equa coes fluxo sub terra neo

7/25/2019 Equa Coes Fluxo Sub Terra Neo

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APNDICE B DETALHAMENTO DAS EQUAES DO FLUXO

SUBTERRNEO

Neste apndice, so deduzidas as equaes diferenciais parciais que governam o

fluxo nos meios porosos saturados.

B1 Equaes Fundamentais do Fluxo Subterrneo

Simular o fluxo de guas subterrneas significa resolver analtica ou

numericamente equaes diferenciais parciais, no caso em questo de segunda ordem e nas

direes X e Y. Para tanto, parti-se da aplicao de lei de Darcy (Equao B.1) aplicada na

direo X. Nas direes Y e Z equaes semelhantes so tambm obtidas. A equao

mostra que, a vazo proporcional a diferena de presso, ou seja:

hKq xx

= . (Equao B.1)

Aplicando-se a equao da continuidade em um volume elementar (Figura B.1),

tem-se:

Figura B.1 Volume elementar.

Onde:

x, y ez so as dimenses na direo X, Y e Z, [L];


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qxn so os fluxos de entrada e sada nas trs direes, [L/T];

O volume dgua que flui atravs das sees deste volume de controle na direo X

dado por:

zyqx ..1 e zyqx ..2

Aplicando-se a equao da continuidade nesta direo, tem-se:

0.).( 12 = zyqxqx

J para todo o volume de controle a aplicao da equao da continuidade resultar

em:

0.).(.).(.).( 121212 =++ yxqzqzzxqyqyzyqxqx

Dividindo-se esta equao pelo volume deste volume de controle, que dado por

zy .. , tem-se:

0121212 =

+

+

z

qzqz

y

qyqy

x

qxqx

Ou seja:

0=

+

+

z

qz

y

qy

x

qx (Equao B.2)

Caso este volume de controle tenha dimenses infinitesimais a equao B.2

transforma-se em, tem-se:

0=

+

+

z

qz

y

qy

x

qx (Equao B.3)

Substituindo-se os termos qx, qy e qz pela equao de Darcy (Eq. B.1) na equao

anterior (Eq. B.3), tem-se ento:

0... =

+

+

z

hK

zy

hK

yx

hK

x zyx (Equao B.4)

02

2

2

2

2

2

=

+

+

z

hK

y

hK

x

hK zyx (Equao B.5)


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Ou seja, uma equao diferencial parcial de segunda ordem em trs dimenses (X,

Y e Z). No caso de se ter um aqfero homogneo, ou seja, a condutividade hidrulica igual

em todas as direes (Kx= Ky= Kz), tem-se:

02

2

2

2

2

2

=

+

+

z

h

y

h

x

h (Equao B.6)

Esta equao mais conhecida como a equao de Laplace. Neste caso, para

condies estacionrias, com o potencial hidrulico variando em trs direes para

aqferos confinados. Para o caso em estudo, a simulao do fluxo dgua ser realizada

para variaes em duas direes (X e Y) e aqfero anisotrpico e no homogneo. Assim,tem-se a seguinte equao:

0..2

2

2

2

=

+

y

hK

x

hK yx (Equao B.7)

A seguir, tem-se uma situao onde h uma injeo no aqfero (infiltrao) ou uma

captao (exfiltrao) no aqfero. Situao esta representada na figura B.2, j se

direcionando para o caso especfico de simulaes em 2 dimenses (2D).

Figura B.2 Caso 2D com in ou exfiltrao.

Figura B.2 Volume elementar com contribuio de uma fonte externa.

Aplicando-se novamente a equao da continuidade ao segundo volume de

controle, tem-se:


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yxWbxqyqybyqxqx =+ ...).(.).( 1212 (Equao B.8)

Onde b a espessura do aqfero e W uma in ou exfiltrao.

Dividindo-se a equao B.11 pelas dimenses y . , tem-se:

Wby

qyqyb

x

qxqx=

+

.. 1212 (Equao B.9)

Wby

qyb

x

qx=

+

.. (Equao B.10)

Para o caso de um volume infinitesimal tem-se:

Wby

qy

bx

qx

=

+

..

(Equao B.11)

Aplicando-se a equao de Darcy (Equao B.1) equao B.11, tem-se:

Wy

hbK

yx

hbK

x yx =

+

.... (Equao B.12)

Wy

hbK

x

hbK yx =

2

2

2

2

.... (Equao B.16)

Para o caso homogneo as condutividades hidrulicas nas direes X e Y so iguais

(Kx= Ky), tem-se:

bK

W

y

h

x

h

.2

2

2

2

=

+

(Equao B.17)

Sabendo-se ainda que a transmissividade (T) dada por T = K.b, tem-se ento:

0.

),(2

2

2

2 =++

bK

yxW

y

h

x

h (Equao B.18)

Esta equao utilizada para simulaes de sistemas em que h afluxos (descarga

do aqfero para os rios) ou influxos (recarga por infiltrao).

Nota-se que, at este pargrafo, nas equaes deduzidas no foram consideradas

variaes do potencial hidrulico (h) no tempo. Ou seja, as equaes foram apresentadas

para o caso estacionrio. Necessita-se ento, inserir ou considerar a componente no


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estacionria no equacionamento at agora apresentado. Nesta situao, tem-se que o

potencial hidrulico (h) varia no s no espao (x, y), como considerado at o momento,

mas tambm no tempo (t). Assim, surge a necessidade de se considerar mais uma

propriedade que depende das propriedades hidrulicas e geomtricas do aqfero, o

coeficiente de armazenamento (S), ou seja:

bSS .0= (Para aqferos confinados)

snS= (Para aqferos livres)

Onde:

ns a porosidade drenvel;

Sabendo-se ainda que S0 dado por:

=h

V

VS .

10

=h

V

yxbS .

..

10

Assim:

bh

V

yxbS ....

1

=

hySV = ...

Como neste caso o potencial hidrulico e o volume variam com o tempo, tem-se

ento:

t

hyxS

t

V

=

... (Equao B.19)

Considerando-se a variao do volume no tempo, ou seja, aplicando-se a equao

B.19 na equao B.8, tem-se:

t

hyxSyxWbxqyqybyqxqx

=+ ......).(.).( 1212 (Equao B.20)

Dividindo-se esta equao por y . , tem-se:


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t

hSWb

y

qyqyb

x

qxqx

=

+

... 1212 (Equao B.21)

t

hSWb

y

qyb

x

qx

=

+

... (Equao B.22)

Para o caso de dimenses infinitesimais, tem-se:

t

hSWb

y

qyb

x

qx

=

+

... (Equao B.23)

Aplicando-se a equao de Darcy a este equao tem-se:

t

hSW

y

hbK

yx

hbK

x

yx

=

+

..... (Equao B.24)

Wt

hS

y

hbK

x

hbK yx

=

+

.....2

2

2

2

(Equao B.25)

Sabendo-se que T = K.b e considerando-se o caso de um aqfero homogneo, tem-

se ento:

T

yxW

t

h

T

yxS

y

h

x

h ),(.

),(

2

2

2

2

=

+

(Equao B.26)

E esta a equao diferencial parcial que ser utilizada para modelar o fluxo das

guas subterrneas em aqfero confinados, para variaes do potencial hidrulico em duas

dimenses (2D) em regime transiente.

Tambm se faz necessrio considerar o caso de superfcies livres, ou seja, aqfero

no confinados. Nesta situao, necessita-se considerar dois fatores, a primeira

considerao diz respeito variao no-linear entre o potencial hidrulico e a espessura

do aqfero (b = f(h)); a segunda trata da terceira componente existente no fluxo. A figura

B.3 apresenta uma esquematizao do problema da simulao em aqferos livres.


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Figura B.3 Fluxo subterrneo em aqferos livres.

Para resoluo deste problema as condies de Dupuit (1863, apud WENDLAND

& RBER, 1999) devem ser consideradas:

O fluxo dgua considerado horizontal e suas equipotenciais verticais;

A declividade da linha de fluxo na superfcie fretica considerada muito

pequena e igual ao gradiente hidrulico;

Desta forma, a variao do potencial na direo do escoamento (dh/ds) pode ser

escrita como:

ds

dhKq ss .= )sen(. ss Kq = (Equao B.27)

Para ngulos muito pequenos o seno do ngulo se aproxima tangente de , desta

forma tem-se:

dx

dhtg

ds

dh== )()sen( (Equao B.28)

Assim, tem-se que a equao B.27 pode ser escrita em funo de suas componentes

das direes x, y e z, ou seja:

dx

dhKq xx .=

dy

dhKq yy .=


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0=zq

Pelo fato de Dupuit considerar o escoamento horizontal, estas consideraes no

so validas para os seguintes casos:

reas prximas a regies com infiltrao ou extrao dgua;

Zonas prximas a poos;

reas com mudana brusca da espessura do aqfero;

J o primeiro problema da modelagem em aqferos livres representado

matematicamente atravs das seguintes equaes:

hbKq xx = .. (Equao B.29)

y

hbKq yy

= .. (Equao B.30)

Onde b (espessura do aqfero) dado por:

b(x,y) = h(x,y) u(x,y) (Equao B.31)

Ainda, tem-se que:

h(x,y) potencial hidrulico, [L];

u(x,y) cota da base do aqfero, [L];

Assim, na fase de simulaes deve-se estimar, inicialmente, valores de b, com estes

valores simula-se o sistema. Para cada n obtm-se valores de potenciais hidrulicos. Com

estes valores e, conhecidos tambm os valores nos ns das cotas da base do aqfero,

calcula-se o valor de b atravs da equao B.31. Estes valores no sero iguais ao valor do

b inicialmente estimado. Procede-se ento com iteraes, onde o b ser igual ao valor de

h(x,y) mdio calculado, at a convergncia do valor dos potenciais hidrulicos para o valor

de b.

Por fim, so abordadas as condies de contorno necessrias para resoluo

numrica de equaes diferenciais, trs tipos de condies de contorno so possveis:


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I. Condio de Dirichlet quando o potencial hidrulico conhecido em alguma

regio do aqfero;

II. Condio de Neumann quando o fluxo, seja de entrada ou de sada, em alguma

regio do aqfero conhecida;

III. Condio de Cauchy esta uma combinao linear das duas ltimas condies

apresentadas.

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