ensino e aprendizagem de fraÇÃo: um estudo...
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UNISALESIANO
Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium
Curso de Pedagogia
ÉRIKA KAZUE OKUMA
ENSINO E APRENDIZAGEM DE FRAÇÃO: UM ESTUDO COMPARATIVO E UMA INTERVENÇÃO DIDÁTICA
LINS
2010
ÉRIKA KAZUE OKUMA
ENSINO E APRENDIZAGEM DE FRAÇÃO: UM ESTUDO COMPARATIVO E UMA INTERVENÇÃO DIDÁTICA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Banca Examinadora do Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium, como requisito parcial para obtenção do título de Graduação em Pedagogia, sob a orientação do Profº M.Sc. Marcos José Ardenghi e da Profª M.Sc. Fátima Eliana Frigatto Bozzo.
LINS
2010
ÉRIKA KAZUE OKUMA
ENSINO E APRENDIZAGEM DE FRAÇÃO: UM ESTUDO COMPARATIVO E UMA INTERVENÇÃO DIDÁTICA
Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) apresentado ao Centro
Universitário Católico Salesiano Auxilium para obtenção do título de graduação
do curso de Pedagogia.
Aprovado em ________/________/________
Banca Examinadora:
Orientador: Prof. M.Sc. Marcos José Ardenghi
Titulação: Mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo.
Assinatura: ___________________________________
Prof. M.Sc. Clarice Maria Aoki Horita
Titulação: Mestre em Odontologia pela Universidade do Sagrado Coração
Bauru - São Paulo
Assinatura: ___________________________________
Prof. Esp. Maria Inês Violato Rodrigues Pinto
Titulação: Especialização em aprendizagem Cooperativa e Tecnologia
Educacional na Educação Básica pela Universidade Católica de Brasília.
Assinatura: ___________________________________
Dedico este trabalho a todos os
professores que amam a sua profissão e
fazem dela um campo imenso de
oportunidades para desenvolver, nos
educandos, a conquista da liberdade de
raciocínio.
AGRADECIMENTO
A Deus, por me conceder a vida. Por me dar coragem, saúde e esperança
nos momentos mais difíceis.
Às Irmãs da minha comunidade religiosa Filhas de Maria Auxiliadora em
especial a Ir. Ivone Yared, minha diretora, pela oportunidade que me deram para
um crescimento contínuo, iluminando e apoiando meu caminho com a luz mais
brilhante que puderam encontrar: Jesus Cristo.
A animadora da comunidade Inspetorial, na pessoa de Ir. Antonia Brioschi,
Inspetora que me incentivou com muito amor para o cumprimento de mais uma
etapa na minha formação.
Desejo exprimir o meu sincero agradecimento ao meu Profº M.Sc. Marcos
José Ardenghi pela orientação, dedicação, carinho, atenção e sugestões que
foram fundamentais para a realização deste trabalho. À professora Profª M. Sc.
Fátima Eliana Frigatto Bozzo, minha orientadora técnica, obrigada pela paciência
e atenção, que Deus a ilumine sempre. Um especial agradecimento à professora
Maria de Fátima Rocha, que fez a correção do trabalho e ao Profº Américo
Buzato Perin que colaborou com o abstract, ajudando sempre que precisei.
Às Profª Maria Sueli Bertolucci Pereira e Fernanda Francisco Boccia Silva,
pela acolhida carinhosa em sua sala de aula durante o período da aplicação das
questões e das intervenções realizadas.
À Profª M.Sc. Clarice Maria Aoki Horita e à Profª Esp. Maria Inês Violato
Rodrigues Pinto, que gentilmente aceitaram participar da Banca Examinadora e
pelas valiosas sugestões.
RESUMO Este estudo trata do ensino do conceito de fração e tem por objetivo investigar as variáveis envolvidas na produção de respostas na resolução dos problemas propostos sobre fração. A fundamentação teórica da pesquisa contou com os estudos de Terezinha Nunes e Peter Bryant (1997), que estão apoiados no trabalho sobre o significado da representação fracionária dos números racionais e nos estudos da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, que trata do ensino e aprendizagem do conceito de fração e seus significados: número, parte todo, quociente, medida e operador multiplicativo. A metodologia constou de um estudo comparativo dos resultados da aplicação de uma sequência de situações-problema apresentados por 15 alunos do 5º ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede particular da cidade de Lins-SP com os apresentados no estudo realizado por Vasconcelos (2007) na cidade de Porto Alegre-RS. Os resultados comparativos foram considerados equivalentes e mostraram que os alunos apresentam dificuldades e estratégias similares na resolução das situações-problema e, ainda, que o desempenho de ambas as turmas foi considerado insatisfatório. Considerando os resultados apresentados e com a finalidade de reverter o quadro referente ao baixo desempenho na resolução dos problemas de fração, optou-se pela realização de uma intervenção por meio de contação de três pequenas histórias que abordavam três dos quatro significados do estudo de frações: parte-todo; número; operador multiplicativo. Os alunos se mostraram interessados com as histórias. Duas semanas após a intervenção foi aplicada a mesma sequência de situações-problema e os resultados obtidos foram analisados e comparados com os da aplicação inicial. Constatou-se que houve uma evolução da capacidade de resolução das situações-problema e também das estratégias utilizadas.
Palavras chave: Fração. Campo Conceitual. Aprendizagem.
ABSTRACT
This study deals with the education of the fraction concept and has for objective to investigate the involved 0 variable in the production of answers in the resolution of the problems considered on fraction. The theoretical recital of the research counted on the studies of Terezinha Nunes and Peter Bryant (1997), that they are supported in the work on the meaning of the fractionary representation of the rational numbers and in the studies of the Theory of the Conceptual Fields of Vergnaud, that deals with the education and learning of the fraction concept and its meanings: number, part all, quotient, measure and multiplicative operator. The methodology consisted of a comparative study of the results of the application of a sequence of situation-problem presented by 15 pupils of 5º year of Basic Teaching of a school of the particular net of the city of Lins-SP with presented in the study carried through for Vasconcelos (2007) in the city the Glad Port. The comparative results had been considered equivalents and had shown that the pupils present similar difficulties and strategies in the resolution of the situation-problem and, still, that the performance of both the groups was considered unsatisfactory. Considering the results presented and with the purpose to revert the referring picture to overhead in the resolution of the fraction problems, it was opted to the accomplishment of an intervention by means of telling of the three small histories that approached three of the four meanings of the study of fractions: part-all; number; multiplicative operator. The pupils if had shown interested with histories. Two weeks after the intervention was applied the same sequence of situation-problem and the gotten results had been analyzed and compared with the ones of the initial application. One evidenced that it also had an evolution of the capacity of resolution of the situation-problem and of the used strategies. Word keys: Fraction. Conceptual field. Learning.
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
PCNs: Parâmetro Curricular Nacional
MEC: Ministério de Educação e Cultura
LISTA DE QUADRO
Quadro 1: Acertos de cada aluno e tipos de raciocínio utilizados.....................38
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Desempenho Geral dos alunos do 5º Ano do Ensino Fundamental
em relação às sete questões aplicadas.............................................................51
Tabela 2: Desempenho Geral dos alunos do 5º Ano do Ensino Fundamental
em relação aos quatros significados de fração escolhidos................................51
Tabela 3: Porcentagem de acertos gerais por significados entre os dois
grupos de escolas antes da intervenção...........................................................52
Tabela 4: Resultados comparativos entre a 1ª e a 2ª aplicação. Tipos de
acertos por questões.........................................................................................57
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO............................................................................................. 11
CAPÍTULO I – REVISÃO DA LITERATURA............................................... 14
1 PESQUISAS SOBRE O ENSINO DE FRAÇÃO............................... 14
1.1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental
e o ensino de frações........................................................................ 14
1.2 Fração e seus diferentes significados: um estudo com alunos das 4ª
e 8ª séries do Ensino Fundamental segundo Leonel Valpereiro Mou-
tinho .................................................................................................. 18
1.3 Números fracionários: a construção dos diferentes significados por
alunos de 4ª e 8ª séries de uma escola do Ensino Fundamental se-
gundo Isabel Cristina Peregrina Vasconcelos................................... 19
1.4 Um estudo sobre as relações entre as atitudes em relação à Mate-
mática e a resolução de problemas envolvendo frações, segundo
Andressa Maria Justulin e Nelson Antonio Pirola.............................. 22
1.5 Breves considerações sobre a Revisão da Literatura ....................... 25
CAPÍTULO II – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ......................................... 26
2 PESQUISAS SOBRE O TEMA......................................................... 26
2.1 Pesquisas de Bryant e Nunes........................................................... 26
2.2 Pesquisas de Vergnaud .................................................................... 30
2.3 Proposta de Trabalho........................................................................ 34
CAPÍTULO III – METODOLOGIA E ANÁLISE DOS RESULTADOS ......... 36
3 INTRODUÇÃO.................................................................................. 36
3.1 Metodologia....................................................................................... 36
3.2 Análise dos Resultados..................................................................... 37
3.2.1 Comparação dos resultados obtidos com os resultados da pesquisa
de Vasconcelos (2007)...................................................................... 51
CAPÍTULO IV – INTERVENÇÃO ................................................................ 54
4 CONTAÇÃO DE HISTÓRIAS ENVOLVENDO FRAÇÕES............... 54
4.1 Resultado e análise da sequência de situações problema após a in-
tervenção .......................................................................................... 56
CONCLUSÃO.............................................................................................. 59
REFERÊNCIAS ........................................................................................... 62
APÊNDICE .................................................................................................. 64
ANEXOS...................................................................................................... 66
11
INTRODUÇÃO
O presente estudo tem por finalidade buscar elementos que permitam
entender as razões pelas quais os alunos têm alcançado resultados
insatisfatórios no estudo da matemática escolar em relação ao estudo da
fração e também desenvolver e aplicar recursos que possibilitem a reversão de
quadros referentes ao baixo desempenho na resolução dos problemas de
fração.
A preocupação com o ensino da Matemática vem sendo discutida há
muito tempo por pesquisadores da área de educação e de educação
matemática. No ensino tradicional de Matemática há a preocupação apenas em
transmitir os conteúdos básicos que devem ser memorizados, não se
preocupando com as habilidades que podem ser desenvolvidas na formação
do pensamento lógico para a resolução de problemas a partir de sua própria
ação.
O ensino da matemática, muitas vezes, continua sendo ministrado de
maneira obsoleta, inútil e desinteressante por isso tem sido marcado por
constantes problemas como: excesso de reprovação, falta de interesse e
aversão à disciplina, se deparando como terror dos alunos.
Nessa perspectiva de ensino e aprendizagem para se obter resultado
positivo, quanto mais as crianças tiverem oportunidades de realizar
experiências concretas, vivenciando dinamicamente os conteúdos que lhe
forem propostos, respondendo positivamente ao mundo que as cerca, estarão
interiorizando os conceitos e os significados envolvidos na linguagem da
matemática de forma mais abrangente possível.
Dos conceitos teóricos à prática educativa dos professores, há um longo
caminho a ser percorrido. Adentrar num campo sumamente problemático, cheio
de incertezas, requer uma análise comparativa de propostas didáticas apoiadas
em diferentes correntes, de ensino em termos de alcances e limitações de
modelos teóricos, as quais podem levar a uma analise e conseqüente melhora
na prática do professor.
Desmistificar os sentidos dados à Matemática deveria ser papel
fundamental do educador, pois as experiências, positivas ou negativas no
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convívio familiar e escolar no uso dos números, podem marcar a criança e
desenvolver um sentimento de rejeição à disciplina, que se expressa, mais
fortemente, no momento que ela ingressa na escola, prejudicando, assim, a
relação de aprendê-la com mais naturalidade.
O ensino-aprendizagem da matemática, que é muitas vezes mecânico e
repetitivo, torna-se difícil, causa ojeriza nos alunos e leva ao desencanto com a
matemática.
O processo de construção mútua entre educando e educador dentro da
questão do ensino-aprendizagem é de suma importância, e pode produzir
efeitos de reversão diante desse quadro de ojeriza da matemática.
Sendo assim, como ponto de partida, optou-se por trabalhar com o
processo de ensino e da aprendizagem da matemática, e em específico do
objeto matemático frações, visto que é grande o número de alunos que
apresentam dificuldades na apropriação desses conhecimentos matemáticos.
Almejou-se com essa pesquisa contribuir para o enriquecimento do
estudo sobre números racionais, em sua representação fracionária.
O estudo tem com objetivo geral: investigar as variáveis envolvidas na
produção de respostas na resolução dos problemas propostos sobre fração.
Os objetivos específicos são:
a) analisar as possíveis causas das dificuldades na apropriação dos
conhecimentos matemáticos sobre fração;
b) identificar a natureza das dificuldades apresentadas na resolução
dos problemas propostos;
c) comparar os resultados obtidos com os resultados descritos na
pesquisa de Vasconcelos (2007);
d) desenvolver e aplicar estratégias de reversão de quadros referentes
ao baixo desempenho na resolução dos problemas de fração.
Este estudo está dividido em quatro capítulos. O capítulo I apresenta
uma revisão da literatura de alguns autores que trabalham com o ensino de
frações e com as recomendações feitas nos Parâmetros Curriculares Nacionais
para o ensino desse conteúdo.
No que tange ao capítulo 2, foi descrito a fundamentação teórica
utilizada. A formação do conceito de fração é apresentada na perspectiva de
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Terezinha Nunes e Peter Bryant (1997) e a Teoria dos Campos Conceitos nos
trabalhos de Vergnaud, apresentados nas pesquisas de Moutinho (2005) e de
Moreira (2002).
No capítulo 3, descreveu-se à metodologia utilizada no estudo, a análise
dos resultados e a comparação dos resultados obtidos com os resultados da
pesquisa de Vasconcelos (2007).
No capítulo 4 apresenta-se a intervenção por meio de contação de
histórias envolvendo frações e o resultado da análise realizada após a
intervenção. Por fim, apresenta-se as conclusões e sugestões para que o aluno
possa vencer as dificuldades encontradas durante a resolução dos problemas
envolvendo frações.
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CAPÍTULO I
REVISÃO DA LITERATURA
1 PESQUISAS SOBRE O ENSINO DE FRAÇÃO
Neste capítulo apresenta-se uma revisão da literatura de trabalhos que
possuem o mesmo foco que o presente estudo.
1.1 Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e o
ensino de frações
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), documento elaborado
pela Secretaria de Ensino Fundamental/MEC em 1997, no volume de
Matemática, o professor encontra uma breve história do ensino da área no
Brasil, os pressupostos teóricos de uma concepção construtivista de
aprendizagem, a resolução de problemas enquanto estratégia didática.
Brasil (2007) apresenta uma análise das características da área de
Matemática e do papel que ela desempenha no currículo escolar. Destaca os
objetivos gerais para o ensino fundamental, apresenta blocos de conteúdos,
adota uma divisão para os conceitos matemáticos, separando-os em quatro
grandes blocos temáticos que atendem aos eixos:
a) Números e operações, este bloco trabalha desde as primeiras
noções intuitivas de contagem, quantidade, cálculo mental simples,
do conceito de número associado à quantidade, passando pelas
diversas categorias numéricas (números naturais, inteiros positivos e
negativos, racionais e irracionais) com suas características e
propriedades, até chegar à álgebra nos anos finais do Ensino
Fundamental, com as equações e os sistemas. Nos anos iniciais do
Ensino Fundamental, esse bloco aborda os números naturais e os
racionais positivos.
b) Espaço e forma, aqui são tratados os conceitos geométricos que dão
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ao estudante possibilidade de compreender, descrever e representar
de maneira organizada o espaço em que vive. São estudadas as
posições no plano e no espaço, a classificação e a ordenação de
objetos, os percursos com pontos de referência, a descrição de
trajetos, as figuras espaciais e planas mais conhecidas, suas
características e propriedades, os conceitos de simetria de figuras e
o trabalho com vistas.
c) Grandezas e medidas, apresenta estreita relação com o mundo fora
da escola, pois esses conteúdos se apresentam em quase todas as
atividades fora da escola. Nele, são estudados os principais padrões
de medidas utilizados socialmente, suas transformações e
aplicações.
d) Tratamento da Informação, onde o saber coletar, manipular e
representar qualquer tipo de informação é uma competência exigida
de todos, no mundo atual.
Este último bloco tem por objetivo introduzir o estudante nessa forma de
comunicação ao abordar coleta de dados, tabelas e gráficos de vários tipos.
Também são vistas no Ensino Fundamental as noções elementares da análise
combinatória, trabalhando situações problemas que envolvam, de preferência,
o princípio multiplicativo da contagem, bem como o trabalho inicial com
probabilidade.
De acordo com o documento de Matemática dos Parâmetros
Curriculares Nacionais “a atividade matemática escolar não é olhar para coisas
prontas e definitivas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento
pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar sua realidade”
(BRASIL, 1997, p. 19).
Segundo Brasil (1997), a abordagem dos números racionais tem como
objetivo principal levar os alunos a perceberem que os números naturais, já
conhecidos, são insuficientes para resolver determinados problemas, assim
como o contato dos alunos, no que se refere à representação fracionária dos
números racionais, é pouco frequente na vida cotidiana, pois se limita a
metades, terços, quartos, o que, na maioria das vezes, é vivenciada apenas
pela via da linguagem oral do que das representações.
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O documento sugere, que a prática mais comum para explorar o
conceito de fração é a que recorre a situações em que esta implícita a relação
parte-todo. Nesse caso a fração indica a relação que existe entre o número de
partes e o total de partes.
Outro significado das frações, enunciado nos PCNs, é a do quociente,
baseado na divisão de um número natural por outro. Para o aluno, ela se
diferencia da interpretação anterior (parte-todo), pois dividir “um chocolate em
três partes iguais e comer duas dessas partes é uma situação diferente
daquela em que é preciso dividir dois chocolates para três pessoas” (BRASIL,
1997, p.103). O documento apresenta ainda uma terceira situação, diferente
das duas anteriores, que é aquela em que a fração é usada como uma espécie
de índice comparativo entre duas quantidades de uma grandeza, ou seja,
quando é interpretada como razão (BRASIL, 1997, p.103).
Segundo Brasil (1997) a construção do conceito de números racionais
pressupõe uma organização de ensino que possibilite experiências com
diferentes significados e representações demandando um razoável espaço de
tempo.
Há também um outro significado, a fração como operador, ou seja,
quando ela desempenha um papel de transformação em que atua sobre uma
situação e a modifica.
No segundo ciclo, os alunos ampliam conceitos já trabalhados no ciclo
anterior, estabelecendo relações que os aproxima de novos conceitos,
aperfeiçoam procedimentos conhecidos e constroem novos.
Brasil (1997) sugere, como um trabalho interessante, o uso da
calculadora em atividades em que os alunos são convidados a dividir 1 por 2, 1
por 3, 1 por 4, 1 por 5, levantando hipóteses sobre as escritas que aparecem
no visor da calculadora, começando a interpretar o significado dessas
representações decimais. Ao fazer uso da calculadora, os alunos perceberão
que as regras do sistema de numeração decimal, utilizadas para representar
números naturais, podem ser aplicadas para se obter a escrita dos números
racionais na forma decimal.
Constatou-se que o documento proposto em Brasil (1997), propõe que
as frações sejam abordadas com os seguintes significados: parte do todo,
17
quociente e razão. E o outro significado, a fração como operador, deve ser
trabalhado, no terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental.
No primeiro ciclo o trabalho do professor centra-se na análise das
hipóteses levantadas pelos alunos e na exploração das estratégias pessoais
que desenvolvem para resolver situações problemas, já no segundo ciclo
podemos dar alguns passos no sentido de levar os alunos a compreenderem
enunciados, terminologias e técnicas convencionais, sem deixar é claro de
valorizar e estimular suas hipóteses e estratégias pessoais. (BRASIL, 1997) .
Brasil (1997), orienta que o ensino de fração, no segundo ciclo, deve ser
baseado na resolução de situações problema, cuja solução não se encontra no
campo dos números naturais, possibilitando assim, que eles se aproximem da
noção de número racional (quociente, parte todo, razão) e de suas
representações, fracionária e decimal.
De acordo com Brasil (1997), resolver a situação problema não resume
em compreender o que foi proposto e em dar respostas aplicando
procedimentos adequados. É necessário desenvolver habilidades que
permitam pôr à prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes
caminhos, para obter a solução. O valor da resposta correta cede lugar ao valor
do processo de resolução evidenciando assim uma concepção de ensino e
aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da
ação refletida que constrói conhecimentos.
Assim, é necessário que o professor entenda o aluno como agente da
construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu
conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas. Neste contexto,
o papel do professor ganha novas dimensões, a de organizador da
aprendizagem. Para desempenhar esse papel, além de conhecer as condições
socioculturais, as expectativas e competência cognitiva dos alunos, precisará
escolher os problemas que possibilitam a construção de conhecimentos e
procedimentos que alimentam o processo de resolução, sempre tendo em vista
os objetivos a que se propõe atingir.
Além de organizador, o professor também é consultor nesse processo.
Não mais aquele transmissor de conteúdo aos alunos, mas aquele que fornece
as informações necessárias, quando os alunos não têm condições de obter
18
sozinhos. Outra função é a de mediador, ao promover confrontações das
propostas dos alunos, ao disciplinar as condições em que cada aluno pode
intervir para expor sua solução, questionar, contestar.
O professor atua como controlador ao estabelecer as condições para a
realização das atividades e fixar prazos, sem esquecer de dar o tempo
necessário aos alunos. Como mediador da aprendizagem estimula a
cooperação entre os alunos, tão importante quanto a própria interação
adulto/criança. A interação entre professor e aluno desempenha papel
fundamental na formação das capacidades cognitivas e afetivas.
1.2 Fração e seus diferentes significados: um estudo com alunos das 4ª e 8ª
séries do Ensino Fundamental segundo Leonel Valpereiro Moutinho
A pesquisa teve como foco o ensino do conceito de fração. Consciente
das grandes dificuldades que os alunos dos Ensinos Fundamental, Médio e até
mesmo Superior enfrentam quando se deparam com a mesma, o pesquisador
Moutinho (2007), interessou-se pelo assunto, considerando-o como um grande
desafio.
Apresentou como justificativa para sua pesquisa, os baixos resultados
de desempenho apresentado pelos alunos, das 4ª e 8ª séries do Ensino
Fundamental. A realização desse estudo teve como objetivo identificar as
concepções que alunos das 4ª e 8ª séries do ensino Fundamental, de escolas
públicas, apresentam em relação à fração no que tange a cinco diferentes
significados: Número, Parte Todo, Quociente, Medida e Operador Multiplicativo.
O estudo direciona-se a responder a seguinte questão: “quais as concepções
que são possíveis de se identificar com relação aos cinco diferentes
significados da fração, a partir da aplicação de um estudo diagnóstico, com
alunos das 4ª e 8ª séries do Ensino fundamental?”
A fundamentação teórica da pesquisa contou com a Teoria dos Campos
Conceituais proposta por Vergnaud (1993) e as idéias teóricas de Nunes et al
(2003) com relação aos diferentes significados da fração. A metodologia
constou de um estudo descritivo realizado com a elaboração de um
19
instrumento diagnóstico que foi aplicado a 65 alunos da 4ª série e 58 alunos da
8ª série do Ensino Fundamental, distribuídos em duas escolas da rede pública
estadual da cidade de São Paulo. Os resultados foram analisados, observando-
se o desempenho e as estratégias utilizadas pelos alunos, quando resolveram
de forma errônea as questões propostas. Algumas concepções usadas pelos
alunos foram identificadas e variaram, conforme a situação e o significado
abordado nas questões.
Segundo Moutinho (1997), os alunos da 4ª série demonstraram possuir
a concepção parte-todo, como central para resolução dos problemas; já os
das 8ª série, além desta, buscaram resolver os problemas com um uso mais
intenso de operações sem, contudo, atingir um índice de acerto favorável, o
que resultou em um desempenho geral menor na 8ª do que na 4ª série. O autor
concluiu enfatizando a necessidade de se realizar um trabalho mais amplo do
Campo Conceitual da fração, com base no uso de diferentes situações,
abordando os distintos significados da fração propostos por Nunes et al. (2003)
na busca de um melhor aprendizado desse conceito ao longo das séries do
Ensino Fundamental.
1.3 Números fracionários: a construção dos diferentes significados por
alunos de 4ª a 8ª séries de uma escola do Ensino Fundamental segundo
Isabel Cristina Peregrina Vasconcelos
No convívio com os alunos, dando aulas na disciplina de matemática na
Educação Básica, Vasconcelos (2007), constatou um alto índice de
dificuldades apresentadas pelos alunos na compreensão do conceito de
número racional, que faz parte do pensamento multiplicativo. Escolheu como
tema da pesquisa de mestrado: Números fracionários: a construção dos
diferentes significados por alunos de 4ª a 8ª séries de uma escola do Ensino
Fundamental.
A sua pesquisa teve como objetivo comparar as estratégias cognitivas
utilizadas por alunos de 4ª a 8ª séries do Ensino Fundamental com bom
empenho em matemática, com as estratégias cognitivas utilizadas por alunos
20
que apresentam baixo desempenho escolar em matemática, durante o
processo de aquisição dos diferentes significados dos números fracionários:
parte todo, quociente e operador multiplicativo.
Vasconcelos (2007) escolheu estas séries pelo fato de os números
fracionários terem seu ensino iniciado formalmente a partir da 4ª série,
seguindo ao longo do Ensino Fundamental.
A amostra foi constituída por cinquenta alunos do Ensino Fundamental
da 4ª a 8ª série de uma escola privada de classe média. Foram escolhidos dez
alunos de cada série, sendo cinco alunos que apresentavam bom desempenho
e cinco alunos que representavam baixo empenho na disciplina matemática.
A amostra foi dividida em dois grupos de igual tamanho (25 alunos
cada), utilizando o critério de desempenho: bom desempenho, Grupo I; baixo
desempenho, Grupo II.
O perfil dos grupos foi determinado pela média alcançada pelos alunos
na avaliação escolar do primeiro trimestre: média acima de 8,0, Grupo I, e os
que alcançaram média abaixo de 4,0, Grupo II. Foi solicitada a autorização dos
pais para que os alunos participassem da pesquisa.
Foram apresentados às crianças sete problemas, envolvendo situações
com números fracionários e lhes foi solicitado que explicassem como os
resolveram, a fim de que se pudesse verificar que estratégias aplicaram para
chegar à solução desses problemas.
As sete situações problema, que envolviam fração, no que diz respeito
aos significados: parte todo, quociente e operador multiplicativo tiveram como
referência Merlini (2005) e Nunes et al (2003).
Todas as questões estavam relacionadas com situações do cotidiano do
aluno dentro e fora da escola. Foram colocados à disposição dos educandos
materiais manipuláveis, para auxiliar na representação das soluções dos
problemas, também material para representação escrita do seu pensamento.
Uma exigência feita aos alunos foi a que se fizesse anotação da
operação matemática usada para resolver o problema, assim como a
explicação oral do seu pensamento de solução, pois o objetivo do estudo foi o
de verificar as estratégias utilizadas por eles para resolução das situações
problema.
21
Vasconcelos (2007) realizou entrevistas que foram gravadas em áudio e
vídeo e, em seguida, analisadas e interpretadas. Os resultados obtidos na
análise das entrevistas focaram os índices de estratégias utilizadas e de
acertos por significados com quantidades contínuas e discretas.
Em seguida apresenta a análise quantitativa dos resultados, com base
na resolução das situações problema propostas aos alunos. Na análise
quantitativa buscou-se evidenciar as estratégias cognitivas utilizadas pelos
sujeitos da pesquisa. Nessa análise quantitativa foram considerados dois
enfoques: um relacionado aos significados dos números fracionários e o outro
relacionado às estratégias utilizadas pelos alunos para resolver as situações
problema.
Na análise considerou-se a classificação dos diferentes significados:
parte todo, quociente e operador multiplicativo. Os vinte e cinco sujeitos
pesquisados de cada Grupo foram considerados, independentemente da série.
O Grupo I apresentou melhor desempenho no significado da parte todo,
sendo 56% o índice de acertos, seguido pelos significados quociente e
operador multiplicativo, ambos com o mesmo índice de 52% de acertos. Os
alunos do Grupo II tiveram um melhor índice de acertos no significado
quociente, sendo 48% o índice de acertos, em relação ao significado parte
todo, em que o índice de acertos atingiu 36% e o significado operador
multiplicativo alcançou 24% dos acertos.
Os alunos do Grupo I apresentam índice de 96% de acertos no
significado operador multiplicativo de 84% de acertos no significado quociente
e 80% de acertos foram alcançados no significado da parte todo. Em relação
ao Grupo II, destaca-se o índice de 80% de acertos para o significado operador
multiplicativo com quantidades contínua, seguida pelo índice de 56% de
acertos no significado parte todo e 40% de índice de acertos para o significado
do quociente.
Vasconcelos (2007) conclui que o desempenho geral dos alunos dos
dois grupos foi sensivelmente melhor no significado operador multiplicativo com
quantidades contínuas.
Segundo Vasconcelos (2007), tanto os alunos do Grupo I, quanto os do
Grupo II, obtiveram menores índices de acertos na resolução dos problemas
22
envolvendo quantidades discretas, podendo ter ocorrido em razão do enfoque
metodológico escolar, que inicia o ensino de frações com situações que
abordam quantidades contínuas a partir do significado da parte todo, seguido
por problemas e cálculos com operador multiplicativo.
A estratégia mais utilizada pelos dois grupos foi a utilização de dados do
problema: o aluno elabora suas respostas com dados contidos no enunciado e/
ou parte das respostas da referida questão. Percebe-se que os alunos têm
dificuldades porque não utilizam as estratégias adequadas para resolver
situações problema, uma vez que não são ensinados a isso, ou porque não se
criam as condições necessárias para o seu uso.
Verificou-se também a desconexão entre a compreensão dos alunos
sobre a divisão e a aprendizagem de fração e a relacionou-se à tendência
metodológica de ensinar o conceito de números fracionários em que se
enfatiza somente o significado parte todo.
Constatou-se também que existem semelhanças na utilização das
estratégias pelos alunos dos dois grupos, porém os resultados mostram
diferenças na recuperação automática de fatos na memória, que afetam a
resolução de problemas mais complexos.
A pesquisa aponta a necessidade do uso de material concreto, para que
possam ser manipulados, ajudando assim os alunos a encontrarem a solução
para o problema, explorando a aquisição dos números fracionários em várias
situações e em diferentes contextos, diversificando as experiências.
O estudo mostrou que a necessidade de que os alunos tenham tempo
para integrar os diferentes significados, com seus símbolos e suas
representações, o que se considera um ensino efetivo e uma aprendizagem
significativa, pois reverte, assim, o quadro de dificuldades no ensino dos
números fracionários.
1.4 Um estudo sobre as relações entre as atitudes em relação à Matemática
e a resolução de problemas envolvendo frações, segundo Andressa
Maria Justulin e Nelson Antonio Pirola
Segundo a pesquisa de Justulin e Pirola (2008), um dos conteúdos em
23
que alunos e professores têm encontrado dificuldade diz respeito às frações.
Sabe-se que os números fracionários estão presentes no cotidiano, mas
parece que os estudantes não gostam ou não se sentem familiarizados no
trabalho com eles.
Os pesquisadores procuraram investigar as possíveis relações entre as
atitudes em relação à matemática e a resolução de problemas envolvendo
frações. Veja a definição de atitudes que ambos adotaram para a pesquisa:
Atitude é uma disposição pessoal, idiossincrática, presente em todas os indivíduos, dirigida a objetos, eventos ou pessoas, que assume diferente direção e intensidade de acordo com as experiências do indivíduo. Além disso, apresenta componentes de domínio afetivo, cognitivo e motor (BRITO, apud JUSTULIN; PIROLA, 2008, p. 4).
De acordo com as definições adotadas na pesquisa, as atitudes podem
ser modificadas, pois assumem direcionamentos e intensidades de acordo com
a vivência do indivíduo. Constata-se que atitudes negativas em relação à
matemática podem ser transformadas e um aluno pode aprender a ter atitudes
positivas em relação a essa disciplina.
Os autores relatam que pesquisas realizadas, na literatura educacional
com base nas diferenças entre os sexos com relação às atitudes e habilidades
matemáticas, afirmam a existência de diferenças, mas afirmam que têm pouca
importância ao longo da vida estudantil, sendo um problema mais cultural.
Quanto a solução de problemas, a pesquisa aponta que os
conhecimentos aprendidos na escola pouco facilitam suas atividades cotidianas
e que as atuais propostas educacionais enfatizam um ensino por meio da
solução de problemas, mas os livros didáticos utilizados em sala de aula
apresentam os problemas de maneira direta e acabada, não estimulando a
criatividade, utilizam-se de grande formalismo e apresentam uma matemática
mecanicista.
O ensino e a aprendizagem do conceito de fração têm sido bastante
limitado e muitas vezes apresentado fora da realidade do educando, criando
uma certa aversão a esse conceito e à matemática, muitas vezes impedindo o
educando de tentar compreender e desenvolver raciocínios e buscar solucionar
um determinado problema proposto.
A pesquisa apresenta algumas abordagens que podem ser encontradas
24
nos diversos trabalhos que investigam esse conceito: a ênfase no ensino por
meio de materiais concretos, manipulativos, pesquisa experimental, sequências
ou metodologias de ensino e formação de professores. Por meio desta
pesquisa constataram que o conhecimento do professor a respeito de frações e
a forma de ensiná-las podem levar a uma aprendizagem fragmentada ou
pautada em aspectos mecânicos. Destaca-se a importância da formação dos
professores, principalmente de 1ª a 4ª série, que possuem uma formação não
específica da matemática e que são os responsáveis pela formação inicial do
aluno.
Foram sujeitos da pesquisa 95 alunos de uma escola pública estadual
de uma cidade da Diretoria de Ensino da Região Jaú. Teve como objetivo
analisar os alunos do Ensino Médio, verificar o que entenderam e apreenderam
sobre frações e suas atitudes em relação à matemática. A coleta de dados foi
realizada em duas etapas distintas após a autorização do diretor da unidade
escolar e de alguns professores cederem suas aulas para aplicação dos
instrumentos de pesquisa.
A primeira etapa foi dividida em dois dias. No primeiro dia, os alunos
responderam o questionário pessoal, a escala de atitudes em relação à
matemática e realizaram a prova de matemática através do recurso do Mínimo
Múltiplo Comum. Teve a duração de 50 minutos.
No segundo dia, os alunos realizaram a Prova de Matemática
resolvendo operações com frações sem utilizar o Mínimo Múltiplo Comum.
Solicitou-se também que resolvessem problemas envolvendo frações, que teve
a duração de 50 minutos. Na segunda etapa, selecionaram um aluno com
média de aproximadamente 5 (cinco), para realizar uma entrevista, sendo esta
audiografada, na qual solicitou-se que o aluno explicasse cada procedimento
que realizava.
Quanto ao desempenho dos alunos, a nota geral foi composta pela
média aritmética simples das notas nas questões do algoritmo e das notas nos
problemas, sendo ambas numa escala de zero a dez.
Na análise do desempenho das duas provas, observou-se que os alunos
apresentaram melhor desempenho na prova de algoritmo do que na prova que
25
continha os problemas em que a maioria dos sujeitos obteve notas abaixo de
cinco.
A análise do desempenho na prova de algoritmo mostrou que as
diferenças por série foram significativas, mas não foram encontradas
diferenças por gênero nem interação série e gênero. Já o desempenho na
prova de problemas, além da diferença entre as séries, foi encontrada
diferença por gênero, mas não foi encontrada interação.
Segundo os autores, novas análises a respeito dos procedimentos e das
possíveis relações entre gênero, série, desempenho e atitudes em relação à
Matemática estão em desenvolvimento. No entanto, os dados obtidos até o
momento parecem indicar uma significativa relação entre as variáveis em
estudo.
1.5 Breves considerações sobre a Revisão da Literatura
Os estudos aqui apresentados sobre o ensino de Matemática
apresentados em Brasil (1997) orientam o ensino de fração a partir da
resolução de situações problema e também com o uso de material concreto.
Os estudos de Moutinho (2005) e Vasconcelos (2007) procuraram seguir
as orientações propostas no documento apresentado em Brasil (2007) e têm
como finalidade verificar o nível de acertos dos alunos na resolução de
problemas. Os resultados demonstraram que os alunos envolvidos na pesquisa
não apresentaram o desempenho esperado pelos pesquisadores.
Justulin e Pirola (2008), realizaram pesquisa sobre as atitudes de alunos
e professores em relação à Matemática e confirmaram ser importante a atitude
positiva dos professores para desenvolver atitudes positivas nos alunos, para
que estes apresentem bom desempenho em Matemática.
Assim, pode-se constatar a necessidade da realização de estudos para
melhor compreender o baixo desempenho dos alunos em relação ao conteúdo
frações.
26
CAPÍTULO II
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2 PESQUISAS SOBRE O TEMA 2.1 Pesquisas de Bryant e Nunes
A fundamentação teórica sobre a qual se baseia esta proposta de ensino
está apoiada, principalmente, no trabalho sobre o significado da representação
fracionária dos números racionais de Terezinha Nunes e Peter Bryant.
Terezinha Nunes, psicóloga, chefe do Departamento de Psicologia da
Oxford Brookes University, estuda como nasce nas pessoas o pensamento
matemático. Em suas pesquisas, ouviu gente de todo tipo. Na Universidade
Federal de Pernambuco, trabalhou com operários que mal sabiam escrever,
mas entendiam muito de escala presente em plantas residenciais. Mais tarde,
em Londres, continuou a investigação com crianças. Nos dois grupos, detectou
semelhanças.
Peter Bryant é professor de Psicologia do Departamento de Psicologia
da Oxford Brookes University.
Nunes e Bryant (1997) apresentam uma descrição do raciocínio
matemático das crianças, analisam como elas pensam sobre problemas
matemáticos e o que a matemática significa para elas.
Os autores, no capítulo 8, intitulado “Compreendendo Números
Racionais” chamam atenção para a grande dificuldade relacionada ao ensino e
aprendizagem de frações e argumentam que:
Com as frações as aparências enganam. As vezes as crianças parecem ter uma compreensão completa das frações e, ainda assim, não a têm. Elas usam os termos fracionários certos; elas falam sobre frações coerentemente; elas resolvem alguns problemas fracionários; mas diversos aspectos cruciais das frações ainda lhes escapam. De fato, as aparências podem ser tão enganosas que é possível que alunos passem pela escola sem dominar as dificuldades das frações, e sem que ninguém perceba (NUNES; BRYANT, 1997, p.191).
27
Nunes e Bryant (1997), alertam para o fato de que, em muitos casos, os
alunos enquanto estão trabalhando com as frações, desempenham muito bem
a destreza nos cálculos. Entretanto, diversas partes da pesquisa demonstram
que a impressão de crianças raciocinando com sucesso sobre frações poderia
ser falsa.
Os pesquisadores fazem uma crítica à forte tendência de privilegiar o
significado de parte-todo no trabalho com frações, alegando que esse modo de
apresentar o tema às crianças pode na realidade, conduzi-las ao erro, isto é, se
o método de ensino escolhido focar somente o significado parte-todo, a
compreensão de que o conjunto dos números racionais é uma extensão do
conjunto dos números naturais fica prejudicada, conforme podemos ver:
Uma forma comum de apresentar as crianças às frações é mostrar-lhes todos divididos em partes, alguns dos quais distinguidos do resto, por exemplo, pintados. As crianças são informadas que o número total de partes é o denominador, então, o número de partes pintadas é o numerador. Esta introdução, junto com alguma instrução sobre algumas regras para calcular, permite que as crianças transmitam a impressão de que sabem muito sobre fração (NUNES; BRYANT, 1997, p.191).
Nunes e Bryant (1997), tratam de dois temas: a compreensão das
crianças com relação a números racionais como quantidades extensivas e
quantidades intensivas, sabendo que estes dois temas não cobrem a gama
interior dos problemas que podem ser colocados sobre números racionais, mas
os autores acreditam que eles envolvem os tópicos fundamentais com os quais
as crianças devem lidar para entender este tipo de números.
A primeira seção do capítulo apresenta a compreensão das crianças nas
relações envolvidas na divisão simples de quantidades descontínuas e
contínuas, considerando apenas os aspectos extensivos do número racional,
examinando as evidências sobre a compreensão das crianças de relações em
situações de divisão e os começos da quantificação.
Nunes e Bryant (1997), propõem ainda que existe uma conexão entre
divisão e fração, ficando, especialmente claro, quando se pensa em um tipo de
problema envolvendo quantidades contínuas, pois se pensarmos em um
problema como, por exemplo, 5 barras de chocolate dividido para 6 pessoas, o
resultado da divisão será fração. Esta conexão faz referência a uma análise
28
matemática de números racionais feita por Kieren (1988; 1994; apud Nunes e
Bryant, 1997), em que sugere que as frações são números produzidos por
divisões e que, portanto, são números do campo dos quocientes.
Os autores citados alegam que, de fato existe uma lacuna entre a
compreensão das crianças sobre as propriedades básicas de frações e as
tarefas com números racionais resolvidas nos contextos das avaliações
educacionais. Assim Nunes e Bryant (1997) afirmam que:
[...] quando as crianças resolvem tarefas experimentais sobre divisão e números racionais, elas se engajam em raciocinar sobre as situações. Em contraste, quando elas resolvem tarefas matemáticas em avaliações educacionais elas vêem a situação como um momento no qual elas precisam pensar em que operações fazer com os números, como usar o que lhes foi ensinado na escola, concentrando-se nas manipulações de símbolos, os alunos poderiam desempenhar em um nível mais baixo que teriam desempenhado se tivessem se preocupado mais com a situação problema (p.212).
A segunda seção do capítulo examina a compreensão das crianças dos
aspectos extensivos e intensivos de números racionais no contexto de sua
compreensão de equivalências e cortes sucessivos. A terceira seção discute
questões relacionadas à compreensão e à representação de números
racionais. A seção final apresenta as conclusões dos autores e indica questões
adicionais para pesquisa.
Os estudos relatados nas duas primeiras seções, indicam que as
crianças de 6 a 7 anos começam a desenvolver uma compreensão das
relações inversas entre quociente e o divisor em situações de divisão. Fazem
julgamentos usando estas relações quando o dividendo consiste tanto em
materiais descontínuos como contínuos, mostrando assim um conhecimento
emergente de relações entre funções de unidade.
Elas podem também resolver problemas de divisão quantitativas simples
sobre quantidades descontínuas manipulando materiais concretos por meio de
formas que requerem antecipação ou estruturação de situação indo além do
simples efetuar de rotinas observadas na vida cotidiana, permitindo assim as
primeiras tentativas de quantificar cortes com quantidades contínuas na divisão
do todo em duas partes. Quando as partes são iguais, podem pensar em
termos de igualdade; quando são diferentes, podem usar sua compreensão de
29
relações: “maior/menor do que” para resolver problemas parte-todo.
A seção seguinte é voltada para o aspecto intensivo dos números
racionais e a investigação de como os aspectos extensivos e intensivos estão
relacionados durante o desenvolvimento das crianças.
Nunes e Bryant (1997) constataram que os resultados que foram
revisados são bastante consistentes em termos da via desenvolvimental que
eles indicam para a compreensão de números racionais. A compreensão das
crianças das relações nos números racionais, assim como a relação inversa
entre o número de partes e seu tamanho, parece ser desenvolvida em paralelo
com sua compreensão da relação inversa entre o divisor e o quociente na
divisão de números inteiros.
Uma outra constatação de Nunes e Bryant (1997), é a relação lógica
compreendida por crianças novas, que parece ser usada aproximadamente ao
mesmo tempo no início da quantificação dos números racionais, ou seja, as
relações parte-todo, expressadas por “igual a” e “maior do que” constroem uma
compreensão inicial de metade com base nesta relação. Essa noção de
metade parece oferecer a oportunidade para o desenvolvimento de uma
conexão inicial entre os aspectos extensivos e intensivos que caracterizam os
números racionais.
Nunes e Bryant (1997) afirmam que há uma discrepância entre a
compreensão das crianças de divisão e números racionais fora da escola e seu
conhecimento de representações ensinadas na escola devido ao modo de
como a linguagem fracionária é introduzida, como um procedimento simples de
contagem dupla em situações estáticas de parte-todo.
Porém, quando os alunos são levados a resolver problemas usando seu
conhecimento cotidiano e representações simbólicas, eles podem fazer as
conexões adequadas espontaneamente ao longo de um período de tempo de
instrução relativamente breve, e podem usar seu conhecimento cotidiano para
resolver problemas mais complexos.
Afinal, para perceber esta extensão, o aluno precisará vivenciar
situações em que a ideia da divisão for ampliada. O estudo dos significados
das representações fracionária dos números racionais tem sido enfatizado em
várias pesquisas conforme constatamos acima.
30
O documento oficial Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,1997),
também sugere que no segundo ciclo do Ensino Fundamental sejam
trabalhados três significados: parte-todo, razão e quociente, e somente no
terceiro ciclo do Ensino Fundamental, seja introduzido o significado de
operador multiplicativo.
Normalmente a concepção parte-todo é encontrada como origem das
demais concepções e como geradora da linguagem e das representações, pois
depende da divisão de um inteiro em partes ou séries iguais, equivalentes
como quantidades de superfície ou quantidade de objetos.
2.2 Pesquisas de Vergnaud Para a realização deste estudo, descrevemos também um breve relato
sobre a teoria dos Campos Conceituais proposta por Vergnaud, apresentado
na pesquisa de Moutinho (2005) e Moreira (2002).
O psicólogo francês Gerard Vergnaud, estruturou a teoria dos Campos
Conceituais com o objetivo de possibilitar uma melhor consistência às
pesquisas sobre aprendizagem matemática e oferecer condições para uma
análise da relação existente entre os conceitos como conhecimentos explícitos
e os invariantes operatórios implícitos nos comportamentos dos sujeitos diante
de uma determinada situação, sustentando também um aprofundamento da
análise entre significados e significantes.
Segundo Moutinho (2005), Vergnaud toma como premissa que o
conhecimento está organizado em campos conceituais cujo domínio, por parte
do sujeito, ocorre ao longo de um largo período de tempo. Por meio de
experiência, maturidade e aprendizagem analisa os tipos de situações
problema de matemática, seus tipos de formulação aliado às idades
psicológicas e à maturação matemática, chegando às estruturas envolvidas na
resolução dos problemas, a fim de entender as filiações e saltos dos
conhecimentos dos alunos, isto é, compreender as relações e a evolução das
concepções e a prática do aluno frente a sua dada situação.
Vergnaud conceitua Campo Conceitual como:
31
Um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente, entrelaçados durante o processo de aquisição (apud MOREIRA, 2002, p. 8).
O conjunto de situação em questão apresenta-se dentro de um contexto,
no qual o problema se encontra inserido, contribuindo para que os conceitos
presentes nas situações ganhem significados.
Segundo Moutinho (2005), Vergnaud define significado como sendo uma
relação do sujeito com as situações e os significantes, relações estas
individuais por evocarem os esquemas presentes em cada sujeito. Já o
significante pode ser caracterizado por signos e ou objetos e ou palavras
presentes em uma determinada situação comum a todos os sujeitos.
Segundo Moreira (2002) a teoria dos campos conceituais, desenvolvida
por Vergnaud, supõe que a essência do desenvolvimento cognitivo é a
conceitualização. Logo, deve-se dar toda atenção aos aspectos conceituais dos
esquemas e à análise conceitual das situações para as quais os estudantes
desenvolvem seus esquemas, na escola ou fora dela. Trata-se de uma teoria
psicológica do processo de conceitualização do real que permite localizar e
estudar continuidades e rupturas entre conhecimentos do ponto de vista de seu
conteúdo conceitual.
De acordo com Moreira (2002), Vergnaud destaca que é preciso dar
toda atenção aos aspectos conceituais dos esquemas e à análise conceitual
das situações nas quais os aprendizes desenvolvem seus esquemas na escola
ou na vida real. A este respeito, Moutinho (2005) entende que:
A teoria, no que diz respeito à noção de esquema tem como um de seus pressupostos básicos que o conhecimento constitui-se e desenvolve-se ao longo de um período de tempo e com base na interação adaptativa do sujeito com as situações de experiências (p.13).
Moutinho (2005) subentende que a teoria dos Campos Conceituais
busca compreender as relações existentes entre os conceitos dentro dos
processos de aprendizagem, pois para Vergnaud, um dos pilares de um
Campo Conceitual é o conjunto de situações onde o domínio progressivo exige
uma variedade de conceitos, de procedimentos e de representações
32
simbólicas, havendo uma estreita conexão um com os outros.
Segundo Moutinho (2005), para Vergnaud o conhecimento conceitual
deve emergir dentro de situações problema, de forma a contribuir, para que os
conceitos presentes nessas situações ganhem significados, pois:
Ao considerar um campo conceitual como sendo um conjunto de situações, destacamos que uma das vantagens dessa abordagem pelas situações é permitir a produção de uma classificação apoiada na análise das tarefas cognitivas e dos procedimentos que podem ser adotados em cada um deles (2005, p.16).
Moutinho (2005) destaca que uma das vantagens dessa abordagem
pelas situações é permitir a produção de uma classificação apoiada na análise
das tarefas cognitivas e dos procedimentos que podem ser adotados em cada
um deles. Ele aponta que Vergnaud define dois conceitos dentro dos campos
conceituais: os de estruturas aditivas e as de estruturas multiplicativas.
As estruturas aditivas são formadas a partir de um conjunto de situações
onde o domínio requer uma adição, uma subtração ou o conjunto de tais
operações. As estruturas multiplicativas são representadas por situações onde
o domínio requer multiplicações, divisões ou combinações dessas operações.
Nesse sentido, segundo Moutinho (2005), o estudo do desenvolvimento
de um campo conceitual requer que um conceito seja visto como uma
composição de uma terna de conjuntos definida por Vergnaud como S. I. R:
a) S: é um conjunto de situações que tornam o conceito significativo,
isto é, a realidade;
b) I: é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades, relações);
c) R: é um conjunto de representações simbólicas que podem ser
usados para pontuar e representar os invariantes.
Segundo Moutinho (2005), Vergnaud acredita que o conceito
matemático tem por base uma variedade de situações onde cada situação,
normalmente não pode ser analisada com a ajuda de apenas um conceito. Por
mais simples que seja a situação ela envolve mais que um conceito visto que o
mesmo não pode ser apropriado com base da vivência de uma única situação.
Moreira (2002) e Moutinho (2005), entendem, que professor deve propor
ao aluno uma diversidade de situações de modo que ao tentar resolvê-los, o
aluno possa reconhecer e manipular propriedades já conhecidas do objeto
33
matemático em questão, também fazer a relação entre esses objetos e
propriedades. São os Invariantes fazendo assim uso das representações.
Os conhecimentos contidos nos esquemas são chamados de: conceito
em ação, ou também de “Invariantes Operatórios”.
Assim:
Os invariantes são componentes cognitivos essenciais dos esquemas. Eles podem ser implícitos ou explícitos. São implícitos quando estão ligados aos esquemas de ação do aluno. Neste caso, embora o aluno não tenha consciência dos invariantes que está utilizando, esses podem ser reconhecidos em termos de objetos e propriedades (do problema) e relacionamentos e procedimentos feitos pelo aluno. Os invariantes são explícitos quando estão ligados a uma concepção. Nesse caso eles são expressos por palavras e/ou outras representações simbólicas (VERGNAUD, apud MOUTINHO, 2005, p.18).
Conforme Moreira (2002), as expressões conceito-em-ação e teorema-
em-ação designam os conhecimentos contidos nos esquemas. São também
designados, por Vergnaud, pela expressão mais global invariantes operatórios.
Teorema-em-ação é uma proposição considerada como verdadeira sobre o
real; conceito-em-ação é uma categoria de pensamento considerada como
pertinente. Nesta perspectiva:
O teorema em ação está relacionado com as estratégias tomadas e utilizado pelo sujeito em situação de solução de um certo problema, sem que a mesmo seja capaz de explicá-las ou justificá-las. O conceito em ação é a manifestação do próprio conceito com suas propriedades e definições, quando manifestado geralmente são explícitos (MOUTINHO, 2005, p.19).
Moutinho (2005), conclui que adequando a Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud ao estudo do Conceito de números racionais,
supõem-se rupturas com idéias construídas pelos alunos a respeito dos
números naturais demandando maior tempo e uma abordagem adequada. Já
com relação aos números naturais, os alunos vivenciam um conjunto de
situações formando uma concepção de que a multiplicação sempre aumenta,
sendo assim o produto é sempre maior do que os dois fatores. Refletindo
sobre os números racionais vê se a necessidade de outro conjunto de
situações, tendo que superar as dificuldades causando a ruptura dessa
expectativa.
34
A construção do conhecimento pelo aprendiz não é um processo linear, facilmente identificável. Ao contrário, é complexo, tortuoso, demorado, com avanços e retrocessos, continuidades e rupturas. O conhecimento prévio é determinante no progressivo domínio de um campo conceitual, mas pode também, em alguns casos, ser impeditivo. Continuidades e rupturas não são, no entanto, excludentes. Pode haver continuidade e ruptura (MOREIRA, 2002, p.20).
Moutinho (2005) acredita como Vergnaud que o conceito de fração pode
ser construído a partir da coordenação da interação entre os três conjuntos da
terna: Situações, Invariantes e Representações.
2.3 Proposta de trabalho
O ensino e aprendizagem da matemática, muitas vezes de modo
mecânico e repetitivo, torna-se difícil, o que causa ojeriza nos alunos, levando-
os ao desencanto com a matemática. Com base nas pesquisas apresentadas
na Revisão da Literatura e na Fundamentação Teórica, pretende-se aplicar um
questionário com as situações problema apresentadas na pesquisa de
Vasconcelos (2007) para verificar o nível de compreensão dos alunos da 5ª
Ano do Ensino Fundamental de uma escola particular do município de Lins,
com relação ao tema fração.
Assim, na presente pesquisa pretende-se responder a seguinte questão:
qual o nível de compreensão de fração dos alunos do 5º Ano do Ensino
Fundamental de uma escola da rede particular do município de Lins?
Para responder tal questão pretende-se alcançar os seguintes objetivos:
Objetivo Geral:
Investigar as variáveis envolvidas na produção de respostas na
resolução dos problemas propostos sobre fração.
Objetivos específicos:
a) analisar as possíveis causas das dificuldades na apropriação dos
conhecimentos matemáticos sobre fração;
b) identificar a natureza das dificuldades apresentadas na resolução
dos problemas propostos;
35
c) comparar os resultados obtidos com os resultados descritos na
pesquisa de Vasconcelos (2007);
d) desenvolver e aplicar recursos que possibilitem a reversão de
quadros referentes ao baixo desempenho na resolução dos
problemas de fração.
36
CAPÍTULO III
METODOLOGIA E ANÁLISE DOS RESULTADOS
3 INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresenta-se a metodologia aplicada na pesquisa e a
análise dos resultados.
3.1 Metodologia
A pesquisa iniciou-se a partir de um amplo estudo da literatura a respeito
de estudos que tratam do ensino aprendizagem de frações.
A seguir, elaborou-se a proposta de trabalho, que consiste em aplicar a
mesma sequência de situações problema aplicada por Vasconcelos (2007) em
uma escola particular de Porto Alegre e comparar os resultados obtidos com os
da presente pesquisa.
Para a aplicação da sequência foram selecionados quinze alunos do 5º
Ano A, do Ensino Fundamental, de uma escola particular do município de Lins,
a partir de indicação da professora da turma.
A aplicação da sequência de situações problema ocorreu em horário
normal de aula e teve a duração de aproximadamente uma hora. O instrumento
(Anexo 1), utilizado junto aos alunos, era constituído de 7 situações problema
que envolvem números fracionários, sendo que lhes foi solicitado que
explicassem como os resolviam, a fim de identificar os caminhos utilizados para
obter a solução dos mesmos.
A análise dos resultados realizou-se a partir das estratégias cognitivas
que os alunos utilizaram para resolverem as situações problema propostas de
acordo com as idéias de Nunes e Bryant (1997) e Vergnaud (1993),
apresentadas na fundamentação teórica.
A comparação dos resultados obtidos pelos alunos com os resultados
apresentados na pesquisa de Vasconcelos (2007) deu-se com a finalidade de
verificar as estratégias e dificuldades apresentadas pelos alunos dos dois
37
grupos, durante a resolução dos sete problemas com significado quociente,
parte todo e operador multiplicativo com quantidades discretas e contínuas.
Considerando os resultados apresentados, optou-se pela realização de
uma intervenção por meio de contação de pequenas histórias, sempre
utilizando uma linguagem infantil. Cada história abordou um dos significados do
estudo de frações. Para a apresentação de cada conceito eram utilizados
argumentos multidisciplinares, como: O jogo de damas – sua história e regras,
sistemas de medidas, História do Brasil, taxa de impostos, porcentagem,
questões ambientais. A intervenção teve como finalidade oferecer aos alunos
que participaram da pesquisa oportunidade de sanar as dificuldades
apresentadas e, assim, contribuir para a aprendizagem mais significativa do
conceito de fração.
Após a intervenção aplicou-se novamente a mesma sequência de
situações problema e posteriormente analisaram-se os resultados obtidos,
comparando-os com os da aplicação inicial, com a finalidade de verificar se a
realização da intervenção surtiu o efeito desejado.
3.2 Análise dos resultados
No quadro 1 a seguir são apresentados os acertos de cada aluno e tipo
de raciocínio utilizado e tipos de acerto por questão.
Para confecção do quadro considerou-se acerto total para o aluno que
apresentou a resolução e a resposta correta de cada questão; considerou-se
meio certo para o aluno que apresentou algum raciocínio correto de cada
questão, mas não conseguiu finalizar a questão corretamente; e, finalmente,
considerou-se errado total para o aluno que não apresentou nenhum tipo de
raciocínio correto para cada questão.
A classificação quanto ao tipo de raciocínio deu-se da seguinte maneira:
a) raciocínio aritmético: são classificadas, nesta categoria, as
resoluções que utilizam apenas as operações numéricas entre as
frações.
b) raciocínio pictórico: são classificadas, nesta categoria, as resoluções
que utilizam a representação de alguma figura para melhor
38
compreensão do problema.
O quadro abaixo apresenta os resultados de cada aluno por questão.
NOMES M F QUESTÕES Acerto Total
Errado Total
Meio Certo Tipo de raciocínio
1 X Aritmético e pictórico
2 X Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 X Pictórico
6 ------ --- ---- Não fez
1.Ale x
7 X Aritmético
1 X Aritmético e pictórico
2 X Pictórico
3 X Pictórico
4 X Pictórico
5 X Pictórico
6 X Aritmético e pictórico
2.Ana x
7 X Aritmético
1 X Aritmético e pictórico
2 X Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 X Aritmético e pictórico
6 ------ ---- --- Não fez
3.Bre x
7 X Aritmético
1 X Aritmético e pictórico
2 X Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 x Pictórico e
6 ------ ---- --- Não fez
4.Carol x
7 X Aritmético
1 X Aritmético e pictórico 2 X Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 X Aritmético e pictórico
6 X Aritmético e pictórico
5.Cat x
7 X Aritmético
1 X Aritmético e pictórico
2 x Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 X Aritmético e pictórico
6 X Aritmético
6.Edu x
7 X Aritmético
39
continua
NOMES M F QUESTÕES Acerto Total
Errado Total
Meio Certo
Tipo de raciocínio
1 X Aritmético e pictórico
2 X Pictórico
3 X Pictórico
4 X Pictórico
5 X Aritmético e pictórico
6 X Pictórico
7.Gab
x
7 X Aritmético e pictórico
1 X Aritmético e pictórico
2 X Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 X Aritmético e pictórico
6 X Aritmético e pictórico
8.Gra x
7 X Aritmético e pictórico
1 X Aritmético
2 X Pictórico
3 X Pictórico
4 X Pictórico
5 X Pictórico
6 x Pictórico
9.Hug x
7 X Aritmético e pictórico
1 X Aritmético e pictórico
2 X Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 X Aritmético e pictórico
6 X Aritmético e pictórico
10.Jul x
7 X Aritmético
1 X Aritmético e pictórico
2 X Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 X Aritmético e pictórico
6 X Aritmético e pictórico
11.Laí x
7 X Aritmético
1 X Aritmético e pictórico
2 X Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 X Aritmético e pictórico
6 X Aritmético
12.La G x
7 X Aritmético e pictórico
40
continua
Fonte: Elaborado pela autora, 2010. Quadro 1: Acertos de cada aluno e tipos de raciocínio utilizados
Na quadro 1 observa-se que o aluno Ale ao responder a questão 1, da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou corretamente o problema, porém apresentou dificuldade em realizar
a representação simbólica da fração, talvez porque o significado quociente com
quantidade discreta não tenha sido compreendido adequadamente. Usou tipo
de raciocínio aritmético e pictórico.
Quanto a questão 2, que enfoca o significado quociente com quantidade
contínua, o aluno ganhou meio acerto, pois acertou somente a letra a da
questão, não sabendo representar na forma fracionária a divisão. Também na
questão 3, que aborda o significado parte todo com quantidade contínua, Ale
não conseguiu representar na forma fracionária, nem na pictórica. Da análise
da resolução da questão 4, que aborda o significado parte todo com quantidade
discreta para retratar a situação, o aluno conseguiu fazer a relação não
desprezando o todo envolvido, fez a contagem das partes relacionando-a com
o todo. Já na análise da questão 5, que enfoca o significado de operador
NOMES M F QUESTÕES Acerto Total
Errado Total
Meio Certo
Tipo de raciocínio
1 X Aritmético e pictórico
2 X Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 X pictórico
6 X pictórico
13.La N x
7 X Aritmético e pictórico
1 X Aritmético e pictórico
2 X Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 X Aritmético e pictórico
6 X aritmético
14.Ma x
7 X aritmético
1 X Aritmético e pictórico
2 X Aritmético e pictórico
3 X Aritmético e pictórico
4 X Aritmético e pictórico
5 X Aritmético e pictórico
6 X Aritmético e pictórico
15.Que x
7 X Aritmético
41
multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que o mesma não
conseguiu acerto total, pois se supõe a não compreensão da relação existente
entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o número de partes
consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de operador multiplicativo
com quantidade discreta, em que há o papel de transformação, dentro de uma
representação de uma ação imprimindo sobre o número ou quantidade o aluno
não fez. A resposta apresentada pelo aluno na questão 7, em que se aborda o
significado parte todo com quantidade contínua, ele não conseguiu acerto total,
pondendo-se concluir que o mesmo ao resolver a situação problema não
utilizou adequadamente os dados oferecidos no problema.
No quadro 1 observa-se que a aluna Ana ao responder a questão 1, da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou corretamente o problema, porém apresentou dificuldade em realizar
a representação simbólica da fração. Quanto a questão 2, que enfoca o
significado quociente com quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto,
pois acertou somente a letra a e b da questão, sabendo representar na forma
pictórica a divisão, embora não soube fazer a representação simbólica da
fração. Na questão 3, que aborda o significado parte todo com quantidade
contínua, não conseguiu representar na forma fracionária, nem na pictórica,
alegando que não entendeu.
Na questão 4, que aborda o significado parte todo com quantidade
discreta, a aluna não conseguiu fazer a relação desprezando o todo envolvido,
fez a representação pictórica porém de maneira incorreta. Quanto a questão 5,
a aluna não fez, alegando que não entendeu. Já na questão 6, a aluna
demonstrou estar descontextualizada com os conhecimentos escolares para
resolver a situação problema. Não soube fazer a transformação, isto é, a
representação de uma ação imprimindo sobre o número ou quantidade. Da
análise da questão 7, pode-se inferir que a mesma não conseguiu acerto total
pois não respondeu a letra “a” e acertou metade da letra d. Percebe-se que a
aluna não soube utilizar os dados do problema.
Na quadro 1 observa-se que o aluno Bre ao responder a questão 1, da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou o problema, resolvendo os dois itens usando o tipo de raciocínio
42
Aritmético e pictórico corretamente. Quanto a questão 2, que enfoca o
significado quociente com quantidade contínua, o aluno ganhou meio acerto,
pois acertou somente a letra a da questão, não sabendo representar na forma
fracionária a divisão. Percebe-se que o aluno tem dificuldade para fazer a
interpretação da situação problema, não conseguindo usar estratégias para
chegar a solução correta.
Também na questão 3, que aborda o significado parte todo com
quantidade contínua, não conseguiu representar na forma fracionária, porém,
representou corretamente o raciocínio pictórico. Na questão 4, que aborda o
significado parte todo com quantidade discreta, o aluno conseguiu fazer a
relação não desprezando o todo envolvido, fez a contagem das partes
relacionando com o todo, fez a representação pictórica de maneira correta.
Quanto a questão 5, o aluno teve acerto total, representando corretamente a
fração pedida. Já na questão 6, o aluno demonstrou estar descontextualizado
com os conhecimentos escolares para resolver a situação problema. Não
soube fazer a transformação isto é a representação de uma ação imprimindo
sobre o número ou quantidade, dizendo que não entendeu. Da análise da
questão 7, que aborda o significado parte todo com quantidade contínua
percebe-se que o mesmo conseguiu acerto total.
Na quadro 1 observa-se que a aluna Carol ao responder a questão 1, da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou o problema corretamente. Porém inverteu o numerador pelo
denominador, não distinguindo a relação que há entre numerador e
denominador. Na questão 2, que enfoca o significado quociente com
quantidade contínua, a aluna teve acerto total. A mesma usou do raciocínio
aritmético e pictórico corretamente. Também na questão 3, que aborda o
significado parte todo com quantidade contínua, Carol conseguiu representar o
raciocínio aritmético e pictórico corretamente. Da análise da resolução da
questão 4, que aborda o significado parte todo com quantidade discreta para
retratar a situação a aluna não conseguiu fazer a relação desprezando o todo
envolvido, não fez a contagem das partes relacionando com o todo.
Já na análise da questão 5 que enfoca o significado de operador
multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que a mesma não
43
conseguiu acerto total, pois, usou apenas o raciocínio pictórico faltando a
representação fracionária. A questão 6, que enfoca o significado de operador
multiplicativo com quantidade discreta, em que há o papel de transformação,
dentro de uma representação de uma ação imprimindo sobre o número ou
quantidade a aluna não fez. A resposta apresentada pela aluna na questão 7,
em que se aborda o significado parte todo com quantidade contínua não
conseguiu acerto total, assim, percebe-se que a mesma ao resolver a situação
problema não utilizou adequadamente os dados oferecidos no problema.
No quadro 1 observa-se que a aluna Cat ao responder a questão 1, da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou o problema corretamente. Representou a fração por meio de
desenho e não na forma numérica. Quanto a questão 2, que enfoca o
significado quociente com quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto,
pois acertou somente a letra a da questão, não sabendo representar na forma
fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que aborda o significado parte todo
com quantidade contínua, a aluna representou corretamente na forma
fracionária e teve um raciocínio pictórico correto.
Da análise da resolução da questão 4, que aborda o significado parte
todo com quantidade discreta para retratar a situação, verifica-se que a aluna
conseguiu fazer a relação não desprezando o todo envolvido, fez a contagem
das partes relacionando com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o
significado de operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir
que a mesma também conseguiu acerto total pois, percebe-se que a mesma
teve a compreensão da relação existente entre o número de partes em que o
todo foi dividido e, o número de partes considerados. A questão 6, que enfoca
o significado de operador multiplicativo com quantidade discreta, em que há o
papel de transformação, dentro de uma representação de uma ação imprimindo
sobre o número ou quantidade, a aluna não fez. A resposta apresentada pela
aluna na questão 7, em que aborda o significado parte todo com quantidade
contínua, conseguiu acerto total, destaca-se que ela ao resolver a situação
problema utilizou adequadamente os dados oferecidos no problema.
No quadro 1 observa-se que o aluno Edu ao responder a questão 1, da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
44
solucionou o problema corretamente. Porém, não soube representar na forma
fracionária a divisão. Na questão 2, que enfoca o significado quociente com
quantidade contínua, o aluno ganhou meio acerto, pois acertou somente a letra
a e b da questão, não sabendo representar na forma fracionária a divisão.
Quanto a questão 3, que aborda o significado parte todo com quantidade
contínua, o aluno representou corretamente na forma fracionária e teve um
raciocínio pictórico correto.
Da análise da resolução da questão 4, que aborda o significado parte
todo com quantidade discreta para retratar a situação, o aluno não conseguiu
fazer a relação desprezando o todo envolvido, não fez a contagem das partes
relacionando com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o significado de
operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que o mesmo
conseguiu acerto total, pois, percebe-se que o mesmo teve a compreensão da
relação existente entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o
número de partes consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de
operador multiplicativo com quantidade discreta, em que há o papel de
transformação, dentro de uma representação de uma ação imprimindo sobre o
número ou quantidade, o aluno teve erro total. A resposta apresentada pelo
aluno na questão 7, em que aborda o significado parte todo com quantidade
contínua conseguiu acerto total.
No quadro 1 observa-se que a aluna Gab ao responder a questão 1 da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou o problema corretamente. Porém, não soube representar na forma
fracionária a divisão e a representação pictórica também não acertou. Na
questão 2 que enfoca o significado quociente com quantidade contínua, a
aluna ganhou meio acerto, pois acertou somente a letra a e b da questão, não
sabendo representar na forma fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que
aborda o significado parte todo com quantidade contínua, não representou
corretamente na forma fracionária e teve um raciocínio pictórico incorreto não
interpretando corretamente os dados do problema.
Da análise da resolução da questão 4, que aborda o significado parte
todo com quantidade discreta para retratar a situação, a aluna não conseguiu
fazer a relação desprezando o todo envolvido, não fez a contagem das partes
45
relacionando-a com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o significado
de operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que aa
mesma teve erro total, pois, supõe-se que não houve a compreensão da
relação existente entre o números de partes em que o todo foi dividido e, o
número de partes consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de
operador multiplicativo com quantidade discreta, em que há o papel de
transformação, dentro de uma representação de uma ação imprimindo sobre o
número ou quantidade o aluno teve erro total. A resposta apresentada pela
aluna na questão 7, em que aborda o significado parte todo com quantidade
contínua conseguiu acerto total.
No quadro 1 observa-se que a aluna Gra ao responder a questão 1 da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou o problema corretamente. Representou na forma fracionária a
divisão e a representação pictórica também de maneira correta. Na questão 2
que enfoca o significado quociente com quantidade contínua, a aluna ganhou
meio acerto, pois acertou somente a letra a e b da questão, não sabendo
representar na forma fracionária a divisão. Na questão 3, que aborda o
significado parte todo com quantidade contínua, Gra conseguiu representar na
forma fracionária e na pictórica corretamente.
Da análise da resolução da questão 4, que aborda o significado parte
todo com quantidade discreta para retratar a situação a aluna não conseguiu
fazer a relação por não desprezar o todo envolvido, não fez a contagem das
partes relacionando com o todo. Já na análise da questão 5, que enfoca o
significado de operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir
que a mesma não conseguiu acerto total por não compreender a relação
existente entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o número de
partes consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de operador
multiplicativo com quantidade discreta, em que há o papel de transformação,
dentro de uma representação de uma ação imprimindo sobre o número ou
quantidade, a aluna fez corretamente tanto no raciocínio aritmético quanto no
pictórico. A resposta apresentada pela aluna na questão 7, em que aborda o
significado parte todo com quantidade contínua conseguiu acerto total,
levando-se a inferir que a mesma ao resolver a situação problema utilizou
46
adequadamente os dados oferecidos no problema e a sua vivência no
cotidiano.
No quadro 1 observa-se que o aluno Hug ao responder a questão 1 da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou o problema corretamente. Porém, não soube representar na forma
fracionária a divisão. Na questão 2 que enfoca o significado quociente com
quantidade contínua, o aluno ganhou meio acerto, pois acertou somente a letra
a e b da questão, não sabendo representar na forma fracionaria a divisão.
Também na questão 3, que aborda o significado parte todo com quantidade
contínua, o mesmo não conseguiu representar na forma fracionária, porém
desenhou representando o número fracionário corretamente.
Da análise da resolução da questão 4, que aborda o significado parte
todo com quantidade discreta para retratar a situação, o aluno não conseguiu
fazer a relação por não desprezar o todo envolvido, não fez a contagem das
partes relacionando com o todo. Já na análise da questão 5, que enfoca o
significado de operador multiplicativo com quantidade contínua, observa-se que
o mesmo teve erro total, pois, supõe-se a não compreensão da relação
existente entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o número de
partes consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de operador
multiplicativo com quantidade discreta, em que há o papel de transformação,
dentro de uma representação de uma ação imprimindo sobre o número ou
quantidade, o aluno fez incorretamente usando apenas o raciocínio pictórico. A
resposta apresentada pelo aluno na questão 7, em que aborda o significado
parte todo com quantidade contínua não conseguiu acerto total, podendo-se
inferir que ao resolver a situação problema não utilizou adequadamente os
dados oferecidos no problema.
No quadro 1 observa-se que a aluna Jul ao responder a questão 1 da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou o problema corretamente, também soube representar na forma
fracionária a divisão. Na questão 2 que enfoca o significado quociente com
quantidade contínua, a aluna ganhou acerto total, sabendo representar na
forma fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que aborda o significado parte
todo com quantidade contínua, a aluna representou corretamente na forma
47
fracionária e teve um raciocínio pictórico correto.
Da análise da resolução da questão 4, que aborda o significado parte
todo com quantidade discreta para retratar a situação, a aluna conseguiu fazer
a relação não desprezando o todo envolvido, fez a contagem das partes
relacionando-as com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o significado
de operador multiplicativo com quantidade contínua, observa-se que a mesma
conseguiu acerto total, pois, supõe-se que teve a compreensão da relação
existente entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o número de
partes considerados. A questão 6, que enfoca o significado de operador
multiplicativo com quantidade discreta, em que há o papel de transformação,
dentro de uma representação de uma ação imprimindo sobre o número ou
quantidade a aluna teve erro total, pois, não acredita-se que não compreendeu
a necessidade da transformação, ao fazer a divisão e a multiplicação, percebe-
se, assim, que a mesma não aplicou seus conhecimentos escolares. A
resposta apresentada pela aluna na questão 7, em que aborda o significado
parte todo com quantidade contínua conseguiu meio acerto, pode-se inferir
que ela não utilizou os dados da situação problema em questão.
Na quadro 1 observa-se que a aluna Lai ao responder a questão 1 da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou o problema corretamente, também soube representar na forma
fracionária a divisão. Na questão 2 que enfoca o significado quociente com
quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto, não sabendo representar na
forma fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que aborda o significado parte
todo com quantidade contínua, a aluna teve erro total pois fez a representação
da forma fracionária errada.
Da análise da resolução da questão 4, que aborda o significado parte
todo com quantidade discreta para retratar a situação a aluna não conseguiu
fazer a relação pois desprezou o todo envolvido, não fez a contagem das
partes relacionando com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o
significado de operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir
que a mesma conseguiu acerto total pois, supõe-se que teve a compreensão
da relação existente entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o
número de partes consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de
48
operador multiplicativo com quantidade discreta, em que há o papel de
transformação, dentro de uma representação de uma ação imprimindo sobre o
número ou quantidade, a aluna teve acerto total pois compreendeu a
necessidade da transformação, ao fazer a divisão e a multiplicação. A resposta
apresentada pela aluna na questão 7, em que aborda o significado parte todo
com quantidade contínua conseguiu acerto total, pode-se inferir que ela utilizou
os dados da situação problema em questão corretamente.
No quadro 1 observa-se que a aluna La G. ao responder a questão 1 da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou o problema corretamente, também soube representar na forma
fracionária a divisão. Na questão 2 que enfoca o significado quociente com
quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto, não soube representar na
forma fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que aborda o significado parte
todo com quantidade contínua, a aluna não representou corretamente na forma
fracionária mas teve um raciocínio pictórico correto.
Da análise da resolução da questão 4, que aborda o significado parte
todo com quantidade discreta para retratar a situação, a aluna conseguiu fazer
a relação, pois não desprezou o todo envolvido, fez a contagem das partes
relacionando com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o significado de
operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que a mesma
também conseguiu acerto total pois supõe-se que teve a compreensão da
relação existente entre o número de partes em que o todo foi dividido e, o
número de partes consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de
operador multiplicativo com quantidade discreta, em que há o papel de
transformação, dentro de uma representação de uma ação imprimindo sobre o
número ou quantidade, a aluna teve acerto total, pois compreendeu a
necessidade da transformação, ao fazer a divisão e a multiplicação, vimos que
a mesma aplicou seus conhecimentos escolares. A resposta apresentada pela
aluna na questão 7, onde aborda o significado parte todo com quantidade
contínua conseguiu acerto total, pode-se inferir que ela soube utilizar os dados
da situação problema em questão corretamente.
No quadro 1 observa-se que a aluna La N. ao responder a questão 1 da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
49
solucionou o problema corretamente, não soube representar na forma
fracionaria a divisão. Na questão 2 que enfoca o significado quociente com
quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto, uma vez que não soube
representar na forma fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que aborda o
significado parte todo com quantidade contínua, a aluna não representou
corretamente na forma fracionária, fez a inversão da posição do numerador
pelo denominador, supomos que não houve a compreensão da relação
existente entre o numerador e o denominador. Da análise da resolução da
questão 4, que aborda o significado parte todo com quantidade discreta para
retratar a situação, a aluna conseguiu fazer a relação pois não desprezou o
todo envolvido e fez a contagem das partes relacionando-as com o todo. Na
análise da questão 5, que enfoca o significado de operador multiplicativo com
quantidade contínua, pode-se inferir que a mesma também conseguiu acerto
total, pois supõe-se que teve a compreensão da relação existente entre o
números de partes em que o todo foi dividido e, o número de partes
consideradas. A questão 6, que enfoca o significado de operador multiplicativo
com quantidade discreta, em que há o papel de transformação dentro de uma
representação de uma ação imprimindo sobre o número ou quantidade, a aluna
teve acerto total pois compreendeu a necessidade da transformação, ao fazer a
divisão e a multiplicação, assim pode-se inferir que a mesma aplicou seus
conhecimentos escolares. A resposta apresentada pela aluna na questão 7, em
que aborda o significado parte todo com quantidade contínua conseguiu acerto
total, pode-se inferir que ela soube utilizar os dados da situação problema em
questão corretamente.
No quadro 1 observa-se que o aluno Ma ao responder a questão 1 da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou o problema corretamente, também soube representar na forma
fracionária a divisão. Na questão 2 que enfoca o significado quociente com
quantidade contínua, o aluno teve acerto total, soube representar na forma
fracionária a divisão explicando com detalhes sua reflexão, usando também o
raciocínio pictórico. Quanto a questão 3, que aborda o significado parte todo
com quantidade contínua, o aluno representou corretamente na forma
fracionária.
50
Da análise da resolução da questão 4, que aborda o significado parte
todo com quantidade discreta para retratar a situação, o aluno não conseguiu
fazer a relação, pois não desprezou o todo envolvido e não fez a contagem das
partes relacionando com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o
significado de operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir
que a mesma também conseguiu acerto total pois, supõe-se que teve a
compreensão da relação existente entre o número de partes em que o todo foi
dividido e, o número de partes consideradas. A questão 6, que enfoca o
significado de operador multiplicativo com quantidade discreta, em que há o
papel de transformação, dentro de uma representação de uma ação imprimindo
sobre o número ou quantidade o aluno não compreendeu a necessidade da
transformação, ao fazer a divisão e a multiplicação, assim percebe-se que o
mesmo não aplicou seus conhecimentos escolares. A resposta apresentada
pelo aluno na questão 7, em que aborda o significado parte todo com
quantidade contínua conseguiu meio acerto, destacando-se que ele não soube
utilizar os dados da situação problema em questão corretamente.
No quadro 1 vemos que a aluna Qué ao responder a questão 1 da
situação problema com significado quociente com quantidade discreta,
solucionou o problema corretamente, também soube representar na forma
fracionária a divisão. Na questão 2 que enfoca o significado quociente com
quantidade contínua, a aluna ganhou meio acerto, pois não soube representar
na forma fracionária a divisão. Quanto a questão 3, que aborda o significado
parte todo com quantidade contínua, a aluna representou corretamente na
forma fracionária.
Da análise da resolução da questão 4, que aborda o significado parte
todo com quantidade discreta para retratar a situação a aluna conseguiu fazer
a relação pois não desprezou o todo envolvido, fez a contagem das partes
relacionando-as com o todo. Na análise da questão 5, que enfoca o significado
de operador multiplicativo com quantidade contínua, pode-se inferir que a
mesma também conseguiu acerto total pois, supõe-se que a mesma teve a
compreensão da relação existente entre o números de partes em que o todo foi
dividido e, o número de partes consideradas. A questão 6, que enfoca o
significado de operador multiplicativo com quantidade discreta, em que há o
51
papel de transformação, dentro de uma representação de uma ação imprimindo
sobre o número ou quantidade a aluna teve acerto total pois compreendeu a
necessidade da transformação, ao fazer a divisão e a multiplicação, vimos que
a mesma aplicou seus conhecimentos escolares. A resposta apresentada pela
aluna na questão 7, em que aborda o significado parte todo com quantidade
contínua conseguiu acerto total, mostrando que soube utilizar os dados da
situação problema em questão corretamente.
3.2.1 Comparação dos resultados obtidos com os resultados da pesquisa de
Vasconcelos (2007).
Procede-se a análise quantitativa dos dados: Índice de acerto total e
índice de acertos por significado abordado.
A tabela 1 apresenta as quantidades de acertos por total de itens e a
tabela 2 apresenta o número de acertos, levando-se em consideração os
quatro significados de fração escolhidos para essa pesquisa.
Tabela 1: Desempenho Geral dos alunos do 5º Ano do Ensino Fundamental em relação às sete questões aplicadas.
QUESTÕES Acerto Total Errado Total Meio Certo Não fizeram 1 7 --- 8 --- 2 3 --- 12 --- 3 7 5 3 --- 4 7 8 --- --- 5 9 5 1 --- 6 5 7 --- 3 7 9 1 5 ---
TOTAL GERAL 47 26 29 3 Fonte: Elaborada pela autora, 2010
Tabela 2: Desempenho Geral dos alunos do 5º Ano do Ensino Fundamental em relação aos quatros significados de fração escolhidos
Significados Parte todo Quociente Medida Operador
Multiplicativo
Acerto Total 14 10 9 14
Erro Total 13 0 1 12
Meio Certo 3 20 5 1
Não fizeram --- --- --- 3
TOTAL GERAL 30 30 15 30
Fonte: Elaborada pela autora, 2010
52
Observa-se que o número de acerto para a questão 2 que envolveu o
significado quociente teve menor índice de acerto total. Acreditamos com isso
que uma das dificuldades encontradas foi a falta de compreensão da ação de
distribuição e também necessidade de ter uma nova visão das relações
parte/todo. Outro motivo foi a inversão de numerador pelo denominador, pois
eles acreditam que o numerador não pode ser maior que o denominador e com
isso não assimilam as frações impróprias.
Observa-se também que a questão de número 4 obteve um maior
número de erro total, já esta envolvia o significado parte/todo. A maioria
desconsiderou o todo envolvido, fazendo contagem somente das partes ou
seja, o aluno contou somente a parte destacada e depois conta as demais
partes esquecendo-se de relacionar o todo.
A questão de número 5 envolvendo o significado Operador Multiplicativo
e a questão de número 7 envolvendo medida são as que tiveram um maior
número de acerto total.
A seguir, na tabela 3, apresenta-se a porcentagem de acertos por
significados da fração com a finalidade de se estabelecer uma comparação dos
resultados obtidos pelas duas Escolas antes da intervenção.
Tabela 3: Porcentagem de acertos gerais por significados entre os dois grupos de escolas antes da intervenção.
Significados Parte todo Quociente Medida Operador Multiplicativo
Porto Alegre/RS 36% 48% 0 24% Lins/SP 30% 21% 19% 30%
Fonte: Elaborada pela autora, 2010
Na comparação de números de acerto total entre as duas escolas,
constata-se que os grupos de alunos das duas escolas apresentam as mesmas
dificuldades para realização das atividades de resolução de problemas
envolvendo frações. Percebe-se que as estratégias utilizadas eram comuns
para os alunos das duas escolas e nota-se que a estratégia mais adotada foi a
de parte/todo,
Os pontos comuns encontrados foram:
a) Dificuldade na transferência do conhecimento informal para a formal.
b) Conforme Nunes e Bryant (1997), há desconexão entre o
53
conhecimento informal que as crianças desenvolvem
espontaneamente e os conhecimentos mais formais, que aprendem
nas aulas.
c) As crianças resolvem os problemas de forma prática, no entanto não
conseguem representá-los através da escrita.
d) Inversão do numerador pelo denominador, porque entendem que o
numerador não pode ser maior que o denominador.
e) Relação parte/parte: o aluno despreza o todo envolvido e faz
contagem das partes.
54
CAPÍTULO IV
INTERVENÇÃO 4 CONTAÇÃO DE HISTÓRIAS ENVOLVENDO FRAÇÕES
A técnica utilizada para a intervenção foi a técnica de contação de
estórias. Utilizou-se um total de 4 aulas para a contação de estórias. Utilizou-se
o texto do capítulo 1 da produção didática, intitulada “Era uma vez” (Anexo 2),
de Drechmer e Andrade (2009).
1º momento: Era uma vez /
Com os alunos dispostos em círculo a professora da sala prepara-os
para ouvir uma história. Entra-se na sala dizendo em alto tom: “Era uma vez...”
bastando para que todos voltassem o olhar para a porta. Deu-se continuidade a
contação. Para a apresentação de cada conceito utilizou-se argumentos
multidisciplinares, como: O jogo de damas – sua história e regras, sistemas de
medidas, História do Brasil, taxa de impostos, porcentagem, questões
ambientais.
A primeira estória utiliza o jogo de damas para a introdução do conceito
de frações. Os personagens foram apresentados aos alunos, assim como a
noção de frações. Expressões do tipo “metade”, “pedaço”, ‘“parte”, “divisão”,
“partição”, “fração” foram abordadas pelos personagens da história e serviu
para introduzir o vocabulário próprio e a idéia principal do conceito de frações.
Estas expressões foram discutidas em sala, dando início a estruturação do
conceito de frações. A expressão “das doze pedras do jogo, encontramos
apenas oito” utilizada no texto, serviu como base para a apresentação do
significado parte-todo, ou seja, quanta parte do todo está sendo considerada
em uma determinada situação. Também serve para conceituar o numerador e
o denominador das frações.
Os números fracionários encontrados em livros de receitas também
foram citados no texto e utilizados na construção do conceito. Utilizou-se o
quadro negro como recurso auxiliar.
A aula foi bem aceita. Os alunos gostaram do recurso da contação de
histórias, ficaram interessados pelos personagens e participaram ativamente da
55
narração, dando suas opiniões.
2º momento: Marteladas Matemáticas/ O significado Número (Anexo 3).
Nesta história são citadas as medidas fracionárias em polegadas que
encontra-se em alguns canos e tubulações da construção civil, assim como o
significado da polegada como unidade de medida.
Levou-se para a sala de aula tubos, canos e conexões em PVC, onde os
alunos puderam verificar as inscrições das frações em polegadas (2
1,
4
3) assim
como era descrito no texto da estória. Explorou-se o conceito ‘número’, ou seja,
a divisão do numerador pelo denominador, resultando em um número decimal
que representa a fração estudada. Nesta ocasião, expressões como “três
quartos” e “três dividido por quatro” foram comparadas e associadas,
conceituadas como sinônimas.
Os alunos acompanharam todo o desenvolvimento da aula, ouvindo
atentamente a estória e participando das atividades propostas. Interessam-se
muito pelo antigo sistema de medidas britânicas, e passaram a medir o material
escolar utilizando o polegar.
3º momento: “Os Quintos dos Infernos - Significado ‘Operador
Multiplicativo’” (Anexo 4).
Deixou-se um suspense no ar ao apresentar o título da história “Os
Quintos dos Infernos” - Significado ‘Operador Multiplicativo’”, onde este
significado foi discutido. O texto apresenta, como recurso ilustrativo, a
expressão “vá para os quintos dos infernos”, originada na época do Brasil
colonial para designar a fração de impostos pagas ao Rei de Portugal (um
quinto), sobre o ouro extraído do Brasil.
Iniciou-se apresentando aos alunos a origem da expressão
anteriormente citada (o ‘quinto’ dos infernos), assim como sua justificativa
histórica.
Em seguida, propôs-se algumas questões envolvendo o conceito do
operador multiplicativo e os alunos foram instigados a resolvê-las. Por exemplo:
“Se um quinto do ouro produzido no Brasil ia para Portugal, e se um minerador
produzia 10 kg de ouro, quanto, desta quantia, deveria ser pago na forma de
impostos?” Com base nestas observações era desenvolvido o conceito do
56
“Operador Multiplicativo”, que, na sequência, foi estendido para outras
situações.
4º momento: A divisão e o Significado Quociente (Anexo 5).
A Divisão e o Significado Quociente foi também abordado na contação
de estórias, em seu enredo, apresentou-se às crianças utilizando balas para
introduzir e evidenciar a fração como divisão.
No texto, os personagens se deparam com uma situação aparentemente
sem solução: como dividir três ‘coisas’ entre quatro pessoas? A situação
problema dos pacotes de balas foi sugerida no texto. Assim como na sala de
aula, os personagens resolvem abrir os pacotes e dividir as balas igualmente
entre eles. O texto reforça a idéia de que fração também significa divisão, ou
seja, 20 balas dividido entre 4 pessoas é igual a 5. Em seguida, o conceito
‘Quociente’ foi melhor explorado no quadro negro, sugerindo outras situações
em que o significado quociente poderia ser empregado. No final da aula,
solicitou-se aos alunos para que dividissem as balas igualmente entre a turma.
Verificou-se que os alunos gostaram da técnica de contação de histórias,
sendo que alguns falaram que nem parecia aula de matemática. Participaram
de todas as etapas do processo de intervenção sempre interagindo entre si e
com a professora, procurando participar fazendo perguntas, questionando,
dando suas opiniões.
4.1 Resultados e Análise da Aplicação da Sequência de Situações-
Problema após a Intervenção
Uma semana após a contação de estórias, realizou-se novamente a
aplicação da mesma sequência de situações-problema com a finalidade de
verificar se os alunos apresentaram melhora no desempenho.
Conforme o quadro abaixo, ao que tudo indica, a intervenção por meio
da contação de história, atingiu seu objetivo. Os alunos gostaram dos textos e
passaram a participar das aulas e das atividades propostas com mais interesse
e foi verificada uma melhor compreensão do assunto conforme constatamos na
tabela a seguir.
57
Tabela 4: Resultados comparativos entre a 1ª e a 2ª aplicação. Tipos de acertos por questões.
Acerto Total Errado Total Meio Certo Não fizeram Questões
1ª apli 2ª apli 1ª apli 2ª apli 1ª apli 2ª apli 1ª apli 2ª apli 1 07 15 --- --- 08 --- --- --- 2 03 13 --- --- 12 02 --- --- 3 07 15 05 --- 03 --- --- --- 4 07 14 08 --- --- 01 --- --- 5 09 13 05 01 01 01 --- --- 6 05 14 07 --- --- --- 03 01 7 09 12 01 --- 05 02 --- 01
Total Geral
47 96 26 01 29 06 03 02
Fonte: Elaborado pela autora, 2010
Obervando-se a tabela 4, tanto na 1ª, como na 2ª aplicação, pode-se
constatar que a questão 1 não apresentou nenhum errado total, nota-se que a
quantidade de acerto total foi geral após a intervenção. A questão 2 apresentou
aumento de acerto total e diminuição da quantidade de meio certo. A questão 3
na 1ª fase, apresentou sete acertos totais, cinco erros totais e três meio certo,
já com a intervenção nota-se que a quantidade de acerto total foi apresentada
por todos os alunos, eliminando-se o erro total e o meio certo.
A questão 4, na 1ª fase, apresentou mais erros do que acertos e não
apresentou nenhum meio certo, com a intervenção obteve-se aumento de
acerto total e eliminação do erro total com apenas um meio certo. A questão 5
apresentou um resultado positivo com 9 acertos totais e 5 erros totais com
apenas um meio certo, depois da intervenção aumentou também o número de
acerto total e diminuiu o erro total, mantendo um meio certo.
Na questão 6 obteve-se 5 acertos totais, 7 erros totais e 3 não fizeram,
depois da intervenção o número de acerto total aumentou eliminando o erro
total e tendo apenas um meio certo e um que não fez. E por último, a questão 7
com 9 acertos totais, apenas 1 erro total e 5 meio certo. Após a intervenção
tpercebe-se o aumento de acerto total, nenhum erro total e apenas 2 meio
certo
Portanto há uma grande necessidade de iniciar um trabalho que busque
conexão do conhecimento informal com a formalidade que este conceito exige.
O trabalho desenvolvido indica que o estudo de frações utilizando os
quatro significados dos conceitos apresentado de forma significativa ao aluno,
pode melhorar a capacidade de compreensão do conteúdo pelo aluno,
58
favorecendo que a aprendizagem ocorra de forma significativa e efetiva.
Uma vez identificadas tais dificuldades, essa mesma teoria pode ajudar
no delineamento de estratégias e também na seleção de situações
instrucionais que possam ajudar na progressiva superação de tais dificuldades
ou, em outras palavras, no progressivo domínio dos campos conceituais
envolvidos. Esse domínio progressivo implica capacidade de resolver
problemas, conceitualização e mudança, uma evolução conceitual. como
afirma Moutinho (2005).
De um modo geral, pode-se dizer que essa teoria é potencialmente útil
na análise das dificuldades dos alunos, na resolução de situações problemas,
na aprendizagem de conceitos e na mudança conceitual. Visto que ao aplicar a
bateria de questões na sala do 5º Ano, utilizando tal abordagem, observamos
que o processo de aprendizagem elaborados por eles sofreram
transformações, levando-os a buscar novos caminhos, estratégias para chegar
a resolução das situações problemas que envolviam as questões. Deixando
claro a importância da intervenção do mediador, no caso o professor, dentro da
sala de aula.
59
CONCLUSÃO
O estudo teve como objetivo geral: investigar as variáveis envolvidas na
produção de respostas na resolução dos problemas propostos sobre fração. O
referencial teórico adotado leva em consideração situações que envolvem o
conceito de fração, nas concepções parte/todo, medida, quociente e operador
multiplicativo a fim de refletir e dar significado a esse conhecimento.
Analisando os dados obtidos de ambos os grupos constatamos, na
análise dos resultados, que existem semelhanças comuns nas estratégias
escolhidas por eles para resolverem as situações problema e que nem sempre
as estratégias utilizadas por eles auxiliaram na compreensão da situação e na
resolução correta. Tais fatos mostram que os alunos apresentam dificuldades
de interpretação e de conceitualização dos significados.
As dificuldades encontradas pelos alunos na primeira aplicação que
mais se destacou foi a inversão do numerador pelo denominador, pela crença
de que o numerador não pode ser maior que o denominador. Após a
intervenção notou-se que a idéia foi superada pela maioria mudando assim as
estratégias de resolução da situação problema envolvendo essa questão.
Observando os resultados comparativos entre a 1ª e a 2ª aplicação e
analisando os tipos de acertos por questão, percebemos que houve uma
progressão crescente nas estratégias utilizadas para resolverem as situações
problema. Quando da primeira aplicação, as crianças já tinham visto tais
conteúdos em sala. Na 2º aplicação, vimos que os alunos tiveram maior
interesse em resolver as questões, lembrando que utilizamos as histórias
contadas com os seus significados.
Observando e analisando a influência de nossa intervenção com a
contação de história, notamos que houve um índice de acerto
significativamente maior, reduzindo bastante o problema de interpretação das
situações problema e aumentando o número de acertos e diminuindo os erros.
Notamos que os alunos utilizaram um maior número de estratégias corretas
para a resolução dos problemas após a intervenção.
Entendemos que esse crescimento foi decorrente de o aluno
compreender a conceitualização dos significados trabalhados. Porém sabemos
60
que o tempo disponível foi muito pequeno para podermos aprofundar mais o
assunto.
O estudo mostrou que há necessidade de redescutir as formas como os
conteúdos matemáticos são abordados e, em especial os números racionais.
Há também necessidade urgente de romper as crenças e concepções que o
professor tem do ensino e aprendizagem da matemática em específico com
relação ao número fracionário.
Pode-se concluir então que as questões colocadas foram, em parte,
respondidas satisfatoriamente e que é possível fazer um trabalho mais
construtivo com várias concepções dos significados relatados no decorrer da
pesquisa, reforçando a necessidade de um trabalho com vários enfoques
didáticos e pedagógicos para o conceito de números fracionários.
As várias concepções e as características de cada fração tornam-na um
conteúdo relativamente difícil de ser ensinado e entendido, necessitando então
de uma melhor formação do professor em desenvolver habilidades e
competências para lidar com situações de sala de aula envolvendo frações.
O professor que se preocupa com a construção de conhecimento pelo
próprio aluno busca ser mediador do processo, levando o aluno a ter
segurança e autoconfiança na busca de soluções. Sendo de suma importância
o professor conhecer os diferentes significados dos números fracionários,
podendo assim propor aos alunos uma variedade de situações desafiadoras,
provocando conflitos cognitivos que transformam as estratégias em
ferramentas de pensamento.
Para que se reverta o quadro de dificuldades no ensino de fração, é
necessário, em primeiro lugar, que os alunos tenham tempo para integrar os
diferentes significados, com seus símbolos e suas representações,
considerando que haja, um ensino efetivo e uma aprendizagem significativa.
Quanto ao resultado obtido após a intervenção, pudemos constatar na
produção da escrita uma evolução na criatividade por eles elaborada, ficando
bastante claro que atividades deste tipo devem estar presentes no cotidiano do
trabalho do professor com o aluno, pois as crianças têm condições de aprender
tal conteúdo, desde que se trabalhe com concepções de cada significado de
maneira correta.
61
Esperamos que este trabalho seja o ponto de partida para uma série de
outros, pois, com uma pequena amostragem observamos a grande dificuldade
de compreensão do assunto estudado. Este é de suma importância para a
cultura de todo cidadão e assim melhor ensinado. Se não for bem ensinado na
Educação Básica, fatalmente surgirão dificuldades no Ensino Médio e Superior.
62
REFERÊNCIAS
ANDRADE, S. V. R. de; DRECHMER, P. A. de O. O estudo de frações e seus cinco significados. Caderno Pedagógico. Cascavel: 2009. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br>. Acesso em 06 Set.2010. BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Introdução. Brasília: MEC/SEF, 1997. ____Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. BRASIL. Ministério de Educação e do Desporto. Referencial Curricular Nacional para educação infantil. Vol. 3. P. 209 – 239. Brasília: MEC, 1998. JUSTULIN, A. M.; PIROLA, N. A.. Um estudo sobre as relações entre as atitudes em relação à Matemática e a resolução de problemas envolvendo frações. Disponível em: <http://www2.rc.unesp.br/ eventos/matematica/ebrapem2008/upload/304-1-A-gt3_Justulin_ta.pdf>. Acesso em 05 Jun. 2010. MERLINI, V. L.. O conceito de frações em seus diferentes significados: um estudo diagnóstico com alunos de 5ª e 6ª série do ensino fundamental. 2005. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, SP. MOREIRA, M. A. A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. Investigações em Ensino de Ciências. v.7, n.1, 2002. Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/public/ ensino/ revista.htm>. Acesso em 19 Out. 2010. MOUTINHO, L. V.. Fração e seus diferentes significados: um estudo com alunos das 4ª e 8ª séries do ensino fundamental. 2005. 218f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Programa de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, SP. NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.
63
PEREIRA, N. A., SCALON, J. D. Net. O fracasso do ensino-aprendizagem da matemática na educação infantil. Minas Gerais. Disponível em: <http://www.unincor.br/revista/professor/fracasso.html>. Acesso em: 24 Abr. 2009. SILVA, Maria José Ferreira da. Sobre a Introdução do Conceito de Número Fracionário. Disponível em: <http://www4.pucsp.br/pos/edmat/ma/ dissertacao/ maria_jose.pdf>.Acesso em 30 Set. 2010. VASCONCELOS, I. C. P. Números fracionários: a construção dos diferentes significados por alunos de 4ª a 8ª séries de uma escola do ensino fundamental. 2007. 104f. Dissertação (Mestrado em Educação). Programa de Pós-graduação em Educação. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre, RS.
65
APÊNDICE I – Termo de Consentimento
CENTRO UNIVERSITÁRIO CATÓLICO SALESIANO AUXILIUM
PEDAGOGIA
TERMO DE CONSENTIMENTO
Autorizo meu (minha)filho(a)___________________________________
a participar da pesquisa intitulada “Números Fracionários: a construção dos
diferentes significados pela criança”, como parte do Trabalho de Conclusão de
Curso (TCC) realizada pela professora Érika Kazue Okuma, aluna do curso de
Pedagogia do Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium, sob a
orientação do profº. M.Sc. Mestre Marcos José Ardenghi, durante o segundo
semestre de 2010.
Declaro estar ciente de que a pesquisa tem o objetivo de comparar
estratégias cognitivas utilizadas por alunos de 5º Ano (Quarta série) durante o
processo da aquisição dos diferentes significados dos números fracionários.
Da mesma forma, declaro ter conhecimento de que o procedimento
metodológico utilizado será a aplicação de algumas situações problema de
matemática em entrevista individual, para que o aluno explique o seu
pensamento ao resolvê-las e possa assim ser analisadas as estratégias
cognitivas que ele utiliza. Será disponibilizado material manipulável como
auxiliar na representação da solução pelo aluno, assim como material para a
representação escrita do seu pensamento. Este encontro será agendado e
previamente combinado com a coordenação e devidamente comunicado à
família.
Autorizo também, a divulgação dos resultados encontrados, em forma
de artigo.
_______________________________
Assinatura do Pai/Mãe ou Responsável
2010
67
ANEXO 1 - Instrumento de Investigação
Nome:_________________________________________________________
Ano:___________________________________________________________
Idade:_________________________________________________________
Questão 1: Tenho 12 adesivos e vou dividi-los igualmente entre 4 crianças. a) Quantos adesivos cada criança ganhará? b) Que fração representa esta divisão?
Questão 2: Duas barras de chocolate foram divididas igualmente entre 3 crianças. a) Cada criança come um chocolate inteiro? ( )sim ( )não b) Cada criança receberá pelo menos metade de um chocolate?( )sim ( ) não c) Qual a fração de chocolate que cada criança receberá?
Questão 3: Uma barra de chocolate foi dividida em 5 partes iguais. Maria comeu 3 dessas partes. Que fração da barra representa o que Maria comeu?
Questão 4: No material de Paulo há 6 lápis coloridos e 2 lápis pretos. Que fração representa a quantidade de lápis pretos em relação ao total de lápis?
Questão 5: Carlos partiu o chocolate e comeu 3/4 dele. Desenhe o chocolate e mostre quanto Carlos comeu.
Questão 6: Carolina tem uma coleção de 24 adesivos. A coleção de sua prima é 2/3 da sua. Quantos adesivos têm a prima de Carolina?
Questão 7:
Temos pacotes de farinha de diferentes pesos:
a) A mãe de Marina pediu que ela fosse ao mercado comprar 1 Kg de farinha. Chegando lá, a garota encontrou diferentes pacotes. Quantos e quais pacotes Marina comprou? b) Se a mãe dela quisesse 2 ½ Kg (dois quilos e meio), quantos pacotes Marina levaria? c) Quantos pacotes de ½ kilo são necessários para obter 1 kilo de farinha? d) Proponha duas maneiras diferentes de comprar 2 kilos e meio de farinha?
1/2 kg 1/4 kg 1 kg 1 1/2 kg
Fonte: Vasconcelos, 2007.
68
ANEXO 2
ERA UMA VEZ...
Um domingo de manhã. Os quatro primos estavam reunidos na sala da
casa do Vô Noé: Pedro Henrique e sua irmã Ana Carolina, Nicolas e seu
irmãozinho Kaio.
A confusão era geral: Estavam discutindo sobre o jogo de damas. As
equipes, formadas por irmãos, estavam em um impasse difícil de ser
solucionado. Nicolas dizia que o grupo adversário não poderia ‘comer a
pecinha pulando para trás, enquanto que Pedro e Ana defendiam-se,
afirmavam que aquela jogada era possível, e, portanto, poderia ser feita sim. A
confusão era tão grande que até os dois cachorrinhos da Vó Luzia, que
estavam por ali, esconderam-se por detrás do sofá, só espiando pelo cantinho
dos olhos aquela bagunça... Kaio, o mais novinho da turma, não entendia muito
bem do que se tratava, pois ainda não conhecia muito bem as regras daquele
jogo... Mas não ficava de fora do rebuliço. Gritava:
- É verdade!!! O Ni tem razão!!! Não pode!!! Está errado!!! Vocês perderam...
Os primos não deixavam barato. Respondiam:
- Não é verdade... Você nem sabe jogar!!! Fecha o bico!!!
- Olha como você fala com o meu irmão – argumenta Nicolas – Ele sabe jogar
um pouquinho...
- Mas um pouquinho não serve – fala Ana. Tem que saber jogar o jogo
todo! A confusão era tanta, que saiu do controle. Na tentativa de elaborar uma
resposta à altura, Kaio subiu em cima da mesa e, sem querer, tropeçou sobre o
tabuleiro de damas... As pecinhas voaram para todo lado! Os quatro primos
ficaram olhando, boquiabertos, as pecinhas rolarem para debaixo do sofá, atrás
da cortina, da estante de TV... Silêncio...
De repente, Pedro, Ana e Nicolas olham para Kaio e começam a falar,
todos ao mesmo tempo:
- Olha o que você fez!!! - Grita Nicolas.
- Claro! Vocês estavam perdendo... - Fala Pedro, com raiva – Ele fez de
propósito!
69
- Não é verdade... - choraminga Kaio, já com lágrimas nos olhos – Não
foi por querer...
- Foi sim... – Fala Ana – Eu sabia que você iria fazer algo parecido...
Foi o suficiente para Kaio desatar a choradeira... E olha que uma das
coisas que o Kaio sabe mesmo fazer é chorar! Pelo amor de Deus!!! Ele chora
com vontade... Exercita mesmo os pulmões... Dá pra ouvir da outra esquina!
Foi o bastante para chamar a atenção da Vó Luzia que estava na cozinha (a
chamar atenção também de todas as outras pessoas em um raio de 300
metros de distância). Não demorou nada para a Vó aparecer na porta da sala
com as mãos na cintura, logo perguntando:
- Alguém pode me explicar o que está acontecendo aqui?
Foi o que bastou. Todos falaram ao mesmo tempo:
- Foi o Kaio!
- É! Ele não queria perder!
- Ele subiu em cima da mesa!
- BUÁÁÁÁÁÁÁ!!!
A Vó Luzia olhou para aquela turminha, já arrependida da pergunta que
havia feito. Respirou fundo e disse:
- Ta bom, ta bom... Isso não foi nada... É só juntar as pecinhas e começar um
novo jogo. Mas desta vez, sem subir em cima da mesa, ta? Vamos lá: todos
juntando pecinhas! Impressionante como a Vó Luzia consegue acalmar as
crianças só com algumas palavrinhas... A turminha começou a procurar as
peças pela sala. Até o Kaio, ainda secando os olhinhos, ajudou na tarefa.
As pecinhas do jogo de Damas
Estava todo mundo procurando as pecinhas do jogo: Ana olhava atrás
do sofá, Nicolas procurava debaixo do tapete, Pedro procurava atrás da cortina
e Kaio juntava as pecinhas que estava perto da estante.
- Quantas já encontramos? – perguntou Pedro Henrique?
- Hum, deixa ver: 4, 5, 6... Hiiii, só achei 6 pecinhas pretas... metade do total...
-responde Nicolas – e vocês? Quantas pecinhas já encontraram?
- Das doze pecinhas brancas, achamos apenas oito – afirma Aninha.
70
A Vó Luzia, que estava prestando atenção na conversa, colocou o
lanche na mesa e chamou as crianças, que vieram correndo. As pecinhas de
dama, pelo jeito, ficariam para depois.
- Ôba! Bolo de fubá!!! Meu preferido... – Falou Pedro Henrique.
- Eu também adoro bolo de fubá. Vó, eu quero um pedaço!!! – Disse Nicolas, já
puxando a cadeira para sentar-se.
- Eu também quero – disse Kaio – quero um pedaço bem grande!!!
- Assim não vale: todos devem ter um pedaço do mesmo tamanho... –
finalizou Aninha.
Pedro, suspirando fundo, disse:
- Ahhh!!! Eu gosto tanto de bolo de fubá que poderia comer um bolo inteiro...
A Vó Luzia, sempre atenta a tudo, enquanto servia o lanche para as
crianças, argumentou:
- Sabe, crianças... Vocês estão me fazendo lembrar de um conteúdo
importante no estudo de Matemática, chamado FRAÇÕES!
- Frações??? – Perguntou Pedro.
- Pedro, a mãe falou que não se pode falar com a boca cheia. Engole primeiro
e depois fala! – Disse Ana que, apesar de ser mais novinha que o irmão,
parecia ser muito mais organizada.
- Vó... o que é frações? É de comer? – Perguntou Kaio, colocando outro
pedaço de bolo na boca.
- Não, Kaio... São conceitos que a gente utiliza sempre que precisamos dividir
as coisas. Veja este bolo: Ele é muito grande para uma só pessoa, então
dividimos em pedaços para que todos comam. Esta é a idéia principal do
estudo de Frações: a divisão. Aliás, é exatamente isso que essa palavra
significa: Fração significa dividir ou partir alguma coisa.
- Então, Vó, eu estou comendo uma ‘FRAÇÃO’ do bolo? - perguntou Aninha.
- Claro, meu amor. É isso mesmo... Você está comendo uma ‘fração’ do bolo,
ou seja, uma ‘parte’ do bolo! Você já entendeu a idéia principal deste conceito!
– Disse a avó, impressionada com a perspicácia da sua netinha.
Ana Carolina, já percebendo o tom orgulhoso da Vó Luzia, deu um
suspiro profundo e direcionou um risinho debochado para o irmão, dizendo
baixinho:
71
- Eh, eh, eh... eu sou demais!!!
Pedro Henrique fez uma careta para a irmã. Coisa que ele odiava era
ver a Aninha se achando demais... Não suportava!
- Vejam! – disse a Vó, apontando para o bolo – Em quantas partes o bolo foi
dividido?
- Eu respondo, eu respondo – disse Pedro, olhando para a irmãzinha, com cara
de poucos amigos – O bolo foi dividido em... peraí... 14, 15, 16,... , 20 pedaços,
Vó!
- Isso mesmo, Pedro. – disse a Vó.
Aninha, com a mesma carinha de deboche, olhou para Pedro e falou,
baixinho:
- Parabéns, Pedro... não achei que saberia responder essa... difíííícil, hein???
Eh, eh, eh...
O Pedro ficou muito irado... chegou a ficar vermelho... A Vó Luzia, sem
perceber o que se passava, continuou:
- Vejam: se dividimos o bolo em 20 pedaços iguais, e eu comer um pedaço,
isso significa que eu comi a parte correspondente a “um vigésimo” do bolo. É
assim que a gente escreve esse número. Veja:
A Vó Luzia pegou um papel que estava por ali e escreveu: 20
1.
- Nossa, Vó... que número estranho... – disse Aninha.
- Ah! – Disse Nicolas – Eu vi um número desses no livro de receitas da minha
mãe! Quer ver?
O menino saiu correndo e voltou com um livro nas mãos. Abriu e
mostrou para o resto da turminha. Naquele livro de receitas existiam muitos
números como aquele: e muitos outros... As crianças ficaram encantadas...
Nunca haviam visto números como aqueles... E agora já sabiam o que eram:
Frações!
- Olha o que está escrito aqui – disse Aninha 2
1de xícara de farinha de trigo...o
que isso significa, Vó?
A Vó olhou para a menina e explicou:
- Lembre-se que a parte de baixo da fração significa em quantas partes está
72
dividido o nosso objeto de estudo, que chamaremos de unidade ou todo,
enquanto que a parte de cima significa quantos pedaços a gente vai utilizar.
Neste caso, vamos imaginar a xícara dividida em duas partes iguais, e encher
uma delas com farinha. É fácil entender, não acha?
É sim, Vó. É bem fácil!!!
- Olhe, Vó – disse Pedro – veja essa parte da receita: 3
2de copo de leite. Neste
caso, a gente deveria imaginar um copo dividido em três partes iguais e encher
duas dessas partes com leite, né Vó?
- É isso mesmo, menino! Nossa, como você é inteligente!!!
Pedro olhou para a Aninha com cara de ‘pouco caso’, deu uma
piscadinha pra
ela e respondeu:
- É mesmo, Vó... eu sou inteligente...
Nicolas, ainda pensativo e com o olho pregado na forma do bolo,
perguntou:
- E se eu comer dois pedaços do bolo, Vó? Como ficaria a fração?
Pedro Henrique disse, empolgado:
- É bem fácil. Veja: se você já tinha comido uma parte das vinte que tinha na
forma 20
1 e agora comer mais uma das vinte partes, então, no total, você vai
comer duas das vinte partes. É assim que escreve esse número, ó!
- É mesmo, disse Nicolas... está certo! Não é difícil entender as frações!
- Vamos ‘escrever’ a fração do bolo que a gente já comeu? – Pergunta Ana –
Olha: O Ni comeu dois pedaços, o Pedro, o Kaio e eu comemos um pedaço
cada... então, no total, comemos 5 pedaços... Então, nós comemos cinco dos
vinte pedaços que o bolo tinha. Fica assim: 20
5
Agora vamos escrever a fração do bolo que ainda resta na forma – Fala
Pedro, empolgado... – sobraram 15 pedaços, dos vinte que tinha... então ainda
tem na forma 20
15 do bolo.
Todos concordaram com a observação. Kaio, que até aquele momento
estava prestando atenção na conversa, perguntou:
73
- Vó, é só no livro de receitas que a gente acha esse tipo de número?
- Não, meu amor... – disse a Vó, pegando o menino no colo – A gente pode
encontrar as frações em muitas outras situações. Querem ver? Vamos para a
sala, que eu mostro.
A avó conduziu as crianças para sala onde as pecinhas do jogo de
damas ainda estavam sobre a mesinha. Acomodou as crianças perto da mesa
e perguntou:
- Nicolas, quantas pecinhas pretas a gente usa no jogo de damas?
- Doze – respondeu rápido.
- E quantas você encontrou? – perguntou a Vó, novamente.
- Nós encontramos 6 pecinhas: a metade.
A avó pegou o caderno e a caneta que as crianças estavam usando
para fazer anotações, entregou ao menino e pediu:
- Muito bem! Agora represente esse número utilizando para isso a idéia de
números fracionários.
O menino pegou o papel, olhou para a avó e disse:
- Bom, são doze peças, não são? – e escreveu o número doze:
- E nós encontramos 12
6 não é? Então fica assim: Parou, pensou um
pouquinho, e concluiu:
- É isso mesmo: das 12 pecinhas do jogo, eu achei apenas seis. O número 12
eu coloco embaixo, e o número seis eu coloco em cima. Não é?
- Isso mesmo – disse a avó – O número que você colocou embaixo da fração
chama-se denominador e o número que você colocou encima chama-se
numerador. Então, sua fração tem denominador 12 e numerador 6. É a gente
diz que são “seis doze avos”.
- Olha as nossas pecinhas, Vó – disse Ana, mostrando as mãozinhas cheias de
peças – Das doze pecinhas brancas, achamos apenas oito.
- Já sei, Vó – disse Pedro, que estava prestando atenção – No nosso caso, a
fração que representa as pecinhas brancas tem denominador 12, porque são
12 peças no total, e numerador 8, porque a gente só encontrou essas
pecinhas, mesmo... né?
Antes que a avó pudesse responder algo, Nicolas complementa:
74
- É isso mesmo... e a gente escreve a “sua” fração assim: “oito doze avos” 12
8.
- Muito bem, disse a avó... Mas agora vamos procurar essas pecinhas para
continuar o nosso jogo de Damas...
- Aqui tem uma, Vó... disse Kaio, pegando uma pecinha debaixo da almofada.
Fonte: Andrade; Drechemer (2009).
75
ANEXO 3
MARTELADAS MATEMÁTICAS: O SIGNIFICADO “NÚMERO”
Naquele dia, o Vô Noé estava empolgado com uma de suas atividades
favoritas: a marcenaria. Ele adora utilizar o seu tempo livre para fazer
brinquedos para as crianças, molduras, suportes, e toda sorte de objetos. O
projeto do dia seria construir casinhas de passarinho para o jardim, e as
crianças resolveram acompanhar as atividades do avô.
Estavam todos na garagem, onde o Vô Noé guarda as ferramentas que
ele usa para suas atividades: martelo, pregos, réguas, serras, serrote... Dava
pra ouvir o barulho de longe... era ‘roc roc’ daqui, ‘pow pow’ dalí,
‘zuimmmmmm!!!’ acolá... Foi então que o Vô pediu:
- Nicolas, alcance aquele pedaço de cano para o Vô.
O menino correu e pegou o material solicitado. Já estava trazendo,
quando alguma coisa lhe chamou a atenção. Parou, olhou bem para o cano e
disse, surpreso:
- Olha, Vô... neste cano tem aquele número diferente que a Vó Luzia estava
falando...
- Que número? Perguntou o avô, interessado.
- As Frações, Vô... Olha uma delas aqui... – e mostrou com o dedinho a
seguinte especificação escrita no cano: 4
3.
- É mesmo - disse a Ana, soltando um gritinho de surpresa – é uma fração! O
que ela está fazendo neste cano, Vô?
O avô parou o que estava fazendo e olhou bem para as crianças... Elas
nem piscavam de curiosidade. Depois da pequena pausa, ele explicou:
- Esta especificação serve para sabermos a ‘bitola’ do cano.
- Bitola??? – perguntaram, os dois netinhos, ao mesmo tempo.
- Sim, a bitola é a medida do cano. Este tem “três quartos” de polegada.
- E o que isso significa? – perguntou Pedro, intrigado.
O avô pegou uma ‘régua’ que estava na bancada e mostrou, dizendo:
76
- Olha, esta régua é um pouco diferente da que a gente usa normalmente,
porque, ao invés de centímetros, vem expressa em polegadas.
- E o que é uma polegada? – perguntou Aninha.
- Na época do antigo império britânico, as pessoas tinham dificuldade em medir
as coisas, então, quando precisavam medir um comprimento que não era muito
grande utilizavam o dedo ‘polegar’ como parâmetro. – Explicou isso mostrando
o ‘dedão’ da mão - Daí apareceu a unidade ‘polegada’, que equivale a distância
entre a dobra do polegar e a ponta do dedo.
- Essa distância, Vô? – Perguntou Kaio, mostrando a pontinha do dedão da
mão direita.
- Essa mesma! – afirma o avô.
- Mas as pessoas mediam as coisas usando o ‘dedão’ da mão, Vô? –
Perguntou Pedro, ainda duvidando da informação.
- É isso mesmo! Algumas medidas era feita utilizado esta medida. – respondeu
o avô.
- Ah, então vamos ver... esse pedacinho de cano tem 5 ‘polegadas’ de
comprimento – disse Nicolas, medindo o objeto com a pontinha do dedo.
- E a minha bonequinha tem 7 ‘polegadas’... – disse Aninha, utilizando o
mesmo método.
- Olha, o serrote do Vô tem 12 ‘polegadas’ – afirmou Pedro...
- Mas se for o Vô que tiver medindo, vai ter “menos polegadas”, né, Vô? – disse
Aninha olhando para o dedão do seu avô.
- É mesmo... A ‘minha polegada’ é menor que a ‘polegada do Vô’...
- falou Nicolas, comparando o tamanho da pontinha do seu dedo com a do seu
avô. – E olha o ‘tamanhinho’da polegada do Kaio!
- Kaio ficou olhando a pontinha do seu dedo polegar... era pequenininho
mesmo!
- Não, Ni... Não é ‘a sua polegada’ que é menor... É o seu dedinho. Depois de
algum tempo as pessoas perceberam que o ‘tamanho’ da ponta do dedo
variava, o que gerou muitos problemas, principalmente no comércio. Para
evitar este tipo de confusão, hoje utilizamos o Sistema Internacional de
Unidades, que utiliza o metro, o centímetro e o milímetro para medir o
comprimento. Foi convencionado que uma polegada valeria 2,5 cm,
77
aproximadamente. Ainda hoje encontramos medidas em polegadas, por
exemplo: a bitola de canos, mangueiras e pregos; os monitores de TV e de
computador, entre outras coisas.
- Tá, Vô... Mas o que isso tem a ver com a nossa fração? – perguntou Ana.
- Pois é. O cano que o Nicolas encontrou tem a inscrição: 4
3
Para explicar esta medida, vamos pegar a régua graduada em
polegadas e vamos medir o seu diâmetro, assim... - colocou o cano sobre a
régua.
- Se prestarmos atenção, fica fácil entender a inscrição 4
3 Disse o avô. Dêem
uma olhada:
- É mesmo - disse Nicolas – Se dividirmos a ‘polegada’ em 4 pedacinhos
iguais, a gente vê que o cano ocupa o lugar de 3 desses pedacinhos. Agora
entendi porque está escrito 4
3 no cano.
Aninha, que estava prestando atenção em tudo, disse:
- Ah! Eu vi outro pedaço de cano, só que mais fininho... Peraí... Vou ver se
encontro – saiu correndo e já voltou com sua descoberta na mão – Olha: está
escrito aqui 2
1, Vamos medir?
Ana posicionou o cano sobre a régua, observando a medida alcançada.
- É mesmo, Ni... Com esse cano também dá certo... – disse, olhando para o
primo, com um sorrisinho nos lábios - aqui está marcando 2
1 e com a régua,
podemos ver que, ao dividirmos a ‘polegada’ em 2 partes iguais, o cano ocupa
o lugar de uma dessas partes.
As crianças pareciam satisfeitas com as novas descobertas...
Aprenderam como os antigos europeus mediam as coisas e descobriram que
as frações estão mais presentes em nossas vidas do que pensavam.
Neste momento, Paulo Henrique, o primo mais velho daquela turminha,
chegou na casa do Vô Noé. Depois das saudações, as crianças mostraram os
pedacinhos de cano e a régua do Vô, contando toda a história de ‘polegadas’ e
‘frações’ que haviam acabado de aprender. O primo, que já havia estudado
78
esses conceitos na escola, riu da empolgação das crianças. Olhou para o
número 2
1 escrito no cano e disse:
- Ah, um ‘dividido’ por dois... Nicolas, que havia conduzido a conversa até
então, disse:
- Não, Paulo Henrique... Não é “um dividido por dois” que se fala... a gente lê
esse número como “um sobre dois”, ou “meio”.
- Na verdade, Ni, podemos ler essa fração como “um sobre dois”, “meio”, ou
ainda, “um dividido por dois”. Todas estas formas estão certas. Aninha olhou
para o primo mais velho e perguntou intrigada:
- Mas se isso é verdade, como pode o número 1, que é pequeno, dividir 2, que
é maior?
- Ora, Ana... Se você e o Nicolas vão lanchar e só tem um refri na geladeira, o
que vocês fazem?
- A gente divide, ué? – Respondeu rapidinho...
- É exatamente isso, Aninha... A idéia de frações está muito ligada à idéia de
divisão. A fração 2
1 também significa “um dividido por dois” – e pegou a
calculadora que estava na bolsa, fez a continha 1 ÷ 2 e mostrou o resultado
para os pequenos: R = 0,5
- A fração pode assumir o significado de número, se a gente dividir o
numerador pelo denominador. E a gente faz isso sempre que quiser saber o
‘valor numérico’ da nossa fração. Agora nós sabemos que a fração 2
1 tem
valor numérico 0,5.
- Paulo Henrique, qual é o “valor numérico” desta outra fração? – Perguntou
Pedro, com o cano de 4
3.
- Vamos calcular? – perguntou Paulo Henrique entregando a calculadora para
o menino – É só digitar 3 ÷ 4. Ou então, pode fazer a continha no caderno,
como a professora ensinou.
- Ah, hoje estou com preguiça... Vou fazer usando a calculadora, mesmo. -
Pedro fez a continha e obteve a resposta 0,75 – O “valor numérico” desta
fração é 0,75. Fácil!
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E as crianças verificaram que, além de mais presentes do que
imaginavam, as frações também poderiam aparecer nas mais variadas
formas... Nesta hora a Vó Luzia chamou todo mundo para tomar café da tarde:
leite com chocolate e bolinhos de chuva. As crianças abandonaram por alguns
instantes a bancada da garagem do Vô Noé e correram para a mesa da
cozinha...
Fonte: Andrade; Drechemer (2009).
80
ANEXO 4
OS QUINTOS DOS INFERNOS: SIGNIFICADO “OPERADOR MULTIPLICATIVO”
Os quatro primos estavam sentados na sala, assistindo TV. Era bem na
hora da novela das sete.
De repente, a vilã da novela, Márcia Gertrudes, mãe de Jéferson Flávio,
que era contra o casamento do filho com a mocinha Angélica Aparecida, só
porque ela era vesga de um olho e manca da perna esquerda, olhou bem na
cara da moça e falou:
- Quer saber? Vá para os quintos dos infernos!!!!
Aquela expressão retumbou pela sala! Os primos se entreolharam, cada
um com uma cara mais impressionada que o outro.
- O que ela falou? – perguntou Aninha, depois de recuperar o fôlego.
- Disse para Angélica Aparecida ir para os “Quintos dos Infernos”... –respondeu
Nicolas, com os dois olhos arregalados, quase do tamanho da testa!
- Ir para onde? – perguntou Kaio, quase sem mexer a boca.
- Para os “Quintos dos Infernos”... – Respondeu Pedro Henrique.
Silêncio na sala!!!
Todos ainda estavam sob o efeito das palavras da vilã Márcia Gertrudes,
até que Aninha, olhando para o irmão Pedro, quebrou o silêncio novamente:
- Mas onde ficam os “Quintos dos Infernos”?
Pedro olhou para a irmã com cara de quem sabe de tudo... Ele não
sabia onde
ficava os “Quintos dos Infernos”, mas se sentiu na obrigação de responder a
pergunta. Pensou um pouquinho e deduziu:
- Ah, Ana... os “Quintos dos Infernos” é a mesma coisa que as “quinas do
Inferno”... sabe, é o cantinho da parede do inferno. Márcia Gertrudes falou para
Angélica Aparecida ir para o cantinho do inferno, e...
Já ia continuar com aquela lorota toda, quando ouviram a Vó Luzia, que
até aquela hora estava quietinha, vendo a confusão, dar uma risadinha
incontida. Só naquele momento as crianças perceberam que a avó também
estava na sala, em sua poltrona, assistindo a novela. A avó ainda estava se
81
recuperando do último apontamento feito por Pedro, quando as crianças, quase
que ao mesmo tempo, perguntaram:
- Vó, onde fica é esse tal de “Quintos dos Infernos”???
A avó verificou o interesse das crianças pelo assunto. Assim, levantou-
se da poltrona e foi em direção da estante, dizendo:
- Para explicar esta história, eu vou precisar de um recurso...
Procurou, procurou, até que achou um grande livro que estava na
estante. O livro, de capa dura e com muitas folhas, chamava-se ‘A História do
Brasil’. Voltou a sua poltrona enquanto os netos se acomodaram ao redor dela.
- O que é isso, Vó? – Perguntou Nicolas.
- É um livro que conta um pouco da História do Brasil – respondeu a avó. Kaio,
o menorzinho de todos, perguntou:
- E os “Quintos dos Infernos” fica aqui, no Brasil?
- Não, meu amor – disse a avó, passando a mão na cabecinha do neto – mas
vou explicar essa história direitinho para vocês.
Colocou o livro sobre o colo e começou a folhá-lo. De repente, parou em
uma página. Nela estava estampada uma foto de uma igreja, com o altar todo
dourado.
As crianças olharam admiradas... as paredes, o teto, o altar, tudo era
dourado... Aninha suspirou fundo, e disse:
- Aaaaiiiii... que lugar lindo!!! Onde fica?
- Esta é a Igreja e Convento de São Francisco. Fica na cidade de Salvador,
capital da Bahia.
- Nossa, Vó... que igreja linda! – Exclamou Nicolas – toda pintada de dourado...
- Ela não é “pintada de dourado”, Ni... ela é recoberta de ouro!!!
- Nossa!!!! De ouro!!!! – falaram todos ao mesmo tempo...
As crianças perderam a fala só de imaginar uma igreja inteirinha
revestida de ouro... Parecia até coisa do filme do Indiana Jones!
- Essa igreja, crianças, é uma das mais ricas do Brasil. O seu interior é todo
feito de jacarandá - uma madeira nobre, muito rara e valiosa - e ouro. Alguns
afirmam que foi utilizada uma tonelada de ouro em pó em seu interior. Outros
dizem que não foi tanto, algo em torno de 800 quilos. Já ouvi dizer que, no
mundo todo, só a Capela Sistina, no Vaticano, é mais rica...
82
- Ai, Vó... Quero casar em um lugar assim: com um vestido de princesa e em
uma igreja feita de ouro... - Disse Aninha, suspirando.
Pedro, vendo a cara da irmã, disse para Nicolas, baixinho e torcendo o
nariz:
- Essas meninas... Só pensam em casamento...
- É mesmo, ih, ih, ih... – responde Ni.
- Vó – pergunta Kaio – por que colocaram tanto ouro dentro de uma só igreja?
- Ah, Kaio... esta é uma boa pergunta, com uma resposta muito curiosa: Muitas
pessoas ricas e influentes do Brasil Colônia, preocupadas com sua ‘entrada no
céu’, se propunham a custear na construção da igreja e, em troca, ganhavam o
direito de serem enterradas em ‘território santo’, ou seja, dentro das igrejas.
Elas imaginavam que, desta forma, iriam diretamente para o céu.
Estavam tão preocupados com este objetivo que faziam doações de grandes
somas de dinheiro, escravos, ouro, prata... tudo para entrar no céu.
- Que burros! – indignou-se Nicolas – Então só os ricos iam para o céu? Que
preconceito!
- Isto é o que as pessoas imaginavam na época. Assim, as igrejas deste
período da história do Brasil são famosas pela sua riqueza, beleza, e também
por fazerem o papel de grandes túmulos. Muitas guardam até hoje os restos
mortais dos milionários que viveram em nosso país.
- Nossa! Pelo tanto de ouro desta igreja – argumentou Pedro – deveria ter
muuuuita gente querendo ir para o céu...
- É que nesta igreja, Pedro, houve outro fator que influenciou na sua
construção: Portugal não se opunha na construção de igrejas aqui no Brasil.
Dizem, então, que todo este ouro foi empregando nesta igreja para não ser
enviado para Portugal. – depois de uma pequena pausa, continuou: - Nesta
época o Brasil era um grande produtor de ouro, e a descoberta desse metal tão
cobiçado atraiu a atenção do rei de Portugal, que começou a cobrar o “quinto”.
- O quinto??? – perguntaram todos, na mesma hora.
- Sim. O quinto era o imposto cobrado pela Coroa portuguesa sobre o ouro e
diamantes. Tinha esse nome porque correspondia a 5
1 de toda riqueza
produzida nas colônias.
- Um quinto, Vó? – Perguntou Nicolas – Então estamos falando de uma fração!
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- Isto mesmo, Ni. Uma fração de todo o ouro que era encontrado no Brasil ia
para o rei de Portugal na forma de impostos. O “quinto” significa que, de cada 5
quilos de ouro, um ia para a Coroa portuguesa.
- Se a produção fosse de 10 quilos de ouro, deveria pagar 2 quilos de imposto,
né, Vó? – disse Pedro.
- Isso mesmo!
- Mas e se eles produzissem 8 quilos? – Perguntou Nicolas - Como vou saber
quanto teriam que pagar?
- A avó olhou para o menino com os óculos na ponta do nariz. Percebeu a
importância da pergunta e viu que deveria aprofundar um pouco mais a
palestra.
Levantou-se e pegou o caderno e lápis que estavam sobre a estante.
Olhando
novamente para o menino, disse:
- Vamos ver... eles tinham que pagar 5
1 de todo o ouro na forma de imposto,
né? Se a produção fosse de 10 quilos de ouro... – e escreveu sobre o papel:
5
1x10 =
5
10
- deveriam pagar 5
10 de impostos. Mas vocês já sabem que
5
10 também
significa 10 ÷ 5 não é? Então deveriam pagar 2 quilos de ouro de imposto,
porque 10 ÷ 5 = 2 .Todos concordam?
- É... parece que está certo... – disse Nicolas desconfiado – mas e se fosse 8
quilos?
- Então... se fosse 8 quilos, teríam: 5
1x 8 =
5
8
- E, como vocês sabem, 5
8 também pode ser escrito como 8 ÷ 5, que resulta
em 1,6 quilos de ouro, ou seja, se a produção fosse de oito quilos de ouro,
deveriam pagar um quilo e seiscentos gramas de impostos. Era assim
procediam para saber o imposto de qualquer quantidade de ouro que
produziam... multiplicavam a produção por 5
1.
84
- Nossa – disse Aninha – Eu acho que eles não gostavam desse tal “quinto”.
- É, Aninha... Não gostavam mesmo... Para falar a verdade, eles odiavam ter
que pagar o imposto ao rei de Portugal. Por isso eles diziam que era “o quinto
dos infernos”.
- Mas Vó – perguntou Pedro – O que isso tem a ver com a novela? Porque o
que tem a ver a Márcia Gertrudes com o Rei de Portugal?
- Boa pergunta, Pedro. É que as autoridades enviavam os impostos para
Portugal em um grande navio, chamado Nau dos Quintos. Naquela época, a
viagem de navio do Brasil até Portugal poderia levar muitas semanas. As
vezes, devido as turbulências, o navio nem chegava ao seu destino. Por isso,
ele era visto como de navio que iria para muuuuuito longe, quase para o fim do
mundo. Então, quando eles não gostavam de alguém e queriam vê-lo longe,
mandavam que ele fosse com o navio dos Quintos. E logo essa expressão
evoluiu para: “Vá para os quintos dos infernos”.
- Já sei, Vó – disse Nicolas – Era como se hoje a gente dissesse: “Vá ver se eu
estou lá na esquina!”
- Eh, eh, eh... é isso mesmo, Ni! – disse a avó, rindo da associação feita pelo
neto.
Kaio que estava atento a tudo, perguntou:
- Vó, o Brasil ainda paga para Portugal o imposto dos Quintos dos Infernos?
A avó, que estava bem-humorada até aquele momento, olhou para o neto com
um pouco mais de apreensão. Pensou um pouco e, depois de um profundo
suspiro, respondeu:
- Sabe, Kaio... Naquela época as pessoas achavam que estavam sendo
exploradas por Portugal. Esta história dos impostos sobre a produção do ouro
motivou as pessoas a pensarem na independência do Brasil. A Inconfidência
Mineira, uma tentativa de revolta contra a coroa portuguesa, teve aí um de
seus motivos. Depois que o Brasil se tornou independente, nenhum imposto
mais foi pago a Portugal. Entretanto, meu anjo, agora a nossa situação me
parece pior que no passado. Se calcularmos todos os impostos que pagamos
ao nosso governo, chegamos a marca de 40%, ou seja, dois quintos de tudo o
que produzimos.
As crianças ficaram perplexas.
85
- Mas, Vó... peraí... – disse Pedro, pensativo – Isso significa que pagamos para
o nosso governo o dobro de impostos que era pago para o governo de
Portugal. Isso significa que o nosso governo explora nosso povo duas vezes
mais que o governo de Portugal. Como pode isso?
A avó ficou sem saber o que responder, e a conversa acabou por aí.
Fonte: Andrade; Drechemer (2009).
86
ANEXO 5
A DIVISÃO E O SIGNIFICADO “QUOCIENTE”
As crianças estavam brincando no quintal quando viram o Vô Noé
chegar do supermercado. Ele vinha cheio de sacolas, e as crianças correram
para ajudá-lo. Isto não era sem intenção: as crianças estavam muito
interessadas nas gostosuras que o Vô trazia naquelas sacolinhas.
Cada Neto pegou uma embalagem da mão do avô, já olhando, através
das sacolas plásticas, o que cada uma delas continha.
– Ovos... disse Nicolas, meio desanimado.
– Pão, falou Aninha, torcendo o nariz.
– Iiiii – resmungou Pedro – Alface...
Kaio olhou para os primos com uma risadinha safada, e disse:
- Balas!
Ele mal terminou de falar e já saiu correndo com a sacola do mercado
nas mãos. Os primos não pensaram duas vezes: colocaram as embalagens
sobre a mesa da cozinha e saíram em disparada atrás do priminho que, a
essas alturas, já tinha se escondido atrás da casa do Vô. Só se ouvia a correria
e as risadinhas das crianças.
As crianças estavam muito satisfeitas... O Vô Noé tinha comprado três
pacotes de balas: chocolate, doce de leite e menta. Kaio, que segurava todos
os pacotes de bala nas mãozinhas, disse:
- Esse é o meu – apontando para o pacote de balas de chocolate. Aninha, com
seu senso de justiça, disse para o priminho:
- Não, Kaio. Você não pode ficar com um pacote inteiro. Temos que dividir
direitinho para nós quatro.
- Mas só tem três pacotes – disse Kaio – como vamos dividir três pacotes entre
nós quatro?
Diante do problema, Aninha olhou para Pedro e Nicolas, e disse:
- É verdade! Como faremos para dividir três coisas entre quatro pessoas?
Nicolas, depois de pensar por um segundo, disse:
- Muito fácil, ué! A gente divide. Vejam! Pegou os pacotes de balas que o Kaio
segurava e levou para a mesa de centro da sala do Vô Noé. Abriu cada um
deles e contou: haviam 20 balas em cada pacote.
87
Pegou papel e lápis que estavam na estante e, olhando para os primos,
disse:
- Se tem 20 balas em cada pacote, então, para que a divisão seja justa,
devemos fazer: =÷ 420 5
- Então sabemos que, de cada pacote, cada um de nós vai receber 5 balas.
- É isso mesmo – continuou Pedro. Mas a gente também pode escrever esta
operação na forma de frações, assim: 4
20= 5
- É mesmo – disse Aninha – o sinal da fração também significa divisão.
Lembra?
- Verdade. A fração das balas que cada um vai receber é 4
20. Aliás, é
exatamente isso que a palavra fração significa: uma parte.
– Disse Nicolas, com toda propriedade de quem sabe tudo de frações.
E terminou dizendo: Então, a parte das balas que cada um vai receber é 4
20.
E, olhando para todos no grupo, separou as 20 balas do pacote em montinhos,
sendo que cada montinho ficou com 5 balas.
- É – disse Pedro – Mas se a considerarmos que temos três pacotes, então
teremos três vezes esta quantidade. Pedro pegou os outros dois pacotes e
continuou a fazer a partilha dos doces.
Ao final da tarefa, Kaio contou:
- 1, 2, 3, ..., 13, 14, 15! Eu ganhei 15 balas!
- Claro, Kaio – disse Aninha – todos nós ganhamos 15 balas. Agora a divisão
está justa!
As crianças juntaram suas balas da forma que puderam: Aninha pegou
um dos pacotes vazios de balas que estava por aí para guardar suas balinhas.
Nicolas e Pedro enrolaram suas balas na camiseta e Kaio já se preparava para
comê-las ali mesmo. Já estavam salivando quando a Vó Luzia, da porta da
sala, disse:
- Nada de balas agora, crianças! O almoço está servido. Já para a mesa!
As crianças, suspirando, viram que teriam que esperar um pouco mais
para saborear os doces.
Fonte: Andrade; Drechemer (2009).
88
Okuma, Érika Kazue Ensino e aprendizagem de fração: um estudo comparativo e uma intervenção didática / Érika Kazue Okuma. -- Lins, 2010.
87p. il. 31cm.
Monografia apresentada ao Centro Universitário Católico Salesiano Auxilium – UNISALESIANO, Lins-SP, para graduação em Pedagogia, 2010
Orientadores: Marcos José Ardenghi; Fátima Eliana Frigatto Bozzo.
1. Fração. 2. Campo Conceitual. 3. Aprendizagem. I Título.
CDU 37
036 e