EQUAÇÕES DIFERENCIAIS UNIPAMPA-2013 PROF. DR. JORGE L. P. FELIX

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1. EDO de 1a Ordem

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

HOMOGÊNEAS

São equações diferenciais da forma

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy

onde M e N são funções homogêneas e do

mesmo grau em x e y .

_____________________________________

Diz-se que ( , )f x y é uma função homogênea

do grau n , em x e y , quando

( , ) ( , )nf tx ty t f x y

Exemplo: 2( , ) 3f x y xy y é uma

função homogênea do segundo grau, pois 2 2 2

2

( , ) 3( )( ) ( ) (3 )

= ( , )

f tx ty tx ty ty t xy y

t f x y

_____________________________________

Observação 1: uma ED do tipo ( , )

( , )

dy g x y

dx h x y

é homogênea, sempre que:

(i) g e h são polinômios em duas variáveis

(ii) g e h tem o mesmo grau

(iii) Grau de g e h = grau de cada termo do

polinômio g e h .

(iv) O grau de cada termo é a soma dos

expoentes das variáveis nesse termo

Por exemplo: 4 4

32

dy x y

dx x y

é homogênea.

Verificando: 4 4( , )g x y x y é de grau 4, pois os

expoentes de cada termo é 4.

3( , ) 2h x y x y é de grau 4, pois a soma dos

expoentes do termo nas variáveis é 4.

Portanto g e h tem o mesmo grau igual a 4.

Observação 2: outra forma de saber quando

uma ED é homogênea.

Seja ED de 1ª ordem ( , )dy

f x ydx

Após de uma manipulação algébrica, tem-se:

dy y

Fdx x

ou

dy xG

dx y

onde a função F ou G é expressa em função

da variável quociente y

x ou

x

y,

respectivamente.

Exemplo: dy x y

dx x

.

1dy x y x y y

dx x x x x

1

dy y

dx x

De Homogênea para Separável: Para resolver

uma ED Homogênea têm que transformá-la

para uma ED Separável da seguinte forma.

(a) Considere a mudança de variável

y xv ;

e sua derivada

dy dvv x

dx dx

ou

dy vdx xdv

(b) Substituir y e /dy dx na ED proposta e

após a simplificação, resulta uma ED de

variáveis separáveis em v e x .

Exemplo 1: Resolva 2 2( )dy

x y xydx

Reescrevendo a equação 2 2( ) 0x y dy xydx

sabendo que é uma equação homogênea

fazemos a substituição y xv e

dy vdx xdv , obtém-se

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS UNIPAMPA-2013 PROF. DR. JORGE L. P. FELIX 2

2 2 2 2( )( ) 0x x v vdx xdv x vdx

Efetuando e simplificando 2 3 2 3(1 ) 0v x dv x v dx

ou 2

3

(1 )0

v dxdv

v x

integrando

3

1 1 dxdv dv C

v v x

2

1( ) ( )

2Ln v Ln x C

v

2

1ln( )

2xv C

v , tirando expoente ambos

lados da igualdade, obtém-se

2

1

2C

vxv e

2

1

2.C vxv e e .

Retornando nas variáveis originais, obtém-se

A solução procurada 2

22.

x

yy k e .

Exemplo 2: Resolva ( ) 0x y dx xdy

Com y xv e dy vdx xdv , vem

( ) ( ) 0x vx dx x vdx xdv

Efetuando e simplificando

(2 1) 0v dx xdv

ou

02 1

dx dv

x v

Integrando:

2 1

dx dvC

x v

1ln( ) ln(2 1)

2x v C

1/ 2ln( (2 1) )x v C 1/ 2(2 1) Cx v e

2 2(2 1) Cyx e

x 2 2x xy k com a

constante 2Ck e .

Exemplo 3: Resolva a EDO homogênea dada. 2

2

dy y yx

dx x

Solução:

Considerando y vx , dy dv

v xdx dx

Substituindo, obtemos 2 2 2 2

2 2

( ) ( )dv vx vx x v x vxv x

dx x x

2 2

2

( )dv x v vv x

dx x

2dv

v x v vdx

2dvx v v v

dx 2 2

dvx v v

dx

EDS: 2( 2 )

dv dx

v v x

2( 2 )

dv dx

v v x

a integral do lado esquerdo é resolvido por

frações parciais:

1

( 2)

dxdv

v v x

;

1 1 1 1

2 2 2

dxdv

v v x

;

1 1( ln ln( 2)) ln2 2

v v x C

Voltando em y

vx , resulta:

1 1ln ln( 2)) ln

2 2

y yx C

x x .

2

1

2

1

xy

c x

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EXERCICIOS DE ED HOMOGÊNEA

1. Resolva

4 4

3

2y xy

xy

R: 4 8 4 4

1 1 ( )y c x x c c

2. Resolva 2 2

2xyy

x y

R: 2 2 ( ln )x y ky c k

3. Resolva

2 2x yy

xy

R: 2 2 2 2lny x x kx

4. Resolva

2 2

; (1) 2x y

y yxy

R: 2 2 2ln 4y x x x

5. Resolva 2 2

2xyy

y x

; R:

2 33yx y k

6. Ache a solução: 2 2 2dy

x x xy ydx

R.: tan(ln( ))y x C x

7. Ache a solução: ( ) ( )dy

x y x y x ydx

R.: 2ln( )

yC xy

x

8. Resolver a ED homogênea de 1ª ordem:

4 4 3( ) 2 0x y dx x ydy

R.:

2

12 2ln

xx C

x y

.

9. sin cos cos 0y y y

x y dx x dyx x x

10.

2

22 2 0

y

xx e y dx xydy

11. (2 2) (2 1) 0x y dx y x dy

Solução: Esta ED não é homogênea. Para

reduzir a uma ED homogênea, fazer a

seguinte mudança de variáveis x u h e

y v k , substituindo na ED e simplificando,

temos

{2 2 2} {2 2 1} 0u v h k dx v u k h dy

Para que esta ED seja homogênea,

condicionamos 2 2

2 1

h k

h h

0k e

1h . Por conseguinte chegamos a uma ED

homogênea:

(2 ) (2 ) 0u v dx v u dy . (resolver esta ED!)

12. 1 3

3

dy x y

dx x y

13. 2

dy y x

dx x y

Solução: Se fizermos u x y , então

1du dy

dx dx , assim, ED é transformada em

12

du u

dx u

1

2

du u

dx u

, então

resulta em uma ED separável:

2( 1)

2

du u

dx u

. (Resolver!)

14. 2 1

2 4 3

dy x y

dx x y