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Trigonometria
2
O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da conjunção de três palavras:
Tri – três
Gonos – ângulo
Metrein - medir
Trigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos.
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3
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4
Algumas aplicações da Trigonometria
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5
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6
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Triângulo retângulo
7
Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°.
catetocateto
hipotenusacateto
cateto
hipotenusa
A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo;
Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°;
Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°;
Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses ângulos são complementares.
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Teorema de Pitágoras
8
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
c = 4
b = 3
a = 5
252516925
435 222
222
cba
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Aplicação do Teorema de Pitágoras
9
22:2
2
3
4
3
42:1
22222
22
222
222
ddd
hhhh
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Teorema de Tales
10
Um feixe de retas paralelas, intersectado por duas transversais, determina, sobre essas transversais segmentos proporcionais.
Exemplo de aplicação:
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11
Solução:
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Relações Trigonométricas num triângulo retângulo12
Seno
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13
Exemplo de aplicação:
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14
Cosseno
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15
Exemplo de aplicação:
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16
Tangente
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Exemplo de aplicação:
17
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Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
Seno, cosseno e tangente de 30° e 60º
adjacente cateto
oposto catetotgα
hipotenusa
adjacente catetocosα
hipotenusa
oposto catetosenα
18
2
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Seno, cosseno e tangente de 45°
adjacente cateto
oposto catetotgα
hipotenusa
adjacente catetocosα
hipotenusa
oposto catetosenα
19
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Construção da Tabela Trigonométrica
20
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Relações entre seno, cosseno e tangente21
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22
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23
Observe a situação a seguir:
Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do fio necessário para a instalação?
Pela necessidade de solucionar problemas relacionados a triângulos que não são retângulos, se desenvolveram formas de trabalhar com senos e cossenos de ângulos obtusos ( maiores que 90°).
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Teorema ou Lei dos Senos
24
A lei dos senos pode ser utilizada em qualquer triângulo. No caso de triângulos retângulos, basta considerar sen 90° = 1.
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Aplicação da Lei dos Senos
25
A Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos internos e a medida do cateto oposto a um desses ângulos.
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Teorema ou Lei dos Cossenos
26
A Lei dos Cossenos é geralmente usada, quando são conhecidas as medidas de dois lados e o ângulo formado por eles.
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27
Exemplo:
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Área de um triângulo
28
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29
Existem problemas em que se deseja calcular a área de um triângulo e não são conhecidas as medidas da base e altura. Nesses casos, a área pode ser calculada de duas maneiras diferentes:
1ª maneira: Área de um triângulo em função da medidas de dois lados e do ângulo compreendido entre eles.
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30
2ª maneira: Fórmula de Heron
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31
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32ARCOS E ÂNGULOS
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33ÂNGULO CENTRAL
Todo ângulo central possui um arco correspondente, e reciprocamente, a todo arco corresponde um ângulo central.
A medida de um arco é entendida como a medida do seu ângulo central. Para medir um arco, usamos o grau ou o radiano.
O comprimento de um arco é a sua medida linear e é expresso em centímetros, metros...
IMPORTANTE
Os arcos AB e A’B’ têm a mesma “abertura”, ou seja, a mesma medida (mesmo ângulo), mas
possuem comprimentos diferentes.
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34
MEDIDA DE ARCOS: O GRAU
O grau é definido, dividindo-se uma circunferência em 360 partes iguais. Cada
uma dessas partes, corresponde a um arco de um grau (1°).
Transferidor: usado para
medir ângulos.
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35
MEDIDA DE ARCOS: O RADIANO
Observe o arco AB da circunferência, em que o comprimento é igual a medida do
raio:
Dizemos que, a medida do arco AB ou do ângulo central BÔA, é igual a 1 radiano
(1 rad).
Assim, dizemos que um arco AB que possui comprimento igual ao raio da
circunferência, mede 1 radiano.
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36
Qual é o comprimento de uma circunferência?
RCR
C
Diâmetro
oCompriment
22
141592654,3
(Pi)
Qual é a medida em radianos de um arco de 360°?
)(360ncia circunferêuma de arco domedida rad rad
rad
arco doMedida arco do oCompriment
22
2
1
2
21
xR
Rx
RxR
x
rad
R
R
xπR rad R
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37
Quantos graus mede um arco de 1 radiano?
rad rad
1802360Portanto, temos que:
35714,3
180180
2
360
3602
1
2360
12º360
,xπ
x
x
π
x
rad x radπ
radianos em arco doMedida graus em arco doMedida
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38
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
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40
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA: Arcos Simétricos
180:IIQ
180:IIIQ
π-αIV
2360:
:IQ
290
180
2
3270
2360
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41SENO, COSSENO E TANGENTE NA
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Sinal SENO:
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =
135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°
= 315°
= 330°
3602
Seno
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42
Sinal COSSENO:
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =
135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°
= 315°
= 330°
3602Cosseno
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43
Sinal TANGENTE:
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =
135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°
= 315°
= 330°
3602
Tangente
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44
= 30°
= 45°
= 60°
90°
120° =
135° =
150° =
210° =
225° =
240° =
270°
= 300°
= 315°
= 330°
3602
Tangente
Seno
Cosseno
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45
DEMAIS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Secante: o sinal da secante é o mesmo do cosseno x
xcos
1sec
Cossecante: o sinal da cossecante é o mesmo do seno x
xsen
1seccos
Cotangente: o sinal da cotangente é o mesmo da tangente. x
xgx
sen
coscot