MS 515 – METODOS PROBABILISTICOS EM

PESQUISA OPERACIONAL

PROF. LUCIO TUNES DOS SANTOS

SEGUNDO SEMESTRE 2014

EMENTA

Introducao a Pesquisa Operacional

Problema do Lote Economico

Problema do Jornaleiro

Problema de Programacao Dinamica

Separabilidade & Markov

Princıpio de Otimalidade de Bellman

Programacao Dinamica Determinıstica

Programacao Dinamica Estocastica

AVALIACAO

PROVA 1 (P1): 08/10

PROVA 2 (P2): 10/12 MP = (P1 + P2 + PJ) / 3

PROJETO (PJ): 15/12 MF = Maximo{MP, EX}

EXAME (EX): 14/01

REFERENCIAS

F. Hillier & G. Lieberman: Introduction to Operations Research

A. Ravindran, D. Phillips & J. Solberg : Operations Research: Principles and Practice

M. Arenales, V. Armentano, R. Morabito & H. Yanasse: Pesquisa Operacional

LINHA DO TEMPO DA PESQUISA OPERACIONAL

�� ��1937 Primeiro uso do termo Pesquisa Operacional

�� ��1939 Condicoes de Otimalidade — W. Karush

�� ��1941 Problema de Transporte — F. Hitchcock

�� ��1942 Aplicacoes Militares pela USAF

Combate a submarinos (primeiro grupo civil)

�� ��1944 Teoria da Utilidade — J. von Neumann

�� ��1945 Problema da Dieta — G. Stigler

�� ��1947 Modelo de Programacao Linear & Metodo Simplex — G. Dantzig

�� ��1948 Primeiros cursos de Pesquisa Operacional no MIT

�� ��1949 Simulacao de Monte Carlo — J. von Neumann

�� ��1950 Equilıbrio de Nash — J. Nash

Simulacao / Jogos de Guerra

Programacao Dinamica — R. Bellman

Problema de Caminho Mınimo

Primeira solucao computacional para o Problema de Transporte

�� ��1951 Primeiro algoritmo computacional para o Simplex

Programacao Nao-Linear — H. Kuhn & A. Tucker

Programacao Linear Primal–Dual — G. Dantzig et al.

LINHA DO TEMPO DA PESQUISA OPERACIONAL

�� ��1952 Analise de Portfolios — H. Markowitz

Instalacao no Pentagono do UNIVAC

�� ��1954 Linguagem FORTRAN — J. Backus & I. Ziller

�� ��1955 Problema do Caixeiro Viajante — M. Flood

Programacao Estocastica — G. Dantzig

�� ��1956 Programacao Quadratica — M. Frank & P. Wolfe

�� ��1958 Programacao Inteira – R. Gomory

Teoria de Filas e Estoques — P.M. Morse

�� ��1960 Metodo ”Branch and Bound” — K. Murty et al.

�� ��1962 Problema do Carteiro Chines — M. Kwan

Teoria Fuzzy — L. Zadeh

�� ��1965 Problema da Mochila — G. Dantzig

�� ��1968 Analise de Decisoes — R. Howard

�� ��1971 Complexidade Computacional — S. Cook & R. Karp

�� ��1976 Controle de Qualidade — G. Taguchi

�� ��1978 Relaxacao Lagrangiana — A. Geoffrion

LINHA DO TEMPO DA PESQUISA OPERACIONAL

�� ��1979 Metodo do Elipsoide — L. Kachian

�� ��1980 Computacao Paralela

�� ��1982 Metodo ”Simulated Annealing” — W. Metropolis

�� ��1984 Redes Neurais — J. Hopfield

Metodos de Pontos Interiores — N. Karmarkar

�� ��1989 Busca Tabu — F. Glover

�� ��1990 Algoritmos Evolucionarios

LISTA 1 ESTOQUES

1 A demanda de um certo produto e de 25 unidades por mes e os ıtens sao retirados uni-

formemente. O custo de preparacao para cada rodada de producao e de 1.500 dinheiros e o

custo de manutencao do estoque e de 30 dinheiros por item por mes.

(a) Supondo que faltas nao sejam permitidas, determine a frequencia de execucao da

producao.

(b) Se as faltas custarem 150 dinheiros por item por mes, determine a nova frequencia.

2 Uma frota de taxis usa gasolina a razao de 34.000 litros por mes. A gasolina custa 20

centavos de merreca por litro com um custo de preparacao de 1.000 merrecas. O custo de

manutencao do estoque e de 0,25 merreca por litro por mes.

(a) Supondo que faltas nao sejam permitidas, determine a frequencia e a quantidade de cada

compra.

(b) Se as faltas custarem 7,5 centavos de merreca por litro por mes, determine com que

frequencia e quanto encomendar.

(c) Repita o item (a) supondo que o custo da gasolina caia para 18,75 centavos de merreca

por litro se forem comprados pelo menos 200.000 litros.

3 Para angariar fundos para a festa de formatura, os alunos do IMECC resolveram revender

camisetas. Para tanto, eles fazem uma viagem a Sao Paulo, onde o material e mais barato,

e pagam 5 reais por camiseta. Cada viagem custa 50 reais, incluindo a gasolina do carro,

oleo, pedagio, lanche, etc. O pessoal do CAMECC cobra 50 centavos de real por camiseta

por dia para guarda-las. Os alunos estimam uma venda diaria de 5 camisetas.

(a) Qual deve ser a frequencia de viagens a Sao Paulo de maneira a minimizar o custo diario

de producao?

(b) Quantas camisetas devem ser compradas em cada viagem?

(c) Qual deve ser o preco de revenda de cada camiseta para que o lucro diario seja superior

a 50 reais?

LISTA 1 ESTOQUES

4 Uma fabrica de aparelhos eletronicos necessita de um certo componente para a montagem

de seus produtos. A demanda diaria para esse componente e de 100 unidades, sendo que o

custo fixo do pedido e de 1.000 euros e o custo de armazenagem e de 25 centavos de euro

por unidade por dia.

(a) Qual a duracao do ciclo otimo?

(b) Se as faltas custarem 10 euros por unidade por dia, qual a nova duracao do ciclo otimo?

5 Uma banca de revistas compra jornais a 2 merrecas a unidade e os revende a 3 merrecas.

As sobras do dia sao vendidas por 50 centavos de merreca. A distribuicao da demanda e

uniforme entre 30 e 50 unidades. Encontre o numero otimo de jornais a serem compra-

dos diariamente. Qual seria esse numero no caso em que a demanda tivesse distribuicao

exponencial com media 40 unidades?

6 Um vendedor ambulante de praia vende sanduıches de atum pelo dobro do valor do custo

de producao unitario. Devido a sua boa reputacao, sanduıches de outro dia sao devidamente

eliminados. A funcao distribuicao de probabilidade da demanda diaria de sanduıches e dada

por: P (D = 0) = 0.1, P (D = 5) = 0.1, P (D = 10) = 0.3, P (D = 15) = 0.1,

P (D = 20) = 0.2 e P (D = 25) = 0.2.

(a) Qual deve ser a producao diaria de sanduıches de maneira a maximizar o lucro diario

esperado?

(b) Se o vendedor nao fosse tao zeloso e vendesse sanduıches velhos por um quarto do preco

normal, qual a quantidade a ser produzida?

(c) Atraves de interpolacao linear, tente fornecer uma estimativa melhor para a resposta

anterior.

7 Suponha que a demanda por uma parte sobressalente de um aviao tenha distribuicao

exponencial com media de 50 unidades. Os custos de producao sao agora de 2.000 reais

por unidade, porem eles se tornarao 20.000 reais por unidade se tiverem que ser supridos em

datas posteriores. Os custos de manutencao cobrados sobre o excesso sao de 500 reais por

unidade. Determine o numero otimo de pecas sobressalentes.

LISTA 1 ESTOQUES

8 Uma floricultura compra flores a 40 dinheiros a unidade e as vende por 80 dinheiros a

unidade. A funcao distribuicao de probabilidade da demanda e dada por: P (D = 10) = 0.15,

P (D = 20) = 0.25, P (D = 30) = 0.40, P (D = 40) = 0.15, e P (D = 50) = 0.05.

Determine a quantidade otima de flores a ser adquirida nos casos abaixo:

(a) Flores nao vendidas sao eliminadas e nao ha multa por faltas.

(b) Flores nao vendidas tem um custo de 5 dinheiros para eliminacao e nao ha multa por

faltas.

Qual deve ser a relacao entre a multa por faltas e o preco de venda das sobras que mantem

a solucao do item (a) inalterada? Analise a sua resposta.

9 Determine a quantidade otima do problema do jornaleiro no caso em que a demanda tem

funcao densidade de probabilidade dada por f(x) = a/(x + a)2, para x ≥ 0, onde a e uma

constante positiva.

LISTA 2 PROGRAMACAO DINAMICA

1 Considere o problema de minimizacao com funcoes criterio e do sistema dadas por

J =4∑

k=0

[x2k + u2

k] + 2.5[x5 − 2]2 e xk+1 = xk + uk, respectivamente. As restricoes sao

xk ∈ {0, 1, 2} e uk ∈ {−1, 0, 1} para k = 0, 1, . . . , 5. Forneca a solucao otima completa por

programacao dinamica e de a trajetoria otima partindo de x0 = 2.

2 Um investidor dispoe de 8 dinheiros para aplicar na ampliacao de seus tres negocios, N1,

N2 e N3. Sabendo que o lucro extra resultante de cada ampliacao depende de seu porte,

ele levantou a tabela de lucros abaixo, em funcao da aplicacao. Como devera o investidor

distribuir os recursos entre os tres negocios de modo a maximizar o lucro extra?

Aplicacao 1 2 3 4 5 6 7 8

N1 1 8 15 17 19 22 24 26

N2 8 11 14 16 18 20 21 22

N3 4 8 12 16 20 23 25 27

3 Um sistema de geracao de energia eletrica consiste de uma usina hidreletrica e outra

termeletrica. Seja xk o volume de agua no reservatorio na hora k. A producao de potencia

da hidreletrica e uk, exatamente igual a vazao de agua na barragem que alimenta a turbina

geradora na hora k. O influxo de agua no reservatorio e de uma unidade a cada hora. O nıvel

de potencia da termeletrica durante a hora k e yk, produzida ao custo de y2k. A demanda

por potencia a cada hora k, dk, precisa ser a soma de uk e yk. A previsao de demanda e

4, 3, 2, 1 e 2 nıveis de potencia nas horas 0, 1, 2, 3 e 4, respectivamente. A capacidade

do reservatorio e de duas unidades e o volume da agua no reservatorio na hora 0 e uma

unidade. Alem disso, e necessario que o volume de agua no reservatorio na hora 5 seja

tambem uma unidade. A vazao maxima de agua que pode alimentar a turbina e de duas

unidades. Aplique programacao dinamica para obter a operacao otima do sistema nas horas

0, 1, 2, 3 e 4, considerando que os valores de xk e uk sao (a) inteiros e (b) reais. Compare

seus resultados.

LISTA 2 PROGRAMACAO DINAMICA

4 No grafo abaixo descubra o custo mınimo e a trajetoria otima para ir de A ate L sabendo

que o custo total e dado por: (a) A soma dos custos parciais. (b) O produto dos custos

parciais. (c) O maximo dos custos parciais.

5 Um caixeiro viajante comercializa numa regiao onde ha tres cidades A,

B e C. Ele compra mercadorias em uma cidade, viaja para uma segunda

cidade e la vende todas as mercadorias. Compra entao novas mercadorias

nesta segunda cidade e viaja para uma terceira cidade, que pode ser a

primeira, onde vende tudo novamente e assim por diante. Os lucros obtidos

A B C

A 0 10 7

B 2 0 4

C 8 2 0

em cada passagem de uma cidade para outra estao dados na tabela ao lado, onde linha =

origem e coluna = destino. O caixeiro encontra-se atualmente na cidade B e pretende fazer

quatro viagens de modo que nao termine na cidade A. Determine a trajetoria otima e o lucro

a ela associado.

6 A nave do famoso ET de Varginha pode viajar de dois modos diferentes. O primeiro,

NORMAL, pode ser representado pela equacao xk+1 = xk + uk, onde xk e o instante de

tempo e uk e o comando de navegacao correspondente ao estagio k. O custo de uma

transicao nesse modo e dado por xk +uk. O segundo modo, denominado UARPI, possibilita

a aeronave avancar 3, 4, 5 ou 6 estagios mantendo o mesmo instante de tempo. O custo

de um Uarpi avancando n estagios em xk e dado por (1 + nxk)/2. O custo total do voo

e calculado como a soma dos custos das transicoes efetuadas. Devem ser respeitadas as

restricoes espaciais xk ∈ {0, 1, 2} e uk ∈ {−1, 0, 1}. Determine o curso de navegacao para

que o ET de Varginha possa retornar ao seu planeta (x6 = 0), sabendo que Varginha se

localiza em x0 = 2.

LISTA 2 PROGRAMACAO DINAMICA

7 Um assıduo usuario de voos da TAO deseja fazer uma viagem de Sao Paulo (SP) ate

Manaus (M). Antes de partir, ele considerou todas as conexoes possıveis e esquematizou essa

situacao no grafico abaixo, onde os valores numericos representam a probabilidade de algum

incidente ocorrer durante o trajeto. Determine qual sera a trajetoria escolhida pelo precavido

usuario.

8 O estado de Alagados possui uma dıvida interna monstruosa, devida a ma administracao

dos recursos. O novo governador desse estado esta empenhado na elaboracao de uma carta

de intencoes a ser enviado ao governo federal. Essa carta deve fornecer as quantias a

serem pagas anualmente durante tres anos, para amortizar a atual dıvida que e de 5 milhoes

de merrecas. As seguintes informacoes sao relevantes: (i) Todo pagamento devera ser

proveniente da producao de biodiesel. O custo social para produzir, em um ano, divisas ao

nıvel d > 0 e 2d. Os pagamentos deverao ser feitos em unidades de milhoes de merrecas;

(ii) A taxa de juros cobrada pelos credores desse estado e de 100% ao ano. O nıvel da

dıvida nao pode ultrapassar 5 milhoes de merrecas; (iii) Ao final dos tres anos, um saldo de

dıvida ao nıvel s > 0 implicara numa intervencao federal no estado a um custo social de 3s.

Aplique programacao dinamica para ajudar o novo governador a fornecer uma sequencia de

pagamentos que minimize o custo social ao longo dos tres anos.

LISTA 2 PROGRAMACAO DINAMICA

9 O grafo abaixo representa uma cidade onde cada no indica uma regiao. Associado a

cada arco (trajeto entre duas regioes) temos o par (d, v) onde d indica a distancia (em km)

entre as regioes e v a velocidade (em unidades de 20 km/h) com que se pode percorrer

esse trajeto. Encontre a trajetoria otima entre A e I de modo que: (a) A distancia total

seja minimizada. (b) O tempo de percurso seja minimizado. (c) A velocidade media seja

maximizada. Suponha agora que ha um congestionamento no trajeto entre C e D. Refaca

(a), (b) e (c) supondo que voce ficou sabendo do congestionamento: (d) Antes da sair de

A. (e) Ao chegar em C.

10 O grafico ao lado representa as ruas de

Saumpalo, onde os numeros indicam quantos

votos (em centenas) o candidato Joao Serrote

pode conseguir desfilando com seu carro de pro-

paganda. O carro pode se locomover apenas no

sentido Sul–Norte (↑) ou Oeste–Este (→) e se

encontra atualmente em A. (a) Qual e o melhor caminho para chegar em B? (b) Chegando

em B, pelo caminho otimo, Joao Serrote resolve retornar a A para angariar mais votos.

Encontre o melhor caminho de volta. O sentido do movimento agora e o contrario da ida.

Lembre-se que nas ruas em que o carro ja passou o retorno de votos e zero. (c) Se desde o

inıcio Joao Serrote tivesse a intencao de ir ate B e depois retornar a A, a trajetoria otima

seria a uniao dos caminhos obtidos anteriormente? Justifique a sua resposta.

LISTA 2 PROGRAMACAO DINAMICA

11 Uma barcaca de carga ca-

paz de transportar ate 10 tonela-

das de material recebe pedidos de

quatro companhias para transpor-

tar suas mercadorias. Cada com-

panhia pode fornecer tanta merca-

Companhia Peso (T/item) Remuneracao ($/item)

I 1 10

II 2 25

III 3 45

IV 4 60

doria quanto o capitao da barcaca deseje aceitar. A mercadoria deve ser transportada em

quantidades unitarias. A tabela ao lado fornece as remuneracoes pelo transporte. Quantos

ıtens de cada companhia o capitao deve aceitar de maneira a maximizar a remuneracao total

sem exceder a capacidade da barcaca?

12 Considere a configuracao do tabuleiro de xadrez ao

lado. Determine o numero mınimo de movimentos do ca-

valo branco (C) no canto superior esquerdo capturar o rei

preto (R) no canto inferior direito, supondo que nenhuma

outra peca (P) possa se mover ou ser capturada. Indique

todas as trajetorias que tenham esse numero mınimo de

movimentos.

C P P

P P

P P

P P P P

P P

P P

P P

P P R

13 Uma pessoa tem a quantia de 5 patacas para investir em dois negocios A e B. Para cada

5 patacas investidos o retorno com o negocio A e de 10 patacas (lucro de 5 patacas) com

probabilidade 0,7 e de zero patacas com probabilidade 0,3. Para o negocio B o retorno pode

ser 10 patacas com probabilidade 0,1 ou 5 patacas com probabilidade 0,9. Supondo que a

pessoa esta restrita a um investimento (ou nao) de 5 patacas a cada ano, determine uma

estrategia de investimentos para 3 anos de maneira a maximizar:

(a) A quantia final esperada.

(b) A probabilidade de no final ter pelo menos 10 patacas.

LISTA 2 PROGRAMACAO DINAMICA

14 Uma pequena empresa esta se preparando para fornecer lotes de cestas de natal. A

demanda, o custo de producao e o custo unitario de armazenagem dos lotes estao descritos,

respectivamente, nas tabelas abaixo. A producao e realizada ao longo da semana e entregue

no fim de semana. No inıcio da primeira semana ha 2 lotes armazenados. (a) Encontre

a programacao otima de producao e mostre que nao e uma boa polıtica produzir em cada

semana o suficiente para atender a demanda. (b) Suponha agora que a demanda da se-

gunda semana pode ser 1, 2 ou 3, com probabilidades 1/2, 1/4 e 1/4, respectivamente.

Qual seria a sua sugestao de producao? Qual o custo esperado? Analise a sua resposta.

Semana Demanda

S1 3

S2 1

S3 2

Producao 0 1 2 3

S1 0 1 2 3

S2 0 2 3 4

S3 0 3 5 7

Semana Custo

S1 1

S2 2

S3 1

15 A fabricacao de uma certa peca necessita de cinco operacoes realizadas em cinco

maquinas. O grafo abaixo representa as possıveis sequencias de producao de maneira a

completar a tarefa. O numero em cada no representa o custo de operacao da respectiva

maquina e o numero em cada arco representa o custo de transporte de uma maquina para

outra. O custo total e dado pela soma dos custos de operacao e transporte. (a) Qual deve

ser a sequencia otima de producao? (b) Suponha agora que no transporte da maquina C para

as demais (E, F e G) pode haver falha: apesar da decisao tomada, ha uma probabilidade de

0.25 para cada uma das outras possibilidades ocorrer. Determine o sequenciamento otimo e

o custo esperado.