TECNOLOGIA EM CONSTRUO DE EDIFCIOS

CONSTRUES EM CONCRETO ARMADO

VIGAS HIPERESTTICAS - EQUAO DOS 3 MOMENTOS

Apostila organizada pelo professor: Edilberto Vitorino de Borja

2014.2

1

NDICE

1 CLCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTNUAS 2

1.1 Mtodo da equao dos 3 momentos 2 1.2 Aplicaes 4 1.3 Conveno de sinais 4 1.4 Clculo e desenho do diagrama de momentos fletores de viga contnua 5 1.5 Clculo das reaes de apoio 6 1.6 Exerccios 10

2 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 14

2

1. CALCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTINUAS

Vigas Contnuas: so vigas hiperestticas com dois ou mais vos.

Na determinao dos esforos seccionais de vigas isostticas utilizam-se as trs equaes de equilbrio da esttica, necessrias e suficientes para garantir sua estabilidade.

Para as vigas hiperestticas, as incgnitas (reaes) so em nmero superior as trs equaes de equilbrio da esttica, sendo necessrios ento novos mtodos para determinao dos seus esforos. Foram criados ento vrios mtodos para o clculo das reaes de apoio e dos momentos fletores nos vos. Uma vez conseguidos estes valores, pode-se calcular os momentos fletores e foras cortantes nos demais pontos da viga e conseqentemente desenhar os diagramas.

Mtodos de Clculo: Mtodo dos Deslocamentos Mtodo dos Esforos Mtodo de Cross Mtodo da Equao dos Trs Momentos

1.1 MTODO DA EQUAO DOS 3 MOMENTOS

O mtodo apresentado a seguir vlido apenas para vigas que tenham inrcia constante ao longo do comprimento de toda a viga (inrcia constante para todos os vos).

O mtodo calcula os momentos fletores em 3 apoios (Xn-1, Xn e Xn+1) seqenciais de uma viga, a partir dos quais pode-se calcular os momentos fletores em qualquer seo.

Vamos escolher um trecho de dois vos ( e ) e de trs apoios (n-1, n e n+1) de uma viga continua sujeita a um carregamento qualquer conforme a figura abaixo:

A Equao dos 3 Momentos apresentada abaixo valida para uma viga com momento de inrcia constante no vo e de vo para vo.

Frmula

) 6(- X . X . ) 2( X . 1n1n21nnnnn1-nn ++++ ?+=+++ 11 llll

3

Onde:

nl e 1+nl :comprimento dos vos;

Xn-1, Xn e Xn+1: momentos nos apoios;

n2 e 1n1+? : Fatores de carga (funo do tipo de carga atuante no vo).

Quando houver mais de uma carga atuando em um mesmo vo, os fatores de carga finais so dados pela soma dos fatores de carga de cada uma das cargas.

FATORES DE CARGA:

1. Para carga uniformemente distribuda ao longo do vo:

q

2 1

l

24

3q. 21l

==

2. - Para carga concentrada no vo:

a

P

b

l

1 2

).(b6

P.a.b 1 l

l+=

).(a6

P.a.b 2 l

l+=

Observao O ndice "1" nas frmulas de fatores de carga acima indica apoio da esquerda e o ndice "2" indica apoio da direita.

1.2 APLICAES Para se calcular os momentos fletores em todos os apoios de uma viga contnua, deve-se aplicar a

equao dos trs momentos em vos subseqentes dois a dois. O resultado que o nmero total de aplicaes igual ao nmero de vos menos um.

4

Para quatro vos, aplica-se trs vezes a equao dos trs momentos:

q

l 1 l l l2 3 4

1 aplicao

2 aplicao

3 aplicao

X0 X1 X2 X3 X4

X0 X1 X2

X1 X2 X3

X2 X3 X4

conhecido

conhecido

Com as trs aplicaes, fica-se com trs equaes dos trs momentos, uma para cada aplicao e trs incgnitas (X1, X2 e X3), j que os momentos X0 e X4 so previamente conhecidos.

1.3 CONVENO DE SINAIS - MOMENTOS

Olhando as cargas esquerda da seo considerada: considera como positivo o momento com tendncia de giro no sentido horrio

Olhando as cargas direita da seo considerada: considera como positivo o momento com tendncia de giro no sentido anti-horrio

1.4 CLCULO E DESENHO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES DE UMA VIGA CONTNUA

4,0 m

3,5 kN/m

2,0

10 kN

3,0

0 1 21 2

EQUAO: ) 6(- X . X . ) 2( X . 1n1n21nnnnn1-nn ++++ ?+=+++ 11 llll

5

Uma aplicao: 2 vos. Vos Apoios n = 1 n -1 = 0

n +1 = 2 n = 1 n +1 = 2

) 6(- X . X . ) 2( X . 21122212101 ?+=+++ llll

Observao: Nos apoios de extremidade o valor do momento ser igual a 0 (zero) - se no houver balano.

A) CLCULO DOS FATORES DE CARGA

Vo 1 Vo 2

l1 = 4,0 m

3,5 kN/m

0 11

2

1

b = 3,0

1 22

l2 = 5,0 m

1

2 a = 2,0

10 kN

Clculo

9,33 24

4 . 3,5

24

3q.

3

1 ===l

Clculo

165.(36.5

10.2.3.(b

6P.a.b

) )21 =++= =ll

Agora podemos resolver a 1 aplicao

kN.m 8,44 - X16,00) (9,336- X5,00) (4,002

) 6(- X . ) 2(

1

1

21

12121

=

+=+

?+=+ ll

B) CLCULO DAS REAES DE APOIO

As reaes de apoio devem ser calculadas separadamente para cada vo. Alm das cargas nos vos (distribuidas e/ou concentradas), devem-se aplicar tambm os momentos nos apoios do respectivo vo. O sentido destes momentos (horrio ou anti-horrio) deve deformar o vo da mesma maneira que a carga aplicada sobre ele.

6

Para vo 1:

M0 = 0 3,5 . 4,00 . 2,00 - R1 . 4,00 - (-8,44) = 0 R1 = 9.11 kN

V = 0 R0 + 9,11 - 3,5 . 4,00 = 0

R0 = 4,89 kN

Para vo 2:

M1 = 0 10 . 2,00 + (-8,44) - R2 . 5,00 = 0 R2 = 2,31 kN

V = 0 R1 + 2,31 - 10 = 0

R1 = 7,69 kN

OBSERVAES PERTINENTES: A reao no apoio 1 igual a soma das reaes do apoio 1 para os vos 1 e 2;

As reaes de apoio so cargas concentradas;

Desenhar, ao final, a viga com os respectivos momentos fletores nos apoios e as reaes de apoio, a partir dos quais sero calculados os momentos fletores que serviro de base para o desenho do diagrama:

Os Momentos fletores so determinados nas sees de incio e de fim de carga distribuda e nas sees de carga concentrada.;

indiferente olhar as cargas esquerda ou direita de uma determinada seo, o resultado sempre o mesmo!!!!!!

7

Os momentos fletores devero ser calculados nas seguintes sees: 0, 1, A, 2.

Seo 0

M0 = X0 = 0

Seo 1

M1 = X1 = - 8,44 kNm

Ou, olhando as cargas esquerda:

Conveno:

M1 = +4,89.4,00-3,5.4,00.2,00 = -8,44 kNm

Qualquer que seja a maneira de se realizar o clculo, aproveitando o valor da Equao dos Trs Momentos, calculando-se com os valores esquerda ou direita da seo, o resultado deve ser sempre o mesmo.

Seo A

Conveno:

Olhando as cargas direita:

MA = +2,31.3,00 = 6,93 kNm

Seo 2

M2 = X2 = 0

C) DESENHO DOS DIAGRAMAS:

Com os valores dos momentos fletores nos vrios pontos da viga, pode-se fazer o desenho do diagrama.

Para este desenho, algumas convenes devem ser seguidas:

valores de momento fletor positivos, abaixo da linha de referncia e negativos, acima desta linha.

linha do diagrama de momentos fletores entre dois pontos consecutivos:

8

- se no houver carga entre estes dois pontos, a linha reta e inclinada;

- se houver carga distribuda entre estes dois pontos, a linha uma parbola do 2o grau. A parbola do 2o grau necessita de trs pontos para ser desenhada. No diagrama de momentos fletores, dois dos pontos da parbola so os momentos fletores nos pontos extremos. H a necessidade ento de um terceiro ponto. Este ponto conseguido pendurando-se (pendurar significa no mesmo sentido da carga) o valor de qx/8 (q: valor da carga, x: distncia entre os dois pontos) a partir da metade da reta que une os pontos extremos. (obs.: o sentido da carga sempre empurra a barriga da parbola).

Desenho Final:

Desenho final do diagrama de momentos fletores do exemplo proposto:

O observao O ponto sob o qual se "pendura" o valor qx2/8 no necessariamente o ponto de mximo momento

fletor.

9

1.5 EXERCCIO RESOLVIDO Calcular os momentos e reaes de apoios das vigas hiperestticas abaixo aplicando a equao dos 3 Momentos

Etapa 1: Clculo dos momentos nos apoios das extremidades: Apoio 0 X0 = 0 Apoio 3 X3 = - 6 x 1,5 = -9 kN.m

Etapa 2: Aplicao da equao dos 3 momentos: como a viga tem 3 vo, faz-se necessrio 2 aplicaes do mtodo.

1 aplicao (vos e ): Para primeira aplicao n = 1 ) 6(- X . X . ) 2( X . 1n1n21nn1-n ++++ ?+=+++ 11 nnnn llll

vos apoios

n-1 = 0

n = 1 n + 1 = 2

) 6(- X . X . ) 2( X . 21122212101 ?+=+++ llll

2 aplicao (vos e ): Para a segunda aplicao n = 2 ) 6(- X . X . ) 2( X . 1n1n21nnnnn1-nn ++++ ?+=+++ 11 llll

) 6(- X . X . ) 2( X . 31222212 ?+=+++ 333 llll

vos apoios

n-1 = 1

n = 2 n + 1 = 3

-9

0

10

Frmulas

) 6(- X . X . ) 2( X . 211122212101 ?+=+++ llll

Clculo dos fatores de carga

vo

vo

vo

Clculo

7,5924

2.4,524q

33

=== l12

Clculo

Clculo

Se no h carga no vo

O observao Clculo dos fatores de carga em um determinado vo:

se no houver carga neste vo o fator de carga igual a zero.

se houver mais de uma carga neste vo o fator de carga final igual a soma dos fatores de carga das cargas atuantes.

Agora podemos resolver a 1 aplicao

Clculo

2(4,50 + 3,50).X1 + 3,50.X2 = -6(7,59 + 6,29) 16.X1 + 3,50.X2 = -83,28 (1 equao)

E na seqncia podemos resolver a 2 aplicao

Clculo

0

11

3,50 . X1 + 2(3,50 + 4,00) . X2 + 4,00 . -9 = - 6(5.71 + 0) 3,50 . X1 + 15,.00 . X2 = 1,74 (2 equao)

Resolvendo-se o sistema de duas equaes a duas incgnitas, decorrente da 1 e 2 aplicaes da Equao dos 3 Momentos, chega-se aos valores dos momentos X1 e X2.

Ento:

X0 = 0

X1 = -5,51 kNm

X2 = 1,40 kNm

X3 = -9,00 kNm

Concluso A partir da pode ser feito o clculo das reaes de apoio e dos valores dos momentos fletores nos pontos necessrios para possibilitar o desenho dos diagramas.

01 21 2

3,0 kN/m

4 kN

3,5 kN

3,0 m

1,5 m

2,5 kN

2,0 m2,5 m

1,0 m

A B C

4,5 m

25 kN/m

1,5

F1 (kN)

2,02,0

F3 (kN)

1,0

2,0

F2 (kN)

0 1 2 31 2 3

1

. Exemplo:

Aplicao da Equao dos 3 Momentos:

Clculo dos momentos nos apoios da viga contnua abaixo esquematizada:

A viga tem dois vos, portanto ser necessria uma aplicao da

Equao dos 3 Momentos.

Frmula

1 aplicao (vos e ):

1 aplicao:

Vos:

Apoios:

n-1 =0

n =1

n+1 =2

Clculo dos fatores de carga

Clculo dos fatores de carga

vo

vo

Clculo Clculo

2

Agora podemos resolver a 1 aplicao

Clculo

2(5,00 + 4,50) . X1 = -6(13,02 + 18,56) 19,00 . X1 = -189,48

X1 = -9,97 kNm

Ento:

X0 = 0

X1 = -9,97 kNm

X2 = 0

Concluso

A partir da pode ser feito o clculo das reaes de apoio e dos valores dos momentos fletores nos pontos necessrios para possibilitar o desenho dos diagramas.

2. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

Anotaes de Aula do Prof. Edilberto http://www.lami.pucpr.br/cursos/estruturas