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OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA 2011

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ENSINO MÉDIO

1) Ao ser contratado, um vendedor deveria optar entre duas formas diferentes de

contrato. Em uma delas, ele receberia R$ 810,00 fixos e mais R$ 15,00 por produto

vendido. Na outra opção, ele receberia R$ 1.230,00 fixos e mais R$ 8,00 por produto

vendido. Quantos produtos ele precisaria vender para receber o mesmo valor em

qualquer uma das opções?

Resposta: 60 produtos.

Solução:

Se chamarmos de x o número de produtos vendidos, podemos expressar o valor

recebido em cada caso pelas expressões algébricas:

Situação 1: 810 + 15x

Situação 2: 1230 + 8x

Para que o valor recebido seja igual, basta igualar as duas expressões:

810 + 15x = 1230 + 8x

15x – 8x = 1230 – 810

7x = 420

x = 60

2) Um escritório possui 10 lâmpadas iguais e consome mensalmente 84 kWh com a

iluminação. Sabendo que cada lâmpada utilizada consome 3,5 kWh mensais se utilizada

5 horas por dia, calcule o número de horas diárias que as luzes do escritório ficam

ligadas.

Resposta: 12 horas.

Solução:

1 lâmpada: 5 horas diárias – 3,5kWh

10 lâmpadas: 5 horas diárias – 35 kWh

10 lâmpadas: 1 hora diária – 7 kWh


2

Se trabalhando por uma hora diária as 10 lâmpadas consomem 7 kWh mensais, para

consumir 84kWh em um mês é necessário que elas fiquem acesas por 12 horas diárias,

pois 84 : 7 = 12.

3) Uma sorveteria está oferecendo uma promoção para quem compra duas bolas de

sorvete de sabores diferentes. Um aficionado por sorvetes pretende aproveitar a

promoção experimentando todas as combinações possíveis dos 35 sabores oferecidos.

Se ele experimentar uma combinação de duas bolas de sorvete por dia, quantas

semanas levará para experimentar todas as possibilidades?

Resposta: 85 semanas.

Solução:

Para cada um dos 35 sabores podemos escolher 34 para serem combinados com ele,

formando 35 x 34 pares.

Entretanto, nesses pares aparecerão combinações repetidas, pois quando combinarmos

o sabor chocolate com todos os outros teremos a combinação “chocolate e abacaxi”,

por exemplo. E quando combinarmos o sabor abacaxi com todos os outros teremos a

opção “abacaxi e chocolate”. Assim, todos os pares de sabores aparecerão duas vezes

na contagem, sendo necessário dividir o resultado por 2 para eliminar essa duplicidade:

Para obter o número de semanas, dividimos o resultado por 7:

595 : 7 = 85

4) Dividindo 1 por 13, obtemos como resultado uma dízima periódica. Qual é o 33.°

algarismo após a vírgula dessa dízima?

Resposta: 6

Solução:

O resultado da divisão de 1 por 13 é:


3

Se prosseguirmos com a conta, veremos que a sequência 076923 se repete

indefinidamente no quociente.

Até a 30.ª posição depois da vírgula, ela se repetirá 5 vezes.

Em seguida, teremos:

31.ª posição: 0

32.ª posição: 7

33.ª posição: 6

5) Somei 6 números pares consecutivos e obtive como resultado 606. Qual é o maior dos

6 números?

Resposta: 106

Solução:

Dividindo 606 por 6, obtemos o valor médio dos 6 números, que é 101. Esse não pode

ser um dos números, pois não é par, mas está no “centro” dos seis números

considerados. Portanto, o número imediatamente superior e o imediatamente inferior a

ele fazem parte do conjunto: 100 e 102.

Dois dos quatro números que faltam devem ser maiores que 101, e dois, menores.

Portanto, a sequência de números é: 96, 98, 100, 102, 104 e 106. A soma desses

números é, realmente, 606, e o maior deles é 106.


4

6) Uma artesã vai fazer uma colcha de retalhos triangulares, repetindo várias vezes o

padrão mostrado na figura, sem fracioná-lo.

Se o número de retalhos triangulares utilizados é igual a 2.304, quantos deles serão da

cor amarela?

Resposta: 1.536 retalhos amarelos.

Solução:

Observe que o padrão possui 96 triângulos amarelos e 48 triângulos roxos. O número

de triângulos amarelos é, portanto, o dobro do número de triângulos roxos.

Se o número de retalhos roxos é x, o de amarelos é igual a 2x, portanto:

x + 2x =2.304

3x = 2.304

x = 768

O número de retalhos amarelos é:

2x = 2.768 = 1.536

7) Define-se “algarismos ímpares” como os números naturais ímpares que possuem um

único dígito. Quantos números naturais de 4 dígitos existem que sejam formados

apenas por algarismos ímpares?

Resposta: 625


5

Solução:

Segundo o enunciado, os algarismos ímpares são: 1, 3, 5, 7 e 9.

Em um número de 4 dígitos, temos, portanto, 5 possibilidades para o primeiro dígito.

Para cada uma delas temos 5 possibilidades para o segundo dígito, para o terceiro e

para o quarto.

Portanto, temos:

P = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 possibilidades

8) Ao final de uma hora, quantos quilômetros percorreu um ciclista que pedalava com

velocidade constante, considerando que a roda da sua bicicleta tem 26 polegadas de

diâmetro e leva 0,5 segundo para fazer um giro? Considere 1 polegada = 2,54 cm e

. A resposta deve ter duas casas decimais sem aproximação.

Resposta: 14,93 km

Solução:

26 polegadas de diâmetro => 13 polegadas de raio = 33,02 cm

Comprimento da roda: 2. 3,14 . 33,02 = 207,3656 cm

1 hora = 60 minutos x 60 segundos = 3.600 segundos

2 pedaladas por segundo => 3.600 x 2 = 7.200 pedaladas

7.200 pedaladas x 207,3656 cm = 1493032,3 cm

14930,323 metros = 14,930323 km = 14,93 km

9) Um pedreiro utilizou uma escada dobrável, com cada lado medindo 3 m, para consertar

um buraco na parede lateral de um edifício. Para alcançar a altura correta, ele

posicionou a escada de modo que a distância entre as duas pernas da escada, no chão,

era de 3,6 metros. Ao desmontá-la no final do dia, ocorreu um acidente e um dos lados

perdeu 0,4 m no seu comprimento. O pedreiro removeu um pedaço do mesmo tamanho

na outra perna da escada, para poder utilizá-la. Qual deve ser a abertura entre as

pernas da escada, agora, para alcançar o mesmo ponto que alcançava antes?

Resposta: 2,0 m

Solução:


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Considerando uma das pernas da escada, sua altura e a metade da sua abertura junto ao

piso, temos um triângulo retângulo. Aplicando o Teorema de Pitágoras às medidas

conhecidas, podemos encontrar a altura que a escada atinge.

3² = 1,8² + h²

h² = 9 – 3,24

h² = 5,76

h = 2,4 m

Para que a escada mais curta alcance a mesma altura, será necessário diminuir a

abertura das suas pernas. Para calcular a metade da abertura, usamos novamente o

Teorema de Pitágoras:

2,6² = a² + 2,4²

6,76 = a² + 5,76

a² = 6,76 – 5,76

a² = 1

a = 1


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Note que a representa a metade da abertura, que deve ser, então, de 2 m.

10) No balanço anual de uma empresa, constatou-se que as vendas totalizaram R$

1.314.450,00. Sabendo-se que o lucro obtido sobre o custo das mercadorias vendidas

foi de 27%, qual foi o valor pago pelas mercadorias?

Resposta: R$ 1.035.000,00

Solução:

c + 27%c = 1.314.450

c + 0,27c = 1.314.450

1,27c = 1.314.450

c = 1.035.000

11) De quantas maneiras diferentes podemos compor R$ 345,00 usando notas de R$ 20,00

e de R$ 5,00, de forma que pelo menos uma nota de cada seja usada?

Resposta: 17

Solução:

As maneiras possíveis de se compor essa quantia são:


8

12) O menor número de 4 algarismos que é divisível por 5 e por 17 é:

Resposta: 1.020

Solução:

Como 5 e 17 não têm divisor comum, para que o número seja divisível por ambos,

basta que ele seja divisível pelo seu produto:

5 x 17 = 85

Dividindo 1.000 (que é o menor número com 4 algarismos) por 85, obtemos o

quociente 11 e resto 75. Portanto, se multiplicarmos 85 por um inteiro imediatamente

superior a 11, ou seja, 12, obtemos como resultado 1.020, que é o menor número de 4

algarismos que é divisível por 85.


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Fase 2

1. Uma fábrica possui o estoque exato para atender a uma grande encomenda de caixas de

bombons, com 24 unidades cada uma. Quando uma parte das caixas já havia sido

preparada, foi solicitada uma alteração no pedido: 40 caixas das pedidas inicialmente

deveriam ter apenas 18 bombons. A fábrica imediatamente preparou as 40 caixas com

menor quantidade de bombons e, em seguida, voltou a colocar 24 bombons em cada caixa

até acabar com o estoque. Nesse momento, percebeu-se que havia mais caixas do que o

pedido inicial. Quantas caixas havia a mais?

Resposta: 10 caixas.

Solução:

As caixas encomendadas inicialmente deveriam ter 24 bombons cada uma. A alteração no

pedido, reduzindo o número de bombons em 40 caixas, resultou em uma sobra de 240

bombons, ou seja, os 6 bombons a menos que foram colocados em cada uma das 40 caixas.

Com esses 240 bombons, foi possível preparar mais 10 caixas iguais às do pedido original.

2. Um terreno é formado pela soma das áreas de dois quadrados, com uma pequena área

sobreposta, conforme a imagem a seguir.


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Resposta: 1/12.

Solução:

3. Uma casa de massas vende três sabores de lasanha: frango, queijo e à bolonhesa. Em uma

pesquisa, foi feita a seguinte pergunta aos clientes: "Qual o sabor de lasanha que você não

compraria?" Após tabular os resultados, descobriu-se que, dos 125 clientes entrevistados,

34 gostam de todos os sabores de lasanha e 14 deles só não gostam da de queijo,

aceitando os outros sabores. O total de pessoas que respondeu que não gosta da lasanha

de frango foi 45, uma pessoa a mais do que as que marcaram que não comprariam a

lasanha à bolonhesa. Quantas pessoas marcaram, ao mesmo tempo, que não comprariam

nem frango e nem bolonhesa?

Resposta: 12 pessoas

Solução: Dos 125 clientes que participaram da pesquisa, 34 gostam de todas as lasanhas,

então são apenas 91 que rejeitam algum sabor.

Entre esses 91, 14 rejeitam apenas a de queijo, então não podem ser contados entre os que

não gostam de frango ou bolonhesa.

Portanto, entre os que rejeitam frango, bolonhesa ou ambos, há 77 pessoas. Como as que


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marcaram frango são 45, há 32 que rejeitam apenas o sabor bolonhesa. Dentre as 44 que

marcaram a de bolonhesa, então, há 12 que também não gostam de frango.

4.

Resposta: 1814,5 cm³

Solução:

Para empregar completamente a folha de alumínio, há duas configurações possíveis para o

cilindro:


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5. Uma loja de chocolates vende um determinado tipo de bombom em três tamanhos

diferentes de embalagens, a maior com 560 g, a média com 441 g e a menor com 322 g.

Sabendo que em qualquer dos casos a caixa que acomoda a embalagem de bombons

"pesa" 16g, e que os bombons são rigorosamente do mesmo tamanho, quanto "pesa", no

máximo, cada bombom, sabendo que esse valor é um número inteiro? Considere

desprezível o "peso" da embalagem.

Resposta: 17 g

Solução:

Primeiro calculamos quanto "pesam" os bombons em cada caixa, sem a embalagem:

560 - 16 = 544

441 - 16 = 425

322 - 16 = 306

Para saber o maior número que é divisor de 544, 425 e 306, basta encontrar o MDC entre

esses números, ou seja, o maior divisor comum.


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O MDC é 17, pois é o único fator comum. Cada bombom "pesa", portanto, 17 g.

6. Anagramas são palavras formadas pela reorganização de um conjunto de letras. Por

exemplo, IRACEMA e AACRIEM são anagramas da palavra AMÉRICA. Note que, muitas

vezes, os anagramas formam palavras que não possuem significado na língua portuguesa.

Considerando os anagramas da palavra BISCOITO, e colocando-os em ordem alfabética,

qual é o anagrama que ocuparia a 10.ª posição?

Resposta: BCIIOOST

Solução:

Colocando em ordem alfabética as letras da palavra BISCOITO, temos:

BCIIOOST

Em seguida, vamos mudando as últimas letras, obtendo novos anagramas e os organizamos

em ordem alfabética:

BCIIOOST

BCIIOOTS

BCIIOSOT

BCIIOSTO

BCIIOTOS

BCIIOTSO

BCIISOOT

BCIISOTO

BCIISTOO

BCIITOOS

7. Uma costureira recebeu uma encomenda de algumas peças de roupa iguais, a serem

entregues em um prazo fixo. Ela calculou que, se fizesse 3 peças por dia, terminaria o

serviço um dia antes de acabar o prazo dado. Por outro lado, se fizesse 2 peças por dia, o

prazo acabaria e ainda faltaria uma peça a ser feita. De quantos dias foi o prazo dado?

Resposta: 4 dias

Solução:

Chamando o número de peças de p e o número de dias de d, temos:

p = 3(d-1)

p = 2d +1


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Igualando as duas expressões:

3(d -1) = 2d + 1

3d - 2d = 1 + 3

d = 4

8. Um evento será realizado em um centro de convenções que possui três salões. Uma grande

quantidade de cadeiras foi alugada para ser dividida igualmente entre os três salões.

Quando as cadeiras chegaram, o responsável pelo primeiro salão retirou 1/3 delas. O

responsável pelo segundo salão chegou depois e imaginou que ninguém ainda havia

retirado cadeiras. Então, retirou 1/3 das restantes. O responsável pelo terceiro salão achou

que era o segundo a retirar cadeiras, então levou apenas a metade das restantes. Sabendo

que sobraram 120 cadeiras depois das três retiradas, quantas foram alugadas no total?

Resposta: 540 cadeiras

Solução:

Quando o responsável pelo terceiro salão retirou metade das cadeiras que havia, sobraram

120 cadeiras. Isso significa que havia 240 cadeiras antes dessa retirada.

O responsável pelo segundo salão retirou 1/3 das que havia e deixou 2/3, ou seja, as 240

cadeiras que o responsável pelo terceiro salão encontrou. Se 2/3 = 240, 1/3 = 120, havia 360

cadeiras no salão antes da segunda retirada.

O responsável pelo primeiro salão retirou 1/3 das cadeiras e deixou 2/3, que foram as que o

responsável pelo segundo salão encontrou. Se 2/3 = 360, 1/3 = 180.

Portanto, foram alugadas 540 cadeiras.

9.

Resposta: 2001

Solução:


15


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10. No ano passado, o proprietário de uma fazenda destinou 30% da área à plantação de

milho. Neste ano, ele vai continuar plantando milho no mesmo lugar, mas adquiriu um

novo pedaço de terreno, que aumentou a área da fazenda em 15%. Essa nova área será

toda dedicada à plantação de milho. Qual o percentual de aumento da área plantada com

milho em relação ao ano passado?

Resposta: 50%

Solução:

11. Ao reformar um jardim, o jardineiro retirou a cerca que havia em volta de um canteiro

quadrado de área igual a 64 m². Ele utilizou a cerca toda para envolver um novo canteiro,

retangular, cujo lado menor é igual à metade da medida do lado do canteiro quadrado.

Qual a área do novo canteiro?

Resposta: 48 m²

Solução:

O canteiro quadrado, de área igual a 64 m², tem lado de medida igual a 8 m e, portanto, o

comprimento total da cerca que o envolve é de 32 m.

A medida do lado menor do canteiro retangular é a metade do lado do quadrado, ou seja, igual

a 4 m.

Como são dois lados de 4 m, sobram 24 m para dividir entre os lados maiores do retângulo,

resultando em 12 m para cada um deles.


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A área é dada pela multiplicação da medida do lado menor pela medida do lado maior:

A = 4 x 12 = 48 m²

12. O produto de 45 números inteiros positivos é igual a 45. Qual é o menor valor possível para a soma desses fatores?

Resposta: 53

Solução: Podemos escrever o número 45 como produto de números inteiros e positivos das seguintes maneiras: 45 = 45 . 1 45 = 15 . 3 45 = 9 . 5 45 = 5 . 3 . 3 A menor soma desses fatores é 5 + 3 + 3 = 11. Como o produto deve ter 45 fatores, os outros 42 deverão ser iguais a 1. 5 + 3 + 3 + 42 . 1 = 53


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Fase 3

1. Um grupo de amigos alugou uma chácara para passar dois dias, ao custo de R$ 390,00

por dia. No segundo dia, entretanto, chegaram mais 3 jovens que concordaram em

participar do rateio correspondente a esse dia. Isso fez com que cada amigo do grupo

inicial gastasse R$ 9,00 a menos pela estada de dois dias do que foi calculado

inicialmente. Quantos jovens estavam na casa no segundo dia?

Resposta: 13

Solução:

Resolvendo essa equação, obtemos n = 10. Assim, a solução é igual a 13.


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Podemos resolver de outra maneira, atribuindo valores para n e montando uma tabela:

Note que a diferença de R$ 9,00 na despesa dos jovens ocorreu apenas no segundo dia. Então,

basta dividir o valor de um dia, R$ 390,00, pelo número de jovens até encontrar uma

diferença de R$ 9,00 correspondendo a um acréscimo de 3 jovens na divisão da quantia.

Observando a tabela, percebe-se que isso ocorre quando se considera 10 jovens no primeiro

dia e 13 no segundo dia.

2. Durante o ano passado, as crianças de minha família receberam, nos seus aniversários,

um presente de cada adulto, mas não presentearam ninguém. Cada adulto, além de

presentear as crianças, também comprou um presente para todos os adultos da família

nos respectivos aniversários. Sabendo que há 8 crianças na família e que durante o ano

foram comprados 540 presentes, quantos adultos há na minha família?

Resposta: 20 adultos.

Solução:

Se o número de adultos é x, cada adulto presenteia (x-1) adultos e mais 8 crianças.

O número de presentes comprados para adultos é: x(x-1)


20

O número de presentes comprados para crianças é: 8x

Portanto, temos:

Como o número de pessoas é um valor positivo, a quantidade de adultos na família é 20.

3. A "conjectura de Guthrie" é um famoso problema matemático, segundo o qual tenta-se

definir o número máximo de cores necessárias para colorir um mapa sem que países

(ou estados) com fronteiras comuns tenham a mesma cor. O problema já foi testado

inúmeras vezes e concluiu-se que 4 cores são suficientes para qualquer mapa, embora

uma prova matemática tradicional ainda não tenha sido obtida. A experiência mostrou

também que alguns mapas podem ser coloridos com três ou apenas duas cores,

seguindo a mesma regra. Considerando as seguintes cores: amarelo, marrom, verde e

vermelho, de quantas maneiras diferentes o mapa da Região Sudeste do Brasil pode ser

colorido, obedecendo à "conjectura de Guthrie"? Considere as figuras a seguir como

exemplos de duas dessas maneiras.


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Resposta: 48

Solução: Podemos pintar o mapa usando 3 ou 4 cores. Com apenas duas cores não é possível

fazê-lo, pois a cor escolhida para o Rio de Janeiro teria de ser diferente da cor de São Paulo, e

a cor de Minas Gerais não poderia ser nenhuma dessas duas.


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Fase 4

1. Cristina encomendou vários rocamboles para uma festinha que ia oferecer às amigas.

Depois de fazer exatamente 57 cortes perpendiculares ao comprimento dos bolos, ela

obteve a quantidade necessária de fatias: 2 para cada uma das suas 35 convidadas.

Sabendo que as fatias e o tamanho dos rocamboles não são necessariamente iguais,

quantos rocamboles Cristina comprou?

Resposta: 13 rocamboles

Solução:

Observe que, ao efetuar cortes paralelos em qualquer objeto, o número de partes obtidas é

sempre uma unidade maior que o número de cortes feitos:

Cristina fez 57 cortes e obteve 70 partes. Obtendo uma fatia a mais em cada rocambole

cortado, concluímos que ela cortou 70 - 57, ou seja, 13 rocamboles.

2. Após realizar duas provas de Matemática, a média de Felipe era 9,0. Depois de fazer a

terceira prova, a média caiu para 8,0. Na quarta prova, ele obteve uma boa nota e sua

média subiu para 8,5. Qual a soma das notas obtidas por Felipe na terceira e quarta prova,

sabendo que todas as provas tiveram o mesmo peso?

Resposta: 16

Solução:


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3. No pátio de uma escola, estão 5 turmas de alunos, aguardando para assistir a um filme no

auditório. Quando a turma A entrou no auditório, sobraram no pátio 114 alunos. Quando a

turma A voltou e a turma B se retirou, sobraram no pátio 112 alunos. Quando os alunos

voltaram e foi a vez de a turma C sair para ver o filme, sobraram 116 alunos no pátio.

Quando a única turma ausente foi a D, ficaram 117 alunos no pátio, o mesmo número que

ficou quando a ausente foi a turma E. Quantos alunos havia no pátio quando todas as

turmas estavam presentes?


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Resposta: 144 alunos

Solução: Chamando o número de alunos das turmas de a, b, c, d e e, temos:

b + c + d + e = 114

a + c + d + e = 112

a + b + d + e = 116

a + b + c + e = 117

a + b + c + d = 117

Somando as 5 equações acima, temos:

4a + 4b + 4c + 4d + 4e = 576

4(a + b + c + d + e) = 576

a + b + c + d + e = 144

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