EQUAÇÕES ALGÉBRICAS OU

POLINOMIAIS

Polinômios

Definição

Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma P(x) = 0, em que P(x) é um polinômio:

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 = 0

Em que: an é diferente de 0;

an, an-1, ..., a1 e a0 são números complexos chamados coeficientes; n pertence ao conjunto dos números naturais.

Grau e raiz da equação

O grau do polinômio p(x) é igual ao valor do maior expoente da incógnita cujo coeficiente não seja zero.

Exemplos: 3x – 2 = 0 é uma equação algébrica de 1º grau; 5x3 – 3x +1 = 0 é uma equação algébrica de 3º grau.

Chamamos de raiz ou zero de uma equação polinomial P(x) = 0 todo número complexo α, tal que P(α) = 0.

α é raiz de P(x) = 0 P(α) = 0

Conjunto Solução de uma equação polinomial é o conjunto formado por todas as raízes da equação.

Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)

Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.

Exemplo 1: Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação 2x4 + kx3 – 5x2 + x – 15 = 0.

Teorema da decomposição

TFA: Um polinômio P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 possui pelo menos uma raiz complexa α1, tal que P(α1) = 0.

Teorema de D'Alembert: P(α1) = 0, então P(x) é divisível por (x – α1), resultando em um quociente Q1(x), que é um polinômio de grau (n – 1), o que nos leva a:

P(x) = (x – α1) . Q1(x)

Teorema da decomposição II

A partir dessa equação, é preciso destacar duas possibilidades:

Se α = 1 e Q1(x) é um polinômio de grau (n – 1), então Q1(x) possui grau 0. Como o coeficiente dominante de P(x) é an, Q1(x) é um polinômio constante do tipo Q1(x) = an. Portanto, temos:

P(x) = (x – α1) . Q1(x) P(x) = an . (x – α1)

Se α ≥ 2, então o polinômio Q1 possui grau n – 1 ≥ 1 e vale o TFA. Podemos afirmar que o polinômio Q1 possui pelo menos uma raiz n2, o que nos leva a afirmar que Q1 pode ser escrito como:

Q1(x) = (x – α2) . Q2(x)

Mas como P(x) = (x – α1) . Q1(x), podemos reescrevê-lo como:

P(x) = (x – α1) . (x – α2) . Q2(x)

Teorema da decomposição III

Repetindo sucessivamente esse processo, teremos:

P(x) = an . (x – α1) . (x – α2) … (x – αn)

Todo polinômio ou equação polinomial p(x) = 0 de grau n ≥ 1 possui exatamente n raízes complexas.

Exemplo 2: Dada a equação 2x3 – 3x2 – 11x + 6 = 0:a) verificar que 3 é uma de suas raízes;b) obter as suas demais raízes;c) escrever esta equação na forma fatorada.

Exemplo 3: Seja p(x) um polinômio de grau 5, tal que suas raízes sejam – 1, 2, 3, – 2 e 4. Escreva esse polinômio decomposto em fatores de 1° grau, considerando o coeficiente dominante igual a 1. Ele deve ser escrito na forma estendida.

Multiplicidade das raízes

Em uma equação algébrica de grau n, podemos ter, entre as suas n raízes, m raízes iguais entre si. Quando m raízes são iguais a um mesmo número α, dizemos que α é raiz de multiplicidade m da equação, e, na forma fatorada, o fator (x – α) aparece exatamente m vezes.

Obs: Quando α é uma raiz de multiplicidade m de uma equação P(x) = 0, P(x) é divisível por (x – α)m.

Exemplo 4: Verifique qual a multiplicidade da raiz 2 na equaçãox4 – 4x3 + 16x – 16 = 0.

Equipe – 3ºB

Fernanda Freitas

Janaína Karen

Kíssia França

Matheus Almeida

Yasmin Lopes