Transmissao de Calor (Capıtulo 2)–
Lista de Problemas (Resolucao Completa)
1. Considere conducao de calor unidimensional numa parede plana, em regime estacionario, semgeracao interna de energia termica e com condutibilidade termica (k) constante. Nestas condicoes,impondo as temperaturas T (x = x0,ref) = Tmax e T (x = xL,ref) = Tmin (< Tmax) e considerandok = kref obtem-se a distribuicao de temperaturas apresentada na figura (“Referencia”) e o fluxo decalor correspondente e dado por q′′x,ref = q′′x,ref i. Considerando q′′x,ref e Tmax (temperatura maxima
Problema 1
na parede) para os Casos 1–3 (ver figura), indique, justificando:
(a) qual dos perfis apresentados para o Caso 1 e obtido se k > kref ;
Resolucao:
q′′x = q′′x,ref ⇔ kdT
dx= kref
(dT
dx
)ref
⇔
⇔ kref
k=
dT/dx
(dT/dx)ref
< 1⇔ dT
dx<
(dT
dx
)ref
(1)
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Dos tres perfis apresentados para o Caso 1, o unico que respeita dT/dx < (dT/dx)ref e oPerfil A.
(b) qual dos perfis apresentados para o Caso 2 e obtido se L < Lref (= xL,ref − x0,ref); e
Resolucao:
q′′x = q′′x,ref ⇔ kdT
dx= kref
(dT
dx
)ref
⇔
⇔ dT
dx=
(dT
dx
)ref
(2)
Dos tres perfis apresentados para o Caso 2, o unico que respeita dT/dx = (dT/dx)ref e oPerfil B.
(c) qual dos perfis apresentados para o Caso 3 e obtido se q′′x = −q′′x,ref .
Resolucao:
q′′x = −q′′x,ref ⇔ kdT
dx= −kref
(dT
dx
)ref
⇔
⇔ dT
dx= −
(dT
dx
)ref
(3)
Dos tres perfis apresentados para o Caso 3, o unico que respeita dT/dx = − (dT/dx)ref e oPerfil C.
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2. Uma tubagem que transporta vapor de agua encontra-se revestida por um material isolante decondutibilidade termica k. Os raios interior e exterior do isolante sao ri e ro, respectivamente.Num dado instante de tempo particular, a distribuicao de temperatura no isolante tem a seguinteforma:
T (r) = C1ln
(r
ro
)+ C2
(a) As condicoes do problema sao estacionarias ou transientes? Justifique.
Resolucao:∂T
∂t=
∂
∂t
[C1ln
(r
r0
)+ C2
]⇔ ∂T
∂t= 0⇒
⇒ As condicoes do problema sao estacionarias
(4)
(b) Como variam a taxa e o fluxo de calor no isolante em funcao do raio?
Resolucao:
Aplicando a lei de Fourier para o calculo do fluxo e da taxa de transferencia de calor,tem-se:
Fluxo de calor
q′′r = −kdTdr
= −k ddr
[C1ln
(r
r0
)+ C2
]⇔ q′′r = −kC1
r⇒
⇒ O fluxo de calor e inversamente proporcional ao raio, i.e., q′′r ∝ r−1
(5)
Taxa de transferencia de calor
qr = Aq′′r = (2πrL)
(−kC1
r
)⇔ qr = −2πkLC1 ⇒
⇒ A taxa de transferencia de calor nao depende do raio
(6)
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3. Uma superfıcie plana com uma area de 2 m2 (A) e temperatura de 350 K (Ts) e arrefecida convec-tivamente por diferentes fluidos (em diferentes regimes de conveccao) mas com uma temperaturaconstante e igual a 300 K (T∞). Com base nos dados apresentados na tabela, determine as maio-res e menores taxas de transferencia de calor que poderao ser obtidas durante o processo de
Problema 3
Aplicacoes Coeficiente de Conveccao (h [W m−2 K−1]) – Gama TıpicaConveccao NaturalGases 2− 25Lıquidos 50− 1000Conveccao ForcadaGases 25− 250Lıquidos 50− 20000
arrefecimento para:
(a) conveccao natural; e
Resolucao:
Considerando a taxa de transferencia de calor calculada a partir da lei de arrefecimento deNewton tem-se:
qconv = hA (Ts − T∞) (7)
onde, A = 2 m2, Ts = 350 K e T∞ = 300 K. O coeficiente de transferencia de calor porconveccao (ou simplesmente “coeficiente de conveccao”), h, e obtido directamente da tabela.
Uma vez que qconv ∝ h (ver Equacao (7)), as maiores (menores) taxas de transferencia decalor para cada regime sao obtidas para os maiores (menores) coeficientes de conveccao.
A tabela mostra que independente do regime de conveccao (conveccao natural ou forcada)os valores mınimos (maximos) para o coeficiente de conveccao sao observados para os gases(lıquidos).
Substituindo os valores correspondentes na Equacao (7), obtem-se as respostas pretendidas.
hmin = 2 W m−2 K−1 ⇒ qconv,min = 2× 2 (350− 300)⇔ qconv,min = 200 W (8)
hmax = 1000 W m−2 K−1 ⇒ qconv,max = 1000×2 (350− 300)⇔ qconv,max = 1× 105 W (9)
(b) conveccao forcada.
Resolucao:
Seguindo o mesmo procedimento da alınea anterior, tem-se:
hmin = 25 W m−2 K−1 ⇒ qconv,min = 100× 2 (350− 300)⇔ qconv,min = 2500 W (10)
hmax = 20000 W m−2 K−1 ⇒ qconv,max = 20000× 2 (350− 300)⇔
⇔ qconv,max = 2× 106 W(11)
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4. Uma placa plana tem uma superfıcie isolada e a outra exposta ao sol. A superfıcie exposta ao solabsorve radiacao a taxa de 800 W m−2 (Gabs
sol ) e perde calor por conveccao para o ar ambiente epor radiacao para as superfıcies envolventes. Considere a emissividade da superfıcie exposta aosol (ε) igual a 0.8 e o coeficiente de conveccao do ar ambiente (h) igual a 12 W m−2 K−1. Se atemperatura do ar ambiente (T∞) e a temperatura das superfıcies envolventes (Tsur) forem iguaisa 40C e 20C, respectivamente, determine a temperatura da placa (Tp) em regime estacionario.
Resolucao:
Aplicando um balanco de energia a placa tem-se:
Ein − Eout + Eg = Est (12)
A Equacao (12) pode ser simplificada tendo em conta o seguinte:
como o regime e estacionario – nao existem variacoes temporais de temperatura (i.e.,dT/dt = 0) –, o termo de acumulacao de energia termica no interior da placa, Est
(= ρV c dT/dt), e nulo; e
uma vez que no interior da placa nao ha geracao de energia termica (resultante da con-versao de outra forma de energia, como electrica, quımica, ou nuclear), o termo Eg enulo.
Considerando estas hipoteses simplificativas, a Equacao (12) da origem a Equacao (13).
Ein = Eout (13)
Os termos Ein e Eout (Equacao (13)) sao obtidos considerando as respectivas contribuicoes detransferencia de energia energia termica (calor) atraves da superfıcie da placa exposta ao sol(ver figura), tal como as Equacoes (14) e (15) descrevem.
Ein = AGabssol (14)
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Eout = A
h (Ts − T∞)︸ ︷︷ ︸q′′conv
+ εσ(T 4s − Tsur4
)︸ ︷︷ ︸q′′rad
(15)
Na Equacao (15), q′′conv e q′′rad correspondem aos fluxos de calor convectivo e radiativo na superfıcieda placa exposta ao sol. Considerando as Equacoes (14) e (15), a Equacao (13) pode escrever-sede acordo com a Equacao (16).
AGabssol = Aq′′conv + Aq′′rad ⇔ Gabs
sol = h (Tp − T∞) + εσ(T 4p − T 4
sur
)⇔
⇔ 800 = 12 [Tp − (40 + 273,15)] + 0,8× 5,67× 10−8[T 4p − (20 + 273,15)4
]⇔
⇔ −4,536× 10−8T 4p − 12Tp + 4892,79 = 0⇒ Tp ≈ 350,6 K (77,5C)
(16)
Note que nas expressoes para os fluxos de calor radiativo e convectivo (Equacao (16)), a tem-peratura da superfıcie da placa que troca calor com exterior (variavel Ts na Equacao (15)) esubstituıda pela temperatura da placa (Tp) uma vez que toda a placa se encontra a mesmatemperatura (Tp = Ts). A condicao de placa isotermica deve-se ao facto de uma das superfıciesda placa ser adiabatica e o regime ser estacionario.
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5. Considere a placa plana do Problema 4, desprezando agora a absorcao de energia solar e conside-rando que em vez da superfıcie isolada, a placa tem uma superfıcie mantida a uma temperaturaconstante mas desconhecia (Ts,2). Considere as mesmas trocas de calor por conveccao e radiacaopara o exterior incluindo os mesmos valores para h, T∞, ε e Tsur do Problema 4. Considere quea placa tem 10 cm de espessura (L) e uma condutibilidade termica (k) igual a 2 W m−1 K−1.Sabendo que em regime estacionario e nas condicoes referidas a temperatura da superfıcie daplaca para o exterior – superfıcie da placa que no Problema 4 absorvia radiacao solar – e de350 K (Ts,1), determine a temperatura desconhecida, Ts,2, na superfıcie oposta.
Resolucao:
Aplicando um balanco de energia a superfıcie exterior da placa tem-se:
Ein − Eout = 0 (17)
(As superfıcies nao tem volume nem massa, logo nao se consideram os termos Eg e Est nobalanco de energia a uma superfıcie como se consideram em balancos de energia a meios.)
Os termos Ein e Eout (Equacao (17)) sao obtidos considerando as respectivas contribuicoes detransferencia de energia energia termica (calor) de e para a superfıcie em questao (superfıcieexterior da placa) – ver figura.
Ein = A
(kTs,2 − Ts,1
L
)︸ ︷︷ ︸
q′′cond
(18)
Eout = A
h (Ts,1 − T∞)︸ ︷︷ ︸q′′conv
+ εσ(T 4s,1 − Tsur4
)︸ ︷︷ ︸q′′rad
(19)
Nas Equacoes (18) e (19), q′′cond, q′′conv e q′′rad correspondem aos fluxos de calor condutivo, convec-tivo e radiativo, respectivamente. Considerando as Equacoes (18) e (19), a Equacao (17) podeescrever-se de acordo com a Equacao (20).
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Aq′′cond = Aq′′conv + Aq′′rad ⇔ k (Ts,2 − Ts,1) /L = h (Ts,1 − T∞) + εσ(T 4s,1 − T 4
sur
)⇔
⇔ 2 (Ts,2 − 350) /0,1 = 12 [350− (40 + 273,15)] +
+0,8× 5,67× 10−8[3504 − (20 + 273,15)4
]⇒ Ts,2 ≈ 389,4 K (116,3C)
(20)
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6. Considere uma esfera de raio igual a 2 cm (R0) que esta envolvida por um material isolante. Aesfera e colocada numa cavidade micro-ondas estando inicialmente a uma temperatura constantee uniforme de 20C (Ti) quando e submetida a um campo electromagnetico que proporcionaum aquecimento em volume com uma taxa constante e uniforme de 1 W cm−3 (q). O materialda esfera tem uma densidade (ρ) e calor especıfico (c) iguais a 6500 kg m−3 e 400 J kg−1 K−1,respectivamente. A condutibilidade termica do material da esfera e elevada o suficiente paradesprezar gradientes de temperatura no interior da esfera – assuma a temperatura da esferauniforme (isotermica) em todo o seu volume em cada instante de tempo. Determine a temperaturada esfera ao fim de 2 minutos de exposicao ao campo electromagnetico. Despreze trocas de caloratraves da superfıcie externa da esfera (r = R0).
Resolucao:
Aplicando um balanco de energia a esfera tem-se:
Ein − Eout + Eg = Est (21)
A Equacao (21) pode ser simplificada tendo em conta o seguinte:
como nao ha transferencia de energia termica do exterior para a esfera (uma vez que aesfera esta envolvida por um isolante), o termo Ein e nulo; e
como nao ha transferencia de energia termica da esfera para o exterior (esfera isolada), otermo Eout e nulo.
Considerando estas hipoteses simplificativas, a Equacao (21) da origem a Equacao (22).
Eg = Est (22)
Os termos Eg e Est (Equacao (22)) sao calculados atraves das Equacoes (23) e (24), respectiva-mente.
Eg = qV (23)
Est = ρV cdT
dt(24)
Considerando as Equacoes (23) e (24), a Equacao (22) pode escrever-se de acordo com a Equacao(25).
q = ρcdT
dt(25)
Separando as variaveis T e t, e integrando desde o instante inicial em que t = 0 e T (t = 0) = Ti,ao instante t em que T (t) = T obtem-se:
∫ t
0
dt =ρc
q
∫ T
Ti
dT ⇔ t =ρc
q(T − Ti) (26)
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A temperatura da esfera apos 2 minutos de aquecimento e determinada atraves da equacaoseguinte.
T = Ti +tq
ρc= 20 +
2× 60× 1× 106
6500× 400⇔ T = 66,2C (27)
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7. Considere uma esfera de raio igual a 5 cm (R0), que esta inicialmente a uma temperatura constantee uniforme de 80C (Ti) quando e mergulhada num fluido com uma temperatura de 20C (T∞) eum coeficiente de conveccao, h, igual a 100 W m−2 K−1. O material da esfera tem uma densidade(ρ) e calor especıfico (c) iguais a 8000 kg m−3 e 250 J kg−1 K−1, respectivamente. A condutibilidadetermica do material e elevada o suficiente para desprezar gradientes de temperatura no interior daesfera. Determine o tempo de contacto necessario da esfera com o fluido para que a temperaturada esfera atinja 40 C. Despreze qualquer influencia da radiacao na temperatura da esfera.
Resolucao:
Aplicando um balanco de energia a esfera tem-se:
Ein − Eout + Eg = Est (28)
A Equacao (28) pode ser simplificada tendo em conta o seguinte:
como nao ha transferencia de energia termica do fluido envolvente para o interior da esfera,o termo Ein e nulo; e
uma vez que no interior da placa nao ha geracao de energia termica, o termo Eg e nulo.
Considerando estas hipoteses simplificativas, a Equacao (28) da origem a Equacao (29).
−Eout = Est (29)
Os termos Eout e Est (Equacao (29)) sao calculados atraves das Equacoes (30) e (31), respecti-vamente.
Eout = Ah (Ts − T∞) (30)
Est = ρV cdT
dt(31)
Considerando as Equacoes (30) e (31), a Equacao (29) pode escrever-se de acordo com a Equacao(32).
−Ah (T − T∞) = ρV cdT
dt(32)
Considerando (T − T∞) = θ, dT/dt = dθ/dt. Assim, a Equacao (32) pode ser escrita de acordocom:
−Ahθ = ρV cdθ
dt(33)
Separando as variaveis θ e t e integrado desde o instante inicial em que t = 0, T (t = 0) = Ti e,consequentemente, θ(t = 0) = θi (= Ti − T∞), ao instante t em que T (t) = T e, consequente-mente, θ(t) = θ (= T − T∞) obtem-se:
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−∫ t
0
dt =ρV c
Ah
∫ θ
θi
dθ
θ⇔ t =
ρV c
Ahln
(θiθ
)(34)
O tempo de contacto necessario para a esfera atingir 40C e obtido atraves do resultado daintegracao da equacao que governa a variacao temporal da temperatura (Equacao (34)), consi-derando Ti = 80C (condicao inicial) e T (t) = 40C e, consequentemente, θi = 80− 20 = 60Ce θ = 40− 20 = 20C, respectivamente, tal apresentado na equacao seguinte.
t =8000× (4/3)π × 0,053 × 250
4π × 0,052 × 100ln
(60
20
)⇔ t ≈ 366,2 s (35)
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8. Considere conducao de calor unidimensional em tres geometrias distintas: parede plana; paredecilındrica; e parede esferica. Na parede plana a conducao de calor verifica-se exclusivamente aolongo da espessura (direccao x) e nas paredes cilındrica e esferica ao longo do raio (r). Considereconducao em regime estacionario, sem geracao interna de energia termica e com uma condutibi-lidade termica constante.
(a) Com base na solucao geral da correspondente forma simplificada da equacao (de difusao) decalor faca corresponder os 3 perfis de temperatura (ao longo da coordenada espacial (ξ) dereferencia) apresentados na figura com as 3 geometrias referidas. Na figura, a coordenadaespacial de referencia, ξ, corresponde a coordenada x para a parede plana e r para sistemasradiais (paredes cilındricas e esfericas).
Problema 8
Resolucao:
A forma geral da equacao de difusao de calor e descrita pela Equacao (36). A equacaode difusao de calor governa a distribuicao espacial e temporal de temperaturas em meioshomogeneos onde o unico mecanismo de transporte de calor e a conducao (difusao). Estaequacao resulta da aplicacao do principio de conservacao de energia (Equacoes (12), (21)e (28)) a um volume de controlo diferencial (infinitesimal) onde o transporte de calor edescrito pela aplicacao da lei de Fourier.
∇ · (k∇T ) + q = ρcp∂T
∂t(36)
Para o problema em consideracao, a Equacao (36) pode ser simplificada considerando osdados do problema:
1. “conducao em regime estacionario”, o que significa que nao existem variacoes datemperatura com a coordenada temporal, t (tempo); consequentemente, ∂T/∂t = 0e o termo do segundo membro da Equacao (36) e nulo – i.e., ρcp(∂T/∂t) = 0;
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2. “sem geracao de energia termica”, ou seja, nao existe producao nem consumo deenergia termica no interior do volume de controlo (paredes plana, cilındrica e esferica)e, consequentemente, o termo q da Equacao (36) e nulo; e
3. “com condutibilidade termica constante”, ou seja, k nao varia com a posicao.
A equacao resultante da aplicacao das simplificacoes referidas a Equacao (36) apresenta-sede seguida.
∇2T = 0 (37)
Na Equacao (37), ∇2 corresponde ao operador Laplaciano – ∇2T = ∇ · (∇T ).
A Equacao (37), tem um desenvolvimento especıfico para cada uma das tres geometrias– parede plana, parede cilındrica e parede esferica – uma vez que cada geometria esta as-sociada a um sistema de coordenadas diferentes – coordenadas cartesianas, cilındricas eesfericas, respectivamente.
Parede Plana (Coordenadas Cartesianas): Para a parede plana consideram-se coor-denadas cartesianas, (x, y, z). Nestas circunstancias, a Equacao (37) e reescrita da seguinteforma:
∂2T
∂x2+∂2T
∂y2+∂2T
∂z2= 0 (38)
Uma vez que e referido no enunciado do problema que a conducao e unidimensional aolongo da coordenada espacial de referencia, ξ (= x para parede plana), entao a equacaoanterior e simplificada na forma seguinte:
d2T
dx2= 0 (39)
A Equacao (39) e a “correspondente forma simplificada da equacao (de difusao) de ca-lor”(utilizando as palavras do enunciado) para a parede plana. A solucao geral destaequacao – solucao que permite identificar a forma funcional para a distribuicao de tempe-raturas – e obtida atraves da dupla integracao na coordenada espacial, x – Equacao (40).Na Equacao (40), C1 e C2 correspondem a constantes de integracao.
∫ ∫d
dx
(dT
dx
)dxdx =
∫ ∫0dxdx⇔
∫dT
dxdx =
∫C1dx⇔ T (x) = C1x+ C2 (40)
Assim, conclui-se que o Perfil A (figura) e observado para uma parede plana, ou seja, nascondicoes do problema, a temperatura varia linearmente ao longo da espessura da paredeplana – T (x) ∝ x.
Parede Cilındrica (Coordenadas Cilındricas): Para a parede cilındrica consideram-se coordenadas cilındricas, (r, φ, z). Nestas circunstancias, a Equacao (37) e reescrita daseguinte forma:
1
r
∂
∂r
(r∂T
∂r
)+
1
r2
∂
∂φ
(∂T
∂φ
)+
∂
∂z
(∂T
∂z
)= 0 (41)
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Uma vez que e referido no enunciado do problema que a conducao e unidimensional aolongo de ξ (= r para parede cilındrica), entao a equacao anterior e agora:
1
r
d
dr
(rdT
dr
)= 0 (42)
A Equacao (42) e a “correspondente forma simplificada da equacao (de difusao) de ca-lor”para a parede cilındrica. A solucao geral desta equacao e obtida atraves da duplaintegracao na coordenada espacial, r – Equacoes (43) – (44).∫
d
dr
(rdT
dr
)dr =
∫0dr ⇔ dT
dr=C1
r(43)
∫dT
drdr =
∫C1
rdr ⇔ T (r) = C1ln(r) + C2 (44)
Assim, conclui-se que o Perfil B (figura) e observado para uma parede cilındrica, ou seja,nas condicoes do problema, a temperatura varia de acordo com o logaritmo da coordenadaradial da parede cilındrica – T (r) ∝ ln(r).
Parede Esferica (Coordenadas Esfericas): Para a parede esferica consideram-se coor-denadas esfericas, (r, φ, θ). Nestas circunstancias, a Equacao (37) e reescrita da seguinteforma:
1
r2
∂
∂r
(r2∂T
∂r
)+
1
r2 sin2 θ
∂
∂φ
(∂T
∂φ
)+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂T
∂θ
)= 0 (45)
Uma vez que e referido no enunciado do problema que a conducao e unidimensional aolongo de ξ (= r para parede esferica), entao a equacao anterior e agora:
1
r2
d
dr
(r2dT
dr
)= 0 (46)
A Equacao (46) e a “correspondente forma simplificada da equacao (de difusao) de ca-lor”para a parede esferica. A solucao geral desta equacao e obtida atraves da dupla inte-gracao na coordenada espacial, r – Equacoes (47) – (48).∫
d
dr
(r2dT
dr
)dr =
∫0dr ⇔ dT
dr=C1
r2(47)
∫dT
drdr =
∫C1
r2dr ⇔ T (r) =
C1
r+ C2 (48)
Assim, conclui-se que o Perfil C (figura) e observado para uma parede esferica, ou seja, nascondicoes do problema, a temperatura varia de acordo com o inverso da coordenada radialda parede esferica – T (r) ∝ r−1.
Note que as constantes de integracao (C1 e C2) sao obtidas atraves da aplicacao de duascondicoes de fronteira nos limites do domınio espacial de interesse – condicoes de fronteira
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em ξ = ξ0 e ξ = ξ1. Uma vez conhecendo as constantes de integracao obtem-se a solucaoparticular da distribuicao de temperatura (T (ξ)) para o problema.
(b) Para a tres geometrias em consideracao, indique, justificando, como variam a taxa de trans-ferencia de calor (qξ) e o fluxo de calor (q′′ξ ) ao longo da coordenada espacial (ξ) de referencia.
Resolucao:
O fluxo de calor e a taxa de transferencia de calor sao obtidos aplicando a lei de Fourier,tendo em conta a adequada distribuicao de temperaturas – Equacoes (40), (44) e (48) paraas paredes plana, cilındrica e esferica, respectivamente.
q′′ξ (ξ) = −kdTdξ
(49)
qξ(ξ) = −kAξdT
dξ(50)
Na Equacao (55), Aξ corresponde a area da superfıcie perpendicular ao sentido da trans-ferencia de calor.
Parede Plana:
q′′x(x) = −kdTdx⇔ q′′x(x) = −kC1 (51)
qx(x) = −kAxdT
dx⇔ qx(x) = −k (Ly × Lz)C1 (52)
Para a parede plana, tanto a taxa de transferencia de calor como o fluxo de calor nao temdependencia com a coordenada espacial, x.
Parede Cilındrica:
q′′r (r) = −kdTdr⇔ q′′r (r) = −kC1
r(53)
qr(r) = Arq′′r ⇔ qr(r) = −k(2πrL)
C1
r⇔ qr(r) = −2πkLC1 (54)
Para a parede cilındrica, a taxa de transferencia de calor nao tem dependencia com a coor-denada espacial, r. Contudo, o fluxo de calor depende da posicao r.
Parede Esferica:
q′′r (r) = −kdTdr⇔ q′′r (r) = −kC1
r2(55)
qr(r) = Arq′′r ⇔ qr(r) = −k(4πr2)
C1
r2⇔ qr(r) = −4πkC1 (56)
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Para a parede esferica, a taxa de transferencia de calor nao tem dependencia com a coor-denada espacial, r. Contudo, o fluxo de calor depende da posicao r.
Nas condicoes consideradas – conducao unidimensional, em regime estacionario e sem ge-racao de energia termica –, a taxa de transferencia de calor para as tres geometrias e cons-tante ao longo da correspondente coordenada espacial de referencia como consequencia doprincipio da conservacao de energia – ver Equacao (57)
Ein − Eout = 0⇔ qξ − (qξ +dqξdξdξ) = 0⇔ d
dξ(qξ) = 0⇒ qξ = Cte (57)
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9. Considere conducao de calor numa placa rectangular em regime estacionario. A superfıcie x = 0e aquecida electricamente com um fluxo de calor q′′0 . A superfıcie x = a e mantida a temperaturaT0. A superfıcie y = b e mantida isolada. A superfıcie y = 0 dissipa calor por conveccao paraum meio a temperatura T∞ e com um coeficiente de conveccao h. A condutibilidade termica domaterial e uniforme e nao ha geracao interna de energia. Formule o problema de conducao decalor, estabelecendo a equacao que rege a distribuicao de temperaturas na placa e as condicoesde fronteira.
Resolucao:
A figura seguinte apresenta uma representacao esquematica do enunciado. No interior da placaplana o mecanismo de transporte de calor e exclusivamente difusivo (conducao de calor).
A forma geral da equacao de difusao de calor – equacao que governa a distribuicao (espaciale temporal) de temperaturas em meios homogeneos e sem contribuicao advectiva (movimentomacroscopico de fluidos) obtida atraves da aplicacao do princıpio da conservacao de energiaconsiderando o transporte de calor no interior do meio exclusivamente por difusao (conducao)– e descrita pela Equacao (58).
∇ · (k∇T ) + q = ρcp∂T
∂t(58)
Para coordenada cartesianas (x, y, z), o primeiro termo do primeiro membro da equacao anteriorcorresponde aos tres primeiros termos do primeiro membro da Equacao (59).
∂
∂x
(k∂T
∂x
)+
∂
∂y
(k∂T
∂y
)+
∂
∂z
(k∂T
∂z
)+ q = ρcp
∂T
∂t(59)
A Equacao (59) pode ser simplificada tendo em conta os dados do problema, tal como se segue:
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1. como o problema e bidimensional (no plano (x, y)) desprezam-se gradientes de tempera-tura (fluxos de calor) na direccao ortogonal (direccao z) e, consequentemente, o termo∂/∂z (k∂T/∂z) e nulo.
2. como o regime e estacionario, a temperatura nao tem dependencia temporal (i.e., ∂T/∂t =0) e, assim, o unico termo do segundo membro da equacao, ρcp∂T/∂t, e nulo.
3. uma vez que nao existe geracao de energia termica no interior da placa, o quarto termodo primeiro membro da equacao, q, e nulo.
4. como a condutibilidade termica k e constante em todo o domınio da placa, ∂k/∂x =∂k/∂y = 0 e, consequentemente, a equacao que governa a distribuicao de temperaturasna placa nao vai apresentar dependencia de k.
Com as simplificacoes descritas, a Equacao (59) resulta na Equacao (60).
∂2T
∂x2+∂2T
∂y2= 0 (60)
A Equacao (60) governa a distribuicao de temperaturas no interior da placa. Contudo, a tempe-ratura particular em cada ponto da placa T (x, y) depende da interacao da placa com o ambienteenvolvente atraves das fronteiras da placa. Estas interacoes sao consideradas matematicamenteatraves da definicao de condicoes de fronteira. De acordo com o enunciado do problema, asquatro fronteiras da placa (x = 0, x = a, y = 0 e y = b) estao sujeitas a diferentes condicoestermicas, como as condicoes de fronteira descrevem em seguida.
x=0:
−k∂T∂x
∣∣∣∣x=0
= q′′0 (61)
A Equacao (61) representa uma condicao de fronteira de Segundo Tipo (ou de Neumann ou,simplesmente, de fluxo imposto). Esta equacao indica que o fluxo de calor atraves da superfıciex = 0 e igual a q′′0 .
x=a:
T (x = a, y) = T0 (62)
A Equacao (62) representa uma condicao de fronteira de Primeiro Tipo (ou de Dirichlet ou,simplesmente, de valor imposto).
y=0:
−k∂T∂y
∣∣∣∣y=0
= h [T∞ − T (x, y = 0)] (63)
A Equacao (63) representa uma condicao de fronteira de Terceiro Tipo (ou de conveccao). Estaequacao indica que o fluxo de calor que atravessa a surperfıce y = 0 e igual o fluxo de calorremovido por conveccao.
y=b:
∂T
∂y
∣∣∣∣y=b
= 0 (64)
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Esta condicao de fronteira (Equacao (64)) e um caso particular das condicoes de fronteira deSegundo Tipo (ver Equacao (61)) uma vez que especifica que o valor do fluxo imposto e nulo –ou seja, nao existe transferencia de calor atraves da superfıcie y = b (superfıcie adiabatica).
A figura seguinte apresenta distribuicoes de temperatura (primeira linha) e vectores de fluxo decalor, q′′ (segunda linha) para o problema em questao considerando as condicoes apresentadas –parametros geometricos (a e b), condutibilidade termica (k), fluxo imposto em x = 0 (q′′0), tem-peratura imposta em x = a (T0) e temperatura do fluido (T∞). Tres casos sao apresentados refe-rentes a diferentes valores para o coeficiente de conveccao (h) – h = 10; 100; 1000W m−2 K−1.A temperatura no interior das placas e calculada recorrendo a equacao ∇2T = 0 (Equacao (60)).
O aumento do coeficiente de conveccao promove um aumento da remocao de energia termica(calor) atraves da superfıcie y = 0. Como consequencia, as temperaturas na placa diminuem,sendo esta diminuicao particularmente visıvel nas proximidades da superfıcie y = 0. Repare quecomo a superfıcie y = b e adiabatica as isolinhas de temperatura (linhas de temperatura cons-tante) sao perpendiculares a esta superfıcie. (Os vectores de fluxo de calor sao perpendicularesas isolinhas de temperatura.) Assim, em y = b os vectores de fluxo de calor tem componentenula segundo y (q′′y = 0) o que respeita a respectiva condicao de fronteira (Equacao (64)). Consi-derando o valor mais baixo para o coeficiente de conveccao (h = 10 W m−2 K−1), verifica-se umcaminho preferencial para a transferencia de calor da superfıcie x = 0 para a superfıcie x = a(ver isolinhas de temperatura e vectores de fluxo de calor).
Condicoes de Fronteira de Conveccao (Terceiro Tipo) – Notas:
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Considere uma parede (plana, cilındrica ou esferica) representada nas seguintes figuras (Caso Ae Caso B). A dimensao espacial de referencia, ξ, corresponde a x (ou a qualquer outra direccaocartesiana – y ou z) para paredes planas e a r para sistemas radiais (paredes cilındricas eesfericas). Considere que duas das superfıcies da parede estao submetidas a trocas de calor porconveccao devido ao contacto destas com fluidos adjacentes – superfıcies ξ = ξ1 e ξ = ξ2. Aunica diferenca entre os dois casos e o sentido do eixo ξ. As condicoes de fronteira em cada umadas superfıcies dependem da orientacao do eixo ξ em relacao a parede (compare as Equacoes(65) e (67) e as Equacoes (65) e (67)).
Caso A
ξ = ξ1:
−k∂T∂ξ
∣∣∣∣ξ=ξ1
= h [T∞ − T (ξ = ξ1)] (65)
ξ = ξ2:
−k∂T∂ξ
∣∣∣∣ξ=ξ2
= h [T (ξ = ξ2)− T∞] (66)
Caso B
ξ = ξ1:
−k∂T∂ξ
∣∣∣∣ξ=ξ1
= h [T (ξ = ξ1)− T∞] (67)
ξ = ξ2:
−k∂T∂ξ
∣∣∣∣ξ=ξ2
= h [T∞ − T (ξ = ξ2)] (68)
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Repare que a condicao de fronteira em y = 0 (Equacao (63)) corresponde a mesma condicaode fronteira em ξ = ξ1 para o Caso A (Equacao (65)) ou em ξ = ξ2 para o Caso B (Equacao(68)).
Se se considerasse em y = b trocas de calor por conveccao (em vez de se considerar estasuperfıcie como perfeitamente isolada – adiabatica) a condicao de fronteira correspondenteseria semelhante a observada em ξ = ξ2 para o Caso A (Equacao (66)) ou em ξ = ξ1 parao Caso B (Equacao (67)), ou seja, seria descrita pela Equacao (69).
−k∂T∂y
∣∣∣∣y=b
= h [T (x, y = b)− T∞] (69)
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10. Considere uma esfera de raio r0 e condutibilidade termica k. A esfera e inicialmente aquecida numforno ate atingir uma temperatura uniforme T1, sendo no instante t = 0 subitamente imersa numbanho de oleo a temperatura T∞ (< T1). Supondo que o coeficiente de conveccao e constante,formule o problema que descreve a variacao de temperatura na esfera ao longo do tempo, isto e,estabeleca a equacao diferencial que permite determinar a variacao da temperatura em funcaodo tempo e do raio para t > 0 e as condicoes de fronteira.
Resolucao:
A figura seguinte apresenta uma representacao esquematica do enunciado. No interior da esferao mecanismo de transporte de calor e exclusivamente difusivo (conducao de calor).
Uma vez que o mecanismo responsavel pelo transporte de calor no interior da esfera e difusivo(conducao de calor) entao a equacao que permite determinar a distribuicao espacial e temporalde temperaturas e a equacao de difusao de calor.
A forma geral da equacao de difusao de calor e descrita pela Equacao (58).
∇ · (k∇T ) + q = ρcp∂T
∂t(70)
Como a geometria considerada e esferica, entao a equacao anterior (nomeadamente o primeirotermo) e particularmente descrita pela equacao seguinte (Equacao (71)) – equacao de difusaode calor em coordenada esfericas (r, φ, θ).
1
r2
∂
∂r
(kr2∂T
∂r
)+
1
r2sin2θ
∂
∂φ
(k∂T
∂φ
)+
1
r2sinθ
∂
∂θ
(ksinθ
∂T
∂θ
)+ q = ρcp
∂T
∂t(71)
A equacao anterior pode ser simplificada considerando as condicoes particulares do problematal como se segue:
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1. como no instante inicial a temperatura da esfera e uniforme em todo o volume e duranteo arrefecimento o ambiente termico exterior (coeficiente de conveccao, h, e temperaturado fluido, T∞) e constante em toda a superfıcie da esfera, entao conclui-se que durante oprocesso de arrefecimento apenas os gradientes de temperatura ao longo do raio da esferasao relevantes – conducao unidimensional ao longo de r – e os gradientes termicos ao longodas coordenadas φ e θ sao nulos. Como consequencia desta conclusao, o segundo e terceirotermo do primeiro membro da equacao anterior nao desprezaveis.
2. uma vez que nao existe geracao de energia termica no interior da esfera, o quarto termodo primeiro membro da equacao, q, e nulo.
3. a condutibilidade termica k e considerada constante em todo o domınio da esfera e, con-sequentemente, ∂k/∂r = 0.
Tendo em conta as simplificacoes descritas, a Equacao (71) resulta na Equacao (72), a qualpermite determinar a variacao de temperatura em funcao do tempo e do raio, i.e., T (r, t).
1
r2
∂
∂r
(r2∂T
∂r
)=
1
α
∂T
∂t(72)
A solucao particular T (r, t) e obtida aplicando a Equacao (72) juntamente com condicoes defronteira e condicao inicial. Uma vez que a diferencial que governa a distribuicao temporal eespacial de temperaturas, Equacao (72), e de segunda ordem (primeira ordem) em relacao acoordenada espacial, r (coordenada temporal, t) entao e necessario definir duas condicoes defronteira (uma condicao inicial) para o calculo da solucao particular do problema.
As condicoes de fronteira sao aplicadas nos limites do domınio de calculo, ou seja, em r = 0 er = r0.
r = 0:
∂T
∂r
∣∣∣∣r=0
= 0 (73)
No centro da esfera (r = 0), o fluxo de calor (gradiente de temperatura) e nulo uma vez queo centro da esfera corresponde a um ponto de simetria radial da distribuicao de temperatura.Esta condicao de fronteira e um caso particular das condicoes de fronteira de Segundo Tipo –condicao de fronteira de fluxo nulo.
r = r0:
−k∂T∂r
∣∣∣∣r=r0
= h [T (r = r0, t)− T∞] (74)
Na superfıcie da esfera (r = r0) a condicao de fronteira correspondente e do Terceiro Tipoestabelecendo a conservacao de energia nesta superfıcie entre o fluxo de conducao (r → r−0 ) eo fluxo de conveccao (r → r+
0 ). Repare que esta condicao de fronteira e semelhante a condicaode fronteira considerada em ξ = ξ2 para o Caso A (Equacao (66)) ou em ξ = ξ1 para o Caso B(Equacao (67)) – ver resolucao do Problema 9.
A condicao inicial define a temperatura para todo o domınio de calculo (0 ≤ r ≤ r0) num
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determinado instante de tempo denominado de instante inicial. t = 0:
T (r, t = 0) = T1 (75)
A solucao da Equacao (72) considerando as Equacoes (73) – (75) permite obter a distribuicaode temperatura T (r, t).
A figura seguinte apresenta perfis de temperatura para a uma esfera – com as propriedadesgeometricas (r0) e termofısicas (k e α) referidas na figura – inicialmente a 200C (T1) arrefe-cida por 3 fluidos a 20C (T∞) mas com diferentes coeficientes de conveccao (h): 500, 5000 e20000 W m−2 K−1. Para os 3 casos, a figura apresenta perfis de temperatura ao longo do raio daesfera (T (r)) para 5 instantes de tempo apos o inıcio do processo de arrefecimento por conveccao(t = 0 s): 10 s, 1 min, 2 min e 5 min. Apos alguns segundos do inıcio do processo de arrefecimento,e visıvel a diminuicao da temperatura da esfera justo a sua superfıcie exterior (r ≈ r0) enquantoque no interior da esfera a temperatura ainda nao sentiu o efeito de arrefecimento – ver perfisde temperatura para t = 10 s.
Quanto maior o valor do coeficiente de conveccao mais rapido e o processo de arrefecimento –note que para h igual 20000 W m−2 K−1 ao fim de 5 min do inıcio do arrefecimento, a esferaesta praticamente em equilıbrio termico com o fluido (T (r, t = 5 min) ≈ T∞ = 20C). Contudo,para o mesmo tempo de contacto (5 min) mas com um fluido com h igual 500 W m−2 K−1, atemperatura media da esfera e aproximadamente igual a 80C. Para valores baixos do coeficientede conveccao, as temperaturas na esfera perdem a dependencia da coordenada espacial, i.e.,em cada instante de tempo as temperaturas tornam-se aproximadamente iguais para todas asposicoes radiais.
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11. Em determinadas condicoes, a temperatura na superfıcie da pele de um indivıduo e 30C, sendoinferior a temperatura do corpo, que e de 36,5C. A transicao entre estas temperaturas temlugar numa camada da pele com uma espessura de 1 cm e com uma condutibilidade termica de0,42 W m−1 K−1. A superfıcie da pele esta em contacto com ar a 20C mas com um coeficientede conveccao desconhecido.
(a) Estime o fluxo de calor que se escapa atraves da pele, considerando-a um meio condutor emrepouso.
Resolucao:
A figura seguinte ilustra esquematicamente a distribuicao distribuicao de temperatura parao problema. A conducao de calor na camada de pele e unidimensional da superfıcie interiora temperatura Ts,1 (= 36,5C), para a superfıcie exterior a temperatura Ts,2 (= 30,0C). Aespessura da camada de pele (L) bem como a condutibilidade termica (k) sao fornecidasno enunciado.
A figura anterior pode ser representada atraves de um circuito termico equivalente – verfigura seguinte –, identificando as temperaturas na superfıcie interna da pele (Ts,1), nasuperfıcie externa (Ts,2) e do ar exterior (T∞,2). Entre os nos do circuito termico equiva-lente correspondentes as temperaturas referidas encontram-se as respectivas resistenciastermicas: resistencia termica de conducao (Rt,cond) entre Ts,1 e Ts,2 e resistencia termica deconveccao (Rt,conv2) entre Ts,2 e T∞,2.
Para o calculo do fluxo de calor, q′′x, pode recorrer-se ao circuito termico equivalente, como
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se segue.
qx =Ts,1 − Ts,2Rt,cond
⇔ qx =Ts,1 − Ts,2L/(kA)
⇔ qx =kA
L(Ts,1 − Ts,2)⇔
⇔ qxA
=(Ts,1 − Ts,2)
R′′t,cond
⇔ q′′x =k
L(Ts,1 − Ts,2)⇔ q′′x =
0,42
0,01(36,5− 30)⇔
⇔ q′′x = 273 W m−2
(76)
(b) Determine o coeficiente de conveccao do ar sobre a superfıcie da pele.
Resolucao:
Dado que nas condicoes do problema (conducao unidimensional em coordenadas cartesia-nas, em regime estacionario, sem geracao de energia termica e com condutibilidade termicaconstante) o fluxo de calor se mantem constante – a, semelhanca, da taxa de transferenciade calor –, entao o fluxo difusivo de calor calculado na alınea anterior (q′′x (= q′′cond)) e igualao fluxo de calor removido da superfıcie da pele por conveccao (q′′conv2
). Assim, tem-se:
q′′conv2= q′′cond ⇔
Ts,2 − T∞,2R′′t,conv2
= q′′x ⇔Ts,2 − T∞,2
1/h2
= q′′x ⇔
⇔ h2 =q′′x
Ts,2 − T∞,2⇔ h2 =
273
30− 20⇔ h2 = 27,3 W m−2 K−1
(77)
Note que para a resolucao desta alınea recorreu-se a utilizacao do analogo electrico – circuitotermico equivalente. Contudo, esta alınea tambem poderia ser resolvida recorrendo a umbalanco de energia a superfıcie externa da pele (ver Problema 5).
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12. Durante o Inverno, a superfıcie de um rio forma uma camada de gelo de espessura desconhecida.A temperatura da agua no lago encontra-se a 4C (T∞,1) e a temperatura do ar ambiente e −30C(T∞,2). A temperatura na interface entre a agua e o gelo e 0C (Ts,1). A condutibilidade termicado gelo e 2,25 W m−1 K−1 (k). Os coeficientes de conveccao do lado do ar (h2) e do lado da agua(h1) sao 100 W m−2 K−1 e 500 W m−2 K−1, respectivamente. Calcule a temperatura na superfıciedo gelo em contacto com o ar, Ts,2, e a espessura da camada de gelo, L.
Resolucao:
A figura seguinte apresenta a distribuicao de temperatura para o problema. O sentido da trans-ferencia de calor verifica-se da agua para o ar (uma vez que T∞,1 > T∞,2). A conducao de calorna camada de gelo e unidimensional (ao longo da coordenada x) uma vez que os gradientes detemperatura segundo as direccoes cartesianas ortogonais a x – i.e., ∂T/∂y e ∂T/∂z – sao des-prezaveis. Estes gradientes de temperatura sao desprezaveis uma vez que se assume que: (1) aplaca de gelo e longa o suficiente nas direccoes ortogonais a x; e (2) os coeficientes de conveccao(h1 e h2) e as temperaturas dos fluidos (T∞,1 e T∞,2) sao constantes nas direccoes ortogonais ax.
O circuito termico equivalente e apresentado na figura seguinte onde o sentido da transferenciade calor e identificado. Nesta figura, os diferentes nos do circuito correspondem as diferen-tes temperaturas envolvidas no problema. Entre nos sucessivos do circuito termico equivalentedefinem-se as resistencias termicas de conducao (Rt,cond), conveccao (Rt,conv) e, eventualmente,de radiacao (Rt,rad) – genericamente Rt. Para uma determinada taxa de transferencia de calor(qx), quanto maior a resistencia termica (Rt) maior a diferenca de temperaturas (∆T ) – noteque ∆T = q ×Rt.
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Uma vez que a taxa de transferencia de calor (qx) – tal como o fluxo de calor (q′′x) – e constanteao longo de todo o circuito termico equivalente tem-se:
qx = qconv1 = qcond = qconv2 (78)
Igualando a taxa de transferencia de calor por conveccao da agua para o gelo (qconv1) a taxa detransferencia de calor do gelo para o ar (qconv2) tem-se:
qconv1 = qconv2 ⇔T∞,1 − Ts,1Rt,conv1
=Ts,2 − T∞,2Rt,conv2
⇔
⇔ Ts,2 =Rt,conv2
Rt,conv1
(T∞,1 − Ts,1) + T∞,2 ⇔ Ts,2 =h1
h2
(T∞,1 − Ts,1) + T∞,2 ⇔
⇔ Ts,2 =500
100(4− 0) + (−30)⇔ Ts,2 = −10C
(79)
Note que a resistencia termica a conveccao na interface i de um solido com um fluido, Rt,convi, e
calculada atraves da equacao seguinte (Equacao (80)) em que hi corresponde ao coeficiente detransferencia de calor por conveccao sobre a superfıcie solida (devido a accao macroscopica domovimento do fluido sobre a superfıcie) e A a area de contacto solido/fluido.
Rt,convi=
1
hiA(80)
A espessura da camada de gelo pode ser calculada igualando qcond a qconv1 (ou a qconv2) uma vezque a temperaturas T∞,1, Ts,1 e Ts,2 (ou Ts,1, Ts,2 e T∞,2) sao conhecidas.
Igualando qcond com qconv1 (Equacao (78)) tem-se:
qconv1 = qcond ⇔T∞,1 − Ts,1Rt,conv1
=Ts,1 − Ts,2Rt,cond
⇔
⇔ T∞,1 − Ts,11/(h1A)
=Ts,1 − Ts,2L/(kA)
⇔ h1A (T∞,1 − Ts,1) =L
kA(Ts,1 − Ts,2)⇔
⇔ L =kA (Ts,1 − Ts,2)
h1A (T∞,1 − Ts,1)⇔ L =
2,25× (0 + 10)
500× (4− 0)⇔
⇔ L = 1,125 cm
(81)
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13. A parede de um forno usado para curar partes de plastico tem uma espessura L = 0,05 m ea sua superfıcie externa encontra-se exposta ao ar e a um ambiente amplo. O ar e o ambienteenvolvente estao a 30 C (T∞,2 = Tsur). A temperatura da superfıcie externa do forno e de400 K (Ts,2), e o coeficiente de conveccao (h) e emissividade (ε) sao iguais a 20 W m−2 K−1 e 0,8,respectivamente. Calcule a temperatura da superfıcie interna da parede do forno (Ts,1), sabendoque a condutibilidade termica (k) do material da parede igual a 0,7 W m−1 K−1.
Resolucao:
As duas figuras seguintes apresentam a distribuicao de temperatura para o problema e o circuitotermico equivalente, respectivamente.
Nas condicoes do problema, o fluxo de calor ao longo da parede do forno (q′′x) e constante.Igualando o fluxo difusivo de calor (q′′cond) com a soma dos fluxos convectivo e radiativo dasuperfıcie externa do forno (q′′x,conv&rad) – equivalente a aplicacao de um balanco de energia asuperfıcie externa do forno – obtem-se uma equacao que permite obter a temperatura pretendida(Ts,1) – ver Equacao (82) – em funcao das propriedades geometricas (L) e termofısicas (k, h eε) e das temperaturas Ts,2 e T∞ (= Tsur) descritas no enunciado do problema.
q′′x,cond = q′′x,conv&rad ⇔Ts,1 − Ts,2Rt,condA
=Ts,2 − T∞Rt,totA
(82)
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Na Equacao (82), Rt,tot corresponde a resistencia termica total resultante da associacao emparalelo das resistencias termicas de conveccao e radiacao – Rt,conv e Rt,rad, respectivamente.Esta resistencia termica total e calculada como se apresenta de seguida (Equacao (83)).
1
Rt,tot
=1
Rt,conv
+1
Rt,rad
⇔ 1
Rt,tot
= hA+ hrA⇔
⇔ Rt,totA =1
h+ hr⇔ Rt,totA︸ ︷︷ ︸
R′′t,tot
=1
h+ εσ (Ts,2 + Tsur)(T 2s,2 + T 2
sur
) (83)
Note que por conveniencia a taxa (lıquida) de transferencia de calor por radiacao, qrad (=Aεσ(T 4
s − T 4sur)) pode ser calculada de forma similar a lei de arrefecimento de Newton – que
permite calcular a taxa de transferencia de calor por conveccao – atraves da equacao seguinte(Equacao (84)),
qrad = hrA(Ts − Tsur) (84)
em que hr corresponde ao coeficiente de transferencia de calor por radiacao – em estrita analogiacom o coeficiente de transferencia de calor por conveccao, h – o qual e determinado atraves daEquacao (85).
hr = εσ(Ts + Tsur)(T2s + T 2
sur) (85)
Consequentemente, a resistencia termica de radiacao, Rt,rad (considerada na Equacao (83)), eobtida atraves da equacao seguinte (Equacao (86)) tendo em conta a Equacao (84).
Rt,rad =Ts − Tsur
qrad
=Ts − Tsur
hrA(Ts − Tsur)⇔ Rt,rad =
1
hrA(86)
(Note que a resistencia termica de conveccao, Rt,conv, e obtida de forma similar – ver Equacao(87).)
Rt,conv =Ts − T∞qconv
=Ts − T∞
hA(Ts − T∞)⇔ Rt,conv =
1
hA(87)
O circuito termico equivalente resultante da simplificacao anterior – associacao em paralelo dasresistencias termicas Rt,conv e Rt,rad para a obtencao de uma resistencia termica total, Rt,tot
(Equacao (83)) – e apresentado na figura seguinte.
Substituindo a expressao para a resistencia termica total (Equacao (83)) na Equacao (82) etendo em conta os valores numericos para as variaveis consideradas, tem-se:
Pagina 31 de 61
k
L(Ts,1 − Ts,2) =
[h+ εσ (Ts,2 + Tsur)
(T 2s,2 + T 2
sur
)](Ts,2 − T∞)⇔
⇔ Ts,1 =L
k
[h+ εσ (Ts,2 + Tsur)
(T 2s,2 + T 2
sur
)](Ts,2 − T∞) + Ts,2 ⇔
⇔ Ts,1 =0,05
0,7× 20 + 0,8× 5,67× 10−8 × (400 + 30 + 273,15)×
×[4002 + (30 + 273,15)2
] × [400− (30 + 273,15)] + 400⇔ Ts,1 ≈ 593,937 K
(88)
Note que o procedimento considerado pela associacao das resistencias Rt,conv e Rt,rad para aobtencao de uma unica resistencia termica total, Rt,tot, apenas e adequado uma vez que T∞ =Tsur.
Caso T∞ 6= Tsur, o circuito termico equivalente seria representado pela figura seguinte.
Nesta situacao a taxa de transferencia de calor que atravessa a parede do forno (qcond (= qx))e igual a soma das taxas de transferencia de calor qrad e qconv – ver Equacao (89). Note que aEquacao (89) nao e mais do que um balanco de energia a superfıcie externa da parede do forno– semelhante ao balanco de energia desenvolvido no Problema 5 (ver Equacao (20)).
qx = qrad + qconv (89)
Substituindo na Equacao (89) as taxas de transferencia de calor, qx (= qcond), qrad e qconv pelasrespectivas expressoes tem-se:
Ts,1 − Ts,2Rt,cond
=Ts,2 − Tsur
Rt,rad
+Ts,2 − T∞Rt,conv
(90)
Assim, a temperatura Ts,1 seria obtida resolvendo a Equacao (90). (Observe que se Tsur = T∞,a Equacao (90) resulta na Equacao (88).)
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14. Considere uma parede cujo corte transversal visto de topo e apresentado da figura (a). Estaparede e formada pela uniao de varias unidades estruturais iguais. A unidade estrutural elementare composta por 4 materiais diferentes cujas dimensoes se encontram na figura (a). Considere ascondutibilidades termicas (k) dos Materiais A, B, C e D iguais a 0,2, 200, 160 e 0,02 W m−1 K−1,respectivamente. Nas superfıcies externas dos Materiais A e C a temperatura e constante e igual a15 e 50 C, respectivamente. Despreze gradientes de temperatura ao longo do eixo z e resistenciasde contacto entre materiais diferentes.
(a) (b)
Problema 14
(a) Em que condicoes as fronteiras laterais da unidade elementar (fronteiras paralelas ao eixox) podem ser consideradas adiabaticas?
Resolucao:
As fronteiras laterais da unidade elementar sao adiabaticas se o fluxo de calor atravesdestas superfıcies for nulo, ou seja, se o gradiente de temperatura segundo y (∂T/∂y) fornulo atraves destas fronteiras. Um fluxo de calor nulo atraves destas fronteiras e obtidoconsiderando uma parede longa (infinita) segundo a direccao y de forma a nao haver desen-volvimento de gradientes de temperatura segundo y devido a influencia das extremidadesda parede. E tambem necessario que ao longo de y as temperaturas das superfıcies externas(15 e 50 C) se mantenham constantes.
(b) Nas condicoes da alınea anterior e considerando transporte de calor unidimensional (1D),determine a taxa de transferencia de calor por unidade de altura da parede em cada unidadeestrutural elementar, q′unid, considerando:
(a) isotermicas as superfıcies perpendiculares ao eixo x; e
Resolucao:A taxa de transferencia de calor por unidade de altura da parede em cada unidadeestrutural elementar e obtida atraves da Equacao (91). Nesta equacao, Ts,1 (Ts,4)corresponde a temperatura na superfıcie externa do Material C (Material A).
q′unid =∆T
R′t,tot
⇔ q′unid =Ts,1 − Ts,4R′t,tot
(91)
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Considerando isotermicas as superfıcies perpendiculares ao eixo x, a resistencia termicatotal (R′t,tot) na Equacao (91) e calculada tendo em conta o circuito termico equivalenteapresentado na figura seguinte atraves da Equacao (92).
R′t,tot = R′t,condA+
(1
R′t,condD−1
+1
R′t,condB
+1
R′t,condD−2
)−1
+R′t,condC⇔
⇔ R′t,tot =Lx,AkALy,A
+
(kDLy,D−1
Lx,D+kBLy,BLx,B
+kDLy,D−2
Lx,D
)−1
+Lx,CkCLy,C
⇔
⇔ R′t,tot =0,03
0,2× 0,4+
(0,02× 0,17
0,15+
200× 0,06
0,15+
0,02× 0,17
0,15
)−1
+
+0,04
160× 0,4⇔ R′t,tot ≈ 0,388 m K W−1
(92)
Substituindo, Ts,1, Ts,4 e R′t,tot pelos respectivos valores na Equacao (91) obtem-se ataxa de transferencia de calor por unidade de altura da parede pretendida – Equacao(93).
q′unid =50− 15
0,388⇔ q′unid ≈ 90,206 W m−1 (93)
(b) adiabaticas as superfıcies paralelas ao eixo x.
Resolucao:A figura seguinte apresenta o circuito termico equivalente considerando adiabaticas assuperfıcies paralelas ao eixo x.
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Nestas condicoes, a resistencia termica total (R′t,tot) – necessaria para o calculo de q′unid
(ver Equacao (91)) – e determinada pela Equacao (94).
R′t,tot =
(1
R′t,condA−1+R′t,condD−1
+R′t,condC−1
+
+1
R′t,condA−2+R′t,condB
+R′t,condC−2
+1
R′t,condA−3+R′t,condD−2
+R′t,condC−3
)−1
⇔
⇔ R′t,tot =
(1
Lx,A/(kALy,A−1) + Lx,D/(kDLy,D−1) + Lx,C/(kCLy,C−1)+
+1
Lx,A/(kALy,A−2) + Lx,B/(kBLy,B) + Lx,C/(kCLy,C−2)+
+1
Lx,A/(kALy,A−3) + Lx,D/(kDLy,D−2) + Lx,C/(kCLy,C−3)
)−1
⇔
⇔ R′t,tot =
(1
0,03/(0,2× 0,17) + 0,15/(0,02× 0,17) + 0,04/(160× 0,17)+
+1
0,03/(0,2× 0,06) + 0,15/(200× 0,06) + 0,04/(160× 0,06)+
+1
0,03/(0,2× 0,17) + 0,15/(0,02× 0,17) + 0,04/(160× 0,17)
)−1
⇔
⇔ R′t,tot ≈ 2,263 m K W−1
(94)
Substituindo as variaveis da Equacao (91) pelos respectivos valores obtem-se a taxade transferencia de calor por unidade de altura da parede pretendida – Equacao (95).
q′unid =50− 15
2,263⇔ q′unid ≈ 15,466 W m−1 (95)
(c) Atraves do calculo numerico 2D (bi-dimensional) do problema, verificou-se que q′unid e iguala 22,6 W m−1. Qual e a correspondente resistencia termica efectiva da parede, R′t,eff .
Resolucao:
q′unid =∆T
R′t,eff
⇔ R′t,eff =Ts,1 − Ts,4q′unid
⇔
⇔ R′t,eff =50− 15
22,6⇔ R′t,eff ≈ 1,549 m K W−1
(96)
(d) A figura (b) apresenta a distribuicao 2D da temperatura na unidade estrutural elementarpara 3 casos variando apenas o valor da condutibilidade termica do Material B (kB); kB
foi considerado igual a 0,02, 2 e 200 W m−1 K−1. (Note que kD e igual a 0,02 W m−1 K−1).Estabeleca a correspondencia entre estes valores de condutibilidades termicas com k1, k2 ek3.
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Resolucao:
1. Para o caso k3 as superfıcies isotermicas sao completamente paralelas ao eixo y emtodo o domınio, o que implica necessariamente conducao de calor unidimensional –conducao de calor exclusivamente ao longo de x. Esta evidencia so e observavel se k3
for igual a kD (= 0,02 W m−1 K−1).
2. k2 > k1 uma vez que para k2 a temperatura no Material B e mais uniforme do quepara k1.
Considerando os Pontos 1. e 2. juntamente com os valores fornecidos no enunciado destaalınea para as condutibilidades termicas, conclui-se:
k1 = 2 W m−1 K−1 k2 = 200 W m−1 K−1 k3 = 0,02 W m−1 K−1
A distribuicao de temperaturas k2 corresponde a solucao do problema com os dados des-critos no enunciado (kB = 200 W m−1 K−1).
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15. [Retirado do Teste de Repescagem 1 de 2014/2015] Considere um cabo electrico isoladoque se encontra esticado e suspenso no ar e cuja seccao transversal e apresentada na figura.O ar envolvente esta a temperatura de 15C e apresenta um coeficiente de conveccao igual a25 W m−2 K−1. Em regime estacionario verifica-se no cabo electrico uma taxa volumetrica degeracao de energia termica igual a 9,55 kW m−3. As condutibilidades termicas dos materiais queconstituem o isolamento (Material A e Material B) bem como as dimensoes relevantes encontram-se apresentadas na figura. Despreze a resistencia termica de contacto entre os Materiais A e B.
Problema 15
(a) Determine a taxa de transferencia de calor por unidade de comprimento do cabo electricona superfıcie intermedia do isolamento (r = R2).
Resolucao:
A taxa de transferencia de calor por unidade de comprimento do cabo ao longo do iso-lamento, q′r, e constante e independente da posicao radial, r. Esta evidencia constata-seatraves da aplicacao da lei de Fourier em coordenadas cilındricas ao longo da direccaoradial (Equacao (97)) tendo em conta que o perfil de temperatura (obtido pela integracaoda forma adequada da equacao de difusao de calor em coordenadas cilındricas ao longo der) tem a forma funcional T (r) = C1ln(r) +C2, onde C1 e C2 sao constantes de integracao.
qr/L = q′r = −kAL
dT
dr= −k(2πrL)
L
dT
dr= −2πkr
C1
r⇒ qr/L 6= f (r) (97)
A taxa de transferencia de calor ao longo do isolamento (R1 < r < R3) e calculada combase na taxa volumetrica de geracao de energia termica no cabo electrico (q) e no volumedo cabo electrico (V ), tal como se segue.
qr = qV ⇔ qr = qπR21L⇔ qr/L = qπR2
1 ⇔
⇔ q′r = 9550× π × (0,03)2 ⇔ q′r ≈ 27,0 W m−1 ⇒ q′r(R2) ≈ 27,0 W m−1(98)
(b) Determine a resistencia termica total entre a superfıcie interior e exterior do isolamento docabo – superfıcies r = R1 e r = R3, respectivamente.
Resolucao:
A figura seguinte apresenta a distribuicao de temperatura ao longo do isolamento (Mate-riais A e B). A sentido da transferencia de calor verifica-se do cabo electrico (onde existe
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geracao de energia termica) para o ar envolvente a temperatura T∞,3. A conducao de ca-lor no isolamento e unidimensional – ao longo da coordenada radial, r. Note que o perfilde temperatura no isolamento nao apresenta uma dependencia linear com a coordena-da espacial (r) como se verifica na conducao de calor unidimensional em paredes planas– ver figura referente a distribuicao de temperatura na resolucao do Problema 12. Paraconducao de calor unidimensional (ao longo de r) em paredes cilındricas o perfil de tem-peratura apresenta uma forma funcional do tipo T (r) = C1ln(r) +C2 – para mais detalhessobre a dependencia do perfil unidimensional de temperatura com a coordenada espacialem paredes plana, cilındrica e esferica ver Problema 8.
O circuito termico equivalente e apresentado na figura seguinte onde o sentido da trans-ferencia de calor e identificado.
A resistencia termica total do isolamento (Materiais A e B) – resistencia que separa osnos Ts,1 (temperatura em r = R1) e Ts,3 (temperatura em r = R3) no circuito termicoequivalente (ver figura anterior) – e calculada atraves da associacao em serie das resistenciastermicas de conducao nos Materiais A e B (Rt,condA
e Rt,condB, repectivamente), tal como a
seguinte equacao apresenta.
Rt,tot = Rt,condA+Rt,condB
⇔ Rt,tot =ln (R2/R1)
2πkAL+
ln (R3/R2)
2πkBL⇔
⇔ Rt,totL =ln (R2/R1)
2πkA
+ln (R3/R2)
2πkB
⇔
⇔ R′t,tot =ln (6/3)
2π × 0,25+
ln (7/6)
2π × 0,10⇔ R′t,tot ≈ 0,687 m K W−1
(99)
(c) Determine a temperatura maxima no isolamento do cabo.
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Resolucao:
Em primeiro lugar, e preciso identificar onde e que se verifica a temperatura maximano isolamento do cabo. Como o transporte de calor se verifica do cabo electrico para o arexterior, entao a temperatura diminui ao longo da coordenada radial. Assim, a temperaturano isolamento (R1 ≤ r ≤ R3) e mais elevada para o valor mais baixo de r, ou seja, atemperatura maxima no isolamento, Tmax, e observada em r = R1 (Tmax corresponde a Ts,1nas figuras da resolucao da alınea anterior).
Assim, pretende-se determinar Ts,1 (= Tmax). Uma vez que se conhecem q′r (alınea (a)) eas propriedades de transporte do problema (kA, kB e h3) bem como as dimensoes (R1, R2
e R3) da parede cilındrica composta. Deste modo, pode-se determinar o que se pretendeatraves da seguinte equacao.
qr =(Tmax − T∞,3)
Rt,tot
⇔ Tmax = qrRt,tot + T∞,3 ⇔
⇔ Tmax = qr (Rt,condA+Rt,condB
+Rt,conv3) + T∞,3 ⇔
⇔ Tmax = qr
(ln(R2/R1)
2πkAL+
ln(R3/R2)
2πkBL+
1
2πR3Lh3
)+ T∞,3 ⇔
⇔ Tmax = q′r
(ln(R2/R1)
2πkA
+ln(R3/R2)
2πkB
+1
2πR3h3
)+ T∞,3 ⇔
⇔ Tmax = 27×(
ln(6/3)
2π × 0,25+
ln(7/6)
2π × 0,1+
1
2π × 7× 25
)+ 15⇔ Tmax ≈ 33,56C
(100)
(d) Repita a alınea anterior considerando agora que entre os Materiais A e B se observa umaresistencia termica de contacto, R′′t,c, nao desprezavel e igual a 0,5 m2 K W−1.
Resolucao:
O circuito termico equivalente que corresponde ao problema em questao e apresentado nafigura seguinte.
Como na alınea anterior, a temperatura maxima no isolamento do cabo verifica-se emr = R1 – Tmax corresponde a Ts,1 no circuito termico equivalente anterior.
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qr =(Tmax − T∞,3)
Rt,tot
⇔ Tmax = qrRt,tot + T∞,3 ⇔
⇔ Tmax = qr(Rt,condA
+R′′t,cA(r = R2) +Rt,condB+Rt,conv3
)+ T∞,3 ⇔
⇔ Tmax = qr
(ln(R2/R1)
2πkAL+ 2πR2LR
′′t,c +
ln(R3/R2)
2πkBL+
1
2πR3Lh3
)+ T∞,3 ⇔
⇔ Tmax = q′r
(ln(R2/R1)
2πkA
+ 2πR2R′′t,c +
ln(R3/R2)
2πkB
+1
2πR3h3
)+ T∞,3 ⇔
⇔ Tmax = 27×(
ln(6/3)
2π × 0,25+ 2π × 0,06× 0,5 +
ln(7/6)
2π × 0,1+
1
2π × 7× 25
)+ 15⇔
⇔ Tmax ≈ 38,65C
(101)
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16. Considere um reservatorio esferico destinado a conter uma mistura de fluidos em reaccao exotermi-ca. O reservatorio e formado, tal como indicado na figura, por duas camadas sendo a condutibi-lidade termica da Camada A igual a 19 W m−1 K−1 (kA) e a condutibilidade termica da CamadaB igual a 0,21 W m−1 K−1 (kB). As dimensoes do reservatorio sao R0 = 0,3 m, R1 = 0,35 m eR2 = 0,4 m. Por razoes de resistencia dos materiais nao convem ultrapassar na Camada A atemperatura de 450C (TmaxA
) e na Camada B a temperatura de 400C (TmaxB). O reservatorio
encontra-se num ambiente a 35C (Text) e o coeficiente de conveccao na superfıcie do lado ex-terior e igual a 8 W m−2 K−1 (hext). O coeficiente de conveccao na superfıcie interior e igual a200 W m−2 K−1 (hint) e a mistura dos reagentes e homogenea e encontra-se toda a mesma tem-peratura. Despreze a resistencia termica de contacto entre as Camadas A e B.
Problema 16
(a) Calcule a potencia maxima que se pode libertar no interior do reactor.
Resolucao:
O circuito termico equivalente para o problema e apresentado na figura seguinte onde osentido da transferencia de calor e identificado – como a reaccao e exotermica no interiordo reservatorio esferico (existe libertacao de energia termica), o sentido do transporte decalor verifica-se do interior do reservatorio para o exterior. Note que a transferencia decalor e unidimensional (ao longo de r em coordenadas esfericas).
E necessario ver respeitados os limites de temperatura maxima nas Camadas A e B para ocalculo da potencia maxima (qr,max) que se pode libertar. Devido ao sentido do transporte decalor, a temperatura maxima na Camada A e observada em r = R0 (Ts,1) e a temperaturamaxima na Camada B e observada em r = R1 (Ts,2).
O procedimento para determinar a potencia maxima consiste em duas etapas: (1) impon-do Ts,1 = TmaxA
determinar se Ts,2 ≤ TmaxB; e (2) impondo Ts,2 = TmaxB
determinar seTs,1 ≤ TmaxA
. A etapa que permitir respeitar a temperatura maxima de ambas as camadase a que define as temperaturas Ts,1 (ou Ts,2) para o calculo da potencia maxima.
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Etapa (1)Impondo Ts,1 = TmaxA
, verificar se Ts,2 ≤ TmaxB.
qr =(TmaxA
− Text)
Rt,condA+Rt,condB
+Rt,convext
=TmaxA
− Ts,2Rt,condA
⇔
⇔ Ts,2 = TmaxA+
Rt,condA
Rt,condA+Rt,condB
+Rt,convext
(Text − TmaxA)⇔
⇔ Ts,2 = TmaxA+
(1/R0)−(1/R1)4πkA
(1/R0)−(1/R1)4πkA
+ (1/R1)−(1/R2)4πkB
+ 14πR2
2hext
(Text − TmaxA)⇔
⇔ Ts,2 = 450 +
(1/0,3)−(1/0,35)4π×19
(1/0,3)−(1/0,35)4π×19
+ (1/0,35)−(1/0,4)4π×0,21
+ 14π×0,42×8
(35− 450)⇔
⇔ Ts,2 ≈ 445,85C > 400C (= TmaxB)
(102)
Considerando Ts,1 = TmaxA, conclui-se que a temperatura maxima admissıvel na Camada
B nao e respeitada.
Etapa (2)Impondo Ts,2 = TmaxB
, verificar se Ts,1 ≤ TmaxA.
qr =(TmaxB
− Text)
Rt,condB+Rt,convext
=Ts,1 − TmaxB
Rt,condA
⇔
⇔ Ts,1 = TmaxB+
Rt,condA
Rt,condB+Rt,convext
(TmaxB− Text)⇔
⇔ Ts,1 = TmaxB+
(1/R0)−(1/R1)4πkA
(1/R1)−(1/R2)4πkB
+ 14πR2
2hext
(TmaxB− Text)⇔
⇔ Ts,1 = 400 +
(1/0,3)−(1/0,35)4π×19
(1/0,35)−(1/0,4)4π×0,21
+ 14π×0,42×8
(400− 35)⇔
⇔ Ts,1 ≈ 403,49C < TmaxA
(103)
Verifica-se entao que nesta condicao (impondo Ts,2 = TmaxB) sao respeitados os limites de
temperatura maxima nas Camadas A e B. Assim, a potencia maxima que se pode libertarno interior do reactor pode ser calculada pela seguinte equacao.
qr,max =(TmaxB
− Text)
Rt,condB+Rt,convext
⇔ qr,max =(TmaxB
− Text)(1/R1)−(1/R2)
4πkB+ 1
4πR22hext
⇔
⇔ qr,max =(400− 35)
(1/0,35)−(1/0,4)4π×0,21
+ 14π×0,42×8
⇔ qr,max = 1848,048 W
(104)
(b) Nestas circunstancias, qual e a temperatura no interior do reactor, Tint?
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Resolucao:
Uma vez que se conhece a potencia maxima que se pode libertar (qr,max), a resistenciatermica a conveccao no interior do reservatorio (Rt,convint
) e a temperatura Ts,1 (≈ 403,49C)nas condicoes consideradas para o calculo de qr,max – ver resolucao da alınea anterior (Etapa(2)) – pode-se determinar a temperatura no interior do reservatorio esferico, Tint, tal comose segue.
qr =(Tint − Ts,1)
Rt,convint
⇔ Tint = qrRt,convint+ Ts,1 ⇔
⇔ qr1
4πR20hint
+ Ts,1 ⇔ Tint = 1848,048× 1
4π × 0,32 × 200+ 403,49⇔
⇔ Tint ≈ 411,660C
(105)
(c) Se a taxa de libertacao de calor aumentar 50 % qual tera de ser o novo valor do raio exteriorR2 a usar para garantir um correcto funcionamento do sistema? Suponha que todos osparametros mantem os seus valores.
Resolucao:
Na alınea (a) observou-se que considerando Ts,2 = TmaxBgarante-se que as temperaturas
maximas nas duas camadas nao excedem os valores recomendados (TmaxAe TmaxB
). Assim,considerando o novo valor para a taxa de transferencia de calor (qr = qr,max (1 + 0,5)) eTs,2 = TmaxB
pode-se calcular o valor R2 correspondente atraves da equacao seguinte.
qr =(Ts,2 − Text)
Rt,condB+Rt,convext
⇔ qr,max (1 + 0,5) =(TmaxB
− Text)(1/R1)−(1/R2)
4πkB+ 1
4πR22hext
⇔
⇔ 1848,048× 1,5 =(400− 35)
(1/0,35)−(1/R2)4π×0,21
+ 14πR2
2×8
⇒ R2 ≈ 0,37m
(106)
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17. [Retirado do Teste 1 de 2014/2015] A figura apresenta um tanque esferico no interior doqual esta a ocorrer uma reaccao lenta e endotermica. A reaccao consome em regime estacionariouma taxa de energia uniforme por unidade de volume igual a 3 kW m−3. O tanque e compostopelos Materiais A e B cujas condutibilidades termicas (k) e dimensoes (Ri) se encontram apre-sentadas na figura. O tanque esta envolvido por agua a uma temperatura de 15C (T∞) e comum coeficiente de conveccao (h) igual a 20 W m−2 K−1.
Problema 17
(a) Determine a taxa de transferencia de calor (q) e o fluxo de calor (q′′) na superfıcie externado Material B.
Resolucao:
Aplicando um balanco de energia a regiao esferica onde existe reaccao (r ≤ R1) – verfigura seguinte – e considerando negativa a taxa volumetrica de geracao de energia termica(q < 0) – dado que existe consumo de energia termica (reaccao endotermica) – e que aenergia termica que entra para a regiao esferica central atraves da superfıcie r = R1 porunidade de tempo, Ein, corresponde a taxa de transferencia de calor, qr (= q′′cond × 4πR2
1),obtem-se qr – ver Equacao (107).
Ein − Eout + Eg = Est ⇔ Ein = −Eg ⇔ qr = − (−qV )
⇔ qr = q × 4
3πR3
1 = 3× 103 × 4
3× π × 0,453 ⇔ qr ≈ 1145,111 W
(107)
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O fluxo de calor na superfıcie externa do material B, q′′r (r = R3), e obtido pela Equacao(108).
q′′r (r = R3) =qr
Ar (r = R3)=
1145,111
4π × (0,7)2 ⇔ q′′r (r = R3) ≈ 185,969 W m−2 (108)
A taxa de transferencia de calor e constante longo de r nos Materiais A e B (i.e., R1 ≤ r ≤R3). Contudo, o fluxo de calor depende da posicao radial – pelo facto de a area da cascaesferica depender do raio correspondente, i.e., Ar (r) = 4πr2.
(b) Determine a resistencia termica total (Rt,total) entre a superfıcie interna do Material A e aagua envolvente.
Resolucao:
O circuito termico equivalente para o problema apresenta-se de seguida.
No circuito termico equivalente apresentado acima, Ts,1 = T (r = R1), Ts,2 = T (r = R2),Ts,3 = T (r = R3) e T∞ = T (r =∞). A resistencia termica total entre a superfıcie internado Material A (r = R1) e a agua envolvente (r = ∞) e obtida atraves da associacao emserie das resistencias termicas de conducao nos Materiais A e B (Rt,condA
e Rt,condB, respec-
tivamente) e da resistencia termica de conveccao (Rt,conv), como apresentado de seguida.
Rt,total = Rt,condA+Rt,condB
+Rt,conv =R−1
1 −R−12
4πkA+R−1
2 −R−13
4πkB+
1
hA=
=0,45−1 − 0,65−1
4π × 15+
0,65−1 − 0,7−1
4π × 7+
1
20× 4π × 0,72⇔
⇔ Rt,total ≈ 1,300× 10−2 K W−1
(109)
(c) Determine a temperatura maxima no Material A.
Resolucao:
Como a transferencia de calor se verifica do exterior do tanque esferico (agua) para ointerior (onde existe consume de energia termica) – ver sentido da transferencia de calor nocircuito termico equivalente (figura na resolucao da alınea anterior) –, entao a temperaturamaxima no Material A observa-se em r = R2:
T (r = R2) = Ts,2 = TmaxA(110)
Consequentemente, como se sabe (1) a taxa de transferencia de calor ao longo dos MateriaisA e B (solucao da alınea (a)), (2) a temperatura da agua e (3) as dimensoes das paredes
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esfericas (camadas A e B) e as respectivas condutibilidades termicas (kA e (kB) pode-seobter a temperatura pretendida atraves da Equacao (111).
qr =∆T
Rt,total
⇔ T∞ − TmaxA= qrRt,total ⇔ TmaxA
= T∞ − qrRt,total ⇔
⇔ TmaxA= T∞ − qr (Rt,condB
+Rt,conv)⇔ TmaxA= T∞ − qr
(R−1
2 −R−13
4πkB+
1
hA
)⇔
⇔ TmaxA= 15− 1145,111
(0,65−1 − 0,7−1
4π × 7+
1
20× 4π × 0,72
)⇔
⇔ TmaxA≈ 4,271C
(111)
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18. [Retirado do Teste de Repescagem 1 de 2018/2019] Uma placa de circuito (18 cm×12 cm)contem na sua superfıcie 100 chips logicos (ver figura), cada um dissipando 0,06 W para o fluidocircundante a uma temperatura T∞ = 40C. Assuma que o espacamento entre chips e muitopequeno de modo a poder tratar a superfıcie da placa como homogenea e que a transferencia decalor na superfıcie traseira da placa e desprezavel. Se o coeficiente de conveccao na superfıcie daplaca for h = 10 W m−2 K−1, determine o fluxo de calor libertado pela placa, q′′conv, e a temperaturada sua superfıcie, Ts, desprezando o transporte de calor por radiacao. Adicionalmente, assumindoa superfıcie da placa como negra, verifique se a transferencia de calor por radiacao e desprezavelface a conveccao (considere a temperatura da envolvente Tsur = 40C).
Problema 18
Resolucao:
Aplicando um balanco de energia a placa tem-se:
Ein − Eout + Eg = Est (112)
A Equacao (112) pode ser simplificada tendo em conta o seguinte:
como o regime e estacionario, o termo de acumulacao de energia termica no interior daplaca, o termo Est, e nulo; e
como nao existe energia termica a entrar do meio envolvente para o interior da placa, otermo Ein e nulo.
Considerando estas simplificacoes, a Equacao (112) da origem a Equacao (113).
Eout = Eg (113)
A figura seguinte apresenta uma representacao esquematica do problema.
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Eout = Aq′′conv (114)
Eg = nchipsEg,chip (115)
Na Equacao (114), q′′conv corresponde aos fluxo de calor convectivo da superfıcie da placa. NaEquacao (115), Eg,chip e nchips correspondem a potencia libertada por cada chip e ao numerototal de chips na placa, respectivamente.
Considerando as Equacoes (114) e (115), a Equacao (113) pode escrever-se de acordo com aEquacao (116).
Aq′′conv = nchipsEg,chip ⇔ q′′conv =nchipsEg,chip
A⇔
⇔ q′′conv =100× 0,06
0,18× 0,12⇔ q′′conv = 277,778 W m−2
(116)
Uma vez conhecendo o valor do fluxo de calor convectivo da placa para o fluido envolvente(q′′conv), da temperatura do fluido envolvente (T∞) e o respectivo coeficiente de conveccao (h),entao a temperatura da superfıcie da placa (Ts) pode ser calculado considerando a aplicacaoda lei de arrefecimento de Newton como se segue:
q′′conv = h (Ts − T∞)⇔ Ts =q′′conv
h+ T∞⇔
⇔ Ts =277,778
10+ 40⇔ Ts = 67,778C
(117)
Para avaliar a importancia relativa do transporte de calor por radiacao e necessario determinara temperatura da superfıcie da placa considerando simultaneamente transporte de calor porconveccao e radiacao. A figura seguinte apresenta uma representacao esquematica do problema
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agora com uma contribuicao radiativa para o transporte de calor entre a surperfıcie da placa eas superfıcies exteriores (para alem da componente convectiva).
Nestas condicoes, a Equacao (114) e substituıda pela Equacao (118).
Eout = A
h (Ts − T∞)︸ ︷︷ ︸q′′conv
+ εσ(T 4s − Tsur4
)︸ ︷︷ ︸q′′rad
(118)
Tendo em consideracao as Equacoes (118) e (115), a Equacao (113) pode escrever-se de acordocom a Equacao (119). Note que ε = 1 uma vez que a superfıcie da placa e negra.
h (Ts − T∞) + εσ(T 4s − T 4
sur
)=nchipsEg,chip
A⇔
⇔ 10× [Ts − (40 + 273,15)] + 1× 5,67× 10−8 ×[T 4s − (40 + 273,15)4] =
=100× 0,06
0,18× 0,12⇔ Ts ≈ 329,012 K (55,862C)
(119)
A importancia relativa do transporte de calor por radiacao, Ωrad, pode ser calculada atraves daequacao seguinte (Equacao (120)).
Ωrad =Aq′′rad
A (q′′conv + q′′rad)⇔ Ωrad =
Aεσ (T 4s − T 4
sur)
nchipsEg,chip
⇔
⇔ Ωrad =(0,12× 0,18)× 1× 5,67× 10−8 ×
[329,0124 − (40 + 273,15)4]
100× 0,06⇔
⇔ Ωrad ≈ 42,9 %
(120)
Por unidade de tempo, 42.9 % da energia termica dissipada pela placa e transportada por ra-diacao enquanto que 57.1 % (Ωconv) e transferida por conveccao. Ainda que nao seja dominante,
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o transporte de calor por radiacao e um mecanismo relevante e nao deve ser desprezado. A re-levancia do transporte de calor por radiacao ja podia ser antecipada confrontando as tempe-raturas da superfıcie obtidas desprezando e considerando a radiacao (67,778C vs. 55,862C).Se a radiacao fosse completamente desprezavel as temperaturas obtidas pelas Equacoes (117) e(119) seriam semelhantes.
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19. [Adaptado do Teste de Repescagem 1 de 2018/2019] Considere duas condicoes para o mes-mo tubo de um circuito de refrigeracao existente num sistema de ar condicionado: tubo sem de-posicao de resıduos na sua superfıcie exterior (tubo limpo) e tubo com uma camada de resıduosna sua superfıcie exterior (tubo sujo) – ver figura. Assumindo esta camada de sujidade comoum revestimento isolante, pretende estudar-se a sua influencia na taxa de transferencia de calor,comparando o caso sujo ao limpo, este ultimo sem a camada de sujidade isolante. Para a resolucaodesta questao, considere os dados numericos apresentados na figura.
Problema 19
(a) Para cada um dos dois casos, sujo e limpo, desenhe o sistema de resistencias termicas.Indique na representacao a expressao matematica de cada resistencia termica individual.
Resolucao:
Caso Limpo
O sistema de resistencias termicas (circuito termico equivalente) correspondente ao CasoLimpo e apresentado na figura seguinte.
Rt,convRef, Rt,condt e Rt,convAr
correspondem, respectivamente, a resistencia termica de con-veccao na superfıcie interna do tubo, a resistencia termica de conducao ao longo da espes-sura da parede do tubo e a resistencia termica de conveccao na superfıcie externa do tubo.Estas resistencias termicas sao calculadas atraves das equacoes seguintes.
Rt,convRef=
1
hRefAint
⇔ Rt,convRef=
1
2πRintLhRef
(121)
Rt,condt =ln(Rext/Rint)
2πktuboL(122)
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Rt,convAr=
1
hArAext
⇔ Rt,convAr=
1
2πRextLhAr
(123)
Nas equacoes anteriores, Rint e Rext correspondem ao raio interior do tubo (= d/2) e aoraio exterior do tubo (= d/2 + ∆rtubo), respectivamente.
Caso Sujo
O sistema de resistencias termicas (circuito termico equivalente) correspondente ao CasoSujo e apresentado na figura seguinte.
Rt,condicorresponde a resistencia termica de conducao ao longo da espessura da parede de
isolante (sujidade). As resistencias consideradas no circuito termico equivalente anteriorsao calculadas atraves das equacoes seguintes.
Rt,convRef=
1
hRefAint
⇔ Rt,convRef=
1
2πRintLhRef
(124)
Rt,condt =ln(Rt−i/Rint)
2πktuboL(125)
Rt,condi=
ln(Rext/Rt−i)
2πkisolL(126)
Rt,convAr=
1
hArAext
⇔ Rt,convAr=
1
2πRextLhAr
(127)
Nas equacoes anteriores, Rint, Rt−i e Rext correspondem ao raio interior do tubo (= d/2),ao raio da superfıcie cilındrica que separa o tubo da camada de sujidade (camada isolan-te) (d/2 + ∆rtubo) e ao raio exterior da camada de sujidade (= d/2 + ∆rtubo + ∆risol),respectivamente.
(b) Quantifique a influencia da camada de sujidade isolante, determinando o racio entre as taxasde transferencia de calor do caso sujo sobre o caso limpo.
Resolucao:
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qsujor
qlimpor
=(∆T/Rsujo
t,tot)
(∆T/Rlimpot,tot )
=Rlimpot,tot
Rsujot,tot
=Rt,convRef
+Rt,condt +Rlimpot,convAr
Rt,convRef+Rt,condt +Rt,condi
+Rsujot,convAr
=
=
12πRintLhRef
+ ln(Rext/Rint)2πktuboL
+ 1
2πRlimpoext LhAr
12πRintLhRef
+ ln(Rt−i/Rint)2πktuboL
+ ln(Rext/Rt−i)2πkisolL
+ 1
2πRsujoext LhAr
0
=
12π×0,025×100
+ ln[(2,5+1)/2,5]2π×15
+ 12π×(0,025+0,01)×20
12π×0,025×100
+ ln[(2,5+1)/2,5]2π×15
+ ln[(2,5+1+0,5)/(2,5+1)]2π×0,1
+ 12π×(0,025+0,01+0,005)×20
⇔
⇔ qsujor
qlimpor
≈ 0,615
(128)
A existencia de sujidade na superfıcie externa do tubo – com as caracterısticas considera-das – e responsavel por infligir uma penalizacao de aproximadamente 38.5 % na taxa detransferencia de calor que se obteria se o tubo nao tivesse nenhum deposito de resıduos nasua superfıcie externa (Caso Limpo).
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20. [Adaptado do Problema 1 da Avaliac~ao Contınua de 2019/2020] A figura apresenta umaparede plana constituıda por 4 materiais. As dimensoes da parede bem como as condutibilidadestermicas dos 4 materiais encontram-se definidas na figura. A parede esta isolada nas superfıciesy = 0,2 m e y = 0,6 m e e longa o suficiente na direccao perpendicular ao plano xy (profundidade)para se desprezarem gradientes termicos segundo esta direccao. Na superfıcie x = 0,2 m e impostauma temperatura constante e igual a 20C (Ts,1). A superfıcie x = 0,8 m esta submetida a trocasde calor por: (1) conveccao devido ao contacto directo com um fluido a temperatura constantede 80C (T∞) e com um coeficiente de conveccao constante, h; e (2) radiacao com as superfıciesenvolventes (de grandes dimensoes) a temperatura Tsur (= T∞). Considere como negra a superfıciex = 0,8 m. Considere regime estacionario e despreze resistencias termicas de contacto entre osdiferentes materiais.
Problema 20
(a) Estabeleca a equacao diferencial que governa a distribuicao de temperatura na parede, jus-tificando todas as simplificacoes, bem como as respectivas condicoes de fronteira.
Resolucao:
A equacao diferencial que governa a distribuicao de temperatura na parede do presenteproblema e obtida atraves da simplificacao da equacao de difusao de calor – Equacao (129)– aplicada em coordenadas cartesianas (Equacao (130)), uma vez que a parede e plana.
∇ · (k∇T ) + q = ρcp∂T
∂t(129)
∂
∂x
(k∂T
∂x
)+
∂
∂y
(k∂T
∂y
)+
∂
∂z
(k∂T
∂z
)+ q = ρcp
∂T
∂t(130)
A Equacao (130) deve ser simplificada tendo em conta os dados (especificacoes) do proble-ma, tal como se segue:
1. como o problema e bidimensional (no plano xy) desprezam-se gradientes de tempe-ratura (fluxos de calor) na direccao ortogonal (direccao z) e, consequentemente, otermo ∂/∂z (k∂T/∂z) e nulo;
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2. como o regime e estacionario, a temperatura nao tem dependencia temporal (i.e.,∂T/∂t = 0) e, assim, o unico termo do segundo membro da equacao, ρcp∂T/∂t, enulo; e
3. uma vez que nao existe geracao de energia termica no interior da parede, o quartotermo do primeiro membro da equacao, q, e nulo.
Com as simplificacoes descritas, a Equacao (130) resulta na Equacao (131) que correspondea equacao diferencial que governa a distribuicao de temperatura na parede do problema.
∂
∂x
(k∂T
∂x
)+
∂
∂y
(k∂T
∂y
)= 0 (131)
Note que a condutibilidade termica nao pode ser excluıda da Equacao (131) uma vez queesta propriedade de transporte nao e constante em todo o domınio da parede – cada umdos quatro materiais tem uma condutibilidade termica diferente.
As condicoes de fronteira em x = 0,2 m, x = 0,8 m, y = 0,2 m e y = 0,6 m sao descritaspelas Equacoes (132), (133), (134) e (135), respectivamente. Em x = 0,2 m tem-se um valorimposto para a temperatura; em x = 0,8 m tem-se que o fluxo difusivo de calor e igual asoma de um fluxo de calor convectivo e outro radiativo – esta condicao de fronteira e obti-da atraves de um balanco de energia termica a superfıcie x = 0,8 m; e como as superfıciesy = 0,2 m e y = 0,6 m estao isoladas entao correspondem a superfıcies adiabaticas (o fluxode calor que atravessa estas superfıcies e nulo).
x = 0,2 m:
T (x = 0,2 m, y) = Ts,1 (132)
x = 0,8 m:
−kD∂T
∂x
∣∣∣∣x=0,8 m
= h[T (x = 0,8 m, y)− T∞] + σ[T 4 (x = 0,8 m, y)− T 4sur] (133)
y = 0,2 m:
∂T
∂y
∣∣∣∣y=0,2 m
= 0 (134)
y = 0,6 m:
∂T
∂y
∣∣∣∣y=0,6 m
= 0 (135)
Como a superfıcie x = 0,8 m e considerada negra entao a correspondente emissividade(ε) e igual a 1 e, consequentemente, a Equacao (133) nao apresenta esta propriedade nasua formulacao. Ainda na Equacao (133), considera-se k = kD – no fluxo difusivo de calor(unico termo do primeiro membro) – uma vez que a superfıcie x = 0,8 m corresponde a umainterface do Material D com o meio exterior (fluido adjacente e superfıcies envolventes).
(b) Qual dos casos considerados na figura apresenta uma distribuicao de temperatura com-
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patıvel com as condicoes do problema? Justifique. Note que para cada caso as temperaturasmınima e maxima registadas na parede apresentam-se como limites na respectiva escala detemperatura.
Problema 20 – Alınea (b)
Resolucao:
Caso 1 – Errado: embora a gama de temperaturas (20− 61,2C) seja compatıvel comas temperaturas consideradas no enunciado (Ts,1, T∞ e Tsur) as isotermicas (linhasde temperatura constante) sao perfeitamente perpendiculares ao eixo x ao longo detodo o domınio (0,2 m < x < 0,8 m) o que denuncia que o problema de conducao decalor e unidimensional devido ao facto das condutibilidades termicas dos MateriaisB e C serem iguais (note que as condutibilidades termicas fornecidas no enunciadopara os Materiais B e C sao bastante dıspares – kB = 200 W m−1 K−1 vs. kC =0,1 W m−1 K−1).
Caso 2 – Errado: a temperatura maxima – registada em x = 0,8 m (= 94,7C) – esuperior as temperaturas do ambiente exterior (T∞ = Tsur = 80C).
Caso 3 – Errado: embora a temperatura mınima observada seja igual ao valor Ts,1 =20C prescrito, este valor e observado em x = 0,8 m e nao em x = 0,2 m.
Caso 4 – Correcto: tanto os valores de temperatura como a forma das isolinhasdeste caso sao compatıveis com as condicoes do problema – condicoes de fronteira epropriedades de transporte (condutibilidades termicas dos materiais).
(c) Para um determinado coeficiente de conveccao verifica-se, atraves da solucao numerica bidi-mensional (2D), a existencia de uma superfıcie a temperatura de 41C (superfıcie isotermica)coincidente com o plano x = 0,55 m. Nestas condicoes, determine o valor considerado para ocoeficiente de conveccao com base numa aproximacao unidimensional de conducao de calorque garanta isotermicas as superfıcies perpendiculares ao eixo x.
Resolucao:
Para a determinacao do coeficiente de conveccao consideram-se as seguintes 3 etapas:
1. calculo da taxa de transferencia de calor por unidade de profundidade da parede, q′x;
2. calculo da temperatura Ts,4 = T (x = 0,8 m) com base no valor q′x; e
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3. calculo do coeficiente de conveccao com base em q′x e Ts,4.
A conducao de calor considerada nas etapas 1. e 2. e aproximada como unidimensional comas superfıcies perpendiculares ao eixo x isotermicas.
Etapa 1: Calculo da taxa de transf. de calor por unidade de profundidade da parede, q′xq′x e calculado entre as superfıcies x = 0,20 m e x = 0,55 m. As temperaturas em ambasas superfıcies sao conhecidas bem como todas as propriedades geometricas e de transporteentre ambas as superfıcies para que se possa calcular a resistencia termica total de acor-do com a aproximacao unidimensional em consideracao. O circuito termico equivalenteconsiderado para o calculo de q′x e apresentado na figura seguinte.
Assim, a taxa de transferencia de calor por unidade de profundidade da parede e calculadaatraves da Equacao (136).
q′x =Ts,i − Ts,1R′t,tot
⇔ q′x =Ts,i − Ts,1
Lx,A
kALy,A+ 1
(kBLy,B)/Lx,i+(kCLy,C)/Lx,i
⇔
⇔ q′x =41− 20
0,270×0,4
+ 1(200×0,1)/(0,55−0,4)+(0,1×0,3)/(0,55−0,4)
⇔
⇔ q′x ≈ 1435,247 W m−1
(136)
Na Equacao (136), Lx,i corresponde a distancia – segundo o eixo x – que separa a su-perfıcie isotermica (x = 0,55 m) da interface entre o Material A com os Materiais B e C(x = 0,40 m).
Etapa 2: Calculo da temperatura Ts,4 com base no valor q′xO circuito termico equivalente considerado para o calculo de Ts,4 e apresentado na figuraseguinte. (Note que em alternativa ao circuito termico apresentado na figura, pode consi-derar, para o calculo de Ts,4, um circuito termico equivalente entre os nos correspondentesas temperaturas Ts,4 e Ts,i.)
A temperatura da interface entre a parede e o ambiente exterior, Ts,4, e calculada de acordo
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com a Equacao (137).
q′x =Ts,4 − Ts,1R′t,tot
⇔ Ts,4 = Ts,1 + q′xR′t,tot ⇔
⇔ Ts,4 = Ts,1 + q′x
[Lx,AkALy,A
+1
(kBLy,B) /Lx,B + (kCLy,C) /Lx,C+
Lx,DkDLy,D
]⇔
⇔ Ts,4 = 20 + 1435,247
[0,2
70× 0,4+
1
(200× 0,1) /0,3 + (0,1× 0,3) /0,3+
+0,1
100× 0,4
]⇔ Ts,4 ≈ 55,336C
(137)
Etapa 3: Calculo do coeficiente de conveccao com base em q′x e Ts,4
O circuito termico equivalente considerado para o calculo do coeficiente de transferenciade calor por conveccao e apresentado na figura seguinte.
Finalmente, obtem-se o valor pretendido de acordo com a Equacao (138).
q′x =T∞ − Ts,4R′t,tot
⇔ q′x =T∞ − Ts,4
11/R′t,conv+1/R′t,rad
⇔ q′x =T∞ − Ts,4
1hLy,D+hrLy,D
⇔
⇔ q′x = Ly,Dh (T∞ − Ts,4) + Ly,Dσ(T 4∞ − T 4
s,4
)⇔ h =
q′x − Ly,Dσ(T 4∞ − T 4
s,4
)Ly,D (T∞ − Ts,4)
⇔
⇔ h =1435,247− 0,4× 5,67× 10−8 ×
[(80 + 273,15)4 − (55,336 + 273,15)4]
0,4× (80− 55,336)⇔
⇔ h ≈ 136,492 W m−2 K−1
(138)
(d) Repita o exercıcio anterior mas considerando agora a aproximacao unidimensional que ga-rante adiabaticas as superfıcies paralelas a x.
Resolucao:
Para a determinacao do coeficiente de conveccao consideram-se as seguintes 3 etapas:
1. calculo da taxa de transferencia de calor por unidade de profundidade da parede, q′x;
2. calculo da temperatura Ts,4 = T (x = 0,8 m) com base no valor q′x; e
3. calculo do coeficiente de conveccao com base em q′x e Ts,4.
A conducao de calor considerada nas etapas 1. e 2. e aproximada como unidimensional com
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as superfıcies paralelas ao eixo x adiabaticas.
Etapa 1: Calculo da taxa de transf. de calor por unidade de profundidade da parede, q′x
q′x e calculado entre as superfıcies x = 0,00 m e x = 0,55 m. As temperaturas em ambasas superfıcies sao conhecidas bem como todas as propriedades geometricas e de transporteentre ambas as superfıcies para que se possa calcular a resistencia termica total de acor-do com a aproximacao unidimensional em consideracao. O circuito termico equivalenteconsiderado para o calculo de q′x e apresentado na figura seguinte.
Assim, a taxa de transferencia de calor por unidade de profundidade da parede e calculadaatraves da Equacao (139).
q′x =Ts,i − Ts,1R′t,tot
⇔
⇔ q′x =Ts,i − Ts,1(
1
Lx,A/(kALy,A−1)+Lx,i/(kBLy,B)+ 1
Lx,A/(kALy,A−2)+Lx,i/(kCLy,C)
)−1 ⇔
⇔ q′x =41− 20(
10,2/(70×0,1)+(0,55−0,40)/(200×0,1)
+ 10,2/(70×0,3)+(0,55−0,40)/(0,1×0,3)
)−1 ⇔
⇔ q′x ≈ 586,370 W m−1
(139)
Na Equacao (139), Lx,i corresponde a distancia – segundo o eixo x – que separa a superfıcieisotermica (x = 0,55 m) da interface entre o Material A com os Materiais B e C (x = 0,4 m).
Etapa 2: Calculo da temperatura Ts,4 com base no valor q′x
O circuito termico equivalente considerado para o calculo de Ts,4 e apresentado na figuraseguinte.
A temperatura da interface entre a parede e o ambiente exterior, Ts,4, e calculada de acordo
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com a Equacao (140).
q′x =Ts,4 − Ts,1R′t,tot
⇔ Ts,4 = Ts,1 + q′xR′t,tot ⇔
⇔ Ts,4 = Ts,1 + q′x
(1
Lx,A/ (kALy,A−1) + Lx,B/ (kBLy,B) + Lx,D/ (kDLy,D−1)+
+1
Lx,A/ (kALy,A−2) + Lx,C/ (kCLy,C) + Lx,D/ (kDLy,D−2)
)−1
⇔
⇔ Ts,4 = 20 + 586,370
(1
0,2/ (70× 0,1) + 0,3/ (200× 0,1) + 0,1/ (100× 0,1)+
+1
0,2/ (70× 0,3) + 0,3/ (0,1× 0,3) + 0,1/ (100× 0,3)
)−1
⇔
⇔ Ts,4 ≈ 45,427C
(140)
Etapa 3: Calculo do coeficiente de conveccao com base em q′x e Ts,4
O circuito termico equivalente considerado para o calculo do coeficiente de transferenciade calor por conveccao e apresentado na figura seguinte.
Finalmente, obtem-se o valor pretendido de acordo com a Equacao (141).
q′x =T∞ − Ts,4R′t,tot
⇔ q′x =T∞ − Ts,4
11/R′t,conv+1/R′t,rad
⇔ q′x =T∞ − Ts,4
1hLy,D+hrLy,D
⇔
⇔ q′x = Ly,Dh (T∞ − Ts,4) + Ly,Dσ(T 4∞ − T 4
s,4
)⇔ h =
q′x − Ly,Dσ(T 4∞ − T 4
s,4
)Ly,D (T∞ − Ts,4)
⇔
⇔ h =586,370− 0,4× 5,67× 10−8 ×
[(80 + 273,15)4 − (45,427 + 273,15)4]
0,4× (80− 45,427)⇔
⇔ h ≈ 33,786 W m−2 K−1
(141)
(e) Atraves da solucao 2D considerada na alınea anterior verificou-se que a taxa total de trans-ferencia de calor por unidade de profundidade da parede (q′tot) para o meio exterior (fluidoadjacente e superfıcies envolventes) corresponde a 934,9 W m−1 e que a temperatura emx = 0,8 m e aproximada pela Equacao (142). Com base nestes valores para o desempen-ho termico da parede, determine o valor do coeficiente de conveccao. (Este procedimentofornece um valor mais preciso para o coeficiente de conveccao do que uma aproximacaounidimensional.)
T (x = 0,8 m, 0,2 m ≤ y ≤ 0,6 m)[C] = −29,7y[m] + 70,5 (142)
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Resolucao:
Aplicando um balanco de energia a superfıcie x = 0,8 m tem-se:
Ein − Eout = 0 (143)
A Equacao (143) pode ser escrita de acordo com a Equacao (144). Como a temperatura dainterface entre a parede e o ambiente exterior, T (x = 0,8 m, y) (= Ts,4) nao e constante entao ataxa de transferencia de calor por unidade de profundidade da parede por conveccao e radiacao(q′conv e q′rad, respectivamente) sao obtidos pela integracao dos respectivos fluxos de calor aolongo da parede (0,2 m ≤ ly,D ≤ 0,6 m). Note que o coeficiente de transferencia de calor porconveccao, h, e constante tal como referido no enunciado.
Lzq′cond = Lz (q′conv + q′rad)⇔ q′tot = q′conv + qrad ⇔ q′tot =
∫ly,D
q′′convdy +
∫ly,D
q′′raddy ⇔
⇔ q′tot =
∫ly,D
h (T∞ − Ts,4) dy +
∫ly,D
σ(T 4∞ − T 4
s,4
)dy ⇔
⇔ h =q′tot −
∫ly,D
σ(T 4∞ − T 4
s,4
)dy∫
ly,D(T∞ − Ts,4) dy
⇔
⇔ h =934,9− 5,67× 10−8
∫ 0,6
0,2
[(80 + 273,15)4 − (−29,7y + 70,5 + 273,15)4] dy∫ 0,6
0,2(80− (−29,7y + 70,5)) dy
⇔
⇔ h ≈ 100,222 W m−2 K−1
(144)
O valor de h considerado para obter a solucao 2D do problema foi de 100,0 W m−2 K−1 (href).Como se pode observar, o resultado obtido atraves do procedimento desenvolvido nesta alıneae bastante semelhante ao valor de referencia. Repare ainda que as aproximacoes unidimensio-nais consideradas nas alıneas (c) e (d) fornecem os limites superior e inferior para a gama decoeficientes de conveccao onde se encontra o valor de referencia, href .
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