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Anais 2015

IX EMEDNono Encontro Mineiro de Equacoes Diferenciais17 a 19 de Setembro de 2015, UFSJ, Sao Joao del-Rei, MG

Patrocinadores:

Sao Joao del Rei, setembro de 2015

IX EMEDNono Encontro Mineiro de Equacoes

Diferenciais

Dados do Evento

Tipo : EncontroNatureza : OrganizacaoTıtulo : IX EMED − Nono Encontro Mineiro de Equacoes DiferenciaisPais : BrasilIdioma : PortuguesMeio de divulgacao : Impresso e mıdia eletronicaInstituicao promotora : Universidade Federal de Sao Joao del-Rei − UFSJData : 17, 18 e 19 de Setembro de 2015Local : UFSJ (Campus Santo Antonio)Cidade : Sao Joao delRei, MGSite : http://emed.mat.br/9emed

Comissao Organizadora

no Professor Departamento Instituicao1 Prof. Dr. Jorge Andres Julca Avila (Coord. Geral) DEMAT∗ UFSJ2 Prof. Dr. Carlos Alberto Raposo da Cunha DEMAT UFSJ3 Prof. Dr. Juan Carlos Zavaleta Aguilar DEMAT UFSJ

4 Prof. Dr. Jose Angel Davalos Chuquipoma DEMAT UFSJ5 Prof. Dr. Andrea Cristiane dos Santos Delfino DEMAT UFSJ6 Prof. Dr. Andreia Malacarne DEMAT UFSJ7 Prof. Ms. Lorena Mara Costa Oliveira DEMAT UFSJ8 Prof. Ms. Marianna Resende Oliveira DEMAT UFSJ9 Prof. Ms. Gustavo Terra Bastos DEMAT UFSJ

∗ DEMAT - Departamento de Matematica e Estatıstica

Comite Cientıfico

no Professor Instituicao E-mail1 Prof. Dr. Flavio Dickstein UFRJ [email protected] Prof. Dr. Grey Ercole UFMG [email protected] Prof. Dr. Jaime Edilberto Munoz Rivera UFRJ-LNCC [email protected] Prof. Dr. Luis Fernando de Osorio Mello UNIFEI [email protected] Prof. Dr. Olimpio Hiroshi Miyagaki UFJF [email protected] Prof. Dr. Pablo Javier Blanco LNCC [email protected]

1 Sumario

1.1 Palestra da Abertura Oficial

1 Estabilizacao dos modelos viscoelasticos do tipo de Kelvin-Voight 1

1.2 Plenarias

1 Solucoes explosivas para a Equacao de Ginzburg-Landau 22 Avancos nos problemas elıpticos envolvendo o operador laplaciano fracionario 33 Regularity of maximal functions associated to elliptic equations 4

1.3 Palestras de Professores

1 Estabilidade exponencial para sistemas de Timoshenko com dissipacao na fron-teira

5

2 Critical and noncritical regions on the critical hyperbola 63 Uma analise de um modelo matematico que descreve a dispersao geografica da

Dengue7

4 Estimativas para autovalores do tipo Conjectura de Polya para operadorespoli-harmonicos

8

5 Ondas de Combustao em Meios Porosos 96 Estabilidade Assintotica de um modelo hıbrido de viga Viscoelastica com

Carga Pontual10

7 Existence of solution for a nonlocal problem in RN via bifurcation theory 118 Asymptotic Behaviour of Solutions to a System of Coupled Schrodinger Equa-

tions12

9 PDEs whose dynamics is governed by ODEs 1310 Efficient Alternative for Construction of the Linear System stemmed from

Numerical Solution of Heat Transfer Problems via FEM14

11 Asymptotics for the best Sobolev constants and their extremal functions 1512 On the existence of maximizers for Airy-Strichartz inequalities 1613 Propriedades de estabilidade linear para modelos de materiais com memoria 1714 Modelo de Competicao Estocastica Lotka-Volterra entre duas Especies 1815 Configuracoes Centrais Planares no Problema de Cinco Corpos 1916 Existence of non negative solution for a semi positone p-laplacian system 2017 Sobre equacoes p-biharmonicas com crescimento crıtico 2118 Exponential stability for a structure with interfacial slip and frictional damping 2319 Um novo modelo para fenomenos de propagacao discreta estudo do caso de

modelagem do coracao via equacoes de reacao-difusao24

20 Decay Rates in Non-classical Thermoelasticity 25

1.4 Trabalhos em Posteres

Alunos de Graduacao

1 Esquema de Diferencas Finitas de Alta Ordem para Resolver a Equacao deSubdifusao-Reacao Fracionaria

26

2 Acerca do Controle Otimo de um Problema de Impacto Ambiental 27

Alunos de Pos-graduacao

1 Existencia de Configuracoes Centrais Convexas no Problema de Quatro Corpos 282 Formas Normais para Sistemas Diferenciais Polinomiais em R3 tendo

Quadricas Invariantes29

3 Continuacao de Orbitas Periodicas em Equacoes Diferenciais no Plano 304 Dinamica nao Linear em Modelos Economicos 315 Dinamica Estritamente Toral 326 Geometria Multissimpletica e Equacoes de de Donder–Weyl 337 Problema do Foco–Centro Relacoes Entre a Divergencia e os Coeficientes de

Liapunov34

8 Controle de Ciclos Limites em Sistemas de Controle Lineares em Malha Fe-chada

35

9 Transitividade no Recobrimento Universal Via Conjunto de Rotacao 36

10 Regularizacao de Orbitas Periodicas em Sistemas Suaves Por Partes Com DuasZonas no Plano

37

11 Estrategia Otima de Vacinacao no Controle da Varicela-zoster 3812 Modelagem e otimizacao de tratamentos de cancer licoes de um modelo simples 3913 Simulacao de Potencial de Acao Espontaneo e a Combinacao da Estimulacao

β-Adrenergica com a mutacao NCX40

14 Simulacao da perfusao cardıaca por contraste no miocardio utilizando umaformulacao de escoamento em meios porosos

41

15 Problemas elıpticos quasilineares com singularidades cilındricas e multiplasnao linearidades crıticas

42

Professores

1 Dinamica de um Corpo Pseudo–Rıgido Viscoelastico 432 Atratores para Semigrupos 443 Padroes Para um Problema de Reacao e Difusao num Ambiente Degenerado 454 Sistemas Hamiltonianos com Centro Nilpotente e Simetrico em Relacao ao

Eixo x46

5 Static Einstein Equations with Plane Symmetry 476 Estabilidade Assintotica Global de Sistemas Lineares por Partes Hurwitzianos

com Duas Zonas no Plano48

7 Destaques na Teoria de Ljusternick-Schnirelmann e Aplicacoes 49

4

1.5 Minicursos

1 Uma Introducao a Solucao Numerica de Equacoes Diferenciais Parciais Hi-perbolicas

50

2 Introducao aos Espacos de Sobolev e Diferenciais Parciais Hiperbolicas 69

5

IX EMED - Nono Encontro Mineiro de Equacoes Diferenciais

De 17 a 19 de Setembro de 2015, UFSJ, Sao Joao del-Rei, MG

Estabilizacao dos modelos viscoelasticosdo tipo de Kelvin-Voight

J. E. Munoz Riveraa

a LNCC - IM-UFRJ. e-mail: [email protected]

ResumoApresentaremos nesta conferencia as propriedades assintoticas dos modelos parcialmente viscoelastcos do tipoKelvin-Voight. Mostraremos que o sistema e exponencialmente estavel apenas quando os coeficientes que cara-terizam a viscosidade do material sao regulares, isto e, de clase C1. Quando os coeficientes sao discontınuos naoexiste mais estabilidade exponencial, e neste caso mostramos que a taxa de decaimento e apenas polinomial. Con-sideraremos os modelos em elasticidade tridimensional.

ρ1utt + E1u+ βE1ut = 0 in Ω1 × (0,∞), (1.1)

ρ2vtt + E2v = 0 in Ω2 × (0,∞), (1.2)

onde,Ej := −µj∆− (µj + δj)∇div , j = 1, 2

Para mostrar a falta de decaimento exponencial usaremos o Teorema da invariancia de Weyl, e para o decaimento

Figura 1.1: Domınio.

polinomial usaremos os resultados de Borichev e Tomilov.

Palavras-chave: Modelos viscoelasticos, Kelvin-Voight.

Referencias

[1] Borichev, A., Tomilov, Y.: Optimal polynomial decay of functions and operator semigroups. Math. Annalen347 (2009), 455–478.

[2] Athanasiadis, C. Stratis, I.G.: On some elliptic transmission problems. Ann. Polon. Math. 63 (1996), 137–154.

[3] Costabel, M., Dauge, M., Nicaise, S.: Corner singularities and analytic regularity for linear elliptic sys-tems. Part I: Smooth domains. Online version of chapters 1–5, http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00453934/en/(2010).

Agradecimento: Agradeco o apoio financeiro da PAEP/CAPES e da FAPEMIG.

1



Solucoes explosivas para a Equacao de Ginzburg-Landau

F. Dicksteina

a Instituto de Matematica - UFRJ. e-mail: [email protected]

ResumoNos consideramos a equacao de Ginzburg-Landau

e−iθ∂tu = ∆u+ |u|αu (1.1)

em RN , onde θ ∈ [0, π/2], α > 0. A equacao (1.1) pode ser visto como uma equacao parametrizada por θ, ligandoa equacao do calor nao linear (θ = 0)

∂tu = ∆u+ |u|αu (1.2)

a equacao de Schrodinger nao linear (θ = π/2)

i∂tu = ∆u+ |u|αu. (1.3)

E bem sabido [3] que no caso em que θ = 0 solucoes de energia negativa explodem em tempo finito. Para θ = π/2 eα ≥ 4/N solucoes de energia negativa (e varianca finita) explodem em tempo finito. Por outro lado, para α ≥ 4/Nexistem solucoes de energia negativa que sao globais, veja [1].Mostraremos que no caso θ < π/2 solucoes de energia negativa explodem em tempo finito. Para u(0) fixado,estudamos ainda o comportamento do tempo de explosao T θmax quando θ → π/2. Quando θ → π/2, T θmax permanecelimitado (respectivamente, vai a infinito) no caso em que a equation limite de Schrodinger nao linear explode emtempo finito (respectivamente, e global). Estes resultados [2] foram obtidos em parceria com T. Cazenave, da Univ.de Paris VI, e F. Weissler, da Univ. de Paris XIII.

Palavras-chave: Equacao de Ginzburg-Landau, explosao, energia negativa.

Referencias

[1] Cazenave T. Semilinear Schrodinger equations, Courant Lecture Notes in Mathematics, 10. New York University,Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.

[2] Cazenave T., Dickstein F., Weissler F.B., Finite-time blowup for a complex Ginzburg-Landau equation, SIAMJ. Math. Anal., 45(1) 2013, 244-266, http://dx.doi.org/10.1137/120878690.

[3] P. Quittner and Ph. Souplet, Superlinear parabolic problems. Blow-up, global existence and steady states,Birkhauser Advanced Texts, 2007.


2



Avancos nos problemas elıpticos envolvendo o operadorlaplaciano fracionario

J. M. do Oa, O. H. Miyagakib, M. Squassinac.

a Departamento de Matematica - UFPB. e-mail: [email protected] Departamento de Matematica - UFJF. e-mail: [email protected] Dipartimento di Informatica - U. Verona. e-mail: [email protected]

ResumoNessa palestra discutiremos algumas classes de problemas elıpticos fracionarios, em todo espaco, com comportamentosubcritico e crıtico. Analisaremos as nonlinearidades com crescimento crıticos: Trudinger-Moser (exponencial) eSobolev (polinomial). Devido a ilimitacao domıno surge o problema da falta de compacidade natural, no entando,um esforco adicional e feito para lidar com o caso limite de imersao de Sobolev e da desigualdade de Trudinger-Moser.Esses resultados encontram-se em [1, 2] No caso nao-autonomo, os potenciais envolvidos podem se anular no infinto,no entanto suas interacoes sao usados para recuperar a compacidade. No caso autonomo, usamos argumentos deminimizacao para obter solucao de energia mınima.Esse resultado encontra-se em [3].

Palavras-chave: laplaciano fracionario, desigualdade Trudinger Moser , imersao de Sobolev.

Referencias

[1] J. M. do O, O. H. Miyagaki, M. Squassina, Critical and subcritical fractional problems with vanishing potentials,aceito no Comm. Contemporary Math.

[2] J. M. do O, O. H. Miyagaki, M. Squassina, Nonautonomous fractional problems with exponential growth, aceitoem NoDEA

[3] J. M. do O, O. H. Miyagaki, M. Squassina, Ground states of nonlocal scalar field equations with Trudinger-Moser critical nonlinearity, submetido.

Agradecimento: Agradecemos o apoio financeiro da PAEP/CAPES e da FAPEMIG.

3



Regularity of maximal functions associated to elliptic equations

Emanuel Carneiroa

a IMPA - Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada. e-mail: [email protected]

AbstractMaximal functions are objects that appear naturally in harmonic analysis, for instance in the proof of Lebesgue’sdifferentiation theorem, Carleson’s theorem on the pointwise convergence of Fourier series and many other topics.For the last two decades, there has been a considerable interest in studying the regularity properties of suchmaximal operators, when acting in Sobolev and BV functions. A currently open problem is whether the classicalone-dimensional centered Hardy-Littlewood maximal operator can increase the variation of a function. In this talkwe discuss some variations of this problem, considering smoother convolution kernels, associated to elliptic (andparabolic) PDEs. This is based on joint works with B. Svaiter (IMPA) and with M. Sousa (IMPA) and R. Finder(IMPA).

Keywords: Maximal operators, regularity, total variation, Sobolev spaces, elliptic equations, maximum principles.

References

[1] E. Carneiro and B. Svaiter, On the variation of maximal operators of convolution type, J. Funct. Anal. 265(2013), 837-865.

[2] E. Carneiro, R. Finder and M. Sousa, On the variation of maximal operators of convolution type II, preprint.

Acknowledgments: The author thanks the support of FAPEMIG/Brazil and CAPES/Brazil.

4



Estabilidade exponencial para sistemas de Timoshenkocom dissipacao na fronteira

M. Alvesa, M. Sepulvedab e J. E. Riverac

a Departamento de Matematica - UFV. e-mail: [email protected] Universidad de Concepcion, Chile. e-mail: [email protected] Laboratorio Nacional de Computacao Cientıfica - LNCC. e-mail: [email protected]

ResumoNeste trabalho, estudamos a estabilidade de um modelo de sistema de Timoshenko, o qual aparece na teoria dasvibracoes transversais de uma viga de comprimento `. Este sistema e dado por

ρ1 ϕtt − κ (ϕx + ψ)x = 0 em (0, `)× (0,∞),ρ2 ψtt − b ψxx + κ (ϕx + ψ) = 0 em (0, `)× (0,∞),

(1.1)

com condicoes iniciais

ϕ(x, 0) = ϕ0(x), ϕt(x, 0) = ϕ1(x), ψ(x, 0) = ψ0(x), ψt(x, 0) = ψ1(x) in (0, `), (1.2)

e condicoes de fronteiraϕ(`, t) = 0, ψ(0, t) = 0 em (0,∞),κϕx(0, t) = γ ϕt(0, t), ψx(`, t) = 0, em (0,∞),

(1.3)

com γ > 0.Provamos que, quando o comprimento ` do intervalo e pequeno, a igualdade das velocidades de propagacao de ondas

κ

ρ1=

b

ρ2

nao e suficiente para garantir a estabilidade exponencial do semigrupo associado ao sistema (1.1)-(1.3), e necessariaa condicao adicional

(j21 − j22)2

j21 + j226=

2κ

b

(2`

π

)2

,

para quaisquer numeros ımpares j1, j2, j1 6= j2.

Palavras-chave: Semigrupo, Sistema de Timoshenko, Estabilidade Exponencial

Referencias

[1] Kim, J. U.; Renardy, Y.; Boundary control of the Timoshenko beam, SIAM J. Control Optim., 25(6), 1987,1417-1429.

[2] Xu, G. Q.; Yung, S. P.; Exponential decay rate for a Timoshenko beam with boundary damping, J. Optim.Theory Appl., 123(3), 2004, 669-693.

[3] Bassam, M.; Mercier, D.; Nicaise, S.; Wehbe, A.; Polynomial stability of the Timoshenko system by one boundarydamping, J. Math. Anal. Appl., 425(2), 2015, 1177-1203.


5



Critical and noncritical regions on the critical hyperbola

J. L. F. Meloa

a Universidade Federal de Vicosa e-mail: [email protected]

AbstractWe consider the Hamiltonian elliptic system

−∆u = |v|p−1v in Ω,

−∆v = µ|u|s−1u+ |u|q−1u in Ω,

u, v > 0 in Ω, u, v = 0 on ∂Ω,

where Ω ⊂ RN is a bounded smooth domain, N ≥ 3 and µ > 0. We assume that the point (p, q) lies on the criticalhyperbola

1

p+ 1+

1

q + 1=N − 2

Nand that s satisfies

p+ 1

p≤ s+ 1 < q + 1.

The main contributions are twofold: to indicate that the location, critical or noncritical, of the point (p, q) onthe critical hyperbola can interfere on the existence of solutions of the above system; to prove that if Ω has a richtopology, described by its Lusternik-Schnirelmann category, then the system has multiple solutions, at least as manyas catΩ(Ω), in case the parameter µ > 0 is sufficiently small and if s satisfies some suitable and natural conditionswhich depends on the critical or noncritical location of (p, q).

Keywords: Hamiltonian elliptic systems, Critical hyperbola, Critical and noncritical regions, Positive solutions,Lusternik-Schnirelmann category

References

[1] MELO, J. L. F.; MOREIRA DOS SANTOS, E.. Critical and noncritical regions on the critical hyperbola.Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 2015.


6



Uma analise de um modelo matematico que descrevea dispersao geografica da Dengue

A. L. A. de Araujoa, J. L. Boldrinib, B. M. R. Calsavarab.

a Departamento de Matematica - UFV. e-mail: [email protected] Departamento de Matematica - UNICAMP. e-mail: [email protected], [email protected]

ResumoConsideramos o seguinte sistema de equacoes diferenciais parciais nao-lineares

∂MS

∂t=

n∑i,j=1

∂

∂xi

(Dij

∂MS

∂xj

)−

n∑i=1

vi∂MS

∂xi

+γ

kA(1−

M

k1)− µ1MS − β1MSI − h1MS1ω1 , em Q

∂MI

∂t=

n∑i,j=1

∂

∂xi

(Dij

∂MI

∂xj

)−

n∑i=1

vi∂MI

∂xi− µ1MI

+ β1MSI − h1MI1ω1 , em Q

∂A

∂t= rk

(1−

A

k2

)M − µ2A− γA− h2A1ω2 , em Q

∂H

∂t= µH − µHH − β2HMI , em Q

∂I

∂t= β2HMI − σI − µHI, em Q,

(1.1)

ondeM = MS +MI ,

com condicoes na fronteira e iniciais dadas por

∂MS

∂ηD(·) =

∂MI

∂ηD(·) = 0, sobre Γ,

MS(·, 0) = MS0(·), em Ω,MI(·, 0) = MI0(·), em Ω,A(·, 0) = A0(·), em Ω,H(·, 0) = H0(·), em Ω,I(·, 0) = I0(·), em Ω.

(1.2)

Este sistema corresponde a uma generalizacao de um modelo matematico para a difusao geografica da doenca dadengue proposto por Maidana e Yang no artigo Describing the geographic spread of dengue disease by travelingwaves, Mathematical Biosciences 215 (2008) 64-77.Realizamos uma analise matematica rigorosa e apresentamos um resultado sobre existencia e unicidade de solucoespara o problema; Alem disso, obtem-se estimativas da solucao em termos de determinadas normas dependendo dosparametros do problema. Este tipo de resultado e importante para a analise de problemas de controlo optimo; paraexemplificar a sua utilidade, tambem descrevemos brevemente como os resultados podem ser usados para demonstrara existencia de controles otimos que minimizam um determinado criterio de otimalidade.

Palavras-chave: Sistema nao-linear, existencia de solucao, controle otimo.

Referencias

[1] A. L. A. de Araujo, J. L. Boldrini, B. M. R. Calsavara, An Analysis of a Mathematical Model Describing theGeographic Spread of Dengue Disease, submitted for publication.

[2] N.A. Maidana, H.-M. Yang, Describing the geographic spread of dengue disease by traveling waves, MathematicalBiosciences 215 (2008) 64-77.


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Estimativas para autovalores do tipo Conjectura de Polyapara operadores poli-harmonicos

L. Gomesa, X. Changyub.

a Instituto de Ciencia e Tecnologia - UFVJM. e-mail: [email protected] Departamento de Matematica - UnB. e-mail: [email protected]

ResumoNeste trabalho apresentamos uma desigualdade do tipo conjectura de Polya para um problema de autovalorenvolvendo operadores poliharmonicos (estimativa inferior para o k-esimo autovalor em funcao de propriedadesgeometricas do domınio em questao). A saber, o problema estudado e

(−∆)lu = λ(−∆)ru em Ω,

u|∂Ω =∂u

∂ν

∣∣∣∂Ω

= . . . =∂l−1u

∂νl−1

∣∣∣∂Ω

= 0,(1.1)

onde Ω ⊂ Rn e um domınio limitado conexo, r ≥ 0 e l inteiros positivos tais que l ≥ r + 1, e ν o vetor unitarionormal exterior a ∂Ω. Para isso, generalizamos o Lema de Cheng e Wei [2] utilizando de lemas e proposicoes deMelas [3] e Xia e Wang [7]. Isto nos levou a uma desigualdade que generaliza a Desigualdade de Cheng e Wei [2].

Palavras-chave: Autovalores, Desigualdade de autovalores, Operadores elıpticos.

Referencias

[1] Chavel, I., Eigenvalues in Riemannian Geometry, New York: Academic Press (1984).

[2] Cheng, Q.-M., and Wei, G., A lower bound for eigenvalues of a clamped plate problem, Calculus of Variationsand Partial Differential Equations, 42, 579-590 (2011).

[3] Melas, A.D., A lower bound for sums of eigenvalues of the Laplacian, Proc. Am. Math. Soc., 131, 631-636(2003).

[4] Ku, H.T., Ku, M.C., Tang, D.Y., Inequalities for eigenvalues of elliptic equations and the Generalized PolyaConjecture, J. Diff. Equ., 97, 127-139 (1992).

[5] Li, P., Yau, S.T.,On the Schrodinger equation and the eigenvalue problem, Commun. Math. Phys., 88, 309-318(1983).

[6] Polya, G., On the eigenvalues of vibrating membranes, Proc. Lond. Math. Soc., 11, 419-433 (1961).

[7] Wang, Q. and Changyu, X., Comparison Theorems for Eigenvalues of Elliptic Operators and the GeneralizedPolya Conjecture, Math. Phys. Anal. Geo., 13, 235-253 (2010).

[8] Weyl, H., Das asymptotische Weteilungsgesetz der Eigenwete linearer partieller Differentialgleichungen, Math.Ann., 71(71), 441-479 (1912).


8



Ondas de Combustao em Meios Porosos

G. Chapiroa.

a Departamento de Matematica - UFJF. e-mail: e-mail: [email protected]

ResumoO metodo de combustao in-situ e uma tecnica termica com grande potencial para uso na exploracao de petroleo off-shore, como no caso dos reservatorios Pre-Sal. A modelagem de combustao em meios porosos envolve Dinamica dosFluidos e Cinetica Quımica. Os modelos que descrevem combustao in-situ sao compostos por equacoes de Reacao-Conveccao-Difusao, apresentam escalas diferentes (problemas rıgidos) e sao difıceis de trabalhar matematica- ecomputacionalmente.Em nossos trabalhos recentes [2, 4] foi resolvido o Problema de Riemann correspondente ao modelo descrevendo oprocesso de combustao baseado em [1]. A estrutura das frentes de combustao foi estudada usando teoria geometricade perturbacao singular para casos de combustao ao longo do fluxo do gas (velocidade da onda positiva) e no contra-fluxo do gas (velocidade da onda negativa) respectivamente. Os resultados analıticos foram validados atraves desimulacoes numericas.O problema foi abordado de forma rigorosa em [6]. Neste trabalho resolvemos o Problema de Riemann correspon-dente. A existencia de solucoes para um modelo de combustao in-situ na forma de ondas viajantes foi estudadausando analise planar. Tambem conseguimos provar a unicidade usando a integral de Melnikov. Neste trabalho foiusada uma hipotese forte, a de que todas as ondas de combustao tem velocidade positiva. Como mostrado em [2],

isso nem sempre e verdade. E interessante generalizar estes resultados para modelos que levam em conta as perdastermicas. Primeiros passos nesta direcao foram feitos em [5].A estabilidade das solucoes encontradas em [6] foi estudada numericamente em [3] usando o Metodo de DiferencasFinitas. Neste trabalho algumas interacoes entre ondas foram apresentadas e discutidas.

Palavras-chave: Equacoes Diferenciais Paricias, Ondas Viajantes, Combustao em Meios Porosos.

Referencias

[1] I.Y. Akkutlu and Y.C. Yortsos. The dynamics of in-situ combustion fronts in porous media. J. of Combustionand Flame, 134:229–247, 2003.

[2] G. Chapiro and A. J. de Souza. Asymptotic approximation for counterflow combustion in porous media.Applicable Analysis, (ahead-of-print):1–15, 2015.

[3] G. Chapiro, L. Furtado, D. Marchesin, and S. Schecter. Stability of interacting traveling waves in reaction-convection-diffusion systems. Accepted in DCDS, 2015.

[4] G. Chapiro, A. A. Mailybaev, A.J. Souza, D. Marchesin, and J. Bruining. Asymptotic approximation of long-time solution for low-temperature filtration combustion. Comput. Geosciences, 16:799–808, 2012.

[5] G. Chapiro and D. Marchesin. The effect of thermal losses on traveling waves for in-situ combustion in porousmedium. Accepted in IOP Journal of Physics: Conference Series, 2015.

[6] G. Chapiro, D. Marchesin, and S. Schecter. Combustion waves and Riemann solutions in light porous foam.Journal of Hyperbolic Differential Equations, 11(02):295–328, 2014.


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Estabilidade Assintotica de um modelo hıbridode viga Viscoelastica com Carga Pontual

F. F. Cordova Puma

Departamento de Ciencias Exatas e Aplicadas - UFOP. e-mail: [email protected]

ResumoEste trabalho estuda o comportamento assintotico de um modelo hıbrido para estructuras formadas por dois ma-teriais fisicamente diferentes - o primeiro, um material viscoelastico (com dissipacao viscoelastica de tipo KelvinVoigt), e o outro, um material elastico (sem mecanismo de dissipacao atuando sobre ele). Alem disso, consideramosque em uma extremidade da corda esta anexada uma carga (corpo oco). Mostramos a boa colocacao do sistemaassociado e o decaimento polinomial das solucoes. O Sistema hıbrido e formulado pelas equacoes (1.1) - (1.3),

ρ1utt − α1uxx − α2utxx = 0 em ]0, l0[×]0,+∞[ρ2vtt − α3vxx = 0 em ]l0, l[×]0,+∞[

ρ3wtt + δwt + µw + α3vx(l) = 0 em ]0,+∞[(1.1)

As condicoes de contorno sao dadas por

u(0, t) = 0, v(l, t) = w(t), ∀ t ≥ 0, (1.2)

e as condicoes de transmissao sao

u(l0, t) = v(l0, t), α1ux(l0, t) + α2utx(l0, t) = α3vx(l0, t), ∀ t ≥ 0 (1.3)

Palavras-chave: Semigrupo C0, Estabilidade Polinomial, Sistema hıbrido.

Referencias

[1] M. Alves, J.E. Munoz Rivera, M. Sepulveda and O. Vera Villagran, The lack of exponential stability in certaintranmission problems with Kelvin-Voigt dissipation, SIAM J. APPL.MATH, 2014, vol. 74, No. 2, 345-365.

[2] W. Littman and L. Markus, Stabilization of a hybryd system of elasticity by feedback boundary damping, Ann.Mat.Pura Appl., 158(1998), 281-330.

[3] A. Borichev and Y. tomilov, Optimal polynomial decay of functions and operator semigroups, Mathematischeannalen., Vol. 347. 2 (2009), 455-478.


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Existence of solution for a nonlocal problemin RN via bifurcation theory

C. Alvesa, R. de Limab M. Soutoc

a Unidade Academica de Matematica - UFCG. e-mail: [email protected] Unidade Academica de Matematica - UFCG. e-mail: [email protected] Unidade Academica de Matematica - UFCG. e-mail: [email protected]

AbstractIn this paper, we study the existence of solution for the following class of nonlocal problem,

−∆u =

(λf(x)−

∫RN K(x, y)|u(y)|γdy

)u, in RN ,

lim|x|→+∞

u(x) = 0, u > 0 in RN , (P )

where N ≥ 3, γ ∈ [1, 2), f : R 7→ R is a positive continuous function and K : RN × RN 7→ R is a nonnegativefunction. The function f and K will assume some conditions, which permit to use bifurcation theory to provethe existence of solution for problem (P ). This problem is motivated by a nonlocal logistic population model in abounded domain studied in [1].

Keywords: Nonlocal logistic equations; A priori bounds; Positive solutions.

References

[1] C. O. Alves, M. Delgado, M. A. S. Souto and A. Suarez, Existence of positive solution of a nonlocal logisticpopulation model, Z. Angew. Math. Phys. 66 (2015), 943-953.

Acknowledgments: The authors thank the support of FAPEMIG/Brazil and CAPES/Brazil.

11



Asymptotic Behaviour of Solutions to a System of Coupled SchrodingerEquations

X. Carvajala, P. Gamboab, O. Verac.

a Instituto de Matematica - UFRJ. e-mail: [email protected] Instituto de Matematica - UFRJ. e-mail: [email protected] Instituto de Matematica - U. del BioBio. e-mail: [email protected]

AbstractThis work is concerned with the behaviour of solutions to a system of coupled Schrodinger equations

iut + ∆u+ (α|u|2p + β|u|q |v|q+2)u = 0,

ivt + ∆v + (α|v|2p + β|v|q |u|q+2)v = 0,

u(x, 0) = ϕ(x), v(x, 0) = ψ(x),

(1.1)

where x ∈ Rn, α, β ∈ R, p > 0 and q > 0, which has applications in many physical problems, especially in nonlinearoptics. When the solution there exists globally we obtain the growth of the solutions in the energy space. Also wefind some conditions in order to obtain blow-up in this space.

Keywords: Coupled Schrodinger System, Energy conservation, Growth of solutions, Global existence of solutions,Blow-up, Well-posedness.

References

[1] T. Cazenave, Semilinear Schrodinger equations. Lect. Notes in Math. 10. New York University, Courant Insti-tute of Mathematicas Sciences. New York. Amer. Math. Soc. Providence. RI. (2003).

[2] T. Kato. On nonlinear Schrodinger equations, Ann. Inst. Henri Poincare. Physique theorique, 46, (1987) 113-129.

[3] C. Sulem, P. L. Sulem, The nonlinear Schrodinger equation: Self-focusing and wave collapse, (New York:Springer), (1999).

[4] Y. Tsutsumi, L2−solutions for nonlinear Schrodinger equations and nonlinear group, Funkcialaj Ekvacioj, 30,(1987) 115–125.

[5] L. Xiaoguang, W. Yonghong, L. Shaoyong, A sharp threshold of blow-up for coupled nonlinear Schrodingerequations, J. Phys. A: Math. Theor. 43, (2010) 1–11.


12



PDEs whose dynamics is governed by ODEs

G. J. Lozada-Cruza

a Department of Mathematics, IBILCE/UNESP. e-mail: [email protected]

AbstractIn this talk we will give some examples of PDEs for which the study of asymptotic dynamics can be reduced tofinite dimensions via the invariant manifolds technique.

Keywords: Asymptotic behavior of solutions, spatial homogeneity, strongly damped wave equation.

References

[1] Carvalho, A. N.; Cholewa, J. W.; Lozada-Cruz, G.; Primo, M. R. T. Reduction of infinite dimensional systemsto finite dimensions: compact convergence approach. SIAM J. Math. Anal. 45 (2013), no. 2, 600–638.

[2] Carvalho, A. N.; Lozada-Cruz, German. Patterns in parabolic problems with nonlinear boundary conditions. J.Math. Anal. Appl. 325 (2007), no. 2, 1216–1239.

[3] Carvalho, A. N.; Lozada-Cruz, German. On parabolic equations with large diffusion in dumbbell domains. Rev.Mat. Estatıst. 24 (2006), no. 2, 87–102.


13



Efficient Alternative for Construction of the Linear System stemmed fromNumerical Solution of Heat Transfer Problems via FEM

E. C. Romaoa.

a Departament of Basic and Environmental Sciences - EEL/USP. e-mail: [email protected]

AbstractIn this work proposes an efficient alternative to construction of the linear system coming from a solution via the finiteelement method that is able to significantly decrease the time of construction of this system. From the presentationof the methodology used and a numerical application will be clear that the purpose of this work is able to decrease6-7 times (on average) the linear system build time.

Key-words: Finite Element Method, Galerkin Method, Heat Transfer.

References

[1] Romao, E. C., Moura, L. F. M.. Galerkin and Least Squares Methods to solve a 3D convection-diffusion-reactionequation with variable coefficients. Numerical Heat Transfer, Part A: Applications, vol. 61, no. 9, pp. 669-698,2012.

[2] Smith, G. D. Numerical Solution of Partial Differential Equations. Oxford Mathematical Handbooks, NewYork,1971. 179 p.

[3] Chung, T. J.. Computational Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 2002. 1012p.

[4] Reddy, J. N. An Introduction to the Finite Element Method. Second Edition, McGraw-Hill, 1993. 684p.

[5] Burrel, L. L.; Tang, L. Q.; Tsang, T. T. H.. On a Least-Squares Finite Element Method for Advective Transportin Air Pollution Modeling. Atmospheric Environment, vol. 29, n.12, p. 1425-1439, 1995.

[6] Romao, E. C., Moura, L. F. M.. 3D Contaminant Transport by GFEM with hexaedrals elements. InternationalCommunications in Heat and Mass Transfer, vol. 42, p. 43-50, 2013.

[7] Romao, E. C.. 3D Unsteady Diffusion and Reaction-Diffusion with Singularities by GFEM with 27-Node He-xahedrons. Mathematical Problems in Engineering, Volume 2014, Article ID 560492, 12 pages.

[8] Camprub, N.; Colominas, I.; Navarrina, F; Casteleiro, M. Galerkin, Least-Squares and G.L.S. numerical approa-ches for convective-diffusive transport problems in engineering. European Congress on Computational Methodsin Applied Sciences and Engineering, 2000.

[9] Romao, E. C., Campos, M. D., Moura, L. F. M.. Application of Galerkin and Least-Squares Finite ElementMethod in the Solution of 3D Poisson and Helmholtz equations. Computers & Mathematics with Applications(1987), vol. 62, p. 4288-4299, 2011.

[10] Jiang, B. N. The Least-Squares Finite Element Method: Theory and Applications in Computational FluidDynamics and Electromagnetics. Springer, 1998. 416p.

Acknowledgment: The FAPESP (Proc. 2014/06679-8) supported the present work. I also thank the support of

CAPES and FAPEMIG.

14



Asymptotics for the best Sobolev constants and theirextremal functions

G. Ercolea, G. A. Pereirab

a Departamento de Matematica - UFMG. e-mail: [email protected] Departamento de Matematica - UFMG. e-mail: [email protected]

AbstractLet p > 1 and let Ω be a bounded and smooth domain of RN , N ≥ 2. It is well known that the infimum

λq(Ω) := inf‖∇u‖pp : u ∈W 1,p

0 (Ω) and ‖u‖q = 1

is achieved by a positive function wq ∈W 1,p0 (Ω), whenever 1 ≤ q < p?, where p? = Np

N−p if 1 < p < N and p? =∞if p ≥ N.We consider p > N and show that

Λp(Ω) := limq→∞

λq(Ω) = min‖∇u‖pp : u ∈W 1,p

0 (Ω) and ‖u‖∞ = 1,

where the minimum is achieved by a positive function up = limqn→∞ wqn (convergence in W 1,p0 (Ω) and also in

C(Ω)). Moreover, we prove that any minimizer up of Λp(Ω) satisfies

−∆pup = up(xp)Λp(Ω)δxp ,

where δxp is the Dirac delta distribution concentrated at the only point xp satisfying |up(xp)| = ‖up‖∞ = 1.In the sequel, we prove that

limp→∞

Λp(Ω)1p =

1

‖ρ‖∞where ρ denotes the distance function to the boundary ∂Ω. We also prove that there exist pn → ∞, x∗ ∈ Ω andu∞ ∈W 1,∞

0 (Ω) such that: ρ(x∗) = ‖ρ‖∞ , xpn → x∗, upn → u∞ uniformly in Ω, 0 < u∞ ≤ ρ‖ρ‖∞

in Ω, ∆∞u∞ = 0

in Ω\ x∗ and u∞ = ρ‖ρ‖∞

on ∂ (Ω ∪ x∗) . Moreover, we show that x∗ is the only maximum point of u∞ and

also give conditions on Ω under which u∞ = ρ‖ρ‖∞

in Ω.

Keywords: Asymptotic behavior, best Sobolev best constants, Dirac delta function, infinity Laplacian, p-Laplacian,viscosity solutions.

References

[1] N. Fukagai, M. Ito, K. Narukawa Limit as p→∞ of p-Laplace eigenvalue problems and L∞- inequality of thePoincare type, Diff. Int. Equ. 12 (1999) 183-206.

Acknowledgments: The authors thank the support of Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado de Mi-

nas Gerais (Fapemig)/Brazil (CEX-PPM-00165), Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientıfico e Tecnologico

(CNPq)/Brazil (305049/2011-9 and 306590/2014-0)and PAEP/CAPES.

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On the existence of maximizers for Airy-Strichartz inequalities

L. G. Faraha

a Departamento de Matematica - UFMG. e-mail: [email protected]

AbstractRecently, in a joint work with Ademir Pastor [1], we give a simple proof of the classical Kenig, Ponce and Vegawell-posedness result for the generalized KdV equation [2]

∂tu+ ∂3

xu+ ∂x(uk+1) = 0, x ∈ R, t > 0, k ≥ 4,

u(x, 0) = u0(x).

The key ingredient in the proof is the following Airy-Strichartz estimate

‖U(t)u0‖L

5k/4x L

5k/2t

≤ Ck‖u0‖Hskx,

where k > 4, sk = (k − 4)/2k and U(t) denotes the linear propagator for the KdV equation.

Our goal here is to prove the existence of maximizers for the above inequality. The main tool we use is a linearprofile decomposition for the Airy equation with initial data in H

skx (R). As a consequence, we also establish the

existence of maximizers for a more general class of Strichartz type inequalities associated to the Airy equation.

This is a joint work with Henrique Versieux (UFRJ).

Keywords: Generalized KdV equation, Airy equation, existence of maximizers.

References

[1] L.G. Farah and A. Pastor, On well-posedness and wave operator for the gKdV equation, Bulletin des SciencesMathematiques, 137, 2013, 229-241.

[2] C. E. Kenig, G. Ponce, and L. Vega, Well-posedness and scattering results for the generalized Korteweg-de Vriesequation via the contraction principle, Communications on Pure and Applied Mathematics, 46, 1993, 527–620.

Acknowledgments: The author was partially supported by CNPq/Brazil, FAPEMIG/Brazil and CAPES/Brazil.

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Propriedades de estabilidade linear para modelosde materiais com memoria

R. R. Alvesa.

a Departamento de Matematica e Estatıstica - UFSJ. e-mail: [email protected]

ResumoEste trabalho apresenta um metodo simples para verificar que modelos de ondas abstratas com memoria satisfaza propriedade de estabilidade linear, tambem conhecida como a propriedade de crescimento definida pelo espectro(PCDE), isto e, o tipo do semigrupo coincide com o limite espectral do seu gerador. Neste caso, basta determinara cota superior do espectro para encontrar a melhor taxa de decaimento. A propriedade nos da um criterio praticopara assegurar estabilidade em um problema de evolucao.

Palavras-chave: Estabilidade Linear, Modelos de materiais com Memoria, Teoria de Semigrupos.

Referencias

[1] J. E. M. Rivera, Estabilizacao de Semigrupos e Aplicacoes, Serie de Metodos Matematicos, Rio de Janeiro(2008).


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Modelo de Competicao Estocastica Lotka-Volterraentre duas Especies

D. A. Zavaleta Villanuevaa

a Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN. e-mail: [email protected]

ResumoMuitas areas interdisciplinares como Biologia Matematica, Bioestatıstica e Bioengenharia vem crescendo rapida-mente desde as ultimas decadas. Em particular, muitas das aplicacoes biologicas sao das areas de populacao dinamicae de epidemiologia. Modelar e analisar fenomenos biologicos requerem tecnicas e ferramentas de varias disciplinas.Neste trabalho apresentamos uma aplicacao biologica do calculo estocastico: o modelo de competicao estocasticade Lotka-Volterra entre duas especies.A consideracao do ruıdo branco multiplicativo muda drasticamente o comportamento do sistema de Lotka-VolterraDeterminıstico (1.1),

u = u(a1 − b1 u− c1 v)v = v(a2 − b2 u− c2 v),

(1.1)

e deixa uma nova situacao que nao tem um analogo com o caso determinıstico. A evolucao no tempo da competicaoestocastica entre duas especies e obtido da equacao de Lotka-Volterra (1.1) em presenca do ruıdo branco,

u = u(a1 − b1 u− c1 v) + f(u, v)ξu(t)v = v(a2 − b2 u− c2 v) + g(u, v)ξv(t),

(1.2)

onde como antes, u e v representam as densidades das populacoes, f(u, v)ξu(t) e g(u, v)ξv(t) modelam a contribuicaode forcas aleatorias. ξu(t) e ξv(t) sao os ruıdos brancos Gaussianos independentes com media zero.

Palavras-chave: Competicoes Estocasticas, Lotka-Volterra.

Referencias

[1] P.E. Kloeden e E. Platen ,Stochastic Differential Equations with Maple, Springer-Verlag, Heidelberg, 1999.

[2] S. A. Levi, Dispersion and Population Interaction, The American Naturalist, 108(1974), no 960.

[3] J.D. Murray,Mathematical Biology, 2th ed., Springer-Verlag, New york, 1993.

[4] B.K. Oksendal,Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 4th ed., Springer, 1995.

[5] N. Wiener,Differential Space, J. Math. Phys. 2, 131-174, 1991.

[6] David A. Zavaleta Villanueva,Sistema de Competicao entre duas Especies, Disertacao de Mestrado em Ma-tematica, IME-USP, 2002.


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Configuracoes Centrais Planares no Problema de Cinco Corpos

L.F. Melloa, A.C. Fernandesb.

a Instituto de Matematica e Computacao - UNIFEI. e-mail: [email protected] Instituto de Matematica e Computacao - UNIFEI. e-mail: [email protected]

ResumoO classico problema Newtoniano de n corpos no plano em mecanica celeste consiste no estudo da dinamica den corpos de massas positivas mi ocupando posicoes ri ∈ R2, i = 1, 2, . . . , n, interagindo de acordo com Lei daGravitacao Universal proposta por Newton.

Uma configuracao do sistema e definida como sendo r = (r1, . . . , rn) ∈ R2n. O centro de massa do sistema, dado

por∑

mjrj/M, ondeM = m1 + · · ·+mn e a massa total, sera considerado na origem de nosso referencial inercial,

o qual e usualmente chamado referencial inercial baricentrico.

As equacoes diferenciais que regem o problema de n corpos sao dadas por

ri = −n∑j=1j 6=i

mj

r3ij

(ri − rj), (1.1)

para i = 1, 2, . . . , n, onde rij = |ri − rj | e a distancia Euclidiana entre os corpos localizados em ri e rj . Em (1.1)estamos adotando um referencial em relacao ao qual a constante de gravitacao universal tem 1 unidade e as derivadassao tomadas com relacao a variavel independente t, denominada tempo. Observe que as equacoes em (1.1) estaodefinidas apenas quando rij 6= 0. Assim, nosso espaco de configuracoes sera tomado como sendo R2n −∆, sendo ∆o conjunto das colisoes, onde rij = 0 para algum par i, j com i 6= j.

Dizemos que os n corpos formam uma configuracao central no instante t = t0 se o vetor aceleracao de cada corpo eproporcional ao seu vetor posicao relativo ao centro de massa do sistema, ou seja, se existir λ < 0 tal que

ri = λri, (1.2)

para todo i = 1, 2, . . . , n. Pode–se mostrar que, neste caso,

λ = −U

I, U =

∑1≤i<j≤n

mimj

rij, I =

n∑i=1

mi|ri|2,

sendo U a funcao potencial de Newton e I o momento de inercia dos n corpos. Assim, numa configuracao central,o vetor aceleracao de todo corpo aponta para a origem do referencial com magnitude proporcional a sua distanciada origem. Deste modo, se os corpos numa configuracao central tiverem velocidades iniciais nulas, os mesmos semoverao em direcao a origem de modo que a configuracao tendera a um colapso homotetico.

Nesta apresentacao, discutiremos o caso de configuracoes centrais convexas, mas nao estritamente convexas noproblema de cinco corpos.

Palavras-chave: Problema de n Corpos, Configuracao Central, Configuracao Convexa.

Referencias

[1] A.C. Fernandes e L.F. Mello, Problema de 5 Corpos no Plano: Existencia de Configuracoes Centrais ConvexasQue Nao Sao Estritamente Convexas, Preprint, 2015.


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Existence of non negative solution for a semi positone p-laplacian system

Eder Marinho Martinsa.

a Departamento de Matematica - UFOP. e-mail: e-mail: [email protected]

AbstractIt is considered an elliptic system of the form −∆pu = λω(x)f(v) in Ω,

∆qv = µρ(x)g(u) in Ω,(u, v) = (0, 0) on ∂Ω,

(P)

where p, q > 1, Ω denotes a smooth bounded domain in RN (N ≥ 2). The weight functions ω, ρ : Ω → R arecontinuous, nonnegative and no identically nulls, and non-linearities f, g : [0,∞)→ R are continuous functions.One assumes that f and g satisfies these hypotheses

(H0) It exists σ > 0 such that f(v), g(u) ≥ −σ.

(H1) It exists L,M > 0 such that f(v), g(u) ≥ L when u, v ≥M .

(H2) limx→∞

f1

p−1

(Cg (x)

1q−1

)x

= 0, for every C > 0.

With the above hypothesis, it is proved the existence of a nonnegative pair (u, v) that is a solution of system (P)when λ and µ are large. To be more accurate, one has the

Theorem 1 Suppose that f, g : [0,+∞)→ R are continuous nonlinearities satisfying (H0), (H1) and (H2), and letthe weight functions w, ρ : Ω→ R continuous, nonnegative and not identically nulls on Ω. Then problem (P) has atleast a nontrivial non negative solution (u, v) for λ and µ large and

λ1

p−1L

1p−1

2‖φp,ω‖∞ ≤ ‖u‖∞ ≤ Cλ‖φp,ω‖∞

and

µ1

q−1L

1q−1

2φq,ρ ≤ ‖v‖∞ ≤ µ

1q−1 g (Cλ‖φp,ω‖∞)

1q−1 φq,ρ,

where Cλ is a large constant, that depends just on λ. 2

Observe that (H0) permite us deal with the semi-positone case (that is, when f(0), g(0) < 0). The main motivationfor this work is [4] and [2] where the linear case were considered. In [1] and [3], problem P is also considered.Among the cited references, the semi-positone case was just considered in [2]. Our strategy is: at first, guaranteethe existence result in the radial case and than, use this case to prove the general result. Schauder Fixed PointTheorem is applied.

Keywords: Non linear elliptic system, existence of solution, Fixed Point Theorem.

References

[1] D. D. Hai,Existence and Uniqueness of Solutions for Quasilinear Elliptic Systems. Proceedings of AMS, 133,Number 1, (2004), 223-228.

[2] D. D. Hai, R. Shivaji, An existence result on positive solutions for a class of semilinear elliptic systems.Proceedings of the Royual Society of Edinburgh, 134A, (2004), 137-141.

[3] E. M. Martins, W. M. Ferreira, Positive Solution for a Class of Coupled (p,q)-Laplacian Systems. BoundaryValue Problems, 21 (2014).

[4] R. Dalmasso, Existence and uniqueness of positive solutions of semilinear elliptic systems, Nonlinear Analysis.39 (2000), 559-568.

Acknowledgments: The author thanks the support of UFOP, FAPEMIG and CAPES.

20



Sobre equacoes p-biharmonicas com crescimento crıtico

H.P. Buenoa, L. Paes-Lemab, H. C. Rodriguesc.

a Departamento de Matematica - UFMG. e-mail: [email protected] Departamento de Matematica - UFOP. e-mail: [email protected] Departamento de Matematica - UFMG. e-mail: [email protected]

ResumoNeste trabalho estudamos os problemas de quarta ordem

∆2pu := ∆(|∆u|p−2∆u) = λf(x)|u|q−2u+ |u|p∗−2u em Ω,

u =∂u

∂n= 0 sobre ∂Ω,

(1.1)

e ∆2pu := ∆(|∆u|p−2∆u) = λf(x)|u|q−2u+ |u|p∗−2u em Ω,

u = ∆u = 0 sobre ∂Ω,(1.2)

em que Ω ⊂ RN e domınio limitado e suave. Supomos que os expoentes p e q satisfazem 1 < p < ∞, N > 2p,1 < q < p, sendo que p∗ = Np

N−2pdenota o expoente crıtico de Sobolev para problemas de quarta ordem. O

parametro λ e positivo e f : Ω→ R e ou positiva, ou pode trocar de sinal.Consideramos o funcional “energia”

Jλ(u) =1

p

∫Ω|∆u|pdx−

λ

q

∫Ωf(x)|u|qdx−

1

p∗

∫Ω|u|p∗dx.

No caso do problema (1.1), Jλ esta definido em W 2,p0 (Ω); em (1.2), Jλ esta definido em W 2,p(Ω)∩W 1,p

0 (Ω). Assim,

denotaremos por E = E(Ω) o espaco W 2,p0 (Ω) ou o espaco W 2,p(Ω) ∩W 1,p

0 (Ω), conforme o problema considerado,ambos dotados da norma ‖u‖ = ‖∆u‖p, em que ‖ · ‖p denota a norma usual do espaco Lp(Ω).Para cada λ > 0, analisamos o problema de minimizacao de Nehari:

mλ(Ω) = infJλ(u) : u ∈ Nλ(Ω),

em Nλ(Ω) =u ∈ E \ 0 : 〈J ′λ(u), u〉 = 0

.

Definimos

ψλ(u) = 〈J ′λ(u), u〉 = ‖u‖p − λ∫

Ωf(x)|u|qdx−

∫Ω|u|p∗dx

and dividimos Nλ(Ω) em tres componentes:

N+λ (Ω) =

u ∈ Nλ(Ω) : 〈ψ′λ(u), u〉 > 0

, Nλ(Ω) =

u ∈ Nλ(Ω) : 〈ψ′λ(u), u〉 < 0

e provamos que, se λ ∈ (0, λ1), entao e vazia a terceira componente:

N 0λ(Ω) =

u ∈ Nλ(Ω) : 〈ψ′λ(u), u〉 = 0

.

Aplicando multiplicadores de Lagrange, concluımos que, se u0 for um mınimo local para Jλ em Nλ(Ω), entao valeJ ′λ(u0) = 0 em E∗. Para obtermos duas solucoes para cada problema, definimos

mλ(Ω) = infJλ(u) : u ∈ Nλ, m+λ (Ω) = infJλ(u) : u ∈ N+

λ (Ω)

em−λ (Ω) = infJλ(u) : u ∈ N−λ (Ω).

Contudo, notamos que u ∈ N+λ (Ω) implica

∫Ω f(x)|u|qdx > 0. Como f pode mudar de sinal, essa relacao pode ser

falsa. Por isso, supomos [(f+)] f : Ω→ R e contınua e f+ = maxf, 0 6≡ 0.

21

Objetivando encontrar uma solucao em N+λ (Ω), restringimos nosso problema a um aberto suave Ω′ ⊂ Ω em que f

e positiva e consideramos o funcional J0 : W 2,p0 (Ω′)→ R dado por

J0(u) =1

p

∫Ω′|∆u|pdx−

1

p∗

∫Ω′|u|p∗dx,

o qual e o mesmo funcional Jλ no nıvel λ = 0, uma vez restrito a Ω′.A geometria do passo da montanha satisfeita por J0 implica que m0(Ω′) = infJ0(u) : u ∈ N (Ω′) e positivo, masesse ınfimo nao e atingido.Para u ∈ W 2,p

0 (Ω′), ao definirmos u = 0 em Ω \ Ω′, temos u ∈ E \ 0, pois W 2,p0 (Ω) ⊂ W 2,p(Ω) ∩W 1,p

0 (Ω). Em

particular,∫Ω f(x)|u|qdx =

∫Ω′ f(x)|u|qdx e estimando, obtemos que mλ(Ω) ≤ m+

λ (Ω) ≤ cm0(Ω′) < 0, a constante

c < 0 sendo explicitamente obtida. Outras estimativas fornecem m−λ (Ω) ≥ C > 0.

Como a imersao de E em Lp∗(Ω) nao e compacta, aplicamos tecnicas de concentracao-compacidade, que implicar

que Jλ satisfaz a condicao local de Palais-Smale (PS) abaixo do nıvel 2NS

N2p − Dλβ . (Denotamos por β o valor

p∗

p∗−q ; a constante D e obtida no artigo.) Para isso, obtivemos estimativas para m+λ (Ω) e m−λ (Ω).

Com base nessa abordagem, provamos nosso resultado principal:

Teorema: Se f satisfizer (f+), entao existe λ0 > 0 tal que, para todo λ ∈ (0, λ0), os problemas (1.1) e (1.2)possuem duas solucoes nao triviais distintas. Se f for positiva, essas duas solucoes do problema (1.2) sao positivas.

Palavras-chave: Equacoes p-biharmonicas, Crescimento crıtico.

Referencias

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[2] C. Ji e W. Wang, On the p-biharmonic equation involving concave-convex nonlinearities and sign-changingweight function, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2 (2012), 17 pp.

[3] P.L. Lions, The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The limit case, part 1, Rev.Mat. Iberoamericana 1 no. 1 (1985), 145-201 and 1 no. 2 (1985), 45-121.


22



Exponential stability for a structure with interfacial slip andfrictional damping

C. A. Raposoa, J. A. J. Avilab.

a Department of Mathematics and Statistics - UFSJ. e-mail: [email protected] Department of Mathematics and Statistics - UFSJ. e-mail: avila [email protected]

AbstractWe prove the exponential stability for a laminated beam consisting of two identical beams of uniform thickness,which is system closely related with Timoshenko beams, taking into account that an adhesive of the small thicknessis bonding the two layers and produce the interfacial slip.

Keywords: Exponential stability, laminated beam, interfacial slip, energy method.

References

[1] S. W. Hansen and R. Spies, Structural damping in a laminated beams due to interfacial slip, J. Sound Vibration,204(1997), 183− 202.

[2] S. W. Hansen, In Control and Estimation of Distributed Parameter Systems: Non-linear Phenomena. Interna-tional Series of Numerical Analysis, ISNA 118, (1994), 143− 170. Basel: Birkhauser. A Model for a two-layeredplate with interfacial slip.

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[5] A. Lo and N-E Tatar, Stabilization of laminated beams with interfacial slip, Electronic Journal of DifferentialEquations, Vol.2015 (2015), 129, 1− 14.

[6] Ammar-Khodja, A. Benabdallah, J. E. M. Rivera; Energy decay for Timoshenko system of memory type, J.Diff. Eqs.194(1)(2003), 82− 11.

[7] C. A. Raposo, J. Ferreira, M. L. Santos and N. N. Castro, Exponential stabilization for the Timoshenko systemwith two weak dampings, Appl. Math. Lett. 18(2005), 535− 541.


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Um novo modelo para fenomenos de propagacao discreta:estudo do caso de modelagem do coracao via equacoes de reacao-difusao

R. Weber dos Santosa, P. Arroyo Silva , C. Mendonca Costa.

a Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF. e-mail: [email protected]

ResumoNesta apresentacao discutiremos brevemente um novo modelo proposto recentemente em [1] para a propagacaoeletrica em tecido cardıaco. O fenomeno em questao possui caracterısticas que denominamos, aqui, de propagacaodiscreta ou descontınua e reflete a complexidade das estruturas anatomicas do tecido cardıaco, tais como miocitos,juncoes gap, microvasos, e matriz extracelular. Modelos discretos ou microscopicos, isto e, que modelam a condu-tividade do tecido de forma heterogenea incluindo variacoes em escalas subcelulares, sao, ate agora, as melhoresopcoes para estudar com precisao como as propriedades estruturais do tecido cardıaco influenciam a propagacaoda onda eletrica. Estes modelos, no entanto, nao sao adequados para simulacoes em grande escala, as quais temsido tradicionalmente realizadas atraves da utilizacao de modelos contınuos e macroscopicos, tais como o modelomonodomınio com condutividade homogeneizada, que em uma dimensao pode ser escrito com segue:

βCm∂tV (x, t) + βIion (V (x, t),η(x, t)) = σ∂xxV (1.3)

∂tη(x, t) = f (V (x, t),η(x, t)) ,

onde Cm e a capacitancia da membrana celular, β e a razao surperfıcie-volume de uma celula ou miocito cardıaco,V e a principal variavel de interesse, o potencial celular, Iion e uma funcao nao linear que descreve correntes ionicase que depende de V e de uma serie de outras variaveis de interesse biologico (concentracoes ionicas, etc.) aquidescritas pelo vetor η. Se considerarmos que a condiutividade do tecido vartia periodicamente, podemos obter ovalor homogeneizado classico de σ:

σ =`

`σc

+ AG

, (1.4)

onde ` e o tamanho da celula, σc a condutividade do citoplasma, A a area transversa da celula e G a condutividadeda juncao gap de conexao entre duas celulas distintas.No entanto, o modelo contınuo acima nao consegue reproduzir diversos aspectos importantes do fenomeno, como porexemplo, efeito saltatorio, conducao lenta e bloqueio ou falha de propagacao. Em nosso novo trabalho desenvolvemosum novo modelo que combina caracterısticas de modelos contınuos e modelos discretos e em uma dimensao podeser escrito com segue:

Im = β(Cm∂tV + Iion(V,η)) = σ∂xx

1− `4−dx412`2

∂xxV

∂tη = f(V,η), (1.5)

onde dx e a discretizacao da malha adotada. Ou seja, apesar do modelo estar escrito como um sistema de equacoesdiferenciais parciais o mesmo possui constantes que refletem a discretizacao que sera usada pelo metodo numerico.Assim, o modelo nao e contınuo, nem discreto, mas um hıbrido. O novo modelo foi avaliado em diferentes cenariose foi capaz de reproduzir diversas caracterıticas como o bloqueio de conducao, a dispersao de repolarizacao, dentreoutras. Como ja mencionado, nenhuma dessas caracterısticas pode ser capturada por modelos contınuos. Alem disso,o modelo supera uma desvantagem de modelos discretos, uma vez que permite a variacao da resolucao espacial, dx,dentro de um determinado intervalo.

Palavras-chave: Propagacao nao-linear, Difusao discreta, Sistemas de Reacao-Difusao, Efeito Saltatorio, Bloqueiode propagacao, Modelos Multi-escalas, Modelagem do coracao

Referencias

[1] C. Mendonca Costa, P. Arroyo Silva, R. Weber dos Santos, Mind the gap: A semi-continuum modelfor discrete electrical propagation in cardiac tissue, IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 2015.doi=10.1109/TBME.2015.2470256

Agradecimento: Agradecemos o apoio financeiro do CNPq, CAPES, FAPEMIG, FINEP e UFJF.

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Decay Rates in Non-classical Thermoelasticity

H. D. F. Sarea

a Instituto de Matematica - UFRJ. e-mail: [email protected]

AbstractWe study models in thermoelasticity involving non-classical theory for heat conduction. Results about stability ofsolutions for these systems will be formulated.

Keywords: Heat conduction, Cattaneo law, hyperbolic thermoelasticity.

References

[1] R. Racke. Thermoelasticity with second sound-exponential stability in linear and non-linear 1-d. Math. Methods.Appl. Sci., 25(5):409-441, 2002.


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Esquema de Diferencas Finitas de Alta Ordem paraResolver a Equacao de Subdifusao-Reacao Fracionaria

M. F. Carvalhoa, R. C. Raposob, A. J. Parreirac.

a Instituto de Ensino Superior Presidente Tancredo Neves - IPTAN. e-mail: [email protected] Instituto de Ensino Superior Presidente Tancredo Neves - IPTAN. e-mail: [email protected] Instituto de Ensino Superior Presidente Tancredo Neves - IPTAN. e-mail: [email protected]

ResumoUtilizando Equacoes Diferenciais Fracionarias estudamos o fenomeno de difusao anomala com reacoes, proposto porYuste [4]. A equacao

ut =0 D1−γt (Kγuxx −Ku) + f, (1.1)

onde u = u(x, y), descreve o movimento de partıculas de um processo subdifusivo com reacao e um termo fontef(x, y).Analisamos a convergencia de um Esquema Numerico Implıcito de alta ordem proposto por Avila [1]. O metodoutiliza Diferencas Finitas Compactas para a discretizacao da variavel espacial, Diferencas Finitas para Tras paradiscretizacao da variavel temporal e a discretizacao de Grunwald-Letnikov para a derivada fracionaria de Riemann-Liouville. Mostramos que o esquema e de primeira ordem no tempo e de quarta ordem no espaco.

Palavras-chave: Difusao Anomala, Diferenca Finita Compacta, Equacao Diferencial Fracionaria, Esquema Numericode Alta Ordem.

Referencias

[1] J. A. J. Avila, A. J. Parreira and J. C. Z. Aguilar, About the Convergence of a Numerical Scheme of High Orderto Solve Fractional Reaction-Subdiffusion Equation, International Journal of Applied Mathematics, vol. 27(4),2014, 365-386.

[2] F. L. Marquezino, Analise, simulacoes e aplicacoes algorıtmicas de caminhadas quanticas, Tese de Doutorado,Laboratorio Nacional de Computacao Cientıfica, Petropolis, RJ, 2010.

[3] L. Mlodinow, O andar do bebado, Zahar, 2009.

[4] S. B. Yuste, L. Acedo and K. Lindenberg, Reaction front in an A + B = C reaction-subdiffusion process,Physical Review E, 69, 036126, 2004.

Agradecimento: Agradecemos o apoio financeiro da PAEP/CAPES, da FAPEMIG e da FUNADESP.

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Acerca do Controle Otimo de um Problema de Impacto Ambiental

P. V. R. Domingosa, J. A. D. Chuquipomab.

a Graduando do curso de Engenharia Eletrica - COELE - UFSJ. e-mail: [email protected] Departamento de Matematica e Estatıstica - UFSJ. e-mail: [email protected]

ResumoNeste trabalho apresentamos o estudo de um problema de poluicao ambiental usando a Teoria de Controle Otimode Sistemas de Parametros Distribuidos. A equacao de estado consiste em uma equacao diferencial parcial do tipoparabolica com condicoes de contorno e de valor inicial, que modela o transporte de um poluente em um fluıdoviscoso incompressıvel. Diversos autores tem estudado o controle otimo de problemas de poluicao. Santina e Rivera[6] apresentaram diversos resultados para o caso de varias fontes de poluente, o modelo estudado e analisado comoun problema de controle pontual. Seguindo as mesmas ideias, conseguimos obter as condicoes de otimalidade denosso modelo. Consideramos a presenca de um fator inibidor biologico, que o decompoe a substancia poluente. Aequacao de estado e dado pelo sistema:

(S)

zt −D∆z + β.∇z − λz = v(t)δ(x− b) em Ω× (0, T )

z(x, 0) = 0 em Ω

z(x, t) = 0 sobre ΓD × (0, T )

∂z∂ν

(x, t) = f(x, t) sobre ΓN × (0, T ),

onde z(x, t) representa a concentracao do poluente em (x, t) ∈ Ω × [0, T ], D e o coeficiente de difusao e ∆ e ooperador de Laplace. β e o vetor velocidade do fluxo de agua, λ e a taxa de decaimento que a sustancia poluentesofre por decomposicao biologica. A funcao v ∈ L2(0, T ) representa a fonte de poluicao e v(t) e o controle pontual,δ(x−b) e a massa de Dirac em b ∈ Ω, onde b representa o ponto de entrada do poluente e T > 0 e dado. O problemade controle otimo consiste em minimizar sobre um conjunto Uad de funcoes admissıveis o funcional custo:

infv∈Uad,z∈L2(0,T ;L2(Ω))

J(v, z) =1

2

∫Ω

[z(x, T ; v)− zd

]2dx+

N

2

∫ T

0v(t)2dt. (1.1)

Provamos que existe um unico controle otimo em Uad, o procedimento consiste em introduzir a mudanca de variaveisz = y +w na solucao do sistema (S) para posteriormente usar o metodo de transposicao, com estas novas variaveiso funcional custo J admite uma nova reformulacao. Introduzindo o sistema de estado adjunto, conseguimos obtera caracterizacao do controle otimo do problema de impacto ambiental (S), ver [1], [2] e [7].

Palavras-chave: Controle Otimo, Impacto Ambiental.

Referencias

[1] Banks, H. T; Control and Estimation in Distributed Parameter Systems. Siam, Philadelphia, 1992.

[2] Fursikov A. V; Optimal Control of Distributed Systems: Theory and Applications Translations of MathematicalMonographs, volume 187, American Mathematical Society, Moscow, 1999.

[3] Lions, J. L; Controle Optimal des Systemes Gouvernes par des Equations aux Derivees Partielles. Dunod -Gauthiers - Villars, Paris 1968.

[4] Lions, J. L; Quelques Methodes de Resolution des Problemes aux Limites non Lineaires, Dunod - Gauthiers -Villars, Paris, 1969.

[5] Salsa, Sandro; Partial Differential Equations in Action From Modelling to theory. Springer - Verlag Italia,Milano 2008.

[6] Santina de F. Arantes; Jaime E. Munoz Rivera; Optimal control theory for ambient pollution. InternationalJournal of Control, volume 83, Issue 11, 2010.

[7] Troltzsch F; Optimal Control of Partial Differential Equations Theory, Methods and Applications. GraduateStudies in Mathematics, vol 112, American Mathematical Society, Berlin 2005.


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Existencia de Configuracoes Centrais Convexasno Problema de Quatro Corpos

A. R. Limaa, A. C. Fernandesb.

a Instituto de Matematica e Computacao, Universidade Federal de Itajuba. e-mail: [email protected] Instituto de Matematica e Computacao, Universidade Federal de Itajuba. e-mail: [email protected]

ResumoUm dos principais problemas da mecanica celeste e o problema Newtoniano de n corpos, onde estuda–se a dinamicade n partıculas sobre a atracao gravitacional mutua e, formulamos tal problema da seguinte forma:

qi =∑i6=j

mjqj − qi|qj − qi|3

,

onde mi ∈ R+ sao as massas dos corpos e qi ∈ R2 sao suas posicoes. Sabe–se que o problema de n corpos nao eintegravel via quadraturas. Isto posto, os matematicos do seculo XVIII comecam a estudar solucoes particulares,talvez a classe mais importante de tais solucoes e a das solucoes homograficas e correspondentemente as configuracoescentrais, onde a configuracao inicial e preservada ao longo do tempo a menos de homotetias e rotacoes.

No presente trabalho estuda–se as configuracoes centrais no problema de 4 corpos, mais especificamente, vamosestudar a existencia de configuracoes centrais convexas no problema de 4 corpos, tal afirmacao e mostrada atravesdo teorema proposto por [1] e apresentado tambem por [2], que e:Teorema: Dados k0, k12, k34, k13 , existe uma configuracao central tal que k0 = r0,

max(r12, r23, r34, r14) < r0 < min(r13, r24),

e as razoes das massas sao dadas por

m1

m2= k12,

m3

m4= k34,

m1

m3= k13.

Tal teorema usa como ferramenta para provar a existencia de uma configuracao central convexa uma construcaogeometrica, esta e feita da seguinte forma: dados dois semicırculos, ambos de raio r0, de forma que estejam inseridosum no outro, implicando que a distancia entre seus centros sejam menores do que r0, tal que o primeiro ponto, q1, eo segundo ponto, q2, sejam respectivamente, o primeiro e o segundo ponto da configuracao. A intersecao desses doissemicırculos dar–nos–a o ponto de intersecao P , e assim, pode–se definir os arcos F e G, onde estes sao determinadoscomo sendo a distancia r0 a partir do ponto P .

Por conseguinte definimos as regioes U e V , onde U e definida como sendo a intersecao do interior do semicırculocentrado em q2 e raio r0 junto com o ponto P e com o exterior do semicırculo centrado em q1 e raio r0. A regiaoV e encontrada usando o mesmo procedimento para a regiao U .

Desta forma, mostraremos que fixado os tres pontos da configuracao e q3 situado na regiao U , existira um quartoponto, q4, percorrendo o arco AB definido na regiao V , de forma que as equacoes de compatibilidade, que sao,S13S24 = S23S14, sejam satisfeitas e assim definam uma configuracao central convexa de 4 corpos.

Palavras-chave: Problema de n Corpos, Configuracao Central, Configuracao Convexa, Solucao Homografica.

Referencias

[1] W. D. MacMillan, W. Bartky, Permanent Configurations in the Problem of Four Bodies, Trans. Amer. Math.,38 (1932), 838–875.

[2] M. Hampton, Concave Central Configurations in the Four–Body Problem, Tese de Doutorado, University ofWashington, Washington, 2002.

[3] Y. Long, Admissible Shapes of 4–Body Non–Collinear Relative Equilibria, Adv. NonLinear Studies, 1 (2003),495–509.


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Formas Normais para Sistemas Diferenciais Polinomiais em R3

tendo Quadricas Invariantes

A. E. Vilasboas Moreiraa, Fabio Scalco Diasa

a Instituto de Matematica e Computacao, UNIFEI. Email: [email protected], [email protected].

ResumoConsidere um sistema diferencial polinomial em R3 definido por

x′ = P y′ = Q z′ = R (1.1)

onde P,Q,R ∈ R[x, y, z] sao polinomios relativamente primos.Dizemos que m = maxgrau(P ), grau(Q), grau(R) e o grau do sistema (1.1) e podemos associar a este sistema ocampo vetorial

X = P∂

∂x+Q

∂

∂y+R

∂

∂z.

Um invariante do sistema (1.1) sobre um conjunto aberto U ⊂ R3 e uma funcao analıtica I nao localmente constantenas variaveis x, y, z e t tal que I e constante ao longo de todas as curvas solucoes (x(t), y(t), z(t)) do sistema (1.1)contidas em U , isto e,

dI

dt=∂I

∂xP +

∂I

∂yQ+

∂I

∂zR = 0,

sobre as orbitas de X contidas em U . Seja f ∈ C[x, y, z]. A superfıcie f(x, y, z) = 0 e uma superfıcie algebricainvariante do sistema (1.1) se para algum polinomio K ∈ C[x, y, z] temos

X(f) = P∂f

∂x+Q

∂f

∂y+R

∂f

∂z= Kf.

O polinomio K e chamado o cofator da superfıcie algebrica invariante f = 0 e se m e o grau do sistema 1.1, entaoo grau de K e no maximo m− 1.

Dividimos este trabalho em duas partes. Na primeira parte, baseada em [5], consideramos a superfıcie f(x, y, z) = 0como sendo quadricas nao degeneradas, as quais sao classificadas como elipsoides ou esferas, paraboloide cilındrico,hiperboloide cilındrico, cilindro elıptico, paraboloide elıptico, paraboloide hiperbolico, hiperboloide de uma e duasfolhas e o cone. Desta forma encontramos as formas normais de todos os sistemas diferenciais polinomiais em R3

tendo as quadricas descritas acima como superfıcie algebrica invariante. A segunda parte deste trabalho, baseada em[2], caracterizamos todas as possıveis configuracoes de meridianos e paralelos invariantes que estes sistemas podemter. Alem disso, analisamos quando estes invariantes (meridianos ou paralelos fechados) podem ser ciclos limites.

Palavras-chave: Formas normais, quadricas invariantes

Referencias

[1] J. Llibre, M. Messias, A. C. Reinol. Normal forms for polynomial differential systems in R3 having an invariantquadric and a Darboux invariant. International Journal of Bifurcation and Chaos. 25, 1550015, (2015).

[2] F. S. Dias, J. Llibre, L. F. Mello. Invariant parallels and meridians for polynomial vector fields on quadrics ofrevolution in R3 . Preprint (2015).


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Continuacao de Orbitas Periodicas em Equacoes Diferenciais no Plano

Welington Alves Motaa.

a Mestrado em Matematica - UNIFEI. e-mail: [email protected]

ResumoA finalidade deste trabalho e estudar a continuacao de orbitas periodicas em uma famılia a um parametro de equacoesdiferenciais no plano da forma

X′ =

(0 −1

1 0

)+ ε G(X),

com X = (x, y) ∈ R2, ε ∈ R um parametro e G : R2 → R2 um campo vetorial Cr, r ≥ 1 ou r = ∞. Porcontinuacao entende-se aquelas orbitas periodicas que persistem apos a perturbacao para um valor do parametro εsuficientemente pequeno, visto que cada membro da famılia possui um equilıbrio do tipo centro linear na origempara ε = 0.

Tais orbitas periodicas que persistem estao associadas com os zeros simples da funcao integral

ξ ∈ (0,∞) 7→ F(ξ) =

∫ 2π

0g1(ξcos(s), ξsen(s))cos(s) + g2(ξcos(s), ξsen(s))sen(s) ds,

sendo g1 e g2 as componentes do campo vetorial G.

Palavras-chave: Estabilidade, Orbitas Periodicas, Integral Abeliana.

Referencias

[1] A. A. Andronov, C. E. Chaikin, Theory of Oscillations, Princeton Press, 1949.

[2] C. Chicone, Ordinary Differential Equations with Applications, Springer, 2006.

[3] F. Dumortier, J. Llibre, J. C. Artes, Qualitative Theory of Planar Differential Systems, Springer, 2006.

[4] A. Gasull, H. Giacomini, A New Criterion for Controlling the Number of Limit Cycles of Some GeneralizedLienard Equations, Journal of Differential Equations, 185 (2002), 54-73.

[5] J. LLibre, E. Ponce, Piecewise Linear Feedback Systems with Arbitrary Number of Limit Cycles, InternationalJournal of Bifurcation and Chaos, 4 (2003), 895-904.


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Dinamica nao Linear em Modelos Economicos

C. A. B. Ribeiroa, L. F. Mellob.


ResumoEstudos de sistemas dinamicos nao–lineares tem sido amplamente aplicados para analise economica atualmente. Amodelagem nao–linear pode ser util para investigar o comportamento e encontrar solucoes para os mais sofisticadosproblemas economicos.

Neste trabalho usaremos as ferramentas da dinamica nao linear, tais como estabilidade, ciclos limites e bifurcacoesem modelos economicos procurando situacoes que nao podem ser facilmente modeladas por outras ferramentas.Mostraremos como a teoria da bifurcacao de Hopf pode ser aplicada para resolver esses modelos e utilizaremos ummetodo para verificar as condicoes de Hopf de nao degenerescencia e transversalidade em sistemas n–dimensionais,garantindo a existencia de ciclos limites.

O nosso objetivo e ter uma melhor compreensao de fenomenos economicos tais como o crescimento economico, ciclos,analise de mercado, entre outros, a fim de prevenir e controlar seu comportamento.

Palavras-chave: Dinamica Nao Linear, Modelos Economicos, Estabilidade, Bifurcacao.

Referencias

[1] C. Rocsoreanu, M. Sterpu, L. F. Mello, D. C. Braga, Lyapunov Coeffients For Non–Symmetrically CoupledIdentical Dynamical Systems. Application to Coupled Advertising Models, Discrete and Continuous DynamicalSystemns, 11 (2009), 785–803.

[2] W. B. Zhang, Differential Equations, Bifurcations and Chaos in Economics, World Scientific, 2005.

[3] E. Silveira, Estudo das Bifurcacoes de Hopf num Modelo de Osciladores Acoplados Ligados a Economia, Dis-sertacao de Mestrado, UNIFEI, 2008.


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Dinamica Estritamente Toral

P. V. Nunesa, B. A. Garciab.


ResumoSeja f um homeomorfismo definido no toro T2. Sob quais hipoteses f tem propriedades na sua dinamica que saoproprias do toro? Isto e, que nao estao presentes em homeomorfismos definidos no plano ou no anel.

Koropecki e Tal em [1] apresentam o conceito de dinamica estritamente toral no caso em que f e nao-errante (porexemplo, preservando area) e homotopica a identidade. Nesse cenario, f e dita estritamente toral se a sua dinamicapode ser decomposta em dois conjuntos de tal modo que um e uniao de discos periodicos limitados (podendo servazio) e outro que suporta a parte rotacional da dinamica e, portanto, uma vasta informacao sobre a mesma.

Uma condicao suficiente para que f seja estritamente toral e que o conjunto de rotacao, de acordo com a definicaodada por Misiurewicz, M., Ziemian, K. em [2], tenha interior nao-vazio. Assim, pode-se generalizar os conceitos de“ilhas elıpticas” e “regiao caotica”, dado por Jager em [3], pois esses tornam-se equivalente a decomposicao acima.

Palavras-chave: Dinamica no Toro, Ilha Elıptica, Regiao Caotica.

Referencias

[1] A. Koropecki, F. A. Tal, Strictly Toral Dynamics, Invent. Math., 196 (2014), 339–381.

[2] M. Misiurewicz, K. Ziemian, Rotation Sets for Maps of Tori, J. London. Math. Soc., 40 (1989), 490–506.

[3] T. Jager, Elliptic Stars in a Chaotic Night, J. London. Math. Soc., 84 (2011), 595–611.


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Geometria Multissimpletica e Equacoes de de Donder–Weyl

D. C. Santosa, L. G. Gomesb.


ResumoHa muito tempo o formalismo hamiltoniano na fısica tem servido como fonte de inspiracao para a definicao einvestigacao de importantes estruturas geometricas na matematica. Este e o caso da geometria simpletica, queaparece naturalmente no estudo da mecanica classica, em dimensao finita, e estabelece uma relacao geometrica comas equacoes de Hamilton. O teorema central que garante esta conexao e o teorema de Darboux: localmente existemcoordenadas para as quais a forma simpletica, e portanto as equacoes de movimento, tomam sua forma canonica.

No entanto, quando passamos da mecanica para a teoria dos campos, i.e., de um sistema de EDO’s para umsistema de EDP’s, surgem novas e diferentes estruturas geometricas denominadas de “polissimpleticas” ou “multis-simpleticas”(veja [1, 2]). Da mesma maneira, um teorema de Darboux e apresentado tal que nessas coordenadascanonicas as equacoes da dinamica dos campos classicos, chamada de equacoes de de Donder–Weyl ([3, 4]), assumemsua forma canonica ([5]).

Palavras-chave: Geometria Multissimpletica, Equacoes de de Donder–Weyl.

Referencias

[1] L. G. Gomes, Estruturas Polissimpleticas e Multissimpleticas em Variedades e Fibrados, Tese de Doutorado,IME–USP, 2007.http://www.ime.usp.br/ forger/www/pdffiles/teselgg.pdf

[2] M. Forger, L. G. Gomes, Muntisymplectic and Polysymplectic Structures on Fiber Bundles, Reviews in Mathe-matical Physics, 25 (2013).DOI: 10.1142/S0129055X13500189

[3] Th. De Donder, Theorie Invariante du Calcul des Variations, Gauthier–Villars, Paris, 1935.

[4] H. Weyl, Geodesic Fields in the Calculus of Variations for Multiple Integrals, Ann. Math., 36 (1935), 607–629.

[5] M. J. Gotay, J. Isenberg, J. E. Marsden, Momentum Maps and Classical Relativistic Fields. Part I: CovariantField Theory, preprint physics/9801019.


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Problema do Foco–Centro:Relacoes Entre a Divergencia e os Coeficientes de Liapunov

F. O. Santosa, L. F. Mellob.


ResumoNa teoria qualitativa das equacoes diferenciais ordinarias (EDOs), o estudo e a caracterizacao dos retratos de fasede campos planares se tornou alvo de varias pesquisas cientifıcas em matematica. O Problema do Foco-Centro eum problema em aberto, sendo um dos mais famosos desta teoria. Considere a seguinte equacao diferencial planar

x′

= P (x, y)

y′

= Q(x, y)

(1.1)

onde P (x, y) e Q(x, y) sao funcoes analıticas reais em uma vizinhanca de O (origem das coordenadas do R2), tais queP (0, 0) = Q(0, 0) = 0. Quando todas as orbitas do sistema (1.1), numa vizinhanca perfurada de O sao periodicas,entao a origem e um centro. Se as orbitas do sistema (1.1), numa vizinhanca perfurada de O sao espirais, entaodizemos que a origem e um foco. Um ponto de equilıbrio (x0, y0) e dito monodromico, se nao existem orbitas seaproximando, ou se afastando, de (x0, y0), com tangente bem definida em (x0, y0).

O problema do Foco–Centro, consiste em distinguir quando um ponto singular monodromico de (1.1) e um centroou um foco. Como de costume, definimos a divergencia do sistema (1.1), como a funcao

divX (x, y) =∂P

∂x(x, y) +

∂Q

∂y(x, y).

Nosso objetivo e destacar alguns resultados que relacionam a divergencia do sistema (1.1) e as constantes de Poincare-Liapunov com a solucao do Problema Foco-Centro, dentre eles, o seguinte resultado que pode ser encontrado em [1]:Suponha que a origem do sistema diferencial analıtico (1.1) e um ponto singular monodromico. Se a divergenciadivX (x, y) do sistema (1.1) e de sinal definido, entao a origem do sistema (1.1) e um foco; ou instavel se adivergencia e definida positiva ou instavel se for definida negativa.

Para finalizar, serao expostas algumas aplicacoes, onde os teoremas estudados foram fundamentais para decidirsobre a estabilidade do sistema.

Palavras-chave: Problema Foco–Centro, Divergencia, Coeficiente de Liapunov.

Referencias

[1] M. Grau, J. Llibre, Divergence and Poincare–Liapunov Constants For Analytic Differential Systems, Preprint(2015).

[2] F. Dumortier, J. Llibre, J. Artes, Qualitative Theory of Planar Differential Systems, Springer, (2006).

[3] C. Chicone, Ordinary Differential Equations With Applications, Springer, (1991).

[4] J. Sotomayor, Equacoes Diferenciais Ordinarias, Textos Universitarios do IME–USP, Livraria da Fısica, SaoPaulo, (2011).


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Controle de Ciclos Limites em Sistemas de Controle Linearesem Malha Fechada

F. O. Brondanıa.

a Instituto de Matematica e Computacao, Universidade Federal de Itajuba. e-mail: [email protected]

ResumoDado um sistema controle linear e invariante no tempo

x′ = Ax+Bu,

com x ∈ Rn, u ∈ R, A e B matrizes n× n e n× 1, respectivamente, o objetivo do trabalho e encontrar uma famıliade realimentacoes estaticas de estado da forma

K : Rn × Rm −→ R

(x, µ) 7−→ u = K(x, µ),

tal que seja possıvel determinar precisamente o numero e a estabilidade dos ciclos limites que surgem no retrato defase de cada sistema de controle em malha fechada

x′ = Ax+BK(x, µ),

visto com uma equacao diferencial nao linear.

Palavras-chave: Sistemas de Controle, Bifurcacao de Hopf, Ciclos Limites.

Referencias

[1] D. C. Braga, L. F. Mello, C. Rocsoreanu, M. Sterpu, Controllable Hopf Bifurcations of Codimensions One andTwo in Linear Control Systems, International Journal of Bifurcation and Chaos, 21 (2011), 2665–2678.

[2] F. A. Carrillo, F. Verduzco, Control of the Planar Takens–Bogdanov Bifurcation With Applications, ActaApplicandae Mathematicae, 105 (2009), 199–225.

[3] Y. A. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, 2nd Ed., Springer, 1998.

[4] J. Sotomayor, L. F. Mello, D. C. Braga, Bifurcation Analysis of the Watt Governor System, Computatioanl &Applied Mathematics, 26 (2007), 19–44.

[5] F. Verduzco, J. Alvarez, Hopf Bifurcation Control: A New Approach, Systems & Control Letters, 55 (2006),437–451.


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Transitividade no Recobrimento UniversalVia Conjunto de Rotacao

T. S. Almeidaa, B. A. Garciab.

a Instituto de Matematica e Computacao, Universidade Federal de Itajuba. e-mail: tati [email protected] Instituto de Matematica e Computacao, Universidade Federal de Itajuba. e-mail: [email protected]

ResumoHenri Poincare, quando estudava questoes de mecanica celeste, como o problema de tres corpos, introduziu o conceitode numero de rotacao para o caso dos homeomorfismos do S1 homotopicos a identidade. Esse conceito teve variasgeneralizacoes, como por exemplo, Misiurewicz e Ziemian em [2], para homeomorfismos do toro homotopicos aidentidade, no qual o conjunto de rotacao e definido da seguinte forma:

ρ(f) =

v ∈ R2 : v = lim

i→∞

fni (xi)− xini

, xi ∈ R2, ni →∞,

onde f e o levantamento de f para R2 o qual e o recobrimento universal do toro.

Neste contexto, sob quais condicoes podemos ter uma dinamica interessante para f? Por exemplo, se f e transitivano toro, podemos dizer que f e transitivo no plano? Este trabalho tem como finalidade estudar o artigo Rotationsets with nonempty interior and transitivity in the universal covering, no qual os autores demonstram que se f e umhomeomorfismo transitivo no toro homotopico a identidade e suficiente que (0, 0) ∈ intρ(f), para que a dinamicano recobrimento universal seja transitiva.

Palavras-chave: Conjunto de Rotacao, Homeomorfismo, Transitividade.

Referencias

[1] N. Guelmam, A. Koropecki, F. A. Tal, Rotation Sets With Nonempty Interior and Transitivity in the UniversalCovering, Ergod. Th. Dynam. Sys., 35 (2014), 883–894.

[2] M . Misiurewicz, K. Ziemian, Rotation Sets For Maps of Tori, J. London Math. Soc., 40 (1998), 490–506.


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Regularizacao de Orbitas Periodicas em SistemasSuaves Por Partes Com Duas Zonas no Plano

L. F. Goncalvesa, L. F. Mellob.

a Instituto de Matematica e Computacao, UNIFEI. e-mail: [email protected] Instituto de Matematica e Computacao, UNIFEI. e-mail: [email protected]

ResumoUm campo vetorial de classe Cr, r ≥ 1, definido em um aberto U ∈ R2 e uma aplicacao F : U −→ R2 aqual podemos associar uma equacao diferencial X′ = F (X). As solucoes desta equacao diferencial sao funcoesdiferenciaveis ϕ : I ∈ R −→ U que satisfazem

d

dtϕ(t) = F (ϕ(t)), ∀t ∈ I.

Essas solucoes, dada uma condicao inicial, sao chamadas de trajetorias, curvas integrais ou orbitas do campo F , ouequivalentemente da equacao diferencial. A partir do campo F podemos estudar importantes aspectos qualitativossobre o retrato de fase deste sistema, sem necessariamente encontrar a solucao explıcita da equacao diferencial.Essa abordagem e chamada teoria qualitativa das Equacoes diferenciais Ordinarias, fundada por Poincare no seculoXIX. Esta teoria nos da importantes e significativos resultados e ferramentas para o estudo do comportamento dasorbitas da equacao diferencial e a analise de seu retrato de fase.Uma famılia de sistemas que tem chamado a atencao atualmente sao os sistemas diferenciais suaves por partes, emparticular os sistemas suaves por partes com duas zonas no plano (SSP2ZP). Considere X e Y campos vetoriaissuaves, isto e, de classe Cr, r ≥ 1, definidos em um aberto conexoM ⊂ R2 contendo a origem e seja f : M ⊂ R2 −→ Ruma funcao suave tal que 0 e valor regular. Suponha que o conjunto Σ = f−1(0)∩M e conexo e divide M em duascomponentes conexas dadas por Σ+ = (x, y) ∈M : f(x, y) > 0, Σ− = (x, y) ∈M : f(x, y) < 0.Dados X e Y campos vetorias suaves definidos em M ⊂ R2 e dada f : M ⊂ R2 −→ R como acima, define-se umcampo vetorial suave por partes Z como

Z(x, y) =

X(x, y), f(x, y) ≥ 0;Y (x, y), f(x, y) ≤ 0.

(1.1)

Denotaremos Z = (X,Y ) a fim de esclarecer as componentes do campo vetorial e por Ωr(M, f) o conjunto doscampos vetoriais suaves por partes com duas zonas no plano definidos em M com o auxılio da funcao f . Noteque nao ha problemas em considerar as regioes Σ+ e Σ− com fronteira comum Σ, no qual Z pode ser consideradobi-valuado. O conjunto Σ = (x, y) ∈M : f(x, y) = 0 e chamado curva de separacao ou curva de descontinuidade.Neste trabalho trataremos primeiramente das propriedades gerais dos SSP2ZP, inclusive os criterios definidos porFilippov sobre a transicao de orbitas entre as regioes Σ+ e Σ− atraves da curva de separacao Σ. Posteriormenteiremos apresentar o metodo da regularizacao de campos vetoriais suaves por partes, o qual foi introduzido porSotomayor e Teixeira. Este metodo consiste na aproximacao de um campo vetorial suave por partes por umafamılia de campos vetoriais suaves, o qual pode-se aplicar a teoria classica. Finalmente, partiremos a apresentacaoe demonstracao dos teoremas sobre a regularizacao de orbitas periodicas que foram estabelecidos por Sotomayor eTeixeira.

Palavras-chave: Sistema Regular Por Partes, Regularizacao, Campo Descontınuo.

Referencias

[1] A. L. F. Machado, Estabilidade Estrutural e Bifurcacoes de Campos Vetoriais Descontınuos, Tese de Doutoradoem Matematica Aplicada, Instituto de Matematica e Estatıstica, USP, Sao Paulo, 2000.

[2] A. F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Right Hand Sides, Kluwer, 1988.

[3] J. Sotomayor, M. A. Teixeira, Regularization of Discontinuous Vector Fields, International Conference onDifferencial Equations, Lisboa, 1995.

[4] J. Sotomayor, Equacoes Diferenciais Ordinarias, Textos Universitarios do IME–USP, Livraria da Fısica, SaoPaulo, 2011.


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Estrategia Otima de Vacinacao no Controle da Varicela-zoster

E. M. Ferreiraa, L. T. Takahashib, L. A. D’Afonsecac.

a Programa de Doutorado em Matematica - UFMG. e-mail: [email protected] Departamento de Matematica - UFJF. e-mail: [email protected] Pesquisador. e-mail: [email protected]

ResumoA varicela ou catapora, causada pelo vırus varicela-zoster, e uma doenca infecciosa, altamente contagiosa, muitocomum na infancia. A doenca e altamente transmissıvel, e a transmissao do vırus e dada principlamente pelo con-tato direto entre indivıduos suscetıveis e indivıduos infectados. Uma doenca secundaria decorrente da reincidenciatardia do vırus que permanece latente no organismo e a herpes-zoster, ou cobreiro, que e mais comum em adultos.Tanto a Varicela quanto a Herpes-zoster nao sao consideradas doencas letais, mas dependendo das condicoes doshospedeiros as internacoes hospitalares fazem-se necessarias, o que gera um alto custo para a recuperacao destes,alem do risco de morte. Uma das medidas que vem sendo muito utilizadas na prevencao da varicela e a vacinacao dapopulacao. Sendo assim, nosso principal objetivo e encontrar estrategias de vacinacao eficazes ao controle da doencaminimizando os gastos gerados por essa acao juntamente com os gastos no tratamento dos indivıduos infectados.A dinamica do modelo proposto para tratar tal situacao e baseada em equacoes diferenciais ordinarias, que consti-tuem as restricoes sob as quais desejamos minimizar nosso funcional.

Palavras-chave: Controle otimo, Vacinacao, Varicela.

Referencias

[1] E. M. Ferreira, Controle Otimo: custos no controle de propagacoes populacionais.

Dissertacao de Mestrado, Departamento de Matematica, UFJF, 2015.

[2] S. Lenhart, J. T. Workman, Optimal Control Applied to Biological Models, Chapman & Hall, 2007.

[3] B. Shulgin, L. Stone, Z. Agur Pulse vaccination strategy in the SIR epidemic model, Bulletin of Mathematical

Biology, 60, 1123–1148, 1998.

[4] A. L. Vieira, L. T. Takahashi, A sobrevivencia do Vırus Varicela-Zoster, Biomatematica, 19, 109–124, 2009.


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Modelagem e otimizacao de tratamentos de cancer:licoes de um modelo simples

A. C. Fassonia, H. M. Yangb.

a IMC - UNIFEI. e-mail: [email protected] IMECC - UNICAMP. e-mail: [email protected]

ResumoNeste trabalho, apresentamos um sistema de tres EDO’s para descrever o crescimento e tratamento de cancer.Apesar de sua simplicidade, o modelo reproduz muitas caracterısticas observadas no crescimento de alguns tumores,tanto do ponto de vista qualitativo quanto quantitativo. O tratamento e descrito por um funcional nao-autonomodependente de poucos parametros, de modo a simular os protocolos de tratamento usados na pratica por medicosoncologistas. Analisamos a dinamica do modelo e mostramos que a eficacia de um dado protocolo de tratamentoesta mais relacionada com uma questao de biestabilidade do que com a minimizacao da quantidade de celulascancerosas num dado instante final, pois a eficacia depende da capacidade do protocolo em fazer com que astrajetorias to sistema cruzem a separatriz entre duas bacias de atracao. Relacionado a este fato, esta a predicaodada pelo modelo de que a reincidencia de cancer pode ocorrer depois um longo perıodo, apos a aplicacao de umtratamento aparentemente eficaz. Este longo tempo para necessario para ocorrer a reincidencia esta relacionadoao tempo necessario para as trajetorias passarem por um ponto de sela do sistema. Finalmente, a forma adotadapara descrever o tratamento permite a aplicacao de metodos de otimizacao para encontrar o que seria o protocolootimo que minimiza um certo funcional. Este funcional modela o tempo necessario para o tratamento ser efetivo etambem os efeitos colaterais decorrentes. Resultados preliminares mostram que ciclos de tres doses diferentes saomais eficazes e menos prejudiciais a saude do que doses periodicas constantes, comumentes utilizadas.

Palavras-chave: Tratamento de Cancer, Equacoes diferenciais

Referencias[1] R.A. Weinberg The biology of cancer. Garland Science, New York (2013)

[2] D. Hanahan and R.A. Weinberg, Hallmarks of cancer: the next generation, Cell 144 no. 5 (2011), pp. 646-674.


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Simulacao de Potencial de Acao Espontaneo e a Combinacaoda Estimulacao β-Adrenergica com a mutacao NCX

D. P. Magalhaesa, R. W. dos Santosb.

a Programa de Pos Graduacao em Modelagem Computacional - UFJF. e-mail: [email protected] Programa de Pos Graduacao em Modelagem Computacional - UFJF. e-mail: [email protected]

ResumoArritimias ventriculares malignas sao a maior causa de morte em todo o mundo. Potenciais de acao espontaneoscausam arritmias cardıacas. Possuem natureza estocastica e originam-se a partir da liberacao espontanea de calcio- (LEC). O estımulo β - adrenergico - (β-AR) e uma das causas da LECs. A mutacao na bomba NCX em conjuntocom o β-AR podem ocasionar Potenciais de Acao Espontaneos - (PAEs). O modelo de Bondarenko et. al (2004)[1] reproduz Potenciais de Acao, correntes ionicas e o transiente de calcio de celulas do ventrıculo esquerdo decamundongos. Este modelo nao reproduz o efeito β-AR e consequentemente nao reproduz PAEs. Consite em ummodelo com 41 EDOs. Recentemente Bondarenko (2014) [2] desenvolveu um novo modelo baseado no anterior,porem agora com um conjunto de 141 EDOs. O modelo reproduz o estımulo β-AR.No presente trabalho foi desenvolvido um modelo estocastico para reproduzir LECs, o modelo foi baseado em Chenet. al. (2011) [3], utilizando Bondarenko (2014). Este modelo depende de uma unica variavel n que ativa ou nao ofluxo Jliberacao e representa o numero de sarcomeros ativos e e modelada pelo seguinte esquma de Markov.

Figura 1.2: Esquema da cadeia de Markov para o receptor Rianodina. Adaptado de [4]

De acordo com este diagrama de Markov a seguinte equacao foi modelada, baseando-se em uma taxa de ativacaoespontanea dos sarcomeros e uma taxa de ativacao por influencia de um sarcomero vizinho.

λ(n) = (150− n)× Γs + (150− n)× ΓN (1.1)

onde n e o numero de sarcomeros ativos, Γs e a taxa de ativacao espontanea de um sarcomero e ΓN e a taxa deativacao por influencia de um sarcomero vizinho.

Γs =

0 se CaJSR ≤ min;

(as × (exp(bs × (CaJSR × 10−3 − cs))))× ds se min < CaJSR < max;

2.73 se CaJSR ≥ max;

(1.2)

ΓN = β × (1/τw)× p (1.3)

onde CaJSR e a concentracao de Ca presente na regiao juncional do Retıculo Sarcoplasmatico, β e a media desarcomeros vizinhos ativos, τw e o tempo medio que um sarcomero leva para ativar um sarcomero vizinho p e aprobabilidade que o Ca espontaneo de um sarcomero ativa seu sarcomero vizinho.

Palavras-chave: Cadeia de Markov, Liberacao Espontanea de Calcio, Potencial de Acao Espontaneo.

Referencias

[1] V.E. Bondarenko, S. Gyula P., B. Glenna C.L., K. Song-Jung and R. Rasmusson L. Computer model of actionpotential of mouse ventricular myocytes, Am J Physiol Heart Circ Physiol 287:H1378-H1403, 2004.

[2] Bondarenko, V. E. A compartmentalized mathematical model of the b1-adrenergic signaling system in mouseventricular myocytes.PLOS ONE, 9(e89113):01?35 (2014).

[3] Chen, Wei and Aistrup, Gary and Wasserstrom, J Andrew and Shiferaw, Yohannes. A mathematical model ofspontaneous calcium release in cardiac myocytes. American J. of Physiology-Heart and Circulatory Phys., 2011.

[4] Keizer, J., and L. Levine. 1996. Ryanodine receptor adaptation and Ca2+ - induced Ca2+ release-dependentCa2+ oscillations. Biophys. J. 71 (6):3477-3487.

Agradecimento: Agradecemos o apoio financeiro da UFJF, CAPES e da FAPEMIG.

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Simulacao da perfusao cardıaca por contraste no miocardio utilizandouma formulacao de escoamento em meios porosos

J. R. Alvesa, R. W. dos Santosb, R. A. B de Queirozc

a Doutorando em Modelagem Computacional - UFJF. e-mail: [email protected] Programa de Pos-Graduacao em Modelagem Computacional - UFJF. e-mail: [email protected] Programa de Pos-Graduacao em Modelagem Computacional - UFJF. e-mail: [email protected]

ResumoApresenta-se neste trabalho um modelo computacional simplificado que caracteriza a dinamica espaco-temporal daperfusao sanguınea no miocardio cardıaco [1]. Especificamente, este modelo visa reproduzir imagens qualitativasobtidas atraves de exames de contraste, os quais sao amplamente utilizados na medicina clınica para avaliar a per-fusao cardıaca. A aplicacao do contraste permite a deteccao de regioes isquemicas, fibroses e tumores. Aqui foca-setambem no caso de um infarto subendocardico. Para efeitos da modelagem, considera-se o tecido do miocardiocardıaco como um meio poroso, isto e, uma regiao solida com espacos vazios [2]. Para este fim, a modelagem foibaseada em equacoes diferenciais e na Lei de Darcy, a qual correlacionada a permeabilidade do tecido, a diferencade pressao e o fluxo de sangue no tecido cardıaco. O modelo pode ser definido da seguinte forma:

Para um domınio poroso Ω com contorno ∂Ω = ΓD∪ΓN em um intervalo de tempo I = (0, T ], dados os tensores depermeabilidade K : Ω→ <2×<2 e de difusao D : Ω→ <2×<2, a porosidade φ, o campo de velocidade ~v : Ω→ <2,as concentracoes no contorno p : ΓD → < e os fluxos normais ao contorno h : ΓN → <, encontrar a concentracaoC : Ω→ < tal que:

∇ · ~v = s e ~v = −K∇p em Ω

∂φC

∂t+ ∇ · ~vC −∇ · (D∇C) = 0 em Ω

p = pk e C = β sobre ΓD

∇p · ~n = α e D∇C · ~n = γ sobre ΓN

C(x, 0) = C0(x) em Ω

Palavras-chave: Escoamento Monofasico, Meios Porosos, Perfusao do Miocardio, Exames de Contraste.

Referencias

[1] J. R. Alves, R. W. dos Santos, R. A. B de Queiroz, Simulation of cardiac perfusion by contrast in the myocardiumusing a formulation of flow in porous media, 2015, Journal of computational and applied mathematics (Artigoaceito para publicacao).

[2] C. Michler, A. N. Cookson, R. Chabiniok, E. Hyde, J. Lee, M. Sinclair, T. Sochi, A. Goyal, G. Vigueras, D. A.Nordsletten, N. P. Smith, A computationally efficient framework for the simulation of cardiac perfusion usinga multi-compartment Darcy porous-media flow model, 2013, Int J Numer Method Biomed Eng, 2013, v. 29,217-232.

Agradecimento: Agradecemos o apoio financeiro da UFJF, PAEP/CAPES e FAPEMIG.

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Problemas elıpticos quasilineares com singularidades cilındricase multiplas nao linearidades crıticas

R. B. Assuncaoa, W. W. dos Santosb, O. H. Miyagakic

a Departamento de Matematica - UFMG. e-mail: [email protected] Departamento de Ciencias Exatas e Biologicas - UFSJ/CSL. e-mail: [email protected] Departamento de Matematica - UFJF. e-mail: [email protected]

ResumoO principal objetivo desse trabalho e demonstrar resultados de existencia, regularidade e nao existencia para umaclasse de problemas elıpticos quaslineares com singularidades cilındricas e multiplas nao linearidades crıticas quepodem ser escritos na forma

− div

[|∇u|p−2

|y|ap∇u]− µ

up−1

|y|p(a+1)=up∗(a,b)−1

|y|bp∗(a,b)+up∗(a,c)−1

|y|cp∗(a,c), (x, y) ∈ RN−k × Rk. (1.1)

Consideramos N > 3, 1 6 k 6 N , 1 < p < N , 0 6 µ < µ ≡ [k − p(a+ 1)]/pp, 0 6 a < (k−p)/p, a 6 b < c < a+1,p∗(a, b) = Np/[N − p(a + 1 − b)], e p∗(a, c) ≡ Np/[N − p(a + 1 − c)]; em particular, se µ = 0 podemos incluir oscasos (k − p)/p 6 a < k(N − p)/Np e a < b < c < k(N − p(a+ 1))/p(N − k) < a+ 1.A escolha para os intervalos dos varios parametros ja especificados e motivada pela seguinte desigualdade de Maz’ya,de importancia crucial em nosso trabalho, visto que permite a formulacao variacional do problema (1.1).Seja N > 3, 1 6 k 6 N , z = (x, y) ∈ RN−k × Rk, 1 < p < N , e a < (k − p)/p se a 6 b 6 a + 1, ou(k − p)/p 6 a < k(N − p)/Np se a 6 b < k(N − p(a + 1))/p(N − k) < a + 1. Entao existe uma constante positivaC > 0 tal que

(∫RN

|u(z)|p∗(a,b)

|y|bp∗(a,b)dz

)p/p∗(a,b)6 C

∫RN

|∇u(z)|p

|y|apdz

para toda funcao u ∈ C∞(RN\|y| = 0), em que p∗(a, b) = Np/[N − p(a+ 1− b)] e o expoente crıtico de Maz’ya.

Palavras-chave: Operador p-Laplaciano, nao linearidades cilındricas, multiplas nao linearidades crıticas, expoentecrıtico de Hardy-Sobolev, desigualdade de Maz’ya, problemas de minimizacao.

Referencias

[1] M. Bhakta. On the existence and breaking symmetry of the ground state solution of Hardy Sobolev typeequations with weighted p-Laplacian. Adv. Nonlinear Stud., 12(3):555–568, 2012.

[2] R. Filippucci, P. Pucci, and F. Robert. On a p-Laplace equation with multiple critical nonlinearities. J. Math.Pures Appl. (9), 91(2):156–177, 2009.

[3] P. Pucci and R. Servadei. Regularity of weak solutions of homogeneous or inhomogeneous quasilinear ellipticequations. Indiana Univ. Math. J., 57(7):3329–3363, 2008.

Agradecimento: Miyagaki e parcialmente financiado pelo CNPq e INCTMAT/Brasil.

W. W. dos Santos foi parcialmente financiado pela CAPES-Reuni.

Dedicado ao Prof. Paulo Carriao por ocasiao de seu 60 aniversario. Tambem, agradecemos o apoio financeiro da

PAEP/CAPES e da FAPEMIG.

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Dinamica de um Corpo Pseudo–Rıgido Viscoelastico

L. R. Santosa.

a Instituto de Matematica e Computacao, Universidade Federal de Itajuba. e-mail: [email protected]

ResumoNeste trabalho, usamos princıpios variacionais da mecanica para modelar o movimento de um corpo auto–gravitantee isolado. Devido ao carater geometrico desta formulacao, facilmente impomos o vınculo de que as deformacoesdeste corpo sao lineares, nos levando a dinamica do corpo pseudo–rıgido, ja tradicional na literatura [5], [3], [6], [8].Fazemos a hipotese adicional de que o corpo e viscoelastico: apresenta resistencia a deformacao e dissipa energia napresenca de tensoes de cisalhamento. Este ultimo efeito e introduzido atraves da adicao de uma funcao dissipacao(funcao de Rayleigh) as equacoes de Euler–Lagrange da mecanica do contınuo [2], a qual herda a invariancia porsistemas de coordenadas e o Teorema de Noether [1]. Usando as quantidades conservadas oriundas das simetriasdas energias, analisamos as solucoes deste sistema baseados em resultados da Teoria Qualitativa das EquacoesDiferenciais Ordinarias [10], [4]. Destacamos que no regime de pequenas deformacoes podemos simplificar o modeloe analisar de forma quantitativa a velocidade de atracao de seus equilıbrios (relativos), nos respectivos nıveis daintegral primeira. As referencias principais da apresentacao sao [9] e [7]. Trabalho em colaboracao com C. Ragazzo(IME–USP).

Palavras-chave: Corpo Pseudo–Rıgido, Mecanica Celeste.

Referencias

[1] V. I. Arnol’d, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Second Edition, Springer–Verlag, 1989.

[2] J. Baillieul, M. Levi, Constrained Relative Motions in Rotational Mechanics, Archive For Rational Mechanicsand Analysis, 115 (1991), 101–135.

[3] A. V. Borisov, A. A. Kilin, I. S. Mamaev, The Hamiltonian Dynamics of Self–Gravitating Liquid and GasEllipsoids, Regular and Chaotic Dynamics, 14 (2009), 179–217.

[4] J. Carr, Applications of Centre Manifold Theory, Springer–Verlag, 1981.

[5] S. Chandrasekhar, Ellipsoidal Figures of Equilibrium, Dover, 1987.

[6] F. Fasso, D. Lewis, Stability Properties of the Riemann Ellipsoids, Archive for Rational Mechanics and Analysis,158 (2001), 259–292.

[7] S. Ferraz–Mello, C. Grotta–Ragazzo, L. S. Ruiz, Dissipative Forces in Celestial Mechanics, Publicacoes Ma-tematicas do IMPA, 2015.

[8] K. U. Kristiansen, M. Vereshchagin, K. Gozdziewski, P. L. Palmer, R. M. Roberts, The two–body Problem of aPseudo–Rigid Body and a Rigid Sphere, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 112 (2012), 169–190.

[9] C. Ragazzo, L. S. Ruiz, Dynamics of an Isolated, Viscoelastic, Self–Gravitating Body, Celestial Mechanics andDynamical Astronomy, (2015) DOI: 10.1007/s10569-015-9620-9.

[10] J. Sotomayor, Licoes de Equacoes Diferenciais Ordinarias, IMPA, 1979.


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Atratores para Semigrupos

F. S. Guimaraesa

a Departamento de Ciencias Exatas - UFVJM. e-mail: [email protected]

ResumoNeste trabalho vamos definir atratores globais e apresentar alguns resultados que garantem a existencia desses atra-tores globais para semigrupos. O semigrupo de classe K geralmente e usado para provar a existencia de atratorglobal minimal fechado para equacoes de Navier-Stokes e equacoes diferenciais parciais parabolicas. A classe AK ebastante usada para provar a existencia de atrator global para equacoes diferenciais parciais hiperbolicas e do tipomisto. Apresentamos, tambem, condicoes equivalentes para que um semigrupo possua o B-atrator global minimalfechado, nao vazio, compacto e invariante.

Palavras-chave: Semigrupo, Atrator Global, Conjunto ω-limite.

Referencias

[1] HALE, J. K., Asymptotic behavior of dissipative systems, Providence, RI:AMS, 1988.

[2] LADYZHENSKAYA, O., Attractors for semigroup and evolution equations, Cambridge University Press, 1991.

[3] LIU, De, The critical forms of the attractors for semigroups and the existence of critical attractors, Proc. R.Soc. Lond. Ser. A v.454, p.2157-2171, 1998.

[4] TEMAM, R., Infinte dimensional dynamical systems in mechanics and physics, Springer-Verlag, New York,1988.


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Padroes Para um Problema de Reacao e Difusao numAmbiente Degenerado

M. Sonegoa, A. S. do Nascimentob.

a Instituto de Matematica e Computacao, Universidade Federal de Itajuba. e-mail: [email protected] Universidade Federal de Sao Carlos - UFSCar. e-mail: [email protected]

ResumoConsideramos o problema

ut = ε2∆u+ f(u, x), Ω ⊂ Rn (n ≥ 1)

com as condicoes de fronteira∂νu = 0

onde ε e um parametro pequeno, f(u, x) = −(u − a(x))(u − θ(x))(u − b(x)), θ(x) = [a(x) + b(x)]/2 e a ≤ b em Ωsatisfazem determinadas hipoteses. Nosso interesse e considerar o caso degenerado no qual as raızes de f coincidemem um subconjunto de Ω da seguinte forma: a(x) = θ(x) = b(x) em Ω \ D onde D ⊂ Ω e tal que D = D1 ∪ D2,D1 ∩D2 = ∅, D1 e D2 sao abertos e conexos com fronteira Lipschitz; a(x) < b(x) em D. Provamos a existencia deuma famılia de solucoes estacionarias estaveis nao-constantes uε, que convergem para a(x) em D1, para b(x) em D2

e para θ(x) em D3, na topologia de L1. Nosso metodo e variacional e baseado na tecnica de Γ−convergencia.

Palavras-chave: Equacoes de Reacao e Difusao, Padroes, Estabilidade, Γ–Convergencia, Ambiente Degenerado.

Referencias

[1] K. Kurata, H. Matsuzawa, Multiple Stable Patterns in a Balanced Bistable Equation With Heterogeneous En-vironments, Applicable Analysis, 89 (2010), 1023–1035

[2] H. Matsuzawa, Stable Transition Layers in a Balanced Bistable Equation With Degeneracy, Nonlinear Analysis,58 (2004), 45–67.

[3] A. S. do Nascimento, Stable Stationary Solutions Induced by Spatial Inhomogeneity Via Γ–Convergence, Bulletinof the Brazilian Mathematical Society, 29 (1998), 75–97.


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Sistemas Hamiltonianos com Centro Nilpotente eSimetrico em Relacao ao Eixo x

C. Vallsa, F. S. Diasb, J. Llibrec.

a Instituto Superior Tecnico, Universidade Tecnica de Lisboa, Portugal. e-mail: [email protected] Instituto de Matematica e Computacao, Universidade Federal de Itajuba. e-mail: [email protected] Departament de Matematiques, Universitat Autonoma de Barcelona, Spain. e-mail: [email protected]

ResumoUm dos problemas classicos da teoria qualitativa das EDO’s e a determinacao de ciclos limites e distincao de quandoum ponto singular e um foco ou um centro. Poincare, em [2], define um centro para um campo de vetores no planoreal como um ponto singular tendo uma vizinhanca totalmente preenchida por orbitas periodicas com excecao doponto singular.

Se um sistema analıtico tem um centro, entao depois de mudancas de variaveis e re-escalonamento no tempo,podemos escreve-lo de uma das tres seguintes formas:

x′ = −y + P (x, y), y′ = x+Q(x, y)

chamada de centro linear,x′ = −y + P (x, y), y′ = Q(x, y)

chamada de centro nilpotente,x′ = P (x, y), y′ = Q(x, y)

chamada de centro degenerado. Nestes sistemas, P e Q sao funcoes analıticas sem termos constantes e lineares,definidas em uma vizinhanca da origem.

Colak, Valls e Llibre em [1] classificaram os retratos de fase global de sistemas Hamiltonianos planares tendo somentetermos homogeneos lineares mais cubicos os quais possuem um centro nilpotente na origem.

Neste trabalho pretendemos apresentar a classificacao de centros nilpotentes sime-tricos com respeito ao eixo x parasistemas Hamiltonianos, com Hamiltoniana dada por:

H(x, y) =y2

2+ a4x

3 + a5x2y + a6xy

2 + a7y3 + a8x

4 + a9x3y + a10x

2y2 + a11xy3 + a12y

4.

Palavras-chave: Sistema Hamiltoniano, Centro Nilpotente, Simetria.

Referencias

[1] I. E. Colak, J. Llibre, C. Valls, Hamiltonian Nilpotent Centers of Linear Plus Cubic Homogeneous PolynomialVector Fields, Adv. Math., 259 (2014), 655–687.

[2] H. Poincare, Memoire Sur Les Courbes Definies Par Une Equation Differentielle, J. Math. Pures Appl., 7(1881), 375–422.


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Static Einstein Equations with Plane Symmetry

Gomes, L. G.a

a Departamento de Matematica e Computacao, UNIFEI. e-mail: [email protected]

AbstractThe poster will present a recent work in a general approach to static plane symmetric Einstein field equations ([1]).As the main result, I show that, for any configuration of matter along a space-time with such symmetry, the threeindependent Einstein equations can be reduced to only one first order ordinary differential equation involving thecomponents of the energy-momentum tensor alone. This is the self-gravitating hydrostatic equilibrium equation.The metric components are explicitly given as functionals of the energy and momentum of matter. Following it, Ishow some of its applications in finding exact solutions ([2],[3],[4],[5],[6]).

Keywords: Symmetry Einstein Equations.

References

[1] L. G. Gomes: On the local form of static plane symmetric space-times in the presence of matter, ar-Xiv:1502.02858v1 [gr-qc], 2015. (To appear in Classical and Quantum Gravity)

[2] H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt: Exact Solutions to Einstein’s Field Equations,Second Edition, Cambridge , 2003.

[3] P. A. Amundsen, O. Grøn: General static plane-symmetric solutions of the Einstein-Maxwell equations, Phys.Rev. D , Vol. 27, 8, 1983.

[4] A. H. Taub : Isentropic hydrodynamics in plane symmetric space-times, Phys. Rev. , vol. 103, 2, 1956.

[5] C. B. Collins : Static relativistic perfect fluids with spherical, plane, or hyperbolic symmetry, J. Math. Phys.26 (9), September 1985.

[6] R. E. G. Saravı: Static plane symmetric relativistic fluids and empty repelling singular boundaries, Class.Quantum Grav., 25, 2008.


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Estabilidade Assintotica Global de Sistemas Lineares por PartesHurwitzianos com Duas Zonas no Plano

D. C. Bragaa, A. F. Fonsecab, L. F. Melloc


ResumoConsidere os sistemas de equacoes diferenciais ordinarias lineares por partes com duas zonas no plano definidos por

X′ =

A−X, y ≤ 0,

A+X, y ≥ 0,(1.1)

onde o prima denota a derivada com respeito a variavel independente t, chamada aqui de tempo, X = (x, y) ∈ R2,A± sao matrizes reais 2 × 2 , e o conjunto de separacao Σ = (x, y) ∈ R2 : y = 0, divide o plano em duascomponentes (zonas) ilimitadas Σ+ = (x, y) ∈ R2 : y > 0 e Σ− = (x, y) ∈ R2 : y < 0. Assim R2 = Σ+∪Σ∪Σ−.Considere as seguintes hipoteses:

H1. A+ e A− sao matrizes Hurwitzianas (a parte real de todos os autovalores e negativa);

H2. Os pontos em Σ− (0, 0) sao do tipo costura.

Teorema. Considere o sistema (1.1) com as hipoteses H1 e H2 acima. Entao, o unico ponto de equilıbrio que ea origem e globalmente assintoticamente estavel.

Palavras-chave: Campo Descontınuo, Estabilidade Assintotica, Matriz Hurwitziana.

Referencias

[1] E. Freire, E. Ponce, F. Rodrigo, F. Torres, F., Bifurcation Sets of Continuous Piecewise Linear Systems WithTwo Zones, Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 8 (1998), 2073–2097.

[2] J. C. Medrado, J. Torregrosa, Uniqueness of Limit Cycles For Sewing Piecewise Linear Systems, preprint, 2015.


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Destaques na Teoria de Ljusternick-Schnirelmann e Aplicacoes

J.C. Espırito Santoa.

a Departamento de Matematica - UFOP. e-mail: [email protected]

ResumoApos fazer uma apresentacao sobre os conceitos e as ideias classicas envolvidas metodo variacional de Ljusternick-Schnirelmann, este trabalho destaca como este metodo pode ser utilizado para abordar problemas envolvendoos celebres prototipos linear e nao-linear dos operadores elıpticos: o Laplaciano e o p-Laplaciano, ao apresentaraplicacoes do metodo ao problema

−∆u+ λu = u|u|q−2, em Ωu = 0 sobre ∂Ω,

(1.1)

onde 2 < q < 2NN−q , N ≥ 3 e ao problema

−∆pu ≡ div(∇u|∇u|p−2) = λu|u|p−2, em Ωu = 0 sobre ∂Ω,

(1.2)

onde e Ω um domınio limitado do N -espaco euclidiano, p > 1, λ real positivo..Palavras-chave: Ljusternick-Schnirelmann, Metodos Variacionais, Problema de Autovalor, Laplaciano, p-Laplaciano.

Referencias

[1] P. Juutinen, P. Lindqvist, On the higher eigenvalues for the ∞-eigenvalue problem, Calculus of Variations 23,2005, 169-192.

[2] A. Ambrosetti, Dual Variational Methods in Critical Point Theory and Applications, Journal of FunctionalAnalysis 14, 1973, 349-381.

[3] I. Peral, Multiplicity of Solutions for the p-Laplacian, Calculus of Variations 23, 2005, 169-192.

[4] H. Aman, Lusternick-Scnirelmann Theory and Non-Linear Eigenvalue Problems, Math. Ann. 199, 1972, 55-72

[5] J. Mawhin, Ljusternik-Schnirelman Theory - Encyclopaedia of Mathematical Physics , J.P. Francoise, G.L.Naber eds., Elsevier, Dordrecht, vol. 3, 2006 328?333.


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MIN ICURSO

Uma Introducao a Solucao Numerica de EquacoesDiferenciais Parciais Hiperbolicas

S. A. Enriquez-Remigioa

a Faculdade de Matematica-UFU. e-mail: [email protected]

ResumoDiferentes fenomenos fısicos sao modelados por equacoes diferenciais parciais hiperbolicas. Por exemplo, equacoesque modelam o fluxo do oleo e gas nos pocos de petroleo podem ser consideradas (baixo certas condicoes) equacoes di-ferenciais parciais hiperbolicas. A solucao dessas equacoes permitem entender o fenomeno de estudo e com isso tomardecisoes para o melhor aproveitamento da natureza a nosso favor. Porem, calculo da solucao analıtica das equacoesdiferenciais parciais hiperbolicas que modelam problemas reais sao impossıveis devido a sua grande complexidade.Daı a necessidade pela procura de solucoes aproximadas, comumente conhecidas como solucoes numericas. Nesteminicurso, apresentaremos uma introducao ao metodo das diferencas finitas para a solucao numerica da equacaodiferencial parcial hiperbolica unidimensional mais simples: equacao de adveccao linear. Serao apresentados algunsresultados numericos que mostram o comportamento dos metodos numericos descritos na solucao dessa equacao.

Palavras-chave: Diferencas Finitas, Equacao de Adveccao Linear, Metodo das Curvas Caracterısticas, SolucaoNumerica.

1 IntroducaoAs equacoes diferenciais modelam muitos fenomenos fısicos de diversas areas do conhecimento, tais como daMecanica, da Biologia e do Petroleo. Essas equacoes diferenciais podem ser ordinarias ou parciais. Uma EquacaoDiferencial Ordinaria (EDO) e uma equacao onde aparecem derivadas de uma funcao que depende de uma variavelindependente, enquanto que uma Equacao Diferencial Parcial (EDP) e uma equacao onde aparecem derivadas deuma funcao que depende de duas ou mais variaveis independentes.Exemplos de equacoes diferenciais parciais sao: as equacoes de Navier-Stokes para escoamento de fluidos com-pressıveis e as equacoes do fluxo de oleo e gas nos reservatorios de petroleo. A solucao das EDPs sao fundamentaispara o conhecimento do comportamento dos fenomenos fısicos, sem esse conhecimento nao podemos tomar pro-videncias que permitam a melhora da performance do fenomeno fısico que esta equacao representa.Nem todas as equacoes podem ser resolvidas a partir dos metodos analıticos. Em muitos casos e extremamentecomplexo encontrar a solucao analıtica para a EDP. E nesse momento que procura-se por uma solucao aproximadautilizando metodos numericos, tais como o Metodo das diferencas finitas, o Metodo dos Elementos finitos e o Metododos Volumes Finitos, dentre outros. O calculo de solucoes aproximadas e possıvel devido ao advento do computadore das linguagens de programacao.Neste minicurso sera apresentada a solucao numerica de um tipo de equacao diferencial parcial hiperbolica deprimeira ordem simples: a equacao de adveccao linear unidimensional. Para apoiar o entendimento do que seraapresentado vamos primeiramente relembrar um conjunto de conceitos basicos associados a EDPs.

1.1 Conceitos basicos de funcoesDefinicao 1 (Funcao contınua de uma variavel independente) Uma funcao u : [a, b]→ R e dita contınua em umx0 ∈ [a, b], se:

limx→x0

u(x) = u(x0). (1.1)

Lembremos que no caso de x0 = a, o limite acima deve ser entendido como limx→a+ u(x) = u(a) e quando x = b,o limite acima significa limx→b− u(x) = u(b).

Definicao 2 (Funcao diferenciavel de uma variavel independente) Uma funcao u : [a, b]→ R e dita diferenciavelem x0 ∈]a, b[, se o seguinte limite existe:

limh→0

u(x0 + h)− u(x0)

h. (1.2)

50

u(x)= x^ 3

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

u(x)= 3x^ 2

0

2

4

6

8

10

12

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Figura 1.1: Exemplo de funcao diferenciavel u (direita) e a sua derivada primeirade u (esquerda).

Quando o limite exite, chamamos ele de derivada de u em x0 e denotamos-lhe por u′(x0), isto e:

u′(x0) = lim

h→0

u(x0 + h)− u(x0)

h. (1.3)

Uma funcao e diferenciavel em um intervalo I, sempre e quando seja diferenciavel em todo ponto desse intervalo.

Lembremos que a derivada de uma funcao u e uma nova funcao (u′ = u′(x)), cujo domınio e formado por todos osx′s onde u e diferenciavel.

Definicao 3 (Derivada ordinaria) Quando uma funcao u depende unicamente de uma variavel, isto e, u = u(x),e caso ela seja diferenciavel (derivavel) em um intervalo I, a funcao derivada definida acima chama-se derivadaprimeira ordinaria.

Uma outra notacao usada para a derivada primeira de u e : dudx

(x) = u′(x).A seguir vamos considerar que temos uma funcao que depende de duas variaveis, isto e, u = u(x, y).

Definicao 4 (Derivada parcial) Seja u : A ⊂ R2 → R, onde A e um conjunto aberto. Denotemos por z0 = (x0, y0)um ponto do conjunto A. Entao,

1. Dizemos que u e diferenciavel em relacao a x no ponto z0 = (x0, y0) se o seguinte limite existe:

lim∆x→0

u(x0 + ∆x, y0)− u(x0, y0)

∆x, (1.4)

e denotemas esse limite por ∂u∂x

(x0, y0).

2. Dizemos que f e diferenciavel em relacao a y no ponto z0 = (x0, y0) se o seguinte limite existe:

lim∆y→0

u(x0, y0 + ∆y)− u(x0, y0)

∆y, (1.5)

e denotamos esse limite por ∂u∂y

(x0, y0).

A derivada parcial com relacao a x no ponto (a, b) representa a taxa de variacao da funcao u com relacao a variavelx, deixando fixo a variavel y no valor b (Veja o grafico a esquerda da Figura 1.2 ). E a derivada parcial com relacaoa y no ponto (a, b) representa a taxa de variacao da funcao u com relacao a variavel y, deixando fixo a variavel xno valor a (Veja o grafico a direita da Figura 1.2).

Figura 1.2: Interpretacao geometrica da derivada parcial com relacao a x (esquerda)e com relacao a y (direita).

51

1.2 Equacao diferencial parcialComo foi dito acima, uma Equacao Diferencial Parcial (EDP) e uma equacao onde aparecem as derivadas parciaisde uma funcao u. Alguns exemplos de EDPs sao:

1. A equacao de Poisson:uxx + uyy = f(x, y).

Tal equacao aparece em problemas da eletrostatica, da engenharia mecanica e da fısica teorica.

2. A equacao do calor:ut = αuxx + f(x, y)

Tal equacao aparece em problemas de transferencia de calor. Por exemplo, o calor transferido em uma hasteou um fio unico.

3. A equacao da onda:utt − c2uxx = f(x, y).

Esta equacao pode representar o deslocamento transversal de uma corda de violao sujeita nos dois extremos,apos a perturbacao desta em qualquer ponto.

4. A equacao de adveccao linear:ut + vux = 0,

e uma equacao que modela o deslocamento de uma onda com velocidade de deslocamento v.

A ordem de uma EDP e a ordem da maior derivada parcial que aparece na equacao. Assim, as EDPs do exemplo1, 2 e 3 sao de segunda ordem, enquanto que a do exemplo 4 e de primeira ordem.Quando uma EDP possui derivada parcial com relacao ao tempo, denomina-se EDP evolutiva. Quando uma EDPnao tem derivada com relacao ao tempo, entao dizemos que a EDP e estacionaria. Exemplos de problemas evolutivossao o exemplo 2, 3 e 4 dados acima.O intervalo em que a variavel temporal, t, esta definida denominaremos de domınio temporal e o intervalo em quea variavel espacial, x, esta definida chamaremos de domınio espacial.A determinacao de uma solucao especıfica de uma EDP precisa de informacoes adicionais. Por exemplo, a seguinteEDP:

uxx = 0, (1.6)

possui a seguinte solucao geral:u(x, y) = a(y)x+ b(y). (1.7)

Para verificar que (1.7) e solucao de (1.6) basta derivar duas vezes a expressao (1.7) com relacao a x e provar queo resultado e zero. Observamos que a expressao (1.7) define um conjunto infinito de solucoes, pois depende dasfuncoes a(y) e b(y). Uma solucao especıfica so sera possıvel apos a especificacao de informacoes adicionais.Para problemas evolutivos, temos as seguintes informacoes adicionais ou auxiliares (tambem chamadas de condicoesauxiliares) que permitem encontrar uma unica solucao:

• Condicao inicial: Informacao da solucao, u, ou da derivada temporal de u, ∂u∂t

, em algum tempo t0

• Condicao de contorno: Informacao da solucao ou derivada espacial desta, no contorno (ou fronteira) dodomınio.

Seja u = u(x, t), onde x ∈ Ω ∈ R e t ≥ t0 ≥ 0, com Ω = [a, b] (intervalo limitado e fechado). Como foi dito acima, oconjunto Ω e o domınio espacial e o conjunto [t0,∞[ e o domınio temporal para a funcao u. Algumas das condicoesde contorno para u, podem ser:

• Condicao de tipo Dirichlet: Valor da solucao na fronteira do domınio espacial e conhecido. Por exemplo,para u = u(x, t) onde x ∈ [a, b], temos:

u(a, t) = g1(t).

• Condicao de tipo Neumann: Valor da derivada parcial na fronteira e conhecido. Por exemplo, para u =u(x, t) onde x ∈ [a, b], temos:

∂u(a, t)

∂x= h1(t).

• Condicao de tipo Robin: Valor de uma combinacao linear da informacao de u e da derivada normal econhecido. Por exemplo, para u = u(x, t) onde x ∈ [a, b], temos:

αu(a, t) +β∂u(a,t)∂x

= g1(t), αβ 6= 0.

52

Nosso foco de estudo aqui e um tipo de equacao diferencial parcial hiperbolico de primeira ordem.

Definicao 5 (Sistemas de EDP de primeira ordem unidimensional) Consideremos o seguinte sistema de n EDPde primeira ordem:

ut +A(t, x, u)ux = b(t, x, u), (1.8)

onde, u = (u1, u2, . . . , un)t, b = (b1, b2, . . . , bn)t, e A = (aij(t, x, u)) e uma matriz de ordem n× n. Dizemos que osistema (1.8) e:

1. Hiperbolico, se A possui n autovalores reais e n autovetores a esquerda linearmente independentes. Se osautovalores sao distintos, entao o sistema e chamado estritamente hiperbolico.

2. Elıptico, se A nao possui autovalores reais.

3. Parabolico, se A possui n autovalores reais e m autovetores a esquerda linearmente independentes, comm < n.

A definicao acima e geral, e considera que estamos trabalhando com um sistema de equacoes diferenciais parciais,isto e, estamos procurando achar n funcoes incognitas: u1,u2, . . . , un.Quando o vetor u possui uma unica funcao incognita, entao temos a seguinte equacao diferencial parcial:

ut + a11ux = b1. (1.9)

Neste caso, a matriz A = (a11) possui unicamente um elemento. Logo, possui um unico autovalor λ = v e portantoum unico autovetor (linearmente independente). E segundo a classificacao dada acima, esta EDP (1.9) e hiperbolica.

2 EDP hiperbolica de primeira ordem unidimen-

sionalSao equacoes diferenciais parciais hiperbolicas onde a funcao procurada e u = u(x, t). Consideremos a seguinteEDP:

ut + vux = 0, (2.1)

onde v = v(u, x, t).

2.1 Equacao de adveccao linearE a equacao diferencial parcial hiperbolica da forma:

∂u

∂t+ v

∂u

∂x= 0, x ∈ R e t > 0 (2.2)

sujeita a seguinte condicao inicial:u(x, 0) = φ(x) (2.3)

com velocidade de transporte v constante e φ uma funcao dada.A solucao analıtica de (2.2)-(2.3) e:

u(x, t) = φ(x− vt). (2.4)

Essa EDP representa o transporte de u com velocidade v, ao longo do eixo x, para a direita quando v e positiva epara a esquerda quando a v e negativo. O termo ∂u

∂xe denominado termo convectivo. Por exemplo. para φ(x) = x2,

a solucao analıtica e u(x, t) = (x − vt)2. A Figura mostra o esboco da solucao u para diferentes tempos, supondoque v = 1.

53

t= 0

t= 2

t= 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Figura 2.1: Solucao da equacao de adveccao linear para φ(x) = e−x2

com v = 1 nostempos t=0, 2 e 4.

A equacao (2.2) nao possui um termo dissipativo, isto e, um termo do tipo α ∂u2

∂x2, com por exemplo α constante,

assim solucao dessa equacao nao apresenta difusao. A solucao dada em (2.4) confirma tal fato pois ela mostra quea solucao em qualquer tempo t > 0 e a propria condicao inicial u(x, 0) = φ(x) transportada. Logo nao ha nenhumareducao ou perda do formato inicial da solucao. A Figura 2.2 mostra o transporte de uma onda, solucao da equacaode adveccao linear.

Figura 2.2: Deslocamento de uma onda para a direita (v > 0).

Mas como sabemos que a expressao dada em (2.4) e solucao da equacao de adveccao linear com condicao inicial(2.3)? Vamos verificar esse fato. Mas pra fazer isto, devemos considerar que a funcao procurada u e uma funcaodiferenciavel. Calculando as derivadas parciais de u com relacao a t e a x, temos:

∂u

∂t= −v

dφ(ξ)

dξ

∂u

∂x=

dφ(ξ)

dξ

Substituindo essas expressoes em ut + vux , fica:

ut + vux = −vdφ(ξ)

dξ+ v

dφ(ξ)

dξ= 0 (2.5)

Logo, a expressao (2.4) e solucao do problema (2.2)-(2.3).A equacao de adveccao linear admite solucoes inclusive para condicao inicial descontınua. Portanto, os metodosnumericos que serao utilizados para resolver a equacao de adveccao linear devem ser capazes de lidar com a descon-tinuidade da condicao inicial.A verificacao feita acima de que u dada por (2.4) e solucao da EDP, considerou que u era uma funcao diferenciavel.Mas tal solucao e geral independentemente se φ e ou nao diferenciavel. A demonstracao desse fato pode ser obtidapelo metodo das curvas caracterısticas.

2.2 Metodo das Curvas CaracterısticasO metodo das curvas caracterısticas consiste em transformar a EDP em um conjunto de equacoes diferenciais or-dinarias. Apos a solucao dessas equacoes diferenciais ordinarias temos a solucao da EDP. Os passos para determinar-se a solucao por esse metodo sera explicado mediante a determinacao da solucao analıtica da equacao de adveccaolinear. Os passos sao:

54

1. Procuramos curvas x = x(t) no plano xt, tais que:

x′(t) = v (2.6)

Nessas curvas, a EDP (2.2), fica:

ut + x′(t)ut = 0, (2.7)

que pode ser reescrita, usando a regra da cadeia e o fato de que x = x(t) satisfaz (2.6), como a seguinteEDO:

d

dt(u(x(t), t) ) = 0. (2.8)

2. Resolvemos a EDO resultante, neste caso a solucao de (2.8) e:

u(x(t), t) = cte. (2.9)

A curva solucao da EDO (2.6) e denominada de curva caracterıstica. E neste caso tem a seguinte solucao para x:

x = vt+ λ. (2.10)

Isto e, x = x(t). Para t=0, temos:x(0) = λ, (2.11)

ou seja:x− vt = x(0), (2.12)

ou

t =(x− x(0))

v. (2.13)

As curvas dadas por (2.13) sao retas que em t=0 passam por x(0). Variando-se o x(0), temos diferentes retas e emcada uma dessas retas a solucao u e constante. Observemos tambem que, neste caso, o coeficiente angular de todasessas retas e m = 1

v(Constante). Na Figura 2.3, sao mostradas algumas curvas caracterısticas.

X

A

B

xO

BxO

A

t

X

A

B

x x0

A

0

B

t

Figura 2.3: Curvas caracterısticas no plano xt para a equacao de adveccao linear:esquerda para v > 0 e direira para v < 0.

A constante da solucao (2.9) pode ser determinada usando a informacao da solucao no tempo t=0, isto e, nos pontosda forma (x(0), 0):

u(x(t), t) = u(x(0), 0) (2.14)

Como u(x, 0) = φ(x), entao de (2.14), temos:

u(x(t), t) = φ(x(0)) (2.15)

55

Mas de (2.12), x(0) = x− vt, entao:u(x(t), t) = φ(x(t)− vt) (2.16)

ou:u(x, t) = φ(x− vt) (2.17)

Logo, provamos que a solucao dada por (2.4) e solucao da equacao de adveccao linear mesmo sem a condicao inicialdada por φ ser funcao diferenciavel. Para exemplo vamos esbocar o grafico da solucao analıtica para a condicaoinicial:

u(x, 0) = φ(x) =

1− |x|, Se |x| ≤ 1

0, Se |x| ≥ 1(2.18)

t= 0

t= 2

t= 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figura 2.4: Esboco da solucao analıtica da equacao de adveccao linear com condicaoinicial (2.18) em x ∈ [−6, 6], para tempos t=0, 2 e 4.

2.3 Solucao analıtica para a equacao de adveccao linear emdomınio espacial finito

Na secao anterior o domınio espacial foi todo R, domınio sem contorno e, portanto a unica informacao que o problemaprecisava para fornecer uma unica solucao era a condicao inicial. Agora vamos considerar a seguinte equacao deadveccao linear:

∂u

∂t+ v

∂u

∂x= 0, x ∈ [0, L] e t > 0 (2.19)

Qual e a solucao do problema (2.19)?O domınio da funcao u = u(x, t) e [0, L]× [0,∞[, veja Figura 2.5 .

0 L

t

t0

tf

x

Figura 2.5: Domınio para a funcao u(x, t) do problema (2.19).

As condicoes auxiliares para a EDP (2.19), sao:

56

• Condicao inicial:u(x, 0) = φ(x), x ∈]0, L[

• Condicao de contorno:

– Se v > 0:u(0, t) = h1(t) (2.20)

– Se v < 0:u(L, t) = h2(t) (2.21)

A necessidade da condicao de contorno ser (2.20) ou (2.21) para resolver a EDP podem ser verificados usando ometodo das curvas caracterısticas. A solucao analıtica de (2.19) para v > 0 e:

u(x, t) =

φ(x− vt), Se x− vt > 0 ≡ t < x

v

h1(t− xv

), Se x− vt < 0 ≡ t > xv

(2.22)

Do exposto acima, vemos que, matematicamente, precisamos de uma unica condicao de contorno para achar asolucao exata do problema. Para v > 0, precisamos da condicao de contorno em x = 0, e para v < 0 precisamos dacondicao de contorno em x = L.

3 Metodo das Diferencas FinitasE um metodo numerico para resolver equacoes diferenciais. O processo de solucao por esse metodo pode ser divididoem duas etapas: 1) discretizacao do domınio e 2) aproximacao das derivadas por diferencas finitas.

3.1 Discretizacao do domınio da funcaoE o processo de escolha dos pontos onde a solucao sera calculada de forma aproximada. Por exemplo, para a funcaou = u(x, t) definida no domınio retangular [0, L]× [t0, tf [ e para v > 0, podemos escolher os pontos mostrados comcırculos vazios na Figura 3.1.

0 L

t

t0

x

tf

Figura 3.1: Discretizacao do domınio para o caso de v > 0. Cırculos com preen-chimento representam pontos onde sao conhecidas informacoes adicionais e cırculossem preenchimento, pontos onde a solucao sera calculada.

Da figura acima, podemos observar que o espacamento entre as abscisas consideradas em [0, L] e entre as ordenadasem [t0, tf ] podem ser diferentes.

57

3.2 Diferencas finitas para as derivadasAs diferencas finitas podem ser obtidas de diferentes formas (Veja o livro de Fortuna). Aqui deduziremos algumasdiferencas finitas usando a serie de Taylor.

Definicao 6 (Serie de Taylor) Seja f = f(x) uma funcao com derivadas ate ordem n+ 1 em x, entao

f(x+ h) = f(x) + hf ‘(x) +h2

2!f“(x)+ · · · +

hn

n!f (n)(x) +

+hn+1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ), x < ξ < x+ h (3.1)

O seguinte polinomio de grau n associado com a serie de Taylor acima e denominado o polinomio de Taylor deordem n de f :

pn(x) = f(x) + hf ‘(x) +h2

2!f“(x) + · · ·+

hn

n!f (n)(x), (3.2)

Usando a serie de Taylor para f , temos:

f(x+ h) = f(x) + hf ‘(x) +h2

2!f“(x) +

h3

3!f“‘(ξ1) (3.3)

f(x− h) = f(x)− hf ‘(x) +h2

2!f“(x)−

h3

3!f“‘(ξ2) (3.4)

onde: ξ1 ∈]x, x+ h[ e ξ2 ∈]x− h, x[.Substraindo (3.3) de (3.4), temos:

f ‘(x) =f(x+ h)− f(x− h)

2h−h2

3!f“‘(ξ), ξ ∈]x− h, x+ h[ (3.5)

Usando a notacao de O maiusculo, temos:

f ‘(x) =f(x+ h)− f(x− h)

2h+O(h2), (3.6)

onde O(h2) representa a expressao restante apos o isolamento da derivada primeira de f , sendo essa expressao umpolinomio em h comecando com a potencia h2. Isto e:

O(h2) = a0h2 + a1h

3 + a2h4 + . . .

Devido a diferenca entre a aproximacao,f(x+h)−f(x−h)

2h, e a derivada primeira, f ‘(x), dada em (3.6) e O(h2),

dizemos que a aproximacao e de segunda ordem.Usando expressoes dadas pela serie de Taylor podemos, por exemplo, obter as seguintes diferencas finitas:

Aproximacoes de primeira ordem

Aproximacao Progressiva f′(x) =

f(x+h)−f(x)h

+O(h)

Aproximacao Regressiva f′(x) =

f(x)−f(x−h)h

+O(h)

Aproximacoes de segunda ordem

Aproximacao Progressiva f′(x) =

f(x)−3f(x+h)+4f(x+2h)2h

+O(h2)

Aproximacao Regressiva f′(x) =

f(x)−3f(x−h)+4f(x−2h)2h

+O(h2)

Aproximacao Centrada f′(x) =

f(x+h)−f(x−h)2h

+O(h2)

58

3.3 Metodo das linhasNa Figura 3.2, temos uma discretizacao do domınio de u : [a, b]× [t0, tf ], onde, nesse caso, escolhemos espacamentoconstante entre as abscisas x0, x1, x2,. . . , xN , e espacamento constante entre as ordenadas t0, t1, t2,. . . , tM . SendoN e M , o numero de partes em que foram divididos o intervalo [a, b] e o intervalo [t0, tf ], respectivamente. O valordo espacamento constante, h, em x e o espacamento constante, k, em y sao calculados, respectivamente, por:

h =b− aN

, k =tf − t0M

.

E os pontos (xi, tn), i = 0, . . . , N e j = 0, . . . ,M , sao dados por:

xi = a+ ih, i = 0, . . . , N

tn = t0 + nk, n = 0, . . . ,M

Dependendo do metodo numerico, h e k devem satisfazer alguma condicao para que a solucao numerica consigaaproximar a solucao. A Figura 3.2, mostra o exemplo de discretizacao do domınio espacial para N=8.

t0

t1

t 2

tn+1

t n

X

t

a = x x x x x x x x0 1 2 3 4 5 6 7

x = b8

Linha 0

Linha 1

Linha 2

Linha n

Linha (n+1)

Figura 3.2: Discretizacao do domınio de u :[a, b]× [t0, tf ].

O metodo das linhas consiste em: 1) discretizar as derivadas espaciais, e 2) escolher um metodo numerico deEDOs para resolver a equacao discretizada no item 1). Na pratica, o metodo das linhas consiste (apos escolhida adiscretizacao espacial e temporal) em calcular a solucao aproximada em todos os pontos discretos da linha t1, depoisem todos os pontos discretos da linha t2, e assim sucessivamente. Daı o nome do metodo das linhas: resolva-se aequacao linha por linha.

4 Alguns metodos numericos para a equacao de

adveccao linearA seguir a notacao uni representara uma aproximacao para u no ponto do domınio (xi, tn), isto e, uni ≈ u(xi, tn).Vamos apresentar alguns metodos de diferencas finitas para resolver a equacao de adveccao linear: metodos explıcitose metodos implıcitos.

4.1 Exemplos de discretizacoes explıcitasOs metodos explıcitos sao aqueles que nos dao uma regra direta ou explıcita para calcular a informacao un+1

i usandoinformacoes conhecidas dos tempos anteriores, isto e, no tempo tm, m ≤ n. Nos vamos considerar metodos explıcitosque calculam a solucao em tn+1 usando unicamente a solucao no tempo tn. Os metodos explıcitos sao faceis deimplementar em uma linguagem de programacao no computador. Alguns desses metodos sao:

59

Diferenca progressiva no tempo e no espaco (DPTPE)

Consiste em aproximar a derivada temporal ut(xi, tn) pela aproximacao progressiva no tempoun+1i −un

ik

e a derivada

espacial ux(xi, tn) pela aproximacao progressiva no espacouni+1−u

ni

h. Logo, a aproximacao para a equacao de

adveccao linear e:

un+1i − uni

k+ v

uni+1 − unih

= 0 (4.1)

Isolando un+1i de (4.1), temos:

un+1i = uni − v

k

h(uni+1 − uni )

un+1i =

(1 + v

k

h

)uni − v

k

huni+1 (4.2)

A relacao (4.2) nos da uma formula para calcular a informacao de u em xi no tempo tn+1 usando informacoes deu no tempo tn.

Diferenca progressiva no tempo e regressiva no espaco (DPTRE)

Consiste em aproximar a derivada temporal ut(xi, tn) porun+1i −un

ik

e ux(xi, tn) pela aproximacao regressiva no

espacouni −u

ni−1

h. Logo, a aproximacao para a equacao de adveccao linear e:

un+1i − uni

k+ v

uni − uni−1

h= 0 (4.3)


un+1i = uni − v

k

h(uni − uni−1)

un+1i =

(1− v

k

h

)uni + v

k

huni−1 (4.4)

Similar ao metodo DPTPE, a formula (4.4) da uma formula direta para o calculo de u em xi no tempo tn+1 usandoinformacoes de u no tempo tn.A discretizacao (4.3) e conhecida como o Metodo Upwind para v > 0.

Diferenca progressiva no tempo e centrada no espaco (DPTCE)Consiste em:

ut(xi, tn) ≈un+1i − uni

k, ux(xi, tn) ≈

uni+1 − uni−1

2h(4.5)

Substituindo as aproximacoes dadas em (4.5) na equacao de adveccao linear, temos:

un+1i − uni

k+ v

uni+1 − uni−1

2h= 0 (4.6)

Apos isolar un+1i de (4.6), temos:

un+1i = v

k

2huni−1 + uni − v

k

2huni+1 (4.7)

Embora a formula (4.7) seja baseada em aproximacoes por diferencas finitas, esta nem sempre consegue aproximara solucao ou pode ate nao funcionar.

Esquema de Lax-Friedrichs (LF),Lax-Friedrich propuseram mudar o esquema (4.6) que nao funciona, fazendo a seguinte aproximacao para o termouni que aparece na aproximacao da derivada temporal:

uni ≈uni+1 + uni−1

2.

Logo, o esquema LF e:

un+1i − un

i+1+uni−1

2

k+ v

uni+1 − uni−1

2h= 0. (4.8)

60


un+1i =

1

2

(1 + v

k

h

)uni−1 +

1

2

(1− v

k

h

)uni+1 (4.9)

Igualmente, a expressao (4.9) nos da uma formula explıcita para o calculo de un+1i .

Solucao das Equacoes de Diferencas explıcitas

Conforme podemos observar as expressoes dadas para calculo de un+1i nos metodos explıcitos apresentados acima,

(4.2),( 4.4), (4.7) e (4.9), podem ser reescritas da seguinte forma:

un+1i = auni−1 + buni + cuni+1, i = 1, 2, . . . , N, (4.10)

onde a,b e c, sao constantes que dependem do metodo.A expressao (4.10), sugere um processo de calculo dos elementos da linha tn+1: calculo um a um, de esquerda paradireita (uso de comando for nas linguagens de programacao).

4.2 Exemplos de discretizacoes implıcitasVamos apresentar dois metodos implıcitos: o metodo de Crank-Nicolson e o metodo implıcito reportado no trabalhode Dehghan e Shakeri.

Metodo de Crank-NicolsonConsiste em discretizar as derivadas parciais da equacao de adveccao linear no ponto (xi, tn+ 1

2) pelas seguintes

expressoes:

ut(xi, tn+ 12

) ≈un+1i − uni

2( k2

)=un+1i − uni

k(4.11)

ux(xi, tn+ 12

) ≈ux(xi, tn+1) + ux(xi, tn)

2≈

un+1i+1 −u

n+1i−1

2h+uni+1−u

ni−1

2h

2

. (4.12)

Substituindo (4.11) e (4.12) na equacao de adveccao linear, (2.2), temos:

un+1i − uni

k+ v

un+1i+1 −u

n+1i−1

2h+uni+1−u

ni−1

2h

2

= 0. (4.13)

Colocando tudo que depende do tempo tn+1 e do tempo tn da equacao (4.13), no lado esquerdo e direito, respecti-vamente, temos:

− 0.25C un+1i−1 + un+1

i + 0.25C un+1i+1 = 0.25C uni−1 + uni − 0.25C uni+1, (4.14)

onde C = vkh

, e conhecido como o numero de Courant.

A expressao (4.14) nao e uma formula explıcita para o calculo de un+1i , observemos que agora aparecem as in-

formacoes de u no tempo n+ 1 nos ındices i− 1, i e i+ 1.

Metodo implıcito de Dehghan [2]Consiste em substituir a derivada temporal aplicada no pontos ut(xi, tn+ 1

2) por uma meia ponderada de derivadas

temporais nos pontos (xi−1, tn+ 12

), (xi, tn+ 12

) e (xi+1, tn+ 12

), dada por:

ut(xi, tn+ 12

) ≈2 + c2

6

(ut(xi−1, tn+ 1

2) + ut(xi+1, tn+ 1

2))

+4− c2

6ut(xi, tn+ 1

2), (4.15)

sendo C o numero de Courant.Aplicando diferenca centrada para as derivadas temporais que aparecem no lado direito de (4.15) e para a derivadaespacial, seguimos a mesma formula usada em (4.12). Apos substituicao destas aproximacoes na equacao de adveccaolinear e isolamento das informacoes no tempo tn+1 e das informacoes no tempo tn temos:

(2− 3C + C2)un+1i−1 + 2(4− C2)un+1

i + (2 + 3C + C2)un+1i+1 =

(2 + 3C + C2)uni−1 + 2(4− C2)uni + (2− 3C + C2)uni−1. (4.16)

De modo semelhante ao caso do metodo de Crank-Nicolson, a expressao (4.16) nao oferece uma formula explıcitapara calculo de un+1

i .

61

Solucao das Equacoes de Diferencas ImplıcitasOs metodos implıcitos apresentados acima, (4.14) e (4.16), possuem a seguinte estrutura:

aiun+1i−1 + biu

n+1i + ciu

n+1i+1 = di, i = 1, 2, . . . , N − 1, (4.17)

onde os coeficientes a,b e c dependem do metodo.Aplicando a relacao (4.17) para i = 1, 2, . . . , N − 1, obtemos um sistema linear da forma:

Aun+1 = b(un), (4.18)

onde u = (u1, u2, . . . , uN−2.uN−1)t e o vetor das incognitas, A e uma matriz tridiagonal e b(un) um vetor, domesmo tamanho que u. A solucao do sistema linear (4.18), pode ser obtida usando-se o metodo de eliminacao deGauss, por exemplo.

4.3 Condicao de contorno numericaComo foi apresentado na secao 2.3, a determinacao da solucao para o caso v positivo nao precisa de nenhumainformacao de u no extremo x = b. Porem, dependendo do esquema numerico existe a necessidade de algum tipode informacao para u em x = b. Essa informacao nao e imposta pela caracterıstica da equacao diferencial parcial esim por causa do metodo numerico. Tal informacao e denominada de condicao de contorno numerica (ou fictıcia).Algumas condicoes de contorno numericas em x = b, sao:

• Derivada primeira nula: ∂u∂x

(x = b) = 0

• Derivada segunda nula: ∂2u∂x2

(x = b) = 0

4.4 Alguns resultadosVamos apresentar resultados numericos para dois problemas:

• Problema 1: Equacao de adveccao linear com solucao analıtica diferenciavel.

• Problema 2: Equacao de adveccao linear com solucao analıtica contınua, diferenciavel em todos os pontosexceto em tres pontos.

Consideramos como numero de Courant C = 0.8, intervalo do tempo t ∈ [0, 1, 6] e os metodos numericos usadossao: DPTRE, (4.3), LF (4.8), Crank-Nicolson (4.14) e Metodo implıcito de Dehghan, (4.16).A condicao de contorno numerica considerada e ∂u

∂x(x = b) = 0. Considera-se ainda que usamos uma aproximacao

regressiva para essa derivada em x = b, produzindo un+1N = un+1

N−1.Para medir o erro obtido entre a solucao exata, ue, e a solucao aproximada, ua, usaremos a seguinte norma:

||ue − ua||2 =

√√√√ N∑i=1

(ue(xi)− ua(xi))2 h.

4.4.1 Problema 1Resolver numericamente, a seguinte equacao de adveccao linear:

ut + 0.1ux = 0, x ∈ [0, , 1] t = [0, 1, 6]

u(x, 0) = e(−1.8x10−4(x−0.2)2)

u(0, t) = e(−1.8x10−4(−0.2−0.1t)2)

Cuja solucao analıtica e:

u(x, t) = e(−1.8x10−4(x−0.2−0.1 t)2)

Na Tabela 1, mostramos os valores dos erros associados aos metodos numericos para diferentes valores de N . Nacoluna1 aparece o valor do N , numero de partes em que e dividido o intervalo [a, b] = [0, 1]; na coluna 2 aparecemos respectivos erros devidos ao metodo Upwind; na coluna 3, os respectivos erros devido ao metodo de Lax-Friedich;na coluna 4, os erros associados ao metodo de Crank-Nicolson e na coluna 5, os erros associados ao metodo implıcitode Dehghan. Podemos observar que conforme aumentamos o valor do N , cada um dos metodos produzem errosmuito pequenos, indicando a convergencia da solucao numerica para a solucao exata.

62

N Met. Upwind Met. LF Met. Crank-Nicolson Met. impl. Dehghan

20 2.673542E-07 6.004530E-07 1.148709E-11 5.410558E-1640 1.348332E-07 3.030630E-07 2.921315E-12 6.937784E-1680 6.772492E-08 1.522210E-07 7.329087E-13 1.304925E-15160 3.394217E-08 7.631781E-08 1.828878E-13 1.690335E-15320 1.699138E-08 3.821598E-08 4.457890E-14 2.465056E-15

Tabela 1: Erros obtidos pelos diferentes metodos numericos para diferentes valoresde N .

Na Figura 4.1, mostramos unicamente os graficos da solucao exata e aproximada para os metodos Upwind e Crank-Nicolson para n = 20.

Figura 4.1: Solucao analıtica e aproximada: esquerda, usando o metodo Upwind edireita, usando o metodo de Crank-Nicolson.

4.4.2 Problema 2Resolver numericamente, a seguinte equacao de adveccao linear:

ut + ux = 0 ,−2 ≤ x ≤ 3, t ≥ 0

u(x, 0) = u0(x) =

1− |x|, Se |x| ≤ 1

0, Se |x| ≥ 1

u(−2, t) = 0.

Cuja solucao analıtica e:u(x, t) = u0(x− t).

Semelhantemente ao problema 1, a Tabela 2 apresenta os erros obtidos pelos diferentes metodos numericos. Obser-vamos que conforme o numero N cresce, o erro de cada um dos metodos diminui, indicando que todos os metodosfornecem solucoes numericas que convergem para a solucao analıtica.

N Metodo Upwind Metodo LF Met. Crank-Nicolson Met. Dehghan

25 1.143437E-01 1.964729E-01 1.682078E-01 3.868749E-0250 6.497535E-02 1.159843E-01 9.391266E-02 2.283617E-02100 3.764055E-02 6.819003E-02 4.423486E-02 8.860505E-03200 2.207008E-02 4.025711E-02 2.120957E-02 3.469676E-03400 1.302798E-02 2.384772E-02 1.065396E-02 1.504589E-03

Tabela 2: Erros obtidos pelos diferentes metodos numericos para diferentes valoresde N

Nas Figuras 4.2 e 4.3, apresentam-se o esboco das solucoes numericas obtidas pelos dois metodos explıcitos e pelosdois metodos implıcitos, respectivamente.

63

+

−−−−−

Upwind

SELF

SE

+

−−−−−−−

Figura 4.2: Solucao numerica pelos metodos explıcitos: Upwind (esquerda) e Lax-Friedrich (direita), para N = 50.

+CN

−−−−SE+

−−−−

Dehghan

SE

Figura 4.3: Solucao numerica pelos metodos implıcitos: Crank-Nicolson (esquerda)e metodo de Dehghan, para N = 50.

Este problema ilustra dois problemas importantes dos metodos numericos usados para resolver equacoes hiperbolicas:dissipacao numerica e dispersao numerica.Dizemos que nosso metodo numerico gera dissipacao numerica quando, sem existirem termos dissipativos na nossamodelagem matematica, o metodo produz solucoes numericas com difusao, isto e, a solucao e difundida para pontosadjacentes e assim a sua amplitude inicial fica reduzida. Veja por exemplo, na Figura 4.2, os resultados obtidospelos metodos explıcitos Upwind e Lax-Friedrich. As solucoes numericas obtidas apresentam uma amplitude menordo que deveriam ter.Ja a dispersao numerica consiste em oscilacoes falsas que aparecem na solucao numerica. Por exemplo, veja naFigura 4.3, as solucoes numericas obtidas apresentam oscilacoes que nao deveriam aparecer. Tambem, podemosobservar que a amplitude das oscilacoes falsas do segundo metodo implıcito sao menores. Tanto o problema dedispersao e dissipacao numerica nao serao abordados aqui, pois foge do escopo do presente minicurso.

5 Analise de Estabilidade de von NeumannNos resultados numericos apresentados na secao anterior escolhemos o valor do numero de Courant C = 0, 8, maspara compreender essa escolha precisamos revisar o conceito de estabilidade dos metodos numericos. Tal conceitoestuda a propagacao de erros nos metodos numericos, sabendo que existe erro de arredondamento e o erro detruncamento, dentre outros.Vamos encontrar uma expressao que indique como o erro se propaga na solucao da equacao de adveccao linear:

∂u

∂t+ v

∂u

∂x= 0, (5.1)

Para isto, vamos considerar como exemplo o metodo Upwind cujo esquema de diferenca e:

un+1i − uni

k+ v(

uni − uni−1

h) = 0, (5.2)

E Uni e Uni , sao, respectivamente, a solucao sem erro de arredondamento (solucao teorica do metodo) e a solucaocom erro de arredondamento (solucao obtida pelo metodo), respectivamente.O erro na solucao devido ao truncamento e:

ET = u(xi, tn)− Uni (5.3)

e o erro de arredondamento e:E = Uni − Uni . (5.4)

64

De (5.4), temos: U = U + E

A solucao numerica U deve satisfazer a equacao de diferenca, isto e:

Un+1i − Uni

k+ v(

Uni − Uni−1

h) = 0 (5.5)

que implica:

Un+1i + En+1

i − Uni − Enik

+ v(Uni + Eni − Uni−1 − Eni−1

h) = 0 (5.6)

Mas U e solucao exata da equacao de diferenca, entao:

Un+1i − Uni

k+ v(

Uni − Uni−1

h) = 0 (5.7)

Usando a Eq. (5.7) em (5.6), temos que a equacao associada ao erro de arredondamento e:

En+1i − Eni

k+ v(

Eni − Eni−1

h) = 0 (5.8)

Isto e, o erro de arredondamento satisfaz a mesma equacao de diferenca.

5.1 Analise de von NeumannA solucao numerica sera estavel se os erros Eni , i = 1, . . . , N , diminuem ou permanecem os mesmos do tempo tn aotempo tn+1. Para isto precisamos que o erro no ponto i satisfaca a seguinte condicao:∣∣∣∣∣En+1

i

Eni

∣∣∣∣∣ ≤ 1 (5.9)

Na analise de estabilidade de von Neumann, supoe-se que o erro em (xi, tn) tem a seguinte forma:

Eni = φneIkmxi , (5.10)

onde: eIkmxi = cos(kmxi) + Isen(kmxi), I a unidade imaginaria e φn e uma notacao para representar o erro notempo tn.Substituindo-se expressoes semelhante a (5.10) para os outros ındices i, determinamos uma expressao para o modulo

do quociente,

∣∣∣∣En+1iEn

i

∣∣∣∣, e impondo a restricao (5.9) obtemos a condicao de estabilidade do metodo em analise.

Observemos que o quocienteEn+1

iEn

i=

φn+1iφni

.

Chama-se o quocienteφn+1iφni

de fator de amplificacao do erro e denota-se por G, isto e, G =φn+1iφni

. Nesse caso, a

restricao para o erro implica que o fator de amplificacao deve ter modulo menor ou igual a 1.Voltando para a equacao de diferenca finita do metodo Upwind para o erro, reescrita abaixo:

En+1i − Eni

k+ v

Eni − Eni−1

h= 0 (5.11)

Substituindo as expressoes do tipo 5.10 para Eni , Eni−1 e En+1i em (5.11), temos:

φn+1eIkmxi − φneIkmxik

+ vφneIkmxi − φneIkm(xi−h)

h= 0 (5.12)

Simplificando e agrupando em (5.12), temos:

φn+1 = φn − vk

hφn

1− e−Ikmh

(5.13)

ouφn+1 = φn 1− C [1− cos(kmh) + Isen(kmh)] (5.14)

Daı, temos:φn+1

φn= 1− C [1− cos(kmh) + Isen(kmh)] (5.15)

Logo, o fator de amplificacao e:

65

G = 1− C + C cos(kmh)− ICsen(kmh) (5.16)

Denominando θ = kmh, as partes real e imaginaria de G sao:

GR = 1− C + C cos(θ) (5.17)

GI = −C sen(θ) (5.18)

A condicao para que o modulo de G seja menor ou igual a 1 e satisfeita quando C ≤ 1. Quando temos algumarestricao para o valor do numero de Courant, dizemos que o metodo numerico e condicionalmente estavel. Logo, ometodo Upwind e condicionalmente estavel e, portanto, nao podemos usar qualquer valor para o numero de Courant,caso contrario os erros crescerao e a solucao numerica nao convergira.Aplicando o mesmo procedimento para o metodo DTPEC, temos que a equacao de diferenca (4.6) aplicada para oerro Eni e:

En+1i − Eni

k+ v

Eni+1 − Eni−1

2h= 0 (5.19)

Substituindo expressoes para os erros que aparecem na equacao (5.19) e simplificando, temos:

φn+1 − φn

k+

v

2hφneIkmh − e−Ikmh

= 0 (5.20)

Logo,φn+1 = φn 1− C sen(kmh)I , (5.21)

ou:

G =φn+1

φn= 1− C sen(kmh)I (5.22)

Observamos que para qualquer valor de C, o modulo de G e maior que 1.

|G| = 1 + C2sen2(kmh) > 1

Logo, qualquer erro que seja introduzido na solucao ira crescer e a solucao numerica divergira. Logo, esse metodonao funciona para resolver a equacao de adveccao linear. Metodos para os quais temos |G| > 1 independente dovalor para C, chamam-se metodos incondicionalmente instaveis.

5.2 Condicao CFLA condicao CFL e uma condicao necessaria para a convergencia das solucoes numericas obtidas por metodo numericosexplıcitos para equacoes hiperbolicas e esta condicao diz que o numero de Courant deve satisfazer:

C ≤ 1, . (5.23)

O nome da condicao CFL e homenagem aos pesquisadores Richard Courant, Kurt Friedrichs e Hans Lewy que foramos responsaveis desta descoberta. Da condicao CFL, (5.23), temos:

vk

h≤ 1 (5.24)

ou:k

h<

1

v(5.25)

Onde kh

representa o quociente entre o espacamento temporal e o espacamento espacial e 1v

representa a valordo coeficiente angular da curva caracterıstica. A relacao (5.25), diz que o metodo sera estavel se o domınio dedependencia numerica contem o domınio de dependencia contınua.Vamos considerar um esquema explıcito da forma un+1

i = auni−1 + buni + cuni+1 e explicar os conceitos de domıniode dependencia numerica e contınua mediante um exemplo. O domınio de dependencia numerica para calculo dasolucao no ponto P = (x5, t2) da Figura 5.1 sao todos os pontos discretos nos tempos anteriores t0 e t1 os quaiscontribuem para o calculo da solucao numerica em nesse ponto. Nessa figura, esses pontos sao identificados porcırculos preenchidos que formam uma estrutura triangular. Ja o domınio de dependencia contınua sao os pontos quecontribuem para obter a solucao exata em P segundo as curvas caracterısticas. Neste caso, a curva caracterısticaassociado ao ponto P e a reta que passa pelo ponto P e o ponto (x2, t0) para v > 0; e a reta que passa pelo pontoP e o ponto (x8, t0) para v < 0. Logo, podemos observar nessa figura que o domınio de dependencia numericanao contem o domınio de dependencia contınua, portanto o metodo ira divergir pois nao satisfaz a condicao deestabilidade.Observemos que o quociente k

hmede a relacao entre o espacamento da discretizacao temporal e espacial. Podemos

escolher valores para h e k de forma que o quociente satisfaca a condicao (5.25) e, assim, o metodo seja estavel econvirja. Na Figura 5.2, temos um exemplo de discretizacao onde o domınio de dependencia contınua contem odomınio de dependeencia numerica.

66

t0

t1

t2

t

tn

x x x x x x x x2 3 4

6 8x

Linha 0

Linha 1

Linha 2

Linha n

51 7 9

t=

Figura 5.1: Exemplo de domınio de dependencia numerica para calculo de un+1i que

nao contem o domınio de dependencia contınua.

t0

t

t

tn

x x x x x x x x2 3 4

6 8x

Linha 0

Linha 4

Linha n

51 7 9

t1

t

t

2

3

4

Linha 1

Linha 3

Linha 2

t=

Figura 5.2: Exemplo de domınio de dependencia numerica para calculo de un+1i que

contem o domınio de dependencia contınua.

6 ConsideracoesO presente texto introduz alguns conceitos basicos associados com a resolucao numerica da equacao de adveccaolinear, tais como: solucao analıtica pelo metodo das curvas caracterısticas; solucao numerica pelo metodos dasdiferencas finitas; metodos explıcitos e implıcitos; estudo de estabilidade pelo metodo de von Neumann. E atravesde exemplos numericos, vimos que alguns metodos podem gerar oscilacoes falsas (dispersao numerica) e solucoesdissipadas (difusao numerica).No site: www.santosfamat.prof.ufu.br, podem ser encontrados codigos computacionais dos metodos expostos aqui,assim como uma pequena introducao do software gratuito Scilab usado na escrita desses codigos.

67

Referencias[1] J. A. Cuminato, e M. Meneguette Junior, Discretizacao de Equacoes Diferenciais Parciais: Tecnicas de Dife-

rencas Finitas, SBM, 2013.

[2] M. Dehghan, Quasi implicit and two level explicit finite difference procedures for solving the onedimensionaladvection equation, Applied Mathematics and Computation 167, p 46 67, 2005.

[3] A. O. Fortuna, Tecnicas Computacionais para Dinamica dos Fluidos: Conceitos Basicos e Aplicacoes, EDUSP,2000.

[4] R. Knobel, An Introduction to the Mathematical Theory of Waves, American Mathematical Society, 2000.

[5] R. J. Leveque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM, 2007.

[6] A. Nachbin, e E. TABAK, Equacoes Diferenciais em Modelagem Matematica e Computacional, IMPA. Rio deJaneiro, XXI Coloquio Brasileiro de Matematica, 1997.

[7] L. C. C. Santos, Introducao a Mecanica dos Fluidos Computacional, XXI Congresso Nacional de MatematicaAplicada e Computacional, 1998.

[8] L. C. C. Santos, Metodos Numericos para Escoamentos em Alta Velocidade, IMPA, Rio de Janeiro, XXIIColoquio Brasileiro de Matematica, 1999.

[9] J. C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, Second Edition, Society forIndustrial and Applied Mathematics, 2004.


68



MIN ICURSO

Introducao aos Espacos de Sobolev e DiferenciaisParciais Hiperbolicas

D. C. Pereiraa

a Departamento de Matematica - UEPA. e-mail: [email protected]

ResumoNeste texto apresentaremos algumas nocoes basicas sobre distribuicoes e os espacos de Sobolev, ferramentas indis-pensaveis para o estudo das solucoes de equacoes diferenciais parciais nao lineares. Estudaremos a existencia e ocomportamento assintotico das solucoes de uma equacao nao linear que modela as vibracoes transversais de umacorda elastica e, o comportamento assintotico, de uma equacao semilinear de ondas.

Palavras-chave: Distribuicoes, Espacos de Sobolev, Comportamento Assintotico.

1 Nocoes sobre DistribuicoesApresentaremos algumas nocoes basicas sobre a teoria das distribuicoes desenvolvida particularmente por LaurenceSchwartz, formalizando e consagrando o uso das funcoes generalizadas em Analise Funcional, assim como seu empregono estudo das equacoes diferenciais.

1.1 O Espaco das Funcoes TestesSeja Ω um aberto de R. Representa-se por C∞(Ω) o espaco vetorial das funcoes numericas definidas em Ω, indefi-nidamente continuamente derivaveis em Ω, ou seja,

C∞(Ω) = u ∈ C(Ω) : u(n) ∈ C(Ω), n ∈ N

Dada uma funcao u definida em Ω, denomina-se o suporte de u o conjunto denotado por, Supp(u), definido como ofecho em Ω do conjunto dos pontos de ω onde u e diferente de zero, isto e,

Supp(u) = x ∈ Ω : u(x) 6= 0

Com C∞0 (Ω) representa-se o subespaco de C∞(Ω) constituıdo pelas funcoes u possuindo o seu suporte compactocontido em Ω, ou seja,

C∞0 (Ω) = u ∈ C∞(Ω) : Supp(u) ⊂ K, K um compacto de Ω

Exemplo 1 Seja Ω = R, e considere-se a funcao

u(x) =

exp(− 1

1−x2 ), se |x| < 1

0, se |x| ≥ 1(1.1)

Tem-se que u ∈ C∞0 (Ω) e Supp(u) = [−1, 1].

Define-se a seguir, uma nocao de convergencia em C∞0 (Ω) .

Definicao 7 Uma sucessao (ϕv) de funcoes de C∞0 (Ω) converge para ϕ ∈ C∞0 (Ω) quando se verifica as seguintescondicoes:

(i) existe K, K compacto contido em Ω , tal que Supp(ϕv − ϕ) ⊂ K;

(ii) maxx∈K |ϕmv (x)− ϕm(x)| → 0, ∀m ∈ N.

A condicao ii) nos diz que a sucessao (ϕv −ϕ), assim como a de derivadas de qualquer ordem, convergem uniforme-mente para 0 em K.

O espaco vetorial C∞0 (Ω) com esta nocao de convergencia e denominado o espaco das funcoes testes em Ω erepresentado por D(Ω).

69

1.2 DistribuicoesCom a nocao de convergencia em C∞0 (Ω) e a definicao do espaco das funcoes testes, tem-se os elementos necessariospara definir a nocao de distribuicao devido a Laurence Schwartz.

Definicao 8 Uma distribuicao sobre Ω e todo funcional linear e contınuo T definido sobre D(Ω).

Representando por < T,ϕ > o valor de T em ϕ, a definicao nos diz que uma distribuicao T sobre Ω e um funcionaldefinido sobre D(Ω) que satisfaz:

(i) para quaisquer funcoes ϕ,ψ ∈ D(Ω) e quaisquer a, b ∈ R, tem-se

< T, aϕ+ bψ >= a < T, ϕ > + b < T, ψ >

(ii) para toda sucessao (ϕv) convergente para ϕ em D(Ω), entao a sucessao numerica (< T,ϕv >) converge para< T,ϕ > em R.

Observacao. O conjunto de todas as distribuicoes sobre Ω e um espaco vetorial.

Nesse espaco vetorial define-se a seguinte nocao de convergencia:

Definicao 9 Uma sucessao (Tv) de distribuicoes sobre Ω, converge para uma distribuicao T sobre Ω , quando paratoda funcao ϕ ∈ D(Ω), a sucessao numerica < Tv , ϕ > converge para o numero < T,ϕ > .

O espaco vetorial das distribuicoes sobre Ω, com essa nocao de convergencia, representa-se por D′(Ω), e e o espacodas distribuicoes de Schwartz.

Exemplo 2 Representa-se por L1(Ω) o espaco das funcoes integraveis em Ω. Se u ∈ L1(Ω) e ϕ ∈ D(Ω) entao, aforma linear Tu definida em D(Ω) por

< Tu, ϕ >=

∫Ωu(x)ϕ(x)dx,

e uma distribuicao sobre Ω.

E suficiente mostrar que Tu e contınua em D(Ω). De fato,

< Tu, ϕn − ϕ >≤ maxx∈Ω|ϕn(x)− ϕ(x)|

∫Ω|u(x)|dx

Assim,| < Tu, ϕn − ϕ > | → 0 se ϕn − ϕ→ 0 em D(Ω).

Exemplo 3 Mesmo certas funcoes nao integraveis em Ω podem definir distribuicoes via integracao. Este e o casodas funcoes localmente integraveis em Ω, isto e, o espaco vetorial L1

loc(Ω), das funcoes definidas em Ω que saointegraveis sobre cada compacto contido em Ω. Isto porque, para toda ϕ ∈ D(Ω) e toda sequencia (ϕn) que convergepara ϕ em D(Ω), existe um compacto K ⊂ Ω tal que ϕn(x) = ϕ(x) = 0, se x /∈ K. Logo, se u ∈ L1

loc(Ω), a formalinear Tu definida em D(Ω) por

< Tu, ϕ >=

∫Ωu(x)ϕ(x)dx

e uma distribuicao sobre ω pois,

< Tu, ϕn − ϕ >=

∫Ωu(x)[ϕn(x)− ϕ(x)]dx =

∫Ku(x)[ϕn(x)− ϕ(x)]dx

e, recaımos no caso anterior.

Observacao. Demonstra-se que a distribuicao Tu e univocamente definida por u. Para isso utiliza-se do seguinteLema:

Lema 1 (Lema de Du Bois Raymond) Seja u localmente integravel em Ω. Se Tu = 0 entao u = 0 q.s. em Ω.

Prova. (Ver Medeiros [3]).

O exemplo a seguir nos mostra que existem distribuicoes que nao sao definidas por funcoes localmente integraveis.

70

Exemplo 4 Seja x0 ∈ R. Represente-se por δx0 a forma linear definida em D(Ω) por

< δx0 , ϕ >= ϕ(x0) para toda ϕ ∈ D(Ω).

Tem-se que δx0 e uma distribuicao sobre Ω, denominada distribuicao de Dirac ou medida de Dirac concentrada emx0. Quando x0 = 0 escreve-se δ0.

Mostra-se que a distribuicao δx0 nao e definida por uma funcao u ∈ L1loc(Ω), isto e, nao existe u ∈ L1

loc(Ω) tal que

< Tu, ϕ >=

∫Ωu(x)ϕ(x)dx = ϕ(x0), ∀ϕ ∈ D(Ω).

De fato, se existisse tal funcao u e, considere-se a funcao |x− x0|2ϕ(x) ∈ D(Ω). Entao,∫Ωu(x)|x− x0|2ϕ(x)dx = |x− x0|2ϕ(x)|x=x0 = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω).

Pelo Lema de Du Bois Raymond tem-se |x − x0|2u(x) = 0 quase sempre em Ω, mostrando que u(x) = 0 quasesempre em Ω, isto e, δ0 = 0 o que e uma contradicao.

Observacao. Existem sucessoes (uv) de funcoes de L1loc(Ω) que convergem para distribuicoes T em D′, mas o

limite T nao pode ser definido por uma funcao de L1loc(Ω).

De fato, seja x0 ∈ Ω e Br(x0) = x ∈ R : |x− x0| < r um intervalo contido em Ω. Para cada 0 < ε < r, seja θε afuncao teste definida por

θε(x) =1

kερ

(x− x0

ε

), ∀x ∈ Ω,

sendo ρ a funcao teste definida no Exemplo 1 e k =∫R ρ(y)dy.

Para ϕ ∈ D(Ω) tem-se,

< θε, ϕ >=1

kε

∫Ωρ

(x− x0

ε

)ϕ(x)dx =

1

k

∫Ωρ(y)ϕ(εy + x0)dy → ϕ(x0) = δx0 ,

quando ε→ 0+.

Portanto,limε→0+

θε = δx0 em D′(Ω).

Observacao. Tem-se a seguinte cadeiaD(Ω) ⊂ L1

loc(Ω) ⊂ D′(Ω),

sendo cada inclusao contınua e densa na seguinte (ver Medeiros [4]).

1.2.1 A derivada no sentido das distribuicoesAntes de definir-se a derivada no sentido das distribuicoes, sera definida a derivada fraca de Sobolev.

Definicao 10 Diz-se que uma funcao u ∈ L1loc possui derivada fraca de ordem k em Ω, quando existe uma funcao

v ∈ L1loc(Ω) tal que ∫

Ωu(x)ϕ(k)(x)dx = (−1)−k

∫Ωv(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω).

A funcao v ∈ L1loc denomina-se a derivada fraca de ordem k de u e representa-se por u(k).

Exemplo 5 Seja Ω = (−1, 1) e u(x) = |x|. Para calcular-se a derivada fraca de u, deve-se calcular a integral∫ 1−1 |x|ϕ(x)dx para toda ϕ ∈ C∞0 (−1, 1).

Integrando-se por partes, obtem-se:∫ 1

−1|x|ϕ(x)dx =

∫ 0

−1xϕ′(x)dx+

∫ 1

0xϕ′(x)dx

= −xϕ(x)|0−1 +

∫ 0

−1ϕ(x)dx+ xϕ(x)|10 −

∫ 1

0ϕ(x)dx

= −∫ 0

−1sign(x)ϕ(x)dx−

∫ 1

0sign(x)ϕ(x)dx

= −∫ 1

−1sign(x)ϕ(x)dx

71

v = sign(x) e L1loc(−1, 1).

Tem-se que v = sign(x) e L1loc(−1, 1) e

∫ 1−1 |x|ϕ(x)dx = −

∫ 1−1 sign(x)ϕ(x)dx, para toda ϕ ∈ C∞0 (−1, 1).

Assim, a derivada fraca de u(x) = |x| e v(x) = sign(x).

Observacao: Temos que sign(x) =|x|x

para x 6= 0.

Exemplo 6 Considere-se a funcao u(x) = sign(x) e pretende-se calcular sua derivada fraca. Tem-se,∫ 1

−1sign(x)ϕ′(x)dx = −

∫ 0

−1ϕ′(x)dx+

∫ 1

0ϕ′(x)dx = −2ϕ(0)

para toda ϕ ∈ C∞0 (−1, 1).

Assim, se existisse a derivada fraca de u(x) = sign(x), seria uma funcao v ∈∫ 1loc(−1, 1) tal que

∫ 1−1 v(x)ϕ(x)dx =

2ϕ(0) para toda ϕ ∈ C∞0 (−1, 1).

Suponha que exista tal funcao. Temos que xϕ(x) ∈ C∞0 (−1, 1) entao, substituindo-se na integral tem-se,∫ 1

−1v(x)xϕ(x)dx = 2xϕ(x)|x=0 = 0,

para toda ϕ ∈ C∞0 (−1, 1).

Resulta que xv(x) = 0 quase sempre em (−1, 1), logo v(x) = 0 quase sempre em (−1, 1).

Retornando a igualdade∫ 1−1 v(x)ϕ(x)dx = 2ϕ(0) e de v(x) = 0 quase sempre em (−1, 1), conclui-se que ϕ(0) = 0

para toda ϕ ∈ C∞0 (−1, 1), que e um absurdo.

Portanto, u(x) = sign(x) nao possui derivada fraca em (−1, 1).

O exemplo acima mostra aspectos negativos da derivada fraca introduzido por Sobolev pois, constatou-se aexistencia de funcoes localmente integraveis nao possuindo derivada fraca de primeira ordem. A dificuldade residena exigencia da derivada ser uma funcao localmente integravel. Esses inconvenientes serao eliminados por meio doconceito de derivada no sentido das distribuicoes idealizado por Schwartz.

A seguir sera estudada a nocao de derivada no sentido das distribuicoes. Ela tem como motivacao a integracaopor partes como no caso da derivada fraca proposta por Sobolev.

Definicao 11 Seja T uma distribuicao sobre um aberto Ω de R. Denomina-se a derivada de T ao funcional linearrepresentado por T ′ e definido em D(Ω) do seguinte modo,

< T ′, ϕ >= − < T,ϕ′ >, ∀ϕ ∈ D(Ω).

Mostra-se que T ′ e uma distribuicao sobre Ω.

Com efeito, sejam ϕ,ψ ∈ D(Ω) e a, b ∈ R entao,

< T ′, aϕ+ bψ >= − < T, aϕ′ + bψ′ >= −a < T, ϕ′ > +b < T, ψ′ >

mostrando a linearidade.

Considere-se agora uma sucessao (ϕv) de funcoes de D(Ω) convergindo para ϕ em D(Ω). Tem-se,

< T ′, ϕ >= − < T,ϕ′ >

Sendo sucessao (ϕv) convergente para ϕ em D(Ω), resulta que ϕ′v converge para ϕ′ em D(Ω). Sendo T contınua em

D(Ω), obtem-se,

limv→∞

< T,ϕ′v >=< T,ϕ′ >=< T ′, ϕ > .

Assim,limv→∞

< T ′, ϕv >=< T ′, ϕ >

provando-se a continuidade de T ′.

Portanto, a derivada de uma distribuicao sobre Ω e uma distribuicao sobre Ω. Logo, toda distribuicao e derivavel esua derivada e uma distribuicao. Isto nao acontecia com a derivada fraca das funcoes localmente integraveis.

A seguir sera dada a definicao para uma ordem qualquer de derivacao.

72

Definicao 12 Define-se a derivada de ordem k de uma distribuicao T sobre Ω, como sendo o funcional Tk definidoem D(Ω) por

< Tk, ϕ >= (−1)k < T,ϕ >, ∀ϕ em D(Ω).

De modo analogo ao demonstrado para k = 1, verifica-se que Tk e uma distribuicao sobre Ω .

A conclusao e que toda distribuicao sobre Ω, possui derivadas de todas as ordens, derivadas essas que sao, tambem,distribuicoes sobre Ω.

Observacao. Segundo o conceito de derivada definida por Sobolev, havia funcoes localmente integraveis em Ω, naopossuindo derivada fraca no sentido de Sobolev. Entretanto, no sentido das distribuicoes como introduzido porSchwartz, toda funcao localmente integravel em Ω, possui derivadas de todas as ordens, as quais sao distribuicoessobre Ω.

Exemplo 7 Um exemplo de uma funcao u ∈ Lloc1 (R) cuja derivada nao pertence a Lloc

1 (R) e a funcao de HeavisideH(x) definida por,

H(x)

1, se x > 00, se x ≤ 0

Mostra-se que H′(x) = δ, que nao pertence a Lloc1 (R).

2 Espacos de SobolevApresenta-se a seguir algumas nocoes sobre os espacos de Sobolev que nos serao uteis para o estudo das equacoesdiferenciais parciais.

Denota-se por L2(Ω) o espaco vetorial das funcoes mensuraveis de quadrado integravel em Ω. Nesse espaco define-seum produto escalar ( , ) do seguinte modo, (u, v) =

∫Ω uvdx para todo par u, v ∈ L2(Ω), e a norma | . | por

|u|2 =

∫Ωu2dx.

Tem-se que L2(Ω) com esse produto interno e um espaco de Hilbert.

Definicao 13 Represente-se por H1(Ω) o espaco das funcoes u ∈ L2(Ω) cuja derivada, no sentido das distri-buicoes, pertence a L2(Ω).

Em H1(Ω) o produto escalar (( , )) e definido por,

((u, v)) =

∫Ωuvdx+

∫Ωu′v′dx, ∀u, v ∈ L2(Ω),

e a norma || . || e definida por,

||u||2 =

∫Ωu2dx+

∫Ω

(u′)2dx.

O espaco denomina-se espaco de Sobolev de ordem um sobre o aberto Ω.

Este e o mais simples dos espacos de Sobolev.

A seguir enunciaremos algumas propriedades desse espaco.

Propriedade 1: O espaco de Sobolev H1(Ω) e um espaco de Hilbert.

Demonstracao: Ver Medeiros [4].

Propriedade 2: O espaco de Sobolev H1(Ω) esta imerso em C0(Ω), o espaco das funcoes contınuas definidas emΩ, Ω aberto limitado de R.

Demonstracao: Ver Medeiros [4].

A Propriedade 2, nos diz que toda funcao de H1(Ω) identifica-se a uma funcao contınua em Ω,

Sendo as funcoes H1(Ω) contınuas em Ω, faz sentido calcular u na fronteira Γ de Ω.

Definicao 14 Represente-se por H01 (Ω) o espaco das funcoes de H1(Ω) que sao nulas na fronteira de Ω.

Assim,H1

0 (Ω) = u ∈ H1 : u|Γ = 0

73

Definicao 15 Represente-se por L2(0, T ;L2(Ω)

)o espaco vetorial das funcoes u(x, t) tal que para cada t ∈ (0, T ),

u(t) ∈ L2(Ω).

Em L2(0, T ;L2(Ω)

)define-se o produto escalar,

(u, v)L2(0,T ;L2(Ω)) =

∫ T

0(u, v)ds

sendo ( , ) o produto escalar em L2(Ω), e norma,

|u|2L2(0,T ;L2(Ω))

=

∫ T

0|u(s)|2ds

O espaco L2(0, T ;L2(Ω)

)e um espaco de Hilbert com esse produto interno.

Definicao 16 Represente-se por L2(0, T ;H1

0 (Ω))

o espaco vetorial das funcoes u(x, t) tal que para cada t ∈ (0, T ),u(t) ∈ H1

0 (Ω).

Em L2(0, T ;H1

0 (Ω))

define-se o produto escalar,

((u, v))L2(0,T ;H10 (Ω)) =

∫ T

0((u, v))ds

sendo (( , )) o produto escalar em H10 (Ω), e norma,

||u||2L2(0,T ;H1

0 (Ω))=

∫ T

0||u(s)||2ds.

3 A equacao nao linear da corda vibranteA No que segue estuda-se a existencia e o comportamento assintotico de solucao fraca global do problema misto:

u′′

(x, t)−∆u(x, t) + u3(x, t) + u′(x, t) = 0,u|∑ = 0,

u(x, 0) = u0(x),ut(x, 0) = u1(x).

(3.1)

no retangulo Q = Ω×]0, T [ , Ω = (0, 1) com fronteira Γ, T > 0 um numero real arbitrario porem fixado, Σ =

Γ×]0, T [ a fronteira lateral do retangulo, ∆ = ∂2

∂x2e u′ = ∂u

∂t.

A equacao (3.1) e uma aproximacao nao linear, com dissipacao interna, da equacao u′′

(x, t) − ∆u(x, t) = 0 quemodela as vibracoes transversais de uma corda elastica.

3.1 Existencia de solucoesPara demonstrar existencia de solucoes utiliza-se o Metodo de Galerkin que consiste em mostrar a existencia desolucoes para o problema em dimensao finita (problema aproximado) e obter estimativas suficientes para passar olimite das solucoes aproximadas, obtendo-se a solucao do problema em dimensao infinita.

Considere os espacos V = H10 (Ω) ∩ L4(Ω) e H = L2(Ω). Demonstra-se o seguinte:

Teorema 17 Dados u0 ∈ V e u1 ∈ H, existe uma funcao u : [0, T ]→ H tal que:

u ∈ L∞(0, T : V ), (3.2)

u′ ∈ L∞(0, T : H), (3.3)

u′′∈ L∞(0, T : V ′), (3.4)

u(0) = u0, (3.5)

u′(0) = u1, (3.6)

u = 0 em Σ, (3.7)

u′′−∆u+ u3 + u′ = 0 em D′(Q). (3.8)

74

Demonstracao: Seja (wv)v∈N uma base de V ( V e separavel ) e Vm = [w1, w2, ..., wm] o subespaco gerado pelosprimeiros m vetores. Para cada m ∈ N, considere-se a funcao

um(t) =

m∑j=1

gjm(t)wj ∈ Vm,

satisfazendo o sistema aproximado, (u′′m(t), v) + ((um(t), v)) + (u3

m(t), v) + (u′m(t), v) = 0, ∀ v ∈ Vm

um(0) = u0m → u0, em V,u′m(0) = u1m → u1, em H,

(3.9)

onde

u0m =

m∑j=1

αj wj e u1m =

m∑j=1

βj wj .

Pelo Teorema de Caratheodory o sistema de equacoes diferenciais ordinarias (8) tem solucao local em [0, t], 0 < t < Te estimativas a priori nos permitirao estender a solucao aproximada um(t) ao intervalo [0, T ].

Estimativas a priori

Fazendo-se v = u′m(t) na equacao aproximada tem-se,

d

dt|u′m(t)|2 +

d

dt||um(t)||2 + 2 (u3

m(t), u′m(t)) + 2|u′m(t)|2 = 0. (3.10)

Agora

(u3m(t), u′m(t)) =

∫Ωu3m(t)u′m(t) dx =

1

4

d

dt

∫Ωu4m(t) dx =

1

4

d

dt|u4m(t)|4

, portanto (3.10) escreve-se,

d

dt|u′m(t)|2 +

d

dt||um(t)||2 +

1

2

d

dt|u4m(t)|4 + 2|u′m(t)|2 = 0. (3.11)

Seja

E(t) = |u′m(t)|2 + ||um(t)||2 +1

2|u4m(t)|4. (3.12)

Substitui-se (3.15) em (3.11) obtem-se,

E(t) + 2|u′m(t)|2 = 0. (3.13)

Integre-se de 0 a t, t ≤ tm a e tem-se,

E(t) + 2

∫ t

0|u′m(s)|2 ds = E(0). (3.14)

Agora

E(0) = |u1m|2 + ||u0m||2 +1

2|u0m|4 → |u1|2 + C1 ||u0||V , (3.15)

com C1 e C2 constantes positivas independentes de m e t.

Portanto de (3.14) tem-se que,

E(t) + 2

∫ t

0|u′m(s)|2 ds = |u′m(t)|2 + ||um(t)||2 +

1

2|u4m(t)|4 ≤ C. (3.16)

com C constante positiva independente de m e t.

De (3.16) conclui-se que:

um e limitada em L∞(0, T ;V ) = L∞(0, T ;H10 (Ω) ∩ L4(Ω)), (3.17)

u′m e limitada em L∞(0, T ;H) = L∞(0, T ;L2(Ω)). (3.18)

75

De (3.17) e (3.18) conclui-se que existe uma subsequencia de (um) que continuaremos denotando por (um) tal que:

um converge fraco estrela para u em L∞(0, T ;V ), (3.19)

u′m converge fraco estrela para u em L∞(0, T ;H). (3.20)

Passagem ao limite.

De (3.20) tem-se que

∫ T

0(u′m(t), w) dt→

∫ T

0(u′(t), w) dt, ∀ w ∈ L1(0, T ;H) (3.21)

Se w = vθ(t) com v ∈ V ⊂ H e θ ∈ L1(0, T ) ⊃ D(0, T ), tem-se:

∫ T

0(u′m(t), v) θ(t) dt→

∫ T

0(u′(t), v) θ(t) dt, ∀ v ∈ V, θ ∈ L1(0, T ), (3.22)

o que siguinifica

(u′m(t), v)→ (u′(t), v) fraco estrela em L∞(0, T ), ∀ v ∈ V. (3.23)

Assim,

(u′m(t), v)→ (u′(t), v) em D′(0, T ).

Portanto

d

dt(u′m(t), v)→

d

dt(u′(t), v) em D′(0, T ). (3.24)

De (3.19) tem-se,

um converge fraco estrela para u em L∞(0, T ;V ) ⊂ L∞(0, T ;V ) = (L1(0, T ;V ))′, (3.25)

assim,

∫ T

0(um(t), v) θ(t) dt→

∫ T

0(u(t), v) θ(t) dt, ∀ v ∈ V, θ ∈ L1(0, T ). (3.26)

o que siguinifica

((um(t), v))→ ((u(t), v)) fraco estrela em L∞(0, T ), ∀ v ∈ V. (3.27)

Assim,

((um(t), v))→ ((u(t), v)) em D′(0, T ).

Analise do termo nao linear.

De (3.17) e (3.18) tem-se:

um e limitado em L2(0, T ;H10 (Ω)), (3.28)

u′m e limitado em L2(0, T ;L2(Ω)). (3.29)

Desde que a imersao de H10 (Ω) em L2(Ω) entao, pelo Teorema de Aubin-Lions (veja Lions [2]), existe uma sub-

sequencia de (um) que continuamos denotamos por (um), tal que

um → u forte em L2(0, T ;L2(Ω)) = L2(Q). (3.30)

Portanto, existe uma subsequencia de (um) , tal que:

um → u quase sempre em Q, (3.31)

76

assim,

u3m → u3 quase sempre em Q. (3.32)

Alem disso, desde que (um) e limitada em L2(0, T ;L4(Ω)).

Entao

u3m e limitada em L2(0, T ;L4/3(Ω)) = L4/3(Q). (3.33)

De (3.32) e (3.33) e do Teorema de Compacidade de Lions (veja Lions [2]), tem-se:

u3m → u3 fraco em L4/3(Q) = L4/3(0, T ;L4/3(Ω)). (3.34)

De (3.34)

∫ T

0(u3m(t), w) dt→

∫ T

0(u(t), w) dt, ∀ w ∈ L4(0, T ;L4(Ω)). (3.35)

Se w = vθ(t) com v ∈ L4(Ω) e θ ∈ L1(0, T ) ⊃ D(0, T ), tem-se:

∫ T

0(u3m(t), v) θ(t) dt→

∫ T

0(u3

( t), v) θ(t) dt, ∀ v ∈ V, θ ∈ L1(0, T ),

Assim,

(u3m(t), v)→ (u3(t), v) em D′(0, T ). (3.36)

Multiplique-se a equacao aproximada por θ ∈ D(0, T ) e integre-se de 0 a T . Seja m0 fixado e m > m0 entao, paratodo v ∈ Vm0 ,

∫ T

0(u′′m(t), v) θ(t) dt+

∫ T

0((um(t), v)) θ(t) dt+

∫ T

0(u3m(t), v) θ(t) dt+

∫ T

0(u′m(t), v) θ(t) dt = 0.

Integrando-se o primeiro termo da equacao por partes obtem-se para todo v ∈ Vm0 ,

−∫ T

0(u′m(t), v) θ′(t) dt+

∫ T

0((um(t), v)) θ(t) dt+

∫ T

0(u3m(t), v) θ(t) dt+

∫ T

0(u′m(t), v) θ(t) dt = 0.

Tomando-se o limite quando m→∞ e, considerando-se as convergencias (3.24), (3.28) e (3.36) obtem-se,

−∫ T

0(u′(t), v) θ′(t) dt+

∫ T

0((u(t), v)) θ(t) dt+

∫ T

0(u3(t), v) θ(t) dt+

∫ T

0(u′(t), v) θ(t) dt = 0.

Desde que para cada t, a funcao (u′(t), v) ∈ L1(0, T ) define uma distribuicao, entao a expressao anterior escreve-se

∫ T

0

d

dt(u′(t), v) θ(t) dt+

∫ T

0((u(t), v)) θ(t) dt+

∫ T

0(u3(t), v) θ(t) dt+

∫ T

0(u′(t), v) θ(t) dt = 0.

Desde que Vm0 e denso em V entao, a igualdade acima e valida para todo v ∈ V e θ ∈ D(0, T ), ou seja

d

dt(u′(t), v) + ((u(t), v)) + (u3(t), v) + (u′(t), v) = 0, ∀v ∈ V, (3.37)

no sentido de D′(0, T ), que e a solucao fraca do problema (3.1).

Verificacao de u′′

(t) ∈ L∞(0, T ;V ′)

Desde que u e solucao de

u′′

(t)−∆u(t) + u3(t) + u′(t) = 0 (3.38)

no sentido de de (3.37), temos que

u′′

(t) = ∆u(t)− u3(t)− u′(t)

77

Como ∆u(t) ∈ H−1(Ω), u3(t) ∈ L4/3(Ω), u′(t) ∈ L2(Ω) ⊂ H−1(Ω),

entao u′′

(t) ∈ L∞(0, T ;H−1(Ω) + L4/3(Ω)) = L∞(0, T ;V ′)

Verificacao de u = 0 em Σ.

Temos que u(t) ∈ L∞(0, T ;H10 (Ω) + L4(Ω)), logo u(t) ∈ H1

0 (Ω), assim u(t) = 0 em Γ e portanto u = 0 em Σ.

Agora que verificamos as condicoes de fronteira, vamos verificar as condicoes iniciais.

Verificacao das condicoes iniciais

u(0) = u0

Temos que u ∈ L∞(0, T ;V ) e u′ ∈ L∞(0, T ;H) entao

u ∈ C0([0, T ];H), e u′ ∈ C0s ([0, T ];V ).

Assim, para cada t a funcao (u(t), v) e contınua para todo v ∈ V .

Seja θ ∈ C1([0, T ]) com θ(0) = 1 e θ(T ) = 0, entao,

limm→∞

∫ T

0(um(t), v)θ′(t) dt =

∫ T

0(u(t), v)θ′(t) dt,

e integrando-se por partes obtem-se,

limm→∞

(−(um(0), v)− limm→∞

∫ T

0(u′m(t), v)θ(t) dt = (−u(0), v)−

∫ T

0(u′(t), v)θ(t) dt

ou seja,limm→∞

((um(0), v) = (u(0), v), para todo v ∈ V.

Desde que um(0)→ u0 forte em V , entao, converge fraco. Portanto

(u(0), v) = (u0, v), para todo v ∈ V.

e entaou(0) = u0.

u′(0) = u1

Multiplique-se a equacao aproximada por θ ∈ C1([0, T ]) com θ(0) = 1 e θ(T ) = 0, e, integra-se de 0 a t paraobter-se: ∫ T

0

d

dt(u′m(t), v) θ(t) dt+

∫ T

0((um(t), v)) θ(t) dt+

∫ T

0(u3m(t), v) θ(t) dt+∫ T

0(u′m(t), v) θ(t) dt = 0.

Integra-se por partes o primeiro membro da igualdade entao:

−(u′m(0), v)−

∫ T

0(u′m(t), v) θ′(t) dt

+

∫ T

0((um(t), v)) θ(t) dt+

∫ T

0(u3m(t), v) θ(t) dt+

∫ T

0(u′m(t), v) θ(t) dt = 0.

Tomando o limite com m→∞ temos:

−(u1, v)−∫ T

0(u′(t), v) θ′(t) dt

+

∫ T

0((u(t), v)) θ(t) dt+

∫ T

0(u3(t), v) θ(t) dt+

∫ T

0(u′(t), v) θ(t) dt = 0.

78

Integra-se por partes o segundo temo da igualdade para obter-se:

−(u1, v) +

∫ T

0

d

dt(u′(t), v) θ(t) dt

+

∫ T

0((u(t), v)) θ(t) dt+

∫ T

0(u3(t), v) θ(t) dt+

∫ T

0(u′(t), v) θ(t) dt = 0, para todo v ∈ Vm.

Como Vm e denso em V entao, a igualdade acima e valida para todo v ∈ V .

Desde que u e solucao de

d

dt(u′(t), v) + ((u(t), v)) + (u3(t), v) + (u′(t), v) = 0, em D′(0, T ),

tem-se(u′(0), v) = (u1, v), para todo v ∈ V.

Como V e denso em H,(u′(0), v) = (u1, v), para todo v ∈ H.

entaou′(0) = u1.

3.2 Comportamento assintoticoMostraremos agora que as solucoes do problema decaem exponencialmente para zero quando tende ao infinito. Paraisso utilizaremos o seguinte resultado devido a Nakao [5]. Lema: Seja E(t) uma funcao nao negativa satisfazendo

supt≤s≤t+1

E(s) ≤ C0 [E(t)− E(t+ 1)],

com C0 uma constante positiva. Entao, temos

E(t) ≤ C e−α t, ∀ t > 1,

com

α =1

C0 + 1e C constantes positivas.

Temos entao o seguinte:

Teorema 18 Com as hipotese do Teorema 17, a solucao do problema (3.1) satisfaz

|u′(t)|2 + ||u(t)||2 +1

2|u(t)|44 + 2

∫ t+1

t|u′(s)|2 ds ≤ C e−α t, ∀ t > 1,

comC e α constantes positivas.

Demonstracao: Consideremos a equacao aproximada

(u′′m(t), v) + ((um(t), v)) + (u3

m(t), v) + (u′m(t), v) = 0, ∀ v ∈ Vm (3.39)

Para facilidade na escrita, omitiremos o ındice m.

Fazendo v = u′(t) na equacao aproximada (3.44) obtemos:

d

dt[1

2|u′(t)|2 +

1

2||u(t)||2 +

1

4|u(t)|44] + |u′(t)|2 = 0.

Agora considere a energia do sistema, denotada por E(t),

E(t) =1

2|u′(t)|2 +

1

2||u(t)||2 +

1

4|u(t)|44.

79

Entao

E′(t) + |u′(t)|2 = 0, (3.40)

o que mostra ser a energia decrescente.

Integrando (3.40) de τ1 a τ2 com 0 < τ1 < τ2, obtemos:

E(τ2) +

∫ τ2

τ1

|u′(s)|2 ds = E(τ1), (3.41)

e para todo t > 0 temos

E(t+ 1) +

∫ t+1

t|u′(s)|2 ds = E(t),

ou seja,

∫ t+1

t|u′(s)|2 ds = E(t)− E(t+ 1) ≡ F 2(t). (3.42)

Portanto, pelo teorema do valor medio para integrais, existem dois pontos

t1 ∈ [t, t+ 14

] e t2 ∈ [t+ 34, t+ 1] tal que:

1

4|u′(t1)|2 =

∫ t+ 14

t|u′(s)|2 ds ≤

∫ t+1

t|u′(s)|2 ds = F 2(t).

e1

4|u′(t2)|2 =

∫ t+1

t+ 34

|u′(s)|2 ds ≤∫ t+1

t|u′(s)|2 ds = F 2(t).

Assim,

|u′(ti)| ≤ 2F (t), i = 1, 2. (3.43)

Fazendo v = u(t) na equacao aproximada (3.44) obtemos:

(u′′

(t), u(t)) + ((u(t), u(t))) + (u3(t), u(t)) + (u′(t), u(t)) = 0,

ou

d

dt(u′(t), u(t))− |u′(t)|2 + ||u(t)||2 + |u(t)|44 + (u

′(t), u(t)) = 0.

Integrando de t1 a t2 temos,

(u′(t2), u(t2))− (u

′(t1), u(t1))−

∫ t2

t1

|u′(s)|2 ds+

∫ t2

t1

[||u(s)||2 + |u(s)|44 + (u′(s), u(s))] ds = 0.

Assim,

∫ t2

t1

[ ||u(s)||2 + |u(s)|44 ]ds = (u′(t1), u(t1))− (u

′(t2), u(t2))−

∫ t2

t1

(u′(s), u(s)) ds

+

∫ t2

t1

|u′(s)|2 ds,

≤ C |u′(t1)| ||u(t1)||+ C |u′(t2)| ||u(t2)||+ C

∫ t2

t1

|u′(s)| ||u(s)|| ds

e entao ∫ t2

t1

[ ||u(s)||2 + |u(s)|44 ]ds ≤ C supt≤s≤t+1

||u(s)|| [ ||u(t1)||+ |u′(t2)| ] +C2

2

∫ t2

t1

|u′(s)| ds

+1

2

∫ t2

t1

||u(s)|| ds,

80

onde, C > 0 e a constante positiva tal que |u| ≤ C||u||. Entao, de (3.43) temos

∫ t2

t1

[ ||u(s)||2 + |u(s)|44 ]ds ≤ 4C supt≤s≤t+1

||u(s)||F (t) +C2

2

∫ t2

t1

|u′(s)| ds+

1

2

∫ t2

t1

||u(s)|| ds.

Como, ∫ t2

t1

[1

2||u(s)||2 +

1

4|u(s)|44 ]ds ≤

∫ t2

t1

[ ||u(s)||2 + |u(s)|44 ]ds

temos ∫ t2

t1

[1

2||u(s)||2 +

1

4|u(s)|44 ]ds ≤ 4C sup

t≤s≤t+1||u(s)||F (t) +

C2

2F 2(t)

e entao ∫ t2

t1

[1

2||u(s)||2 +

1

4|u(s)|44 ]ds ≤ G2(t), (3.44)

ondeG2(t) = C1[ sup

t≤s≤t+1||u(s)||F (t) + F 2(t) ].

Assim, de (3.42) e (3.43) temos:

∫ t2

t1

[1

2||u(s)||2 +

1

4|u(s)|44 ]ds ≤ F 2(t) +G2(t).

Pelo teorema do valor medio para integrais, existe t∗ ∈ [t1, t2] tal que,

E(t∗) =1

2|u′(t∗)|2 +

1

2||u(t∗)||2 +

1

4|u(t∗)|44 ≤ F 2(t) +G2(t).

De (3.42) temos,

E(t) = E(t∗) +

∫ t∗

t|u′(s)|2 ds ≤ E(t∗) +

∫ t+1

t|u′(s)|2 ds.

Assim,

supt≤s≤t+1

E(s) ≤ E(t∗) +

∫ t+1

t|u′(s)|2 ds ≤ 2[F 2(t) +G2(t) ] + F 2(t),

supt≤s≤t+1

E(s) ≤ E(t∗) +

∫ t+1

t|u′(s)|2 ds ≤ C1 [ sup

t≤s≤t+1||u(s)||F (t) + F 2(t) ] + 3F 2(t),

e entao

supt≤s≤t+1

E(s) ≤ E(t∗) +

∫ t+1

t|u′(s)|2 ds ≤

1

4sup

t≤s≤t+1||u(s)||2 + (

C21

2+ C1 + 3)F 2(t).

Se

C2 =C2

1

2+ C1 + 3

entaoE(t) ≤ sup

t≤s≤t+1||E(s)||2 ≤ C3F

2(t) = C3 [E(t)− E(t+ 1) ], com C3 = 2C2.

Finalmente pelo Lema de Nakao, temos:E(t) ≤ C e−α t,

para todo t ≥ 1, com C e α constantes positivas, o que demonstra o teorema.

4 A equacao semilinear de ondasConsideremos o problema de valor inicial associado a equacao semilinear de ondas com dissipacao interna,

(P1) u′′ −∆u+ F (u) + αu′ = 0,

no cilindro Q = Ω×]0, T [, 0 ≤ T < ∞, onde Ω e um domınio com fronteira regular em Rn, α e uma constante realpositiva, F e uma funcao real contınua satisfazendo sF (s) ≥ G(s) ≥ 0, para todo s ∈ R, e G e uma primitiva de F .

Provaremos que as solucoes fracas globais da equacao (P1) decaem exponencialmente quando t −→∞. Usamos nademonstracao uma ideia devido a Nakao [5].

81

4.1 Comportamento assintoticoConsideramos a seguinte hipotese:

• (H) F e uma funcao contınua com sF (s) ≥ G(s) ≥ 0, ∀s ∈ R, sendo

G(s) =

∫ s

0F (ξ)dξ.

Temos entao, o seguinte resultado:

Teorema 19 A solucao do problema de valor inicial e de fronteira associado a equacao (P1) com a hipotese (H),e dados iniciais u0 ∈ H1

0 (Ω), u1 ∈ L2(Ω) e G(u0) ∈ L1(Ω), satisfaz

|u′(t)|2 + ‖u(t)‖2 ≤ Ce−βt

para todo t ≤ 1, onde C e β sao constantes positivas.

Demonstracao: Ininicialmente consideramos F Lipschitziana e derivavel exceto num numero finito de pontos comsF (s) ≥ G(s) ≥ 0, ∀s ∈ R. Entao existe uma unica solucao da equacao (P1) (veja Strauss [8]) na classe:

u ∈ L∞(0, T ;H10 (Ω)) (4.1)

u′ ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) (4.2)

satisfazendo,u′′ −∆u+ F (u) + αu′ = 0, em L2(0, T ;L2(Ω)) = L2(Q). (4.3)

Fazendo o produto interno em L2(Ω) de (3) com u′(t) obtemos:

d

dt

[|u′(t)|2 + ‖u(t)‖2 + 2

∫ΩG(u(t)dx)

]+ 2α|u′(t)|2 = 0,

com

G(s) =

∫ s

0F (ξ)dξ.

Se considerarmos

E(t) = |u′(t)|2 + ‖u(t)‖2 + 2

∫ΩG(u(t)dx

entaod

dtE(t) + 2α|u′(t)|2 = 0. (4.4)

Integrando (4.4) de t a t+ 1, temos:

∫ t+1

t|u′(s)|2ds =

1

2α[E(t)− E(t+ 1)] ≡ D2(t). (4.5)

O teorema do valor medio para integrais aplicado em (4.5) implica que existem t1 ∈ [t, t+ 1/4] e t2 ∈ [t+ 3/4, t+ 1]tal que

|u′(ti)| ≤ 2D(t), i = 1, 2. (4.6)

O produto interno em L2(Ω) de (3) com u(t) implica

d

dt(u′(t), u(t))− |u′(t)|2 + ‖u(t)‖2 + (F (u), u(t)) + α(u′(t), u(t)) = 0.

Integrando de t1 a t2 e aplicando as desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Poincare, obtemos:

∫ t2

t1

[‖u(s)‖2 + (F (u(s)), u(s))

]ds ≤ C0|u′(t1)|‖u(t1)‖+ C0|u′(t2)|‖u(t2)‖

+

∫ t2

t1

|u′(s)|2ds+ αC0

∫ t2

t1

|u′(s)|‖u(s)‖ds,

onde C0 representa a constante de Poincare em Ω. Por (H), (4.5) e (4.6), obtemos:

∫ t2

t1

[‖u(s)‖2 + 2

∫ΩG(u(s))dx

]ds ≤ 8C0D(t)

√E(t) + (2 + αC2

0 )D2(t) ≡ H2(t). (4.7)

82

Portanto, de (5) e (7), ∫ t2

t1

E(s)ds ≤ D2(t) +H2(t).

O teorema do valor medio para integrais implica que existe t∗ ∈ [t1, t2] tal que

E(t∗) ≤ 2D2(t) + 2H(t). (4.8)

Integrando (4) de t a t∗, segue de (4.7) e (4.8) que

E(t) ≤ E(t∗) + 2α

∫ t+1

t|u′(s)|2ds ≤ CD2(t) =

C

2α[E(t)− E(t+ 1)],

onde C = 256C20 + 4α2C2

0 + 4α+ 12. Entao

maxt≤s≤t+1

E(s) = E(t) ≤C

2α[E(t)− E(t+ 1)]. (4.9)

Pelo Lema de Nakao, conclui-se queE(t) ≤ Ce−γt, (4.10)

para todo t ≥ 1, onde C1 e γ sao constantes positivas.

Consideremos agora, F continua com sF (s) ≥ G(s) ≥ 0, ∀s ∈ R. Entao, existe uma sequencia (Fk)k∈N, cada Fk Lips-chitiziana e derivavel exceto em um numero finito de pontos com sF (s) ≥ G(s) ≥ 0, ∀s ∈ R, onde G(s) =

∫ s0 F (ξ)dξ,

tal que Fk −→ F uniformemente, em cada subconjunto limitado de R.

Para cada n ∈ N seja uk a solucao de (P1) quando substituımos F por Fk. Entao uk satisfaz (veja Strauss [8]):

uk −→ u fraco estrela em L∞(0, T ;H10 (Ω)) (4.11)

u′k −→ u′ fraco estrela em L∞(0, T ;L2(Ω)) (4.12)

F (uk) −→ F (u) fraco em L1(Ω)) (4.13)

u′′k −∆uk + F (uk) + αu′k = 0 em L2(Q), (4.14)

onde u e solucao de (P1). Mais ainda, por (4.10) temos:

|u′k(t)|2 + ‖uk(t)‖2 ≤ C1e−λt,

para todo t ≥ 1. Seja t0 ∈ [1, T ]. Entao

|u′k(t0)|2 + ‖uk(t0)‖2 ≤ C1e−λt0 , (4.15)

uk(t0) −→ ξ fracamente em H10 (Ω) quando k −→∞, (4.16)

u′k(t0) −→ η fracamente em L2(Ω) quando k −→∞. (4.17)

Por (4.11), (4.12) e o Teorema de Arzela-Ascoli temos

ξ = u(t0). (4.18)

Mostraremos agora que η = u′(t0). Para isto, vamos considerar θ ∈ C0[t0, T [ definida para δ > 0, por

θ(t) =

1 se t = t0

−1

δ(t− t0 − δ) se t0 ≤ t ≤ t0 + δ

0 se t ≥ t0 + δ

Segue de (4.14) que(u′′k(t), v) + a(uk(t), v) + (Fk(uk(t)), v) + α(u′k(t), v) = 0,

para todo v ∈ L2(Ω). Multiplicando por θ e integrando de t0 a T , temos:

(u′k(t0), v) +1

δ

∫ t0+δ

t0

(u′k(t), v)dt +

∫ t0+δ

t0

a(uk(t), v)θ(t)dt+

∫ t0+δ

t0

(Fk(uk(t)), v)θdt

+ α

∫ t0+δ

t0

(u′k(t), v)θdt = 0,

83

para todo v ∈ L2(Ω). Tomando o limite com k −→∞ e por (4.13), (4.17) obtemos:

−(η, v) +1

δ

∫ t0+δ

t0

(u′(t), v)dt +

∫ t0+δ

t0

a(u(t), v)θ(t)dt+

∫ t0+δ

t0

(F (u(t)), v)θdt

+ α

∫ t0+δ

t0

(u′(t), v)θdt = 0,

para todo v ∈ L2(Ω).

Tomando agora o limite com δ −→ 0, temos:

−(η, v) + (u′(t0), v) = 0, para todo v ∈ L2(Ω).

Assim, η = u′(t0). Portanto, o lim inf com k −→∞ em (4.15) implica

|u′(t0)|2 + ‖u(t0)‖2 ≤ Ce−βt0 . (4.19)

Se consideramos θ ∈ C0[0, T ] definida, para δ > 0, por

θ(t) =

1 se 0 ≤ t ≤ T − δ

1

δ(t− T + δ) se T − δ ≤ t ≤ T

0 se t = T

Repetindo o mesmo processo provamos que (4.19) e valida para t = T . Portanto,

|u′(t)|2 + ‖u(t)‖2 ≤ Ce−βt0 , para todo t ≤ 1,

e a prova do teorema esta completa.

Referencias[1] Adams, R. A.; Sobolev Spaces. Academic Press, New York, 1975.

[2] Lions, J. L.; Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires. Dunod, Paris, 1969.

[3] Medeiros, L. A.; Equacoes Diferenciais Parciais. Instituto de Matematica-UFRJ, Rio de Janeiro, 1981.

[4] Medeiros, L. A.; Miranda, M. M.; Espacos de Sobolev, Instituto de Matematica- UFRJ, Rio de Janeiro, 2000.

[5] Nakao, M.; Decay of solutions of some nonlinear evolution equation. J. Math. Anal. Appl., 60, pp. 542-549,1977.

[6] Pereira, D. C.; Cunha, C. A. R.; Asymptotic Behavior for Semi-linear Wave Equation with Weak Damping.International Journal of Mathematical Analysis, V. 7, p. 713-718, 2013.

[7] Rivera, J.E.M.; Introducao a Teoria das Distribuicoes e Equacoes Diferenciais Parciais. Texto de Pos-Graduacao. LNCC, Petropolis, Rio de Janeiro, 2004.

[8] Strauss, W. A.; On wealk solutions of semilinear hyperbolic equations. An, Acad. Bras. Ciencias, V. 42, N. 4,pp. 645-651.


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