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ELIANA DA SILVA CRUZ
A NOÇÃO DE VARIÁVEL EM LIVROS DIDÁTICOS DE ENSINO FUNDAMENTAL: UM ESTUDO SOB A ÓTICA DA
ORGANIZAÇÃO PRAXEOLÓGICA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PUC/SP São Paulo
2005
ELIANA DA SILVA CRUZ
A NOÇÃO DE VARIÁVEL EM LIVROS DIDÁTICOS DE ENSINO FUNDAMENTAL: UM ESTUDO SOB A ÓTICA DA
ORGANIZAÇÃO PRAXEOLÓGICA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação do
Prof. Dr. Saddo Ag Almouloud.
PUC/SP São Paulo
2005
ii
Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
iii
A MINHA FAMÍLIA
AO JUCA,
MEU BEM QUERER
iv
AGRADECIMENTOS
Às pessoas que direta ou indiretamente auxiliaram na elaboração e
desenvolvimento deste trabalho.
Ao Profº Drº Saddo Ag Almouloud, pela orientação, paciência e incentivo.
À Profª Drª Silvia Dias de Alcântara Machado, pela atenção, comentários e
sugestões.
Ao Profº Drº Antonio Carlos Brolezzi, pelos comentários que tanto
contribuíram com esse trabalho.
À CAPES, pela bolsa que possibilitou o término desta pesquisa.
A todos os professores e funcionários do Programa de Estudos Pós-
Graduados em Educação matemática da PUC-SP.
Em especial a Profº Drº Ana Lúcia Manrique por ter colaborado diretamente
na realização desse trabalho.
Aos funcionários da biblioteca, pela atenção e ajuda.
Aos colegas de graduação que sempre me incentivaram, Rosangela e
Pitágoras.
Aos colegas de mestrado, cuja união sempre nos motivaram, em especial
as amigas Leila e Marisa.
Ao Rodrigo pela ajuda com os textos em inglês, Alda (abstract) e Edna pela
ajuda com os textos em francês.
A minha mãe (Nércia), meu pai (Leonel), minha irmã (Silvania) e meu irmão
(Leo), pela compreensão, dedicação, auxílio, e suporte.
Ao Júnior pela paciência, apoio e compreensão pela falta de tempo.
À Deus...
v
RESUMO
A presente dissertação teve por objetivo investigar como a noção de
variável tem sido abordada pelos livros didáticos brasileiros referentes aos 3º e 4º
ciclos do Ensino Fundamental. O estudo se propôs a responder a seguinte
questão de pesquisa: “Como os livros didáticos abordam a noção de variável sob
a ótica da organização praxeológica de Chevallard?”.
Para tanto, desenvolvemos uma análise qualitativa e documental de quatro
coleções de livros didáticos de 5ª à 8ª série do Ensino Fundamental.
Essa análise foi desenvolvida tendo por base quatro aspectos que
consideramos de grande relevância para o estudo exposto: primeiramente
analisamos de que modo os livros didáticos vêm incorporando as orientações
dadas pelos PCNs visto que eles relatam estarem de acordo com essas
propostas; em seguida verificamos quais são as abordagem que os autores
utilizam para introduzir e desenvolver a Álgebra e por último analisar quais os
diferentes usos dados à idéia de variável.
A pesquisa fundamentando-se na Teoria antropológica do didático de
Chevallard (1991), fazendo uso de uma adaptação da Organização Praxeológica
proposta pelo autor.
Procuramos identificar nos exercícios que atendem cada aspecto qual o
tipo de tarefa proposta, qual a maneira de cumprir essa tarefa, que é a técnica
envolvida, e qual o discurso teórico-tecnológico que esta por traz dessa técnica.
Percebemos que embora os livros didáticos tragam várias concepções da
Álgebra e venha trabalhando as variáveis sob diferentes enfoques, ainda há a
predominância de exercícios para aplicação de técnicas.
Palavras-chave: álgebra – variável – livros didáticos – organização praxeológia.
vi
ABSTRACT
The aim of this paper is to investigate how the notion of variable has been
considered in Brazilian schoolbooks directed to students from the 1st. to the 8th
educational degrees (usually from 7 to 15 years). The study intends to answer the
following research question: How schoolbooks bring up the notion of variable
having in view Chevallard’s praxis organization?
For this purpose, we developed a qualitative and documental analysis of
four schoolbooks collections from the 5th to the 8th educational degrees.
This analysis has been based on four aspects that we consider significant
for the exposed study: first, we analyzed the way the schoolbooks are
incorporating the orientation given by the National Curricular Parameters (PCNs),
since they reported that they are in accordance to these proposals; next, we
verified the authors approaches to introduce and develop Algebra and, finally, we
studied the different applications given to the idea of variable.
The research has been based on Chevallard’s Anthropological Theory
(1991), making use of an adaptation of the Praxis Organization proposed by the
author.
We have tried to identify, in the exercises that regard each aspect, which is
the type of the task proposed, which is the way to accomplish this task, which is
the technique involved and which is the theoretical-technologic argument behind
this technique.
We noticed that, though the schoolbooks present several Algebra
conceptions and have been considering variables under different approaches, the
predominance of the exercises for the application of the techniques still subsists.
Keywords: algebra – variable – schoolbooks – praxis organization
vii
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO...................................................................................................1
CAPÍTULO I: Considerações Preliminares.........................................................3
1.1 Desenvolvimento histórico da Álgebra..........................................3
1.2 Análise dos PCNs.........................................................................8
1.3 Revisão bibliográfica...................................................................11
1.3.1 Nobre (1996).................................................................11
1.3.2 Oliveira (2004)...............................................................13
1.3.3 Modanez (2003)............................................................14
1.3.4 Berdnarz, Kieran e Lee (1996)......................................16
1.3.5 Wheeler (1996)..............................................................19
1.3.6 Usiskin (1994)......................…......................................20
CAPÍTULO II: Problemática, Teóricos e Procedimentos Metodológicos..........23
2.1 Problemática...............................................................................23
2.1.1 Definição de pesquisa...................................................27
2.2 Fundamentos Teóricos...............................................................28
viii
2.2.1 A noção de Organização Praxeológica.........................28
2.3 Procedimentos Metodológicos....................................................30
2.3.1 Análise Documental......................................................30
2.3.2 A escolha dos Livros Didáticos................................... .31
2.3.3 Aspectos para análise dos Livros Didáticos..................32
CAPÍTULO III: Análise das coleções de livros didáticos..................................39
3.1 Coleção: A Conquista de Matemática: a + nova.........................39
3.2 Coleção: Tudo é Matemática......................................................49
3.3 Coleção: Matemática para Todos...............................................62
3.4 Coleção: Matemática e Realidade..............................................72
CAPÍTULO IV: Conclusão....................................................................................82
4.1 Introdução...................................................................................82
4.2 Síntese dos resultados...............................................................84
4.2.1 Aspecto 1......................................................................84
4.2.2 Aspecto 2......................................................................85
4.2.3 Aspecto 3......................................................................86
4.3 Respondendo nossa questão de pesquisa.................................86
4.4 Sugestões para futuras pesquisas..............................................90
ix
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................91
x
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1: Livros Didáticos de Matemática para o Ensino Fundamental...........32
QUADRO 2: Comparação entre as concepções de Álgebra, segundo Usiskin, e as
abordagens para o ensino de Álgebra, de acordo com Berdnarz..........................36
QUADRO 3: Concepção de Álgebra e com os diferentes usos das variáveis.......37
xi
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1: Máquinas Programadas extraída do livro de DANTE. Tudo é
Matemática, v. 3, p. 112, 2002...............................................................................53
FIGURA 2: Tabela extraída do livro de DANTE. Tudo é Matemática, v. 2, p. 21,
2002.......................................................................................................................55
FIGURA 3: Tabela extraída do livro de DANTE. Tudo é Matemática, v. 4, p. 157,
2002.......................................................................................................................56
FIGURA 4: Tabela extraída do livro de DANTE. Tudo é Matemática, v. 4, p. 156,
2002.......................................................................................................................61
FIGURA 5: Seqüência de figuras extraída do livro de IMENES e LELLIS.
Matemática para Todos, v. 2, p. 195, 2002............................................................66
FIGURA 6: Esquema para resolver problemas, figura extraída do livro de
GIOVANNI, CASTRUCCI e GIOVANNI JR. Matemática e Realidade, v. 2, p. 178,
2000.......................................................................................................................74
1
APRESENTAÇÃO
O motivo inicial que nos levou a refletir e a levantar questionamentos sobre
a introdução à noção de variável provém de nossa prática docente.
Após alguns anos como professora de matemática do Ensino Fundamental,
pudemos constatar que os alunos têm grandes dificuldades em trabalhar com a
Álgebra, principalmente no que se refere a equações e à compreensão do
significado de variáveis. Eles aprendem e manipulam equações mecanicamente,
consistindo, em geral, no procedimento “Muda de lado – Muda de sinal”, sem
qualquer entendimento.
Os alunos apresentam muitas dificuldades no que diz respeito aos
conceitos enfocados nas várias formas de introduzir a Álgebra: solução de
equações, manipulação de expressões algébricas, resolução de problemas e
tratamento de conceitos fundamentais, como os de variável.
A dificuldade encontrada pelos alunos na compreensão dos assuntos
estudados em Álgebra pode estar relacionada, entre outros, ao modo como são
abordadas suas noções. Daí por que, quando iniciamos o mestrado, nos
propusemos a estudar a noção de variável.
Esta pesquisa está inserida no projeto “O pensamento matemático:
formação de núcleo de ensino-aprendizagem”,1 e nosso objetivo é realizar uma
análise de livros didáticos desenvolvida a partir de uma adaptação da
Organização Praxeológica proposta por Chevallard (1991).
Nos últimos anos, surgiram muitas pesquisas visando diagnosticar as
causas das dificuldades apresentadas no processo de ensino e aprendizagem da
Álgebra. Seqüências de ensino têm sido criadas e testadas na Educação
Matemática, na tentativa de encontrar soluções. Na região que atuamos, assim
como em muitas outras, o livro didático continua sendo amplamente utilizado por
alunos e professores, por isso desenvolvemos nossa pesquisa com um olhar
1 Referimo-nos ao projeto do grupo G4 da PUC/SP sob responsabilidade do professor doutor Saddo Ag Almouloud.
2
voltado para a análise desses livros, buscando identificar os tipos de tarefas, as
técnicas, as tecnologias e as teorias neles contidas.
Este trabalho está dividido em quatro capítulos, descritos da seguinte
forma:
No capítulo 1, realizamos um breve estudo histórico do desenvolvimento da
Álgebra dando ênfase à noção de variável, uma análise dos PCNs apresentando
as propostas para o terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental e a revisão
bibliográfica composta por pesquisas que dissertam sobre o tema.
O capítulo 2 apresenta a problemática, delimitando nossa questão de
pesquisa e as considerações teóricas de acordo a Teoria Antropológica do
Didático proposta por Chevallard (1991). Nesse capítulo também são expostos os
procedimentos metodológicos baseados em análise qualitativa e documental e os
aspectos considerados para escolha e análise dos livros didáticos.
No capítulo 3, iniciamos a análise dos livros de Matemática do terceiro e
quarto ciclos do Ensino Fundamental.
No capítulo 4, são apresentadas as conclusões e considerações finais,
mediante a confrontação dos pontos positivos e negativos que foram observados
na análise efetuada no capítulo anterior.
3
CAPÍTULO I
CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES
Este primeiro capítulo tem como objetivos:
realizar um breve estudo histórico do desenvolvimento da Álgebra,
focalizando o desenvolvimento da noção de variável, visto que “uma
Matemática viva em progresso, ou seja, em construção, surge aos
olhos dos alunos quando se recorre à história da Matemática”
(BROLEZZI, 2000, p. 36);
analisar os PCNs2 do terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental,
por apresentarem, nas séries correspondentes a estes ciclos, propostas
de introdução à noção de variável, que pertence ao bloco Números e
Operações;
apresentar algumas leituras que dissertam sobre o tema, com suas
reflexões, argumentações e indagações.
1.1 Breve histórico do desenvolvimento da Álgebra
Não pretendemos neste trabalho realizar uma análise detalhada da noção
de variável. O objetivo principal desta investigação é apresentar alguns aspectos
da história da Álgebra, que julgamos serem pertinentes para alcançar a
compreensão da noção de variável preconizadas nos PCNs.
Nestas notas históricas baseamo-nos principalmente na história da
Matemática de Boyer (1974) escrita em 1968, assim como a de Eves (1995)
escrita em 1964, que relatam a Álgebra presente em diferentes culturas e em
diferentes períodos da história da Matemática.
2 Trata-se dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental, do CNE/MEC, texto legal aprovado e homologado em 1998.
4
De acordo com o dicionário Houaiss (2001), Álgebra “é parte da
Matemática elementar que generaliza a aritmética, introduzindo variáveis que
representam os números (...)”.
Originalmente, a palavra álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-
jabr usada no título do livro Al-jabr wa’l muqabalah, escrito em Bagdá por volta do
ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi. O livro
tratava de equações, e o título referia-se à idéia de imaginar uma equação como
balança em equilíbrio. Considerada um sistema para resolver problemas
matemáticos que envolvam números desconhecidos, a Álgebra remonta à
Antiguidade.
O mais famoso papiro egípcio sobre Matemática é o Papiro Rhind (ou
Ahmes) produzido por volta de 1650 a.C., um texto matemático contendo 85
problemas da vida cotidiana e suas resoluções.
Nele muitos desses problemas são do tipo aritmético, mas pode-se
perceber que os egípcios resolviam problemas que hoje são designados como
problemas de pensamento algébrico.
De acordo com Boyer (1974), esses problemas não se referiam a objetos
concretos, específicos, nem exigiam operações entre números conhecidos.
Pediam o que equivale a soluções de equações lineares, da forma x + ax = b ou x
+ ax + b = c, em que a, b e c são conhecidos e x é desconhecido.
Neste caso, x assume o papel de incógnita que era chamada por eles de
aha. Notamos aqui a presença de um certo simbolismo para incógnita.
O método de resolução utilizado pelos egípcios é característico de um
processo conhecido como “método da falsa posição”. Um valor específico é
atribuído para aha, e as operações indicadas à esquerda do sinal de igualdade
são efetuadas sobre esse número suposto. O resultado é comparado com o
resultado pretendido, usam-se proporções até se chegar à resposta correta.
Os babilônios empregavam, ainda, uma linguagem geométrica, chamando
de “lado” a incógnita “x”. Percebemos uma preocupação com os números e suas
aplicações, tanto por parte dos babilônios quanto dos egípcios, havendo, assim,
uma tentativa de algebrização, o que permite falar em uma “Álgebra” de ambas as
civilizações. Não se sabe, ao certo, se essas civilizações percebiam os princípios
unificadores da atividade que mais tarde viria a se chamar “Matemática”, ou se a
generalização passou despercebida.
5
Conforme Eves (1995), o desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao
longo de três estágios. Primeiro a Álgebra retórica (ou verbal) em que os
argumentos da resolução de um problema são escritos sem abreviações ou
símbolos específicos. A seguir, a Álgebra sincopada, em que se adotam
abreviações de palavras e, finalmente, a Álgebra simbólica, em que as resoluções
se expressam numa espécie de taquigrafia matemática formada de símbolos.
Tanto a Álgebra do Egito como a da Babilônia eram retóricas.
“Uma tal divisão arbitrária do desenvolvimento da Álgebra em três estágios
é naturalmente uma simplificação excessiva; mas serve como primeira
aproximação ao que aconteceu” (BOYER, 1974, p. 132).
Na obra de Diofante de Alexandria,3 por volta de 250 d.C., foi encontrada
pela primeira vez a utilização de símbolos algébricos, sinais especiais para a
incógnita, potências da incógnita até expoente seis, subtração, igualdade,
inversos, abreviações e substituições.
Uma das principais contribuições de Diofante à Matemática foi a
sincopação da Álgebra grega. A álgebra retórica continuou de maneira bastante
generalizada no resto do mundo, exceto na Índia, por muitas centenas de anos.
Na Europa Ocidental, a maior parte da Álgebra permaneceu retórica até o
século XV e, embora a aparição da Álgebra simbólica se desse na Europa
Ocidental no século XVI, somente pela metade do século XVII esse estilo acabou
se impondo.
China e Índia também contribuíram para o desenvolvimento da Álgebra,
trabalhando em procedimentos de resoluções para equações algébricas.
Os hindus foram hábeis aritméticos, sincoparam sua Álgebra e deram
contribuições significativas a ela. Denotavam a incógnita por ya (de yavattaval, de
“tanto quanto”), as incógnitas adicionais eram indicadas pelas sílabas iniciais de
palavras que expressavam diferentes cores, por exemplo, ka (de Kalaka para
“preto”).
Encontraram soluções gerais de equações quadráticas, inclusive duas
raízes, mesmo quando uma delas era negativa, e deram todas as soluções
inteiras da equação linear diofantina.
3 Diofante de Alexandria foi o maior algebrista grego, conhecido como “pai da Álgebra”.
6
No entanto, a Álgebra só começa a se constituir como um ramo específico
da Matemática no Renascimento, desenvolvendo-se plenamente na Europa
moderna e contemporânea.
No início da era moderna, os matemáticos realizaram mudanças nas
notações algébricas, passaram a usar letras para representar as incógnitas,
adotaram os símbolos + para adição, - para subtração e o sinal = para igualar os
termos de uma equação.
François Viète (1540-1603) foi um dos que mais se destacaram no período.
Adotou o uso de vogais para representar uma quantidade supostamente
desconhecida, ou indeterminada, e consoantes representando uma grandeza ou
número suposto conhecido ou dado. Pela primeira vez na história, tem-se a
distinção entre o importante conceito de parâmetro e a idéia de uma quantidade
desconhecida.
As anotações atualmente utilizadas nas equações algébricas, as letras do
começo do alfabeto para parâmetros e as do fim como incógnitas, foram
estabelecidas por René Descartes, na primeira metade do século XVII. No
entanto, pensava-se em parâmetro e incógnita como segmentos e não como
números.
Durante esse período originou-se o conceito de função ou uma relação
entre variáveis, ao longo da história do desenvolvimento do estudo dos
movimentos.
Segundo Eves, Galileu Galilei (1564-1642) contribuiu para a evolução do
conceito de função ao utilizar instrumentos de medidas aprimorados em suas
experiências, expressando relações funcionais em palavras e em linguagem de
proporção. “Galileu estabeleceu a lei segundo a qual a distância percorrida por
um corpo em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo de queda” (EVES,
1995, p. 354).
A linguagem mostra que ele se refere a variáveis e funções, e, com o
desenvolvimento do simbolismo algébrico nesta época, Galileu estabelece este
relacionamento sob forma simbólica: s = gt2/2.
Descartes instituiu uma relação de dependência entre quantidades
variáveis usando uma equação em x e y, possibilitando o cálculo de valores de
uma variável a partir dos valores da outra.
7
Para os gregos, uma variável correspondia ao comprimento de um segmento, o produto de duas variáveis à área de algum retângulo e o produto de três variáveis ao volume de algum paralelepípedo retângulo. Os gregos não iam além disso. Para Descartes, por outro lado, x2 não sugeria uma área, antes porém o quarto termo da proporção 1 : x = x : x2, suscetível de ser representado por um segmento de reta fácil de construir quando se conhece x. Usando-se um segmento unitário é possível, dessa maneira, representar qualquer potência de uma variável, ou um produto de variáveis, por meio de um segmento de reta e então, quando se atribuem valores a essas variáveis, construir efetivamente o segmento de reta com os instrumentos euclidianos” (EVES, 1995, p. 384).
As primeiras contribuições efetivas para a construção do conceito de
função surgiram com os trabalhos de Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716).
Introduziram as palavras: constantes, variáveis e função.
Newton estabeleceu pela primeira vez um termo específico para função, ao
utilizar o nome de fluentes para representar algum relacionamento entre variáveis.
Ele descreve suas idéias de função ligadas à noção de curva e a “taxas de
variação” de quantidades que variam continuamente.
“A uma quantidade variável ele dava o nome de fluente (uma quantidade
que flui) e à sua taxa de variação dava o nome de fluxo do fluente” (EVES, 1995,
p. 439).
Leibniz introduziu a palavra função ao se referir a qualquer quantidade
variando ponto a ponto de uma curva: as coordenadas de um ponto, a inclinação
e o raio de curvatura de uma curva.
“Leibniz não é responsável pela moderna notação para função, mas é a ele
que se deve a palavra ‘função’, praticamente no mesmo sentido em que é usada
hoje” (BOYER, 1974, p. 297).
A história constitui um terreno fecundo para a análise de alguns fatos que
possam colaborar para uma melhor compreensão desse conceito, porém, ao
realizarmos esse breve estudo histórico sobre o desenvolvimento da Álgebra
buscando dar ênfase ao desenvolvimento da noção de variável, percebemos a
dificuldade em encontrar a origem de variáveis na história com precisão.
Constatamos que os babilônios e os gregos na Antiguidade já possuíam
instintivamente uma noção de variável por meio do uso de tabelas babilônicas
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antigas. Mas é mediante conceito de função que percebemos a variável como
uma quantidade cujo valor pode mudar.
Verificamos, assim como Berdnarz, Kieran e Lee (1996), que a história da
Álgebra é rica em vários aspectos, permitindo-nos apreciar melhor a
complexidade de conceitos algébricos e as rupturas que ocorrem durante sua
construção; por isso acreditamos que o estudo histórico pode contribuir para
motivar os alunos a observar o modo como se deu a evolução das idéias
matemáticas, podendo ser utilizada como ponto de partida do aprendizado.
1.2 Análise dos PCNs
No Brasil, assim como em outros países, o ensino de Matemática nas
décadas de 1960/1970 sofreu uma grande influência do Movimento da
Matemática Moderna, veiculado principalmente pelos livros didáticos. A proposta
era aproximar a Matemática desenvolvida na escola da Matemática dos
estudiosos e pesquisadores, enfatizando, entre outros, as estruturas algébricas.
No entanto, o que se propunha estava fora do alcance dos estudantes,
principalmente daqueles das séries iniciais do Ensino Fundamental.
Com o Movimento da Matemática Moderna, as escolas foram forçadas a
seguir rumo ao formalismo; os alunos deveriam ser fluentes em técnicas
algébricas e rigorosos no uso delas. Durante esse longo período, houve
preocupações excessivas com formalizações, distanciando o ensino das questões
práticas.
Na década de 1980, o foco foi a resolução de problemas, passando a
Matemática a ser explorada a partir de problemas do cotidiano e encontrados nas
várias disciplinas. Esse fato ocasiona, ainda hoje, um mal-entendido, na medida
em que, ao se trabalhar apenas com o que supostamente faz parte do dia-a-dia
do aluno, muitos conteúdos importantes são descartados por não estarem
presentes na realidade do aluno, ou por não terem uma aplicação imediata em
sua vida.
Atualmente, a proposta do currículo de Matemática para o Ensino
Fundamental, segundo os PCNs, é de contemplar o estudo dos Números e das
Operações no campo da Aritmética e da Álgebra, o estudo do Espaço e das
9
Formas no campo da Geometria, e o estudo das Grandezas e das Medidas,
permitindo interligações entre os campos da Aritmética, da Álgebra e da
Geometria, e de outros campos do conhecimento.
O bloco de Números e Operações propõe que:
Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação (PCNs, 1998, p. 50).
Um dos objetivos da Matemática para o terceiro ciclo é desenvolver o
pensamento algébrico por meio da exploração de situações de aprendizagem que
levem o aluno a:
- reconhecer que representações algébricas permitem
expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções;
- traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar os significados das letras;
- utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico (PCNs, 1998, p. 64).
Não é necessário desenvolver, neste terceiro ciclo, um trabalho
aprofundado das operações com as expressões algébricas e as equações; é
suficiente que os alunos compreendam a noção de variável e reconheçam a
expressão algébrica como uma forma de traduzir a relação existente entre a
variação de duas grandezas. As noções algébricas podem, ainda, ser exploradas
por meio de jogos, generalizações matemáticas, e não por procedimentos
puramente mecânicos.
De acordo com os PCNs:
É provável que ao explorar situações-problema que envolvam variação de grandezas o aluno depare com equações, o que possibilita interpretar a letra como incógnita. Neste caso, o que se recomenda é que os alunos sejam estimulados a construir
10
procedimentos diversos para resolvê-las, deixando as técnicas convencionais para um estudo mais detalhado no quarto ciclo (1998, p. 68).
Sendo assim, no quarto ciclo, um dos propósitos do ensino da Matemática
é desenvolver o pensamento algébrico por meio da exploração de situações de
aprendizagem que levem o aluno a:
- produzir e interpretar diferentes escritas algébricas –
expressões, igualdades e desigualdades –, identificando as equações, inequações e sistemas;
- resolver situações-problema por meio de equações e inequações do primeiro grau, compreendendo os procedimentos envolvidos;
- observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis (1998, p. 81).
Como já foi feito, no terceiro ciclo, um estudo preliminar abordando
determinadas situações que envolvem noções de Álgebra, este será o ponto de
partida para o quarto ciclo, trabalhando com problemas que permitam ao aluno
dar significado à linguagem e às idéias matemáticas.
Ainda de acordo com os PCNs, no quarto ciclo, então, o aluno poderá
reconhecer diferentes funções da Álgebra, trabalhando com situações-problema
bastante diversificadas.
[...] no trabalho com a Álgebra é fundamental a compreensão de conceitos como o de variável e de função; a representação de fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica; a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o conhecimento da “sintaxe” (regra para resolução de uma equação) [...] (1998, p. 84).
Segundo os PCNs, os resultados do SAEB apontam que os itens
referentes à Álgebra raramente atingem o índice de 40% de acerto em muitas
regiões do país (1998, p. 116).
Tendo em vista que o ensino e a aprendizagem da Álgebra apresentam
dificuldades na vida escolar dos alunos, a proposta dos PCNs para o quarto ciclo
é desenvolver o pensamento algébrico por meio da exploração de situações de
aprendizagem que levem o aluno a compreender os procedimentos envolvidos, e
não o exercício mecânico do cálculo.
11
É importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na resolução de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para a memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que privilegie uma formalização precoce dos conceitos (PCNs, 1998, p. 63).
Para isso, é necessário que o aluno esteja envolvido em atividades que
inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra, como Aritmética
Generalizada, Funcional, Equações e Estrutural, e de diferentes funções das
letras, como generalização de modelo aritmético, variáveis para expressar
relações e funções, incógnitas e como símbolo abstrato.
O fato é que os professores acabam por não desenvolverem todos esses
aspectos da Álgebra no Ensino Fundamental, privilegiando o estudo do cálculo
algébrico e das equações que, embora necessários, não são suficientes para a
aprendizagem desses conteúdos.
1.3 Revisão bibliográfica
Nossa intenção, nesse momento, é descrever alguns estudos que possuem
a interligação com nossa pesquisa. Contemplamos algumas das pesquisas
existentes nesta área como NOBRE (1996), OLIVEIRA (2004) e MODANEZ
(2003); e três trabalhos internacionais referentes às concepções de Álgebra,
BERDNARZ, KIERAN e LEE (1996), WHEELER (1996) e USISKIN (1994).
1.3.1 NOBRE (1996) Nobre realizou sua pesquisa com quatro alunos – estudo de caso – de uma
sexta série, de uma escola pública do Estado de São Paulo. Os alunos escolhidos
ainda não haviam iniciado o seu estudo da Álgebra e o trabalho foi desenvolvido
em duplas.
A autora parte da hipótese de que o aluno, ao ter a oportunidade de criar
seu próprio código e aprimorá-lo, no sentido de aproximá-lo da linguagem
12
algébrica formal, dará mais sentido ao uso das letras e isso facilitará sua
aprendizagem inicial da Álgebra. “O objetivo desse trabalho é estudar se o aluno,
em uma situação de comunicação, é capaz de criar um código e adaptá-lo
paulatinamente à notação algébrica usual” (NOBRE, 1996, p. 38).
Assim a autora optou por uma pesquisa qualitativa, que permite observar e
registrar como o aluno, ao descrever a resolução de um problema aritmético, cria
e desenvolve um código para generalizar a resolução de problemas análogos.
Nesse tipo de atividade, o aluno tem a oportunidade de dar sentido às
letras mediante a solução geral de um problema que será formulada e
comunicada aos demais elementos do grupo, os quais estarão resolvendo
problemas com o mesmo enunciado, mas com dados numéricos diferentes.
As duplas trabalharam na elaboração/leitura de mensagens, e a mensagem
elaborada por uma dupla de alunos sobre a resolução de um problema aritmético
é enviada a outra dupla, que irá decodificá-la, a fim de resolver um problema
semelhante àquele solucionado pela dupla emissora.
Este processo consta de três partes: na primeira, enquanto uma das duplas
resolve um problema, a outra dupla aguarda em outro local. Este problema,
escolhido dentre os habituais de 4ª e 5ª séries, apresenta dificuldade moderada,
para que seja resolvido e, ao mesmo tempo, possa trazer oportunidade de
discussão.
Após a resolução, a dupla é instruída para que, por meio de uma
mensagem, ajude a outra dupla a resolver um problema semelhante, mas com
outros dados numéricos. Este procedimento pressupõe que as instruções na
mensagem sejam precisas e formuladas de um modo geral.
Na segunda parte, a dupla que elaborou a mensagem sai da sala, cedendo
o espaço à outra, que entra para resolver um problema análogo ao anterior, mas
com outros dados numéricos, utilizando a mensagem deixada pela primeira dupla.
O objetivo da terceira parte é a reelaboração da mensagem enviada por
uma das duplas que é, então, feita pela outra dupla ou pelas duas duplas em
conjunto, para que haja uma reflexão do grupo a respeito das mensagens
elaboradas, ou seja, um compartilhar dos “avanços” obtidos, levando, assim, à
melhoria desta mensagem.
13
A autora conclui que os resultados com o trabalho de elaboração/leitura de
códigos foram significativos, assim constituindo um instrumento facilitador ao
desenvolvimento do ensino inicial da Álgebra.
Sustenta a pretensão de utilizar esse processo de codificação e
decodificação de mensagens em salas de aula comuns para reafirmar sua
utilidade. Está idéia foi concretizada na pesquisa de Oliveira (2004), que
descreveremos a seguir.
1.3.2 OLIVEIRA (2004)
A pesquisa de Oliveira tem como ponto de partida os resultados da
pesquisa de Nobre, a qual acabamos de comentar, e objetiva “estudar a aquisição
e o desenvolvimento inicial de significados para a linguagem algébrica em alunos
da 6ª série do Ensino Fundamental II” (OLIVEIRA, 2004, p. 6).
A autora assume a hipótese que o jogo codificação-decodificação de
situações-problema auxilia na constituição de significados para a linguagem
algébrica.
A pesquisa é realizada em uma sala de aula comum, como sugere Nobre,
com aproximadamente 35 alunos trabalhando em duplas.
Uma dupla recebe a tarefa de codificar um problema aritmético elaborando
uma mensagem para que outra dupla a decodifique e utilize na resolução de um
problema semelhante, mas com dados numéricos diferentes.
Portanto, a pesquisa consta de duas fases: na primeira, o trabalho com o
jogo codificação-decodificação; na segunda, o desenvolvimento de atividades que
estabelecessem relações entre os códigos elaborados durante o jogo e as
equações do 1º grau com uma incógnita.
O trabalho foi realizado com duas 6ª séries do Ensino Fundamental de uma
escola pública de São Paulo. A primeira, constituindo o grupo experimental (GE)
em que se desenvolveu a intervenção de ensino; a segunda, o grupo de controle
(GC) que recebeu instruções sobre o conteúdo com a professora da classe, sem
a presença dos pesquisadores. Essas turmas passaram por um pré-teste, um
teste intermediário e um pós-teste.
Passados por essas fases, a autora analisa os resultados verificando que
ambos os grupos obtiveram baixo desempenho tanto no pré-teste como no teste
14
intermediário, porém no pós-teste o grupo experimental, o qual vinha tendo
intervenção dos pesquisadores, mostrou melhor desempenho.
Oliveira conclui que o jogo por si só não dá conta da construção de
significados para a linguagem algébrica, por outro lado o ensino formal, como é
apresentado na maioria das escolas, está muito mais distante desse propósito.
Entretanto, o trabalho no qual o aluno tinha de codificar objetos com letras
fez com que essa letra passasse a ter significado como incógnita para uma
determinada situação, entendendo a Álgebra como uma ferramenta para
modelagem e resolução de problemas. Assim, “observando a Álgebra sob esse
ponto de vista, de que é uma ferramenta para resolver situações-problema e
modelar situações, os alunos do GE trabalharam com isso efetivamente ao
criarem seus próprios códigos, então os X’s e os Y’s ganharam significados”
(OLIVEIRA, 2004, p. 139).
1.3.3 MODANEZ (2003) A pesquisa foi realizada com 30 alunos de uma 6ª série do Ensino
Fundamental de uma escola municipal da Grande São Paulo. Objetivando
“verificar se a introdução ao pensamento algébrico, por meio de seqüências de
padrões geométricos, favorece a superação das principais dificuldades
apresentadas pelos alunos que iniciam o estudo em Álgebra” (MODANEZ, 2003,
p. 30).
A proposta da autora é que a “letra” surja primeiro como variável, a fim de
fazer desenvolver o raciocínio do aluno para resolver cada problema apresentado;
assim, quando a “letra” já estiver bem trabalhada e entendida, poderá então, num
outro contexto, ser empregada como incógnita.
A autora baseou-se nas seguintes hipóteses:
- engajar o aluno em atividades que inter-relacionem diferentes
aspectos da Álgebra como resolução de problemas, e não só para encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica ou atividades meramente mecânicas;
- propor situações em que o aluno possa investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em representações geométricas, identificando suas estruturas para que possa descrevê-los simbolicamente;
15
- propor situações que levem o aluno a construir noções algébricas pela observação de regularidades, e não somente manipulações mecânicas de expressões algébricas (MODANEZ, 2003, p. 32).
Para isso elaborou uma seqüência didática com oito atividades
experimentais em que os alunos trabalharam em duplas, em situações que
deveriam discutir, elaborar conjecturas e justificar as respostas encontradas.
Essas atividades tiveram como objetivo provocar a mudança de quadros,
do geométrico para o algébrico, com a intenção de permitir ao aluno a construção
de conceito de variável.
Durante a aplicação da seqüência didática, a professora interrogou cada
dupla sobre as respostas dadas a fim de perceber se os alunos estavam
entendendo o significado destas.
Após a aplicação de cada atividade a professora fazia a correção da
mesma considerando as diferentes respostas dadas pelos alunos.
Nas atividades 1 e 2 os alunos tiveram apenas um primeiro contato com as
seqüências geométricas, não tendo havido ainda a necessidade do uso de letras
representando as variáveis.
Nas atividades 3, 4 e 5 houve a necessidade do uso de letras como um
símbolo para representar uma posição qualquer na seqüência.
Na atividade 8 o aluno ficou livre para criar uma seqüência qualquer de
figuras, testando assim seus conhecimentos e habilidades.
Mediante a análise dos resultados a autora pôde constatar a validade das
hipóteses aqui mencionadas e concluir que nessas condições uma seqüência de
ensino por meio de padrões geométricos pode proporcionar ao aluno a introdução
do pensamento algébrico.
Considerando ainda que os alunos avançaram em seus conhecimentos em
relação ao desenvolvimento do pensamento algébrico, bem como em suas
atitudes e autonomia no sentido de observar, levantar hipóteses, tirar conclusões
e justificar suas respostas.
Consideramos as pesquisas de Nobre (1996), Oliveira (2004) e Modanez
(2003) importantes para auxiliar na construção de significados para a linguagem
16
simbólica algébrica que por muitas vezes se mostra sem sentido algum para os
alunos que apenas a utilizam mecanicamente.
As autoras levantam em seus estudos algumas das dificuldades das
crianças que iniciam em Álgebra, entre elas, a atribuição de significados
concretos às letras e a dificuldade de interpretação da variável. Dada essas
dificuldades, reforça nossa idéia de analisar como vem sendo trabalhada a noção
de variáveis aos alunos do Ensino Fundamental via livros didáticos.
1.3.4 BERDNARZ, KIERAN e LEE (1996) Berdnarz, Kieran e Lee afirmam que a introdução da Álgebra pode tomar
diferentes direções como:
1ª das regras para transformar e resolver equações (no qual o ensino atual reduz muitas vezes a álgebra); 2ª da solução de problemas específicos ou classes de problemas (que teve historicamente um papel importante no desenvolvimento da álgebra e seu ensino); 3ª da generalização de leis que regem os números (um foco muito importante em certos currículos); 4ª da introdução de conceitos de variável e de função (que apareceu historicamente bem mais tarde e que tem ocupado uma posição de importância crescente em alguns programas) e 5ª do estudo das estruturas algébricas (que marcou os currículos escolares nos anos 60 sob a influência da matemática moderna) (BERDNARZ, KIERAN, LEE, 1996, p. 3).4
Dentre as dificuldades dos alunos em trabalhar os conceitos focados nas
várias formas de introduzir a Álgebra, as autoras destacam a solução de
equações, manipulação de expressões algébricas, resolução de problemas e o
tratamento de conceitos fundamentais como o de variável.
Assim, Berdnarz, Kieran e Lee (1996) apresentam uma seleção de estudos
que examinam a emergência e o desenvolvimento da Álgebra sob diferentes
perspectivas.
4 The rules for transforming and solving equations (to which current teaching often reduces algebra), the solving of specific problems or classes of problems (which has played an important role historically in the development of algebra and its teaching), the generalization of laws governing numbers (a very strong focus in certain curricula), the more recent introduction of the concepts of variable and function (which appeared much later historically and which occupy a position of growing importance in some programs), and the study of algebraic structures (which marked the school curriculum in the 1960s under the influence of modem mathematics).
17
• Perspectivas históricas no desenvolvimento da Álgebra
A análise histórica nos permite entender melhor os avanços, oposições e
retrocessos na evolução de um sistema de conhecimento. A história da Álgebra é
rica em vários aspectos, por exemplo, permitindo melhor apreciar a complexidade
de conceitos algébricos e as rupturas que ocorrem durante sua construção.
Os autores lançam um olhar sobre a evolução histórica da Álgebra,
tornando explícitas algumas das idéias-chave no desenvolvimento da Álgebra, e
fornecendo indicações de mudanças que marcaram a transição de um modo de
pensamento algébrico.
• Perspectiva da generalização na introdução da Álgebra
Atualmente, vêm ocorrendo diversas tentativas de introduzir a Álgebra por
meio de atividades de generalização, porém os alunos em contato com essa
abordagem se deparam com algumas dificuldades.
Neste caso, segundo as autoras, a idéia é encontrar uma abordagem
pedagógica que estruture esse processo, como é o caso do trabalho com
manipulação de figuras contendo o processo de generalização, guiando o aluno
ao encontro de um padrão que leve diretamente a uma fórmula.
Para citar como exemplo, um dos maiores problemas num experimento
envolvendo adultos não era “enxergar um padrão”, mas “encontrar um padrão
algebricamente útil”. A fixação num padrão irrelevante ou inútil pode vir a ser um
obstáculo para os alunos na elaboração de fórmulas relevantes, para um
procedimento geral ou uma relação entre quantidades. Com isso, o papel do
professor aumenta, pois ele é chamado a administrar esta situação pedagógica;
neste caso, ter uma certa flexibilidade parece ser o ponto de partida para esse
processo de generalização.
O processo de generalização também depende dos elementos que serão
objetos dessa generalização, ou seja, depende do conhecimento e das intenções
do observador.
• Perspectiva da resolução de problemas na introdução da Álgebra
Ainda segundo Berdnarz, Kieran e Lee, não se pode negar o importante
papel da resolução de problemas no desenvolvimento da Álgebra. A diversidade
das palavras usadas para denotar um problema e seus usos na teoria indica uma
18
variedade de concepções subjacentes. Essas concepções atingem desde uma
simples solução específica, exigindo uma certa habilidade, a uma solução mais
geral, para a qual o conjunto de regras usadas e problemas a serem resolvidos
são expandidos.
Também é importante observar os diversos tipos de raciocínio e estratégias
dos alunos e incorporá-los como ponto de partida necessário para a
aprendizagem de métodos sistemáticos e gerais da resolução de problemas.
Associam-se ainda as abordagens de resolução de problemas com as
interações entre a formulação de equações e suas manipulações no processo de
resolução.
• Perspectiva de modelagem na introdução da Álgebra
O processo de modelagem sobre uma certa verbalização é que dá
significado ao simbolismo que está centrado sobre o real ou ações imaginárias. O
ponto principal no processo de modelagem é a fase da formulação que resulta em
criar modelos com base nas hipóteses.
A modelagem está baseada no significado que os estudantes dão para
representações simbólicas, nas várias notações e nos caminhos que eles criam
para usar um modelo matemático.
• Perspectiva funcional na introdução da Álgebra
Com a chegada dos computadores e o desenvolvimento tecnológico, o
conceito de variável e função está cada vez mais presente em certas abordagens
usadas para introduzir Álgebra.
A abordagem funcional é semelhante à abordagem de modelagem que
está focada sobre uma elaboração e interpretação de certos modelos
matemáticos, aqueles que relacionam as situações “reais” particulares; entretanto,
difere, em seu foco, na introdução de famílias particulares das funções, ao
contrário da abordagem de modelagem que é mais aberta em sua escolha de
problemas e de modelos.
Essa abordagem sugere um estudo da Álgebra centrado em desenvolver
experiências com funções e famílias de funções, por meio de contatos com
situação do mundo real.
19
1.3.5 WHEELER (1996) Wheeler (1996) contribui com algumas reflexões sobre as diferentes
abordagens da Álgebra, defendendo “Álgebra para todos”, o que significa que
cada um deve ter uma verdadeira chance de ser introduzido no que ele chama de
“cultura da Álgebra”. Preocupa-se por não saber como fazer para alcançar essa
oportunidade, afirmando ser um trabalho extremamente difícil a se desenvolver.
Questiona o que seria a Álgebra, sustentando haver uma certa dificuldade
em encontrar uma definição que mantenha sua essência. A Álgebra é um sistema
simbólico, Álgebra são os cálculos, Álgebra é um sistema representacional;
porém, ela é mais que tudo isso. O principal problema pedagógico no ensino da
Álgebra é encontrar uma razão convincente para a importância do seu estudo.
O autor observa cada uma das cinco perspectivas, evidenciadas
anteriormente por Berdnarz, Kieran e Lee, para iniciar a Álgebra, tentando
perceber como o principiante será motivado usando estas abordagens. Assevera
que, na verdade, o que temos diante de nós são cinco escolhas, alternativas não
independentes, e o que queremos são estudantes de Álgebra que venham a
conhecê-la e usá-la para solucionar problemas, para modelar situações, tratar de
funções e fazer generalizações.
Ao escolher uma única abordagem como ponto de partida, estaremos
interferindo na forma como as outras abordagens poderão ser alcançadas. Cada
abordagem representa, ainda, um leque de possibilidades, sendo ainda possível
que outras abordagens tenham sido omitidas.
Berdnarz, Kieran e Lee (1996) realizam um estudo que trata da Álgebra
sendo introduzida por diferentes abordagens e, dependendo de cada abordagem,
teremos um uso para variáveis. Wheeler (1996) acredita que ao escolher uma
abordagem para introduzir a Álgebra estaremos interferindo na maneira de
trabalhar com as outras abordagens.
Assim, será importante ao analisarmos os livros didáticos observar sob
qual abordagem está se dando a introdução do pensamento algébrico.
20
1.3.6 USISKIN (1994) Usiskin, em seu trabalho, defende que as finalidades do ensino de Álgebra,
as concepções que se possam ter dessa matéria e a utilização de variáveis estão
intrinsecamente relacionadas. “As finalidades da Álgebra são determinadas por,
ou relacionam-se com, concepções diferentes da Álgebra que correspondem à
diferente importância relativa dada aos diversos usos das variáveis” (USISKIN,
1994, p. 13).
Ela faz uma exposição da sua consideração sobre as quatro concepções
da Álgebra:
- A Álgebra como aritmética generalizada.
As variáveis são generalizadoras de modelos e as instruções-chave para o
aluno são: traduzir e generalizar. Essa concepção trata de técnicas importantes
não só para a Álgebra, mas também para a Aritmética. É impossível estudar
Aritmética, adequadamente, sem lidar implícita ou explicitamente com variáveis.
Segundo o autor, muitas vezes encontramos relações entre números que
desejamos descrever matematicamente, e as variáveis são instrumentos muito
úteis nessa descrição. A descrição algébrica assemelha-se à descrição numérica.
- A Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos
de problemas.
Nessa concepção, as variáveis são incógnitas ou constantes, isto é,
valores numéricos desconhecidos que são descobertos pela resolução de uma
equação ou de um sistema de equações. As instruções-chaves, nesse caso, são
simplificar e resolver. Usiskin (1994) utiliza um problema para exemplificar:
“Adicionando 3 ao quíntuplo de um certo número, a soma é 40. Achar o número”.
O autor diz que facilmente se traduz o problema para a linguagem da Álgebra: 5x
+ 3 = 40, encontrando um modelo geral que utiliza a Álgebra como generalizadora
de modelos. Para resolver essa equação, usamos o procedimento de somar -3 a
ambos os membros. Ao solucionar problemas desse tipo, muitos alunos têm
dificuldades na passagem da Aritmética para a Álgebra. Enquanto a resolução
aritmética (“de cabeça”) consiste em subtrair 3 e dividir por 5, a forma algébrica 5x
+ 3 envolve a multiplicação por 5 e a adição de 3, ou seja, as operações inversas
das citadas na resolução “de cabeça”. “Isto é, para armar a equação, devemos
21
raciocinar exatamente da maneira contrária à que empregaríamos para resolver o
problema aritmeticamente” (USISKIN, 1994, p. 15).
- A Álgebra como estudo de relações entre grandezas.
Uma variável é um argumento, isto é, representa um dos valores do
domínio de uma função, ou um parâmetro, representando um número do qual
dependem outros números. Somente no contexto dessa concepção existem as
noções de variável independente e variável dependente. As funções surgem
quase imediatamente, pois necessitamos de um nome para os valores que
dependem do argumento ou parâmetro x. Trata-se, aqui, de um modelo
fundamentalmente algébrico e a diferença crucial entre a Álgebra como estudo de
relações entre grandezas e a Álgebra como um estudo de procedimentos para
resolver certos tipos de problemas está em que, no primeiro caso, as variáveis
variam.
Por exemplo, quando se pergunta ao aluno: O que ocorre com o valor de
1/x quando x se torna cada vez maior? A questão confunde o aluno, pois não
pedimos o valor de x, portanto x não é uma incógnita, e também não pedimos ao
aluno que traduza. Há um modelo a ser generalizado, mas não se trata de um
modelo aritmético (USISKIN, 1994).
- A Álgebra como estudo das estruturas
A concepção de variável, nesse caso, não coincide com nenhuma daquelas
discutidas anteriormente e, quando se faz uso dessa concepção, “o aluno tende a
tratar as variáveis como sinais no papel, sem nenhuma referência numérica”
(USISKIN, 1994, p. 18).
A Álgebra pode ser vista como o estudo das estruturas pelas propriedades
que atribuímos às operações com números reais e polinômios. Nessa concepção,
a variável é um pouco mais que um símbolo arbitrário.
Segundo Usiskin (1994), o conceito de variável é central no
desenvolvimento do pensamento algébrico. Na última década, as ferramentas
computacionais forneceram às escolas o acesso nunca antes conseguido de
representar esse conceito como quantidades variáveis; no entanto, não é só esta
característica que é importante, mas observar também os efeitos sobre outras
variáveis, ou seja, estudar as suas funções.
22
O autor conclui que as diferentes concepções da Álgebra relacionam-se
com os usos distintos das variáveis e que a Álgebra é a chave para a
caracterização e compreensão das estruturas matemáticas.
Neste trabalho, Usiskin nos apresenta a Álgebra a partir de diferentes
concepções que se relacionam com maneiras outras de utilizar as variáveis,
chamando, assim, nossa atenção para verificar em nossa análise se os livros
didáticos trazem os vários usos da variável.
23
CAPÍTULO II
PROBLEMÁTICA, FUNDAMENTOS TEÓRICOS E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Neste segundo capítulo, apresentaremos a motivação e a relevância da
pesquisa. Para auxiliar o estudo, buscamos apoio na Teoria Antropológica do
Didático proposta por Chevallard (1991).
Em seguida, destacamos os procedimentos metodológicos envolvidos
nessa pesquisa, em que utilizamos como referência a metodologia qualitativa e
documental. Apresentamos, ainda, a escolha dos livros didáticos e os aspectos
considerados para sua análise.
2.1 Problemática Dada a nossa experiência em sala de aula, percebemos as dificuldades
dos alunos em relação aos conceitos abordados nas diferentes formas de
introduzir a Álgebra.
Assim, uma outra maneira de estudar o processo de ensino e
aprendizagem da Álgebra é identificar os tipos de erros que os alunos comumente
cometem nessa matéria e investigar as razões desses erros.
Booth (1994) realizou um estudo com alunos de 13 a 16 anos e verificou
erros semelhantes em todos eles, mostrando que muitos destes podiam ter
origem nas idéias dos alunos sobre aspectos como, entre outros, o significado
das letras e das variáveis.
Observou que uma das diferenças mais marcantes entre a Aritmética e a
Álgebra é a utilização, nessa última, de letras para indicar valores. Em Aritmética,
as letras também aparecem, mas de forma diferente. Por exemplo, a letra m, em
24
Aritmética, pode ser utilizada para representar “metros”, mas não para representar
o número de metros, como em Álgebra.
Um dos aspectos inerentes da Álgebra talvez seja a própria idéia de
“variável”. Mesmo quando as crianças interpretam as letras distintas, devem
necessariamente representar valores numéricos diferentes.
De uma maneira geral, as pesquisas apontam problemas no ensino da
Álgebra, trazendo à tona as dificuldades de certas noções ou interpretações que
os estudantes desenvolvem em relação ao uso das letras, à notação, à escrita, às
convenções associadas com certos conceitos e ao caráter da Matemática, que
fazem parte do início da aprendizagem da Álgebra.
A noção de variável, de modo geral, não tem sido explorada no ensino fundamental e por isso muitos estudantes que concluem esse grau de ensino (e também o médio) pensam que a letra em uma sentença algébrica serve sempre para indicar (ou encobrir) um valor desconhecido, ou seja, para eles a letra sempre significa uma incógnita (PCNs, 1998, p. 118).
De acordo com Kieran (1989), a Álgebra na escola secundária
normalmente começa com instruções do conceito de variável. As crianças já
viram as letras sendo empregadas em fórmulas, como a área de um retângulo;
porém, em suas experiências passadas, elas não se relacionaram com os
diversos usos da variável.
Usiskin (1994) descreve alguns desses muitos usos da variável afirmando
que, se considerarmos a Álgebra como aritmética generalizada, então podemos
ter as variáveis como generalizadoras de padrão; por exemplo, generalizando 3 +
5 = 5 + 3 ao padrão a + b = b + a, as habilidades algébricas estão centradas em
traduzir e generalizar relações conhecidas entre números. Se considerarmos a
Álgebra como o estudo de procedimentos para resolver certos tipos de
problemas, então teremos as variáveis como valores desconhecidos; por
exemplo, traduzindo um problema em uma equação, as habilidades algébricas
estão centradas em simplificar e resolver. Se considerarmos a Álgebra como o
estudo entre relações ou entre quantidades, as variáveis serão argumentos ou
parâmetros. Nesta concepção da Álgebra, variáveis variam verdadeiramente.
Finalmente, se considerarmos a Álgebra como o estudo de estruturas como
grupos, anéis, domínios de integridades, corpos, e espaço vetorial, então,
25
variáveis são objetos arbitrários numa estrutura relacionada por certas
propriedades.
É, ainda, Usiskin que tenta descrever o que é a Álgebra na escola média, e
a princípio poderia dizer que tem relação com a compreensão do significado das
“letras” e das operações com elas, mas logo percebe que a redução da Álgebra
ao estudo das variáveis não dá conta dessa descrição.
O problema surge em identificar quando uma letra representa uma variável,
ou não. Começa por considerar algumas equações, todas com a mesma forma –
o produto de dois números é igual a um terceiro – e observa que cada uma delas
tem um caráter diferente.
Segundo o autor, esses caracteres refletem os diferentes usos dados à
idéia de variável. No primeiro caso, A = b. h, com caráter de fórmula, em que A
representa a área, b a base e h a altura, e têm caráter de coisa conhecida. No
segundo caso, 40 = 50x, com caráter de equação (ou sentença aberta), em que
pensamos em x como uma incógnita. No terceiro caso, senx = cosx. tgx, com
caráter de identidade, sendo x o argumento de uma função. No quarto caso, 1 =
n.(1/n), com caráter de propriedade, generaliza um modelo aritmético e n
identifica um exemplo do modelo. No quinto caso, y = kx, com caráter de equação
de uma função que traduz uma proporcionalidade direta, x também é o argumento
de uma função, y o valor e k uma constante; somente aqui há o caráter de
“variabilidade”, do que resulta o termo variável.
Na década de 1950, a palavra variável era descrita por Hart como “um
número mutável”, e que, “em cada fórmula, as letras representam números. O uso
de letras para representar números é a principal característica da Álgebra” (HART
apud USISKIN, 1994, p. 10).
As concepções de variável foram mudando com o tempo, e o próprio Hart,
mais tarde, faz uma afirmação mais formal de variável: “Uma variável é um
número literal que pode assumir dois ou mais valores durante uma determinada
discussão” (apud USISKIN, 1994, p. 10).
Ainda na década de 1950, Caraça define o conceito de variável.
Seja (E) um conjunto qualquer de números, conjunto finito ou infinito, e convencionemos representar qualquer dos seus elementos por um símbolo, por ex: x. A este símbolo,
26
representativo de qualquer dos elementos do conjunto E, chamamos variável (1951, p. 127).
Para ele, portanto, uma variável é o que for determinado pelo conjunto
numérico que ela representa.
No final da década, surgiram novas e diferentes concepções como a de
May e Van Engen (apud USISKIN, 1994, p. 10):
Uma variável, grosso modo, é um símbolo pelo qual se substituem os nomes de alguns objetos, comumente números, em Álgebra. Uma variável está sempre associada a um conjunto de objetos cujos nomes podem ser substituídos por ela. Esses objetos chamam-se valores da variável.
Segundo Usiskin (1994), na década de 1990, a tendência era evitar a
distinção “nome-objeto” e pensar numa variável como um símbolo pelo qual se
podem substituir coisas, mais precisamente coisas de um determinado conjunto,
enquanto consideradas indistintas.
Ainda de acordo com o autor, muitos alunos acham que todas as variáveis
são letras que representam números. Nem sempre isso é verdade, pois muitas
vezes as variáveis podem representar proposições, outras vezes uma função,
podendo ser a representação de uma matriz ou um vetor e, ainda, não
necessariamente serem representadas por letras.
As concepções de variável mudam com o tempo, tornando-se difícil
encontrar uma única definição que seja a mais correta ou a única possível, e
dificultando, talvez, a aprendizagem destas. Portanto, tentar definir a idéia de
variável poderá acarretar uma tal simplificação, não atendendo às muitas
definições, conotações e símbolos que cabem a ela.
Percebemos que há muitas opções de introduzir a Álgebra, mas que
também surgem muitas dificuldades, por parte de professores e alunos, ao entrar
em contato com ela. Diante desses obstáculos, temos uma questão geral:
• Como se dá o ensino dos conteúdos algébricos hoje? Sob quais
perspectivas?
Associado a esta questão vem o fato de que, hoje, em todas as escolas
públicas do estado de São Paulo os alunos recebem o livro didático distribuído
gratuitamente pelo governo estadual. Os livros didáticos são recomendados pelo
27
Programa Nacional do Livro Didático – PNLD e escolhidos pelos próprios
professores. O livro didático é, atualmente, um dos recursos mais eficazes à nossa
disposição, fornecendo-nos informações, propondo atividades, ajudando a
organizar o trabalho em classe, apresentando textos interessantes para leitura,
entre outras funções. Além disso, em muitos deles, o manual do professor é,
realmente, um auxiliar precioso.
“O livro didático exerce grande influência sobre a atuação do professor em
sala de aula, pois ele se torna freqüentemente a única ferramenta disponível para
o seu trabalho” (PNLD, 2005, p. 196).
Percebendo sua importância como instrumento de acesso ao ensino,
surge-nos outras questões:
• Como está ocorrendo o desenvolvimento do pensamento algébrico
por meio do livro didático?
• Como se trabalham, hoje, os conteúdos algébricos em sala de aula?
• Como o livro didático, presente hoje em todas as escolas, é utilizado
pelos professores?
• Sob quais perspectivas os livros didáticos introduzem o pensamento
algébrico?
• Será que os livros conseguem dar conta do pensamento algébrico?
2.1.1 Definição da questão de pesquisa Muitas são as questões acerca da introdução da Álgebra via livros
didáticos, porém há a necessidade de delimitarmos nossa questão de pesquisa.
Nosso objetivo é investigar como a noção de variável tem sido abordada
pelos livros didáticos brasileiros referentes aos 3º e 4º ciclos do Ensino
Fundamental.
Com fundamento nesta perspectiva, levantamos a questão: Como os livros
didáticos do Ensino Fundamental abordam a noção de variável sob a ótica da
organização praxeológica de Chevallard?
28
2.2 Fundamentos Teóricos
2.2.1 A noção de organização praxeológica A análise do livro didático será desenvolvida a partir de uma adaptação da
Organização Praxeológica proposta por Chevallard (1991), na qual buscamos
identificar, no conjunto dos livros escolhidos para nossa análise, os tipos de
tarefas, as técnicas, as tecnologias e as teorias.
De acordo com Chevallard, a Teoria Antropológica do Didático (TAD)
envolve a atividade matemática e então a atividade de estudo em Matemática, no
conjunto das atividades humanas e instituições sociais.
“A Organização Praxeológica é formada por um conjunto de técnicas, de
tecnologias e de teorias organizadas para um tipo de tarefas” (ALMOULOUD,
2000, p. 162).
Geralmente, uma tarefa e/ou tipos de tarefas se expressam por um verbo,
por exemplo: desenvolver a expressão literal dada.
Alguns pontos devem ser salientados: a noção de tarefa, ou de tipo de
tarefas, supõe um objetivo relativamente preciso, por exemplo: calcular o valor de
uma função em um ponto é um tipo de tarefa, mas Calcular, apenas, é o que
chamaremos um gênero de tarefas; tarefas, tipos de tarefas e gêneros de tarefas
não são dados da natureza, mas “artefatos”, “obras”, nas quais a reconstrução em
tal instituição é um problema em parte completo, que é o próprio objeto da
didática.
Uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa dada determina uma maneira
de cumprir, de realizar tarefas; a essa tal maneira de fazer dá-se o nome de
técnica. Então, uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa contém, a princípio,
uma técnica relativa a ela, formando-se, assim, um bloco denominado bloco
prático-técnico e que se identificará ao que se diz, geralmente, um saber-fazer:
um certo tipo de tarefas e uma maneira de cumprir as tarefas desse tipo.
Neste ponto cabem três observações importantes: uma técnica só tem
sucesso sobre uma parte de tarefas de um tipo ao qual ela é relativa, parte que se
nomeia alcance da técnica; então, uma técnica pode ser superior a uma outra,
senão sobre todo tipo de tarefa, pelo menos sobre uma certa parte dela; uma
técnica não é necessariamente de natureza algorítmica ou quase algorítmica, mas
ela só é assim em casos muito raros; tendo uma instituição a respeito de um tipo
29
de tarefa dada, existe geralmente só uma técnica, ou ao menos um pequeno
número de técnicas institucionalmente reconhecidas, na exclusão de técnicas
alternativas possíveis, que podem existir efetivamente, mas em outras
instituições.
Entende-se por tecnologia um discurso racional sobre a técnica, um
discurso tendo por objeto primeiro justificar “racionalmente” a técnica,
assegurando-nos que ela permita cumprir bem as tarefas do tipo de tarefas, ou
seja, realizar o que é pretendido. O estilo de racionalidade utilizado varia no
espaço institucional, de modo que uma certa racionalidade institucional poderá
parecer pouco racional em outro espaço institucional.
É necessário, ainda, que apresentemos três observações: em uma
instituição, qualquer que seja o tipo de tarefa, a técnica relativa a ela é sempre
acompanhada de ao menos um embrião, ou, mais freqüentemente ainda, de um
vestígio de tecnologia; uma segunda função de tecnologia é explicar, tornar
inteligível, esclarecer a técnica, ou seja, se a primeira função que é justificar a
técnica consiste em assegurar o êxito da técnica em relação ao pretendido, esta
segunda função consiste em expor por que a técnica tem êxito desta forma; uma
terceira função corresponde a um emprego mais atual do termo tecnologia, ou
seja, a função de produção de técnicas, notando, assim, que existem tecnologias
potenciais, esperando técnicas que sublinharão o fenômeno de sub-explorações
das tecnologias disponíveis, tanto do ponto de vista da justificação como da
explicação da produção.
Esse discurso tecnológico contém afirmações, mais ou menos explícitas,
podendo solicitar a razão. Passa-se, então, a um nível superior de justificação –
explicação – produção, o da teoria, a qual retoma, em relação à tecnologia, o
papel que esta última tem relativamente à técnica.
De fato, a descrição apresentada em três níveis (técnica/tecnologia/teoria)
basta, em geral, para dar conta da atividade analítica. Assim, em torno de um tipo
de tarefas encontra-se um tripé formado de uma técnica (ao menos), de uma
tecnologia e de uma teoria, o que constitui uma praxeologia pontual relativa a um
único tipo de tarefas.
Uma praxeologia, ou organização praxeológica, é constituída de um bloco
tecnológico-teórico e de um bloco prático-técnico. O primeiro bloco é identificado
como um saber, enquanto o segundo bloco constitui um saber-fazer.
30
A organização praxeológica articula-se em tipos de tarefas, técnicas,
tecnologias e teorias e, ao identificá-los numa situação, estamos organizando o
estudo de um conceito ou tema. 2.3 Procedimentos metodológicos Nossa proposta é analisar os livros didáticos de Matemática do Ensino
Fundamental, investigando como é abordada a noção de variável e explicitando
os tipos de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias envolvidas.
Questionando-nos sobre a forma de realizar tal análise, esta parte deste
capítulo tem como objetivo relatar o procedimento metodológico de nossa
pesquisa, partindo de uma abordagem qualitativa e documental, inclusive o
procedimento quanto à escolha dos livros envolvidos.
2.3.1 Análise documental A análise documental é uma técnica de abordagem de dados qualitativos.
Os livros didáticos estão incluídos nos tipos de documentos que fazem parte
dessa análise.
A análise documental busca investigar informações factuais nos
documentos a partir de questões ou hipóteses de interesse.
Quanto às vantagens de trabalhar com essa abordagem, Cuba e Lincoln
(apud LUDKE e ANDRÉ, 1986) destacam algumas delas: os documentos
constituem uma fonte estável e rica, podendo servir de base a diferentes estudos
e de onde se podem retirar evidências para fundamentar afirmações e
declarações do pesquisador; sendo uma fonte natural de informações, tem um
custo muito baixo, e é uma fonte não-reativa, permitindo a obtenção de dados
quando o acesso ao sujeito é impraticável e, ainda, indicando problemas que
devem ser mais explorados por meio de outros métodos; acima de tudo, ou por
tudo isto, é uma fonte de informação que não deve ser ignorada.
Segundo Bogdan e Biklen (1994), uma das características básicas da
investigação qualitativa é a investigação qualitativa descritiva, em que a palavra
escrita tem grande importância, primeiro para obter os dados e depois para suas
análises.
31
[...] esse modo de pesquisar é dado pela intenção de atingir aspectos do humano sem passar pelos crivos da mensuração, sem partir de método previamente definido e, portanto, sem ficar preso a quantificadores e aos cálculos decorrentes (BICUDO, 2004, p. 105).
2.3.2 A escolha dos livros didáticos
Devido à diversidade de publicações foi preciso selecionarmos os livros
didáticos que seriam analisados, o que nos fez estabelecer um critério:
Devido ao fato de tentarmos perceber como o tema tem sido abordado
atualmente, consideramos os livros didáticos que estão direta ou
indiretamente relacionados com a sala de aula, por isso faremos uso das
obras aprovadas do PNLD.
O que é o PNLD?
Em 1995 foi criado o PNLD (Programa Nacional do Livro Didático) com o
intuito de estabelecer critérios para a avaliação dos livros didáticos. A primeira
avaliação dos livros didáticos aconteceu em 1996 e no ano seguinte por meio do
Guia do Livro Didático foi realizada a publicação dos livros aprovados pelo MEC.
Desde então, de três em três anos o MEC divulga a lista dos livros avaliados e
aprovados.
O PNLD é uma iniciativa do Ministério da Educação e Cultura que tem por
objetivo a aquisição e distribuição universal e gratuita de livros didáticos para os
alunos das escolas públicas.
Ao verificarmos quais eram as coleções de Matemática de 5ª a 8ª séries
indicadas no PNLD, deparamo-nos com 23 coleções, o que novamente nos fez
estabelecer um critério:
Para tal seleção, baseamo-nos nos livros escolhidos pela maioria dos
professores do Estado de São Paulo, recorremos à Secretaria da
Educação e às quatro maiores editoras de São Paulo, Ática, Scipione, FTD
e Saraiva, para sabermos quais os livros mais vendidos nos últimos anos.
O departamento editorial de Matemática de cada editora forneceu-nos o
nome de suas coleções mais vendidas.
32
A partir dessa última seleção, passamos à análise propriamente dita das
quatro coleções com maior vendagem:
Quadro 1: Livros didáticos de Matemática para o Ensino Fundamental
Livros Didáticos Autores
• Coleção A Conquista da
Matemática: a + nova
• José Ruy Giovanni
• Benedito Castrucci
• José Ruy Giovanni Júnior
• Coleção Tudo é Matemática • Luiz Roberto Dante
• Coleção Matemática para Todos • Luiz Márcio Imenes
• Marcelo Lellis
• Coleção Matemática e Realidade • Gelson Iezzi
• Osvaldo Dolce
• Antônio Machado
2.3.3 - Aspectos para análise dos livros didáticos Em nossa revisão bibliográfica, estão os estudos realizados sobre o ensino
e aprendizagem da Álgebra, os quais nos possibilitaram estabelecer aspectos a
serem utilizados em nossa análise de livros didáticos.
Aspecto 1 – Os PCNs e os Livros Didáticos Os PCNs visam à construção de um referencial que oriente a prática
escolar de forma a contribuir para que toda criança e jovem brasileiros tenham
acesso a um conhecimento matemático que lhes possibilite de fato sua inserção,
como cidadãos, no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura (p. 15).
Para que essa inserção do cidadão, nosso aluno, ocorra de fato, os PCNs
sugerem que a Matemática desempenhe seu papel na formação de capacidades
intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio do aluno,
na sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo
33
do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas
curriculares.
Indicam ainda objetivos gerais quanto ao ensino de Matemática no Ensino
Fundamental tendo em vista essa construção da cidadania. A proposta é levar o
aluno a:
Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e
transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual,
característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a
curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade
para resolver problemas;
Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da
realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o
conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico,
estatístico, combinatório, probabilístico);
Selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las
e avaliá-las criticamente;
Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados,
desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, dedução,
analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos,
bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;
Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e
apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas,
fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e
diferentes representações matemáticas;
Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e
entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares;
Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos
matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de
soluções;
Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente
na busca de soluções para problemas propostos, identificando aspectos
consensuais ou não na discussão de um assunto, respeitando o modo de
pensar dos colegas e aprendendo com eles.
34
Tendo em vista que hoje a maioria dos livros didáticos salienta estar de
acordo com os PCNs, recorremos aos objetivos gerais aqui apresentados, assim
como ao estudo já realizado dos objetivos específicos para terceiro e quarto ciclos
do Ensino Fundamental, para compor nosso primeiro aspecto.
Buscaremos observar dois pontos:
A História da Matemática
Resolução de Problemas.
Os PCNs destacam algumas possibilidades de trabalho em sala de aula,
dentre elas a de trabalhar com a História da Matemática, levantando alguns
pontos para justificar esse trabalho.
A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao
processo de ensino e aprendizagem dessa área de conhecimento.
Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes
momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e
processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria
condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis
diante desse conhecimento.
Conceitos abordados em conexão com sua história constituem veículos de
informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo.
A História da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da
própria identidade cultural.
O recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias matemáticas
que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar respostas
a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a constituição de um
olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento.
Os PCNs apontam a resolução de problemas como ponto de partida do
aprendizado indo em contrapartida à reprodução de procedimentos.
A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão
35
oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca dos conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança (PCNs, 1998, p. 40).
Resolver um problema matemático significa realizar uma seqüência de
ações ou operações para se obter um resultado; assim, os PCNs pressupõem
que o aluno elabore um ou vários procedimentos de resolução, compare seus
resultados com os de outros alunos e valide seus procedimentos.
Os PCNs destacam alguns princípios ao se trabalhar com a resolução de
problemas:
A situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a
definição. São necessárias situações em que os alunos precisem
desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las.
O problema não é um exercício em que o aluno aplica, de forma mecânica,
uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for
levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar
a situação que lhe é apresentada.
Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por
meio de uma série de retificações e generalizações. O aluno constrói um
campo de conceitos que toma sentido num campo de problemas, e não um
conceito isolado em resposta a um problema particular.
A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em
paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a
aprendizagem.
Os PCNs afirmam que muitos professores consideram que é possível
trabalhar com situações do cotidiano ou de outras áreas do currículo somente
depois de os conhecimentos matemáticos envolvidos nessas situações terem sido
amplamente estudados pelos alunos. Destacam que geralmente os conteúdos
são abordados de forma linear e os alunos acabam tendo poucas oportunidades
de explorá-los em contextos mais amplos.
36
Objetivamos essencialmente buscar respostas ao seguinte
questionamento:
De que maneira os livros didáticos vêm incorporando os objetivos
sugeridos pelos PCNs?
Aspecto 2 – As abordagens para introduzir e desenvolver a Álgebra Berdnarz, Kieran, e Lee (1996) apresentam as diferentes abordagens para
introduzir o ensino de Álgebra e, de acordo com cada uma delas, teremos um uso
para variáveis, ao contrário de Usiskin (1994), que apresenta as diferentes
concepções de Álgebra intrinsecamente relacionadas à utilização das variáveis. O
que percebemos é que as concepções e o ensino de Álgebra se inter-relacionam.
Quadro 2: Comparação entre as concepções de Álgebra, segundo Usiskin, e as
abordagens para o ensino de Álgebra, de acordo com Berdnarz, Kieran e Lee
Concepções de Álgebra
(Usiskin)
Abordagens para o ensino de Álgebra
(Berdnarz, Kieran e Lee)
• Álgebra como Aritmética
generalizada
• Generalização das leis que
regem os números
• Álgebra como um estudo de
procedimentos para resolver
certos tipos de problemas
• Regras de transformações e
soluções de equações
• Solução de problemas
específicos ou classes de
problemas
• Como estudo de relações entre
as grandezas
• Introdução de conceitos de
variável e função
• Álgebra como estudo das
estruturas matemáticas
• Estudo de estruturas algébricas
Como a Álgebra pode ser introduzida a partir de uma dessas abordagens,
as quais, na verdade, determinam de alguma forma as concepções algébricas
que os alunos continuarão a manter com a Álgebra depois dessa introdução,
estabelecemos nosso segundo aspecto.
37
Procuramos na análise dos livros alguma resposta à seguinte questão:
Nos livros didáticos, que tipo de abordagem é utilizada para introduzir e
desenvolver a Álgebra? Apenas uma abordagem é trabalhada ou há várias se
inter-relacionando?
Aspecto 3 – Os diferentes usos dados à idéia de variável Para Usiskin (1994) as diferentes concepções de Álgebra se relacionam
com os usos distintos das variáveis, como veremos na tabela a seguir:
Quadro 3: Concepções de Álgebra relacionando-se com os usos das variáveis
Concepção da Álgebra Usos das variáveis
• Aritmética generalizada • Generalizadoras de modelos
(traduzir, generalizar)
• Meio de resolver certos
problemas
• Incógnitas, constantes (resolver,
simplificar)
• Estudo de relações • Argumentos, parâmetros
(relacionar, gráficos)
• Estrutura • Sinais arbitrários no papel
(manipular, justificar)
Os PCNs também trazem as diferentes interpretações da Álgebra e as
diferentes funções das letras, deixando claro que para garantir o desenvolvimento
do pensamento algébrico o aluno deve estar engajado em atividades que inter-
relacionem as concepções variadas da Álgebra e os diferentes usos das
variáveis.
Tendo em vista esses aspectos, buscamos na análise de livros respostas à
seguinte indagação:
Nos livros didáticos quais são os diferentes usos dados à idéia de variável
que eles apresentam? Variável como coisa conhecida? Incógnita? Argumento?
38
Generalização de modelo aritmético? Símbolo abstrato? Variável para expressar
relações e funções?
Iremos analisar cada coleção, verificar quais critérios ela atende,
relacionando cada critério atendido ao tipo de tarefa a ser desenvolvida.
39
CAPÍTULO III
ANÁLISE DAS COLEÇÕES DE LIVROS DIDÁTICOS DOS 3º E
4º CICLOS DO ENSINO FUNDAMENTAL
3.1 Coleção A CONQUISTA DA MATEMÁTICA: a + nova – José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Júnior
A conquista da Matemática é uma coleção composta de quatro volumes,
uma para cada série, de 5ª a 8ª série do Ensino Fundamental. Os volumes são
organizados em capítulos, subdivididos em tópicos. Cada capítulo é iniciado com
um texto, em geral na forma de histórias em quadrinhos, seguido da explanação
da teoria contendo exemplos e exercícios.
Os capítulos comportam as seções: Troque idéias com o colega, em que o
aluno terá oportunidade de trabalhar em grupo; Tratando a informação, um
espaço que organiza o trabalho com gráficos e tabelas; Explorando, que trata da
Geometria, cálculo mental, grandezas e medidas; Calculadora, manuseio das
calculadoras com atividades nos campos dos números e da Álgebra; Informações
matemáticas interessantes, mostra a matemática presente em todos os lugares;
Retomando, com atividades de aplicação e de fixação da aprendizagem.
Ao final de cada volume encontram-se as seções Indicação de leitura,
Bibliografia, Respostas dos exercícios, Glossário e Projeto.
Cada livro traz ainda o manual do professor contendo orientações,
sugestões, objetivos específicos e orientação metodológica.
Aspecto 1 – Os PCNs e os Livros Didáticos Esta coleção apresenta uma maior concentração dos conteúdos do campo
numérico no primeiro e segundo volumes (5ª e 6ª séries) e dos campos algébricos
e geométricos no terceiro e quarto volumes (7ª e 8ª séries).
40
Entretanto, no segundo volume (6ª série) nos deparamos com as primeiras
noções da Álgebra. O volume traz o capítulo Estudando as equações e é nesse
momento que se introduz a substituição de números por letras.
A coleção traz a história da Matemática em todos os capítulos, história
esta, segundo os autores, fundamental para embasar a construção do
pensamento matemático. Os textos referentes ao conteúdo abordado vão sendo
apresentados ao longo dos livros, como no terceiro volume (6ª série) com o
capítulo que trata as equações apresentando o texto As equações e o papiro
Rhind, relatando o trabalho dos egípcios, gregos e árabes, falando ainda das
equações nos dias de hoje.
No terceiro volume (7ª série), o capítulo Introdução ao cálculo algébrico
apresenta um texto relatando o uso de letras para representar números.
No quarto volume (8ª série), junto do capítulo Equações de 2º grau,
apresenta uma leitura relatando que os textos babilônios traziam referência a
problemas que hoje são resolvidos utilizando equações de 2º grau.
Percebemos a história da Matemática sendo utilizada como recurso
didático, assim como propõem os PCNs. Alguns desses textos assumem um
caráter informativo trazendo relatos da vida e obra de matemáticos famosos, mas
a outros que se integram com o desenvolvimento do conteúdo, contribuindo para
a aprendizagem.
A resolução de problemas é destacada nas reflexões apresentadas no
manual do professor, porém esta não é a abordagem utilizada para introduzir os
conteúdos.
Há a utilização de problemas resolvidos que servem de modelos para os
alunos solucionar os exercícios propostos.
No primeiro volume (5ª série), há um capítulo que trata apenas de
resolução de problemas e ensina o aluno a descobrir a solução de problemas
segundo as seguintes etapas:
1ª etapa: Compreender o problema
Leia o enunciado.
Identifique os dados fornecidos.
Identifique as incógnitas (o que se quer saber).
41
Pense nas possíveis relações entre os dados e as incógnitas.
Se possível, crie um esquema que represente a situação.
2ª etapa: Traçar um plano
Você já resolveu algum problema parecido?
É possível resolvê-lo por partes?
Quais são as operações matemáticas adequadas para essa
situação?
Todos os dados do problema estão envolvidos no seu plano?
3ª etapa: Colocar o plano em prática
Ao executar o plano, explique cada um dos passos e tente
responder: O que eu obtenho com esse passo?
Ao encontrar dificuldades, volte ao princípio e reordene as idéias.
4ª etapa: Comprovar os resultados
Leia o enunciado novamente e verifique se o que foi perguntado é o
que foi respondido.
Há algum outro modo de resolver esse problema? (p. 69).
Em seguida, são apresentados alguns exercícios para o aluno testar essas
etapas.
No segundo volume (6ª série), os autores ensinam a usar equações na
resolução de problemas e orienta:
• Ler com atenção o problema e levantar dados.
• Fazer a tradução do enunciado para a linguagem das equações,
usando letras e símbolos.
• Resolver a equação estabelecida.
• Analisar o resultado obtido e dar a resposta conveniente (p. 133).
Assim, os exercícios que seguem estão enquadrados na situação abaixo.
42
Situação: Em uma turma, 20% dos alunos treinam handebol. Sabendo-se
que a turma ainda tem 24 alunos que treinam outros esportes, quantos alunos há,
ao todo, nessa turma?
Tarefa: Encontrar um certo número que representa o número total de
alunos de uma turma.
Técnica: Indicar esse número por uma letra e escrever a equação
correspondente.
Discurso Teórico-Tecnológico: Traduzir os dados do problema para a
linguagem simbólica chegando a equação do 1º grau.
No terceiro volume (7ª série), o capítulo que trata da introdução ao cálculo
algébrico não menciona a resolução de problemas, mas os exercícios propostos
têm como objetivos traduzir as sentenças expressas em linguagem usual para a
linguagem simbólica, fazendo uso de situações que envolvem processos de
generalização.
Entretanto, no capítulo que trata da resolução de uma equação de 1º grau
com uma incógnita, as atividades são mais técnicas do tipo:
Situação: Resolver a equação 8x - 2 = 5x no conjunto R.
Tarefa: Encontrar o conjunto solução da equação.
Técnica: Aplicar os princípios de equivalência das equações, que consiste
na aplicação do princípio aditivo: se a = b, então a + c = b = c; e do princípio
multiplicativo: se a = b, então a. c = b. c, com c ≠ 0.
Discurso Teórico-Tecnológico: Redução à forma mais simples de uma
equação de 1º grau com uma incógnita, por meio de transformações.
Isso se repete no quarto volume (8ª série) em que há um capítulo tratando
das equações de 2º grau, trazendo também exercícios sem reflexão, análise ou
discussão sobre diferentes formas de resolução, enfatizando assim tópicos muito
técnicos.
Nesse trabalho com as equações, não é apresentado nenhum tipo de
gráfico, trazendo-os apenas no capítulo destinado a funções.
Os conteúdos são ordenados linearmente e essa concepção do currículo
não favorece as interligações entre os diferentes campos da Matemática, como no
caso da Álgebra e da Geometria.
43
A Geometria que se apresenta é essencialmente a plana e aparece poucas
vezes ao se trabalhar a aplicação das equações em fórmulas matemáticas de
área, perímetro e volume.
São encontradas situações como a que descrevemos a seguir.
Situação: Num terreno retangular, a medida do contorno é de 80 metros. A
lateral mede o triplo da frente do terreno. Se for colocada grade de ferro na frente
do terreno, quantos metros de grade serão necessários?
Tarefa: Encontrar uma equação que represente essa situação e resolvê-la.
Técnica: Saber que o perímetro é a soma das medidas dos lados de um
polígono.
Discurso Teórico-Tecnológico: Resolução da fórmula do perímetro, que é
um tipo de equação.
No terceiro volume (7ª série), ao apresentar as expressões algébricas,
utiliza-se uma situação com seqüências de figuras, para observar regularidades,
mas não propõe atividades desse tipo, novamente colocando situações
envolvendo a utilização de fórmulas matemáticas de área, perímetro e volume.
Situação: Um retângulo mede (x + 5) cm de comprimento e 7 cm de
largura. Sabendo-se que a área desse retângulo tem 105 cm2, quanto mede o
comprimento desse retângulo?
Tarefa: Encontrar uma equação que represente a situação e resolvê-la
encontrando o comprimento do retângulo.
Técnica: Saber que a área do retângulo é a multiplicação da base pela
altura.
Discurso Teórico-Tecnológico: Resolução da fórmula de área do retângulo,
que também é um tipo de equação do 1º grau.
O quarto volume (8ª série), traz situações-problema similares às já
descritas aqui, ensinando ainda a completar quadrados e outros métodos de
resolução referentes a equações de 2º grau.
Contém ainda um capítulo sobre funções que são apresentadas nas formas
de tabela, fórmulas e gráficos. Ao falar da construção do gráfico da função de 2º
grau, orienta o aluno a seguir um roteiro “para obter de forma clara e precisa o
gráfico desejado” (p. 157).
1º) Determinamos as coordenadas do vértice: V (XV, YV).
44
2º) Organizamos uma tabela atribuindo à variável x alguns valores menores
que XV e alguns valores maiores que XV.
3º) Marcamos os pontos (X, Y) no plano cartesiano.
4º) Unindo esses pontos, construímos a parábola (p. 158).
Em seguida, apresentam-se exercícios do tipo:
Situação: Construa no plano cartesiano o gráfico das seguintes funções...
Tarefa: Construir um gráfico para cada função.
Técnica: Aplicar o roteiro sugerido para construção de gráficos da função.
Discurso Teórico-Tecnológico: Função polinomial de 2º grau, vértice e
parábola.
Nesse ponto, notamos a falta de exercícios apresentando o gráfico e
pedindo para se extrair a forma algébrica para representá-lo.
A metodologia adotada pelos autores é fazer a explanação da teoria com a
exposição de conceitos e procedimentos, trazendo exemplos que servem
modelos a serem seguidos em exercícios similares. Embora se tenha dado uma
atenção especial à resolução de problemas, essa abordagem não é utilizada
como metodologia na introdução dos conteúdos.
Aspecto 2 – As abordagens para introduzir e desenvolver a Álgebra No segundo volume (6ª série), aos alunos são apresentadas as equações
de 1º grau, o que os leva a resolver situações-problema envolvendo equações. A
abordagem da resolução de problemas permite encontrar procedimentos para
solucionar certos tipos de problemas.
Situação: Em uma prova do campeonato mundial de Fórmula 1, um
corredor desistiu da competição ao completar 2/5 do percurso total, por defeitos
mecânicos em seu carro. Se tivesse corrido mais 40 km, teria cumprido a metade
do percurso total. Qual é o percurso total dessa prova?
Tarefa: Encontrar um número que represente, em quilômetros, o percurso
total da prova.
Técnica: Formar uma sentença matemática representada por uma
igualdade, indicando esse número desconhecido por uma letra.
Discurso Teórico-Tecnológico: Sentenças matemáticas expressa por uma
igualdade, representando números desconhecidos por letras.
45
Ainda no segundo volume (6ª série), os alunos se deparam com equações
de 1º grau, sendo levados a traduzir problemas da linguagem usual para a
linguagem algébrica, ocorrendo assim um processo de generalização.
Os problemas são do tipo:
Situação: Um carpinteiro serra uma tábua de 1 m (ou 100 cm) em dois
pedaços. Um dos pedaços tem um comprimento igual ao triplo do outro. Calcular
os comprimentos dos dois pedaços.
Tarefa: Encontrar dois números que representem, em centímetros, os
comprimentos dos pedaços em que a tábua foi serrada.
Técnica: Indicar o comprimento do menor pedaço por uma letra, por
exemplo x, e o comprimento maior por 3x (três vezes esse comprimento).
Podendo escrever a sentença: x + 3x = 100.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equação do 1º grau sendo expressa por
uma sentença matemática.
Há ainda um capítulo sobre equações equivalentes trazendo exercícios do
tipo:
Situação: Obter uma equação equivalente à equação 3x + 10 = 4x, escrita
na forma mais simples.
Tarefa: Encontrar uma equação que apresenta o mesmo conjunto solução
que a equação dada.
Técnica: Aplicar o que os autores chamam de princípio de equivalência,
que consiste em adicionar ou multiplicar os dois membros da equação dada por
um mesmo número, diferente de zero.
Discurso Teórico-Tecnológico: Aplicação dos princípios de equivalência
para reduzir a equação em sua forma mais simples.
Percebemos a presença de modelos a serem seguidos cujos
procedimentos envolvem processos mecânicos.
No terceiro volume (7ª série), encontramos um capítulo sobre expressões
algébricas em que são atribuídas operações com números reais e polinômios de
forma mecânica. Observamos a Álgebra sendo apresentada por meio do estudo
das estruturas.
A abordagem funcional é estudada apenas no capítulo que trata da noção
de função, no quarto volume (8ª série). Aqui são trabalhadas situações que
envolvem relação entre duas grandezas variáveis, sendo expostos, em seguida,
46
exercícios que pedem para escrever a lei de formação da função, como na
situação abaixo.
Situação: Uma academia paga a seus professores a quantia de 15 reais
por aula mais uma quantia fixa de 200 reais como abono mensal. Então, a quantia
y que o professor recebe por mês é dada em função do número x de aulas que
ele dá durante o mês. Qual é a lei de formação dessa função?
Tarefa: Estabelecer a relação entre as variáveis número de aulas e a
quantia que recebe por mês.
Técnica: Perceber que o salário y a pagar vai depender do número x de
aulas que forem dadas.
Discurso Teórico-Tecnológico: Uso de uma lei (lei de formação) que
representa a correspondência entre grandezas variáveis.
A Álgebra é introduzida via resolução de problemas, porém esta não é a
única abordagem a ser desenvolvida pelos autores.
Notamos, ao longo da coleção, a Álgebra sendo apresentada pelas
diferentes abordagens: generalização, procedimento para resolução de
problemas, relação entre grandezas variáveis e estudo das estruturas.
O que nos possibilita dizer que a coleção contribui com a proposta de
trabalhar as várias concepções de Álgebra, como sugere nosso segundo aspecto.
Aspecto 3 – Os diferentes usos dados à idéia de variável No segundo volume (6ª série), ao resolver problemas envolvendo
equações, os autores enfatizam a utilização das letras ao se referirem a um
número desconhecido e afirmam que:
Toda sentença matemática expressa por uma igualdade, na qual haja uma ou mais letras que representem números desconhecidos dessa sentença, é denominada equação. Cada letra que representa um número desconhecido chama-se incógnita (GIOVANNI, CASTRUCCI e GIOVANNI JR, 2002, p. 110).
Assim, apresentam exercícios do tipo:
Situação: - Você pode dizer que a sentença matemática 3x + 15 = 81 é
uma equação? Justifique sua resposta.
47
- Por que a sentença matemática 25 + 23 = 22. 10 não é uma equação?
- A sentença matemática 3x = 10 - 2y é uma equação. Quantas incógnitas
há nessa equação?
Tarefa: Reconhecer uma equação e saber identificar suas incógnitas.
Técnica: Fazer uso da definição de equação.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações do 1º grau sendo expressas por
sentenças matemáticas contendo incógnitas.
A partir desse momento, em todo o trabalho com equações e inequações a
variável x é tida como incógnita, número desconhecido.
Ainda no segundo volume (6ª série), mais adiante há um capítulo sobre
grandezas proporcionais em que são observadas situações do tipo:
Situação: - O tempo que gasta numa viagem depende da velocidade do
veículo.
- A nota que um aluno tira na prova depende do número de questões que
ele acerta.
- A quantidade de tinta que se gasta para fazer uma pintura depende da
área a ser pintada.
Tarefa: Encontrar uma expressão que represente essa correspondência
entre as grandezas.
Técnica: Observar que existem grandezas que variam, uma dependendo
da outra.
Discurso Teórico-Tecnológico: Grandezas variáveis em que, uma depende
da outra, que se relacionam entre si, sendo então grandezas variáveis
dependentes.
No terceiro volume (7ª série), ao introduzir o cálculo algébrico, faz-se uso
de letra para representar números desconhecidos em situações do tipo:
Situação: Escreva: - o dobro de um número real adicionado ao dobro de
outro número real;
- o produto da soma pela diferença de dois números reais quaisquer;
- a soma dos quadrados de dois números reais quaisquer;
- a soma do quadrado com o triplo de um número qualquer.
Tarefa: Escrever uma expressão algébrica.
Técnica: Traduzir da linguagem usual para a linguagem algébrica,
representando números desconhecidos por uma letra.
48
Discurso Teórico-Tecnológico: Escrever operações matemáticas de uma
formam mais simples e sintética.
Em seguida, é apresentado o significado de expressão algébrica: “Uma
expressão matemática que apresenta números e letras, ou somente letras, é
denominada expressão algébrica ou literal” (p. 38).
Explica-se ainda que “a palavra literal vem do latim littera, que significa
letra” e que a palavra Álgebra vem do árabe al-jabr, e representa uma regra para
transformar uma igualdade em outra equivalente.
Acrescenta-se ainda que, “numa expressão algébrica, as letras, que
normalmente representam números reais, são chamadas variáveis” (p. 38).
Numa expressão algébrica as letras não são tidas como variáveis, o que
ocorre é apenas uma substituição de números por letras. Nesse momento os
autores poderiam ter explicitado melhor o conceito de variável.
Há situações que realmente as letras aparecem como variáveis, havendo
uma correspondência entre grandezas, como é o caso da situação que vamos
descrever agora.
Situação: Uma locadora cobra R$ 20,00 por dia pelo aluguel de uma
bicicleta. Além disso, ela também cobra, apenas no primeiro dia, uma taxa de R$
30,00. Chamando de x o número de dias que a bicicleta permanece alugada e de
y o valor total do aluguel, é correto afirmar que:
a) y = 600x
b) y = 50x
c) y = 30x + 20
d) y = 20x + 30
Tarefa: Associar as equações dadas àquela que representa a situação.
Técnica: Perceber que o valor total do aluguel depende do número de dias
que ela foi alugada.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equação do 1º grau havendo duas
grandezas se relacionando, uma dependendo da outra.
Nesse momento, poderia ser resgatada a noção de variável dependente e
independente, trazendo o tópico grandezas proporcionais que foi estudado na 6ª
série. O que ocorre apenas no quarto volume (8ª série) com o tratamento de
função.
49
Situação: Márcia ligou seu computador à rede internacional de
computadores Internet. Para fazer uso dessa rede ela paga uma mensalidade fixa
de R$ 30,00, mais 15 centavos de real (R$ 0,15) a cada minuto de uso.
a) Quanto gastará Márcia se, durante o mês, utilizar a Internet por 10h
20min?
b) Quantas horas ela poderá utilizar a Internet, se quer gastar, no máximo,
R$ 90,00 por mês?
Tarefa: Estabelecer a relação entre tempo e valor.
Técnica: Os autores sugerem o uso da lei de formação de uma função,
neste caso a relação de tempo e valor pode ser expressa por V = 30 + 0,15 t,
onde V é o valor a ser pago (em reais) e uma grandeza variável, t o tempo da
utilização (em minutos) e também uma grandeza variável. A variável V depende
da variável t.
Discurso Teórico-Tecnológico: Noção de função sendo apresentada por
meio da dependência de variáveis.
As variáveis foram apresentadas sob diferentes enfoques, porém faltou
explicitar melhor as variáveis como relações entre grandezas.
3. 2 Coleção TUDO É MATEMÁTICA – Luiz Roberto Dante Tudo é Matemática é uma coleção composta de quatro volumes, um para
cada série, de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental.
Cada volume é dividido em capítulos que por sua vez constam de algumas
seções: Introdução, objetivando dar uma idéia geral do que será estudado no
capítulo; Trocando idéias, para que os alunos conversem informalmente sobre o
tópico trabalhado naquele momento, com atividades para incentivar a observação,
discussão e generalização; Você sabia que ...?, trazendo uma informação ou
curiosidade que será usada pelo aluno; Desafio, com uma atividade mais
complexa que as demais; Oficina de Matemática, atividade em que o aluno
aprende fazendo, em geral, sugerindo o uso de materiais concretos; Revendo o
que aprendemos, exercícios para revisão do que foi abordado no capítulo; Projeto
em equipe, trabalho livre e criativo feito em equipe sobre o capítulo estudado;
Redação, no final de cada capítulo o aluno escreve livremente destacando os
50
pontos que achou mais significativos; Revisão cumulativa, uma seqüência de
exercícios de múltipla escolha que revisam contínua e cumulativamente os
conceitos e procedimentos fundamentais estudados nos capítulos anteriores,
encerrando cada capítulo com a seção Para ler, pensar e divertir-se, na qual há
textos, em geral sobre a história da Matemática, um desafio e uma atividade
recreativa.
Ao final de cada volume encontram-se um glossário, respostas aos
exercícios, sugestões de leituras complementares e bibliografia com referências
das obras utilizadas na elaboração da coleção.
Consta ainda o manual do professor, composto de duas partes: a primeira
é uma parte geral, comum a todos os volumes da coleção, e a segunda é uma
parte específica para cada volume.
Como nesta coleção há muitas inovações no conteúdo, na metodologia e na ênfase em determinados assuntos tornou-se fundamental a existência de um manual pedagógico com orientações e sugestões para facilitar o trabalho na sala de aula (DANTE, 2002, p. 6).
Aspecto 1 – Os PCNs e os Livros Didáticos
Em cada volume da coleção há uma seção de leituras que, em geral,
focaliza tópicos da história da Matemática, mostrando dificuldades e conquistas
de diferentes culturas em momentos distintos da História, comparando o que é
feito hoje com o que era feito no passado.
No segundo volume (6ª série), o capítulo que trata de equações apresenta
o seguinte texto sobre a origem da palavra álgebra, a respeito dos problemas
encontrados no papiro Rhind e sobre Diofante de Alexandria.
Em seguida, pede-se para o aluno pensar, com um exercício parecido com
alguns encontrados no papiro Rhind.
Situação: A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Dentro de
5 anos, a idade do pai será o triplo da do filho. Qual é a idade atual de cada um?
Tarefa: Montar uma equação que represente essa situação.
Técnica: Usar uma letra para representar a quantidade desconhecida.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações do 1º envolvendo números
desconhecidos.
51
Notamos nesse ponto a história da Matemática sendo utilizada para
introduzir problemas matemáticos, como sugere os PCNs.
O autor afirma que no primeiro volume (5ª série) já realiza um trabalho com
a Álgebra, trabalho este que chamou de pré-álgebra, em situações como a que
mostraremos a seguir:
Situação: Como podemos indicar os múltiplos de 5?
Tarefa: Encontrar uma representação para os múltiplos de 5.
Técnica: Os múltiplos de 5 são obtidos fazendo 5.0 = 0, 5.1 = 5, 5.2 = 10, e
assim por diante. O aluno deve perceber que todos os múltiplos de 5 podem ser
indicados por 5 vezes um número natural qualquer, 5.n, por exemplo.
Discurso Teórico-Tecnológico: Fazer generalizações por meio dos números
múltiplos de um número dado.
O autor também pede informalmente que o aluno determine o valor da letra
em: x + 7 < 10; 142 – m = 62; 2n = 32, mas é a partir do segundo volume (6ª
série) que ocorrem o estudo da construção da linguagem e o raciocínio algébrico.
No manual do professor o autor afirma ter incorporado na coleção muitos
dos recentes avanços dos estudos e das pesquisas em Educação Matemática, os
quais são explicitados nos PCNs. Assim, na parte comum a todos os volumes, o
autor reserva um capítulo para resolução de problemas. “Ao ter como prioridade a
construção do conhecimento pelo fazer e pensar, o papel da resolução de
problemas é fundamental para auxiliar o aluno na apreensão dos significados” (p.
41).
Ainda no primeiro volume (5ª série), o capítulo 3 trata da resolução de
problemas usando as operações fundamentais. O autor destaca os caminhos
para se resolver um problema, um esquema que será seguido por toda a coleção.
COMPREENDER o problema;
PLANEJAR a solução;
EXECUTAR o que planejou;
VERIFICAR se resolveu corretamente o problema;
RESPONDER à pergunta do problema (p. 61).
52
No segundo volume (6ª série) as equações são utilizadas para resolver
problemas, quando algumas orientações são dadas:
• Leia com atenção a situação dada verificando o que se conhece e o
que se vai determinar.
• Represente o valor desconhecido por uma letra.
• Escreva uma equação envolvendo essa letra, seguindo as informações
da situação.
• Resolva a equação obtendo o valor da letra.
• Faça a verificação conferindo se acertou a resposta.
• Escreva a resposta (p. 216).
Em seguida, são propostos exercícios para que o aluno siga essas
orientações.
Situação: Marcelo tinha certa quantia em dinheiro. Ganhou a mesma
quantia de seu pai e passou a ter R$ 250,00. Quanto Marcelo tinha inicialmente?
Tarefa: Escrever uma equação que represente a situação e resolvê-la.
Técnica: Representar o valor desconhecido por uma letra.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações do 1º grau sendo trabalhadas via
resolução de problemas.
Nesse volume, o trabalho com a Álgebra focaliza as expressões algébricas,
as equações, o conceito de proporcionalidade, sempre mediante resolução de
problemas, fazendo ainda conexões com geometria, grandezas e medidas.
Situação: Adauto vai colocar tijolos em volta de um canteiro retangular.
Para isso, colocou estancas nos quatro vértices e usou 24 m de barbante para
cercar o terreno e depois colocar os tijolos. Ao medir as dimensões do terreno,
verificou que o comprimento tinha o dobro da largura. Descubra a largura e o
comprimento desse terreno.
Tarefa: Descobrir o valor da largura e do comprimento do terreno.
Técnica: Escrever uma equação, fazendo uso do conceito de perímetro que
é dado somando-se as medidas dos lados do terreno, e resolvê-la.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equação do 1º grau sendo apresentada por
meio da fórmula de perímetro.
53
Nesse capítulo que trata de equações faltou apenas traduzir informações
contidas em gráficos para a linguagem algébrica, mas isso é feito no capítulo
seguinte que trata de proporcionalidade.
No terceiro volume (7ª série), o capítulo 5 trata de expressões algébricas,
equações e inequações. O autor retoma as noções da Álgebra dentro do espírito
do currículo em espiral, assim como sugere os PCNs.
A interligação com a Geometria é vista em vários exercícios contendo
perímetro, área e volume.
Há a atividade Máquinas Programadas (p. 112), que estimula o aluno a
fazer generalizações e obter expressões algébricas, além de ser uma preparação
ao estudo de funções, que é realizado na 8ª série.
Figura 1 Esta figura foi extraída do livro de DANTE. Tudo é Matemática, v. 3, p. 112, 2002
54
Em seguida, propõe-se um exercício.
Situação: Faça como Berenice e Joel, invente uma máquina programada.
Dê alguns valores para a entrada e peça a um colega que escreva os números da
saída. Resolva as operações da máquina que seu colega inventou.
Tarefa: Encontrar uma lei geral para criar a máquina.
Técnica: Pensar numa operação para essa criação.
Discurso Teórico-Tecnológico: Expressões algébricas sendo obtidas por
meio de uma lei.
O trabalho com fórmulas é feito de maneira interdisciplinar ao explorar o
conceito de densidade de um corpo, o gasto de energia elétrica, uma situação de
locação de veículos, etc. O autor afirma não haver necessidade de decorá-las,
pois o importante é saber aplicá-las.
No quarto volume (8ª série) o autor retoma o estudo da Álgebra introduzido
nas séries anteriores, até chegar às equações e sistemas de equações de 2º
grau, que é tratado no capítulo 2. É grande a ênfase dada à interpretação
geométrica da fatoração, com a intenção de visualizá-la e assim compreendê-la
melhor.
Várias aplicações da equação do 2º grau são apresentadas ao aluno, por
meio de conexões com a Geometria, com a Física e situação do cotidiano.
Situação: Numa região retangular o comprimento mede x + 3 e a largura
mede x + 1. O perímetro do retângulo é de 16 cm e a área da região retangular é
de 15 cm2.
a) Escreva uma equação tomando como base o perímetro.
b) Agora, escreva uma equação tendo por base a área da região
retangular.
c) Qual das equações é do 2º grau? Por quê?
d) Resolva a equação do 1º grau e determine a medida dos lados desse
retângulo.
Tarefa: Escrever as equações para representar a situação.
Técnica: Usar o conceito de perímetro, sendo dado por meio da soma das
medidas dos lados da região, e de área, sendo dada por meio da multiplicação
das medidas da base pela altura.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações do 1º e 2º graus sendo expressas
por meio de fórmulas de área e perímetro de uma região retangular.
55
No capítulo 7, trabalha-se uma das dimensões da Álgebra, que é o estudo
das funções. O objetivo é explorar intuitivamente a noção de função, assim como
traçar seus gráficos e interpretá-los.
Há uma conexão com Geometria e Medida; enfoque em tabelas e gráficos
em situações contextualizadas para se chegar à lei da função, às noções de
variável dependente e independente.
Aspecto 2 – As abordagens para introduzir e desenvolver a Álgebra Como já mencionamos, o trabalho com a Álgebra começou a ser
desenvolvido no primeiro volume (5ª série). Desde então vem sendo realizado um
trabalho com seqüências de figuras, em que o aluno deve perceber qual é a
próxima figura. Mas é a partir do segundo volume (6ª série) que podemos
observar a Álgebra sendo abordada sob diferentes enfoques.
No capítulo 1 que trata dos números naturais encontramos, além das
seqüências de figuras, as seqüências numéricas em situações como a que segue:
Situação: Copie esta tabela em seu caderno, descubra a seqüência e
complete-a.
Figura 2 Esta figura foi extraída do livro de DANTE. Tudo é Matemática, v. 2, p. 21, 2002
Tarefa: Descobrir o padrão dessa seqüência e completá-la.
Técnica: Relacionar o número dado com o resultado obtido, percebendo
que o número que deseja encontrar é o quadrado do número dado.
Discurso Teórico-Tecnológico: Generalização de padrões por meio de
seqüências numéricas.
No terceiro volume (7ª série), ao tratar das expressões algébricas, também
apresentam-se essas tabelas pedindo para examinar regularidades chegando a
uma expressão que a represente.
Em seguida, relata-se que usando as expressões algébricas podemos, por
meio de fórmulas, representar propriedades e regularidades, não apenas dos
56
números, mas das formas geométricas, das grandezas e medidas, da estatística e
das ciências em geral. Traz algumas situações como esta:
Situação: Use generalizações para responder a estas questões:
a) O dobro de um número par é par ou ímpar?
b) O dobro de um número ímpar é par ou ímpar?
c) O sucessor de um número par é par ou ímpar?
d) A metade de um número par é sempre par?
Tarefa: Fazer as verificações do que está sendo pedido por meio da
generalização.
Técnica: Usar uma letra para representar um número qualquer.
Discurso Teórico-Tecnológico: Generalização das expressões por meio de
expressões algébricas.
No quarto volume (8ª série), o capítulo 7 que trata da idéia de função
apresenta exercícios do tipo:
Situação: Copie e complete a tabela.
Figura 3 Esta figura foi extraída do livro de DANTE. Tudo é Matemática, v. 4, p. 157, 2002
Examine os dados da tabela, descubra a regularidade e escreva a fórmula
que associa o custo (C) com o número de peças (X).
Tarefa: Escrever a lei da função que representa a situação.
Técnica: Perceber que a variável custo depende da variável número de
peças.
Discurso Teórico-Tecnológico: Lei da função, variáveis dependente e
independente.
No segundo volume (6ª série), a Álgebra é abordada no capítulo 7 como
estudo das equações em que explora a resolução do cálculo mental, tentativa e
erro, diagramas, operações inversas e idéia de equilíbrio.
As situações propostas são do tipo:
Situação: No início da festa de Carla, o total de pessoas era 20. Depois o
número de homens dobrou e o de mulheres aumentou 4. Com isso o número de
57
homens ficou o mesmo que o de mulheres. Quantos homens e quantas mulheres
havia no início da festa?
Tarefa: Descobrir o números de homens e mulheres que havia no início da
festa.
Técnica: Usar uma letra para representar o número desconhecido, escrever
uma equação que represente a situação.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações sendo utilizadas como
procedimento para resolver problemas.
No terceiro volume (7ª série), o capítulo 5 trata das expressões algébricas,
das equações e das inequações.
Situação: Na loja de Sarita o plano de venda de eletrodomésticos é dado
pela expressão 100,00 + 5p, em que p representa o valor da prestação. Qual é o
valor de cada prestação na venda de um televisor cujo preço é de R$ 450,00?
Tarefa: Encontrar o valor de cada prestação do televisor.
Técnica: Achar a raiz da equação, igualando a expressão que representa o
plano de venda pelo valor do televisor.
Discurso Teórico-Tecnológico: Expressões algébricas sendo transformadas
em equações.
Também há exercícios em que se pede apenas para calcular uma equação
como 3x – 2 = 22, em que haverá apenas a utilização de técnicas.
No quarto volume (8ª série), há o capítulo 2 tratando de equações e
sistemas de equações do 2º grau, sendo trabalhados o grau da equação, as
raízes reais, uso da fatoração para resolver equações, interpretação geométrica
da fatoração, o método de completar quadrados, fórmula de resolução de uma
equação do 2º grau e sistemas de equações do 2º grau.
As situações são do tipo:
Situação: Renata tem 18 anos e Lígia, 15. Daqui a quantos anos o produto
de suas idades será igual a 378?
Tarefa: Escrever a equação que representa a situação e resolvê-la.
Técnica: Substituir a quantidade desconhecida, neste caso o número de
anos, por uma letra.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações do 2º sendo utilizada como
procedimento para resolver problemas.
58
No segundo volume (6ª série), a Álgebra é vista como estrutural ao tratar
das expressões algébricas equivalentes como:
Situação: Escreva a expressão algébrica equivalente a 2x + 3(x + 1).
Tarefa: Escrever a equivalência da expressão e resolvê-la.
Técnica: Usar a propriedade distributiva para encontrá-la.
Discurso Teórico-Tecnológico: Expressões algébricas sendo substituída
por uma expressão equivalente.
No terceiro volume (7ª série), o capítulo 7 trata de cálculo algébrico em que
é realizado todo o trabalho com monômios, polinômios e produtos notáveis. Aqui
podemos perceber a Álgebra como estrutural. Por exemplo:
Situação: (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab +b2
Tarefa: Fazer cálculos algébricos.
Técnica: Multiplicação de binômios.
Discurso Teórico-Tecnológico: Fatorar um polinômio, transformando-o em
um produto.
No quarto volume (8ª série), é o momento de todas as técnicas
desenvolvidas na 7ª série serem aplicadas.
A abordagem funcional é iniciada no segundo volume (6ª série) quando
trabalha com equações como C = 1,70x, em que o custo C da gasolina é dado em
função do número de litros x que se compra (considerando, nesse caso, que cada
litro custa R$ 1,70).
No terceiro volume (7ª série), o capítulo 5 que trata das equações
apresenta problemas do tipo:
Situação: Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90
por quilômetro rodado. Escreva a fórmula que indica a quantia a pagar (Q) se o
número de quilômetros rodado for n.
Tarefa: Escrever uma fórmula usando os dados do problema.
Técnica: Relacionar a quantia a ser paga com o número de quilômetros
rodados.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações sendo representadas por meio de
fórmulas.
59
No quarto volume (8ª série), o capítulo 7 apresenta a idéia de função, lei da
função, as variáveis, a representação gráfica, função do 1º e 2º graus, em
situações como a que segue.
Situação: Gustavo é representante comercial. Ele recebe mensalmente um
salário composto de duas partes: uma fixa, no valor de R$ 1.200,00, e uma
variável, que corresponde a uma comissão de 7% (0,07) sobre o total de vendas
que ele faz durante o mês.
Considere S o salário mensal e x o total das vendas do mês.
a) Qual é a variável dependente?
b) Qual é a lei da função ou fórmula que associa S a x?
c) Se o total de vendas no mês de setembro foi de R$ 10.000,00, quanto
Gustavo recebeu nesse mês?
d) O salário do Gustavo varia de forma diretamente proporcional ao total
de vendas que ele faz durante o mês?
Tarefa: Escrever a lei da função para a situação e usá-la para responder as
questões.
Técnica: Associar a variável salário mensal e a variável total de vendas do
mês.
Discurso Teórico-Tecnológico: Função sendo dada por meio de uma lei de
formação, em que duas grandezas variáveis se relacionam entre si, uma
dependendo da outra.
Notamos, ao longo da coleção, a Álgebra sendo desenvolvida por meio de
diferentes abordagens.
Aspecto 3 – Os diferentes usos dados à idéia de variável No segundo volume (6ª série) é que se dá efetivamente o trabalho com a
Álgebra, tratando o capítulo 7 das equações e apresentando-as como:
Sentenças como x + 8 = 31 e 3n – 7 = 9 são chamadas de equações e são muito usadas para resolver problemas. Note que equações são igualdades que contêm pelo menos uma letra que representa um número desconhecido. Essa letra, que está no lugar do número desconhecido, chama-se incógnita. Resolver uma equação é encontrar o valor da incógnita, do número desconhecido (DANTE, 2002, p. 211).
60
A partir daí, vários métodos de resolução são apresentados, como por
tentativa e erro, por cálculo mental, pelo uso de diagramas, pelo uso das
operações inversas e pela idéia de balança em equilíbrio, porém os enunciados
dos problemas são todos do tipo:
Situação: Resolva a equação....
Tarefa: Encontrar o valor desconhecido, incógnita.
Técnica: Usando um dos métodos de resolução de equações: tentativa e
erro, cálculo mental, diagramas, operações inversas, balança em equilíbrio...
Discurso Teórico-Tecnológico: Aplicação de métodos para resolução de
equações.
Ao tratar das expressões algébricas equivalentes encontramos situações
como:
Situação: Escreva em seu caderno expressões equivalentes a
a) 8a + 7a
b) 5x + x + 9x
c) 7y – 2y
d) 5 (y – 1)
Tarefa: Escrever uma expressão que seja equivalente à expressão dada.
Técnica: Usar a propriedade distributiva.
Discurso Teórico-Tecnológico: Expressões algébricas sendo utilizadas por
meio de expressões equivalentes
Nestes dois casos apresentados a letra é apenas um símbolo abstrato.
No terceiro volume (7ª série), o capítulo 5 o autor trata das expressões
algébricas ou expressões literais dizendo ser estas “as expressões que indicam
operações matemáticas contendo números e letras” (p. 113).
O trabalho é iniciado com a situação das máquinas programadas, já
mencionadas aqui, assim o autor explica que em cada item as letras assumem
valores variados e por isso as letras recebem o nome de variável da expressão
algébrica.
Nesse momento as atividades propostas objetivam identificar a variável
nas expressões literais.
Em seguida, traz as equações recordando que na equação a letra é
chamada de incógnita, por representar um número desconhecido.
61
No capítulo 7, ao trabalhar o cálculo algébrico com monômios, polinômios e
produtos notáveis, a letra é apenas um símbolo abstrato, chamado parte literal.
O quarto volume (8ª série) retoma todo o estudo da Álgebra introduzido nas
séries anteriores, ampliando-os e aprofundando-os, trabalhando com as equações
e sistemas de equações do 2º grau e introduzindo o estudo das funções.
Ao estudar as equações e as expressões algébricas, o tratamento dado à
letra é o mesmo das séries anteriores, são números desconhecidos, incógnitas e
também símbolos abstratos.
No capítulo 7, ao explorar a idéia de função, associando-a a tabelas,
fórmulas e gráficos, traz a seguinte situação:
Situação: A tabela abaixo relaciona duas grandezas variáveis: a medida do
lado de um quadrado (l) e o seu perímetro (P).
a) Copie em seu caderno e complete-a.
Figura 4 Esta figura foi extraída do livro de DANTE. Tudo é Matemática, v. 4, p. 156, 2002
b) Observe os dados da tabela, descubra qual é o padrão e escreva a
fórmula que dá o perímetro (P) em função da medida do lado (l).
c) O perímetro de um quadrado varia de forma diretamente proporcional à
medida de seu lado? Explique sua resposta.
Tarefa: Descobrir qual é o padrão e representá-lo por uma fórmula.
Técnica: Usar o conceito de perímetro dado por meio da soma das
medidas dos lados do quadrado.
Discurso Teórico-Tecnológico: Lei da função por meio da observação de
variáveis dependentes.
Em seguida, o autor explica que nessa situação há duas variáveis: o
perímetro e o lado do quadrado. E que o perímetro por depender da medida do
lado é a variável dependente; e a medida do lado, como é de livre escolha, é
chamada variável independente.
62
3. 3 Coleção MATEMÁTICA PARA TODOS – Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis
Matemática para todos é uma coleção composta de quatro volumes, um
para cada série, de 5ª a 8ª série do Ensino Fundamental.
Os volumes são divididos em capítulos, que por sua vez são subdivididos
em itens. Cada item começa com uma apresentação contextualizada do
conteúdo, seguida da seção Conversando sobre o texto, com perguntas que
buscam incentivar a exposição do pensamento do aluno e a troca de idéias.
Sucedem-se as seções: Problemas e exercícios, com atividades para sala de
aula; Problemas e exercícios para casa, momento em que os alunos trabalham
individualmente sem o auxílio do professor; Um toque a mais, intercalado entre
dois capítulos, esta seção contém uma atividade de investigação, um texto sobre
a história da Matemática, uma técnica, uma coleção de problemas, uma seção de
cálculo mental, etc. e a seção Ação propondo atividades com materiais auxiliares
e jogos.
Ao final de cada volume encontram-se ainda as seções: Sugestões de
leitura para o aluno, Referências bibliográficas, Problemas e exercícios
complementares, Supertestes, Dicionário e Conferindo respostas.
O manual do professor é tido como Assessoria Pedagógica, que é
composto da apresentação da obra e dos autores; comentários sobre o ensino de
Matemática e como a coleção se insere nesse contexto; propostas para
avaliação; orientação para o desenvolvimento dos conteúdos e das conexões
matemáticas com outras áreas do conhecimento; sugestões de como utilizar
diferentes recursos didáticos; comentários e respostas das questões do texto;
fontes para atualização e aperfeiçoamento do docente e um bloco de folhas
especiais para uso nas atividades propostas aos alunos.
Aspecto 1 – Os PCNs e os Livros Didáticos No primeiro volume (5ª série), o capítulo 14 com o tema Generalizações
começa por fazer substituições de números por expressões do tipo “qualquer
número” que em seguida é trocada pela letra x. Mas é no segundo volume (6ª
série) que a Álgebra é introduzida efetivamente.
63
A história da Matemática está presente na seção Um toque a mais. Os
autores declaram, no manual do professor, que “elementos históricos podem
motivar o aprendizado de matemática ou contribuir para que ele se desenvolva”
(p. 59).
Assim, no segundo volume (6ª série), ao estudar padrões numéricos, é
apresentado o texto Um padrão que entrou para a história, relatando como o
matemático Gauss, quando menino, descobriu o resultado de uma enorme adição
de números consecutivos. No capítulo 13, ao se tratar das equações, é contada a
história do uso das letras por matemáticos árabes e egípcios, falando sobre o
Papiro de Rhind.
No terceiro volume (7ª série), é apresentado, no capítulo 11 que trata de
cálculo algébrico, o texto Um pouco de história: o início da álgebra, relatando a
origem da palavra álgebra e fatos do seu desenvolvimento.
No quarto volume (8ª série), no capítulo 6 que cuida das equações de 2º
grau, encontramos o texto De onde veio a fórmula de Bhaskara?, contando fatos
da vida e obra de Bhaskara e outros matemáticos.
Ao final de todos os textos há uma situação propondo ao aluno refletir
sobre o assunto.
Assim, percebemos que os fatos históricos são apresentados de acordo
com a proposta dos PCNs.
Todos os itens trazem a seção Problemas e exercícios, contendo uma série
de problemas relacionados ao assunto tratado inicialmente, mas há casos em que
o conteúdo é abordado por meio da resolução de problemas, sendo estes
expostos antes da teoria.
No segundo volume (6ª série), o capítulo 13 apresenta as equações e os
modos de trabalhar com elas, mostrando assim o uso das letras para resolver
problemas. Inicia com a situação:
Situação: Maria deu a Clara o mesmo que Clara já possuía. Cada uma das
duas ficou com 368 reais. No começo, quanto Clara tinha?
Tarefa: Descobrir o valor da quantia de Clara.
Técnica: Usar uma letra para representar o que Maria deu a Clara, exemplo
x, lembrando que essa é a mesma quantia que ela já tinha, portanto x + x. Assim
montar a equação: x + x = 368.
64
Discurso Teórico-Tecnológico: Equação do 1º grau sendo utilizada como
procedimento para resolver problemas.
A partir dessa situação, o autor explica a importância de usar letras para
representar números desconhecidos, levantando outras questões.
No terceiro volume (7ª série), o capítulo 5 retoma as idéias de Álgebra
vistas na 6ª série e apresenta um tópico resolvendo problemas, em que propõe
problemas do tipo:
Situação: A professora da 1ª série comprou bombons para dar a seus
alunos no Dia da Criança. Ela deu 9 bombons para cada aluno, sobrando 13.
Entretanto, se desse 10 para cada um, faltariam 10. Quantos eram os alunos? E
os bombons?
Tarefa: Descobrir o número de alunos e o número de bombons.
Técnica: Usando uma letra para representar o número de bombons,
verificar que há duas expressões que dão a quantidade de bombons: 9 . x + 13,
dando 9 bombons para cada um sobram 13, e 10 . x – 10, dando 10 bombons
para cada um faltam 10.
Discurso Teórico-Tecnológico: Situação-problema sendo representada por
meio de uma expressões algébrica.
No quarto volume (8ª série), o capítulo 3, que trata de equações e
fatoração, ilustra processos para isolar a incógnita, isto é, deixar a incógnita
sozinha em um dos lados da igualdade. Para isso destaca dois modos: inverter
operações e efetuar a mesma operação nos dois lados da igualdade.
Para os dois modos é apresentado um esquema como o que mostramos a
seguir.
Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações (p. 55)
Procedimento e justificativa Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá
16 + 2, isto é 18. (Invertemos a
subtração.)
Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual
a 18 : 3, ou seja, 6. (Invertemos a
multiplicação por 3.)
Registro
3x – 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
x = 18/3
x = 6
65
A partir de então esse esquema é adotado em todo o trabalho com
equações e sistemas de equações.
Os exercícios propostos são do tipo:
Situação: Resolva as equações. Use o recurso ou o processo que quiser,
mas justifique seus procedimentos.
Tarefa: Resolver a equação justificando o processo de resolução.
Técnica: Usar o processo de inverter operações ou o de efetuar a mesma
operação nos dois lados da igualdade.
Discurso Teórico-Tecnológico: Uso dos procedimentos, invertendo
operações e efetuando a mesma operação dos dois lados da igualdades,
justificando e registrando as respostas.
No capítulo 6 os autores falam sobre duas competências básicas que,
segundo eles, os estudantes precisam desenvolver: uma é ler, interpretar e se
expressar; a outra é resolver problemas.
Os autores dão algumas orientações ao se referir ao uso de equações ou
sistemas de equações na resolução de problemas e alertam que os problemas
propostos nesse item envolvem a determinação de uma quantidade.
Segundo eles, o primeiro passo é interpretar adequadamente o enunciado
do problema, compreender o que ele informa e o que pede. O segundo passo é
identificar com clareza a quantidade que se quer determinar e o terceiro passo é
expressar-se, comunicar-se, traduzindo assim as informações do problema para a
linguagem da Álgebra.
No primeiro volume (5ª série), encontramos a observação de regularidades
de padrões numéricos e geométricos, e atividades envolvendo esses padrões são
trabalhadas também na 6ª série em atividades como a que mostraremos a seguir.
Situação: Observe a seqüência de figuras:
66
Figura 5 Esta figura foi extraída do livro de IMENES e LELLIS. Matemática para Todos, v. 2, p.
195, 2002
a) O número de bolas da figura 1 é F1 = 2; da figura 2 é F2 = 6; da figura 3
é F3 = 12; etc. Responda: qual é o valor de F7?
b) Complete a fórmula Fn = ?.
Tarefa: Encontrar um padrão e completar a fórmula.
Técnica: Relacionar as bolinhas da figura com a sua posição (F1, F2,...).
Discurso Teórico-Tecnológico: Regularidade de padrão geométrico por
meio da relação de números de bolinhas com a posição da figura.
No terceiro volume (7ª série), ao realizar o trabalho com as equações, é
feita a interligação com a Geometria, tratando de perímetro, área e volume.
Situação: Em um retângulo, o lado maior é igual ao triplo do lado menor,
mais 5 metros.
a) Se o lado menor mede x, quanto mede o outro lado?
b) Obtenha a fórmula que dá o perímetro P desse retângulo. Essa fórmula
deve ser simplificada.
c) Sabendo que o perímetro P tem 17 metros, calcule o valor de x,
resolvendo uma equação.
Tarefa: Obter uma fórmula para representar a situação e resolvê-la.
Técnica: Somar as medidas dos lados do retângulo, cujo resultado é o
perímetro, e igualar a 17.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações por meio da fórmula do perímetro.
67
No quarto volume (8ª série), a Álgebra relacionando-se com a Geometria
também pode ser observada em atividades envolvendo perímetro, área e volume
ao trabalhar a equação de 2º grau.
Percebemos a Álgebra sendo interligada à Geometria indo ao encontro dos
objetivos propostos pelos PCNs.
Aspecto 2 – As abordagens para introduzir e desenvolver a Álgebra Como já mencionamos, o primeiro volume (5ª série) apresenta um capítulo
que valoriza o trabalho com generalizações, estimulando assim a generalização
pela observação de padrões ou regularidades, introduzindo a Álgebra na medida
em que introduz as letras para expressar conclusões gerais.
Este assunto é trabalhado de forma ainda mais ampla no segundo volume
(6ª série), em que verificamos a Álgebra sendo abordada via generalização.
No terceiro volume (7ª série) além de situações como estas encontramos
atividades como:
Situação: Escreva a expressão algébrica correspondente a:
a) o triplo de um número, mais um;
b) um número par;
c) a metade de um número;
d) o consecutivo de um número natural.
Tarefa: Passar as frases para a linguagem algébrica.
Técnica: Escolher uma letra para representar um número natural qualquer.
Discurso Teórico-Tecnológico: Expressão algébrica sendo utilizada para
traduzir sentenças da linguagem usual para a simbólica.
No quarto volume (8ª série), temos um capítulo sobre técnica algébrica
tratando de produtos notáveis e fatoração, sendo todo o trabalho realizado pela
identificação de um padrão. Assim a Álgebra pode ser tratada pela abordagem da
generalização.
No segundo volume (6ª série), a Álgebra é abordada no capítulo 13 como
estudo das equações em que explora a resolução de problemas, balança em
equilíbrio e regra de três.
As situações propostas são do tipo:
68
Situação: Um número é somado com 17 e o resultado é multiplicado por
15. No final, obtém-se 60. Qual é o número?
Tarefa: Encontra o número desconhecido.
Técnica: Atribuir uma letra para representar esse número e montar uma
equação.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equação do 1º grua sendo utilizada para
resolver problemas.
No terceiro volume (7ª série), as equações são apresentadas como uma
balança em equilíbrio e depois são tratadas como fórmula.
Situação: Os táxis de Belo Horizonte cobram R$ 0,50 por quilômetro
rodado mais R$ 2,90 a bandeirada.
a) Quanto se paga por uma corrida de 3,5 km?
b) Deduza uma fórmula para calcular a quantia a pagar Q numa corrida de
x quilômetros.
c) Se o custo de uma corrida foi R$ 7,40, quantos quilômetros foram
rodados?
Tarefa: Escrever uma fórmula para representar a situação e usá-la para
responder as questões.
Técnica: Associar a variável quilômetros rodados e a variável valor da
corrida.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações sendo apresentadas como
fórmulas matemáticas, em que há variáveis relacionando-se entre si.
Neste momento os autores poderiam ter trabalhado as variáveis
dependente e independente, assunto que é tratado apenas no quarto volume (8ª
série).
No quarto volume (8ª série), o capítulo 3 cuida das equações e fatoração.
Percebemos nesse ponto a predominância de exercícios para aplicação de
técnicas, os autores trabalhando com o método que chamam de “isolar a
incógnita”.
Em seguida, apresentam o método da fatoração do trinômio quadrado
perfeito; as situações propostas são de procedimentos mecânicos.
Os enunciados são do tipo:
Situação: - Complete o trinômio quadrado perfeito...
69
- Use a fatoração e resolva as equações...
- Resolva as equações...
Tarefa: Resolver a equação.
Técnica: Fazer uso dos procedimentos estudados: “isolar a incógnita” e
fatoração do trinômio quadrado perfeito.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações sendo resolvidas pelo método da
fatoração, do trinômio quadrado perfeito e pelo método “isolar a incógnita”.
A Álgebra nesse momento pode ser vista como estudo das estruturas, pois
os procedimentos apresentados são realizados por meios mecânicos, o que nos
permite observar as variáveis sendo tratadas apenas como símbolos arbitrários a
serem manipulados.
Esse processo continua no capítulo 6 em que traz as equações e sistemas
de equações de 2º grau, apresentando a fórmula de Bhaskara e aplicando-a nos
exercícios seguintes.
Observamos que os gráficos poderiam ter sido apresentados desde a 6ª
série, com as equações de 1º grau, porém a coleção os inclui apenas neste
volume (8ª série), no capítulo 10 que trata de funções.
O trabalho com as funções é realizado primeiramente por meio de tabelas
e fórmulas, em que se pede para observar a variável dependente e a variável
independente, introduzindo, a seguir, os gráficos da função.
Após os exemplos deixa um resumo contendo os passos (em ordem) da
construção do gráfico de uma função: fórmula, tabela, marcar os pontos e unir os
pontos.
Os exercícios que seguem são para construir gráficos, tanto da equação de
1º grau como da equação de 2º grau. Faltou apresentar os gráficos e pedir para o
aluno dizer a forma (lei de formação) algébrica que o representa.
No mesmo capítulo traz um item intitulado Usando funções, mostrando a
utilidade destas para resolver problemas práticos.
As situações são como a que apresentaremos a seguir.
Situação: O lucro L obtido por uma companhia de viagens em certa
excursão é função do preço x cobrado de cada pessoa. Se x for um número muito
pequeno, o lucro é negativo, ou seja, prejuízo. Se x for um número muito grande,
o lucro também será negativo porque poucas pessoas farão a excursão. Um
70
economista, estudando a situação, deduziu a fórmula para L em função de x: L = -
x2 + 90x – 1400 (L e x em unidades monetárias convenientes).
a) Haverá lucro se o preço for x = 20?
b) E se o preço for x = 70?
c) O que acontece quando x = 100? Explique.
d) Esboce o gráfico dessa função.
e) Quanto deve cobrar a companhia para ter lucro máximo? Qual é esse
lucro?
Tarefa: Substituir os valores de x na equação, comparar os resultados,
esboçar o gráfico.
Técnica: Usar algum método já estudo de resolução de equação de 2º
grau, completar quadrados, fatoração, fórmula de Bhaskara, soma e produto.
Discurso Teórico-Tecnológico: Função, variáveis, ponto máximo da
parábola.
Notamos que, embora a Álgebra tenha sido estudada de diferente maneira,
algumas abordagens poderiam ter sido encaminhadas muito antes, como é o
caso da abordagem funcional, que poderia ter sido apresentada na 6ª série, ao
trabalhar grandezas, mesmo que superficialmente.
Observamos ainda a presença de processos muito técnicos, por exemplo,
o capítulo 14 do quarto volume (8ª série) é intitulado Técnica algébrica, e o
conteúdo que apresenta é a fatoração e produtos notáveis. Poder-se-ia
apresentá-los algebricamente, mas isso não ocorre.
Aspecto 3 – Os diferentes usos dados à idéia de variável O primeiro volume (5ª série), ao expressar conclusões gerais substituindo
números por letras, destaca que a letra representa um número qualquer.
No segundo volume (6ª série), o capítulo 11, que fala sobre o uso das
letras em matemática, traz as atividades envolvendo seqüências de figuras.
Nesse ponto, percebemos a variável sendo usada como generalizadora de
modelos, com a função de traduzir e generalizar.
No capítulo 13, ao introduzir as equações, os autores explicam:
71
Equações são igualdades, ou seja, nelas aparece o sinal =. O número desconhecido representado por letra é chamado incógnita. Ao resolver uma equação estamos procurando o número desconhecido, ou seja, o valor da incógnita (IMENES e LELLIS, 2002, p. 230).
Os exercícios são do tipo:
Situação: Qual é o número que, somado ao dobro do seu consecutivo,
resulta em 107?
Tarefa: Encontrar o número desconhecido, incógnita.
Técnica: Representar o número desconhecido por uma letra, escrever uma
equação que represente a situação e resolvê-la.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equação do 1º grau sendo utilizada para
resolver problemas.
Em todo o trabalho com equações a variável é tratada como incógnita,
número desconhecido e sua função é simplificar e resolver.
O terceiro volume (7ª série) retoma as idéias da Álgebra apresentadas na
6ª série e fala sobre o uso de fórmulas explicando:
a fórmula é usada para expressar uma conclusão geral. Por isso, as letras de uma fórmula representam variáveis. Já nas equações, uma letra representa uma quantidade desconhecida. Elas são usadas quando procuramos um número que satisfaça certas condições (IMENES e LELLIS, 2002, p. 71).
Nesse momento, as atividades são do tipo:
Situação: Para calcular o índice de massa corpórea, os médicos usam a
seguinte fórmula: I = p/a2, sendo I o índice, p o peso (em quilogramas) e a a altura
(em metros) da pessoa. Para as mulheres, I deve estar entre 18 e 22:
• Se I < 18, a mulher deve engordar.
• Se I > 18, a mulher emagrecer.
a) Uma mulher com 1,60m de altura e 60kg precisa engordar ou
emagrecer?
b) Uma menina usou a fórmula e obteve I = 20. Sua altura é 1,50m.
Quanto ela pesa?
Tarefa: Substituir os valores dados na fórmula para responder as questões.
Técnica: Relacionar as variáveis peso e altura para obter o índice.
72
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações sendo apresentada por meio de
fórmulas.
Assim podemos ver as letras como variável; seu valor varia porque elas
podem representar, dentro dos seus limites, quaisquer números.
No trabalho com fatoração e produtos notáveis no terceiro e quarto
volumes, as variáveis são tratadas apenas como um símbolo abstrato, por
exemplo, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
No quarto volume (8ª série), o capítulo que trata das funções começa
expondo algumas frases:
Situação: - A área de um quadrado é dada em função da medida de seu
lado.
- O imposto de renda que uma pessoa paga é dado em função de seu
salário.
- A quantidade de combustível que um veículo consome por um quilômetro
rodado é dada em função de sua velocidade.
Tarefa: Entender a idéia de função, visto que, se uma quantidade mudar,
mudará o valor da outra.
Técnica: Perceber uma quantidade dependendo da outra.
Discurso Teórico-Tecnológico: Funções sendo tratadas por meio de
dependência de variáveis.
Assim percebemos o uso da variável como duas grandezas que variam,
uma dependendo da outra.
3.4 Coleção MATEMÁTICA E REALIDADE – Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antônio Machado
Matemática e realidade é uma coleção composta de quatro volumes, um
para cada série, de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental.
Os volumes são subdivididos em unidades que, por sua vez, são
apresentadas subdivididas em capítulos com uma dose de teoria, contendo
conceitos e regras e exercícios para classe e para casa.
Nas unidades, encontram-se as seções: Testes, questões de múltipla
escolha em que o aluno pode medir seu aproveitamento; Matemática em notícia,
em que há a utilização da reprodução de um texto de jornal ou revista;
73
Matemática no tempo, trazendo a história das descobertas matemáticas;
Desafios, problemas não rotineiros que exigem solução mais elaborada.
Ao final de cada livro são fornecidas as respostas dos exercícios propostos,
exceto os problemas das seções Desafios e Testes.
O manual do professor consta no final de cada volume da coleção
contendo: estrutura e objetivos da obra; os principais temas desenvolvidos;
conteúdos e objetivos específicos de cada série; avaliação do processo educativo;
sugestões de atividades; resolução dos exercícios; resolução dos desafios;
resolução das questões de Matemática em notícia; resolução das questões
Matemática no tempo e leituras recomendadas ao professor.
Os principais temas desenvolvidos nos quatro volumes são: Números,
Aritmética aplicada, Estatística, Geometria, Unidades de medidas, Cálculo
algébrico, Equações, Inequações e sistemas e Funções.
Aspecto 1 – Os PCNs e os Livros Didáticos
Os autores explicitam que no primeiro volume (5ª série) não há
representação de números por letras, o que é introduzido na 6ª série. O tema
cálculo algébrico é estudado nas 6ª, 7ª e 8ª séries.
Assim, nos três volumes que tratam das noções algébricas há unidades
que se encerram com a seção Matemática no tempo, textos a respeito da história
das descobertas matemáticas.
No segundo volume (6ª série), após serem trabalhadas as noções iniciais
de Álgebra e apresentadas equações e inequações, encerra-se a unidade com
um texto intitulado Equações, relatando em que momento da história apareceu a
palavra Álgebra, qual seu significado, quando se começou a generalizar a
utilização de símbolos para representar incógnitas algébricas, etc.
No terceiro volume (7ª série), quando trata de expressões algébricas, ao
fim da unidade traz o texto A Álgebra literal, relatando as vantagens da utilização
de letras para representar entes matemáticos, assim como no quarto volume (8ª
série) com o texto A fórmula de Bhaskara a respeito da contribuição dada por
Bhaskara para a resolução da equação quadrática.
Ao final de cada texto são levantadas algumas questões propondo ao aluno
refletir sobre o texto. Dentre as várias questões, utilizaremos algumas como
exemplo.
74
Situação: - Quando começou a se generalizar a situação de símbolos para
representar as incógnitas algébricas e qual a conseqüência disso para a ciência
matemática?
- Qual a vantagem da utilização de letras para representar entes
matemáticos?
- De que forma Bhaskara contribuiu para a resolução da equação
quadrática?
Tarefa: Expressar sua reflexão sobre o texto.
Técnica: Retirar do texto informações que justifiquem sua interpretação.
Discurso Teórico-Tecnológico: A história da utilização dos símbolos
matemáticos.
Assim, percebemos que os fatos históricos estão sendo apresentados
dentro da proposta dos PCNs.
No segundo volume (6ª série), encontramos a unidade que trata das
equações e inequações, constando o capítulo 22 que cuida exclusivamente da
resolução de problemas, expondo um esquema a ser seguido:
Figura 6 Esta figura foi extraída do livro de GIOVANNI, CASTRUCCI e GIOVANNI JR.
Matemática e Realidade, v. 2, p. 178, 2000.
Logo após, propõem atividades para que o aluno faça uso desse esquema,
do tipo:
Situação: O dobro da quantia que Jair possui e mais R$ 18,00 dá R$ 66,00.
Quanto Jair possui?
75
Tarefa: Ler o problema, montar uma equação com suas informações e
resolvê-la.
Técnica: Estabelecer a incógnita escrevendo uma condição para ela.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equação do 1º grau sendo utilizada para
resolver problemas.
No segundo volume (6ª série), encontramos uma unidade que se refere a
equações e inequações, trazendo um capítulo sobre as noções iniciais de
Álgebra. Percebemos que os exercícios propostos têm como objetivo traduzir as
sentenças expressas em linguagem usual para linguagem simbólica, fazendo com
que o aluno reconheça que representações algébricas permitem expressar
generalidades sobre propriedades das operações aritméticas, e que traduza as
informações contidas em tabelas em linguagem algébrica, embora não faça o
contrário e também não apresente os gráficos nesse momento. Os gráficos são
trabalhados de forma isolada no final do livro.
O livro traz ainda uma interligação empregando noção de Álgebra e de
Geometria, como mostra a situação abaixo.
Situação: “Num retângulo, um lado mede 10 cm a mais que o outro.
Representando por x a medida em centímetros do menor lado, dê as expressões
que representam:
a) a medida (em centímetros) do maior lado;
b) o perímetro do retângulo;
c) a área do retângulo.” (p.159)
Tarefa: Escrever as expressões algébricas para representar as medidas
pedidas.
Técnica: Substituição do menor lado por x e aumentar 10 cm para obter o
maior lado.
Discurso Teórico-Tecnológico: Uso das expressões algébricas em
situações que envolvem conceitos da geometria.
No terceiro volume (7ª série), os autores voltam ao assunto de equações e
inequações introduzindo cada tópico com problemas e situações cotidianas. Os
76
autores relembram o esquema de resolução de problemas visto na série anterior
e expõem atividades para que os alunos utilizem esse esquema.
Nesse momento há também o incentivo para que o aluno confira a
resposta do problema.
Vale ainda lembrar que você sempre pode conferir se acertou os cálculos ao resolver uma equação: é só testar se o número encontrado é realmente raiz da equação. Para isso, colocando-o em lugar do x, deve obter uma sentença verdadeira (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2000, p. 245).
Os autores apresentam, bem a frente, de forma dissociada das equações,
um capítulo sobre grandezas proporcionais, mostrando nesse ponto
correspondência entre grandezas, fazendo, assim, uma abordagem informal do
conceito de função.
Os autores objetivam nesse volume que o aluno seja capaz de: reconhecer
uma expressão algébrica; equacionar e resolver problemas do 1º grau; identificar
incógnitas e parâmetros; resolver problemas com duas incógnitas (sistemas);
trabalhar com a representação geométrica, resolver inequações do 1º grau, etc.
No quarto volume (8ª série), ao trazer as equações do 2º grau, é
apresentada uma situação-problema:
Situação: Em torno de uma quadra de futebol de salão de comprimento 15
m e largura 8 m deseja-se deixar uma faixa de largura constante. A área da
quadra, com a faixa, deve ser 198 m2. Qual deve ser a largura da faixa?
Tarefa: Ler o problema, montar uma equação que represente essa situação
e resolvê-la.
Técnica: Usar o conceito de área de retângulo dado pelo produto da
medida sua largura pela medida do seu comprimento.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações do 2º sendo utilizada como
procedimento para resolver problemas.
No quarto volume (8ª série), o estudo das equações do 2º grau começa
com a resolução sem fórmula, recorrendo ao conceito de raiz quadrada e ao
método (já visto nas séries anteriores) da fatoração. Em seguida, ensina-se a
77
completar quadrados e deduz-se a fórmula de Bhaskara; a partir daí são
trabalhados outros métodos de resolução para equações do 2º grau.
Nessa altura, os enunciados dos problemas apresentam a valorização da
utilização (excessiva) de fórmulas.
Situação:
- Resolva as equações;
- Descubra as raízes reais por meio da soma e do produto;
- Resolva as equações completando quadrados;
- Aplique a fórmula de Bhaskara para resolver as equações.
Tarefa: Resolver as equações por meio do método recomendado.
Técnica: Aplicação de fórmulas.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equações do 2º grau sendo resolvida pelos
métodos da soma e produto, completar quadrados e fórmula de Bhaskara.
Adiante há uma unidade destinada a Funções com igual enfoque dado no
segundo volume (6ª série), correspondência entre grandezas.
A idéia de função e sua representação são apresentadas nas formas de
tabela, fórmula e gráfico. Em seguida as funções são representadas por retas
(constantes, linear, função do 1º grau e função do 2º grau) e por último é realizado
o estudo das inequações sob os dois enfoques, algébrico e geométrico.
A metodologia adotada pelos autores é dar prioridade à assimilação de
conceitos e procedimentos, não havendo uma integração com as outras
habilidades e competências e, embora os temas centrais selecionados sejam os
sugeridos pelos PCNs verifica-se a valorização excessiva de tópicos muito
técnicos, exemplo do cálculo com radicais e equações irracionais, biquadradas,
etc., não recomendados pelos PCNs. Há também uma grande repetição dos
exercícios.
78
Aspecto 2 – As abordagens para introduzir e desenvolver a Álgebra No segundo volume (6ª série), as noções iniciais de Álgebra são tratadas a
partir de processos de tradução e generalização. Os problemas são do tipo
apresentado a seguir.
Situação: A soma do triplo de um número com 5 é igual a 11. Qual é esse
número?
Tarefa: Descobrir o número desejado.
Técnica: Os autores sugerem que os alunos comecem por:
“1º) Escolher uma letra para representar o número desconhecido.
2º) Montar uma sentença matemática que seja a tradução simbólica do
problema em estudo” (p. 167).
Assim, chamando de x o número procurado, o problema proposto pode ser
traduzido para a seguinte sentença: 3x + 5 = 11.
Discurso Teórico-Tecnológico: Equação do 1º grau sendo utilizada para
encontrar números desconhecidos.
E é a partir daqui que se introduzem e se conceituam equações.
Observamos assim a Álgebra sendo introduzida via abordagem da
generalização, porém ocorre ao longo da coleção a inter-relação com as outras
abordagens. É o caso da abordagem da resolução de problemas, em que o aluno
se depara com uma situação-problema, que deverá ser escrita como uma
equação do 1º grau com uma incógnita e ser resolvida com as técnicas de
cálculos já conhecidas.
Aqui as variáveis são incógnitas, valores desconhecidos, que serão
descobertos por meio da tradução do problema para a linguagem da Álgebra,
encontrando assim um modelo geral com o uso da Álgebra como generalizadora
de modelos, devendo então resolver a equação encontrada.
No terceiro volume (7ª série), há um capítulo destinado a sistemas de
equações. Aqui os alunos conhecerão os problemas com duas incógnitas.
Situação: Mariana vai fazer uma festa de aniversário e chamou sua amiga
Vitória para ajudá-la numa questão: havia notado que, se colocasse 3 convidados
em cada mesa, sobrariam 14 em pé, mas, se colocasse 4 em cada mesa,
sobrariam duas mesas vazias. Quantas eram as mesas e quantos os convidados?
79
Tarefa: Descobrir o número de mesas e de convidados da festa.
Técnica: Montar um sistema de equações e adicioná-las membro a
membro.
Discurso Teórico-Tecnológico: Fazer uso do sistema de equações sendo
resolvido pelo método da adição.
Em seguida, equação linear a duas incógnitas é definida: “Uma equação
linear a duas incógnitas x e y é toda equação da forma ax + by = c em que a, b e
c são números reais conhecidos, com a e b não nulos simultaneamente” (p. 266).
E desse modo é introduzida a interpretação gráfica dessa equação, uma
expressão simbólica é dada e logo após, é apresentada uma tabela de valores e
finalmente o gráfico é construído.
Uma observação deve ser feita: a tabela de valores é apresentada apenas
a título de exemplo, pois, ao proporem exercícios os autores colocam em
discussão a quantidades de pontos necessários para se traçar uma reta e a
descartam.
Nesse momento, observamos a abordagem da modelagem sendo
expressa; os alunos darão significado a representações simbólicas, utilizando-se
das várias notações e da noção de dependência.
No quarto volume (8ª série) há a apresentação da noção de função
mediante a correspondência entre duas grandezas. “Quando há uma
correspondência entre duas grandezas x e y, de modo que para cada valor de x
fica determinado um único valor de y, dizemos que y é função de x” (p. 260).
A partir daí é introduzida uma família de funções, trabalhando-se com a
tradução de informações expressas em linguagem algébrica para geométrica e
vice-versa.
Dessa forma, notamos a presença da abordagem funcional na
apresentação do conteúdo.
Em suma, podemos concluir que, embora a abordagem utilizada para
introduzir a Álgebra tenha sido a generalização, as outras abordagens também
são trabalhadas, o que nos possibilita dizer que a coleção atende nosso segundo
aspecto.
80
Aspecto 3 – Os diferentes usos dados à idéia de variável No segundo volume (6ª série), os autores, ao trabalharem as noções
iniciais de Álgebra, enfatizam a substituição de números por letras para resolver
problemas mediante o uso de equações.
“Usando símbolos vamos escrever: o dobro de um número
Se representamos um número qualquer com a letra x, então a expressão
dada poderá ser escrita simbolicamente assim: 2x,...
[...] como pode representar diferentes números, x é chamado variável da
expressão” (p. 156).
Nesse ponto, os autores apresentam a letra x como generalizadora de
modelos. Em seguida, introduzem expressões algébricas, que os autores afirmam
serem formadas por números, letras e sinais de operações, tratando, nesse caso,
as variáveis como símbolo abstrato, apenas sinais no papel.
Há um capítulo sobre equações, o qual as define como “[...] uma sentença
matemática contendo uma ou mais incógnitas, expressa por uma igualdade” (p.
167).
O significado de incógnita também é apresentado: “incógnita: aquilo que é
desconhecido e que se procura saber” (p. 167).
Traz exercícios do tipo:
• Quais das sentenças abaixo são equações?
• Quais as incógnitas em cada equação?
E, ao representar problemas simbolicamente, explica que o primeiro passo
é escolher uma letra para figurar o número desconhecido. Nesse momento,
apresentam x como número desconhecido, incógnita.
A partir desse instante, em todo o trabalho com equações e inequações x é
considerado incógnita.
No terceiro volume (7ª série), ao resolver problemas em que o aluno deverá
representar algebricamente o enunciado, recaindo numa equação para poder
solucioná-lo ainda é necessário estabelecer a incógnita, bem como a
apresentação de equações literais.
“Uma equação na incógnita x que contém coeficientes ou termos indicados
por outras letras é uma equação literal”.
81
Neste caso são formadas equações na incógnita x em que alguns
coeficientes de x ou alguns termos que não contêm x são indicados por letras
denominadas parâmetros. Exemplo: (a - 1)x = a; incógnita = x; parâmetro a. Neste
caso a raiz depende do valor atribuído ao parâmetro a.
No quarto volume (8ª série), a unidade 7 é destinada ao estudo de funções
tendo como enfoque a correspondência entre duas grandezas. Aqui o termo
utilizado para a letra x é variável.
Situação: Um professor propõe à sua classe de 40 alunos um exercício-
desafio, comprometendo-se a dividir um prêmio de R$ 120,00 entre os
acertadores.
a) Supondo que o número de acertadores seja; 1, 2, 5, 8, 20, 40. Diga qual
a quantia recebida por cada um, em cada caso.
b) O prêmio que cada acertador vai receber é função de que variável?
c) Usando letras, represente a função do item anterior por uma fórmula.
Tarefa: Descobrir o prêmio ganho por cada um, dizer qual é a variável do
problema e representar algebricamente a função.
Técnica: Perceber que o prêmio que cada acertador vai receber é dado em
função da variável números de acertadores e montar a equação relacionando
essas duas grandezas.
Discurso Teórico-Tecnológico: Noção de função por meio da relação de
duas grandezas, sendo ainda representada por fórmulas.
Visto que ao longo da coleção as letras assumem o papel de
generalizadora de modelos, incógnitas, parâmetros, símbolo abstrato e variável,
podemos dizer que os autores concordam com nosso terceiro aspecto.
82
CAPÍTULO IV
CONCLUSÃO 4.1 Introdução Nossa pesquisa teve por objetivo investigar como a noção de variável tem
sido abordada pelos livros didáticos brasileiros referentes aos 3º e 4º ciclos do
Ensino Fundamental.
Para tal, iniciamos esta dissertação apresentando alguns aspectos da
Álgebra, que julgamos serem pertinentes para alcançar a compreensão da noção
de variável, assim como um estudo dos objetivos propostos pelos PCNs, visto que
a maioria dos livros didáticos dizem estar de acordo com suas orientações.
Esses estudos nos levaram ao seguinte questionamento: De que maneira
os livros didáticos vêm incorporando os objetivos sugeridos pelos PCNs?
Daí surgiu nosso primeiro aspecto para analisar os livros didáticos.
Em seguida realizamos o estudo de pesquisas que dissertam sobre o tema,
buscando subsídios teóricos que pudessem nos auxiliar em nossa análise.
NOBRE (1996) e OLIVEIRA (2004) buscaram dar significados a linguagem
algébrica via codificação-decodificação enquanto que MODANEZ (2003) utilizava
seqüências de padrões com o mesmo propósito. Essas pesquisas nos tocaram
por relatarem as dificuldades dos alunos ao terem contato com a Álgebra e a não
compreensão da noção de variável por parte deles.
Outras pesquisas também foram estudadas como BERDNARZ, KIERAN e
LEE (1996) ao tratarem das diferentes formas de se introduzir o ensino da
Álgebra sendo que para cada abordagem teremos uma maneira diferente de usar
as variáveis, ao contrário dos trabalhos de USISKIN (1994) em que as diferentes
abordagens da Álgebra estão intrinsecamente relacionadas à utilização das
variáveis. WHEELER (1996) sugere o uso de todas as abordagens se inter-
relacionando.
83
Assim em nossa análise de livros didáticos procuramos respostas as
seguintes questões: Nos livros didáticos, que tipo de abordagem é utilizada para
introduzir e desenvolver a Álgebra? Apenas uma abordagem é trabalhada ou há
várias se inter-relacionando?
Essas questões inspiraram nosso segundo aspecto para analisar os livros
didáticos.
Daí também surgiram questões para compor nosso terceiro aspecto: Nos
livros didáticos quais são os diferentes usos dados à idéia de variável que eles
apresentam? Variável como coisa conhecida? Incógnita? Argumento?
Generalizadora de modelo aritmético? Símbolo abstrato? Variável para expressar
relações e funções?
De posse de nossa problemática e das leituras das pesquisas que
inspiraram nossos aspectos buscamos apoio para analisar os livros didáticos em
CHEVALLARD (1991) na Teoria Antropológica do Didático, fazendo uso de uma
adaptação da Organização Praxeológica proposta pelo autor.
Procuramos identificar nos exercícios que atendem cada aspecto qual o
tipo de tarefa proposta, qual a maneira de cumprir essa tarefa, que é a técnica
envolvida, e qual o discurso teórico-tecnológico que esta por traz dessa técnica.
A metodologia adotada foi a analise qualitativa e documental das seguintes
coleções:
A Conquista da Matemática: a + nova
Tudo é Matemática
Matemática para Todos
Matemática e Realidade
Assim, o próximo passo foi realizar a análise desses livros de acordo com
os aspectos já estabelecidos:
Aspecto 1 – Os PCNs e os livros didáticos
Aspecto 2 – As abordagens para introduzir e desenvolver a Álgebra
Aspecto 2 – Os diferentes usos à idéia de variável
A análise feita nos possibilitou chegarmos ao presente capítulo tendo
como objetivos:
Apresentar uma síntese dos resultados retirados das análises;
Retomar nossa questão de pesquisa com intuito de respondê-la;
84
Apresentarmos algumas sugestões para futuras pesquisas.
4.2 Síntese dos resultados Nesse momento trataremos as coleções por:
C1 – coleção A Conquista da Matemática;
C2 – coleção Tudo é Matemática;
C3 – coleção Matemática para Todos;
C4 – coleção Matemática e Realidade.
Percebemos em C1 e C4 o primeiro volume (5ª série) sendo reservado ao
estudo do cálculo numérico, sem indícios de cálculo algébrico, o ensino da
Álgebra é introduzido efetivamente no volume destinado a 6ª série, quando as
letras são apresentadas para substituir os números, neste momento surge uma
nova linguagem que traduz em símbolos matemáticos idéias como:
• o triplo de um número: 3n
• a soma de dois números é 15: x + y = 15
Em C2 e C3 esse trabalho já é realizado no primeiro volume iniciando-se
um trabalho de introdução a Álgebra tratando da substituição de números por
letras.
4.2.1 Aspecto 1 – Os PCNs e os Livros Didáticos As quatro coleções relatam estar de acordo com as orientações dadas
pelos PCNs, assim percebemos que a história da Matemática está presente em
todas as coleções, algumas vezes apenas relatando fatos da vida e obra de
matemáticos famosos, mas em geral sendo utilizada como recurso didático,
integrando-se com o desenvolvimento do conteúdo contribuindo assim para a
aprendizagem.
Apenas em C3 há caso em que o conteúdo é abordado por meio da
resolução de problemas, sendo estes expostos antes da teoria.
As demais coleções não utilizam dessa abordagem para introduzir o
pensamento algébrico, embora ela seja destacada em quase todos os volumes.
Todos os autores destacam orientações e esquemas para resolver
problemas, mas em geral eles servem de modelos a serem seguidos.
85
Notamos que embora os autores se esforcem para propor atividades
contextualizadas, ainda há a predominância de tópicos muito técnicos, o que
impede o aluno de refletir, analisar ou discutir. Em C4 notamos ainda a presença de exercícios repetitivos, quase todos de
fixação ou de aplicação dos conceitos e procedimentos ensinados.
Quanto à organização dos conteúdos C1 e C4 utiliza a ordenação linear
que segundo os PCNs não favorece as interligações entre os diferentes campos
da Matemática.
A sugestão dos PCNs é que os conteúdos sejam ordenados em forma de
espiral, pois essa abordagem acompanha a experiência e o desenvolvimento do
aluno, o que ocorre em C2 e C3.
4.2.2 Aspecto 2 – As abordagens para introduzir e desenvolver a Álgebra Em geral as coleções apresentam todas as abordagens da Álgebra,
algumas vezes atribuindo mais ou menos enfoque em uma delas.
A abordagem da generalização é trabalhada a partir da 5ª série em C2 e
C3, as quais apresentam o desenvolvimento da “pré-álgebra”. Nessas coleções o
destaque é dado para o trabalho com padrões numéricos e algébricos,
examinando regularidades.
Em C1 e C4 o processo de generalização ocorre a partir do segundo
volume (6ª série), momento que a Álgebra é desenvolvida efetivamente.
A abordagem da resolução de problemas é utilizada e destacada em todas
as coleções, principalmente no trabalho com equações.
A abordagem estrutural em todas as coleções é vista principalmente no
trabalho envolvendo fatoração, monômios, polinômios e produtos notáveis.
Embora em C2 possa ser verificado o trabalho de interpretação geométrica da
fatoração, em geral o procedimento utilizado é de aplicação de técnicas.
Nesse ponto percebemos a utilização excessiva de técnicas a serem
aplicadas em exercícios propostos.
A abordagem funcional é vista no quarto volume (8ª série), momento em
que é tratada a noção de função, notamos que essa abordagem poderia ser
tratada anteriormente, de forma superficial, no segundo volume (6ª série) ao
trabalhar correspondência entre grandezas.
86
4.2.3 Aspecto 3 – Os diferentes usos dados à idéia de variável Todas as coleções apresentam as variáveis nas suas diferentes formas, a
princípio como generalizadora de modelos tendo como função traduzir e
generalizar os dados do problema.
A seguir como valor desconhecido, incógnita para resolver equações e
sistemas, sendo sua função simplificar e resolver.
Nesse trabalho com equações, que em geral se dá no segundo volume (6ª
série), as letras são apresentadas pelos alunos como um valor numérico
desconhecido que após alguns cálculos será determinado. Neste caso, a variável
“não varia”, ela é um valor numérico desconhecido momentaneamente e único.
No volume destinado a 7ª série muda o enfoque dado as letras, o objetivo é
ensinar as regras da Álgebra, permitindo a manipulação de símbolos algébricos.
São introduzidos os trabalhos de fatoração e produtos notáveis, todo o trabalho é
abstrato e as variáveis são tidas como “sinais no papel”.
Essas técnicas serão utilizadas ao se trabalhar equações do 2º grau no
volume destinado a 8ª série, criando assim um distanciamento entre a técnica e a
prática.
Ainda no volume da 8ª série, as variáveis são tratadas como incógnitas em
todo o trabalho com as equações, em seguida apresentam a idéia de função e
apenas nesse momento a variável é apresentada como substituta de vários
possíveis valores de uma grandeza relacionada a outra. Entretanto, apenas em
C4 a variável é explicitada utilizando a palavra parâmetro.
Notamos que o trabalho com a Álgebra é apresentado enfatizando ora um
aspecto, ora outro, não relacionando todas os diferentes usos dado à idéia de
variável.
4.3 Respondendo nossa questão de pesquisa A partir da análise dos resultados, apresentada no capítulo 3, cuja síntese
desses está na seção anterior, responderemos nossa questão de pesquisa, a qual
retomamos:
87
Como os livros didáticos do Ensino Fundamental abordam a noção de variável sob a ótica da organização praxeológica de Chevallard? Nossa análise nos revelou que o estudo da noção de variável vem sendo
abordada nos livros didáticos por diferentes enfoques.
Em C2 e C3 o primeiro volume (5ª série) introduz as variáveis por meio de
processos de generalização de padrões numéricos e padrões geométricos.
Os autores levam o aluno a fazer generalizações de maneira natural por
meio de regularidades. Essas atividades vem ao encontro com a pesquisa de
Modanez (2003), em que as letras são introduzidas por meio de seqüências de
padrões geométricos, e esse uso das letras ocorria de acordo com a necessidade
do seu emprego.
Assim, as variáveis têm a função de traduzir e generalizar, sendo vistas
como generalizadora de modelos.
Em C4 não há a utilização de atividades propondo regularidades de
padrões, em C1 há exemplos contendo seqüências de figuras, observando-se
regularidades, porém os autores não propõem atividades desse tipo.
Nesse momento seria interessante, além de observar, que o aluno fosse
estimulado a trabalhar com as seqüências.
Berdnarz, kieran e Lee (1996) relatam haver dificuldades por parte do aluno
em desenvolver essa abordagem da Álgebra, e, orientam o uso de uma
abordagem pedagógica que estruture esse processo, e sugerem o uso da
manipulação de figuras.
Em C2 há a valorização dessa abordagem retomando-a no segundo
volume (6ª série) e no terceiro volume (7ª série). No volume da 7ª série o aluno é
estimulado a fazer generalizações por meio da atividade máquinas programadas,
nesse momento as letras assumem valores variados, recebendo o nome de
variáveis da expressão algébrica.
Assim como Berdnarz, Kieran e Lee, não basta encontrar um padrão, é
preciso encontrar um padrão algebricamente útil. Notamos que tanto a atividade
das seqüências numéricas e geométricas, como a atividades das máquinas
programadas dão conta dessa utilidade.
88
A Álgebra é tratada em todas as coleções pela abordagem da resolução de
problemas que destacam o uso das equações.
Em geral as equações são introduzidas no segundo volume (6ª série), e é
nesse momento que nos deparamos com as variáveis sendo tratadas como
incógnitas, valores desconhecidos a serem descobertos, tendo como função
simplificar e resolver.
Os autores apresentam ao aluno esquemas a serem seguidos, estratégias
de resolução. Embora muitos métodos de resolução sejam apresentados ao
aluno, ainda há vários exercícios sendo propostos para a utilização de
procedimentos mecânicos.
Faltaram nesse momento atividades como propõe Nobre (1996) e Oliveira
(2004), em que o aluno dá sentido as letras mediante a resolução de problemas,
trabalhando com codificação-decodificação.
Em C1 e C4 os exercícios que propostos pedem a aplicação de fórmulas
em exercícios muito técnicos. Entretanto, C2 e C3 apresentam as fórmulas
trabalhando de maneira interdisciplinar: índice de massa corpórea, densidade de
um corpo, gasto de energia elétrica, etc. Esse é o caminho para introduzir
situações do cotidiano do aluno.
A Álgebra como estudo das estruturas também está presente em todas as
coleções. Assim como alerta Usiskin (1994) nessa concepção as variáveis são
tratadas como sinais no papel, sem nenhuma referência numérica. Em C1, C3 e
C4 as atividades envolvendo fatoração e produtos notáveis são tratadas por
processos mecânicos, em que a variável é tida como um símbolo abstrato.
Em C2 ao tratar desses conteúdos apresenta uma grande ênfase na
interpretação geométrica, porém também trás exercícios para aplicação de
técnicas.
Por fim a Álgebra é abordada como estudo de relações entre grandezas,
Usiskin (1994) explicita que nessa abordagem a variável é um argumento,
representando um dos valores do domínio de uma função, ou um parâmetro,
representando um número do qual dependem outros números.
Em C1 o segundo volume (6ª série) trata de grandezas proporcionais
fazendo uso das variáveis dependentes e independentes, porém de forma
89
limitada não resgatando o assunto no terceiro volume (7ª série), o que faz apenas
no volume destinado a 8ª série apresentando as noções de função. Os gráficos
também são apresentados apenas no capítulo que trata das funções
Em C2 a abordagem funcional é introduzida já no segundo volume (6ª
série) relacionando grandezas os gráficos são introduzidos ao tratar de
proporcionalidade.
Como já mencionamos a atividade das máquinas programadas preparam o
terreno para a introdução da noção de função, e é apresentada a noção de
variável dependente e variável independente.
Em C3 as variáveis aparecem sendo tratadas como grandezas que variam,
uma dependendo da outra, apenas no quarto volume (8ª série). Notamos que há
situações no terceiro volume (7ª série) que as noções de variável dependente e
independente poderiam ter se antecipadas. Os gráficos também são
apresentados apenas no volume destinado a 8ª série, mas faltou apresenta-los
pedindo ao aluno a forma algébrica que o representa.
Em C4 o segundo volume (6ª série) apresenta correspondência entre
grandezas, fazendo, assim, uma abordagem informal do conceito de função, e
retoma o assunto no volume da 8ª série ao tratar de funções.
Apenas nessa coleção o termo parâmetro é utilizado ao tratar de variáveis,
representando um número do qual dependem outros valores.
A análise dos resultados mostrou que as Tarefas propostas nos livros
didáticos referentes ao cálculo algébrico, mais especificamente á noção de
variável, devem fazer parte de situações contextualizadas fugindo de
procedimentos muito técnicos.
Wheeler (1996) afirma que quando escolhemos uma abordagem para
introduzir o pensamento algébrico, de alguma forma, estamos interferindo no
trabalho com as outras abordagens.
Notamos ser unânime o trabalho com equações tendo a variável como
incógnita, porém as variáveis como parâmetro, relacionando grandezas deveria
ser estimulado já no 3º ciclo (5ª e 6ª séries), assim possibilitaria ao aluno
compreender a distinção das duas.
Percebemos que há coleções que já vem buscando essa antecipação,
porém falta ainda uma articulação entre elas.
90
Nossas fundamentações teóricas e metodológicas foram de grande
importância na elaboração dessa pesquisa.
A análise documental, inclui os livros didáticos como documentos, e esses
são fontes ricas de informações, nos possibilitando melhor compreender o que
tem sido apresentado hoje em termos de abordagens da noção de variável.
A adaptação da organização praxeológica de Chevallard (1991) contribuiu
para que fossemos buscar em nossa análise as noções essenciais da
praxeologia, que no sentido da palavra praxis quer dizer, em grego, prática, e
logos razão.
Notamos que as Tarefas devem permitir ao aluno o direito de reflexão,
discussão, interpretação, não exercícios mecânicos em que o aluno aplica as
técnicas sem qualquer entendimento.
A Técnica é maneira de cumprir, de realizar as tarefas dadas, nesse caso o
aluno manipula os procedimentos, utilizando varias técnicas de resolução que
lhes são impostas sem compreender de fato a sua utilidade.
Assim o Discurso Teórico-Tecnológico dessas situações não pode justificar
a teoria e a técnica envolvidas nelas, não assegurando que se cumprisse o que
era pretendido.
4.4 Sugestões para futuras pesquisas Ao longo da análise começamos a levantar questionamentos sobre
questões ligadas ao nosso tema, que pudessem dar continuidade a ele.
- Como o professor, em sua sala de aula trabalha as diferentes
abordagens dadas a Álgebra? E os diferentes usos da variável?
- Como o aluno que ainda não iniciou o seu estudo de Álgebra poderia
conceber a idéia de variável?
- Essas dificuldades encontradas no Ensino Fundamental acarretam
problemas no Ensino Médio, então quais as dificuldades dos alunos ao
trabalhar as variáveis na família de funções?
- Quais são as abordagens dadas a Álgebra e aos diferentes usos da
variável nos livros do Ensino Médio?
91
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