Equação Fundamental para máquinas hidráulicas

As aletas do rotor impõem uma variação da quantidade de movimento angular do escoamento de líquido, que reage exercendo um torque sobre o rotor. O rotor gira a velocidade angular constante (n-rpm), o que implica na existência de uma potência disponível;

T é o torque e é a velocidade angular do rotor (radiano/tempo), igual a (2n) sendo n a rotação, número giros na unidade de tempo.

No desenvolvimento da Equação Fundamental para as turbinas ou bombas serão usadas "equações idealizadas", que não representarão os processos reais do escoamento do fluido (e da transferência de energia) através do rotor.

,W T

No desenvolvimento da Equação Fundamental para as turbinas ou bombas serão usadas "equações idealizadas", que não representarão os processos reais do escoamento do fluido (e da transferência de energia) através do rotor.

Hipóteses:

• No processo de transferência de energia do rotor ao fluido de trabalho, não há qualquer tipo de perda, sejam elas, perdas hidráulicas, volumétricas ou mecânicas.

toda a potência de eixo do rotor da bomba é potência útil, ou seja, é efetivamente transferida ao fluido de trabalho.

E combinando as duas equações tem-se:

,TW W útil

Qρm ondeHQggHmW útil

Hmg

T

Da Equação de Conservação do Momento Angular, temos que, para um escoamento permanente, o fluxo líquido de quantidade de movimento angular através de uma superfície de controle é igual a um torque, portanto para se obter uma equação para o toque T deve-se aplicar esta equação à um Volume de Controle que envolva o rotor da bomba.

• O rotor da bomba é formado por infinitas aletas, que têm espessura desprezível, isto é, z = e s 0, sendo z o número de aletas do rotor de uma bomba e s a espessura média destas aletas;

A idéia é a de que o escoamento relativo do fluido de trabalho, sendo unidimensional, seja determinado exatamente pela curvatura das aletas, em todo o seu percurso através do rotor;

Pode-se, então, afirmar que o vetor velocidade relativa do fluido de trabalho é sempre tangente à aleta, em qualquer ponto do escoamento através do rotor.

Para se aplicar a Equação de Conservação do Momento Angular, é necessário conhecer a velocidade absoluta do escoamento através do rotor.

A velocidade relativa do escoamento é conhecida (em direção e sentido), em qualquer posição radial entre as arestas de entrada e saída do rotor, assim como a velocidade do rotor (velocidade tangencial, u), desde que a velocidade angular seja especificada, assim como as dimensões geométricas do rotor.

Consequentemente, a velocidade absoluta do fluido de trabalho, C, pode ser obtida da composição vetorial das velocidades relativa w, do fluido, e absoluta u, do rotor, em posições radiais genéricas

Onde:– W é a velocidade relativa do fluido de trabalho;– C sua velocidade absoluta. – A região da entrada do rotor está indicada pelo subscrito 4 e a de saída,

pelo subscrito 5.

– Assim, u4, W4, e C4, são as velocidades na entrada do rotor e u5 W5, e

C5, são as velocidades na saída do rotor;– o ângulo entre a velocidade relativa e a direção tangencial, medido em

sentido oposto ao giro do rotor;– o ângulo entre a velocidade absoluta e a direção tangencial.

Esta composição vetorial forma os triângulos de velocidade do escoamentona entrada e saída do rotor.

w1

u1

w2

u2

u1

w1

u2

w2v2

Triângulosdevelocidadenasarestasdeentradaesaídadorotor

v2w4 w4

u4 u4

w5w5v5

v5

u5 u5

4

4 5544 55

está fixado a partir do momento em que se define a curvatura das pás (o projeto do rotor) das aletas, da entrada até a saída do rotor. O ângulo , é função das características operacionais da bomba (rotação e vazão, entre outras). Isto é, se há variação de rotação da bomba, há variação do ângulo , pois a alteração da velocidade tangencial do rotor, ou a vazão da bomba, altera o triângulo de velocidades.

Com a definição das velocidades do escoamento, e os ângulos que elas formam, pode-se então formular uma equação para o torque da bomba, em função das variáveis operacionais e características de projeto do rotor da bomba.

Aplicando-se Equação da Conservação da Quantidade de Movimento Ângular, temos que:

Como:

Então:

αcosrCαcosrCmT 444555

Hmg

T

αrCαrCαrCαrC 444555444555coscos

gcoscosm

gmH

Como o escoamento é idealizado, devemos mudar a nomenclatura da altura de elevação real para altura de elevação teórica infinita:

Onde, o subscrito t indicando um processo sem perdas (1ª idealização), e o subscrito representando o escoamento através do rotor com número infinito de aletas, com espessura muito pequena (2ª idealização).

Lembrando que + representa máquinas geradas e – representa máquinas motoras.

A equação acima, estabelece que a energia específica que o rotor transfere ao fluido varia proporcionalmente com a velocidade angular (quanto mais rapidamente gira o rotor, maior a quantidade de energia transferida). Os dois termos entre parênteses têm sinal invertido, e suas contribuições à quantidade de energia transferida são opostas assim a quantidade de energia específica transferida ao fluido será máxima quando o termo negativo for nulo, isto ocorre quando o ângulo α4, for igual a 90º.

Geralmente não é o que ocorre na região de entrada do rotor, nos escoamentos reais, mas o ângulo α4 é, quase sempre, muito próximo de 90º, fazendo com que o termo negativo, seja próximo de zero, podendo ser desprezado quando comparado ao fluxo de quantidade de movimento angular na saída do rotor

tHH

αrCαrCαrCαrCH 444555444555tcoscos

gcoscosm

gm

Com α1 próximo de 90º, a equação simplifica-se para:

Onde Cu5 = C5 cosα5 (componente tangencial da velocidade absoluta do fluido

de trabalho na aresta de saída do rotor).

Assim, quanto maior a velocidade angular de rotação do rotor de uma

bomba, e quanto maior o rotor da bomba maior será u5, e consequentemente

maior será C5u , fazendo com que a altura de elevação da bomba seja

maior.

,g CuH u5

5t

tH

De forma similar ao que acontece numa bomba, numa turbina se tivermos α5 com valor próximo de 90º, a equação para a turbina, simplifica-se para:

Estas são formas idealizadas e simplificadas da Equação Fundamental de bombas, turbinas e ventiladores em geral. Entretanto, a formulação resultante não mostra, explicitamente, características de projeto do rotor, e mesmo condições operacionais das máquinas de fluxo em geral).

A componente tangencial da velocidade absoluta, Cu5, pode ser escrita em termos da componente radial, Cm5, conforme o triângulo de velocidades, assim como Cu4, pode ser escrita em termos da componente radial, Cm4:

,g CuH u4

4t

Do Triângulo de Velocidades temos que:

Substituindo na Equação Fundamental torna-se:

Cm5 pode ser expressa em termos da vazão em volume que a bomba descarrega, , aplicando-se a Equação de Conservação da Massa ao mesmo Volume de Controle.

Aplicando a Equação da Conservação da Massa, a vazão é dada por:

Onde b4 e b5 são as alturas na aresta de entrada e saída do rotor, e f3 e f6 são os coeficientes de estrangulamento na entrada e saída do rotor.

βCuuC 5m55u55U5ctgW

βCuuCuH 5m555

u55

tctg

gg

Q

m5655m4344 C fbrπ2C fbrπ2Q

eixo da bomba

canal do rotor

aresta de entrada largura b4

aresta de saída

b5

r5

r4

Com isso Cm4 e Cm5 podem ser expressos por:

E a Equação Fundamental será escrita como:

Como o ângulo β5 determina a forma da dependência: se é uma dependência direta, ou uma dependência inversa, então se β5 > 90º, a altura de elevação aumenta linearmente com o aumento da vazão em volume; se β5 < 90º, a altura de elevação diminui linearmente com a diminuição da vazão e se b5 = 90º , a altura de elevação não varia com a vazão.

A curva característica de uma máquina de fluxo é, por definição, a curva que representa a dependência que existe entre a quantidade de energia transferida pela máquina (real ou idealizada) e a vazão do fluido de trabalho.

Para a equação idealizada tem-se 3 possibilidades de acordo com o valor do ângulo β 5, está mostrada na curva característica idealizada, a seguir.

55m5 brπ2

QC

44m4 brπ2

QC

5

555

5t ctgβ

brπ2

Qu

g

uH

À medida em que a vazão aumenta, é de se esperar que, nos escoamentos reais (viscosos), a energia dissipada (em perdas hidráulicas, por exemplo) aumente com o quadrado da vazão. Assim, uma parcela substancial da potência disponível no eixo é irreversivelmente dissipada em perdas, e a energia específica transferida não pode, aumentar, ou mesmo se manter constante, com o aumento da vazão.

A influência da magnitude do ângulo β5 sobre a curva característica da bomba, e sobre as formas construtivas dos das aletas dos rotores, deve ser objeto de análise.

As bombas centrífugas quase sempre apresentam rotores de aletas curvadas para trás em relação ao sentido de rotação do rotor, isto é, β5 < 90º, e os valores usuais estão por volta dos 30º.

5

r , 5 b 5 e n dados

= 90º

5 > 90º

2 < 90º

H

Q 2 r 5 b 5 u 5 ( ) /

5 ctg

u 5 2

/ g

t o o

Em ventiladores, por outro lado, dependendo das características operacionais exigidas pela instalação, pelo porte do equipamento, pela responsabilidade da instalação, etc, encontram-se as mais variadas configurações de aletas, curvadas para trás, curvadas para a frente, retas e inteiramente radiais, e aletas curvadas com ângulo de saída β5 = 90º.

Nos triângulos de velocidade, que as componentes radiais da velocidade absoluta de saída têm aproximadamente a mesma magnitude, se a largura do rotor for a mesma para todos os casos, a vazão descarregada por cada um deles é aproximadamente a mesma.

Assim, se as grandezas geométricas são semelhantes, e as características operacionais (vazão e rotação) são aproximadamente iguais, a maior velocidade C5 do rotor, que tem β5 > 90º, resulta somente do seu desenho (curvatura). E quanto maior a velocidade, maior a dissipação viscosa do escoamento, implicando em menor eficiência no processo de transferência de energia no rotor da bomba. Consequentemente, da potência de eixo da bomba, uma parcela considerável será dissipada em perdas hidráulicas se o rotor tiver β5 > 90º.

Equação fundamental ou de Euler

Hipóteses

• Infinitas pás.• Espessura das pás infinitesimal.• Fluido incompressível.• Fluido ideal, sem atrito.• Entrada sem choque do escoamento sobre as

pás.• Escoamento permanente.• Escoamento irrotacional.• Escoamento mono-dimensional .

Considerações• Escoamento unidimensional (apenas a componente “x” da força).• Vazão “dQ”.• aplicando o principio das quantidades de movimento na linha média

LL´(momento angular).

Figura

dt

dVdmFd X

x

Desenvolvimento da fórmula• 1º-Após substituir m= Vvol e dQ= dVvol /dt o volume será dado por

dVvol =dQ dt.Portanto a massa será dm = dQ dt

• 2º-Integrando esta equação com relação à velocidade desde os pontos 4 e 5, onde ela passará a se chamar de C4 e C5, tem-se

• 3º-Aplicando o momento angular da quantidade de movimento em relação ao eixo do rotor

• 4º-Integrando-se novamente

)CdQ(C ρdV dQ ρ Fd 45

5

4 xx

dt

dVdt dQ ρ

dt

dVdmFd XX

x

)CLCdQ(L ρLFddM 4455x

)CLCQ(L ρM 4455t

• Para se obter a potência multiplicamos pela velocidade angular.

)CLCQ(L wρw.MP 4455tt

A partir da figura , L5= r5cos5 e L4= r4cos4

C5.cos5= Cu5 C4.cos4= Cu4 wr5 = u5 wr4 = u4

Finalmente a equação de Euller onde o sinal de + é para máquinas motoras e o sinal de menos é para geradoras.(vale para máquinas axiais e radiais.

)rαcosCrαcosQ(C wρ)CLCQ(L wρP 4445554455t

)uCuQ(C ρ)rαcosCrαcosQ(C wρP 4u45u5444555t

t4u45u5t γQH)uCuQ(C ρP

)CuC(ug

1H u44u55t

Maquinas Hidráulicas Motoras

• Procura-se tender o Cu5 a zero e α5=90°

Maquinas Hidráulicas Geradoras• Procura-se tender o Cu4 a zero e α4=90°

(quando utilizamos aletas direcionais na entrada, o α4 pode ser diferente de 90°)

Htg

u Cu 1

4 4

Htg

u Cu 1

5 5

2

WW

2

uu

2

CC

g

1Ht

24

25

25

24

25

24

2

WW

2

uu

2

CC

g

1Ht

25

24

24

25

24

25

Utilizando Bernoulli• Sinal “+” para máquinas geradoras e “-” para máquinas

motoras.

COMPARANDO a equação de Bernoulli com a de Euller e fazendo Z4=Z5 temos:

452gρgZZCCpp

H2

4

2

545t

ΔHest

ρg

pp45

2

WW

2

uu

g

1 25

24

24

25

ΔHdin

2

CC

g

1 24

25

A forma do rotor e o grau de reação

• A forma do rotor e suas aletas influi diretamente no grau de reação. • O grau de reação ( representa a fração da energia total que é

transferida no rotor sob a forma de variação de pressão. • Rearranjando a equação para Z4=Z5 tem-se:

Hest (altura de pressão) , Hdin (altura dinâmica)

• Dividindo-se todos os termos da equação acima por Ht e rearranjando temos o grau de reação.

Para maquinas geradoras Para maquinas motoras

ΔHΔHCCppH dinest

2

4

2

512t 2gρg

2U

C - 11ρ

2U

C - 1 1ρ

4

U4

t

din

t

estt

5

U5

t

din

t

estt

HH

HH

HH

HH

Máquinas de Ação e Reação

Utilizando a equação da altura de pressão

Para máquinas Geradoras : O grau de reação varia 0 t 1

Hest = 0 p5 = p4 máquina de ação (sem aplicação)

Hest 0 máquina de reação (bombas axiais e radiais)

Para máquinas Motoras : O grau de reação varia 0 t 1

Hest = 0 p5 = p4 máquina de ação (turbina pelton) Hest 0 p5 ≠ p4 máquina de reação (turbina

francis/kaplan)

ΔHest ρg

pp45

Diferença quadrática das velocidades

• Desenvolvendo a equação do grau de reação, e expressando em termos das características geométricas do rotor temos:

• Considerando b4 = 90º , Cu4 = 0 (máquinas de fluxo)

• Mantendo-se a velocidade meridional constante ou canais de seção

transversal do rotor constantes (Cm4 = Cm5)

ccCCCC2

m4

2

u4

2

m5

2

u5

2

4

2

5

cCCCC2

m4

2

m5

2

u5

2

4

2

5

CCC2

u5

2

4

2

5

• Desenvolvendo a equação do grau de reação chegamos a uma nova equação.(para Cm4 = Cm5 , b4 = 90º e Cu4 = 0)

• Desde que podemos reescrever a equação da seguinte forma:

ANÁLISE:• Quanto maior (cm5/u5 ) e menor o ângulo β5 , maior será o

grau de reação da bomba.• Quanto menor o ângulo β5 maior será a taxa de transferência de

energia cinética, ocasionando maiores velocidades na saída do rotor, o que gera perdas viscosas reduzindo a eficiência.Neste caso o grau de reação da bomba é reduzido.

,tg

12

1

21

βuC

uC

HH

55

m5

5

u5

t

est

2gH

C - 1ρ

t

u52

t

estt

HH

βCuC 5m55u5ctg

Neste caso, tem-se maiores velocidades do escoamento na saída do rotor, o que implica em maiores perdas viscosas, e menor eficiência do equipamento, como já se discutiu (volte aos triângulos de velocidade característicos de cada forma do rotor e curvatura das aletas)

Ângulo de saída, 2 Grau de reação, Hp/Ht

90º 1/2= 90º = 1/290º 1/2

O grau de reação de uma máquina de fluxo está assim associado à forma do rotor, e à eficiência no processo

de transferência de energia: