entendendo o teorema de bayes - prof. bertolo...e v a d e f d p m p e re m s a n e c c c e v j c t v...

E

V

Ade

Fdp

M

Pere

Msa

Nec

CcE

V

J

C

T

V

J

C

T

Enten

Vejamos o a

A cidade dedados mostempregos.

Foi realizaddiabetes naportadores e

Muitas veze

Porém, quaencontrada estringimos

Matematicamseguinte maassim: a pro

Note que aléentre os vecomo mostra

Como vimosconjunto inteEntão,

Ha

Velhos

Jovens

Crianças

TOTAL

Dia

Ha

Velhos

Jovens

Crianças

TOTAL

Di

ndend

assunto por

e Diabetelântram que n

da uma pes populaçãoe 46 criança

es esta tabe

ndo chega dividindo-s

s o atendim

mente escraneira: P(Xobabilidade

ém de ser vlhos. Lemba a figura a

s esta probaersecção [V

abitantes

P

d

4.400

3.300

2.300

10.000

abetelând

abitantes

P

D

p

44,00%

33,00%

23,00%

100,00%

iabetelân

do o T

r meio de um

ndia tem 10nesta cidad

squisa pelao. A pesquisas são porta

ela vem dad

ao hospitase 132 porento apena

revemos estX|V). Aqui X

P de ser di

velho, tem qbre-se que acima totaliz

abilidade foVelho Dia

ortadores

e Diabete

132

33

46

211

dia

ortadores d

Diabete na

opulação

1,32

0,33

0,46

2,11

ndia

Teore

m exemplo:

.000 habitade está hav

Secretariasa revelou adoras. Ass

a em porce

l um velho r 4.400 (13as aos velho

ta probabiliX significa sabético dad

que ser dianesta cida

zam 4.400 –

oi calculada abéticos] e d

|

e

2%

3%

6%

1%

Observ1,32% 0,0132 chanceé 1,32%velho Echegam

A tabel

Apenas

ma d

:

antes, sendovendo uma

a de Saúdeque 132 ve

sim:

entagens. A

(um pedaç32 4.400os.

dade CONDser diabéticdo que seja

abético (coitde existem– 132 = 4.26

tomando todividido pela

∩14.4

ve que os vda populaç ou 1,32%

e) de chega%! É poucoE portador m ao hospita

a mostra as

s 2,11% dos

e Bay

o 4.400 velha desertifica

e onde se celhos são p

Assim:

ço da popul = 0,03 ou

DICIONAL co e V signa velho.

tado!). Isto m muitos ve

68 velhos s

odos os vela quantidad

32400

0,03

velhos E poção da cida). Portanto

ar ao hospito provável a

de diabeteal.

s chances p

s habitantes

yes

hos, 3.300 jação urban

constatou uportadores d

lação), a chu 3%). A c

(ser portadonifica ser ve

mostra queelhos que nem a doenç

hos E diabéde de velhos

3%.

ortadores dade Diabete, nesta cidaal um velho

aos médicoss entre os

para as outr

s tem diabe

Os sãocatpor

jovens, 2.3na em virtu

uma grandeda doença,

hance dele chance au

or de diabeelho. Lemo

e colocamosnão são diaça.

éticos (132)s da cidade

de diabeteselândia (13ade a probo E portados do hospitapacientes

ras categor

etes.

valores eo os hategorias e rtadores de

00 criançasude da falta

e incidência, 33 jovens

ser diabétimentou po

etes E velhoos este sím

s uma condabéticos. Es

) que estão e (4.400).

s representa32 10.000babilidade (or de diabetal atender uem geral q

rias.

em vermelhbitantes dque não sdiabetes.

s. Os a de

a de s são

co é orque

o) da mbolo

dição stes,

no

am 0 = (ou tes um que

hos das são

Lembrem-se que, os eventos ser velho e ser diabético são INDEPENDENTES. Isto significa que ser velho não precisa ser diabético e ser diabético não precisa ser velho ou, em outras palavras, nem todo velho é diabético e nem todo diabético é velho.

A expressão acima poderia ser calculada de outra maneira:

| ∩

∩∩ 1,32%

44%0,03 3%.

Repetindo isto para as outras categorias podemos montar a seguinte tabela:

Cabe aqui a pergunta: Qual a probabilidade de um velho ser diabético?

Resposta: 3%. Esta é a chance de aparecer em qualquer lugar da cidade um velho que é diabético. Não precisa ter medo deles!!!! A chance é pequena e a doença não infecto-contagiosa!

Esta pergunta requer que encontremos P(X|V), certo?

Outra pergunta: Qual a probabilidade de um diabético ser velho?

É a mesma coisa que antes? 3%?

Posto de outra forma, chega ao hospital um diabético, qual a chance dele ser velho?

Agora queremos a probabilidade condicional P(V|X), ou seja, o contrário de antes. Imporemos agora uma CONDIÇÃO entre todos os diabéticos – eles devem ser velhos. Observando a figura anterior, temos que dividir nº de velhos diabéticos pelo total de diabéticos

| ∩

∩∩ 1,32%

2,11%0,6256 62,56%.

Se atentarmos para os diabéticos da cidade, a chance dele ser velho é 62,56%. É, nesta cidade, entre os diabéticos temos muitos velhos (ver figura acima).

Fica bem claro que:

Habitantes

Portadores de

Diabetes na categoria

P(X|Ai)

Velhos 44,00% 3,00%

Jovens 33,00% 1,00%

Crianças 23,00% 2,00%

TOTAL 100,00% 2,11%

Diabetelândia

Habitantes

Portadores de

Diabetes na categoria

P(X|Ai)

A Categoria dos

Portadores de

Diabetes P(Ai|X)

Velhos 44,00% 3,00% 62,56%

Jovens 33,00% 1,00% 15,64%

Crianças 23,00% 2,00% 21,80%

TOTAL 100,00% 2,11% 100,00%

Diabetelândia Médicos, ao chegar um paciente diabético, é muito grande (62,56%) dele ser velho.

I. P(X | Ai) ≠ P(Ai | X) II. P(X Ai) = P(A i X) III. Pela definição de probabilidade condicional

| ∩

Temos que: P(X Ai) = P(X|Ai) P(Ai). Dessa forma podemos fazer:

|∩

∩

∩ ∩ ⋯ ∩

Ou, usando a definição de probabilidade condicional:

|∩

P X|A P A

P X|A P A P X|A P A ⋯ P X|A P A

∩∑ P X|A P A

Este resultado recebe o nome de Teorema de Bayes.

USANDO TABELA De acordo com o desenvolvimento anterior poderemos realizar os cálculos por meio de uma tabela. Assim

USANDO O EXCEL Já que podemos fazer uma tabela, podemos também realizar tudo no Excel.

Abra uma pasta de trabalho e introduza os títulos conforme a figura abaixo:

Partição do

Espaço

Amostral Ai

Participação da

Partição no

Espaço Amostral

P(Ai)

P(X|Ai)

conhecido

P(X Ai) = P(X|Ai).P(Ai)

P(Ai|X)

A1 P(A1) P(X|A1) P(A1) * P(X|A1) [P(A1) * P(X|A1)]/SOMA



...

...

...

An P(An) P(X|An) P(An) * P(X|An) [P(An) * P(X|An)]/SOMA

TOTAL 100,00% SOMA

Espaço Amostral

Fs

PcZ

PGja

N

N=

Spfu

V

Faça 100 paselecionar o

Para criarmocélulas ondeZEROS des

Para se nomG2:G101, deanela:

Na caixa No

Na c=DESLOC(P

Selecione oplanilha comunção SOM

Vamos ente

artições do o intervalo A

os uma plane existirem snecessário

mear um intepois na gu

ome: ProbIn

caixa PLAN1!$G$

o intervalo m dados e pMA na célula

ender o que

espaço amA2:A101 e c

nilha com revalores, des, pois não

ervalo de cuia Formata

nterseção

Refere-se$2;0;0;CON

G2:G101 eprecisamos a D101..

fizemos. P

ostral (achocolocar os tí

ecursos avaixando o refaremos cá

élulas no Ear, no grupo

e a:T.NÚM(Pla

e escolha disto para

rimeiro, por

o que fica oítulos Ai.

ançados doesto das célálculos naq

Excel, proceo Nomes De

intran1!$G$2:$G

a cor branevitarmos a

r que usar a

o suficiente,

o Excel, vamulas em brauelas linhas

demos seleefinidos, esc

roduza G$101;1)).

nca para a as referenc

a função DE

não?). Com

mos definir uanco, evitans.

ecionando ocolhemos D

a Dê OK.

fonte. Issoias circulare

ESLOC?

m isso prec

um nome ando assim c

o intervalo dDefinir Nome

seguinte

o para não es do Exce

isamos

o intervalo colunas com

de células e. Aparecer

fórm

poluir a nol ao introdu

de m

rá a

mula:

ossa uzir a

Esta função embutida do Excel retorna uma referência a um intervalo que possui um número específico de linhas e colunas com base em um referência especificada (no nosso caso se houver número e a existência ou não de números é identificado com a função CONT.NÚM que falaremos abaixo). A sintaxe da função DESLOC é: =DESLOC(ref;Lins;cols;altura;largura). Os argumentos em negrito são obrigatórios e os outros são opcionais.

A função CONT.NÚM calcula o nº de células em um intervalo que contém números. Sua sintaxe é: CONT.NÚM(valor1;valor2;....). Novamente os argumentos em negrito são obrigatórios. Aqui usamos valor2 = 1, para não retornar zero quando não encontrar número e com isso causando um erro de altura na função DESLOC.

Dessa forma a função DESLOC nomeará o intervalo na coluna G que tiver números e com isso não serão introduzidos zeros quando a célula estiver em branco na coluna D que apresenta a fórmula SOMA(DADOS) na célula D101.

Voltemos à célula D2 e introduzimos a fórmula: =SE(B2=””;””;B2*C2) e na célula E2, introduzimos: =SE(D2=””;””;D2/$D$102).

A planilha ficou pronta. Agora é só salvar e guardar com carinho para quando precisar.

DIAGRAMA DE ÁRVORE O diagrama de árvore ajuda a montar o problema e fazer as contas.

Voltemos à cidade Diabetelândia e vemos que lembremos que a população foi dividida em 3 categorias de habitantes (velhos, jovens e crianças). Algumas das pessoas de cada categoria eram portadoras de diabetes.

Então, estabelecendo que X é portador e não é portador, temos

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Uma urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e uma urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis. Joga-

se uma moeda “honesta”. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade de ter saído cara no lançamento da moeda?

Solução A B

P(A) = P(Ca) = (1/2) P(V|A) = (3/5) = 60% = P(V|Ca)

P(B) = P(Co) = (1/2) P(V|B) = (2/10)= 40% = P(V|Co)

Pelo Teorema de Bayes, temos

|∩

P X|A P A

P X|A P A P X|A P A ⋯ P X|A P A

∩∑ P X|A P A

X 0,44 x 0,03 = 0,0132 ou 1,32% 0,0132

0,02110,6256 62,56%

3%

V

97%

44%

X 0,33 x 0,01 = 0,0033 ou 0,33% 0,0033

0,02110,1564 15,64%

1%

33%

J

99%

23%

X 0,23 x 0,02 = 0,0046 ou 0,46% 0,0046

0,02110,2180 21,80%

2% ______________

C 0,0211 ou 2,11%

98%

3 V

2 A

2 V

8 A

Queremos encontrar a probabilidade de sair cara dado a bola ser vermelha, isto é P(Ca|V)

2

|

Temos, pA por te

Na plani

Faça o e

2. A caixa Aescolhida tenha vind

Solução

A

P(A) = (

P(B) = (

Pelo Teo

|

|

Temos, extraída

Na plani

1 2 3 45 6 7 89

∩

310

portanto, er obtido

ilha Excel

exercício

A tem 9 cartao acaso e

do de A?

B

(1/2)

(1/2)

orema de B

∩

4

portanto,a da urna

ilha Excel

4 8

1 2 5

∩

0208

6080

75% de pcara no l

l, preench

usando a

tas numeraduma carta é

B

P(par|A)

P(par|B)

Bayes, tem

P X|A

∩

418

40 36180

41

, 52,63% A.

l, preench

3 4

∩P V|A

0

34

0,75

robabilidlançamento

ha apenas

árvore.

das de 1 a 9é retirada. Se

) = (4/9)=

) = (2/5)=

mos

P A P

∩P

418

18076

7

de proba

ha apenas

Queremosda urna P(A|par)

P V|A P AP A P V

5 75%

dade de quo da moeda

a área az

9. A caixa Be o número

= 44,44%

= 40%

P X|A PP X|A P A

P papar|A P A

4076

1019

abilidade

a área az

s encontrA dado q.

AV|B P B

ue a bola a.

zul:

B tem 5 carté par , qual

A⋯ P

r|A P AP par|B

0,5263 5

de que

zul:

rar a probque o seu

35

12

35

12

210

vermelha

tas numerada probabilid

X|A P A

P B 49

52,63%

a carta

babilidadnúmero é

12

310

310

seja extr

das de 1 adade de que

∑ P

49

12

12

25

12

de núme

de da caré par, is

0220

3106 220

raída da u

5. Uma caa carta sort

∩X|A P A

418

418

210

ero par s

rta vir sto é

2

urna

ixa é teada

seja

3

4

3. Num colémulheres.homem?

Solução

A =

P(M) = 6

P(H) = 4

Pelo Teo

|

|

Temos, paltura ehomem, h

Na plani

4. Uma caixprobabilidQual a pro

Solução

A =

B =

C =

gio, 4% dos Um estuda

evento te

60% P

40% P

orema de B

∩

∩

0,0160,022

portanto, escolhidohá mais ho

ilha Excel

xa tem 3 moade de ocorobabilidade d

primeira

segunda m

terceira

s homens e ante é escol

er mais de

P(A|M) = 1

P(A|H) = 4

Bayes, tem

P X|A

∩P

62

811

0,

72,73% d ao acasoomens com

l, preench

oedas: uma rrer cara nesde que a 3ª m

moeda,

moeda,

moeda

1% das mulhido ao aca

e 1,75 m d

1%

4% Quer

mos

P A P

P AP A|H P H

7273 72

de probabio seja hoaltura su

ha apenas

não viciadasta moeda émoeda tenha

ulheres têm aso e tem m

de altura.

remos P(H|

P X|A PP X|A P A

|H P HP A|M

,73%

ilidade deomem. Embouperior a

a área az

a, outra comé 1/5. Uma ma sido a selec

mais de 1,7mais de 1,75

.

|A)

A⋯ P

P M0,0

e que o esora o col1,75 m do

zul:

m 2 caras emoeda é secionada?

5 m de altu5 m. Qual a

X|A P A

0,04 0,404 0,40 0,

studante cégio tenho que mulh

e uma tercelecionada ao

ra. 60% dosa probabilida

∑ P

40,01 0,60

com mais ha mais mheres.

eira viciada, o acaso na

s estudantesade de que

∩X|A P A

0,0160,016 0,0

de 1,75 mmulher do

de modo qcaixa. Saiu

s são seja

006

m de que

ue a cara.

5

P(A) = 1

P(B) = 1

P(C) = 1

Pelo Teo

|

|

Temos, p3ª moeda

Na plani

5. A probabiprobabilide C, respcomprou s

Solução

A =

B =

C =

P(A) = 3

P(B) = 1

P(C) = 1

Pelo Teo

|

1/3 P

1/3 P

1/3 P

orema de B

∩

∩

0,5

portanto, a quando e

ilha Excel

lidade de umades se os iectivamenteseja da class

classe A,

classe B,

classe C

3/4 P

1/5 P

1/20 P

orema de B

∩

|

P(Ca|A) =

P(Ca|B) =

P(Ca|C) =

Bayes, tem

P X|A

∩

0,20

5013 0,

11,76% desta for e

l, preench

m indivíduo ndivíduos co. Certa loja se B?

,

P(car|A) =

P(car|B) =

P(car|C) =

Bayes, tem

P X|A

∩

110

34

0,5714

50% ou 1/

100% ou 1

20% ou 1/

mos

P A P

P Ca|A

1/3

,2013 1

de probabiescolhida

ha apenas

de classe Aomprarem umvendeu um

= 1/10

= 3/5

= 3/10

mos

P A P

∩

35

15

35

15

310

57,14%

/2

1

/5

P X|A PP X|A P A

P CP A P C

113

0,5

ilidade deao acaso.

a área az

A comprar umm carro da mcarro da ma

Qu

P X|A PP X|A P A

P car|A P

120

340

Querem

A⋯ P

Ca|C P CCa|B P B

0,2050 1 0,2

e que a f.

zul:

m carro de 3marca x são arca x. Qua

ueremos P(

A⋯ P

P car|A P car|325325

3200

mos P(C|Ca

X|A P A

P Ca|C P C

200,201,70

ace cara

3/4, da B é d1/10, 3/5 e 3l a probabili

(B|car)

X|A P A

B P BB P B P

325

15 24200

a)

∑ P

C217

0,117

seja apre

de 1/5 e da 3/10, dado qudade de que

∑ P

P car|C P C

3325

2

∩X|A P A

76 11,76%

esentada p

C é de 1/20ue sejam dee i indivíduo

∩X|A P A

20042

47

%

pela

0. As A, B

o que

6

Temos, indivídu

Na plani

6. Um certo experiêncusada, exusada, a cde 50%. Stenha sido

Solução

P(A) = 4

P(B) = 6

Pelo Teo

|

|

Temos, plimite u

Na plani

portanto,uo da clas

ilha Excel

programa pia tem most

xiste 75% dechance é deSe o prograo a escolhida

40% P

60% P

orema de B

∩

0,75

portanto, usando a s

ilha Excel

57,14% sse B.

l, preench

pode ser ustrado que a e chance de e 50%. Se o ma foi realiz

a?

P(resultad

P(resultad

Bayes, tem

P X|A

∩

0,75 0,45 0,40 0,550,00% de

sub-rotina

l, preench

de proba

ha apenas

ado com umsub-rotina Aque o progrprograma fo

zado dentro

do|A) = 75

do|B) = 50

mos

P A P

050 0,60

0

e probabia A.

ha apenas

abilidade

a área az

ma entre duA é usada 40rama chegu

oi realizado ddo limite de

5%

0%

P X|A PP X|A P A

∩

0,300,30 0,30lidade de

a área az

de que

zul:

as sub-rotin0% das vezee a um resudentro do lime tempo, qua

Quere

A⋯ P

P res

0,300,60

12

e que o re

zul:

o carro

as A e B, des e B é usaultado dentromite de tempoal a probabil

emos P(A|r

X|A P A

P resusultado|A P

0,5000

esultado f

foi comp

dependendo ada 60% da

o do limite do. Se B é uslidade de qu

resultado

∑ P

ultado|A PA P res

50,00%

foi atingi

prado por

do problemas vezes. See tempo. Sesada, a chanue a sub-roti

).

∩X|A P A

Aultado|B P

ido dentro

r um

ma. A e A é e B é nce é na A

B

o do

7. A urna X contém 2 bolas azuis, 2 brancas e 1 cinza, e a urna Y contém 2 bolas azuis, 1 branca e 1 cinza. Retira-se uma bola de cada urna. Calcule a probabilidade de saírem 2 bolas brancas sabendo-se que são bolas de mesma cor?

Solução

X Y

A cor da bola que sai da segunda urna não é influenciada pela cor da bola que saiu da primeira urna, isto é os eventos são independentes.

P(mesma cor) = P(BB) + P(AA) + P(C C)= P(B).P(B) + P(A).P(A) + P(C).P(C) = (2/5)(1/4) + (2/5)(2/4) + (1/5)(1/4) = (2/20)+(4/20)+(1/20) = (7/20) = 0,35 ou 35%

Agora

P BB|mesmacor ∩

8. Uma companhia de transporte urbano tem três linhas numa cidade, de forma que 45% dos ônibus cobrem o serviço da linha 1, 25% cobre a linha 2 e 30% cobre o serviço da linha 3. Sabe-se que a probabilidade de que, diariamente, um ônibus quebre é de 2%,3% e 1%, respectivamente, para cada linha.

a. Calcular a probabilidade de que, em um dia, um ônibus quebre.

b. Calcular a probabilidade de que, em um dia, um ônibus não quebre.

c. De que linha de transporte é mais provável que um ônibus quebre?

Solução

A1 = Cobre o serviço da linha 1



B1 = Quebra

B2 = Não quebra

P(A1) = 45% = 0,45 P(A2) = 25% = 0,25 P(A3) = 30% = 0,3

P(B1|A1) = 2% = 0,02 P(B1|A2) = 3% = 0,03 P(B1|A3) = 1% = 0,01

P(B2|A1) = 1 - P(B1|A1) = 1 - 0,02 = 0,98

P(B2|A2) = 1 - P(B1|A2) = 1 - 0,03 = 0,97

P(B2|A3) = 1 - P(B1|A3) = 1 - 0,01 = 0,99

a. A probabilidade de que, em um dia, um ônibus quebre, representada por P(B1), é encontrada pela probabilidade total:

2 A

2 B

1 C

2 A

1 B

1 C

Após retirar uma bola de cada urna queremos saber P(B B|mesma cor).

0

9

P(B1)P(B1)P(B1)

b. A proé encP(B2)P(B2)P(B2) Ou ta

c. Para quebr

|

1

0,4615 46

2

3

Temode u

Na p

9. Uma empNo passad.recebera

a. Calcule

b. Calcule

c. Calcule

= P(A1 = P(A1). = 0,45.0

obabilidadcontrada p = P(A1 = P(A1). = 0,45.0

ambém, sab

encontrarrar, aplic

∩

1| 1

6,15%

| 1

| 1

os, portanum ônibus

planilha E

presa dedicado 90% dos um relatório

e a probabilid

e a probabilid

a probabilid

B1) + P(P(B1|A1) +0,02 + 0,2

de de que,pela proba B2) + P(P(B2|A1) +0,98 + 0,2

bendo-se q

rmos a lincamos o te

P X|A

1∩ 1

1

1

2 ∩ 1

1

3 ∩ 1

1

nto, a liquebrar.

Excel, pre

da à comerctelevisores q

o favorável de

dade de que

dade de que

dade de que

A2 B1) ++ P(A2).P(25.0,03 +

, em um diabilidade A2 B2) ++ P(A2).P(25.0,97 +

que P(B2)

nha de traeorema de

P A P

1∩ 1

1

1

1 ∩ 2

1

1 ∩ 3

1

nha A1 ap

eencha ape

cialização deque comerciae pesquisa fo

os televisore

os televisore

um televisor

+ P(A3 BB1|A2) + P0,30.0,01

ia, um ônitotal:

+ P(A3 BB2|A2) + P0,30.0,99

= 1 – P(B

ansporte qBayes a c

P X|A PP X|A P A

1| 1 1

P 1| 2

P 1| 3

presentand

enas a áre

e televisoresalizou tiveraoi de 85% e

es exitosos r

es não exitos

r receba um

B1) P(A3).P(B1|1 = 0,0195

ibus não q

B2) P(A3).P(B2|9 = 0,9805

B1) = 1 –

que seja acada uma d

A⋯ P

1| 1 1

1| 2 2

2 P 2

1

3 P 3

1

do a maior

ea azul:

s está considm êxito e 1035%, respec

ecebem um

sos recebam

relatório favo

|A3) 5 ou 1,95%

quebre, re

|A3) 5 ou 98,05

0,0195 =

a mais prodas linhas

X|A P A

1| 3 3

0,03 0,250,0195

0,01 0,300,0195

r chance

derando com0% não. Sabectivamente.

relatório des

m um relatório

orável de pes

%

epresenta

5%

0,9805 ou

ovável des. Assim

∑ P

3, ,

,

0,3846

0,1538

(maior pr

mercializar ume-se que a p

sfavorável de

o desfavoráv

squisa. P(B1

da por P(

u 98,05%.

um ônibu

∩X|A P A

38,46%

15,38%

robabilida

m novo televprobabilidade

e pesquisa

vel de pesqui

) = 0,8

B2),

s

ade)

visor. e que

isa.

1

P

P

Pp

Pp

P

P

d. Calcule

e. Qual é

Solução

A1 = Tel

A2 = Tel

B1 = Rel

B2 = Rel

P(B1|A1)

P(B1|A2)

a. P(B2|b. P(B2|c. P(B1)d. P(B2)e. Aqui

No E

0. A probab

Existem pa doença doença é

a. Qual Calcu

b. Qual éCalcu

Solução

P(A1) = Pro

P(A2) = Pro

P(B1|A1) = pessoa est

P(B1|A2) = pessoa não

P(B2|A1) =

P(B2|A2) =

e a probabilid

a probabilida

levisores

levisores

latório fa

latório de

= 85%

= 35%

|A1) = 15|A2) = 65) = P(A1)) = P(A1) queremos

1| 1

xcel:

ilidade de qu

rovas de diaestiver realde 0,95.

é a probabilar à mão e né a probabililar à mão e n

obabilida

obabilida

Probabiliteja doent

Probabilio esteja d

1 – P(B1|

1 – P(B1|

dade de que

ade de que o

exitosos

não exito

avorável d

esfavoráve

5% 5% .P(B1|A1).P(B2|A1)s P(A1|B1

1 ∩ 1

1

0,85

ue uma pess

agnóstico mémente prese

lidade de seno Excel. idade de nãono Excel.

de de que

de de que

idade de qte = 0,95

idade de qdoente = 0

A1) = 1 –

A2) = 1 –

um televisor

o equipamen

osos

de pesquis

el de pesq

+ P(A2). + P(A2).) e será 1 1 ∩

10,85 0,900,90 0,35

soa tenha um

édico disponíente, a proba

e ter a doen

o ter a doenç

uma pess

uma pess

que o diaou 95%.

que o dia0,05 ou 5%

0,95 = 0

0,05 = 0

r receba um

nto do televis

sa

quisa

.P(B1|A2)

.P(B2|A2)encontra

∩ 1

1P

5 0,10 0,7

ma determina

íveis para deabilidade de

nça, se a p

ça, se a prov

oa tenha

oa não te

agnóstico

agnóstico %.

,05 ou 5%

,95 ou 95

relatório des

sor tenha êxit

P(A1) =

P(A2) =

= 0,90x0,= 0,90x0,ado pelo

P 1|

1| 1 P 10,7650

7650 0,03

ada doença é

eterminar se e que a prov

prova de dia

va de diagnó

determina

enha deter

indique a

indique a

%

sfavorável de

to no mercad

90%

10%

,85 + 0,1,15 + 0,1teorema | 1 P 1

P 1| 2

500,7650,8

é 0,02.

uma pessoava de diagnó

gnóstico ind

óstico não in

ada doença

rminada do

a presença

a presença

e pesquisa. P

do? P(A1|B1)

10x0,35 =10x0,65 =de Bayes

2 P 250

0,9563

a tem realmeóstico indiqu

dica a prese

ndica a prese

a = 0,02 o

oença = 0,

a da doenç

a da doenç

P(B2) = 0,2

= 0,9563

= 0,8 = 0,2 s

95,63%

ente a doençae a presenç

ença da mes

ença da mes

ou 2%.

98 = 98%.

ça dado qu

ça dado qu

a. Se ça da

sma?

sma?

ue a

ue a

0

1

a. O quprov

P

|

1

0,2794 2

b. AgordadoP(B2

No Exce

1. Uma fábrproduz 15defeito. A

a. Se se

b. De qu

Solução

P(A1) =

P(A2) =

P(A3) =

P(B1|A1)

P(B1|A2)

ue queremva de diaPara isso

∩

1| 1

7,94%

ra o que o que o d2) = 1 –

2| 2

el:

rica de sacol5% das sacol

máquina 3 p

elecionarmos

ual máquina

Probabili

Probabili

Probabili

= Probab

= Probab

mos é a agnósticoo usamos

P X|A

1∩ 1

1

1

queremodiagnóstiP(B1) = 1

2 ∩ 2

2

as tem 3 málas, com 1% produz 40% d

s uma sacola

é mais prov

idade da s

idade da s

idade da s

ilidade d

ilidade d

probabilio indica o teorema

P A P

1∩ 1

1

1

s é a prico NÃO i1 – 0,068

2 ∩

2

áquinas indedelas com d

das sacolas,

a aleatoriame

ável que saia

sacola ser

sacola ser

sacola ser

da sacola

da sacola

idade de a presena de Baye

P X|A PP X|A P A

1| 1

1| 1 1

robabilidindica a 80 = 0,93

2 P 2|

0

pendentes qdefeito. A má, com 2% de

ente, qual é

a uma sacol

r produzid

r produzid

r produzid

com defei

com defei

uma pesnça da meses:

A⋯ P

1

1| 2 2

dade de upresença

320 ou 93

2 P 2

,9320

que produzemáquina 2 prodelas com defe

a probabilida

a, se a saco

da pela má

da pela má

da pela má

ito vir da

ito vir da

soa ter sma = P(A

X|A P A

,

, ,

uma pessoa da mesm3,20%

0,95 0,980,9320

m o mesmo tduz 45% daseito.

ade de que e

la não tem d

áquina 1 =

áquina 2 =

áquina 3 =

a máquina

a máquina

a doençaA1|B1).

∑ P

,

, ,

oa NÃO tma = P(A

80,9989

tipo de sacos sacolas, co

ela seja defe

defeito?

= 15%

= 45%

= 40%

1 = 1%

2 = 3%

a dado qu

∩X|A P A

,

,

er a doeA2|B2). Ai

99,98%

olas. A máquom 3% delas

eituosa?

ue a

ença inda

ina 1 s com

P(B1|A3) = Probabilidade da sacola com defeito vir da máquina 3 = 2%

P(B2|A1) = Probabilidade da sacola boa, vir da máquina 1 = 1 - P(B1|A1) = 99%



a. Queremos a probabilidade de que a sacola seja defeituosa. P(B1) ? P(B1) = P(B1 A1) + P(B1 A2) + P(B1 A3) P(B1) = P(A1). P(B1|A1) + P(A2). P(B1|A2)+ P(A3). P(B1|A3) P(B1) = 0,15x0,01 + 0,45x0,03 + 0,40x0,02 = 0,0015 + 0,0135 + 0,0080 = 0,0230 ou 2,30%

b. Para sabermos qual a máquina mais provável de produzir uma sacola sem defeito (boa), basta aplicarmos o Teorema de Bayes a todas as máquinas e elegermos a maior probabilidade: P(B2) = 1 – P(B1) = 1 – 0,0230 = 0,9770

1| 21 ∩ 2

2

2 ∩ 1

2P 2| 1 P 1

0,97700,99 0,150,9770

0,1520 15,20%

2| 22 ∩ 2

2

2 ∩ 2

2P 2| 2 P 2

0,97700,97 0,450,9770

0,4468 44,68%

3| 23 ∩ 2

2

2 ∩ 3

2P 2| 3 P 3

0,97700,98 0,400,9770

0,4012 40,12%

A máquina mais provável de produzir uma sacola boa é a máquina 2 com uma probabilidade 44,68%.

12. O primeiro ano de bacharelado no curso de Administração de uma Universidade é integrado por 35 estudantes que se especializarão em Recursos Humanos (RH), 47 em Agronegócios e 40 em Finanças e 38 em Administração Geral. Sabe-se que a probabilidade que um estudante seja reprovado é de 5%, 4%, 3% e 4%, respectivamente. Qual a especialidade é mais provável que seja o estudante, se sabemos que ele ficou reprovado?

Solução

P(A1)=Probabilidade do estudante cursar a especialidade RH=(35/160)=0,2188 ou 21,88%

P(A2)=Probabilidade do estudante cursar a especialidade Agronegócios=(47/160)=0,2938 ou 29,38%

P(A3)=Probabilidade do estudante cursar a especialidade Finanças=(40/160)=0,2500 ou 25,00%

P(A4)=Probabilidade do estudante cursar a especialidade Administração Geral=(38/160)=0,2375 ou 23,75%

P(B1|A1) = Probabilidade dos alunos de RH serem reprovados = 5% = 0,05.

P(B1|A2) = Probabilidade dos alunos de Agronegócios serem reprovados = 4% = 0,04

P(B1|A3) = Probabilidade dos alunos de Finanças serem reprovados = 3% = 0,03.

P(B1|A4) = Probabilidade dos alunos de Adm. Geral serem reprovados = 4% = 0,04

A especialidade mais provável de vir um aluno reprovado é encontrada verificando-se o maior dos P(Ai|B1) (probabilidade da especialidade dado que o aluno é reprovado).

P(B1) = P(B1 A1) + P(B1 A2) + P(B1 A3) + (B1 A4) P(B1) = P(A1). P(B1|A1) + P(A2). P(B1|A2)+ P(A3). P(B1|A3)+ P(A4). P(B1|A4)

P(B1)+ 0,0

A eAgro

= 0,21880075 + 0,0

1| 1

2|1

3| 1

4| 1

specialidnegócios.

8x0,05 + 00095 = 0,0

1 ∩ 1

1

2 ∩ 1

1

3 ∩ 1

1

4 ∩ 1

1dade mai.

0,2938x0,00397 ou 3,

1 ∩

1

1 ∩

1

1 ∩

1

1 ∩

1is prová

04 + 0,25,97%

1 P 1|

0

2 P 1|

0

3 P 1

0

4 P 1

0ável de

00x0,03 +

1 P 1

0,0397

| 2 P 2

0,0397

| 3 P 3

0,0397

| 4 P 4

0,0397vir um

+ 0,2375x0

0,05 0,210,0397

0,2938x0,0

0,0397

0,2500x0

0,0397

0,2375x0

0,0397 aluno

0,04 = 0,0

1887

0,275

040,2960

0,03

70,188

0,04

70,239

reprovad

0109 + 0,0

56 27,56

0 29,60%

89 18,89%

93 23,93%

do é a

0118

6%

%

%

%

do

X 0,44 x 0,03 = 0,0132 ou 1,32% ,

,0,6256 62,56%

3%

V

97%

44%

X 0,33 x 0,01 = 0,0033 ou 0,33% ,

,0,1564 15,64%

1%

33%

J

99%

23%

X 0,23 x 0,02 = 0,0046 ou 0,46% ,

,0,2180 21,80%

2% ______________

C 0,0211 ou 2,11%

98%

Velhos

4.400 =

4.268 + 132

Jovens

3.300 =

3.267 + 33

Crianças 2.300 = 2.254 + 46

132

46

33

entendendo o teorema de bayes - prof. bertolo...e v a d e f d p m p e re m s a n e c c c e v j c t v...

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