ea611_tc

Universidade Estadual de CampinasFaculdade de Engenharia Eletrica e de Computacao

Departamento de Sistemas de Energia Eletrica

ELETROTECNICA - Um texto complementar

Fujio Sato

Campinas, fevereiro de 2005

Sumario

1 Resistencia eletrica 11.1 Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Corrente contnua e corrente alternada . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Circuito eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Tabela de condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Efeitos da temperatura na resiste^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Coeciente de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Medic~ao da resiste^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Medic~ao de temperatura dos enrolamentos das maquinas eletricas de grande

porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Circuitos RC e RL series 102.1 Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Tipos de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Armazenamento de energia no capacitor . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Tens~ao auto-induzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Armazenamento de energia no indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Circuito RL ligado a uma fonte de corrente contnua . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.1 Circuito RC ligado a uma fonte de corrente contnua . . . . . . . . 192.6 Circuito RL ligado a uma fonte de corrente alternada . . . . . . . . . . . . 20

2.6.1 Circuito RC ligado a uma fonte de corrente alternada . . . . . . . . 212.7 Impeda^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Impedancia 243.1 Numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Formas de representac~ao dos numeros complexos . . . . . . . . . . . 253.2 Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Func~ao impeda^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Potencias e fator de potencia 304.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Pote^ncia complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Fator de pote^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Sistema trifasico 375.1 Representac~ao senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Representac~ao fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3 Ligac~oes das cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3.1 Cargas ligadas em estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3.2 Cargas ligadas em tria^ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

i

6 Potencia trifasica 466.1 Metodos para medic~ao da pote^ncia trifasica . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1.1 Metodo dos tre^s wattmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.1.2 Metodo dos dois wattmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7 Distribuicao de energia eletrica em baixa tensao 527.1 Equipamentos de utilizac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2 Equipamentos a motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.3 Sistemas e tens~oes de fornecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.4 Tipos de atendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.4.1 Tipo A - dois os (fase e neutro) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.4.2 Tipo B - tre^s os (duas fases e neutro) . . . . . . . . . . . . . . . . 567.4.3 Tipo C - quatro os (tre^s fases e neutro) . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.5 Exemplo de um quadro de distribuic~ao secundaria . . . . . . . . . . . . . . 577.6 Demanda e curva de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.7 Medic~ao da energia eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.7.1 Exemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.8 Calculo da carga instalada em kW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.9 Partida de motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.10 Dimensionamento do padr~ao de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.11 Exemplos de dimensionamento do padr~ao de entrada . . . . . . . . . . . . 69

8 Aterramento eletrico 738.1 Ordem de grandeza da resiste^ncia de aterramento . . . . . . . . . . . . . . 738.2 Esquemas de aterramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9 Choque eletrico 799.1 Efeitos do choque eletrico no corpo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.2 Fundamentos da protec~ao contra choques eletricos . . . . . . . . . . . . . . 83

10 Conceitos basicos de Sistema de Potencia 8510.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.2 Dimens~ao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8610.3 Representac~ao de Sistema de Pote^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10.3.1 Diagrama unilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.3.2 Valor por unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9210.3.3 Transformadores em sistema de pote^ncia . . . . . . . . . . . . . . . 96

11 Curtos-circuitos em Sistema Eletrico de Potencia 10811.1 Equipamentos de protec~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11011.2 Analise de Curtos-circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

11.2.1 Hipoteses simplicadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11211.2.2 Modelagem da rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11211.2.3 Metodos de simulac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11411.2.4 Metodos das Componentes Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 11511.2.5 Impeda^ncias de seque^ncias dos componentes da rede eletrica . . . . 12411.2.6 Conex~ao das redes de seque^ncias para calculos de curtos-circuitos . 129

11.3 Calculos de Curtos-circuitos em um sistema radial . . . . . . . . . . . . . . 13511.3.1 Preparac~ao dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

ii

11.3.2 Calculos das impeda^ncias em valores porcentuais . . . . . . . . . . 13711.3.3 Calculos de curtos-circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

iii

Lista de Figuras

1 Circuito eletrico com duas cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Modelo abstrato do circuito eletrico da Figura 1 . . . . . . . . . . . . . . . 33 Resiste^ncia x Temperatura para um metal condutor . . . . . . . . . . . . . 44 Coecie^nte de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Caracterstica R x T para um resistor de carbono . . . . . . . . . . . . . . 66 Codigo ce cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Ponte de Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Medic~ao de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010 Codigo de cores para capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411 Supressor de arco eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412 Indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513 Curva de permeabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614 Circuito RL ligada a uma fonte de corrente contnua . . . . . . . . . . . . . 1815 Corrente transitoria no circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916 Circuito RC ligada a uma fonte de corrente contnua . . . . . . . . . . . . 2017 Tens~ao transitoria no capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2018 Circuito RL ligado a uma fonte de corrente alternada . . . . . . . . . . . . 2119 Comportamento da corrente no circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2120 Circuito RC ligado a uma fonte de corrente alternada . . . . . . . . . . . . 2221 Defasagem entre a tens~ao e a corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2322 Representac~ao de numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2423 Tens~ao e corrente instanta^neas num circuito indutivo . . . . . . . . . . . . 2624 Diagrama fasorial de um circuito indutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2725 Diagrama fasorial de um circuito capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 2726 Circuito RL ligado a uma fonte de corrente contnua . . . . . . . . . . . . . 3027 Circuito RL ligado a uma fonte de corrente alternada . . . . . . . . . . . . 3128 Representac~ao fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3129 Tria^ngulo de pote^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3230 Sistemas A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3331 Instalac~ao de capacitor para correc~ao de fator de pote^ncia . . . . . . . . . 3432 Tria^ngulos de pote^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3533 Tens~oes de fase de um sistema trifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3734 Diagrama fasorial - tens~oes de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3835 Diagramas fasoriais - tens~oes de fase e de linha . . . . . . . . . . . . . . . . 3836 Diagrama unilar de um sistema de pote^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . 3937 Sistema de distribuic~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3938 Rede secundaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4039 Ligac~oes das cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4040 Ligac~ao estrela com o neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4141 Diagramas fasoriais - tens~oes e correntes de fase . . . . . . . . . . . . . . . 4242 Diagramas fasoriais - tens~oes e correntes de fase (cargas desequilibradas) . 4343 Ligac~ao estrela sem o neutro - neutro isolado . . . . . . . . . . . . . . . . 4344 Diagrama fasorial - tens~oes de fase (cargas desequilibradas) . . . . . . . . . 4445 Ligac~ao tria^ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4446 Diagramas fasoriais - tens~oes e correntes de linha . . . . . . . . . . . . . . 45

iv

47 Metodo dos tres wattmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4748 Diagramas fasoriais - Tens~oes e correntes aplicadas nos wattmetros . . . . 4749 Metodo dos dois wattmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4850 Diagramas fasoriais - Tens~oes e correntes aplicadas nos wattmetros para

cargas ligadas em tria^ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4951 Metodo dos dois wattmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5052 Diagramas fasoriais - Tens~oes e correntes aplicadas nos wattmetros para

cargas ligadas em estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5053 Esquema basico da entrada de servico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5354 Sistemas e tens~oes de fornecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5455 Sistemas e tens~oes de fornecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5556 Tipo A - dois os, uma fase e neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5557 Tipo B - tre^s os, duas fases e neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5658 Tipo C - quatro os, tre^s fases e neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5659 Quadro de distribuic~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5760 Denic~ao de demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5861 Curva de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5962 Curva de carga e pote^ncia instalada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5963 Ligac~ao de um medidor monofasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6064 Mostrador do medidor de energia eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6065 Leitura do me^s anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6166 Variac~ao das tens~oes geradas no solo pela passagen da corrente num ele-

trodo de aterramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7467 Esquema TT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7668 Esquema TN-S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7769 Esquema TN-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7770 Esquema IT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7871 Choque eletrico por contato direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7972 Choque eletrico por contato indireto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8073 Eletrocardiograma e press~ao arterial do corac~ao em brilac~ao ventricular . 8274 Proporc~oes dos condutores: (a) 13,8 kV (b) 138 kV . . . . . . . . . . . . . 8775 Gerac~ao e transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8876 Sistema de distribuic~ao primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8877 Sistema de distribuic~ao secundaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8978 Sistema interligado das regi~oes sul-sudeste brasileiro . . . . . . . . . . . . . 8979 Interligac~oes dos sistemas de transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9080 Modelo por fase da maquina sncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9081 Modelo por fase do transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9182 Para^metros referidos para um unico lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9183 Modelo do transformador para estudos de curtos-circuitos . . . . . . . . . . 9184 Modelo pi da linha de transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9285 Sistema radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9286 Sistema de pote^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9687 Ligac~ao /Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9888 Ligac~ao Y/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9889 Ligac~ao / . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9990 Ligac~ao Y/Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9991 Diagrama unilar de impeda^ncias em pu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

v

92 Defasagens no transformador /Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10293 Diagramas fasorias das correntes nos lados /Y . . . . . . . . . . . . . . . 10294 Transformador e autotransformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10395 Autotransformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10496 Autotransformador trifasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10597 Ensaio de curto-circuito de um transformador de dois enrolamentos . . . . 10598 Ensaio de curto-circuito de um autotransformador de tre^s enrolamentos . . 10799 Circuito equivalente de um autotransformador de tre^s enrolamentos . . . . 107100 Tens~oes e correntes durante os curtos-circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . 108101 Sistema n~ao aterrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109102 Curto-circuito monofasico num sistema n~ao aterrado . . . . . . . . . . . . 110103 Curto-circuito monofasico num sistema ecazmente aterrado . . . . . . . . 110104 Sistema de protec~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111105 Atuac~ao de um sistema de protec~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111106 Representac~ao completa de um sistema-exemplo de 5 barras . . . . . . . . 113107 Sistema-exemplo, considerando-se as hipoteses simplicadoras 2, 3 e 4 . . . 113108 Sistema-exemplo, considerando-se a hipotese simplicadora 1 . . . . . . . . 113109 Curto-circuito trifasico no sistema de 5 barras . . . . . . . . . . . . . . . . 114110 Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114111 Sistema de fasores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116112 Sistema desequilibrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117113 Componentes de seque^ncias positiva, negativa e zero . . . . . . . . . . . . . 117114 Linha de transmiss~ao com carga desequilibrada . . . . . . . . . . . . . . . 121115 Circuito equivalente de uma maquina sncrona . . . . . . . . . . . . . . . . 122116 Ensaio de curto-circuito para determinac~ao da impeda^ncia de seque^ncia

zero de um transformador Y/Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127117 Circuito equivalente de seque^ncia zero de um transformador Y/Y . . . . . . 127118 Ensaio de curto-circuito para determinac~ao da impeda^ncia de seque^ncia

zero de um transformador Y/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128119 Fonte de tens~ao aplicada no lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128120 Circuito equivalente de seque^ncia zero de um transformador Y/ . . . . . 129121 Curto-circuito bifasico na barra k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129122 Conex~ao das redes de seque^ncias para um curto-circuito bifasico na barra k 131123 Curto-circuito monofasico na barra k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132124 Conex~ao das redes de seque^ncias para um curto-circuito monofasico na

barra k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134125 Diagrama unilar de um sistema radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137126 Diagrama unilar de seque^ncia positiva em % . . . . . . . . . . . . . . . . 139127 Diagrama unilar de seque^ncia zero em % . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139128 Ligac~ao da rede de seque^ncia positiva para curto-circuito trifasico na barra

D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140129 Ligac~ao das redes de seque^ncias positiva e negativa para curto-circuito

bifasico na barra D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142130 Ligac~oes das redes de seque^ncias para curto-circuito monofasico na barra D 144

vi

1 RESISTENCIA ELETRICA 1

1 Resistencia eletrica

Ao adquirir energia cinetica suciente, um eletron se transforma em um eletron livree se desloca ate colidir com um atomo. Com a colis~ao, ele perde parte ou toda energiacinetica que possua, excitando outros eletrons. A energia podera ser absorvida na formade energia termica pelos atomos que est~ao em movimento vibratorio. Se um potencialeletrico e aplicado em um condutor, os eletrons te^m um aumento em sua energia cineticae colidem com mais freque^ncia com os atomos, o que aumenta a temperatura do condutor.Desta forma, quando a corrente eletrica flui em um condutor, parte da energia potencialeletrica e convertida em energia termica; assim, sua resiste^ncia n~ao esta associada apenasa oposic~ao ao fluxo de corrente, mas tambem ao desenvolvimento da energia termica nocondutor. A resiste^ncia e, ent~ao, uma propriedade indesejavel para os condutores queconduzem a energia eletrica de uma fonte para uma carga, mas pode ser desejavel paraoutras situac~oes (chuveiro, por exemplo).

Um componente especicamente projetado para possuir resiste^ncia e chamado resis-tor. Dependendo do material utilizado, e de suas caractersticas fsicas e construtivas, osresistores podem ser de carbono, de o, de lme ou de semicondutores.

1.1 Lei de Ohm

Em certos materiais condutores a relac~ao entre a tens~ao aplicada e a corrente queflui por ele, a uma dada temperatura, e constante. Neste caso dizemos que o condutorobedece a lei de Ohm, que pode ser formalizada pela equac~ao que se segue:

k =V

I(1)

A constante de proporcionalidade e conhecida como resiste^ncia e a equac~ao acimapode ser reescrita como:

R =V

I(2)

Assim, a lei de Ohm se baseia na relac~ao linear entre a tens~ao e a corrente. Entretanto,uma resiste^ncia cujo valor n~ao permanece constante e denida como uma resiste^ncia n~ao-linear (lamento da la^mpada incandescente, por exemplo).

Resistencia: e a propriedade de um material se opor ao fluxo de corrente eletrica edissipar pote^ncia.

Resistor: um componente especicamente projetado para possuir resiste^ncia.

1.1.1 Corrente contnua e corrente alternada

A resiste^ncia eletrica de um condutor n~ao depende apenas do material usado, mas docomprimento, da area da sec~ao reta e da temperatura do condutor. Para uma determinadatemperatura a resiste^ncia, em func~ao destas grandezas, e dada pela equac~ao:

R = l

A(3)

A constante de proporcionalidade da equac~ao acima e chamada de resistividade ouresiste^ncia especca e depende do tipo de material condutor e e denida como a resiste^ncia


por unidade de comprimento e area de sec~ao reta do material. A unidade de resistividadee .m e e normalmente especicada para 200 C.

A resistividade (a 200 C) de alguns materiais condutores mais comuns e dada na Tabela7.

Tabela 1: Resistividade a 200.

Material condutor ResistividadeAlumnio 2,83.108

Lat~ao 7,00.108

Cobre recozido 1,72.108

Cobre duro 1,78.108

Ouro 2,45.108

Chumbo 22,10.108

Nquel-cromo 100,00.108

Platina 10.00.108

Prata 1,64.108

Estanho 11,50.108

Tungste^nio 5,52.108

Zinco 6,23.108

1.2 Circuito eletrico

Seja a Figura 1 um circuito eletrico, representando uma fonte e duas cargas (umchuveiro e uma la^mpada incandescente).

c iI I

V

I

I

Figura 1: Circuito eletrico com duas cargas

O modelo abstrato do circuito eletrico e mostrado na Figura 2.A pote^ncia total dissipada no circuito pode ser calculada por:

Pt = V I = I2(Rf1 + Rf2) + I

2c (Rf3 + Rf4) + I

2i (Rf5 + Rf6) + I

2c (Rc) + I

2i (Ri) (4)

Na Equac~ao 4 podemos distinguir pote^ncias dissipadas desejaveis e indesejaveis. Aspote^ncias dissipadas nos condutores e na la^mpada (a que dissipa em forma de calor, poisa que transforma em luz e desejavel) s~ao indejaveis (representam as perdas), enquantoque a pote^ncia dissipada no resistor do chuveiro e desejavel (aquece a agua).


Rf1

Rf2

Rf3

Rf4

Rf6

Rf5

Rc I c Ri I iV

I

I

Figura 2: Modelo abstrato do circuito eletrico da Figura 1

1.2.1 Tabela de condutores

Tabela 2: Tabela de condutores (cobre recozido).

Serie AWG Serie metricaAWG mm2 mm2 Amperes

14 2,1 1,5 15,512 3,3 2,5 2110 5,3 4 288 8,4 6 366 13,3 10 504 21,0 16 682 34,0 25 89

1.3 Efeitos da temperatura na resistencia

O aumento da temperatura num condutor pode ser provocado tanto pela corrente quecircula por ele como pela absorc~ao de calor do ambiente. Na maioria dos condutoreseste aumento correponde ao aumento da resiste^ncia, conforme mostrado na Figura 3.Observamos que existe uma relac~ao linear entre a temperatura e a resiste^ncia na faixade temperatatura na qual o material condutor e normalmente usado. Embora a curvapasse a ser n~ao-linear quando a resiste^ncia se aproxima de zero, uma linha reta pode serextrapolada como uma continuac~ao da parte reta da curva. A curva extrapolada interceptao eixo de temperatura no ponto Ti chamado de temperatura inferida de resiste^ncia zeroou zero absoluto inferido (Ti = -234,5

0C para cobre recozido).Considerendo duas resiste^ncias R1 e R2 as temperaturas t1 e t2, repectivamente, vemos

que aextrapolac~ao linear fornece uma relac~ao de semelhanca de tria^ngulos relacionando R1e R2. Assim,


R1x1

=R2x2

(5)

Sendo que os lados x1 e x2 possuem comprimentos Ti + t1 e Ti + t2 respectivamente:

R1Ti + t1

=R2

Ti + t2(6)

R 1R 2

Ti t1 t2

R( )

1x

x2

Regio

linea

r

Extrapolao linear

0T( C)o

Figura 3: Resiste^ncia x Temperatura para um metal condutor

1.3.1 Coeficiente de temperatura

Devido a relac~ao linear entre a resiste^ncia e a temperatura, a inclinac~ao R/T econstante e uma variac~ao de 10C resulta na mesma variac~ao R na resiste^ncia, conformemostra a Figura 4. A variac~ao de resiste^ncia por unidade por variac~ao em 0C na tem-peratura, referida a qualquer ponto n na curva R x T, e denida como o coeciente detemperatura da resiste^ncia, representada por , que e:

n =R

T.

1

Rn(7)

O ndice de dene a temperatura de refere^ncia, o que torna aparente que variacom a temperatura. Na Figura 4, 1 = R/R1 e 3 = R/R3; sendo R3 > R1, ent~ao1 > 3.

E possvel calcular o coeciente de temperatura da resiste^ncia atraves da temperaturainferida de resiste^ncia zero. Se referirmos a Figura 3 e substituirmos T = Ti + tn eR = 0 + Rn na Equac~ao 7, iremos obter a express~ao:

n =Rn

Ti + tn.(

1

Rn) =

1

Ti + tn(8)

A partir desta ultima express~ao, vemos que se tn = 00C, ent~ao 0, o coeciente de

temperatura a 00C, e o inverso de Ti.


t1

R( )

t2

RR 1

R 2

RR 3

T( C)o

1

3

0 t3

=1 Co

Figura 4: Coecie^nte de temperatura

Tabela 3: Coecientes de temperatura.

Material conditor Zero absoluto inferido Coef. de temperaturaAlumnio -236 0,00424Lat~ao -489 0,00208Cobre recozido -234,5 0,00427Cobre duro -242 0,00413Ouro -274 0,00365Chumbo -224 0,00466Nquel-cromo -2270 0,00044Platina -310 0,00323Prata -243 0,00412Estanho -218 0,00458Tungste^nio -202 0,00495Zinco -250 0,00400

0 =1

Ti(9)

A Tabela 3 fornece o coeciente de temperatura e zero absoluto inferido de algunsmateriais.

O valor da resiste^ncia R2 da Figura 4 pode ser expresso em termos de R1 como:

R2 = R1 + R (10)

Assim, se a variac~ao R obtida a partir da Equac~ao 7 como R = 1R1T e substituidana Equac~ao 10, resulta:

R2 = R1[1 + 1(t2 t1)] (11)


1.4 Resistores

A maioria dos materiais apresenta um aumento da resiste^ncia com o aumento datemperatura e s~ao ditos que possuem um coeciente positivo de temperatura. Entretanto,alguns materiais como semicondutores, apresentam uma reduc~ao da resiste^ncia com oaumento da temperatura e s~ao ditos que possuem um coeciente negativo de temperatura.Os fabricantes de resistores normalmente especicam o coeciente de temperatura comvariac~ao da resiste^ncia em partes por milh~ao por graus Celcius.

R( )

T( C)o negativo positivo

0 tambFigura 5: Caracterstica R x T para um resistor de carbono

O resistor de carbono possui a caracterstica R x T mostrada na Figura 5. E inte-ressante observar que acima da temperatura ambiente tem-se um coeciente positivo detemperatura, mas abaixo da temperatura ambiente tem-se coeciente negativo de tempe-ratura.

Um resistor de valor xo pode ser feito simplesmente enrolando-se um o condutorde comprimento e area de sec~ao reta desejados em um nucleo. Tais resistores de os~ao disponveis comercialmente e s~ao feitos normalmente de nquel-cromo ou nquel-cobreenrolados em tubo de cera^mica e protegidos contra problemas meca^nicos com uma capa desilicone ou esmalte. Os resistores de o s~ao usados geralmente quando se precisa dissipargrandes quantidades de pote^ncia.

Um segundo tipo de resistor comercialmente disponvel e o de carbono, que tem sidolargamente utilizado na eletro^nica. Uma mistura de carbono e ligas e aplicada como umacapa em um tubo de vidro ou moldada em uma estrutura densa.

Os resistores de carbono s~ao relativamente baratos e disponveis numa faixa de pote^nciade 0,1 W a 5 W. O valor de resiste^ncia dos resistores de carbono e especicado por umconjunto de codigo de cores que aparecem no corpo do resistor. Cada cor representa umdgito de acordo com a Tabela 4.

Como pode ser observado na Figura 6, as faixas de cores s~ao lidas a partir da faixa maisproxima da extremidade do resistor. A primeira e a segunda faixa indicam o primeiro e osegundo dgito, respectivamente. A terceira faixa indica o numero de zeros que segue osdois primeiros dgitos, exceto quando as faixas ouro e prata s~ao usadas, que representamos fatores multiplicativos. A quarta faixa indica a tolera^ncia. A ause^ncia desta faixasignica que a tolera^ncia e de 20%. A quinta faixa indica que o resistor possui um


Tabela 4: Codigo de cores de resistores de carbono.

Cor Dgito ou numero de zerosPreto 0Marron 1Vermelho 2Laranja 3Amarelo 4Verde 5Azul 6Violeta 7Cinza 8Branco 9Ouro 0,1 multiplicador ou 5% de tolera^nciaPrata 0,01 multiplicador ou 10% de tolera^ncia

dgito a mais na representac~ao de seu valor o^hmico. Por exemplo, se um resistor possuias faixas nas cores azul, cinza, prata e ouro, o valor de resiste^ncia e 0,68 5% .

primeiro dgito

segundo dgito

multiplicador ou nmero de zeros

tolerncia

designao de confiana

Figura 6: Codigo ce cores

O terceiro tipo de resistor e o de lme (espesso e no). A industria eletro^nica deneo de lme espesso com um resistor cujo elemento de resiste^ncia e na forma de um lmecom espessura superior a 0,000001 pol. Por outro lado, um resistor de lme no possuicomo elemento de resiste^ncia um lme de espessura inferior a 0,000001 pol. O lmee geralmente aplicado em um nucleo de cera^mica ou na superfcie de uma placa nade cera^mica, chamada de substrato, por vaporizac~ao a vacuo, decomposic~ao eletrolticaou pulverizac~ao com tinta resistiva. Dependendo do material usado, os resistores s~aoclassicados em lme de carbono, lme metalico ou lme de oxido metalico.

Outro tipo de resistor utilizado em grande escala em circuitos eletro^nicos s~ao os re-sistores de semicondutores. Os semicondutores possuem caractersticas eletricas que osclassicam entre condutores e isolantes. Se certos materiais, chamados impurezas, s~aoadicionados ao material semicondutor (neste caso dizemos que o semicondutor foi dopa-do), a resiste^ncia eletrica se altera e se torna possvel obter o valor de resiste^ncia desejado.Este tipo de resistor pode ser fabricado simultaneamente com outros componentes ele-tro^nicos (tais como diodos e transistores, por exemplo) e integrados em um pequenocircuito eletrico sem terminais de conex~ao entre eles (da a denominac~ao circuitos inte-


grados. Por outro lado, resistores ou quaisquer outros elementos individuais de circuitos~ao ditos componentes discretos.

1.5 Medicao da resistencia

Existem varias maneiras de medir a resiste^ncia eletrica. Neste texto vamos discutirapenas um dos metodos: o metodo da ponte de Wheatstone.

O princpio basico e mostrado na Figura 7.

R 1 R 3

R 2 R x

R s

I 1

I 2

I 3

I x

G

S

E

Figura 7: Ponte de Wheatstone

Os resistores R1, R2 e R3 possuem os valores conhecidos e Rx e o resistor cujo valor daresiste^ncia se quer determinar. Um dos resistores conhecidos e variavel (potencio^metro).Com a chave S fechada, o resistor variavel e ajustado ate que o galvano^metro G deixede indicar a passagem da corrente. Quando isso ocorrer dizemos que o circuito estabalanceado.

Para a ponte estar balanceada, os pontos c e d devem estar no mesmo potencial. Paraque isso seja verdadeiro, as quedas de tens~ao nos resistores R1 e R3 devem ser iguais. Istoleva a:

I1R1 = I3R3 (12)

e, analogamente:

I2R2 = IxRx (13)

Dividindo uma equac~ao pela outra, obtemos:

I1R1I2R2

=I3R3IxRx

(14)

Entretanto, como n~ao existe corrente no galvano^metro I1 = I2 e I3 = Ix, de forma quea Equac~ao 14 se reduz a:


R1R2

=R3Rx

(15)

ou

Rx = R3(R2R1

) (16)

A Equac~ao 16 sugere que apenas a relac~ao entre R2 e R1 e necessaria e n~ao os valoresindividuais. Por convenie^ncia, a relac~ao e feita igual a uma pote^ncia de 10, e as pontescomercialmente disponveis usam uma combinac~ao de chaves para a selec~ao convenientedos multiplicadores. Observe tambem que o balanceamento da ponte e a determinac~aode Rx s~ao independentes da valor da tens~ao da fonte.

1.6 Medicao de temperatura dos enrolamentos das maquinas

eletricas de grande porte

Uma das maneiras utiliza-se a ponte de Wheatstone e um dispositivo chamado detetorde temperatura. Este dispositivo, feito de cobre recozido, ca alojado no local onde sedeseja medir a temperatura (entre as bobinas, por exemplo). Ele possui tre^s terminais es~ao ligados convenientemente, tal que ca sendo um dos ramos da ponte. Conforme variaa temperatura no local a resiste^ncia eletrica do detetor tambem varia, alterando a correnteque flui pelo galvano^metro cuja escala e graduada para a indicac~ao da temperatura.

O esquema de medic~ao de temperatura e mostrado na Figura 8.

R 1

R 2

R 3

R d

G

Painel de controle EquipamentoCabo de controle

temperatura

Detetor de

Figura 8: Medic~ao de temperatura

2 CIRCUITOS RC E RL SERIES 10

2 Circuitos RC e RL series

Ja vimos que a resiste^ncia e a propriedade de um circuito eletrico se opor ao fluxo decorrente eletrica e esta associada a dissipac~ao de energia.

Neste topico vamos discutir outras duas propriedades de um circuito eletrico: a capa-cita^ncia e a induta^ncia, sendo que ambas est~ao associadas ao armazenamento de energia.

A capacita^ncia e a propriedade de um circuito eletrico se opor a qualquer variac~ao detens~ao no circuito, enquanto que a induta^ncia e a propriedade de um circuito eletrico seopor a qualquer variac~ao da corrente no circuito.

Num circuito eletrico estes dois para^mentros podem existir naturalmente. Para ci-tar um exemplo, uma linha de transmiss~ao de alta tens~ao possui como caractersticasintrnsecas tanto a capacita^ncia como a induta^ncia (alem da resiste^ncia, e claro).

Entretanto, existem componentes especicamente projetados e fabricados para pos-suirem tais propriedades: o capacitor e o indutor.

2.1 Capacitor

Considere as placas carregadas da Figura 9(a) separadas por um material isolante, porexemplo o ar, e que a tens~ao E seja baixa o suciente para n~ao provocar a ruptura doisolante. Como indicada na Figura, a placa da esquerda se torna positivamente carrega-da, uma vez que o terminal positivo da fonte de tens~ao remove eletrons sucientes paraequalizar a carga nesta parte do circuito. Da mesma forma, a placa da direita se tornanegativamente carregada, uma vez que o terminal negativo da bateria fornece eletronspara ela. Assim entre as placas existe um campo eletrico, cujo caminho e representa-do pelas linhas de forca eletrica. Estas linhas, por convenie^ncia, possuem as seguintescaractersticas:

possuem origem em uma carga positiva e terminam em uma carga negativa, e entram e saem perpendicularmente a supercie da carga.

++

+

+

+

+

+

d

i

v

q

Q

v

vq

fixo

varivel

VV

(b) Smbolos(a) Circuito

+ q q

(c) Caracterstica q x v

Figura 9: Capacitor

Existe uma relac~ao entre a tens~ao aplicada e a carga que aparece nas placas. Considereo capacitor inicialmente descarregado, isto e, q = 0 e v = 0. Ao fechar a chave, as


cargas vindas da fonte se distribuem nas placas, isto e, ocorre circulac~ao de uma corrente.Inicialmente esta corrente i e alta, mas quanto mais cargas v~ao se acumulando, e portantomais tens~ao desenvolvida entre as placas, estas cargas acumuladas tendem a se opor aofluxo de novas cargas, ate que se chega a v = V. Nesta situac~ao cessa o fluxo de corrente.

Na Figura 9(a) a corrente, a carga e a tens~ao, representadas por letras minusculas s~aovaloresinstanta^neos.

Se for tracado um graco de cargas acumuladas em func~ao da tens~ao desenvolvidasentre as placas, sera obtida uma relac~ao linear, como mostrado na Figura 9(c). A constantede proporcionalidade que relaciona a carga e a tens~ao, isto e, a inclinac~ao da reta, e denidacomo capacita^ncia (C):

C =Q

V(17)

A unidade de capacita^ncia e coulomb por volt, que e denida como um farad (F). Ofarad e uma unidade muito grande para circuitos praticos; portanto, s~ao utilizados valoresde capacita^ncias expressos em microfarads (106 farad, F ) ou picofarads (1012 farad,pF).

A capacita^ncia pode ser expressa em func~ao dos fatores geometricos e do dieletrico.Seja o exemplo de um capacitor com placas paralelas. Vamos denir duas grandezas: aintensidade de campo eletrico e a densidade de fluxo eletrico representadas respectivamentepelas Equac~oes 18 e 19.

E =V

d(18)

D =Q

A(19)

A relac~ao entre a densidade de fluxo eletrico e a intensidade de campo eletrico denea permissividade absoluta de um dieletrico, isto e:

=D

E(20)

ou

= (Q

V)(

d

A) = C(

d

A) (21)

Assim temos:

C = A

d(22)

Denindo a permissividade relativa (r) como:

r =

0(23)

onde 0 e a permessividade do vacuo e vale1

36pi.109= 8,85.1012 F/m.

A permissividade relativa (r) e tambem chamada de constante dieletrica.Assim, a Equac~ao 22 pode ser reescrita como:


C = r0A

d= r8, 85.10

12Ad

F (24)

onde:

C = capacita^ncia em F

r = constante dieletrica

A = area da placa em m2

d = dista^ncia entre as placas em m

A Equac~ao 24 indica que a capacita^ncia e determinada pelos fatores geometricos A e d epelo tipo de dieletrico que separa as duas placas. Quando a area das placas e aumentada,a capacita^ncia e aumentada. Da mesma forma, quando a dista^ncia entre as placa forrezuzida, a capacita^ncia aumenta. Outro fator que aumenta a capacita^ncia e utilizac~aode material dieletrico com r maior. Assim, o dieletrico atua como um \amplicador" dacapacita^ncia.

A Tabela 7 mostra a constante dieletrica e rigidez dieletrica para diferentes dieletricos.

Tabela 5: Constante dieletrica e rigidez dieletrica.

Diletrico Constante dieletrica r Rigidez dieletricaV

mm

Ar 1,0006 3.000Baquelite 5 21.000Vidro 6 35.000Mica 5 60.000Oleo 4 10.000Papel 2,5 20.000Borracha 3 25.000Teflon 2 60.000

2.1.1 Tipos de capacitores

A Figura 9(b) mostra os smbolos de capacitores. A linha curva representa a placa quee ligada ao ponto de menor potencial da fonte. Capacitores comercialmente disponveis s~aoespecicados pelo dieletrico utilizado e pela forma como ele e construdo (xo ou variavel).Na pratica quando o capacitor e submetido a um campo eletrico circula uma pequenacorrente pelo dieletrico, conhecido como corrente de fuga. Esta corrente e geralmentemuito pequena, que pode ser considerada desprezvel. No modelo, este efeito pode serrepresentado por um resistor de valor muito elevado (cerca de 10 M) em paralelo com ocapacitor.

O capacitor de cera^mica consiste de um tubo ou disco de cera^mica de constante dieletricana faixa de 10 a 10.000. Uma na camada de prata e aplicada a cada lado do di-eletrico. Este tipo de capacitor e caracterizado por baixas perdas, pequeno tamanhoe uma conhecida caracterstica de variac~ao de capacita^ncia com a temperatura.


O capacitor de papel consiste de folhas de alumnio e papel kraft (normalmente impreg-nado com graxa ou resina) enroladas e moldadas formando uma peca compacta. Oscapacitores de papel s~ao disponveis na faixa de 0,0005 F a aproximadamente 2F .

O capacitor de lme plastico e bastante similar ao capacitor de papel, na sua formaconstrutiva. Dieletricos de lme plastico, com poliester ou polietileno, separamfolhas metalicas usadas como placas. O capacitor e enrolado e encapsulado emplastico ou metal.

O capacitor de mica consiste de um conjunto de placas dieletricas de mica alternadaspor folhas metalicas condutoras. O conjunto e ent~ao encapsulado em um molde deresina fenolica.

O capacitor de vidro e caracterizado por camadas alternadas de folhas de alumnio etiras de vidros, agrupadas ate que seja obtida a estrutura do capacitor desejado. Aconstruc~ao e ent~ao fundida em um bloco monoltico com a mesma composic~ao dovidro usado como dieletrico.

O capacitor eletroltico consiste de duas placas separadas por um eletrolito e um di-eletrico. Este tipo de capacitor possui altos valores de capacita^ncia, na faixa deaproximadamente 1 F ate milhares de F . As correntes de fuga s~ao geralmentemaiores do que aos demais tipos de capacitores.

Os capacitores variaveis geralmente utilizam o ar como dieletrico e possuem um con-junto de placas moveis que se encaixam num conjunto de placas xas. Outro tipo decapacitor variavel e o trimmer ou padder, formado por duas ou mais placas separadaspor um dieletrico de mica. Um parafuso e montado de forma que ao aperta-lo, as pla-cas s~ao comprimidas contra o dieletrico reduzindo sua espessura e, consequentemente,aumentando a capacita^ncia.

Os valores de capacita^ncia podem ser estampados no capacitor ou indicados por codigode cores, como ja apresentados para o resistor, entretanto as faixas podem ter signicadosdiferentes. A forma utilizada para capacitores tubulares de papel e indicada na Figura 10.As tre^s primeiras faixas determinam a capacita^ncia em picofarads. A quarta faixa denea tolera^ncia com o verde, branco, preto, laranja e amarelo, respectivamente signicando5, 10, 20, 30 e 40%. A tens~ao de operac~ao e obtida multiplicando-se a quinta faixa (epossivelmente a sexta) por 100.

2.1.2 Armazenamento de energia no capacitor

Podemos expressar a capacita^ncia pelos valores instanta^neos (ver Figura 1), isto e:

C =q

v(25)

ou

q = Cv (26)

Derivando a Equac~ao 26:


algarismos significativos

multiplicador

tolerncia

especificao do fabricantetenso de operao ou

Figura 10: Codigo de cores para capacitores

dq

dt= C

dv

dt(27)

ou

i = Cdv

dt(28)

A energia instanta^nea pode ser determinada por:

Wc = t0

vidt = t0

vCdv

dtdt (29)

que resulta:

Wc =1

2Cv2 (30)

A caracterstica de armazenar energia faz do capacitor um dispositivo muito util paraa gerac~ao de uma corrente elevada num intervalo de tempo extremamente curto.

A capacidade de um capacitor se opor a qualquer variac~ao de tens~ao o torna muito utilcomo supressores de arcos ou rudos. Normalmente, quando uma chave e aberta, existeuma formac~ao de arco nos contatos das chaves. Um capacitor conectado em paralelocom o contato, como na Figura 11, absorve a energia que causa o arco. O resistor R enecessario para evitar a soldagem dos contatos quando a chave for fechada e a descargado capacitor.

CR

Figura 11: Supressor de arco eletrico


2.2 Indutor

Considere a bobina da Figura 12(a). Quando a chave e fechada, a corrente tende acrescer, causando o aumento do fluxo. O crescimento da corrente n~ao e instanta^neo. Emoutras palavras, uma forca-contra-eletromotriz, fcem, e induzida de forma a se opor aocrescimento da corrente.

i

ncleo

bobina

i

N

V(a) Circuito (b) Smbolo (c) Caracterstica x i

fixo

varivel

Figura 12: Indutor

Considerando-se o nucleo de ar, ou outros materiais n~ao-magneticos, a caractersticaN x i e linear. O produto de N por e denominado fluxo concatenado (representadopor ). A constante de proporcionalidade que relaciona o fluxo concatenado e a corrente,isto e, a inclinac~ao da reta, e denida como induta^ncia (L):

L =N

i(31)

A unidade de induta^ncia e weber por ampere, que e denida como um henry.Para o nucleo de material magnetico a caracterstica N x i deixa de ser linear e na

pratica esta curva e representada em func~ao da densidade de fluxo (B) e intensidade decampo (H), como mostrado na Figura 5.

As grandezas e i se relacionam respectivamente com as grandezas B e H , conformeas Equac~oes 32 e 33:

B =

A(32)

H = i(N

l) (33)

onde:

B = densidade de fluxo em tesla (T)

= fluxo em weber (Wb)

A = area da sec~ao reta do nucleo em m2

H = intensidade de campo em ampere-espira por metro


i = corrente em ampere

N = numero de espiras

l = comprimento medio do nucleo em m

A relac~ao entre B e H e denominada permeabilidade absoluta, representada por .Isto e:

=B

H(34)

Substituindo as Equac~oes 32 e 33 na Equac~ao 34 temos:

=A

iNl

(35)

Rearranjando:

= (N

i)

l

AN2= L

l

AN2(36)

ou

L = (AN2

l) (37)

A permebilidade absoluta dos materiais magneticos varia com a densidade de fluxo,conforme mostra a Figura 13.

max

B

H

B

Figura 13: Curva de permeabilidade

A permabilidade dos materiais e tomada em relac~ao a permeabilidade do vacuo (0),que vale 4 pi.107 H/m.

Assim,


r =

0(38)

A permeabilidade relativa, r, de materiais n~ao-magneticos como o ar, o cobre, amadeira, o vidro e o plastico e igual a 1. Por outro lado, o r de materiais magneticoscomo o cobalto, o nquel, o ferro, o aco e suas ligas e muito maior do que 1; alemdisto, n~ao e constante.

A Equac~ao 37 pode ser reescrita em func~ao da permeabilidade relativa:

L = r0(AN2

l) = r4pi.10

7(AN2

l) H (39)

A induta^ncia pode ser aumentada variando-se os fatores geometricos, o numero deespiras ou ainda escolhendo-se marerial com permeabilidade relativa maior. Assim,para uma dada bobina (com fatores geometricos e numero de espiras xos) a per-meabilidade relativa atua como um \amplicador" da induta^ncia.

A Tabela 6 mostra a permeabilidade relativa para alguns materiais.

Tabela 6: Permeabilidade relativa.

Material Permeabilidade relativaAr 1Chapa para gerador (liga Fe, Si) 5.000 a 8.000Mumetal (liaga de Ni, Fe, Cu, Cr) 45.000Liga 1040 (liga de Ni, Fe, Cu, Mo) 100.000

2.2.1 Tensao auto-induzida

Considerando a Figura 4(a), a medida que a corrente aumenta, o fluxo concatenadocresce. De acordo com a lei de Faraday, uma tens~ao e induzida na bobina e a cadainstante esta tens~ao e proporcional a taxa de variac~ao do fluxo concatenado. Deconformidade com a lei de Lenz, esta tens~ao induzida tera um sentido tal que seop~oe a causa que lhe deu origem, qual seja o aumento da corrente. A diferenca entrea tens~ao constante da fonte e a tens~ao induzida e igual a queda de tens~ao em cimada resiste^ncia da bobina, isto e:

V N ddt

() = iR (40)

(supondo-se que todo fluxo concatena-se com todas as espiras, isto e, n~ao ha dis-pers~ao de fluxos).

Reescrevendo a Equac~ao 40 com a substituic~ao do fluxo concatenado N por Li(vide a Equac~ao 31), vem:

V Ldidt

= iR (41)


Assim, a tens~ao auto-induzida e representada por:

vL = Ldidt

(42)

2.3 Armazenamento de energia no indutor

A energia instanta^nea no indutor pode ser determinada por:

Wl = t0

vLidt = t0

Ldi

dtidt (43)

que resulta:

Wl =1

2Li2 (44)

A energia liberada pela interrupc~ao de uma corrente indutiva e algumas vezes des-trutiva. Uma rapida reduc~ao do campo ira gerar uma alta fcem sobre os contatosde uma chave, causando um arco e queimando os contatos. Para eliminar este efeito,pode-se conectar um capacitor em paralelo com os contatos da chave de forma queele se oponha a qualquer variac~ao de tens~ao nos mesmos.

2.4 Transitorios

2.5 Circuito RL ligado a uma fonte de corrente contnua

A Figura 6 mostra um circuito RL ligado a uma fonte de corrente contnua.

i(t)

R

L

Figura 6 Circuito RL ligado a uma fonte de corrente contnua

V

Figura 14: Circuito RL ligada a uma fonte de corrente contnua


Ao fechar a chave a corrente no indutor n~ao atingira o seu valor maximo instanta-neamente.

Pela lei de Kirchho podemos escrever:

vL + vR = V (45)

que podemos reescrever:

Ldi

dt+ iR = V (46)

A soluc~ao da Equac~ao diferencial 46 e:

i =V

R(1 et(RL )) (47)

cujo graco e mostrado na Figura 15.

iL

00

t

Figura 15: Corrente transitoria no circuito RL

2.5.1 Circuito RC ligado a uma fonte de corrente contnua

A Figura 16 mostra um circuito RC ligado a uma fonte de corrente contnua.

Ao fechar a chave a tens~ao no capacitor n~ao atingira o seu valor maximo instanta-neamente.


vC + vR = vC + iR = V (48)

Substituindo a Equac~ao 113 na Equac~ao 161:

vC + RCdvCdt

= V (49)


i(t)

R

Figura 7 Circuito RC ligado a uma fonte de corrente contnua

C

V

Figura 16: Circuito RC ligada a uma fonte de corrente contnua


vC = V (1 e tRC ) (50)cujo graco e mostrado na Figura ??.

00

t

v

Figura 17: Tens~ao transitoria no capacitor

2.6 Circuito RL ligado a uma fonte de corrente alternada

A Figura 18 mostra um circuito RL ligado a uma fonte de corrente alternada.


Ldi

dt+ iR = Vpsent (51)


i = Aet(RL

) + Bsen(t ) (52)


v(t) i(t)

R

L

Figura 8 - Circuito RL ligado a uma fonte de corrente alternada

Figura 18: Circuito RL ligado a uma fonte de corrente alternada

sendo:

A =Vp

R2 + (L)2sen (53)

B =Vp

R2 + (L)2(54)

= arctan(L

R) (55)

A Equac~ao 52 mostra que a soluc~ao possui duas componentes: a transitoria e apermanente, mostradas na Figura 19. Neste curso abordaremos somente a partepermanente.

0

regime transitrio regime permanentev, i

t

v

i

Figura 19: Comportamento da corrente no circuito RL

2.6.1 Circuito RC ligado a uma fonte de corrente alternada

A Figura 20 mostra um circuito RC ligado a uma fonte de corrente alternada.


v(t) i(t)

R

C

Figura 9 - Circuito RC ligado a uma fonte de corrente alternada

Figura 20: Circuito RC ligado a uma fonte de corrente alternada


1

C

idt + iR = Vpsent (56)


i = Ae(tRC) + Bsen(t + ) (57)

sendo:

A =Vp

R2 + ( 1C

)2sen (58)

B =Vp

R2 + ( 1C

)2(59)

= arctan(1

RC) (60)

O graco da Figura 21 mostra a tens~ao e a corrente em regime permanente.

2.7 Impedancia

As correntes de regime permanente nos circuitos RL e RC s~ao formalizadas respec-tivamente pelas Equac~oes:

i =Vp

R2 + (L)2sen(t ) (61)

e

i =Vp

R2 + ( 1C

)2sen(t + ) (62)


v, i

t

i

v

Figura 21: Defasagem entre a tens~ao e a corrente

Nas Equac~oes 61 e 62 as grandezas

R2 + (L)2 e

R2 + ( 1C

)2 s~ao denominadasimpedancia, mas isso e um assunto para o proximo topico.

3 IMPEDANCIA 24

3 Impedancia

3.1 Numeros complexos

As equac~oes algebricas do tipo x2 = -3 n~ao possuem soluc~oes no campo dos numerosreais. Tais equac~oes podem ser resolvidas somente com a introduc~ao de uma unidadeimaginaria ou operador imaginario, que representamos pelo smbolo j. Por denic~ao j =p1. O produto de um numero real por um operador imaginaria e chamado de numeroimaginario e a soma de um numero real e um numero imaginario e chamada numerocomplexo. Assim, um numero com a forma a + jb, onde a e b s~ao numeros reais, e umnumero complexo.

O numero complexo e representado por:

A = a + jb (63)

O numero complexo A e descrito como tendo uma componente real a e uma componenteimaginaria b, que podem ser representadas por:

3 IMPEDANCIA 25

3.1.1 Formas de representacao dos numeros complexos

Existem quatro formas de representac~ao dos numeros complexos:

1. Forma retangular ou cartesiana

2. Forma exponencial

3. Forma polar

4. Forma trigonometrica

Os numeros complexos representados pela Equac~ao 63 est~ao na forma retangular oucartesiana.

Para representar na forma exponencial utilizamos a identidade de Euler, ou seja:

ej = cos + jsen (66)

Multiplicando ambos os membros da identidade de Euler pelo numero real, jAj temos:

jAjej = jAjcos + jjAjsen (67)Comparando a Equac~ao 67 com a Equac~ao 63 temos:

jAjcos = a (68)

jAjsen = b (69)Elevando as Equac~oes 68 e 69 ao quadrado e somando, temos:

A2 = a2 + b2 (70)

e

jAj =p

a2 + b2 (71)

Dividindo a Equac~ao 69 pela Equac~ao 68:

b

a= tan (72)

= arctan(b

a) (73)

A representac~ao de um numero complexo na forma polar e essencialmente a mesmada forma exponencial, exceto por uma pequena diferenca de simbologia, ou seja:

A = jAj 6 (74)O segundo membro da Equac~ao 67 e a propria representac~ao na forma trigonometrica.

3 IMPEDANCIA 26

3.2 Fasores

Sejam:

v = Vpsen(t) (75)

e

i = Ipsen(t ) (76)A representac~ao graca das Equac~oes 75 e 76 e dada na Figura 23, e conforme vimos

no topico anterior (Circuitos RC e RL series) trata-se de um circuito RL, que passaremosa chama-lo de circuito indutivo.

v

i

v, i

t

Figura 23: Tens~ao e corrente instanta^neas num circuito indutivo

A analise de um circuito de corrente alternada seria muito trabalhosa se tivessemosque recorrer sempre a este tipo de graco. Assim, o metodo fasorial vem facilitar bastantea analise.

Sabemos que:

Aej = Acos + jAsen (77)

e, por denic~ao:

3 IMPEDANCIA 27

Da mesma maneira, a Equac~ao 76 pode ser escrita sob a forma:

i = =m[Ipej(t)] (82)ou

i =p

2=m[( Ipp2ej)ejt] (83)

As quantidades Vpp2

e Ipp2ej s~ao denidas respectivamente por fasor de tens~ao e fasor

de corrente.Portanto:

V^ =Vpp

2= Vef (84)

I^ =Ipp2ej = Iefej (85)

Ent~ao, a representac~ao por diagrama fasorial e dada na Figura 24.

V^

I^

Figura 24: Diagrama fasorial de um circuito indutivo

Considerando a tens~ao como refere^ncia e efetuando um desenvolvimento analogo paraum circuito RC (circuito capacitivo) obtem-se o fasor da corrente dado pela Equac~ao 86:

I^ =Ipp2ej = Iefe

j (86)

cujo diagrama fasorial e mostrado na Figura 25.

V^

I^

Figura 25: Diagrama fasorial de um circuito capacitivo

Vale ressaltar que:

o metodo fasorial so e aplicavel as func~oes senoidais; os modulos dos fasores V^ e I^ s~ao valores ecazes ( Vef e Ief); todas as propriedades dos vetores s~ao aplicaveis nos fasores.

3 IMPEDANCIA 28

3.3 Funcao impedancia

A func~ao impeda^ncia, ou simplesmente impeda^ncia, e a relac~ao entre os fasores da tens~aoe da corrente.

Portanto:

Z =V^

I^(87)

Para um circuito indutivo, teremos:

Z =VefIef

ej (88)

ou

Z = jZjej (89)A Equac~ao 89 representa a impeda^ncia na forma exponencial.As representac~oes nas outras formas s~ao dadas a seguir:

Z = jZj 6 (90)

Z = jZjcos + jjZjsen (91)Considerando:

R = jZjcos (92)

XL = jZjsen (93)A representac~ao na forma retangular e dada por:

Z = R + jXL (94)

onde R e a resiste^ncia e XL e a reata^ncia indutiva.O valor da reata^ncia indutiva XL depende da freque^ncia e da induta^ncia, assim:

XL = L = 2pifL (95)

Um desenvolvimento analogo para um circuito capacitivo resulta a func~ao impeda^nciadada pela Equac~ao 96:

Z = jZjej (96)que colocadas nas outras formas teremos:

Z = jZj 6 (97)

Z = jZjcos jjZjsen (98)

Z = R jXC (99)

3 IMPEDANCIA 29

XC representa a induta^ncia capacitiva e depende da freque^ncia e da capacita^ncia,assim:

XC =1

C=

1

2pifC(100)

A Equac~ao 100 e aplicavel quando a capacita^ncia C e dada em Farad. Para C emFarad temos:

XC =106

2pifC(101)

4 POTENCIAS E FATOR DE POTENCIA 30

4 Potencias e fator de potencia

4.1 Introducao

Vamos resolver o seguinte problema:

Um reator com resiste^ncia de R e induta^ncia de L mH e ligado:

a. uma fonte de corrente contnua de V volts;

b. uma fonte de corrente alternada dep

2 Vef sent volts.

Calcule a pote^ncia dissipada na resiste^ncia R para os dois casos.

Caso a.

A Figura 26 mostra que apos passar o transitorio a tens~ao e a corrente atingem res-pectivamente V e I.

v (t)R

v (t)L

Rv (t)

Lv (t)

i(t)R

L

V

i(t) I

V

E

0 5transitrio

10 15 20 25 30

Figura 26: Circuito RL ligado a uma fonte de corrente contnua

A pote^ncia consumida pode ser calculada por:

P = V I (102)

ou

P =V 2

R(103)

ou

P = I2R (104)

Caso b.

A Figura 27 mostra os valores instanta^neos da tens~ao e da corrente (foi consideradoapenas o regime permanente).


v (t)R

v (t)L

i(t)R

L

i(t)

v(t)

v(t)

0

0

4 6 12 142 8 10

Figura 27: Circuito RL ligado a uma fonte de corrente alternada

I^

V^

VR^

L^V

L^V

V^

VR^

I^

R

L

Figura 28: Representac~ao fasorial

A Figura 28 mostra a representac~ao fasorial do circuito RL.A pote^ncia consumida pode ser calculada por:

P = I2R (105)

Observando o diagrama fasorial da Figura 28 concluimos que n~ao podemos utilizaras Equac~oes do tipo 102 e 103 para calcular a pote^ncia consumida num circuito RLalimentado com corrente alternada (neste caso, a pote^ncia consumida e denominada depotencia ativa).

4.2 Potencia complexa

A tens~ao e a corrente instanta^neas mostradas na Figura 27 podem ser expressas pelasEquac~oes:

v =p

2Vefsen(t) (106)

e

i =p

2Iefsen(t ) (107)Os fasores associados a v e i s~ao:


V^ =Vpp

2= Vef (108)

e

I^ =Ipp2ej = Iefej (109)

A pote^ncia complexa e denida por:

S = V^ I^ (110)

Sendo I^ conjugado de I^.Substituindo as Equac~oes 108 e 109 na Equac~ao 110:

S^ = VefIefej = Sej (111)

ou

S^ = Scos + jSsen (112)

Assim,

S^ = P + jQ (113)

onde:

S^ = pote^ncia complexa (VA)

S = pote^ncia aparente (VA)

P = pote^ncia ativa (W)

Q = pote^ncia reativa (VAr)

As pote^ncias aparente, ativa e reativa podem ser representados pelo tria^ngulo depote^ncias, confome mostra a Figura 29.

SQ

PFigura 29: Tria^ngulo de pote^ncias

Pela Figura 29 podemos tirar as seguintes Equac~oes:


S = VefIef =

P 2 + Q2 (114)

cos =P

S(115)

O cos e denominado fator de pote^ncia.

4.3 Fator de potencia

O fator de pote^ncia e uma caracterstica da carga e varia entre 0,0 e 1,0.

Um baixo fator de pote^ncia e indesejavel nas instalac~oes eletricas.

Porque?

Vamos analisar dois sistemas A e B mostrados na Figura 30, para vericar a influe^nciado fator de pote^ncia nas grandezas eletricas de um sistema eletrico.

cos = 0,6 cos = 0,9

(1,5 + j 0,5) (1,5 + j 0,5)

1000 kW 1000 kW

A B

6,9 kV 6,9 kV241 A 161 A

Figura 30: Sistemas A e B

A Tabela 7 mostra as grandezas eletricas calculadas para ambos os sistemas.

Tabela 7: Grandezas eletricas dos sistemas A e B.

Grandezas Formulas Sistema A Sistema B Diferenca %

Corrente I = PV cos 241 A 161 A 49,7

Capacidade da \fonte" S = V I 1.666 kVA 1.111 kVA 50,0

Perdas na linha P I2 R 88 kW 39 kW 125,6Queda de tens~ao V Z I 382 V 255 V 49,8

Consequencias:

Observando a Tabela conclumos que um baixo fator de pote^ncia traz algumas con-seque^ncias negativas, tais como:


Solicitac~ao de uma corrente maior portanto, capacidade maior da \fonte" para ali-mentar uma carga com a mesma pote^ncia ativa;

Maior perda por efeito Joule; Maior queda de tens~ao.

O que se deve fazer?

\Corrigir o fator de pote^ncia". Deve-se ter em mente que o fator de pote^ncia e umacaracterstica intrnseca da carga, portanto para a sua correc~ao sera necessario utilizarum artifcio no qual a fonte \enxerga" um fator de pote^ncia melhor.

Como se faz?

Instalar capacitor em paralelo com a carga (o mais proximo possvel), conforme mostraa Figura 31.

.

.

I^

I^T

I^C

^V I^I^T

I^C

(R + j X )

V

L

21

^

Figura 31: Instalac~ao de capacitor para correc~ao de fator de pote^ncia

Analisando o diagrama fasorial da Figura 31, observamos que a corrente que flui dafonte para a carga (I^T ), apos a instalac~ao do capacitor, e a soma fasorial da corrente decarga (I^) e a corrente do capacitor (I^C). Isso nos permite observar que:

a corrente de carga (I^) praticamente n~ao se altera; a corrente que flui pela linha de transmiss~ao, que e a mesma solicitada da fonte,

(I^T ) diminui;

a defasagem entre a tens~ao aplicada e a corrente que flui pela linha de transmiss~aodiminui.

Estes fatos permitem-nos armar que:

a pote^ncia ativa consumida pela carga praticamente n~ao se altera; a perda por efeito Joule na linha de transmiss~ao diminui; a queda de tens~ao na linha de transmiss~ao diminui; o fator de pote^ncia visto pela fonte melhora.


Como dimensionar o capacitor?

Constatada a necessidade de melhorar o fator de pote^ncia, precisamos agora saberqual o capacitor mais adequado. Vamos dimensiona-lo baseando-se nos tria^ngulos depote^ncias, mostrados na Figura 32.

cQ

QQ

P

SS

1 2

Figura 32: Tria^ngulos de pote^ncias

O a^ngulo 1 e os lados do tria^ngulo maior correspondem respectivamente as pote^nciasaparente (S), reativa (Q) e ativa (P) antes da correc~ao do fator de pote^ncia. Apos acorrec~ao (que implica em ligar o capacitor em paralelo com a carga) teremos o a^ngulo 2e os lados do tria^ngulo menor, constituidos por S

0, Q

0e P. Os catetos opostos dos dois

tria^ngulos, que correspondem as pote^ncias reativas, tem a seguinte igualdade:

Q0= QQc (116)

sendo Qc a pote^ncia reativa fornecida localmente pelo capacitor.Nos tria^ngulos maior e menor temos respectivamente as seguintes relac~oes:

Q = Ptan1 (117)

Q0= Ptan2 (118)

Substituindo a Equac~ao 116 na Equac~ao 118 teremos:

QQc = Ptan2 (119)ou

Q = Qc + Ptan2 (120)

Igualando as Equac~oes 117 e 120, teremos:

Ptan1 = Qc + Ptan2 (121)

Isolando Qc, teremos:

Qc = P (tan1 tan2) (122)A Equac~ao 122 permite determinar Qc (pote^ncia reativa fornecida pelo capacitor)

sabendo-se:


a pote^ncia ativa (P) consumida pela carga o fator de pote^ncia da carga (cos 1) o fator de pote^ncia que se deseja (cos 2)

Na pratica (tan1 tan2) e um multiplicador que e tabelado em func~ao do cos1 edo cos2.

Obs.: As concessionarias, atraves de uma legislac~ao especca, exigem que os con-sumidores tenham um fator de pote^ncia de 0,92, o que implica que a defasagem entre atens~ao na carga e a corrente na linha seja aproximadamente de 23o.

5 SISTEMA TRIFASICO 37

5 Sistema trifasico

As chamadas ligacoes monofasicas e bifasicas s~ao utilizadas em grande escala nailuminac~ao, pequenos motores e eletrodomesticos. Nos nveis da gerac~ao, transmiss~ao eutilizac~ao da energia eletrica para ns industriais utilizam-se quase que exclusivamente asligacoes trifasicas. Os geradores sncronos s~ao trifasicos e s~ao projetados de tal formaque as tens~oes geradas sejam senoidais e simetricas, isto e, tens~oes de modulos iguais edefasadas entre s de 2pi

3radianos.

5.1 Representacao senoidal

As tensoes de fase s~ao referidas a um ponto comum chamado neutro (n), que podeestar aterrado (potencial zero) ou n~ao. Assim, as tens~oes de fase podem ser formalizadospelas equac~oes que se seguem:

van = Vpsen(t) (123)

vbn = Vpsen(t 2pi3

) (124)

vcn = Vpsen(t 4pi3

) (125)

cujos gracos s~ao mostrados na Figura 33.

va vb vc

Figura 33: Tens~oes de fase de um sistema trifasico

5.2 Representacao fasorial

Em termos de fasores teremos:

V^an =Vpp

2ej0 = Vef 6 00 (126)

V^bn =Vpp

2ej

2pi3 = Vef 6 1200 (127)

V^cn =Vpp

2ej

4pi3 = Vef 6 2400 (128)


cujo diagramas fasoriais s~ao mostados na Figura 34.

Va^

Vc^

Vb^

.

Figura 34: Diagrama fasorial - tens~oes de fase

As tensoes de linha d~ao denidas pelas equac~oes:

Vâb = Vân V^bn = (Vef 6 00 Vef 6 1200) =p

3Vef 6 300 (129)

V^bc = V^bn V^cn = (Vef 6 1200 Vef 6 2400) =p

3Vef 6 900 (130)

V^ca = V^cn Vân = (Vef 6 2400 Vef 6 00) =p

3Vef 6 2100 (131)cujo diagramas fasoriais s~ao mostados na Figura 35.

Va^

Vc^

Vb^

Vab^

Vbc^

Vca^.

Figura 35: Diagramas fasoriais - tens~oes de fase e de linha


5.3 Ligacoes das cargas

As cargas trifasicas (ex.: motores eletricos trifasicos) s~ao equilibradas. As cargas mo-nofasicas e bifasicas (ex.: iluminac~ao, aparelhos eletrodomesticos, motores monofasicos,etc.) devem ser equitativamente distribudas entre as fases de modo que o sistema n~aoque desequilibarado.

Vamos focalizar um sistema de distribuic~ao de baixa tens~ao (rede secundaria) a partirde um sistema de pote^ncia, conforme mostra as Figuras 36, 37 e 38.

Resumidamente podemos dizer que ate se chegar ao consumidor nal o sistema deenergia eletrica passa por varias transformac~oes, desde sistemas de gerac~ao, passandopelos sistemas de transmiss~ao e de distribuic~ao.

Sistemas de Gerao e Transmisso

Rede primria

Rede secundria

Sistema de distribuio transformador de distribuio

Figura 36: Diagrama unilar de um sistema de pote^ncia

ABV

BCVVCA

A

B

C

a

b

c

n

Vab

Vbc VaVb

Vc

Vca

Redeprimria Transformador de distribuio

Redesecundria

Figura 37: Sistema de distribuic~ao


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a

b

c

n

Ligao monofsica Ligao bifsica Ligao trifsicaat 12 kW > 12 kW at 25 kW > 25 kW at 75 kW

Figura 38: Rede secundaria

Observando a rede secundaria podemos notar que algumas cargas s~ao alimentadas portens~ao de fase e outras por tens~ao de linha. Assim sendo, no co^mputo geral das cargas,podemos distinguir dois tipos de ligac~oes: estrela e triangulo (ou delta), como mostraa Figura 39.

a

b

c

n

tringulo estrela

Figura 39: Ligac~oes das cargas

5.3.1 Cargas ligadas em estrela

Considerando Za = Zb = Zc = jZjej, Figura 40, as correntes de fase s~ao dadas pelasexpress~oes:


a

b

c c

b

a

Zb

Zc

Za

Figura 40: Ligac~ao estrela com o neutro

ia =vanZa

= Ipsen(t ) (132)

ib =vbnZb

= Ipsen(t 2pi3 ) (133)

ic =vcnZc

= Ipsen(t 4pi3 ) (134)


I^a =Ipp2ej = Ief 6 (135)

I^b =Ipp2ej(

2pi3

+) = Ief 6 (1200 + ) (136)

I^c =Ipp2ej(

4pi3

+) = Ief 6 (2400 + ) (137)

A Figura 41 mostra os diagramas fasoriais das tens~oes e das correntes.Deve-se frisar que em condic~oes normais as cargas s~ao equilibradas, portanto:

I^a + I^b + I^c = 0 (138)

Vamos analisar uma situac~ao em que as cargas estejam desequilibradas, isto e: Za 6=Zb 6= Zc.

Za = jZajeja (139)

Zb = jZbjejb (140)

Zc = jZcjejc (141)Neste caso teremos: jZaj 6= jZbj 6= jZcj e a 6= b 6= c e como conseque^ncia Ia 6= Ib 6=

Ic.


Va^

Vb^

Ia^

Ib^

Ic^Vc^

.

Figura 41: Diagramas fasoriais - tens~oes e correntes de fase

A Figura 42 mostra os diagramas fasoriais das tens~oes e das correntes.Podemos notar que o ponto neutro permanece xo, o que permite concluir que as

quedas de tens~ao nas cargas (Vâ, V^b e V^c) s~ao equilibradas. O desequilbrio se manifestanas correntes, com o aparecimento da corrente de neutro I^n pois,

Iâ + I^b + I^c = I^n (142)

A Figura 43 mostra uma ligac~ao estrela com neutro isolado. A adoc~ao deste tipode conex~ao n~ao e usual na pratica, mas e importante saber o comportamento do sistemaquando ele e submetido as condic~oes de desequilbrio (ligac~ao estrela com neutro desligadoacidentalmente).

Nesta ligac~ao, quando ocorre um desequilbrio das cargas, o ponto neutro n~ao perma-nece mais xo, causando o aparecimento de uma diferenca de potencial entre o neutrodo sistema (n) e o neutro das cargas (n). A Figura 44 mostra o diagrama fasorial dastens~oes de fase.

A diferenca de potencial entre o neutro do sistema (n) e o neutro das cargas (n) podeser obtida analiticamente pela Equac~ao 143:

V^nn =VanZa

+ VbnZb +VcnZc

1Za

+ 1Zb +1Zb

(143)

As tens~oes de fase, em termos fasoriais, podem ser calculadas a partir das express~oes:

Vân0 = Vân V^nn0 (144)

V^bn0 = V^bn V^nn0 (145)

V^cn0 = V^cn V^nn0 (146)


Va^

Vb^

Vc^

IaÎb^

Ic^

a

b

c

.

Figura 42: Diagramas fasoriais - tens~oes e correntes de fase (cargas desequilibradas)

a

b

c c

b

a

Zb

Zc

Za

Figura 43: Ligac~ao estrela sem o neutro - neutro isolado

e as correntes de fase s~ao dadas pelas express~oes:

Iâ =Vân0

Za(147)

I^b =V^bn0

Zb(148)

I^c =V^cn0

Zc(149)

5.3.2 Cargas ligadas em triangulo

Considerando Zab = Zbc =Zca = jZjej, Figura 45, as correntes de fase s~ao dadas pelasexpress~oes:

iab =vabZab

(150)


Vc^

Va^

Vb^

.

n

n

Figura 44: Diagrama fasorial - tens~oes de fase (cargas desequilibradas)

a

b

c

Z

Zbc

b

c

a

Zca

ab

Figura 45: Ligac~ao tria^ngulo

ibc =vbcZbc

(151)

ica =vcaZca

(152)


Iâb =Ipp2ej

pi6 = Ief 6 (300 ) (153)

I^bc =Ipp2ej(

pi2+) = Ief 6 (900 + ) (154)

I^ca =Ipp2ej(

7pi6

+) = Ief 6 (2100 + ) (155)

As correntes de linha s~ao dadas pelas seguintes express~oes:

Iâ = Iâb I^ca = (Ief 6 (300 ) Ief 6 (2100 + )) =p

3Ief 6 ) (156)


I^b = I^bc I^ab = (Ief 6 (900 + ) Ief 6 (300 )) =p

3Ief 6 (1200 + ) (157)

I^c = I^ca I^bc = (Ief 6 (2100 + ) Ief 6 (900 + )) =p

3Ief 6 (2100 + ) (158)

A Figura 46 mostra os diagramas fasoriais das tens~oes e das correntes.

Vbc^

Vab^Vca^

Ia^

Ib^

Iab^

Ibc^

Ica^

Ic^

.

Figura 46: Diagramas fasoriais - tens~oes e correntes de linha

6 POTENCIA TRIFASICA 46

6 Potencia trifasica

A pote^ncia ativa para uma ligac~ao monofasica pode ser calculada pela formula:

P1 = VfIfcos (159)

Para uma ligac~ao trifasica:

P3 = Pa + Pb + Pc (160)

Se as cargas forem equilibradas:

P3 = 3P1 = 3VfIfcos (161)

Ligac~ao estrela

Na ligac~ao estrela temos:

Vf =Vlp3

(162)

e

If = Il (163)

Substituindo (162) e (163) na (161) teremos:

P3 =3Vlp

3Ilcos (164)

ou

P3 =p

3VlIlcos (165)

Ligac~ao tria^ngulo

Na ligac~ao tria^ngulo temos:

Vf = Vl (166)

e

If =Ilp3

(167)

Substituindo (166) e (167) na (161) teremos:

P3 = 3VlIlp3cos (168)

ou

P3 =p

3VlIlcos (169)

As formulas (165) e (169) s~ao iguais. Assim sendo, em ambas as ligac~oes, se as cargasforem equilibradas, a pote^ncia trifasica e calculada pela mesma formula.


6.1 Metodos para medicao da potencia trifasica

Basicamente s~ao utilizados dois metodos:

Metodo dos tre^s wattmetros Metodo dos dois wattmetros

6.1.1 Metodo dos tres wattmetros

Este metodo e aplicavel para ligac~oes trifacas a quatro fios (3 fases e 1 neutro) equi-libradas ou nao.

As Figuras 47 e 48 mostram respectivamente o esquema de ligac~ao dos instrumentose as grandezas eletricas (em termos de fasores) aplicadas em cada wattmetro, para umsistema equilibrado.

W1a

b

c

n

W3

W2

Figura 47: Metodo dos tres wattmetros

Va^

Vb^

Ia^

Ic^Vc^

Ib^

.

Figura 48: Diagramas fasoriais - Tens~oes e correntes aplicadas nos wattmetros


Observando as Figuras, as seguintes express~oes podem ser escritas:

Pa =


Vbc^

Vab^Vca^

Ia^

Ib^

Iab^

Ibc^

Ica^

Ic^

Vac^

.

Figura 50: Diagramas fasoriais - Tens~oes e correntes aplicadas nos wattmetros para cargasligadas em tria^ngulo

Pac = VlIlcos(300 ) (177)

Pbc = VlIlcos(300 + ) (178)

Somando membro a membro as equac~oes (177) e (178):

Pac + Pbc = VlIl[cos(300 ) + cos(300 + )] (179)

Usando relac~oes trigonometricas conhecidas:

P3 = VlIl(cos300cos sen300sen + cos300 + + sen300sen) (180)

Simplicando,

P3 = 2VlIlcos300cos = 2VlIl

p3

2cos (181)

Finalmente,

P3 =p

3VlIlcos (182)

b. Cargas ligadas em estrela sem o o neutro.

As Figuras 51 e 52 mostram respectivamente o esquema de ligac~ao dos instrumentose as grandezas eletricas (em termos de fasores) aplicadas em cada wattmetro, paraum sistema equilibrado.

Observando as Figuras e considerando Vac = Vbc = Vl e Ia = Ib = Il, as seguintesexpress~oes podem ser escritas:


W1a

b

c

W2

Figura 51: Metodo dos dois wattmetros

Va^

Vb^

Ia^

Ib^

Ic^Vc^ Vab^Vca

^

Vbc^

Vac^

.

Figura 52: Diagramas fasoriais - Tens~oes e correntes aplicadas nos wattmetros para cargasligadas em estrela

Pac =


Somando membro a membro as equac~oes (187) e (188):

Pab + Pbc = VlIl[cos(300 ) + cos(300 + )] (189)

Usando relac~oes trigonometricas conhecidas:

P3 = VlIl(cos300cos sen300sen + cos300 + + sen300sen) (190)

Simplicando,

P3 = 2VlIlcos300cos = 2VlIl

p3

2cos (191)

Finalmente,

P3 =p

3VlIlcos (192)

7 DISTRIBUICAO DE ENERGIA ELETRICA EM BAIXA TENSAO 52

7 Distribuicao de energia eletrica em baixa tensao

Para a grande maioria dos consumidores a convive^ncia diaria com a energia eletricase da na baixa tens~ao, da a importa^ncia de comecarmos por este assunto.

As instalac~oes eletricas de baixa tens~ao s~ao instalac~oes cuja tens~ao nominal e igualou inferior a 1.000 volts em corrente alternada, com freque^ncias inferiores a 10 kHz,ou a 1.500 volts em corrente contnua.

Para quem se interessar mais profundamente pelo assunto recomenda-se consultara norma NB-3 - Instalacoes Eletricas de Baixa Tensao - Procedimentos -NBR 5410/90 (ou o livro Instalacoes Eletricas do Ademaro A. M. B. Cotrim,MAKRON Books do Brasil Editora Ltda):

predios residenciais; estabelecimentos industriais; estabelecimentos agropecuarios e hortigrangeiros; predios pre-fabricados; trailers, campings, marinas e analogos; canteiro de obras, feiras, locais de exposic~ao e outras instalac~oes temporarias.

As instalac~oes eletricas de baixa tens~ao podem ser alimentadas de varias maneiras:

(a) diretamente, por uma rede publica de baixa tens~ao, atraves de um ramal deligac~ao; e o caso tpico de predios residenciais, comerciais ou industriais depequeno porte;

(b) a partir de uma rede publica de alta tens~ao, por intermedio de uma subestac~aoou transformador exclusivo, de propriedade da concessionaria; e o caso tpicode predios residenciais e/ou comerciais de grande porte;

(c) a partir de uma rede publica de alta tens~ao, por intermedio de uma subestac~aoou transformador de propriedade do consumidor; e o caso tpico de prediosindustriais e propriedades com atividades agro-industriais;

(d) por fonte auto^noma, como e o caso tpico de instalac~oes situadas fora de zonassevidas por concessionarias.

A entrada de servico e o conjunto de equipamentos, condutores e acessorios insta-lados entre o ponto de derivac~ao da rede da concessionaria e a protec~ao e medic~ao,inclusive.

O ponto de entrega e o ponto ate o qual a concessionaria se obriga a fornecer a energiaeletrica, paericipando dos investimentos necessarios, bem como responsabilizando-sepela execuc~ao dos sevicos, pela operac~ao e pela manutenc~ao. A entrada consumidorae o conjunto de equipamentos acessorios instalados entre o o ponto de entrega e aprotec~ao e medic~ao, inclusive.

O ramal de ligac~ao e o conjunto de condutores e acessorios instalados entre o pontode derivac~ao da rede da concessionaria e o ponto de entrega.

O ramal de entrada e o conjunto de condutores e acessorios instalados entre o pontode entrega e a protec~ao e medic~ao.

A Figura 53 mostra o esquema basico da entrada de servico.


Ponto de derivao

Ponto de entrega

Ramal de ligao Ramal de entrada

Entrada consumidora

Prot

eo

Med

io

Rede da concessionria

Figura 53: Esquema basico da entrada de servico

7.1 Equipamentos de utilizacao

Os equipamentos de utilizac~ao podem ser classicados em tre^s grandes categorias:os aparelhos de iluminac~ao, os equipamentos industriais e os equipamentos n~aoindustriais.

Os aparelhos de iluminac~ao est~ao presentes em todos os tipos de locais e podem serclassicados em:

(a) aparelhos incandescentes (la^mapadas incandescentes);

(b) aparelhos de descarga (la^mpadas fluorescentes, a vapor de mercurio, a vaporde sodio, etc.).

Os equipamentos industriais s~ao os utilizados na area de produc~ao das industrias epode ser classicados em:

(a) equipamentos de fo^rca motriz, incluindo compressores; ventiladores, bombas,elevadores, guindastes, pontes rolantes; correias transportadoras, etc;

(b) maquinas-ferramentas, com tornos, frezas, maquinas operatrizes, etc.;

(c) fornos eletricos;

(d) caldeiras eletricas;

(e) equipamentos de solda eletrica;

(f) equipamentos de convers~ao.

Os equipamentos n~ao-industriais s~ao utilizados em locais comerciais, institucionais,residenciais etc. e em industrias fora das areas de produc~ao (escritorios, laboratorios,depositos etc). Podem ser classicados em:

(a) aparelhos eletrodomesticos;

(b) aparelhos eletroprossionais (maquiana de escrever, microcomputadores, equi-pamentos de processamento de dados);

(c) equipamentos de ventilac~ao, aquecimento e ar condicionado;

(d) equipamentos hidraulicos e sanitarios;


(e) equipamentos de aquecimento de agua;

(f) equipamentos de transporte vertical (elevadores, escadas rolantes);

(g) equipamentos de cozinha e lavanderia.

7.2 Equipamentos a motor

Os equipamentos a motor constituem a maior parte dos equipamentos industriaise boa parte dos equipamentos n~ao-industriais. Neles s~ao utilizados motores de cor-rente alternada, motores de corrente contnua e motores universais.

Os motores de corrente contnua s~ao de custo elevado e necessitam da fonte de cor-rente contnua, podendo funcionar com velocidade ajustavel numa larga faixa. Sa~ousados em equipamentos onde se exigem controles de grande precis~ao e flexibilidade.

Os motores de corrente alternada s~ao os mais usados, uma vez que a fonte decorrente alternada e a mais comum. Os motores sncronos s~ao usados onde senecessita de velocidade constante. Os motores de induc~ao funcionam com velocidadepraticamente constante, variando ligeiramente com a carga meca^nica aplicada noeixo. Devido a sua grande robustez e baixo custo, s~ao os motores mais utilizados,principalmente os tipos gaiola. S~ao adequados para a maioria dos equipamentosencontrados na pratica.

7.3 Sistemas e tensoes de fornecimento

O fornecimento de energia eletrica e feito em tens~ao secundaria de distribuic~ao paraas instalac~oes com cargas de no maximo 75 kW. As carga superiores a este valors~ao atendidas na tens~ao primaria de distribuic~ao (nvel 15 kV).

A energia eletrica, nas areas de concess~ao da ELETROPAULO (Metropolitanae Bandeirantes), ELEKTRO (antiga CESP) e CPFL, e fornecida nas tens~oes se-cundariasnominais indicadas no Quadro 1 e na Figura 55 que se seguem.

127 220 220 380 115 230ConcessionriaELETROPAULO

ELEKTRO

CPFL

X

X

X

X

X

X

X(1) (2)(3)

Estrela com neutroTriangulo com

neutro

Tenso

(1) Parte do municpio de So Joo da Boa Vista

(3) Municpios de Lins e Piratininga(2) Ilha Bela

Figura 54: Sistemas e tens~oes de fornecimento


Vf

VlVl

V

Vf

l

f

fase

fase

fase

neutro

V

Vl

Vl

VlVf

Vf

Vf Vl

fase

fase

fase

neutro

115 230

Estre

la c

om n

eutro

127 220

220 380

Tria

ngul

o co

m n

eutro

Sistemas e tenses nominais de fornecimento

Figura 55: Sistemas e tens~oes de fornecimento

7.4 Tipos de atendimento

Nas areas de concess~ao das empresas do estado de S~ao Paulo s~ao tre^s os tipos deatendimento, a saber:

Tipo A - dois os, uma fase e neutro Tipo B - tre^s os, duas fases e neutro Tipo C - quatro os, tre^s fases e neutro

mostradas respectivamente nas Figuras 56, 57 e 58.

Figura 56: Tipo A - dois os, uma fase e neutro

7.4.1 Tipo A - dois fios (fase e neutro)

a) No sistema estrela com neutro


Figura 57: Tipo B - tre^s os, duas fases e neutro

Figura 58: Tipo C - quatro os, tre^s fases e neutro

Aplicado a instalac~ao com carga instalada ate 12 kW para tens~ao de forneci-mento de 127-220 V, e ate 15 kW para tens~ao de fornecimento 220-380. N~aoe permitida, neste tipo de atendimento a instalac~ao de aparelhos de raio X emaquinas de solda a transformador.

b) No sistema delta com neutro

Aplicado a instalac~ao com carga instalada ate 5 kW.

7.4.2 Tipo B - tres fios (duas fases e neutro)


Aplicado a instalac~ao com carga instalada acima 12 kW ate 25 kW para tens~aode fornecimento de 127-220 V, e acima 15 kW ate 25 kW para tens~ao de for-necimento 220-380 V. N~ao e permitida, neste tipo de atendimento a instalac~aode aparelhos de raio X da classe de 220 V com pote^ncia superior a 1.500 We maquinas de solda a transformador classe 127 V com mais de 2kVA ou daclasse 220 V com mais de 10 kVA.



Aplicado a instalac~ao com carga instalada acima de 5 kW.

7.4.3 Tipo C - quatro fios (tres fases e neutro)


Aplicado a instalac~ao com carga instalada acima 25 kW ate 75 kW para tens~aode fornecimento de 127-220 V, e acima 25 kW ate 75 kW para tens~ao de for-necimento 220-380 V. N~ao e permitida, neste tipo de atendimento a instalac~aode aparelhos de raio X da classe de 220 V com pote^ncia superior a 1.500 W outrifasicos com pote^ncia superior a 20 kVA e maquinas de solda a transforma-dor classe 127 V com mais de 2kVA, da classe 220 V com mais de 10 kVA oumaquina de solda trifasica com reticac~ao em ponte, com pote^ncia superior a30 kVA.


Aplicado a instalac~ao com carga instalada acima de 5 kW.

7.5 Exemplo de um quadro de distribuicao secundaria

Um quadro de distribuic~ao e um equipamento eletrico destinado a receber energiaeletrica de uma ou mais alimentac~ao e distribu-la para varios circuitos, podendotambem desempenhar func~oes de protec~ao, seccionamento, controle e/ou medic~ao.

Figura 59: Quadro de distribuic~ao


7.6 Demanda e curva de carga

Consideremos uma instalac~ao predial qualquer (industrial, comercial, residencialetc.). A pote^ncia eletrica por ela consumida, isto e, a pote^ncia ativa, e extremamentevariavel, func~ao do numero de cargas ligadas e da pote^ncia consumida por cadauma delas, a cada instante. Para a analise de uma instalac~ao e mais convenientetrabalhar com valor medio da pote^ncia; utiliza-se a demanda, D, que e o valor medioda pote^ncia ativa, P , em um intervalo de tempo t especicado (geralmente 0,25h), isto e:

D =1

t

t+tt

Pdt (193)

como ilustra a Figura 60.

t

t

t

D

P(t)

E(kWh) = D.

0

P(kW)

Figura 60: Denic~ao de demanda

A denic~ao dada na Equac~ao 193 indica que a demanda e medida em unidades depote^ncia ativa (W , kW ). Podemos tambem denir uma demanda reativa, DQ (V Ar,kV Ar) e uma demanda aparente, DS (V A, kV A).

A area entre a curva P(t) e o eixo dos tempos e, evidentemente, a energia consumidapela instalac~ao no intervalo considerado. Na Figura 60 pela propria denic~ao dedemanda, temos que a area hachurada e energia E consumida durante t, isto e,

E = Dt (194)

Chamamos de curva de carga a curva que da a demanda em func~ao do tempo, D= D(t), para um dado perodo T. Como podemos ver na Figura 61, ela sera, narealidade, constituda por patamares, sendo, no entanto, mais comum apresenta-lacomo uma curva, resultando da uni~ao dos pontos medio das bases superiores doreta^ngulo de largura t.

Para um perodo T, a ordenada maxima da curva dene a demanda maxima, DM .A energia total consumida no perodo, ET , sera medida pela area entre a curva e oeixo dos tempos, isto e:

ET = T0

Ddt (195)


.

MD

t0

D(t)

D

t

Figura 61: Curva de carga

A demanda media Dm, sera denida como a altura de de um reta^ngulo cuja base eo perodo T e cuja area e a energia total ET , ou seja:

Dm =ETT

(196)

e mostrada na Figura 62.

DMPinstal.

0

Dm

t(h)

E T

T

D(kW)

Figura 62: Curva de carga e pote^ncia instalada

7.7 Medicao da energia eletrica

A medic~ao da energia eletrica e necessaria para possibilitar a concessionaria o fatu-ramento adequado da quantidade de energia eletrica consumida por cada usuario,dentro de uma tarifa pre-estabelecida. O instrumento que possibilita esta medic~aoe o medidor de energia eletrica, conhecido popularmente como relogio de luz.E um aparelho eletromeca^nico constitudo, essencialemente, pelos seguintes compo-nentes:

ea611_tc

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