er rosin certeza s

EErrrrooss ee IInncceerrtteezzaass nnaass MMeeddiieess

Paulo Cabral

Julho 2004

Erros e Incertezas nas Medies

2 / 116 Paulo Cabral

IEP Instituto Electrotcnico Portugus ISEP Instituto Superior de Engenharia do Porto Laboratrio de Metrologia e Ensaios Departamento de Fsica Rua de S. Gens, 3717 Rua Dr. Antnio Bernardino de Almeida, 431 4460-409 Senhora da Hora (Matosinhos) 4200-072 Porto Tel. 22 957 00 00 / 23 Tel. 22 834 05 00 [email protected] [email protected]


Paulo Cabral 3 / 116

It is better to be roughly right than precisely wrong John Maynard Keynes

To err is human; to describe the error properly is sublime Cliff Swartz

I can live with doubt and uncertainty and not knowing. I think it is much more interesting to live not knowing than

to have answers that might be wrong Richard Feynman



ndice

1 INTRODUO...............................................................................................................................9 1.1 Conceitos clssicos: exactido e preciso ....................................................................................9 1.2 Erros de medio .........................................................................................................................10 1.3 Por que existe incerteza?.............................................................................................................12 1.4 O interesse de se indicar a incerteza de uma medio...............................................................14 1.5 Incertezas - alguns marcos histricos..........................................................................................15

2 TERMINOLOGIA MAIS IMPORTANTE ......................................................................................17 2.1 Grandezas e Unidades ................................................................................................................17 2.2 Medies......................................................................................................................................17 2.3 Resultados de medio................................................................................................................18 2.4 Instrumentos de medio.............................................................................................................19 2.5 Caractersticas dos instrumentos de medio.............................................................................19 2.6 Padres........................................................................................................................................20

3 ANLISE ESTATSTICA DE RESULTADOS.............................................................................21 3.1 Introduo ....................................................................................................................................21 3.2 Anlise de dados..........................................................................................................................21 3.3 Noo de populao e de amostra .........................................................................................22 3.4 Mdia aritmtica...........................................................................................................................22 3.5 Mediana........................................................................................................................................23 3.6 Moda ............................................................................................................................................23 3.7 Desvio da mdia ..........................................................................................................................23 3.8 Desvio mdio ...............................................................................................................................24 3.9 Desvio-padro..............................................................................................................................25 3.10 Varincia ......................................................................................................................................26 3.11 Uso de mquinas de calcular.......................................................................................................27 3.12 Utilizao do Microsoft Excel .....................................................................................................28

4 DISTRIBUIO DA PROBABILIDADE DOS ERROS ...............................................................31 4.1 Distribuio normal dos erros ......................................................................................................31 4.2 Erro equiprovvel .........................................................................................................................33 4.3 A distribuio normal e os conceitos de exactido e preciso ....................................................34 4.4 Outras distribuies .....................................................................................................................35

4.4.1 Rectangular, ou uniforme................................................................................................35 4.4.2 Em U, ou derivada do arco-seno ..................................................................................36 4.4.3 Triangular ........................................................................................................................36 4.4.4 Em M, ou bi-modal........................................................................................................37

5 ANLISE GRFICA....................................................................................................................39 5.1 Linearizao.................................................................................................................................39 5.2 Regras para elaborao de grficos............................................................................................39 5.3 Utilizao do Microsoft Excel .....................................................................................................40

5.3.1 Tipos de grficos .............................................................................................................40 5.3.2 Grficos X-Y ....................................................................................................................41 5.3.3 Recta de regresso.........................................................................................................41 5.3.4 Barras de incerteza nos valores (eixos X e Y)................................................................42

6 REGRESSO LINEAR................................................................................................................45 6.1 Expresso da recta de regresso ................................................................................................45 6.2 Coeficientes da recta e respectivas incertezas............................................................................45 6.3 Interpolao de um novo valor yo a partir de um xo .....................................................................47 6.4 Coeficiente de correlao entre X e Y .........................................................................................48



7 TOLERNCIA DOS INSTRUMENTOS DE MEDIO...............................................................51 7.1 Instrumentos com classes normalizadas .....................................................................................51 7.2 Combinao de vrios erros ........................................................................................................52 7.3 Regra da diferencial logartmica ..................................................................................................54 7.4 Equipamento digital......................................................................................................................55 7.5 ppm e % .......................................................................................................................................57

8 INTRODUO ANLISE NUMRICA....................................................................................59 8.1 Arredondamento dos resultados..................................................................................................59 8.2 O conceito de algarismos significativos.....................................................................................59 8.3 Algarismos a conservar Multiplicao, Diviso, Radiciao ...................................................60 8.4 Algarismos a conservar Adio, Subtraco ..........................................................................60 9 COMBINAO DE INCERTEZAS..............................................................................................61 9.1 Introduo ....................................................................................................................................61 9.2 Definies especficas .................................................................................................................61 9.3 Fontes de incerteza......................................................................................................................62 9.4 Expresso da grandeza a medir ..................................................................................................63 9.5 Correces conhecidas................................................................................................................63 9.6 Balano da incerteza....................................................................................................................64 9.7 Grandezas medidas repetidamente (tipo A) ................................................................................64 9.8 Grandezas determinadas por outros meios (tipo B) ....................................................................64

9.8.1 Valores singulares...........................................................................................................64 9.8.2 Grandezas de influncia..................................................................................................65

9.9 Lei de propagao das incertezas ...............................................................................................65 9.10 Coeficiente de sensibilidade ........................................................................................................66 9.11 Soma das varincias....................................................................................................................67

9.11.1 Casos mais simples, frequentemente encontrados ........................................................67 9.11.2 Soma (ou diferena)........................................................................................................68 9.11.3 Produto (ou quociente)....................................................................................................68 9.11.4 Combinao de incertezas..............................................................................................68

9.12 Grandezas correlacionadas .........................................................................................................69 9.12.1 Grandezas correlacionadas casos particulares .........................................................70

9.13 Incerteza expandida da mensuranda...........................................................................................70 9.14 Nmero de graus de liberdade ....................................................................................................70 9.15 Resultado final .............................................................................................................................71 9.16 Fluxograma simplificado ..............................................................................................................73 9.17 Combinao de incertezas Casos mais simples.....................................................................75 9.18 Sugesto de esquema para apresentao dos dados ................................................................76 9.19 Resumo dos casos mais comuns ................................................................................................77

9.19.1 Grandezas independentes ..............................................................................................77 9.19.2 Grandezas correlacionadas ............................................................................................77

10 EXEMPLOS DE CLCULO DE INCERTEZAS ..........................................................................79 10.1 Frequncia de uma fonte AC pelas leis de Mersenne.................................................................79

10.1.1 Apresentao da experincia..........................................................................................79 10.1.2 Valores obtidos experimentalmente................................................................................80 10.1.3 Recta de regresso linear ...............................................................................................80 10.1.4 Massa linear do fio ..........................................................................................................81 10.1.5 Frequncia ......................................................................................................................83

10.2 Incerteza proveniente de um certificado de calibrao ...............................................................84 10.3 Determinao da incerteza a partir da especificao do fabricante............................................85 10.4 Incerteza originria de um aparelho elctrico analgico .............................................................86 10.5 Incerteza a partir da especificao de uma norma......................................................................87 10.6 Incerteza de uma indicao digital...............................................................................................88 10.7 Medio da humidade do ar com um psicrmetro.......................................................................89

10.7.1 Descrio ........................................................................................................................89 10.7.2 Procedimento de medio ..............................................................................................89 10.7.3 Balano de incertezas.....................................................................................................89

10.8 Medio de temperatura com uma Pt-100...................................................................................91



10.8.1 Descrio da experincia................................................................................................91 10.8.2 Expresso da recta de regresso ...................................................................................91 10.8.3 Incerteza do declive ........................................................................................................92 10.8.4 Interpolao de um novo valor........................................................................................92

10.9 Calibrao de um paqumetro com bloco-padro........................................................................93 10.10 Calibrao de uma resistncia pelo mtodo potenciomtrico .....................................................94

10.10.1 Princpio da medio.......................................................................................................94 10.10.2 Esquema de montagem ..................................................................................................94 10.10.3 Influncia da temperatura ...............................................................................................94 10.10.4 Identificao das fontes de incerteza..............................................................................95 10.10.5 Leituras efectuadas.........................................................................................................95 10.10.6 Balano de incertezas.....................................................................................................95

11 PROBLEMAS PROPOSTOS ......................................................................................................97

12 LISTA DE FUNES ESTATSTICAS DO MICROSOFT EXCEL ..........................................99

13 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) ...................................................................103 13.1 Unidades de base ......................................................................................................................103 13.2 Unidades derivadas com nomes especiais................................................................................104 13.3 Prefixos dos mltiplos e submltiplos das unidades SI .............................................................105

13.3.1 Nomenclatura dos grandes nmeros..........................................................................105

14 ALFABETO GREGO .................................................................................................................107

15 BIBLIOGRAFIA .........................................................................................................................109

16 SOLUO DOS PROBLEMAS PROPOSTOS ........................................................................111

17 DISTRIBUIO DO T DE STUDENT....................................................................................113 17.1 Valor de t que, para graus de liberdade, define um intervalo t() que abrange uma fraco

p% da distribuio......................................................................................................................113 17.2 Correco a aplicar ao desvio-padro, segundo o nmero de medies, para diferentes

factores de expanso do resultado final ....................................................................................114



1 Introduo Por maior cuidado que se tenha ao efectuar uma medio, mesmo que se utilizem

equipamentos topo de gama em condies ambientais bem controladas, os resultados que se obtm viro afectados por diversos erros.

Nada nem ningum perfeito. Como tal os resultados das medies, dos ensaios e das anlises tambm no podem ser perfeitos. Isto no novidade para ningum. Uma das principais tarefas de um experimentador identificar as fontes de erro que podem afectar o processo de medio, e quantificar essas fontes de erro.

Essa falta de perfeio designada, actualmente, por incerteza. A palavra erro, que durante largos anos foi utilizada com esse mesmo significado, est hoje em dia reservada para designar o afastamento entre o valor obtido numa medio e o correspondente valor verdadeiro, o qual , em geral, desconhecido.

1.1 Conceitos clssicos: exactido e preciso Tem sido prtica corrente a utilizao dos conceitos de exactido e preciso

para caracterizar o grau de rigor com que uma medio efectuada. Entende-se por exactido a maior ou menor aproximao entre o resultado

obtido e o valor verdadeiro. A preciso est associada disperso dos valores resultantes da repetio das medies.

Se fizermos uma analogia com o disparo de um projctil contra um alvo, poderemos dizer que a exactido corresponde a acertar no (ou prximo do) centro do alvo; por outro lado, teremos preciso quando os vrios disparos conduzirem a acertar em pontos muito prximos entre si.

As figuras seguintes procuram ilustrar estas ideias.

Inexacto e impreciso (irrepetvel)



Preciso mas inexacto

Exacto mas impreciso

Exacto e preciso

1.2 Erros de medio Segundo a forma como os diversos tipos de erros influenciam as medies, tem

sido prtica habitual classific-los em



Erros grosseiros So devidos falta de ateno, pouco treino ou falta de percia do operador. Por exemplo, uma troca de algarismos ao registar um valor lido. So geralmente fceis de detectar e eliminar.

Erros sistemticos - So os que afectam os resultados sempre no mesmo sentido. Exemplo: incorrecto posicionamento do zero da escala, afectando todas as leituras feitas com esse instrumento. Devem ser compensados ou corrigidos convenientemente.

Erros aleatrios Associados natural variabilidade dos processos fsicos, levando a flutuaes nos valores medidos. So imprevisveis e devem ser abordados com mtodos estatsticos.

As figuras seguintes procuram ilustrar estes conceitos, de uma forma bem-

humorada.

Erro grosseiro

Erro Grosseiro

Erro sistemtico

Erro Sistemtico

Erro aleatrio

Erro Aleatrio

ainda possvel falar-se em erros absolutos e em erros relativos, de acordo com a forma como so calculados.



Antes de os definirmos, convm introduzir o conceito de valor verdadeiro de uma grandeza. Dado que, como vimos j, todas as medies esto afectadas por erros, por mais rigorosos que procuremos ser, nunca poderemos esperar que os resultados obtidos sejam exactos. Para nos podermos referir ao grau de afastamento entre tais resultados e os resultados ideais, definimos valor verdadeiro como sendo o valor que obteramos numa medio ideal, feita em condies perfeitas com instrumentos perfeitos e por operadores perfeitos. Esse valor, meramente utpico, permite-nos introduzir, entre outros, os conceitos de erro absoluto e erro relativo. Os erros absolutos correspondem diferena algbrica (com sinal + ou -) entre o valor obtido e o valor verdadeiro:

adeiroValor verd medidoValor absoluto Erro = Dizemos que uma medio tem um erro positivo (erro com sinal +, ou medio adiantada) se o seu valor for superior ao valor que obteramos na tal medio ideal. Pelo contrrio, se obtivermos um valor inferior ao ideal, diremos que o erro negativo (erro com sinal -, ou medio atrasada). Por vezes muito til apresentar valores relativos, quando se exprimem erros de medies. A forma mais usual de apresentao indicar os erros relativos em percentagem (%):

%100adeiroValor verd

absoluto Errorelativo Erro = tambm comum, em determinados domnios da cincia e da tcnica, exprimir

os erros relativos em partes por milho (ppm):

ppm 10adeiroValor verd

absoluto Errorelativo Erro 6= Esta ltima notao til quando se est na presena de valores muito

pequenos, o que tpico dos laboratrios onde se efectuam medies de elevado grau de rigor (por exemplo, em laboratrios de calibrao). , contudo, uma notao no normalizada e que tem vindo a ser desaconselhada pelos organismos internacionais ligados metrologia e s normas tcnicas.

Ao simtrico algbrico do erro d-se o nome de correco:

ErroCorreco = Este termo resulta do facto de, se se souber que uma dada medio est

afectada de um determinado erro, o valor correcto poder ser obtido mediante a correco desse resultado.

1.3 Por que existe incerteza? evidente que qualquer descrio matemtica de um fenmeno fsico no mais

do que uma modelizao terica de algo, para permitir a sua compreenso. Essa modelizao, mesmo que seja feita com um elevado grau de rigor, nunca corresponde em absoluto ao verdadeiro fenmeno em causa, se bem que luz do conhecimento cientfico de uma determinada poca possa ser considerada como tal. Recordemos, por exemplo, o pensamento subjacente mecnica newtoniana e as implicaes que sobre ele teve mais tarde a mecnica relativista...



Por outro lado, qualquer medio efectuada com sistemas fsicos (os instrumentos de medio) com os quais procuramos quantificar determinadas caractersticas de outros sistemas fsicos (os objectos a medir). Todos os sistemas fsicos reais se afastam em maior ou menor grau do comportamento ideal previsto pelos modelos matemticos com os quais os procuramos descrever.

Mesmo aps a correco de todos os erros devidos aos efeitos (sistemticos) conhecidos, subsistem inexactides em todos os valores medidos. Quanto mais no fosse, a prpria existncia de um nico valor verdadeiro contrariada pelas leis da Fsica (recordemos o Princpio da Incerteza de Heisenberg).

Algumas das razes mais imediatas para existirem sempre incertezas associadas s medies so indicadas a seguir.

Efeito das condies ambientais (por exemplo: temperatura, humidade, presso atmosfrica, etc.)

Efeito das caractersticas intrnsecas aos instrumentos de medio utilizados (por exemplo, resoluo, estabilidade, sensibilidade, etc.) ou mesmo aos objectos que se pretende medir ou caracterizar.

Efeitos atribuveis ao operador / experimentador (tais como mtodo de medio inadequado, erros de leitura das escalas, incorrecta utilizao dos equipamentos, etc.).



1.4 O interesse de se indicar a incerteza de uma medio Muitos dos ensaios, anlises e medies que diariamente se efectuam em todo o

mundo tm por objectivo garantir que determinados valores-limite (mnimos ou mximos) no so excedidos. Como exemplos, recordemo-nos da medio da potncia de frenagem de um veculo durante a sua inspeco peridica; da pesquisa de substncias dopantes nos fluidos corporais de um atleta de alta competio; da utilizao do efeito Dppler para medir o desvio da frequncia de um feixe de radiao num cinemmetro-radar utilizado pela Polcia para conhecer a velocidade instantnea de uma viatura; etc., etc.

Sem informao acerca da incerteza, pode parecer muito simples tomar decises, mas essas decises podem estar incorrectas. Por exemplo:

Consequncias econmicas, ao rejeitar produtos em vez de os aceitar; Consequncias judiciais, ao dar um veredicto de culpado em vez de

inocente;

Consequncias mdicas, ao prescrever um tratamento desnecessrio. Os exemplos so inmeros! Com a indicao de uma estimativa realista da incerteza, a informao contida

nos resultados torna-se muito mais til. Vejamos graficamente a influncia que poder ter associar ou no a incerteza ao resultado de uma medio:

Um resultado com e sem incerteza

Se esse resultado tiver de ser comparado com uma dada especificao (por

exemplo, com os limites mnimo e mximo de aceitao de um produto), a incluso da incerteza permite identificar se a especificao claramente cumprida (caso A da figura seguinte) ou no (caso E), ou se se trata de uma situao de alguma indefinio (casos B, C e D), em que qualquer deciso implicar assumir um determinado risco.



Limite superior da especif icao

Limite inf erior da especif icao

Valor ideal

Valores medidos com as barras ( ) da incerteza

1.5 Incertezas - alguns marcos histricos Porque o conceito de incerteza de uma medio, tal como entendido hoje em

dia a nvel internacional, relativamente recente, apresenta-se de seguida uma breve resenha cronolgica da evoluo das ideias que conduziram s actuais definies de erro e de incerteza.

1638 ............ Galileo Galilei, Discorsi e demonstrazione matematiche intorno a

due nuove scienze. Descrio, entre outras, das experincias com o plano inclinado.

1755 ............ Thomas Simpson, On the advantage of taking the mean of a number of observations, in practical Astronomy.

1759 ............ Joseph Louis Lagrange, Mmoires sur lutilit de la mthode de prendre le milieu entre les rsultats de plusieurs observations.

1778 ............ Daniel Bernoulli, Disjudicatio maxime probabilis plurium observationum discripantium atque versimillia inductio inde formanda: o melhor valor oferece a maior probabilidade para a sequncia de medies observadas.

1795/1809 ... Carl Friedrich Gauss, Theoria motus corporum coelestium; a mdia aritmtica de uma sequncia de medies o valor com menor disperso.

1802 ............ Pierre Simon, marqus de Laplace, Trait de mcanique cleste. 1823 ............ Carl Friedrich Gauss, Theoria combinationis observationum

erroribus minimis obnoxiae; deriva a funo erro. 1864 ............ DeMorgan, On the theory of errors of observation. Teorema de

DeMorgan. 1868 ............ J. V. Schiaparelli, Sul principio della media arithmetica nel calcolo

dei resultati delle osservationi. 1876 ............ A. Ferrero, Espositione del metodo dei minimi quadrati. Teorema

de Ferrero. 19xx ............ Os conceitos de erro, exactido e tolerncia dominam a

metrologia.



196x ............ Primeiras referncias existncia de incertezas em medies fsicas.

197x ............ Conceitos de incerteza muito diversos coexistem (erros para o pior caso, 1, 2, 3, k+, etc.

1980 ............ Grupo de trabalho INC-1 do BIPM prope abordagem tipo A / tipo B, baseada em modelos matemticos e em mtodos estatsticos objectivos.

1990 ............ Aprovado documento WECC 19, Guidelines for the expression of the uncertainty of measurement in calibrations, aplicvel aos laboratrios integrados na rede WECC.

1992 ............ Grupo de trabalho ISO / TAG 4 / WG 3 publica draft do GUM. 1992 ............ Workshop Eurolab (Barcelona) rene a comunidade laboratorial de

24 pases e estabelece as bases para a uniformidade da avaliao da incerteza em ensaios.

1993 ............ Publicada a bblia das incertezas: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM).

1997 ............ Documento EAL-R2, Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration (substitui WECC-19; harmonizado com o GUM).

1999 ............ Documento EA-4/02 (reedio do EAL-R2, com exemplos prticos). 2003 ............ Documento EA-4/16, Guidelines on the expression of uncertainty in

quantitative testing.



2 Terminologia mais importante Em todos os domnios da cincia e da tcnica a terminologia deve ser

cuidadosamente escolhida. Cada termo deve ter o mesmo significado para todos os utilizadores; deve exprimir um conceito bem definido, sem entrar em conflito com a linguagem comum. Isto aplica-se particularmente em metrologia, com uma dificuldade suplementar: sendo toda a medio afectada por erros imperfeitamente conhecidos, o significado que se lhe atribui deve incluir esta incerteza. Temos ento de exprimir com preciso a prpria impreciso.

As definies aqui apresentadas so extradas da 2. edio do Vocabulrio Internacional de Metrologia (VIM), publicado pela ISO e resultante do trabalho de um conjunto de sete organizaes internacionais ligadas s medies e normalizao tcnica(*). Desse Vocabulrio existe uma traduo em Portugus, editada pelo IPQ, que foi preparada pela Comisso Permanente para a Metrologia do Conselho Nacional da Qualidade.

No domnio dos erros e das incertezas, este Vocabulrio adopta uma atitude prudente, deixando de parte, por exemplo, a linguagem da estatstica, frequentemente utilizada de forma abusiva no domnio das medies. Toda a medio est afectada de um erro, mas este erro geralmente desconhecido. Ignora-se o seu sinal algbrico, sendo frequentemente difcil atribuir-lhe uma ordem de grandeza. por isso que se utiliza o termo incerteza, para indicar uma estimativa provvel do erro.

Termos outrora muito usados, como por exemplo aferio, esto desde h anos suprimidos, ao menos no contexto da metrologia. No entanto a tradio tem levado a que por vezes ainda nos deparemos com expresses como preciso, medida ou aparelho de medida, etc.

por isso necessrio que nos diversos nveis de ensino, bem como na formao profissional, se divulguem os termos correctos, utilizando-se os respectivos conceitos com toda a propriedade.

2.1 Grandezas e Unidades Valor (de uma grandeza) [VIM 1.18] - Expresso quantitativa de uma grandeza

especfica, geralmente sob a forma de uma unidade de medida multiplicada por um nmero.

Valor verdadeiro (de uma grandeza) [VIM 1.19] - Valor consistente com a definio de uma dada grandeza especfica. um valor que seria obtido por uma medio perfeita. Valores verdadeiros so, por natureza, indeterminados.

Valor convencionalmente verdadeiro (de uma grandeza) [VIM 1.20] - Valor atribudo a uma grandeza especfica e aceite, s vezes por conveno, como tendo uma incerteza apropriada para uma dada finalidade.

2.2 Medies Medio [VIM 2.1] - Conjunto de operaes que tem por objectivo determinar o

valor de uma grandeza. Mensuranda [VIM 2.6] - Grandeza especfica submetida medio.

(*) Esse Vocabulrio est presentemente (2004) em reviso a nvel internacional.



Grandeza de influncia [VIM 2.7] - Grandeza que no a mensuranda, mas que afecta o resultado da medio desta. Exemplo: a temperatura de um micrmetro usado na medio de um comprimento.

2.3 Resultados de medio Resultado de uma medio [VIM 3.1] - Valor atribudo a uma mensuranda,

obtido por medio. Uma expresso completa do resultado de uma medio inclui uma informao sobre a incerteza de medio.

Exactido de medio [VIM 3.5] Aproximao entre o resultado de uma medio e o valor verdadeiro da mensuranda. Exactido um conceito qualitativo. Deve ser evitado o termo preciso no lugar de exactido.

Repetibilidade dos resultados (de uma medio) [VIM 3.6] Aproximao entre os resultados de medies sucessivas da mesma mensuranda efectuadas nas mesmas condies de medio. Estas condies so chamadas condies de repetibilidade e incluem: mesmo procedimento de medio; mesmo observador; mesmo instrumento de medio, utilizado nas mesmas condies; mesmo local; repetio num curto intervalo de tempo. A repetibilidade pode ser expressa quantitativamente em termos das caractersticas da disperso dos resultados.

Reprodutibilidade dos resultados (de uma medio) [VIM 3.7] Aproximao entre os resultados das medies da mesma mensuranda, efectuadas com alterao das condies de medio. Para que uma expresso da reprodutibilidade seja vlida, necessrio que sejam especificadas as condies alteradas. As condies alteradas podem incluir: princpio de medio; mtodo de medio; observador; instrumento de medio; padro de referncia; local; condies de utilizao; tempo.

Incerteza de medio [VIM 3.9] - Parmetro, associado ao resultado de uma medio, que caracteriza a disperso dos valores que podem ser razoavelmente atribudos mensuranda. Esse parmetro pode ser, por exemplo, um desvio-padro (ou um dado mltiplo dele), ou a metade de um intervalo correspondente a um dado nvel de confiana. A incerteza de medio compreende, em geral, muitos componentes. Alguns destes componentes podem ser estimados, com base na distribuio estatstica dos resultados das sries de medies e podem ser caracterizados pelos desvios-padro experimentais. Os outros componentes, que tambm podem ser caracterizados por desvios-padro, so avaliados a partir da distribuio de probabilidades assumida, com base na experincia ou noutras informaes. Entende-se que o resultado da medio a melhor estimativa do valor da mensuranda, e que todos os componentes da incerteza, incluindo aqueles resultantes dos efeitos sistemticos, como os componentes associados s correces e aos padres de referncia, contribuem para a disperso.

Erro de medio [VIM 3.10] Diferena algbrica entre o resultado de uma

medio e o valor verdadeiro da mensuranda. Uma vez que o valor verdadeiro no pode ser determinado, utiliza-se, na prtica, um valor convencionalmente verdadeiro. Quando necessrio distinguir erro de erro relativo, o primeiro , por vezes, denominado erro absoluto de medio. Este no deve ser confundido com valor absoluto do erro, que o modulo do erro.

Desvio [VIM 3.11] Valor subtrado do seu valor de referncia. Erro relativo [VIM 3.12] Quociente entre o erro da medio e o valor verdadeiro

da mensuranda.



Erro aleatrio [VIM 3.13] - Resultado da medio subtrado da mdia que resultaria de um nmero infinito de medies da mesma mensuranda, efectuadas em condies de repetibilidade. O erro aleatrio igual ao erro subtrado do erro sistemtico. Como s pode ser efectuado um nmero finito de medies, s possvel determinar uma estimativa do erro aleatrio.

Erro sistemtico [VIM 3.14] - Mdia que resultaria de um nmero infinito de medies da mesma mensuranda, efectuadas em condies de repetibilidade, subtrada do valor verdadeiro da mensuranda. O erro sistemtico igual ao erro subtrado do erro aleatrio. Tal como o valor verdadeiro, o erro sistemtico e as suas causas no podem ser completamente conhecidos.

Correco [VIM 3.15] - Valor adicionado algebricamente ao resultado bruto da medio, para compensar o erro sistemtico. A correco igual e de sinal contrrio ao erro sistemtico estimado. Uma vez que o erro sistemtico no pode ser perfeitamente conhecido, a compensao no pode ser completa.

2.4 Instrumentos de medio Instrumento de medio [VIM 4.1] - Dispositivo destinado execuo da

medio, isolado ou em conjunto com equipamentos suplementares. Diviso [VIM 4.20] - Parte de uma escala compreendida entre quaisquer duas

referncias sucessivas. Valor da diviso [VIM 4.22] - Diferena entre os valores correspondentes a duas

referncias consecutivas da escala. O valor da diviso expresso na unidade marcada na escala, qualquer que seja a unidade da mensuranda.

Ajuste [VIM 4.30] - Operao destinada a levar um instrumento de medio a um funcionamento adequado sua utilizao.

Regulao [VIM 4.31] Ajuste agindo apenas nos meios postos disposio do utilizador.

2.5 Caractersticas dos instrumentos de medio Resoluo (de um dispositivo indicador) [VIM 5.12] - Menor diferena entre

indicaes de um dispositivo indicador que se podem distinguir significativamente. Para um dispositivo indicador digital, a diferena de indicao que corresponde alterao de uma unidade do dgito menos significativo.

Exactido (de um instrumento de medio) [VIM 5.18] - Aptido de um instrumento de medio para dar indicaes prximas do verdadeiro valor da mensuranda. A exactido um conceito qualitativo.

Classe de exactido (de um instrumento de medio) [VIM 5.19] - Classe de instrumentos de medio que satisfazem a certos requisitos metrolgicos com vista a manter os erros dentro de limites especificados. Uma classe de exactido habitualmente indicada por um nmero ou smbolo adoptado por conveno e denominado ndice de classe.

Erros mximos admissveis (de um instrumento de medio) [VIM 5.21] - Valores extremos de um erro admitido por especificaes, regulamentos, etc., para um dado instrumento de medio.



2.6 Padres Padro [VIM 6.1] Medida materializada, instrumento de medio, material de

referncia ou sistema de medio destinado a definir, realizar, conservar ou reproduzir uma unidade, ou um ou mais valores de uma grandeza, para servirem de referncia. Exemplos: padro de massa de 1 kg; resistncia-padro de 100 ; ampermetro-padro.

Calibrao [VIM 6.11] - Conjunto de operaes que estabelece, em condies especificadas, a relao entre os valores indicados por um instrumento de medio ou um sistema de medio, ou valores representados por uma medida materializada ou um material de referncia, e os valores correspondentes das grandezas realizados por padres. O resultado de uma calibrao tanto permite a atribuio de valores da mensuranda s indicaes, como a determinao das correces a aplicar. Uma calibrao pode, tambm, determinar outras propriedades metrolgicas, tal como o efeito das grandezas de influncia.



3 Anlise estatstica de resultados 3.1 Introduo

do senso comum que em qualquer medio ou experincia desaconselhvel ter uma nica leitura, pois existe sempre o risco de se cometerem erros grosseiros que passaro despercebidos se no se tiver qualquer termo de comparao. uma situao similar que acontece em qualquer tribunal, onde impera um antigo princpio do Direito Romano: Uma testemunha igual a nenhuma testemunha...

Independentemente de qual for a origem desses erros grosseiros (operador, instabilidade do objecto a medir, deficincia do instrumento usado, etc.), se tivermos duas leituras discordantes entre si j ser possvel apercebermo-nos de que algo no est bem, ainda que no possamos saber qual das leituras mais disparatada. Com uma terceira leitura que seja idntica a uma das anteriores j poderemos comear a ter uma ideia sobre qual dos valores mais suspeito.

Medir trs vezes, cortar uma vez. Pode-se reduzir o risco de cometer erros grosseiros repetindo a medio uma segunda ou uma terceira vez.

Numa experincia, num ensaio ou numa medio de qualquer outra natureza

usual efectuar-se um grande nmero de repeties das leituras, sempre que tal seja possvel tcnica e economicamente. Com isso consegue-se conhecer o valor com uma maior fiabilidade, o que conduz a uma menor incerteza do mesmo.

3.2 Anlise de dados Uma anlise estatstica dos dados provenientes da medio prtica comum,

pois permite uma estimao analtica da incerteza associada ao resultado final. A sada de um determinado mtodo de medio pode ser prevista com base em

dados experimentais, sem ter informao detalhada sobre todos os factores de influncia.

Para tornar significativos os mtodos e as interpretaes estatsticas geralmente necessrio dispr de um grande nmero de medidas. Para alm disso, os erros sistemticos devem ser pequenos em comparao com os erros aleatrios, visto que o tratamento estatstico dos dados no elimina o erro de fidelidade (bias, na terminologia anglo-saxnica) existente em todas as medies.



3.3 Noo de populao e de amostra Numa anlise de dados, ao pretender tratar estatisticamente uma (ou mais)

caractersticas ou parmetros podemo-nos encontrar perante duas situaes distintas:

Temos acesso totalidade dos elementos (indivduos) sobre os quais pretendemos efectuar a anlise. Neste caso, a anlise estatstica vai descrever completamente a caracterstica pretendida. Dizemos que vamos estudar toda a populao (isto , todos os elementos que apresentam a caracterstica que nos interessa conhecer). o ramo da estatstica designado por estatstica descritiva. Ocorre, por exemplo, nos recenseamentos (censos) de toda a populao portuguesa, que tm lugar uma vez em cada dcada.

Em numerosos casos, o nmero de elementos que constituem a populao demasiado grande (ou mesmo infinito) para que seja vivel caracteriz-lo completamente de uma forma rpida e/ou econmica. Nesses casos, iremos trabalhar apenas com uma amostra dos elementos da populao, a partir da qual iremos tirar concluses quanto ao que se passa com a totalidade da populao. A este ramo chama-se inferncia estatstica, e o que se utiliza, por exemplo, nas previses dos resultados eleitorais. tambm o que nos ir interessar no tratamento de resultados de medies.

3.4 Mdia aritmtica O valor mais provvel de uma varivel medida a mdia aritmtica do valor das

leituras obtidas. A melhor aproximao ser conseguida quando o nmero de leituras da mesma grandeza for muito grande. Teoricamente, um nmero infinito de leituras daria o melhor resultado, se bem que, na prtica, apenas se possa efectuar um nmero finito de medies.

A mdia aritmtica dada pela expresso seguinte:

n

x

nxxxx

n

ii

n

==+++= 121 ... em que so

x : mdia aritmtica,

nxxx ,...,, 21 : leituras obtidas,

n : nmero de leituras.

Exemplo Um conjunto de medies independentes de tenso, obtidas por quatro operadores, foi registado como

117,02 V 117,11 V 117,08 V 117,03 V

Calcular a tenso mdia.



Soluo

V 06,1174

03,11708,11711,11702,117 =+++=avE

3.5 Mediana A mediana de um conjunto de nmeros, organizados por ordem de grandeza, o

valor central ou a mdia aritmtica dos dois valores centrais.

Exemplos A mediana dos nmeros 3, 4, 5, 6, 8, 8, 10 6 O conjunto 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18 tem a mediana (9+11)=10

3.6 Moda A moda de um conjunto de nmeros o valor que ocorre com a maior frequncia,

ou seja, o valor mais comum. A moda pode no existir, ou existir mas no ser nica.

Exemplos O conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 tem moda 9 O conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 no tem moda O conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tem duas modas, 4 e 7 (diz-se por isso que

bimodal; ver 4.4.4)

3.7 Desvio da mdia O desvio da mdia o afastamento de uma dada leitura individual relativamente

mdia do grupo de leituras.

Se o desvio da primeira leitura, 1x , for designado por 1d , o da segunda leitura, 2x , por 2d , e assim sucessivamente, ento os desvios da mdia podem ser expressos como

xxd

xxd

xxd

nn =

==

...22

11

Deve notar-se que o desvio da mdia pode tomar valores positivos ou negativos e que a soma algbrica de todos os desvios zero.



Exemplo Um conjunto de medies independentes de corrente foi efectuado por seis operadores e registado como

12,8 mA 12,2 mA 12,5 mA 13,1 mA 12,9 mA 12,4 mA

Calcular: (a) a mdia aritmtica; (b) os desvios da mdia.

Soluo a)

mA 65,126

4,129,121,135,122,128,12 =+++++=x b)

mA 25,065,124,12mA 25,065,129,12mA 45,065,121,13mA 15,065,125,12mA 45,065,121,12mA 15,065,128,12

6

5

4

3

2

1

==+==+======+==

dddddd

mA 00,06

1=i= id

3.8 Desvio mdio O desvio mdio uma indicao da preciso dos instrumentos usados para

fazer as medies. Instrumentos muito precisos conduziro a um baixo desvio mdio entre leituras. Por definio, o desvio mdio a soma dos valores absolutos dos desvios a dividir pelo nmero de leituras. O valor absoluto do desvio o valor numrico deste sem afectao de sinal.

O desvio mdio pode ser expresso como

n

d

nddd

D

n

ii

n

==+++= 121 ...



Exemplo Calcular o desvio mdio para os dados do exemplo anterior.

Soluo

mA 283,06

25,025,045,015,045,015,0 =+++++=D

3.9 Desvio-padro Em anlise estatstica de erros aleatrios, a raiz quadrada da mdia dos

quadrados (root mean square, ou rms, na terminologia inglesa) dos desvios, ou desvio-padro, constitui uma ajuda valiosa. Por definio, o desvio-padro de um nmero infinito de dados a raiz quadrada da soma dos quadrados de todos os desvios individuais a dividir pelo nmero total de leituras. Expresso matematicamente,

n

d

nddd

n

ii

n

==+++= 12

222

21 ...

Na prtica, como bvio, o nmero de observaes possveis finito. O desvio-padro de um nmero finito de leituras dado por

11... 1

222

22

1

=+++=

=n

d

nddd

s

n

ii

n

Podemos tambm apresentar esta expresso em termos das leituras individuais, vindo assim

( )1

1

2

=

=n

xxs

n

ii

Ao desvio-padro que se apresentou inicialmente () d-se o nome de desvio-padro da populao. segunda definio (s) chama-se tambm desvio-padro da amostra, por se tratar de um subconjunto finito da populao (infinita).

Exemplo Dez medies de uma resistncia deram

101,2 101,7 101,3 101,0 101,5 101,3 101,2 101,4 101,3 101,1



Admitindo que apenas estavam presentes erros aleatrios, calcular: (a) a mdia estatstica; (b) o desvio-padro das leituras.

Soluo Com um grande nmero de leituras conveniente fazer a tabulao dos dados, para evitar confuses e enganos.

Leitura, xi Desvio i () di () di ()

1 101,2 -0,1 0,01 2 101,7 0,4 0,16 3 101,3 0,0 0,00 4 101,0 -0,3 0,09 5 101,5 0,2 0,04 6 101,3 0,0 0,00 7 101,2 -0,1 0,01 8 101,4 0,1 0,01 9 101,3 0,0 0,00

10 101,1 -0,2 0,04 0,0= id 10=n

= 0,1013ix

4,1= id 36,02 = id

(a) Mdia aritmtica:

=== 3,10110

0,1013nx

x i

(b) Desvio-padro:

=== 2,0

936,0

1

2

nd

s

3.10 Varincia Ao quadrado do desvio-padro d-se o nome de varincia, vindo assim

2=V A varincia uma quantidade til em muitos clculos porque as varincias so

aditivas. O desvio-padro, no entanto, tem a vantagem de ser expresso nas mesmas unidades que a varivel respectiva, tornando-se mais fcil comparar resultados.



3.11 Uso de mquinas de calcular Ao utilizar calculadoras electrnicas h alguns aspectos importantes a ter em

considerao. Esto disponveis no mercado numerosos modelos de calculadoras que possuem

as funes estatsticas mais importantes. Todavia, h algumas diferenas na notao usada pelos respectivos fabricantes (e s vezes mesmo entre diferentes modelos do mesmo fabricante!).

Funo Smbolos mais usuais Observaes

Mdia x

Desvio-padro da populao Ns N No habitualmente usado na anlise de resultados de medies

Desvio-padro da amostra s 1Ns 1N bxay += a : declive b : ordenada na origem xbay += b : declive a : ordenada na origem Recta de regresso bxmy += m : declive b : ordenada na origem

Coeficiente de correlao r R

Quadrado do coeficiente de correlao

2r 2R

Nos clculos intermdios conveniente conservar algarismos no significativos,

isto , fazer os arredondamentos apenas no final dos clculos, para evitar erros de arredondamento. Em qualquer caso, obter sempre os valores com pelo menos mais um algarismo significativo do que o necessrio.

Nos produtos, quocientes, potncias, etc., ter em ateno que um valor expresso com um nmero insuficiente de algarismos pode provocar uma amplificao dos erros de arredondamento!



3.12 Utilizao do Microsoft Excel Indicam-se aqui as principais funes estatsticas do Microsoft Excel que se

utilizam na anlise de dados experimentais. No captulo 12 apresenta-se a lista completa de funes estatsticas deste verstil software.

Funo

Verso Portuguesa Verso Inglesa Descrio

=MDIA() =AVERAGE() Mdia aritmtica

=CONTAR() =COUNT() Indica quantos valores numricos existem numa lista

=DESVPAD() =STDEV() Desvio-padro de uma amostra ( o que se utiliza sempre em medies)

=VAR() =VAR() Varincia

=MNIMO() =MIN() Menor nmero de uma lista de valores

=MXIMO() =MAX() Maior nmero de uma lista de valores

=TENDNCIA() =TREND() Ajusta uma linha recta (utilizando o mtodo dos mnimos quadrados) a duas matrizes XX e YY

=DECLIVE() =SLOPE() Declive de uma recta de regresso linear

=INTERCEPTAR() =INTERCEPT() Intercepo do eixo YY de uma recta de regresso linear

=CORREL() =CORREL() Coeficiente de correlao entre dois conjuntos de valores

=PEARSON() =PEARSON() Coeficiente de correlao momentnea

=RQUAD() =RSQ() Quadrado do coeficiente de correlao



Nota: Apesar das muitas vantagens que tem este software, ele apresenta tambm diversos erros de clculo (bugs). A ttulo de exemplo, veja-se este caso real.

Os valores apresentados na tabela seguinte correspondem a 10 leituras sucessivas efectuadas num frequencmetro digital de elevada resoluo. Como se pode observar no grfico correspondente, no h 2 nicas leituras que sejam iguais entre si.

No entanto, a funo =DESVPAD() do Excel fornece um valor de 0 (o que significa que no existe variao...

N. Leitura

1 10 000 000,029302 10 000 000,029213 10 000 000,029134 10 000 000,029195 10 000 000,029256 10 000 000,029297 10 000 000,029268 10 000 000,028989 10 000 000,02901

10 10 000 000,02902Mdia = 10 000 000,02916

D. p. = 0,00000

10 000 000.0290

10 000 000.0290

10 000 000.0291

10 000 000.0291

10 000 000.0292

10 000 000.0292

10 000 000.0293

10 000 000.0293

0 2 4 6 8 10



4 Distribuio da probabilidade dos erros Na maior parte dos casos encontrados na prtica, os valores medidos distribuem-

se volta de um valor mais provvel, onde se situa grande parte das ocorrncias (leituras). Esse valor mais provvel a mdia.

medida que nos afastamos da mdia, habitual que o nmero de leituras seja cada vez menor (teoricamente, poderemos encontrar valores muito afastados da mdia, mas a experincia mostra que isso extremamente raro).

distribuio do nmero de vezes que encontramos cada uma das leituras possveis d-se o nome de distribuio de probabilidades.

4.1 Distribuio normal dos erros A tabela seguinte apresenta a listagem de 50 leituras de tenso efectuadas em

intervalos de tempo curtos e registadas com aproximao ao 0,1 V. O valor nominal da tenso medida era de 100,0 V.

Leitura de tenso, xi Nmero de leituras, ni

(V) 99,7 1 99,8 4 99,9 12

100,0 19 100,1 10 100,2 3 100,3 1

50= in O resultado desta srie de medies pode ser expresso graficamente sob a forma

de um diagrama de blocos, ou histograma, em que o nmero de observaes desenhado para cada leitura de tenso. A figura seguinte representa o histograma da tabela anterior.

02468

101214161820

99,7 99,8 99,9 100,0 100,1 100,2 100,3

Tenso (V)

N.

leitu

ras

Este histograma mostra que o maior nmero de leituras (19) ocorre para o valor

central de 100,0 V, enquanto que as outras leituras esto dispostas de forma aproximadamente simtrica em torno do valor central.



Se fossem efectuadas mais leituras, com intervalos mais pequenos, digamos 200 leituras a intervalos de 0,05 V, a distribuio das observaes permaneceria aproximadamente simtrica em torno do valor central e a forma do histograma seria sensivelmente a mesma que anteriormente.

Com cada vez mais leituras, tomadas a incrementos cada vez menores, o contorno do histograma tornar-se-ia uma curva, tal como a indicada pela linha que na figura anterior une os centros das barras do histograma. Esta curva, em forma de sino, conhecida por curva de Gauss. Quanto mais estreita e apertada for esta curva, tanto mais se pode afirmar que o valor mais provvel da verdadeira leitura o valor central ou mdia das leituras.

A lei do erro normal ou gaussiana a base do estudo analtico dos efeitos aleatrios. Embora sem entrar no tratamento matemtico deste assunto, podem-se enunciar os seguintes princpios, com base na lei normal:

Todas as observaes incluem pequenos efeitos perturbadores, chamados erros aleatrios;

Os erros aleatrios podem ser positivos ou negativos; H uma probabilidade igual de existirem erros aleatrios positivos e

negativos. Podemos ento esperar que as medies incluam erros mais e menos em

partes aproximadamente iguais, de forma que o erro total seja pequeno e o valor mdio seja o valor verdadeiro da varivel medida.

A forma da distribuio dos erros pode ser expressa da seguinte maneira:

Os erros pequenos so mais provveis do que os grandes; Os erros grandes so muito improvveis; Existe igual probabilidade de erros mais e menos, de forma que a

probabilidade de um dado erro simtrica em torno de zero. A curva de distribuio de erros da figura que se segue baseada na lei normal, e

mostra uma distribuio simtrica dos erros. Esta curva normal pode ser vista como a forma limite do histograma anterior, em que o valor mais provvel da tenso verdadeira era a mdia.

68,27%

95,45%

99,73%



Esta funo de probabilidade tem a expresso analtica seguinte:

( )2

2

2

21)(

xx

exf=

O desvio-padro ( ) corresponde aos pontos de inflexo da funo. 4.2 Erro equiprovvel

A rea sob a curva de probabilidade gaussiana da figura anterior, entre os limites e + , representa o conjunto completo de observaes. A rea sob a curva

entre os limites e + representa as leituras que no diferem da mdia mais do que uma vez o desvio-padro. A integrao da rea sob a curva dentro dos limites

fornece o nmero total de casos dentro destes limites. Para dados distribudos normalmente - isto , que sigam a distribuio de Gauss -

aproximadamente 68 por cento de todos os casos caem dentro dos limites e + relativamente mdia. Na tabela seguinte indicam-se outros valores de desvios,

em funo de .

Intervalo, em n. de desvios-padro(entre -k e +k)

Fraco da rea total includa

0,674 5 0,500 0 1,000 0 0,682 7 1,645 0 0,900 0 1,960 0 0,950 0 2,000 0 0,954 5 2,576 0 0,990 0 3,000 0 0,997 3

Se, por exemplo, um grande nmero de resistncias com valor nominal de 100 for medido e a sua mdia for de 100,00 , com um desvio-padro de 0,20 , sabe-se que em mdia 68% (cerca de 2/3) de todas as resistncias tm valores que esto dentro de 100,00 0,20 ; ento, h uma probabilidade de aproximadamente 2 em cada 3 de que qualquer resistncia, aleatoriamente retirada do lote, esteja dentro daqueles limites.

Se forem necessrias maiores garantias, o intervalo poder ser alargado para os limites de 2 , neste caso 0,40 . De acordo com a tabela anterior, isto incluir cerca de 95% de todos os casos, dando assim uma probabilidade de 10 em cada 11 de que qualquer resistncia escolhida ao acaso esteja dentro dos limites 0,40 relativamente mdia de 100,00 .

A tabela anterior mostra tambm que metade dos casos esto abrangidos dentro dos limites 6745,0 . D-se o nome de erro equiprovvel a uma grandeza r definida como

6745,0=r .



4.3 A distribuio normal e os conceitos de exactido e preciso Fazendo apelo analogia anteriormente proposta entre uma srie de medies

de uma grandeza fsica e um conjunto de disparos de um projctil sobre um alvo, vamos procurar perceber de que modo a disperso dos resultados obtidos se relaciona com a distribuio de probabilidades normal.

Retomemos os quatro casos analisados em 1.1:

Caso 1 Reduzida preciso. Reduzida exactido.

Caso 2 Elevada preciso. Reduzida exactido.

Caso 3 Reduzida preciso. Alguma exactido.

Caso 4 Elevada preciso. Elevada exactido.

Se esses mesmos resultados fossem apresentados sob a forma de funes de

densidade de probabilidade (as j nossas conhecidas curvas de Gauss, ou em forma de sino), poderamos tentar inferir o tipo de atirador a que correspondia cada um dos casos. o que se prope na figura seguinte.



Considerando que o verdadeiro valor o centro do alvo, as diversas curvas traduzem o nmero de vezes que se acerta a uma dada distncia (maior ou menor) do centro do alvo. A distncia de cada pico ao valor verdadeiro representa o erro mdio e a largura de cada curva traduz a disperso de resultados. Teremos ento:

Curva 1 principiante (inexacto e impreciso). Curva 2 com pontaria para o mesmo ponto, embora fora do alvo (preciso

mas inexacto).

Curva 3 mais prximo do alvo mas muito disperso (razoavelmente exacto mas impreciso).

Curva 4 campeo (exacto e preciso). Tendo em conta que todos os atiradores dispararam o mesmo nmero de vezes,

a rea sob cada uma das curvas deve ser igual, pelo que cada figura apresenta diferentes amplitudes no valor de pico. Isso significa que quanto mais compacta for a curva de distribuio (menor disperso dos resultados), tanto maior ser a amplitude do seu pico (maior probabilidade de ocorrncia de valores prximos da mdia).

4.4 Outras distribuies Em muitos casos que se encontram na prtica, a distribuio normal no pode ser

utilizada, quer seja por haver evidncias de que no corresponde aos dados, quer seja por outros motivos.

Nesses casos, h que procurar a distribuio de probabilidades que melhor se adequa aos dados disponveis. As mais utilizadas, para alm da distribuio normal, so a distribuio rectangular (ou uniforme) e a distribuio em U (ou derivada do arco-seno).

4.4.1 Rectangular, ou uniforme Nesta distribuio, existe uma probabilidade constante, ou uniforme, de o valor

estar entre ( )a e ( )a+ . Fora desse intervalo, a probabilidade nula. Por estamos a representar o valor central da grandeza em questo.



Funo densidade de probabilidade:

( ) ( ) +=

x

axaaxf

restantes ,0

,21

)(

Desvio-padro:

3asR =

4.4.2 Em U, ou derivada do arco-seno Nos casos em que maior a probabilidade de encontrar valores prximos de

qualquer um dos extremos de um intervalo do que prximo do valor mdio, recorre-se distribuio em U, tambm conhecida como a derivada do arco-seno.

(Sugesto: para se perceber o porqu desta designao, desenhar o grfico da derivada da funo )arcsin(xy = . Recordar que 2' 11 xy = ...).

Esta distribuio encontra grande aplicao prtica, por exemplo, nas medies

em sistemas de rdio-frequncias (RF), nos casos em que h desadaptaes de impedncias. Pode ser tambm utilizada para modelizar a distribuio de uma temperatura ambiente quando o controlo efectuado pelo tradicional sistema on/off; contudo, no habitual o recurso a esta distribuio nestas circunstncias.


axax

xaxf +



Para tais situaes pode-se utilizar a distribuio triangular, na qual o valor mdio tem a mxima probabilidade e em que a probabilidade dos valores restantes decresce linearmente, at se anular nos extremos a.


+

=x

axaxa

xaaax

xf

restantes , 0

0,

0,

)( 2

2

Desvio-padro:

6asT =

4.4.4 Em M, ou bi-modal Por vezes, encontram-se dados distribudos de uma forma que sugere a

existncia de duas mdias, isto , dois picos distintos na distribuio dos valores. As figuras seguintes ilustram esta ideia.

Este tipo de distribuio estatstica conhecida como distribuio em M, ou distribuio bi-modal, isto , que apresenta duas modas, ou dois picos.

Ainda que noutros domnios cientficos se possam encontrar casos em que os dados se distribuem desta forma, nas medies fsicas uma tal situao corresponde, em geral, mistura de dados provenientes de populaes distintas. Quando somos confrontados com uma tal situao, devemos analisar cuidadosamente os dados originais, para podermos separar cada uma das distribuies e efectuar separadamente a sua anlise.



5 Anlise grfica A forma mais comum (e uma das mais importantes) de se apresentarem dados

em cincia e em engenharia atravs de grficos. Um grfico simplesmente uma forma de traduzir um conjunto de nmeros numa imagem, e est ligado nossa capacidade de reconhecer padres visuais.

Como diz um antigo provrbio chins, uma imagem vale mais que mil palavras(*). Neste captulo iremos abordar os grficos cartesianos, bem como as regras para

a sua apresentao. Ser tambm apresentada a elaborao de grficos utilizando o Microsoft Excel (no por ser a melhor ferramenta para este tipo de anlise, mas por ser indiscutivelmente a mais acessvel e vulgarizada).

5.1 Linearizao Sempre que possvel deve-se utilizar um grfico linear. mais fcil de desenhar e

as concluses que dele se retiram so frequentemente mais objectivas do que com grficos curvos. Se a relao entre as grandezas no for linear, geralmente possvel lineariz-la recorrendo a uma mudana de variveis.

Exemplo

No caso de um pndulo simples, verifica-se que glT 2 . O grfico de T em funo de l uma parbola, mas se representarmos T2 em funo de l j obteremos uma linha recta.

O uso de escalas logartmicas num ou em ambos os eixos tambm permite obter

representaes lineares, em numerosas situaes.

5.2 Regras para elaborao de grficos Nos grficos feitos manualmente, escolha a rea do papel com o tamanho

adequado (pelo menos meia pgina A4).

Procure manter uma relao entre a altura e a largura do grfico menor do que 1, para ser de mais fcil leitura (pense qual a relao entre a altura e a largura dos crans de cinema ou de televiso, e porqu...)

Escolha os eixos de uma forma lgica: a varivel dependente deve estar no eixo vertical (Y) e a varivel independente no eixo horizontal (X).

As escalas de cada um dos eixos no precisam de ser iguais, mas tm de ser indicadas; marque-as em cada eixo, escolhendo divises que resultem numa leitura fcil dos valores intermdios (por exemplo, faa divises de 2 em 2, e no de 7,7 em 7,7).

Quando possvel, procure que cada um dos eixos comece em zero.

(*) Em rigor, o que esse provrbio afirma que uma imagem vale mais que dez mil palavras. Porm a verso mais corrente no mundo ocidental reduziu substancialmente esse nmero...



Indique junto a cada um dos eixos qual a varivel a representada; refira sempre quais as unidades usadas.

Todos os grficos devem ter um ttulo. Escreva-o na parte superior da rea do grfico.

Marque cada um dos pontos do grfico cuidadosa e claramente, escolhendo para isso um smbolo adequado e com um tamanho que seja facilmente visvel (por exemplo, um crculo ou um pequeno quadrado). Nunca use apenas um ponto.

Assinale as barras de incerteza de cada ponto. Se a incerteza for muito pequena para ser visvel na escala escolhida, indique que as barras de incerteza so muito pequenas para aparecerem na figura.

No una os pontos medidos! Uma linha a unir pontos significa que se conhecem os valores intermdios, o que no verdade.

Se necessrio, desenhe a recta de regresso como uma linha suave atravs dos pontos medidos. Se os erros forem essencialmente aleatrios, ver que alguns pontos ficam acima e outros abaixo dessa recta. Quando utilizar rectas de regresso, indique sempre os seus parmetros (declive e ordenada na origem; em muitos casos tambm conveniente apresentar o quadrado do coeficiente de correlao).

No se esquea de escrever uma curta legenda, explicando de que trata a figura e fornecendo a informao necessria para que o leitor a interprete facilmente.

5.3 Utilizao do Microsoft Excel

5.3.1 Tipos de grficos Ao executar o Assistente de grficos, o Excel apresenta-nos o seguinte menu:

De todas as opes apresentadas, apenas a Disperso (XY) nos ir interessar

para a apresentao de dados resultantes de medies.



5.3.2 Grficos X-Y Esta a forma mais simples de apresentar dados experimentais. Trata-se do

tradicional grfico cartesiano a 2 dimenses, em que no eixo dos XX (abcissas) se representa a varivel independente, e no eixo dos YY (ordenadas) figura a varivel dependente.

Das 5 possibilidades apresentadas no menu, deveremos sempre optar pela

primeira (pontos no unidos por qualquer linha), para evitar interpretaes equvocas quanto ao que efectivamente se mediu.

5.3.3 Recta de regresso Uma vez desenhado o grfico com os dados experimentais, poderemos ter

interesse em representar tambm a linha que melhor aproxima esse conjunto de pontos (ver 6. Regresso linear). O Excel permite faz-lo de uma forma bastante simples.

Vamos exemplificar isso recorrendo ao grfico seguinte. Seleccionar um dos pontos medidos e premir a tecla direita do rato. Surge um menu como segue:

Escolher Adicionar linha de tendncia, aps o que se podem fazer as escolhas

que se apresentam de seguida.



Nas duas pginas deste menu possvel escolher qual o tipo de relao (no

nosso caso ser sempre a linear). Podemos (devemos) tambm optar por mostrar a equao no grfico, assim como mostrar o valor de R2.

O resultado o que se mostra na figura seguinte.

5.3.4 Barras de incerteza nos valores (eixos X e Y) A cada ponto medido deveremos fazer corresponder a respectiva incerteza. Esta

tanto pode existir na grandeza independente (X) como na dependente (Y). Contudo, mais usual considerar apenas a incerteza dos valores de Y.

Para associar a incerteza aos resultados, marca-se um dos pontos da srie e com o boto direito do rato selecciona-se Formatar srie de dados.... Surge um conjunto de pginas, das quais se selecciona Barras de erro em Y e onde se inserem os valores apropriados.



O resultado como segue.



6 Regresso linear A regresso linear uma poderosa ferramenta de anlise estatstica e uma das

tcnicas mais utilizadas na explorao dos dados resultantes das medies. Existem outros tipos de regresso (polinomial de ordem superior primeira, logartmica, exponencial, regresso mltipla, etc.). Apenas iremos aqui abordar, pela sua importncia prtica, a tcnica conhecida como regresso linear, isto , com a qual se procura traar a linha (recta) que, globalmente, mais se aproxima dos diversos pontos medidos. Em muitos casos que surgem na prtica, relaes no lineares entre duas grandezas podem ser linearizadas mediante uma adequada mudana de variveis, conforme se referiu em 5.1.

A regresso linear estabelece uma relao entre dois parmetros, um considerado a varivel independente e o outro a dependente. Por exemplo, poderemos relacionar o permetro do tronco de uma rvore (varivel dependente) com o tempo (varivel independente), para assim se poder prever qual o seu valor futuro num determinado instante.

Pode-se estimar a incerteza dos valores previstos com base nessa recta, desde que se verifiquem os seguintes pressupostos:

Pontos distribudos normalmente em redor da recta de regresso; Rudo branco; A funo subjacente relao entre grandezas ser de facto linear.

6.1 Expresso da recta de regresso A recta de regresso tem a seguinte formulao analtica:

xbay += em que b o declive da recta e a representa a sua ordenada na origem. Se ignorarmos a incerteza inerente, a recta de regresso poder ter uma

representao grfica como segue.

6.2 Coeficientes da recta e respectivas incertezas O declive da recta de regresso (tambm conhecido como coeficiente de

regresso) calculado como:

2

11

2

111

=

==

===n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

xxn

yxyxnb



A ordenada na origem ser determinada pela seguinte expresso:

xbyxxn

yxxyxa

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

=

=

==

====2

11

2

1111

2

Se considerarmos agora que os pontos efectivamente medidos no se ajustam

perfeitamente recta que assim determinmos, necessrio estimar o seu desvio-padro ( xys | ). Isso pode ser feito a partir da expresso:

( )222| 21 xyxy sbsnns = em que designmos por ys e por xs os desvios-padro dos valores das

grandezas dependente e independente, respectivamente. Nesta expresso, n o nmero de pares de valores (x, y) medidos.

A incerteza do declive dada por

1|

= nss

sx

xyb

o que se representa graficamente como segue.

Quanto incerteza da ordenada na origem, ela ser

n

ss xya

|=

cujo significado se pode ver na figura seguinte.



Uma vez que sabemos que a recta definida por xbay += no foi exactamente determinada, podemos dizer que o seu desvio-padro

( )( ) 2

2

| 11

xxy sn

xxn

s +

O significado de se combinarem as incertezas inerentes aos dois parmetros

pode ser melhor compreendido pela observao da figura seguinte.

6.3 Interpolao de um novo valor yo a partir de um xo A partir da expresso da recta de regresso linear poderemos obter qualquer

novo valor yo, a partir de um dado xo:

oo xbay += A incerteza com que este novo valor ser obtido resulta de:

( )( ) 2

2

| 111

xxy sn

xxn

su ++=

O grfico que se segue explicita os diversos conceitos expostos.



Note-se que a formulao matemtica aqui apresentada permite que todos os clculos sejam efectuados com uma vulgar mquina de calcular que disponha das funes estatsticas mais comuns.

6.4 Coeficiente de correlao entre X e Y Um parmetro que permite avaliar o grau de relacionamento linear entre dois

conjuntos de dados (ou duas grandezas) o chamado coeficiente de correlao (r). Este coeficiente varia desde 1 (relao negativa perfeita), passando por 0 (nenhuma relao), at +1 (relao positiva perfeita). Ver as figuras seguintes.

A expresso analtica que permite determinar o coeficiente de correlao

=

= == =

= ==n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

ii

n

iiii

yynxxn

yxyxnr

1

2

1

2

1

2

1

2

1 11

Este coeficiente deve ser interpretado com algum cuidado. possvel obter

valores de r muito prximos de 1 (ou de 0), sem que exista a correspondente relao linear (ou a sua ausncia). Os grficos seguintes ilustram algumas dessas situaes.



Assim, sempre conveniente traar o grfico de y em funo de x, por forma a

confirmar a aplicabilidade do modelo de regresso linear aos dados disponveis.



7 Tolerncia dos instrumentos de medio A cada instrumento de medio atribuda uma especificao que pretende

estabelecer os limites expectveis para os erros cometidos nas medies com eles efectuadas.

Nuns casos, esses limites so definidos em normas, isto , normalizados. Noutros casos, tais limites so indicados pelos fabricantes dos equipamentos, em catlogos, folhas de especificaes ou nos manuais que acompanham os equipamentos.

Num grande nmero de instrumentos de medio a exactido indicada como uma percentagem da leitura no fim-de-escala. Os componentes de circuitos (condensadores, resistncias, etc.) so garantidos dentro de certas margens de tolerncia em relao aos seus valores nominais. Os limites desses possveis desvios relativamente aos valores nominais designam-se por limites de erro, ou por erros mximos admissveis.

Por exemplo, se uma determinada resistncia for especificada como tendo um valor de 500 10%, o seu fabricante garante que essa resistncia estar entre os limites 450 e 550 . O fabricante no est dessa forma a indicar um desvio-padro, nem uma incerteza, mas apenas a prometer que o erro desse componente no ser superior aqueles limites.

7.1 Instrumentos com classes normalizadas Para muitos dos instrumentos analgicos, nomeadamente voltmetros,

ampermetros, wattmetros, etc., foram definidas pela IEC (Comisso Electrotcnica Internacional) classes s quais devem obedecer os equipamentos. Para pertencer a uma determinada classe, um instrumento deve possuir um conjunto de caractersticas construtivas, das quais apenas iremos aqui referir os erros mximos admissveis.

As classes de exactido normalizadas, de acordo com a norma IEC 60051, so as seguintes:

0,05 0,1 0,2 0,5 1 1,5 2,5 5 Isto significa que, para um dado instrumento, qualquer leitura efectuada ao longo

da sua escala poder estar afectada de um erro que ser, no mximo, de

fecl Vi =max em que so

mx = erro mximo admissvel (em valor absoluto) icl = ndice da classe de exactido (0,05; 0,1; etc.) Vfe = valor de fim-de-escala

Assim, conclui-se que o erro mximo admissvel (ou tolerncia), em valor absoluto, se mantm constante ao longo de toda a escala. Porm, o erro relativo (isto , erro absoluto / valor lido) aumenta medida que as leituras se afastam do fim da escala. Isso leva a que seja fortemente recomendvel que, tanto quanto possvel, se utilizem estes equipamentos apenas para efectuar leituras na parte superior da sua escala.



Exemplo (voltmetro analgico) Um voltmetro de 0 a 150 V apresenta uma tolerncia de 1% da leitura de fim-de-escala. A tenso que est a ser medida pelo instrumento de 83 V. Calcular os limites do erro em percentagem.

Soluo O valor do erro mximo admissvel especificado

V 5,1V 150100

1 = O erro mximo admissvel, em percentagem, para uma leitura de 83 V de

%81,1%100V 83V 5,1 =

importante salientar que aquele instrumento apresenta uma tolerncia de 1% da leitura no fim da escala, mas quando est a ler 83 V os limites do errro crescem para 1,81%. Identicamente, quando se est a medir uma tenso inferior, os limites do erro aumentam ainda mais. Se o aparelho ler 60 V, o erro

mximo admissvel ser de %5,2%100V60V 5,1 = ; se ler 30 V, j ser de

%5%100V 03V 5,1 = .

O aumento do erro relativo mximo admissvel, medida que se vo lendo tenses cada vez mais baixas, ocorre porque o valor do limite do erro uma quantidade fixa baseada na leitura do fim de escala do instrumento. Este exemplo reala a importncia de se efectuarem medies to prximo quanto possvel do fim da escala.

7.2 Combinao de vrios erros Com frequncia necessrio efectuar clculos em que se combinam os erros

mximos admissveis de diversos instrumentos. O exemplo seguinte ilustra este tipo de clculos.

Exemplo (divisor de tenso, resistivo) A tenso de sada de determinado circuito, Vs, est dependente dos valores de trs resistncias, R1, R2 e R3 e da tenso de entrada, Ve, sendo dada pela seguinte expresso:

es VRRRV 23

21=

Se a tolerncia de cada resistncia for de 0,1%, qual ser o erro mximo expectvel da tenso Vs?



Soluo O valor mximo (mnimo) da tenso ocorrer quando R1 e R2 tiverem os valores mximos (mnimos) tolerados e R3 estiver no seu limite mnimo (mximo). Para o nosso objectivo, os valores reais no necessitam ser conhecidos, mas apenas os valores relativos. Para uma variao de 0,1% o mximo valor de cada resistncia ser de 1,001 vezes o seu valor nominal, enquanto que o seu limite mnimo ser de 0,999 vezes esse valor. O valor mnimo de Vs ocorrer para os mnimos de R1 e R2 e para o mximo de R3:

( ) ( )( ) ees VR

RRVR

RRV 23

212

3

21min, 996,0001,1

999,0999,0 ==

O valor mximo de Vs vir para R1 e R2 mximos e R3 mnimo:

( ) ( )( ) ees VR

RRVR

RRV 23

212

3

21max, 004,1999,0

001,1001,1 ==

A variao total ser de 0,4%, isto , a soma algbrica das trs tolerncias, uma das quais (R3) a duplicar, dado que aparece na expresso elevada ao quadrado. Deve no entanto notar-se que isto s verdadeiro em primeira aproximao; o erro mximo combinado ligeiramente diferente da soma das tolerncias individuais. Por outro lado, pouco provvel que as trs componentes do erro neste exemplo tomem simultaneamente os seus valores-limites de forma a produzir a mxima ou a mnima tenses. Em face disso, devem usar-se os mtodos estatsticos que adiante veremos.

Exemplo (potncia dissipada numa carga) A corrente que passa atravs de uma resistncia de 10,0 0,2 de 2,00 A 0,01 A. Usando a relao

RIP 2= calcular os limites de erro para o valor calculado para a potncia dissipada.

Soluo Exprimindo em percentagem os limites de erro garantidos para a corrente e para a resistncia obteremos

%5,0A 00,2A 01,0A 00,2 ==I %2,0 0,100 =R



Se usarmos para o clculo da potncia a pior combinao possvel das tolerncias individuais, vir

( ) ( ) RIRIP 222max 012,1002,01005,01 =++= e

( ) ( ) RIRIP 222min 988,0002,01005,01 == O erro mximo resultante ser de 1,2%, isto , duas vezes o erro mximo da corrente (visto que na expresso aparece elevada ao quadrado) mais o erro mximo da resistncia.

7.3 Regra da diferencial logartmica Uma forma simplificada (e pessimista) de se obter o erro mximo de um

resultado que depende de diversas grandezas a chamada regra da diferencial logartmica. Esta regra consiste em aplicar logaritmos a ambos os membros da funo ),...,( 1 nXXfY = , diferenciando em seguida a expresso assim obtida.

Exemplo (volume de um cilindro) Como exemplo, vejamos o clculo do volume de um cilindro. O volume dado

por hdhrV 224 == , em que d o dimetro e h a altura do cilindro. Sejam d

e h os erros mximos cometidos na medio daquelas duas grandezas, e V o erro mximo de V. Aplicando logaritmos,

hdV log log24

log log ++= Diferenciando,

hdVhdV += 2

o que nos permite calcular o erro relativo de V (ou pelo menos um seu majorante).



7.4 Equipamento digital Ao contrrio do que acontece com os instrumentos analgicos, para os quais existe uma forma normalizada de apresentar os limites de erro (ou erros mximos admissveis, ou tolerncias), no caso dos instrumentos digitais cada fabricante utiliza uma forma prpria de indicar essas caractersticas. Iremos aqui abordar as formas mais vulgares de apresentao das especificaes. Encontram-se no mercado, contudo, outras formas de apresentao, mas que em geral so derivadas destas. Para uma grande parte dos equipamentos mais utilizados na indstria, utiliza-se a seguinte forma:

Tolerncia = ( % do valor lido + n. dgitos menos significativos) Esta indicao recorre a duas contribuies para o erro:

Por um lado, uma contribuio devida linearidade da escala, que expressa em funo do valor medido; em valor absoluto, esta parcela cresce proporcionalmente ao valor que se est a medir; em valor relativo, mantm-se constante.

Por outro lado, h uma parcela devida ao facto de a resoluo do instrumento ser finita, o que impe um limite inferior da tolerncia, particularmente notria nos valores mais baixos da escala. Note-se que, a no existir esta parcela, o erro mximo admissvel seria nulo para uma indicao de zero, o que corresponderia a um instrumento perfeito. O nmero de dgitos menos significativos mais no do que o nmero indicado na especificao, multiplicado pela resoluo da escala do instrumento.

Outra forma de se apresentar esta especificao, utilizada por alguns fabricantes, a seguinte:

Tolerncia = ( % do valor lido + % do fim da escala) Uma vez que, em cada escala do instrumento, o valor de fim da escala nico, facilmente se percebe que esta forma equivalente anteriormente apresentada, ainda que utilizando outro formalismo. Uma diferena bastante significativa entre estas especificaes e as utilizadas para os instrumentos analgicos que enquanto nestes a tolerncia constante ao longo de toda a escala, em valor absoluto, nos instrumentos digitais torna-se necessrio calcul-la para cada ponto de interesse, pois varia de ponto para ponto, tanto em valor absoluto como em valor relativo.

Exemplo (multmetro porttil Fluke 87) Vamos concretizar uma anlise s especificaes dos equipamentos digitais, recorrendo ao manual de um dos mais conhecidos multmetros portteis, o modelo 87 da Fluke.



Esse manual apresenta, entre muitas outras caractersticas, as tolerncias para a funo Tenso Contnua, para a qual o instrumento dispe de 5 escalas de medio. Apresenta-se de seguida uma transcrio parcial dessas especificaes.

Se quisermos saber, por exemplo, quais os erros mximos admissveis (e.m.a.) para uma medio de 10 V com este multmetro, na escala de 40 V, deveremos efectuar a seguinte anlise:

E.m.a.=[ (0,05% x 10 V) + (1 dgito x 0,01 V) ] = [ 0,005 V + 0,01 V ] = 0,015 V

Em valor relativo, isto corresponde a 0,15% do valor medido. Podemos estender esta anlise a outros valores ao longo da mesma escala, para apreciarmos de que forma evolui o erro mximo:

Valor medido Resoluo E.m.a.

0 V 0,01 V 0,010 V % 4 V 0,01 V 0,012 V 0,30%

10 V 0,01 V 0,015 V 0,15%

20 V 0,01 V 0,020 V 0,10%

30 V 0,01 V 0,025 V 0,083%

40 V 0,01 V 0,030 V 0,075%

Exemplo (multmetro de alta gama Agilent 3458A) Vamos agora estudar as especificaes de um outro modelo de multmetro, este de 8 dgitos, o Agilent 3458A. (Nota: Agilent a marca actual do fabricante que durante largos anos se designou por Hewlett-Packard). O manual deste equipamento indica os seguintes erros mximos admissveis:



Se quisermos conhecer o e.m.a. na medio do mesmo valor que anteriormente, 10 V, agora na escala de 10 V, a anlise a fazer a seguinte:

E.m.a. = [ (8 ppm x 10 V) + (0,05 ppm x 10 V) ] = 80,5 V 8,05 ppm Nota: 1 ppm = 10-6

7.5 ppm e % A notao ppm, que significa partes por milho, uma forma de indicar valores

relativos, particularmente til quando estamos na presena de valores bastante pequenos. Embora a tendncia actual seja para desaconselhar a utilizao deste tipo de notao, a verdade que ela continua a ser muito utilizada, em particular por fabricantes norte-americanos.

Indica-se aqui a relao entre ppm e percentagem, para alguns valores.

ppm % 1 0,000 1

10 0,001 100 0,01

1 000 0,1 10 000 1

100 000 10 1 000 000 100



8 Introduo anlise numrica 8.1 Arredondamento dos resultados

O resultado do arredondamento de um nmero como 72,8 para o inteiro mais prximo 73, dado que 72,8 est mais prximo de 73 do que de 72. De forma similar, 72,814 6 arredondado para o centsimo mais prximo (ou com duas casas decimais...) 72,81, pois que 72,814 6 est mais prximo de 72,81 do que de 72,82.

No caso de nmeros que terminam em 5 h dois valores que esto igualmente prximos do valor inicial, pelo que h que optar por um deles. Existem duas regras em vigor: ou se arredonda sempre para cima (regra B, segundo a ISO 31-0), ou se escolhe o nmero par mais prximo (regra A). A regra B utilizada principalmente em aplicaes monetrias; a regra A a preferida no mundo tcnico e cientfico. Vejamos alguns exemplos concretos.

O valor 72,465 arredondado ao centsimo, pela regra do nmero par mais prximo, ser 72,46; j 183,575 ser arredonda

er rosin certeza s

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