equações diferenciais

FACCI - FACULDADE DE CIÊNCIAS ADMINISTRATIVAS E CONTÁBEIS DE ITABIRA

CREDENCIADA PELO DECRETO DE 30/12/1994 - D.O.U. 31/12/1994Curso: Engenharia de Produção Tipo de atividade: Exercícios

Disciplina: Cálculo II

Professor: Maria Auxiliadora Lage

Período/turma: 3º Data: --/03/2015

Aluno(a):

Equações Diferenciais

1. Definição de equação diferencial e da sua solução.2. Equações Diferenciais Separáveis.3. Equações Diferenciais Lineares de Primeira e Segunda Ordem com coeficientes

constantes.

1. Definição de equação diferencial e da sua solução.

Muitos dos princípios, ou leis que regem o comportamento do mundo físico são proposições, ou relações, envolvendo a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Expressas em linguagem matemática, as relações são equações e as taxas são derivadas. Equações contendo derivadas são equações diferenciais. (BOYCE; DI PRIMA, 2006, p.1)

Uma equação diferencial é aquela que contém uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas ou diferenciais. Equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a ordem e a linearidade (ZILL; CULLEN ,2001, p.2)

2. Classificação pelo tipo:2.1 Equação diferencial ordinária (EDO) - contém somente derivadas ordinárias de

uma ou mais variáveis dependentes com relação a uma única variável dependente.

Exemplos:

2.2 Equação diferencial parcial (EDP) – envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes.

Exemplo:

1

3. Classificação pela ordem – é a derivada mais alta que ocorre na equação que define a ordem.

EDO de 1ª ordem

EDO de 2ª ordem

4. Classificação como linear e não linear

4.1 Linear – a variável dependente y e todas as suas derivadas são de primeiro grau ( a potência de cada termo envolvendo y é 1). Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.

4.2 A equação que não é linear é chamada de não linear.

Solução para uma equação diferencialQualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de solução para a equação no intervalo. (ZILL; CULLEN ,2001, p.4)

Uma equação diferencial possui um número infinito de soluções ou uma família de funções que satisfaz a equação. A solução trivial (y=0) é um membro dessa família de soluções, correspondente a c=0.

Existem vários tipos de solução de uma equação diferencial:a) Solução geral é a solução da equação que contêm tantas constantes arbitrárias

quantas forem as unidades de ordem da equação. (a de primeira ordem apresenta apenas uma constante)

b) Solução particular é a solução da equação deduzida da solução geral, atribuindo valores particulares às constantes arbitrárias.

c) Solução singular é a solução da equação, que não pode ser deduzida da solução geral. Apenas alguns tipos de equações apresentam essa solução.

Participe da resolução

1) (ZILL; p.5) Verifique que é uma solução da equação não linear no

intervalo .2) (ZILL, p.5) Verifique se função é uma solução da equação linear

.

3) Encontre a solução geral da equação diferencial .

4) Seja a equação , mostre a família de parábolas de concavidade para o eixo y

positivo que representam sua solução geral.

2

4. Equações diferenciais de primeira ordem – problema de valor inicial

Em muitos problemas físicos precisamos encontrar uma solução particular que satisfaça uma condição do tipo , em que é um número real arbitrário. Esta é chamada condição inicial e o problema de achar a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial é denominado problema de valor inicial.


Coeficiente angular

A derivada de uma função f fornece o coeficiente angular da curva y=f(x) no ponto P(x0,

f(x0)) e é denotada por

1) (FINNEY, p.320) Determine a curva cujo coeficiente angular no ponto (x,y) é , sabendo que ela deve passar pelo ponto ( 1, -1).

AceleraçãoAceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Se a posição de um corpo no instante t é s= f(t), então sua aceleração no instante t é:

,

2) (Problema de cinemática) Uma partícula desloca-se com aceleração constante de 3m/s2. Em t=4s ela está em x=100m. em t= 6 s ela tem velocidade v=15m/s. determinar a sua posição em t=6s.

Lei de Resfriamento de NewtonA lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura cte Tm do meio ambiente, isto é:

, em que k é uma constante de proporcionalidade.

3) Um ovo duro, a 98º C, é colocado em uma pia contendo água a 18º C. Depois de 5 minutos, a temperatura do ovo é de 38º C. Suponha que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja 20º C?

Solução : Tm = 18º C T(0) = 98º CT(5) = 38º Ct = ? qdo T (t) = 20º C

Equações Diferenciais de 1ª Ordem

3

Certas equações diferenciais de primeira ordem podem ser mais facilmente resolvidas usando o método de separação de variáveis.

Uma equação diferencial de primeira ordem é uma relação envolvendo a primeira derivada. Isto é, pode ser escrita na forma:

(1)

ou (multiplicando ambos os membros pela diferencial dx, onde dx 0)

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (2)

onde M(x,y) e N(x,y) são funções envolvendo as variáveis x e y. Para esse tipo de equação, pode-se juntar todos os termos contendo x com dx e todos os termos contendo y com dy, obtendo-se uma solução através de integração. Tais equações são ditas separáveis, e o método de solução é o método de separação de variáveis. O método é descrito a seguir.

5. Equações diferenciais Separáveis

Equação separável é uma equação diferencial de primeira ordem na qual a expressão

pode ser fatorada como uma função de x vezes uma função de y, ou seja, .

O nome separável vem do fato de que a expressão do lado direito pode ser “separada” em uma função de x e uma função de y. Para resolver a equação a reescrevemos na forma diferencial e então integramos ambos os lados da equação.( STEWART, 2011, p. 550)

Método de Separação de Variáveis1. Coloque a equação na forma diferencial

M(x)dx + N(y)dy = 0 ou M(x)dx = - N(y)dy (3)2. Integre para obter a solução geral

CdyyNdxxM )()( .


1) Reescreva a equação diferencial de primeiro grau x2yy’ – 2xy3 = 0 na forma da Equação (3).

2) Determinar a solução geral da equação diferencial x2yy’ – 2xy3 = 0.

Nota 1: Quando a solução de uma equação diferencial envolver a integração de um termo

na forma , escrevemos agora em vez de . Estamos agora

percebendo que a solução é válida apenas quando u é positivo. Lembrar também de incluir a constante de integração C.

Nota 2: Algumas regras para logaritmo na base e (e 2,718....)Sendo a > 0 e b > 0 e IR, então:

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P1) ln (a . b) = ln a + ln b P3) ln (a) = .ln a

P2) ln (a : b) = ln a - ln b P4) elna = a

3) Resolver a equação diferencial .

4) Resolva a equação .



7) ( Z) Resolva .




11) Resolva as equações diferenciais:a)b)

12) ( Z) Resolva o problema de valor inicial .

13) Resolva .14) ( Z) Resolva .15) Resolver a equação diferencial x(1 + y2) – y(1 + x2)y’= 0.16) Resolver a equação diferencial y’ – 2x = 0 sujeita à condição inicial de que y = 1

quando x = 2, ou seja, y(2) = 1.

17) Resolver a equação diferencial y + xy’ = 0 sujeita à condição inicial de que y = 2 quando x = 3, ou seja, y(3) = 2.

Equações Diferenciais Homogêneas

Algumas equações que não são separáveis podem vir a sê-lo mediante uma mudança de variáveis. Isso funciona para equações da forma y’ = f(x,y), onde f é uma função homogênia.

Definição Se uma função f satisfaz f(tx,ty) = tn f(x,y)

para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.Exemplos: (1) f(x,y) = x2 – 3xy + 5y2

f(tx,ty) = (tx)2 – 3(tx)(ty) + 5(ty)2

= t2x2 – 3t2 xy + 5t2y2

= t2[ x2 – 3xy + 5y2] = t2 f(x,y) função homogênea de grau dois.

5

(2) f(x,y) = x3 + y3 + 1.f(tx,ty) = (tx)3 + (ty)3 + 1 t3 f(x,y)pois t3.f(x,y) = t3x3 + t3y3 + t3 função não é homogênea.

OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida examinando o grau de cada termo.

Exemplos: (1) f(x,y) = 6xy3 – x2y2

A função é homogênea de grau quatro. grau 4 grau 4

(2) f(x,y) = x2 – y A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são diferentes grau 2 grau 1

Definição: Uma equação diferencial da forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau.

Para resolver uma equação diferencial homogênea pelo método de separação de variável, basta fazer a mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir.

Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas

Se M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável onde

v é uma função diferenciável de x e .

OBS: São válidas também as substituições x = y.v e dx = y dv + v dy.

Participe da resolução1) Resolva a equação (x2 + y2)dx + (x2 – xy)dy = 0.2) Resolva a equação (x-y)dx +xdy = 0.3) Resolva a equação .4) Resolva a equação .5) Resolva a equação 6) Resolva a equação .7) Resolva a equação 8) Resolva a equação 9) Resolva a equação 10) Resolva a equação

Fatores Integrantes

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Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial não exata em uma equação exata multiplicando-a por uma função (x,y) chamada fator de integração. Porém, a equação exata resultante:

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções.

Exemplo Se a equação diferencial 2y dx + x dy = 0 (Não é uma equação exata)

for multiplicada pelo fator integrante (x,y) = x, a equação resultante

2xy dx + x2 dy = 0 (Equação exata)

é exata, ou seja, .

Pode ser difícil encontrar um fator integrante. No entanto, existem duas classes de equações diferenciais cujos fatores integrantes podem ser encontrados de maneira rotineira - aquelas que possuem fatores integrantes que são funções que dependem apenas de x ou apenas de y. O Teorema a seguir, que enunciaremos sem demonstração, fornece um roteiro para encontrar esses dois tipos especiais de fatores integrantes.

Teorema Fatores IntegrantesConsidere a equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0.

1. Se

[My(x,y) – Nx(x,y)] = h(x)

é uma função só de x, então é um fator integrante.2. Se

[ Nx(x,y) - My(x,y)] = k(y)

é uma função só de y, então é um fator integrante.

Encontre a solução geral da equação diferencial (y2 – x) dx + 2y dy = 0.

6. Equações lineares de primeira ordemUma equação diferencial linear de primeira ordem é aquela que pode se escrita na

forma (1), onde P e Q são funções contínuas em um dado intervalo.

(STEWART, 2011), p.571)Dedução da resolução da equação linear de primeira ordem (STEWART, 2011, p.571)

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Uma equação linear de primeira ordem é aquela que pode ser escrita na forma:

(1), onde P(x) e Q(x) são funções em dado intervalo.

1. Multiplicar ambos os lados da equação por uma função I(x) chamada fator

integrante.

(2)2. Identifique o lado esquerdo da equação como sendo a derivada do produto

do lado direito: = I(x) .y ou seja

3. Inversa de derivar é integrar, logo:

4. Solução da equação diferencial linear de primeira ordem é:

5. Para encontrar o fator integrante I(x), expandimos a equação (2), onde é a derivada do produto

sendo =A e tomando A=1

Participe da resolução1) Resolva a equação

2) Resolva a equação

3) Resolva a equação (separável)



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Exercícios de Aplicação – Lista 2 -1ª etapa

1. (F) A equação , s(0)=10 , dão a velocidade e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de um eixo coordenado. Determine a posição do corpo no instante t.

2. (F) A equação , v(0)=20 e s(0)=-3 , dão a aceleração a velocidade

e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de um eixo

coordenado. Determine a posição do corpo no instante t.3. (F) Determinar uma curva y= f(x) no plano xy que passa pelo ponto (9,4) e cujo

coeficiente angular em cada ponto é de .4. (F) Determinar uma curva y= f(x) com as seguintes propriedades:

i)

ii) seu gráfico passa pelo ponto (0,1), tendo ai uma tangente horizontal.

5. (F) Uma partícula se desloca ao longo de um eixo coordenado com aceleração

, desde que e s=0 quando t=1. Determine:

i) A velocidade em termos de t.ii) A posição em termos de t.

6. Resolva a equação








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21. O preço de revenda de certa máquina descreve em um período de 10 anos, segundo uma taxa que depende do tempo de uso da máquina. Quando a máquina tem t anos de uso, a taxa de variação do seu valor é 220(t-10) reais por ano. Expresse o valor da máquina como função do tempo de uso e do valor inicial. Se a máquina valia originalmente R$ 12.000,00, quanto valerá quando tiver 10 anos de uso? (Resp:V(t) = 110.t² - 2.200t + C e V(10) = R$ 1.000,00)

22. Segundo estatísticas, a população de certo lugar está crescendo a uma taxa aproximada de 1.500 t-1/2 pessoas por ano, sendo t o número de anos transcorridos após 1990. Em 1999, a população deste lugar era de 39.000 pessoas.(a) Qual era a população, em 1990? (Resp: 30.000)(b) Se este tipo de crescimento continuar no futuro, quantas pessoas estarão vivendo neste lugar, em 2015? (Resp: 45.000)

23. A taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do meio circundante. Um objeto cuja temperatura era de 40 graus foi colocado num ambiente cuja temperatura é de 80 graus. Após 20 minutos, a temperatura do objeto chegou a 50 graus. Expresse a temperatura do objeto como função do tempo. (T(t) = 80 – 40.e-0,014t )

24. Joga-se uma pedra verticalmente para cima de um ponto situado a 45 m acima do solo e com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência determine:

a) A distância da pedra ao solo após t segundosb) O intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.c) O instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante.

25. Uma pedra é largada de um penhasco e atinge o solo com uma velocidade de 40 m/s. Qual é a altura do penhasco?

26. Um fabricante constata que o custo marginal ( taxa de variação do custo em relação a produção) da produção de x unidades de uma componente de copiadora é dado por 30 – 0,02x. Se o custo da produção de uma unidade é de R$ 35,00, determine a função custo e o custo para a produção de 100 unidades.

27. Resolva a equação 28. Resolva a equação xyy′ = y² + 2x²

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29. Resolva a equação 9yy′ + 4x = 0

30. Resolva a equação x³ + y³ = 3xy²y′

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICA

ABUNAHMAN, S. A. Equações Diferenciais. Rio de Janeiro: EDC. Editora Didática Científica, 1989. Disponível em: file:///D:/Downloads/Livro%20de%20Equa%C3%A7%C3%B5es%20Diferenciais%20Sergio%20A.%20Abunahman.pdf Acesso: 27 jan. 2015.

BOYCE, William E.; DI PRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 434 p.

FINNEY, Ross L. Weir, Maurice D. GIORDANO, Frank R. Cálculo de George Thomas Jr.Vol.1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.

STEWART, James. Cálculo, volume 2. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

ZILL, Dennis G. CULLEN, Michael R.Equações diferenciais. Vol.1. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.

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