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EXPERIMENTO FATORIAL 2k COMPLETO
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2
Uma panificadora fornece pão italiano para vários supermercados de uma cidade. Um estudo experimental foi desenvolvido para avaliar os efeitos do fator A, altura da prateleira, cujos níveis são em baixo e no meio, e do fator B, largura da prateleira, com níveis regular e larga, nas vendas (em número de unidades) deste pão durante certo período.
Oito supermercados similares em termos de volume de vendas e clientela, foram utilizados no estudo. Cada um dos 4 tratamentos foi atribuído, ao acaso, a duas lojas de acordo com um planejamento completamente casualizado e a localização do pão em cada loja seguiu as especificações do tratamento para aquela loja. Os resultados estão apresentados a seguir
Exemplo 1
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Tabela: Vendas (em número de unidades) de pão italiano
Largura da parteleira (B)Altura da prateleira (A)
Em baixo No meio
Regular4743
6268
Larga4640
6771
Exemplo 1
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EXPERIMENTOS FATORIAIS
Experimento Fatorial Completo
São experimentos envolvendo dois ou mais fatores, em que todas as possíveis combinações de níveis de fatores são testadas.
Experimento Fatorial Fracionado
São experimentos envolvendo dois ou mais fatores, nos quais apenas uma fração do fatorial completo é testada. Envolvem uma quantidade menor de provas do que o correspondente completo, mas abrem mão de certa quantidade de informação.
São experimentos envolvendo 2 ou mais fatores, com o objetivo de examinar o efeitos dos fatores simultaneamente e possíveis interações entre eles, sobre a resposta de interesse. São muito utilizados na indústria e agronomia.
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EXPERIMENTOS FATORIAIS EM DOIS NÍVEIS
Desvantagem dos experimentos fatoriais
Número de combinações entre tratamentos cresce rapidamente quando o número de fatores e/ou o numero de níveis dos fatores aumentam.
Soluções
a) Considerar apenas um subconjunto de todos os possíveis tratamentos (experimentos fatoriais fracionários);
b) Considerar um número razoável de fatores e restringir o número de níveis de cada fator a 2.
Os dois níveis podem ser escolhidos de modo a cobrir, de algum forma, a amplitude (em termos práticos) dos níveis. Para alguns fatores, estes dois níveis são os únicos existentes.
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EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
São experimentos envolvendo k fatores, cada qual com 2 níveis.
Em experimentos fatoriais em dois níveis, a quantidade total de experiências (repetições) realizadas é sempre múltiplo de 2k.
a) Quantas experiências serão feitas se existirem dois fatores, em dois níveis, com duas repetições?
b) E se forem três fatores, em dois níveis, com cinco repetições?
Resp.: 22 x 2 = 4 x 2 = 8 observações.
Resp.: 23 x 5 = 8 x 5 = 40 observações.
Exemplos:
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EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
Retomando o Exemplo 1 (panificadora), consideremos os dois fatores com dois níveis:
Fatores: A - Altura da prateleira: baixo e no meio B - Largura da prateleira: regular e larga Unidade experimental: loja (supermercado) Resposta: número de unidades vendidas de pão italiano
EXPERIMENTO 22 (k = 2 fatores)
Altura da prateleira (A)Largura da prateleira (B)
Regular (B0) Larga (B1)
Em baixo (A0) (1) (3)
No meio (A1) (2) (4)
A tabela para coleta dos resultados é da forma:
índice”0”: nível baixo
índice”1”: nível alto
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EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
Atribuímos:
“-1” ao nível “0” e “+1” ao nível “1”
EXPERIMENTO 22 (k = 2 fatores)
ou, alternativamente, escrevemos a tabela de contrastes, das quatro experiências possíveis, da seguinte forma:
B0 (-1) B1 (1)A0 (-1) (1) (3)A1 (1) (2) (4)
Experiência Tratamento A B AB Resposta Y
1 A0B0 -1 -1 +12 A1B0 +1 -1 -13 A0B1 -1 +1 -14 A1B1 +1 +1 +1
3
1
4
2
-1 +1
B
A
+1
-1
ou, ainda, graficamente:
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9
EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
Para k = 3 fatores, (experimento 23)
Tabela de contrastes (oito experiências possíveis):
Experiência Tratamento A B C Respostas
1 A0B0C0 -1 -1 -12 A1B0C0 +1 -1 -13 A0B1C0 -1 +1 -14 A1B1C0 +1 +1 -15 A0B0C1 -1 -1 +16 A1B0C1 +1 -1 +17 A0B1C1 -1 +1 +18 A1B1C1 +1 +1 +1
Comentários:
Fator A alternância de níveis é de linha pra linhaFator B alternância de níveis é a cada 2 linhas (=21) Fator C alternância de níveis é a cada 4 linhas (=22)
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EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
Regra geral:
Tabela de contrastes com qualquer número de fatores k
Experiência 1ª. col
(A)2ª. col (B) 3ª. col (C) 4ª. col (D) ...
1 -1 -1 -1 -12 1 -1 -1 -13 -1 1 -1 -14 1 1 -1 -15 -1 -1 +1 -16 1 -1 +1 -17 -1 1 +1 -18 1 1 +1 -19 -1 -1 -1 +1
10 1 -1 -1 +1... ... ... ... ...
Alternância: 21
20
22
23
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EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
EXERCÍCIO: O experimento 24 é aquele em que há quatro fatores, cada um com 2 níveis. Complete a tabela de contrastes para este experimento, similar aos casos anteriores.
Quantos tratamentos/experiências diferentes há num 24?Experiência Tratamento A B C D
1 A0B0C0D0 -1 -1 -1 __2 A1B0C0D0 1 -1 -1 __3 A0B1C0D0 -1 1 -1 __ 4 A1B1C0D0 1 1 -1 __5 A0B0C1D0 -1 -1 1 __6 A1B0C1D0 1 -1 1 __7 A0B1C1D0 -1 1 1 __8 A1B1C1D0 1 1 1 __9 A0B0C0D1 -1 -1 __ __
10 A1B0C0D1 1 -1 __ __11 A0B1C0D1 -1 1 __ __12 A1B1C0D1 1 1 __ __13 A0B0C1D1 -1 __ __ __14 A1B0C1D1 1 __ __ __15 A0B1C1D1 -1 __ __ __16 A1B1C1D1 1 __ __ __
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EXPERIMENTOS FATORIAIS 2k
EXPERIMENTO 22 (k = 2 fatores)
Considere, por exemplo, dois fatores, com repetição (3 réplicas):
Como determinar a significância estatística de um fator nos planejamentos fatoriais 2k?
Emprega-se a técnica de Análise de Variância (ANOVA)
B0 (-1) B1 (1)
A0 (-1)y111
y112
y113
y121
y122
y123
A1 (1)y211
y212
y213
y221
y222
y223
Qual é o modelo estatístico para representar estes dados?
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Modelo estatístico (22):
sendo
i : o índice para os níveis do fator A (i = 1, 2).j : o índice para os níveis do fator B (j = 1, 2).k : o índice para as réplicas (repetições), por tratamento (k = 1, 2, ..., r)
, )( ijkijjiijky
e
yijk: resposta da k-ésima réplica, no nível i de A e nível j de B.
i : efeito do i-ésimo nível de A.
j : efeito do j-ésimo nível de B.
()ij : efeito da interação entre i-ésimo nível de A e j-ésimo nível de B.
ijk : efeito aleatório da k-ésima observação do i-ésimo nível de A e j-ésimo nível de B.
EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
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Fonte de Variação g.l. SQ QM Teste F
Fator A 1 SQA = r(efeito A)2 QMA= SQA =SA2 FA=QMA/QMEr
Fator B 1 SQB= r(efeito B)2 QMB= SQB =SB2 FB=QMB/QMEr
Interação AxB 1 SQAB= r(efeito AB)2 QMAB= SQAB =SAB2 FAB=QMAB/QMEr
Erro 4(r – 1) SQEr QMEr = SQEr/4(r – 1)= SE2
Total 4r - 1 SQT
A TABELA DE ANOVA para experimentos com 2 fatores fixos, com dois níveis cada e r réplicas é dada por:
ANOVA - 22
Como encontrar (estimar) o efeito de A, efeito de B e efeito de AB?
EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
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Exemplo 2: Uma certa pequena empresa, dispõe de dois tipos de máquinas (A0 e A1) para executar determinada tarefa, que pode ser realizada por dois operadores (B0 e B1). Deseja-se verificar se existem diferenças quanto às maquinas ou operadores, com relação ao tempo de execução da tarefa (em segundos).
EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
operadores
máquinas B0 B1
A0
(1)
2022
(3)
4037
A1
(2)
5046
(4)
1215
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CÁLCULO DAS ESTIMATIVAS DOS EFEITOS
EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
A análise fica facilitada utilizando-se a Tabela de Contrastes.
Experiência Trat. A B AB Resp (media) 1 A0B0 -1 -1 +1 21,02 A1B0 +1 -1 -1 48,03 A0B1 -1 +1 -1 38,54 A1B1 +1 +1 +1 13,5
”-“/2 29,75 34,50 43,25”+“/2 30,75 26,99 17,25
Efeito estim. +1,00 -8,50 -26,00
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EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
Interpretação:
Quando o fator A vai do nível -1 (0) para o nível +1 (1), o tempo de operação aumenta, em média, de 1 s este é o efeito estimado do Fator A.
Regra geral: o efeito principal de A representa a mudança média na variável resposta quando A0 é mudado para A1.
Quando o fator B vai do nível -1 para o nível +1, o tempo de operação diminui, em média, de 8,50 s este é o efeito estimado do Fator B.
Analogamente, o efeito estimado da interação é de -26 s.
CÁLCULO DAS ESTIMATIVAS DOS EFEITOS
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18
EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
O valor crítico da estatística F é F(1, 4; 5%) = 7,71.
Conclusão: verifica-se que há interação significativa e, portanto, esta precisa ser considerada na análise do delineamento.
No Exemplo 2, a tabela de ANOVA resulta em:
Fonte de Variação g.l. SQ QM Teste F
Fator A 1 2 2,0 FA = 0,42
Fator B 1 144,5 144,5 FB = 30,23
Interação AxB 1 1352,0 1352,0 FAB = 282,85
Erro 4 19,1 4,78
Total 7 1517,6
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19
MODELO DE PREVISÃO
EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
Detectada a significância estatística do efeito de interação (no caso AB), é possível escrever o modelo de previsão que, para cada nível de A e de B, permite estimar a resposta média que se espera obter:
BABAij yyAB
yB
yA
yy .2
2
2
ˆ ..
EfeitoEfeitoEfeito
em que,
yA e yB assumem valores -1 ou +1, é a média geral de todas as observações...y
Para os dados do experimento do Exemplo 2 temos:
BABAij yyyyy .00,1325,450,025,30ˆ
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20
Comentários:
EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
a) Os valores dos coeficientes são iguais a (efeito/2), pois os níveis variam de –1 a +1, ou seja, num total de 2 unidades;
b) Quando há interação, além do próprio efeito desta, devem entrar também os efeitos principais dos fatores principais que compõem a interação.
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21
ANÁLISE DE RESÍDUOS
EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
ijijij yye ˆ
Obtido o modelo de previsão, os resíduos são obtidos pela diferença entre o valor observado, yij , e o valor fornecido pelo modelo de previsão, , ou seja,ijy
ijy
Para o Exemplo 2, temos:
Experiência A B yij eij
1 -1 -1 20; 22 21,0 -1,0; +1,0
2 +1 -1 50; 46 48,0 +2,0; -2,0
3 -1 +1 40; 37 38,5 +1,5; -1,54 +1 +1 12; 15 13,5 -1,5; +1,5
Resíduos grandes indicam presença de dados suspeitos, enquanto que dados não aleatórios podem indicar a influência
de um outro fator não considerado no experimento.
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22
ANÁLISE DE RESÍDUOS
EXPERIMENTOS FATORIAIS 22
Em geral, é feita uma análise gráfica dos residuos:
Para que o modelo seja considerado adequado, os resíduos devem apresentar-se distribuídos aleatoriamente em torno do valor “0”
-1.5 -0.5 0.5 1.5
-2
-1
0
1
2
z
Res
íduo
PPN dos Resíduos
-2 -1 0 1 2
0
1
2
3
Resíduo
Fre
qüên
cia
Histograma dos Resíduos
1 2 3 4 5 6 7 8
-5
0
5
Observação
Res
íduo
Gráfico dos Resíduos
X=0.000
LSC=5,889
LIC=-5,889
10 20 30 40 50
-2
-1
0
1
2
Ajuste
Res
íduo
Resíduos x Ajuste
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23
EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Experimento 23 é aquele em que há três fatores, cada um com 2 níveis.
A0 (-1) A1 (+1)B0 (-1) B1 (+1) B0 (-1) B1 (+1)
C0 (-1) (1) (3) (2) (4)C1 (+1) (5) (7) (6) (8)
Tabela de contrastes:
Experiência Tratamento A B C AB AC BC ABC Respostas 1 A0B0C0 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -12 A1B0C0 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +13 A0B1C0 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +14 A1B1C0 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -15 A0B0C1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +16 A1B0C1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -17 A0B1C1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -18 A1B1C1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
Título do slide
24
EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
ou, ainda, graficamente:
Título do slide
25
EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Fonte de Variação g.l. SQ QM Teste F
Fator A 1 SQA = 2r(efeito A)2 QMA= SQA =SA2 FA=SA
2/SE2
. . .
Fator C 1 SQB= 2r(efeito C)2 QMB= SQC=SC2 FB=SC
2/SE2
Interação AxB 1 SQAB= 2r(efeito AB)2 QMAB= SQAB =SAB2 FAB=SAB
2/SE2
. . . . . . . . . . . . . . .
Interação AxBxC 1 SQABC= 2r(efeito ABC)2 QMABC= SQABC =SABC2 FABC=SABC
2/SE2
Erro 8(r – 1) SQE= SQT-SQA-…-SQABC SE2 = SQEr/8(r – 1)
Total 8r - 1 SQT= (8r – 1)ST2
Tabela de ANOVA – Delineamento Fatorial 23
Obs.: Em experimentos 2k cada soma de quadrados é calculada pelo quadrado do correspondente efeito multiplicado por 2k-2.
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26
Exemplo 3: Pilhas alcalinas podem ser montadas em dois diferentes tipos de linha (automática ou semi-automática), utilizando-se hidróxido de potássio ou hidróxido de índio como eletrólito e, eletrodos planos ou cilíndricos. Todos estes fatores podem ter impacto na impedância da pilha elétrica, comprometendo a sua vida útil.
EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Cada combinação de níveis dos fatores foi repetida quatro vezes (4 réplicas) e os resultados estão na tabela a seguir.
SIGNIFICADO
AA0 Linha de montagem semi-automáticaA1 Linha de montagem automática
BB0 Hidróxido de potássioB1 Hidróxido de índio
CC0 Eletrodo planoC1 Eletrodo cilíndrico
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27
EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
ou, equivalentemente, pela tabela:
A0 A1
B0 B1 B0 B1
C0 C1 C0 C1 C0 C1 C0 C1
-0,1 1,1 0,6 0,7 0,6 1,9 1,8 2,11,0 0,5 1,0 -0,1 0,8 0,7 2,1 2,30,6 0,1 0,8 1,7 0,7 2,3 2,2 1,9-0,1 0,7 1,5 1,2 2,0 1,9 1,9 2,2
A0 A1
B0 B1 B0 B1
C0
(1)
-0,11,00,6-0,1
(3)
0,61,00,81,5
(2)
0,60,80,72,0
(4)
1,82,12,21,9
C1
(5)
1,10,50,10,7
(7)
0,7-0,11,71,2
(6)
1,90,72,31,9
(8)
2,12,31,92,2
Título do slide
28
EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Tabela de contrastes (Exemplo 3):
Experiência A B C AB AC BC ABC Resp. media1
2
3
4
5
6
7
8
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
-1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
0,350
1,025
0,975
2,000
0,600
1,700
0,875
2,125S “-“/4 0,70 0,92 1,09 1,15 1,13 1,32 1,23S “+”/4 1,72 1,50 1,33 1,27 1,29 1,10 1,19
Efeito estim 1,02 0,58 0,24 0,12 0,16 -0,22 -0,04
Título do slide
29
EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Exemplo 2: Tabela de ANOVA (slide 28)
Fonte g.l. SQ QM Teste FA 1 8,32 8,32 32,00
B 1 2,69 2,69 10,35
C 1 0,46 0,46 1,77
AxB 1 0,12 0,12 0,46
AxC 1 0,20 0,20 0,77
BxC 1 0,39 0,39 1,50
AxBxC 1 0,01 0,01 0,04Erro 24 6,32 0,26Total 31 18,60 0,60
O valor crítico da estatística F é F(1, 24; 5%) = 4,26.
Conclusão: O resultado da ANOVA revela que: Os fatores A (linha de montagem) e B (hidróxido) são significativos.
O fator C e todas as interações não são significativos.
Título do slide
30
EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Nesse experimento como somente os fatores A e B resultaram estatisticamente significantes, o modelo de previsão é:
BAij yyy .29,0.51,0206,1ˆ
em que,
yA e yB assumem valores -1 ou +1, é a média geral de todas as observações...y
ANÁLISE DE RESÍDUOS
Título do slide
31
EXPERIMENTOS FATORIAIS 23
Residuos Exemplo 2:
Título do slide
32
EXPERIMENTOS FATORIAIS 3k
EXPERIMENTOS 3k
O desenvolvimento dos experimentos com dois níveis pode ser estendido para qualquer quantidade de fatores. No entanto, o maior problema que se enfrenta é a quantidade total de experiências a ser feita e, consequentemente, o seu custo.
Além dos experimentos 2k existem situações em que se faz necessário o emprego de experimentos do tipo 3k, ou seja, experimentos em que os k fatores envolvidos apresentam três níveis diferentes.
Título do slide
33
EXPERIMENTOS FATORIAIS 3k
EXPERIMENTOS 3k
Experiência Tratamento A B Respostas
1 A0B0 0 02 A1B0 1 03 A2B0 2 04 A0B1 0 15 A1B1 1 16 A2B1 2 17 A0B2 0 28 A1B2 1 29 A2B2 2 2
Para k = 2 fatores, (experimento 32)
Tabela de contrastes (nove experiências possíveis):