erros de alunos do 6º ano e dificuldades de licenciandos na

Programa institucional de Bolsas de Iniciação á Docência. Trata-se de um programa da CAPES/MEC

para os licenciandos de várias cursos.

ERROS DE ALUNOS DO SEXTO ANO E DIFICULDADES

DE LICENCIANDOS NA EXPLICAÇÃO DO ZERO NO

QUOCIENTE

Hellen Castro Almeida Leite

Professora da Universidade Federal do Espírito Santo

[email protected]

Bruna Zution Dalle Prane

Professora da Rede Particular e Bolsista LAMATI

[email protected]

Jéssica Schultz Küster

Professora da Rede Particular e Bolsista PIBID

[email protected]

RESUMO

Neste artigo, analisamos e relatamos parcialmente, informações de uma

pesquisa exploratória realizada em quatro escolas da grande Vitória, sendo

duas públicas participantes do PIBID Pedagogia e duas privadas. Foram

investigados erros cometidos por 89 educandos do sexto ano em quatro

questões envolvendo zero no quociente. Utilizamos como referencial a

Análise de Erros (CURY, 2007 e PINTO, 2009) e emergiram 12 categorias,

sendo a mais frequente a ausência ou posicionamento equivocado do(s)

zero(s) no quociente. Investigamos também como 18 licenciandos em

Matemática e 17 em Pedagogia analisam os erros das crianças ao

comentarem questões dos alunos participantes, e possíveis sugestões para

evitá-los. A proposta encontrada com maior frequência para que as crianças

não errassem mais, foi o uso do algoritmo tradicional da divisão de forma

mecânica. A sugestão de intervenção mais citada pelos licenciandos para a

professora dos alunos que erraram as questões, foi o uso do material

dourado ou ábaco para explicar a divisão, seguido de rever o algoritmo/fazer

exercícios em sala de aula. Recomendamos que os cursos de licenciatura

prevejam tempo/espaço em seus currículos para discussões mais

aprofundadas acerca do processo de ensino/aprendizagem dos conteúdos das

séries inicias e do uso da análise de erros como metodologia de ensino,

V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 2 28 a 31 de outubro de 2012, Petrópolis, Rio de janeiro, Brasil

pesquisa e como forma de aprimorar sua prática docente.

Palavras-chave: Análise de erros; Formação de professores; PIBID,

Zero no quociente; Pesquisa cooperativa.

ABSTRACT

In this article, we analyze and report, in part, about information from a

research carried out in four schools in the Greater Vitória area, being two

public schools participating in the PIBID Pedagogy and two private

schools. Errors made by 89 sixth grade students in four issues involving

zero in the quotient have been investigated. The “error analysis

methodology” was used and from that twelve categories emerged, the most

frequent being the absence of zero in the quotient, or being written by

mistake. We also examined how 18 undergraduate students in mathematics

and 17 in pedagogy analyze the mistakes of children as they correct their

previously scanned exercises, and we also gave them possible suggestions

for avoiding the same mistakes. The proposal that was found most

frequently so that the children did not err more, was using the traditional

algorithm of division in a mechanical way. The suggestion for action most

cited by undergraduate students for the teacher of the children who

answered their questions wrongly was the use of the gold material or the

abacus to explain division, followed by reviewing the algorithm / doing

exercises in the classroom. We recommend that the degree courses provide

time / space for further discussion about the teaching / learning of the

contents of the initial series and the use of error analysis as a methodology

of teaching, research and as a way to enhance their teaching practice .

Keywords: error analysis, teacher training, PIBID, zero in the quotient,

cooperative research.

1 Introdução

Nós, como professoras da educação básica e superior, percebemos que em vários

conteúdos onde é necessário o uso do algoritmo da divisão, os estudantes dos diversos

níveis de ensino apresentam dificuldade em operacionalizá-lo ou em explicar para

outrem alguns passos do mesmo, ou seja, a fundamentação matemática do algoritmo.


Observamos que as dúvidas ficavam mais acentuadas quando havia zero e/ou vírgula no

quociente.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997, p. 94) apresentam como

um dos critérios de avaliação de matemática para o segundo ciclo:

Realizar cálculos, mentalmente e por escrito, envolvendo números naturais e

racionais (apenas na representação decimal) e comprovar os resultados, por

meio de estratégias de verificação. Espera-se que o aluno saiba calcular com

agilidade, utilizando-se de estratégias pessoais e convencionais, distinguindo

as situações que requerem resultados exatos ou aproximados. É importante

também avaliar a utilização de estratégias de verificação de resultados,

inclusive as que fazem uso de calculadoras.

Entretanto, observamos que os alunos não tem chegado ao 3º ciclo com essas

habilidades. Trabalhos como os de Saiz (1996), Cunha (1997), Castela (2005),

Agranionih et al (2009) e Cassiano (2011) desvendam algumas dificuldades de cálculo

e/ou interpretação dos alunos.

Diante dessa constatação, baseada em nossa prática docente e na troca de

experiências, resolvemos investigar as dificuldades relacionadas ao algoritmo da

divisão, quando há zero no quociente, trabalhando com a seguinte questão: Qual a

análise dos licenciandos sobre os erros dos alunos do ensino fundamental em questões

envolvendo o zero no quociente e suas propostas de intervenções pedagógicas? Nossos

principais objetivos foram: 1) Identificar, analisar e classificar os erros cometidos por

estudantes do 6º ano do EF em questões de divisão com zero no quociente; 2)

Compreender como licenciandos em Matemática e Pedagogia analisam os erros de

questões dos alunos participantes, suas hipóteses para os erros e possíveis sugestões

para evitar os mesmos; e 3) Suscitar questões sobre a formação de professores que

ensinam Matemática.

2 Percurso Inicial

Começamos aplicando um teste piloto com 80 graduandos em Pedagogia de duas

instituições de ensino superior (IES), sendo uma pública e outra privada. Observamos

que, mesmo os alunos que já haviam cursado a disciplina onde se trabalha a operação de

divisão, quando a questão envolvia decimais no dividendo e/ou divisor e/ou quociente,

surgiam muitas dúvidas. Mesmo os que respondiam corretamente, quando solicitados a

explicar algo referente ao algoritmo, como se fosse para uma criança de quinto ano, a

maioria hesitava. Alguns usaram o recurso de escrever no dividendo o algarismo que

representava a unidade, a dezena, a centena, etc, para depois ir escrevendo também no


quociente a abreviação de cada ordem e seu algarismo correspondente. Isso se deve ao

fato das professoras que ministram as disciplinas de metodologia da Matemática nas

duas instituições terem enfatizado este modo de explicar.

Resolvemos então aplicar o teste piloto para 30 licenciandos em Matemática de

uma instituição pública diferente da que aplicamos o teste analisado. Observamos um

índice grande de acertos nas respostas. Todavia, poucos respondiam à pergunta que

sucedia aos cálculos: “como você explicaria os passos dessa questão para um aluno

seu?”

Optamos, então, por iniciar nossa investigação com alunos do sexto ano do ensino

fundamental objetivando primeiro identificar os erros dos alunos do EF para depois

apresenta-los aos licenciandos.

Após um teste-piloto feito com uma turma de sexto ano, aplicamos como

instrumento diagnóstico as quatro questões a seguir, para quatro turmas do sexto ano,

totalizando 89 alunos. O Quadro 1 mostra as questões com seus respectivos objetivos e

índice geral de acertos:

Questão Tipo, resolução e

índice geral de acertos

Objetivo(s)

1) Joaquim comprou uma

televisão de 42 polegadas que

custava R$ 3.540,00, parcelados

em cinco vezes iguais e sem

juros. Qual será o valor de cada

prestação que Joaquim deverá

pagar? Explicite seus cálculos

Divisão de naturais,

quociente inteiro. Resto

zero. Um zero no

quociente.

3.540/5 = 708

Acertos: 27%

Perceber se o aluno atenta

para o valor numérico

enquanto resposta ao

problema.

Verificar se ele escreve o

zero no quociente ou se o

omite.

2) Tia Josefina morreu e deixou

uma herança no valor de R$

14.210,00 para os seus sete

sobrinhos. Sabendo que cada

sobrinho receberá o mesmo

valor, quanto cada um ganhará?

Explicite seus cálculos.

Divisão de naturais,

quociente inteiro. Resto

zero. Dois zeros no

quociente.

14.210/7= 2030

Acertos: 17%

Investigar se o aluno

escreve ambos os zeros no

quociente.

Observar se, e como, o zero

do dividendo é “transferido”

para o quociente.

Verificar se os zeros dos

centavos influenciam no

cálculo.

3) Seis amigos foram viajar

juntos e o valor total de todas as

despesas ficou em R$ 654,42.

Quanto cada um terá que pagar,

sabendo que todos devem

contribuir com o mesmo valor?

Explicite seus cálculos.

Divisão de um nº

decimal por um nº

inteiro de um dígito.

Quociente do tipo

a0c,0d.

654,42 / 6 = 109,07

Acertos: 28%

Identificar como os alunos

resolvem uma divisão de um

nº decimal por um nº inteiro de

um dígito, cujo quociente é um

número decimal, com zero na

ordem das dezenas e outro

zero na ordem dos decimais.

Observar se o aluno usa a

regra “igualar as casas

decimais e cortar a vírgula”.

Observar se o aluno “corta


4) Uma escola com 400 alunos

fará uma excursão. O custo total

será R$ 18.020,00. Supondo que

somente os alunos serão

pagantes, quanto cada aluno

deverá pagar? Explicite seus

cálculos.

Divisão de um inteiro

por outro inteiro de três

dígitos, sendo os dois

últimos zeros.

18.020/400 = 45,05

Acertos: 8%

os zeros” antes de efetuar a

divisão.

Investigar se o aluno ‘para’

a conta quando encontra o

resto 20 e não tem mais

algarismos no dividendo para

“abaixar”.

Verificar se os zeros dos

centavos influenciam no

cálculo.

QUADRO 1 – Questões aplicadas para os alunos do sexto ano com seus objetivos Fonte: as autoras.

Posteriormente, escaneamos as questões respondidas pelos alunos na pesquisa e

mostramos para 18 licenciandos em Matemática e 17 licenciandos em Pedagogia, para

que eles pudessem corrigi-las, com o seguinte enunciado: “Onde está escrito

comentário do avaliador, você deve: se estiver correto, parabenizar o educando; Se

estiver errado, tentar compreender o motivo do erro e explicar para o aluno (por

escrito) qual foi o seu erro e como evitar cometê-lo novamente”. O enunciado

completo, bem como as questões escaneadas estão no APÊNDICE.

3 Sujeitos da Pesquisa

As escolas Alfa e Beta são particulares e situam-se em dois diferentes municípios

da região metropolitana de Vitória, ES. Gama e Delta são escolas municipais de ensino

fundamental (EMEFs) que passaram a ter convênio com o PIBID do curso de

Pedagogia. E uma delas com o PIBID Matemática também.

A Escola Alfa integra uma rede com seis escolas no estado do Espírito Santo. Dos

22 matriculados, participaram da pesquisa 18 alunos, com faixa etária de 10 a 13 anos.

Na Escola Beta, a turma tem trinta alunos, com faixa etária de 10 a 13 anos, sendo que

28 participaram. Escola Gama: EMEF, com vinte e cinco alunos matriculados oriundos

de classes sociais diversificadas e faixa etária entre 10 e 12 anos. Todos os vinte e cinco

alunos participaram da pesquisa. Escola Delta: EMEF com trinta alunos matriculados,

vinte e cinco alunos frequentando, mas, somente dezoito participaram da atividade. Os

alunos, em sua maioria, são oriundos de classes sociais menos favorecidas e faixa etária

de 10 a 15 anos.

Os 18 licenciandos em Matemática cursam o último ano do curso, numa

instituição pública. Os 17 licenciandos em Pedagogia cursam do quarto ao nono período

na mesma instituição. Um ainda não cursou a disciplina Matemática II: conteúdo e


metodologia e dois não cursaram nem a Matemática I. Todos da Pedagogia e alguns da

Matemática fazem parte do PIBID desta instituição. Os licenciandos receberam

codinomes de matemáticos famosos. Todos os nomes são fictícios e serão escritos como

sendo do gênero masculino.

4 Metodologia

O presente trabalho é de cunho qualitativo, classificado como estudo exploratório,

pois, de acordo com Gil (1996, p.45) estas pesquisas proporcionam “maior

familiaridade com o problema”.

Visando identificar os principais erros dos alunos dos sextos anos, utilizamos

quatro questões de divisão com zero no quociente, conforme já relatado. Em todas as

quatro turmas, a aplicação esteve a cargo do professor regente e com duração de 50

minutos.

Para as questões aplicadas para os educandos do sexto ano, usamos a metodologia

de análise de erros que, segundo CURY (2007, p. 63):

Na análise das respostas dos alunos, o importante não é o acerto ou o erro em

si – que são pontuados em uma prova de avaliação da aprendizagem -, mas as

formas de se apropriar de um determinado conhecimento, que emerge na

produção escrita e que podem evidenciar dificuldades de aprendizagem.

Assim, utilizamos o material coletado para categorizar os erros dos 89 educandos

dos quatro sextos anos avaliados. Não com o simples objetivo de quantificar o

percentual de erros e acertos, mas como uma “oportunidade didática para o professor”

no sentido de oferecer “indícios importantes para a identificação dos processos

subjacentes à construção conceitual” e “novos elementos para o professor refletir sobre

a sua prática” (PINTO, 2009, p. 139).

Para os licenciandos, utilizamos um questionário com perguntas abertas que

“permitem ao informante responder livremente, usando linguagem própria, e emitir

opiniões (MARCONI e LAKATOS, 2002, p. 101)”. As perguntas continham resoluções

escaneadas do teste com as crianças referentes às quatro questões por elas respondidas.

Todavia, aqui neste artigo, nossa análise restringe-se às respostas dos licenciandos no

que concerne a duas resoluções da questão 3 de dois alunos, aqui denominados Maysa e

Matheus. Havia também uma última questão, mais geral e abrangente, solicitando

sugestão de intervenção para a professora dos alunos que estavam errando as divisões.

Em relação a este instrumento de coletas de dados, usamos a análise de conteúdo,


com recortes por temas. Para a definição das categorias analíticas, seguimos o modelo

aberto, onde, de acordo com Laville e Dionne (1999, p. 219) “as categorias não são

fixas no início, mas tomam forma no curso da própria análise”.

5 Análise dos dados coletados com os alunos do sexto ano

As categorias que emergiram em nossa análise das questões respondidas pelos

alunos dos sextos anos foram as que se seguem, sendo que a letra que está maiúscula e

em itálico, será usada como sigla da categoria:

RCA: Resposta e Cálculos corretos;

A: Ausência de cálculo e resposta;

Desistência: D1: só arma a conta e nada mais; D2: arma a conta, começa a resolução

e não termina.;

I: Interpretação equivocada do enunciado;

Q: Resposta eQuivocada, sem cálculo explicitado;

RCV: Resposta numérica Correta, com Vírgula no lugar errado;

CD: Considerou os Centavos como inteiros no Dividendo;

T: Tabuada: erros relativos à multiplicação que faz parte do algoritmo da divisão;

S: Subtração: erros relativos à subtração que faz parte do algoritmo da divisão;

Z: Zero no quociente: ausência do(s) zero(s), ou escrito de forma equivocada;

E: Estrutura do algoritmo: Outros erros decorrentes da estrutura do algoritmo,

diferentes dos três anteriores (multiplicação, adição e zero no quociente). Somente na

questão 4, utilizamos duas subcategorias: ED00: o aluno cortou um ou dois zeros do

400 (no caso o divisor) e/ou um zero do 18.020 (no caso, o dividendo); e R20:

considerou 20 como resto e não continuou a divisão;

O: Outros erros.

Devido às limitações quanto ao tamanho deste artigo, concentraremos nossas

considerações sobre os erros dos alunos nas questões três e quatro e o faremos por

escola pesquisada. Pelo mesmo motivo, analisaremos as respostas dos licenciados à

questão 3, tal qual mostrado no APÊNDICE.

A seguir, apresentamos uma tabela comparativa das escolas Alfa(α), Beta(β),

Gama(γ) e Delta(δ) por questão e pelas categorias de análise(Cat.). À exceção da

Categoria A, os outros percentuais foram calculados desconsiderando-se os alunos que

não responderam.


Tabela 1: Categorização das respostas da questão 3, por escola.

N° Alunos

Cat Total %

18 28 25 18 89 100

RCA 3 12 8 2 25 30,10

A 1 - 2 3 6 6,75

D2 - 1 - 1 2 2,40

I 2 1 2 2 7 8,40

Q - 1 - - 1 1,20

RCV 1 - 1 - 2 2,40

CD 2 1 1 - 4 4,80

T 2 - 3 9 14 16,80

S - 5 - - 5 6,00

Z 10 12 10 5 37 44,50

E 1 - 3 9 13 15,60

5.1 Análise da questão 3 por escola.

Escola Alfa: A aluna Gabrielle respondeu todas as quatro questões usando a

multiplicação. A aluna Raissa fez a conta: . Dois alunos usaram a parte

decimal (42 centavos) como se fosse a parte inteira, e encontraram como resultado o

valor 1097, como mostra a resolução do aluno Matheus na Figura 1. Sete alunos fizeram

a conta dividindo por 6, mas em algum momento erraram a multiplicação,

comprometendo assim o resultado da questão. Cinco alunos fizeram a conta certa, mas

não colocaram o zero no quociente obtendo como resultado o valor 197, tal qual a

resolução da aluna Maysa na Figura 2. Se tivessem analisado melhor o resultado,

provavelmente constatariam que algo estava errado. Esses mesmos cinco alunos

também não colocaram o zero no quociente na questão 2.

Figura 1: Resolução do aluno Matheus Figura 2: Resolução da aluna Maysa.

Fonte: as autoras

Escola Beta: Nove alunos acertaram a questão, sendo que desses, dois fizeram a


divisão sem usar a vírgula e na resposta final a colocaram. Nove alunos chegaram à

resposta 197. A maioria deles, da mesma forma que a aluna Maysa, tal qual mostrado na

Figura 2. Um aluno chegou ao resultado 109,08 e classificamos esse erro como de

tabuada, pois considerou que 8x6= 42.

Escola Gama: Sete alunos dividiram o valor das despesas por 6. Mas, erraram em

algum momento a estrutura do algoritmo e a tabuada, prejudicando assim o restante da

questão. Sete alunos consideraram o dividendo como sendo 65.442, como se a vírgula

não existisse, e não colocaram o zero no quociente, obtendo como resultado 197 reais.

Esse resultado foi muito comum nas outras escolas também. Um aluno dividiu 654 por

6 e encontrou 19, colocou a vírgula e dividiu os 42 centavos por 6, tendo como

resultado 7. Sua resposta foi então 19,7.

Escola Delta: A aluna Thais fez a conta toda corretamente, mas, não colocou a

vírgula no quociente, tal como mostra a Figura 3. Considerou assim, todo o resultado

como um número inteiro. Perguntamo-nos se a aluna pensou na plausibilidade do

resultado, uma vez que o resultado obtido foi maior que o valor total das despesas.

Figura 3: Resolução da aluna Thais Figura 4: Resolução do aluno Gabriel

Fonte: as autoras

Cinco alunos armaram a conta sem utilizar os 42 centavos, dividindo apenas o

valor de 654 por 6. Acertaram a conta que fizeram obtendo 109 reais, mas não

dividiram a parte decimal, mesmo se tratando de valor monetário. Uma resolução que

merece destaque é a do aluno Gabriel, como mostra a Figura 4. Provavelmente o que ele

pensou foi: se e então . Assim,

com resto = 6. Se ele tivesse observado que 42/6=7, o resto seria igual

a zero. Questionamo-nos: Por que ele faz a conta dessa maneira? Isso funcionou para

outros exercícios feitos em sala e ele achou que funcionaria para todos os casos?

Observamos que ele usou esse mesmo método para resolver também as questões 2 e 4.

Porventura se trata de uma estratégia equivocada que ele acredita ser correta?

Concordamos com Pinto (2009, p. 117) quando afirma que em situações

conflitivas, os alunos, “‘inventam’ regras para completar as tarefas, regras estas que


acabam incorporando a seus esquemas. De simples erros ‘construtivos’, essas regras

transformam-se em ‘erros sistemáticos’, em razão das formas indevidas de apropriação

de alguns conceitos básicos”.

5.2 Comentários a respeito das questões resolvidas pelos alunos do sexto ano

Em todas as questões das quatro escolas pesquisadas, concordamos com SAIZ

(1996, p. 170), que também pesquisou dificuldades relacionadas à divisão, que “as

crianças carecem de recursos para reconhecer se sua solução é errada ou não. Na

realidade, não chegam a analisar se o número obtido é o resultado do problema”.

Pela análise das respostas, observamos que os alunos apresentaram dois erros

muito comuns na terceira questão. O primeiro deles consiste em considerar os 42

décimos como 42 inteiros, efetuando a divisão de 65442 por 6. Perguntamo-nos se os

alunos entendem a função da vírgula, que é de separar a parte inteira da decimal. Outro

erro muito comum e decorrente desse primeiro foi que, ao efetuarem a divisão de 65442

por 6, os alunos obtiveram como resposta o número 197, não colocando nenhum dos

dois zeros no quociente. Será que realmente acreditam que o número 197 é uma

resposta coerente para a conta 65442 por 6? Provavelmente, se fosse estimulado um

cálculo aproximado antes da resolução e/ou uma avaliação da plausibilidade do

resultado, muitos desses alunos teriam percebido a impossibilidade da resposta

encontrada.

Observamos (e comentaremos adiante) que a maioria dos licenciandos ao

analisarem os erros cometidos pelos alunos, não explicou a função do zero no

quociente, apenas sabiam 'pela regra' que ele deveria estar no quociente.

Importante ressaltar que, em relação ao baixo índice de acertos na questão 4 (8%),

acreditamos que, por ser uma divisão entre dois naturais resultando em um quociente

decimal, exige do aluno um conhecimento das propriedades válidas somente para os

naturais e das que são válidas também para os racionais. Sobre a construção do conceito

de números racionais e suas dificuldades, Moreira e David (2010, p. 67) afirmam:

Os significados das operações com os racionais se constroem a partir da

discussão e da análise de uma diversidade de situações concretas nas quais se

torna necessário reconhecer, comparar com o caso dos naturais e

reestabelecer relações entre os números, abandonar outras, inferindo-se, a

partir desse processo, a validade das propriedades.


6 As respostas dos licenciandos em Matemática e Pedagogia

6.1 Resposta dos licenciandos referentes às questões de Matheus e Maysa

As categorias, com recortes por temas que emergiram das respostas à pergunta

sobre uma sugestão para que as crianças não errassem mais estão a seguir, divididas por

curso e por questão de análise das respostas do aluno Matheus e da aluna Maysa.

Após a análise das questões detectamos características marcantes na escrita dos

licenciandos. A primeira foi que os licenciandos veem a divisão como um conjunto de

regras a serem seguidas e que o algoritmo tradicional é a única forma de resolver. Logo,

se o aluno não seguir essas regras ele realizará a divisão errada. Nesse contexto,

concordamos com Zunino (1995, p. 189) quando diz que

“[…] não é ensinando a repetir definições e aplicar mecanismos não

compreendidos que as ajudaremos a entender o funcionamento do sistema.

Centrar o aprendizado da matemática na aquisição de mecanismos conduz

não somente a obstaculizar a utilização dos esquemas conceituais que as

crianças constroem, como também a desvirtuar o conhecimento matemático

em si.

A segunda é referente à explicação do algoritmo da divisão que na maioria das

vezes é feita de modo muito mecânico, especialmente no que se refere à vírgula e à

presença do zero no quociente. Para que o leitor possa visualizar melhor as frases mais

significativas a esse respeito, nós as sublinhamos. As respostas dos licenciandos

indicam que, em sua maioria, eles possuem um conhecimento parcial a respeito do

algoritmo da divisão. Sabem aplicar a regra e obter o resultado correto, mas não

conseguem explicar a lógica do algoritmo. Entretanto, a maioria não consegue

apresentar respostas plausíveis quanto às possíveis dificuldades que os alunos possam

ter em sua utilização.

Por último, mas não menos importante, observamos equívocos no que concerne

aos termos números inteiros, não-inteiros, fracionários e o conceito de números

racionais. De forma análoga, as frases que evidenciam tais observações estão em

negrito.


Tabela 2: Sugestão dos licenciandos para que Maysa e Matheus não errem a divisão

Categoria, com recortes por temas Matemática Pedagogia Total

geral Maysa Matheus Maysa Matheus

Usou os termos unidade, dezena e

centena e valor posicional.

4 3 3 1 11

Explicou a função do zero como

representação da ausência de

quantidade.

10 2 1 - 11

Sugeriu usar a prova real ou operação

inversa como estratégia de verificação

da resposta.

1 1 3 1 6

Propôs o uso da regra “iguala as casas

decimais e corta a vírgula”.

4 6 - 1 11

Sugeriu usar o algoritmo de forma

mecânica, sempre restrito às regras.

17 11 6 3 37

Neste artigo, apresentaremos apenas exemplos de respostas dos licenciandos que

categorizamos como “sugeriu usar o algoritmo de forma mecânica, sempre restrito às

regras”. Os exemplos foram transcritos de forma literal, com grifo das autoras.

Algumas respostas dos licenciandos em Matemática, para a resolução de Maysa:

Bernoulli: “Os cálculos estão errados. Em primeiro lugar por não efetuar a

divisão de 5 por 6, que por sua vez é zero. Em segundo efetuar a divisão sem

respeitar a vírgula. O método correto é multiplicar o dividendo e o divisor por

100, pois depois da vírgula tem dois números. E dessa forma o dividendo se

tornará um número inteiro, e agora sim efetuar a divisão”.

Fermat: “Ao abaixar o 4, você deveria ter colocado um zero depois do 1 do

quociente. Daí, você abaixou o 4 (que não deu para dividir por 6) e abaixou o

2. Neste momento, você deveria ter colocado outro zero no quociente (depois

do 9) e finalizar (dividindo 42 por 6) com o 7 no quociente. Não esqueça de

colocar a vírgula no quociente.

Napier: “Maysa não observou que era preciso transformar o dividendo em

um número inteiro, acrescentando ao divisor mais duas casas (representada

pelo 0).

Laplace:“Errado. Maysa fique atenta à vírgula que você desprezou. Não se

pode dividir não-inteiros com inteiros”.

Galois: “A resposta e o algoritmo estão errados. Ao dividir 5 por 6, como não

era possível você deveria atribuir um zero ao quociente entre o 1 e o 9 e ainda

faltou a vírgula entre o 9 e o 7, pois você está trabalhando com dois tipos

de números, inteiros e fracionários”

Exemplo de respostas dos licenciandos em Matemática para a resolução de Matheus:

Apolônio: “Realizou quase tudo correto, no entanto na hora de fazer a divisão

da parte decimal não notou de ter que ‘andar’ com a vírgula no quociente. E

não realizou a conta conforme a regra que se há “número com vírgula” no

dividendo a vírgula terá que ‘sumir’”. Napier: “Errou ao dividir 4 por 6 e ao dividir um decimal por um inteiro.

Seus erros poderiam ser evitados se você tivesse transformado o dividendo

em um número inteiro e se tivesse colocado o (zero) no quociente ao dividir 4

por 6. (...) ele não observou que para dividir decimais por inteiros,

primeiro se transforma o número decimal em um inteiro aumentando as

casas decimais após a vírgula (neste caso o divisor), de acordo com a


quantidade de casas decimais após a vírgula (no caso do dividendo)...” Laplace: “ Matheus errou pois não transformou os decimais em inteiros’.

Bernoulli: “errou por ter efetuado a divisão da mesma forma com

números inteiros...”

Newton:“Matheus, quando começamos a operar com algum algarismo que

está depois da vírgula devemos acrescentá-los ao quociente e podemos

prosseguir a conta sem “descer” a vírgula. Não erre mais isso, ok? A resposta

certa seria: R$ 109,07 ”

Respostas dadas pelos licenciandos em Pedagogia para a resolução de ambos os

alunos:

Pitágoras: “Lembre-se da regra quando você vai baixar um número que não

pode ser dividido porque é menor, você pode por o zero no quociente”

Da Vinci: “Matheus não chegou ao resultado correto pois provavelmente

esqueceu da regra”.

Tales: “Matheus não acertou porque provavelmente é um numero decimal,

pois antes da vírgula efetuou a operação corretamente”.

6.2 Sugestões dos licenciandos para intervenções pedagógicas.

A última questão tinha como enunciado: “Em linhas gerais, qual a sugestão de

intervenção pedagógica que você oferece para a professora Anita trabalhar a divisão

com zero no quociente com os alunos desta turma que você acabou de corrigir estas

questões?”

Participaram desta pesquisa 18 licenciandos em Matemática sendo que 17

responderam à última questão. Da pedagogia foram 17 licenciandos sendo que 16

responderam à última questão. Dois escreveram que estão cursando a disciplina

Matemática I e, portanto, ainda não tem suporte teórico para sugerirem atividades. Há

também uma que está cursando Matemática 2, mas não argumentou isso ao responder às

questões. Na categorização, há alguns licenciandos que se enquadraram em mais de uma

categoria.

Tabela 4: Sugestões dos licenciandos de Matemática (M) e de Pedagogia (P) para a

professora dos alunos em relação aos erros nas divisões com zero no quociente.

Categoria M P

Uso do material dourado, ábaco ou do QVL para explicar a divisão 9 7

Explicar a função do zero no quociente 6 2

Trabalhar noções de quantidade e só depois trabalhar com o algoritmo da divisão 5 1

Usar a Prova real para verificar a resposta 1 2

Rever o algoritmo/fazer exercícios em sala 4 5

Sentar/ouvir o aluno para analisar o seu erro e fazer as devidas intervenções. 3 -

Relembrar o que são números decimais e como realizar a divisão dos mesmos. 3 1

Exemplos de intervenções que a professora Anita (conforme enunciado da questão

no APÊNDICE) poderia utilizar de acordo com as opiniões dos licenciandos em


Matemática.

Apolônio: “passar uma bateria de exercícios sobre isso; corrigir os exercícios

em sala de aula, sempre tirando as dúvidas; aplicar um teste selecionando

alguns exercícios da própria lista; corrigir o mesmo em sala de aula e

comentando os erros (forma geral); fazer atendimento individual, nos casos

excepcionais; para assim, aplicar uma avaliação”.

Napier: “A professor deveria voltar aos princípios da divisão, analisando-se

as classes (milhar, centena, dezena e unidade). Ela deve compreender que

algumas centenas não dão para dividir numa certa quantidade de partes então

ela deve transformar essa centena em dezenas. O resultado ela deve somar às

dezenas fornecidas pelo exercício e assim sucessivamente. Então se no

quociente não vai ter casas das centenas, então é preciso representá-las por 0

(zero). Isso ocorre nas demais classes. A professora também deve

compreender um pouco mais sobre a divisão de números decimais por

inteiros. Deve saber que a quantidade de casa decimais que se tem no

dividendo ou divisor ela deve acrescentar no dividendo ou divisor. Se a

quantidade de casas decimais no dividendo e divisor forem iguais então ela já

tem imediatamente números inteiros.”

Riemann: “sugiro que ela trabalhe a divisão com material dourado. E após os

alunos realizarem algumas atividades, ela passe para o algoritmo e mostre

que o raciocínio é o mesmo usando material dourado. Além disso, seria

interessante trabalhar com as crianças divisões com decimais usando notas e

moedas ‘ de mentirinha’, para eles perceberem a divisão.

Descartes: “mostrar aos alunos que a maioria dos erros ocorreu quando

acontecia o zero no quociente. Explicitar melhor as causas disso com eles, ou

seja, explicar melhor a divisão com o dividendo menor que o divisor e com

números decimais, utilizando o material dourado e jogos como auxílio no

aprendizado para fixar o conceito de unidade, dezena e centena e ábaco para

efetuar operações”. 1

Pascal: “A professora Anita, podia usar o material dourado para ensinar a

divisão. Passar vários exemplos de divisão com zero e pedir para cada aluno

fazer um, e ela pegar onde teve erros mais comuns e fazer em sala de aula,

explicando o passo a passo do algoritmo.”

Segue alguns exemplos de intervenções que a professora Anita poderia utilizar, de

acordo com as opiniões dos licenciandos em Pedagogia.

Kepler: “reforçar mais com os alunos o sistema de numeração decimal com

apoio do material dourado”.

Arquimedes: “o conceito de divisão já está estabelecido nas crianças. No

entanto falta atenção na hora de resolver a questão e uma opção bastante

interessante é a de verificação do resultado com a prova real”.

Leibniz: “Anita pode começar a divisão no papel e depois trabalhar com

material concreto, problematizando as questões de números menores

divididos por números maiores como por exemplo 4 dividido por 5”.

Euler: “A sugestão de intervenção seria a inserção de outros recursos

didáticos como, material dourado, ábaco e o QVL., para ensiná-los as ordens,

classes e valores posicionais. Pois acredito que apenas depois de entendido o

que significa unidade, dezena, centena e etc., será possível explicar que

termos como "abaixar", "vai um" e "pega emprestado" são na verdade

exercícios de agrupamento e desagrupamento e que na divisão o zero no

quociente significa que naquela determinada ordem a quantidade referida é

zero. Ainda como sugestão deve-se pedir que os estudantes façam a prova

real. Para que verifiquem se o resultado obtido está de fato correto”.

1 As sugestões do aluno Descartes são contraditórias quando comparadas com suas análises das

questões dos alunos, pois apresentou procedimentos mecânicos e enfatizou as regras.


6.3 Comentários gerais a respeito das questões respondidas pelos licenciandos

Em relação à questão 3, observamos que tanto os futuros especialistas quanto os

generalistas, parecem acreditar que basta o aluno saber as regras que regem o algoritmo

tradicional da divisão para não errarem a conta. A hipótese mais comum para os erros

dos alunos levantada pelos licenciandos foi que o aluno errou porque não soube usar a

regra, ou aplicou a regra de forma errada. Concordamos com Zunino (1995, p. 11)

quando afirma que a maioria dos professores parecem “revelar que eles compartilham

uma conhecida concepção de ensino e aprendizagem: ensinar consiste em explicar,

aprender consiste em repetir (ou exercitar) o ensinado até reproduzi-lo fielmente”. Por

aparentemente ter também essa crença, os licenciandos não percebem o erro como um

processo de construção do conhecimento. Para os licenciandos é somente ensinando as

regras que os alunos irão entender o que e como se faz.

Acreditamos que a maioria dos licenciandos em Matemática possui essa postura,

pois ao passarem pelo ensino básico tiveram uma formação parecida com a que

reproduzem hoje e no ensino superior as disciplinas relacionadas ao ensino de

matemática na graduação, muitas vezes não são suficientes para modificar essa postura.

A função da vírgula em nosso sistema de numeração não foi destacada por

nenhum dos licenciandos. Ninguém chamou a atenção do aluno para a plausibilidade do

resultado. Na questão resolvida pelo aluno Matheus o resultado da divisão 654,42 por 6

foi 1097. Ou seja, se o cálculo mental fosse estimulado, se o aluno fosse incentivado a

realizar uma estimativa do resultado antes de partir para o algoritmo, esse tipo de erro

poderia ter sido evitado. A única estratégia de verificação sugerida foi a prova real ou a

operação inversa e isto por apenas 6 licenciandos, num total de 35.

Em relação à última questão, 9 sujeitos da Matemática e 7 da Pedagogia

sugeriram o uso do material dourado, ábaco ou do QVL para explicar a divisão.

Entretanto, aqui notamos algumas diferenças na forma de sugerir. Os da Matemática

eram diretos, como se fosse uma ordem: “use material concreto”, sem, contudo

explicitar como fazê-lo. Os licenciandos da Pedagogia, além de sugerir o material,

diziam para usá-lo com o objetivo de explicar e/ou revisar as características do nosso

sistema de numeração. Outra diferença foi na quantidade de licenciandos que explicou a

função do zero no quociente: 6 da Matemática e 2 da Pedagogia.


Em relação aos licenciandos em Matemática, concordamos plenamente com

Moreira e David (2010, p. 74) ao afirmarem que:

A abordagem dos sistemas numéricos nas licenciaturas mostra-se, de modo

geral, inadequada. [...] Não costuma discutir as dificuldades dos alunos da

escola básica com os decimais, algumas delas já extensivamente estudadas e

referidas na literatura.

O Estudo de Curi (2005), por sua vez, aponta um dado preocupante: as disciplinas

da área de Matemática dos Cursos de Pedagogia possuem uma carga horária bastante

reduzida, com um máximo de quatro disciplinas. Em alguns cursos, porém, só existe

uma dessas disciplinas, Metodologia do Ensino de Matemática, correspondendo a

menos de 4% de um curso de 2.200 horas. Não há, assim, como romper o círculo

vicioso: inadequação na formação do professor que implica em inadequação na

formação do aluno que torna a implicar na formação inadequada do professor. Na

instituição pesquisada consta no currículo do curso de Pedagogia 120 horas de

Matemática de um total de 3.410 horas.

7 Perspectivas e Considerações Finais

Campos et al apud Cunha (1997, p. 16) investigaram o desempenho dos

professores do Ensino Fundamental I e II e verificaram que, “embora esses professores

tenham conhecimento de algoritmos, eles muitas vezes não possuem a compreensão dos

mesmos”.

Em nosso trabalho não usamos questões onde o dividendo é menor que o divisor,

tal como Castela (2005) discute. Não comparamos questões que envolvem os mesmos

cálculos contextualizados e de simples conta assim como Cunha (1997) faz. Não

procuramos identificar se os alunos estabelecem relações entre dividendo e divisor,

quociente e resto tal qual Cunha (1997) aborda. Tampouco, havia subtrações onde

algum algarismo do minuendo era menor que o do subtraendo. Como podemos ver há

um campo fértil a ser explorado com a divisão e questões relativas ao zero no quociente.

Procuramos analisar os erros com olhar questionador, que, de acordo com

Bortoloti et al. (2011, p. 2) é:

Dar voz ao que os alunos estão pensando e escrevendo sobre uma

determinada situação-problema. Em paralelo e/ou posteriormente procurar;

Encontrar o ponto “exato” ou mais próximo em que um conceito ou

procedimento foi construído de forma incorreta, apresentando falhas ou;

Descobrir que habilidades não foram desenvolvidas para resolver uma

situação proposta;

Rever e repensar sobre os procedimentos de ensino utilizados para explorar

determinado conceito visando com todas estas tentativas formas de planejar


ações pedagógicas futuras que desestabilizem os erros cometidos e auxiliem a

construção e desenvolvimento de definições, conceitos e procedimentos

adequados e com significados.

Neste artigo apresentamos resultados do item (b), pois ao analisar as questões dos

alunos queríamos saber onde é o ponto exato que a maioria dos alunos erra, para depois

traçar intervenções que venham a dirimir as suas dúvidas. Em relação ao item (a) nosso

levantamento foi parcial, pois não tivemos a oportunidade de indagar os alunos para

saber como pensaram ao resolver a questão. Tal procedimento deverá ser objeto de

pesquisas futuras com outras características e com maior demanda de tempo.

Acreditamos que a análise de erros e o levantamento de dificuldades podem

ajudar o professor em exercício e o licenciando a pensar sobre algumas possíveis

dificuldades e obstáculos cognitivos a fim de que os alunos os minimizem ou não os

construam. E também, motivando discussões curriculares nas licenciaturas de

Matemática e Pedagogia. Nas primeiras, para repensarem a estrutura curricular, de

modo a levarem em conta a discussão de processos de ensino-aprendizagem de

conteúdos aceitos como sendo das séries iniciais, mas que, via de regra, exigirão do

futuro professor das séries finais do EF competência e estratégias para que seus alunos

construam tais conhecimentos. Ademais, pode ser uma forma de convencer o

licenciando de que, mesmo que ele saiba operar bem com os algoritmos, isso pode não

ser suficiente para o trabalho com alunos do ensino fundamental.

Uma das autoras, com sua experiência como docente no curso de Licenciatura em

Matemática, sempre questiona os alunos sobre as habilidades e conteúdos matemáticos

considerados das séries iniciais, em geral na disciplina de estágio supervisionado,

referente às séries finais do ensino fundamental. Infelizmente, ainda não há disciplinas

direcionadas a esse tipo de discussão no currículo do curso em questão. Concordamos

com Moreira e David (2010) quando levantam a necessidade das licenciaturas em

Matemática discutirem os algoritmos para as operações elementares com base na

realidade do processo de ensino e do aprendizado escolar.

Concordamos com Perón (2009, p. 15) que “até que um professor, cuja formação

foi deficiente, encontre melhores maneiras para ministrar suas aulas, ele terá cometido

uma série de equívocos em classe, dos quais os principais prejudicados serão os

alunos”.

Além disso, recomendamos que os licenciandos de ambos os cursos tenham um

contato estreito com a análise de erros como metodologia de ensino e pesquisa, como


forma de pensar no erro como estratégia didática prevendo e, porque não, evitando

algumas dificuldades de cálculo de seus futuros alunos. Concordamos com Cury (2009,

p. 93) ao afirmar que

As pesquisas sobre erros na aprendizagem de Matemática devem fazer parte

do processo de formação dos futuros professores, pois, ao investigar erros, ao

observar como os alunos resolvem um determinado problema, ao discutir as

soluções com os estudantes, os licenciandos em Matemática estarão

refletindo sobre o processo de aprendizagem nessa disciplina e sobre

possíveis metodologias de ensino que vão implementar no início de suas

práticas.

Consideramos também que a pesquisa, quando realizada por sujeitos atuantes em

diferentes níveis de ensino, como foi a nossa, com professoras dos ensinos fundamental,

médio e superior, com uma docente pós-graduada, uma licenciada e uma professora

universitária, pode trazer um aprendizado muito rico para todas as envolvidas. Nesse

sentido, concebemos nossa pesquisa como cooperativa ou colaborativa, ou seja, que

conta com a participação de “todos os envolvidos numa prática investigativa, em que

todos cooperam ou colaboram na realização conjunta do processo de investigação que

vai desde sua concepção, planejamento e realização até à fase de análise e escrita do

relato final” (FIORENTINI, 2010, p. 53). Por isso, sugerimos que os currículos das

licenciaturas prevejam condições de espaço-tempo para o estudo e desenvolvimento de

pesquisas na formação inicial de docentes.

Estudos diagnósticos como estes propiciam a identificação de alguns

procedimentos que as crianças usam na resolução de problemas de divisão, permitindo

ao professor antecipar possíveis respostas equivocadas e propor intervenções diante

dessas respostas com contra-argumentos plausíveis para a faixa etária.

Ao final desta etapa da pesquisa, acreditamos que o problema maior não seja o

algoritmo da divisão, mas a não compreensão da função do zero e da vírgula em nosso

sistema de numeração. Portanto, sugerimos aos professores dos quintos e sextos anos

que trabalhem com seus alunos as características do nosso sistema de numeração

decimal e a função do zero na composição de qualquer número. E também, o papel da

vírgula em nosso sistema de numeração, que é a de separar a parte inteira da parte

decimal. Como foi mostrado aqui, na questão 3 proposta para os alunos do sexto ano,

muitos consideraram 654,42 = 65.442. Após revisar e sedimentar esses conceitos,

sugerimos que o professor faça divisões com material concreto, como por exemplo, o

material dourado e notas de dinheiro, valorizando mais o conceito do que o formalismo.


A próxima etapa seria fazer simultaneamente a divisão com o material concreto e com o

algoritmo.

Importante ressaltar que nenhum dos graduandos sugeriu outros algoritmos para a

divisão diferente do tradicional.

Acreditamos que os dados aqui apresentados podem suscitar questões sobre a

formação de professores que ensinam Matemática no que concerne a metodologias de

ensino de conteúdos comuns aos quintos e sextos anos do ensino fundamental.

Recomendamos que os cursos de licenciatura prevejam tempo/espaço em seus

currículos para discussões mais aprofundadas acerca do processo de

ensino/aprendizagem dos conteúdos das séries inicias e do uso da análise de erros como

metodologia de ensino, pesquisa e como forma de aprimorar sua prática docente.

Ao final da pesquisa, as respostas dos graduandos foram devolvidas e discutidas

com a maioria dos participantes da pesquisa, com o objetivo de tornar o erro observável

e de contribuir para a sua formação docente. Mas isso é assunto para outra conversa...

Referências

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fundamental. In: X Encontro Gaúcho de Educação matemática, EGEM, RS - Ijuí.

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fundamental face às novas demandas brasileiras, in Revista Iberoamericana de

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PERON, L. D. C. Um processo de pesquisa em colaboração e a formação

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ZUNINO, D. L. A Matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre, Arte Médicas.

1995. 2. ed


8 APÊNDICE

Parte da atividade aplicada para os licenciandos

A professora Anita aplicou uma avaliação, com 4 questões, com o objetivo de verificar o

desempenho dos alunos do 6º ano no que se refere à operação de divisão com zero no

quociente. Os enunciados foram: (os mesmos aplicados para os alunos dos sextos anos)

A seguir, apresentamos algumas resoluções extraídas da avaliação aplicada, para você

corrigi-las, com o respectivo nome do aluno. Onde está escrito comentário do

avaliador, você deve: se estiver correto, parabenizar o educando. Se estiver errado,

tentar compreender o motivo do seu erro e explicar para o aluno (por escrito) qual foi o

seu erro e como evitar cometê-lo novamente. Escreva a caneta e não se identifique nas

páginas a seguir.

Para cada questão o enunciado era o seguinte:

Questão Y: Resolução do aluno X: (escaneada)

Comentário do avaliador:

Se o Aluno X não acertou, por que você acredita que ela errou? Qual a sua hipótese para o erro de

Aluno X?

F) Questão 3: Resolução do Matheus:

H) Questão 3: Resolução da Maysa:

erros de alunos do 6º ano e dificuldades de licenciandos na

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