ejercicios de limites (matematica)

“AÑO DE LA UNIÓN NACIONAL FRENTE A LA CRISIS EXTERNA “

UNIVERSIDAD NACIONALTECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMA

CURSO:

MATEMATICA I

TEMA:

LIMITES

INTEGRANTES:

CASTRO LAZO PATRICIA INÉS

LÓPEZ CORTES YUDIT MABEL

HUAMANCHA ESPILLCO, IRIS INÉS

HUAMANI CÓRDOVA, NATHALY NANCY

SURICHAQUI GUTIÉRREZ KARIM PAMELA

VÁSQUEZ ROBLES MIRIAM:

PROFESOR TASAYCO

CICLO:

II

EJERCICIOS DE MATEMÁTICA I

I. aplicando la definición de limite, demostrar los siguientes limites, hallado el valor de δ, (δ>0), para los valores de ε dados.

1) limx→3

(5x−3 )=12, є = 0.03

RESOLUCION: a=3, L=12, δ=?

|f ( x )−L| < Є siempre que 0 < |x−a| < δ

|5 x−3−12| < 0.03 siempre que 0 < |x−3| < δ

|5 x−15| < 0.03 siempre que 0 < |x−3| < δ

|5||x−3| < 0.03 siempre que 0 < |x−3| < δ

|x−3| < 0.035

Siempre que 0 < |x−3| < δ

|x−3| < 0.006 siempre que 0 < |x−3| < δ

∴ δ = 0.006

2) limx→−2

(3 x+5 )=−1, є = 0.012

RESOLUCION: a=-2, L=-1, δ=?

|f ( x )−L| < є siempre que 0 < |x−a| < δ

|3 x+5+1| < 0.012 siempre que 0 < |x+2| < δ

|3 x+6| < 0.012 siempre que 0 < |x+2| < δ

|3||x+2| < 0.012 siempre que 0 < |x+2| < δ

|x+2| < 0.0123

Siempre que 0 < |x+2| < δ

|x+2| < 0.004 siempre que 0 < |x+2| < δ

∴ δ = 0.004

3) limx→2

( x2−4x−2 )=4, є = 0.004



|( x−2 )(x+2)x−2 | = 4 < 0.004 siempre que 0 < |x−2| < δ

|x+2−4| < 0.004 siempre que 0 < |x−2| < δ

|x−2| < 0.004 siempre que 0 < |x−2| < δ

∴ δ = 0.004

4) limx→3

(7 x2−20 x+2 )=5, є = 0.001



|7 x2−20 x+2| < 0.001 siempre que 0 < |x−3| < δ

|7 x2−20 x−3| < 0.001 siempre que 0 < |x−3| < δ

|( x−3 )(7 x+1)| < 0.001 siempre que 0 < |x−3| < δ

|x−3| < 0.001

(7 x+1) Siempre que 0 < |x−3| < δ

I (2; 4)a. X=2

|x−3|< 0.001

|7 (2 )+1¿| Siempre que 0<|x−3| < δ

|x−3|< 0.00115

Siempre que 0<|x−3| < δ

|x−3|< 0.00006 siempre que 0<|x−3| < δ

∴ δ = 0.00006

b. X=4

|x−3| < 0.001

|7 (4 )+1| siempre que 0<|x−3| < δ

|x−3| < 0.00122

siempre que 0<|x−3| < δ

|x−3|< 0.00003 siempre que 0<|x−3| < δ

∴ δ = 0.00003

∴ δ = 0.00003

5) limx→1

( 3 x2−2x−1x−1 )=4, є = 0.015



|(3 x+1 )( x−1)x−1 | = 4 < 0.015 siempre que 0 < |x−1| < δ

|3 x+1−4| < 0.015 siempre que 0 < |x−1| < δ

|3 x−3| < 0.015 siempre que 0 < |x−1| < δ

|3 (x−1)| < 0.015 siempre que 0 < |x−1| < δ

|x−1| < 0.0153

siempre que 0 < |x−1| < δ

∴ δ = 0.005

6) limx→ 1

2

( 4 x2−12x−1 )=2, є = 0.07

RESOLUCION:

a=12

, L=2, δ=?


|(2x−1 )(2x+1)2 x−1 | = 2 < 0.07 siempre que 0 < |x−12| < δ

|2 x+1−2| < 0.07 siempre que 0 < |x−12| < δ

|2 x−1| < 0.07 siempre que 0 < |x−12| < δ

|2(x−12 )| < 0.07 siempre que 0 < |x−12| < δ

|x−12| < 0.072


∴ δ = 0.035

7) limx→1

(√ x−1x−1 )= ½, є = 0.013

RESOLUCION: a=1, L=½, δ=?


|√ x−1x−1−½| < 0.013 siempre que 0 < |x−1| < δ

|2√x−2−x+12 x−2 | < 0.013 siempre que 0 < |x−1| < δ

|2√x−x−12x−2 | < 0.013 siempre que 0 < |x−1|< δ

|2√ x−x−1||2||x−1|

< 0.013 siempre que 0 < |x−1| < δ

|−(x+1−2√x )||x−1|

< 0.026 siempre que 0 < |x−1| < δ

|(√ x+1) ²||x−1|

< 0.026 siempre que 0 < |x−1| < δ

|(√ x+1) ²||x−1|²|x−1|

< 0.026|x−1|² siempre que 0 < |x−1| < δ

|x−1| < 0.026|x−1|²

|√ x+1|² siempre que 0 < |x−1| < δ

I (0; 2)

X=0

|x−1|< 0.026|0−1|²

|√0+1|² siempre que 0<|x−1| < δ

|x−1|< 0.0261


|x−1|< 0.026 siempre que 0<|x−1| < δ

∴ δ = 0.026

X=2

|x−1| < 0.026|2−1|²

|√2+1|² siempre que 0<|x−1| < δ

|x−1| < 0.026

|2.414|² siempre que 0<|x−1| < δ

|x−1| < 0.0265.828


|x−1|< 0.00446 siempre que 0<|x−1| < δ

∴ δ = 0.00446

∴ δ = 0.00446

8) limx→−3 ( 3x−13 x2−25 )=-5, є = 0.001

RESOLUCION: a=-3, L=-5, δ=?


| 3 x−13 x2−25+5| < 0.001 siempre que 0 < |x+3| < δ

|3 x−1+15 x2−1253 x2−25 | < 0.001 siempre que 0 < |x+3| < δ

|(5 x−14 )(3 x+9)|<0.001 siempre que 0 < |x+3| < δ

3|x+3| < 0.0015x−14 siempre que 0 < |x+3| < δ

|x+3| < 0.001

3∣5 X−14 ∣ siempre que 0 < |x+3| < δ

I (2; 4)X=2

|x+3|< 0.001

3|5 (2 )−14| siempre que 0<|x+3| < δ

|x+3|< 0.00112

siempre que 0<|x+3| < δ

|x+3|< 0.00008 siempre que 0<|x+3| < δ

∴ δ = 0.00008

X=4

|x+3|< 0.001

3|5 (4 )−14| siempre que 0<|x+3| < δ

|x+3|< 0.00118

siempre que 0<|x+3| < δ

|x+3|< 0.00005 siempre que 0<|x+3| < δ

∴ δ = 0.00005

∴ δ = 0.00005

9) limx→2

( x2

7 x−13 )=4, ε = 0.01


|f ( x )−L| < ε siempre que 0 < |x−a| < δ

| x2

7 x−13+4| < 0.01 siempre que 0 < |x−2| < δ

|x2−28 x+527 x−13 | < 0.01 siempre que 0 < |x−2| < δ

|( x−26 )( x−2)7 x−13 | < 0.01 siempre que 0 < |x−2| < δ

|x+3| < 0.01∣7 x−13 ∣∣ x−26 ∣


I (1; 3)X=1

|x+3|< 0.01∣7 (1 )−13 ∣

∣1−26 ∣ siempre que 0<|x−2| < δ

|x+3|< 0.01∗625


|x+3|< 0.002 siempre que 0<|x−2| < δ

∴ δ = 0.002

X=3

|x+3|< 0.01∣7 (3 )−13 ∣

∣3−26 ∣ siempre que 0<|x−2| < δ

|x+3|< 0.01∗823


|x+3|< 0.003 siempre que 0<|x−2| < δ

∴ δ = 0.003

∴ δ = 0.002

10)limx→ 4

x ³−14 x10 x−4 = -8, ε= 0.1

RESOLUCION:a= 4 L: -8, δ,=?

|f ( x )−L| < ε siempre que 0 < |x−a| < δ

|x ³−14 x10x−4+8|<0.1 siempre que 0 < |x−4| < δ

|x3−14 x+80 x−32810 x−41 |<0.1 siempre que 0 < |x−4| < δ

|( x−4 )(x2+4 x+82)10 x−4 |<0.1 siempre que 0 < |x−4| < δ

|x−4||x2+4 x+82|| 110 x−4|<0.1 siempre que 0 < |x−4| < δ

|x−4|<0.1(10 x−4 )x2+4 x+82


I (3;5)X= 3

|x−4|<0.1(10(3)−4)(3)2+4 (3)+82


|x−4|<0.02524 siempre que 0 < |x−4| < δ

∴ δ = 0.02524

X=5

|x−4|<0.1(10(5)−4)52+4(5)+82


|x−4|<0.03622 siempre que 0 < |x−4| < δ

∴ δ = 0.03622

∴ δ = 0.02524

II. Aplicando la definición de límite, demostrar los siguientes límites

1) limx→2

(3x ²−x−2 )= 8

limx→2

(3x ²−x−2 )= 8 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, si 0<|x-2|<δ ⇒|(3 x ²−x−2)−8|<ε

|3 x ²−x−2−8| < ε

|3 x ²−x−10| < ε

|3 x+5||x−2| < ε ……..(1)

|3 x+5| < M

tomamos δ ₁ =1

|x−2| < 1

-1 < x-2 < 11 < x < 33 < 3x < 98 < 3x+5 < 14|3x+5| < 14…………(2)

Reemplazando (2) en (1):

|x−2||3x+5| < 14|x−2|

|x−2| < ε14

;

δ₂ = ε14

Luego se elige δ = min. {1; ε14 }Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min. {1; ε14 }Se tiene: si 0<|x-2|<δ ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→2

(3 x ²−x−2 )= 8

2) limx→−2

(x2+3x+2 )=0

limx→−2

(x2+3x+2 )=0⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+2|<δ ⇒|¿|<ε

|x2+3 x+2|<ε

|x+1||x+2|<ε………….(1)

tomamosδ 1=12

|X+2|<12

−12

<x+2<12

-32

<x+1<-1

|x+1|<1……..…..(2)

Reemplazamos (2) en (1):

|X+2 | |x+1 | <1 |x+2|< ε

Luego se eligeδ=min {12 , ε}Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min{12 , ε}. Se tiene: si 0<|x+2|<δ ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→−2

(x2+3 x+2 )=0

3) limx→3

4x−2= 4

limx→3

4x−2= 4⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-3|<δ ⇒|( 4

x−2 )−4|<ε

|4x−2

- 4|<ε

|4+4 x+8x−2 |<ε

|−4 (x−3)x−2

|<ε

|-4||x-3||1x−2

|<ε……….(1)

Acotando la función |1x−2

| y para esto calculamos δ₁= ½|3-2|= ½

|x-3|<½ ⇒ -½<x-3<½

52

<x<72

12

<x-2<32

2<1x−2

<23

|1x−2

|<2…………(2)


|-4||x-3||2|<ε

|x-3|<ε8

⇒ δ₂=ε8

Luego se elige δmin= {½, ε8

}

Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min{½ , ε8 }. Se tiene: si 0<|x-3|<δ ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→3

4x−2

= 4

4) limx→½

3+2 x5−x = 8/9

limx→½

3+2 x5−x

= 8/9 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-½|<δ ⇒|3+2x5−x

−8 /9|<ε

¿ 3+2x5−x

−89∨¿ < ε

¿9 (3+2x )−8(5−x)

9 (5−x )∨¿<ε

|27+18 x−40+8 x

9(5−x)∨¿<ε

|26 x−139 (5−x )

|<ε

|26(x−½)9(5−x)

|<ε

|269

||15−x ||x-½|<ε……………..(1)

Acotando la función |15−x | y para esto calculamos δ₁= ½|½-5|=9/4

0<|x-½|<9/4 ⇒ -9/4<x-½<9/4

-7/4<x<11/4

-27/4<x-5<-9/4

-4/27>1x−5>-4/9

|1x−5 |<

49

………………(2)


|269

||15−x ||x-½|<|

269

||49

||x-½|<ε

|10418

||x-½|<ε

|x-½|<ε (104 )18

δ₂= ε (52)9

Luego se elige δmin{94,ε529

}

Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {94,ε529

} Se tiene: si 0<|x-½|<δ ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→½

3+2 x5−x = 8/9

5) limx→5

(√6−x )= 1

limx→5

(√6−x )= 1⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-5|<δ ⇒|√6−x -1|<ε

|√6−x−1| < ε

|(√6−x−1 )(√6−x+1)(√6−x+1) | < ε

| 6−x−1√6−x+1| < ε

| x−5√6−x+1| < ε

| 1

√6−x+1| |x−5| < ε …………..(1)

Acotando la función | 1

√6−x+1| y para esto calculamos δ₁= ½|5−6|= ½

√6−x ≥ 0

√6−x +1 ≥ 1

1

√6−x+1 ≤ 1………..(2)


| 1

√6−x+1| |x−5| < ε

|1| |x−5| < ε

δ =ε₂

Luego se elige δmin {12, ε}

Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {192, ε} Se tiene: si 0<|x-5|<δ ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→5

(√6−x )= 1

6) limx→7

x+19 x−60

=83

limx→7

x+19 x−60

=83⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-7|<δ ⇒|

x+19 x−60

−83

|<ε

| X+13 (3x−20 )

−85|<ε

|X+1−24 x+1603 (3 x−20 ) |<ε

|−23 X+1613 (3 x−20 ) |<ε

| 23( x−7)3 (3x−20 )|<ε233 | 1

(3 x−20 )||x−7|<ε……………………………..(1)

Acotando la función | 1(3 x−20 )| y para esto calculamos δ 1=

12|7−203 |=16

|X−7|< 16

−16

<x−7< 16

12

<3x-20<32

2<| 13 x−20|< 23……………………………………….(2)

Reemplazando (2) en (1) :

233 | 13 x−20||x−7|< 469 |x−7|<E

|x−7|< 9 E46

Luego se elige δmin {16 , 9 E46 }

Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {16,9 E46

} Se tiene: si 0<|x-7|<δ ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→7

x+19x−60

=83

7) limx→−4

2x−45 x+23

=−4

limx→−4

2x−45 x+23

=−4 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+4|<δ ⇒|2 x−45x+23

+4 |<ε

∣ 2 x−45 x+23

+4 ∣< ε

|2x−4+20 x+925 x+23 | <ε

|22x+885 x+23 | <ε

22∣ 15x+23 ∣∣x+4∣< ε…..(1)

Acotando la función (1

5x+23¿ y para esto calculamos δ₁=

12∣−4+ 23

5∣= 310

0 < |x+4| < δ=310

-310

< x+4 < 310

- 4310

< x < - 3710

- 432

< 5x < −372

32

< 5x+23< 92

29

<∣ 15x+23

∣< 23

∣ 15x+23

∣< 23

………………(2)

Reemplazando (2) en (1)

22∣ 15x+23 ∣∣x+4∣<22( 23 ) ∣ x+4 ∣<ε

∣x+4∣<3 ε44

δ₂=3 ε44

Luego se elige S=min{ 310 ; 3δ44 }Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {

310;3δ44

} Se tiene: si 0<|x+4|<δ ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→−4

2x−45 x+23

=−4

8) limx→1

x−1√ x ²+3−2= 2

limx→1

x−1√ x ²+3−2

= 2 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-1|<δ ⇒|x−1

√x ²+3−2−2 |<ε

|x−1

√x ²+3−2 -2|<ε

|x+3−2√x ²+3

√x ²+3−2|<ε

|¿¿|<ε

|( x+3 )2−(2√ x ²+3)²

( x+3 ) (√x2+3−2 )+(2√ x2+3 ) (√ x ²+3−2)|<ε

|x ²+9+6 x−4 x ²−12

(√ x2+3−2)¿¿|<ε

|3 x ²+6 x+3

(√ x2+3−2 )(x+3−2√x ²+3)|<ε

|3(x−1) ²

(√ x2+3−2 )(x+3−2√x ²+3)|<ε

|3

x+3−2√x ²+3 ||(x-1)²||1

√x ²+3−2 |<ε

Por propiedad:

|√ x ²+3|≥0

|√ x ²+3−2|≥-2

|1

√x ²+3−2 |≥ -½

Concluimos:

|3

x+3−2√x ²+3 ||(x-1)²| |1

√x ²+3−2 |<|3

x+3−2√x ²+3 ||(x-1)²||½|<ε

|(x-1)²|<ε 2¿¿

δ= ε 2¿¿

9) limx→2 (√3x

2−113 ) =

13

limx→2 (√3x

2−113 ) =

13

⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-2|<δ ⇒ ¿ √3 x2−113

−1 /3|<ε

| 3√3x2−113−13| < ε

|( 3√(3 x2−11)−1)( 3√3 x2−112+ 3√3 x2−11+1)3|( 3√3 x2−112+ 3√3 x2−11+1)| | < ε

| 3 x ²−11−1

3(3√3 x2−112+ 3√3x2−11+1)| < ε

¿ < ε

¿ )² ≥ 0

¿ )²+34

≥ 34

1

|( 3√ (3x2+11 )+ 14)²+ 3

4| ≤ 43

|x−2||x+2|

|( 3√ (3 x2+11 )+ 14 )

2

+ 34| ≤

43|x−2||x+2| < ε

|x−2| < 3 ε

4|x+2|

∴ δ = 3 ε

4|x+2|

10)limx→1

x+1√ x

=2

limx→1 ( x+1√x ) = 2⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-2|<δ ⇒ ¿

x+1√ x

−2|<ε

|X+1√X

−2|<ε

|X+1−2√X√X |<ε

|(X+1)2

1 || 1√X |<ε ……………………..(1)

Acotando la función | 1√X| y para esto calculamos δ 1=12|1−0|=1

2

|X−1|< 12

−12

<x−1< 12

√2√3

< 1√X

<√2

| 1√X|<√2……………………………………………………(2)


|(X+1)2

1 || 1√X |<|(X+1)2

1 |√2<ε|X−1|< √ε

4√2

Luego se elige δ=min {12 , √E4√2 }Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {

12, √E4√2

} Se tiene: si 0<|x-2|<δ ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→1

x+1√ x

=2

11)limx→0

x−√22 x+√3

=−√2√3

limx→0

x−√22 x+√3

=−√2√3

⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ ¿ x−√22x+√3

+ √2√3

|<ε

∣ x−√22x+√3

+ √2√3

∣< ε

¿ <ε ¿ <ε ∣¿¿∣< ε…..δ1

Acotando la función (1

3∣2x+√3 ∣¿ y para esto calculamos δ₁

12

∣−√32

∣=−√34∣x∣<-

−√34

−√34

<2x<√34

−√32

<2x<√32

√32

<2x+√3<3√32

3√32

<1

2x+√3 <2

√3

|1

2x+√3|<2

√3


√3+2√2 ∣ x ∣

√3 ∣ 1

2x+√3∣<√3+2√2

√3 ( 2√3 ) ∣ x ∣<ε

∣x∣< 3 ε2(√3+2√2)

Luego se elige δ=min¿

Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {√34,3 ε2¿¿

} Se tiene:si 0<|x-0|<δ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→0

x−√22x+√3

=−√2√3

12)limx→0

8 x64 x−1= 0

limx→0

8 x64 x−1= 0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ ¿

8x64 x−1

−0|<ε

|8x

64 x−1 |<ε

|8 x

8(8 x−18) |<ε

|x

(8 x−18) |<ε

|1

8 x−18

||x|<ε

Acotando la función 1

8 x−18

| y para esto calculamos δ= ½|0-164

|¿1128

|x|<1128

−1128

< x <1128

−8128

< 8x <8128

−316

< 8x+18

<−116

-16/3>1

8 x−18

>-16

|1

8 x−18

|<16


|1

8 x−18

||x|<16|x|<ε

|x|<ε/16

Luego se elige δ= min {1128

,ε16

}

Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {1128

,ε16

} Se tiene: si 0<|x-0|<δ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→0

8 x64 x−1

= 0

13) limx→−7 ( 3 xx+8 ) = -21

limx→−7 ( 3 xx+8 ) = -21 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+7|<δ ⇒ ¿( 3 xx+8 )+21|<ε

| 3xx+8+21| < ε

|3 x+21 x+168x+8 | < ε

24|x+7|| 1x+8| < ε… (1)

Acotado la función | 1x+8| < ε podemos calcular δ₁ =

12|−7+8| =

12

|x+7| < δ₁ = 12

−12

< X+7 < 12

−152

< x < −132

12

< X+8 < 32

2 > 1x+8 >

23

23

< 1x+8 < 2

| 1x+8| < 2… (2)


24|x+7|| 1x+8| < 24|x+7|

|x+7| < ε48

= δ₂

Luego se elige δ = min {12 ; ε48 }

Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {12;ε48

} Se tiene: si 0<|x+7|<δ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→−7 ( 3 xx+8 ) = -21

14)limx→0

x2+2 x+2x2−2 x+1

=2

limx→0

x2+2 x+2x2−2 x+1

=2⇔ ∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ ¿ x2+2 x+2x2−2x+1

−2|<ε

| x2+2 X+2x2−2 X+1

−2|<ε

|X (X−6)(X−1)2 |<ε

|X|| X−6(X−1)2|<ε

|x||x-6||1

(x−1) ²|<ε……………….(1)

Acotando la función ¿1

(x−1) ²∨se puedecaldular δ 1=

12=12|1|

|X|< 12

−12

<x< 12

−32

<X−1← 12

94<(X−1)2< 1

4

49> 1

(X−1 )2>4

| X−6(X−1 )2|< 4|X−6|

9 ……………………………….(2)


|X|| X−6(X−1)2|< 4|X−6|

9|X|<ε

|X|< 9E4|X−6|

Luego se elige δ=min {12 , 9 E4|X−6|}

Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {12,9E

4|X−6|} Se tiene: si 0<|x-0|<δ⇒|f(x) – L |<ε

∴ limx→0

x2+2 x+2x2−2x+1

=2

15) limx→−1

∣ x ∣x2+1

=12

limx→−1

∣ x ∣x2+1

=12⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+1|<δ ⇒ ¿

∣ x ∣x2+1

−12 |<ε

∣ ∣ x ∣x2+1

−12 ∣< ε

∣2∣ x ∣−x2−12(x2+1)

∣<ε

∣−¿¿∣<ε

2∣ x2+1 ∣2

∣ 1

x2+1∣<ε

Acotando la función ∣ 1

x2+1∣ podemos calcular

x2≥0

x2+1≥1

∣1

(x¿¿2+1)∣ ¿≤∣ x2+1 ∣2

<ε

∣ x2+1∣<√2 ε=δ

16)limx→1

¿2−x∨ ¿3 x−1

¿= ½

limx→1

¿2−x∨ ¿3 x−1

¿= ½⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-1|<δ ⇒ ¿|2−x|3x−1

−½ |<ε

|¿2−x∨ ¿3 x−1

−12¿|<ε

|4−2 x−3 x+1

6 x−2|<ε

|−5x+56x−2

|<ε

|−5(x−1)2(3 x−1)

|<ε

|−52

||1

3x−1 ||x-1|<ε…………….(1)

Acotando la función |1

3x−1 | podemos calcular δ= ½|1 – 1/3|= 1/3

|x-1|<1/3

-1/3<x-1<1/3

2/3<X<5/3

2<3x<5

1<3x-1<4

1<1

3x−4<1/4

|1

3x−4 |<1…………………(2)


|52

||1

3x−1 ||x-1|<|52

||1||x-1|<ε

|x-1|<ε2/5

δ= ε2/5

Luego se elige δmin ={1/3 , ε2/5}

Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {1/3, ε2/5} se tiene: si 0<|x-5 |<ε

∴ limx→1

¿2−x∨ ¿3 x−1

¿= ½

17) limx→−64 (√ x−13√ x+3 ) =1

limx→−64 (√ x−13√ x+3 )=1⇔ ∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+64|<δ ⇒ ¿(√ x−13√ x+3 )−1 |<ε

|√ x−13√ x+3−1| < ε

|√ x−1−3√ x−33√x+3 | < ε

|√ x−3√x−43√x+3 | < ε

¿+4³) = (3√ x +4) (3√ x ² -43√ x+16)

| √x3√ x+3

−3√ x+43√x+3| < ε

| √x3√ x+3

−( 3√x+4 )( 3√x2−4 3√x+16)( 3√x+3 )( 3√ x2−4 3√x+16)| < ε

| √x3√ x+3

− x+64

( 3√x−2 )2+12| < ε

| x+64

( 3√ x−2 )2+12− √ x

3√x+3| < ε

| x+64( 3√ x−2 )2+12| – | √x

3√ x+3| < ε

| x+64( 3√ x−2 )2+12| < ε + | √x

3√ x+3| ( 3√ x−2)² ≥ 0

( 3√x−2 )2+12 ≥ 12

1

|( 3√x−2 )2+12| ≤ 112

|x+64|

|( 3√x−2 )2+12| ≤ |x+64|12

< ε + | √x3√ x+3|

|x+64| < 12ε+12| √x3√ x+3|

|x+64| < δ

δ = 12ε+12| √x3√ x+3|

18)limx→5 √ 4+xx2−9

=34

limx→5 √ 4+xx2−9

=34⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-5|<δ ⇒ ¿√ 4+ xx2−9

−34

|<ε

| √4+x√ x2−9

−34|<ε

|4 √4+x−3√ x2−94 √x2−9 |<ε

¿

¿

|x-5||9x-29|¿<ε

Acotando la función ¿ podemos calcularδ 1=12|5−3|=1

|X−5|<1

−1<X−5<1

4 √7 <4 √x2−9) < 4√27

4 √7 ¿ <4√274 ¿

14 √27¿¿¿

<1

4 √x2−9¿¿

¿<1

4 √7¿¿


|(9 X+29 )|4 √27¿¿

<|(9 X+29)|4 √x2−9¿¿

¿ ¿ < ε

|X−5|<E 4√7¿¿

Luego se elige δ=min¿

Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {1 ,E 4√7¿¿} se tiene: si 0<|x-5 |<ε

∴ limx→5 √ 4+ xx2−9

=34

19) limx→

12

⟦x ⟧x+1 =0

limx→

12

⟦x ⟧x+1 =0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-

12

|<δ ⇒ ¿⟦x ⟧x+1

−0|<ε

⟦x ⟧| 1x+1|<ε

Acotando la función | 1x+1|y para esto calculamos δ₁= ½ |12−1|= ¼

|x−12|<δ1

|x−12|<14

−14

<x−12

<14

14

<x<34

54

<x+1<74

47

<1x+1<

45

| 1x+1|<45……….(2)

reemplazado (2 ) en (1 ) :

⟦x ⟧| 1x+1|<ε

⟦x ⟧|45|<ε

δ ₂= 5 ε4

Luego se elige δ ₂= {¼ ,5 ε4

}

Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {¼ ,5 ε4

} se tiene: si 0<|x-1/2 |<ε

∴ limx→

12

⟦x ⟧x+1 =0

20) limx→π

3 x6x−5π =3

limx→π

3 x6x−5π =3⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-π |<δ ⇒ ¿

3 x6 x−5π

−3 |<ε

|3 x

6 x−5π−3|<ε

|3x−18x+15 π6 x−5 π |<ε

|−15(x−π )6 x−5 π

|<ε

|-15||1

6 x−5π||x-π |<ε

Acotando la función | 16 x−5 π| y para esto calculamos δ=|π−

5π6

|=π /12

−π /12< x-π<π /12

−11π12

< x <13π12

−11π2

< 6x <13π2

−21π2

< 6x-5 <3π2

−221π

<1

6 x−5π <3π2

|1

6 x−5π |<2/3π


|15||1

6 x−5π ||x-π |<|15||2π3

||x-π|<ε

10π |x-π |<ε

δ= ε/10π

Luego se elige δmin= {π12,ε10π

}

Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {π12,ε10 π

} se tiene: si 0<|x-π |<ε

∴ limx→π

3 x6 x−5π =3

21) limx→√2 ( 3 x ²+1x4+1 ) =75limx→5 √ 4+xx2−9

=34⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-√2|<δ ⇒ ¿

3x ²+1x4+1

- 75

|<ε

|3 x ²+1x4+1−75| < ε

|15 x ²+5−7 x4−75(x4+1) | < ε

|−(7 x 4−15 x2+2)5 (x4+1) | < ε

|(x2−2 )(7 x2−1)5(x 4−1) | < ε

15

|x−√2||( x+√2 )(7 x2−1)x4+1 | < ε

15|x−√2||( x+√2 )(7 x2−1)|| 1

x4+1| < ε

Acotando la función 1

x4+1 y para esto calculamos

X⁴ ≥ 0

X⁴+1 ≥ 1

1X ⁴+1

≤ 1=δ₁


|x−√2||( x+√2 )(7 x2−1)|5|x4+1|

≤ |x−√2||( x+√2 )(7 x2−1)|

5 < ε

|x−√2| < 5 ε

|( x+√2 )(7 x2−1)|

δ ₂= 5 ε

|( x+√2 )(7 x2−1)|

Luego se elige δmin= {1,5 ε

|( x+√2 )(7 x2−1)| }

Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {1 ,5 ε

|(x+√2 )(7 x2−1)|} se tiene: si 0<|x-√2 |<ε

∴ limx→√2 ( 3 x ²+1x4+1 ) =75

22)limx→0

√4 x2+1=1

limx→0

√4 x2+1=1⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ ¿√4 x2+1−1 |<ε

|√4 x2+11−1|<ε

|(√4 x2+1−1)(√4 x2+1+1)(√4 x2+1+1) |<ε

| 4 x2

(√4 x2+1+1)|<ε 4| 1

(√4 x2+1+1)||x2|<¿ε…………….._ (1)

Acotando la función | 1

(√4 x2+1+1)|y para esto calculamos

√4 x2+1 ≥0

√4 x2+1 +1≥1

| 1

√4 x2+1+1|≤1=δ ………….(2)₁

reemplazano (2 ) en (1 ) :

4| 1

(√4 x2+1+1)||x2|≤4|x2| <ε →|x2|< ε4

|X|< √1 ε2

,δ ₂=√1 ε2

Luego se elige δmin= {1, √1 ε2

}

Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {1 , √1 ε2

} se tiene: si 0<|x-0 |<ε

∴ limx→0

√4 x2+1=1

23)limx→0

2 x63 x−1 = 0

limx→0

2 x63 x−1 = 0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ ¿

2 x63x−1

−0|<ε

2 x63x−1<ε

|2||x|| 163 x−1|<ε……………. (1)

Acotando la función | 163 x−1| y para esto calculamos δ₁= ½ |0− 1

63|=1126

|x|<1126

−1126

<x<1126

−12

<63x<12

−32

<63x-1<−12

-2<1

63x−1< - 2/3

| 163 x−1|<2……………… (2)


|2||x||2|<ε

|x|<ε/4

δ₂= ε/4

Luego se elige δmin={1126

, ε/4}

Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {1126

, ε /4} se tiene: si 0<|x-0 |<ε

∴ limx→0

2 x63x−1

= 0

24) limx→

52

⟦ x⟧+2x ² =

1625

limx→

52

⟦ x⟧+2x ² =

1625⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-

52

|<δ ⇒ ¿⟦x ⟧+2x2

−1625

|<ε

|2+2x ² + 1625|<ε

|16(x−52 )(x+ 52 )(5 x) ² |<ε

| 125 x ²||16||x−52||x+52|<ε

Acotando la función | 125 x ²| y para eso calculamos δ₁= ½|52−15|=2320

|x−52|< 2320

−2320

<x−52

<2320

2720

<x<7320

( 2720 ) ²<x²<( 7320 ) ²

( 2720 ) ²25<x²25<( 7320 ) ²25

1

( 7320 ) ² 25<1x ²25

<

1

( 2720 ) ²25

| 1x ²25|<

1

( 7320 ) ² 25Reemplazando (2) en (1):

| 1

( 7320 )² 25||16||x−52||x+52|<ε

|x−52|<( 7320 ) ² 25x+ 52

ε

δ₂=( 7320 ) ² 25x+ 52

ε

Luego se elige δmin= {2320,( 7320 ) ² 25x+ 52

}

Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {2320,( 7320 ) ² 25x+ 52

} se tiene: si 0<|x- 52

|<ε

∴ limx→

52

⟦x ⟧+2x ² =

1625

25) limx→−1 ( 4 x ²+13 x+2 ) = -5

limx→−1 ( 4 x ²+13 x+2 )=−5⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+1|<δ ⇒ ¿ 4 x

2+13 x+2

+5|<ε

|4 x ²+13 x+2+5| < ε

|4 x ²+1+15 x+103 x+2 | < ε

|4 x ²+15 x+113 x+2 | < ε

|(4 x+11 )(x+1)3 x+2 | < ε

|x+1||4 x+113x+2 | < ε

Acotando la función:|4 x+113 x+2 | y para esto calculamos δ₁ = 12|−1−23| =

56

|3 x+2| ≥ 0

1|3 x+2| ≤ 0

|x+1||4 x+11||3 x+2| ≤ 0

|x+1| ≤ 0

δ ₂ =0

El cual se eligeδ = min. {56 ;0}Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {

56;0} se tiene: si 0<|x+1 |<ε

∴ limx→−1 ( 4 x ²+13 x+2 ) = -5

26)limx→3

sgn(x2−1)x+4

=15

limx→3

sgn(x2−1)x+4

=15⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-3|<δ ⇒ ¿

sgn (x2−1 )x+4

−15

|<ε

| 1X+4

−15|<ε

,| X−37(X+4)|<ε17|X−3|| 1

(X+4 )|<ε ………………………………..(1)

Acotando la función | 1(X+4)|y para esto calculamos δ 1=

12=12|1|

|X−3|< 12

−12

<x−3<12

215

<1

(X+4)< 213

| 1(X+4)|< 213………………………(2)


17|X−3|| 1

(X+4 )|<|X−3|17213

<ε

El cual se elige δ=min {12 , 91 ε2 }Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {

12,91 ε2

} se tiene: si 0<|x-3 |<ε

∴ limx→3

sgn( x2−1)x+4

=15

27)limx→ 4

x ³−15x−4x−3 =0

limx→ 4

x ³−15x−4x−3

=0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-4|<δ ⇒ ¿x ³−15 x−4x−3

−0|<ε

|x ³−15 x−4x−3 |<ε

|x−4||x ²+4 x+1|| 1x−3|<ε

Acotando la función | 1x−3| y para esto calculamos δ₁=½|4−3|=½

|x−4|<½

-½<x-4<½

7/2<x<9/2

1/2<x-3<3/2

23

<1x−3<2

| 1x−3|< 2…………..(2)


|x−4||x ²+4 x+1||2|<ε

|x−4|<ε

(x2+4 x+1 )2

δ₂= ε

(x2+4 x+1 )2

Luego se elige δmin= {½, ε

(x2+4 x+1 )2}

Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {½, ε

(x2+4 x+1 )2} se tiene: si 0<|x-4 |<ε

∴ limx→4

x ³−15 x−4x−3 =0

28) limx→√2

⟦x ⟧+ x3+x−x ² = 1

limx→√2

⟦x ⟧+ x3+x−x ²

= 1 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-√2|<δ ⇒ ¿⟦x ⟧+x3+x−x2

−1|<ε

|1+x

3+x−x ² - 1|<ε

|1+ x−3−x+x ²x ²−x−3

|<ε

|x ²−2

x ²−x−2−1|<ε

|(x−√2 )(x+√2)( x−2 ) ( x+1 )−1

|<ε

|1

( x−2 )(x+1) ||x-√2||x+√2|<ε……..(1)

Acotando la función |1

( x−2 )(x+1) | y para esto calculamos δ=½|√2-2|= √2−22

|x-√2|<√2−22

−√2−22

< x-√2<√2−22

√2+22

<x<3√2−22

√2−22

<x-2<3√2−62

…….(a)

√2+42

<x-2<3√22

……….(b)

(a) *(b)

2√2−64

<(x-2)(x+1)<18(1−√2)

4

2√2−104

<( x-2)(x+1) - 1<18 (1−√2 )−4

4

2√2−104

> 1

(x−2)(x+1)–1>18 (1−√2 )−4

4

|1

(x−2)(x+1)–1|<18 (1−√2 )−4

4…….(2)


|18 (1−√2 )−4

4||x-√2||x+√2|<ε……..(1)

|x-√2||x+√2|<4 ε

18 (1−√2 )−4

δ= 4 ε

[18 (1−√2 )−4](x+√2)

δmin={ √2−22

,4 ε

[18 (1−√2 )−4] (x+√2)}

Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {√2−22

,4 ε

[18 (1−√2 )−4] (x+√2)} se tiene: si 0<|x-

√2 |<ε

∴ limx→√2

⟦x ⟧+x3+ x−x ²

= 1

29) limx→−2 ( 2+x+x ²2x+5 ) = 4

limx→−2 ( 2+x+x ²2x+5 ) = 4 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+2|<δ ⇒ ¿

2+ x+x ²2 x+5

−4|<ε

|x ²+x+22 x+5−4| < ε

|x ²−7 x−182x+5 | < ε

|x−9||x+2||2x+5| < ε

|x−9||x+2|| 12 x+5|<ε

Acotando la función | 12x+5| y para esto calculamos δ₁= ½|-2+5/2|=1/4

|x+2|<1/4

-1/4<x+2<1/4

-9/2<x<-7/2

-9<2x<-7

-4<2x+5<-2

−12

<1

2x+5<-14

| 12x+5|<12


|x−9||x+2||12|<ε

,|x+2|< 2 εx−9

δ₂= 2 εx−9

luego se elige δmin= {14

, 2 εx−9

}Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {

14

, 2 εx−9

} se tiene: si 0<|x+2 |<ε

∴ limx→−2 (2+x+x ²2x+5 ) = 4

30) limx→−3

√−4 x−3x+2

=−3

limx→−3

√−4 x−3x+2

=−3⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+3|<δ ⇒ ¿ √−4 x−3x+2

+3|<ε

|√−4 X−3X+2

+3|<ε

|(√−4 X−3+3 X+6)(√−4 X−3−3 X+6)X+2(√−4 X−3−3 X+6) |<ε

| (9 X+13 )(X+3)(X+2)(√−4 X−3−3 X+6)|<ε

|9 x+13||x+3|| 1(X+2)(√−4 X−3−3 X+6)|<ε

Acotando la función | 1(X+2)(√−4 X−3−3 X+6)|y para esto calculamos δ 1=

12

|X+3|< 12

−12

<x+3<12

−72

< x<−52

−32

< x+2<−12

−23

> 1x+2

>−21

−2< 1x+2

← 23

1|x+2|

< 23

|9 X+13||x+2||(√−4 X−3−3 X+6)|

<2|9 X+13|

3|(√−4 X−3−3 X+6)|……………………………………..(2)


| (9 X+13 )(X+3)(X+2)(√−4 X−3−3 X+6)|< 2|X+3||9 X+13|

3|(√−4 X−3−3 X+6)|<ε

|X+3|< 3|(√−4 X−3−3 X+6)|ε2|9 X+13|

Luego se elige δ=min {12 , 3|(√−4 X−3−3 X+6)|ε2|9 X+13| }

Por lo tanto dado ε>0,∃δ=min {12,3|(√−4 X−3−3 X+6)|ε

2|9 X+13|} se tiene: si 0<|x+3 |

<ε

∴ limx→−3

√−4 x−3x+2

=−3

ejercicios de limites (matematica)

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