-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
1
Tringulo Retngulo
So tringulos nos quais algum dos ngulos internos reto. O maior dos lados
de um tringulo retngulo oposto ao vrtice onde se encontra o ngulo reto
e chamado de hipotenusa. Os outros dois lados menores so chamados de
catetos.
Exemplo:
O ngulo do vrtice em reto.
O lado a hipotenusa.
Os lados e so os catetos.
O lado oposto ao ngulo , e adjacente ao ngulo .
O lado oposto ao ngulo , e adjacente ao ngulo .
Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo
Consideremos um tringulo retngulo qualquer:
No : a medida do cateto . a medida do cateto . a medida da hipotenusa. a altura do tringulo quando se toma por base a hipotenusa ( ) o ngulo formado no vrtice o ngulo formado no vrtice
Os e so retngulos e so semelhantes ao , pois pode-se concluir que os trs tringulos possuem os trs ngulos internos congruentes.
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
2
Pela semelhana dos tringulos , , e , temos as seguintes relaes
entre as medidas:
Como
Como
Como
, o que implica que o produto dos catetos igual ao produto da altura pela
hipotenusa.
Como
Teorema de Pitgoras
Das relaes (1) e (2) acima, temos
Mas,
Ento
Conclumos,
Trigonometria no Tringulo Retngulo
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
3
Se tomarmos vrios tringulos retngulos semelhantes, digamos ,
,..., , podemos disp-los conforme a figura abaixo:
Ao tomarmos os tringulos deste conjunto, por semelhana de tringulos
teremos que :
Ou seja, a razo entre o cateto oposto a um determinado ngulo e a
hipotenusa de um tringulo retngulo sempre constante. A esta razo
chamamos de seno do ngulo e representamos por .
Tambm por semelhana de tringulos teremos que :
Ou seja, a razo entre o cateto adjacente a um determinado ngulo e a
hipotenusa de um tringulo retngulo sempre constante. A esta razo
chamamos de cosseno do ngulo e representamos por .
Tambm por semelhana de tringulos teremos que :
Ou seja, a razo entre o cateto oposto a um determinado ngulo e o cateto
adjacente ao mesmo ngulo de um tringulo retngulo sempre constante. A
esta razo chamamos de tangente do ngulo e representamos por .
Ainda por semelhana de tringulos teremos que :
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
4
Ou seja, a razo entre o cateto adjacente a um determinado ngulo e o
cateto oposto ao mesmo ngulo de um tringulo retngulo sempre constante.
A esta razo chamamos de cotangente do ngulo e representamos por
.
Resumindo :
Dado um tringulo retngulo qualquer de ngulos internos e , teremos
sempre que:
Das relaes acima conclumos diretamente que o seno de um ngulo igual
ao cosseno de seu complementar , o cosseno de um ngulo igual ao seno de
seu complementar, e que a tangente de um ngulo igual a cotangente (ou ao
inverso da tangente) de seu complementar.
Lembrando: ngulos complementares so aqueles cuja soma das medidas
resulta em um ngulo reto.
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
5
Ento,
Razes Trigonomtricas para alguns ngulos Notveis
Consideramos os valores de , comovalores de ngulos
notveis, para os quais os valores de Seno, Cosseno e Tangente esto listados
na tabela abaixo.
Medida do gulo (em graus)
seno cosseno tangente cotangente
No h
No h
Observao:
como a medida dos catetos nunca excede a medida da hipotenusa de
um tringulo retngulo, os valores de seno e cosseno dos ngulos
internos ao tringulo nunca excedem o valor de 1.
Note que quanto temos ngulos internos de , no temos
tringulos de fato, mas podemos estender o clculo do seno e cosseno
para estes casos.
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
6
Encontrando o valor de um ngulo a partir do valor de uma razo
trigonomtrica.
Se pensarmos em estabelecer uma relao entre o conjunto dos ngulos
no intervalo e o conjunto dos nmeros reais, veremos que tal relao
uma funo injetora. Portanto, pode-se estabelecer uma funo inversa pela
qual, a partir de uma valor dado de , podemos encontrar o valor de .
Sendo assim definimos para os ngulos internos de um tringulo
retngulo que :
Se , ento , e se , ento .
Ou seja,
Da mesma forma definimos:
e
Exemplos:
Medidas de Arcos de Circunferncia
Um arco de circunferncia a curva que temos que percorrer sobre uma
circunferncia para sairmos de um ponto A sobre ela e atingirmos um ponto B
sobre ela. Abaixo esto exemplificados os arcos , e
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
7
Note que, dados dois pontos sobre uma circunferncia h duas possibilidades
para traarmos arcos ligando estes dois pontos.
O Radiano
O radiano (smbolo rad) um arco unitrio cujo comprimento igual ao raio da
circunferncia que contm o arco a ser medido. Abaixo exemplificamos um
arco de medida igual a 1 radiano.
Sabemos que a razo entre o dimetro de uma circunferncia e seu permetro
sempre igual a 3,1415927..., que um nmero irracional que chamamos de
. Ou seja, se chamado de C o comprimento da circunferncia, temos
Ento, pela forma como definimos radianos, dizemos que um arco de
circunferncia completo (ou simplemente uma circunferncia) ter sempre o
comprimento de rad.
A correspondncia entre radianos e graus
Estabelecemos a seguinte correspondncia para a converso de unidades de
medida de arco de circunferncia:
Medidas de arcos e ngulos
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
8
Dado um ngulo , consideremos uma circunferncia de centro e raio .
Sejam e os pontos onde os lados do ngulo intercepta a
circunferncia traada.
Fazendo construes desta forma, a cada arco corresponder um nico
ngulo . Convencionando que a um arco unitrio corresponde um ngulo
central unitrio, decorre que o arco e o ngulo central correspondente
passam a ter a mesma medida.
Comprimento de arcos de circunferncia
Da forma como definimos, dado um arco de circunferncia medido em
radianos, sabemos que cada radiano corresponde a um carco cujo
comprimento ( o raio da circunferncia). Ento, dado o raio da
circunferncia e a medida do arco dada em radianos, o comprimento do arco
da circunferncia ( ) ser dado por: .
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
9
Exerccios
1)Calcular o valor da hipotenusa e da altura em relao hipotenusa num
tringulo retngulo cujos catetos medem 3 e 4.
Resposta: medida da hipotenusa .
Altura em relao hipotenusa
.
2)Calcule as medidas x,y,z e t, no tringulo abaixo:
Resposta:
.
3)Calcular a rea de um tringulo retngulo em que as projees dos
catetos sobre a hipotenusa medem, respectivamente, e .
Resposta: .
4)Qual a hipotenusa de um tringulo retngulo de permetro 56 e altura
igual a
.
Resposta: 25
5)A figura mostra um edifcio que tem 15 m de altura, com uma escada
colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifcio. Calcule o
comprimento dessa escada.
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
10
6)Na figura tem-se que BCAB e F ponto mdio do lado BE do retngulo
BCDE.
Qual a rea do retngulo
BCDE?
7)Aplicando as relaes mtricas nos tringulos retngulos abaixo,
determine o valor de x:
a) b)
c) d)
8)Com base no tringulo abaixo, assinale a alternativa correta.
6
n 12
3 9
b
3
62
x
y
h
b c
a
2 4
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
11
9)Assinale a opo correta dentre as alternativa abaixo.
10)O ngulo de elevao do p de uma rvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta de 60. Que medida deve ter um cabo para ligar o p da rvore ao topo da encosta?
11)Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ngulo de 90 com relao linha da costa e o outro sob um ngulo de 45. Qual deve ser a distncia entre o barco e costa, se a distncia entre os observadores igual a 50 metros?
12)Um barco parte de A para atravessar um rio. A direo de seu deslocamento forma um ngulo de 120 com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60 m, qual a distncia AB percorrida pelo barco na viagem que faz de uma margem outra?
13)Calcular os ngulos internos de um tringulo retngulo no qual os
catetos medem 9 e 12 cm. Obs: Se no encontrar valores notveis para
as relaes trigonomtricas d a resposta em funo da relao
trigonomtrica inversa.
Resposta: Os dois ngulos internos medem
e
.
14)Calcular os lados de um tringulo retngulo cuja altura em relao
hipotenusa 4 e um dos ngulos .
Resposta: hipotenusa=
. Catetos:
e .
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
12
15)Calcule os ngulos de um tringulo retngulo de hipotenusa 20,
sabendo que a mediana relativa a um dos catetos mede 15. Obs: Se no
encontrar valores notveis para as relaes trigonomtricas d a
resposta em funo da relao trigonomtrica inversa.
Lembrete: a mediana de um tringulo a reta que liga um vrtice deste
tringulo ao ponto mdio do lado oposto a este vrtice.
Resposta:
e
16) (FFCLUSP 66)
Na figura ao lado, os ngulos
e , i= 1,2,... so retos. Quanto vale a soma dos
segmentos , , ...em funo da medida de ( ) e de ?
Resposta:
17)Calcular o ngulo formado pela diagonal e o menor lado de um
retngulo cujos lados esto na razo
. Se no encontrar valores
notveis para as relaes trigonomtricas d a resposta em funo da
relao trigonomtrica inversa.
Resposta:
.
18)Calcular a rea de um tringulo isceles cuja base mede 2 e
.
Resposta: .
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
13
19) Um observador v o topo de um prdio, construdo em um terreno
plano, sob um ngulo de . Afatando-se do edifcio mais 30 metros,
ele passa a ver o topo do prdio sob um ngulo de . Qual a altura
do prdio?
Resposta:
metros.
20)A partir de um ponto, observa-se o topo de um prdio sob um ngulo de 30. Caminhando 24 m em direo ao prdio, atingimos outro ponto, de onde se v o topo do prdio segundo um ngulo de 60. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura do prdio.
21)Para medir a altura de um prdio, um agrimensor sobe ao seu topo e avista a base de uma rvore sob um ngulo de depresso de 30(ver figura). Em seguida, mede a distncia do prdio rvore e registra 1203m. Qual a altura do prdio?
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
14
22)Para obter a altura H de uma chamin, um engenheiro, com um aparelho especial, estabeleceu a horizontal AB e mediu os ngulos e tendo a seguir medido BC=h. Qual a altura da chamin em funo de e h ?
Resposta:
23)A seguir est representado um esquema de uma sala de cinema, com o
piso horizontal. De quanto deve ser a medida aproximada de AT para que um espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que T, a 30 da horizontal?
24) Converter para radianos
a. (Resposta:
)
b. (Resposta:
)
c. (Resposta:
)
d. (Resposta:
)
e. (Resposta:
)
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
15
25) Converter para Graus
a.
(Resposta: )
b.
(Resposta: )
c.
(Resposta: )
d.
(Resposta: )
e.
(Resposta: )
26) Transforme em radianos e
radianos em graus.
Resposta:
, e
.
27)Converter para radianos:
a. (Resposta:
)
b. (Resposta:
)
28)Qual a medida, em radianos, de um arco de 20 cm de comprimento
contido numa circunferncia de raio igual a 8 cm ?
Resposta: 2,5 radianos.
29)Um arco de circunferncia mede 30 cm e o raio da circunferncia mede
10 cm. Calcular a medida do arco em radianos.
Resposta: 3 rad.
30)Qual o comprimento de um arco correspondente a um ngulo de ,
contido numa circunferncia de raio igual a 1 cm ?
Resposta:
cm.
31)O ponteiro dos minutos de um relgio mede 10 cm. Qual a distncia
que sua extremidade percorre em 30 minutos?
Resposta: Aproximadamente 31,4 cm.
32) Calcular a medida do ngulo central que um arco de comprimento
determina em uma circunferncia de raio .
Resposta:
-
Trigonometria no Tringulo Retngulo e Medidas de arcos e ngulos na circunferncia
Notas de Aula 02 Semestre 2 - 2010
Tpicos Fundamentais de Matemtica - Licenciatura em Matemtica Osasco -2010
16
33)Calcular o menor dos ngulos formados pelos ponteiros de um relgio
que est marcando:
a. 1 h (Resposta: )
b. 1 h 15 min (Resposta: )
c. 1 h 40 min. (Resposta: )
Referncias
Dante, L. Roberto. Matemtica: Contexto e aplicaes. Volume 1. Ed. 3.
Impresso 1. Editora tica. So Paulo.2003.
Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemtica Elementar. Volume
3. Ed Atual. So Paulo. 1977.