ECONOFÍSICAUma Breve Introdução

L. Moriconi IF-UFRJ

• I Panorama• II Conceitos Basilares• III Modelagem de Black-Scholes• IV Mercados Não-Gaussianos• V Econofísica & Turbulência• VI Conclusões

I. PANORAMA

Métodos de investigação oriundos da física estatística e sistemas não-lineares têm sido aplicados ao estudo de problemas econômicos, principalmente àqueles relacionados às flutuações dos índices financeiros produzidas nas bolsas de valores.

Assistimos, a partir de meados da década de 1990, à formação de uma sólida comunidade de físicos fortemente envolvida nesta nova área da física aplicada, chamada de “econofísica”.

A relação entre física e economia é antiga e pode ser reconhecida desde o século XVIII, começando com Adam Smith (sob o impacto da revolução newtoniana) e passando pelos princípios da microeconomia e da teoria neoclássica (sob influência da mecânica estatística de equilíbrio de Boltzmann).

O grau de interdisciplinaridade economia/física da pesquisa em econofísica é, entretanto, historicamente inédito.

Informações úteis: http://www.econophysics.org/ http://omnis.if.ufrj.br/~mbr/econofisica/intro/

Econofis 2007

Organizadores:

Marcelo Byrro (UFRJ)Rosane Riera (PUC-RIO)L.M.

Um inesperado sucesso.

Edição 2009 : IFT/São Paulo(Novembro)

Um grande encontro (APFA)ocorrerá em 2011 no Brasil.

S&P500

S&P500 31/03/2009 http://finance.yahoo.com/

A Econofísica dos Mercados Financeiros

Fenomenologia das flutuações dos índices financeiros

Modelos microscópicos- sistemas interagentes de agentes financeiros

“Portfolio Theory” Engenharia Financeira

CosmosEconômico(Neoclássico?)

II. CONCEITOS BASILARES

• Índices Financeiros .....................S(t)• Log-Retornos...............................x(t)=Log[S(t+∆)/S(t)]• Taxas de crescimento...................µ• Taxa de juros livre de risco..........r• Volatilidade..................................σ• Mercado Eficiente........................Processos de Markov, Martingales• Arbitragem...................................“A arte de ganhar do mercado”• Derivativos...................................F[S(t)]

50000 100000 150000 200000

-0.003

-0.002

-0.001

0.001

0.002

0.003

Log-retornos do FTSE100, minuto a minuto,no período de 2003 a 2005.Taxas semanais de crescimento removidas.

Flutuações Não-Gaussianas!

Em um mundo gaussiano, a probabilidade do colapso de outubro de 1987 seria de 10-135 !

Derivativos; Opções de compra (call) e venda (put).

Call: quero comprar ações de você, daqui há um certo tempo, por um preço combinado (strike price).Você escreve um contrato que me dá o direito de comprá-las.Eu pago um prêmio pelo contrato. No dia “D” eu gostaria que as ações estivessem valorizadas – sou touro (bull).No dia “D” você gostaria que as ações estivessem desvalorizadas – você é urso (bear).

Put: quero vender minhas ações a você, daqui há um certo tempo, por um preço combinado (strike price).Você escreve um contrato que me dá o direito de vendê-las.Eu pago um prêmio pelo contrato. No dia “D” eu gostaria que as ações estivessem desvalorizadas – sou urso (bear).No dia “D” você gostaria que as ações estivessem valorizadas – você é touro (bull).

PROBLEMA CRUCIAL: COMO PRECIFICAR OPÇÕES?

Exemplo: ações da Microsoft em 31/03/09

SPOT PRICE = 18.66

Mercado Justo Os valores de opções são dados ou pelas linhas sólidas nas figs à“O Jogo dos Bonzinhos” esquerda

Put Buyer Put Writer

Call Buyer Call Writer

III. MODELAGEM DE BLACK-SCHOLES

Bachelier, em sua tese de doutorado (orientado por Poincarè) apresentada no ano de 1900, concebe as flutuações nas bolsas de valores como um processo estocástico, essencialmente idêntico ao “movimento browniano” introduzido por Einstein em 1905.

O trabalho de Bachelier, curiosamente, não desperta grande interesse acadêmico.

Suas idéias seriam reformuladas cerca de 70 anos depois por Black, Scholes e Merton (Scholes e Merton receberam o prêmio Nobel de economia em 1997). Apesar do grande sucesso do modelo de Black-Scholes - uma verdadeira revolução no mundo das finanças – este baseia-se em hipóteses que mostraram-se errôneas quando confrontadas com dados empíricos.

S(t)

S(t+∆)

S

t

Bachelier (1900)

Log[S(t)]

Log[S(t+∆)]

Log[S]

t

Black-Scholes (1973)

17

Teoria de Black e Scholes do Hedging Dinâmico

S = índiceµ = taxa de crescimentoσ = volatilidadeη(t) = ruído gaussiano

Mercado Ideal Gaussiano:

18

x= 1.0;H* volatility *Lsigma= 0.3;H* interest rate *Lmu= 1.0;H* time step *Ldelta= 0.001;H* number of iterations *Lniter= 500;<< Statistics`ContinuousDistributions`H* stock index list *Lstock= 8<;Do@eta = Random@NormalDistribution@0.0, 1 Sqrt@deltaDDD;x= x+ delta*Hmu+ sigma*etaL* x;stock = Append@stock, xD, 8i, 1, niter<D

Simulação da equação de evolução do Índice

19

100 200 300 400 500

1.1

1.2

1.3

1.4

S (Índice)

T (Tempo)

Flutuações seguem a distribuição log-normal. σ2 α T

Black and Scholes mostraram que é possível definir uma carteira simples de investimentos, completamente livre de riscos, consistindo apenas de opções e índices, assumindo que a carteira pode ser constantemente atualizada até a data de vencimento das opções (dynamical hedging).

F. Black and M. Scholes, J. Pol. Econ. 81, 637 (1973).

r,σTES

VBS

21

Carteira Mínima (ponto de vista do “writer”):

∆ = número de açõesV = valor da opção

Imponha que:

(i)

(ix) r é a taxa de juros livre de risco

Então, usando o lema de Ito...

22

…obtemos a equação de Black-Scholes (uma equação de difusão “disfarçada”):

Condições finais são definidas para V = V(S,T).A equação de BS é resolvida para trás no tempo,para se achar V = V(S,t) para t < T.

O modelo é interessante e bem formulado,entretanto...

NÃO É FIEL AOS MERCADOS REAIS!!!

rTES

V

σimp

A realidade prática dos mercados:

“volatilidade implícita”

BS

24

IV. Mercados Não-Gaussianos

Crítica Essencial ao Modelo de BS: * A volatilidade flutua fortemente; * Índices não flutuam log-normalmente; * Séries temporais irreversíveis.FTSE100 – (2003-2005; horizonte temporal = 1 min):

25

10 20 30 40 50 60 70

0.06

0.07

0.08

0.09

0.11

Flutuações de volatilidade do Footsie (2002-2005)médias tomadas em ~ faixas de uma semana

volatilidade anualizada = vol_min * sqrt(8.5 * 60 * 250)

Modelo alternativo de precificação de opções:

L. Moriconi, “Delta Hedged Option Valuation with Underlying Non-Gaussian Returns”, Physica A 380, 343 (2007).

r,σTE

S(t)

V

50000 100000 150000 200000

-0.003

-0.002

-0.001

0.001

0.002

0.003

BSG

FILTRO

r,σTE

S(t)

V

rTE

Jogando o jogo do mercado:

σimp

BS

50000 100000 150000 200000

-0.003

-0.002

-0.001

0.001

0.002

0.003

FILTRO

BSG

29

Volatility Smiles

V. ECONOFÍSICA & TURBULÊNCIA*

- Flutuações de índices financeiros, como a diferença de logs de cotações de determinada ação, assemelham-se às flutuações de velocidade encontradas em turbulência:

- Comportamento não-gaussiano para intervalos de tempo suficientemente pequenos;

- Lei de escala análoga ao decaimento espectral de Kolmogorov (compatível com hipótese do “mercado eficiente”);

- Conjectura-se a existência de uma cascata de informação de grandes para pequenas escalas temporais, a la Richardson (?);

- Estruturas coerentes (?). Cascatas lognormais. * veja, “Desafios da Turbulência”, L.M. , Ciência Hoje, outubro de 2008.

Estruturas Coerentes no Mercado Financeiro ?

VI. CONCLUSÕES * Econofísica é uma área efervescente e interdisciplinar da física aplicada, como atestam o já enorme número de artigos científicos, congressos regulares, livros introdutórios, grupos de pesquisa e programas de pós-graduação estabelecidos em diversos institutos de ponta espalhados pelo mundo;

* A contribuição da econofísica ao domínio das finanças é fato; até onde a econofisica pode alcançar dentro do cosmos econômico é uma pergunta interessante. A pesquisa atual tem se concentrado em uma diversidade de tópicos tais como:

Previsibilidade de mercados, análise de eventos raros, mecanismos de bolhas e crashes, análise de risco, estratégia de investimentos, simulações estocásticas de séries financeiras, simulações de sistemas de agentes, distribuição de riquezas e modelagem de networks.