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04-11-2000 Copyright 2000, Jorge Lagoa

Engenharia e Gestão da Produção

Teoria de Sistemas de

Controlo LinearResolução do Exame de 2ª Época

Ano lectivo 1999/2000



Teoria de Sistemas de Controlo LinearTeoria de Sistemas de Controlo Linear

IIO esquema do sistema mecânico mola-massa-amortecedor representado na figura seguinte, apresenta

k

m

b

F

x

a seguinte equação diferencial:

onde F é a entrada do sistema e o sistema apresenta as seguintes características físicas:

Fkxdt

dxb

dt

xdm

2

2

kgm 2 1 9 Nmk 1 6 Nsmb




a) Determine a função de transferência do sistema.

Fkxdt

dxb

dt

xdm

2

2

Fkxxbxm Fxxx 962

Aplicando a transformada de Laplace:

sFsxssxsxs 962 2

sFsxss 962 2

jsjssssF

sxsG

5,15,15,15,1

5,0

962

12




b) Sabendo que o sistema é de 2ª ordem, calcule as suas frequências e indique o ganho do sistema.

Obs.: Tenha em atenção a função de transferência de um sistema de 2ª ordem.

95

5,45,45,0

z 5,1707,01121,2ξ1

707,0121,2

5,15,1ξ5,1ξ3ξ2

z 121,25,4

22

2

kk

Hww

www

Hww

nd

nnn

nn

Frequência natural:

Coeficiente de amortecimento:

Frequência natural amortecida:

Ganho:




c) Considerando que o sistema é colocado em movimento por uma força em rampa, determine a resposta temporal resultante.

Como a entrada é uma rampa:

2

1

ssF

962

962

11

962

1

21211

21211

22222

ss

csc

s

b

s

b

sssssssFsGsx

ttF




074,081

6

962

64

962

1

1

1

!12

1

0

220

2

0

2

0

212

12

11

ss

ss

ss

s

ssds

d

ssGds

dssG

ds

db

9

1

962

1

1

1

1

1

!0

1

!22

1

020

2

0

2

0

20

0

0

222

22

12

ss

s

ss

ssssGssG

ssGds

dssG

ds

db




15,475,675,6

5,4

15,15,1

5,4

15,15,1

5,15,1

15,15,1

1

962

121111

121111

1211

21211

5,15,125,15,11211

5,15,12

5,15,11211

jccjc

jcjcc

jcjc

jcjc

scsc

sssGcsc

jsjs

jsjs




11121211

1111

121111

75,65,405,475,6

148,075,6

1175,6

15,475,675,6

cccc

cc

jccjc

222,05,4

148,075,6

5,4

75,6 1112

cc

5,43

5,4025,0

5,43

074,0

9

1074,0

5,43

111,0074,0

9

1074,0962

222,0148,0

9

1074,0

222

22

22

ssss

s

ss

ss

s

ss

ss

s

sssx




Aplicando a transformada de Laplace inversa:

twew

tgtwet

tx

ntwn

ntw

n

n

2ξ

2

212ξ

2

ξ1senξ1

025,0

ξ

ξ1ξ1sen

ξ1

074,0

9074,0




IIIIConsiderando que o sistema cuja função de transferência de malha aberta é dada por:

Considere agora que no sistema foi introduzida uma realimentação unitária negativa e um compensador em avanço, com a seguinte função de transferência:

421)(

ssss

KsG

1

31)(

s

ssGc

r ce+

_cG G




Obtenha a função de transferência em anel fechado através do grafo de fluxo e da fórmula de ganho de Mason.

Obs.: Poderá resolver este problema por outro método que conheça, mas a cotação da pergunta passará a valer metade.

G c

1

G

r c




skssss

sk

ssss

skssss

ssss

sk

PG

ssss

skssss

ssss

skGGL

ssss

skGGL

ssss

skGGP

c

c

c

31421

31

421

31421

421

31

.

1

421

31421

421

31111

421

31

421

31

2

2

2

21

1

2

2

2

2

2




IIIIIIA função de transferência de malha aberta de um sistema é a seguinte:

jsjss

sKsHsG

224

2)(

a) Seguindo os procedimentos, esboce o gráfico do L.G.R.

1 Número de ramos, zeros e pólos

nº de zeros m=1 (s=-2)

nº de pólos n=3 (s=-2+j; s=-2-j; s=-4)

n>m n=3 ramos

3 Número de ramos para infinito

nº de ramos para infinito n-m=3-1=2




4 Assimptotas dos ramos para infinito

k>0 k<0

l=0

l=1

5 Origem das assimptotas

902

180

2702

1803

1802

360

0

3

2

6

2

2422




6 Pontos de convergência/divergência

Não há pontos de convergência ou divergência para . Existe, no entanto um ponto para em -1,245.

2

544

2

224 2

s

sss

s

jsjss

sHsG

Ksw

0

ds

sdw

0245,1745,0877,2745,0877,2

02232142

02

2232142

02

544

23

2

23

2

sjsjs

sss

s

sss

s

sss

ds

d

0k0k




k>0 k<0

l=0

l=1

7 Ângulos de partida dos ramos de cada um dos pólos complexos

6,262

1tan 1

4,153906,26901801

6,2062704,3332703601802

4,333360

6,26906,26901

6,262704,3332703602




0k 0k




b) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel fechado é estável.

0220218

0220218

0220218

020218

21

0224

21

01

23

23

23

23

kskss

kkssss

sksss

sss

sk

jsjss

sk

sHsGA equação característica, para o anel fechado, é:




4

3

2

37

4

4

2

54242

521

8

2

8

2021

8

220218

kkk

kk

kk

kka

0

220

21

8

1

0

1

2

3

k

k

b

a

s

s

s

s

k

a

kab 220

08220




102

20

202

0220

k

k

k

k 0b

10k

0a

667,236

14832

4372

37

4

3

04

3

2

37

k

k

k

k

k




IVIVDada a função de transferência em anel aberto:

64

2)(

2

sss

sKsHsG




2

232

2

245,1745,0877,2745,0877,2

2

2232142

2

544

s

sjsjs

s

sss

ds

d

s

sss

ds

d

25,25,125,15,15,15,12962 22 sjsjsss

Algumas indicações úteis:

222962

64

962

1

ss

s

ssds

d

jj 5,45,15,1 2

20218544224 232 ssssssjsjss




a) Determine o ganho de Bode.

kkkk

p

zKK

i

iB 083,0

1224

2

641

2




b) Coloque a função de transferência na forma de Bode.

614112

21

6141

2112

2

2

jwjwjw

jwk

jwjwjw

jwk

jwHjwG




c) Considerando K=10, construa o esboço do diagrama de Bode.

0

587,1833,0log20 10

G

6141

21833,0

2 jwjwjw

jw

jwHjwG




Ganho:




Zero em 2:




Pólo duplo na origem:




Pólo em 4:




Pólo em 6:




Adicionando todos os sinais:




d) Determine as margens de ganho e de fase, para K=10. Justifique.

Do diagrama da alínea c), tira-se:

frequência de cruzamento de ganho é cerca de:

0,3 rad/sec. margem de fase é aproximadamente:

-180-(-175) = -5 a frequência de cruzamento de fase é cerca de:

2 rad/sec. margem de ganho é aproximadamente:

30 db.

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