Download - Tópicos de cálculo Vol. II H - By Priale
MAXIMO MITACC LUIS TORC
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TERCERA EDICION www.FreeLibros.com
TOPICOS DE CALCULO VOL. II
- INTEGRAL INDEFINIDA
- INTEGRAL DEFINIDA
• INTEGRALES IMPROPIAS
- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
- COORDENADAS POLARES
- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
- SUPERFICIES
MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA
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TOPICOS DE CALCULO VOL. II
TERCERA EDICION
MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA
IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU
Prohibida la reproducción total o parcial por todos los medios gráficos, sin permiso de los autores.
Número de Inscripción en le Registro Nacional de Derechos de Autor N° 160
Impreso en los Talleres Gráficos de: Editorial THALES S.R.L.
TERCERA EDICION Mayo del 2009
PRÓLOGO
En esta segunda edición de Tópicos de Cálculo Vol. II, nos hemos esforzado por
presentar el cálculo integral para funciones reales de una variable real y la
geometría analítica en el espacio, en forma tal que resulte de máximo provecho a
los estudiantes cuyo campo de especialización no sea estrictamente las
matemáticas. La orientación principal del libro es hacia aplicaciones en diversas
áreas de la ciencia, lo cual amplía la utilidad del texto.
Aunque en esta edición la estructura básica general no se ha cambiado, se ha
realizado una gran cantidad de revisiones. Hemos reestructurado casi la totalidad
del capitulo 6 y el capítulo 7, se han hecho una gran cantidad de modificaciones a
lo largo de todo el libro, los cuales consisten en ejemplos adicionales
desarrollados y redacción de procedimientos. El conjunto de ejercicios propuestos
se ha modificado, con la adición de nuevos ejercicios.
El Libro se divide en siete capítulos. En los primeros cuatro capítulos se hace una
presentación de la integral indefinida, integral definida, integral impropia, y sus
aplicaciones. Hemos visto por conveniencia desarrollar primero la integral
indefinida con la finalidad de familiarizar al estudiante con las técnicas y/o
artificios de integración que luego se usan en los capítulos siguientes. El capítulo
cinco trata sobre las coordenadas polares y sus aplicaciones. En los capítulos
siguientes (del sexto al séptimo), se inicia con una introducción breve de vectores
en el espacio tridimensional y se continua con recta, plano, superficies y se
concluye con las coordenadas cilindricas y esféricas.
Nuestro propósito es que esta edición no lenga errores, pero es casi un axioma que
todo libro de Matemática los presente; por tal motivo consideramos que este texto
no sea la excepción, a pesar del esmero y la dedicación puesta para detectarlos y
corregirlos antes de su impresión. En tal sentido, los autores compartimos la
responsabilidad de los mismos, aclarando que dichos errores han sido cometidos
solamente por uno de los autores.
Queremos expresar nuestro agradecimiento a los profesores y alumnos de todo el
país por la acogida brindada a la edición anterior y esperamos que esta nueva
edición tenga la misma preferencia.
Los Autores
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INDICE
CAPITULO 1: INTEGRAL INDEFINIDA
Antiderivada e integración indefinida................................................ 1
Propiedades de la integral indefinida.......................................... 4
Integrales inmediatas.................................................................. 5
Métodos de integración.............................................................. 10
Integración por sustitución o cambio de variable............... 11
Integración por partes......................................... 20
Técnicas de integración.............................................................. 29
Integrales de algunas funciones trigonométricas e hiperbólicas 32
integrales de la forma / sen™* cos-x dx y f s 'n k "* cosk'z «fa 32
Integración por sustitución trigonométrica.................................... 45
Método de integración por descomposición en fracciones parciales 56
Integración de algunas funciones irracionales............ ................ 68
CAPITULO 2: INTEGRAL DEFINIDA
Sumatorias..... ................................................................................ 95
Cálculo del área de una región plana por sumatorias................ 104
Suma superior y suma inferior.................................................. 112
Integrales inferiores y superiores................................................ 115
Integral de Riemann ...................................................................... 116
Propiedades de la integral definida ............................................ 120
Teoremas fundamentales del cálculo integral........................... 121
Cambia de variable en una integral definida........................... 130
Integración por partes en una integral definida........................ 134
Cálculo aproximado de las integrales definidas..................... 144
CAPITULO 3: INTEGRALES IMPROPIAS
Integrales impropias con límites infinitos................................. 149
Integrales impropias con límites finitos............ ...................... 152
Integrales impropias con integrando no negativo............... . 161
CAPITULO 4: APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Área de regiones planas.......................... ...................................... 167
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Volumen de un sólido en función de las áreas de las secciones planas....... 181
Volumen de un sólido de revolución......................................... 185
Método del disco circular y del anillo circular......................... 185
Método de la corteza cilindrica ................................................... 191
Longitud de arco.......................................................................... 201
Área de una superficie de revolución....................................... 208
Momentos y centros de masa (ó centros de gravedad)............. 214
Aplicaciones de la integral en los negocios................................ 229
CAPITULO 5: COORDENADAS POLARES
Sistema de coordenadas polares................................................... 237
Relación entre las coordenadas polares y las rectangulares........ 239
Distancia entre dos puntos en coordenadas polares..................... 240
Ecuación polar de una recta......................................................... 241
Ecuación polar de una circunferencia........................................... 243
Discusión y gráfica de una ecuación polar..................................... 244
Intersección de curvas en coordenadas polares............................... 248
Derivadas y rectas tangentes en coordenadas polares................ 251
Ángulo entre dos curvas en coordenadas polares........................ 254
Área de regiones en coordenadas polares........................... ....... 262
Longitud de arco en coordenadas polares..................................... 266
Volumen de un sólido de revolución en coordenadas polares.... 268
CAPITULO 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
TRIDIM ENSIONAL
Vectores en el espacio tridimensional............................................. 273
Representación geométrica de un vector en i 3 ........ .................... 274
Vectores paralelos en E 3 ................................................................. 276
Módulo y longitud de un vector en K3 ........................................... 277
Ángulo entre dos vectores................................................................ 278
Vectores ortogonales o perpendiculares......................................... 279 •
Producto vectorial............... .............................................................. 283
Aplicaciones del producto vectorial................................................. 285
Aplicación del triple producto escalar............................................. 287
Recta en el espacio.................................. .......................................... 295
Relación entre los cosenos directores de una recta.......................... 296
Ecuaciones de un plano en el espacio.............................................. 306
Ángulo entre dos planos.................................................................... 319
Proyección ortogonal de una recta sobre un plano........................ 320
CAPITULO 7: SUPERFICIES
Esfera.............................................................................................. 342
Discusión y gráfica de la ecuación de una superficie................... 347
Cilindros........................................................................................... 352
Superficie de revolución................................................................ 356
Superficies cuadráticas.................................................................... 361
Coordenadas cilindricas y coordenadas esféricas........................... 369
Coordenadas esféricas....................................................................... 371
Aplicaciones....................................................................................... 373
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( r ' ........... .....1..... .............................. ^
INTEGRAL INDEFINIDA
^ ........ .......— ^
1.1 ANT1DERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA
En el libro de Tópicos de Cálculo Volumen 1, se trató principalmente el problema
básico siguiente: “Dada una función encontrar su derivada”. Sin embargo, existen
muchas aplicaciones del cálculo que están relacionadas con el problema inverso,
el cual es: “Dada una función / , definida en un intervalo /, encontrar una función
F cuya derivada sea la función f , es decir,
F '(x) = / (* ) , V x G /.
Definición 1. Sea / un intervalo y / : / -> M una función. Una función F: / —» M
tal que F'(x ) = /(x ), V x 6 /, se denomina primitiva o antiderivada de / en / y
se escribe
F(x) = Ant ( / (* )) , V x 6 /
Ejemplo 1. Sea / (x ) = 4x3 , x G R y g(x ) = ex , í E B .
Las funciones F(x) — x4 y G(x) = ex, x £ K, son respectivamente antiderivadas
de / y g en E, es decir,
F'(x ) = (x4)' = 4x3 , V x € R
G’(x) = (ex)' = ex , V x e R
También son antiderivadas de f (x ) = 4x3 las funciones
1007TF1(x) = x4 + 2, F2{x ) = x4 + ln 7i y F3(x) = x4 + ■
pues sus derivadas son iguales a f(x ) = 4x3
Análogamente, otras antiderivadas de g(x) = ex son, por ejemplo,
V3GiCx) = ex - 1, G2(x ) = ex - ee, G3(x) = ex + — y C4(x) = ex + k
donde k es cualquier constante real.
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Observación i. Si F{x) = A nt(f(x )) en 1, entonces F(x) + C, donde C es una
constante real, es también antiderivada de f en l.
lista propiedad es evidente, pues si F(x) = Ant(J{x)) en /, entonces
F '(x )= f (x ) , V x e l
También (F(x) + C)' = F'{x) = f(x ), Vx 6 /. Entonces
F(x) + C - Ant{f{x)) en /
Una pregunta natural es: “Si F{x) = A nt(f(x )) en el intervalo /, ¿cualquier otra
antiderivada de / en / difiere de F a lo más en una constante?”. Dicho de otro
modo, si F^x) = A n t(f(x )) en /, ¿necesariamente F^x) = F(x) + C, V x e l ?
La respuesta es afirmativa y se deduce de la siguiente proposición.
Proposición 1. Sea / : / -» E una función definida en el intervalo abierto / y
F :I -> E una antiderivada o primitiva de / . Si E es también unaantiderivada de / , entonces
F1(x) = F(x ) + C
para alguna constante C.
Demostración
Definimos la función H por H(x) = F^x ) - F(x). Entonces
H'(x) = F/OO - F'{x) = f (x ) - / ( * ) - 0, Vx 6 /
Luego, H'(x) = 0 , V x e l .
De aquí se deduce que //(x) = C, V x E / , donde C es una constante (ver
Corolario 1 del T.V.M. Tópicos de Cálculo Vol. 1). Luego, se tiene
H(x) = F-tix) - F{x) = C <=> F^x) = F(x) + C , V x e l
Geométricamente, significa que si F(x) = A nt(f(x )) en el intervalo I, cualquier
otra antiderivada de / en / es una curva paralela al gráfico de y = F(x) (Fig. 1.1).
TOI%()S DE CÁLCULO- VOLUMEN II
2
INTEGRAL INDEFINIDA
Definición 2. Sea F(x) una antiderivada de f{x ) definida en el intervalo I. La
integral indefinida'de f ( x ) es e f conjunto de todas las antiderivadas de f (x )
definidas en dicho intervalo y se representa mediante el símbolo
J f(x )dx = F CO -+ C
donde C es una constante real que se denomina constante de integración.
La función f(x ) se llama integrando, f{x)dx es el elemento de integración, x
variable de la integral- y el símbolo j se denomina símbolo de la integral. La
expresión / f(x )dx se lee “integral de f ( x ) con respecto a x" o “integral
indefinida de f (x ) diferencial x”.
Observación 2, De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades:
i) ^ ( J 7 (x )< te ) — (S f (x )d x ) = (F(x) + cy = / (* ) , es decir-.
"la derivada de la integral indefinida es igual al integrando "
ti) d |J / (x)dxj = /(x )dx j dx = f{x)dx
iii) Si f es una función derivable en /, entonces una primitiva de f es f . Luego,
J f'{x )dx = f (x ) + C
iv) Como d{f{x)) = f ' ( x )d x , de (iii) se deduce:
J d ( f (x )) = f (x ) + C
De las propiedades ii) y iv), se concluye que la integral indefinida puede
interpretarse como una operación inversa de la diferenciación, pues al aplicar la
integral indefinida a la diferencial de la función f{x), ésta reproduce la función
f (x ) más la constante de integración.
Ejemplo 2. Del ejemplo 1 se deduce:
i) J exdx = ex + C
ii) J 4x3dx = x4 + C
En la figura 1.2 se muestra la gráfica de las antiderivadas de f(x ) = ex, es decir,
de F(x) = e* + C , donde C es una constante real. Si C > 0, la gráfica de y = ex
se desplaza paralelamente C unidades hacia arriba y si C < 0, se desplaza
paralelamente C unidades hacia abajo.
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 3. Como d(x \nx - x) = lnx dx, por la obs. 2-iv , se deduce:
J d(xlnx — x) = J Inx dx = xlnx - x + C
, , í ¿x 1 x Ejemplo 4. J - ^ — j = - arctan-+C, pues
n x \' 1(-arctan- + C) = -
1__ 2__
X 1 + =r
4
1
4 + x2
1.2 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Proposición 2. Si / y g son funciones que admiten antiderivadas en el intervalo /
y k es una constante cualquiera, entonces las funciones / ± g y kf admiten
antiderivadas en / y se tiene:
a) [ íf(x) ±g(x)]dx = J f(x)dx ± J g(x)dx
b) I [kf(x)]dx = k j f{x)dx
Demostración
a) Como {jlf(x)±g(x)]dx] = f(x) ± g(x) = [J f{x)dx] ± J g{x)dx ,
entonces J [f(x) ±g(x)]dx y J f(x )dx± J g(x)dx son las antiderivadas
de f (x ) ± g(x ) . Por tanto,
j l f ( x ) ± g(x)]dx = J f(x)dx ± j g(x)dx
b) La demostración queda como ejercicio para el lector.
De la parte (a) se deduce que la integral indefinida de una suma algebraica de
varias funciones es igual a la suma algebraica de sus integrales.
Ejemplo 5. Calcule j (ex - 4x3 + ln x)dx.
Solución. En virtud de la proposición 2 y de los ejemplos 1, 2 y 3 se obtiene:
J (ex - 4x3 + ln x)dx = J exdx - J 4x3dx + J ln xdx
= (ex + Ct) - (x4 + C2) + (xlnx - x + C3)
= ex - x4 + x ln x - x + C, donde C - Cx + C2 + C3
En lo que sigue solamente usaremos una constante única de integración para la
suma de 2 o más funciones.
4
Si conocemos f '(x ) , por la observación 2-iii se deduce que
j f '(x )d x = f (x ) + C ó J d (f(x )) = f{x ) + C
Esta integral se denomina integral inmediata. Por ejemplo, una integral inmediata
es / dx = x + C. Enseguida, presentaremos una tabla de integrales inmediatas,
que contiene, además de las integrales de funciones elementales, otras que serán
de mucha utilidad. Por comodidad, en lugar de la variable x usaremos la letra u.
Más adelante, veremos que u puede ser una función, es decir, u = u(%).
INTEGRAL INDEFINIDA
1.3 INTEGRALES INMEDIATAS
FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACION
du+ C1. J du — u + C 2. J — -lnlu¡
í un+1 f3. undu —-------- + C ,n =£ — 1 4. eudu = e + C
J n + 1 J
f ciu f5. \audu = -----H C 6. I sen u du = - cosu + C
J In a J
7. J eos udu = sen u + C 8. j tan u d u = ln|sec u| + C
9. J cot u du = ¡njsen u¡ + C 10. J secu du — lnlsecu + tan u| + C
ese u du = ln|csci¿ — coti¿| + C 12. J sec2u du = tan u + C
13. J csc2u du = — cot u + C 14. J secu tan u du = secu + C
15. J csc u cot udu — — cscu + C 16. J senh u du - cosh u + C
17. J cosh u du = senh u + C 18. j tanh u du = ln|cosh u| + C
19. J sech2u du = tanh u + C 20. J cschJu du = -coth u + C
21. J sechu tpnh u du = —sechu + C
22. j cschu coth u du = — cosh u + C
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■ h
■ h
du
+ u- a
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
1 Uarctan — + C , (a > 0)
1 u — a= — ln
2a u + a
1 u 4 a= — ln
2a u - a
+ C , (a > 0)
4 C , (a > 0)
26f du u
—= = = arcsen - + C , (a > 0)
-arcsec---1- C , (a > 0)a
29
30
arcsen- + C , (a > 0) a j
f du i 1----- 127. I - p = = ln u + -y/u2 ± a2 4 C
•> v u2 ± a2
r du 128. — ;..= -
J uvu1 — a2 a
. J yja2 — u2du = - JuVa2 - u2 + a
j yj'u2 + a2du = - |u%/u2 + a2 + a2 ln (u + J u 2 + a2)j + C
31. J yju2 - a2du = - [uvu2 - a2 - a2 ln |u + -Ju2 - a2|| + C
Cada una de éstas fórmulas se pueden verificar mediante la derivación (respecto a
la variable u).
Por ejemplo, en el caso de la fórmula 24 se tiene:
dd / 1 iu — ai\ 1
du \2a n lu + a l/ 2a(ln|u - a\- ln|u + a|)
i IUU
1 1 1 1
2a u - a u + a
Por tantof du 1 iu - ai
■ I —-t = t¡—ln ------- + CJ u'- — a2 2a lu + al
En el caso de la fórmula 18, se tiene:
d senhu— (In cosh u|) = — r— ?= tanh u du cosh u
De lo anterior se deduce que J tanh u d u = ln|cosh u| + C.
6
Ejemplo 6. Calcule J (6x4 - x2 + 3)du.
Solución
Usando las fórmulas de integración, tenemos
J (6x4 - x2 + 3)du = J 6x4dx - J x2dx + j 3dx
= 6 J x4dx - j x2dx 4-3 j dx
6 x3= - x 5 - — + 3x + C
Ejemplo 7. Calcule J (v2 — \[x)2dx.
Solución
Como (V2 — V* )2 = (2 — 2V2Vx + x), entonces se obtiene
j (V2 - Vx)2dx = 2 J dx - 2V2 j x l /2dx + J xdx
r 3/2 y 2= 2 1 - 2 ^ + y + C
= 2x - ^ V T x 3/2 4-^x2 4- C
f 3x5 — 6x2 4- Vx Ejemplo 8. Halle I ------ ----dx.
J x^Solución
Dividiendo término a término el integrando y aplicando las propiedades de la
integral, se tiene
f 3x5 — 6x2 4- Vx f f dx fI ----- ------- dx — 3 I x dx - 6 I --- 1- I x 5/2c¡x
2- x3 - 6 ln|x| - - x 3/2 4 C
En los ejemplos anteriores, el método para hallar las integrales consistió en tratar
de descomponer el integrando como la suma algebraica de varias funciones y
luego aplicar las propiedades enunciadas en la proposición 2. Este método es
llamado "método de integración por descomposición”. En ciertas funciones,
descomponer la función en sumas parciales no es tarea fácil, pues depende de la
experiencia, habilidad y práctica del que calcula.
INTEGRAL INDEFINIDA
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/
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
dxEjemplo 9. Calcule ,
J senh2x cosh-x Solución
1 cosh2x - senh2xLomo -- —--—— = ----- —---- —— = csch^x - sech2x, entonces
senrrx cosh-x senh2x cosh^x
/ senh2x cosh2x = / CSCh2* dx ~ / Sech2* dx = ~COth X “ tanh x + C
r x2 + 2Ejemplo 10. Encuentre ■ ----dx.
J x2(x2 + 4)Solución
Expresando el numerador del integrando en términos de los factores del
denominador, resulta
2 1 + 2 = xz + - (xz + 4 - x2) ~ - [(x2 + 4) + x2]
Ahora, escribimos la integral como la suma de dos integrales (haciendo las
simplificaciones en cada integrando) y obtenemos
í * ¿ +2 l f i ! + ( i 2 + 4) i r dx 1 r dx
J x2(x2 + 4) X ~ 2 j x2(x2 + 4) 2 j ^ T 4 + 2 j ^
1 rl xi 1
~ 2 l2 í
i ri x : arctan -
+ 2
1 X 1-arctan - - — + C 4 2 2x
í x2 — 5Ejemplo 11. Halle / = — —— — dx
J x2(x2 - 9)Solución
Procediendo del mismo modo que en el ejemplo anterior, resulta
x2 - 5 = x2 + | (x2 - 9 - x2) = | (x2 - 9) i- ~x2 9 9 9
_ f í * 2 + | ( * 2 - 9) 4 r dx 5 r dx
J x2(x2 - 9) d x - 9 j x 2 - 9 + 9 j I 2
4 1
= 9 ' ¿ ln
x + 3
x — 3
5 2 ix + 3| 5
~9x + ° ~ 27 ln lx-31 ~9x + C
8
INTEGRAL INDEFINIDA
3 dxEjemplo 12. Halle
J x (x + 5)
Solución
Usando el mismo procedimiento de los ejemplos anteriores, se obtiene
3 3 33 = - (x2 + 5 — x2) = — (x2 + 5) - -x2 . Luego,
3 , - , . , . 3 2 j_ T 5 O 2 + 5) - 5 X2 dx ^ 3 rdx 3 f
J x2(x2 + 5) 5 J x2 5 J x2 + 5
3 x: arctan — + C
5x 5V5 V5
Ejemplo 13. Sea / : R -> R una función continua en R tal que
m = 2 y = * e
\ex, x > 1Determine f(x ).
Solución
(- 1, 00 < x < 0 f-x + Cu x < 0
/ '(x ) = |1. 0 < x < l => f(x ) = I x + C2 , 0 < x < 1
le * , x > l le * + C3 , x > l
De la continuidad de / en E, se tiene
0 /(O) - l*m f(x ) = l'm f(x ) *=* 2 = C, = C2 ( 1)x-»0_ x >0*
ii) / (1 ) = lim_/(x) = lim+/(x ) «=> 1 + C2 — e + C3 (2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), se obtiene: Cx - 2, C2 = 2 y C3 = e - 3.
í —x + 2 , x < 0
Por tanto, / (x ) = | x + 2, 0 < x < 1
[ex + e - 3 , x > 1
Observación 3. Una identidad útil en el proceso de integración es
1 1
a2 - u 2 2a a — u a-ru
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f dxEjemplo 14. Calcule I —— -.
Solución
Usando la identidad de la observación 3, se tiene
C dx _ 1 f r 1 1
J x4 — 9 ~ ~ 6 J lx2 + 3 + 3~—~}111 x 1- — arctan— + — — ln 6 LV3 V3 2V3
x2 + 13
dx
+ V3
-V3+ C
r x¿ + 13Ejemplo 15. Encuentre --- dx.
J V F T 9Solución
Trabajando de manera adecuada en el numerador del integrando, se obtiene
f i z + 13 , f (x2 + 9) + 4 f r—--- f dx. dx = — — dx = I 4 X + 9 dx + 4 I
J Vx2 + 9 J Vx2 + 9 J J Vx2 + 9
= - j*V * 2 + 9 + 9 ln(x + V* 2 + 9)] + 4 ln(x + j x 2 + 9) + C
= 2 [W * 2 + 9 + 17 ln(x + V x ^T i)] + C
1.4 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Antes de presentar los métodos de integración “por sustitución o cambio de
variable” y “por partes”, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre las
operaciones de derivación y de integración. Dada una función elemental (función
que se obtiene mediante un número finito de operaciones de suma, resta,
multiplicación, división y composición de funciones de las funciones: constante,
potencia (y - xa), exponencial (y = ax), logarítmica (y = loga x),
trigonométricas y trigonométricas inversas), su derivada mantiene la misma
estructura, es decir, también se expresa como una función elemental, mientras que
en la integral indefinida, esto solamente sucede en condiciones muy especiales.
Por ejemplo, las integrales simples como
l ^ i x . ¡ e ‘ -dx,
J Vi + x3 dx , J ser¡(x2)dx , j cos(x2) dx
no pueden ser expresadas en términos de “combinaciones finitas” de funciones
elementales.
10
INTEGRAL INDEFINIDA
Del punto de vista práctico, la integración se presenta como una operación más
complicada que la derivación, pues ésta tiene reglas generales de derivación;
mientras que para la integración es posible hacer artificios que son válidos para
clases particulares de funciones. Cada caso particular requiere un ensayo, una
tentativa, por lo que se recomienda práctica, más práctica y más práctica.
1.4.1 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAM BIO DE VARIABLE
Para hallar la integral indefinida por este método, dividimos nuestro análisis en
dos partes: reconocimiento del modelo y cambio de variable.
En el reconocimiento del modelo realizamos la sustitución mentalmente, mientras
que en cambio de variable escribimos los pasos de la sustitución.
El procedimiento de sustitución en la integración es comparable con la regla de la
cadena en la derivación. Recuerde que para funciones derivables y = f{u ) y
u = g(x), la regla de la cadena establece
■^IfCffCx))] = f '(g (x )) .g '(x )
Si hacemos la sustitución u = g(x), entonces a partir de la definición de la
integral definida tenemos
J f(g (x ))g\ x)dx = f (g (x )) + C = f (u ) + C
Así, hemos probado la siguiente proposición:
]Proposición 3. Si y = f ( u ) es una función derivable de u, u = g(x) es una i
función derivable de x y F es una antiderivada de / , entonces |!
[ f ( g (x))g '(x)dx - F(g(x)) + C (Reconocimiento del modelo) \
íSi hacemos el cambio de variable u = g(x), entonces du = g'{x)dx . Luego,
| f (g ( .x ))g 'to d x = J f(u )d u = F(u) + C
Ejemplo 16. Calcule J (x3 + l )4 3x2 dx.
Solución
Sea t - x :) + 1 . entonces dt — 3x2 dx . Luego,
J ( x 3 + l ) 43x2dx = J t 4dt = + C - ..^ + C
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í X4Ejemplo 17. Halle la integral I - dx.
J Vx5 + 1Solución
Si t = x5 + 1 , se tiene dt — 5x4dx . Entonces
f x4 , l f 5x4dx i r 1 7 £í„T'f •- dx = r Tr , = c f “ dt = - - - t6/7 + C
J Vx5 +1 5J Vx5 +1 5 J 5 6
= ¿ V ( * s + i ) 6 + c
r SexdxEjemplo 18. Calcule la integral J - ^ = = = .
Solución
Si u = ex , se tiene du — exdx . Luego, se obtiene
r Sexdx f du...... = 5 --- = 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C
J V i - e2* J V l ^ ü 2
f senhxcoshxEjemplo 19. Calcule / = —---- — -— dx.
J (1 + senh2x)5Solución
Si consideramos u = 1 + senh2x , se tiene du - 2 senh x cosh x dx . Luego,
f ? du 1 í 1 u “4 1
/ - J - ¡ ^ - 2 j U dU - 2 ( ^ ) + C - ~ 8(1 + senh2x)4 + C
f arcsenVx dx Ejemplo 20. Halle I — ■ = = — .
■/ V x—x2Solución
r- . ' 1 dx dxSi se hace u = arcsenVx, se tiene du = --— = = — ■— .. Por tanto,
V T ^x 2Vx 2Vx - x2
r arcsenVx dx r J „ r ^ i 2J — — = J 2u d u = u + C - [arcsenVx] + C
= arcsen2 Vx + C
Observación 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el
integrando para que el cambio de variable sea más fácil de realizar.
12
INTEGRAL INDEFINIDA
Ejemplo 21. Calcule I I 2+ J2 + J2 + 2cos (5\/x + 4) • x 1/2dx.
Solución
En el integrando, aplicamos la identidad trigonométrica
9 1 + eos 6eos — = -- —
2 2
Q
ó 1 + eos 6 — 2 eos2 —
- I1 = 2 + 2+ |2[l + eos (5Vx + 4)] • x 1/2dx
- s! 2 + 12 + 2cos 5- +4 • x~1/2dx = J 2 + 2 eos
5Vx 4- 4t/2dx
5Vx + 4 5 _ . 16Si u = -- ----, entonces du = —~x ,¿dx <=> —-du = x ' ‘ dx . Luego,
8 16 5
32 r 32 32 /5Vx + 4\/ = — I eos u d u = — sen u + C = — sen I -- g— | + C
Ejemplo 22. Halle / = Jx dx
e3* ( l - x)4
Solución
Luego de expresar el denominador en una sola potencia, tenemos
xex dx r xex dxr xe dx r xe
= J e4x(l — x)4 = J (e *- .e4x(l — x)4 J (e*-xe*)4
hacemos u = ex — xex. Entonces du = —xexdx ■*=> —du = xexdx
l)c esiii manera, se obtiene:
/f du _ 1
J u4 3u 3+ C =
3e3* ( l — x)3+ C
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 23. Calcule / = J(x2 - 1)dx
(x2 + l)Vx4 + 1
Solución
Dividiendo el numerador y el denominador entre x2 , se tiene
, = f f t 1 ~ x 1) dx
V i
Si u = x + -, entonces du - ( 1 -- r) dxx V x2/
V u2 = x2 + — + 2 ^ u2 — 2 = x2 + — . Por tanto, se obtieneX X ‘
C du 1 |u| 1 /x 2 + 1/ = — .......= — aresee — + C = — aresee ■
J xWu2 — 2 V2 V2 V2 \V2|x|
f x + 2Ejemplo 24. Calcule / = I ----— dx.
J (X — i-)
Solución
Si hacemos u = x — 2 , se tiene du = dx . Luego,
/ = J (u +J )du = | ( i r3 + 4u-4)du
u “2 4 , 3x + 2
= - — " 3 “ +C = - ^ 2 F +C
r x íixEjemplo 25. Calcule / = | f = .
I i + x2 + 7 ( i + x2)3
Solución
La integral puede escribirse como
x dx f x dx/
1 + X 2 + V ( l+ x 2)3 V i + x2V l + V i + x2
,----- x dxSi consideramos i¿ = 1 + Vx2 + 1< entonces du = . Luego,
Vx2 + 1
/ = J — — J u í/2du = 2Vt¿ + C = 2J 1 + V 1 + x2 + C
14
Ejemplo 26. Calcule I = J xVx + 4 dx.
Solución
Si se hace u = Vx + 4 , entonces u2 = x + 4 y dx
I = J (u2 - 4)u. 2u du — j (2u4 - 8u2)du
(x + 4)3/2
INTEGRAL INDEFINIDA
15- (6x - 16) + C
2u du . Por consiguiente,
n uS 8 *
= 2 T - 3 “ +C
EJERCICIOS
J (Vx + 3)dx
J Vx(x + l)dx
4 dx
V6 — x2
dx
x(x2 — 8)
7x2 + 16
x4 + 4x2
18 dx
9xz - x4
3 dx
x2 + 4x - 5
4 dx
V—4x2 — 20x — 9
/?. - x3,/2 + 3x + C
/?. ^ * 5/2 + 3 x3/2 + C
R. 4 aresen — + CV6
K.x2 - 8
+ C
3 x 4R. -arctan----- 1- C
2 2 x
2 1_ _ lnx 3
x — 3
A. ¿ lnx — 1
x + 5
x + 3
+ C
+ C
2x + 5 R. 2 aresen------ i- C
V -4x2 - 12x - 5 dx
1R. (2.x + 3)V~4x2 - 12x - 5 + 4 aresen
2x + 3
1 0 .
11.
xox+12X3-dx
( D ' t ó *
3 /ó '*
25
senh x dx
i.:. í — J COÍ
(1 + cosh x) 3
dx
R. -■2(1 + coshx):
4- C
C
+ C
os2( l - 4x)R. - - tan (l - 4x) + C
4
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TOPICOS Di; CÁLCULO - VOLUMLN II
13. J cos(7x + 4)dx
14. J cí'2x~r,) dx
15. J (lnx + l )e xlnxdx
16.dx
x ln2x
f dx17. ----
J x lnx
18. J 4xex dx
dx19.
20./sen2x Vcotx - 1
tan2*sen x e
cosJx
ev*3e2 '. I
‘ Idx
23.
(1 + x2) ln(x 4- V i + x2)
arctan* + x ln (x2 + l) + l
1 + x2
1R. -scn(7x + 4) + C
R. - e ^ - ^ + C
R. xx + C
R. — ---- h Cln x
R. ln|ln x| + C
(4e)xR. --- ~ + C
1 + ln4
3R. - -(cotx - 1)2/3 + C
r _ etarv2r j . c
2(3e^ )R■ — + C
ln 3
R■ 2 J ln (x + ij 1 + x2) -i- C
dx
R■ earctanx + - ln (x2 + 1) + arctan x + C 4
24,
25
26
■ J i
I■ /
sen x
dx
■dx R. sen x + ■ • *+■ c
1 + eoslOx
dx
R. — tan 5x + C
V2x + 1 - vx
R. 2(V2x + 1 + Vx) — 2[arctanV2x + 1 + arctanVx] + C
^ f (x2 -2x + l ) 1/5 j27. ---- --------- dx
J 1 - xR. — - (x — l ) 2/s + C
16
28. J x2x(\nx + 1 )dx
í
x2xR .- y + C
INTEGRAL INDEFINIDA
29V2 + x 2 — V2 — x2
V4 — x4
dx
-dx
31.
32.
33.
34.
35
Vx - 1 + V xT T
dx
1 + sen x
x - arctan 2x
/
f 1 + 4x2
J ln ( ln x )
/
■/vi
-dx
x lnx
dx
2X 4- 3
dx
X _ !
sen xcosx
37
38.
39
40
41.
V2 - sen4x
dx
dx
4 + 5 cos2x
dx
4 + 5 sen2x
dx
ex + 4
ln 3x
x ln 5x
ln(x + Vx2 + 1)
'■ /
•J /
42. J V i + sen x dx
43. J V i + cosx dx
4 4 / ;
1 + x 2dx
*. a r c s e „ (- | )- s e „ h - (- Í ) + C
/?. - [(x + I )3/2 — (x - I ) 3/2] + C
R. tan x - secx + C
1 1R. - ln ( l + 4x2) - -arctan2(2x) + C
O ¿
1R. - ln 2(lnx) + C
1
* 3x - — ln(2* + 3) + C
R. 2 a retan Ve* - 1 + C
R. -aresen, _ 2 V V2
+ C
1 (2 tan x\«. _ arctan( _ _ j + c
1 ¡2 cot x\R. _ - arctan( _ _ j + C
R. - - ln ( l + 4e x) + C
R. In — ln|ln5x| + lnx + C
R. ^[ln(x + yjx2 + 1)] / +C
R. - 2 vT - sen x + C
e x + ex
R. 2V i - cosx + C
R. arctan(e*) + C
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J W -
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
dx 4f dx 445' ~ r = = R. ~ (V x + 1)3/2 - 4(Vx + l )1/2 + c
J v V x + 1 á
f a r c t a n V x
' J vTrTWf^dx R • tarctan^ r + c
a i f ( x ~ 2) , _ _ fyfx2 - x + l\
' J W f ^ T V p ^ T T T * *• 2 arcse" ( ---- i ---- ) + c
48. x Zsenx~: (senx + x cosx ln x )d x R. Í x 2senx + C*■' 2
í ~ /--- - — ---- ft. J l n x + V l n x + . . . + oo + c
eln(2jcJV ln x + Vlnx + ... +oo — x
f eos 6x + 6 eos 4x + 15 eos 2x + 10
J eos 5x + 5 eos 3x + 10 cosx dX R - 2 s e n x + C
f sen 8x d x 1 /s e n 2 4x\
5L I 9 + senHx R' J ¿ arctan (— 3— j + C
f cos2x (ta n 2x + 1 ) 152. —------ ------—— dx R ------------- 1- c
J (se nx + c o sx )2 1 + tan x
f Isecx - tan x
b3‘ J Jsecx + ta n x d* R' >n|secx + tanx| - ln(secx) + C
54. J c s c 3x d x R. - -[esc x cotx 4- ln|csc x - cotx|J + C
55. J s e c 3xdx R. - [lnlsecx + tan x| + secx tan x] + C
f e2x 25Ó- J 4 Y+~¿ídx R- l ^ x - 1)3/2 - 2(ex + l )1-'2 -r C
r V e ^ T earctan * + ln f( l + x2)V*2e*-*2l + V ^ = T57. I --------- -*-------- ^
J \l 1 4- y ^-\!p x 4- v ^ - p X — v 2 — 1
/?. earctan at + i In2 (1 + x2) + arctan X + C 4
q s f x d x n 1
J ( X ~ l ) 5e4x R' ~ 4(x — l)4 e4Ar + C
18
59.2e* + e_*
INTEGRAL INDEFINIDA
f 2e* + e-* |3Í-------3/------- ,J 3T » " - 4 e -»‘ d y fí. In J-v/3e2jc — 4 ^ 3 — e~2x\ + C
f Inx dx 1
J x 3( l n x - 1)3 2x2(lnx - l )2 + C
4 dx61. f ----- —
J eos XV 1 —sen 2x + 2cos2x ____________________
/?. 4 ln[(tan x - 1) + Vtan2x - 2 tan x + 3] + C
62. j (4 — 3 lnx )4 d (lnx ) R. - — (4 - 31nx)s + C
\
. r e xy¡é*~+2J ,----- Ve* + 263. — — dx fí. 2 Ve* + 2 - 4 arctan------- hC
j e* + 6 2
f x5 dx x3 8M . j j r r g B. _ + 8|+ c
f 1 + tan x 165. -— dx R. -In esc 2x - cot 2x| + tan x + C
J sen 2x 2
66. Una función / : E -> E es continua en E y satisface:
n r ,, X x + |1 - x|
x2 + 1/(O) = - - y / '(x ) = — -f : ; . Halle/(x).
»• / M = j arctan:r“ f ’ í S 1(.ln(x2 + 1) - arctan x - ln 2 , x > 1
467. Halle la ecuación de la curva para el cual y " — y que es tangente a la
x2
recta 2x + y = 5 en el punto (1; 3) R. y = — + 1
68. Halle la ecuación de la curva cuya tangente en el punto (0; 2) es horizontal y
/ 10 \tiene punto de inflexión en ( —1; ”2“ ) y y”' = 4.
2 vR. y = - x 3 + 2x2 + 2
x2 + VTTx
V f709\
69. Encuentre la antiderivada de / (x ) = — T7~.. — < m0Cí0 que dicha
antiderivada pase por P ^0; 2qqJ
, „ r3 , 6 3 6 ______R. (1 + x) / — (1 "f* x) - - (1 + x) + - + - V i + x
L8 5 L 1+1
19 www.FreeLibros.com
Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo /. Por la regla de
la diferencial del producto, se tiene
d(uv ) = udv + vdu
Podemos reescribir la expresión como
udv = d(uv ) - vdu
Integrando ambos lados de la igualdad se obtiene la fórmula
J udv = uv — j vdu
Esta fórmula es conocida como fórmula de integración por partes.
Observación 5. La idea básica de la integración por parles consiste en calcular
la integral original mediante el cálculo de otra integral, la cual se espera que sea
más simple de resolver que la integral original dada.
Para descomponer el elemento de integración en dos factores u y dv.
normalmente se elige como la función u aquella parte del integrando que se
simplifica con ¡a derivación y dv será el factor restante del elemento de
integración. Esta no es una regla general, pues en la práctica la habilidad y la
experiencia del que calcula son las mejores herramientas.
Observación 6. Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv,
no es necesario considerar la constante de integración, pues si en lugar de v se
considera v + C, C constante, entonces
j u d v = u(v + C) - j (v + C)du = uv - J v du
Esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final.
Ejemplo 27. Calcule j lnx dx.
Solución
De acuerdo con la sugerencia dada en la observación .2, elegimos
1u ~ \nx => du = - dx
x
dv = dx =s v — j dx = x (no se considera la constante de integración)
Por la fórmula de integración por partes, se obtiene
í , f x dxJ ln x dx = x ln x - I - x\ nx-x + C
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
1.4.2 MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
20
Ejemplo 28. Calcule / = J (x2 + 3x - 1 )e2xdx.
Solución
Escogemos
u = x2 + 3 x - l
INTEGRAL INDEFINIDA
du = (2x + 3 )dx
| dv, — e2xdx => v — | e2xdx = — e2x/ '
Luego, obtenemos
/ = - (x2 + 3x - l ) e 2x - J (* + 2) e2*dx
En la última integral (más simple que la original) aplicamos nuevamente la
integración por partes con
r 3\u = x + - =* du = dx
dv = e2xdx => v = - e 2x 2Por lo tanto,
I = 2 ^x2 + - l ) e 2x -
,2x
= (x2 + 2x - 2) — • + C
Ejemplo 29. Calcule / = J eax cosbx dx.
Solución
Escogemos
[ u = eax => du = aeax dx 1
dv - eos bx dx => v - - sen bx b
Entonces,
1/ = - e ax sen bx
b - aeaxsen bx dx = -— sen bx
b i í eaxsen bx dx
Integrando nuevamente por partes en I eax sen bx d x , escogemos!■
u — e du = a eax dx
Idv = sen bx dx =* v = — — cosbx ' b
21 www.FreeLibros.com
= ~b e<XX' S6n ~ ~b [~ b G<ÍX C° S + b í e‘!Xcos^x ^x\ ó
1 a a21 = - e ax sen bx 4- — e ax cosbx - ~ 1
o b z b 2
Ahora, se despeja / de la última ecuación y al resultado final se suma la constantede integración
a2\ , „ v / s e n ¿ * acosbx\1 + 7T M = e l — ;— +
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
De esta manera, se obtiene
b2 \ b b2
I = — — (b sen bx 4- a cos bx) + Ca2 + b2 '
Ejemplo 30. Calcule / = j sec5x dx.
Solución
En primer lugar, escribimos la integral dada como
/ = J sec5xdx = J sec3x. sec2xdx
jltima integral,
fu = sec3x =
'■dv = sec2x i
En la última integral, utilizamos integración por partes eligiendo
(u = sec3x => du = 3sec3x tan x dx
• dx =* v = tanx
Entonces,
/ = tan x sec3x - j 3 sec3x tan2x dx
l = tan x sec3x - J 3 sec3x(sec2x - 1 )dx
I = tan x sec3x - 3 j sec5 x dx + 3 J sec3 x dx
I = tan x sec x -3/4-3 J V I + tan2x sec2x dx
341 = tan x secJx + - (secx tan x 4- ln|secx + tanx|)
1 3/ = - tan x sec3x + - (secx tan x + In|secx + tanx|) 4- C
22
INTEGRAL INDEFINIDA
Ejempia 31- Calcule J x arctan x dx.
Solución
Escogemosdx
u = arctan x => du — ■1 + x2
x2dv = x dx => v = —
Luego,
c2 1 C x2 dxf X 1 f 1I - x arctan x dx = — arctan x - - I -
4- x2
x 2 d x 'f x dxPara calcular la integral ---- r , se efectúa la división y se tiene:
J l + x ¿
, = T araan)I ‘ l / ( i - r í ^ ) * r
X2 1 (x2 4-1) 1= —- arctan x - - (x - arctan x) 4- C = -------arctan x - -x 4- C
¿ L> £* Lt
f cosx 4- x sen x — 1 Ejemplo 32. Calcule / = J -- ^ x— ^ 2—
Solución
Utilizando la identidad sen2x 4- cos2x = 1, escribimos la integral como
f cosx 4- x sen x - sen2x - cos2x
Í = J (sen x - x)2
f - cosx(cosx - 1) - sen x(sen x - x)
' I --------- ^ ^
/
(sen x - x) 2
■ cosx(cosx — 1) f senxdxf - cosx(cosx - 1) f
J (sen x - x)2 J (sen x - x)
/
Para la integral J, aplicamos la integración por partes con
Í u — — eos x => du = sen x dx(co sx - 1 )dx ^ _ 1
dV ~ (sen x - x )2 ^ V ~ (sen x - x)
Luego,
cosx "f senxdx f senxdx / = ------- 4-
f sen x dx f
J (sen x - x) Jsen x - x J (sen x - x) J (sen x - x)
Por lo tanto,
cosx/ = -------- 4-C
sen x - x
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Ejemplo 33. Calcule / = J dx.
Solución
Separando la integral en la suma de dos integrales, se tiene
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
/ J — dx + J ex\n x dx
Para la integral /, hacemos í u ln a: => rfu — ——
vdi? = exdx => v — exAsí,
/ = f- yd x + [exlnx- j dx = ex ln x + C
dx.f YParCan x
Ejemplo 34. Calcule / = I --------J ( i + x2y/2
Solución
garctan x
Como la integral de — ^ 2 es inmediata, elegimos
u —V i + x2
du =(1 + x2)3/2
dx
, arctan xdv =
1 + X ‘ -dx =$ v = e- „arctan x
Luego, tenemos
3arctan */
xe°
/V I T * 2 J ( 1 + x2)3/2dx
En la integral J consideramos
( 1u =
V i + x2du = -
x dx
(1 + x2)3/2
dv =
Luego, se tiene
1 +x2-dx => v = e— a arctan x
I =xe arctan x
V i + X 2 vr+n x [
= H (1 + x2)3/2dx
-i «arctan xrv
Portante, l = i - -■_ ! ? i i + c 2 V i + x2
24
INTEGRAL INDEFINIDA
Otra forma de calcular la integral del ejemplo anterior es hacer el cambio de
variable t = arctan x y la integral se transforma en J ecsert t dt.
Ejemplo 35. Calcule / = [ ■ J
senh2x dx
(x cosh x — senh x)2
Solución ,
Multiplicando y dividiendo entre x, se tiene
/f senh x x senh x dx
J x (x cosh x - senh x) 2
Ahora escogemos
senhx x cosh x- senh xu = ----- =¡> du -----■— ------- dx
x xlx senh x 1
dv = ----- ------- -— — dx => v(x cosh x - senh x) 2 x cosh x-senhx
Entonces
senh x r dx
x(senh x - xcoshx) J x2
senh x 1/ = —-- :-------- z— r - - + C
x(senh x - xcoshx) x
f e enx(xcosJx — sen x)Ejemplo 36. Calcule / = I ----------------- dx.
J CQS¿X
Solución
Tenemos l = J xesen * eos x dx - Jsen x
sen* ----- dxCOS2X
(u = x = > d u = dx ...h n h a c ie n d o < , v , con r se obtiene
1-dv = e eos x dx => v = e
"J'1
lín /2, haciendo
U = xesenx
(u = esenx =* du = esen * eos x dx
, sen x 1 resultadv = -- — dx = > v -----
cos^x cosx
l2 = ------[ esenx dx = esenx see x - [ esenx dxcosx J J
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
EJERCICIOS
Calcule las siguientes integrales indefinidas.
v31. J x2 lnx dx
2. J (7 + x - 3xz)e~x dx
3. J x sec2x dx
4. J arcsen(2x)dx
_ f lnx
* J ^
6. J ln(x + V i + x2) dx
7. j cos (ln al:) dx
8. J sen(lnx)dx
9. J x arctan2x dx
R. — (3 lnx — 1) + C
ñ. (3x2 + 5x - 2)e~x + C
R. x tan x + ln|cosx| + C
V i - 4x2 R. x aresen 2x H--------- 1- C
1 + 2 lnxR. -— ----b C
4x2
R. x ln(x + 71 + x 2) - J l + x2 + C
XR. -[sen(lnx) + eos (lnx)] + i'
/?. -[sen(lnx) — cos (lnx)] + C
R- 2 [(.x2 + l)arctan2x - 2x arctan x + ln(x2 + 1)] + C
10 / arcsen2x dx
i i .
'■ í ,J i r r n c v — con v V
f —J (x + l ) 2
/?. a: arcsen2x + 2 V T ^ x 2 aresen x - 2 x + C
R. lnx |ln(Inx) - 1| + C
x2 + 1 ( X — 1
x2 dx
(a: eos x - sen x )2
(x2 + l ) e x
R.
R.
R.
-ln (— )Vx + 1/
sen x(cosx - sen x)
2x ex
x + C
cot x + C
x + 1ex + C
26
INTEGRAL INDEFINIDA
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
27.
28.
x e*
(1 + x )zdx R. ----- + ex + C
l + x
x e
_ ^
x arctan j x 2 — ld x R. - x 2 arctanVx2 - 1 ~ 2 ~ 1 + C
x aresen x
(1 - x2)3/2
arctan x
dxaresen x 1
R. + — ln
-dx R.
V i - x2 2
arctan x
1 - x+ C
l+ x
+ ln|x| - ln i / l + x2 + C
es c5xdx R.
X ( X + 1\
ln ( * ^ t ) dxV i — x2
e2*cos (e*) dx
ea*sen ¿x dx
-csc3x cotx - -(esex cotx + ln|cscx + cotx|)j + C
R. V i - x2 ln f--- r) + 2 aresen x + CVx + 1/
R. exsen(ex) + cos(ex) + C
■ [a sen bx — b cos bxJ + C
arctan(Vx + 1) dx
ln(Vx + V i + x) dx
sen2(Inx) dx
a2 + b2
R. (x + 2)arctanVx + 1 - Vx + 1 + C
R. {x + ln(Vx + Vx + 1) — ~Vx2 + x + C
R. x sen2 (ln x) - - [x sen(2 ln x) - 2x eos (2 ln x)] + C
^gSen x C 0S4X _ ^
COSJ Xdx
R. esen * - - [seex tan x + ln|secx + tan x|] + C
(x2 - sen2x)-dx R. x(cscx - cotx) + C
x - sen x eos x + x eos x - sen x
(arccos x - ln x) dx R. x árceos x - V 1 - x2 — x(ln x - 1) + C
27 www.FreeLibros.com
29. Si / (x) = —a f (x) y g"(x) = b g(x), donde ay b son constantes, hallar la integral:
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
j f(x)g"(x) dx
’• /30. I 4x3 arcsen — dx
x arctan x 31. I ~~7Z--- T^rdx
í
’- P
I
35. I
d + x 2y
x4 — x arctan x32. | — —--- — — dx
(1 + x2)2
, arcsenVx33. | --- —— dx
Vx
,1 /x
■dx
.. r x2sec2x37. I —----------^~z^dx
J (tan x - x se<
> /
^2cai.2,
(tan x — x sec2x)2 '
1
dxarcsen
39 1 ------*
41. j arctan^jVx - 1 dx
43.
45.
47.
49.
50.
dx
(e2x - x2)(x - 1)
/
í xcosx
J (x -
x2ex
sen x + 1
dx
-dx(x + cosx) 2
a In(x + a + Vx2 + 2ax)
a + b[f(x)g'(x) - f'(x)g(x)} + C
i 1 ( x 2 + 2R. x arcsen — 4- ( — -— 1 - /v2¥x2 - 1 + c
/34. eos x ex dx
36.
38.
40.
42.
44.
:eos x dxJ x ex i
J x arctan Vx2 - 1 dx
/
/
I
!
cosh2x dx
(x senh x - coshx)2
ln(2 + Vx)
Vx-dx
(x sen x + cosx)(x2 - cos2x)dx
46. cosh 3x eos 2x dx
f x / l + *\48. I :In ( ---- ¡dx
J VI - x 2 V i-x )
(x + a )2/
f X^J - = = [ l n ( l + X)* - l n ( l - x y ]dx
28
1.5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinomio cuadrado
de la forma: /
dx f dxI
INTEGRAL INDEFINIDA
1.5 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
I. í — ----- II. í —J px2 + qx + r J j zpx2 + qx + r J v'px2 + qx + r
n] [ (ax + b)dx f (ax + b)dx
J px2 + qx + r J J p x 2 + qx + r
En los casos (I) y (II), es suficiente completar cuadrados en el trinomio y aplicar
las fórmulas que correspondan: (23), (24), (25) ó (26).
En los casos (III) y (IV) se usa el siguiente artificio:
a aqax + b — — (2 px + q) — — + b
2 p 2 p
La expresión 2px + q es la derivada del trinomio cuadrado. Entonces
f (ax + b)dx a C (2px + q)dx / aq\ r dx
J px2 + qx + r 2p J px2 + qx + r V 2p) J px2 + qx + r
A
a / aq\= — ln|px2 + qx + r \ + yb - — J A
Por otro lado,
(ax + b)dx a f (2px + q)dx / aq\ f dxI' (ax + b)dx __ a f (2px + q)dx ^ ^ aq^ f
J yjpx2 + qx + r 2p J j p x 2 + qx + r ' 2p) J ^jpx2 + qx + :
a /— ------- ( acl\= - Vpx2 + qx + r + \ b - — j B
p \ 2 p j
I ,as integrales (¿4) y (B) son de los casos I y II, respectivamente.
Ejemplo 37. Calcule las siguientes integrales:
3 dx f dxf 3 dx . s í 1
J 4x2 + 4x - 3 J x2 - ‘2x + 10
f 2 dx í 5 dx
J Vx2 + 6x + 18 i V—x2 — 8x — 12
Solución
Completando el cuadrado en cada trinomio y aplicando las fórmulas de
migración, tenemos
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f 3 dx 3 r
J 4x2 + 4x-3 ~ 2 J
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
2 x - l¡3 dx 3 f 2 dx 3= ^ln
(2x + i y - 4 2x + 3+ C
, n f dx f dx 1 (x~l\
) J x 2 -2x + 10 J (x- 1)2 + 9 “ 3 arCtan(_ 3~J + C
( 2 dx r dx , ,---------- ,c) 7 r ■ ¿ . T i = 2 1 t=~ = 2 ln x + 3 + Vx2 + 6x + 18 + C
J Vx2 + 6x + 18 J V(* + 3)2 + 9 L J
„ f 5 dx r dx /x + 4\d) I 7 ' 0 ~ „ „ = 5 — — ■ = = 5 arcsen (—-— ) + C
i V-x2 - 8x — 12 J ^ 4 - (x + 4)2 v 2 )
Ejemplo 38. Calcule las siguientes integrales:
f (3x - 5)dx r (1 - 4x)dx
J x2 + 6x + 18 J V9x2 + 6 x ^ 1
c) í 2 ~ ‘ ix d) ( - ( i i i í W íJ Vx2 + lOx + 21 J x(x + 3)
Solución
Completando cuadrado en cada trinomio y usando el artificio indicado, se tiene
3 3a) 3x — 5 = — (2x + 6) — 9 — 5 = — (2x + 6) — 14. Entonces
f (3x — 5)dx _ 3 r (2x + 6)dx f dx
J x2 + 6x + 18 2 J x2 + 6x + 18 14J(x + 3)2 + 9
3, / , 14 /x + 3\= -ln(x + 6x + 18) — — arctan —-—J + C
4 4 2 7b) 1 — 4x = — — (18x + 6) + l+ — = —- (18x + 6) + —. Luego,
f (1 ~ 4x)dx _ _ 2 f (18x + 6)dx ^ 7 1 f 3 dx
J V9x2 + 6x - 3 9 J V9x2 + 6x - 3 + 3 3 J y/(3x + l ) 2 - 4
4 : 7 ----------------------
= — ñV9x2 + 6x - 3 + -ln 3x + 1 + V9x2 + 6x - 3 + C y y i i
1 1c) 2 — x = — — (2x + 10) + 2 + 5 = — - (2x + 10) + 7. Entonces
(2 - x)dx 1 f (2x + 10)dx f dxf (2 _-x)dx _ i r (2x + 10)dx f
i Vx2 + lOx + 21 ~ 2 j Vx2 + lOx + 21 + 7 i 'Vx2 + lOx + 21 J V(x + 5)2 - 4
= -Vx2 + 10x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V*2 + 10x + 2l| + C
30
d)
INTEGRAL INDEFINIDA
(4 + 5x) 5 f 2x + 3 7 f dxf (4 + 5x) 5 f 2x + 3 7 f
Jx(x + 3 )dX 2 j x 2 + 3xdX 2 J / 3\‘ 9V* + 2Í 4
5 7 i x= -ln|x2 + 3x| — -ln
2 6 Ix + 3'
Ejemplo 39. Calcule las siguientes integrales:
f (3e2x - 4ex) ^ ^ ^ (senh x + 3 coshx) ^
J V4e* - ex - 3 J coshx(6 senh2x + senh 2x + 5)
Solución
a) I(3e2x- 4 e x) f ( 3 e x -4 )exdx_ [ (3e¿x - 4ex) Hy _ f
~ J v4e* - e x - 3 ~ J ■v 4ex - e x - 3 J V4ex - e2x - 3
Si se hace t = ex , entonces dt = ex dx . Luego,
f (31 - 4)d t 3 f (4 - 2t)dt f dtl =
j- (31 - 4)dt _ 3 I" (4 — 2t)dt + ^ [ dt
J V4t - t 2 - 3 2 J >/4t - t2 - 3 J yjl - (t - 2)2
= -3V4í - t 2 — 3 + 2 arcsen(t — 2) + C
= —3y¡4ex — e2x — 3 + 2 arcsen(e* — 2) + C
r (senh x + 3 cosh x) dx
^ J coshx(6 senh2x + senh 2x + 5)
= /:(senh x + 3 coshx) dx
cosh x(6 senh2x + 2 senh x cosh x + 5)
Dividiendo numerador y denominador entre cosh3x , se tiene
;= J
(tanh x + 3) sech2x dx
6 tanh2x + 2 tanh x + 5 sech2x
(tanh x + 3) sech2x dx
J 6 tanh2x + 2 tanh x + 5(1 — tanh2x)
Ahora bien, si t = tanh x , entonces dt = sech2x dx. Por consiguiente.
r (t + 3)dí _ 1 f (2t + 2)dt n f dt
1 ~ J t2 + 2t+ 5 ~ 2J t2 + 2t + 5 + 2 J (t + l ) 2 + 4
1 , , /tanh x + 1\-ln|tanh2x + 2 tanhx + 5| + arctan --- ---- J + C
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TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
! '5‘2 rH IP ERB Ó U C A ESALGUNAS FUNCIONES TRIGONOM ÉTRICAS
Recordemos las siguientes identidades:
1. sen2u + cos2u = 1
3. csc2u - cot2u = 1
1 + eos 2 u5. cos2u =
7. sech2u + tanh2u = 1
cosh 2u - 19. senh2u2,/ —
2. sec2u - tan2u = 1
1 - eos 2u4. sen2u =
6. cosh2u - senh2u = 1
8. coth2u - csch2u = 1
cosh2u + 110. cosh2u =
Estas identidades son muy importantes en los artificios para resolver ciertos tiposde integrales de funciones trigonométricas e hiperbólicas.
I. INTEGRALES DE LA FORMA: J senmx cosnx dx y J senhm* coshn* dx.
Se consideran 2 casos:
CASO 1: Uno de los exponentes m ó n e s un entero impar positivo.
0 Si m es impar positivo, se factoriza sen * dx (o senh * dj) y se expresa los
senos o senos hiperbólicos) restantes en función de cosenos (o cosenos hiperbólicos) usando la identidad
sen2* = 1 — eos2* (ó senh2* = cosh2* - 1)
ii) S. n es impar positivo, se procede de manera similar, es decir, se factoriza
eos x dx (o coshx dx) y se expresa los cosenos (ó cosenos hiperbólicos)
restantes en función de senos (o senos hiperbólicos) usando la identidad.
eos2* = 1 - sen2* (o cosh2* = 1 + senh2*)
Ejemplo 40. Calcule las integrales
a) I sen3* eos4* dx b) J senh5* V ^ ih 7 dx
Solución
a) / = J sen3* eos4* dx eos4* (sen * dx)= J sen2*
= - cos2*)cos4* (sen * dx)
INTEGRAL INDEFINIDA
En la última integral, hacemos u = eos * =* du - -sen * dx . Así, se tiene
/ = J (1 - u2)u4 (-du) = - f (tt4 - u6)du = - y + y + C
35(5 eos2* - 7) + C
b) f senh5* V ^ i h l dx = f (cosh2* - l ) 2(cosh * ) ^ 2 (senh * dx)
= j (cosh9/2* - 2 cosh5/2* + cosh1/z*)(senh * dx)
= JLcosh11/2* - ~cosh7/2* + \ cosh3/2* + C 11 7 3
CASO 2: Ambos exponentes m y n son pares y mayores o iguales a cero.
En este caso, se usan las identidades:
1 — eos 2* , 1 + eos 2*
sen2* = --- ^--- y C° = --- 2---
/ cosh 2* - 1 , 7 cosh 2x + 1\/ „ cosh 2 * - 1 ,í ó senh2* ------^---- Y cosh * =
Al efectuar las operaciones, se obtienen términos que contienen potencias pares e
impares de eos 2* (ó cosh 2x). Los términos que tienen las potencias impares se
integran teniendo en cuenta el caso 1. Los términos que tienen las potencias pares
se reducen de nuevo usando sucesivamente las identidades indicadas.
Ejemplo 41. C alcu le las integrales:
a) J senh43* dx b) f sen2* eos4* dx
Solución
a) I se„h43x dx = J ( £ 5 í í - t l i ) 2 ix = i J (c o s h ’ 6* - 2 cosh 6» + 1) dx
- ? / (
- I I
c°sh(12») + l _ fa + 1 ^
2 ¡
(cosh 12* - 4 cosh 6* 4- 3) dx
= i f — senh 12* senh 6* + 3*) + C 8 \12 3 >
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
. 2u f 4 , f / I - cos2x\/I 4-cos2x\b) J sen-x cos4x dx = J (-------- j ( --- ---- J dx
= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos32x) dx
1 f / 14- cos4x\ 1 f- g J + eos 2x--------- j dx - - I (1 - sen22x)(cos 2x dx)
= ü j ( j + cos 2x ~\cos4x) dx ~ T 6 ¡<'1 ~ sen22* X 2cos2x dx)
1 /x 1 „ 1 \ 1 í 1 \
= 8 (2 + 2SGn 2* ~ 8 Sen 4x) ~T6[Sen 2x ~ 3sen32x) + C
1 ( sen 4x sen32x\
= 16{X — 4 - + - J ~ ) + C
II. INTEGRALES DE LA FORMA: J tanmx secnx d x , j cotmx cscnx dx ,
J tanhmx sechnx dx y J cothmx cschnx dx.
Se consideran 2 casos: m entero positivo impar y n entero positivo par.
CASO 1. Si m es un entero impar positivo, se factoriza tanxsecxdx
(ó cotxcscxdx ó tanh x sech x dx ó coth x csch x dx) y se expresa las
tangentes (ó cotangentes ó tangentes hiperbólicas ó cotangentes hiperbólicas)
restantes en términos de secx (ó esex ó sechx ó cschx) mediante la
identidad: tan2u = sec2u - 1 (ó cot2u = csc2u - 1 ó tanh2u = 1 - sech2u
ó coth2u = 1 + csch2u).
Ejemplo 42. Calcule las siguientes integrales:
f tan3x r
3) J : dx b) J cotSxdxc) J tanh3x Vsechx dx d) j cothsx csch3x dx
Solución
f tan3x f tan2x r sec2x - 1
a) J ^ dx = J ^ (tanxsecxdx) =:J - 7 ¿ ^ ( tanxsecxdx)
= j (sec_3x - sec_5x) (tan x sec x dx)
(si u = secx, du = secx tan x dx)
1 -7 1 1 ,= --sec x + -sec 4x + C = -cos2x(cos2x - 2) + C
2 4 4
34
f f COt4X ,b) cot 5x d x = ------(cotxcscxdx)
J J CSCx
INTEGRAL INDEFINIDA
f (csc2x — l ) 2= --------- (cot x ese x dx)
J esex
= - í (csc3x — 2 esex 4---- ) (-cot x escx dx)J esex
c4x \----csc2x 4- ln|cscx| I 4- k
f , ,---- f tanh2xc) tanh3x vsechx dx = ,.........: (tanh xsechx xdx)
J J Vsechx
1 — sech2xf 1 - secrrx = — ^ = = _ (tanh x sech x dx)
J Vsechx
= - J (sech~1/2x — sech3/,2x) (—tanh x sech x dx)
= — ^2Vsechx — -sech5/2x j 4- C
Vsechx
5• (2 sech2x — 10) 4- C
d) j coth5x csch3xdx = J coth4x csch2x(coth x cschx) dx
= J (1 4- csch2x)2 csch x (coth x csch x dx)
= - J (cschx 4- 2 csch3x 4- csch5x)(-coth x cschx dx)
n 1 1 \— — I - cschzx 4- - csch4x + - csch6x 1 4- C
\2 2 6 /
CASO 2. Si n es un entero par positivo, se factoriza sec2x dx (ó csc2x dx ó
sech2x dx ó csch2x dx ) y el resto de las secantes (ó cosecantes ó secantes
hiperbólicas ó cosecantes hiperbólicas) se transforman en términos de
tan x (ó cotx ó tanh x ó coth x) usando la identidad sec2x = 1 4-tan2x
(ó csc2x = 14- cot2x ó sech2x = 1 - tanh2x ó csch2x = coth2x - 1).
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 43. Calcule las siguientes integrales:
a) J tan3/2x sec4x dx b) j csc4x dx
c) J tanh2x sech4x dx d) j csch6xdx
Solución
a) j tan3/2xsec4xdx = J tan3/2xsec2x(sec2x dx)
= j tan3/2x (l + tan2x)(sec2x dx)
- J (tan3/<2x 4- tan7/2x)(sec2x dx)
(si t = tan x , dt = sec2x dx)
2 2= -tan3/2x 4- -tan5/2x + C
O 7
b) J csc4x dx - J csc2x(csc2x dx) - - J (1 + cot2x)(-csc2x dx)
(si t - cot x , dt = —csc2x dx)
= - ^cot x + cot3 a: j + C
c) j tanh2x sech4xdx = / tanh2x (l - tanh2x)(sech2x dx)
= J ( tanh2x - tanh4x)(sech2x dx)
1 , 1 = -tanh3x - -tanh5x + C
d) J csch6x dx - J (coth2x - l ) 2(csch2x dx)
= - J (coth4* - 2 eoth2x + l)(-csch2x dx)
= - ^-coth5x - - coth3 x + coth x j + C
36
INTEGRAL INDEFINIDA
III. INTEGRALES DE LA FORMA:
J sen(mx) cos(nx) dx, J sen(mx)sen(nx)dx, J eos(mx) cos(nx) dx,
J senh(mx) cosh(nx) dx, J senh(mx)senh(nx)dx y
j cosh(mx) eosh(?ix) dx.
Para calcular estas integrales se usan las fórmulas:
1a) sen (mx) eos (nx) = - [sen(m - n)x 4- sen (m + n)x]
b) sen(mx)sen(nx) = - [cos(m -n)x - eos(m 4- n) x]
c) eos (mx) eos (nx) = - [cos(m - n) x 4- eos (m + n) x]
1d) senh(mx) cosh(nx) = - [senh(m 4- n)x 4- senh(m - ri)x]
1e) senh(mx) senh(nx) = - [cosh(m + n)x — cosh(m — n)x]
1f) cosh(mx) cosh(nx) = — [cósh(m 4- n) x + cosh(m — n)x]
Ejemplo 44. Calcule las siguientes integrales:
a) J sen 2x eos 3x dx b) j eos 3x eos 4x dx
c) j senh d) J cosh 4x senh x dx
Solución
a) J sen 2xcos3x dx — - J [sen(2 — 3)x + sen(2 4- 3)x]dx
I r 1 / eosSx \
= 2 j sen ^x ~ sen x^ x ~ 2 [--- 5--- cos x) + C
j cos 3x eos4xdx = - J [cos(—x) + cos 7x]dx = -^senx + - sen 7x) + C
) J senh 3x senh 4x dx = -J[cosh 7x — eoshxjdx
= — (- senh 7x — senh x j 4- C
I))
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d) J cosh 4x senh x dx = —j [senh 5x - senh 3x]dx
1/1 1 \
= 2 \5 C° S ~ 3 C0S ^ / + ^
En este ejemplo, se han usado las identidades:
senh(-u) = -senh u , sen(-u) = -sen u
cosh(—u) = coshu , cos(-u) = cosu
Ejemplo 45. Calcule las integrales:
í i ~ . í sen4* + cos.4xa) I sen3(3x)tan3xdx b) --- ----- T-dx
J J sen2x — cos2x
f eos x fc) ■ ■ dx d) I cos3x sen 3x dx
J Vsen7(2x) cosx J
Solución
f f sen43xa) / = sen3(3x)tan3xdx = ---— dx
J J eos 3*
_ J (1 - cos23x)2
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
eos 3x-dx
b)
= J(sec3x - 2 eos 3* + cos33x)dx
1 2 1 f = -ln|sec3x + tan 3x| - - sen 3x + - I (1 - sen23x)(3 eos 3x dx)
1 2 1 / 1 \= -ln|sec3x 4- tan 3x| - - sen 3x + - (sen 3x - -sen33x + C
j 3 3 V 3 /
1 , 1 1= -ln|sec3x 4- tan 3x| - -sen 3x --sen33x + C
■J J 7
fsen4x + eos4x r 4(2 + 2 cos22x)
i ----------- J~ d x = ------------- ñ-------- d xJ sen2x - cos2x J -cos2x
- l í(see2x + eos 2x)dx
1 , 1 = --rhi(see2x + tan 2x| - -rsen 2x + C
4 4
38
c) /
INTEGRAL INDEFINIDA
eos x I r eos x dx- í C 0 S ; : C h - 1 f
J ^ /s e ñ ^x je o sx V27 J Vsen7 x cos8x
Se observa que esta integral no se adapta a ninguno de los tipos estudiados en
(I). Cuando se presentan estos casos, a veces, es conveniente transformar a los
otros casos, es decir, a productos de tangentes y secantes ó cotangentes y
cosecantes. En este ejemplo, transformando a tangentes y secantes (dividiendo
entre cos5x, numerador y denominador) se obtiene:
1 r sec4x 1 r 1 + tan2x
' = V l28 J tan7/3x = Í V f J tan7/3* (sec"x dx )
1. .tan 7/3x + tan 1/3x)see2xdx
4 V2J v J
= —rrz ( — - eot4/3x + - ta n 2/3x ) + C 4V2V 4 2 J
f f (1 + eos 4x\d) ] = I cosi 2x sen 3xdx - J ^--- ---- J eos 2x sen 3x dx
^ / ( c o s z x s e n 3 ^ + Í J eos 4x(cos 2x sen 3x)dx
= - J [sen x + sen 5x] dx + - J [cos4x sen x + cos4x sen 5x]dx
1 1 1 ir= — — eos x — - eos 5x + - I [-sen 3x + sen 5x + sen x + sen 9x]dx
1 / 1 \ 1/1 1 1 \= - — eos x - — eos 5x I + - - eos 3x - - eos 5x - eos x -- eos x] + C
4 V 5 / 8 \3 5 9 /
3 1 3 1= - - eos x + —- eos 3x - — eos 5x - — eos 9x + C
8 24 40 72
Ejemplo 46. Calcule las siguientes integrales:
f f f sen^xa) j tanh42xdx b) I sech3xdx e) I — — dx
, ^ 4d )
cos°x
rsen43x f-- rr~dx e) tan2xseexdx
J cos33x J
Solución
Se observa que ninguna de las integrales se adaptan a los casos estudiados, por lo
que será necesario efectuar algunas transformaciones. En efecto, •
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
a) I tanh42x dx = J (1 - sech2x)2 dx = J ( 1 - 2 sechz2x + sech42x) dx
= x — tanh 2x + J (1 — tanh22x) sech2x dx
1 / 1 = x - tanh 2x 4- -(tanh 2x - ~tanh32x) 4- C
1 1= x - -tanh 2x - -tanh32x + C
¿ O
b) J sech3x dx - J - J l- tanh2x (sech2x dx)
(Si u = tanh x , du - seeh2x dx)
= — [tanh x V l - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C
l r= - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C
f sen2x f r
^ J cös^xdx = J tan2x Sec4x dx = I tan2x(-1 + tan2x)(sec2x dx)
= I (tan2x + tan4x)(sec2x dx) = ^ ta n3x + ^ ta n sx + C J 3 5
( sen43x r (1 - cos23x) 2 r
3 J cos33x “ J ^ s'33x dx = J (sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3* ) dx
= J V l + tan23x sec23x dx - ^In|sec3x 4- tan 3x| 4-^sen3x
A
1 r= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x 4- tan 3x|] - A
1 1 1 = gtan 3x sec3x - -In|sec 3x + tan 3x| + gSen 3x + c
e) I tan2x secxdx = J y /sec^x^l(tan xsecxdx)
1 ,= -|secxtanx - ln|secx + tanx|] + C
INTEGRAL INDEFINIDA
f dxl:)riii|)lo 47. Halle la integral J + usando la sustitución x = 2 tan i
Sol ut-ion
< .uno x = 2 tan 0 , dx — 2 scc29 dO. Entonces
1 f s e c 29 d9 1I
f dx l f sec 0 d9 1 r
1 f (1 + cos 26)d9 1
- é l 2 16
x 2x
sen 20+ C = — [0 + sen 0 cos 0] + C
16
1 /= — arctan - 4- , ,
16 V 2 4 + x2+ C
Para regresar a la variable original x, en vista de que tan# = - , se construye
d triángulo
A partir de este triángulo, se obtiene que
sen 0 =Vx2 + 4
y cos ti = —Vx2 4- 4
EJERCIC IOS
Calcule las siguientes integrales indefinidas:
1. V xz + 2x — 8 dx
- [(x 4- l )V x 2 - « x - 8 - 9 ln |x 4- 1 4- V * 2 4- 2x - 8|J 4-
3.
9 dx
V9xz - 12x 4- 13
3 dx
4x2 — 16x 4-17
4 — Ix
?. 3 ln [3x - 2 4- V6x2 - 12x 4- 13] 4- C
R. -arctan(2x - 4) 4- C
Vx2 4- 2x — 8: dx
ß. - 7V x 2 4- 2x - 8 4- 11 ln x 4- 1 4- v x 2 4- 2x - 8| 4- C
41 www.FreeLibros.com
5. f — !J 9x2 -
3 4- 5x
12x + 13
i u n c u s U t CALCULO - VOLUMEN II
dx
1.
f (2 -
I
(2 - x)dx
V-x2 - 10x - 21
sen 2x 4- 3 cosx
V9 4- 4 sen x — cos2x
R- lg In(9x2 12x 4-13) 4- y arctan 4- C
V“ * 2 — lOx — 21 + 7arcsen + q
dx
R- 2 V i iH ^ T 4 ^ H T T 8 - In|sen x 4- 2 4- x ® 7 T 4 l i i T T 8 | + C
a f _____(5senh x 4- 4 cosh x)dx
J coshx(9 senh2x 4
9. J sen2xdx
cosh x(9 senh2x 4- 6 senh 2x 4- 5)
R- g ln|4 tanh2x 4-12 tanh x| - ~ ln tanh ^ + 1 [ + £16 12 tanh x 4-5
n x sen 2x
* 2 ~ — +C
10. J cosh25x dx
u . J sen4x dx
12. / cos5x dx
, 3 . / cos7x sen3x dx
„ „ f sen3x14. I -- r-dx
J cos4x
15. J senh3x dx
16. j sen2(3x)cos43x dx
17. J senh8x cosh5x dx
18. j tan6x dx
d * 1R- 2 + ^ sen(10x) 4- C
3x sen 2x sen 4x
* ' T — 4 ~ + — + c
D 2 , 1R. sen x - -sen3x 4- -sen5x 4- C
R.
COS8X
40
1
3 cos3x
(4 cos2x - 5) 4- C
- secx 4- C
1
R■ —c°shx(cosh2x — 3) 4- C
x sen 12x sen36x
' 16 192 + ~144~+C
1 2 i R. -senh9* 4- -senh3x 4- -senhsx -f C
1 1R■ g tan x - -tan3x - tan x 4- x 4- C
42
INTEGRAL INDEFINIDA
19. J cot5* dx
20. J tanh4x dx
21. j sec4* Vcot3* dx
22. J tan5x Vcos3x dx
23. J tanh6x sech4* dx
V2 dx24.
cos3*Vsen 2*
25. J sen 3* sen 5* d*
26. I cos 2* cos 7* dx
/
J
I
27. J sen52x cosB2x d*
28. J sen3* cos3* d*
29. J (1 4- cos 4x)3/2 d*
30. J cot4(3*)d*
I a * 7 * ,31. | sen4 - cos — dx
32. J tan3* dx
33. J tan3(3x)sec3(3x)dx
1 * 1 ,R. — -cot4* 4--cot2* 4- ln|sen*| 4- C
R. x — tanh* -- tanh3* 4- C
R. - 2Vcot * 4- - Vtan3* 4- C
2 2 R. -sec5/2* — 4 sec1/2* —-cos3/2* 4-C
1 , 1 R. -tanh7* — -tanh9* 4- C
7 9
R. -Vtan*(5 + tan2*) 4- C
sen 2* sen 8*R ■ — ------77— 4- C
4 16
1 1 R. — sen 5* 4- — sen 9* 4- C
10 18
1 1R. -sen6(2*) - -sen8(2*) 4- C
R. - -i-cos(2*) 4--i-cos3(2x) 4 C 16 48
V2 V2 , 'R. — sen 2 * — — sen32* 4- C
2 3
1 , 1R. — -cot33* 4--cot 3* 4- * 4- C
9 3
* 1 1R■ TZ ~ To sen 2* — — sen * 4- C
16 32 24
tan2*R. —--- F ln|cos*| 4- C
1 1 ,R. — sec53* - -sec33x 4- C
15 9
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35.
36.
37.
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40.
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42.
.43.
44.
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46.
47.
48.
49.
Veos4*
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
dx i?. Vsec* cos2x + + C
dx ^
R. 2 tan* + -tan3* - cota: + Csen2* eos4* "• “ ---- ■ 3 ■
dx 1 3 j
sen5* eos5* 2 tan x + 3 n ltan x\ ~ :> cot2* — -cot4* + C
dx
Vsenx eos3*R. 2Vtan x + C
dx R- -cot* - -cot3* + Ctan4* "■ v'v“-'v 3 '
Veot* eos9* dx í?. 2Vsen * - ^sen5/z* + sen9/2* + C
sen2(?r*)
cos6(jr*) dx R• -[3 tan3(?r*) +-tans(7r*)j + C
f sen* sen 2 * sen 3* dx R. ¿ c o s 6 * - i Cos4* ^ c o s 2* + C
f sen 4* eos 5* dx r eos 9* eos*
18 2
sen 8* sen 3* dx r sen * lx _ sen , r
‘ 22 10
cosh 3* cosh * dx r . -senh 4* + -senh 2x + Co 4
senh 4x senh * dx R. — cosh 5* + i cosh 3* + C
sen3* eos 3xdx R. j^cos2x - c o s 4 x +— cosóx + C
eos2* sen24* dx R x ^en 1 sen 2x sen 6* sen 10*
' 4 32 -8 ~ 48 8Ó ~ + C
senh2* cosh 5* dx fí sen^ . senh 3* senh 5* ^
' 28 ^ 12 iT “ + C
50 f dX 2 ‘ J Vsen3* cossx -2Vcót* + -tan*V taF* + C
44
INTEGRAL INDEFINIDA
1.5.3 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOM ÉTRICA
Las integrales de la forma f R(x , yjpx 2 + qx + r)dx, donde R es una función
racional de las variables * y j p x 2 + qx + r , se puede simplificar por medio de
una sustitución trigonométrica adecuada.
Completando el cuadrado en el trinomio px2 + qx + r se obtiene una expresión
de la forma u 2 + a2 ó u 2 — a2 ó a2 — u 2, donde a es una constante.
I) Si el trinomio tiene la forma a2 — u 2, mediante la sustitución
u - a sen 6 , a > 0
se elimina el radical, pues Va2 - u 2 = a eos 6 . También se tiene que
d.u — a eos 6 dO
Para regresar a la variable original u, se emplea el triángulo formado con la
usustitución sen 6 = — (Fig. 1.3 a).
(a)
lu 2 - a 2
Fig. 1.3
II) Si el trinomio tiene la forma a2 + u 2, mediante la sustitución
u - a tan 8 , a > 0
se elimina el radical, pues Va2 + u 2 = a sec 6 . También se tiene que
du - sec20 dff
Para regresar a la variable original u, se utiliza el triángulo formado con la
usustitución tan 0 = - (Fig. 1.3 b).
a
III) Si él trinomio tiene la forma u 2 t- a2 , mediante la sustitución
u = a sec 6 , a > 0
se elimina el radical, pues Vu2 - a 2 = a tan 6 . También se tiene
du = a sec 9 tan QdB
Para expresar la integral original en términos de su variable u, se emplea el
utriángulo elaborado con secfi = - (Fig. 1.3 c).
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 48. Calcule / = J y¡9 - x2 dx.
Solución
Haciendo la sustitución x = 3 sen 8, dx - 3 eos 9 dd y calculando la integral
trigonométrica que resulta, se tiene
/ = j V32 — x2 dx — J 9 - 9 sen28 3 eos 0 dd
= J 9 cos29 d9 = - J (1 + eos 29) d9
cos20.3 eos 8 d9
9 9 ( x xV9 - x2\= -(0 4- sen 9 eos 9) + C = -I aresen- +-------I + C
- (*V9 - x2 + 9 aresen -) + C
Ejemplo 49. Calcule / = /dx
X2V 1 6 + 9 X 2
Solución
Sea 3x = 4tan0, dx = -sec29 d9. Luego,
í dx _ 4 f
J x2%/l6 + 9x2 ~ 3 J
sec29 d9
x2V 16 + 9x2 3 J ^ tan20V16 + 16tan20
3 f see9 3 f cosí= — -- T-d9 = — -- — d0
16 J tan20 16 Jsen 20 16- ese 0 + C
3 V16 + 9x2 V l6 + 9x2 „.+ C = ----—--- + C
16 3x 16x
; dx.Ejemplo 50. Calcule / ,J Vx2 — 9
Solución
Haciendo x = 3 sec 9, dx = 3 sec 0 tan 0 d9 , se obtiene
27 sec30 .3 sec 9 tan 9 d9
V9 sec20 — 9
f xJ f := dx =
J Vx2 — 9 J
= 27 J (1 + tan20)sec20 d9 = 27 (tan 9 + -tan3flj +
= 9v'* 2 — 9 + - (x2 — 9)2 + C3
46
ItlPiiiplo 51. Halle I = JINTEGRAL INDEFINIDA
X3 dx
Vx2 + 2x + 5
Solución
i ompletando el cuadrado en el trinomio y
luu icndo la sustitución
v I 1 = 2 tan 9 , dx = 2 secz9 d9
M' obtiene
x3 dx f x3 dxf xJ dx r
J Vx2 + 2x + 5 i + l)2 + 4
I (2 tan 0 — l )3 2 sec20 d0 = J (2 tan 0 - l )3 sec 0 dd2 see0
(8 tan30 sec 0 - 1 2 tan20 sec 0 4- 6 tan 0 sec 0 - sec 0) d0
Hsec30 - 6 see 0 tan 0 + 5 ln|sec0 + tan 0| - 2 see0 + C
1 3 (____________________
, {xl + 2x + 5 )3/2 - - (x + 1 )V *2 + 2x + 5 + 5 In \x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - + C
,------— (2x2 - 5x - 5v x + 2x + 5 ( ---- -----
lijemplo 52. Halle /
Solución
/
+ 5 In jx + 1 + V* 2 + 2x + 5| + C
dx
(1 + X 4) a/\/I + X 4 - X 2"
sec20Si se hace x¿ = tan 9 => dx = — ;— . dft.
Hntonces
í
dx
2Vtan I
-/■
sec20 d0
2%/tan 0
(1 +x4)VVl + x4 - x 2 J sec20Vsec0-tan
_ 1 C eos 0 d0 _ 1 r
2 J Vsen 0 — sen20 2 J IJeos 0 d9
(sen 0 —i )z 2
-aresen + C
1 1 / 2x2= -arcsen(2 sen 0 - 1) + C = - aresen - ^ =
2 2 V v i+ x 41 + C
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
12 dx
/;Ejemplo 53. Calcule / - , _________________
(2x - l ) / (4 x 2 - 4x - 8)3
Solución
Completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustit jción
2x - 1 = 3 sec 9, dx = - sec 9 tan 9 d.9
Resulta
/= /
- /
■ /
12 dx
(2x - 1)V(4x2 — 4x — 8)3
12 dx
{2.x — l)[(2x — l )2 — 9]3/2
18 sec 8 tan 9 dd 2
3sec0 27tan30 9J cot26 d9 —- j (esc20 — 1 )d6
2 , 2 / = — [—cot 6 — 0] 4- C = — I ■
Ejemplo 54. Calcule J
Solución
Si se sustituye
/
9 VV4x2 - 4x - 8
e~* dx
2x - 1\+ aresen— -— J 4- C
(9e~2x + l ) 3/2'
3e x — tan 9, e Xdx = - -sec29 dd , se tiene
= /e x dx
[(3e~*)2 + I ]3/2
r ~ 3 sec29 dQ i r
J sec39 3 J cos0 d9
--sen 9 + C
V i + 9e~2*4-C
48
R|«inplo 55. Calcule / = I * X- drJ V2 - x
Solución
Racionalizando el integrando, obtenemos
f x V 1 - x f x ( l - x ) r x ( l - x )dx
J V 2 - * * ~ J V l ^ V 2 ^ * “ J V *2 - 3x + 2
INTEGRAL INDEFINIDA
Aliora bien, completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución
3 1 1- = - sec 0, dx = - sec 9 tan 0 d92 2 2
S w jí. 2 x - 3 = sec9
c obtiene2x-3/
i j x 1 - Ï X + 2f x ( l - x)dx
\(y 1/ Q \
12
r ^ sec 0 + ( l - ^ - i sec ó] sec 9 tan 0 d£)
2 tan 9
- - - J (sec39 + 4 sec29 4- 3 sec 9) d9
3 i r --------= - tan 9 - -ln|sec0 + tan 9\ - - V i + tan20 sec20 d9
4 4 J
3 1= -tan 9 - -ln|sec0 4- tan 9 | - - (sec9 tan 9 + ln|sec0 4- tan 0\ 4- C
4 8
1 7= - - tan 0(8 4- secó) - -ln|sec0 4- tan 9\ 4- C
O O
2\Jx2 — 3x 4- 2 7 i ___________= ------ -------(8 -i- 2x - 3) - -ln \2x - 3 4- 2yfx2-3x + 2\ 4- C
O O ' *
y j — 3x “h 2 7 i ____ i= ------ ------- (5 4- 2x) — -ln ¡2x - 3 4- 2V* 2 - 3x 4- 2| 4- C
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Observación 7. Si el integrando contiene una expresión de la forma Va2 — u
ó Va2 + u 2 ó Vu2 - a2 , a veces una sustitución hiperbólica es más efectiva.
Para Va2 - u 2 , la sustitución es u = a tanh t.
Para Va2 + u 2 , la sustitución es u = a senh t.
Para Vu2 — a2 , la sustitución es u = acoshí.
En el primer caso, Va2 - u 2 = a sech t.
En el segundo caso, 'Ja2 + u1 = a cosh t.
En el tercer caso, Vu2 - a2 = a senh t.
Ejemplo 56. Calcule / = J x2J x 2 + 4dx.
Solución
Usando la sustitución
x - 2senh t , dx - 2 cosh t dt
tenemos
/ - J x 2 x 2 + 4 dx = J 4 senh2t 2 cosh t 2 cosh t dt
- 16 J senh2t cosh2t dt = 4 J senh22í dt = 2 j (cosh 4t - l)d£
1- -senh 4 í - 2t + C = 2 senh tcosh t(senh2t + cosh2t) - 2 1 + C
x V Í+ lt2 /x 2 4 + x2 \ *j _ 2 Senh-1- + í:
xV4 + x2(,x2 + 2) - 2 senh 1 % + C
4 2
x2 dxEjemplo 57. Calcule / ~ f ■
J <Vx2 + 4x - 5 Solución
Completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución
x + 2 = 3 cosh t , dx = 3 senh i dt
resulta
/ » [ x ' dx f * 2dx í (3 cosh t -- 2) 2 3 senh f dt
J V* 2 + 4* - 5 ~ J / ( x + 2)2 - 9 i 3 senh t
50
INTEGRAL INDEFINIDA
(3 cosh t - 2) 2 dt = J (9 cosh2í - 12 cosh t + 4)dt
/
/cosh 2t + 1 ,9 ^---------) - 12 cosh t + 4) dt
9 17-cosh 2t - 12 cosh t + —2 2
dt
9 17= - senh 2t - 12 senh t + — t + C
4 2
9 11— - senh tcosh t — 12 senh t + — t + C
2 2
Vx2 + 4x - 5 17 (x 4- 2\-----------(x — 6) + — cosh- ^ - J + ^
Observación 8. Si la integral tiene la forma I R [xn ; j a 2 ± x2) dx ó
I R (xn ; J x 2 — a2) dx , donde n es entero impar positivo, es preferible
usar la sustitución z2 = a2 ± x2 ó z2 - x2 - a 2.
I.jemplo 58. Calcule las siguientes integrales:
J)
<0
x3 dx f (xs - x)b) —
J V.Vx2 - 9
x3 dx« J
Vx2 + 3
x3 dx
(3 — x2)4
dx
(x2 + 9)3/2
Solución
a) Utilizando z2 = x2 - 9, 2z dz - 2x dx < > z dz = x dx se tiene
x3 dx x4(xdx) f (z2 + 9)2z dzr x (x dx) f
J Vx2 - 9 JV x 2 — 9 J Vx2 — 9
= J (z4 + 18z2 + 9)dz = ^ z 3 + 6z3 + 9z + C
= - (z 4 + 30z2 + 45) + C
Vx2 - 9(x 4 + 12x - 144) + C
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f (x5 - x) _ r (x* - l)(x dx) f [(z2 - 3)2 -]z dz
J V^T3 J V F T 3 " J z
f z **= J (z4 - 6z2 4- 8)dz = Y - 2z3 + 8z + C
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
b) Haciendo z2 = xz 4- 3, z dz = x dx se obtiene
z= -[z4 - 1 0 z2 +40] + C
Vx2 + 3 ,= -- --- (x4 - 4x2 4- 19) + C
c) Si se sustituye z 2 = x2 + 9, z dz = x dx resulta
r x3 dx _ r x2{x dx) f (z2 - 9)(z dz)
J ( X 2 + 9 )3 /2 - J ( x 2 + 9 )3 /2 - J
dz
9 1 ,= zH---h C = - (z 4- 9) 4- C
z z
1(x2 4- 18) + C
Vx2 + 9
d) Haciendo z — 3 — x2, x dx = - -dx se obtiene
f x 5 dx í x 4(xdx) f (3 - z )2( - í dz)
J (3 - x2)4 " J (3 - x 2)4 = J í?1 f / 9 6 1\
2 J l í 4 _ ? + ? ) dz1 /3 3 1\
“ 2 f e " i 2 + z ) + C
x4 - 3x2 + 3
_ 2(3 - x 2)3 +C
f x" a*
J V T ^ x 2
J / í 4- x2 dx
j xzV4 - xz dx
f dx
i x2v l + x2
dx
J (x2 + l)V l - xz
' x3 dx
v2x2 T- 7
dx
x4Vx2 + 3
r (4x + 5)dxJ ( x 2 — 2 x 4- 2 ) 3/ 2
f - 4I ( X 2
(2x - 3)dx
J (x2 4- 2x - 3) 3/2
fV x 2 — 4xdx
x4 dx
I 1
(4 - x2)7/2
(x2 - 25)3/2 dx
x6
dx
INTEGRAL INDEFINIDA
EJERCICIOS
(x 4- l ) 3Vx2 + 2x
r sen x dx
J yjcos2x + 4cosx 4- 1
1 x /--------------/?. - - a rc s e n x - - v l- * +C
R. - j x V 4 + x 2 + ln ( x 4- 4 + x 2) j + C
x V4 - x2 i?. 2 arcsen -------— |x - 2xj + C
V i + xi R . ----------- 4- C
/ V2x ,R. — arctanl - = = ) + C
1
Ti \V1 - x 2
Vx2 4- 3 (x2 4- 3)3/zfí. --r------ --+ C
R.
9x 27x3
9x - 13^ ______ : 4~ C
Vx2 - 2x 4- 2
5x - 3
4Vx2 4- 2x - 3
(x2 - 4x)3/2
: 4" C
6x3
„5
R.20(4 - x2) 5/2
(xz - 25)s/2
4- C
4- C
125x5
1 Vx2 4- 2x« . jarsenC jr+ D + j j ^ + C
/?. - ln jc o s x 4- 2 + V c o s ^ x T T c o s x + l j + C
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
'’ i
ex'Je2x - 4 - 2e2x(ex + 2)15. | — :-:— — -II ' ~J Hv
2(ex + 2) V e 2* - 4 R. —\n\ex + 2\ - yje2x - 4 + C
_ f 2x2 - 4x 4-4 16. j - — dx
J V3 4- 2x — x2a resen - (x - 1)V3 + 2x-x2 + C
17
18.
■ /dx
(x2 -2x + 5)3/2
O 2 + 3x)dx
R.W x'¿ - 2 x + S
iü ~ -
f x3 d 19. —
J V 4-
(x - l)V x 2 - 2x 4- 10
fl. V*2 - 2a: + 10 + 51n jV*2 - 2a: + 10 + x + 1¡ +^ln
x3 dx
Va:2 - 2x + 10 - 3
x- 1+ C
V4 - x2 / ? .---- --- (8 + x2) + C
. (3 + x2) 2 x3 20. J —77—— — — dx
' /
(1 4-x2)2
1R. --
. 2
(x2 + i f f ? 4-------+ (x2 + 1) +
x2 4- 1+ C
y/y2 - 4dy p A (y2 - 4)3/2
‘ Í 2 y 3 C
f dx J (x2 - l)Vx
■f
(x2 — l)V x2 - 2
2x2 + 1------- - dx(x2 + 4) 2
dx
_ V x 2 - 2 k. arctan------ 4- £
n 1 r x i4x 1 R. - Ja rc tan-- — ] + c
(2x2 4- l)V x2 + 1
f3 x aresen x 25. — . dx
J V( 1 - x 2) 5
5 = . » £ ± 3
fi. arctan * ...) 4- CW l + x 2 '
(1 - x2)3/2 2
W l 4-x2
aresen x 1 r % x + 1
l r ^ +in v r ^ - +c
/26. f - j~ = = ln (7— —) dx J V i - x 2 V i - x /
*■’ ln ( t ^ i ) ( r 3 ~ i b 5 ~ z) +^ arcsen * - *2 (■/25 + 6x‘
"604- C,
donde z = J l - x2
¿tx — 3
a V x4 - 4: dx
INTEGRAL INDEFINIDA
1R.
2 x2ln |x2 + Vx2 - 4| - -aresen —
I (x2
x dx
í'>
{x2 - 2)Vx4 - 4x2 + 5
x2 dx
1/?. -ln
Vx4 — 4x2 4- 5 — 1
x 2 - 2
+ C
+ C
\l 4x2 — 12x — 5
1R. -
(2x 4- 3\ i------------11 aresen^— -— j 4- V- 4x2 - 12x — 5(3 — 2x)
411
II
I,’
I I
x l dx
(x2 4- 4)3
2x:i dx
1
R‘ 64
x 2 x (4 - x 2)1 arctan - -
2 (4 4- x2) 2
4- C
4- C
( v ’ - l ) 4
dx
1 - 3x2 R ■ -- I“TT 4- C
(() _ x2)3
(4x2 4- l)dx
R. ■4- ■3
• 4- — ln
6(x2 — l ) 3
(3 + x f
36(9 — x2) 216(9- x 2) 4 9 — x24- C
II
( v - 3)V6x — x2 — 8
/í. 24 arcsen(x — 3) 4- 37 ln
e2x dx
1 - Vóx - x2 - 8
x — 3
J ( C-¿X _ 2ex + 5) )3
senh 2x dx
R.
4y¡6x — x2 — 8 4- C
e* — 5
4Ve2* - 2e* 4- 54- C
(.! cosh2x — 3 senh2x — 2 cosh x)3/2
/?3 — cosh 2x
j 8 si
) (20 - 4 si
sen 2x sen x dx
(20 - 4 sen 2x - 19 sen2x)5/2
2V2 cosh2x - 3 senh2x - 2 coshx
128
:4- C
1/
^ 4 tan x — 16 ^ 5 ( t a n x - 4 ) 2 1 7 ^ +
W l.in^V - 8 tan x + 20 V ían2* - 8 tan a: + 20 T / 3 ( ta n2x - 8 tan x + 2 0 )3/2
dx
r C
(* 1 )(x2 - 2x 4- 5) 2
R- Trrln 32
(x - l )2
x2 — 2x 4- 54-
1
8(x2 - 2x 4- 5)4- C
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I.5.4.1 INTEGRACIÓN DE FRACCIONES SIMPLES
Se denominan fracciones simples a las funciones que se presentan bajo una de las formas siguientes:
0 f t o =
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
1.5.4 MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR DESCOM POSICIÓN EN
FRACCIONES PARCIALES
x — r
•*) f t o = 7— , n > 2 , n e N (.x - r )n
ax + bni) f(x ) — ; ,--- :— , donde px2 + qx + r no tiene raíces reales, es decir,
JJ X “t” QX T Y
qz — Apr < 0.
^ s ax + bIV) f(x ) = -— —----- — , donde n > 2 , n e N , q 2 - Apr < 0.
(;px2 + qx + r)n ^ p
Las integrales de estas fracciones simples son inmediatas, pues
f ai) ----dx = a ln¡x - r| + C
J x — r
U) í (x - r )n dX ~ (1 - n)(x - r)n_1 + C
f ax + biii) — 7---- ;— dx (desarrollado en 1.5.1 caso III)
J px2 +qx + r J
f ax + b (2 px + q)dx
J (px2 + qx + r ) n X 2 p J (px2 + qx + r ) n + \
2p(n - 1 )(px2 + qx + r)n~- +
( ‘ - S ) J
f dx
i (px2 + qx + r )n
f dx
J (px2 + qx + r)n
;
Para calcular la integral /, al completar el cuadrado en el trinomio, se obtiene
, 1 [ dii q 4rp - q2J = ~ T i , i n , ' donde u - Jp .x + — = y k = ------
J v J (u2 + k2)n y 4niu 2 + k2r ’ ^ 2^ y 1 1 4p
En esta última integral, se puede usar la sustitución trigonométrica u - k tan 0 ó la siguiente fórmula de reducción:
56
dx
INTEGRAL INDEFINIDA
Kjcmplo 59. Usando la fórmula de reducción, calcule / = J + .Solución
l n este caso n = 2 y k = 2. Entonces
r dx x 2(2) - 3 f dx
J (x2 + 4)2 “ 2.22(2 - l) (x 2 + 4)2-1 + 2. 22(2 - 1) J (x2 + 4)
x 1 1 x 1 / x 2x \
“ 8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + Í ^ T í ) + C
1.5.4.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR
DESCOM POSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
p(x)Sim la función racional f(x ) - -rr-r. donde P(x) y Q(x) son polinomios
<2 0 )i nprimos de grados m y n (m ,n £ N), respectivamente.
Si m < n, se dice que la función racional es propia y cuando m > n, se dice que
es una función racional impropia.
I'or ejemplo, las funciones racionales
x5 - 6x2 + 7
f t o = T z r r z y a t o2x4 + 8 J " 2x& + 3x3 + 2
mm propias, pues el grado del polinomio del numerador es menor que el giado del
polinomio del denominador; mientras que las funciones racionales
3x4 - 2x2 + 7 _ 5x3 - 3x2 + 1
F(X) ~ x2 + 2x + 3 y G M " 2x2 - 7x3 + 4
son impropias.
P(x)Si / (x) = es Una función racional impropia, por el algoritmo de la división,
uxisicn polinomios C(x) y R(x) únicos tales que
l ’ t o r r , R W--- = C(x) +Q(x) Q(x)
dónele el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x). C(x) y R(x) son,
ii'speclivamente, el cociente y el resto de la división de P(x) entre Q(x) .
I tío significa que toda fracción impropia puede ser expresada como la suma de un
polinomio y de una fracción propia. Así, la integral de una fracción impropia
IMifilc ser escrita como
í pt o , f , ( Rto
¡ m dx ~ í c ( s )dx+1 q w
dx
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Enseguida, veremos el método de integración para una fracción propia, el cual se
basa en que “toda fracción racional propia puede ser descompuesta en la suma de
fracciones simples”. Este hecho se sustenta en el conocimiento de dos teoremas
del Álgebra que admitiremos sin demostración.
Teorema 1. Si Q(x) es un polinomio de grado n (n > 1) , entonces Q(x) se
descompone como un producto de factores de 1er grado y de factores de 2do
grado irreductibles en M, de la siguiente forma:
Q(x) = a(x — r1)n' (x — r2)n2 ... (x - rk)nk(x2 + pjX + q1)m» ...(x2 + psx + qs)m> (*),
donde n = n1 + n2+ ... + nk + 2m l + ...+ 2ms
Teorema 2. Si el polinomio (?(*) posee la descomposición '(*) y P(x) es
P (Xjun polinomio de grado menor que n, entonces la fracción propia
se descompone unívocamente en fracciones simples como
P(X) _ ^11 A12 ^21 ^22
Q(x) x - r ^ i x - r ^ ) 2 (x - rj)ni + (x - r2) + (x - r2)2 + ^
+ - A l n t ----+ .- 4 - A k l - + A k 2 + . . . + A k n * +
(x - r 2)"2 (x - r k) (x - rk)2 (x - rk)n><
B llx + 11 Bl2x + Cíz ^lm, + Qmt ^
(x2 +plx + q1) (x2 +p1x + q1)2 (*2 + Pix + <h)mi
_l_ Bs\x Q l ^ &s2x Q 2 Qms
x2 + psx + qs (x2 + psx + qs)2 (x2 + psx + qs)ms
En resumen, podemos afirmar que la integración de una función racional (propia ó
impropia) se reduce a integrar a lo más un polinomio y las fracciones simples.
Recuerde que si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del
denominador, primero se debe dividir (salvo que se emplee otro artificio de
integración).
Cuando se descompone una función racional en fracciones simples, la ecuación
resultante es una identidad, es decir, es verdadera para todos los valores
significativos de la variable x. El método para determinar las constantes que se
presentan en los numeradores de las fracciones simples se basa en un Teorema del
Algebra que establece que los polinomios de un mismo grado son idénticos
cuando son iguales los coeficientes que corresponden a potencias iguales. Estas
constantes también se pueden determinar resolviendo la igualdad de polinomios
para un número suficiente de valores de x.
En el siguiente ejemplo, sin determinar las constantes, mostraremos como se
descompone una fracción propia.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
58
Sea la fracción propia
P(x) 7x4 — 2x3 + x2 — %/2x + n
Q(x) = (x + l)(x - 4)3(x2 + 9)(x2 + l )2
I ,a descomposición de esta fracción en fracciones simples se expresa como
P(x) A B C D Ex + F Gx + H Jx + M■ + --- r + ^--- + + —--— H-- --- + -
INTEGRAL INDEFINIDA
Q(x) x + 1 x - 4 (x - 4)2 (x - 4)3 x2 + 9 x2 + 1 (x2 + l )2
donde A, B, C, D, E, F, G. H, J y M son constantes a determinar.
f x3 — 3x + 3lijemplo 60. Calcule / = —;----- irdx.
H J x2 +x -2Solución
I 11 primer lugar, se divide, ya que el integrando es una fracción racional impropia.
x3 — 3x + 3 1 1= x — 1 + —----- - = x - 1 + ■
x2 + x - 2 x2 + x - 2 (x - l) (x + 2)
Lii('j;o, J = j (x — 1 )dx + J •dx x2~ — x
(x — l)(x + 2) 2
Al descomponer el integrando de I en fracciones simples, se tiene
1 A B
(x — l)(x + 2) x — 1 x + 2
ilonde A y B son constantes a determinar. Multiplicando esta ecuación por el
mínimo común múltiplo del denominador, se obtiene la ecuación principal
1 = A(x + 2) + B(x - 1), V x e R
Ahora bien, para determinar las constantes A y B se debe escoger valores
npi opiados de x. Estos valores son aquellos que hacen igual a cero el denominador
de nula fracción simple. Así, tenemos:
l'ma x = 1 en la ecuación principal, nos queda: 1 = 3A <=> A = 1/3
l'nia x = —2 en la ecuación principal, resulta: 1 = -3B «=> B = -1/3
I ue^o,x .
/ ( :
1/3 1/3 \ 1 , 1 , 1.dx = -ln|x — 1| — -ln|x + 2| + C = — m
1 x + 2) 3 3 3
'ni tanto.
x + 2+ C
X2 X 1
/ = Y ~ ^ l = Y - x + 3h' x + 2+ C
I n el ejemplo anterior, para calcular la integral 1 no es necesario descomponer en
li hit iones simples, pues también se puede calcular completando cuadrados. En los
^unientes ejemplos, usaremos el método más adecuado.
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
X2 — 6x + 8f x¿ — 6x + 8 Ejemplo 61. Halle I = I —— ----dx
J x2 + 2x + 5
Solución
Como el integrando es una fracción impropia, primero se divide y luego se aplica
el artificio presentado en 1.5.1. Así, se obtiene
f xz - 6x + 8 f 3 - 8x i f (8x- 3)dx= I 7' ,o— —¿dx= I l+-r— --- \dx = x -
J x2 + 2x + 5 J L x2 + 2x + 51 J
r 2x + 2 f= x — 4 I —-— --- dx + 11 ¡ ,
J x2 + 2x + 5 J (x + l ) 2 + 4
x2 + 2x + 5
2x + 2 r dx
, 11 ¡x + 1\x — 4 ln(x2 + 2x + 5) + — arctan —-—J + C
dxEjemplo 62. Halle J . ,. J x3 + 1
Solución
La descomposición que corresponde a la'fracción propia del integrando es
1 1 A Bx + C• + ■
x3 + 1 (x + l) (x 2 - x + 1) x + 1 x2 - x + l
P
Eliminando denominadores, obtenemos la ecuación principal:
1 = A(x2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1) (*)
Para x = — 1 en la ecuación (*), se tiene: 1 = 3A ==> A — 1/3.
Igualando coeficientes de x2 en (*), resulta: 0 = .d+Z?=>B = —1/3.
Igualando coeficientes de x en (*), obtenemos: O - -A + B + C = > C = 2/3.
En esta integral, el problema mayor es la integración de la fracción simple /?. Un
método que facilita la integración de este tipo de fracciones simples (y que se usa
cuando el denominador presenta factores cuadráticos irreducibles) consiste en
expresar el integrando como
1 1 A D (2x - 1) + £
x 3 + 1 (x + l ) ( x 2 — x + l ) x + 1 x 2 — x + 1
donde 2x - 1 es la derivada del denominador x 2 - x + 1. Obsérvese que para
integrar la segunda fracción es suficiente separar en dos integrales tal como
veremos a continuación.
En la igualdad anterior, multiplicando por el denominador se obtiene la nueva
ecuación principal:
INTEGRAL INDEFINIDA
1 = A(x2 - x + 1) + [D(2x - 1) + E](x + 1) (**)
Para x = -1 en (**), se obtiene: 1 = 3A => A = 1/3.
Igualando coeficientes de x2 en (**), resulta: Q = A + 2 D = $ D = —1/6.
Igualando coeficientes de x en (**), se tiene: O = —A + D + E => E = 1/2.
Luego,
l = i i h d x + i
i r dx i r 2x — i i r
“ 3 J x + 1 6 J x2 - x + 1 * 2 jxz - x + 1
dx
( - § ) -
1 1 1 - 1\= -ln|x + 1| - g ln (x2 - x + 1) + -^arctan + c
f dxlíjeinplo 63. Calcule J ■
dx63. Calcule I -3 ■
Solución
Como x3 - 1 = (x - l) ( x 2 + x + 1), aplicamos el método del ejemplo anterior.
1 )c este modo, la descomposición en fracciones simples es
1 _ A B(2x +1) + C
x3 - 1 x - 1 ' x2 + x + 1
Eliminando denominadores.se obtiene A = 1/3, B = -1/6. C = -1/2. Por tanto,
f dx 1 f dx 1 f (2x +1 )dx 1 f dxf dx _ 1 f dx_ _ l f (2x + l)dx _ 1 j-
J ^ T ' s J T ^ T 6J x2 + x + 1 2J(x4 )
1 1 1 Í 2X+1\ r-= -ln|x - 1| - gln(x2 + x + 1) - ^ a r c t a n +
Ejemplo 64. Halle / — J ^ _ dx
(x — 2)2(x2 — 4x + 3) ’
Solución
( orno (x - 2)2(x2 - 4x + 3) = (x - 2)2(x - 3)(x - 1), entonces
1 A B C D---------------- - —---r + ~---— +---- + '(x — 2 )2(x2 — 4x + 3) x - 2 ( x - 2 ) 2 x - 3 x - 1
l lim inando denominadores, obtenemos la ecuación principal:
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
l = A(x- 2 )0 - 3 )0 - 1) + B(x - 3 )0 - 1) + C(x - 1 )0 - 2)2 + D(x - 3 )0 - 2)2
Trabajando con esta ecuación principal, se tiene
Para x = 2 => 1 - —B => B - -1
Para x = 3 => 1 = 2C => C = 1/2
Para x = 1 => 1 = -2D =¡> D = -1/2
Igualando coeficientes de x3 resulta: 0 = i4 + C + D => .4 = 0
Por consiguiente,
dx r dxIS o r :(x — 2)20 — 3 )0 — 1)
x - 3
_ T dx 1 r dx 1 f dx
( x - 2)2 + 2 J x — 3 ~ 2 J x - 1
1 1:-- ^ + rlnx - 2 2 x — 1
+ C
Ejemplo 65. Halle I - j Solución
Escribimos la integral como
' VserTx
Vsen x
cosx-dx.
f vsenx f vsen xcosx/ = ----- dx = —----- — dx
J cosx J 1 — sen2x
Haciendo u 2 — senx => eos x dx = 2u d u y descomponiendo el resultado en fracciones simples, se tiene
r 2u2 du _ í 2u2 du r r 1/2 1/2 1
~ J 1 - u4 ~ J (1 - u2)( 1 + u2)~ J l l - u + 1+ u ~ 1 + ñ 2
2 u2 dudu
1, |u+ li 1 I Vsenx + 1~ ln --- r - arctan u + C = -ln , ---2 \u-l\ 2 |V Ieñx- l
arctanVsen x + C
Ejemplo 66. Cacule I = j Solución
dx
x(x69 + l ) 3 '
dx 1 f 69 x68 dxSe tiene que I = I -— 7------ — ¡ -----------
J x 0 69 + l )3 69 J x69(x69 + l )3
t Si en la última integral se hace u = x69 + 1 => du = 69 x68 dx, resulta
/ - 1 í du 1 f \A B c D 169 J u3 (u - 1) 69 J [u + u2 + ií3 + u — l j
62
INTEGRAL INDEFINIDA
Determinando las constantes A, B, C y D por el procedimiento usado en los
ü|emplos anteriores, se obtiene
! Í L Í _ j L _ - L 1 >9 J L u u2 u3 + u - 169
1 ,69
69 h x69 + l
1 1du = -ln|u| H---+ ln|u - 1| 4- C
u 2 u2
+ C+ 1 2 O 69 + l )2
K|emplo 67. Calcule 1 = J Vtan x dx.
.Solución
SI lineemos t2 = tanx
2t2 dt
x = arctan t2 y dx =2t dt
1 + tentonces
f 2t dt _ f
1 ~ J 1 + t4 “ J (T
2t2 dt
+ V2t + t2) ( l - V2t + t 2)
l .n factorización de 1 + t4 se realizó del siguiente modo:
1 f t4 = (t2 + l )2 - 212 = (t2 + l )2 - (V2t)2 = ( t2 + 1 - V2t ) ( t2 + 1 + V2t)
I .¡1 descomposición del integrando es
y4(2t + V2) + B 1 C(2t -y/2) + D _ 212
t2 +V2t + l t2-V 2t + l “ l + t4
I liminando denominadores, se tiene
2t2 = [/l(2t + V2) + B][t2 — V2t + 1] + [C(2t - V2) + D][t2 + V2t + l]
Igualando los coeficientes de las potencias de t en los dos polinomios, se obtiene
2A + 2C^=0, (B + D) + V2(C — A) = 2 ,
V2(B - D) = O , V2G4 — C) + B + D = 0
Kesolviendo las ecuaciones, resulta
A = — V2/4, C = V2/4, B = - l/2 , D = 1/2
I uego,
V2’ 4
r 2t + V2 _ i r _
J t2 + V2t+ 1 f 2 J t2
dt V2 f 2t- V 2 1 f
J t2 - V2t + 1 t + 2 j t2-2 + V2t + l “" 2 J t 2 + V2t + l ' 4
Integrando y simplificando, se obtiene
t2 - V2t + 1
dt
V2t + 1
V2,/ = T ln 4 t2 + V2t + 1
donde t = Vtanx.
/ ^2— — arctan(V2t + l ) + — arctan(V2t — l ) + C
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r
Ejemplo 68. Calcule / = j
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
x sec2* dx
3+ 4 tan x + sec2x ’
Solución
Escribimos la integral como
*sec2* dx r xsec2x dx f x sec2x dx¡ _ r x sec2* dx r x sec2* dx r
J 3 + 4 tan * + sec2* ~ J 3 + 4 tan x + (1 + tan2*) ~ J i3 + 4 tan * + (1 + tan2*) J (tan * + 2)2
Aplicando el método de integración por partes, elegimos
f u = x => du = dx ■ •( , sec2* dx 1
) d v = 71----- V = -■(tan * + 2)2 tan * + 2
Luego,
tan * + 2 J tan * + 2J ;
dx
i *i
Haciendo t = tan * =* dt = sec2* dx en la integral /, se tiene
i - f ^x - f _ sec2* dx r dt
J tan * + 2 ~ J (tan * + 2)(1 + tan2*) = J (t + 2)(1 + t2)
Descomponiendo el integrando en fracciones simples, tenemos
* - j L + i w i 2t) +¡(t + 2)(1 + t2) t + 2 1 + t2
Luego,
dt1 f dt 1 í 2 td t 2 f
J ~ 5 J t + 2 ~ W J l + t2 + 5 j 1 + t2
1 1 2 J = pln|t + 2| — ——ln|l + t21 +-arctan t + C
b 10 5
1 1 2 7 = g In|tan * + 2| - — ln|l + tan2*| + -arctan(tan *) + C
Finalmente, obtenemos
* 1/ —------- — |---ln
ta n * + 2 10
(tan * + 2)3
sec2*
2+ - * + C
dá
INTEGRAL INDEFINIDA
EJERCIC IOS
II,illc las siguientes integrales indefinidas:
1 4x2 + 6
* 3 + 3*I
\w<
-dx
-dx+ 4)2
* 4 - 4* 2 - 14*
x*
^ 2 * 2 + 4
R. ln[*2(* 2 + 3)] + C
841n|*2 + 4| + C
r * “
J x
/
2 - 2* - 8 dx
-dx
(x2 + 2* + 5)3
Ä.
x ? 68 , , 14 ,R. — + * + 8* + — ln[* —4|— ^-ln|* + 2| + C
2 (*+ l) 3 (*+ l) 3 (x + 1\: + ~ arctan — J + C
(*2 + 2* + 5)2 4(*2 + 2* + 5) 8
/ :
h
f *
x2 + x - í
:3 - x2 - x + 1dx
x + 1
2x2 + 3*dx R.
R. ------ — + -ln|* - 1| — —ln|* + 1| + C2(* - 1) 4 4
ln|*| ln(*2 - 2* + 3) 2• + - arctan
3 c - ^ )+ *
«)
10.
/
í i r :
* 3 + X 2
x2 + * — 2
d*1 I x2 I
fi. - + ln ----* * + 11
+ C
+ C
■dx* 4 + 5x2 + 4
2x2 - 3* - 3
1) (* 2 - 2* + 5)
1 (x z + 1R. - ln —z-- -
6 \x2 + 4arctan * + arctan - + C
dx
1R. - ln (*2 — 2* + 5) - ln|* — 1| +-arctan
< r r )+ C
r x2
J 1 — xdx6
x2 dx
x6 - 10x3 + 9
1R. - ln
6
R. iln
*3 + 1+ c
+ c
4x + 1
x2 + 1-dx
R. - ln (*2_ 2* + 1 4 /2* - 1\
+ x + l)- V 3 arctan — = — + — arctan — = — + C V3 V3 V V3 1V3
I I2*
* 4 + x 2 + 1-dx
2 / 2x2 + 1>R. — arctan -- —— + C
V3 V V3
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN H
f 2x"14. -7--- -
J X 4 + X “-dx
• /
/ i
+1
Ä-. |m
x2 dx
x6 - 10x3 + 9
dx
x2 - x + 1
X2 + * + 1
1 /2x + 1\ 1 /2x - 1\+ — arctan — =r— + — arctan — ■=— + C
V V3 ) V3V3i ( ^ )\ V3 /
fi' 2 4 ln
V3
X3 - 9
x3 — 1+ C
17.
V2 /?. — ln
dx
x8 + x6
7 .
1 + V2x + x2
1 — V2x + x2+ -—arctan(V2x + l ) — arctan(V2x — l ) + C
1 1 1ñ. - ;r^r + —-=■----- arctan x + C
5x3 3x4 x
r x + xJ18' J - 24 ' + 1
1 9 . /dx
20 .
x(x7 + l ) 2
f dx
I X (X 999 + l ) 2
dx
/
■ /
x(x9 + l )3
dx
X12 ( X11 + 1)
„ . 4 1 , , , 4 , 1 |2x4 + 1 — V5|R. :rln|x4 - 1| - -ln[x6 + x4 - 1 --- — l n ---------= + C
2 4 2V5 |2x4 + 14- v5i
R. ¡n|x|-^in|x7 + 1|+ — — + C7 7(x- t t j
1 1R. ln|x|---- lnjx999 •<- ll +---- — --- + C
999 999(x" 9 + 1)
1 1 1R. ln|x|—-ln|x + l| + „ H---- — ? + ^
9 9(x9 + 1) I 8(x9 + l )2
R. -i-lnlx11 + 1|- 1 ■ / - ln|x| + L11 l l x 11
f cot x dx
23 i c iS í
24.
7x + 1)
f tan x dx
J (cos"x + 1)
R. ln|senxj— ln|sen'x + 1| + —-- :----~7 7(sen'x + l j
R. — ln|cos x + l| - lnjcos x )-99(cos"x + l)
+ C
+ C
' x4Vsenx + Vsenx + cosx 25. I ----- , . --------- diP (x4 + 1) cosx
Ä. |mVsen x + 1 V2. x2 + V2x + 1 ---- arctanfVsen x) + —— ln ----------- —----- +
Vsen x - 1 8 x2 - V2x + 1
+ — arctan(V2x + l ) - arctan(V2x - l ) + C
66
1 IN 1 cvjKAL IN U b r lN lU A
lu. /dx
X 5 + 1
V5 R- ™ ln 20
2x2 - (1 - V5)x + 2
2x2 - (1 + V5)x + 2
VlO — 2V5 /4x- (l+ V 5)\+--- —--- arctan — +
10 V V 1 0 - 2 V 5 /
V10 + 2V5 ( 4x - (1 - V5)\ , „
10 V V 10 + 2V5
n .
¿H.
2').
M ) .
1!.
u .
j Vtanh x dx
cosxVsen x + 1
1Ä. -ln
2
tanh x + 1
tanh x — 1— - arctan(tanh x) + C
sen x + 2
dx
dx R. 2Vsen x + 1 — 2 arctanVsen x + C
sen 5x (l + eos 5x)
2 dx
1fi. -ln
4
cos 5x - 1•+ C
Vcosx sen x
s
/?. ln1 - Vcosx
1 + V cosx
cos5x+l 2(cos5x+l)
+ 2 arctan(Vcos x) + C
dx fi. -[x3 - ln(x3 - 1)] + C
dxx3 + x - 1
(x2 + 2)2
4x2 - 8x
( x - l ) 2(x2 + l ) 2
R.2 — x
In Jx 2 + 2 --- —arctan — +C4(x2 + 2) ^ 4V2 V2
dx
R.3x - 1
(x - l) (x 2 + 1)
, (* ~ 1) \+ ln — ■■ . 1 + arctan x + C
x2 + 1 )
»4. /
/
dx
(x2 — x)(x2 - x + l ) 2
x - 1i?, ln
10
3V3
/2x - 1 arctan — —
V V3
2x — 1
3(x2 — x + 1)
3x + 2
x(x + l ) 3dx
4x + 3 xR. —--- —w + ln-
2(x + l ) 2 (x + l ) 2
+ C
+ C
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Hemos visto que las funciones racionales poseen integrales que se expresan como
combinaciones lineales finitas de funciones elementales. Esto no sucede con las
funciones irracionales salvo en algunos casos particulares.
En esta sección y en las siguientes, vamos a estudiar algunos tipos de funciones
irracionales cuyas integrales pueden ser expresadas como una suma finita de
funciones elementales. Para esto, es necesario un adecuado cambio de variable de
manera que el integrando de la nueva integral sea una función racional.
1.6 INTEGRACION DE ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES
f í /a + bx\mi/ni /a + bx\mk/nk1.6.1 INTEGRALES DEL TIPO j A ( _ ) ;...; (— )
En este caso, R es una función racional de variables
/a + bx\miJni /a + bx\mk/rlk .
x ■ f c r s ) ■ •••y '*> "* » •> .... .............." • 6 :
a + bxPor tanto, los exponentes de --- — son números racionales.
c + dx
En esta situación, se hace el cambio de variable
a + bx
dx
= tn , donde n = m. c. m. {ri!, n2, - ,n k}c + dx
Despejando x, se obtiene
tnc — a (be — a d )n ín_1
x = v ^¡r» y dx= ■íb - d ñ ‘ - ic
Sustituyendo estas expresiones en el integrando, se obtiene que R es una función
racional de variable t.
dxEjemplo 69. Calcule J = f xl/2(1 + xl/4) •
Solución
En este caso, los exponentes fraccionarios de x son 1/2 y 1/4. Entonces
m.c. m.{2 ,4} = 4
Haciendo el cambio de variable x — ?4 =* dx = 4t 3 dt resulta
f 4 t3 dt r 4t f ( 4 \
^ ~ j t 2( 1 + t) ~ J 1 + t dt ~ j \ ~ t + 1/
= 4t - 4 ln|t + 1| + C = 4x1/4 - 4 ln|x1/4 + l| + C
Ejemplo 70. Halle I = f dx
J V* - 1 + Vx - 1 'Solución
I .os exponentes fraccionarios de x — 1 son 1/2 y 1/ 3.
Si se hace x ~ 1 = t* (6 = m . c. m. {2 ,3}) ==»<& = 6t*dt.
I liego,
f 6 t5 dt r t 3 r , i .
J t3 + t z ~ 6J F T i dt = 6j ( t2~ t + 1 - ^ ) dt
= 2t3 - 3 t2 + 6t - 61n|t + 1| + C
- 2\¡x - 1 - 3Vx - 1 + sVx - 1 - 61n|Vx — 1 + l j + C
INTEGRAL INDEFINIDA
Ejemplo 71. Calcule I = f í—— - — J ^ 1 + x2 x
Solución
Se escribe
xz - 1 2x dx
1 + x2J y * . ^
Unciendo el cambio de variable z - x 2, se obtiene
¡ 1 í \z - 1 dzf |z •
J i2 J v 1 + z z
I ii ''sta última integral, el criterio estudiado nos sugiere reemplazar — = t 2.
I >n..mos al lector seguir este camino. Resolvemos la integral usando el siguiente
, - - ¡ . .Sz - U dz )dz I r dz i r dz1 f (z - 1 )dz _ 1 r (z - 1 )dz _ 1 r dz i r
2i zvl + zy¡z — 1 2 J zyf¿¡r—[ ~ 2 j Vz2 í ~ 2 J z 'lz2 - 1
1 , -----, i;¿ ln + Vz2 — 1 j --arcsec|z| + C
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Ejemplo 72. Calcule / = J -Jtan2x + 2 dx.
Solución
Escribimos la integral como
tan2* + 2 r sec2x + 1 f sec2x dx [ dx
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
lr tan2* + 2 [ sec2x + 1 _ f sec x “x + f
J Vtan2* + 2 J Vtan2x + 2 J Vtan2x + 2 JVtan2x + 2 i Vtan2x + 2
'i '2
Aplicando las fórmulas de integración correspondiente a cada integral, tenemos
/* = ln jtan x + J ta n 2x + ¿| + Cx
r cosxdx f cosxdx t senx\/, = , = ■— -- arcsen I — — + C2
J Vsen2x + 2 cos2x J V2 — sen2* ' v 2 /
Por consiguiente,
i ,--------1 /sen x\I = ln |tan x + Vtan2* + 21 + arcsen ^ j + C
1.6.2 INTEGRALES DE LA FORMAdx
(x - a)nJp x 2 + qx + r, n e
Para calcular esta integral, se debe usar la siguiente sustitución recíproca
1 dt x - a = j= > d x = - j j
Ejemplo 73. Calcule 1 = 1 — J x
dx
2y/4x2 + X + 4
Solución1 1
Haciendo la sustitución x = - => dx = —-rdt, se obtienet t z
dtt2f — = U L = = - Í
J 1 4 , 1 , , J
t dt
1 ¡± t2\|t2
- - Í 8 J
+ í + 4
(8t + l)d t
V4t2 + t + 4 ' 8 ji f8.1
V4t2 + t + 4
dt
- sïï<8t + 1>-5
V4t2 + t + 4dt
= - ~ J4 t2 + t H-4 + - ^ ln | 2 t + 7 + V4t2 + t + 4 4 V 2V63 I 4_ '
1 V4 + 4x2 + x 1------------ + — ==ln4 x 2V63
8 + x V4x2 + x + 4 +---------
4x
+ C
+ C
70
Ejemplo 74. Calcule /
Solución
INTEGRAL INDEFINIDA
dx= [_ _ _ _ _ iJ (x — 2)yfx(x - 2)y¡x2 +3x - 9
1 1 Como x — 2 = — => dx = — — dt, entonces
dt
■ í n r „ T , . ; . - /dt
¡ J (¡ + 2y + 3 ( í + 2 ) - 9 J V F T t F T T
= = - ln t + - + V t2 + 7t + 1 45 I 2
+ C
- ln7x - 12 Vx2 + 3x - 9
2(ac - 2) x - 2
Ejemplo 75. Calcule J = f .....+ 3)dx —J x2yj3x2 + 2x + 1
Solución
1 1 Si se hace x = - => dx = - -dt. Luego,
/ I . _\dt
= _ f f
J 1 / 3 +2 + 1 - Jt2y JF+ t + 1
3 f 2t + 2
(1 + 3t)dt
V t2 + 2í + 3
dt “h 22 J V t2 + 2t + 3 J V (t + l ) 2 + 2/ :
dt
■ = —3-y/t2 + 2t + 3 + 2 ln |t + 1 + V t2 + 2t + 3¡ + C
x + 1 + V3x2 + 2x + l l3V3x2 + 2x + 1+ 2In + C
1 11 algunos casos, la sustitución recíproca puede facilitar el
imicl’,ración, como veremos en los dos ejemplos siguientes.proceso de
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Vx -;r -yx —■ XEjemplo 76. Calcule / = J — —— dx.
Solución1 1
Si se hace x = - => dx = — ^dt. Luego, t t2
* 11 _ J_
= - J -- ^ = - J V t 2- 1 tdt ,(u = t2 - l , d u = 2tdí)
Ejemplo 77. Calcule / = J ■ dx
(x + l )4 x2 ‘
Solución
1 1 t * ~~ t
dt
Si se hace x + 1 = 7 => dx = --^dt. Luego,
t4 £ L)
= - f y + t2 + 3í + 4 ln (l - 1) + + c
1 1 3 1 x 1 x + l i „---- — H------ - H------f- 4 ln --- t H-----1 + C
.3(x + l )3 (x + 1)2 x + l ljc + l l x i
1.6.3 INTEGRALES DE LA FORMA J R (x; Vax2 + bx + c) dx
En este caso, R es una función racional en las variables x y Vax2 + fax + c. Una
integral de esta forma se calcula usando las ‘‘sustituciones de Euler”. Estas
sustituciones permiten transformar el integrando en una función racional de
variable t. Se presentan 3 casos:
CASO I. Si c > 0 , el cambio de variable es Vax2 + bx + c - tx + Ve.
Elevando al cuadrado, resulta
ax2 + bx + c = t 2x2 + 2Ve tx + c
<=> (a - t 2)x2 + (fe - 2Vc t)x = 0
«=* x[(a - t 2)x + fe - 2Vc t] = 0
72
INTEGRAL INDEFINIDA
En esta última ecuación, eliminando la solución x = 0, se obtiene x = <p(t), que
es una función racional de t, y dx = (p'(t)dt. donde <p'{t) es también una función racional de t. Por lo tanto,
J R(x,]y]cix2 + bx + c)dx = J R(<p(t); tcp(t) + Ve) <p'(f)dt
donde el integrando del segundo miembro es una función racional de variable t.
Ejemplo 78. Calcule J = \ - J :
dx
xV2x2 + x + 1 ’Solución
Haciendo y = V2x2 + x + 1 = tx + 1 y elevando al cuadrado, se obtiene
2x2 + x = t 2x2 4- 2tx
Eliminando la solución x = 0, se obtiene
2 tdx
2 (t2 — t + 2)dt, y =
t(2t - 1)+ 1 =
t + 2
2 — í 2 ’ (2 — t2)2 ' 2 — t 2 1 ‘ 2 — t 2
Luego, reemplazando estos valores en la integral y simplificando, nos queda
J- h
2 dt
1= ln|2t — 1| + C = ln
2V2x2 + x + 1 - 2
CASO U. Si a > 0 , se hace la sustitución Vax2 + fax -f c = Vax 4- t.
Elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene bx + c = 2Vatx + t 2. De esta
dxecuacion.se obtiene que x y — son funciones racionales de t y por tanto, el
nuevo integrando es también una función racional de variable t.
Ejemplo 79. Calcule / = j Solución
dx
xVx2 + x + 1
Sea y = vx2 + x + l = x + t.
Elevando al cuadrado, se obtiene x2 + x + 1 = x2 + 2íx + t 2. Lue«o,
1
1 - 21, d x - 2
- r 4* td x , y =
- r + 1 - 1 1 - 2c(1 - 2t)2
Finalmente, reemplazando estos valores en I y simplificando, se tiene
t - l l _ Vx2 4-x + l - x - l/
' J
dt= ln
t 4- 1+ C = ln
Vx2 + X + 1 ~ X + 1
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
CASO III. El trinomio ax2 + bx + c tiene dos raíces reales r y s. En este
caso, la sustitución es y - Vax2 + bx + c = t{x - r).
Elevando al cuadrado, se obtiene
ax2 + bx + c = a(x - r)(x — s) = t2(x - r ) 2
Cancelando el factor x — r, resulta a(x — s) - t2{x - r).
dxDe esta igualdad, se sigue que x , — e y son funciones racionales de t y, por
dt
ende, el nuevo integrando es también una función racional de variable t.
dx
= / ;Ejemplo 80. Calcule / , ___________
W x 2 - 3x + 2 Solución
Como x2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) , reemplazamos
y = y/x2 - 3x + 2 = V(* - 2)(x - 1) = t{x - 1)
Elevando al cuadrado y simplificando el factor x — 1, queda x - ¿ — t 2(x - 1).
Luego, se obtiene
2 — t2 2 td t t
x = t ^ íí ‘ d x= ó ^ w AFinalmente,
, dt V2 , = - 2 1 — = — !»
t - V 2
t + y¡2
V2
+ c = T ln
4 x - 2 4- y¡2(x - 1)
4 7 = 2 - j 2 ( x - l )+ C
1.6.4 INTEGRALES DE LA FORMA: J xm(a + bxn)p dx
A una expresión de la forma xm(a + bxn)p dx , donde m, n y p son números
racionales, se llama binomio diferencial. Pafnuty Lvovich Chevyshev (1821-
1894), el matemático ruso más eminente del siglo XIX, demostró que la integral
de los binomios diferenciales con exponentes racionales puede expresarse
mediante funciones elementales solamente en los casos siguientes (siempre que
a ^ 0 y b 0):
CASO I: p es un número entero
m + 1CASO II: ---- es un numero entero
n
m + 1CASO III: — :-- hp es un número entero
’ n
m + 1 m + 1Si ninguno de los números p , ---- , —--- h p es entero, la integral no puede
ser expresada mediante funciones elementales.
74
CASO I. Si p es un número entero, se hace la sustitución x = z r , donde
r = m. c. m. de los denominadores de las fracciones m y n .
m + 1CASO II. Si — -— es un número entero, hacemos la sustitución a + bx11 — zs,
donde s es el denominador de la fracción p (como p es un número r
racional, P = ~> con r y s números enteros coprimos)
m + 1CASO III. S i -1- p es un número entero, se utiliza la sustitución
n
a + bxn — zsxn ó ax~n + b = z s
donde s es el denominador de la fracción p.
Ejemplo 81. Calcule / = j x2^1 +x3 dx.
Solución
En este caso, m = 1/2, n = 1/3, p = - 2 e l (caso I) y m. c. m. {2,3} = 6.
La sustitución es x = z 6, dx = 6z 5dz, x1/2 = z3 y x1/3 = z 2.
Así, tenemos
, ~1/z f z3.6z5 dz .I = I TT— TT^dx = I TT— 7TT - 6 | ^ + ^ dz
Efectuando la división en el integrando, se obtiene
INTEGRAL INDEFINIDA
r x i/¿ r z3.6 dz r
= J (l+X1/3)2dX = J (1+Z2)2 ZZ6J Ido la división en el integrando, se obtiene
f f . , 4z2 + 3 \ ( z s 2z3 \ f= 6 J ( z4 + 2z2 + 3 - I ^ ) d z = 6 ( J - - + 3Z) - 6 j . i
, , , , 4z2 + 3 \ /z5 2z3 \ r 4z2 + 31 = 6 I |z* + 2z2 + 3 - „ , _,N, )dz = 6 ( - - — + 3 z )- 6 | --+ ^2)2dz
” 7 ” '
Para calcular la integral J, usamos la sustitución trigonométrica z = tan 6.
f 4z2 + 3 f (4 tan20 + 3)sec28dB [
I = J ¡ T T ^ f d' = J ---------------- = J ■'sen 8 + 3 “ “ "J
= / ( 3 + senI8)d$ = / ( 3 + Í Z | £ H ) í9 - ^ + C,
7 sen 0 eos 6 1 z
= 2 ° ----- 2--- + C l ' 2arC,a" Z “ 2( T T ? j + í:>
Por lo tanto,
6 3z/ = - z5 - 4z + 18z - 21 arctan z + ---- r + C
5 1 + z 2
= % x ^ - 4Vx + 18VÍ - 21 arctan \[í + + C5 1 + Vx
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 82 Calcule } = J x1/3(2 + 2/3)1/4 dx.
Solución
1 2 1 m + 1En este caso, se tiene m = - , n — - , p = -~ y ---- = 2 £2 (c a so iI) ,
3 3 4 n
Ahora, la s titución es '
2 + x2/3 = z4, \¡x~x,z dx = 4z3dz ó dx = 6x1/3z3dz
Luego,
i j xll3(z4y /46xl,3z3 dz = 6 j x2/3z'* dz = 6 j (z4 - 2)z4dz
= 6 ( í - ¥ ) + C = \ (2 + " 2/3)9/4 - ( 2 + " 2/3)S/4 + C
Ejemplo 83. Calcule / = J
3 V ' 5
dx
t6(6 5 - x 6y /6 '
Solución
Escribimos la integral como / = j x_6(65 — x6)~1/6 dx.
1 m 4- 1Puesto que m = —6, n = 6, p = — - y --- —+ p = - 1 f 2 (caso 111);
6 71hacemos la sustitución
65 - x 6 = z 6x6 ó z6 = 65x-6 - 1, dx = - — x7z 5 dz65
Por tanto, tenemos
I = J x~6(z6x6)~6 — x7z 5 dz j = - — J z4 dz
1 . (65 - x6)5/b= Z5 + C = - - - — 7 — + C
325 325x5
Ejemplo 84. Calcule 1 = J VxV* 3 + 1 d i
solución
La integral tiene la forma 1 = J x1/2( l 4- x3)1/í2 dx . Luego,
1 1 m + 1m = - , n = 3, p = — y — ----1- p = 1 £ TL
Ahora, hacemos 1 + x3 = z2x3 ó x~3 + 1 = z z, dx = -2/3 x4z dz.
76
INTEGRAL INDEFINIDA
Entonces
/ I x ^ C z V y / 2 (-2 \ 2 - x 4z dzj = - - | x6z 2 dz =
2 r 1
~ 3 j ( z 2 -(z2 - í yv
Para calcular la última integral, usamos la sustitución z = sec0. Así, se tiene
2 f sec20 sec0 tan0 d9 2 [sec30 2 f
1 = ~ 3 j ----- S S ----- = “ a j = “ 5 Í
z “'dz
~ 3 j + cot20(-csc2fl)d0
1 r= -[cot0csc0 4- ln|cote 4- cscfl|] 4- C
• + ln1 4- z
Vz2""4- C
xVx4 +x 1 i i-----¡-------4- - ln x3/2 4- V I +x3 4- C
J 6 1 l
V i 4- e4*Ejemplo 85. Calcule / = J Solución
dtHaciendo t = ex, dx — — resulta
t
-dx.
rV T T e4* f v i 4-14 rVi 4- t4f 2( l 4- t4)1/4 d£
1 m 4-1Como m = — 2 , n = 4, p = — , ----- l-p = 0 E Z entonces
4 n
1 4- t4 = z4t4 ó t~4 4- 1 = z4 y dt = - t 5z3 dz
Luego, se tiene
/ = - J r 2(z4t4)1/4í=z3 dz = - j t4z4 dz = — Jj ) d z = -z ~ U
-dz
1 z2 4- 1dz
1-z-- ln
2 —1
z + 1
Finalmente, retornando a ía variable inicial x, se tiene
V l 4- e4x 1/ = ------------ ln
e* 2
V l 4- e4r — e;
V l 4- e4x 4- e*
1 / Vl 4- e4-v>4- - arctan I ---—-- | 4- f.-
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6 dxEjemplo 86. Calcule J , ______________
senx veos3* + sen3x
Solución
Dividiendo numerador y denominador entre cos2x, se obtiene
¡ _ f 6 dx r 6 sec2x dx
J sen x Vco^FTseñ^x J tan x Vi + tan3x
Haciendo t = tan x, tenemos
6 dtf 6 dt f J = - j = = = = 6t-1( l + t 3y
J t V I + t 3 Jv 3dt
1 m + 1Puesto que m = - 1 , n = 3, P = Y — -— = 0 e Z , hacemos
1 + t 3 = z3, dt = t~2z2 dz
Luego,
J - J 6t~1(z3)~1/3t~2z2 dz = j 6t~3z dz = f 62 dZ
Pata calcular ia última integral, usamos e¡ método de descomposición en
fracciones simples, esto es,
J■ /
A B(2z + i ) + C
z 1 z 2 4- z + 1dz
Mediante operaciones, se obtiene que los valores de A, B y C son: A = 2, B = -1 y C = 4.
Por lo tanto,
2 f 2z + 1 f dz1
f 2 f 2 z+ l f d---Td z~ ~T~.-- r~7 dz + 4 ----J z — i J z 2 -;-z + i ) , i
(Z4' Í ) + l
= 2 ln|z — 1| — ln|z2 + z 4- 1| + arctan (— ——) + CV3 V V3 >
= 2 ln|(l + t 3)1' 3 - l| - ln|(l + t3) 2/3 4- (1 + t 3)1/3 + l| +
8 /2v l 4- £3 4- 1\+ —¡= arctan I ----- —--- ) 4- C , donde t = tan x
V3 \ V3
78
Calcule las siguientes integrales:
f ¿x1. I — — 57= R. 2Vx — 3xx/3 + 6x1/6 — 6 ln ll + x1/6! + C
J Vx 4- Vx 1 1
r -J~x Hy 102 ‘ J y + x 4/5 2x1/2 ~ Y xV1° + 10x1/10 “ 10arctan(x1/10) + C
f 5x2 + 20x - 243. ---- ;---- --- fl. 2(x + 5)s/2 - 20(x + S)3/2 + 2(x4- 5)v " + C
J Vx 4- 5
4. [ ................. ........ ....................... R. - arctan ( 1 4- -V2x — 3^ + CJ (2x + 5)V2x - 3 + 8x - 12 2 V 2 /
INTEGRAL INDEFINIDA
EJERCIC IOS
. 8x + 2 lV 2 x - 5 (2 — x — 5)(8V2x — 5 + 15)5. ----- ;........ dx fí. -------- ------------- - + C
4 + V2x — 5 6
dx
(2x + 5)V2x — 3 + 8x - 12
■>P
f dx3. I --- -tttt— ;-----------------------ttftt /?. 4 tanh-1[(x 4-1)1/4| 4-CJ (x + I )3/4 - (x + I )5/4 7 J
f (x — 2)2/3 dx ,._____ /Vx - 2\7- J (je —2)2/3 + 3 * (x - 2) -9VFT2 + 9V3 arctan + C
f x1/7 + x1/23. x8/7 1S/14 dx R. 7X1' 7 - 14X1/14 + 28 ln(xJ/14 + 1) + C
i V F + i■dx
4 4R. — x5/4 — - x3/4 + 2x1/2 + 4x1/4 - 2 ln ( l + Vx}- 4 arctan - + C
9Vl~-10.
x - 9 , 4 /3x - 12\dx R. — ln|x + 9| - ^arc tan I---- — ) + C
x + 9 ' 3 V2x + 18/
f 9V 1— x i-----— ........dr R. aresenx + V 1 - x2 + C
J V lT x
n . í- J
f 2 3¡2- x 3 /2 + x\z/3
12‘ J (2 — x )2 J ^ i- x dX R' +C
13. j Vsen2x + sen x dx /?. - VseiTic^señ^ - aresenVT^señx + C
14. J Vcos2x + cosx dx Ä. Vcosx — cos2x + arcsenVl — cosx + C
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
I
í
dx
(eos x - sen x) Veos~2x
¡1 -i- tan xR. ------- + C
J 1 - tan x
1 - x dx
1 4- x x2R. - ln
1 - V i - x2 V i - x2•4- C
f 2 — senx17. ------- eos x dx
J J 3 4- sen x
-------- ,------- ¡3 4-sen xR. V3 4- sen x V2 - sen x 4- 5 aresen --------y-C
18.f dx
J x2Vxz - 2x 4- 4
. /?.
19
20
Vx2 - 2x + 4 — 2
dx
3x
32(x - 4 + 2Vx2 — 2x + 4)+ ln
x - 4 + 2Vx2 - 2x + 4+ C
/ xVx2 4- 2x - 3
f dx
J (x - 1 )Vx2 - 3x + 2
2 /Vx2 + 2x - 3 -x>R. — arctan -------—----- + C
V3 V v3
¡x - 2R. 2. |---- 4-C
j x - 1
21' J —
x - x ‘■dx
•/
/
V2 - x - ;.2 V2R . ---------- 4- — ln
x 4
dx
V2| /2x + 1\— — aresen f - j 4-C
(x - 2)Vx2 — 4x + 1
1 / V3 ,R . -- — aresen ----1 4- C
V3 \x — 2 y
i - v nt x t x '23. I --- — dr
xV lR. ln
24 /
t x + r
dx
X + 2 - 2Vl 4- X -r x2!
X"--| -t- c
(1 4- x)V 1 4- x 4- x2R. ln
X 4- V I + X T X2
X424-V14-X + X'
INTEGRAL INDEFINIDA
27
28
■ J
/
/ (1 - V i 4- x 4- x 2) 2
X 2V l 4- X 4- X2dx
—2(vx 2 4- x 4- 1 - 1)R.----------------- f- ln
4-V T T x T x 2 - 1
x — V i 4- x 4- x 2 4- 14- C
X 4- x 4- 1
xVx2 - X 4- 1dx
2x - 1 r------- 19 | ,------ —,R. — ;j~ V * - x 4- 1 4- y i n |2x -14-2Vx2 - x-f lj 4- C
x 4- 2
(X - 1)VX‘ 4- 1
dx
zdx R. ln(x 4- V x2 + t ) ---— lnV2
1 Vx2 4- 1 ■ +
x- 1 V2
R, lntan x — vsec2x 4- tan x
tan x 4- 2 4- Vsec2x 4- tan x
4- C
+ c
30.dx
31 í
i V¿Zx 4- 4e* — 4
dx
1 /e* - 2\R. -aresen ----— 4- C
2 V ex\'2 >
(X - l ) 3V5x2 - 8x 4- 4
V
32. f - ^ — J (xz -
R.
dx
5x2 - 8x 4- 4 (4 - 3x)
2(x — l ) 24- ln
V5x2 — 8x 4- 4 4-.
x - 1-4- C
(Xz - 1)VX2 4- X - 6
R.1 / l l - 3x\ 1 ¡x t 1'3\-aresen —---- 4-— - aresen ---- 4- C4 \ 4x — 4 / 2v 6 v m t b /
33.Vx
J (V* + l ) 2dx
34. f
35.
36.
J Vxf dx
J (1 + x 2) 3/2
dx
3 0R. - x 2/3 - 6x:/3 4- — .... . 4- 9 ln¡x!/ i 4- l f 4- C
2 xv * 4-1
R. g (*1/3 + I ) 5/2 - 2(x1/3 4- I ) 3/*. + c
R. 4- C
VX2(1 T V x*)
V X 2 -r 1
R. 3 arctan x 4- C
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38./
dx
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
V i + X2
X 2( l + X 2) 3/ 2
39. J J (1 + Vx)3 dx
■ / «
f xs + y: ' ) 2 dx41.
42.v/ l + X 1/ 3
x2/3 -dx
43. J Vx(2 + Vx2)1/4 dx
/:
/ -
/:
4 7 . /
44.
45
dx
x3( l + X3)1/3
dx
V l+ x 4
, x5 + 2x2 46. —---— --dx(1 + x3)3/-
dx
48
x5(25 — x5)1/5
. e7* ( l — e3*)5/4 dx
R. - - 3
ñ.VI + x2
:+ C
— (7 V *- 4 )(1 + V í) 7/4 + C
n 2(4+ 3Vx)(2 - Vx)3/2 fí. --------- ------ '— + c
5x3 - 3K. — 40 (1 + *3)5/3 + C
/?. 2(1 + V x ) 3 / 2 + C
(2 + x2/3) 5/4
15( l0 x 2/3 - 16) + C
(1 + X 3) 2/3fi. -L- ^ + c
2x*
R. -ln 4
V i + x4
V i + X4 + X+ - arctan
2 I
1 + x4
R. - V I + x3 --- —á 3V1 + x3
+ C
+ c
R.*s\4/
i1 / 25 — x
100 \ x5 ;
- (1 - e3jc)1/4 - — (1 - e3*)i3/4 + — (1 - e3*)17/4 + C
49 . f -------- —J (sen2x
cosxsen7x dx
+ cos2x + sen4x)3/2
R- 7 (V 1 + sen4x + -— * )VI + sen4x '
50.r dx 1
v8x3 + 2'
27 ,2/9320
S 1 h
dx
(x~3 •+- I )4/3
128
3 \ 2/31 / I + x3V 'J
R- - 2 Í — ) - (1 + X 3)!/3
82
1.8 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
TRIGONOM ÉTRICAS
En general, las funciones que contienen combinaciones de funciones
trigonométricas no son integrables por medio de procedimientos elementales.
Veremos algunos casos en los cuales si es posible la integración.
INTEGRAL INDEFINIDA
1.8.1 INTEGRALES DE LA FORMA: J R(cosx; sen x)dx
En este caso, R es una función racional que contiene senos y cosenos. Para
transformarla en una función racional de variable z, se utiliza la sustitución
universal
xz = tan - <=> x = 2 arctan z
En consecuencia,
2 dz 1 — z2 2zdx = ----, eos x = —---- y sen x - ---- -
1 + z 1 + z2 J 1 + z
De esta manera, el integrando, que es una función racional que contiene senos y
cosenos, se transforma en una función racional de variable z.
f dxEjemplo 87. Calcule / = -------------
J cosx + 2 sen x + 3Solución
xSi hacemos z = tan - , entonces
2 dz, _ f T T z2 _ f dz _ f dz
J 1 - z2 , 4z , „ J z2 + 2z + 2 J (z + l )2 + 1l + z 2 + l+ z 2+ á
= arctan(l + z) + C = arctan ( l + tan-) + C
Observación 9. La “sustitución universal’’ ofrece la
posibilidad de integrar cualquier función racional de
sen x y eos x . Sin embargo, en la práctica, conduce a
menudo a funciones racionales demasiado complicadas. Por
esta razón, en algunos casos, es preferible usar la sustitución
auxiliar
t = tan x (*)
Con esta sustitución se tiene
dt t 1dx — ---- r, sen x = , cosx =
1 + t 2 ' V I + 12’ * V I + 12
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN Ii
Esta sustitución (*) debe ser usada cuando la función raciona! trigonométrica
tiene la forma
i) J R(senkx ; eosnx)dx, donde k y n son números enteros pares.
ii) J R(tanx)dx
dx
J :Ejemplo 88. Calcule ) ,
J 3 + cos2x Solución
Considerando la observación anterior, usamos la sustitución auxiliar t = tan x. De esta manera, se obtiene
f T + F f dt 1 t (y/3t\ , „= ------i— = — ;--- = — = arctan — — + C
J 3 ¡ 1 J 3t2 + 4 2V3 \ 2ó + l + t2
1 /V3 tanx\— arctan -- --- + CV3 \ 2 /2V3
xEn este ejemplo, si utilizamos la sustitución universal z = tan-, obtenemos
2 dzj J 1 + z2 2(1 + z2)dz
- , A - z 2V J 4(z4 + z2 + 1)
V.1 + W
y es evidente que esta última integral ofrece mayores dificultades.
f tan xEjemplo 89. Calcule / = ----- — dx.
J 2 + tan2*
Solución
Empleando la sustitución auxiliar t — tan x , se obtiene
t _ f tdt í ( t t \ j ,1 ~ J (2 + t 2) ( i + t 2: = 1 ~ 2+T2) dt
■ = j l n ( t 2 + l ) - ^ l n ( 2 + t 2) + C
1, / t 2 + 1\ 1 /tan2* + 1\
~ 2 ( t 2 + 2 j + C _ 2 \tan2x + 2j + ^
84
f 2 4Ejemplo 90. Calcule / = I ---
J eos XSolución
Descomponiendo la integral, se tiene
2 4-3 eos x
INTEGRAL INDEFINIDA
2 4- 3 cos x
4- 4 eos2*dx.
c o s x ( l 4- 4 c o sx )■ /
- J 2 secx dx - j —
dx= [ ( —J \cosxcosx l + 4cosx/
I dx
5 dx
= 2 lnjsecx 4- tan x| - J -4- 4 cosx
5 dx
4- 4 eos x
JX
Para calcular la integral/, usamos la sustitución universal z = tan-. Luego,
1 4- z
10 1
(V3 z)2 V3 2V5ln
V3z4-V5
V3z-V54- C
= J lV3 tan^ 4- V5
V3 tan^ — V5+ C
Por lo tanto,
1 = 2 ln|secx 4- tan x| - - lnV3 tan 4- V5
V3 tan j - V5+ C
dx
4 - 2 V 1 - X 2 '
Ejemplo 91. Calcule I = I ----J 3 — x
Solución
Usamos la sustitución trigonométrica x = sen 0. Entonces
eos 9 ddI
sen 0 4-2 eos 8
zlhora, usamos la sustitución universal z = tan — . Luego,¿
1 — z2 2 dzí 1+z2 1+z2 _ f ___ vJ , 2z . 2(1 - z 2) ~ J (z2-
(2 — 2z2)dz
3 1 + z 2 1 + z 2
2z + 5)(z2 + 1)
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Descomponiendo la última integral en fracciones simples, se obtiene
f r i /2z + 4\ 1 í{2z - 2) + 12
1 ~ ] [ s U 2 + l J 5 \ z2 — 2z + 5dz
- 1 í f 2z 4 _____—5 J Lz2 + 1 + z2 + 1 z2 -
2z — 2 12dz
2z + 5 (z — l ) 2 + 4J
= i Jln(z2 + 1) + 4 arctan z - ln(z2 - 2z + 5) - 6 arctan (^y~ )] + c
+ Ci r ( z2 + i
“ 5 ' " l z 2 -2 z + 5+ 4 arctan z - 6 arctan (
ln + 2x - 6 arctan
L x i ’ / tan 2 - 1
+ C
EJERCIC IOS
Calcule las siguientes integrales:
dx
‘ /
= í
! /
■ /
4 + 3 eos*
dx
2 + sen x + 3 cosx
dx
I t
2 + sen x
dx
5 - 3 eos x
sen x dx
+ sen x
,2,f sen x6. ------ 5- dx
J 1 + coszx
7' í :
tan:R. - arctan — —
7 l V7
V6,R. — ln
6
tan ^ - 1 + Vó
+ C
4* C
2 2 tan 9 + 1fi. — arctan ----—---1 + C
V3 \ V3
•t / x \ „ R. -arctan ^2 tan-J + C
R. X1 + tan 2
/tan x\
+ x + C
senz4x + tan24x
/tan x\R. v2 arctan ( j - x + C
I r 1 / tan 4xM „» . - § [ « ( 4 * ) + ^ arctan + C
86
8.
INTEGRAL INDEFINIDA
dx V2
3 + sen2* — cos2x ' 4R. — arctan(V2 taux) + C
f sen 2x
9- J sen^x + c o s « * ^ R ' arctan(™s 2x) + C
f 3 s e n x + 2cosx 12 510- 9 v + v dx T x - — ln|2senx+3cosx| + C
11
2 s e n x + 3 c o sx ' 13 13
C 1 + tan x
• J T — tan x dX R' — lnlcosx — sen x| -f- C
. dx 1
12' ' — q v r-r»c v R. ~ ln| 1 - 5 COt*| + C
sen x - 5
sen2x — 5 sen x eos x 5
¡ eos x 113- -- ¡--- 7----- R. - ln
J sen2x - 6 sen x -¡- 5 4 sen x -1- 1
1 /i f dx 1 / v 3 tan x \q--- 2— Te---------------------------------- t R. -^rarctan ------ —— j -í- C
J 3 sen2x + 5 cos2x ,,<ic \ , ; r ¡
1C . dx 1 |2tanx + 3 - v l 3~ 5 R. - = ln
V15 \ v5 /
1- C
16.
sen2x + 3 sen x cosx - cos2x ' v i 3 2 tan x + 3 + vT3
f dx
J-ccos2x + 5 eos x + 6
1 / 2 / tan?\R--— arctan —^ + — arctan — =r=- + C
V2 ^ v'2 y V3 ^ v'3 y
dxR. arctan(2 tan x -t- 1) + C
cos2x + 2 sen x eos x i- 2sen2x
] + Cfsen2x - 2 cos2x 8 /v'3 tan x',
*8. ----- --- dx R. 3 x — — a rc ta n ---—— ¡J 3 - cos2x • v6 'v v/2 ^
f spíi^y -i- rn^^r
19‘ jV e n 2x - c o s 2x d* * " ln|sec 2* + tan 2x| - sen 2x C
21
f 1 + tan x 1 1--------- dx R. -In|csc2x — cót 2x| + - tan x + C
J 2 sen x cosx 2 2
f sen x tan x l
J sen3x — cos3x dX R' 3 " 11 + C
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
ENTRETENIMIENTO
9.
A 1 V x 2 ~ 1dx R. arcsen— I-------- f- C
x x
arctan x V3 (x2 + V3x + 1\ 1 1R- --g--- 12 W 2— Vlx+T/ + 6arctan(2;t + + garctan(2x - VI) + C
3. J (arcsen x + — * — J dx R. x arcsen x + C
. . x + 2 dx !2x + 3
4' 1 i ^ 3 ' 3^ + l l x +10 2 arctan + C
dx
/ V2x
R. 2V* + 4 + 2V2* + 4V2 ln
V2x - Vx + 4
Vx - 2Vx + 4 + 4V2I
x - 4+ C
, f dx 3Vxo- ' 3p f1 3r-\? R- 3 arctan x 1-----r = t- C
J vx Vx (1 + Vx)2 1 + Vx
r7. J e*(cotx + lnsen x)dx r. e* lnjsen x¡ ■+• C
x4 1
4(1 — x4) + 4'8- J ( i - x 4)2dx R- 77; - * 4I + c
í & e*xI J — ¿dx R■ ~ 2e ~ 3e ~ 6eX - 6 h lle* - II + C
f y /a — X _ ________ _
10. — ---— dx R. a arcsen— 2Va v a - x - ia - x v x - rCj Va - vx a \
_ f senx + sen 2x + ... + sen(nx) 2 /n + 1 \i11- I ---- 7 --- ^ ;----z— -dx R . -ln eos ( -x) -t
J cosx + eos2x + ... + eos (nx) n + 1 \ 2 )\
12. j v 4 + e * d x R. 2y/4 + e2x+ 2 \nV4 -t- ex — 2\
=---! 4" CV4 + e- -í- 2!
88
INTEGRAL INDEFINIDA
3x- -f-
2Vx (4 — 3x2)V3x2 4- x — 4
Sugerencia: hacer tan 9 —
dx
Vx
R. lnV 3x2 + x - 4 + Vx
V3x2 - 44- C
V3x2 - 4
14.x2 dx
I
J 1 + x3 + 7(1 +X3)
|2 + 3x
R • — 1 + V i + x3 + C
x - 3dx
11R. V3x2 — 7x — 6 H-- — ln
2V3
16
17.
18.
f (x + l)dx IJ (2x + x2)V2x + x 2
2*
7 7x --- 1- x2--x — 2
6 ^ 3
R.
+ C
V2x + x2
1 — 4*dx
R- i- r in!n 4
1 + 2*
1 —2*-r C
r x - Vx - 2----- dr
J x2 — \¡{x - 2)2
R. -ln|^x - 2 + l| + -In|(x - 2)2/3 - (x - 2)1/3 + £|
1 ( 2 W = 2 - l\--- ■= arctan ---- =--- | + C
4V7 V V7
(4 + x2)1/2
(4 + x2y>2dx
25R. x - 5 in k/4 + x2 + x ¡-- =í=ln
1 1 V21
/7 — V3 tan arctan
V7 -i- V3 tan arctan
20. j e ^ d x R. ¡4x3/4 - 12x1/2 + 24x1/4! + C
f 1 1 21. I — sen— dx
1 1 1R. -cos— sen - + Cx x x
22. í-■ /
■ /
-dx\x - a
q —2,x
p2x ¿} — 2x dx
R. Vx(x - a) ■+• a injVx + vx - a| -1- C
R. -ln|e4* - 1¡ - x + C
89 www.FreeLibros.com
IxV l - *24. I — dx
j r ^ x
■f
dx
cosx
arcsen-s/2*26. I dr
V1 - 2*
f 4* + l27' J 2TT
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
fi. - V4x2 - 12* + 8 - ì(2 x - 3)V4x2 - 12x + 8 -O
7 . _____________- -In 2x — 3 4- V4x2-12x + 8 + C
O I I
I X X\sec- + tan- + C 2 21
R. V2x- (arcsenV2x)(Vl - 2x) + C
R .x - 2 ln|2* + l| + C
f m + x
28 I . h r dxR. yjmx + x2 + m ln(V* + \jm + *) + C
29.
30.
/l i
V i — * 2
X“1
sen2* d*
arcsen * d*
+ b cos2*
, 2a + * la - x 31. 1 ----- I---- dx
r 2 a
J a-
■ /
x — *
V* + 1 - V* 2 + 1d*
? 3/2(1 — x ) arcsen x 1 In x
D _ ________________________________________________, f*
' * 3x3 6x2 3
(a + b\112 /V atanxX *
/— --- a — xi?. Va * - 2a I----- 1- C
Va + *
2 ^
/?. - (* + 1)3/2 + - [*V*2 + 1 + ln(x + V *2 + 1)] + C
r (* 2 - i)d * 1
J W l + 3x2 + x4 +
». j c o s h - ^ ^ ^ l + B n h -13 + V5 / arcsec (2*2 + 3)
— tan ( ------ 2----- ¿+ C
34. JV£
d*Va3 — * 3 .
2
3R. x arcsen ( | + C
\a3/2
35. / 4 - x
2 + xdx R. 3 arccos (~ y —) + 3V*2 - 2* + 8 + C
90
INTEGRAL INDEFINIDA
36. I dx
(x + l ) V l + 3 x +~ J ¿ (Su«erencia: “ = T T Í y usar binomios)
x + Vi + 3x + 3x2A. f in
1• -rln o
(1 + 3x + 3x2)3/2 V i + 3x + 3x2+ 1
1 /2V l + 3x + 3X2 — x\
' v f arctan [----- Wx------) + c
37. J see* sec 2* dx R. — lnV2
1 + V2 sen x
1 - V2 sen x
1-- ln
2
1 4- sen x
1 — sen x+ C
38. I J * 2 + * + 2 + 2V* 3 + * 2 + * + 1 d*
2 1R. - (* + 1)3/2 4- - [ *7 l + x2 4- ln(* + V* 2 + 1)] + C
Ií
(1 + e*)Ve* - 1
sec* Vsec2*
d*
arcsen (tan *)d*
e* — 1R. V2 arctan — ----h C
R. ln|arcsen(tan x)| 4- C
41.
42
43.
í I—J Jco sa
■ / v m
eos*
: dx
-dx, 0 < a < x < n
/ d*
(eos2* + 4 sen * - 5) cos *
R. - 2 arcsen |---^ | + Ccos-
a
R. — (2 e * - 3 ) ( l + e*)2/3 4-C
R. ln|(l - sen * )1/2(1 + sen x) 1/18(2 - sen x)~4/9| +1
/■/
dx
cos xV2 + sen *
tan * d*
(sec999* + 1)2
R. ln|Vl + sen x| H-- —ln1 2a/3
6 — 3 sen x
V3 4- V2 + sen x
V3 — V2 + sen x
+ C
+ C
R. ln|secx| - — -ln|sec999x + 1| + —— — — ■— 999 999(sec999x 4- 1)
+ C
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46. r ______ ^ ______J x4 + a2x2 + a4
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
* í ^ ln
x2 + ax + a2
x2 - ax + a2
1 / aV3x ,-i--------------= arctan —--- | + C
2a3V3 \a2 — x2
47. Determine un polinomio cuadrático P(x) tal que P (0) = 1 y P '(0) = 0, de
48
f P(x)dx
™ doque 1
i. J x17 ln(x2) dx
49. J tan(lnx)dx
, f v r -r
52. i senh“1- dxK a
53. i tanh-1- dxJ a
50. | V i - eos xdx
ea da
x eax dx
(1 + ax')2
55. I x2 arccos - dx a
56. I x2 arctan- dxa
57
58
59
I /
/
■I
/c o th - 1© * *
r arccos j dx I I _______' J x2
arctan:
sea una función racional. R. P(x) = -3x2 + 1
R. 2x18
R. x — 2 arctan x + C
, /lnx 1 \
( i F ~ 324) + c
R. — 2 V i + cosx + C
1
1 + xre0 I-C
- xß. x senh 1 — J x 2 + a2 +C
a
R. x tanh | ln(a2 - x2) + C
rtCLX
R.a2( 1 + ax)
+ C
x 1Ä. — arccos - - - (x2 + 2a2)s¡ a2 - x2 + C
3 a 9
X3 y nv2 n3R. — arctan--- — + — ln(a2 + x2) + C
i a. 6 6
1 x 1 a + x/?. — arctan - + — ln-- r--- h C
x a 2a x2
R. x coth-1 - + ^ ln (x 2 - a2) + Ca 2
_ 1 x 1 a + Va2 - x2/?. — arccos-+ - ln ----------- h C
x a a x
92
INTEGRAL INDEFINIDA
60.
(cosx - sen x)
U“ U'
TT + ^
■ J
5 + sen 2xdx
+ C , u = x + Vx2 4- 1
1 /senx4cosx\
B- ¿ " " “ I ---- 2:----i+ C
dx
(x2 cos2a + x sen 2a + 1)2
x cos a 4 sen a
eos3 a Vx2 cos2a + x sen 2a + 1: “i- C
63. f sech5x dx J
1 3R. — sech3x tanh x + - [sech x tanh x + arcsen(tanh x)] + C
64. J (tan x + secx)20 sec2x dx
6 5 . /
■ í ,J cos4xV4 - cot2x
V d + x 2)5
66
dx
V(x - l ) 3(x + 2)5
(eos 2x — 3) dx
4 jx - 1K- 0 ---3 ^ x 4 2
ñ . -- tan x(2 + tan2x)V4 — cot2x + C3
67 J: -dx
,----, v ( l + * 2)5 J ( l + x2)3 V i + x2fi. ln(x 4 V I 4 x) - V . , — - V „ „ --------- + C
5x5 3x3
68Vsen3(2x)
dx4V2 r-
j senbx Sugerencia: hacer u = cotx
' V i 4 X8 <>9. I ------dx
> r ,13
/ ? . ---— Vcot5x 4 C
(1 4 x8)3/2 R. - , „ -i- C
f 3 i sen2x
7<)- J
7L í “J cosJ
dx
cos3x vsen 2x
12x12
R. — Vtan5x(5 tan2x 4 11) 4 C
V21 ,_____R. (tan2x + 5)Vtan x + C
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
7 2 . /1 + sen2*
2 eos2* Vsen *dx
' Vx - 1 + Vx - 1 73. | --------r---- dx
* J : x - 2
ex(x2 - 8)
75. J esenx(sec2x — esc2* + esc*) dx
J e*enh_1*(x V ÍT x 2 + i )76
(1 + x2)3/2
x2In2x ( l •+ lnx)
■dx
ñ77. | ——— y~--, / dx
•t- x¿ ln'
:(x + l )
+ e2xx 2
f ex(x + 1)
78, j _ i 4- 02xv2
■ ^ * ^ 2^ +
79. i ..■„ . „ „.. dxf e**
’ J ~1
• /
■ /
-t- xze2 ¿> 2at
(1 + gZarctan*)^ + * 2)
sen x + xcos x
dx
Vsen xR. ----- + C
cosx
ex(x + 2)R■ — - ..y 1 + C
x - 2
R. efefl*(tan x + cot x) -f C
,se nh~ 1x
R.(1 + * 2 ) 3 /2
R. x ln x - arctan(x in x) + C
R. - ln 2
xe* — 1■i- C
(1 - xsen x )V - l + x2 - x2cos2x: dx
x + 20 82. ---.... ...... dr
83.
V (5 - 4x - x2)3
In2(4* + 2(1+A:))
(2* + 5)V5 — 42* — 4Xdx
xex + 1
R. xex — arctan (xex) -t- C
R. arctan (earctani) T C
1 + xsen x/?. - ..... - + r.
V S e n 2x — 1
2x + 5 R. - + r.
V 5 - 4 x - x 2
1 - 2* (2X + 2 r — ... + aresen
84
. r
V 5 42^747 V 3
J esenx(csc2x - sec2x - cscx)dx R. - esen*(cotx + tanx) + C
94
INTEGRALDEFINIDA
2.1 SUMATORIAS
Sean m y n dos números enteros tales que m < n y / una función definida
para cada i e 1, con m < i < n. El símbolo
i « 0¿=m
representa la suma de los términos f(m ), f (m + 1), ...,/(n ); esto es,n
/ ( 0 = /(m ) + f(m + 1) + /(m + 2) + + /(n )
t=m
La letra griega S (sigma) es llamada símbolo de la sumatoria, i es el índice o
variable, m es el límite inferior y n es el límite superior.
Por ejemplo, si / ( i ) = i 2 , entonces5 5
^ T /( i) = i2 = 22 + 32 + 42 + 52
i=2 i=2
De la misma manera, si n > 1,n
^ sen(tx) = sen x + sen 2x 4- ... + sen nx
í=i
2.1.1 PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
n
1. a) ^ k = (n - m 4- l)fe , fe es constante
i=mn
b) ^ k = nk , k es constante
1=1
n n
2. fe ./ ( i) = fe ^ / (/) , k es constante
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
3. ^ [/(i) ± g (i)] = ^ / ( i) ± ^ 5 (1) (Propiedad Distributiva)
¿~m i=m i-m
n
4. a) ^ [ / ( i ) - /(¿ - 1)] = f(n ) - f(m - 1) (Propiedad Telescópica)
:=m
n
b) 2 ][ /(0 - /(£ - 1)] = - /(O)
n
5- a) ^ [/(i 4- 1) - f ( i - 1)] = f (n + 1) + /(n ) - f(m ) - f(m - 1)
i~m
(Propiedad Telescópica)
n
b) £ [ f ( i + 1) - / ( i - 1)] = f i n + 1) + / ( n ) - f { 1) - /(O )
400
Ejemplo 1. Calcule el valor de ^ (V ¿ — Vi — 1 4- 4).
i=5Solución
Por la propiedad 3, se tiene
400 400 400
^ (V 7 - Vi - 1 4- 4) = £ (V Z - Vi - l) 4- ^ 4
; = £ ; = 5 i = S
En la primera sumatoria, aplicando la propiedad 4-a para / ( i ) = V i , m = 5 y
n = 400, se obtiene
400
^ (V 7 - Vi - 1) = (v'400 - V4) = 18
1 = 5
En la segunda sumatoria, aplicando la propiedad 1-a para k = 4, m = 5 y
n = 400, se tiene
^ 4 = (400 — 5 + 1)4 = 1584
Por tanto,
400
]T(V7 - Vi - 1 + 4) = ^ ( V i - Vi - l ) + ^ 4 = 18 + 1584 = 1602
96
INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 2. Calcule una fórmula para ^ [ ( i + l )2 - (i - l ) 2].
Solución
- ;2Si / ( i ) = i 2 , entonces / ( i + 1) = (i + l )2 y /(¿ - l ) 2 = (¿ _ i ) 2. por tant0)
por la propiedad telescópica 4-b, se tiene:n
^ [ ( i + l )2 - (i - l ) 2] = (n + l )2 + n2 - l 2 - O2 = 2n2 + 2n ó
1 = 1 n
^ [ ( ¿ + l ) 2 - ( i - l ) 2]) = 2n (n + l ) (a )
£ — 1 .
C'omo (i + l )2 - (i - l )2 = 4¿, reemplazando esta igualdad en (a) se obtienen
^ 4i = 2n(n 4- 1)
1=1
De esta parte se deduce una fórmula muy conocida:
V 1 . n(n + 1)
L 1 ~ 2í= i
Ejemplo 3. Usando las propiedades de la sumatoria, demuestre que:
. _ n(n 4- 1) ^ n(n 4-l)(2n 4-1)y . n (n + l ) y
= — r - b> ¿ /Í=1 1 = 1
v -3 _ n2(n+ l )2 V ¿4 _ n (n + 1K 6n3 + 9n2 + n - 1)
Z / 4 Z / ~ 301=1 i=1
Solución
a) Ver ejemplo 2.
b) Consideramos f ( i ) = i3. Usando la propiedad 5-b, se tienen
£ [ ( ¿ + ~ ~ l ) 3] = (n + l ) 3 + n3 - l 3 - O3i = l
Simplificando en ambos lados y luego aplicando las propiedades 3-b, 2-b y 1-b de la sumatoria, obtenemos
n n n
^ ( 6i2 + 2) = 2n3 4- 3n2 + 3n <=> 6i2 + 2 = 2n3 4- 3n2 4- 3n
Í=1 i= i n n
<=> 6 i2 + 2n = 2n3 + 3n2 4- 3n 6 i 2 = 2n3 4- 3n2 4- n
¿=i ¿=i
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Finalmente,
n(n + 1)(2n 4-1)
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
I 6í=i
c) y d) Ejercicios. Sug. para c): considere / ( i ) = ¿4 y use la prop. 4.
Z a(an — 1)a1 = ------- .
a — 1£ = 1
Solución
Aplicando la propiedad 4-b a / ( i ) = a' y luego aplicando la propiedad 2, se tienen n ■ n
^ ( a ‘ - a '-1) = a " - 1 <=> ^T (a ' - —) = a " - 1 <=> ^ ( - ----)a ‘ = an - 1
i= i 1=1 i= i
Finalmente,
V i _ a (an ~ 1)
Z a ( a - 1)
n
Ejemplo 5. Determine una fórmula para ^ sen kx.
k=l
Solución
Para calcular la sumatoria de senos o cosenos, se considera como / ( i ) la
cofunción de la función que aparece en la sumatoria y se aplica la propiedad
telescópica 5-b. En este caso, f (k ) = eos kx. Así, se tienen
^[cos (k + 1) x — eos (k — 1) x] = cos(n + 1) x + eos nx — eos x — í
k = i
Utilizando las identidades trigonométricas para eos(a ± b) y simplificando, se
siguen
^ ( - 2 sen x sen kx) = cos(n + l)x + cosnx — cosx — 1
k = in
-2 sen x sen kx — eos(n + 1) x + eos nx — eos x — 1
k=1
Finalmente,
zcos(n + l)x + cosnx — cosx — 1
sen kx = ----------- ---------------2 sen x
98
INTEGRAL DEFINIDA
n
Kjemplo 6. Halle una fórmula para ^ fc fe!
fc=i
Solución
Si f (k ) = (k + 1)1, por la propiedad 4-a, se tiene
n
^[ (fc + l)!-/c!] = (n + 1)! — 1
k=1
n
J][fc!(k + l)-fc!] = (n + l ) ! - l
k=l
I-inalmente,
, „ v->tanhl9/cxEjemplo 7. Determine una formula para > -------- .
Z_i sech 19 kx k=1
Solución
Ztanh 19 to— — = > senh 19 kx
sech 19 kx í-uk=1 k=l
Se procede de manera similar a lo realizado en el ejemplo 5 para la función
trigonométrica. Si /(/c) = cosh 19 kx , por la propiedad 5-a, se tiene
H
^ [cosh 19(k + l)x - cosh 19(fc - l)x] = cosh 19(n + l)x + cosh 19 nx - cosh 19 x - 1 k-1
n
2 senh 1 9 x ^ senh 19 kx = cosh 19(n + l)x + cosh 19 nx — cosh 19x - 1
k=l
Finalmente,
nV 1 cosh 19(n + í)x + cosh 19 nx - cosh 19 x - 1> senh 19 kx = ------------------ -------------------
Z-j 2 senh 19 xk = 1
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TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
n
Ejemplo 8. Halle una fórmula para /? = ^ bk sen(x + ky).
k=1
Solución
Aplicando la propiedad 4-a a /(fe) = bk sen(x + fey), se tiene
n
sen(x 4- ky) - ¿k_1 sen(x + (k - l)y)] = bn sen(x + ny) - sen*
fc=l a
n 71y bk sen(x + ky) — bk sen(x + ky — y) = a
fc=l_________________ k=lP
1 nP — — ¡T &fc[sen(x + /cy) eos y — sen y eos (x + /cy)] = a
fc=i
n/ cosy\ sen y v-» ,( l --—J p -\— -— ^ bk cos(x + /cy) = a (1)
k = l__________________(5
Para determinar (5), aplicamos el criterio inicial.
n
cos(x + ky) - b ^ 1 eos (x + (k — 1 )y)] = bn eos(x + ny) — eos*
k=l
n
5 — — ¿ fc[cos(x + ky) eos y + sen(x + ky)sen y] = bn cos(x + ny) - cosx
k= 1
Luego,
sen y b -S = ------- (a)+-;-------[í>n eos (x + ny) — cosx] (2)
o-eosy o-eosy
Finalmente, reemplazando (2) en (1) y efectuando las operaciones correspondientes,
obtenemos
b(b-cosy)
b2 — 2¿cosy + 1
seny(bn cos(x + ny) - cosx) sen(x + ny) — sen x ------
100
INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 9. Determine una fórmula para ^ ln(k + 1).
k=1
Solución
Desarrollando la sumatoria y aplicando las propiedades del logaritmo, se obtiene
n
y ln(k + 1) = ln 2 + ln 3 + ... + In n + ln(n + 1)
k = 1
= ln[2.3..... n. (n + 1)]
= ln[(n + 1)!]
EJERCICIOS
Determine una fórmula para cada una de las siguientes sumatorias.
n
1
: = 1
. ^ ( V 2i + 1 - V2¿ - 1) R. V2n + 1 - 1
; = 1
100
I ln( ¡ d h ) «■ - |n(5151)k=i
3- I
n4 4n
R.(4fe - 3)(4fe + 1) ' 4n + 1
k-\4
Sugerencia: descomponer en fracciones parciales a:
4■I(4fc - 3)(4k + 1)
2k + 3k 3 1 1
6 k ' 2 2. 3n 2 1'k = 1
2k + fe(fc + 1) 1 1R. 1Z2 +
2 +1(fe2 + fe) ' 2n + 2 2n_1/í = 1
v -1 ek + 2 e 3n - en
k~ 1
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TOPICOS DE CÁLCULO-VOLUMEN I!
n
Y —k2 - 1k=2
R. 32n + 1
n(n + 1)
* Zk = 1
u
»• Z
VfcTT-Vfc
V/c2 + kR.
yn - 1 - 1
vn + 1
(/c + l)(/c2 + 5/c + 6)
n¿ + 3n + 3
2 (n + 2)(n + 3)
” Z (fc + x)(/c + x + 1 )(k + x + 2)
^ ¡ „ [ ( í + i / a + k )
Z i ln kk[\n(k + l ) k+1]k = 1
12. zfe=l
2k + 1
k 2(k + l ) 2
u
13. ^ cos(3/cx)
/¿=i
14. y ( i i — i , ' )Lu Vio* iook) k = 1
- í s rfe = l
100
+ 6k -f 4
16. ^ s e n 2/c(2x)
k~l
100
z^
fí.n(2x + n + 3)
2(n + * 4- l) (n + x + 2)(x + 2)(x + 1)
R.1
R.
2 ln 2 (n + 1) ln(n + 1)
n(n + 2)R. ------ -
(n + l ) z
sen 3(n + l)x + sen 3nx — sen 3x
2 sen 3x
269 /102n - 1R.
/?.4(n + 2)
R. tan2(2x) (1 - sen2002x)
R.1
k = 1
1
16 1 6 ( 5 " ) 598
102
3. ^ k xk 18. > kx*-1 R.nxn+1 - (n + l ) x n + 1
INTEGRAL DEFINIDA
(X - 1 ) 2fc=l
II
19. ^ 5k sen(5/c - x)
k=l
5[(5 — eos 5)(5n sen(5n — x) + sen x) + sen 5(5n cos(5n — x) — cosx]R.
4(13 — 5 eos 5)
Z; "" "n K
16 ese kx20
2 1 .
cot5kx sec9kxk=1
4[sen(2n + l)x + sen(2nx) — sen 2x]R. 6n +------------- ——------------+
sen(2x)
[sen 4(n + l)x + sen(4nx) — sen 4x]
sen 4x
1 eh - [3 sen a eos a]k
3kk=lI
e [(3) ~ l] sen 2a[(sen a eos a )n - 1]
e — 3 sen(2a) - 2
< - z" 1 0 1 1 5
22' 24 + 10/c - 25/c2 ^ 5n + 4 + 5n - 1 4k = 1
23.
k=i
^ k 2k R. (n - l )2 n+1 + 2
k = i \
n
24. ^ cos2Í£3;c R. cot23x[l - cos2n(3x)]
k=l
k=125' Z l o g „ ( 22k)log„(22k+2) R’ (log„ 2)2 (2 2(n + 1))
X 'r 1---- nk V3 + x[(3 + x)n/2 - l]26. > [V3TÍ] R. - 1 J
k= lV 3 + X - 1
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2.2.1 PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO
Definición 1. Sea [a;b] un intervalo cerrado. Una partición del intervalo [a; b]
es el conjunto P de puntos x0,xu x2, ...,xn; con a = x0 < x 1 < x 2 ... < xn = b.
Se denota con P - {x0, xv x2, ..., *„}.
Observación 1
i) Toda partición P de [a; b] divide en n subintervalos al intervalo [a; b],
ii) La longitud de cada subintervalo [x¡„1;xt\, para i = 1,2, ...,n , se denota
con A¿x = Xi — x¡_1 . Se verifican
^ Atx = b - a
(.=1
iii) Se llama norma o diámetro de la partición P al número
||P|| = máx{AiX / i = 1,2, ...,n}
iv) Cuando el intervalo [a; b] se divide en n partes iguales, la longitud de cada
subintervalo es
b — aAx = ----
n
En este caso, los extremos de cada subintervalo son
xQ = a , x-l = a + A * , x2 = a + 2Ax,..., x¡ = a + iAx ,..., xn = b
2.2.2 APROXIM AC IÓN DEL ÁREA DE UNA REG IÓN POR ÁREAS DE
RECTÁNGULOS
Sea / : [a; b] -> R una función continua y no
negativa ( f ( x ) > 0) en [a;b]. Sea R la
región plana limitada por las gráficas de
y = / ( * ) » las rectas x — a , x = b y el eje
x (llamada región bajo la gráfica de / de a
hasta b) (fíg. 2.1).
Sea P = {x0,x1,x2, una partición [a; b].
Por la continuidad de / en [a;b], podemos
elegir un conjunto de puntos u1(u2, —,u n, de
tal manera que / ( u ¿) sea el valor mínimo de /
en [x i- ijx j, i = 1, 2,. . . , n.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
2.2 CÁLCULO DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA POR SUMATORIAS
104
Asi, construimos n rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas
respectivas alturas son / ( u 1) , / ( u 2), . .. ,f (u n). Las áreas de estos rectángulos son
/( iíJA jX , / ( u 2)A2x , . . . , f ( u n)Anx respectivamente.
Los n rectángulos considerados forman el llamado polígono rectangular inscrito
en R (fig. 2.2). El área de este polígono lo denotamos con /(P) , es decir,71
K p ) =
¿=i
INTEGRAL DEFINIDA
De manera similar, elegimos vx, v2, ..., vn en los n subintervalos de P. de modo
que /'(v¿) es el valor máximo de f en X¿], £ = 1, 2, .... ?i, y construimos los
n rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas alturas respectivas
son/(i;1) ,/ ( i;2),...,/'(i7n).
El polígono rectangular formado por estos n rectángulos está circunscrito a la
región R (fig. 2.3) y su área, denotada por C(P), está dada por-n
C(P) = 2 J f ( v¡)Aix
¡=i
Dadas dos particiones Pt y P2. Si / (P J es el área del polígono inscrito y C(P2)
es el área del polígono circunscrito, se verifica
l(P\) < C(P2) para toda partición P1 y P2 de [a; b] (I)
Sea L el conjunto de todas !as áreas de los polígonos rectangulares inscritos en R,
es decir,
i = {/(P) / P e s partición de [a; b]}
y U el conjunto de todas la áreas de los polígonos rectangulares circunscritos a R,
esto es,
U = (C(P) / P e s partición de [a; b ]}
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Como cada número del conjunto L es menor o igual que cualquier número del
conjunto U (por 1), entonces L es acotado superiormente y U es acotado
inferiormente. Por lo tanto, existen
= sup(L) y As - inf (U)
Por definición de ínfimo y de supremo, se verifica
1(P) < A¡ < As < C(P), de donde A¿ < As
Por lo tanto, el área^4 de la región R (fig. 2.1), si existe, debe estar entre At y As,
es decir, A¿ < A < As
Se demuestra más adelante que A¡ = í45. Luego, se puede definir el área A de la
región R como
A = A¿ = As
También se demuestra que si t1, t 2,.. . ,tn son puntos elegidos en los n
subintervalos, es decir, 6 [ x í^ x J , i = 1, entonces
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN U
0 0
Observación 2
i) Considerando la parte (iv) de la observación 1, si cada ti es el extremo
derecho de cada subintervalo (t¡ = a + ¿Ax, i = 1,2,...n ) y teniendo en
cuenta que ||P|| -» 0 <=> n -* oo, entonces (II) puede ser escrito como:
A = lim l 'S ' f (t i)A x ) ó A = lim I Ax'Y' / ( t j j u 2 ... (III)n-»co J n->°o y ¿—i J
b — adonde Ax = ----, t¡ = a + ¡Ax , i = 1 , , n
n
(Esta fórmula es un caso particular).
ii) Si cada t¡ es el extremo izquierdo de cada subintervalo. entonces
t¿ = a + (i - l)Ax, i = 1,..., n
Ejemplo 10. Por rectángulos inscritos, calcule el área de la región R limitada por
las gráficas de y = x + l , x = 0, x = 3 y el eje x.
Solución
La gráfica de la región se muestra en la Fig. 2.4. En este caso, / (x ) = x + 1,
a = 0 y b = 3. Como / es creciente en [0; 3], / presenta mínimo en el extremo
izquierdo de cada subintervalo, es decir,
3 - 0 3t¡ = a + (t — l)Ax, i = 1.....n , donde Ax = ---- = —
106
3 3 3 3 3Kntonces t¡ = 0 + (/ - 1)- = - i -- y f(t¡) = t¡ + 1 = -¡ + 1 ---- .
n n n n n
Por tanto, utilizando la fórmula dada en la observación 2 y la sumatoria de i, leñemos
INTEGRAL DEFINIDA
A = limn-»co
= lim -*->oo /n
Fig. 2.5
Ejemplo 11. Por rectángulos circunscritos, calcule el área de la región R limitada
por las gráficas de y = x2 , x = 3 y el eje x.
Solución
El gráfico de la región R se muestra en la fig. 2.5. A partir del gráfico, se deduce
que a = 0 , b = 3 y, por tanto, Ax = 3/n.
Como / es creciente en [0; 3], / tiene valor máximo en el extremo derecho de
cada intervalo. Así,
t¡ = a + iAx ó ti = - i y f ( t i) = — i2
Luego,
A = lim I- Y Vn-*co \ nZ-i n¿
i=in-*co \ u J n-*co \ j l '
27 n(n + l)(2n + l)
3
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11
En los ejemplos que siguen, no se tendrá en cuenta los rectángulos inscritos ni los
rectángulos circunscritos. Los puntos serán considerados corno los extremos
derechos de los subintervalos.
Ejemplo 12. Calcule el área de la región R limitada por las gráficas de
y = 3 + x + x3, x = — 1, x — 2 y el eje x.
Solución
a = —1, b = 2 , f ( x ) = 3 + x + x3
12 27 „ 27y / ( t , ) = i + I r ¿ - - t í 2
Para calcular el área de la región (Fig. 2.6), se tendrá en cuenta la sumatoria de i,
de i2 y de i3.
A = limn- * oo
3 s r í 12 27 27 \- ) 1+ — i - — i 2 + — i 3 n ¿ j \ n nz r? )
! = 1
\3{ 12 n(n + 1) 27 n(n + l)(2n + 1) 27 n2(n + l )2= lim — nH------- ------- ---------------- 1- — ---------
n n 2 b 4
= limn-*oo
3 1 + 6 57 2
Fig. 2.6 Fig. 2.7
Ejemplo 13. Calcule el área de la región R limitada por las gráficas de y = ex.
x = O , x — 1 y el eje x.
Solución
La región se muestra en la Fig. 2.7. La longitud de cada subintervalo es Ax = —,
1 h 71 ti = ~ i Y f(t¡) = en
108
INTEGRAL DEFINIDA
1 n este caso, usaremos el resultado obtenido en el ejemplo 4 para a = Asi,
1 e i / n [ ( g l / n y l _ j y
A = limn-*co
limn-»cn
— > en n L-a
= limn-»co
1 en(e — 1)
n e1/11 — 1
- 1
1
= (e — l ) l im77
(*) Se hace el cambio de variable x = — => lim— e1,n
= (e - 1) u2 (*)
x e= lim—— - = 1.
n n->oo e l /n — l *-*6 e* — 1
(Al aplicar la Regla de L’Hópital al último límite)
Ejemplo 14. Calcule el área de la región bajo la gráfica de / (x ) = sen x en
10; tt/2J.
Solución
La gráficí
en la Fig. 2.8. Así, tenemos
La gráfica de la región se muestra
n nAx = — , t¿ — — i y
2 n 2 n
71
f(.ti) = Sen^ ¿.
limn-*-»oo
Tt V 1 TI— > sen— i 2n jLu 2n
í=i
Fig. 2.8
= limn-*oo
n I" 1 + eos ( ^ ) - eos ( n ^ ) - eos (n + 1)
2ñ )2n I
2sen®(**)
= lim1 + cos ( ín ) “ cos (§ ) ~ cos
sen
[1 + 1 - O - 0]
■ 2(1) .1 u2
(**) Se usa el resultado del ejemplo 5 para x = n¡2n.
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 15. Calcule el área de la región bajo la curva y = senh x en [0 ; 1],
Solución
La región R se muestra en la fig. 2.9.
Se tiene
1 1 (\ \Ax = - , t; — — i y / ( t í) = senh -¿
n n \n J
í É senhG i)1 = 1
i cosh (n + 1) —+ cosh fn ■ — — cosh i1 v J n \ nJ n
A = limn-> co 7
y - senhx
/
Fig. 2.9
limn-*co
- limn-*co
2 Se „ h ( i)
cosh ( l + ^ ) + cosh 1 — cosh — 1 2 cosh(l) - 2(cosh(l) - l) u 2
Ejemplo 16. Calcule el área de la región limitada por las gráficas de y = 2\¡x ,
eje x, y x = 9.
Solución
Para evitar la sumatoria de la raíz cuadrada, tomamos como variable
independiente a la variable y, es decir, / (y ) = y 2/ 4. La región está limitada por
las curvas / (y ) = y2/ 4, g(y) = 9, las rectas y — 0 e y = 6 (fig. 2.10).
•El área del i-ésímo rectángulo es [g(Zi) - /(z,)]Ay.
Por tanto, el área de la región está dada por
110
INTEGRAL DEFINIDA
donde Ay = £ , z¡ = 0 + ¿Ay = , g(Zi) = 9 y / ( z f) = = ~ in n 4\n ) n¿
6 V 9- ) (9 -- - i2)ruL-¡ n-
Como g(z¡) - f (z ¡) = 9 - — i2, se tiene 4 = limná‘ n-* oo
= 36 u2.
EJERCIC IOS
Ln cada uno de los ejercicios siguientes, encuentre el área de la región limitada por las curvas dadas.
L y = (x — l ) 3 , x = 3 , x = 8 y el eje x
2. y = x2 , x — 0 , x — 2 y el eje x
3. y = 4 - x2 y el eje x
4. y = 4 - |x|, x = —4, x = 4 , el eje x
5. y = 2vx , eje x , x = 0 , x = 4
6. y = x3 , x = - 1 , x = 1 , eje x
7. y = 12 - x2 ,ejex , x = -3 , x = -2
Si. y = 2 - '!* (, e jex, x = - 2 , x = 2
9. y = x2 , y = 4 - 3.x2
R. 2385/4 u 2
/?. 8/3 u 2
fi. 32/3 i¿2
/?. 8 u 2
R. 32/3 i¿2
/?. 1/2 u 2
R. 305/6 u2
R. 4 u 2
/?. 16/3 u 2
10. y - m x , m > 0 , eje x , x = a , x = b , con 0 < a < &
11. y = x2 - 2x - 1, eje x , x = l , x = 4
-> *12. y = 3x - 3x‘ - - x 3 , eje x , x = 0 , x = i
13. y = cosh x , x = 0 , x = l , ejex
14. y = eos x , x’ 2 - * = 2 ' eje*
m(b2 — a2)
R■ — j----
/13V2 \ ,«. i —
R. 1/6 u2
R. senh(l)w2
R. 2u 2
15. 4y = (x -_J)2 , 4y = (x + 4)2 , 4y = -(x - 4)2 , 4y = -(4 + x)2
R. 64/3 u2
16. y = 3x2 , y = -1 - 3x2 , x = 0 , x = 3 R. 57 ir
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En esta sección y en las siguientes, hasta la sección 2.10, las funciones
consideradas están definidas en un intervalo / = [a; b], con a < b.
Definición 2. Si Px y P2 son dos particiones de /, se dice que P2 es un
refinamiento de Px cuando c P 2, Se comprueba fácilmente que si P2 es un
refinamiento de Pj , entonces ||P2|| < ||Pil|.
Definición 3. Sea una función acotada en / = [a; b] y
p = {x0,x1, ...,xn} una partición de /. Con I¡ denotamos al j-ésimo subintervalo
de /, es decir, l¡ = [xy.jjxy], j = 1,
Como / es acotada en ¡, existen m¡ y tales que
m¡ = inf{/(x) / x £ Ij} ; M¡ = sup{/(x) / x £ I¡}
Se cumple: m¡ < / (x ) < M¡, Vx £ I¡ , j = 1,2, ...,n.
Definimos:
a) La suma inferior de / para P, que se designa con S(/; P), se define como
n n
S(f; P) = ^ mj(xj - xH1) = ^ m;Ayx
7=1 7=1
b) La Strma superior de / para P, que se denota con S(f', P), se define comon
S (f ,P ) = Y J Mi* ix j'=l
Ejemplo 17. Sea / (x ) = fe la función constante definida en / = [a; b}. La
gráfica de la función se muestra en la fig. 2.11. Se tienen n
S_(f. P) = ^ kAyX = fe ^ Aj-x = fe(£> - a), donde fe = inf{/(x) / x e //}
■ • 7 = 1n n
S ( f ,P ) = ^ kA¡x = fe y A,x = fc( j - a ), donde fe = sup{/(x) / x £ /,}
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 11
2.3 SUMA SUPERIOR Y SUMA INFERIOR
Fig. 2.11
112
Fig. 2.12
(K.j c ni pío 18. Si / (x ) = x , x £ 1 = [a;b], entonces
n
p) - xj-iAjX, donde = inf{/(x) / x £ /,■},_/ = 1, 2,..., n
7 = 1
n
= ^ X já jX , donde x;- = sup{/(x) / x £ /y},y = 1, 2, ...,n
j~ 1
I ;i gráfica de la función se muestra en la Fig. 2.12.
K jcmplo 19. Consideremos "la función de Dirichlet”
c , s (1 , si x es racional , r
lo , si x es irracional 1 x e ~ ]
Para cualquier partición P se verifica que m¡ = 0 y M¡ = 1 , j = 1,2, ...,n.
Luego,
n n
0.A;x = 0 y 5(/,P ) = ^ 1.A;x = ¿ - a
7=1 7=1
2.3.1 SIGNIFICADO GEOM ÉTRICO DE LAS SUMAS SUPERIORES E INFERIORES
Las sumas superior e inferior poseen una interpretación geométrica simple.
Ln primer lugar, analicemos el significado del producto hjAjX, donde h¡ es nij
ó Mj y A¡x es la longitud del subintervalo Ij = [xy-^xyj.
Si hj > 0 . entonces hjAjX es numéricamente igual al área del rectángulo de base
/, y altura h¡. Si h¡ = 0 , entonces hjAjX = 0; y si hj < 0, entonces hjA¡x es
numéricamente igual al opuesto del área del rectángulo de base ¡¡ y altura -hj.
Por esta razón, al número hjAjX lo denominaremos área algebraica del
rectángulo cuya base es Ij y altura es \hj\ , es decir, el área algebraica es positiva
si el rectángulo esta sobre el eje x y negativa, si está debajo de eje x.
lin la sección 2.2.2 (figuras 2.2 y 2.3), vimos que cuando / es no negativa en /,
S_(f>P) y ^ ( / .P ) (que denotamos por/(P ) y C{P)) son, respectivamente, las
áreas de los polígonos rectangulares inscrito y circunscrito a R, donde R es la
región limitada por las gráficas de / , las rectas x = a , x = b y del eje x.
INTEGRAL DEFINIDA
5(/,P ) = y
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En las figuras 2.13 y 2.14 se muestran, respectivamente, S ( f ,P ) y S ( f ,P ) $ m a
una función que no necesariamente es positiva.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
La condición de que / esté acotada en / = [a; b] es esencial para que existan los
valores m¡ y M¡ . Estos números se definieron como los ínfimos y supremos, en
vez de m ínimos y máximos (como se hizo en la sección 2.2.2), ya que en esta
oportunidad no se exigió qug / sea continua.
2.3.2 PROPIEDADES DE LAS SUMAS SUPERIORES E INFERIORES
Como / es acotada sobre /, existen m y M tales que
m = inf{/(x) / x £ /} y M = sup{/(x) / x £ /}
Proposición 1. Sea / una función acotada en / = [a;b] y P = [x0,x-i. ...,xn}una partición de /. Entonces
m(b - a) < S ( f ,P ) < S ( f ,P ) < M(b - a) (1)
Demostración
Se tiene m < m, < Mj < M. Multiplicando todos ios términos por A¡x > U y
sumando las relaciones obtenidas para j = 1,2, ..., n , obtenemos
n n n n
^ mAjX < rtijAjX < ^ MjAjX < MA¡x ó
7 = i 7 = i ; = i j = i
« n
m X A¡x - ajxj= i j= i
n
Como ^ Ayx = b - a, entonces m (¿ - u) < 5(/, P) < 5(/, P) < M(¿ - a).
INTEGRAL DEFINIDA
Proposición 2. Si / es una función acotada en /, y y P2 son dos particiones
de I tales que P2 es un refinamiento de Pr , (Pt c P2), entonces
‘0 •!(/. Pi) < S(f, P2) y 5 (/, Px) > S(f, P2)
b) Si P2 — P1 tienen r puntos, entonces
í ( f ,P 2 )- S ( f ,P í )<r(M-m)\\P1\\
5 ( / ,P i)- S ( / ,P 2) < r ( A í- m)||Pj
Demostración (se deja como ejercicio para el lector).
Proposición 3. Sea / una función acotada en /, y Px y P2 dos particiones
arbitrarias de /. Entonces
• S (/.P1) < 5 ( / .P 2) (2)
Demostración
Sea P — Pa U P2. Como Pt c. P y P2 c p , por la proposición anterior, se tiene
S t f .P j lZ S i f .P ) y S ( f ,P )< S ( f ,P 2)
Por la proposición 1, se tiene S (/,P ) < S (/,P ). Luego.
S (f,P 1) < S ( f ,P 2)
2.4 INTEGRALES INFERIORES Y SUPERIORES
Denotemos con D a! conjunto de todas las particiones posibles de l. Si / es
acotada en /, la desigualdad (1) es verdadera para todo P e D y asegura que el
conjunto {S(f,P ) /■ P £ D} es acotado superiormente v- el conjunto
\S(f,P) / P e o ) es acotado inferiormente.
Definición 4. Si / es una función acotada en /, el número sup{5(/, P) / P £ D)
se denomina integral inferior de / en / y se indica como
/ = f f(x)dx = sup{S(f, P) / P e D]J C
El número inf{S(/\ P) / P £ !)} se denomina integral superior de f en / y se
indica como
f 5/ = | / (x)dx = inf{S(/,P) / P e o }
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2.4.1 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES SUPERIORES E
INFERIORES
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Si / es función acotada en /. entonces
_ r b r b
]_ < J ó I f{x)dx < I f{x)dx'a
(3)
2. Si / es función acotada en /, entonces
m(b - a) < ) _ < ] < M(b - a) (4)
donde m = inf {f(x) / x E 1} y M = sup {f(x) / x £ /}.
3. Si / es acotada en /, existen q y c2 E / tales que
]_ = f(c- j(b - a) y ] = f{c2)(b - a) (5)
de modo que m < f(c{) < f (c 2) < M.
4-. Si / es acotada en / y c £ (a ;b ) , se tiene
'•O rC r O
f(x )dx = j f(x )dx + I f(x )dx
b rC rb
f(x )dx = J f(x )dx + J f(x )dx
2.5 INTEGRAL DE RIEMANN
Definición 5. Se dice que una función acotada f : ¡- > K es integrable Riemann
en / sirb
íJa
J = [ f(x)dx = í f(x)dx = f f(x)dx*'a Ja Ja
Por simplicidad, se llama integral de / sobre / o integral definida de / sobre /
o integral de / de a hasta b.
En j f(x )dx , el símbolo j es llamado símbolo de integración.
Este símbolo, que es una S alargada, fue introducido por Leibniz para representar
la suma, que proviene de la palabra latina “summa”. Además, f(x ) es el
integrando, f(x)dx es el elemento de integración, el número a es el límite
inferior y b es el límite superior. La variable x no tiene significado especial, ya
que
í f f á d x = í f(z)dz = í f(t)d t = í f(y)dy - í f(u)du■'a Ja Ja Ja Ja .
etc.
F.jcinplo 20. Sea f(x ) = k la función constante. Por el ejemplo 16, pars
/ = [a; b] se tiene S(f, P) = S(J, P = k(b — a).
Entonces J = ] = k(b — a). Por lo tanto, / es integrable en [a; b] y se tiene
rbkdx — k(b - a)
INTEGRAL DEFINIDA
íJa
Ejemplo 21 (función no integrable). Consideremos la función de Dirichlet
/': [0; 1] -» IR, definida por
es irracional
x es racional
Para cualquier partición P de 1 = [0; 1] (ejemplo 19), se tiene:
S (/;P ) = 0 y 5 (/ ;P ) = l
Entonces 7 = 0 y J = 1 y, por tanto, / no es integrable en ¡.
Observación 3. Interpretación geométrica de la integral definida de una función
continua f en [a; b].
De la interpretación geométrica de las sumas superiores e inferiores (secc. 2.3.1),
deducimos que si R es la región plana limitada por las gráficas de f , las rectas
X = a , x — b y el eje X, y /4(fl) representa numéricamente al área de la región
R; entonces
a) Si f(x ) > 0, V x 6 [a; b], A(R) = f f(x)dx*a
b) Si f(x ) < 0, V x £ [a; b] ► - A(R) = f f(x)dxJQ
c) Si al número I f(x)dx lo llamamos área algebraica, para una funciónJa
arbitraria f continua en [a; b], esta integral definida de f en [a; b] representa
la suma de las áreas algebraicas de las regiones determinadas por la gráfica de f
y el eje X, desde x = a hasta x = b.
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 22. La gráfica de / consta de
segmentos de recta y una semicircunferencia,
como se indica en la figura adjunta. Halle:
a) í f{x)dx b) í f(x )dxJ o J-6
c) f f(x )dx d) f ¡f(x)\dx•'-6 J-6
e) El área de la región limitada por la gráfica
de / , el eje x y las rectas x = —6 y x = 8.
Solución
a) Como el área del círculo de radio r — A es Ax = n r2 = \6n u2, entonces
A— —An
i
4
i
i\ i \ i \
/ 1n i / * i
/ ! !
“6 V y 5 ¿ x
-4
í A,
J / W ^ = - T = -
b) Dado que el área de un triángulo de base b = 2 y altura h = v es A2 — 4 u2A
y el área del semicírculo es A = — = 8n u2, entonces
í f(x)dx = f f(x)dx + í f(x)dx = Az - A = 4 - 8tt.J-6 J-b J-4
c) Puesto que la integral definida desde —6 hasta 8 está formada por la suma de/ A2 \
áreas algebraicas de un triángulo (A2 = 4), de un semicírculo — = —8n j,
de un triángulo (Á3 — 2) y de un rectágulo (A4 = 12), entonces
r 8 r — 4 r 4 r 5 /* 8
I f(x)dx = I f(x)dx + I f(x)dx + I f(x)dx + I f(x)dxJ- 6 J-6 J- 4 J 4 Js
= 4 + (—87t) + 2 + 12 — 18 ■ 87T
d) Como |/(x)| = - f(x ), V x G [-4; 4], entonces
í f (x )d 'x = .í f(x )dx - f f(x)dx + í f(x)dx 4- í f(x)dxj-ó J-6 ■'-4 **4 Js
= 4 - C-8tt) + 2 + 12 = 18 + 8tt
e) El área de la región pedida es
= í 1/001 dx = [ f(x )dpT h( (~f(x))dx + [ /(x)dx +■ í f(x)dx J-6 J - 6 •'-4 ' 4 ■'S
' = 4 — (—87t) + 2 + 12 (18 4- 87r) u2
118
Teorema 1 (Criterio de integrabilidad de Riemann). Si / es una función
acotada en /, una condición necesaria y suficiente para que / sea integrable en / es
que dado e > 0 arbitrario, exista una partición P de 1 tal que
S ( f , P ) - S ( f , P ) < £ (6)
Demostración
a) (=>) Por hipótesis, / es integrable en /. Si ¿ = sup¡5(/,P) / P e D], dado
e > 0, existe una partición P1 de / tal que
J _ - ¿ < S ( f .P i) ó ¿ - S if .P ,) < í (7)
Por otro lado, siendo / = inf{S(/,P) / P E D) y tomando el mismo e > 0 ,
existe una partición P2 tal que
S(f,P2) < 7 + | ó S(f,P2) - ] < í (8)
Sumando miembro a miembro las desigualdades (7) y (8) y considerando que
/ = 7, obtenemos
~Síf,P2) - í i f , P 1) < £
Considerando Px U P2 = P (es un refinamiento de P, y P2), tenemos
S (f, P) - S (/, P) < 5 (/. P2) - S(f, P J < £
b) (<=) Supongamos que dado £ > 0, existe una partición P de / tal que (7) es
verdadero. Como
J_ > S ( f ,P ) y ] < S ([ ,P )
se obtiene 0 < J — J < 5(/, P) - S(/, P) < e. Como £ es arbitrario, se obtiene
7 - 7 = 0 o 7 = 7
Por tanto, / es integrable en /.
Hasta ahora, I f(x)dx se ha definido solo si a < b . Por conveniencia, se dan Ja
¿as siguientes definiciones:
Definición 6. Si a < b , se define
I f(x)dx = — ¡ f(x)dx , siempre que I f(x)dx exista. h Ja Ja
Definición 7. Si / es una función definida en a. se define
INTEGRAL DEFINIDA
I,-a
f(x )dx = 0a
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Proposición 4. Si f es una función continua en / = [a; b], entonces / es
integrable en /.
La demostración se deja como ejercicio al lector.
2.5.1 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si / es una función integrable en /, entonces es integrable en cualquier
subintervalo [c; d] c /.
2. Si f es una función integrable en /, entonces para toda constante real k , k f es
integrable en / y se tiene:
f k f{x)dx = k í f(x)dx (9)Ja Ja
3. Si / y g son funciones integrables en I, entonces / ± g es integrable en / y se
tiene:
rb pb rb
l f (x )± g (x )] d x = f (x )d x ± I g(x )dx (10)Ja Ja Ja
4. Si f es integrable en los intervalos [a; c] y [c; b], entonces / es integrable en
I = [a; b] y se tiene:
f f (x )d x = í f (x )d x + í f (x )d x (11)Ja Ja Je
(Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración).
Esta propiedad es válida para tres números arbitrarios a,b ,c siempre que las
tres integrales existan.
5. Si / es integrable en I = [a; b] y f (x ) > 0 , V x E I. entonces
f f(x )dx> 0 (12)Ja
6. Si / y g son funciones integrables en / y f (x ) < g(x), V x E /, entonces
í f(x)dx < í g(x)dx (13)Ja Ja
7. Si / es integrable en / = [a; b] y m < f(x ) < M, V x 6 /, entonces
m(b - a) < í f(x)dx < M{b - a) (14)^a
8. Si / es integrable en I, entonces
f /(x)dx| S í \f(x)\dx (15)Ja I Ja
120
1N I hCjKAL DEFINIDA
2.5.2 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA INTEGRALES
Teorema 2. Si / es una función continua en I = [a,b], entonces existe un
número c E I tal que
í f(x)dx = f ( c ) ( b - a ) Ja
Demostración
El Teorema del Valor Intermedio de una función continua indica: “Si f es
continua en [a; b] y se cumple que / (a ) f(b ) , entonces para cualquier <x>
entre / ( a ) y f ( b ) existe un número c entre a y b tal que / (c ) = 6)".
Por hipótesis, / es integrable en /, pues f es continua en I (Prop. 4). Luego, por
(14), se tiene:
m(b — a) < f f(x)dx < M(b - a) Ja
donde m y M son el mínimo y el máximo absolutos de / en I, respectivamente
(estos valores existen porque / es continua).
Luego, m = f (x m) y M = f (x M) , con xm y xM E I , y
f b f(x)dxf (xm) < ab _ a < / (* « )
Por el teorema del valor intermedio para funciones continuas, existe c entre xm y
xM (c E /) tal que
fb f(x)dx rbf (c) = —------ , es decir, I f(x)dx = /(c )(¿ — a) , con c £ /
b - a Ja
2.6 TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO INTEGRAL
Teorema 3 (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral o Teorema de
Barrow)
Si f es una función continua en / = [a;b] y F es la función definida por
F(x) = I f ( t )d t , x G / , entonces se tiene Ja
F'(x) = ¿ ( / = /(* )< V * G 1
Demostración
Por definición, para x £ [a; b] (x fijo), se tiene
F(x + h )- F (x ) Ja*+h/ ( 0 d t - / a* / ( t )d tF (x) = lim ------ ------- - lim --------- r---------
h-* o h h-*o h
, í * f w t + C hf w t - s * f w t C hn » d t= h m -------------- :-------------- = lim ----------
h-*o h h-o n
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Por el teorema del valor intermedio para integrales, para el par de números x y
x + h e [a; b] existe c entre x y x + h tal que
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
L
x+h
f ( t)d t = /(c)(x + h - x ) = hf(c)X
Luego,
F'(x) = lim , c entre x y x + hh->o h }
F'(x) = lim /Ye) , c entre x y x + h h-0
F'(x) = /(x), V x e / , es decir, F es una antiderivada de / en /.
Observación 4. Este teorema establece un enlace entre los conceptos de integral
definida e indefinida. Se prueba que una función f continua en I admite una
antiderivada dada por F(x) = /* f( t)d t, pues F'(x) = f{x), V x € /.
Este es un teorema de existencia, pues si f es una función continua en I, existe
F(x) = $* f ( t )d t tal que F'(x) = /(x ), V X G7. Como F(a) = 0 , F es la
antiderivada de f en l cuya gráfica pasa por el punto (a; 0).
Teorema 4 (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral)
Si / es una función continua en I = [a; b] y F es una antiderivada de f en I
(F'(x) = /(x ), V x E /), entonces
- b
Lf(x )dx = F(b) - F (a ) = [F(x)]^ (16)
a a
Demostración
Como F es una antiderivada de / en / y, por el primer teorema fundamental,
F definida por F(x) = / f ( t ) d t es también una antiderivada de / en /, entonces
existe una constante c tal que F(x) = F(x) + c , V x £ /.
Así, tenemos
F(¿) = F(b) + c = f f ( t)d t + c y F(a) = F(a) + c = í f ( t )d t + c Ja •'a
Como /Qa/ ( t ) d t = 0, entonces
F(¿) - F (a) = f f ( t )d t•'a
Como la variable t no tiene significado especial, se concluye
r b
f(x )dx = F(¿) - F(a)/•/a
122
INTEGRAL DEFINIDA
Observación 5
n) |F(x)]g es una notación para F(b) — F(a).
h) La fórmula dada en (16) es llamada “Fórmula de Newton-Leibniz” debido a
que estos dos matemáticos establecieron, independientemente uno del otro, la
relación íntima entre los conceptos de la derivada y de la integral. -El nombre
que se le da a esta fórmula es convencional, ya que ni Newton (1642-1727) ni
Leibniz (1646-1716) dieron exactamente con esta fórmula.
c) Obsérvese que la diferencia F(b) - F(a) no depende de la elección de la
antiderivada F, puesto que todas las antiderivadas se diferencian en una
constante, la que desaparece al efectuar ¡a diferencia. Por eso, al calcular una
integral definida no es necesario considerar la constante en la antiderivada.
Ejemplo 23. Sea la función F(x) = J ~ t2 d t- Ca'cule
a) F'(x) b) F"(x) c) F '( l)
Solución
a) Siendo / ( t ) = 1/(1 + t 2) una función continua, por el primer teorema
fundamental, se tiene F '(x) = 1/(1 + x2) , V x > 0 (es necesario notar que
F '(x) = 1/(1 + x2) es válido para todo x e R). Como F'(x) > 0 ,V x R ,
entonces F es una función estrictamente creciente en R .
b) F"(x) = —2 x /( l + x2)2 (F presenta punto de inflexión en x = 0).
c) F '( l ) = 1/2.
Finalmente, dado que F'(x) = 1/(1 + x2) , entonces F(x) = arctan x + C para
alguna constante C. Como F (0) = 0, entonces
0 = arctan(O) + C => C = 0, es decir, F(x) = arctan x
Ejemplo 24. Calcule el valor de cada una de las integrales
rl dx rn/2 rl ,1
a) --- - b) senxdx c) ex dx d) senhxdx1 + x2 J0 J0 J0
Solución
a) Una antiderivada de / (x ) = 1/(1 + x2) en / = [-1; 1] es F(x) = arctan x
(en esta antiderivada, por la obs. 5-c, no se considera la constante). Luego,
f 1 dx 1 7T y 7T\ ITJ T+ x2 = iarctan = arctan(l) - arctan(-l) = - - -J = -
r n / 2 jj.
b) I senx dx = -[eosx]nJ 2 = - icos-- eos0J = 1J o ' Z '
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= C
o
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
c) f e* dx = — e1 — e° = e — 1J a
f 1 id) I senh xdx = [coshx] = cosh(l) - 1
Jq u
Compare las respuestas obtenidas en (b), (c) y (d) con las obtenidas en los
ejemplos (13), (14) y (15) de este capítulo.
Ejemplo 25
i) Sea G(x) = / “ f ( t ) d t , donde f : I — [a; b] -> R es continua y u = w(x) es
una función derivable (u: íx -* /). Pruebe que
dG'(x) = / (u ) .u ', donde u' - — (u(x))
ax
ii) Sea H(x) - f^ donde/ y u = tt(x) tienen las condiciones dadas en
(i). Demuestre que
dH '(x ) = - /(u ) .u ', donde u' = — (u(x))
ax
Solución
i) Si F(x) — /* f ( t ) d t y u = u(x) , entonces
(F o u )(x) = F (u(x )) = f ( t ) d t = G(x). Por la regla de la cadena, se tiene
G'(x) = F '(u(x)). u '(x ) = F'(u). u' = f (u ) . u', pues F '(x) = /(x ).
En resumen, G'(x) = /(u ).u '.
ii) H(x) = f “ f ( t )d t = - / “ / ( t )d t
Por (i), tf'(x) = - (/ (u ) .u ') = - /(u ).u '.
312 + 9 sen t + 15 ^Ejemplo 26. SeaG(x) = í — — -— —dt y tí(x) = f
J_3 1 + 9 sen2t
Halle: a) G'(x) b) tf'(x)
Solución
a) Usando el ejemplo 23-i), para/(t) = 1/(1 + 9 sen21) y u = x4, se tiene
1 4x3C 'W = 3 - r ^ ---l + 9sen2(x4) l+ 9 se n 2(x4)
b) Usando el resultado del ejemplo 23-ii), obtenemos
,, . 1 , 3x2H M = -- r — :---r r — -• 3x
x6 + 9 sen(x3) + 15 x 6 + 9 sen(x3) + 15
124
rX*
INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 27. Si G(x) = [ V 1 + y3 dy,halle G '(x).Jx2
Solución
Como / (y ) = ^ 1 + y 3 es continua en M, entonces
G (x ) = f y i + y 3 d y = f \ ] l + y 3 d y + í X j l + y 3 d y Jx2 Jx2 Jq
Luego,
G'(x) = - V 1 + x 6 • 2x + V i + x9 • 3x2
= a: [3x V i + * 9 - 23VT+x6]
r 1 jx ldxEjemplo 28. Calcule el valor de ---- -
1 + x2
Solución
Si /(x ) = , entonces / (x )si x > 0
1 + x2 ' x— 2 ' s i x < 0
1 + X 2
Para calcular esta integral, se aplicará la propiedad aditiva respecto al intervalo de integración. En efecto,
í f(x)dx = f /(x )dx+ f f(x)dx = = — i —l dx + í ■ * dxJ-l J-l J_xl + x2 J0 1 + x2
rl i° rl i 1= - [ - ln ( l+ x 2)j ^+ - ln ( l + x2)j^
= - i ( - In 2) + i ( l n 2) = ln 2
Ejemplo 29. Calcule J — í |x2 + x — 6| dx.J - 4
Solución
La variación de signos de x2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) es
+ - +
-3 2
luego |x2 + x - 61 = í * 2 + - 6 ' si x 6 (-oo;-3] u [2;+co)i.uego, |x +x 6| [ _ {xi + x _ 6)i s ¡ x 6 ( - 3 ; 2 >
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Aplicando la propiedad aditiva de la integral respecto al intervalo de integración, se tiene
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
f \x2 + x - 6\dx = í (x2+ x-6)dx- f (x2+x-6)dx+ f (x2 + x - J—4 •'—4 J—3 Jo
2(
3
3 v 2
6 )dx
-3
+ lT + T - 6,
■ i - i "
125\ 38 109
6 ) + T - T ~
Ejemplo 30. Sabiendo que x > 9, resuelva la ecuación:
16 dt
i 9 V 2 (16- t2) 3
2ti / 2 + Vx \ 3= — + ln 1 --- - I - 2 arctan - — ln 5 ... (a)
Syfx - 10
Solución
, , f 16 dtEn primer lugar, calculamos la integral I -=------- usando la sustitución
J Vt(16 — t2)t = u2 y dt = 2udu. De esta manera,
f 16 dt _ f 32 u du f 32 f 4 f 4
i V?(16 - t 2) ~ J u( 16 - u4) ~ J 16 - u4 dU “ J 4 - u2 + J, |u + 2| ,i¿n lVF+21 ' /Vt\
= ln ---- + 2 arctan (-) + C = ln — --- + 2 arctan —- + C\u-2\ '2 ' V t- 2 V2 /
Luego,
i
16 dt
9 VF( 16- t 2)
Vt + 2 Vt 1ln
V t- 2+ 2 arctan(— )
Vx 3+ 2 arctan —— 2 arctan - - In 5
O'
V i, , + 2 arctan—— 2 arctan- ... (ß)Vsvi- ioy 2 2 ^
Reemplazando (ß ) en (a), se tiene
, / V x + 2 N\ V? 3 2ir
ln I s ä ^ I öJ + 2 arctan T - 2 arctan 2 = T +
<=>
ln ( 4 ± ü ) -\Sy/x-10J
V* 2n fyfx\ n 4x (Tis j x r-2 arctan — = y » arctan I — 1 = - « — = tan (-J » — = V3
2 arctan
Finalmente, x = 12.
126
I . Ln cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la derivada de las siguientes
(unciones.
INTEGRAL DEFINIDA
EJERCIC IOS
..) /■
l>)
•’(x) = j cosh(212 + 1) dt
J”Senx ^
------dt
a arcsen t
c) f w = f í [ y-— ^ — r dt) dyH \J8 1 + 1 + sen2t j *
d) F(x) =Ja
R. F'(x) = 2 cosh (8x2 + 1)
* ■ = Í t t A + sen2tdt
r*3 1 j.rJ0 i+sen2t
eos2 (y2 + 4)dy
e) FOO = sen | j sen^J sen3td t]d y
2. Sean
/•arcsen cosATj
F(x) = /(sen t)dt -A/a
J-senx ____ _________
V<?(t) dt = V i- .eosx
sñ
J 1 4- sen x
r f W dtHalle H'(x) si H(x) = í ___
■'s(x)( 1 - V l- x 2) ^
1\ 16
T ‘
R. a = — 2 ó 1
f3X+1 2 / I3. Si fCtjdt = ---h ax , calcule los valores de a de modo que / -
J0 ax \4.
f *2 t54. Si F(x) ~ J 1 + {4 dt, halle F'(x).
/•X + X2
5. Si G(x) = I 2~t2 d t , calcule G'(x) y C '(l).J*2+i
r e*6. Si F(x) = I x (t2 + l)d t , calcule F'(x).
rV2(x>1. Sea G(x) = I f ( t ) d t , donde f • 1 -* R es una función continua y las
•Vi(x)
funciones que son funciones derivables. Demuestre que
G'(x) = f(<p2(x)) • <p'2(x) - /((PiOO) 1 <P'i W
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
8. Sea / : [ —!; 2] -> E una función continua. Si F es una antiderivada de / en
[-1; 2], con F (-1) = 3 y F(2) = 7, calcule J f(x)dx. R. 4
9. En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función g. Si f es la función
definida por f(x ) = J^gC Odt, x G [-3; 8], y t
Calcule gráficamente:
a) / ( —3) b) /(O) c) / ( 8)
R. a) 0 b) 6 c) 34 -3 6 8
10. Sea / : [-6; 6] -> R una función continua y g: [-6; 6] ->
impar continua, tal que I f(x)dx = 10 y I g(x)dx = — 2. Halle:J-6 J-6
rO
una ¿unción
a) í [f(x) + g(x)]dx R. 12 b) [ [/(x) + s #(x)]dx R. 20 •'-6 •'-6
11. En los siguientes ejercicios, calcule / (2) sabiendo que / es continua y
verifica la ecuación dada para todo x > 0.
a) [ f{t)d t = x2( l + x)Jo
b)
X 2
í f( t)d t ■'O
x2( l + x)
R. 16
2 + 3V2
r f W
c) I t2 dt = x2( l + x) Jo
r X 2 ( l + X)
R.L
R. V36
1R. -d) f f ( t )d t = x
12. Demuestre que si / es continua, entonces
J f ( u ) ( x - u )d u = J ^ J / ( t )d t^ d u
Sug: considere F(x) = I f(u )(x - u )d u , entonces F'(x) = I f(u)du.Jo J o
Luego, halle su antiderivada y calcule F(0) para su constante.
13. A partir del ejercicio anterior, demuestre que
du[Xf(u )(x - u )2du = 2 f i f í f Zf ( t)d t) dz Jo Jo lyo V o /
128
14. Halle f (x ) si f ' " ( x ) = ■ 1 , V * > 0.v i + sen2*
15. Calcule el valor de las siguientes integrales:
a) J x3 dx b) J (x + l ) 3 dx
f 1/2 1 f 2 xc) I 1 d) ;--- 7 dx
Jo V i - x2 J1 1 + *
INTEGRAL DEFINIDA
e)J-i 1 + 1*1 J3
1
5 5* - 20
(2 - x )(x2 + 1)
g) I |cosx|dx h) I sen2(3x)dxJo Jo
dx R. 1,336685 ...
lnx dxr * r
0 L — i “* ° I
16. Sea / :[ - 6; 6] -» IR una función continua. Si / es impar y I /(x)dx = 3,
6
halle J (/(x) - 2x) dx. R. -35
17. Para cierta población, suponga que N es una función continua tal que N(x)
es el número de personas que alcanzan la edad de * en cualquier año. Esta
función se llama función de la tabla de vida. Bajo condiciones apropiadas, la
integral J*+n N (t)d t da el número esperado de gente en la población que
tiene exactamente entre x y x + n años, inclusive. Si iV(x) = 300V100 - x,
determine el número de personas que tienen entre 36 y 64 años.
R. 59200 personas
18. Sea una recta tangente a la curva C:y = g(x) en el punto P(2;3).
Además, la recta Lx pasa por el punto Q(10; 7) que no está en la curva C.r3 (x ) -------
Si /(x ) = J J t 2 + 7dt, halle/'(2 ). R. 2
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Teorema 5. Si / es una función continua en / = [a; ib] y si se reemplaza la
variable x de la integral por g (t) (es decir, x = g(t)), donde g : [a;ß] -> / tiene
derivada continua en [a; ß], con g (a ) = a y g(ß) = b ; entonces
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
2.7 CAM BIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DEFINIDA
í f ( x ) d x = í f{g(tj)- g '(t)dt (17)Ja Ja
Demostración
rySea F(y) = í f(x )dx ,y 6 I . Por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, se
J a
tiene F '(y) - /(y ) , V y 6 /.
Por la regla de la cadena ó derivada de una función compuesta, tenemos
íFígm' = F'im) • s'(t)=/(seo) • 5'(oPor tanto, F (g (t)) es una antiderivada de f (g ( t ) )- g '( t ) . Por el Segundo
Teorema Fundamental del Cálculo, se tiene
C f (fi(0 ) • g 'W d t = [FGKO)] £ = F(g(ß)) - F(5 (a)) = F(b) - F(a)
= í /(x)dx•'a
Observación 5. Si la función g\[a\ß] -* [a; b] es tal que g (ß ) — a y g (a ) = b,
por la fórmula (17), se tiene
f f(x)dx - í f(gCO) ■ g '(t)dt Ja Jß
f 3 X2Ejemplo 31. Calcule I = I 3 3 dx.
J2 ' x )Solución
Haciendo t = 1 + x3, se tiene que x = g(t) = V t- 1 , g '(t) =3 V ( t - l )2 '
g(9) = 2 y g(28) = 3. Dado que g y g' son continuas en [9; 28], entonces
_ f 3 x l _ _ _ f ¿BV(t- l)2 1I _ J2 ( l + x 3)3 t _ J9 t3 3V(t- l)z 1
1 f 28 , l r l ]28
- j L -
’ 28 7 0 3
j 9 381024
INTEGRAL DEFINIDA
En la práctica, no es necesario dar la función g (t) explicitamente. Considerando
que el lector está habituado a cambiar la variable en una integral indefinida, sólo
nos queda decir que para cambiar los límites de integración basta reemplazar la
variable original x por los límites de integración en la correspondiente sustitución
y así obtener los nuevos límites de integración (que son los valores de la nueva
variable). En el ejemplo anterior, procederíamos así:
Como la sustitución es t = 1 + x3, entonces dt = 3x2dx.
Para x = 2 => t = 9 = a ; para x = 3 = > t = 28= /? .
Por tanto,
x2 dx 1 r 3 3x2 dx 1 f 2Bdt 703_ x¿ dx 1 3x¿ dx 1 f 2
~ J 2 ( l+ x 3)3 = 3 j2 (1 + x 3 ) 3 = 3 J 9 t3 381024
f i (x^ — 1 dx Ejemplo 32. Calcule el valor de 1= I ------- -
•'1/2 (x2 + l)Vx4 + 1
Solución
Antes de efectuar el cambio de variable, dividimos numerador y denominador por
x2 (x2 > 0, pues x 6 [1/2; 1]) y luego reemplazamos t = x + 1/x. Entonces
_ f 1 (x2- l)d x f 1 ( l- - p )dx
h n ( x 2 + i)V x4 + 1 J i/2 i | i
_ r2 dt i /,ilNl2
-'s/2 íV t2 - 2 V2
, |f|arcsec | —V2. 5/2
= -l(arcsec(V2) - arcsec^) = - arcsec^)
Ejemplo 33. Demuestre que
a) Si / es continua en [0; a], entonces I f(x )d x = I f(a - x )d x .J o J o
/* d r a.
b) Si fes función par y continua en [-a; a], entonces I /(x)dx = 2 I f(x )dx .j-a J 0
c) Si f es función impar y continua en [- a; a], entonces I f(x)dx = 0.•'-a
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
f " í nI2d) Si fes función par y continua, entonces | x /(cosx)dx = n f /(cosx)dx.
0 J o
f n 7r re) S i/es continua, entonces I xf(senx)dx = - /(senx)dx.
Jo 2 J0
Solución
a) En la integral J ^ f ( a — x)dx reemplazamos a - x = z y dz = -dx.
Entonces para x = 0=>z = a ,y para x = a => z = 0. Por tanto,
f f ( a - x)dx = - f f (z )d z= f f(z)dz = f f(x)dx J0 j a Jo Jo
(La última igualdad es válida porque la variable z no tiene significado especial)
b) f f{x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx ... (a )•'-a /- a _________ Jo
J
En la integral / reemplazamos x = -y. Enseguida, utilizamos el hecho de que
por ser / par se verifica / (- y ) = /(y ).
7 = [ /(x)dx = - f /(-y )dy = f f(y)dy = f f(x)dx ... (/?)J -a J a Jq J o
Reemplazando (/?) en (a), se obtiene
f f(x )dx = f f(x)dx + f /(x)dx = 2 [ /(x)dx*'-a ^0 ¿0
c) Siguiendo el mismo procedimiento empleado en la parte (b) y utilizando el
hecho de que / (- y ) = - /(y ) (por ser / impar), se prueba que
J = í f(x)dx - - f f(x)dx J-a J q
Reemplazando este resultado en (a), se sigue que f /(x )dx = 0.J-a
d) y e) Ejercicio. En ambos casos reemplazar x = n — y.
Ejemplo 34. Calcule I = [ dx.J q 1 X
Solución
Si utilizamos la sustitución x = tan 8, tenemos
fM n íl+ x ) [n/i\n(l + tan 0) , r*/4Jo ~TTx*~ J0 ~7a>o '“(! + «"*)«110
r XT/4
INTEGRAL DEFINIDA
f r M1 = 1 In l + tan í -0) I dd (aplicando el ejemplo 32 - a)
-"o ^
/■n/4 , l - t a n 0\ f ^ 4 / 2 \
, = j 0 ln V1 + lT ta ñ f l) = i ( íT ia ñ d )
r n ¡ 4 /-Jt/4
1= 1 In 2 d0 - I ln (l + tanfl)d0Jo ¿o_______ _________ ,
i
/•ít/4 n- 7rPor tanto, 21= ln 2 d6 = -ln 2, de donde se concluye que I = — ln 2.
J o 4 8
f Itx senx dxEjemplo 35. Calcule 1= ——--- — .
J q 1 ~l COS X
Solución
Teniendo en cuenta que cos2x = 1 — sen2x, se tiene
f^x se n x d x í 71 senx1 = ------ — = x ------dx
J0 1 + cos2x J0 2 - sen2x
sen xPuesto que el integrando es de la forma x /(sen x), donde /(sen x) = ^ _ ser)2'~»
usando el ejemplo 32-e, obtenemos
r" senx n f n senx1= x------------------- --dx = - ------- r-dx
J0 2 - sen2x 2 J0 2 - sen2x
7T í n Sen X 7T -.7T
= 2 Í = - 2 [arctan(coS*:']0
7T TTr 7T 7Tl 7T2 ’
= - - [arctan(-l) - arctan(l)] ^ ñ r i ' I p ' r2 1 4 4J
r^/4
<-tt/4
r '■ 2Ejemplo 36. Calcule J = (x9 eos x + Vtan x + sen xe tosI + eos2 x)dx.
■'-tt/4
Solución
/•tt/4 /*nV4
J = \ (x9 eos x + Vtan x + sen x ecos2jc)dx + cos2x dxJ—ir/4 J-7I/4
r^ 4 r 'r/41 + eos 2xdx
/•TT/4 /-TI
j 2 - I cos2x dx = IJ—Ítl4 *'-7
1 r sen 2xi'r/4 1 /7r \ re + 2
L /. = í f e +1) = —
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El integrando de es f(x ) = x9 eos x + Vsen x + sen x ecos2* y es una
función impar, pues
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
/ (~x) = (~x) 9 cos(-x) + 7 tan(-x) + sen(-x)ecos2(
= —x9 eos x - Vtan x - sen x ecos2x = -f(x )
rn/i
Luego, por el ejemplo 31 - a, se sigue que J i = f(x)dx = 0J - n / 4
n + 2 n + 2 Por tanto, / = 0 H----- = -----.
2.8 INTEGRACIÓN POR PARTES EN UNA INTEGRAL DEFINIDA
Teorema 6. Si u = u(x) y v = v(x) son funciones con derivadas continuas en
I = [a; b] , entonces
J u dv = [uv]^ - J v du (18)
Demostración
De la diferencial de un producto se deduce que u d v = d(uv ) - v du.
r b r b r b r b
Luego, I u d v = I [d (uv )- vdu] <=> u d v = d(uv) - I v du Ja Ja Ja Ja Ja
f*> . r b
=> u d v = [uv] - \ v du Ja ® ■'a
(Todas estas integrales existen, pues u, v, u', v' son continuas)
Ejemplo 37. Calcule / = f x2lnx •'i
Solución
dx.
Haciendo
J =
^u = lnx => du = -dx
x o , obtenemos
dv = x2 dx =» v = —3
x3 l3
T lnx- Í / ^ c Í A : = ( 9 |n3 - Í |n 1) - [ i ^
1 26 = 9 ln 3 — - (27 — 1) = 9 ln 3 — —
134
Ejemplo 38. Calcule el valor de J = j arctanJ^jx - 1 dx.
Solución
Si z — arctanVVx — 1 => V* = sec2z => x = sec4z y dx = 4 sec4z tan z dz.
Para x = 1 => z = 0 y para x = 16 => z = tt/3. Entonces
r n / 3
INTEGRAL DEFINIDA
rn/ó
J = I z ■ sec4z tan z dzJo
Para integrar por partes a esta última integral, consideramos
f u = z => du = dz
t-dv = 4 sec3z • sec z tan z dz => v = sec4z
Entonces
f *''37 = [z sec4z]o 3 — I sec4z dz (*)
•'o
r n / 3jj- ríe/*
= í—) (16) — I (1 + tan2z)sec2zdz
1Ó7T T tan3z l7r/3 167T— tan z + ■ = — -2V3
o3 [ 3
(*) Para integrar sec4z es suficiente considerar que sec2z = 1 + tan2z.
2.9 INTEGRACION DE FUNCIONES DISCONTINUAS
Definición 6. Sea / : [a; b] -» IR una función acotada y sea P = {x0,x1( ...,xn}
una partición de / = [a; b]. Sean clt c2,...,cn elementos de /, de tal manera que
Cj £ Ij [xy_i, Xy] , j 1,2, ... ,71.
La suman
S (/,P ) = £ / (c ,)A y X
;=i
se denomina Suma de Riemann de / con respecto a la partición P.
Sean m¡ = in /{ /(x ) / x £ /,} y M¡ - sup{f(x ) / x e /y}. Entonces
rtij < f (c j) < Mj, j = 1,2, ...,n y más aún
S ( / ,P ) < S ( / ,P ) < S ( / ,P )
La suma de Riemann es un tipo de suma que no necesariamente es una suma
inferior o una suma superior, sino más bien está comprendida entre ellas.
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Definición 7. Se dice que S (f,P ) tiene límite J e R cuando j|P || -» 0 y se
escribe ^Hmo S (f,P ) - J si dado e > 0 (arbitrario), existe 5 > 0 tal que para
toda partición P, con 0 < ||P|| < 8 , y para cualquier c¡ se tiene
H S ( / ,P ) - / I I < £
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Teorema 7 (de Darboux). Si / es una función acotada en /, una condición
necesaria y suficiente para que f sea integrable en / es que exista / G IR tal que
pUrn S ( f ,P )= ] ; ( j = ¡ J M d x ^
Demostración (Ejercicio).
Teorema 8. Sean f , g ■■ l — [a;b] -» M dos funciones tales que f(x ) = g(x),
V x E I, excepto para un número finito de puntos. Si g es integrable en /, entonces
/ es integrable en ¡ y se tiene
r b r b
í f(x)dx - í g(x)dx (19)Ja Ja
Demostración
Si g es integrable en / y g{x)dx = J, por el teorema de Darboux, dado e > 0,
existe 8X > 0 tal que para todo P, con 0 < ||P|| < 51; y V c¡ e l¡ se tiene
\S(g,P)-J\<£-
Por otro lado, si A = {x 6 / / / (x ) * g(x)} posee r puntos (r finito) y sea
L - sup{\f(x) - flOOl / x E /}, para toda partición P, con ||P|| < , se tiene
|S(/,P)-S(<7,P)| = < r L P -2rL 2
Luego, si 8 — mín|<51( se tiene
I P )- ] \ < m ,P )~ S(g, P) | + 15(5 , P) - J | < | 1 = £
En resumen, para toda partición P, con ||P|| < 5, y V c¡ E / se verifica
\S(f,P)-J\<E
Por tanto, por el teorema de Darboux, / es integrable en / y
f f(x)dx = í g(x)dxJ a J a
136
I roi cnia 9. Si / es continua en / = [a;fr] excepto en ios puntos a ó b, en los
niales existen lim /(x ) = / ( a +) y lim f ( x )= f ( b ~ ) (finitos), entonces f esj : - * b ~
iiiici'.iable en / y existe una función F, con F'(x) = /(x ), V x e <a; b), tal que
í f(x)dx = F (b )- F (a )Ja
Demostración. Ejercicio para c! lector.
Definición 8 (Función seccionalmente continua en ¡ ~ [a;¿]). Se dice que ia
liindón / : / - > l e s seccionalmente continua en / cuando / es continua para todo
» < / excepto para un número finito de puntos c¡ , j = 1 , 2 m , para los
i nales existe
f(c~ ) = lim_/(x) y /(c+) = lim+/(x ) x'*ci x~,cj
‘.i i) - a n c¡ = b, debe existir / ( a +) o f(b~) respectivamente.
< OROLARIO . Si / es seccionaimente continua en / = [a;fa], entonces / es
mu-arable en /.
í-2 , si - 2 < x < -1
I jcmplo 39. Sea la función / (x ) - ] x3, si - 1 < x < 1 .
( 2 , si 1 < x < 2Se pide:
a ) I race la gráfica de / .
Ii) ;,/ es integrable en [—2; 2]?
i ) Calcule I f(x)dx.J-2
ti) Halle P(x) = í f ( t ) d t , x £ [ - 2; 2] y trace su gráfica.J-2
i ) Determine el conjunto donde F es derivable y halle F'(x).
Solución
a t I a gráfica de / se muestra en la Fig. 2.15.
!>) / es integrable en [—2; 2] porque / es seccionalmente continua en [—2; 2]
(/' es discontinua en x = - 1, en x = 1 y en x = 2; pero en estos puntos
existen los límites laterales. En x = 2 existe el límite lateral por izquierda).
1 f 2 f(x)dx + | f(x)dx
i •'i
INTEGRAL DEFINIDA
i ) j f(x)dx = J f(x)dx + j
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
d) Si x e [-2; -1> => F(x) = f (-2)dt = -2x - 4J-2
Si x E [—1,1] =* F(x) = J f( t )d t = J (- 2)dt + J t
Si x E (1; 2) =* F(x) = J f ( t)d t = J (—2)dt + J t3 dt + J 2 dt = 2x — 4
x4 9
T ~ 4
í-2x - 4 , - 2 < x < -1
Por tanto, F(x) = | (x4 - 9 ) /4 , — 1 < x ^ 1
\2x - 4, 1 < x < 2
La gráfica de F se muestra en la Fig. 2.16.
(-2 , - 2 < x < —1f) F'(x) = jx 3 , - l < x < l
i 2 , 1 < x < 2
Luego, F es derivable en [—2; 2) excepto en los puntos x = —l y x = l.
Fig. 2.15
F(x) = f 2te~cZ Jo
d t , x e R.Ejemplo 40. Trace la gráfica de
Solución
i) D(F) = R
ii) Intersecciones con el eje x: P (0; 0), pues F(0) = 0.
iii) F'(x) = 2xe~*2. El único punto crítico es x = 0 y se tiene
Signo de F'(x) <- +
Luego, F es creciente en (0; +oo) y F es decreciente en (—oo; 0>. El valor
mínimo relativo es F (0) = 0.
138
iv) F "(x) = 2 e~*2( l - 2x2).
Los puntos críticos de inflexión son x = V2/2 y x = -V2/2.
Signo d e F ” (x) •<----°------ 1------------ 1-----------►
-V2/2 V2/2
Por tanto, F es cóncava hacia abajo en (- 00; —\¡2/2) U (V2/2; +00) y
cóncava hacia arriba en '-V2/2; V2/2). Las abscisas de los puntos de
inflexión de F son x = V2/2 y x = —V2/2.
v) Integrando se obtiene que F(x) = 1 - e“*\ por lo que y = 1 es asíntota
horizontal. La gráfica de F se muestra en la fig. 2.17.
INTEGRAL DEFINIDA
Fiq.2.17
EJERCICIOS
I. Calcule el valor de las siguientes integrales:
r° dx 71 f2 dx 1
1 J_14x2 + 8x + 8 16 Jj x2 - 4x - 5 6*n2
r72 dx ti r1 3 2 53. ■ ■■ R. - 4. x e dx R . ------
Jo VT^ 2 4 J0 3 3e
f n 1 f n/3 75. I senhxsenxdx /?. -senhír ’6. I tan x dx /?. 0
Jo ^ J-n/3
f axs/2dx 57ra3 f 2 x5 dx
J 0 8' i ( I+ X 3)3/2 9
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>■/;
dx 1023
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
x6(65 - x 6)1/6
10. f x8( l — x3)5/4 dx ■>1
11. f x4( l — x2)3/2 dx
12.
13.
14
. f x4( l - x 2)3/2 ■'o
[ V V 2
/ :
/ :
f ln yjl — x Jo
1V1 — x,----d
V2 - x
x ex
(1 +x)2
■ x dx
f 1/2 1 + x
16- L J — dx-1/2*
r n / 3
17. I cotx (lnsen x)dx■'tt/4
18.
19.
20.
21.
í
11/3 Vtan x dx
jj/6 Vtan x + Vcotx
tt/4/• 7T/4
I |tan5x|dxJ-7T/4
f 2n
I |sen x — cosx|dx■'O
r" xsenx------— dx
J0 1 + cos¿x
• £
■ í
IX + 1
Ix + 6dx
11/3 Vsecx dx
Vsecx + Vcscx
/?.
i?. -
12300
128
5967
2n
R’ "256
n
R-A
R . y f 2 - ln ( l + V2)
e - 2R.
R. ln 2 --2
1
*■2
fl. — 4- ln 2 2
7T
T
5 + 5 ln-
/?. T I (Sug=u = | - * )
140
f 7* eos x f 7 2 sen* cosx^ ^ I 7— 9 rfx = 4, caicuie el valor delainteeral ----- d* en
■/o ( ^ + 2 ) 2 Jg X + 1
función de ¿4. fí -- ----->4^2 V2 7T + 2 )
f n cosxdx [2 cosx f 71 eos x dxSugerencia: exprese ¿ J ,
Luego, calcule cada una de las dos integrales usando integración por partes y
finalmente haga el cambio de variable x = 2u.
f 1 exIII. Si k = I dx, exprese los valores de las siguientes integrales en función
J q X T i-
de k.
'• l - , 7 ^ T T dx (Sug:
INTEGRAL DEFINIDA
? f 1 x e*2
J 0 x2 + 1
s. f -J o I
dx R \k
ex 1dx /?. k + 1 -- e
(x + 1)2 2
4. í e * ln ( l+ x ) fí. e l n 2 - k-'o
IV. Ejercicios diversos.
1. Calcular/(0) sabiendo que f( jt) = 2 y f [/(x) + /"(x)]sen x dx = 5.Jo
/?. 3
[bsenx cosa eos b f b cosx2. Pruebe que ----dx = -------- -— + — — dx.
Ja ^ a b Ja x2
Í12x — 12 , si x < 1 , . [2xc, , J3. Si /(x ) = _ 6 ( s ix > 1 ; 3(1) = ^ f M t , XER .
Calcule el valor de f g(x)dx. R. 3697/42
4. Si n es cualquier número natural, calcule el valor de
r^sen (n + j ) x
J xsen 2
-dx /?. 7T
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
5. Calcule el valor de las siguientes integrales:
-1' 2 f l + X\a) J cos(sen x) In — -J + 3x + 4
r n / 2
b) I x sen x dx-'-71/2
çn/2
c) I x81cos(x9) dx J-ji/2
rii/4d) I [x14sen(x7)] dx
J-u¡
dx
n/4
e) f [(x5 + x3 + x)V l + x4 + 3j dxJ-7
R. 4
R. 2
R. 0
R. 3/r
R. 12
6. Sea /: 1 una función continua. Si se sabe que í f( t )d t = 6 , J-1 n
calcule
f / ( 2x — 2) dx.J-4
7. Sea / (x ) =
si 0 < x < 2
- 1 , si 2 < x < 3
.x - 3 , si 3 < x < 4
a) Esboce la gráfica de / .
b) Calcule JQ4/(x)dx.
c) Calcule F(x) = f* f ( t ) d t , x G [0; 4].
d) Trace la gráfica de F.
e) Determine en qué puntos F es derivable.
8. Sea F(x)f x e‘2
= --- ?dt-Jo 1 + t2a) Pruebe que F es función impar.
b) Pruebe que F(x) > x , V x 6 i j = [0; +oo).
9. Calcule el valor de
çtt/3
L * 1
Veos X
n/6 Vsen x + Vcosxdx.
10. La ecuación paramétrica de una curva es Hh ;
coszdz
sen z, t > 1. Halle
■dz
dy
dx '
INTEGRAL DEFINIDA
11. La función / y su inversa / _1 son continuas y /(O ) = 0. Pruebe que
-5 r f ( 5)f(x )dx + f~ 1(t)d t = 5 /(5 )
■/o Jo
rl/'/3 dx12. Calcule el valor de
r 3
13. Calcule el valor de-3
r
i :
(2x2 + l)Vxr +T'
x2 - 4
f A - T
14. Calcule el valor de I 7- — rrrdx.
x2 -25
3 x 2 _ 4
31*2 - 161
dx.
15. Sea / una función continua tal que / '(x ) < 0 en [1; 4].
Si / ( 1) = —2 , /(4 ) = —6 y J]4/(x )dx = —10 , calcule el valor de
f f~ 1(x)dx. R. 12J-f,J-6
x < 2
16. Si f{x) = I ^ ’ 2 ^ * < 0 , calcule J [fix) - x]dx.
-1 + x3x > 0
r 2 71
17. Calcule I (|sen x| + x)dx.Jo
{e2-l
18. Calcule f [4 - 2 ln(x + 1)] dx. R.-2(e2 - 3)Jo
f 5 |x3 - J - 1
19. Calcule |x3 -4x|dx.
dx 15?r + 44Calcule —=— —7. R.■ f -
J—l '(x2 + l )4 96
/* sen(t — l )2 dt 1Calcule lim--- —--- —--- . -
x-i (1 — x) 3
cn/2 dx nCalcule -------- p. R. —
J0 l + [tanx]^ 4
Sugerencia: hacer u = - — x.o 2
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Para calcular una integral definida por la fórmula de Newton-Leibnitz se necesita
hallar una antiderivada del integrando; pero en el capítulo I hemos mencionado
que no toda función continua tiene una antiderivada expresada mediante funciones
elementales, por lo que es necesario los métodos aproximados para su cálculo. En
esta sección tendremos en cuenta que, por el teorema de Darboux,
I f(x )dx = ||Hmo^ / ( t , )A ¿ x , donde P = {x0,x1( ...,xn}
“ i=i es una partición de [a; b] , A¡x = x¡ — xi_1 y t¡ 6 [xi_1;x i],
2.10.1 APROXIM ACIÓN POR RECTÁNGULOS
Sea / : [a; b] -> R una función continua.
Sea P = {x0 = a,x1,x2, ...,xn = b} una partición de [a; b] de tal manera que el
intervalo [a; b] quede dividido en n partes iguales. La longitud de cada uno de los
subintervalos es
b - aAx = ----
n
Sea y¿ = /(*,-), i = 0,1,2,..., n.
Cada una de las sumas
y0 Ax + y ^ x + y2 Ax + ... + y ^ A x
yt Ax + y2 Ax + y3Ax + ... + ynAx
expresa aproximadamente la integral
í f(x)dx Ja
Luego,
f f(x )dx s Ax(y0 + y! + y2 + + y ,,^ ) (20)Ja
í f(x )dx = Ax(yx + y2 + y3 + - + yn) (21)Ja
Teniendo en cuenta que ykAx es el área algebraica del rectángulo de base Ax y
altura yk, en la figura 2.18 se muestra el polígono rectangular cuya área algebraica
es la aproximación del valor de /a&/(x )dx usando la fórmula 19.
El error que se comete al calcular el valor de la integral por la fórmula de los
rectángulos (19) ó (20) es menor cuanto mayor es el número n.
2.10 CÁLCULO APROXIM ADO DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS
144
INTEGRAL DEFINIDA
I n este caso, se usan trapecios rectangulares en lugar de los rectángulos
tunsiderados en el ítem anterior. Sean los puntos P0(^o;yo)> ^ íC ^iiy i). -
t'n ( v«;yn)- donde x0, x^..., xn , y0, ylt .~, yn han sido definidos en el ítem
■mlerior. Consideramos los n trapecios rectangulares 7’1,7’2, ...,Tn que están
limitados por las cuerdas P0P1 , P1P2, Pn-í^n respectivamente. Como las
.ireas algebraicas de estos trapecios son, respectivamente, ¡guales a
yo + yi A yi + y z . yn-1 + yn .— -— Ax , — -— Ax , ... , --- ---- Ax ; entonces
2.10.2 APROXIM ACION POR TRAPECIOS
b yo + y i . , yi + y2 . , , y«-i +yn .f{x)dx - — -— Ax H--- -— Ax — H---- ---- Ax
a ¿ ¿ ¿
/(x )dx = ^y° ^ yi + yt + y2 + ... + yn_ 1 Ax (22)
l,n la figura 2.19 se muestra el polígono rectangular cuya área algebraica es ia
aproximación del valor de /(x )dx usando la fórmula 22.
Igual que en el caso anterior, cuanto mayor es el número n, es mejor la
aproximación al valor de la integral.
Fig. 2.19
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Proposición 5. Sea g(x) = Ax2 + Bx + C , donde x 6 [a; b] , y0 = g(a) ,
( a + b\yi = 9 \~y ~) ' y* = 9W- Entonces
rb Ax , b — a
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
2.10.3 APROXIM ACIÓN POR PARÁBOLAS (FÓRMULA DE SIMPSON)
f AxI (Ax2 + Bx + C)dx = — [y0 + 4yt + y2] , donde Ax Ja 3
Demostración
Por el segundo Teorema Fundamental del Cálculo,
rb
(Ax2 + Bx + C)dx =
(23)
Ax3 Bx2
~ T + ~ +C*
Luego de efectuar las operaciones indicadas se demuestra que
fb Axj (Ax2 + Bx + C)dx = — [y2 + 4y1 + y0].
Considerando esta proposición, si la parábola y = Ax2 + Bx + C pasa por los
puntos
/a + b \P0(a-,y0) , Pj (—2~ ;y i ) ■ p2(b;y2) .
entonces ei área algebraica bajo la parábola está dada por (23).
Sea f una función continua en [a; b]. Para hallar una aproximación de f(x )dx ,
la idea básica es aproximar la gráfica de f por arcos de parábolas. Para esto,
dividimos el intervalo [a; b] en n partes iguales, donde n es par. Sean
{x0,x1,x2, ■■■ ixn} los extremos de los subintervalos, y y¡ = /(x¿), ¿ = 1-2, ...,n.
El área algebraica bajo la parábola que pasa por los puntos (x0;y0), ( x ^ y j
Y U 2;y2) está dado por (y0+4y1 + y2)Ax/3. Así mismo, el área algebraica bajo
la parábola que pasa por los puntos (x2;y2), i.x3',y{) y (x4;y4) , está dado por
(y2 + 4y3 + y4)Ax/3 y así sucesivamente, hasta llegar al área algebraica bajo la
parábola que pasa por los puntos (xn_2;yn_2X (xn-i;yn-iX (x„;y„) está dado
por (yn-2 + 4yn-i + yn)Ax/3.
Por tanto,
f b Ax, Ax , . AxJ f(x)dx = — (y0+ 4y1 + y2) + — (y2 + 4y3 + y4) + + — (y„_2 + 4yn_1 + yn)
f AxJ f(x)dx s — [(y0 + yn) + 2(y2 + y4 + ... + y„_2) + 4(y1 + y3 + ... + yn-i)] (24)
Esta fórmula es llamada fórmula de Simpson.
146
IN T EG RA L D E F IN ID A
Fjemplo 41. Para n = 10, calcule por aproximación el valor de
-1 4 dxr 1 4 dx
J0 1 + x2
Solución
Si n = 16, entonces Ax - (1 - 0)/10 = 0,1.
X¡f ( x \ _ 4
x¡ / ( * « )' C 1 + x 2
oiloX
O (i
1
4
1 O
1
x 6 = 0 ,6 y 6 = 2 , 9 4 1 1 7 6 4 7
X\ = 0 ,1 y a = 3 ,9 6 0 3 9 6 0 4 1! o Vj
y 7 = 2 , 6 8 4 5 6 3 7 5
x 2 = 0 ,2 y 2 = 3 , 8 4 6 1 5 3 8 4 * co
II O 00
y 8 = 2 , 4 3 9 0 2 4 3 9
x 3 = 0 ,3 y 3 = 3 ,6 6 9 7 2 4 7 7 x 9 = 0 ,9 y 9 = 2 ,2 0 9 9 4 4 7 5
x 4 = 0 ,4 y 4 = 3 , 4 4 8 2 7 5 8 6
T“l
IIO*
o
II NJ
O
x 5 = 0 ,5 yS = 3 ,2
Por la fórmula (20) (aproximación por rectángulos),
í 1 47TTT dx S 0,1 [yo + y! + y2 + ■ ■ • + y9] = 3,239925989
-'o 1 + x
Por la fórmula (21) (aproximación por rectángulos),
4d x s 0 ,l[ y 1 + y2 + ... + y9 + y10] = 3,039925989f
J(\o 1 + x2
Por la fórmula (22) (aproximación por trapecios),
4,-dx = 0,1(V yo + yio , ■■ ,
^--- f yi + y2 + • • • -r y9 = 3,139925989+ x2
Por la fórmula (23) (aproximación por parábolas o método de Simpson),
f 1 4 0,1 r
J i+ x zdx ~~3~'-y° + y i° + 4(-y i+ y 3 +ys+ y?+ y^ +
+2(y2 + y4 + y6 + y8)] = 3,141592614
Este último valor comparado con el valor real de la integral
"1 4 dx= n = 3,14159265..
I 0 1 + x2
es exacto hasta la séptima cifra decimal.
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Calcule los valores aproximados de las siguientes integrales:
f dx1. I — , por la fórmula de los trapecios y la de Simpson (n = 2).
R. 1,6182 y 1,6098 respectivamente
dx2. — , por la fórmula de los trapecios y la de Simpson (n = 10).
'i xR. 0,69377 y 0,69315 respectivamente
3. í V1 —x}dx, por la fórmula de los trapecios (n = 6).■'o
R. 0,8109
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
EJERCICIOS
f 3 dx4. , por la fórmula de Simpson (n = 4).
Ji 2x - 1
R. 0,8111
3
ti*
'........... 1 ........................... • " ^
INTEGRALES IMPROPIAS
En la definición de la integral definida í f(x)dx, fueron establecidas las dosJa
restricciones siguientes:
Io El intervalo / = [a-,b] es acotado
2o / es acotada en /D
Ahora trataremos de librarnos de estas restricciones, extendiendo el concepto de
integral definida al caso en donde el intervalo de integración es infinito o el caso
en donde la función del integrando / presenta discontinuidad infinita en [a; b].
Las integrales que tienen estas características se llaman integrales impropias y son de dos tipos:
Tipo 1: Integrales impropias con límites infinitos.
Tipo 2: Integrales impropias con límites finitos (con discontinuidades infinitas).
3.1 INTEGRALES IM PROPIAS CON LÍMITES INFINITOS
Definición 1. Sea / : / = [a;+oo) -* R una función continua en ei intervalo /.
La integral impropia de / de a a +co se denota y se define como
í f(x )dx = lim f f(x )dx Ja t~’+' Ja
r+CO
Se dice que la integral impropia I f(x)dx converge cuando el límite existe.Ja
Si el límite no existe o es infinito, se dice que la integral impropia diverge.
Observación 1. Como vimos en el capítulo anterior, si f (x) > 0 , la integral
definida I f(x)dx representa el área de la región plana limitada por Ja
la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x = a y x = t. Luego, cuando Ia
integral impropia es convergente podemos interpretar que el valor de la integra!
es el área de la región plana infinita que se encuentra a la derecha de la recta
x — a y está comprendida entre la gráfica de f y el eje x (Fig. 3.1).
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TÓPICOS nF CAI C I'1,0 - VOI I'MFN II
Fig. 3.1 Fig. 3.2
Definición 2. Sea / : / = (—°o;b] -» E una función continua en el intervalo /.
La integral impropia de / de —oo a a se escribe y se define como
"b rb
í f ( x) = l‘m í f{x)dx J —00 t- >-0 0 J
Si este límite existe, se dice que la integral impropia es convergente; en caso
contrario se dice que es divergente.
Por otro lado, si f(x ) > O, V x E / y la integral impropia I f{x)dx converge,j — OO
entonces el valor de la integral representa el área de la región plana infinita
ubicada a izquierda de la recta x = b y está limitada por la gráfica de. / y el eje x
(Fig. 3.2).
Definición 3. Sea / : E -* E una función continua en el intervalo <-oo;+co).
La integral impropia de f de —oo a + co se escribe corno
r+ 00 f b r + co
I f(x ) dx = I / (x ) dx + I f (x ) dxJ — 00 J — OO J b
donde b es cualquier número real.
,.+00 rb
La integral impropia f(x )dx es convergente si tanto I /(x ) dx como J — 00 —00
r f{x) dx son convergentes, y es divergente si alguna de las integrales
impropias del lado derecho diverge.
Ejemplo 1. Determine si la integral | (x - 2)exdx converge o diverge.J-00
Solución
En esta integral se aplica la integración por partes con u = x — 2 y dv = exdx.
150
INTEGRALES IMPROPIAS
De la definición de la integral impropia, se tiene
[ (x - 2)exdx = lim f (x - 2)exdx = lim [(x - 2)ex-ex]^■Lo t-f-CO Jt t->-CO t
= lim [-e2 - (t - 2)et + ec] = -ez - lim (t - 2)ect —* — oo
El último límite es de la forma °o. 0. Aplicando la Regla de L ’Hópital, se obtiene
Ot - 2 1
lim (t - 2)ec = lim —— = lim --- -' —*—co t-+—co Q 1 t-»-co — Q cf — co
Por lo tanto, concluimos que
r-2
(x - 2)exdx = - e 2fJ — (
En conclusión, la integral impropia es convergente y converge a — e2.
r+ca -I- 2.xEjemplo 2. Determine si la integral —— — — -dx converge o diverge.
x "f- 3x 5
Solución
1 x2 + 2x
x3 + 3x2 + 5dx
i r+0 Um -t->+cc 3 J1
3x2 + 6x 1 tdx = - lim [ln x3 + 3x2 + 5|]
x3 + 3x2 + 5 3 t-*+oo J1
1 1— lim[ln|t3 4- 3t2 + 5| - ln 9] = ~(+oo) = +oo 3 £-*<» 3
Por tanto, la integral impropia dada diverge.
r + CO
Ejemplo 3. Calcule ---- rdx.J-oo 1+*2Solución
Eligiendo b = O , se obtiene
r+0° dx _ r° dx r+co
J_os 1 + x2 “ 1 + X 2 + Jo 1' r° dx f b dx
= lim ----7+ lim ---- 7Ja 1 + X 2 b-*+oo Jg 1 + X 2
dx
+ x2
Fig. 3.30 b = lim [arctan x] + lim [arctan x]
a->-0o a b-* + co o
= lim [arctan(a)] 4- lim [arctan(i)] = —(—tt/2) + n/2 = na->-oo ö-*+oo
/•+” dxPor lo tanto, la integral impropia I ---- - es convergente y converge a n
J-oo i + x l1
En la Fig. 3.3 se muestra la gräfica de /(x ) = + x 2 ■
151 www.FreeLibros.com
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
f axEjemplo 4. Muestre que la integral I — converge si p > 1 y diverge si p < 1.
J\ x
[cdx _
J i xp ~ —p + 1
Solución
Para p 1, se tiene que
Luego,
C+codx fa) Si p > 1, — = lim
XP t^ + QO
y la integral considerada es convergente.
/•+codx rÉ dx t1-?b) Si p < 1, I — = lim — = lim
Jj Xp t-* + coJ1 Xp + °
y la integral considerada es divergente.
rt dx — = limXP Í-.+CO
1
(1 -P)tp-1 1 -p. p -1
1 - p 1 — p= : 4-00
c)r+0°dx r £dx
Si p = 1 , I —- = lim I — = lim [lnJj Xp t->+co X t-*+00
y así la integral dada es divergente.
t] = 4-c
En resumen.' / / xp
es convergente si p > 1 y divergente si p < 1.
3.2 INTEGRALES IM PROPIAS CON LÍMITES FINITOS
Definición 4. Sea / : I-» R (donde I = [a; ó » una función continua en / y
lim f ( x ) = co. La integral impropia de / de a a b se define comox-*b
f f(x )dx = lim í f(x )dx Ja t-*»' Ja
Si el límite existe, se dice que la integral impropia es convergente; en caso
contrario se dice que es divergente.
La definición dada también es equivalente a
r b r b - E
I f(x )dx = lim I f(x ) dx Ja E"0+ JaSi f(x ) > O, V x e [ a ; b ], y la integral impropia I /(x ) dx es convergente, el
valor de esta integral representa el área de la región infinita limitada por la gráfica
de / , el eje x y las rectas x = a A x = b (Fig. 3.4).
152
INTEGRALES IMPROPIAS
Definición 5. Sea / : I -* R (donde / = (a; b]) una función continua en / y
Jim /(x ) = oo . La integral impropia de / de a a b se escribe como
f f (x )d x = lim í f(x)dx Ja t-a A
Si el límite existe, se dice que la integral impropia es convergente; en caso
contrario se dice que es divergente.
La definición dada también es equivalente a
fJ a
b
f(x ) dx es convergente, el valorl
de esta integral representa el área de la región infinita limitada por la gráfica de / ,
el eje x y las rectas x = a A x = b (Fig. 3.5).
Definición 6. Sea f : I -» R (donde / = [a; £>]) una función continua en 1,
excepto en algún punto d G (a; b) en donde lim /(x ) = oo ó lim /(x ) = oo.x-*d~ x - *d +
Entonces se define
b rd /• b
f(x)dx = I f(x)dx + J f(x)dx J a Jd
d /•/)
f(x)dx como I f(x)dxJd
son convergentes, y es divergente si alguna de las integrales impropias del lado
derecho diverge.
La integral impropia I f(x)dx es convergente si tanto IJa Ja
Si /(x ) > O, Vx G [a; b] y la integral impropia J
f(x)dx = lim í f(x)dx£ ~’ ° Ja + e
153 www.FreeLibros.com
Observación 2. Si la función f definida en (a; b) (a puede ser — oo y b puede
ser +00) tiene dentro del intervalo (a; b) un número finito de puntos de
discontinuidad infinita c1(c2, ....,cn , entonces la integral de la función f en
(a; b) se define como
f f(x)dx = f f(x)dx+ f f(x)dx + ...+ f f(x)dx•'a *a *Cx cn - i
siempre que cada una de las integrales impropias del segundo miembro sean
convergentes. Si por lo menos una de las integrales diverge, entonces
f bI f(x)dx también diverge Ja
f 2 dxEjemplo 5. Determine, si existe, I —
J1 Vx - 1
Solución
1La función f (x ) = —..- es continua en (1; 2] y lim f(x ) = +00.
Luego,
/ = [ dX = lim í dX = lim Í2Vjc - 1 ]2 = lim Í2 - 2Vt - 11 = 2
Por lo tanto, la integral impropia / es convergente y converge a 2.
f 1 dxEjemplo 6. Muestre que la integral I — converge si 0 < p < 1 y diverge si
Jq x
p > 1.
Solución
a) Para 0 < p < 1, nos queda
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
[ vdx f 1dx— - lim —- = lim
J0 x P t-*o+ Jt xp t->o+
t i-P
1 - p 1 - p
y la integral considerada es convergente.
1 - p
f * dx f * dxb) Para p = 1, I — = lirn — = lim (- ln t) = +00
J0 x t-*o+ Jt x t-*o*
y la integral dada es divergente.
f 1dx f 1dx 1 1c) Para p > 1, I — = lim I — = lim
J0 xp t-»o* J t xP t-o+( p - l ) tP-i p - 1+00
y la integral es divergente.
INTEGRALES IMPROPIAS
/■*/«Ejemplo 7. Calcule, si existe, la integral I cot 9 d6.
* - n ¡ 4
Solución
Se observa que la función /(fl) = cot 6 = tiene discontinuidad infinita ensen 8
9 = 0. Asi, la integral dada se escribe como
r*r/4 r 0 r n / 4
I cot 9 d9 = I cot 9 dO + I cot 9 d9J-n/4 J-n/4 ^0
Puesto que la integral
í cot 9 d9 = lim í cot 9 d9 - lim [ln|sen 0|]Il,4J-n/4 e-*°+J-n/4 £-0+L
- J[im+[ln|-sen(e)| - ln(V2/ 2)] = -oo
es divergente, entonces la integral dada también es divergente
f 0 gl/xEjemplo 8. Calcule I — j~dx (si existe).
J x
Solucióne
La función f(x ) = — tiene discontinuidad infinita en x = 0. Entonces, usando el x
método de integración por partes, se obtiene
fO g l/ x r - E e l/x r 1 1-£- - " _gl/X
X
r ° e 1/x r ~ £ e 1/x r 1I — z-dx = lim I — 5-dx = lim e1/* —J_ ! ï 3. £->0 +J_! X3 £->0+1 X
— lim + - e _1/£ - 2e £-*0+ L £
2
e_1/£ 0NOTA: El limite Um+—-— es de la forma - . Aplicando la Régla de L’Hôpital,
résulta
e-1/£ j - l / e 2 îlirn----= lim = l im ------ r-4 = 0
f-*0 £ £-*0+ e 1/£ £-»0 + c tfe^ 1 j
dxf +Ejemplo 9. Calcule, si existe, I
J - c o ¿ )
Solución
La función /(x ) = ——— tiene discontinuidad infinita en x = 0 y x = 2.x{x - 2) J
Eligiendo los puntos * = - l , x = l y i = 3 , la integral dada se escribe
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
r+" dx _ r -1 dx r° dx r 1 dx r2 dx
J_M x(x - 2) J_m x(x - 2) + J_t x(x - 2) + J0 x(x - 2) + Jx x(x - 2)
J, x(x - 2) J3
’3 dx f +” dx
i 2 * (* - 2) J3 x(x - 2)
Puesto que la integral
limt->o_
r t dt
J-i 0 - 1)2 _
limt-*o_
r l
2 ln
t - 2
t-
= lim1
2 ln
x — 2
-ln 3 = 4-00
dxes divergente, entonces la integral I —----— es divergente.
J—oo X(X — ¿)
Ejemplo 10. Determine el valor de n para el cual la integral impropia
-+» / « 3X x
[ ( —J, \x + 1dx
2x2 + n)
es convergente. Además, calcule la integral para dicho valor de n.
Solución
Al aplicar la definición de la integral impropia, se tiene
f +co / n 3x \ n 3x \
l V ÍT Í " 2x2 + n ) dX ~ I t n ~ 2x2 + n )dx
lim t-* + 00
ln(t + l ) n
ln-2n
Como
(212 + n )3/4 (2 + n )3/4J
( t + l ) n(f + 1)nhm =--- -T77 = lim .....— ----------------t^+co (2 í2 + n )3/4 t-+°° V8Í6 + 12nt4 + 6n2t2 + n3
3 3entonces este límite existe cuando n = - ó n < -
a) Si n = - , lim2 t-»+oo
b) Si n < - , lim2 t —*+oo
ln
2 5/2
( t + i r i - H — 3(2t2 + f )3/4 / \(2 + |)3/4,
3 7 3
= 7 ln7 _ o ln24 4 2
, (t + 1)" , 2" ln — ---- TT7T - ln -
(2t2 + n )3/4 (2 + n)3/4
3 3 7 3Por tanto, el valor de n es - y d valor de la integral es - ln — — - ln 2.
Determine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes. Si es convergente, calcule su valor.
r + 0 0
1. I sen x dx r divergeo
r+OO 4
2- I /?. 2
INTEGRALES IMPROPIAS
EJERCICIOS
r +°° 4
J1 x3 c
>■ íJ0
r+co
I I*|é03
r+CO
3. e~x dx R' !
r+°°4. I |x|e * dx 1
< r 2 5v í
■ Jo ( * - 2)3/s f
■ f J 0
r ~ dx
6- ~7=? R. 2Ve*
f 1 dx
7' J 2^3 R- diverge, x3
j. f " - í _J-00 4x2 + 1
r dx
J-2 Vx + 1
io 1
n
R‘ 2
+c° xdx 1
(x2 + 9)2 *• 18
3 dx ' n
1 V9 - x 2 2
[° dx
n - R. O
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13. I —— R. divergeJ o x
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
f 1e1/l
f +0° dx
14- { ^ R-10°
r /2 dxI ï— Rú diverge
J q 1 — ~sen a:
r+" x5 dx
(1 + x3)7/4
r ..16- I , „3^7/4 R- diverge
r+0° dx17. —— --- R. nJ-o* * '2 + 2x + 2
r +O O
f +0° a19. I e ax eos bx dx R. t (a > 0)
'o
r+0°arctanx
2 1 l
? í +0°J n X3 + 1
b18. í e-a*sen bx dx R. —— — (a > 0)
J0 a¿ + b¿
a2 + b2
+" dx n
xVx2 — 1 2
•+0° dx 2n22. —— - R.
2V3
r 1 dx
23- J„ *• dh'“ se
r +co
24. I e“1*1 dx R .2J—ca
25. J V i +*-2/3 dx R.2(2yf2-1)
158
INTEGRALES IMPROPIAS
/• +CO
26. I x2e-*3 dx R. diverge— oo
r+a> —1 — 2x^7. I u. ---—-dx
J o 3x2/3(x — l ) 2 diverge
0 dxf u dx
28' L j W + T
29.í
|V3¡
+0° dx
„ r +c° V F ^ T
i — — dx «■
r+ C Odx
f4 dx
V4x — x2
TtR.
ex + e~x ' 2
1 (1 - x 3)1/3r a - x ^ ^J j ^ diverge
r+” x31- L ï ~ ^ ? ix «■ »
00 f -1 dxJ_2 x3(l + x3)4/3 *■ diverSef+0° dx
33‘ l xvTTx* r • diverge
1 .
3
^ ________ n 71
' JQ (a2 + è2)(è2 + x2) 2ab(a + b)
r+OO
36. I e(;t-er) dx r . 1•'-00
a ^2 _ z.2^2
X 2 " ' 2 V* 2
f fl - e“x <tlt
' Jo * ~ í l_38. f „
Jo
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f n sen 6 dd r- .39. —............. R. 2V2
J0 V I + eos 9
r 4 x dx40. , R. 4Jo V l6 — x2
f 1 dx41. ----- ------ R. nJo V x ^ x 2
f° x5 442. dx R. - -
J- iV ÍT ^ 3 9
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
r+0° x5dx 5V244 -------- /?. ---
1 (1 + x3)5/2 18
' s dx
l ) ( x ~ 8x + 15)45- f o .. . ^ d iv e rge
: 2 x3 dx 192
46‘ 1 = ~3S
2
r ¿ x* dx
Ji Vx - 1r+ C O
7. x2 Jo
« +co
47. I x2e~3* dx ft.27
f 4 dx48. —---- /?. diverge
Ji x2 - 4
<-+00
49. xne~x dx R. niJo
r+00cosx /Tf f +0°senx50. Sabiendo que I —p-dx = I—, halle el valor de la integral I ,— dx.
J o V* N2 J0 Vx3
/?. V2tt
dx51. Muestre que I —---converge si 0 < p < 1 y diverge si p > 1.
160
INTEGRALES IMPROPIAS
’•+00 dx
52. Si G(a) = ^-+ xB)(1 + x2) ’ CakuleG(0)< G(1)' G(2)‘
/?. 7t/4; nr/4; tt/4
f +°°senx t í f +co sen2x53. Sabiendo que I ----dx = —, calcule el valor de I — —- dx.
J0 x 2 J0 x2
K. 7t/2
54. Esboce la gráfica de la función F(x) = I f(t)d t en los siguientes casos:— 00
si [t| > 1
(1 , si t < 1
b) / ( t ) =2 , Si |t| > 1
55 Sea f M - ímX ' SÍ |x| ~ 355. Sea / ( x ) - ^ si |x | > 3
f+co 1
Determine m de modo que I /(x)dx — 1. R. m = —J — 00
3.3 INTEGRALES IM PROPIAS CON INTEGRANDOS NO NEGATIVOS
Proposición 1. Sea / una función no negativa en [a ;b ) (esto es, / (x ) > 0) e
integrable en [a; t] para todo t 6 [a; b).
Si la función F(t) = I /(x)dx es acotada en [a; £>), entonces I /(x)dx converge.•'a J a
Demostración
Como /(x ) > 0, V x £ [a; fe), entonces F(t) = I /(x)dx es creciente en [a; 6).Ja
Por hipótesis, F (t) es acotada. Entonces F (t) es creciente y acotada en [a; b).
Por tanto, lim_ F(t) existe y es finito, es decir, I /(x)dx es convergente, t— /
•'a
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Proposición 2 (Criterio de Comparación)
Sean / y g funciones tales que 0 < f(x ) < g(x ), para todo x E [a ;b ), e
integrables en [a; t], V t e [a; b). Luego,
a) Si I g(x)dx converge, entonces I /(x)dx converge.Ja JaJa
b) Si I f(x)dx diverge, entonces g(x)dx diverge.Ja Ja
Demostración
Se sigue inmediatamente de la proposición 1 y de la desigualdad
í f(x )dx < í g(x)dx, V t E [a;b )Ja Ja
f +0° dxEjemplo 11. Verifique si J " '4 '" " i converge o diverge.
Solución
1 1 r , f +codxComo 0 < -- < — , Vx £ [2; +00), y —- es convergente (ver
* 4V T T ^ * 6 J2 * 6
dx
2 x’ V l +:
>2
f +°° dxejemplo 2, p = 6), entonces se concluye que J ——j = = = es convergente.
f 1 dxEjemplo 12 . Analice el comportamiento de la integral , = .
Jo Vx2 + 2x
Solución
1 1 , , f 1* ' , Como 0 < - < -= , Vx e (0; 1], y -p es convergente (ver ejemplo
Vx2 + 2x Vx Jo V*
f 1 dx4, p = 1/2) , se concluye que es convergente.
Jo Vx2 + 2x
f~3 dxEjemplo 13. Verifique si . „■= es convergente o divergente.
J-00 Vx2 + 3x + 2
r 3 dx
J-o, Vx2 + 3x + 2
Solución
I
1 1 f 3 dx- <* Vx2 + 3x + 2
3 dx
í dxComo 0 < — < —- , V x £ (-00; -3], y ----------- diverge, entonces
J-00 *
Vx2 + 3x + 2es divergente.
162
r b
INTEGRALES IMPROPIAS
Definición 7. Se dice que la integral impropia í /(x ) dx es absolutamente
b
convergente cuando I |/(x)|dx es convergente.Ja
Proposición 3. Si la integral I f(x)dx es absolutamente convergente,
entonces es convergente.
Demostración
Como 0 < |/(x)| - /(x ) < 2|/(x)| , se sigue, por la proposición anterior, que
l/ ( * ) l~ / ( * ) es convergente. Luego,
rb r-b rb
I /(x)dx = I |/(x)|dx - I [|/(x)| - /(x)] dx converge ■'a Ja
f +” cos (X2)Ejemplo 14. Analice sí I --- -— dx es convergente o divergente.
Ji xSolución
La integral dada es absolutamente convergente, pues
eos (x2) 1 r * f +0°dx< — , Vx e [1;+CO), y la integral — es convergente.
x J1 X
f +0°cos (x2)Luego, por la proposicion anterior, I ----— dx es convergente.
J i x
Proposición 4 (Criterio del Límite)
Sean / y g funciones no negativas integrables en [a; t], V t e [a; b), y supongamos que
mlim — — = r .
x-*b- g {x )
a) Si 0 < r < +00, entonces las integrales impropias •
F = í f W d x y G = í g(x)dx Ja Ja
son ambas convergentes o ambas divergentes.
b) Si r = 0 y G converge, entonces F converge.
c) Si r = ±00 y G diverge, entonces F diverge.
Demostración, (ejercicio para el lector).
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Corolario 1. Sea f una función integrable en [a; t] , V t E [a; +00), y
supongamos que lim xpf(x ) = r < +00.X->+oo
Luego, se tiene:
a) Si p > 1, entonces Ja+°°/(x)dx converge.
b) Si r 0 y 0 < p < 1, entonces f(x)dx diverge.
Corolario 2. Sea / una función integrable en [a; t] , V t E [a; b), ( b e l ) y
supongamos que lim (¿ - x)p/ (x ) = r < +00.x-*b
Luego, se tiene
a) Si 0 < p < 1, entonces I f(x)dx converge.Ja
b) Si r o y p > 1, entonces I f(x)dx diverge.Ja
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
r ” d*Ejemplo 15. Analice si -- -- converge o diverge.
h x3V4x5 + x3 — 1Solución
Considerando que
lim x11/2-- , .....- -.......—■ = — (en este caso p = — > l^X-.+00 x3V4x5 4- x3 — 1 2 \ 2 /
r+0° dxse concluye, por el corolario 1, que la integral I -- converge.
J2 x3V4x5 4- x3 — 1
f 5 dxEjemplo 16. Verifique si I —5----- ,2 converge o diverge.
Solución1 1
Teniendo en cuenta que lim (x — 2)3/2 ■ ---- - ---- t t t t t — — 7= (en esteH ' (x - 2) 3/2(x 4 1)3'2 3^3
caso p - 3/2 > 1), la integral es divergente (se usa el corolario análogo al
corolario 2, reemplazando (í> - x)p por (x - a)p).
f°lice si IJ — 03
x dxEjemplo 17. Analice si jp = = = = = = ^ = converge o diverge.
V2x9 4- 8x — 10 Solución
x 1La integral converge, pues lim x • , ---- - (p = 2 > 1).
*-*+“ V2x9 + 8x - 10 V2
164
1IN i t O K A L h b 1 M P K U P I A S
EJERCICIOS
Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias.
~+0° dx
'■JJ2/?. converge
+ 37+ 4 convet'ge
(x + l)dx
x3 - 1
+0° x + 3
' IX 3 + X 2
+0° dx
c3 Vx2 + 4
1 IJ2 Vx2 -1
dx
x2 Vx2 + x + 1
+” e~2x dx
x2 + 3x + 5
R. converge
f x + 34- J X4 + x dx R- converge
/?. converge
converge
x3 + 1
7' L diverge
/?. diverge
/?. converge
r
10. e_Arsen(x2)dx R. converge*0
r + 0 0
11. I e~x dx R. converge0
f +" dx
12' i x2( i + e*) *; ¿onveree
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14 f 3 * 3 +L dx R. converge
’ h 4 ^ 1
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
i , f S dx R. converge
' J4 xV 2 5 ^ F
15. f x s e n ’ Q d x R. converge
l"1______ ^ _______ R. converge
r1sen(x3)dx R converge
17- í r *
18 f ' _ i ---dx R. converge
Jo "i-
r +co r l v9n ._________ ___________ R. converge
J1 x4 + 5x3 +x2 +x + l
APLICACIONES DELA INTEGRAL DEFINIDA
Hn este capítulo abordaremos algunas aplicaciones de la integral definida a ios
problemas geométricos, físicos y económicos.
4.1 ÁREA DE REGIONES PLANAS
CASO I: Sea / : [a;b] -» IR una función continua y f ( x ) > 0, Vx E /. De la
interpretación geométrica de la integral definida se sigue que el área de la región
R limitada por la gráfica de / , el eje x, las rectas x = a y x = b (Fig. 4.1) está
dada por
A(R) = / ( x ) d x ju 2
CASO II: Sean / y g dos funciones continuas en [a\b] y g (x )< f(x ) ,
V x £ [a; b]. El área de la región íl limitada por las rectas x - a A x = b y
las gráficas de / y g (Fig. 4.2) está dada por:
A(n) = ( í [f(x) - g (x )]dx)u2
Para demostrar esta fórmula, consideremos el número real k tal que k < g(x),
V x £ [a; b].
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Efectuando una traslación de ejes al origen 0 '(0; fc), las nuevas ecuaciones de las
curvas y = f(x ), y = g(x ) y de las rectas x = a y x = b son,
respectivamente, yx = f(x ) — k , yx — g(x) - k , x = a y x = b (por las
fórmulas de traslación y1 = y — k A xx — x). Por lo tanto, en el nuevo sistema
cartesiano x10 'y1 se verifica
0 < g(x) — k < f(x ) - k , V x e [a; b]
Luego, teniendo en cuenta la fórmula del caso I, se tiene
A(ü) = í (f(x ) - k)dx - Ja
A (12) =
Observación 1. Si la región R está limitada por las gráficas de x = /(y ),
x = g (y), las rectas y = a A y = b (Fig. 4.3), donde f y g son funciones
continuas en [a; b] y g(y) < f(y), V y E [a; b], entonces el área de la región R
es
[f(y) - g (y )]d y ]u2A(R)
f íf(x ) - g(x)\ dx
((g(x) - k)dx
Yi
S« = 6
x =g(yr0 I l Xy V< =f(y)
II
Ejemplo 1. Calcule el área de la región limitada por
71
y = sen x , x = 0 , x = 2 ’ y ~ ®
Solución
De la definición dada en el caso 1 y de la figura 4.4, se obtiene
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
I (i mplo 2. Calcule el área de la región S limitada por
2\x¡y , el eje x y las rectas x = —2 y x = \
1 + x2
Solución
l’ur la definición de valor absoluto, se tiene que
r- x , x < 0
be, . x > 0
Am, por la fórmula dada en el caso I y la figura 4.5, resulta
-1 2|x| ,
1*1 = {;
x r o = [ j
f° 2x f 1 2x= - --- r dx + --- Tdx
J-2 1+X2 J0 1 + X2
= -[ln(x2 + 1)]°2 + [ln(x2 + 1)]q = ln 5 + ln 2 = (ln 10)u2
r.jemplo 3. Calcule el área de la región limitada por la parábola y = x2 + 4x, el
eje x y las rectas x = —2 A x = 2.
Solución
( »bservando la gráfica de la región (Fig. 4.6), se tiene que para f(x ) = x2 + 4x se
minple
f ( x ) < 0, V x 6 [-2; 0] y f(x ) > 0, V x 6 [0; 2]
l’or tanto, el área de la región pedida se descompone en la suma de las áreas de las
regiones y R2, es decir,
A(R) = A (R J +A(R2)
f0 f 2 16 32= - l (x2 + 4x)dx + I (x2 + 4x)dx - — + — • = 16 u2
J-2 Jo J 3
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Ejemplo 4. Halle el área de la región F limitada por las gráficas de
y - x2 , y = x3 , x = - l , x = 2
Solución
lin la gráfica de la región F (Fig. 4.7), se observa que
x3 < x2 , V x 6 [-1; 1] y x2 < x3 , V x e [1; 2]
Luego,
r 1 r 2 , 8 17 25 _A(F) = J (x2 - x )dx + J (x3- x2)dx = — + — = — u
I»TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 5. Halle el área de la región limitada por las gráficas de
y = arcsen x , y = arccos x , y — 0
Solución
Las gráficas de las funciones y = arcsen x y y = arccos x están dadas en la Fig.
4.8. Ahora bien, por la definición de las inversas de estas funciones, resulta
x = sen y < x = eos y , V y 6 [0; -]
Por consiguiente, el área de la región pedida es
,-71/4
,4(12) = I (eosy - sen y)dy = (V2 - l ) u 2 Joliste ejemplo se puede resolver usando a x como variable independiente, esto es,
ri/2/2 r 1A(!l) = I arcsen x dx + f arccosxdx
Jo ■'\/2/2
lis evidente que en este caso el procedimiento es más complicado que el anterior,
por lo que recomendamos al lector escoger adecuadamente la variable
independiente antes de aplicar la fórmula del área.
170
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 6. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de
y = 4 - x2 , y = ln(2x - 3) , y = 1
Solución
I ;i gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.9. Por comodidad consideramos a
como variable independiente, esto es, x = ^ 4 - y a xey + 3
-. Luego, se
obtiene
A (R )~S0 í S , ' í+ ) d¡ , ‘ey 3 2y + 2 y + 3 ( 4 - y )3''2
I jcmplo 7. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de
y = |x3 - 4x2 + x + 6|, 3y + x2 = 0, x = 0 , x = 4
Solución
I ti gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.10 y su área de la región es
A(R) - i " J o
¡x3 - 4x2 + x + 6| - ( I\dx
-dx= f |x3 - 4x2 + x + 6| dx + í Jo J 0
l'íii,i hallar la integral del valor absoluto, tenemos en cuenta que
|x3 - 4x2 + x + 6| = |(x + l)(x - 2)(x - 3)|
[x3 - 4x2 + x + 6 , 0 < x < 2
|x3 - 4x2 + x + 6| = •{ - (x3 - 4x2 + x + 6) , 2 < x < 3
5 - 4x2 + x + 6 , 3 < x < 4
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Luego,
r 4
/ = í \x3 — 4x2 + x + 6\dx 'o
= í (x3 - 4x2 + x + 6)dx - f (x3 - 4x2 + x + 6)dx + f (x3 - 4x2 + x + 6)dxJ 0 J 2 3
_ 22 7 47 _ 71
~ T + Í2 + 12 ~~6
Por tanto, el área de la región R es
2 ( r *
u 1 1
71 64 341A ( R )
4V2 64dx = -
Ejemplo 8. Halle el área de la región íí que se encuentra en el primer cuadrante y
está limitada por las curvas xy = 1, xy = 3 , x - xy = 1, x — xy = 3.
Solución
Se verifica fácilmente que las gráficas de las curvas se intersecan en los puntos
>1(2; 1/2) , 6(4; 1/4) , C(6; 1/2) y D(4; 3/4)
La gráfica de la región Q se muestra en la fig. 4.11. Finalmente, el área de la
región Q es
AW = ¿ (A ,) + /IC /y = j ' [(l - i ) - i] dx + j ‘ [ | - ( l - j )
= (2 — ln 4) + ^6 ln — 2 j =
dx
729 .
ln 256 U
172
Ejemplo 9. Halla el área de la región F, ubicada en el primer cuadrante y que está
limitada por las gráficas de y = xz , x2 = 4y , x + y = 6.
Solución
La región F se muestra en la Fig. 4.12. Los puntos de intersección de las curvas
en el primer cuadrante se hallan resolviendo simultáneamente los pares de
ecuaciones:
y = x2
y
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
_ 6 _ x <=> x = 6 - x<=>x2 + x - 6 = Q=*x = 2 (para el primer cuadrante)
y = x2/4
y = 6 — x
.uego, el área de la región F es
y = 6 - x <=> — - 6 - x x - 2y¡7 - 2 (para el primer cuadrante)
A(F) - A(Fi) + A(F2) = J (x z - ^ x 2^Jdx + j ^6 - x - ^ j d x
1 1 = 2 + - (28V7 - 68) = - (28a/7 - 62)u2
Ejemplo 10. La región F, limitada por la curva y = 10* - 5x2 y el eje x, es
dividida en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen. Halle la
ecuación de dicha recta.
Solución
I.a región F se muestra en la Fig. 4.13.
I,a pendiente de la recta L que pasa por
el origen y por el punto (a; 10a -
.r>a2) es
10a — 5a2m = --------= 10 - 5a.
a
Así, la ecuación de la recta L es
y = (10 - 5a)x.
Por otro lado, el área de la región F es
20Fig. 4.13
A(F) = I (10* — 5x2)dx —— u2 J o
A(F) 10Ahora, como F = F1 U F2,conA(F1) = A(F2), y A(Ft) - —— = — , entonces
í a 5 10M F i) = I [(10* - 5x2) - (10 - 5a)x]dx = - a 3 = — => a = V4 JQ 6 3
Por lo tanto, la ecuación de la recta L es y = (10 - S\Í4)x.
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Ejemplo 11. Una parábola de eje vertical corta a la curva y = x3 + 2 en los
puntos (—1; 1) y (1; 3). Si se sabe que las curvas mencionadas encierran una
región de área 2u 2, halle la ecuación de la parábola.
Solución
Este problema tiene dos soluciones.
Primer caso: Cuando la parábola está por debajo de la curva y = x3 + 2.
Segundo caso: Cuando la parábola está por encima de la curva y = x3 + 2.
Primer caso: Sea (Fig. 4.14) la región limitada por la parábola buscada y la
parábola semicúbica y = x3 + 2.
Considerando que la ecuación general de una parábola de eje vertical es
y = Ax2. + Bx + C
y que los puntos (—1; 1) y (1; 3) pertenecen a dicha parábola, se tiene
1 = A - B + C ... (a)
3 = A + B + C ... (/?)
Como ^Cfi) = f (x3 + 2 - Ax2 - Bx - C)dx = 2 => A + 3C = 3 ... (y)J - i
Resolviendo (a) , (/?) y (y) se obtiene
B = 1, A = 3/2, C = 1/2
Luego, la ecuación de la parábola es 2y = 3x2 + 2x + 1.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Segundo caso: Sea F-¿ U'ig- 4.15} ia región limitada por ia parabola buscada y la
parábola semicúbica y = x3 + 2.
Como A(F2) = j (Ax2 + Bx + C - x3 - 2)dx = 2 => A + 3C = 9 ... (A)
Resolviendo (a), (/?) y (A) se obtiene que la ecuación de la parábola es
2y = 7 + 2x - 3x2.
174
Kjcinplo 12. Calcule, si existe, ei área de la región infinita comprendida entre ia
nirva (2a - x )y2 = x3, (a > 0) y su asíntota vertical.
Solución
I a asíntota vertical de la curva es x = 2a. En la fig. 4.16 se muestra la gráfica de
la región infinita Q. Luego,
r2a x3 r c x2A(íl) = 2 j ---- ux = 2 lim I _______ - dx
Jo si2 a - x t-2a- J0 ^2 ax - x2
C x2= 2 lim I ....... iir
t_>2a Jo y]a2 - (x - a)2
I laciendo u = x — a se obtiene
4(/2) = 2 lim a2 [^aresen f-— -) - (x + 3a)Jx (2a - x)lt-2 a~ L2 V a 2a2 v J0
= 2 «¿‘12- “ 2 [ i arcse" ¿ (t + 3“ )V « 2 a - t ) +
= 2“2(t +t ) = (3,i“2)“2
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
l.jemplo 13. Dada la región infinita í í limitada superiormente por xy = 1,
inferiormente por yx2 + y - x - 0 y a la izquierda por x = 1; calcule su área si existe. ’
Solución
La región Í2 se muestra en la figura 4.17 y su área requerida es
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I) Sombree la región Í2 limitada por las curvas dadas y calcule su área.
71 TZ 3 21 . y = eos x , x = - — , x = — , y - 0. k .
222. y = x2 + 2x - 3 , x = - 2 , x = 0, y = 0. R. — u 2
64 .
3. y = 9 - x2 , y = x2 + 1. R-
4 . y = y = 0 , * = - 1 , * = 2 . « . ( l + ; - a r c t a n 2 + j l n g ) u !
8 ,5. y = 3 x - x 2, y = x2 - x. R: 3 U
2 / I 2 \ 26. * = 0 , y = tan x , y = -cosx. R. ^3 _ l n ^ | J u
5 ,7. y = x3 + x , x = 0 , y = 2 , y = 0. R- 4 U
8. y = ln(x2) , y = ln 4 , x = e. R. (4 - e ln 4)u2
9. x = ey, x = 0, y = 0 , y = ln4. R- 3u2
3x 1 4*\ 210. y = arctanx , y = arccos — , y = 0. K. “ 2 3/ U
1 1 . y = aresenx, y = arccosx, x = 1 . R■
3712. y = x3 - 3x 2 + 2x + 2 , y = 2x 2 - 4x + 2. R. — u 2
13. y = 4 - ln(x + 1), y = ln(x + 1) , x = 0. R. 2(c2 - 3)u2
14. í í es la región encerrada por la elipse a2x2 + b2x2 = a2bz. R■ rcab
15. í l es la región de mayor área encerrada por las curvas x2 — 2y 3 = 0 ,
x2 - 8y = 0 , y = 3. R■ (_5_ + 5 ^ ) u2
16. í í es la región de menor área limitada por las curvas x2 + y 2 = 20 ,
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
EJERCICIOS
í 2 ü \ 2y 1 = 2x3. R- ^20 aresen — - - Ju
176
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
17. í í es la región de mayor área encerrada por las gráficas de 5x2 - 4y = 0 y
la elipse cuyos focos son los puntos (0, ±6) y cuya longitud de su eje menor
es R■ ( 9V5 n — 9V5 aresen —— ' ^ ^ u 2V V3 2 J
18. y 2 ~ x = 0 , y - x 3 = 0 , x + y - 2 = 0.
( 4 x - x 2 f x2 + 8x — 40
19‘ y = 4 ' . y = --- 16--- R.17u>x < 0 v—3x — 16, x < —4
20. y (x 2 + 4) = 4(2 - x) , y = 0 , x = 0. /?. ^ _ in 4^
21. y = x3+x — 4 , y = x , y = 8 — x.
22. y = ex , y = e~x , x = 1 . r Í £ _ I Í 2 ! u 2e
23. y — 2x + 2 ,x = yz + l , x = 0 ,y = 0 l x = 2. R. ( is + í v ^ z
24. y = | x - 2 |, y + x 2 = 0 , x = 1 , x = 3. R — u 2' 6
25. y = / x 2 - 3, y = |x — 1|, y = 0. /?. ( § ln 3 —j ) « 2
26. y = |sen x| con x e [0; 2tt] , y + x = 0 , x - 2n = 0. R. (4 + l n 2)u2
x2 — 42 1 y = ^ r _ l 6 >x = - * ' x = i , y = 0.
28. y = aresen x , y = arccos x , x = 0. R. (2 - V2)u2
29. y = aresen x , y = arccosx, y = 0. r . (-y/2 _ ^ „ 2
30. y = x3 + 3x2 -f 2 , y = x3 + 6x 2 - 25. r . 108 u 2
31. y = x2, y = 8 — x2 , y = 4x + 12. R. 6 4 u 2
32. y = x2 , 2y = x2 , y = 2x. R. 4 u 2
<3. y + x = 0 , y = [ / ( t ) d t , donde/(í) = í 3f21 f < 2 .Jo l—2t — 1 , t.> 2
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n 3V3-7T 2
.2
2
34. y = tan2x , y = 0 , x = — , x = 0. R- ^ g l u
35. x2y = 2 , x + y = 4 , x = 1, x - 2. K. (9/4) u 2
36. y = x4 , y = 8x. R- (79/5) u
37. y = x3 — x , y = senfax). . (~ + 2) U
38. x = 4y — y 2 , x + 2y = 5. R- (32/3) u 2
39. y = sec2x , y = tan2x , x = 0.
40- y = T T F ' 2y = * 2' R' \ 2 ~ í)u
41. x2/3 + y 2/3 = a2/3. K- (3na2/ 8 ) u 2
8a3 / 7 4flZ\ 7
42. ** = 4ay , y = ^ ^ ¡ - R ( 2a * “ t J ’'
43. y = |20x + x2 - x3|, y = 0. K- (2321/12) u 2
44# x = y3 — 2y2 — 5y + 6 , x = 2y2 + 5y — y 3 — 6. R. (253/6) u
V3 n / I V345. y = arcsen 2x , x = — .
4
2
2
2
R. x — r*7r u
2
,2
,2
46. y = x e 8 2 *2, y = x. /?. u
47 y = ^ T 4 ' y = 0 , * = 0 ' x = 4'
48. y = x3e8-2*2, y = 4x .
49. y = |x - 1|, y = x2 - 2x , x = 0 , x = 2. K. (7/3) u
50. y - M x + l - M x - l , x = - 1 , x = 1. R.3V2.U2
51. (x + y)2 = 16x, 5x + y = 8. fí. 18u2
52. y = |x-2|-|x —6|, x - y = 4. K .8u 2
53. y = |x-5|-|x + 3|, x + y - 2 = 0. R. 34u2
54. y = sen x + |cosx|, x = - n , x - n , y = 0. R. 4
178
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
^2X
■>J' y ~ (4 - x2)3/2’ * = °< * = i. y = o. /?.
56. y = 60(xs - x4 + x3), y = -2x, x2 = 1. R . 52u 2
57. y = x + sen x, y = x, x = 0, x = -. R . 2 ~ ^ u 26 ’ 2
58. 8x = 2y3 + y 2 - 2y, 8x = y 3, y 2 + y - 2 = 0. R. — u 296
59. x + y - y 3 = 0 , x - y + y 2 = 0. r . ^ Z u 2
60. y = c sen (-) ln (sen , x = 0 , x = an. R. 2ac(l - ln 2)u2
61. y 3(x - 2)2 = 1, y = 0, x = 1, x = 10. R . 9u2
62. y (x2 + 4) = 8 , 3x2 - 4y - 8 = 0. R . 2(7r + 2)u 2
63. Í2 es un arco de la cicloide cuya ecuación paramétrica es
x &(t sen £), y = cz(l — eos £). R , 3tzci2f 2n
Sugerencia: 4(.fi) = y dx.
64. í í es la región limitada por el astroide x = a eos3t , y = a sen3t.
3
/? . - 7 T U 28
65. Q es la figura comprendida entre la hipérbola x2 - y 2 = 9 , el eje x y el
diámetro de la hipérbola que pasa por (5; 4). R. 9 ln3
21 x I66. fí es la región limitada por la gráfica de / (* ) = ---- - , el eje x y las dos
1 -f* Xrectas verticales correspondientes a las abscisas de los puntos máximos absolutos. r (],, 4 ^2
67. ¿1 es la región limitada por la gráfica de /(x ) = 2x4 - x2 , el eje x y las dos
rectas verticales que pasan por los puntos mínimos relativos.
R. (7/120) u 2
í>0. es la región encerrada por y 2 = x2 - x4. R. (4/3) u 2
í>9. Q. está limitada por un lazo de la curva a2y4 = x4(a2 - x2).
n 4íj2 ?R. — u2
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70. £2 está encerrada por un lazo de la curva 16a4y2 = b2x (a —2cu).n h
R. - u 2ab
30
71. Q está encerrada por el lazo de la curva (x2 + y 2)3 = 4a2x y
72 Q está encerrada por la lemniscata (x2 + y2)2 a (x V )■R. a2 u 2
73. SI está acotada por y (4 + x2) = 5 y el semicírculo superior de ^
at2 + y2 — 2y = 0. S. (2 - 5 a rc ta n - + 5 ) u 2
74 Q está encerrada por la elipse (de eje oblicuo) (y - x + 3) - 4 - x .
R. 4n u 2
7 5 . y = 9 - x2 , y = ln(x - 2 ) , y = 2 .
II En cada uno de los siguientes ejercicios grafique la región ilimitada SI y halle
su área (si existe), si se sabe que Q está comprendida entre las graficas de.
n 2
1. y = sechx y su asíntota. R■ 2 U
2 y = y s u a s ín to t a . R . 16tt u 2
x2 + 16
3 (4 - x 2)y2 = x4 y s u s asíntotas verticales. R- 2n u 2
4 y = arctan x , 2 y = n , x — 0 .
?r 2
5. y = sech_1x y su asíntota vertical. R■ ~ u
R. no existe
n
2W 41x1 R. 3ttu 2
6' y ~ 1 + x4 ' y 1 + x 4 '
III Determine m de manera que la región que está por encima de y mx y
debajo de la parábola y = 2x - x2 tenga área igual a 36u . K. m -
IV I I área de la región comprendida entre la parábola y = 12* - 6x2 y el eje
x es dividido en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen.
1 lullc la ecuación de dicha recta. R. y ~ 6(2 - V4)x
V La hipérbola equilátera x2 - y2 = 8 divide en 3 regiones a la
circunferencia x2 + y 2 = 16 . Halle el área de cada una de las regiones.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.2 VOLUMEN DE UN SOLIDO EN FUNCIÓN DE LAS ÁREAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES
Sea S un sólido limitado en el espacio. Bajo ciertas condiciones es posible hallar
el volumen de este sólido. Por ejemplo, sea Sx una sección plana del sólido S
obtenido al cortar el sólido con un plano perpendicular al eje x en el punto de
abscisa x (Fig. 4.18) y supongamos que existe un intervalo [a; b] tal que
- uxe[a:b]
Si >5(5X) es la función área de la sección plana (llamada sección transversal de S)
y es continua, V x e [a; b], entonces el volumen del sólido 5 está dado por
K S ) = í A(Sx)dxJ n
Fig. 4.19
Kjemplo 14. La base de un sólido es la región limitada por la elipse
b2x2 + a2y 2 - a2b2 .
I lalle el volumen del sólido S si las secciones transversales perpendiculares al eje
x son:
a) Triángulos rectángulos isósceles, cada uno con hipotenusa sobre el plano xy.
b) Cuadrados. c) Triángulos de altura 2.
Solución
a) La gráfica de la sección transversal del sólido se muestra en la Fig. 4.19. El
sólido es la unión de los Sx, x 6 [—a; a], donde Sx es un triángulo rectángulo
isósceles de área
MSX) = \bh = \{2 y)h = ^ ( 2y)y = y2 = ^
Luego,
rO h2V
(a2 - x2)
f a b (4 \
= l a- ^ 2 - ^ dx = { r b2) u3
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h) Si las secciones transversales son cuadrados (Fig. 4.20), el sólido queda
descrito como la unión de los Sx, x e [-a; a], tal que Sx es un cuadrado e
lado 2y = — y¡a2 - x2 . Luego, el área de la sección Sx es
A(Sx) = (2y)2 = 4y2 = ^ ( a 2 ~ x 2)
Por tanto, el volumen del sóiido es
V = í 4 ^ - (a2 - xz)dx = ab2) u 3 J-a a
c) Si las secciones transversales son triángulos de altura 2 (Fig. 4.21), eí solido es
la unión de los Sx, x 6 [-a; a], tal que S* es el triángulo de altura 2 y base
2 y = — J a 2 - x 2 . Así, el área déla sección plana es a
1 2b r—--- rA{Sx) = -(2y)2 = 2 y ^ — J a } - x 2
Por tanto, el volumen del sólido resulta
/-fl U ________V = — y/a2 - x2 dx = (nab)u3
La a
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
l'icmnlo 15 Una recta se mueve paralelamente al plano yz cortando a las dos
elipses b2x2 + a2y 2 = a2b2 A c2* 2 + a V - a2c2, que se encuentran en los
pimíos xy y xz respectivamente. Calcule el volumen del cuerpo asi engendrado.
Solución
Kn este sólido, la sección Sx es un rombo (Fig. 4.22) cuyas diagonales son
2y A 2z. Luego, el área de la sección plana es
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
¡j ---------------- £ ............ ■„ ,(lomo y = —y/a2 — x2 A z “ —J a 2 — x2,
a a
entonces el volumen del sólido es
[a be V = I 2 ~ (a2 - x2)dx
J-a ^
= (§a i,c )u »
EJERCICIOS
1. La base de un sólido es un círculo de radio r. Todas las secciones transversales
del sólido, perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados.
Determine el volumen del sólido.
R. (16r3/3) u3
2. Un sólido tiene por base un círculo de radio 1 y sus intersecciones con planos
perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos rectángulos
isósceles cuyas hipotenusas son las respectivas cuerdas de los círculos.
Determine el volumen del sólido.
R. (4/3) u 3
V Halle el volumen del sólido S que es la parte común a dos cilindros circulares
rectos de radio r, suponiendo que sus ejes se cortan perpendicularmente.
R. (16r3/3 )u3
4. La base de un sólido es una elipse cuyos ejes miden 20 y 10 unidades. La
intersección de este sólido con un plano perpendicular al eje mayor de la
elipse es un cuadrado. Calcule el volumen del sólido.
R. (4000/3) ií3
5. Halle el volumen de un sólido S cuya base es un círculo de radio 3 y cuyas
secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo son triángulos equiláteros.
R. 36v Í u 3
(>. La base de un sólido es la región entre las parábolas x = y 2 y x = 3 — 2y 2.
Halle el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al
eje x son cuadrados.
R. 6 u3
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/ 1 ;i base de un sólido es la región entre las parábolas y = x2 A y - 3 — 2x2.
Halle el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al
eje y son triángulos rectángulos isósceles, cada uno de ellos con la hipotenusa
sobre el plano xy.
R .(3 /2 )u 3
8. El punto de intersección de las diagonales de un cuadrado (de lado variable) se
desplaza a lo largo del diámetro (fijo) de una circunferencia de radio 3. El
plano del cuadrado permanece siempre perpendicular al plano de la
circunferencia, mientras que dos vértices opuestos del cuadrado se desplazan
por la circunferencia. Halle el volumen del cuerpo así engendrado.
R. 72u 3
9. Un cilindro circular recto de radio r es cortado por un plano que pasa por un
diámetro de la base bajo un ángulo a respecto al plano de la base. Halle el
volumen de la parte separada.
R. (2r3tan a/3 ) u 3
10. El triángulo cuyos vértices son 0(0; 0), A(a; b) y B(0; b) gira alrededor del
eje y. Halle el volumen del cono obtenido.
R. (na2b/3 )u3
11. La base de un sólido es un círculo de radio 3. Todo plano perpendicular a un
diámetro dado interseca al sólido en un cuadrado que tiene un lado en la base
del sólido. Calcule el volumen del sólido.
R. 144 u 3
12. La base de un sólido es la región limitada por y = 1 — x2 , y - 1 - x4 .
Las secciones transversales del sólido determinadas por planos
perpendiculares al eje x son cuadrados. Encuentre el volumen del sólido.
13. En un sólido las secciones transversales perpendiculares al eje y son círculos
cuyos diámetros se extienden entre la curva x = J y y la recta x — y.
Calcule su volumen.
R. (ti/120) u 3
14. La base de un sólido es un círculo limitado por x2 + y 2 — 25 y las
secciones transversales perpendiculares al eje y son triángulos equiláteros.
Calcule su volumen.
15. Un cilindro recto cuya base es una elipse está cortado por un plano inclinado
que pasa por el eje menor de la elipse. Calcule el volumen del cuerpo
engendrado, sabiendo que la longitud del eje menor de la elipse es 8 y la
longitud del semieje mayor es 10.
plana'urededor^e u n a í c t ^ r0tar una regió"
llama eje de revolución. P 6 '3 regloa La recta fiJa se
4.3.1 METODO DEL DISCO CIRCULAR Y DEL ANILLO CIRCULAR
4 24)eobM iia d T S X = a y , x = b- <Fie- -1.23). La sección transversal
S ° x ,ue r rd ' r S “ 10" ” 'id° 5 plano P 'T ^ u l a r• i r , Por x e W>b] es un circulo de radio i vi = Iffr'U m «*
circular). El area de esta sección es 1/ M I (disco
A (S X) — n y 2 = 7r[/(x)]2 , x 6 [a;¿]
I -uego, por el método de las secciones transversales, el volumen de 5 es
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.3 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Observación 2. Sea S el sólido de
involución obtenido por ¡a rotación en
lomo al eje y de la región plana R limitada
,a cuna x ~ g(y ) (g continua en el rvah [c-d]), el eje y y ¡as rectas
v - c A y - d (Fig. 4.25).
/ monees el volumen del sólido es
V = [g(y)l2dy'ju3
Fig. 4.24
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Observación 3. Sean f ,g\[a-,b] R funciones continuas cuyas gráficas se
encuentran a un mismo lado del eje x, y además \g(x)\ < ]/(x)|, V x G [a; ó].
Sea S el sólido de revolución que se obtiene por la rotación en torno al eje x de la
región ü acotada por las curvas y = f(x ), y = g(x) y ¡as rectas verticales
x — a , x = b (en la fig. 4.26, solamente se muestra el caso 0 < g(x) < f(x )).
Como la sección transversal Sx obtenida por la intersección de S con un plano
perpendicular al eje x que pasa por x G [a; b] es un anillo circular (Fig. 4.27),
entonces el área del anillo circular es
¿(S*) = rc{[f(x)]2 - [g(x)]2} , x G [a; b]
Luego, el volumen del sólido de revolución S resulta
[g(x)¡2]dx u
revolución es
- a v- r ¿)dx u
donde R es el radio mayor del anillo circular y r es el radio menor (fig. 4.26). Si
r = 0, la fórmula es la que se obtiene por el método del disco circular.
Observación 4. Sean f ,g: [a; ¿j -> IR funciones continuas cuyas gráficas se
encuentran en un mismo lado de la recta y = c y \g(x) — c| < |f(x ) — c|,
V x C |a; b]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar en torno
a ¡a reda y = c la región Q ¡imitada por ¡as gráficas de y = f (x), y — g(x),
x a y x = b (Fig. 4.28).
/■'.monees el volumen del sólido S es
V J {|/ Cx) - c]2 - [g(x ) - c]2} dx j u 3
186
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Observación 5. Si la región Q limitada por las gráficas de x = /(y ) , x = g (y )
r las recias horizontales y = c , y = d gira alrededor de la recta vertical
x - k (Fig. 4.29), donde las gráficas de f, g están a un mismo lado del eje de
rotación y \g(y) - k\ < \f(y) - k\, V ye[c ;d] , Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es
v = (rc /c V ( y ) - k]2 - [g(y) - k ^d y ^ j u 3
Ejemplo 16. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación alrededor
del eje x de la región limitada por las gráficas de y = ex, x = 0, x = 1, y - 0.
Solución
l-a región se muestra en la figura 4.30. Aplicando el método del disco (R = ex), ■ se obtiene
V = n f (ex) 2 dx - n f e2x dx = ^ (e2 - 1 )u 3 J o J o 2
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Ejemplo 17. La región limitada por las gráficas de y = arcsenx, y = 0 y
x ~ — 1 gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del sólido engendrado.
Solución
Como el eje de rotación es el eje y, consideramos a y como variable
independiente. La región se muestra en la Fig. 4.31.
Como R = 1 y r = - sen y, entonces el volumen del sólido es
-o
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
r° f= n \ [R2 - r 2]dy = n \ (1 - sen2y)dy
J- ir /2 J - n / 2
= ny i i 0 7r2- + -sen(2y) = —- u 3 2 4 J-E 4
Ejemplo 18. La región limitada por las gráficas de y - x2, y - V* y x - 2
gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido.
Solución
Las curvas y = x2 y y = V* se cortan en los puntos (0; 0) y (1; 1). En la
Fig. 4.32 se muestra la región entre ellas y la recta x = 2. En la primera región,
(0 < x < 1) una sección transversal es un anillo circular con radio menor r = x
y radio mayor R = Vx. En la segunda región (1 < x < 2), la sección transversal
es un anillo circular con radio menor r = yfx y radio mayor R = x2.
Por lo tanto, el volumen del sólido S es
V = n f'[ (V ? )2 - (x2) 2]dx + n ¡\ (x2)2 - (V i)2}dx J o h
n í (x - x4)dx + n fJo J í
3n 47n(x4 -x )dx = — +
10 10571 u
188
l'.jcmplo 19. La región limitada por la circunferencia (x + 2) 2 + (y >- 2) 2 = ]
j'.iiii aliededor de la recta x — 3. Calcule el volumen del sólido generado (toro de revolución).
Solución
I .a región se muestra en la fig. 4.33, donde
/(y ) = - 2 - V i - ( y - 2 )2 A g(y) = - 2 + / l - (y - 2)T
Así, el radio mayor R y el radio menor r son, respectivamente,
R = 3 - / (y ) = 5 + V i - (y - 2)2 y r = 3 - 5 (y) = 5 - v' l - (y - 2)2
I.uego, el volumen del sólido de revolución es
V = n (R2 - r 2)dy = n 2 0 /T : r ( y ^ 2 j I dy
= lOn [(y - 2)V i - (y - 2)2 + arcsen(y - 2)] = (10n:2)u 3
Ejemplo 20. La región limitada por la elipse b2x2 + a2y 2 = a 2bz con
0 < b < a gira alrededor de su eje mayor. Calcule el volumen del sólidogenerado.
Solución
Como la elipse es simétrica respecto al
eje mayor, podemos considerar que el
sólido es generado por la rotación de
la región sombreada en la fig. 4.34
alrededor de! eje x. Así, el radio de
giro del disco circular es
b i------R = y = - V a 2 - x2
a
Por consiguiente, el volumen del
sólido de revolución es
r a r a b2 /4 \V = n j R2d x = n J — (a2 - xz)dx = \^-ab2n J u 3
Ejemplo 21. La región infinita comprendida entre la curva x + xy2 - y = 0 y
su asíntota vertical gira alrededor de su asíntota vertical. Calcule, si existe, el volumen del sólido.
Solución
Al despejar x de la ecuación, obtenemos x = „ V , con lo cual la asíntota1 + y2
vertical de esta curva es x = 0 (eje y), pues y -> ±00 <=> x -> 0.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Considerando que la curva (Fig. 4.35) es simétrica con respecto al origen y el radio
de giro en el primer cuadrante es R = x =1 + y :
entonces el volumen del sólido
es
r + oo r+ o ° y 2 f
V = 2 n jo R2dy = 2n ^ _ d y = Z ^H m Jo, 0 ■'o ( i + y 2) 2
Haciendo y = tan 9, la integral resulta
V = 2n limt —* + 00 Í
= 2”,!¡!’»[5arnan(t)_2(rT^]71 3
= T U
Jo (1 + y 2) 2dy
Ejemplo 22. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar
alrededor del eje x la región infinita comprendida entre la recta y = 0 y la curva
y = ^ 2 j3 'X ^ 1-
Solución
1.a resiión se muestra en la Fig. 4.36. Al aplicar el método del disco, se obtiene
r+“ / i \2 r+" _ !
‘' H . fe ® ) d x = n k
= K jim dx = » l im [ - 3 í- '3 ]; = * Hm ( - ¿ + 3)
= 3n u 3
190
APLICACIONES DE LA INTEGRAL.DEFINIDA
4.3.2 MÉTODO DE LA CORTEZA C ILINDRICA
1 f ' [a ;¿ ] a > 0 una función continua y no negativa y S el sólido dérevolución obtenido al hacer rotar en torno al eje y la región Í2 limitada por las ,unificas y = / (* ) , y = o, x = a A x = b (Fig. 4.38)
1:1 sólido S (Fig. 4.39) puede ser considerado como la unión de los cilindros C x G [a; b], es decir, *’
5 = U Cx
x e [ a : b ]
Como el área (lateral) de cada cilindro circular recto Cx está dado por
A(CX) = 2nx f(x ); x G [a,b]
se deduce que el volumen del sólido S es
V - f A(Cx)dx = 2n í x f(x )dx J a
Observación 6. Sean f ,g: [a; b] -> M
funciones continuas en [a ;b] (ales que
,<l(x) < f(x ), Vx e [a; b], y S el sólido de
revolución obtenido al hacer rotar alrededor
de la recta x = c , con c < a, la región Q
limitada por las curvas y = f(x ), y = g(x)
r las rectas x = a y x = b (Fig. 4.40).
i.ntonces el volumen del sólido S es
V 2n j (x - c) [f(x) - g(x)]dx \ u
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11
Observación 7. Sean f ,g\ [a; b] •-> E
funciones continuas en [a; b] tales que
g(x) < f[x), V x e [a,b], y S el sólido de
revolución obtenido al hacer girar alrededor
de la recta x = c, con c > b, la región Q
limitada por las gráficas de x = a , x = b ,
y = f(x ), y = g(x) (Fig. 4.41). El volumen
del sólido S es
K = ( 27tJ (c - x)[f(x) - g(x)]dx"ju3
Observación 8. Sea Q la región limitada
por las gráficas x = f (y ), X = g(y),
y ~ a A y — b (Fig. 4.42), donde f y g son
continuas en [a; b] tales que g(y) < f(y ),
Vy G [a,b], y S el sólido de revolución que
se obtiene a! hacer rotar la región Q
alrededor de la recta y — c, con c < a . El
volumen de S es
V = (^2n j (y - c)[/(y) - s (y )]dy j u 3
Observación 9. Sea Q la región limitada por
las gráficas de x = g (y), x = f(y ), y = a
A y — b (Fig. 4.43), donde f y g son
continuas en [a; fa] tales que g(y) < f(y ),
V y 6 [a; b], y S el sólido de revolución que
se obtiene al hacer rotar la región Q
alrededor de la recta y = c, con b < c. El
volumen del sólido S es
V = v j (c - y )[ f (y ) - g (y )]d y ju 3Fig. 4.43
l'.jemplo 23. Encuentre el volumen del sólido engendrado al girar sobre el cíe y
l:i región limitada por la curva y = (x - 2)\ el eje x y la recta x ~ 3.
Solución
1.a región se muestra en la figura 4.44. Aplicando el método de la corteza leñemos
V = ZU i X dX = ¿Tl\2 X(<X ~ 2)3dx
= 2n\ (x4 - 6x3 + 12x2 - 8x)dx h
147r= w
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 24. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de la región
limitada por las gráficas de x + y 2 + 3 y - 6 = 0 , x + y - 3 = 0 alrededor de la recta y = 3.
Solución
l a región se muestra en la figura 4.45. Como el eje de revolución es horizontal, el volumen del sólido es
V = 2tt f (3 - y )[(6 - 3y - y 2) - (3 - y)]dyJ -3
= 2tt- í (y3 - y 2 - 9y + 9)dyJ _ 3
256tt ,= —^— Uá
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 25. Calcule el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar
alrededor de la recta x = 1 la región limitada por las gráficas de
y = | x 2 — 2x — 3| ,y + l = 0 ,x — l = 0 ,x — 4 = 0
Solución
La región se muestra en la figura 4.46. Al aplicar el método de la corteza
cilindrica, el volumen del sólido es
V = 2n J (x - l)[|x2 - 2x - 3| + \]dx
Usando la figura 4.46 y la definición de valor absoluto, se tiene
¡xz - 2x - 3| = |0 - 3 )0 + 1)| = {- (* 2 ~ 2x ~ 3 ) ' 1 “ * < 3
De aquí resulta
V
2x - 3 , 3 < x < 4
= 27r | j O _ 1)[(3 + 2x - x2) + í]dx + J (x - 1)[0 Z _ 2.x - 3) + 1] dx
= 2n (-4 + 2x + 3x2 - x3) dx + J O 3 - 3x2 + 2)dx
( 35n\ 59 ,=2n 6+T ) = y ™ 3
Ejemplo 26. Calcule el volumen del sólido que se obtiene al rotar alrededor de
la recta y = 3 la región Í1 = {O; y) 6 M2 / O < x < cosh-10 ) - O < y < 2}.
Solución
La región £2 se muestra en la Fig. 4.47. Esta región está limitada por x = coshy,
x - O, y O A y = 2. Como el eje de giro es la recta horizontal y = 3,
entonces el volumen del sólido de revolución es
V = 2n í (3 - y)(cosh y)dy = 27r[senh(2) + cosh(2) - l]u3 J o
194
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 27. La región infinita comprendida entre la gráfica de xy2 = (3a — x)
(a > 0) y su asíntota vertical x = O gira alrededor del eje y. Calcule el volumen
del sólido generado.
Solución
Con la ayuda de la región que se muestra en la figura 4.48, el volumen del sólido
pedido es
\V = 2
3a —x \ f 3a 3a - xdx I = 47t hm J x |----- dx
x
= 4nr 3 a ________ r
lim I J3ax — x2 dx = 4n lim t o+ Jt t-> o+ Jt
3a í9a2 3a
\ r r - (x~ Y y‘ dx
= 4n lim -t->o+ 2
9azn2 ,
/ 3a\ i— --- - 9a2 /2x - 3av[x - y j V3ax - x2 + — aresen [— — J
3 a
EJERCICIOS
l-n los siguientes ejercicios, calcule el volumen del sólido generado por la
rotación de la región Q alrededor de la recta L, donde
1. L ■ eje x ; 12 : y = x2 , y = 4x. (*)
(*) Entiéndase Q limitado por las gráficas de y = x2 A y = 4x.
2. L ■■ y = O ; fl ■■ y = (x — l ) 3 ,x = — l , x = 0 , y = 0. R.
3. L ■■ y = O ; ü : x3 - 5x2 + 8x - 4 , y = 0. R.
3 17T
Tóo 1
n
Tor.'
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TOPICOS L)U CÁLCULO-VOLUMEN II
4. L.y — 0; Í2: x2 + (y — 3)2 = 1 R. 6n2u 3
5. L: eje x ; íl: x2 + y 2 - 2by + b2 - c2 - 0 (b > c > 0) R. (2n2bc2)u3
senx n 2 /3\6. L:e je x ; í l:y - ------- ,x = - ,x = - n R. l n l- lu
1 - cosx 2 3 /
71 / V2\7. L : e j ex ; /2:)' = e* sen (e * ),x = 0 ,x = l n — R. I c o s l — 2~ )u
128V2tt ,8. L:y = 4 ; íl: y 2 — 4(2 — x),x = 0 R. -- --- u
n9. L: eje x ; í l:y - sen x ,y = 0 ,x = 0 ,x = —
10. L:x = 4; /2:x2 + y 2 = 1
11. L: x = —2 ; ß :y 2 = x ,y = x2
12. L: y = - 1 ; í l:y = arccosx, y = arcsenx, x = 1
13. L:x = 0 ; /2:y = Vx2 + 10 , x = 3 , x = 4
R.3
R. — u 34
R. 8nzu 3
49rr _R. ---u 3
30
R. y (26V26 - 19V l9)u3
n14. L:x = 0 ; í l:y = eos x , y = 0 , x = 0, x = -
15. L:y = 0; i2:y = x = l, x = 4, y = 0 R. 7r(ln4 + - )u
¡—--- / 2V2 - 116. ¿:y = 0 ; /2:y = 0, y = 2, x = 0, x = Vy + 4 /?. 16tt (■
V 3TV
17. L.y = - 1 ; Í2:y = arcsenx, y = 0, x = —
18. L: y = —1; Í2:y = Vx2 - 3 , y = x - 1, y = 0
1 Í7T ,19. L:x = 0; /2:y = -- -t-jt , x = 0, x = y = 0 fí. rru3
cos(x2) \4
1671 ^20. L: x = 0 ; íl: y = x3 + x, x = 1, x = 0 R. -y r- u
21. L:x = 1; /2:y = |x2 - 2x - 3|, y + 1 = 0, x = 2, x = 4
45 ,22. L.y = 0; í l:y = x + 2, y 2 - 3y = 2x R . — n u 3
23. ¿:e jey ; Í2:y = |senx|, 2x = n , 2x = 37r ,y = 0
196
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
24. L.y = 0 ; í¡:y = V4 - x 2 , y = 1, x = 0, x = V3 R. 2n\Í3u^
25. L:y = 0; Í3:x + y - 1, Vx + ^/y = 1 R. ^ - ír u 3
.'6. L: x — — 1; Í2: x = 0, y = 2, y = V*
.27. L: y
;2H. L:X = 0 ;/3 :y = 2 + senx, y = x, x = 0, x = —
2337T U 329. L.x = 0 ; í l:y = x5, x = -1, x = -2, y = -1 R. —
7
30. L.x — 0 - íl: a2y 2 — b2x2 — a2b2, |x| = a R. 4?ra — 12
31. L.x — 4;. í l:y = (x - l ) 2, y = x + 1
32. L:y = 0 ; i2: (xz + y 2)2 = 4(x2 - y 2) R. 2tt|V2 ln (l + V2) -
33. L.x = 0r; J2 :y = 3x2, y = 4 - 6x2 R. — u 39
2834. L:x = 0 ; í l :x 2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4 (Í2: corona) R . — n u 3
i¿3
3o r /*
35. L.x = 0 ; /2:x - y 2, x = 8 - y 2 R. ---7ru3
36. L.y = —4; fí;2x + 3y = 0, 4x2 + 9y 2 = 36
37. L:y — 0: íl: x4 + y 4 = 4x^ . R. y j r u 3
38. L:x — —2 ; /2: )x|3 - y + 1 = 0, x + 1 - 0 , x - 2 = 0, y==0
39. L:x = 5 ; /2:y(l + x2) = 2, y = x2
40. L:y = 4 ; /2:y(l + a:z) = 2, y = x z
x2 y2 441. L:ejex; ß : — + — = l R. -ncib2u 3
a2 b2 32 2
42. ¿ :e jey ; íl: + = 1 R. ~ na2bu3a2 b2 3
n n43. L.y = - ; y = arctanx, x = 0, x = y = 0
¿ T1
44. L: x + 1 — 0 ; /2: y = arctan x, x = 0, 4x = n, y = 0
19?
00| N)
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
45. L\y = 2 ; íl-.y = ln x , y = 0, x = 0, y = 2
46. L:x = e3 ; i2:y = lnx , y = 0, x = 0, y = 2
47. L:x = - 2; ¿2:y = 0, y = 4 - x 2
48. L\y = 2 ; Í2: y = 0, x = 4, y = V*
128 «. —
40 ,/?. — nu
49. L\y = - 2 ; /2:y = Vx--^=, x = 1, X = 4, y = 0 K. tt(:ln4 + ■145\
y ) 1
7TSQ. L: y = —2 ; /2:x = y sen y, x = 0, y = g
COS X Tt Tt' 51. L: eje x ; ¿2: y = -7= = , y = 0, x = a, x = - con 0 < a <
VserTx
R . 7TV2 r-— - cos a + ln(V2 - 1) - ln(csc a - ept a) i r
52. L: y = 0 ; i2: y = (x + l)e*, x = 0, x = 1, y = 0
53. L:x = 0 ; í l:y = ex\ y = 0, x = 0, x = 1 R. n(e - l ) u 3
54. L\x = 7 ) ü :y = x e2x, x = l , x = 3, y = 0
55. L:y = - 1 ; fí:y = lnx , y = 0, x = e R. 7reu3
56. L: eje x ; Í2: x2y 2 + 16y2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4 R. n z u 3
/a V357. eje x ; /3: Triángulo equilátero con vértices (0; 0), (a; 0), I -; — a
?rafí.
4
58. L:x = -3 ; ü.\y = x5 + 8 , y = (x3 - 2)2, x = 0
59. l \eje y ; /2: es la región cerrada por el lazo de la curva (y2 - fe2)2 = a3x256 nb9 ,
315 a6
60. L’.e jex ; Í2 es la región encerrada por el lazo de la curva
yax(x - 3a)
2 - — ------ a > 0na
x - 4a
61. L: x = 4 ; /2: x2y 2 + 16y2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4
R. — (15 - 16 ln 2)u3
R. 32tt[1 - V2 + ln(17V2)]u3
62. L : e j e x ; f l es la región, en el primer cuadrante, acotada por:16 ¡— o
R. — V2truJ15
x 2(2 - x ), y = 0
198
3I —
n n
R■ — [(3 - V3)n - 3]u3
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
________ 2(»3. L: eje x ; H:y = e~xJcos (e~x) , x = ln- , x = ln-
V TT" -
625*>4. L:x = 1; /}: x2 - 4 = y, y = -3x R. ---nu
6<i.r>. L: eje y ; /2 es la región que se encuentra al lado derecho del eje y limitada
por x = 0 , (4 + x2)y2 = 4 - x2 R. 4n(n - 2)u3
(>6. A la curva ^/xy - 2x + 3y - 6 = 0, en el punto (3; 3) se trazan las rectas
tangente y normal. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación
alrededor de la recta y = -3, de la región limitada por la tangente, la normal
10222normal trazada y el eje y. R. ----- n u3
49
(i7. A la parábola y 2 = 12x, en el punto de abscisa 6, se ha trazado una
tangente. Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x,
la región limitada por la tangente trazada, el eje x y la parábola.
R. 72nu3
(.8. L: eje x ; íl: y = xex, y = 0, x = 1 ' R. - (e 2 - l ) u 34
69. L: eje x , ü: es la región limitada por y = 0 y un arco de la cicloide
x = a ( t- sen t), y = a ( l - cos t) R. 5n2a2u3
70. L :e jey; fl es la región del problema 69 R. 6n3a3u 3
KCL371. L:x = an ; SI es la región del problema 69 R. --- (97r2 - 16)u3
672. L.y = 2a; ü es la región del problema 69 R. 7n2a3u 3
73. L: eje x ; fí es la región limitada por x = a cos3t , y = a sen3t.
74. Sea / : [0;+00) -» ffi una función continua tal que/(x ) > 0 , Vx > 1. Para
todo a > 1, el volumen del sólido generado por la rotación de la región
limitada por las gráficas de y = /(x ), x = 1 , x = a y el eje x, alrededor
del eje x es: V = 4- 2a2 - 0 u3. Determine /(x).
R. f(x ) = . Vx2 + 4xVtt
75. Sea / : [0; +00) -> K una función continua. Para todo a > 0, el volumen del
sólido generado por la rotación en torno al eje x de la región que se encuentra
entre la gráfica de y = / (x ) y el eje x, desde x = 0 hasta x = a con a > 0
es V = (a2 + a )u3 . Determine /(x).
3
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1. La curva y 2 (2a — x) = x3 gira alrededor de su asíntota vertical. Halle el
volumen del sólido generado.
R. 2n2a3u 3
1 x2. Sea fl la región infinita comprendida entre las gráficas de y = - A y = p
y que se encuentra a la derecha de la recta x = 1. El eje de rotación es el eje
x. Calcule el volumen del sólido generado.
13. n es la región comprendida entre la curva y = -2 —^ y su asíntota y el eje
de rotación es el eje x. Calcule el volumen del sólido generado.
7T2 „R. Y u>
C _4 t4. fí es la región comprendida entre la curva y = J — --------dt {x e IR) y
su asíntota y el eje de rotación es su asíntota.3
16'
5. £2 es la región comprendida entre la curva xy2 = 4a2(2a — x) y su asíntota,
y el eje de revolución es su asíntota. Halle el volumen del sólido generado.
R. An2a? u 3
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
En los siguientes ejercicios, Q. es una región infinita.
6. fl es la región comprendida entre la curva y2 = — — - y su asíntota x = 2a
y el eje de revolución es x = 2a. Calcule el volumen del sólido engendrado.
R. 2n2a3 u 3
7. fi es la región comprendida entre la curva
rsen xx > 0
y = \ x(o , x = 0
y su asíntota, y el eje de revolución es el eje x. Calcule el volumen del sólido
generado sabiendoi que IJ 0
Tí
dx = ~.
71 , R. — u 3
2
200
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
i. i LONGITUD DE ARCO
Se,; / : [a;b] -> R una función con derivada continua en [a-,b] y
/’ - {x0,x1 , ...,xn) una partición de [a; 6], Esta partición define una poligonal
constituida por los segmentos rectilíneos desde hasta
<M*¿;/(*¡)),para i = 1,2, ... , n (Fig. 4.49).
n n
L{p) = = Z V(^¡ - ^ - i)2 + (fix 'd-¿=1 ¿=i
i 'I numero ¿ - ¡|{i|mo L(P), si existe, se llama longitud de arco de la curva
y = f{x ) desde el punto (a ;/ (a )) hasta el punto (£>;/(/>)). Demostraremosque en este caso el número L siempre existe.
Como / es derivable y continua en [xt_ i ; xt] , i = 1,2..... n, por el teorema deLagrange o del Valor Medio, 3 t ¡ 6 ( x ^ X t ) tal que
f (x¿) — /(x ¡_ i) = / (ti)(x¡ — Xi_x) , i = 1,2, . . . ,n
1 laciendo A¿x = x¿ — x , t = 1,2,..., n , tenemos
■A n= V ( A ¡ * ) 2 + [ / ' ( t j ) ] 2 . ( A , * ) 2 - V V i + [ / ' ( t ¿ ) ] 2
í=i fet
l’or tanto, la longitud de arco de la curva y = / ( * ) desde x = a hasta x = b es
n
¿ = i f c l O T A , , es decir¿ = 1
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Observación 10. La longitud de la curva x = g(y) comprendida entre las rectas
y = c A y = d, donde g es una función con derivada continua en [c; d], es
1 = ( j ■/1 + ífj'(y)]-dyju = | J j l + 4Observación 11. Si la ecuación de la curva C viene dada en forma paramétrica
mediante un par de funciones con derivadas continuas, esto es,
C:£ : $ r
Entonces la longitud de la curva C desde t = a hasta t = fi es
L = ( f V tx 'W F + [y'(OP dt'Ju
Ejemplo 28. Halle la longitud de la curva
,------- (1 + Vsec2x + 1\ n ny = v sec2x + 1 - ln ----------- desde x = - hasta x = -' v \ secx J 4 3
Solución
Al aplicar las reglas de derivación y simplificando se obtiene
^ = tan x Vsec2x + 1 dx
Por lo tanto, con la fórmula de la longitud de arco resulta
L = f 1 + ® dx = f * [1 + tan2x(sec2x + l )]1' 2 dx4 / 4 4 VdxJ Jn/4
r n / 3
= I sec2x dx = [tan x\nJ ^ = (V3 - l)uJ-rr/4
Ejemplo 29 Encuentre la longitud de la curva cuya ecuación es 16
desde x = —2 hasta x = —1.
Solución
1 x4 dy x3 1Como y = — r + — , entonces — = —--- -. Luego, la longitud de arco es
J 2x2 16 dx A x3
l = £ 4 T 7 W ? = £ J ( £ + i ) ¡i- + 1
- Í T ( ^ ¿ )
dx
(x3 1 \ 21■ + — I dx = — u
202
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 30. Calcule 4a longitud total de la curva cuya ecuación es:
n n- < x < - 2 ~ 2
y - J ^ V c o s t d t , - ^ < x < ^
~2Solución
C r 7T 7TiComo f(x ) = J ^ Veost dt, Vx 6 entonces f ( x ) = Vcosx es
~2. r ^
continua en el intervalo - j . Por lo tanto,
2 5 ___________ £
Z. = J * V 1 + cosx dx = dx = V2 P cos(|) dx = 4 u
~2 ~2 ~2
Ejemplo 31. Halle el perímetro del triángulo curvilíneo limitado por el eje de las
abscisas y por las curvas cuyas ecuaciones son *
y = In(cosx), * e A y = ln (senx ), x e ( 0;;r)
Solución
Las gráficas de /(x ) = ln(cosx),x 6 y de g(x) = ln(senx), x e <0;tt)
se muestran en la figura 4.50. Las longitudes de los lados del triángulo curvilíneoson
n
¿1 = 2 “
[ n/* _______________ rn¡ 4
¿2 = 1 V 1 + t/'O O ]2 dx = | V i + tan2x dx = ln(V2 + l ) u•'o J o
í 71/2 /---------- f "72 /-------¿3 = j V 1 + l j ' ( x )]2 dx = V i + cot2x dx = ln(V2 + 1 )u
•'/r/ 4 ^tt/ 4
Por tanto, el perímetro del triángulo curvilíneo es P = + 2 ln(V2 + 1)] u
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Ejemplo 32. Calcule la longitud de la parábola semicúbica 2y3 = x2,
comprendida dentro de la circunferencia x2 4- y 2 = 20.
Solución
La gráfica de la parábola semicúbica se muestra en la Fig. 4.51. Los puntos de
intersección de las dos curvas son (-4; 2) y (4; 2). Ahora, derivando
implícitamente la ecuación 2y 3 = x2 con respecto a y se tiene
dx 3 y 2 /dx\2 „ 9 y4 (y 3\ 9 y— = — => 1+ — ) = 1 + —5- = l + 9y. I — = 1 + — dy x Vdy/ x2 \x J 2
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Como la gráfica de la parábola semicúbica es simétrica con respecto al eje y,
entonces la longitud de arco comprendida dentro de la circunferencia es
= 2 f•'0
8l + ^ y d y = — (V1000 - 1)u
Ejemplo 33. La posición de una partícula en el instante t es
x ( t ) = 1 - eos t , y(t) = t - sen t
Halle el recorrido total entre t = 0 y t = l
Solución
El recorrido total de la partícula es
I fin cada uno de los ejercicios siguientes, determinar la longitud del arco de la curva descrita por
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
EJERCICIOS
, ,a + Va2 - x 2 i----------- ra ai/ ( * ) - a l n ( ----- ------ ) - V a 2 - x 2 ,x e [- ;-] R. ( a ln 3 )u
mx4 + 3
6xx 6 [1; 3]
/14\
'■ ( t ) “
L f(x ) = x 1' 2 - - X 3' 2 , x e [ 0 ; l]
'• / ( * ) = Ve2* - 1 - arcsec(e*) - 1 , x-e [0; 4]
r, = ~ + X € [2; SI
í). / O ) = ln ( -x ) , X e [-V 8 ; - V I ]
7- /(*) = -aresenx---y/l -x2,x e 0;-V3
4*. - u
R. (e4 - 1 )U
393
*■ -20-“
*• (l+jln|)u- ,
/ (x ) = - x jx 2 - 1 -^\n(x + y¡x2 - 1) , x e [3;5] R. 8u
<). x = ^ y s/3 ~ ^y 1/3,y e [0;1]27
/?. — U 20
R. - ( V í- 1 )u10. y = (9 - x 2/2)3!2 , * e [ l ;2 ]
11- y = -Xy¡3-X2 - f ^ a r c s e n ^ x j , * e [0; 1] /?. +
12. y=l-ln(cosx),*e[0;^] /?. ln(V2 + 1) u
13. y = arcsen(e *), x e [0; 1]
14. y = a cosh- , x S [0 -,b] a
y 2 i
* ~ ~4 2 lny ,y e [1;el
l(>. / ( x ) = ln (co th- ) , x e [ a ; b ] , a > 0
R. ln(e + V e2 - 1) u
/?. a senh u
R. ln(-e26- l .
e2a - 1■) + a - b
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
x3 1 5917. /(x ) = — + — ,x 6 [1; 2] R.
18. x = (a2/3 - y 2/3)3' 2 , y e [-a; a] R. 3a u
19. x = £ - 1 ,y = - t z , £ E [0; 1] R■ -[V2 + ln ( l + V2)]u
20. x =■ ec sen £, y = el eos £, t 6 [0; 7r] R. V2(e’r - 1 )u
21. x = [ y = i —— d t , desde el origen de coordenadas hasta elJ i t Ji £
npunto más próximo donde la tangente es vertical. R. ln — u
22. x = a (eos £ + £ sen £) , y = a(sen t - £ eos £), £ £ [0; a]
R. - a a 2u
II. En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de las curvas que se
indican.
1. La longitud total de la circunferencia x2 + y 2 = a2 R. 2na u
2. La longitud total del astroide x = a eos3£ , y = a sen3£ R. 6au
3. La longitud del arco de la rama derecha de la tractriz
x = J a 2 - y 2 + a ln|f a + J a 2 ~ y2'
y J
desde y = a hasta y = b con 0 < b < a. R. a ln ( - ) u
/X\2/3 /yv2/34. La longitud de la curva (-J + h-J = 1 en el primer cuadrante.
a2 + ab + b2------ ---- u
a + fe
5. La longitud total de la curva cuya ecuación es
4(xz + y 2) - a2 = 3a4/3y 2/3 fí- 6au
6. La longitud total de la curva 8yz = x2 - x* R. W 2 u
1. La longitud de la curva 9yz = 3x2 + x3 desde x = —3 hasta x = 0
R. 4V3t¿
206
II l a longitud de arco de la parábola semicúbica 5y3 = xz comprendida dentro134
de la circunferencia x2 + y2 = 6 R. — -u27
<< Calcule el perímetro de la región de menor área limitada por las gráficas
y2 - 2x3 A x2 + y 2 = 20
X2II). I,a longitud de la curva y = - - InVx , desde x = 2 hasta x = 3.
II. La longitud de la
uirva y = Vx - x2 + arcsenVx. R. 2u
I L a longitud total de la curva dada por (y - aresen x)2 = 1 - x2 R. 8u
2l.t. La longitud del arco de la curva y2 = -(x - l )3 comprendida dentro de la
xparábola y2 = —
14. La longitud del arco de la curva dada por x = (£2 - 2)sen £ + 2£ eos £ ,
7y = (2 - t 2) eos £ + 2£ sen £, desde £ = 0 hasta £ = n R'~¡fu
15. La longitud del arco de la curva y = ln (l - x2) desde x = 0 hasta x = 1/2
R. [- ¿+ In3 ]u
III. Los siguientes ejercicios tratan del movimiento de una partícula.
1. En el tiempo £, una partícula se encuentra en el punto
P(cos £ + £ sen £; sen £ - £ eos £)
Encuentre la distancia recorrida desde el instante £ = 1 hasta t = n
2. En el instante £, la posición de una partícula es
x = 1 + arctan £, y = 1 - ln -J1 + £2
Halle el recorrido desde el instante £ = 0 hasta £ = 1 R. ln (l + V2) u
APLICACIONES DELA INTEGRAL DEFINIDA
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Sea / : [a, b] -> M una función no negativa, con derivada continua en [a; £>].
Haciendo girar la gráfica de / desde x = a hasta x = b , alrededor del eje x, se
obtiene una superficie de revolución (Fig. 4.52). El área de esta superficie de
revolución está dado por
i4(S) = (271 f / 0 ) V 1 + [ f(x )]2dx ]u2
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
4.5 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Observación 12. Si la curva se describe por la ecuación paramétrica
C:x = x(t), y = y(t), t e [a;/?]
donde x(t) y y(t) son funciones con derivadas continuas en [a; /? J, entonces el
área de la superficie generada al hacer girar la curva C alrededor del eje x es
A(S) = ( i n j P y(t)V[x'(OP + [ y 'W F ^ u2
Observación 13. Sea / : [a, b] -> M una función con derivada continua en [a; b]
tal que su gráfica está a un mismo lado de la recta y = c . Haciendo girar la
gráfica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y - c se obtiene
una superficie de revolución (Fig. 4.53) cuya área es
A(S) = (2 jt[ l/O ) “ clV l + [/'(X)]2 d x )u 2
208
.APLICACIONES DE’LA INTEGRAL DEFINIDA
Observación 14. Si la curva C se describe con la ecuación x = g(y), Vy 6
I": H donde g es una función con derivada continua en [a; b] y Ses la superficie
de revolución que se obtiene al hacer rotar la curva C alrededor de la recta
\ = c , (Fig. 4.54), entonces el área de la superficie S es
i4(5) = ^2trJ \g{y)-c\yjí + [g'(yW dy ^ ju 2 (*)
Si la ecuación de la curva C está dada en su forma paramétrica por
* = x(t), y = y ( t ) , V te [a ;(3 ]
donde las funciones x = x (t) , y = y ( t ) tienen derivadas continuas en [a;/?]
entonces la fórmula (*) se transforma en
A(S) = Í 2 n ( |ar(t) - c|VÍ*'(t)]2 + [y '(t)]2 d i ) u 2
Y
bk C
---------. c
Z '/ * n(y)
i
s
a - - J *x - \
.Y C
...... w ----►x
.Y - C
Fig. 4.54
Ejemplo 34. Halle el área de la superficie generada al hacer girar la gráfica de
/ O ) = V24 — 4x ,x £ [3; 6], alrededor del eje x.
Solución
—2(.orno / 'O ) - -7-. , el área de la superficie resultante es
V24 - 4x4
6
f ( x y i + [ f(x )]2dx
= 2n\ V24 - 4x 11 + — 4 dx h y] 24 - 4x
= 2n I V28 — 4x dx = ---u2h 3
l a gráfica de / O ) = V 24 - 4x se muestra en la figura 4.55.
i4(S) = 2n f J a
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 35. Halle el área de la superf
del eje y del arco de la curva y = a eos
Solución
Considerando que la curva (Fig. 4.5«
superficie generada es
A(S) - 2tt f /(y )V 1 + [/'(y•'O
/y\ dxdonde x = /(y ) = a cosh (-J y —
Luego,
A(S) = 2n J a cosh Jl-<
= 2n J a cosh2 dy
Ejemplo 36. Halle el área de la super
2x = yVy2 - 1 + ln¡y - J y z - l| ,
Solución
La ecuación paramétrica de la curva e:
.* (0 = ^[t%/t2- l + ln|t-
y(t) = t
de donde x '( t) = V t2 - 1 A y '(t)
Por tanto, el área de la superficie es
A( S) = í y ( t ) V t * ' ( 0 ] 2 + [ y ' ( t ) ] 2í h
YJic >
y
x = a cosh(—)a
'""A.C7i
f > r0a a cosh(l) x
Fig. 4.56
cié engendrada por la revolución alrededor
-'i desde x = a hasta x = a cosh (1) a '
>) gira alrededor del eje y, el área de la
)]2dy
= f '(y ) = senh0
-senh2(^)dy
na2 , „ ,= ---(2 + senh 2)u
2
ície cuando la curva
y e [2; 5], gira alrededor del eje x.
^ f2 ~ 1B , t 6 [2; 5]
= 1
'.t = 2n í t-J ( t2 - 1) + 1 dt = 78n u 2
210
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
I' limpio 37. Halle el área de la superficie generada por la revolución en torno al
I'lr y delarcodelacurva y =-[x2 - 2 lnx], *e[l;4].
Solución
I .i ecuación paramétrica de la curva es
(x(t) = t
y(0 = |[t2 - 2int] ’ 1 e [1;4]
1 1tic donde x'(t) = 1 , y '(t) = - (t - -)
I uego,
/1(S) = 2tt x(t)y/[x'(t)]2 + [y'(t)]2dt
= 2„ J t j l + i (t - 1)2 dt = 2* f ‘l (t + i ) * = 2 W
I jemplo 38. Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer
líirar la curva y = 2 - e* , desde x = 0 hasta x = 2 , alrededor de la rectaV - 2
Solución
I ,i gráfica de la curva se muestra en la
lisura 4.57.
Se tiene que
dy
luego, según la fórmula, el área de la
superficie es
¿(S) = 2tr f (2 - / C O y i + F w J d *“'O
= 2n í exyfí'+ (ex)2 dx“'O
= 7r |e2V l + e4 - V2 + + lne2 + Vi + e‘
1+V2
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Ejemplo 39. Halle el área del elipsoide de revolución que se obtiene al hacer
x2 v2girar la elipse — + — = 1, alrededor de:
a) su eje mayor b) su eje menor
Solución
a) Cuando la elipse gira alrededor de su eje mayor, es suficiente considerar la
curva C descrita por/(x) = -%/25 - x2, x e [—5; 5] (Fig.4.58).
4 i------ 4x , , , ,Al emplear /(x ) = -V 25-X 2 A / '(* ) = - ^ = = = , el area de la
superficie resulta
f 5 4 ,------ 16x2A(S) = 27tJ - V 2 5 - x z ■ 1 * 25(25 - x 2) *
N
/ 100 3\ ,= 27r(l6 + — arcsen-Jir
TÓPICOS DE CÁLCULO-VOLUMEN II
Yi
c4
,\s
~~ -1
Yi
y = - s l2 5 - x *
1 \
1 \
1 1 rY
- U
S
*- — (
' 5 \Jk
/s
-4
Fig. 4.58 F¡9- 4 59
b) Cuando la elipse gira alrededor de su eje menor, es suficiente considerar la
curva x = 1 ^ 1 6 - y 2, y e [-4;4] (Fig.4.59).4
Luego, el área del elipsoide generado es
r* 5 _______ 25y2
ACS) = 27ZJ _ j J 16~y2' j 1 +16(16^ ) dy
= (50ír + ^ ^ l n 4 ^ u 2
212
I. En cada uno de los siguientes ejercicios, halle el área de la superficie de
revolución que se obtiene al girar alrededor del eje x, las curvas dadas por
1. f (x ) — —x3, x G [0; 2] r _ (98tt/81)u2
2. / (x ) = cosx, x e [ - | ;| ] r . 2tt[V2 + ln ( l + V2)]u2
3. Un lazo de la curva 8a2y2 = a2x2 - x4 R. (na2/4 )u2
4. 6a2xy = x4 + 3a4 desde x - a hasta x = 2a R. (477ra2/16) u2
5- f ( x ) = - x 3, x G [0; 2] R. ^ (1 7 3/2 - l ) u 2
6. y2 + 4x = 2 lny desde y = 1 hasta y = 2 R. (IOtt/3)u2
7. x = acos3t, y = asen3t R. (U n a 2/5 )u 2
8. y = e~x , x > 0 R. ;r[V2 + ln (l + V2)]u2
9. x - e t sen t, y = ec eos t desde t = 0 hasta t = |
R. 2 n j2 (e n - 2)/5 u 2
10. y = e~x, x > 0 R. ^[V2 + ln ( l + V2)]u2
11. x = a (eos t + ln(tan|)) , y = a sen t R. 4na2u 2
12. y = tan x desde (0; 0) hasta (£ ; l ) R. n (Vs - V2 + ln + 2V4 ' V V5 + 1
13. El lazo de la curva 9ay2 = x(3a - x) 2 R. 3na2u 2
14. x2 + (y - /j) 2 = a2, 0 < a < b (toro de revolución) R. 4n2abu
x3 1
15- y = y + 2 ¿ ‘ x e t1; R■ (208tt/9)u2
16. y = 2x, x G [0; 2] r . 8nV 5u2
17. y2 = 4ax desde x = 0 hasta x = 3a R. (56/ra2/3)u2
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
EJERCICIOS
2
II. Halle el área de la superficie generada por la rotación en torno al eje y, de cada una de las siguientes curvas
1 -x = y 3, y G [0; 3] R. [(730)3 2 - l]u2
2. 6a2xy = x4 + 3a4 desde x = a hasta x = 3a R. (20 + ln 3)n a2u2
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
3. 2y = * V F ^ T + ln ( * - V F ^ T ) ,x e [ 2 ; S ] K . 7 8 U U 2
4. x2 + 4y2 = 16
5. y = x2 , ^ £ [1; 2]
6. y = x4/3, x £ [1; 8]
III. Halle el área de la superficie de revolución formada cuando la curva indicada
gira alrededor del eje dado.
1. y = x3/z , x £ [1; 8]; alrededor de y = 1
2 V = í l + _L ( x £ [1; 2]; alrededor de y = 1 ' ^ 3 4x
3. y = x3, x £ [1; 2]; alrededor de y = -1
4. y = ln(x - 1) , x £ [2; e2 + 1]; alrededor de x = 1
5. y = 4 + e*, x £ [0; 1]; alrededor de y = 4
6. y = 2x , x £ [0; 2]; alrededor de y = -1 R - 12V5ttu2
4.6 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (ó CENTROS DE GRAVEDAD)
El momento de masa de una partícula respecto a una recta L se define corno el
producto de su masa y su distancia a la recta L. Asi, si m es la masa de la particu
y d su distancia a la recta L Fig. 4.60, entonces el momento de la partícula
respecto a la recta L está dado por
Ml = md.
•
Es conveniente considerar la partícula localizada en un plano de coordenadas y
determinar el momento de la partícula respecto a un eje de coordenadas ( o a una
recta paralela a un eje de coordenadas). En este caso se usan las distancias
dirigidas, así el momento será positivo o negativo o cero, según la ubicación de la
partícula; por ejemplo si la partícula de masa m está en el punto (x;y) Fig. 4.61 ,
entonces sus momentos Mx y My respecto a los ejes x e y, respectivamente son
Mx = my , My = mx
Si un sistema de n partículas de masas m 1,m 2, ...,m n están situados en los
puntos (* i;y i) , (x2;y2), — ,(*„;y„) respectivamente, los momentos Mx y My
del sistema de n partículas se definen como n n
= ™¡y¡ - My = ]jr rriiXi (I)
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Mx
El centro de masa o centro de gravedad de un sistema de partículas es un punto
P(x;y) tal que, supuesto que la masa total m del sistema esta concentrada en el
punto P, los momentos de P y del sistema coinciden.
Si el sistema de m partículas de masas m u m 2, ■■■ ,m n ubicadas en los puntos
(x\'< yi), (x2; y2), , (xn; yn) tienen su centro de gravedad en el punto P(x; y) y
que la masa total del sistema esn
m = y m¡
¡=i
entonces los momentos Mx y My de P están dados por
Mx = my , My = mx
Luego, de (I) se obtienen n
= ^ ™ ¡ y ¡ y mx = 'Yj m iximy
i=l ¡=1
De donde resulta
_ EÍLiTTiiXi _ £ "=1m ¡yix = ------- y y = -------
m mEn resumen , si Mx y My son los momentos de un sistema de partículas respecto
;i los ejes x e y respectivamente y P(x;y) es el centro de gravedad o centro de
masa del sistema, entonces
My Mx* = - T y = - f (II)
m m
donde m es la masa del sistema.
215 www.FreeLibros.com
F.Jemplo 40 Cuatro partículas están en los puntos Pt (—1; -2), P2(1; 3),
P3(0; 5), ^4.(2; 1) y sus masas son m1 = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, m 4 = 4
respectivamente, determine el centro de gravedad del sistema formado por estas
cuatro partículas.
Solución
Tenemos Mx = 2(—2) + 3(3) + 3(5) + 4(1) = 24
My = 2(—1) + 3(1) + 3(0) + 4(2) - 9
m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12
Luego,
_ _ M j , _ 9 _ 3 - _ M X _ 24 _
X - ñ r ~ 1 2 - 4 ’ V ~ ~ m ~ Y 2 ~ 2
Por tanto, el centro de grayedad está ubicado en el punto P(3/4; 2)
4.6.1 CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGIÓN PLANA ó LÁMINA
En primer lugar, es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones
a) Una lámina es llamada homogénea si dos porciones de igual área tienen el
mismo peso.
b) La densidad p de una lámina es la masa de una unidad cuadrada de lámina.
Si una lámina es homogénea, entonces su densidad (de área) p ■ es constante y
si A es el área de dicha lámina, entonces su masa es m = pA
c) El centro de masa de una lámina homogénea, puede pensarse como el punto de
balance de la lámina; si esta lámina tiene un centro geométrico, este será
también el centro de masa ó centro de gravedad. Por ejemplo, el centro de
masa de una lámina circular homogénea es el centro del círculo; el centro de
masa de una lámina rectangular homogénea es el centro del rectángulo
(intersección de las diagonales). Se define el momento de una lámina de masa
m respecto a una recta, como el momento de una partícula de masa m situado
en el centro de masa de la lámina.
d) Si una lámina se corta en trozos, el momento de la lámina es la suma de los
momentos de sus partes.
Ejemplo 41 Encuentre el centro de masa de una lámina homogénea de densidad
p, que tiene la forma propuesta en la Fig. 4.62 (las medidas están en cm.)
Solución
La lámina está formada por 3 rectángulos y el área total de la lámina es igual a
93 cm2. Si colocamos los ejes de coordenadas tal como se indica en la figura, los
centros de masa de los rectángulos Rlt R2 y R3 son:
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
216
ATLILAUIUINES UH LA 1IN 1 tÜKAL UtílIN lUA
respectivamente. Luego,
Mx = (21p) ( y ) + (60p)(6) + (12p) (| ) = ^ p
/13\ 969My = (21p) ( y ) + (60p)(5) + (12p)(8) = — p
Por tanto, el centro de masa (x ; y) de la lámina está dado por
969_ My -J-Px = ^ = = 5,209677419
m 93 p
1197M x ~ T ~ P
y = —- = — = 6,435483871* m 93p
Sea F una lámina homogénea cuya densidad es constante e igual a p.
Supongamos que F es la región limitada por las gráficas de:
y = / ( * ) , y = a(x), x = a , y x = b
donde f y g son funciones continuas en [a;b] y f(x ) > g(x), Vx G [a;b]
(Fig. 4.63)
Sea P = {x1,x2, ...,xn} una partición de [a;b] y c¡ es el punto medio de
[x¿_!; x¡] , entonces se tiene que:
= P[/(Q) ~ fl(c¡)]A¡*, i = 1,2,...... n (Mx = x¡ - x ^ )
es la masa del i-ésimo rectángulo sombreado en la figura 4.63
217 www.FreeLibros.com
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
El centro de gravedad del i-ésimo rectángulo se encuentra en el punto
( f ( c¡) + g (c¿)>
Vc‘ : 2
Sustituyendo cada rectángulo por un punto material y localizando la masa de cada
rectángulo en su centro de gravedad se obtiene que los momentos de masa de los
n rectángulos, determinados por la partición, respecto a los ejes x e y son:
Mr
M,
lí /l
^ ™¡y¡ = p[/(c¡) - 5(c¡)]/(c¡) + g ( a )
AjX
Luego, el centro de gravedad (x;y ) estará aproximadamente en el centro de
gravedad de los rectángulos determinados por la partición, es decir:
xMy _ P'Z’j=iCi[f(ci) - g jc ^A jX
m p EH iE /(c¡) - S(c¡)]A¡*
Mx I p i u m c d r - i g í c d ] 2} ^
y X m ~ p l U l f i c d - g i c ^ x
Pasando al límite cuando ||P|| -» 0, se obtiene que las coordenadas (x;y) del
centro de gravedad de la lámina F están dadas por
Ja *[ /(* ) - g(x)]d.X ^ - I-fq {[/(x)]2 - [fl(x)]2}
£ [ f t o - g ( x ) ] d x A y tf\ f(.x)-g(x)]dx
Como se observa, las coordenadas del centro de masa de la lámina homogénea no
dependen de su densidad p, sólo depende de su forma. Usualmente el centro de
masa de una lámina se denomina centro de gravedad o centroide, reservando el
término centro de masa para un sólido.
Observación 1S
a) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta x — x 0 , entonces
x = X0
b) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta y — y0 , entonces
y = yo
218
Observación 16 Si la región plana F esta limitado por las gráficas de:
x = f(y ) , x = g(y), y = c, y = d
donde f y g son funciones continuas en [c; d] y f ( y ) > g ( y ) , Vy g [c;d]
l'ig. 4.64, las coordenadas del centro de gravedad (x; y) de la región F son
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
_ _ 2 /c% Cy)32-[g(y)]2}dy
/,d[/(y) - g(y)]dy
- -= ~ g (y )Jrfy
/cd[/(y) -g(y )]dy
Ejemplo 42 Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas y = x3 , y = 4x en el primer cuadrante. ,
Solución
El área y los momentos con respecto a los ejes x e y de la región son
A(R) = í (4x - x3)dx = 4 Jo
_ 2 2
My = ¡ x[f(x) - g(x)]dx = í x(4x - x3)dx = ^J o 15
Mx =z2 ¡0 “ íg(x)]2}dx = ^ J (16x2 - x ü)dx
_ My 64/15 _ Mx 256/21Luego, x - -- ------ , y = — = --- -—
m 4 m 4
n . . 64\Por tanto, el centroide es P — : —
V15 21/
256
~2Í
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Ejemplo 43 Halle el centro de gravedad de la región limitada por las ciirvas
x2 - 8y = 0 , x2 + 16y = 24
Solución
Como la región F (Fig. 4.66) es simétrica respecto al eje y, se sabe que x = 0
El área de la región y el momento con respecto al eje x son
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
A^ (2 4 - x 2 x2
■ a
■ r 'd
16dx = 4V2
2 4 - x
16~dx =
16V2
/ 4\ _ Mx 4 _Por tanto, el centro de gravedad es ^0; -J porque y = ~ 5 A * ~ 0
Ejemplo 44 Encuentre el centroide de la región limitada por las curvas
x = 2y - y 2 , x = 0
Solución
Como el centro de masa está situado en el eje de simetría y = 1 (Fig. 4.67),
entonces y = 1.
Aplicando las fórmulas dadas en la observación 16 se obtiene
y ^ 2 y - y 2)2dy 8/15 _ 2
fg (2 y - y 2)dy 4/3 5
Luego, el centroide es P ; 1 j
220
Ejemplo 45 Determine el centroide de la región plana limitada por las curvas
y = / (* ), y = x2 , x = - l , x = 2, donde
(1 - x, x < 0
> 0
Solución
La región se ilustra en la Fig. 4.68. Dividiendo la región en dos partes se obtiene
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
A = í (1 - x + x2)dx+ í\x2 + l + x2)dx = ^- + — = — J-i J o 6 3 6
= 2 / K1 “ x^2 ~ x^ dx + Kx2 + l ) 2 - x4]dx =
f° r 2 13= I x ( l - x + x2)dx + \ x(x2 + 1 + x2)dx = --- +10 =
J-1 J0 12
107My — ¡ x ( l - x + x2)dx + I x(x2 + 1 + x2)dx = - 7^+ 10 =
_ 107/12 _ 71/15 ^ , /107 142\,uego, x — ■, y = -=— r , de donde el centroide es P ---;--- )
55/6 ' 55/6 V110 275/
Fig. 4.68 Fig. 4.69
Ejemplo 46 Halle el centro de gravedad de la región infinita, en el primer
cuadrante, comprendido entre la curva y = x e~x y el eje x.
Solución
La región se ilustra en la Fig. 4.69. Luego, se tiene
r +CO
A = I x e~x dx = lim [-x e~x - e~xY0 = 1
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
+00 r+ 00
My
/* i-to /■+»
= I xf(x)dx = I x2e~xdx Jo J o
= lim [-x2e * — 2*e * — 2e x]q = 2 t- 1+00
i r +”Mx = - J [x2e-2* - 0]dx‘ X
Jo
1 r 1 1 1 ^ 1= - lim —- x 2e 2x —-xe~lx —-e~Zx¡ = -
21-*+» L 2 2 4 J0 8
My _ Mx 1
Luego, * = T = 2 . y = T = 8
Por tanto, el centro de gravedad de la región es P ^2;
Teorema (Teorema de Pappus para volúmenes)
Si un sólido S es obtenido al hacer rotar una región plana F (Fig. 4.70) en torno de
una recta del mismo plano, que no sea secante a la región F, entonces el volumen
de S es igual al.área de la región F multiplicado por 2nr, siendo r la distancia del
centro de gravedad de la región F al eje de rotación, esto es,
V = 2nr. A
donde A es el área de F.
222
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 47 Calcule el volumen del sólido 5 generado por la rotación de la
S a aPOrlaParáb0,a y = * 2 y,areCía y = * + 2 en tomo a esta
Solución
Para determinar el centro de gravedad.de la región F (Fig. 4.71) se tiene
A(F) = í (x + 2 - xz)dx = - J-1 2
My = í x(x + 2 - x2)dx = - J - i 4
Mx = \ í l(x + 2)2- x 4] dx = —J - i 5
Por tanto, el centroide (x; y) de la región tiene las coordenadas
- = _ i - _ M X _ 8
A ~ 2 ' y _ T " 5
Calculando la distancia r del punto C a la recta y = * + 2 se tiene
r = ^ ~ y + 2l = l l ~ l + 2| _ 9V2
V i + 1 V2 20
Luego, por el teorema de Pappus, el volumen del sólido S es
1
Fig. 4.71Fig. 4.72
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r
Ejemplo 48 La región limitada por las gráficas de y = x2, y = 5 gira alrededor
de una recta oblicua que pasa por el punto ¿4(1; 0). Halle la ecuación de dicha
recta, si el volumen del sólido generado es igual a 40V5ttu3
Solución
La gráfica de la región se muestra en la fig. 4.72. En primer lugar determinaremos
el centroide de la región F. Como el centro de masa está situado en el eje de
simetría (eje y), entonces x = 0.
Por otro lado, la ordenada del centroide de la región es
- _ M* _ ~ x^ dx _ 20v^
A / ^ r (5 - x2)dx 20V5/3
Luego, el centro de gravedad es (x;y) = (0; 3)
20V5Considerando que el área de la región F es A = —-— , se tiene
V = 40V57t = 2nr = * r - 3
Finalmente, si m es la pendiente de la recta L (eje de rotación) que pasa por el
punto A(l-, 0), entonces su ecuación es
y - 0 = m(x - 1) ó mx - y - m = 0
Puesto que, r = 3 es la distancia del punto (x; y) = (0; 3) a la recta L, entonces
\mx-y-m\ |-3-m|3 — . >—»* 3 — .
Vm2 + 1 Vm2 + 1
<=> 9 (m 2 + 1) = 9 + 6m + m 2 <=> m(4m — 3) = 0
3<=* m = 0 ó m = -
43
Como la recta L es oblicua, m = -. Por tanto, la ecuación de la recta L es4
3x — 4y — 3 = 0
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
224
I. En cada uno de los ejercicios, encuentre el centroide de la lámina
homogénea de densidad p que tiene la forma mostradas en la figura.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
EJERCICIOS
II. En los siguientes ejercicios, encuentre el centro de gravedad de cada una de
las regiones limitadas por las siguientes curvas.
1. y = x z - 4 , y = 2x - x2
2. y - v a 2 - x2, y = 0
3. y = 3x, y = x2, y — 1 , y = 2 (en el primer cuadrante)
*•
R. ( 0;4a\
3n)
r ( 67 2(72^2-53)
U 8 (8 v ^ - 7 ) ' 15(8V2-7)
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4. y - X 2, y = x - x 2 R. Q jg )
5. y = ln x , y = 4 , y == 4 - 4x2 (en el primer cuadrante) R. (14,61; 3,15)
6. y = x2 + l , y = x3 - l , x = 0 , x = l
n7. y = senx, y = cosa:, y = 0 desde x = 0 hasta x = —
"■ G4(f-i)(2+V5))8. y 2 = 4 - 2x, el eje y, y = 3
(12 3\9. x = 4y — y 2 , y = x R.
ñ 9\10. Vx + ,/y = 3 , y = 0 , x = 0 R.
11. y = |a:|3 + 1, x = - 1 , x = 2, y = 0
12. x + xy2 - 2 = 0 , x - y 2 = 0
13. y 2 = 20x, x2 = 20y R. (9; 9) •
tx , si x < 1 _14. y = —x , y = j 2 , x = 2
' [X , SI X > 1
/88 50\15. x - 2 y + 8 = 0,x + 3y + 5 = 0,x = -2 ,x = 4 fi.
16. y = 3 + 2x — x2 , y los ejes coordenados encierran dos regiones. Determine
el centroide de la región de menor área.
17. y(x2 + 4a2) = 8a3 y el eje x (región infinita) R. (o ;-a)
l 12 \18. La región limitada por el lazo de y2 = x{x - 4)z R. ; 0J
19. La región limitada por el lazo de y 2 = x4 (3 - x) R. (2;0)
20. y = a resen x , y = 0 , x = 1
/16 5\21. y2 = 4x2 - x3 ,y = 0 en el primer cuadrante R.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN IIAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
n . y = X 2 - 2x - 3 , y = 6x - x2 - 3 R. (2;1)
23. y = x3 — 3 x ,y = x ,sobre el lado derecho del eje y R,\15 35/
x2 y224. La región encerrada por — + — = 1, en el primer cuadrante
(4a 4b\
R' V3rr; 3tt)
25. La región está limitada por los ejes coordenados y x2/3 + y 2/3 = V25
R./256 256\
\637r' 63n)
26. La región es un sector circular de radio r y ángulo central 2a
n r. 2 sen aR. En el eje de simetría, a la distancia - r ---- del vértice del sector
3 a
27. y = senx, (0 < x < n), y = 0 R.'2 8'
28. y = coshx , y = 0 , x = - 1 , x = 1
29. y = arccos x , y = n , x = 1
III. Centro de gravedad y volúmenes.
1. El centro de gravedad de la región acotada por las curvas x2 = 4 y , y = mx
es un punto de abscisa igual a 2. Determine el valor de m R. m — 1
2. /1(0;0), B (a ;0 )y C (0;a/2) con a > 0 , son los vértices de un triángulo.
Calcule el volumen del sólido obtenido por la rotación en torno a la recta
Sy¡2na3y = x - a, de la región limitada por el triángulo ABC. R. --------------
24
3. Sea R la región del plano limitado por la parábola y = x2 - 1 y la recta
y = x — 1 . Determine el volumen del sólido obtenido por la rotación de la
7rV2región R alrededor de la recta y = x - 1. R. ----
60
4. La región limitada por las gráficas de y 2 = 20x , x2 = 20y gira alrededor de
la recta 3x + 4y + 12 = 0. Calcule el volumen del sólido generado.
R. 4000tt
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
5, La región limitada por las gráficas de y = x2 , y = 5 gira alrededor de una
recta oblicua que pasa por el punto (-1; 0). Halle la ecuación de la recta si el
volumen generado es igual a (40V5 n )u3 R. 3x + 4y + 3 = 0
IV. El centro de gravedad (x-,y) del arco de una curva (homogénea), cuya
ecuación es y - f (x ) con x 6 [a; b] , donde / es una función con derivada
continua en [a; b] , está dado por
_ ^ x ^ l + [f'(.x)]2 dx f ba f< jx )J l + [ f '(x W d x
j ^ i + [ f(x )Y d x ' y j aby i + [f'{x))2 dx
Usando estas fórmulas, determine el centro de gravedad de las curvas cuyas
ecuaciones son
2,------ / 2 a1. y = yfa2 - x2 R. \P>~
x ( a(e4 + 4e2 - 1)2. y = acosh- , x e [- a ;a ] R. (0;
a ' 1 ' J V ' 4e(e2 -
/ '3. x = a(t - sen t),y = a ( l - eos t) , t e [0;27r] R. bra;-
4a\
3 /
r ti-i /2a 2a\4. x = acos3t ,y = asen3t , t e [0;-j R.
228
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.7 APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN LOS NEGOCIOS
4.7.1 EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR
( oiisideremos la función demanda p = f ( q ) de un determinado artículo, donde
i/ representa la cantidad de artículos que se demandan al precio unitario p. La
l’i áfica de esta función es la curva de demanda.
Si el precio en el mercado del artículo en mención es p0 y ia correspondiente
amtidad demandada es q0, entonces los consumidores que estuviesen en
condiciones de pagar por el artículo un precio mayor que p0 ganan, por el simple
hecho de que el precio en el mercado es menor.
Majo ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del consumidor se representa
por el área bajo la curva de demanda y sobre la recta p = p0 (Fig. 4.73). A esta
arca se le denomina excedente del consumidor (EC) y está dado por
EC = ( f o [ / ( ? ) -Po]d(7 u . m . = ^ f ( q ) d q - p 0q0 ju.m.Una forma alternativa de calcular el excedente del consumidor es
EC ~ ( / 9Í P ) d p ' ju .m . , donde g — / -1 y pr = /(O)
(u. m. significa unidades monetarias)
Fig. 4.73
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
4.7.2 EXCEDENTE DEL PRODUCTOR
Consideremos la función oferta p = f ( q ) de un determinado artículo, donde q es la cantidad de artículos ofertados al precio unitario p. La gráfica de esta
función es la curva de oferta.
Si el precio en el mercado del artículo en mención es p0 y la correspondiente
cantidad ofertada es q0, entonces los productores que estuviesen en condiciones
de vender el artículo a un precio menor, ganan, por el simple hecho de que el
precio en el mercado es mayor.
Bajo ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del productor se representa
por el área sobre la curva de oferta y bajo la recta p = p0 (Fig. 4.74). A esta área
se denomina excedente del productor (EP) y está dado, por
Ep = ( f lPo-f(Q )1dq 'ju .m .= ^p0q0 - J
Una forma alternativa de excedente del productor es '
EP = ( f g(p)dp\ P l
ju .m ., donde g = f 1 y P i = / ( 0 )
f(q )dq )u .m .
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ’
I Jcmplo 49 Si la función demanda es p = 9 - a2 \ n - q u„||P ,•leí consumidor. q > Po “ Halle el cxccdc»“-‘
Sol ución
I .1 región se muestra en la figura 4.75. Con la ayuda de ¡a figura se obtiene
I’jemplo 50 Si la función de oferta es p = 4 + 3o2 v a = 2 r-,!,-,,!,. .iexcedente del productor. R * 9o - ¿ • Calcule el
Solución
La región se muestra en la figura 4.76. Así, resulta
EP — f [16 - (4 + 3q2)] dq ~ 16 u. m.
Ejemplo 51 Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia
perfecta son p = 227 - - q 2 y p = 2 + 2q2 respectivamente. Determine el
el correspondiente excedente del consumidor y el excedente'de productor.
Solucióii
LI precio en el mercado y la correspondiente cantidad está determinado por el
punto de equilibrio E (Fig. 4.77). El punto de equilibrio es la intersección de las curvas de oferta y de demanda, esto es,
227 “ 4 - 2 + 2q2 => q2 = 100 => qe = 10, de donde pe = 202
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Luego,
500 dq = — 11. m.
r10 1EC = I 227 - - q 2 - 202
J 0 L 4
r 1° 4000EP = J [202 — (2 + 2<72)] dq = - u.m
Ejemplo 52 La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de
monopolio, se determinan por la función de demanda p = — (10 — qY y el costo
3total es C = — + 5a de tal manera que se maximice ia utilidad. Determine el
4-correspondiente excedente del consumidor.
Solución
La utilidad es U = I — C , / = ingreso y C = costo total
W = 0 =* /' - C' = 0 =* lMg = CMg
"La utilidad se maximiza si el ingreso marginal (/' = IMg) es igual al costc
marginal (C' = CMg)”.
Como / = pq donde p = precio de venta y q = cantidad vendida, entonces
1 3 9/ = -(10 - q)2q => lMg = 25 - 10q + -q
3 3Luego lMg = CMa => 25 - 10q + - q2 = - q 2 + 5 => q = 2
En q = 2 , la utilidad es máxima porque t/"(2) = -10
Por tanto,
r 2f2rl i 26= j | - (1 0 - q )2 - 1 6 j dq = Y (Fig.4.78)
232
Ejemplo 53 Actualmente el kilo de huevo cuesta S/. 4,6. Los estudios realizados
indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a razón de
0,09 + 0,0006a:2 soles por semana. ¿Cuánto costará el kilo de huevos dentro de10 semanas?
Solución
dp r 10(.orno — = 0,09. + 0,0006x2 =* I (0,09 + 0,0006A:z)dx es el aumento en el
precio dentro de 10 semanas
Luego, dentro de 10 semanas el kilo de huevo costará
10
(0,09 + 0,0006a:2) dx = 4,6 + 1,1 = S/. 5,7I
Ejemplo 54 Halle la cantidad producida que maximiza la utilidad y la
correspondiente utilidad total (suponiendo competencia perfecta) si el ingreso
marginal es IMg = 24 - 6q - q2 y el costo marginal es CMg = 4 - 2 q - q2.
Solución
La utilidad se maximiza (suponiendo competencia perfecta) cuando el ingreso
marginal (/Mg) es igual al costo marginal (CMg) , luego
24 - 6q - q2 = 4 - 2q - q2 => q = 5
Como U' = UMg = IMg — CMg = 2 0 - 4 q y U "(5) < 0, entonces la utilidad
se maximiza cuando q = 5 y la utilidad máxima es
U =
Ejemplo 55 Una empresa textil ha comprado una máquina cuya producción
representa ganancias en un tiempo t dadas por 6 = 2 7 - 2 t z , donde G está en
unidades de S/. 3000 y t está en años. El costo de reparación y mantenimiento en
el tiempo t está dado por ñ (t) = - t2 + 21, donde R está en unidades de S/. 3000
y t está en años. Suponiendo que la máquina puede retirarse sin costo alguno en
cualquier tiempo, ¿cuántos años se debe mantener la máquina para maximizar la
utilidad neta?
Solución
Las ganancias son iguales al costo de reparación y mantenimiento (Fig. 4.6)
cuando1
27 - 2t2 = - t 2 + 2t => t = 3J
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.7.3 OTRAS APLICACIONES
í (20 - 4q) dq = 50 u.m. Jn
p = 4,6 +
233 www.FreeLibros.com
Por tanto, la máquina debe retirarse después de 3 años. La utilidad neta después
de 3 años es
UN = f - R(t)]]dt = | (27 - 2t - ^ t 2) d t = 51
Luego, la utilidad neta después de 3 años es de 153 000 soles.
Ejemplo 56 El valor de reventa de cierta máquina industrial disminuye durante
un período de 10 años a una tasa que cambia con el tiempo.
Cuando la máquina tiene x años, la tasa a la cual está cambiando su valor es de
220(x - 10) soles por año. ¿En qué cantidad se deprecia la máquina al cumplir
dos años y cuál es su precio de reventa si su costo fue de S/. 12 000?
SolucióndV
Si V es el valor de la máquina, — = 2200 — 10); luego,
V(x) = j 2 200 - 10) =* V{x) = i ™ *2 - 2 2ao* + C
Como K 0 ) = 12 000 => C = 12 000 y V(x) = 110x2 - 2 200x + 12 000.
Por tanto, V (2) = 8 040
El precio de reventa es de SI. 8040, y la máquina ha sufrido una depreciación de
S/. 3960.
Otro método para resolver este problema. El valor de depreciación es
í 2 2 00 - 10)dx = -3 960 Jo
Esto significa que la máquina, en dos años se deprecia en S/. 3 960 , en este
tiempo el valor de reventa es 12 000 - 3960 = S/.Q 040
EJERCIC IOS
1. Si la función demanda es p = 25 - q2, halle el excedente del consumidor si
la cantidad demandada en el mercado es q0 = 3 R. 18 u. m.
2. Si la función de oferta es p = 3 ln (q + 2) , halle el excedente del productor
si el precio de venta en el mercado es p0 = 3
3. Las funciones de demanda y oferta en situación de libre competencia son
p = _ (9 - q)2 y p = -(1 + 3q) respectivamente. Calcule el excedente del4 4
consumidor y el excedente del productor.
P TÓPICOS DE CÁLCULO- VOLUMEN II
234
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
■I La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de monopolio,
se determinan por la función de demanda p = 45 - q2 y el costo total
C = 7 + 6q + q3/12 de manera que se maximice laj utilidad. Calcule el
correspondiente excedente del consumidor. R. 16V3u. m.
V El valor de venta de cierta máquina industrial disminuye a una tasa que
cambia con el tiempo. Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual está
cambiando su valor es -960e~t/,s soles por año. Si ei costo de ¡a máquina
fue de S/. 5000, ¿cuál será su valor 10 años más tarde? R. S/. 849,63
(«. Un fabricante calcula que sus ingresos marginales son de jlOOQQ q soles
por unidad cuando su producción es de q unidades. Se ha encontrado que su
costo marginal correspondiente es de 0,4 q soles por unidad. Cuando su nivel
de producción es de 16 unidades, su utilidad es de S/. 520. ¿Cuál es su utilidad
cuando su nivel de producción es de 25 unidades? R. S/. 646,20
7. Un fabricante ha encontrado que su costo marginal es de 6q + 1 soles por
unidad cuando se han producido q unidades. El costo total de la primera unidad es de S/. 130
a) ¿Cuál es el costo de producción de las 10 primeras unidades?
b) ¿Cuál es el costo de producción de la décima unidad?
c) ¿Cuál es el costo fijo?
R. a)S/. 436 b) S/. 58 c) S/. 126
X. La tasa de crecimiento de la población de cierta ciudad cambia con el tiempo.
Los estudios indican que dentro de x meses la tasa de crecimiento de la
población será de 4 + 5x2/3 personas por mes. La población actual es de
10000 habitantes. ¿Cuál será la población dentro de 8 meses?
R. 10125 personas
(). El precio del pollo es actualmente de S/. 4,5 por kilo. Se espera que dentro de
x semanas el precio estará aumentando a una tasa de 0,03\O + 1 soles por
semana. ¿Cuánto costará el kilo de pollo dentro de 8 semanas?
R. S/. 5,02 el kiio
10. Halle la cantidad que maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad
máxima si el ingreso marginal es lMg = 2 0 - 2 q y el costo marginal es
CMg = 4 + (q - 4)2
11. Las funciones de oferta y demanda son, respectivamente p = 1 + ln((? + 1)
y p = 5 — ln(q + 1) . Halle el excedente del consumidor y el excedente del
productor. R. EC = EP = (e2 - 3)u.m.
12. Los promotores de una feria de una ciudad calculan que t horas después de
que se abran las puertas (9 a.m.) los visitantes estarán entrando a la feria a
una tasa de 54(t + 2)2 - 4(t 4- 2)3 personas por hora. ¿Cuántas personas
entrarán a la feria entre las 10 a.m. y el medio día?
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
I í. Una empresa lia comprado una máquina cuya cantidad producida representa
ganancias en un tiempo t dadas por G(t) = 20 — 3t2 , donde t está en años
y G está en unidades de S/. 10000. El costo de reparación y mantenimiento
en el tiempo está dado por R(t) = 212, donde R está en unidades de
S/. 10000 y t está en años. Suponiendo que la máquina se puede retirar sin
costo alguno en cualquier tiempo t, ¿Cuántos años se debe mantener la
máquina para maximizar las ganancias netas totales?
R. Dentro de 2 años y UN' = S/. 266 666,66
14. Una compañía está considerando la adición de personal para propaganda. El1
costo de adición de este personal está dado por C(x) = —x, donde C está en
unidades de S/. 600 y x es el número de personas agregadas. El ingreso
obtenido con el personal adicional es I(x) = 2-¡x , donde / está en
unidades de S/. 600 y x es el número de personas agregadas. ¿Qué número
de personas para propagandas deben agregarse para maximizar la utilidad,
cuál es el ingreso neto adicional (suponer que las funciones son continuas)?.
15. La utilidad marginal de cierta compañía es de 100 — 2x soles por unidad
cuando se producen x unidades. Si la utilidad de la compañía es de S/. 700
cuando se producen 10 unidades ¿Cuál es la utilidad máxima posible de la
compañía?R. S/. 2300
16. El costo marginal de un fabricante es de 3(qr — 4)2 soles por unidad cuando
su nivel de producción es de q unidades.
a) Exprese el costo total de producción del fabricante en términos de sus
gastos generales (costo fijo) y el número de unidades producidas.
b) ¿Cuál es el costo de la producción de 14 unidades si el costo fijo es de
S/. 436?
17. Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia pura son
respectivamente, p = 30 — q2 y p = 2q2 + 3 , halle el excedente del
productor.
18. Si la función de demanda es p = j 20 — q y la cantidad demandada es
q0 = 4 , halle el excedente del consumidor.
19. Halle la cantidad producida que maximice la utilidad (suponiendo
competencia pura) y determinar la utilidad total en dicho punto si las
funciones de ingreso marginal y de costo total están dadas por
ÍMg = 2 4 - 5 q - 2q2 y CMg = 1 1 - 3 q - q2
236
COORDENADASPOLARES
5.1 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
La posición de un punto P en un plano
se puede indicar usando las
coordenadas polares. Para ello, se
considera una semirrecta orientada
O A llamada eje polar, que usualmente
se considera en forma horizontal y que
se extiende hacia la derecha (Fig. 5.1);
al origen O del eje polar se denomina
origen o polo.
A cada punto P de! plano se le asigna
un par (r; 9) donde r es la longitud
del segmento OP y 9 es la medida
en radianes del ángulo cuyo lado
inicial es el eje polar y el lado terminal
es el segmento OP.
Al par (r; 9) se denomina coordenadas polares de P y se denota P(r; 9), r es
llamado radio vector y 9 es el ángulo polar. De la Fig. 5.1- podría deducirse que
r > 0 y O < 0 < 2 7 r , pero éstas no son las condiciones generales. Para asociar
las coordenadas polares a un punto y formar el sistema de coordenadas polares
en el plano es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:
1. Si el ángulo AOP se desplaza a partir de OA en sentido antihorario, 9 es
positivo y negativo en caso contrario.
2. A la semirrecta OA' que forma con el eje polar un ángulo de medida 9 se
denomina eje 0 . El radio vector r es positivo si P está situado en el eje 9 , y
es negativo si P está en la prolongación del eje 9 .
3. El polo O está unívocamente determinado por r = 0 , es decir, al polo se le
puede asignar el par (0; 9), donde d es cualquier número real.
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*
• *(-*;) • ■ s(3;ir) • F<3:" 1)
Solución
Para ubicar estos puntos con mayor facilidad usaremos la roseta polar (Fig. 5.2).
En esta roseta polar, r es constante en cada circunferencia y en cada semirrecta, 9
es constante. Así, los puntos A,B,C,D ,E y F se muestran en la Fig.5.2.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11
Ejemplo 1. U bique en el p lano los puntos cuyas coordenadas polares son
Observación 1
a) Para establecer la correspondencia biunivoca entre puntos del plano y las
coordenadas polares se debe considerar los valores principales
r > 0 y 0 < 0 < 2 tt ( 1 )
b) Cuando no se considera la restricción (1) a un punto dado, se puede asocia)
infinitos pares de coordenadas polares (r; 9). Si las coordenadas polares de
P son (r; 0), también son coordenadas de P los pares:
( ( - l ) n r ; 9 4- nn ) , n 6 2 (2)
Por ejemplo, al punto C(2; u) se puede asociar las coordenadas pola) es
(-2; 2rr) , (2; 3tt), (2; - 7r), (2; 5rr), (-2; 6tt), ..., etc.
T I O
5.2 RELACIÓN ENTRE LAS COODENADAS POLARES Y LAS
COORDENADAS RECTANGULARES
Consideremos el sistema de coordenadas
rectangulares xOy, con Öx = OA , donde
OA es el eje polar (Fig. 5.3).
Si P es un punto del plano cuyas
coordenadas rectangulares y polares son
(x;y) y ( r ;0) respectivamente, el cambio
de coordenadas rectangulares a coordenadas
polares se efectúa considerando las relaciones:
x = r cos 9
y = r sen 9 ^
Inversamente, el cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares se efectúa a través de las relaciones
r 2 = x2 + y 2 ó r = ± /x 2 + y2 y y
tan 9 = — ó 9 = arctan —
Ejemplo 2
¿0 Halle ¡as coordenadas rectangulares dei punto P
b) Halle las coordenadas polares del punto P(~V3; -1).
Solución
a) r = 4, 6 = - => x = 4 eos^ , y = 4 sen^ =* P(2v3;2).
b) x = - V 3 , y = - 1 ==> r = ± 2
tan 9 = — (3er cuadrante) = > 0 = — => pÍ2- — )6 V ’ 6 /
Ejemplo 3. En (a) y (b) halle la ecuación polar de la curva dada y en (c) y (d) halle la ecuación cartesiana de la curva.
a) x2 + y 2 = a2 , a > 0 (circunferencia)
b) (x2 + y 2) 2 = a2{x2 - y 2) , a > 0 (lemniscata de Bernoulli)
COORDENADAS POLARES
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c) r • - 4 sen 9 (circunferencia)
2d) r = ----- (elipse)
2 - eos 8
Solución
a) x2 + y2 = a2 =3 r2 = a2 =» r = ±a
La ecuación polar de una circunferencia de radio a (a > 0) y centro en el
origen es r = a ó r = -a.
b) (x2 + y 2)2 = a2(x2 - y 2) => r4 = a2(r2 cos29 - r2 sen29)
=> r 2 - a2 cos220
c) r = 4 sen 0 => r = 4- =» r 2 = 4y => x2 + y2 = 4y' r
x2 + (y - 2)2 = 4 (circunferencia de centro (0; 2) y radio 2)
2 2 „ 2d ) r = 2^ é 3 r = j n =,1 = 2F ^ Í
¿ r
=> 2r - x = 2 => 4r2 = (2 + x)2 => 4(x2 + y 2) = (2 + x) 2
=> 3x2 + 4y2 - 4x - 4 = 0 (elipse)
5.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN COORDENADAS POLARES
La distancia entre los puntos
Afa] 9 i) y f í( r 2; 02) está dada por
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
d = J r j2 + r22 - 2rtr2 eos (92 - 91)
La demostración se realiza usando la
ley de los cosenos en el triángulo AOB
(Fig. 5.4).
Por ejemplo, la distancia entre los
puntos /l(-3; 77T/12) y (5 (5;7r/4)
es
I 7Td = 19 + 25 + 30 eos- = 7 Fig. 5.4
240
COORDENADAS POLARES
I. Sea L una recta que no pasa por el origen. Si N(p; w) es el par principal de
coordenadas polares del pie de la perpendicular trazada del polo a lá recta L y
P(r; 9) es un punto de la recta L (Fig.55), la ecuación polar de la recta es
r cos(0 — oj) = p (5)
5.4 ECUACIÓN POLAR DE UNA RECTA
II. Si la recta L pasa por el origen (Fig. 5.6), su ecuación polar es
8 — a , a constante
Observación 2
i) Si la recta es perpendicular al eje polar y está a p unidades del polo, la
ecuación (5) se transforma en
r = eos 9 = ±p , p > 0 (6)
El signo de p es positivo si la recta está a la derecha del polo, y es negativo
si está a la izquierda.
ii) Si la recta es paralela al eje polar y está a p unidades del polo, la ecuación
(5) se transforma en
r sen 9 = ±p , p > 0 (7)
El signo de p es positivo si la recta está por encima del eje polar, y es
negativo si está por debajo del eje polar.
iii) La ecuación polar r eos(9 — oj) — p es equivalente a la ecuación
(cartesiana) normal de la recta
x eos cü + y sen o) = p
iv) Una ecuación polar de la recta que pasa por los puntos A(rx\6 ) y
B(r2>s2) es
rxr sen(0! - 9) + r2r sen(0 - 02) = rxr2 sen(0! - 02) (8)
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Ejemplo 4
a) Halle la ecuación de la recta perpendicular al eje polar que pasa por el punto
i4(6; 2n/3).
b) Halle la ecuación de la recta paralela al eje polar que pasa por el punto
B( 2V2; ff/4).
c) Halle la ecuación polar de la recta cuya ecuación cartesiana es
3y¡3x + 3y + 24 = 0
d) Halle una ecuación en coordenadas polares de la recta que pasa por los puntos
/i(4;27r/3)y B(2V2;tt/4)
Solución
a) En la Fig. 5.7 se observa
p = 6cos(27r/3) = -3
Luego, la ecuación polar de la
recta L es
r eos 9 = -3
b) p = 2V2 c o s (7t / 4 ) = 2. Luego, la
ecuación polar de la recta es
r sen 0 = 2
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
c) Considerando la equivalencia de la ecuación polar con ia ecuación normal, es
necesario transformar la ecuación dada en su forma normal. Por geometría
analítica, se sabe que si la ecuación cartesiana de una recta es de la forma
Ax + By + C = 0 , C * 0 (*)
la ecuación normal se obtiene dividiendo (*) entre +y/A2 + B2, donde el
signo del radical es opuesto al signo de C. En nuestro caso, se tiene A = 3>/3 ,
B = 3 y C = +24. Por tanto, dividimos entre - J (3 V 3 )2 + 32 = -6 y la
ecuación normal de la recta es:
V3 1--- x — y = 4
2 2
De esta ecuación se deduce que coso) = —V3/2 , sen (o = -1/2 y p = 4.
De los valores del seno y del coseno se concluye que o) está en el tercer
cuadrante y a) = 7n/6. Por tanto, la ecuación polar de la recta es
r cos(0 — 77t/6) = 4
d) La ecuación polar de la recta que pasa por los puntos yl(4;27r/3) y
B(2V2; ír/4), usando la fórmula (8), está dada por
4r sen ( y - d'j + 2V2 r sen (0 - = 8V2 sen^|
COORDENADAS POLARES
5.5 ECUACIÓN POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA
La ecuación polar de una circunferencia
de centro C(p; a) y radio a, a > 0, es
r 2 + p 2 — 2rp cos(9 — a) = a 2 (9)
En la Fig. 5.8 se observa que si P(r; 9)
es un punto de la circunferencia,
aplicando la ley de los cosenos en el
triángulo OCP, se obtiene la ecuación
(9 ) .
Observación 3
i) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está en el eje polar (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a
r = 2pcos0 (10)
El centro de esta circunferencia es C(p; 0) y su radio es |p|.
i i) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está en el eje n/2 (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a
r = 2p sen 9 (11)
El centro de esta circunferencia es C(p; n/2 ) y su radio es |p¡.
iii) Si el centro es el polo (p = 0) , la ecuación (9) se reduce a
r = ±a (12)
Ejemplo 5. Halle la ecuación polar de la circunferencia tal que:
a) Su centro es el polo y su radio es 4 b) Su centro es C(-5; n/2 ) y su radio es 5
c) Su centro es C(3; 0) y su radio es 3 d) Su centro .es C(3; 7r/6 ) y su radio es 8
Solución
Usando convenientemente las fórmulas dadas en (9), (10), (11) ó (12) se tiene
a) La ecuación de la circunferencia es r = 4 o r = —4.
b) La ecuación de la circunferencia es r- 6 c o s 9 .
c) La ecuación de la circunferencia es r = —10 sen 9.
d) La ecuación de la circunferencia es r 2 - 6r cos(0 - n/6) = 55.
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5.<» DISCUSIÓN Y GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN POLAR
l'ara trazar la gráfica de una ecuación en coordenadas polares E(r\9) = 0, es
conveniente realizar los siguientes pasos:
I) Intersecciones
a) Con el eje polar. Se hace 6 = nn ,n £ TL, y se resuelve la ecuación resultante.
b) Con el eje n/2. Se hace 9 = tc/2 + nn ,n £ TL, y se resuelve ¡a ecuación
resultante.
c) Con el polo. Se hace r = 0 y se resuelve la ecuación que resulta.
II) Simetrías
a) Con respecto al eje polar. En la ecuación se reemplaza (r; B) por
( ( _ l ) nr; -9 + nn), n e TL. Si la ecuación no varía para algún valor de n, la
curva es simétrica con respecto al eje polar; si la ecuación varía para todo
n £ TL, la curva no es simétrica con respecto al eje polar,
b) Con respecto al eje n/2. En la ecuación se reemplaza (r; 9) por
(—(—l ) nr ; -9 + nn), n £ TL. Si la ecuación no varia para algún valor de n, la
curva es simétrica con respecto al eje n¡2\ si la ecuación varia para todo
n E l , la curva no es simétrica.
c) Con respecto al polo. Se reemplaza (r;0 ) por ( - ( - l ) nr; 9 + nn), n E TL,
en la ecuación de la curva. Si la ecuación no varía para algún valor de n, la
curva es simétrica con respecto al polo; si la ecuación varía para todo n £ Z,
la curva no es simétrica.
(*) Si P(r;9 ) es cualquier punto de la
curva cuya ecuación polar es
E(r\9) = 0, el punto simétrico de P
con respecto al eje polar es S (r;-0)
(Fig. 5.9).
Por observación 1, también son
coordenadas del punto S los pares
( ( - l ) ’V; -9 + nn), neTL. Si el
punto S pertenece a la curva,
( ( - l ) nr; -9 + nn) también satisface
la ecuación para algún valor de n, es
decir, la ecuación no varía.
Por otro lado, si ((-1 )nr ; -9 + nn) no satisface la ecuación de la curva para j
todo n e TL, significa que S no pertenece a la curva, es decir, la curva no es ;
simétrica respecto al eje polar. De manera similar se deducen las condiciones
para que una curva sea simétrica con respecto al eje n/2 y al polo. i
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
i’ (r;6 )
Fia. 5.9
244
COORDENADAS POLARES
III) Extensión. Se determina la variación de r y 9
IV) Tabulación. Se tabulan los valores de r y 9.
V) Trazado de la gráfica. En un sistema de coordenadas polares (es preferible
usar la roseta polar) se localizan los puntos obtenidos y se traza la curva con la información obtenida en la discusión.
Ejemplo 6. Determine si son simétricas o no respecto al eje polar, al eje n/2 y al polo, las curvas cuyas ecuaciones son:
a) r = 4 eos 9 + 2 (caracol) b) r 2 = 9 [sen + l]
c) r = 3(1 + cos0) (cardioide)
Solución
a) i) Respecto al eje polar. Reemplazando en la ecuación (r; 9) por (r; - 0),
se obtiene que r = 4cos(-0) + 2 = 4cos0 + 2. Por tanto, la curva es
simétrica con respecto al eje polar.
ii) Respecto al eje n/2. Al reemplazar (r; 9) por ( - ( - l ) nr; -9 + nn), se
tiene que - ( - l ) nr = 4cos(-0 + nn) + 2.
Si n es par => - r = 4 eos 9 + 2 (varía).
Si n es impar => r = 2 - 4 eos 9 (varía).
Luego, la curva no es simétrica porque la ecuación varía para todo n £ TL.
iii) Respecto al polo. Al reemplazar (r; 9) por ( - ( - l ) nr; 9 + nn), se tiene
que - ( - l ) n = 4 cos(0 + nn) + 2.
Si n es par => - r = 4 eos 9 + 2 (varía)
Si n es impar => r = 2 - 4 eos 9 (varía)
La curva no es simétrica con respecto al polo. La gráfica del caracol
r = 4 eos 9 + 2 se muestra en la figura 5.10.
b) i) Respecto al eje polar. Para n = 2, es decir, reemplazando (r; 9) por(r; 2n — 9), se tiene
r 2 = 9 [sen y —) + l] => r 2 = 9 [sen Q + 1
Por tanto, la curva es simétrica con respecto al eje polar.
ii) Respecto al eje n/2. Para n = 2, es decir, reemplazando (r; 9) por
(—r; 2n — 9), se tiene
Por tanto, la curva es simétrica con respecto al eje n/2.
iii) Respecto al polo. La ecuación no varía al reemplazar (r; 9) por (—r; 8)
(para n = 0). Luego, la curva es simétrica respecto al polo y su gráfica se muestra en la Fig. 5.11.
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e) i:i cardioide r = 3 ( l + cos0) es simétrico con respecto al eje polar. No es
simétrico respecto al eje n/2 ni respecto al polo (verificar).
I,a gráfica del cardioide r = 3 (l + cos0) se muestra en la Fig. 5.12.
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
110“ ‘ . \
\ / \ \ N A V "
i / V ^ s ;i . . r * l
✓ S /
\
K j I ’ 1 *... I i ’ j J
/ y -s _
240"
- \ x \
" \ y x— " x
r - 4 cos0 + 2
á
\ /\ .
jk X \*
/ ' > & i . .
V
" 7
á g X ' \
s¡§-3N gQ /
a \ / \\ A
r = 3 (l + cos0)
Ejemplo 7. Discutir y graficar la ecuación r = 4 eos 9 + 2 (caracol).
Solución
Por la periodicidad del coseno, es suficiente considerar 8 6 [0; 2n].
I. Intersecciones
a) Con el eje polar. Reemplazamos 9 = nn en la ecuación y se tiene
r = 4cos(n7r) + 2.
Si n es par => r = 6 => (6; 0)
Si n es impar => r = —2 => (-2; n )
b) Con el eje n/2. Reemplazamos 9 = (n/2 + nn) en la ecuación y obtenemos
r = 4 cos(7t/2 + nn) + 2
Si n es par => r = 2 => (2; n/2)
Si n es impar => r — 2 => (2; 3n/2)
246
c) Con el polo. Haciendo r = 0 en la ecuación, se obtiene 0 = 4 eos 9 + 2 ó
eos 9 = —1/2. Luego, 9 = 2n/3 V 9 = 47t / 3. La curva pasa por el polo.
II. Simetrías. En el ejemplo 6 hemos visto que este caracol es simétrico solamente respecto al eje polar.
III. Extensión, fl £ M A -2 < r < 6,
IV. Tabulación
COORDENADAS POLARES
6 0 n/6 n/4 n/3 n/2 2n/3 3n/4 Sn/6 nr 6 5,5 4,8 4 2 0 - 0,8 -1,5 -2
V. Trazado de la gráfica. La gráfica se muestra en la figura 5.10.
■ ©sen - + 1Ejemplo 8. Discutir y graficar la ecuación r2 = 9
Solución
Procedemos de manera similar a lo realizado en el ejemplo anterior.
I. Intersecciones
a) Con el eje polar. 9 = nn => r 2 = 9[sen(nn/2) + 1],
Si n = 0 => (3;0) y (—3; 0). .
Si n = 1 => (4,2; n) y (-4,2; n).
Si n = -1 => (0; —n).
n
r ¿ = 97T 71
b) Con el eje 6 = - + nn ¿ ¿t
■ + nnsen + 1
Si n = 0 => (3,9; n/2) y (-3,9; tt/2).
Si n = 2 => (1,6 ; Sn/2) y (-1,6 ; Sn/2).
c) Con el polo, r = 0 => 9 = 3 n , 9 = 7n.
II. Simetrías. La curva es simétrica con respecto al eje polar, al eje n/2 y al origen (ver ejemplo 6).
III. Extensión. 9 £ R y - 3y/2 < r < 3^2.
IV. Tabulación (Ejercicio para el lector. Considerar que el período de la función es 4n)
V. Trazado de la gráfica. La gráfica se muestra en la figura 5.11.
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 9. Trace la gráfica de r = 1 — [2 sen 20] , 0 G [0; n].
Solución
Dividimos convenientemente el intervalo [0; 7r] de modo que |[2 sen 20] tome un
solo valor entero en el subintervalo considerado.
Si 0 G [0; 7T/12) => 0 < 2 sen 20 < 1 => |2 sen 20] = 0 => r = 1.
Si 0 G [tt/12; 7t /4) => 1 < 2 sen 20 < 2 => [2 sen 20] = 1 => r - 0.
Si 9 = ti/4 =» 2 sen 20 = 2 => [2 sen 20] = 2 =* r = -1.
Si 0 G <7t /4; 5jt/12] => 1 < 2 sen 20 < 2 => 12 sen 20] = 1 => r = 0.
Si 0 G <5tt/12; jt/ 2] =* 0 < 2 sen 20 < 1 =* 12 sen 20] = 0 => r = 1.
Si 0 G ( jt/ 2 ; 7tt/12] =* -1 < 2 sen 20 < 0 => \2 sen 20] = -1 => r = 2.
Si 0 G <7tt/1 2; H tt/ 12) => -2 < 2 sen 20 < -1 => [2 sen 20] = -2 => r = 3.
Si 0 G [1171/12; 7r> => -1 < 2 sen 20 < 0 => \2 sen 20] = -1 => r = 2.
Si 0 = 7r =» 2 sen 20 = 0 => [2 sen 20] = 0 => r = 1.
La gráfica se muestra en la Fig. 5.13.
5.7 INTERSECCIÓN DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES
Proposición 1. Si r = /(0 ) es la ecuación de una curva en coordenadas polares,
entonces
( - l ) nr = f (8 + nn) , n G Z (13)
es también la ecuación de dicha curva.
Considerando esta proposición, para hallar la intersección de dos curvas cuyas
ecuaciones en coordenadas polares son
r = f (8) y r = g(8)
se siguen los siguientes pasos:
1. Se obtienen todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (13) a
cada una de ellas.
r = f(8) , r = A (0 ) , r = f2(9) , ... r = g(8) , r = g^d) , r = g2(9) , ...
2. Se resuelven, para r y para 9, las ecuaciones simultáneas
r = f(8) (r = f1(0) ( r = f(9)
r = g(0) ' Ir = g i(8 ) ' [r = 5l (0) ’ eiC'
248
3. Se verifica si el polo es un punto de intersección haciendo r = 0 en cada
ecuación para determinar si existe solución para 9 (no necesariamente la solución será la misma).
I ara tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección de dos curvas,
se sugiere trazar sus gráficas previamente de modo que se simplifique el trabajo.
Ejemplo 10. Halle las diferentes ecuaciones de las curvas
a) r = 2 + eos 29 b) r = 2 + sen 0
Solución
a) Aplicando (13), las ecuaciones de r = 2 + eos 20 están dadas por
(-1 )nr = 2 + eos 2(0 + n n ) , n GZ
Si n es par =* r = 2 + eos 20 . Si n es impar =* - r = 2 + eos 20.
Luego, las diferentes ecuaciones de la curva son:
r = 2 + eos 20 y r = -2 - eos 20
b) De manera similar, las ecuaciones de r = 2 + sen 0 están dadas por
( - l ) nr = 2 + sen(0 + n n ) , n £ Z
Si n es par => r = 2 + sen 0. Si n es impar => - r = 2 - sen 0.
Luego, las diferentes ecuaciones de la curva son:
r = 2 + sen0 y r = -2 + sen0
LOOKUtNADASPOLARES
Ejemplo 11. Halle los puntos de intersección de las curvas cuyas ecuaciones en
coordenadas polares son V2 r = 3 y r 2 = -9 eos 20.
Solución
Las gráficas de estas curvas se muestran en la Fig. 5.14. Considerando las
simetrías de estas curvas (respecto al eje polar, al eje n/2 y al polo), es suficiente
hallar un punto de intersección.
Al resolver simultáneamente
ecuaciones, se obtiene
9 1- = —9 eos 20 =>cos20 = — 2 2
=> 20 =2n n
0 = 3
Luego, los puntos de intersección son:
/ 3 7r\ / 3 2n\
( v f : 3Í ' B ( v f : "3")'
/ 3 4tt\ / 3 57r\
c(ví:t ) J d(vS;t )
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 12. Halle los puntos de intersección de las curvas
r = 2 eos 0 y r = 2 sen 9
Solución
Las gráficas de estas curvas
(circunferencias) se muestran en la figura
5.15. Es evidente que el polo es un punto de
la intersección (en r = 2 eos 9 para
9 = n/2 => r = 0; en r = 2 sen 9 para
Q - o => r = 0).
No es necesario hallar las diferentes
ecuaciones de las dos curvas, ya que al
resolver simultáneamente sus ecuaciones se
obtiene
2 eos 9 = 2 sen 9 => tan 9 = 1 => 9 = —4
Luego, los puntos de intersección son P(V2; 7r/4) y el polo.
Ejemplo 13. Halle los puntos de intersección de las curvas
r = 4(1 + sen 9) y r ( 1 - sen 9) = 3
Solución
Las gráficas de r = 4(1 + sen 9) (cardioide) y r ( l - sen 9) = 3 (parábola) se
muestran en la Fig. 5.16. Se observa que el polo no pertenece a la intersección.
No es necesario hallar las otras ecuaciones de estas curvas, pues al resolver
simultáneamente sus ecuaciones se obtienen los cuatro puntos que se observan en
el gráfico. En efecto,
4(1 + sen 9) = 3/(1 - sen 9) ^ 4 eos29 = 3 => eos 9 = ±V3/2
l l n
~6~
n Sn 7n
T ’ e - e ’ d
Luego, los puntos de intersección son
j4(6; 7r/6) , 6 (6 ; 5n/6),
C(2;7n/6) y D (2; l l 7r /6)
250
Fig. 5.16
5.8 DERIVADAS Y RECTAS TANGENTES EN COORDENADAS POLARES
Sea r = / (0 ) la ecuación de una curva. De las fórmulas
(x = f{9 ) eos 9
(y = /(0)sen 9
que son las ecuaciones paramétricas con parámetro 9, de donde
COORDENADAS POLARES
x = reos 9 A y = r sen 9 se obtienen \X( y =
dydy _ ¿9_ dy _ f ' ( 9 )sen 9 + f ( 9 ) eos 9
dx dx dx f '{9 ) eos 9 — /(0)sen 9d9
(14)
Como sabemos, esta derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en el
punto (x ; y), es decir,
dy— = tan a dx
(15)
donde a es el ángulo de inclinación de la recta tangente a la curva.
Sea P(r-,9) el punto de tangencia y /? el ángulo que forma el radio vector OP y
la recta tangente. Examinaremos los siguientes casos:
En el caso (a): a = 9 + p => = a — 9
En el caso (b): ¡1 = a + n - 9 => /? = n + (a -. 9), de donde:
tan /3 = tanfrr + (a - 0)] = tan(a - 9)
Lo que significa que en ambas situaciones se verifica tan /? = tan(a - 9), es
decir,
tan a - tan 9
1 + tan a tan 9(16)
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Considerando (14) y (15) se obtiene
tan /? =
/ ' ( 0)sen0 + / ( 0) cosd _ fí
f '(0 ) eos 0 - f(9)sen 6
i 4. / 'C esene + f{8) cose 1 + rnc fí - f fflYcen fí/ ' ( 0) eos 0 - / ( 0)sen 9
Simplificando se obtiene
/(0)tan/? = -777 -, esto es,
f i e y
dr
tan P ~ ° d0 :::rcoti? <-1?')
18
“La derivada del radio vector r respecto al ángulo polar 6 es igual al producto de
la longitud del primero por la cotangente del ángulo formado por el radio vector y
la tangente a la curva en el punto dado”.
Ejemplo 14. Halle los valores de P, a y las ecuaciones cartesiana y polar de la
recta tangente a la curva r = a( 1 — eos 0) en 8 — t i / 6 (a > 0).
Solución
La gráfica de r = a ( l — eos 9)
(cardioide) se muestra en la Fig. 5.18.
dr
dé= a sen 6, de donde
tan /?a( 1 - eos 9)
a sen 0
2 sen2 2
o 0 02 sen 2 eos 2
Luego, tan /? = tan (0/2), de donde
* = 2 => *
7T
12
120” k \ \ y*
I
i 60°
/ S /
W ' ! ^1 1 J
240"
IjT ¡apSNT /
270" 300°
El mismo resultado se obtiene al reemplazar 0 = tt/6 en tan /? -
Fig. 5.18
(1 - eos 0)
sen 6
a - 9 + p => a = n/6 4- n/12 =¡> a = rr/4 y la pendiente de la recta
m r = 1
252
COORDENADAS POLARES
Olía forma de obtener la pendiente es usando la fórmula (14)
dy _ / '(0 )sen0 4-/(0) cos0 dr~ TT7ñ\--- o-- 777--- 7 ■ donde / ' ( 0) = — = a sen 0
dx / (0) eos 0 - / ( 0)sen 0 dd
Reemplazando 8 = n/6 en esta expresión se obtiene
dy
dx= m r = 1
.as coordenadas rectangulares (x; y) del punto de tangencia son
Ú 2
o ^ a ( , a ( ^x0 = reos 8 = ( 1 - — ), y0 = r sen 6» = — í 1 — ^
La ecuación cartesiana de la recta tangente es y - y0 = l(x - x0), es decir,
5 - 3V3x — y 4- • ■a = 0
y la ecuación polar de esta recta es
7n\ _ 3V3 - 5
4V2r eos
( - t )
Ejemplo 15. Halle las ecuaciones cartesiana y polar de la recta tangente a la
curva r 2 = 9 eos 20 en el punto P(3V2/2; n/6).
Solución
Como r 2 = 9 eos 20, derivando
implícitamente se obtiene:
9 sen 20
Luego,
dy r ’ send 4- r eos 0
dx r' eos 0 - r sen 0
Reemplazando
3V2 7T , 3V3
r = — • e = 6 y r
obtenemos
dy
3 n 4 \
— 1 ' 1 1
1 1t
s / s /
. . X p ^ t
V v V V
v / ■
** _
S r 1 —i—j — ► / J
— ^ X sX \
dx= 0 = m T
Las coordenadas cartesianas de Z3 son x = 3 ^ / 4 , y
ecuación cartesiana de la recta tangente es y = 3^ 2/ 4.
Fig. 5.19
3\/2/4. Por tanto, la
La ecuación polar de està recta es r sen 0 = 3V2/4.
Hn la fig. 5.19 se muestra la gràfica de r 2 = 9 cos 20 (lemniscata de Bernoulli).
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5.9 ÁNGULO ENTRE DOS CURVAS EN COORDENADAS POLARES
Sean C y C' dos curvas que se
intersecan en el punto P. Si T y T'
son, respectivamente, las rectas
tangentes a las curvas en el punto P, el
ángulo entre las dos curvas en el punto
P es el ángulo formado por las tangentes
T y T'.
Si las ecuaciones de las curvas C y C'
están en coordenadas polares y /? y /?'
son, respectivamente, los ángulos que
forman el eje polar y las rectas tangentes
T y T' (Fig. 5.20), entonces:
4 TPT' = 4-OPT' - 4-OPT, es decir, <f) = ß' ~ ß
Luego,
tan ß' - tan ß
Fig. 5.20
(18)1 + tan P'tan p
(tan/?' y tanp se calculan aplicando (17) en el punto de intersección de las
curvas)
Observación 4. Como la discusión del ángulo puede presentar dificultades, se
calcula el ángulo agudo entre las tangentes a las curvas considerando ¡tan (p\.
En todo caso, la interpretación gráfica del problema simplifica los cálculos.
Ejemplo 16. Halle el ángulo de intersección entre las curvas 4rcos0 = 3 y
r - 3 eos 0.
Solución
De la gráfica de las dos curvas (fig. 5.21),
se obtiene <p = P' ~ P-Para hallar los puntos de intersección
resolvemos simultáneamente sus
ecuaciones y obtenemos
3 13 eos 0 = ---- - =* eos 0 = -
4 eos 8 2
n Sn^ e = - y 8 = —
Los puntos de intersección son
P(3/2; 7t / 6) y <2(3/2; Sjt/6).
Solamente hallaremos el ángulo entre las dos curvas en el punto P (se deja como
ejercicio al lector el ángulo en el punto Q).
3 dr 3 sen 60 r - -ñ ^ ~T7T = 1---777 Y tan 18' -- cot 8
4 eos 8 d8 4 eos28 H
. „ drn) r = 3 eos 8 =* — = -3 sen 8 y tan R = -3 cot Q
ad r
Por la dirección de los ángulos y aplicando (18), se tiene:
tan p - tan /?' -cot 8 - cot 8tan <b = — —— ------- => tan ó ~ ---------
v 1 + tan p tan p 9 1 - cot20
Para 8 = n/6 tan (f> = -V3. Finalmente, (p = 2n/3.
COORDENADAS POLARES
EJERCIC IOS
I. Exprese en coordenadas polares los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares.
1) P (3 /2 ;-3 /2 ) 2 )P (1 ;-V 3 ) 3) (-V3; 1)
4) P(V8;V2) 5) P (—8; 8) 6) (4; 4^3)
II. Exprese en coordenadas rectangulares los siguientes puntos dados en coordenadas polares.
1) P(3;3?r/4) 2) P (-2 ;n ) 3) P(4; -2tt/3)
4) P (—2; —Stt/12) 5) P (- l/2 ; —tt/4) • 6) P(3;2)
III. Halle las ecuaciones polares de:
1. y — 5 = 0 R. r sen 8 = 5
2. x2 - x2y 2 - y 4 = 0
3. x2 + y 2 — 4x + 2y = 0 R. r = 2(2 eos 8 — sen 0)
4. 6xy = 5 R. 3r 2 sen 20 = 5
5. y 2 = x3/(2a - x) R. 2a tan 0 sen 0 = r
6. x2 + y 2 — 2y = 0 R. r = 2 sen 0
7. 3(x — 2)2 + 4y2 = 16 R. r(2 - eos 0) = 6
8. y 2 - 4x - 4 = 0 R. r ( 1 - eos 0) = 2
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9. 3x2 + 4y2 - 6x - 9 = 0 R. r 2(3 + sen20) = 3(2r eos 0 - 3 )
10. 2xy = a2 R- r 2 sen 20 - a2
11. x2 - y 2 = a2 R. r 2 eos 26 = a2
IV. Halle las ecuaciones rectangulares de
1. r = asen 0 - b c o s 9 R. x2 + y2 + bx - ay = 0
2. r 2 = a2 eos 29 R. C*2 + y 2)2 = a2(x2 - y 2)
3. r ( l - eos 0) = 4 R. y2 = 8(x + 2)
4. r ( 2 - eos 0) = 3 /?. 3x2 + 4y2 - 6x - 9 = 0
5. r ( l - 2 eos 0) = 4 ñ. 3x2 - y 2 + 16x + 16 = 0
6. r = a ( l - eos 0) K. (x2 + y 2 - ax) = a2(x2 + y 2)
7. r 2 eos 20 = 3 R .x 2 - y 2,= 3
8. r = 2 eos 20 i?, (x2 + y2)2 = 2(x2 - y2)
9. r sen 20 = 4 fí. x2y 2 = 4(x2 + y 2)
10. r = a sec 0 + b R. (x - a )2(x2 + y 2) = ¿>2x2
11. r sen20 = 4eos0 R. y 2 = 4x
12. r = sen 20 ñ. (x2 + y 2)3 = 4x2y 2
V. Ejercicios diversos.
1. Demuestre que el área del triángulo de vértices Cril ^ i). (r3¡^3)
está dada por
1 rsen(02 - 0i) sen(03 - 02) sen(0x - 03)] r i r2r3 [--------- + ---- ----- + - ]
2. Halle la longitud de los lados y el área del triángulo de vértices
a) (1; 7r /3) , (2; ít/6) y (3; — tt/6)
R. J 5 - 2 V 3 , V7, V lÓ , ^(3V3 - 2)
b) (2; tt/8) , (4; 3rr/8) y (-1; 7tt/8) ________
R. 2J 5 - 2V2 , J s - 2V2 ,V Í7 , ^ (5 V 2 - 4 )
COORDENADAS POLARES
1. Demuestre que el ángulo entre las rectas:
r cos(0 - o>) = p y r cos(0 - a>') - p' es a - &/.
-1. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos y B(r2;62).
Sugerencia: considere un punto P(r; 0) cualquiera de las rectas y las áreas de
los triángulos OAB, OBP y OPA.
sen(0t - 02) sen(02 - 0) sen(0 — 0j)---------- H----------- 1---------- = 0
r rx r2
5. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (r^-^j) y es perpendicular a la recta r eos(0 - cu) = p.
R. r sen(0 - oí) = rjsenf©! - co)
6. Si C (a ;a ) es el centro de una circunferencia de radio a expresado en
coordenadas polares, demuestre que r = 2a eos (0 - a) es la ecuación de la
circunferencia que pasa por el polo.
7. P es cualquier punto de la circunferencia r 2 - 2re eos(0 - a) + c2 - a 2 = 0.
Si O es el polo y Q un punto sobre OP de manera que:
OP ______i) = = k ii) OP.OQ = d2
OQ
Halle la ecuación del lugar geométrico descrito por Q en cada caso.
R. i) k2r 2 - 2 ckrcos(9 - a) + c2 - a2 = 0
ii) (c2 - a2) r 2 - 2cd2rcos(0 - a) + d* = 0
8. Si el foco de una cónica (parábola, elipse o hipérbola) está en el polo y la
directriz de la cónica es una recta perpendicular al eje polar que está a una
distancia de 2p (p > 0), la ecuación de la cónica está dada por:
2 epr = — ------ , e es la excentricidad de la cónica (19)
l± e c o s 0 v J
(la cónica es una elipse si 0 < e < 1 , una parábola si e = l y una hipérbola
si e > 1). Si la directriz está a la izquierda del polo, el signo de (19) es en
cambio, si la directriz está a la derecha del polo, el signo de (19) es +.
Si el foco se mantiene en el polo y la directriz es paralela al eje polar, la
ecuación de la cónica está dada por
2 ep
r ~ 1 ± e sen 0 ('20)
Si la directriz está debajo del eje polar, el signo de (20) es - y si la directriz
está sobre el eje polar, el signo es +.
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a) Halle la ecuación de la elipse con foco en el polo, excentricidad e = - y
directriz perpendicular al eje polar en el punto (—4; 0).4
R. r =
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
2 — eos 0
b) Halle la ecuación de la parábola con foco en el polo y directriz
perpendicular al eje polar en el punto (—3; 0).
R. r1 - eos 0
c) Describa y grafique la curva r =16
5 + 3 sen 6R. elipse
VI.Trace la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes.
1. r = 5 sen 0 + 4cos0
3. r eos 0 = 6
5. r 2 = 16 sen 20
7. r ( 1 + sen 0) = 8
9. r 2cos30 = a sen 0
11. r = a sen2 -
13. r = a 0, espiral de Arquímedes
15. r = a ( l + eos 0), cardioide
17. r 2 = a2sen 20, lemniscata
19. r = 4 eos 30, rosa de 3 pétalos
21. r = a sen 30, rosa de 3 pétalos
23. r = a eos 20, rosa de 4 pétalos
25. r = a eos 40, rosa de 8 pétalos
27. r = a eos 50, rosa de 5 pétalos
28. r = a (2 + eos 0), caracol de Pascal.
29. r = a ( l - 2 eos 0), caracol de Pascal
30. r = 12 + 3 sen 20]
2. r sen 0 = 4
4. r 2 sen 20 = 16
6. r(2 — cos 0) = 4
8. r ( l - 2 cos 0) = 4, hipé'bola
10. r = 2a tan 0 sen 0, cisoide
3 012. r = a senJ -
14. r = ead, espirai logaritmica
16. r = a( 1 - cos 0), cardioide
18. r 2 = a2 cos 20, lemniscata
20. r 2 — 4r + 3 + 2 cos 0 = 0
22. r = a sen 20, rosa de 4 pétalos
24. r = a sen 40, rosa de 8 pétalos
26. r = a sen 50, rosa de 5 pétalos
258
' 2'
3tt>R. ( 2V2; Î ) ; ( 2Æ ^ )
COORDENADAS POLARES
31. |r| = 3 cos 20, 0 e [0; tt]
32. |r| = -3 cos 20 , 0 6 [0; rr]
VII. Ejercicios sobre simetrías.
1. Determine la condición para que una curva sea simétrica con respecto al eje 7r/4.
2. Determine la condición para que una curva sea simétrica con respecto al eje 7T/3.
VIII. Halle los puntos de intersección de los siguientes pares de curvas
1. r sen 0 = 2 a , r cos (0 - = a R. (2a;
2. r = 2 ese 0 , r = 4 sen 0
3. r = a , r = 2a cos 20
4. r = a ( l - cos0 ), r = acos0 /?. y ei p0j0
5. 3r = 4 cos 0 , r ( l + cos 0) = 1 R. (2/3; ±tt/3)
6. r = 4 tan 0 sen 8 , r = 4 cos 0
7. r 2 sen 20 = 8 , r cos 0 = 2
8. r = 1 + cos0, 2r = 3
19. r = - sec¿- , r = 2
2 2
0 110. 3r = 4 cos 0 , r eos2 — = —
2 2
11. r = l + cos0 , 2r ( l- c o s 0) = l
12. r cos 0 = 4 , r = 10 sen 0
13. r = a ( l + sen 0) , r = a ( l - sen 0)
14. r = 3 + cos40, r = 2-cos40
15. r = 2 + cos 20, r = 2 + sen 0
259 www.FreeLibros.com
IX. I lalle los ángulos /?, a y la pendiente de la recta tangente para las siguientes
curvas en los puntos dados. Trace la gráfica de la curva.
n _ 37r
1. r = 4(1 + sen 0) ; P(4; 0) P ~ 4 ' “ “ 4
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
2. r 2 = a 2(co s20) ; p ( - ^ ; - ) P
3. r ( l + sen 0) = 4 ; Px (2; —) , P2(4; Jr)
57T
~6~
7T4. r = 4 sen 30 ; P(4;—)
n 2n5. r = a sen 9 ; 9 =
6. r = a sen 20 ; Pt ^ 'a; , P2 (o¡ |)
7. r ( l - sen 0 ); P(a; rc)
8. r = a sec20 ; P (2a;-)
X. Halle el ángulo de intersección entre las curvas siguientes en los puntos que se
indican.
'y¡2 n n
1. r = a eos 9 , r = a sen 9 ; en P ^ ^ í J ^ 2
/ 27T\ ^
2. r = 4 eos 0 , r = 4 eos20 - 3 ; en P ^-2; — J 2
n3. r = a , r = 2a sen a ; en P(a; -)
4 r = - a sen 0 , r = eos 0 ; en el polo
XI. Halle los ángulos de intersección de las curvas siguientes:
1. 2r = 3 , r = a + cos0 R .n /6
2. 3r = 10, r(2 - sen 0) = 5 fí. nr/3
3. r = 1 — sen 0 , r = 1 4- sen 0
R. 0 o en el p o lo , 7r/2 en (1; 7r ) ; e n (l;0 )
260
COORDENADAS POLARES
4. r = eos 0 , r = sen 20
ñ. 0o en (0; 7r/2) ; 79°6'aprox. en yen ( — — ; — )\ ^ 6) \ 2 6 J
5. r 2 sen 20 = 4 , r 2 = 16 sen 20 R. n/3
6. r ( l - eos 0) = 4 , r (2 + cos0) = 20
7. r = 3(1 - eos 0 ), r = 3 eos 9
8. r = a eos 0 , r = -a sen 20
/?. 0o en el polo, arctan 3V3 en los otros puntos
9. r = sec 0 , r sen 29 = 2 R. Las curvas no se cortan
XII. En los ejercicios del 1 al 4, demuestre que las siguientes curvas se cortan en
ángulo recto.
1. r ( l + eos 9) = a , r ( 1 - eos 9) - b
2. r = a ( l + eos 9 ), r = a ( l - eos 0)
3. r - 2 a eos 9 , r - 2b sen 0
4. r = 4 eos(0 — n /3 ) , r 2 — 6r eos 0 + 6 = 0
5. Halle la condición para que las circunferencias
r 2 - 2cr eos(0 - a) + c2 - a 2 = 0 y
r 2 + 2 c'rcos(9 — a ') + c'2 — a'2 = 0
se corten ortogonalmente.
fi. c2 + c'2 — 2cc' eos (a — a ') = a 2 + a
6. Demuestre que r eos(0 — oj) = a + c eos (a — w) es tangente a la
circunferencia r 2 — 2cr cos(0 — a) + c2 — a2 = 0.
7. Halle las coordenadas polares de los centros y los radios de ¡as
circunferencias
2n\r = 4 eos ^0 — —j y r 2 - 2r eos 0 - 2 = 0
Pruebe además que las circunferencias se cortan ortogonalmente (dos
circunferencias se cortan ortogonalmente si la suma' de los cuadrados de
sus radios es igual al cuadrado de la distancia entre sus centros).
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Ivn esta sección deduciremos una fórmula que permita obtener el área de una
región F (Fig. 5.22) limitada por una ecuación polar, esto es,
F = {(r; 0) É l 2 / a < 9 < p , 0 < r < f(9 )}
donde / : [a; /?] -» R es una función continua y no negativa.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
5.10 ÁREAS EN COORDENADAS POLARES
Fig. 5.22 mg.
En términos simples, F es la región comprendida entre las gráficas de
r = / ( 0) , eje a , eje /? (con a < P)
Sea 90 E[a;p] y sea A(0O) el área del sector limitado por la curva r = f ( 9 )
y por las rectas 9 = a y 9 = 90. Sea 0O + A0 E [a; /?], con A9 > 0, y
m = mín f(9 ) A M = máx / (0 )e0<e<e0+Ae e0¿B<e0+as
El área A(90 + A9) - A(90) está comprendida entre las áreas de los sectores
circulares de radios m y M (Fig. 5.23). Para A0 > 0 se tiene
m 2A9 M2A9
Luego.
< A(90 + A9) - A(90) <
m 2 ^ A(90 + A0) — A(90) ^ M2
~Y ~ A9 “ ~2
Como f 2/ 2 es continua en [0O;0O+A0], por el teorema de los valores
intermedios, existe 0 E [0O; 90 + A0] tal que
/ 2(0) A(9n + A0) — A(90)
2 A 0
Por la continuidad de f 2/ 2 en 0O, se sigue que
A(9a + A9) — A(90) / 2(0O)lim
A0
262
COORDENADAS POLARES
Procediendo de modo análogo, para A0 < 0 . se tiene
lim A(°o + M ) - M Q 0) f 2(Q0)
Ao-o- A9 2
Por tanto.
A'(0) = ~ y , V 9 E [a,P\ (*)
l’or consiguiente, de (*) se deduce que la fórmula para hallar el área de la región /■' expresada en coordenadas polares es
1 [P
a ^ = 2 ¡ f 2W 0
Observación 5. Sean f , g: [«; p] -» M funciones continuas en [a ,p ] tales que
() £ 9(0) ^ f(0 ) , V 0 £ [a;P], y sea F la región limitada por las gráficas de
>' = 9 (9 ). r = f{9 ) y ¡as rectas 9 = a y 9 = p (Fig. 5.24). Entonces ei área de la región F está dada por
A(F) = \ f [f2(9) - g 2(9)]d9J ir
e = P'• = / O )
F \
= ¿ '(l'
V 0 =a
V - j * ’Z S .
\
0— ►
X
2
// /
m «■'" ‘I /V /
^ N r - 2 + e o s 0
s
-X f\ \\ \ V
' 1 \ n°
f s1 «a» .
2
1 1 13* ' i /
L " ' // /
/ jT ✓ ^y
y
Rg- 5.24 . Fig. 5.25
l.jemplo 17. Calcule el área de la región F limitada por la curva r = 2 + eos U y los ejes 0 = 0 y 9 = n/2.
Solución
I .a gráfica de la región F se muestra en la fig. 5.25.
Al aplicar la fórmula correspondiente para hallar el área, se tiene
A(F) = + cos9)2d9 = ^ 2^4 + 4cos0 + --+,C° S 29 j d9
+16 ,= --
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Ejemplo 18. Calcule el área de la región limitada por la lemniscata
r 2 = a2 eos 29
Solución
Como la lemniscata es una curva simétrica respecto al eje polar, es suficiente
multiplicar por 4 el área de la región R (Fig. 5,2o). Entonces
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
A(F) = 4
ni r*
J 4«Jo
2 eos 29 d9
Ejemplo 19. Halle el área de la región líhiitada por lás parábolas
r ( l + eos 6) = 4 y r ( 1 - eos 0) - 4.
Solución
En este ca¿&, una parábola es simétrica á la otra parábola con respecto al eje n/2
(al reemplazar 9 por n - 9 efl láf' primera ecuación, se obtiene la segunda
ecuación). Estas parábola» son simétricas con respecto al eje polar y sus puntos de
intersección son los puntos 4 (4;7r/2) y B(4\3n/2). Considerando las
simetrías, el área de la región enjre estas parábolas (Fig. 5.27) es 4 veces el área
de la región R. En la integral se utilizará la identidad (1 + eos 6 — 2 cos20/2).
A(F) = 41 f I 16 d9 _ Í J dO _ [22 J 0 ( l + cos0 )2 32 J0 [2 eos2 9/2]2 J0
A0 sec — d9
64
Ejemplo 20. Calcule el área de la región que es interior a la curva r = 2a eos 39
y exterior a la circunferencia r = a, a > 0,
Solución
La región se muestra en la Fig. 5.28 (parte sombreada). Para hallar el área total es
suficiente multiplicar por 6 el área de la región R. Entonces
COORDENADAS POI.. A RES
Fig. 5.28 Fig. 5.29
I jeinplo 21. Calcule el área de la región que es interior a las curvas
V 2r = 3 y r 2 = - 9 eos20
Solución
La región es la parte sombreada que se muestra en la cig. 5.29. Por simetría se(iene
A(F) = 41 r i 1 c'ì 92 j r j - 9 c o s z s j d f l + j j . - d e
3 , .= - (6 + 71 - 3v3)u ‘
3 j
E jemplo 22. Halle el área de la región que es interior a la curva r - 3a eos 29 y
exterior a la curva r = a ( l + eos 29) , a > 0.
Solución
La región es la parte sombreada que se ilustra en la fig. 5,30. Por simetría, se tiene
A(F) = 4[A(RX) + A(Rz) l . dondfe
MRi)-= ^ f [9a2cos2.20 - a2( 1 + cos20)2] dd ‘ ^ Jo
n1 f 6
W ■= [9a‘ Jo
, »‘ _ ü f (
- n
a^n(3 + 4 eos 49 - 2cos 29) d9 =
^ ( ^ 2) = 2 J [9cl2cos229 - a2( 1 + eos 26)2]d0
(donde a es tal que eos 2a == - 1/ 4)
= ^ J P + 4 eos40 - 2 eos29]d9 = ~ 3a
l.uego, A(F) = a2 (471 + ^V l5 — 6aj u2 = (9,95 a2) u2.
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
5.11 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES
Para calcular la longitud de arco de una curva expresada por la ecuación polar
r = f(9 ), 8 6 [a;P], parametrizamos en términos del parámetro 0. Así. las
ecuaciones paramétricas de la curva son
x = f (8 ) eos8 A y = /(0)sen 8 , 8 6 [a;/?]
donde / es una función con derivada continua V 8 6 [a; /?].
Al aplicar la derivada de un producto, se obtiene
dx dy— = f '{8 ) eos 8 - / ( 0)sen 8 y — = / ' ( 0)se!n 0 + / ( 0) eos 0 uu do
Entonces
Í S ) + Q ’
Luego, aplicando la fórmula de longitud de arco de una curva dada en ecuaciones
paramétricas, se tiene c}ue la longitud de arco de r = / (8) desde 8 = a hasta
9 = ¡i está dada por ’
de
Ejemplo 23. Halle a longitud de arco de la curva r = a sen3 (0 /3 ) , a > 0.
Solución
La gráfica de la curva se muestra en la fig. 5.31. La curva queda descrita si
8 6 [0; 37rJ (es simétrica respecto al eje rt/2).
6 6 0 QComo [/(0)]2 + l/ '(0 )P = a2 sen5~ + a2sen4- eos2 - = a2sei>4- , entonces
>J J ví
r37r { 0 f 3n ,0 a f 3n / 20\ 3an! s Ja2 sen4 - d8 = a sen2 — dB = — j (1 — eos — )d9 = —— u
¡ . 3 i p 3 2 J„ y j / 2Jo
Fig. 5.31
266
Fig. 6.32
Ejemplo 24. Halle la longitud de arco de la parte de la parábola r = a sec2(8/2) cortada por .la recta perpendicular que pasa por eí polo.
Solución
La gráfica se muestra en la fig. 5.32. Se tiene ~ nf 2 < 0 < n /2 y
dr¿jj = / ' ( 0) = a sec2(0/ 2)tan(0/ 2)
Aplicando la fórmula correspondiente, se tiene
L = I r V[/(0)]2 + [/'(0)]2 dd = a í sec3 - d8Jjl 2
COORDENADAS POLARES
8 B
2 ■ - r ~~2í 6
a L 2
= 2a[V2 + ln(V2 + l)]u
tan- + ln sec- + tan- 2 L
Ejemplo 25. Halle la longitud de la curva r = 2b tan B sen 6, b > 0 desde 0 = 0 hasta 0 = tt/3.
Solución
La gráfica de la curva se muestra en la fig. 5.33. Con la fórmula de la derivada obtenemos
dr
d9= r' = 2b sen 0(sec20 + 1)
Luego,
L
7T
= í 3V^2 + (r ')2 deJo
n
— 2b j tan 0 Vsec20 + 3 dd Jq
Ln la última integral hacemos el cambio de
variable u 2 = sec20 + 3. Entonces
2 u d u ~ 2 sec20 tan 6 d6 => tan 0 d6 -u du
u2 - 3
Cambiando los límites de integración, se tiene
1r2 , r P?
J 2
f V7 u2 du r ^ 3
= ^ 3 = » J 2 ( l + ^ 3)du = 2b
= L (V 7 - 2) + V3 b in A(2 + V3)(V7-V3)
l l(2-V 3)(V 7 + V3)
. V3 lu - V3u + — ln -----
2 u + V3
V7
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5.12 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN EN COORDENADAS
POLARES
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
En primer lugar, queremos calcular el volumen de un sólido (Fig. 5.35) obtenido
por la rotación alrededor del eje x de un sector circular del plano xOy (Fig. 5.34)
comprendido entre los ángulos 0* y 92-
i
/
/ y \
i * a
i/ X
Fig. 5.34
El sector circular puede ser descrito del siguiente modo:
0 < x < rcos8z y fi(x) < y < fi(x) j sect:or entre 8X y 02
r eos 02 < x < r eos 0, .y f t (x) < y < 5 (x))
donde
f x(x) = x tan , / 2(x) = x tan 02, g(x) = J r 2 - x 2
Al aplicar el método del disco, obtenemos
¡•r cos0, rr cos0i
V
/•r eos 02 f r COS0! |-rcos0!= .jr [f2(x)]2dx + n \ [g(x)l2dx — n I lA (x)]2d r
* r eos 02 0
r.r eos 02 rrcos0! fr cosOj= n\ x2 tan202 dx + u (r2 - x2)dx - n x2 tan261dx
Jn -¡r eos 02 0
Haciendo los cálculos respectivos, se tiene
2n r3V = — — (eos 0! - eos d2) (21)
Ahora, nuestro propósito es calcular el volumen V del sólido obtenido por la
rotación en torno al eje polar de la región plana
F = ((r; 6) / 0 < r < f (6 ) , a < 6 < (3}
donde r = / ( 0) es la ecuación de una curva en coordenadas polares ( / es
continua en [a; /?]) y F es la región limitada por las gráficas de la curva r =
/ (0 ) y los ejes 8 = a y 9 = /? (Fig. 5.36).
268
COORDENADAS POLARES
Fi9- 5.36 F¡g. 5 37
Sean 80 y 90 + A9 dos puntos de [a;/?], con A8 > 0. y
m = «, A M = máx / ( 0)e0<e<en-v&e e0<e<e0-rAe
I- I volumen obtenido por rotación del sector F comprendido entre 9q y 9n + A8 (Fig. 5.37) es, según la fórmula (21).
¿nm1[eos 0O - eos (0O + A0] < V(6a + A0) - V(80) <
Dividiendo entre A0 > 0 se tiene
2?i M3■ [eos 0O - eos (0O -t- A0)j
¿útil3 rcos0n - eos (6>0 + A0)1 '/(<90 + A9) - V(80) 2ttA/3 rcos0c - eos (6, +
3 ‘ AS j- re----- £ — [--- — -j
Como / 3 es continua en [0o;0o + A0J, por el teorema de los valores
intermedios, existe e [0O; 90 + A0] tal que
V(60 + A9) - V(90) _ 2 n f3(91) reos 90 - eos(0O + A0)i
A 9 A0
I ornando límite cuando A0 -> 0+, debido a la continuidad de f en 0O, se tiene
^ 2t t /3(0o) ^V (0O j = --- ---- Sen 0O
Del mismo modo se hace para A0 < 0. Por tanto.
u n a 27r/3(0o)1 (0o) = ---^--- sen 0O
I malmente, el volumen del sólido es V = V(¡}) - V(a). esto es
27r [PV = — I / 3(0)sen0c¡&
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Ejemplo 26. Calcule el volumen del sólido obtenido al hacer girar el cardioide
r = a( 1 + cos0) , a > 0, alrededor del eje polar.
Solución
En la figura 5.38 se observa que para obtener el referido volumen es suficiente
girar en torno al eje polar la parte del cardioide que está en el semiplano superior.
Entonces se tiene:
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN IICOORDENADAS POLARES
EJERCICIOS
I. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule el área de la región limitada
por las curvas (dadas en coordenadas polares) que se indican y bosqueje la gráfica de la región.
1. r = a eos 9 , 0 < 9 < n/3
2. r = a( 1 - eos 9)
3. r = 4 eos 20
4. r = a sen 29
5. r = eos 3 9
6. r = a eos 59
7. r 2 = a2 sen 49
8. r = a( 1 + 2 sen 9), 9 = - — v 9 = —6 ' 6
9. r = |4 sen 29\
10 . r = b + a eos 9 (0 < b < a)
11. r = a eos 49
12. r 2 = a2 eos 89
13. La región es interior a las curvas r = 3 + eos 49 y r = 2 - eos 49.
R. 3 7 n /6 u2
14. La región es interior a r = 3 + eos 49 y exterior a r = 2 - eos 49.
15. La región es interior a r = 2 - eos 40 y exterior a r = 3 + eos 40.
16. La región es interior a r = 2 + eos 29 y exterior a r = 2 + sen 0.
R. 51V3/16u2
17. La región es interior a las curvas r = 2 + eos 20 y r = 2 + sen 0.
271
/?. (0,37a2)u 2
¡3u
R- ( t
R. 4nuz
2
' 2 \ - -GT )l/‘
f i .
7TÍT
-ir
3tt ,«.
„ U a 9K. ---u2
4
R. a 2u 2
R. 8nu
R. .- (2b2 + a2)u 2
R. a2u 2
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18. La región es interior a V2 r = 3 y exterior a' r 2 = -9 eos 2 ^
R . í 3tt — 9 + 2 ) U
19. La región es interior a las curvas r = 3a eos 20 y r = a ( l + eos 20),
a > 0.
20. L» región está comprendida en,re la parte externa '
, e n í a 2— 55— x2r = asenJ - \ J
21. La región está comprendida entre las curvas:
9tt
a) r = i — eos 20 , r = 2(1 - eos 20) , 0 < B < n R- u
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
b) r = 2a eos 0 , r = 2a sen 0 R . cl2 [ 2 ) u
c) r = a sen 0 , r — &(1 + cos (. 2 )
/7r ^ ^ 2d) r = 2 sen 2 0 , r = 2 cos 20 R , V2
curva.
1 r = sen 0 , 0 S [0; 2tt]
2. r = 20 , 0 E 10:2,1 «• [2W I T Í Í 5 + ln t2" +
R. 8a u3. r = o(l + eos 0) , a > 0
4. tí = + i ) desde r = 1 hasta r = 3 R . Í C4 + l» 3 )u
5. E, arco deta espiral logaritmica r = » > 0. que se encuentra
dentro del círculo r - a. ,---------1 + mz
R. a ----- um
RECTAS Y PLANOS L = EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
(-.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIM ENSIONAL
I I objetivo de esta sección, es recordar las operaciones con vectores y sus
propiedades con la finalidad de hacer uso de ellas en la siguiente sección, razón
por la cual no se demostrarán las propiedades.
(».6.1 El ESPACIO E 3
1.1 espacio de dimensión tres es el conjunto de todas las ternas ordenadas de
números reales y se denota con
R 3 = {(x;y;z) / x,y, z £ IR}
Así, un vector en el espacio IR3 es una terna ordenada de números reales y se
denota con á = ( a 1; a 2;.-a3)
Igualdad de Vectores
Dos vectores a = (a 1; a 2; a 3) y b = (b1'l b2\b3) en el espacio R 3 son iguales si
solo sí sus componentes correspondientes son iguales, es decir
d = b <=> a t = b1, a 2 = b2 y a 3 = b3
Vector nulo
I s el vector que tiene todas sus componentes iguales a cero y se denota con
0 -- (0; 0: 0). Este vector es el único vector que no tiene dirección especifica
Suma de Vectores
Sean á = ( a 1; a 2; a 3) y b = (b1; b2; b3) dos vectores en el espacio E 3.
entonces el vector á + b está definido como
á + b = ( a 1 + b1-,a2 + b2: a 3 + b3)
Multiplicación de un escalar por un vector
Sea r un escalar ( r £ R) y a = ( a t ; a 2; a :l) 1111 vector en el espacio IR3, entonces
1.1 multiplicación del escalar r por el vector a está definido como
r a = (raj,- r a 2; r a 3)
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Si d ,b ,c son vectores en el espacio IR3 y r ,s G E se verifican las siguientes
propiedades:
1. a + b es un vector en el espacio IR3.
2. á + b = b + á (Propiedad Conmutativa)
3. a + (b + c) = (a + b j + c (Propiedad Asociativa)
4. Existe un único vector cero 0 = (0; 0; 0) tal que á + 0 = a , V a en l 3
5. Para cada vector a = (a1;a 2;a3), existe un único vector (opuesto de a),
- a = (-a j; - a 2; - a3) tal que a + (-a) = 0
6. r a es un vector en IR3
7. r ( a + b) = r a + r b
8. (r 4- s) a = r a + s a
9. r(s a) = (r s) a
10. 1 a = a , V a en M3
Cualquier sistema matemático en el que estas propiedades son válidas, recibe el
nombre' de espacio vectorial real. De este modo R 3 es un espacio vectorial real
de dimensión tres.
Sustracción de vectores
Sean a = (ax; a2; a3) y b = (bx; b2; b3) dos vectores del espacio IR3, entonces
la diferencia de estos vectores se define como
a - b = a + (-ib), es decir, a - 6 = (ax - bx\a2 - bz; a3 - ¿3)
6.1.2 REPRESENTACIÓN GEOM ÉTRICA DE UN VECTOR EN IR3
Dado que un vector es un ente matemático que tiene dirección, sentido y longitud;
es representado por un segmento orientado en el que se distingue un origen y un
extremo.
El vector que tiene como origen el origen de coordenadas y extremo cualquier
punto P(x-,y;z) del espacio M3 (Fig. 6.1) se llama vector de posición y se
denota con
a = OP = (x ;y;z)
donde O es el origen de coordenadas.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.1.1.1 PROPIEDADES l'n vector que tiene como origen un punto inicial P0 y extremo el punto P, (l i;;. 6.2) se denomina vector libre y se denota con
a = PJK
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
I n la figura 6.3 se representa geométricamente las operaciones entre dos vectorestí y b.
d - P,P2 - OPz - OP, - (x2;y2; z2) - (x1;y1;z1) = (x2 - x,; y2 - y i;z2 - z j
275
<t
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Se dice que dos vectores a y b en el espacio R3 son paralelos, si uno de ellos es
múltiplo escalar del otro, es decir,
a II b<^>á = r b v b - s á , r,s 6 R
Dos vectores paralelos á y b tienen el mismo sentido si
a = rb, r > 0
Dos vectores paralelos a y b tienen sentidos opuestos si
a = rb, r < 0
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.1.3 VECTORES PARALELOS EN R 3
Ejemplo I
¡a) Si a = (1; 3; -4) y b = (2;-1; 2), encuentre los vectores a + b, d + b y
3 a - 2b
b) Determine s; cada par de los vectores dados a — (— 1; 2; — 3) y
b = (5; -10; 15) , c = (-2; 4; - 6) y d = (0; 1; 3) son paralelos.
Solución
a) Al aplicar las definiciones dadas se tiene
d + b = (1; 3; -4) 4- (2; -1; 2) = (3; 2; -2)
a — b = (1; 3; -4) - (2; -1; 2) = (-1; 4; - 6)
3 a - 2 b = 3(1; 3 ;- 4 )- 2(2;-1; 2) - (—1; 11; —16).
b) Tenemos
b = —5a => a II b y tienen sentidos opuestos
c = 2d => d \\ c y tienen el mismo sentido
Los vectores a y d no son paralelos
I.» longitud o norma o módulo de un vector a — (a ^ a2; a3) en el espacio R 3se denota y se define como
l|a|| = V ^ i2 + a22 + a32
l’or ejemplo, si d = (1; 2; - 2) => ||a|| = j l 2 + 22 + (- 2)2 = 3
Observación 2
ti) La norma de un vector es la longitud
del segmento orientado que lo
representa (Fig. 6.5)
■h) Todo vector de longitud igual a 1 se
llama vector unitario, es decir u es
unitario si ||u|| = 1
¡'i El vector unitario en la dirección del
vector no nulo a es el vector
a
6.1.4 M ÓDU LO O LONGITUD DE UN VECTOR EN R 3
6.1.4.1 PROPIEDADES
Si a y ib son vectores en el espacio R3 y r es un escalar, entonces
1. ||a|| > 0 y ||a|| = 0 <=> a = 0
2. ||r a|| = |r|||a||
3. ||a + b || < ||a|| + ||¿|| (Desigualdad triangular)
4. ||a|| = || —a||
6.1.5 PRODUCTO INTERNO O ESCALAR DE VECTORES EN R 3
Si a = (at ; a2; a3) y b = (bt ; b2;b3) son vectores en el espacio R 3 , entonces
el producto interno o producto escalar de a y b es el número real definido y denotado por
a • b = axb1 + a2b2 + a3b3 (se lee "a punto ¿ ”)
Por ejemplo, si a = (5; 4; -1) y b = (2; -1; 3), entonces
d-b = 5(2) + 4(—1) + (-1)3 = 3
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.1.5.1 PROPIEDADES
Sean á,b y c vectores en el espacio R 3 y sea r un escalar. Entonces se tiene
1. á -b = b ■ a (Propiedad Conmutativa)
2. (r a) ■ (b) = r (a - b)
3. á - ( b ± c ) = d- b ± á - c (Propiedad Distributiva)
4. a • a = ||al|2 ; a ■ a = 0 <=> á = 0
5. ||a + ¿||2 = Hall2 + ||£||Z + 2a-b
6. ||a — b\\2 = Hall2 + ||fe||2 - 2a • 5
7. ||a + b ||2 + ||a - fc||2 = 2[|a[|2 + 2||fo||2 (Ley del paralelogramo)
6.1.6 ÁNGULOS ENTRE DOS VECTORES
Sean a y b vi
espacio R 3. El ár
a y b es el ]
9 (0 < Q < n) del
partir de un mismo
Teorema 1 Si 9
vectores no nulos
entonces
áeos 6 = —
Ha
Demostración Ejercicio para el lector
Observación 2 Del teorema 1 se deduce que una forma alternativa para calcular
el producto escalar de los vectores á y b es
a-b = l|a||||£|| eos 9
setores no nulos en el
igulo entre los vectores
menor ángulo positivo
lerminado por ambos al
origen común (Fig. 6.6)
es el ángulo entre dos
á y b del espacio R 3,
~b \y e / a
O(origen)
Fig. 6.6
278
i i L./AINWO C.1N c u t l ^ r A U . lU l I\1 LM1V1 1U1\ AL.
6-1.7 VECTORES ORTOGONALES O PERPENDICULARES
Dos vectores no nulos a y b en el espacio R 3 son ortogonales o perpendiculares si el ángulo determinado por ambos es de 90c
Teorema 2 Dos vectores no nulos á y b en el espacio R 3 son perpendiculares si
y solamente si á-b = 0
Observación 3 Sean á y b vectores no
nulos en el espacio R 3. De la figura 6.7
se tiene:
u a 1 ¡b <=> ¡|a + ¿||" = j|a||2 + ||¿||“
(Teorema de Pitágoras)
ií) á I b «=> ||a - b ' f = ¡|a||2 + ||fc||‘
Kjemplo 2 Halle el ángulo que forman los vectores d = (12 ;0 ;-6) y
/') = (—6; 0; 3)
Solución
a ■ b -72 + 0 - 18 -90 -90eos 0 = ----— = — ---------= -------- = ----= — i => q — n
l|a||||¿|¡ v l80v45 2V45V45 90
Kjemplo 3 Calcule el producto escalar de los vectores a y b si se sabe que
forman un ángulo de 30°, ||a|| = 4 y ||fe|| = 6V3
Solución
á -b - l|d||p|| eos 30° = 4(óV3) = 36
Kjemplo 4 Sean a y b dos vectores que forman entre sí un ángulo de 45° y
¡|a|¡ = 3. Calcule |¡¿|¡ si se sabe que el vector a - b e s perpendicular al vector a.
Solución
Puesto que el vector a — b e s perpendicular al vector a. se tiene
(a - b) ■ á = 0 <=* á - a = b ■ a <=> ||a||2 = ||¿>||||a|| eos 45°
» 9 = ||¿||(3)(-^j ~ ¡|¿|| = 3V2
Áa + b /r
b b
a
Fig. 6.7
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 5 Sean a ,b y c vectores en el espacio IR3 tales que ||a[| = 6.
p|| = 2V3 y ||c|| = 2. Sabiendo que los vectores a y b forman un ángulo de
30°, los vectores b y c un ángulo de 6QC y los vectores a y c un ángulo de
90°, calcule
a) a- (b + c) b) ||a - c||
Solución Tenemos
a) á-(b + c) = á-b + d-c = HallpH cos 30° + ||a||||c]| cos 90°
= 6 (2 V 3 )^ ~ j + 6(2)(0) = 18
b) ||a - c||2 = ||a||2 - 2a • c + |lc|l2 = 36 - 2||a||l|c|| eos 90° + 4 = 40
De donde se obtiene
||a - c|| = V4Ó
6.1.8 COMPONENTE Y PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN VECTOR
EN LA D IRECCIÓN DE OTRO VECTOR
Sean a y b vectores no nulos en el espacio K3
Al vector OM (Fig. 6.8) se llama vector proyección ortogonal de a sobre b y
se denota como
OM = Proy ¿a
En el siguiente teorema veremos el procedimiento para determinar este vector
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Teorema 3 Sean a y b vectores no nulos en el espacio K3, entonces
¡1) El vector proyección ortogonal de a sobre b es el vector dado por
d - úProy ra = b =
P W I I
b) Al escalar que multiplica al vector unitario ~ se denomina
componente del vector a en la dirección b (se denota Comp5a), es decir,
~ a-bCompga =
Ejemplo 6 Halle el vector proyección ortogonal de a sobre b y la componente
del vector a en la dirección b de los vectores a = (5; 0:4) y b = (2; - 1; 2)
Solución
El vector proyección ortogonal de a sobre b es el vector
-— . _ / a • b\ r /10 + 0 + 8\
s a = F F v — 9 — J ( 2 : ~ 1 ; 2 ) = 2 ( 2 ; _ 1 ; 2 ) = ( 4 ; _ 2 ;
^ componente del vector a en la dirección de b es el escalar
a ■ b 18
6.1.8.1 PROPIEDADES
Compga = = — = 6
Sean a ,b y c vectores no nulos en el espacio K3 y k un escalar cualquiera distinto de cero. Entonces
I. Proy¿(a ±b) = Pro y ¿"a ± Proy ¡ b
2. Proy¿(ka) = k Proyc-a
3. Proy(fcf)a = Proyc-a
4. Comp¿(a ± b) = Compra ± Compró
5. Comp^fca) = kComp¿a
, n ( Compra , si k > 0
' C - W Í - c ün, p , i , si K ,
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Ejemplo 7 Sean a y b vectores en el espacio R 3 que verifican a + 3b = 0 y
compga = -6 . Calcule el valor de A = 5(3a + 2b) • (3a — 2b)
Solución
Como a = -3b , entonces los vectores a y b tienen sentidos opuestos. Luego,
el ángulo que forman estos vectores es 9 = rr. Además,
||a|l = 11-3511 - 3||b|| (1)
Por otra parte, •
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
á-b Ha || b I eos tiCompga = = ---- ¡r^----= -||a|| - -6 =* ||a|| - 6 (2)
' W M IReemplazando (2) en (1) obtenemos ||5|| = 2
Ahora bien, usando las propiedades del producto escalar resulta
A = 5(3a + 2b) • (3a - 2b) = 5 (9||a|i2 - 4||b||2) = 5[9(36) - 4(4)]
= 1540
Ejemplo 8 Dado el triángulo de vértices ¿4(5; 2; 3), B(8; 2 ;-1) y C(3;3;5)
a) H a lle las componentes del vector Proy-^MN si se sabe que el vector MN es
paralelo al vector AC , donde M está sobre el lado AB, N sobre el lado BC y
\\MN\\ = 18
b) Calcule X — 5 (AC ■ üjg + -Com p^j4 flj
Solución
Sean los vectores AB = (3; 0; -4) y AC = (-2; 1; 2)
a) Como MN || ~AC, entonces Proy ^M N = MN. Además,
WÑ - kAC — k (—2; 1; 2) (k > 0)
Por otra parte, |¡MW|| = V9k2 = 3fc = 18 => k = 6
Por consiguiente, ProyjgMN = 6(—2; 1; 2) = (—12; 6; 12)
b) Aquí tenemos
AB 1 N 3 ^ 4^
^ " p f ¡ “ 5 C3: 0; _ 4) " (5 ; ; 5
__ , AB-AC - 6 - 8 14c o m p á s = - ™ - = — ó— - - y
\\AC\\Luego resulta
/__ , 3 __ a ( 14 14\A = 5 yAC • Ujg + - Com p^ylñJ = 5 ( - y - y j = -28
282
Ejemplo 9
a) Ln el triángulo ABC que se muestra en la
figura adjunta se tiene ,4(3; 1; 1) y
Proy¿¿AB = (2; —1; 5). Determine las
coordenadas del punto M , que es el pie de
la perpendicular trazada del vértice B al
lado AC.
Ii) Si se sabe que los vectores unitarios
u y v forman un ángulo de 120° y los
Rectores w y v un ángulo de 90°,
calcule el valor de ||Proy¡5(4u + vv) j|
Solución
,1) Utilizando la definición de la proyección de un vector sobre otro, tenemos
AM = Proy^AB = (2; -1; 5)
<=> Om - 3; yM - l ; z M - 1) = (2; —1; 5)
«=> xM = 5 ,yM = 0 A zM = 6
Por lo tanto, las coordenadas del pie de la perpendicular trazada del vértice B al lado AC es M (5; 0; 6)
I)) Tenemos ||u|| = ||i?|| = 1, ü-v = ||u||||v|| eos 120° = - ^ y w - v = 0. Así,
-— • ( (4u + vv) ■ / i NProyp(4u + w) - I ---------- I v = (4u • v + w ■ v)v = 4 -J = - 2v
Por lo tanto, el módulo buscado es
J| Proy^j (4u + ív)|| = ||-2v|| = 2||í5|¡ = 2
(.1.9 PRODUCTO VECTORIAL
Sean a = (a1;a 2; a3) y b = (b1;b2;b3) dos
vectores en el espacio R 3
Se denomina producto vectorial de los vectores
d y b al vector que es perpendicular al plano que
l ontiene a los vectores a y b y se denota con
ti x b. Antes de dar su definición precisa, es
1 onveniente tener en cuenta la siguiente
observación.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
B
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Observación 4 Los vectores unitarios que siguen el sentido positivo de los ejes
coordenados son
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
i = (1; 0; 0), / = (0; 1; 0) y k = (0; 0; 1)
A estos vectores también se Ies llanta vectores
de la base canónica en R 3
Los vectores unitarios T , j y k se utilizan
para representar cualquier vector del espacio
R 3 en su forma algebraica. En efecto, si
a = (a-L; a2; a3) , entonces se tiene
a = (ai, a2; a3) = (ax; 0; 0) + (0; a2; 0) + (0; 0; a3)
= ax(1; 0; 0) + a2(0; 1; 0) + a3(0; 0; 1) = axí + a2j + a3k
Luego, todo vector a = (a1(- a2; a3) se puede escribir en su forma algebraica
cí = ax í + a2J + a3k
Ahora podernos expresar el vector á x b en términos de los vectores í , / y k
mediante el siguiente determinante de orden 3 x 3
a x b =T j k
a l a 2 a 3
b, b2
\ a 2 a 31 |a l a 3
¿1 b3\J + b:al a2|
= (a2¿3 - a3b2)i — (axb3 - a ^ ) ] + (axb2 - a ^ k
= (a2¿3 - a3b2; a3bx - ax¿3; ax¿2 -
Se verifica fácilmente que a • (a x 6) = ¿ • (a x ¿) = 0, es decir, el vector
d x b es perpendicular a los vectores a y b.
Ejemplo 10 Considerando los vectores a = ((1 ;—1; 1) y b = (2;0; 1), halle
un vector que sea perpendicular tanto a a com© a b
Solución
El vector que es perpendicular a ambos vectores, es el vector d x b. Así tenemos
a x b =l J k
1 -1 1
2 0 1
-1 11
0 II|1 lf - |1 12 i r I2
\k = -1 + j + 2k
284
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
6.1.9.1 PROPIEDADES
Si'an a, b y c vectores en el espacio R 3 y k cualquier escalar. Entonces
I a x b = —b x a (Propiedad Anticonmutativa)
a x (b ± c) = (a x b) ± (á x c)), „ > Leyes distributivas
t. {a + b ) x c = a x c + b x c J
l k a x b = a (kb ) = ka x b
V a x á = 0
><. ñxb=Q<=>á\ \ b
/. a ■ (a x b) = 0
S.. b ■ (a x b) = 0
'). ||a x ¿|| = ||a||||¿|| sen 6, donde Q es el ángulo entre a y b
10. ||a x ¿||2 = ||a||2||¿||2 - (a • b)2
11. Si a l i y a l c => a | | ¿x c
12. X x J = k , j x k = l , k x~i = J
6.1.10 APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL
6.1.10.1 ÁREA DE UN PARALELOGRAM O
Sean á y b vectores no nulos y no paralelos en el espacio R 3 . Ahora,
consideremos que estos vectores son los lados de un paralelogramo, tal como se
muestra en la figura 6.10. El área A 7 del paralelogramo es
A = (base) • (altura) = (||a||)(||6||sen 9) = ||<T x 1>|| u 2
Fig. 6 .1 0
285
Fig. 6.11
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.1.10.2 ÁREA DE UN TRIÁNGULO
Sean a y b dos vectores no nulos y no paralelos en el espacio
triángulo determinado por lós vectores a y b (Fig. 6.11) es
, _ 11“ X 11 -.2
El área del
6.1*11 EL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO M IXTO DE
VECTORES
Sean á = (a1;a 2;a3), b = (£ > !,- ¿?3) y c = (c1;c2;c3) vectores en el espacio
R 3. El triple producto escalar de los vectores d, b y c está definido y denotado
por
a. (b x c) ~
a l a 2 a 3
¿1 ¿2 ^3
c \ c 2 c 3
Ejemplo 11 Dados los vectores a = (1; -1; 1), b = (0; 2; -1) y c = (1; 0; 2),
halle á ' ( i x c )
Solución
Por la definición, se tiene
1 - i 1
á • (b x c) = 0 2 -1
1 0 2
= 4 + 1 — 2 = 3
_ i | 2 - l | _ r_ n |0 -l| + i|0
lo 2 1 l l 2 I l l
6.1.11.1 PROPIEDADES
Sean a, b y c vectores en el espacio M3
1. El triple producto escalar de los vectores a , b y c es independiente del
orden circular de la operación, es decir,
a • (b x c) = b • (c x a) = c • ( a x b )
2. Los vectores a, b y c son coplanares (están en el mismo plano) si y
solamente si á ■ (b X c) = 0
3. Si a ■ (b x c) = 0, entonces uno de los vectores es el vector nulo o dos de'los
vectores son paralelos o los tres vectores son coplanares.
RECTAS Y PLANOS' EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
6.1.12 APLICACIÓN DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
6.1.12.1 VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO
'i-nn á — AB, b AD y c = AE vectores determinados por las a r ism
adyacentes de un páralelepípedo ABCDEFGH (Fig. 6.12).
d a d o ^ r 11 V? de‘ Para,elepípedo A r m iñ a d o por los vectores á, b y c está
VP = \d-(bx C)| = \AB-(ADx AE)| u 3
Fig. 6.12 ----Fig. 6.13
6.1.12.2 VOLUMEN DE UN TETRAEDRO
Sean a = AB, b = AC y c = AD vectores determinados por las aristas adyacentes de un tetraedro D- ABC (Fig. 6.13).
Ll volumen VT del tetraedro determinado por los vectores a , b y c está dado por
VT = -\a-(b x c)| =^\AB-(ACxAD)\u3
Kjemplo 12 El vector de posición a se encuentra en el plano y2 y el vector de
'!0S',C n * y negativo, de manera que el ángulo entre ellos es 120°.II&II = v27 y ||¿|| = 8, halle el vector a x b
Solución
Dado que d = (0; a2; a3) y b = (0; b2; 0) (b2 < 0), se tiene
') ||6|| = = 8 => b2 = -8 => b = (0; -8; 0)
í¡) l|5 x ¿|| = ||a||p||sen 120° = V27 (8) = 36
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 1!
iii) á x bl J k
0 a2 a3
0 - 8 0= (-8a3; 0; 0)
De ii) y iii) se obtiene ||a x b|| = J64a3 = 36 =» a3 = ±-
Por lo tanto, el vector es a x b = (±36; 0; 0)
Ejemplo 13 En el paralelepípedo que se muestra en la figura adjunta se tiene
A( 1; 1; 1), B(3; 1; 1), C(3; 4; 1) y E (3; 1; 5)
Calcule: ^
a) El área del paralelogramo CDHE
b) El volumen del tetraedro de vértices A,
B, C y H.
Solución
a) De la figura se obtiene
CD = BA = (—2; 0; 0), CE = (0; —3; 4). Entonces
CD xC S =? J k
-2 0 0
0 , -3 4
(0; 8; 6)
Luego, el áreft paralelogramo CDHE es
A ^ = ||CD X C£|| = V82 + 62 = 10 u 2
b)' De la figura resulta H (l; 1; 5), entonces
BC = (0; 3; 0), BA = (-2; 0; 0) y &H = (-2; 0; 4). Luego,
BC x 5/1i J k
0 3 0
-2 0 0
= (0; 0; 6)
Por tanto, el Volumen del tetraedro H-BCA es
VT = \\~BH- (BC x f íl)| = \\24\ = 4 u 3 6 6
Ejemplo 14 Dados los puntos >1(1; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 2) y D{x\ 0; 0)
a) Determine el vector á , si se sabe que es perpendicular al plano que contiene
al triángulo ABC y que ||a|| = 14 u
b) Si el volumen del tetraedro C-ABD es 3 u 3, determine las coordenadas del
punto D.
288
Solución
a) Los vectores AB = (—1; 3;O) y AC = (—1; 0; 2) se encuentran en el mismo
plano del triángulo ABC, entonces
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
AB x AC =i j k
- 1 3 0- 1 0 2
(6; 2; 3)
Como a \\AB x AC *=* a = kAB x AC = (6k\ 2/c; 3k).
Puesto que ||a|| = 14, entonces
||a|| = V36fc2 + 4k2 + 9k2 = 14 <=> 7|fe| = 14 <=> k = ±2
Por tanto, a = (12; 4; 6) V a = (-12; -4; -6)
b) Los vectores aristas adyacentes del tetraedro C-ABD son
AB = (-1; 3; 0), AD = (x — 1; 0; 0) y AC = (-1; 0; 2)
El triple producto escalar de estos vectores es
__ - 1 3 0AB ■ (AD x AC) = x - 1 0 0 = -6(x - 1)
- 1 0 2Dado que el volumen del tetraedro es 3 u 3 , entonces se tiene
1,— _ — . 1 Vt =-\AB • (ADxAC)l = — \—6(x — 1)| = \x - 1| = 3
o 6
Por consiguiente, D (— 2; 0; 0) V D(4;0;0)
-2 V x = 4
Ejemplo 15 Con los puntos i4(8;0;0), C(4; — 1; 1), D(6; 0; 5) y B (punto del
primer octante) se forma un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores AS,
AC y AD
a) Calcule el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los puntos ¿4, C y
D.
b) Sabiendo que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el volumen
del paralelepípedo es de 44u3, determine las coordenadas del punto B.
Solución
a) Dado que los vectores adyacentes que forman la cara ACHD (paralelogramo)
del paralelepípedo son AC = (-4; -1; 1) y AD = (-2; 0; 5), entonces
A C xA D =i
-4
- 2J k
-1 1
0 5
= (-5; 18;-2)
Luego, el área de la cara del paralelepípedo es
= \\AC x AD\\ = V25 + 324 + 4 = V353 u 2
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
b) Como AB II ñ — (1; 1; 1) =* AB = kñ = (fc; k ; k) (fc > 0). Luego,
k k kAB ■ (AC x AD = -4 -1 1
-2 0 5
= 11*
Puesto que el volumen del paralelepípedo es 44u3 , entonces se tiene
VP = \AB-(ACx AD)| = |llfc| = 44 <=> k = 4
Por tanto, de AB = (4; 4; 4) resulta B = (12; 4; 4)
Ejemplo 16
a) Si los vectores a , ¿ y e son unitarios y satisfacen la condición:
a + b + c = 0, calcule el valor de M = a -b + b ■ c + a ■ c
b) Los vectores a y b son tridimensionales y forman un ángulo de 30°. Si
||a|| = 4 , ||¿|| = 6, utilizando el álgebra vectorial, calcule el área del
triángulo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b .
Solución
- » 2a) Dado que a + b + c = 0 => ||a + b + c|| = 0 <=> ||a + b + c|| = 0
<=> ||a||2 + ||¿|| + ||c||2 + 2a ■ b + 2a ■ c + 2b • c = 0 (*)
Como los vectores a ,b y e son unitarios, entonces ||a|| = ||fo|| = ||c|| = 1
Reemplazando estos valores en (*) se obtiene
l + l + l + 2a-b + 2 á 'C + 2b-c = 0 = * M = á- b + á- c + b- c = -
b) El área del triángulo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b es
¿a = j\\a x ¿|| = ^||o||||¿||sen(30°) = ^ ( 4 ) ( 6 ) ^ j = 6 u 2
Ejemplo 17 Los puntos ^1(4; 2; 0), 5(4; 8; 0), D (—2; 2; 0) y H (—2; 4; 8) son
los vértices del paralelepípedo ABCDEFGH
a) Calcule su volumen
b) Determine la altura del paralelepípedo
Solución
a) Los vectores de las aristas adyacentes del paralelepípedo son
AB = (0; 6; 0), AD = (-6; 0; 0) y AE = DH = (0; 2; 8)
290
M|
00
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Luego, el volumen del paralelepípedo es
0 6 0V = \AB • (ADxAE)\ = -6 0 0 = |288| = 288 u3
0 2 8
b) Tenemos
AB xAD =í f k
0 6 0- 6 0 0
= (0; 0; 36)
Así, el área del paralelogramo ABCD es A¿? = ||AB x AD|| = 36 u 2
Puesto que el volumen del paralelepípedo ABCDEFGH es
VP - (área de la base)(altura) = (36)(¿) = 288 => h = 8 u
Observación 5 Sean P^x^, yt ; z j y P2(x2',y2'. 2) los extremos de un segmento
P\P2- Entonces las coordenadas del punto P(x; y; z) que divide al segmento en
PXPla razón dada r = —-= ( r í - 1 ) son
P °2X1 + rx2
1 + ry =
y 1 + ry2
1 + rz =
Zj + rz2
1 + r
Observación 6 Si M (x; y; z) es el punto medio del segmento cuyos extremos
son los puntos P ife ; yx; zx) y P2{x2, y2, z2) , entonces
X, + x.x =
y i+ y 2z =
Z1 + z 2
Ejemplo 18 Dados los puntos Pi(5; 7; 9) y P2(3; -5; -7) , halle los puntos de
trisección del segmento PXP2
Solución
Sean A1(x1;y1;z1') y A2(x2, y2\z2) los puntos de trisección del segmento P1P2
P A 1Para encontrar las coordenadas del punto Av la razón es r =
Luego, por la observación 5 se tieneAP,
x1 =5 + ^ (3 ) 13 7 + i ( - 5 )
1+\ 3 ' y\ = 3, zt =9 + ¿C-7) 11
1 4- • 1 +;
PtA2 2Analogamente, para el punto A2 la razón es r = —— = - = 2
A2P2 1
Por consiguiente, las coordenadas del punto A2 son
*2
5 + 2(3) 11
1 + 2 3 ' yz
7 + 2(—5)
1 + 2 = -1, z2 =9 + 2(—7)
l"+ 2
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1. Exprese el vector a como la suma de un vector paralelo b y un vector
ortogonal a b , si á = (2; 1; -1) y b = (1; 4; -2)
2. Halle el ángulo entre los vectores a = (3; 1; 2) y b = (1; 1; 2)
3. Si el ángulo que forman los vectores a y b es de 45° y ||a|| = 3, halle el
módulo de b para que a + b forme con a un ángulo de 30°.
R. 3 (V2+ V6)/2
4. Sean a y b dos vectores unitarios en R 3. Demuestre que á + b es un
vector unitario <=> el ángulo formado por ellos es de 120°.
5. Dado el paralelogramo ABCD, E está a 2/3 de la D F C
distancia de B a C y F es el punto medio de CD.
Halle r y s de modo que YF = r ~AB + s ~AC
R. r = -1/2, 5 = 1/3
6. Sean a ,b y c tres vectores de módulos r, s y t respectivamente. Sea a el
ángulo entre b y c, B el ángulo entre a y c y y el ángulo entre a y b
Pruebe que el módulo S de la suma de tres vectores está dado por la fórmula
S2 — r 2 + s2 + t2 + 2st eos a + 2rt eos/? + 2rs cosy
7. Si a = (1; 3; 2) , b = (1;-1; 3) y c = (2; 3; —4}
i) Hálle el área del paralelogramo determinado por a y b
ii) Halle el área del triángulo determinado por a y c
iij) Halle el volumen del paralelepípedo determinado por a ,b y c
S. Los vértices de un triángulo son los puntos 4(1; 2; 3), 6(0; 2; 1) y
C(—1; -2; -4). HaJle el área y el perímetro del triángulo.
9. Los vértices de un tetraedro son los puntos ,4(2; 1;0), 5 (1 ;-1;1),
C(3; 4; 2) y D (0; 0; -1) . Calcule el volumen del tetraedro.
10. En el triángulo de vértices i4(3; 0; 0) , 5(0; 4; 0) y C(0; 0; 5) , halle
i) Las longitudes de cada mediana
i i) Las longitudes de cada altura
iii) El centro de gravedad del triángulo
11. Sean P(3; 1; —1) y Q(4; —1; 2) . Halle las coordenadas del punto R que se
encuentra en la prolongación de ~PQ y extendiendo 3 veces su longitud.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
EJERCICIOS
292
13. Un auto recorre 20km hacia el norte y después 40V2 en una dirección 60° al
oeste del norte. Halle el vector desplazamiento resultante del auto y su
longitud.
R. f = (-20; 40) y ||r+J = 20V5 km .
14. Sean a y b son vectores en el espacio R3 que verifican: a + 2 b = 0 y
compra = —8. Determine el valor deAÍ = 2 (a + 3 fo )- (a — 3 b ).
R .M = -160.
15. Dado el triángulo de vértices ^4(2; — 2 ; 4 ) ,ñ ( 4; 2; 6 ) y C( 4; 8; 10 ).
a) Halle el vector unitario de MN, si MN es paralelo al lado AB, M sobre el
lado AC y N sobre el lado BC.
b) Determine las componentes del vector MN, si se sabe que MN ■ AC = 56.
R. WÑ = (2; 4; 2 ).
16. En la figura adjunta, M y N son los centros de las caras GDEF y OAFE
respectivamente.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Si ||p|| = 10 y ||q|| = 4V l3 , determine las componentes del vector 2 p - 3 q.
R. 2 p - 3 q = (34; 16; 48)
17. Sean a,b ,c y d vectores unitarios en el espacio R3. Si se sabe que los vectores
a y b forman un ángulo de 60° y los vectores c y d un ángulo de 120°, halle:
a) Compg(4 a ) b) Proy4¿( 4 a ) c) ( Proy2 ¿ ( 2 c + 3 d ) ) ■ d
R. a) 2 b) 2 b c)2.
18. El vector posición a se encuentra en el plano yz y el vector posición b sobre el
eje y negativo, de manera que el ángulo entre ellos es 120". Si ||a|| = V27 y
\\b\\ - 8, halle las componentes del vector á x /;.
R. ( ±36;0;0).
19. Sean a,b y c vectores no nulos tales que ||d|| = 3, ||¿|| = 1, ||c|
a + b + c = 0. Calcule el valor de A = á - b + b- c + d- c.
R .—13
4 y
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20. Dados los puntos: j4(8; 0; 0), C(4; — 1; 1), D(6; 0; 5) y 5 un punto del primer ociante.
a) En el espacio R3, grafique el paralelepípedo cuyas aristas son los vectores
AB, AC y AD.
b) Calcule el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los puntos A, C
y d .
c) Si se sabe que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el volumen
del paralelepípedo es de 44ií3, determine las coordenadas del punto B.
R. b)V353 u2 c).B(12:4;4).
, 19. a) Dado el triángulo de vértices 4(3; 1; 1), 5(2; 1; 4) y C(5; 4; 6). Halle las
componentes del vector P roy^ MN, si se sabe que el vector MÑ es
paralela al lado AC del triángulo, M está sobre el lado AB, N sobre el lado
BC y ||M77|¡ = V38/3.
b) Dados los vectores a = ( 2 ;- l ; l ) , ¿ = (- 2 ;l;2 ) y r = (4 ;3 ;- 3 ) .
Calcule 6(a -üj¡) + VSíComp,? b.
R. a) (2 /3 :1 ; 5 /3 ) b) -17.
21. Dados los puntos A(2; 4; 3), 6(4; 5; 5) y C(— 1; 4; 0).
a) Halle dos vectores unitarios perpendiculares simultáneamente a los
vectores AB y AC.
b) Sea M un punto interior del segmento AC tal que d(A;M ) = \ d(A-,C).
Si Q(— 1; 4; 2), determine si el ángulo formado por los vectores QC y QM
es agudo o no.
R. a) i¡ = ( + 1/\Hl ; 0; ± 1/V2 ) b) Es agudo
22. Sean a, b y c tres vectores en el espacio R 3 ales que a = 2 r. |[c|¡ = 2 y
b ■ c = 4. Si se sabe que los vectores b y c forman un ángulo de 60°. halle
la longitud del vector V3 a x b ^ 5 a x c.
23. Sean a, b y c vectores no nulos en el espacio R 3 tales que ||c|| = 4. Proy¿- b =
b y Proyg+(? a = 0. Si se sabe que los vectores a y b son Ui’itarios, halle el
módulo del vector á x b i- a X c . P..2S
25. Dados los puntos ¿4(—1; 5; 3) y 6(0; 3; 1).
a) Halle dos vectores unitarios paralelos al vector AB .
b) Determine dos vectores unitarios perpendiculares al vector AB y paralelo
al vector b = (1; 1; - 1/2 ) .
R. a) w = (± 1/3 ; + 2/3 ; + 2/3 ) b) ü = (± 2/3 ; ± 2/3 ; + 1/3 )
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN [f
294
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
(>.2 RECTA EN EL ESPACIO
6.2.1 ÁNGULOS, COSENOS Y NÚMEROS DIRECTORES DE UNA
RECTA
Definición 1 Sea L una recta en el
espacio R 3. Se llama conjunto de
ángulos directores de la recta L al
conjunto ordenado {a, [i, y}, donde a,
¡i, y son *os ángulos que forma la recta
L con los rayos positivos de los ejes de
coordenadas x, y A z respectivamente
(Fig. 6.14)
Los ángulos directores toman valores
entre 0o y 180°, es decir,
0C < a,P ,y
Observación 7 El ángulo entre dos rectas que no se intersecan, se define como
el ángulo formado por rectas que se intersecan y que, al mismo tiempo son
paralelas a las rectas dadas.
Si una recta no está orientada (con respecto al sentido que debe tomar) tiene dos
conjuntos de ángulos directores que son:
{a , p, y ) y {180°- a , 180°-/?, 180p - y }
En lo que sigue, las rectas serán consideradas sin orientación.
Definición 2 Los cosenos de los ángulos directores de una recta se llaman
cosenos directores de la recta.
Una recta tiene dos conjuntos de cosenos directores.
(eos a, eos /? , eos y} y {-eos a , -eos/?, -eos y}
Observación 8 Dos rectas son paralelas si y solo sí tienen los mismos cosenos
directores.
Definición 3 Un conjunto [a; b; c] es llamado números directores si existe una
constante fe ^ 0 tal que
a = k e o s a, b = k c o s p , c = k c o s y
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6.2.1.1 EXPRESIÓN DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA
QUE PASA POR DOS PUNTOS
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN ¡I
Sea L una recta que pasa por los
puntos y P2(xz-,y2-,z2)
y sean d = ||PXP21| y a > Y l°s
ángulos directores de L.
Los cosenos directores de la recta L
que pasa por los puntos Pj y P2 son
\--
cos a — -, eos /? =y z - y i
cosy =z2 - z x
Fig. 6.15
Si la recta L está orientada en el sentido de P2 a Px, entonces los cosenos
directores de la recta son
x2 - x 1 y2 — yx z2 - Zicosa = ---- — , cos/? = ---- — , cosy = -----—
donde d es la distancia entre Pr y P2
64.1.2 RELACION ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA
RECTA
Si elevamos al cuadrado cada una de las expresiones de los cosenos directores de
la recta L que pasa por los puntos Px y P2 y sumamos, se obtiene
2 , 2 n i 2 (x 2 - x ) 2 + ( y 2 - y O 2 + (z 2 - z j 2 d2cos*a + eos ¡s + cos¿y = ---------
d2 d2
Por lo tanto, una relación fundamental entre los cosenos directores de una recta es
cos2a + eos2 ¡3 + cos2y = 1
Ejemplo 19
a) Halle los cosenos directores de una recta determinada por los puntos
Z3! (1; 0; 2) y P2(3; 2; 3) y dirigido de Pt a P2
b) Si {45°, 60°, y} es un conjunto de ángulos directores de una recta, calcule
los posibles valores del ángulo y
296
Solución
a) La distancia entre P1 y P 2 es d = V4 + 4 + 1 = 3. Luego, los cosenos
directores de la recta que pasa por Pt y P2 son
3 - 2 1 2 1eos a = —-— = - , eos B = - , eos y = -
3 3 F 3 3
b) De la relación entre los cosenos directores de una recta, se tiene
1 icos245° 4- cos260° + cos2y = 1 => eos 2 y = - => eos y = ± -
De donde resulta eos y = 60° V y = 120°
6.2.2 ECUACIONES DE UNA RECTA EN EL ESPACIO K3
Una recta es un conjunto de puntos que se desplazan en el espacio R 3 en una
dirección constante (Fig. 6.16)
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.
6.2.2.1 ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA EN EL ESPACIO K3
Sea L una recta que pasa por el punto Pn(xn;y0; z0) y sigue la dirección dei
vector a =-(a1;a 2;a 3) (Fig. 6.17;. El vector a se llama vector dirección.de la
recta L.
Sea P(x;y\z) un punto cualquiera de la recta L. Entonces PaP es paralelo al
vector a, luego existe t e M tal que P0P = ta <=> P = P0 + ía , t £ R
Por lo tanto, la ecuación vectorial de la recta L es
i : i | L:(x ;y ;z) = (x0;y0;z0) + tá , t e R j
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Ejemplo 20 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos
/»,(3 ;2 ;- l ) y P2(5;-2;4)
Solución
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
El vector dirección de la recta que pasa por P1 y P2 es a = P1P2 = (2; —4; 5)
Tomando el punto P*(3 ;2 ;- l) como P0, la ecuación de la recta es
L: (* ;y ;z ) = (3 ;2 ;- l) + t(2 ;-4 ;5 )
6.2.2.2 ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA RECTA EN EL ESPACIO
De la ecuación vectorial de la recta L: (x;y;z) = (x0;y0<'zo) + se tiene que
cualquier punto P(x ; y;z) E L verifica la igualdad
O ; y; z) = (x0; y0; z0) + ¿0%; a2; a3)
Luego, de la igualdad de vectores resulta
Ix = x0 + tax
y - y0 + ta2
z = z0 + ta3
Estas ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa
por el punto P0(x0; y0; z0) y es paralela al vector a , y t se llama parámetro de
la ecuación.
Ejemplo 21 Halle las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos
P1(2;3;4) y P2(—1;-3;2)
SoluciónEl vector dirección de la recta es a = PXP2 = (-3; —6; -2). Así, las ecuaciones
paramétricas de la recta son
(x = 2 - 3 1
L: y = 3 - 6 t , tE
z = 4 - 2t
6.2.2.3 ECUACION SIMETRICA DE UNA RECTA EN EL ESPACIO
Sea L una recta cuyas ecuaciones paramétricas son
x - x0 + tax
L\ y = y0 + ta2 , tE R
z = z0 + ta3
Si ninguno de los números ax ,a 2 y a3 es cero, entonces despejando t de cada
una de las ecuaciones paramétricas e igualando los resultados se obtiene
x - x 0 y - y o z - z QL\ ---- = -----= ----- (*)
a l a 2 a 3
298
Estas ecuaciones se llaman ecuaciones simétricas de la recta L que pasa por el
punto P0(x0; y0; z0) y es paralela al vector á = (a1;a 2;a3). Las componentes
del vector a1 ,a 2 y a 3 son los números directores de la recta L. v
Observación 9
a) Si uno de los números directores a i , a2 ó a3 es igual a cero, no podemos
usar la ecuación (*). En este caso se emplean otras relaciones
Por ejemplo, si ax = 0, la ecuación de L se escribe como
, A y -y0 z - z 0L: x — x0 A ---- = -----
a2 a3
Si a2 = 0, la ecuación de la recta L se escribe como
x - x 0 z - z0
L: — = — A =
Si a3 — 0. La ecuación de L se escribe como
x - x 0 y - y0L : --------- = ----- A z — z n
«i a2
b) Si dos de los números directores a, , a2 ó a3 son iguales a cero, tampoco se
puede usar (*). Por ejemplo, si a , = a3 = 0, la ecuación de la recta L se
escribe como L: x = x0 A z = z0
Ejemplo 22 Determine ¡as ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la
recta que pasa por el punto -4(1; 2; 2) y es perpendicular a las rectas
Lx\ (x ;y ;z) = (3 ;2 ;- l) + t(2; — 1;0) y
L2: (x :y ;z) = (0;-3, 0) -rs(—12; 3; 13)
Solución
Aqui el vector dirección á de la recta L que pasa por el punto A es perpendicular
a los vectores ¿ = (2 ;- l;0 ) (vector dirección de Lx) y c = (-12; 3; 13)
(vector dirección de L2). Entonces a || ¿¡ x c , donde
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
b x ci J k
2 - 1 0
-13 3 13
= (-13;-26;-6)
Ahora, tomando el vector á = (13; 26; 6), las ecuaciones de la recta L son:
Forma vectorial L: Qc;y; z) = (1: 2; 2) + £(13; 26; 6), t e IR
ix = 1 4- 131
Forma paramétrica L: |y = 2 4- 26t
l z = 2 4- 6t
x — 1 y — 2 z — 2Forma simétrica L: ---- = -----= ----
13 26 6
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En el espacio R 3 las rectas Lx: (x;y;z) = P0 + ta y L2: (x ;y;z) = Q0 + tb
pueden tener las siguientes posiciones relativas
6.2.3.1 RECTAS PARALELAS
Las rectas y ¿2 son paralelas si sus vectores dirección d y b son paralelos.
Como consecuencia de este resultado tenemos
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.2.3 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Observación 10
i) Para todo punto Px de K 3 y toda recta Lt : (x\ y; z) — P0 + t á , t E R , existe
una única recta L que pasa por el punto Px y es paralela a la recta L1
ii) Si Lt y Lz son dos rectas paralelas, entonces = l 2 ó L1 n L2 — 0
6.2.3.Z RECTAS SECANTES
Las rectas Lt y L2 son secantes si se intersecan en un único punto, esto es,
¿ i n Lz — {Po}
6.2.3,3 RECTAS QUE SE CRUZAN
Las rectas Lx y i 2 se cruzan si no se cortan y no son paralelas. Dos rectas que se
cruzan están en planos paralelos, esto es, no se encuentran en un mismo plano.
6.2.4 ANGULO ENTRE DOS RECTAS
El ángulo entre las rectas Lt\ (x ;y ;z) = P0 + ta y L2: (x ;y ;z) = Q0 + sb
(Fíg. 6.18) es el ángulo 0 comprendido entre los vectores dirección á y b
£)<¿ la definición del ángulo entre dos
Véctores, una relación para calcular el
ángulo entre las rectas y l 2 es
eos 0a ■ 0
¡|a|| b
Si el ángulo entre las rectas L, y Lz es
recto. 9C dice que las rectas son
ortogonales o perpendiculares, esto es.
300
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL '
6.2.5 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Sean PiCx^yi.Z i) un punto y
L: (x-,y;z) = P0 + ta una recta en el
espacio IR3.
Ahora, si d es la distancia del punto P, a la
recta L (Fig. 6.19), entonces
d = ||v|| sen 9
donde 9 es el ángulo que forman los
vectores a y v = P0P1
Por una propiedad del producto vectorial se
sabe que
||a x y|¡ = ||a||||i5|| sen 9 = ||a||(d)
De donde resulta
Fig. 6.19
a X V\ a x P0Pt
|a|!
Ejemplo 23 Calcule la distancia del punto ¿4(3; 2 ;-1) a la recta
L:P = (1;3; 2) + í ( —1; 2; 3 ),t € R
Solución
En este caso a = (-1; 2; 3) y v - 1\A - (2; -1; -3). entonces
a x v - (-3; 3; -3). Luego,
V 9 + 9 + 9 _ 27
V9 + 4 + 1 ^ 14
Ejemplo 24 Sean las rectas;
L^. P = (-2; 1; 0) + £(-2; 1; -1), t 6 R
L2:Q = (3; 7; 1) + s (—1; 2; 3),s 6 R
L3:x = 2 + 4t , y = -1 - 2t , z = 2 + 21
x - 9 z — 3
LS:R = (3 ;4; 0) + r(4 ;-2;2), r e IR
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Determine si son o no paralelas cada uno de los siguientes pares de rectas, en caso
que sean secantes determine su intersección.
a) y Lz b) ¿i y l 3 c) Lx y Ls
d) l 2 y L4 e) L2 y L3 f) ¿4 y Ls
Solución
a) Como los vectores dirección á = (- 2; 1; —1) y /? = (—1;2;3) no son
paralelas, entonces las rectas Lt y L2 no son paralelas.
Supongamos que A(x;y;z) £ n L2, entonces existen valores únicos para t y s para los cuales
A = (-2; 1; 0) + t ( —2; 1; -1) = (3; 7; 1) + s (- l; 2; 3)
Por la igualdad de vectores, se obtiene
— 2 — 2t = 3 — s (1)
1 + t = 7 + 2s (2)
- t = 1 + 3s (3)
7 26Resolviendo (2) y (3) se obtiene s = - - y t = — , pero estos valores no
5 5satisfacen (1). Luego, no existe punto de intersección entre las rectas L1 y Lz, es
decir, Lx y L2 se cruzan.
En forma análoga se prueba los siguientes resultados.
b) Lx || ¿3 A ■= ¿3
c) || ¿5 A n ¿5 = 0
d) L2 ttL4 A Lx n Ls = >1(5; 3; -5)
e) L2 l/¡ L3 A ¿2 A ¿3 se cruzan
Ejemplo 25 Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P0(3 ;l;5 ) yes
paralelo a la recta Lt : 2x — 2 = 1 — y A z = 4
Solución
En primer lugar reordenando la ecuación de la recta Lx tenemos
y — 12 x - 2 = l - y A z = 4 <=> x - 1 = — — Az = 4
—2
Luego, la ecuación vectorial de Lx es L^.P = ( l ; l ; 4 ) + t ( l ;- 2 ;0 ) , t E R
Como L || => ¿ || a , donde a = (1; -2; 0) es el vector dirección de Lx
Por tanto, la ecuación de la recta buscada es
L: Q = (3; 1; 5) + A(l; -2; 0), A £ R
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
302
Ejeiilpfo 26 Halle la ecuación de la recta que pasa por P0 (3; 1; — 2) e interseca
y es perpendicular a la recta Lx: x -r 1 = y + 2 = z + í
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Solución
La forma vectorial de la ecuación de la
recta L1 es
Ly.Q = ( —1; —2; —1) + A( l ; 1; 1), A g R
Sea A el punto de intersección de las rectas
Lx y L (Fig. 6.20). Corno A G Lv
entonces 3 k G R tai que A(—l +
k:~2 -'r k',—1 -r k).
Por la condición de perpendicularidad
resulta
P0A = {k - 4; k - 3; k + 1) 1 a = (1; 1; 1)
<=> PfíA. a. — k — 4 i- k — 3 + fc + 1 = 0
«=> k = 2
Así, >4(1; 0; 1')
Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P0(3; 1; -2) y >1(1; 0; 1) es
L: P = (3; 1; -2) + t (2; 1; -3), t £ ¡R
Ejemplo 27 Determine la ecuación de la recta que pasa por P0(l;4 ;0 ) yes
perpendicular a las rectas
x + 4 2y - 1 1L1:x = 3 + t ,y = 4 + t ,z = -1 + t A L2: ----= ------ A z = -
Solución
Sea a el vector dirección de la recta
L buscada.
Un vector dirección de L2 es
v = (4; 1; 0) y el vector dirección de
es b = (1; 1; 1). Como L 1 L2 y
L l ¿ i ^ a l í y a l i
=> a || v X b = (1; -4; 3)
Luego, la ecuación de la recta buscada
es
L:P = (1; 4; 0) + t( l;- 4 ;3 ) , t £
Fig. 6.21
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Ejemplo 28 Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de
AH y corta bajo un ángulo de 60c a la
recta que pasa por los puntos R y S.
donde 4(2; 4; 0). 0(0; 0;-2), R (3; 3; 3)
y S (- l;3 ;3 ).
Solución
Este problema tiene dos soluciones (Fig.
6 .22 ).
El punto 'medio del segmento AB es
M( 1 ;2 ;—1) y la ecuación de la recta L-¡_
que pasa por R y S es
I Ol’ICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
p = ( _ i ; 3; 3) + t( l; 0; 0), t 6 R
Sea / el punto de intersección de L con Lr
=> / £ => 3t £ E / /(-1 4- t; 3; 3)
De la condición de que la recta L interseca a la recta Lx bajo un ángulo de 60°
resulta
eos 60“ = ■a ■ t>
, donde d = (1; 0; 0), b = M I = (t - 2; 1; 4)
t = 2 ± V17/3 => / ( I ± V J7/3 ; 3 ; 3)
Ma ll|!“ li
De donde soobtiene
1 t - 2
2 “ ^ ( t - 2)2 4- 1 4- 16
Luego, tes ecuaciones de las rectas buscadas son
L: Q = (1; 2; -1) 4- r(V l7/3 ; 1 ; 4), r £ E
//:(>' = (1;2;-1) + A (-V l7/3;1;4 ), A £ E
Ejemplo 29 Halle el punto en la recta L: P = (2; 11; 14) 4-1 (2:4; 5), t £
que equidista de las rectas
L¡: Eje x A
/,2:<2 = (1; 7; 0) 4- s(0; 0; 1), s £ E
Solución
Un bosquejo de este problema se muestra en
la Fig. 0.23.
La ecuación del eje x es
Lx\ R = (0; 0; 0) 4- í( l;0 ;0 ) , t £ E
304
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACK) TRIDIMENSIONAL
Sea A 6 L el punto que equidista de Jas rectas L, y ¿ 2. entonces
A(2 4- 2t; 11 4- 4t; 14 4- S í)
Luego,
d(>l- ¿ ) = X - í,(2 + 2 í’ 11 + 4t' 14 + 5í) X (1: ° ; °')l1Ü(l; 0; 0)|!
= a/(14 4- 5t)2 4- (11 4- 4 t)2
rfM ., _ 110^4 x 6'SI 11(1 4- 2t, 4 4- 4t, 14 4- 5t) x (0; 0; 1)||
1 2 p | | 11(0; 0; 1)||
- V(4 4-4t)2 + ( l + 2f)2
Resolviendo la ecuación que resulta de d(A; Lx) = d(A\L2) se obtiene
í = - 2 V t = -50/7
Luego, los puntos de la recta L que equidistan de las rectas y L¿ son
i4v(-2 ;3 ;4 ) y /12(—66/7 ; — 123/7 ; —152/7)
EJERCICIOS
1. Encuentre la distancia del punto Á(Z\2-,Y) a la recta que pasa por los puntos
P0( l; 2; 9) y P i(- 3 ;-6 ;-3 )
2. Si L,: P = (1;0;-1) 4- t ( l ; l ;0 ) . t £ R y L2: Q = (0; 0; 1) 4- s(l; 0; 0),s £ E,
halle la ecuación de la recta L que es perpendicular a Lt y l 2 y las interseca.
3. Determine la ecuación de la recta que interseca a las rectas
¿j: P = (1; —1; 1) + t(l; 0; —1), r £ E y L2: Q = (1; 0; 0). 4- s (- l; 1; 1), s £ K
en los puntos A y B respectivamente, de tal manera que la longitud del
segmento AS sea minima.
4. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto /4(19;0;0) y corta a las
rectas Lx: P = (5; 0; -1) 4- t ( l; 1; 1), t £ K
L2: Q = (-1; 2; 2) 4- s(—2; 1; 0), S E R
5. Una recta pasa por el punto >1(1; 1; 1) y forma ángulos de 60° y 30° con los
ejes x e y respectivamente. Halle la ecuación vectorial de dicha recta.
R. L: P — (1; 1; 1) 4- t ( l ; ±V3; 0), t £ E
6. Una recta que pasa por el punto A (- 2 :1; 3) es perpendicular e interseca a la
recta P = (2; 2; 1) 4-1( 1; 0; —1), t £ E . Halle la ecuación vectorial de
dicha recta. R. Q = (-2; 1; 3) 4- 5(1; 1; 1), 5 £ E
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Un plano en el espacio es un conjunto de puntos que se desplazan de tal manera,
que el vector que forma estos puntos con un punto fijo es perpendicular al vector
dirección del plano (Fig. 6.24). El vector dirección se llama vector normal del
plano y se denota con N.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.3 PLANO EN EL ESPACIO
Observación 11 La ecuación de un plano queda completamente determinado
cuando se conoce:
i) Un punto de paso y su vector normal ó
ii) Un punto de paso y dos vectores paralelos al plano ó
iii) Tres puntos no colineales del plano
6.3.1 ECUACIONES DE UN PLANO EN EL ESPACIO
6.3.1.1 ECUACIÓN VECTORIAL DE UN PLANO EN EL ESPACIO
Sea Q un plano que pasa por el punto PQ(x0-,y0;z0) y es paralelo a los vectores
a. — (a1(- a2; a3) y b = (b1;b2; b3), donde el vector a no es paralelo al vector
b (Fig. 6.25)
Sea P(x\y,z) un punto cualquiera del plano Q, entonces existen r , s £ 1 tai
que P0P = rá + sb
De donde, P - P0 = rá + sb ó P - P0 + rá + sb
Por consiguiente, la ecuación vectorial del plano Q es
I--------------------- —-------- 1
Q: (x; y, y.) - Pn + rá + sb, r , s £ E ¡
306
REC I AS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
6.3.1.2 ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE UN PLANO EN EL ESPACIO
De la ecuación vectorial del plano Q: P = P0 + rá + sb , se tiene que cualquier
punto P(x; y ;z) £ Q verifica la igualdad, es decir
(x; y; z) = (x0; y0; z0) + r ( a j ; a2; a3) + sC^; b2; b3)
Luego, por la igualdad de vectores resulta
Íx - x0 + rax + sbx
y = y0 + ra2 + sb2 , r,s 6 R
z = z0 + ra3 + sb3
Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas del plano Q que pasa por el
punto P0(x0-,yQ-,z0) y es paralelo a los vectores a y b, r y s se llaman
paramétros de la ecuación.
Ejemplo 30 Halle las ecuaciones vectorial y paramétrica del plano que pasa por
los puntos P0(3 ;l;2 ) , P^Í-,-1; 2) y P2(2;0;3)
Solución
Los vectores paralelos al plano Q que pasa por
Po-Pi Y p2 son á = ~PÍ\ - (-2; -2; 0) y
b = P0P2 = (- 1 ;- i; 1)
Luego, la ecuación vectorial del plano Q es
Q: P = (3 ; l;2 ) + r (- 2 ;- 2 ;0 ) + s ( - l ; - l ; l ) , r,s 6M
y su ecuación paramétrica es:
íx = 3 — 2r — s
Q: \ y = l- 2 r - s , r,s E l
lz = 2 + s
Observación 12
i) De la ecuación vectorial del plano se obtiene que N = a X b es un vector
perpendicular al plano. En general, todo vector no nulo perpendicular al
plano es llamado normal del plano.
ii) Si N es una normal del plano Q: P = P0 + r a + sb ,r ,s 6IRL y Px y P2
son dos puntos del plano, entonces N 1 P\P2.
iii) Si N es la normal del plano Q: P — P0 + r á + sb ,r ,s 6 R y P0P1 1 N
entonces Px £ Q
iv) Si N es la normal del plano Q: P = P0 + r á + sb ,r ,s £ 1 , entonces
Q = [P(x;y;z) / Ñ.P^P = 0} y es el único plano que pasa por P0 con
normal N
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.3.1.3 ECUACION GENERAL DE UN PLANO
Sea Q un plano que pasa por el punto
Po(xo’>yo'' zo) Y cuyo vector normal es
Ñ = (A-.B-.C).
Sea P (x ;y;z) un punto cualquiera dei
plano Q, entonces
ÍVP 1 Ñ «=* Ñ.P^P = 0
<=* (A;B;C). (x - xQ;y - y0;z - zQ) = 0
<?=> A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Por lo tanto, la ecuación general del plano Q es de la forma
j ' " I
i Q: Ax + By + Cz + D = 0 |
Esta ecuación también es llamada ecuación cartesiana del plano.
En lo que sigue, por ecuación del plano se entenderá a la ecuación cartesiana.
Ejemplo 31
a) Halle la ecuación del plano que pasa por el punto P0(2; 3; —5) y es ortogonal
al segmento PQX , donde P(3; -2; 1) y (^ ( l; 3; 0)
b) Halle la eEttación del plano que contiene a los puntos P0, P y Qt dados en (a).
Solución
a) Sea Ñ = = (2; —5; 1) y P0(2;3;-5).
entonces la ecuación general del plano es
Q: 2(x - 2) - 5(y - 3) + l(z + 5) = 0 ó
Q : 2x - 5y + x + 16 = 0
b) De la Fig. 6.26 se tiene
á = PoQi = (-1; 0; 5) y
b = P¿P = (1; —5; 6)
Enionces Ñ II á x b = (25; 11; 5)
Tomando Ñ = (25; 11; 5), la ecuación del plano es:
Q: 25(x - 2) + U (y - 3) + 5(z + 5) - 0 ó
Q: 25x + l l y + 5z - 58 = 0
308
Observación 13 Sea Q un plano cuya normal es N y L una recta cuyo vector
dirección es á , entonces se tiene
i) L \ \ Q <=$N ± a<=*N 'á = 0 (Fig. 6.27)
ii) L ± Q « N II a (Fig. 6.28)
KbUIAS Y PLANOS bN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
L
Ñi k
1
/
Fig. 6.27 Fig. 6.28
iii) Si L II => L n Q = 0 ó L c Q
iv) L c Q =$ N 1 a y P0 e L => P0 6 Q (Fig. 6.29)
v) Si L # Q => L fl Q = / es un punto. (Fig- 6.30)
Ni k
/ Jh
Fig. 6.29 Fig 6.30
Ejemplo 32 Halle la ecuación del plano que contiene a la recta
L: P = (1; 2; 2) + t(0; 3; 1), t 6 M y el punto Q0(2; -3; 8) _
Solución
Sea N el vector normal del plano Q que
contiene a la recta L y al punto Q0 , entonces
N 1 á = (0; 3; 1) A N I P0Q0 = (1; -5; 6),
dondeP0(l;2 ;2 )
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Por lo tanto, al tomar N = (23; 1; 3) como vector normal del plano Q que pasa
por el punto Q0, su ecuación es
Q: 23(x - 2) + (y + 3) + 3(z - 8) = 0 ó
Q\ 23x + y + 3 2 - 97 = 0
6.3.2 POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO
En el espacio los planos
Q[: A1x + B1y + Ctz + 0 , - 0 y Q2\ A2x + Bzy + 2z + D2 = 0
pueden tener las siguientes posiciones relativas
6.3.2.1 PLANOS PARALELOS
Los planos Qx y Qz son paralelos <=> ÑQl II ÑQi » ÑQi =% :Ñq
Observación 14 Si Q, y Q2 son dos planos paralelos, entonces
0 Q1 - Q 2 (planos coincidentes)
ii) Qt fl Q2 = 0 (planos paralelos no coinCidenles)
6.3.2.2 PLANOS SECANTES
Los pianos Q, y Q2 son secantes «=» ÑQl # ÑQi <=> Q, r\ Q2 = L, donde L es la
recta de intersección de los planos. 1
La ecuación de la recta de intersección d^ los planos Q, y Q2 se escribe como
(A,x + B,y + Cxz + D, — 0
\a 2x + B2y + C2z + D2 = 0
ó L: Axx + Bty + Cxz + D, = 0 A A2x + B2y + C2z + D2 - 0
Observación 15
i) Los planos secantes Qx y Q2 son perpendiculares si y solamente sí sus
vectores normales son perpendiculares, esto es.
Plano Qx 1 plano Q2 <=> Nqi 1 ^ ' Ñqz
ii) Si Qx: AjX + B,y + C\z + Dj = 0 y Q2: A2x + B2y + C2z + D2 — 0 son
planos secantes, entonces Ia ecuación de la familia de planos que pasan por la
intersección de estos planos es
QF\ A,x + Bxy + C,z + + k(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
donde k es el paramétro de la familia.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II 1
Luego. Ñ || & x P¡ÍQ¡= (23; 1; 3) ;
310
K t C lA Í > Y r L A N U S t N h L b S P A C lü 1 K lU I M b N S lO N A L
Observación 16 Las ecuaciones de los planos coordenados y de los planos
paralelos a estos son
i) Ecuación del plano coordenado xy: z = 0
ii) Ecuación del plano coordenado xz: y — 0
iii) Ecuación del plano coordenado yz: x — 0
iv) Ecuación del plano paralelo al plano xy que pasa por el punto (0; 0; k) es
z = k
v) Ecuación del plano paralelo al plano xz que pasa por el punto (0; k; 0) es
y = k
vi) Ecuación del plano paralelo al plano yz que pasa por el punto (k ; 0; 0) es
x = k
Ejemplo 33
a) Halle la ecuación del plano que contiene al punto P0(2-, 6; -1) y es paralelo
al plano Q\ 4 x - 2 y + z - l = Q
b) Halle la distancia del punto <20(2 ;- l;3 ) a la recta
L: 2x - y + z - 3 = 0 A x + 2 y - z + l = 0
Solución
a) Sea N, el vector normal al plano que pasa por el punto P0, entonces
Ñ, II ÑQ = (4; -2; 1). Así, al tomar Nt - (4; -2; 1), la ecuación del plano
Qi es
Qi. 4(x - 2) - 2(y - 6) + l( z + 1) = 0 ó 4x - 2y + z + 5 = 0
b) Para hallar la distancia del punto Q0 a la recta L, es necesario tener la ecuación
de la recta en su forma vectorial. Así, al resolver simultáneamente las
ecuaciones de los dos planos que da origen a la recta L, se tiene:
(2x — y + z — 3 = 0 (1)
|x + 2y - z + 1 = 0 (2)
Sumando (1) y (2) resulta 3x + y - 2 = 0 = > y = 2 - 3 x (3)
Reemplazando (3) en (1) se obtiene z = 5 - 5x (4)
Haciendo x = t, se tiene la ecuación paramétrica de la recta L, esto es,
x — t
L: y = 2 - 3 t , t e R
z = 5 - 5t
Luego, la ecuación vectorial de la recta L es
L: P = (0; 2; 5) + t ( l ; -3; -5), t € R
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Sean v = P0Q0 = (2; —3; —2) y á = (1 ;— 3;— 5), donde P0(0;2;5).
Mmonccs la distancia del punto Q0 a la recta L es
||i; x ¿t|| _ V81 + 64 + 9 _ 22
d = l|a|| V H
Ejemplo 34 Halle la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de
los planos x —y4-2z 4-4 = 0 ,2x4-y4-3z — 9 = 0 y es paralelo a la recta
cuyos números directores son [ 1; 3; — 1 ]
Solución
La ecuación de la familia de planos que pasan por la intersección de los pianos
dados es
x — y + 2z 4- 4 + k(2x + y + 3z — 9) = 0
« (1 + 2k)x + (k - 1 )y + (2 4- 3k)z + 4 - 9k = 0
Luego N = (1 4- 2k; k — 1; 2 4- 3k) es el vector normal de la familia. Como el
plano es paralelo al vector á = (1; 3; —1), entonces IV l a «
Ñ ■d = Q <=> 1 4- 2/c 4- 3/c — 3 — 2 — 3/c = 0 => k = 2
Por tanto, la ecuación del plano descrito es
5x + y 4- 8z — 14 = 0
Ejemplo 35 Dadas las rectas Lr\ P — (1; 2; — 1) 4- t( l; 3; 1), t € 1 y
L2: Q = (5; —1; —2) 4- s(2; —1; 2),5 6 R
Halle las ecuaciones de dos planos paralelos
Q\ }' Qz de modo que
¿ i c Q y ¿2 c QzSolución
Sea N el vector normal común de los planos
<2i Y Qz => N 1 a = (1; 3; 1) y
JV 1 ¿ = (2 ;-1;2)Fig. 6.31
Luego, yv II d x b = (7; 0; —7)
Si utilizamos, el vector normal N — (1; 0; — 1) y el punto Pi( 1; 2; — 1) E Lr
como punto de paso del plano, entonces la ecuación del plano que contiene a la
recta L1 es
TOPICOS Di- CALCULO - VOLUMEN II
Qt : 1 0 - 1) 4- 0(y - 2) - l( z 4- 1) = 0 <=> Qr: x - z - 2 = 0
312
Análogamente, si usamos el vector normal A? = (1; 0; —1) y el punto
Pz(5 ;- l ;—2) G L2 como punto de paso del plano, entonces la ecuación del
plano que contiene a la recta L2 es
Qz'- 1(* - 5) 4- 0(y 4-1) - l(z 4- 2) = 0 <f=> Q2: x - z - 7 = 0
Ejemplo 36 En cada uno de los siguientes ejercicios, L es una recta y Q es un
plano. Determine si L es paralela o no al plano Q y halle L n Q
a) L: P = (1; -1; 2) 4-1(2; -1; 3), t 6 R y Q-. x + 5y + z 4- 1 = 0
b) L: P = (2; 0; 1) 4- t( 1; 2; -1), t é R y Q: x + 2y + 5z - 7 = 0
c) L: P = (3; -1; 0) 4- t(2; 1; -1), t e 1 y Q: 4x + 2y - 2z 4- 2 = 0 !
d) L: P — (1; -1; 1) 4-1( 1; 2; -1), t e K y Q : 3 x - y - z + 5 = 0
Solución
Si á es el vector dirección de la recta L y Ñ es la normal del plano Q , se tiene
a) a = (2; -1; 3) y Ñ = (1; 5; 1) => d ■ Ñ = 0 =* L || Q
Pará verificar si L n Q = 0 ó L c ( J , consideramos un punto P0 6 L y
comprobamos si P0 E Q ó P0 í Q . Si P0 E Q =* L c Q; si P0 g Q =>
L n Q = 0 . Para determinar si un punto pertenece a un plano es suficiente
verificar si sus coordenadas satisfacen o no la ecuación del plano.
Como P0(l: —1; 2) E L , entonces reemplazando en la ecuación del plano se
tiene 1 4- 5(— 1) 4- 2 4- 1 0 (P0 no satisface la ecuación del plano). Luego
Po $ Q •
Por tanto L n Q - 0
b) L c Q ó L CiQ = L
c) L L Q y L n Q - / ( l; —2; 1)
d) a = (1; 2; —1) y Ñ = (3 ;-1 ;-1 ) => d ■ Ñ = 3 - 2 + 1 * 0
=* L l/¡ Q => L n Q = I (un punto) =* / E L A / E Q
¡ E L => / ( I 4-1; —1 4- 21; 1 - t)
I EQ => 3(1 4-1) - (-1 4- 2t) - (1 - t) + 5 = 0 => t = -4
Por consiguiente, / (- 3 ;—9; 5)
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
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Ejemplo 37 Por el punto >4(1; 0; 1) se traza una perpendicular al plano
Q: 2x 4- y - z - 7 = 0. Si 5 es el pie de dicha perpendicular, determine un
punto C en la recta L: P = (—1; 1; 0) + t(0; 1; 5), t e E de modo que el
volumen del tetraedro de vértices A, 5, C y D es igual a 4u 3, donde D es el
punto de intersección de la recta L con el plano Q .
Solución
En primer lugar, determinaremos el punto B.
Sea LN: P = A + s N , s G R la recta que
pasa por el punto A y es perpendicular al
plano Q. Asi,
B e L N n Q < = > B E L N A B e Q
<=* 5(1 + 2s ;s ;l - a) 6 Q
«=> 2(1 + 2s) + s — (1 - s ) — 7 = 0
<=> s = 1
De donde resulta 5(3; 1; 0)
Como D = L n Q s = $ D E L A Z) 6 Q <=> D (— 1; 1 + t; 51) 6 Q
<=> 2(—1) + (1 + t) - 5t - 7 = 0 <=* t = -2
Así, £)(—1; —1; —10)
Por otro lado, dado que C 6 L => C(—1; 1 + t; 5t). Ahora, sean
a = BC = (-4; t; 5t), b = BD = (-4; -2; -10) y c = JÁ = (-2; -1; 1)
Entonces ¿ x c = (-12;24;0) y
1 _ i y T = - | 5 . ( b x c ) ! = 4 < = > 7 |48 4- 2 4 t| = 4 < = * |2 + t| = 1 <=» t = - 1 V t = - 3
6 6
Por lo tanto, el punto es C(— 1; 0; —5) V C (- l;- 2 ;- 1 5 )
Ejemplo 38 Sean A(3; 2; 1) y 6(-5; 1; 2) dos puntos del espacio. Halle un
punto C en el plano Q: x - y + 2z - 4 = 0 de modo que AC + CB sea
mínimo.
Solución
Para que AC + CB sea mínimo, necesariamente A, B y C deben estar en un plano
perpendicular al plano Q . En la Fig. 6.33 se muestra al plano Q de canto. Si 5'
es el punto simétrico de 6 respecto al plano Q (*), entonces CB + CB' = d2 .
Luego d1 + d2 es mínimo si C es la intersección de AB' con el plano Q .
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Fig. 6.32
314
KbC I AS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
(*) Dos puntos B y B '__son simétricos respecto al plano Q, si (J es
perpendicular al segmento 55 ' en el punto medio M de ~b W
En primer lugar determinaremos M. Sea
Ln \ P = 5 + t( l; —1; 2), t e IR
la recta que pasa por 5 y es perpendicular al
plano Q, entonces M E LN y M 6 Q
=> M (—5 + t; 1 — t; 2 + 2t) y
(-5 + t) - (1 - t) 4- 2(2 + 2t) - 4 = 0
<=» t = 1 => M (—4; 0; 4)
Como M es el punto medio entre B y 5'.
por la fórmula de punto medio se obtiene
5 '(—3, —1,6)
Así, la ecuación vectorial de la recta que pasa
L: Q = (3; 2; 1) + r (—6; —3; 5), r e
Dado que C = L n Q =* C 6 L y C EQ
» C(3 - 6r,2 - 3r, 1 + 5r> A (3 - 6r) - (2 - 3r) 4- 2(1 + 5r) - 4 = 0
r = 1/7
Por consiguiente, se tiene C(15/7 ; 11/7; 12/7).
6.3.4 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
Sea Q un plano cuya ecuación general es Q: Ax + By + Cz + D = 0 y
PiíXüyi'.Z i) un punto del espacio. Si d es la distancia del punto Pr al plano Q
(la longitud del segmento perpendicular trazado de P1 a Q (Fig. 6.34)), entonces
¿ H r a c o s e i ■■■•(«)
Donde P0(x0;y0;z0) es un punto del
plano Q y 9 es el ángulo entre el vector
P0Pt y el vector normal N.
por A y B' es
R
315
Fig. 6.34
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Como P0 e Q => Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
De donde D = -Ax0 - By0 - CzQ (/?)
Por otro lado,
(K pI ) - ñeos 9 - ---, (y)
Reemplazando (y) en (a) se obtiene
\A(x, - X0) + B(yx - y0) + C(zt - z0)| d = ---------- - -- -------- _ (X)
V ¿2 + B 2 + C2
Reemplazando (/?) en (A), la fórmula para la distancia del punto P, al plano Q se escribe como
\Axj_ + By1 + Czx + D\a =
tJA2 + B2 + C2
Observación 17 La distancia d entre los planos paralelos
Qx\ Ax + By + Cz + Dx = 0 y Q2: Ax + By + Cz + D2 = 0
está dada por la fórmula
d ='¡Ar + W T c 2
Ejemplo 39 Calcule la distancia del punto Px( 1;2;3) a lv in o
Q:P = (2; 1; —1) + r ( l ; 1; 1) + s (—1; 1; 0), ,r ,s 6 E
Solución
El vector normal del plano Q es Ñ = á x b = (-1; 1; 0) X (1; 1; 1) = (1; 1; -2)
Así, la ecuación del plano Q es l(x — 2) + l(y - 1) — 2(z + 1) = 0 ó
Q\ x + y - 2z - 5 = 0
Por tanto, la distancia entre ^ ( l ; 2; 3) y el plano Q es
|1 + 2 — 2(3) — 5| 4V6d =
V i + 1 + 4 3
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Ejemplo 40 Encuentre la distancia entre los planos paralelos
Qi". x — 2y + 2z — 5 = 0 y Q2: 3x — 6y + 6z — 7 = 0
Solución
Para aplicar la fórmula de distancia entre planos paralelos, es necesario que los
dos planos tengan el mismo vector normal; con este propósito dividimos la
ecuación del plano Q2 entre 3 y obtenemos las ecuaciones
Qt : x — 2y + 2z — 5 = 0 y Q2: x - 2y + 2z - 7/3 = 0
En consecuencia, la distancia entre los planos Q, y Q2 es
Ejemplo 41 La distancia del punto P (l; 0; 2) al plano Q es 1. Si el plano Q pasa
por la intersección de los planos 4 x - 2 y - z + 3 = 0 A 2x - y + z — 2 = 0,
halle la ecuación del plano.
Solución
La ecuación de la familia de planos que pasan por la intersección de los planos
dados es
. Q f : A x - 2y - z + 3 + k(2x - y + z - 2) = 0 ó
Qf : (4 + 2k)x - (2 + k)y + (k - 1 )z + 3 - 2k = 0
Per ia condición descrita, la distancia del punto P al plano QF resulta
1 |(4 + 2k) — 2{k — 1) + 3 — 2k\ _ \2k + 5|
~ V (4 + 2kY + (2 + kY + (fe - l ) 2 ~ V6/c2 + 18A: + 21
« 6k 2 + 18k + 21 = 4k2 + 20k + 25 <=> 2fcz -2 fc-4 = 0 =>k = - l V k = 2
Luego, las ecuaciones del plano Q (hay dos soluciones) son
(?!: 2 x - y - 2 z + 5 = 0 - Q2: 8x - 4y + z - 1 = 0
Ejemplo 42 Se tiene el punto P^-3-,2-,-1) y la recta L: x = 2y = z. Halle
las ecuaciones de dos planos paralelos si se sabe que uno de ellos contiene a Px y
el otro contiene a L, además, la distancia entre dichos planos es V2.
Solución
La ecuación vectorial de la recta L es L\ P = (0; 0; 0) + t(2; 1; 2), t e E
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Sea Ñ = (A-, B; C) el vector normal común de los planos paralelos. Entonces, la
ecuación general del plano que contiene al punto P1(- 3 ;2 ;- l) y la del plano
que contiene a la recta L son respectivamente
Qx: A(x + 3) + B(y - 2) + C(z + 1) = 0 y
Qz: Ax + By + Cz = 0
Como el plano Q2 contiene a la recta L, entonces N = 04; B-, C) 1 a = (2; 1; 2)
*=>Ñ.a = 2A + B + 2C = 0*=> B = -2 A - 2C (a)
Ahora, utilizando la fórmula de la distancia entre dos planos resulta
\3A-2B + C\V2 = . ___ :
y¡Az + B2 + C2
<=> 2 (¿4 2 + B2 + C2) = (3A -2B + C)2 (/?)
Reemplazando (a) en (/?) se obtiene
10A2 + 10 C2 + 16AC = 49 A2 + 25 C2 + 70AC
<=> 13A2 + 18AC + SC2 = 0
<=¡> (13i4 + 5C)(A + C) = 0 <=> A = -C ó A = -5C/13
Si A = -C =* B = 0 => Ñt = (—C; 0; C) = -C( 1; 0; -1)
Considerando Ñx = (1; 0; -1) se obtiene las soluciones
x - z + 2 = 0
Q 2 : x - z = 0
Si A = -5C/13 => B = -16C/13 => Ñ¡ = (-5C/13 ; -16/13 ; C)
Para C = -13 se obtiene Ñ2 = (5; 16; -13). En este caso las soluciones son
Qx: Sx + 16y - 13z - 30 = 0
Q2\ Sx + 16y - 13z = 0
Ejemplo 43 Un plano se encuentra a una distancia de 2/7 unidades del origen
de coordenadas. Halle la ecuación del plano si se sabe que contiene a la recta
L: x = 2y = 3z - 1.
Solución
La recta L puede ser considerada como la intersección de los planos x = 2y
A x = 3z - 1. La familia de los planos que pasan por la intersección de estos
planos es
Qf : x - 2 y + k(x - 3z + 1) = 0 <=* (1 + k)x - 2 y - 3 kz + k = 0
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
318
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Así, de la distancia del origen de coordenadas al plano QF resulta
2 \k\<=> 40/c2 + 8k + 20 = 49/c2
7 y/(l + k)2 + 4 + 9k2
«=> k = 2 ó k = -10/9
Por tanto, existen dos soluciones al problema y estas son
3x — 2y — 6z + 2 = 0 (para k = 2)
Q2. x + lQ y - 30z + 10 = 0 (para k = -10/9)
6.3.5 ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS
Dos planos no paralelos y Q2 forman dos ángulos (diedros) 6 y 180° - 9
(Fig. 6.35), luego es suficiente conocer uno de los ángulos. Uno de estos ángulos
es igual al ángulo que forman sus normales. Si 8 es este ángulo, entonces
eos 9 =Nr-N2
P 1I P 2I
donde y N2 son respectivamente, los vectores normales de los planos
<?i Y <?2-
Fig. 6.35
Ejemplo 44 Halle el ángulo obtuso que forman los planos
Qt : 2x — y + z — 4 = 0 y Q2: x + y + 2z - 5 = 0
Solución
Los vectores normales de los planos y Q2 son respectivamente
Ñ, = (2; —1; 1) y Ñ2 = (1; 1; 2)
Entonces
Ñi • Ñ2eos 9 =
3 1— — - = - <=> 9 = 60°VóVó 2
Luego, el ángulo obtuso entre los planos es a = 180° — 60° = 120°
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TOPICOS DE C A L C U L O - V O LU M E N II
Ejemplo 45 Halle la ecuación del plano perpendicular al plano yz, que forma un
ángulo 9 = arccos(2/3) radianes con el plano Q2: 2x — y + 2z - 3 = 0 y pasa
por el punto
Solución
Sean Ñ = (¿4; B ; C) el vector normal del plano buscado, = (1; 0; 0) el vector
ftormal del plano yz (x = 0) y Ñ2 — (2; —1; 2) el vector normal del plano Qz
Como el plano buscado es perpendicular al plano yz (N 1 Nt) y forma un ángulo
9 con el plano Q2 , entonces se tiene
Ñ. Ñt = 0 =*> A = 0 (1)
Ñ ■ Ñ2 2 A - B + 2Ceos 9 = „ = ........... — (2)
\\N\\\\N2\\ Ví42 + B2 + C2.V9
Reemplazando (1) en (2) se obtiene
2 _ 2C - B
3 _ 3VS2 + C2
De donde 4(B2 + C2) = 4C2 -ABC + B2 «=> 3B2 + ABC = B(3B + 4C) = 0
<=> B = 0 ó B = -4C/3
Si B = 0 entonces Ñ - (0; 0; C) = C(0; 0; 1). Luego, la ecuación buscada del
plano que pasa por el punto P1(0;1;1) es
Qi. 0(x - 0) + 0(y - 1) + l( z - 1) = 0 ó Qi- z = 1
Si B — 4C/3, entonces Ñ = (0; — 4C/3 ; C) = — (C/3)(0; 4; — 3). Luego, la
ecuación buscada del plano q,ue pasa por le punto ?*((); 1;1) es
Q3: 0 ( x - 0) + 4(y - 1 ) - 3(z - 1 ) = 0 ó Qz: 4y - 3z - 1 = 0
6.3.6 PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO
Sea P un punto del espacio y Q un plano. Se lice que el punto P' e Q es la
proyección (ortogonal) del punto P sobre el plano Q si PP' 1 Q (Fig. 6.36).
Sea L una recta y Q un plano. A la recta contenida en Q , que se obtiene
proyectando los puntos de la recta L se denomina recta de proyección de L sobre
el plano Q . A esta recta se denota con LQ (Fig. 6.37). Si L es perpendicular al
plano Q , la proyección de L sobre Q se reduce a un punto.
320
RECTAS Y PLANOS ÉN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Ejemplo 46 En los siguientes ejercicios, L es una recta y Q es un plano Determine la proyección de L sobre Q .
a) L: P = (2; -1;4) + t (2; 1; 1), t 6 R , Q: 2x + y + z - 25 = 0
b) L: P = (1; 2; 1) + t( l; - l ¡ 2 ) , t 6 R , Q : x - y - z - 4 = 0
c) L: P = (2; 1; -1) + t(2; -1; 1), t 6 R , Q: x + 3y - z + 16 = 0
Solución
a) Los vectores dirección de la recta L y el plano Q son respectivamente
a - ( 2 ; l ; l ) y Ñ - (2; 1; 1) entonces L 1 Q. Luego, la proyección de L
scjre Q se reduce al punto / = L n Q (Fig. 6.38a). Al hallar la intersección de la recta L con el plano Q, obtenemos /(8; 2; 7)
b) Análogamente tenemos
a = ( l ; - l ; 2 ) y = (1 ;- 1 ;- i ) =* á . t f = o «=>¿110. Por ser L || Q
será suficiente proyectar un punto de L y considerar al vector á como el vector dirección de l Q (Fig. 6.38 b).
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Sean P0(l; 2; 1) EL y LN la recta que pasa por P0 en la dirección de Ñ.
Así, la ecuación vectorial de la recta l N es
Ln : P = (1; 2; 1) + s (l; -1; -1), s 6 R
Ahora, si P¿ es la proyección de P0 sobre el plano Q, entonces Pg = LN n Q.
Al resolver la intersección de LN con Q se obtiene P q ( 3 ; 0; —1)
Por lo tanto, Lq\ R = (3; 0; —1) + A(l; —1; 2), A 6 R
c) En este caso, tenemos
d = (2; -1; 1) y Ñ = (1; 3; -1), entonces L no es paralela ni perpendicular
al plano Q (Fig. 6.38 c). Para hallar la recta l Q será suficiente hallar
I = L n Q y proyectar el punto Po(2; 1;—1) sobre el plano Q. Al hallar
/ = L n Q, se obtiene /(24; -10; 10). Al proyectar el punto P0(2; 1; -1)
sobre el plano Q se obtiene P¿(0;-5; 1).
Luego Lq es la recta que pasa por los puntos / y Pq. Por tanto,
l Q: R = (24; -10; 10) + A(24; -5; 9)
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.3.8 ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO
Sea L una recta con vector dirección
a y Q un plano cuyo vector normal es
Ñ .
El ángulo entre la recta L y el plano Q
se define como el ángulo que forma L
con Lq , donde LQ es la proyección de
L sobre Q (Fig. 6.39).
Si a es uno de los ángulos que forma L
con Q (El otro ángulo es 180° — a),
entonces 6 + a = 90°, donde 6 es el
ángulo que forman el vector TV y el
vector á. Luego,
sen a = eos 6 =
Fig. 6.39
Por lo tanto, la fórmula para hallar el ángulo entre las rectas L y el plano Q es
Ñ • áaun u —
Ñ Hall
322
Ejemplo 47 Halle el ángulo agudo que forman el plano Q: 2x + y + z — 5 = 0 con la recta L: P - (2; 3; 5) + í ( l ; -1; 2), t E K
Solución
En este caso los vectores dirección de la recta L y del plano Q son
respectivamente d = (1; -1; 2) y Ñ = (2; 1; 1). Luego, si a es el ángulo que forma la recta L con el plano Q, tenemos
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
sen a =\d.Ñ\
= - => a = aresend K
Por tanto, el ángulo agudo que forman L y Q es de 30°
Ejemplo 48 Sean L : P — (1; 0; 0) + t(0; 1; 1), í 6 R una recta y
Q: x - z = 0 un plano. Si L'Q es la proyección de V sobre Q, halle la
ecuación de la recta que pasa por L' n Q, forma un ángulo de 45° con l'Q y está
contenida en el plano Q .
Solución
Sea L la recta buscada (Fig. 6.40). Como
I — L n Q ^ L 'ñ Q , entonces se obtiene
/(1;1;1). Al hacer las operaciones
correspondientes para proyectar V sobre el
plano Q, obtenemos
L'q . P = (1; 1; 1) s (l; 2; 1), s 6 R
Sea a = (a i;a 2;a 3) el vector dirección de L.
Como la recta L está contenida en el plano Q y
forma un ángulo de 45° con la recta L 'q , tenemos Fig. 6.40
a ■ Nq = 0 => ax = a3
eos 45° =d • (1; 2; 1) a, + 2a2 + a3
V6||a|| V6||a
Reemplazando (1) en (2) s; obtiene
1 2{a, + a2)
(1)(2)
a\ + 8diU2 - 2a{ = 0 =s> a2 = (-4 ± 3V2)axV2 V 6 + a2
Así, el vector dirección de la recta L es
a = (aj; (-4 ± 3^/2)%; a j = ax( 1; -4 ± 3V2; 1)
Por tanto, la ecuación buscada de la recta es
L: R = (1; 1; 1) + A (l; —4 ± 3V2; l),A 6 R (Dos soluciones)
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Ejemplo 49 Sea Q: x - y — 1 = 0 un plano. Halle la ecuación de la recta L que
pasa por >4(0; —1; 0) de modo que LQ\ P = (0; -1; 0) + t(0; 0; 1), t e IR
sea la proyección de L sobre Q. Se sabe que
el ángulo entre L y Q es de 45°.
Solución
Se observa que el punto A pertenece a la recta
Lq (Fig. 6.41).
Sea a = (a; b; c) el vector dirección de L.
Como la recta L forma un ángulo de 45° tanto
con la recta LQ como con el plano Q, entonces tenemos
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
eos 45° =
sen 45° =
óí * (0; 0; 1) _ c
Hall ~ V a 2 + 62 + c2 a. (1 ;—1;0)) a- b
» a2 + b2 = c2 (1)
V2||a|| V2Va2 + b2 + c2
(2)o a2 + b2 + c2 = a2 - la b + b2
De (1) y (2) obtenemos
a2 + b2 = —2ab «=> a + ¿ = 0 «=* a - -b
Reemplazando b = - a en (1) obtenemos c2 = 2a2 =* c = ±V2 a
Así, el vector dirección de la recta L es a = (a; -a; ±V2a) = a ( l; -1; ±V2)
Por consiguiente, las ecuaciones buscadas de la recta L son
L: R = (0; -1; 0)) + A(l; -1; ±V2), A € E
6.3.9 DISTANCIA M IN IM A ENTRE RECTAS
Sean L . P = P0 + t á , t e R y Lz: Q = Q0 + sb , s e
espacio.
Las dos posiciones relativas de estas rectas son
i) II L2 « a II b
ii) /,, tt /,2 a b
dos rectas en el
324
Si L1 || L2, la distancia entre estas rectas está dada por d = d((?0; ¿ i). distancia
de Q0 a la recta Lí ó d = d(P0; L2), distancia de P0 a la recta Lz (Fig. 6.42).
Si las rectas se cruzan (Z^ L2) , la distancia mínima d es la longitud del
segmento perpendicular común comprendida entre ambas rectas (Fig. 6.43).
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Si las rectas L1 y L2 se cruzan existen dos planos paralelos Qx y Q2 , tales que
¿■i c Q\ Y ^2 c Qi ■ Luego d es la distancia entre los planos y Q2.
Sea N = a x b y 0 el ángulo entre N y C = P0Q0 , entonces
d = ¡C|||cos0|
C-ÑDado que eos 0 =
se escribe como
, la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan
donde Uf¡ es el vector unitario en la dirección del vector Ñ
Observación 18 Si Lx y L2 son dos rectas y d es la distancia mínima entre
ellas, entonces
i) Si ¿ i II L2 , d(L1;L2) = 0 <=> Lx = L2
ii) Si Lj # ¿2, d(Li, L2) = 0 <=> Lj fl ¿2 ^ 0 (la intersección es un punto)
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T OPICOS D E C A L C U L O - V O LU M E N II
Ejemplo 50 Halle la distancia mínima entre las rectas
L1: P = (1; 1;4) 4- £(0; 1; -3), t £ R y
Lz: x = 4 + t, y — 5, z = -3 + 2t
Solución
El punto de paso y el vector dirección de Lx son P0( l ; l ; 4 ) y a = (0; 1; — 3).
El punto de paso y el vector dirección de L2 son <?0(4; 5; —3) y b = (0; 1; —3)
Así, tenemos a x b — (2; —3; —1) y C = PqQq — (3; 4; —7)
Por lo tanto, la distancia mínima entre las rectas Lt y L2 es
\c ■ (á x b)| |6-12 + 7| 1
||a X b|| ~ V4 + 9 + 1 ~ VÍ4
Ejemplo 51 Una esfera metálica es soltada en el punto A(l\ 2; 10) y cae
■(verticalmente) hasta el plano Q: 2x + y + z — 12 = 0; luego resbala por él
hasta chocar con el plano xy. Halle la distancia total recorrida por la esfera.
Solución
La distancia total recorrida por la esfera
es
d = \AB\ + d(B ;L t)
donde B es la intersección de la recta
L: P = (1; 2; 10) + í(0; 0; 1), t £ R
con el plano Q y es la recta de
intersección de los planos Q y xy (Fig.
6.44).
Como B = L n Q, entonces B( 1;2;8)
y \Jb \ = V0 + 0 + 4 = 2
Por otro lado, la ecuación de la recta L¿ es
(2x + y + z — 12 = 0 ^ p = (0 ; i2 ;0 ) + A(1;-2;0),A £ R t-z = 0
||axPñfi|| ||(1; —2; 0) x (1; —10; 8)|| n ^LuCRo. rf(B; ¿,) = — ¡¡J j— = ---------------- -------------------- = 8^675
Por tanto, la distancia total recorrida por la esfera es
d = \AB\ + d(B; L¡) = 2 + 8^6 /5
326
Ejemplo 52 Por la recta L: P = (4; 2; —3) + t ( l ; 0; 1) pasa un plano cuyas
intersecciones con los planos coordenados xy e yz forman un ángulo de 60°. Halle la ecuación del plano.
Solución
Sea N = (A;B;C) el vector normal del plano buscado Q. Como el plano Q
contiene a la recta L, entonces
P0(4; 2; -3) £ Q y Ñ. d = (A; B; C). (1; 0; 1) = A + C = 0 <=> C = -A (a)
Por otro lado, las rectas intersección del plano Q: Ax + By + Cz + D = 0 con
los planos xy e yz son respectivamente
L , (Ax + By + Cz + D = 0 , (Ax + By + Cz + D = 0
1' U = 0 y 2' \x = 0
Ahora, si a y b son los vectores dirección de las rectas y L2
respectivamente, entonces
d = Ñ x k = (A;B;C) x (0; 0; 1) = (B; -A; 0) y
b = Ñ xT = (A ;B ;C )x (1; 0; 0) = (0; C; - B)
Dado que las rectas Lx y l 2 forman un ángulo de 60°, entonces tenemos
d-b 1 -ACCOS 60° = ----- <=* - = ......... — ■ (R ')
Hall ¿II 2 v e 2 + A2VC2 + B2
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Reemplazando (a) en (fi) se obtiene
1 A2<=> B¿ = A¿ <=> B = ±A
2 B2 + A2
Así, j l problema tiene dos soluciones
S¡ B = A => Ñt = (A; A ;-A) = A ( l ; l ;- 1
Si B .= -A =* Ñ2 = (i4; —A;-A) = ¿4(1; -1; -1)
Luego, las ecuaciones de los planos que satisfacen las condiciones del problema
son
l(x - 4) + l (y - 2) - l ( z + 3) = 0 ó x + y - z - 9 = 0 Q2: 1 (x - 4) - l(y - 2) - l(z + 3) = 0 ó x - y - z - 5 = 0
Ejemplo 53 Sean P, Q, R y S los vértices consecutivos de un cuadrado
contenido en el plano Qx\ 2x + 2y - z - 10 = 0. Si P (2; 9; 12) y P (- 2; 11; 8)
son los extremos de una de las diagonales del cuadrado, halle las coordenadas de
los vértices Q y S.
Solución
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PR = (-4; 2; -4) y \\PR\\ = 6
Ahora, si a es el vector dirección de la recta L que contiene a la diagonal @5,
entonces
a 1 PR A a 1 ÑQl => a || PR X ÑQl = 6(1; -2; -2)
Así, la ecuación vectorial de la recta L es
L : (x; y; z ) = (0; 10; 10) + t ( l; -2; -2), t £ IR
Como Q € L , entonces Q ( t ; 10 — 2t; 10 - 2t). Dado que,
¡|QM¡¡ = ^|jPR|| = 3 <=» J t 2 + 4 t2 + 4t2 = 3 «=* t = ±1
Por tanto, las coordenadas buscadas de los puntos son Q{ 1; 8; 8) y S (- l; 12; 12)
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
En la figura 6.45, el punto medio del cuadrado es M (0; 10; 10),
Ejemplo 54 Una recta L, interseca a los planos coordenados xy e yz, de tal
manera que el segmento comprendido entre los puntos de intersección está en el
primer octante. Si desde dichas intersecciones se trazan perpendiculares a los ejes
coordenados, quedan determinados los cuadrados Cx y C2 respectivamente. El
área de Cr es el cuádruple del área de Cz. Halle la ecuación vectorial de la recta
L si su distancia al origen es 18.
Solución
Sean A(0; b; b) el punto de intersección de L con el plano yz y 6(a; a; 0) el
punto de intersección de L con el plano xy (a > 0 ,b > 0). Como el área de Cx
es cuatro veces el área de C2 (Fig. 6.46), entonces tenemos
A ( C X) = a2 = 4/1 (C2) = 4b2 =¡> a = 2b
328
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Así, el vector dirección de L es AB = (2b; b; —tí) = b(2; 1; -1) y la ecuación
vectorial de esta recta es L: P = (0; b; b) + A (2; l ; - l ) , Í e l
Utilizando la fórmula de distancia del punto (0(0; 0; 0)) a la recta L, tenemos
I N x (2; l; -l)||18 = d (0 ;¿ ) =
V6<=> b = 9V2
Por lo tanto, la ecuación vectorial buscada de la recta es
L: P = (0 ;9V2;9V2) + A(2; 1;-1), A e R
Ejemplo 55 Una recta L que pasa por el punto A(2; 2; 2), es paralela al plano
cuya ecuación es Q: x + 2y + 4z — 4 = 0. Halle la ecuación vectorial de la
recta L si el área del triángulo AOB es igual a V l4 u 2, donde O es el origen de
coordenadas y B es la intersección de L con el plano coordenado yz.
Solución
Sean 6(0; a; b) el punto de intersección de
L con el plano yz (Fig. 6.47) y
a = BA = (2; 2 - a; 2 — b) el vector
dirección de L.
Como L II Q, entonces a 1 NQ. De donde
tenemos
a - ÑQ = a - (1;2;4)
= 2 + 2(2 - a) + 4(2 - b) = 0
=> a = 7 — 2b (a)
Por otro lado, utilizando la fórmula del área de un triángulo tenemos
Í | | Ó I x Ó 6 | | = Í |A& =\\\OA*OB\\ =i||(2;2;2)x(0;a;b)||
= -a/8ci2 + 8b2 — 8ab = V l4 <=* a2 + b2 - ab = 7
Reemplazando (a) en (/?) se obtiene
b2 - 5b + 6 = 0 <=> (b - 2 )(b - 3 ) = 0<=>b-=2 V b = 3
Por consiguiente, tenemos
Si b = 2 => 6(0; 3; 2) y Lx\ P = (2; 2; 2) + t(2; -1; 0), t £ R
Si b = 3 =* 6'(0; 1; 3) y L2: P = (2; 2; 2) + s(2; 1; -1), s e l
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p»! TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 56 Un plano pasa por el punto E (2; 0; 0) y es paralelo a la recta
L: P = (5; 6; 1) + t(0; 1; —1), t £ l
Si el plano interseca a los ejes z e y en los puntos F y G respectivamente, halle la
ecuación del plano si se sabe que el área del triángulo EFG es igual a (3/2) u 2 (dos soluciones).
Solución
Sea Q el plano que interseca al eje z en G(0;0;c) y al eje y en F(0;b;Q)
(Fig. 6.48). Entonces, tenemos
a = EF = (-2; b; 0), b =EG = (-2; 0; c) y ÑQ = a x b = (be; 2c; 2b)
Dado qué
Q II L => jVQ 1 d => ÁfQ • d = (be; 2c; 2b) • (0; 1; -1) = 2c - 2b = 0
=> b = c (a)
Por otro lado, utilizando la fórmula del área de un triángulo obtenemos
Aa = i ||EFx EG || = \ jb2c2 + 4cz + 462 = ^
=> 62c2 + 4c2 + 4¿2 = 9 (/?)
Reemplazando (a) en (/?) resulta
c4 + 8c2 - 9 = 0 <=> (c2 - l) ( c 2 + 9) = 0 <=> c = ±1
Por lo tanto, las ecuaciones de los planos que satisfacen las condiciones del problema son
Si c = 1 => b = 1 => ÑQ = (1; 2; 2) y Qt : x + 2y + 2z - 2 = 0
Si c = -1 => b = -1 => Nq = (1; -2; -2) y (?2: at - 2y - 2z - 2 = 0
330
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Kjemplo 57 Sean las rectas Lt : Eje z , L2: x = 3 ; z = 4 . Halle la longitud
del menor segmento que es paralelo al plano Q: x - 2y + z — 2 = 0 y une a las
rectas L, y Lz
Solución
Un bosquejo del problema se muestra en la Fig. 6.49. Las ecuaciones vectoriales
de las rectas Lt y Lz son
Lj: P = (0; 0; t ) , t £ l y Lz. Q = (3; 0; 4) + s(0; 1; 0),s 6 M
Sean ^ 6 ^ y B E Lz, entonces i4(0;0;t) para algún valor de t E l y
B(3; s; 4) para algún valor de s E M.
Como AB = (3; s; 4 — t) es paralelo al plano Q, entonces tenemos
AB 1 Nn (1; -2; 1) => AB ■ N0 = 3 — 2s + 4 — t = 0 => t = 7 — 25
Así, la longitud del menor segmento es
f ’ís) =
pfi|| = V9 + 52 + (2 s - 3 )2 = V l8 - 2s + 5s2 = f(s )
Para encontrar el valor de s que hace mínimo a f(s ) , derivamos con respecto a s
y tenemos
5s - 6 6... :------ - .... = 0 =» S = -
V18 - 125 + 5s2 5
El criterio de la primera derivada confirma que / ( s ) es mínimo cuando 5 = 6/5 y
los puntos son ,4(0 ; 0 ; 23/5) y B(3 ; 6/5 ; 4).
Por lo tanto, la longitud del menor segmtntó es ||i4S|j = 3^6/5 = 3,286...
Ejemplo 58 Halle la ecuación de la recta L que pasa por el punto A(3; 4; -5),
corta a la recta L,: Q = (1 ;3 ;-2) + t(4 ;3; 2), t e M y es perpendicular a la x — 4 y + 2
recta L2: —— = —~ ■ 2 “ 5
Solución
Sea B E Llt entonces ñ ( 1 + 4í; 3 + 3í; 2t - 2)
para algún t 6 l . Como el vector dirección
á = AB = (4t - 2; 3t - l ;2 t + 3) de L es
perpendicular al vector dirección b = (2;3;0)
de Lz, entonces
a-b = 2(4í — 2) + 2(3t — 1)
= 17t - 7 = 0 «=» t «= 7/17
Por tanto, la ecuación de la recta L es
L: P = (3 ;4 ;-S ) + A ( -6 ;4 ;6 5 ) ,1 6 #
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Ejemplo 59 Halle la ecuación del plano que pasa por P0(5 ;0 ;-2) y forma un
ángulo de 30° con el eje z. (dos soluciones).
Solución
Sea N = (A ;B ;Q el vector normal del plano Q que pasa por P0(5;0;-2). Entonces su ecuación es
Q: A(x - 5) + By + C(z + 2) = 0 (*)
Como el ángulo que forma el plano Q con el eje z es 30° (Fig. 6.51), entonces
1 |C4; 6; C) ■ (0; 0; 1)1sen 30° = — — - ; =r— <=> 3C = A2 + B2 (a)
2 y/A2 + B2 + C2 K
Por otro lado, si K(0; 0;z0) es el punto de intersección del plano Q con el eje z,
entonces P0V = (-5; 0; z0 + 2) y el eje z forman un ángulo de 30°. Luego,
V3 P¿V ■ (0; 0; 1)— = cos30" = p r ^ j j— « z, = 2 + 5V3 ( «
Dado que V(0; 0; z0) £ Q, entonces satisface la ecuación (*), esto es
—5¿4 + C(z0 + 2) = 0 <=> — SA + C(—2 ± 5V3) = 0 <=> A = +V3C (y)
Reemplazando (y) en (a) se deduce que B = 0. De este modo, el vector normal
del plano Q es Ñ = (±V3 C; 0; C) = C(±V3; 0; 1)
Por consiguiente, la ecuación buscada del plano Q resulta
(?: ± V 3x + z + 2 + 5V3 = 0
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 60 Un rayo luminoso ¿ £: P = (1; 4; 3) + t ( l ; 2 ; - l ) , t 6 R incide en
el espejo plano Q; 3x — y + 4z — 2 = 0 y se refleja; hálle la ecuación del rayo
reflejado.
Solución
332
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Sea I = n Q (en la Fig. 6.52, el plano Q se muestra de canto).
Luego,
/ ( I + t; 4 + 2t; 3 - t) £ Q 3(1 + t) - (4 + 2t) + 4(3 - t) = 2 <=> t = 3
=> /(4; 10; 0)
Ahora, la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P0 y sigue la
dirección del vector normal es LN: P = (1; 4; 3) + A(3; — 1; 4) ,X £ IR
Si M = Ln fl Q, entonces al hacer las operaciones respectivas obtenemos
/ 1 113 42\
M \ 2 6 '~ 2 6 ’ 26/
Dado que Ai es el punto medio del segmento P0Qo , entonces el punto Q0 es
/ 14 61 3\
V 1 3 '1 3 '1 3 /
Por tanto, la ecuación vectorial del rayo reflejado que pasa por el punto I y sigue
la dirección del vector b = Q0I — — (66; 69; —3) es
Lr: R = (4; 10; 0) + r(66; 69; -3), r £ IR
EJERCICIOS
1. Halle la ecuación de la recta que pasa por (1; 3; 2), es paralelo al plano
Q: P = (1; 4; 0) + r ( 1; 1; 1) + s(0; 1; 2), r, s 6 E y forma un ángulo de
60° con la recta Lx\ R = (1; —2; 3) + t(0; 1; 0), t £ E
R. L: = (1; 3; -2) + t (3 ± 2V2; 2 ± V2; l) , t £ E
2. Halle la ecuación del plano que pasa por (3; 1; —2) y forma ángulos iguales
con las rectas Lx: P = (1; 4; 2) + t( l; 1; 1), t £ K , ¿2; eíe x y L3: e]ey
R. {x - 3) + (y - 1) + (V3 - 2)(z + 2) = 0
3. Sean las rectas:
Li'. P = (3;0;0) + t( l; —1; 1), t £ K
L2‘- Q — (2; 9; 1) 4- s (l; 3; —1), s £ E
Halle la ecuación del plano que es paralelo a Lr y Lz, y divide en 2 partes
iguales al segmento de menor longitud que une a dichas rectas.
4. Sea el plano con ecuación 2x + 3y + z + 4 = 0 , encontrar n y m no nulos de
manera que los dos vectores A = i + j + k y B = nj + mk están en un
plano perpendicular al dado.
R .m = 1/2 , n = -1/2
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5. ln : P = (1; 2; —3) + t( l; — 1;5), t G R
L2: Q = (0; 1;4) + s ( l ; 0;-1), s e l
son dos rectas, ¿se intersecan?. En caso afirmativo, halle el punto de
intersección y la ecuación del plano que los contiene. En caso contrario, halle
la distancia mínima entre L, y ¿2
6. Halle la ecuación del plano paralelo al plano 2x - y + 2z + 4 = 0 si se sabe
que el punto P0(3 ;2 ;—1) equidista de ambos planos.
R. 2x — y + 2z - 8 = 0
7. Dadas las rectas P = (1; -1; 1) + t( 0; 1; 1), t G E
¿2: Q = (0; 1 ;0 ) + 5(1 ;0 ; —1), s e l
Halle las ecuaciones de dos planos paralelos Qx y Q2 de modo que L, c Q,
y. L2 c Q2 ■ ¿Cuál es la distancia entre Qt y Q21
8. Halle la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2, que pasa por el
punto P0(2;2;2) y que forma un ángulo de 60° con el plano
V 3^ + 2 y - 3 z + 2 = 0
R. 4V3x + y - 2(1 + 4VT) = 0
9. Dadas las rectas:
Lx: P = (1; 2; -1) + t (2; -2; -3), t E IR
L2. Q = (2; 3; 1) + s (l; 2; -1), s G E
L3: R = (3; 1; -1) + r ( 1; 1; 1), r £ IR
Halle, si existe, la ecuación del plano Q que contiene a L3 y a su vez el
plano sea paralelo a las rectas L, y L2.
R. no existe
10. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por (2;6;1) y contiene a laX z
recta - = - , y = -5
R. 88x — 13y — 33z — 65 = 0
11. La recta L que pasa por (-1; 1; 6) es paralela a los planos x + y = 0 A
2x — z = 6 . La recta Lq es la proyección de L sobre el plano xy. Halle las
ecuaciones de las rectas L y LQ.
12. Halle la ecuación de la recta que contiene al menor segmento horizontal
(paralelo al plano xy) que une las rectas
P = (0;0;0) + t1(l;2 ;8 ) , t e E
l‘¿: Q = (1; 3; 0) + t2(0; 1; 4), t e R
R. L: P = (1; 2; 8) + t3(0; 3; 0), t3 6 E
13. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por P0( l; 0; 0), sabiendo que
la recta L: P — (5; 1;—5) + t( l;0 ; — 1), í e E está a una distancia de 1
unidad de dicho plano (Z, II Q).
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
334
I I. Halle la ecuación cartesiana del plano, sabiendo que es paralelo al plano
2x + 2 y - z + 7 = 0 y que el punto (5; 2; -3) equidista de ambos planos.
R. 2x + 2y - z - 41 = 0
15.Sean L\ P = (1; 1; 3) + t(2 ;0 ;l) , t E E y Q: 2y - y + z - 15 = 0 una
recta y un plano respectivamente. Si A = L n Q, halle la ecuación de la recta
L! que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta Lq . La recta Lx está
contenida en el plano Q.
16. Dadas las rectas L,. Pt = (3; 4; 5) + tx(0; 1; —2), í j C l
L2: P2 = (4; -2; 1) + t2(l; 2; 3), t2 G E
L3: P3 = (0; 0; 0) + t3(2; 1; 0), t3 G E
Halle la ecuación cartesiana de un plano que corta a estas rectas en los puntos
A, B y C respectivamente, de modo que AB = BC, El plano solicitado es
paralelo a la recta x = y = z y los puntos A, B y C están alineados.
R. 19x - 20y + z - 81 = 0
17.a = (4; 0; 3) y b = (-3; VTT; 4) son los vectores dirección de las rectas L,
y l 2 respectivamente. Las rectas se intersecan en (3; 2; 1). Halle la ecuación
de la recta l 3 que pasa por el punto P0(31/5 ;2 ; 17/5) y determina con
Lx y Lz un triángulo de área 6 u 2.
18. Halle la ecuación de una recta que pasa por el punto (3; 4; —6) y es paralela a
los planos x + 2 y - z = 4 A 3 x - y + 2z = -6.
R. L: P = (3; 4; -1) + t(-3; 5; 7), t e E
19. Halle la ecuación del plano que dista del origen V234 unidades y pasa por la
intersección de las rectas L,: P = (9; 5; 4) + t ( l ; 1; 2), t e R y
L2: Q = (1; 2; 3) + s(2; 1; 1), s e E
R. 11 (x - 11) + 7(x - 7) + 8(z - 8) = 0
20. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3; 4; 1) y es
perpendicular a los planos x — y = 4 A x + z = 6.
R. x + y - z - 6 = 0
21. Si Lx\ P = (2; 1; 0) + t( l; — 1; 1), t E E, halle la ecuación de la recta L que
- sea simétrica a la recta Lx con respecto al plano 2 x - y - z - 5 - 0 .
x + 4 5 - z25. Dado el plano x - 2y + 3z = 8 y la recta L: —— = —— <y = _1
Halle la ecuación de la recta que pasa por (0; 2; —1), es paralela al plano dado
y corta a la recta L.R. W. P = (0; 2; -1) + £(4; -1; -2), t E E
22. Dadas las rectas
Ly. Pi = (1; 1; 2) + t ^ l ; 2; 0), tx 6 E
L2: P2 = (2;2;0) + fz( l ; - l ; l ) , t2 G E
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
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^3* P3 = (0; 3; — 2) + CS; 0; 2), t3 £ E
Halle la ecuación de una recta que corte a estas tres rectas Lu Lz y L3 en
los puntos M, N y P respectivamente, de tal manera que MN = NP
R. L: P = (0; -1; 2) + t(2; 2; -1), t £ E
23. Sean las rectas ¿j = {(1; 0; 0) + r ( 1; 1; 1) / r £ E} y
L2 = {(7;4;3) + s(3;4;2) / s £ .E }
Halle los vértices de un triángulo equilátero de lado 2V2u, tal que un vértice
pertenece a ¿2 y el lado opuesto en L1.
R. (4 ;0 ;1 ),(2± V 273 ; l í j U S ' ,
24. Dadas las rectas no coplanares concurrentes en P0( l; -2; 3)
x - 1 y + 2 z - 3 x — 1 3 - z1 . : — - — = — . = — A y = -2 y
x - 1 y + 2 z - 3Lo: ---- = ---- = ----3 2 1 2
Halle la ecuación de un plano que pasa por el punto >4(—4; 2; 6) y forma
ángulos iguales con estas rectas.
R. 3x — y - z + 20 = 0
26. Dadas las rectas:
x — í y + 2 5 - z y - 1 z+ 2¿ . — = —-— = — -—■ y Lz: x = —2 ,— -— = —-—1 2 3 4 * z 1 2
que se cruzan. Halle la ecuación de la recta que pasa por >4(-l;-2;0), es
perpendicular a Lr (en el espacio) e interseca a ¿2.
R. P = (-1; -2; 0) + t (—1; 6; 4), t £ E
27. Dados los planos Qt : 2x + 2y - 2z + 2 = 0. y Qz; x — 2y — z = 1 y el
punto >4(2; 1; 4). Halle la ecuación de una recta que pasa por >4, es paralela a
Q2 y forma un ángulo de 30° con
R. ¿ = {(2;l;4) + t( l l± 6 V 2 ;2 ± 3 V 2 ; 7) / t 6 i }
28. Halle la ecuación de una recta que pasa por (3; 1; 2) y corta a la rectas
Lt : P = {(2; 4; -1) + t (0; 1; 2) / t £ E}
í x - y + z = 4
l 2x + z = 6R. Q = (3;l;2) + s(-l;10;ll), s é E
29. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el puntó' <2(3;—5; 2)' y es
perpendicular a los planos 2x + 3 y - z - 5 = 0 A x - 2 y + 2 z - 3 = 0.
R. 4x — 5y - 7z — 23 = 0
30. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos (-2; 5; 3) y
(4; 8; -8), y es perpendicular al plano xz.
R. l l x + 6z + 4 = 0
V TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
336
31. Encuentre la ecuación del plano que pasa por origen, es perpendicular alplano
2x + 3y - 5z = 0 y es paralelo a la recta que pasa por los puntos (1; -1; 3)
y (2; 1; - 2 ) .R. 5x — 5y — z = 0
32. Encuentre la ecuación del plano que es paralelo al plano 12x — y - 17z = 4 y
pasa por la intersección de los planos 2x - y - 5z = 4 A 3x + y - z — 0.
R. Y2x-y~\ 7z = 12
33. Un plano pasa por los puntos Pt ( 1; 0; -1) y P2(- l; 2; 1), y es paralelo a la
recta de intersección de los planos 3x + y - 2z = 6. A 4 x - y + 3z = Q. Halle su ecuación.
R. 5x - 3y + 8z + 3 = 0
34. Encuentre la ecuación de un plano que pasa por >4(1;-2; 1) y es
perpendicular al vector OA, donde O es el origen de coordenadas.
R. x — 2y + z = 6
35.Encuentre la ecuación de un plano que pasa por los puntos P j( l;2 ;3 ) y
P2(3; 2; 1), y es perpendicular al plano 4x - y + 2z = 7.
R. x + 6y + z = 16
36. Encuentre la distancia del origen de coordenadas
x — 2 y — 1 2 — z
3 ~ 4 ~ 5R. 3 u
Íx — 2 z — 3 — 0y — 2z = 0 interseca al plano x + 3y — z + 4 = 0.
Encuentre el punto de intersección P y halle la ecuación de la recta contenida
en este plano, que pasa por P y es perpendicular a L.
R. P (l; -2; -1), = L t l = £ ± 1—5 3 4
38.Calcule la distancia mínima entre la rectas Lx y Lz, donde Lx pasa por el
origen y el punto (1; 1; 1), y ¿2 pasa por (1; 2; -2) y es paralelo al vector
2 í - j + 2k.
R. 3V2/2
39.HaHe la ecuación del plano que forma un ángulo de 60° con el plano»
2x - y + z = 7 y contiene a la recta L: P = (1; 8; 1) + t( 1; —3; 1), t £ M.
R. x + y + 2z = 11, l l x + 2y — 5z — 22 = 0 (dos soluciones)^
40. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3; 4; 1) y es ortogonal a
tos planos P : x - y = 4 A Q : x + z = 6
R. x + y - z - 6 = 0
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
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»
41. Halle las ecuaciones de tres planos
equidistantes, que pasan por los puntos
(1; 4; 0), (2; —5; 1) y (3; 0; -2)
respectivamente, de tal manera que sean a su
vez paralelas a la recta
L = {(1; 4; 0) + t( l; 1; 1) / t G M}.
Sugerencia: Considere P1P2 = P2P3 R. 9x - 2y - 7z - 1 = 0
9x — 2y - 7z - 21 = 0
9 x - 2 y - 7 z — 41 = 0
42. Halle la longitud del menor segmento paralelo al plano xy, que une las rectas
Lx = {(1; 2; 0) + ^ (1 ; 2; 1 ) /^ 6 R} y = {(0; 0; 0) + t2( 1; 1; l ) / t 2 6 ®¡}
R. 1 u
43. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (3; -1; 6) y es paralela a los
planos x — 2y + z = 2 A 2x + y - 3 z = 5.
R. x — 3 = y + l = z - 6
44. Halle la ecuación del plano que es paralelo al plano 12x — y - 17z = 14 y
pasa por la intersección de los planos 2x - y - 5z = 4 A 3x + y — z - 0.
R. 12x - y - 17z = 6
45. Encuentre la ecuación de los planos que bisecan el ángulo entre los planos
2x + y + z = 4 A 7 x - y — 2z = 2.
R. x — 4y — 5z + 10 = 0
46.Con los puntos ¿4(1; 2; 3), B (0 ;- l;4 ) y C(—1;2;6) se forma el
paralelogramo ABCD. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos C
y d .R. L = {(0;5;5) + t(—1; —3; 1) / t G K}
47. Halle la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y por la
intersección de los planos x — y + z — 4 = 0 A 2x + y - 2z — 6 = 0.
R. x + 5y - 7z = 0
48. Halle la ecuación cartesiana de un plano que pasa por (1 ;2 ;— 3) y por la
intersección del plano x — y + 2z = 4 con el plano xy.
R. 3x - 3y - 5z - 12 = 0
49. Encuentre la longitud mínima del cordel que se necesita para llegar desde el
punto P0(8; 6; -5) hasta una vara recta de madera que pasa por los puntos
Q i(3; 5; 3) y <?2(8;3;1)
R. d = 5,65 u
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
338
50.Las rectas Lt = {(5; 11; —2) + tx(0;8; —1), 6 R}
Lz = {(8; -23; 3) + t2(3; -10; -4), t2 6 M}¿3 = {(8; 1; -6) + t3(3; -2; -5), t3 6 R]
contienen a los lados del triángulo ABC. Halle la distancia del centro de
gravedad de dicho triángulo al plano 5x + 12z + 14 = 0.
R. 5u
5 1 . Dados los puntos no colineales ¿4(0; 0; 0),
B (0 ;l;5 ), C (5 ;2 ;—1) y D( 3; 7 ;-7), determine la
ecuación de los planos paralelos que pasan por dichos
puntos, de tal manera que las distancias que los separan
sean iguales.
R. Qt : 9x + y - 12z + 59 = 0,
Q2 : 9x + y - 12z = 0
Q3: 9x + y - 12z - 59 = 0,
Q4: 9x + y - 12z- 118 = 0.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Sugerencia: En el gráfico adjunto, para determinar
las coordenadas del punto P(x0;yQ; z0) la razón es
DP 2 _r = = = — y la normal del plano es N — á x b
BP 1 F
52. Un hombre que se encuentra en
0(0; 0; 0) lanza una flecha desde
¿4(0; 0; 16) hacia un blanco en
B(50;12;16) que se encuentra
sobre el plano
2 5 x - 6 y - 1178 = 0 ,
haciendo impacto a 0,1 unidades
del blanco. Si la flecha fue lanzada
con una trayectoria paralela al
plano xy, halle el ángulo que
debió girar el hombre para no
fallar.
R. 3,62°
53. Se tienen dos túneles que parten de la superficie (suponer que la superficie es
lisa y es el plano xy) desde los puntos P1A(0;5/2;0) y P1B(5 ; 2 ; 0) y llegan
respectivamente a los puntos P2/i(-7;-1 ;-7 ) y P2B(-5; 3 ;-5). Halle la
mínima distancia que debe tener un túnel para quedar a nivel (paralelo al plano
xy) y sirva para interconectar a los túneles Ay B.
R. d = 2,457
Sugerencia: El túnel que debe intersecar a los dos túneles debe ser paralelo al
plano xy para que quede a nivel, luego igualar las coordenadas z de los puntos
que se toma sobre cada túnel.
Z Ák
A(0;0;16)a B (50;12;16)
...
Sugerencia:
0,1 = \IB\
O (0;0;0) ^y , =15,96 / y
* * eos a = 0,988 => a (i,62°)
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
54. Un niño patea una pelota desde el punto P0(8; -10; 12) y ésta se mueve en
línea recta en la dirección del vector v = (2; 2; 2), con velocidad constante. Si
la pelota se dirige hacia una ventana de vidrio, ¿qué tiempo tardará en
impactar con el vidrio si la ventana está en el plano 2x + 8z = —4?
R. V2 u
55. Halle la ecuación cartesiana de un plano que contenga a la recta
L = {(1; 2; -3) + t( l; -4; 2) / t 6 R}
y se encuentra a una distancia 8/V41 unidades del punto (2; —4; —5).
R. 6x + 2y + z — 7 = 0 A 30* + 2y - l l z - 67 = 0
56. Un rayo de luz parte del punto (1; 4; 2), se refleja en el espejo plano yz. El
rayo reflejado, se refleja nuevamente en el espejo plano xz y este último rayo
reflejado pasa por (5; 1; 4) . Halle la ecuación de este último rayo reflejado.
R. L = {(19/5 ; 0 ; 18/5) + t(6; 5; 2) / t E l )
57. Un rayo de luz parte del punto (2; 1; 6) , se refleja en el espejo plano xz; este
rayo reflejado se refleja nuevamente en el espejo plano yz, y este último rayo
reflejado pasa por (3; 8; 2). Halle la ecuación de este último rayo reflejado.
R. L = {(0 ; 13/5 ; 22/5) + t( 5; 9; -4) / t e R}
58. En los planos paralelos Pj: 4x — 8y — z + 9 = 0 y P2: 4x — 8y — z — 18 = 0,
se tienen los puntos Qt y Q2 respectivamente. Halle el volumen del cilindro
cuya diagonal QÍQ2 mide 9 unidades.
R. V = 54 7r u3
59. Una puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos planos
Px\ 5x + 3y - z - 9 = 0 y P2: 3x - 2y + 5z - 6 = 0
Se quiere aumentar un plano más a la puerta, de tal manera que pase por la
recta de intersección de ambos planos y que sea paralelo a la columna que
describe la ecuación de la recta Lx = {(3; 1; 6) + t( l; 1; 0,) / t 6 R } . Halle
la ecuación de dicho plano.
R. 19* - 19y + 41z - 39 = 0
60. Un barco se encuentra en el punto P(2;3;0) y tiene un movimiento
rectilíneo con una velocidad constante = (1; 5; 0). En ese mismo instante
un avión comercial empieza a caer desde el punto (5; 4; 6) con una velocidad
constante v2 = (2; 11; -6) en línea recta. Con estos elementos de juicio se
pregunta
a) ¿El avión cae sobre el barco?
b) Si no es así, ¿cuál será la menor distancia entre ellos?.
R. a) No b) 2,5 u
340
S U P E R FIC IE S
Una superficie es un conjunto de puntos P (x ;y ;z) e R 3 cuyas coordenadas
satisfacen una ecuación dada en las variables x, y y z, esto es,
S = {(x; y ; z ) 6 E 3 / E(x\x; z) = 0} es generalmente una superficie.
Un ejemplo de superficie es el plano (su ecuación es Ax + By + Cz + D = 0)
Observación 1 Existen ecuaciones tales como
a) x2 + (y - 2)2 + z 2 + 8 = 0
b) (x + l ) 2 + 4 (y - 2)2 + 3(z - 5)2 = 0
que no representan a una superficie. Para la ecuación (a), no existen números
reales x, y, z que satisfagan la ecuación dada, en este caso se dice que (a) representa al conjunto vacío (0)
Para la ecuación (b), los únicos números reales que satisfacen la ecuación son
x = -1, y = 2, z = 5. Luego, la ecuación (b) representa solamente al punto
P (—1; 2; 5).
Observación 2 (Traslación de ejes) De modo similar a la traslación de ejes en el
plano cartesiano, se efectúa la traslación de ejes en el espacio tridimensional R 3.
Si el sistema de coordenadas oxyz se traslada a un nuevo origen 0'(h; k; l), de
modo que las coordenadas de cualquier
punto P E I 3 antes y después de la
traslación son (x ;y ;z ) y (x1; y'; z')
respectivamente (Fig. 7.1), entonces las
relaciones de tranformación del sistema
original (oxyz) al nuevo sistema de
coordenadas (o’x'y'z') son
x = h + x'
y = k + y'
■ z = l + z'
Fig. 7.1
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S IJ I 'IÍK I'IC IE S
7.1 ESFERA
Definición: Una esfera es el conjunto de
todos los puntos del espacio IR3 que
equidistan de un punto fijo llamado centro.
La distancia constante de cualquier punto al
centro se llama radio y se denota con
r > 0 .
Sea P (x ;y ;z) cualquier punto de la esfera
de centro C(h',k;l) y radio r > 0.
Entonces, por definición tenemos
d(C; P) = V (* - h)2 + (y - k)2 + (z - l)z = r
De donde,
(x - h )z + (y - k )2 + (z - l)z = r 2 (*)
Esta ecuación se llama forma ordinaria de la ecuación de la esfera.
La esfera con centro en el origen de coordenadas y radio r > 0 tiene por
ecuación
x2 + y 2 + z2 = r z
y esta ecuación se denomina forma canónica de la ecuación de la esfera.
Si desarrollamos la forma ordinaria de la ecuación de la esfera, obtenemos una
ecuación de la forma
x2 + y 2 + z 2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 (a)
que es la ecuación de la esfera en su forma general.
Cualquier ecuación de la forma (a), empleando el método de completar
cuadrados, se puede expresar en la forma
(x - h)z + (y - k)2 + (z - i)2 = t (/?)
Comparando las ecuaciones (*) y (¡3), se tienen tres posibilidades:
Si t > 0, (/?) representa a una esfera de centro C (h ;k ;l) y radio Vt
Si t = 0, (/?) representa al puntó C(h\k\l)
Si í < 0, (/?) representa al conjunto vacío
SUPERFIC IES
Ejemplo 1
a) Halle la ecuación de la esfera de centro C(2; —1; 0) yradio r = 3
b) Halle ia ecuación de la esfera si uno de sus diámetros es el segmento de
extremos /1(3;1;4) y B (5; —1; 2)
c) Determine si una de las siguientes ecuaciones representa a una esfera, a un
punto o al conjunto vacío.
i)
¡i)
xz + y 2 + z2 - 2x + 4y - 62 + 1 = 0
xz + y 2 + z2 - 4x+ 2 y - 2 z + 6 = 0
0iii) x2 + y 2 + z 2 + 2x + 6y ~ 8z + 35
Solución
a) Utilizando la forma ordinaria de la ecuación de una esfera, tenemos,
(x - 2)2 + ( y + l ) 2 + z2 = 9 ó x2 + y 2 + z2 - 4x + 2y - 4 = 0
b) Como el centro de la esfera es el punto medio de AB, es decir, C (4;0;3) y el
radio r = diC ;A ) = V3; entonces la ecuación de la esfera es de la forma
(x - 4)2 + y 2 + (z - 3)2 = 3 ó xz + y 2 + zz - 8x - 6z + 22 = 0
c) Al completar los cuadrados en cada una de las ecuaciones, obtenemos
i) (x - l ) 2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 13. Esfera de centro C (l; -2; 3) y
radio r = V l3
ii) (x — 2)2 + (y + l ) 2 + (z - l ) 2 = 0. Luego, la ecuación representa el
punto C (2 ;- l; l )
iii) (x + l ) 2 + (y + 3)2 + (z — 4)2 = -9. La ecuación dada representa al
conjunto vacío.
Ejemplo 2 Halle la ecuación de la esfera que es tangente a los planos
Q1: x + 2y + z - 4 = 0 y
<?2: * - y + 2 z - 5 = o, y tiene su centro en el eje z. (Dos soluciones)
Solución
Sea C(0; 0; V) el centro de la esfera buscada.
Entonces, utilizando la fórmula de distancia
de punto a plano, tenemos
U - 41 |2I-S|
Vó V6
<=> l = 1 V 1 = 3
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Si / = 1 , la ecuación buscada de la esfera es
3x2 + y 2 + (z - l ) 2 = - ó 2x2 + 2yz + Zz2 — 4z - 1 = O
Si / = 3 , la ecuación buscada de la esfera es
1x2 + y 2 + (z — 3)2 = - ó 6x2 + 6 y 2 + 6 z 2 — 36 z + 53 = 0
6
Ejemplo 3 El plano Q pasa por el punto Po( l ;- l ; 0 ) y contiene a la recta
y + 1L :x - 1 — = z + 4
'Halle la ecuación de la esfera, con centro
C (0 ;- 2 ;l) y tangente al plano Q.
¿Cuál es el punto de contacto?
Solución
Dado que el punto de paso de la recta L es P1( 1;—1;—4), entonces los vectores que
están contenidos en el plano Q son
SUPERFICIES
a = P0P1 = ( 0 ;0 ;- 4 )y ¿ = ( l ; 4 ; l )
Luego, el vector normal Ñ del plano es
N = a X b = (16;-4; 0)
Así, la ecuación del plano Q es
Q: 16(x - 1) - 4(y + 1) = 0 ó < ? : 4 x - y - 5 = 0
Utilizando la fórmula de distancia de punto a plano, el radio de la esfera es
„ |2 — 5| 3r = d(C; Q) = = —=
VT7 V I7
Así, la ecuación de la esfera de centro C(0; —2; 1) y radio r = 3/V Í7 es
9x2 + (y + 2)2 + (z - l ) 2 =
17
«=> 17x2 + l l y 2 + 17z2 + 68y - 34z + 76 = 0
El punto de contacto entre el plano Q y la esfera es I = Q ñ LN, donde LN es la
recta que pasa por el centro de la esfera y sigue la dirección del vector N\ su
ecuación vectorial es LN:P = (0; -2; 1) + t(4; -1; 0), t £ E.
Hallando la intersección de LN con el plano Q, se obtiene el punto de tangencia
/ (12/17; —37/17; 1)
344
Ejemplo 4 Encuentre la ecuación de la esfera que tiene su centro en el plano xz
y es tangente al plano Q: 2x - y + z - 4 = 0, en el punto P1( 1; 5; 7).
Solución
La ecuación vectorial de la recta LN que pasa
por el punto P i(l; 5; 7) y sigue la dirección
del vector normal Ñ = (2; -1; 1) (Fig. 7.5)
es
Ln : (x ;y ;z ) = (1; 5; 7) + t ( 2 ; - l ; l ) , t 6 E
Si C es el centro de la esfera, entonces
C e Ln D Plano xz
<=> C £ Ln A C £ Plano xz
« C(1 + 2t; 5 - t; 7 + t) £ Plano xz (y = 0)
Luego, el centro de la esfera es C ( l l ; 0; 12) y su radio r = d(C ; P J = V i 50
Por consiguiente, la ecuación buscada de la esfera es
(x - l l ) 2 + (y - O)2 + (z - 12)2 = 150 ó
x2 + y 2 + z 2 - 22x - 24z + 115 = 0
EJERCIC IOS
1. Halle la ecuación de la esfera de centro C(4; 3; -1) y radio r = V7.
R. x2 + y 2 + z2 - 8x - 6y + 2z + 19 = 0
2) Halle la ecuación de la esfera si uno de sus diámetros es el segmento de
extremos ¿4(10;-5; 8) y B(2;5;-14)
R. x2 + y 2 + z 2 -12x + 6 z- 1 1 7 = 0
3) Determine si una de las siguientes ecuaciones representa a una esfera, a un
punto o al conjunto vacío. Si representa a una esfera determine su centro y su
radio.
a) x2 + y2 + z2 - Í6x + 8y + 4z + 75 = 0
b) x2 + y 2 + z 2 + 8x - 6y - 4z + 29 = 0
c) x2 + y 2 + z 2 - 2x — 4y - 6z + 15 = 0
R. a) Esfera, C(8; -4; -2) y r = 3 b) Punto c) 0
3. Halle la ecuación de la esfera que es tangente al plano x - 8 y + 4z + 7 = 0
y es concéntrica a la esfera x2 + y 2 + z2 - 12* - 4y r 6z + 33 = 0.
R. X2 + y 2 + z 2 - 12x - 4y - 6z + 48 = 0
SUPERFICIES
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SUPERFICIES
4. Halle la ecuación de la esfera que tiene su centro en el eje x y pasa por los
puntos P1(0 ;5 ;0 )y P2(-2;1;Ó).
R. x2 + y z + z 2 — 10* - 25 = 0
5. Encuentre la ecuación de la esfera que tiene su centro en el plano coordenado
yz y es tangente al plano x + 3y — 2z + 1, = 0 en el punto P(5; 0; 3).
R. x2 + y 2 + z2 + 30y - 26z — 106 = 0
6. Determine la ecuación de la esfera que pasa por, el punto P0(—2;4;0)
y por la intersección de las esferas x2 + y2 + z2 - 2x + 2y — 4z + 2 = 0
x2.+ y 2 + z2 - 4x — 2y — 6z + 10 = 0
R. x2 + y 2 + z2 — I9x — 32y - 21z + 70 = 0
Sugerencia. Si = 0 y Sz — 0 son las ecuaciones de dos esferas, entonces
+ kSz = 0, para k =é —1, representa la familia de esferas que pasan por la
intersección de las esferas dadas, con la excepción de la esfera S2 = 0
7. Determine la ecuación de la esfera que pasa por la circunferencia de
intersección de las esferas:
x2 + y 2 + z2 - 4x - 8 y + 6z + 12 - 0
x2 + y 2 + z2 - 4x + 4y - 6z - 12 = 0
y es tangente al plano x + 2y - 2z — 3 = 0
,, R. St : x2 + y z + z2 - 4x - 6y + 4z + 8 = 0
Sz: x2 + y 2 + z 2 — 4x - 24y + 22z + 44 = 0
8. Una recta L pasa por fil punto A(3; -4; 6) , interseca a la recta
l x: P = (6; -10; 12) + t ( l ; 0; 0) y a la esfera
3 29
(* + 2)2 + (y “ 1)2 + ^ “ 2)2 = T
en una cuerda de longitud 3 unidades. Halle la ecuación vectorial de L (dos
soluciones).
9. Halle la ecuación del plano Q que contiene a la recta
L: P = ( l ;2 ;3 ) + t< l;- l;0 ) , t é R
de modo qué dicho, plano sea tangente a la superficie x2 + y 2 + z z — 1 = 0
(dos soluciones)
Sugerencia. Usar la condición d(C; Q) = 1 donde C(0; 0;0)
R. Qt i 2x.+ 2y - z - 3 = 0, Qz \ 4x + 4y - 7z + 9 = 0
10. Un plano contiene a la recta L: 6x = 2y = -3z e interseca a la esfera
x2 + y 2 + z2 + 2x — 4y — 10z + 5 = 0 en una circunferencia de radio 3.
Halle la ecuación del plano (dos soluciones).
346
De manera similar a la discusión que se efectúa en la ecuación de una curva plana,
en el caso de las superficies es también ventajoso discutir previamente su
ecuación antes de construir su gráfica. Para discutir la ecuación E(x ; y; z) = 0 de
una superficie se siguen los siguientes pasos:
I) Intersección con los ejes coordenados. Son las intersecciones de la
superficie con cada uno de los ejes coordenados.
i) Con el eje x . Se reemplaza y = z = 0 en la ecuación de la superficie y
se analiza la ecuación resultante.
ii) Con el eje y. Se reemplaza x = z = 0 en la ecuación de la superficie y
se analiza la ecuación resultante.
iii) Con el eje z. Se reemplaza x = y = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.
II) Trazas sobre los planos coordenados. La traza de una superficie es una
curva formada por la intersección de la superficie con el plano coordenado.
Así, las trazas sobre los planos coordenados se obtienen de la siguiente
manera
i) Con el plano x y . Se reemplaza z = 0 en la ecuación de la superficie se
analiza la ecuación resultante.
ii) Con el plano yz. Se reemplaza x = 0 en la ecuación de la superficie y
se analiza la ecuación resultante.
iii) Con el plano x z . Se reemplaza y = 0 en la ecuación de la superficie y
se analiza la ecuación resultante.
III) Trazas en los planos paralelos a los planos coordenados. Son las
intersecciones de la superficie con planos paralelos a los planos
coordenados.
i) Con planos paralelos al plano xy. Se reemplaza z = k en la ecuación
de la superficie y se analiza la ecuación resultante.
ii) Con planos paralelos al plano xz. Se reemplaza y = k en la ecuación
de la superficie y se analiza la ecuación resultante.
iii) Con planos paralelos al plano yz. Se reemplaza x = k en la ecuación
de la superficie y se analiza la ecuación resultante.
IV) Extensión de una superfìcie Se entiende por extensión de la superficie a
los intervalos de variación, en los cuales las variables x, y A z tienen
valores reales.
SUPERFICIES
7.2 DISCUSIÓN Y GRÁFICA DE LA ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE
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SUPERFICIES
V) Simetrías con respecto a los planos coordenados, a los ejes coordenados
y al origen. Se dice que dos puntos P y Q son simétricos con respecto a un
plano, si el plano es perpendicular al segmento que los une en su punto
medio.
Por otro lado, se dice que una superficie es simétrica con respecto a un
plano, cuando el plano es perpendicular al segmento que une dos puntos de
la superficie en su punto medio.
Observación 3Si P(x; y; z) es un punto del espacio, entonces tenemos
a) El simétrico de P con respecto al plano xy es Q(x\ y, —z)
■ b) El simétrico de P con respecto al plano xz es Q(x\ —y; z)
c) El simétrico de P con respecto al plano yz es Q (—x\y,z)
d) El simétrico de P con respecto al eje x es Q (x;—y ;—z)
e) El simétrico de P con respecto al eje y es Q (—x; y; —z)
f) El simétrico de P con respecto al eje z es Q(—x ;—y ;z )
g) El simétrico de P con respecto al origen es Q{~x\ —y; —z)
Una superficie es simétrica con respecto a una recta L si el simétrico de
cada punto de la superficie, respecto a la recta L, es también un punto de Ia
superficie.
Una superficie es simétrica con respecto a un punto C si el simétrico de
cada punto de la superficie, respecto al punto C, es también un punto de la
superficie.
De acuerdo con estas consideraciones, se obtiene los resultados dados en la
siguiente tabla:
Si la ecuación de la superficie no se
altera cuando se reemplaza
La superficie es simétrica
con respecto al
x por —x Plano yz
y por -y Plano xz
/, por — z Plano xy
r por -z A y por —y Ejex
x por —X A z por —z Eje y
x por —X A y por -y Eje z
x por -x A y por -y A z por - z origen
348
SUPERFICIES
VI) Construcción de la superficie (gráfica). Con la ayuda de los pasos
anteriores se construye la gráfica de la ecuación de una superficie.
Ejemplo 5 Discutir y graficar la ecuación 9x2 + 4y 2 - 12z = 0
Solución
I. Intersecciones con los ejes
i) Con el eje x: haciendo y = z = 0 en la ecuación se obtiene 9x2 = 0,
entonces x = 0. La superficie interseca al eje x en el origen de coordenadas.
Al estudiar las otras intersecciones se comprueba que el origen es el único punto de intersección.
II. Trazas sobre los planos coordenados
i) Sobre el plano xy. Haciendo z = 0 se obtiene 9x2 + 4y 2 = 0. Esta
ecuación, en el plano xy, representa al origen de coordenadas.
ii) Sobre el plano xz. Se hace y = 0 y se obtiene 9x2 - 12z = 0. Esta
ecuación, en el plano xz, representa a una parábola.
iii) Sobre el plano yz. Haciendo x = 0 se tiene la parábola 4y 2 - 12z = 0
III. Trazas en los planos paralelos a los planos coordenados
i) Con planos paralelos al plano xy. Haciendo z = k en la ecuación de la
superficie se obtiene 9x2 + 4y2 = 12fc. Se observa que hay intersección
solamente cuando k > 0 (si k = 0 es un punto, si k > 0 es una elipse).
ii) Con planos paralelos al plano xz. Reemplazando y = k en la ecuación
de la superficie se obtiene 9x2 - 12z + 4k 2 = 0. Esta ecuación
representa a una parábola V k 6 R.
iii) Con planos paralelos al plano yz. Reemplazando x = k en la ecuación
se tiene 4y2 - 12z + 9k2 = 0. Esta ecuación representa a una parábola
VfeEM.
IV. Extensión
La ecuación 9x2 + 4y2 - 12z = 0 está definida
Vx 6 R (de III- iii), Vy e ñ (de III- ii) y Vz e [0; +oo) (de III- i).
V. Simetrías
Al reemplazar x por —x en la ecuación de la superficie se observa que esta
no varía, es decir, la superficie es simétrica con respecto al plano yz. De
manera similar, la superficie es simétrica con respecto al plano xz y al eje z.
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r r - SUPERFICIES
V I. Gráfica
1.a gráfica de esta ecuación se muestra en la Fig. 7.6 y se llama paraboloide elíptico.
Ejemplo 6 Discutir y graficar la superficie cuya ecuación es y 2 - 4y 4- 2z = 0
Solución
I. Intersección con los ejes
i) Con el eje x. Haciendo y = z = 0 se obtiene 0 = 0, esto significa que
todo punto del eje x satisface la ecuación de la superficie, es decir, la
intersección de la superficie con el eje x es el eje x.
ii) Con el eje y. Si x = z = 0 => y 2 - 4y = 0 => y = 0 V y = 4.
Luego, las intersecciones con el eje y son los puntos
P1(0 ;0 ;0 )y P2(0;4;0)
iü) Con el eje z. Si x = y = 0 => 2z = 0 <=> z = 0. Así, la intersección
con ele eje z es el origen de coordenadas.
II. Trazas sobre los planos coordenados
i) Sobre el plano xy. Las trazas son las rectas y = 0 (eje x) e y = 4
(recta paralela al eje x).
ii) Sobre el plano xz. La traza es la recta z = 0 (ejex).
iíi) Sobre el plano yz. La traza es la parábola y 2 — 4y + 2z = 0
350
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
III. Trazas en los planos paralelos a los planos coordenados
i) Con planos paralelos al plano xy.
z = k => y 2 — 4y + 2fc = 0 ==> y = 2 ± V4 — 2k
Existe intersección para k < 2 (Para k = 2 es una recta, para k < 2
son dos rectas paralelas)
ii) Con planos paralelos al plano xz. y = k => 2z = 4/c - k2, es una recta
V k e M
iii) Con planos paralelos al plano yz. x = A: => y 2 - 4y + 2z = 0 , es una
parábola, V fc 6 IR
IV. Extensión
La ecuación y 2 - 4y + 2z = 0 está definida Vx 6 IR (de III- iii), V y £ E
(de III- ii) y Vz E (—oo; 2] (de 111- ii).
V. Simetrías
Existe simetría con respecto al plano yz.
VI. Gráfica
En la Fig. 7.7 se muestra la parte de la superficie que se encuentra en el
primer octante. La superficie se denomina cilindro parabólico.
EJERCICIOS
En cada uno de los siguientes ejercicios efectúe la discusión y trace la gráfica de
la superficie representada por las ecuaciones dadas.
1. 4x2 + y 2 + z2 = 4 (elipsoide)
2. x2 + y 2 - z 2 = 0 (cono circular)
3. X 2 + z2 - 4y = 0 (Paraboloide de revolución o circular)
4, yZ - *3 = 0 (Cilindro)
5. 9x2 - 4y2 - 4z2 = 36 (Hiperboloide circular de dos hojas)
6. 9x2 - 4y 2 + 4z2 = 36 (Hiperboloide elíptico de una hoja)
7. y 2 - X 2 = 2 z (Paraboloide hiperbólico)
8. x2 + y 2 + z2 = 4 (esfera)
9. y 2 - x2y = 0
10. z = |y|
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SUPERFICIES
Un cilindro es una superficie generada por una recta que se mueve a lo largo de
una curva plana dada, permaneciendo siempre paralela a una recta fija que no está
en el plano de dicha curva. La recta que se mueve se llama generatriz del cilindro
y la curva plana se llama directriz del cilindro.
Si la generatriz de un cilindro es perpendicular al plano de la directriz, el cilindro
es llamado cilindro recto y en caso contrario, cilindro oblicuo.
Si la directriz es una recta, el cilindro se reduce a un plano.
En lo que sigue, se considera que la directriz es una curva contenida en uno de los
planos coordenados.
7.3 CILINDROS
Supongamos que la directriz está en el plano xy (Fig. 7.8). Luego, su ecuación es
de la forma E(x;y) = 0 A z — 0. Si P (x ;y ;z) es un punto del cilindro cuya
generatriz tiene por vector dirección al vector a — (a a 2; a3) y si P0(x';y'; 0)
es el punto de intersección de la directriz con la generatriz que pasa por P,
entonces
E (x ',y ') = 0 , z 1 — 0 (a)
La ecuación de la recta que pasa por P y P0 es:
x - x' y — y' z — z'---- = --- i- = ---- (£)
«, az a3
De (a) y (/í), eliminando las variables x ', y' y z' se obtiene la ecuación del cilindro.
352
EjempIo-7 Halle la ecuación del cilindro cuya directriz es la curva y 2 = 4x A z = O y a = (1; — 1; 1) es el vector dirección de la generatriz.
Solución
Sea P (x ;y ;z) un punto del cilindro y
P0(x ';y ';z ') la intersección de la directriz
con la generatriz que pasa por P. entonces
la ecuación de dicha generatriz es
x - x' y — y' z - z'(a)
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
1 -1 1
Como P0 es un punto de la directriz,
entonces se tiene
y '2 = 4x' A z' — 0 (/?)
Reemplazando z' = 0 en (a) se obtiene:
x — x ’ = z A y - y ' = -z
De donde x1 = x — z A y '2 = (y + z)2. Reemplazando festos valores en
y'2 = 4x' se obtiene (y + z )2 = 4(x - z).
Por tanto, la ecuación de la superficie cilindrica es (y + z )2 = 4(x - z)
Este cilindro se llama cilindro parabólico oblicuo. En la Fig. 7.9 se muestra su
gráfica (para z > 0).
Ejemplo 8 Halle la ecuación del cilindro recto cuya directriz es la curva
2\x\z = ■
1 + X2A y = 0
Solución
Supongamos que la generatriz que pasa por
el punto P(x;y;z) (Fig. 7.10) de la
superficie corta a la directriz en el punto
P o ( x ' ; y ' ; z ' ) , entonces la ecuación de la
generatriz (eje y) es
x = x' A z = z' (a)
Como P0 pertenece a la curva, entonces
2\x'\
= lT T 2 A y ^
Reemplazando (a) en (/?) se obtiene
2jxl
Z l + x2
Se observa que esta ecuación es similar a la ecuación de la directriz.
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SUPERFICIES
Observación 3 En el espacio tridimensional, la gráfica de una ecuación en dos
de las tres variables x, y, z es un cilindro cuya directriz es una curva que se
encuentra en el plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación
y cuyas generatrices son paralelas al eje coordenado asociado con la variable
(aliante, es decir.
1) E (x; y) = O representa (en el espacio) a un cilindro con:
Directriz: E(x; y) ~ O A z = O
Generatriz: eje z (variable que jaita en la ecuación)
2) E(x\z) = O representa a un cilindro con
Directriz: E(x\ z) ~ O A y = O
Generatriz: eje y
3) £ (y ;z ) = O representa a un cilindro con
Directriz: E (y;z) = O A x = O
Generatriz: eje x
Ejemplo 9 Trace la gráfica de la superficie representada por cada una de las
ecuaciones
a) x2 + y 2 - 4y = 0
b) z - ex = 0
c) z2 - y 3 = 0
d) x2 = (y + l ) y 2
Solución
Las gráficas se muestran en las figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14
f ¡9 7 11
.354
TOPICOS DF C M Cl'1 n - VOI I 'MFN II
EJERCICIOS
I. En cada uno de los siguientes ejercicios halle la ecuación del cilindro usando
las ecuaciones de la directriz y el vector dirección de la generatriz.
1. x2 + 4y = 1 A z = 0 , a = (1; 1; 3)
R. 9x2 + z 2 - óxz - 36y 4- 12z = 0
2. y 2 - z 2 = l A x = 0 , a = (-1; 1; 2)
3. x2 + y = 1 A z = 0 , a = (2; 1; 0)
II. Esboce la gráfica de la superficie representada por cada una de las siguientes ecuaciones
1. y 2 — 2y + 4 = z
2. y = cosx , x e [0; 47r]
3. y 3 = x2
4. x2 - y 2 = 1.
5 . 4x2 + y 2 = 4
6. y = ln x
8. y 2 = 4z
9. z = x ex
n n10.y = tan z , z e (~ 2 ''2>
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SUPERFICIES
7.4 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
La superficie generada por la rotación de
una curva plana alrededor de una recta
fija que está en el plano de la curva, se
llama superficie de revolución. La recta
fija se llama eje de revolución y la curva
plana se llama curva generadora.
Si por un punto cualquiera P(x ;y ;z) se
traza un plano perpendicular al eje de
revolución, la intersección de la superficie
con dicho plano es una circunferencia
(Fig. 7.15).
Si C es el punto de intersección del plano con el eje de revolución L y Q es el
punto de intersección con la curva generadora, entonces se verifica
d{P-,C) = d(Q ,C )
A la ecuación generada por esta igualdad se denomina ecuación de la superficie
de revolución.
En lo que sigue, se considera que la curva generadora está contenida en un plano
coordenado o en un plano paralelo a un plano coordenado.
Observación 4 En la siguiente tabla, se muestra la forma de la ecuación de una
superficie de revolución generada por una curva que se encuentra en un plano
coordenado y gira sobre uno de los ejes coordenados.
Ecuación de la curva
generadora
Eje de
revolución
Ecuación de la superficie de
revolución
z = / ( y ) , x = o eje y x2 + z 2 = [/(y)]2
x = / ( y ) , z = o eje y x2 + z2 = [f(y)]2
z = f ( x ) , y = 0 eje x y 2 + z 2 — [/(x)]2
y = / (x ) , z = 0 eje x y 2 + z 2 — [/(x)]2
y = /Q 0 , x = 0 ejez x2 + y 2 = [/(z)]2
x = A z ) , y = 0 ejez x2 + V2 = \f(z)]2
Fig. 7.15
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Demostremos la primera fórmula de la
tabla, donde la ecuación de la curva
generadora es C: z = /(y ) , x - 0 y el
eje de rotación es el eje y.
Sea P (x ;y ;z) un punto cualquiera de la
superficie de revolución. Si Q es el punto
de intersección del plano perpendicular al
eje y que pasa por P con la curva
generadora y C es el punto de intersección
de dicho plano con el eje y, entonces
<2(0;y ;/ (y ) ) y c (0;y ;0)
Luego, de la definición de la superficie de revolución resulta
d(P; C) - D(Q ; C) <=> J x 2 + z2 = \f (y)| <=> x2 + y 2 = [f(y)]2
En los otros casos, la demostración es similar.
Observación 5 Si el origen de coordenadas se traslada al punto O'(x0; y0; zQ),
las ecuaciones de las superficies de revolución de la tabla anterior tienen las
siguientes formas:
i) O - x0) 2 + (z - z0)2 = [/(y - y0)]2
¡O (y " y0)2 + (z - z0)2 = [f(x - x0)]2
iii) (x - x0) 2 + (y - y0)2 = [/(z - z0)]2
Ejemplo 10 En cada uno de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la
curva generadora y el eje de revolución L, determine la ecuación de la superficie
de revolución y esboce su gráfica.
a) C: z = ey, x = 0 ; L: eje y
b) C: z = ev, x = 0 ; L: eje z
c) C: z 2 - 4y2 = 1, x = 0 ; L: eje y
2\x\
d)C: z = Y + x2' y = 0 ' L: eJe x
e) C: y = x2, z = 0 ; L : eje x
f) C: y - x2, z = 0 ; L : eje y
Solución
Fig. 7.16
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SUPERFICIES
a) C: z = ey, x = O ; L: eje y
La ecuación de la superficie de revolución es x2 + z 2 = e2y.
La gráfica se muestra en la Fig. 7.17
b) C: y = ln z , x = 0 ; L\ eje z
La ecuación de la superficie de revolución es x2 + y 2 = ln2z.
La gráfica se muestra en la Fig. 7.18
c) En este caso, C: z = J 1 + 4y2, x = 0 ; L: eje y
La ecuación de la superficie de revolución es x2 + z 2 - 1 + Ay2
La gráfica se muestra en la Fig. 7.19 (esta superficie se llama hiperboloide de
revolución o hiperboloide circular de una hoja)
d) c z = i + ^ z » y = 0 ; L: ei e x .
Ax2La ecuación de la superficie es y2 + z2 = ---- — .
(1+ x2)2
La gráfica se muestra en la Fig. 7.20
e) C: y = x2, z = 0 ; L: eje x
La ecuación de la superficie de revolución es y 2 + z2 — x4.
La gráfica se muestra en la Fig. 7.21
f) C: y = x2, z = 0 ; L: eje y
La ecuación de la superficie de revolución es x 2 + z 2 = y.
La gráfica se muestra en la Fig. 7.22
SUPERFICIES
Fig. 7.17
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Ejemplo 11 En cada uno de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la curva
generadora C y el eje de giro halle la ecuación de la superficie de revolución.
a) C: z = /(y ), x = a ; L\ z = b , x = a
b) C: z = 2y - 3, x = 5 ; L: z = -1 , x = 5
c) C: 4(x + 2)2 — (y - l ) 2 = 1, z = 3 ; L: el eje imaginario de la hipérbola
d) C: 4(x + 2)2 — (y — l ) 2 = 1, z = 3 ; L: el eje transverso de la hipérbola
Solución
a) En la Fig. 7.23 se muestra la curva C y
la recta L en el plano x = a . Luego,
C(a; y: b), Q {a ;y ;f(y j) y P{x;y;z)
De la definición de la superficie de
revolución, tenemos
d(P; C) = d(Q-,C)
Por tanto, la ecuación de la superficie de
revolución es
(x - a )2 4 (z - b) 2 = [/(y) - b]2
Esta ecuación también puede obtenerse
trasladando previamente el origen al
punto 0 '(a;0;b).
b) (x — 5)2 + (z + l ) 2 = (2y — 2)2 (cono de revolución o cono circular)
(y + 1)2c) (x 4 2)2 4 (z — 3)2---- ----= 1 (hiperboloide circular de una hoja)
4
d) (y + l ) 2 + (z - 3)2 = 4(x + 2)2 - 1 ó
4(x + 2)2 — (y + l ) 2 — (z — 3)2 = 1 (hiperboloide circular de dos hojas)
Ejemplo 12 En cada uno de los siguientes ejercicios, identifique si es una
superficie de revolución. Luego, determine el eje de revolución y la ecuación de la
curva generadora.
a) x2 = 5 + z 2 — y 2
b) 2x¿ + 4z2 + y 2 = 1
c) x2 + 2y2 4- 2z2 — 4x 4- 8y — 4z — 4 = 0
d) 2x2 4 2z2 4 4 x 4 y - 4 z 4 - 4 - 0
Solución
SUPERFICIES
360
l U P I C U i í -D t L A L w U L U — V O L U M E N H
a) x2 + y 2 = B 4- z2 (hiperboloide circular de una Jioja)
i) Eje de revolución L: x = 0, y = 0 (ejez)
ii) Curva generadora C: x = 0, y = v5 4- z 2 ó y = 0 , x = V5 + z2 (hipérbola)
b) No es una superficie de revolución (ninguna de las trazas en los pianos
paralelos a los planos coordenados es una circunferencia).
(x — 2)2c) (x 4- 2)2 4 (z - l ) 2 = 9 ---- --- (elipsoide de revolución o esferoide)
i) Eje de revolución L: x = —2 , z = 1
18 - (x - 2)2ii) Curva generadora C: x = —2, z = 1 4 (elipse)
d) (x + l ) 2 + (z - l ) 2 = - 1 (paraboloide circular)
i) Eje de revolución L: x = —1, z = 1
ii) Curva generadora C:x = - 1, z = 1 + J - ^ (parábola)
7.5 SUPERFICIES CUADRATICAS
Una superficie cuadrática o simplemente cuádrica es la gráfica de una ecuación
de segundo grado en las variables x,y,z.
Algunas superficies cilindricas o superficies de revolución son ejemplos de
cuádricas. En ésta sección se presentará algunas formas usuales de las superficies
cuadráticas cuyas ecuaciones están en su forma más simple (forma canónica).
Considerando que el lector está en condiciones de discutir la ecuación de una
superficie, nos limitaremos a describir algunas propiedades de estas superficies.
7.5.1 ELIPSOIDE
La forma canónica de la ecuación del elipsoide con centro en el origen es
x2 y 2 z 2
a2^ b 2+^2 = 1
donde a, b y c son números reales positivos. Además, los intervalos de variación
de las variables x, y a z son
x e [-a; a], y 6 [-b; b] A z E [-c; c]
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SUPERFICIES
Si a ¿ = b2 = c2, la superficie es una esfera.
Si a 2 = b2 (ó b2 = c2, ó a2 = c2) la superficie es un elipsoide de revolución
o esferoide. Un esferoide cuyo tercer número es mayor que los dos números
iguales, se llama esferoide alargado. (La elipse que la genera gira alrededor de su
eje mayor). Si el tercer número es menor que los dos números iguales, se llama
esferoide achatado (la elipse que la genera gira alrededor de su eje menor).
Las trazas en los planos paralelos a los planos Coordenados son elipses o
circunferencias. (En los planos x ~ ¿ a , y = + b, z — + c se reduce a un punto).
Esta superficie es simétrica con respecto a los planos coordenados, a los ejes coordenados y al origen de coordenadas.
La gráfica del elipsoide se muestra en fá Fig. 7.24
La forma ordinaria de la ecuación del elipsoide con centro C (h ;k ;l) es
(1, _ lr\2 fr* I\2■*) , ( y - * ) 2-. 0 - - 0 2 ñ--- i--- -----1----:— == 1
7.5.2 H IPERBOLOIDE ELÍPTICO (CIRCULAR) DE UNA H OJA
La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de una hoja con centro en el origen es
x y “-
ñ2 + b2= 1
x2 y 2
~ü~ ~ +V a ¿ b2 c
donde a, b y c son números reales positivos.
En la Fig. 7.25 se muestra la gráfica de
z2 x2 y= 1 ó --=■ + '
b2
z+ - r = 1
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
A continuación se describe algunas propiedades de esta superficie
Los intervalos de variación de las variables x, y A z son
x 6 (- 00; -a] U [a; +00), y £ (—00; - b] U [fe; +oo) y z £ (- 00; +oo)
Si a2 = b2, es una superficie de revolución (hiperboloide circular de una hoja)
Si a2 & b2, la superficie es el hiperboloide elíptico de una hoja, las trazas en
los planos paralelos al plano xy son elipses o circunferencias según sea el caso en
que
a 2 b2 ó a2 = b2
Las trazas en los planos paralelos a los planos xz e yz son hipérbolas, (en los
planos y - b , x - a son dos rectas que se cortan).
Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos
coordenados y al origen de coordenadas.
La forma ordinaria de la ecuación del hiperboloide de una hoja con centro en el
punto C (h ;k ;l) es
(x - h )2 (y - k)2 (z ~ O2
a 2 b 2 c 2 1
7.5.3 H IPERBOLOIDE ELÍPTICO (CIRCULAR) DE DOS HOJAS
La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de dos hojas con centro en el
origen es
x2 y2 z 2 ( x2 y 2 z2 , x2 y2 z2
~ a 2 + b2 ~ 72 = 1 \° ^ 2 ~ b 2 ~ c 2 = 1 ° ~ á 2 ~ b 2 + c2
donde a, b y c son números reales positivos.
En la Fig. 7.26 se muestra la gráfica de
x2 y 2 z 2
+ b2 ~ c 2 = 1
Los intervalos de variación de las
variables x,y A z para esta
superficie son
x £ (-oo; +oo),
y £ (—00; -b] U [b; +co) y
Z £ (-oo; +oo)
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SUPERFICIES
Si a2 = c2, es una superficie de revolución (hiperboloide circular de dos hojas)
Si a2 c2, la superficie es el hiperboloide elíptico de dos hojas.
Las trazas en los planos paralelos al plano xz son circunferencias o elipses según
sea el caso en que a2 = c2 ó a2 c2. (En el plano y — b es un punto).
Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos
coordenados y al origen de coordenadas.
La forma ordinaria de la ecuación del hiperboloide de dos hojas con centro en el
punto C(h\ k; í) es
(x - h )2 | (y - fe)2 (z - Q2 _ ^
Observación 6 Las tres cuádricas (elipsoide, hiperboloide de una hoja e
hiperboloide de dos hojas) también se denominan cuádricas centrales.En general cualquier ecuación de ¡a forma:
(x - h )2 (y - k)2 (z - l )2
± - ------- r ^ ± 7- 2" ± 2 = 1a2 b2 c2
donde a, b y c son números reales positivos, representa a una cuádrica central
con centro en C(h;k;l).
SI los tres signos son positivos: elipsoide
Si dos signos son positivos y uno es negativo: hiperboloide de una hoja
Si dos signos son negativos y uno es positivo: hiperboloide de dos hojas.
Si los tres signos son negativos: el conjunto es vacío.
7.5.4 PARABOLOIDE ELÍPTICO (O CIRCULAR)
La forma canónica de la ecuación del paraboloide con vértice en el origen es
x2 y 2 / x2 z2 y 2 z2
? + ^ = I,6 ^ + ^ = by 6 ¥ + ^ = ax
donde a y b son números positivos y c =/= 0
En la l'ig. 7.27 se muestra la gráfica de
x2 y 2— + — = cz, con c > 0
364
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Si c < 0 el paraboloide se abre hacia la
parte negativa del eje z.
Los intervalos de variación de las variables
x, y A z para la ecuación de esta
superficie son:
X £ ( — co; +co), y £ ( —oo; + oo) y
z £ [0; +oo) (si c < 0, Z £ (- o o ; 0])
Si a2 = b2, la superficie es una superficie
de revolución (paraboloide circular)
Si a¿ & b2, la superficie es el paraboloide
elíptico.
Las trazas en los planos paralelos al plano xy son circunferencias o elipses según
sea el caso en que a2 = b2 ó a2 * b2. (En el plano z = 0. la traza es un
punto).
Esta superficie es simétrica con respecto al eje z, al plano xz y al plano yz.
La forma ordinaria de la ecuación del paraboloide con vértice en el punto
V (h ,k ;l) es
(x - h )2 (y - k )2= c(z - i)
a2 b2
En los otros casos, la ecuación es de la forma
(x - / i) 2 ( z - 0 2 „ . (y - k )2 ( z - / ) 2-i---- ;— = b(y — k) o — —7--- 1---- —— = a(x — h)
c‘
7.5.5 PARABOLOIDE H IPERBÓLICO (SILLA DE MONTAR)
La forma canónica de la ecuación del paraboloide hiperbólico con punto de silla
en el origen de coordenadas es
y "
b2
xc
a2cz
í Z2 X2ó — - — = by , ó
V, cL a2
z2 y 2 \
c‘ b¿ )
donde a y b son números positivos y c i d ,
En la Fig. 7.28 se muestra la gráfica de
y 2 x2TT-- r = cz , con c > 0b2 a2
Los intervalos de variación para las variables x, y A z de esta superficie son
X £ (-00, +oo), y £ {-oo, +oo) y z £ (-00, +oo)
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SUPERFICIES
Las secciones transversales al plano xy
son hipérbolas (En el plano z = 0 son
ilos rectas que se cortan). La$ trazas en
los planos paralelos a los planos xz e
yy. son parábolas.
lista superficie es simétrica con respecto
al eje z, al plano xz y al plano yz.
El origen de coordenadas es el punto de
silla de esta superficie.
La forma ordinaria de la ecuación del
paraboloide hiperbólico con punto de
silla en S(h ; fe; l) es
(y ~ k )2 {x - hy= c(z - l)
b2 a2
En los otros casos, la ecuación es de la forma
(.z - l )2 ( x - / i ) 2 „ ; (z— 3 ------- -5— = b ( y - k ) o —
O 2 (:y-k)2= a(x - h)
7.5.6 CONO ELÍPTICO (O CIRCULAR)
La forma canónica de la ecuación del cono con vértice en el origen de
coordenadas es
donde a, b y c son números reales positivos.
En la Fig. 7.29, se muestra la gráfica de la
superficie
x2 y 2 z 2
a2 + b2 c2
Los intervalos de variación de las variables
x, y A z son
x e E, y e M a z e E
Si a ¿ = /;2, la .superficie es de revolución
(cono circular).
Si a2 * /)2, la superficie es el cono elíptico.
366
l'OWCOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Las trazas en los planos paralelos al plano xy son circunferencias o elipses según
sea el caso en que a2 = b2 ó a2 * h2. (En el plano z = 0 la traza es el origen
de coordenadas). Las trazas en los planos paralelos al plano xz y al plano yz son
hipérbolas (En los planos y = 0 A x = 0 son dos rectas que se cortan).
Esta superficie es simétrica con respecto a ios ejes coordenados, a los planos
coordenados y al origen de coordenadas.
La forma ordinaria de la ecuación del cono con vértice el punto V(lv, fe; l) es
(x - h )2 (y - k )2 _ (z - l )2
a- o*- c^
En los otros casos, la ecuación es de la forma
(x - h)2 (z - Q2 __ (y - fe)2 . (z - Q2 (y - k )2 _ (x - h)2
a2 + c2 b2 ° c2 + b2 ~ a2
Ejemplo 13 Discutir y grafícar la ecuación 9x2 + 4z2 + 9y = O
Solución
I) Intersección con los ejes coordenados: el origen de coordenadas.
II) Trazas sobre los pianos coordenados
i) Sobre el plano xy:
la parábola x2 + y = O
ii) Sobre el plano yz:
la parábola 4z2 4- 9y = O
iii) Sobre el plano xz:
el origen de coordenadas
III) Trazas en planos paralelos a los
planos coordenados
AI plano xy: parábolas
Al plano yz: parábolas
Al plano xz: elipses, (para y < 0)
IV) Extensión: x £ E , y £ (—00; Oj, z £ E
V) La gráfica de la superficie se muestra en la Fig. 7.30 (paraboloide elíptico).
Fig. 7.30
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¡ f ” SUPERFICIES
F.Jcinplo 14 Ivsboce la gráfica de las siguientes ecuaciones
a) iíjfl /. + y2z - 9z 2 = 0
x2 y 2 zlzl
b ) T + T6 — = 1
Solución
a) 3 x 2z + y 2z - 9z2 = 0 <=> (3 x 2 + y 2 - 9z)z = 0
<=> 3x2 + y 2 — 9z = 0 ó z = 0
La ecuación 3x2 + y 2 — 9z = 0 representa a un paraboloide elíptico.
La ecuación z = 0 representa al plano xy.
La gráfica de la ecuación (3x2 + y 2 — 9z)z = 0 se muestra en la Fig. 7.31
b) Utilizando la definición del valor absoluto en
x2 y 2 z\z\
^ i6 9~ — 1
se tiene
x2 y2 z2S i z < 0 => 'ír + T7 + T r:=^ (elipsoide)
9 16 9
x2 y1 z2S i z > 0 => — + — — — = 1 (hiperboloide de una hoja)
9 16 9
x2 y 2 z\z\La gráfica de la ecuación — + — -— = 1 se muestra en la Fig. 7.32
368
Las coordenadas de uso frecuente en el espacio tridimensional, aparíe de las
rectangulares son las coordenadas cilindricas y las coordenadas esféricas.
7.6.1 COORDENADAS CILINDRICAS
Si P es un punto del espacio
tridimensional y (x ;y ;z) son sus
coordenadas rectangulares, se define
las coordenadas cilindricas de P
como la terna (r ;d ;z), donde (r;0)
son las coordenadas polares de la
proyección ortogonal de P sobre el
plano xy y z es la distancia dirigida
de (r; 0) a P (Fig. 7.33).
7.6.1.1 RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y
CILINDRICAS
Si (x ;y ;z ) y (r ;0 ;z ) son respectivamente las coordenadas cartesianas y las
coordenadas cilindricas de un punto P € 1R3, entonces se tiene
Cartesianas en términos de las cilindricas
x - r eos 9, y = r sen 8, z = z
Cilindricas en términos de las cartesianas
ytan 9 = - , rz = x2 + y 2, z = z
x
Observación 7a) Las coordenadas cilindricas principales son: r > 0 , 0 < 9 < 2n A z E l
b) Las coordenadas cilindricas del origen son (0;9 ;z ) para cualquier 9
c) La ecuación de un cilindro circular recto de radio a en coordenadas
cartesianas es x2 + y 2 = a 2, transformando a coordenadas cilindricas su
ecuación es r = a.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
7.6 COORDENADAS C ILINDRICAS Y COORDENADAS ESFÉRICAS
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l'ji'mplo 15
i) Encuentre las coordenadas cartesianas del punto que tiene las coordenadas cilindricas dadas
3) ( 3 ; f ;5 j b) ( 7 ; y : - £ ) c) (1; 0; 1)
ii) Encuentre un conjunto de coordenadas cilindricas del punto cuyas coordenadas cartesianas son
a) (4; 4 ;-2) b) (-3V3; 3; 6) c) (1; 1; 1)
Solución
i) a) Si las coordenadas cilindricas de P son (3; n/2 ;5 ), entonces r = 3.
0 - n/2 y z = 5. Luego, aplicando las fórmulas que relacionas estas
coordenadas con las cartesianas se tiene
x = 3 cos(7t/2) = 0, y = 3 sen(7r/2) = 3 y z = 5
Por tanto, las coordenadas cartesianas de P son (0 ; 3 ; 5)
Procediendo de manera similar se obtiene
u- í 7 ?V3 \— ;-4 c) (1; 0; 1)
V ^ *- ¡
ii) a) Si las coordenadas cartesianas de P son (4; 4 ;-2). entcnces .'- = 4,y - 4 y z = 5
Luego, aplicando las fórmulas que relacionas estas coordenadas con las cilindricas tiene
y 4 ntan 0 = - = - = 1 => 6 = -, r ‘ = x2 + y 2 = 32 => r = 4V2 , z = 5
X i 4
Por tanto, las coordenadas cilindricas de P son (4V2 ; n/4 ; 5)
b) (6 ; 5n/6 ; 6) c) (V2 ; n/4] l)
Ejemplo 16 Halle una ecuación en coordenadas cilindricas para la superficie representada por la ecuación cartesiana
a) 2x -r y — z — 0 b) x 2 + y 2 = 4z
c) xz - y 2 - 4z 2 - 4 = 0 •
Solución
Reemplazando x = r eos 6, y = r sen 0 y z = z, se obtiene
a) 2r eos 6 + r sen 9 - z = 0
b) r 2 — 4z
c) r 2 eos 26 - 4z2 - 4 = 0
SUPERFICIES
370
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
7.6.2 COORDENADAS ESFERICAS
Las coordenadas esféricas de un punto
P 6 R 3, se define como la terna
(p; 6; (f>), donde p representa la distancia
del punto P al origen, 0 es la medida del
ángulo que forma el segmento OP con el
rayo positivo del eje z (el ángulo 0 se
llama co-latitud de P, el ángulo n/2 — (p
se llama latitud de P) y 0 es la medida
del ángulo que forma el rayo positivo del
eje x y el segmento OQ, donde Q es la
proyección (ortogonal) de P sobre el
plano xy (Fig. 7.34) Fig. 7.34
7.6.2.1 RELACIÓN ENTRE LAS COORDENADAS CARTESIANAS Y
ESFÉRICAS
Si (x; y; z) y (p; 6\ (p) son respectivamente las coordenadas cartesianas y las
coordenadas esféricas de un punto P E R 3, entonces se tiene
Cartesianas en términos de las esféricas
Z = p COS 0
x = p sen 0 eos 6
y = p sen 0 sen 6
Esféricas en términos de las cartesianasy
x2 + y 2 + z 2 = p2, x2 + y 2 = p2 sen20 A - = tan 6
Observación 8
a) Si se incluye los puntos del eje z, las restricciones
p > 0 , 0 < 6 < 2 n , O < 0 < 7 r
determinan una correspondencia biunivoca entre los puntos del espacio y las
coordenadas esféricas (p; 6; 0)
b) Las coordenadas esféricas del origen son (0; 9; 0), donde 9, 0 son
arbitrarios.
c) La ecuación cartesiana de la esfera con centro en el origen y radio a es
x2 + y 2 + z z = a 2
Al transformar a coordenadas esféricas se reduce a p = a
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i) Encuentre las coordenadas esféricas de los puntos cuyas coordenadas
rectangulares son
a) (2; 2; 2) b) (0; 0; —3)
ii) Encuentre las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas
esféricas son *
a) (3; 7t/2; 7t/ 4) b) (2 ;-7r/3;7r/6)
Solución
i) Utilizando las fórmulas de transformación de coordenadas cartesianas a
esféricas, tenemos
SUPERFICIES
Ejemplo 17
a) (2V3; 7r/4; arccos(l/V3) ) b) (3; 0; zr)
ii) Usando las fórmulas de transformación de coordenadas esféricas a cartesianas,
se tiene
a) (0; 3V2/2; 3V2/2) b) (l/2 ;- V 3 /2 ; V5)
EJERCICIOS
1. Encuentre coordenadas esféricas para los siguientes puntos especificados por
sus coordenadas rectangulares
a) (4; 2;-4) b) (1;-V3;4)
c) (1; 1; 1) d) (2; 0; 2)
2. Halle las coordenadas cilindricas para los puntos del ejercicio 1.
3. Halle las coordenadas rectangulares del punto en coordenadas cilindricas
a) ^2; arccos-; o j b)
4. Halle las coordenadas rectangulares del punto en coordenadas esféricas
/ n n\ / n n\
b> ( 3 : r - 6 )
/ TI U \ r U 7T\
C> ( ,: 6 ' i ) d) (6: «)
372
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
5. Halle una ecuación en coordenadas cilindricas de la superficie cuya ecuación
en coordenadas cartesianas es
a) (x + y )2 = z — 5
x2 y2c) ~j = 1
a2 b2
b) x2z 2 = 25 — y 2z 2
d) ax + by + cz = x2 + y 2 + z 2
6. Las siguientes superficies están descritas en coordenadas esféricas. Encuentre
sus ecuaciones rectangulares.
a) cot (p = sen 8 + eos 9 b) p2 eos 20 = a2
c) p = a sen 4> sen 8 d) p 2 sen20 sen 28 = a 2
I. Halle una ecuación en coordenadas esféricas, para la esfera de radio 3 con
centro en (0; 1; 0)
8. Halle una ecuación en coordenadas cilindricas para la esfera del ejercicio 7.
9. En los siguientes ejercicios, encuentre las ecuaciones en coordenadas
cilindricas y en coordenadas esféricas para la superficie dada.
a) El paraboloide x2 + y2 = 4z b) El hiperboloide xy = z
10. Describir la superficie z = 2r (coordenadas cilindricas), y obtener una
ecuación de la misma en coordenadas cartesianas.
I I . Halle una ecuación en coordenadas rectangulares(cartesianas) de la superficie
z2 = 1 - (r - 2)2
7.7 APLICACIONES
Ejemplo 17 Calcule el volumen del sólido limitado por la superficie z = x2 + y 2
y el plano z = 4
Solución
La ecuación z = x + y representa un
paraboloide circular. Las secciones
transversales perpendiculares al eje z son
círculos de radio r = V i (Fig. 7.35).
El área de cada sección transversal es
A(z) = n z , z e [0; 4]
Por consiguiente, el volumen del sólido es
K(S) = f A(z)dz = í nz dz J o Jq
= 8 n u 3
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SUPERFICIES
Ejemplo 19 ¿La ecuación x2 + y 2 - e2z = 0 representa una superficie de
revolución? Ln caso afirmativo, halle el área de la superficie comprendida entre
los planos z — 0 y z — 1 y calcule la longitud de arco de la curva generadora.
Solución
x2 + y 2 = e2z representa una superficie de revolución. El eje de revolución es el
eje z, ( x - 0 , y = 0) y una curva generadora es C: y = ez, x = 0
Para determinar el área de la superficie de revolución comprendida entre los
planos z — 0 y z = 1 (Fig. 7.36), basta considerar el arco de la curva y — ez .
z e [0; 1] en el plano x = 0 y hacerla girar alrededor del eje z. (Fig. 7.37)
i
HII
0 1 ” z
Fig. 7.36
Luego, el área de esta superficie de revolución es
Fig. 7.37
^ ~ l y J 1+[§] i z * i evl+e”‘¡ze V 1 + e2 + ln |
/T~,;— 7 i /e + V i + e2 = - e V 1 + e2 + ln ------——
2 V 1+V2La longitud de arco de la curva generadora resulta
-V 2
Haciendo la sustitución trigonométrica ez = tan 9 <=* z = ln(tan 9), obtenemos
-arctane ^ ¿-arctane
---r--- r— d.9sen 9 eos26
4 4
/•arctan e
= I (ese 0 + tan 9 sec 9) d9
lnVI + 1
- ln (V 2 - l ) + V 1 + e2 - V 2
374
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 20 Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies
9x2 — 9y 2 + 4z 2 — 36x — 8z + 4 = 0. y = —1 A y = 4
Solución
Al completar cuadrados en la ecuación de la
superficie se obtiene
(* 2)2 + (z - D 2
4 9
Asi. la superficie es un hiperboloide elíptico
de una hoja cuyo centro es C (2 ;0 ;l).
La gráfica del sólido se muestra en la Fig.
7.38. Las secciones transversales del sólido
perpendiculares al eje y son las elipses
(x - 2)2 (z - l ) 2 ■ ■ -t- —— — —
4
(x - 2)2
41■ + ■
9
(z - 1 )2
91
= 1 + :
1, donde t =4 + y2
Luego, el área de la elipse (sección transversal) es
/ 4 + y 2A (y) = 7r(2Vt)(3Vt) = 6n:(— -— y e [-1:4]
Usando el método de secciones transversales, el volumen del sólido es
-4 3 r 4
n s ) j A(y)dy = - n J (4 + y 2)dy =
Ejemplo 21 Calcule el volumen del sólido limitado por la superficie
y 2 + z 2 - 2 sen2* - 2 sen * - cos2x = 0 y los planos x = 0 y x - n/2.
Solución
La ecuación se puede escribir como y 2 + z2 = (sen* 4- l ) 2. Esta ecuación
representa una superficie de revolución cuyo eje de giro es el eje x.
La sección transversal del sólido perpendicular al eje x es el circulo
y 2 + z2 = (sen x + l ) 2, x £ jo ;-]
Así, el área de la sección transversal es
A(x) = 7r(señx + l ) 2. x e [O;-]
Por consiguiente, el volumen del sólido resulta
f n/z f 1 , ír(37r + 8)V{S) = I A (x)d x ~ n (sen x + l ) 2 dx ------
jo 'o
u
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SUPERFICIES
Ejemplo 22 Calcule el volumen del sólido limitado por las superficies
o - x , y2 Z — —— b —— 4 9
y — * 4
= z2
Solución
x yLa ecuación 2z = — + — representa
representa a un paraboloide con vértice
en el origen y la ecuación „2 ,,2
representa a un cono conx . y 2 T + T = zrepresenta a un cono con vértice en el
origen.
Estas superficies se intersecan cuando
2z <=* z = 0 V z = 2
La sección transversal del sólido,
perpendicular al eje z, es el anillo
elíptico cuya área es
A(z) = n(V 8z)(V l8z) - n ( J az2) (V ^z2) = 127rz - 6nz2,z 6 [0; 2]
Por lo tanto, el volumen del sólido es
y (S ) = í (127TZ - 6nz2)dz = 8n u3 ■>o
Ejemplo 23 Un sólido está limitado por las superficies
1Si: p = - cot <p ese (p (en coordenadas esféricas)
S2: z = 3 (en coordenadas cilindricas)
Bosqueje la gráfica y calcule el volumen
del sólido.
Solución
Utilizando las relaciones entre las
coordenadas esféricas y las coordenadas
cartesianas: z = p eos (p,
y = p sen $ sen 0. x = p sen 0 cos:0 se
tiene xz + y 2 = p 2 sen2(¡).
376
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
De la ecuación de resulta
COSrf) t i -> 7\3p = --r—- <=> 3p sen20 = p eoscp => 3(x“ + y ) = z
sen ¿(p
EMa ecuación representa a un paraboloide circular.
Por otro lado, la ecuación cartesiana de S2 es z = 3.
La gráfica del sólido se muestra en la Fig. 7.40. Las secciones transversales del
sólido, perpendiculares al eje z, son círculos de radio r = *Jz/3. Así, el área de
la sección plana es
A(z) = y , z 6 [0; 3]
Usando el método de secciones planas, el volumen del sólido resulta
f 3nz 3n ,n s ) = Jj T * = y U
Ejemplo 24 Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto Pt (0; -2; 4) y
es tangente al cilindro 5: 2y = x2 . El ángulo que forma dicha recta con el plano
xy es de 30° (4 soluciones).
Solución
Sea P0(a; b; c) el punto de tangencia (Fig. 7.41 izquierda). En la vista horizontal
(visto desde arriba hacia abajo - Fig. 7.41 derecha), se tiene
y + 2Pendiente de la tangente: m = (a)
dy y + 2También m = — = x. Luego, ----= x (p)
dx x
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SUPERFICIES
Por otro lado, A(x;y ;z ) pertenece al cilindro, entonces
2y = x2 (y)
De (y) y (/?) se obtiene y = 2, x — ±2
Si se reemplaza m = ±2 en (a) se obtiene las ecuaciones de los planos
tangentes Q1: y + 2 = 2x y Q2: y + 2 = —2x
1. Considerando el plano tangente Qt : 2x — y — 2 = 0, se tiene:
P0 £ Qi => 2a — ¿) — 2 = 0
P0 £ S => 2b = a 2
De estas dos ecuaciones se obtiene a = 2 y b = 2
Dado que el ángulo que forma la recta con el plano xy es 30°, entonces
l , _________ i;. -11 _________l lv í l l 2 + (6 + 2)2 + (c _ 4)2
Reemplazando el valor de a = 2 y Z? = 2, se obtiene
1 |c-4| 2Vl5- = => C = 4 ± —-—4 V20 + (c - 4)2 3
Luego, las ecuaciones de las rectas tangentes son
Lx: P = (0 ;—2;4) + t ^ l ; 2 ; ^ j , t £ R
¿2: Q = (0 ;-2;4) + A ^ l ; 2 ; - ^ p ^ i A G E
2. Considerando el plano tangente Q2: 2x + y + 2 = 0, se obtienen las
soluciones:
¿3: P = (0 ;-2;4) + t ^ - l ; 2 ; ^ p j , t E R
L4: Q = (0 ;-2;4) + A^ — , A G E
2VÍ5Los puntos de tangencia son (—2; 2; 4 ± —-—)
378
I. En cada uno de los siguientes ejercicios, discutir y graficar la superficie representada por cada ecuación
a) x2 + 4y 2 + 9z 2 = 36 b) x2 + 4y2 + 4z = 0
c) x2 - y 2 + 4z 2 = 4 d) x2 - y 2 - 4zz = 4
e) 4x2 + 8y + z2 = 0 f) x2 + 9y2 = z 2
;) 25y2 - x 2 - 9z2 = 0 h) x2 + 4y2 = 4z2 - 4z + 1
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
EJERCIC IOS
O
1) x2 - y 2 - 4z2 = 4 j) x2 + y 2 = 1 + z
k) 16x2 - 9y2 - z 2 - 144 = 0 I) y 2 + 16x2 = 64 - 4z2
II. En cada uno de los ejercicios, calcule el volumen del sólido limitado por las superficies
1 } ^ + ¥ + ^ = 1 R' ( ^ a ¿ c ) u 3
2) 8z = x2 + 4y2 , z = 1 R. (V2 n)u 3
X2 23) — + y - z 2 = 1 ,z = - 1 ,z = 2 R. (36tt)u3
4) z = x2 + 2y2 , x2 + 2y2 + z2 = 6 (dos soluciones)
x2 y2 z2 x2 y2 z25) 4-9" — 1 ' ~6 +~4 +~c¡’ = ^ (tressoluciones)
x2 y 2 z|z| /299 \ ,
?) T ' 2 = 3 R' (“T * ) “
III. Halle la ecuación de la recta L que pasa por P^O; -7; 3) y es tangente a la
superficie cilindrica y = 5 - (x - 4)2 . La recta L corta a la recta
W- P - (1; 1; 1) + t(0; 2; -3), t 6 E (dos soluciones)
R. V\ Q = (0; -7; 3) + t(l; 12; -8), t £ E
L": R = (0; -7; 3) + A (l; 4; 4), X £ E
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