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Caro(a) aluno(a),

Neste Caderno, você estudará um dos conceitos matemáticos mais importantes do Ensino Fundamental: a proporcionalidade. Para tanto, são propostas várias situações-problema para que se reconheça a existência da proporcionalidade e, em seguida, são efetuadas análises de situações que trazem grandezas direta ou inversa-mente proporcionais.

Esse conceito é utilizado em diversas situações do cotidiano: na interpretação da escala de um mapa, na adaptação de uma receita culinária para mais pessoas, na tabela de preços de um estacionamento que cobra por quantidade de horas, entre muitas outras.

Além disso, o Caderno convida você, aluno(a), a conhecer um pouco mais a his - tória de Leonardo da Vinci e seus estudos sobre as proporções ideais do corpo humano. Com essa leitura, você realizará atividades que buscam verificar as razões entre as partes do corpo humano descritas por esse grande cientista, uma das figuras mais criativas do século XV.

Você terá, ainda, a oportunidade de estudar a ideia de proporcionalidade a partir do “duplex”, um quebra-cabeça desenvolvido por Lewis Carroll, autor de Alice no país das maravilhas. O desafio consiste em transformar uma palavra em outra, trocando uma letra por vez e formando, no decorrer da atividade, palavras conhecidas. Usando o mesmo princípio, você poderá resolver problemas matemáticos por meio de tabelas.

Esperamos que você participe de todas as atividades propostas por seu professor e, com isso, possa aprender cada vez mais!

Equipe Técnica de MatemáticaÁrea de Matemática

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENPSecretaria da Educação do Estado de São Paulo

Matemática - 6a série/7o ano - Volume 3

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 A NOÇÃO DE PROPORCIONALIDADE

VOCÊ APRENDEU?

Reconhecendo a proporcionalidade

1. Verifique se as previsões feitas são confiáveis e se há proporcionalidade entre as grandezas en-volvidas. Justifique sua resposta.

a) Um pintor gastou 1 hora para pintar uma parede. Para pintar duas paredes iguais àquela, ele levará 2 horas.

b) Um time marcou 2 gols nos primeiros 15 minutos de jogo. Portanto, ao final do primeiro tempo (45 minutos) ele terá marcado 6 gols.

c) Uma banheira contendo 100 litros de água demorou, aproximadamente, 5 minutos para ser esvaziada. Para esvaziar uma banheira com 200 litros de água serão necessários, aproxima-damente, 10 minutos.

d) Em 1 hora de viagem, um trem com velocidade constante percorreu 60 km. Mantendo a mesma velocidade, após 3 horas ele terá percorrido 150 km.

e) Um estacionamento cobra R$ 3,00 por hora. Por um automóvel que ficou estacio - nado 2 horas, foi cobrado o valor de R$ 6,00. Se ele ficasse estacionado 6 horas, o valor cobra do seria de R$ 18,00.


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2. Em cada um dos casos a seguir, verifique se há ou não proporcionalidade direta entre as medidas das grandezas correspondentes. Justifique sua resposta.

a) A altura de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade?

b) O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro é diretamente proporcional à quantidade de litros usada?

c) A massa de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade?

d) O perímetro de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado?

e) A distância percorrida por um automóvel em 1 hora de viagem é diretamente proporcional à velocidade média desenvolvida?

Os limites da proporcionalidade

3. Analise as situações a seguir e avalie se elas são possíveis.

a) Um professor corrige 20 provas em 1 hora de trabalho. Após 30 horas, ele terá corrigido 600 provas.


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b) Um corredor percorre 10 km em 1 hora. Portanto, após 20 horas, ele terá percorrido 200 km.

c) Uma pessoa leu três livros na semana passada. Em um ano, ela lerá 156 livros.

LIÇÃO DE CASA

4. Verifique se houve variação proporcional nos seguintes casos.

a) Uma empresa resolveu dar um aumento de R$ 200,00 para os funcionários. O salário de João passou de R$ 400,00 para R$ 600,00, enquanto o salário de Antônio passou de R$ 1 000,00 para R$ 1 200,00. Houve proporcionalidade no aumento salarial dado aos dois funcionários? Justifique sua resposta.

b) Uma empresa de informática resolveu dar um desconto de 25% no preço de toda a sua linha de produtos. O preço de um computador passou de R$ 1 000,00 para R$ 750,00, e o de uma impressora passou de R$ 400,00 para R$ 300,00. Houve proporcionalidade no desconto dado nos dois produtos? Justifique sua resposta.


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VOCÊ APRENDEU?

Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais

5. Analise as situações e verifique se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais.

a) Um pintor demora, em média, 2 horas para pintar uma parede de 10 m2. Observe a rela ção entre o tempo gasto, o número de paredes pintadas e o número de pintores repre-sentados na tabela a seguir e complete as sentenças.

SITUAÇÕES A B C D

Número de pintores 1 1 2 2

Número de paredes de 10 m2 1 2 1 2

Tempo gasto (horas) 2 4 1 2

• Otempogastoé proporcional ao número de pintores.

• Otempogastoé proporcional ao número de paredes.

b) Um automóvel gasta 2 horas para percorrer 200 km, viajando com uma velocidade média de 100 km/h. Observe a relação entre a velocidade média, a distância percorrida e o tempo gasto na viagem representados na tabela a seguir e complete as sentenças.

SITUAÇÕES A B C D

Velocidade média (km/h) 100 100 50 50

Distância percorrida 200 400 400 100

Tempo gasto (horas) 2 4 8 2

• Adistânciapercorridaé proporcional à velocidade.

• Otempogastoé proporcional à velocidade.


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Leitura e Análise de Texto

Duplex

Lewis Carroll, autor de Alice no país das maravilhas, era um matemático que ado-rava desenvolver quebra-cabeças. Em 1879, ele criou o duplex, um quebra-cabeça que envolvia a transformação de duas palavras com o mesmo número de letras. O desafio con-sistia em partir de uma palavra e chegar a outra de mesmo tamanho, trocando uma letra por vez e formando, no caminho, palavras conhecidas. Veja o exemplo a seguir.

• TransformarOUROemLIXO:

O U R O Etapas

M U R O Trocar o O pelo M

M U D O Trocar o R pelo D

M E D O Trocar o U pelo E

L E D O Trocar o M pelo L

L I D O Trocar o E pelo I

L I X O Trocar o D pelo X

VOCÊ APRENDEU?

6. Agora é sua vez. Resolva os duplex a seguir.

TIA POR LISO POETA

LUA MAL PENA TANGO


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Duplex, tabelas e proporcionalidade

Usando o mesmo princípio, podemos resolver problemas matemáticos por meio de tabelas. Em vez de letras, o início e o fim do encadeamento serão números. Por exemplo:

• Para fazer uma dúzia de pães, um padeiro gasta, aproximadamente, 3 600 gramas de farinha. Quantos gramas de farinha serão necessários para fazer 18 pães?

1o passo: Colocar as informações em uma tabela.

Número de pães Farinha (gramas)

12 3 600

18 ?

2o passo: Verificar se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcio-nais. Se forem diretamente proporcionais, então as grandezas devem ser multiplicadas ou divididas pelo mesmo fator. No caso de serem inversamente proporcionais, se uma das grandezas for multiplicada por um número, a outra deverá ser dividida por esse mesmo número e vice-versa.

3o passo: Assim como no duplex, o desafio será transformar o número 12 em 18 por meio de operações de multiplicação ou divisão, mantendo a proporcionalidade (direta ou inversa) entre as grandezas envolvidas.

Número de pães Farinha (gramas) Transformações

12 3 600 Divisão por 6

2 600 Multiplicação por 9

18 5 400

÷6 ÷6

.9 .9

Portanto, serão necessários 5 400 gramas de farinha para fazer os 18 pães.


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VOCÊ APRENDEU?

7. Na tabela a seguir, registraram-se a quantidade vendida e o valor recebido pela venda de um mesmo produto. Contudo, alguns valores não foram preenchidos. Preencha-a mantendo a proporcionalidade direta entre a quantidade vendida e o valor recebido.

Quantidade vendida Valor recebido

10 R$ 30,00

5

R$ 3,00

R$ 21,00

14

R$ 420,00

8. Um clube dispõe de uma quantia fixa de dinheiro para comprar bolas de futebol para os treina-mentos. Com o dinheiro disponível, é possível comprar, de um fornecedor, 24 bolas a R$ 6,00 cada uma. O gerente pesquisou outros fabricantes e anotou as informações na tabela a seguir. Complete-a, obedecendo ao princípio de proporcionalidade, e descubra qual foi o menor preço pesquisado pelo gerente.

Preço de uma bola Número de bolas

R$ 6,00 24

R$ 12,00

R$ 4,00

72

R$ 24,00

144

R$ 72,00

Resposta:


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9. Para produzir 1 000 m de um cabo telefônico, 24 operários trabalham regularmente durante 6 dias. Quantos dias serão necessários para produzir 1 250 m de cabo com 10 operários trabalhando?

a) Indique se as grandezas, duas a duas, mantidas as demais constantes, são direta ou inversa-mente proporcionais.

•Fixando-seotempodetrabalho,aproduçãodecabosé proporcional ao número de operários.

•Fixando-se a quantidade de cabos, o tempo de produção é proporcional ao número de operários.

•Fixando-seonúmerodeoperários,aquantidadedecabosé proporcional ao tempo de produção.

b) Preencha a tabela a seguir, mantendo a proporcionalidade entre as linhas.

Produção de cabos (m) Número de operários Tempo de produção (dias)

1 000 24 6

2 000 24

2 000 6

500 6

500 24

500 12

3 12

3 6

1 250 6

1 250 10


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LIÇÃO DE CASA

10. Para produzir 180 pias de granito, 15 pessoas trabalham durante 12 dias, em uma jornada de 10 horas de trabalho diário. Procurando adequar sua empresa à nova legislação trabalhista, o diretor reduziu a jornada de trabalho de 10 para 8 horas ao dia e contratou mais funcionários. Ao mesmo tempo, a demanda por pias aumentou e será necessário aumentar a produção. Nesse novo contexto, quantos dias serão necessários para produzir 540 pias de granito, contando com 25 pessoas trabalhando 8 horas por dia?

a) Relacione, duas a duas, as grandezas, mantidas as demais constantes, e indique o tipo de proporcionalidade envolvida (direta ou inversa).

b) Preencha a tabela a seguir e encontre a solução do problema.

Produção de pias Número de funcionários

Tempo de produção (dias)

Número de horas trabalhadas por dia

180 15 12 10

540 25 8

Resposta:


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 RAZÃO E PROPORÇÃO

VOCÊ APRENDEU?

O conceito de razão

1. O que você entende por razão?

2. Procure no dicionário alguns significados para a palavra “razão”.

3. Qual é o significado da palavra “razão” em Matemática?

4. Calcule os resultados das razões a seguir e expresse-os em termos de porcentagem:

a) razão 3 : 150 b) razão 24 : 40


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c) razão 4 : 50 d) razão 9 : 125

e) razão 165 : 300

Escala

5. O que é escala? Explique por meio de um exemplo.

6. O mapa a seguir foi feito na escala 1 : 30 000 000 (lê-se “um para trinta milhões”). Utilizando uma régua e a escala fornecida, determine:

OCEANO ATLÂNTICO

BeloHorizonte

Brasília

São PauloRio de Janeiro

Florianópolis

SP

MG

BA

GO

RJ

ES

SC

PR

RSN

S

LO

1 : 30 000 000

© C

onex

ão E

dito

rial

Mapa ilustrativo. Elaborado especialmente para o São Paulo faz escola.


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a) a distância real entre Brasília e Rio de Janeiro;

b) a distância real entre Florianópolis e Brasília.

LIÇÃO DE CASA


Velocidade

Em Física, a velocidade é a medida da rapidez com que um objeto altera a sua posição. Em nosso cotidiano, a palavra “velocidade” geralmente significa velocidade média, que é a razão entre um deslocamento e o intervalo de tempo gasto para efetuar esse deslocamento. Dessa forma, quando nos referimos à velocidade de um carro (80 km/h), ou de um corredor (4 m/s), estamos nos referindo à sua velocidade média.

O conceito de velocidade pode ser estendido para outras situações análogas. Por exemplo: a pulsação ou frequência de batimentos cardíacos exprime a rapidez com que o coração bate, ou seja, o número de batimentos por minuto. O normal em uma pessoa é ter uma pulsação entre 60 e 100 batimentos por minuto.

7. Com base no texto apresentado na seção Leitura e Análise de Texto, resolva as seguintes questões.

a) Qual foi a velocidade média de um automóvel que percorreu 530 km em 6 horas?

Resposta:


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b) Qual é a pulsação (batimentos por minuto) de uma pessoa cujo coração bate 12 vezes a cada 10 segundos?

Resposta:

c) Qual é a velocidade de transmissão de dados na internet, em kbps (quilobytes por segundo), de um computador que leva 30 segundos para baixar um arquivo de 12 megabytes? (Dica: 1 megabyte = 1 000 quilobytes.)

Resposta:

PESQUISA INDIVIDUAL

8. Pesquise qual é a diferença entre densidade de um material e densidade demográfica.

VOCÊ APRENDEU?

9. Com base na pesquisa anterior, resolva as questões a seguir.

a) 300 g de uma substância ocupam um volume de 450 cm3. Determine a densidade dessa substância.

Resposta:


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b) A população estimada do Estado de São Paulo, em 1o de julho do ano de 2007, era de, aproximadamente1, 40 653 736 habitantes. Sabendo que a área do Estado é de, aproxima-damente, 248 209 km2, calcule sua densidade demográfica.

Resposta:

PIB per capita

10. Resolva as questões a seguir.

a) O PIB brasileiro em 2006, medido em dólares, foi de aproximadamente US$ 1,071 trilhão para uma população estimada em 187 milhões de pessoas. Determine o PIB per capita bra-sileiro nesse ano.

Resposta:

b) O PIB da Índia em 2006 foi de US$ 903 bilhões, para uma população estimada em 1 bi-lhão e 150 milhões de habitantes. Determine o PIB per capita da Índia em 2006.

Resposta:

11. Seu professor vai propor que você discuta com seus colegas se o resultado do PIB per capita brasileiro obtido na atividade anterior representa, de fato, a condição econômica da popu - lação brasileira. Escreva um parágrafo sobre suas conclusões.

1 Fundação SEADE. Disponível em: <http://www.seade.gov.br/produtos/projpop/index.php>. Acesso em: 19 abr. 2010.


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Probabilidade

A probabilidade é um tipo especial de razão, na qual se compara o número de pos-sibilidades de ocorrência de um evento particular com o número total de possibilidades relacionadas a esse evento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, a probabilidade de se obter a face “cara” é de uma em duas, ou seja, uma chance em duas, ou 1 __ 2 , ou, ainda, 50%. É a razão entre o número de possibilidades de se obter “cara” (1) e o número total de possibilidades, cara ou coroa (2). No lançamento de um dado numerado de 1 a 6, a probabilidade de se obter o número 5 é de uma em seis, ou 1 __

6 , ou 16,7%.

VOCÊ APRENDEU?

12. Com base nas informações apresentadas na seção Leitura e Análise de Texto, resolva as questões a seguir.

a) No lançamento de um dado numerado de 1 a 6, qual é a probabilidade de se obter um nú-mero par? E um número maior que 4?

Resposta:

b) Jogando-se ao acaso duas moedas, qual é a probabilidade de se obter duas coroas?

Resposta:


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c) Uma determinada urna contém 7 bolas, sendo 3 vermelhas e 4 pretas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual é a probabilidade de que ela seja vermelha? E de que ela seja preta?

Resposta:

d) Um baralho contém 52 cartas, sendo 13 cartas de cada naipe (copas, ouros, espadas e paus). Retirando-se uma carta ao acaso, qual é a probabilidade de se obter uma carta de copas? E de se obter um valete?

Resposta:

LIÇÃO DE CASA

13. Para cada situação, preencha a tabela e calcule a razão entre as grandezas envolvidas. Em segui-da, verifique se há proporcionalidade entre elas.

a) Se 5 bolas de futebol custam R$ 100,00, então 7 bolas custarão R$ 140,00.

Número de bolas Valor pago em reais Razão (preço por bola)

Resposta:


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b) Um automóvel percorreu 120 km em 1 hora e meia. Em 2 horas, ele terá percorrido 160 km.

Distância percorrida em km Tempo em horas Razão (velocidade)

Resposta:

c) Um supermercado vende 4 rolos de papel higiênico por R$ 3,00 e 12 rolos por R$ 8,00.

Número de rolos Valor pago em reais Razão (preço por rolo)

Resposta:

d) Em uma receita de milk-shake, recomenda-se colocar 3 bolas de sorvete de chocolate para 2 xícaras e meia de leite (1 xícara equivale a 250 ml). Para 1 litro de leite, devemos colocar 7 bolas de sorvete.

Bolas de sorvete Número de xícaras de leite Razão (bolas por xícara)

Resposta:


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e) Em determinado dia, US$ 20,00 eram vendidos por R$ 36,00 e US$ 50,00 por R$ 90,00.

Quantidade de dólares (US$) Valor em reais (R$) Razão (reais por dólar)

Resposta:


O Homem vitruviano e as razões no corpo humano

Leonardo Da Vinci foi uma das figuras mais criativas de seu tempo. Ele viveu na Itália no século XV e criou algumas das obras mais conhecidas do mundo, como a Mona Lisa, A última ceia e A virgem das rochas. Leonardo realizou estudos nas mais diversas áreas: pintura, arquitetura, engenharia, anatomia, entre outras. Ele conseguiu, como ninguém, aproximar a ciência da arte. Leonardo também produziu um estudo sobre as proporções do corpo humano, baseado no tratado feito pelo arquiteto romano Marcus Vitruvius, no século I a.C. Vitruvius havia descrito as proporções ideais do corpo humano, segundo um padrão de harmonia matemática. Assim como muitos outros artistas, Leonardo interessou-se pelo trabalho de Vitruvius e registrou-o em um de seus cadernos de anotação. No meio dessas anotações, desenhou a figura de um homem dentro de um círculo e de um quadra-do. Essa figura, chamada de Homem vitruviano, acabou se tornando um de seus trabalhos mais conhecidos, simbolizando o espírito renascentista. O desenho de Da Vinci eviden-ciou a retomada e a valorização de princípios da tradição greco-latina, tais como beleza, harmonia, equilíbrio e proporção. Essa obra atualmente faz parte da coleção da Gallerie dell’Accademia (Galeria da Academia), em Veneza, na Itália.

Reproduzimos, a seguir, alguns trechos do texto de Da Vinci que acompanham a gra-vura do Homem vitruviano.

“[...] O comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura [...]; desde o fundo do queixo até ao topo da cabeça é um oitavo da altura do homem [...]; a maior largura dos ombros contém em si própria a quarta parte do homem. [...] Desde o cotovelo até o ângulo da axila é um oitavo da altura do homem. A mão inteira será um décimo da altura do homem. [...] O pé é um sétimo do homem [...]; a distância entre o fundo do queixo e o nariz e entre as raízes dos cabelos e as sobrancelhas é a mesma e é, como a orelha, um terço da cara.”

Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/davinci/matematico.htm>. Acesso em: 19 abr. 2010.


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© B

ettm

ann/

Cor

bis-

Latin

stock


23

VOCÊ APRENDEU?

14. Com base no texto apresentado na seção Leitura e Análise de Texto, preencha a tabela a seguir com as razões entre as partes do corpo humano descritas no texto de Leonardo Da Vinci.

Razão entre Fração Decimal %

Longitude dos braços e altura 1 __ 1 1,0 100

Altura da cabeça e altura

Largura dos ombros e altura

Distância do cotovelo às axilas e altura

Comprimento da mão e altura

Comprimento do pé e altura

Distância do queixo ao nariz e face

Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e face

15. Agora, vamos verificar se as razões descritas por Leonardo Da Vinci no texto anterior real-mente correspondem ao corpo retratado em seu desenho. Para isso, você deverá medir o comprimento de cada parte do corpo do Homem vitruviano, usando uma régua milimetrada. Em seguida, calcule as razões entre as medidas obtidas e a altura do homem ou a altura da face. Registre os resultados obtidos na tabela, em porcentagem.

Medidas:

Altura do homem: cm Longitude dos braços: cm

Altura da cabeça: cm Largura dos ombros: cm

Do cotovelo às axilas: cm Comprimento da mão: cm

Comprimento do pé: cm Altura da face (queixo à raiz dos cabelos): cm

Do queixo ao nariz: cm Da sobrancelha à raiz dos cabelos: cm


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Razão entre %

Longitude dos braços e altura

Altura da cabeça e altura

Largura dos ombros e altura

Distância do cotovelo às axilas e altura

Comprimento da mão e altura

Comprimento do pé e altura

Distância do queixo ao nariz e face

Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e face

LIÇÃO DE CASA

16. Compare as razões obtidas por meio das medidas (Atividade 15) com aquelas descritas no texto de Da Vinci (Atividade 14). Os resultados ficaram próximos? Houve diferenças? O que poderia explicar as diferenças observadas (se houver)?


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 RAZÕES NA GEOMETRIA

VOCÊ APRENDEU?

Ampliação de fi guras

1. A fi gura a seguir mostra o desenho de uma caravela representado em uma malha quadriculada.

a) Considerando como unidade de medida os lados dos quadrados, determine o comprimento e a altura da caravela.

b) Qual das fi guras a seguir corresponde a uma ampliação “proporcional” da caravela original?

I. II.

III. IV.

© C

onex

ão E

dito

rial

© C

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ão E

dito

rial

© C

onex

ão E

dito

rial

© C

onex

ão E

dito

rial

© C

onex

ão E

dito

rial


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c) Qual foi a razão de ampliação utilizada?

Resposta:

Proporcionalidade no quadrado

2. Na malha quadriculada a seguir, desenhe 3 quadrados de lados iguais a 2 cm, 3 cm e 6 cm, respectivamente. Em cada um deles, trace uma diagonal ligando dois vértices opostos. Meça com uma régua o comprimento das diagonais obtidas e registre os valores na tabela. Em seguida, calcule a razão entre as medidas da diagonal e do lado de cada quadrado.

Quadrado Lado (l) em cm Diagonal (d) em cm Razão d __ l

Q 1 2

Q 2 3

Q 3 6

a) Duplicando a medida do lado, a da diagonal também duplica?


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b) E triplicando a medida do lado?

c) Há proporcionalidade entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado?

d) A razão obtida entre a diagonal e o lado desses quadrados se aproxima de qual dos números: ®

__ 2 , ®

__ 3 ou ®

__ 5 ?

(Observação: você pode utilizar a calculadora para obter uma aproximação.)

LIÇÃO DE CASA

3. Tomando como base a Atividade 2, apresentada na seção Você aprendeu?, preencha a seguinte tabela e responda às questões:

Quadrado Lado l(cm)

Perímetro P (cm)

Área A (cm2)

Razão P __ l

Razão A __ l

Q 1

Q 2

Q 3

a) Há proporcionalidade entre a medida do lado e o perímetro do quadrado?

b) E entre a medida do lado do quadrado e sua área?

c) O que acontece com a área do quadrado quando duplicamos seu lado?

d) E quando triplicamos?


29

VOCÊ APRENDEU?

Ângulos e triângulos

4. Na figura a seguir, cada um dos ângulos do triângulo retângulo foi associado a seu lado oposto. Esse lado é o cateto oposto ao ângulo indicado. Por exemplo, o ângulo de 30º tem como cateto oposto o segmento AC. Vamos investigar se existe proporcionalidade entre os ângulos assinalados e os catetos opostos correspondentes.

a) Registre a medida dos catetos AB, AC e AD na tabela.

Ângulos Catetos (cm)

15º

30º

60º

b) Duplicando o ângulo de 30º, o cateto oposto aumenta na mesma proporção? Verifique tomando por base os dados da tabela.

c) Triplicando o ângulo de 30º, o que acontece com a medida do cateto oposto?

d) As medidas dos ângulos são diretamente proporcionais às medidas dos catetos opostos a eles?

O15o

A

30o

60o

D

B

C


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Atividade para investigação!

Proporcionalidade na circunferência

Uma das características mais importantes de uma circunferência é a equidistância de seus pontos em relação ao centro. Por essa razão, ela é considerada a fi gura geométrica mais perfeita em termos de simetria. Além disso, qualquer que seja a circunferência, sua forma é sempre a mesma. Uma circunferência maior é uma ampliação perfeita de uma menor. Será, então, que há proporcionalidade entre suas partes? É o que vamos verifi car a seguir.

Material necessário: objetos circulares, por exemplo, um CD, uma lata de leite conden-sado, uma moeda, etc.; fi ta métrica; régua; compasso; folha de papel sulfi te.

Etapas:

I. Meça o comprimento da circunferência do objeto usando a fi ta métrica.

II. Coloque o objeto sobre o papel sulfi te e desenhe o seu contorno (circunferência).

Exemplo:Exemplo

III. Marque três pontos quaisquer, A, B e C, na circunferência.

C A

B

© C

onex

ão E

dito

rial


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IV. Usando o compasso, trace a mediatriz entre os pontos A e B e entre os pon-tos B e C.

C A

B

V. A interseção das duas mediatrizes é o centro da circunferência. Desenhe o diâme-tro da circunferência e meça seu comprimento com a régua.

5. Registre as medidas do comprimento da circunferência (C) e do diâmetro (D) do objeto circular na tabela. Em seguida, calcule a razão entre C e D. Registre também as medidas e as razões obtidas por quatro colegas que tenham escolhido um objeto diferente do seu.


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Objeto circular Comprimento C (cm) Diâmetro D (cm) Razão C ___ D

Média

a) A medida do comprimento e do diâmetro das circunferências variou de objeto para objeto?

b) E o valor da razão entre o comprimento e o diâmetro da circunferência?

c) Calcule a média das razões obtidas e registre-a na tabela acima.

d) Para uma circunferência perfeita, o valor da razão entre seu comprimento e seu diâmetro se aproxima de um valor constante, que vale aproximadamente 3,14. A essa razão foi dado o nome de pi, representado pela letra do alfabeto grego π. O valor da média que você calcu-lou ficou acima, igual ou abaixo do valor de π? Se não foi igual, a que você atribuiria essa diferença?

LIÇÃO DE CASA

6. Na malha quadriculada a seguir, desenhe três circunferências de raios iguais a 1 cm, 2 cm e 3 cm, respectivamente, e trace seus diâmetros. Com o auxílio de uma fita métrica ou bar-bante e uma régua, meça o comprimento C de cada circunferência e de seu diâmetro D. Registre os valores obtidos na tabela e calcule a razão entre C e D.


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Circunferência Comprimento C (cm) Diâmetro D (cm) Razão C ___ D

C1

C2

C3

a) Calcule a razão entre o comprimento e o diâmetro de cada circunferência.

b) O que acontece quando duplicamos a medida do diâmetro da circunferência de 2 cm para 4 cm?

c) E quando triplicamos o diâmetro da circunferência de 2 cm para 6 cm?

d) Existe proporcionalidade entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro?


34

VOCÊ APRENDEU?

7. Se a razão entre o comprimento da circunferência (C) e seu diâmetro (D) é constante e vale, aproxi-madamente, 3,1, isso significa que podemos calcular C multiplicando D por esse valor. Ou seja, C = 3,1.D. Da mesma forma, conhecendo o comprimento C de uma circunferência, podemos obter seu diâmetro dividindo C por 3,1. Com base nessas ideias, resolva os seguintes problemas.

a) Uma pista de corrida foi construída na forma de um círculo. Sabendo-se que o diâme - tro dessa pista mede 2 km, calcule o comprimento da pista inteira.

b) Para fazer uma circunferência, Marcos usou o compasso com abertura de 5 cm (raio). Quanto mede o comprimento dessa circunferência?

c) Usando um barbante, mediu-se o comprimento de uma lata cilíndrica. O resultado dessa medida foi 62 cm. Qual é o diâmetro dessa lata?

d) O aro de uma bicicleta mede aproximadamente 40 cm. A espessura do pneu é de aproxima-damente 3 cm. Qual é o comprimento da roda dessa bicicleta? Qual é a distância que essa bicicleta deve percorrer em 10 pedaladas?


35


A razão áurea

Na Matemática, existem alguns números que são especiais e, por isso, recebem um nome próprio. É o caso do número pi (π), que vale aproximadamente 3,14159... e repre-senta a razão constante existente entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro. Dessa forma, em qualquer cálculo que envolva circunferências, a razão pi está presente. Um aspecto surpreendente desse número é o fato de que ele possui infinitas casas decimais, sem nenhum padrão aparente de repetição. Por essa razão, pi é classificado como um número irracional, isto é, que não pode ser gerado por uma divisão entre inteiros.

Outro número especial na Matemática, embora menos conhecido, é o fi, representado pela letra grega φ. Ele vale aproximadamente 1,618..., e, assim como o pi, também é irracional. O fi decorre de uma razão muito especial, que pode ser encontrada nas mais diferentes situações, tanto na natureza (no formato de uma concha, na espiral de uma marga-rida, no crescimento dos galhos de uma árvore), como nas construções humanas e suas artes (o Parthenon grego, a sede da ONU em Nova Iorque, alguns quadros de Leonardo Da Vinci, etc.). Por isso, essa razão foi chamada, também, de razão áurea ou proporção divina.

Concha Nautilus.

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Templo Parthenon, 447-432 a.C., Atenas, Grécia.

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36

Leonardo Da Vinci, Mona Lisa, 1503-1507, óleo sobre madeira, Museu do Louvre.

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A palavra “proporção” pode ser entendida de diferentes maneiras. No uso comum, proporção pode significar a relação comparativa entre duas quantidades, como no caso da receita de um suco concentrado (uma parte de suco para três partes de água). Tam-bém pode significar uma relação harmoniosa ou agradável entre diferentes partes. Por exemplo, no caso de um arranjo de flores benfeito ou em uma construção de uma casa. Na Matemática, o termo “proporção” refere-se à igualdade entre duas razões: oito está para seis assim como quatro está para três. A razão áurea é especial porque mistura, de alguma forma, essas três ocorrências.

Podemos definir a razão áurea da seguinte maneira: se dividirmos um segmento (a) em duas partes, uma maior (b) e outra menor (a – b), a razão entre o segmento inteiro (a) e a maior parte (b) deve ser igual à razão entre esta maior parte (b) e a menor parte (a – b).

Todo (a)

Maior parte (b) Menor parte (a – b)

todo _____ maior = maior ______ menor ⇒ a __

b = b _____

a – b

Essa proporção só acontece quando as razões valem, aproximadamente, 1,618, ou seja, o valor de fi.


37

PARA SABER MAIS

• DISNEY.Donald no país da matemágica. Fábulas, v. 3.

• DOCKZI,G.O poder dos limites: harmonias e proporções na natureza, arte e arquitetura. São Paulo: Mercuryo, 1990.

• DVD.O número de ouro. Série Arte & Matemática, TV Cultura.

• LÍVIO,Mário.Razão áurea: a história de fi, um número surpreendente. Rio de Janeiro: Record, 2006.

VOCÊ APRENDEU?

8. A figura a seguir é chamada de retângulo áureo, pois a razão entre seus lados vale, aproxima-damente, 1,618. Se tirarmos desse retângulo um quadrado de lado igual ao lado menor do retângulo, obteremos outro retângulo áureo, cujos lados também estão na razão áurea. Isso pode ser feito continuamente, como mostram as figuras a seguir:

1o) 2o)

3o) 4o)


38

Retângulo Lado maior (cm) Lado menor (cm) Razão

1o

2o

3o

4o

Média

a) Tire as medidas dos lados dos quatro retângulos assinalados e registre-as na tabela.

b) Calcule a razão aproximada entre as medidas do lado maior e do lado menor de cada retângulo.

c) Calcule a média entre as razões obtidas.

d) A média ficou próxima do valor da razão áurea?

Resposta:

Construção geométrica

9. A espiral áurea ou logarítmica é uma espiral que cresce segundo a razão áurea. O formato da concha Nautilus (apresentada na seção Leitura e Análise de Texto) aproxima-se de uma espiral desse tipo. A cada quarto de volta, a curva aumenta na razão de 1,618, aproxi-madamente. Essa espiral pode ser construída com base no retângulo áureo, como veremos a seguir.

Etapas:

• Usandoocompasso,traceumquartodecircunferêncianoquadradomaior(àdireita),comcentro no ponto A e raio igual ao lado desse quadrado.

• Façaomesmocomosegundoquadradomaior(emcimaàesquerda),comcentronopontoB, de modo a dar continuidade ao arco anterior.

• Repitaessaconstruçãoparatodososquadradosinternosaoretângulo.Oresultadofinaléaespiral áurea.


39

C

DE

FG

B

A


40

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 GRÁFICO DE SETORES E PROPORCIONALIDADE

VOCÊ APRENDEU?

1. As circunferências a seguir foram divididas em 24 arcos de 1 cm cada um. Em cada uma delas, foi marcado um determinado ângulo central: 30º, 45º, 90º e 150º.

30º

6 5

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

90º

6 5

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

45º

6 5

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

150º

6 5

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7


41

a) Registre na tabela a medida dos ângulos centrais e as medidas dos arcos correspondentes.

Ângulo central Medida dos arcos (cm)

b) Há proporcionalidade direta entre a medida dos arcos e os ângulos correspondentes?

c) Qual deve ser a medida do arco correspondente ao ângulo de 55°?

d) Calcule o ângulo central que corresponde ao arco de comprimento 7,5 cm.

O relógio e a proporcionalidade

2. O relógio da fi gura a seguir está marcando 1 hora. Com base em seus conhecimentos sobre ângulos e proporcionalidade, determine:

a) Quantos graus o ponteiro das horas se deslocou do meio-dia até 1 hora?

Resposta:

© C

onex

ão E

dito

rial


42

b) E o ponteiro dos minutos?

Resposta:

c) Desenhe, nos relógios a seguir, os ponteiros das horas e dos minutos nos seguintes horários:

(Observação: lembre-se de que o ponteiro das horas se desloca continuamente e de forma pro-porcional ao tempo decorrido.)

I. 12:30 II. 12:10

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

III. 2:00 IV. 2:30

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11


43

d) Preencha a tabela com os graus correspondentes aos horários marcados nos relógios, tendo como referência os ponteiros das horas e dos minutos às 12 horas em ponto.

Horário Tempo decorridoÂngulo em relação às 12 horas

Ponteiro das horas Ponteiro dos minutos

1:00 60 minutos

12:30 30 minutos

12:10 10 minutos

2:00 120 minutos

2:30 150 minutos

e) Quantos graus o ponteiro dos minutos se desloca em 1 minuto?

E o das horas?

LIÇÃO DE CASA

3. Represente os horários nos relógios e calcule a medida dos ângulos formados pelos ponteiros das horas e dos minutos em relação às 12:00.

a) 4:30 b) 3:20

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

Ponteiro das horas: Ponteiro das horas:

Ponteiro dos minutos: Ponteiro dos minutos:


44

c) 1:40 d) 5:15

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

Ponteiro das horas: Ponteiro das horas:

Ponteiro dos minutos: Ponteiro dos minutos:

VOCÊ APRENDEU?

4. Uma pesquisa foi feita com 420 pessoas para saber qual esporte elas mais praticavam. Os resul-tados encontram-se na tabela a seguir.

a) Calcule a porcentagem de cada esporte escolhido em relação ao total de entrevistados.

Esporte praticado Número de pessoas % em relação ao total

Futebol 210

Vôlei 105

Basquete 63

Corrida 42

Total 420 100

b) Qual dos gráficos de setores a seguir representa melhor os dados da tabela? Justifique sua resposta.

Gráfico 1 Gráfico 2


45

Gráfico 3 Gráfico 4

c) Que cor corresponde a cada um dos esportes?

5. O resultado de uma pesquisa feita com 80 pessoas com relação à preferência sobre o destino de uma viagem gerou o seguinte gráfico:

Montanha

Outros

Cidadeshistóricas

Praia

a) Usando um transferidor, meça os ângulos centrais de cada setor circular representado no gráfico. Anote-os na tabela abaixo.

b) Calcule as porcentagens que representam a razão entre cada ângulo e 360º. Anote-as na tabela.

c) Calcule o número de pessoas que escolheu cada tipo de viagem. Anote na tabela.

Local Ângulo central % Número de pessoasPraiaMontanhaCidades históricasOutrosTotal 100,0 80


46

6. Para saber qual era o programa cultural mais frequentado pelos habitantes de uma cidade, foi feita uma pesquisa, cujos resultados (em porcentagem) estão representados na tabela a seguir.

Programa preferido % Ângulo central

Cinema 37,5

Música 25,0

Teatro 16,7

Dança 12,5

Outros 8,3

Total 100,0

a) Usando proporcionalidade, determine os ângulos correspondentes às porcentagens expres-sas na tabela.

b) Usando a circunferência abaixo, que foi dividida em 24 setores de 15º cada um, represente os resultados da pesquisa por meio de um gráfico de setores.

(Dica: faça as aproximações dos ângulos centrais para valores inteiros.)


47

LIÇÃO DE CASA

7. Uma agência de viagens fez uma pesquisa sobre a nacionalidade das pessoas que viajaram pela América Latina. A tabela a seguir mostra as porcentagens de turistas classificados por nacionalidade.

Nacionalidade % Ângulo central

Brasileiros 45

Argentinos 25

Chilenos 20

Outros 10

Total 100

a) Determine os ângulos correspondentes às porcentagens expressas na tabela.

b) Usando o compasso e o transferidor, represente as porcentagens da tabela em um gráfico de setores.


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equipe técnica de matemática Área de matemática ... · analise as situações a seguir e avalie...

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