INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS-USP

Equações de Bloch

Richard H. Chaviguri

November 27, 2017

1 INTRODUÇÃO

O estudo da interação radiação-matéria abrange diversos processos tais como: absorçao, induçãotanto espontânea como induzida, excitação, relaxação, entre outros. Algúns deses processos sãodescritos satisfatóriamente usando a equação de Schrödinger, mas existem algúns processos maiscomplejos, por exemplo processos onde as populações sao exitadas e relaxadas simultâneamenteou processos disipativos. Para esse tipo de eventos, precissamos um novo formalismo matemáticoque tome em consideração esses fatos. Nesse sentido, a função de onda usualmente empregadapara representar o comportamento do sistema deve ser substituida por un conjunto de funções deonda, isto é gerar um ensemble delas que permitam obter a probabilidade associadas a cada estadodo sistema.

Nesse espírito de procura de soluções, surge o modelo matemático chamado de operador den-sidade ou matriz densidade, que no fundo é simplesmente reescrever a equação de Schrödingerdependentente da densidade em lugar da função de onda. Essa mudança leva à derivação dasequações de Bloch. As Eqs. de Bloch descreven a evolução temporal de todos os elemetos presentesnos processos a estudar, isto estados fundamental e excitados.

Este trabalho está baseado principalmente no livro texto [1], e em menor medidas nas seguintesreferências [2, 3, 4].

2 OPERADOR DENSIDADE

Consideremos um ensemble de partículas, os quais podem estar em um estado puro. O estado doensemble de partículas geralmente será uma mistura desses estados e portanto, não necessaria-mente um estado puro em si. Nesse caso, o conjunto não pode ser representado por uma função deonda. Esse sistema pode ser descrito por um operador densidade ou matriz densidade, que temuma forma análoga ao caso da mecânica estatísitica clássica. Seja o operador densidade (OD) paraum estado não puro

ρ =∑i

Pi |ψi ⟩⟨ψi |, (2.1)

1

com |ψi ⟩ sendo uma base completa ortornormal e Pi sendo a probabilidade de encontrarmoso estado |ψi ⟩. Um caso particular é um estado puro dado quando Pi = 1, isto é, o operador ρé independente da probabilidade. Os elementos de matriz do OD são determinados apartir dePi = ⟨ψi |ρ|ψi ⟩.

Ao expandir os estados |ψi ⟩ no espaço de Fock |n⟩, deriva-se

ρ =∑i

∑n,m

Pi cnc∗m |n⟩⟨m|, (2.2)

Aqui, nota-se que cada elemento na matriz de densidade é um produto de amplitudes de proba-bilidade. Além disso, o termos na diagonal, ⟨n|ρ|n⟩, dão a população dos estados, enquanto queos termos fora da diagonal, ⟨n|ρ|m⟩, dão as coerências entre os estados. O traço é definido comoa soma dos termos diagónais Trρ = Σn⟨n|ρ|n⟩. Essa ultima grandeza é muito importante, poispermite determinar a média de qualquer operador, isto é, ⟨O⟩ = TrOρ.

2.1 EVOLUÇÃO TEMPORAL: REPRESENTAÇÃO DE SCHRÖDINGER E INTERAÇÃO

No caso da representação de Schrödinger, a evolucção temporal do OD é obtida introduzindo o

operador temporal U (t−t0) = e−i H(t−t0)/~, e usando a equação de Schrödinger i~ ∂∂t |ψ(t )⟩ = H |ψ(t )⟩

dentro da equação de Heisemberg. Dessa forma obtem-se a equação Liouville–Von Neumann (LVN)

d

d tρ(t ) = i

~

[ρ(t ), H

], com ρ(t ) = U (t − t0)ρ(t0)U †(t − t0). (2.3)

A equação de LVN descreve a evolução temporal do OD, quem do seu lado descreve a distribuição deum conjunto de estados quânticos sujeitos ao Hamiltoniano H .

Por otro lado, a evolução temporal do OD na representação de interação pode ser determinadaatraves da transformação ˆρ(t ) = U (t − t0)ρS(t )U †(t − t0), de modo que

d

d tˆρ(t ) = i

~

[ˆρ(t ),V (t )

], (2.4)

onde o Hamiltoniano do sistema pode ser desacoplado como H = H0 + V (t). Aqui V (t) é umpotencial de interação que descreve a parte temporal do sistema. A equação de LVN forma parte deuma equação generalizada chamada de equação mestre. Por exemplo, a Equação de Schrödingerpode ser derivada como um caso particular da equação de LVN.

3 EQUAÇÕES DE BLOCH

Na literatura também são conhecidas como equações de Bloch ópticas (EBO). Essas equaçõessão uma ferramenta útil para a compreensão da interação de um sistema atômico com radiaçãomonocromática quase ressonante. A evolução das coerências e das populações pode ser derivadada Equação de LVN. Para derivar os elementos de matriz do OD, Eq. (2.3), será desconsiderada otermo associado à emissão espontânea por enquanto, de modo que se deduze

⟨m| d

d tρ(t )|n⟩ = i

~⟨m|

[ˆρ(t ), H

]|n⟩ = i

~⟨m|

[ˆρ(t ), H + V (t )

]|n⟩

= i

~(En −En)⟨m|ρ(t )|n⟩+ i

~∑

i

[⟨m|ρ(t )|i ⟩⟨i |V (t )|n⟩−⟨m|V (t )|i ⟩⟨i |ρ(t )|n⟩

],

(3.1)

2

onde foi empregado à relação de completeza∑

i |i ⟩⟨i | = 1, e as energias surgem de En |n⟩ = H |n⟩.Reescrevendo à equação anterior, deriva-se às EBO

ρmn(t ) = i

~(En −En)ρmn(t )+ i

~∑

i

[ρmi (t )Vi n(t )−Vmi (t )ρi n(t )

], (3.2)

onde os elementos de matriz são definidos como ρmn(t ) = ⟨m|ρ(t )|n⟩ e Vmn(t ) = ⟨m|V (t )|n⟩; alémdisso, considera-se que o potencial de acoplamento V (t ) não é diagonal.

3.1 ÁTOMOS DE DOIS NÍVEIS

Como um caso especial, o formalismo pode ser aplicado para um sistema de dos níveis, e dessemodo derivar suas e EBOs respetivas. Sejam os elementos de matriz sem considerar o termo daemissão espontânea

• m = n = 1 :

ρ11 = i

~

2∑i=1

(ρ1i Vi 1 −V1iρi 1) = i

~(ρ12V21 −V12ρ21).

• m = n = 2 :

ρ22 = i

~

2∑i=1

(ρ2i Vi 2 −V2iρ21) = i

~(ρ21V12 −V21ρ12).

• m = 1,n = 2 :

ρ12 = i

~(E2 −E1)ρ12 + i

~

2∑i=1

(ρ1i Vi 2 −V1iρi 2) = i

~~ω0ρ12 + i

~V12(ρ11 −ρ22).

• m = 2,n = 1 :

ρ21 = i

~(E1 −E2)ρ21 + i

~

2∑i=1

(ρ2i Vi 1 −V2iρi 1) =− i

~~ω0ρ21 + i

~V21(ρ22 −ρ11).

Na forma matricial ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

= i

~

0 0 V21 −V12

0 0 −V21 V12

V12 −V12 ~ω0 0−V21 V21 0 ~ω0

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

,

onde as variações de energia Enm = (n −m)~ω0. Os elementos de matriz satisfazem certas relações:ρ11 =−ρ22 e ρ21 = ρ∗

12. Por outro lado, é possível vincular os elementos de matriz do OD para ambasrepresentações, isto é

ρ22 = i

~(ρ12V12 −V21ρ12) e ρ12 = i

~V12(ρ11 − ρ22), (3.3)

onde ρi j associa à representação de interação.Para simplificar ainda mais o tratamento do sistema, considera-se à aproximação de onda girante

(RWA), isto é, toma-se em conta só as ondas com frequência 4=ω−ω0. Então, tanto os elementosde coerências como os potencias de interação tomam a forma ρi j = ρi j e iω0t , V12 = 1

2~Ωe iωt eV21 = 1

2~Ωe−iωt respetivamente, onde Ω representa a frequência da radiação da luz. A matriz3

determinada anteriormente, pode ser reescrita em termos das duas representações empregando oansatz ρi j = ρi j (0)eλt , onde λ é o autovalor da matriz. Então

ρ11

ρ22˙ρ12˙ρ21

= i

2

0 0 Ω −Ω0 0 −Ω Ω

Ω −Ω −24 0−Ω Ω 0 24

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

. (3.4)

Calculando o determinante |M−λ1| =λ2(λ2 +42 +Ω2) = 0, determina-se os autovalores, os quaissão λ= 0,±iG , com G(=

p42 +Ω2) sendo definido como a frequência de Rabi generalizada.

O próximo passo é determinar cada elemento de matriz, para isso pode-se assumir uma soluçãoque toma a seguinte forma

ρ22(t ) = ρ(1)22 +ρ(2)

22 e iGt +ρ(3)22 e−iGt

ρ12(t ) = ρ(1)12 + ρ(2)

12 e iGt + ρ(3)12 e−iGt ,

(3.5)

onde os coeficiêntes ρ(i )22 e ρ(i )

12 são computados empregando as relações dos elementos de ma-trizes indicadas anteriormente, e assumindo o caso particular em que átomo esteja no estadofundamental, isto a radiação da luz está ligado ao tempo t = 0. Os coeficientes tomam a forma

ρ(1)22 (0) = |Ω|2

2G2, ρ(2)

22 (0) =−|Ω|24G2

e ρ(3)22 (0) =−|Ω|2

4G2.

ρ(1)12 (0) = Ω4

2G2, ρ(2)

12 (0) =− (G −4)Ω

4G2e ρ(3)

12 (0) =− (G +4)Ω

4G2.

Finalmente, deriva-se a evolução temporal dos elemtos de matriz para um sistema de dois níveis

ρ22(t ) =|Ω|22G2

sin2(Gt

2

). (3.6)

ρ12(t ) = Ω

2G2sin

(Gt

2

)[4sin

(Gt

2

)+ iG cos

(Gt

2

)4

]e i4t . (3.7)

onde já foi usada a transformação ρ12 → ρ12.Na figura (1.3) mostram-se os comportamentos das populações para diferentes valores das freqên-cias e o tempo.

3.2 EQUAÇÕES DE BLOCH COM EMISSÃO ESPONTÂNEA

O aporte da emissão espontânea é inserido fenomenológicamente através da expressão −iγC2,onde γ é uma constante que representa as perdas radiativas. Esse fator novo modifica a matriz,Eq. (3.4), de modo que pode ser reescrita como

ρ11

ρ22˙ρ12˙ρ21

= 1

2

−4γ 0 iΩ −iΩ4γ 0 −iΩ iΩiΩ −iΩ −2(i4−γ) 0−iΩ iΩ 0 2(i4−γ)

ρ11

ρ22

ρ12

ρ21

. (3.8)

Assumindo as mesmas condições de contorno feitas no caso sem emissão e considerando que osistema é estacionário, ρi j = 0, derivam-se as equações das poulações e coerências respectivamente

ρ22(0) = 1

4

|Ω|242 + 1

2 |Ω|2 +γ2,

ρ12(0) = e i4t

2

Ω(4− iγ)

42 + 12 |Ω|2 +γ2

, ,

(3.9)

4

W =1, Æ=1

W =2, Æ=1

W =1, Æ=2

W =2, Æ=2

0 1 2 3 4 5 60.0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

Ρ22

HtLW =1

W =2

W =1

W =4

-5 0 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Æ

Ρ22

Ht=Π

2L

Figure 3.1: Esquerda: Mostra-se a variação temporal das populações ρ22 para valores fixos das frequênciasΩe 4 do sistema. Quando t = 0, os átomos encontram-se no estado fundamental |g ⟩, e conformese incrementa o tempo, t > 0, os átomos começam popular também os estados excitados,|e⟩, em forma periódica, isto é, acontecem inversões das populações a medida que o tempoaumenta. Direita: Mostra -se a variação respeito da frequência 4 das populações do sistemamantendo fixo o tempo, t = π/2 e afrequência Ω. observam-se que as populacões têm umcomportamento completamente diferente à figura anterior. Aqui, nota-se que o caso deΩ= 1e Ω = 3, são populações estão distribuidas equivalentemente para os estados fundamental eexcitado, enquanto que paraΩ= 2 eΩ= 4 a simetria é quebrada, de forma que agora todos osátomos populam os estados excitado e fundamental respectivamente.

onde se define uma largura efetiva

Γef = 2

√|Ω|2

2+ Γ

2

4.

Esta largura depende diretamente da intensidade da radiaçao, porque a frequenciaΩ(= dg e ·E0/~)depende do campo elétrico externo aplicado. A largura Γ(= 2γ) surge apartir das perdas radiativas,e é chamado do perfil de alargamento por potência. Existem outros tipo de perfis que surgem pordiversas causa, entre elas podem ser por colisões, efeito Doppler, entre outros.

Sumarizando, pode-se dizer que as EBO resultam uma ferramenta matemática muito útil paraestudar processos de radiação que usualmemte a Equação de Schrödinger não pode tratar ade-quadamente.

REFERENCES

[1] P. W. Courteille, Aulas para pós-graduação: Interaçãoo entre Luz e Matéria, 2016. Disponívelem: <http://www.ifsc.usp.br/ strontium/Publication/Scripts/LuzMateriaScript.pdf>.

[2] G. T. Purves, Absorption And Dispersion In Atomic Vapours: Ap-plications To Interferometery, PhD thesis, 2006. Disponívelem:<http://massey.dur.ac.uk/resources/gtpurves/gtp−thesis/THESIS.pdf>.

[3] D. A. Steck, Quantum and Atom Optics, 2007. Disponível em:<http://atomoptics-nas.uoregon.edu/ dsteck/teaching/quantum-optics/quantum-optics-notes.pdf>.

[4] Han Pu, Lecture Notes in Modern Atomic Physics, 2004. Disponível em:<http://www.ruf.rice.edu/ lavrys/phys571>.

5