8/16/2019 Equações com parâmetro

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MATEMÁTICA BÁSICA

PROFESSOR LUÍS FARIAS / FORTALEZA-CE

EQUAÇÕES COM PARÂMETROS Resolveremos equações reais, onde a solução depende de certos parâmetros. Vamos

discutir a partir de agora essas equações.

Exemplo 1.Resolva a equação, onde é um parâmetro, ·= 1 .Solução: Se ≠0 , temos que = 1 é solução. Agora se = 0 , não existe solução.Exemplo 2. Resolva a equação: 2 −1 + −1 = 0 , onde é um parâmetro.Solução: A equação acima implica que2 −1 = 0 e · −1 = 0 , isto é, devido ao fato queo módulo de um número é maior ou igual a zero. Assim, temos:

i) Se ≠0 , temos que = 1 é solução;ii) Se = 0 , temos que = ± 1 são soluções.PROBLEMAS PROPOSTOS VI

Problema 1. Resolva a equação abaixo, onde é um parâmetro2 · −2 · = −2

Problema 2.Resolva a equação abaixo, onde é um parâmetro2 −2 + 1 · = 2 + 2 −3 Problema 3.Determine os valores de, de modo que a equação:

2 − + 1+ 3

= 0, possua exatamente uma solução.

Problema 4.Resolva a equação abaixo, onde é um parâmetro= + 2 + 2 + 1 + 4

Problema 5.Resolva a equação abaixo, onde é um parâmetro

−3 + −7 = Problema 6.Determine os valores reais de, de modo que a equação tenha somenteuma solução real

2

·log + 3 = log

·

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Problema 6. (TITU ANDREESCU) Resolva a equação:3 + 1 = 2 · + + onde é um parâmetro real.

Problema 7.Resolva a equação: 1 + ·= + 1 − ·, onde é um parâmetro real.Problema 8. (TITU ANDREESCU) Resolva a equação, com um parâmetro real,

+

− − =

· +

Problema 9. (TITU ANDREESCU) Sendo > 0 um parâmetro real, resolva aequação

= − + Problema 10. (KIEV POLYTECHNICAL INSTITUTE) Determine os valores de,de modo que a equação abaixo possua exatamente uma solução real.

2 ·cos −3 ·2

−2 = 0 Problema 11. (RÚSSIA) Sendo um parâmetro real, resolva cada um dos sistemasabaixo:

a) 2 −2 = 0−2 + 2 = 1

b) + =2

+ = 1

Problema 12. (MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY) Determine osvalores de , de modo que o sistema abaixo possua duas diferentes soluções.

log 2 + log 2 = 6= 8 + −6

Problema 13. (KIEV STATE UNIVERSITY) Determine o menor valor possível deℂ que satisfaz:

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− 3 2 + 2 −2 = 0

3

· −= 4

Problema 14. (EUA) Para que valores reais de o sistema de desigualdades abaixo ésatisfeito para todo x?

−3 < 2 + −22 −+ 1 < 2 Problema 15. (ITA) Considere a equação:

2

−+ 2

· 2

−1 =

a) Para que valores do parâmetro real a equação admite raízes reais?b) Determine todas essa raízes.(IMO)

Problema 16. (G. PAPELLIER)Sendo um parâmetro real, resolva as equaçõesabaixo:

a) = + 2 + 2 + 1

·+ 4

b) 1 + + 2 + 1 −+ 2 = c) 2 + 12 + 2 −12 = · d) 2 · + − −= −+ +

Problema 17. (BULGÁRIA) Determine os valores do parâmetro real, de modo que aequação:

log 2 + + 2 = 4 possua uma única solução.

Problema 18. (BULGÁRIA) Determine os valores do parâmetro, de modo que aequação

2 − −9 2 −6 −= 0 Possua duas distintas raízes positivas.

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Problema 19. (BULGÁRIA) Determine os valores do parâmetro, de modo que aequação:

4

−2 + 3

−2 2 + 3 3

−2 2 = 0

Tenha uma única raiz.

Problema 20. (MOSCOW STATE UNIVERSITY) Determine os valores de, demodo que

+ + sen = sen Possua solução real.Problema 21. (ROMÊNIA) Considere a equação

−1 <

·, onde é um

parâmetro real.

a) Resolva a inequação;b) Determine os de , de modo que a inequação possua exatamente duas

soluções inteiras.

Problema 22. (CRUX) Determine o valor do real x, satisfazendo

2 + 2 + 2 −2 −2 −2 = −2 + −2 com > , , > 0. Problema 23. (RÚSSIA) Determine os valores do parâmetro real, de modo que aequação abaixo tenha solução ∈0, 2

Problema 24. (RÚSSIA) Determine os valores do parâmetro real, de modo que aequação abaixo tenha solução: