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&DStWXOR��±�6LVWHPDV�GH�(TXDo}HV�/LQHDUHV��1BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

ÈOJHEUD�/LQHDU�� 5RViOLD�5RGULJXHV��

&DStWXOR��±�6LVWHPDV�GH�(TXDo}HV�/LQHDUHV

ÅÅ 11RRoo}}HHVV **HHUUDDLLVV

xx Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HV�OLQHDUHV

nas duas LQFyJQLWDV [ e \.

� [��\� �� [��\� �� É fácil verificar que este sistema tem como ~QLFD�VROXomR,

[ �� \� ��

xx Em termos gráficos, as equações representam duas UHFWDV no plano, cujo SRQWR�GH�LQWHUVHFomR �� é a VROXomR�GR�VLVWHPD.

xx Contudo, sabemos também que QHP�WRGRV�RV�VLVWHPDV�OLQHDUHV�WrP�VROXomR.

Como por exemplo,

� � [��\� �� [��\� ��




xx Graficamente, isso acontece porque as duas HTXDo}HV�OLQHDUHV representam duas UHFWDV�SDUDOHODV.

xx Pode ainda acontecer que o sistema seja possível, mas WHQKD�XPD�LQILQLGDGH�GH�VROXo}HV.

Como por exemplo,

� � [��\� �� [��\� ��

xx Graficamente, isso acontece porque as duas equações representam efectivamente D PHVPD�UHFWD.

A solução do sistema é o conjunto de todos os pontos dessa recta.

xx Para tentar resolver sistemas de dimensões superiores, precisamos de matrizes.




ÅÅ 66LLVVWWHHPPDDVV HH 00DDWWUULL]]HHVV

xx Uma HTXDomR�OLQHDU tem a forma geral,

onde,

DL ∈ £ , L ∈ {��Q} são os FRHILFLHQWHV� [L ∈ £ , L ∈ {��Q} as LQFyJQLWDV� E ∈ £ o WHUPR�LQGHSHQGHQWH�

xx Uma equação linear pode ser representada na sua IRUPD�PDWULFLDO,

PDWUL]�OLQKD�GRV�FRHILFLHQWHV�� PDWUL]�FROXQD�GDV�LQFyJQLWDV�

xx Dizemos que o n-uplo � V�� V�� VQ� é uma VROXomR�GD�HTXDomR�OLQHDU se,




xx Na forma matricial, é uma matriz coluna tal que,

xx Ao conjunto de todas as soluções chamamos FRQMXQWR�VROXomR da equação linear.

xx Por exemplo, com £ = ¸, consideremos a HTXDomR�OLQHDU,

com UHSUHVHQWDomR�PDWULFLDO,

Explicitando em função de uma das incógnitas, por exemplo [�,

podemos formalizar o FRQMXQWR�VROXomR como,

ou seja, WRGRV�RV�WHUQRV �[�� [�� [�� tais que [� ��[� � ��[� ± �,

como por exemplo: ��

Para obter uma VROXomR�~QLFD seriam necessárias três equações lineares...




ÅÅ 66LLVVWWHHPPDDVV GGHH ((TTXXDDoo}}HHVV //LLQQHHDDUUHHVV

xx Um VLVWHPD�GH�P HTXDo}HV�OLQHDUHV e Q LQFyJQLWDV , P, Q ∈ ´,

tem a forma geral,

onde,

DLM�∈ £ , L ∈ {��P} e M ∈ {��Q} são os FRHILFLHQWHV� [M ∈ £ , M ∈ {��Q} são as LQFyJQLWDV� EL ∈ £ , L ∈ {��P} são os WHUPRV�LQGHSHQGHQWHV�

xx Se EL � para WRGR o L ∈ {��P} o sistema diz-se KRPRJpQHR,

caso contrário o sistema diz-se FRPSOHWR.

xx O n-uplo � V�� V�� VQ� é uma VROXomR�GR�VLVWHPD se for solução de todas as equações do sistema.

Ao conjunto de todas as soluções chamamos FRQMXQWR�VROXomR do sistema.

xx Por exemplo,

� � [� � ��[� � ��[� �� [� � ��[� � ��[� ��

é um sistema completo, de 2 equações e 3 incógnitas.




O terno � ��é XPD VROXomR do sistema pois,

� l ��l � ��l �� l ��l � ��l ��

xx Dois sistemas são HTXLYDOHQWHV se tiverem o mesmo conjunto solução.

xx Uma RSHUDomR�HOHPHQWDU transforma um dado sistema noutro que lhe é equivalente.

> 22SSHHUUDDoo}}HHVV HHOOHHPPHHQQWWDDUUHHVVRepresentamos as equações do sistema por HL com L ∈ {��P}.

x 7URFDU�GXDV�HTXDo}HV� HL � HMx 0XOWLSOLFDU�XPD�HTXDomR�SRU�XP�HVFDODU�QmR�QXOR� H¶L ~ D�HL com �D ≠ �

x $GLFLRQDU�D�XPD�HTXDomR�RXWUD�PXOWLSOLFDGD�SRU�XP�HVFDODU� H¶L ~ HL + E HM

xx Aplicando uma sequência de operações elementares a um dado sistema, obtemos outro sistema com o mesmo conjunto solução.

xx Deste modo podemos “transformar” um dado sistema linear noutro, cuja resolução é mais simples.




xx Por exemplo para o sistema,

� � [��\� �� [��\� ��

H¶� ~ - � H� � [��\� ��

� ��[��\� ��

H¶� ~ H� � H� � [��\� ��

� ��\� ��

H¶� ~ � ò��H� � [��\� ��

\ ��

H¶� ~ H� � ��H� � [� ��

\ ��

H¶� ~ ò H� [ ��

\ ��

Assim, por uma sequência de operações elementares obtivemos um sistema equivalente, ou seja, a VROXomR�~QLFD do sistema inicial,

[ �� \� ��





� [� � ��[� � [� �� [� � ��[� � ��[� �� [� � ��[� ��

H¶� ~ H� � ��H� [� � ��[� � [� �

� ��[� � [� �� [� � ��[� ��

H¶� ~ H� � H� [� � ��[� � [� �

� ��[� � [� �� [� � [� ��

H¶� ~ H� � ò��H� [� � ��[� � [� �

� ��[� � [� �� ò��[� ò��

Deste modo, obtivemos um VLVWHPD�HTXLYDOHQWH onde é óbvio que [� �.

Mas, conhecido este valor, podemos substituí-lo na segunda equação,

� ��[� � ��

donde, [� ��

E conhecidos os valores de [� e [� podemos substituí-los na primeira equação,

[� � ��

donde, [� �




xx O sistema anterior tem portanto como ~QLFD�VROXomR o terno ��.Ou seja, o FRQMXQWR�VROXomR ^ ��` é unitário.

xx Atendendo ao Q~PHUR�GH�VROXo}HV, um sistema de equações lineares pode ser classificado como:

LPSRVVtYHO�– quando não tem solução�

SRVVtYHO�H�GHWHUPLQDGR

– quando tem uma única solução

� SRVVtYHO��

SRVVtYHO�H�LQGHWHUPLQDGR�� – quando tem uma infinidade de soluções�

xx Por exemplo o sistema de � equações e � incógnitas,

&DStWXOR��±�6LVWHPDV�GH�(TXDo}HV�/LQHDUHV��10�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�



Assim, o conjunto solução deste sistema é dado por,

Trata-se portanto de um VLVWHPD�SRVVtYHO�H�LQGHWHUPLQDGR, pois todo e

qualquer valor real da variável [� gera uma solução.

Dizemos que [� é uma YDULiYHO�OLYUH na solução.

xx Num sistema possível e indeterminado chama-se JUDX�GH�LQGHWHUPLQDomR ao número de variáveis livres nas soluções.

O sistema anterior tem XPD�~QLFD�YDULiYHO�OLYUH, pelo que o JUDX�GH�LQGHWHUPLQDomR�é igual a �.

xx Por exemplo o sistema de � equações e � incógnitas,

Trata-se portanto de um VLVWHPD�LPSRVVtYHO e o conjunto solução é vazio.

xx Para uma maior comodidade dos cálculos das operações elementares e para permitir a sua programação, os sistemas de maiores dimensões são habitualmente representados na sua forma matricial.




ÅÅ 55HHSSUUHHVVHHQQWWDDoommRR 00DDWWUULLFFLLDDOO GGHH 66LLVVWWHHPPDDVV GGHH ((TTXXDDoo}}HHVV//LLQQHHDDUUHHVVxx Um dado VLVWHPD�GH�P HTXDo}HV�OLQHDUHV e Q LQFyJQLWDV , P, Q ∈ ´,

pode ser representado na IRUPD�PDWULFLDO $ ;� �% onde,

$ é a PDWUL]�GRV�FRHILFLHQWHV� ; é a PDWUL]�FROXQD�GDV�LQFyJQLWDV� % é a PDWUL]�FROXQD�GRV�WHUPRV�LQGHSHQGHQWHV

Note que, efectuando o produto das matrizes obtemos,

e pela igualdade de matrizes recuperamos o sistema original.




xx Porque as operações HOHPHQWDUHV�VREUH�DV�HTXDo}HV envolvem também os segundos membros, torna-se conveniente utilizar a chamada PDWUL]�DPSOLDGD

do sistema [ $ | % ],

xx Como por exemplo o sistema,

tem como forma matricial $ ;� �% onde,

e como matriz ampliada,

xx Deste modo, as operações elementares podem ser aplicadas directamente às linhas da matriz ampliada, tal como no método de Gauss...




ÅÅ 22 PPppWWRRGGRR GGHH HHOOLLPPLLQQDDoommRR GGHH **DDXXVVVV

xx Retomemos o sistema,

� [� � ��[� � [� �� [� � ��[� � ��[� �� [� � ��[� ��

cuja PDWUL]�DPSOLDGD, [ $ | % ] =

Consideremos a sequência de RSHUDo}HV�HOHPHQWDUHV efectuadas sobre as equações do sistema,

mas vamos agora efectuá-las sobre as OLQKDV�GD�PDWUL]�DPSOLDGD,

/L com L ∈ { ��}.

/¶� ~ /� � ��/�/¶� ~ /� � /�

/¶� ~ /� � ò��/�




Deste modo, obtivemos uma matriz ampliada que corresponde ao sistema,

Este sistema é HTXLYDOHQWH ao inicial, mas possui uma propriedade muito conveniente: D PDWUL]�GR�VLVWHPD�p�WULDQJXODU�VXSHULRU.Este facto permite-nos agora calcular a solução de forma simples, por sucessivas VXEVWLWXLo}HV�DVFHQGHQWHV.

xx Podemos então redefinir as RSHUDo}HV�HOHPHQWDUHV, mas agora VREUH�DV�OLQKDV�GD�PDWUL]�DPSOLDGD de um sistema linear.

> 22SSHHUUDDoo}}HHVV HHOOHHPPHHQQWWDDUUHHVV VVRREEUUHH OOLLQQKKDDVVRepresentando as linhas da matriz ampliada por /L com L ∈ {��P}.

x 7URFDU�GXDV�OLQKDV� /L � /Mx 0XOWLSOLFDU�XPD�OLQKD�SRU�XP�HVFDODU�QmR�QXOR� /¶L ~ D�/L com �D ≠ �x $GLFLRQDU�D�XPD�OLQKD��RXWUD�PXOWLSOLFDGD�SRU�XP�HVFDODU� /¶L ~ /L + E /M




xx Por exemplo o sistema,

tem por PDWUL]�DPSOLDGD,

Efectuemos a sequência de RSHUDo}HV�HOHPHQWDUHV�VREUH�OLQKDV:

�� Trocar as duas primeiras linhas,

/� � /�

�� Somar à segunda, a primeira multiplicada por �,

Somar à terceira, a primeira multiplicada por ±�,

/¶� ~ /� � ��/�/¶� ~ /� ± ��/�

�� Somar à terceira, a segunda multiplicada por �,

/¶� ~ /� � ��/�




�� Dividir a terceira por �,

/¶� ~ �� /�

Donde, SRU�VXEVWLWXLomR�DVFHQGHQWH,

obtemos o FRQMXQWR�VROXomR

xx O facto da matriz obtida ser WULDQJXODU�VXSHULRU, tornou possível o cálculo da solução por VXEVWLWXLomR�DVFHQGHQWH. Mas não é necessário tanto ...

xx Para que a substituição ascendente seja possível, basta que a matriz ampliada esteja HVFDORQDGD�SRU�OLQKDV.

xx Diz-se que uma matriz está na IRUPD�HVFDORQDGD�SRU�OLQKDV se satisfizer as seguintes condições:

� Se há linhas nulas elas situam-se abaixo das linhas não nulas;

� O primeiro elemento não nulo de cada linha (com excepção da primeira) situa-se à direita do primeiro elemento não nulo da linha anterior;

� Os elementos que se situam abaixo do primeiro elemento não nulo de cada linha (com excepção da última) são todos nulos.

xx Aos primeiros elementos não nulos de cada linha chamam-se SLYRWV.




xx Por exemplo, estão HVFDORQDGDV�SRU�OLQKDV as matrizes,

mas QmR�HVWi�escalonada por linhas a matriz,

xx Diz-se que uma matriz está na IRUPD�HVFDORQDGD�UHGX]LGD se:

estiver na forma escalonada por linhas e

cada SLYRW é igual a � e

é o único elemento não nulo da sua coluna.

xx Por exemplo, estão na IRUPD�HVFDORQDGD�UHGX]LGD as matrizes,

Ou seja, os SLYRWV são todos iguais a � e tanto abaixo com acima deles todos os elementos são nulos.




xx Verifique que todas as matrizes seguintes estão HVFDORQDGDV�SRU�OLQKDV, mas apenas as matrizes de $� até $� estão na IRUPD�UHGX]LGD.

xx Note que, se para um dado sistema $ ;� �% conseguirmos obter a forma,

ou seja, a matriz identidade, isso corresponde a um sistema na forma,

com, $ ;� �,Q ; �;� �%

e portanto está calculada a solução única do sistema, ; �% .

xx 7HRUHPD: Toda a matriz pode ser colocada na IRUPD�HVFDORQDGD, mediante uma sequência finita de RSHUDo}HV�HOHPHQWDUHV sobre as linhas.

xx A GHPRQVWUDomR deste teorema é o próprio DOJRULWPR�GH�*DXVV.




¨̈ 2 PpWRGR�GH�HOLPLQDomR�GH�*DXVV��SDUD�FRQYHUWHU�XPD�PDWUL]�j�IRUPD�HVFDORQDGD�SRU�OLQKDV��

�� Se todos os elementos da matriz forem nulos, parar.

�� Procurar, da esquerda para a direita, a primeira coluna que tenha um elemento não nulo ( N�) e mover essa linha para o topo da matriz.

�� (RSFLRQDO)Multiplicar por ��N a primeira linha para que o primeiro SLYRW fique igual a �.

�� Anular cada elemento abaixo do SLYRW, adicionando às linhas correspondentes múltiplos adequados da primeira linha.

(DTXL��D�SULPHLUD�OLQKD�H�D�SULPHLUD�FROXQD�HVWmR�Mi�FDOFXODGDV)

�� Repetir de � a � para as restantes linhas.

xx Para obter a IRUPD�HVFDORQDGD�UHGX]LGD de uma matriz aplica-se o PpWRGR�GH�HOLPLQDomR�GH�*DXVV�-RUGDQ.

¨̈ 2 PpWRGR�GH�HOLPLQDomR�GH�*DXVV�±�-RUGDQ��SDUD�FRQYHUWHU�XPD�PDWUL]�j�IRUPD�HVFDORQDGD�UHGX]LGD��

�� Aplicar o método de eliminação de Gauss até produzir a forma escalonada por linhas. Transformar todos os pivots em �.

�� Aplicar o método de eliminação de Gauss de baixo para cima por forma a anular todos os elementos da matriz situados acima e na mesma coluna dos pivots.

Para isso, bastará começar na última linha não nula e, de baixo para cima, adicionar a cada linha múltiplos adequados das linhas inferiores.




xx Por exemplo, consideremos o sistema que tem a PDWUL]�DPSOLDGD,

Começando pelo método de HOLPLQDomR�GH�*DXVV,

�� A primeira linha cujo primeiro elemento é não nulo, é a terceira.

Trocar com a primeira.

�� Fazer o primeiro SLYRW� �.

�� Anular todos os elementos abaixo do SLYRW.

�D�SULPHLUD�OLQKD�H�D�SULPHLUD�FROXQD�HVWmR�FDOFXODGDV��

�� Repetir para as restantes linhas.




�� A primeira linha cujo primeiro elemento é não nulo, é a terceira.

Trocar com a segunda.

�� Fazer o segundo SLYRW� �.

�� Anular todos os elementos abaixo do SLYRW.

�D�VHJXQGD�OLQKD�H�D�VHJXQGD�FROXQD�HVWmR�WDPEpP�FDOFXODGDV��

�� Repetir para as restantes linhas.

Mas notamos que as duas linhas que restam são iguais.

Eliminemos a última.




�� Fazer o terceiro SLYRW� �.

E assim obtivemos a matriz na IRUPD�HVFDORQDGD�SRU�OLQKDV.

Note-se que esta matriz corresponde ao sistema,

que pode facilmente ser FDOFXODGR�SRU�VXEVWLWXLomR�DVFHQGHQWH.

Mas vamos continuar, com método de HOLPLQDomR�GH�*DXVV�-RUGDQ.

Partindo da matriz escalonada por linhas,

vamos anular os elementos acima dos SLYRWV,começando na primeira linha,




e anulando os restantes.

E finalmente temos a matriz na IRUPD�HVFDORQDGD�UHGX]LGD.

A matriz ampliada assim obtida corresponde ao sistema, HTXLYDOHQWH ao inicial,

Trata-se obviamente de um VLVWHPD�LQGHWHUPLQDGR, onde podemos explicitar

as três variáveis [, \ e ] em função de W.

e apresentar o FRQMXQWR�VROXomR na forma,

onde W é a única YDULiYHO�OLYUH.




xx Utilizando o PpWRGR�GH�HOLPLQDomR�GH�*DXVV�-RUGDQ, mostre que o sistema,

tem o FRQMXQWR�VROXomR ^ ��]��±��]��]�∈ ¸ `.


é LPSRVVtYHO.


tem a VROXomR�~QLFD � ��±��.




ÅÅ ''LLVVFFXXVVVVmmRR GGHH 66LLVVWWHHPPDDVV //LLQQHHDDUUHHVV

xx Comecemos por observar que, para uma dada matriz, a aplicação do método de Gauss (ou do método de Gauss-Jordan) conduz VHPSUH a uma matriz escalonada (ou escalonada reduzida) FRP�R�PHVPR�Q~PHUR�GH�SLYRWV.

xx Recordemos o exemplo da página 20 onde, dada a matriz,

obtivemos as formas: HVFDORQDGD�SRU�OLQKDV e HVFDORQDGD�UHGX]LGD,

ambas com � SLYRWV. O mesmo teria acontecido para qualquer outra matriz escalonada, obtida a partir da inicial.

Este exemplo trata da resolução de um sistema inicial de � HTXDo}HV e � LQFyJQLWDV�que, como vimos, é SRVVtYHO�H�LQGHWHUPLQDGR, com JUDX�GH�LQGHWHUPLQDomR igual a �.

Essa ³LQGHWHUPLQDomR´ resultou precisamente do facto de ter ³GHVDSDUHFLGR´ uma equação e portanto também um SLYRW.E porque o ³SLYRW�GHVDSDUHFLGR´ é o que corresponde à incógnita�W,apresentámos o FRQMXQWR�VROXomR na forma,

onde W é a YDULiYHO�OLYUH.




xx Chamamos FDUDFWHUtVWLFD�GH�XPD�PDWUL] $ ao número de pivots de uma

qualquer PDWUL]�HVFDORQDGD obtida de $ por aplicação sucessiva de

operações elementares sobre as linhas de $.

Representamos a característica de $ por U�$��ou FDU�$�.

xx Sendo $ a matriz de um sistema, do tipo PlQ, então teremos sempre,

U�$��d PLQ�^P��Q`�

xx Recordemos o segundo exemplo da página 24.

Tratava-se da resolução de um sistema de � HTXDo}HV e � LQFyJQLWDV, com PDWUL]�DPSOLDGD,

donde se pode obter a forma HVFDORQDGD�SRU�OLQKDV,

Neste caso, a matriz $ do sistema tem � SLYRWV,

mas a matriz ampliada [$ _�%] tem � SLYRWV.

Como vimos, o VLVWHPD�p�LPSRVVtYHO e essa ³LPSRVVLELOLGDGH´ resulta precisamente do facto da terceira linha representar uma ³LJXDOGDGH�LPSRVVtYHO´�




∼

xx Por outro lado, o exemplo da página 15, de um sistema de � HTXDo}HV e � LQFyJQLWDV, conduziu à matriz ampliada HVFDORQDGD�SRU�OLQKDV,

que tem � SLYRWV e, como vimos, o sistema é SRVVtYHO�H�GHWHUPLQDGR.

¨̈ 'LVFXVVmR�GH�XP�VLVWHPD�Dado o sistema $ ;� �% onde $ é uma matriz do tipo PlQ

% é uma matriz do tipo Pl�

�� Construir a matriz ampliada 0 �[ $ | % ]

�� Aplicar o PpWRGR�GH�*DXVV ou o PpWRGR�GH�*DXVV�-RUGDQ.

D� Se, durante a aplicação do método, surgir uma linha do tipo,

� ��_D com D � 0, então o VLVWHPD�p�LPSRVVtYHO.Parar !

E� Senão, terminar o processo até obter uma matriz na forma HVFDORQDGD�SRU�OLQKDV ou HVFDORQDGD�UHGX]LGD.

Representemos esta matriz por 0 .

�� Nesta matriz, o Q~PHUR�GH�FROXQDV�VHP�SLYRW corresponde ao Q~PHUR�GH YDULiYHLV�OLYUHV, ou JUDX�GH�LQGHWHUPLQDomR,




Para escolher as variáveis dependentes e as livres pode-se efectuar o seguinte raciocínio:

YDULiYHLV�OLYUHV� FROXQDV�VHP�SLYRW YDULiYHLV�GHSHQGHQWHV FROXQDV�FRP�SLYRW

Se a matriz tiver pivots em todas as colunas correspondentes às LQFyJQLWDV, isto é,

então não existem variáveis livres e o sistema é SRVVtYHO�H�GHWHUPLQDGR.

xx 7HRUHPD: Seja $ ;� �% um VLVWHPD�GH�HTXDo}HV�OLQHDUHV, onde $ é uma

matriz do tipo PlQ e % é uma matriz do tipo Pl�.

Existem três possibilidades de classificação:

1. $ ;� �% é SRVVtYHO�H�GHWHUPLQDGR se e só se, U�$�� U��[$_%] � �Q�

2. $ ;� �% é SRVVtYHO�H�LQGHWHUPLQDGR se e só se, U�$�� U��[$_%] � < Q

e tem JUDX�GH�LQGHWHUPLQDomR

Q ±�U�$�� Q�±�U��[$_%] �3. $ ;� �% é LPSRVVtYHO se e só se, U�$�� U ��[$_%] �




xx E sistematizando,

LPSRVVtYHO� U�$�� U ��[$_%] �

SRVVtYHO�H�GHWHUPLQDGR

U�$�� U��[$_%] � �Q

SRVVtYHO��

SRVVtYHO�H�LQGHWHUPLQDGR�� U�$�� U��[$_%] � < Q

xx Por exemplo, procuremos uma UHODomR entre D e E para o seguinte VLVWHPD seja SRVVtYHO,

Construindo a matriz ampliada e aplicando o método de eliminação de Gauss,




Para que o sistema seja SRVVtYHO é necessário e suficiente que,

U�$�� U��[$_%] �ou seja que,

� E�±�D�±�� E�±�D� ��

Caso contrário a última linha representaria uma ³LJXDOGDGH�LPSRVVtYHO´.




xx Considere o sistema linear,

�� Determine os valores dos SDUkPHWURV D e E para os quais o sistema é,

L� LPSRVVtYHO LL� SRVVtYHO�H�GHWHUPLQDGR

�� 5HVROYD�R, pelo método de eliminação de Gauss, para D �� e E ��.

Construindo a matriz ampliada e aplicando o método de eliminação de Gauss,




obtemos a matriz escalonada,

�� L� O sistema será LPSRVVtYHO�se e só se, U�$�� U ��[$_%] �,ou seja,

D ±�� e E � �D �� e E � �

LL� O sistema será SRVVtYHO�H�GHWHUPLQDGR�se e só se,

U�$�� U��[$_%] � ��,

ou seja,

D ±�� ¾ D � �

�� 5HVROYHU, para D �� e E ��.

Pelas alíneas anteriores, sabemos já que vai ser SRVVtYHO�H�LQGHWHUPLQDGR.

Substituindo D �� e E �� na matriz escalonada já calculada,




Ou seja, obtivemos o VLVWHPD HTXLYDOHQWH�DR�LQLFLDO,

E porque, na matriz escalonada a ³FROXQD�VHP�SLYRW´�corresponde à variável W,explicitamos,

e apresentamos o FRQMXQWR�VROXomR na forma,

xx

6ROXomR:




ÅÅ 66LLVVWWHHPPDD KKRRPPRRJJppQQHHRRVV

xx Num sistema KRPRJpQHR de equações lineares, WRGRV�RV�WHUPRV�LQGHSHQGHQWHV�VmR�QXORV e tem portanto como representação matricial,

$ ;� ��pl1 ( ou simplesmente $ ;� ��)xx Então, todo o sistema homogéneo tem sempre SHOR�PHQRV�XPD�VROXomR,

a solução nula,

; �[0 0 ... 0]7

por isso chamada a VROXomR�WULYLDO do sistema homogéneo.

xx Por exemplo o sistema,

tem, como solução única, a VROXomR�WULYLDO ��.

xx Por outro lado o sistema,

é um sistema homogéneo possível e indeterminado, cuja solução é o conjunto,

{ �±]��]��]�∈ ¸ }

ao qual pertence a VROXomR�WULYLDO ��.

Naturalmente, isso acontece porque se trata de um sistema com � LQFyJQLWDV e � HTXDo}HV.




xx 7HRUHPD: Se um sistema de equações lineares homogéneo tem PDLV�� LQFyJQLWDV�TXH�HTXDo}HV, então existe uma VROXomR�QmR�WULYLDO.

DePRQVWUDomR: Seja então $ ;� ��pl1 onde $ é uma matriz do tipo SlTcom�T ! S�PDLV�LQFyJQLWDV�GR�TXH�HTXDo}HV��

�Como um sistema homogéneo é VHPSUH�SRVVtYHO,então, U�$�� U��[$_�] �.

E como U�$��d PLQ�^S��T`�� então U�$��d S ��T��

Assim,� U�$��< T�FDUDFWHUtVWLFD�LQIHULRU�DR�Q~PHUR�GH�LQFyJQLWDV��

o sistema é LQGHWHUPLQDGR e

tem portanto alguma VROXomR�QmR�WULYLDO.

xx Os sistemas homogéneos possuem algumas propriedades muito simples, mas bastante úteis.

xx 3URSULHGDGH: Se ;K é uma solução do sistema homogéneo $ ;� ��,

então D ;K também é solução, para qualquer D ∈ ¸ .

'HPRQVWUDomR: Se $ ;K �

então $ �D ;K � �D �$�;K � ��D � �� .





cuja solução é o conjunto, { �±]��]��]�∈ ¸ }

Como ��±�� é uma solução,

obviamente que também o serão: �±��, ��±��, ��±��, ...

xx 3URSULHGDGH: Se ;� e ;� são soluções do sistema homogéneo $ ;� ��,

então ;� � ;� também é solução.

'HPRQVWUDomR: Se $ ;� � e $ ;� �

então $ �;� � ;� � ��$�;� � $�;� �� .

xx Para o mesmo exemplo:

Se �±�� e ��±�� são soluções

obviamente que também ��±�� é solução.

xx Deste modo, mostrámos também que TXDOTXHU�FRPELQDomR�OLQHDU�GH�VROXo}HV de um sistema homogéneo é ainda solução.




xx Para qualquer sistema $ ;� �%, podemos considerar o VLVWHPD�KRPRJpQHR�DVVRFLDGR $ ;� ��.


o VLVWHPD�KRPRJpQHR�DVVRFLDGR é,

Naturalmente a matriz $ é a mesma para ambos, mas as respectivas PDWUL]HV�DPSOLDGDV serão [$_%] e [$_�].

Aplicado o método de Gauss, obtemos as PDWUL]HV�DPSOLDGDV�HVFDORQDGDV.

Neste caso, ambos os sistemas são SRVVtYHLV�H�GHWHUPLQDGRV,

tendo o sistema completo a VROXomR�~QLFD�� e o sistema homogéneo associado apenas a VROXomR�WULYLDO ��.

Assim, podemos apresentar a solução do sistema completo como a VRPD�GDV�VROXo}HV únicas dos dois sistemas,

{ �� }




xx Consideremos agora o seguinte sistema e respectivo VLVWHPD�KRPRJpQHR�DVVRFLDGR,

Construídas as matrizes ampliadas e aplicado o método do Gauss obtemos:

Para o VLVWHPD�FRPSOHWR,

o que significa que o sistema é SRVVtYHO�H�LQGHWHUPLQDGR e equivalente a,

e tem por FRQMXQWR�VROXomR,

{ �±��]��±��]��]��]�∈ ¸ }

Para o VLVWHPD�KRPRJpQHR�DVVRFLDGR,

o que significa que o sistema homogéneo também é SRVVtYHO�H�LQGHWHUPLQDGR e equivalente a,




e que tem por FRQMXQWR�VROXomR,

{ � ]��±��]��]��]�∈ ¸ }

Temos então, para o VLVWHPD�FRPSOHWR a solução,

{ �±��]��±��]��]��]�∈ ¸ }

e para o VLVWHPD�KRPRJpQHR�DVVRFLDGR a solução,

{ � ]��±��]��]��]�∈ ¸ }

Se no FRQMXQWR�VROXomR�GR�VLVWHPD�FRPSOHWR escolhermos uma VROXomR�SDUWLFXODU, por exemplo,

aquela que corresponde a ] �� , ou seja, � ±��

então podemos apresentar a VROXomR�JHUDO�GR�VLVWHPD�FRPSOHWR,

como a VRPD�GHVWD�VROXomR�SDUWLFXODU,com a VROXomR�JHUDO�GR�VLVWHPD�KRPRJpQHR�DVVRFLDGR:

{ � ±��]��±��]��]��]�∈ ¸ }




xx 3URSRVLomR:

Seja ;S uma solução particular do sistema de equações lineares $ ;� �%.

Então, ;� é solução do sistema VH�H�Vy�VH

existe uma solução ;K do sistema homogéneo associado, $ ;� ��pl1,

tal que ;� ;S � ;K .

DePRQVWUDomR:

Se ;S é uma VROXomR do sistema $ ;� �%, então $ ;S %.

(Á) Se ;� é WDPEpP�VROXomR do sistema $ ;� �%, então $ ;� %.

E nesse caso,

$ ;S $�;�$ ;S ± $�;� �pl1

$ ��;S ± ;� � ��pl1

ou seja, ;K ;S ± ;� é WDPEpP�VROXomR do sistema $ ;� �%.

(¿) Se ;K é uma�VROXomR do sistema homogéneo associado, $ ;� ��pl1,

então $ ;K �pl1.

E nesse caso,

� $�;� $��;S � ;K� $�;S � $�;K %��$�;K %��pl1 %�

e portanto ;� é uma solução do sistema completo $ ;� �%.




xx ([HUFtFLRV: Resolva cada um dos sistemas seguintes e apresente a solução como a soma de uma solução particular com a solução geral do sistema homogéneo associado.

��

6ROXomR: { � ±��±��]��]��]��]�∈ ¸ }

��

6ROXomR: { � ±��}

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