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Cadernode

Atividades

2a. sériemAtemátiCA

eNsiNO MéDiO

Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)

M319 Marciano Neto, Mário.Matemática : ensino médio, 2ª. série : caderno de atividades /

Mário Marciano Neto e Dirceu Luiz Fedalto ; ilustrações Cesar Stati. – Curitiba : Positivo, 2012.

: il.

Sistema Positivo de Ensino

ISBN 978-85-385-5506-3 (Livro do aluno)

ISBN 978-85-385-5507-0 (Livro do professor)

1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos I. Fedalto, Dirceu Luiz. II.

Stati, Cesar. III. Título.

CDU 510

© Editora Positivo Ltda., 2012

Diretor-Superintendente Ruben Formighieri

Diretor-Geral Emerson Walter dos Santos

Diretor Editorial Joseph Razouk Junior

Gerente Editorial Maria Elenice Costa Dantas

Gerente de Arte e Iconografia Cláudio Espósito Godoy

Autoria Mário Marciano Neto Dirceu Luiz Fedalto

Edição Fernanda Rosário de Mello Angela Ferreira Pires da Trindade Solange Gomes

Ilustração Cesar Stati

Projeto gráfico e capa Roberto Corban

Editoração Expressão Digital

Pesquisa iconográfica Tassiane Aparecida Sauerbier © Shutterstock/JustASC

ProduçãoEditora Positivo Ltda.

Rua Major Heitor Guimarães, 17480440-120 – Curitiba – PR

Tel.: (0xx41) 3312-3500 – Fax: (0xx41) 3312-3599

Impressão e acabamentoGráfica Posigraf S.A.

Rua Senador Accioly Filho, 50081310-000 – Curitiba – PR

Fax: (0xx41) 3212-5452E-mail: [email protected]

2012

[email protected]

matemática

3

suMáriO

Matrizes e DeterMiNaNtes .........................................5

sisteMas liNeares ......................................................14

geOMetria espacial ....................................................21

aNálise cOMbiNatória ...............................................35

prObabiliDaDes ..........................................................46

matemática

5

1. Dada a matriz A =

− −−

1 1 0 1

0 4 1 4

2 3 2 4

3 2 4 2

3

2

1

5

, pede-se:

a) a ordem da matriz A;

b) o elemento a32

de A;

c) a soma dos elementos da 2.a linha de A;

d) a soma dos elementos da 4.a linha de A.

2. Sendo a matriz A =−

2

3

4

1

0

2

, escreva:

a) a matriz oposta;

b) a matriz transposta.

3. Escreva a matriz identidade de ordem:a) 2 x 2

b) 3 x 3

Matrizes e DeterMiNaNtes

4. Dada a matriz identidade de ordem 6, pergunta-se:a) Quantos são os seus elementos?

b) Quantos elementos são iguais a zero? E quantos elementos são iguais a 1?

5. Construa a matriz M = (aij)

3x2, tal que a

ij = i + j.

6. Determine os valores de x, y e z nas igualdades abaixo:

a) x y

z z

+ −

=

−

1 2

0

7 9

2 3 0

b) x y y

x y

−+

=

2

6

3 81

7 6

Caderno de Atividades

6

7. Dadas as matrizes A, B e C, calcule o que se pede:

A =−

1 2

4 0

5

3B=

−− −

0 1

1 2

3

0C =

1 2

0 0

3

2

a) A + B + C

b) 2A – B + 3C

8. Sendo A =−

1 3

5 3

4

1 e B=

0

1

3

4

7

2

, calcule 2 . A – Bt.

9. Dadas as matrizes A = (aij)

2x2 com a

ij= i + j, B = (b

ij)

2x2

com bij = i . j e C = (c

ij)

2x2 com c

ij = i2 + j2, calcule o

valor de 2A + 3B – C.

10. Construa a matriz R definida da seguinte forma:

R = ( aij)

3x3, tal que a

se i j

i j se i j

i se i j

ij =<

+ =

− >

0

3 2

22

11. Considere um quadrado de lado 4 cm, com seus vértices numerados de 1 a 4, no sentido horário. Escreva a matriz Q = (a

ij)

4x4 na qual os índices i e j

são os vértices de 1 a 4 e os elementos aij são as

distâncias entre os vértices.

matemática

7

12. Sendo A =−

1 2

0 1

3

2 e B=

1 1

2 4

3 0

, calcule:

a) A . B

b) B . A

13. Dadas as matrizes A =

1 2

3 2 e B=

0 3

1 4, calcule:

a) A . B

b) B . A

c) A²

d) B²

14. Sendo a matriz A =

2 2

1 2, calcule A² + 4A – 5I

2 (I

2: Matriz identidade de ordem 2x2).

15. Dadas as matrizes A = [ 1 7 0 ] e B= −

1

2

5

, calcule:

a) A . B b) B . A


8

16. Obtenha a matriz inversa da matriz A =

4 1

11 3

17. Verifique se a matriz A =

2 1

5 3 é inversa da ma-

triz B=−

−

3 1

5 2.

18. Seja A = (aij)

2x2 com a

ij = 2j – i2. Determine a matriz

inversa da matriz A.

19. Seja a matriz A= (aij)

2x2, onde

aij = a

i j se i j

i j se i jij =+ =− ≠

,

,. Se At é a matriz trans-

posta de A, então determine a matriz B = A2 + At.

matemática

9

20. Obtenha a matriz inversa da matriz M=

1 2

2 3.

21. Considere a matriz A =−

−

2 3

3 2. Determine

A2008.

22. Calcule o valor dos seguintes determinantes:

a) 1 3

4 2

b) 1 5

2 1

−


a)

1 3 2

4 1 0

1 2 1

b)

2 5 4

6 5 8

0 0 0

24. Calcule o valor do determinante:1 2 5

2 4 1

3 6 2


10

25. Determine o valor de m de modo que o determi-

nante de

2 1

3 4 3

1 2 1

m

− −seja igual a 0.

26. Calcule 1 3

4 1

2 3 2

0 4 1

0 5 3

−−

−. .

27. Resolva a equação 4 5

26

x x−= .

28. Sendo a=− −

−

2 5 3

2 0 1

4 3 2

e b=−−−

8 0 3

4 0 1

4 3 2

,

calcule 9a + b2.

29. Resolva as equações:

a) 5 2

2 3x x+ = –4

b) x

x x

2

3 5 2 1+ + = –10

c) x

x x

−+

=2 2

2 3

1 16

1 1

matemática

11

30. Resolva a equação:x x x

x x

x

x

x3

4 2

5

12=

−

31. Determine os valores de x, de modo que x x2

7 1 = 18.

32. Calcule o valor dos seguintes determinantes, justi-ficando:

a)

0 0 0

3 4 2

1 7 9−

b)

2 0 2

3 4 3

1 7 1− −

c)

2 3 5

4 6 10

1 7 9−

d)

a b a b

c d c d

m n m n

+++

e)

1 3 2

1 2 1

5 12 7

33. O valor de x que satisfaz a equação

2 3 5

7 1 6

1 4

0− =x

é:a) 1b) 2c) 3d) 4

e) 5

34. Seja A

a b c

m n p

z y z

= e detA = 10. Calcule o valor dos

seguintes determinantes:

a)

m n p

a b c

x y z2 2 2

b)

2 3

2 3

2 3

m n p

x y z

a b c


12

35. Seja A

a b c

m n p

z y z

= e detA = 8, determine:

a) det(2A)

b) det(–3A)

36. Dada a matriz M=−1 0 1

2 4 6

3 2 3

, pede-se:

a) o cofator do elemento a23

;

b) o valor do det M, utilizando a Regra de Sarrus;

c) o valor do detM, utilizando o Teorema de Laplace.


a)

3 4 1 5 1

0 1 1 1 1

0 1 1 1 2

0 1 2 3 4

0 1 3 2 4−

b)

3 4 2 1

1 2 1 0

2 3 1 0

1 2 5 2

−−

matemática

13

38. Resolva a equação, sendo x um número real:

2 2 1

0 3 2 2

0 0 1

0 0 0 6

36

x

x

−−

−

= −

39. Dadas as matrizes

A =−

−

1 2 3

1 4 5

6 2 1

e B=−

−−

2 3 1

0 4 2

6 3 4

,

calcule o det(A + B).

40. Dadas as matrizes A =

1 3

4 2 e B=

−

1 0

1 2,

calcule:

a) detA

b) detB

c) det(A + B)

d) det(A . B)

anotações


14

1. Resolva pela Regra de CRAMER:

x y

x y

+ =+ =

3

2 4

2. Resolva pela Regra de CRAMER:x y z

x y z

x y z

− + =+ − =− + =

3

2 0

3 2 6

sisteMas liNeares

3. Discuta o sistema mx y

x my

+ =+ =

2 0

8 0

4. Resolva, aplicando a Regra de Cramer, o seguinte sistema:

x y

x y z

x z

+ =− + − =+ =

1

2 3 3 2

1

matemática

15

5. Determine o valor de p para que o sistema tenha solução diferente da trivial:

2 0

0

2 2 0

x y z

x y pz

x y z

− + =+ + =+ + =

6. (F.G.V.) – Para que valores de k o sistema abaixo (nas incógnitas x, y e z) é indeterminado?

x y z

x ky

x y z

+ − =+ =+ − =

2 0

3 0

2 0

7. Resolva o sistema linear homogêneo3 4 0

2 0

3 0

x y z

x y z

x y z

+ + =− − =

− + − =

8. (F.G.V.) – Se o sistema linear 3 5 0

4 7 19

x y

x y

− =+ =

for resolvido pela Regra de Cramer, o valor de x será dado por uma

fração cujo denominador vale:

a) 41 b) 179 c) –179 d) 9 e) –9

9. No estacionamento de uma universidade, em um determinado horário, existiam automóveis e bicicletas. O nú-mero total de rodas era de 130 e o número de bicicletas era o triplo do número de automóveis. Então, o número total de veículos que se encontravam no pátio era de:a) 50 b) 42 c) 52 d)54 e)62


16

10. Resolva os sistemas escalonados abaixo:

a)

2 7

2 3

5 10

x y z

y z

z

+ − =+ =

=

b)

x y z w

y z w

z w

w

− + − =+ + =

− =− =

2 1

4

2 0

4

11. Resolva os sistemas abaixo, por escalonamento:

a)

x y z

x y z

x y z

+ − = −+ + =+ − =

2 1

2 0

4 6 4

matemática

17

b)

x y z

x y

x y z

+ + =+ =+ − = −

2

3 2

3 2 2 5

c)

x y z

x y z

x y z

− + =+ − =− + =

2 3 1

2 0

3 2 4

d)

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

2 3 4

2 3 2

5 8 5 8


18

12. O valor de x no sistema

2 2 2 6

3 3

2

x y z

x y Z

y z

+ − =− + =

− + =

é:

a) 4 b) 8 c) –1 d) 0 e) nda

13. Sabendo que x + y = 800, x + z = 1 000 e y + z = 1 200, calcule o valor de 2x + 3y – z.

14. Numa loja, podem ser comprados: uma faca, duas colheres e três garfos por R$23,50; duas facas, cinco colheres e seis garfos por R$50,00; duas facas, três colheres e quatro garfos por R$36,00. Qual seria o valor pago por meia dúzia de cada?

matemática

19

15. Para pesar três maçãs, dispomos de um massor (peso) de 100 g e de uma balança de pratos iguais. A massa da maçã maior é igual à massa das duas outras juntas. A massa da menor mais 100 g igual a massa das outras. A maior mais a menor pesam 100 g. A massa das três será:a) 125 g b) 150 g c) 175 g d) 200 g e) 225 g

16. Considere o seguinte sistema de equações lineares e, em seguida, calcule o produto x . y . z . t.

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

+ + + =− − − = −

− + − − = −− − + − = −

11

9

7

5

a) 15 b) 20 c) 30d) – 20 e)– 30

17. O sistema x y

x ay b

+ = −+ =

2 1

2

a) é impossível se a = 4 e b = – 2;b) é possível e determinado se a = 4 e b = – 2;c) é impossível se a ≠ 4 e b ≠ – 2;d) é determinado se a = 4;

e) é indeterminado se a = 4 e b = – 2.

18. Faça a discussão dos sistemas em função dos parâ-metros a e b:

a) x by

x y a

+ =− =

3

2 4

b)

x y z

x y z

x y az b

+ − =+ + =+ + =

2 3

2 5 1


20

19. Para que o sistema

x my z

mx y z

x z

+ + =+ − =

− =

0

4

2

seja possível e determinado, é necessário que:

a) m = 2 ou m = – 1b) m = 2 ou m ¹ – 1

c) m ≠ 2 e m ≠ – 1d) m = – 2 ou m = 1e) m ¹ 2 e m = – 1

anotações

matemática

21

1. Um poliedro convexo possui 8 faces e 6 vértices. Calcule o número de arestas.

2. O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares é:a) 32 b) 12 c) 20d) 15 e) 18

3. Um turista ecológico encontrou, em uma de suas viagens, um cristal de rocha no formato de um po-liedro convexo de 60 faces triangulares. Calcular o número de arestas e vértices desse cristal.

4. Um poliedro convexo possui 12 faces pentagonais. Calcule o número de vértices desse poliedro.

geOMetria espacial

5. Calcule o número de vértices de um poliedro convexo de 6 faces quadrangulares e 12 faces triangulares.

6. Um poliedro convexo tem 10 vértices, 8 faces trian-gulares e x faces quadrangulares. O número total de faces desse poliedro é:

a) 12 b) 10 c) 8d) 6 e) 4

7. A soma de todos os ângulos das faces de um polie-dro convexo é 1 800º. O número de vértices desse poliedro é:a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9


22

8. A soma de todos os ângulos de todas as faces de um poliedro regular é 3 600º. O número de arestas desse poliedro é:a) 6 b) 12 c) 30 d) 20 e) 8

9. O hexaedro regular é um poliedro convexo com:a) 4 faces quadradas, 8 arestas e 8 vértices;b) 6 faces quadradas, 8 arestas e 12 vértices;

c) 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices;d) 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices;e) 8 faces triangulares, 12 arestas e 8 vértices.

10. São classificados como poliedros de Platão:a) a esfera e o cubo;

b) o cubo e o octaedro;c) a circunferência e a esfera;d) o cubo e o decaedro;e) o hexaedro regular e o pentaedro.

11. A figura abaixo é a planificação de um poliedro con-vexo. Após a contagem do número de faces, deter-mine o número de arestas e vértices do poliedro:

12. O cubo octaedro é um poliedro convexo que tem 6 faces quadradas e 8 faces triangulares. Determine:a) o número de arestas;

b) o número de vértices;

c) a soma das medidas dos ângulos das faces.

13. A figura a seguir representa a planificação de um sólido. O volume desse sólido é:

3 3

3

3 3

a) 8b) 75c) 32/5d) 13/7

e) 81/4

matemática

23

14. Calcule o volume de um prisma quadrangular re-gular cujo lado da base é 3 cm e cuja altura é 6 cm.

15. Calcule o volume e a área total de um prisma triangu-lar regular, com altura 6 cm e altura da base 3 3 cm.

16. Num prisma triangular regular, a altura mede

2 3 cm e a área lateral é o quádruplo da área da base. Calcule a área total desse prisma.

17. A área lateral de um prisma regular hexagonal é o triplo da área da base desse prisma. Calcule o volu-me, sabendo que a base desse prisma tem períme-tro igual a 12 cm.


24

18. Calcule o volume de um cubo de área total de 150 cm2.

19. Dado um paralelepípedo reto-retângulo cujas di-mensões são 3 cm, 4 cm e 12 cm, calcule:a) a área total;

b) a medida da diagonal;

c) o volume.

20. Dado um cubo cuja diagonal mede 2 3 m, calcule:a) a área total do cubo;

b) o volume desse cubo.

21. Aumentando-se a medida da aresta de um cubo em 10%, a área total desse cubo ficará aumentada em:a) 10%b) 11%c) 32%d) 20%e) 21%

22. O lado, a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três números em progressão geométrica. Calcule:

a) a área total desse cubo;

b) a medida da diagonal desse cubo;

c) o volume desse cubo.

matemática

25

23. Para construir um prisma regular hexagonal de 5 cm de altura e aresta da base 4 cm, um meni-no pretende recortar as faces laterais e as bases em uma folha retangular de cartolina com 30 cm de comprimento por 20 cm de largura. Calcule o percentual de cartolina usado nessa construção. (Use 3 = 1,7.)

24. Uma caixa de papelão foi construída na forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões 20 cm, 40 cm e 50 cm. Calcule o “peso” desta caixa, saben-do que cada 1 cm2 pesa 0,5 gramas.

25. Numa cozinha de 3 m de comprimento, 2 m de largura e de 2,80 m de altura, as portas e janelas ocupam uma área de 4 m2. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10% a mais da metragem. Determine a metragem de azu-lejos a comprar.

26. Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o alumínio líquido é molda-do como um paralelepípedo retângulo de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. Determine o valor de x.

27. Um prisma regular triangular tem todas as nove arestas congruentes entre si. Calcule a área total desse prisma, sabendo que o volume é 16 3 cm3.

28. 1. A pirâmide abaixo representada é regular. Escreva o nome dos segmentos destacados:

V

MA

O

vO:

vA :

vm:

Om:

AO:


26

29. Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 cm de altura e 12 cm de aresta da base. Obtenha:a) a área da base;

b) a medida do apótema;

c) a área lateral;

d) a área total.

30. Em uma pirâmide hexagonal regular, o apótema mede 13 cm e o raio da circunferência circunscrita, 5 cm. Calcule a área total dessa pirâmide.

31. A área da base de uma pirâmide quadrangular re-gular é 3 600 cm2. Se a medida da altura da pirâmi-de é 50 cm, calcule a área total e o volume dessa pirâmide.

50

60

60

32. Calcule o volume de uma pirâmide triangular regu-lar cujo perímetro da base é 36 cm e a altura, 15 cm.

matemática

27

33. Em uma pirâmide hexagonal regular, a aresta da base mede 20 cm e a aresta lateral, 26 cm. Determi-ne a área total e a medida da altura dessa pirâmide.

34. Todas as arestas de uma pirâmide quadrangular re-gular apresentam a mesma medida, e a soma delas é 240 cm. Determine a área total dessa pirâmide.

35. Rogério comprou papelão colorido para recobrir todas as faces de uma pirâmide quadrangular regu-lar de 40 cm de altura e 60 cm de aresta da base. Na balança de sua casa, ele constatou que cada 1 cm2

de papelão pesava 0,1 g e que a pirâmide, antes do recobrimento, pesava 385 g. Se ele, depois do recobrimento, pesar novamente a pirâmide, qual a massa (peso) que ele irá encontrar?

36. A pirâmide de Quéops, a Grande Pirâmide de Gizé, tem base quadrada com 230 m de lado e altura de 147 m. Um caminhão basculante, desses utilizados no transporte de areia, costuma transportar,.quan-do cheio, 6 m³ de areia. Determine quantas viagens um caminhão desse tipo deveria fazer, para trans-portar um volume de areia equivalente ao da pirâ-mide.

37. No desenho abaixo, você tem a planificação de uma pirâmide triangular regular. Calcule a área total e a medida da altura dessa pirâmide:

4 3 cm

6 cm


28

38. De um cubo de aresta 12 cm, retira-se através de uma secção, o tetraedro VABC, conforme ilustra a figura. O volume da parte restante é igual a:

V

A

B

C

a) ( ) 576 cm3

b) ( ) 1 440 cm3

c) ( ) 1 152cm3

d) ( ) 288 cm3

e) ( ) 1 200 cm3

39. (PUC – SP) – Um imperador de uma antiga civili-zação mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são:• sua base é um quadrado com 100 m de lado;• sua altura é de 100 m.Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1 000 m3, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, calcule o tempo necessário para a constru-ção da pirâmide, medido em anos de 360 dias.

40. (PUC –SP) – O volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja aresta lateral tem 10 m e o raio da cir-cunferência circunscrita à base mede 6 m, em m3, é igual a:a) 144 2

b) 144 3c) 144 6

d) 144 5

e) 144 7

41. A altura e o apótema de uma pirâmide quadran-gular regular medem, respectivamente, 20 cm e 25 cm. Calcule o volume e a área total dessa pirâ-mide.

42. Um cilindro circular reto tem 12 cm de altura e 10 cm de diâmetro na base. Calcule a área total e o volume desse cilindro.

matemática

29

43. O volume de um cilindro circular reto é 1 500 π cm3. Se a medida da altura do cilindro é 15 cm, calcule a medida do raio da base e a área total.

44. Um tanque com a forma de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 8 m e a altura 10 m, arma-zena um certo combustível, que ocupa 40% de sua capacidade total. Calcule:a) a capacidade total do tanque;

b) o volume de combustível contido nesse tanque, em litros. (1 m3 = 1 000 L e π = 3,14)

45. Um recipiente com a forma de um cilindro reto cujo

diâmetro da base mede 40 cm e a altura 100

≠ cm

armazena um certo líquido que ocupa 40% de sua

capacidade. Calcule, em litros, o volume de líquido

contido nesse recipiente.

46. Em um cilindro equilátero, a área da base é 900 π cm2. Calcule o volume desse cilindro.

47. Um retângulo gira em torno de um de seus lados, que mede 6 cm. O volume do sólido gerado por esse retângulo é de 600 π cm3. Calcule a área lateral e a área total do sólido.

48. A altura de um cilindro circular reto mede o triplo da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência da base é 8 π cm, determine o volu-me do cilindro em centímetros cúbicos.


30

49. Um produto é embalado em recipiente com forma-to de cilindros retos. O cilindro A tem altura 20 cm e raio da base 5 cm. O cilindro B tem altura 10 cm e raio da base 10 cm.a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos

material?

b) O produto embalado no cilindro A é vendido a R$ 4,00 a unidade, e o do cilindro B, a R$ 7,00 a unidade. Para o consumidor, qual é a embala-gem mais vantajosa?

50. No projeto de um prédio foi inicialmente prevista a construção de um reservatório de água com for-mato cilíndrico cujas medidas seriam: raio da base igual a 2 m e altura igual a 3 m. Depois, foi constata-do que o volume do reservatório havia sido subes-timado, sendo necessário, na verdade, o dobro do volume. Qual deverá ser a medida do raio da base, sabendo-se que a altura do reservatório não poderá ser alterada?

51. Uma tornearia confecciona colunas de madeira de forma cilíndrica usando blocos que têm a for-ma de paralelepípedos retângulos. O processo é simples: o bloco de madeira é colocado em um torno que o faz girar e uma lâmina metálica retira os “cantos”, transformando-o em um cilindro. Des-sa forma, um bloco de 20 cm x 20 cm x 50 cm é transformado num cilindro de 10 cm de raio por 50 cm de altura, fazendo com que as perdas sejam mínimas. Calcule, em porcentagem, a quantidade de madeira que é retirada do bloco.

(Use π = 3,14.)

52. Considere os dois cilindros circulares retos abai-xo representados. Se V

1 é o volume do cilindro de

maior altura e V2 o volume do outro cilindro, é ver-

dade que:

2a

a 2a

a

matemática

31

a) V1 = 2V

2

b) V1 = V

2

c) V1 =

V2

2

d) V1 =

V2

4

e) V1 =

V

a2

53. Duzentos litros de um líquido serão armazenados em latas cilíndricas de raio 5 cm e altura 13 cm. Cada lata deverá ser preenchida em até 80% do seu volume. Quantas latas, no mínimo, serão necessá-rias?

54. Considere os cilindros de revolução obtidos pela rotação de um retângulo de lados medindo 3 cm e 6 cm. Analise as afirmações e marque ( V ) para as verdadeiras e ( F ) para as falsas:

( ) O cilindro formado pela rotação do retângulo em torno do lado menor é equilátero.

( ) A secção meridiana do cilindro formado pela rotação do retângulo em torno do lado menor tem área igual a 36 cm2.

( ) O volume dos dois cilindros é 108 π cm3.

( ) A secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado.

55. (FUVEST – SP) – Sabe-se que uma lata de azeite ci-líndrica tem 8 cm de diâmetro e 18,5 cm de altura e, ainda, que nela vem marcado o conteúdo 900 mL. Qual o volume de ar contido na lata “cheia” e “fecha-da”? (Adote π = 3,14.)

56. Um recipiente tem a forma de um cilindro reto cujo raio da base mede 10 cm. Ao colocar-se uma pedra nesse recipiente, o nível da água sobe 3 cm. Deter-mine, nessas condições, o volume da pedra.

3 cm

10

57. Um cone circular reto tem 10 cm de raio na base e 24 cm de altura. Calcule a área total e o volume desse cone.


32

58. A superfície lateral de um cone é um setor circular de 12 cm de raio e ângulo central de 120o. Calcule a área total desse cone.

59. Calcule a área total e o volume de um cone equilátero cuja geratriz mede 20 cm. (Obs.: Em um cone equilátero, a geratriz é igual ao diâmetro da base.)

60. Um cone é gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo, de catetos medindo 15 cm e 8 cm, em torno do cateto maior. Calcule a área total e o volume desse cone.

61. Considere um triângulo retângulo de catetos me-dindo 5 cm e 12 cm. Gira-se o triângulo em tor-no do cateto maior, obtendo-se um cone circular reto. Analise as proposições abaixo, marcando ( V ) para as verdadeiras e ( F ) para as falsas:a) ( ) A geratriz do cone mede 13 cm.b) ( ) A área lateral do cone é igual a 60 π cm2.c) ( ) O volume do cone é igual a 100 π cm3.d) ( ) A área total do cone é igual a 90 π cm2.e) ( ) O volume do cone obtido pela rotação em

torno do cateto menor é o mesmo que daquele que se obtém em torno do cateto maior.

matemática

33

62. Uma ampulheta é formada por dois cones circula-res retos idênticos, tendo cada um deles 6 cm de diâmetro na base e 10 cm de altura. Um deles está completamente cheio de areia e esta escoa para o outro cone à razão de 0,5 cm3 por segundo. O tem-po necessário para escoar totalmente a areia de um cone para o outro é:

a) menor que 2 min;b) entre 2 min e 3 min;c) entre 3 min e 4 min;d) entre 4 min e 5 min;e) maior que 5 min.

63. (FUVEST – SP) – Deseja-se construir um cone circu-lar reto com 4 cm de raio na base e 3 cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é:a) 144o

b) 192o

c) 240o

d) 288o

e) 336o

64. Uma jarra tem a forma de um cilindro circular reto com 12 cm de diâmetro e 30 cm de altura. Ela está cheia de suco e este será transferido para copos com a forma de um cone circular reto invertido de 6 cm de diâmetro e 15 cm de altura. Quantos co-pos serão necessários para transferir todo o suco da jarra?

65. A área lateral de um cone circular reto é 80 π cm². Se a geratriz do cone mede 10 cm, determine: a) a medida do raio da base;

b) a medida da altura.

66. Num cone circular reto, a área da base é 49 π cm2. Se a medida da geratriz é 25 cm, calcule o volume desse cone.


34

67. A tabela abaixo mostra as medidas de dois cones circulares retos. Calcule a massa do segundo cone, sabendo que são feitos do mesmo material e que a massa é diretamente proporcional ao volume.

Cones Raio altuRa Volume massa

1 4 cm 9 cm 240 g

2 6 cm 8 cm

68. Um chapéu de aniversário é a superfície lateral de um cone circular reto de 10 cm de raio e de geratriz medindo 25 cm. Calcule quanto papel será neces-sário para confeccionar 5 000 desses chapéus. (Use π = 3,14 e 1 m2 = 10 000 cm2..)

69. Um cone circular reto tem raio da base e altura iguais a 3 cm e 4 cm, respectivamente. É correto afirmar que a área lateral, em cm2, de um cilindro circular reto de raio da base igual à terça parte do raio da base do cone e que comporta o mesmo vo-lume do cone é igual a:

a) 24 π b) 14 πc) 21 π d) 24 e) 12

70. (UFPE) – Um recipiente na forma de um cone reto invertido está preenchido com água e óleo, em duas camadas que não se misturam. A altura, me-dida na vertical, da camada de óleo é metade da altura da parte de água, como ilustrado a seguir.

h

2h

Se o volume do recipiente é 54 cm3, qual é o volu-me da camada de óleo?

a) 32 cm3 b) 34 cm3 c) 36 cm3

d) 38 cm3 e) 40 cm3

71. Uma torneira enche um funil cônico à razão de 100 π cm3/s, enquanto outra torneira o esvazia à razão de 28 π cm3/s. Sendo 6 cm o raio da boca do funil e 12 cm a sua altura, o tempo, em segundos, necessário para que o funil fique completamente cheio é correspondente a:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

matemática

35

1. Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma por-ta diferente da que usou para entrar?

2. Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, de quantas ma-neiras poderão ser distribuídos um primeiro e um segundo prêmios?

3. Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos?

4. De quantas formas podemos responder a 12 per-guntas de um questionário cujas respostas para cada pergunta são “sim” ou “não”?

5. Quantos números naturais de três algarismos dis-tintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8 e 9?

6. Quantos números naturais de três algarismos dis-tintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 6 e 8?

aNálise cOMbiNatória

7. Quantos números de telefone de oito dígitos po-dem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, de modo que os três primeiros dígitos sejam distintos entre si?

8. Quantos números naturais maiores do que 400 e de três algarismos podem ser formados com os alga-rismos 1, 2, 4, 5 e 6?

9. De um ponto A a um ponto B há cinco caminhos; de B a um terceiro ponto C, seis caminhos; e de C a um quarto ponto D, também seis caminhos. Quan-tos caminhos distintos existem para ir do ponto A ao ponto D?

10. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas dis-tintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?


36

11. As placas de automóveis de uma cidade constam de duas letras e quatro algarismos. Determine o nú-mero de placas que são fabricadas com as letras P, Q, R e os algarismos 0, 1, 7 e 8.

12. Um automóvel comporta duas pessoas no banco da frente (uma delas é o motorista) e três no de trás. De quantos modos podemos lotar o veículo com pessoas escolhidas entre sete pessoas, sabendo que entre elas há quatro que podem dirigir?

13. 13. Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos nú-meros naturais pares de quatro algarismos distintos podem ser formados?

14. 14. Empregando três vogais e cinco consoantes, calcule o número de palavras de cinco letras que podem ser formadas sem usar vogais nem conso-antes juntas:a) sem repetição;

b) podendo haver repetição.

15. De um campeonato de futebol participam 20 ti-mes. Quantos são os resultados possíveis para os três primeiros lugares?

16. Dispondo de 8 cores, queremos pintar uma bandei-ra de 5 listras com cores diferentes, cada listra de uma cor. De quantas formas isso pode ser feito?

17. Uma bandeira é formada por 7 listras, havendo 3 cores diferentes para pintá-las. De quantas manei-ras distintas será possível pintá-las de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?

18. Calcule o valor de:a) 2! + 4! – 3! =

b) (2 . 3)! + 2 . 3! =

c) (4+2)! – (4!+2!)

d) 10

8

!

!=

e) 10 8

8

! !

!

+ =

f ) 100! - 99!

99!

matemática

37

19. Resolva as equações:

a) ( )!

!

x

x

+ =256

b) ( )!

( )

x

x

++

=2

110

c) ( )! !

!

x x

x

+ + =111

d) ( )!( )!

( )!( )!

x x

x x

+ −+ −

=2 2

1 14

e) (x – 2)! = 720

f ) (x – 8)! = 1

20. Considere a seqüência definida por an n

nn =−

+!( )

( )!

2 1

1.

Qual é o valor de a1000

?

21. Uma família de 7 pessoas vai posar para uma foto. De quantas maneiras distintas seus membros po-dem se dispor, permanecendo em pé, um ao lado do outro, de modo que marido e mulher fiquem sempre juntos?

22. Quantos anagramas da palavra FÓRMULAS têm as letras M e U ocupando a posição central?

23. Quantos anagramas da palavra PROBLEMAS:a) começam e terminam por vogal?

b) começam e terminam em consoante?

c) começam com vogal e terminam em consoante?

d) contêm as letras P, R e O juntas?

e) contêm as letras P, R e O juntas e nessa ordem?


38

24. Numa prateleira, existem 5 livros de Matemática, 3 de Física e 4 de História, todos distintos entre si.a) De quantos modos diferentes podemos arrumá-

-los?

b) De quantos modos diferentes podemos arrumá-los de maneira que os livros de cada matéria fi-quem sempre juntos?

c) De quantos modos diferentes podemos arrumá-los de forma que os livros de Física fiquem sem-pre juntos?

d) De quantos modos diferentes podemos arrumá-los de maneira que o primeiro e o último livro sejam de Matemática?

25. Num veículo viajam 7 pessoas, das quais 2 são mo-toristas. De quantos modos é possível acomodá-las sabendo-se que no banco dianteiro há 3 lugares e no traseiro, 4?

26. Com os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7, pergunta-se:a) quantos números de 5 algarismos distintos po-

demos formar?

b) quantos números ímpares de 5 algarismos dife-rentes podemos formar?

c) quantos números pares de 5 algarismos distintos podemos formar?

d) quantos números de algarismos diferentes maiores que 40 000 podemos formar?

27. Quantos são os anagramas da palavra MÉDICO que não têm vogais e consoantes juntas?

28. Quantos são os anagramas da palavra PROFESSOR?

29. Considerando os anagramas da palavra DESERTO, quantos começam pela letra T?

30. Quantos são os anagramas da palavra CONSTITUIN-TE que começam pela letra T?

31. Determine a quantidade de números inteiros maio-res que 400 000 que podemos formar utilizando so-mente os algarismos 2, 4, 5, 6, 8 e 9, de modo que não figurem algarismos repetidos?

32. Quantos números pares podemos obter permutan-do os algarismos do número 55 788?

33. Determine a quantidade de anagramas da palavra VESTIBULAR que apresentam todas as vogais à es-querda de todas as consoantes.

matemática

39

34. Uma moeda é lançada 7 vezes consecutivas. Quan-tos são os resultados possíveis nos quais ocorrem 4 caras e 3 coroas?

35. Você deve escolher 6 algarismos para formar uma senha com base nos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. En-tão, calcule:a) o número de senhas que podem ser formadas;

b) o número de senhas que podem ser formadas sem se repetirem os algarismos.

36. O mapa a seguir representa as regiões em que está dividido o Brasil. Cada uma delas deve ser colorida de modo que aquelas com uma fronteira comum tenham cores distintas. Tendo como base essa con-dição, responda:

NorteNordeste

Centro-oeste

Sudeste

Sul

a) Quantas cores no mínimo são necessárias para colorir o mapa?

b) Dispondo de cinco cores e usando-as, de quan-tas maneiras o mapa pode ser colorido?

c) Dispondo de cinco cores e colorindo-se as re-giões Nordeste e Sul da mesma cor, de quantas maneiras o mapa pode ser colorido?

37. Calcule o valor de:

a) C103 =

b) C85 =

c) C122 =

d) C101 =

38. Um grupo é formado por 8 alunos. Considerando esses alunos, responda:a) Quantas duplas distintas podem ser formadas?

b) Quantas equipes com 5 elementos podem ser formadas?

39. Considere o conjunto A, onde A = {0; 1; 2; 3; 4}.a) Quantos subconjuntos de A podem ser forma-

dos com 1 elemento?

b) Quantos subconjuntos de A podem ser forma-dos com 3 elementos?

c) Quantos subconjuntos admite (ao todo) o con-junto A?

40. Uma comissão de cinco membros será escolhida entre oito pessoas. Calcule o número de comissões diferentes que podem ser formadas.

41. Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão e melão, calcule de quantos sabo-res diferentes pode-se preparar um suco usando-se três frutas distintas.


40

42. Com oito pontos sobre uma circunferência, quan-tos triângulos com os vértices nesses pontos po-dem ser formados?

43. Sete pontos foram marcados na circunferência abaixo:

a) Quantos segmentos com extremidades em 2 desses pontos podem ser formados?

b) Quantos triângulos ficam determinados com vértices em 3 desses pontos?

c) Quantos polígonos convexos ficam determina-dos com vértices nesses pontos?

44. Numa sala existem 5 homens e 4 mulheres. Quan-tos grupos de 5 pessoas, sendo 2 homens e 3 mu-lheres, poderemos formar?

45. Numa classe existem 10 alunas, das quais uma se chama Maria, e 6 alunos, sendo João o nome de um deles. Formaram-se comissões com 4 alunas e 3 alunos. Quantas são as comissões das quais Maria participa e João, não?

46. Considere duas retas distintas e paralelas r e s. To-mam-se 7 pontos sobre a reta r e 9 pontos sobre a reta s. Com vértices nesses pontos, quantos triân-gulos podem ser construídos?

47. Em uma câmara de vereadores, trabalham 6 vere-adores do partido A, 5 vereadores do partido B e 4 vereadores do partido C. Determine o número de comissões de 7 vereadores que podem ser forma-das, devendo cada comissão ser constituída de 3 vereadores do partido A, 2 vereadores do partido B e 2 vereadores do partido C.

48. Numa sala existem 5 homens e 4 mulheres. Quan-tos grupos de 5 pessoas contendo 2 homens e 3 mulheres poderemos formar?

49. Um técnico de basquetebol dispõe de 12 jogado-res, 5 dos quais devem ser selecionados para dispu-tar um campeonato. Se Xazam e Heureka não po-dem ficar fora da equipe selecionada e os demais jogadores jogam em quaisquer posições, calcule o número total de equipes que esse técnico poderá formar.

50. (UESC – BA) – Em um grupo de 15 professores, exis-tem 7 de Matemática, 5 de Física e 3 de Química. O número máximo de comissões que se pode formar com 5 professores, cada uma delas constituída por 2 professores de Matemática, 2 de Física e 1 de Quí-mica, é igual a:a) 2 520

b) 630c) 120 d) 65e) 34

matemática

41

51. (ACAFE –SC) – Uma confeitaria produz 6 tipos di-ferentes de bombons de frutas. O número de em-balagens diferentes que ela pode formar, sabendo que cada embalagem deve conter 4 tipos diferen-tes de bombons, é:a) 10 b) 30c) 120 d) 45

e) 15

52. (UFPE) – Um quarteto de cordas é formado por dois violinistas, um violista e um violoncelista, e os dois violinistas exercem funções diferentes. De quantas maneiras podemos compor um quarteto escolhen-do entre quatro violinistas, três violistas e dois vio-loncelistas?

53. (UECE-CE) – Bruno fez 1 (um) jogo na SENA apos-tando em 6 (seis) números: 8, 18, 28, 30, 40 e 50. Automaticamente, Bruno também estará concor-rendo à quina (grupo de 5 números), à quadra (gru-po de 4 números) e ao terno (grupo de 3 números), a partir do grupo inicialmente apostado. Se n é o número de quinas, q o número de quadras e p o número de ternos incluídos na aposta de Bruno, en-tão n + q + p é igual a:a) 12 b) 41 c) 60 d) 81

54. (UEL – PR) – Um professor entrega 8 questões aos alunos para que, em uma prova, escolham 5 para resolver, sendo que duas destas são obrigatórias. Ao analisar as provas, o professor percebeu que não havia provas com as mesmas 5 questões. Assim, é correto afirmar que o número máximo de alunos que entregou a prova é:a) 6 b) 20c) 56 d) 120 e) 336

55. (ITA – SP) – Entre 4 moças e 5 rapazes, deve-se for-mar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

56. Quantos números naturais distintos podemos for-mar com os algarismos de 1 a 9?

57. De quantas maneiras 7 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 7 lugares?

58. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7, 8 e 9?

59. Em uma prova de atletismo, participam 16 atletas que concorrem a uma medalha de ouro, uma de prata e uma de bronze. Quantas maneiras distintas pode apresentar o resultado dessa prova?

60. Quantos são os números de quatro algarismos dis-tintos formados com os algarismos de 0 a 7 divisí-veis por 5?


42

61. Considere os números de cinco algarismos distin-tos que podem ser formados com os algarismos de 0 a 6 e determine:a) o total deles;

b) quantos são ímpares;

c) quantos são pares.

62. As placas dos carros são formadas por 3 letras se-guidas de quatro algarismos. Considere um estado no qual a primeira letra das placas pode ser L, M ou N. Determine:a) o total de placas possíveis para esse estado;

b) a quantidade de placas formadas por letras e al-garismos distintos.

63. O botão de um cofre tem os números 00, 01, 02, 03, ... , 99. O segredo dele é uma sequência de quatro números do botão. Assim, 15 – 11 – 18 – 97 ou 11 – 15 – 18 – 97 ou 00 – 00 – 43 – 62 são exemplos de segredos. Calcule o número total de possíveis segredos.

64. Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma ban-deira de 4 listras, cada uma de uma cor. De quantas formas isso pode ser feito?

65. Cinco pessoas entram em um ônibus onde há oito lugares vagos. Determine o número de modos des-sas pessoas escolherem os lugares para se sentar.

66. Com os números 2, 3, 4 , 5 e 7, quantos números fracionários diferentes de 1 podemos escrever?

67. O segredo de um cofre é constituído de 2 letras dis-tintas (escolhidas entre as 26 do alfabeto) seguidas de três algarismos distintos (escolhidos de 0 a 9). Sabendo-se que a letra da esquerda é uma vogal e que o último algarismo é par, qual é o número má-ximo de tentativas que devem ser feitas para abrir esse cofre?

68. De quantas maneiras distintas podemos classificar os 6 primeiros colocados numa corrida de bicicleta disputada por 10 ciclistas?

69. Uma bandeira tem 3 faixas verticais.a) Quantas são as possibilidades de pintá-la de 3

cores distintas escolhendo entre as 7 cores do espectro solar (vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil, violeta)?

b) E quantas bandeiras posso pintar se, além da condição do item a, a cor amarela precisar estar sempre presente?

70. Quantos são os números compreendidos entre 40 000 e 50 000 compostos por algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 9?

matemática

43

71. A placa de um carro é uma seqüência de 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantos carros podem ser emplacados usando-se apenas as vogais e sem haver repetição de letras e algarismos?

72. Um clube tem 20 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice, um secretário e um te-soureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras pode-se com-por uma diretoria?

73. Calcule o valor de:

a) 8

0

8

1

8

2

8

8

+++ +

=...

b) 8

1

8

2

8

3

8

7

+++ +

=...

c) 10

0

10

1

10

2

10

10

+

+

+ +

=...

74. Resolva as equações abaixo:

a) 8 8

5x

=

b) 12

3

12

2x x+

=

c) 14

3

14

6x x

=

+

d) 8

6

8

7

9

3

+=

+

x

75. (UNIFOR – CE) – A soma dos números binomiais

100

0

100

1

100

2

100

99

100

100

+

+

+ +

+

...

é

igual a:

a) ( ) 211

b) ( ) 2100

c) ( ) 1000

d) ( ) 1002

e) ( ) 100100

76. Para preparar um suco, podemos escolher livre-mente as seguintes frutas: laranja, mamão, manga, morango, acerola, abacaxi e melão. Se podemos usar de uma a todas as frutas para fazer o suco, quantas maneiras existem para prepará-lo?


44

77. Tomando 8 pontos distintos pertencentes a uma circunferência, quantos polígonos convexos ins-critos podem ser construídos com vértices nesses pontos?

78. Desenvolva os seguintes binômios:a) (2x + y)4 =

b) (x – 1)5 =

c) (3x² + 2y)3 =

d) x+

1

2

4

=

79. No desenvolvimento do binômio (x + 2y)8, deter-mine:a) o 3.o termo;

b) o termo central.

80. Determine o termo independente de x no desen-

volvimento de 1

2 26

xx+

.

81. No desenvolvimento de (1 + 2x2)6, determine o co-eficiente do termo em x8.

82. Obtenha a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de:a) (2x + y)6

b) (3a – b)10

c) (2x – 3)50

d) (x – y)101

83. (UNIVALI – SC) – Desenvolvendo o binômio (x2 – 2)5 obtemos x10 + mx

T

8

2� + 40x6 – 80x4 + 80x2 + n

T6� .

Portanto, temos que m + n é:a) 48b) 42c) –9

x d) –42e) –48

matemática

45

84. (PUC – RS) – O termo independente de x no desen-

volvimento do binômio x

x2

2 12

−

é:

a) 232

b) 326

c) 924

d) 1 012

e) 1 214

85. Sabendo que

a C a b C a b C a b C a bb551 4

52 3 2

53 2 3

54 54 1024+ + + + + = ,

pode-se dizer que (a + b)2 é igual a:

a) ( ) 144

b) ( ) 4

c) ( ) 36

d) ( ) 64

e) ( ) 16

86. Desenvolvendo-se o binômio 22

210

xx+

, segun-

do as potências decrescentes de x, o 6.o termo será:

a) ( ) 105

410x

b) ( ) 105

214x

c) ( ) 252x15

d) ( ) 210x15

e) ( ) 252x10

87. No desenvolvimento de (3x+13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes desses termos é igual a:a) ( ) 244

b) ( ) 246

c) ( ) 248

d) ( ) 250

e) ( ) 252

88. O coeficiente de x2 no desenvolvimento de

21 6

xx

−

é:

a) ( ) 15b) ( ) 60c) ( ) 160d) ( ) 192e) ( ) 240

89. Marque ( V ) para as igualdades verdadeiras e ( F ) para as falsas:

a) ( ) C C102

108=

b) ( ) C C C154

144

143= +

c) ( ) C C C64

63

61= +

d) ( ) C C C C100

101

102

109 1 023+ + + + =...

e) ( ) C C C C C C C C C C90

91

92

93

94

95

96

97

98

99 0− + − + − + − + − =


46

1. De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao aca-so. Qual é a probabilidade de cada um dos eventos abaixo?a) Ocorrer dama de copas.

b) Ocorrer dama.

c) Ocorrer carta de naipe paus.

d) Ocorrer dama ou rei ou valete.

e) Ocorrer uma carta que não é um rei.

2. Um número é escolhido ao acaso entre os inteiros de 1 a 20. Qual é a probabilidade do número esco-lhido ser:a) par

b) primo

c) quadrado perfeito

d) ímpar e quadrado perfeito

e) ímpar ou quadrado perfeito

prObabiliDaDes

3. Um número é escolhido ao acaso entre os 100 intei-ros de 1 a 100. Qual é a probabilidade de o número ser:a) múltiplo de 9?

b) múltiplo de 5 ou de 7?

c) múltiplo de 7, sabendo que é par?

4. Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de a bola:a) não ser amarela?

b) não ser branca nem amarela?

5. Dois dados são lançados e observados os números das faces de cima. Qual é a probabilidade de:a) ocorrerem números diferentes?

matemática

47

b) a soma dos números ser 7?

c) a soma dos números ser 12?

d) o produto ser menor ou igual a 12?

6. Jogando-se três dados, qual a probabilidade de se obter soma menor ou igual a 4?

7. Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam En-genharia: 150, Economia; e 10, Engenharia e Eco-nomia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que ele:a) estude Economia e Engenharia?

b) estude somente Engenharia?

c) não estude Engenharia nem Economia?

d) estude Engenharia ou Economia?

8. De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator Rh po-sitivo; 100, sangue tipo O; e 80, fator Rh positivo e sangue tipo O. Se uma dessas pessoas for seleciona-da ao acaso, qual é a probabilidade de seu sangue:a) ter fator Rh positivo?

b) não ser tipo O?

c) ter fator Rh positivo ou ser tipo O?

9. Numa turma de 50 alunos, fez-se uma pesquisa para saber a preferência em relação às línguas In-glês ou Espanhol: 22 responderam preferir Inglês; 15, Espanhol; e 10, Inglês e Espanhol. Escolhendo-se ao acaso uma pessoa dessa turma, determine a probabilidade de ela:a) preferir apenas Inglês;

b) não preferir nem Inglês nem Espanhol.

10. Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, qual é a probabilidade de que ele seja primo?


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11. Um casal pretende ter exatamente três filhos. De-termine a probabilidade de:a) nascerem dois meninos e uma menina;

b) que os três filhos sejam meninos;

c) que as crianças sejam do mesmo sexo.

12. Uma prova é composta por 10 questões de múl-tipla escolha, com 4 alternativas cada uma, sendo apenas uma correta. Qual é a probabilidade de um aluno acertar todas as questões no “chute”?

13. Das 180 pessoas que trabalham numa empresa, sabe-se que 40% têm nível universitário e 60% são do sexo masculino. Se 25% do número de mulheres têm nível universitário, qual é a probabilidade de selecionar-se um funcionário dessa empresa que seja do sexo masculino e não tenha nível univer-sitário?

14. (UFPR) – Uma urna contém 500 bolas, cada uma delas identificada por um número. Para essa iden-tificação, foram utilizados todos os números da progressão aritmética (1, 3, 5, 7, ..., 999). Retiran-do-se aleatoriamente da urna uma única bola, calcule a probabilidade, em porcentagem, de que o número dessa bola tenha o algarismo das uni-dades igual a 3.

15. (UFPR) – Um experimento consiste em imprimir as letras A, B e C em ordem aleatória e sem repetição de qualquer uma das letras. Desse experimento, calcule a soma dos itens corretos: 01) A probabilidade de que todas as letras ocupem

seu lugar próprio do alfabeto é 1/6. 02) A probabilidade de a letra A não ocupar seu lu-

gar próprio do alfabeto é 2/3. 04) A probabilidade de que pelo menos uma das

letras ocupe o seu lugar do alfabeto é 2/3. 08) O espaço amostral do experimento apresenta 3

elementos. 16) A probabilidade de que nenhuma das letras

ocupe seu lugar próprio do alfabeto é 0,25.

16. Escreve-se a palavra PROBABILIDADE num pedaço de papel, recorta-se cada letra, dobra-se e elas são colocadas em uma urna. Depois disso, uma delas é retirada aleatoriamente. Calcule a probabilidade de a letra retirada ser:a) uma vogal;

b) a letra D.

matemática

49

17. Num grupo de pessoas, há homens e mulheres. São torcedores do time A: 35 homens e 25 mulheres. Torcem para o time B: 10 homens e 10 mulheres. Não apreciam futebol: 5 homens e 15 mulheres. Escolhendo-se ao acaso um homem desse grupo, a probabilidade de que ele não goste de futebol é: a) 10%b) 15%c) 20% d) 5%e) 50%

18. Em uma escola, trabalham 50 professores; 36 deles são do sexo masculino. Entre as mulheres, há 2 pro-fessoras de Matemática. Sorteia-se aleatoriamente um dos 50 professores. A probabilidade de a pessoa sorteada ser uma mulher que não é professora de Matemática é:a) 30%b) 28%c) 26% d) 24%e) 22%

19. Lançam-se dois dados honestos cujas faces estão numeradas de 1 a 6 e observam-se os números das faces voltadas para cima. Sobre esse experimento, são feitas algumas afirmações que podem ser assi-naladas como ( V ) verdadeiras ou ( F ) falsas:a) ( ) A probabilidade de a soma dos pontos ser

10 é menor que 10%.b) ( ) É impossível que o produto dos pontos

seja maior que 36.c) ( ) A probabilidade de a soma dos pontos ser

6 é a mesma que a de a soma ser 8.d) ( ) A probabilidade de se obterem números

iguais é a maior que a de a soma dos pontos ser igual a 7.

e) ( ) A probabilidade de ocorrerem dois núme-ros primos é 1/6.

20. Um baralho consiste de 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se 2 cartões ao acaso (sem reposi-ção). Determine a probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100.

anotações


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anotações

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