e cálculo1

7/21/2019 E Cálculo1

http://slidepdf.com/reader/full/e-calculo1 1/24

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/grandezas/elementares/felementares.htm



http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/flilimitada/flimitada.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/trigonometricas/ftrigo_inversas/ftrigo_inversas.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/trigonometricas/ftrigonometricas.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/exponencial/fexponencial.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/logaritmica/flogaritmica.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/inversiveis/finversiveis.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/pareimpar/fparimpar.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/composicao/composicao.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/novasfun/novasfun.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/modulo/fmodulo.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/inverso/finversa.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/segundog/fsegundo.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/primeirog/fprimeiro.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/grandezas/grandezas.htm



()* 6izemos então !ue a primeira é a variável dependente e a segunda é a variável independente . A lei matemática !ue rege a situação de dependência entre as variáveis estudadas é denominadamodelo .

/m geral, não é trivial desco"rir !uais modelos funcionais descrevem mel or as situaç es naturais./ste é um pro"lema e a modelagem matemática das situaç es da natureza é uma área espec$fica!ue necessita de um con&unto aprimorado de con ecimentos.

8om #. Apostol é autor do livro 0A90595:,

traduzido e editado em vários idiomas. A referência diz respeito % o"ra 0A90595:, ;olumen <, segunda edici=n /ditorial >everte, :.A.?arcelona, <@ B

:egundo Apostol , a palavra função foi introduzida na #atemática por Leibniz, !ue utilizou essetermo para designar um certo tipo de f=rmula matemática. #ais tarde, viu-se !ue a idéia de funçãodesenvolvida por 9ei"niz tin a um alcance muito reduzido, e, posteriormente, o significado dapalavra função foi experimentando generalizaç es sucessivas, até c egar % conceituação atual.

G. W. Leibniz

(<CDC-< <C* foi um dos grandes matemáticos do século E;77.

/studou e escreveu so"re vários assuntos em diferentescampos do con ecimento umano, como #atemática, 9=gica,Filosofia, 8eologia, 9egislação, /conomia, 9ingG$stica, Hist=ria.

Na #atemática, seu nome é citado, principalmente, como sendoum dos 2inventores3 do 0álculo.

1s prim=rdios do 0álculo remontam % Antiguidade grega, masfoi na segunda metade do século E;77 !ue as maiorescontri"uiç es apareceram principalmente com NeIton e 9ei"niz,de maneira independente. /les e outros fil=sofos-matemáticostra"al aram no sentido de esta"elecer as idéias !ue estavam

desa"roc ando, a fim de resolver diversos pro"lemas.

9ei"niz, em particular, teve o grande mérito de esta"elecer uma notação !ue mostrou ser muito

prof$cua, permanecendo em uso até a atualidade. J o caso do !uociente para indicar a derivadade K com relação a x , diferentemente da notação pontual utilizada por NeIton.

J importante destacar !ue NeIton e 9ei"niz não tin am clara a idéia de limite, !ue, aliás, s=apareceu "em mais tarde, no final do século E7E. No caso de 9ei"niz, para ac ar a diferencial deuma expressão, !ue ele denotou por d, considerava !uantidades infinitamente pe!uenas, porém nãonulas, !ue poderiam ser desprezadas no final dos cálculos, !uando comparadas com !uantidadesmaiores. 6e acordo com Simmons , 9ei"niz escreveu f=rmulas do tipo ,

, , sem explicá-las ou &ustificá-las. 1 s$m"olo moderno para integraltam"ém é de sua autoria, e com ele sugeria uma letra : alongada, inicial da palavra soma.

4eorge F.:immons, professor no 0olorado 0ollege, é autor do livro 0álculo com 4eometria Anal$tica, ;olume <, /ditora #aLron ?ooLs do ?rasil, <@@

/m"ora 9ei"niz não ten a deixado suas idéias impressas na forma de um livro, mas em manuscritosou artigos, teve muitos seguidores e pode ser considerado o fundador da #oderna #atemática/uropéia.



())* 1s meios de comunicação, principalmente impressa, e, em particular, &ornais e revistas M7mportação e /xportação no #ercosul e 8á"ua das #arés no porto de :antos (exemplos B e D* Mapresentam reportagens onde os mais diversos argumentos estão fundamentados em gráficos dediferentes tipos, mostrando a variação de determinadas grandezas. :ão gráficos de "arras Mverticais ou orizontais M, gráficos setoriais, gráficos de lin as. Nestes últimos, os pontos !ueaparecem no gráfico são interligados, na maioria das vezes por segmentos de reta, na pretensão depropiciar uma visualização mel or. /ntretanto, nada garante !ue, se uma nova medida fosserealizada, o resultado estaria na lin a desen ada.

or outro lado, na literatura cient$fica, em textos !ue descrevem experiências de la"orat=rio M atritoviscoso num plano inclinado e cali"ração de eficiência de um detector de radiação (exemplos e * M ou se&a, coleta de dados o"tidos empiricamente, encontramos outro tipo de gráfico formado por pontos !ue não estão ligados por curva alguma. Os vezes, está desen ada uma lin a, da !ual ospontos !ue descrevem os resultados das experiências estão razoavelmente pr=ximos. 1 gráfico,nesse caso, não precisa necessariamente passar por algum dos pontos experimentalmenteencontrados, mas, sendo uma curva pr=xima, permite uma visualização eficiente do comportamentodo fen meno estudado, mostrando !ue ele pode ser modelado por determinada função.

()))*Nos gráficos de lin a, tanto do tipo !ue encontramos nos &ornais como na!ueles !ue sãoresultados de experiências, a dependência de uma variável em relação % outra é expl$citaP o eixoorizontal contém o domínio da função M ou se&a, o con&unto de valores !ue a variável

independente pode assumir M e o eixo vertical é o contra-domínio da função M ou se&a, o con&untoonde a variável dependente pode estar. A!ueles valores do contra-dom$nio da função !ue sãoefetivamente alcançados pela variável dependente constituem o con&unto imagem da função .

0ada ponto da lin a, !ue é o gráfico da função, possui duas coordenadas (x,K*, sendo x M abscissa M o valor da variável independente e K Mordenada M o valor da variável dependente. 6izemos !ue avariável ! uma função da variável " .

())))*Galileo Galilei #$%&' - $%($)

#atemático, f$sico, astr nomo, naturalista e escritor italiano da>enascença, nascido na cidade de isa, 4alileo erdou de seu paio gosto pela matemática e de sua mãe o caráter colérico e certatendência para o sarcasmo, !ualidades !ue, com o tempo, l e

aviam de criar muitos inimigos.

/m <Q <, ao o"servar um lustre da catedral oscilando, constatou!ue o per$odo era constante e não dependia da amplitude domovimento. ara confirmar sua desco"erta, construiu doispêndulos iguais e os p s em movimento, com amplitudes

diferentes. Am"os se moveram com o mesmo per$odo, demonstrando assim !ue sua o"servaçãoestava correta e válida para !ual!uer pêndulo.

Nessa época, desprovido de rel=gios ade!uados para efetuar as mediç es, 4alileo recorreu a suaspr=prias pulsaç es card$acas. osteriormente, inventou um pêndulo !ue se podia sincronizar com opulso umano e !ue registrava as pulsaç es num mostrador. Assim, os médicos, no tempo em !ue



os rel=gios eram raros, podiam medir com certa exatidão o pulso dos doentes.

/m <Q C, inventou uma "alança idrostática para análise dos metais a partir do seu peso, o !ueconstitu$a a aplicação da teoria de Ar!uimedes. Formulou métodos simples para determinar o centrode gravidade dos s=lidos.

/m <Q@R, pu"licou um tratado so"re o movimento no !ual relata suas pes!uisas so"re planoinclinado, e op e-se % teoria aristotélica so"re o movimento dos pro&éteis. A f$sica de Arist=teles, !uenão utilizava a experimentação - antes de 4alileo, o método experimental era !uase descon ecido -

afirmavaS T!uanto mais pesado é um corpo, maior é a velocidade com !ue caiT, ou se&a, !ue avelocidade de !ueda de um corpo era proporcional ao seu peso. No entanto, 4alileo, através daexperimentação, concluiu !ue o"&etos de pesos desiguais caem com a mesma velocidade.6emonstrou, tam"ém, !ue os o"&etos leves eram apenas retardados pela resistência do ar, fazendocom !ue ele supusesse !ue no vácuo, todos os corpos, não importando o seu peso ou forma,cairiam com velocidades iguais.

4alileo foi o criador da ciência dos corpos em movimento, % !ual se dá o&e o nome de din+mica.6esco"riu, por exemplo, a lei da inércia, segundo a !ual todo corpo em movimento segue umatra&et=ria retil$nea, na ausência de uma força externa, analogamente, todo corpo em repousopermanece em repouso na ausência se forças externas. A inércia seria, segundo 4alileo, atendência dos corpos a se manterem em repouso ou em movimento retil$neo e uniforme./m <CRD, 4alileo pu"licouDe motu accelerato < em !ue demonstra teoricamente a lei do movimentouniformemente variado, segundo a !ual a velocidade da !ueda de um corpo cresce uniformementecom o tempo.

4alileo construiu uma luneta com"inando lentes c ncavas e convexas. /ssa luneta foi c amadaposteriormente de telesc=pio.

6esco"riu, com o aux$lio de suas lentes, !ue a ;ia 9áctea é constitu$da de uma massa enorme deastros distantes e o"servou os montes e os mares da 9ua, cu&a superf$cie se supun a regular.7dentificou, ainda, as fases de ;ênus e os satélites de Uúpiter. Foi com 4alileu !ue nasceu aastronomia como ciência. 6urante o dia, 4alileo o"servara o :ol com lentes escurecidas,desco"rindo manc as escuras em sua superf$cie, as manc as solares. /le construiu uma ma!uetedo sistema solar provando !ue o universo não estava organizado conforme a versão oficial da 7gre&a- a visão de Arist=teles e tolomeu do geocentrismo. 4alileu ratificava, desse modo, as idéias do

eliocentrismo de 0opérnico.

/screveu uma o"ra intitulada Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo Vcu&a finalidade eracomparar o sistema de tolomeu segundo o !ual a 8erra seria estática e o :ol giraria em torno dela -geocentrismo - e o de 0opérnico !ue afirmava exatamente o contrário - eliocentrismo. /leconseguiu demonstrar o movimento da 8erra em torno ao :ol na parte final dessa o"ra.

or ir contra as idéias dominantes da 7gre&a, em <CBB, &á doente, com uma érnia dupla e compro"lemas card$acos, 4alileo compareceu perante uma comissão de 0ardeais encarregada deexaminar as acusaç es !ue l e tin am sido feitas. 6urante dois meses na prisão, foi ameaçado comtorturas caso não se retratasse das suas doutrinas. Foi &ulgado e condenado a ser !ueimado vivocaso não se retratasse como erege. Ap=s ter se retratado so"re o !ue pensava a respeito domovimento da 8erra, conta-se !ue murmurou em voz "aixaS "Eppur si muove!" B

:ua última o"ra, intitulada Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze D , foiescrita e pu"licada clandestinamente em <CB . Nela á estudos so"re mec+nica e movimento dos

corpos, uma análise de fen menos da flutuação de corpos e os princ$pios da acústica.< :o"re o movimento aceleradoV6iálogo a respeito dos dois sistemas máximos do mundoB No entanto, se moveWD 6iscursos e demonstraç es matemáticas no +m"ito de duas novas ciências



:elecionamos alguns exemplos, "astante comuns em nosso dia a dia. /ntretanto, é preciso o"servar !ue, como esses, existem inúmeras outras situaç es !ue poderiam ter sido detal adas.

O Índice de massa corporal – IMC

Variações na pressão sangüínea

Importações e exportações brasileiras no Mercosul

T bua das mar!s no porto de "antos

# escala $ic%ter

#lgumas &unções 'ue podem ser estabelecidas relacionandoos elementos de uma &igura plana ou espacial

#trito (iscoso num plano inclinado

* + ,ndice de assa orporal / 0

1 Xndice de #assa 0orporal é um número !ue relaciona a massa e a altura de umindiv$duo. /le pode ser calculado da seguinte maneiraS

onde m é a massa corporal em !uilogramas e é a altura da pessoa em metros.

6e acordo com informaç es divulgadas na 7nternet pelo site Salutia.com , o resultadodo 7#0 tem o seguinte significadoS

Assim, podemos perce"er !ue o valor para o 7#0 depende dos valores da massa eda altura da pessoa, ou ainda, o 7#0 é uma função da altura e da massa. A!ui,!uanto maior a massa, maior o 7#0 e !uanto maior a altura, menor o 7#0. odemosdizer, de outra forma, !ue o 7#0 e a massa são diretamente proporcionais en!uanto!ue o 7#0 e a altura são inversamente proporcionais.

http://portugues.salutia.com/salutia.php?PHPSESSID=159480095f858baf1063643ec816210f&id0=inicio&id2=stckys&id3=6&submit.x=8&submit.y=10

http://portugues.salutia.com/salutia.php?PHPSESSID=159480095f858baf1063643ec816210f&id0=inicio&id2=stckys&id3=6&submit.x=8&submit.y=10



Neste caso, temos uma função !ue depende de duas variáveisS m e . orém, paraum dado valor de m ou de , fixado, passamos a tra"al ar com uma função !uedepende de apenas uma variável.

7nicialmente, supon amos um grupo de pessoas !ue meçam <, Rm de altura. Nestasituação espec$fica, o 7#0 passa a ser calculado da seguinte maneiraS

/ssa expressão nos permite relacionar o 7#0 com a massa m, para pessoas de<, Rm de altura, de modo !ue o 7#0 é uma função de m. odemos ter uma idéia do!ue ocorre com o valor do 7#0 conforme variamos a massa. ;e&a a ta"elaS

Através da simples o"servação, perce"emos !ue massas maiores implicam maior 7#0. orém, para visualizar mel or como variam esses valores, podemos, a partir data"ela, construir um gráficoS



Aparentemente, a união dos pontos gera uma reta. 6e fato, se calculássemos o 7#0para todos os poss$veis valores de m, o"ter$amos o gráfico a seguir, !ue é uma retapassando pela origem dos eixos .

A função nos permite calcular o valor de 7#0 para !ual!uer valor de m, inclusivevalores negativos. orém, sa"emos !ue não existem massas negativas e, neste caso,deve existir um valor m$nimo para a massa, visto !ue uma pessoa com <, Rm nãoterá massa RLg ou <RLg, por exemplo. /sta situação nos mostra como o contexto éfundamental.6e fato, se desconsiderarmos tal contexto, a expressão da função,

não exigirá restrição alguma para o campo de variação da variável independente m,sendo poss$vel calcular o valor da variável dependente f(m* para todo valor atri"u$doa m.

1 segundo caso poss$vel ocorre fixando o valor da massa. Assim, podemos analisar como varia o 7#0 de acordo com a altura !uando fixamos, por exemplo, uma massade RLg. Neste caso, temosS

Novamente, podemos construir uma ta"ela para alguns valores de hS



0onstruindo um gráfico a partir desses pontos temosS

A partir desses pontos é dif$cil sa"er como se comporta o gráfico. 8alvez você se sintainduzido a concluir até mesmo !ue o gráfico é uma reta, principalmente se aconstrução do gráfico não for feita com muito cuidado, respeitando uma escaladeterminada. /ntretanto, utilizando algum programa gráfico, o"teremos uma curva,passando pelos pontos emp$ricos, !ue terá o seguinte aspectoS



1"servamos a!ui !ue os argumentos e ferramentas !ue desenvolveremos no cursopossi"ilitarão, entre outras coisas, &ustamente a construção do gráfico de uma funçãocom a compreensão de suas caracter$sticas. No momento presente, ainda não temosessa possi"ilidade. #uito em"ora, ten amos a expressão !ue esta"elece a variaçãode uma grandeza em função de outra, e sai"amos construir uma ta"ela relacionandoos dados de uma variável na dependência da!ueles da outra, não sa"emos, por en!uanto, como unir os pontos !uando plotados no gráfico.

No caso da massa fixada em R Lg, o"temos portanto o 7#0 como função da altura,

. Novamente, dentro do contexto do pro"lema, temos restriç es para avariável independente m. ;ocê consegue esta"elecer algumasY

/ntretanto, se eliminamos o contexto, podemos considerar a função , e a$ aúnica restrição para a variável independente é !ue ela não pode ser zero.

opularmente, o 7#0 não é muito con ecido. or isso, muitas pessoas adotam etransmitem a seguinte regra para verificar se alguém está muito acima ou a"aixo do2peso correto3S a partir de aproximadamente <,CR até <,@R, considera-se !ue a pessoaestá com 2peso normal3 se ela tiver sua massa "em pr=xima do valor dos doisalgarismos ap=s a v$rgula do número !ue expressa a altura. Assim, se uma pessoatem <, B m, podemos pensar seu 2peso ideal3 como sendo BLg. 0om esseracioc$nio, passamos a ter a seguinte expressão para o cálculo do 7#0S

5tilizando algum programa gráfico, podemos encontrar o gráfico dessa função numintervalo, por exemplo, de <,CRm a <,@RmS

/ssa é uma outra função, !ue nos dá o valor do 7#0 de acordo com a altura,



utilizando a regra popular mencionada. J poss$vel o"servar !ue, neste último caso,não foi necessário citar para !ual massa o gráfico foi constru$do conforme fizemosanteriormente, pois a massa &á foi 2incorporada3 % expressão de maneira tal !uecon ecendo a altura, sa"emos tam"ém !ual a massa da pessoaS alguém de <,CQm,teria massa de CQLg.

6essa forma, o"servando o gráfico acima, vemos !ue o 7#0 é superior a VB e inferior a VQ unidades sendo considerado, pela ta"ela de referência M !ue classifica a

situação do peso M como 2peso3 normal. A regra popular é, portanto, relativamenteeficiente, pelo menos no intervalo de <,CRm a <,@Rm. 6issemos 2relativamente3 pelofato de ser uma aproximação do valor do 7#0, e não algo mais preciso conformecalculamos anteriormente.

/m outras palavras, podemos concluir !ue a função gerada pela regra popular écoerente com a ta"ela do 7#0.



1ariaç2es na pressão sang3ínea

A pressão sangG$nea varia muito tanto durante um dia "em como considerando umintervalo de tempo maior. /ssas variaç es são mais pronunciadas em pacientes

ipertensos. Normalmente, a pressão sangG$nea so"e durante o per$odo de tra"al o ediminui durante o sono. 1 gráfico a"aixo ilustra as variaç es da pressão sangG$nea aolongo de um dia inteiro com as medidas efetuadas a cada Q minutos.

1 per$odo !ue vai de VD A.#. até !uase A.#. é o per$odo de sono do indiv$duo.

Gráfico

+ anual de 0nstruç2es - 4igital 5lood 6ressure eter 7A-8'$

1"servamos !ue as lin as cont$nuas !ue descrevem a pressão máxima (sist=lica* em$nima (diast=lica* são o"tidas através da união de diversos pontos. /m"ora na escalaconsiderada, esses pontos este&am "astante pr=ximos, precisamos ter claro !ue a

pressão não foi medida continuamente, mas apenas num con&unto discreto de instantes,e, portanto, o gráfico traçado, como uma lin a cont$nua, constitui uma aproximação darealidade.

0mportaç2es e e"portaç2es brasileiras no ercosul

;e&amos os dois gráficos a"aixo retirados de uma reportagem do caderno de /conomia do &ornal 1/stado de :ão aulo. 1 gráfico principal é de colunas indicando, ano a ano, os valores dasexportaç es e importaç es "rasileiras em mil es de d=lares. A partir dos valores o"tidos nessegráfico, foi constru$do um outro gráfico, intitulado :aldo do a$s. ara a construção dele, "astaconsiderar, em cada ano, a diferença entre o valor das exportaç es e o valor das importaç es. Ja!ui !ue entra o conceito de déficit de um pa$s, !ue é o montante !ue falta para as exportaç esigualarem o montante das importaç es e o conceito de superávit !ue é o !ue falta para asimportaç es se igualarem %s exportaç es.



+ 9stado de São 6aulo #&''$). ercosul c:ega aos dez anos em crise rotineira.São 6aulo; &% de março; p.<; aderno 5 - 9conomia e =eg>cios.

/m outras palavras, temos um déficit !uando as importaç es são maiores !ue as exportaç es, o!ue ocorreu em <@@R, de <@@Q % <@@ e em VRRR. / temos um superávit !uando as exportaç es sãmaiores !ue as importaç es, o !ue ocorreu de <@@< % <@@D e em <@@@. /ssas informaç es podemser facilmente visualizadas através do gráfico menor M :aldo do a$s.

orém, conforme dissemos, para o cálculo do saldo, estamos fazendo a diferença entre o valor daexportação e o da importação. 7sso deve ser feito para cada ano do gráfico maior. Assim, na

construção do gráfico de saldos, o"temos, na verdade, um gráfico de dispersão, isto é de pontos,pois temos os dados apenas num con&unto discreto. ara efeitos de mel or visualização, essespontos foram unidos através de segmentos de retas. 6e fato, a transição dos valores de importaçãoe exportação de um ano para outro é algo cont$nuo, porém, não sa"emos se essa transformaçãomuda conforme o gráfico, ou se&a, linearmente. 6essa forma, a união dos pontos, tornando o gráficode :aldos uma função cont$nua, é, mais uma vez, uma aproximação da realidade, efetuada parapermitir uma visualização rápida.



7remos estudar a!ui algumas das funç es elementares, tais comoS as polinomiais de primeiro ou segundmodular, as funç es logar$tmicas e exponenciais, as funç es trigonométricas. Não se pretende, de for isso, as ferramentas do 0álculo !ue serão desenvolvidas posteriormente poderão auxiliar so"remaneira.

/ntretanto, "uscaremos desenvolver idéias muito úteis e !ue, certamente, irão ampliar os orizontes, !função, através das eventuais transformaç es por ele sofridas, em comparação

:ão idéias a"solutamente gerais !ue se "aseiam em movimentos do plano comoS

Z translaç es orizontais para aes?uerda ou para a direita

Z translaç es verticais paracima ou para bai"o

Z mudanças de inclinaçãoSaumento ou diminuição



Z reflexão numa reta M simetria

1 o"&etivo !ue iremos perseguir é o de desenvolver a percepção de !ue o con ecimento do gráfico degráficos de outras funç es, !ue são do mesmo tipo, e !ue são resultado de alguma dessas transformaç

/sse tipo de racioc$nio é tão frut$fero !ue se transfere naturalmente ao estudo de funç es mais complica

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/trigonometricas/ftrigonometricas.htm

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/exponencial/fexponencial.htm







http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/grandezas/elementares/exercicios/exercicios.htm



6ada a função f através de seu gráfico,

construa o gráfico deS

a* g(x*[f(x*\V

"* (x*[f(x*-Vc* i(x*[V.f(x*

d* &(x*[V-<.f(x*

e* l(x*[V.f(x*-V

f* m(x*[f(-x*

g* n(x*[f(x\<*

* o(x*[V.f(x-<*

i* p(x*[f(-x\<*

&* !(x*[f(-x-<*

L* r(x*[V.f(-x\<*\V

l* s(x*[-f(x*\V

m* t(x*[-]f(x*\V^

6ado o gráfico de uma função f, realize as operaç es solicitadasa"aixo e indi!ue, em cada caso, a expressão da função o"tida em termos da função f dada.



a* 6eslo!ue o gráfico de f de D unidades para cima.

"* 6eslo!ue o gráfico de f de D unidades para "aixo.

c* 6eslo!ue o gráfico de f de D unidades para a direita.

d* 6eslo!ue o gráfico de f de D unidades para a es!uerda.

e* /fetue uma reflexão do gráfico de f em torno do eixo x.

f* /fetue uma reflexão do gráfico de f em torno do eixo K.

g* #ude a inclinação do gráfico de f por um fator V.

http://luciano/e-calculo/funcoes/logaritmica/flogaritmica.htm



http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/composicao/composicao.htm



http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/inverso/finversa.htm





A função polinomial do primeiro grau mais simples é a função identidade0ada ponto de seu gráfico é da forma pois a ordenada K é sempre igual % a"scissa x,para cada valor da variável independente x.

Nosso o"&etivo é o de entender a função mais geral , o"servando !ue seugráfico pode ser o"tido a partir do gráfico de se consideramos as operaç es realizadascomo transformaç es no plano. 6essa forma, ao final, teremos uma visão de !ual osignificado dos par+metros a e b envolvidos na expressão da função.

Assim, começando pela função K[ x cu&o gráfico éS

1"servemos no gráfico, !ue o +ngulo, entre o eixo x e a reta resultante de K[x, mede DQ o,uma vez !ue ela é a "issetriz do primeiro e do terceiro !uadrantes .

5ma função polinomial do primeiro grau um pouco mais geral tem aexpressão dada por onde " é uma constante real. A pergunta natural a serfeita éS !ual a ação da constante " no gráfico dessa nova função !uando comparado aográfico da função inicial

Ainda podemos pensar numa função polinomial do primeiro grau !ue

se&a dada pela expressão onde a é uma constante real, não nula. Novamente, a!uestão é investigar a ação do coeficiente a !uando comparamos o gráfico de f V ao de f R.

6ada , desen e seu gráfico, fazendo os gráficos



intermediários, perce"endo as aç es do coeficiente V e depois do coeficiente <.

Finalmente, podemos estudar a função polinomial do primeiro graumais geral, . ara tanto, interpretamos inicialmente a ação do coeficiente a davariável x e, em seguida, do termo b.

y=ax+b

onclusão* 4e modo geral; con:ecido o gráfico de @"; podemos desen:ar @a" e; emseguida; @a" b.

Analisemos o ?ue aconteceu*

• em primeiro lugar; em @a"; ocorreu mudança de inclinação pois em cada pontoa ordenada ! igual B?uela do ponto de mesma abscissa em @"; multiplicada pelocoeficiente aC

• em seguida; o gráfico de @a" b sofreu uma translação vertical de b unidades;pois; para cada abscissa; a ordenada do ponto no gráfico de @a" b ficouacrescida de b; ?uando comparada B ordenada do ponto de mesma abscissa nográfico de @a".

=omenclatura* A função polinomial do primeiro grau , coma não nulo, tem comodom$nio o con&unto > e imagem tam"ém o con&unto >, pois a variável independente x pode

assumir !ual!uer valor e a variável dependente K[f(x* assume, em correspondência, um valor!ue pode ser !ual!uer número real.

1 coeficiente a determina a inclinação do gráfico e é denominado coeficiente angular dareta P a constante b; !ue determina a translação vertical do gráfico, rece"e o nome decoeficiente linear da reta .

1 estudo dos gráficos das funç es envolvidas auxilia na resolução de e!uaç es ouine!uaç es, pois as operaç es algé"ricas a serem realizadas ad!uirem um significado !ue évis$vel nos gráficos das funç es es"oçados no mesmo referencial cartesiano.

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/funcoes/primeirog/exercicios/exercicios.htm



A bissetriz do primeiro e do terceiro ?uadrantes

:a"endo !ue K[x, perce"emos !ue o gráfico dessa função passa pelos pontos (R,R* e (<,<*. :e&am A[(R,R*, ?[(<,R*, 0[(<,<*, 6[(R,<* eθ o +ngulo !ue a reta K[x forma com o eixo x, conforme ográficoS

8emosS

9ogo a reta K[x é a "issetriz do <_ e do B_ !uadrantes, ou se&a, dos !uadrantes $mpares.

ara responder % !uestão levantada, façamos, por exemplo, "[<, "[V, everifi!uemos o !ue acontece.

1"servamos !ue cada ponto do gráfico de K[x\< tem ordenada igual a uma unidade a mais do !ue

a ordenada do ponto de mesma a"scissa no gráfico de K[x. 1u se&a, o gráfico de K[x\< é uma retaparalela % reta !ue é gráfico de K[x, pois ouve uma translação vertical de < unidade.



5m racioc$nio análogo pode ser realizado !uando comparamos K[x\V com K[x para concluir !ueouve uma translação vertical de V unidades.

6ara ?ual?uer outro valor de b; a conclusão ! semel:ante* o gráfico de @" b sofreu umatranslação vertical de b unidades; ?uando comparado ao gráfico de @"; e portanto seugráfico; para cada valor de b; ! uma reta paralela B reta inicial.

Atri"uindo valores ao coeficientea, por exemplo a[V, a[B, , ou !ual!uer outrovalor positivo, podemos verificar o !ue acontece. A seguir, atri"uindo valores negativos aocoeficiente a, por exemplo, a[ − <, a[ − V,

a[ − B, , e assim por diante, poderemos c egar a uma conclusão maisgeral.

/m primeiro lugar, o"servamos !ue, a partir de K[x, constru$mos K[Vx, considerando !uecada ponto do seu gráfico tem ordenada igual ao do"ro da!uela do ponto de mesmaa"scissa no gráfico de K[x. Assim, K[Vx tem por gráfico uma reta !ue tem inclinação igualao do"ro da inclinação de K[x.

:e fizermos a[B, o gráfico de K[Bx terá uma inclinação igual ao triplo da inclinação da



reta !ue é o gráfico de K[x.

:e fizermos , ou , o gráfico de ou terá, respectivamente, umainclinação igual % metade, ou % terça parte, do valor da inclinação da reta !ue é o gráficode K[x.

No caso de a ser negativo, o"servemos primeiro a situação mais simples de K[-x. 0adaponto desse gráfico tem ordenada igual ao oposto do valor da ordenada do ponto demesma a"scissa em K[x.

1 seu gráfico é, portanto, uma reta sim!trica em relação ao eixo orizontal % reta !ue é ográfico de K[x. 8am"ém, evidentemente, é poss$vel o"servar a simetria existente emrelação ao eixo vertical.



ara outros valores negativos de a, podemos agora fazer os gráficos de maneiracompletamente análoga.

:endo g(x*[Vx\<, o"servemos !ueS

- em primeiro lugar, consideramos K[Vx, !ue é uma reta cu&a inclinação é o do"ro da!uela de @"P

- em segundo lugar, consideramos @&" $, !ue é uma reta paralela % reta @&", pois ocorreu umatranslação vertical de < unidade.

e cálculo1

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