≤ 1 0 verifica-se Ug, ⊂ Uf,W,.Efectivamente,sup∣ gx − x ∣: 0 ≤ x ≤ 1 sup∣ fx − x ∣: x ∈ W . (Preencha osdetalhes). Assim, III.1.17 mostra que TB ⊃ TL.

c Se dadas f,g ∈ C0,1 tais que g ∈ Mf, 1 mostrarmos que não existem umsubconjunto finito W e 0 para os quais Ug,W, ⊂ Mf, 1 teremos provado queMf, 1 não é reunião generalizada de conjuntos em L, donde TL não é mais fina que TM.Com efeito, qualquer que seja 0 e para cada subconjunto finito W x1, . . . ,xn de0,1, g ∈ Mf, 1, tem-se: se W x1 0, existe uma função contíunua crescente : 0,1 → R tal que 0 g0 /2 e x 2 ∣ g0 ∣ ∣ fx ∣1/2 ≤ x ≤ 1; vem ∈ Ug,W, mas ∉ Mf, 1.

Analogamente se W 1, considerando certa C0,1 decrescente, talque 1 g1 /2. Para outros conjuntos finitos W vê-se facilmente que existe umafunção contínua ∈ C0,1 tal que xi gxi 1 ≤ i ≤ n e

0

1∣ − f ∣≥ 1.

Então ∈ Ug,W,\Mf, 1.Reciprocamente, podemos também considerar, dadas g, f tais que g ∈ Uf,W, 1 e

sendo 0, uma função ∈ C0,1 tal que ∈ Mg,\Uf,W, 1: existe uma funçãocontínua : 0,1 → R tal quexk ∣ gxk ∣ 1, onde xk ∈ W verificando

0

1∣ g ∣ .d A métrica d1f,g 0

1∣ f − g ∣ em II.4.4 (5) a) verifica que a bola aberta

B0f, Mf,. Assim a topologia TM é metrizável. Verifica-se facilmente, utilizando adesigualdade supa b : ∈ A ≤ supa : ∈ A supb : ∈ A que a funçãodf,g sup∣ fx − gx ∣: 0 ≤ x ≤ 1 é uma métrica sobre C0,1; tem-se para a bolaaberta B0f, Uf,, donde a topologia TB é a topologia do espaço métrico C0,1,d.

III.2.32 Observação Dada qualquer classe não vaziaH de subconjuntos de X, existeuma topologia TH sobre X tal queH ⊂ TH ⊂ T para toda a topologia T sobre X talque todo o conjunto emH é aberto no espaço topológico X,T. De facto, a classeH∗ k1

n Ck : Ck ∈ H,n ∈ N é uma base de TH, que é portanto a menortopologia sobre X, no conjunto parcialmente ordenado M,⊂ das topologias sobre X, quecontém a classeH.

III.2.33 Exercício Verifique a observação acima.III.2.34 Definição Dada uma classe de conjuntosH ⊂ PX, a topologia TH diz-se

a topologia que temH como subbase.III.2.35 Observações (1) Notar que toda a classe não vazia de subconjuntos de X é

subbase de uma topologia sobre X. (2) Seguindo III.2.19 (4), se S é uma subbase de T, e B éuma base de T, a classe das intersecções finitas de conjuntos em S é uma base B′ de T,B′ ⊂ B.

-184-III.2.36 Exemplo Se Γ é um número ordinal, podemos considerar sobre o conjunto de

ordinais 0,Γ ∈ M : 0 ≤ ≤ Γ ondeM é a classe de todos os ordinais, a topologiaque tem como subbase os intervalos 0, ∈ M : 0 ≤ e,Γ ∈ M : ≤ Γ. Obtem-se assim o espaço ordinal 0,Γ e podemosconsiderar o subespaço 0,Γ. Os conjuntos , ∈ M : formam umabase da topologia. Notar que , é aberto se e só se 0 ou tem um predecessorimediato. Também um sigleton , ≠ Γ, é aberto se e só se tem um predecessorimediato.

III. 2.37 Definição Dada uma classe não vazia N T : ∈ A de topologias sobreo conjunto X, a topologia supremo ∨T : ∈ A da classe N é a topologia sobre X quetem a classe T : ∈ A como subbase.

III.2.38 Observação Verifica-se facilmente que ∨T : ∈ A ⊃ T ∈ A e, se Té uma topologia sobre X mais fina que todas as T, então T ⊃ ∨T : ∈ A. Também∧T : ∈ A T : ∈ A é uma topologia menos fina que cada T e, se atopologia T0 é menos fina que cada T então ∧T : ∈ A é mais fina que T0. Conclui-sea

III.2.39 Propriedade Dado um conjunto X, existem o ínfimo e o supremo de cadaconjunto no conjunto parcialmente ordenado M,⊂ de todas as topologias sobre X.

III.2.40 Exercício Considere as classes B a, : a ∈ R,B− −,b : b ∈ R.

a Mostre que B e B− são bases para topologias U e U− respectivamente sobreR.

b Prove que em U (U−) qualquer intersecção generalizada de abertos é um aberto.c Qual é a topologia ∨U,U−?III.2.41 Exemplo As classes ,X,0 e ,X,1,X −1,0,1, mostram que a

reunião de duas topologias sobre X pode não ser uma topologia sobre X.

-185-III.3 VIZINHANÇAS DE UM PONTO

III.3.1 Vimos que dada uma classe não vazia C de subconjuntos de X, a colecção dasreuniões generalizadas de conjuntos na classe não é necessariamente uma topologia sobreX, pois a intersecção de dois abertos deve ser um aberto, os conjuntos em C devem serabertos, e a condição B2 em III.1.18 pode não ser verificada pela classe C. Respondendo àquestão com a própria pergunta, a classe das intersecções finitas de conjuntos em C (III.1.33e III.1.34) é uma base B da topologia T sobre X que tem C como subbase. Se considerarmos,dada a base B, conjuntos Vx tais que para cada x ∈ B1 ∩ B2 se verifiquex ∈ Bx ⊂ Vx ⊂ B1 ∩ B2, Bx ∈ B na condição B2 em III.I.18, obtemos conferindo III.1.17que cada intersecção de dois conjuntos na base B é reunião generalizada dos conjuntos Vx eassim cada aberto A de T é uma reunião A Vx : x ∈ A.

III.3.2 Definição Dados o espaço topológico X,T, p ∈ X, diz-se que o subconjunto Vde X é uma vizinhança do ponto p se existe um aberto O ∈ T tal que p ∈ O ⊂ V.Designa-se por Vp a classe das vizinhanças do ponto p.

III.3.3 Teorema Um subconjunto A de um espaço topológico X,T é aberto se e só seA é vizinhança de cada um dos seus pontos.

Dem. Certamente não deixa de verificar a condição dada e X é vizinhança de cadaponto p ∈ X. Se A é um aberto, de p ∈ A ⊂ A vemos que A é vizinhança de cada um dosseus pontos. Reciprocamente, se para cada x ∈ A existe um aberto Ox tal que x ∈ Ox ⊂ Aentão A ⊂ Ox : x ∈ A ⊂ A donde A Ox : x ∈ A é um aberto.

III.3.4 Propriedade A classe Vp das vizinhanças de um ponto p ∈ X,T é um filtrosobre X e verifica as propriedades

i Se V ∈ Vp então p ∈ Vii Se U,V ∈ Vp então U ∩ V ∈ Vp

iii Se V ∈ Vp e U ⊃ V então U ∈ Vp

iv Dada U ∈ Vp existe para cada x ∈ U certa V ∈ Vp tal que V ⊂ U e V ∈ Vx paracada x ∈ V.

Dem. i. . . iii são consequências directas da definição. Para iv, se U ∈ Vp tem-sep ∈ O ⊂ U onde O é um aberto, e pode considerar-se V O para cada x ∈ O, atendendo aIII.2.3, c.q.d.

-186-III.3.5 Pode perguntar-se se sendo X um conjunto não vazio, e dispondo de uma

função V : X → PX que associa a cada x ∈ X uma classe Vx verificando as condiçõesi, ii, iii, a classe dos conjuntos A ⊂ X tais que A ∈ Vx para cada x ∈ A, é umatopologia T sobre X. A resposta é afirmativa. Pois certamente T1 é verificada. Para T2, sex ∈ A : ∈ A e A ∈ Vy para cada y ∈ A então, usando iii vemA : ∈ A ∈ Vx. Quanto a T3, dados A,B ∈ T e x ∈ A ∩ B tem-se A,B ∈ Vx dondeA ∩ B ∈ Vx.

III.3.6 Observação Se a condição iv em III.2.4 é também verificada, Vx é o filtro dasvizinhanças de cada ponto x no espaço topológico X,T, atendendo a III.2.3.

III.3.7 Definição Diz-se que o espaço topológico X,T é um espaço de Hausdorff sedados dois quaisquer pontos a,b ∈ X,a ≠ b, existem vizinhançase disjuntas U,V de a,brespectivamente. Em linguagem lógica, o espaço é um espaço de Hausdorff se e só severifica a condição

Hausdorff ≡ ∀a,b ∈ X,a ≠ b,∃U ∈ Va,V ∈ Vb,U ∩ V .Atendendo a II.5.7 e à definição de vizinhança de um ponto, todo o espaço

topológico metrizável é um espaço de Hausdorff.III.3.8 Definição Dado o espaço topológico X,T, a ∈ X, diz-se que a classe Ba é uma

base de vizinhanças do ponto a se Ba ⊂ Va e Ba é uma base do filtro Va. Também se dizque Ba é um sistema fundamental de vizinhanças do ponto a.

III.3.9 Observação As topologias sobre X para as quais existe uma base de vizinhançasfechadas (que são conjuntos fechados) de cada ponto têm propriedades particaulares.Também se destacam as topologias tais que cada ponto tem uma base de vizinhançascontável.

III.3.10 Exercícios (1) Verifique que as topologias metrizáveis sobre X têm ambas aspropriedades na observação anterior. (2) Conclua que se X é um conjunto infinito então atopologia cofinita de X não é metrizável.

III.3.11 Resoluções (1) Se X,T é metrizável para uma métrica d, a classeBa, 1/n : n ∈ N, onde Ba, 1n x ∈ X : dx,a ≤ 1/n é uma base contável devizinhanças de a formada por conjuntos fechados. (2) Com efeito a única vizinhançafechada de um ponto p ∈ X é todo o X; pois se p ∈ A ⊂ W ≠ X, A aberto e W fechadoentão o conjunto infinito A (A é infinito pois X\A é finito) está contido no conjunto finito W,o que é impossível. Mas se x ≠ p então V X\x é uma vizinhança de p diferente de X,logo não existe nenhuma vizinhança fechada de p contida em V. Portanto não se verificaque todo o ponto tem uma base de vizinhanças fechadas logo, por (1), X não é metrizável.

III.3.12 Definição O espaço topológico X diz-se que é um espaço C1 ou que verificao 1º axioma da numerabilidade se cada ponto tem uma base de vizinhanças contável.

-187-III.3.13 Observações (1) Atendendo a III.2.9 (1), todo o espaço metrizável é um espaço

C1. (2) O espaço topológico N,C, C a topolgia cofinita (Exemplo III.1.2 (3)) é umespaço C1 não metrizável. (3) Munindo R da topologia para a qual um conjunto A éaberto se e só se R\A é um conjunto contável ou A , obtem-se um espaço topológico quenão é um espaço C1, como veremos em III.7.

III.3.14 Exercício Verifique III.2.12 (2).III.3.15 Resolução Como se viu em III.2.9, N,C não é metrizável. Dado n ∈ N, o filtro

das vizinhanças Vn de n é uma base de vizinhanças do ponto n. Pela definição da topologia,tem-se Vn Fc : n ∉ F,F é um conjunto finito; Assim a função f : Fn → Vn definidapor fF Fc, onde Fn é a classe dos subconjuntos finitos de X a que n não pertence éuma bijecção; donde o cardinal de Vp é o cardinal de Fp, portanto não excede #0.

III.3.16 Observação Dado o espaço topológico X,T, x ∈ X, o menor número cardinalx, X,T dos números cardinais das bases de viznhanças de x diz-se o carácterde X,T no ponto x. O carácter de X,T é o número cardinalX,T supx, X,T : x ∈ X. Assim dizer que um espaço topológico é um espaçoC1 é o mesmo que dizer que o espaço tem um carácter contável.

III.3.17 Definição Se C é um subconjunto do espaço topológico X, W ⊃ A ⊃ C, onde Aé um aberto, diz-se que o conjunto W é uma vizinhança de C.

III.3.18 Definição Diz-se que o espaço topológico X,T é um espaço C2 ou queverifica o 2º axioma da numerabilidade se existe uma base contável da topologia T.

III.3.19 Observações. (1) Conclui-se do Teorema II.7.7 que todo o espaço topológico Xmetrizável para uma métrica d e tal que X,d é separável, é um espaço C2; e se X,dnão é separável, então não é um espaço C2 quando munido da topologia associada àmétrica. Em particular, R,D, D a topologia discreta, não é um espaço C2.

III.3.20 Exercício Prove que todo o espaço C2 é um espaço C1.

III.3.21 Resolução Seja X,T um espaço C2, B uma base contável da topologia. Sea ∈ X e A é um aberto tal que a ∈ A então existe B ∈ B, a ∈ B ⊂ A. Logo se V é umavizinhança de a, existem A ∈ T, B ∈ B, a ∈ B ⊂ A ⊂ V. Postanto a classeBa B ∈ B : a ∈ B é uma base contável de vizinhanças do ponto a.

III.3.22 Observação Dado um espaço topológico X,T, diz-se peso (weight) do espaçoo número cardinal ínfimo da classe dos números cardinais das bases da topologia T, enota-se X,T. Assim um espaço topológico X,T ter peso X,T ≤ #0 significa queverifica o 2º axioma da numerabilidade.

-188-III.4 SUBESPAÇOS TOPOLÓGICOS

III.4.1 Definição Sejam X,T um espaço topológico, ≠ Y ⊂ X. A classeTY Y ∩ A : A ∈ T é uma topologia sobre Y, chamada topologia de subespaço de X outopologia induzida em Y por T. Munido desta topologia, Y (ou Y,TY) diz-se um subespaçotopológico de X.

III.4.2 Exercício Verifique que TY é e facto uma topologia sobre Y.

III.4.3 Resolução T1 Y ∩ ,Y ∩ X Y, logo ,Y ∈ TY. T2 ComoY ∩ A : ∈ A Y ∩ A : ∈ A, T verifica-se. T3 verifica-se poisY ∩ A1 ∩ Y ∩ A2 Y ∩ A1 ∩ A2.

III.4.4 Exercício Mostre que se ≠ C ⊂ A ⊂ X,T então sobre C, coincidem atopologia de subespaço de A e a topologia de subespaço de X.

III.4.5 Propriedade (base de um subespaço) Seja B uma base da topologia de X, e sejaY ⊂ X,Y ≠ . Então a classe BY Y ∩ B : B ∈ B é base para a topologia de subespaçosobre Y.

Dem. Seja O ∈ TY, e seja y ∈ O. Existe A ∈ T tal que O Y ∩ A. Como y ∈ A, existeB ∈ B tal que y ∈ B ⊂ A. Então y ∈ Y ∩ B ⊂ Y ∩ A O c. q. d.

III.4.6 Exemplos (1) A topologia induzida sobre 0, pela topologia usual de R tema classe 0,a, a,b: a,b ∈ R, 0 a b como base. O conjunto 0,1 é um aberto. (2)Se X é um conjunto não vazio munido da topologia cofinita e Y é um subconjunto finito deX, a topologia de subespaço de Y é a topologia discreta de Y.

III.4.7 Observações (1) Um subespaço topológico de um espaço metrizável é umespaço metrizável. (2) Um subespaço de um espaço topológico C1 (respectivamenteC2) é um espaço C1 (respectivamente C2).

III.4.8 Exercícios Verifique III.3.6.III.4.9 Resolução (1) Sejam X um espaço metrizável, d uma distância em X que define

a topologia de X e Y um subespaço topológico de X. Seja dY a restrição de d a Y Y. Comovimos (II.2.14), Y,dY é um espaço métrico, chamado subespaço métrico de X,d. Atopologia associada a esse espaço métrico coincide com a topologia induzida TY, peloTeorema II.6.4 e portanto TY é metrizável.

-189-III.4.10 As observações em III.3.6 ilustram a noção de propriedade hereditária, ou seja,

uma propriedade que se é verificada por um espaço topológico, então é verificada por todosos seus subespaços. Adiante estudaremos propriedades não hereditárias.

III.4.11 Observação Quando há subespaços envolvidos há que ter cuidado com ostermos ”aberto”, ”fechado”, etc. Por exemplo, no plano R2 munido da topologia usual, umsegmento de recta sem as duas extremidades não é um conjunto aberto; mas na recta que ocontem, munida da topologia induzida, já é um conjunto aberto. Há no entanto um caso emque podemos garantir que qualquer aberto na toplogia induzida também é aberto natopologia do espaço:

III.4.12 Propriedade Sejam X um espaço topológico e Y ⊂ X,Y um aberto. Então seA ⊂ Y, e A é aberto no subespaço Y de X, A é aberto em X.

Dem. A aberto em existe B aberto em X tal que A Y ∩ B; como intersecção de doisabertos de X, A é aberto em X, c.q.d.

III.4.13 Exercícios(1) Prove que se X é um espaço topológico, C ⊂ Y ⊂ X onde Y ≠ , C é fechado em Y

se e só se existe um fechado F em X tal que C Y ∩ F.(2) Demonstre a propriedade análoga a III.3.11 para conjuntos fechados: Seja Y fechado

em X, C ⊂ Y. Se C é fechado no subespaço topológico Y então C é fechado em X.(3) Sejam ≠ A ⊂ Y X. a Prove que a classe T ,U ⊂ X : A ⊂ U é uma

topologia sobre X. b Mostre que todo o aberto no subespaço Y é aberto em X,T c Proveque o conjunto Y não é fechado em X e é fechado no subespaço Y.

III.4.14 Resoluções (1) C é fechado em Y se e só se Y\C Y ∩ A, A aberto em X se e sóse C Y\Y ∩ A Y ∩ Ac, Ac fechado em X. (2) Conclui-se de (1). (3) a T1 ,X ∈ Tpois A ⊂ X; T2 U ∈ T ∈ A A ⊂ U

∈ A A ⊂ U : ∈ A U : ∈ A ∈ T.T3 U1,U2 ∈ T A ⊂ U1,A ⊂ U2 A ⊂ U1 ∩ U2 U1 ∩ U2 ∈ T.b Como A ⊂ Y, Y é aberto em X, cocluindo-se de III.3.11. c Se C ⊂ X tem-se C

fechado se e só se C X ou A ⊂ X\C; mas existe a ∈ A ⊂ Y donde Y ⊈ X\C, ≠ X e Y nãoé um subconjunto fechado de X. No entanto Y Y\ é fechado no subespaço Y.

III.4.15 Exemplo Observámos anteriormente (Exemplo III.1.24 (1)) que a topologiausual de R coincide com a topologia da ordem usual. No entanto, se considerarmos porexemplo o subespaço Y − 2,01,3, a topologia da ordem em Y não coincide com atopologia induzida pela topologia usual de R.

III.4.16 Exercício Verifique o Exemplo III.3.14 (Sug: considere o conjunto 1,2; noteque não existem a,b ∈ Y tais que 1 ∈a,b e a,b⊂ Y).

-190-III.4.17 Observação Ainda em relação com as observações em III.3.6 e as propriedades

hereditárias, observemos que a topologia induzida tem em geral propriedades diferentes datopologia do espaço. Por exemplo, a topologia induzida sobre N pela topologia usual de R éa topologia discreta. Também no exemplo (2) em III.3.5, vemos que pode ser metrizávelum subespaço de um espaço topológico não metrizável, por exemplo Y 1,2, 2 ⊂ R,considerado R munido da topologia cofinita (Observação III.1.8).

III.4.18 Exercício Considere em R2 a topologia gerada pela baseB a,bc,d: a,b,c,d ∈ R,a b,c d. Determine a topologia induzida numa recta(considere os diferentes casos possíveis para a recta, nomeadamente horizontal, vertical,declive positivo, declive negativo).

III.4.19 Resolução Determinemos as topologias induzidas através das respectivas basesobtidas como indicado em III.3.4, intersectando os elementos de B com a recta: (i) no casoda recta horizontal,da recta vertical ou de declive positivo, obtêm-se todos os intervalosfechados no extremo menor e abertos no extremo maior; portanto a topologia induzida é ado limite inferior. (ii) No caso da recta de declive negativo, obtêm-se inclusivamenteconjuntos com um só elemento (singletons) e portanto a topologia induzida é a topologiadiscreta.

III.4.20 Veremos adiante (III.14) a partir deste resultado em III.3.18 que a topologia dolimite inferior em R não é metrizável.

III.5 CONJUNTOS FECHADOS. DEFINIÇÃO DA TOPOLOGIA PELOOPERADOR DE FECHO.

III.5.1 Definição Se X,T é um espaço topológico, o subconjunto F de X diz-se umconjunto fechado se o seu complementar Fc X\F é um aberto.

Das leis de De Morgan decorre

III.5.2 Propriedade Dado um espaço topológico X,T tem-se:F1 ,X são conjuntos fechados;F2 se cada F é um subconjunto fechado de X ∈ A entãoF : ∈ A é

fechado;F3 se F1, . . . ,Fn são fechados entãok1

n Fk é um conjunto fechado.III.5.3 Como consequência das definições, dado um conjunto não vazio X, se C é uma

colecção de subconjuntos F de X verificando as condições F1,F2 e F3 então a classe doscomplementares X\F é a topologia sobre X para a qual C é a classe dos conjuntos fechados.

-191-III.5.4 Observação Um conjunto C ⊂ X,T é fechado se e só se X\C é aberto i.e., cada

ponto x ∈ X\C tem uma vizinhança V ⊂ X\C ou, equivalentemente, tal que V ∩ C .Portanto C é fechado se e só se, considerando um ponto qualquer x ∈ X, a relação V ∈ Vx eV ∩ C ≠ implica x ∈ C. Somos assim levados a considerar, dado um arbitráriosubconjunto A de X, o conjunto A dos pontos x ∈ X tais que é verdadeira a implicaçãoV ∈ Vx e V ∩ A ≠ x ∈ A. Este conjunto A contém A.

III.5.5 Definição Dado A ⊂ X,T, diz-se que um ponto x ∈ X é um ponto aderente deA se verifica a relação ∀V ∈ Vx,V ∩ A ≠ . O conjunto A dos pontos aderentes de Achama-se a aderência ou fecho de A.

III.5.6 Exercícios (1) Prove que se A ⊂ F ⊂ X e F é fechado em X,T então A ⊂ F.(2) Mostre que se A,B são subconjuntos de X, então tem-se A B A B no espaçotopológico X,T. (3) Conclua de (2) que A ⊂ B ⊂ X,T A ⊂ B.

III.5.7 Resoluções (1) Se p ∈ A então V ∩ A ≠ para cada V ∈ Vp; donde∀V ∈ Vp,V ∩ F ≠ e assim p ∈ F (III.4.4). (2) Tem-se V ∩ A B V ∩ A V ∩ Bdonde p ∈ A B ∀V ∈ Vp,V ∩ A B ≠ ∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ ∨ V ∩ B ≠ ouseja, p ∈ A B sse ∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ p ∈ A ∨ ∀V ∈ Vp,V ∩ B ≠ p ∈ B.

III.5.8 Teorema O fecho do subconjunto A do espaço topológico X,T é a intersecçãoda classe dos subconjuntos fechados de X que contém A.

Dem. Tem-se A ⊂ F : F é fechado,F ⊃ A atendendo a III.4.6 (1).Reciprocamente, seja p ∈ F : F é fechado,F ⊃ A. Verifica-se então ~p ∈ Fc : Fé fechado,F ⊃ A e assim ~p ∈ O ∈ T : O ⊂ Ac. Portanto não existe nenhumavizinhança V de p contida em Ac; então tem-se ∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ donde p ∈ A.

III.5.9 Corolário O fecho A de um subconjunto A do espaço topológico X,T é umconjunto fechado em X,T.

Dem. Pelo teorema, atendendo a III.5.2.

III.5.10 Propriedade Se A,B são subconjuntos do espaço topológico X,T e o conjuntoA é aberto, então A ∩ B ⊂ A ∩ B.

Dem. Seja p ∈ A ∩ B. Se O é um conjunto aberto, p ∈ O, então O ∩ A é umavizinhança de p, logo O ∩ A ∩ B ≠ . Assim cada vizinhança O do ponto p tem intersecçãonão vazia com A ∩ B, p ∈ A ∩ B c.q.d.

III.5.11 Atendendo a III.4.4 e III.4.5, o subconjunto A de X,T é fechado se e só seA ⊃ A, o que é equivalente a A A. Utilizando III.4.10 e III.4.9 vemos que o fecho de A éA e concluimos de III.4.6 (2) que dado o espaço topológico X,T, se considerarmos afunção, ou operador de fecho F : PX → PX que associa a cada subconjunto A de X oseu fecho FA A, este operador tem as propriedades no seguinte

-192-III.5.12 Teorema No espaço topológico X,T,F1 ;F2 A ⊂ A;F3 A A;F4 A B A B.

III.5.13 Teorema Se X é um conjunto não vazio e F : PX → PX é um operador defecho verificando as propriedades no Teorema III.4.12, então os conjuntos F tais queFF F F são os conjuntos fechados em X,T, onde a classe T dos conjuntos da formaX\FC, C ⊂ X, é uma topologia sobre X.

Dem. Atendendo a III.4.3, verifiquemos as condições no Teorema III.4.2.F1 é fechado, dada F1 e X X é consequência de F2. Vemos por F4 que se

verifica F3. Consequentemente, dados A,B ⊂ X, se B ⊂ A entãoA A\B B A\B B ⊃ B; dada então uma classe não vazia de subconjuntos

F F ∈ A, tem-se por F2 queF : ∈ A ⊂ F : ∈ A e para ainclusão recíproca, se x ∈ F : ∈ A ⊂ F F para cada , então

x ∈ F : ∈ A logo verifica-se F2 c.q.d.

III.6 CONJUNTOS NOTÁVEIS ASSOCIADOS A UM CONJUNTO NO ESPAÇOTOPOLÓGICO.

III.6.1 Vimos em III.2.3 que o subconjunto A do espaço topológico X,T é aberto se esó se A é vizinhança de cada um dos seus pontos. Põe-se a

III.6.2 Definição Dados o espaço topológico X,T, A ⊂ X, um ponto p ∈ X diz-se queé um ponto interior de A se A é uma vizinhança de p. O conjunto dos pontos interiores de Aé o interior de A e nota-se intA ou Ao.

III.6.3 Observações (1) Pela definição em III.4.2 tem-se p ∈ Ao se e só se existe umaberto O tal que p ∈ O ⊂ A. Portanto é sempre Ao ⊂ A e tem-se o ,Xo X. Notar quep ∈ Ao ∃V ∈ Vp,V ⊂ A. (2) Também o conjunto A é aberto em X,T sse é vizinhançade cada um dos seus pontos i.e. se e só se A ⊂ Ao sse A Ao.

III.6.4 Teorema Dados subconjuntos A,B de X,T tais que A ⊂ B tem-se Ao ⊂ Bo.Dem. É consequência imediata de III.5.3 c.q.d.III.6.5 Corolário Se A ⊂ B ⊂ X e A ∈ T no espaço topológico X,T tem-se A ⊂ Bo.Dem. Conclui-se do teorema e de III.5.3 c.q.d.

-193-III.6.6 Teorema Para cada subconjunto A de X, tem-se intAc Ac.Dem. Há a provar que a negação de p ∈ A é equivalente à condição ∃V ∈ Vp,V ⊂ Ac.

Efectivamente ~∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ ∃V ∈ Vp,V ∩ A c.q.d.III.6.7 Corolário O conjunto Ao é aberto no espaço topológico X,T para cada A ⊂ X.Dem. Considerando Ac no lugar de A em III.4.6 vemos que Ao é o complementar do

conjunto fechado Ac (III.4.10) c.q.d.III.6.8 Concluimos de III.5.3, III.5.5 e III.5.7 : dados A,B ⊂ X tem-se em X,T que

Ao Bo ⊂ intA B, pois a reunião de abertos é um aberto. Também III.5.5 e III.5.7implicam intintA intA. Tem-se

III.6.9 Propriedade Se A,B são subconjuntos no espaço topológico X,T tem-sei o ;ii Ao ⊂ A e Ao A sse A é aberto;iii intintA intA;iv intA ∩ B intA ∩ intB;v intA intB ⊂ intA B.Dem. Resta provar iv. Se x ∈ intA ∩ intB então existem abertos O,O′ tais que

x ∈ O ⊂ A e x ∈ O′ ⊂ B, logo x ∈ O ∩ O′ e O ∩ O′ é um aberto contido em A ∩ B, dondex ∈ intA ∩ B. A inclusão intA ∩ B ⊂ intA ∩ intB conclui-se de III.5.4, c.q.d.

III.6.10 Observação Notar a analogia de i. . . iv em III.4.9 com F1, . . . ,F4 emIII.3.12. Também, considerando v, tem-se A ∩ B ⊃ A ∩ B (III.3.6 (3)). Como Exercícioverifique que ambas as inclusões A ∩ B ⊃ A ∩ B e III.5.9 (v) são próprias (Sug: II.5.16).

III.6.11 Observação Comparativamente com III.3.10, o interior de um subconjunto Ano espaço topológico X,T é a reunião da classe dos subconjuntos abertos de A. (TeoremasIII.5.6, intA Acc e III.4.9).

III.6.12 Um subconjunto A de X,T diz-se raro se intA . O conjunto 0,1 ∩ Qem R munido da topologia usual dá exemplo de um conjunto de interior vazio que não éraro.

III.6.13 Exemplos A topologia ,X,0,0,1,0,1,2,1, 2 ,2, 3 sobreX 0,1, 2 , 3 ,2 mostra que podem existir subconjuntos próprios de X (i.e., diferentesde ,X) simultaneamente abertos e fechados, enquanto por exemplo 0, 2 não é abertonem fechado.

III.6.14 Definição Se A ⊂ X,p ∈ X, diz-se que p é um ponto exterior de A se é umponto interior do conjunto Ac; nota-se extA intAc e diz-se exterior de A o conjuntodos pontos exteriores de A.

-194-III.6.15 Observação extA é um subconjunto aberto de X,T,A ⊂ X.III.6.16 Definição Diz-se que o ponto p em X é um ponto fronteiro do subconjunto A

de X no espaço topológico X,T se verifica a condição ∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ ∧ V ∩ Ac ≠ .O conjunto dos pontos fronteiros de A é a fronteira de A e designa-se por frA ou ∂A.

III.6.17 Observação A negação da condição p ∈ ∂A é∃V ∈ Vp,V ⊂ Ac ∨ V ⊂ A, equivalente à condição p ∈ intA ∨ p ∈ extA. Portanto

dado p ∈ X, o ponto p verifica uma e uma só das condiçõesp ∈ intA,p ∈ extA,p ∈ frA.

Assim tem-seIII.6.18 Propriedade Para cada subconjunto A de X,T, a classe intA,extA, frA

é uma partição de X.

III.6.19 Exemplo Se X é um conjunto infinito, A ⊂ X e ambos os conjuntos A,Ac sãoinfinitos, então sendo X munido da topologia cofinita em III.1.2 (3), tem-sefrA X, intA extA .

III.6.20 Observação A fronteira de um conjunto no espaço topológico é um conjuntofechado. Com efeito, frA X\intA extA pela Propriedade III.4.18.

III.6.21 Exercício Prove que dado A ⊂ X,T,a frA ⊂ A; b A intA frA; c A extAc.III.5.22 Resolução a Se p ∈ frA tem-se ∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ ∧ V ∩ Ac ≠ ; em

particular, ∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ e p ∈ A; b de intA ⊂ A ⊂ A e frA ⊂ A conclui-seintA frA ⊂ A. E se p ∈ A, V ∩ A ≠ ,∀V ∈ Vp então ou existe V ∈ Vp, V ⊂ A (ep ∈ intA) ou para cada V ∈ Vp, V ∩ A ≠ ∧ V ∩ Ac ≠ , e então p ∈ frA; c conclui-sede b aplicando III.4.18.

III.6.23 Observação Verifica-se também A A frA para cada A ⊂ X,T.III.6.24 Definição Diz-se que o ponto p ∈ X é um ponto de acumulação do

subconjunto A em X,T se toda a vizinhança de p contém um ponto de A diferente de p. Oconjunto dos pontos de acumulação de A chama-se o conjunto derivado de A erepresenta-se por A ′.

III.6.25 Obsrvação Tem-se p ∈ A ′ sse p ∈ A\p. A inclusão A ′ ⊂ A verifica-sesempre.

-195-III.6.26 Teorema Para cada subconjunto A em X,T, tem-se A A A ′.III.6.27 Exercício Demonstre o teorema anterior.III.6.28 Resolução Pelas observações III.3.4 e III.4.26, tem-se A A ′ ⊂ A. Para a

inclusão recíproca, seja p ∈ A ≡ ∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ ; Dada V ∈ Vp, se p ∈ A entãop ∈ A A ′; se

p ∉ A, conclui-se da relação V ∩ A ≠ que V ∩ A\p ≠ , p ∈ A ′.

III.6.29 Observação Em qualquer espaço topológico X, se x ∈ X tem-se x ∉ x ′ ex′ x\x .

III.6.30 No espaço topológico N,I onde I é a topologia gerada pelos conjuntos daforma n,n 1,n 2, . . . o conjunto derivado A ′ é infinito se e só se A é infinito e, nestecaso, A X.

III.6.31 Exercício Prove que num espaço topológico, o conjunto derivado de umsubconjunto é um conjunto fechado.

III.6.32 Resolução. Há a provar a inclusão A ′ ⊂ A ′. De factop ∈ A ′ p ∈ A\p A\p A ′ (III.5.25, III.4.12) e o rsultado conclui-se de III.3.11.

III.6.33 Definição O ponto a diz-se um ponto isolado do conjunto A no espaçotopológico X se existe uma vizinhança V de a tal que V ∩ A a.

III.6.34 Observação Em qualquer espaço topológico, o fecho de um conjunto é areunião disjunta do seu conjunto derivado e do conjunto dos seus pontos isolados.

III.6.35 Exercícios(1) Verifique III.5.34(2) Prove que se A é um subconjunto de X,T então

a A ∩ frA sse A é aberto.b frA se e só se A é aberto e fechado.c frAo ⊂ frA. Dê um exemplo em que frA frAo.d frA frAc.

(3) Demonstre que se T1 e T2 são topologias sobre X tais que T2 é mais fina que T1,A ⊂ X, então a fronteira de A em X,T1 contém a fronteira de A em X,T2.

-196-III.6.36 Resoluções(1) p ∈ A ∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ ∀V ∈ Vp,V ∩ A\p ≠ ∨

∨∃V ∈ Vp,V ∩ A p p é um ponto isolado de A ou p ∈ A ′.(2) a A é aberto sse A ⊂ Ao ∀p ∈ A, ~p ∈ frA A ∩ frA

b frA A ⊃ frA ∧ A ∩ frA A é fechado e aberto. E se A é fechado(aberto) então A ⊃ frA (III.5.23, III.4.12) (A ⊂ Ao e A ∩ frA ) logofrA A ∩ frA

c p ∈ frAo ∀V ∈ Vp,V ∩ Ao ≠ ∧ V ∩ Aoc ≠ ∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ ∧ ~V ⊂ Ao ∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ ∧ ∃x ∈ V,x ∉ A ∀V ∈ Vp,V ∩ A ≠ ∧ V ∩ Ac ≠ p ∈ frA. X,T R,U, A 0.

(3) Pois Acc A.III.6.37 Definição Um subconjunto A do espaço topológico X,T diz-se denso (em X)

se o fecho A X.III.6.38 Exemplos (1) Em R, munido da topologia usual, o conjunto Q é denso. (2) Nos

Exemplos III.4.13, o conjunto 0,1 é denso enquanto 2 ,2 não é denso nem fechado.(3) A classe T ,A ⊂ R : 1 ∈ A é uma topologia sobre R para a qual o conjunto 1 édenso. Sendo P o conjunto dos números naturais pares, tem-se intP .

Recorde que um subconjunto C de X,T é raro se intC .III.6.39 Exercícios (1) Mostre que o subconjunto A do espaço topológico X,T é denso

se e só se para cada ponto p ∈ X, todo o aberto contendo p tem intersecção não vazia comA. (2) Conclua que se C ⊂ X,T, o conjunto X\C é denso se e só se C é um conjunto raro.

III.6.40 Resoluções (1) Cada ponto p ∈ X está em A se e só para cada vizinhança V dep, V ∩ A ≠ . (2) Atendendendo a (1), X\C é denso se e só se ∀V ∈ Vp,V ∩ X\C ≠ ssequalquer que seja o ponto p, tem-se ~∃V ∈ Vp,V ⊂ C ou, o que é o mesmo, se e só senenhum ponto do espaço é um ponto minterior de C.

III.6.41 Exercício Prove que se D é um subconjunto denso em X,T e A é umsubconjunto aberto então A D ∩ A. (Sug: Propriedade III.3.11).

III.6.42 Definição A densidade de um espaço topológico X é o menor número cardinalda forma #D, onde D é um subconjunto denso de X, e representa-se por dX. O espaço Xdiz-se separável se dX ≤ #0.

III.6.43 Teorema Para qualquer espaço topológico X, tem-se dX ≤ X.Consequentemente, todo o espaço topológico C2 é separável.

Dem. Seja B Bi : i ∈ I uma base da topologia, onde #I ≤ X. Sendo xi ∈ Bi

para cada i, D xi : i ∈ I B, o selector de Zermelo, o conjunto D é denso(III.4.38 (1)); certamente #D ≤ #I e assim dX ≤ X. Recorde III.2.21

-197-.III.6.44 Observações (1) Conforme a II.7.7, se X,T é metrizável tem-se dX ≤ #0 se

e só se X ≤ #0. (2) A recta de Sorgenfrey K é a recta real munida da topologia geradapelos intervalos x, r onde x ∈ R, x r e r ∈ Q. Certamente Q é um subconjunto denso,dK ≤ #0 e tem-se K c. Com efeito, o número cardinal da base B formada poraqueles intervalos x, r é c. E seR é uma classe de abertos de K tal que #R c, entãoseja A ∈ R, A xA,j, rA,j. Se x infA e x ∈ A tem-se que x é um dos pontos xA,j; alémdisso, se x infA então x ∈ A e portanto, sendo #K #0, existe um ponto x0 que não é oínfimo de nenhum aberto A emR. Então o conjunto aberto x0,x0 1 não é reunião deconjuntos emR, logoR não é uma base da topologia de K. Portanto dK ≨ K e emparticular, K não é metrizável. (3) A propriedade ser separável não é hereditária, comoveremos (III.10.38). Se bem que o seja no contexto dos espaços métricos.

IV.7 CONVERGÊNCIA NO ESPAÇO TOPOLÓGICO

Recordar que uma rede no conjunto X é uma função u de um conjunto dirigido I,em X, que notaremos ui,ui ui. Recordar também a noção de filtro sobre X.

III.7.1 Definição Se X,T é um espaço topológico, x ∈ X, diz-se que a rede ui em Xconverge para x se verifica a condição

ui → x ≡ ∀V ∈ Vx,∃iV ∈ I, i iV ui ∈ V.Diz-se também então que a rede ui é convergente para x, que x é um limte de

ui e nota-se limui x. Se uma rede não tem limite em X,T diz-se que é divergente emX,T

III.7.2 Exemplos (1) Se p ∈ X;T e ui p i ∈ I então ui → p.(2) Se a rede é uma sucessão un,p ∈ X,T então un converge para p se e só se para

cada vizinhança V do ponto p, existe certa ordem pV tal que un ∈ V desde que n ≥ pV.III.7.3 Observação Uma rede ou uma sucessão no espaço topológico X,T pode ser

convergente para diferentes limites, bem como pde ser divergente. Poderia representar-sex ∈ limui para significar que ui → x (a relação x ∈ X ∧ ui → x define um conjunto),ressalvando a notação limui x para o caso em que x é o único elemento do espaço queverifica a relação ui → x. No primeiro caso de existência de limites diferentes está 1/n emR,G; no segundo caso, −1n em R,U.

III.7.4 Exemplos (1) Considerando 0,1 munido da ordem usual, a rede ui ii ∈ 0,1 não tem limite em 0,1,U, notando U a topologia induzida pela topologiausual de R. (2) A rede i em (1) converge para 1/3 na topologia sobre 0,1 que tem aclasse I1/31/3,2/3 a, 1 : 0 a 1 como subbase. (3) Se X é um conjunto infinitoe C é a topologia cofinita de X, as redes convergentes em X,C são as constantes a partir decerto índice e as que têm uma infinidade de termos diferentes a partir de certo índice. Cadarede convergente converge para qualquer ponto.

-198-III.7.5 Exercício Verifique os exemplos em III.7.4.III.7.6 Resoluções (1) Com efeito 1 ∉ 0,1,U. (2) Dada qualquer vizinhança V do

ponto 1/3, pode tomar-se por exemplo iV 1/10 na condição i → 1/3. (3) Se a rede uiverifica que o conjunto T dos termos é finito, T ui1, . . . ,un e p ∈ X então Tc p éuma vizinhança de p; como não existe i0 iT p tal que ui x constante para todo oi ≥ i0 e T não se reduz a p existe sempre ui ∉ Tc p, i ≥ i0. Logo a rede não convergeneste caso. Mas se o conjunto dos termos é infinito e são todos diferentes a partir de certoíndice, V ∈ Vp, então o conjunto dos termos em Vc é da forma u11, . . . ,uim,m ∈ N eexiste um índice iV tal que i iV ui ≠ ui1, . . . ,uim.

III.7.7 Teorema Dada uma rede xj → x em X,T, cada subrede yi xi → x.Dem Conclui-se da definição de subrede em I.7.26.

Recordar a definição de base de um filtro em I.7.

III.7.8 Definição Sejam X,T um espaço topológico, B uma base de um filtro sobre X,a ∈ X. Diz-se que a base de filtro B converge para a ou que é convergente para a se o filtroF sobre X gerado por B é mais fino que o filtro Va. Nota-se então B → a. Diz-se tambémque o filtro F converge (é convergente) para a e nota-se F → a.

III.7.9 Observações (1) Pela definição em I.7.7, uma base B de um filtro F sobre Xconverge para a ∈ X se e só se verifica a condiçãoB → a ≡ ∀V ∈ Va,∃F ∈ B,F ⊂ V. Esta condição é equivalente a

F → a ≡ ∀V ∈ Va,∃F ∈ F,F ⊂ V. (2) Dado o filtro F sobre X, X,T um espaçotopológico, tem-se F → a se e só se a rede FF no Exemplo I.7.27 é convergente paraa. Analogamente considerando uma base B do filtro F.

III.7.10 Teorema Um espaço topológico tem a propriedade de o limite de cada base defiltro convergente ser único se e só se é um espaço de Hausdorff

Dem Se X,T é um espaço de Hausdorff, a,b são pontos diferentes em X, existemvizinhançase U ∈ Va,V ∈ Vb tais que U ∩ V . Sendo B uma base de filtro em X tal queB → a, existe B ∈ B, B ⊂ U; se também B → b então certo B ′ ∈ B verifica B ′ ⊂ V. Donde ≠ B ∩ B ′ ⊂ U ∩ V, o que contradiz U ∩ V , logo não pode ser B → b.Reciprocamente, se X não é um espaço de Hausdorff, existem dois pontos a,b ∈ X,a ≠ btais que ∀U ∈ Va,∀V ∈ Vb,U ∩ V ≠ . A classe B U ∩ V : U ∈ Va,V ∈ Vb é entãouma base de filtro sobre X. (Verifique). Tem-se B → a pois se U ∈ Va, escolhendo umaV ∈ Vb tem-se B U ∩ V ⊂ U,B ∈ B. Analogamente B → b, não se tem a unicidade doslimites das bases de filtro convergentes, c.q.d.

III.7.11 Corolário O espaço topológico X,T é um espaço de Hausorff se e só se olimite de cada rede convergente em X é único.

Dem É consequência de III.1.9, pois a rede xiI em X é convergente para x se e só se abase de filtro B formada pelos conjuntos Bj xi : i j j ∈ I é convergente para x.

-199-III.7.12 Teorema Sejam X,T um espaço topológico, A ⊂ X,p ∈ X.(1) O ponto p é um ponto aderente de A se e só se existe um filtro F sobre A

convergente para a em X,T.(2) p é um ponto de acumulação de A se e só se existe um filtro F sobre A\p tal que

F → a.Dem. (1) Pois p ∈ A Va ∩ A F ∩ A : F ∈ Va é um filtro sobre A. (2) conclui-se

de (1) (ver III.4.25).III.7.13 Corolário Sejam X;T um espaço topológico, A ⊂ X, p ∈ X.(1) Tem-se p ∈ A se e só se p é limite de uma rede em A.(2) O ponto p é um ponto de acumulação de A se e só se p é limite de uma rede em A

não constante e igual a p a partir de nenhum índice.

III.7.14 Exercício Demonstre o teorema (Sug: III.5.9 (2)).III.7.15 Definição Um espaço topológico X diz-se um espaço sequencial se cada

conjunto A sequencialmente fechado, i.e., tal que A contem os limites de qualquer sucessãoem A, é fechado. X diz-se que é um espaço de Fréchet se cada subconjunto A de X verifica acondição de todo o ponto x ∈ A ser um limite x liman onde an é uma sucessão em A.

III.7.16 Teorema Se X,T é um espaço topológico C1 então é um espaço de Fréchet.Dem. Sejam A ⊂ X, a ∈ A. Pelo Corolário III.5.11 (1) existe uma rede ai em A

convergente para a. Se Ba Vn : n ∈ N é uma base contável de vizinhanças de apodemos considerr as intersecções finitas Un k1

n Vk obtendo uma nova base devizinhanças de a. Então para cada n 1,2, . . . existe ain ∈ Un. Dada uma vizinhança V doponto a tem-se: V ⊃ Un para certo n, donde am ∈ V para todo o m ≥ n, a sucessão an → ac.q.d.

III.7.17 Teorema Todo o espaço de Fréchet é um espaço sequencial.Dem. Pois um subconjunto A de X,T é fechado se e só se A ⊃ A c.q.d.III.7.18 Podemos agora provar III.2.12 (3). Se R,T, ondeT ,A ⊂ R : Ac é contável (verifique que T é uma topologia sobre R) fosse um

espaço C1, então seria um espaço de Fréchet (Teorema III.7.15). Como os conjuntosfechados são os contáveis, o único conjunto fechado que contem R\Q é todo o R, donde ofecho de R\Q é R (intersecção da classe dos fechados que contêm R\Q). Mas o ponto 0 nãoé limite de nenhuma sucessão em R\Q, pois 0 não é um termo e dada xn em R\Q, oconjunto xn : n ∈ Nc é uma vizinhança de 0. Conclui-se uma contradição da hipótese deo espaço verificar o primeiro axioma da numerabilidade, provando o que se pretende.

-200-III.7.19 Observação. Ambas as topologias discreta D e a topologia T em III.5.30 sobre

R verificam que uma sucessão real é convergente, R munido de D ou T, se e só se asucessão é constante a partir de certa ordem. No entanto, tem-se D ≠ T. Portanto, se um Xé um conjunto, dar uma relação R em X que caracterize uma sucessão xn em X comosendo convergente para certa topologia sobre X nao define univocamente essa topologia.Mas se uma relação R em X caracteriza as redes convergentes de X para dados limites,relativamente a uma topologia sobre o espaço, tal topologia é única. Pois se p ∈ A ⊂ X e Aé um aberto, então A contem cada termo de uma rede em X convergente para p, a partir decerto índice. Se A não é aberto, existe a ∈ A tal que uma rede Va ∩ Ac, o selector deZermelo, converge para a, Va o filtro das vzizinhanças de a; mas nenhum termo da redeestá em A.

Relacionam-se com convergência os conceitos seguintes. Recordar os conceitos deconjunto dirigido e subrede em I.5. e I.7. Dizemos que a rede xi (ou xiI) indiciada noconjunto dirigido I, está no conjunto A se xi ∈ A i ∈ I.

III.7.20 Definição Diz-se que a rede xiI está eventualmente no conjunto A se existecerto i0 ∈ I tal que xi ∈ A para todo o índice i i0. E diz-se que xiI está frequentementeem A se para cada i1 ∈ I existe certo i2 ∈ I tal que i2 i1 e xi2 ∈ A.

III.7.21 Definição Se I, é um conjunto dirigido, ≠ J ⊂ I, diz-se que J écofinal em I ou cofinal com I se verifica a condição ∀i ∈ I,∃j ∈ J, j i.

III.7.22 Observação Se a rede xiI está frequentemente em A, o subconjunto J dosíndices j ∈ I tais que xj ∈ A é cofinal em I.

III.7.23 Obsrvação Se : J, → I,, onde I,, J, são conjuntos dirigidos, éuma aplicação isótona i.e., i ′ i i ′ i, e u xiI é uma rede em A, então oconjunto imagem de é cofinal em I e a composta uo é uma subrede de xiI.

III.7.24 Propriedade Sejam B uma base de um filtro em X e u xiI uma rede em Xque está frequentemente em cada conjunto que constitui B. Então existe uma subrede dexiI que está frequentemente em cada conjunto de B.

Dem. Designemos E a parte do produto cartesiano I B formada pelos pares i,B taisque xi ∈ B munida da quase-ordem produto i ′,B ′ ≥ i,B i ′ i ∧ B ′ ⊂ B; E é umconjunto dirigido. A aplicação : i,B i é isótona de E em I. Como xiI estáfrequentemente em cada conjunto tomado em B, tem-se que o conjunto imagem de écofinal em I, consequentemente uo é uma subrede de xiI (III.7.20). Dado então A ∈ B,se iA ∈ I verifica xiA ∈ A, e se i,B ≥ iA,A tem-se uoi,B xi ∈ B ⊂ A, logoa subrede uo está eventualmente em A c.q.d.

III.7.25 Definição Sendo xi uma rede no espaço topológico X,T, diz-se que o pontox em X é um ponto aderente de xi se a rede xi está frequentemente em cada vizinhançaV de x.

-201-III.7.26 Observações (1) Uma rede pode ter um, vários, ou nenhum ponto aderente. Por

exemplo, a rede nN não tem nenhum ponto aderente em R,U, U a topologia usual.Ainda em R,U, uma vez que o cardinal de Q coincide com o cardinal de N, podemosconsiderar uma sucessão xn tal que xn : n ∈ N Q; verifica-se facilmente (confirme)que esta sucessão está frequentemente em cada intervalo aberto, e portanto todo o númeroreal é um ponto aderente de xn. (2) Se uma rede xi → x então x é um ponto aderente dexi; mas uma rede pode ter um único ponto aderente e não convergir para esse ponto.

III.7.27 Exercício Verifique que a sucessão −1,1,−1,2,−1,3,−1. . . em R,U tem umúnico ponto aderente mas não converge para esse ponto.

III.7.27 Teorema Um ponto x num espaço topológico é um ponto aderente de uma redexi se e só se existe uma subrede de xi convergente para x.

Dem. Dado o ponto aderente x de xi consideremos a classe de vizinhanças Vx. Vx ébase de um filtro e xi está frequentemente em cada conjunto V ∈ Vx; da PropriedadeIII.7.21 conclui-se que existe uma subrede de xi que está eventualmente em cadavizinhança V do ponto x ou, o que é o mesmo, que é convergente para x. Reciprocamente,admitindo que x não é um ponto aderente de xi temos: existe uma vizinhança U de x talque xi não está frequentemente em U; logo xi está eventualmente em Uc e portantonenhuma subrede de xi converge para x, c.q.d.

III.7.28 Teorema Seja xiI uma rede em X,T e seja Ai j ∈ I : j ≩ i. Então oponto x é um ponto aderente de xiI se e só se x pertence ao fecho de cada conjunto Ai.

Dem. Se x é um ponto aderente de xiI isto significa que cada vizinhança de x contemum ponto xj onde j ≩ i (supondo a rede tendo mais de um termo), para cada dado i ∈ I ouseja, para cada i tem-se x ∈ Ai. Reciprocamente, se o ponto x não é um ponto aderente dexiI então existe V, vizinhança de x, tal que para certo i, a relação j ≩ i implica xj ∉ V ouseja, Ai ∩ V e x não está no fecho Ai, c.q.d.

III.7.29 Exercício Seja X um espaço topológico C1. Prove que:1. O ponto x do espaço é um ponto de acumulação do subconjunto A se e somente se

existe uma sucessão em A\x convergente para x.2. Um conjunto A é aberto se e só se cada sucessão que converge para um ponto de A

está eventualmente em A. (Sug: se A não é aberto, considere uma base contável devizinhanças de um ponto fronteiro).

3. Um ponto p é ponto aderente de uma sucessão se e só se existe uma subsucessãoconvergente para p. (Sug: análogamente a 2.).

III.8 LIMITES E CONTINUIDADE

Recordar que uma classe B de subconjuntos de um conjunto não vazio X tal que ∉ B e para cada B1,B2 ∈ B existe B0 ∈ B, B0 ⊂ B1 ∩ B2 é uma base de filtro (base deum filtro) sobre X.

-202-III.8.1 Definição Sejam X um conjunto, Y,TY um espaço topológico e uma função

f : X → Y. Dizemos que o ponto b ∈ Y é um limite de f segundo a base de filtro B sobre Xe notamos b ∈ limB f se é verificada a condição

b ∈ limB f ≡ ∀V ∈ Vb,∃W ∈ B, fW ⊂ V. No caso de um único ponto b verificar arelação b ∈ limB f notamos b limB f.

III.8.2 Se Y,TY é um espaço de Hausdorff e b ∈ limB f no contexto da definiçãoacima, então b limB f. Com efeito, se b ∈ limB f e b′ ≠ b conclui.se uma contradição dahipótese b′ ∈ limB f ≡ ∀U ∈ Vb′ ,∃W′ ∈ B, fW′ ⊂ U do modo seguinte: cconsiderandovizinhanças V,U de b e b′ respectivamente tais que V ∩ U , tomando W ∈ B, fW ⊂ Vter-se-ia W ∩W′ ≠ mas fW ∩W′ ⊂ V ∩ U .

III.8.3 Proposição O espaço topológico Y,TY é um espaço de Hausdorff se e somentese para cada conjunto não vazio X, cada base de filtro B sobre X e cada função f : X → Y, olimite b ∈ limB f em existindo, é único, b limB f.

Dem. Atendendo a III.8.2 se Y é um espaço de Hausdorff e b ∈ limB f então b limB f.Reciprocamente, se se verifica a condição do enunciado então considerandof Id : Y,TY → Y,TY, a ∈ Y e B uma base de vizinhanças de a, tem-se B → b se e sóse b ∈ limB I, onde B Va se e só se b limB I. Portanto o limite de cada base de ffiltroconvergente é únicoe, atendendo a III.7.9, Y é um espaço de Hausdorff c.q.d.

Dados espaços topológicos X,Y e uma função f : X → Y podemos considerar, paracada a ∈ X, a relação b ∈ limBa f b ∈ Y onde Ba é uma base de vizinhanças de a. Estarelação define um subconjunto de Y e, se Ba

′ é outra base de vizinhanças de a entãob ∈ limBa f b ∈ limBa

′ f (verifique), de modo que poderíamos notar lima f o conjunto dospontos b, b ∈ limBa f. Dizemos que o subconjunto de Y definido pela aquela relaçãob ∈ lima f é o conjunto dos limites de f em a.

III.8.4 Propriedade Se X, Y são espaços topológicos, Y é um espaço de Hausdorff, ef : X → Y é uma função, a ∈ X tem-se: se b ∈ lima f então b fa lima f.

Dem. Sendo Y um espaço de Hausdorff tem-seV : V ∈ Vb b para cada b ∈ Y(verifique). Da relação ∀V ∈ Vb,∃U ∈ Va, fU ⊂ V conclui-se fa ∈ V,∀V ∈ Vb dondefa b como se queria.

-203-III.8.5 Exemplo Seja Y a,b,c,d um conjunto de quatro pontos munido da

topologia TY ,Y,a,a,c,a,d,a,c,d, e sejam X R munido da topologiauaual U, f : X → Y definida por fp a a ∈ R\Q, fq c q 0,q ∈ Q, f0 a,fq d q 0,q ∈ Q. Tem-se: limx f ≠ para cada x ∈ X; se p ∈ R\Q entãofp ∉ limp f.

III.8.6 Exercício Verifique o exemplo anterior e conclua que se Y não é um espaço deHausdorff pode existir uma função f : X → Y, X um espaço de Hausdorff, tal que existelimite de f em cada ponto, apenas num ponto o limite é único e não é o valor da função noponto.

III.8.7 Resolução Se x 0 existe U ∈ Vx tal que fU a,c ⊂ V,∀V ∈ Vc, Vb; masnão existe U ∈ Vx, fU ⊂ a ∈ Va ∨ fU ⊂ a,d ∈ Vd; assim limx f b,c.Analogamente se x 0 então limx f b,d. No ponto x 0 tem-se fU a,c,d ⊂ Y,Vb Y e lim0 f b, f0 a ∉ lim0 f. Assim 0 é o único ponto em que o limite éúnico; e o limite não é o valor da função no ponto.

.III.8.8 Definição Sejam X,TX, Y,TY espaços topológicos e uma função f : X → Y,

a ∈ X. Dizemos que f é contínua em a se fa ∈ lima f; que é descontínua em a se não écontínua no ponto a; e que f é contínua se é contínua em cada ponto.

III.8.9 Observação Atendendo a III.8.4, se Y é um espaço de Hausdorff, a funçãof : X → Y é contínua em a ∈ X se e só se lima f ≠ o que significa fa lima f.

III.8.10 Exemplos. (1) Cada função constante é contínua; (2) A funçãoId : X;T → X,T é contínua. (3) A função no Exemplo III.8.5 é contínua somente nospontos racionais diferentes de zero.

III.8.11 Exercício Utilizando o exemplo III.8.5, obtenha uma função de R,U em Ycontínua em cada ponto racional e descontínua em cada irracional.

III.8.12 Resolução A função g f em R\0, g0 b.III.8.13 Exercício Dados espaços topológicos X,Y, f : X → Y e sendo Va o filtro das

vizinhanças de a ∈ X, a classe fVa fU : U ∈ Va é uma base de filtro B sobre Y etem-se b ∈ lima f se e somente se o filtro gerado por B é mais fino que o filtro Vb dasvizinhaças de b em Y. Verifique que esta condição é equivalente à condição fxi → b em Ypara cada rede xi → a em X. (Sug: Considere a rede U indiciada emVa,U′ U U′ ⊂ U, onde é o selector de Zermelo).

Conclui-se de III.8.13 o

-204-III.8.14 Teorema Dados espaços topológicos X,TX, Y,TY, uma função f : X → Y e

um ponto a ∈ X, f é contínua em a se e só se fxi → fa para cada rede xi → a em X.

III.8.15 Observação A continuidade de f : X,TX → Y,TY no ponto a ∈ X éequivalente à propriedade ∀V ∈ Vfa, f−1V ∈ Va.

III.8.16 Teorema A composta de duas funções contínuas é contínua.Dem. No contexto de III.8.15, dada uma função g : Y,TY → Z,TZ e W ∈ Vgfa

tem-se gof−1W f−1g−1W ∈ Va como se pretende.

III.8.17 Exercício Obtenha outra demonstração de III.8.16, usando III.8.14.

III.8.18 Propriedade A função f : X,TX → Y,TY é contínua se e só se a imageminversa de cada aberto O ∈ TY é um aberto f−1O em X,TX.

Dem. Se f é contínua, a ∈ X e O é um aberto de Y, fa ∈ O então f−1O ∈ Va

(justifique). Para cada x ∈ f−1O tem-se portanto f−1O ∈ Vx e f−1O ∈ TX (porquê?).Reciprocamente, se a condição do enunciado se verifica e V é uma vizinhança de fa

então f−1V contem um aberto a que pertence o ponto a, c.q.d.

III.8.20 Teorema Dada uma função f : X,TX → Y,TY são equivalentes:a f é contínua;b a imagem inversa f1S de cada conjunto S numa subbase de TY é um aberto em X;c para cada conjunto B tomado numa base de TY, f−1B ∈ TX;d a imgem inversa f−1F de cada subconjunto fechado F de Y é um subconjunto

fechado de X;e tem-se fA ⊂ fA para cada A ⊂ X;f para cada subconjunto C ⊂ Y, f−1C ⊂ f−1C.Dem. a b pois cada conjunto S é um aberto; b c porque cada base de TY é uma

subbase de TY. Também c a aplicando III.8.18, pois TY é uma base de TY. c d, poisa d: se F é fechado, então f−1Fc f−1Fc é um aberto em X. d e: fA sendofechado em Y, f−1fA é por hipótese um fechado contendo A, donde f−1fA ⊃ Aportanto fA ⊂ fA. e f pois com A f−1C obtemosf−1C ⊂ f−1ff−1C ⊂ f−1C. f a: se O ∈ TY, Oc C é fechado, C C; pelahipótese, f−1C ⊃ f−1C, f−1Oc f−1Oc é o fechado f−1C donde f−1O ∈ TX. Oteorema conclui-se da Propriedade III.8.18.

III.8.21 Exercício Prove que uma função f : X,TX → Y,TY é contínua se e só sef−1intB ⊂ intf−1B para cada subconjunto B de Y. (Sug: III.6.9 ii).

-205-III.8.22 Observação Dada f : X,TX → Y,TY podem existir um conjunto A ⊂ X,

a ∈ A tais que a função restrição f∣A : A,TA → Y,TY, (TA a topologia induzida) écontínua no ponto a, mas f não é contínua em a. Considere-se a função identidadeI : R,U → R,T, T a topologia que tem U Q como subbase; I∣Q é contínua no ponto1 mas I não é contínua em nenhum ponto.

III.8.23 Exemplos (1) Se D é a topologia discreta sobte X, toda a funçãof : X,D → Y,T é contínua, qualquer que seja o espaço topológico Y,T. Também se G éa topologia grosseira sobre Y, X,T é um espaço topológico, cada funçãof : X,T → Y,G é contínua. (2) Se T e T′ são topologias sobre X, a função identidadeI : X,T → X,T′ é contínua se e só se T ⊃ T′ i.e., T é mais fna que T′. (3) A funçãofx 0 x 0, fx 1 x ≥ 0 é contínua de R,U− em 0,1,D, pois a imageminversa de cada aberto é um aberto. A mesma função não é contínua de R,U em0,1,D: a imagem inversa f−11 não é um aberto.

III.8.24 Exercício A função f do Exemplo III.8.23 (3) é contínua de R,U em R,U?Porquê?

III.8.25 Resolução f não é contínua, pois a imagem inversa f−10 não é um conjuntofechado.

III.8.26 Definição Uma função f : X,TX → Y,TY diz-se sequencialmente contínuase para cada a ∈ X e cada sucessão xn → a em X, a sucessão fxn → fa em Y .

III.8.27 Teorema Toda a função contínua f : X,TX → Y,TY é sequencialmentecontínua. Se X,TX é um espaço C1 então f é contínua se e só se é sequencialmentecontínua.

Dem. Pelo Teorema III.8.14 tem-se que se f é contínua e xn → a então fxn → fa.Supondo X um espaço C1,A ⊂ X, p ∈ A, vemos pela demonstração do Teorema III.7.13que existe uma sucessão an em A, an → p. Se f é sequencialmente contínua,fp lim fan ∈ fan : n ∈ N ⊂ fA (Corolário III.7.10 (1) 3 III.5.6 (2)). Isto mostraque fA ⊂ fA, concluindo-se a continuidade de f pelo Teorema III.8.20, c.q.d.

III.8.28 Recorde-se a Definição III.6.43. Se X,Y são espaços topológicos e existe umafunção contínua sobrejectiva f : X → Y, D é um subconjunto denso de X de cardinal dX,a relação Y fX fD ⊂ fD mostra que dY ≤ #fD ≤ #D dX (PropriedadeI.6.15), donde se obtem

III.8.29 Teorema Se Y é um espaço topológico imagem contínua do espaço topológicoX, então dY ≤ dX. Se X é separável então Y é separável.

III.8.30 Recordem-se a Observação II.9.8 e o Teorema II.9.4. Uma vez que o espaçométrico R2,de é um espaço C1, a propriedade de a soma de duas sucessõesconvergentes de números reais ser uma sucessão convergente para a soma dos limitespermite concluir, utilizando o Teorema III.8.27, que a função : R2,de → R,U,x,y x y é contínua. Então se f : X,T → R,U e g : X,T são funções contínuas,xn → x tem-se fxn → fx,gxn → gx; logo fxn,gxn → fx,gx dondefxn gxn fxn,gxn → fx,gx fx gx i.e. a função compostaf g : X,T → R,U, f g of,g, f,gx fx,gx é contínua.

-206-III.8.31 Pela Observação III.8.22, dada uma função f : X,TX → Y,TY, A ⊂ X, a

função restrição fA : A,TA → Y,TY pode ser contínua num ponto a ∈ A sem que f sejacontínua cem a. Por exemplo, com A − , 0,B 0,⊂ R,U, a funçãof : R,U → R,U, fx 0 x 0, fx 1 x ≥ 0 é constante em cada subespaçotopológico A,B e portanto f : A,UA → R,U, f : B,UB → R,U são contínuas. Mas asucessão xn −1/nn é convergente em R,U e no entanto fxn não é convergente,pois fx2k−1 → 0 ≠ 1 lim fx2k (Teorema III.7.7). Tem-se contudo

III.8.32 Teorema Sejam X,Y espaços topológicos tais que X i1m Fi onde cada Fi

é um conjunto fechado. Uma função f : X → Y é contínua se e só se cada restrição fi de fa Fi 1 ≤ i ≤ m é contínua de Fi em Y.

Dem Seja W um subconjunto fechado de Y. Tem-sef−1W f−1W ∩ i1

m Fi i1m f−1W ∩ Fi i1

m fi−1W, e assim f−1W é

fechado em X, como união finita de conjuntos fechados. A recíproca é imediata,concluido-se o teorema.

III.8.33 Observações (1) Tem-se R p : p ∈ R, cada singleton p é fechadoem R,U e cada função restrição de f a p é constante, donde contínua com valores emR,D, D a topologia discreta. Considerando por exemplo a função identidadeI : R,U → R,D vemos que a hipótese de a classe dos conjuntos fechados Fi ser finita, éessencial para poder concluir-se a continuidade de f : X → Y. Se X é reunião de uma classenão vazia (possivelmente infinita) de subconjuntos abertos A ∈ A, a continuidadede cada função restrição f∣A : A → Y implica que dada uma rede xi → x em X, sendox ∈ A para certo , tem-se xi ∈ A para cada i i0, certo ídice i0; logo fxi → fxem Y. Aplicando o Teorema III.8.14 obtem-se

III.8.34 Teorema Dada uma função f : X → Y, X,Y espaços topológicos tais queX A : ∈ A, cada A um conjunto aberto, a função é contínua se e somente secada função restrição f∣A : A → Y é contínua.

III.8.35 Exercícios (1) Mostre que se A,B é uma partição de X ≠ então a classeP ,X,A,B é uma topologia sobre X em que todo o conjunto aberto é fechado (2)Determine a topologia menos fina sobre R de entre as topologia T para as quais a função deDirichlet f : R,T → R,U, fx 0 x ∈ Q, fx 1 x ∈ R\Q é contínua. (3) Proveque a função f : R2,de → R,U, fx,y x2 y2 x2 y2 ≤ 1, fx,y 1x2 y2 1 é contínua. (Sug: fx,y 1 para cada x,y, x2 y2 ≥ 1. (4) Indique umacondição necessária e suficiente a que deve satisfazer o subconjunto não vazio A do espaçotopológico X,T para que a função característica A : X,T → R,U, Ax 1 x ∈ A,Ax 0 x ∉ A seja contínua. (5) Considere a topologia N ,A ⊂ R :#Ac ≤ #0sobre R. Prove que a função identidade I : R,N → R,U é sequencialmente contínuamas não é contínua. (6) Mostre que se ≠ A ⊂ X,TX então a topoloogia de subespaço TA

é a menos fina de entre as topologias T sobre A para as quais a função de inclusãoIA : A,T → X,TX, IAx x, é contínua. (7) Prove que se X é um conjunto não vazio,Y,TY é um espaço topológico e f : X → Y é uma função, então a classeT f−1A : A ∈ TY é uma topologia sobre X tal que f : X,T → Y,TY é contínua.

-207-III.8.36 (1) Verificam-se T1, T2, T3 e o complementar de dada aberto é um aberto.(2) É a topologia ,R,Q,R\Q. (3) Os conjuntos A x,y ∈ R2 : x2 y2 ≤ 1,

B x,y ∈ R2;x2 y2 ≥ 1 são fechados (verifica-se facilmente que sãosequencialmente fechados; III.3.9, III.7.12-14). Também dexn,yn → x,y fxn,yn → fx,y vê-se que f é sequencialmente contínua em cadaponto de A, donde contínua (Teorema III.8.27); f é contínua em cada ponto tomado em B.O resultado conclui-se do Teorema III.8.32. (4) O conjunto A ser aberto e fechado. (5) Seuma sucessão xn → x em R,N então existe certa ordem n0, xn x para todo o n ≥ n0;donde Ixn Ix x n ≥ n0 e Ixn → Ix em R,U. No entanto I−10,1 0,1∉ N, Inão é contínua. (6) Pela definição da topologia de subespaço, IA

−1W A ∩W é um abertono subespaço topológico, para cada aberto W em X. Se A ∩W ∈ T para cada aberto W de X,então todo o aberto em TA está em T. (7) T1 f−1 ∈ T, X f−1Y ∈ T; para T2,dada uma classe f−1O : ∈ A, O : ∈ A ⊂ TY tem-sef−1O : ∈ A f−1O,O O : ∈ A ∈ TY. T3 se U,V ∈ TY entãof−1U ∩ f−1V f−1U ∩ V,U ∩ V ∈ TY. A imagem inversa de cada aberto é um aberto.

III.8.37 Definição Se X,Y são espaços topológicos, uma função bijectiva f : X → Ydiz-se que é um homeomorfismo se é contínua e a sua inversa f−1Y → X é contínua. Osespaços topológicos X,Y dizem-se homeomorfos se existe um homeomorfismo de X sobreY.

III.8.38 Observação As relações f−1−1 f e gof−1 f−1og−1 mostram, atendendo aoTeorema III.8.16, que a relação ”X é homeomorfo a Y” é uma relação de equivalência naclasse dos espaços topológicos.

III.8.39 Exemplos (1) O subespaço topológico 0, de R,U é homeomorfo a todoo espaço R,U, como mostra o homeomorfismo logx. (2) Cada dois intervalos finitos domesmo tipo de R,U são homeomorfos quando munidos das topologias de subespaço;também 0,1 é homeomorfo a 1, e a 0,, como mostram as funções 1/x e x − 1.(3) Considerando E 0,1/n : n ∈ N munido da topologia UE de subespaço de R,U, Ta topologia sobre E que tem 0,1/n : n ∈ N como subbase, os espaços topológicosE,UE, E,T não são homeomorfos. (4) A esfera (considerada como uma parte deRn1,de) Sn xi ∈ Rn1 :∣ xi ∣ ∑ i1

n1 xi2 1 verifica que retirando-lhe o ”pólo

norte” P 0, . . . , 0, 1 que podemos notar P x ′, 1 convencionandox xi x ′,xn1 onde x ′ x1, . . . ,xn, x ′ x1, . . . ,xn, a projecção estereográfica : Sn\P → Rn, x x ′/1 − xn1 é um homeomorfismo de inversa yj x(x x ′,xn1, x ′ 2/∣ yj ∣2 1yj,xn1 ∣ yj ∣2 − 1/∣ yj ∣2 1)quando se considera também Rn munido da métrica euclideana. Em particular, acircunferência excluído o ponto P 0,1, S1\P,de é homeomorfa à recta R,de pelohomeomorfismo x,y x/1 − y.

III.8.40 Exercício Verifique os exemplos (2), (3) e (4) em III.8.39.III.8.41 Resolução (2) Para a,b, c,d conclui-se utilizando a função 1 − xa xb de

0,1 sobre a,b e III.8.38. Analogamente para intervalos da forma a,b, a,b ou a,b.Para intervalos a,b e c,d, considere-se −x de 0,1 sobre − 1,0. A função tanx é umhomeomorfismo de 0,/2 sobre 0,. (3) Se X,T é um espaço de Hausdorffhomeomorfo a Y,T′ então Y,T′ é um espaço de Hausdorff. Pois se f : X → Y é umhomeomorfismo, dados pontos a′ fa ≠ b′ fb ∈ Y, existem abertos disjuntos A,Bem X, a ∈ A,b ∈ B; então, sendo f−1 : Y → X contínua, obtem-se a′ ∈ fA f−1−1A,b′ ∈ fB f−1−1B, fA, fB são abertos disjuntos de Y. Verifica-se facilmente queE,UE é um espaço de Hausdorff e E,T não é um espaço de Hausdorff. (4) Comprova-seusando a continuidade por meio de sucessões num espaço métrico (Corolário II.8.12).

-208-III.8.42 Definição Se P é uma propriedade relativa aos espaços topológicos, diz-se que

P é uma propriedade topológica ou um invariante topológico se sempre que X tem apropriedade P e Y é homeomorfo a X, também Y tem a propriedade P.

III.8.43 Exemplos (1) Como vimos em III.8.41, a propriedade de um espaço topológicoser um espaço de Hausdorff é topológica. (2) A propriedade de cada topologia metrizável Tsobre um conjunto ser tal que T é a topologia associada à métrica usual d de R não éobviamente topológica: certamente os espaços métricos R,d e iR,e, onde i2 −1,eix, iy ∣ x − y ∣ são homeomorfos, e ≠ d. (3) Também a propriedade de um espaçométrico E,d (E,d é um espaço topológico) ser completo não é topológica, como mostraa Observação II.10.5.

III.8.44 Definição Diremos que uma função f : X,TX → Y,TY é aberta (resp.fechada) se a imagem directa fC de cada conjunto C aberto (resp. fechado) em X,TX éum aberto (resp. um fechado) em Y,TY.

III.8.45 Exemplos (1) A função f : R,U → R,U, fx x x ≠ 0, f0 1 éaberta; f não é fechada. (2) Qualquer função de X,T em R,D, D a topologia discreta, éaberta e é fechada. (3) A função f : R,U → 0.1 munido da topologia de subespaço deR,U, fx 0 x ≤ 0, fx x 0 ≤ x ≤ 1, fx 1 x ≥ 1 é contínua e fechada, masnão é aberta.

III.8.46 Observação Certos autores consideram na definição de função aberta, oufechada, a condição adicional de a função ser contínua. Certamente em ambos os contextos,

III.8.47 A composta de duas funções abertas (fechadas) é aberta (resp. é fechada)

III.8.48 Exercício Mostre que se no contexto de III.8.44, f é uma bijecção contínua,então são equivalentes:

i f é um homeomorfismo: ii f é aberta; iii f é fechada.

III.8.49 Teorema Sejam X,Y espaços topológicos.1. Se a função p : X → Y é fechada, então dados um qualquer conjunto S ⊂ Y e um

aberto U de X tal que U ⊃ p−1S, existe um aberto V em Y verificando S ⊂ V ep−1V ⊂ U;

2. Se uma função p : X → Y é aberta, tem-se que dados um qualquer subconjunto S ⊂ Ye um fechado A em X tal que A ⊃ p−1S, existe um fechado B de Y verificando S ⊂ B ep−1B ⊂ A.

-209-Dem. Provando 1., seja V Y\pX\U. Como p−1S ⊂ U, tem-se S ⊂ V (recordar

p−1Uc p−1Uc); sendo p fechada, V é um aberto de Y. Conclui-se o que se pretende,notando que p−1V X\p−1pX\U ⊂ X\X\U U. A demonstração de 2. é análoga.

III.8.50 Teorema As propriedades de um espaço topológico ser de Hausdorff, ser C1,de ser C2, ou de ser metrizável são invariantes topológicos.

Dem III.8.43 (1) mostra que a propriedade de um espaço topológico ser de Hausdorff éum invariante topológico. Se f : X → Y é um homeomorfismo, a ∈ X e Ba é uma basecontável de vizinhanças do ponto a, então fU : U ∈ Ba é uma base contável devizinhanças de fa, o que permite concluir que ser C1 é uma propriedade topológica.Analogamente para C2. Se a topologia de X é associada a uma métrica d e f : X → Y éum homeomorfismo, então a topologia de Y é a topologia associada à métricad′fx, fy dx,y.

III.8.51 Exercício Preencha os detalhes na demonstração acima.

III.8.52 Definição Um espaço topológico X diz-se topologicamente completo se émetrizável e existe uma métrica d em X cuja topologia associada a esta métrica é atopologia do espaço, e tal que o espaço métrico X,d é completo.

III.8.53 Exercício Prove que a propriedade de ser topologicamente completo é uminvariante topológico. (Sug: III.8.50).

-210-

III.9 SEPARAÇÃO

As propriedades de separação (que se formulam através dos chamados axiomas deseparação) são uma forma de classificar os espaços topológicos quanto às possibilidades deseparar topologicamente (ou seja, por abertos) pontos e/ou subconjuntos.

Os axiomas de separação designam-se tradicionalmente pela letra T_Talvez por ser ainicial da sua designação em língua alemã _ Trennungsaxiom, que significa axioma deseparação, sendo esta notação introduzida por Alexander e Hopf. Destes, estudaremos osaxiomas T0, T1 e T2 _ Que dizem respeito à separação de pontos _ T3 e T3 1

2_ Que dizem

respeito à separação entre um ponto e um conjunto _ E finalmente T4, relativo à separaçãoentre conjuntos.

Consideraremos um espaço topológico X,T, frequentemente designado por X.

III.9.1 Definição Um espaço topológico X diz-se espaço T0 se dados dois pontosdistintos a,b ∈ X existe um abertto ao qual um deles pertence e o outro não ou seja,∃U ∈ T, a ∈ U ∧ b ∉ U ∨ a ∉ U ∧ b ∈ U.

III.9.2 Definição O espaço X diz-se T1 ou um espaço de Kolmogorov se dados doispontos distintos a,b ∈ X, cada um deles pertence a um aberto ao qual o outro não pertenceou seja, ∃A,B ∈ T,a ∈ A\B ∧ b ∈ B\A.

III.9.3 Exercícios (1) Verifique que todo o espaço T1 é T0. (2) Considere X a,b,ce a classe T ,X,a,c,a,b,a,c. Mostre que X,T é um espaço topológico T0que não é T1.

III.9.4 Exemplos (1) Se X tem mais do que um elemento, X com a topologia grosseiranão é um espaço T0. (2) R munido da topologia U gerada pela baseB a, : a ∈ R é um espaço T0. Será um espaço T1?

III.9.5 Teorema O espaço topológico X,T é T1 se e só se cada conjunto finito éfechado.

Dem. Basta provar para singletons. A condição é suficiente: dados a,b, a ≠ b acondição T1 é verificada com A bc,B ac. Vejamos que é necessária: seja p ∈ X.Tem-se ∀x ∈ X,x ≠ p,∃Ux ∈ T,x ∈ Ux ∧ p ∉ Ux. LogoUx : x ∈ X\p X\p ∈ T donde p é fechado c.q.d.

-211-III.9.6 Observação Vemos pelo teorema anterior que o axioma T1 é equivalente à

condição K1 ≡ ∀a ∈ X,V : V ∈ Va a.

III.9.7 Corolário X,T é um espaço T1 se e só se a topologia T é mais fina que atopologia cofinita de X.

Assim a topologia cofinita é a menos fina das topologias T1 sobre um conjunto.

III.9.8 Um espaço topológico X diz-se de Hausdorff, separado ou espaço T2 se dadosdois pontos diferentes a,b ∈ X, existem dois abertos disjuntos A,B tais que a ∈ A e b ∈ B.

A condição de separação de Hausdorff é considerada a propriedade básica deseparação, verificada por muitos dos exemplos relevantes de espaços topológicos,nomeadamente pelos exemplos históricos (como aliás a própria designação de espaço”separado” sugere). Veremos em seguida que algumas das propriedades mais familiares daAnálise elementar, como por exemplo a unicidade do limite, são válidas em espaços deHausdorff, mas não em espaços topológicos gerais.

III.9.9 Observação Vimos em III.7.11 que um espaço topológico X é de Hausdorff se esó se o limite de cada base de filtro convergente em X é único, equivalentenente se e só secada rede convergente em X tem um único limite. Consequentemente, se X é um espaçoseparado então o limite de cada sucessão convergente em X é único. A recíproca é falsa emgeral, tendo-se contudo

III.9.10 Propriedade Seja X,T um espaço C1. X,T é um espaço de Hausdorff se esomente se o limite de cada sucessão convergente em X é único.

Dem. Basta provar que a condição é suficiente. Provemos a contra-recíproca. Seja Xnão de Hausdorff. Então existem a,b ∈ X,a ≠ b, tais que todo o aberto a que a pertencetem intersecção não vazia com todo o aberto a qua pertence b. Sejam Un : n ∈ N,Vn : n ∈ N bases contáveis de vizinhanças de a e b respectivamente, verificandoUn1 ⊂ Un,Vn1 ⊂ Vn,∀n ∈ N. Como Un ∩ Vn ≠ ,n 1,2, . . . , existe uma sucessão unverificando un ∈ Un ∩ Vn,∀n ∈ N. Então un converge para a e para b, concluindo ademontração.

III.9.11 Teorema O axioma de separação T2 é equivalente à condiçãoK2 ≡ A intersecção da classe de todas as vizinhanças fechadas de cada ponto a

reduz-se ao singleton a.Dem. T2 K2 Dado a ∈ X, se x ∈ X\a existem abertos Ax,Ux tais que a ∈ Ax,

x ∈ Ux e Ax ⊂ Uxc; donde X\Ux é uma vizinhança fechada de a. Logo

U : U ∈ Va,U é fechado ⊂ X\Ux : x ∈ X\a X\Ux : x ∈ X\aeeste conjunto está contido em X\X\a a e concluimos K2.

K2 T2 Pela hipótese, dados a,b ∈ X,a ≠ b existe pelo menos uma vizinhançafechada V de a tal que b ∉ V; logo Vc é um aberto a que pertence b que é disjunto de umaberto A tal que a ∈ A,A ⊂ V, concluindo-se o teorema.

-212-III.9.12 Corolário 1 Todo o espaço T2 é um espaço T1. Num espaço de Hausdorff todo o

subconjunto finito é fechado.Dem. Certamente T2 T1, o que pode ver-se também pela implicação

K2 K1, c.q.d.

III.9.13 Corolário 2 Todo o espaço T1 que tenha a propriedade de existir uma base devizinhanças fechadas de cada ponto é um espaço de Hausdorff.

III.9.14 Exercício Prove o Corolário 2 em III.9.13.

III.9.15 Observações (1) Têm-se as implicações T2 T1 T0 atendendo aIII.9.3 e III.9.12. (2) As implicações recíprocas são falsas. Com efeito, para a primeira, se Xé um conjunto infinito então X,C, C a topologia cofinita, é um espaço T1 que não é T2. Eexistem espaços T0 e não T1. (3) Se X,T é um espaço Ti i 0,1,2 e T∗ é uma topologiasobre X mais fina que T então X,T∗ é um espaço Ti

III.9.16 Exercício Verifique III.9.15 (2), (3). (Sug. para (2): Existem em X,C doisabertos não vazios e disjuntos?)

III.9.17 Propriedade As propriedades de um espaço ser T0, T1 ou T2 são hereditárias.Dem. Demonstremos o caso T2: Sejam X,T um espaço de Hausdorff, Y,TY um

subespaço. Sejam a,b ∈ Y, a ≠ b. Existem A,B ∈ T, a ∈ A,b ∈ B e A ∩ B . EntãoA ∩ Y,B ∩ Y ∈ TY, a ∈ A ∩ Y,b ∈ B ∩ Y e A ∩ Y ∩ B ∩ Y A ∩ B ∩ Y .

III.9.18 Exemplos (1) A topologia discreta é Hausdorff. (2) Os espaços metrizáveis sãode Hausdorff. (3) A topologia da ordem é Hausdorff. (4) As topologias do limite superior edo limite inferior sobre R são Hausdorff .

III.9.19 Teorema Se X,T é um espaço de Hausdorff, A ⊂ X, então o ponto p ∈ X é umponto de acumulação de A se e somente se toda a vizinhança de p contém uma infinidadede pontos de A.

Dem. Claro que a condição é suficiente. Provemos que é necessária: seja p um ponto deacumulação de A, e admitamos, com vista a um absurdo, que existe um aberto U ao qualpertence p, tal que U ∩ A é um conjunto finito. Então F U ∩ A\p é também umconjunto finito, logo fechado (Corolário 1). U\F é então um conjunto aberto a que pertencep e tem-se U\F ∩ A\p contrariando p ∈ A ′, c.q.d.

III.9.20 Definição Um espaço topológico X,T diz-se regular se verifica o axioma deregularidade R ≡ Dados um subconjunto fechado F ⊂ X e um ponto p ∈ X\F, existemabertos disjuntos U,V tais que F ⊂ U e p ∈ V.

-213-III.9.21 Observação Um espaço regular não é necessariamente T1, como mostra o

exemplo X a,b,c, T ,X,a,b,c.

III.9.22 Definição Um espaço topológico diz-se um espaço T3 se é regular e T1.

III.9.23 Propriedade Todo o espaço T3 é um espaço de Hausdorff.

III.9.24 Observação Certos autores consideram como espaços regulares unicamenteespaços verificando os axiomas T1 e R i.e., não distinguem entre espaços regulares eespaços T3 na nossa acepção.

III.9.25 Exercício Prove a Propriedade III.9.23.

III.9.26 Exemplos(1) RN,U, U a topologia usual associada à métrica euclideana de, é um espaço T3.

Com efeito se F é fechado e p ∉ F então infdep,y : y ∈ F dep,F d 0 (II.5.49(2)); os abertos B0p,d/2 V e Bp,d/2c U são disjuntos, F ⊂ U, p ∈ V.

(2) A recíproca da Propriedade III.2.21 não é válida ou seja, um espaço de Hausdorffnão é necessariamente um espaço regular, como mostra o seguinte exemplo. ConsideremosX R, T a topologia que tem a classe dos intervalos abertos e o conjunto Q como subbase.T é mais fina que a topologia usual, portanto é Hausdorff; X,T não é regular, pois R\Q éfechado mas 1 e R\Q não têm vizinhanças disjuntas.

III.9.27 O exemplo (2) acima mostra que uma topologia mais fina que uma topologiaregular não é necessariamente regular (III.9.26 (1)). Por outro lado, continua a ter-sehereditariedade:

III.9.28 Teorema A propriedade de ser regular é hereditária i.e., um subespaço de umespaço regular é um espaço regular.

III.9.29 Propriedade O axioma da regularidade R é equivalente à seguinte condição: Aclasse das vizinhanças fechadas de cada ponto é uma base de vizinhanças do ponto.

Dem. Consideremos um espaço topológico X,T. A condição é necessária: Seja p ∈ X,P uma vizinhança de p. Existe U ∈ T tal que p ∈ U ⊂ P. X\U é um fechado a que nãopertence p, portanto existem A1,A2 ∈ T tais que p ∈ A1, X\U ⊂ A2 e A1 ∩ A2 , dondep ∈ A1 ⊂ X\A2, X\A2 ⊂ U ⊂ P e assim p ∈ X\A2 ⊂ P. A condição é suficiente: Sejamp ∈ X, F ⊂ X, F fechado tais que p ∉ F. X\F é uma vizinhança de p, logo existem umaberto V e um fechado Fp tais que p ∈ V ⊂ Fp ⊂ X\F. X\Fp é um aberto que contém F,p ∈ V e V ∩ X\Fp c.q.d.

-214-III.9.30 Exercícios (1) Mostre que X é um espaço regular se e só se para cada fechado

F ⊂ X e cada ponto p ∈ X\F existe um aberto A tal que p ∈ A ⊂ A ⊂ F. (2) Demonstre oTeorema III.9.28. (Sug: Pela Propriedade III.9.29, um espaço é regular se e só se existeuma base de vizinhanças fechadas de cada ponto).

III.9.31 Em III.9.26 (2) temos um exemplo de um espaço T2 e não T3.

III.9.32 Propriedade Se X,≤ é uma cadeia não vazia então X munido da topologiagerada pelos subintervalos da forma a,b é um espaço T3

III.9.33 Exercício Demonstre a Propriedade III.9.32

III.9.34 Conclui-se facilmente que munindo uma cada cadeia não vazia da topologia daordem (recorde III.2.22) se obtem um espaço T3.

III.9.35 Definição O espaço topológico X diz-se normal se dados dois subconjuntosfehados disjuntos F,G ⊂ X existirem dois abertos disjuntos U,V tais que F ⊂ U e G ⊂ V.Se X é normal e T1 diz-se que X é um espaço T4

III.9.36 Exemplos (1) Se X não se reduz a um elemento, o espaço X,G é normal e nãoé T0. (2) X a,b,c munido da topologia T ,X,a,b,a,b é normal e não é T4.

III.9.37 O Teorema II.11.2 mostra que todo o espaço metrizável é T4. O ExemploIII.9.26 (2) dá um exemplo de um espaço de Hausdorff que não é T4. Todo o espaço T4 éum espaço T3; veremos em III.10 que existem espaços T3 e não T4. (3) Se Γ é um númeroordinal, o espaço ordinal 0,Γ é T4. Efectivamente o espaço é T1, pois é separado (III.9.18(3)); para ver que é normal, consideremos dois subconjuntos fechados disjuntos A,B de0,Γ. Para cada ∈ A, o conjunto ∈ B : tem um supremo b, e verifica-seb ∈ B B. O aberto b, : ∈ A não contém nenhum ponto de B, pela definição desupremo de um conjunto. Obtemos assim o aberto U b, : ∈ A ⊃ A eanalogamente obteríamos um aberto V a, : ∈ B ⊃ B. Tem-se U ∩ V .Pois se U ∩ V ≠ então uma intersecção b, ∩a, não é vazia; supondo ,obtem-se ∈b,, o que é impossível, e analogamente supondo . Fica assimprovado que 0,Γ é normal. (4) Analogamente se comprova que 0,Γ (munido tambem datopologia da ordem) e R,U são espaços T4.

-215-III.9.38 Exercícios (1) Verifique III.9.37. (2) Mostre que Ti1 Ti i 0,1,2,3.

Vimos que um espaço X é regular se e só se para cada subconjunto fechado F de X ecada ponto p ∈ X\F existe um aberto A tal que p ∈ A ⊂ A ⊂ F. Tem-se

III.9.39 Teorema O espaço X é normal se e somente se dados um fechado F ⊂ X e umaberto U contendo F, existe um aberto V tal que F ⊂ V ⊂ V ⊂ U.

Dem. A condição é necessária: Sejam F um fechado, U um aberto tal que F ⊂ U. EntãoX\U é um aberto, disjunto de F, logo existem abertos disjuntos O,O′, F ⊂ O e X\U ⊂ O′,O ∩ O′ . Donde F ⊂ O ⊂ X\O′ e também X\O′ ⊂ U; como X\O′ é um fechado tem-seF ⊂ O ⊂ O ⊂ U. A condição é suficiente: Sejam F,G dois fechados disjuntos, F ⊂ X\Gcom X\G aberto. A condição implica a existência de um aberto O tal queF ⊂ O ⊂ O ⊂ X\G e portanto, F ⊂ O, G ⊂ X\O, O ∩ X\O c.q.d.

III.9.40 Observação A propriedade de um espaço ser normal (ou de ser T4) não éhereditária. Mas verifica-se facilmente que todo o subespaço fechado de um espaço normal(resp. T4) é um espaço normal (resp. T4).

III.9.41 Teorema (Lema de Urysohn) Sejam F1,F2 dois subconjuntos fechadosdisjuntos de um espaço normal X,T. Então existe uma função contínua f : X → 0.1,0,1 munido da topologia induzida pela topologia usual de R, tal quefF1 0, fF2 1.

III.9.42 Exercício Justificando os passos seguintes, e utilizando o resultado:P ≡ O conjunto D 1

2 , 14 , 3

4 , 18 , 3

8 , 58 , 7

8 , 116 , . . . , 15

16 , . . . das fracções diádicas(fracções cujo denominador é uma potência de 2) é denso em 0,1, obtenha umademonstração do Lema de Urysohn:

1. Tem-se F1 ⊂ F2c e F2

c é aberto;2. existe um aberto G1,2 tal que F1 ⊂ G1,2 ⊂ G1,2 ⊂ F2

c ;3. existem abertos G1,4 e G3,4 tais que

F1 ⊂ G1,4 ⊂ G1,4 ⊂ G1,2 ⊂ G3,4 ⊂ G3,4 ⊂ F2c e podemos repetir o processo

obtendo, para cada t ∈ D, um aberto Gt com a propriedade de para cada t1, t2 ∈ D,t1 t2 se tem Gt1 ⊂ Gt2.

4. A função f : X → 0,1, fx inft : x ∈ Gt x ∉ F2, fx 1 x ∈ F2verifica fF1 0 e fF2 1 (Sug: F1 ⊂ Gt para cada t).

5. Ficará provado que a função f em 4. é contínua se provarmos que cada conjuntof−10,b e f−1a, 1 é aberto em X 0 a,b 1.

6. Provemos quea) f−10,b Gt : t ∈ D, t b eb) f−1a, 1 Gt

c : t ∈ D, t a.

-216-7. Provando a):(i) se x ∈ f−10,b tem-se 0 ≤ fx b;(ii) existe tx ∈ D tal que fx tx b e fx inft : x ∈ Gt tx b;(iii) fx ≤ t,∀t ≤ tx : x ∈ Gt donde fx ≤ tx se x ∈ Gtx, e assim se x ∉ Gtx

tem-se fx tx, donde x ∈ Gtx;(iv) x ∈ Gt : t ∈ D, t b e f−10,b ⊂ Gt : t ∈ D, t b.(v) Suponhamos y ∈ Gt : t ∈ D, t b. Então ∃ty ∈ D, ty b ∧ y ∈ Gty.(vi) fy inft : t ∈ D,y ∈ Gt ≤ ty b;(vii) y ∈ f−10,b dondeGt : t ∈ D, t b ⊂ f−10,b e tem-se

f−10,b Gt : t ∈ D, t b.Provando b):

(i) Seja x ∈ f−1a, 1; então a fx ≤ 1;(ii) existem t1, t2 ∈ D, a t1 t2 fx;(iii) fx inft ∈ D : x ∈ Gt t2, donde x ∉ Gt2.(iv) t1 t2 Gt1 ⊂ Gt2, e assim x ∉ Gt1;(v) x ∈ Gt1

c onde t1 a;(vi) f−1a, 1 ⊂ Gt

c : t ∈ D, t a;(vii) Seja y ∈ Gt

c : t ∈ D, t a. Existe então ty a, y ∈ Gtyc;

(viii) Como t ty Gt ⊂ Gty ⊂ Gty tem-se y ∉ Gt desde que t ∈ D e t ty;(ix) fy inft ∈ D : y ∈ Gt ≥ ty a;(x) y ∈ f−1a, 1 eGt

c : t ∈ D, t a ⊂ f−1a, 1(xi) Pode concluir-se o resultado.

III.9.43 Exercícios (1) Justificando as passagens seguintes, comprove o resultadp Putilizado na resolução de III.9.43:

1. Há a provar que para cada a ∈ 0,1 tem-se que cada intervalo a − ,a contémum ponto de D, qualquer que seja 0. Sejam um tal a e 0;

2. existe q 2n, certo número natural n, tal que 0 1q ;

3. pelo menos um dos intervalos mq , m1

q verifica a ∈ mq , m1

q (Sug: Que conjunto seobtem pela reunião 0, 1

q 1q , 2

q 2q , 3

q . . . q−2q , q−1

q q−1q , 1?).

4. as desigualdades mq ≤ a ≤ m1

q , 1q implicam a − m

q a , c.q.d.(2) Prove que se X,T é um espaço T4, B é uma base de T então para cada Bj ∈ B e

cada ponto p ∈ Bj existe certo Bk ∈ B tal que p ∈ Bk ⊂ Bk ⊂ Bj.

III.9.44 Se a função f : C ⊂ X,TX → Y,TY é contínua, dizemos que a funçãoF : X,TX → Y,TY é uma extensão contínua de f se Fx fx x ∈ C.

-217-III.9.45 Observação Se fn é uma sucessão de funções reais contínuas sobre X indiciada

em N0 tal que existem constantes Mn, n 0,1,2, . . . satisfazendo ∣ fnx ∣≤ Mn x ∈ Xpara cada n e∑n0

Mn , então a função f : X → R definida por fx ∑n0 fnx é

contínua. Com efeito, f está bem definida e dado 0, existe n0 tal que pondosNx ∑n1

N fnx, tem-se para todo o N ≥ n0,∣ sNx − sn0x ∣≤ ∑nn0

Mn ,∀x ∈ X. Sendo então x0 ∈ X, 0, a continuidadede cada função sN implica que existe uma vizinhança V do ponto x0,∣ fx − fx0 ∣≤∣ fx − sNx ∣ ∣ sNx − sNx0 ∣ ∣ sNx0 − fx0 ∣ 3 paratodo o x ∈ V, f é contínua.

III.9.46 Teorema de Tietze Seja X,T um espaço de Hausdorff. O espaço X é normal see somente se para cada subconjunto fechado A, cada função contínua f : A,TA → R,Utem uma extensão contínua F : X,T → R,U, de modo que se ∣ fx ∣ sobre A entãopode escolher-se F tal que ∣ Fx ∣ x ∈ X.

Dem. A condição é suficiente, pois admitindo-a, sejam C,D subconjuntos fechadosdisjuntos de X. Para cada escolha de y0,y1 ∈ R, y0 ≠ y1, a funçãof : C D,TCD → R,U, f y0 sobre C, f y1 sobre D, é contínua. Dada umaextensão contínua F : X → R de f, os subconjuntos abertos F−1I0,F−1I1, onde I0, I1 saointervalos abertos disjuntos contendo respectivamente y0,y1 tais que C ⊂ F−1I0 eD ⊂ F−1I1. Para provar que a condição é necessária, utilizamos o

-218-Lema Se A é um subconjunto fechado do espaço normal X,TX e g : A,TA → R,U

contínua tal que ∣ gx ∣≤ c para cada x ∈ A, existe uma função h : X,TX → R,U talque

(1) ∣ hx ∣≤ 13 c para todo o x ∈ X;

(2) ∣ ga − ha ∣≤ 23 c se a ∈ A.

Provemos os três passos seguintes, onde X é normal:a Sejam A um suconjunto fechado de X e f : A → R contínua, ∣ fa ∣ c para cada

a ∈ A. Tomando f como uma função g no Lema, seja h0 : X → R no lugar de h tal que∣ fa − h0a ∣≤ 2

3 c a ∈ A. Aplicando o Lema de novo seguidamente à função f − h0

definida sobre A, obtemos h1 : X → R contínua, ∣ h1x ∣≤ 13 . 2

3 c x ∈ X,∣ fa − h0a − h1a ∣≤ 2

3 . 23 c a ∈ A. Admitindo por hipótese de indução que foram

obtidas h0, . . . ,hn podemos aplicar o Lema à função f − h0 −. . .−hn obtendo hn1 : X → Rcontínua tal que ∣ hn1x ∣≤ 1

3 . 23

nc parac cada x ∈ X,∣ fa − h0a −. . .−hn1a ∣≤ 2

3 . 23

nc a ∈ A. Assim existe uma função como hn paracada n ∈ N. Utilizando III.9.44, a função Fx ∑n0

hnx é contínua de X em R; asegunda desigualdade acima mostra que Fa fa a ∈ A e, pela primeira tem-se∣ Fx ∣≤ 1

3 .∑n0 2

3 nc c para cada x ∈ X.

b Pela hipótese ∣ fa ∣ c sobre A. Obtivemos em a a extensão contínua F de f talque ∣ Fx ∣≤ c sobre X. O subconjunto A0 x ∈ X : Fx c é fechado em X eA ∩ A0 , donde aplicando o Lema de Urysohn existe uma função contínua : X,T → R,U tal que 1 sobre A e 0 sobre A0, 0 ≤ ≤ 1. PonhamosGx xFx em X. Então G é contínua, Ga Fa fa sobre A e G é tambémuma extensão contínua de f. Além disso, se x ∈ A0 tem-se Gx 0 e, para x ∈ X\A0,∣ x ∣≤ 1 e ∣ Fx ∣ c, donde Gx c.

c A função f não sendo necessariamente limitada, consideremos o homeomorfismohx x/1 ∣ x ∣ de R sobre − 1,1. Aplicando b, a composta hof tem uma extensãocontínua F : X → − 1,1. Então a igualdade h−1ohofa fa, a ∈ A, mostra que afunção h−1oF é uma extensão contínua de f c.q.d.

III.9.47 Proposição (1) Se X,T é um espaço regular, F é um subconjunto fechado de Xe p ∈ X\F, existem abertos U,V tais que p ∈ U,F ⊂ V e U ∩ V ,U ∩ V .

(2) Se X,T é um espaço normal e F,G ⊂ X, F,G conjuntosfechados disjuntos, então existem abertos U,V tais que F ⊂ U, G ⊂ V e U ∩ V .

Dem. Provando (1). Pela hipótese existem conjuntos abertos A,B, p ∈ A,F ⊂ B eA ∩ B . Atendendo a III.9.30 (1), existe um aberto W tal que F ⊂ W ⊂ W ⊂ B. Entãop ∈ A\B ⊂ A\W ⊂ A\W A\W, A\W é aberto, A\W ∩ F ; também

F ⊂ W ⊂W ⊂ B\A, W ∩ A\W . Os abertos U A\W e V W estão nascondições pedidas, já que A\W ⊂ A\W e W ∩ A\W c.q.d. (2) obtem-se imediatamenteda definição de espaço normal, usando o Teorema III.9.40.

-219-III.9.46 Teorema Todo o espaço regular e C2 é um espaço normal

III.9.47 Exercício Obtenha, pela justificação das passagens seguintes, umademonstração do teorema: Suponhamos X nas hipótese do teorema, e seja B uma basecontável da topologia. Consideremos dois subconjuntos fechados A,B de X, A ∩ B .

1. Para cada x ∈ A existe um aberto U ∈ Vx tal que U ∩ B ;2. existe um aberto V ∈ Vx tal que V ⊂ U;3. existe certo W ∈ B verificando-se x ∈ W ⊂ V.4. Considerando conjuntos W verificando 3. para cada x ∈ A, a classe destes abertos W

é uma cobertura contável Wn : n ∈ N de A (i.e., A ⊂ Wn : n ∈ N) formada porconjuntos abertos, cujos fechos são disjuntos de B.

5. Existe uma classe contável de abertos Vn : n ∈ N tal que B ⊂ Vn : n ∈ N esendo cada Vn ∩ A ;

6. Para cada n, sejam Wn′ Wn\i1

n Vi e Vn′ Vn\i1

n Wi; cada conjunto Wn′ ,Vn

′

é um aberto.7. A classe Wn

′ : n ∈ N é uma cobertura de A, e a classe Vn′ : n ∈ N é uma

cobertura de B.8. Os conjuntos W′ Wn

′ : n ∈ N e V ′ Vn′ : n ∈ N são abertos e disjuntos,

concluindo-se a demonstração. (Sug: Se x ∈ W′ ∩ V ′ então existem j,k ∈ N tais quex ∈ Wj

′ ∩ Vk′ ; supondo por exemplo j ≤ k tem-se x ∉ Wj).

III.9.48 Resolução1. Pois por hipótese X é um espaço regular;2. por III.9.30 (1);3. pois B é uma base da topologia.4. Atendendo a 1., 2. e 3. e porque por hipótese a base B é contável.5. analogamente aos passos anteriores, com B no lugar de A;6. porque o fecho de um conjunto é um conjunto fechado, a reunião finita de fechados é

um fechado e a intersecção de dois abertos é um aberto.

-220-7. Pois cada ponto x em A pertence a certo Wn e não pertence a nenhum dos conjuntos

Vi, atendendo a 5.;8. W′ e V ′ são abertos, pois são reuniões de conjuntos abertos. E atendendo a 7.

Também nas condições da sugestão, x ∉ Wj pois admitimos x ∈ Vk′ ⊂ j1

k Wjc; e

analogamente na hipótese k ≤ j, c.q.d.

III.9.49 Teorema Todo o conjunto bem ordenado X é um espaço topológico T4 quandomunido da topologia da ordem.

III.9.50 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração doTeorema III.9.48:

1. Há a provar que X é um espaço normal. Sejam A,B ⊂ X, A,B fechados disjuntos.2. Cada intervalo x,y de X é um conjunto aberto;3. suponhamos primeiro que a0 ∉ A B, a0 o primeiro elemento de X. Para cada

a ∈ A, existe um intervalo xa,a, xa a tal que xa,a ∩ B ;4. para cada b ∈ B podemos considerar um intervalo yb,b, yb b, yb,b ∩ A .5. Os conjuntos U xa,a : a ∈ A e V yb,b : b ∈ B são abertos, U ⊃ A

e V ⊃ B.6. Se z ∈ U ∩ V então z ∈xa,a ∩yb,b, certos a ∈ A,b ∈ B;7. supondo a b, se a ≤ yb então os intervalos em 6. são disjuntos; e se yb a então

a ∈yb,b, o que é impossível. Analogamente se b a.8. Na hipótese 3., tem-se U ∩ V .9. Consideremos o caso a0 ∈ A, a0 o primeiro elemento de X. Então a0 é um aberto e

também um fechado em X, donde A\a0 e B são subconjuntos fechados disjuntos de X,nenhum deles contendo a0;

10. existem abertos disjuntos U,V em X, A\a0 ⊂ U,B ⊂ V;11. Pode concluir-se o teorema, c.q.d.

III.9.51 Resolução1. Pois o espaço X é separado.2. Pois x,y x,y 1, onde y 1 é o sucessor de y;3. porque cada intervalo aberto contendo a contém um intervalo da forma xa,a e pelo

menos um intervalo aberto contendo a é disjunto de B (caso contrário a é um pontoaderente de B, logo a ∈ B; mas a ∈ A,A ∩ B , logo a ∉ B);

4. conclui-se analogamente a 3.5. Pois são reuniões de abertos. E porque a percorre A para se obter U, a ∈ U para cada

a ∈ A; analogamente para V ⊃ B.6. Por definição dos conjuntos U,V;7. pela definição dos intervalos;8. Conclui-se e 6. e 7.

-221-9. a0 a0,a0 1 é aberto pela definição da topologia da ordem; a0 é fechado

porque é um subconjunto finito de um espaço separado; e pelas hipóteses anteriores.10. Aplica-se a conclusão como supondo 3.11. Considerando os abertos U a0 (passo 9.) e V, atendendo a 10.

III.9.52 Observação Também cada cadeia munida da topologia da ordem é um espaçonormal, como pode encontrar-se em [Steen, Seebach].

III.10 TOPOLOGIA PRODUTO E TOPOLOGIA COCIENTE.ESPAÇOS COMPLETAMENTE REGULARES.OBTENÇÃO DE TOPOLOGIAS

No que segue consideramos espaços topológicos X,T ∈ A e o conjuntoproduto caretsiano X ∈AX suposto não vazio.

III.10.1 Teorema A classe B ∈AO ∈A\AX : A ∈ FA,O ∈ Tonde FA é a colecção dos subconjuntos finitos não vazios de A, é uma base para umatopologia sobre X.

Dem. Tem-se X ∈ B dondeR : R ∈ B X. DadosR1 ∈A1O

1 ∈A\A1X,R2 ∈A2O2 ∈A\A2X, se

A1 ∩ A2 então R1 ∩ R2 ∈AO ∈A\AX onde O Oi , ∈ Ai e

A A1 A2 ∈ FA; se B A1 ∩ A2 ≠ entãoR1 ∩ R2 ∈BO

1 ∩ O2 ∈A1\BO

1 ∈A2\BO2 ∈A\AX ∈ B c.q.d.

III.10.2 Se X é um conjunto, X,T : ∈ A é uma colecção de espaçostopológicos e f : X → X : ∈ A é uma correspondente colecção de funções,podemos considerar sobre X (III.2.37) a topologia ∨f−1T : ∈ A. TomandoX ∈AX e f pr : X → X obtem-se sobre X uma topologia; e designandoA 1, . . . ,m ⊂ A, O1, . . . ,Om k1

m Ok ∉AX, tem-se

prk−1 Ok Ok ,k1

m prk−1 Ok O1, . . . ,Om , um aberto na base B

da topologia ∨pr−1T : ∈ A sobreX.,T. Assim a classepr−1O : O ∈ T, ∈ A é uma subbase da topologia.

III.10.3 Definição A topologia em III.10.2 sobre X ∈AX diz-se a topologiaproduto, e notamos X ∈AX,T para designar o espaço topológico obtido.

-222-

III.10.4 Observações (1) Se o conjunto dos índices é finito, A 1, . . . ,N, a base Bno Teorema III.10.1 é constituída pelos conjuntos O1 . . .ON, cada Ok 1 ≤ k ≤ N umaberto de Xk,Tk. (2) No contexto de III.10.1 cada conjunto R na classe B diz-se umrectângulo aberto. Os rectângulos abertos são abertos muito particulares no espaçotopológico produto. (3) Notar que se a classe X,T : ∈ A é infinita, uma ”caixa”∈AO,O ∈ T\,X nunca é um aberto emAX,T, nem um produtocartesiano P ∈AO em que O ≠ X,O ≠ para uma infinidade de índices ; poisP não contem nenhum conjunto O1, . . . ,Om . (4) Certamente se R é um rectânguloaberto, pr : X → X é a projecção de índice , ∈ A, a imagem prR é um aberto noespaço topológico X; se O é um aberto deAX,T, sendo a imagem de uma reuniãogeneralizada a reunião generalizada das imagens, prO é um aberto de X. Assim asprojecções são funções abertas. (5) Notar que dado um aberto O ∈ , somente para umnúmero finito das projecções pr é possivelmente prO ≠ X. (6) Para cada O ∈ T, aimagem inversa pr

−1O O ≠X é um rectângulo aberto; as projecções sãofunções contínuas. Obtemos

-223-III.10.5 Propriedade A topologia produto do espaço topológico produtoAX,T

é amenos fina das topologias sobre∈AX para as quais cada função projecção é

contínua. As projecções são funções abertas.Dem. Se cada pr : ∈AX,T → X é contínua, então cada conjunto

R O ≠X pr−1O ∈ T ∈ A. Cada rectângulo aberto R é uma

intersecção finita de rectângulos abertos da forma R, e portanto é um aberto da topologia Tconcluindo-se ⊂ T e por III.10.3, a propriedade c.q.d.

III.10.6 Exercícios (1) Mostre que se T é uma topologia sobre X ∈AX tal quecada projeccção pr ∈ A é contínua, então dada um rede xi → x em X,T, cadarede coordenada xi → xa no espaço factor X. (2) Prove que se cada rede xi → x em X

então xi → x emAX,T e conclua o

III.10.7 Teorema Uma rede xi → x no espaço produtoAX,T se e somente secada rede factor xi → x no espaço X,T.

III.10.8 Resoluções (1) Conclui-se do Teorema III.8.14. (2) Atendendo a III.10.4,tem-se que se xi → x no espaçoAX,T então x

i prxi → x em X,T ∈ A. (Há a provar que se cada xi → x em X então xi → x. Supondo a negaçãode xi → x tem-se P ≡ ∃O ∈AO ∈A\AX onde x ∈ O, O ∈ Tpara cada no conjunto finito A tal que, designando I, o conjunto dirigido para a redexi , para cada i ∈ I existe j i, xj ∉ O. Se se verifica a relaçãoP ≡ ∀O ∈ T : x ∈ O,∃i ∈ I, j i x

j ∈ O para todos os ∈ A, entãotomando iA i ∈ A, a relação P não se verifica, pois se j iA então x

j ∈ O,cada ∈ A. Existe pois pelo menos um ∈ A tal que P é falso ou seja, tal que a redefactor x

i não converge para x concluindo-se que a convergência de cada rede facorimplica a convergência da rede no espaço produto. (1) e (2) permitem concluir o teorema.

III.10.9 Exercício Prove que dada uma classe não vazia de espaços topológicosX,T : ∈ A a classe BX ∈AO : O ∈ T é base para uma topologiasobre X ∈AX. (esta topologia diz-se a topologia da caixa, box topology).

III.10.10 Exercícios (1) Prove que a classe Tp ,0,1/m : m ≥ np : n ∈ N é umatopologia sobre C 0,1/n : n ∈ N para cada p 1,2, . . . . (2) Designe por Xp o espaçotopológico obtido munindo C da topologia Tp na questão (1). Mostre que sendo k ∈ N, asucessão 1/nk →n→ 0 em cada espaço topológico Xp mas a sucessão 1/nkn1

em k não éconvergente para 0 no espaço topológico n1

Xn,BX, X n1 Xn munido da

topologia da caixa BX. (3) Confirme que se o conjunto A dos ídices é infinito, então atopologia da caixa é estritamente mais fina que a topologia produto.

-224-

III.10.11 Resoluções (1) T1 verifica-se ; T2 se 1/np é o maior elemento que figura emtodos os abertos A de Tp, entãoA : ∈ Γ 0,1/m : m ≥ np ∈ Tp; T3 dadosabertos A1 0,1/m : m ≥ n1p,A2 0, 1/n2p,m ≥ n2, n2 ≥ n1 tem-seA1 ∩ A2 A2 ∈ T. (2) Cada aberto 0,1/m : m ≥ np contendo 0 em Xp contém todosos termos 1/nk onde k ≥ p. Dada a caixa B n1

0,1/m : m ≥ np ∈ BX, não existekB ∈ N tal que 1/nk ≤ 1/np p 1,2, . . . para todo o termo de ordem k ≥ kB, pois teriade ser kB ≥ p,∀p ∈ N. (3) Atendendo a III.8.27 e III.8.14, a função identidadeId : X, → X,BX não é contínua X n1

Xn; existe assim (III.8.18) pelo menosum conjunto aberto em BX que não está na classe.

III.10.12 Observação Se o espaço produtoAX,T é um espaço de Hausdorff entãodados x,y ∈ X, x ≠ y, fixando z

1 x, z2 y e zj ∈ X ≠ , j 1,2, os pontos

zj zj emAX,T têm vizinhanças disjuntas Vj j 1,2. Existem portanto abertosdisjuntos A

j prVj em X tais que zj ∈ A

j , cada espaço factor é separado.

III.10.13 Teorema O espaço produtoAX,T é um espaço de Hausdorff se esomente se cada espaço factor X,T é um espaço de Haausdorff.

III.10.14 Exercícios (1) Demonstre o Teorema III.10.13. (2) Prove que seXn,Tn : n ∈ N é uma classe contável de espaços topológicos C1 entãoNXn,Tn éum espaço C1.

III.10.15 Resoluções (1) A condição necessária é III.10.12. Supondo cada X,T umespaço separado, sejam x x,y y ∈ AX,T,x ≠ y. Existe ∈ A, x ≠ y.Sendo U,V ∈ T tais que x ∈ U,y ∈ V e U ∩ V , obtêm-se abertos disjuntos U , V em tais que x ∈ U , y ∈ V c.q.d. (2) Designe O,n : n ∈ Numa base contável de vizinhanças de x tal que O,n ⊃ O,n1. Se O ∈ e x ∈ Otem-se O ⊃ A1, . . . ,Am onde xk ∈ Ak ∈ Tk, 1 ≤ k ≤ m, m ∈ N. É Ak

⊃ Ok,n,k 1, . . . ,m,n fixo, O ⊃ Ok,n, . . . ,Ok,n c.q.d.Dada uma classe X,T : ∈ A pomos X,T G se T ,X.

-225-III.10.16 Teorema O espaço produtoAX,T é um espaço C1 se e somente se a

classe dos espaços factores X,T ≠ G ∈ A é contável e cada um destes espaçosX,T é um espaço C1.

Dem. Atendendo a III.10.15 (2), há a provar que, supondo cada espaço X como noenunciado um espaço C1, se a classeM dos X não é contável então o produto não é umespaço C1; com vista a um absurdo, suponhamosM não contável e X AX,T umespaço C1. Sejam x x ∈ X e On,x : n ∈ N uma classe contável de abertos, base devizinhançase de x. Designando O,n prOn,x, An,x ∈ A : prOn,x ≠ X cadaAn,x é finito e C n1

A\An,x tem cardinal maior que o numerável. Seja O ∈ talque x ∈ O; existe certo On,x, x ∈ On,x ⊂ O. Como Ax n1

An,x é contável, existeum índice ∈ C\Ax, X ∈ M ; donde prOn,x X,n 1,2, . . . . Tem-sepr O ∩O,n O, n 1,2, . . . , Consideremos um elemento x ′ x′ ∈ X, x′ x ∈ Ax , x′ ≠ x ∉ Ax , x ′ ∈ O,x ′ ≠ x. Deverá existir On,x ⊂ O ∩O,n, obtendo-se o absurdo X ⊂ O c.q.d.

III.10.17 Teorema O produtoAX,T é metrizável se e só se cada espaço X,T émetrizável e o cardinal da classe dos espaços X não reduzidos a um ponto é contável.

Dem. A condição é necessária. Com efeito, se X AX,T é metrizável para umamétrica d, então para cada ∈ A fixando um ponto x ∈ ∈BX, B A\, afunção dx,y dx,y, prx x ∈ B,prx x e pry x ∈ B,pry y é uma métrica em X. Tem-se subentendendo esta notação que umarede x

i → x em X,d xi → x em X,d x

i → x em X,T (III.10.7) e portantoX é metrizável (Observação III.7.19). Também se a classe de espaços factor não reduzidosa um ponto X,T : ∈ Γ,Γ ⊂ A não é contável, tem-se cada X ≠ G donde X não éum espaço C1 pelo teorema anterior logo X não é metrizável (III.3.10). A condição ésuficiente: notando

Xn,dn : n ∈ N a subclasse de X,T : ∈ A (na convenção A ⊃ N) dosespaços não reduzidos a um ponto, designando p os restantes, considere-se para cada dn

a métrica equivalente dn mindn, 1/n em Xn. SejaDx, y supdnxn,yn : n ∈ N. Como dnxn,yn →n 0, a função D está bemdefinida, e é uma métrica em X (verifique). A rede xi → x em X,D se e só se a redede números não negativos dxi ,x converge para 0 ou seja, se e só se cada redecoordenada xi → x em X,T; portanto (III.10.7, III.7.19) o espaço X é metrizável para amétrica D c.q.d.

III.10.18 Observação Dada uma classe finita Xn,dn : 1 ≤ n ≤ N de espaçosmétricos as métricas D em X n1

N Xn na demonstração de III.10.17,Dxn, yn supmindn, 1/n : 1 ≤ n ≤ N edMxn, yn maxdnxn,yn : 1 ≤ n ≤ N são uniformemente equivalentes (III.4.7(3)). Pelo Corolário II.5.21, a topologia sobre X associada à métrica dM é assim a topologiaproduto de X.

-226-III.10.19 Exercícios (1) Prove que se cada subconjunto F de X é fechado em X,T

∈ A então F ∈AF é fechado emAX,T (Sug: pelo Corolário III.7.13, umsubconjunto C do espaço topológico é fechado se e só se contem o limite de qualquer redeconvergente em C). (2) Mostre que o conjunto H x, 1/x : x ≠ 0 é fechado no espaçoproduto R,U R,U mas o conjunto prxH prxa,b a não é fechado no espaçofactor R,U (Sug: Corolário III.7.13 e III.7.15, III.7.16. III7.17). (3) Conclua que asprojecções num produto não são funções fechadas; e que o recíproco de (1) é falso.

III.10.20 Teorema Dado o espaço produto X AX,T, se C ⊂ X ∈ A,tem-se∈AC ∈AC.

Dem. Atendendo a III.10.19 (1), o conjunto∈AC é um fechado contendo∈AC, donde∈AC ⊂ ∈AC. Para a inclusão recíproca, sex ∈ ∈AC, então dado um aberto O em X contendo x, tem-se x ∈ prO queé um aberto do espaço factor X (III.10.5). Logo prO ∩ C ≠ , concluindo-seO ∩∈AC ≠ e assim o teorema.

III.10.21 Dado um espaço factor X do espaço produto X AX,T, ∈ A e dadoum ponto fixo x ∈ ∈AX, a parte Sx; X ∈A\x diz-se afatia em X por x paralela a X. Sx; munido da topologia de subespaço de X éhomeomorfa ao espaço factor X para cada x arbitrariamente considerado.

III.10.22 Exercício Verifique III.10.21.

III.10.23 Teorema Seja Y,T : ∈ A uma classe de espaços topológicos, e sejamX,T um espaço topológico, f : X,T → AY,T uma função. então f é contínua se esomente se cada composta prof : X,T → Y,T ∈ A é contínua.

Dem. Se f é contínua então cada prof é contínua (III.10.5). Reciprocamente,suponhamos cada composta prof uma função contínua.

-227-Dada uma rede xi → x em X, fxi prfxi converge para prfx fx

(III.8.14, III.10.7) e conclui-se o teorema usando o Teorema III.8.14, c.q.d.

III.10.24 Corolário Sendo X,T um espaço topológico, Y,T : ∈ A uma classede espaços topológicos e f : X → Y∈A uma classe de funções, a funçãof : X → AY,T, fx fx é contínua se e só se cada função dada f é contínua.

Dem. Conclui-se do teorema, pois f prof.

III.10.25 Teorema Sejam X,T : ∈ A, Y,T∗ : ∈ A classes de espaçostopológicos indiciadas num mesmo conjunto, e seja f : ∈ A uma classe de funções,f : X → Y. Se cada função f é contínua, então a funçãof : AX,T → AY,T∗, fx fx é contínua.

Dem. Dado V , V ∈ T∗ tem-se f−1 V f−1V donde se conclui oteorema, c. q.d.

III.10.26 Se cada espaço X,T é um espaço T0 ∈ A então dados pontosx, y ∈ X AX,T, x ≠ y, pelo menos x ≠ y para um índice . Existeportanto V ∈ Vx tal que y ∉ V no espaço X, e V é uma vizinhança de x talque y ∉ V , donde X é um espaço T0. Reciprocamente, se o espaço produto é T0então dado um qualquer índice , x,y ∈ X, x ≠ y, podemos fixar u x,v y eu v ≠ , ∈ A obtendo pontos diferentes u u,v v ∈ X, ,. Sev ∉ Ou, onde Ou é um aberto do produto a que pertence u, então prOu é um aberto deX contendo x ao qual não pertence y, o espaço X é T0. Estas propriedades continuamambas a verificar-se, substituindo no enunciado T0 por T1 (resp.por T2).

III.10.27 Exercício Verifique III.10.26.

-228-III.10.28 Propriedade O espaço produto X AX,T é um espaço Ti

i 0,1,2,3 se e somente se cada espaço factor é respectivamente um espaço Ti.Dem. Provamos que se X é um espaço T3 então cada factor é um espaço T3; e

provando que se cada X é regular então X é regular, ficará provado o teorema. Admitindoque X é um espaço T3, p ∈ X\F e F é fechado, fixemos um ponto p ∈ X econsideremos o conjunto F F ∈A\p. Então p ∉ F e F é fechado no espaçoproduto. Existem abertos A,O em X, p ∈ A,F ⊂ O tais que A ∩ O ; dondeprA ∩ prO , p ∈ prA, F ⊂ prO e conclui-se a condição necessária.Reciprocamente, se cada X é um espaço regular, dados p p e O ∈ T, p ∈ O,existe V ∈ T tal que p ∈ V ⊂ V ⊂ O.

Então p ∈ V ⊂ V V ⊂ U , donde se conclui o teoremautilizando III.9.30 (1).

III.10.29 Observação Se X é um espaço T4, dados um fechado F ⊂ X e um pontop ∈ X\F, os fechados p e F são disjuntos. Pelo Lema de Urysohn, existe uma funçãocontínua f : X → 0,1 tal que fp 1 e fx 0 x ∈ F. Existem espaços regulares quenão têm esta propriedade (em [Engelking], p. 40 encontra-se um exemplo), de modo queesta é uma propriedade de separação intermédia entre T3 e T4.

III.10.30 Definição O espaço topológico X diz-se que é 3 12 , um espaço de Tikhonov ou

um espaço completamente regular se é um espaço T1 e tem a propriedade de, dados umsubconjunto fechado F de X e um qualquer ponto p ∈ X\F, existir uma função contínuaf : X → 0,1 tal que fp 1 e fF 0.

III.10.31 Observações (1) Certos autores definem espaço completamente regular comoum espaço que verifica a existência de uma função f nas condições de III.10.29, para cadafechado F e cada ponto p ∈ X\F no contexto mas não sendo o espaço necessariamente umespaço T1; e reservam a designação de espaço de Tikhonov para espaços que são tambémespaços T1. Unicamente no Teorema III.10.36 adoptamos esta última definição para maiorgeneralidade. (2) Certamente, considerando a função 1 − f no lugar de f, a definiçãoIII.10.30 pode formular-se considerando uma função contínua f : X → 0,1 verificandofp 0, fF 1. Notar a este respeito que se X é um espaço topológico e as funçõesf1, . . . , fn são contínuas de X em R munido da topologia usual, 1, . . . ,n são números reais,então a função∑ i1

n ifi : X → R é contínua. Assim como a funçãof maxfi : 1 ≤ i ≤ n, fx maxfix : 1 ≤ i ≤ n (ambas estas propriedades severificam facilmente utilizando a caracterização da continuidade por meio de redesconvergentes).

-229-III.10.32 Proposição Um espaço topológico X,T que é um espaço T1 é um espaço T3 1

2

se e somente se considerando uma subbase S de T e um qualquer ponto x ∈ V, onde V ∈ S,existe uma função contínua f : X → 0,1 tal que fx 0 e fy 0 para cada y ∈ X\V.

Dem. A condição é necessária, pois x ∉ X\V, X\V é um conjunto fechado. A condição ésuficiente: dados F ⊂ X, F fechado e x ∈ X\F, existem V1, . . . ,Vn ∈ S, certo n, tais quex ∈ i1

n Vi ⊂ X\F dado que X\F é um aberto contendo x. Pela hipótese, existe para cadai 1, . . . ,n uma função contínua fi : X → 0,1 tal que fix 0 e fiy 1 se y ∈ X\Vi.Dado que F ⊂ i1

n X\Vi, a função f : X → 0,1, f maxfi : 1 ≤ i ≤ n é umafunção contínua (III.9.31 (2)) tal que fx 0 e fF 1 c.q.d.

III.10.33 Corolário Um espaço T1 dado X é T3 12

se e somente se para cada x ∈ X e cadaaberto V tal que x ∈ V, existe uma função contínua f : X → 0,1 tal que fx 0 efy 1 para cada y ∈ X\V.

Dem. Pois uma topologia sobre X é subbase da mesma topologia.

III.9.34 Observação A propriedade de um espaço ser T3 12

assegura a existência debastantes funções reais contínuas não constantes sobre o espaço. Quase todos os espaçosfrequentes em Análise são espaços T3 1

2.

III.10.35 Teorema Todo o subespaço de um espaço T3 12

é ainda um espaço T3 12.

Dem. Conclui-se de todo o subespaço de um espaço T1 ser T1, utilizando o CorolárioIII.10.33.

III.10.36 Teorema É condição necessária e suficiente para que o espaço produtoAX,T seja completamente regular (resp. um espaço de Tikhonov) que cada factorX,T seja completamente regular (resp. um espaço de Tikhonov).

-230-Dem. Se X AX,T é completamente regular então (III.10. 21) cada fatia

Sx; X ∈A\x é completamente regular, e portanto cada espaço X écompletamente regular (III.10.21). Reciprocamente, suponhamos cada X completamenteregular. Dados x ∈ X e um subconjunto aberto O ⊂ X tal que x ∈ O temos: existemabertos O1, . . . ,Om tais que x ∈ O1, . . . ,Om ⊂ O. Pela hipótese, existemfunções contínuas fk : Xk → 0,1,U tais que fkxk 1 e fk 0 sobre Ok

c

para cada k. Pondo fx minfkoprk : 1 ≤ k ≤ m. Tem-se que cada compostafkoprk é contínua, donde se conclui facilmente que f é contínua; também fx 1,f 0 sobre Oc e conclui-se que X é completamente regular e o teorema, utilizando aPropriedade III.10.33 c.q.d.

III.10.37 Exercício Prove que seAX,T é um espaço T4 (respectivamente umespaço normal) então cada espaço factor X,T é um espaço T4 (resp. normal). (Sug:III.10.19 (1)).

III.10.38 Resolução Sejam X AX,T um espaço T4, ∈ A e consideremosdois subconjuntos fechados disjuntos F

1 ,F2 ⊂ X. Os conjuntos F1 F

1 ∈A\X

e F2 F2 ∈A\X são subconjuntos fechados disjuntos de X. Existem então

abertos disjuntos O1,O2 em X tais que Fi ⊂ Oi i 1,2; logo (III.5.10), necessariamenteque os abertos O

i prOi de X são disjuntos, Fi ⊂ O

i i 1,2 e X é um espaçoT4. Para o caso X normal, o resultado conclui-se então de III.10.28.

III.10.39 Observação (F. B. Jones) Se um espaço topológico X contém um conjuntodenso D e um subespaço discreto fechado S de cardinalidade #S ≥ #PD então X não éum espaço normal. Pois suponhamos X normal. Como a topologia induzida sobre S é atopologia discreta, todo o subconjunto A de S é fechado em S, logo também é fechado em X(III.4.13 (2)). Analogamente S\A é fechado em X. Assim para cada A ⊂ S existem abertosdisjuntos UA,VS\A tais que A ⊂ UA e S\A ⊂ VS\A. Sendo D denso em X, oconjunto D ∩ UA, considerando um outro subconjunto B de S no lugar de A, tal queA\B ≠ (o que é possível dado que S contem pelo menos dois elementos) verifica acondição UA ∩ VS\B ≠ , tem-se portanto E D ∩ UA ∩ VS\B ≠ . O conjunto E éum aberto contido em D ∩ UA tal que E ∩ UB . Utilizando o símbolo da escolha deHilbert, fixemos um aberto UA UA para cada subconjunto com pelo menos doiselementos A ⊂ S. A função : M PS\,s : s ∈ S → PD definida porA D ∩ UA é então injectiva, o que é impossível (D e S são necessariamenteconjuntos infinitos, e obter-se-ia #PS ≤ #PD, contradizendo a hipótese sobre arelação entre os cardinais de D e de S).

III.10.40 O espaço R,U é normal. Conclui-se de III.10.39 que o espaço produtoX R,U R,U não é um espaço normal. Com efeito, o conjunto D Q Q é umsubconjunto contável denso de X e S x,−x : x ∈ R\Q é um subconjunto discretofechado de cardinalidade o contínuo c.

-231-Assim o espaço produto de dois espaços normais não é necessariamente um

espaço normal. A questão se o espaço produto X 0,1, 0,1 munido da topologiainduzida pela topologia usual, é normal sempre que X é um espaço normal, foi umproblema em aberto em Topologia, anterior à década de 60 do passado século. Finalmenteem 1971 foi provado ([Mary Ellen Rudin]) que a resposta é negativa.

.

III.10.41 Exemplos (1) O espaço R,U R,U é exemplo de um espaço T3 (comoproduto de dois espaços T3) que não é um espaço T4. Este espaço é mesmo T3 1

2(Teorema

III.10.37 (4), bservação III.10.29). (2) Sendo o primeiro ordinal não contável, o produto0, 0, (rever III.2.36) é um espaço T4, como veremos em III.11. O subespaçoT 0, 0,\, não é T4. Com efeito, os conjuntos A ,n : 0 ≤ n eB , : 0 ≤ são subconjuntos disjuntos e fechados no subespaço T. Mas seU ⊃ A e U é um aberto em T, então como para cada n fixo, o ponto ,n ∈ U, tem-se queexiste um ordinal n , n, n ⊂ U; a classe destes n tem um supremo 0 (Teorema III.1.79), e portanto o conjunto 0, 0,⊂ U. Consequentemente, toda avizinhança de 0 1,, que está em B, contém pelo menos um ponto de U o que implicaque cada aberto V contendo B tem intersecção não vazia com U. Este espaço T é um outroexemplo de um espaço T3 1

2(analogamente a (2)) que não é T4.

III.10.42 Verifica-se facilmente (comprove) que a propriedade ser um espaço Tii 0,1,2,3,3 1

2 , 4 é topológica.

Dada uma classe não vazia X,T : ∈ A podemos representar o espaçotopológico produto pondoAX,T X : ∈ A. Se X é um espaço topológico,designemos CX, I o conjunto das funções contínuas f : X → I onde I 0,1 munido datopologia induzida pela topologia usual de R. Pondo If I f ∈ CX, I, sejaPX f

If : f ∈ CX, I. PX diz-se um paralelotópio, e notamos tf um elemento em PX.Pelo Teorema III.10.29, cada paralelotópio é um espaço de Tikhonov, e portanto (TeoremaIII.10.35) cada subespaço S de um PX é um espaço de Tikhonov. A recíproca é válida amenos de homeomorfismo:

III.10.43 O espaço topológico X é um espaço de Tikhonov se e somente se éhomemorfo a um subespaço de um paralelotópio. A função : X → PX dada porx fxf é um homeomorfismo e X ⊂ PX.

Dem. Certamente X é um subespaço de PX. Há a provar a condição suficiente i.e.,que é injectiva, contínua e aberta. Se x,y ∈ X,x ≠ y então existe um aberto contendo x aoqual não pertence y; donde certa f ∈ CX, I verifica fx 1 e fy 0, a coordenada-f dex é diferente da coordenada-f de y logo x ≠ y, é injectiva. é contínua, umavez que cada composta prfox fx é a função contínua f : X → I. Também é umafunção aberta, pois existe uma base de abertos de X tal que a imagem de cada um dessesabertos é um aberto. Notemos que pela definição da topologia produto de PX, para cadag ∈ CX, I, g fixo, o conjunto tf ∈ PX : tg 0 é um aberto. Tambem os abertosVf f−10,1 f ∈ CX, I constituem uma base da topologia de X.

-232-Pois dados um aberto U ⊂ X e um ponto p ∈ U existe um aberto V em X tal que

p ∈ V ⊂ V ⊂ U (X é um espaço regular) donde pela hipótese existe g ∈ CX, I, gp 1,g 0 sobre Vc ⊃ Uc i.e., x ∉ U gx 0, x ∈ g−10,1 Vg x ∈ U obtendo-sep ∈ Vg ⊂ U. Para cada um destes abertos Vg na base tem-seVg tf ∈ PX : tg 0 ∩ X, como vimos um aberto de X c.q.d.

III.10.44 Exercício Mostre que se o subconjunto D de X AX,T é denso, entãoprD é denso em X,T ∈ A. Conclua que se o espaço produto é separável, cadaespaço factor é também separável.

III.10.45 Observação Certos autores ([Dugundji]) consideram unicamente como espaçosseparáveis os espaços de Hausdorff contendo um subconjunto contável denso. No teoremaseguinte consideramos um produto X AX,T que é um espaço de Hausdorff (eassim cada X é um espaço de Hausdorff, atendendo à Propriedade III.10.28).

III.10.46 Teorema O produto X AX,T é um espaço topológico separável nosentido de III.10.45 se e somente se cada espaço factor X é separável no mesmo sentido ea cardinalidade da subclasse X : ∈ A, #X ≥ 2 não excede o contínuo.

Dem. Para a condição necessária, usando III.10.28., III.8.29 há a provar que se X éseparável então o número cardinal do conjunto B ∈ A : #X ≥ 2 não excede ocontínuo c. Como cada espaço X é separado, existem abertos não vazios e disjuntosU,V ⊂ X.Consideremos um subconjunto contável D denso em X.

Seja D D ∩ U para cada ∈ B. Se ∈ B, ≠ então D ≠ D; com efeito,sendo D denso, existe certo d ∈ D ∩ U,V D ∩ U ∩ V , e então ahipótese d ∈ D implicaria U ∩ V ≠ . Portanto a função D é injectiva de B emPD, donde #B ≤ #PD ≤ c. A condição é também suficiente. Uma vez que paraW A, X p ∈ W\A os espaçosWX;T e X são homeomorfos(verifique), podemos supor que #X ≥ 2 ∈ A. Seja xn : n ∈ N0 umsubconjunto contável denso de X para cada . Uma vez que #A ≤ c, existe uma bijecção : A → J ⊂ 0,1 e suporemos A 0,1, adaptando-se o que segue ao casoJ ≠ 0,1, considerando subintervalos reduzidos a um ponto.para o caso A um conjuntocontável.

Para cada colecção J1, . . . ,Jm de subintervalos fechados disjuntos de 0,1 tal queP ≡ os seus extremos racionais são racionais, e cada conjunto finito de inteiros nãonegativos j1, . . . , jm, seja pJ1, . . . ,Jm; j1, . . . , jm o ponto xs ∈ X talque s jk se ∈ Jk e s 0 ∉ Jk. O conjunto

C pJ1, . . . ,Jm; j1, . . . , jm : P, jk ∈ N0 1 ≤ k ≤ m,m ∈ N é contável.Também C é denso em X. Pois dado um aberto O1, . . . ,Om em X, tomando nanotação acima m subintervalos disjuntos Jk de extremos raionais tais que k ∈ Jke considerando para cada k 1, . . . ,m, certo jk tal que xjk ∈ Ok (xn : n ∈ Né cdenso em X para cada ), tem-se: o ponto

pJ1, . . . ,Jm; j1, . . . , jm ∈ O1, . . . ,Om .Conclui-se o teorema da Propriedade III.10.28, c.q.d.

-233-

III.10.47 Observação O espaço topológico R,U é separável (o subconjunto Q édenso) donde o espaço produto R,U R,U é separável. A topologia do subespaçor x,−x : x ∈ R é a topologia discreta de r, e portanto este subespaço não é separável.Utilizando a Observação II.7.8 conclui-se em particular que R,U não é metrizável (o queimplicaria R,U R,U metrizável, pelo Teorema III.10.17).

III.10.48 Definição Se X,T : ∈ A é uma classe de espaços topológicos, X é umconjunto e f : X → X : ∈ A é uma classe de funções, a topologia∨f−1U : U ∈ T, ∈ A é a topologia inicial ou topologia fraca wX, sobre X.

III.10.49 Observações (1) A designação de topologia para wX, liga-se a que esta é atopologia menos fina sobre X na classe das topologias sobre X para as quais cada função fé contínua. Notar que cada f está definida sobre todo o X. (2) Se em III.10.48 a classe éa classe I : X → Y onde I é a injecção identidade e X é um subconjunto não vazio doespaço topológico Y,TY, então a topologia inicial wX, é a topologia de X comosubespaço topológico de Y.

III.10.50 Um processo dual de III.10.48 para obter uma topologia sobre um conjunto éconsiderar uma colecção de funções f : X → Y : ∈ A, onde Y é um conjunto nãovazio e cada X,T é um espaço topológico. A classeTf : ∈ A U ⊂ Y : f−1U ∈ T,∀ ∈ A é uma topologia sobre Y e é atopologia mais fina sobre Y de entre as quais cada função f é contínua.

III.10.51 Definição Dada uma colecção de funções f : X,T → Y : ∈ A emIII.10.50 a topologia Tf : ∈ A diz-se a topologia final sobre Y da classef : ∈ A.

III.10.52 Definição Dados um espaço topológico X,T e um conjunto Y, se no contextode III.10.50 f : ∈ A se reduz a uma função sobrejectiva p : X → Y, a topologia finalobtida sobre Y diz-se a topologia de identificação e nota-se Tp. No caso particular em que é uma relação de equivalência no espaço topológico X,T e p : X → X/ é aaplicação cociente : x x, a topologia T diz-se a topologia cociente e X/ munidode T é o espaço topológico cociente.

III.10.53 Exercício Prove que se X é um espaço topológico e p : X → Y é uma funçãode X sobre o conjunto Y, então Tp é a mais fina topologia sobre Y de entre aquelas para asquais a função p é contínua. Generalize este resultado para a topologia finalTf : X → Y : ∈ A..

-234-

III.10.54 Exemplos (1) Dado o espaço topológico produtoAY,T, a topologia deidentificação Tpr ∈ A sobre Y coincide com a topologia considerada iniciamentesobre Y. (2) Se p : 0,1 → 0,1, 0,1 munido da topologia induzida pela topologiausual de R, é a função característica de 1/2,1 então a topologia de identificação Tpsobre 0,1 é a topologia de Sierpínski. Neste caso a sobrejecção p : X,T → Y,Tpnão é aberta nem fechada.

III.10.55 Definição Se X,Y são espaços topológicos e p : X → Y é uma funçãosobrejectiva, diz-se que p é uma identificação se a topologia de Y é exactamente a topologiaTp. Assim p é uma identificação se e só se os abertos U de Y são precisamente aquelestais que p−1U é aberto em X.

III.10.56 Exercícios (1) Verifique que a função identidade IX : X,T1 → X,T2 é umaidentificação se e só se T1 T2. Conclua que nem toda a sobrejecção contínua é umaidentificação. (2) Mostre que se p : X → Y é uma sobrejecção contínua e aberta (resp.fechada) então p é uma identificação (Sug: se U ⊂ Y tem-se U pp−1U). (3) Prove quese dada uma uma função continua p : X → Y, existe uma função contínua s : Y → X tal quepos IX, então p é uma identificação.

III.10.57 Se p : X → Y éuma função sobrejectiva, o subconjunto A ⊂ X diz-sep-saturado se A p−1pA i.e., se A ⊃ p−1pA; a carga-p de um subconjunto A de X é oconjunto p−1pA, e assim A é p-saturado se e só se contém a sua carga-p.

Como mostra o Exemplo III.10.54 (2), no contexto de X e Y serem espaços topológicos,a carga-p de um aberto não é necessariamente um aberto. Para determinar se umaidentificação p : X → Y é uma função aberta ou fechada tem-se

III.10.58 Proposição Se p : X → Y é uma identificação, então p é uma função aberta(fechada) se e somente se a carga-p de cada aberto (fechado) de X é um aberto (umfechado).

Dem. Se p é aberta então U aberto em X pU aberto em Y p−1pU aberto emX. Reciprocamente se p−1pU é aberto em X sempre que U é aberto em X isto significa,sendo p uma identificação, que pU é aberto em Y quando U é aberto em X. Analogamentepara p fechada, c.q.d.

III.10.59 Observação Recordar que sendo f : X → Y uma função, y ∈ Y, a fibra de f emy é o subconjunto f−1y de X (se f é sobrejectiva então as fibras são não vazias).Considerando X,Y espaços topológicos e sendo p : X → Y a identificação correspondente àtopologia de identificação Tp de Y, esta topologia é separada se e somente se cada duasdiferentes fibras estão contidas respectivamente em dois abertos de X que são p-saturados edisjuntos. Esta é uma condição em p e na topologia de X, e tem-se:

-235-

III.10.60 Teorema Se é uma relação de equivalência no espaço topológico X e : X → X/ é aplicação cociente, tem-se: o espaço cociente X/ é separado se é umsubconjunto fechado do espaço produto X X e a aplicação cociente é aberta.

Dem. Sejam x, y ∈ X/, x ≠ y. Então ~xy e x,y ∉ donde, sendo umfechado, existem abertos U,V de X tais que x ∈ U, y ∈ V e U V ⊂ c; não existemportanto u ∈ U, v ∈ V tais que uv, donde não existe w ∈ X verificandow ∈ U ∩ V (porquê?) e assim, sendo sobrejectiva, tem-se U ∩ V .Logo, pela hipótese, U e V são abertos disjuntos de X/, x ∈ U, y ∈ V c.q.d.

III.10.61 Teorema Se X é um espaço regular, é uma relação de equivalência em X e aaplicação cociente : X → X/ é fechada então é um subconjunto fechado do espaçoproduto X X.

Dem. Seja x,y no complementar de em X X; devemos encontrar abertos A,B de Xtais que x,y ∈ A B ⊂ c ou seja, como vimos na demonstração do teorema anterior, taisque A ∩ B . Como x ≠ y tem-se x ∉ −1y. Como é por hipótesefechada e é contínua, o conjunto −1y é fechado (dado que o singleton y é umfechado no espaço regular X, recorde os Axiomas de separação) logo existem por hipóteseabertos disjuntos U,V em X, x ∈ U, −1y ⊂ V. Sendo p uma função fechada, entãosegue-se de III.8.50 que existe um aberto W ⊃ y em X/ tal que−1y ⊂ −1W ⊂ V ⊂ Uc. Tem-se U ∩ −1W U ∩W pois parau ∈ U tem-se u ∉ −1W e assim os abertos U A e −1W B satisfazem as condiçõesrequeridas, c.q.d.

III.10.62 Corolário Se o espaço topológico X é regular, é uma relação de equivalênciaem X e a aplicação cociente : X → X/ é aberta e fechada, então o espaço cociente X/ éum espaço de Hausdorff.

Dem. É consequência do Teorema III.10.60 e do Teorema III.10.61.

III.10.63 Observação Se X,Y,Z são espaços topológicos e f : X → Y é uma sobrejecçãocontínua, existe possivelmente uma função não contínua g : Y → Z sendo contudo contínuaa composta gof : X → Z. (Considere-se por exemplo X,D,X Y 0,1, D a topologiadiscreta de X, a topologia induzida pela topologia usual de R sobre 0,1 para Y e sobre Z,f Id0,1 e g a função de Dirichlet). Tem-se a seguinte propriedade, característica dasidentificações:

III.10.64 Propriedade Se f : X → Y é uma sobrejecção contínua, f é uma identificaçãose e somente se para cada espaço topológico Z e cada função g : Y → Z, a continuidade degof implica a continuidade de g.

Dem. Supondo provada a condição necessária, provemos a condição suficiente.Supondo que a condição se verifica, consideremos o conjnto Y munido da topologia Tf edesignemos por Y′ o espaço topológico assim obtido, seja p : X → Y

′a identificação.Notando I : Y → Y′a função identidade, tem-se que p Iof que é contínua logo, usando ahipótese, I é contínua. Mas então Tf é menos fina que a topologia de Y, e sendo p aidentificação e I−1op f contínua, concluimos da condição necessária que I−1 é contínua,Tf é também mais fina que a topologia de Y, f : X → Y é uma identificação.

-236-

III.10.65 Observação Se X,Y são espaços topológicos, é uma relação de equivalênciaem X e f : X → Y é uma função contínua compatível com (I.5.12) vimos no TeoremaI.5.14 que a função f : X/ → Y, fx fx é exactamente a única função tal que se tema fectorização f fo, onde : X → X/ é a aplicação cociente. Como é umaidentificação, tem-se pelo teorema anterior que f é contínua se e só se f é contínua.

III.10.66 Exercícios (1) Complete a demonstração da Propriedade III.10.64, provando acondição necessária. (2) Prove que se X,Y são espaços topológicos e f : X → Y é umaidentificação, então dados um conjunto Z e uma sobrejecção g : Y → Z, as topologias deidentificação Tgof Tg sobre Z.

III.10.67 Exemplo Recordando a definição em III.10.52, se X,T é um espaçotopológico, ≠ A ⊂ X e A é a relação de equivalência A A x,x : x ∈ X em X,o conjunto cociente é X/A A,x : x ∈ X\A em que o conjunto A fica identificado aum ponto A A. Notamos X/A X/A. Se A 1A −1A é aberto em X, ocomplementar C x : x ∈ X\A de A no espaço cociente é homeomorfo a X\A pelabijecção contínua ∣X\A. Pois a topologia TC induzida pela topologia de X/A é menos finaque a topologia T∣X\A; e se U ⊂ C é fechado na topologia T∣X\A então∣X\A−1 U X\A ∩ −1U é um fechado de X\A, logo −1U é fechado em X; logo

−1Uc −1Uc é aberto em X, Uc é aberto em X/A i.e, U é fechado em C,TC. Atopologia de C é neste caso a topologia de identificação T∣X\A e o mesmo sucedeanalogamente se A é fechado em X,T.

III.10.68 Exercício Prove que se X é um espaço regular e A é um subconjunto fechadode X, então o espaço cociente X/A em III.10.67 é um espaço de Hausdorff

III.10.69 Teorema Se X é um espaço topológico e é uma relação de equivalência emX, a aplicação cociente : X → X/ é aberta (fechada) se e somente seU u : u ∈ U é um aberto (um fechado) em X.

Dem. É consequência da Proposição III.10.58, uma vez que é sobrejectiva e a carga-de U é U.

III.10.70 Se X,Y são espaços topológicos disjuntos, diz-se união livre de X e Y o espaçotopológico X Y X Y,UX,Y onde UX,Y é a topologia sobre X Y para a qual umconjunto A ⊂ X Y é aberto se e só se A ∩ X é aberto em X e A ∩ Y é aberto em Y.

III.10.71 Exercício Verifique que dada a união livre X Y,a) UX,Y é uma topologia sobre X Y para a qual a topologia de subespaço de X (de Y)

coincide com a topologia de X (de Y).b) os conjuntos X,Y são abertos e fechados em X Y;c) um subconjunto B ⊂ X Y é fechado se e só se B ∩ X é fechado em X e B ∩ Y é

fechado em Y.

-237-

III.10.72 Definição Sejam X,Y espaços topológicos disjuntos, A um subconjuntofechado de X e uma função contínua f : A → Y. Consideremos no espaço X Y a relaçãode equivalência w,w, a, fa, fa,a : w ∈ X Y,a ∈ A. O espaço cocienteX Y/ diz-se X fixado a Y por f e nota-se X f Y; a função f diz-se a função de fixação.

Em linguagem intuitiva, identifica-se cada a ∈ A com a sua imagem por f nosubespaço X f Y de X Y. Tem-seX f Y w : w ∈ X Y\A fA,fa f−1fa : a ∈ A.

III.10.73 Exemplo Sejam X um espaço topológico, A ⊂ X, A um fechado e fixemos X aum singleton y ou, como tambem se diz, a um ponto y ∉ X. Então os espaços X f y eX/A são homeomorfos. Recordemos que X/A é o espaço cociente de X pela relação deequivalência A A A x,x : x ∈ X. Notemos que se R é uma relação deequivalência em X, S é uma relação de equivalência em Y e : X → Y preserva as relaçõesi.e., verifica xRx ′ xSx ′ então a função ∗ : X/R → Y/S é contínua. Pois sendop : X → X/R e q : Y → Y/S as aplicações cociente, tem-se ∗op qo; sendo qo contínua,∗op é contínua e, como p é uma identificação, a Propriedade III.10.64 mostra que ∗ écontínua. Considerando em III.10.72 no lugar de R, A no lugar de S, pondo : X → X y, x x e : X y → X, x x, y ∈ A, ambas , sãocontínuas (Teorema III.8.32 para ) e preservam as relações. Portanto ∗ : X/A → X f ye ∗ : X f y → X/A são contínuas, uma é a inversa da outra

III.10.74 Observação Ainda no Exemplo III.10.73, notando I o intervalo 0,1 munidoda topologia induzida usual de R, f0 f1 y ∉ I, o espaço I f y é homeomorfo aI/0,1 0,1,x : x ∈0,1. Tem-se que a função : I/0,1 → S1 1,0, cos2x, sin2x : 0 x 1, 0,1 1,0,x cos2x, sin2x é contínua e de inversa contínua (S1 munido também datopologia induzida pela topologia usual de R2). Assim S1é homeomorfo ao espaço I f y.

III.10.75 Verifica-se facilmente, usando a Propriedade II.12.3 e o Teorema II.12.27, quecada sucessão em I/0,1 tem uma subsucessão convergente. E como − /2,/2 munidoda topologia induzida pela topologia usual de R não tem esta propriedade, estes doisespaços não são homeomorfos, atendendo ao Teorema III.8.14. Segue-se de III.10.74 eIII.8.38, considerando o homeomorfismo x tgx entre − /2,/2 e R,U que S1 não éhomeomorfo a R, munidos os espaços das topologias consideradas.

-238-

III.10.76 Observação Recordem-se ainda I.5.12 e o Teorema I.5.14. Sejam X um espaçotopológico, X0 um subespaço de X e uma relação de equivalência em X,0 X0 X0 ∩ a relação de equivalência induzida em X0 (para x0,y0 ∈ X0 tem-sex00y0 se e só se x0y0). Designando j : X0 → X a injecção identidade, : X → X/ aaplicação cociente, consideremos a composta oj : X0 → X/, ojx jx. Se x0y,x,y ∈ X0 então jxjy e ojx ojy i.e., oj é 0-compatível. Podemos portantoconsiderar oj : X0/0 → X/, ojx jx que é injectiva e, em termos de conjuntos,identificar X0/0 a um subespaço de X/. A função oj é contínua, como composta defunções contínuas de modo que naquela identificação, a topologia de X0/0 é mais fina quea topologia ”induzida” pela topologia de X/. Notar que em geral, a topologia de X0/0 émesmo estritamente mais fina que a induzida por X/, e assim não pode identificar-seX0/0 com um subespaço topológico de X/. Suponhamos por exemplo que na topologia deX existem dois conjuntos não vazios, um aberto A e um fechado B, com A,B umapartição de X e não sendo A um fechado (assim B não é aberto).

E admitamos que existem conjuntos não vazios A ′ ⊂ A, B ′ ⊂ B, ambos abertos, sejaX0 A ′ B ′. Seja a relação de equivalência em X definida por A,B e 0 a relação deequivalência induzida em X0 i.e., 0 definida pela partição A ′,B ′ de X0. A topologia deX/ A,B é ,A,X/, não separada, e "induz" em X0/0 A ′,B ′ a topologia nãoseparada ,A ′,X0/0. Mas a topologia do espaço cociente X0/0 é,A ′,B ′,X0/0, separada (a topologia discreta) portanto estritamente mais fina que atopologia "induzida" pela topologia cociente de X/.

-239-

III.11 COMPACIDADE

Na definição de conjunto compacto em II.12 considerada para a topologia associada àmétrica, não se consideram propriedades dos abertos na topologia que respeitem àdistância. Assim o conceito de conjunto compacto, bem como as propriedades nãométricas, são generalizáveis a espaços topológicos.

III.11.1 Definição Se X,T é um espaço topológico e A ⊂ X, uma classeC O : ∈ A ⊂ T que cobre A i.e., tal que A ⊂ O : ∈ A diz-se que é umacobertura aberta de A; se A ⊂ Ok : 1 ≤ k ≤ n, k ∈ A k 1, . . . ,n dizemos queC∗ O1, . . . ,On é uma subcobertura de C, e que pode extrair-se de C a coberturafinita C∗ ou que C é redutível a uma cobertura finita. Se toda a cobertura aberta de A (de X)é redutível a uma cobertura finita dizemos que A é um conjunto compacto (que o espaçotopológico X é compacto). Se o fecho A é compacto, dizemos que A é relativamentecompacto.

III.11.2 Observação Dado ≠ A ⊂ X,T, a cada cobertura aberta C O : ∈ Ade A corresponde a cobertura CA O ∩ A : ∈ A de A por abertos do subespaçoA,TA; reciprocamente a cada cobertura aberta U : ∈ A de A no subespaço A, ondeU O ∩ A, O ∈ T, corresponde a cobertura aberta O : ∈ A do conjunto A noespaço topológico X,T. Assim um subconjunto não vazio A de X,T é compacto se esomente se o subespaço A,TA é compacto. (Comparar com A, sempre aberto e fechado emA,TA, sem que A seja necessariamente um aberto ou um fechado de X).

III.11.3 Exemplos (1) Certamente todo o subconjunto finito A de X,T é compacto;pois dada uma cobertura aberta de A existe, para cada ponto no conjunto, pelo menos umaberto da cobertura contendo o ponto _ Uma colecção finita de tais abertos é umasubcobertura finita_. Em particular, todo o espaço topológico finito é compacto. (2) Vimosem II.12 que R,U, U a topologia usual, não é um espaço topológico compacto, assimcomo um intervalo da forma a,b, a b ou a,b não é compacto. E que cada intervalolimitado e fechado a,b é compacto.

III.11.4 Propriedade Se o espaço topológico X,T é compacto e F é um subconjuntofechado, então F é compacto.

Dem. Dada CF O : ∈ A, cobertura aberta de F, pode extrair-se da coberturaaberta C Fc,O : ∈ A de X uma subcobertura finita, donde se conclui o resultado.

III.11.5 Corolário Se F ⊂ A ⊂ X,T, A é compacto e F é fechado, então F é compacto.Dem. Pela Obervação III.11.2 conclui-se o corolário, c.q.d.

-240-III.11.6 Teorema Todo o subconjunto compacto A do espaço de Hausdorff X,T é

fechado.III.11.7 Exercício Justificando as passagens seguintes, demonstre o Teorema III.11.6

1. Há a provar que Ac é aberto; 2. dado p ∈ Ac, existem, paracada x ∈ A abertos Ax eAp, x ∈ Ax,p ∈ Ax,p, Ax ∩ Ax,p ;

3. a classe Ax : x ∈ A onde os Ax são como em 2. é uma cobertura aberta de A.Existem x1, . . . ,xn ∈ A tais que A ⊂ k1

n Axk.4. U k1

n Axk,p, os Axk,p como em 2., é um aberto tal que p ∈ U ⊂ Ac e podeconcluir-se o resultado, c.q.d.

III.11.8 Corolário 2 Se X,d é um espaço métrico em que as bolas fechadas sãocompactos, então há identidade em X entre conjuntos compactos e conjuntos limitados efechados.

III.11.9 Exercícios (1) Demonstre o Corolário 2 (sug: reveja o Teorema II.12.33 eutilize III.11.5, III.11.6). (2) Prove que o espaço topológico X é compacto se e só se dadauma classe de subconjuntos fechados F : ∈ A tal que a intersecçãoF : ∈ I ≠ para cada I ⊂ A, I finito, se temF : ∈ A ≠ . (Sug: prove acontra-recíproca por passagem ao complementar e utilizando as leis de De Morgan). (3)Mostre que se A1, . . . ,An são subconjuntos compactos de X então A1 . . .An é compacto.(4) a) Prove que cada classe T de subconjuntos de N, iT ,N,Sn : n 1,2, . . .,Sn 1, . . . ,n,

ii T N,A ⊂ N : 1 ∉ A é uma topologia sobre N. b) O espaço topológico N,T écompacto em i? Em ii? Justifique.

III.11.10 Se X é um conjunto não vazio e F é um filtro sobre X, dada uma cadeia defiltros Fi i ∈ I sobre X, cada Fi contendo F, a classe F∗ Fi : i ∈ I é um filtrosobre X (verifique). No conjunto parcialmente ordenado constituído pelos filtros sobre Xque contêm F para a relação ⊂, existe portanto, pelo Lema de Zorn, um elemento maximalU ⊃ F. Recorde (I.7.9) que U é um ultrafiltro sobre X e que uma propriedade quecaracteriza o filtro U como um ultrafiltro é que dado um arbitrário A ⊂ X, tem-se A ∈ U ouAc ∈ U.

-241-III.11.11 Observação Dizendo que uma família A de do espaço topológico X é

insuficiente se não cobre X, que é finitamente insuficiente se nehuma subfamília finita de Acobre X, então X é compacto se e somente se toda a família de abertos que seja finitamenteinsuficiente é insuficiente. A classe de todas as famílias de subconjuntos abertos de X quesão finitamente insuficientes tem carácter finito; pelo Lema de Tukey em I.8.19, existe umafamília de abertos finitamente insuficiente maximal naquela classe. SeM é uma tal famíliamaximal e C é um aberto, C ∉ M, existem abertos A1, . . . ,An ∈ M tais queC k1

n Ak X. Pois a hipótese de que não existem tais conjuntos A1, . . . ,An implicaqueM C é finitamente insuficiente, contradizendo queM é maximal. Nenhum abertoA contendo um aberto C ∉ M está emM _ Pois então toda a parte finita de A e portantode C, está emM, o que implicaria C ∈ M _. Se D é um aberto, D ≠ C e também D ∉ M,existem abertos B1, . . . ,Bm ∈ M tais que D j1

m Bj X como vimos. Assim (comose conclui facilmente) C ∩ D A1 . . .An B1 . . .Bm X, logo C ∩ D ∉ M.Tem-se pois que se nenhum elemento numa família finita de abertos de X está emMtambém nenhuma intersecção finita destes elementos está emM, nem nenhum aberto quecontenha uma tal intersecção finita

Equivalentemente, se um elemento deM contém a intersecção finita de abertosC1 ∩. . .∩Cp, então algum destes Ci ∈ M, 1 ≤ i ≤ p.

III.11.12 Teorema de Alexander O espaço topológico X é compacto se e somente sedada uma arbitrária subbase S da topologia, cada cobertura de X por abertos de S éredutível a uma cobertura finita.

Dem.A condição é certamente necessária, vejamos que é suficiente. Segundo III.11.11,há a provar que toda a família finitamente insuficiente de abertos de S é insuficiente.Seja Cuma família finitamente insuficiente de abertos de S. Se C é maximal, consideremos afamília S ∩ C; esta é manifestamente finitamente insuficiente e, pela hipótese éinsuficiente, S ∩ C não cobre X. Tem-se: cada ponto x ∈ A : A ∈ C está emA : A ∈ S ∩C, existe pois x ∉ A : A ∈ C, C é insuficiente e o teorema ficaprovado se C é maximal. Com efeito, se x ∈ A,A ∈ C, existem C1, . . . ,Cp ∈ S tais quex ∈ C1 ∩. . .∩Cp ⊂ A dado que S é uma subbase. Segue-se de III.11.11 que algum destesCi ∈ C i.e., x ∈ Ci,Ci ∈ S ∩ C, provando a igualdade das reuniões. Considerando então ocaso de C não ser maximal, existeM ⊃ C,M finitamente insuficiente maximal (III.11.10);como vimos,M é insuficiente, assim C é insuficiente, c.q.d.

III.11.13 Proposição X,T é um espaço topológico compacto se e somente se para cadafiltro F sobre X existe um filtro sobre X mais fino que F que é convergente.

Dem. Condição necessária: supondo X compacto, designemos F Ai : i ∈ I umfiltro sobre X. Das inclusões Ai ⊃ Ai concluimos que cada intersecção finitai1

n Ai ≠ ,donde existe a ∈ Ai : i ∈ I (III.11.9.(2)). Para cada V ∈ Va e cada Ai ∈ F tem-seAi ∩ V ≠ , logo a classe Ai ∩ V : i ∈ I,V ∈ Va é base de um filtro F ′ sobre X mais finoque F, F ′ ⊃ Va e F ′ → a. A condição é suficiente. Suponhamos que se verifica, e sejaFi : i ∈ I uma classe de subconjuntos fechados de X cujas intersecções finitas são nãovazias; mostremos que a intersecção da classe é não vazia. Aquelas intersecções finitas sãobase de um filtro F sobre X, e existe por hipótese um filtro F ′ ⊃ F tal que F ′ → p, certop ∈ X. Para cada C ∈ F ′ e cada V ∈ Vp, tem-se C ∩ V ≠ , pois senão certos tais C,Vverificam V ⊂ Cc; não pode existir F ∈ F ′, F ⊂ V então o que é uma contradição. Portantoo ponto p ∈ C para cada C ∈ F ′, concluindo-se p ∈ F : F ∈ F e assim, usandoIII.11.9 (2) a proposição, c.q.d.

-242-

III.11.14 Teorema O espaço topológico X é compacto se e só se todo o ultrafiltro sobreX é convergente.

Dem. Com efeito, se X é compacto e U é um ultrafiltro sobre X, o único filtro sobre Xmais fino que U é U. E se a condição no enunciado se verifica, dado um filtro F sobre X, oultrafiltro U que contém F é convergente (a classe dos filtros mais finos que F contém ofiltro maximal U) c.q.d.

III.11.15 Definição Dizemos que uma rede em X é universal se para cada A ⊂ X, a redeui indiciada em I, está eventualmente em A i.e., existe iA,∀i ∈ I, i iA ui ∈ A, ou ui está eventualmente em Ac.

III.11.16 Se ui é uma rede universal em X, a rede foui fui é universal em Ypara cada função f : X → Y. Em particular, cada subrede ui de uma rede uinversal ujé uma rede universal.

III.11.17 Exercício Verifique III.11.16 (sug: dado A ⊂ Y, f−1Ac f−1Ac).III.11.18 Lema Toda a rede xj em X tem uma subrede universal.

III.1.19 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração deIII.11.18:

Seja xj uma rede em X indiciada em J,.1. Existe uma classe C de subconjuntos de X tal quei ∀A ∈ C, xj está frequentemente em Aii ∀A,B ∈ C, A ∩ B ∈ C2. Sendo dada uma cadeia de tais classes C como em 1. no conjunto parcialmente

ordenado PPX,⊂, a reunião da cadeia tem as propriedades i, ii em 1.; assim existeuma tal classe maximal C0 no conjunto das classes como C

3. Designe N A, , j : A ∈ C0, j ∈ J,xj ∈ A. Pondo B, i ≥ A, j B ⊂ A ∧ i jobtemos uma quase-ordem emN tal que N,≥ é um conjunto dirigido

4. A aplicação : N,≥ → J, dada por A, j j é admissível, obtendo-se asubrede xA,j de xj

5. A subrede em 4. é universal, dado que se xA,j está frequentemente em S, ondeS ⊂ X,

a para cada A, j ∈ N, existe B, i ∈ N tal que B, i ≥ A, j e xi xB,i ∈ Sb xi ∈ S ∩ B ⊂ S ∩ A e xj está frequentemente em cada conjunto A ∈ C0c ambos os conjuntos S e S ∩ A satisfazem as condições i, ii em 1. para cada A ∈ C0,

e assim aqueles conjuntos estão em C0d Tem-se que xA,j está frequentemente em S e, se também estivesse frequentemente

em Sc então seria Sc ∈ C0; o que é impossívele xA,j está eventualmente em Sf Pode concluir-se que xa,j é uma subrede universal de xj c.q.d.

-243-

III.11.20 Resolução1. Pois a classe X satisfaz ambas as condições2. porque cada um ou cada dois conjuntos da cadeia estão numa classe da cadeia, e

assim pode aplicar-se o Lema de Zorn3. A, j ≥ A, j; se A, j ≥ A ′, j ′ e A ′, j ′ ≥ A ′′, j ′′ tem-se A, j ≥ A ′′, j ′′. Dados

A, j, B, i ∈ N existe k ∈ J,k j,k i e então A ∩ B,k ∈ N,A ∩ B,k ≥ A, j, A ∩ B,k ≥ B, i

4. Dado j ∈ J podemos considerar um certo A ∈ C0; então ∀B, i ∈ N,B, i ≥ A, j B, i i j; e pela definição de subrede

5. a pela definição de uma rede estar frequentemente num dado conjuntob atendendo a a; pela definição de N e da quase-ordem ≥c pela hipótese em 5., atendendo às definições de N e de C0d pois a hipótese em 5. implica c; e porque, pela definição de cada classe C, se

S,Sc ∈ C0 ter-se-ia que xj está frequentemente em S ∩ Sc, o que é impossível.

-244-e pois a negação de uma rede estar eventualmente num conjunto S é equivalente a

que está frequentemente em Sc, e atendendo a d,c,bf porque se uma rede u em X não é universal então existe pelo menos um conjunto

A ⊂ X tal que u não está eventualmente nem em A nem em Ac; donde estáfrequentemente e não eventualmente pelo menos num subconjunto de X, c.q.d.

III.11.21 Se U é um ultrafiltro sobre o conjunto X então a rede xFU FUindiciada em U,⊂, : U → X o selector de Zermelo, é uma rede universal.Analogamente, a uma rede universal xiI em X corresponde o filtro F associado à redegerado pela base Ai : i ∈ I, Ai xj : j ∈ I, i ≥ j, que é um ultrafiltro.

III.11.22 Teorema O espaço topológico X é compacto se e somente se toda a redeuniversal em X é convergente.

Dem. Para o ultrafiltro U e a correspondente rede universal xFU (resp. para a redeuniversal xi e o ultrafiltro associado F) tem-se U → p xF → p (xi → p F → p),p ∈ X. O teorema conclui-se do Teorema III.11.14.

III.11.23 Propriedade O espaço topológico X,T é compacto se e só se cada rede em Xtem uma subrede convergente.

Dem. Provemos que a condição é suficiente, mostrando que toda a rede universal ujem X indiciada em J, é convergente, e aplicando III.11.22. Se ui é uma subredeconvergente de uj, ui → a então para cada V ∈ Va tem-se que existe iV verificandoi ≥ iV uj ui ∈ V e ui. Uma vez que existe também certo j0 ∈ J tal que uj ∈ Vse j j0, j ∈ J (dado que não pode ser uj ∈ Vc para cada índice j em J verificando j j1,certo j1 ∈ J e pela hipótese sobre uj), concluimos com i0 no conjunto dirigido dos índicesde ui para o qual i0 ≥ iV e i j0 i ≥ i0 que ui ∈ V,∀i ≥ i0 i.e., a subredeui → a. A condição é necessária, c.q.d.

III.11.24 Exercícios (1) Comprove que a condição em III.11.23 é efectivamentenecessária. (2) Demonstre o resultado:

III.11.25 Teorema Se X é compacto e a função f : X → Y é contínua, então o subespaçofX de Y é compacto.

III.11.26 A bijecção contínua f : X → Y é fechada se e só se a inversa f−1 : Y → X écontínua. Do Teorema III.11.6 conclui-se

III.11.27 Teorema Toda a bijecção contínua de um espaço compacto sobre um espaçoseparado é um homeomorfismo.

-245-

III.11.28 Exercícios (1) Mostre que se X é uma espaço topológico e Y é um espaçotopológico compacto, então a projecção 1 : X Y → X é uma função fechada.(Sug:III.8.14, III.11.23). (2) Prove que dados espaços topológicos X,Y e uma função f : X → Y,o grafo Gf x, fx : x ∈ X de f é fechado no espaço produto X Y se e somente seas hipóteses xi → x, onde xi é uma rede em X e, fxi → y implicam fx y. (3) Proveque no contexto de (2), se Y é compacto separado então f é contínua se e só se o grafo Gf

de f é fechado em X Y (Sug: Para a condição suficiente, considere uma vizinhança abertade fx0, x0 ∈ X; note que f−1Y\V Gf ∩ X Y\V).

III.11.29 Observação Se X,T é um espaço topológico compacto, podemos dizer que atopologia T sobre X é compacta. A posição de uma topologia compacta separada T sobre Xé delicada: se T0 é estritamente mais fina que T , não é compacta (considerando a funçãoidentidade IX : X,T0 → X,T ter-se-ia a contradição T0 T pelo Teorema III.11.27); ese T1 é estritamente menos fina que T então não é separada, pois III.11.26 levariaanalogamente a uma contradição.

III.11.30 Teorema Se X é um espaço compacto de Hausdorff então X é um espaço T4.

III.11.31 Exercícios (1) a Preencha os detalhes na seguinte demonstração de que se X écompacto de Hausdorff então X é T3:

i Sejam C um subconjunto fechado de X, p ∈ X\C. Para cada x ∈ C existem abertosUx,Vx tais que p ∈ Ux,x ∈ Vx,Ux ∩ Vx

ii existem pontos x1, . . . ,xn,n ∈ N, tais que C ⊂ V k1n Vxk

iii para os conjuntos U k1n Uxk tem-se p ∈ U,C ⊂ V,U ∩ V , concluindo-se

o resultado. b Com C,D subconjuntos fechados disjuntos de X, D no lugar de p e com Ccomo em a, conclua o Teorema III.11.30. (2) Recorde o espaço ordinal 0,Γ em III.2.36.Prove que 0,Γ é compacto. (Sug: dada a rede universal i considere supi : i ∈ I; se não existe um índice i0 tal que i i0 para uma infinidade deíndices i então i está frequentemente em cada intervalo aberto contendo ; considere oTeorema III.11.22 e a demonstração em III.11.20).

III.11.32 Teorema de Tikhonov. Se cada espaço X,T ∈ A é compacto então oproduto X X,T é compacto.

Dem. Há a provar que toda a rede universal u em X é convergente. Dada tal rede u, cadarede prou → x, certo x ∈ X, pois é uma rede universal em X (III.11.16). Portanto arede u → x em X, c.q.d.

III.11.33 Definição diz-se que um par Y,c, onde Y é um espaço compacto separado ec : X → Y é injectiva, contínua, com inversa contínua e tal que cX é denso em Y, éum compactificado de X. Nota-se então Y,c cX.

-246-III.11.34 Observação Se o espaço X tem um compactificado é então homeomorfo a um

subespaço de um compacto Hausdorff, logo é um espaço de Tikhonov (teoremas III.10.35 eIII.11.30). E se X é um espaço de Tikhonov, então pelo Teorema III.10.43, X é homeomorfoa um subespaço do paralelotópio PX f∈CX,IIf, If 0,1 ; podemos portanto tomarpara Y,c o fecho X em PX munido da topologia produto. Aqui CX, I é o conjunto dasfunções contínuas de X em I (I munido da topologia induzida pela topologia usual de R) ex fxf f ∈ CX, I, : X → PX é a fução avaliação como em III.10.43 (recordeII.2.13 e considere III.11.32).

Concluimos imediatamente

III.11.35 O espaço X tem um compactificado se e só se X é um espaço de Tikhonov.

III.11.36 Definição Se X é um espaço de Tikhonov diz-se que X X,, onde ofecho é tomado em PX como em III.11.34, é o compactificado de Stone-Cech de X.

III.11.37 Observação Dada uma função f : A → B, a função f∗ : IB → IA definida porf∗y yof y ∈ IB é contínua, considerando os espaços munidos das topologias produto.Com efeito, a continuidade de f∗ é equivalente à continuidade de cada composta praof∗,onde a percorre A. (Teorema III.10.23). Tem-se praof∗y prayof yfa e assimpraof∗ é a função y yfa i.e., a projecção contínua prfa : IB → Ifa I.

III.11.38 Dado o espaço de Tikhonov X e um compactificado cX de X, identifica-sehabitualmente X com a sua imagem homeomorfa cX, densa em cX.

III.11.39 Teorema de Stone-Cech. Se X é um espaço de Tikhonov e f : X → Y écontínua de X no espaço compacto de Hausdorff Y, então existe uma extensão contínuaF : X → Y de f. Mais precisamente, a composta fo−1 : X → Y tem uma extensãocontínua F : X → Y.

Dem. Dada a função f, consideremos f∗ : CY, I → CX, I definida por f∗w wofw ∈ CY, I. Analogamente, seja f∗∗ : ICX,I → ICY,I definida por f∗∗q qof∗, ondeq ∈ ICX,I. f∗∗ é contínua pela Observação III.11.37. Seja : Y → ICY,I a função avaliação.Temos então of : X → Y → Y ⊂ ICY,I, f∗∗o : X → X ⊂ ICX,I,f∗∗ : ICX,I → ICY,I. A função é um homeomorfismo, e também é um homeomorfismode Y sobre Y dado que Y é compacto separado (Y é de Tikhonov, é injectiva, Y éseparado). Tem-se que f∗∗o of, e assim obtemos a extensão F −1of∗∗. Com efeito,dado x ∈ X, se h ∈ CY, I entãof∗∗oxh xof∗h xhof hofx fxh ofxh dadas asdefinições das funções, c.q.d.

-247-III.11.40 Observação Dado o espaço de Tikhonov X, consideremos a relação ”≤”

definida na classe CX de todos os compactificados separados de X pondo c2X ≤ c1X se esó se existe uma função contínua sobrejectiva 1,2 : c1X → c2X tal que c2 1,2oc1; de talmodo que cada ponto x ∈ X, considerado como subespaço de c1X ou de c2X, coincide coma sua imagem 1,2x no sentido de III.11.38. Pelo Teorema de Stone-Cech, CX tem omáximo X. (3) Veremos adiante que CX tem un mínimo se e somente se X é localmentecompacto separado.

III.11.41 Definição O espaço topológico X,T diz-se localmente compacto se cadaponto de X tem uma vizinhança compacta (que é um subconjunto compacto).

III.11.42 Todo o espaço compacto é localmente compacto. A recíproca é falsa(considere-se RN munido da topologia usual associada à métrica euclideana).

III.11.43 Observação Se W é uma vizinhança de a ∈ X, X,T um espaço topológico, eV é uma vizinhança do ponto a no subespaço W então V é uma vizinhança de a em X. Poisexistem abertos O,U ∈ T tais que a ∈ U ∩W ⊂ V, a ∈ O ⊂ W e assim a ∈ U ∩ O ⊂ V.Consequentemente, se X é um espaço topológico localmente compacto T2, a ∈ X e W éuma vizinhança compacta de a, então III.11.30 mostra que o subespaço W é regular; oponto a tem portanto uma vizinhança fechada V ⊂ W e V é um conjunto compacto(Corolário III.11.5), vizinhança de a em X.

III.11.44 Teorema Em cada espaço localmente compacto Hausdorff existe uma base devizinhanças compactas de cada ponto e o espaço é regular.

III.11.45 Vimos que se A ⊂ X, um subconjunto W se diz uma vizinhança do conjunto Aquando existe um aberto O tal que A ⊂ O ⊂ W; uma base de vizinhanças de A é umaclasse C de vizinhanças de A tal que toda a vizinhança W de A contém um conjunto em C.Se X,T é um espaço localmente compacto Hausdorff, existe uma base de vizinhançascompactas de cada subconjunto compacto K.

III.11.46 Exercício Preencha os detalhes na seguinte demonstração de III.11.45Seja W uma vizinhança de K. Existe em cada ponto a ∈ K uma vizinhança compacta

Va ⊂ W de a. Tem-se K ⊂ j1n intVaj, a1, . . . ,an ∈ K; logoj1

n Vaj é umavizinhança compacta de A contida em W.

III.11.47 Observações (1) As propriedades do espaço topológico ser compacto ou serlocalmente compacto são invariantes topológicos, e assim dão um critério simples paradecidir se dois espaços topológicos não são homeomorfos. Por exemplo, considerando Rmunido da topologia usual, os subespaços a,b e a,b, a b, não são homeomorfos. (2)Ambas as propriedades em (1) não são hereditárias. Por exemplo o subespaço a,b docompacto a,b em (1) não é compacto; também o subespaço Q do espaço localmentecompacto R,U não é localmente compacto.

-248-III.11.48 Observação Se o subespaço Y do espaço topológico X,T é localmente

compacto, então existem um aberto U ∈ T e um fechado F em X tais que Y U ∩ F. Comefeito, dado a ∈ Y consideremos uma vizinhança compacta Wa de a no subespaço Y; existeVa ∈ T, a ∈ Y ∩ Va intYWa, o interior de Wa em Y. Consideremos a reunião U Va : a ∈ Y, aberto em X; tem-seU\Y U\Y ∩ U Va\Y ∩ Va : a ∈ Y Va\Y ∩ Va.a ∈ Y Va\intYWa : a ∈ Y. Se p ∈ Va ∩ intYWac Va ∩ Y ∩ Vac Va\Y entãop ∈ Va\Wa, já que Wa ⊂ Y; assim cada Va\intYWa Va\Wa, U\Y Va\Wa : a ∈ Yque é também um aberto de X. Portanto o complementar de U\Y é um fechado de X; tem-seY U\U\Y U ∩ U\Yc.

III.11.49 Teorema O subespaço Y do espaço localmente compacto separado X,T élocalmente compacto se e somente se Y é a intersecção de um aberto e de um fechado deX.T.

III.11.50 Exercícios (1) Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração doteorema:

1. A condição é suficiente: se Y U ∩ F onde U é um aberto e F é um fechado,consideremos uma vizinhança W de um ponto a ∈ Y no subespaço Y. W é uma vizinhançade a em X;

2. existe uma vizinhança compacta V ⊂ W concluindo-se a condição necessária.3. Para provar a condição necessária, suponhamos que cada ponto a ∈ Y tem uma

vizinhança compacta em Y.4. A condição é necessária.(2) Conclua que todo o subespaço aberto ou fechado de um espaço localmente

compacto Hausdorff é localmente compacto. E que em particular todo o subespaço abertoou fechado de um espaço de Hausdorff compacto é localmente compacto.

III.11.51 Teorema O espaço de Hausdorff X é localmente compacto se e somente se temas propriedades seguintes, equivalentes entre si:

(1) Para cada p ∈ X e cada vizinhança U do ponto p, existe um aberto relativamentecompacto V tal que p ∈ V ⊂ V ⊂ U.

(2) Para todo o subconjunto compacto K e cada aberto U ⊃ K, existe um abertorelativamente compacto A tal que K ⊂ A ⊂ A ⊂ U.

(3) X tem uma base constituída por abertos relativamente compactos.

III.11.52 Exercício Demonstre o teorema III.11.51. (Sug. para (3): dado x ∈ X, x écompacto).

III.11.53 Propriedade Se X é um espaço Hausdorff localmente compacto C2 então Xtem uma base contável constituída por abertos relativamente compactos.

Dem. Sendo On : n ∈ N uma base contável de X, cada subespaço On é um espaçoC2 e tem uma base Un,j : j ∈ N formada por abertos relativamente compactos, cadaUn,j ⊂ On. Un,j é compacto e a classe Un,j : n, j ∈ N é uma base contável de X, c.q.d.

-249-III.11.54 Teorema Todo o espaço localmente compacto separado é um espaço de

Tikhonov.III.11.55 Exercício Justificando os seguintes passos, obtenha uma demonstração do

Teorema III.11.54:1. Se X é localmente compacto separado, p ∈ X\A e A é um conjunto fechado, existem

abertos relativamente compactos V1,V2 tais que p ∈ V1 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ V2 ⊂ X\A2. V2 é normal. Existe uma função contínua f : V2 → I, I 0,1 munido da topologia

induzida pela topologia usual de R, fp 1, f 0 sobre V2\V13. a função F : X → I, Fx fx x ∈ V2, Fx 0 x ∈ X\V1 é contínua4. tem-se F 0 sobre A e Fp 1, concluindo-se o teorema, c.q.d.

III.11.56 Resolução1. Aplicando repetidamente o Teorema III.11.442. Atendendo a 1., e pelo Teorema III.11.30, V2, o subespaço V2 é normal, donde é um

espaço de Tikhonov3. Porque F f sobre V2\V1, aplicando o Teorema III.8.32 com os fechados V2 e X\V14. Devido a 4, já que f 0 sobre X\V2, A ⊂ X\V2 como em 1., fp 1 por 2., 3. e

pela definição de espaço de Tikhonov.

III.11.57 Existem espaços localmente compactos de Hausdorff que não são normais.Por exemplo em III.11.30 (2), vimos que os espaços ordinais 0, e 0, são compactos;pelo teorema de Tikhonov, o produto 0, 0, é compacto, e portanto o subespaçoaberto 0, 0,\, é localmente compacto (III.11.50 (2)). No entanto esteespaço não é normal, como se viu em III.10.41 (2).

III.11.58 Teorema Dada uma família X,T : ∈ A de espaços localmentecompactos, o produto X X,T é localmente compacto se quando muitopossivelmente para um subconjunto finito I ⊂ A, os espaços X ∈ I não sãocompactos. Se o produto é localmente compacto então cada espaço factor é localmentecompacto e apenas para um conjunto finito I ⊂ A, cada espaço X ∈ I não é compacto.

III.11.59 Obtenha uma demonstração de III.11.58 pela justificação das passagenesseguintes:

1. Provando a última asserção, se X é localmente compacto seja x ∈ X,x0 ∈ X0.Existe uma vizinhança compacta K de x em X e o conjunto pr0K é uma vizinhançacompacta de x0; portanto X0 é localmente compacto.

2. Existe um subconjunto aberto relativamente compacto não vazio V deX,T3. então prV é compacto ∈ A e, prV ⊃ prV X para todos excepto

possivelmente índices num subconjunto finito I do conjunto dos índices A, concluindo-se oque se pretendia

4. Para a primeira asserção, na hipótese assumida, seja x x ∈ X. Para cada índice no conjunto I como considerado no enunciado, existe uma vizinhança compacta K de xem X. Considerando o conjunto V ∈IK ∈A\IX conclui~se o teorema,c.q.d.

-250-III.11.60 Resoluções1. K existe por hipótese. Porque pr é aberta e contínua; e pela definição2. Por hipótese, dado que X ≠ 3. Pois cada pr é contínua; dado que V é um aberto do produto, e pela definição4. Pela hipótese. E porque V é uma vizinhança compacta de x, atendendo ao teorema de

Tikhonov, c.q.d.

III.11.61 Observação Se X é um espaço localmente compacto de Hausdorff eC : ∈ A é uma classe de subconjuntos compactos de X, entãoC : ∈ A écompacto (III.11.5, III.11.4).

III.11.62 Teorema de Alexandrov Se X,T é um espaço Hausdorff localmentecompacto, existe um espaço de Hausdorff compacto X∗ tal que X é um subespaço deX∗ X .

Dem. Suponhamos X não compacto (doutro modo pode tomar-se para qualquer pontode X). Seja um ponto que não está em X e consideremos X∗ X . A classeT∗ T X \K : K é um subconjunto compacto de X é uma topologia sobre X∗.Cada cobertura aberta de X em X,T∗ é redutível a uma cobertura finita, este espaçotopológico é compacto. Dado a ∈ X, considerando uma vizinhança compacta V de a, osabertos intV e X \V são disjuntos concluindo-se que X,T∗ é Hausdorff e oteorema, c.q.d.

III.11.63 Definição Dado X,T de Hausdorff localmente compacto, o espaço X,T∗ noteorema é o compactificado de Alexandrov de X,T. Diz-se que é o ponto no infinito.

III.11.64 Observações (1) A Definição III.11.63 é entendida a menos dehomeomorfismo. Dados 0,1, os espaços X 0 e X 1 com a correspondentetopologia são homeomorfos. (2) Se X,T é compacto separado, obter-se-ia ocompactificado X p X para cada p ∈ X. (3) O subespaço X é denso em X,T∗, ocompactificado de Alexandrov X∗,c,cx x do espaço localmente compacto X é umcompactificado de X, no sentido de III.11.33. (4) Pelo Teorema III.11.62, dado Xlocalmente compacto, podemos considerar X∗ X munido da topologia T∗, espaçocompacto. Este compactificado de X é separado se e só se X é localmente compacto.

III.11.65 Exemplo A projecção estereográfica P de centro o pólo Norte N (resp. Sul,S) da esfera S xk ∈ Rn1 : ‖xk‖ ∑k1

n1 xk21/2 1 é a função de Rn sobre

S\N S\S definida por uj xk, xk 2uk

1u12...un

2 k 1, . . . ,n, xn1 u12...un

2−11u1

2...un2 ,

1 (resp. −1.

-251-Considerando Rn (S) munido da topologia associada à métrica euclideana (da topologia

induzida pela topologia associada à métrica euclideana), esta função é contínua, como severifica facilmente utilizando sucessões convergentes. A função inversa é dada porxk uj,uj

xk

1−xn1, k 1, . . . ,n, e verifica-se analogamente que é contínua sobre

S\N (sobre S\S). P é portanto um homeomorfismo de RN sobre S\ N,respectivamente S). Como S é limitado e fechado em Rn1, é um compacto; por serum homeomorfismo, P é uma correspondência bijectiva entre os abertos de Rn e os abertosde S\, e entre os subconjuntos compactos de cada espaço. Tem-se que definindoP∗x Px para cada x ∈ Rn e P∗ , onde se considera um ponto que não estáem Rn1, a função P∗ é assim um homeomorfismo do compactificado de AlexandrovRn de Rn sobre S.

III.11.66 Definição Dizemos que o espaço localmente compacto X é -compacto se X éuma reunião contável de subconjuntos compactos. Se além disso X é de Hausdorff, dizemosque é um espaço contável ao infinito.

III.11.67 Definição Sejam C A : ∈ A e D B : ∈ B coberturas de umconjunto X. Dizemos que C é um refinamento de D se para cada conjunto A existe certoB ⊃ A.

III.11.68 Definição Diz-se que X,T tem a propriedade de Lindelöf ou que é um espaçode Lindelöf se cada cobertura aberta O : ∈ A de X tem uma subcobertura contável,On : n 1,2, . . ., X n1

On.

III.11.69 Teorema de Lindelöf Todo o espaço C2 é um espaço de Lindelöf.Dem. Seja Bi : i ∈ N uma base contável de X. Cada conjunto U numa cobertura

aberta de X é uma reunião contável U Bi : i 1,2, . . . i ∈ I. AssimBi : ∈ A, i ∈ N é um refinamento de U : ∈ A; escolhendo U,i ⊃ Bi paracada i ∈ N obtemos uma subcobertura da cobertura aberta pelos conjuntos U dada.

III.11.70 Teorema Todo o espaço topológico que é imagem contínua de um espaço deLindelöf é um espaço de Lindelöf.

III.11.71 Exercício Demonstre o Teorema III.11.70.

III.11.72 Teorema Se X é um espaço de Lindelöf e Y é um subconjunto fechado, osubespaço Y é um espaço de Lindelöf.

III.11.73 Exercício Prove o Teorema III.11.72, (Sug: compare com a PropriedadeIII.11.4).

-252-

III.11.74 Recordar que no espaço ordinal 0, toda a sucessão estritamente crescenten tem supremo supn : n 1,2, . . . . A cobertura aberta 0,: doespaço não tem nenhuma subcobertura contável. Um subespaço arbitrário de um espaço deLindelöf não é necessariamente de Lindelöf, considere-se o subespaço 0, do espaçocompacto 0, (e que é portanto um espaço de Lindelöf).

III.11.75 Observações (1) Se um produtoX,T é um espaço de Lindelöf entãocada espaço factor é de Lindelöf. (2) No entanto, um produto de espaços de Lindelöf não énecessariamente um espaço de Lindelöf.

III.11.76 Exercícios (1) Prove III.11.75 (1). (2) Diz-se que um intervalo I de R é própriose contém mais de um ponto. Mostre que toda a classe de intervalos próprios dois a doisdisjuntos de R é contável. (Sug: dada a classe de intervalos disjuntos I : ∈ Aconsidere um ponto racional q ∈ I obtido aplicando o selector de Zermelo. Existe umafunção sobrejectiva f : Q → q : ∈ A?). (3) Comprove (2) em III.11.75. (Sug:considere o subespaço fechado x,−x : x ∈ R\Q do produto R,U R,U e apliqueIII.11.72. Note que, embora R,U não seja C2, dada uma arbitrária cobertura aberta Cde R,U cada conjunto em C é uma reunião de intervalos da forma a,b e a classe I dasintersecções finitas destes intervalos é um refinamento de C; a cada a,b ∈ I podemosassociar certo C ∈ C, C ⊃a,b. Utilize o resultado (2) concluindo que R,U é um espaçode Lindelöf).

III.11.77 As propriedades do espaço topológico X,T, de toda a cobertura abertacontável pode extrair-se uma subcobertura finita e, cada classe contável de subconjuntosfechados, cujas intersecções finitas são não vazias, a intersecção da classe é não vazia, sãoequivalentes.

Efectivamente tem-se∀An : n ∈ N ⊂ T,X n1

An,∃n1, . . . ,nk,X j1k Anj

∀Fn : n ∈ N,Fnc ∈ T n ∈ N

n1 Fn ,n1

Fnc X,∃n1, . . . ,nk,j1

k Fnjc j1

k Fjc .

III.11.78 Definição Diz-se que o espaço X é numeravelmente compacto se de cadacobertura aberta contável de X pode extrair-se uma subcobertura finita.

-253-III.11.79 Propriedade O espaço topológico X é numeravelmente compacto se e só se

toda a sucessão em X tem um ponto aderente.Dem. Admitindo que o espaço é numeravelmente compacto, seja a sucessão xn em X.

Podemos considerar a sucessão de conjuntos fechados F1 ⊃ F2 ⊃. . .⊃ Fn ⊃ Fn1 ⊃. . .onde Fn xn,xn1,xn2, . . ., cujas intersecções finitas são não vazias. Atendendo aIII.11.65, existe pelo menos um ponto x ∈ n1

Fn. Se V ∈ Vx tem-seV ∩ xn,xn1,xn2, . . . ≠ para n 1,2, . . . Dado cada n existe portanto m ≥ n, xm ∈ V eassim x está frequentemente em cada vizinhança V de x (recordar III.7.25). A condição nosenunciado é portanto necssária. É também suficiente: admitindo-a, seja Fn : n 1,2, . . .uma classe de fechados cujas intersecçõesk1

n Fk ≠ . Consideremos um pontoxn ∈ k1

n Fk e a sucessão xn; esta tem um ponto aderente x i.e., dada uma arbitráriavizinhança V do ponto x, existe, dado qualquer n, certo kn ≥ n, xkn ∈ V i.e.,V ∩ xn,xn1,xn2, . . . ≠ ,∀n 1,2, . . . Portanto V ∩ Fn ≠ para cada n, dada qualquerV ∈ Vx o que sugnifica x ∈ Fn Fn,∀n ∈ N, x ∈ n1

Fn concluindo-se a propriedade,c.q.d.

III.11.80 Teorema Se X,T é um espaço C1, então X é numeravelmente compacto see somente se todo o subconjunto infinito de X tem um ponto de acumulação.

III.11.81 Exercício Obtenha uma demonstração do teorema pela justificação daspassagens seguintes:

1. A condição é necessária: se A é um subconjunto infinito de X, podemos considerarum subconjunto numerável C an : n 1,2, . . .de A, an ≠ am n ≠ m

2. se X é numeravelmente compacto, certo ponto a ∈ X tem a propriedade∀O ∈ T : a ∈ O,∀n ∈ N,∃m ≥ n,am ∈ O

3. C ∩ O\a ≠ para cada aberto O contendo a, e X tem a propriedade no enunciado.4. Para provar que a condição é suficiente, basta mostrar que em a admitindo, então

cada sucessão xn em X sem nenhum ponto de repetição verifica que o conjunto derivadoxn : n ∈ N′ ≠

5. Admitindo a condição, seja uma sucessão xn como em 4. Existe um ponto p ∈ X talque xn está frequentemente em cada vizinhança V de p e pode concluir-se o teorema,c.q.d.

III.11.82 Teorema Se X é um espaço C1 então X é numeravelmente compacto se esomente se cada sucessão em X tem uma subsucessão convergente.

III.11.83 Exercício Demonstre o teorema anterior. (Sug: Propriedade III.11.79. RecordeIII.7.29).

Dada uma cobertura C de X, dizemos que pode extrair-se de C uma subcoberturaprópria (de X) se existe C′ C tal que X C : C ∈ C′.

-254-

III.11.84 Proposição Dado um espaço topológico X que é um espaço T1, X énumeravelmente compacto se e somente se dada qualquer cobertura aberta infinita C de X,pode extrair-se de C uma subcobertura própria.

Dem. Se existe um subconjunto infinito A de X cujo conjunto derivado A ′ entãocada suconjunto de A é fechado. Para cada a ∈ A, existe um aberto Oa tal que a ∈ Oa eOa ∩ A\a ; se X ≠ A, a classe X\A,Oa : a ∈ A é uma cobertura aberta infinita de Ada qual não pode extrair-se uma subcobertura própria. E se C é uma cobertura abertainfinita de X da qual não pode extrair-se uma subcobertura própria, então para cada C ∈ Cexiste xC ∈ C,xC ∉ C′,∀C′ ∈ C,C′ ≠ C; o conjunto infinito xC : C ∈ C não temnenhum ponto de acumulação, concluindo-se a proposição.

III.11.85 Exercício Preencha os detalhes da demonstração acima, mostrando que acondição em III.11.84 é necessária e suficiente.

III.11.86 Teorema Todo o espaço X,T Hausdorff numeravelmente compacto C1 éum espaço T3.

Dem. Dado um ponto x ∈ X, seja Vn : n 1,2, . . . uma base contável de vizinhançasde x tal que Vn ⊃ Vn1 n ∈ N que podemos obter considerando intersecções ordenadasfinitas de conjuntos numa base de vizinhanças contável do ponto. Pelo Teorema III.9.11,conclui-se que n1

Vn x; pelas leis de De morgan, a classe V Vnc : n ∈ N é

uma cobertura aberta contável de X, da qual pode extrair-se um cobertura finita,X V Vn1

c . . .Vnmc V k1

m Vnkc V Vmc. Se X A B conclui-se

que Bc ⊂ A, e assim a igualdade mostra que Vm ⊂ V provando o teorema.

III.11.87 Teorema Se X é um espaço numeravelmente compacto C1, todo osubconjunto fechado de X é numeravelmente compacto.

III.11.88 Exercício Demonstre o Teorema III.11.87. (Sug: Utilize a PropriedadeIII.11.79; note que se um ponto p é um ponto aderente de uma sucessão, então p está nofecho do conjunto dos termos).

III.11.89 Teorema Se o espaço X é Hausdorff C1, então todo o subespaçonumeravelmente compacto A de X é fechado.

Dem. Seja x ∈ A. Pelo Teorema III.7.16, X é um espaço de Fréchet, existe umasucessão an em A tal que an → x. Sendo A numeravelmente compacto, an tem um pontoaderente a ∈ A

-255-i.e., an está frequentemente em cada vizinhança de a, vê-se facilmente que uma

subsucessão ank → a x dado que X é separado c.q.d.

III.11.90 Observação Encontra-se em [Dugundji] (Chap. XI, Sec. 8, p. 245) umexemplo de um espaço de Tikhonov E numeravelmente compacto tal que o produto E Enão é numeravelmente compacto.

III.11.91 Observação Dado um produto X j1 Xj, uma sucessão

u un xjnj1 e, para cada j, uma subsucessão coordenada xj

nj.k de xjn em Xj

definida por uma aplicação estritamente crescente nj, . portanto, nj, 1 ≨ nj, 2 ≨. . . , detal modo que nj 1, . nj, . onj − 1, . o. . .on1, . por exemplo, dada certa n1, j,sendo n2,1 n1,1, n2,2 para certa n2, j,..., nj 1,1 nj, 1,nj 1,2 nj, 2, . . . ,nj 1, j nj, j tem-se que a função f : N → X, designando porfp a sua restrição a 1, , , .p por fn xn

nn,n 1 ≤ n ≤ p, a restrição de fp1 a 1, . . . ,pcoincide com fp. Deste modo, usando I.6.7, fica definida a sucessão f xn

nn,n em X.Notar que se cada Xj é um espaço topológico e xj

jj,k →k→ xj em Xj então xnnn,kn1

é umasubsucessão de xn

jj,kn1 e conclui-se que, considerando X munido da topologia produto,

então atendendo a III.10.7 tem-se xnnn,n → xn em X.

III.11.92 Teorema Sendo cada Xn,Tn um espaço C1 n 1,2, . . . , o espaço produtoX NXn,Tn é numeravelmente compacto se e somente se cada espaço factor Xn énumeravelmente compacto.

III.11.93 Exercício Demonstre o Teorema III.11.92, completando e justificando ospassos seguintes:

1. A condição é necessária, pois admitida a hipótese e dada uma sucessão xmn em Xm e

escolhendo um ponto xkn em cada espaço Xk k ≠ m, a sucessão xk

nk1 tem uma

subsucessão convergente.2. A condição é suficiente: dada uma sucessão xk

nk1 em X, seja x1

11,n → x1 umasubsucessão da sucessão x1

n no espaço X1. Podemos considerar uma subsucessãox2

22,n → x2 em X2 tal que x122,n é uma subsucessão de x1

11,n. Prosseguindo assimsucessivamente para k 1, . . . ,p, p ∈ N obtemos, pelo processo em III.11.91, umasubsucessão xn

nn,n de xkn em X convergente para xn, concluindo-se o teorema c.q.d.

III.11.94 Resolução1. Pela hipótese, atendendo ao Teorema III.11.92. E usando o Teorema III.10.7,

concluimos de novo por III.11.82 que Xn0 é numeravelmente compacto, já que é umespaço C1 pelo Teorema III.10.16.

2. Existe tal subsucessão x111,n, assim como as segintes que se consideram, dada a

hipótese. Aplicando III.11.91, a subsucessão xnnn,n → xn, logo X conclui-se que é

numeravelmente compacto, aplicando o Teorema III.11.82, c.q.d.

-256-

III.11.95 Definição Diz-se que o espaço topológico X é sequencialmente compacto secada sucessão em X tem uma subsucessão convergente.

III.11.96 Observação As propriedades de um espaço de Hausdorff ser compacto e, a deser sequencialmente compacto são independentes uma da outra. Conforme a III.11.34 (2)podemos considerar o compactificado de Cech-Stone N de N,D. Prova-se em[Engelking] (COROLLARY 3.6.15, p. 175) que nenhuma sucessão mn em N com umnumero infinito de termos é convergente. Considerando por exemplo a sucessão n vemosque um espaço compacto de Hausdoff pode não ser sequencialmente compacto. UtilizandoIII.1.23 e a Propriedade III.11.23 conclui-se facilmente que o espaço ordinal 0, é umespaço de Hausdorff sequencialmente compacto e não compacto.

III.11.97 Teorema Todo o espaço sequencialmente compacto é numeravelmentecompacto.

Dem. Conclui-se da Propriedade III.11.82.

III.11.98 Exercícios (1) Prove que se Y é uma imagem contínua do espaçosequencialmente compacto X, então Y é sequencialmente compacto. (2) Prove o análogo de(1) para a propriedade numeravelmente compacto. (3) Prove que se X é sequencialmentecompacto (resp. numeravelmente compacto) e W é um subespaço fechado, então W ésequencialmente compacto (numeravelmente compacto).

III.11.99 Proposição Dado o espaço topológico X, considerem-se as propriedades:a X é compacto; b X é sequencialmente compacto; c X é numeravelmente

compacto.Então: a b c; se X é C1, c b; se X é de Lindelöf, a c; se X é

metrizável Lindelöf, as propriedades são equivalentes.

III.11.100 Exercício Prove a Proposição III.11.99.

-257-

III.12 CONJUNTOS CONEXOS

Constata-se que as definições de conjuntos separados e de conjunto conexono espaço métrico X,d são relativas unicamente à topologia associada à métrica

III.12.1 De modo geral num espaço topológico X,T diz-se que

(1) os subconjuntos A,B de X,T são separados se A ∩ B A ∩ B ;(2) uma disconexão do subconjunto C de X,T é dada por dois subconjuntos

abertos G,H de X verificando G ∩ C ≠ ,H ∩ C ≠ , G ∩ C e H ∩ C são disjuntos eC G ∩ C H ∩ C; diz-se então que G H é uma disconexão de C.

(3) O subconjunto C de X (ou: de X,T) diz-se conexo se não existe nenhumadisconexão de C; e disconexo se existe pelo menos uma disconexão G H de C.

III.12.2 Observações (1) O subconjunto Y de X,T é conexo se e somente seo subespaço topológico Y,TY é conexo. (2) O subconjunto de X,T é conexo.(3) Em qualquer espaço topológico X, cada singleton a a ∈ X é conexo. (4)Dado um conjunto X,p ∈ X um ponto fixo, a classe T ,A ⊂ X : p ∈ A é umatopologia sobre X para a qual um subconjunto é conexo se e só se é aberto.

III.12.3 Exercícios (1) Mostre que se o conjunto X não se reduz a um pontoentão o espaço topológico X,PX é disconexo.

(2) Verifique III.12.2 (3). (3) Recorde a topologia de Sierpinsky S sobre 0,1. Oespaço topológico 0,1,S é conexo?

III.12.4 Teorema O espaço topológico X,T é conexo se e somente se verificaqualquer das propriedades equivalentes:

i X não é uma reunião disjunta de dois subconjuntos fechados não vazios;ii os únicos subconjuntos de X que são abertos e fechados são ,X;iii X não é reunião de dois conjuntos separados não vazios.

-258-III.12.5 Exemplo O subconjunto S x,y ∈ R2 : x2 y2 1 do espaço

métrico R2,de, fronteira da bola aberta B B00,0, 1 é fechado, R2\S é areunião disjunta dos abertos não vazios intB e extB e é assim um conjuntodisconexo. Notar que B é aberto e fechado em R2\S; e que B,extB sãosubconjuntos separados não vazios de R2\S.

III.12.6 Teorema Sejam A,B,C ⊂ X,T.(1) Se G H é uma disconexão de C então os conjuntos C ∩ G e C ∩ H são

separados não vazios.(2) Se A,B são separados e não vazios então o conjunto A B é disconexo.

Conclui-se imediatamente que o resultado em II.13.19 tem a generalização

III.12.7 Teorema Se C é um subconjunto conexo do espaço topológico X,TXe f : X,TX → Y,TY é uma função contínua, então fC é um subconjunto conexodo espaço topológico Y,TY.

Recordando que os subconjuntos não vazios conexos de R,U são osintervalos,

III.12.8 Corolário Se o espaço topológico X,T é conexo e f : X,T → R,U écontínua então fX é um intervalo de R.

III.12.9 Observações (1) Conclui-se de III.12.7 que a esferaS1 S cos t, sin t : 0 ≤ t ≤ 2 no Exemplo III.12.5 é um conjunto conexo. (2)Dados um espaço topológico X, A,B ⊂ X sendo B um conjunto conexo, se Bintersecta o interior de A e também o exterior de A, então B intersecta a fronteirade A ( caso contrário, intA extA seria uma disconexão de B). Também RN éconexo quando munido da topologia usual. Pois se o espaço é reunião de doisabertos não vazios e disjuntos U,W tome-se um ponto a ∈ U e outro b ∈ W; osegmento a,b 1 − ta tb : 0 ≤ t ≤ 1 B é conexo. (Porquê?) Ter-se-áB ∩ U B ∩ intU ≠ e B ∩W B ∩ extU ≠ , donde deve ser B ∩ frU ≠ e,em particular, frU ≠ , obtendo-se a contradição que U é simultaneamenteaberto e fechado, e não é. (3) Sendo p ∈ RN, conclui-se de (2) que RN\p éconexo, atendendo a que se este conjunto é reunião disjunta de dois fechados nãovazios F,K então RN é também reunião disjunta dos fechados F p e K. (4) Umademonstração de que a esfera SN x ∈ RN1 :∣ x ∣ 1 N ∈ N é um conjuntoconexo obtem-se então considerando a função f : RN1\0 → SN dada por fx fx1, . . . ,xN1 x1/ ∣ x ∣2 , . . . ,xN1/ ∣ x ∣2 , x x1, . . . ,xN1.

-259-III.12.10 Exercícios (1) Complete a demonstração em III.12.9 (4). (2)

Recordando III.10.52 conclua do Teorema III.12.7 que se X,T é um espaçotopológico conexo e é uma relação de equivalência em X então o espaçotopológico cociente X/ é conexo.

O Teorema II.13.26 generaliza-se também a espaços topológicos:III.12.11 Teorema Se Ci : i ∈ I é uma classe de subconjuntos conexos de

X,T não sendo nenhuns dois conjuntos Ci,Cj separados, enão o conjuntoC Ci : i ∈ I é conexo.

III.12.12 Corolário Dada uma classe Ci : i ∈ I de subconjuntos conexos deX,T cuja intersecção não é vazia, a reunião Ci : i ∈ I é um subconjuntoconexo de X,T.

III.12.13 Propriedade Se A ⊂ B ⊂ A onde A é um subconjunto conexo deX,T então B é conexo. Em particular, o fecho A é um conjunto conexo.

III.12.14 Exercícios (1) Demonstre III.12.13, recordando II.13. (2) Dê exemplode um subconjunto não conexo de R,U cujo interior seja conexo (Sug: RecordeIII.12.2 (2)). (3) Conclua de III.12.7 que dois espaços topológicos homeomorfossão ambos conexos ou ambos disconexos. (4) Preencha os detalhes no seguinteexemplo, que mostra que a intersecção de dois conjuntos conexos pode não serum conjunto conexo, onde se considera o espaço topológico S1 como em III.12.9(1): Os subespaços S x,y ∈ S1 : y ≥ 0 e S− x,y ∈ S1 : y ≤ 0 sãoconexos, como se conclui considerando a projecção x,y x; a sua intersecçãonão é um conjunto conexo.

Dado o espaço topológico produto X AX,T em III.10 recorde a notação

O1, . . . ,Om para os abertos na base da topologia e, dado x0 x0 a fatiaSx0; X ≠x

0 em III.10.21.

III.12.15 Teorema O espaço topológico produto X AX,T é conexo se e

somente se cada espaço factor é conexo.

-260-III.12.16 Exercício Completando e justificando os passos seguintes, obtenha

uma demonstração de III.12.15:1. A condição é necessária, dado que a projecção pr : X → X é sobrejectiva

∈ A2. Para provar a condição suficiente, utilizemos primeiro o princípio de indução

finita, provando que dado x0 x0 ∈ X, então se xn0 é um ponto em X tal que no

máximo n coordenadas de xn0 diferem das coordenadas de x0, ambos xn

0 ,x0

pertencem a um mesmo subconjunto conexo de X.a Para n 1, se x1

0 difere de x0 na coordenada então à fatia Sx0;pertencem ambos x1

0 e x0.

b Supondo que a propriedade é válida para cada xn−10 n ≥ 2 consideremos

um xn0 ;

i pelo caso n 1, xn0 e xn−1

0 estão num mesmo subconjunto conexo C de X

ii pela hipótese de indução, xn−10 , x0 pertencem a um mesmo subconjunto

conexo C1 de X, e sendo C C1 conexo conclui-se a propriedade.3. A reunião A de todos os subconjuntos conexos de X contendo x0 é um

conjunto conexo contendoD x ∈ X : x e x0 diferem no máximo por um número finito de coordenadas;4. todo o aberto O1, . . . ,Om contem um ponto de D;5. o subconjunto D de X é denso, A ⊂ D ⊂ A e pode concluir-se o teorema,

c.q.d.

III.12.17 Observação A relação binária C no espaço topológico X definida porxCy sse existe um subconjunto conexo de X contendo ambos x e y é obviamentereflexiva (III.12.2 (3)) e simétrica; é também transitiva (III.12.12), e assim é umarelação de equivalência em X. A classe de equivalência de a ∈ X é

Ca A ⊂ X : a ∈ A,A é um conjunto conexo, subconjunto conexo de X, omaior subconjunto conexo de X contendo a e diz-se uma componente conexa de

X. Atendendo à Propriedade III.12.13, Ca é um subconjunto fechado de X.Também cada Ca é um subconjunto conexo de X que é maximal. Conclui-se que acolecção das componentes conexas dos diferentes pontos de um espaçotopológico X é uma partição de X formada por subconjuntos fechados.

III.12.18 Definição O espaço topológico X,T diz-se totalmente disconexo se a

componente conexa de cada ponto a ∈ X se reduz a a ou, o que é o mesmo, osúnicos subconjuntos conexos de X são os conjuntos singleton.

-261-III.12.19 Observações (1) Um espaço topológico é conexo se e somente se a

componente conexa de cada ponto é todo o espaço.(2) O espaço topológico R,U não é conexo e não é totalmente disconexo. (3)

O subespaço Q,UQ de R,U é exemplo de um espaço topológico não discretototalmente disconexo. (4) O subespaço E de R2,de formado pelos segmentos queunem a origem 0,0 aos pontos da forma 1,1/n n ∈ N e pelo segmento1/2,1 0 é conexo. O subespaço E\0,0 é disconexo. (5) No espaço produtoAX,T, a componente conexa de x x é Cx ∈ACx ,X onde Cx ,X

é a componente conexa de x no espaço factor X. Com efeito, III.12.15 mostraque o produto K ∈ACx ,X é conexo, e assim está contido na componente

conexa Cx. Admitindo que existe um ponto y y ∈ K\∈ACx ,X, vem que

certa coordenada y ∉ Cx ,X. Então o conjunto conexo prK ⊂ X contem umponto y ∉ Cx ,X e obtem-se a contradição deste último conjunto não sermaximal na classe dos subconjuntos conexos de X contendo x.

III.12.20 Exercícios a Verifique (1), (2), (3), (4) em III.12.19.(Sug: para (4),note que a componente conexa de cada ponto em E\, 0 é o segmento que ocontem). b Conclua de (5) que embora o produto infinito de espaços discretosnão seja discreto, é totalmente disconexo.

III.12.21 Definição O espaço topológico X,T diz-se extremamente disconexose é um espaço de Hausdorff e o fecho de cada subconjunto aberto é um aberto.

III.12.22 Exemplos (1) Todo o espaço topológico discreto é extremamentedisconexo. (2) Encontra-se em [Engelking] (Theorem 6.2.27.) uma demonstraçãode que o compactificado de Stone-Cech (III.11.36) de um espaço de Tikhonovextremamente disconexo é extremamente disconexo. Assim o compactificado deStone-Cech N de N (munido da topologia discreta) dá um exemplo de um espaçoextremamente disconexo não discreto. (3) O fecho do aberto 1/2n : N 1,2, . . .de 0,1/n : n ∈ ,de não é um subconjunto aberto do espaço , que é assim umespaço totalmente disconexo não extremamente disconexo.

III.12.23 Proposição Um espaço de Hausdorff X é extremamente disconexo see somente se para cada dois subconjuntos abertos disjuntos U,V se temU ∩ V .

-262-III.12.24 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma

demonstração de III.12.23:1. Se U,V são abertos disjuntos de um espaço topológico, então

U U,U ∩ V .2. Conclui-se que a condição é necessária.3. Supondo que se verifica a condição do enunciado, seja U um aberto de X:a U e X\U sendo sijuntos, tem-se U ∩ X\U ;b U X\X\U intU concluindo-se a proposição.

III.12.25 Exercício Prove que todo o espaço topológico extremamentedisconexo é totalmente disconexo. (Sug: Dados a ∈ X e um subconjunto conexo Cde X contendo a,b, a ≠ b, existem abertos U,V disjuntos de X, a ∈ U,b ∈ V.Tem-se que U V é uma disconexão de C?)

Vemos intuitivamente que se um subconjunto C do plano cartesiano tem apropriedade de cada dois pontos a,b ∈ C poderem ser ligados por uma linhacontínua inteiramente contida em C, então C não é reunião de dois conjuntosabertos não vazios e dsijuntos i.e., o conjunto C é conexo.

III.12.26 Definição um caminho ou arco no espaço topológico X ligando oponto a ao ponto b, a,b ∈ X é uma função contínua : 0,1 → X tal que0 a,1 b. Dizemos que a é o ponto inicial do caminho e b é o ponto final.

Verifica-se facilmente que se F1, . . . ,Fn são subconjuntos fechados não vaziosdo espaço topológico X, Y é um espaço topológico e f é uma função de X em Y,então f é contínua se e só se cada restrição fi f∣Fi é contínua. Assim dadoscaminhos : 0,1 → X, : 0.1 → X tais que 1 0, a função ∨ : 0,1 → X, ∨ t 2t 0 ≤ t ≤ 1/2 e ∨ t 2t − 1 é bem definidae contínua. Notar que se 0 a,1 0 b e 1 c então ∨ 0 a, ∨ 1 c e b ∈ im ∨ , o codomínio de ∨ . Dizemos que ∨ é o caminho justaposto de e .

III.12.28 Definição O espaço topológico X,T diz-se conexo por caminhos ou

conexo por arcos se para cada dois pontos a,b ∈ X existe um caminho ligando a a

b.

-263-III.12.29 Teorema Se o espaço topológico X é conexo por arcos, então X é

conexo.

III.12.30 Exercício Completando e justificando as passagens seguintes,obtenha um demonstração do Teorema III.12.29:

Dem. Admitamos que X é conexo por arcos e não é conexo.1. existe uma partição de X por dois abertos não vazios A,B; sejam a ∈ A,b ∈ B.2. Existe um caminho ligando a a b;3. im ∩ A e im ∩ B são dois abertos não vazios de im cuja reunião é im;4. pode concluir-se a tese, c.q.d.

III.12.31 Exercícios (1) Designe 2 o espaço topológico 0,1,P0,1. Proveque um espaço topológico X,T é conexo se e somente se as únicas funçõescontínuas de X em 2 são as funções constantes. (2) Conclua de (1) que se A,B sãosubconjuntos conexos não separados de X,T então A B é um conjunto conexo.(Sug: Podemos supor A ∩ B ≠ ? Utilize III.12.13).

III.12.32 Exemplo Esboce graficamente no plano cartesiano os conjuntosA x,y ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1,y x/n e B 1/2,1 0. Uma vez que ambos A,Bsão conexos por arcos, são conexos. Além disso, A e B não são separados, dadoque 1,0 ∈ A ∩ B. Atendendo a III.12.31, A B é um conjunto conexo. No entanto,A B não é conexo por arcos: dados um ponto de A e um ponto de B, não existenenhum caminho ligando os dois pontos inteiramente contido em A B.

III.12.33 Teorema Se o espaço topológico X tem a propriedade de existir umponto a ∈ X tal que para cada ponto x ∈ X existe um caminho ligando a a x então Xé conexo por caminhos.

III.12.34 Exercício Demonstre o Teorema III.12.33. (Sug: Considere umcaminho justaposto).

Sendo E um espaço vectorial normado real ou complexo, a,b ∈ E, o segmentoa,b 1 − ta tb : t ∈ 0,1 é uma imagem contínua do subconjunto conexo0,1 de R,U, e é portanto um conjunto conexo. Pode verificar-se utilizando oCálculo que a,b é conexo por arcos; por outro lado, isto é consequência imediatado seguinte

-264-III.12.35 Teorema Se f é uma função contínua do espaço topológico X no

espaço topológico Y e X é conexo por arcos então fX é conexo por arcos quandomunido da topologia induzida.

Dem. Dados fa, fb, a,b ∈ X, fo é um caminho ligando fa a fb se é umcaminho em X ligando a a b, concluindo-se o teorema.

III.12.36 Corolário 1 O espaço topológico cociente X/ do espaço topológicoconexo por arcos X pela relação de equivalência em X é conexo por arcos.

III.12.37 Corolário 2 Se existe um homeomorfismo f : X,TX → Y,TY entãoY,TY é conexo por arcos se e só se X,TX é conexo por arcos.

III.12.38 Teorema Um produtoAX,T é conexo por arcos se e somente

se cada espaço factor é conexo por arcos.

III.12.39 Exercício Demonstre o Teorema acima. (Sug: Utilize III.12.35. Noteque dada f : 0,1 → AX, f0 a, f1 b, prof0 a e prof1 be recorde III.10.24).

III.12.40 Definição O espaço topológico X diz-se localmente conexo se cadaponto tem uma base de vizinhanças abertas conexas.

III.12.41 Exercício Considere os subespaços topológicos de R2,deE x,y ∈ R2 : y 0 x,y ∈ R2 : y 1 e

F rq : q ∈ Q 0,y : y ∈ R, onde rq x,q : x ∈ R.Verifique que E é localmente conexo e não é conexo, enquanto F é

conexo mas não é localmente conexo. F é conexo por arcos? (Sug: Considerecaminhos justapostos).

III.12.42 Observação Recorde que num espaço de Hausdorff as propriedadesde cada ponto ter uma vizinhança compacta e, a de cada ponto ter uma base devizinhanças compactas (i.e., o espaço é localmente compacto) são equivalentes.Mas um espaço topológico conexo verifica que todo o ponto tem uma vizinhançaaberta conexa, sem que tenha uma base de vizinhanças conexas abertas, comomostra III.12.41

-265-.III.12.43 Observação Seja Cx a componente conexa de um ponto x no espaço

topológico localmente conexo X. Dado um qualquer ponto y ∈ Cx existe umavizinhança aberta conexa V de y; cada ponto z nesta vizinhança de y verifica poiszCy e de yCx, C como em III.12.17, conclui-se zCx. Significa isto que z ∈ Cx

para cada z ∈ V i.e. V ⊂ Cx e Cx é portanto um conjunto aberto. Atendendo à

Observação III.12.17 podemos concluir o

III.12.44 Teorema Se X é um espaço localmente conexo então cadacomponente conexa de X é um subconjunto aberto e fechado de X.

III.12.45 Observações (1) O espaço E em III.12.41 mostra que a recíproca doTeorema III.12.44 é falsa. (2) Se o espaço topológico X tem somente um númerofinito de componentes conexas, também cada uma desta é um subconjunto abertoe fechado de X.

III.12.44 Analogamente a III.12.17, a relação binária no espaço topológico Xdada por xCy sse existe um caminho que liga x a y é uma relação de equivalênciaem X (para a transitividade, considere-se o caminho justaposto). A classe deequivalência de um ponto x é Ex E : E é conexo por arcos e x ∈ E. Atendendoao Teorema III.12.33, nenhum conjunto conexo por arcos contem propriamente Ex.Se a,b ∈ Ex também existe um caminho que liga a a b, donde Ex é conexo porarcos e, usando III.12.33, é conexo. Cada conjunto Ex diz-se umacomponente conexa por arcos de X.

III.12.45 Observaçõs (1) As componentes conexas por arcos Ex (x ∈ Ca, umacomponente conexa) formam uma partição de Ca. (Porquê?). (2) As componentesconexas por arcos de X consituem também uma partição de X. (3) Umacomponente conexa por arcos de um espaço topológico pode não ser aberta nemfechada. Por exemplo, no espaço F em III.12.41, nenhuma componente conexapor arcos rq é um aberto. Considerando o subespaço W 0,0 L, ondeL /x,y ∈ R2 : 0 x ≤ 1,y sin1/x, não existe nehum caminho ligando 0,0ao ponto 1/, 0, de modo que W não é conexo por arcos. (W é conexo? Porquê?).A componente conexa por arcos contendo 1/, 0 é L, que não é um conjuntofechado, dado que o fecho de L é W.

III.12.46 Exercício Mostre que se as componentes conexas pora arcos doespaço topológico X são abertas, então são fechadas.

-266-III.12.47 Teorema O espaço topológico X é localmente conexo se e somente

se as componentes conexas por arcos são abertas.

III.12.48 Teorema Um espaço conexo é conexo por arcos se e somente secada ponto tem uma vizinhança aberta conexa por arcos.

III.12.49 Exercícios (1) Prove o Teorema III.12.47. (Sug: Admitindo a hipótese,cada ponto x ∈ K, onde K é uma componente cconexa por arcos, verifica queexiste U, conexo aberto, tal que x ∈ U; tem-se U ⊂ K?)). (2) Demonstre o TeoremaIII.12.48. (Sug: Utilize o Teorema III.12.47; note que a componente conexa abertamaximal contendo um ponto é todo o espaço). (3) Conclua o

III.12.50 Corolário Seja X um espaço topológico em que cada ponto tem umabase de vizinhanças abertas conexas por arcos. Se X é conexo, é conexo porarcos; se não é, então cada componente conexa é aberta, fechada e conexa porarcos.

III.12.51 Observações (1) Em RN,de cada bola é um conjunto conexo porarcos, já que é convexo (i.e., contém o segmento a,b /1 − ta tb : t ∈ 0,1que une quaisquer dois dos seus pontos a,b). Assim no espaço cada ponto temuma vizinhança aberta conexa por arcos. Conclui-se do Teorema III.12.48 que emRN,de um conjunto aberto é conexo se e só se é conexo por arcos. (2) Cadaconjunto B0a, r\p, onde p ∈ B0a, r (em particular B0a, r\a) sendo conexo emRN,de (conclui-se analogamente a III.12.9 (3)) é portanto conexo por arcos. Umavez que a imagem homeomorfa de um conjunto conexo por arcos é conexa porarcos, conclui-se de

III.12.9 (4) que cada esfera Sa, r x ∈ RN : dex,a r é´conexa por arcos.(e) Tem-se ([Schwartz]) que (1) e (2) são verdadeiras em qualquer espaçonormado.

III.12.52 Definição Dados caminhos , no espaço topológico X com o mesmoponto inicial p e o mesmo ponto final q, uma função contínuaH : 0,12 ⊂ R2,de → X tal que Hs, 0 s,H0, t p eHs, 1 s,H1, t q diz-se uma homotopia de para . Se existe umahomotopia de para diz-se que estes caminhos são homotópicos.

III.12.53 Observações (1) Dado um caminho em X, a função H : 0,12 → Xdada por Hs, t s é uma homotopia. Se H é uma homotopia de para

-267-então H∗ : 0,12 → X dada por H∗s, t Hs, 1 − t é uma homotopia de

para .Também dadas homotopias H1 de 1 para 2 e H2 de 2 para 3, a função

H : 0,12 → X, Hs, t H1s, 2t 0 ≤ t ≤ 1/2, Hs, t H2s, 2t − 11/2 ≤ t ≤ 1 é uma homotopia de 1 para 3. Assim a relação de homotopia é umarelação de equivalência no conjunto Ca,b de todos os caminhos que igam oponto a ao ponto b, para cada dois pontos a,b em X. (2) Certamente cada funçãoa : 0,1 → X,T, at a é um caminho em X, e podemos designar apenas quea é o ponto a, por abuso de linguagem.

III.12.54 Definição O subconjunto D do espaço topológico X,T diz-sesimplesmente conexo se todo o caminho fechado em X,T é homotópico a umponto de X.

III.12.55 Um espaço topológico pode ser simplesmente conexo e não serconexo por arcos (considere-se 0,1,P0,1. Assim como pode ser conexopor arcos e não ser simplesmente conexo, como por exemplo um subconjuntoS z ∈ C : r ≤∣ z ∣≤ R 0 ≤ r R em C,d, dz1, z2 ∣ z1 − z2 ∣ (nenhumcaminho fechado t se2it (r s R, s fixo) em S é homotópico a um ponto deS). Encontra-se em [Munkres] que todo o subconjunto estrelado E de RN,de i.e.,tal que existe um ponto p em E verificando p,a ⊂ E para cada a ∈ E, ésimplesmente conexo. Estas questões relativas a homotopia pertencem àTopologia Algébrica, que não é assunto deste livro.

-268-

III.13 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS

III.13.1 Em cada um dos casos seguintes, indique se o conjunto C é abertoou fechdo no respectivo espaço topológico E:

a) E R,U, C Qb) E BX, X um espaço métrico como em II.10.14, C f ∈ BX : fx0 0,

onde x0 é um ponto fixo em Xc) E RR munido da topologia produto (em R a topologia usual),C x ∈ E : x 0, fixod) E RN munido da topologia produto, em R a topologia usual,C xn ∈ E : x1 ∈ Z.

III.13. 2 Quais dos espaços em III.13.1 são metrizáveis?III.13. 3 Considere W x,y ∈ R2 : x ≠ y ou y 0 ⊂ R2,de. Mostre que

para cada recta horizontal ou vertical r, r ∩W é um conjunto aberto, mas W não éum subconjunto aberto.

III.13. 4 Prove que nenhum subespaço próprio de um espaço normado real oucomplexo é um aberto. (Sug: existe uma vizinhança de zero contida nosubespaço?)

III.13 .5 Note que a topologia usual de 0, é a topologia da ordem. Também,que não é um ponto isolado mas, para cda subconjunto numerável N ⊂ 0, talque ∈ N, existe um aberto A em 0, contendo tal que A ∩ N\ .Pode concluir-se que 0, não é metrizável?

III.13. 6 Verifique que a aplicação canónica : 0,1 → 0,1/ onde é arelação de equivalência: Para cada 0 x 1,xy y x e 00,01,10,11 e,onde se consideram 0,1 munido da topologia induzida pela topologia usual de R,0,1/ munido da topologia coiente, não é aberta.

III.13. 7 Prove que o grafo /x, fx : x ∈ X da aplicação contínua f do espaçotopológico X no espaço topológico Y tem interior vazio no espaço topológicoproduto X Y se Y não tem pontos isolados.

III.13. 8 Dê exemplo de um subconjunto discreto não fechado de R2,U.III.13. 9 Uma família não vazia S∈Δ de subconjuntos de um espaço

topológico X diz-se localmente finita se todo o ponto x ∈ X tem uma vizinhança queintersecta quando muito um número finto dos conjuntos S. Certamente toda afamília finita é localmente finita. Verifique que dada uma família localmente finitaS∈Δ se tem S : ∈ Δ S : ∈ Δ.

III.13.10 Todo o espaço métrico contável é totalmente disconexo.

-269-III.13.11 Um espaço topológico X é conexo se e somente se tem a propriedade

de que toda a aplicação contínua de X num espaço topológico Y tem grafo conexoem X Y munido da topologia produto.

III.13.12 Encontra-se em [Dugundji] que se X,Y são espaços topológicos entãodada f : X → Y contínua,a imagem de cada componente conexa de X é umacomponente conexa de Y. Se h é um homeomorfismo de X sobre Y então hestabelece uma correspondência biunívoca entre as componentes conexas dosdois espaços, sendo homeomorfa cada componente conexa à sua imagem por h.Esta propriedade dá um critério de não homeomorfismo entre dois espaçostopológicos. Como um exemplo, devido a Kuratowski, os subespaços da rectamunida da topologia usual

X 0,12 3,45 . . .3n, 3n 13n 2 . . .Y 0,1 3,45 . . .3n, 3n 13n 2 . . .

não são homeomorfos. Pois a componente conexa 0,1 não é homeomorfa anenhuma componente de Y.

III.13.13 Notar que em III.13.12, as funções fx x x ≠ 2, f2 1 de X em Ye gx x/2 x ∈0,1,gx x − 2/2 x3,4,gx x − 3 nos outros casos de Y emX, são bijecções contínuas. O teorema de Schröeder-Bernstein não é portantoválido no quadro dos espaços topológicos.

III.13.14 Um espaço vectorial E sobre K R ou K C munido de umatopologia para a quala soma x,y x y de E E em E e o produto escalar,x x de K E em E são contínuas, considerando-se as topologias produto ea topologia usual de K diz-se um espaço vectorial topológico (e.v.t.). Encontra-seem [Schwartz] que um e.v.t. é separado se e só se é um espaço T1, o que éequivalente a 0 ser um conjunto fechado.

III.13.15 Prove que todo o espaço normado é um e.v.t. metrizável.III.13.16 Um e.v.t. separado e não nulo, não é compacto. É localmente

compacto se e só se tem dimensão finita.

-270-

IV METRIZABILIDADE

-271-IV.1 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS SEPARÁVEIS METRIZÁVEIS

Se a topologia de X é dada por uma função : X X → 0, tal quex,x 0, x,y y,x e x, z ≤ x,y y, z de modo análogo à topologiaassociada a uma métrica e, X é um espaço T1 então sendo x ≠ y, existe 0 talque y ∉ x ∈ X : x,y ; portanto x,y ≠ 0, a função é uma métrica em X eo espaço é metrizável i.e., a topologia é associada à métrica . Seguiremos porvezes neste parágrafo as demonstrações em [Engelking], [Kelley] de certosresultados.

IV.1.1 Definições (1) Uma função : X X → 0, verificando ascondições

(sm1) x,x 0 x ∈ X(sm2) x,y y,x x,y ∈ X(sm3) x, z ≤ x,y y, z x,y, z ∈ Xdiz-se uma semi-métrica em X. O par X, (ou somente X) diz-se um espaço

semi-métrico.(2) Dados a ∈ X,, 0, o subconjunto Ua, x ∈ X : x,a

(resp. Ua, x ∈ X : x,a ≤ ) é a semi-bola aberta (resp. fechada) decentro a e raio .

IV.1.2 Propriedade Se é uma semi-métrica em X então a classe B dassemi-bolas abertas de X, é base para uma topologia T sobre X.

A Propriedade demonstra-se de modo análogo ao da topologia associada auma métrica. A topologia T obtida diz-se que é a topologia sobre X associada àsemi-métrica , e dizemos ainda que X,T X, é um espaço semi-métrico.

IV.1.3 Observação Se o espaço semi-métrico X, é um espaço topológicoT1 então é uma métrica e X é um espaço metrizável.

Dados x ∈ X,, ≠ A ⊂ X, pomos Dx,A infx,a : a ∈ A.

-272-IV.1.4 Observação Dado A ⊂ X, como acima, a função

D : X, → 0,,x Dx,A é contínua. Com efeito, tem-seDx,A ≤ x,y Dy,A donde se conclui ∣ Dx,A − Dy,A ∣≤ x,y e acontinuidade de D.

IV.1.5 Exercício Preencha os detalhes em IV.1.4 provando que a função Dé contínua.

IV.1.6 Teorema O fecho A de um subconjunto A de um espaço semi-métricoX, é o conjunto dos pontos x tais que Dx,A 0.

IV.1.7 Exercício Demonstre IV.1.6 (Sug: Usando IV.1.4 mostre quex ∈ X : Dx,A 0 ⊃ A; também se y ∉ A conclua que Dy,A 0).

IV.1.8 Teorema Todo o espaço semi-métrico é um espaço normal.Dem. Dados A,B ⊂ X, subconjuntos não vazios fechados e disjuntos, sejam

U x ∈ X : Dx,A − Dx,B 0, V x ∈ X : Dx,A − Dx,B 0. Uma vezque atendendo a IV.14, a função x Dx,A − Dx,B é contínua, os conjuntos U eV são abertos. U e V são disjuntos, e o teorema conclui-se de IV.1.6, c.q.d.

IV.1.9 Todo o espaço semi-métrico é um espaço C1. O espaço é C2 see só se é separável.

Dem. A primeira asserção conclui-se considerando, dado x ∈ X,, assemi-bolas abertas de raios i

n ,n ∈ N. Se Un : n ∈ N é uma base contável datopologia e xn ∈ Un n 1,2, . . . então o conjunto destes xn é denso, o espaço éseparável. Reciprocamente, se existe xn : n ∈ N, xn : n ∈ N X, sejaB Uxn, r : r ∈ Q, r 0. B é um conjunto contável. Se U é um ´abertocontendo x existe r 0 tal que Ux, r ⊂ U. Seja s ∈0, r∩Q; se x,xn s/3 entãox ∈ Uxn, 2s/3 ⊂ U e concluimos que B é uma base da topologia T de X, c.q.d.

IV.1.10 Exercícios (1) Mostre que a rede xi em X, é convergente para xse e só se a rede xi,x converge para zero em R,U, U a topologia usual. (2)Prove que se é uma semi-métrica em X então min1,x,y min1,x,y éainda uma semi-métrica em X. Conclua que que todo o espaço semi-métrico éhomeomorfo a um espaço semi-métrico limitado. (Um conjunto B ⊂ X, diz-selimitado se tem diâmetro supx,y : x,y ∈ B ).

-273-IV.1.11 Teorema Seja Xn,n : n 1,2, . . . uma classe contável de

espaços semi-métricos onde cada semi-métrca n ≤ 1. Então a funçãoxn, yn ∑n1

2−nnxn,yn é uma semi-métrica sobre o produto cartesiano

X n1 Xn e a topologia produto sobre X é a topologia associada à semi-métrca

.Dem. A verificação de que é uma semi-métrica em X deixa-se como

exercício. Para a segunda asserção, notemos que atendendo a IV.1.9, III.10.16 eIII.7.15-17 basta provar que a sucessão xn

k →k→ xn na topologia produto se e sóse xn

k, xn →k→ 0 (IV.1.10 (1)). Se xnk → xn na topologia produto então

dada uma vizinhança V n1M Unxn, nM1

Xn tem-se para certo

kV ∈ N que nxnk ,xn k ≥ kV onde Unxn, x ∈ Xn : nx,xn .

Portanto xnk, xn ≤ ∑n1

M 2−n ∑nM1 2−n ≤ 1 − 2−n ∑nM1

2−n →M→ , o

que mostra que xnk, xn →k→ 0. Reciprocamente, se xn

k converge para xnem X,, certamente xn

k →k→ xn em cada espaço Xn,n. Donde se conclui oresultado, usando o Teorema III.10.7, c.q.d.

Recordar III.10.43. Dado um espaço topoçógico X, sendo I 0,1 munidoda topologia usual, CX, I o conjunto das funções contínuas f de X em I, podemosconsiderar a função e : X → f

If dada por ex fxf i.e., exf fx tf onde

notamos tf um elemento genérico de fIf e onde f

If designa o produto

cartesiano munido da topologia produto. A função e é um homeomorfismo de Xsobre eX se e somente se X é um espaço de Tikhonov. Tem-se mais geralmentea

IV.1.12 Propriedade Seja F uma família de funções contínuasf : X,T → Yf, cada Yf um espaço topológico. Então:

(a) A função de avaliação e : X → fYf, ex fxf é contínua de X no

espaço produto.(b) A função é aberta de X sobre eX se e só se F distingue pontos i.e, para

cada x,y ∈ X,x ≠ y, existe f ∈ F tal que fx ≠ fy e distingue conjuntos fechados

i.e., para cada fechado A ⊂ X e cada x ∈ X\A existe f ∈ F tal que fx ∉ fA.(c) A função e é injectiva se e somente se F distingue pontos.Dem. Encontra-se esta Propriedade em [Kelley] (p. 116) e uma demonstração.

-274-IV.1.13 Observações (1) Atendendo ao Teorema IV.1.11, o produto

contável de espaços semi-métricos é um espaço semi-métrico. Por conseguinte,se E ≡ existe uma família contável F de funções contínuas f de um espaçotopológico X que é um espaço T1 em I If tal que F distingue pontos econjuntos fechados, então pela Propriedade IV.1.12, X é homeomorfo a umsubespaço do espaço metrizável separável f

If (Teorema III.10.46), pela função

de avaliação e. Deste modo, a condição E é uma condição suficiente para que Xseja separável e metrizável (recordar II.8.26 (2), (3) e, que todo o subespaço deum espaço métrico separável é um espaço separável). (2) Recordar também queum espaço métrico é separável se e só se é um espaço C2, equivalentemente see só se é um espaço de Lindelöf; e que e que pelo Teorema III.9.46, todo o espaçoregular e C2 é normal. Portanto se X é um espaço T1, regular e C2, (i.e., se Xé T3 e C2) então X é um espaço T4 e C2.

IV.1.14 Teorema da metrizabilidade de Urysohn Todo o espaço topológicoT3 e C2 é homeomorfo a um subespaço do espaço produto IN e é portantometrizável.

Dem. Atendendo a IV.1.13 (1), basta mostrar que existe uma família contávelde funções contínuas de X em I que distingue pontos e conjuntos fechados. Seja Buma base contável da topologia e seja A o conjunto dos pares ordenadosU,V ∈ B2 tais que U ⊂ V. Uma vez que X é um espaço normal (IV.1.13 (2)) podeaplicar-se o Lema de Urysohn (Teorema III.9.41); existe portanto uma funçãocontínua f : X → I verificando fU 0 e fV 1. A família F destas funçõesdistingue pontos e conjuntos fechados. Com efeito, se C é fechado, x ∈ X\C,considerem-se V ∈ B e U ∈ B tais que x ∈ V ⊂ X\C, x ∈ U ⊂ V. Então U,V ∈ A econsiderando a correspondente função f em F, tem-se fx 0 ∉ 1 fC;conclui-se também que F distingue pontos (cada singleton é um conjuntofechado), c.q.d.

IV.1.15 Teorema Se o espaço topológico X é T3, são equivalentes:(a) X é regular e C2.(b) X é homeomorfo a um subespaço do espaço produto IN./c) X é separável e metrizável.Dem. Conclui-se do Teorema IV.1.14, atendendo-se a IV.1.13.

-275-

IV.2 TEOREMAS COMPLEMENTARES

IV.2.1 Observações (1) Notar que na demostração do Teorem IV.4.14, ahipótese de o espaço X (suposto um espaço T3) ser separável é utilizada naconsequência de que existe então uma base contável da topologia. Portanto oespaço é normal e ainda, usando o Lema de Urysohn, pode obter-se uma famíliacontável F de funções contínuas f : X → I distinguindo pontos e conjuntosfechados. X é assim homeomorfo a um subespaço do produto metrizável ( eseparável)n1

In, In I. Obtere-se ainda que a função

dx,y ∑n1 2−n ∣ fnx − fny ∣ é uma métrica em X que define a topologia. (2)

Em se obtendo, no contexto de (1) mas ressalvando que o espaço X, suposto umespaço T3, não é necesariamente separável, uma família contável F de funçõescontínuas fn : X → X,n que distingue pontos e conjuntos fechados, podeaplicar-se o Teorema IV.1.12. obtendo-se que X é metrizável.

IV.2.2 Num sentido que não segue exactamente IV.2.1, notemos que se aclasse contável F das funções fn pode obter-se de modo que em cada x ∈ X oconjunto das funções fn que não se anulam em x é finito, então podemconsiderar-se semi-métricas nx,y ∑n1

∣ fnx − fny ∣. Aplicando o Teorema

IV.1.12, a função de avaliação e : X → n1 In permite obter um homeomorfismo

de X na sua imagem, subespaço semi-métrico e o espaço X é metrizável.

IV.2.3 Definição Uma família A de subconjuntos de um espaço topológico

diz-se localmente finita se cada ponto do espaço tem uma vizinhança que

intersecta quando muito uma colecção finita de conjuntos em A.

-276-IV.2.4 Observação Se a família A de subconjuntos de X,T é localmente

finita e x é um ponto de acumulação da reunião A : A ∈ A então cada aberto Wcontendo x contém uma infinidade de pontos xn na reunião; portanto estes pontosxn encontrando-se numa reunião finita Ai : Ai ∈ A, i 1, . . . ,n para cada W,vemos que x é ponto de acumulação de pelo menos certo A ∈ A. Logo tem-seA : A ∈ A A : A ∈ A.-

IV.2.5 Exercício Verifique que se a família A de subconjuntos de X,T élocalmente finita, então a família constituída pelos fechos dos conjuntos em A étambém localmente finita.

IV.2.6 Definição A família A de subconjuntos de X,T diz-se discreta se

cada ponto do espaço tem uma vizinhança que encontra exactamente um conjuntoem A.

IV.2.7 Definição Uma família A de subconjuntos do espaço topológico X,Tdiz-se que é -localmente finita (resp. -discreta) se é uma reunão contável de

famílias localmemt finitas (resp. discretas).

IV.2.8 Lema Se X é um espaço T1 tal que para cada subconjunto fechadoF e cada aberto W contendo F, existe uma sucessão de subconjuntos abertosW1,W2, . . . de X verificando F ⊂ i1

Wi e Wi ⊂ W i 1,2, . . . então X é um

espaço T4.Dem. Dados os subconjuntos fechados disjuntos A, B de X, consideremos

F A, W X\B. Por hipótese, existem abertos W1;W2, . . . tais que1 ≡ A ⊂ i1

Wi e B ∩Wi , i 1,2, . . . Fazendo F B e W X\A obtemos

uma sucessão de conjuntos abertos V1,V2, . . . tal que 2 ≡ B ⊂ i1 Vi e

A ∩ Vi i 1,2, . . . . Sejam então 3 ≡ Gi Wi\ j≤iVj e Hi Vi\ j≤iWj.

Os conjuntos Gi,Hi são abertos e atendendo a 1 e 2 tem-se A ⊂ U i1 Gi,

B ⊂ V i1 Hi; os abertos U,V são disjuntos. Com efeito, 3 mostra que

Gi ∩ Vj se j ≤ i, donde Gi ∩ Hj para j ≤ i. Analogamente Hj ∩Wi i ≤ j eGi ∩ Hj se i ≤ j. Portanto Gi ∩ Hj i, j ∈ N e U ∩ V , completando ademonstração, c.q.d.

-277-IV.2.9 Lema Todo o espaço topológico T3 que tem uma base

-localmente finita é um espaço T4.Dem. Consideremos uma base da topologia B i1

Bi onde as famílias Bi

são localmente finitas, do espaço X. Dado um qualquer aberto W ⊂ X, para cadaponto x ∈ W existem (III.9.29) certo número natural ix e um aberto Ux ∈ Bix

tais que x ∈ Ux ⊂ Ux ⊂ W. Fazendo Wi Ux : ix i para cada i,obtemos uma sucessão de abertos W1,W2, . . . tal que W i1

Wi. Atendendo a

IV.2.4, temos Wi Ux : ix i Ux : ix i ⊂ W. Sendo portanto Fum subconjunto fechado de X contido em W, tem-se F ⊂ i1

Wi, Wi ⊂ W,

verifica-se a hipótese do Lema anterior e conclui-se o que se pretende, c.q.d.

IV. 2.10 Notar que dado um espaço produton1 X,n, onde n é uma

semi-métrica em X para cada n, se dados x ≠ y, x,y ∈ X existe certa n verificandonx,y 0 então o produto é um espaço topológico separado, e assim é umespaço metrizável, como se conclui do Teorema IV.1.11 utilizando IV.1.10.

IV.2.11 Teorema Se o espaço topológico X é T3 e tem uma base-localmente finita, então X é metrizável.

Dem. Seja B n1 Bn uma base da topologia, cada Bn uma família

localmente finita. Para cada par ordenado m,n ∈ N2 e cada aberto U ∈ Bm, sejaU B ∈ Bn : B ⊂ U. Tal como na demonstração de IV.2,11, tem-se U ⊂ U,pela hipótese para B. Assim,atendendendo a IV.2.11, pode aplicar-se o Lema deUrysohn (Teorema III.9.41), e existe uma função contínua fU : X → I que vale 1sobre U e se anula em X\U. Seja m,nx,y ∑∣ fUx − fUy ∣: U ∈ Bm. Acolecção dos abertos B em Bn tais que B ⊂ U,U ∈ Bm, é finita, assim como é finitaa classe dos abertos U ∈ Bm tais que x ∈ U, uma vez que ambas Bn,Bm sãolocalmente finitas. Deste modo cada m,n está bem definida e é uma semi-métricacontínua m,n : X X → 0,. A classe das m,n é certamente contável, e oespaço produtoXm,n : m,n ∈ N, onde Xm,n X,m,n é metrizável (IV.2.10).. Afamília contável formada pelas funções Idm,n : X → Xm,n distingue pontos econjuntos fechados.Pois se C é um subconjunto fechado de X e x ∉ C, então paracertos m,n e certo U ∈ Bm tem-se x ∈ U ⊂ X\C (i.e., C ⊂ X\U) e existe B ⊂ U,B ∈ Bn sendo x ∈ B ⊂ U; então m,nx,y ≥ 1 para cada y ∈ C, e portantoIdm,nx ∉ Cm,n, o fecho de C no espaço factor Xm,n X,m,n do espaço produtometrizávelXm,n : m,n ∈ N_Notar também que cada singleton em X é umconjunto fechado_.Assim, atendendo a IV.1.12, X é homeomorfo a um subespaçodeXm,n : m,n ∈ N, donde (II.8.26) é um espaço metrizável, c.q.d.

Veremos de seguida que as condições em IV.2.11 são necessárias paraque X seja metrizável.

-278-Recordar (III.11.67) que dadas coberturas C A : ∈ A e

D B : ∈ B do conjunto X, diz-se que C é um refinamento de D se para cadaconjunto A existe pelo menos certo B tal que B ⊃ A. Por exemplo, no espaçométrico X,d a classe das bolas abertas de raio 1/2 é um refinamento aberto(formado por conjuntos abertos) da cobertura de X constituída pelas bolas abertasde raio 1. Certamente se C é um refinamento de D e C∗ é um refinamento de D,então C∗ é um refinamento de D.

IV.2.12 Observação Se toda a cobertura aberta D de um espaço métrico Xtem um refinamento aberto -discreto C, podemos considerar para cada n ∈ N talque existem algum A ∈ C e certo x ∈ A verificando-se A ⊃ B0x, ⊃ B0x, 1/n, umrefinamento aberto -discreto Bn de C (e portanto de D) formado por bolas abertasde raio 1/n. Então Bm : m ≥ n é uma base -discreta de X se D é uma base de X.

IV.2.13 Teorema Toda a cobertura aberta de um espaço métrico X,d temum refinamento aberto -discreto.

Dem. Seja U uma cobertura aberta de X,d. ConsideremosUn x ∈ U : dx,X\U ≥ 2−n, onde dx,C infdx,y : y ∈ C C ⊂ X. Sex ∈ Un e z ∈ X\Un1 então para cada y ∈ X\U temos2−n−1 2−n − 2−n−1 ≤ dx,y − dy, z ≤ dx, z, donde1 ≡ dUn,X\Un1 infdx, z : x ∈ Un, z ∈ X\Un1 ≥ 2−n−1. Podemos consideraruma boa ordem na classe U (I.5.33). Para cada n 1,2, . . . e cada U ∈ U sejaUn∗ Un\ Vn1 : V ∈ U e V U. Então para cada n e cada U,V ∈ U verifica-se

Un∗ ⊂ X\Vn1 se V U ou Vn

∗ ⊂ X\Un1, no caso U V. Logo, atendendo a 1tem-se dUn

∗,Vn∗ ≥ 2−n−1. Sendo Un

o x ∈ X : dx,Un∗ 2−n−3, este conjunto é

aberto e, se x ∈ Uno, z ∈ Vn

o então do que precede tem-se x ∉ Un∗ logo, x ∈ Vn1;

escolhendo y ∈ Un∗ ⊂ X\Vn1 tem-se dy, z 2−n−3. Portanto

dx, z ≥ dx,y − dy, z ≥ 2−n−1 − 2−n−3 ≥ 2−n−2, e assim dUno,Vn

o ≥ 2−n−2, donde paracada n 1,2, . . . tem-se que a classe dos conjuntos abertos Un

o é discreta. SejaV Un

o : n ∈ N,U ∈ U V é uma cobertura aberta de X, pois se U ∈ U e x ∈ Uentão x ∈ Un

o verifica-se para certo n. Tem-se Uno ⊂ U pela definição de Un

∗, umavez que cada Un ⊂ U. V é portanto um refinamento aberto -discreto de U c.q.d.

Uma vez que toda a família -discreta é -localmente finita, obtemos, peloTeorema IV.2.11 e IV.2.12, o

IV.2.14 Teorema de Nagata-Smirnov Um espaço topológico X é metrizávelse e somente se X é um espaço T3 e tem uma base -localmente finita.

-279-Provámos também o

IV.2.15 Teorema de Bing O espaço topológico X é metrizável se e só se éum espaço T3 e tem uma base discreta.

Podemos resumir os resultados obtidos no

IV.2.16 Teorema As seguintes propriedades do espaço topológico X sãoequivalentes:

(a) X é metrizável.(b) X é um espaço T3 e a topologia tem uma base -localmente finita.(c) O espaço X é um espaço T3 e a topologia tem uma base -discreta.

-280-

IV.3 EXERCÍCIOS E COMPLEMENTOS

IV.3.1 Encontra-se em {Kaplansky] (2.4, THEOREM 12. p. 40) que todo oconjunto infinito é reunião disjunta de subconjuntos numeráveis.

IV.3.2 Na referência acima, pelo THEOREM 13. (P. 41) cada conjuntoinfinito A pode escrever-se como uma reunião A B C, onde os conjuntos A, B eC têm o mesmo número cardinal.

IV.3.3 Sejam X,T um espaço topológico sem pontos isolados, B umsubconjunto fixo de X.

a Prove que a classe TB X PB é uma topologia sobre X (chamada aB-topologia).

b Verifique que em X,TB,i o conjunto B é formado por pontos isolados;ii B é denso em X;iii se TB D PX então B X;iv se TB G ,X então B

IV.3.4 Descreva a topologia sobre o plano cartesiano R2 que tem comosubbase as rectas do plano.

IV.3.5 Prove que a intersecção finita de subconjuntos abertos densos doespaço topológico X é um aberto denso em X.

IV.3.6 Dê exemplo de um espaço topológico em que todo o singleton é umconjunto fechado e tendo a propriedade adicional de que a quaisquer dois abertosnão vazios têm intersecção não vazia.

IV.3.7 Prove que se X é um espaço topológico C1 separável, então todo osubespaço topológico Y de X é tambáem separável.

IV.3.8 A densidade de um espaço topológico X é o menor número cardinaldX da classe dos cardinais ∣ A ∣: A X. Prove que se f : X → Y é umasobrejecção contínua, então dY ≤ dX.

IV.3.9 Mostre que a função f : X,TX → Y,TY é aberta se e somente se aimagem de cada conjunto numa base de TX é um aberto em Y,TY.

IV.3.10 Se o cardinal ≥ c entaõ o espaço produto R não é um espaçonormal ([Arkhangel’skii, Ponomarev], pp. 90, 117).

IV.3.11 Prove que se o espaço topológico X tem uma base constituída porconjuntos simultãneamente abertos e fechados, então X é completamente regular.

IV.3.12 Mostre que se X é um conjunto infinito, então em X,C, C a topologiacofinita,

a) todo o subconjunto de X é compacto;b) cada subespaço infinito de X é denso em X.

-281-IV.3.13 Prove que se X é um conjunto infinito e X,T é compacto separado,

então a cardinalidade de X não é menor que o contínuo.

IV.3.14 Seja X1 ⊂ X2 ⊂. . . uma sucessão de espaços topológicos, cada Xi

fechado em Xi1. Considere a classe T dos subconjuntos U de X i1 Xi tais

que U ∩ Xi é aberto em Xi para cada i 1,2, . . .(a) Mostre que T é uma topologia sobre X tal que cada Xi é um subespaço

fechado de X,T;(b) prove que uma função f : X → Y é contínua se e só se cada função

restrição f∣Xi : Xi → Y é contínua.(c) Prove que se cada subespaço Xi é normal, então X,T é um espaço normal

(Sug: Dados A, B subconjuntos fechados disjuntos de X, estendaf : X → 0,1, fA 0 e fB 1 definida sobre A B ∩ Xi para cadai 1,2, . . .

IV.3.15 Um espaço topológico X diz-se paracompacto se cada coberturaaberta de X tem um refinamento aberto localmente finito (Certos autores, como porexemplo [Bourbaki], incluem como parte da definição que X é um espaço deHausdorff). Verifica-se ([Munkres], Ch. 6, §41) que todo o espaço paracompacto énormal.

IV.3.16 Prove que todo o subespaço fechado de um espaço paracompactoé paracompacto.

IV.3.17 Encontra-se em [Munkres] (Ch. 6, §41) que se o espaço X é regular,então aão equivalentes:

Toda a cobertura aberta de X tem um refinamento tal que(1) é -localmente finito e é uma cobertura de X;(2) é localmente finito e é uma cobertura aberta de X;(3) é localmente finito fechado (formado por conjuntos fechados) e é uma

cobertura de X;(4) é localmente finito e é uma cobertura aberta de X.

Conclua que todo o espaço topológico metrizável é paracompacto etem estas propriedades.

IV.3.18 O espaço produto R0,1 não é paracompacto (IV.3.15 e IV.3.10).IV.3.19 Uma base de um espaço topológico X diz-se regular ([Engelking],

5.4.2.) se para cada ponto x ∈ X e cada vizinhança U de x, existe uma vizinhançaV de x contida em U tal que a colecção dos conjuntos na base que encontramambos V e X\U é finita. Pelo Teorema de metrizabilidade de Arkhangel’skii, umespaço topológico é metrizável se e somente se é um espaço T1 e tem uma baseregular.

-282-IV. 3.20 Encontram-se em [Mill, Reed] numerosas questões de Topologia

Geral em aberto. Um espaço topológico X diz-se -bounded se o fecho de cadasubconjunto contável de X é um conjunto compacto. Utilizando o Teorema deArkhangelsl’skii em IV.3.19, os autores obtiveram em [Freire, Veiga] a respostaafirmativa ao Problema: É consistente com Zermelo-Fraenkel que todo o espaçode Hausdorff (C1) e numeravelmente compacto é -bounded?

-283-

BIBLIOGRAFIA DOS CAPÍTULOS III, IV

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