gráficos e equações polinomiais prof. marquinhos
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Gráficos e Equações Gráficos e Equações PolinomiaisPolinomiais
Prof. MarquinhosProf. Marquinhos
UFRGS 2012 Raízes candidatas: 1, 2 e 4.
Nem é preciso utilizar...
Aplicar Briot-Ruffini DUAS VEZES!
2 -7 3 8 -4
2 2 -3 -3 2 0
2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0
2 -3 -3 2 2 2 1 -1 0
2x2 + x – 1 = 0
Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes x3= – 1 e
x4 = ½, cuja soma é – ½ = – 0,5.
SOMA –b/a = – ½ = – 0,5.
UFRGS 2008
Raízes candidatas: 1, apenas.
Aplicando Briot-Ruffini com x = 1.
1 4 6 4 1
1 1 5 11 15 16
Não serve!!!
Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes x3 = – 1 e x4 = – 1.
Aplicando Briot-Ruffini com x1 = – 1.
1 4 6 4 1
–1 1 3 3 1 0
x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0
1 3 3 1 –1 1 2 1 0
x2 + 2x + 1 = 0
Aplicando Briot-Ruffini com x2 = – 1. Assim, a equação possui 4 raízes iguais; – 1 é raiz quádrupla.
UFRGS 2011
Teorema: Numa equação algébrica com coeficientes reais, se a + bi é raiz dessa equação, então a – bi também é raiz dela.
1) raízes imaginárias sempre aparecem aos pares;
2) uma equação de grau ímpar tem, pelo menos, uma raiz real.
Coeficientes reais Teorema!
Se – 2 + i é raiz, então – 2 – i também é...
Se 1 – 2i é raiz, então 1 + 2i também é...
Temos um equação de 5º grau, onde 4 são imaginárias. Assim, a
outra é REAL.
UFRGS 2009
Forma Fatorada de um Polinômio
P(x) = a.(x – r1 ).(x – r2 ). ... .(x – rn )
A partir do enunciado, temos que: r1 = r2 = r3 = 1.
Da mesma forma, temos que a = 1.
Assim, temos que:
P(x) = 1.(x – 1 ).(x – 1 ). (x – 1 ) =
= (x – 1 )3 =
= x3 – 3x2 + 3x – 1
O gráfico abaixo representa um polinômio P(x) de grau 4. Determine a soma dos coeficientes desse polinômio.
Raízes:Raízes: 1, 2 e –1 (Observe que -1 é dupla.)
Termo Termo independente:independente: P(0) =
– 4Forma Fatorada de um
Polinômio
P(x) = a.(x – r1 ).(x – r2 ). ... .(x – rn )
P(x) = a.(x + 1)2.(x – 1).(x – 2) P(x) = a.(x4 – x3 – 3x2 + x + 2)
P(0) = a.2 = – 4 a = – 2 P(x) = – 2x4 + 2 x3 + 6x2 – 2 x – 4
A soma dos coeficientes também pode ser dada por
P(1) = – 2 + 2 + 6 – 2 – 4 = 0, pois 1 é uma raiz de P(x).
UFRGS 2005
O polinômio possui 4 raízes simples GRAU 4
Alternativas (A) e (B) eliminadas!
O gráfico de f(x) passa pela origem T. I. é NULO
Alternativas (C) e (D) eliminadas!
Resposta Alternativa (E)
UFRGS 2004
O polinômio possui 3 raízes 1 simples e 1 dupla (tangência)
Forma Fatorada P(x) = a . (x – 2)2. (x + 2)
P(0) = 2 P(0) = a . (0 – 2)2. (0 + 2) = 2
a . 4. 2 = 2a = ¼
P(x) = 1/4 . (x – 2)2. (x + 2)= ¼ . (x3 – 2x2 – 4x + 8) =
= ¼.x3 – ½.x2 – 2x + 4
Soma dos Coeficientes = = ¼ – ½ – 2 + 4 = ¾
Resposta Alternativa (B)
Soma dos Coeficientes P(1) P(1) = ¼ . (1 – 2)2. (1 + 2) = =
¾ = 0,75
UFRGS 2007
O polinômio possui 3 raízes 1 simples e 1 dupla (tangência)
Forma Fatorada p(x) = a . (x + 1)2. (x – 2)
p(0) = 2 p(0) = a . (0 + 1)2. (0 – 2) = 2
a . 1. (– 2) = 2a = –1
p(x) = – 1. (x + 1)2. (x – 2)
Valor de p(– 2) p(–2) = – 1 . (–2 + 1)2. (–2 – 2) =
= (– 1). 1 . (– 4) = 4
Resposta Alternativa (C)