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Escola Secundária Carlos Amarante

Ensino Recorrente por Módulos – Secundário

Exame de Matemática A – Módulo 9

Duração da prova: 90 minutos Época de julho 2014

Grupo I Para cada uma das questões da primeira parte, selecione a resposta correta entre as

alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a alternativa que

lhe corresponde.

1. De uma função 𝑓 sabe-se que 4𝑓(𝑥) + 𝑓′′(𝑥) = 0, para qualquer 𝑥 pertencente a

IR. A expressão analítica da função f pode ser:

(A) 2 sin 𝑥 (B) sin 2𝑥 (C)−4𝑒𝑥 (D) cos 4𝑥

2. Seja 𝑔 a função, de domínio IR, definida por 𝑔(𝑥) = cos2 (𝑥

6) − sin2(

𝑥

6).

Qual das seguintes expressões também define a função 𝑔?

(A) sin(𝑥

12) (B) sin(

𝑥

3) (C) cos (

𝑥

12) (D) cos (

𝑥

3)

3. Considere a função f definida por 𝑓(𝑥) = sin(𝑥2).

Indique qual das expressões seguintes define 𝑓′, função derivada de f.

(A) 2𝑥 cos(𝑥) (B) cos(𝑥2) (C) 2𝑥 cos(𝑥2) (D) −cos(𝑥2)

4. Na figura estão representados, no plano complexo, duas circunferências, ambas com

centro no eixo real, tendo uma delas raio 1 e a outra raio 2.

A origem do referencial é o único ponto comum às duas

circunferências.

Qual das seguintes condições define a região sombreada,

incluindo a fronteira?

5. Seja 𝑧 = 3𝑖 um número complexo.

Qual dos seguintes valores é um argumento de 𝑧?

(A) 0 (B) 1

2𝜋 (C) 𝜋 (D)

3

2𝜋

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Grupo II

Apresente todos os cálculos que efetuar, bem como todas as justificações que entender necessárias. Sempre que não se indicar a aproximação com que deve apresentar o resultado é porque se pretende o valor exato.

1. A função g é definida por g(x) = 1- 2 sen(3x)

1.1. Determine, analiticamente, o contradomínio de g.

1.2. Determine os valores de x tais que 21)( xg .

1.3. Estude o sentido das concavidades e a existência de pontos de inflexão em ]0, π[.

1.4. Calcule x

xg

x 3

1)(lim

0

.

2. O lado inferior de um ecrã vertical com 12 metros de altura está 1,5

metros acima do nível dos olhos dos espetadores na plateia de uma

sala de cinema, como sugere a figura.

Sabendo que um determinado espetador se encontra a 15

metros da parede que suporta o ecrã, determine, com

aproximação à décima do grau, o ângulo de visibilidade α.

3. Considere a função 𝑓 de domínio [−𝜋, 𝜋], definida por:

𝑓(𝑥) = {1 − 𝑒−𝑥 𝑠𝑒 − 𝜋 ≤ 𝑥 < 0

2𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥) 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes:

3.1. Estude a continuidade de 𝑓.

3.2. O gráfico da função 𝑓 interseta a reta 𝑦 = −1 em dois pontos.

Determine as coordenadas desses pontos.

4. Considere os números complexos

𝑧1 =4+2𝑖

1−𝑖+ 2𝑖74 ; 𝑧2 = 2𝑐𝑖𝑠(

𝜋

2) e 𝑧3 = −1 − √3𝑖

4.1. Escreva 𝑧3 na forma trigonométrica.

4.2. Determine 𝑧2 × 𝑧3. Apresente o resultado na forma algébrica.

4.3. Sem recorrer à calculadora escreva, na forma trigonométrica, o número complexo 𝑧1 − 𝑧2.

5. Considere o número complexo z=8i.

5.1. Determine, na forma trigonométrica, as raízes cúbicas de z.

5.2. As imagens geométricas das soluções obtidas em 5.1 o que representam no plano

complexo?

FIM

1,5

12

15

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COTAÇÕES

Grupo I…………………………………………………………………………………......... 40

Cada resposta certa…………………………………………………………………..

Cada resposta errada……………………………………………………………….....

Cada resposta não respondida ou anulada………………………………………..

8

0

0

Grupo II……………………………………………………………………………………….. 160

1. ...................................................................................................................... 47

1.1…………………………………………………………………………. 10

1.2…………………………………………………………………………. 12

1.3…………………………………………………………………………. 15

1.4………………………………………………………………………… 10

2. ………………………………………………………………………………………. 23

3. ………………………………………………………………………………………. 40

3.1…………………………………………………………………………. 20

3.2…………………………………………………………………………. 20

4. ………………………………………………………………………………………. 32

4.1…………………………………………………………………………. 8

4.2…………………………………………………………………………. 10

4.3…………………………………………………………………………. 14

5. ………………………………………………………………………………………. 18

5.1 ……………………………………………………………………. 14

5.2 ……………………………………………………………………. 4

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FORMULÁRIO

Fórmula resolvente da equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 : a

acbbx

2

42