UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTASINSTITUTO DE FSICA E MATEMTICA

DEPARTAMENTO DE FSICALista de Exerccios 2

Disciplina: Teoria Eletromagntica PROFESSOR: Fernando Simes Junior

Problemas1

1. (a) Doze cargas iguais q, esto localizadas noscantos de um polgono regular de 12 lados (porexemplo, em cada nmero do mostrador de umrelgio). Qual a fora lquida sobre uma cargade prova Q no centro? (b) Suponha que uma das12 cargas seja removida (a que est em 6 horas).Qual ser a fora sobre Q? Explique cuidadosa-mente seu raciocnio.

2. (a) Encontre o campo eltrico (magnitude, dire-o e sentido) a uma distncia z acima do pontocentral entre duas cargas iguais, q que esto se-paradas por uma distncia d 1. Verifique se o re-sultado coerente com o que se espera quandoz d. (b) Repita a questo (a), s que desta vezfaa a carga do lado direito igual a q em vez de+q .

Figura 1: Problema 2

3. Encontre o campo eltrico a uma distncia z acimado centro de uma espira quadrada de lado a quetem uma densidade linear de carga uniforme (fig. 2 .

Figura 2: Problema 3

4. Encontre o campo eltrico a uma distncia z acimado centro de uma espira circular de raio r (fig. 3),que tem uma densidade linear de carga uniforme.

Figura 3: Problema 4

5. [?]2 Encontre o campo eltrico a uma distnciaz do centro de uma superfcie esfrica de raio R(Fig. 4), que tem uma distribuio superficial decarga eltrica de densidade constante . Aborde ocaso z < R (interno), bem como z > R (externo).Expresse suas respostas em termos da carga totalq da esfera. [Dica: use a lei dos cossenos para es-crever r em termos de R e . Certifique-se de esco-lher a raiz quadrada positiva:

R2 + z2 2Rz =

(R z) se R > z , mas (z R) se R < z.]

Figura 4: Problema 5

6. Suponha que o campo eltrico em uma determi-nada regio dado por E = kr3r em coordenadasesfricas (k uma constante). (a) Encontre a den-sidade de carga de . (b) Encontre a carga totalcontida em uma esfera de raio R, centrada na ori-gem.

7. Uma carga q fica no vrtice traseiro de um cubo,1Exerccio: 2.1a,b; 2.2; 2.4; 2;5; 2.7; 2.9; 2.10, 2.11; 2.12; 2.13; 2.14; 2.16; 2.20; 2.21; 2.24; 2.24; 2.27; 2.28; 2.32;

2.36; 2.39. David J. Griffthis, Eletrodinmica 3 ed. Pearson 20112Problema desafiador

1

como mostra a figura 5. Qual o fluxo de E atra-vs da face sombreada?

Figura 5: Problema 7

8. Use a lei de Gauss para encontrar o campo eltricodentro e fora de uma casca esfrica de raio R, quetem uma densidade superficial de carga uniforme. Compare sua resposta com o problema 5.

9. Use a lei de Gauss para encontrar o campo el-trico dentro de uma esfera uniformemente carre-gada (com densidade de carga ).

10. Encontre o campo eltrico a uma distncia s deum fio reto de comprimento infinito, que tem umadensidade linear de carga uniforme .

11. Encontre o campo eletric dentro de uma esferacom uma densidade de carga proporcional dis-tncia da origem = kr, k sendo uma constante.

12. Um cabo coaxial longo (fig. 6) possui uma den-sidade volumtrica de carga uniforme no cilin-dro interno (raio a) e uma densidade superficial decarga uniforme na casca externa do cilindro (raiob). Essa casca superficial negativa e de magni-tude exata para que o cabo, como um todo, sejaeletricamente neutro. Encontre o campo eltricoem cada uma das trs regies (i) dentro do cilin-dro interno (s < a), (ii) entre os dois cilindros(a < s < b), (iii) externa ao cabo (s > b). Faa umgrfico de |E| em funo de s.

Figura 6: Problema 10

13. Uma destas expresses um campo eletrostticoimpossvel. Qual delas?(a) E = k[xyx+ 2yzy + 3xzz];(b) E = k[y2x+ (2xy + z2)y + 2yzz] ,k uma constante com as unidades adequa-das. Para o campo possvel, encontre o potencialusando a origem como seu ponto de referncia.

Verifique suas respostas calculando V . [Dica:voc deve escolher um caminho especfico para aintegrao. No importa qual esse caminho, jque a resposta independente do caminho esco-lhido, mas simplesmente no se pode integrar semum caminho particular em mente.]

14. Encontre o potencial dentro e fora de uma esferaslida uniformemente carregada cujo raio R ecuja carga total q. Use o infinito como pontode referncia. Calcule o gradiente de V em cadaregio e verifique se ele fornece o campo correto.Esboce V (r).

15. Para a configurao do problema 12, encontre adiferena de potencial entre um ponto no eixo eum ponto no cilindro externo. Se voc utilizar aequao V (b)V (a) = ba Edl no necessriovincular-se a um ponto de referncia em particu-lar.

16. Encontre o potencial no eixo de um cilindro s-lido uniformemente carregado, a uma distncia zdo centro. O comprimento do cilindro L, e seuraio R, e a densidade de carga ? Use o resul-tado para calcular o campo eltrico nesse ponto.(Considere que z > L/2).

17. Use a equao

V (r) =1

4pi0

(r)|r| d

para calcular o potencial dentro de uma esfera s-lida de raio R com densidade de carga uniforme ecarga total q. Compare sua resposta ao problema14.

18. Encontre a energia armazenada em uma esfera s-lida uniformemente carregada de raio R e carga q.Faa-o de trs formas diferentes:(a) Use a equao

W =12

V d

e o potencial que voc encontrou no problema 14(b) Use a equao

W =02

todo o espao

E2d

no esquea de integrar sobre todo o espao(c) Use a equao

W =02

E2d +S

VE da

tome um volume esfrico de raio a. O que acon-tece quando a?

2

19. Duas cavidades esfricas de raio a e b so escava-das no interior de uma esfera condutora (neutra)de raio R (fig. 7). No centro de cada cavidade colocada uma carga pontual - chame estas cargasde qa e qb.(a) Encontre as densidades superficiais de cargaa, b e R.(b) Qual o campo fora do condutor?(c) Qual o campo dentro de cada cavidade?(d) Qual a fora em qa e qb?(e) Qual destas respostas mudariam se uma ter-ceira carga qc, fosse aproximada do condutor?

Figura 7: Problema 17

20. Encontre a capacitncia por unidade de compri-mento de dois tubos cilndricos coaxiais metlicos,com raios a e b. (fig. 8)

Figura 8: Problema 18

Respostas:

Problemas:

1. (a) zero; (b) F = 14pi0qQr2 .

2. (a) E = 14pi02qz

z2+( d2 )23/2 z ;

(b) E = 14pi0qd

z2+( d2 )23/2 x.

3. E = 14pi04az

z2+a2

4

qz2+a

2

2

z.

4. E = 14pi0(2pir)z

(r2+z)3/2z

5. Para z > R E = 14pi0qz2z;

Para z < R E=0.

6. (a) 50kr2; (b) 4pi0kR5.

7.

umaface

E da = q240

8. Dentro E = 0; Fora E = R2

0r2r.

9. E = 130 rr

10. E = 2pi0s s.

11. E = 14pi0pikr2r

12. (i) E = s20 s; (ii) E =a2

20ss; (iii) E = 0.

13. (a) impossvel; (b) possvel V (x, y, z) = k(xy +yz2).

14. Para r > R : V (r) = q4pi01r ;

Para r < R : V (r) = q4pi012R

(3 r2

R2

).

15. V = a240(1 + 2 ln

(ba

)).

16. V = 40

{(z + L2

)R2 +

(z + L2

)2 (z L2 )R2 + (z L2 )2 +R2 ln[z+L

2+qR2+(z+L2 )

2

zL2+qR2+(zL2 )

2

] 2zL

}.

E = 20

[L

R +

(z + L2

)2 +R + (z L2 )2] z.17. V (r) = q8pi0R

(3 r2

R2

).

18. (a, b, c) W = 14pi0

(35q2

R

);

19. (a) a = qa4pia2 ; b = qb4pib2 ; R = qa+qb4piR2 ;(b)Efora = 14pi0

qa+qbr2

r;

(c)Ea = 14pi0qar2ara; Eb = 14pi0

qbr2brb;

(d) zero.(e) R muda (mas a e b no); Efora muda (Eae Eb no); a fora em qa e qb permanece zero.

20. C = 2pi0ln( ba)

.

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