edmary silveira barreto araÚjo de... · 2018-06-24 · edmary silveira barreto araÚjo...
TRANSCRIPT
EDMARY SILVEIRA BARRETO ARAÚJO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS - UFLA
DOUTORADO INTERINSTITUCIONAL (DINTER) EM ESTATÍSTICA E EXPERIMENTAÇÃO
TRABALHO DA DISCIPLINA PROBABILIDADE
SALVADOR
2009
EDMARY SILVEIRA BARRETO ARAÚJO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS - UFLA
DOUTORADO INTERINSTITUCIONAL (DINTER) EM ESTATÍSTICA E EXPERIMENTAÇÃO
TRABALHO DA DISCIPLINA PROBABILIDADE
SALVADOR
2009
EDMARY SILVEIRA BARRETO ARAÚJO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS - UFLA
DOUTORADO INTERINSTITUCIONAL (DINTER) EM ESTATÍSTICA E EXPERIMENTAÇÃO
Trabalho apresentado à Universidade Federal de Lavras, como requisito parcial para obtenção da nota na disciplina Probabilidade, do Curso Pós-Graduação “Stricto Sensu”/ Doutorado Interinstitucional (Dinter) em Estatística e Experimentação, sob a orientação do Profº Dr. Mário Javier Ferrua Vivanco.
SALVADOR 2009
Dedico este trabalho primeiramente a Jesus porque Ele foi, e é o meu maior inspirador e a todos que participaram de alguma forma.
AGRADECIMENTOS
Agradeço, acima de tudo, a Deus pela condução nesse trabalho, sem Ele não conseguiria chegar até aqui. À minha família que sempre me incentivou.
À equipe de Matemática pela troca de conhecimento. Ao Profº. Dr. Mário Javier Ferrua Vivanco pela paciência e incentivo na elaboração deste
trabalho.
“Bendize, ó minha alma, ao SENHOR, e tudo que há em mim bendiga o teu santo nome.”
Salmos 103:1
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO...................................................................................................................08 CAPÍTULO 1 1.1. Variável Aleatória. ......................................................................................................09 1.2. Função de Distribuição.................................................................................................09 1.3. Variável aleatória Contínua e Função Densidade.........................................................09 1.4. Distribuição Normal.....................................................................................................09 1.5. Distribuição Qui-quadrado...........................................................................................10 1.6. Valor Esperado.............................................................................................................10 1.7. Variáveis Independentes...............................................................................................10 1.8. Esperança do Produto de Variáveis Independentes......................................................10 1.9. Função Gama................................................................................................................10 1.10. Vetor Aleatório Contínuo...........................................................................................11 1.11. A Função Densidade Marginal...................................................................................11 1.12. A Função Geradora de Momento...............................................................................11 1.13. Distribuição F ............................................................................................................12 1.14. Distribuição t Student.................................................................................................12 CAPÍTULO 2 2.1. EXERCÍCIO 1..............................................................................................................18 2.2. EXERCÍCIO 2 .............................................................................................................18 2.3. EXERCÍCIO 3..............................................................................................................19 2.4. EXERCÍCIO 4..............................................................................................................20 2.5. EXERCÍCIO 5..............................................................................................................20 2.6. EXERCÍCIO 6..............................................................................................................23 REFERÊNCIAS..................................................................................................................25
INTRODUÇÃO Este trabalho tem como principal objetivo apresentar demonstrações de exercícios sugeridos pelo Prof. Dr. Mário Ferrua. Dividimos essa tarefa em duas etapas: Capítulo 1 e 2. O primeiro capítulo traz definições, proposições e teoremas que serão de grande importância nessas demonstrações. Coletamos alguns conceitos para servir de suporte na resolução das questões sugeridas. Vamos encontrar neste capítulo o conceito de algumas funções muito usadas na Estatística, dentre elas a função de densidade da distribuição Normal, uma das mais importantes distribuições no desenvolvimento da teoria estatística. O segundo capítulo será para concluirmos esse trabalho, trazendo as referidas demonstrações. Este material foi elaborado de tal forma a servir de consulta para melhor compreensão de alguns conceitos de probabilidade e variáveis aleatórias e assim chegarmos aos requisitos básicos para continuar os estudos na disciplina de Inferência e outras do curso.
CAPÍTULO 1 Neste capítulo vamos definir alguns conceitos para desenvolvimento dos exercícios que serão demonstrados. Serão enunciados alguns teoremas, algumas definições e proposições de grande importância na resolução das questões. 1.1. Variável Aleatória DEFINIÇÃO 1. Seja ),,( rÁW um espaço de probabilidade. Denominamos de variável
aleatória, qualquer função RX ®W: tal que ,})(:{)(1 ÁÎÎWÎ=- IwXwIX para todo intervalo I Ì R pertencem a .lg Á- ebraás 1.2. Função de Distribuição DEFINIÇÃO 2. Sendo X uma variável aleatória em ),,( rÁW , sua função de distribuição é definida por
),(]),(()( xXPxXPxFX £=-¥Î= com x percorrendo todos os reais 1.3.Variável aleatória Contínua e Função Densidade DEFINIÇÃO 3. Uma variável aleatória X em ),,( rÁW , com função de distribuição F, será classificada como continua, se existir uma função não negativa f tal que:
ò¥-
=x
dwwfxF )()( , para todo x Î R.
A função f é denominada função densidade. PROPOSIÇÃO 1: A função densidade de X em ),,( rÁW satisfaz:
.1)()2(
;,0)()1(
=
Î"³
ò¥
¥-
dwwffd
Rxxffd
1.4.Distribuição Normal DEFINIÇÃO 4. Uma variável X segue o modelo Normal se sua densidade é a seguinte:
( )
),(~:
,0
,1)(,0,,),(
2
1)(
2
),(2 2
2
sm
ssmps
sm
NXNotação
Aw
AwwIondeRcomxIexf A
x
îíì
ÏÎ
=>Î= ¥-¥
--
1.5. Distribuição Qui-quadrado DEFINIÇÃO 5. Uma variável X que segue a distribuição qui-quadrado com v graus de liberdade tem densidade dada por:
)(21
)2/(1
)( ),0(2
11
22
xIexv
xfx
vv
¥
--÷øö
çèæ
G= onde
îíì
ÏÎ
=Aw
AwwI A ,0
,1)( .
Notação: 2~ vX c 1.6. Valor Esperado DEFINIÇÃO 6. Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade f. Definimos valor esperado ou esperança matemática ou média de X por
ò¥
¥-
= ,)()( dxxxfXE desde que a integral esteja bem definida.
1.7. Variáveis Independentes DEFINIÇÃO 7. Duas variáveis aleatórias X e Y, são independentes se a informação sobre uma delas não altera a probabilidade de ocorrência da outra. Isto é, para qualquer
)(, 21 RBBB Î , )()( 121 BXPBYBXP Î=ÎÎ .
X e Y são independentes 2, ),(),().(),( RyxyFxFyxF YXYX Î"=Û (1.7.1)
X e Y são independentes 2, ),(),().(),( Ryxyfxfyxf YXYX Î"=Û (1.7.2)
1.8. Esperança do Produto de Variáveis Independentes DEFINIÇÃO 8. Sejam nXXX ,...,, 21 variáveis aleatórias independentes cujo valor esperado é finito. Então, a esperança do produto dessas variáveis é finita e é igual ao produto das esperanças, isto é,
).()...().( 211
n
n
ii XEXEXEXE =÷÷ø
öççè
æÕ=
1.9. Função Gama: DEFINIÇÃO 9. A função Gama, denotada por G( . ) é definida pela integral:
02
,2 0
12 >=÷
øö
çèæG ò
¥-- n
dxexn x
n
1.10. Vetor Aleatório Contínuo: DEFINIÇÃO 10. Denominamos vetor aleatório contínuo o vetor aleatório (V.A) cujas componentes são variáveis contínuas.
~X será um vetor aleatório contínuo se, dada a função de distribuição F, existe uma função
+® RRf m: , denominada função densidade conjunta (fdc),tal que:
ò"
=x
mdydyyfxF ...)()( 1~~
.
PROPOSIÇÃO 2. (fdc1) ;,0)(
~~
mRxxf Î"³
(fdc2) .1....)(... 1~
=òò¥
¥-
¥
¥-mdxdxxf
1.11. Função densidade Marginal DEFINIÇÃO 11. A função densidade marginal é dada pela expressão:
ò=¹
"
=
mixxx
mkX
ki
i
kdxdxxfxf
,...1
1~
...)()(
1.12. A Função Geradora de Momentos
DEFINIÇÃO 12. A função geradora de momentos da variável X é definida por
);()( tXX eEtM =
desde que a esperança seja finita para t real em algum intervalo –t0 < t < t0; com t0 > 0.
TEOREMA 1 . Sejam nXX ,...,1 variáveis aleatórias independentes e funções geradoras de momentos, respectivamente, iguais a MXj(t), j = 1, 2, ..., n, para t em alguma vizinhança de zero. Se nXXY ++= ...1 , então a função geradora de momentos de Y existe e é dada
por: Õ=
=n
iXY tMtM
j1
)()( ; com t assumindo valores, na mesma vizinhança acima
mencionada. TEOREMA 2. Sejam nXX ,...,1 variáveis aleatórias com função geradora de momentos
conjunta ),...,( 1,...,1 nXX ttMn
com tj´s tomados numa vizinhança de zero. Então as variáveis
nXX ,...,1 são independentes se, e somente se, a função geradora de momentos conjunta pode ser como o produto das funções geradoras das variáveis. Isto é:
Õ=
=n
jjXnXX tMttM
jn1
1,..., )(),...,(1
TEOREMA 3: Se duas variáveis aleatórias têm funções geradoras de momentos que existem, e são iguais, então elas têm a mesma função de distribuição.
1.13. Distribuição F DEFINIÇÃO 13. Uma variável X que segue a distribuição F com v1 e v2 graus de
liberdade tem densidade dada por: )(.
12.
2
2)( ),0(
2
2
1
122
1
2
21
21
21
11
xI
v
xv
xvv
vv
vv
xfvv
vv
¥+
-
÷÷ø
öççè
æ+
÷÷ø
öççè
æ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
÷øö
çèæ +
G=
Notação: ),( 21
~ vvFX
1.14. Distribuição t Student
DEFINIÇÃO 14. Uma variável X que segue a distribuição t Student com n graus de
liberdade tem densidade dada por:
( )
)(.
2
12
1
)( ),(
2
12
xIn
n
nxn
xf
n
¥-¥
+-
÷øö
çèæG
÷÷ø
öççè
æ+÷
øö
çèæ +
G=
p, n > 0.
PROPOSIÇÃO 3. 222
2222
.)(),(~t
tt
t
X eeetMNXs
ms
msm ==Þ
+ .
Prova: Sabendo que ms += ZX . , com Z ~ N(0,1) e então,
..2
..2
.2
.2
..2.
.).()()()(
2
)2(14
2
21
2
]4
)2
[(21
)(21
22
6
)(
12
22222
2222
22
sm
s
sm
ss
m
s
m
smmsmsms
ppp
ps
ps
tt
fdproposiçãoeDefinição
tzy
ytt
ttz
t
tztz
t
z
ztt
z
tzt
Definição
tZtZttX
DefiniçãoX
eedye
eedze
edze
e
dze
eedze
eeeEeEeEtM
====
======
-=
¥
¥-
-¥
¥-
---¥
¥-
+-
¥
¥-
-¥
¥-
-
++
òòò
òò
PROPOSIÇÃO 4. .21
,21
1)(~
22 <÷øö
çèæ-
=Þ tt
tMX
v
Xvc
Prova:
ò
òò¥
---
¥--
¥
--
G÷øö
çèæ=
=G
÷øö
çèæ=
G
÷øö
çèæ
==
0
12
)21
(2
0
122
2
0
21
22
6512
.)2/(
1.
21
.)2/(
1.
21
)2/(21
.)()(
dxxev
dxxev
dxv
exeeEtM
vxt
v
vxtx
v
xvv
txeDefinição
tXDefinição
X
.2/1,21
1)(,tan
2/1,21
1)2/(.
211
)2/(1
.21
1)2/(
1
.21
2)2/(
1.
21
212
212
.)2/(
1.
21
)(
.int2/121
21
2
221Pr
0
12
2
0
12
22
0
122
<÷øö
çèæ-
=
<÷øö
çèæ-
=G÷øö
çèæ-G
=÷øö
çèæ-G
=
=÷øö
çèæ-G
÷øö
çèæ=÷
øö
çèæ-
÷øö
çèæ-G
÷øö
çèæ=
<÷øö
çèæ -=Þ÷
øö
çèæ -=
ò
òò¥
--
¥--
¥ --
tt
tMtoPor
tt
vtv
dxuetv
dxuetv
dutt
ue
vtM
convergiregralaparatedxtduxtuSeja
v
X
vvoposiçãov
u
v
vu
vvv
u
v
X
TEOREMA 4: Se Z1, Z2, ..., Zn é uma amostra aleatória com distribuição normal padrão, então:
i) Z tem uma distribuição normal com média 0 e variância .1n
Prova:
).1
,0(~)(
)()()()()()(
3Pr2
23Pr
11
12
1
12
2
2
21
nNZetM
ent
meEeEeEeEtM
oposiçãon
t
Z
n
ntoposiçãon
iZ
n
i
Definiçãon
tZtesindependenZn
i
n
tZ
n
Zt
ZtDefinição
Z i
ii
n
ii
Þ=
=÷øö
çèæ===
å
== ÕÕÕ===
=
.
ii) Z e ( )å=
-n
ii ZZ
1
2são independentes.
Prova: Para n = 2, temos:
( ) ( ) ( )
( ) ( )2
442222
12
22
1
212
221
2
212
2
211
22
1
21
ZZZZ
ZZZZZZZ
ZZZZZe
ZZZSejam
ii
ii
-=-
-+
-=÷
øö
çèæ +
++÷øö
çèæ +
-=-+
=
å
å
=
=
Z é função de 21 ZZ + e ( )22
1å=
-i
i ZZ é função de 12 ZZ - .
Para mostrar que Z e ( )22
1å=
-i
i ZZ são independentes basta mostrar que 21 ZZ + e
12 ZZ - são independentes.
22
22
22
12221222122
12
21
21
21
21112111211
21
223Pr8
)(12
2
223Pr8
)(12
1
.)().(].[][)(
.)().(].[][)(
tttoposição
ZtZtDefinição
ZtZtZZtDefinição
ZZ
tttoposição
ZtZtDefinição
ZtZtZZtDefinição
ZZ
eeeeEeEeeEeEtM
eeeeEeEeeEeEtM
=====
=====
----
++
.,
).().(),(
)().(..
)().(].[][),(
1221
2121,
212
)(
2
)(3Pr
)()(8
)()()()(12
21,
12211221
1221
22
21
221
221
221121221121122211
1221
tesindependensãoZZeZZLogo
tMtMttM
tMtMeeee
eEeEeeEeEttM
ZZZZZZZZ
ZZZZtt
ttttoposição
ZttZttDefinição
ZttZttZZtZZtDefinição
ZZZZ
-+
=
===
===
-+-+
-+
+-
+-+--++-+
Portanto, å=
=2
1 2i
iZZ e ( )
22
1å=
-i
i ZZ são independentes.
Para n =3, vamos mostrar que å=
=3
1 3i
iZZ e ( )
23
1å=
-i
i ZZ são independentes.
Prova: 3
321 ZZZZ
++= e ( )
23
1å=
-i
i ZZ =
( ) ( ) ( )
( )
)().(
...)().().(
]..[][),(
..
)().().(]..[][)(
..
)().().(]..[][)(
.Z-Z-2Z,Z-Z-2Z ,Z-Z-2Z
de função éZ e ZZ Zde função é3
ZZZ
92
92
92
3)(2
3)(2
3)(2
333
221
3Pr
26
23
263
2)(
2)(
2)2(
)()()2(
8)()()2()2()(
12
212,
26
222
3Pr2
82)2(
12
22
23
222
3Pr83)(
12
1
213312321
3
1
2
321321
2213
2312
2321
2
213
2
312
2
321
2
3213
2
3212
2
3211
321321
22
21
22
21
221
221
221
321221121
2122112132123211
321321
22
22
22
22
3222123222123212
321
21
21
21
21
312111121113211
321
tMtM
eeeeeeeEeEeE
eeeEeEttM
eeee
eEeEeEeeeEeEtM
eeee
eEeEeEeeeEeEtM
ZZ
ZZZZZZZZZ
ZZZZZZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZZZ
oposição
ttttttttttZttZttZtt
DefiniçãottZttZttZZZtZZZt
Definição
ZZZZZZ
tttt
oposiçãoZtZtZt
DefiniçãoZtZtZtZZZt
Definição
ZZZ
tttt
oposiçãoZtZtZt
DefiniçãoZtZtZtZZZt
Definição
ZZZ
ii
--++
+--+--+
--+--+++--++
--------
++++
=
=
====
===
==
=====
==
====
-++++
=
--+
--+
--=
=÷øö
çèæ +-
+÷øö
çèæ +-
+÷øö
çèæ +-
=
÷øö
çèæ ++
-+÷øö
çèæ ++
-+÷øö
çèæ ++
-=
å
221212, ().(),(321321321321
tMtMttM ZZZZZZZZZZZZ --++--++ = )
( ) tes.independen são Z e3Z
Z Portanto,
.2,3
1
2
i
3
1
i
321321
åå==
-=
--++
ii
Z
tesindependensãoZZZeZZZLogo
Para ( )åå==
-=n
ii
n
i
i ZZenZ
Z1
2
1
, temos:
( )
( ) ( )( )
( )
( ).
...)1(...
...1
.......
...teSimilarmen
)().(.),(,
....
)()....().(]....[][)(
....
)()....().(]....[][)(
2
1
2
21
2
1
2
211
2
11
1
2
1
2...)1(1...2
)(
2
1
2
)1(
21...)1(...
2222
)1\
3Pr8)1()...)1((
12
2...)1(
2222
3Pr8)...(
12
1...
2121
22
221
221
221
2121
22
222
22
22
2
22212)1(22212212
21
21
21
21
21
1211112111211
21
tesindependensãon
ZZnn
ZZZn
nZZ
Zn
ZZZZ
n
ZZZZe
nZ
Z
tMtMeeettM
eeee
eEeEeEeeeEeEtM
eeee
eEeEeEeeeEeEtM
nn
nn
n
n
iin
ii
n
i
i
ZnZZnZnZZ
tnnntttntnt
ZnZZnZnZZ
tnntttn
oposiçãoZtZt
DefiniçãoZntZtZtnZZZnt
Definição
ZnZZn
ntttt
oposiçãoZtZtZt
DefiniçãoZntZtZtZZZt
Definição
ZnZZ
nZtnn
nn
÷øö
çèæ ---
+÷øö
çèæ ----
=
=÷øö
çèæ ++
-++÷øö
çèæ +++
-=
÷÷÷÷
ø
ö
çççç
è
æ
-=-=
===
==
====
==
====
ååå =
==
----+++
-+---+
----+++
--
-------------
++++++
-
iii) ( ) .~ 2)1(
2
1-
=å - n
n
ii ZZ c
Prova: Vamos usar o TEOREMA 3 para concluir a demonstração. Seja
( )
2
1
222
1
22
22
1
1222
1 1
2
1 1 1 1
222
1
2
)(22)(
2.2)(22)(
2)()(
ZnZZZnZnZnZZ
ZnZnn
ZnZZZZnZnZZZZ
ZZZZZZZZZZ
n
ii
n
ii
n
i
n
ii
i
n
i
n
iii
n
i
n
i
n
i
n
iiii
n
ii
åå
åå
å å
å å å åå
==
=
=
= =
= = = ==
+-=+-+-=
=+-+-=+-+-=
=+-+-=+-=
Como 2
1
2
1
2 )( ZnZZZn
ii
n
ii åå
==
+-= e por (ii), ( ) 22
1
ZneZZn
iiå
=
- são independentes.
Pelo TEOREMA1, temos: ( )
)().()( 2
1
2
1
2tMtMtM
ZnZZZn
ii
n
ii å
=å
==
-
Vamos achar ).()( 2
1
2tMetM
ZnZn
iiå
=
Se å=
=n
iiZU
1
2 , então
)()....()()()()(222
221
222
211
2
1
6...
12inn
n
ii
tZn
i
DefiniçãotZtZtZtZtZtZ
ZttU
Definição
U eEeeeEeEeEeEtM Õ=
+++ ===å
== =
:,64log),1,0(~, temosedefiniçãopelaoNZMas i
1
)21
1(2
1
)21(21
12
21
21
21
21
21
2
1
2
1)
2
1()( dzedzedzeeeE t
z
ztz
tztZ òòò¥
¥-
-
-¥
¥-
---¥
¥-
===ppp
2
2
1
12
12
~,
.21
,21
1
21
1)()(
,tan.21
,21
1)(:,1
2
1
)2(1Pr,2
1)(,
21
1
2
22
21
2
21
21
n
nntZ
n
iU
tZz
ztZ
ULogo
ttt
eEtM
toPortt
eEtemosdze
fdoposiçãopelacomodzeeEentãot
Seja
i
i
c
sps
psss
s
s
<÷øö
çèæ-
=÷ø
öçè
æ-
==
<-
===
=-
=
Õ
ò
ò
=
¥
¥-
-
¥
¥-
-
Vamos mostrar que .21
,21
1)(
2
1
2
1
2<÷
øö
çèæ-
=Þ== å=
tt
tMZnZV V
n
i
Prova: ).1
,0(~)1,0(~n
NZNZ Þ
Se å=
=n
i
ZV1
2, então
zden
zden
zden
eeE
temosedefiniçãopelaon
NZMas
eEeeEeEeEeEtM
t
zn
ztnzn
zntZnt
ZntZtZtZtZtZt
tVDefinição
V
n
i
òòò¥
¥-
÷øö
çèæ-
-¥
¥-
---¥
¥-
++
===
===å
== =
21
12)21(
22
...12
2
22
22
222221
2
222)(
:,64log),1
,0(~,
)()...()()()()(
ppp
.21
,21
1)(
,tan.21
,21
1.)(:,1
2
1
)2(1Pr,2
1.)(,
21
1
2
1
2
2
22
2
2
2
2
<÷øö
çèæ-
=
<-
===
=-
=
ò
ò¥
¥-
-
¥
¥-
-
tt
tM
toPortt
neEtemoszde
fdoposiçãopelacomozdeneEentãotn
Seja
V
Ztz
zZt
sps
psss
s
s
Usando os momentos )(
1
2tM n
iiZå
=
e )(2 tMZn
, temos:
( ).2/1,
211
211
211
)(
)(
)(2
1
21
2
2
1
2
1
2<÷
øö
çèæ-
=
÷øö
çèæ-
÷øö
çèæ-=
å=
å
-
-
=
=
tt
t
ttM
tM
tM
n
n
Zn
Z
ZZ
n
ii
n
ii
Pelo TEOREMA 3 e PROPOSIÇÃO 4, concluímos que
( ) .~ 2)1(
2
1-
=å - n
n
ii ZZ c
TEOREMA 5. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias contínuas com função densidade
).,( 21, 21xxf XX Seja }0),(:),{( 21,21 21
>=À xxfxx XX .
Suponha que : i) ),(),( 21222111 xxgyexxgy == define uma transformação um a um de emÀ D. ii) A primeira derivada parcial de ),(),( 21
12221
111 yygxeyygx -- == são contínuas sobre
D.
iii) O Jacobiano da transformação
2
2
1
2
2
1
1
1
),( 21
y
x
y
xyx
yx
J yy
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
= é diferente de zero para Î),( 21 yy
D. Então a densidade conjunta )),(),,((),( 21
1221
11,21, 2121
yygyygfJyyf XXXX--= ID(y1,y2).
Capítulo 2 Neste capítulo vamos demonstrar os exercícios apresentados pelo prof. Dr. Mário Ferrua. Citaremos algumas definições, teoremas e proposições no decorrer do trabalho que estarão no CAPÍTULO 1, para melhor explicação de cada etapa da demonstração.
2.1. Exercício 1: Se ),(~ 2smNX , então )1,0(~ NX
Zsm-
= .
Prova: Pela DEFINIÇÃO 2, temos que: )()( zZPzFZ £= .
( )
( )
)1,0(~,4),()(2
1
2
1
,.,
,2
1]),((
:32),,(~
]),,(()()()(,
22
2
2
2
2
2
2
2
NX
YDefiniçãopelazFzYPdyedxe
Logozyzxyx
edxdyx
ysejadxezXP
temoseDefiniçõespelasNXmas
zXPzXPzX
PzFX
ZSeja
Y
z yz x
z x
Z
sm
pps
ms
ssm
psms
sm
msmssm
sm
mssm
mssm
-==£==
®Þ+®-¥®Þ-¥®
=Þ-
==+-¥Î
+-¥Î=+£=£-
=-
=
òò
ò
¥-
-+
¥-
--
+
¥-
--
Portanto, )1,0(~ NX
Zsm-
= (Normal padrão ou Normal Reduzida).
2.2. Exercício 2: Seja ),...,( 1 nXXX = uma amostra aleatória extraída de uma
população normal ).,(~),(~2
2
nNXNX
smsm Þ
Prova:
Seja n
XX
n
iiå
== 1 . Como )1,0(~.),(~ 2 NZcomZXNX mssm +=Þ pela
DEFINIÇÃO 4.
Pela PROPOSIÇÃO 3, se 22
22
)(),(~t
t
X etMNXs
msm
+=Þ . Vamos mostrar que
).,(~,,2
2
22
nNXsejaoueM n
tt
X
sms
m+=
n
tt
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
t
XX
n
iX
n
i
Definiçãon
tXDefinição
n
i
n
tX
n
tX
n
tX
n
tXn
tX
n
tX
n
tX
n
Xt
XtDefinição
X
e
eeent
mnt
mnt
meE
eEeeeEeEeEeEtM
n
i
inn
n
ii
2
222
11
68
1
...12
22
2
22
2
22
2
22
21
21211
.......)(
)().....()()()()(
sm
sm
sm
sm
+
+++
==
=
÷øö
çèæ +++
=
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ=÷
øö
çèæ
÷øö
çèæ=÷
øö
çèæ==
===
å
==
ÕÕ
Õ=
Portanto, ).,(~2
nNX
sm
2.3. Exercício 3: Se ),...,( 1 nXXX = é uma amostra aleatória com distribuição normal
com média m e variância s2, então U = 2)(2
1
2
~)(
n
n
iiX
cs
må=
-.
Prova: Sejam
.)(
21
2
sm
s
m-
=-
=å= i
i
n
ii X
ZeX
U
Vamos usar o TEOREMA 3 para provar que 2)(2
1
2
~)(
n
n
iiX
cs
må=
-.
1
)21
1(2
1
)21(21
12
1
6...
12
21
21
21
21
21
2222
21
222
211
2
2
1
2
1)
2
1()(
:,64log),1,0(~,
)()....()()()()(
dzedzedzeeeE
temosedefiniçãopelaoNZMas
eEeeeEeEeEeEtM
t
z
ztz
tztZ
i
tZn
i
DefiniçãotZtZtZtZtZtZ
ZttU
Definição
Uinn
n
ii
òòò
Õ
¥
¥-
-
-¥
¥-
---¥
¥-
=
+++
===
===å
== =
ppp
22
1
12
12
~,.21
,21
1
21
1)()(
,tan.21
,21
1)(:,1
2
1
)2(1Pr,2
1)(,
21
1
2
22
21
2
21
21
n
nntZ
n
iU
tZz
ztZ
ULogottt
eEtM
toPortt
eEtemosdze
fdoposiçãopelacomodzeeEentãot
Seja
i
i
c
sps
psss
s
s
<÷øö
çèæ-
=÷øö
çèæ
-==
<-
===
=-
=
Õ
ò
ò
=
¥
¥-
-
¥
¥-
-
Portanto, U = 2
1
2)(
s
må=
-n
iiX
tem distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade.
2.4. Exercício 4: Se ),...,( 1 nXXX = é uma amostra aleatória de uma população normal
( )1
),(~
2
12
-
-=å=
n
XXSeNX
n
ii
sm . Mostrar que U = ( )
( ).~1 2
12
2
--
n
Sn cs
Prova:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )åå
åå
==
==
-=÷÷ø
öççè
æ -=
-=
-=
-
--
=-
=
n
ii
n
i
i
n
ii
n
ii
ZZXXSn
U
XX
n
XXnSn
USeja
1
22
12
2
21
2
1
2
22
2
1
1.
11
ss
sss
Foi provado no CAPÍTULO 1, TEOREMA 4 iii) que ( )å=
-n
ii ZZ
1
2tem distribuição ( ).
21-nc
Como ( ) ( )åå
==
-=÷÷ø
öççè
æ -=
- n
ii
n
i
i ZZXXSn
1
22
12
21ss
, concluímos que ( )
( ).~1 2
12
2
--
n
Sn cs
2.5. Exercício 5: ),(22 ~
//
,~~ nmnm FnVmU
XtesindependenVeUVeU =Þcc
Prova: Vamos mostrar que X tem distribuição F, ou seja, apresenta função densidade conforme DEFINIÇÃO 13.
.0,2
),(..21
.
2
1)(~
0
12
9
),0(
12
252 2
1
>=÷øö
çèæG÷
øö
çèæ
÷øö
çèæG
=Þ -¥
-
¥
-
ò-
mdueum
sendouIeum
ufU umDefiniçãom
m
U
Definição
m
u
c
.0,2
),(..21
.
2
1)(~
0
12
9
),0(
12
252 2
1
>=÷øö
çèæG÷
øö
çèæ
÷øö
çèæG
=Þ -¥
-
¥
-
ò-
ndvevn
sendovIevn
vfV vnDefiniçãon
n
V
Definição
n
v
c
Como U e V são independentes, então pela DEFINIÇÃO 7 (1.7.2), temos:
).().(),(,
vfufvuf VUVU= Logo,
)().(....21
.
2.
2
1
)().(..21
..21
.
2.
2
1),(
),0(),0(
12
12
2
),0(),0(
12
212
2
,
)(2
1
2
1
2
1
vIuIevunm
vIuIeevunm
vuf
vu
vu
nmnm
nn
mm
VU
¥¥
--+
¥¥
--
+-
--
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
=
=÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
=
Sejam .//
VYenVmU
X == Temos que x = g1(u, v) ),(11 yxgu -=Þ e y = g2(u, v)
),(12 yxgv -=Þ .
ïî
ïíì
=
=Þ=
yv
xynm
umnuvx /
As derivadas parciais yv
xv
yu
xu
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
,,, existem e são contínuas, logo Pelo TEOREMA 5,
temos que a função densidade conjunta de (X,Y) é definida por:
)()(),()).,(),,((),( ),0(),0(1
21
1,, yIxIyxJyxgyxgfyxf VUYX ¥¥--= , onde u e v são expressos
em função de x e y e ),( yxJ é o módulo do jacobiano.
ynmx
nm
ynm
yu
xv
yu
xu
J ==
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
=10
.
)().(....21
.
2.
2
1),( ),0(),0(
12
122
,
)(2
1
yIxIynm
eyxynm
nmyxf
yxyn
mnmnm
YX ¥¥
--
+
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
=+-
ò
ò
ò
òò
¥-
+-+
¥+-+-
-+
¥-
-+
¥-
-+
¥
¥-
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
=
=÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
=
=÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
=
=÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
==
+-
+-
+-
+-
0
12
122
0
112
12
122
0
12
122
0
12
122
,
...21
.
2.
2
1
...21
.
2.
2
1
...21
.
2.
2
1
....21
.
2.
2
1),()(
)1(2
1
)(2
1
)(2
1
)(2
1
dynm
eyxnm
nm
dynm
eyxnm
nm
dyynm
eyxynm
nm
dyynm
eyxynm
nmdyyxfxf
yxn
m
yxyn
m
yxyn
m
yxyn
m
mnmnm
mnmnm
nmnm
nmnm
YXX
Usando as substituições dwnmx
ndyyx
nm
w ÷øö
çèæ
+=Þ÷
øö
çèæ +=
21.
21
e
ò¥
--+
=÷øö
çèæ +G
0
12 .
2dwew
nm wnm
na equação
ò¥
-+-
+
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
=+-
0
12
122
...21
.
2.
2
1)(
)1(2
1
dynm
eyxnm
nmxf
yxn
mmnmnm
X
Obtemos:
).(..
2.
2
2)(
).(..
2.
2
2
..
2.
2
2.2..
21
.
2.
2
2
2.
2...
21
.
2.
2
1
..2
.2
.2
...21
.
2.
2
1
2...
2.
21
.
2.
2
1)(
),0(
212
2
),0(
212
2
212
222
12
22
212
122
9
0
12
121
2
122
0
12
122
xIn
nmxx
nm
nm
nm
xf
xIn
nmxx
nm
nm
nm
nmxn
xnm
nm
nm
nmxn
xnm
nm
nm
nmnmx
nnm
xnm
nm
dwewnmx
nnmx
nnmx
nnm
xnm
nm
dwnmx
nnm
ewnmx
nx
nm
nmxf
mnm
m
X
mnm
m
mnm
mmnmnm
mnm
mnm
mnm
Definiçãomnmn
mmnm
mnmnm
X
w
w
¥
+-
-
¥
+-
-
+-
++
-+
+-
-+
¥-
+-+
--
+
¥ -+
-+
÷øö
çèæ +
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
÷øö
çèæ +
G=
÷øö
çèæ +
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
÷øö
çèæ +
G=
=÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
÷øö
çèæ +
G=÷
øö
çèæ
+÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
÷øö
çèæ +
G=
=÷øö
çèæ +
G÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
=
=÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
=
=÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
úû
ùêë
é÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG÷
øö
çèæG
=
ò
ò
-
-
A função acima é a função de densidade da distribuição F com m e n graus de liberdade, conforme DEFINIÇÃO 13. Logo, X ~ ),( nmF
2.6. Exercício 6: Sejam U, Z independentes, nn t
nU
ZXUeNZ ~~)1,0(~ 2 =Þc
Prova:
)(21
.
2
1)(~
)(2
1)()1,0(~
),0(2
12
252
),(2
42
uIeun
ufU
zIezfNZ
unn
U
Definição
n
z
Z
Definição
¥
--
¥-¥
-
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG
=Þ
=Þ
c
p
)().(21
2
1.
2
1),( ),(),0(
21
222.7.1
7
,
2
zIuIeun
uzfzn
nDefinição
UZ ¥-¥¥
--÷øö
çèæ
÷øö
çèæG
=p
Sejam .UYe
nU
ZX == Temos que x = g1(z, u) ),(1
1 yxgz -=Þ e y = g2(z, u).
),(12 yxgu -=Þ .
xny
yu
zxnu
z.
.
ïî
ïí
ì
=
=Þ=
As derivadas parciais yu
xu
yz
xz
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
,,, existem e são contínuas, logo Pelo TEOREMA 5,
temos que a função densidade conjunta de (X,Y) é definida por:
)()(),()).,(),,((),( ),0(),(1
21
1,, yIxIyxJyxgyxgfyxf UZYX ¥¥-¥--= , onde z e u são expressos
em função de x e y e ),( yxJ é o módulo do jacobiano.
ny
ny
xny
yu
xu
yz
xz
yxJ ==
¶¶
¶¶
¶¶
¶¶
=10
2),( .
( ) )().(....21
.
2.2
1),( ),0(),(
212
2
,
22
yIxIny
eeyn
yxfx
n
ynn
YX
y
¥¥-¥
--
÷÷ø
öççè
æ÷øö
çèæ
÷øö
çèæG
=-
p
( )
)(..211
.
2.2
1
.....21
.
2.2
1),()(
0
121
2
12
0
212
2
,
2
22
Idyeynn
dyny
eeyn
dyyxfxf
n
xynn
xn
ynn
YXX
y
ò
òò
¥÷÷ø
öççè
æ+--
+
¥ --¥
¥-
÷øö
çèæ
÷øö
çèæG
=
÷÷ø
öççè
æ÷øö
çèæ
÷øö
çèæG
==-
p
p
Usando as substituições dwxn
ndyy
nx
w ÷øö
çèæ
+=Þ÷÷
ø
öççè
æ+= 2
2 21.
21
e ò¥
--+
=÷øö
çèæ +
G0
12
1
.2
1dwew
n wn
na equação (I), obteremos:
0),(11
2
21
)(
0),(11
2
21
21
.2
.211
.
2.2
1
.12
.21
.
2.2
1
.2
.1
21
.
2.2
1
2.
21.
21
.
2.2
1)(
),(
2
12
),(
2
12
),(
2
1
2
2
9
0
12
12
1
2
2
0
12
.2
11
2
12
1
2
2
20
12
.2
11
2
112
1
2
2
2
2
2
2
>÷÷ø
öççè
æ+
÷øö
çèæG
÷øö
çèæ +
G=
>÷÷ø
öççè
æ+
÷øö
çèæG
÷øö
çèæ +
G=÷
øö
çèæ +
G÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
÷øö
çèæG
=
=÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
÷øö
çèæG
=
=÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
÷øö
çèæG
=
÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
+÷øö
çèæ
÷øö
çèæG
=
¥-¥
+-
¥-¥
+-
¥-¥
+
¥--
++
¥÷÷ø
öççè
æ+÷
øö
çèæ
+--
++
¥÷÷ø
öççè
æ+÷
øö
çèæ
+--
+-+
ò
ò
ò
nxInx
nn
n
xf
nxInx
nn
n
In
xnn
nn
dwewnxn
nn
dwewxn
n
nn
dwxn
new
xnn
nnxf
n
X
nnn
Definiçãow
nnn
wn
x
xn
nnnn
wn
x
xn
nnnn
X
p
pp
p
p
p
A função acima é a função de densidade da distribuição t Student com n>0 graus de liberdade, conforme DEFINIÇÃO 14.
Logo, .~ )(nt
nU
ZX =
REFERÊNCIAS MAGALHÃES, M. N.- Probabilidade e Variáveis Aleatórias. 2º ed. São Paulo: Edusp, 2006. MOOD B, GRAYBILL, BOES - Introduction To The Theory Of Statistics 1974. FERREIRA, D. F. Estatística Básica. 2a Ed. Ver. Lavras: Ed. UFLA, 2009.