equaÇÕes obtidas a partir das leis de … · barreto pela ajuda em todos os momentos necessários...
TRANSCRIPT
MARIA DO CARMO PEREIRA DE SOUZA
EQUAÇÕES OBTIDAS A PARTIR DAS LEIS DE CONSERVAÇÃO PARA
DIMENSIONAMENTO DE DRENOS
MOSSORÓ/RN
2013
MARIA DO CARMO PEREIRA DE SOUZA
EQUAÇÕES OBTIDAS A PARTIR DAS LEIS DE CONSRVAÇÃO PARA
DIMENSIONAMENTO DE DRENOS
Dissertação apresentada à Universidade
Federal Rural do Semi-Árido, como parte das
exigências para obtenção do título de Mestre
em Irrigação e Drenagem.
Orientador: Prof. D. Sc. Walter Martins Rodrigues
Co-orientador: D. Sc. Sérgio Luiz A. Levien
MOSSORÓ/RN
2013
MARIA DO CARMO PEREIRA DE SOUZA
EQUAÇÕES OBTIDAS A PARTIR DAS LEIS DE CONSERVAÇÃO PARA
DIMENSIONAMENTO DE DRENOS
Dissertação apresentada à Universidade
Federal Rural do Semi-Árido, como parte das
exigências para obtenção do título de Mestre
em Irrigação e Drenagem.
Aprovada pela banca examinadora em: 05/03/2013
BANCA EXAMINADORA
_________________________________________________
Prof. D. Sc. David Armando Zavaleta Villanueva - UFRN
Conselheiro
____________________________________________
Prof. D. Sc. Vladimir Batista Figueirêdo - UFERSA
Conselheiro
_____________________________________________
Prof. D. Sc. Sérgio Luiz Aguilar Levien - UFERSA
Co - Orientador
________________________________________________
Prof. D. Sc. Walter Martins Rodrigues - UFERSA Orientador
OFEREÇO
Ao professor Walter Martins Rodrigues, pela
orientação, dedicação, amizade e
companheirismo.
DEDICO
Ao meu esposo Antônio Ronaldo
Gomes Garcia e aos meus filhos
Inácio Antônio e Lara que são
meus amores.
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar a Deus, por tudo que conquistei, por tudo que sou, e pelo dom de vida.
Aos meus pais, Felisberto Ferreira de Miranda e Diomara P. de Souza pela vida, pelo exemplo
de pessoas de bem que são, e cujos passos são um caminho a seguir.
À minha mãe, Maria Rosa, pelo apoio indispensável de suas preces, por ser meu bálsamo nas
horas difíceis e pelo amor e carinho sempre presentes.
Ao meu esposo Ronaldo, por tudo que ele fez aos meus filhos Inácio Antônio e Lara, que são
minha grande paixão e o maior presente que Deus me deu.
Ao meu co-orientador Sérgio Luiz Aguilar Levien, pelos conhecimentos transmitidos, pela
orientação, dedicação e paciência com que sempre me tratou.
Ao meu orientador professor Walter Martins Rodrigues, pela orientação, dedicação e
companheirismo.
Aos professores, membros da banca, D. Sc. David Armando Zavaleta Villanueva e D. Sc.
Vladimir Batista Figueirêdo pelas valiosas contribuições ao nosso trabalho.
Ao professor então coordenador do curso, José Francismar de Medeiros, por acreditar em
mim, ao atual coordenador Professor Rafael Oliveira Batista pelo apoio e a secretária do curso
Maria pela delicadeza e simpatia com que trata a todos.
Aos professores Celsemy Eleutério Maia, Francisco de Queiroz Porto Filho, Jorge Mamede,
Luiz César de A. L. Filho, José Francismar de Medeiros, Manoel Januário e Sérgio Luiz A.
Levien, pela atenção que sempre me deram.
Aos meus colegas de turma, André Herman, Antônio Everton, Celso Mariano, Fabrícia
Gratyelli, Giliard Freire, Herlon Bruno, Murilo Anderson, Wesley Santos, pelo
companheirismo e amizade. E um agradecimento especial a Herlon Bruno Ferreira
Barreto pela ajuda em todos os momentos necessários (valeu seu Zé). Enfim a todos os
colegas do curso.
À universidade Federal Rural do Semi-Árido, pela oportunidade de realizar o curso.
A CAPES pelo auxilio financeiro durante a realização deste trabalho.
A todos os familiares e amigos, pela convivência e ajuda. Em especial quero agradecer
ao amigo Odacir Almeida Neves pela ajuda preciosa. A todo o pessoal do CITED pela
amizade e companheirismo nos momentos difíceis. E a todos aqueles que de alguma
forma contribuíram direta ou indiretamente para a realização deste trabalho os meus
sinceros agradecimentos.
RESUMO
SOUZA, Maria do Carmo Pereira de. Equações de dimensionamento de drenos
associados á simulação e ajuste das leis de conservação. 2013. 65 p. Dissertação
(Mestrado em Irrigação e Drenagem) – Universidade Federal Rural do Semi-Árido
(UFERSA), Mossoró, 2013.
Os modelos matemáticos para dimensionamento e espaçamento de drenos em
regime variável têm mostrado bom desempenho, utilidade e limitações, pois modelo é
apenas uma ferramenta para apoiar decisões; e visam se aproximar ao máximo das
condições físicas reais de campo. Neste trabalho obteve-se uma expressão algébrica
para o modelo de Dumm (1964), onde descreve suas soluções por meio de algoritmo
geométrico. Utilizaram-se as técnicas de identificação de padrões potenciais,
hiperbólicos, lineares e exponenciais por meio de representações em gráficos monolog e
dilog para definir estratégias de ajuste pela técnica dos mínimos quadrados, neste
sentido foram analisados diversos modelos, e identificou-se que os de tipos
(
) e
(
) (
) ajusta muito bem a razão entre os niveis do lençol
freático inicial e após t dias decorridos. Além disso, a identificação de que modelos
potenciais podem ajustar bem o processo, possibilitou gerar, com o uso do Solver,
Office Excel da Microsoft. Inc., modelos simplificados para o problema. No trabalho
propõe-se o ajuste com equações empíricas do tipo para representar o
problema, com o uso das variáveis, condutividade hidráulica, profundidade e tempo
para determinar distância entre drenos, inclusive permite a descrição dessa distância sob
os mesmos parâmetros que o modelo de Glover-Dumm. As soluções encontradas têm
pequenas diferenças, mas nada significativo em comparação aos modelos de Glover,
Dumm e Glover-Dumm.
Palavras-Chave: modelo matemático, equação de Glover-Dumm, drenagem
subterrânea, método dos mínimos quadrados.
ABSTRACT
Souza, Maria do Carmo Pereira de. Equations sizing of drains associated simulation and will
adjust the conservation laws. 2013. 65 p. Dissertation (Master of Science in Irrigation and
Drainage) Universidade Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA), Mossoró, RN, 2013.
The mathematical models for dimensioning and spacing of drains under variable
regime have shown good performance, usefulness and limitations. The model is only a tool to
support decisions, and aims to get as closer as possible to the physical real field conditions. In
this paper, was obtained an algebraic expression for the Dumm’s model (1964), which
describes its solutions through a geometric algorithm. Were used identifications techniques of
potential patterns, hyperbolic, linear and exponential, through representations in monolog and
dilog graphics, to define adjustment strategies through the least squares technique. In this
sense, different models were analyzed, and it was found that the types
(
) and
(
) (
) fits very well to the ratio between the levels of groundwater baseline
and after t days elapsed. Furthermore, the identification that potential models can fit very fine
on the process, allowed to generate, using the Solver Microsoft Office Excel. Inc., simplified
models to the problem. In this paper is proposed to fit with empirical equations of type
the representation to the problem, with the use of variables like hydraulic
conductivity, depth and time, to determine the distance between drains, including the
description of this distance under same parameters of the Glover-Dumm’s model. The
solutions that have been found present small differences, insignificant compared to Glover’s,
Dumm’s and Glover-Dumm’s models.
Keywords: mathematical model, Glover-Dumm’s equation, subsurface drainage, method of
least squares.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Esquema do processo de etapas da modelação 1
15
Figura 2: Curva indicando a relação entre os parâmetros ⁄ e ⁄ no ponto
médio entre os drenos
2
25
Figura 3: Mudança que ocorre no armazenamento em uma coluna de solo sob a queda
do lençol freático
2
27
Figura 4: Condições de contorno para a equação de Glover-Dumm com um lençol
freático inicialmente horizontal
2
29
Figura 5: Esboço da Secção transversal mostrando os símbolos utilizados na equação
de elipse
3
32
Figura 6: Curva que indicando relação geral entre rendimento específico e
permeabilidade
4
46
Figura 7: Teste da equação de Dumm por aproximação potencial com o modelo (62) 4
48
Figura 8: Ajuste linear do modelo com a razão entre as alturas do lençol freático 5
49
Figura 9: Relação entre rendimento especifico (S), e o ajuste linear feito com o modelo
(65)
5
50
Figura 10: Ajuste do modelo empírico com a equação de Glover (69) 5
50
Figura 11: Ajuste por aproximações polinomial entre os modelos (72) e (69) 5
51
Figura 12: Teste de identidade entre os modelos (72) e (69) 5
51
Figura 13: Teste comparativo entre as equações (69) e (72) 5
52
Figura 14: Teste linear entre os modelos (69) e (73) 5
53
Figura 15: Comparação entre as equações (69), (73) e a região onde o modelo é válido 5
53
Figura 16: Teste de identidade onde se compara Glover-Dumm com a equação (74) 5
54
Figura 17: Comparação das equações (60),(75) e (76) 5
55
Figura 18: Relação linear entre os modelos (60) e (75) 5
55
Figura 19: Relação linear entre os modelos (75) e (76) 5
56
Figura 20: Relação linear entre os modelos (60) e (76) 5
56
Figura 21: Relação linear entre espaçamento calculado com os modelos (21) e (77) 5
57
Figura 22: Inserção do parâmetro S nos modelos (78) e (79) e comparação com modelo
de Dumm
6
58
Figura 23: Relação linear entre os modelos potencial (62) e o (78) 6
58
Figura 24: Comparação entre as equações (69) e (80) 6
59
Figura 25: Teste de identidade dos modelos (69) e (80) 6
59
Figura 26: Comparação linear entre modelo (82) e o clássico modelo (21) 6
60
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Classificação do desempenho segundo o índice de confiança “c” 35
Tabela 2 Valores encontrados para os coeficientes c, d e r 49
LISTA DE SÍMBOLOS
calor específico do corpo
profundidade saturada abaixo dos drenos
Coeficiente de concordância ou exatidão __
Profundidade da camada impermeável L
Fator de reação T
Altura inicial do lençol freático acima dos drenos L
Altura do lençol freático em uma distância x no tempo t L
Condutividade térmica de um corpo L
Condutividade hidráulica LT-1
Espaçamento entre drenos L
O: Média dos valores observados pelo método padrão L
Oi: Valores estimados pelo método padrão L
Valores estimados pelo método testado L
Fluxo abaixo do nível dos drenos LT-1
Energia térmica de um corpo ML2t-2
Vazão de fluxo L3T
-1
Rendimento especifico %
Tempo T
Distância da linha central do dreno L
Altura inicial do lençol freático acima dos drenos L
Altura do lençol freático no ponto médio entre os drenos em L
Fator de Reação T
Variação no nível freático L
Laplaciano de u no 3 em coordenadas cartesianas __
Variação no armazenamento de água L
Espaço poroso drenável L3
= Região limitada e convexa __
Superfície diferenciável __
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 14
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 15
2.1 O uso de modelagem 15
2.2 Leis de conservação 17
2.3 Equação da difusão de fluidos ou equação do calor 18
2.4 Drenagem agrícola 20
2.5 Parâmetros e variáveis utilizadas na drenagem agrícola 21
2.5.1 Condutividade hidráulica 21
2.5.2 Regimes de escoamento 22
2.6 Equações usadas no calculo do espaçamento entre drenos 23
2.7 Considerações sobre as equações de regime permanente e variável 33
3 METODOLOGIA DESENVOLVIDA 36
3.1 Uma solução analítica para a equação da difusão 37
3.2 Representações algébricas para o modelo do gráfico de Dumm 44
3.3 Desenvolvimentos dos modelos matemáticos 45
4 VALIDAÇÃO DOS MODELOS 48
5 CONCLUSÕES 61
REFERÊNCIAS 62
ANEXO 65
14
1 INTRODUÇÃO
A drenagem subterrânea, também conhecida como drenagem de solo (drenagem
artificial) é usada para controle de nível do lençol freático, na remoção do excesso de água e
sais do solo. É um tema amplamente discutido devido a sua importância e a grande variedade
de problemas que um sistema de drenagem deficiente pode causar ao solo, plantas entre
outros. Os problemas da drenagem agrícola estão relacionados não só com o manejo do
agricultor, mas com os inúmeros problemas estruturais envolvidos na implantação de todo o
sistema. O espaçamento e a profundidade são os principais parâmetros considerados no
dimensionamento de um sistema de drenagem, lembrando que estes dependem de outros
parâmetros envolvidos no processo, como condutividade hidráulica, porosidade, densidade,
entre outros.
Através do estudo de uma equação diferencial que permite gerar uma equação de
mensuração aproximada do movimento de fluido no meio poroso, nesta particular situação se
admite uma solução empírica por aproximações com funções potenciais em duas variáveis.
Em particular a equação diferencial da difusão ou da propagação do calor apresenta esta
potencialidade.
Os modelos matemáticos simulados por computador usando técnicas numéricas
geram bons resultados e com altas correlações com a realidade. Assim, valoriza-se o uso desta
técnica para tratar o problema sob uma geometria plana e com a variável temporal. Através de
simulações se consegue uma boa aproximação por funções potenciais, dependendo apenas de
dois parâmetros. A partir do uso das propriedades algébricas que permite identificar padrões
de funções potenciais, exponenciais e logarítmicas pode-se obter uma expressão geral ao
aplicá-las nos padrões identificados por Dumm, de modo que apresentar-se-ia, assim, como
uma ferramenta útil no dimensionamento do sistema de drenagem.
Devido ao exposto anteriormente, objetivou-se com este trabalho propor um modelo
matemático para simular espaçamento e profundidade de drenos em regime de escoamento
variável no caso em que os drenos estão acima da barreira.
15
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 O USO DE MODELAGEM
Segundo Wendlander (2012) um modelo matemático, muitas vezes, é uma
representação simplificada do fenômeno em estudo, pois representam a natureza do sistema
através de equações matemáticas e são versáteis pela facilidade de se modificar sua lógica
diante das situações, oferecendo soluções diferentes de modo rápido. A solução de um modelo
matemático deve ser compatível com o comportamento e as propriedades do problema
estudado (Figura 1). Em muitos casos não é possível encontrar a solução analítica do modelo
e uma alternativa para solucionar esse problema é usar métodos numéricos. Dentre todos os
métodos numéricos para solucionar equações diferenciais parciais destacamos: método das
diferenças finitas, método dos volumes finitos, método dos elementos finitos, entre outros.
Figura 1 - Esquema do processo de etapas da modelação
Fonte: Wendlander (2012)
16
Os modelos existentes atualmente procuram, além dos métodos que levem a uma
melhor representação dos fenômenos, uma facilidade maior de manuseio. A tecnologia
crescente permite isto. Modelos com grande massa de dados requerida e complexidade de
operação podem se tornar impopulares apesar de uma boa qualidade de informações a que se
propõem. Entre outros quesitos, Batista e Matos (1994), indicam que um bom modelo deve
ser robusto, eficiente e deve apresentar facilidade de uso.
Segundo Kunzler (2007), modelos são ferramentas que visam aproximar ao máximo
as condições físicas reais de campo e são fundamentais para o planejamento e previsão de
situações. Quanto aos tipos são: físicos, analógicos e matemáticos.
Os modelos matemáticos se dividem em analíticos, numéricos e empíricos, de modo
que o primeiro usa soluções analíticas para solução de problemas, o segundo usa soluções
numéricas (um exemplo, usado para aproximações de solução de equações diferenciais
parciais que regem o fluxo de água subterrânea), enquanto o terceiro usa ajustes através de
funções que não têm, necessariamente, nenhuma relação com os processos físicos envolvidos.
O trabalho de compreender melhor a sistemática do movimento de água no solo
exige uma boa interpretação do fenômeno físico em questão. A modelagem é um processo de
traduções, geralmente matemáticas, construída em diferentes etapas, no qual o sucesso de uma
etapa nunca supera o da anterior. Considerando um fenômeno qualquer na natureza, a
primeira e mais fundamental modelagem é a conceitual, seguida da modelagem matemática, a
numérica e finalmente a computacional. Mais precisamente, o trabalho de modelagem parte
em geral da modelagem conceitual que se refere a uma estratégia de formar na mente a
concepção do fenômeno observado, conhecer suas causas e efeitos, compreender as interações
dos agentes intervenientes na sua ocorrência. O modelo pode traduzir mais perfeitamente a
realidade quanto mais compreendermos o fenômeno. A partir daí, pode-se traduzi-lo em
diferentes modelagens (ROSMAN, 1997).
Na solução de problemas de drenagem subterrânea são usados modelos analógicos,
físicos e matemáticos para determinação dos diversos parâmetros de projeto de um sistema de
drenagem subterrânea, como espaçamento e profundidade dos drenos; são normalmente
usadas equações analíticas sujeitas às restrições e assumindo premissas, por vezes pouco
realistas com o problema em estudo. Surgiram assim nas ultimas décadas, acompanhando o
aumento da capacidade de computação informática, a solução das próprias equações
fundamentais do escoamento, a partir de métodos numéricos versáteis (CASTANHEIRA;
SANTOS, 2007).
17
2.2 LEIS DE CONSERVAÇÃO
Na física teórica, a lei ou princípio da conservação de energia estabelece que a
quantidade total de energia em um sistema isolado permanece constante. De modo geral uma
lei de conservação é descrita por uma equação que procura expressar a conservação de
alguma entidade física, tais como massa, energia, momento, população, entre outros. Destaca-
se que o estudo da Mecânica dos Fluídos está intimamente ligada a equações diferenciais
parciais que são usadas geralmente na descrição de modelos matemáticos ligados às leis de
conservação; trata-se de sistemas que surgem na física, tais como conservação de massa,
conservação de energia e conservação de momento.
As três leis físicas básicas que explicam o movimento de fluídos são: Lei da
Conservação de Massa, Segunda Lei de Newton e Primeira Lei da Termodinâmica, que por
sua vez estão diretamente associadas às equações diferenciais fundamentais, Equação da
Continuidade, Equação da Quantidade de Movimento e Equação da Energia, respectivamente.
As leis de conservação de massa nos dizem que a taxa de variação de massa no
sistema é nula; assumindo um referencial estacionário. A segunda lei de Newton nos diz que a
soma de todas as forças externas, que atuam no sistema é igual à taxa da variação da
quantidade de movimento linear do sistema com o tempo. A primeira lei da termodinâmica
assegura que em um sistema fechado existe a conservação de energia total do sistema.
Os fluidos respeitam a conservação de massa, quantidade de movimento ou
momentum linear e momentum angular, de energia, e de entropia. A conservação de
quantidade de movimento é expressa pelas equações de Navier-Stokes, que se trata de um
típico sistema em que não se conhece solução analítica. Levando-se em conta o principio da
continuidade, conservação de massa e de energia pode-se expressar de forma simplificada a
equação da difusão de um fluído em um meio poroso. Originalmente o estudo deste sistema
de equação diferencial parcial foi relacionado ao problema de condução de calor ou
transferência de calor, por isso a equação permite modelar fenômeno de difusão, que é algo
mais geral que apenas a transferência de calor e recebe o nome de equação do calor.
Atualmente, o estudo, análise e compreensão da fenomenologia da maior parte dos
problemas em dinâmica de fluidos e em transferência de calor, como macro áreas que
compõem a dinâmica de fluidos, são desenvolvidos através da Modelagem Computacional. A
partir de um sistema de equações diferenciais parciais ou equações diferenciais ordinárias, é
18
desenvolvido um modelo computacional que permite simulações bastante precisas. Esta
solução é condicionada pelas condições iniciais e condições de contorno do problema, que
estabelecem as etapas de evolução deste no tempo e no espaço (FOX; MCDONALD;
PRITCHARD, 2006).
2.3 EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE FLUÍDOS OU EQUAÇÃO DO CALOR
A compreensão de uma dedução da equação do calor de modo geral permite criar
estratégias de solução para resolver problemas ligados ao fenômeno. Atualmente esta equação
tem grande importância e ao fato de ser base dos diversos trabalhos aqui citados terem sidos
desenvolvidos a partir da equação do calor.
Na metade do século XVIII surgiram os primeiros trabalhos que se aproximavam da
que é hoje conhecida como série de Fourier. Mas só em 1807 Fourier formalizou e solucionou
o problema de condução do calor.
A dedução da equação do calor, ou equação da difusão, de uma versão bem geral é
explicada da seguinte forma: seja um corpo, de condutividade térmica k, que ocupa uma
região limitada e conexa ; considerando ainda que sua superfície, é
suficientemente diferenciável.
De acordo com a lei de Fourier para condução de calor, o fluxo de energia térmica
por, , , relaciona-se ao gradiente da temperatura em sua superfície através da seguinte
expressão:
( ) ∮ ( ) ( )
(1)
onde,
( ) é o fluxo por no tempo t;
k é a condutividade térmica do corpo;
( ) é a normal á superfície no ponto ;
( ) é o gradiente da temperatura nesse mesmo ponto.
A relação entre variação de temperatura e transferência de energia térmica em um
dado ponto do corpo é dada por
19
( )
( ) (2)
onde,
Q é a energia térmica;
c é o calor específico do corpo
é a densidade de massa;
Obtém-se a equação do calor a partir das equações (1) e (2). O principio da
conservação de energia garante que no intervalo de tempo entre os instantes e , a energia
térmica transferida através da superfície somada á variação interna de energia térmica é uma
quantia nula.
A quantidade de energia térmica recebida pelo corpo e dada por
∫ ( )
(3)
De algum modo a energia é distribuída pelo corpo, porém supomos que independente
dessa distribuição, a relação entre a sua variação em um ponto e a variação de temperatura
nesse mesmo ponto é dada pela equação (2). Assim a integração da equação (2) é igual a
∫ ∫
( )
(4)
que mede a variação de energia térmica no volume Portanto o princípio da conservação de
energia garante que
∫ ∫
( )
∫
( ) (5)
para todo intervalo ( ) e qualquer região
Substituindo (1) e (2) em (5), tem-se
∫ ∫
( )
∫ ∮ ( ) ( )
(6)
e utilizando o teorema da divergência para a segunda integral da equação anterior
∫ ∫
( )
∫ ∮ ( )
(7)
20
que implica,
∫ ∫ (
( ) ( ))
(8)
onde, é o laplaciano de u (no e em coordenadas cartesianas,
)
Como a integral anterior é nula e independe das regiões de integração, pode-se
concluir que a temperatura do corpo satisfaz a equação;
(9)
que é a equação do calor de um modo mais geral (SOUZA; GUIDI, 2007).
2.4 DRENAGEM AGRÍCOLA
Drenagem agrícola é o processo de aceleração da remoção do excesso de água no
solo; melhorando as condições de aquecimento e aeração do solo que promove a ação
bacteriana essencial para a produção de alimentos para as culturas.
A definição de drenagem agrícola depende de fatores importantes como manejo do
sistema de cultivo e do local. Um sistema de drenagem bem estruturado é muito importante
para o controle do lençol freático e salinidade quando as condições locais não oferecem
drenagem natural adequada, ou seja, há fatores que afetam a drenagem. E esses fatores são
inúmeros, como por exemplo: a topografia, a geologia e as mais variadas obstruções locais
que podem bloquear ou retardar o movimento da água e causar má drenagem. São exemplos
destes fatores locais: a falta de uma área depressional, falta de inclinação, barreiras
superficiais naturais que limitam o fluxo de água, camadas de solo com baixa permeabilidade
que restringe o movimento descendente da água formando pequenas poças na superfície ou
armazenando no perfil do solo. Há ainda as obstruções que são construídas pelo homem, tais
como estradas, pontes, diques e represas com capacidade e profundidade insuficientes.
Também se tem os problemas com as perdas por percolação profunda da água de irrigação,
bem como as perdas por infiltração nos sistemas de canais e valas (SCS-USDA, 1971).
21
Os sistemas de drenagem se dividem em dois: drenagem superficial que é a remoção
de água da superfície e drenagem subterrânea, que intercepta água de percolação profunda, o
que permite a monitorização da qualidade da água, fornecimento de tratamento, se necessário,
controle do lençol freático e salinização em regiões áridas e semi-áridas; assim como redução
de erosão, otimização de área útil para cultivo, redução de sedimentos e poluentes,
principalmente de fósforo e de potássio em solução. Controla melhor a poluição difusa, bem
como melhora a transitabilidade da área facilitando a colheita em períodos de inverno
(USDA, 2001).
O sistema de drenagem superficial é formado por drenos abertos que são escavações
alongadas de perfil trapezoidal, com pequeno declive longitudinal. São rasos e com taludes
bastante inclinados para permitir a passagem de máquinas agrícolas (drenos de alívio).
A drenagem subterrânea utiliza basicamente os drenos tubulares, que tem por intuito
captar a água de percolação presente no perfil do solo (mais utilizada para controle da
salinização).
Segundo Batista et al. (2002), a drenagem subterrânea é importante para evitar o
encharcamento em regiões de baixo déficit hídrico, o encharcamento de modo geral, a
salinização em zonas de alto déficit hídrico, como é a maioria das áreas no Nordeste
brasileiro. E não só áreas irrigadas necessitam de drenagem subterrânea, mas sim qualquer
área que apresente problemas de drenabilidade de perfil, como é o caso das várzeas. Em nosso
país houve um projeto de aproveitamento de várzeas entre os anos 1973 a 1987, onde se
tentou resolver o problema de drenagem através de valas abertas, e constatou-se que valas têm
custo baixo na implementação, mas custo elevado na manutenção sem se falar nas perdas de
áreas de cultivo. Deste modo torna-se mais dispendiosa que aquela efetuada através de
condutos subterrâneos.
2.5 PARÂMETROS E VARIÁVEIS UTILIZADAS NA DRENAGEM AGRÍCOLA
2.5.1 CONDUTIVIDADE HIDRÁULICA
Toda pesquisa de drenagem de solo envolve condutividade hidráulica (K), um dos
parâmetros mais importantes na pesquisa de campo. É definida como o coeficiente K da lei de
Darcy, (
) porem os valores de K dependem das propriedades do fluido, tais como
22
viscosidade, interações com o meio poroso e redução de porosidade. Também é usada para
especificar a taxa de transmissão de água através do solo.
Medir ou estimar condutividade hidráulica não é algo simples, devido a sua grande
variabilidade espacial. É muito importante ter claro o valor da condutividade hidráulica de
cada teste hidráulico, bem como, a localização dos mesmos dentro da área analisada, pois
assim, se determina o valor ou os valores a serem usados em todos os cálculos de um projeto.
Os termos condutividade hidráulica, permeabilidade e coeficiente de permeabilidade
apesar das diferenças técnicas, são muitas vezes usados com o mesmo sentido. Coeficiente de
permeabilidade é definido como sendo a taxa de fluxo de água através de uma unidade de área
durante certo período de tempo. Condutividade hidráulica já foi definida acima.
Permeabilidade é definida, de modo geral, como sendo a capacidade relativa do solo de
transmitir água.
A condutividade hidráulica pode também se alterar com o passar do tempo, isso é
devido a ações químicas, mecânicas e outras práticas agrícolas (USDA, 2001).
O solo a ser drenado deve ter uma barreira e também é necessário um controle do
lençol freático, ou uma camada impermeável permanente dentro de um intervalo de
profundidade de 10 a 25 m da superfície do solo. Barreira é definida como sendo uma camada
menos permeável e continua ao longo de uma área a ser drenada, com uma espessura que
proporcione um impedimento positivo para a percolação ou infiltração vertical. A
condutividade hidráulica do material da barreira deve ser no mínimo (10%) inferior ao
material sobrejacente, caso contrario não pode ser considerada como uma barreira (SCS-
USDA, 1971).
2.5.2 REGIMES DE ESCOAMENTO
Definem-se águas subterrâneas como sendo um corpo encontrado no solo, cujos
poros são saturados com água. O lugar geométrico dos pontos na água subterrânea cuja
pressão é igual á pressão atmosférica define lençol freático.
Fluxo estável (ou permanente) baseia-se no principio de que a água de descarga e
recarga tem uma relação de constância e igualdade, consequentemente, o lençol freático
permanece na mesma posição, ou seja, a taxa de recarga de água subterrânea é uniforme,
assim o lençol freático fica com a mesma altura, enquanto a recarga acontece (BOS, 1994).
23
Fluxo transiente (ou variável) é não estável, e varia com o tempo em que a água é
armazenada ou liberada do solo. As variações de armazenamento são percebidas tanto na
subida como na descida do lençol freático (RITZEMA, 1994).
Este conceito foi desenvolvido no Bureau of Reclamation, USA, e trabalhado por
Glover e Dumm, entre os anos 50 e 60.
O movimento de água no solo na condição de não saturação, devido a sua
importância ao grau complexidade, tem sido um dos tópicos mais importantes e pesquisados
na Física do Solo nas ultimas décadas. Apesar de grandes avanços teóricos e práticos
significativos, a zona do solo não-saturada permanece sendo um desafio para o entendimento
científico e manejo tecnológico (BIASSUSI, 2001).
2.6 EQUAÇÕES USADAS NO CALCULO DO ESPAÇAMENTO ENTRE DRENOS
Muitos autores já estudaram as equações de drenagem, com o objetivo de verificar a
que melhor se ajusta às condições de campo e laboratório, ainda assim é difícil saber qual a
melhor diante de tantas propostas. Para o movimento de fluxo permanente se destacam as
equações de Hooghoudt e Ernest (Pizarro, 1978) e, fluxo não permanente, as equações de
Glover-Dumm (Pizarro, 1978), Glover, Boussinesq-Glover, Hammad, Tapp-Moody,
Schilfgaarde e Kirkham (DUARTE; CRUCIANI; CARRARO; et al, 2001).
Segundo Dumm (1964) ao desenvolver a teoria do fluxo transiente mediante um
estudo do lençol freático, feito a partir da instalação de drenos paralelos, percebeu-se que uma
parábola de quarto grau deu uma boa reprodução da forma inicial do mesmo, bem como a
forma mantida ao longo de todo o período de rebaixamento. Foi usado também para
representar as condições iniciais do lençol freático, este foi um estudo desenvolvido por Tapp-
Moody que, segundo Albuquerque (1982), a teoria é recomendada pelo Bureau of
Reclamation USA, quando se tem uma situação de lençol freático instável.
O desenvolvimento matemático se deu com o uso da equação diferencial parcial do
calor tal como se conhece da Física. A equação diferencial relativa á altura do lençol freático,
a difusividade, o tempo e as coordenadas de espaço são:
24
(10)
Como recursos para verificação da teoria, Dumm (1964) usou dados de campo de
pesquisadores australianos e canadenses, tais como descarga, permeabilidade, entre outras.
Usou também dados semelhantes do projeto Gila no Arizona, USA. Como os dados estavam
bem detalhados foi possível fazer boas verificações sobre a aplicação da teoria de fluxo
transiente para condições de campo.
O autor ressalta que apenas através da utilização da teoria de fluxo transiente você
pode-se verificar e calcular a oscilação do lençol freático induzida por drenos e que esta é
uma boa maneira de se calcular espaçamento entre drenos. Ele analisou dois casos: quando os
drenos são colocados acima da barreira e sobre a barreira. A teoria trata os dois casos e faz as
seguintes considerações; quando ⁄ os cálculos de espaçamento deve ser feito com
base no caso onde os drenos são colocados no fundo do aquífero ou sobre a barreira.
Conseguem-se boas correlações onde a profundidade d não é tão grande em
comparação com a profundidade y ou até o ponto em que ⁄ ; onde d é a
profundidade saturada abaixo dos drenos e y0 é a altura inicial do lençol freático acima dos
drenos.
Mas nenhum dado de dreno pesquisado por Dumm apresentou valor de ⁄ dentro
do intervalo entre 0,1 e 0,8. Porém não se sabe ao certo qual caso se deve utilizar para calcular
o espaçamento entre drenos, quando o valor ⁄ cai neste intervalo. Já os australianos
relataram a instalação de drenos em diversos locais dentro do aquífero em alturas acima da
barreira compreendidas entre 0,3 ft até cerca de 6 ft (de 0,09 a 1,8 m) e com valores de ⁄
cerca de 0,1 a 5,9. Neste exemplo foram usadas medidas de permeabilidade que foram
coletadas em vários anos em que o lençol freático esteve em diferentes alturas; estes valores
foram obtidos a partir do ponto médio da curva de rebaixamento do lençol em períodos
específicos de tempo, e o rendimento específico foi obtido pelo calculo de cada período pela
divisão do volume de água descarregada pelo volume de solo seco. Já a média e a
profundidade de fluxo D foram obtidas por
(11)
25
Com estes valores e a curva da Figura 2 (que foi obtida a partir de ajuste de dados de
campo) o espaçamento e as alturas do lençol freático foram calculados e comparados com os
valores medidos.
Figura 2 - Curva indicando a relação entre os parâmetros ⁄ e ⁄ no ponto médio
entre os drenos.
Fonte: Dumm (1964).
Para calcular o espaçamento responsável pelo rebaixamento durante este período de
tempo utilizou-se os valores de (onde S é rendimento especifico e L é o
espaçamento entre drenos).
No calculo do rebaixamento levou-se em conta a construção do dreno e os valores de
. As comparações abrangidas pelo exemplo deram boas correlações.
A teoria relaciona o comportamento do lençol freático em relação ao tempo, às
características físicas da superfície e o espaçamento entre drenos; assim se apresentam como
uma ferramenta útil e flexível.
Foram desenvolvidos dois casos no Bureau of Reclamation, USA, onde eles
fornecem um cálculo de espaçamento entre drenos que é aplicável em qualquer combinação
de recarga, tempo e condições de carga hidráulica. Analisando drenos instalados acima da
barreira, são assumidas 11 condições; tais como profundidade da barreira, de 30 ft, (cerca de 9
m) a profundidade dos drenos 8 ft, (cerca de 2 m) o solo deve ser homogêneo e isotrópico,
permeabilidade de aproximadamente 5 in/h ou 10 ft, e o teste ou avaliação de espaçamento
26
entre drenos deve iniciar em 1450 ft. A escolha de
foi satisfatória para cobrir o
caso intermediário, onde a profundidade d não era grande comparada com a profundidade y0.
É essencial restringir situações em que a quantidade de rebaixamento do lençol
freático é moderada. Este cálculo não considera a redução do espaçamento devido á restrição
ao fluxo causada pela convergência das linhas de fluxo á medida que se aproximam do dreno.
No caso dos drenos instalados sobre a barreira são usados os dados de
permeabilidade, rendimento específico, tempo e quantidade de percolação profunda do caso
anterior. Os cálculos são semelhantes com algumas diferenças e conclui-se que, a restrição
para apenas um rebaixamento moderado do lençol freático é removida. A queda do lençol
freático durante um longo período de drenagem entre os ciclos de irrigação podem ser obtidos
usando um único ou uma série de intervalos de tempo. E não é necessário correção de
convergência neste processo porque ele representa o perfil do lençol freático inicial (Dumm,
1964).
Com base nas hipóteses de Dupuit-Forchheimer, se pode derivar e usar a equação
diferencial de fluxo instável; considera-se uma coluna de solo, que é delimitada pelo lençol
freático no topo e por uma camada impermeável ao fundo, como ilustrado na Figura 3. Se não
houver uma recarga de água subterrânea a mudança no armazenamento do perfil de solo é
dada por
(12)
onde,
∆W é a mudança no armazenamento de água por unidade de área superficial em relação ao
tempo considerado (m);
μ = espaço poroso drenável (ou porosidade drenavel);
∆h = variação no nível do lençol freático durante o tempo considerado (m);
27
Figura 3 - Mudança que ocorre no armazenamento em uma coluna de solo sob a
queda do lençol freático
Fonte: RITZEMA, (1994)
A mudança no armazenamento durante um período de tempo considerado
infinitamente pequeno dt, é
(13)
O princípio da continuidade exige agora que a diferença total de saída menos o fluxo
de entrada nas direções de x e y seja igual à variação no armazenamento. Daí a equação da
continuidade pode ser escrita como:
[
(
)
(
)]
(14)
Esta equação pode ser simplificada se considerarmos h grande em comparação com
as mudanças nos h; assim tomamos h como uma constante D, sendo a espessura média da
camada transmissora de água. E, além disso, considerar o fluxo em apenas uma direção; dai a
equação (14) se escreve como a seguinte equação diferencial de fluxo instável.
28
(15)
Esta equação foi usada por. Dumm (1954) para descrever a queda de um lençol
freático depois de uma subida instantânea a uma altura h0 acima do nível dos drenos. A
solução que ele apresenta é baseada em uma equação desenvolvida por Glover, que descreve
o rebaixamento do lençol freático inicialmente horizontal, ilustrado na Figura 4, como sendo
uma função do tempo, lugar, espaçamento de drenagem e das propriedades do solo.
( )
∑
(16)
onde,
(17)
h(x, t) = altura do lençol freático em uma distância x no tempo t (m);
h0 = altura inicial do lençol freático em t = 0 (m);
α = fator de reação (d-1
);
K = condutividade hidráulica (m/d);
d = profundidade equivalente da camada de solo abaixo do nível dos drenos onde há fluxo
(m);
μ = espaço poroso drenável;
L = espaçamento entre drenos (m);
t = tempo após o aumento instantâneo do lençol freático (d);
n = índice de soma;
29
Figura 4 - Condições de contorno para a equação de Glover-Dumm com um lençol
freático inicialmente horizontal
Fonte: RITZEMA (1994)
Encontra-se a altura do lençol freático no ponto intermediário entre os drenos
substituindo x = L/2 na equação (16). Dai escrevemos;
(
)
∑
(18)
onde (m) é a altura do lençol freático no ponto intermediário entre os drenos em
Se os termos da equação (18) a partir do segundo se tornam pequenos e
podem ser desprezados, assim, a equação reduz-se a
(19)
Se, ao invés de ser horizontal, o lençol freático inicial tiver a forma de uma parábola
de quarto grau a equação (19) torna-se (Dumm 1960).
(20)
Se substituirmos a equação (17) na equação (20), encontramos uma expressão para o
espaçamento entre drenos,
(
)
⁄
(
)
⁄
(21)
30
a qual é chamada a Equação de Glover-Dumm.
A equação original de Glover-Dumm é baseada no escoamento horizontal e não leva
em conta a resistência radial de fluxo para os drenos que não alcançam a camada
impermeável. Em semelhança com a abordagem de equações de regime regular, no entanto,
pela introdução do conceito de Hooghoudt a profundidade equivalente d nas equações (17) e
(21), que leva em conta a resistência extra causada pelo fluxo convergente em direção aos
drenos (RITZEMA, 1994).
A equação de Zeeuw-Hellinga é utilizada para descrever um lençol freático flutuante.
Nesta abordagem, uma recarga não uniforme é dividida em períodos de tempo mais curto que
a recarga de águas subterrâneas e pode ser considerada constante. Esta é a situação típica de
áreas úmidas com alta intensidade de chuvas concentradas em tempestades discretas.
De Zeeuw e Hellinga (1958) deduziram que, se a recarga (R), em cada período de
tempo pode ser assumida como sendo constante, a mudança de descarga de dreno é
proporcional ao excesso de recarga ( ), a constante de proporcionalidade sendo o fator
de reação .
( ) (22)
A integração entre os limites ⁄ e ⁄ resulta em
( ) (23)
onde ( ) é o intervalo de tempo durante o qual a recarga é assumida como
sendo constante (d).
Podemos simular a profundidade do lençol freático, introduzindo a equação
simplificada de Hooghoudt, que desconsidera o fluxo acima do nível do dreno,
(24)
Esta equação descreve o fluxo abaixo do nível dos drenos (a camada impermeável
está muito abaixo do nivel dos drenos, ou seja, ).
Usando a equação (17), podemos substituir o quociente, ⁄ por ⁄
e a equação simplificada de Hooghoudt muda para
31
(25)
Substituindo a equação (25) na equação (23) resulta
( ) (26)
Podemos usar as equações (23) e (26) para simular descarga de dreno e flutuações do
lençol freático com base na distribuição de intensidade de uma precipitação crítica obtida a
partir de registros históricos (RITZEMA, 1994).
Depois de se conhecer a profundidade que se deseja instalar os drenos, o
espaçamento pode ser calculado com o uso de equações, existem muitas e entre elas
destacamos a equação da elipse que é muito usada para determinar o espaçamento entre
drenos do tipo alívio (ou descarga), como podemos ver o esquema na Figura 5. A equação é
expressa da seguinte forma,
√ ( )
(27)
onde,
S é o espaçamento entre drenos (em pés);
K é a condutividade hidráulica média (em polegadas por horas);
m é a distância vertical, após o rebaichamento, do lençol freático acima dos drenos no ponto
médio entre as linhas (em pés);
a é a profundidade de barreira abaixo dos drenos (em pés);
q é o coeficiente de drenagem (em polegadas por horas);
d é a profundidade dos drenos (em pés);
c é a profundidade desejada para o lençol freático (em pés).
Nota: as variáveis K e q tem que serem trabalhadas nas mesmas unidades nesta equação.
32
Figura 5 - Esboço da Secção transversal mostrando os símbolos utilizados na equação de
elipse.
Fonte: SCS-USDA (1971)
A equação da elipse é baseada na suposição de que o fluxo que otimiza um sistema
em gravidade é horizontal e que a velocidade do fluxo é proporcional ao gradiente hidráulico
ou a superficie livre da água. Mesmo sabendo que são apenas aproximações, essas suposições
podem se aproximar em muito das condições reais de um determinado local. Por esta razão, a
utilização da equação está limitada a três condições:
1ª Onde o fluxo de água subterrâneo é conhecido como sendo em grande parte em
direção horizontal. Exemplos disso são solos estratificados com camadas relativamente
permeáveis atuando como aqüíferos horizontais.
2ª Onde o solo e os materiais do solo e sub solo são sustentados por uma barreira
com pouca profundidade (duas vezes a profundidade dos drenos ou menos) que restringe o
fluxo vertical e força a água do solo para fluir horizontalmente em direção ao dreno.
3ª Onde as valas abertas são usadas, ou onde drenos com areia, cascalho e filtros
porosos ou materiais de aterro de trincheira são usados. Estas são condições em que existe um
mínimo de restrição de fluxo, em que o dreno em si e onde há convergência de fluxo no dreno
esta é leve. Para as condições em que a convergência é significativa, é necessário modificar a
33
equação da elipse. Modelos para levar em consideração o fluxo radial em torno drenos foram
desenvolvidas por Hooghoudt e Ernst (SCS-USDA, 1971)
2.7 CONSIDERAÇÕES SOBRE AS EQUAÇÕES DE REGIME PERMANENTE E
VARIÁVEL
A primeira vista as equações de regime variável oferecem vantagens importantes em
comparação com as equações de regime permanente, mas as varias hipoteses levantadas pelas
equações de regime variável restringe o seu uso.
Em primeiro lugar, tanto as equações de Glover-Dumm como a Equação de Zeeuw-
Hellinga pode ser aplicada apenas em solo, com um perfil homogéneo. Em segundo lugar, o
fluxo na região acima dos drenos não é levado em conta. Quando a profundidade do lençol
freático acima do nível dos drenos (h) é grande em comparação com a profundidade da
camada impermeável (D), um erro pode ser introduzido. Isso sem se falar no parâmetro
porosidade drenavel que é quem mais introduz erros aos calculos. Além do fato que essa é
uma propridade do solo muito dificil de medir, devido a grande variabilidade espacial. Por
esta razão as equações de regime variável raramente são usadas de forma direta em projeto de
drenagem subterrânea, mas sim em combinação com as equações de regime permanente (ou
estável). No entanto as equações de regime permanente são muito úteis quando se estuda a
variação no tempo de parâmetros como; elevação do lençol freático e descargas de dreno
depois de uma chuva ou irrigação.
As hipoteses abordadas pelas equações de regime permanente descreve apenas uma
relação constante entre lençol freático e descarga de drenos. Quando na verdade, a recarga do
lençol freático varia com o tempo e como consequencia, o fluxo de águas subterrâneas para os
drenos é variável. E para descrever essa variação do lençol freático como funções do tempo,
usaram as equações de estado instável, (ou de regime variavel) essas são baseadas nas
equações diferenciais para fluxo variável.
E tanto as equações de regime permanente quanto a variável são baseadas nas
mesmas suposições, ou seja, no pricipio de Dupuit–Forchheimer. A única diferença é que a
recarga varia com o tempo na abordagem de regime variável (RITZEMA, 1994).
34
2.8 ÍNDICES DE DESEMPENHO ESTATÍSTICO PARA AVALIAR O GRAU DE
PRECISÃO DE ESTIMATIVAS
Usou-se, neste trabalho, o índice de desempenho estatístico “c” proposto por
Camargo & Sentelhas (CAMARGO & SENTELHAS, 1997) para avaliar o grau de precisão
das estimativas. Tal índice é baseado nos índices comparativo de Willmott (WILLMOTT,
1981) e o coeficiente de correlação (ou índice de precisão (r)) cujo produto define “c”, o
coeficiente comparativo de modelos, dando precisão às variáveis linguísticas de categorização
do grau de similaridade entre modelos. O teste de Willmott quantifica matematicamente a
dispersão dos dados estimados em relação aos valores observados. O coeficiente “r”
determina a precisão do método e indica o grau de dispersão dos pontos em relação á média.
O índice “c” mostra o desempenho dos métodos, agrupando o resultado dos índices d e r.
Sendo o calculo de d feito pela seguinte equação,
[∑( )
∑(| | | |) ] (28)
onde,
d = coeficiente de concordâncias;
Pi = valores estimados pelo método testado
Oi = valores estimados pelo método padrão
O = média dos valores observados pelo método padrão
O índice de confiança “c” é expresso pela seguinte equação;
(29)
onde os valores desse índice variam de 0; nenhuma concordância a 1; concordância perfeita.
Os valores expressos na Tabela 1 quantificam os resultados (GONÇALVES, et al. 2009)
35
Tabela 1 - Classificação do desempenho segundo o índice de confiança “c”
Valor de “c” Desempenho
≥ 0,85 Ótimo
0,76 a 0,85 Muito Bom
0,66 a 0,75 Bom
0,61 a 0,65 Mediano
0,51 a 0,60 Sofrível
0,41 a 0,50 Mau
≤ 0,40 Péssimo
Fonte: Camargo & Sentelhas (1997)
36
3 METODOLOGIA DESENVOLVIDA
Na elaboração deste trabalho buscou-se combinar duas diferentes estratégias para
desenvolver modelos matemáticos que descrevem o rebaixamento do lençol freático em um
sistema de drenagem, e consequentemente o dimensionamento da distância entre drenos em
um sistema de drenagem agrícola. Uma estratégia ligada à determinação de solução analítica,
admitindo certas restrições para o sistema; e outra forma diretamente ligada ao cálculo
computacional, que constitui uma ferramenta útil para projeto de engenharia em geral e, em
particular, para a resolução de problemas de Mecânica de Fluidos e de Transferência de
Energia e de Massa, e, gerar soluções empíricas que valem sob certas condições de limite de
variação para a razão entre o nível do lençol freático inicial e final.
No trabalho de Dumm (1964) foi apresentada uma solução analítica para problema
de dimensionamento de drenos, através da resolução da equação diferencial da transferência
de calor adaptada ao problema de drenagem. Foi usada uma técnica de solução que gerou uma
solução em série de potências, que possui infinitos termos não nulos, onde foi considerado
que o primeiro termo da série se ajustava bem ao problema.
Ainda referindo ao trabalho de Dumm (1964), os recursos gráficos desempenharam
papel fundamental na estruturação de um algoritmo de análise de dimensionamento de drenos,
em razão de não ter sido identificada uma solução em termos elementares. Outro elemento
que se destaca no trabalho de Dumm é o uso da variável S (rendimento especifico ou
porosidade efetiva), nestes termos ⁄ varia em função de ⁄ que por sua vez assume
no domínio ⁄ . A partir da análise destes fatos, identificou-se que seria
possível determinar uma expressão algébrica para representar o esquema gráfico, que
naturalmente tem um maior grau de precisão.
A equação usada por Dumm (1964), com as mesmas condições de contorno, foi
usada na elaboração deste trabalho. Usou-se a equação da difusão com as condições de
contorno de Dirichlet, buscou-se uma solução analítica para o problema através do manejo da
técnica de gerar uma solução que tem a forma de um produto de duas funções, uma que
depende de t e a outra que depende da posição, pelo método da separação de variáveis.
Também se trabalhou o ajuste da solução em série a uma determinada expressão algébrica que
aproxima a solução geral para pelo menos os quatro primeiros termos da série.
Deve-se salientar que só uma pequena percentagem de problemas práticos de
Mecânica de Fluidos, Transferência de Energia e de Massa admite solução analítica. Além
37
disso, para uma grande parte dos casos em que essa solução analítica existe, a sua
complexidade pode ser muito grande. Entretanto, é crucial que não se desvalorize o método
analítico como ferramenta de resolução de problemas práticos da Mecânica de Fluidos,
Transferência de Energia e de Massa, pois as soluções obtidas por este método permitem
fáceis comparações, análises bem gerais, e dentro das hipóteses inseridas a solução é exata.
Por outro lado, sabe-se que as soluções analíticas exigem simplificações
significativas no problema de modelagem, assim apesar de sua descrição exata pode
apresentar discrepâncias importantes com a realidade. No tocante ao movimento de água no
solo, por exemplo, nos problemas de infiltração, tem-se importantes modelos empíricos, cujas
equações não estão necessariamente associadas a problematização, mas que na prática
representa muito bem a solução do problema. Levando em conta este aspecto da importância
prática da solução do problema em questão, buscou-se também trabalhar soluções empíricas
para o problema de dimensionamento de drenos, para a escolha dos padrões de funções que
podiam gerar soluções aproximadas, foram utilizadas as tradicionais técnicas de linearização
de funções potenciais, exponenciais, entre outras.
Todas as funções que modelam o problema que foram obtidas neste trabalho, tanto as
provindas de soluções analíticas como as empíricas, foram comparadas com o modelo de
Glover-Dumm.
Nas seções a seguir são apresentadas as bases do desenvolvimento dos modelos
matemáticos deste trabalho.
3.1 UMA SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A EQUAÇÃO DA DIFUSÃO
Devido a existência de diversos fatores que podem dificultar a compreensão da
origem dos modelos analíticos que foram estudadas neste trabalho, apresenta-se a seguir de
forma sucinta a técnica de determinação de solução analítica que foi utilizada. Trata-se da
técnica de separação de variáveis descrita para o problema da condução de calor. Como já foi
destacado anteriormente, diversas áreas do conhecimento se valem da equação da condução
de calor para obter novos avanços tecnológicos. Trata-se de uma equação diferencial parcial
(EDP) parabólica, em nosso caso unidimensional que modela a variação de temperatura,
( ) em uma barra metálica retilínea e de material homogêneo (que se assemelha a nossa
38
situação de solo considerada) com a posição x e o tempo t, estando aquecida ao longo do eixo
x.
Dentre as diversas aplicações desta EDP, uma que se destaca é o estudo da variação
de temperatura no solo, pois é muito útil em diversos setores da agricultura, visto que a
temperatura influencia diversos processos químicos, físicos e biológicos do solo. Assim temos
o presente trabalho baseado em Glover-Dumm, que por sua vez foi desenvolvido a partir da
equação do calor.
Das inúmeras soluções que esta equação possui, dependente das condições de
contorno, procurou-se dar ênfase a uma estratégia de determinação de soluções analíticas, que
é a mesma utilizada na dedução da solução apresentada por Dumm (1964).
Partindo da EDP que descreve o processo de difusão, , relacionando a
taxa de variação da temperatura com a segunda derivada da mesma em relação a direção x.
A temperatura em uma barra metálica é descrita pela equação da difusão, busca-se
uma solução que represente a distribuição de temperatura na barra. A distribuição de
temperatura deve depender da temperatura inicial ao longo da barra metálica e essa
distribuição de temperatura é a condição inicial do problema. Assumindo que e a
temperatura ao longo da barra conhecida, escrevemos ( ) ( ), onde [ ] é
uma função que descreve a temperatura nos vários pontos da barra no instante . Além
dessa condição, é necessário saber o que acontece nas extremidades da barra, pois elas não
estão isoladas termicamente, podendo haver perdas e ganhos de calor influenciando assim o
valor da equação da difusão. Portanto temos que enunciar as condições de contorno ou de
fronteira, que também pode ser de vários tipos. Suponhamos que a barra está isolada nas
laterais e a temperatura nas extremidades é mantida a , ou seja, e , temos
então a condição de contorno ( ) e ( ) , logo ( ) ( ) .
Assumimos que a barra tem seção transversal perpendicular ao eixo x, com área A,
supomos que, a seção transversal da barra é tão pequena que u é constante em cada seção
transversal; a superfície lateral da barra é isolada de modo que não passe calor através dela; A
barra tem comprimento L e que sua função-temperatura é f (x) no instante ; deste modo
combinando tudo, temos o problema de Cauchy:
{
( ) ( )
( ) ( )
(30)
39
onde, k é condutividade térmica do material da barra. A equação (30) modela a variação de
temperatura ( ) com a posição x e o tempo t numa barra aquecida que se estende ao longo
do eixo x.
Vamos procurar uma solução de (30) não nula na forma de um produto de funções,
ou seja, vamos resolver pelo método de Fourier das variáveis separáveis isto é, procuremos a
solução na forma
( ) ( ) ( ) (31)
onde F(x) e G(t) são funções a determinar.
De (31) obtemos
( )
(32)
Substituindo estas expressões na equação (30), obtemos
(33)
Na igualdade anterior a parte esquerda não depende de x e aparte direita não depende
de t, por isto
(34)
Desta forma, as funções F(x) e G(t) satisfazem as EDOs,
(35)
(36)
onde μ é uma constante.
Como estamos procurando soluções que satisfazem ( ) ( )
então para todo t, temos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (37)
se supusermos que ( ) então ( ) para todo x e t.
Lembremos que queremos soluções não triviais, por isto, existe ao menos um t, tal
que ( ) mas então
40
( ) ( ) (38)
Assim, chegamos ao seguinte problema: devemos encontrar tais μ, para os quais a
equação (35) possui solução não nula no intervalo [0, L]. Este problema é conhecido como
problema de Shturm-Luiville.
Primeiramente vamos supor que Neste caso os números são as raízes da
equação característica da equação (35), por isso, escrevemos a solução geral de (35) na
seguinte forma
( ) (39)
Das condições de contorno, encontramos donde,
e
Para obter solução não trivial, devemos exigir e portanto ( ) ou
seja donde ⁄ e ⁄ . A cada k corresponde a solução
( ) ( ⁄ ) . Agora se a EDO (35) possui somente solução
trivial. De fato, quando a solução geral da equação (35) se escreve na forma,
( )
(40)
Das condições de contorno, encontramos
(40a)
(40b)
O determinante deste sistema
|
| (40c)
por isso, o sistema somente possui soluções triviais . Isto significa que a equação
(35) com as condições de contorno tem solução trivial se .
Se então a equação característica possui raiz nula de multiplicidade dois, e por
isso a solução geral da equação (35) pode escrever-se como
( ) (41)
Considerando as condições de contorno, obtemos e donde
e ( ) .
41
Agora vamos resolver a equação (36) quando
(42)
e
( )
(42a)
assim,
( )
(43)
e , é uma solução particular da equação (30) satisfazendo as condições de contorno.
É fácil ver que a soma finita
( ) ∑
(44)
também é solução da equação (30). Mas a série infinita
( ) ∑
(45)
é solução da equação (30). Agora se escolhermos de tal forma que
( ) ( ) ∑
(46)
com . Os números podem ser encontrados de forma única pela equação
∫ ( )
(47)
ou seja eles devem ser coeficientes de Fourier da função f no intervalo [0, L].
Exceto em grandes cavernas e fendas, o escoamento subterrâneo é quase sempre
laminar. Neste tipo de escoamento as velocidades são relativamente pequenas e a água
percola lentamente pelos poros do aquífero. O escoamento é dominado pelas forças viscosas
do líquido e a perda de carga que varia linearmente com a velocidade (WENDLAND, 2003).
Baseados nessa premissa e no trabalho de. Dumm (1964) desenvolveu-se um modelo
matemático para simplificar o calculo de espaçamento entre drenos, utilizando-se um menor
número de variáveis.
Segundo Dumm (1964) o estudo do lençol freático, feito a partir da instalação de
drenos paralelos, mostrou que uma parábola de quarto grau deu uma boa reprodução da forma
inicial, bem como da forma mantida ao longo de todo o período de rebaixamento. Mesmo
42
tendo usado incialmente uma equação de Glover onde ele considera o lençol freático como
sendo horizontal.
Glover (1966) afirma que um projeto de sistema de drenagem pode ser facilitado se
usarmos equações baseadas no princípio de Dupuit-Forchheimer. Quando a condição de
continuidade é expressa em função deste principio e de uma profundidade saturada invariável,
as equações diferenciais obtidas têm a forma idêntica das equações da teoria de condução de
calor em sólidos. As primeiras aproximações de soluções são ou podem ser disponibilizadas
para cobrir praticamente qualquer necessidade concebível na área de drenagem.
Assim foi usado também para representar as condições iniciais do lençol freático,
que foi um estudo desenvolvido por inicialmente por Tapp - Moody. A equação diferencial
relativa á altura do lençol freático, a difusividade, o tempo e as coordenadas de espaço é a
equação (10) abaixo já citada anteriormente.
(10)
As condições iniciais e de contorno que satisfazem o problema em específico são:
( ): e a equação abaixo são os dados iniciais.
( ) (48)
Esta equação descreve uma parábola de quarto grau que passa através do ponto
e , ou seja, ( ), ( ) e tem uma ordenada máxima em
⁄ . Com as condições de contorno ( ), temos e , ou
seja ( ) ( ) Dai ele mostra uma solução da equação (10) satisfazendo as
condições iniciais e de contorno.
∑
( )
( )
{ ( )
}
( )
(49)
onde,
: difusividade do aquífero (
);
K: permeabilidade;
d: profundidade saturada abaixo do dreno;
S: Rendimento específico (ou porosidade efetiva) do aquífero (por cento em volume);
L: espaçamento entre drenos;
altura do lençol freático acima dos drenos;
43
t: tempo;
x: distância da linha central do dreno;
c: ponto denotando subscrito, onde ⁄ ;
m, n: índices de soma, ;
Substituindo ⁄ na expressão a seguir se calcula o valor de y no ponto médio
entre drenos:
∑ ( )
{
} (50)
Usando um valor apropriado de lençol freático inicial a solução da equação (50), é
obtida, descartando todos, exceto o primeiro termo da série, os termos tornam-se pequenos e
podem ser desprezados, por exemplo, quando podemos desprezar os termos a partir
do segundo, uma vez que tornam-se suficientemente pequenos.
Observamos que ao desenvolvermos a equação (50) tem um erro de escrita, pois da
forma como é apresentada, a afirmativa acima não é verdadeira, a série é alternada, ou seja, os
termos não podem ser desprezados, o correto é escrever a equação (50) da maneira
apresentada na equação a seguir:
∑ (
)
{
} (51)
cujo primeiro termo é,
(
) {
} (52)
Os exemplos feitos pelo autor no Bureau of Reclamation mostra um de cálculo de
espaçamento entre drenos que é aplicável em qualquer combinação de recarga, tempo e
condições de carga hidráulica. Para drenos acima da barreira são assumidas onze (11)
condições: como medidas de profundidade, permeabilidade, altura do lençol freático,
espaçamento entre outras.
44
3.2 REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS PARA O MODELO DO GRÁFICO DE DUMM
Dumm (1964) usa a já referida Figura 2 como base para um algoritmo relacionado ao
gráfico que permite resolver os problemas de espaçamento de drenos. Os cálculos de
espaçamento são válidos desde que seja pequeno se comparado com o valor de d e a
Figura 2 mostra a relação entre os parâmetros adimensionais ⁄ e ⁄ no ponto
médio entre os drenos (drenos acima da barreira).
De modo geral é comum obter-se uma boa representação gráfica para o padrão de
variação de um determinado fenômeno sem explicitar algebricamente a equação associada,
nesta situação pode ser muito difícil determinar com precisão uma função matemática que
melhor descreve a relação de dependência entre uma variável e a outra. O cálculo numérico
dispõe de sofisticadas ferramentas para este fim. No entanto a solução pode ser bastante
simples quando dispõe-se de um indicativo de uma dependência do tipo logarítmica,
potencial, exponencial, ou polinomial de grau pequeno entre a variável dependente e
independente. Nesta situação uma técnica chamada anamorfose, que faz uso das propriedades
algébricas das funções logarítmicas, permite solucionar o problema de modo bem eficaz.
Neste trabalho aplicou-se a anamorfose à representação gráfica utilizada na Figura 2,
e obteve-se uma função matemática que se ajusta bem ao problema, permitindo um
tratamento algébrico para este algoritmo geométrico. Resumidamente, se uma função for do
tipo exponencial ao aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação é
possível evidenciar que o logaritmo natural da variável dependente é uma função de primeiro
grau em função do logaritmo da variável independente inicial, portanto em representação bi-
logarítmica o gráfico é uma reta.
A partir da Figura 2, foi possível determinar um conjunto de pontos da curva descrita
pelo gráfico monologaritmo, dispondo destes dados aplicou-se logaritmo na segunda
componente do vetor posição, definido por estes pontos e observou-se que após esta operação
o conjunto de pontos tinha boa aproximação por uma reta, portanto deveria admitir boas
representações por ajustes potenciais, exponenciais, e de polinômios de grau menor ou igual a
dois sob certas restrições, a Figura 7 mostra o gráfico da aproximação dos pontos do gráfico
da Figura 2, após anamorfose, por uma reta, e do modelo de ajuste proposto na equação (53),
também anaformisadas.
45
3.3 DESENVOLVIMENTOS DOS MODELOS MATEMÁTICOS
Objetivando encontrar uma função matemática que ajustasse bem à representação da
Figura 2, partiu-se da identificação de 12 pontos da curva e com uso da ferramenta “Solver”, e
os principais instrumentos de manejo de funções do software Excel da Microsoft Inc. para
determinar as funções de ajuste numérico aos dados, valendo-se da técnica dos mínimos
quadrados.
Evidenciou-se que o desvio entre ⁄ e uma constante pode ser aproximada por
uma função do tipo potencial, onde se assume a razão ⁄ em escala logarítmica,
quando se calcula o logaritmo do modelo nota-se que tem bom ajuste linear quando
aproximada por uma equação potencial. O citado modelo tem o seguinte aspecto,
(53)
ou ainda se pode escrever assim,
(54)
onde ⁄ é o fator de reação da equação de Glover-Dumm já referido antes como
equação (17). Porém com uma diferença ao invés de μ usamos o S de Dumm (1964).
E ao relacionarmos o modelo com ⁄ que é a razão entre as alturas do lençol
freático, o ajuste linear é ótimo.
Além da Figura 2, Dumm também apresenta resultados com a Figura 6 em que a
curva indica relação geral entre rendimento específico e permeabilidade, ou seja, S e K.
46
Figura 6 - Curva que indicando relação geral entre rendimento específico e permeabilidade
Fonte: Dumm, (1964)
Feita uma analise na figura, usando os valores fornecidos pela mesma, nota-se que a
curva é um logaritmo em escala dilog e pela figura conseguimos modelar algebricamente pelo
modelo de crescimento logístico, por uma função sigmoide, de tal forma que o ajuste é bom e
ainda se pode calcular espaçamento com uma variável a menos o que é satisfatório, pois
oferece uma vantagem em relação às equações clássicas que temos. O modelo logístico se
escreve assim,
( ) (55)
onde ⁄ . O ajuste que se consegue perceber é que S (rendimento especifico de
Dumm.) pode ser aproximado por;
( ) (56)
ou ainda podemos deixar K em função de S facilitando os cálculos.
Com uso da técnica de anamorfose para o quociente inverso foi identificado que o
modelo de Dumm (1964) pode ser ajustado por funções do tipo exponencial, e sob certas
restrições para modelo potencial, polinomiais de primeiro e segundo grau. Portanto, o
desenvolvimento de modelos empíricos, conseguiu-se determinar funções para estimar ⁄
que é a razão inversa da que é considerada na teoria original de Dumm (1964), temos:
47
(57)
e
(58)
Em termos da variável ⁄ o nosso padrão é valido, dentro de algumas
restrições: e com . Para a equação (57), e para a
equação (58) as restrições são , e com o rebaixamento
do lençol freático variando no intervalo: ⁄ deste modo à função empírica se
escreve,
(
)
(
) (59)
e quando comparada com a equação de Glover (equação (60)) o ajuste é ótimo.
(60)
48
4 VALIDAÇÃO DOS MODELOS
São apresentados a seguir os resultados do teste feito com modelo usando o Excel da
Microsoft®. O primeiro resultado evidencia que a menos de uma constante (1,27 ou
1,16) tem boa aproximação por uma função potencial. Na Figura 7 estão representados os
pontos do gráfico da Figura 2 anamorfisados que admite aproximação pela reta
(61)
com A partir deste resultado determinou-se pelo método dos mínimos quadrados
a função dada pela equação (53), cujos dados anamorfisados são descritos no gráfico da
Figura 7 por teste potencial, note que para este conjunto de pontos obteve-se a função de
ajuste
(62)
com .
Figura 7 - Teste da equação de Dumm por aproximação potencial com o modelo (53)
A Figura 8 mostra a representação gráfica da comparação do modelo potencial
descrito pela equação (53) com os dados do gráfico da Figura 2 (identidade do modelo
potencial).
-2
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
log
10
(y/y
0)
log10 (modelo (53))
teste_potencial
dumm
49
Figura 8 - Ajuste linear do modelo com a razão entre as alturas do lençol freático
O ajuste do modelo potencial (53) com o modelo Dumm é ótimo, de acordo com o
teste de Willmott (1981), e o índice de confiança “c” de Camargo & Sentelhas (1997) Tabela
1, como podemos ver nos valores descritos na Tabela 2.
Tabela 2 Valores encontrados para os coeficientes c, d e r
Coeficientes Valor
d 0,999609082
r 0,99922146
c 0,998830846
A curva descrita pela Figura 6, que descreve graficamente a variação o entre
rendimento especifico (S) e a permeabilidade, foi aproximada pela função matemática
definida pela equação (56), a Figura 9 representa o gráfico de comparação entre os pontos da
Figura 6 e o ajuste empírico definido pela equação (56).
y = 1,0002x + 0,0003 R² = 0,9984
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,2 0,4 0,6 0,8
y/y
0 (
Ad
imen
sio
nal
)
Modelo Potencial (53)
50
Figura 9 - Relação entre rendimento especifico (S), e o ajuste linear feito com o modelo (56)
Após obter as funções matemáticas que se ajustam bem aos gráficos da Figura 2 e
Figura 7, tiveram-se elementos essenciais para trabalhar a comparação pontual de quaisquer
modelos que descrevem ⁄ como os modelos de Glover, Dumm e Glover-
Dumm. A Figura 10 é a representação gráfica da função quadrática
(y=1,0494x2+0,4197x+0,9464) que se aproxima do modelo de Glover para a estimativa de
(com R2=1), trata-se de um modelo empírico com a equação de Glover (equação (60)),
vale sempre que .
Figura 10 - Ajuste do modelo empírico (59) com a equação de Glover (60)
A comparação entre o ajuste por aproximações polinomial
y = 1,0523x + 0,1084 R² = 0,9563
0
5
10
15
20
25
30
35
0 10 20 30 40
S =
29
,73
- 1
0π
/1,0
89
+ 0
,53
k1,5
S = 3(5ln (k + 7) . 9,12)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3
y 0/y
t (A
dim
ensi
on
al)
H (Adimensional)
51
(63)
com a função de Glover
com
é representada na Figura 11 e o ajuste linear na Figura 12
Figura 11 Ajuste por aproximações polinomial entre os modelos (63) e (60)
Figura 12 Teste de identidade entre os modelos (63) e (60)
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3
y o/y
t (A
dim
ensi
on
al)
H (Adimensional)
Série1
"glover"+Hoht!$B$6:$B$
40
Glover
y = 0,8872x + 0,5273 R² = 0,9872
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 5 10 15
H (
Adim
ensi
on
al)
y0/yt (Adimensional)
52
Assim, para o caso em que a relação entre yt e y0 é maior que 1/10 este ajuste é bom,
de acordo com índice de confiança de Camargo & Sentelhas. E quando y0 é 10 vezes maior
que yt o ajuste piora, à medida que a razão aumenta. Como o modelo de Glover-Dumm acaba
dependendo do fato de yt ser menor que a profundidade do dreno, esta situação acaba sendo
bem geral.
Ampliando as restrições, consideramos o caso em que yt é até 25% maior que y0, e o
caso em que y0 é o triplo de yt. A função
(
)
(
) (64)
se ajusta ao problema com um pequeno erro, (y = 0,9141x2 +0,3479x +0,8816 e R
2 = 0,9998)
quando comparada com a equação (60), como mostra a Figura 13, inclusive o teste de
identidade, mostrado na Figura 14.
Figura 13 - Teste comparativo entre as equações (60) e (64)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,5 1 1,5
y 0/y
t (A
dim
ensi
on
al)
H (Adimensional)
53
Figura 14 – Teste linear entre os modelos (60) e (64)
Logo, para o caso em que a relação entre profundidade de dreno e altura inicial do
lençol freático y0 é maior que 1/3, este ajuste é muito bom.
O caso de maior restrição analisado foi o linear descrito pela equação (65) e os
gráficos da Figura 15 e Figura 16. Situação válida quando o domínio é
, obteve-se e .
(65)
Figura 15 - Comparação entre as equações (60), (65) e a região onde o modelo é valido.
y = 0,9971x + 0,0056 R² = 0,9997
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4
Mo
del
o (
60
)
Modelo (64)
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4
y 0/y
t (A
dim
ensi
on
al)
H (Adimensional)
Linear
Glover
região do modelo (65)
54
Figura 16 - Teste de identidade onde se compara Glover-Dumm com a equação (65)
Neste trabalho desenvolveram-se também modelos analíticos e aproximações ligadas
ao problema descrito pela equação (10). Pode-se obter uma solução analítica, com a técnica
de separação de variáveis, chegando-se a série definida pela equação (51) para descrever o
quociente ⁄ trabalhando com a razão inversa ⁄ obtém-se uma aproximação da
solução analítica em 16 termos descrita pela equação:
[
( )
( )
]
(
)
(66)
Ao se considerar apenas os quatro primeiros termos da equação (51) obtém-se uma
solução mais resumida para descrever o quociente ⁄
( )
(67)
O gráfico da Figura 17 abaixo representa a comparação das equações (51), (66) e
(67), em que as funções soluções são postas em função de ⁄ .
y = 1,3013x - 0,4505 R² = 0,9751
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0,5 1 1,5 2 2,5
Model
o (
60)
Modelo (65)
55
Figura 17: Comparação das equações (51), (66) e (67)
A comparação dos valores obtidos de ⁄ pelas soluções das equações (51), (66) e
(67) de duas em duas é representada nos gráficos das Figuras 18, 19 e 20 abaixo.
Figura 18 - Relação linear entre os modelos (51) e (66)
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4
y 0/y
t (A
dim
ensi
on
al)
H (Adimensional)
glover
sol. analítica
sol. Simplificada
y = 1,0722x + 0,3539 R² = 0,997
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20
Model
o (
51)
Modelo (66)
56
Figura 19 – Relação linear entre os modelos (66) e (67)
Figura 20 – Relação linear entre os modelos (51) e (67)
No tocante a busca por soluções empíricas que se ajustam ao modelo de
dimensionamento de drenos aproveitou-se o fato de que os modelos baseados em funções
potenciais em duas variáveis estão bem correlacionados com o modelo de Glover-Dumm,
como visto na Figura 8.
Considerando que os intervalos em que estão definidas as variáveis que compõe
⁄ , aplicou-se o método dos mínimos quadrados para determinar uma função do
tipo para estimar o espaçamento L, sendo X e Y variáveis conhecidas X =
condutividade e Y = profundidade,
( ) ( ) (68)
y = 0,8732x - 0,293 R² = 0,997
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 5 10 15 20 25
Model
o (
66)
Modelo (67)
y = 0,939x + 3E-15 R² = 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 5 10 15 20
Model
o (
51)
Modelo (67)
57
O modelo representado pela equação (68) foi comparado com o tradicional método
de Glover-Dumm (dreno acima da barreira impermeável), e obteve-se um ótimo ajuste com o
modelo representado pela equação (21), como mostra a Figura 21.
Figura 21: - Relação linear entre espaçamento calculado com os modelos (21) e (68)
A expressão numérica que representa a variação de ⁄ (Dumm) representada na
Figura 2 (razão entre as alturas do lençol freático) é a seguinte
(69)
Uma solução empírica ajustada ao gráfico da Figura 2 é,
( (
)
(
) )
(70)
É importante destacar que na Figura 22 e a curva da Figura 6 de Dumm (S), refere-se
à situação em que o fator de reação é posto em função do “Specific Yield”, o que gera um
deslocamento nítido no gráfico. Tentou-se estabelecer a relação exata entre os parâmetros μ e
S, mas só se conseguiu uma aproximação entre os mesmos que não é muito interessante
enquanto resultado. Tanto a curva que descreve a solução empírica, equação (70), quanto à
equação de Glover-Dumm (equação (69)) também são representadas na Figura 22.
y = 0,8857x + 1,1578 R² = 0,9952
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5,00 7,00 9,00 11,00 13,00
L d
e G
lov
er (
m)
L empírico (m)
58
Figura 22 – Inserção do parâmetro S nos modelos (70) e (69) em comparação
com o Modelo de Dumm
Figura 23 – Relação linear entre os modelos potencial (53) e o (69)
A função de Glover-Dumm pode ser aproximada por uma potencial, e o ajuste é mais
abrangente que os estudados acima, a região em que o ajuste é bom contém o intervalo
⁄ , ou seja vale até que y0 seja igual a ⁄
Comparando a equação (60) e o modelo empírico potencial, tem-se ótimo ajuste é o
que mostra a Figura 24 inclusive o ajuste linear mostrado na Figura 25.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0,001 0,01 0,1 1 10
y t/y
0 (
Adim
ensi
on
al)
log(KπDt/SL2)
Glover-Dumm
Sol. Emp. Eq (75)
Dumm(S)
Sol. Emp. Eq (70)
y = 1,0012x + 0,0009
R² = 0,9999
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0,4 0,6 0,8 1
Model
o (
53)
Modelo (69)
59
(
) Equação de Glover (60)
(
)
Equação empírica (71)
Figura 24 - Comparação entre as equações (60) e (71)
Figura 25 – Teste de identidade dos modelos (60) e (71)
Outra vantagem para a representação da equação (71) é poder isolar L ou deixa-lo
em função das outras variáveis com certa facilidade:
(
) (
)
(72)
ou,
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4
y 0/y
t (A
dim
ensi
on
al)
H (Adimensional)
"empiirc pot"
"glover"
y = 1,0338x - 0,2115 R² = 0,9965
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 5 10 15 20
Model
o (
60)
Modelo (71)
60
√
(
) (
)
(73)
Permitindo assim que se possa calcular o espaçamento de forma simples como se faz
usando a clássica equação de Glover-Dumm. O teste comparativo entre os dois modelos é
apresentado na Figura 26.
Figura 26 – Comparação linear entre modelo (73) e o clássico modelo (21)
De modo geral os modelos aqui propostos se ajustam muito bem ao modelo padrão
de Glover-Dumm, basta olhar para os valores de R2, quando aplicamos o teste de Willmott
(1981) e o índice de confiança de Camargo & Sentelhas (1997) o desempenho vai de muito
bom a ótimo, pois os valores do índice “c” estão sempre neste intervalo E
quanto ao erro das equações ele é mínimo, pois para os modelos empíricos basta olhar as
restrições de cada um que esta bem clara no texto e quanto aos analíticos dentro de suas
limitações são exatos.
y = 0,9947x - 0,0171 R² = 0,9999
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
L (
de
Glo
ver
) (m
)
L (do modelo (73)) (m)
61
5 CONCLUSÕES
As equações de regime variável aparentam ser mais atrativas para o uso no calculo
de dimensionamento de um sistema de drenagem, por representarem melhor as condições
reais de campo e serem de fácil manipulação, mas apesar de tudo isso, dificilmente se pode
usar essas equações em separado das equações de regime permanente, pois suas hipóteses
restringe seu uso, sem se falar no erro que pode ser introduzido se usadas de forma direta em
um projeto de drenagem subterrânea.
A equação algébrica desenvolvida a partir da solução gráfica usada por Dumm
(1964) apresenta ótimas correlações e se ajusta bem com os valores encontrados e descritos na
Figura 2, o que permite a comparação de quaisquer modelos que expressam ⁄
indiretamente com o modelo descrito em Dumm (1964). A técnica de anamorfose utilizada
para entender padrões de ajustes empíricos para a descrição do quociente entre nível freático
inicial e o atingido após certo tempo t de drenagem, permitiu desenvolver bons modelos
empíricos e com claras limitações da região em que o modelo ajustado, está próximo do
modelo clássico de Glover-Dumm.
O modelo empírico do tipo potencial aproxima melhor e com um domínio mais
abrangente do que o modelo de Glover-Dumm, inclusive permite a descrição da distância
entre os drenos sob os mesmos parâmetros que os modelos de Glover, Dumm e Glover-
Dumm. A solução analítica simplificada que foi obtida levou-se em consideração mais termos
da série numérica que define a solução geral, em relação ao modelo de Glover e Dumm, por
isso tem pequenas diferenças, mas não tem diferenças significativas.
62
REFERÊNCIAS
ALBUQUERQUE, P. E. P. Validade de algumas equações de drenagem para drenos cobertos
em condições de laboratório. Dissertação de Mestrado. Viçosa: UFV, 1982, 84 p.
BATISTA, M. J. ; NOVAES, F.; SANTOS, D. G.; SUGUINO, H. H. Drenagem como
instrumento de dessalinização e preservação da salinização de solos. 2ª edição, 212 p. DF,
CODEVASF, Brasília, 2002.
BATISTA, J. M., MATOS, M. R. Modelação de redes de drenagem de águas residuais
pluviais. Laboratório Nacional de Engenharia Civil, 25f., Lisboa, 1994. 217p.
BIASSUSI, M. Simulação do movimento da água no solo utilizando modelo numérico. Tese
de Doutorado, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Faculdade de Agronomia, Porto
Alegre, RS, 2001. 97p.
BOS, M. G. Basics of Groundwater Flow. In: RITZEMA, H. P. (ed.) ILRI (International
Institute for Land Reclamation and Improvement), Drainage Principles and Applications.
Publication 16, 2ª Ed. chapter 7, p. 225-261 Wageningen, The Netherlands, 1994.
CAMARGO, A. P.; SENTELHAS, P. C. Avaliação do Desempenho de Diferentes Métodos
de Estimativa da Evapotranspiração Potencial no Estado de São Paulo, Brasil. Revista
Brasileira de Agrometeorologia, Santa Maria, v. 5, n. 1, p. 89-97, 1997.
CASTANHEIRA, P.; SANTOS, F. L. Utilização do modelo drenagem na simulação da
drenagem subsuperfícial no baixo Vouga lagunar, II Congresso Nacional de Rega e
Drenagem, Fundão, 2007, p 1-13.
DE ZEEUW, J. W.; and HELLINGA, F.; Neerslag en Afvoer, Landbouwkundig Tijdschrift,
70, (in Dutch with English summary) 1958, p 405-422.
DUARTE, S. N; CRUCIANI, D. E.; CARARO, D. C.; PASSOS, K.S.; LOPES, A. D. V.
Avaliação de equações de drenagem para regime não permanente em condições de
63
laboratório. Revista Brasileira de Engenharia Agrícola e Ambiental, Campina Grande, PB, v.
5, n.2, 2001, p. 181-186.
DUMM, L. D. Drain Spacing Formula. Agricultural Engineering, Volume 35, n. 10, 1954, p.
726-730
DUMM, L. D. Transient-Flow Concept in Subsurface Drainage: Its Validity and Use.
Transactions of the American Society of Agricultural Engineers, Volume 7, n. 2, 1964, p.
142-151.
FOX, R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 6ª
edição. Rio de Janeiro: LTC, 472p 2006.
GONÇALVES, F. M.; FEITOSA, H. O.; CARVALHO, C. M.; GOMES FILHO, R. R.;
VANIR JUNIOR, M. Comparação de Métodos da Estimativa da Evapotranspiração de
Referência para o Município de Sobral-CE. Revista Brasileira de Agricultura Irrigada
Fortaleza, CE. INOVAGRI, v.3, n.2, 2009, p.71–77.
GLOVER, R. E. Use of mathematical models in drainage design, Transactions of the ASAE,
v. 9, 1966, p.210-212.
KUNZLER, J. C. S. Estimativa da recarga da bacia sedimentar do Rio do Peixe através da
modelagem matemática do fluxo subterrâneo. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal
de Campina Grande, Campina Grande, PB, 92 p. 2007.
MELLO, J. L. P. Drenagem Agrícola (apostila), Universidade Federal rural do Rio de Janeiro,
109 p. Agosto 2008.
MOODY, W. T. Nonlinear Differential Equation of Drainage Spacing. Journal of the
Irrigation and Drainage Division, v. 92, 1967, p. 1-9.
PIZARRO, F. Drenaje Agricola y Recuperacion de Suelos Salinos. Madri: Editorial Agricola
Española, 525p. 1978.
64
RITZEMA, H. P. Subsurface Flow to Drains. In: RITZEMA, H. P. (Ed.) ILRI (International
Institute for Land Reclamation and Improvement) Drainage Principles and Applications
Publication 16 2ª Ed. chapter 8, p. 283-293 Wageningen, The Netherlands, 1994.
ROSMAN, P. C. C. Subsídios de modelagem de sistemas estuarinos. In: Rui Vieira. (Org.).
Métodos Numéricos em Recursos Hídricos. ABRH, 1997, v. 3, p. 231-343.
SCS – USDA, National Engineering Handbook Section 16 Subsurface Drainage Chapter 4
Engineering Division Soil Conservation Service U. S. Department of Agriculture
Washington, D. C. 20250, 131 p. 1971.
SOUZA, R. R. GUIDI, L. F.; Dedução da equação do calor USP São Paulo 2007 4 p.
USDA, U.S. Department of Agriculture, Engineering Field Handbook Chapter 14 Water
Management (Drainage) 192 p. Part 650 210-VI-NEH, 2001.
WENDLANDER, E. Notas em Matemática Aplicada; v. 3, 95p. São Carlos–SP, 2012.
WILLMOTT, C. J. On the Validation of Model. Physical Geography, v. 2, 1981, p. 184-194.
65
ANEXO
Segue neste anexo os dados utilizados nos cálculos, testes e estimativas referentes
aos modelos empíricos desta dissertação. Os dados de condutividade e profundidade foram
retirados da Tabela 7 apostila de MELLO, (2008).