energia
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ENERGIA. Energia Trabalho de uma força constante Energia cinética Trabalho e energia cinética Trabalho de uma força constante (graficamente) Trabalho de uma força variável Teorema do trabalho e da energia cinética E nergia potencial Conservação da energia mecânica - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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ENERGIA
Energia Trabalho de uma força constante Energia cinética Trabalho e energia cinética Trabalho de uma força constante (graficamente) Trabalho de uma força variável Teorema do trabalho e da energia cinética Energia potencial Conservação da energia mecânica Energia potencial elástica Forças conservativas e forças não-
conservativas Potência
ENERGIA
As leis de Newton permitem analisar vários tipos de movimentos. Esta análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis.
0iv
?fv
Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton.
2
ENERGIA
Até agora abordamos o movimento dum corpo utilizando grandezas como posição, velocidade, aceleração e força
Resolvemos anteriormente vários problemas de mecânica utilizando esses conceitos
Investigaremos agora uma nova técnica para a análise dos problemas
inclui definições de algumas grandezas conhecidas mas que na física essas grandezas tem significados mais específicos do que na vida diária
Energia é um conceito que ultrapassa a mecânica de Newton é relevante também na mecânica quântica, relatividade , eletromagnetismo, etc.
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ENERGIA
Importância do conceito de energia
• Processos geológicos• Balanço energético no planeta Terra• Reações químicas• Funções biológicas (máquinas nanoscópicas)
energia armazenada e energia libertada
• Balanço energético no corpo humano
Um conceito importante no estudo de energia é o conceito de sistema
é um modelo de simplificação, em que focalizamos a nossa atenção numa pequena região do Universo e desprezamos os detalhes sobre o restante do universo fora do sistema
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TRABALHO
Quando empurramos uma caixa ela se desloca nós realizamos um trabalho sobre a caixa a força que exercemos sobre a caixa fez com que ela se movesse
F
x
dm
O TRABALHO realizado por um agente ao exercer uma força constante sobre um sistema é
cosFddFW
O trabalho é uma grandeza escalar
A unidade de trabalho no SI é o joule (J)
Trabalho realizado por uma força constante
d
F
5
FdW
dFW )cos(
6
Exemplo 1: Calcular o trabalho de uma força constante de 12 N, cujo ponto de aplicação se translada 7 m, se o ângulo entre as direções da força e do deslocamento forem 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
J 84cos0 m 7N 12 o W
J 24cos60 m 7N 12 o W
J 0cos90 m 7N 12 o W
J 242cos135 m 7N 12 o W
J 84cos180 m 7N 12 o W
cosFddFW
ENERGIA CINÉTICA
A energia cinética de uma partícula de massa m em movimento com uma velocidade escalar v é
2
2
1vmK
A energia cinética é uma grandeza escalar
A unidade da energia cinética no SI é o joule (J)
v
A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um corpo
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Da segunda lei de Newton
m
Fa x
x xx maF
22
0
2 davv x
2
1
2
1 2
0
2 dFmvvm x )(2
1 2
0
2 dFvvm x
O lado esquerdo da expressão representa a variação da energia cinética do corpo e o lado direito é o trabalho realizado pela força sobre o corpo
F
x
v
0v
dm
TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
22
0
2 dm
Fvv x
“Realizar trabalho”, portanto, é transferir energia 8
Exemplo 2: Trabalho de uma força constante: a força gravitacional na superfície da Terra
mgdmgdmgdW 0180coscos
d
0v
v
gF
gF
o sinal negativo indica que a força gravitacional retira a energia mgd da energia cinética do objeto durante a subida.
Se o corpo se eleva duma altura d :
cosdFdFW gg
9
10
Exemplo 3: Agora vamos deteminar qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo de 10.2 kg que de cai 1.0 m de altura?
J100)m0.1()m/s 8.9(kg) 2.10( 2 W
Qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso?
2
1 0
2
1
2
1
2
1 2222 WvmvmmvvmK ffif
)0( iv
m/s 4.4kg 10.2
J 10022
m
Wv f
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Exemplo 4: Trabalho de forças constantes considerando o atrito
Trabalho realizado pelos carregadores:
Modelo para resolver o problema:
Trabalho realizado pela força de atrito:
FdWc
mgddfW caa
d
Se o carrinho se desloca com velocidade constante: 0K
( isto é consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo: 0 ac WW
e força resultante é nula, pois não há aceleração:
af
gm
1FN
)
01 afFF
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TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE
xFW
x
xF
x0
F
0xxx
onde
O trabalho é a área sob a curva da força F
W
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TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL (1-D)
( )i ii
W F x x
O trabalho é a área sob a curva da força F(x)
2
1
)( ex
x
dxxFW
No limite de :0x
)(xFF
Dividimos o intervalo (x2-x1) em um número muito grande de pequenos intervalos . Então:ix
Considere
a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m.
2
1
)( x
x
ii
i dxxFxxF
N e
Seja a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m)(xFF
TEOREMA DO TRABALHO E DA ENERGIA CINÉTICA
A definição mais geral de trabalho corresponde ao trabalho realizado por uma força variável
2
1
)(x
x
dxxFW
Integrando entre o estado inicial e o estado final
)(2
1
2)(
22
2
if
v
v
x
xi
x
xi
x
xi
x
xi
x
xi
vvm
vmvdvmdx
dt
dvmadxmmadxdxxFW
f
i
fffff
KW esse resultado é conhecido como teorema do trabalho e da energia cinética
Quando é feito um trabalho sobre um sistema e a única mudança no sistema é em sua velocidade escalar, o trabalho feito pela força resultante é igual à variação da energia cinética do sistema
14
15
ENERGIA POTENCIAL
Muitas vezes o trabalho executado por uma força aplicada a um corpo não leva a um aumento da energia cinética do corpo
Porque existem outras forças que podem executar um trabalho negativo de mesmo valor
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Por exemplo Supomos um corpo que é puxado lentamente para cima, por uma força sobre um plano inclinado, com velocidade constante. Não considere o atrito.
apF
1717
apF
N
gm
constantev
x
y
Análise das forças na direção do eixo x
apF
vx
y
sinmg
0xF
0sinap mgF
sinap mgF
Forças que atuam sobre o bloco:
gm
O peso:
A normal: N
A força aplicada: apF
1818
O trabalho realizado pela força aplicada, quando desloca o corpo ao longo da distância s é:
sh
Não há aumento de energia cinética porque a velocidade é constante e
mghW peso
Se soltarmos o bloco, transformamos o trabalho da força aplicada em energia cinética. E nesse caso o trabalho do peso é positivo e igual a mgh
apF
vx
y
sinmg
sinap mgF
sFW apsmgW )sin(
)sin)(( smgW
mghW
0coscos apapap sFsFsFW
Podemos utilizar a atração gravitacional da Terra sobre o bloco para armazenar o trabalho realizado, que posteriormente pode ser utilizado para imprimir ao bloco energia cinética
Dizemos então que o bloco que se encontra numa altura h tem um energia potencial mgh em relação à posição inicial
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Duas esferas exercem forças gravitacionais de atração entre si :
Na verdade o conceito mais geral de energia potencial se aplica a um sistema de partículas que interagem entre si:
F
F
apF
apF
F
F
Se aplicarmos uma força externa sobre cada uma delas tal que FF
ap
separamos as duas esferas com aceleração nula, e executamos um trabalho sobre o sistema
Recuperamos esse trabalho se largarmos as duas esferas elas serão aceleradas uma para a outra e as suas respetivas energias cinéticas aumentam
O trabalho executado aumenta a energia cinética e diminui a energia potencial.
F
F
20
Se uma das esferas for muito maior do que a outra, como é o caso da Terra e uma laranja, por exemplo, desprezamos o movimento da Terra.
Podemos separar esse par de corpos levantando a laranja e libertamos o par deixando cair a laranja
Superfície da Terra
A energia potencial U é uma forma de energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo) de um sistema de dois ou mais corpos, que exercem forças uns sobre os outros
Se a configuração mudar, a energia potencial também pode mudar
Vemos que a descrição em que associamos a energia potencial a uma só partícula é uma simplificação
1F
1F
2F
2F
3F
3F
21
FUNÇÃO ENERGIA POTENCIAL, U (DEFINIÇÃO PARA1D)
VARIAÇÃO DE ENERGIA POTENCIAL:
0
0 0 ( )x
x
U x x U x U x W F x dx Normalmente consideramos x0 como uma configuração de referência fixa
É importante observar que é preciso que a força seja uma função apenas da posição (configuração).
Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial são relevantes. Então, pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração de referência:
0 0U x
dUF
dx
x
x
dxxFxUxU0
)()()( 0
Não se pode definir U(x) em outros casos por exemplo a força de atrito de um corpo e um fluido (que depende da velocidade como veremos em fluidos)
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ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
0
( ) 0 ( )y
U y mg dy mgy
Nas proximidades da Terra a força gravitacional pode ser aproximada por gmFg
Tomando como referência para U,
o ponto U(0)=0
mgyyU )(
y
00 y
solo
mgyyU
y
y
dyyFyUyU0
)()()( 0
ye
:)(yUCalculamos
00 y
que é a energia potencial gravitacional do livro em y
Supomos que m é a massa de um livro
gF
mgyymgdFW g yy ee
O trabalho apresenta uma transferência de energia para o sistema e que agora aparece na forma de energia potencial gravitacional
A unidade da energia potencial gravitacional no SI é o joule (J)
O trabalho da força da gravidade será
Do teorema do trabalho e da energia cinética para uma força que só depende da posição:
W K
2 21 1
2 2i f f iU x U x mv mv 2 21 1
2 2i i f fmv U x mv U x
)( WxUxU ifComo
a energia mecânica total não varia !
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
WxUxU fi )(
2
1
2
1 22 Wmvvm if e podemos igualar as duas expressões
gUKE mecânica
essa equação é uma formulação da CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
constante (x) 2
1 2mecânica UvmE
24
gUKE mecânica
Exemplo 6 : Conservação da energia mecânica gUKE mec
25
26
Exemplo 7 : Conservação da energia mecânica para um carro que desce um plano inclinado
27
Exemplo 8 : Um carrinho está em movimento sobre uma montanha russa, como indica a figura abaixo. Qual a velocidade do carrinho no ponto C? Não há atrito.
CA mghmvmghvm 2
1
2
1 2
C2
A
gUKE mecânica
Cmecânica
Amecânica EE
CBAAgg UKUK
CA mghmghvm
mv 2
A2C 2
12
CA ghghvv 22 2A
2C
)(2 2AC CA hhgvv )85(8.9210 2
Cv
10 m/s
m/s 4.6)8.58100 C v
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Exemplo 9: Conservação da energia mecânica para um pêndulo simples.
Substituindo a força elástica na integral
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
kxxF )(
A configuração de referência é x0= 0 e 0)0( U
x
dxkxxU0
)(0)(
é a energia potencial elástica
2
0 2
1)( kxxdxkxU
x
2
2
1)( kxxU
29
0
0 0 ( )x
x
U x x U x U x W F x dx
30
2max max
1 e 0
2v v x E mv
210 e
2v x A E kA
2max max
1 e 0
2v v x E mv
210 e
2v x A E kA
210 e
2v x A E kA
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
A energia mecânica para o sistema bloco-mola
constante 2
1
2
1 22mec xkvmE
FORÇA CONSERVATIVA
Forças conservativas forças para as quais a energia mecânica é conservada
O trabalho feito por uma força conservativa não depende da trajetória, depende apenas das configurações inicial e final
Exemplos de forças conservativas
• Força gravitacional
• Força elástica
• Força unidimensional que só dependa da posição: F(x)
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uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza sobre um corpo que descreve um percurso fechado é zero.
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Exemplo 10: Trabalho de forças conservativas.
Trabalho realizado pela força gravitacional ao longo do circuito fechado indicado:
d
L
A
B
C
CBA
0 mgdmgd
0sin mgLmgdWWW CBA
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FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS
O trabalho feito por uma força não-conservativa depende da trajetória
Exemplo de força não-conservativas: Força de atrito.
34
reta
/ 2 semi-círculo
atr atr atr A B
C
c
c
W A B d f L
mgd
mg d
f s
Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o trabalho da força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo
Exemplo 11. A Força de atrito é uma força não conservativa.
C
BALFsdFBAW atritoatritoatrito )(
POTÊNCIA
Se uma força externa é aplicada num corpo, e se o trabalho feito por essa força for W no intervalo de tempo t, então a potência média durante esse intervalo de tempo é definida como
t
WP
A potência instantânea P num instante particular é o valor limite da potência média quando t aproxima-se de zero:
dt
dW
t
WP
t
0lim
dt
rdF
dt
dWP
Unidade de P no SI: J/s = watt (W)
o segundo termo é a velocidade e vFP
35
Em aplicações práticas, principalmente na engenharia de máquinas, é mais importante saber a rapidez com que um trabalho é feito do que a quantidade do trabalho realizado.
A potência pode ser definida também como sendo a força multiplicada pela velocidade. Sabendo que rdFW
36
Unidade de potência HP criada por Watt para fazer o marketing de sua máquina numa sociedade fortemente dependente do (e acostumada ao) trabalho realizado por cavalos. 1a motivação: retirada da água das minas de carvão.
A unidade de potência cavalo-vapor (horsepower)
Uma nova unidade de energia pode agora ser definida em termos da unidade de potência:
Um quilowatt-hora é a energia transferida numa hora à taxa constante de 1 kW:
A unidade no sistema inglês é o cavalo-vapor: 1 HP = 760 W
J 103.6s) W)(360010(kWh 1 63
v = 1,0 m/s
m ~ 76 kg
Exemplo 12: 100 m RASOS X MARATONA: TRABALHO E POTÊNCIA
Trabalho realizado sobre o corredor de 100 m rasos: 2,1 x 104 J
Trabalho realizado sobre maratonista (42 142 m): 5,9 x 106J
P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995)
Potência do corredor de 100 m rasos:
Potência do corredor de maratona: Ws
JPmar 816
60602
109,5 6
Ws
JP 2100
10
101,2 4
100
37