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Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Programa Doutoral em Engenharia Biomédica

2008/2009

Disciplina: Monografia

Emparelhamento e Alinhamento de Estruturas em Visão

Computacional: Aplicações em Imagens Médicas

Francisco Paulo Marques de Oliveira

ii

Orientador: Prof. João Manuel R. S. Tavares

Prof. Auxiliar do Departamento de Engenharia Mecânica

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Gab. M205

Tel. 225081487

Email: [email protected]

URL: http://www.fe.up.pt/~tavares

Co-orientador: Doutor Prof. Durval C. Costa

HPP-Medicina Molecular, SA

Email: [email protected]

mailto:[email protected]�

http://www.fe.up.pt/~tavares�

http://br.mc345.mail.yahoo.com/mc/[email protected]�

iii

Resumo

O tema central desta Monografia relaciona-se com o emparelhamento e alinhamento de

estruturas em imagens (2D/3D); nomeadamente, em imagens médicas, uma das áreas da

Visão Computacional com maior potencial e relevo. O principal objectivo que se pretendeu

alcançar com a sua realização foi o estudo e análise de técnicas de alinhamento de imagem

que poderão vir a ser usadas no âmbito do projecto de Doutoramento em Engenharia

Biomédica em perspectiva. Deste modo, este estudo pode ser considerado como uma

primeira introdução ao tema da Tese de Doutoramento definida.

O primeiro capítulo desta Monografia é dedicado à introdução. Atendendo que o trabalho

de Doutoramento previsto incidirá essencialmente sobre o alinhamento de imagens

médicas, os principais equipamentos de aquisição e os seus princípios básicos de

funcionamento são abordados no segundo capítulo; nomeadamente, o raio X, a tomografia

computorizada, a ressonância magnética, a imagiologia nuclear a ultra-sonografia.

No terceiro capítulo é realizado um estudo sobre algumas das metodologias

frequentemente usadas no alinhamento de imagens, dando-se especial relevo às mais

usadas no alinhamento de imagens médicas. O estudo exposto aborda as principais

fases/processos de alinhamento: em particular, transformações geométricas,

emparelhamento, técnicas de optimização e medidas de similaridade. As metodologias

apresentadas foram classificadas em dois grandes grupos: baseadas na geometria, isto é,

com base no emparelhamento de estruturas ou marcadores obtidos das imagens; e baseadas

na intensidade da imagem, ou seja, uma abordagem mais ligada ao sinal que representa a

distribuição da intensidade dos píxeis na imagem.

Finalmente, esta Monografia encerra com um capítulo dedicado às conclusões e proposta

de trabalho futuro no âmbito da Tese de Doutoramento prevista.

iv

Índice

1 Introdução e estrutura da Monografia .......................................................................... 1

1.1 Apresentação .......................................................................................................... 1

1.2 Estrutura da Monografia ......................................................................................... 2

2 Tecnologias/equipamentos de aquisição de imagens médicas ..................................... 4

2.1 Introdução ............................................................................................................... 4

2.2 Raio X ..................................................................................................................... 5

2.2.1 Radiografia convencional ................................................................................ 5

2.2.2 Angiografia ...................................................................................................... 6

2.2.3 Tomografia computorizada.............................................................................. 7

2.3 Ressonância magnética nuclear .............................................................................. 9

2.4 Imagiologia nuclear .............................................................................................. 13

2.5 Ultra-sonografia .................................................................................................... 15

2.6 Outros equipamentos ............................................................................................ 16

3 Alinhamento de imagens médicas .............................................................................. 18

3.1 Introdução ............................................................................................................. 18

3.2 Classificação dos algoritmos ................................................................................ 20

3.2 Metodologias baseadas na geometria ................................................................... 23

3.2.1 Alinhamento baseado na correspondência entre pontos ................................ 23

3.2.1.1 Emparelhamento ..................................................................................... 23

3.2.1.2 Determinação da transformação geométrica .......................................... 25

3.2.1.2.1 Transformação de similaridade baseada na correspondência entre

ÍNDICE _____________________________________________________________________________________

v

dois segmentos de recta .................................................................................. 26

3.2.1.2.2 Transformação rígida ou afim usando decomposição em valores

singulares e mínimos quadrados ..................................................................... 27

3.2.1.2.4 Transformação de similaridade no plano complexo ........................ 28

3.2.1.2.5 Método de eliminação de outliers: algoritmo RANSAC ................. 29

3.2.1.3 Transformação usando coordenadas homogéneas .................................. 30

3.2.2 Eixos principais ............................................................................................. 32

3.2.3 Aproximação pontual iterativa ...................................................................... 33

3.3 Metodologias baseadas em intensidade ................................................................ 35

3.3.1 Domínio espacial ........................................................................................... 35

3.3.1.1 Estratégias dos algoritmos de optimização ............................................. 35

3.3.1.2 Medidas de similaridade ......................................................................... 41

3.3.1.2.1 Soma dos quadrados das diferenças ................................................ 42

3.3.1.2.2 Correlação cruzada .......................................................................... 43

3.3.1.2.3 Entropia conjunta ............................................................................. 43

3.3.1.2.4 Informação mútua ............................................................................ 45

3.3.2 Domínio das frequências ............................................................................... 47

3.4 Conclusões ............................................................................................................ 52

4 Conclusões finais e perspectivas de trabalho futuro ................................................... 53

4.1 Conclusões ............................................................................................................ 53

4.2 Perspectivas de trabalho para a Tese de Doutoramento ....................................... 53

Referências ..................................................................................................................... 56

vi

Índice de figuras

Figura 2.1: Esquema básico de obtenção de imagens de raio X (adaptado de [Jan,

2006]). .............................................................................................................................. 6

Figura 2.2: Esquema simplificado da projecção dos raios X sobre o corpo dos pacientes

nos equipamentos de tomografia computorizada de terceira geração (adaptado de [Jan,

2006]). .............................................................................................................................. 8

Figura 2.3: Esquema de funcionamento de um scanner de CT helicoidal (obtida de [Jan,

2006]). .............................................................................................................................. 9

Figura 2.4: À esquerda, uma representação do spin com momento magnético μ quando

sujeito a um campo magnético externo B0. À direita, esquema da magnetização

resultante, M. A razão entre o número de spins com orientação paralela e anti-paralela é

dada pela equação de Boltzman (adaptado de [Block, 2006]). ..................................... 10

Figura 2.5: Esquema do princípio de funcionamento de um equipamento de MRI: a

bobine principal orientada segundo um dos eixos e as outras duas bobines laterais

orientadas segundo os outros dois eixos (obtida de [Jan, 2006]). ................................. 12

Figura 2.6: Esquema simplificado da obtenção de imagens em imagiologia nuclear

convencional (adaptado de [Jan, 2006]). ........................................................................ 14

Figura 2.7: Imagem de um paciente obtida usando um equipamento de PET (obtida de

[Gonzalez, 2008]). .......................................................................................................... 15

Figura 2.8: Imagem de ultra-sonografia de um feto (obtida de [Gonzalez, 2008]). ....... 16

Figura 2.9: Esquema de um equipamento óptico de aquisição de imagens de

pedobarografia (adaptado de [Tavares, 2000]). ............................................................. 17

Figura 3.1: Na linha superior, duas imagens de pedobarografia, os respectivos

centróides e eixos principais. Na linha inferior, do lado esquerdo as duas mesmas

imagens sobrepostas antes do alinhamento e do lado direito as duas imagens após o

ÍNDICE DE FIGURAS _____________________________________________________________________________________

vii

alinhamento usando e metodologia baseada nos eixos principais. (As cores das imagens

foram modificadas para facilitar a sua visualização.)..................................................... 34

Figura 3.2: Duas imagens e os seus histogramas conjuntos: (a) imagem de raio X do

peito; (b) a mesma imagem de raio X após uma pequena translação vertical; (d)

representação plana do histograma conjunto da imagem (a) com ela própria; (c)

representação plana do histograma conjunto da imagem (a) com a imagem (b); (e)

representação 3D do histograma conjunto das imagens (a) e (b). .................................. 45

Figura 3.3: Por linha, três sequências de imagens exemplo: Da esquerda para a direita:

imagens originais no domínio espacial, espectro das imagens no domínio das

frequências e finalmente a fase das imagens no domínio das frequências. .................... 49

Figura 3.4: Exemplo de uma imagem obtida determinando a correlação de fases

directamente. A posição do ponto mais claro indica a translação da imagem a alinhar

relativamente à imagem modelo. .................................................................................... 50

Figura 3.5: Alinhamento de duas imagens de CT da cabeça: Na linha superior, duas

imagens originais; na linha à inferior, à esquerda as duas imagens sobrepostas antes do

alinhamento e à direita as mesmas após o alinhamento. (A imagem modelo foi

representada em tons de azul e a imagem a alinhar em tons de vermelho para facilitar a

visualização.) .................................................................................................................. 51

1

CAPÍTULO I

Introdução e estrutura da Monografia

1.1 Apresentação

Esta Monografia relaciona-se essencialmente com o emparelhamento e alinhamento de

estruturas em imagens (2D/3D); nomeadamente, em imagens médicas, uma das áreas da

Visão Computacional com maior potencial e relevo.

Na literatura, por vezes os termos matching e registration são usados como sinónimos

quando aplicados a imagens. Neste trabalho, considera-se emparelhamento (matching)

como sendo o processo de estabelecimento de correspondências. Por alinhamento

(registration), considera-se o processo de transformação do sistema de coordenadas de

uma imagem de modo que estruturas homólogas passem a ter as mesmas coordenadas

relativamente ao sistema de coordenadas considerado. Com base num alinhamento que

se tenha definido, as correspondências entre as diversas estruturas representadas nas

imagens alinhadas fica automaticamente estabelecida, quer estas estruturas tenham sido

identificadas ou não. No entanto, o estabelecimento de correspondências entre estruturas

representadas em duas imagens não define automaticamente a correspondência entre os

píxeis. Além disso, as correspondências entre píxeis dependem do tipo de transformação

geométrica considerada.

Na área médica, o emparelhamento e alinhamento de imagens têm diversas aplicações,

nomeadamente, fusão de informação obtida de diferentes modalidades; monitorização

do tamanho, forma e variação ao longo do tempo de órgãos; preparação de intervenções

cirúrgicas; comparação com uma base de dados; estabelecimento de correspondências

CAPÍTULO I − INTRODUÇÃO E ESTRUTURA DA MONOGRAFIA _____________________________________________________________________________________

2

com modelos virtuais; etc., [Hajnal, 2001].

Há vários critérios de classificação dos métodos de alinhamento de imagem médica, por

exemplo, em [Maintz, 1998] são usados nove critérios distintos. Uma classificação

comum é: baseados em características geométricas ou físicas das estruturas a alinhar

(como pontos, contornos, curvas ou superfícies) e baseados em intensidade ou sinal

(usualmente associados à utilização de uma medida de similaridade com base na

comparação da intensidade dos píxeis correspondentes), [Hajnal, 2001].

Os métodos baseados em características geométricas ou físicas precisam de determinar

essas características nas imagens a alinhar e depois realizar o emparelhamento entre as

mesmas, o que permitirá posteriormente estimar a transformação geométrica pretendida.

Os métodos baseados em intensidade usualmente determinam a transformação

envolvida directamente a partir das imagens, ou seja, aplicam transformações

geométricas a uma das imagens no sentido de optimizar uma medida de similaridade,

[Hajnal, 2001], [McLaughlin, 2005].

Além do estudo e análise de metodologias de alinhamento de imagens, nesta

Monografia é também realizada uma breve apresentação de algumas das principais

técnicas de imagiologia.

1.2 Estrutura da Monografia

Os objectivos desta Monografia são essencialmente: introduzir o tema definido para a

Tese de Doutoramento prevista e apresentar algumas possíveis linhas de trabalho e

serem seguidas tendo em vista a consecução dos objectivos delineados para a mesma.

O trabalho aqui apresentado pode ser resumido em dois temas principais: estudo das

principais técnicas existentes para a recolha de imagem médica e estudo de

metodologias de emparelhamento e alinhamento de imagens médicas. Assim, esta

Monografia, além deste capítulo, está dividida em mais três capítulos:

Capítulo 2 − Tecnologias/equipamentos de aquisição de imagens médicas

Neste capítulo é feita uma breve referência às principais técnicas de imagiologia usadas

na actualidade. É dada uma breve explicação dos seus fundamentos e processos de

construção das imagens, não sendo abordadas questões técnicas. Sempre que pertinente,

é realizada uma comparação entre as técnicas de aquisição de imagem referidas.

CAPÍTULO I − INTRODUÇÃO E ESTRUTURA DA MONOGRAFIA _____________________________________________________________________________________

3

Capítulo 3 − Alinhamento de imagens médicas

Neste capítulo é realizado um estudo sobre algumas metodologias de emparelhamento e

alinhamento de imagens médicas. São também apresentados alguns exemplos de

alinhamento usando metodologias que entretanto foram desenvolvidas ou

implementadas. A ênfase não foi colocada num estudo exaustivo das técnicas e

trabalhos realizados neste domínio, mas sim nas ideias base de algumas das

metodologias mais comuns.

Capítulo 4 − Conclusões finais e perspectivas de trabalho futuro

Neste capítulo são analisados os resultados do trabalho desenvolvido. É também

definida a estratégia a seguir para a elaboração da Tese de Doutoramento, assim como

os objectivos que se desejam alcançar com a mesma.

4

CAPÍTULO II

Tecnologias/equipamentos de aquisição de imagens

médicas

Neste capítulo é feita uma breve referência às principais técnicas de imagiologia usadas

na actualidade. É dada uma breve explicação dos seus fundamentos e processos de

construção das imagens adquiridas, não sendo abordadas questões técnicas. Sempre que

pertinente, é realizada uma comparação entre as mesmas.

2.1 Introdução

A imagiologia médica, conjunto de técnicas e sistemas de obtenção de imagens

médicas, é actualmente indispensável no diagnóstico de inúmeras doenças (esclerose

múltipla, Alzheimer, fracturas, cancros, aneurismas, etc.). Usualmente, na imagiologia

médica consideram-se apenas as técnicas não invasivas, como por exemplo, o raio X, a

tomografia computorizada, a ressonância magnética, a ultra-sonografia e a medicina

nuclear, [Prince, 2006].

As técnicas de imagiologia podem ser divididas em anatómicas ou funcionais. As

anatómicas são aquelas que essencialmente descrevem a morfologia, como por exemplo

o raio X. As técnicas de imagiologia funcionais descrevem essencialmente informação

do metabolismo, como por exemplo a medicina nuclear, [Maintz, 1998]. Alguns

equipamentos actuais combinam os dois tipos de imagiologia, como é o caso dos

scanners PET/CT (positron emission tomography / computed tomography).

CAPÍTULO II − TECNOLOGIAS/EQUIPAMENTOS DE AQUISIÇÃO DE IMAGENS MÉDICAS _____________________________________________________________________________________

5

2.2 Raio X

A imagem obtida recorrendo ao raio X é considerada a primeira modalidade de imagem

médica. A sua descoberta remonta à última década do século XIX, quando Roentgen

fazia experiência no seu laboratório com tubos de raios catódicos, [Jan, 2006], [Prince,

2006]. O seu funcionamento é facilmente compreensível e o método de obtenção das

imagens é directo; isto é, não é necessário usar tecnologias de construção da imagem

como em outras modalidades de imagiologia que serão referidas mais à frente.

O raio X é uma onda electromagnética de natureza semelhante à da luz visível com

comprimentos de onda menores do que os da radiação ultravioleta, na ordem de 5 pm a

1 nm. As ondas electromagnéticas do espectro do raio X, conforme o seu comprimento

de onda, têm a particularidade de penetrarem mais ou menos facilmente a matéria e, por

consequência, os tecidos. Deste modo, alguns tecidos são mais transparentes para essas

radiações do que outros. Como o raio X não está dentro do espectro do visível, é

necessário usar um material sensível ao mesmo para se poder observar a imagem.

2.2.1 Radiografia convencional

A radiografia convencional é aquela que resulta directamente da aplicação do raio X

sobre a região cujo interior se pretende visualizar, sendo a imagem captada directamente

por uma película fotossensível, ou filme radiográfico, o qual, após ser revelado, dá

origem à imagem. A figura 2.1 dá uma ideia do princípio básico de funcionamento desta

técnica.

Em equipamentos mais modernos, em vez de uma película fotográfica é usada uma

tecnologia semelhante à das máquinas de fotográficas digitais (foto-sensores

electrónicos). Deste modo, a imagem é directamente convertida para o formato digital,

facilitando assim o seu tratamento e manipulação.

Nas imagens de raio X, os diversos órgãos ou tecidos ficam representados sobrepostos,

não sendo possível separá-los. No entanto, o conhecimento anatómico da estrutura sobre

a qual incidem os raios X ajuda os médicos e radiologistas a fazerem essa separação

mentalmente.


6

Figura 2.1: Esquema básico de obtenção de imagens de raio X (adaptado de [Jan, 2006]).

Nos equipamentos convencionais de raio X, a imagem obtida sofre uma distorção

geométrica, pois o ângulo de incidência dos raios X não é igual em toda a película ou

placa sensora. Nos equipamentos analógicos a imagem não pode ser corrigida, mas nos

equipamentos digitais tal operação pode ser facilmente efectuada, desde que conhecidos

alguns parâmetros.

2.2.2 Angiografia

A angiografia é uma tecnologia baseada nos raios X. A principal diferença consiste na

injecção de produtos no paciente que façam aumentar o contraste das imagens.

Usualmente, estes produtos são conhecidos simplesmente por contrastes.

Esta técnica é usada para obter imagens de vasos sanguíneos. Sem a aplicação do

contraste, as diferenças entre os tons de cinzento dos vasos sanguíneos e os restantes

tecidos registados nas imagens são muito ténues. Ao injectar o contraste nos vasos

sanguíneos que se pretendem visualizar, o contraste vai absorver mais radiação do que o

sangue sem aditivos, pelo que na imagem obtida surge uma maior diferenciação entre os

respectivos vasos sanguíneos e os restantes tecidos.

Para melhor analisar as imagens obtidas, pode ser realizada uma subtracção entre a

imagem obtida com o contraste e a imagem da mesma região sem o contraste. Assim


7

obtém-se uma imagem só com a diferença das duas, ou seja, os vasos sanguíneos. Esta

técnica é chamada de angiografia subtractiva [Jan, 2006].

Naturalmente, para que a operação de subtracção possa ser realizada, é necessário que

ambas as imagens estejam alinhadas, o que pode ser conseguido mais ou menos

facilmente se o paciente ficar imóvel. Caso haja movimento do paciente, as imagens

têm de ser previamente alinhadas por um qualquer processo, manual, automático ou

semi-automático. O alinhamento puramente manual pode não permitir a obtenção de

bons resultados, basta pensar na possibilidade de rotação do paciente. Assim, os

sistemas automáticos ou semi-automáticos podem ser muito úteis para melhorar os

resultados desta técnica.

2.2.3 Tomografia computorizada

A tomografia computorizada de raios X foi a primeira modalidade tomográfica

inteiramente baseada na reconstrução digital da imagem. O seu aparecimento veio

modificar significativamente a imagiologia médica, [Jan, 2006]. É amplamente usada,

pois apresenta boa resolução espacial e o processo de aquisição é rápido. Além disso, é

muito versátil, adaptando-se à generalidade das situações. A sua principal desvantagem

advém da utilização de radiação ionizante (raios X), a qual pode contribuir para um

posterior aparecimento de lesões ou tumores nos pacientes.

A Figura 2.2 apresenta o princípio de funcionamento dos equipamentos de tomografia

de terceira geração, os actualmente mais utilizados, [Jan, 2006]. O foco dos raios X e os

sensores rodam simultaneamente em função do ângulo θ. Deste modo, a distância entre

o foco e os detectores é mantida e os raios incidem sempre perpendicularmente nos

detectores. Para impedir que radiação dispersa possa incidir nos detectores, usam-se os

collimators. Estes funcionam como filtros pois só permitem que os detectores sejam

atingidos por radiação que lhes é perpendicular. Assim, consegue-se uma diminuição

significativa do ruído da imagem. Usualmente, a fila de detectores é constituída por

várias centenas ou milhares de detectores, [Jan, 2006].

O ângulo de abertura do foco tem que ser tal que permita que o feixe “varra” a região

com a forma de uma fatia −slice− do corpo do paciente que se pretende observar. A

rotação do equipamento em torno do paciente vai permitir a obtenção de um conjunto de

dados diferentes da mesma slice em função do ângulo θ. Assim, combinando esta


8

informação com o ângulo correspondente, é possível reconstruir uma slice na totalidade.

Para a obtenção de uma imagem tridimensional, é provocado um deslocamento do

corpo em relação ao sistema foco-detectores. Deste modo, obtém-se uma série de slices

espaçadas umas das outras segundo o valor pretendido. Usando um algoritmo

computacional adequado, as slices são colocadas nas respectivas posições e

renderizadas segundo um modelo 3D.

Figura 2.2: Esquema simplificado da projecção dos raios X sobre o corpo dos pacientes nos equipamentos

de tomografia computorizada de terceira geração (adaptado de [Jan, 2006]).

Nos scanners helicoidais, em vez de se obter uma slice de cada vez, o processo de

aquisição é contínuo. O foco emissor de raios X e os receptores estão continuamente em

rotação em torno do paciente enquanto que este se desloca continuamente ao longo do

eixo de rotação. Deste modo, o movimento relativo do sistema foco-detectores em

relação ao paciente é helicoidal. Como resultado, a imagem 3D obtida tem essa forma,

ao contrário dos outros sistemas em que a imagem 3D era definida por uma série de

slices paralelas. Para obter slices paralelas e perpendiculares ao corpo do paciente, pode

ser usada interpolação, [Jan, 2006]. A Figura 2.3 ilustra o funcionamento deste tipo de

scanner.


9

Figura 2.3: Esquema de funcionamento de um scanner de CT helicoidal (obtida de [Jan, 2006]).

2.3 Ressonância magnética nuclear

As imagens de ressonância magnética nuclear (NMR) resultam do fenómeno de

ressonância magnética nuclear descoberto na década de 40 do século passado, [Jan,

2006], [Block, 2006]. De um modo simplificado, este fenómeno consiste na troca de

energia entre partículas quando sujeitas a um campo magnético forte e uma irradiação

por ondas, geralmente de radiofrequência (RF). Este fenómeno permite a identificação

de alguns constituintes da matéria em análise e a sua localização, [Jan, 2006], [Block,

2006]. A designação de ressonância magnética nuclear (NMR) foi posteriormente

substituída por imagiologia de ressonância magnética (MRI) para evitar a associação

que o público em geral fazia com a radiação ionizante, [Block, 2006].

Nesta secção, apresentam-se os princípios básicos deste fenómeno que são considerados

na imagiologia médica.

Os núcleos dos átomos, além da sua carga positiva, têm também uma propriedade

conhecida por spin, por analogia com a física clássica, [Block, 2006]. Para facilitar a

compreensão desta propriedade, é comum interpretar-se a mesma como o movimento de

rotação da partícula sobre ela mesma. Esta carga eléctrica em movimento cria um

campo magnético. Este campo magnético vai ter um sentido, pelo que pode ser

entendido como um dipolo.

Na ausência de um campo magnético externo a orientação do spin é aleatória. Mas

quando os núcleos com spin diferente de zero estão sujeitos a um campo magnético

externo, estes tendem a alinhar-se na direcção desse campo. Podendo alinhar-se de


10

modo anti-paralelo, o que corresponde a um nível de energia mais alto, ou de modo

paralelo, o que corresponde a um nível de energia mais baixo. A razão entre o número

de núcleos que ficam orientados de modo paralelo ao campo magnético externo e os

núcleos que ficam orientados de modo anti-paralelo com o campo magnético externo

pode ser dado pela equação de probabilidade de Boltzman, [Jan, 2006],[Block, 2006].

Em MRI é possível usar qualquer núcleo com spin diferente de zero, o que possibilita

fazer espectroscopia com base no fenómeno de ressonância magnética, mas por

questões de abundância e distribuição em todo o corpo, em geral usa-se o hidrogénio.

Os núcleos dos átomos de hidrogénio, constituídos por um só protão, têm spin diferente

de zero, portanto têm tendência a alinhar-se pelo campo magnético externo. O conjunto

dos núcleos de hidrogénio que se alinha paralelamente ao campo magnético externo, B0,

por corresponder a uma energia mais baixa, é ligeiramente maior do que o conjunto dos

que se alinham anti-paralelamente, obtendo-se assim uma magnetização resultante, M,

diferente de zero e alinhada com o campo magnético externo, [Block, 2006]. A Figura

2.4 é uma representação simbólica da orientação dos núcleos de hidrogénio quando

sujeitos a um campo magnético externo.

Figura 2.4: À esquerda, uma representação do spin com momento magnético μ quando sujeito a um

campo magnético externo B0. À direita, esquema da magnetização resultante, M. A razão entre o

número de spins com orientação paralela e anti-paralela é dada pela equação

de Boltzman (adaptado de [Block, 2006]).

Assim, quando um ser humano é sujeito a um campo magnético forte, os núcleos dos

átomos de hidrogénio tendem a ficar alinhados pelo campo magnético. A magnetização


11

resultante é proporcional ao número de protões existentes.

Ao sujeitar o corpo a uma radiação electromagnética, podem acontecer duas situações,

em função da frequência da radiação e da constituição dos núcleos da matéria: o corpo

não absorve radiação ou absorve radiação. Um factor que condiciona a frequência da

radiação que é absorvida pelos núcleos dos átomos é a intensidade do campo magnético

a que estão sujeitos. Esta relação é dada pela equação de Larmor:

Bγω = ,

onde ω representa a frequência de Larmor, γ é a constante giromagnética que depende

do tipo de núcleo e B é a magnitude do campo magnético.

Assim, se um impulso electromagnético com a frequência de Larmor for aplicado aos

núcleos, eles tendem a alterar o seu alinhamento, colocando-se em fase com a onda

electromagnética. Quando tentam regressar ao estado de energia mais baixo, isto é,

alinhados paralelamente com o campo magnético externo, libertam energia na

frequência de Larmor.

Assim, ao sujeitar o corpo a impulsos de 90º (ou outros) de uma onda electromagnética

na frequência de Larmor, alguns núcleos absorvem essa energia pelo que mudam a

direcção de rotação criando uma componente perpendicular, sendo esta medida por

bobines transversais. Logo que o campo electromagnético é desligado verifica-se um

decaimento do campo magnético transversal à medida que os núcleos tendem a libertar

a energia absorvida na forma de radiação. Assim, após algum tempo, os núcleos voltam

a estar alinhados pelo campo magnético externo. Situação análoga acontece com a

aplicação de impulsos de 180º, que tem o efeito de inverter a direcção da magnetização

resultante.

Atendendo que a magnetização resultante é proporcional ao número de átomos de

hidrogénio presentes, é possível fazer a discriminação entre vários tipos de tecido. Outro

facto importante é que embora alguns tecidos doentes, por exemplo devido a tumores, e

tecidos sãos tenham idêntica composição em termos de quantidade de núcleos de

hidrogénio, e portanto idêntica magnetização resultante, estes tipos de tecidos têm

tempos de decaimento diferentes, isto é, diferentes velocidades de regresso ao estado de

equilíbrio. Assim, ajustando o scanner e medindo as velocidades de decaimento para os

diversos impulsos de RF é possível diferenciar esses tecidos, [Block, 2006].


12

Existem vários métodos para obter a localização espacial dos tecidos e assim permitir a

criação de uma imagem. Nos equipamentos de MRI mais comuns, para seleccionar uma

dada região, slice, ao mesmo tempo que é aplicado o impulso de RF, são ligadas

bobines que são percorridas por corrente em sentido contrário à que origina o campo

magnético base, [Jan, 2006]. Assim, a soma do campo magnético base com os campos

magnéticos criados por estas bobines originam uma variação (gradiente) da intensidade

do campo magnético resultante ao longo do corpo do paciente. A pequena variação

conseguida na intensidade do campo magnético ao longo do corpo vai permitir que as

diferentes regiões do corpo respondam de forma diferente aos impulsos de RF emitidos,

pois como já referido, a frequência de Larmor depende da intensidade do campo

magnético. Deste modo, através da frequência do sinal excitar apenas as regiões do

corpo que se pretende.

Provocando um gradiente no campo magnético ao longo das três direcções, x-y-z, é

possível obter slices perpendiculares a qualquer um dos eixos. Este processo permite

obter uma a uma a resposta individual de cada pequena região. Geralmente, este método

não é usado por ser muito moroso. Na Figura 2.5 está ilustrado um esquema de um

equipamento de MRI, no que diz respeito à colocação das bobines responsáveis pelo

processo de controlo do campo magnético.

Figura 2.5: Esquema do princípio de funcionamento de um equipamento de MRI: a bobine principal

orientada segundo um dos eixos e as outras duas bobines laterais orientadas segundo

os outros dois eixos (obtida de [Jan, 2006]).


13

Nos equipamentos de MRI actuais a imagem pode ser obtida slice a slice (2D) ou de

uma só vez (3D), [Prince, 2006]. Com base na frequência de Larmor e usando a

transformada de Fourier, é possível determinar localização individual de cada píxel

através da frequência e da fase dos coeficientes de Fourier, [Block, 2006].

Uma característica importante dos equipamentos de MRI é o facto de usarem apenas

campos magnéticos e ondas electromagnéticas na gama da frequência de Larmor (ondas

de RF), sendo estas ondas não ionizantes. Deste modo, estes equipamentos são inócuos

para o paciente. No entanto, podem causar danos ou provocar o mau funcionamento de

equipamentos electrónicos, pelo que pacientes com pace-makers, por exemplo, não

devem recorrer a este tipo de equipamento.

2.4 Imagiologia nuclear

A imagiologia nuclear distingue-se das outras modalidades de imagiologia pelo facto de

as imagens só poderem ser obtidas quando substâncias radioactivas apropriadas são

administradas no corpo do paciente. Estas substâncias, que podem ser injectadas,

ingeridas ou inaladas, são marcadores, tracers, e são compostas por radio-nuclídeos que

emitem raios gama. A radiação emitida é então utilizada para a obtenção das imagens

do corpo do paciente.

Este processo começa com a administração ao paciente de substâncias radioactivas com

curtos tempos de meia-vida. À medida que estas substâncias atingem a região que se

pretende analisar e se alojam nela, vão libertando energia devido ao decaimento

radioactivo. Os fotões de alta energia libertados devido ao decaimento radioactivo das

substâncias administradas, como os raios gama, são capazes de atravessar os tecidos.

Assim, usando equipamento adequado colocado no exterior do corpo do paciente, esta

radiação é captada.

Este processo permite a obtenção de dados em função do tempo. Deste modo, obtém-se

informação da distribuição temporal das substâncias administradas e dos órgãos onde

elas circulam ou se depositam.

Os raios gama têm uma energia equivalente à dos raios X. Contudo, como nos

equipamentos de imagiologia de raios gama a radioactividade das substâncias usadas é

muito baixa, a intensidade dos raios gama produzidos é muito inferior à intensidade dos

raios X utilizados nos equipamentos de radiologia convencional.


14

Nos equipamentos de raio X convencionais, o fluxo de fotões é contínuo, direccionado e

de elevada intensidade, enquanto na imagiologia de raios gama a emissão de fotões é

discreta e de baixa intensidade. Além disso, os fotões são emitidos em qualquer

direcção, o que provoca uma grande dispersão dos mesmos. Estes factos contribuem

para que a qualidade das imagens na imagiologia nuclear seja inferior à da radiografia

convencional. No entanto, como a radiação ionizante a que o paciente é submetido na

imagiologia nuclear é muito menor do que na radiografia convencional, as

consequências negativas da exposição à radiação são portanto muito menores. A Figura

2.6 apresenta um esquema simplificado do processo de obtenção de imagens médicas

em imagiologia nuclear convencional.

Tal como através da projecção de raios X se criou a tomografia computorizada de raios

X, também baseada nesta técnica de emissão de raios gama se desenvolveu tomografia

computorizada de raios gama. Há dois tipos de tomografia baseados na emissão de raios

gama: tomografia computorizada baseada apenas na emissão de fotões −single-photon

emission computed tomography− (SPECT) e a tomografia de emissão de positrões

−positron emission tomography− (PET).

Figura 2.6: Esquema simplificado da obtenção de imagens em imagiologia nuclear convencional

(adaptado de [Jan, 2006]).

O princípio da SPECT é idêntico ao da CT de raios X, residindo a diferença

essencialmente na fonte da radiação. O princípio da PET é diferente, pois as substâncias

radioactivas administradas ao paciente ao decaírem radioactivamente provocam, entre

outros elementos radioactivos, a emissão de positrões com uma certa energia cinética.


15

Este positrão ao embater com a matéria circundante é rapidamente anulado por um

electrão próximo. Este processo origina a emissão de dois raios gama em sentidos

opostos. O scanner do equipamento PET, em forma de anel, procura por detecções

temporalmente coincidentes de raios gama em detectores opostos. Assim, quando tal

acontecer, é possível determinar a linha que passa pela região onde a anulação do

positrão pelo electrão ocorreu, [Pince, 2006], [Jan, 2006]. Combinando estes dados, é

possível construir uma imagem da região onde estão as substâncias radioactivas que

foram administradas. A Figura 2.7 é um exemplo de uma imagem obtida usando um

equipamento PET.

Figura 2.7: Imagem de um paciente obtida usando um equipamento

de PET (obtida de [Gonzalez, 2008]).

2.5 Ultra-sonografia

O princípio da ultra-sonografia baseia-se na emissão de impulsos sonoros (ondas

mecânicas) à superfície da região do corpo que se pretende estudar e consequente

medição do respectivo eco por um transdutor. O tempo que passa entre a emissão da

onda e a recepção do eco permite determinar a profundidade do tecido reflector e a

intensidade dá informação acerca da força do tecido reflector. Movendo rapidamente o

transdutor ou fazendo um varrimento do mesmo pode-se construir uma imagem em

tempo real da região em estudo.

Alguns dos equipamentos de ultra-sonografia usam o efeito de Doppler para medir a


16

velocidade de movimento, por exemplo do sangue e do movimento do coração. O efeito

Doppler caracteriza-se pela diferença entre a frequência do sinal reflectido em relação à

frequência do sinal emitido. Este facto verifica-se quando o sinal é reflectido por

objectos que estão em movimento relativamente à fonte emissora/receptora.

Os equipamentos de ultra-sonografia usados para obtenção de imagens médicas são

relativamente de baixo custo e totalmente inofensivos nas suas aplicações típicas,

[Prince, 2006]; no entanto, a qualidade das imagens é inferior às obtidas em tomografia

computorizada ou ressonância magnética. A Figura 2.8 é um exemplo de uma imagem

de ultra-sonografia numa das suas aplicações mais comuns, a visualização de um feto no

útero materno.

Figura 2.8: Imagem de ultra-sonografia de um feto (obtida de [Gonzalez, 2008]).

2.6 Outros equipamentos

Embora usualmente não incluídos no grupo dos equipamentos de imagiologia, há outros

equipamentos com relevância para a aquisição de imagens com finalidades médicas.

Como exemplos, pode-se referir a microscopia electrónica −electron microscopy−, as

câmaras de infravermelhos e sensores de pressão.

A microscopia óptica atinge o seu limite de resolução espacial para valores na ordem da

fracção do micro milímetro devido ao comprimento de onda da luz visível. Assim, a


17

microscopia electrónica é uma extensão da microscopia óptica para permitir a

visualização de estruturas muito pequenas, podendo ir até valores inferiores ao nano

metro. A microscopia electrónica baseia-se na emissão de um feixe de electrões e na sua

interacção com a matéria que se pretende visualizar.

As câmaras de infravermelhos baseiam-se na detecção das ondas electromagnéticas do

espectro do infravermelho que os corpos emitem. As imagens obtidas podem ser muito

importantes pois permitem uma análise à distância da distribuição da temperatura no

corpo do paciente. Deste modo, facilitam o diagnóstico de doenças e a detecção de

regiões anómalas/doentes.

Os sensores de pressão medem a força exercida por unidade de área e são

frequentemente usados em pedobarografia. O paciente ao caminhar sobre um tapete

onde estão incorporados sensores de pressão vai permitir a leitura de um conjunto de

dados sobre a distribuição do seu peso ao longo do pé e a forma como coloca o mesmo.

Usualmente, esta informação é convertida numa imagem sendo depois analisada pelos

especialistas. Os dados obtidos podem depois ser um auxílio no diagnóstico do pé de

diabético, na análise de postura, na análise de marcha e na elaboração de calçado com

fins terapêuticos.

Também há equipamentos sensores de pressão ópticos. Um sistema básico consiste

numa placa de vidro ou acrílico polida de forma que a luz que lhe é aplicada seja

reflectida internamente. A placa é coberta por uma ou duas camadas finas de plástico

poroso nas regiões onde a pressão é exercida (Figura 2.9). O sistema, quando observado

de baixo, na ausência de pressão é negro, mas quando é exercida pressão na parte de

cima da camada de plástico, este adquire brilho nas áreas correspondentes, [Tavares,

2000].

Figura 2.9: Esquema de um equipamento óptico de aquisição de imagens de pedobarografia

(adaptado de [Tavares, 2000]).

18

CAPÍTULO III

Alinhamento de imagens médicas

Neste capítulo é realizado um estudo sobre algumas das metodologias frequentemente

usadas no alinhamento de imagem, especialmente as de origem médica. Embora sejam

apresentados diversos critérios de classificação dos algoritmos de alinhamento, neste

capítulo, a divisão é realizada em metodologias baseadas essencialmente na localização

de características geométricas e metodologia baseadas essencialmente na intensidade.

São apresentadas várias metodologias de cada tipo, abordados os princípios básicos das

mesmas. As transformações geométricas permitidas no alinhamento e as medidas de

similaridade utilizadas são também abordadas.

3.1 Introdução

Alinhamento de imagens (normalmente referido como registration) é o processo de

determinar a transformação geométrica que melhor sobrepõe duas imagens que têm uma

região comum. Por outras palavras, é um processo de transformação do sistema de

coordenadas de pelo menos uma das imagens de modo que estruturas homólogas das

imagens a alinhar passem a ter as mesmas coordenadas relativamente ao sistema de

coordenadas considerado. Deste modo, a correspondência entre os píxeis ou vóxeis

(para imagens 3D) de uma imagem modelo ou referência ficam indexados aos píxeis da

imagem que se pretende alinhar. Assim, o alinhamento é muitas vezes necessário para

integrar informação obtida de diferentes equipamentos; detectar variações em imagens

obtidas em diferentes intervalos de tempo ou sob diferentes condições; inferir

CAPÍTULO III − ALINHAMENTO DE IMAGENS MÉDICAS _____________________________________________________________________________________

19

informação de imagens 2D ou 3D em que a câmara ou o objecto se moveram; comparar

as imagens com uma base de dados; reconhecimento automático de estruturas; etc. Em

[Brown, 1992] e [Zitová, 2003] são apresentados dois dos primeiros estudos exaustivos

sobre as técnicas de alinhamento de imagem.

No alinhamento de imagens médicas, as imagens a alinhar são obtidas de pacientes

através de equipamentos de imagiologia como o raio X, a tomografia computorizada

(CT), a imagiologia de ressonância magnética (MRI), a tomografia de emissão de

positrões (PET), a ultra-sonografia (US), etc. Este processo de alinhamento de imagens

médicas apresenta vários desafios devido às diferentes realidades físicas dos

equipamento utilizados, diferenças de posicionamento dos pacientes, variação dos

parâmetros de aquisição, alterações sofridas pelas estruturas a analisar devido a doenças

ou variações naturais ao longo do tempo, ou ainda devido a diferenças anatómicas entre

diferentes indivíduos. Nos últimos anos a publicação de trabalhos relacionados com o

alinhamento de imagem médica tem crescido de forma considerável, ocupando agora

uma grande parte da investigação realizada em processamento e análise de imagem

médica, como mostra o estudo apresentado em [Pluim, 2003a].

Conforme os equipamentos de imagiologia, as imagens obtidas podem ser 2D ou 3D (as

imagens 3D são frequentemente referidas como volumes) o que levou ao

desenvolvimento de técnicas de alinhamento específicas para cada tipo de imagem. O

alinhamento de imagens é uma componente importante num largo número de

aplicações, tais como, [Hajnal, 2001]:

− Auxílio ao diagnóstico de patologias (por exemplo, comparando a imagens obtidas

com as de base de dados, comparando imagens obtidas em diferentes instantes de

tempo);

− Integração de informação de diferentes modalidades (por exemplo, relacionando

informação funcional obtida de um scanner PET com imagens de alta resolução obtidas

com CT ou MRI);

− Monitorização de alterações de tamanho, forma ou constituição de tecidos/órgãos ao

longo do tempo;

− Preparação de intervenções cirúrgicas e procedimentos radio-terapêuticos (por

exemplo, determinando a localização de um tumor que poderá posteriormente ser


20

eliminado com terapêutica adequada);

− Relacionar as imagens de pré-operatório com os planos da cirurgia, realidade física do

paciente, estruturas anatómicas, posição dos instrumentos cirúrgicos e a sala de

operações durante uma cirurgia guiada por computador, [Livyatan, 2003].

Na secção seguinte é feita uma classificação das técnicas de alinhamento de imagem

médica. Nas secções 3.3 e 3.4 são apresentadas algumas metodologias de alinhamento

baseadas em características geométricas e na intensidade dos píxeis, respectivamente. O

objectivo principal destas duas secções não é fazer um estudo exaustivo das técnicas de

alinhamento existentes, mas sim apresentar algumas metodologias comuns, explicar

como funcionam e apresentar algumas vantagens e desvantagens das mesmas.

3.2 Classificação dos algoritmos

Na literatura, uma grande variedade de metodologias de alinhamento de imagens

médicas tem sido apresentada. Podem ser utilizados diversos critérios para classificar

essas metodologias, dependendo das características consideradas. Seguindo a

classificação feita em [Elsen, 1993], as técnicas de alinhamento podem ser divididas

pela dimensionalidade (1D, 2D, 3D), origem das propriedades da imagem (marcadores

intrínsecos ou extrínsecos ao paciente), domínio da transformação geométrica (local ou

global); elasticidade da transformação geométrica (rígida, projectiva, curvada, etc.);

rigidez do emparelhamento (interpolação ou aproximação); determinação dos

parâmetros (directo ou baseado em procura orientada) e interacção (interactivos, semi-

automáticos ou automáticos).

Em [Maintz, 1998] a classificação realizada em [Elsen, 1993] foi consideravelmente

estendida e detalhada. Maintz usou nove critérios básicos sendo que cada um deles foi

ainda subdividido em um ou mais níveis. Os nove critérios considerados são:

dimensionalidade, base do alinhamento, natureza da transformação, domínio da

transformação, interacção, procedimento de optimização, modalidades envolvidas,

sujeitos, e objectos. Na Tabela 1 é apresentada informação mais pormenorizada sobre

estes critérios.

Uma transformação do sistema de coordenadas de uma imagem diz-se projectiva

quando transforma rectas em rectas e curvada ou elástica quando transforma rectas em


21

curvas ou vice-versa. As transformações projectivas que transformam rectas paralelas

em rectas paralelas dizem-se afim, as que preservam os ângulos e a proporcionalidade

entre as dimensões dos objectos dizem-se de semelhança ou de similaridade e

finalmente aquelas que preservam os ângulos e dimensões dos objectos dizem-se

rígidas.

Tabela 3.1: Critérios de classificação para o alinhamento de imagens médicas baseados

nos apresentados em [Maintz, 1998].

Critério de classificação Subdivisão

Dimensionalidade Dimensão espacial: 2D/2D, 2D/3D, 3D/3D Séries temporais de dimensão espacial: 2D/2D, 2D/3D, 3D/3D

Base do alinhamento

Extrínseca (baseia-se em objectos colocados no paciente)

Invasiva Stereotactic frame (muito usada em neurocirurgia) Marcas fiduciais (parafusos)

Não-invasiva

Modelos, molduras, dentes adaptadores, etc. Marcas fiduciais (marcas na pele)

Intrínseca

Baseada em pontos de referência

Anatómicos Geométricos

Baseada em segmentação

Modelos rígidos (pontos, curvas, superfícies) Modelos deformáveis

Baseada em propriedades dos píxeis ou vóxeis

Redução para escalares ou vectores Usando todo o conteúdo da imagem

Não baseada nas imagens adquiridas (calibração dos sistemas de aquisição)

Natureza da transformação

Projectiva Afim Similaridade Rígida (rotação e translação) Não-rígida (rotação, translação e escalamento)

Não-similaridade Não-afim

Curvada

Domínio da transformação

Local (diferentes transformações para diferentes regiões da imagem) Global (a mesma transformação em toda a imagem)


22

Tabela 3.1: (continuação)

Interacção

Interactiva Inicialização fornecida pelo utilizador Inicialização automática

Semi-automática Inicialização fornecida pelo utilizador Orientada/corrigida pelo utilizador Ambos

Automática Procedimento de optimização

Determinação dos parâmetros (determinados de um modo explícito) Procura dos parâmetros que optimizam uma função

Modalidades envolvidas

Monomodal (CT/CT, MRI/MRI, PET/PET, etc.) Multimodal (CT/MRI, CT/PET, CT/SPECT, PET/MRI, etc.) Modalidade para um modelo Paciente para modalidade

Sujeitos Intra-sujeito Inter-sujeitos Atlas

Objectos

Cabeça: cérebro ou crânio, olhos, maxilares Tórax: tórax na totalidade, coração, peitos Abdómen: abdómen em geral, rins, fígado Membros: membros em geral, fémur, úmero, mão, pé Pélvis e perineu Coluna vertebral

Matematicamente, uma função, aplicação ou transformação L de um espaço vectorial V

para um espaço vectorial W sobre um corpo K diz-se linear se:

( ) ( ) ( )vLuLvuLKVvu βαβαβα +=+⇒∈∀∈∀ ,e, .

Em particular, uma função L do espaço vectorial nIR para espaço vectorial mIR sobre

IR é linear se ( ) AuuL = , onde nIRu∈ e A é uma matriz real de dimensão nm× . Uma

função afim T de nIR em nIR é dada por:

( ) ( ) tAutuLuT +=+= ,

onde A é uma matriz real de dimensão nn× e nIRt ∈ . O vector nIRt ∈ representa a

translação e a matriz A representa a deformação da forma: rotação, escalamento e outras

deformações que preservam a colinearidade. Pelas definições apresentadas, uma

transformação afim pode ser vista como uma composição de uma transformação linear e

de uma translação.


23

Usualmente, as metodologias de alinhamento de imagens podem também ser

classificadas com base no espaço de características utilizadas −feature-space used− e

medidas de similaridade usadas −similarity metric used− para comparar as imagens. Os

espaços de características mais comuns incluem intensidade, pontos de referência,

gradientes, regiões limites, cantos, regiões, contornos; bifurcações [Laliberté, 2003],

[Matsopoulos, 2004]; e superfícies, [Wong, 2006a].

Outra classificação comum para as metodologias de alinhamento é: baseadas na

geometria das estruturas presentes nas imagens e baseadas na intensidade. As

metodologias baseadas na geometria usam a localização das características extraídas das

imagens. As metodologias baseadas na intensidade usam a totalidade ou uma parte

significativa da informação de intensidade presente na imagem.

As metodologias podem ainda ser divididas com base no espaço de trabalho

considerado: domínio espacial, domínio das frequências (usando transformadas de

Fourier ou onduleta) ou ambos.

Nas duas secções seguintes são apresentadas e analisadas algumas das técnicas de

alinhamento usadas. São também apresentados alguns exemplos de aplicação exemplos

de aplicação e citados vários trabalhos relacionados com esta área. As metodologias

apresentadas são divididas em baseadas na geometria e baseadas na intensidade.

3.2 Metodologias baseadas na geometria

3.2.1 Alinhamento baseado na correspondência entre pontos

Para realizar o alinhamento baseado na correspondência entre pontos, obviamente o

primeiro passo é a identificação dos pontos a considerar ou qual se segue a definição

das correspondências. Os pontos usados podem ser marcas naturais, tais como ossos, ou

marcas artificiais colocadas no corpo do paciente com o intuito de ajudar ao

alinhamento. As correspondências podem ser determinadas manualmente ou

automaticamente, dependendo do algoritmo de alinhamento considerado,

[Maintz,1998].

3.2.1.1 Emparelhamento

Antes do processo de emparelhamento é necessário extrair características dos objectos


24

representados nas imagens, tais como, pontos, linhas, fronteiras, contornos, superfícies

ou esqueletos. Em Visão Computacional, esta tarefa é usualmente referida com

segmentação.

Há muitas técnicas para fazer a segmentação dos objectos representados em imagens.

Frequentemente, estas técnicas são classificadas em baseadas em regiões e baseadas em

fronteiras, seguindo-se uma série de subdivisões. No entanto, outras classificações

existem, como por exemplo, técnicas baseadas em características e técnicas baseadas na

imagem, [Monteiro, 2007].

Como exemplos de trabalhos na área das técnicas baseadas em fronteiras pode-se

considerar: [Marr, 1980], onde a passagem por zero da segunda derivada é usada para

definir a fronteira, usando a composição de um filtro gaussiano com o laplaciano da

imagem; [Canny, 1986], onde o gradiente da imagem em conjunto com duplo limiar são

usados para definir as fronteiras; [Kass, 1988], [Cootes, 1992], [Xu, 1998], [Tavares,

2007], [Vasconcelos, 2008], [Gonçalves, 2008], onde conjuntos de pontos são

modelados, frequentemente por curvas, usando, por exemplo, princípios físicos ou

estatísticos; [Wang, 2006], [Wang, 2007], onde a forma é tratada como uma estrutura

topológica, sendo estes métodos conhecidos por level set methods.

Exemplos de segmentação baseada nas regiões, temos os métodos de thresholding,

[Otsu, 1979], [Wellner, 1993]; watershed, [Beucher, 1992], [Grau, 2004], baseia-se na

analogia com o enchimento de albufeiras/barragens; region growing, [Adams, 1994],

baseia-se no crescimento de uma semente dentro de uma região que apresenta

determinada afinidade.

Estudos aprofundados e revisões sobre segmentação de imagem podem ser consultadas,

por exemplo, em [Zhang, 2001], [Zhang, 2004], [Monteiro, 2007], [Gonzalez, 2008],

[Ma, 2009].

Após a segmentação das imagens, o passo seguinte é o emparelhamento entre as

estruturas extraídas das imagens a emparelhar. O processo de determinação do

emparelhamento tem levado ao surgimento de várias metodologias no sentido de ser

obtido o melhor emparelhamento possível para a aplicação em concreto. Algumas das

técnicas usadas são: informação espacial da intensidade do vector gradiente, [Lucas,

1981]; emparelhamento modal, [Scott, 1991], [Shapiro, 1992], [Sclaroff, 1995],

[Carcassoni, 2003], [Bastos, 2006]; shape context, [Belongie, 2002]; shape signature,


25

[Otterloo, 1991], [Cohen, 1997], [Oliveira, 2009a], [Oliveira, 2009b], [Oliveira, 2009c];

critérios estocásticos, [Moisan, 2004], [Keren, 2009]; eixos médios e shock graphs,

[Zhu, 1996], [Chung, 2000], [Sebastian, 2004].

Frequentemente, a similaridade entre as características extraídas das duas imagens é

quantificada numa matriz de afinidade ou de custos de emparelhamentos. Nestas

situações, é comum o problema do emparelhamento ser tratado como um problema de

optimização. Assim, os algoritmos de afectação são frequentemente usados no sentido

de ser encontrado o emparelhamento de custo mínimo. Há dois tipos fundamentais de

algoritmos de optimização usados nestes casos, os optimais e não-optimais. Como

exemplos de trabalhos onde são usados algoritmos optimais temos: programação linear,

[Bastos, 2006]; baseados em grafos, [Roy, 1998], [Fielding, 2000]; optimização

concava, [Maciel, 2003]; programação dinâmica, [Scott 2006], [Oliveira, 2008],

[Oliveira, 2009a], [Oliveira, 2009b], [Oliveira, 2009c]. Como exemplos de aplicação de

algoritmos não optimais tem-se: greedy algorithms, [Wu, 1995]; simulated annealing,

[Starink, 1995].

Muitos algoritmos de alinhamento baseiam-se na localização de marcas fiduciais nas

imagens consideradas e na sua correspondência, manual ou automática. No entanto, há

sempre algum erro relativamente à sua posição exacta e, portanto, um erro no

alinhamento que é consequência do erro de localização. O erro de localização é

conhecido por fiducial localization error (FLE) e o resíduo, segundo os mínimos

quadrados, entre as marcas após alinhamento é conhecido por fiducial registration error

(FRE). Contudo, em [Fitzpatrick, 1998] é referido que o que realmente importa não é o

valor de FRE mas aquilo a que chamaram target registration error (TRE). Um estudo

pormenorizado sobre a teoria de erros relacionada com o alinhamento de imagens pode

ser consultado em [Fitzpatrick, 1998] e [Wiles, 2008].

3.2.1.2 Determinação da transformação geométrica

Para determinar a transformação geométrica que melhor alinha dois conjuntos de pontos

há várias soluções. Algumas das soluções mais frequentes têm por base o seguinte

procedimento:

1 − Determinar os centróides;

2 − Usar a diferença entre as coordenadas dos centróides como o vector


26

translação e deslocar um dos objectos no sentido do outro, ou centrar os dois

objectos na origem subtraindo às coordenadas de cada ponto as coordenadas do

respectivo centróide;

3 − Rodar um dos conjuntos de pontos até que a soma dos desvios quadráticos

entre cada para de pontos correspondidos seja mínima. Simultaneamente poderá

ser aplicado um escalamento.

3.2.1.2.1 Transformação de similaridade baseada na correspondência entre dois

segmentos de recta

Para uma estrutura rígida (apenas translações e rotações), a identificação de dois pontos

de referência numa imagem e os correspondentes pontos na outra imagem é suficiente

para determinar a transformação, tanto em 2D como em 3D, como se vê na situação

seguinte:

Suponhamos que temos dois pontos, 1p e 2p , na imagem modelo e os correspondentes

pontos, 1q e 2q , na imagem a alinhar. Os centróides são dados por:

( ) ( )2121 5.0 e 5.0 qqqppp +×=+×= .

O passo seguinte consiste em centrar ambos os pares de pontos na origem:

2,1para,, =−←−← iqqqppp iiii .

Para determinar a rotação, o produto vectorial 2121 qqpp × dá o eixo de rotação, sendo

que a amplitude do ângulo de rotação pode ser dada por:

⋅

=2121

2121arccosqqppqqppθ ,

onde ( )⋅ representa o produto escalar.

Se for permitido escalamento homogéneo, as mesmas duas correspondências são

suficientes. A escala pode ser dada pelo quociente das distâncias entre os dois pontos de

cada imagem.


27

3.2.1.2.2 Transformação rígida ou afim usando decomposição em valores singulares e

mínimos quadrados

Na prática é usual utilizar mais do que dois pontos em cada imagem. Geralmente,

quanto maior for o número de pontos utilizados, menor será o erro médio de localização

dos mesmos e consequentemente menor será a influência dos erros de localização no

alinhamento final, [Hajnal, 2001]. O valor da raiz quadrada da média das distâncias

quadradas é usualmente guardado pelo algoritmo e é o já referido anteriormente FRE,

embora também seja comum esse erro ser referido como root mean squared error

(RMS).

Uma solução matemática muito usada para calcular a transformação rígida quando há

várias correspondências definidas é conhecida por orthogonal Procrustes problem,

[Hajnal, 2001]. A sua formulação é a seguinte:

Suponha-se que se tem dois conjuntos, P e Q, cada um constituído por n pontos e

devidamente correspondidos. Sejam p e q os seus centróides. O primeiro passo é

centrar os dois conjuntos de pontos na origem:

qqqppp

ii

ii

−←−←

.

Agora o problema resume-se a determinar a rotação. Para tal, calcula-se a matriz de

correlação C:

[ ]

=

n

Tn

TT

q

qq

pppC...

... 2

1

21 .

Considerando a decomposição em valores singulares de C, tem-se: .TUDVC = A

matriz de rotação R é dada por TVDUR = , onde:

( )

= TUV

Ddet0

01 ou

( )

=

TUVD

det00010001

,

para pontos 2D ou 3D, respectivamente, [Hajnal, 2001]. Consequentemente, tem-se que

ii qRp = , ou seja, rodando os pontos do conjunto P segundo a rotação definida pela


28

matriz R, esses pontos irão sobrepor-se aos pontos correspondentes do conjunto Q.

Se o número de pontos em cada conjunto é dois, então R representa a rotação exacta. Se

o número de pontos for maior do que dois, então R representa a rotação óptima no

sentido dos mínimos quadrados. Em [Dorst, 2005] é realizada uma análise dos erros de

primeira ordem do método referido.

Suponha-se agora que se quer determinar a transformação afim que melhor alinha os

dois conjuntos de pontos P e Q anteriormente definidos e que estes já estão centrados na

origem. Assim, deseja-se uma transformação linear que aplique P em Q (ou o oposto).

Seja A uma matriz de dimensão 22× ou 33× , conforme os pontos sejam 2D ou 3D.

Considerando as coordenadas dos pontos de P e Q dispostos em coluna e ordenados,

[ ]Tn

TT pppP ...21= e [ ]Tn

TT qqqQ ...21= ,

pretende-se resolver o problema linear QPX = . Se P é invertível, então a solução

exacta é dada por 1−= PQX . Contudo, os conjuntos de pontos P e Q são definidos por

vários pontos para que o erro médio de localização dos pontos seja pequeno. Deste

modo, normalmente a matriz P não é quadrada e portanto não é invertível. Neste caso,

considera-se a solução do sistema de equações QPX = obtida no sentido dos mínimos

quadrados.

3.2.1.2.4 Transformação de similaridade no plano complexo

Em [Oliveira, 2009a] é usado um procedimento distinto do anterior para determinar a

transformação rígida ou de similaridade que melhor alinha dois conjuntos de pontos 2D

previamente correspondidos. De um modo simplificado, a metodologia implementada

considera os pontos definidos no plano complexo, C, onde uma transformação de

similaridade T pode ser representada simplesmente por:

uwzzzT

+=→

'CC:

,

onde w e u são números complexos. A transformação T pode ser vista como uma função

que aplica uma rotação e um escalamento em torno da origem seguindo-se uma

translação.

Se o ponto 1p corresponde ao ponto 1q e o ponto 2p corresponde ao ponto 2q , então,


29

através da definição de T, tem-se:

( )( )

=+=+

⇔

==

22

11

22

11

quwpquwp

qpTqpT

.

Resolvendo este sistema de equações lineares, em ordem a u e w obtém-se os

parâmetros da transformação T. O valor absoluto de w representa o escalamento, o

argumento de w representa o ângulo de rotação e a translação em x e y é definida,

respectivamente, por ( )uRe e ( )uIm .

Pelas razões já enunciadas, geralmente são usados mais do que dois pontos. A solução

proposta em [Oliveira, 2009a] consiste em calcular a transformação geométrica que

alinha cada par de pontos de um conjunto com o respectivo par de pontos do outro

conjunto. Seguidamente, é realizado o tratamento estatístico das soluções obtidas,

eliminando-se assim a influência dos outliers. Repare-se que n correspondências

implicam n pontos em cada conjunto e com n pontos é possível definir ( ) 2/1−nn pares.

A título de exemplo, repare-se que com 10 correspondências é possível obter 45

estimativas para a transformação geométrica.

Uma vantagem deste método relativamente aos anteriores é o facto de não basear todas

as transformações nos mesmos centróides, aliás, os centróides nunca são considerados.

Note-se que as deformações que as imagens possam ter sofrido geralmente originam um

movimento dos centróides relativamente aos restantes pontos do respectivo conjunto.

Assim, nos métodos que usam o centróide, como a rotação é calculada após centrar os

conjuntos de pontos, tendo por base os seus centróides, o erro de determinação dos

centróides vai influenciar a rotação, aumentando assim o erro final. Tal situação não se

verifica no algoritmo apresentado em [Oliveira, 2009a].

3.2.1.2.5 Método de eliminação de outliers: algoritmo RANSAC

Os métodos que optimizam a transformação geométrica no sentido dos mínimos

quadrados, isto é, minimizando a soma dos erros quadráticos, são muito sensíveis à

presença de outliers. Como o erro é quadrático, um ponto outlier muito afastado tem um

enorme efeito no erro e consequentemente na transformação geométrica determinada.

Uma solução para este problema é eliminar os outliers do conjunto das

correspondências. Para tal, em [Fischler, 1981] é proposto um algoritmo de eliminação

de outliers conhecido por Random Sample Consensus (RANSAC). Este algoritmo pode


30

ser dividido nos seguintes passos:

1 − Escolher aleatoriamente um subconjunto de pontos em função do modelo de

transformação geométrica pretendida e calcular a transformação com base nesses

pontos (note-se que a escolha de um subconjunto de pontos, na prática

corresponde à escolha de um subconjunto de correspondências de entre todas as

conhecidas);

2 − Aplicar a transformação determinada a todos os pontos de um dos conjuntos;

3 − Determinar o conjunto de pontos, S, que estão a uma distância inferior a uma

determinada tolerância dos seus correspondentes no outro conjunto (mais uma

vez, a escolha dos pontos do conjunto S corresponde à escolha de

correspondências);

4 − Se o número de pontos de S é maior ou igual a um valor pré-estabelecido,

então S é usado para calcular transformação geométrica final pretendida, usando

por exemplo os mínimos quadrados. Se o número de pontos de S é menor do que

o valor pré-estabelecido, então regressa-se ao ponto 1 ignorando a transformação

previamente determinada.

3.2.1.3 Transformação usando coordenadas homogéneas

Na Secção 3.2 foi referido que uma transformação afim pode ser definida como uma

aplicação linear seguida de uma translação, sendo que se a translação não for nula, a

transformação afim não é uma aplicação linear. No entanto, elevando a dimensão do

espaço é possível tratar as transformações projectivas, e por consequência as

transformações afim, como transformações lineares. A título de exemplo, tem-se que

uma transformação rígida T em 2D pode ser definida por:

+++−

=

+

−=

y

x

y

x

tbatba

tt

ba

ba

Tθθθθ

θθθθ

cossinsincos

cossinsincos

,

onde θ representa o ângulo de rotação e xt e yt a translação segundo os eixos das

abcissas e das ordenadas, respectivamente.

Considerando os pontos do plano R2 definidos em coordenadas homogéneas, tem-se que

o vector:


31

ba

,

ficará representado pelo vector:

1ba

.

A transformação T anteriormente definida ficará definida por:

+++−

=

−=

1cossinsincos

1100cossinsincos

1' y

x

y

x

tbatba

ba

tt

ba

T θθθθ

θθθθ

,

o que mostra que a transformação não linear T pode ser substituída pela transformação

linear T '.

A consideração das transformações geométricas usando coordenadas homogéneas tem a

vantagem de definir todas as transformações como o produto de uma matriz, que

representa a transformação, pelas coordenadas dos pontos as transformar.

A Tabela 3.2 sintetiza a forma das matrizes que representam as transformações

geométricas 2D quando definidas usando coordenadas homogéneas.

A determinação dos elementos da matriz de transformação pode ser alcançada

resolvendo os sistemas de equações originados. Por exemplo, para a transformação

afim, com o conhecimento de três correspondências definem-se seis equações

linearmente independentes nas mesmas seis incógnitas. Assim, o sistema de equações

resultante poderá ser facilmente resolvido usando o método de eliminação de Gauss,

[Press, 2002], por exemplo.

No caso de transformações projectivas, para determinar a matriz da transformação

conhecendo quatro correspondências, faz-se 133 =h (ver Tabela 3.2), obtendo-se assim

um sistema linear de oito equações com oito incógnitas que pode ser resolvido

facilmente. No caso de serem conhecidas mais de que quatro correspondências, é

normal não existir uma solução exacta, determinando-se uma solução aproximada

usando, por exemplo, mínimos quadrados. Outra técnica frequentemente usada para

determinar a transformação geométrica pretendida consiste no algoritmo DLT −direct


32

linear transform. Informação sobre este algoritmo e teoria subjacente poderá ser

consultada, por exemplo, em [Hartley, 2003].

Tabela 3.2: Relação entre o tipo de transformação geométrica, definida usando

coordenadas homogéneas, com a forma da matriz que a representa e os graus de

liberdade, em transformações geométricas 2D.

Transformação Matriz Graus de liberdade

Projectiva

333231

232221

131211

hhhhhhhhh

8 (necessário quatro

correspondências, [Hartley, 2003])

Afim

1002221

1211

y

x

thhthh

6 (necessário três correspondências)

Similaridade

−

100cossinsincos

y

x

tsstss

θθθθ

4 (necessário duas correspondências)

Rígida

−

100cossinsincos

y

x

tt

θθθθ

3 (necessário duas correspondências)

3.2.2 Eixos principais

Os eixos principais são muito usados para realizar o alinhamento de duas imagens 2D

ou 3D. A sua aplicação é muito simples e não necessita da determinação de

correspondências. Pode ser usado apenas um conjunto de pontos característicos, como

por exemplo, pontos de contornos, pontos de bifurcação ou vértices, etc. Pode também

ser usada a imagem na totalidade e características globais extraídas da mesma, como o

nível de cinzento e o gradiente, por exemplo.

Na formulação seguinte considera-se todos os píxeis de cada imagem 2D sendo

atribuído um peso, ( )yxf , e ( )yxg , , a cada píxel das mesmas. Para o caso de imagens


33

3D, o procedimento é equivalente. Por simplicidade, suponha-se que ( )yxf , e ( )yxg ,

representam a intensidade das respectivas imagens f e g; no entanto, podem representar

outra característica da imagem. O centróide da imagem f, ( )ff yx , , é dado por:

( )( ) ( )

( )∑∑

∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

×= 1

0

1

0

1

0

1

0

,

,,, n

x

m

y

n

x

m

yff

yxf

yxyxfyx .

De modo análogo, calcula-se o centróide da imagem g, ( )gg yx , . O passo seguinte

consiste em calcular a matriz de correlação das coordenadas de cada imagem, fC e gC .

Para a imagem f tem-se:

( ) [ ]

( )∑∑

∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

−−×

−

−×

= 1

0

1

0

1

0

1

0

,

,

n

x

m

y

n

x

m

yff

f

f

f

yxf

yyxxyyxx

yxfC

Os vectores próprios de fC são os eixos principais da imagem f. De mesmo modo,

determinam-se os eixos principais da imagem g.

Para alinhar as imagens, tem-se que a diferença das coordenadas dos centróides indica a

translação. O alinhamento rotacional das imagens é obtido alinhando os eixos principais

das mesmas.

Na Figura 3.1 é apresentado um exemplo de duas imagens de pedobarografia, os

respectivos centróides, os eixos principais e o alinhamento final obtido considerando o

nível de intensidade de todos os píxeis das imagens originais.

3.2.3 Aproximação pontual iterativa

O algoritmo iterative closest point algorithm (ICP) foi proposto em [Besl, 1992] para o

alinhamento de formas 3D. No artigo original é realizado o alinhamento de um conjunto

de dados com um modelo. A ideia principal é iterativamente aproximar o conjunto de

pontos do modelo. Os dados poderão ser oriundos de diversas fontes, nomeadamente

sensores que forneçam a localização 3D da estrutura a alinhar pelo modelo. Seja qual

for o tipo de estrutura a alinhar, esta tem que ser convertida para um conjunto de pontos.


34

Figura 3.1: Na linha superior, duas imagens de pedobarografia, os respectivos centróides e eixos

principais. Na linha inferior, do lado esquerdo as duas mesmas imagens sobrepostas antes do

alinhamento e do lado direito as duas imagens após o alinhamento usando e metodologia

baseada nos eixos principais. (As cores das imagens foram modificadas

para facilitar a sua visualização.)

O algoritmo adoptado pode ser descrito nos seguintes passos:

1 − Para cada ponto do conjunto de dados a alinhar, identificar o ponto do

modelo que lhe está mais próximo;

2 − Determinar a transformação rígida que melhor alinha o conjunto de pontos

com o modelo, com base correspondência estabelecidas no ponto anterior;

3 − Aplicar a transformação rígida ao conjunto de pontos;

4 − Se a distância entre o conjunto de pontos e o modelo (poderá ser calculada

usando mínimos quadrados) for superior a uma dada tolerância, regressa-se ao

ponto 1. Caso contrário, considera-se que o alinhamento está concluído.

Este algoritmo vai iterativamente aproximando o conjunto de pontos a alinhar da região

do modelo que lhe está mais próxima. Assim, é natural que a solução encontrada seja a


35

melhor local, no entanto não há garantia alguma que é a melhor solução global. A

solução proposta em [Besl, 1992] para aumentar a probabilidade do algoritmo convergir

para a melhor solução global é inicializar o algoritmo várias vezes com diferentes

estimativas para a rotação e depois escolher para transformação final a que originou

menor distância entre o conjunto de pontos a alinhar e o modelo, de entre todas as

transformações determinadas.

Em [McLaughlin, 2005] é realizada uma comparação entre os métodos baseados em

características que usam ICP e os métodos baseados em intensidade para o alinhamento

2D−3D em neuro-intervenções.

3.3 Metodologias baseadas em intensidade

Os métodos de alinhamento baseados em intensidade podem ser classificados segundo

dois critérios fundamentais: a estratégia seguida para procurar a melhor solução de

alinhamento e a medida de similaridade (qualidade do alinhamento) considerada. Nesta

secção optou-se por dividir esses métodos em: domínio espacial (trabalham com a

localização dos píxeis) e domínio das frequências (trabalham com o espectro e a fase

das imagens).

3.3.1 Domínio espacial

3.3.1.1 Estratégias dos algoritmos de optimização

Uma ideia muito simples para alinhar duas imagens consiste em aplicar a uma delas um

conjunto de deformações/transformações geométricas e posteriormente escolher a

transformação que originou melhores resultados em termos da medida de similaridade

considerada.

A estratégia de alinhamento mais simples é talvez a estratégia da força “bruta”, isto é,

testam-se todas as deformações possíveis e escolhe-se aquela que originar melhores

resultados em termos da medida de similaridade utilizada. Naturalmente, não é possível

testar todas as hipóteses de deformação no domínio contínuo. Assim, os parâmetros da

transformação a aplicar tem que ser discretizados. Obviamente, quanto maior for o

conjunto discreto de valores testados maior é o tempo dispendido para calcular as

transformações correspondentes. Geralmente, este tipo de estratégia de alinhamento não

é utilizada. No entanto, em algumas situações particulares, nomeadamente, em situações


36

em que a faixa de variação dos parâmetros da transformação é muito estreita, esta

estratégia poderá ser uma escolha adequada.

Para transformações rígidas ou de similaridade, uma solução que diminui os graus de

liberdade do algoritmo de procura da solução óptima consiste em transformar o sistema

de coordenadas rectangulares para o sistema de coordenadas log-polar, [Wolberg,

2000]. Se o centro de rotação escolhido para cada imagem for o mesmo em ambas,

então a rotação e o escalamento podem ser facilmente determinadas pois manifestam-se

como deslocações no espaço log-polar. Um dos problemas desta metodologia é a

dificuldade em encontrar o centro de rotação correcto. Em [Wolberg, 2000] é adoptada

uma metodologia de multi-resolução com uma procura exaustiva pela melhor

localização para o centro de uma das imagens tendo como referência o centro

geométrico da outra imagem.

Outra possível solução para o centro de rotação poderia ser o centróide pesado em

função da intensidade ou gradiente. No entanto esta solução, tal como a apresentada

[Wolberg, 2000] é bastante sensível a condições de iluminação e à janela de

visualização, pois podem estar representados objectos numa imagem e não estarem

representados na outra imagem. Outro ponto fraco deste tipo de métodos é o facto de

geralmente não funcionarem com alinhamento de imagens obtidas em diferentes

modalidades (multimodal registration).

Algumas das estratégias/técnicas de optimização frequentemente usadas nos métodos

baseados em intensidade são: método de Powell, gradiente descendente/ascendente,

gradiente descendente/ascendente conjugado e simulated annealing, combinadas com

uma estratégia de multi-resolução, [Hellier, 2004]. A juntar a estas técnicas ainda se tem

a possibilidade de utilizar toda a imagem ou apenas uma região de interesse (ROI).

A ideia principal do método de Powell, [Press, 2002], é simples, contudo eficiente em

muitas situações. Pode-se resumi-la do seguinte modo. Seja F uma função real que se

pretende minimizar (ou maximizar) e

( )nxxxX ,...,, 210 = ,

a estimativa inicial. Para inicializar, sejam:

niii ,...,1 com , == eu ,


37

onde ie representa o vector i da base canónica do espaço de procura considerado. Tem-

se assim que a solução inicial dada em relação às direcções iu é:

( ) nnn xxxxxxX uuu +++== ...,...,, 2211210 .

Terminada agora a fase de inicialização, o algoritmo prossegue fazendo variar

sucessivamente cada uma das variáveis ix até que seja atingido o mínimo, obtendo

sucessivamente uma nova estimativa iX em relação à base definida pelos si 'u . Após

ajustar as n variáveis, faz-se:

01 , ,...,2 com , XXni nnii −==←− uuu

e procura-se o mínimo ao longo desta nova direcção nu , pois foi esta que originou

melhores resultados. A nova estimativa passa a ser o ponto de partida, 0X , para a nova

iteração, considerando agora as novas direcções. Este processo é repetido

sucessivamente até que o critério de paragem seja satisfeito.

Dependendo da aplicação, a ordem pela qual se colocam ou fazem variar as variáveis ix

no sentido de procurar o valor óptimo da função F deve ser adaptada para aumentar a

velocidade de convergência e diminuir a inter-dependência entre as variáveis. Por

exemplo, nas aplicações de alinhamento de imagens, é de esperar que a procura do valor

óptimo seja mais eficiente se se começar pelo ajuste das variáveis que representam a

translação e só depois a(s) que representa(m) a rotação. Em [Press, 2002], por exemplo,

são apresentadas algumas soluções para melhorar este método.

O método gradiente descendentte usa informação do gradiente para estimar a nova

aproximação em cada passo do processo iterativo de optimização. Seja F uma função

real que se pretende minimizar. Suponhamos que F está definida, é monótona e

diferenciável numa vizinhança do ponto A. Tem-se assim que F decresce quando se vai

de A no sentido contrário ao dado pelo vector gradiente de F em A, ( )AF∇− . Assim,

se:

( )AFAB ∇−= α ,

e 0>α é um número suficientemente pequeno, então:


38

( ) ( )BFAF ≥ .

Baseado no que se acabou de descrever, para o alinhamento de imagens, começa-se com

um valor inicial 0X para o alinhamento e depois iterativamente constrói-se a sequência

de estimativas para a transformação, nXXX ,...,, 10 , até que o critério de paragem seja

satisfeito, onde:

( ) 0,1 ≥∇−=+ nXFXX nnnn α ,

tendo-se assim, consequentemente:

( ) ( ) ( ) ( )nXFXFXFXF ≥≥≥≥ ...210 .

Assim, é de esperar que a sequência ( ) ( ) ( ) ( )nXFXFXFXF ,...,,, 210 convirja para um

mínimo. Para melhorar o processo, o valor de iα pode ser ajustado em cada iteração.

Na exposição deste método considerou-se que a função F é diferenciável, mas se F

representa a similaridade entre duas imagens discretas, é de esperar que não seja

diferenciável. No entanto, esta situação não constitui problema pois pode-se usar a

derivada discreta para estimar a derivada.

O método baseado no gradiente ascendente é baseado na mesma ideia do gradiente

descendente. Neste caso, o objectivo é maximizar a medida de similaridade.

Consequentemente, constrói-se a sequência de valores:

( ) 0,1 ≥∇+=+ nXFXX nnnn α ,

obtendo-se:

( ) ( ) ( ) ( )nXFXFXFXF ≤≤≤≤ ...210 .

O método baseado no gradiente descendente/ascendente é um algoritmo de optimização

de primeira ordem e portanto não é adequado para optimizar funções de graus mais

elevados. Por exemplo, para uma função quadrática, o método do gradiente

ascendente/descendente realiza muitos pequenos passos na direcção da solução óptima,

não usando as propriedades deste tipo de função. Assim, para este tipo de situações, os

métodos do gradiente conjugado são uma melhor alternativa. Uma apresentação deste

método pode ser consultada em [Press, 2002].


39

Os algoritmos de optimização frequentemente convergem para mínimos (ou máximos)

locais, dificultando assim que o mínimo global seja alcançado. A optimização baseada

em simulated annealing é uma técnica cuja principal característica é permitir encontrar

o mínimo (ou máximo) global de funções que têm muitos mínimos (máximos) locais.

Precisamente devido a esta faceta, esta técnica tem atraído a atenção da comunidade

científica. Na base deste algoritmo de optimização está a distribuição de probabilidade

de Boltzmann, [Press, 2002]:

( ) kTE

eEP−

≈ .

Nas aplicações cujo objectivo é minimizar o valor de uma medida similaridade (ou des-

similaridade) de duas imagens representado por uma função F, tem-se que:

( ) ( )ii XFXFFE −=∆= +1 ,

onde F é a função a minimizar. O parâmetro k ( 0>k ) é uma constante que depende do

sistema e da implementação e o parâmetro T ( 0>T ) controla a velocidade do sistema.

Em termodinâmica, T representa a temperatura do sistema, sendo que este valor vai

diminuindo lentamente ao longo do tempo para obrigar o sistema a lentamente a perder

energia e convergir para um estado de energia mínima.

Pela fórmula da distribuição de probabilidade de Botlzmann, pode-se concluir que

quando 0≤E , isto é, a estimativa 1+iX origina um valor menor ou igual para a função

F do que a estimativa iX , a probabilidade é igual a 1 (um). Assim, a nova estimativa

1+iX é aceite. Quando 0>E , a nova estimativa 1+iX é aceite com a probabilidade dada

pela fórmula de Boltzmann. Esta situação pode originar que o algoritmo aceite uma

nova estimativa pior do que a anterior, o que parece fazer pouco sentido. No entanto,

este facto é a chave do sucesso deste algoritmo, pois assim permite que o algoritmo

possa sair de um mínimo local.

A fórmula de probabilidade de Boltzmann apenas decide se a nova estimativa é ou não

aceite. Assim, é necessário incluir uma estratégia de cálculo das sucessivas novas

estimativas para o valor óptimo. Na implementação base da técnica simulated

annealing, o processo de determinação das novas estimativas é aleatório. No entanto,

dependendo da aplicação, podem ser usados outros mecanismos mais eficientes de

determinação das sucessivas estimativas. Um exemplo de aplicação na área do


40

alinhamento de imagens médicas pode ser visto em [Loeckx, 2003].

A ideia principal dos métodos de multi-resolução é a seguinte: Inicialmente é realizado

um alinhamento considerando as imagens definidas em baixa resolução, estimando-se

assim um alinhamento grosseiro. Seguidamente, consideram-se as imagens com uma

resolução maior e alinhadas segundo a transformação determinada no passo anterior.

Este processo é repetido até que finalmente se faz o alinhamento das imagens originais.

A título de exemplo, na primeira iteração pode-se usar uma amostra das imagens onde

cada píxel representa uma região de 88× píxeis da imagem original. Na segunda

iteração, cada píxel representa uma região de 44× píxeis da imagem original, e assim

sucessivamente.

Frequentemente, os algoritmos de alinhamento de imagem baseados em intensidade

usam uma estratégia de multi-resolução devido a dois factores principais:

− A probabilidade do algoritmo multi-resolução convergir para um mínimo local

é menor do que nos métodos que operam sempre sobre a imagem original;

− Geralmente a velocidade de convergência é maior, pois o algoritmo dá passos

maiores na direcção da convergência aquando da utilização das imagens de

baixa resolução comparativamente aos dados pelos algoritmos que trabalham

sempre com a imagem de alta resolução. Além disso, como o algoritmo de

multi-resolução na fase final já está a trabalhar com as imagens originais de

elevada resolução e estas já estão relativamente bem alinhadas, a solução óptima

é facilmente encontrada.

Frequentemente, a procura pelo melhor alinhamento possível não é realizada tendo em

conta toda a imagem mas apenas uma região de interesse (ROI). Este tipo de estratégia

tem algumas vantagens relativamente às técnicas que consideram toda a imagem,

nomeadamente:

− Ao utilizarem uma imagem constituída por menor número de píxeis (ou

vóxeis) diminui o esforço computacional e consequentemente aumenta a

velocidade de execução do algoritmo;


41

− Quando uma imagem tem objectos adicionais que não estão presentes na outra

imagem que se pretende alinhar, a escolha de uma ROI que não considere esses

objectos vai permitir obter melhores resultados no alinhamento;

− A presença de um tumor apenas em uma das imagens pode fazer com que o

algoritmo de alinhamento das imagens fracasse no caso de considerar a

totalidade das imagens. Assim, a escolha de uma ROI que não tenha o tumor

conduzirá a melhores resultados no alinhamento;

− O campo de visão representado nas duas imagens a alinhar pode ser

significativamente diferente. Assim, é fundamental que seja escolhida uma ROI

representada em ambas as imagens;

− Se as imagens são obtidas de diferentes modalidades, poderá ser escolhida

uma ROI em que a similaridade das intensidades entre as imagens das diferentes

modalidades esteja mais relacionada.

3.3.1.2 Medidas de similaridade

O alinhamento de imagens usando a similaridade entre píxeis envolve o cálculo da

transformação geométrica através da optimização de uma medida de similaridade

calculada directamente sobre a intensidade dos píxeis. Em algumas situações, em vez da

intensidade dos píxeis originais, são usadas outras características extraídas da própria

intensidade, como por exemplo, imagens suavizadas ou imagens relacionadas com o

gradiente. No alinhamento multimodal, são por vezes realizadas operações sobre a

intensidade de modo a tornar as duas imagens mais compatíveis. Nesta secção não será

feita distinção entre imagem original e imagem obtida da original através de uma

qualquer operação de transformação de intensidade.

Ao longo dos anos têm sido propostas diferentes medidas para quantificar a

similaridade entre imagens com base na comparação das intensidades dos píxeis

correspondentes de ambas as imagens. Algumas das medidas mais usadas são: soma dos

quadrados das diferenças (SSD); correlação cruzada (CC); entropia conjunta ;

informação mútua (MI). Esta medidas podem ser obtidas usando as duas imagens na

totalidade ou apenas utilizado uma ROI. Em [Penney, 1998] pode ser consultado um

estudo aprofundado relacionado com este tema.


42

3.3.1.2.1 Soma dos quadrados das diferenças

A função de custo soma dos quadrados das diferenças (SSD), por vezes referida apenas

como “least squares,” tem sido largamente usada em alinhamento de imagem, [Woods,

1998], [Hajnal, 1995], [Friston, 1995], [Orchard, 2005], [Fitch, 2005], [Orchard,

2007b], [Lucas, 1981]. A fórmula é:

( )∑=

−=N

iii gfSSD

1

2 ,

onde N representa o número total de píxeis no domínio considerado, if representa a

intensidade do píxel da imagem f indexado por i, ig a intensidade do píxel

correspondente da imagem g.

Geralmente é utilizada a SSD normalizada e referida apenas como SSD. A sua fórmula

é a seguinte:

( )∑=

−=N

iii gf

NSSD

1

21 .

Também é comum considerar-se a soma pesada do quadrado das diferenças. Nestes

casos é usada a fórmula:

( ) i

N

iii wgfSSD ∑

=

−=1

2 ,

onde iw é o peso atribuído.

A medida SSD é muito sensível a píxeis cuja diferença entre as intensidades

correspondentes seja muito elevada, por exemplo devido a ruído. Para reduzir esses

efeitos pode ser usada a soma das diferenças absolutas (SAD) em vez da SSD. As

imagens são consideradas optimamente alinhadas quando estas medidas, SSD ou SAD,

atingem o seu valor mínimo.

A medida SSD tem por base o pressuposto que os píxeis correspondentes às mesmas

regiões do corpo devem ter idênticas intensidades na imagem que representa essas

regiões. Assim, esta medida é mais adequada para o alinhamento monomodal do que

multimodal. No entanto, têm sido realizados alguns trabalhos na área do alinhamento

multimodal usando a SSD, [Guimond, 2001], [Periaswamy, 2003].


43

3.3.1.2.2 Correlação cruzada

A correlação cruzada não é mais do que o coeficiente de correlação linear de Pearson,

[Press, 2002]. O coeficiente de correlação é uma medida de dependência linear entre

duas variáveis. Para o caso concreto das aplicações de alinhamento de imagens, mede a

relação de dependência linear da intensidade dos píxeis correspondentes. A fórmula

considerada é:

( )( )

( ) ( )∑∑

∑

==

=

−×−

−−=

N

ii

N

ii

N

iii

ggff

ggffCC

1

2

1

2

1 ,

onde if , ig e N são os mesmos parâmetros que foram definidos para a SSD e f e g

são as médias das intensidades das imagens f e g nos domínios considerados.

Como é bem conhecido, o CC varia entre 1− e 1. Um valor próximo de 1− significa

que há uma correlação linear forte mas negativa, isto é, há uma forte dependência linear

entre as intensidades das duas imagens mas quando a intensidade de um píxel aumenta

numa das imagens, a intensidade do píxel correspondente da outra imagem diminui. Um

valor próximo de 1 (um) significa que há uma correlação linear forte positiva, isto é, há

uma forte dependência linear entre as intensidades das duas imagens e quando a

intensidade de um píxel aumenta numa das imagens, a intensidade do píxel

correspondente da outra imagem também aumenta. Já um valor próximo de 0 (zero)

significa que não há dependência linear entre as intensidades das imagens.

Como exemplos de trabalhos onde é usado a CC podem ser considerados: [Cideciyan,

1995], [Solaiyappan, 2000] e [Maintz, 1996].

3.3.1.2.3 Entropia conjunta

Talvez a maior parte das medidas de similaridade actualmente usadas seja baseadas na

medida de entropia Shannon-Wiener, H, originalmente desenvolvida como no âmbito

da teoria de comunicação na década de 40 do século passado, [Hajnal, 2001]. No

entanto, há outras medidas de entropia que em alguns casos são consideradas por alguns

autores como mais adequadas para as aplicações de alinhamento de imagem médica,

nomeadamente, Rényi entropy, [Hamza, 2003], [Wachowiak, 2003] e Tsallis entropy,

[Tsallis, 1988], [Martin, 2004], [Cvejic, 2006], [Sun, 2007].


44

Nas aplicações de alinhamento de imagem, a entropia Shannon-Wiener é dada por:

( ) ( ) ( )( )∑=

−=N

iff ipipfE

0log ,

onde ( )ip f é a probabilidade de existir um píxel com intensidade i na imagem f (ou

ROI considerada na imagem f), isto é:

( )f

fiip f em píxeis de totalnúmero em eintensidad com píxeis de número

= .

A entropia atinge o máximo se todos os píxeis tiveram diferentes níveis de intensidade e

atinge o mínimo se todos os píxeis tiverem a mesma intensidade.

Considere-se agora duas imagens, f e g, e o histograma conjunto das intensidades das

mesmas. A probabilidade conjunta ( )jip gf ,, representa a probabilidade de um píxel na

imagem f ter intensidade i e o seu correspondente na imagem g ter intensidade j, isto é:

( )( )2, osconsiderad eintensidad de níveis de número

conjunto histograma no ),( eintensidad com píxeis de pares de número, jijip gf = .

A entropia conjunta de duas imagens f e g é calculada em função do seu histograma

conjunto e é dada por:

( ) ( ) ( )( )∑∑= =

−=N

i

N

jgfgf jipjipgfH

0 0,, ,log,, .

Para duas imagens optimamente alinhadas, os píxeis no histograma conjunto das duas

imagens tendem a concentrar-se sobre uma linha recta e portanto a entropia conjunta

atinge o mínimo. Se as duas imagens não estão alinhadas, os píxeis no histograma

conjunto tendem a dispersar-se e consequentemente a entropia conjunta é maior do que

seria se as imagens estivessem alinhadas.

Na Figura 3.2 é apresentado um exemplo de duas imagens e os respectivos histogramas

conjuntos para as situações em que as imagens estão alinhadas e não alinhadas.

Geralmente, a entropia conjunta não é usada individualmente nas aplicações de

alinhamento de imagem, mas sim combinada com a entropia individual de cada

imagem, originando assim a uma nova medida de similaridade chamada informação

mútua.


45

(a) (b) (c) (d)

(e)

Figura 3.2: Duas imagens e os seus histogramas conjuntos: (a) imagem de raio X do peito; (b) a mesma

imagem de raio X após uma pequena translação vertical; (d) representação plana do histograma

conjunto da imagem (a) com ela própria; (c) representação plana do histograma conjunto da

imagem (a) com a imagem (b); (e) representação 3D do histograma conjunto

das imagens (a) e (b).

3.3.1.2.4 Informação mútua

A entropia conjunta pode ser usada directamente como medida de similaridade, no

entanto tal é pouco comum porque esta é muito dependente da região de interesse

considerada. Por exemplo, se a região de interesse considerada na imagem modelo f

engloba uma grande porção do fundo da imagem e a região correspondente da imagem a

alinhar g também, então a probabilidade conjunta correspondente à intensidade do

fundo das imagens será elevada e consequentemente a entropia conjunta ( )gfH , será

baixa. Obviamente, se a área de fundo diminuir, a entropia conjunta tem tendência a

aumentar. Assim, um algoritmo de alinhamento que procure minimizar a entropia

conjunta terá tendência para maximizar a quantidade de área de fundo das imagens

presente nas regiões de interesse e portanto pode originar soluções de alinhamento


46

incorrectas. A informação mútua é uma solução para este ponto fraco da entropia

conjunta.

A informação mútua foi introduzida como taxa de transmissão de informação por

Shannon em 1948, [Shannon, 1948], tornando-se conhecida posteriormente por

informação mútua. Esta medida foi simultaneamente proposta para o alinhamento

multimodal de imagens médicas por Viola e colaboradores, [Viola, 1995a], [Viola,

1995b], [Wells, 1995], [Viola, 1997]; e por Collignon e colaboradores, [Collignon,

1995], [Maes, 1997], [Collignon, 1998]. De um modo simplificado, a informação mútua

quantifica a qualidade com que uma imagem pode explicar a outra, atingindo o seu

máximo quando as imagens estão correctamente alinhadas.

Na literatura, a informação mútua é geralmente representada de três formas distintas,

mas todas equivalentes quando usada e medida de entropia de Shannon-Wiener:

( ) ( ) ( ) ( )gfHgHfHgfMI ,, −+= ;

( ) ( ) ( )fgHgHgfMI |, −= ;

( ) ( ) ( )( ) ( )∑∑

= =

=

N

i

N

j gf

gfgf jpip

jipjipgfMI

0 0

,,

,log,, .

O termo ( )fgH | representa a entropia condicional, a qual é baseada na probabilidade

condicional ( )ijp fg |, , ou seja, a probabilidade de um valor de intensidade j existir na

imagem g sabendo que o píxel correspondente da imagem f tem intensidade i. Os

restantes termos são os mesmos que foram definidos na entropia conjunta.

É importante relembrar que, regra geral, f e g representam a região de interesse e que

esta não é fixa. Assim, as entropias ( )fH e ( )gH não são constantes durante o

processo de alinhamento, embora a informação contida nas imagens o seja, obviamente.

A dimensão da região de interesse considerada influencia o valor da medida de

similaridade informação mútua. Assim, em [Studholme, 1999] é proposta um medida de

informação mútua normalizada (NMI) a qual é menos sensível à variação da dimensão

das regiões consideradas:

( ) ( ) ( )( )gfH

gHfHgfNMI,

, += .


47

Em [Pluim, 2003b] é realizado um estudo sobre a utilização da informação mútua no

alinhamento de imagens médicas. Esse estudo considera trabalhos até 2002. Como

exemplos de trabalhos mais recentes onde é usada a informação mútua, pode-se referir,

[Shekhar, 2002] e [Hellier, 2004].

A informação mútua é talvez a medida de similaridade mais usada no alinhamento de

imagens médicas. No entanto, a teoria de informação dispõe de outras medidas

adequadas para o alinhamento de imagens médicas baseadas na divergência da

distribuição conjunta da intensidade das imagens a alinhar. Em [Pluim, 2004] é

realizado um estudo comparativo entre a informação mútua e outras medidas baseadas

em informação, relativamente ao alinhamento de imagens médicas.

3.3.2 Domínio das frequências

Um sinal periódico pode ser representado por uma soma de funções periódicas. A

transformada de Fourier e as várias transformadas de onduleta são exemplos disso.

Nesta secção vai ser abordada apenas a transformação de uma imagem do domínio

espacial para o domínio das frequências usando transformadas de Fourier e de que

modo essa transformação pode ser uma ferramenta para o alinhamento de imagens.

A transformada de Fourier é uma transformação do sinal representado no domínio

temporal ou espacial para o domínio das frequências. Uma imagem bidimensional f no

domínio espacial pode ser vista como uma função que a cada par de coordenadas

representando uma localização espacial faz corresponder uma intensidade:

( ) ( )yxfyxIRIRDf

,,: 2

→⊂.

Para imagens discretas, D é um subconjunto de Z e usualmente é rectangular. No

domínio das frequências, a mesma imagem f pode ser representada por:

( ) ( )vuFvuCIRF

,,: 2

→⊂Γ,

onde cada valor de ( )vuF , é um número complexo ibaz += para o qual o seu valor

absoluto representa a amplitude ou espectro e a expressão )/arctan( ab representa a fase

do sinal. A conversão entre as duas formas é simples e rápida usando a transformada

rápida de Fourier (FFT) sem que informação seja perdida. As fórmulas seguintes


48

representam a relação entre as duas formas de definir uma imagem, considerando que a

imagens f é discreta e está definida num rectângulo de dimensões, NM × , [Gonzalez,

2008]:

( ) ( )∑∑−

=

−

=

+−

=1

0

1

0

2,,

M

x

N

y

Nvy

Muxi

eyxfvuFπ

,

( ) ( )∑∑−

=

−

=

+

=1

0

1

0

.2,1,

M

u

N

v

Nvy

Muxi

evuFMN

yxfπ

.

A Figura 3.3 mostra três imagens exemplo, e os respectivos espectros e fases. Nas

imagens representando os espectros, a frequência aumenta do centro da imagem para a

periferia e quanto mais branco é um píxel, maior é a magnitude do espectro

correspondente, ( )vuF , . Optou-se por centrar as frequências representadas nas

imagens obtidas por ser esta a forma mais comum de as representar e também porque

facilita a compreensão das propriedades a seguir indicadas. Nas imagens da fase, o

ângulo varia linearmente de π− rad (preto) até π+ rad (branco).

Como pode ser visto na Figura 3.3, uma rotação no domínio espacial corresponde à

mesma rotação do espectro no domínio das frequências. Assim, a rotação pode ser

determinada também no domínio das frequências. Outro facto que se pode observar é

que os espectros de duas imagens cuja diferença entre elas é apenas uma translação é

exactamente o mesmo. Esta propriedade é importante em aplicações de alinhamento de

imagens porque permite determinar a rotação que melhor alinha as imagens

independentemente da translação que as imagens possam ter sofrido.

Se as coordenadas rectangulares ( )yx, da imagem do espectro forem transformadas

para coordenadas polares ( )thetarho, , a rotação em coordenadas cartesianas converte-se

numa translação em coordenadas polares ao longo do eixo do theta. Assim, usando

SSD, correlação cruzada ou correlação de fase, por exemplo, facilmente se pode

encontrar o ângulo de rotação óptimo.

Observado as imagens da fase, parece que não há informação relevante que possa

auxiliar no alinhamento. No entanto, estando duas imagens alinhadas em termos de

rotação, a translação pode ser pode ser determinada usando a correlação entre as fases,

[Kuglin, 1975], [Foroosh, 2002], [Reddy, 1996], [Orchard, 2007a].


49

Figura 3.3: Por linha, três sequências de imagens exemplo: Da esquerda para a direita: imagens originais

no domínio espacial, espectro das imagens no domínio das frequências e finalmente

a fase das imagens no domínio das frequências.

Usualmente, os métodos baseados na correlação da fase são directos, isto é, determinam

o melhor alinhamento de uma só vez em vez de irem aos poucos aproximando-se da

melhor solução como muitos outros métodos. Este método é simples, basta considerar a

transformada de Fourier de ambas as imagens, dividir um a um os coeficientes

correspondentes das respectivas imagens e depois calcular a inversa da transformada de

Fourier. Se as duas imagens diferirem apenas de uma translação, a imagem final obtida

deverá apresentar um píxel ou um conjunto de píxeis, normalmente adjacentes, com

uma intensidade muito maior do que os restantes. Com base na localização desses píxeis

pode-se determinar translação, [Kuglin, 1975], [Foroosh, 2002], [Reddy, 1996],

[Orchard, 2007a]. Para ilustrar a propriedade acabada de descrever, observe-se a Figura

3.4. Esta imagem foi obtida usando as duas imagens de rectângulos paralelos aos eixos

coordenados representados na Figura 3.3.


50

Figura 3.4: Exemplo de uma imagem obtida determinando a correlação de fases directamente.

A posição do ponto mais claro indica a translação da imagem a alinhar

relativamente à imagem modelo.

Repare-se que na base da propriedade acabada de descrever está o facto de que o

quociente de dois números complexo é um número complexo cuja fase é igual à

diferença entre as fases de ambos. Em termos matemáticos, sejam θierz = e αρ iew =

dois números complexos quaisquer. Aplicando-se propriedades básicas das operações

com potências, tem-se que:

)()/(/ αθρ −= ierwz .

A Figura 3.5 mostra o alinhamento de duas imagens de CT da cabeça e o alinhamento

obtido usando a metodologia acabada de descrever.

Nos exemplos apresentados foi utilizada a intensidade dos píxeis para realizar o

alinhamento usando a transformada de Fourier. No entanto, mesmo usando a

transformada de Fourier, podem ser usadas características extraída da imagem, como

por exemplo contornos, [Orchard, 2007a].

A metodologia apresentada é adequada para alinhar imagens onde há apenas uma

deformação rígida de uma imagem para a outra. Alguns autores apresentam soluções

usando directamente ou indirectamente a transformada de Fourier para realizarem

alinhamento não necessariamente rígido.

Uma solução, não necessariamente usando transformadas de Fourier, consiste em

determinar a correspondência (neste caso alinhamento) de cada uma das pequenas

regiões características em que se divide a imagem modelo (considerando essas pequenas

regiões como se fossem uma ROI) com a imagem a alinhar. Note-se que neste tipo de

alinhamento é necessário optimizar uma medida de similaridade. Depois, considerando

as coordenadas dos centróides das pequenas regiões, é possível obter um conjunto de

correspondências que serão usadas para determinar a transformação. O problema deste


51

método é o elevado esforço computacional requerido. Em [Wong, 2006b] é apresentada

uma solução deste género. A principal diferença consiste no método de determinação da

translação óptima. Nesse trabalho, Wong e Orchard transformam o cálculo da SSD

numa convulsão, a qual é avaliada eficientemente no domínio das frequências, pois uma

convulsão no domínio espacial corresponde a uma multiplicação no domínio das

frequências. Note-se que se as regiões forem muito pequenas relativamente à imagem,

estas podem ser consideradas como pontos numa imagem de menor resolução e

portanto as rotações não são consideradas.

Além dos trabalhos já referidos, existem muitos outros trabalhos nesta área como, por

exemplo, os propostos em [Apicella, 1989], [Kassan, 1996].

Figura 3.5: Alinhamento de duas imagens de CT da cabeça: Na linha superior, duas imagens originais; na

linha à inferior, à esquerda as duas imagens sobrepostas antes do alinhamento e à direita as mesmas

após o alinhamento. (A imagem modelo foi representada em tons de azul e a imagem a alinhar

em tons de vermelho para facilitar a visualização.)


52

3.4 Conclusões

Existem várias técnicas de alinhamento de imagens. As apresentadas nesta monografia

foram divididas em baseadas em características geométricas e as baseadas na

intensidade. No entanto, existem muitas metodologias de alinhamento onde ambas as

técnicas trabalham em conjunto e outras em que a classificação se torna algo ambígua.

Como paradigmas das técnicas onde ambos os tipos de metodologia trabalham em

conjunto, vai-se indicar dois trabalhos. No primeiro, [Auer, 2005], é apresentada uma

metodologia de alinhamento hierárquica não rígida. A metodologia proposta pode ser

dividida em dois passos principais. No primeiro é realizado um rápido alinhamento

rígido grosseiro e no segundo um alinhamento mais lento mas mais fino. No primeiro

passo, o alinhamento é realizado com base na maximização da informação mútua

modificada e normalizada entre as duas imagens, [Likar, 2000], adoptando um esquema

de multi-resolução. Neste mesmo passo é usado o algoritmo de optimização de Powell,

[Press, 2002]. No segundo passo, é feita a combinação entre um alinhamento baseado

na correspondência pontual com uma interpolação thin-plate spline.

No segundo trabalho, [Andreetto, 2004], é apresentado outro exemplo de integração de

várias metodologias. O método proposto inicia com a extracção (segmentação) de uma

superfície seguida da transformada de Fourier 3D para estimar de forma grosseira a

transformação rígida. Seguidamente, é realizado o alinhamento fino das iso-superfícies

que descrevem os ossos usando o algoritmo ICP.

As várias técnicas/metodologias de alinhamento apresentadas têm pontos fortes e

fracos. A decisão de usar uma delas numa determinada aplicação em desfavor das outras

depende de características particulares da aplicação, tais como, velocidade de execução

pretendida, facilidade/dificuldade de realizar a segmentação das imagens, deformações

geométricas admitidas, existência ou não de oclusão de objectos numa imagem

relativamente à outra, existência de artefactos numa das imagens, modalidades

envolvidas, etc.

53

CAPÍTULO IV

Conclusões finais e perspectivas de trabalho futuro

4.1 Conclusões

A realização do estudo de investigação que está na base desta monografia, assim como

as soluções de alinhamento de imagem entretanto desenvolvidas e implementadas,

permitiram ter uma ideia bastante clara desta área de investigação.

Foram estudadas técnicas cujo desenvolvimento já se processou há alguns anos, assim

como técnicas cujo desenvolvimento é muito mais recente. Esta opção teve como

principal objectivo promover um desenvolvimento equilibrado de competências na área

do alinhamento de imagens, em especial as de origem médica.

4.2 Perspectivas de trabalho para a Tese de Doutoramento

A primeira fase do presente trabalho de Doutoramento, correspondente ao estudo

bibliográfico detalhado sobre as várias técnicas, metodologias e modelizações

computacionais, existentes em Visão Computacional, para o emparelhamento e

alinhamento de imagens/estruturas, está praticamente concluído, como se comprova

pelos capítulos anteriores. No entanto, um estudo mais aprofundado será realizado

relativamente às técnicas que venham a ser implementadas.

Na etapa seguinte deste projecto será construída a base da plataforma computacional a

utilizar no desenvolvimento, ensaio, comparação e validação das técnicas, modelações e

metodologias a considerar. Assim, serão identificadas e seleccionadas as bibliotecas

CAPÍTULO IV − CONCLUSÕES FINAIS E PERSPECTIVAS DE TRABALHO FUTURO _____________________________________________________________________________________

54

computacionais que a mesma poderá integrar. Caso a plataforma seja construída em

C++, poderão ser consideradas a bibliotecas Newmat (para cálculo matricial), OpenCV

(de processamento e análise de imagem), VTK (para a visualização e o processamento

de objectos gráficos 2D/3D), Free DICOM (para a importação e exportação de ficheiros

de imagem em formato DICOM) e ezDICOM (para importação e exportação de

ficheiros de imagens médicas de ressonância magnética, tomografia computorizada e

ultra-sons).

Após o desenvolvimento da base da plataforma computacional de desenvolvimento,

serão definidos vários casos reais de aplicação existentes na área médica. Assim, serão

identificados vários casos de aplicação de emparelhamento e alinhamento de estruturas

em imagens médicas 2D, 3D e 4D (3D mais tempo), considerando vários pacientes e

diferentes técnicas de aquisição de imagem. Exemplos de estruturas a considerar são:

coração, cérebro, pulmões, órgãos da cavidade pélvica, artérias e pés.

Na fase seguinte deste projecto, serão desenvolvidas, integradas na plataforma de

desenvolvimento, ensaiadas e validadas, técnicas, metodologias e modelizações

computacionais que permitam o emparelhamento e o alinhamento de estruturas

representadas em imagens médicas 2D/3D/4D.

Assim, serão consideradas as seguintes etapas, objectivos, técnicas e métodos:

− Emparelhamento de estruturas representadas em imagens médicas 2D,

considerando-se para tal características chave das mesmas, como pontos de

elevada curvatura, contornos e regiões. Com este fim, poderão ser consideradas,

entre outras possibilidades, modelizações estatísticas, geométricas e físicas,

complementadas com técnicas de optimização;

− Alinhamento de estruturas representadas em imagens médicas 2D; após o

emparelhamento de estruturas representadas em imagens médicas 2D, a

transformação espacial que melhor mapeia os dados envolvidos deverá ser

obtida, obtendo-se a sua componente rígida e as deformações não rígidas locais;

descritores canónicos robustos poderão também ser desenvolvidos e obtidos,

quer para as estruturas em causa quer para a transformação espacial obtida; nesta

etapa, serão consideradas técnicas de optimização;

− As técnicas, metodologias e modelizações desenvolvidas nas etapas anteriores

CAPÍTULO IV − CONCLUSÕES FINAIS E PERSPECTIVAS DE TRABALHO FUTURO _____________________________________________________________________________________

55

para emparelhar e alinhar estruturas representadas em imagens 2D deverão ser

agora adequadas, se possível, para imagens 3D; poderão ser implementadas

técnicas específicas para imagens 3D;

− Após os desenvolvimentos anteriores para emparelhar e alinhar estruturas

representadas em imagens 2D e 3D, nesta etapa serão desenvolvidas técnicas,

metodologias e modelizações para realizar o emparelhamento e alinhamento de

estruturas ao longo do tempo; isto é, ao longo de sequências de imagens

médicas; para tal, os desenvolvimentos anteriores poderão ser complementados

com a utilização de métodos estocásticos, como filtragem de Kalman e suas

variantes, para prever em cada instante o comportamento dos modelos

construídos para as estruturas, e modelizações de movimento.

Ao longo de todos os desenvolvimentos e implementações efectuadas, as técnicas,

metodologias e modelizações consideradas serão cuidadosamente ensaiadas e validadas

recorrendo-se a casos sintéticos adequados e aos casos reais da área da imagem médica

previamente identificados e seleccionados.

56

Referências

[Adams, 1994] − R. Adams, L. Bischof. Seeded region growing. IEEE Transactions on

Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 16, no. 6, pp. 641-647, June

1994.

[Andreetto, 2004] − Marco Andreetto, Guido M. Cortelazzo. Frequency domain

registration of computer tomography data. Proceedings of the 2nd

International Symposium on 3D Data Processing, Visualization, and

Transmission (3DPVT’04).

[Apicella, 1989] − A. Apicella, J. S. Kippenhan, J. H. Nagel. Fast multi-modality image

matching. Med. Imaging III: Image Process., vol. Proc. SPIE 1092, pp. 252-

263, 1989.

[Auer, 2005] − Martin Auer, Peter Regitnig, Gerhard A. Holzapfel. An automatic

nonrigid registration for stained histological sections. IEEE Transactions on

Image Processing, vol. 14, no. 4, pp. 475-486, April 2005.

[Bastos, 2006] − L. Bastos, J. M. R. S. Tavares. Matching of objects nodal points

improvement using optimization. Inverse Problems in Science and Engineering,

vol. 14, no. 5, pp. 529-541, 2006.

[Belongie, 2002] − S. Belongie, J. Malik, J. Puzicha. Shape matching and object

recognition using shape contexts. IEEE Transactions on Pattern Analysis and

Machine Intelligence, vol. 24, no. 24, pp. 509-522, 2002.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

57

[Besl, 1992] − P. J. Besl, N. D. McKay. A method for registration of 3-D shapes. IEEE

Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 14, pp. 239-

256, 1992.

[Beucher, 1992] − S. Beucher. The watershed transformation applied to image

segmentation. 10th Pfefferkorn Conference on Signal and Image Processing in

Microscopy and Microanalysis, 16-19 sept. 1991, Cambridge, UK, Scanning

Microscopy International, suppl. 6, pp. 299-314, 1992.

[Block, 2006] − W. F. Block, A. L. Alexander, S. B. Fain, M. E. Meyerend, C. J.

Moran, S. B. Reeder, K. K. Vigen, O. Wieben, J. H. Brittain. Magnetic

Resonance Imaging. Enclyclopedia of Medical Devices and Instrumentation,

Second Edition, Volume 4. Wiley-Interscience, A John Wiley & Sons Inc.

Publication, 2006.

[Brown, 1992] − Lisa Gottesfeld Brown. A survey of image registration techniques.

ACM Computing Surveys, vol. 24, no. 4, pp. 325-376, 1992.

[Canny, 1986] − J. F. Canny. A computational approach to edge detection. IEEE

Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 8, no. 6, pp.

679-698, November 1986.

[Carcassoni, 2003] − M. Carcassoni, E. Hancock. Correspondence matching with modal

clusters. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol.

25, no. 12, pp. 1609-1615, 2003.

[Chung, 2000] – Jae-Moon Chung, Noboru Ohnishi. Matching and recognition of

planar shapes using medial axis properties. Bio-Mimetic Control Research

Center, The Institute of Physical and Chemical Research (Riken), 2000.

[Cideciyan, 1995] − A. Cideciyan. Registration of ocular fundus images: an algorithm

using cross-correlation of triple invariant image descriptors. IEEE

Engineering in Medicine and Biology Magazine, vol. 14, no. 1, pp. 52-58,

1995.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

58

[Cohen, 1997] − S. Cohen, L. Guibas. Partial matching of planar polylines under

similarity transformations. Proceeding of the 8th Annual Symposium on

Discrete Algorithms, pp. 777-786, 1997.

[Collignon, 1995] − A. Collignon, F. Maes, D. Delaere, D. Vandermeulen, P. Suetens,

G. Marchal. Automated multi-modality image registration based on

information theory. Information Processing in Medical Imaging, Y. Bizais, C.

Barillot, and R. Di Paola, Eds., pp. 263-274, Kluwer Academic Publishers,

Dordrecht, Netherlands, 1995.

[Collignon, 1998] − A. Collignon. Multi-modality medical image registration by

maximization of mutual information. PhD. Thesis, Catholic University of

Leuven, Leuven, Belgium, 1998.

[Cootes, 1992] − T. Cootes, C. Taylor. Active shape models – smart snakes.

Proceedings of the British Machine Vision Conference, Leeds, 1992.

[Cvejic, 2006] − N. Cvejic, C N. Cangarajah, D. R. Bull. Image fusion metric based on

mutual information and Tsallis entropy. Electronics Letters, vol. 42, no. 11, pp.

626-627, 2006.

[Dorst, 2005] − Leo Dorst. First order error propagation of the Procrustes method for

3D attitude estimation. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine

Intelligence, vol. 27, no. 2, pp. 221-229, February 2005.

[Elsen, 1993] − Petra A. van Elsen, Evert-Jan D. Pol, Max A. Viergever. Medical image

matching − a review with classification. IEEE Engineering in Medicine and

Biology, vol. 12, no. 1, pp. 26-39, March 1993.

[Fielding, 2000] − G. Fielding, M. Kam. Weighted matching for dense stereo

correspondence. Pattern Recognition, vol. 33, no. 9, pp. 1511-1524, 2000.

[Fischler, 1981] − M. Fischler, R. Bolles. Random sample consensus: a paradigm for

model fitting with applications to image analysis and automated cartography.

Comm. of the ACM, 1981, vol. 24, pp. 381-395, 1981.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

59

[Fitch, 2005] − A. Fitch, A. Kadyrov, W. Christmas, J. Kittler. Fast robust correlation.

IEEE Transactions on Image Processing, vol. 14, no. 8, pp. 1063-1073, 2005.

[Fitzpatrick, 1998] − J. Fitzpatrick, J. West, C. Maurer. Predicting error in rigid-body,

point-based registration. IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 17, pp.

694-702, 1998.

[Foroosh, 2002] − H. Foroosh, J. B. Zerubia, M. Berthod. Extension of phase

correlation to subpixel registration. IEEE Transactions on Image Processing,

vol. 11, no. 3, pp. 188-200, March 2002.

[Friston, 1995] − K. J. Friston, J. Ashburner, J. B. Poline, C. D. Frith, J. D. Heather, R.

S. J. Frackowiak. Spatial registration and normalization of images. Human

Brain Mapping, vol. 2, pp. 165-189, 1995.

[Gonçalves, 2008] − P. Gonçalves, J. Tavares, R Jorge. Segmentation and simulation of

objects represented in images using physical principles. CMES: Computer

Modeling in Engineering & Sciences, vol. 32, no. 1, pp. 45-55, 2008.

[Gonzalez, 2008] − R. Gonzalez, R. Woods. Digital image processing, Third Edition,

Prentice Hall, 2008.

[Grau, 2004] − V. Grau, A.U. J. Mewes, M. Alcaniz, R. Kikinis, S. K. Warfield.

Improved watershed transform for medical image segmentation using prior

information. IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 23, no. 4, pp. 447-

458, April 2004.

[Guimond, 2001] − A. Guimond, A. Roche, N. Ayache, J. Meunier. Three-dimensional

multimodal brain warping using the demons algorithm and adaptive intensity

corrections. IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 20, no. 1, pp. 58-69,

January 2001.

[Hajnal, 1995] − Joseph. V. Hajnal, N. Saeed, A. Oatridge, E. J. Williams, I. R. Young,

G. M. Bydder. Detection of subtle brain changes using subvoxel registration

and subtraction of serial MR images. Journal of Computer Assisted

Tomography, vol. 19, pp. 677-691, 1995.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

60

[Hajnal, 2001] − Joseph V. Hajnal, Derek Hill, David J. Hawkes. Medical Image

Registration. CRC Press, 2001.

[Hamza, 2003] − Y. He, A. B. Hamza, H. Krim. A generalized divergence measure for

robust image registration. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 51,

no. 5, pp. 1211-1220, 2003.

[Hartley, 2003] − Richard Hartley, Andrew Zisserman. Multiple view geometry in

computer vision, Second Edition. Cambridge, 2003

[Hellier, 2004] − Pierre Hellier, Christian Barillot. A hierarchical parametric algorithm

for deformable multimodal image registration. Computer Methods and

Programs in Biomedicine vol. 75, no. 2, pp. 107-115, 2004.

[Jan, 2006] − Jiří Jan. Medical image processing, reconstruction and restoration:

concepts and methods. CRC Press - Taylor & Francis Group, 2006.

[Kass, 1988] − M. Kass, A. Witkin, D. Terzopoulos. Snakes: active contour models.

International Journal of Computer Vision, vol. 1, pp. 321-331, 1988.

[Kassan, 1996] − A. Kassam, M. L. Wood. Fourier registration of three-dimensional

brain MR images: exploiting the axis of rotation. Journal of Magnetic

Resonance Imaging, vol. 6, pp. 894-902, 1996.

[Keren, 2009] − D. Keren. A probabilistic method for point matching in the presence of

noise and degeneracy. Journal of Mathematical Imaging and Vision, vol. 33,

pp. 338-346, 2009.

[Kuglin, 1975] − C. D. Kuglin, D. C. Hines. The phase correlation image alignment

method. Proceedings International. Conference. Cybernetics and Society, pp.

163-165, 1975.

[Laliberté, 2003] − France Laliberté, Langis Gagnon, Yunlong Sheng. Registration and

fusion of retinal images − an evaluation study. IEEE Transactions on Medical

Imaging, vol. 22, no. 5, pp. 661-673, May 2003.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

61

[Likar, 2000] − B. Likar, F. Pernus. A hierarchical approach to elastic registration

based on mutual information. Image and Vision Computing, vol. 19, pp. 33-44,

2000.

[Livyatan, 2003] − H. Livyatan, Z. Yaniv. Gradient-based 2-D/3-D rigid registration of

fluoroscopic X-ray to CT. IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 22, no.

11, pp. 1395-1406, November 2003.

[Loeckx, 2003] − D. Loeckx, F. Maes, D. Vandermeulen, P. Suetens. Temporal

subtraction of thorax CR images Uusing a statistical deformation model. IEEE

Transactions on Medical Imaging, vol. 22, no. 11, November 2003.

[Lucas, 1981] − B. Lucas, T. Kanade. An interative image registration technique with

an application to stereo vision. Proceedings Imaging Understanding

Workshop, 1988, pp. 121-130.

[Ma, 2009] − Zhen Ma, J. Tavares, R. Jorge, T. Mascarenhas. A review of algorithms

for medical image segmentation and their applications to the female pelvic

cavity. Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering, DOI:

10.1080/10255840903131878, 2009 (in press).

[Maciel, 2003] − J. Maciel, J. Costeira. A global solution to sparse correspondence

problems. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,

vol. 25, no. 2, pp. 187-199, 2003.

[Maes, 1997] − F. Maes, A. Collignon, D. Vandermeulen, G. Marchal, P. Suetens.

Multi-modality medical image registration by maximization of mutual

information. IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 16, no. 2, pp. 187-

198, 1997.

[Maintz, 1996] − J. B. A. Maintz, P. A. van Elsen, M. A. Viergever. Evaluation of ridge

seeking operators for multimodality medical image matching. IEEE

Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 18, no. 4, 353-

365, 1996.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

62

[Maintz, 1998] − J. B. A. Maintz, M. A. Viergever. A survey of medical image

registration. Medical Image Analysis, Oxford, vol. 2, no. 1, pp. 1-36, 1998.

[Marr, 1980] − D. Marr, E. Hildreth. Theory of edge detection. Proceedings of the Royal

Society of London. Series B, Biological Sciences, vol. 207, no. 1167, pp. 187-

217, February, 1980.

[Martin, 2004] − S. Martin, G. Morison, W. Nailon, T. Durrani. Fast and accurate

image registration using Tsallis entropy and simultaneous perturbation

stochastic approximation. Electronics Letters, vol. 40, no. 10, pp. 595-597,

2004.

[Matsopoulos, 2004] − George K. Matsopoulos, Pantelis A. Asvestas, Nikolaos A.

Mouravliansky, Konstantinos K. Delibasis. Multimodal registration of retinal

images using self organizing maps. IEEE Transactions on Medical Imaging,

vol. 23, no. 12, December 2004.

[McLaughlin, 2005] − Robert A. McLaughlin, John Hipwell, David J. Hawkes, J.

Alison Noble, James V. Byrne, Tim C. Cox. A Comparison of a similarity-

based and a feature-Based 2-D–3-D registration method for

neurointerventional use. IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 24, no.

8, August 2005.

[Moisan, 2004] − L. Moisan, S. Bérenger. A probabilistic criterion to detect rigid point

matches between two images and estimate the fundamental matrix.

International Journal of Computer Vision, vol. 57, no. 3, pp. 201-218, 2004.

[Monteiro, 2007] − Fernando J. C. Monteiro. Region-based spatial and temporal image

segmentation. PhD Thesis, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto,

2007.

[Oliveira, 2008] − Francisco P. M. Oliveira, João Manuel R. S. Tavares. Algorithm of

dynamic programming for optimization of the global matching between two

contours defined by ordered points. CMES: Computer Modeling in

Engineering & Sciences, vol. 31, no. 1, pp. 1-11, 2008.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

63

[Oliveira, 2009a] − Francisco P. M. Oliveira, João Manuel R. S. Tavares. Matching

contours in images through the use of curvature, distance to centroid and

global optimization with order-preserving constraint. CMES: Computer


[Oliveira, 2009b] − Francisco P. M. Oliveira, João Manuel R. S. Tavares, Todd C.

Paraky. Rapid pedobarographic image registration based on contour curvature

and optimization. Journal of Biomechanics (aceite).

[Oliveira, 2009c] − Francisco P. M. Oliveira, João Manuel R. S. Tavares, Todd C.

Pataky. A versatile matching algorithm based on dynamic programming with

circular order preserving. VIPimage 2009 – II ECCOMAS Thematic

Conference on Computational Vision and Medical Image Processing, Porto,

Portugal, 14-16 October, 2009 (aceite).

[Orchard, 2005] − Jeff Orchard. Efficient global weighted least-squares translation

registration in the frequency domain. Proceedings of International Conference

Image Analysis and Recognition ICIAR, 2005, Toronto, Canada, vol. 3656, pp.

116-124.

[Orchard, 2007a] − Jeff Orchard. Globally optimal multimodal rigid registration: an

analytic solution using edge information. Proceedings of IEEE International

Conference on Image Processing, 2007, vol. 1, pp. I – 485-488.

[Orchard, 2007b] − Jeff Orchard. Efficient least squares multimodal registration with a

globally exhaustive alignment search. IEEE Transactions on Image Processing,

vol. 16, no. 10, October 2007.

[Otsu, 1979] − Nobuyuki Otsu. A threshold selection method from gray-level histogram.

IEEE Transactions on Systems Man Cybernetics, vol. 9, pp. 62-66, 1979.

[Otterloo, 1991] − P. Otterloo. A contour-oriented approach to shape analysis, Prentice

Hall International (UK) Ltd, Englewood Cliffs, NJ, pp. 90-108, 1991.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

64

[Penney, 1998] − G. P. Penney, J. Weese, J. A. Little, P. Desmedt, D. L. G. Hill, D. J.

Hawkes. A comparison of similarity measures for use in 2-D-3-D medical

image registration. IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 17, no. 4, pp.

586–595, August 1998.

[Periaswamy, 2003] − S. Periaswamy, H. Farid. Elastic registration in the presence of

intensity variations. IEEE Transactions on Medical Imaging, vol. 22, no. 7, pp.

865-874, July 2003.

[Pluim, 2003a] − Josien P. W. Pluim, J. Michael Fitzpatrick. Image registration. IEEE

Transactions on Medical Imaging, vol. 22, no. 11, pp. 1341-1343, 2003.

[Pluim, 2003b] − Josien P. W. Pluim, J. B. Antoine Maintz, Max A. Viergever. Mutual

information based registration of medical images: a survey. IEEE Transactions

on Medical Imaging, vol. 22, no. 8, pp. 986-1004, 2003.

[Pluim, 2004] − Josien P. W. Pluim, J. B. Antoine Maintz, Max A. Viergever. f-

Information measures in medical image registration. IEEE Transactions on

Medical Imaging, vol. 23, no. 12, pp. 1508-1516, December 2004

[Press, 2002] − William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P.

Flannery. Numerical recipes in C: the art of scientific computing. Cambridge

University Press, 2002.

[Prince, 2006] − Jerry L. Prince, Jonathan M. Links. Medical imaging signals and

systems. Pearson Prentice Hall Bioengineering, 2006.

[Reddy, 1996] − B. Reddy, B. Chatterji. An FFT-based technique for translation,

rotation, and scale-invariant image registration. IEEE Transactions on Image

Processing, vol. 5, no. 8, pp. 1266-1271, August 1996.

[Roy, 1998] − S. Roy, I. Cox. A maximum-flow formulation of the n-camera stereo

correspondence problem. IEEE Proceedings of International Conference on

Computer Vision, Bombai, January, 1998.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

65

[Sclaroff, 1995] − S. Sclaroff, A. Pentland. Modal matching for correspondence and

recognition. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,

vol. 17, no. 6, pp. 545-561, 1995.

[Scott, 1991] − G. Scott, H. Longuet-Higgins. An algorithm for associating the features

of two patterns. Proc Roy Soc Lond, vol. B244, pp. 21-26, 1991.

[Scott, 2006] − C. Scott, R. Nowak. Robust contour matching via the order-preserving

assignment problem. IEEE Transactions on Image Processing, vol. 15, no. 7,

pp. 1831-1838, 2006.

[Sebastian, 2004] – Thomas B. Sebastian, Philip N. Klein, Benjamin B. Kimia.

Recognition of shape by editing their shock graphs. IEEE Transactions on

Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 26, no. 5, May 2004.

[Shannon, 1948] − C. E. Shannon. The mathematical theory of communication (parts 1

and 2), Bell Syst. Tech. J., vol. 27, pp. 379-423&623-656, 1948.

[Shapiro, 1992] − L. Shapiro, M. Brady. Feature-based correspondence: an eigenvector

approach. Image and Vision Computing, vol. 10, no. 5, pp. 283-288, 1992.

[Shekhar, 2002] − R. Shekhar, V. Zagrodsky. Mutual information-based rigid and

nonrigid registration of ultrasound volumes. IEEE Transactions on Medical

Imaging, vol. 21, no. 1, pp. 9-22, 2002.

[Solaiyappan, 2000] − M. Solaiyappan, S. Gupta. Predictive registration of cardiac MR

perfusion images using geometric invariants. Proceedings of ISMRM 2000,

Denver, Colorado, USA, vol. 1, pp. 37, 2000.

[Starink, 1995] − J. Starink, E. Backer. Finding point correspondences using simulated

annealing. Pattern Recognition, vol. 8, no. 2, pp. 231-240, 1995.

[Studholme, 1999] − C Studholme, D. G. Hill, D. J. Hawkes. An overlap invariant

entropy measure of 3D medical image alignment. Pattern Recognition, vol. 32,

no. 1, pp. 71-86, January 1999.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

66

[Sun, 2007] − Shaoyan Sun, Liwei Zhang, Chonghui Guo. Medical image registration

by minimizing divergence measure based on Tsallis entropy. International

Journal of Biological and Medical Sciences vol. 2, no. 2, pp. 75-80, 2007.

[Tavares, 2000] − J. Tavares, J. Barbosa, A. Padilha, Matching image objects in

dynamic pedobarography, RecPad 2000, 11th Portuguese Conference on

Pattern Recognition, Porto, Portugal, 2000.

[Tavares, 2007] − J. Tavares, F. Carvalho, F. Oliveira, M. Vasconcelos, P. Gonçalves,

R. Pinho. Computer analysis of objects’ movement in image sequences:

methods and applications. DSM 2007 – Conferência Nacional de Dinâmica de

Sistemas Multicorpo, ISBN: 978-989-20-0968-1, pp. 33-40, Guimarães,

Portugal, 6-7 Dezembro 2007.

[Tsallis, 1988] − C. Tsallis. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics. J.

Stat. Phys., vol. 52, pp. 479-487, 1988.

[Vasconcelos, 2008] − M. Vasconcelos, J. Tavares. Methods to automatically built point

distribution models for objects like hand palms and faces represented in

images. CMES: Computer Modeling in Engineering & Sciences, vol. 36, no. 3,

pp. 213-241, 2008.

[Viola, 1995a] − Paul Viola. Alignment by maximization of mutual information. PhD

Thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1995.

[Viola, 1995b] − Paul Viola, William M. Wells III. Alignment by maximization of

mutual information. International Conference on Computer Vision, E.

Grimson, S. Shafer, A. Blake, and K. Sugihara, Eds., pp. 16-23, IEEE

Computer Society Press, Los Alamitos, CA, 1995.

[Viola, 1997] − Paul Viola and William M. Wells III. Alignment by maximization of

mutual information. International Journal of Computer Vision, vol. 24, no. 2

pp. 137-154, 1997.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

67

[Wachowiak, 2003] − M. P. Wachowiak, R. Smolikova, T. M. Peters. Multiresolution

biomedical image registration using generalized information measures.

Proceedings of Medical Image Computing and Computer Assisted Intervention

(MICCAI), pp. 846-853, Montréal, 2003.

[Wang, 2006] − S. Wang, M. Wang: Structural shape and topology optimization using

an implicit free boundary parametrization method. CMES: Computer


[Wang, 2007] − S. Wang, K. Lim, B. Khoo, M. Wang. A geometric deformation

constrained level set method for structural shape and topology optimization.

CMES: Computer Modeling in Engineering & Sciences, vol. 18, no. 3, pp.

155-181, 2007.

[Wellner, 1993] − Pierre Wellner. Adaptive thresholding for the digital desk. Rank

Xerox Technical Report EPC-1993-110, 1993.

[Wells, 1995] − William M. Wells III, Paul Viola, R. Kikinis. Multi-modal volume

registration by maximization of mutual information. Medical Robotics and

Computer Assisted Surgery, pp. 55-62, John Wiley & Sons, New York, 1995.

[Wiles, 2008] − Andrew D. Wiles, Alexander Likholyot, Donald D. Frantz, Terry M.

Peters. A statistical model for point-based target registration error with

anisotropic fiducial localizer error. IEEE Transactions on Medical Imaging,

vol. 27, no. 3, March 2008.

[Wolberg, 2000] − G. Wolberg, S. Zokai. Robust image registration using log-polar

transform. Proceedings of International Conference on Image Processing,

2000, vol. 1, pp. 493-496, 2000.

[Wong, 2006a] − Alexander Wong, William Bishop, Jeff Orchard. Efficient multi-modal

least-squares alignment of medical images using quasi-orientation maps.

Proceedings of the 2006 International Conference on Image Processing,

Computer Vision, & Pattern Recognition, Las Vegas, Nevada, USA, June 26-

29, 2006.

REFERÊNCIAS _____________________________________________________________________________________

68

[Wong, 2006b] − Alexander Wong, Jeff Orchard. Efficient and robust non-rigid least-

squares rectification of medical images. Proceedings of the 2006 International

Conference on Image Processing, Computer Vision, & Pattern Recognition,

Las Vegas, Nevada, USA, June 26-29, 2006

[Woods, 1998] − R. P. Woods, S. T. Grafton, C. J. Holmes, S. R. Cherry, J. C.

Mazziotta. Automated image registration: I. general methods and intrasubject,

intramodality validation. Journal of Computer Assisted Tomography, vol. 22,

pp. 139-152, 1998.

[Wu, 1995] − M. Wu, J. Leou. A bipartite matching approach to feature

correspondence in stereo vision. Pattern Recognition Letters, vol. 16, pp. 23-

31, 1995.

[Xu, 1998] − C. Xu, J. Prince. Snakes, shapes, and gradient vector flow. IEEE

Transactions on Image Processing, vol. 7, no. 3, pp. 359-369, 1998.

[Zhang, 2001] − Y. Zhang. A review of recent evaluation methods for image

segmentation. Sixth International Symposium on Signal Processing and its

Applications, Kuala Lumpur, Malaysia: IEEE, 2001.

[Zhang, 2004] − D. Zhang, G. Lu. Review of shape representation and description

techniques. Pattern Recognition, vol. 37, pp. 1-19, 2004.

[Zhu, 1996] – Song Chun Zhu, A. L. Yuille. FORMS: Flexible object recognition and

modeling system. International Journal of Computer Vision, vol. 20, n. 3,

December 1996.

[Zitová, 2003] − Barbara Zitová, Jan Flusser. Image registration methods: a survey.

Image and Vision Computing, vol. 21, pp. 977-1000, 2003.

emparelhamento e alinhamento de estruturas em …tavares/downloads/publications/...o tema central...

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